Embed Size (px)
Citation preview
CURSO DE ADAPTACIÓN CURSO DE ADAPTACIÓN EN MATERIAS BÁSICASEN MATERIAS BÁSICAS
ELEMENTOS DE MATEMÁTICASELEMENTOS DE MATEMÁTICAS
CURSO 2007-2008CURSO 2007-2008
Bibliografía útilBibliografía útil
www.sectormatematica.cl/ librosmat/Libro%20Matematicas.pdf
www.hiru.com/matematika
http://personales.unican.es/gonzaleof/
““Perhaps I can best describe my experience of doing Perhaps I can best describe my experience of doing mathematics in terms of a journey through a dark mathematics in terms of a journey through a dark unexplored mansion. You enter the first room of the unexplored mansion. You enter the first room of the mansion and it’s completely dark. You stumble around mansion and it’s completely dark. You stumble around bumping into the furniture but gradually you learn bumping into the furniture but gradually you learn where each piece of furniture is. Finally, after six where each piece of furniture is. Finally, after six months or so, you find the light switch, you turn it on, months or so, you find the light switch, you turn it on, and suddenly it’s all illuminated. You can see exactly and suddenly it’s all illuminated. You can see exactly where you were. Then you move into the next room where you were. Then you move into the next room and spend another six months in the dark. So each of and spend another six months in the dark. So each of these breakthroughs, while sometimes they're these breakthroughs, while sometimes they're momentary, sometimes over a period of a day or two, momentary, sometimes over a period of a day or two, they are the culmination of, and couldn't exist without, they are the culmination of, and couldn't exist without, the many months of stumbling around in the dark that the many months of stumbling around in the dark that proceed them.”proceed them.”
Andrew Wiles
Lenguaje y razonamiento Lenguaje y razonamiento matemáticomatemático
El lenguaje matemático es, necesariamente, muy preciso, y esa precisión obliga al establecimiento de ciertas convenciones que en ocasiones chocan un tanto con el lenguaje natural. También es conocida por todos la conveniencia de una cierta economía a la hora de expresarse matemáticamente. Esto nos conduce necesariamente a la adopción de ciertos simbolismos con los que nos hemos de familiarizar para poder enfrentarnos con éxito al estudio de las matemáticas.
Los conectores lógicosLos conectores lógicos
Negación de una expresión con cuantificadoresNegación de una expresión con cuantificadores
La demostración en matemáticasLa demostración en matemáticas
Métodos de demostración:Métodos de demostración:
Demostración directaDemostración directa
Demostración por reducción al absurdoDemostración por reducción al absurdo
Demostración por inducciónDemostración por inducción
…………………………………………
Teoría de conjuntosTeoría de conjuntos
En la vida cotidiana, la idea de conjunto es muy En la vida cotidiana, la idea de conjunto es muy intuitiva y aparece en multitud de ejemplos. Sin intuitiva y aparece en multitud de ejemplos. Sin embargo, en matemáticas, el concepto de conjunto es embargo, en matemáticas, el concepto de conjunto es bastante más delicado de lo que es en la vida diaria, bastante más delicado de lo que es en la vida diaria, como prueba el hecho de que históricamente ha como prueba el hecho de que históricamente ha producido numerosas dificultades y paradojas, las producido numerosas dificultades y paradojas, las cuales han sido resueltas por algunos matemáticos en cuales han sido resueltas por algunos matemáticos en los siglos XIX y XX empleando el método axiomático.los siglos XIX y XX empleando el método axiomático.
ConjuntoConjunto es una colección de objetos es una colección de objetos bien definidos. Estos objetos de bien definidos. Estos objetos de llamanllaman elementoselementos del conjunto.del conjunto.
Un conjunto puede definirse:Un conjunto puede definirse: PorPor extensiónextensión:: Por Por comprensióncomprensión::
enumerando sus elementos
dando una propiedad característica
“x pertenece a A”
“x no pertenece a A”
Conjunto definido por extensión Conjunto definido por comprensión
Diagramas de VennDiagramas de VennDiagramas de VennDiagramas de Venn
Unión de conjuntosUnión de conjuntosUnión de conjuntosUnión de conjuntos
Intersección de conjuntosIntersección de conjuntosIntersección de conjuntosIntersección de conjuntos
Conjuntos disjuntos:
AB
Complementario de un conjuntoComplementario de un conjuntoComplementario de un conjuntoComplementario de un conjunto
Diferencia de dos conjuntosDiferencia de dos conjuntosDiferencia de dos conjuntosDiferencia de dos conjuntos
A
Producto cartesiano de dos conjuntosProducto cartesiano de dos conjuntosProducto cartesiano de dos conjuntosProducto cartesiano de dos conjuntos
AplicacionesAplicaciones
El concepto de El concepto de aplicaciónaplicación -que es un caso particular de otro -que es un caso particular de otro más general, el de correspondencia- es básico para la teoría de más general, el de correspondencia- es básico para la teoría de conjuntos y se basa en los conceptos de par ordenado y conjuntos y se basa en los conceptos de par ordenado y producto cartesiano.producto cartesiano.Ejemplos clásicos de correspondencias y aplicaciones son las Ejemplos clásicos de correspondencias y aplicaciones son las funciones reales de variable real que repasaremos en otro funciones reales de variable real que repasaremos en otro capítulo.capítulo.En este capítulo definiremos los principales tipos de En este capítulo definiremos los principales tipos de aplicaciones: aplicaciones: inyectivasinyectivas, , sobreyectivassobreyectivas y y biyectivasbiyectivas. Además . Además hablaremos de la hablaremos de la composición de aplicacionescomposición de aplicaciones, que nos , que nos ayudará a caracterizar las aplicaciones biyectivas y a ayudará a caracterizar las aplicaciones biyectivas y a introducir el concepto de introducir el concepto de inversainversa de una aplicación biyectiva. de una aplicación biyectiva.
AplicaciónAplicación entre dos conjuntos A y Bentre dos conjuntos A y B es una regla que hace es una regla que hace corresponder a todos y cada uno de los elementos del conjunto corresponder a todos y cada uno de los elementos del conjunto A un único elemento A un único elemento bien definidobien definido del conjunto B. del conjunto B.
y único
dominio conjunto final
imagen de x por fantiimagen de y por f
La imagen es única
Un elemento de B puede tener más de una antiimagen
Aplicación inyectivaAplicación inyectivaAplicación inyectivaAplicación inyectiva
Aplicación sobreyectivaAplicación sobreyectivaAplicación sobreyectivaAplicación sobreyectiva
Aplicación biyectivaAplicación biyectivaAplicación biyectivaAplicación biyectiva
Aplicación inyectiva y sobreyectiva
x único
Composición de aplicacionesComposición de aplicacionesComposición de aplicacionesComposición de aplicaciones
Inversa de una aplicación biyectivaInversa de una aplicación biyectivaInversa de una aplicación biyectivaInversa de una aplicación biyectiva
con
La composición de aplicaciones no es, en general, conmutativa.
Números realesNúmeros reales
En este capítulo trataremos algunas cuestiones de En este capítulo trataremos algunas cuestiones de gran interés relacionadas fundamentalmente con el gran interés relacionadas fundamentalmente con el conjunto de los números reales.conjunto de los números reales.
Nos centraremos en los conceptos de Nos centraremos en los conceptos de valor absolutovalor absoluto de de un número real, hablaremos de las desigualdades y sus un número real, hablaremos de las desigualdades y sus propiedades y recordaremos propiedades y recordaremos cómo resolver cómo resolver inecuacionesinecuaciones..
IntervalosIntervalos Valor absoluto de un número realValor absoluto de un número real
Algunas propiedades del valor absolutoAlgunas propiedades del valor absoluto
Algunas preguntasAlgunas preguntas
¿Cuánto vale el valor absoluto del número ¿Cuánto vale el valor absoluto del número 3?3?
¿Y el de ¿Y el de a, con a un número real?a, con a un número real?
¿Conoces alguna otra definición de valor ¿Conoces alguna otra definición de valor absoluto?absoluto?
Ecuaciones linealesEcuaciones lineales Ecuaciones de segundo gradoEcuaciones de segundo grado
Ecuaciones polinómicas de grado mayor que 2Ecuaciones polinómicas de grado mayor que 2
Ecuaciones con raícesEcuaciones con raíces
RESOLVIENDO ECUACIONESRESOLVIENDO ECUACIONESRESOLVIENDO ECUACIONESRESOLVIENDO ECUACIONES
Regla de RuffiniRegla de Ruffini División de polinomiosDivisión de polinomios
Ecuaciones exponencialesEcuaciones exponenciales
Ecuaciones logarítmicasEcuaciones logarítmicas
¿Soluciones?¿Soluciones?
¿Soluciones?¿Soluciones?
¿Soluciones?¿Soluciones?
Desigualdades: propiedadesDesigualdades: propiedades
INECUACIONESINECUACIONESINECUACIONESINECUACIONES
Un ejercicio. Resolver la inecuación:Un ejercicio. Resolver la inecuación:
Desigualdades con valor absolutoDesigualdades con valor absoluto
Regla de RuffiniRegla de RuffiniRegla de RuffiniRegla de Ruffini
La regla de Ruffini es un procedimiento esquemático para hallar el cociente y el resto de la división de un polinomio cualquiera por otro de la forma x a.
Dividir p(x)2x43x35x26x10 entre x2.
Disponer los coeficientes del polinomio p(x) del modo siguiente :
Binomio de NewtonBinomio de NewtonBinomio de NewtonBinomio de Newton
Números combinatoriosNúmeros combinatoriosNúmeros combinatoriosNúmeros combinatorios
Triángulo de TartagliaTriángulo de TartagliaTriángulo de TartagliaTriángulo de Tartaglia
Matrices y determinantesMatrices y determinantes
En este capítulo introducimos las matrices y las operaciones con matrices, pues constituyen el lenguaje adecuado para abordar muchas cuestiones de naturaleza lineal. Entre estas, la más elemental es la discusión de sistemas de ecuaciones lineales.
Suma de matricesSuma de matricesSuma de matricesSuma de matrices
Una matriz es una disposición rectangular de números entre paréntesis (o corchetes).
Producto de una matriz por un escalarProducto de una matriz por un escalarProducto de una matriz por un escalarProducto de una matriz por un escalar
Traspuesta de una matrizTraspuesta de una matrizTraspuesta de una matrizTraspuesta de una matriz
Producto de matricesProducto de matricesProducto de matricesProducto de matrices Multiplicar la fila i de A por la columna j de B
Multiplicar la fila i de A por la columna j de B
Sólo para matrices cuadradas de orden n:
Si n = 1, det A se identifica con el único escalar que Si n = 1, det A se identifica con el único escalar que contiene la matriz.contiene la matriz.
Si n > 1, fijada la fila i:Si n > 1, fijada la fila i:
Determinante de una matriz Determinante de una matriz cuadrada de orden doscuadrada de orden dos
Determinante de una matriz Determinante de una matriz cuadrada de orden doscuadrada de orden dos
Determinante de una matriz Determinante de una matriz cuadrada de orden trescuadrada de orden tres
Determinante de una matriz Determinante de una matriz cuadrada de orden trescuadrada de orden tres
Regla de SarrusRegla de SarrusRegla de SarrusRegla de Sarrus
Utilizar operaciones elementales de fila o columna sobre la matriz cuadrada A para simplificar el cálculo del determinante de A:
1.1. El intercambio de dos filas (o columnas) de una matriz cuadrada cambia de signo su determinante.
2.2. Si una fila (o columna) de una matriz cuadrada es multiplicada por un escalar, el determinante de la matriz cuadrada queda multiplicado por dicho escalar.
3.3. Si a una fila (o columna) de una matriz cuadrada se le añade otra fila (o columna) multiplicada por un escalar cualquiera, no cambia el valor del determinante.
¿Es conmutativo el producto de matrices? NO
El producto de matrices no es necesariamente conmutativo.El producto de matrices no es necesariamente conmutativo.
MÉTODO DE GAUSSMÉTODO DE GAUSSMÉTODO DE GAUSSMÉTODO DE GAUSS
Operaciones elementales de filaOperaciones elementales de filaMatriz escalonadaMatriz escalonada
TEOREMA DE ROUCHÉ-FROBENIUSTEOREMA DE ROUCHÉ-FROBENIUSTEOREMA DE ROUCHÉ-FROBENIUSTEOREMA DE ROUCHÉ-FROBENIUS
1.1.
2.2.
3.3.
Sólo para matrices cuadradas de orden n:
Matrices invertibles o matrices regulares si y sólo si su Matrices invertibles o matrices regulares si y sólo si su determinante es no nulo.determinante es no nulo.
Matrices no invertibles o matrices singulares si y sólo si su Matrices no invertibles o matrices singulares si y sólo si su determinante es cero.determinante es cero.
Potencias naturales de Potencias naturales de una matriz cuadradauna matriz cuadrada
Potencias naturales de Potencias naturales de una matriz cuadradauna matriz cuadrada
Operaciones elementales de filaOperaciones elementales de fila
Secciones cónicasSecciones cónicas
Consideremos ecuaciones de la forma:
donde A, B, C, D y E son constantes y A y B no son ambas 0. La gráfica de una ecuación de este tipo es, en general, una sección cónica (con los ejes paralelos a los ejes coordenados); es decir: una circunferencia, una elipse, una parábola o una hipérbola. Decimos “en general” porque hay casos especiales. Por ejemplo, la gráfica de x2y2=0 es un punto, (0,0), o podría no existir ninguna gráfica: no hay pares ordenados (x,y) que satisfagan la ecuación x2y21=0.
CírculoCírculo ElipseElipse
y y
xx
ParábolaParábola
HipérbolaHipérbola
Límites y continuidadLímites y continuidadPodríamos empezar diciendo que los límites son importantes en el cálculo, pero afirmar tal cosa sería infravalorar largamente su auténtica importancia. Sin límites el cálculo sencillamente no existiría. Cualquier noción del cálculo es un límite en uno u otro sentido
¿Qué es la velocidad instantánea? Es el límite de las velocidades medias.
¿Qué es la pendiente de una curva? Es el límite de las pendientes de las rectas secantes.
¿Qué es la longitud de una curva? Es el límite de los caminos poligonales.
¿Qué es la suma de una serie infinita? Es el límite de las sumas finitas.
¿Qué es el área de una región limitada por curvas? Es el límite de la suma de las áreas de las regiones delimitadas por segmentos de rectas poligonales.
Empezamos con un número c y una función f definida cerca de c aunque no necesariamente en el mismo c. El número L es el límite de f cuando x se aproxima a c, y se escribe
si y sólo si los valores de la función f(x) se aproximan (tienden) a L cuando x se aproxima a c.
Idea intuitiva de límiteIdea intuitiva de límiteIdea intuitiva de límiteIdea intuitiva de límite
Consideremos la función: Consideremos la función:
xx f(x)f(x)1.91.9 2.612.61
1.991.99 2.96012.9601
1.9991.999 2.9960012.996001
1.99991.9999 2.999600012.99960001
2.00012.0001 3.000400013.00040001
2.0012.001 3.0040013.004001
2.012.01 3.04013.0401
2. 12. 1 3.413.41
Cuando Cuando xx se aproxima a se aproxima a 22, , tanto por la izquierda como tanto por la izquierda como por la derecha, tomando por la derecha, tomando valores menores o mayores valores menores o mayores que que 22, , ff(x)(x) se aproxima, se aproxima, tiende, cada vez más a tiende, cada vez más a 3.3.
Consideremos la función: Consideremos la función:
Esta función no está definida en x1, sin embargo vamos a estudiar su comportamiento en los alrededores de x1.
Límites lateralesLímites lateralesLímites lateralesLímites laterales
También podemos hablar de límites infinitos y límites en el infinito.
Para ver esta película, debedisponer de QuickTime™ y deun descompresor TIFF (LZW).
Para ver esta película, debedisponer de QuickTime™ y deun descompresor TIFF (LZW).
Para ver esta película, debedisponer de QuickTime™ y deun descompresor TIFF (LZW).
En el lenguaje coloquial, decir que algo es “continuo” equivale a decir que transcurre sin interrupción y sin cambios abruptos. En el lenguaje matemático, la palabra “continuo” tiene, en gran parte, el mismo significado.
ContinuidadContinuidadContinuidadContinuidad
La idea básica es la siguiente: supongamos dados una La idea básica es la siguiente: supongamos dados una función f y un número c. Se calculan (cuando sea posible) función f y un número c. Se calculan (cuando sea posible) los valores:los valores:
y se comparan los resultados. La función f es continua en c y se comparan los resultados. La función f es continua en c si y sólo si estos dos valores coinciden:si y sólo si estos dos valores coinciden:
OBSERVACIÓN.- Recordar que en la definición de “límite de f en c” no exigimos que f estuviera definida en el propio c. Por el contrario, la definición de “continuidad en c” requiere que f esté definida en c. Así, de acuerdo con esta definición, una función f es continua en un punto si y sólo si:
1. f está definida en c
2. existe,
3.
Se dice que una función f es discontinua en c si no es continua en ese punto.
Si el dominio de f contiene un intervalo (cp , cp), p > 0 (de manera que f está definida en c), entonces f sólo puede dejar de ser continua en c por una de las dos razones siguientes:
1.1.
2.2.
Discontinuidad evitable
Discontinuidad de salto
Discontinuidad infinita
……….
Para ver esta película, debedisponer de QuickTime™ y deun descompresor TIFF (LZW).
Para ver esta película, debedisponer de QuickTime™ y deun descompresor TIFF (LZW).
Para ver esta película, debedisponer de QuickTime™ y deun descompresor TIFF (LZW).
Para ver esta película, debedisponer de QuickTime™ y deun descompresor TIFF (LZW).
DiferenciaciónDiferenciación
El concepto de derivada de una función matemática se halla El concepto de derivada de una función matemática se halla íntimamente relacionado con la noción de límite. Así, la íntimamente relacionado con la noción de límite. Así, la derivada se entiende como la variación que experimenta la derivada se entiende como la variación que experimenta la función de forma instantánea, es decir, entre cada dos puntos función de forma instantánea, es decir, entre cada dos puntos de su dominio suficientemente próximos entre sí. La idea de de su dominio suficientemente próximos entre sí. La idea de instantaneidad que transmite la derivada posee múltiples instantaneidad que transmite la derivada posee múltiples aplicaciones en la descripción de los fenómenos científicos, aplicaciones en la descripción de los fenómenos científicos, tanto naturales como sociales.tanto naturales como sociales.
Consideremos una funciConsideremos una función f y elijamos un punto en su n f y elijamos un punto en su grgráfica. ¿Qué recta, si existe, debería llamarse tangente a la fica. ¿Qué recta, si existe, debería llamarse tangente a la grgráfica en ese punto?fica en ese punto?
Rectas secantes que pasan por los puntos (x,f(x)) y (x+h,f(x+h)) con h>0 y h “pequeños”
¿Pendientes de las ¿Pendientes de las rectas secantes?rectas secantes?
¿Pendientes de las ¿Pendientes de las rectas secantes?rectas secantes?
¿Cuál es la pendiente de la recta tangente?¿Cuál es la pendiente de la recta tangente?¿Cuál es la pendiente de la recta tangente?¿Cuál es la pendiente de la recta tangente?
¿Cuál es la ecuación de la recta tangente?¿Cuál es la ecuación de la recta tangente?¿Cuál es la ecuación de la recta tangente?¿Cuál es la ecuación de la recta tangente?
Derivada de la sumaDerivada de la suma
Derivada de una constante por una funciónDerivada de una constante por una función
Derivada de un producto de funcionesDerivada de un producto de funciones
Derivada de un cociente de funcionesDerivada de un cociente de funciones
Regla de la cadenaRegla de la cadena
TABLA DE DERIVADASTABLA DE DERIVADASTABLA DE DERIVADASTABLA DE DERIVADAS
TEOREMAS SOBRE FUNCIONES DERIVABLESTEOREMAS SOBRE FUNCIONES DERIVABLESTEOREMAS SOBRE FUNCIONES DERIVABLESTEOREMAS SOBRE FUNCIONES DERIVABLES
Teorema de RolleTeorema de RolleTeorema de RolleTeorema de Rolle
Sea f una función tal que:
1. f es continua en [a,b]
2. f es derivable en (a,b)
3. f(a)f(b)
Entonces existe al menos un punto c en (a,b) tal que:
TEOREMAS SOBRE FUNCIONES DERIVABLESTEOREMAS SOBRE FUNCIONES DERIVABLESTEOREMAS SOBRE FUNCIONES DERIVABLESTEOREMAS SOBRE FUNCIONES DERIVABLES
Teorema del valor medioTeorema del valor medioTeorema del valor medioTeorema del valor medio
Sea f una función tal que:
1. f es continua en [a,b]
2. f es derivable en (a,b)
Entonces existe al menos un punto c en (a,b) tal que:
¿Cómo hallar todos los valores ¿Cómo hallar todos los valores extremos de una función continua?extremos de una función continua?
¿Cómo hallar todos los valores ¿Cómo hallar todos los valores extremos de una función continua?extremos de una función continua?
1.1. Hallar todos los puntos críticos.
Los puntos extremos del dominio (si los hay).
Puntos interiores para los que la primera derivada no existe o vale cero.
2.2. Examinar los puntos extremos del dominio comprobando el signo de la derivada primera en su proximidad.
3.3. Examinar cada punto crítico interior comprobando el signo de la derivada primera a ambos lados del punto (criterio de la derivada primera) o el signo de la derivada segunda en el punto (criterio de la derivada segunda).
IntegraciónIntegración
Desde su origen, la noción de integral ha respondido a necesidades geométricas como el cálculo de áreas y volúmenes. La técnica de integración se desarrolló sobre todo a partir del siglo XVII, paralelamente a los avances que tuvieron lugar en las teorías sobre derivadas y en el cálculo diferencial. La idea de la integral indefinida supuso un paso más en el camino de la abstracción emprendido por las matemáticas modernas. La integral (indefinida) asume la condición de función en sí, susceptible de formar parte de ecuaciones y descripciones de modelos en el gran marco de las teorías del análisis matemático.
Integral definida: interpretación geométricaIntegral definida: interpretación geométricaIntegral definida: interpretación geométricaIntegral definida: interpretación geométrica
Ya estamos familiarizados con las fórmulas de áreas de figuras geométricas regulares tales como rectángulos, triángulos y circunferencias. En la figura adjunta hemos representado una región limitada en su parte superior por la gráfica de una función continua no negativa f, en su parte inferior por el eje x, a la izquierda por la recta xa y a la derecha por la recta xb. El problema que nos planteamos es el siguiente: ¿Qué número, si lo hubiese, puede ser considerado como el área de ?
a b
Integral definidaIntegral definidaIntegral definidaIntegral definida
El símbolo de la integral fue introducido por Leibniz. En realidad es la S de “suma” estirada. Los números a y b se denominan límites de integración (a es el límite inferior y b es el límite superior).La letra x es una “variable muda”; en otras palabras, puede ser sustituida por cualquier otra letra no utilizada hasta el momento. Así, por ejemplo, no existe ninguna diferencia entre:
Integral indefinidaIntegral indefinidaIntegral indefinidaIntegral indefinida
La constante C se denomina constante de integración; es una constante arbitraria porque se le puede asignar cualquier valor real.
La integral indefinida de una función f es realmente una familia de funciones. Sin embargo, la integral definida es un número.
Si f es continua en [a,b] y F es una antiderivada de f en [a,b], se verifica que:
Regla deBarrowRegla deBarrowRegla deBarrowRegla deBarrow
TABLA DE INTEGRALES INMEDIATASTABLA DE INTEGRALES INMEDIATASTABLA DE INTEGRALES INMEDIATASTABLA DE INTEGRALES INMEDIATAS
MÉTODOS DE INTEGRACIÓNMÉTODOS DE INTEGRACIÓNMÉTODOS DE INTEGRACIÓNMÉTODOS DE INTEGRACIÓN
Integración por partesIntegración por partesIntegración por partesIntegración por partes
Se trata de expresar la función que queremos integrar como producto de otras dos, de manera que: Una de ellas sea la derivada de otra ya conocida, es decir, podamos escribir nuestro integrando de la forma udv. La integral de vdu sea más fácil que la de udv.
Sustitución. Cambio de variableSustitución. Cambio de variableSustitución. Cambio de variableSustitución. Cambio de variable
¿Cómo saber cuál es el cambio de variable adecuado? Desgraciadamente no hay una respuesta mágica que conteste a la pregunta. A veces, tendremos que probar varios cambios de variable hasta conseguir uno bueno. Con la práctica iremos adquiriendo mejor intuición. Como norma general, el cambio de variable nos tiene que servir para simplificar la función, para eliminar algo molesto.
Y Y además…además…
MÉTODOS DE INTEGRACIÓNMÉTODOS DE INTEGRACIÓNMÉTODOS DE INTEGRACIÓNMÉTODOS DE INTEGRACIÓN
Conviene dar algunas otras pautas para simplificar el trabajo del cálculo de primitivas:
Funciones racionales:Dividir, si es necesario, los polinomios.1.
2. Factorizar el denominador.
3. Expresar la función racional como suma de fracciones simples.
4. Integrar cada fracción simple.
Funciones trigonométricas:Un método que siempre funciona es realizar el denominado cambio universal:
Aunque en determinadas situaciones se pueden utilizar otras técnicas o realizar otros cambios de variable más sencillos.
Funciones irracionales.
APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDAAPLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDAAPLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDAAPLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA
Cálculo de áreas de figuras planas. (Secciones cónicas).
Cálculo de volúmenes de sólidos de revolución.
Cálculo de volúmenes.
Cálculo de longitud de arco de curva.
Cálculo de áreas de superficies de revolución.
Cálculo de densidad y centros de masa, velocidad y trabajo.
Cálculo de densidad de probabilidad. Medias.
Funciones elementalesFunciones elementales
En este capítulo repasamos las funciones elementales: polinómicas, exponencial, logarítmica, trigonométricas y trigonométricas inversas. Utilizaremos la representación gráfica de estas funciones para recordar los aspectos más relevantes de las mismas: dominio, recorrido, continuidad, diferenciabilidad, asíntotas, …
Representación gráfica de la gráfica de la inversa de una función biyectiva
Representación gráfica de la gráfica de la inversa de una función biyectiva
Existe una relación muy interesante entre la gráfica de una función biyectiva y la gráfica de su función inversa (que sabemos existe). Cada gráfica es la imagen especular de la otra desempeñando el papel de espejo la recta yx. En lugar de dar una definición formal, vamos a fijarnos en la figura adjunta. Como se sabe, la gráfica de la función f consta de puntos de la forma (x,f(x)). Puesto que f1 tiene el valor x en f(x), la gráfica de f1 está constituida por puntos de la forma (f(x),x). Tales puntos, (x,f(x)) y (f(x),x) son vértices opuestos del cuadrado sombreado.
(x,f(x))
(f(x),x)
Dominio:
Recorrido:
Continuidad:
Diferenciabilidad:
Simetría:
Asíntotas:
SI
SI
Respecto del eje vertical
NO
SI
Dominio:
Recorrido:
Continuidad:
Diferenciabilidad:
Simetría:
Asíntotas:
SI
SI
Respecto del origen de coordenadas
NO
SI
Dominio:
Recorrido:
Continuidad:
Diferenciabilidad:
Simetría:
Asíntotas:
SI
SI
SI
NO
Asíntota horizontal(0,1)
Dominio:
Recorrido:
Continuidad:
Diferenciabilidad:
Simetría:
Asíntotas:
SI
SI
SI
NO
Asíntota vertical(1,0)
Dominio:
Recorrido:
Continuidad:
Diferenciabilidad:
Simetría:
Asíntotas:
SI
SI
SI
NO
Respecto del origen de coordenadas
(2,1)
(,0)
Periodicidad:
Periódica de período 2(32,1)
(2,0)
Dominio:
Recorrido:
Continuidad:
Diferenciabilidad:
Simetría:
Asíntotas:
SI
SI
SI
NO
Respecto del eje vertical
Periodicidad:
Periódica de período 2
(2,0)
(32,0)
(,1) (2,1)
Dominio:
Recorrido: Continuidad:
Diferenciabilidad:
Simetría:
Asíntotas:
SI
Discontinuidades infinitas en los puntos:
También se dice que es continua en su dominio
Diferenciable en su dominio
Respecto del origen de coordenadas
SIAsíntotas verticales
Periodicidad:Periódica de período
Dominio:
Recorrido:
Continuidad:
Diferenciabilidad:
Simetría:
Asíntotas:
SI
SI
NO
Respecto del origen de coordenadas
1
1
2
2
Diferenciable en
Dominio:
Recorrido:
Continuidad:
Diferenciabilidad:
Simetría:
Asíntotas:
SI
SI
NO
Respecto al punto (0,2)
11
2Diferenciable en
Dominio:
Recorrido:
Continuidad:
Diferenciabilidad:
Simetría:
SI
SI
SI
Asíntotas: SI
Asíntotas horizontales
2
2
Números complejosNúmeros complejos
En la resolución de ecuaciones algebraicas de segundo grado o de orden superior, con frecuencia aparecen casos en que las soluciones contienen radicales de números negativos. Esta operación de radicación produce un resultado que no pertenece al conjunto de los números reales.Ecuaciones de expresiones tan sencillas como x210, no tienen soluciones reales.Por esta razón se ideó un nuevo conjunto que se bautizó como el conjunto de los números complejos.
CÓMO ESCRIBIR UN CÓMO ESCRIBIR UN NÚMERO COMPLEJONÚMERO COMPLEJOCÓMO ESCRIBIR UN CÓMO ESCRIBIR UN NÚMERO COMPLEJONÚMERO COMPLEJO
Forma cartesianaForma cartesianaForma cartesianaForma cartesiana
Forma binómicaForma binómicaForma binómicaForma binómica
Forma polarForma polarForma polarForma polar
(a,b)
a
b
Forma trigonométricaForma trigonométricaForma trigonométricaForma trigonométrica
Identificamos un número complejo con un punto del plano
Donde a es la parte real, b la parte imaginaria e i la unidad imaginaria
Donde r es el módulo del número complejo y es el ángulo que forma el semieje positivo con la semirrecta que une el origen con el número
CÓMO CALCULAR EL MÓDULO Y EL CÓMO CALCULAR EL MÓDULO Y EL ARGUMENTO DE NÚMERO COMPLEJOARGUMENTO DE NÚMERO COMPLEJOCÓMO CALCULAR EL MÓDULO Y EL CÓMO CALCULAR EL MÓDULO Y EL
ARGUMENTO DE NÚMERO COMPLEJOARGUMENTO DE NÚMERO COMPLEJO
El módulo r de un número complejo cuya forma binómica es abi se calcula del modo siguiente:
El argumento principal de un número complejo cuya forma binómica es abi se calcula del modo siguiente:
Si está en el primer cuadrante:
Si está en el segundo cuadrante:
Si está en el tercer cuadrante:
Si está en el cuarto cuadrante:
OPERACIONES CON NÚMEROS COMPLEJOSOPERACIONES CON NÚMEROS COMPLEJOSOPERACIONES CON NÚMEROS COMPLEJOSOPERACIONES CON NÚMEROS COMPLEJOS
Conjugado de un número complejoConjugado de un número complejoConjugado de un número complejoConjugado de un número complejo
ProductoProductoProductoProducto
En forma cartesiana o binómica
En forma polar: se multiplican los módulos y se suman los argumentos
En forma cartesiana o binómica: se suman las partes reales e imaginarias
SumaSumaSumaSuma
CocienteCocienteCocienteCocienteEn forma cartesiana o binómica: multiplicar y dividir por el conjugado del denominador
En forma polar: se dividen los módulos y se restan los argumentos
Fórmula de De MoivreFórmula de De MoivreFórmula de De MoivreFórmula de De Moivre
Raíces de un número complejoRaíces de un número complejoRaíces de un número complejoRaíces de un número complejo
Si z es un número complejo y n un número natural, decimos que w es una raíz n-ésima de z si
Dado z un número complejo no nulo, existen exactamente n raíces n-ésimas de z
Estadística y probabilidadEstadística y probabilidad
La Estadística es una disciplina que utiliza recursos matemáticos para organizar y resumir una gran cantidad de datos obtenidos de la realidad, e inferir conclusiones respecto de ellos.La estadística puede aplicarse a cualquier ámbito de la realidad, y por ello es utilizada en física, química, biología, medicina, astronomía, psicología, sociología, lingüística, demografía, etc.
Muchos personas ven la Estadística con una gran desconfianza: para unos es la ciencia en la que las diferencias individuales quedan ocultas a través de las medias, que se traduce en el dicho popular:
“La Estadística es la ciencia que explica cómo si tú te comes dos pollos y yo ninguno, nos hemos comido uno cada uno por término medio”
y en la famosa frase de Bernard Shaw:
“Si un hombre tiene la cabeza en un horno y los pies en una nevera, su cuerpo está a una temperatura ideal”
para otros es la ciencia mediante la cual con gráficos, tasas de variación y porcentajes, se manipula la opinión desde la publicidad, la tecnología o la economía. Vivimos en la era de la Estadística y cada aspecto de la actividad humana es medido e interpretado en términos estadísticos.
Podemos definir la Estadística como la ciencia que tiene como objetivo procesar datos. La Estadística recoge, clasifica, analiza e interpreta datos.
La Estadística suele aplicarse a dos tipos de problemas:
resumir y describir datos utilizar datos de una muestra para inferir la naturaleza del conjunto de datos del que se escogió la muestra (población).
En la terminología estadística, el conjunto de datos que deseamos describir, el que caracteriza un fenómeno que nos interesa, se denomina población. Una muestra es un subconjunto de datos seleccionados de una población y que, en cierto sentido, representa a la población.
Es frecuente que, por razones técnicas o económicas, no sea posible estudiar todos los elementos de una población. Por ejemplo, si para determinar la resistencia de un elemento es necesario una prueba destructiva, y disponemos de una partida de elementos cuya resistencia se quiere determinar, tendremos que tomar una muestra para no destruir la partida entera. Análogamente, se acude a una muestra para conocer la opinión de la población antes de las elecciones, para estudiar la rentabilidad de un proceso de fabricación o la relación entre el consumo y la renta.
La Estadística se utiliza para elegir una muestra representativa y para hacer inferencias respecto a la población a partir de lo observado en la muestra.
Los estadísticos se basan en tres disciplinas que están estrechamente relacionadas:
El análisis de datos, la recopilación, organización y resumen de los datos. (Estadística Descriptiva) La probabilidad, las leyes del azar dentro y fuera del casino. (Probabilidad) La inferencia estadística, la ciencia que extrae conclusiones estadísticas a partir de datos concretos basándose en el cálculo de probabilidades. (Estadística Inferencial)
Propiedades características de la probabilidad:
la probabilidad no es negativa
la probabilidad total de los resultados elementales es 1
Una buena comprensión de los conceptos y operaciones básicas de la teoría de conjuntos facilita notablemente el estudio de la teoría de la probabilidad.
Regla de LaplaceRegla de LaplaceRegla de LaplaceRegla de Laplace
Resolución de triángulosResolución de triángulos
Resolver un triángulo significa determinar a partir de algunos de sus elementos (ángulos y lados) los restantes ángulos y lados así como su perímetro y su área. Las técnicas básicas de resolución de triángulos aún hoy aplicadas eran ya conocidas por los matemáticos y filósofos de las civilizaciones clásicas (China, Mesopotamia, Egipto, Grecia).
CÓMO RESOLVER UN CÓMO RESOLVER UN TRIÁNGULO RECTÁNGULOTRIÁNGULO RECTÁNGULO
CÓMO RESOLVER UN CÓMO RESOLVER UN TRIÁNGULO RECTÁNGULOTRIÁNGULO RECTÁNGULO
Teorema de PitágorasTeorema de PitágorasTeorema de PitágorasTeorema de Pitágoras
Resolver un triángulo rectángulo es muy sencillo, basta con conocer un lado y un ángulo, o bien dos lados.
ab
cA B
C
Necesitamos saber:
El principio de que la suma de los dos ángulos no rectos es igual a 90º.
Las razones trigonométricas siguientes:
CÓMO RESOLVER UN TRIÁNGULO NO CÓMO RESOLVER UN TRIÁNGULO NO RECTÁNGULORECTÁNGULO
CÓMO RESOLVER UN TRIÁNGULO NO CÓMO RESOLVER UN TRIÁNGULO NO RECTÁNGULORECTÁNGULO
Para resolver un triángulo no rectángulo basta con conocer tres de sus datos, salvo si se trata de sus tres ángulos:
a
b
ch
A C
B
Dos de los lados y el ángulo comprendido entre ellos.
Los tres lados.
Uno de los lados y dos de los ángulos.
Dos de los lados y el ángulo opuesto a uno de ellos.
El teorema del senoEl teorema del senoEl teorema del senoEl teorema del seno
Las herramientos que necesitamos son:
El principio de que la suma de los tres ángulos es igual a 180º.
Las fórmulas del cálculo del área de un triángulo:
El teorema del cosenoEl teorema del cosenoEl teorema del cosenoEl teorema del coseno
En cualquier triángulo la proporción entre el valor de cada lado y el seno del ángulo opuesto es constante.
Sirve para calcular el valor del tercer lado de un triángulo cuando se conocen los otros dos y el del ángulo opuesto.
p semiperímetro del triángulo.
r radio de la circunferencia inscrita
El teorema de la tangenteEl teorema de la tangenteEl teorema de la tangenteEl teorema de la tangente
Programación linealProgramación lineal
La programación lineal es una técnica matemática relativamente reciente, del siglo XX, que consiste en una serie de métodos y procedimientos que permiten resolver problemas de optimización en el ámbito, sobre todo, de las Ciencias Sociales. Nos centraremos en este tema en aquellos problemas simples de programación lineal, los que tienen sólamente 2 variables, problemas bidimensionales.
Una inecuación en el plano viene dada por una desigualdad del tipo:
La recta de ecuación:
o
y la solución corresponde a un semiplano.
divide al plano en dos semiplanos. Para saber cual de los dos se corresponde con la solución de la desigualdad basta con escoger un punto que no esté en la recta. Si para ese punto se cumple la desigualdad el semiplano solución es el correspondiente al punto.
Ejercicio.- Representar gráficamente la región del plano representada por las desigualdades:
Representar las rectas en el plano.
Hallar los puntos de corte entre las rectas.
1.-
2.-
Sombrear la región que tienen en común las tres desigualdades.
3.-
La solución de un sistema de inecuaciones lineales en el plano, se corresponde con una región convexa del plano se denomina región factible.
REGIÓN REGIÓN FACTIBLEFACTIBLEREGIÓN REGIÓN
FACTIBLEFACTIBLE
FORMULACIÓN GENERAL DE UN FORMULACIÓN GENERAL DE UN PROBLEMA DE PROGRAMCIÓN LINEALPROBLEMA DE PROGRAMCIÓN LINEAL
FORMULACIÓN GENERAL DE UN FORMULACIÓN GENERAL DE UN PROBLEMA DE PROGRAMCIÓN LINEALPROBLEMA DE PROGRAMCIÓN LINEAL
En un problema de programación lineal intervienen:
La función que queremos optimizar y que denominamos función objetivo.
Las variables de decisión son x e y, mientras que a, b y c son constantes.
Las restricciones que son inecuaciones lineales.
Al conjunto de todos los pares (x , y) que satisfacen todas las inecuaciones se denomina región factible.
La solución óptima del problema es un par (x0 , y0) del conjunto factible para el cual la función objetivo z(x , y) toma el valor máximo o mínimo.
Teorema de la programación linealTeorema de la programación linealTeorema de la programación linealTeorema de la programación lineal
Se denomina teorema de la programación lineal al siguiente resultado:
Dado el problema de optimización de la función:
con restricciones lineales:
Si la función objetivo tiene un máximo o un mínimo, éstos se alcanzarán en alguno de los vértices de la región factible.
Ejercicio.- Hallar los valores máximo y mínimo de la función F(x,y)=x+y en la región representada por las desigualdades:
Representar la región factible. 1.-
Se puede proceder de dos formas diferentes:
Representar una línea de nivel. 2.-Una línea de nivel es cualquier recta de la forma z(x,y)=cte, donde z(x,y) es la función objetivo.
Para obtener el máximo hay que desplazar la línea de nivel en la dirección perpendicular ,
3.-
siendo la función objetivo z(x,y)=ax+by.
Para obtener el mínimo hay que desplazar la línea de nivel en la dirección perpendicular .
4.-
Ejercicio.- Hallar los valores máximo y mínimo de la función F(x,y)=x+y en la región representada por las desigualdades:
Representar la región factible. 1.-
También podemos proceder del modo siguiente:
Evaluar la función objetivo en los vértices de la región factible.
2.-
El máximo se alcanza en el vértice de la región factible para el cual la función objetivo toma el valor mayor.
3.-
El mínimo se alcanza en el vértice de la región factible para el cual la función objetivo toma el valor menor.
4.-
Factorizar los polinomios del numerador y del denominadorFactorizar los polinomios del numerador y del denominador1.1.
““Simplificar” la expresiónSimplificar” la expresión2.2.
Construir un cuadro de variación de los signos de cada factorConstruir un cuadro de variación de los signos de cada factor3.3.
