COURS_TS219_2010_2011

1

TS219 CODAGE CANAL

Benot ESCRIG

ENSEIRB-MATMECA/IRIT

01/10/2010 Codage Canal-BE 1

Bibliographie

J. PROAKIS : Digital Communications,

Ed. McGraw Hill, 2001.

S. LIN, D.J. COSTELLO : Error Control Coding : Fundamentals and Applications,

Ed. Prentice-Hall, 1983.

A. GLAVIEUX, M. JOINDOT : Communications numriques. Introduction,

Ed. Masson, 1996.


2

Plan du cours

1. Introduction

2. Codes en blocs linaires

3. Codes convolutifs

4. Combinaisons de codes


Plan du cours

1. Introduction

1. Contexte

2. Principe





3

Contextes dapplication


0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1

0 1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1

DONNES ORIGINALES(donnes mises/stockes)

DONNES TRAITER (donnes reues/lues)

Systmes de tlcommunications Exemples : WiFi, TNT, Bluetooth, 3G,

Causes de laltration : mauvaises conditions de rception.

Rsultat : les donnes reues sont diffrentes des donnes mises.

Stockage de donnes sur support physique

Stockage : criture sur support physique (CD, disque dur).

Causes de laltration : CD ray,

Rsultat : les donnes lues sont diffrentes des donnes crites.

Enjeux soulevs par laltration des donnes

Lquipement qui va utiliser les donnes (tlphone mobile, lecteur DVD) ne sait pas que le flux de donnes comporte des erreurs.

Limpact de lutilisation de donnes altres dpend de lapplication et du type daltration.

Fort impact : un bit faux dans le codage dun numro de carte bleue .

Faible impact : plusieurs paquets manquants dans le codage dune conversation tlphonique.


DONNESBLOC UTILISATEUR

DES DONNES

4

Enjeu

Comment savoir si un flux de donnes comporte des erreurs ?

1re tape : dtecter les erreurs.

Que faire lorsque le flux de donnes traiter est erron ?

Corriger les erreurs (protocoles de la couche 1 et lecture de donnes sur support CD).

Solliciter lmission de nouvelles donnes (protocoles partir de la couche 2).

Interpoler entre les donnes prcdentes et les donnes suivantes (applications).


Solutions au dessus de la couche physique

Couche application : interpoler entre les donnes prcdentes et les donnes suivantes

Technique possible lorsque les donnes traites sont trs redondantes et que la perte dun bloc de donnes naltre pas la qualit du service.

Exemple : film, conversation tlphonique.

Couches rseau (2,3,4) : solliciter lmission de nouvelles donnes

Mcanisme ARQ (Automatic Repeat reQuest).


RCEPTION

1 3

1 2 3

TRAITEMENT

4

4

OKtransmission test

demande de retransmission

vers la couche suprieure

OK

5

Dtecter et corriger les donnes altres

Codes correcteurs derreurs : rajouter des bits de redondance aux bits dinformation (opration inverse lopration de compression).

Codage : Blocs de k bits en entre.

Blocs de n bits en sortie (n>k).

Dcodage : retrouver les blocs de k bits partir des blocs de n bits.

Application aux tlcommunications : codage canal

Adapter le codage au canal de transmission pour amliorer les performances en termes de probabilit derreur binaire Pb.


metteur rcepteurcanalcodage dcodage

Pbc

6

Limitation des codes correcteurs

Si les erreurs sont rares, elles sont effectivement corriges.

Sinon, le dcodeur va gnrer des erreurs l o il ny en avait pas.

Consquence : un dcodeur ne peut traiter correctement des donnes qu partir dune certaine qualit lentre du dcodeur (aux environs de 1 bit faux sur 10 ou 1 bit faux sur 100).


000 110 000 010 111 110 111 000

000 110 000 010 111 110 111 000

Inconvnient des codes correcteurs derreurs

En thorie, lajout de redondance contribue augmenter les besoins en bande passante (Tbloc, temps dmission dun bloc de donnes).

En pratique, le dbit utile est diminu car le dbit des donnes codes est fix par la norme.

Plus il y a de protection (et donc de redondance k/n petit), plus le dbit utile diminue.


Cas non cod Cas cod

Nombre de bits mis / bloc k n

Dbit k/Tbloc n/Tbloc

k nCODEUR

Donnes non codes Donnes codes

Dbit k/n . D D (fixe)

7

Enjeu des codes correcteurs derreurs

Plus il y a de redondance,

Plus la capacit de correction est grande.

Plus la consommation en bande passante est grande.

Enjeu : fournir la meilleure capacit de correction en utilisant le moins de bits de redondance.

Intrt pour les systmes de tlcommunications Les techniques de transmission augmentent le rapport signal bruit la

rception mais nempchent pas les erreurs.

Les codes correcteurs permettent alors damliorer un peu plus les performances en termes de BER (Bit Error Rate).

Intrt pour le stockage de donnes (disque dur, CD)

Rcupration de donnes lorsque le support de stockage est dfectueux.


Plan du cours

1. Introduction

1. Contexte

2. Principe





8

Principe du codage

nk

Rc =


Ajouter au message transmettre des bits de redondance selon une loi donne.

Taux de codage Rc.

Exemple : code rptition C(3,1)

Si 0, alors 000. Si 1, alors 111.

k nCODEUR

Principe du dcodage

Coder les donnes sans les dcoder ne sert rien.

Dcoder : tester si la loi de codage est respecte.

Si la loi de codage est respecte, alors les donnes sont envoyes au bloc de traitement suivant.

Exemple dun code rptition C(3,1) : si 000, alors 0. Si 111, alors 1.

Si la loi de codage nest pas respecte, il y a dtection derreur(s).

Exemple dun code rptition C(3,1) : il y a dtection derreur ds lors que le bloc de trois bits reus nest ni 000, ni 111 (ex : 001).

Sil y a dtection derreur alors il y a correction et envoi au bloc de traitement suivant, ou suppression des donnes et demande de retransmission.


kn DCODEUR

9

Exemple de correction derreur

Dtection derreur : le mot 110 est diffrent de 000 et de 111.

Correction derreur : le mot reu est plus proche de 111 que de 000. La sortie est donc 1.


Code rptition0 donne 000 1 donne 111

DCODEUR 1110

DONNES REUES

Distinction entre dtection et correction derreur

Dtection derreur : le dcodeur dtecte que le bloc de bits traiter est erron.

Linformation produite est binaire : il y a ou il ny a pas derreur (une ou plusieurs erreurs).

Correction derreur : le dcodeur sait o se trouvent les erreurs et les corrige.



DCODEURdtection

erreur

01


DCODEURdtection

erreur

110DCODEURcorrection 0

DCODEURcorrection 1

10

Historique

1948 : Shannon (thorie de linformation).

1950 : Hamming.

1950-1970 : codes en blocs et codes cycliques, BCH (Bose-Chaudhuri-Hocquenghem) et RS (Reed-Solomon).

1960-1970 : codes convolutifs (Fano, Forney, Viterbi).

1980 : modulations codes en treillis (Ungerboeck).

1990 : dcodage itratif et turbo-codes (Berrou-Glavieux).

2000 : codes LDPC (Low Density Parity Check).


Plan du cours

1. Introduction

2. Codes en blocs linaires1. Matrice gnratrice et matrice de contrle de parit

2. Codes cycliques

3. Dcodage optimal soft-decision

4. Dcodage hard-decision




11

Codes en blocs linaires

Code en bloc : ensemble de vecteurs de longueur n appels mots de code.

Les composantes dun mot de code appartiennent un alphabet q symboles.

Exemples :

Si q=2, alors les mots de code sont constitus de 0 et 1.

Si q =3, alors les mots de code sont constitus de 0,1 et 2.


n

qn

code composante valeur

q=2 binaire bit {0,1}

q2 non binaire symbole {0,,q-1}

01010010

01210210

Cas particulier : q=2b (b>1)

Possibilit de reprsenter un symbole par b bits.

Consquence : un mot de code de N symboles peut se reprsenter par un mot de code binaire de bN bits.

Exemple : si q = 4=22, alors mot de code constitu de 0,1,2 et 3.

Possibilit de reprsenter un symbole (0,1,2,3) par 2 bits (00 01 10 11).

Consquence : mot de code de 8 symboles = mot de code binaire de 2x8 bits.


=

0 1 2 3 2 1 1 2

00 01 10 11 10 01 01 10

12

Dfinition dun code C(n,k)

Association de 2k mots de code de n bits aux 2k mots de donnes de kbits.

Exemple C(4,2) : les 4 (22) mots de code sont choisis parmi les 16 (24) mots de 4 bits.


2k mots de k bits

2n mots de n bits

slection de 2k mots de n bits

CODE

n=4

2n=16

Mot de donnes

Mot de code

00 1010

01 0010

10 0110

11 1011

Gnralisation aux codes non binaires

Mots de code n symboles (et non bits).

Symboles : 0,1,2, ,q-1

qn mots de n symboles.

Slection de qk mots pour former un code.

Exemple C(2,1) q=3

1 symbole en entre : 0,1,2.

2 symboles en sortie : (0,1,2) x (0,1,2).


n

qn

Mot de donnes Mot de code

0 12

1 20

2 22

n=2

qn=32

13

Poids dun mot : nombre dlments non nuls dans le mot

Distribution des poids dun code w : ensemble des poids dun code.

Existence de codes dont tous les mots de code ont le mme poids (codes poids fixe ou poids constant).

Paramtre important pour tablir les performances de certains codes.

Exemples : rpartition possible des poids sur un code C(3,2).


{ }{ }{ }3,2 111 011 011 110

1,0 100 010 001 000

3,2,1,0 111 011 001 000

===

w

w

w

Oprations sur les mots de code et les mots de donnes

Les composantes des vecteurs appartiennent un alphabet qsymboles.

Alphabet muni de l'addition modulo-q et de la multiplication modulo-q = corps de Galois d'ordre q, not GF(q). Corps de Galois = corps d'ordre fini.

Corps d'ordre fini = corps dont le nombre d'lments (ordre) est fini.

Exemple : GF(2) et GF(3).


011

100

10+

101

000

10

1022

0211

2100

210+

1202

2101

0000

210

14

Distance minimale dmin dun code

Distance de Hamming : nombre dlments diffrents (bits, symboles) entre deux mots.

Si les mots sont de taille n, la distance est comprise entre 0 et n.

Distance de Hammingminimale entre deux mots de code : dmin.

Exemple : C(3,2), dmin=2.

Mot de donnes

Mot de code

00 000

01 101

10 110

11 011

[ ] [ ]( ) 2110,101 =D


Plan du cours

1. Introduction


2. Codes cycliques






15

Dfinitions et Notations

[ ]mkmmm xxx ...21=X


Soit un code C(n,k).

Mot de donnes Xm k composantes.

Mot de code Cm n composantes.

Pour construire un code C(n,k) valide, il faut que les 2k n-upletsforment un sous-espace vectoriel de Vn, espace vectoriel des mots de n bits.

( )[ ]mnkmmkmmm ccccc ...... 121 +=CCODEURXm Cm

Gnration de la jime composante de Cm

Combinaison linaire (CL) des k composantes du mot de donnes Xm. Pour savoir quelles composantes de Xm participent la CL : coefficients

gij (0 ou 1). i de 1 k pour les k composantes du mot de donnes j de 1 n pour les n composantes du mot de code. m de 0 2k-1 pour lensemble des mots de donnes.


xm1

g1j g2j gij gkj

xm2 xmi xmk

m=1,,2k

=

=k

i

miijmj xgc1

njgxgxgxc kjmkjmjmmj ,,2,1 2211 LL =+++=

16

Gnration des n composantes de Cm

k

k

i

miijmj

m

njxgc

ki

21

1

1

1

=

=


Pour n composantes, n combinaisons linaires diffrentes.

Le codeur est entirement dfini par n CLs.

Matrice gnratrice de rang k.

Rang dune matrice : nombre maximal de vecteurs lignes (ou colonnes) linairement indpendants.

Les vecteurs gi forment une base non unique.

GXC mm =

Matrice gnratrice

CODEURXm Cm

=

=

knkk

n

n

k ggg

ggg

ggg

L

MMM

L

L

M

21

22221

11211

2

1

g

g

g

Gkmkmmm xxx gggC +++= ...2211

Code systmatique

Un code est dit systmatique si les k premiers bits du mot de code sont constitus par les k bits du mot de donnes.

Ces k bits sont dits systmatiques. Les (n-k) bits restants sont appels bits de parit.

Matrice gnratrice pour code systmatique : il est possible dobtenir la matrice gnratrice de la version systmatique dun code par oprations sur les lignes et permutations des colonnes.


k n-kCODEUR k

17

Forme de la matrice gnratrice pour un code systmatique

[ ]

( )

( )

( )

==

knkkk

kn

kn

k

ppp

ppp

ppp

L

MMM

L

L

L

OOM

MO

L

21

22221

11211

100

0

10

001

PIG


Ik matrice identit et P matrice k x (n-k).

Intrt des codes systmatiques

[ ] [ ]PXXPIX mmkm =


Le mot de donnes apparat explicitement dans le mot de code.

Le dcodage est plus facile car il suffit de tronquer le mot reu.

Exemple : le code de lexemple prcdent est systmatique.

Bits systmatiques Bits de parit

Exemple : code C(3,2)

Mot de donnes

Mot de code

00 000

01 011

10 101

11 110

=

110

101G

18

Exercice : code C(7,4)

Soit le code C(7,4) de matrice gnratrice C(7,4).

Donner les expressions des lments du mot de code cmj, o j=1,,n, en fonction des lments du mot de donnes xmi, o i=1,,k.


=

1101000

0110100

1110010

1010001

G

Code dual dun code C(n,k)

Soit un code C(n,k) de matrice gnratrice G.

Code dual : code C(n,n-k) de matrice gnratrice H.

Proprit : tous les mots de code gnrs par G sont orthogonaux ceux gnrs par H.

Forme particulire de la matrice H si le code gnr par la matrice G est systmatique.


0GH =T

0HC =Tm

[ ]PIG k=

[ ]knT = IPH

=

1101000

0110100

1110010

1010001

G

=1001011

0101110

0010111

H

19

Capacit de dtection d'un code C(n,k)


Soit un code C(n,k) de distance minimale dmin.

Capacit de dtection dun code : au plus dmin-1 erreurs.

Dtection : dmin-1 erreurs transforment un mot de code en un autre mot qui n'est pas un mot de code.

MOT DE CODE

d>=dminERREURS

MOT DE CODE

VENTUELLEMENT

d

20

Calcul de la capacit de dtection d'un code

Code C(n,k) = 2k mots de codes de longueur n parmi 2n mots possibles.

Lors dune transmission, le mot de code Cm subit une altration e pour donner Y.

Pour n grand, le nombre d'erreurs non dtectables devient petit devant le nombre d'erreurs dtectables.

Exemple : C(7,4)

16 mots de code, 15 erreurs non dtectables.

128-16=112 erreurs dtectables


Y = Cm+e

2n mots de code

2n -1 erreurs possibles (autres que le mot nul)

2k-1 erreurs non dtectables car 2k1 mots de code non nuls

2n-2k erreurs dtectables

kn

k

2212

Capacit de correction d'un code C(n,k)

=2

1mindEntt


Soit dmin, la distance minimale.

Capacit de dtection : dmin 1.

Capacit de correction t : partie entire de la moiti de (dmin-1).

Pour pouvoir corriger ces erreurs, il faut que le mot reu soit suffisamment prs d'un mot de code existant.

2k mots de donnes

dmin

t

21

Exemples

Code C(3,2), dmin=2 : Rception de [010].

Dtection dune erreur.

Capacit de correction nulle.

Impossibilit de dcider quel mot a t transmis : [000] ou [011] ou [110].

Code rptition C(3,1) :

Capacit de dtection 2, capacit de correction 1.

Rception de [001] : dtection dune erreur et correction en [000].

Mot de donnes

Mot de code

00 000

01 101

10 110

11 011


Mot de donnes

Mot de code

0 000

1 111

Limitation

Exemple : code rptition C(3,1).

Transmission de [000] et rception de [011], dtection dune erreur et correction en [111].

Consquence : en thorie, gnration derreurs !

en pratique, cas correspondants des conditions de transmission inexploitables.

Les codes correcteurs ne peuvent fonctionner correctement que si le BER (Bit Error Rate) avant correction est infrieur 10-1.


22

Codes tendus et codes raccourcis

Code tendu C(n+1,k) gnr partir dun code C(n,k) : ajout dun bit de parit (somme modulo 2 du mot de code) au mot de code gnr par C(n,k) : 0 si nombre de 1 dans mot de code pair, 1 sinon.

Proprit : si C(n,k) de distance minimale dmin impaire, alors C(n+1,k) de distance minimale dmin+1.

Code raccourci C(n-l,k-l) gnr partir dun code systmatique de la forme C(n,k) : suppression des l premiers bits dinformation (gnration des mots de code par G) :

Proprit : si le code C(n,k) est de distance minimale dmin, alors le code C(n-l,k-l) a au moins une distance minimale de dmin.

Codes tendus et raccourcis utiles pour faire des multiples doctets.


Conclusion sur les codes en blocs linaires

Limitations des codes en blocs linaires

Stockage de la matrice (espace mmoire requis important),

Traitement temps rel impossible (traitement bloc).

Alternative : codes cycliques.


GXC mm =CODEURXm Cm

Mot de code1 x n

Mot de donnes1 x k

Matrice gnratricek x n

De la forme [Ik P] pour les codes systmatiques

23

Plan du cours

1. Introduction


2. Codes cycliques






Codes cycliques

Famille de codes linaires ayant la proprit suivante : toute permutation circulaire d'un mot de code C donne un autre mot de code.

Reprsentation polynomiale des codes cycliques

Associer chaque mot de code, n composantes, un polynme C(p).

Proprits du polynme :

Nombre de coefficients : n, de 0 (n-1).

Degr infrieur ou gal (n-1).

Codes binaires : coefficients dans {0,1}.


[ ] ( ) 0122110121 ... cpcpcpcpCcccc nnnnnn ++++== LC

[ ][ ]1032

0121

...'

...

==

nnn

nn

cccc

cccc

C

C

24

Exemples


[ ] ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ] ( ) 11101101

11101

111

10

11

2356

23

++++==

++==

+====

==

pppppC

pppC

ppC

ppC

pC

C

C

C

C

C

Gnration de la permutation cyclique dun mot de code

( )( )

( ) 10231210

21

121

012

21

1

++++=

++++=

++++=

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

cpcpcpcpC

pcpcpcpcppC

cpcpcpcpC

L

L

L


Comment passer de C C1 ?

Ide 1 : p C(p) mais p C (p) ne peut pas tre un mot de code car il est de degr n si cn-1=1.

Ide 2 : division de p C(p) par pn+1

[ ]0121 ... cccc nn =C

[ ]10321 ... = nnn ccccC

( )( ) ( )pCpcppC

cpcpcpcpcppC

n

n

n

n

n

n

n

11

102

11

21

)1(

)1(

++=

++++++=

L

25

Gnration des mots de code par permutation cyclique

C1 : reste de la division de pC(p) par pn+1.

Gnralisation :

Permutation de Ci de i lments : reste de la division de piC(p) par (pn+1)


( ) ( ) ( )pCpcppC nn 11 1 ++=

[ ]0121 ... cccc nn =C

[ ]10321 ... = nnn ccccC( ) ( )( ) ( )pCppQpCp ini ++= 1 [ ]inininini cccc += 121 ...C

Code cyclique et multiplication polynomiale

Soit un polynme gnrateur g(p) de degr (n-k), facteur de pn+1 (g(p) divise pn+1).

Soit Xm(p) le polynme dinformation coder.

Soit Cm(p) le polynme du mot de code.

( )( )( ) ( ) ( )pgpXpC

xpxpxpxpX

pgpgppg

mm

k

k

k

k

kn

kn

kn

=++++=

++++=

012

21

1

11

1 1

L

L


( )( )( )

( )( )4342143421

pgpg

pppppp

1

1111 3237 +++++=+

Exemple avec n=7 : avec p7+1, possibilit de gnrer deux codes cycliques C(7,4).

26

Table de g(p)

=

1101001

0110001

1000101

0011101

1111111

0100111

1010011

0001011

1100010

0111010

1001110

0010110

1110100

0101100

1011000

0000000

15

14

13

12

11

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

0


g(p)=p3+p2+1

C(7,4)

Exemples :

X(p)=1 donne C(p)=g(p)

X(p)=p donne C(p)=g(p).p

X(p)=p+1 donne C(p)=g(p)(p+1)=p4+p3+p+p3+p2+1=p4+p2+p+1

Lien avec les matrices gnratrices

=

1100

01

10

0011

1

1

LL

OM

MOOO

LL

kn

kn

g

g

G


La notion de code dual existe mais nest pas utilise.

Matrice gnratrice dun code cyclique C(n,k) de polynme g(p) constitue des lignes :

pk-1g(p)

pk-2g(p)

pg(p)

g(p)

27

Exemple : C(7,4)

( ) 321 pppg ++=


=

1011000

0101100

0010110

0001011

G

Construction de codes systmatiques

Codes systmatiques : k premiers bits constitus par les bits dinformation.

Mthode :

Multiplier le polynme dinformation X(p) par pn-k.

Diviser pn-kX(p) par g(p).

Ajouter le reste de la division, not r(p), pn-kX(p).


( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )pgpQprpXp

prpgpQpXp

kn

kn

=+

+=

28

Exemple : C(7,4) et g(p) = p3+p+1

Mot coder X=[1001]

X(p)=p3+1

pn-kX(p)= p6+p3

Le reste de la division de pn-kX(p) par g(p) donne les bits de parit.

g=[1011].


Mise en uvre de codes cycliques

Utilisation de registres dcalages.

Registre : case mmoire accessible par le processeur sans temps daccs (de taille 64 bits pour les processeurs dits 64 bits).

Registre dcalage : registre de taille fixe dans lequel les bits sont dcals chaque coup d'horloge.

Intrt des registres dcalages

Utiles pour le traitement de flux de donns : peuvent traiter des flux ininterrompus de bits.

Utiles pour la mise en uvre dapplications temps rel : un bit sortant pour un bit entrant.


29

tapes de codage

Multiplier le polynme dinformation X(p) par pn-k : dcalage de registres.

Diviser pn-kX(p) par g(p) : seule opration non triviale raliser.

Ajouter le reste de la division, not r(p), pn-kX(p) : remplir les cases du registre.


entres

sortieslogique combinatoire

Codeur cyclique

Basculement des interrupteurs aprs passage des k bits dinformation.


1 g1 gn-k-1

bits dinformation

c0 c1 cn-k-1

polynme pn-kX(p)

sortie

bits de parit

30

Exemple C(7,4)


( ) 31 pppg ++=

1 g1=1

bits dinformation

c0 c1 c2

polynme dinformation pn-kX(p)

sortie

bits de parit

g2=0

100

101

110

000

000

210 cccEntre : 0110Sortie : 0110001

Codes cycliques dans les protocoles de communication

Protection des units de donnes de protocoles PDUs (paquets, trames) Les codes permettent de dtecter des erreurs mme si les champs de

commande (en-tte) sont cohrents et conformes au protocole.

Inconvnient : les codes cycliques dfinis avec n et k fixes alors que les PDUs sont de tailles variables.

Implantation : utilisation dun codeur C(n,k) systmatique avec (n-k) bits de redondance.

Quelle que soit la taille de la PDU, le nombre de bits de parit sera toujours le mme : n-k.

Exemples : paquet IP, trame Ethernet.

Avec un CRC de 16 bits, 16 bits de redondance seront produits, quelle que soit la taille du bloc traiter.


31

Exemples : trames HDLC et PPP


01111110 01111110Adresse Commande Donnes >=0 FCS

Fanion8 bits

8 bits 8 bits (FCS) : Frame Check Sequence16 bits

x16+x12+x5+1

Exemple : trame Ethernet

CRC de degr 32


Prambule : 7 octets

Dlimiteur de dbut de trame : 1 octet

Adresse destination : 6 octetsAdresse source : 6 octets

Longueur donnes (2 octets)

Donnes (0-1500 octets)Padding (0-46 octets)

Contrle (4octets)

G(x) = x32 + x26 + x23 + x22 + x16 + x12 + x11 + x10

+ x8 + x7 + x5 + x4 + x2 + x + 1

32

Capacit de dtection

knknK

kn

K

KknK

K

++

=

2

1

12

1

122

11

22

12


Si lentre est constitue de blocs de K bits, la sortie est constitue de blocs de K+(n-k) bits.

Le rapport entre le nombre derreurs non dtectes et le nombre derreurs dtectes tend vers 1/[2(n-k)] lorsque K tend vers linfini.

Codes BCH


Limitation des codes cycliques C(n,k) : pour un code C(n,k) quelconque, il faut calculer toutes les distances entre les mots de code pour avoir dmin et en dduire les capacits de dtection et de correction.

Optimisation possible : dfinir des codes pour lesquels le dmin est connu a priori.

Solution : codes BCH (Bose-Chaudhuri-Hocquenghem).

Paramtres des codes BCH binaires

k bits dinformation en entre

n bits de code la sortie

m entier suprieur ou gal 3

t entier reprsentant le pouvoir de correction du code.

Proprit importante : les codes BCH portent dans la dfinition mme de n et k, leur capacit de correction.

12

12

min +=

=

td

mtkn

nm

33

Reprsentation des polynmes gnrateurs des codes BCH

Forme compacte dnoncer les coefficients du polynme : notation en octal

1 chiffre = 3 bits

bit le plus gauche = coefficient de degr le plus grand

Tables existantes pour m compris entre 3 et 8, donc n compris entre 7 et 255 (Cf. Proakis).

Exemple : C(15,5)

2467 en octal = 010 100 110 111 en binaire


( ) 1245810 ++++++= pppppppg

n k t g(p)

7 4 1 13

15 11 1 23

7 2 721

5 3 2467

31 26 1 45

21 2 3551

255 247 1 435561

Conclusion sur les codes

cycliques

( ) ( ) ( )pgpXpC mm =


Mot de codede degr

34

Plan du cours

1. Introduction


2. Codes cycliques






Modle de la chane de transmission

Bits quiprobables.

Canal AWGN (Additive White Gaussian Noise) : ajout dune source de bruit blanc gaussien, indpendant du signal mis, de PSD (Power Spectral Density) N0/2.


CODAGE DCODAGE+1/-1

BRUIT

Bits

Bits cods

chantillons

chantillons bruits

Bitsestims

35

Dcodage optimal soft-decision

Dcodage soft-decision = dcodage partir des valeurs des chantillons reus et non pas sur des estimations de bits (0 ou 1).

Rle du dcodeur : chaque bloc de n bits, dcider quel est le mot de code qui a t mis et en dduire le mot de donnes de k bits.

Le dcodeur optimal est celui qui maximise la probabilit de choisir le bon mot de code (ou de minimiser la probabilit de ne pas choisir le bon).


vecteur de nchantillons bruits r

DCODEUR

2k mots de code

mot de codele plus probable (bits estims)

Modle des chantillons reus

Pour chaque mot Ci, les composantes cij du vecteur sont des 0 et des 1 (j=1n).

Les chantillons nj sont des variables alatoires gaussiennes, indpendantes,centres, de variance N0/2.


cij

2cij-1

rj=(2cij-1)+nj

CODAGE DCODAGE+1/-1

BRUIT

Bits

Bits cods

chantillons

chantillons bruits

Bitsestims

36

Densit de probabilit des chantillons de bruit

( ) ( )

( )

=

==

=

==

n

j

jn

n

j

jn

j

j

N

nN

N

n

N

npp

1 0

2

20

1 0

2

01

exp

22

exp

22

1n


La densit de probabilit du vecteur n des n chantillons de bruit est une gaussienne n dimensions.

x

pnj(x)

n=[n0 nn]

Densit de probabilit gaussienne du vecteur r

( ) ( )1212 =+= ijjjjijj crnncr


La densit de probabilit du vecteur r des n chantillons reus est une gaussienne n dimensions.

Hypothse : le mot Ci est mis.

La densit de probabilit de r est conditionne par le symbole mis.

r=[r0 rn]

37

Expression de la densit de probabilit p(r|Ci)

( ) ( ) ( ) ( )[ ]

== =

=

n

j

ijjnn

j

ijjiN

crNcrpp

1 0

2

201

12expCr


La densit de probabilit du vecteur des chantillons reus est conditionne par le mot de code mis Ci.

Indpendance des chantillons de bruit

Rle du dcodeur

Entre : vecteur r des n chantillons bruits.

Sortie : estimation du mot de code mis (puis dcodage pour restituer le mot de donne mis).

Rle du dcodeur : dcider quel mot de code a t mis en fonction des observations disponibles : r.

Critre de dcision : le mot de code estim est, parmi tous les Ci, celui qui a la probabilit doccurrence la plus forte (celui qui est le plus probable) en fonction des observations ralises r.

Le mot de code estim est donc celui qui maximise la probabilit P[Ci|r].


[ ]rCCC

iP

i

argmax =

38

Estimateurs

Estimateur MAP (Maximum A Posteriori)

Lestimateur du maximum a posteriori choisit la probabilit maximale aprs avoir reu les observations.

Procdure : calculer la distribution P[Ci|r] et slectionner le mot de code qui donne la plus grande valeur de P[Ci|r].

Estimateur du maximum de vraisemblance

Lestimateur du maximum de vraisemblance cherche le mot Ci qui maximise la densit de probabilit des chantillons reus.

Estimateur MLSE : maximum likelihood sequence estimator.


[ ]rCCC

iPi

argmax = ( )ipi

CrCC

argmax =

quivalence des estimateurs ML et MAP

Utilisation de la rgle de Bayes.

Hypothses :

les mots sont quiprobables lmission : P[Ci]=cste,

les observations ne dpendent pas dun i particulier.

Estimateur ML et MAP quivalents.

Raisonnement partir de lestimateur ML car estimateur asymptotiquement sans biais et efficace.


[ ]rCCC

iPi

argmax = ( )i

pi

CrCC

argmax =[ ] ( ) [ ]( )rCCr

rCp

PpP

ii

i =

39

Densit de probabilit p(r|Ci)

( ) ( ) ( ) ( )[ ]

== =

=

n

j

ijjnn

j

ijjiN

crNcrpp

1 0

2

20

1

12expCr


Densit de probabilit de r | Ci : gaussienne n dimensions.

chantillons indpendants donc densit de probabilit du vecteur = produit des densits de probabilit sur les chantillons.

Maximisation de la probabilit conditionnelle


( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( )[ ]

( )[ ]

( )[ ] ( )i

n

j

ijj

n

j

ijj

n

j

ijj

n

j

ijjn

i

Dcr

crN

crN

Nn

N

crNp

ii

i

i

ii

Cr

Cr

CC

C

C

CC

,argmin12argmin

121

argmax

121

2argmax

12expargmaxargmax

2

1

2

1

2

0

1

2

0

0

1 0

2

20

=

=

=

=

=

=

=

=

=

40

Estimateur MLSE

Lestimateur MLSE cherche la distance euclidienne minimale entre les n chantillons reus et les n lments des 2k mots de codes.

Circuit de dcision

Calcul de 2k distances euclidiennes D(r,Ci) i=1,..,2k.

Slection du mot de code Ci qui donne la distance la plus petite.


( ) ( )[ ] ( )in

j

ijji Dcrpiii

CrCrCCCC

,argmin12argminargmax 2

1

2 =

== =

Circuit de dcision amlioration

Principe : chercher le mot le code le plus corrl avec le mot reu.

Comparaison de la squence de n valeurs rj aux 2k mots de codes

possibles par les mtriques CMi i=1,..,2k.

Slection du mot de code qui donne la mtrique la plus grande.


( )ii

CMpii CC

Cr argmaxargmax = ( )=

=n

j

jijircCM

1

12

( )[ ] ( )

=

==

n

j

ijj

n

j

ijj crcrii 11

2 122argmax12argminCC

41

Limitation

Mthode simple mais trs coteuse en temps de calcul ds que k>10 (210 comparaisons chaque mot de n bits reu).

Rduction possible du nombre doprations par algorithme de Viterbi (voir partie sur les codes convolutionnels).


Probabilit derreur sur un mot de code

En thorie : utilisation de la rpartition des poids dans les mots de codes.

En pratique : utilisation dune borne suprieure indpendante de la rpartition des poids.

Exemple : BPSK

forts SNR par bit donn, la probabilit derreur pour une chane code est plus faible que pour une chane non code.

faibles SNR par bit, cest linverse.


+< 2lnexp min

0

kdRN

EP

cb

cod

> nPP mcb

PROPRIT

Conclusion sur le dcodage soft

decision

Dcodage = estimation du mot de code mis = mot de code le plus proche du mot reu (distance euclidienne).

Amlioration par mesure de corrlation.


43

Plan du cours

1. Introduction


2. Codes cycliques






Dcodage hard-decision

Seule modification du rcepteur : une dcision est prise sur chaque chantillon du vecteur r avant dentrer dans le bloc de dcodage.

Dcodage par distance minimale.

Entre : mot de n bits.

Dcodage : comparaison entre le mot de code reu et les 2k mots de code possibles et slection du mot de code le plus proche du mot reu au sens de la distance de Hamming.


DCISIONchantillons bruits

Bitsestims

DCODAGE

44

Canal BSC

BSC = Binary Symetric Channel.

Ec = nergie transmise par bit cod.

N0/2 = densit spectrale de puissance du bruit.


probabilit derreur par bit p

Bits codsestims

Bits cods 0 0

1 1

p

p

1-p

1-p

=

02

1

N

Eerfcp c

Proprit du dcodeur

Dcodage optimal au sens de la probabilit derreur sur un mot de code (maximum de vraisemblance).

Inconvnient : 2k comparaisons.

Amlioration : mthode du syndrome.


45

Dcodage par syndrome et Look-up Table (Table de vrification)

Cm, le vecteur des bits cods mis

Y, le vecteur des bits cods estims

H, la matrice de contrle de parit

S, le syndrome

e, un vecteur derreur dont les composantes sont 1 sil y a une erreur

0 sil ny en a pas.

eCY +=m

( )T

T

m

T

eH

HeCYHS

=

+==


Dcodage par syndrome

Dcodage par syndrome : calcul du syndrome

reprage de lerreur correspondante

correction du mot reu

Intrt du dcodage par syndrome

Le vecteur S (de taille n-k) a des composantes

nulles lorsque lquation de contrle de parit est satisfaite

non nulles sinon

Donc, 2n-k-1 erreurs dtectes.

imeYC =


imeCY +=

( )T

i

T

im

T

He

HeC

YHS

=

+=

=

46


1010000001

1110000010

0110000100

1100001000

0010010000

0100100000

1001000000

syndromeerreurd' type

=

1000101

0100111

0010110

0001011

G

=

1110100

0111010

1101001

H



Rception : [1001111] / Syndrome : [011]

Erreur correspondante : [0000100]

Correction = Rception + Erreur correspondante = [1001011].

Limitation du dcodage par syndrome : un syndrome nul signifie quil ny a pas d'erreur dtectable.

Exemple : si vecteur d'erreur = mot de code mot reu = mot de code + mot de code = mot de code.

Syndrome (mot de code)=0 donc pas derreur dtecte.


47

Dcodage des codes cycliques

Calcul du syndrome par division polynomiale.

Soient les polynmes C(p),Y(p) et e(p) associs respectivement au mot de code C, au mot reu Y et lerreur e.

Procdure :

Division de Y(p) par le polynme gnrateur g(p).

Le reste de la division R(p), de degr infrieur ou gal n-k-1, reprsente le polynme du syndrome.

Le syndrome est nul si Y(p) est un mot de code.


( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )pepgpX

pepCpY

+=+= ( ) ( ) ( ) ( )pRpgpQpY +=

Division de Y(p) par g(p)

1. Les n bits du mot de code reu Y sont passs dans le circuit (interrupteur en position 1).

2. Les n-k registres contiennent les bits du syndrome qui sont achemins vers la sortie (interrupteur en position 2).


1 g1 gn-k-1

s0 s1 sn-k-1polynme reu Y(p)

sortie syndrome

12

48

Look-up table

Aprs calcul du syndrome : recherche de lerreur correspondante ecdans la table de vrification (look-up table) puis correction.

Solution utilise tant que n-k

49

Remarque : protocoles de niveau suprieur ou gal 2

Pour le CSMA/CD ou IP, le calcul du syndrome se fait en temps rel : la dtection derreur sur une trame ou un paquet est immdiate.

En revanche, le temps de correction est ici rdhibitoire (recherche de la correspondance entre une valeur de syndrome et une forme derreur particulire).

Consquence : pas de correction dans les couches suprieures ou gale 2 (choix de la retransmission).


Probabilit derreur en mode hard decision

p est la probabilit derreur sur 1 bit.

dmin la distance minimale du code.

En pratique, le hard decision est moins performant que le soft decision.


( ) ( )[ ] 2min1412 dkmc ppP

50

Importance de dmin dans le dimensionnement des codes

Pour les codes binaires, pas de codes pour atteindre la borne suprieure.

Pour les codes non binaires, existence de codes (comme les codes RS) permettant datteindre la borne suprieure.


1min + knd

Codes non binaires

Code en bloc non binaire : ensemble de mots de code dans lesquels les composantes appartiennent un alphabet q symboles.

En pratique : q=2k (k bits donne un symbole).

N : longueur du mot de code

K : longueur du mot de donne

Dmin : distance minimale du code


51

Codes RS

Code RS (Reed Solomon) : code BCH primitif de longueur N=q-1 sur GF(q) o q est de la forme 2k.

Existence de tables pour les polynmes gnrateurs.

( )

( )

=

=

=

+==

==

KNEnt

DEntt

N

KR

KND

NK

qN

c

k

2

1

12

1

1

1,,3,2,1

121

min

min

L


Avantages des codes RS

Correction derreurs groupes ou paquets derreurs (burst en anglais).

Exemple : code RS(15,11), 15=24-1

Pouvoir de correction t = 2 lments quaternaires

Soit de 2 8 bits.

Codes utiliss pour le stockage des donnes sur support CD et dans les systmes de communications subissant des erreurs par rafales.


52

Exemple : DVB-S

Utilisation dun code raccourci RS(204,188,T=8) obtenu partir dun code original RS(255,239, T=8) appliqu chaque groupe de 188 octets.


Ajout 51 octets 0(dbut de paquet)

RS (255, 239)

Suppression 51 octets

(dbut de paquet)

Paquets transport MPEG-2

(188 octets)

RS(204,188, T=8)

Paquets transport MPEG-2protgs

(204 octets)

Conclusion sur le dcodage hard

decision

Dcodage = estimation du mot de code mis = mot de code le plus proche (distance de Hamming).

Amlioration : dcodage par syndrome.


53

Plan du cours

1. Introduction

2. Codes en blocs linaires3. Codes convolutifs

1. Dcodage optimal algorithme de Viterbi

2. Codes poinonns



Codes convolutifs

Principe du codage : chaque bloc de k bits en entre donne un bloc de n bits en sortie.

chaque bloc de n bits dpend des K blocs de k bits prcdents.

Caractristiques des codes

Taux de codage : k/n

Longueur de contrainte : K

Si les k bits dinformation se retrouvent dans le bloc de n bits en sortie du codeur, le code est dit systmatique.


k bits dentre

K blocs de k bits

combinaison logique n bits de sortie

54

Reprsentation des codes

n sorties.

sortie = addition modulo 2 dune slection des Kk bits dentre.

A chacune des n sorties correspond un vecteur de Kk lments (fonction gnratrice) :

1 si llment participe la somme,

0 sinon.

Exemple : codeur convolutif de rendement Rc=1/2 et de longueur de contrainte K = 3.

Entre constitue par des blocs de k = 1.

Sortie constitue par des blocs de n = 2.


dk dk-1 dk-2Entre Sorties

ck1

ck2

Exemple

Codeur 1/3

K=3 // k=1 // n=3

Registres initialiss 0.

Entre 1 Sortie 111

Entre 0 Sortie 001

Entre 1 Sortie 100

Fonctions gnratrices g1, g2 et g3 : [ ]

[ ][ ]111101

100

3

2

1

===

g

g

g


entre

sortie

55

Exemple

K=2, k=2, n=3


entre

sortie[ ][ ][ ]10101101

1011

3

2

1

===

g

g

g

Remarques

Caractre convolutif du codeur :

La sortie du codeur peut tre interprte comme le produit de convolution entre lentre du codeur et la rponse du codeur dfinie par ses fonctions gnratrices.

Autres formes de reprsentation

Arbre

Diagramme dtat

Treillis : reprsentation utile pour l'algorithme Viterbi, algorithme de dcodage le plus utilis pour les codes convolutifs.


entre

sortie

56

Treillis dun code convolutif

3 informations fournies :

Transitions dun tat du codeur vers un autre en fonction des entres.

Valeurs des entres et des sorties correspondantes.

tat du codeur : tats des registres (hormis les cases mmoires rserves aux entres).

Exemple : codeur C(1/2, 3).


00

01

10

11entre 0 entre 1

00

11

x x

entre

sortie

11

00

01

1010

01

Rgime transitoire et rgime permanent

Au bout de Ktransitions, le treillis atteint son rgime permanent.


00

01

10

11

00

11 11

01

10

1111

00

01

1010

01

00 00

57

Gnralisation

Code C(k/n,K).

2k branches entrant dans chaque nud.

2k branches sortant de chaque nud.

2k(K-1) tats possibles.


00

01

10

11

Distance libre minimale (Hamming)

Distance minimale

le chemin tous-zros

le chemin partant et revenant ltat tout zro en un nombre de minimal de transitions.

Plus grande est la dmin, meilleur est le code.

Existence de tables pour construire des codes distance minimale la plus grande (cf. Proakis).

Exemple : C(1/2,3), dmin = 5

fonctions gnratrices (en octal) : 5 et 7


00

01

10

11

000

111

001

110

011

100

101

010

000 000

dmin=6

58

Plan du cours

1. Introduction



2. Codes poinonns



Dcodeur optimal

Estimateur squentiel du maximum de vraisemblance MLSE : recherche, travers le treillis, de la squence la plus vraisemblable.

Distance de Hamming ou euclidienne suivant quil sagit de hard ou soft decision.


59

Explication du principe sur un exemple simple

Soit le codeur C(1/3,3).

Il sagit daller de ltat 00 ltat 00 en trois transitions.

Hypothse : le rcepteur sait que linformation envoye permet daller de ltat 00 ltat 00 en trois transitions.

Enjeu : choisir entre les deux chemins possibles

Chemin i=0 : Entre : 000 , Sortie : 000 000 000

Chemin i=1 : Entre : 100 , , Sortie : 111 001 011


x x

entre

sortie

00

01

10

11

000

111

001

110

011

100

101

010

000 000

Dmarche

Soit la squence reue : 0,5 -0,5 0,33 -0,4 -0,3 -0,2 1,1 -0,2 -0,3

Principe : comparer la squence reue aux squences possibles grce des mtriques.

Calculer des mtriques transition par transition puis les accumuler pour former des mtriques de chemin.

Deux solutions pour les mtriques

Soft Decision : distance euclidienne

Hard Decision : distance de Hamming


00

01

10

11

000

111

001

011

000 000

60

Donnes

Soient rjm les chantillons reus j reprsente lindice de branche = 1,2,,B m reprsente le numro du bit = 1,2,,n chantillons rels utiliss par les dcodeurs soft decision .

Exemple pour B=3 et n=3 : 0,5 -0,5 0,33 -0,4 -0,3 -0,2 1,1 -0,2 -0,3

Soient yjm les dcisions binaires sur rjm Valeurs binaires utilises par les dcodeurs hard decision .

Exemple pour B=3 et n=3 : 101 000 100

Soient les bits possibles cjm(i)

i reprsente le chemin possible


00

01

10

000

111 001

011

000 000

Mthode

Calculer une mtrique pour chaque chemin possible et choisir le chemin qui a la meilleure mtrique.

Les mtriques de chemin sobtiennent en additionnant les mtriques sur chaque branche.


Optimisation Hard Decision Soft Decision

Corrlation Maximiser NA x

Distance euclidienne Minimiser NA x

Distance de Hamming Minimiser x NA

NA : Non Applicable

( ) ( )( )[ ]=

=n

m

i

jmjm

i

j cr1

212( ) ( )( )

=

=n

m

i

jmjm

i

j cr1

12 ( ) ( )=

=n

m

i

jmjm

i

j cy1

( ) ( )=

=B

j

i

j

iPM

1

61

Exemple : C(1/3,3)

Cas du hard decision


( ) ( )=

=3

1m

i

jmjm

i

j cy

( )

( ) 5311

31021

0

=++=

=++=

PM

PM

00

01

10

000

111 001

011

000 000

00

01

10

101

101

000 100

100

000

Critre de dcision

Une fois les mtriques de chaque chemin calcules, il faut slectionner le chemin qui a la meilleure mtrique.

Exemple : code C(1/3,3)

Si PM(0)=3 et PM(1)=5 et si la mtrique est fonde sur le calcul de distance de Hamming, alors le meilleur chemin est le chemin 0.


( )[ ]ii

PMi minarg =

62

Dernire tape : le dcodage

Remonter le treillis de ltat darrive ltat de dpart et re-parcourir le treillis vers la droite pour dcoder les bits mis.

Exemple : 000


00

01

10

000

111 001

011

000 000

00

01

10

101

101

000 100

100

000

0 0 0

Calcul des mtriques de chemins la 4me transition

Il y a 4 chemins possibles.

Le fait de rajouter une transition ne modifie en rien la conclusion tablie la transition prcdente.

partir de la transition 3, le chemin (1) peut tre supprim. Le chemin (0) est dit chemin survivant.


00

01

10

000

111 001

011

000 000

11Transition 3

000

111

Transition 4

63

Consquence du principe du chemin survivant

La rduction du nombre de chemins rduit la complexit de lalgorithme.

Exemple : seuls deux chemins sont tester la 4me transition.

Gnralisation : chaque transition, pour chaque tat, ne conserver quun seul chemin.


00

01

10

000

111 001

011

000 000

11Transition 3

000

111Remarque : il faut que le treillis ait atteint son rgime permanent (cadque tous les tats soient atteints).

Dcodage

Aprs rception complte du bloc de donnes, slection du chemin le plus probable et dcodage.


00

01

10

11

5

6

1

6

Dcodage : 0101

64

Algorithme de Viterbi : rcapitulatif

chaque transition, calculer toutes les mtriques de branches. Jusqu la transition K, calculer les mtriques de tous les chemins. A la fin de la Kime transition, slectionner les 2k(K-1) chemins survivants

(1 par tat). partir de la transition K+1,

calculer toutes les mtriques de branches, les ajouter aux mtriques des chemins survivants, et slectionner les nouveaux chemins survivants.

Aprs la rception complte du bloc de donnes, slectionner le meilleur chemin survivant et en dduire les bits mis.

Inconvnient de lalgorithme de Viterbi

Grand retard introduit au dcodage sur de grands blocs de donnes.


Observations empiriques

En thorie : les chemins survivants peuvent provenir de plusieurs chemins.

En pratique : les chemins survivants proviennent tous dun mme chemin (avec une probabilit voisine de 1).

Consquence : si tous les chemins survivants la transition Tproviennent dun mme chemin, il est possible de produire des bits de sortie avant mme que le bloc de donnes ne soit compltement trait, cad la transition T-D.


00

01

10

11

65

Mthode de dcodage : fentre coulissante

la transition T, sortie du bit correspondant la transition T-D.

Valeur de D empirique : 5K.

Dgradations ngligeables sur les performances.


00

01

10

11

TT-D

Limitation

Si k bits en entre et longueur de contrainte K, alors 2k(K-1) tats, donc 2k(K-1) mtriques et 2k mtriques calcules pour chaque tat.

Complexit calculatoire augmente exponentiellement avec k et K.

Algorithme de Viterbi rserv pour petites valeurs de k et K (quelques units).

Autres algorithmes de dcodage

Squentiels : Fano (adapt pour les grandes longueurs de contrainte), Stack, Feedback.

Algorithmes sorties soft : BCJR (Bak, Cocke, Jelinek, Raviv), SOVA (Soft Output Viterbi Algorithm).


66

Algorithme BCJR

Algorithme soft input (chantillons rels lentre du dcodeur) et soft output (sorties sous la forme de rapport de vraisemblance sur la valeur des bits).

Algorithme de dcodage de base des turbo-codes.


Plan du cours

1. Introduction



2. Codes poinonns



67

Codes fort rendement

Codes fort taux de codage (rendement), du type (n-1)/n. Exemple : .

Avantage : conomie de bande passante (peu de bits de redondance ajouts par bit dinformation).

Inconvnient des codes fort rendement : implique grande complexit calculatoire du dcodeur.

Solution : construire des codes fort rendement partir de codes faible rendement et en supprimant des bits lmission.

Technique du poinonnage

Gnration de codes (n-1)/n par poinonnage de codes 1/n.

Avantage :

codes fort rendement de type (n-1)/n,

dcodage peu calculatoire des codes 1/n.


Opration de poinonnage

Suppression priodique de bits la sortie du codeur.

Code de dpart : code 1/n.

Priode de poinonnage P.

P bits en entre du codeur.

nP bits en sortie.

Utilisation dune matrice de poinonnage P 1 si le bit est transmis

0 sinon

Suppression de N bits.

Taux de la forme : P/(nP-N) avec N entier de 0 (n-1)P-1.

Taux de la forme : P/(P+M) avec M=1,2,,(n-1)P.

=

nPnn

P

P

ppp

ppp

ppp

L

MMM

L

21

22221

12111

P


68

Exemple

Taux de codage vis :

Taux de codage de dpart : 1/3

n=3, P=3, nP=9, N=5

Taux final : P/(nP-N) = 3/(9-5)=3/4


=000

001

111

P

x x

entre1101

sortie111011

=

000

001

111

P

1101

1001

0011

bits poinonns

Dcodage des codes poinonns

Rappel : lintrt des codes poinonns rside dans leur construction partir dun code de rendement 1/n.

Objectif : utiliser le dcodeur correspondant au code de rendement 1/n.

Enjeu : remplacer les bits poinonns par des informations qui ninfluencent pas les dcisions prises par le dcodeur.

Pas de rajout de 0 ou de 1.

Indication : codage des bits par +1/-1 avant transmission dans le canal.

Solution : rajouter des chantillons 0 aux endroits o les bits ont t poinonns et utiliser Viterbi avec le treillis du code 1/n.


69

Proprits des codes poinonns

Distance minimale

Possibilit de chercher la matrice de poinonnage qui donne la distance minimale dmin la plus grande.

La distance minimale dmin du code poinonn est gale ou infrieure dun bit la distance minimale du code fort taux de codage sans poinonnage.

Inconvnient

Une erreur dans un code poinonn se propage plus longtemps quune erreur dans un code non poinonn.

Consquence : fentre dobservation plus longue que 5K.


Exemple : DVB-S

Code de base convolutif de rendement et de longueur de contrainte K=7.

Peut tre poinonn pour donner des codes de rendement 2/3, , 5/6 et 7/8.


70

Plan du cours

1. Introduction





Combinaisons de codes

Concatnation de codes

Codage source canal conjoint

HARQ (Hybrid Automatic Repeat Request)


71

Oprations sur les codes


chaneCod 1 Decod. 1

chaneCod 1 Decod. 1Cod 2 Decod. 2

chaneCod 1 Decod. 1Cod 2 Decod. 2 1111

Un codeur

Deux codeursidentiques

Deux codeurs diffrents

erreurs

Concatnation de codes

En pratique : Code extrieur non binaire C(N,K), Code intrieur binaire C(n,k).

Blocs dentre de taille kK bits, spars en K blocs (symboles) de k bits chacun et cods en N blocs de kbits chacun par C(N,K).

Chacun des symboles de k bits est cod en mots de code de n bits C(n,k).

Code rsultant C(Nn,Kk).

Taux de codage : Kk/Nn.

Dcodage hard decision pour les deux codeurs possibles.

Dcodage soft decision possible pour le code intrieur (si 2k pas trop lev).


codeur C(N,K)

codeur C(n,k)

Modulateur

Canal

Dmodulateur

Dcodeur C(N,K)

Dcodeur C(n,k)

donnes dentre

donnes de sortie

72

Combinaison srie et parallle

taux de codage : k/n


m

blocs de k bits

C(p,k)Entrelaceur

bloc de longueurN=mp

C(n,p)

m blocs de p bits m blocs de p bitsm

blocs de n bits

m blocs de k bits

C(n1,k)Entrelaceur

bloc de longueurN=mk

C(n2,k)

m blocs de (n1-k) bits

m blocs de k bits

m blocs de (n2-k) bits

taux de codage : k/(n1+n2-k)

Exemple : DVB-S

Code RS et code convolutif spars par un entrelaceur de type Forney.


73

Dcodage des concatnations srie ou parallle

Dcodage itratif (soft-in, soft-out) de type MAP :

Benedetto (1998) pour les codes srie,

Berrou (1993) pour les codes parallle.

Famille des turbo-codes.


Turbo-Codes

Utiliser les rsultats du deuxime dcodeur dans le premier codeur.

Besoin de dcodeurs produisant une information non binaire (rapport de vraisemblance) sur les bits : utilisation de codes convolutifs et dun algorithme de dcodage de type BCJR.

Performances proches des limites thoriques de Shannon (exemple : code , N=216, 18 itrations, 10-5 pour SNR=0,6 dB).

Limitations

Retard et complexit calculatoire compenss par les excellentes performances.

Meilleures performances avec une concatnation srie pour des BER infrieurs 10-2.


Decod. 1 Decod. 21111

Dcision

74

Codage source canal conjoint

Exemple : protection hirarchique dans le GSM. Sortie du codeur de parole :

260 bits toutes les 20 ms (soit dbit de 13 kbit/s).

Classement des 260 bits suivant leur criticit dans le rendu du signal de parole.

Principe : mieux protger les bits les plus sensibles. Rsultat : 3 classes, de la plus sensible la moins sensible :

50, 132 et 78 bits.


Protection hirarchique


La 1re classe est code par un CRC de 3 bits : 50+3=53.

La 2me classe (132 bits) est concatne aux 53 bits (+ 4 bits), soit 189 bits.

Le tout est cod par un code convolutif de rendement : 378 bits la sortie.

La 3me classe est concatne (78 bits) sans protection.

Total : 456 bits toutes les 20 ms (soit dbit de 22,8 kbit/s).

75

ARQ


DATA CRC CRC CHECK OK

OK

Vers les couches suprieures

Demande de retransmission

DATA CRC

HARQ Type I



OK



FEC DECOD FEC

DATA CRC FEC Amlioration BER/FERAugmentation de lefficacit spectrale

76

Amlioration : dcodeurs soft et Chase Combining



OK



FEC DECOD FEC

STOCKAGE

DATA CRC FEC CRC CHECK OK

OK

DECOD FEC

mission HARQ Type II


DATA CRC COD FEC POINONNAGE

PREMIRE MISSION DATA CRC FEC1

FEC1 FEC2 FEC3

BITS DE PARIT

77

Rception HARQ Type II



OK



FEC1 DECOD FEC

STOCKAGE

DATA CRC FEC2

OU FEC2

CRC CHECK OK

OK

DECOD FEC

REDONDANCE INCRMENTALE

Conclusion gnrale

Codage canal : code correcteurs d'erreurs

Familles de codes tudies : codes en blocs linaires, codes cycliques, codes convolutifs.

Applications : Transport de donnes

Stockage de donnes


1. Introduction2. Codes en blocs linaires

1. Matrice gnratrice et matrice de contrle de parit

2. Codes cycliques3. Dcodage optimal soft-decision4. Dcodage hard-decision

3. Codes convolutifs1. Dcodage optimal algorithme de

Viterbi2. Codes poinonns


78

Annexe : rappels dalgbre

Rappels sur les corps, les groupes et les espaces vectoriels.


Rappel sur les corps

Corps = ensemble G d'lments muni de deux oprations (l'addition + et la multiplication . ) vrifiant les proprits suivantes : L'ensemble G muni de l'addition + est un groupe commutatif.

L'lment neutre de l'addition est not 0.

L'ensemble des lments non-nuls de G muni de la multiplication . est un groupe commutatif.

L'lment neutre de la multiplication . est not 1.

La multiplication est distributive par rapport l'addition.


79

Rappel sur les groupes

aaeea == **


Un ensemble G sur lequel est dfini une opration * est un groupe si

L'opration est associative,

G contient un lment e (appel lment neutre de G),

Pour chaque lment a de G, il existe un lment a' de G appel inverse de a.

eaaaa == '*'*

Espaces vectoriels

Les mots de donnes et les mots de code appartiennent respectivement aux espaces vectoriels Vk et Vn. Ces espaces vectoriels sont munis de laddition modulo-q et de la multiplication modulo-q sur un corps de Galois GF(q).

Soit V un ensemble sur lequel est dfinie laddition "+" et soit F un corps. La multiplication "." est dfinie entre les lments de F et les lments de V. Les lments de V sont des vecteurs; ceux de F, des scalaires.

V est un espace vectoriel sur le corps F si :

V muni de l'addition + est un groupe commutatif.

Pour chaque lment a dans F et chaque lment v dans V, a.v est un lment de V.

La multiplication est distributive par rapport laddition.

La multiplication est associative.

Si 1 est l'lment neutre pour la multiplication, alors 1.v=v.


Documents

COURS_TS219_2010_2011