D Programación Lineal Krajewski

7/24/2019 D Programacin Lineal Krajewski

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E 1Copyright 2010 Pearson Education, Inc. Publishing as Prentice Hall.

Programacin Lineal

For

Operations Management,

byKrajewski

/

Ritzman

/Malhotra

Pearson Education

PowerPoint Slides by Jeff

Heyl

and

translated by Victor Pumisacho


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E 2

Muchas de las decisiones gerenciales implican tratarde hacer el uso ms efectivo de recursos limitados Maquinaria, trabajo, dinero, tiempo, espacio de

almacenamiento, materias primas

Programacin

l ineal(

PL ) es una tcnica de modeladomatemtico utilizado ampliamente, diseado paraayudar a los administradores en la planificacin ytoma de decisiones relativas a la asignacin derecursos

Pertenece al campo amplio de la

programacinmatemtic a

En este sentido, la

programacin se refiere a lamodelizacin y resolucin de un problema

matemticamente

Introduccin


3/47

E 3

PL ha sido aplicada en muchas reas enlos ltimos 50 aos

Todos los problemas de PL tienen 4propiedades en comn

1. Todos los problemas buscan

maximizarominimizaralguna cantidad (la

funcin ob jet ivo)

2. La presencia de restricciones o

l imi tacioneslimitan el grado en que podemos buscarnuestro objetivo

3. Debe haber alternativas de lneas de accinpara elegir

4. El objetivo y las restricciones en problemasdeben ser expresadas en trminos de

ecuacioneso

desigualdades l ineales

Requ is i tos de un p rob lema de

programacin l ineal


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E 4

Desarrollo de un programa de produccin que lepermita satisfacer las demandas futuras de produccin de una

empresa

mientras

minimizalos costos totales de produccin einventario

Determinacin de tipos de productos derivados delpetrleo para obtener el

mximobeneficio

Seleccin de diferentes mezclas de materias primaspara alimentar los molinos y producir combinacionesde alimentos terminados a un costo

mnimo

Determinacin de un sistema de distribucin que

min imiceel costo total del envo desde varios lugaresde almacenamiento a varios lugares de mercado

Ejemp los de xito de aplicac iones

PL


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E 5

Prop iedades y supuestos PL

PROPIEDADES DE LOS PROGRAMAS LINEALES

1. Una funcin objetivo

2. Una o ms restricciones

3. Alternativas de cursos de accin

4. La funcin objetivo y las restricciones son lineales

SUPUESTOS DE PL

1. Certeza

2. Proporcionalidad3. Aditividad

4. Divisibilidad

5. Variables no negativas


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E 6

Suponemos que existen condiciones de

cer t idumbreyque los nmeros en el objetivo y las restricciones seconocen con certeza y no cambian durante el perodode estudio

Suponemos existe

proporc ional idaden el objetivo y

en las restricciones constancia entre los aumentos de produccin y lautilizacin de recursos - si 1 unidad necesita 3 horasentonces 10 requieren 30 horas

Suponemos

adit iv idadya que el total de todas las

actividades es igual a la suma de las actividadesindividuales

Asumimos

divis ibi l idadya que las soluciones no tieneque ser necesariamente nmeros enteros

Todas las respuestas o variables son

no negativas, yaque se trata de cantidades fsicas reales

Supuesto s bsicos de PL


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8/47E 8

Conceptos Bsicos

Parmetro, coeficiente o constante dada, un valor quela persona a cargo de tomar la decisin no puedecontrolar y que no cambia cuando se implementa lasolucin.

Certidumbre, palabra que se utiliza para describir que

un hecho se conoce sin lugar a duda. Linealidad, caracterstica del modelo de programacin

lineal que implica proporcionalidad y aditividad; nopuede haber productos ni potencias de las variablesde decisin.

No negatividad, suposicin de que las variables dedecisin deben ser positivas o cero.


9/47E 9

Form ulacin de problemas PL

La formulacin de un programa lineal implicael desarrollo de un modelo matemtico pararepresentar el problema de gestin

Los pasos en la formulacin de un programa

lineal son1. Comprender completamente el problema de

gestin que se enfrenta

2. Identificar el objetivo y las restricciones

3. Definir las variables de decisin4. Utilizar las variables de decisin para escribir

expresiones matemticas tanto para la funcinobjetivo como para las restricciones


10/47E 10


Como una comprobacin de coherencia,asegrese de que la misma unidad demedida se est utilizando en ambos lados

de cada restriccin y de la funcin objetivo


11/47E 11


Una de las aplicaciones ms comunes de PL esel problema de mezcla de produ ctos

Dos o ms productos se producen utilizandorecursos limitados, tales como personal,mquinas y materias primas

El beneficio que la empresa busca maximizar sebasa en la contribucin a los beneficios porunidad de cada producto

La empresa desea determinar cuntas unidadesde cada producto debe producir con el fin demaximizar el beneficio global dado lo limitado desus recursos


12/47E 12

Form ulacin de un Modelo PL

EJEMPLO 2.1

La Stratton Company produce dos tipos bsicos de tubo plstico. Tresrecursos son cruciales para la produccin de estos tubos: horas deextrusin, horas de embalaje, y un aditivo especial para las materiasprimas del plstico. Los siguientes datos representan la situacincorrespondiente a la prxima semana. Todos los datos estnexpresados en unidades de 100 pies de tubo

Producto

Recurso Tipo 1 Tipo 2 Disponibilidad deRecursos

Extrusin 4 hr 6 hr 48 hr

Embalaje 2 hr 2 hr 18 hr

Mezcla aditiva 2 lb 1 lb 16 lb

La contribucin a las ganancias y a los gastos generales por cada 100pies de tubo es de $34 para el tipo 1 y $40 para el tipo 2. Formule unmodelo de programacin lineal para determinar qu cantidad de cadatipo de tubo ser necesario producir para maximizar la contribucin a

las ganancias y a los gastos generales.


13/47E 13

Formulacin del Modelo PL

SOLUCIN

Paso 1: Para definir las variables de decisin que determinan lamezcla de productos, supondremos que

x1 = cantidad de tubo tipo 1 que ser necesario

producir y vender la semana prxima, medida enincrementos de 100 pies(por ej., x1 = 2 significa 200 pies de tubo tipo 1)

y

x2 = cantidad de tubo tipo 2 que ser necesario

producir y vender la semana prxima, medidaen incrementos de 100 pies


14/47E 14


Paso 2:A continuacin, definiremos la funcin objetivo. Lameta consiste en maximizar la contribucin total delos dos productos a las ganancias y los gastosgenerales. Cada unidad de x1 redita $34, y cadaunidad de x2 redita $40. Para valores especficos dex1 y x2, encontramos la ganancia total multiplicando el

nmero de unidades fabricadas de cada producto porla ganancia por unidad y sumndolas despus. As,nuestra funcin objetivo se convierte en:

Maximizar: $34x1 + $40x2 = Z


15/47E 15


Paso 3:El paso final es la formulacin de las restricciones.Cada unidad de x1 y x2 producida consume una parte delos recursos crticos. En el departamento de extrusin,fabricar una unidad de x1 requiere 4 horas y una unidadde x2 requiere 6 horas. El total no deber exceder las 48horas de capacidad disponibles, por lo cual usaremos el

signo . Por lo tanto, la primera restriccin es4x1 + 6x2 48

En forma similar, podemos formular las restriccionesque corresponden al embalaje y las materias primas:

2x1 + 2x2 18 (embalaje)

2x1 + x2 16 (mezcla aditiva)


16/47E 16


Estas tres restricciones limitan nuestra seleccin de valores

para la variable de decisin, porque los valores queseleccionamos para x1 y x2 debern satisfacerlas a todas.Valores negativos de x1 y x2 no tendran ningn sentido, por locual agregaremos al modelo restricciones de no negatividad:

x1 0 and x2 0 (restricciones de no negatividad)Ahora ya podemos formular el modelo completo, el cual hasido complementado con las definiciones de variables.

Maximizar:

Sujeto a: 4x1 + 6x2 48

2x1 + 2x2 18

2x1 + x2 16x1 0 y x2 0

$34x1 + $40x2 = Z

donde

x1 = cantidad de tubo tipo 1 que ser producido y vendido lasemana prxima, medida en incrementos de 100 pies

x2 = cantidad de tubo tipo 2 que ser producido y vendido la

semana prxima, medida en incrementos de 100 pies


17/47E 17

Anlis is Grfico

5 pasos bsicos1. Trazar la grfica de las restricciones

2. Identificar la regin factible

3. Trazar la grfica de una lnea de funcinobjetivo

4. Encontrar la solucin visual

5. Encontrar la solucin algebraica


18/47E 18

Trazar la g rfic a de las restr icc iones

Trazamos las grficas de las ecuaciones derestriccin, pasando por alto la parte de ladesigualdad (< o >), transformando en la ecuacinde una recta

Encontramos las intersecciones con los ejes,haciendo una variable igual a cero y resolviendo laecuacin para la segunda variable, repetimos estopara las dos intersecciones

Una vez encontrados las intersecciones con los

ejes, dibujamos una lnea que conecte los dospuntos de interseccin. Esta lnea representa a larestriccin correspondiente


19/47E 19

Trazar la grfica de las res tr icc iones

Para4x1 + 6x2 = 48

En el punto de interseccin con el eje x1 , x2 = 0, as:

4x1 + 6(0) = 48x1 = 12

Para encontrar el punto de interseccin con el eje x2 ,hacemosx1 = 0 y resolvemos para x2

4(0) + 6x2 = 48x2 = 8

Unimos los puntos (0, 8) y (12, 0) por medio de unarecta, como se muestra en la Figura 2.1


20/47E 20


4x1 + 6x2 48 (extrusion)

18

16

14

12

10

8

6

4

2

0 | | | | | | | | |2 4 6 8 10 12 14 16 18

x1

x2Figura 2.1 Grfica de la restriccin Extrusin

(0, 8)

(12, 0)


21/47E 21


EJEMPLO 2.2Para el problema de la compaa Stratton, trazar la grfica delas dems restricciones: una para el embalaje y otra para lamezcla aditiva

SOLUCIN

La ecuacin de la recta correspondiente al proceso deembalaje es 2x1 + 2x2 = 18. Para encontrar la interseccin x1,hacemos x2 = 0:

2x1 + 2(0) = 18x1 = 9

2(0) + 2x2 = 18x2 = 9

2x1 + 0 = 16x1 = 8

2(0) + x2 = 16x2 = 16

Para la restriccinEmbalaje

Para la restriccinMezcla aditiva


22/47E 22


4x1 + 6x2 48 (extrusin)



18

16

14

12

10

8

6

4

2

0 | | | | | | | | |2 4 6 8 10 12 14 16 18

x1

x2

Figura 2.2 Grfica de las tres restricciones

(0, 9)

(9, 0)

(0, 16)

(8, 0)


23/47

E 23

Ident i f icar la regin fact ible

La regin factible es el rea de la grfica quecontiene las soluciones capaces de satisfacersimultneamente, incluso las restricciones de nonegatividad

Localice el rea que satisface todas lasrestricciones usando tres reglas:1. Para la restriccin =, slo los puntos de la recta son

soluciones factibles

2. Para la restriccin , los puntos de la recta y los puntos

debajo y a la izquierda de ella son soluciones factibles3. Para la restriccin , los puntos de la recta y los puntosarriba y a la derecha de ella son soluciones factibles


24/47

E 24


Cuando uno o varios de los parmetros del ladoizquierdo de una restriccin son negativos,trazamos la recta de restriccin y ensayamos conalguno de los puntos que se localizan a un lado dela misma

2x1 + x2 102x1 + 3x2 18

x1 7

x2 5

6x1 + 5x2 5x1, x2 0

12

11

10

9

8

7

6

5

43

2

1

0 | | | | | | | | | | | |1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Reginfactible

6x1 + 5x2 52x1 + x2 10

2x1 + 3x2 18

x1 7

x2 5

x2

x1

Punto deprueba

Figura 2.3 Identificacin de la regin factible


25/47

E 25


EJEMPLO 2.3Identificar la regin factible para el problema de compaa Stratton

SOLUCIN

Porque el problemacontiene slo restricciones, y los parmetros del ladoizquierdo de cadarestriccin son nonegativos, las porcionesfactibles se localizan a laizquierda y debajo de cadarestriccin. La reginfactible, mostrada en laFigura 2.4, satisfacesimultneamente las tres

restricciones.




18

16

14

12

10

8

6

4

2

0 | | | | | | | | |2 4 6 8 10 12 14 16 18

x1

x2

B

D

C

E

A

Figura 2.4 La regin factible

Reginfactible


26/47

E 26

Trazar la recta de la func in ob jet ivo

Limitar la bsqueda a los puntos localizados enlos vrtices

Un punto vrtice se localiza en la frontera de laregin factible

Puntos interiores no necesitan ser considerados Otros puntos del borde de la regin factible

pueden ser ignorados

Si la funcin objetivo corresponde a ganancias,

cada recta se conoce como una lnea iso -ganancias o iso-ut i l idad

Si Zmide el costo, la recta es llamada lnea iso -costos


27/47

E 27

En la Figura 2.4 escogemos el vrtice E (8, 0) Sustituimos esos valores en la funcin objetivo


34x1 + 40x2 = Z

34(8) + 40(0) = 272

Entonces en el vrtice E (8, 0) la funcin objetivocorresponde a la ecuacin

34x1 + 40x2 = 272

Resolviendo para la otra interseccin con el eje34(0) + 40(x2) = 272

x2 = 6.8


28/47

E 28


Figura 2.5 Pasando una lnea iso-ganancias por (8, 0)




18

16

14

12

10

8

6

4

2

0 | | | | | | | | |2 4 6 8 10 12 14 16 18

x1

x2

B

D

C

E

A

(3,6)

34x1 + 40x2 = 272


29/47

E 29




18

16

14

12

10

8

6

4

2

0 | | | | | | | | |2 4 6 8 10 12 14 16 18

x1

x2

B

D

C

E

A

Solucin Optima (3, 6)

34x1 + 40x2 = 272

Encon trar la Solucin Visual

Figura 2.6 Trazando la segunda lnea iso-ganancias


30/47

E 30

Paso 1. Desarrolle una ecuacin con una solaincgnita. Comience multiplicando amboslados de la ecuacin por una constante, demanera que el coeficiente de una de las dosvariables de decisin sea idnticoen ambas

ecuaciones. Luego, reste una ecuacin de laotra y resuelva la ecuacin resultante paraobtener el valor de su nica incgnita.

Paso 2. Sustituya el valor de esa variable de decisinen cualquiera de las restricciones originalesy resuelva la ecuacin para encontrar la otravariable de decisin.

Encon trar la so luc in algebraica

E t d l b i t l


31/47

E 31

EJEMPLO 2.4Encuentre algebraicamente la solucin ptima para el problemade la compaa Stratton. Cul es el valor de Zcuando lasvariables de decisin tienen sus valores ptimos?

Encon trando algebraicamente laSoluc in pt ima

SOLUCINPaso 1: La Figura 2.6 muestra que el punto vrtice ptimose localiza en la interseccin de las restricciones deextrusin y de embalaje. Si escribimos las restriccionescomo igualdades, tenemos:

4x1 + 6x2 = 48 (extrusin)2x1 + 2x2 = 18 (embalaje)

E t d l b i t l


32/47

E 32

Multiplicamos cada trmino de la restriccin de embalaje por 2.Ahora la restriccin de embalaje es 4x1 + 4x2 36. Despus,restamos la restriccin de embalaje de la de extrusin. Elresultado ser una ecuacin en la cual se ha suprimido x1. Aspues:


4x1 + 6x2 = 48

(4x1 + 4x2 = 36)

2x2 = 12

x2 = 6

Encon trando algebraicamente la


33/47

E 33

Paso 2: Substituyendo el valor de x2 en la ecuacin derestriccin, obtenemos:


4x1 + 6(6) = 48

4x1

= 12

x1 = 3

As, el punto ptimo es (3, 6)

Esta solucin produce una ganancia total de 34(3) + 40(6) =$342. Es decir, la compaa Stratton deber producir laprxima semana, 300 pies del tubo tipo 1 y 600 pies de tubodel tipo 2.


34/47

E 34

Restr icc in ob l igato r ia

Una restriccin obligatoria es un recurso el cuales completamente agotado cuando se utiliza lasolucin ptima, ya que limita la capacidad demejorar la funcin objetivo.

Sustituir la solucin ptima en la ecuacin de larestriccin y resolver. Si el valor en el ladoizquierdo es igual al valor del lado derecho, larestriccin es obligatoria.

Relajar una restriccin significa incrementar el

parmetro del lado derecho, si se trata de unarestriccin , o reducirlo si se trata de unarestriccin .

Relajar una restriccin significa hacerla menosrestrictiva, lo que posibilita encontrar una mejorsolucin.


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E 35

Variab les de ho lgura y de exceden tes

La restriccin mezcla aditiva, 2x1 + x2 16, puedeser re-escrita agregando la variable de holgura s1:

2x1 + x2 + s1 = 16

Despus, calculamos la holgura correspondiente ala solucin ptima (3, 6):

2(3) + 6 + s1 = 16s1 = 4

Para una restriccin restamos una variable deexcedentes en el lado izquierdo


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E 36

Anlis is de Sens ib il id ad

Rara vez se conocen con certeza los parmetrosde la funcin objetivo y las restricciones. Con frecuencia solamente son estimaciones de sus

valores reales, que no reflejan las estimacionesasociadas por ejemplo, en el problema de la compaa

Stratton, al ausentismo o transferencia de personas. Despus de haber resuelto el problema utilizando estos

valores estimados, el analista puede determinar en quemedida resultaran afectados los valores ptimos de lasvariables de decisin y el valor de la funcin objetivo Z,

si ciertos parmetros tuvieran valores diferentes. Estetipo de anlisis posterior a la solucin, que se realizapara responder preguntas del tipo que pasara si, sellama anlis is de sens ib ili dad.


37/47

E 37

Anlis is de Sens ib il id ad

TABLA 2.1 | ANLISIS DE SENSIBILIDAD, INFORMACIN| PROPORCIONADA POR LA PROGRAMACION LINEAL

Trmino Definicin

Sensibilidaddelcoeficiente

Cunto el coeficiente de la funcin objetivo de una variable dedecisin debe mejorar (aumentando para maximizacin odisminuyendo para minimizacin), antes de que la solucinptima cambie y la variable de decisin se convierta en unnmero positivo.

Preciosombra

Es el mejoramiento marginal en Z (aumentando paramaximizacin o disminuyendo para minimizacin) a causa delrelajamiento de la restriccin en una unidad

Rango deoptimizacin Define un lmite inferior y uno superior, dentro de los cuales losvalores ptimos de las variables de decisin permanecen sin

cambios.

Rango defactibilidad

El intervalo (lmites inferior y superior) en el cual l parmetro dellado derecho puede variar mientras su precio sombra siguesiendo vlido.


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E 38

Usando p rec ios som bra

EJEMPLO 2.5

La compaa Stratton necesita respuestas a tres preguntasimportantes: Debera aumentar la capacidad en el rea deextrusin si cuesta un extra de $ 8 por hora por encima de loscostes normales reflejado en los coeficientes de la funcinobjetivo? Debera incrementar la capacidad de embalaje si

cuesta un adicional de $ 6 por hora? Debera comprar msmezcla aditiva?

SOLUCIN

Expandiendo la capacidad de extrusin se debera pagar unabonificacin de $8 por hora, pero el precio sombra de eserecurso es solamente $3 por hora. Sin embargo, expandir lashoras de embalaje costara solamente $6 por hora mas que elprecio reflejado en la funcin objetivo, y el precio sombra es$11 por hora. Finalmente, no debera comprar ms materialaditivo porque existe una holgura de 4 libras; entonces elprecio sombra es $0 para este recurso.


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E 39

Mtodo SimplexEs un procedimiento algebraico iterativo

El anlisis grfico permite comprender la lgicadel mtodo simplex

La solucin factible inicial comienza en un vrtice Iteraciones posteriores resultan en soluciones

intermedias mejoradas

En general, un vrtice no tiene ms que m

variables mayores que 0, donde mes el nmero derestricciones (sin contar las restricciones de nonegatividad)

Cuando ninguna mejora es posible, la solucinptima se ha encontrado y el algoritmo se detiene

Soluc in por Compu tado ra


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E 40

La mayora de los problemas deprogramacin lineal del mundo real seresuelven en una computadora, lo que

puede reducir drsticamente la cantidad detiempo que se requiere para resolverproblemas de programacin lineal

Existen muchos programas decomputadora que ayudan en esta tarea,desde el Solver de Microsofts Excel, paraproblemas de programacin linealmedianos

Sal ida de datos de la Computado ra


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E 41


Figura 2.7(a) Hoja de entrada de datos


42/47

E 42


Figura 2.7(b) Hoja de entrada de datos


43/47

E 43


Figura 2.8 Pantalla de resultados

Figura 2.9 Pantalla de intervalos


44/47


45/47

E 45

Ejercic iosPara resolver en el aula


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E 46

Prob lema propuesto 1

O'Connel Airlines est considerando la posibilidad deproporcionar servicio areo desde su centro de operacionesen Cicely, Alaska, a Roma, Wisconsin, y Seattle, Washington.O'Connel tiene una terminal en el aeropuerto de Cicely, queopera 12 horas al da. Cada vuelo requiere de 1 hora determinal. Cada vuelo a Roma consume 15 horas de tiempo

de la tripulacin de pilotos y se espera que produzca unaganancia de $ 2,500. Sirviendo a Seattle utiliza 10 horas detiempo de tripulacin de pilotos por vuelo y dar lugar a unbeneficio de $ 2,000 por vuelo. El trabajo de la tripulacin depilotos est limitado a 150 horas por da. El mercado para elservicio a Roma est limitado a nueve vuelos diarios.

a. Utilice el mtodo grfico para maximizar los beneficios.

b. Identifique las limitaciones de holgura y excedentes, si loshay.


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Aplicacin E.1

La compaa Crandon Manufacturing produce dosprincipales lneas de productos, una sierra circular porttil yuna sierra de mesa de precisin. Hay dos operacionescruciales: la fabricacin y el montaje. La demanda mximadel mercado el prximo ao es de 3.500 sierras al mes paralos dos productos. La contribucin media a los beneficios y

gastos generales es de $ 900 por cada sierra circular y $ 600por cada sierra de mesa.

La administracin desea determinar la mejor combinacinde productos para el prximo ao con el fin de maximizar lacontribucin a los beneficios y gastos generales. Adems,est interesado en el beneficio de la ampliacin de la

capacidad o el aumento de la cuota de mercado.

Producto

Recurso Sierra Circular Sierra de mesa Capacidad Mxima

Fabricacin 2 hrs/mes 1 hrs/mes 4,000 hrs/mes

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