Corporate 1 Template - Gustavo Leonuat.gustavoleon.com.mx/IE2 - INTERES COMPUESTO.pdf · 2017-10-25 · Elaborar el diagrama y una tabla de pagos. En este caso debemos distinguir

INTERÉS COMPUESTO

INTRODUCCIÓN Y DEFINICIÓN

El interés compuesto representa la

acumulación de intereses que se han

generado en un período determinado

por un capital inicial (CI) o principal a

una tasa de interés (i) durante (n)

periodos de imposición, de modo que

los intereses que se obtienen al final de

cada período de inversión no se retiran

sino que se reinvierten o añaden al

capital inicial, es decir, se capitalizan.

INTERÉS COMPUESTO EJEMPLO

Un crédito de $100,000 se debe pagar dentro de un año .

La tasa financiera es del 20% anual con interés simple,

pero los intereses se deben pagar cada trimestre

vencido.

Elaborar el diagrama y una tabla de pagos.

En este caso debemos distinguir que el periodo de pago

de la deuda es anual y los periodos de liquidación y

pago de intereses es trimestral.

Valor préstamo P = $100.000

Tasa anual: 20% con cobro de interés trimestral.

Tasa trimestral = 20% / 4 = 5% trimestral

Plazo total para pagar: un año.

Inter periodos de liquidación del interés: trimestral




$ 105,000 $ 110,250

$ 5,000 $ 5,250 $ 5,512.50

$ 115,762.50

$ 5,788.13

$ 121,550.63



Desarrollar los siguientes ejercicios de práctica

DEFINICIONES

DEFINICIONES

DEFINICIONES

DEFINICIONES

DEFINICIONES

MANEJO Y EQUIVALENCIAS DE

LAS TASAS DE INTERÉS

Las fórmulas o los factores que se utilizan en Matemáticas

Financieras para calcular

• P (Valor Presente),

• F (Valor Futuro),

• A (Pagos Seriados) o

• G (Gradientes)

siempre utilizan interés efectivo (tasa de interés realmente

pagado) y vencido (es decir, al final de cada periodo).

Por esta razón es necesario para cualquier cálculo que se

desee efectuar, encontrar primero el interés efectivo.



Terminología

PP = Periodo de Pago

PC = Periodo de Capitalización

i = Tasa nominal vencida

ie = Tasa efectiva vencida

ia = Tasa nominal anticipada

m = Número de sub períodos (inter periodos) que tiene el

período de pago si éste es mayor que el de capitalización; o

número de sub periodos que tiene el periodo de capitalización

si este es mayor que el de pago.

Casos que se presentan:

• PP = PC

• PP > PC

• PP < PC



Abreviaturas

• T.A. = Trimestral anticipada:

• M.A. = Mensual anticipada

• C.M. = Capitalización mensual

• C.T. = Capitalización Trimestral

• M.V. = Mes Vencido

• T.V. = Trimestre Vencido

• E. = Efectiva (Tasa)



Ejemplo: Se proyecta hacer ahorros (pagos) semestrales

provenientes de la prima legal, pero la corporación financiera

liquidará intereses trimestralmente

PP: semestral

PC: trimestral

Para este caso

PP > PC

Por tanto

m = 2

TRANSFORMACIÓN DE UN INTERÉS

NOMINAL A UN INTERÉS EFECTIVO

Primer caso:

Periodo de Pago = Periodo de Capitalización

(PP = PC)

Fórmula i = ie

Ejemplo: si en una negociación se establece

una tasa del 20% anual con pagos y

capitalización anual tenemos:

i = 20% anual ie = 20% anual E.



Segundo caso:

Periodo de Pago < Periodo de Capitalización

(PP < PC)

Fórmula ie = i / m

La negociación establece un interés del 20% anual,

con PC Semestral y PP trimestrales, tenemos:

(PP < PC) → (3 meses < 6 meses) m= 6/3 =2

Interés semestral = 20%/2 = 10% semestral

ie = 10%/2 = 5% trimestral (en el semestre hay 2

trimestres)



Tercer caso:

Periodo de Pago > Periodo de Capitalización

(PP > PC)

Fórmula

ie = 𝟏 +i

m− 𝟏



En la negociación se establecen pagos anuales, con

períodos de capitalización trimestrales.

i = 20% anual,

m = 4 trimestres

¿Cuál es mayor PP o PC?

PP > PC

¿Qué fórmula aplica? ie = 𝟏 +i

m− 𝟏

ie = (1 + 0.20/4)4 – 1 = 0.2155

→ 21,55% anual efectivo



Otra forma de expresar la tasa dada y la obtenida es

simplificando las palabras así:

i% = 20% anual C.T. es equivalente a 21,55% anual E.

Y se lee así: 20% anual, capitalizable trimestralmente,

equivale 21,55% anual efectivo.

Otra forma utilizada con frecuencia es: 20% anual, T.V.

Se lee: 20% anual trimestre vencido



ie = 𝟏 +i

m− 𝟏



ie = 𝟏 +i

m− 𝟏



Resolver los ejercicios siguientes mostrados por el

instructor

CÁLCULO DEL INTERÉS NOMINAL

CONOCIENDO EL EFECTIVO

Para despejar i tenemos:

i = [ ie+ 𝟏 - 1] m

𝑚

𝑚

ie = 𝟏 +i

m− 𝟏

𝟏+im = ie+ 1→

𝟏 +im = (ie+1)

1

𝑚

Sacando raíz m nos queda:

𝟏 +im = (ie+1)

1

𝑚

im = (ie+ 1) − 1

1

𝑚

1

𝑚


ANTICIPADO A UN INTERÉS EFECTIVO

En la sección anterior se estudió la tasa nominal y la

tasa efectiva, considerando en todos los casos, las

tasas de interés vencidas. Sin embargo, es de uso

corriente el empleo de tasas de interés anticipado en

nuestro medio financiero



Recordemos que una tasa del 20% anual vencida,

indica que por cada peso entregado, debemos recibir

$1.20 al final del año

P = 1 I = 20% ANUAL

1 AÑO

F = P(1 + I)

F = P(1 + 0.2) = 1.2

F = 1.2



Consideremos ahora una tasa del 20% anual pero

anticipada. Esto quiere decir que por cada $100 que

prestamos, debemos retener $20 por concepto de

intereses, o sea entregamos $100 - $20 = $80 y

debemos recibir $100 al final del año

P = 80 I = 20% ANUAL

1 AÑO

P = 100 – 20 = 80

F = 100F = 100

n = 1 año

i = ?

F = P (1 + i) 100 = 80 (1 + i)

Despejando i 100/80 = (1 + i)

1.25 = 1 + i 1.25 – 1 = i

i = 0.25 → 25% Annual efectiva



Consideremos ahora una tasa del 20% anual pero

anticipada. Esto quiere decir que por cada $100 que

prestamos, debemos retener $20 por concepto de

intereses, o sea entregamos $100 - $20 = $80 y

debemos recibir $100 al final del año

P = 80 I = 20% ANUAL

1 AÑO

P = 100 – 20 = 80

F = 100F = 100

n = 1 año

i = ?

F = P (1 + i) 100 = 80 (1 + i)

Despejando i 100/80 = (1 + i)

1.25 = 1 + i 1.25 – 1 = i

i = 0.25 → 25% Annual efectiva

Conclusión: una tasa del 20% anual anticipada es equivalente a una tasa del

25% anual efectiva.



Resumiendo

1 AÑO

F = 1 Ia tasa de interés anticipada

Tenemos F = P(1+ie) … y P = ( 1 – ia)

1 = (1 – ia) (1 + ie ) → ie =𝟏

𝟏−ia- 11 + ie=

1𝟏−ia

→

ie =1

𝟏− ia−𝟏− ia𝟏 − ia

ie =ia

𝟏−ia

Substituyendo P = ( 1 – ia) y F = 1 en la fórmula de arriba



Primer caso:

Periodo de Pago = Periodo de Capitalización (PP = PC)

ie =ia

𝟏−ia

En este caso, el

ie que se obtiene es igual a i (nominal)

porque el PP = PC



Segundo caso:

Periodo de Pago > Periodo de Capitalización

(PP > PC)

Ejemplo: El Banco Popular cobra una tasa del 31% anual trimestre

anticipado y deseamos conocer la tasa efectiva anual.

ie =m

𝒎−ia- 1 ie = 𝟏−

ia𝒎

- 1 −𝑚

ie = 𝟏−.31𝟒

- 1

−4

38.08% Anual E



Tercer caso:

Periodo de Pago < Periodo de Capitalización

(PP < PC)

Luego se procede como en el caso de PP = PC

ie =ia𝒎

Primero convertimos



Método Práctico:





Cambiar el nombre: sólo se puede hacer cuando la tasa sea

nominal.

Se divide por m para pasar de una tasa mayor a una menor o se

multiplica por m para pasar de una tasa menor a una mayor.

Si i = 30% anual C.M. y la divido por dos, tengo i = 15%

semestral. C.M.

Cambio nombre de anual a semestral. Conservo el apellido.

Si i = 2,5% mensual C.M. y la multiplico por 12, tengo i = 30%

anual, C.M.

Cambio de nombre de mensual a anual. Conservo el apellido.

Cambiar apellido: se hace utilizando la formula respectiva para

pasar de nominal a efectiva o viceversa.


VENCIDO A UN INTERÉS EFECTIVO

Ejemplo 1

¿Cuál es la tasa anual efectiva equivalente a una tasa del 20% anual C.M.?

En este caso tenemos una tasa anual nominal vencida (punto 1)

y queremos llevarla hasta la modalidad efectiva (punto 3).

Se cambiará el apellido C.M. por el de efectivo. El valor de m es doce (m = 12 porque el apellido,

C.M.,está contenido 12 veces en el nombre, anual).

Debemos, por lo tanto, utilizar la fórmula 1

20% Anual C.M. →

21.939% anual E

ie = 𝟏 +i𝒎

- 1 𝑚

ie = 𝟏 +𝟎.𝟐

𝟏𝟐- 1

12



Ejemplo 2

¿Cuál es la tasa anual efectiva equivalente a una tasa del 20% anual M.A.?

Conocemos una tasa nominal anticipada (punto 2)

y queremos llevarla hasta la modalidad efectiva (punto 3).

El valor de m es menos doce (m = –12). Debemos, por lo tanto, utilizar la formula 2.

20% Anual M.A. →

22.34631% anual E

ie = 𝟏 +i𝒂−𝒎

- 1 −𝑚

ie = 𝟏 −𝟎.𝟐

𝟏𝟐- 1

−12


EFECTIVO A UN INTERÉS VENCIDO

Ejemplo 3

¿Cuál es la tasa anual C.T. equivalente a una tasa del 18% anual efectiva?

Tenemos una tasa efectiva (punto 3)

y queremos llevarla hasta la modalidad nominal vencida (punto 4).

El valor de m es cuatro (m = 4). Debemos, por lo tanto utilizar la fórmula 1 transformada de

interés efectivo a nominal.

18% Anual E →

16.89865 % Anual CT

i = [ ie+ 𝟏 - 1] m

1

𝑚

i = [ 0.18+ 𝟏 - 1] * 4

1

4

CÁLCULO DEL INTERÉS NOMINAL

ANTICIPADO A PARTIR INTERÉS EF.

ie = 𝟏 +i

−m− 𝟏

-m

ie+ 1= 𝟏+i

−m

-m

ie+ 𝟏 = 𝟏+i

−m = 𝟏 +i

−m = 𝒎

m −im

-m/m1/m

-1 -1

ie+ 𝟏 =𝒎−𝒊

m =𝒎

m−𝒊

1/m -1

m − 𝒊 =𝒎

𝒊𝒆+𝟏1/m -i =

𝒎

𝒊𝒆+𝟏-m1/m

i = m -𝒎

𝒊𝒆+𝟏1/m


EFECTIVOO A UN INTERÉS ANTICIPADO

Ejemplo 4

¿Cuál es la tasa anual T.A. equivalente a una tasa del 18% anual efectiva?

En este caso tenemos una tasa efectiva (punto 3) y queremos llevarla hasta la

modalidad nominal anticipada (punto 5). El valor de m es menos cuatro (m = – 4).

Debemos, por lo tanto utilizar la fórmula 2 transformada de interés efectivo a nominal.

18% Anual E →

16.21368% anual TA

i = m -𝒎

𝒊𝒆+𝟏1/m

i = 4 -𝟒

𝟎.𝟏𝟖+𝟏 1/4


VENCIDO A OTRO INTERÉS VENCIDO

Ejemplo 5

¿Cuál es la tasa anual C.T. equivalente a una tasa del 24% anual C.M.?

Partimos del punto 1 con un m = 12 para llegar al punto 3.

De allí salimos para el punto 4 con un m = 4.

En las dos operaciones utilizamos la fórmula 1.

24% Anual CM →

m=12 → 26.8241%

anual E → m= 4 →

24.4832% anual CT

i = [ ie+ 𝟏 - 1] m

1

𝑚

i = [ 0.𝟐𝟔𝟖𝟐+ 𝟏 - 1] * 4

1

4

ie = 𝟏 +i𝒎

- 1 𝑚

ie = 𝟏 +𝟎.𝟐𝟒

𝟏𝟐- 1

12

ie = 26.8241%

i = 24,4832%


ANTICIPADO A OTRO INTERÉS

ANTICIPADO

Ejemplo 6

¿Cuál es la tasa anual T. A. equivalente a una tasa del 24% anual M. A.?

Partimos del punto 2 con un m = –12 para llegar al punto 3. Usando la Formula 2a

De allí salimos para el punto 5 con un m = –4. Utilizamos la fórmula 2b.

24% Anual MA →

m=-12 → 27.4345%

anual E → m= -4 →

23.5232% anual TA

i = 23,5232%


- 1 −𝑚

ie = 𝟏 −𝟎.𝟐𝟒

𝟏𝟐- 1

−12

i = m -𝒎

𝒊𝒆+𝟏1/m

ie = 27.4345%

i = 4 -𝟒

𝟎.𝟐𝟕+𝟏 1/4

EJERCICIO DE PRÁCTICA

a)

23% anual T.A. expresarla en semestralM.A.

23% Anual TA → m=-

4 → 26.73% anual E

→ m= -12 →

23.4555% ÷ 2

=11.73% Sem MA

i = 23.4555% ÷ 2 =

11.73%


- 1 −𝑚

ie = 𝟏 −𝟎.𝟐𝟑

𝟒- 1

−4

i = m -𝒎

𝒊𝒆+𝟏1/m

ie = 26.7289% 𝐚𝐧𝐮𝐚𝐥 𝐄

i = 12 -𝟏𝟐

𝟎.𝟐𝟕+𝟏 1/12


b)

17.4% anual B.A. expresarla en semestral T.A.

17.4% Anual BA →

m=-6→19.31% anual E

→ m= -4 → 17.27%

anual TA ÷2 = 8.64%

sem TA

i = 17.27% ÷ 2 = 8.64%


- 1 −𝑚

ie = 𝟏 −𝟎.𝟏𝟕𝟒

𝟔- 1

−6

i = m -𝒎

𝒊𝒆+𝟏1/m

ie = 19.31% 𝐚𝐧𝐮𝐚𝐥 𝐄

i = 4 -𝟒

𝟎.𝟏𝟗𝟑𝟏+𝟏 1/4

Vamos de una tasaAnticipada a otra Anticipada


c)

21.6% anual M.A. expresarla en semestral T.A.

21.6% Anual MA →

m=-12→24.35% anual

E → m= -4 → 21.21%

anual TA ÷ 2 = 10.61%

sem TA

i = 21.21% ÷2 = 10.61%


- 1 −𝑚

ie = 𝟏 −𝟎.𝟐𝟏𝟔

𝟏𝟐- 1

−12

i = m -𝒎

𝒊𝒆+𝟏1/m


i = 4 -𝟒

𝟎.𝟐𝟒𝟑𝟓+𝟏 1/4



d)

17.76% anual T.A. expresarla en cuatrimestral B.A.

17.76% Anual TA →

m=-4→19.92% anual E

→ m= -6 → 17.89%

anual BA ÷ 3 = 5.96%

cuatr BA

i = 17.89% ÷ 3 = 5.96%


- 1 −𝑚

ie = 𝟏 −𝟎.𝟏𝟕𝟕𝟔

𝟒- 1

−4

i = m -𝒎

𝒊𝒆+𝟏1/m


i = 6 -𝟔

𝟎.𝟏𝟗𝟗𝟐+𝟏 1/6



e)

28.4% anual B.A. expresarla en semestral M.A.

28.4% Anual BA →

m=-6→33.37% anual

E → m= -12 →

28.74% anual MA ÷ 2

= 14.37% sem MA

i = 28.74% ÷ 2

= 14.37%


- 1 −𝑚

ie = 𝟏 −𝟎.𝟐𝟖𝟒

𝟔- 1

−6

i = m -𝒎

𝒊𝒆+𝟏1/m

ie = 33. 𝟕𝟕% 𝐚𝐧𝐮𝐚𝐥 𝐄

i = 12 -𝟏𝟐

𝟎.𝟑𝟑𝟕𝟕+𝟏1/12


TASAS COMBINADAS (IC)

Existen algunas situaciones en las cuales el

interés se debe reconocer sobre una unidad

monetaria cuyo valor aumenta con el

tiempo, en un porcentaje determinado.

Ejemplo: Dólar, UDI. Aquí estamos ante la

combinación de dos factores que

determinan la verdadera tasa de interés

cobrada (tasa efectiva) y son: el porcentaje

(tasa de variación de la unidad monetaria y

la tas de interés financiera


Ejemplo: hallar la tasa efectiva anual que

pagamos por un crédito hoy de US$100,000

para pagar dentro de un año a una tasa del

15% anual.

Si estimamos la devaluación del peso con respecto al dólar en

30% anual y el dólar al momento de la compra se cotizaba a

$350 tenemos:

Valor presente de la obligación en pesos ($)P = 350 x 100.000

= $35.000.000.

Valor del dólar dentro de un año:

Valor = 350 (1 + 0.3) = $455 0.3: Índice de devaluación (f%)

Valor de la obligación en un año sin interés $455 x 100,000 =

45,500,00


Por efecto de la devaluación la deuda se ha incrementado en:

45.500.000 – 35.000.000 = $10.500.000 lo que en últimas

corresponde a un interés bajo la denominación de devaluación.

Valor de los intereses:

i = 0.15 x 45,500,000 = $6,825,000

Valor total al cancelar en pesos al finalizar el año:

45,500,000 + 6,825,000 = $52,325,000

Valor en dólares = 52,325,000/455 = US $115,000


Fórmula para calcular la tasa combinada

PROBLEMAS SOBRE TASAS DE INTERÉS

Problema 1a)

Usted, como gerente de una entidad de crédito, fue autorizado por la junta directiva

para otorgar créditos al 42,1% anual C.T.

¿Qué tasas de interés debe dar a sus clientes para estos planes?

a) Semestral E.

Primero convertimos Anual a Semestral, o sea 42.1 ÷ 2 = 21.05%

Para CT m = 2

42.1% Anual C.T.

→ 22.16%

semestral E

ie = 𝟏 +i𝒎

- 1 𝑚

ie = 𝟏 +𝟎.𝟐𝟏𝟎𝟓

𝟐- 1 2

ie = 𝟎. 𝟐𝟐𝟏𝟔


Problema 1b)

Usted, como gerente de una entidad de crédito, fue autorizado

por la junta directiva

para otorgar créditos al 42,1% anual C.T.


b) Bimestral anticipado.obtenemos la efectiva anual con capitalización bimestral (P = 6)Después vamos a una tasa nominal anticipada (Fórmula 2b)

ie = 𝟏 +i𝒎

- 1 𝑚

ie = 𝟏 +𝟎.𝟒𝟐𝟏

𝟔- 1 6

ie = 𝟎. 𝟓𝟎𝟐𝟏𝟑

42.1% Anual E →

m=-6→50.213%

anual E → m= -6 →

39.34% anual BA

i = 0.3934%

i = m -𝒎

𝒊𝒆+𝟏1/m

i = 6 -𝟔

𝟎.𝟓𝟎𝟐𝟏𝟑+𝟏 1/6


Problema 2a.

Usted, como gerente de una entidad de crédito, fue autorizado por la junta directiva para otorgar

créditos al 39,7% efectivo.


a) Trimestre anticipado.

Vamos de una tasa efectiva a una tasa anticipada

39.7% Anual E →

32.074% anual TA

÷ 4 = 8.018%

Trimestral TA

i = m -𝒎

𝒊𝒆+𝟏1/m

i = 4 -𝟒

𝟎.𝟑𝟗𝟕+𝟏 1/4

i = 0.32074


Problema 2b.




b) Semestral Nominal.

Vamos de una tasa efectiva a una nominal vencida.

36.39% Anual CS

→ ÷ 2 = 18.195%

Semestral CS

i = [ ie+ 𝟏 - 1] m

1

𝑚

i = [ 0.𝟑𝟗𝟕+ 𝟏 - 1] * 2

1

2

i = 36.39%


Problema 2c.




c) Nominal Mensual.


33.903% Anual CM

→ ÷ 12 = 2.825%

Mensual CM

i = [ ie+ 𝟏 - 1] m

1

𝑚

i = [ 0.𝟑𝟗𝟕+ 𝟏 - 1] * 12

1

12

i = 33.903%


Problema 2d.




d) Semestral Anticipado.


30.788% Anual SA

→ ÷ 2 = 15.39%

Semestral SA

i = m -𝒎

𝒊𝒆+𝟏1/m

i = 2 -𝟐

𝟎.𝟑𝟗𝟕+𝟏 1/2

i = 0.30788


Problema 3a

Usted debe generar un plan para la emisión de bonos, si la junta directiva de su empresa fijó los

intereses de emisión de un 36% anual efectivo y si se le debe ofrecer a los inversionistas plazos de

pago así:

a) Mes vencido anual M.V. → mensual. C.M.

31.146% Anual MV

→ ÷ 12 = 2.595%

Mensual CM

i = [ ie+ 𝟏 - 1] m

1

𝑚

i = [ 0.𝟑𝟔+ 𝟏 - 1] * 12

1

12

i = 31.146%


Problema 3b

Usted debe generar un plan para la emisión de bonos, si la junta directiva de su empresa fijó los

intereses de emisión de un 36% anual efectivo y si se le debe ofrecer a los inversionistas plazos de

pago así:

b) Trimestre vencido R/ 31,961% anual T.V. 7,99% trimestral.

31.961% Anual TV

→ ÷ 4 = 7.99%

Trimestral TV

i = [ ie+ 𝟏 - 1] m

1

𝑚

i = [ 0.𝟑𝟔+ 𝟏 - 1] * 4

1

4

i = 31.961%

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