CPE 332 Computer Engineering

Mathematics II Week 10

Part III, Chapter 8 Error, Transcendental Function and Power Series

Taylor Series and Function Approximation

Today Topics

• Numerical Methods • Errors • Transcendental Function • Series • Power Series • Taylor Series • MacLaurin Series • Function Approximation • HW VII • MT Exam and Cumulative Grades

Numerical Methods • ในวชาคณตศาสตรทเราเรยนทผานมา การหา

Solution จะประกอบดวยการแกสมการ ซงรวมถงการแกสมการพคณต การหา Derivative การ Integrate การแกสมการ Differential Equation รวมถงการใชเครองมอทางคณตศาสตรเพอแกสมการ เชน Fourier Transform, Laplace Transform หรอ Z-Transform วธการดงกลาวจดวาเปนการแกปญหาทเรยก Analytical Method อยางไรกตาม ไมใชวาสมการทกสมการจะหาคาตอบได(ทอยในรปของ Explicit Form) ดงนนเราจาเปนทจะตองหาวธอนในการแกปญหา นนกคอวธการทเรยก Numerical Method

Numerical Methods • วธการทาง Numerical ทเคยใชกนมาไดแกวธการ

Graphical Method และใชบวนการ Interpolation แตเมอมการประดษฐคอมพวเตอรขนมา กมการนาคอมพวเตอรเขามาใช และขยายขอบเขตของวชานออกเปนสาขาใหมทางคณตศาสตร มการศกษา Algorithm และวธการเขยนโปรแกรม รวมถงการวเคราะหคาความผดพลาด(Error Analysis) และลกษณะการ Convergence และ Complexity ของ Algorithm

Y=f(x)=2x3-4x2-7x+5 • หา f(k) เชน f(0), f(-2), f(7) งาย • แกสมการ f(x)=k จะยาก เชน หาคา x ททาให f(x) = 0

Quadratic Equation • Polynomial Degree = 1, Straight Line

– y = f(x) = mx+b; x = (y-b)/m • Polynomial Degree = 2 • y = f(x) = ax2+bx+c • แกสมการ y = f(x) = 3 เราได

– y’ = f’(x) = ax2+bx+(c-3) = 0 – x = [-b±√(b2-4a(c-3))]/2a

• Polynimial Degree = n, n > 2 – ไมมสมการโดยตรงในการแก, – แตม Algorithm ในวธของ Numerical Method

• Algorithm จะเปน Iterative Method – คาตอบของ Numerical Method จะใหแคคาประมาณ

• คาจะถกตองขนเรอยๆ ใน Iteration ทสงขน (คานวณนานขน) ถา Algorithm Converge

Iterative Technique

Start

Iteration = 0 Set et

Init. X0

[Iteration i] Iteration += 1 Calculate xi

Error ei < es Stop

Estimate ei

Y N

โปรแกรมจะ Converge ถา ei < ei-1

Errors • ในการนาคอมพวเตอรมาชวยแกปญหา

ทางดานคณตศาสตรนน จะตองเขาใจกอนวาลกษณะการทางานของคอมพวเตอร หรอการคานวณจะขนอยกบวธการทเราเขยนโปรแกรมและ Algorithm ทใช ในการคานวณโดยใชเครองคานวณใดใดจะม Error เกดขนเสมอ ซงจะแบงไดเปนสองประเภทคอ Round- Off Error และ Truncation Error

Errors • Round- Off Error เกดจากการเกบ

ตวเลขใน Memory ของคอมพวเตอรน �นจะใชขนาดของ Memory ทจากด และข �นอย กบวาเราใหตวแปรชนดอะไร เชน Integer, Long Integer, Float, หรอ Double

Errors • Truncation Error เกดจาก Algorithm

หรอวธท เราใหคอมพวเตอรคานวณ น �น เปนแคการประมาณ จากสมการทางคณ ตศาสตรท เราตองการหาคาโดยใช คอมพวเตอรเขาช วย และเราไมไดแก สมการทางคณ ตศาสตรจรงๆ – การคานวณ จะตองมการบวกกนของ

Infinite Terms จงจะไดคาท ถ กตอง ดงน �นคอมพวเตอรจะคานวณ คาประมาณโดยตดเทอมทายๆท�ง

Precision, Accuracy, Significant Digit

• ดงนนเราจาเปนทจะตองรวา Error เรามมากแคไหน และพอจะยอมรบไดหรอไม นนขนอยกบการนาการคานวณไปใชงาน ปกตตวเลขทจะไปใชงานทางวศวกรรมศาสตรจะกาหนดดวยคา Significant Digit และจะยอมใหความไมแนนอนของตกเลขตกอยทหลกทายเทานน ดงนนคาของ Significant Digit จะบงบอกถงจานวนหลกของตวเลขทจะนาไปใชไดอยางมนใจ

• คาวา Accuracy หมายถงตวเลขทเราไดนนมคาใกลเคยงกบคาในความเปนจรงเทาไร แตคาวา Precision หมายถงตวเลขทไดมานนเกาะกลมกนมากแคไหน ดงนนคาของ Precision จะเปนตวกาหนดจานวนของ Significant Digit ทจะตองใช และคาของ Error จะเปนตวกาหนดความ Accuracy ของตวเลข

การยงเปา

Precision = ตา Accuracy = ตา

Precision = ตา Accuracy = สง

Precision = สง Accuracy = ตา

Precision = สง Accuracy = สง

Accuracy วดจากคา Error ทเกดระหวางคาเฉลยของ Data กบคาจรง Precision วดจากคา Variance หรอ SD ของกลมของ Data

Significant Digits (Figures) • คอตวเลขทมความหมายในการกาหนดคา

Precision – เปนเลขทกตวยกเวนเลขศนยนาหนา และศนยท

ตอทาย • จานวนศนยตอทายทเปนสวนของ s.f. บางทเรากาหนด

โดยใชเครองหมาย ‘bar’ • Examples

– 11.152 = 5 s.f. – 0.00879 = 3 s.f. – 000125600. = 6 s.f. – 0123400000 = 7 s.f.

• เลขทางขวามอของ s.f. จะไมนามาใส ใหทาการ Round-Off เชน – 456.389864 (6 s.f.) = 456.390 – 1287563.94 (3 s.f.) = 1290000

Error

• คอคาทแตกตางจากคาทแทจรง • เปนตวกาหนดคา Accuracy • แบงเปน

– Absolute Error, Et – Relative Error (%จากคาจรง), et

• นอกจากนยงม – Estimated Error, ea

• คาประมาณของ Error (Relative Error)

Absolute Error

Relative Error

Error Estimation • Convergence • Divergence

Mean Square Error(MSE) • ในการเปรยบเทยบความแตกตางระหวางคาท

แทจรงกบคาทประมาณได สาหรบกลมของตวอยาง เรามกจะใชคาเฉลยของ Error ในรปของคาเฉลยของกาลงสองของ Error ในแตละค เรยก Mean Square Error – ถาให Y เปนคาทแทจรง และ เปนคาทประมาณได

สาหรบคของตวอยาง N ตวอยาง

– คา RMSE หรอคา Root Mean Square Error คอคา Square Root ของคา MSE

Y

∑−

=

−=1

0

2)ˆ(1 N

iii YY

NMSE

∑−

=

−=1

0

2)ˆ(1 N

iii YY

NRMSE

Functions • เปนความสมพนธแสดง Set ของ Input

และ Set ของ Output – Function สามารถรบคา Input ไดหลาย Set

(หลายตวแปร) – การ Mapping เปนทางเดยว

• ถา Map กลบจะเปน อก Function ทเปน Inverse Function กบตวเดม

• Inverse อาจจะไมมสาหรบบาง Function

f(.)

x y

y=f(x)

x=f-1(y) อาจจะไมม

Polynomial Functions • เปนรปแบบของ Function ทงายทสด • Polynomial function Degree ‘n’ จะอยใน

รปของ(One Argument)

∑∑==

−−

+==

+++++==n

i

ii

n

i

ii

nn

nn

xaaxa

axaxaxaxaxfy

10

0

012

21

1)(

Polynomial of degree 2: f(x) = x2 - x - 2 = (x+1)(x-2)

Polynomial of degree 3: f(x) = x3/4 + 3x2/4 - 3x/2 - 2 = 1/4 (x+4)(x+1)(x-2)

Polynomial of degree 4: f(x) = 1/14 (x+4)(x+1)(x-1)(x-3) + 0.5

Polynomial of degree 5: f(x) = 1/20 (x+4)(x+2)(x+1)(x-1)(x-3) + 2

Polynomial of degree 6: f(x) = 1/30 (x+3.5)(x+2)(x+1)(x-1)(x-3)(x-4) + 2

Polynomial of degree 7: f(x) = (x-3)(x-2)(x-1)(x)(x+1)(x+2)(x+3)

เอามาจาก http://en.wikipedia.org/wiki/Polynomial

Transcendental Function

• เปน Function ทไมใช Algebraic – Algebraic function คอ Function ทสามารถ

นยามไดจาก Root ของสมการ Polynomial • Transcendental Function ไมสามารถ

เขยนในรป Solution ของ Polynomial – Exponential Function – Logarithm – Trigonometric Functions

• ดวยเหตผลน การหาคาของ Function อาจจะตองใชวธการประมาณคาแทน

Transcendental Examples

xxfcxxf

xxf

xxfccxf

xxf

c

x

x

x

sin)(1,0,log)(

)(

)(

1,0,)(

)(

6

5

1

4

3

2

1

=≠=

=

=

≠=

= π

การประมาณคาของ Function • ในสวนนเราจะ Review เรอง

– Infinite Series – Power Series – Taylor Series – Maclaurin Series – การประมาณคาโดยใช Series

Series และ Infinite Series • Series คอผลรวมของเทอมใน Sequence ใน

กรณของ Infinite Series นน เทอมทจะตองนามาบวกกนจะไมมทส นสด

• ถาใหแตละเทอมใน Sequence เปน an ดงนน Series คอ a1+a2+a3+… เชน

• NOTE: บางครง Index ของ Summation อาจจะเรมท 0 กได

+++===

+++==

∑

∑∞

=

∞

=

81

41

21

21;

21

1

3211

nnnn

nn

Sa

aaaaS

Convergence of Series • Series จะ Converge กตอเมอผลรวมของ

Term สามารถหาคาได – กลาวคอผลรวมของเทอมจนถง N ม Limit

• ถา Series ไม Converge มนจะ Diverge

∑∑=

∞→∞→

∞

=

===N

nnNNNn

n aSaS00

limlim

Power Series • Power Series เปน Infinite Series ใน

รปของ (c = Constant, an = coefficient, x เปน Variable ทอยรอบๆ c)

– Power Series ทสาคญคอ Taylor Series • ในกรณท c=0 เราได

– เชนในกรณของ Maclaurin Series

∑∞

=

−=0

)()(n

nn cxaxf

++++==∑∞

=

33

2210

0)( xaxaxaaxaxf

n

nn

Taylor Series/Maclaurin Series • ให f(x) เปน Function ทสามารถหา

Derivative ไดอยางไมจากดในชวงใกลเคยงกบ a ดงนน Taylor Series ของ f(x) คอ Power Series ในรปของ

• ในกรณท a = 0 บางครงเราเรยก Maclaurin Series

∑∞

=

−=+−+−+−+0

)(3

)3(2 )(

!)()(

!3)()(

!2)('')(

!1)(')(

n

nn

axn

afaxafaxafaxafaf

∑∞

=

=++++=0

)(3

)3(2

!)0(

!3)0(

!2)0(''

!1)0(')0()(

n

nn

xn

fxfxfxffxf

Example 1 • จาก

∑∞

=

=+++++==

=⇒===

+++++=

+−+−+−+−+=

0

432

)()(

4)4(

3)3(

2

4)4(

3)3(

2

!...

!4!3!21)( have We

1)0()(,...,)(',)( Suppose

..!4

)0(!3

)0(!2

)0('')0(')0()(

...)(!4

)()(!3

)()(!2

)(''))((')()(

k

kx

nxnxx

kxxxxxexf

fexfexfexf

xfxfxfxffxf

axafaxafaxafaxafafxf

389056099.7 :Value Actual

3873.740320

2565040128

72064

12032

2416

68

2421:ionApproximatOrder Eighth

356.772064

12032

2416

68

2421:ionApproximatOrder Sixth

72416

68

2421:ionApproximatOrder Forth

52421 :ionApproximatOrder Second

)2( find Example

2

2

2

2

2

2

=

=++++++++≈

=++++++≈

=++++≈

=++≈

=

e

e

e

e

e

ef

นกศกษาหาคาประมาณของ e-2 ถง 4 Significant Digit ไดหรอไม

Example 2:

∑∞

=

+

+−

=+−+++−++==

=−=−===

+++++=

0

12753

)4(

4)4(

3)3(

2

)!12()1(...

!70

!50

!300sin)( have We

),...sin(,cos)(''',sin)('',cos)(',sin)( Suppose

..!4

)0(!3

)0(!2

)0('')(')0()(

n

nn

xn

xxxxxxf

xfxxfxxfxxfxxf

xfxfxfxaffxf

479425538.050sin :Value Actual

479425533.0!75.0

!55.0

!35.05.050sin:ionApproximatOrder Eighth

47942708.0!55.0

!35.05.050sin:ionApproximatOrder Sixth

47916667.0!35.05.050sin:ionApproximatOrder Forth

5.050sin :ionApproximatOrder Secondradian5.0sin)5.0( find Example

753

53

3

=

=−+−≈

=+−≈

=−≈

≈=

.

.

.

.

.f

นกศกษาหาคาประมาณของ cos 0.5 ถง 8 Significant Digit ไดหรอไม

Taylor (Maclaurin) Series

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∞

=

∞

=

+

∞

=

∞

=

=

+

∞

=

∞

=

+

∞

=

∞

=

∀−+−=−

=

∀−+−=+

−=

<+−+−+=−−

=+

<=−

≠=−

−

<=−

≤<−−=+

<≤−−=−

∀+++++==

0

422

0

5312

4128

531612

81

021

2

02

0

10

1

1

1

432

0

;!4!2

1)!2()1(cos

;!5!3)!12(

)1(sin

1;1)4()!)(21(

)!2()1(1

1;)1(

1;1

1

1;1

1

11;)1()1log(

11;)1log(

;!4!3!2

1!

n

nn

n

nn

n

nn

n

n

m

n

nm

n

n

n

nn

n

nn

nx

xxxxn

x

xxxxxn

x

xxxxxxnnn

nx

xnxx

x

xxx

x

xxx

xnxx

xnxx

xxxxxnxe

MATLAB Program • จะสาธตการเขยน Function โดยใช MATLAB

– เขยน Function ทรบคา Vector x และ Vector y return z1 และ z2; x=-3:.1:3; y = -3:.1:3

– คานวณคา z1 = 2sin(x^2+y^2)/(x^2+y^2) – คานวณคา z2 = xsiny-ycosx – mesh (x,y,z1), (x,y,z2), (x,z1), (y,z2) และ (z1,z2) – Surf function, shading modes – Contour plot

• ศกษาวธการเขยน Function ใน MATLAB โดยดจาก Tutorial 4-5

END OF WEEK 10 • Download HW 7 • Next Week Chapter 9: Zeros of Functions

MATLAB Program • function [z1,z2]=test(x,y)

• % function [z1,z2]=test(x,y) • % Test matlab program calculate z1=f(x,y)=sin(x^2+y^2)/(x^2+y^2) • % and z2=f(x,y)=xsiny-ysinx

• n=length(x); • m=length(y); • z1=zeros(n,m); • z2=zeros(n,m); • for i = 1:n • for j= 1:m • t=x(i)^2+y(j)^2; • if (t ~= 0) • z1(i,j)=sin(t)/t; • else • z1(i,j)=1; • end • z2(i,j)=x(i)*sin(y(j))-y(j)*cos(x(i)); • end • end

MATLAB Program • function view2(x,y,z,az) • mesh(x,y,z); • view(0,az); • for i = 0:10:360 • view(i,az); • pause(0.05); • end

MATLAB Program • function view3(az)

• view(0,az); • for i = 0:10:360 • view(i,az); • pause(0.05); • end