Criterios Fundamentales Para Resolver Pr

7/25/2019 Criterios Fundamentales Para Resolver Pr

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CRITERIOS

FUNDAMENTALES

PARA

RESOLVER

PROBLEMAS

DERESISTENCIADEMATERIALES

VOLUMENI

AquilesMartnezR.

A s o c i a . V i n

EQUINOCCIO

de

la

Universidad

Simn

Bolvar


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Aquiles Martnez

R. Ingeniero mecnico

graduado

en e l

Politcnico

de Miln. I t a l i a

(1972).

Profesor

del Departamento de

Mecnica

de l a

Universidad Simn

Bolvar y de l a

Facultad

de

Ingeniera

de

l a

Universidad Metropolitana.

Ha

desempeado

los

carg os de jefe del

Departamento

de Mecnica,

coordinador

de

Ingeniera Mecnica

y de Produccin

y director de

Desarrollo

Profesoral de l a

USB. Ha

sido

merecedor d e l Premio a l a

Docencia en l a USB.

Premio

a l Mejor

L ib ro de Texto y e l Premio Maraven a l a

Docencia.


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CRITERIOS

FUNDAMENTALES

PARARESOLVER

PROBLEMAS

DERESISTENCIADEMATERIALES

VOLUMEN

I

Aquiles

Martnez

R.

EQUINOCCIO

Ediciones de

l a

Universidad Simn Bolvar

A s o c i a c i n chinaos

U n i v e r s i d a d Simn B o l v a r

Thls

One


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- 2

Hay dos razones

importantes para conocer l a deflexin de

una

viga:

La primera,

es

simplemente

para poder predecir l a deflexin

de una

viga

bajo carga. En edificios y partes de mquina, las

especificaciones

y

o tro s requisito s limitan, a menudo, l a deflexin que puede tolerarse. Por

ejemplo,

s i

los componentes de una caja

reductora de

velocidades experi

mentan

d ef le x io n es e x ce si va s, lo s

engranajes

pueden

volverse inoperantes o

pueden desalinearse lo s componentes. Si se pueden predecir las deflexiones

para las partes

sometidas

a

flexin,

pueden especificarse

las tolerancias a-

decuadas en e l diseo de lo s elementos. De l a misma manera, en las vigas de

pisos que tengan por debajo cielo

raso

de yeso, se suele limitar la flecha

mxima

a 1/360 de l a l u z , para que no aparezcan grietas en e l

yeso.

En ge

neral,

en

e l diseo

de

edificaciones

suele

existir

una

limitacin

para

las

de

flexiones, ya que las mismas se asocian con una sensacin de inseguridad.

En

el

caso

de

las

alas

de lo s aviones, es muy

importante conocer

l a

deflexin

mxima

que

se tendr en

e l

extremo

l i b r e .

En

e l Jumbo

747

se trata

de una estructura metlica en

forma

de

cajn hueco,

de ms de 3 o metros de

largo, que soporta cargas de casi media tonelada por metro cuadrado, a l

tiempo

que aloja

5 0 o o o l i t r o s

de combustible. Es

una estructura que contie

ne

adems,

kilmetros de tuberas y

conexiones

elctricas

e hidrulicas,

mecanismos

mviles

y

cuadros

de

conexin; y

que

soporta

suspendida

bajo

ella pesos de

cuatro a cinco

toneladas; siendo

sometida

durante aos

y aos

a

cargas cclicas que

l a

doblan

miles de veces, en ocasiones

hasta

un punto

t a l que

su extremo

libre est ms de metro y medio desviado

de

su posicin

normal.

Una

segunda,

y posiblemente an

ms

significativa razn para calcu

l a r

las deflexiones, es

para

poder resolver las vigas hiperestticas.

Hay

muchos

mtodos

diferentes

para

calcular

las

deflexiones

en las

vigas; en esta

parte

se

van

a presentar tres de lo s ms comunes:

- Mtodo de l a

Doble

Integracin.

-

Mtodo

de l a Cuarta Derivada.

- Mtodo de Superposicin.


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Adz =

2 dz = dz

E.Ix

a _ Adz _ M.dz

"

y

" E.IX

da

=

M,dz

E.IX

da = dz l = p = JVL

E.IX

r

=

radio

de

curvatura =

p

=

curvatura

=

-Jyj-

E.IX

OBSERVACION: Si se cambia el

sentido

de

momento,

cambia el sentido de la

curvatura,

por lo tanto estas cantidades estarn afectadas por un

signo.

a=

M.dz

_

i El

M.L

E. I


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Se define curvatura p de la curva y = y(x ) en el punto P al cociente:

p =

df X

y

ds

La

curvatura

da

una

idea de la rapidez con

que cambia

el ngulo

cuando uno

se

mueve sobre

la curva y =

y(x).

Se define radio de curvatura r de la curva y = y(x) en el punto P

cociente:

r = 1 =

ds

p

da


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-

7

-

Teniendo presente que a = arctg.(dy/dx), la curvatura p

se puede

expresar

en las coordenadas

x,y como

sigue:

-.arctg.u

=

dx

1

+

u2

dx

entonces:

d2y

- >

da

dx

_ da dx

_

dx2

r i

ds

dx dx

ds

2

.Vi*

[dy"

dx.

2

d2y

dx2

1 +

dy] 2

dx. J

P =

d2y

dx2

1

+

dxJ J

La curvatura ser positiva o negativa dependiendo de si la curva es

convexa

o

cncava

respectivamente.

En

una

curva

convexa

la

derivada

pri

mera es positiva (pendiente

positiva) y

a medida

que

se

avanza sobre la

cur

va

la pendiente va

aumentando, luego

la derivada

segunda ser

tambin

posi

tiva.

En

el caso de

las pequeas

deformaciones,

o sea, donde

la curva de

formada se

confunde

con la lnea indeformada, se puede considerar:

1 lo

que

significa

quedx

dy

Ldx

y por lo tanto despreciable respecto a 1

Por lo tanto, para

las

curvas y

=

y(x)

que

vamos

a

tratar, podemos

considerar como ecuacin de la curvatura y del radio de curvatura a las

relaciones

siguientes:

d2y

P =

dx2

r = -L

djy

dx2


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-

8

-

Entonces

se

puede decir que:

d2y

_ I M

dX2

lE.ll

La

relacin es vlida

entre los valores absolutos

porque d2y/dx2

tiene

signo + -

dependiendo

del

sistema

de

referencia

(x,y); y m/e.i tiene signo +

-

dependiendo de la

convencin que se utilice para

el

momento flector.

Veamos las varias posibilidades:

PRIMER CASO

SEGUNDO

CASO


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- 9

QUINTO CASO

A y

MM _

SEXTO CASO

observacin: El

mtodo

de la doble

integracin

es un medio efectivo

para

cal

cular la deflexin y la pendiente en cualquier punto de una viga. Sin embargo,

cuando la carga de la viga

es

tal

que

se necesiten varias funciones para re

presentar el momento flector

en

toda la

longitud de

la viga, se requerirn

varias

constantes de

integracin e igual

nmero

de ecuaciones que expresen

las condiciones de

continuidad,

as como

las condiciones

de

contorno. Esto

trae como consecuencia el tener

que

resolver sistemas de ecuaciones con

gran nmero de

incgnitas,

lo que

puede

implicar un

clculo muy

laborioso.


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-10-

PROBLEMA Ns 1

Para la

viga

mostrada en la figura:

IP

i i

a)

Determinar la ecuacin de la curva

elstica.

b) Calcular la

deflexin de

la seccin

en

el

punto

de aplicacin

de la carga p.

c) Calcular la rotacin de la seccin en el punto

de

aplicacin de

la carga P.

Resolver el

problema

utilizando varias

de las convenciones.

SOLUCION:

| PRIMER CASO

. (R)Ti

"eT

M

+ P .x

=

0

M

= - P .x

&y_

px

dx2 El

dy

dx

2EI

Px3

+ cj ;

y

= - +c,x + c2

CONDICIONES

DE

BORDE:

En x = L

En x = L

y

y '

o

=

0

c1 =

PJLi

2EI

c2

= -

PL3

3EI


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26/427

1 4

Mi =

* ? * .

para

0


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M, =^

0 yi = 0

x = L => y2 = 0

x

-

2

^

yi

=

y2

x = 2 y ' i

=

y ' 2

9a " 24EI ' 08 " 24EI ' 6m " 12ET ' yM "

PROBLEMA N f i

7

Para la

viga

mostrada en la figura:

a) Determinar la ecuacin de la curva elstica.

b) Calcular la deflexin y la rotacin de las secciones

B

y c .

SOLUCION:

"i

d2y

. ri(x) ^l*n

y

d2x El UJJ '

M,

=

0

M2s.q(x-L/2)(x-U2)

=l[x.{U2)]2


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-20-

CONDICIONES

DE

BORDE:

En x = L =* y, = ; En x = L = y2 =

AiE1 A,E1

En x

=

L =>

y ' i = y ' 2 En

x = 2L => y2

= 0


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PROBLEMA N2 1 1

Determinar

la

ecuacin

de la

curva

elstica

para

la

viga que se mues

tra

en

la

figura.

Calcular la deflexin y la rotacin de las secciones A y B.

q

SOLUCION:

A

d2y m(x)

El

B

gm-r

nnnnnnr-

M =

qLx

- H L

2

,,_qx2 qLx , _ qx3 qLx2 qx4 qLx3

2EI El

6EI

2EI

24EI 6EI

C2

CONDICIONESDEBORDE:

En x =

0

=

y = 0

(*)En x

=

L

y 2k

c1

= qL* + qL3

2k 3EI

c2 = 0

(* ) En

la seccin B ,

donde est

colocado el

resorte,

el momento tiene el sen

tido que se muestra en la figura; eso significa que la seccin

B

gir en sen

tido contrario al del momento, o sea, de x a y, que es una rotacin positiva

para

el sistema de referencia

que se haba establecido.

DEFLEXIONESYROTACIONES EN LOS EXTREMOS:

y(0) = 0

y'(0)

.

ql

qj

2k 3EI

y ( L )

= 5qL4 qL3

24EI 2k


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-23-

Si

se

resuelve el problema colocando el sistema de referencia

en

el

otro extremo

de

la viga,

se

tiene:

fy

M(x)

d2x E

M I I I

I

I I I I M

=

rWBB.)

M

_ qL2 _ qx2

2 2

En

el

extremo B

el

momento va dirigido

como

se

muestra en la figura,

esto significa

que

la rotacin

de

la seccin tiene

sentido contrario

al

del

momento,

o

sea negativa (de

y hacia

x) .

= qx2 c2 _

q*3

gL2x

ici ' y 6EI 2EI 1

2EI 2EI

CONDICIONES DE

BORDE:

En x = 0 => y

C ]

=

qx4 qL2x2

=

h

C|x +

c . i

24EI

4EI

.

_

qL2

2k

2k

En x = L =>

y

=

0

c2 = 9+5qL

2 2k 24EI

DEFLEXIONES

Y

ROTACIONES

EN

LOS

EXTREMOS:

, n . 5qL4

qL3

v(0)

=

+ -rr-

y(L)

=

o

24EI 2k

y'(0)

=

2k

qL3 qL2

3EI

"

2k

PROBLEMA N f i 12

Para

la

estructura mostrada en

la

figura, determinar

la deflexin

y

la

rotacin

de

la

seccin

a.

Adems,

la

deflexin

de

la

rtula

B.

q

L/2

L/2

q

=

2000

N/m

; k

=

200

000

N/m ; P

=

1000 N ;

L

= 1 m ; E. I

=

833

000

N.m2


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-26-

CONDICIONES DE

BORDE:

En x = 0

y

=

0

;

En x

= L

y

= 3xlO"3m

c , =

0,003

+ 150/12EI

c2

=

0

v =

qx4

150x3

y 24EI

6EI

0,003

+] |L]x

150x2

-150

y 6EI 2EI ' 12EI

y =

300

6x4166,7 2x4166,7

0,003

+ 150 =

0

12x4166,7

y'(x

= 1) =


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-27-

PARA

LA

BARRACD:

r/2,

X

M =l

M(x)/EI

qLx

A

XM qLx

Mi + = 0 =*

M,

= -

M2

qLx qL2

y

l

_

qLx

~

2e7

qLx2

y]=4ET+c' :

yi

qLx3

12EI

C]x

+ c2

y

2

qLx

qL2 , qLx2 qL2x

2EI

2EI ' Y2 " 4EI

+

2EI

+3

12EI

4EI

qLx3

qL2x2

CONDICIONES

DE BORDE:

En x

= L

=> yi=0

;

Enx=

L=>

y'i=0

En x

= 0

=>

y2 =

0

;

En x

=

0 =>

y'2 =

0

qL3

4EI

C2

6EI

c3 = 0

;

c4

= 0

Se = yi Cx = 0) = c2 =

6b

,

qLl

"

2k 6EI


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-29-

conclusosi:

Para

resolver problemas

hiperestticos,

utilizando

la

ecuacin

de

la curva

elstica,

se procede de la manera siguiente:

1. - Se

eliminan

los vnculos hiperestticos

y

se colocan las reac

ciones que ellos transmiten.

2.

- Se

observa si

se

pueden escribir algunas ecuaciones de equili

brio

para la viga.

En

caso afirmativo, se procede

a escribirlas.

3. - Se completan las ecuaciones de equilibrio con las relaciones

que resulten

de la

integracin

de la

ecuacin

de la curva els

tica y las respectivas condiciones de borde.

Para resolver el problema considerado al principio, suponga el siste

ma de referencia y la convencin de

momento

flector sealados en la

figura.

1. - Se

elimina

el

rodillo

en

a,

y se

coloca la reaccin

R.

2. - Se observa si se puede escribir alguna ecuacin de equilibrio.

En este caso no se puede.

3. - Se procede

a escribir

la ecuacin diferencial de la curva els

tica en

funcin de R.

"

- 3^. Ex

.

2EI El

_

.q*l.

Rxi

24EI

6EI

+

cjX

+

c2

Se tienen tres incgnitas: cv c2 y R.

CONDICIONES

DE

BORDE:

para x =

o

y

= o

para x

=

L

x = L

y

= o

y=o


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30

Supngase

que

el

problema anterior

se

hubiese

enfocado entrando

por

el empotramiento:

7777?

7777777.

m c f f i H r )

y"

= -

M(x)/EI

1 . - Se elimina

el empotramiento

y

se colocan las

reacciones

que

transmite. En este caso

VyW.

2.-

Se

observa s i se puede escribir alguna condicin de equilibrio.

En este caso se puede escribir l a ecuacin de momento

alrededor

del punto A :

V.l + W = 3_

3.- Se procede a escribir l a ecuacin diferencial de l a curva elstica

en funcin de VyW.

m

vx

+

w

2

,

y

2m m

m

. =

qxi.vxi.

wx+Cl

y 6EI 2EI El l

y

=

^T-f + m + C l X + C 2

Se ti ene n cu atro i nc gni tas v , w, c , y c2.

CONDICIONES

DE

BORDE:

En x = 0

= = >

y =

0

x

= 0

=>

y'= 0

En x = L =>

y

= 0

Estas tres condiciones de borde y la ecuacin de equilibrio constitu

yen e l

sistema de ecuaciones que permiten

resolver e l

problema.


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48/427

-36-

SOLUCION:

M N J .

y"

=

- M(x)/EI

Mi

= Qx -

2

M2

=

Qx +

R(x

- L) - S

2

qx2 Ox

y

i

=

1 2EI El

yi = + c,

yi =

+

cjx

+

c2

^ Qx R(x - L) qx2

: " " " El El +

2EI

2

y ' 2

=

+ c3

y2 = +

c3X

+ c4

INCCX3NITAS:

C, ,

C2

,

C3

,

C4

. R, Q.

CONDICIONES DE

BORDE:

En X

= 0

=>

V i =

0

En

X

=

L

= >

y^

= 0

y2 =

0

y'i-

y 2

En X

= 2L

= S >

y2 =

0

y2

=

0

PROBLEMA N8 5

Para

la viga mostrada en la figura, determinar las reacciones u t i l i

zando la ecuacin

de

la

curva elstica.

I;

I

El

Al

IB


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SOLUCION:

nnnnEsu

i-

y

El

M M i

M =

Rx

-

v =3.Bi . V " = S*l.Rxl+ C l

' 2EI

El

' y 6EI

2EI

1

Q*4

Rx3

CONDICIONESDE

BORDE:

En

x

=

0 =>

En x =

L

=>

PROBLEMA

Ns

6

v

_

RLi

y A,E,

y = 0

y'=

o

Determinar la ecuacin de la curva elstica utilizando el mtodo de

la

doble integracin.

Se supone

que

al

aplicar

la carga q, hay

contacto

entre

la

viga

y

el

resorte.

El

Al

B

SOLUCION:

Cuatro incgnitas

cv

c2 ,

Ry

F

si

se

entra por la

derecha.

En x =

0

=>

y

= ^

+ 8 ;

En x

= L =>

y

= 0

XMA

= 0

; K+S L

k A]Ei

Si se entra por la izquierda

hay

que agregar la ecuacin: EFV

=

o.


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-38-

PROBLEMA

Ns 7

Para

la viga

mostrada en la figura,

calcular

las

reacciones

utilizando

la ecuacin de la

curva

elstica.

77777>

SOLUCION:

IT -

3 t : i

Suponemos la rotacin en B positiva (de x a y) , esto significa suponer

awtal como se muestra en la figura (sentido horario).

y

2EI

EI

'

y

6EI

EI

1 '

y

24EI

2EI

,* 2

CONDICDNESDEBORDE:

En X

=

0 =

En

x = L

y'

=

w/k

y = 0

y ' =

o

Vamos a resolver el problema anterior colocando el sistema

de refe

rencia

en

el

otro

extremo

(extremo

A) :

M(x)/EI


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-39-

Al

sustituir

el vnculo y colocar

las

reacciones

w

y R, se

observa que

se puede escribir una ecuacin de equilibrio; es la que

indica

que la sumato-

ri a de las fuerzas

verticales

es cero:

ZFV

=

0

; q.L

=

R

Se

escribe la

expresin del momento

flector y

se realiza

la doble in

tegracin:

M w+ Rx -~~

y 2EI El EI

' y

6EI 2EI El

1 ' y

24EI 6EI

2EI 1

INCOGNITAS:

Cp.W.R,

CONDICIONES DEBORDE:

Enx

=

0

=>

y

=

0

y'= 0

En x

= L =>

y

=

W|/k

Al expresar la tercera

condicin

de borde se introduce una nueva

incgnita que es w1 . Pero se puede escribir otra; la de equilibrio, que indica

que el

momento de

todas las fuerzas aplicadas, incluyendo

a

las reacciones,

debe

ser

nulo:

M

= o

PROBLEMA

Ns

8

Para

la

estructura mostrada en

la figura, determinar

las

reacciones

utilizando la

ecuacin

de la

curva

elstica.

V / 7 Z / / / / ,


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53/427


54/427


55/427

y", = Ex

y

1 El

y i

=

Px2

,

2EI

y,

=|i+

clX

+

c2

v" i

Px

Rx i RL

y

2

El

"

El El

INCOGNITAS:

C . , , C2, C3,

C4,

R

CONDICIONES

DEBORDE:

En

X

=

L

En

X=

2L

V i

=RL1/A1E1

y2

= RL1/A1E|

y'i -

y2

y2 = o

y 2 = o

Si resolvemos el problema entrando por el extremo empotrado:

Cr >

F

i * M M

r

B

y" = - M(x)/EI

INCOGNITAS: O,,

C2,

C3,

C4,

F ,

W,

R.

CONDICIONES

DEBORDEY DE EQUILI B RIO:

En

En

X = o

X =

L

y2 = 0

y

' 2 =

o

y1

=RL1/A1E1

y2 = RLj/A

y'i - y2

SFV=

0

EM

= 0


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57/427

-45-

CONDICIONES DE BORDE:

1 )

X

=

L yi = Ri Li/Ai

Ei

y2 =

Ri

h/Ai Ei

y' i

= y'2

y2 = R2 L2/A2 ^2

y3 = R2

L2/A2^

ywa

y3

= R3/k1

y3-

w/k2

2) X = L

3) X = L

4)

X

= 2L

5) X n 2L

6) X = 2L

7)

X

=

3L

8) X = 3L

9) IFv

=

0

10) IM= 0

PROBLEMA N f i 13

Utilizando el

mtodo

de la

doble

integracin, determinar la ecuacin

de la curva elstica. Utilizar el sistema de referencia y la convencin del

momento

flector

sealada en la figura.

SOLUCION:

MM

I

Al plantear las

ecuaciones

diferenciales de la curva

elstica

aparecern

las

siete

incgnitas

o,,

Cg,

Cg , c4,

R,

w,

Q


58/427

-46-

Las condiciones de

borde y la ecuacin de

equilibrio

que forman el

sistema de

siete ecuaciones con

siete incgnitas son:

; 1 ) R.L + w - q.L2/2 = 0

2)

X =

0

=> k.yt = R

3)

X = 0

=>

y'i

=

0

4)

X =

L

Vi =

Q/k

5) X

=

L

=>

y2 =

Q/k

6)

X

= 2L

=>

y2

=

0

7)

X =

2L

=>

y

' 2

=

0

PROBLEMA

Ns 14

Utilizando el mtodo de la doble integracin, determinar la ecuacin

de la curva elstica de la

estructura

mostrada en la figura. Utilizar, adems,

el

sistema

de

referencia

y

la

convencin

del

momento

flector

sealada en

la

misma figura. Se supone que al cargar la estructura, la articulacin hace

contacto

con

el

resorte.

Al plantear las ecuaciones diferenciales de la curva elstica aparecern las

nueve

incgnitas

o,,

c2, c3,

c4,

c5 ,

c6,

F ,

R,

w.


59/427


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-50-

PROBLEMARIO

En lo s problemas que se van a resolver utilizando el

mtodo

de la

cuarta

derivada, se usar la primera convencin

cuando

se

entre

de

izquierda

a derecha y la segunda convencin cuando se entre de derecha a izquierda. Se

pueden

utilizar

otras

convenciones

diferentes de stas, pero se debe hacer

el estudio previo correspondiente

para

determinar el signo

de

la

ecuacin.

PRIMERA

CONVENCION:

,

*

M M

T T

|3

SEGUNDA

CONVENCION:

M M x

x nn

1 z

w

PROBLEMA

Ns 1

Para

la

viga

mostrada

en

la

figura,

determinar

la

ecuacin

de

la

curva

elstica utilizando

el mtodo de la

cuarta

derivada.

q(x) = constante

.mmmmmmmmmmmmmmmmmK

i

I

SOLUCION:

Utilizando la

primera

convencin se tiene:

r v

Q(x) Q

= =^ q = constante

qx4 cix3

c2x 2

y

=

2lEI

+

"Y

+

"V

+

c3x + C4


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66/427

-54-

CONDICIONES DEBORDEY DE EMPALME:

En X

0

En

x

L

O

En

x

-Eiy'"., = -Ely'"2

+

P

(T, = T2+

P )

2L

y2 =

y3

y'2 =

y

3

-Eiy"2 + w=

-Eiy 3

ym2

= ym3

(

M1

+

W= M2)

En

x

3L

y3 =

y'3 =

0

( * )

Para entender porqu

la

condicin

de

empalme en

el

punto b se es

cribi de la

manera

[ - Eiy"^ = - Eiy"'2+ p], vamos a auxiliarnos con el dibujo

que representa al elemento

diferencial

de la

viga que est

en el

punto

B.

Se colocan a la izquierda y a la derecha del punto B las acciones cor

tantes

de la misma manera que se asumieron

en

la convencin. Esas

fuer

zas,

junto con la carga P, deben respetar la condicin de

equilibrio

que se

seala

en

el

recuadro.

Sabiendo por la deduccin de la

frmula

de la ecua

cin de la cuarta

derivada

que T = -Eiy'", entonces al sustituir a T1 y T2

respectivamente por los valores - Eiy"^ y - Eiy'"2 , se llega al resultado.

(**) De la misma

manera se

razona para el

punto

cde la

viga:

M,

=

-EIy"2

;

M2

=

-EIy"3


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69/427

PROBLEMA

N"

8

Para la viga mostrada en la figura,

determinar

la

ecuacin

de la curva

elstica utilizando

el

mtodo de

la cuarta

derivada.

iA

L

SOLUCION:

Utilizando

la

primera

convencin

se

tiene:

TRAMO

AB.

y ' i = 0 ; y ' " , =

C 1 ;

y" = c1X +

c2

; y ' i =

-L-

+ c2x +

c3

y, = C~f- +

+ c3X +

c4

TRAMOBC

INCOGNITAS:Cv C2,

C3, C4,

C 5 ,

C6, Cy,

C8

CONDICIONES DEBORDEYEMPALME:

En X = 0 y1 = o

y'i

=

o

En x = L Vi

=o

y2 = 0

y'i

= y' 2

y"i =

y"2

En x

=

L

+

a

=>

y2 - 0

y"2

=

o


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-6 1-

PROBLEMA Ns

12

Para la viga

mostrada en

la

figura,

determinar la

ecuacin

de la curva

elstica utilizando

el

mtodo de

la cuarta

derivada.

p q

, ITIliUlJUlUIUU

SOLUCION:

Utilizando la primera convencin

se

tiene:

INCOGNITAS:

C1, C2' C3'

C4' C5 ' C6' C7'

C8' C9'

C1 0 ' C 1 1 , C1 2

CONDICIONES

DE

BORDE

Y

EMPALME:

En X = 0

y " i = o

+Ely'"1

=

P

En x = l

=> y1 = o

y2 = o

y' i =

y2

y"i = y"2

En

x = 2L

=> y2

=

y3

y"2 =

o

y"3

o

y'" 2 - y,n3

En x = 3L

y3

=

0

y'3 = 0


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PROBLEMA

Nc 15

Para

la viga mostrada

en la

figura, determinar

la ecuacin de la curva

elstica

con

el mtodo de la cuarta derivada.

Al

El

1*2

' / / / / / /

SOLUCION:

Utilizando

la

primera convencin y

asumiendo que la viga est

forma

da por

los

tres tramos AB, BCyCDse tiene:

INCOGNTAS:

c1> C2' C3' C4' C5 ' C6' C7> C8' C9' C1 0 ' C11 C1 2 '

CONDICIONES

DE

BORDE

Y

EMPALME:

En

x

= 0

y"i = 0

Ely'", = P

En

x =

L

yi y2

y'i

=

y2

y"i -

y"2

-Eiy'"-,

+y1k1 =

Ely'"2 (T1+R = T2 )

En

x

=

2L

=>

y2 = y3

y2

-

y3

-Eiy"2

= y'2k2- Eiy"3

y'"2 - y"a

En x = 3L y"3=o

-Eiy'V

(a^/l,).

y3=

o


77/427

-65-

Este problema se puede resolver

asumiendo

que la viga est

formada

por

los

cuatro tramos AB, BC, CDy

DE,

lo que implica, al integrar,

tener

que

determinar 1 6 constantes

de

integracin. Las condiciones de borde son:

En

x

=

o

=>

y"., =

o

Eiy"^

= P

En x = L

y^ = y2

y\ - y'2

y"i = y"2

- E\y"\ + y1k1 = - Eiy' " 2 (T1+r = t2 )

En

x

=

2L

y2

= y3

y'2

y'8

-

Ely"2

= y'3k2-

Eiy"3

y'"2 - y,M3

En x =

3L

y3

= y4

y'a = y 4

y"3

-

y"4

- Ely l3

+ (A1E1/L1).y3

=

Eiy'

En x = 4L

y"4

-

o

y'"4 - o

PROBLEMA N f i 16

Para

la

viga

mostrada

en

la

figura,

determinar

la

ecuacin

de

la

curva

elstica

con

el mtodo de la

cuarta derivada.

i

L/2

| L/2

B

un


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80/427

-68

METODO DE SUPERPOSICION

El

principal

problema en el anlisis

de

estructuras estticamente

indeterminadas, es calcular suficientes reacciones hiperestticas para que

e l resto de las reacciones puedan calcularse po r medio de las ecuaciones

de

la

esttica.

Para

este

f i n

se

dispone

de

varios

mtodos,

entre

ellos

est

el

mtodo

de superposicin.

El mtodo consiste en descomponer l a vig a hiperesttica en una serie

de vigas isostticas. Las deflexiones

y

las rotaciones de las vigas

isos-

tticas se

combinan

(se

suman algebraicamente) de t a l forma,

que

su suma

corresponda a las condiciones originales conocidas de l a viga hiperesttica.

El procedimiento general

para resolver

problemas

hiperestticos

hace

uso

de

la

geometra de

las

rotaciones

y

las

deflexiones.

Usando

este

mtodo,

se transforma l a estructura hiperesttica

en

isosttica eliminando

o transformando lo s vnculos y , a l a vez, colocando las reacciones hiperest

ticas que se

ponen

en e vi de nci a. Es ,

fundamentalmente, un

asunto

de conve

niencia e l determinar cules vnculos se van a eliminar o transformar y , por

ende, cules de las reacciones se van a considerar. Se calcula l a rotacin y/ o

la deflexin en e l lugar donde acta cada reaccin hiperesttica. Finalmente,

se

calcula l a fuerza o e l

momento necesario

para mantener l a

viga en

su

condicin original. Las reacciones restantes se determinan

por

medio

de

las

ecuaciones

de

la

esttica.

Para ilustrar este

procedimiento

en

forma

general, consideremos

l a

viga que se muestra en l a figura:

r

i L / 2 i

C * -

-

W A

I

L/2

^3SL

t .

r

.

i

. T

Esta

viga

tiene

un grado de hiperestaticidad, l o

que significa que ni

camente es

necesario calcular

una

reaccin

po r

otros medios

diferentes

a

l a

esttica. Para esta viga, supngase por

conveniencia que

R es l a reaccin

hiperesttica que se

evidencia

a l eliminar e l rodillo

en

el extremo B . Ntese

que debido a

que

e l apoyo en B no se mueve, l a deflexin

f i n a l

del punto B

debe

ser cero.


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82/427

-70-

Superponiendo las vigas se obtiene la viga original si y solamente si

9A

+ *FA

= o . Esta

relacin entre

las

rotaciones

permite

calcular el

valor

de la

incgnita M.

En

la

aplicacin

del

mtodo de

superposicin,

el trabajo

se

facilita

enormemente

cuando

se

utilizan

las tablas de deflexiones

y

rotaciones que

suministran lo s libros y manuales de ingeniera. Una de esas tablas es la que

se muestra a continuacin:

ROTACIONES Y DEFLEXIONES

EN VALOR

ABSOLUTO

6A =

WL/24EI

8B = WL/24EI

8A

=

WL/6EI

8B

=

VL/3EI

8A

=

PL2/16EI

6B = PL2/16EI

Smax

PL3/48EI

9A

=

qL3/24EI

BB = qL3/24EI

W84EI

i*

r

B

6B

Bb

PL3/3EI

PL2/2EI

I

6B

6b

=

qL4/8EI

= qL3/6EI


83/427


84/427


85/427

-73-

SOLUCION:

Se transforman los dos empotramientos en dos apoyos y se colocan

los

momentos

que

all

se transmiten.

Se

sabe

que a rotacin de la secciones a y B debe ser cero, debido a

los empotramientos. Se determinan las rotaciones en AyB

debido

a

cada

una

de

las cargas:

Mil MlL

WL W M2

L

M2L

3EI 6EI 24E1

24EI

EI 3EI

Se plantea

el sistema

de ecuaciones que

permite calcular

lo s valores

de los momentos de

lo s

empotramientos:

/ M|.L

wL

M2L

_

Q

3EI

24EI 6EI

MtL

wL

, M2L _ Q

\ 6EI 24EI 3EI

PROBLEMA N f i 4

Resolver utilizando el

mtodo

de superposicin:


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87/427


88/427

-76-

ski

8EI

. i

_RLa

3EI

I B =

Finalmente, se

expresa

la

condicin

que seala que la deflexin del

punto B debe ser igual a R/k.

r

=

r_ ELt4 RL3 - R

8E 3E1

k

1

+J

Lk

3EU

PROBLEMA N9

7

Utilizando

el mtodo de superposicin, calcular la deflexin del

punto

de contacto de

las

dos

vigas.

SOLUCION:

Se

elimina el apoyo y se coloca en ambas vigas la reaccin r

que se

transmiten:

Se

plantea la ecuacin que

refleja

el

hecho de

que la

deflexin

del ex

tremo libre de la

viga de

la

derecha, debido

a la

carga

distribuida

y a

la car

ga R, debe

igualar

a la deflexin del

extremo libre

de la viga de la izquierda

debida slo a la reaccin R.

RL3 - qL4

RL3 _ R _

3qL s

_

qL4

3EI 8EI 3EI " 16 16EI


89/427

PROBLEMA Ns 8

Para la estructura mostrada en la figura, determinar la reaccin R

que el

resorte

ejerce sobre la viga en el

punto

a, utilizando el mtodo de

superposicin.

Se supone que

antes de cargar la

viga AB, ella est

en

posi

cin horizontal

y existe una holgura

" 5 " entre

la viga y el

resorte. Como dato

adicional,

la

deflexin en

el

extremo libre de

una viga empotrada por

efecto

de una carga

aplicada

en dicho

extremo vale: p.l3/3.e.i

45

N

E. l

= 500

N.m2

i

100 cm

B

& 1 CID

K

= 6000

N/m

SOLUCION:

Con 1 5 N se toca el resorte. Los otros

30

N servirn para generar la

reaccin R.

30 x

3 x500

RL3

3EI

R

k

30 x

l3 _ R 13

3

x

500 3

x

500

6000

R

=

24N

OTRAMANERA

DE

PLANTEAR

EL PROBLEMA:

Considerando

que el desplazamiento del punto A se debe al concurso

de las

fuerzas

p

y r; y que

ese desplazamiento debe ser

igual

a

la suma

de

5 y

de la contraccin

del

resorte. Entonces:

PL3 RL3 _

5

, R

3EI 3EI k

R

=

24

N


90/427

-78-

PROBLEMA N f i 9

Cuando la estructura est totalmente descargada, la viga ab est en

posicin

horizontal, y entre

el extremo

B

de la

viga y

el resorte hay un es

pacio

" 5 " . Determinar el

valor "q"

de la

carga distribuida

uniformemente

que hay

que

aplicar

a

la estructura,

para que

ocurra la

falla

en la varilla BC.

Utilcese el mtodo

de

superposicin.

P

VARILLA

BC

A =

2 1,2

L

= 40

cm

E =

1

06 kg/cm 2

375

kg/cm2

VIGA

AB

S = 0,005 cm

K

=

75 000 kg/cm

SOLUCION:

R = aA.A

=

375

x

2 = 750 kg

AL = 750 x

40

= o,015cm

2x

106

Esto implica un acortamiento del

resorte

de 0,01

cm.

Fres = 0,01

x 75 000

=

750

kg

. Bll . Fres L3

=

0()15cm

8EI 3EI

3EI

q

= 64kg/cm

=

6400

kg/m


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93/427


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-82-

CAPITULO I I

FLEXION DESVIADA O FLEXION OBLICUA

OBJETIVOS:

Al

completar e l estudio y l a solucin

de

lo s problemas de este cap

t u l o , usted deber

ser

capaz

de:

1 . - Definir correctamente l a flexin

desviada.

2 .- Analizar cualitativamente lo s cuatro casos de flexin desviada

que pueden presentarse.

3. - Determinar

e l

eje

de

solicitacin

y

e l

eje

neutro

de

l a

flexin

desviada.

4. - C alcu lar lo s esfuerzos

normales

que se inducen en lo s diferentes

puntos de l a seccin usando l a

ecuacin general, o

e l mtodo de

superposicin

que considera

l a flexin desviada

como

dos casos

de

flexin

recta.

5 . - Verificar l a resistencia

de

elementos

sometidos

a flexin

desvia

da

y

determinar

e l

factor

de

seguridad

correspondiente.

6. - Seleccionar lo s perfiles ms econmicos para l a construccin

de

elementos estructurales seguros.

i

\

7 . - Calcular lo s esfuerzos normales

que

se generan en

cualquier

pun

to

de una

viga

recta, sometida a

l a accin

de

una

flexin

desviada

combinada con traccin o con compresin axial.

INTRODUCCION:

Supngase una vig a recta de

seccin

uniforme sometida

en

sus extre

mos a lo s momentos flectores

M.


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96/427

84-

Y = EJE NEUTRO

X= EJE SOLIC.

TERCER CASO FLEXI0N SIMPLE RECTA

.

Y = EJE NEUTRO

X = EJE SOLIC.

CUARTO

CASO

FLEXIN SIMPLE

RECTA

Cuando l a flexin es recta, e l eje neutro y e l eje de solicitacin

resultan ser

siempre perpendiculares

entre s .

FLEXION DESVIADA

Por

flexin

desviada se entiende

e l caso de

una flexin donde

e l

mo

mento flector acta de t a l manera que

e l ej e de

solicitacin

no

coincide con

un eje principal de l a elipse de inercia.

El

vector momento

flector

ser

siempre perpendicular

a l eje

de solicitacin, pero

e l

eje

neutro

no ser

e l

eje

perpendicular a l eje de solicitacin sino ms bien e l eje

conjugado

a l eje

de

solicitacin.

Otra manera de ve r l a flexin

desviada,

es considerndola como l a

flexin

que resulta a l aplicarle a l a seccin dos flexiones rectas

simul

tneamente. Se tendr flexin desviada en

los siguientes

cuatro casos:

PRIMER CASO: El vector momento flector se encuentra en el primer

cuadrante formando un ngulo a con e l eje x . El eje de solicitacin

ser

perpendicular

al

vector momento

y , por l o tanto,

formar

un

ngulo

a

con

e l

eje

y . El

eje

neutro

estar desplazado,

con respecto a l eje x , en e l

mismo

sentido

del

vector momento pero de

un ngulo

( 3 .


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98/427


99/427


100/427


101/427


102/427

-90-

Los puntos en mayor peligro de la seccin son lo s

puntos

A y B por ser

los

ms alejados del

eje

neutro. All los esfuerzos valen:

960x 0,02

720x

0,015

~Anxm

aA = = 240MPa ; aB = - 240 MPa

16

x

10"8

9

x

10"8

La viga

est

en

su

lmite de

resistencia

y,

por

lo

tanto,

el valor del

factor de seguridad es 1 .

PROBLEMA

Ns

2

Sobre la viga mostrada en la figura acta una carga P = 800 N.

Determinar

los

esfuerzos

en

el

punto

en

mayor peligro si

L

=

200

cm

y

el

n

gulo 9 que forma la fuerza con el eje " y" es de 3

0.

La viga

tiene

un perfil

SIDOR C80.

SOLUCION:

La seccin en

mayor peligro, que

es la

seccin

de empotramiento,

est

sometida simultneamente a

la accin de

los

momentos flectores:

MOMENTO FLECTOR EN EL PLANO

Y-Z:

Mx

=

P.cos6x2 =

800xcos30x2 =

1386

N.m

MOMENTO

FLECTOR EN

EL PLANOX-Z:

My = P.senBx2 = 800xsen30x2 = 800 N.m


103/427


104/427


105/427

-93-

POSICION

DEL

EJENEUTRO:

( 3 = arctg ga

= arctg

33,4

10,8

tg30c = 60,7C

CALCULO

DEL

MOMENTOELECTOR:

Mx

=

M

os30 =

0,866

M ;

My

=

Msen30

= 0, 5 M


106/427

-94-

Mx

= 12

000 N.m

My

= 3000

N.m

a = 14

p

=

52,7

a

= arctg

M

= arctg

3000

L12

00OJ

=

14

{ 3

= arctg

tgal = arctg

1261,2

l y J

240

tgl4

=

52,7C

oA =

1 2 000 x 0,08 3000 x 0,06

+

.

1261,2

x

10"8 240

x

lO"8

= 15 1 MPa

PROBLEMA Ns 5

Resolver el problema anterior para la

composicin

de los perfiles

mostrada

en la figura. La separacin

entre

perfiles es

nuevamente de 2

cm.

PERFILES

SIDOR

C-160

y:

SOLUCION:

Ix =

2 Ix

I Y = 2[ly +

A(b-e

+

l)2]

797,8

cm4


107/427


108/427

-96 -

( 3 = arctg

g al =

arctg

ly J

354

914,3

tg45c

=

2 1, 2C

(M.cos45)(0, 1

-

e) (M.cos45)(0,02)

O

A

=

+

u

I v

(12 000xQ,71)(0,l -0,0282)

+ ( 1 2 000 x

0,71)(0,02) =

,72 8

+

18 6 = 191.4MPa

354 x

10"8 914,3

x

lO"8

(M.cos45)(e) (M.cos45)(0, 1 1 )

I x I v

(120

000

x

0,71)(0,0282)

+

( 1 2

000 x

0,71)(0,1

1)

354

x 10"8

914,3 x 10"8

=

-

[67,9

+ 102,5] = - 170MPa

Ns 7

Seleccionar el

perfil

sidorc

ms econmico para

construir la

viga

mpotrada que se muestra en la figura.

p

La seccin en mayor peligro es la seccin

del

empotramiento. All la

est sometida a las flexiones:


109/427

-97-

< x

=

arctgL

=

arctg

10

2000

= 26/6

No se

puede

determinar el

valor del

ngulo

p

porque

se desconoce

el

perfil.

Para

entrar en

las tablas de

lo s

perfiles,

se

supone que actan los

momentos

flectores

por

separado.

Osea, se selecciona el perfil en base a

flexiones

rectas, escogiendo

el

que resulte mayor

de

los dos; y

luego,

se

verifica a la accin

simultnea

de los dos momentos.

SUPONIENDO

QUE

SOLOACTUA Mv

:

M

Sx

t

2000 x

1,4

280

= 10

cm3

PERFIL C-80

SUPONIENDOQUESOLOACTUA M

Mv

Rp ^

1000

*

M

280

5 cm3 PERFIL C-120

Vamos a verificar entonces el

perfil

C-120 a la accin simultnea de

los dos momentos flectores:

Ix = 266,3 cm4

Iy = 19,8cm4

P = arctg 266'3 tg26,61 = 81,6

.19,8

_ Mx . h/2 | Mv . e _ 2000 x

0,06

+

1000

x

0,0125

266,3

x 10 8

19,8

x

lO"8

oA = 108,2 MPa 209,2MPa > 280 NO

RESISTE

1,4

Entonces,

se procede

a verificar

el perfil c-i40que con seguridad re

sistir.

Se

deja

al lector la verificacin de la resistencia

del

perfil.

PROBLEMA

N f i

8

Determinar el mnimo valor de b que debe tener la seccin rec

tangular de la viga, para que la misma resista el sistema de cargas apli

cado.

El

apoyo

en

A

se

comporta

como

tal

alrededor

de

toda la

viga.

Lo

mismo

es vlido para el

rodillo

colocado en D.

1 1 200 N i 1

SOLUCION:

Los

diagramas

de momento flector en los diferentes planos son:

800 N.m

Del

tramo ab

la

seccin

en mayor

peligro

es la seccin B.

Ella est

sometida a

la

accin

simultnea de:

oB

=

Mx

. h / 2 |

My

. (b - e )

I x I y

Mx = 800N.m ; My = 200 N.m


111/427


112/427

-100-

PROBLEMA NB 9

Determinar el mximo valor que

puede

alcanzar la

carga P

sin que la

viga

mostrada en la figura falle.

La

viga

est

construida

con

un

perfil

sidorl

100x1

0x100.

SOLUCION:

DIAGRAMA DE

MOMENTO FLECTOR (SOLO EN

PLANO Y-Z)

Oa =

Me x w Mn * V2

IE

In

P/2 x L x cos45 x 0,0707 P/2 x L x cos45 x 0,0354

280 x 10"8

73,3

x

lO"8

Aplicando Tresca: 2 ,6 x < 260MPa

=

2,6xl04.P

P = 5000

N


113/427


114/427

-10 2-

Y

B

TI

|oK x

Y

Mx=

10 000

N.m

My

=

5000

N.m

" =

81018 1CM300

= 26'5? ;

P =

arctg

612,7

408,7

x 0, 5

= 37c

MxyA

My.xA

10

000

x 0,06 5000 x 0,04

= * J

+

-1 =

'

146,9 MPa

L I v

612,7 x

10"8 408,7 x 10"8

oB

=

IM,

-Vb + My . xB

10 000 x 0,05

5000

x 0,06

612,7

x

10"8 408,7

x

10"8

=

- 155 MPa

PROBLEMA

Na 1 1

Determinar

para la seccin ms

peligrosa

de la viga mostrada en la

figura,

el

eje

neutro

de

la

flexin

oblicua.

Determinar,

adems,

el

estado de

esfuerzos

en el punto ms peligroso de

dicha

seccin.

5 cm

q = 5600 N/m

1

cm


115/427

SOLUCION:

. La seccin de mayor peligro es la seccin donde est colocado el

rodillo. Trazando los diagramas

de

momento

flector,

se puede demostrar f

cilmente

que

all

lo s

momentos

flectores

valen:

Mx

= 2800

N.m ;

MY

= 1000 N.m

Mx - ya + MY - xA _ 2800 x

Q,Q2 +

1000 x 0,025

I x IY 33,4

x

10-8 10,8

x

10"8

oA

= 399MPa

Mx

-

yB

+

MY

.

xB|

_

2800

x

0,04

1000

x

0,005

I x IY

J 33,4

x O-8 10,8 x 10"8

oB

=

-382

MPa


116/427


117/427

DIAGRAMAS DEACCIONES INTERNAS

PLANO Y-Z

Mx

=

640 N.m

PLANO X-Z

N =

6400

N

I

0 = 54,4*

a = arctg =

65,4

640

( 3 = arctg

98,67

154,67

tg 65,4C

=

54,4C

640 x 0,025 1400 x 0,04 5400 * A A x


118/427


119/427

107-

Iy = 2 x [2,16 + 2,78 x (0,92

+ 0,2)2]

+ - J ^ - x

0,4*

*

6

=

11,3

cm*

PUNTO EN

MAYOR PELIGRO

P =

59

POSICION

DEL

EJE NEUTRO:

P = arctg

18,8

1,3

tg 45

I

Ja Ja Ja

dA

= 0

y


135/427

-123-

OBSERVACION:

La

i n t e g r a l :

J y.dA

representa

el

momento

esttico

de

la

seccin

respecto

al

eje

neutro

y es

igual

a A.e donde

e

=

p0- r 0 .

Esta integral no puede valer

cero

porque

M

es dis

tinto

de

cero;

ello trae como consecuencia

que

el eje neutro no pase

por

el

centroide

de la seccin.

Luego entonces:

o ir

r 0 .

A.e

Y

sustituyendo

en la expresin

del esfuerzo:

lo =

.m. y

Ae

r 0 +

y

nota

Los

esfuerzos varan

con la distancia

" y"

de manera no

lineal.

La dis

tribucin de

esfuerzos

es hiperblica y

una

de las

asntotas coincide

con el

eje

de curvatura. Segn

sea

la configuracin

de

la seccin, el esfuerzo

mximo ocurrir

en

el

punto

superior

o

inferior

de

la seccin.

Para poder utilizar la expresin del esfuerzo,

es necesario determi

nar el valor de

r 0 .

Para ello se utiliza la integral:

j/+y

Si

se

realiza

el

cambio

de

variable:

u = r 0

+ y


136/427


137/427

-125-

CASODE

LA

SECCION

CIRCULAR:

Se

demuestra

que

:

OBSERVACION: La determinacin de " e" como diferencia entre p0 y r0 resulta

bastante incmoda, sobre todo cuando se trata de vigas de

curvatura

peque

a. La diferencia p0 - r0 es muy pequea, pero deber calcularse con gran

exactitud,

puesto

que de

esto depende

el resultado

de los clculos del

esfuerzo o \ Por lo tanto,

es

necesario obtener el valor

de

r0

con

un nmero

grande de cifras significativas.

Para

estos casos, se

ha

elaborado

el

mtodo

de

descomposicin en

series

y

limitndose a los dos primeros trminos de

la serie,

se

obtendr

en

el caso de una seccin arbitraria:

es__*-

Apo

I

= Momento de inercia

de

la seccin

respecto

al

eje

centroidal.

A

=

Area

de

la seccin.

EJEMPLO N f i

1:

CASO

DE

LA SECCION

RECTANGULAR:

P o

=

10

cm ; h = 4

cm

b = 3 cm

Frmula integral:

e = p0 -

r0

= Po -

Po-h/2

= 1 0

ln

Po + h/ 2

10-2

= 0,135 cm.


138/427

- 1 2 6 -

Frmula de

desarrollo

en serie:

e =

I *

A

p0

b

h

p0

1 2

pc

12x10

EJEMPLO N f i 2: CASO

DE

LA

SECCION

CIRCULAR

p0 = lOcm ; R = 2 cm

Frmula integral:

e =

i .

[ p0

- Vp^ -

R2]

=

I [l0 - V 102 - 22 ] = 0,101 cm

Frmula

de desarrollo en serie:

APo 10 T D2/4 640

MANERA CUALITATIVA DE

DETERMINAR PORQUE

EL

EJE NEUTRO SE DESPLAZA

HACIA EL

CENTRO DE CURVATURA DE LA VIGA.

dj

Ai

2 A2

EN EL

CASO

DE

UNA

VIGA

RECTA

SE CUMPLE :

di =

2 ;

Ai

=

A2

;

c ,

=

c2

POR LO TANTO, DEBE

SER

: < * ] = 02

ESTO IMPLICA QUE EL EJENEUTRO DEBE

PASAR POR EL CENTROIDE G.

di

A1

d2 A2

EN EL CASO DE LA VIGA CURVA,

SI

SE SUPONE

QUE EL EJE NEUTRO

DEBA

PASAR POR G,

ESTO

IMPLICA SUPONER:

Al = A2

LO QUE S IGNIFICA RIA QUE

.

0"K


139/427

127.

CARACTERISTICAS GEOMETRICAS DE VARIAS SECCIONES PLANAS

RECTANGULO

TRIANGULO

TRAPECIO

A

=

y =

yz =

Ix

=

l(a + b).h

2

h.(a

* 2.b)

3.(a

+

b)

h.(b + 2.a)

3.(a +

b)

h3(a2 + 4ab + b2)

36.(a +

b)


140/427

CIRCULO

Y

6 j

K

j j fid4

7 64

y

.

-

r.

. A. |

i

Y

SEMI-CIRCULO

Ix =

Ldl

- 8d4 -

0,007.d4

128 144.ii

dl

~ 0,025.d4

128

.V

d2(9.2

>4 )

1 44.ii2

r =

d_ = r

4 2

=

0,132.d

CUARTO DE

CIRCULO

A

.

Ld_

.

yG=

XG

=

0,2.d

1 6

r " *

Ix

= I g =

it d4 _ 4 d4

256

1

44,n

s 0,003.d4

u

16

16.dz

1 44.ii2

0,05.d

=

0,01

r


141/427


142/427

PROBLEMARIO

PROBLEMA N9 1

Una viga curva de acero de alta resistencia, tiene una seccin trans

versal de forma trapezoidal y est sometida

a

la accin de un momento flec-

tor m de

10

ooo N.m. El

lmite

de

fluencia

del acero es

Rp

=

400 MPa

a) Determinar los esfuerzos que se generan en las fibras ms

exter

nas e internas de la seccin de la viga. Verificar la resistencia

utilizando un factor

de

seguridad \j/= 1.6

y

un valor de r

=

8 cm.

b)

Trazar

el grfico de la distribucin de los esfuerzos.

c) Calcular el error porcentual si se hubiesen hecho los

clculos

uti

lizando la frmula para

vigas rectas.

SOLUCION:

Caractersticas geomtricas del trapecio:


143/427

_ ( h / 3 ) ( a + 2 b) . 913)0*20) .

444cm

(a + b) (6

+

3)

. _

h3

(a2 + 4ab +

b2) 83 (32

+ 4

x

3

x

6 +

62 ) 4

I x

"

36 (a

+

b)

=

36(376)

=

185

cm

A

= i . h

(a

+ b) = \ 8

(3

+ 6) = 36

cm2

p0 = r

+

h b

=

8 +

3,56 = Il,56cm

e = = - jf5

=

0,44

cm

Ap0 11,56x36

r0 = p0 - e = 11,56-0,44 = ll,12cm

yB = 4,44 + 0,44 =

4,88

cm

C T B = -10000 4'88

x

10-2 = - 192,6 MPa

36x0,44 xl0"6 [11,12 + 4.88]

x

JO'2

yA =

- ( 3, 56 -

0,44) = -3,12cm

aA =

-10000 -3'12x10'2

=

246,2 MPa

36

x

0,44 x 10"6 [ 1 1, 1 2 - 3,12]

x 10"2

La distribucin

de esfuerzos

ser:


144/427

-132-

Clculo

del error

porcentual:

oA =

10

000 x 0,0356

= 192,4

MPa

PARAEL

CASODEVIGARECTA

185xlfj-8

246,2

-

1 9 2,4

error

TJT

= 22%

246,2

Cb = 10

000

x 0-0444 _ 240MPa paraELCASODEVIGARECTA

185 x 10"8

1 9 2,6 - 240

eiTOr = 192,6 = 25%

PROBLEMA N 2

P =

2000 kg

3 cm

a) Determinar los esfuerzos en los puntos

a

y B de la

seccin

trans

versal del

gancho.

b)

Calcular

el

valor

del factor de

seguridad

si Rp

=

1560

kg/cm2.


145/427

SOLUCION:

4

L

i

1

^

-i

*

r 1

i

/;.

i

i i

\

c

1

i

f '

1 I

1 1 1

U4

2,8

4,2

h b =

(h/3)

(b +

2a)

(a + b)

(7/3) (4

+ 2

x 1 )

_

(4+1) = 2'8 cm

= } (ag + 4 a

b + b2)

_

73(l2

+4xl x4 + 42 )

36 (a + b)

36(4+1)

A = lh(a

+

b) =

7(1 +4)

=

17,5 cm2

p0

=

u + hb

=

3

+

2.8

=

5 ,8

cm

e

=

I

*

_

62,88

=

0,62

cm

p0A 5,8x17,5

r 0

= p0

- e

= 5,8-0,62 = 5, 1 8 cm

M= P .p0 = 2000 x

5 ,8

= 1 1

600

kg.cm

yA = -(2.8-0,62) = -2,18 cm

gA

=

;'1600 , - 2 .1 8

17.5 x 0.62 5 ,1 8 - 2,18 17,5

yB

= (7 -

2,8

+ 0,62) = 4,82 cm

+ 20Q0 = 777 + 114 = 891 kg/cm2

aB =

-11600 x

17,5 x0,62 5 , 1 8 + 4,82 17,5

4M + 2000 =

_401kg/cm2


146/427

- 1 34-

PROBLEMA Ns 3

Calcular lo s esfuerzos en lo s puntos A y B de la seccin

indicada

del

bastidor de una prensa punzonadora, r = 30 cm.

80

cm

i

SOLUCION:

v - 30 x 8

x

4

38 x 20 x 27 - 34

x 10 x

25

_ \q fn cm

YG "

30x8 +

38 x20

- 34 x 10

19'67 cm

I x = -L x 30 x

83 +

30 x

8

x (15,67)2

+

-L x

20

x

383 +

20 x 38 x 7,3 3 2

. JLx 10x

343 -

10x34x5,332 = 150 087 cm4

12

A

= 660 cm2


147/427

-135-

p0 = 30 + 19,67 = 49,67 cm

e

= -i*-

= 150 087 =

4

58

cm

0A 660x49.67 4,38 Cm

r 0

= 49,67

-

4,58 = 45,09 cm

M=

20 000 x (80

+

30

+

19,67)

= 2 593 400 kg.cm

N = 20 000kg

yA =

-(19,67

-4,58) = - 15,09 cm

aA =

- 2 593 400 x '

15 .09 + 2000 _ 434 6

kg/cm2

A 660 x

4,58

45,09

-

15,09 660 " 4i4'b

kS/cm

yB = 26,33 + 4,58 = 30,91 cm

OB =

-

2 593 400 , 3091 2000 = . 349 kg/cm2

660 x

4,58 45,09

+ 30,91 660

g

PROBLEMA

Ns

4

Para la viga mostrada

en

la

figura,

determinar los esfuerzos en los

puntos

a y B.

Calcular

el factor

de

seguridad si el

lmite

de fluencia

del

material Rp = 222,5 MPa.

: 1

1 1 1

X

X

X

1

*

MEDIDAS EN cm.


148/427

-136-

POSICION DEL

CENTROIDE:

4 x 1 x 0, 5 + 2 x 1 x 2 + 2 x 1 x 2

> ' G

=

:

=

1,25

cm

4x1+2x1+2x1

CALCULO DE LAEXCENTRICIDAD

" 6"

:

A = 8cm2 ; p0 =10+ 1,25 =ll,25cm

I x = jLx4x 1? + 4x 1 x(0,75)2 + 2 Lx 1 x23 + 2 x 1 x (0,75)2J = 6,17

e =

0,07 cm

A

p0

8 x

11,25

CALCULO DELMOMENTOAPLICADO

Y

LOS

ESFUERZOS:

M

=

-

3000 ( 12 + 10 +

1,25) x 10"2 = -

697,5

N.m

yA

=

-(1,25

-0,07)

= -l,18cm

; yB =

1,75 +

0,07

= 1,82

cm

r0

=

( 1 1, 2 5

-0,07) = ll,18cm

- 697.5 -

1,18

x 10-

3000 .mwn

oA

=

+ = 150,7

MPa

8x0,07xl0"6 [ 1 1 , 1 8 - 1,18] x 10-2 8xl0"4

aB

= -

697'5

1'82xl'2

+

-30QQ_

=

. 170,6MPa

8x0,07. 10"6 [ 1 1, 18 + 1,82] x lO'2 8 x 10"4

222,5

. ,

V

= 1706

=

h3


149/427

PROBLEMA Ns 5

32

cm

16 cm

PERFIL

DOBLE T

SIDOR

80

i 500 kg

CALCULAR

LOS ESFUERZOS

EN

LOS

PUNTOS

A, B,

C

g

D.

SOLUCION:

a =

24

eos 45 = 17 cm

b =

4

COS 45 = 2,8 cm

M =

500

( 1

6

+ 1 7 + z,8) =

1

7

900

kg.cm

N = 500 COS 45

=

354

kg

500 kg

CARACTERISTICASGEOMETRICAS

DEL

PERFIL DOBLE T 80

A = 8,03 cm2 ; h

=

8cm

I x =

78,1 cm4

p0 =

28cm

;

e

=

78,1

8,03

x

28

= 0,35 cm ; r 0 = 28

-

0,35 = 27,65 cm

yA

=

4 + 0,35 = 4,35 cm ; yB = - (4

- 0,35) = -

3,65 cm


150/427

- 1 38-

aA = 1790Q

4,35

8,03 x 0,35 27,65 + 4,35 8,03

= 866 -

44 =

822

kg/cm2

OB =

17

900

3,65 ^=

_ 2

8,03 x 0,35 27,65 - 3,65 8,03

6

Para

el clculo de lo s esfuerzos en

Cy

D hay que observar que se trata

de una viga recta y

por

lo tanto no se debe aplicar la

frmula

para

vigas

curvas.

M

=

500(16

+ 24+

4)

= 22 000

kg.cm

N =

500

kg

ac = 22 000x4 .

5QQ.

_ H27 - 62,3

= 1064,5 kg/cm2

78,1 8,03

aD =

. 22

000 x

4 .

5_ = _ii27

-62,3

=

-

1

1 89,3

kg/cm2

78,1 8,03

PROBLEMA N f i 6

Calcular

los esfuerzos

en

lo s puntos

A, B, c

y

D.


151/427

1 39

SECCION A-B:

M= -[1000x0,08 + 3000(0,08 + 0,02)] = -380N.m ; N = 3000 N

A = 71.4x2/4 = 6,28 cm2 ; p0 = 8 + 2 = lOcm

I x =

= 6'28cm4

; e

=

h

TTTK= '1

cm

64

A

p 6,28 x

10

r 0 = p0 - e = 10 - 0,1 = 9,9 cm

yA

=

-(2-0,1)

=

-

1,9

era

;

yB

=

2

+

0,1

=

-

2,1

cm

OA = ^30

x

-l,9x 0-2 + 3000

= 148;5MPa

6,28 x 0,1

x lO"6

[9,9

-

1 , 9 ]

x 10'2 6,28 x 10'4

oB =

^380

x

2'IxlQ'2

+ 3000 = .joiMPa

6,28

x

0,1

x

10"6 [9,9

+

2,1] x 10 2 6,28 x 1 0" 4

SECCION C-D:

oC =

^200

x - 9x-

+

1000 = 77>2MPa

6,28 x 0,1

x 10"6 [9,9 -

1 , 9 ]

x 10'2 6,28

x

10'4

aD = ^200 x 2'lx10'2 + 1000 = -54,1 MPa

6,28 x 0,1

x lO'6

[9,9 +

2,1]

x 10"2

6,28

x

10"4


152/427

140.

PROBLEMA Ns 7

Para la prensa manual que se muestra en la figura:

BLOQUE

DE

MADERA

a) Determinar el

mximo valor

de la carga de compresin que puede

ser aplicada por

la prensa, si el

material

del

bastidor tiene

un l

mite admisible de 6200 kg/cm2.

b) Calcular el valor del

esfuerzo

en

" C" para

dicha

carga

mxima.

SOLUCION:

M

=

-P(10

+ 5+ 1 )

=

- 16P ;

p0

=

5

+

l=6cm

A =

SA 2 = 6 28 cm2

; e =A_

7 t

23 x4/64

= 0,04

cm

4 A p0

6,28

x 6

r 0

= p0

-

e =

6 - 0,04

= 5,96 cm

h9 + P

=

.

o 3 p

=> p - 6200 _ 666

7 kg

6,28 x 0,04 5,96+ 1,04 6,28 ' 9,3

'

- _

- 16.P - >96 p

_

P-6200

_5micp

B

"

6,28 x 0,04 5 , 96 - 0,96 + 6 8 " UA? ^ ?

~

VIA ~ 5 kg


153/427

-141-

CALCULO

DEL ESFUERZO

EN

" C " :

M

=

-

500

[ 1 0

+

6 cos60]

=

-

500 [10

+

3] =

-

6500 kg.cm

1,04

r

=

-6500

MW

.

250.

=

.

3805 k2/cm2

c 6,28 x 0,04

5 , 9 6

+ 1,04

+ 6,28 ^

PROBLEMA Ns 8

Determinar el factor de seguridad de la estructura, si la misma est

hecha

con

perfiles de seccin

circular

de 3

cm

de dimetro.

La carga P aplicada vale lOOkgy el material de ambos perfiles tiene

un lmite de fluencia

de

Rp=

I945 kg/cm2.

E

o

O

P

SOLUCION:

DIAGRAMA

DE

CUERPOUBRE Y

REACCIONES:

94,28 kq


154/427

-142

66,67 kg f

94,28

kg

E

o

o

wf

30

cm

B

66,67 kg

30 cm c Y / ,

P = 100 kg ; M 100 x 20 = 2000 kg.cm ; A= 71.9/4 = 7,06

cm2

g =

2000x

32

+

66J

=

77g 2

.

1$=25

7t33

Jt32/4 "

778

R.cos45x30 = 100x20 ; R = 94,28 kg ; N = R.cos45 = 66,67 kg

I x

= 3,976

cm4 ;

p0 =

30

cm

; e

=

0,019

cm

; r 0

= 29,981

cm

M - R (30 - 30 cos45) = - 94,25 x 8,79 =

82 8,7 kg.cm

- 828,7 - 1,481

94,28

aA =

oB =

7,06

x 0,019 2 9 , 9 8 1 -

1,481 7,06

- 828,7 1 , 5 1 9 94,28

7,06

x 0,019

29,981 + 1,519

+

7,06

=

334kg/cm2

= -285

kg/cm2

PROBLEMA N f i

9

Para cada situacin de carga ( l ) y ( 1 1 ) determinar los esfuerzos en los

puntos A, B,

C

y D.

SITUACION

(I)

SECCION C-D

SITUACION (II)

10 cm

4 cm

1000 kg

3 cm


155/427

-143-

SOLUCION:

SITUACION ( I )

f

u

r

.

i

i m

i i

2,2

3,3

I x =

(h/3) (a

+

2 b)

a~ (a

+

b)

h3

(a2 + 4ab

+ b2)

36 (a + b)

(5/3)

[4\2

= 2.2cm

(4 + 2)

53(4^4x4x2 + 22) = 3Qcm4

36

(4 + 2)

A

= ixhx(a+b) =

ix5x(4 +

2) = 15 cm2 ; p0 = u + ha = 3

+

2,2 = 5,2 cm

e =

= 3

= 0,38

cm

; r 0

=

p0

-

e =

5,2 -

0,38

=

4,82 cm

p0

A 5,2 x 15

M=

-

P p0

=

-

1000

x

5,2 =

- 5200 kg.cm

yA =

-

(2,2

-

0,38) = -1,82 cm

OA = -5200

iL82_

ipoO

=

620kg/cm2

A 15

x

0,38 4,82 - 1,82 15 &

OB

= _^5200

yB = (5

-

2,8 + 0,38) = 2, 5 8 cm

2 . 5 8

1000

15 x0,38

4,82

+ 2, 5 8 15

+

j.v^c =

_251kg/cm2 ; ac

=

aD = *QQ = 79,6 kg/cm2

T42/4

SITUACION ( I I )

oA =

aB = 0

; M=

1000x10 = 10

000

kg.cm ;

l x

=

^

1 2 , 5 7 cm4

ac

=

10

ooox

2

=

1592 kg/cm2

.

Gd

=

10 000x

2

=

.1592

kg/cm2


156/427

Ns 10

Un

eslabn

abierto en s est fabricado con una varilla de acero de 2 cm

e dimetro. Determinar el

factor de seguridad

del diseo

si

el material de

varilla tiene

un Rp =

1800

kg/cm2.

Comparando

las

secciones

a-b

y

C-D,

de

la

figura,

puede

verse

que

el

flector

en a-b es

menor que en c-D,

pero

el radio de

curvatura

es

en

a-b

que en c-D.

Es, por

consiguiente,

necesario

investigar ambas


157/427

A = - 3,14

cm2 ; I x

=

JL2

= 0,785

cm4 ;

pc = 7 cm

4 64

e

= -k_ = ,'7/18^ = 0,036 cm

; rc

= p0 - e = 7 - 0,036 = 6,964cm

yA = 1 +0,036 = 1,036

cm

;

yB

= -( 1 -0,036)

=

-0,964

cm

M

70,7

x

(7

+

OH) = 70,7

x

(7 + 4,9) = 841,3 kg.cm

OA -

JVL

yA + P _ - 841.3 1^036 70J 2

A " Ae r 0 + yA + a " 3,14 x 0,036 6,964 + 1,036 + 3,14

Kgn

D

-

M

YB .

P _

-841,3

-0.964

,

70J

_

12183k,/cm2

B ~

~e' T+

A" 3,14 x 0,036 6,964 - 0,964 +

3,14

" 1218'3kS/cm

SECCION

C-D:

A =

-2 =

3,14 cm2 ;

I x

= 2L2 =

0,785

cm4 ; po=10cm

4 64 K

I x 0,785

nno


158/427

-146-

PROBLEMA Ns 1 1

La

viga

curva

ab

mostrada en la figura, de seccin cuadrada

de

4 cm de

lado,

est

articulada

en B y

sostenida

por una varilla

AC.

Determinar

el rea

mnima

que

debe

tener la seccin de la varilla AC

si

se

desea que todo el sistema tenga el mismo factor de seguridad.

solucin:

REACCIONES DE

LOS VINCULOS:


159/427

A

=16 cm2

; I x

= (1/12) 44 = 21,3 cm4

;

p0= 10 cm

= 21,3/16x10

=

0,13 cm ; r0

=

p0

-

e =

10-0,13

= 9,87

yi

=

2

+

0,13 = 2,13 cm ; y2

=

2-0,13 = -1,87 cm

R = 2P

x cos45

=

2 x

707,5

x 0,707 =

1000

kg

Rxb

= 1000

x (10+ 10cos45)

=

1000

x

17,1 = 1 7 lOOkg.cm

C T l = 17 100 2 1 1 3 1000 = 1397 k /cm2' 1 6 x 0,13 9,87 + 2,13 16 ljy/ /cm

a, =

17 100 lljZ

.

IOQO

= .

i984k2/cm2

02 16 x 0,13 9,87 -1,87 16 MMkgfcm

v=2790 = 1,4

* 1984

mi

m

a

=

1,75

cm2

A

1,5


160/427

- 1

48-

CAPITULO I V

FLEXION EN

VIGAS DE VARIOS MATERIALES

OBJETIVOS:

Al completar e l estudio y l a solucin de lo s problemas de este cap

t u l o ,

usted

deber ser

capaz

de :

1 . -

Explicar

l a

razn

por la cual se

construyen vigas con

distintos

materiales

para

ser sometidas a flexin.

2. -

Establecer las

hiptesis

bajo las

cuales

son

vlidas

las frmulas

para e l clculo de lo s esfuerzos.

3.- Hallar l a seccin transversal equivalente para una viga construida

con

varios

materiales.

4.- Efectuar e l anlisis

de esfuerzos en una

viga

compuesta por

varios

materiales.

5 .- Determinar lo s esfuerzos que se generan en cada

uno

de lo s mate

riales

que componen l a viga.

6. - Determinar e l material de l a viga

compuesta

que gobierna la

re

sistencia a

l a

flexin de

l a misma.

7 .- Hallar l a seccin

transversal

equivalente y calcular lo s esfuerzos

en

una

viga

construida

con

concreto

reforzado

con acero.

INTRODUCCION:

Varios importantes materiales

de

construccin

poseen

resistencia a

traccin

y a compresin que son

apreciablemente diferentes.

Entre estos

materiales figuran l a madera, e l concreto, e l hierro colado (o fundicin),

algunos metales especiales

y

lo s plsticos. Por ejemplo, l a

resistencia

a

traccin del concreto es

de slo alrededor

de

io%de

su

resistencia a

com

presin; l a resistencia a traccin de l a fundicin es menos de l a mitad de su

resistencia a compresin. En consecuencia, l a seccin transversal de una

viga hecha

de estos materiales,

que sea simtrica

con

respecto

a l eje neu

t r o , da como resultado un uso ineficiente del material.


161/427

1

49-

Una solucin a sto es fabricar una seccin que no sea simtrica con

respecto

a l

eje

neutro,

de t a l

modo que e l eje

neutro

est

cerca

del

lado a

traccin

y , po r l o tanto, e l

esfuerzo a traccin sea

menor

que

el

esfuerzo a

compresin.

Este

es

generalmente e l caso de secciones

de hierro

colado con

forma de T , que son orientadas de t a l manera que, a l aplicar l a flexin, las

fibras

a traccin

son

las que estn

ms

cerca del eje neutro.

Otra

solucin

consiste

en construir una

seccin con dos

materiales, de t a l

modo que e l

material que es ms resistente a traccin ayude a l que es ms dbil. Algunos

ejemplos

comunes de dichas composiciones son

las

vigas de concreto

reforzado, o las vigas de madera reforzada

con

placas de acero.

Con e l f i n de ilustrar e l procedimiento que se sigue en e l anlisis de

secciones

compuestas

por

distintos

materiales

sometidas

a

flexin

pura,

recordemos, ante

todo, l o visto en e l

caso

de l a flexin

simple en

viga

recta

de un solo

material:

La frmula:

v a l e en

e l

caso d e :

M

y

1 . - Viga recta.

2 . - Material homogneo (un solo material).

3.-

Material

istropo.

4.- Comportamiento lineal elstico del

material.

5 .-

Caras planas

antes y

despus de

aplicar

e l momento

M.

El problema que se quiere resolver ahora,

es

e l de determinar lo s

esfuerzos que se

generan en

una

viga recta

fabricada de

varios materiales,

que est sometida a flexin.

i

MATERIAL 2^

MATERIAL 1

M


162/427

1 50-

No podr

aplicarse

directamente l a frmula:

M.y

a= I

porque

esta frmula vale

en e l caso

de materiales

homogneos.

Para resolver e l problema vamos a hacer referencia a l caso particu

lar

de una viga compuesta

por e l material

1

que refuerza al

material

2 . Sean

E 1 y E2 lo s mdulos de elasticidad respectivos; o sea, se est asumiendo que

E 1

sea mayor

que E .

MATERIAL 2

MATERIAL

1

SECCIN

TRANSVERSAL VIGA COMPUESTA

HIPOTESIS:

La

solucin

de l problema

ser

vlida

bajo

las siguientes hiptesis:

1

. -

Viga recta.

2 .-

Comportamiento

lineal

elstico

de

lo s

materiales.

3. - No hay

deslizamiento

entre las superficies de contacto de los

distintos materiales

cuando

se aplica e l momento M.

4. - Secciones

planas antes y despus de aplicar m.

5 .-

Seccin

simtrica respecto

a l eje de

solicitacin.

Bajo

flexin,

las fibras

se deformarn

adoptando

una

distribucin

lineal para

las deformaciones

t a l como

muestra

l a figura. Esto

debido

a l o

asumido en

las

hiptesis 3 y 4 . Adems, l a distribucin de lo s esfuerzos

correspondientes se

muestra en

l a

figura

contigua,

presentando

un

cambio

brusco debido a l a diferencia entre lo s mdulos de elasticidad.

DISTR I B . DEFORMAC . DISTR I B . ESFUERZOS


163/427

-151-

Dentro

del

lmite elstico, lo s valores del esfuerzo normal que

se

ge

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Criterios Fundamentales Para Resolver Pr