CORSIKA a Monte Carlo Code to Simulate Extensive Air Showers

7/28/2019 CORSIKA a Monte Carlo Code to Simulate Extensive Air Showers

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F O R S C H U N G S Z E N T R U M K A R L S R U H E

T e c h n i k u n d U m w e l t

W i s s e n s c h a f t l i c h e B e r i c h t e

F Z K A 6 0 1 9

C O R S I K A : A M o n t e C a r l o C o d e t o

S i m u l a t e E x t e n s i v e A i r S h o w e r s

D . H e c k

1

, J . K n a p p

2

, J . N . C a p d e v i e l l e

3

, G . S c h a t z

1

, T . T h o u w

1

1

I n s t i t u t f u r K e r n p h y s i k F o r s c h u n g s z e n t r u m K a r l s r u h e D 7 6 0 2 1 K a r l s r u h e

2

I n s t i t u t f u r E x p e r i m e n t e l l e K e r n p h y s i k U n i v e r s i t a t K a r l s r u h e D 7 6 0 2 1 K a r l s r u h e

3

P h y s i q u e C o r p u s c u l a i r e e t C o s m o l o g i e C o l l e g e d e F r a n c e F 7 5 2 3 1 P a r i s C e d e x 0 5

F r a n c e

F o r s c h u n g s z e n t r u m K a r l s r u h e G m b H , K a r l s r u h e

1 9 9 8


2/98

C o p y r i g h t N o t i c e

C o p y r i g h t a n d a n y o t h e r a p p r o p r i a t e l e g a l p r o t e c t i o n o f t h e s e c o m p u t e r p r o g r a m s

a n d a s s o c i a t e d d o c u m e n t a t i o n r e s e r v e d i n a l l c o u n t r i e s o f t h e w o r l d .

T h e s e p r o g r a m s o r d o c u m e n t a t i o n m a y n o t b e r e p r o d u c e d b y a n y m e t h o d w i t h o u t

p r i o r w r i t t e n c o n s e n t o f F O R S C H U N G S Z E N T R U M K A R L S R U H E o r i t s d e l e g a t e .

F O R S C H U N G S Z E N T R U M K A R L S R U H E w e l c o m e s c o m m e n t s c o n c e r n i n g t h e

C O R S I K A c o d e b u t u n d e r t a k e s n o o b l i g a t i o n f o r m a i n t e n a n c e o f t h e p r o g r a m s n o r

r e s p o n s i b i l i t y f o r t h e i r c o r r e c t n e s s a n d a c c e p t s n o l i a b i l i t y w h a t s o e v e r r e s u l t i n g f r o m

t h e u s e o f i t s p r o g r a m s .

T r a d e m a r k n o t i c e : A l l t r a d e m a r k s a p p e a r i n g i n t h i s r e p o r t a r e a c k n o w l e d g e d a s

s u c h .


3/98

A b s t r a c t

C O R S I K A : A M o n t e C a r l o C o d e t o S i m u l a t e E x t e n s i v e A i r S h o w e r s

C O R S I K A i s a p r o g r a m f o r d e t a i l e d s i m u l a t i o n o f e x t e n s i v e a i r s h o w e r s i n i t i a t e d

b y h i g h e n e r g y c o s m i c r a y p a r t i c l e s . P r o t o n s l i g h t n u c l e i u p t o i r o n p h o t o n s a n d

m a n y o t h e r p a r t i c l e s m a y b e t r e a t e d a s p r i m a r i e s . T h e p a r t i c l e s a r e t r a c k e d t h r o u g h

t h e a t m o s p h e r e u n t i l t h e y u n d e r g o r e a c t i o n s w i t h t h e a i r n u c l e i o r - i n t h e c a s e o f

i n s t a b l e s e c o n d a r i e s - d e c a y . T h e h a d r o n i c i n t e r a c t i o n s a t h i g h e n e r g i e s m a y b e d e -

s c r i b e d b y v e r e a c t i o n m o d e l s a l t e r n a t i v e l y : T h e V E N U S Q G S J E T a n d D P M J E T

m o d e l s a r e b a s e d o n t h e G r i b o v - R e g g e t h e o r y w h i l e S I B Y L L i s a m i n i j e t m o d e l .

H D P M i s a p h e n o m e n o l o g i c a l g e n e r a t o r a n d a d j u s t e d t o e x p e r i m e n t a l d a t a w h e r e v e r

p o s s i b l e . H a d r o n i c i n t e r a c t i o n s a t l o w e r e n e r g i e s a r e d e s c r i b e d e i t h e r b y t h e m o r e

s o p h i s t i c a t e d G H E I S H A i n t e r a c t i o n r o u t i n e s o r t h e r a t h e r s i m p l e I S O B A R m o d e l .

I n p a r t i c l e d e c a y s a l l d e c a y b r a n c h e s d o w n t o t h e 1 l e v e l a r e t a k e n i n t o a c c o u n t .

F o r e l e c t r o m a g n e t i t h e s h o w e r p r o g r a m E G S 4 o r t h e a n a l y t i c a l N K G f o r m u l a s m a y

b e u s e d . O p t i o n s f o r t h e g e n e r a t i o n o f C h e r e n k o v r a d i a t i o n a n d n e u t r i n o s e x i s t .

Z u s a m m e n f a s s u n g

C O R S I K A : E i n M o n t e C a r l o P r o g r a m m z u r L u f t s c h a u e r s i m u l a t i o n

C O R S I K A i s t e i n P r o g r a m m z u r d e t a i l l i e r t e n S i m u l a t i o n v o n a u s g e d e h n t e n L u f t -

s c h a u e r n d i e d u r c h h o c h e n e r g e t i s c h e k o s m i s c h e S t r a h l u n g a u s g e l o s t w e r d e n . A l s

P r i m a r t e i l c h e n k o n n e n P r o t o n e n l e i c h t e K e r n e b i s E i s e n P h o t o n e n u n d v i e l e a n d e r e

T e i l c h e n b e h a n d e l t w e r d e n . D i e T e i l c h e n w e r d e n d u r c h d i e A t m o s p h a r e v e r f o l g t b i s

s i e m i t d e n K e r n e n d e r L u f t r e a g i e r e n o d e r - i m F a l l e v o n i n s t a b i l e n S e k u n d a r t e i l c h e n -

z e r f a l l e n . D i e h a d r o n i s c h e n W e c h s e l w i r k u n g e n b e i h o h e n E n e r g i e n k o n n e n w a h l w e i s e

v o n f u n f v e r s c h i e d e n e n R e a k t i o n s m o d e l l e n b e s c h r i e b e n w e r d e n : D i e M o d e l l e V E N U S

Q G S J E T u n d D P M J E T b a s i e r e n a u f d e r G r i b o v - R e g g e T h e o r i e w a h r e n d S I B Y L L

e i n M i n i - J e t M o d e l l i s t . H D P M i s t e i n p h a n o m e n o l o g i s c h e r G e n e r a t o r u n d a n g e p a t

a n e x p e r i m e n t e l l e n D a t e n w o i m m e r d a s m o g l i c h i s t . H a d r o n i s c h e W e c h s e l w i r k u n g e n

b e i n i e d r i g e r e n E n e r g i e n w e r d e n e n t w e d e r d u r c h d i e d e t a i l l i e r t e n G H E I S H A W e c h s e l -

w i r k u n g s r o u t i n e n o d e r d u r c h d a s z i e m l i c h e i n f a c h e I s o b a r e n - M o d e l l b e s c h r i e b e n . B e i

T e i l c h e n z e r f a l l e n w e r d e n a l l e Z e r f a l l s k a n a l e b i s h e r a b z u 1 H a u g k e i t b e r u c k s i c h t i g t .

E l e k t r o m a g n e t i s c h e P r o z e s s e k o n n e n m i t d e m S c h a u e r p r o g r a m m E G S 4 o d e r m i t d e n

a n a l y t i s c h e n N K G - F o r m e l n b e h a n d e l t w e r d e n . E s g i b t O p t i o n e n f u r d i e E r z e u g u n g

v o n C h e r e n k o v - S t r a h l u n g u n d v o n N e u t r i n o s .

i


4/98

i i


5/98

C o n t e n t s

1 I n t r o d u c t i o n 1

2 P r o g r a m f r a m e 5

2 . 1 C o n t r o l a n d r u n : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 5

2 . 2 P a r t i c l e s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 5

2 . 3 C o o r d i n a t e s y s t e m : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 6

2 . 4 A t m o s p h e r e : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 6

2 . 5 R a n d o m n u m b e r g e n e r a t o r : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 8

3 P a r t i c l e t r a c k i n g 9

3 . 1 I o n i z a t i o n e n e r g y l o s s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 9

3 . 2 C o u l o m b m u l t i p l e s c a t t e r i n g : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1 0

3 . 2 . 1 M o l i e r e s c a t t e r i n g : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1 1

3 . 2 . 2 P l u r a l C o u l o m b s c a t t e r i n g : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1 2

3 . 2 . 3 G a u s s i a n a p p r o x i m a t i o n : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1 2

3 . 3 D e e c t i o n i n t h e E a r t h ' s m a g n e t i c e l d : : : : : : : : : : : : : : : : : 1 3

3 . 4 T i m e o f i g h t : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1 3

3 . 5 L o n g i t u d i n a l d e v e l o p m e n t : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1 4

3 . 6 T h i n s a m p l i n g : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1 4

4 M e a n f r e e p a t h 1 7

4 . 1 M u o n s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1 7

4 . 2 N u c l e o n s a n d n u c l e i : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1 9

4 . 2 . 1 N u c l e o n - a i r c r o s s s e c t i o n a t h i g h e n e r g i e s : : : : : : : : : : : : 2 0

4 . 2 . 2 N u c l e o n - a i r c r o s s s e c t i o n a t l o w e n e r g i e s : : : : : : : : : : : : 2 1

4 . 2 . 3 N u c l e u s - n u c l e u s c r o s s s e c t i o n : : : : : : : : : : : : : : : : : : 2 1

4 . 3 P i o n s a n d k a o n s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 2 4

4 . 4 O t h e r h a d r o n s a n d r e s o n a n c e s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 2 5

4 . 5 N e u t r i n o s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 2 7

5 H a d r o n i c i n t e r a c t i o n s 2 9

5 . 1 S t r o n g i n t e r a c t i o n s a t h i g h e n e r g i e s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 2 9

5 . 1 . 1 V E N U S : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 3 0

i i i


6/98

5 . 1 . 2 Q G S J E T : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 3 1

5 . 1 . 3 D P M J E T : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 3 2

5 . 1 . 4 S I B Y L L : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 3 2

5 . 1 . 5 H D P M : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 3 3

5 . 2 S t r o n g i n t e r a c t i o n s a t l o w e n e r g i e s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 3 3

5 . 2 . 1 G H E I S H A : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 3 3

5 . 2 . 2 I S O B A R : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 3 4

5 . 3 N u c l e a r f r a g m e n t a t i o n : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 3 5

6 P a r t i c l e d e c a y s 3 7

6 . 1

o

d e c a y s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 3 7

6 . 2

d e c a y : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 3 8

6 . 3 M u o n d e c a y : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 3 8

6 . 4 K a o n d e c a y s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 3 9

6 . 5 d e c a y s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 4 2

6 . 6 S t r a n g e b a r y o n d e c a y s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 4 2

6 . 7 R e s o n a n c e d e c a y s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 4 3

7 E l e c t r o m a g n e t i c i n t e r a c t i o n s 4 5

7 . 1 M u o n i c i n t e r a c t i o n s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 4 5

7 . 1 . 1 M u o n i c b r e m s s t r a h l u n g : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 4 5

7 . 1 . 2 M u o n i c e

+

e

,

- p a i r p r o d u c t i o n : : : : : : : : : : : : : : : : : : 4 6

7 . 2 E l e c t r o m a g n e t i c s u b s h o w e r s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 4 7

7 . 2 . 1 E l e c t r o n g a m m a s h o w e r p r o g r a m E G S 4 : : : : : : : : : : : : : 4 8

7 . 2 . 2 N i s h i m u r a - K a m a t a - G r e i s e n o p t i o n : : : : : : : : : : : : : : : : 5 1

7 . 3 C h e r e n k o v r a d i a t i o n : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 5 4

8 O u t l o o k 5 7

A A t m o s p h e r i c p a r a m e t e r s 5 9

B M u o n r a n g e f o r h o r i z o n t a l s h o w e r s 6 3

C D e f a u l t c r o s s s e c t i o n s 6 5

C . 1 N u c l e o n - n u c l e o n c r o s s s e c t i o n s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 6 5

C . 2 P i o n - n u c l e o n a n d k a o n - n u c l e o n c r o s s s e c t i o n s : : : : : : : : : : : : : : 6 6

D H D P M 6 7

D . 1 N u c l e o n - n u c l e o n i n t e r a c t i o n s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 6 8

D . 2 N u c l e o n - n u c l e u s i n t e r a c t i o n s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 7 8

D . 3 P i o n - n u c l e u s a n d k a o n - n u c l e u s i n t e r a c t i o n s : : : : : : : : : : : : : : : 7 9

D . 4 N u c l e u s - n u c l e u s i n t e r a c t i o n s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 7 9

A c k n o w l e d g e m e n t s 8 1

i v


7/98

B i b l i o g r a p h y 8 2

v


8/98

v i


9/98

C h a p t e r 1

I n t r o d u c t i o n

A n a l y z i n g e x p e r i m e n t a l d a t a o n E x t e n s i v e A i r S h o w e r s E A S o r p l a n n i n g c o r r e -

s p o n d i n g e x p e r i m e n t s r e q u i r e s a d e t a i l e d t h e o r e t i c a l m o d e l l i n g o f t h e c a s c a d e w h i c h

d e v e l o p s w h e n a h i g h e n e r g y p r i m a r y p a r t i c l e e n t e r s t h e a t m o s p h e r e . T h i s c a n o n l y

b e a c h i e v e d b y d e t a i l e d M o n t e C a r l o c a l c u l a t i o n s t a k i n g i n t o a c c o u n t a l l k n o w l e d g e

o f h i g h e n e r g y s t r o n g a n d e l e c t r o m a g n e t i c i n t e r a c t i o n s . T h e r e f o r e a n u m b e r o f c o m -

p u t e r p r o g r a m s h a s b e e n w r i t t e n t o s i m u l a t e t h e d e v e l o p m e n t o f E A S i n t h e a t m o -

s p h e r e a n d a c o n s i d e r a b l e n u m b e r o f p u b l i c a t i o n s e x i s t s d i s c u s s i n g t h e r e s u l t s o f s u c h

c a l c u l a t i o n s . A c o m m o n f e a t u r e o f a l l t h e s e p u b l i c a t i o n s i s t h a t i t i s d i c u l t i f n o t

i m p o s s i b l e t o a s c e r t a i n i n d e t a i l w h i c h a s s u m p t i o n s h a v e b e e n m a d e i n t h e p r o g r a m s

f o r t h e i n t e r a c t i o n m o d e l s w h i c h a p p r o x i m a t i o n s h a v e b e e n e m p l o y e d t o r e d u c e c o m -

p u t e r t i m e h o w e x p e r i m e n t a l d a t a h a v e b e e n c o n v e r t e d i n t o u n m e a s u r e d q u a n t i t i e s

r e q u i r e d i n t h e c a l c u l a t i o n s s u c h a s n u c l e u s - n u c l e u s c r o s s s e c t i o n s e . g . e t c . T h i s

i s t h e m o r e e m b a r r a s s i n g s i n c e o u r k n o w l e d g e o f h i g h e n e r g y i n t e r a c t i o n s t h o u g h

m u c h b e t t e r t o d a y t h a n f t e e n y e a r s a g o i s s t i l l i n c o m p l e t e i n i m p o r t a n t f e a t u r e s .

T h i s m a k e s r e s u l t s f r o m d i e r e n t g r o u p s d i c u l t t o c o m p a r e t o s a y t h e l e a s t . I n

a d d i t i o n t h e r e l e v a n t p r o g r a m s a r e o f a c o n s i d e r a b l e s i z e w h i c h a s e x p e r i e n c e s h o w s

m a k e s p r o g r a m m i n g e r r o r s a l m o s t u n a v o i d a b l e i n s p i t e o f a l l u n d o u b t e d e o r t s o f

t h e a u t h o r s . W e t h e r e f o r e e n c o u r a g e t h e g r o u p s e n g a g e d i n t h i s w o r k t o m a k e t h e i r

p r o g r a m s a v a i l a b l e t o a n d h e n c e c h e c k a b l e b y o t h e r c o l l e a g u e s . T h i s p r o c e d u r e

h a s b e e n a d o p t e d i n h i g h e n e r g y p h y s i c s a n d h a s p r o v e d t o b e v e r y s u c c e s s f u l . I t

i s i n t h e s p i r i t o f t h e s e r e m a r k s t h a t w e w a n t t o d e s c r i b e i n t h i s r e p o r t t h e p h y s i c s

u n d e r l y i n g t h e C O R S I K A p r o g r a m .

C O R S I K A C O s m i c R a y S I m u l a t i o n s f o r K A s c a d e i s a d e t a i l e d M o n t e C a r l o

p r o g r a m t o s t u d y t h e e v o l u t i o n o f E A S i n t h e a t m o s p h e r e i n i t i a t e d b y p h o t o n s p r o -

t o n s n u c l e i o r a n y o t h e r p a r t i c l e . I t w a s o r i g i n a l l y d e v e l o p e d t o p e r f o r m s i m u l a t i o n s

f o r t h e K A S C A D E e x p e r i m e n t 1 2 a t K a r l s r u h e a n d h a s b e e n r e n e d o v e r t h e p a s t

y e a r s . C O R S I K A m e a n w h i l e h a s d e v e l o p e d i n t o a t o o l t h a t i s u s e d b y m a n y g r o u p s .

I t s a p p l i c a t i o n s r a n g e f r o m C h e r e n k o v t e l e s c o p e e x p e r i m e n t s E

0

1 0

1 2

e V u p t o

t h e h i g h e s t e n e r g i e s o b s e r v e d E

0

1 0

2 0

e V . T h e d e v e l o p m e n t o f C O R S I K A i s

g u i d e d b y t h e i d e a t o p r e d i c t n o t o n l y c o r r e c t a v e r a g e v a l u e s o f o b s e r v a b l e s w i t h t h i s

1


10/98

E A S s i m u l a t i o n c o d e b u t a l s o t o r e p r o d u c e t h e c o r r e c t u c t u a t i o n s a r o u n d t h e a v -

e r a g e v a l u e . T h e r e f o r e w h e r e a v a i l a b l e w e i n c l u d e a l l k n o w n p r o c e s s e s w h i c h m i g h t

h a v e a n o t i c e a b l e i n u e n c e o n t h e o b s e r v a b l e q u a n t i t i e s o f E A S t o c r e a t e a r e f e r e n c e

p r o g r a m t h a t t r e a t s a l l p r o c e s s e s t o t h e p r e s e n t s t a t e o f o u r k n o w l e d g e . T h i s c o n c e r n s

t h e t r a n s p o r t o f p a r t i c l e s t h r o u g h t h e a t m o s p h e r e a s w e l l a s t h e i r i n t e r a c t i o n s w i t h

a i r a s a t a r g e t . A l l s e c o n d a r y p a r t i c l e s a r e t r a c k e d e x p l i c i t e l y a l o n g t h e i r t r a j e c t o r i e s

a n d t h e i r p a r a m e t e r s a r e s t o r e d o n t a p e w h e n r e a c h i n g a n o b s e r v a t i o n l e v e l . T h i s

a l l o w s a d e t a i l e d a n a l y s i s o f a l l f e a t u r e s o f s i m u l a t e d s h o w e r s .

T h e C O R S I K A c o d e h a s o r i g i n a l l y b e e n d e v e l o p e d o n t h e b a s i s o f t h r e e w e l l

e s t a b l i s h e d p r o g r a m s y s t e m s . T h e r s t w a s w r i t t e n i n t h e 1 9 7 0 s b y G r i e d e r 3 . I t s

g e n e r a l p r o g r a m s t r u c t u r e h a s b e e n a d o p t e d i n C O R S I K A a n d i t s I S O B A R r o u t i n e s

a s i m p l e h a d r o n i c i n t e r a c t i o n m o d e l m a y b e u s e d a s a q u i c k a l t e r n a t i v e f o r t h e

h a d r o n i c i n t e r a c t i o n s a t l o w e n e r g i e s . T h e s e c o n d p a r t t h e i n t e r a c t i o n g e n e r a t o r

H D P M w a s d e v e l o p e d b y C a p d e v i e l l e 4 i n s p i r e d b y t h e D u a l P a r t o n M o d e l 5 . I t

d e s c r i b e s t h e h a d r o n i c i n t e r a c t i o n s o f p r o t o n s a t h i g h e n e r g i e s i n g o o d a g r e e m e n t

w i t h t h e m e a s u r e d c o l l i d e r d a t a . T h e t h i r d p r o g r a m d e a l s w i t h t h e s i m u l a t i o n o f

t h e e l e c t r o m a g n e t i c p a r t o f a n a i r s h o w e r . W e i n c o r p o r a t e d t h e c o d e E G S 4 6 u s e d

s u c c e s s f u l l y i n t h e d e t e c t o r s i m u l a t i o n o f p a r t i c l e p h y s i c s e x p e r i m e n t s . I t w a s s l i g h t l y

m o d i e d t o t h e r e q u i r e m e n t s o f a i r s h o w e r s i m u l a t i o n s . T h e s e p r o g r a m s w e r e m e r g e d

t o g e t h e r a n d f o r m e d t h e r s t v e r s i o n o f C O R S I K A i n 1 9 8 9 .

B a s i n g o n t h i s p r i m o r d i a l p r o g r a m m a n y e x t e n s i o n s a n d i m p r o v e m e n t s h a v e b e e n

p e r f o r m e d s i n c e t h a t t i m e . T h e m o s t s e r i o u s p r o b l e m o f E A S s i m u l a t i o n p r o g r a m s i s

t h e e x t r a p o l a t i o n o f h a d r o n i c i n t e r a c t i o n t o h i g h e r e n e r g i e s a n d i n t o r a p i d i t y r a n g e s

w h i c h a r e n o t c o v e r e d b y e x p e r i m e n t a l d a t a . T h e e x t r e m e f o r w a r d d i r e c t i o n i s n o t

a c c e s s i b l e b y p r e s e n t c o l l i d e r e x p e r i m e n t s r a t h e r t h e p a r t i c l e s v a n i s h u n d e t e c t e d i n

t h e b e a m p i p e . B u t j u s t t h e s e p a r t i c l e s a r e o f h i g h e s t i m p o r t a n c e i n t h e d e v e l o p m e n t

o f E A S a s t h e y a r e t h e m o s t e n e r g e t i c s e c o n d a r y p a r t i c l e s w h i c h b r i n g t h e l a r g e s t

e n e r g y f r a c t i o n o f e a c h c o l l i s i o n d e e p i n t o t h e a t m o s p h e r e . A l s o p p - c o l l i d e r s a r e a n d

w i l l b e l i m i t e d i n t h e i r m a x i m u m a t t a i n a b l e e n e r g y t o v a l u e s m u c h l o w e r t h a n t h o s e

f o u n d i n c o s m i c r a y s . T h e r e f o r e o n e h a s t o r e l y o n e x t r a p o l a t i o n s b a s e d o n t h e o r e t -

i c a l m o d e l s . T o s t u d y t h e s y s t e m a t i c s o f s u c h m o d e l s w e h a v e m a d e v e d i e r e n t

h a d r o n i c i n t e r a c t i o n m o d e l s a v a i l a b l e i n C O R S I K A t o s i m u l a t e t h e h a d r o n i c i n t e r -

a c t i o n s a t h i g h e n e r g i e s : V E N U S 7 Q G S J E T 8 a n d D P M J E T 9 w h i c h d e s c r i b e

t h e i n e l a s t i c h a d r o n i c i n t e r a c t i o n s i n t h e t h e o r e t i c a l l y w e l l f o u n d e d m a n n e r o f t h e

G r i b o v - R e g g e f o r m a l i s m a n d t h e m i n i j e t m o d e l S I B Y L L 1 0 1 1 . T h e s e f o u r m o d e l s

g i v e u s a n a l t e r n a t i v e t o t h e p h e n o m e n o l o g i c a l H D P M g e n e r a t o r . A l s o t h e G H E I S H A

r o u t i n e s 1 2 h a v e b e e n c o u p l e d w h i c h r e p r e s e n t a m o r e s o p h i s t i c a t e d r e p l a c e m e n t o f

t h e I S O B A R m o d e l f o r t h e t r e a t m e n t o f l o w e n e r g y h a d r o n i c i n t e r a c t i o n s . W i t h t h e

a d v e n t o f t h e a n n o u n c e d s u c c e s s o r o f V E N U S 1 3 w e p l a n t o m a k e i t a l s o a v a i l a b l e

w i t h i n C O R S I K A .

T h e f r a g m e n t a t i o n o f n u c l e i i n a c o l l i s i o n m a y b e t r e a t e d i n v a r i o u s w a y s i n c l u d i n g

t w o o p t i o n s o f p a r t i c l e e v a p o r a t i o n f r o m t h e r e s i d u a l n u c l e u s . T h e p h o t o p r o d u c t i o n

o f m u o n p a i r s a n d h a d r o n s i s i n c o r p o r a t e d i n t o E G S 4 6 . T h i s a l l o w s t h e c a l c u l a t i o n

2


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o f t h e m u o n c o n t e n t o f p h o t o n i n d u c e d s h o w e r s . A n a l t e r n a t i v e w a y o f t r e a t i n g t h e

e l e c t r o m a g n e t i c c o m p o n e n t i s t o u s e t h e i m p r o v e d a n d a d a p t e d f o r m 1 4 1 5 1 6 o f t h e

a n a l y t i c N K G f o r m u l a f o r e a c h e l e c t r o n o r p h o t o n p r o d u c e d i n t h e h a d r o n i c c a s c a d e .

I t a l l o w s t o s t u d y t h e l o n g i t u d i n a l d e v e l o p m e n t o f t h e e l e c t r o m a g n e t i c c a s c a d e a n d

t h e e l e c t r o n d e n s i t y a t p a r t i c u l a r c o o r d i n a t e s a t t h e o b s e r v a t i o n l e v e l . T h i s o p t i o n

e n a b l e s a f a s t b u t l e s s a c c u r a t e s i m u l a t i o n o f h a d r o n i c s h o w e r s .

F u r t h e r o p t i o n s t r e a t t h e d e t a i l e d l o n g i t u d i n a l d e v e l o p m e n t o f v a r i o u s p a r t i c l e

s p e c i e s w i t h i n a n a i r s h o w e r t h e p r o d u c t i o n o f e l e c t r o n a n d m u o n n e u t r i n o s a n d a n t i -

n e u t r i n o s a n d t h e p r o d u c t i o n o f C h e r e n k o v r a d i a t i o n . T h e e l e m e n t a l c o m p o s i t i o n o f

t h e a t m o s p h e r e i s i n c l u d e d a s w e l l a s t h e d e n s i t y v a r i a t i o n w i t h a l t i t u d e f o r s e v e r a l

s e a s o n a l d a y s . F o r n e a r l y h o r i z o n t a l s h o w e r s v a r i o u s z e n i t h a n g l e d e p e n d e n t d e n s i t y

p r o l e s a r e p r o v i d e d w h i c h t a k e i n t o a c c o u n t t h e i n u e n c e o f t h e E a r t h ' s c u r v a t u r e

i n o u r a t a t m o s p h e r i c m o d e l .

W i t h t h i s p r o g r a m m a n y c a l c u l a t i o n s h a v e b e e n p e r f o r m e d w i t h p O F e a n d

p r i m a r i e s i n a n e n e r g y r a n g e o f 1 0

1 1

e V E

0

1 0

1 6

e V b y t h e K A S C A D E g r o u p .

A l s o v a r i o u s l a b o r a t o r i e s a r o u n d t h e w o r l d u s e C O R S I K A t o i n t e r p r e t a n d u n d e r -

s t a n d t h e i r c o s m i c r a y e x p e r i m e n t s 1 7 1 8 . P a r t i c l e n u m b e r s f o r e l e c t r o n s m u o n s

a n d h a d r o n s t h e i r l a t e r a l a n d e n e r g y d i s t r i b u t i o n s a r r i v a l t i m e s a n d m a n y o t h e r

f e a t u r e s h a v e b e e n e v a l u a t e d f r o m t h e s i m u l a t i o n s a n d c o m p a r e d w i t h e x p e r i m e n t a l

d a t a w h e r e a v a i l a b l e . T h e a g r e e m e n t g i v e s u s c o n d e n c e t o h a v e w i t h C O R S I K A a

u s e f u l a n d e x i b l e t o o l t o s t u d y c o s m i c r a y s a n d t h e i r s e c o n d a r i e s a t h i g h p r i m a r y

e n e r g i e s . W e i n v i t e a l l c o l l e a g u e s i n t e r e s t e d i n E A S s i m u l a t i o n t o p r o p o s e i m p r o v e -

m e n t s p o i n t o u t e r r o r s o r b r i n g f o r w a r d r e s e r v a t i o n s c o n c e r n i n g a s s u m p t i o n s o r

a p p r o x i m a t i o n s w h i c h w e h a v e m a d e .

T h e s c o p e o f t h i s r e p o r t i s a d e s c r i p t i o n o f t h e p h y s i c a l b a s i s a n d t h e p a r a m e t r i z a -

t i o n s a c t u a l l y u s e d i n C O R S I K A a n d t o s h o w i t s c a p a b i l i t i e s a n d l i m i t a t i o n s . T h e

p r o g r a m i s i n p e r m a n e n t m o d i c a t i o n b y i m p r o v e m e n t s a d d i t i o n s a n d f u r t h e r d e -

t a i l s 1 9 2 0 . T h i s r e p o r t r e f e r s t o t h e a c t u a l v e r s i o n

1

a n d o v e r r i d e s t h e o l d e r d e -

s c r i p t i o n 2 1 . M o s t r e c e n t c h a n g e s h o w e v e r w e r e s h o w n t o h a v e m i n o r e e c t s o n

t h e g l o b a l f e a t u r e s o f s i m u l a t e d s h o w e r s .

A d d i t i o n a l l y t h e r e e x i s t s a u s e r ' s g u i d e 2 2 d e s c r i b i n g h o w t o i n s t a l l t h e p r o g r a m

a n d h o w t o h a n d l e i n p u t a n d o u t p u t s . T h i s t e c h n i c a l r e p o r t i s p e r m a n e n t l y u p d a t e d

a n d a v a i l a b l e

2

t o g e t h e r w i t h t h e c o m p l e t e p r o g r a m p a c k a g e f r o m t h e a n o n y m o u s

f t p i n s t a l l e d a t t h e s e r v e r f t p - i k 3 . f z k . d e . T h i s p a c k a g e i n c l u d e s t h e s o u r c e c o d e s o f

C O R S I K A a n d a l l i n t e r a c t i o n p r o g r a m s t h e n e c e s s a r y d a t a s e t s a n i n p u t e x a m p l e

a n d t h e u s e r ' s g u i d e . I t e n a b l e s t h e u s e r t o s e t u p t h e p r o g r a m w i t h t h e d e s i r e d

o p t i o n s a n d t o r u n i t w i t h s u i t a b l e p a r a m e t e r s . I n f o r m a t i o n o n C O R S I K A m a y b e

f o u n d a l s o i n t h e w o r l d w i d e w e b a t p a g e h t t p : i k 1 . f z k . d e ~ k n a p p c o r s i k a .

1

V e r s i o n 5 . 6 0 r e l e a s e d i n D e c . 1 9 9 7

2

R e q u e s t s f o r f t p - a c c e s s s h o u l d b e d i r e c t e d t o h e c k @ i k 3 . f z k . d e o r k n a p p @ i k 1 . f z k . d e b y

e - m a i l .

3


12/98

4


13/98

C h a p t e r 2

P r o g r a m f r a m e

2 . 1 C o n t r o l a n d r u n

A t t h e b e g i n n i n g o f t h e c a l c u l a t i o n a v a r i e t y o f p a r a m e t e r s c a n b e c h o s e n t o c o n t r o l

t h e s i m u l a t i o n . T h e p r i m a r y p a r t i c l e t y p e h a s t o b e d e n e d a n d i t s e n e r g y c a n b e

p r e c h o s e n o r s e l e c t e d a t r a n d o m i n a p a r t i c u l a r e n e r g y r a n g e w i t h a g i v e n s l o p e o f

t h e e n e r g y s p e c t r u m . T h i s a l l o w s a r e a l i s t i c s i m u l a t i o n o f t h e s h o o w e r r a t e f a l l i n g

s t e e p l y w i t h r i s i n g e n e r g y . T h e p r i m a r y a n g l e o f i n c i d e n c e m a y b e d e n e d t o a

x e d v a l u e o r p i c k e d a t r a n d o m w i t h i n a n a n g u l a r r a n g e i n a m a n n e r g i v i n g t h e

e x p e r i m e n t a l l y o b s e r v a b l e i n t e n s i t y o f a n e q u a l p a r t i c l e u x f r o m a l l d i r e c t i o n s o f t h e

s k y p e n e t r a t i n g t h r o u g h a h o r i z o n t a l d e t e c t o r a r e a 2 3 . T h e a t m o s p h e r i c p a r a m e t e r s

m a y b e s e l e c t e d t o s t u d y t h e i n u e n c e o f t h e s e a s o n s . U p t o 1 0 o b s e r v a t i o n l e v e l s

c a n b e d e n e d a n d d a t a o n a l l p a r t i c l e s p e n e t r a t i n g t h e s e l e v e l s a r e r e c o r d e d a s l o n g

a s t h e e n e r g y e x c e e d s a c u t - o s p e c i e d f o r h a d r o n s m u o n s e l e c t r o n s o r p h o t o n s

s e p a r a t e l y . S e v e r a l a g s s e l e c t a n d c o n t r o l t h e h a d r o n i c i n t e r a c t i o n m o d e l s a t h i g h

e n e r g i e s a n d t h e r e s p e c t i v e c r o s s s e c t i o n s o n e a g s e l e c t s t h e l o w e n e r g y h a d r o n i c

i n t e r a c t i o n m o d e l . V a r i o u s p o s s i b i l i t i e s e x i s t t o s i m u l a t e t h e f r a g m e n t a t i o n o f t h e

p r i m a r y n u c l e u s a n d t w o a g s s w i t c h o n o r o t h e t w o o p t i o n s f o r t h e s i m u l a t i o n o f

e l e c t r o m a g n e t i c c a s c a d e s . U s i n g t h e ` t h i n s a m p l i n g ' o p t i o n t h e t h i n n i n g l e v e l m a y

b e s p e c i e d . A l l t h e s e c o n t r o l s a l s o o n t h e p r i n t i n g o f v a r i o u s l i s t s a n d t a b l e s a r e

d e s c r i b e d e x t e n s i v e l y i n R e f . 2 2 .

2 . 2 P a r t i c l e s

T h e C O R S I K A p r o g r a m r e c o g n i z e s 5 0 e l e m e n t a r y p a r t i c l e s . T h e s e a r e e

o

K

K

o

S = L

t h e b a r y o n s p n

o

o

,

,

t h e c o r r e s p o n d i n g

a n t i - b a r y o n s t h e r e s o n a n c e s t a t e s

o

K

K

o

K

o

+ +

+

o

,

a n d t h e

c o r r e s p o n d i n g a n t i - b a r y o n i c r e s o n a n c e s . O p t i o n a l l y t h e n e u t r i n o s

e

a n d

a n d a n t i -

n e u t r i n o s

e

a n d

r e s u l t i n g f r o m K a n d d e c a y m a y b e g e n e r a t e d e x p l i c i t l y . I n

a d d i t i o n n u c l e i u p t o A = 5 6 c a n b e t r e a t e d . W i t h i n t h e p r o g r a m t h e y a r e i d e n t i e d

5


14/98

b y t h e i r n u m b e r s o f p r o t o n s a n d n e u t r o n s . A l l t h e s e p a r t i c l e s c a n b e t r a c k e d t h r o u g h

t h e a t m o s p h e r e a r e a b l e t o i n t e r a c t a n n i h i l a t e o r d e c a y a n d p r o d u c e s e c o n d a r y

p a r t i c l e s . T h e y a r e f u l l y d e n e d i n t h e p r o g r a m b y t h e i r p a r t i c l e i d e n t i c a t i o n t h e

L o r e n t z f a c t o r t h e z e n i t h a n d a z i m u t h a l a n g l e o f t h e t r a j e c t o r y t h e t i m e s i n c e t h e

r s t i n t e r a c t i o n o f t h e p r i m a r y a n d t h e t h r e e s p a t i a l c o o r d i n a t e s x y a n d z . T h e

n u m b e r o f i n e l a s t i c h a d r o n i c r e a c t i o n s o r d e c a y s w h i c h t h e p a r e n t p a r t i c l e s h a v e

s u e r e d i s p r o t o c o l e d a s t h e g e n e r a t i o n o f a p a r t i c l e . T h e p a r t i c l e m a s s e s a n d c h a r g e

s t a t e s a r e s t o r e d i n a n a r r a y f o r f a s t a c c e s s d u r i n g t h e c a l c u l a t i o n s . P a r t i c l e i d e n t i e r s

a n d m a s s e s o f e l e m e n t a r y p a r t i c l e s a r e t a k e n f r o m t h e G E A N T 3 d e t e c t o r s i m u l a t i o n

c o d e 2 4 w i t h e x t e n s i o n s f o r 4 n e u t r i n o s p e c i e s a n d r e s o n a n c e s t a t e s ; t h e r e s o n a n c e

m a s s e s c o r r e s p o n d w i t h R e f . 2 5 . T h e n u c l e a r m a s s e s a r e t a k e n a s t h e s u m o f t h e

c o n s t i t u e n t n u c l e o n m a s s e s n e g l e c t i n g b i n d i n g e n e r g i e s . I f n u c l e a r b i n d i n g e e c t s

s h o u l d b e r e g a r d e d w e p r o v i d e a s a n a l t e r n a t i v e f o r n u c l e i w i t h Z 1 5 t h e i s o t o p i c

m a s s e s f r o m t h e m a s s t a b l e o f R e f . 2 6 w i t h c o r r e c t i o n s f o r t h e e l e c t r o n m a s s e s a n d

f o r o t h e r n u c l e a r m a s s e s a c a l c u l a t i o n a c c o r d i n g t o t h e B e t h e - W e i z s a c k e r f o r m u l a .

P r o j e c t i l e n u c l e i a r e a s s u m e d t o b e c o m p l e t e l y s t r i p p e d i . e . t h e i r c h a r g e s t a t e q i s

s e t e q u a l t o t h e i r a t o m i c n u m b e r Z .

2 . 3 C o o r d i n a t e s y s t e m

T h e c o o r d i n a t e s i n C O R S I K A a r e d e n e d w i t h r e s p e c t t o a C a r t e s i a n c o o r d i n a t e

s y s t e m w i t h t h e p o s i t i v e x - a x i s p o i n t i n g t o t h e m a g n e t i c n o r t h t h e p o s i t i v e y - a x i s t o

t h e w e s t a n d t h e z - a x i s u p w a r d s . T h e o r i g i n i s l o c a t e d a t s e a l e v e l . T h i s d e n i t i o n

i s n e c e s s a r y b e c a u s e t h e E a r t h ' s m a g n e t i c e l d i s t a k e n i n t o a c c o u n t . B y d e f a u l t i t

i s i m p l e m e n t e d f o r t h e l o c a t i o n o f K a r l s r u h e 4 9

o

N 8

o

E a s d e s c r i b e d i n s e c t i o n 3 . 3 .

T h e z e n i t h a n g l e o f a p a r t i c l e t r a j e c t o r y i s m e a s u r e d b e t w e e n t h e p a r t i c l e m o m e n -

t u m v e c t o r a n d t h e n e g a t i v e z - a x i s a n d t h e a z i m u t h a l a n g l e b e t w e e n t h e p o s i t i v e

x - a x i s a n d t h e x - y - c o m p o n e n t o f t h e p a r t i c l e m o m e n t u m v e c t o r i . e . w i t h r e s p e c t t o

n o r t h p r o c e e d i n g c o u n t e r c l o c k w i s e .

2 . 4 A t m o s p h e r e

T h e a t m o s p h e r e a d o p t e d c o n s i s t s o f N

2

O

2

a n d A r w i t h t h e v o l u m e f r a c t i o n s o f

7 8 : 1 2 1 : 0 a n d 0 : 9 2 7 . T h e d e n s i t y v a r i a t i o n o f t h e a t m o s p h e r e w i t h a l t i t u d e

i s m o d e l e d b y 5 l a y e r s . T h e b o u n d a r y o f t h e a t m o s p h e r e i n t h i s m o d e l i s d e n e d a t t h e

h e i g h t I n t h e l o w e r f o u r o f t h e m t h e d e n s i t y f o l l o w s a n e x p o n e n t i a l d e p e n d e n c e o n t h e

a l t i t u d e l e a d i n g t o a r e l a t i o n b e t w e e n t h e m a s s o v e r b u r d e n T h o f t h e a t m o s p h e r e

a n d t h e h e i g h t h o f t h e f o r m

T h = a

i

+ b

i

e

, h = c

i

i = 1 ; : : : ; 4 : 2 . 1

6


15/98

-25

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

0 5 10 15 20 25 30 35

height (km)

pre

ssuredifference(hPa)

AT115

AT223

AT511

AT616

AT822

AT1014

AT1224

F i g u r e 2 . 1 : P r e s s u r e d i e r e n c e o f t h e a t m o s p h e r e a b o v e S t u t t g a r t G e r m a n y a t 7

d a y s d i s t r i b u t e d o v e r t h e y e a r 1 9 9 3 r e l a t i v t o U . S . s t a n d a r d a t m o s p h e r e .

I n t h e f t h l a y e r t h e m a s s o v e r b u r d e n d e c r e a s e s l i n e a r l y w i t h h e i g h t

T h = a

5

, b

5

h

c

5

: 2 . 2

w h e r e t h e m a s s o v e r b u r d e n T h v a n i s h e s w h i c h i s a t h = 1 1 2 : 8 k m . T h e p a r a m e t e r s

a

i

b

i

a n d c

i

a r e s e l e c t e d i n a m a n n e r t h a t t h e f u n c t i o n T h i s c o n t i n u o u s a t t h e

l a y e r b o u n d a r i e s a n d c a n b e d i e r e n t i a t e d c o n t i n u o u s l y . V a r i o u s a t m o s p h e r e s a r e

f o r e s e e n : U . S . s t a n d a r d a t m o s p h e r e p a r a m e t r i z e d a c c o r d i n g t o J . L i n s l e y 2 8 7 t y p -

i c a l a t m o s p h e r e s a s m e a s u r e d a b o v e S t u t t g a r t a b o u t 6 0 k m a w a y f r o m K a r l s r u h e

a t v a r i o u s d a y s o f 1 9 9 3 t r a n s m i t t e d b y D e u t s c h e r W e t t e r d i e n s t O e n b a c h a n d p a r a -

m e t r i z e d a c c o r d i n g R e f . 2 9 . O u t o f a l a r g e e n s e m b l e o f m e a s u r e d a t m o s p h e r e s t h e s e

7 s e t s h a v e b e e n s e l e c t e d s u c h t h a t c h a r a c t e r i s t i c s e a s o n a l d i e r e n c e s s h o w u p . T h e

p a r a m e t e r v a l u e s o f t h e a v a i l a b l e a t m o s p h e r e s a r e l i s t e d i n T a b l e s A . 1 t o A . 8 . F i g .

2 . 1 s h o w s t h e p r e s s u r e d i e r e n c e o f t h e 7 a t m o s p h e r e s r e l a t i v e t o t h e U . S . s t a n d a r d

a t m o s p h e r e . T h e r e f o r e a l s o t h e p r e s s u r e a t g r o u n d l e v e l v a r i e s f r o m p a r a m e t e r s e t

t o p a r a m e t e r s e t a s l i s t e d i n T a b l e A . 9 .

I n C O R S I K A a l w a y s a a t a t m o s p h e r e i s a d o p t e d . I n t h e s i m u l a t i o n o f n e a r l y

h o r i z o n t a l s h o w e r s w i t h 7 5

o

t h e i n u e n c e o f t h e c u r v a t u r e o f t h e E a r t h ' s s u r f a c e

7


16/98

i s n o l o n g e r n e g l i g i b l e . T o a v o i d t h e l e n g t h y c a l c u l a t i o n s i n a s p h e r i c a l c o o r d i n a t e

s y s t e m o p t i o n a l l y t h e a n a l y t i c a l d e s c r i p t i o n o f t h e a t m o s p h e r e m a y b e r e p l a c e d b y

t a b u l a t e d m a s s o v e r b u r d e n d i s t r i b u t i o n s c a l c u l a t e d f o r t h a t a n g l e . T h u s w e s i m u l a t e

t h o s e n e a r l y h o r i z o n t a l s h o w e r s w i t h = 0 b u t w i t h a n a t m o s p h e r i c p r o l e w h i c h i s

p r e s e n t a l o n g t h e a x i s o f a n e a r l y h o r i z o n t a l s h o w e r .

T h e p a s s a g e o f t h e p r i m a r y p a r t i c l e t h r o u g h t h e a t m o s p h e r e s t a r t s a t t h e u p p e r

b o r d e r o f t h e a t m o s p h e r i c m o d e l . F r o m t h i s s t a r t i n g p o i n t t h e p l a c e o f t h e r s t

i n t e r a c t i o n i s c a l c u l a t e d . T h e h e i g h t a n d t h e t a r g e t n u c l e u s o f t h i s i n t e r a c t i o n a r e

s e l e c t e d a t r a n d o m . O p t i o n a l l y b o t h s e l e c t i o n s m a y b e x e d b y i n p u t v a l u e s . T h e

c o o r d i n a t e s o f t h e p o i n t o f r s t i n t e r a c t i o n a r e s e t t o 0 ; 0 ; z

0

. A t e a c h o b s e r v a -

t i o n l e v e l t h e x a n d y c o o r d i n a t e s a r e s h i f t e d s u c h t h a t t h e s h o w e r a x i s r e t a i n s t h e

c o o r d i n a t e s 0 ; 0 ; z

o b s

. T h i s i s d o n e t o f a c i l i t a t e l a t e r a n a l y s i s .

2 . 5 R a n d o m n u m b e r g e n e r a t o r

T h e M o n t e C a r l o m e t h o d i s e s s e n t i a l l y b a s e d o n r a n d o m n u m b e r s a n d h e n c e a

r a n d o m n u m b e r g e n e r a t o r t h a t m e e t s t h e r e q u i r e m e n t s o f t h e t o d a y ' s i n c r e a s i n g l y

l o n g a n d c o m p l e x c a l c u l a t i o n s i s i n d i s p e n s a b l e . C O R S I K A i s o p e r a t e d w i t h t h e

r a n d o m n u m b e r g e n e r a t o r R A N M A R 3 0 i n t h e v e r s i o n a s i m p l e m e n t e d i n t h e C E R N

p r o g r a m l i b r a r y 3 1 w h i c h r e p r e s e n t s t h e s t a t e o f t h e a r t i n c o m p u t a t i o n a l p h y s i c s .

I t i s a p s e u d o r a n d o m n u m b e r g e n e r a t o r d e l i v e r i n g u n i f o r m l y d i s t r i b u t e d n u m b e r s . I t

o e r s t h e p o s s i b i l i t y t o g e n e r a t e s i m u l t a n e o u s l y u p t o 9 1 0

8

i n d e p e n d e n t s e q u e n c e s

w i t h a s e q u e n c e l e n g t h o f 2 1 0

4 4

e a c h . T h e g e n e r a t o r i s w r i t t e n i n s t a n d a r d

F O R T R A N a n d t h u s p o r t a b l e t o a l l t y p e s o f c o m p u t e r s w h e r e b i t - i d e n t i c a l r e s u l t s

a r e o b t a i n e d . I t s a t i s e s v e r y s t r i n g e n t t e s t s o n r a n d o m n e s s a n d u n i f o r m i t y a n d i t i s

s u c i e n t l y f a s t .

8


17/98

C h a p t e r 3

P a r t i c l e t r a c k i n g

F o r p r o p a g a t i n g p a r t i c l e s b e t w e e n t w o i n t e r a c t i o n p o i n t s t h e i r s p a c e a n d t i m e c o o r -

d i n a t e s a s w e l l a s t h e i r e n e r g y h a v e t o b e u p d a t e d . F o r e l e c t r o n s a n d p h o t o n s t h i s

i s d o n e i n E G S 4 a s d e s c r i b e d i n R e f . 6 a n d s e c t i o n 7 . 2 . 1 . C h a r g e d p a r t i c l e s l o s e

e n e r g y b y i o n i z a t i o n w h e r e a s n e u t r a l p a r t i c l e s p r o c e e d w i t h o u t e n e r g y l o s s . B e c a u s e

o f t h e l a r g e p e n e t r a t i o n d e p t h o f

a d e e c t i o n d u e t o m u l t i p l e C o u l o m b s c a t t e r i n g

i s t a k e n i n t o a c c o u n t . T h i s i s n e g l e c t e d f o r c h a r g e d h a d r o n s . A l l c h a r g e d p a r t i c l e

t r a j e c t o r i e s a r e b e n t i n t h e E a r t h ' s m a g n e t i c e l d . T h e t i m e u p d a t e i s h a n d l e d f o r

a l l p a r t i c l e s i n t h e s a m e s t r a i g h t f o r w a r d w a y . I f p a r t i c l e s c r o s s a n o b s e r v a t i o n l e v e l

w h i l e b e i n g t r a c k e d t o t h e n e x t i n t e r a c t i o n p o i n t t h e i r s p a c e m o m e n t u m a n d t i m e

c o o r d i n a t e s a r e c o m p u t e d f o r t h e o b s e r v a t i o n l e v e l a n d t r a n s f e r r e d t o t h e p a r t i c l e

o u t p u t l e .

3 . 1 I o n i z a t i o n e n e r g y l o s s

T h e e n e r g y l o s s b y i o n i z a t i o n o f a c h a r g e d p a r t i c l e w h i c h t r a v e r s e s m a t t e r o f t h i c k n e s s

i s d e s c r i b e d b y t h e B e t h e - B l o c h s t o p p i n g p o w e r f o r m u l a

d E

i

=

z

2

2

1

l n

2

, 1 ,

2

+

2

=

2

z

2

2

, 1

1

l n

2

, 1 ,

2

+

2

w h e r e = v = c i s t h e v e l o c i t y o f t h e p a r t i c l e i n t h e l a b o r a t o r y i n u n i t s o f t h e v e l o c i t y

o f l i g h t i s i t s L o r e n t z f a c t o r z i s t h e c h a r g e o f t h e i o n i z i n g p a r t i c l e i n u n i t s o f e .

T h e t w o c o n s t a n t s

1

= 0 : 1 5 3 2 8 7 M e V g

, 1

c m

2

a n d

2

= 9 : 3 8 6 4 1 7 a r e d e r i v e d f r o m

t h e t a b l e s 3 2 f o r d r y a i r . T h i s e x p r e s s i o n i s u s e d t o c o m p u t e t h e i o n i z a t i o n e n e r g y

l o s s a l o n g t h e p a r t i c l e t r a j e c t o r y . H i g h e n e r g y m u o n s w i t h a L o r e n t z f a c t o r 2 1 0

4

s u e r f r o m a n a d d i t i o n a l e n e r g y l o s s b y b r e m s s t r a h l u n g s e e s e c t i o n 7 . 1 . 1 a n d d i r e c t

e

+

e

,

p a i r f o r m a t i o n s e e s e c t i o n 7 . 1 . 2 . T h e e n e r g y l o s s o f m u o n s a s f u n c t i o n o f t h e i r

e n e r g y i s g i v e n i n F i g u r e 3 . 1 . W h e n e v e r a f t e r u p d a t i n g t h e e n e r g y t h e c o r r e s p o n d i n g

L o r e n t z f a c t o r i s b e l o w t h e c u t - o v a l u e t h e p a r t i c l e i s d r o p p e d f r o m t h e c a l c u l a t i o n .

9


18/98

1

10

102

1 10 10

2

10

3

10

4

10

5

10

6

dE/dx

[MeVg-1cm2]

F i g u r e 3 . 1 : E n e r g y l o s s o f m u o n s i n a i r a s f u n c t i o n o f L o r e n t z f a c t o r . T h e c o n t r i -

b u t i o n s f r o m i o n i z a t i o n d a s h e d l i n e a n d d i r e c t p a i r p r o d u c t i o n d o t t e d l i n e a r e

i n d i c a t e d .

3 . 2 C o u l o m b m u l t i p l e s c a t t e r i n g

C h a r g e d p a r t i c l e s a r e s c a t t e r e d p r e d o m i n a n t l y i n t h e e l e c t r i c C o u l o m b e l d o f t h e

n u c l e i i n t h e t r a v e r s e d m e d i u m a i r . A s t h e s e n u c l e i a r e g e n e r a l l y m u c h m o r e m a s s i v e

t h a n t h e s c a t t e r e d p a r t i c l e s t h e d i r e c t i o n o f i g h t m i g h t b e a l t e r e d b u t n o t t h e

e n e r g y . I n C O R S I K A t h e p r o c e s s o f C o u l o m b m u l t i p l e s c a t t e r i n g i s c o n s i d e r e d o n l y

f o r m u o n s a n d o n l y o n c e f o r e a c h t r a c k i n g s t e p i n t h e m i d d l e o f t h e t r a c k i n g d i s t a n c e .

T h e a n g u l a r d i s t r i b u t i o n o f t h e m u l t i p l e s c a t t e r i n g i s d e s c r i b e d b y M o l i e r e ' s t h e o r y

3 3 o r m a y a l t e r n a t i v e l y s e l e c t a b l e m a y b e a p p r o x i m a t e d b y a G a u s s i a n f u n c t i o n .

O n l y a b o u t 2 o f t h e e v e n t s w i t h l a r g e s c a t t e r i n g a n g l e o c c u r m o r e f r e q u e n t l y t h a n

p r e d i c t e d b y a G a u s s i a n . T h e p r o c e d u r e t o s e l e c t t h e s c a t t e r i n g a n g l e i s t a k e n f r o m

t h e d e t e c t o r s i m u l a t i o n c o d e G E A N T 3 2 4 . F o r h e a v y p a r t i c l e s a t h i g h e n e r g i e s

m u l t i p l e s c a t t e r i n g i s n o t i m p o r t a n t . T h e m u l t i p l e s c a t t e r i n g o f e l e c t r o n s i s t r e a t e d

v e r y d e t a i l e d i n E G S 4 a c c o r d i n g t o M o l i e r e ' s t h e o r y .

1 0


19/98

3 . 2 . 1 M o l i e r e s c a t t e r i n g

T h e d e t e r m i n a t i o n o f t h e s c a t t e r i n g a n g l e f o l l o w s R e f . 2 4 . F i r s t t h e n u m b e r

0

o f

s c a t t e r i n g s a l o n g t h e t r a v e r s e d m a t t e r o f t h i c k n e s s i s c a l c u l a t e d a c c o r d i n g t o

0

= 6 7 0 2 : 3 3

2

Z

s

e

Z

e

, Z

x

= Z

s

w h e r e i s t h e v e l o c i t y o f t h e m u o n i n u n i t s o f t h e s p e e d o f l i g h t . T h e q u a n t i t i e s Z

s

Z

e

a n d Z

x

d e p e n d o n t h e a t o m i c f r a c t i o n s n

i

o f a t o m s o f t y p e i w i t h c h a r g e n u m b e r

Z

i

i n a i r :

Z

s

=

3

P

i = 1

n

i

Z

i

Z

i

+ 1

Z

e

=

3

P

i = 1

n

i

Z

i

Z

i

+ 1 l n Z

, 2 = 3

i

Z

x

=

3

P

i = 1

n

i

Z

i

Z

i

+ 1 l n 1 + 3 : 3 4 Z

i

2

:

H e r e i s t h e n e s t r u c t u r e c o n s t a n t . T h e i n d e x i r e p r e s e n t s t h e 3 c o m p o n e n t s o f a i r

s e e s e c t i o n 2 . 4 .

I f t h e n u m b e r o f s c a t t e r i n g e v e n t s i s l o w i . e .

0

2 0 t h e t o t a l s c a t t e r i n g a n g l e

i s t a k e n a s g e o m e t r i c a l s u m o f i n d i v i d u a l s c a t t e r i n g s w h i c h a r e s i m u l a t e d a c c o r d i n g

t o s e c t i o n 3 . 2 . 2 . O t h e r w i s e t h e p o l a r s c a t t e r i n g a n g l e i s s a m p l e d f r o m

f d =

s

s i n

f

r

d :

H e r e t h e r s t t h r e e t e r m s o f B e t h e ' s e x p a n s i o n 3 4 a r e u s e d f o r t h e f u n c t i o n f

r

f

r

= f

0

r

+ f

1

r

B

, 1

+ f

2

r

B

, 2

:

T a b u l a t e d v a l u e s o f t h e t h r e e f u n c t i o n s f

k

r

a r e c o n t a i n e d i n C O R S I K A f o r t h e r a n g e

0 1 3 o f t h e r e d u c e d a n g l e w h i c h i s d e n e d b y

=

c

p

B

:

T h e q u a n t i t y B i s e v a l u a t e d f r o m

B , l n B = l n

0

;

a n d t h e c r i t i c a l a n g l e

c

i s d e n e d b y

c

=

0 : 0 0 0 3 9 6 1 2

p

Z

s

2

E

p

w i t h E t h e m u o n e n e r g y . T h e a c t u a l v a l u e o f f

r

i s d e r i v e d b y a f o u r p o i n t c o n t i n u e d

f r a c t i o n i n t e r p o l a t i o n b e t w e e n t h e t a b u l a t e d v a l u e s . S c a t t e r i n g a n g l e s w i t h

a r e r e j e c t e d .

1 1


20/98


21/98

t r a v e r s e d b y t h e p a r t i c l e a n d

s

= 3 7 : 7 g = c m

2

. T h e v a l u e f o r i s p i c k e d a t r a n d o m

a c c o r d i n g t o t h e G a u s s i a n d i s t r i b u t i o n

P ; =

1

q

2

s

e

,

2

=

2

s

:

T h e a z i m u t h a l a n g l e i s s e l e c t e d a t r a n d o m f r o m a u n i f o r m d i s t r i b u t i o n . T h e c o m -

p u t a t i o n o f t h e a r r i v a l c o o r d i n a t e s x a n d y i s p e r f o r m e d a n a l o g o u s l y t o t h e M o l i e r e

c a s e .

3 . 3 D e e c t i o n i n t h e E a r t h ' s m a g n e t i c e l d

T h e E a r t h ' s m a g n e t i c e l d i s c h a r a c t e r i z e d b y i t s s t r e n g t h B

E

i t s d e c l i n a t i o n a n g l e

a n d i t s i n c l i n a t i o n a n g l e . F o r t h e K A S C A D E l o c a t i o n t h e s e v a l u e s a r e a t p r e s e n t

B

E

= 4 7 : 8 0 T = , 9

0

a n d = 6 4

o

4 4

0

c o r r e s p o n d i n g w i t h t h e c o m p o n e n t s

B

x

= 2 0 : 4 0 T a n d B

z

= , 4 3 : 2 3 T ;

w h i l e B

y

= 0 b y d e n i t i o n s e e s e c t i o n 2 . 3 . B e c a u s e o f t h e s m a l l v a l u e o f t h e

d e v i a t i o n o f t h e x - d i r e c t i o n f r o m t h e g e o g r a p h i c n o r t h m a y b e n e g l e c t e d . V a l u e s

f o r o t h e r l o c a t i o n s m a y b e o b t a i n e d f r o m t h e p r o g r a m G e o m a g w h i c h i s a v a i l a b l e

o n - l i n e i n t h e w o r l d w i d e w e b 3 6 .

A p a r t i c l e w i t h c h a r g e Z a n d m o m e n t u m ~p t r a v e l l i n g a l o n g t h e p a t h l e n g t h i n

t h e m a g n e t i c e l d

~

B s u e r s a d e e c t i o n w h i c h p o i n t s t o t h e d i r e c t i o n n o r m a l t o t h e

p l a n e s p a n n e d b y

~

B a n d ~p . T h e d i r e c t i o n i s c h a n g e d b y t h e a n g l e w h i c h f o r s m a l l

d e e c t i o n a n g l e s i s a p p r o x i m a t e l y g i v e n b y

` Z

~p

~

B

p

2

:

3 . 4 T i m e o f i g h t

A t t h e r s t i n t e r a c t i o n o f t h e p r i m a r y i n t h e a t m o s p h e r e t h e t i m i n g o f t h e s h o w e r i s

s t a r t e d . T h e t i m e i n t e r v a l d t w h i c h e l a p s e s a s t h e p a r t i c l e m o v e s a l o n g i t s p a t h i s

c o m p u t e d b y d i v i d i n g t h e p a r t i c u l a r p a t h l e n g t h b y t h e a v e r a g e p a r t i c l e v e l o c i t y

a v e

. T h u s

d t =

c

a v e

w h e r e

a v e

i s t h e a r i t h m e t i c m e a n o f t h e l a b o r a t o r y v e l o c i t i e s o f t h e p a r t i c l e a t

b e g i n n i n g a n d e n d o f t h e t r a j e c t o r y .

T h e t o t a l t i m e e l a p s e d s i n c e t h e r s t i n t e r a c t i o n i s t h e s u m o f a l l t i m e i n t e r v a l s

a c c u m u l a t e d b y t h e s u c c e s s i v e p a r t i c l e s t o t h e p a r t i c u l a r o b s e r v a t i o n l e v e l .

1 3


22/98

3 . 5 L o n g i t u d i n a l d e v e l o p m e n t

A t a s e l e c t a b l e s t e p w i d t h i n g = c m

2

t h e l o n g i t u d i n a l d e v e l o p m e n t o f E A S m a y b e

f o l l o w e d b y s a m p l i n g t h e n u m b e r o f g a m m a s p o s i t r o n s e l e c t r o n s n e g a t i v e a n d p o s i -

t i v e m u o n s h a d r o n s a l l c h a r g e d p a r t i c l e s n u c l e i a n d C h e r e n k o v p h o t o n s t r a v e r s i n g

e a c h o f t h e s e s a m p l i n g a l t i t u d e s . A f u n c t i o n o f t h e t y p e

N T = N

m a x

T , T

0

T

m a x

, T

0

T

m a x

, T

a + b T + c T

2

m a y b e t t e d t o t h e ` a l l c h a r g e d ' d i s t r i b u t i o n t o d e s c r i b e t h e d e p e n d e n c e o n t h e

a t m o s p h e r i c d e p t h T . T h e r e s u l t i n g 6 p a r a m e t e r s N

m a x

; T

0

; T

m a x

; a ; b ; a n d c a n d

t h e

2

= d o f a r e s t o r e d . I f E G S 4 i s n o t s e l e c t e d s u c h a t i s t r i e d f o r t h e l e v e l s w h i c h

a r e u s e d t o d e t e r m i n e t h e N K G l o n g i t u d i n a l d i s t r i b u t i o n s e e s e c t i o n 7 . 2 . 2 .

3 . 6 T h i n s a m p l i n g

I n M o n t e C a r l o p r o g r a m s f o r E A S s i m u l a t i o n t h e c o m p u t i n g t i m e s r o u g h l y s c a l e w i t h

t h e p r i m a r y e n e r g y t h u s b e c o m i n g e x c e s s i v e f o r s h o w e r s i n i t i a t e d b y p a r t i c l e s w i t h

E

0

1 0

1 6

e V . A w a y o u t o f t h i s p r o b l e m i s t h e ` t h i n s a m p l i n g ' 3 7 o r ` v a r i a n c e

r e d u c t i o n ' 6 . A l l s e c o n d a r y p a r t i c l e s b e l o w a n a d j u s t a b l e f r a c t i o n o f t h e p r i m a r y

e n e r g y t h i n n i n g l e v e l "

t h

= E = E

0

a r e e x p o s e d t o t h i s p r o c e d u r e . I f t h e e n e r g y s u m

o f a l l j s e c o n d a r y p a r t i c l e s

1

f a l l s b e l o w t h e t h i n n i n g e n e r g y

"

t h

E

0

X

j

E

j

o n l y o n e o f t h e s e c o n d a r y p a r t i c l e s i s f o l l o w e d s e l e c t e d a t r a n d o m a c c o r d i n g t o i t s

e n e r g y E

i

w i t h t h e p r o b a b i l i t y

p

i

= E

i

=

X

j

E

j

w h i l e a l l o t h e r s e c o n d a r i e s a r e d i s c a r d e d . A n a p p r o p r i a t e w e i g h t w

i

= 1 = p

i

i s a t -

t r i b u t e d t o t h e s u r v i v i n g p a r t i c l e t h u s c o n s e r v i n g e n e r g y . M o r e c o r r e c t l y t h e i n i t i a l

w e i g h t o f t h e p a r t i c l e i s m u l t i p l i e d b y w

i

.

I f o n l y i n p a r t t h e e n e r g y o f s e c o n d a r y p a r t i c l e s f a l l s b e l o w t h e t h i n n i n g l e v e l t h e

c o r r e s p o n d i n g p a r t i c l e s s u r v i v e w i t h a p r o b a b i l i t y p

i

g i v e n b y

p

i

= E

i

= "

t h

E

0

a n d i n c a s e o f s u r v i v i n g g e t t h e w e i g h t f a c t o r w

i

= 1 = p

i

. T h e l a t t e r p r o c e d u r e i s

a l s o a p p l i e d i f t h e e n e r g y s u m o f t h e c o r r e s p o n d i n g p a r t i c l e s e x c e e d s t h e t h i n n i n g

l e v e l t h u s e n a b l i n g m o r e t h a n o n e p a r t i c l e t o s u r v i v e .

1

P a r t i c l e s n o t t a k e n i n t o a c c o u n t l i k e n e u t r i n o s o r f a l l i n g b e l o w t h e c u t - o a r e e x c l u d e d f r o m

t h e s u m .

1 4


23/98

"

t h

n o n e 1 0

, 6

1 0

, 5

1 0

, 4

1 0

, 3

T i m e m i n 9 8 5 1 7 . 2 1 . 2 0 . 1 6

T a b l e 3 . 1 : C o m p u t i n g t i m e s f o r v a r i o u s t h i n n i n g l e v e l s .

B y t h i s s e l e c t i o n m e c h a n i s m o n l y a r a t h e r c o n s t a n t n u m b e r o f p a r t i c l e s m u s t

b e f o l l o w e d i n t h e l o w e n e r g y p o r t i o n o f E A S i n s t e a d o f a n e x p o n e n t i a l l y g r o w i n g

b u l k . T h i s m e c h a n i s m i s i m p l e m e n t e d i n t h e h a d r o n i c p a r t a s w e l l a s i n t h e E G S 4

r o u t i n e s o f R e f . 6 . T a b l e 3 . 6 s h o w s t h e d e p e n d e n c e o f t h e c o m p u t i n g t i m e o n "

t h

f o r

E

0

= 1 0

1 5

e V p r o t o n s h o w e r s a t v e r t i c a l i n c i d e n c e e m p l o y i n g t h e Q G S J E T h a d r o n i c

i n t e r a c t i o n m o d e l a n d t h e E G S 4 r o u t i n e s a t d e f a u l t C O R S I K A p a r a m e t e r s .

1 5


24/98

1 6


25/98

C h a p t e r 4

M e a n f r e e p a t h

T h e d i s t a n c e a p a r t i c l e t r a v e l s b e f o r e i t u n d e r g o e s i t s n e x t i n e l a s t i c i n t e r a c t i o n o r

d e c a y i s d e t e r m i n e d b y t h e c r o s s s e c t i o n f o r a h a d r o n i c r e a c t i o n t o g e t h e r w i t h t h e

a t m o s p h e r i c d e n s i t y d i s t r i b u t i o n a l o n g t h e i g h t p a t h a n d t h e p r o b a b i l i t y t o d e c a y .

S t a b l e p a r t i c l e s c a n o n l y i n t e r a c t f o r u n s t a b l e o n e s t h e t w o p r o c e s s e s c o m p e t e . A

d e c a y l e n g t h a n d a n i n t e r a c t i o n l e n g t h a r e d e t e r m i n e d i n d e p e n d e n t l y a t r a n d o m a n d

t h e s h o r t e r o n e i s t a k e n a s t h e a c t u a l p a t h l e n g t h . B y t h i s p r o c e d u r e i t i s a l s o d e c i d e d

w h e t h e r a p a r t i c l e d e c a y s o r i n t e r a c t s .

E l e c t r o n s a n d p h o t o n s a r e t r e a t e d i n t h e E G S 4 r o u t i n e s . A d e s c r i p t i o n o f t h e

p r o c e s s e s t h e y m a y s u e r c a n b e f o u n d i n 6 . A d d i t i o n a l i n f o r m a t i o n i s g i v e n i n

s e c t i o n 7 . 2 . 1 .

4 . 1 M u o n s

A s i n e l a s t i c h a d r o n i c i n t e r a c t i o n s o f m u o n s a r e v e r y r a r e t h e y a r e o m i t t e d i n C O R -

S I K A . T h e r e f o r e m u o n s m a y o n l y d e c a y o r u n d e r g o b r e m s s t r a h l u n g a n d e

+

e

,

- p a i r

p r o d u c t i o n i n t e r a c t i o n s . T h e i n t e r a c t i o n c r o s s s e c t i o n s

i n t

f o r b r e m s s t r a h l u n g a n d

e

+

e

,

- p a i r p r o d u c t i o n a r e c a l c u l a t e d i n R e f . 3 8 . W e u s e t h e p a r a m e t r i z a t i o n s f r o m

t h e d e t e c t o r s i m u l a t i o n c o d e G E A N T 3 2 4 . T h e m e a n f r e e p a t h

i n t

f o r t h e s e i n t e r -

a c t i o n s i s g i v e n b y

i n t

= m

a i r

=

i n t

w h e r e m

a i r

= 1 4 : 5 4 i s t h e a v e r a g e a t o m i c w e i g h t o f a i r i n g = m o l a n d

i n t

i s g i v e n i n

g = c m

2

. T h e p r o b a b i l i t y o f t h e m u o n t o t r a v e r s e a n a t m o s p h e r i c l a y e r o f t h i c k n e s s

w i t h o u t c o r r e s p o n d i n g i n t e r a c t i o n i s t h e n

P

i n t

=

1

i n t

e

, =

i n t

: 4 . 1

R e l a t i v i s t i c m u o n s m a y p r o p a g a t e t h r o u g h a l a r g e f r a c t i o n o f t h e a t m o s p h e r e . A s

w e u s e a n a t m o s p h e r e c o m p o s e d f r o m d i e r e n t l a y e r s a t r a n s p o r t a t i o n s t e p m a y o n l y

r e a c h a t m a x i m u m t o t h e n e x t l a y e r b o u n d a r y o r a d e t e c t i o n l e v e l . A d d i t i o n a l l y t h e

1 7


26/98

t r a n s p o r t a t i o n s t e p i s l i m i t e d t o 1 0

s

= 3 7 7 g = c m

2

t o t r e a t t h e m u l t i p l e s c a t t e r i n g

c o r r e c t l y s e e s e c t i o n 3 . 2 . 3 .

I f d e c a y d e t e r m i n e s t h e p a t h l e n g t h i t s m e a n i s d e n e d b y

D

= c

4 . 2

w h e r e c i s t h e v a c u u m s p e e d o f l i g h t

i s t h e m u o n l i f e t i m e a t r e s t

i s i t s L o r e n t z

f a c t o r a n d

i t s v e l o c i t y i n u n i t s o f c . T h e p r o b a b i l i t y o f a m u o n t o t r a v e l t h e

d i s t a n c e b e f o r e i t d e c a y s i s t h e n

P

D

=

1

D

e

, ` =

D

4 . 3

a n d t h e p a t h l e n g t h o f a m u o n m a y b e c h o s e n a t r a n d o m f r o m t h i s d i s t r i b u t i o n . I t

s h o u l d b e n o t e d t h a t i n t h e a b o v e f o r m u l a s h a s t h e d i m e n s i o n o f c m . T h e p a t h

l e n g t h s a r e e x p r e s s e d i n u n i t s o f g = c m

2

b y t a k i n g i n t o a c c o u n t t h e a c t u a l d e n s i t y a n d

i t s v a r i a t i o n a l o n g t h e t r a j e c t o r y . F o r a g i v e n p a t h l e n g t h i n c m o n e o b t a i n s t h e

p a t h l e n g t h i n g = c m

2

a s

= f ` ; h

0

; =

T h , T h

0

c o s

w i t h h = h

0

, c o s . I t d e p e n d s o n t h e a l t i t u d e o f i t s o r i g i n h

0

a n d t h e d i r e c t i o n

o f p r o p a g a t i o n . T h e m a s s o v e r b u r d e n T h i s g i v e n b y E q u a t i o n 2 . 1 o r 2 . 2 . T h e

p r o b a b i l i t y d i s t r i b u t i o n f o r t h e d e c a y d i s t a n c e i n g = c m

2

i s t h e n

P

D

= P

D

d

d

= P f

, 1

d f

, 1

d

w h e r e f

, 1

r e p r e s e n t s t h e i n v e r s e f u n c t i o n o f f . T h i s c o n s i d e r a t i o n i s o n l y v a l i d i f

t h e k i n e t i c e n e r g y o f t h e m u o n s d o e s n o t c h a n g e d u r i n g t r a n s p o r t .

I n r e a l i t y i n E q u a t i o n 4 . 2

a n d

a r e f u n c t i o n s o f i t s e l f a n d o n e o b t a i n s a

s h o r t e r d e c a y l e n g t h . I n g o o d a p p r o x i m a t i o n 3 9 w e d e t e r m i n e i n a m a n n e r t h a t

Z

0

d

= , c

l n R D 4 . 4

w h e r e t h e t e r m a t t h e r i g h t s i d e d e t e r m i n e s a t w h a t t i m e i n t h e m u o n r e s t f r a m e t h e

d e c a y h a p p e n s . T h e L o r e n t z f a c t o r r e s u l t s f r o m

=

0

+

d E

d x

0

T h , T h

0

m

c o s

w i t h

d E

d x

0

t h e i o n i z a t i o n l o s s p e r r a d i a t i o n l e n g t h T h

0

t h e m a s s o v e r b u r d e n o f

t h e a t m o s p h e r e a n d

0

t h e L o r e n t z f a c t o r o f t h e m u o n a t t h e s t a r t i n g p o i n t . T h

g i v e s t h e t h i c k n e s s i n t h e a l t i t u d e h = h

0

, c o s m

i s t h e m u o n m a s s a n d t h e

1 8


27/98

z e n i t h a n g l e o f t h e m u o n . N e g l e c t i n g t h e c h a n g e o f d E = d x a l o n g a t r a n s p o r t s t e p

a n d a s s u m i n g 1 t h e m u o n r a n g e c a n b e c a l c u l a t e d a n a l y t i c a l l y i n a n a t m o s p h e r e

w i t h a n e x p o n e n t i a l d e n s i t y p r o l e

1

. W i t h t h i s a s s u m p t i o n E q u a t i o n 4 . 4 r e s u l t s i n

,c

l n R D =

Z

0

d

Z

0

d

=

c

i

d

i

c o s

l n

0

d

i

,

d

i

,

0

!

4 . 5

w h e r e d

i

i s d e n e d b y

d

i

=

0

,

d E

d x

0

T h

0

, a

i

m

c o s

=

0

+

i

:

a

i

a n d c

i

a r e t h e a t m o s p h e r i c p a r a m e t e r s f o r l a y e r i d e n e d b y E q u a t i o n 2 . 1 . S o l v i n g

E q u a t i o n 4 . 5 f o r t h e L o r e n t z f a c t o r d e l i v e r s

=

0

d

i

0

+

i

e x p c

l n R D d

i

c o s = c

i

: 4 . 6

A t t h e b o t t o m b o u n d a r y h

i

o f t h e a t m o s p h e r i c l a y e r i t h e L o r e n t z f a c t o r i s r e d u c e d

b y i o n i z a t i o n e n e r g y l o s s u s i n g t h e B e t h e - B l o c h s t o p p i n g p o w e r f o r m u l a E q u a t i o n

3 . 1 w i t h t h e c o n s t a n t s

1

a n d

2

t o

i

=

0

,

T h

i

, T h

0

m

c o s

2

0

2

0

, 1

1

l n

2

0

, 1 ,

2

+

2

: 4 . 7

I f t h e L o r e n t z f a c t o r o f E q u a t i o n 4 . 6 e x c e e d s t h a t o f E q u a t i o n 4 . 7 t h e m u o n d e c a y s

w i t h i n t h e l a y e r i o t h e r w i s e f o r t h e l a y e r i , 1 b e l o w t h a t b o u n d a r y t h e q u a n t i t y

c

l n R D i s r e p l a c e d b y

c

l n R D

i , 1

= c

l n R D

i

,

h

0

, h

i

+ c

i

l n

0

=

i

d

i

c o s

4 . 8

a n d s t a r t i n g w i t h t h e p a r a m e t e r s a t t h e l o w e r b o u n d a r y o f l a y e r i t h e m u o n i s f o l l o w e d

d o w n t h r o u g h t h e n e x t l a y e r b e n e a t h u n t i l i t d e c a y s u n d e r g o e s a p a i r f o r m a t i o n

o r b r e m s s t r a h l u n g e v e n t o r r e a c h e s t h e o b s e r v a t i o n l e v e l . A s t h e i n t e r a c t i o n s a r e

s t o c h a s t i c p r o c e s s e s t h e y a r e t r e a t e d s e p a r a t e l y i n s e c t i o n s 7 . 1 . 1 a n d 7 . 1 . 2 .

4 . 2 N u c l e o n s a n d n u c l e i

T h e s l o w i n g d o w n o f t h e h a d r o n i c p r o j e c t i l e s a l o n g t h e i r p a t h t h r o u g h t h e a t m o s p h e r e

i s t a k e n i n t o a c c o u n t . B e c a u s e o f t h e r e d u c e d e n e r g y t h i s l e a d s t o a m o d i e d c r o s s

s e c t i o n a n d h e n c e t o a m o d i e d f r e e p a t h . I n c o n t r a s t t o t h e m u o n d e c a y l e n g t h

t h i s e e c t i s o m i t t e d f o r h a d r o n i c i n t e r a c t i o n s . A t e n e r g i e s a b o v e 1 0 0 G e V

1

F o r o t h e r d e n s i t y p r o l e s s e e A p p e n d i x B .

1 9


28/98

t h e c r o s s s e c t i o n s d e c r e a s e w i t h d e c r e a s i n g e n e r g y a n d t h e i o n i z a t i o n e n e r g y l o s s e s

w o u l d r e s u l t i n a s l i g h t l y i n c r e a s e d r a n g e o f t h e h a d r o n s . A s t h e c r o s s s e c t i o n s v a r y

v e r y m o d e r a t e l y w i t h e n e r g y a n d t h e i o n i z a t i o n e n e r g y l o s s e s a r e s m a l l c o m p a r e d

t o t h e k i n e t i c e n e r g y o f t h e h a d r o n s i t i s j u s t i e d t o n e g l e c t t h e i o n i z a t i o n e n e r g y

l o s s e s . T h e f r e e p a t h s o f n u c l e o n s o r n u c l e i a s s t a b l e p a r t i c l e s a r e d e t e r m i n e d b y t h e i r

i n e l a s t i c n u c l e o n - a i r o r n u c l e u s - a i r c r o s s s e c t i o n o n l y .

4 . 2 . 1 N u c l e o n - a i r c r o s s s e c t i o n a t h i g h e n e r g i e s

D e p e n d i n g o n t h e e m p l o y e d h a d r o n i c i n t e r a c t i o n m o d e l d i e r e n t p a r a m e t r i z a t i o n s o f

t h e c r o s s s e c t i o n s a r e u s e d . I n a l l c a s e s t h e c r o s s s e c t i o n i s t a k e n a s t h e w e i g h t e d

s u m o v e r t h e c r o s s s e c t i o n s

n , N

i

o f t h e c o m p o n e n t s o f a i r

n , a i r

=

3

X

i = 1

n

i

n , N

i

4 . 9

250

300

350

400

450

500

550

600

102

103

104

105

106

107

108

109

VENUS

QGSJET

SIBYLL

HDPM

DPMJET

plab

(GeV/c)

inel

p-air(mb)

Mielke et al.

Yodh et al.

Gaisser et al.

Baltrusaitis et al.

Honda et al.

F i g u r e 4 . 1 : I n e l a s t i c p r o t o n - a i r c r o s s s e c t i o n s f o r t h e m o d e l s u s e d i n C O R S I K A a s

a f u n c t i o n o f p r o j e c t i l e m o m e n t u m . T h e e x p e r i m e n t a l d a t a a r e t a k e n f r o m R e f s .

4 0 4 1 4 2 4 3 4 4 . T h e s h a d e d b a n d r e p r e s e n t s t h e r e s u l t o f a t o f t h e f o r m

p , a i r

i n e l

= a l o g p + b l o g

2

p + c t o t h e d a t a w i t h p 1 0

5

G e V = c . F o r H D P M s e e

f o o t n o t e i n A p p e n d i x C .

2 0


29/98

w i t h n

i

t h e a t o m i c f r a c t i o n o f c o m p o n e n t i . T h e a v a i l a b l e n u c l e o n - a i r c r o s s s e c t i o n s

a r e s h o w n i n F i g . 4 . 1 t o g e t h e r w i t h e x p e r i m e n t a l d a t a . T h e y i n c l u d e t h e d i r a c t i v e

c o n t r i b u t i o n a s g i v e n b y e a c h o f t h e d i e r e n t m o d e l s . I f n o t s p e c i e d t h e d e f a u l t

c r o s s s e c t i o n s H D P M a s d e s c r i b e d i n A p p e n d i x C a r e u s e d . T h e i n t e r a c t i o n m e a n

f r e e p a t h

i n t

i s o b t a i n e d f r o m t h e n u c l e o n - a i r c r o s s s e c t i o n s b y

i n t

= m

a i r

=

n , a i r

4 . 1 0

w h e r e m

a i r


i n t

i s g i v e n

h e r e i n g = c m

2

. T h e p r o b a b i l i t y o f t h e p r o j e c t i l e t o t r a v e r s e a n a t m o s p h e r i c l a y e r o f

t h e t h i c k n e s s w i t h o u t i n t e r a c t i o n i s t h e n

P

i n t

=

1

i n t

e

, =

i n t

: 4 . 1 1

F r o m t h i s d i s t r i b u t i o n t h e p a t h l e n g t h s o f n u c l e o n s a r e c h o s e n a t r a n d o m . T h e

i n t e r a c t i n g t a r g e t n u c l e u s i s r a n d o m l y s e l e c t e d a c c o r d i n g t o t h e c o n t r i b u t i o n o f e a c h

a i r c o m p o n e n t t o t h e s u m o f E q u a t i o n 4 . 9 .

4 . 2 . 2 N u c l e o n - a i r c r o s s s e c t i o n a t l o w e n e r g i e s

U s i n g t h e G H E I S H A p a c k a g e b e l o w E

l a b

8 0 G e V t h e i n t e r a c t i o n c r o s s s e c t i o n s a r e

i n t e r p o l a t e d f r o m t a b l e s s u p p l i e d w i t h G H E I S H A 1 2 . T h e y c o m p r i s e e l a s t i c a n d

i n e l a s t i c i n t e r a c t i o n s a n d i n c l u d e s l o w n e u t r o n c a p t u r e p r o c e s s e s i n a r a t h e r r e a l i s t i c

m a n n e r a s d e r i v e d f r o m e x p e r i m e n t a l d a t a . T h e y a r e p l o t t e d i n F i g . 4 . 2 .

E m p l o y i n g t h e I S O B A R m o d e l t h e i n e l a s t i c c r o s s s e c t i o n s a s g i v e n i n A p p e n d i x

C a r e u s e d . T h e m e a s u r e d i n e l a s t i c n u c l e o n - n u c l e o n c r o s s s e c t i o n d r o p s r a p i d l y w i t h

d e c r e a s i n g e n e r g y . T h e r e f o r e b e l o w p

l a b

= 1 0 G e V = c t h e I S O B A R m o d e l a l l o w s o n l y

e l a s t i c r e a c t i o n s w i t h a c o n s t a n t c r o s s s e c t i o n . F o r a n t i n u c l e o n s a n a n n i h i l a t i o n w i t h

n u c l e o n s c a n o c c u r i n a d d i t i o n l e a d i n g t o a c o n t r i b u t i o n t o t h e i n e l a s t i c c r o s s s e c t i o n

w h i c h r i s e s w i t h d e c r e a s i n g e n e r g y . T h e s e c r o s s s e c t i o n s a r e a l s o s h o w n i n F i g . 4 . 2 .

4 . 2 . 3 N u c l e u s - n u c l e u s c r o s s s e c t i o n

I n E A S n u c l e o n s o r c o m p l e x n u c l e i a r e r e a c t i n g w i t h a i r n u c l e i . I n t h e e n e r g y r a n g e o f

i n t e r e s t n o e x p e r i m e n t a l d a t a e x i s t o n t h e r e l e v a n t q u a n t i t i e s s u c h a s i n e l a s t i c c r o s s

s e c t i o n a n d n u m b e r o f t a r g e t a n d p r o j e c t i l e n u c l e o n s p a r t i c i p a t i n g i n t h e r e a c t i o n . S o

t h e y h a v e t o b e c a l c u l a t e d f r o m t h e n u c l e o n - n u c l e o n c r o s s s e c t i o n f o l l o w i n g G l a u b e r

t h e o r y 4 5 4 6 . T h e i n p u t n u c l e o n d i s t r i b u t i o n s o f n u c l e i a r e d e r i v e d f r o m m e a s u r e d

c h a r g e d i s t r i b u t i o n s 4 7 u n f o l d i n g t h e n i t e s i z e o f t h e p r o t o n w i t h a m e a n s q u a r e

c h a r g e r a d i u s o f

hr

2

p

i

1 = 2

= 0 : 8 6 2 f m . F o r n u c l e i w i t h m a s s n u m b e r b e l o w 2 0 t h e c h a r g e

d i s t r i b u t i o n s a r e a s s u m e d t o b e G a u s s i a n a n d t h e r a d i u s o f t h e n u c l e o n d i s t r i b u t i o n

i s

h r

m

i

2

= h r

c h

i

2

, h r

p

i

2

:

2 1


30/98

300

400

500

600

700

800

900

1000

2000

10

-1

1 10 10

2

10

3

plab

(GeV/c)

ineln-air(mb)

p, n

p, n

p

n

p

n

GHEISHA

ISOBAR

HDPM

F i g u r e 4 . 2 : I n e l a s t i c n u c l e o n - a i r c r o s s s e c t i o n s a t l o w e r e n e r g i e s . T h e c r o s s s e c t i o n s

o f t h e G H E I S H A m o d e l a r e d r a w n f o r p r o t o n s a n t i - p r o t o n s d a s h e d l i n e s n e u t r o n s

a n d a n t i - n e u t r o n s d a s h e d - d o t t e d l i n e s t o g e t h e r w i t h t h e c r o s s s e c t i o n s o f t h e I S O -

B A R a n d H D P M m o d e l f o r n u c l e o n s s o l i d l i n e a n d a n t i - n u c l e o n s d o t t e d l i n e .

T h e d o t t e d v e r t i c a l l i n e m a r k s t h e b o u n d a r y b e t w e e n h i g h e n e r g y a n d l o w e n e r g y

h a d r o n i c i n t e r a c t i o n m o d e l s .

F o r n u c l e i w i t h A 2 0 t h e c h a r g e d i s t r i b u t i o n s a r e a p p r o x i m a t e d b y t h e F e r m i

f u n c t i o n . U n f o l d i n g w a s d o n e b y f o l d i n g a c o r r e s p o n d i n g l y p a r a m e t r i z e d n u c l e o n

d i s t r i b u t i o n w i t h t h e p r o t o n c h a r g e d i s t r i b u t i o n t o o b t a i n t h e m e a s u r e d r a d i u s a n d

d i u s e n e s s o f t h e c h a r g e d i s t r i b u t i o n o f t h e n u c l e u s . F r o m t h e G l a u b e r m e t h o d t h e

i n e l a s t i c c r o s s s e c t i o n s f o r a l l p r o j e c t i l e n u c l e i i n t h e s t a b i l i t y v a l l e y w i t h A = 1 : : : 5 6

c o l l i d i n g w i t h t h e t a r g e t n u c l e i

1 4

N

1 6

O a n d

4 0

A r w e r e c a l c u l a t e d f o r t h r e e d i f -

f e r e n t v a l u e s o f t h e n u c l e o n - n u c l e o n c r o s s s e c t i o n 3 0 4 5 a n d 6 0 m b ; t h e y c o r r e -

s p o n d t o n u c l e o n - n u c l e o n c o l l i s i o n s a t l a b o r a t o r y e n e r g i e s o f 1 2 0 G e V 6 6 : 5 T e V

a n d 5 : 8 7 P e V r e s p e c t i v e l y f o r t h e H D P M g e n e r a t o r . V a l u e s f o r m a s s n u m b e r s f o r

w h i c h n o e x p e r i m e n t a l c h a r g e d i s t r i b u t i o n s w e r e a v a i l a b l e h a v e b e e n i n t e r p o l a t e d .

T h e r e s u l t s a r e t a b u l a t e d i n C O R S I K A a n d a q u a d r a t i c i n t e r p o l a t i o n i s p e r f o r m e d

b e t w e e n t h e t a b l e v a l u e s w i t h r e s p e c t t o

n , n

t o o b t a i n i n t e r m e d i a t e v a l u e s o f t h e

c r o s s s e c t i o n

N , N

i

o f a n u c l e u s w i t h c o m p o n e n t i o f a i r . T h e n

N , a i r

i s o b t a i n e d

2 2


31/98

20

30

40

50

60

70

80

90

100

10

2

10

3

10

4

10

5

10

6

10

7

10

8

10

9

10

10

VENUS

QGSJET

SIBYLL

HDPM

DPMJET

plab

(GeV/c)

inelh-p

(mb)

p

K

F i g u r e 4 . 3 : I n e l a s t i c c r o s s s e c t i o n s o f p r o t o n s p i o n s a n d k a o n s w i t h p r o t o n s f o r

t h e m o d e l s u s e d i n C O R S I K A a s f u n c t i o n o f p r o j e c t i l e m o m e n t u m . F o r H D P M s e e


f r o m t h e w e i g h t e d s u m o v e r t h e t h r e e c o m p o n e n t s o f a i r

N , a i r

=

3

X

i = 1

n

i

N , N

i

: 4 . 1 2

T h e S I B Y L L m o d e l p r o v i d e s i t s o w n n u c l e u s - n u c l e u s c r o s s s e c t i o n t a b l e i n c l u d i n g

a n i n t e r p o l a t i o n r o u t i n e w h i l e f o r t h e o t h e r m o d e l s w e u s e t h e m o d e l - s p e c i c n u c l e o n -

n u c l e o n c r o s s s e c t i o n a n d a p p l y o u r G l a u b e r f o r m a l i s m t o g e t t h e d e s i r e d n u c l e u s -

n u c l e u s c r o s s s e c t i o n . T h e u s e d p r o t o n - p r o t o n c r o s s s e c t i o n s a r e s h o w n i n F i g . 4 . 3 .

T h e r e s u l t i n g n u c l e u s - a i r c r o s s s e c t i o n s a r e s h o w n i n F i g u r e 4 . 4 . F o r D P M J E T a n d

V E N U S i t i s p o s s i b l e t o c a l c u l a t e m o d e l s p e c i c n u c l e u s - n u c l e u s c r o s s s e c t i o n s i n a

t i m e c o n s u m i n g m a n n e r . T h e y d i e r f r o m t h e c r o s s s e c t i o n s s h o w n i n F i g . 4 . 4 b y

8 .

T h e i n t e r a c t i o n m e a n f r e e p a t h

i n t

i s o b t a i n e d b y

i n t

= m

a i r

=

N , a i r

w h e r e m

a i r


i n t

i s g i v e n

h e r e i n g = c m

2

. T h i s i s d o n e f o r h i g h e n e r g y i n t e r a c t i o n m o d e l s . I n G H E I S H A a n d

2 3


32/98

300

400

500

600

700

800

9001000

2000

10 10

2

10

3

10

4

10

5

10

6

10

7

10

8

10

9

10

10

VENUS

QGSJET

SIBYLL

HDPM

DPMJET

plab

(GeV/c)

inelA-air(mb)

p

He

O

Fe

F i g u r e 4 . 4 : I n e l a s t i c n u c l e u s - a i r c r o s s s e c t i o n s o f v a r i o u s p r o j e c t i l e n u c l e i f o r t h e

m o d e l s u s e d i n C O R S I K A a s f u n c t i o n o f p r o j e c t i l e m o m e n t u m . F o r H D P M s e e


I S O B A R o n l y n u c l e o n - n u c l e o n i n t e r a c t i o n s a r e t r e a t e d . T h e p a t h l e n g t h s o f p r o j e c t i l e

n u c l e i a r e s a m p l e d f r o m a n a p p r o p r i a t e d i s t r i b u t i o n . T h e i n t e r a c t i n g t a r g e t n u c l e u s

i s r a n d o m l y s e l e c t e d a c c o r d i n g t o t h e c o n t r i b u t i o n o f e a c h a i r c o m p o n e n t t o t h e s u m

o f E q u a t i o n 4 . 1 2 .

I n t h e t r e a t m e n t o f h a d r o n - n u c l e u s a n d n u c l e u s - n u c l e u s c o l l i s i o n s b y t h e v a r i o u s

m o d e l s t h e n u m b e r o f i n t e r a c t i n g t a r g e t a n d p r o j e c t i l e n u c l e o n s i s d e t e r m i n e d b y t h e

s e l e c t e d m o d e l . S I B Y L L a n d H D P M t r e a t n u c l e u s - n u c l e u s c o l l i s i o n a s a s u p e r p o s i t i o n

o f n u c l e o n - n u c l e u s c o l l i s i o n s .

4 . 3 P i o n s a n d k a o n s

C h a r g e d p i o n s a n d a l l f o u r k i n d s o f k a o n s a r e p a r t i c l e s w h e r e d e c a y a n d n u c l e a r

i n t e r a c t i o n c o m p e t e . T h e i r d e c a y l e n g t h s a r e d e t e r m i n e d i n t h e s a m e w a y a s f o r

m u o n s j u s t r e p l a c i n g t h e f r e e m u o n l i f e t i m e

b y t h e p i o n a n d k a o n l i f e t i m e s

a n d

K

r e s p e c t i v e l y . F o r p i o n s a n d c h a r g e d k a o n s t h e i o n i z a t i o n e n e r g y l o s s i s a l s o

t a k e n i n t o a c c o u n t i n t h e s a m e m a n n e r a s f o r m u o n s .

T h e i n t e r a c t i o n l e n g t h s a r e t r e a t e d i n a n a l o g y t o t h o s e o f n u c l e o n s . T h e y a r e

2 4


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200

300

400

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600

10 10

2

10

3

10

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10

6

10

7

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8

10

9

VENUS

QGSJET

SIBYLL

HDPM

DPMJET

plab

(GeV/c)

inelh-air(mb)

p

K

F i g u r e 4 . 5 : I n e l a s t i c h a d r o n - a i r c r o s s s e c t i o n s a t h i g h e r e n e r g i e s o f v a r i o u s i n t e

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