Courbes −𝑵 « probabilisées · Dispersion des données ... DONNEES JEU N°1 Vrai 50% e (Vrai 97,7% (sans incertitudes) a) Nombre de cycles 4e journées Conception Robuste et

Restitution de l’activité du GT Prise en compte des incertitudes dans le dimensionnement en fatigue

SF2M Commission Fatigue – AFM GST Mécanique et Incertain

Institut Pascal

1

Courbes 𝑺 − 𝑵 « probabilisées »

André Bignonnet, Nicolas Gayton, Cécile Mattrand, Fabien Szmytka

jeudi 11 mai 2017 4e journées Conception Robuste et Fiable

AFM GST Mécanique et Incertain

Contexte du GT Fatigue et Incertitudes

• Fonctionnement

Création en juin-juillet 2015

Environ 50 membres dont 70% d’industriels de secteurs variés (nucléaire/énergie, transport, métallurgie, infrastructure, militaire, civil, certificateur, ingénierie, etc.)

Réunions trimestrielles/semestrielles (6 réunions depuis sa création)

• Missions

Enrichir le calcul de tenue en fatigue des structures par la modélisation probabiliste

Partager les bonnes pratiques statistiques pour l’analyse en fatigue

• Objectifs

Echanger les savoirs entre les experts en fatigue et en gestion des incertitudes

Créer des compétences nouvelles

Transmettre les connaissances acquises

• Thèmes

« Résistance » avec 2 axes : courbes 𝑆 − 𝑁 et microstructure

« Chargement – Contrainte »

« Propagation des incertitudes » au sens contrainte – résistance

2 jeudi 11 mai 2017 4e journées Conception Robuste et Fiable


• Focus de cette présentation sur l’axe « courbes 𝑆 − 𝑁 dites probabilisées » du thème « Résistance »

• Quelques questions soulevées par le GT pour « traiter » la variabilité des courbes 𝑆 − 𝑁

Quid de la validité et de l’impact des hypothèses de modélisation (tendance, modèle probabiliste / statistique, corrélation parfaite entre les variables, etc.), notamment en termes de fiabilité des structures?

Quid de l’extrapolation en dehors de la plage de mesures ?

Quid de la stratégie des essais : niveau de contraintes / nombre d’éprouvettes ?

Quid de l’acquisition des données : instruments de mesure, conditions d’essais et répétabilité, grandeurs mesurées ?

3

𝑆

𝑁

Choix du modèle de tendance ?

Choix de la variable dépendante ?

Intégration des données non-

rompues ?

Loi de la variable dépendante ?

jeudi 11 mai 2017

Introduction

4e journées Conception Robuste et Fiable AFM GST Mécanique et Incertain

• Premiers travaux engagés par le GT depuis 2016 :

Tester les propositions - pratiques actuelles des participants pour modéliser la partie « endurance limitée » des courbes 𝑆 − 𝑁 à partir de jeux de données

Analyser l’influence de la stratégie d’échantillonnage et de la taille de l’échantillon sur les courbes de conception en fatigue

Intégrer les données non-rompues dans les modélisations

Introduction

4 jeudi 11 mai 2017

0 50 100 %

50 0 100 %

50 0 100 %


Modélisation des courbes 𝑺 − 𝑵, endurance limitée

• Exercice de modélisation de courbes 𝑺 − 𝑵 à partir de données générées artificiellement

Donner les équations des courbes de conception 𝑆 − 𝑁 à 𝑃 = 50% et 𝑃 = 97,7% en termes de probabilité de survie pour un niveau de confiance 𝛾 = 90%

• Données : 1 nuage de points 𝑆 − 𝑁 obtenu par un processus aléatoire aux propriétés connues mais non communiquées

5 jeudi 11 mai 2017

3 niveaux / 6 essais

Courbe médiane 𝑺 − 𝑵𝟓𝟎%

Basquin : log 𝑁 = 𝐴 + 𝐵 ∙ log 𝑆

Avec 𝐴 = 11,47 et 𝐵 = −3

Dispersion des données

log 𝑁~ 𝐴 + 𝐵 ∙ log 𝑆 ; 0,3


• Propositions :

6 jeudi 11 mai 2017


Prise en compte des dispersions

Approches statistiques / fréquentistes normatives / recommandations

Approches probabilistes

Mo

dè

le d

e t

en

dan

ce Basquin 7 1

Wöhler 3

Langer 1


+ Utilisation de l’outil ESOPE (non-présenté ici)


• Approches normatives ASTM/ISO

• Modèle de tendance :

Wöhler (1870) : log 𝑁 = 𝐴 + 𝐵 ∙ 𝑆 (𝑆 = 𝐶 − 𝑚 ∙ log 𝑁)

Basquin (1910) : log 𝑁 = 𝐴 + 𝐵 ∙ log 𝑆 (𝑆 = 𝐶 ∙ 𝑁−1/𝑚)

7 jeudi 11 mai 2017

Intégration des données non-rompues

Non

Modèle de tendance Basquin ou Wöhler

Variable dépendante Nombre de cycles 𝑁

Loi de la variable dépendante Log normale

Ecart-type de la variable dépendante

Constant ∀ 𝑆

Extrapolation Non recommandée

𝑆

𝑁



• Courbe de tendance / médiane 𝑺 − 𝑵𝟓𝟎%

Estimateurs 𝐴 et 𝐵 obtenus par la méthode des moindres carrés ordinaires

≡ cas particulier du maximum de vraisemblance lorsque les résidus/écarts-résiduels sont gaussiens et indépendants

Moindres carrés ordinaires :

∀ 𝑖 ∈ 1, … , 𝑛 log 𝑁𝑖 = 𝐴 + 𝐵 ∙ log 𝑆𝑖 + 𝜀𝑖 où 𝜀𝑖~𝑁 0; 𝜎 et cov 𝜀𝑖 , 𝜀𝑗 = 0 𝑖 ≠ 𝑗

Estimation médiane :

𝐴 = log 𝑁 − 𝐵 ∙ log 𝑆

𝐵 = log 𝑆𝑖−log 𝑆 log 𝑁𝑖−log 𝑁𝑛

𝑖=1

log 𝑆𝑖−log 𝑆2𝑛

𝑖=1

𝜎 2 = log 𝑁𝑖−𝐴 −𝐵 ∙log 𝑆𝑖

2𝑛𝑖=1

𝑘

Avec : 𝑛 le nombre total d’éprouvettes testées, log 𝑆et log 𝑁 les moyennes arithmétiques calculées à partir de l’échantillon, 𝑘 = 𝑛 − 2 (taille de l’échantillon – nombre de paramètres estimés)




• Courbes de conception à probabilité de survie 𝑷 et niveau de confiance 𝜸, dites aussi de fiabilité

Prise en compte des incertitudes « physiques » du phénomène de fatigue et des incertitudes « statistiques » liées à l’estimation des paramètres

log 𝑁𝑃,𝛾 = 𝐴 + 𝐵 ∙ log 𝑆 − 𝑲 ∙ 𝜎

9 jeudi 11 mai 2017

log 𝑆

log 𝑁

log 𝑁𝑃 = 𝐴 + 𝐵 ∙ log 𝑆 − 𝑢𝑃 ∙ 𝜎 log 𝑁𝑃,𝛾 : borne inf.

de l’IT unilatéral ou bilatéral

log 𝑁50%



Différentes stratégies pour déterminer 𝑲 pour un niveau de confiance 𝛾 donné

o Intervalle de tolérance unilatéral 𝑻𝟏; +∞ ou bilatéral 𝑻𝟏; 𝑻𝟐 ?

o Calcul à partir de normes (ISO par exemple) ou de recommandations (IIW par exemple) ?

Exemples de valeurs : 𝑃 = 97,7% ; 𝛾 = 90% ; 𝑛 = 24 ou 12

Ce choix aura un impact évident sur les courbes de conception !

10 jeudi 11 mai 2017

IT unilatéral IT bilatéral

𝑛 = 12 𝑛 = 24 𝑛 = 12 𝑛 = 24

ISO [2] / [3] 2,975 2,580 3,392 2,904

IIW 3,047 2,692 3,444 2,929



• Approche probabiliste bayésienne et simulation MCMC

• Modèle de tendance : log 𝑁 = 𝐴 + 𝐵 ∙ log 𝑆 (Basquin)



Non

Modèle de tendance Basquin

Variable dépendante Nombre de cycles 𝑁

Loi de la variable dépendante Non postulée


Constant ∀𝑆, fonction des paramètres du modèle de Basquin

𝑆

𝑁



• Stratégie :

∀ 𝑖 ∈ 1, … , 𝑛 log 𝑁𝑖 = 𝐴 + 𝐵 ∙ log 𝑆𝑖 + 𝜀𝑖 où 𝜀𝑖~𝑁 0; 𝜎 et cov 𝜀𝑖 , 𝜀𝑗 = 0 𝑖 ≠ 𝑗

Estimation des distributions des paramètres 𝜃 = 𝐴, 𝐵, 𝜎 par actualisation bayésienne

o Hypothèse : distributions a priori uniformes et indépendantes :

𝜋𝜃 = 𝑈𝐴 1; 30 × 𝑈𝐵 −10; −1 × 𝑈𝜎 0; 0,8

o Actualisation bayésienne de la distribution a postériori connaissant les observations log 𝑆𝑖 , log 𝑁𝑖 : 𝑝𝜃 log 𝑆𝑖,log 𝑁𝑖

𝑝𝜃 log 𝑆𝑖,log 𝑁𝑖𝜃 log 𝑆𝑖 , log 𝑁𝑖 =

𝐿 log 𝑆𝑖 , log 𝑁𝑖 𝜃 ∙ 𝜋𝜃 𝜃

𝐿 log 𝑆𝑖 , log 𝑁𝑖 𝜃 ∙ 𝜋𝜃 𝜃 d𝜃

Avec : 𝐿 log 𝑆𝑖 , log 𝑁𝑖 𝜃 = 1

𝜎∙ 2𝜋𝑒

−1

2

log 𝑁𝑖−𝐴−𝐵∙log 𝑆𝑖𝜎

2

𝑛𝑖=1 , compte-tenu de l’hypothèse de

normalité de l’écart résiduel 𝜀.




Simulation de 𝑁sim réalisations 𝜃∗ de 𝜃 (densité 𝑝𝜃 log 𝑆𝑖,log 𝑁𝑖 ) par la technique Markov-

Chain Monte-Carlo (MCMC)

Pour chaque niveau discrétisé de contrainte 𝑆𝑙 ∈ 50; 150 MPa, calcul des 𝑁sim durées de vie : log 𝑁𝑙

∗ = 𝐴∗ + 𝐵∗ ∙ log 𝑆𝑙 + 𝜎∗ ∙ 𝑁 0,1

Courbes à probabilité de survie 𝑃 : fractiles des distributions simulées à chaque niveau discrétisé de contrainte 𝑆𝑙, puis régression linaire pas de niveau de confiance associé ici


Marginales obtenues pour l’échantillon de

𝑛 = 18 données

−𝐵 𝐴 𝜎



• Approche probabiliste – maximum de vraisemblance et simulation MC

• On se place du point de vue « matériau »

• Modèle de tendance : 𝑆 =𝐴

𝑁

𝐵+ 𝐶 (Langer)



Possible

Modèle de tendance Langer

Variable dépendante Contrainte 𝑆

Loi de la variable dépendante Log normale


Constant ∀ 𝑁

𝑆

𝑁



• Stratégie :

∀ 𝑖 ∈ 1, … , 𝑛 ln 𝑆𝑖 = ln 𝑓 𝑁𝑖 , 𝜃 + 𝜀𝑖 où 𝜀𝑖~𝑁 0, 𝜎 et cov 𝜀𝑖 , 𝜀𝑗 = 0 𝑖 ≠ 𝑗

Estimation des paramètres 𝜃 du modèle de tendance 𝑓 et de l’écart-type 𝜎 par la méthode du

maximum de vraisemblance :

𝜃 , 𝜎 = argmax𝜃,𝜎

𝐿 𝑁𝑖 , 𝑆𝑖 𝜃, 𝜎

= argmax𝜃,𝜎

1

𝜎 ∙ 2𝜋exp −

1

2∙

ln 𝑆𝑖 − ln 𝑓 𝑁𝑖 , 𝜃

𝜎

2𝑛

𝑖=1

Choix du modèle 𝑓 qui maximise la vraisemblance 𝐿 𝑁𝑖 , 𝑆𝑖 𝜃, 𝜎




Courbe 𝑆 − 𝑁 à probabilité de survie 𝑃 :

o Sans prise en compte des incertitudes sur les paramètres :

ln 𝑆 𝑃 = ln 𝑓 𝑁, 𝜃 − 𝑢 𝑃 ∙ 𝜎

o Avec prise en compte des incertitudes sur les paramètres 𝜃 et 𝜎 au niveau de confiance 𝛾 :

ln 𝑆

𝑃,𝛾 = ln 𝑓 𝑁, 𝜃 − 𝑘 𝛾, 𝑁 ∙ 𝜎

Pour 𝑁 fixé, 𝑘 𝛾, 𝑁 est déterminé tel que : 𝑃 𝐥𝐧 𝑺 𝑷,𝜸 < ln 𝑆𝑃 = 𝛾

Soit 𝐥𝐧 𝑺 𝑷,𝜸 la borne minorante de l’IT unilatéral

Estimation par bootstrap à partir de la distribution asymptotique des paramètres




• Quelques résultats :


0

50

100

150

200

250

1,E+03 1,E+04 1,E+05 1,E+06 1,E+07 1,E+08

50% Basquin/ASTM-ISO

50% Basquin/ Bayésien

50% Wöhler/ASTM-ISO

50% Langer/probabiliste

97,7%, Confiance 90%, Basquin/ASTM-ISO

97,5%, Basquin/Bayésien

97,7%, Confiance 90%, Langer/probabiliste

97,7%, Confiance 90%, Wöhler/ ASTM-ISO

DONNEES JEU N°1

Vrai 50%

Vrai 97,7% (sans incertitudes)

Co

ntr

ain

te (

MPa

)

Nombre de cycles 4e journées Conception Robuste et Fiable



• Probabilité de survie 𝑷 = 𝟗𝟕, 𝟕%, niveau de confiance demandé 𝜸 = 𝟗𝟎%


0,00E+00

5,00E+04

1,00E+05

1,50E+05

2,00E+05

2,50E+05

3,00E+05

3,50E+05

S = 150 MPa

S = 100 MPa

S = 50 MPaNo

mb

re d

e cy

cles



• Synthèse

Pour un même jeu de données aux propriétés connues (mais non diffusées aux participants) : différentes stratégies de modélisation utilisées : modèle de tendance / approche de gestion des incertitudes question pas si évidente !

Courbes de conception / fiabilité très « sensibles » à la seule indication « niveau de confiance » via le coefficient « 𝐾 » pour un modèle de tendance donné et une même approche de gestion des incertitudes

• Perspectives

Tester d’autres jeux de données artificiels et réels, issus de modèle de tendance différents et de propriétés différentes, notamment pour étudier les tests des hypothèses existants (non-présentés ici)

Analyser l’impact des modélisations sur la fiabilité des structures



Echantillonnage et comparaison des approches

• Positionner l’approche probabiliste bayésienne (synthèse des 2 approches probabilistes proposées par le GT) par rapport à l’approche basée sur les normes et les recommandations

Influence de la taille de l’échantillon de données et de la stratégie d’échantillonnage : 𝑛 = 6, 9, 12, 18, 36 et 3/6/9 niveaux de contraintes

Influence de l’information a priori sur la variance lors de l’approche bayésienne, 𝜋𝜃 =𝑈𝐴 1; 30 × 𝑈𝐵 −10; −1 × 𝑈𝜎 0; 𝑏𝜎 avec 𝑏𝜎 ∈ 0,2; 0,3; … ; 0,9

• Travail du GT présenté à Lille au CFM2017 (SIGMA Clermont / PHIMECA Engineering, contribution EDF)



• Exemple de résultats (stratégie 3 niveaux de contraintes)

• Premières conclusions

Estimation des courbes 𝑆 − 𝑁 à probabilité de survie 𝑃 potentiellement non-conservatives par les 2 approches influence échantillonnage statistique






Courbes de conception / fiabilité :

o degré de conservatisme réduit avec 𝑛 ↗, quel que soit l’approche

o approche bayésienne plus conservative si 𝑛 petit et pas/peu d’information sur 𝜎 mais moins conservative si 𝑛 apport d’une information sur 𝜎






Sur l’exemple, à iso-nombre d’essais 𝑛, stratégie avec moins de niveaux plus proche du processus sous-jacent à confirmer




• Premiers travaux engagés par le GT Fatigue et Incertitudes sur la thématique des courbes 𝑆 − 𝑁 « probabilisées »

• Nombreuses questions progressivement soulevées lors du travail :

méthodologies à utiliser – fonction des données ?

cas des nuages de points « très » dispersés ?

évolution des normes actuelles ?

outils de modélisation des courbes utilisées en industrie ?

• Vers un (des) écrit(s) dans les techniques de l’ingénieur

• Autres problématiques industrielles « non-détectées » et/ou intéressés par les thèmes abordés ?

N’ hésitez pas à nous en faire part et/ou nous rejoindre !

Conclusions



Restitution de l’activité du GT Prise en compte des incertitudes dans le dimensionnement en fatigue

SF2M Commission Fatigue – AFM GST Mécanique et Incertain

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Courbes 𝑺 − 𝑵 « probabilisées »

André Bignonnet, Nicolas Gayton, Cécile Mattrand, Fabien Szmytka

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Références

ASTM E739-10, Standard Practice for Statistical Analysis of Linear or Linearized Stress-Life (S-N) and Strain-Life (𝜀-N) Fatigue Data

BS ISO 12107: 2003 Metallic materials – Fatigue testing – Statistical planning and analysis of data, British Standard

NF – A 03-405, Produits métalliques – Essais de Fatigue – Traitement statistique des données, norme française

Lee Y.L., Pan J., Hathaway R., Barkey M., Fatigue Testing and Analysis, Theory and Practice, Elsevier, 2005

Tolerance intervals for a normal distribution, NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods (7.2.6.3) http://www.itl.nist.gov/div898/handbook/prc/section2/prc263.htm

IIW 1823-07, Recommandations For Fatigue Desin of Welded Joints and Components, 2008

Huther M., Fatigue Testing and Evaluation of Data for Design, IIS/IIW – Com XIII, Lappeenranta, 2003

Thèse de Frédéric Perrin, Prise en compte des données expérimentales dans les modèles probabilistes pour la prévision de la durée de vie des structures, 2008

Mattrand C., Causse G., Yalamas T., Dispersion de la résistance en fatigue : analyse comparée de différentes approches, Congrès Français de Mécanique, Lille, 2017



Documents

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