Curso de Robotica

Robot Industrial

Elavorado Por:M.C. Rafael Armando Galaz Bustamante

Instituto Tecnológico de Hermosillo

Morfología del Robot




Robots planares redundantes

Transmisiones y Reductores

Entrada-Salida Denominación Ventajas Inconvenientes

Engranaje Pares altos Holgura

Correas dentada Distancias grandes

Circular - Circular Cadena Distancias grandes Ruido

Paralelo grama Giro limitado

Cable Deformable

Circular - Lineal Tornillo sin fin Poco Holgura Rozamiento

Cremallera Holgura media Rozamiento

Lineal - Circular Paral. articulado

Cremallera Holgura media Rozamiento

Actuadores•Actuadores Neumáticos

• Cilindros Neumáticos• Motores Neumáticos

•Actuadores Hidráulicos•Actuadores Eléctricos

• Motores de corriente continua (DC)• Controlados por inducido• Controlados por excitación

• Motores de corriente alterna (AC)• Síncronos• Asíncronos

• Motores de paso a paso

Sensores internos de un robotInductivo

Capacitivo

Efecto hall

Presencia < Célula reed

Óptica

Ultrasónica

Contacto

Potenciómetro

Resolver

Analógico < Sincro

Inductosyn

Posición < LVDT

Encoders absolutos

Digital < Encoders incrementables

Regla Óptica

Velocidad Tacogenerador

Encodre Incremental

Encodre absoluto

Sensores Resolver

Sistema lineal de posiciónLVDT

Herramientas Matemáticas

•Sistemas Cartesianos de referencia


•Coordenadas Polares y Cilíndricas


•Coordenadas esféricas

Matrices de Rotación

•Los vectores unitarios de los ejes coordenados del sistema OXY son ix, jy , mientras que los del sistema OUV son iu, jv.

•Un vector p del plamo se puede r`presentar en ambos sistemas como:

Matrices de Rotación•Realizando una serie de tranformaciones tenemos:

px

py=R

pu

pv

Donde:

ixiu ixjv

R=

jyiu jyjv

cos -sin

R=

sin cos

Matrices de RotaciónEn un espacio tridimensional

•Realizando una serie de tranformaciones tenemos:

px

py

pz

=R

pu

pv

pw

Donde:

ixiu ixjv ixkw

R=jyiu jyjv jykw

kziu kzjv kzkw

Puvw=[pu,pv,pw]T=pu.iu+pv.jv+pw.kw

Pxyz=[px,py,pz]T=px.ix+py.jy+pz.kz

Rotación en el eje OX

1 0 0R(x,a) = 0 cos -sen

0 sen cos

Rotación en el eje OY

cos f 0 sen fR(y,f) = 0 1 0

-sen f 0 cos f

Rotación en el eje OZ

cos q -sen q 0R(z,q) = sen q cos q 0

0 0 1

Composición de rotaciones

cq -sq 0T=R(z,q) R(y,f) R(x,a) = sq cq 0

0 0 1

cf 0 sf

0 1 0

-sf 0 cf

1 0 0

0 c -s

0 s c

La Matriz de Transformación HomogéneaEs una matriz T de 4 x 4 que representa la transformación de un vector de un sistema de coordenadas a otro.

Esta matriz esta compuesta por 4 submatrices:

R3x3 SubMatriz de Rotación

P3x1 SubMatriz de Translación

F1x3 SubMatriz de Perspectiva

E1x1 SubMatriz de Escalado Global

R3x3 P3x1

T =

F1x3 F1x1

En robótica, generalmente se considera la submatriz de perspectiva como nula y la submatriz de escalado global como uno.Un vector Homogéneo siempre tendrá 4 dimensiones.

La Matriz de Transformación HomogéneaLa matriz de transformación Homogénea sirve para :

a) Conocer las coordenadas rx, ry, rz del vector r en el sistema O´XYZ a partir de sus coordenadas ru, rv, rw en el sistema OÚVW.

rx ru

ry = T rv

rz rw

1 1

b) Expresar las rotaciones y traslaciones de un vector con respecto a un sistema fijo O´XYZ.

r’x rx

r’y = T ry

r’z rz

1 1

La Matriz de Transformación Homogénea Translación

1 0 0 Px

0 1 0 Py

0 0 1 Pz

0 0 0 1

T(P)=Formula general

1 0 0 Px

0 1 0 Py

0 0 1 Pz

0 0 0 1

rx

ry

rz

1

=

ru

rv

rw

1

=

ru + Px

rv + Py

rw + Pz

1

a)

1 0 0 Px

0 1 0 Py

0 0 1 Pz

0 0 0 1

r’x

r’y

r’z

1

=

rx

ry

rz

1

=

rx + Px

ry + Py

rz + Pz

1

b)


Ejemplo 1:Según las figura O’UVW esta trasladado un vector p(6,-3,8) con respecto del sistema OXYZ. Calcule la coordenadas (rx,ry,rz) del vector r cuya coordenadas con respecto al sistema O’UVW son ruvw(-2,7,3)


Aplicando la ecuación (a)

1 0 0 6

0 1 0 -3

0 0 1 8

0 0 0 1

rx

ry

rz

1

=

-2

7

3

1

=

6 + -2

-3 + 7

8 + 3

1

4

4

11

1

=


Ejemplo 2: Calcule el vector r’xyz resultante de trasladar al vector rxyz(4,4,11) según la transformación T(p) con p(6,-3,8)


Aplicando la ecuación (b)

1 0 0 6

0 1 0 -3

0 0 1 8

0 0 0 1

r’x

r’y

r’z

1

=

4

4

11

1

=

6 + 4

-3 + 4

8 + 11

1

10

1

19

1

=

Matriz de Transformación Homogénea de la Rotación

1 0 0 0

0 cos -sin 0

0 sin cos 0

0 0 0 1

T(x, )= Rotación en X

cos 0 sin 0

0 1 0 0

-sin 0 cos 0

0 0 0 1

T(y, )= Rotación en Y

cosθ -sinθ 0 0

sinθ cosθ 0 00 0 1 0

0 0 0 1

T(z, θ)= Rotación en Z

Ejemplo 3:Según la figura , el sistema OUVW se encuentra girado -90º alrededor del eje OZ con respecto al sistema OXYZ. Calcule las coordenadas del vector rxyz si ruvw[4,8,12]T

La Matriz de Transformación Homogénea Rotación

Matriz de Transformación Homogénea de la Rotación seguida de translación

1 0 0 Px

0 cos -sin Py

0 sin cos Pz

0 0 0 1

T(p)R( )=

cos 0 sin Px

0 1 0 Py

-sin 0 cos Pz

0 0 0 1

T(p)R( )=

cosθ -sinθ 0 Px

sinθ cosθ 0 Py

0 0 1 Pz

0 0 0 1

T(p)R( θ)=

Matriz de Transformación Homogénea de la translación seguida de Rotación

1 0 0 Px

0 cos -sin Pycos- PZsen

0 sin cos Pysen+ PZcos

0 0 0 1

R( ) T(p)=

cos 0 sin Pxcos+Pzsen

0 1 0 Py

-sin 0 cos Pzcos-Pxsen

0 0 0 1

R( ) T(p)=

cosθ -sinθ 0 Pxcosθ-Pysinθ

sinθ cosθ 0 Pxsenθ+Pycosθ0 0 1 Pz

0 0 0 1

R( θ) T(p)=

Ejemplo 4:Un sistema OUVW ha sido girado 90º alrededor del eje OX y posteriormente trasladado un vector p(8,-4,12) con respecto al sistema OXYZ. Calcule las coordenadas (rx, ry, rz) del vector r con coordenadas ruvw(-3.4,-11)

La Matriz de Transformación Homogénea

Ejemplo 5:Un sistema OUVW ha sido trasladado un vector p(8,-4,12) con respecto al sistema OXYZ y girado 90º alrededor del eje OX. Calcule las coordenadas (rx, ry, rz) del vector r con coordenadas ruvw(-3.4,-11)


Ejemplo 6:Se quiere obtener la matriz de tranformación que represente al sistema O’UVW obtenido a partir del sistema OXYZ mediante un giro de ángulo -90º alrededor del eje OX, de una traslación de vector pxyz(5,5,10) y un giro de 90º sobre OZ


0 -1 0 0

T=T(z,90o) T(p) T(x,-90º) = 1 0 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

1 0 0 5

0 1 0 5

0 0 1 10

0 0 0 1

1 0 0 0

0 0 1 0

0 -1 0 0

0 0 0 1

0 0 -1 -5

= 1 0 0 5

0 -1 0 10

0 0 0 1

Ejemplo 7:Obtener la matriz de transformación que represente las siguientes transformaciones sobre un sistema OXTZ fija de referencia: traslación de un vector pxyz(-3,10,10); giro -90º sobre el eje O’U del sistema trasladado y girado 90º sobre el eje O’V del sistema girado.


1 0 0 -3

T=T(p) T(u,-90o) T(v,90º) = 0 1 0 10

0 0 1 10

0 0 0 1

1 0 0 0

0 0 1 0

0 -1 0 0

0 0 0 1

0 0 1 0

0 1 0 0

-1 0 0 0

0 0 0 1

0 0 1 -3

= -1 0 0 10

0 -1 0 10

0 0 0 1

Composición de Matrices Homogéneas

De manera general:

1. Si el sistema OÚVW se obtiene mediante rotaciones y traslaciones definidas con respecto al sistema fijo O´XYZ, la matriz homogénea que representa cada transformación se deberá PREMULTIPLICAR sobre las matrices de las transformaciones previas.

2. Si el sistema OÚVW se obtiene mediante rotaciones y traslaciones definidas con respecto al sistema móvil, la matriz homogénea que representa cada transformación se deberá POSMULTIPLICAR sobre las matrices de las transformaciones previas.

Por ejemplo, la transformación:

T T(x,) T(z, ) T( y,) Se Premultiplica

Es igual a decir:

T T(u,) T(w, ) T(v,) Se Posmultiplica

Tareas1. Demostrar que las operaciones de transformaciones no

son conmutativas, para ello encuentre las matrices de transformación de :

T ((x, ) , p) T (p , (x, ))

T ((y, ) , p)T ((z, θ) , p)

T (p , (y, ))T (p , (z, θ))2. Si tenemos que la matriz de transformación homogénea

T es igual a:nX ox ax Px

ny oy ay Py

nz oz az Pz

0 0 0 1

T=

Tarea (Conti..)Y si sabemos que n o a es una matriz hortonormal con la

propiedad de:

n o a -1 n o a T

Demostrar que la inversa de la matriz de transformación homogénea T corresponde a la siguiente expresión:

nX ny nz -nTPxyz

ox oy oz -oTPxyz

ax ay az -aTPxyz

0 0 0 1

T-1=

Con lo anterior podemos tener que si:

rxyz= T ruvw

ruvw= T-1 rxyz

Entonces:

Cinemática del robot

Cinemática directaCinemática InversaMatriz Jacobiana

El problema cinemática de un robot

Cinemática del robot : Estudio de su movimiento con respecto a un sistema de referencia • Descripción analítica del movimiento espacial en función del tiempo• Relaciones localización del extremo del robot-valores articulares

Problema cinemática directo: Determinar la posición y orientación del extremo final del robot, con respecto a un sistema de coordenadas de referencia, conocidos los ángulos de las articulaciones y los parámetros geométricos de los elementos del robot

Problema cinemática inverso: Determinar la configuración que debe adoptar el robot para una posición y orientación del extremo conocidas

Modelo diferencial (matriz Jacobiana): Relaciones entre las velocidades de movimiento de las articulaciones y las del extremo del robot

Relación entre cinemática directa e inversa

Resolución del problema cinemática directo conmatrices de transformación homogéneas

• Objetivo:Encontrar una matriz de transformación homogénea T que relacione posición y orientación del extremo del robot con respecto a un sistema de referencia fijo situado en su base

x=fx(q1,q2,q3,q4,q5,q6)

y=fy(q1,q2,q3,q4,q5,q6)

z=fz(q1,q2,q3,q4,q5,q6)

a=fa(q1,q2,q3,q4,q5,q6)

b=fb(q1,q2,q3,q4,q5,q6)

g=fg(q1,q2,q3,q4,q5,q6)

Modelo cinemático directo de unrobot planar de 2 gdl

x = I1COSq1+I2COS(q1+q2)

y = I1SENq1+I2SEN(q1+q2)

Las matrices de transformaciónA y T

• Matriz i-1Ai : matriz de transformación homogénea que representa la posición y orientación relativa entre los sistemas asociados a dos eslabones consecutivos del robot

• Conexión de matrices A:0A2=0A1 1A2

• Matriz T : matriz 0An cuando se consideran todos los grados de libertad del robot

T=0A6=0A1 1A2 2A3 3A4 4A5 5A6

Convenio de conexión de elementoscontiguos de Denavit-Hartenberg

Transformaciones básicas de paso de eslabón:

1. Rotación alrededor del eje zi-1 un ángulo qi

2. Traslación a lo largo de zi-1 una distancia di ; vector di (0,0,di)

3. Traslación a lo largo de xi una distancia ai ; vector ai (ai,0,0)

4. Rotación alrededor del eje xi un ángulo ai

• Dado que el producto de matrises no es conmutativo, la transformaciones se han de realizar en el orden indicado. De este modo se tiene que:

i-1Ai=T(zi,qi) T(0,0,di) T(ai,0,0) T(xi,ai)

Parámetros deDenavit-Hartenberg (I)

• Definen el paso de un sistema de referencia asociado a una articulación al siguiente

• Sólo dependen de las características geométricas de cada eslabón y de las articulaciones que le unen con el anterior y siguiente (no dependen de la posición del robot)

• Definen las matrices A que permiten el paso de un sistema de referencia asociado a una articulación al siguiente y por tanto definen las matrices T

• Son 4:– Dos ángulos (qi, ai)

– Dos distancias (di, ai)

Parámetros deDenavit-Hartenberg (II)

• qi: Es el ángulo que forman los ejes xi-1 y xi medido en un plano perpendicular al eje zi-1, utilizando la regla de la mano derecha. Se trata de un parámetro variable en articulaciones giratorias

• di: Es la distancia a lo largo del eje zi-1 desde el origen del sistema de coordenadas (i-1)-ésimo hasta la intersección del eje zi-1 con el eje xi. Se trata de un parámetro variable en articulaciones prismáticas.

• ai: Es la distancia a lo largo del eje xi que va desde la intersección del eje zi-1 con el eje xi hasta el origen del sistema i-ésimo, en el casode articulaciones giratorias. En el caso de articulaciones prismáticas, se calcula como la distancia más corta entre los ejes

zi-1 y zi.

• ai: Es el ángulo de separación del eje zi-1 y el eje zi, medido en un plano perpendicular al eje xi, utilizando la regla de la mano derecha.

Parámetros de Denavit-Hartenbergpara un eslabón giratorio

Obtención del modelocinemático directo de un robot

1. Establecer para cada elemento del robot un sistema de coordenadas cartesiano ortonormal (xi,yi,zi) donde i=1,2,…,n (n=número de gdl). Cada sistema de coordenadas corresponderá a la articulación i+1 y estará fijo en el elemento i

2. Encontrar los parámetros D-H de cada una de las articulaciones

3. Calcular las matrices Ai

4. Calcular la matriz Tn = 0A1 1A2 ... n-1An

Algoritmo de Denavit-Hartenberg• D-H 1.- Numerar los eslabones comenzando con 1 (primer eslabón

móvil de la cadena) y acabando con n (último eslabón móvil). Se numerará como eslabón 0 a la base fija del robot.

• D-H 2.- Numerar cada articulación comenzando por 1 (la correspondiente al primer grado de libertad) y acabando en n

• D-H 3.- Localizar el eje de cada articulación. Si ésta es rotativa, el eje será su propio eje de giro. Si es prismática, será el eje a lo largo del cual se produce el desplazamiento.

• D-H 4.- Para i de 0 a n-1 situar el eje zi sobre el eje de la articulación i+1.

• D-H 5.- Situar el origen del sistema de la base {S0} en cualquier punto del eje z0. Los ejes x0 e y0 se situarán de modo que formen un sistema dextrógiro con z0

Algoritmo de Denavit-Hartenberg• D-H 6.- Para i de 1 a n-1, situar el sistema {Si} (solidario al eslabón

i) en la intersección del eje zi con la línea normal común a zi-1 y zi. Si ambos ejes se cortasen se situaría {Si} en el punto de corte. Si fuesen paralelos {Si} se situaría en la articulación i+1

• D-H 7.- Situar xi en la línea normal común a zi-1 y zi

• D-H 8.- Situar yi de modo que forme un sistema dextrógiro con xi y zi • D-H 9.- Situar el sistema {Sn} en el extremo del robot de modo que zn coincida con la dirección de zn-1 y xn sea normal a zn-1 y zn .

• D-H 10.- Obtener qi como el ángulo que hay que girar en torno a zi-1 para que xi-1 y xi queden paralelos.

• D-H 11.- Obtener di como la distancia, medida a lo largo de zi-1, que habría que desplazar {Si-1} para que xi y xi-1 quedasen alineados.

Algoritmo de Denavit-Hartenberg• DH 12.- Obtener ai como la distancia medida a lo largo de xi (que

ahora coincidiría con xi-1) que habría que desplazar el nuevo {Si-1} para que su origen coincidiese con {Si}.

• DH 13.- Obtener ai como el ángulo que habría que girar entorno a xi (que ahora coincidiría con xi-1), para que el nuevo {Si-1} coincidiese totalmente con {Si}.

• DH 14.- Obtener las matrices de transformación i-1Ai

• DH 15.- Obtener la matriz de transformación entre la base y el extremo del robot T = 0A1 1A2 ... n-1An.

• DH 16.- La matriz T define la orientación (submatriz de rotación) y posición (submatriz de traslación) del extremo referido a la base en función de las n coordenadas articulares

Robot cilíndrico

Robot cilíndrico

Modelo cinemático directo de unrobot cilíndrico

Modelo cinemático directo de unrobot cilíndrico

C1 -S1 0 0

S1C1

0 0

0 0 1 l1

0 0 0 1

0A1=

0 0 1 0

1 0 0 0

0 1 0 d2

0 0 0 1

1A2=

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 d3

0 0 0 1

2A3=

C4 -S4 0 0

S4C4

0 0

0 0 1 l4

0 0 0 1

3A4=

-S1C4 S1S4 C1 C1(d3+l4)

C1C4 -C1S4 S1S1(d3+l4)

S4C4 0 d2+l1

0 0 0 1

T= 0A1 1A2

2A3 3A4 =

Robot ABB IRB 6400C (I)

Modelo cinemático directo de unrobot ABB IRB 6400C (I)



Cinemática Inversa Objetivo: encontrar los valores que deben adoptar las

coordenadas articulares del robot para que su extremo se posicione y oriente según una determinada localización espacial

La resolución no es sistemática Depende de la configuración del robot (soluciones múltiples) No siempre existe solución en forma cerrada.

– Condiciones suficientes para que exista:Tres ejes de articulación adyacentes interseccionan en

un punto (robot PUMA y robot Stanford) Tres ejes de articulación adyacentes son paralelos entre

sí (robot Elbow)

Posibilidades de solución delproblema cinemático inverso

Procedimiento genérico a partir de los parámetros D-H Método iterativoProblemas de velocidad y convergencia

Búsqueda de solución cerrada: qk = fk (x,y,z,a,b,g); k = 1,…,nPosibilidad de resolución en tiempo realPosibilidad de selección de la solución más adecuadaPosibilidad de simplificacionesNo siempre es posible

Métodos de solución delproblema cinemático inverso

Métodos geométricos– Se suele utilizar para las primeras variables articulares– Uso de relaciones geométricas y trigonométricas (resolución de triángulos)

Resolución a partir de las matrices de transformación Homogénea– Despejar las n variables qi en función de las componentes de los vectores n, o, a y p.

Desacoplamiento cinemático– En robots de 6 GDL– Separación de orientación y posicionamiento

Otros: álgebra de tornillo, cuaterniones duales, métodos iterativos...

Ejemplo de resolución de la cinemáticainversa por métodos geométricos

Ejemplo de resolución de la cinemáticainversa por métodos geométricos

Ejemplo de resolución de la cinemática inversa a partirde las matrices de transformación homogénea


nx ox ax px

ny oy ay py

nz oz az pz

0 0 0 1

-1nx ny nz -nT p

ox oy oz -oT p

ax ay az -aT p

0 0 0 1

=


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Curso de Robotica