Copyright Statement

The digital copy of this thesis is protected by the Copyright Act 1994 (New Zealand). This thesis may be consulted by you, provided you comply with the provisions of the Act and the following conditions of use:

• Any use you make of these documents or images must be for research or private study purposes only, and you may not make them available to any other person.

• Authors control the copyright of their thesis. You will recognise the author's right to be identified as the author of this thesis, and due acknowledgement will be made to the author where appropriate.

• You will obtain the author's permission before publishing any material from their thesis.

To request permissions please use the Feedback form on our webpage. http://researchspace.auckland.ac.nz/feedback

General copyright and disclaimer In addition to the above conditions, authors give their consent for the digital copy of their work to be used subject to the conditions specified on the Library Thesis Consent Form

ACCIDENT  OR  DESIGN?    New Theories on the Unfinished Contrapunctus 14 in J. S. Bach’s  The Art of Fugue BWV 1080 

 

  

INDRA NICHOLAS MARTINDALE HUGHES        

A thesis submitted in partial fulfilment  of the requirements for the Degree of DOCTOR OF MUSICAL ARTS 

 University of Auckland, 2006 

 

  ii

Frontispiece 

 

 

 

 

Deutsche Staatsbibliothek, Berlin 

Mus. ms. P200/Beilage 3 page 5 

The last page of Bach’s autograph manuscript of Contrapunctus 14 

 

This reproduction is a colour postcard published by Carus, Stuttgart CV 40.331/90.       It is included here, despite its reduced size, as the clearest available reproduction of the 

last page. 

  iii

ABSTRACT  

The literature about the unfinished ending of J S Bach’s The Art of Fugue (Die Kunst der Fuga) BWV 1080  is  in universal agreement  that  the work remained unfinished  at  Bach’s  death;  some  texts  go  a  step  further  to  say  that  it  is unfinished because he died. After giving a series of performances of  the work, the author became convinced  that  this  latter view must be  incorrect, and  that Bach  left  the work  unfinished  deliberately.  This  thesis  explores  this  idea  in detail and, by presenting a number of new theories, suggests not only that Bach left  the work unfinished deliberately as an  invitation  to  the reader, student or performer to work out his or her own completion, but also that he left a number of  clues,  hidden  to  a  greater  or  lesser  extent,  to  indicate  that  that  was  his intention and to supply vital information about the content of the missing bars. 

Divided  into  two  parts,  the  thesis  first  considers  some  of  the  evidence contained within the manuscript itself, up to and including the final written bar, and  then  in  the  second part  goes  on  to  consider  two  essential  aspects  of  the completion. 

By way  of  introduction,  the  first  chapter  surveys  the  controversial  area  of Bach’s use of numbers  in his music and draws attention  to  the number of  the final bar, which  can be  interpreted as a  clue  to  the  fact  that Bach expects  the music to be continued.  

Chapter  Two  invites  a  reconsideration  of  Christoph  Wolff’s  famous “Fragment X”  theory, which  suggests  that  the  continuation of  the  final  fugue was written on a separate, now  lost, piece of paper. Many  inconsistencies and details  in  the manuscript  suggest  strongly  that Wolff’s  theory  is  incorrect. As part of  this  theory,  the author  reports on his own examination of  the original manuscript in Berlin. 

Chapter Three, through a detailed study of the architecture of the final fugue, makes the bold claim that the author has definitively proved the exact number of bars  required  to  complete  the music  in  accordance with Bach’s  intentions: this theory develops and refines the work of Gregory Butler in this area, and, to corroborate  the  theory,  presents  a  possible  interpretation  of  the  unusual markings  at  the  end  of  Bach’s  score  and  of  a  significant  correction made  by Bach in his manuscript. 

Finally, in Chapter Four, the question of the proposed inverted combination of all four fugue subjects is revisited – a combination that several writers have claimed to be impossible – and a new and convincing solution to this problem is presented and justified. 

 

  iv

Acknowledgements 

 I should like to thank my two Supervisors at the University of Auckland: Dr 

Fiona McAlpine, who was  principally  responsible  for  the  supervision  of  this thesis; and Dr John Wells. I am very grateful for their expertise and wisdom.  

 

Thanks are due also to those who have shared their knowledge and opinions with me in private correspondence: Michael Ferguson, Lionel Rogg, Dr Bradley Lehman, Dr Yo Tomita of Queen’s University, Belfast, Dr John Bertalot, Ewald Demeyere  of  the  Koninklijk  Vlaams  Muziekconservatorium,  Antwerp  and Nikolas Krawchenko. 

 

Dr Helmut Hell of the Deutsche Staatsbibliothek in Berlin graciously granted permission  for me  to  view  Bach’s  original manuscript  of  The  Art  of  Fugue, enabling me  to  confirm my  theories  about  the markings on Bach’s  last page, about the handwriting characteristics, and about the significant alteration made by Bach  in one place  in  the  score of Contrapunctus 14. The  staff at  the Bach‐Archiv in Leipzig generously allowed me to take photocopies of some material that was not easily available elsewhere. 

 

A number of people and organizations made financial contributions to assist me with my  research visit  to Berlin:  they are  listed here  in alphabetical order with gratitude and appreciation. Margaret Barriball; Graeme Edwards; David Goodenough;  Mrs  C  E  Hughes;  Wayne  Hughes;  Neil  Ingram;  Margo Knightbridge; Joan Pasche; John Sinclair; the University of Auckland Graduate Research Fund; the University of Auckland School of Music; Dr David Yu. 

 

 

  v

Table of Contents  ABSTRACT .................................................................................................................................................III

ACKNOWLEDGEMENTS .............................................................................................................................. IV TABLE OF CONTENTS .................................................................................................................................. V LIST OF FIGURES ........................................................................................................................................ VI LIST OF MUSICAL EXAMPLES ...................................................................................................................VII

PART ONE: BEFORE BAR 239 ................................................................................................................ 1 BACH’S USE OF GEMATRIA IN THE ART OF FUGUE.................................................................... 1

BACKGROUND............................................................................................................................................. 2 NUMBER ALPHABETS .................................................................................................................................. 3 EXAMPLES OF GEMATRIA IN BACH’S MUSIC ............................................................................................. 4

Smend’s theories.................................................................................................................................... 4 The number 43: The B Minor Mass Credo and the Organ Prelude Wir glauben all’ an einen Gott BWV 680................................................................................................................................................ 8 The number 3: The “St Anne” Fugue and the Organ Prelude Wachet auf, ruft uns die Stimme ....... 8 The numbers 14 and 41 (the “BACH numbers”): the Mass in B Minor; the Schübler Chorales and the Chorale Vor deinen Thron .............................................................................................................. 9

THE BACH NUMBERS AND THE ART OF FUGUE......................................................................................... 15 Herbert Kellner and the significance of the Well-Tempered tuning system ...................................... 15 Other occurrences of the number 14 .................................................................................................. 18 The last bar.......................................................................................................................................... 20

‘FRAGMENT X’ RECONSIDERED....................................................................................................... 22 THE SOURCES............................................................................................................................................ 22

The Autograph: P200.......................................................................................................................... 23 Beilage 3 .............................................................................................................................................. 23

CHRISTOPH WOLFF’S ARTICLE: THE ‘FRAGMENT X’ THEORY .................................................................. 27 PROBLEMS WITH WOLFF’S THEORY.......................................................................................................... 31

‘Fragment x’........................................................................................................................................ 31 “Two different pieces”........................................................................................................................ 33 The structure of Contrapunctus 14 ..................................................................................................... 34 The appearance of page 5 ................................................................................................................... 35

WHAT CATEGORY OF SCORE IS BEILAGE 3? .............................................................................................. 47 Examination of the manuscript ........................................................................................................... 57 More on the appearance and ruling of page 5 ................................................................................... 63

CONCLUSIONS ........................................................................................................................................... 70 PART TWO: AFTER BAR 239 ................................................................................................................ 75 THE BACH NUMBERS, PROPORTIONAL RATIOS AND THE MARKINGS ON THE LAST PAGE: THE LENGTH OF THE QUADRUPLE FUGUE CONCLUSIVELY ESTABLISHED..... 75

INTRODUCTION ......................................................................................................................................... 75 BACH’S USE OF GEMATRIA OR NUMEROLOGY: BRIEF OVERVIEW............................................................ 76 VARYING LENGTHS OF COMPLETIONS OF CONTRAPUNCTUS 14 ............................................................... 77

Gregory Butler’s article...................................................................................................................... 80 REFINEMENT OF BUTLER’S THEORY......................................................................................................... 84 EXPLANATION OF A “CORRECTION” IN THE MANUSCRIPT ........................................................................ 91 MARKINGS ON THE LAST PAGE OF THE AUTOGRAPH: A POSSIBLE NUMEROLOGICAL INTERPRETATION... 95

Gematria applied to the markings ...................................................................................................... 97 CORROBORATIVE EXAMPLES .................................................................................................................. 100

The Mass in B minor ......................................................................................................................... 100 The title page of The Well-Tempered Clavier .................................................................................. 102 The Musical Offering: “Quaerendo invenietis” and the Houdemann Canon BWV 1074 .............. 104

CONCLUSION........................................................................................................................................... 106

  vi

QUESTIONS RAISED BY THE OBITUARY, AND NEW SOLUTIONS TO THE PROBLEM OF THE INVERTED COMBINATIONS .................................................................................................... 108

“This is the last work of the author…”............................................................................................. 113 “His last illness prevented him from completing…” ....................................................................... 114 “the next-to-last fugue” .................................................................................................................... 117 “the last one was to contain four themes…”.................................................................................... 119

THE RECTUS COMBINATION OF THE FOUR SUBJECTS ............................................................................ 121 “… was to contain four themes” ...................................................................................................... 121 Consecutives in Bach’s Music........................................................................................................... 124

THE INVERSUS COMBINATION OF THE FOUR SUBJECTS ......................................................................... 142 “…and to have been afterward inverted note for note in all four voices” ...................................... 142 Inverting the subjects ........................................................................................................................ 144 More on subject II: Bach’s sometimes irregular resolution of suspensions.................................... 147 Combining the four inverted subjects ............................................................................................... 153

AN OUTLINE OF A POSSIBLE COMPLETION .............................................................................................. 167 CONCLUSIONS ....................................................................................................................................... 171 APPENDIX: FACSIMILE OF MUS. MS. P200, BEILAGE 3............................................................ 174 BIBLIOGRAPHY ..................................................................................................................................... 180

 

List of Figures  Fig. 1.1: number alphabet by Georg Philipp Harsdoerffer, Poetischer Trichter, Nürnberg 1648................. 6 Fig. 1.2: the last bar of Bach’s manuscript ................................................................................................... 20 Fig. 2.1: Beilage 3, page 5 ............................................................................................................................ 25 Fig. 2.2: Beilage 3, page 1 ............................................................................................................................ 30 Fig. 2.3: Contrapunctus 1, page 1 (autograph) ............................................................................................. 37 Fig. 2.4: Well-Tempered Clavier Book 1, Prelude I in C (autograph) ........................................................ 38 Fig. 2.5: Well-Tempered Clavier Book 1, Fugue in B minor (autograph) .................................................. 38 Fig. 2.6: Fantasia in D major BWV 906 (autograph)................................................................................... 38 Fig. 2.7: Fugue from Violin Sonata BWV 1001 (autograph) ...................................................................... 39 Fig. 2.8: Fugue from Violin Sonata BWV 1005 (autograph) .................................................................... 39 Fig. 2.9: Contrapunctus 1 (autograph), bars 19 & 20, tenor part ................................................................. 40 Fig. 2.10: Cantata BWV 61 .......................................................................................................................... 43 Fig. 2.11: Beilage 1, page 2 (autograph, final version of the Augmentation Canon).................................. 45 Fig. 2.12: 1751 edition, page 12, end of Contrapunctus 4 and Schmuckgraphik........................................ 46 Fig. 2.13: 1751 edition, end of Contrapunctus 8 and Schmuckgraphik incorporating “JSB” monogram.. 46 Fig. 2.14: Contrapunctus 14 (autograph), last two bars ............................................................................... 54 Fig. 2.15: Contrapunctus 14 (autograph), bar 165 ....................................................................................... 61 Fig. 3.1: page 61 of the printed edition: first page of the unfinished fugue ................................................ 83 Fig. 3.2: the structure of a completed Contrapunctus 14 ............................................................................. 90 Fig. 3.3: Contrapunctus 14 (autograph, page 2), showing the original bars 111 and 112 crossed out and

three replacement bars notated in the bottom margin ........................................................................ 92 Fig. 3.4: Beilage 3, page 5, showing “doodles” at the bottom corners of the page..................................... 96 Fig. 3.5: bottom left....................................................................................................................................... 96 Fig. 3.6: bottom right .................................................................................................................................... 96 Fig. 3.7: The manuscript of the “Patrem omnipotentem” chorus from the Mass in B Minor, showing the

number 84 written at the end of the score......................................................................................... 101 Fig. 3.8: The title page of the Well-Tempered Clavier .............................................................................. 103 Fig. 3.9: detail of the loops at the top of the page ...................................................................................... 103 Fig. 3.10: the drawing turned upside down, showing correspondence with Bach’s tuning system ......... 104 Fig. 3.11: Musical Offering, Canon No 9 “quaerendo invenietis” ............................................................ 105 Fig. 3.12: one possible realisation of Canon No. 9 .................................................................................... 105 Fig. 3.13: puzzle canon BWV 1074 ........................................................................................................... 106  

  vii

List of Musical Examples 

 Ex. 1.1: the last bar of the Christe eleison from the Mass in B minor............................................... 10 Ex. 1.2: the first four notes of the subject of Kyrie II ......................................................................... 12 Ex. 1.3: subject of Kyrie II .................................................................................................................. 12 Ex. 1.4: soprano entry of the subject, bar 40, Kyrie II....................................................................... 13 Ex. 1.5: the opening of Wachet auf, ruft uns die Stimme ................................................................... 14 Ex. 1.6: the first subject of Contrapunctus 14 .................................................................................... 17 Ex. 1.7: Contrapunctus 5, bar 41........................................................................................................ 19 Ex. 1.8: the third subject of Contrapunctus 14................................................................................... 19 Ex. 2.1: the combination of the four subjects as given by Nottebohm and Wolff .............................. 27 Ex. 3.1: Contrapunctus 14, bars 113 - 115......................................................................................... 85 Ex. 3.2: Contrapunctus 14, bars 192-194........................................................................................... 86 Ex. 3.3: bars 143-4, showing a hint of the BACH motif, and the notes D, A, C and F (=14) sounding in the fourth beat ................................................................................................................................. 91 Ex. 3.4: Contrapunctus 14 (autograph, page 2), showing the original music of bars 111 and 112 before Bach crossed them out ............................................................................................................. 93 Ex. 3.5: The same passage using treble and bass clefs ...................................................................... 93 Ex. 3.6: the three new bars (111, 112 and 113 in this example) that replaced bars 111 and 112 in the previous examples ......................................................................................................................... 93 Ex. 3.7: graphic representation of the markings ................................................................................ 97 Ex. 4.1: The three subjects of Contrapunctus 14.............................................................................. 108 Ex. 4.2 The triple combination at bar 233........................................................................................ 109 Ex. 4.3: The quadruple combination as given by Nottebohm .......................................................... 110 Ex. 4.4: bars 229-238, soprano voice, following the outline of the main Art of Fugue subject...... 110 Ex. 4.5: The quadruple combination as given by Nottebohm .......................................................... 121 Ex. 4.6: Tovey’s third and last rectus combination.......................................................................... 122 Ex. 4.7: Contrapunctus 3, bars 55 - 61............................................................................................. 123 Ex. 4.8: Chorale “Gott sei uns gnädig und barmherzig”, showing consecutive fifths between T and S in the last bar.................................................................................................................................. 125 Ex. 4.9: “Ein' feste Burg ist unser Gott”, showing consecutive 5ths between S and B in the last bar........................................................................................................................................................... 125 Ex. 4.10: Ricercar a 3 from the Musical Offering, bar 64............................................................... 126 Ex. 4.11: Contrapunctus 6, bar 15.................................................................................................... 126 Ex. 4.12: Contrapunctus 6, bar 18.................................................................................................... 126 Ex. 4.13: The subjects layered I-II-III-IV ......................................................................................... 128 Ex. 4.14: The five triple combinations from the end of Contrapunctus 8........................................ 130 Ex. 4.15: The three triple combinations from the end of Contrapunctus 11 ................................... 131 Ex. 4.16: The consecutives created by layering IV above II ............................................................ 132 Ex. 4.17: Tovey’s solution to the problem of consecutives .............................................................. 132 Ex. 4.18: The subjects layered with II above IV: the consecutives vanish ...................................... 133 Ex. 4.19: How the 14-note form of IV fits in the counterpoint ......................................................... 134 Ex. 4.20: The subjects layered I12-II-III-IV....................................................................................... 135 Ex. 4.21: The subjects layered II-I-IV-III ......................................................................................... 135 Ex. 4.22: The subjects layered II-I12-IV-III....................................................................................... 136 Ex. 4.23: Tovey’s first rectus combination ....................................................................................... 136 Ex. 4.24: Tovey’s first rectus combination (I12-III-II-IV) transposed to D minor ........................... 137 Ex. 4.25: Tovey’s third and final rectus combination: IV-II-III-I.................................................... 138 Ex. 4.26: II-IV-III-I............................................................................................................................ 139 Ex. 4.27: II-IV-III-I with conjectural continuation .......................................................................... 140 Ex. 4.28: II-IV-III-I with conjectural continuation, transposed into A minor ................................. 140 Ex. 4.29: Tovey’s second rectus combination II-III-IV-I ................................................................. 141 Ex. 4.30: II-III-IV-I using the 14-note form of IV............................................................................. 141 Ex. 4.31: the standard scale of inversion ......................................................................................... 145 Ex. 4.32: subject I and Iinv ................................................................................................................. 145 Ex. 4.33: subject II and IIinv .............................................................................................................. 145 Ex. 4.34: inversion scale for III as given by Tovey .......................................................................... 145 Ex. 4.35: First appearance of IIIinv as given by Bach in the alto at bar 213 ................................... 146

  viii

Ex. 4.36: Second and final appearance of IIIinv as given by Bach in the bass at bar 222............... 146 Ex. 4.37: subject III and IIIinv............................................................................................................ 146 Ex. 4.38: subject IV and IVinv ............................................................................................................ 147 Ex. 4.39: WTC, Book 2, Prelude 1, bars 9 - 10 ................................................................................ 150 Ex. 4.40: Verlieh’ uns Frieden gnädiglich (Riemenschneider No. 91)............................................ 150 Ex. 4.41: WTC, Book 2, Prelude 11.................................................................................................. 151 Ex. 4.42: WTC, Book 2, Prelude 11 bars 15-16 ............................................................................... 151 Ex. 4.43: Contrapunctus 10, bars 20-22........................................................................................... 152 Ex. 4.44: Iinv-IIinv-IIIinv-IVinv............................................................................................................... 153 Ex. 4.45: IVinv-IIIinv-Iinv-IIinv............................................................................................................... 154 Ex. 4.46: Tovey’s first inverted combination.................................................................................... 155 Ex. 4.47: IIIinv- IIinv- IVinv- Iinv............................................................................................................ 156 Ex. 4.48: IIIinv- IIinv- IVinv- Iinv-12 ........................................................................................................ 157 Ex. 4.49: Tovey’s second inversus combination............................................................................... 158 Ex. 4.50: IVinv-IIIinv- IIinv- Iinv............................................................................................................. 158 Ex. 4.51: IVinv-IIIinv- IIinv- Iin-12 .......................................................................................................... 159 Ex. 4.52: The four subjects inverted semitone for semitone............................................................. 160 Ex. 4.53: Michael Ferguson’s inverted quadruple combination ..................................................... 161 Ex. 4.54: Ferguson’s inversion layered in the order IVinv-IIIinv-IIinv-Iinv.......................................... 162 Ex. 4.55: The inversion layered in the order IVinv-IIIinv-IIinv-Iinv-12, with the 14-note form of IV ..... 163 Ex. 4.56: The solution to the inversus quadruple combination, as proposed by Indra Hughes ..... 164 Ex. 4.57: Three-part Invention No 12, bars 3 and 4 ........................................................................ 165 Ex. 4.58: The combination complete with suggested non-thematic material .................................. 167

PART  ONE:  BEFORE  BAR  239  

 Chapter One    

BACH’S USE OF GEMATRIA                                    IN THE ART OF FUGUE 

There is no certainty…that Bach used any eighteenth-century number-alphabet forms, even assuming that he knew about them.

Ruth Tatlow1

Mathematics is the heart and soul of music … Without question the bar, the rhythm, the proportion of the parts of a musical work and so on must all be measured … Notes and other signs are only tools in music, the heart and soul is the good proportion of melody and harmony. It is ridiculous to say that mathematics is not the heart and soul of music.

Johann Mattheson2

The legitimacy and soundness of such procedures is nowadays established: Baroque gematria is a historical fact. No serious and competent musicologist could claim controversy here anymore.

Herbert Kellner3

Gematria  is  “a  system  by  which  hidden  truths  and  meanings  are 

discovered within words. Each letter of an alphabet corresponds to a number. 

Numerical values of words are totalled up and then these words are said to 

correspond with other words sharing the same numerical value.”4 The word 

gematria  is  often used  in  a  loosely  interchangeable manner with  the word 

‘numerology’: “divination by numbers; the study of the esoteric meaning of 

numbers”.5 

1 Tatlow, R. (1991) Bach and the riddle of the number alphabet Cambridge, Cambridge University Press, page 127 2 Mattheson, J. (1743) "Neu eröffnete musikalische Bibliothek" 2: 54 3 Kellner, H. A. (2000) "Johann Sebastian Bach and 'Die Kunst der Fuga'" The Diapason 91(3:1084): 13 4 Hefner, A. G. (1997-2004) Gematria <http://www.agnosticwitch.catcara.com/divindex-part1.htm>, (web site) Accessed 4 June 2005. The derivation of the word is from Rabbinical Hebrew gēmatriyā, adj.: Greek γεωμετρί (geometry). 5 Sykes, J. B., Ed. (1982) Concise Oxford Dictionary, Oxford, Oxford University Press

  2

Perhaps no other area of Bach studies has generated such controversy as 

the  claim  that much  of  Bach’s music  is  founded  on,  or  at  least  contains, 

hidden numerological or gematric structures or meanings. Opinion is sharply 

divided between  those who delight  in hunting out  such numbers  in Bach’s 

music and who believe  that he put them  there  intentionally, and  those who 

are sceptics and who believe  that  the numbers are either not  there or are at 

best coincidences. Chief among the former was Friedrich Smend (1893‐1980); 

one of the leading sceptics is Ruth Tatlow.6 

In this Chapter I give a brief overview of the background to gematria and 

discuss some examples of Bach’s use of numbers  in his music,  in particular 

the number 14. I then consider appearances of this number in The Art of Fugue 

and  suggest  that  it  brings  to  bear  on my  theory  that  Bach  left  the work 

unfinished deliberately. 

Background 

The Babylonian king Sargon II,  in the 8th century BC, is believed to have 

been  the  first  to use gematria when building  the wall of Khorsabad exactly 

16,283  cubits  long,  because  that was  the  numerical  value  of  his  name.  In 

Jewish mysticism  this  is  a  traditional  system  of  associating  numbers with 

Hebrew  letters  for  the  purpose  of discovering  hidden meanings  in words. 

This is accomplished by systematically associating letters with numbers and 

then  finding  other  words  with  similar  numbers.  These  latter  words  are 

regarded as comments on the original words. The Hebrews used gematria for 

divination  (a  means  of  communicating  with  the  supernatural  world, 

principally  to  foretell  the  future);  and  the  ancient Greeks used gematria  in 

dream  interpretation.  Gematria  carried  over  into  early  Christianity which 

helped make  the dove  a  representation of  Jesus:  the Greek word  for dove, 

6 Tatlow, op. cit.

  3

peristera,  equals  801  as  do  the  Greek  letters  in  alpha  and  omega,  which 

represent  the Beginning  and  the End.  It was  the Kabbalists, however, who 

seriously studied gematria and developed it into an art form. The Kabbalists 

of the 13th century believed that the Old Testament was written in a hidden 

code  inspired  by God.  They  used  gematria  as  one  of  the  chief means  by 

which  to decipher  this  code. As  an  example,  gematria  shows  that  the  first 

verse of the Bible, (Genesis 1:1) In the beginning God created the heaven and the 

earth,  is  full  of  multiple  references  to  the  number  7  –  the  number  of 

completeness  and  principally  the  number  of  the  7  days  of  creation.  Entire 

verses were  numerically  added  up  and  interpreted  in  such  a  fashion.  The 

13th  century German Kabbalistic  scholar, Eleazar  of Worms, did  extensive 

gematric commentaries on the Bible. 

Number alphabets 

Ruth  Tatlow  lists  33  different  number  alphabets  and  their  variants  in 

Appendix 1 of her book. The most commonly used number alphabet was a 

Latin  ‘natural  order’  alphabet which  Tatlow  designates  as  “Latin  natural‐

order: variant 1”. 

A  B  C  D  E  F  G  H 

1  2  3  4  5  6  7  8 

 

I / J  K  L  M  N  O  P  Q 

9  10  11  12  13  14  15  16 

 

R  S  T  U / V  W  X  Y  Z 

17  18  19  20  21  22  23  24 

Note  that  the  letter  J was not  included – or, on  the rare occasions  that  it 

was  included,  it shared the same number as I. The Roman  letter I was used 

up to the 18th century to represent both the vowel sound i (as in ‘sit’) and the 

  4

consonant  dzh  (as  in  ‘jump’).  Roman  numerals  ending with  i  came  to  be 

written with an elongated  final  letter, as  in “Kynge Henry  the viij”. During 

the 17th century, i came to be used for the vowel, and the elongated version j 

for  the  consonant, with  the  elongated upper‐case  form  J  being  introduced. 

Some however objected to this departure from Classical Latin. For example, 

when Captain Cook drew his chart of New Zealand he signed it “by Lieut. J. 

Cook,  Commander  of  the  Endeavour  Bark  1770”;  but when  the map was 

published  in  Sydney  Parkinson’s  Journal  (1773)  the  editor  pedantically 

‘corrected’ the signature to “by I. Cook”.7 

Similarly  it  can be noticed  that U and V also  share  the  same number as 

each other. 

Examples of Gematria in Bach’s Music 

Smend’s theories 

In 1947 Smend published four volumes of books about Bach’s Cantatas in 

which  he  incorporated  his  findings  from  a  large  file  of  notes  and 

correspondence  with  Martin  Jansen.  The  main  part  of  Smend’s  number 

theory is to be found in the introduction to the third volume.8 Early on in his 

study he draws attention to the number 14, which has since become widely 

known as ‘the Bach number’. 

B  +  A + C + H

2  +  1  + 3  + 8 = 14 

Smend claims that other numbers are to be found in the structure of Bach’s 

works,  usually  of  a  theological  symbolism.  These  include  3  for  the Holy 

Trinity;  10  for  the Commandments;  12  for  the  disciples  and  so  on. As  an 

7 I am indebted to Garry J. Tee of the Department of Mathematics, University of Auckland, for the information in this paragraph. 8 Smend, F. Kirchen-Kantaten III (1947), pages 5 - 21

  5

example  of  Smend’s  claims  about  other  numbers  the  following  paragraph 

gives some insight: 

When Bach uses the number alphabet in his compositions, it is by no means always a matter of his own name alone, although that often occurs. Words of quite a different kind, words of a religious and theological nature, are regularly to be found also. We will do well to consider only a small number of these, in order to see our way clearly. CHRISTUS is expressed by the number-symbol 112, CREDO by 43. The ‘Credo’ of the B minor Mass, in its original form, numbers 784 (i.e. 7 x 112) bars; the sacred name of CHRISTUS is invoked 7 times therein. In the chorus ‘Credo in unum Deum’ in the same work, the word CREDO appears 43 times. The same chorus, plus the following movement ‘Patrem omnipotentem’, amounts to a total of 129 (i.e. 3 x 43) bars; i.e. Bach’s setting of the first article of faith, in the very number of its bars, states: CREDO, CREDO, CREDO.9

Ruth Tatlow has no  time  for Smend’s  theories, condemning  them chiefly 

on  the  basis  that  “he  gives  little  historical  evidence  to  support  his 

statements”. She says that “most of his claims have to be taken on trust as he 

does not support them with references to primary or secondary sources. The 

most serious omission  is an example of  the natural‐order alphabet  from  the 

seventeenth or eighteenth centuries.”10 

However, an absence of historical evidence or reference to sources cannot 

give reason to discount Smend’s observations: either the numbers of bars in 

Bach’s scores are as Smend  says  they are, or  they are not, and  it  is clear  in 

many cases that they are. 

Further,  in her appendix, Tatlow includes a list of publications that make 

reference to number‐alphabets: 28 of these were published before Bach’s birth 

in 1685. Although there is no evidence that Bach read any of these or knew of 

them,  it  is known  that he was  a well  read  and  educated person who died 

9 quoted in Tatlow op. cit., page 9 10 Ibid., page 10

  6

leaving an  extensive  and wide‐ranging  library of books on  theological  and 

scientific subjects.11 

Tatlow  also  complains  that  Smend  has  not  supplied  an  example  of  the 

natural order alphabet from the seventeenth or eighteenth centuries. Here is 

such an example: 

 Fig. 1.1: number alphabet by Georg Philipp Harsdoerffer, Poetischer Trichter, Nürnberg 1648 

It will  be  seen  that  this number  alphabet  is  the  same  as  that  on page  3 

above,  which  Tatlow  calls  “Latin  natural‐order:  variant  1”.  The  fact  that 

Smend does not supply an example like this does not mean that no example 

exists;  neither  does  it  invalidate  his  argument.  It  is  true  that  there  is  no 

evidence that Bach saw this or anything like it; but even Tatlow says: 

It is extremely likely that Bach came across many different number alphabets. Techniques of gematria were well known in his day…12

11 A list of the books left in Bach’s estate can be seen in David, H. T., Mendel, A., et al. (1998) The new Bach reader : a life of Johann Sebastian Bach in letters and documents New York, W.W. Norton, page 253 12 Ibid., page 126

  7

In his handbook on Bach’s Mass in B minor, John Butt sounds a useful note 

of caution: 

This style of interpretation [i.e. the search for gematric significance in music] is readily open to those who desire it. However it is so often the product of a sort of fundamentalism which is bound to accompany a composer of Bach’s musical genius. […] There is at once no supporting evidence for verification and, on the other hand, no possibility of refutation. There is a tendency to interpret everything in sight and even to ignore certain obvious features … if they happen to contradict the deeper spiritual message. The systems by which the information is gathered are governed entirely by whatever yields the most satisfactory results; the author selects data from bar totals, movement numbers, musical gestures and verbal instructions with no consistency which is externally imposed. Finally, one often gains the impression that Bach composed virtually for no other reason than to include ‘messages’ latent in bar totals and verbal directions; before long any consideration of musical style, its quality and structures, will cease to be of importance. Clearly it would be against the spirit of Bach’s age to eschew any reference to number and religious symbolism. But for most scholars and listeners these must surely be subordinate to a more comprehensive view of the work and its style.13

It  is hard to disagree with this approach. Nonetheless the frequency with 

which  significant numbers appear  in Bach’s music  cannot be discounted.  If 

hard historical  evidence  is not  to be  found,  one may  gather  circumstantial 

evidence by amassing a body of instances which together point to a plausible 

analysis.  There  may  be  those  who  would  regard  the  apparent 

correspondences between words or music and numbers as coincidences; and 

indeed  coincidences  they  may  be.  But  if  one  were  to  keep  seeing  such 

correspondences between words and numbers in many other places in Bach’s 

music,  the  totality  of  such  observations might  lead  a  reasonable person  to 

conclude that Bach might have been doing this intentionally. 

13 Butt, J. (1991) Bach Mass in B minor Cambridge, Cambridge University Press, page 38

  8

The number 43: The B Minor Mass Credo and the Organ Prelude Wir glauben all’ an einen Gott BWV 680 

 As Smend points out (page 5 above), C+R+E+D+O = 3+17+5+4+14 = 43; and 

no‐one can dispute the fact that Bach has set the word “credo” 43 times in the 

first chorus, Credo  in unum Deum, of his Symbolum Nicenum  in the Mass  in B 

minor BWV 232. 14  

 Another example of the use of the number 43 to represent ‘Credo’ occurs 

in the Chorale Prelude on Wir glauben all’ an einen Gott BWV 680 (the “Giant” 

Fugue): the final pedal entry is comprised of 43 notes, which may or may not 

be  significant  in  a  setting  of  the  tune  associated with  the words  “We  all 

believe in one true God”. 

The number 3: The “St Anne” Fugue and the Organ Prelude Wachet auf, ruft uns die Stimme 

The  organ  Fugue  in  E  flat  BWV  552  (the  “St  Anne”  Fugue)  is  often 

regarded  as  having  many  Trinitarian  connotations.  It  is  comprised  of  3 

clearly  delineated  sections;  there  are  3  separate  fugue  subjects;  its  key 

signature  has  3  flats;  it  has  3  different  time  signatures  and  yet  the  beat 

remains proportional (suggesting, perhaps, theological ‘unity in trinity’). The 

total number of bars of the three sections of the fugue is 36+45+36 = 117; 117 

might  be  expressed  as  13x3x3  –  a  very  Trinitarian  row  of  numbers  (1333) 

encapsulating  unity  (1)  and  trinity  (three  3s).  The  total  of  those  digits 

(3+6+4+5+3+6)  is  27,  which  might  be  expressed  as  3x3x3;  and  indeed 

2+7=3+3+3.15 Further, 117 might also be expressed as 27x4.3 which might lead 

14 A further example of Bach’s deliberate use of numbers in the Credo (in this case, the number 84) is described in Chapter 3. 15 The foregoing information in this paragraph, together with a number of other insights referred to throughout this thesis, comes from Dr. John Bertalot's enlightening articles (Bertalot, J (2000) "Spirituality and symbolism in the music of J. S. Bach." Organists' Review 86 (3): 222-225, and 86 (4):331-336.). The text of these articles is expanded from lectures given by Dr. Bertalot in King's College, Cambridge in August, 1987; the Universities of Witwatersrand and Port Elizabeth, South Africa; Southwell Minster, England on 6 July 2000; and the Hereford Three Choirs' Festival on 18th August 2003. I am grateful to Dr. Bertalot for sharing many of his insights in private correspondence.

  9

to a leap of logic equating those numbers to a cryptic statement by Bach that 

“I  believe”  (credo=43)  “in  the  Trinity”  (27=3x3x3). Keeping  Butt’s word  of 

caution  in might,  some might  think  that  this  is going  too  far; on  the other 

hand, who  is  to say  that Bach was not saying  that? The  fugue comes at  the 

end of the Clavierübung, a collection of 27 pieces. All of this is undeniable and 

the suggestion of deliberate Trinitarian connotations seems not unreasonable; 

it  is clear  that Bach has made a point of constructing  this piece around  the 

number 3. 

The Trinitarian  references  in Wachet  auf,  ruft uns die Stimme BWV645 are 

difficult  to dismiss. This  is  a  transcription  for organ of  the  tenor  aria  from 

Cantata 140, which was written  for  the  last Sunday  in  the  church year,  the 

twenty‐seventh Sunday after Trinity. Neatly, as was mentioned above, 27  is 

3x3x3. Continuing  the Trinitarian references:  there are  the 3  flats of  the key 

signature, 3 independent voices, 3 staves per system, 3 systems on each page, 

3 pages  in Schüblerʹs edition, and  the announcement of 3  low E‐flats by  the 

pedal in the first bar. The total number of bars is 54: 27x2. This work is one of 

six “Schübler” Chorales and more is said about both this chorale prelude and 

the collection below. 

The numbers 14 and 41 (the “BACH numbers”): the Mass in B Minor; the Schübler Chorales and the Chorale Vor deinen Thron 

The  foregoing  examples are  cases  in which  it may  appear  that Bach has 

used  gematria  to  generate  ideas  (for  example,  having  the proportions  of  a 

fugue  relate  to  the  number  3  as  a  reference  to  the  Trinity)  that  are  of  a 

primarily religious significance. Another aspect of numbers that can be seen 

in  his  music  has  to  do  with  his  own  name.  Turning  now  therefore  to 

numerological occurrences of the number 14 in Bach’s music, there are some 

examples  which  may  seem  too  deliberate  to  be  regarded  as  mere 

coincidences.  On  many  occasions  Bach  used  ‘his’  number  for  different 

  10

reasons:  to put his  ‘signature’ on  the music;  to associate himself with some 

aspect of the music or text at the point where the number appears; or to draw 

attention  to  something  significant  about  that  point  in  the music. We  have 

seen  how  the  letters  of  BACH  give  a  total  of  14  (page  4  above). With  his 

predilection for symmetry, Bach must have been pleased that J+S+B+A+C+H 

gives a total of 41, which is the retrograde of 14. The total of these numbers, 

14+41, is 55 and this is another number that we see frequently associated with 

Bach’s  name,  and  which  will  assume  considerable  importance  in  my 

discussion of the length of the unfinished fugue in Chapter 3. An example of 

such an appearance of the number 55 can be seen in the total number of bars 

of the Gloria section of the Mass in B minor: the total is 770 bars, which can be 

expressed as 14x55. 

The  Kyrie  of  the  B  minor  Mass  comprises  three  movements:  Kyrie  I; 

Christe; and Kyrie II. In Kyrie I, after an opening introduction of 4 bars, there 

is a big fugue 122 bars long. The Christe occupies 85 bars; and Kyrie II is 59 

bars long. However, looking more closely at the final bar of the Christe, it can 

be seen that Bach has deliberately left the last beat of the bar silent: 

 

Ex. 1.1: the last bar of the Christe eleison from the Mass in B minor 

It might therefore accurately be said that the Christe is 84¾ bars in length. 

The  bar  numbers  of  the  three  movements  –  122,  84.75,  55  –  are 

mathematically proportional in length: 

122  84.75

84.75=

59 

  11

Each  of  these  fractions  produces  a  ratio  in  each  case  of  1.4.  It may  be 

tempting  to  assume  that  this  is  a  reference  to  the  number  14,  but  it  is 

important  to  remember  that  Bach  was most  unlikely  to  have  thought  or 

worked  in  decimals. Nevertheless,  it  is  intriguing  to  note  that  1.4  can  be 

expressed as a vulgar fraction 1⁴/₁₀: a fraction whose visual appearance on the 

page may suggest the number 14 not once but twice (from reading the 1 and 

the  upper  4,  and  by  adding  the  numbers  4  and  10  that  appear  in  the 

fraction).16 Much more important, however, is the fact that the ratio is exactly 

the  same  in both  cases, which  is  a  convincing  explanation  for  the  fact  that 

Bach chose to write that rest at the end of the Christe. In both Kyries, the final 

note arrives half way through the last bar,  just as it does in the Christe, and 

Bach has made the  last note full  length, emphasising  the point by writing a 

pause sign on each of those last notes. He has not done this at the end of the 

Christe. A further instance of the number 1.4 appearing in proportional ratio 

between movements can be seen in the two settings of the Chorale Aus tiefer 

Noth in the Clavierübung. The first setting has 55 bars (another appearance of 

the number 55) not counting repeats; the second has 75 bars. 55+75=130 (the 

chorale  Aus  tiefer  is  a  setting  of  Psalm  130).  However,  if  the  repeats  are 

counted the total numbers of bars are 75 and 102. Noticing the repetition of 

the  75  leads  to  the  realisation  that  the  numbers  are  proportional:  75/55  = 

102/75 : a ratio of 1.4. I am grateful to Dr John Bertalot for this observation. 17 

There  are however  further Bachian numbers  to  consider,  for  example  in 

the Kyrie II. There  is much of  interest and significance  in  the subject of  this 

16 To suggest that this fraction can also be expressed as 1⅖ and that this may imply the number 55 (two 5s appearing in the fraction) is probably going too far. 17 This number 1.4 in both cases (B minor Kyries and the Aus tiefer preludes) is a rounded number: but in both cases the exact, unrounded, number is the same. Whether or not the number of the ratio, 1.4, is of any significance, the point is that the ratio is precise and that it is strictly the same in each case. This and the proportionality of the B Minor Mass Kyrie/Christe/Kyrie sequence are discussed further in Chapter 3.

  12

fugue. Apart from numerical symbolism there is also visual symbolism in the 

first four notes of the subject: 

 

Ex. 1.2: the first four notes of the subject of Kyrie II 

The  outline  of  this  figure  is  known  as  a  chiasmus  or  circulatio  and  is  a 

musical  figure regularly used by Bach  in association with Christ  (here Lord, 

Kyrie) or the Cross – because one is to imagine a line drawn between the first 

and fourth notes, and another line between the second and third notes. Thus 

one has drawn a cross on the page, and one has also drawn the Greek letter χ 

(hence  the  name  chiasmus) which  also  happens  to  be  the  first  letter  of  the 

name of Christ in Greek. This is very far from being fanciful conjecture, and it 

has been thoroughly documented by Dr Timothy Smith of Northern Arizona 

University, who gives many examples from the Cantatas and the Passions. 18 

Admittedly  this  may  at  first  seem  of  only  limited  relevance  in  this 

discussion of the number 14, until we consider the whole of the fugue subject 

 

Ex. 1.3: subject of Kyrie II 

and it can be seen that it is comprised of 14 notes. The notion that Bach has 

written music  in which  he  directly  associates  his  own  name with  that  of 

Christ now begins to seem less far‐fetched. This point is further underlined in 

the  case  of  an  entry  of  the  subject  that  is  singled  out  for  special  (though 

subtle) attention, namely the only entry of the subject in B minor. Given that 

this is the only entry of the subject in the same key as the work as a whole, it 

might be argued that there could be something significant about  it from the 

gematric point of view. 

18 Smith, T. A. (2000) "Circulatio as Tonal Morpheme in the Liturgical Music of J S Bach" Ars Lyrica (Journal of the Lyrica Society) 2000(2000)

  13

 

Ex. 1.4: soprano entry of the subject, bar 40, Kyrie II 

Totalling up  the  numbers  associated with  the  letter  names  of  this  entry 

gives the number 41, which as we have seen represents J S BACH. However, 

this  example  provides  another  cautionary  note  against  over‐enthusiasm  in 

searching  for Bachian numbers,  for  the  total of 41 can only be gained  if  the 

note  B  is  described  as  B:  Bach would  have  designated  this  note H, which 

leads  to a different  total. The naming of  the notes as given  in Ex. 1.4 above 

also  takes  no  account  of  sharps  and  naturals:  in  German  notation  C   is 

designated Cis.19 

Turning to the Schübler Chorales: discussion of this set of six organ preludes 

can  be  brief  but  it  nevertheless  shows  that  these works  are  riddled with 

Bach’s numbers 14 and 41, as well as other numbers of religious significance 

as described above. The information here comes from an article by Edmund 

Shay.20 

Bach’s  personal  stamp  is  encoded  throughout  the  overall  plan  of  the 

published  edition.  There  are  14  lines  on  the  title  page,  14  words  in  the 

complete  title  (as  there are both  for  the Goldberg Variations and  the Canonic 

Variations), 14 numbered pages in Schüblerʹs edition, 41 lines of score, and 41 

words in the seven chorale titles. (There are seven because the second chorale 

prelude has two titles.) The BACH musical motive (B  A C B ) appears at bar 

19 Further symbolism can be deduced from another aspect of the bar numbers in the Kyrie – Christe – Kyrie sequence as a whole. As a liturgical element in Lutheran worship, the Kyrie was often recited three times as a Ninefold Kyrie, and this was done in conjunction with the recitation of the Ten Commandments. Perhaps then the total number of bars, 270, may be significant in that it can be expressed as 3x3x3 x 10: the Ninefold Kyrie and the Ten Commandments. Taken by itself this might be regarded as a coincidence. 20 Shay, E. (1999) "The Schubler Chorales and the Numbers Game" The Diapason September 1999: 16

  14

7 of Meine Seele erhebt den Herren, which is the precise midpoint of the entire 

collection. 

In  the  first Chorale Prelude, Wachet auf, ruft uns die Stimme,  the  first  four 

bars may contain two references to the Bach numbers. 

 

Ex. 1.5: the opening of Wachet auf, ruft uns die Stimme 

The opening pedal phrase has 7 notes, but it is repeated to give a total of 

14.  Similarly  the  number  of  notes  in  the  right  hand  is  17+17  =  34.  34  is  a 

number we have not yet encountered: but 34+14 = 48 which is the product of 

BxAxCxH = 48. 

Lastly  in  this  section  I mention  the  ‘deathbed’  chorale, Vor  deinen Thron 

tret’  ich hiermit BWV668. This organ prelude,  a  revision of an  earlier work, 

was dictated  in  the  last week  or  ten days  of  his  life  –  some  time  between 

Saturday 18  July and Tuesday 28  July 1750 – by  the blind and dying Bach 

most probably to his son‐in‐law and amanuensis Johann Christoph Altnikol.21 

The  first phrase of  the cantus  firmus has 14 notes. The entire cantus  firmus 

has  41 notes,  and  there  are  41  imitative  entries. This may  lead  to no other 

conclusion than that Bach  liked to imprint himself in his music,  22 or that he 

was making  a  theological  statement  that he  knew he was  about  to  appear  21 Other possible candidates are mentioned on page 112. 22 A conclusion that seems particularly alluring when one examines the final plagal cadence at the end of this work, into which Bach has woven his own initials, JSB: the right hand has 9 notes (9=J), the left hand has 18 notes (18=S) and the pedal has 2 notes (2=B); furthermore, the last note of the cantus firmus, under which this final cadence takes places, is held for 14 beats. Bertalot, J. (2001) "Letter to the editor" Organists' Review 87(1).

  15

before  his  Father’s  throne  (Vor  deinen  Thron);  and  indeed  these  numbers 

may be mere  coincidences.23 But  the  frequency with which  the numbers 14 

and 41 appear in this and other pieces cannot be discounted. When we begin 

to  see  these  numbers  in  significant places  in The Art  of  Fugue,  it  begins  to 

seem more likely than not that they are deliberate. 

The Bach numbers and The Art of Fugue 

Herbert Kellner and the significance of the Well‐Tempered tuning system 

In  several  articles  Herbert  Kellner  discusses  his  theories  about  the 

correspondences  between  numbers  associated  with  the  Wohltemperirte 

(well‐tempered) tuning system developed by Werckmeister and long thought 

to have been adopted by Bach,  in particular  for Das Wohltemperirte Clavier.24 

Kellner’s papers are not light reading but his discoveries are compelling, and 

even Ruth Tatlow  says  that his  is “the most developed  thesis of Bach as a 

mathematician.”25  Kellner  directs  his  attention  to  the  authenticity  of  the 

wording of the  title “Die Kunst der Fuga”;  the wording and  implications of 

the Nachricht or preface to the first printed edition of 1751 (which he claims – 

erroneously in my view26 – reveal the secret to the number of bars required to 

complete Contrapunctus 14); and a  link between  the  temperament numbers 

and the first subject of Contrapunctus 14.  

Kellner’s  attention  to  the  title  of  the  work  gives  us  another  revealing 

insight  into Bach’s  association  of his name by numbers with his work. He 

23 Many other examples of numbers that are hidden to a greater or lesser degree abound in Bach’s music. The St Matthew Passion in particular is fertile ground for enthusiasts of Bach’s numbers: there are many places in which the number of bars or notes corresponds precisely to the biblical chapter and verse numbers of the text being set at that moment; and one of the more dryly humorous instances is the setting of the Last Supper, in which the words Herr, bin ichs? (Lord, is it I?) appear only eleven times – since one of the twelve disciples, Judas, remains silent in response to Christ’s statement that “one of you will betray me”. 24 Dr Bradley Lehman’s recent discoveries about Bach’s tuning system are mentioned in Chapter 3. They strongly suggest that Bach used his own tuning system, not Werckmeister’s. 25 Tatlow , page 3 26 See Chapter 3.

  16

notices that in the first printed edition of 1751 the title is given as “Die Kunst 

der  Fuge”;  and  yet  the  manuscript  version  of  the  title  page,  which  was 

written  by  Bach’s  son‐in‐law  Altnikol,  has  “Die  Kunst  der  Fuga”  [sic].27 

Kellner  points  out  that  Bach  always  used  the  Latin  form  of  the word:  he 

never wrote  “Fuge”  on  any  of  his  title  pages.  Converting  the words  into 

numbers, Kellner makes a striking discovery: 

Die  Kunst  der  Fuga 

18  80  26  34 = 158 

 

Johann  Sebastian  Bach 

58  86  14 = 158 

Thus Bach and his work are one and the same. Kellner concludes from this 

that  the  title “Die Kunst der Fuga”  is  the correct  title  for  the work.  It does 

however appear to escape his attention that 1+5+8 = 14. 

The briefest possible explanation is given here of the alleged link between 

the tuning system and the subject of Contrapunctus 14. Kellner explains that 

the “well‐tempered” tuning system consists of 4 well‐tempered fifths (c‐g‐d‐

a‐e);  1  ‘tempering  fifth’  (b  –  f  sharp)  and  7  remaining  perfect  fifths  to 

complete the tuning circle.28 This gives the relevant numbers associated with 

the  well‐tempered  tuning  system:  4,  1,  7.  After  referring  to  the  ‘perfect 

27 Kellner, H. A. (2000) "Johann Sebastian Bach and Die Kunst der Fuga" The Diapason March 2000: 13 28 Kellner notices that in Bach’s monogram (reproduced on the front page of this thesis) the crown has 7 jewels at the top, which may correspond to the 7 perfect fifths; and 5 jewels at the bottom, which may correspond to the 4 + 1 tempered/tempering fifths. Some other writers have claimed that there is a total of 14 (!) jewels in the crown, but that can only be claimed if the little semicircles at top left and top right of the design can be counted as jewels: they do not look like the other jewels to me, and even if they are, the trefoil at the top of the design, which may or may not be a reference to the Holy Trinity, still remains to be explained. The monogram contains other alleged numerical references: some writers claim to see 27 crosses (X) created by the intersections of the lines of the initials – JSB=27, as does SDG (‘soli Deo gloria’), often written by Bach at the end of his scores. And as has already been mentioned, 27=3x3x3 which may or may not be a reference to the Trinity.

  17

numbers’ that apparently fascinated Werckmeister and Walther, he mentions 

that the first perfect number is 6.29 So Kellner decides to assemble a sequence 

of numbers  4‐1‐7 with  its  own  retrograde  7‐1‐4. This  results  in  4‐1‐7‐7‐1‐4. 

Placing the first perfect number, 6, at the centre of this construction, gives 4‐

1‐7‐6‐7‐1‐4; next he converts these numbers to the gematric equivalent letters 

D‐A‐G‐F‐G‐A‐D  and  observes  that  this  corresponds  precisely  to  the  first 

subject of Contrapunctus 14: 

 

Ex. 1.6: the first subject of Contrapunctus 14 

Since Kellner gives no reason for his decision to assemble such a sequence 

of numbers or for inserting the first perfect number into the middle of it, one 

may possibly regard  this as a somewhat  forced conclusion; but Kellner also 

notices that the Nachricht contains 417 letters, and that the second half of the 

sentence,  after  the  semicolon, gives  a gematric  total  of  2138  corresponding 

precisely  to BACH: 2+1+3+8 = 14.30 Kellner also points out  that  the B major 

prelude of Book One of the ‘48’ contains 417 keystrokes: since the b – f sharp 

fifth was the crucially different fifth in the tuning system, this attention to the 

numbers 4, 1, 7 may not be entirely fanciful. 31 

29 Perfect numbers are numbers which are the sum of their divisors: thus 6=1+2+3 and 6 is divisible by 1, 2 or 3. The second perfect number is 28=1+2+4+7+14, being divisible in turn by 1, 2, 4, 7 and 14. 30 Kellner, H. A. (2000) "Die Kunst der Fuga: J S Bach's Prefatory Message and Implications" The Diapason (May 2000): 15 31 It all depends on the edition and the exact number of tied notes: some editions have 418 keystrokes.

  18

Other occurrences of the number 14 

These may be listed in a much more straightforward manner. 

There are 14 Contrapuncti in The Art of Fugue. 

It  is  very  likely  that  Bach  intended  the  work  to  be  the  third  of  his 

submissions to Mizler’s society. Bach waited until he was the 14th member to 

be admitted  to  the society,32 and  to commemorate his admission he had his 

portrait painted with 14 buttons on his waistcoat; in the portrait he is holding 

the score of the 14th of a set of 14 enigmatic canons (the Goldberg canons). 

According to another of Kellner’s articles33 there is significance in the fact 

that the first two notes of the entire work are D and A: 4 and 1. 

In Contrapunctus 2 there are 14 entries of the subject. 

By  the  time  the  subject  has  reached  its  fully  developed  state,  in 

Contrapunctus 5 and onwards,  it has  through  the addition of passing notes 

arrived at a total of 14 notes. 

Also  in  Contrapunctus  5,  there  is  an  unmistakable  appearance  of  the 

BACH motive  (B  A  C  B )  at  bar  41  (41  =  J+S+B+A+C+H). Ordinarily  one 

might be  tempted  to regard  this as a coincidental grouping of notes arising 

from the motivic development of the contrapuntal material surrounding the 

concurrent  stretto  entries  of  the  subject  (alto  and  tenor);  but  the  fact  that 

Bach’s  ‘signature tune’ appears in his own bar number seems unlikely to be 

an accident.34  

32 The full list of members, in order of joining, can be seen at note 10 in Wolff, C. (2000) Johann Sebastian Bach : The Learned Musician Oxford, Oxford University Press, page 506. 33 Kellner, H. A. (1999) "How BACH (sic) encoded his name into Die Kunst der Fuge together with his tuning" The Diapason May 1999: 14 34 The “B-A-C-H” reference here was noticed by Jan Overduin in Overduin, J. (1998) "Bach and Die Kunst der Fuge" Ibid., (May 1998): 15; but Overduin does not draw attention to the fact that it appears

  19

 

Ex. 1.7: Contrapunctus 5, bar 41 

In Contrapunctus 6 there are 14 entries of the subject rectus and 14 entries 

inversus. 

In Contrapunctus 14 the second subject consists of 41 notes. 

The BACH motive makes  its most prominent appearance  in the whole of 

Bach’s output as the third subject of the 14th fugue. 

 

Ex. 1.8: the third subject of Contrapunctus 14 

Further  references  to  the numbers  14  and  41 will  become  apparent  in  a 

striking  manner  in  Chapter  3  in  connection  with  my  discussion  of  the 

number of bars that are required to complete Contrapunctus 14. 

in bar 41. Overduin’s article claims many other appearances of the BACH motive, most of which I consider to be forced and/or coincidental.

  20

The last bar 

The  last  bar  in  the manuscript  of  Contrapunctus  14  is  bar  239.  To my 

knowledge no other writers appear to have noticed the fact that 2+3+9 = 14. 

 

Fig. 1.2: the last bar of Bach’s manuscript 

I have shown  that  there are many  instances  in which Bach associates his 

name, either through numbers or through musical notes, with something to 

which  he  wishes  attention  to  be  drawn  (or  to  which  he  is  ascribing 

significance in his own private way). In the light of the previous discussion, 

the  hypothesis  from  which  this  thesis  sprang  was  that  it  may  not  be  a 

coincidence that The Art of Fugue ‘runs out’ in a bar whose number is the Bach 

number. The fact that the tenor part continues by itself, together with the fact 

that no rests are notated for the alto or bass (another fact that has drawn no 

comment from other writers) is a clear indication that the music is to continue 

–  to be  filled  in.35 The  final barline  is drawn with as much  confidence  and 

deliberation as all the other bar lines in this score: the ‘unfinished’ score was 

not  left without  a  barline.  The  fact  that  Bach  has  chosen  this  bar  –  a  bar 

referring to the number 14 as clearly as many other instances of that number 

–  to be  the  final bar he has written of  this work suggests  that Bach may be 

telling us, in his subtle coded way, that there is something significant about this 

bar.  Through  the use  of  the  numbers, which  refer  gematrically  to  his  own 

name, he is drawing our attention to this final bar. 

35 I am not suggesting that the music continues to be written on another page. See Chapter 2.

  21

Dr Ruth Tatlow’s statement, quoted at the head of this chapter, that “there 

is  no  certainty…that  Bach  used  any  eighteenth‐century  number‐alphabet 

forms, even assuming  that he knew about  them”36  is  indeed  true  insofar as 

there is “no certainty”: we cannot prove what Bach may have been thinking 

or doing. Perhaps more revealing for our purposes, however, are her words 

that follow soon after this statement. 

Invariably using the natural-order alphabet, the puzzler allowed the inquisitive reader to discover a desirable piece of information… It would not only be difficult to hide a name in music as part of a complex mathematical puzzle, but well-nigh impossible to find, unless the puzzler left a written code indicating its presence. To my knowledge Bach left no such codes.37

(my italics)

It is my hypothesis that Bach did in fact leave a code and that code takes 

the  form  of  the  encrypted  presence  of  his  name  by  means  of  gematric 

conversion  to numbers. The question of Bach’s use of number symbolism – 

not  so  much  for  theological  purposes  but  more  to  draw  the  observant 

reader’s  attention  to  something  significant  about  the music  –  runs  like  a 

thread throughout the rest of this thesis. In the context of the appearances of 

the ‘Bach numbers’ that we have mentioned so far, in particular in The Art of 

Fugue,  together with  those  that we shall encounter during  the course of  the 

following  discussions,  the  fact  that  Bach’s  ‘last’  bar  carries  a  link  to  the 

number 14 can be seen as a clue.  

In fact the last bar is not the only thing that is strange about the conclusion 

of Bach’s manuscript, and in the next Chapter I discuss a variety of aspects of 

the appearance of the last page that suggest a likely interpretation: that Bach 

left Contrapunctus 14 unfinished deliberately. 

 

36 Tatlow, op. cit., page 127 37 Ibid., page 127

  22

 Chapter Two   

‘FRAGMENT X’ RECONSIDERED This  chapter  considers  some  of  the  implications  of  the  last page  of Bach’s 

manuscript  of  Contrapunctus  14,  in  particular  the  final  page  containing  the 

second half of bar 227 to bar 239, as far as is known the last bar Bach wrote of 

this  fugue.  After  examining  the  sources,  I  will  consider  in  detail  Professor 

Christoph Wolff’s  theory about  this page, and Laurence Dreyfus’ only partial 

rebuttal of it; and then I will offer my own reasons for rejecting the greater part 

of Wolff’s theory, reasons that are based on a more detailed examination of the 

score,  and  I will  suggest  that  this  is  one  of  several  factors  that  point  to  the 

probability that the incomplete state of The Art of Fugue was not unintentional. 

The chapter also  includes a reassessment of the classification of the autograph 

manuscript  of  Contrapunctus  14,  discussing  whether  it  is  a  working 

composition score, a revision score or a fair copy. 

The Sources 

There are three principal sources: the autograph manuscript; the first printed 

edition of 1751; and a second edition which appeared in 1752. This 1752 edition 

was little different from the 1751 edition: the only differences between it and the 

1751 edition were a new title page and a lengthy preface by Friedrich Wilhelm 

Marpurg (1718‐1795), who knew Bach and his two eldest sons personally.1 The 

remaining pages of the 1752 edition (i.e. the music) were printed from the same 

plates as the 1751 edition.  

There are however significant differences between the autograph manuscript 

and the first printed edition of 1751. These are summarised by George Stauffer 

1 Wolff , op. cit., page 478, note 27

  23

in  the  introduction  to  a  1975  seminar  report.2  These  differences  between  the 

autograph  and  the  first  printed  edition  have  given  rise  to  puzzlement  and 

speculation about Bach’s  intended order  for  the Canons and Fugues, a matter 

which Gregory Butler claims to have resolved but which  is not relevant to the 

present discussion.3  

The Autograph: P200 

The  autograph  manuscript  is  the  focus  of  the  present  discussion.  It  is 

catalogued in the Deutsche Staatsbibliothek in Berlin as Mus. ms. Bach P200 and 

it  consists of a binding of 20  leaves  (40  sides)  containing 17 pieces,  including 

three  early  drafts  of  the  Augmentation  Canon.  In  addition  there  are  three 

Beilagen  (supplements  or  appendices):  Beilage  1  is  the  final  version  of  the 

Augmentation Canon; Beilage 2  is Bach’s arrangement of  the  three‐part Mirror 

Fugue for two harpsichords (both rectus and inversus versions); and Beilage 3 is 

the autograph of  the quadruple  fugue,  subsequently and erroneously entitled 

(not by Bach) Fuga a 3 Soggetti (Fugue on 3 subjects), which we now know as the 

incomplete Contrapunctus 14. All four parts of P200 – the main 20‐leaf binding 

and  the  three  supplements  –  are  in  Bach’s  hand,  but  it  seems  that  the  three 

Beilagen come from later stages of the compositional and engraving process and 

were  probably  grouped  together with  the  20‐leaf  binding  after Bach’s death. 

Beilagen 1 and 3 are in what would today be called landscape format; Beilage 2 is 

in portrait format. 

Beilage 3 

Beilage  3  is  the  autograph  of  the  incomplete  quadruple  fugue.  It  has  five 

separate single‐sided pages and  it  is  to  the  last of  these  that we now  turn our 

attention. Fig. 2.1 (page 26) shows a facsimile of page 5. A clear reproduction of 

2 Bagnall, A., Baker, T., et al. (1975) "Seminar Report: Bach's "Art of Fugue": An Examination of the Sources" Current Musicology 19: 47-77 pages 47-50 3 Butler, G. (1983) "Ordering problems in J S Bach's Art of Fugue Resolved" Musical Quarterly 69(1): 44

  24

the page  is presented  in  the  frontispiece  to  this  thesis. A  facsimile  of  all  five 

pages of Beilage 3 is given in the Appendix.  

This  last  page  of  Beilage  3  begins with  the  second  half  of  bar  227  of  the 

quadruple fugue and continues until the last written bar (bar 239). The music is 

written  in  short  score with  two  staves bracketed  together  for each of  the  two 

systems.  Bach  has  left  a  blank  stave  between  the  two  systems.  The  page 

contains  twelve staves ruled presumably by Bach;  the bottom  three staves are 

badly ruled, wavy and too close together. The  inscription at the right  is  in the 

hand of Carl Philipp Emanuel Bach and was obviously written some time after 

Bach’s death: 

“NB While working on this fugue, in which the name BACH appears in the countersubject, the author died.”4

This  is  the  sentence which has  led  to  so much  of  the  romantic mythology 

surrounding  this  work.  Although  Christoph  Wolff  says  that  Carl  Philipp 

Emanuel was “misled”,5 one may speculate with a touch of cynicism that he (C 

P E Bach) may have written his nota bene deliberately  in order  to heighten  the 

mystique  surrounding  this  ‘last’  work,  given  that  he  was  trying,  not  very 

successfully  as  it  turned  out,  to  sell  the  published  editions  at  a  profit.6  The 

mention of the BACH theme appearing “in the countersubject” is also an error: 

it  is  not  a  countersubject  but  a  subject  in  its  own  right;  although  this  error 

makes  little difference to anything, apart from perhaps giving an  indication of 

the extent to which Emanuel may have failed to understand some aspects of his 

father’s work,  it  nevertheless  appears  to  have  drawn  no  comment  from  any 

other writers on this fugue. 

4 ''NB Über dieser Fuge, wo der Nahme BACH im Contrasubject angebracht worden, ist der Verfasser gestorben” 5 Wolff , op. cit., page 436 6 C P E Bach offered the plates for sale on September 14, 1756, “only about 30” of the printed editions having been sold, and it is thought that eventually they may have been melted down and sold as scrap metal. David, Mendel, et al., page 378; also Harris, R. and Norton, M. D. (1935) "The Art of Fugue" Musical Quarterly xxi(2): 166-178, page 167

  25

 

Fig. 2.1: Beilage 3, page 5 

  26

C  P  E  Bach’s  sentence  “may  tempt  us  to  think  that  death  stayed  the 

composer’s  pen”.7  But  the  evidence  suggests  that  Bach was working  on  this 

page much earlier  than  the  last day or days of his  life. According  to Douglass 

Seaton in his chapter of the aforementioned 1975 seminar report, 

The handwriting of P200 tells us that the manuscript was copied during the last eight years or so of Bach's life. It is difficult to place it in any narrower time span by calligraphic evidence alone, but the writing is clear and steady, suggesting that the composer had not come to the very end of his life. Even the third and last Beilage to the autograph, the fragmentary closing fugue, still shows a steady hand. Thus the romantic idea that this work was written by the composer more or less on his deathbed does not seem to be borne out by calligraphic evidence. P200 may, in fact, have been copied considerably earlier than is normally assumed.8

Seaton also mentions evidence about  the watermarks  that suggests  that  the 

paper comes from earlier rather than later: 

In addition, an inspection of the paper of P200 leads to a similar conclusion. The twenty leaves of P200 are arranged in five pairs of bifolios folded together. All except the inner bifolio of the last pair (pages 35, 36, 37, 38) bear the same watermark (crowned double eagle with scepter), one which is found in various manuscripts dating from the 1730s and up to about 1742. The watermark of the paper of the other bifolio (and also of Beilage 2, the arrangement of one mirror fugue for two keyboards) is one which appears in Bach manuscripts dating from the early 1740s (arms of Eger).9

Christoph Wolff, writing after  the 1975  seminar  report,  seems not  to agree 

with  these  earlier  dates  suggested  by  Seaton. He  says  (without  offering  any 

evidence): 

The composing manuscript [sc. of the quadruple fugue], which dates from 1748-49, belongs among the latest musical manuscripts from Bach’s hand …10

7 Wolff, op. cit., page 436 8 Seaton, D. (1975) "The Autograph: An Early Version of The Art of Fugue" Current Musicology 19: 54-59 (part of Bagnall, Baker, et al., op. cit.). See also Chapter 4 for a detailed discussion of the chronology of Bach’s last months. 9 Bagnall, Baker, et al. 10 Wolff, op. cit., page 436

  27

Christoph Wolff’s Article: the ‘fragment x’ theory 

C  P  E  Bach’s  nota  bene  was  accepted  at  face  value  for  225  years,  until 

Christoph Wolff’s 1975 article  threw a new and apparently compelling  logical 

light on the unfinished state of this fugue.11 He reminds us that this is, of course, 

a quadruple fugue whose fourth subject was to have been the main Art of Fugue 

subject which, in the words of Donald Tovey, “combines with the other three in 

the  simplest  possible manner with  a  correctness  that  cannot  conceivably  be 

accidental”.12 This discovery was first made by Gustav Nottebohm, a man also 

noted  for  his  deciphering  of  Beethoven’s  sketch  books;  13  the  resulting 

combination of the four subjects as given by Nottebohm and Wolff is shown in 

Ex. 2.1.14 

 

        Ex. 2.1: the combination of the four subjects as given by Nottebohm and Wolff 

The most important passage of Wolff’s 1975 article reads as follows: 

For the composing of a polythematic fugue it is absolutely necessary to first try out the combinatorial possibilities of the various subjects. As a matter of fact, the subjects themselves have to be designed according to the rules of quadruple counterpoint. Therefore Bach had no choice but to start with the combinations of the four themes before writing the opening sections of the fugue. Consequently it is unthinkable that Bach composed the surviving fragment (Beilage 3) before he had worked out, or at least sketched, the combinatorial section of the quadruple fugue in a manuscript (hereafter designated

11 Wolff, C. (1975) "The Last Fugue: Unfinished?" Current Musicology 19(1975): 71-77 (part of Bagnall, Baker, et al., op. cit.) 12 Tovey, D. F. (1944) Essays in Musical Analysis - Chamber Music Oxford, Oxford University Press, page 87 13 Nottebohm, G. (1881) "J S Bach's letzte Fuge" Music-Welt: 234 14 Wolff "The Last Fugue: Unfinished?", page 73

  28

fragment x) that originally belonged together with Beilage 3, but is now lost.15

Wolff  restates  his  theory  in  his  more  recent  book  J  S  Bach:  The  Learned 

Musician: 

…the incomplete form in which the fugue has been transmitted does not correspond to what actually existed at the time of Bach’s death. […] His draft of such contrapuntal combinations has not survived, but a description, at least, of the composer’s intentions is included in the Obituary, which mentions the “draft” for a fugue that “was to contain four themes and to have been afterward inverted note for note in all four voices”.16 From this statement, we can reasonably surmise that The Art of Fugue at the time of Bach’s death was less incomplete than what has come down to us. But whatever the lost draft contained, it must not have been sufficiently worked out to bring the quadruple fugue to an end.17

It is a tantalizing thought that there must have been a piece of paper with the 

end of the fugue – or at least a sketch thereof – written out on it. It follows as a 

matter  of  common  sense  (with  the  benefit  of  hindsight,  now  that Wolff  has 

pointed  it out)  that  the  final  combination of  the  four  themes must have been 

Bach’s starting point when beginning to compose this fugue. 

Having  suggested  that  the end of  the  fugue must have been written down 

somewhere, Wolff now turns his attention to the appearance of the last page of 

Beilage 3 (Fig. 2.1) and in particular to the faulty ruling of the staves in the lower 

part of the page: 

But the appearance of page 5 shows very clearly that Bach obviously had never planned to fill the sheet from top to bottom, in other words that he stopped writing deliberately at m. 239. The irregular and faulty ruling of the lower staff lines on page 5 did not permit the use of this part of the page for a dense fugal setting. Bach would never have started on such an untidy piece of paper had he planned to fill a larger portion of it that he did. […] Surely he used the last page only because

15 Ibid., page 73-74 16 “Seine letzte Kranckheit, hat ihn verhindert, seinem Entwurfe nach, die vorletze Fuge völlig zu Ende zu bringen, und die letzte, welche 4 Themata enthalten, und nachgehends in allen 4 Stimmen Note für Note umgekehret werden sollte, auszuarbeiten.” [His last illness prevented him, according to his draft, from bringing the next-to-last fugue to completion and working out the last one, which was to contain four themes and to have been afterward inverted note for note in all four voices.] – Wolff’s own translation. This sentence is discussed in detail in Chapter 4. 17 Wolff, C. (2000) Johann Sebastian Bach: The Learned Musician New York, Norton, page 437

  29

he needed a sheet of music paper for just a few bars; since he never wasted paper, such a piece could serve his purpose.18

As supporting evidence for his last two sentences Wolff cites the appearance 

of page 1 of Beilage 3: a page which demonstrates “that Bach aimed at a neat 

layout and  clean musical  text  for  this  fugue”  (Fig. 2.2 overleaf  shows page 1, 

which can also be seen in the Appendix). 

Wolff’s contention is that “Bach could never have planned to use page 5 for a 

major  text portion of  the concluding  fugue: he stopped at m. 239  […] because 

the continuation of the piece was already written down elsewhere. […] Due to 

most unfortunate and unknown circumstances  that  last part of  the quadruple 

fugue … became lost…” 

Another  eminent  Bach  scholar,  Peter  Williams,  accepts  and  perpetuates 

Wolff’s thinking in his recent book The life of Bach: 

That still leaves a big question about the final fugue: was it finished or not? The extant manuscript’s last page was unusable, so was there once another?19

As well as Peter Williams, other writers have unquestioningly accepted and 

perpetuated Wolff’s theory: 

Christoph Wolff has established conclusively that this composition was, in fact, virtually finished at Bach’s death … Bach died and the quadruple fugue remained in an incomplete state even though its conclusion almost certainly existed, at least in some rough sketch.20

The permutational section proves Christoph Wolff’s hypothesis saying, that Bach completed the closing contrapunctus, at least no doubt that the combinatorial section (fragment x) was finished but then, following the composer’s death, it got lost …21

 

18 Wolff "The Last Fugue: Unfinished?", page 72 19 Williams, P. F. (2004) The life of Bach Cambridge, Cambridge University Press, page 158 20 Butler, G. (1983) "Ordering Problems in J S Bach's 'Art of Fugue' Resolved" The Musical Quarterly 69(1): 44, pages 55 and 58 21 Goncz, Z. (1991) "The Permutational Matrix in J S Bach's Art of Fugue: The Last Fugue Finished?" Studia Musicologica - Academiae Scientiarum Hungaricae 33(1-4): 109-119, page 118

  30

 

Fig. 2.2: Beilage 3, page 1 

  31

Thus, in a well-known article, Christoph Wolff thought he was able to back up the hypothesis in which Bach would have finished this Contrapunctus, the end of which would have been lost.22

Christoph Wolff has plausibly argued (Current Musicology, 1975) that the fugue may actually have been finished by Bach, but that the conclusion was lost.23

 

Problems with Wolff’s theory 

‘Fragment x’ 

Though  one  hesitates  to  challenge  so  eminent  and  revered  a  scholar  as 

Professor Wolff, not to mention the many experienced scholars who follow him, 

I must respectfully draw attention to the fact that there are serious flaws in his 

theory  about  the  unfinished  ending  of  Contrapunctus  14,  as  well  as 

inconsistencies and contradictions in his arguments. There are difficulties with 

Wolff’s  now  universally  accepted  theory  that  the  continuation  of  the  fugue 

existed on another piece of paper which he calls ‘fragment x’. He interprets the 

words  of  the Obituary  (given here  in  footnote  16, page  28)  to mean  that  the 

editors of The Art of Fugue, who included C P E Bach, had ‘fragment x’ in their 

hands during the time of the engraving process but failed to realise what it was.  

… C P E Bach […] must have known of or even seen fragment x, the complete draft of the combination of the themes and their inversions; […] But what happened to it?24

 Wolff has no time for the editors: they were “startlingly unfamiliar with the 

composer’s plans and intentions”; they made “fundamental errors” which were 

“senseless” and which “prove their incompetence and carelessness”. Therefore, 

he  continues,  “their  failure  to  recognize  the  connection  between  the 

22 Corten, W. (1988) "La dernière Fugue: piece inachevée ou ouverture sur l'infini?" Analyse musicale 11: 61-65, page 62: “Ainsi, dans un célèbre article, Chr. Wolff a cru pouvoir étayer l’hypothèse selon laquelle Bach aurait bien achevé ce Contrepoint, dont la fin aurait été perdue.” 23 Moroney, D. E. (1989) J S Bach: Die Kunst der Fuge Munich, G. Henle Verlag, page 123 24 Wolff "The Last Fugue: Unfinished?", page 75

  32

fragmentary Beilage 3 and fragment x is not surprising. They considered the two 

fragments as representing two different pieces…” 

This seems implausible to say the least. Wolff has made several assumptions 

that are open to challenge. First, the Obituary does not state, as Wolff  implies, 

that the editors had Bach’s “draft” in their hands: they may have known what 

the draft was, but the Obituary does not say that they had it. Wolff’s translation 

of the word ‘Entwurfe’ as ‘draft’ implies, in the context of discussion of a piece 

of music, a draft of some or all of a composition – that is, musical notes written 

down  on  manuscript.  But  the  word  ‘Entwurfe’  may  also  be  translated  as 

‘outline’,  ‘design’,  ‘plan’,  ‘blueprint’25  –  in other words,  the  editors may have 

had some idea of Bach’s plan or intentions for the remainder of the fugue; but 

the sentence quoted from the Obituary does not in itself prove the existence of 

‘fragment  x’  or  the  editors’  alleged  possession  of  it.26  The  editors’  purported 

awareness of Bach’s ‘design, plan or blueprint’ for the fugue could just as easily 

have  been  a memory  of  something  Bach  had  once  said  or written  down  in 

words rather than in music. Second, if they did have ‘fragment x’ to hand, it is 

simply  inconceivable  that a musician of C P E Bach’s  stature would not have 

noticed that three of the four combined subjects were the same subjects as those 

in  Beilage  3;  further,  if  ‘fragment  x’ were  indeed  “the  complete  draft  of  the 

combination  of  the  themes  and  their  inversions”,  as  Wolff  says  (see  the 

quotation from him on the previous page), then how could C P E Bach or any  25 Johann Mattheson (1681-1764), who knew Bach and who corresponded with Mizler and his Society (and whose views were therefore very likely to have been known by Bach), provides evidence that the drawing up of a such an outline was a standard part of the compositional process.“DISPOSITIO is a neat ordering of all the parts and details in the melody, or in an entire musical work, almost in the manner in which one arranges or draws a building, makes a plan or sketch, a ground plan, to show where e.g. an assembly room, an apartment, a bedroom etc. should be situated. […] [The composer] should outline his complete project on a sheet, sketch it roughly and arrange it in an orderly manner before he proceeds to the elaboration. In my humble opinion this is the best way of all through which a work obtains its proper fitness, and each part thus can be measured to determine if it would demonstrate a certain relationship, similarity, and concurrence with the rest: in as much as nothing in the world is more pleasing to the hearing than that." - Mattheson, J. and Harriss, E. C. (1981) Johann Mattheson's Der vollkommene Capellmeister : a revised translation with critical commentary Ann Arbor, Mich, UMI Research Press paragraph 30, page 478 26 Other aspects of this sentence from the Obituary – its meaning, veracity and implications – are discussed in Chapter 4.

  33

other editor not have noticed that one of those four themes was the main Art of 

Fugue  subject?  This  strongly  suggests  that  the  editors  were  not  in  fact  in 

possession  of  ‘fragment  x’,  if  indeed  it  even  existed,  in which  case  they  can 

hardly be blamed for not realising that the incomplete Beilage 3 was in fact part 

of The Art of Fugue (it was not until 1881 that Nottebohm discovered this!). 

“Two different pieces” 

A  second  point  of Wolff’s  must  be  challenged:  his  statement  that  “they 

considered  the  fragments  as  representing  two  different  pieces”.27  Here  it 

appears  that  Wolff  has  misunderstood  the  meaning  of  the  phrase  in  the 

Obituary “…bringing the next‐to‐last fugue to completion and working out the 

last one…”. Various scholars, obviously including Wolff, have taken this phrase 

to  mean  that  what  we  now  call  Contrapunctus  14  was  in  fact  to  be  the 

penultimate Contrapunctus of  the whole  collection  and  that  there was  to be  a 

further quadruple and totally invertible fugue ‐ another mirror fugue ‐ to close 

the  collection.  Sir Donald Tovey  even went  so  far  as  to  compose  one  on  the 

BACH  motive,  in  addition  to  his  completion  of  Contrapunctus  14  itself. 

However, an alternative understanding,  first proposed by Erich Bergel, of  the 

words  ‘vorletzte’  and  ‘letzte’  in  the  Obituary,  is  now  widely  accepted:  the 

sentence in the Obituary is understood to refer to each section of Contrapunctus 

14  as  a  fugue  in  its own  right  – which  is of  course  correct,  since  each  of  the 

subjects  is  given  its  own  exposition  within  a  clearly  marked  sectional 

framework. 28 Therefore the sentence refers to the third section of Contrapunctus 

14 – the fugue on the BACH subject – which the Obituary correctly describes as 

the ‘next‐to‐last fugue’ and as being incomplete; and to the ‘last one’, that is the 

fourth and final section of the fugue which would have begun some time after 

27 Wolff "The Last Fugue: Unfinished?", page 75 28 Bergel, E. Bachs letzte Fuge: die ‘Kunst der Fuge’ – ein zyklisches Werk (Bonn, 1985)

  34

bar  239.29  The  point  made  above  also  applies  here:  if  the  editors  did  have 

‘fragment x’  they would have  seen  instantly  that  it was a  combination of  the 

subjects of the extant portion of Contrapunctus 14; Wolff’s assertion that “they 

considered  the  two  fragments  as  representing  two  different  pieces”  comes 

across as illogical. 

The structure of Contrapunctus 14 

This discussion of the four ‘fugues’ or sections of Contrapunctus 14 leads to a 

third  criticism  of Wolff’s  article:  he  has  wrongly  analysed  the  structure  of 

Contrapunctus 14.  

It comprises three complete sections (mm. 1-115: exposition of theme I; 115-193: exposition of theme II and combination with theme I; 193-233: exposition of theme III, “B-A-C-H”) and the transition to a fourth and probably final section which begins immediately with the combination of themes I –III (mm. 233-239).30

(my italics)

It  seems  likely  that  Wolff  is  following  Sir  Donald  Tovey,  who  has 

unfortunately fallen into the same trap. Speaking of the end of section three he 

writes: 

Three crowded bars … end the section with a half-close. The fourth section now begins with the 3 subjects in the combination … 31

In  fact  the passage  from bar 233  to bar 239  (i.e.  the  first appearance of  the 

combination of the first three fugue subjects) is not the beginning of the fourth 

section, but rather it is still part of the third section, as is made clear by a correct 

understanding  of  the Obituary.  Gregory  Butler  has  noticed  this,  though  his 

reasoning, based on  the approximately proportional  length of each  section of 

29 It does not automatically follow that the main Art of Fugue subject, appearing for the first time in the fourth section of Contrapunctus 14, would have had its own separate exposition before being combined with the other three subjects. Tovey says “That would be a fatal error of composition”. Tovey, D. F. (1931) A companion to 'The Art of Fugue' (Die Kunst der Fuge) of J. S. Bach Oxford University Press, London 30 Wolff "The Last Fugue: Unfinished?" , page 73 31 Tovey A companion to 'The Art of Fugue' (Die Kunst der Fuge) of J. S. Bach, page 45

  35

the  fugue,  lacks  precision.32  He  correctly  says  that  section  3  is  “not  quite 

complete”  and he  theorises  that  the  existing  46  bars  of  section  3 might have 

extended to 52 bars, on the grounds that 52 bars is approximately two thirds of 

the length of section 2, which is in turn approximately two thirds the length of 

section 1. Following this line of reasoning, Butler concludes that section 4 might 

be  approximately  two  thirds  the  length  of  section  3  i.e.  about  34  bars.  The 

question of the length of the missing section(s) of the fugue will be discussed in 

Chapter 3. Suffice it to say for now that when Bach’s architecture is governed by 

numerical structures, there is nothing “approximate” about them. 

The appearance of page 5  

Closer examination of page 5 of Beilage 3  (Fig. 2.1 above, also  frontispiece) 

reveals a further serious flaw  in Wolff’s argument. Laurence Dreyfus correctly 

points  out  that  it  is  in  fact  only  the  bottom  three  staves  of  the page  that  are 

unusable.33 Peter Williams, writing four years after Dreyfus, seems not to have 

noticed  this  in his passage quoted on page 30 above. There  is no  reason why 

Bach could not have continued to write up to the end of his current system and 

continued on at least one more system below. If he had left one stave blank (as 

he had already done after the first system on this page) he would still have had 

room  for  another  complete  two‐stave  system.  If  he  had  decided  not  to  use 

another blank stave, he would have had room for two complete systems; Bach 

could  have written  at  least  another  20  bars  of music  on  this  page  if  he  had 

wanted to do so. This figure  is based on the fact that there are 8½ bars on the 

first system, and 4 bars taking up half of the second system; the second system 

could  have  been  completed with  another  4  bars  and  there would  have  been 

room  for 8 bars on each of  two possible  further  systems. However, page 1 of 

Beilage 3 has  twelve or  thirteen bars per system; page 2 has between 9 and 14 

32 Butler "Ordering problems in J S Bach's Art of Fugue Resolved", page 55 33 Dreyfus, L. (1996) Bach and the Patterns of Invention Cambridge, Massachusetts, Harvard University Press, page 165

  36

bars per system; page 3 between 8½ and 10½; and page 4 between 9 and 11½ 

bars per system: so the suggestion that there is room on page 5 for a further 20 

bars is a conservative one. 

Dreyfus  makes  a  compelling  point  when  he  says  “The  misruled  paper 

therefore provided no  reason why Bach  should have  stopped  copying  at  the 

precise point where he did so.” 

However, Dreyfus’ observations on the appearance of the  last page go only 

so  far;  in  fact  the misruling  of  the  bottom  three  staves  is  only  one  of many 

puzzling and inconsistent details about this page, and it is a surprise that these 

details have until now drawn no comment.  

Even  a  casual  comparison  of  pages  1  to  4  with  page  5  (Fig.  2.1,  or 

frontispiece) of Beilage 3 reveals immediately that the differences in these pages 

are very significant – far more significant than either Wolff or Dreyfus seem to 

have appreciated. The most obvious contrast between the two pieces of paper is 

the  general  neatness  and  precision  of  one with  the  general untidiness  of  the 

other. Pages 2, 3 and 4 are similar to page 1 in this respect.  

The  first  detail  to  notice  is  that  pages  1  to  4  have  clearly  been  ruled 

specifically for a keyboard short score. There is a gap after every second stave, 

so that there is some space between each two‐stave system for ease of reading. 

These staves have been ruled with great care and neatness, and they are all very 

straight and parallel without any blotches or bumps or breaks or any other kind 

of disturbance. 

Reference  to a variety of Bach’s other manuscripts confirms  that he was  in 

the habit of ruling his staves and grouping them in specific ways according to 

the  instrumentation  of  the  piece  in  hand.  For  example,  the  autograph  of 

Contrapunctus  1  (in P200,  though  it did not  acquire  the  title Contrapunctus  1 

  37

until  the 1751 print)  shows clearly how  the  staves are grouped  in  fours, with 

gaps between each system, because Bach has written this piece in open score. 

 

Fig. 2.3: Contrapunctus 1, page 1 (autograph) 

  38

Similarly,  the  following  three examples of keyboard works are very clearly 

ruled for keyboard short score, just like the first pages of Beilage 3: 

 

Fig. 2.4: Well‐Tempered Clavier Book 1, Prelude I in C (autograph) 

   

Fig. 2.5: Well‐Tempered Clavier Book 1, Fugue in B minor (autograph) 

Fig. 2.6: Fantasia in D major BWV 906 (autograph) 

The following two examples from the Violin Sonatas show that when Bach is 

writing for a single‐stave instrument he sets out the score with the staves evenly 

  39

spaced,  since by definition  it  is not possible  to group  the  staves  into  systems 

with more than one stave per system. 

  

Fig. 2.7: Fugue from Violin Sonata BWV 1001 (autograph) 

Fig. 2.8: Fugue from Violin Sonata         BWV 1005 (autograph) 

From  these  examples  it  is  clear  that  Bach  ruled  his  staves  specifically 

according to the  instrumentation of the music that was to be written on  them. 

This characteristic of his manuscripts is seen over and over again, whatever the 

instrumentation; it is a characteristic that leaps to the eye from every page, for 

example  in  Yoshitake  Kobayashi’s  collection  of manuscript  facsimiles  in  the 

Neue Bach Ausgabe.34 It is also clear, therefore, that the last page of Beilage 3 was 

not  ruled with  the  intention  of  having  a  keyboard  short  score written  on  it. 

Again, a detailed comparison of page 5 with pages 1 – 4 confirms this assertion. 

Where page 1 has ten staves, grouped together into five systems of two staves 

each, page 5 has  twelve staves  that are not grouped  together  in systems. This 

presumably  explains why Bach  has  left  the  third  stave  of  the page  blank:  to  34 Kobayashi, Y. (1989) Notenschrift Johann Sebastian Bachs : Dokumentation ihrer Entwicklung Basel, London, Bärenreiter

  40

create a gap between the systems, both for ease of reading and also, given the 

high  tessitura of  the soprano part  in bars 236 and 237,  to avoid congestion on 

the page.  (This  third stave has been misruled, with a  ‘stop‐start’ mistake very 

near  the  left  margin.)  Once  again  it  is  necessary  to  challenge  Wolff’s 

assumptions:  

The lack of the proper spacing between the staves … was another reason for discarding the leaf as scrap paper. Bach had to skip the third staff in order to keep the systems clearly apart, while the layout of pages 1-4 was ideal for a keyboard score.35

Wolff has missed  the point  that pages 1 – 4 were  ruled  specifically  for  the 

quadruple fugue to be written on them; he seems to assume that Bach wrote the 

music on whatever paper happened  to be at hand, pages 1 – 4 being  suitable 

and page 5 not. 

The third line from the bottom of the page has a mistake in the ruling similar 

to the ‘stop‐start’ error in the third stave, as if Bach has stopped ruling a short 

way across the page and started again. In this case the continuation of the line is 

missing in the middle line of the stave: this suggests that Bach had a special pen 

with  five nibs  for  ruling staves – a rastral – and when he  ruled  this stave  the 

middle nib was either  short of  ink or was not  in contact with  the paper.  It  is 

puzzling  that Bach did not go back and  fill  in  the missing middle  line:  this  is 

precisely  what  he  did  on  the  first  page  of  his  autograph  manuscript  of 

Contrapunctus  1. This  can  be  seen  in  Fig.  2.3  above,  in  the  tenor part  of  the 

bottom  system  (bars 19 and 20), where  the middle nib has  failed  to mark  the 

middle  line of the stave and Bach has had  to go back and  fill  it  in afterwards, 

and it is also shown here in detail: 

 

                 Fig. 2.9: Contrapunctus 1 (autograph), bars 19 & 20, tenor part 

35 Wolff "The Last Fugue: Unfinished?" page 76, footnote 3

  41

Bach has also had  to  ‘repair’  the  top  line of  the stave, seen here at  the  first 

barline; the repair of the middle line is clearly visible in the following two bars. 

This detail strongly suggests that Contrapunctus 14 (Beilage 3) was written with 

the same rastral as Contrapunctus 1 –  the staves at any rate. Wolff states  that 

the autograph of Contrapunctus 1 dates from “around 1742”36 and, as we saw 

above, that the quadruple fugue dates from 1748‐49; whilst it is not impossible 

that  Bach  could  have  been  using  the  same  pen  for  six  or  seven  years,  it  is 

nevertheless  an  interesting  link  between  the  two works which,  according  to 

Wolff  at  least,  were  written  several  years  apart.  It  also  lends  a  degree  of 

credibility  to  the  suggestion  that  the  quadruple  fugue was  being worked  on 

well before Bach’s last days – a point that I will discuss more fully in Chapter 4. 

This observation does not, however, help us  to understand why Bach did not 

complete the missing middle line of that stave on Beilage 3, page 5. Indeed, the 

repair  of  missing  lines  in  staves  is  seen  frequently  in  Bach’s  scores,  and 

particularly in many parts of the autograph of The Art of Fugue. 

If, when (mis‐)ruling that page and having trouble with his pen, Bach did not 

bother to go back and fill in the missing line, we may assume that he might then 

have given up on that page and decided that it could not be used. Why did he 

then carry on ruling two further staves? Curiously, the same stop‐start break in 

the line can be observed on the stave below, and on the stave below that, which 

is the bottom line of the page. What was the cause of this breaking of the line? 

Perhaps an indentation or knot in the wood of the desk, or some other bump or 

obstruction under  the paper  as  it was  being  ruled? But  if  that were  so, why 

would Bach have carried on to make the same mistake not once but twice more? 

A final detail that no other writers have considered is the bottom line of the 

page  and  the  unusual markings  at  the  extreme  corners.  At  first  sight  these 

markings  appear  to  have  no  connection  with  the  musical  material  of  the  36 Wolff Johann Sebastian Bach : The Learned Musician, page 435

  42

quadruple fugue. Some possible implications of these markings are discussed in 

Chapter 3. 

Having  shown  that  there  are  strange  and  possibly  inexplicable 

inconsistencies  in  the  appearance  of page  5,  it  is  interesting  to  observe  some 

other characteristics of Bach’s manuscripts, in particular his habit of using up as 

much  as possible of  each page. Page  1  of Beilage  3  (Fig.  2.2  above)  is  a good 

example of  this characteristic, as  indeed are all of  the examples shown  in  this 

chapter. Figs. 2.5 and 2.6 above also show that Bach would rather fill in a small 

fraction of a stave at  the bottom of a page when only a  few bars of music are 

needed to complete the piece, rather than start on a fresh piece of paper if that 

meant that only a small part of the paper would be used. An extreme example 

of this is the autograph of the Cantata BWV 61, Nun komm, der Heiden Heiland, 

where Bach has gone to some trouble to squash in a recitative after the end of a 

chorus, even having to draw an extra 2½ bars in at the bottom of the page (see 

Fig.  2.10  overleaf). Bach does  this  even  in  the  autograph  of The Art  of  Fugue 

itself: on the last page of Contrapunctus 3 he has drawn in one final bar in the 

bottom margin,  rather  than use a  fresh page  for  just one bar of music;  in  this 

case,  the main part of  the  score  is written  in open  score, but  this extra bar  is 

notated in short score – yet another instance of economy. 

A  further  characteristic  seen  in  several  of  these  scores,  including  the 

autograph of  the quadruple  fugue,  is Bach’s habit of writing  incomplete bars 

when he comes to the end of a system: he would rather write half a bar at the 

end of a line and continue it on the next line than leave part of the system blank 

by finishing each system at a bar line. This is difficult for modern eyes to cope 

with, since current practice is not to split bars from the end of one line onto the 

start of the next; but it was obviously Bach’s convention and he, and probably 

all keyboard players of his day, would have been used to reading scores set out 

  43

in  this manner.  It  is not overstating  the matter  to say  that Bach was obsessive 

about using up as much of each page as possible and not wasting paper. 

 

         Fig. 2.10: Cantata BWV 61 

  44

One might even go so far as to say that Bach was pathologically determined 

to fill up his pages from the top left to the bottom right, even when it was not 

possible  to  fill  them  with  notes  of  music.  In  Beilage  1  (the  final  autograph 

version of  the Augmentation Canon),  the bottom  right of  the page  is  filled  in 

with  a decorative  floral design, possibly  because Bach wished  to  allow  for  a 

page turn, since there is a rest in the right hand part which enables the player to 

turn the page. (See Fig. 2.11 overleaf.) Clearly the decorative design was added 

to prevent  any  suspicion  that  there was  any music missing  at  the  end of  the 

page ‐ a suspicion that might reasonably have arisen if the decoration were not 

there and the music stopped half way along the system, leaving the rest blank. 

No such decorations have been added to the end of page 5 of Beilage 3. In Beilage 

1 Bach has gone  to some pains – even  in a handwritten manuscript of a work 

destined  for  the printer –  to  indicate  to  the reader  that  the  fact  that  the music 

stops half way along the system does not mean that the music has come to an 

end;  in Beilage 3 he has  taken no  such pains, which may  logically suggest  the 

opposite,  i.e.  that  the music has  come  to an  end and  there  is no more  to  come on a 

following  page.  This  is  a  further  suggestion  that  the  purported  existence  of 

‘fragment x’ must be doubted.37  

The use of these decorative drawings – Schmuckgraphiken – was continued in 

an elaborate manner in the engraving of the 1751 and 1752 printed editions. The 

second  example  (Fig.  2.13)  shows  a  Schmuckgraphik  incorporating  Bach’s 

monogram at the centre. Both examples show that Bach’s dislike of blank paper 

was not confined to his autograph manuscripts.  

 

37 In the 1751 printed edition, the layout of the page (page 49) preserves the autograph layout of the Augmentation Canon at this point, with the bottom system of the page stopping half way across the page to allow a page turn. The fact that the music continues on the next page is shown by simple directs – a minimal but nonetheless effective and intentional indication to the player or reader that the music continues on the next page. Bach’s use of directs in Beilage 3 itself, and in another supposedly ‘unfinished’ work, is discussed later in this Chapter.

  45

 

Fig. 2.11: Beilage 1, page 2 (autograph, final version of the Augmentation Canon) 

 

Two  conclusions  follow  from  these  observations.  The  first  is  that  the 

appearance  of  page  5  is  inconsistent with  this  characteristic  of  filling  up  the 

paper as much as possible, and indeed shows an almost profligate wastefulness 

in the way the music is set out on the page, particularly in comparison with the 

previous  four pages of  the piece. The evidence  shows  that Bach was  likely  to 

plan out his manuscripts  so  that he had  enough paper  for  the music  that he 

wanted to write, and where necessary he would squash extra bars in at the end 

rather  than  start  on  a  fresh piece  of paper. When  the music  came  to  an  end 

before the end of the page, Bach was anxious to fill up the empty space either 

with the next movement or with a decorative design to indicate that the empty 

staves were not accidental. 

  46

 

Fig. 2.12: 1751 edition, page 12, end of Contrapunctus 4 and Schmuckgraphik 

 

Fig. 2.13: 1751 edition, end of Contrapunctus 8 and Schmuckgraphik incorporating “JSB” monogram 

The second conclusion is that when Bach began to write up a fair copy of a 

composition he planned  it  out  in  advance,  ruling  out  the  staves  in  a  custom 

  47

format  for  the piece  in hand  (be  it a  single  line score  for a violin, a keyboard 

short  score,  open  score  or  a  full  setting  for  choir  and  orchestra)  and  being 

careful  to ensure  that he had exactly enough paper – neither  too  little nor  too 

much  –  to  fit  the  length  of  the  piece.  The  question  then  arises whether  the 

manuscript of the quadruple fugue is a fair copy or not. The question obviously 

has a direct bearing on any consideration of the unfinished ending: if it is not a 

working  composition  manuscript,  the  unfinished  ending  becomes  more 

difficult to explain. 

What category of score is Beilage 3? 

Robert Marshall’s 1972 study of Bach’s manuscripts provides a most helpful 

basis  for  this discussion.38 Although  it concentrates on  the manuscripts of  the 

vocal  works,  it  begins  with  some  observations  which  apply  to  Bach’s 

autographs  generally.  As  Marshall  notes  in  his  Preface,  the  problem  of 

classification arises from the fact that 

Bach was a remarkably ‘clean’ worker, and that, while his compositions rarely seem to have sprung forth fully grown from the head of their creator, the manuscripts contain few traces of the genesis of the compositions notated in them.

He goes on to quote a passage from Spitta’s biography: 

Bach’s scores do not give the impression that he made many sketches or experimented with the basic ideas in advance, as did, for example, Beethoven. The appearance of the scores suggests that they were written after the work concerned was thought out internally by the composer thoroughly and extensively, but not to the extent that the composer did not conceive any further during the act of writing.39

Since  Marshall’s  introductory  summary  cannot  be  improved  by 

paraphrasing it, I give the following direct quotation from the beginning of his 

first Chapter. 

38 Marshall, R. L. (1972) The Compositional Process of J. S. Bach: A Study of the Autograph Scores of the Vocal Works Princeton, Princeton University Press 39 Spitta, J. A. P. et al., (1884) Johann Sebastian Bach, his work and influence on the music of Germany, tr. by C. Bell and J.A. Fuller-Maitland Lond. (volume 2, page 180); quoted in Marshall op. cit., (Preface)

  48

The German Bach literature since Spitta and the BG has traditionally distinguished two types of autograph score: The Reinschrift or fair copy, and the Konzeptschrift or composing score. Although one understands intuitively what is meant by these terms, it is virtually impossible to create any infallible, unambiguous criteria which would serve to relegate every manuscript either to one group or the other.

In the clearest and most extreme cases, one can indeed recognize Reinschriften with considerable certainty by their meticulous calligraphic script and by the virtual absence of any corrections that cannot be interpreted as slips of the pen or momentary lapses of attention. On the other hand, a typical composing score reveals, through a relatively hasty handwriting, an often large number of formative corrections, and the occasional presence of sketches and drafts, that Bach most probably wrote these manuscripts while conceiving the music contained in them.

The appearance of an autograph score, however, can be affected by such unknowable biographical factors as the degree of “inspiration” and patience at the command of the composer at the moment he penned a particular manuscript or composition. When Bach's invention was flowing most freely, he was capable of composing an almost flawless score; and, if he wished, he could set it down in a careful calligraphic hand, so that an observer can hardly determine whether the manuscript is a fair copy or a composing score. Conversely, Bach at times copied from a pre-existent source in an inattentive, hasty manner that produced a score that was neither calligraphic nor free of corrections.

The two ideal types should therefore be considered the extremes of a veritable continuum of gradations formed by the 170 extant autograph scores which represent every degree of calligraphy and every variation in the density and significance of corrections. For the entire composing and/or music-writing process was subject to the vagaries of inspiration and the moods of the composer.

Marshall goes on to mention the four categories of classification proposed by 

Georg von Dadelsen40, and he presents them in the following schematic form: 

l. HANDWRITING CRITERIA

a) Calligraphic: careful horizontal and vertical placement of all symbols; upright stems; evenly and rationally spaced note-heads and symbols, often varying in size according to temporal value (i.e., whole notes are larger than the heads of half-notes, quarter-notes larger than eighth-notes, etc.)

40 Dadelsen, G. V. (1958) "Beiträge zur Chronologie der Werke Johann Sebastian Bachs" Tübinger Bach-Studien 4-5

  49

b) Non-calligraphic (Gebrauchsschrift): tilted stems; irrationally, unevenly spaced note-heads and symbols; frequently ambiguous placement of symbols (especially crucial in regard to pitch)

2. COMPOSITIONAL CRITERIA

a) Fair copy (Reinschrift): very few or no formative corrections; corrections usually limited to rectifying copying errors or slips of the pen; no sketches or drafts

b) Composing score (Konzeptschrift): relatively numerous corrections of a formative nature, plus the presence of sketches and drafts.41

Marshall  then  introduces  a  further,  new  category  of  score,  one  that  is 

particularly relevant to the present discussion. 

In addition to the variety of fair copies and composing scores, one clearly “intermediate” manuscript type appears often enough to merit a specific designation here. Many manuscripts of the early cantatas, and again those of the 1730's and '40's, reveal a calligraphic penmanship and contain comparatively few corrections. Those corrections present are for the most part minor – concerned perhaps with text underlaying – or “grammatical” in nature. Furthermore, they are usually concentrated in particular lines the voice parts, say – or in particular sections of movements, e.g., either the A or B section of a da-capo aria. These features suggest that in his early period (particularly the pre-Cöthen years) Bach worked a great deal from preliminary drafts which may have been subsequently destroyed, and they confirm our knowledge that the composer made extensive use of earlier material in his compositions of the 1730's and '40's. The autographs of all these works can perhaps best be described as “revision copies”, reflecting a stage in the compositional process more advanced than that observed in the composing scores of the Leipzig church cantatas of the 1720's, but hardly to be classified together with the famous calligraphic Reinschriften of, say, the Brandenburg Concertos or the Well-Tempered Clavier. In the Weimar and Mühlhausen cantatas one often has the impression that the invention of themes and overall design of many movements had been worked out in advance and that only the final touches were then added in the revision copy. In at least two instances the preliminary drafts or scores were apparently so complete that Bach had a copyist write out large portions of the final manuscripts. We may assume that Bach's slower pace in Weimar – the church cantatas were mostly written at four-week intervals between 1714 and 1716 – in comparison with the weekly production of his first three years in Leipzig, encouraged a relatively leisurely routine and consequently a more conscientious penmanship. By the same token his slower routine in Leipzig after 1727 and his increasing use of pre-existent material in the cantatas of this

41 Marshall, op. cit.

  50

period, occasionally enabled him to employ the services of a copyist to write out large portions of a score. […]

While the introduction of the term “revision copy” will often explain the appearance of a particular score and the type of corrections it contains better than the terms “fair copy” and “composing score”, there remain nonetheless a number of elegant, carefully penned autographs, particularly from the pre-Cöthen period but also from later years, which elude any attempt at such classification. A particular manuscript may be a highly “inspired” composing score, a revision copy, a rather careless fair copy, or a fair copy that had been subjected to yet further revision. In the case of such problematic manuscripts there can rarely be any certainty that one of these designations any more than the others accurately reflects the biographical circumstances surrounding the production of the scores.

To  these  three  broad  categories  of manuscript  –  the  composing  score,  the 

revision  score  and  the  fair  copy  – must  be  added  another,  namely  a  copy 

prepared  for  use  by  an  engraver,  called  an  Abklatschvorlage.  The  word 

Stichvorlage seems to be synonymous with Abklatschvorlage. It seems that Beilage 

3  is one of  those manuscripts  that defies classification, since  it can on  the one 

hand be described  as  an  “elegant,  carefully penned  autograph”  that matches 

von  Dadelsen’s  “Handwriting  Criterion  1a”  above  (careful  placement  of  all 

symbols, evenly spaced, etc), but on the other hand it does contain a number of 

corrections.  

The differences  of  opinion  between Douglass  Seaton, Davitt Moroney  and 

Christoph Wolff – three writers who have published studies of the manuscript – 

illustrate the extent of the confusion around this point. Seaton’s article, referred 

to  at  the beginning of  this Chapter,  speaks of  the main part of P200  (not  the 

Beilagen42) and, after discounting the possibility that the manuscript is a revision 

copy, “one stage of  the Art of Fugue  in a succession of versions  leading  to  the 

original print as  the completed  form”, on  the grounds  that “such copies were 

not normally retained when a work was further revised, and manuscript copies 

42 Seaton makes the extraordinary statement that “the three Beilagen need not come into the picture here … for they do not form an integral part of the manuscript.” (Seaton, page 55)

  51

of works which were  later  printed were  preserved  only  on  rare  and  special 

occasions”, he goes on to say: 

Clearly this is not a composition score. For some of the fugues it seems to be a fair copy; there are hardly any corrections in the first pieces. For later fugues the manuscript must have served as a revision copy, since there are sections which are quite heavily corrected. The whole manuscript is in a clean calligraphic hand and is easily read, though the writing becomes a bit more squeezed in the later sections. We can confirm that one use of P200 was as a source for the printer’s copy; this is shown by the presence of the copyist’s casting-off marks and notes such as the crosses on page 18 […]. The original intention was not, apparently, that P200 should serve as a revision or rough copy, but as a fair copy. […] We may hypothesize that P200, when it was made, was conceived as the final fair copy of a completed work.43

Though  this  paragraph  focuses  on  the  ‘main  part’  of  the  autograph 

manuscript, Seaton does mention Beilage 3 itself: 

The writing [sc. of P200] is clear and steady, suggesting that the composer had not come to the very end of his life. Even the third and last Beilage to the autograph, the fragmentary closing fugue, still shows a steady hand.44

Wolff agrees with Seaton that P200 is an “autograph fair copy”.45 But he says 

that the manuscript of the unfinished quadruple fugue is a composition score: 

That Beilage 3 represents the composition manuscript of the fragmentary last fugue is shown by some characteristic corrections and the overall graphic appearance.46

He does not  say what  these corrections are  (I discuss  them below), and he 

does not specify what he means by “the overall graphic appearance”. In fact the 

overall appearance of  the manuscript –  i.e. pages 1‐4 –  is one of extreme care 

and neatness; there are very few “characteristic corrections”, no more or no less, 

on  average,  than  the main  part  of P200  over which  Seaton  and Wolff  are  in 

agreement  that  it  is  a  fair  copy. Why  then does Wolff  say  that Beilage  3  is  a 

composition score? He says himself  that “pages 1 – 4 of Beilage 3 demonstrate 

43 Bagnall, Baker, et al., pages 55-56 44 Ibid. 45 Wolff Johann Sebastian Bach : The Learned Musician, page 435 46 Wolff "The Last Fugue: Unfinished?", page 73

  52

that  Bach  aimed  at  a  neat  layout  and  clean  musical  text  for  this  fugue”.47 

Further, he says  that Beilage 3  is written on  the same “type of paper  that was 

used for the engraver’s copy (Abklatschvorlage)”; that “the paper must have been 

left  over  from  a  supply  of  ruled  paper  for  the  engraver’s  copy”;  and  that 

“Beilage  3 was written  at  a  time when  the  preparation  for  the  printing was 

already  in progress, even more precisely, while or after  the printer’s copies of 

the canons were made”.48 These statements seem  to contradict  the notion  that 

the manuscript is a composition score.  

Wolff  unfortunately  even  contradicts  himself  on  this  specific  point. He  is 

credited  as  the  author  of  the  chapter  on  Bach’s  life  for  the  Leipzig  period     

1739‐50 in Grove Music Online (the internet version of the New Grove Dictionary 

of Music and Musicians), and in discussing The Art of Fugue he writes: 

Bach had been unable to complete the fair copy of the last movement, a quadruple fugue, and so the fugal cycle ends with an unfinished movement.49 (my italics)

In various statements in his 1975 article, Wolff seems to imply that Beilage 3, 

together with  ‘fragment  x’, were  intended  as  the  copy  for  the  engraver.  In  a 

footnote,  speaking  of Beilage  3,  he writes  “it  had  to  be  easily  legible  for  the 

copyist, who  eventually  had  to  transcribe  it  into  open  score  for  the printer’s 

copy”.50 Wolff  is  suggesting  that,  “because  the  continuation  of  the piece was 

written down elsewhere, namely in fragment x” there was no need for Bach to 

continue writing on page 5, and  the printer would have pieced  the two pages 

together.  

… it seems that the surviving source material offers no better solution to the problem than the following; Beilage 3 (mm. 1-239 of the last fugue) was originally to be supplemented by another manuscript with

47 Ibid., page 72 48 Ibid. 49 Wolff, C. Bach, §III: (7) Johann Sebastian Bach 9. Leipzig, 1739–50. <http://www.grovemusic.com.ezproxy.auckland.ac.nz>, (web site) Grove Music Online ed. L. Macy (Accessed 6 December 2005) 50 Wolff "The Last Fugue: Unfinished?", page 76, footnote 2

  53

the remainder of the piece, comprising the combination of the four subjects which had to be composed first.51

As evidence  for  this  theory, Wolff draws  the parallel between Beilage 3 and 

the  early  and  late  versions  of  Contrapunctus  10, which  in  the  1751  printed 

edition appears with 22 new bars added at the beginning. These 22 bars do not 

appear in the autograph manuscript and are obviously a later addition by Bach, 

but the autograph of the new bars has not survived. Plausibly, Wolff suggests 

that 

The autograph of these 22 bars has not survived, but it must have been a “fragment” – similar to Beilage 3 – which had to be pieced together, by a copyist, with the original version of the double fugue in the autograph (P200, pp. 14-16) to produce the printer’s copy.52

Is  it  likely that,  if this scenario  is correct (i.e. that a copyist was expected to 

piece  together  ‘fragment x’ with  the  first  five pages of Beilage 3) Bach would 

have  expected  the  copyist  to work  from  a working  composition manuscript, 

rather  than a  revised  score or a  fair  copy? Wolff has  contradicted himself on 

several levels and seems to have vitiated his own argument.  

A further detail of the content of page 5 also weakens Wolff’s theory on this 

point. If it were true that the continuation of the fugue beyond bar 239 was to be 

found on another sheet of paper, and the printer was to be expected to piece the 

two manuscripts  together, what would  the  printer  or  copyist  be  expected  to 

make of bar 239 itself as Bach has left it? 

 

51 Ibid. 52 Ibid., page 74

  54

   

Fig. 2.14: Contrapunctus 14 (autograph), last two bars 

It  can  be  seen  that  only  the  tenor  part  has  been  completed  and  that  the 

soprano, alto and bass parts have not. Can they be assumed to be silent, and if 

so why has Bach not written any rests? If they are not to be silent, why has Bach 

not written their notes? If the music continues on another page, how would the 

printer know what  to put  in  this bar  to complete  it  in accordance with Bach’s 

intentions?  The  fact  that  Bach  has  not  completed  this  bar  is  in  itself  strong 

evidence that the music does not continue on another page.  

If indeed Bach had begun by writing the conclusion of the fugue on another 

piece  of  paper,  with  the  intention  that  it  would  later  be  joined  on  to  the 

beginning of  the piece  that was  to be composed afterwards, how would Bach 

have  known  to  begin  his  conclusion  at  precisely  bar  240?  Further,  if  the 

continuation did not begin at precisely bar 240, but was merely a sketch, outline 

or  draft  of  the  combinatorial  possibilities  of  the  subjects, why  did  Bach  not 

continue on page 5 with the bars that follow bar 239? As I showed earlier, there 

is room on that page for at least another 20 bars of music, more if necessary, and 

Bach was not averse to squashing his music into a page when necessary. 

Furthermore,  if  the  ‘piecing‐together’  theory  is  correct,  would  it  not  be 

reasonable  to  assume  that  Bach would  have written  a  note  to  the  printer  to 

explain how to accomplish the join? In several places Bach’s proofing comments 

and instructions to the printer can be seen clearly, and they show that he kept a 

meticulous eye on the engraving process. The appendix to Wolff’s 1975 article 

  55

mentions  a  pencil  marking  in  Bach’s  hand,  revealed  only  by  infra‐red 

photography, which  is  “an  instruction  to  the  scribe  of  the  printer’s  copy  to 

double  the  note  values  of  the  first  triple  fugue,  as  shown  in  the  original 

edition.”53  The  first  double  fugue  has  a  similar  instruction  in  ink;  there  are 

crosses on pages 17 and 18 (see Fig. 2.11); a note “Corrig[i]rt” on page 19; an x 

on page 29; and a note on the proof sheets written after Bach’s death by his son 

Johann Christoph Friedrich says 

Canon p[er] Augmentationem contrariu motu.

NB: the late Papa had the following heading engraved on the plate: “Canon per Augment: in Contrapuncto all octava”, but he had crossed it out on the proof plate and put it in the above-noted form.54

Even in Beilage 3 itself, on the reverse of page 4, there is a list of 25 corrections 

referring to pages 21‐28, 31, and 33‐35; each correction has been systematically 

crossed out as it has been attended to.55  

In addition to the absence of any written instruction to the printer, there is a 

further  factor  which  strongly  argues  against  the  likelihood  that  the  music 

continued on another page, and that is Bach’s use of ‘directs’ in his manuscript. 

Directs  can  be  seen  clearly  at  the  right‐hand  end  of  every  system  of  the 

autograph manuscript  of Contrapunctus  14, warning  the  reader  of  the  notes 

that are to come at the beginning of the next system. Even at the top right of the 

last page of Beilage 3 Bach has written directs which refer to the next (and last) 

system  on  the  page.  If,  as  Wolff  suggests,  the  music  were  continued  on 

‘fragment x’ and  the printer were  expected  to know  this, why  then has Bach 

written no directs (or any other indication) at the end of bar 239?56 

53 Ibid., page 77 54 quoted in Wolff Johann Sebastian Bach : The Learned Musician, page 436. The original German is “N.B. Der seel. Papa hat auf die Platte diesen Titul stechen lassen, Canon per Augment: in Contrapuncto all ottave, er hat as aber wieder ausgestrichen auf der Probe Platte und gesetzet wie forn stehet.” 55 This list of corrections may be in the hand of C P E Bach. 56 See also footnote 70 (page 68) for a further instance of an apparently unfinished work which does include directs at the end of the last surviving page.

  56

Bach  was  careful  and  detailed  in  his  instructions  to  the  printers.  How 

plausible therefore is the suggestion that the purported join between page 5 and 

‘fragment x’ would have been left in such an ambiguous and unexplained state? 

The suggestion that Bach would have allowed ‘fragment x’ to be lost also seems 

highly improbable. 

In  the  Critical  Commentary  to  his  edition  of  The  Art  of  Fugue,57  Davitt 

Moroney  suggests  (without  reference  to Wolff’s  suggestion  that Beilage 3 was 

intended  as  the  copy  for  the  engraver)  that  “there  must  have  been  an 

intermediate Ms  in open  score, prepared  for  the  engraver”.58 Moroney draws 

attention  to an error  in  the engraving process,  in which  the  soprano and alto 

parts in bars 95‐6 were switched around in the print: “this error is due to the 2‐

stave  original Ms  having  these  2  crossing  parts  on  the  same  stave.  Such  a 

thematic error proves  that Bach did not supervise  the preparation of  the open 

score Ms  for the engraver, and confirms use of  the Ms as main source.”59 This 

error  is perpetuated  in Christoph Wolff’s own  edition of  the work, where on 

page 69 a dotted  line clearly directs  the  soprano A  to  the next note D, which 

actually belongs to the alto even though it is on the top of the texture.60 There is 

no excuse for this error since the alto line at that moment is a statement of the 

fugue subject. 

Clearly  there  is  considerable  disagreement  over  the  classification  of  the 

autograph of Contrapunctus 14. In summary of the foregoing: Seaton says that 

the main part of P200 is “the final fair copy of a completed work” but that it was 

also “a source  for  the printer’s copy”; he does not attempt  to classify Beilage 3 

but says that it “shows a steady hand”. Wolff states in one article that it is “the 

composition manuscript” and in another article that it is “the fair copy”; he also  57 Moroney, op. cit. 58 Ibid., page 114 59 Ibid., page 124 60 Wolff, C. (1986) (ed.) Die Kunst der Fugue BVW 1080 (Band II: Spätere Fassung des Originaldrucks) Frankfurt, New York, London, C F Peters

  57

implies that it was the printer’s copy. Moroney says that it cannot have been the 

printer’s copy but  that  there must have been another,  intermediate copy, now 

lost, for the printer. 

Examination of the manuscript 

In  January 2006  I  travelled  to  the Staatsbibliothek  in Berlin  to examine  the 

autograph manuscripts of the whole of The Art of Fugue at first hand. They are 

kept in two boxes: the first box contains all of P200, the main part of the work as 

described at the beginning of this Chapter. This box is labelled: 

Mus. ms. P200 BWV 1080 

Die Kunst der Fuge 

The second box contains only the three Beilagen,  including the autograph of 

Contrapunctus  14  (Beilage  3).  In  the  context  of  the  present  discussion,  the 

Staatsbibliothek’s  labelling  of  this  second  box, presented  here  exactly  as  it  is 

written, is striking: 

Mus. ms. P200/1 BWV 1080 

Die Kunst der Fuge (Abklatschvorlage für den 

Druck). 

Considering  the disagreement among scholars over  the classification of  this 

particular manuscript,  it  is  interesting  to note  that  it  is  specifically  labelled as 

being “The Engraver’s Copy  for  the Printed Edition”  (Abklatschvorlage  für den 

Druck). 

Examination of the manuscript shows clearly that Douglass Seaton is correct 

to describe the main part of P200 as either a fair copy or, later in the manuscript, 

as a revision copy. It is true that there are not many corrections or alterations in 

the early part of the manuscript, and such as there are more likely to be minor 

copying errors; for example, in the score of what is now Contrapunctus 5 (called 

  58

“IV.”  [sic]  in  the  autograph),  at  bar  39‐40  the  barline  bulges  to  the  right, 

suggesting  that  Bach  must  have  written  the  soprano  and  alto  parts  first  – 

presumably copying  from another manuscript – and  forgot  to  leave  room  for 

the  bass  part which  is  in  quavers  and  therefore  takes more  room.  In  “vii.” 

(Contrapunctus 6)  there are  three  instances of corrections written out  in  letter 

names because the original notes and their corrections have been made illegible 

by  the  initial attempt  to  change  them.  In “VI.” –  the early,  shorter version of 

what  became  Contrapunctus  10  –  some  sharp  signs  have  been  squashed  in 

above or below the noteheads, suggesting that they were added after the notes 

were written.  In  these  and  similar minor  alterations  to  the  score,  the  ink  is 

clearly  the  same  as  the  notes  themselves  and  the  alterations were  obviously 

made at the same time that the score was written. 

Later  in  this  part  of  the manuscript,  as  Seaton mentions,  there  are  a  few 

changes  that  are  more  significant.  Perhaps  the  most  heavily  corrected 

movement is “viii” (Contrapunctus 7), with a few examples of short semiquaver 

figurations revised, but more substantial reworkings of bars 39 and 40 (whose 

original  text has been  rather vehemently  crossed out)  and bars  51  and  52.  In 

both of these cases Bach has written an extra temporary stave below the system, 

with  the bar  lines  extended down  to  it  from  the bottom  of  the  system.61 The 

colour of  the  ink of  these alterations  is noticeably  lighter  than  the  rest of  the 

manuscript, making  it clear  that  these changes were made at a different,  later 

time.  Lighter  ink  can  also  be  seen  in  other  places,  for  example  in  “x.” 

(Contrapunctus 8) where Bach has written an instruction underneath the tenor 

part of bar 135 to say that it should be an octave lower. 

It  is  beyond  doubt  that  the  main  part  of  P200  matches  von  Dadelsen’s 

description of a  fair copy  (Reinschrift): “very  few or no normative corrections; 

61 These extra staves were written not with a rastral like the rest of the score, but each of the 5 lines of the stave was drawn freehand, separately and, it has to be said, rather untidily.

  59

corrections usually  limited  to  rectifying copying errors or  slips of  the pen; no 

sketches  or  drafts.”  It  is  equally  beyond  doubt  that  it  does  not  match  the 

description  of  a  composing  score  (Konzeptschrift):  “relatively  numerous 

corrections of a formative nature, plus the presence of sketches and drafts”. 

Since  Christoph  Wolff  has  stated  (in  one  of  his  articles,  though  not  in 

another) that the autograph of Contrapunctus 14 is a composing score, it should 

be  possible  to  make  an  objective  assessment  by  comparing  it  to  a)  von 

Dadelsen’s terminology and b) the rest of P200. The first task is to consider the 

handwriting criteria. As can be seen in Fig. 2.2 above, or in the Appendix, and 

as was  noted  by  Seaton,  the  handwriting  is  strong  and  clear.  The  notes  are 

written  confidently  and  cleanly,  accurately  lined  up  both  vertically  and 

horizontally.  The  stems  and  barlines  are  perfectly  upright.  The  ruling  of  the 

page is neat and even, set out in short score with gaps between the systems. The 

noteheads vary  in size according to their temporal value: semibreves are  large 

and  fat,  minims  a  little  less  so,  and  minims  whose  stems  are  downward 

consistently  exhibit  the  characteristic  of Bach’s  later  years  in which  the  stem 

descends from the middle of the notehead rather than from the side. In general 

the  use  of  the  ink  is  bold  and  generous.  This  is  clearly  a  calligraphic  score. 

Although  Robert  Marshall  allows  for  the  possibility  that  certain  of  Bach’s 

composing  scores  may  have  a  calligraphic  appearance,  the  overall  graphic 

appearance of Beilage 3 is so clean, strong and confident that it looks very like a 

careful and neat copy, not, as Wolff says, a score in which Bach is composing as 

he goes along. 

The  characteristics  described  in  the  preceding  paragraph  are  particularly 

prominent on page 1 of the manuscript and in the whole of page two, with the 

exception of the one significant alteration in the whole manuscript, towards the 

bottom of page two (bars 112‐114): I discuss this alteration in detail below and 

in Chapter 3. There  is no other minor correction before bar 130 (in  the second 

  60

bar of page 3). All subsequent corrections are minor. A comparison of page 4 

with  page  1  shows  that  by  page  4  the  handwriting  has  become marginally 

thinner, a little more ‘spidery’. The fact that there are no corrections in the early 

part  of  the manuscript,  together with  the  fact  that  the  handwriting  seems  to 

become marginally more ‘tired’ by page 4, suggests to me that this manuscript 

was written out at one sitting and  is very clearly not a composition score but 

some  form  of  copy  from  a  composition  score.  Any  composer  or  copyist, 

particularly one in his mid‐ to late‐60s, would be getting writer’s cramp after a 

stint of several hours of copying music. 

Moroney’s Critical Commentary  lists  all  the  variants  or  corrections  in  the 

manuscript of the quadruple fugue. For the sake of completeness, and to show 

that all but one of them are minor, I reproduce Moroney’s list here.62 

110 B: this bar was originally a whole note D; altered when the following bars were recomposed

112-14: these 3 bars were originally only 2; this version was crossed out and the three replacement bars written in tablature letters at the bottom of the page.63

114 S: this bar was originally half note D, half note rest (with half notes in the T and B as well); the 4 Soprano notes A, A, G, F were added as an afterthought. The mark which has traditionally been interpreted as a tie between the 2 As is in fact the half note rest (sitting on the 5th line) from the early version. The 2 As are not tied in the print either. Comparable rests in the T and B have been “ballooned” into half notes and, in the case of the Bass, tied to the previous note.

114 T 3: could be read as a B or an A in Ms

130 A: was originally 4 eighth notes, tied G, A, G, F, 2 quarter notes E, D, corrected by hand

144 T 5: was originally half note, altered by hand to quarter note, quarter-note rest

62 Moroney, op. cit., page 124 63 It should be noted that Moroney merely lists this change: he offers no suggestion for the reason for it. To my knowledge no other writers apart from Moroney have mentioned the existence of this particular alteration in the manuscript, and none has explained it. In Chapter 3 I will show that the reason for the change was not a musical one (i.e. a change made by Bach because he was dissatisfied with the notes he had originally written) but a structural one, having to do with the length of the fugue as a whole.

  61

165 T 1: was originally a half note, altered by hand to quarter note, quarter-note rest

190-93 seems originally to have been as in Example 2, but the text is hard to read due to erasures [Moroney gives in his Example 2 a slight variant of the bass part: it can be seen on page 139 of his commentary.]

209-208: barlines only every 4 half notes; hence the system of half bars used here

222 B 1: was originally half note, altered to quarter note, quarter-note rest

239: Ms ends here (6 bars after the ending in the print).

It can be seen that the great majority of these  ‘corrections’ occur later in the 

piece rather than earlier; and also that the great majority of them are very minor 

alterations to note values. Another similar correction not listed by Moroney or 

in any other critical commentary has been observed in a recent article by Ewald 

Demeyere, who  rightly  draws  attention  to  the  first  soprano  note  of  bar  101, 

which  appears  originally  to  have  been written  as  a minim  and  subsequently 

filled in to make a crotchet.64 Fig 2.15 shows an example of a similar alteration: 

bar 165, beat 1 which does  indeed appear  to show, as Moroney says,  that  the 

tenor  note  (the  soprano  is  silent  in  this  passage) was  originally written  as  a 

minim, and Bach has filled it in to make it a crotchet. 

 

Fig. 2.15: Contrapunctus 14 (autograph), bar 165 

This kind of ‘mistake’ which is subsequently ‘corrected’ is entirely consistent 

with the idea that this manuscript is a copy: it is the kind of mistake that would 

be very easy to make when copying – to draw a minim instead of a crotchet – 

especially  if  the writer were beginning  to  tire a  little after writing  for  several 

64 Demeyere, E. (2006) "The Art of Fugue: Expanding the Limits!" <http://www.bach-cantatas.com/Articles/AOF-Demeyere.htm> (website): accessed 12 May 2006

  62

hours.  The  only  possible  alteration  of  any  musical  significance  listed  by 

Moroney  is  the  purported  change  to  bars  190‐193  and  even  here  it  is  not 

possible  to  say  that  this  was  a  change  of  heart  by  the  composer  who 

subsequently  revisited  that place and decided  to  ‘improve’  it:  it  could  just  as 

easily have been a correction that was needed because of some slip of the pen 

while copying. 

It is also relevant to note that in the case of this particular manuscript of this 

fugue, all  the changes are seen  to be exactly  in  the same  ink as  the rest of  the 

piece, unlike the changes in the main part of P200 which, as was noted above, 

are in lighter ink and were clearly written on a different occasion; the changes 

in Beilage 3 were clearly made at the same time and in the same ink as the music 

itself was written down. Even the strong crossing‐out of bars 112‐114 and their 

replacements notated in tablature in the bottom margin (page 2) are in the same 

ink. 

It  is now possible  to  consider  the  second of von Dadelsen’s  categories:  the 

compositional  criteria  (the  handwriting  criteria  were  considered  above).  He 

describes  a  Konzeptschrift  or  composing  score  as  being  characterised  by 

“relatively  numerous  corrections  of  a  formative  nature,  plus  the  presence  of 

sketches  and  drafts”:  clearly  this  does  not  apply  to  the  autograph  of  the 

quadruple  fugue.  In  fact  this  autograph  matches  much  more  closely  the 

description of a fair copy or Reinschrift: “very few or no formative corrections; 

corrections usually  limited  to  rectifying copying errors or  slips of  the pen; no 

sketches or drafts.” 

Combining these observations of the appearance of the manuscript – both the 

handwriting and compositional criteria – it seems indisputable that Beilage 3 is a 

calligraphic fair copy. It is probably not possible to state definitively that it is a 

final fair copy, and – despite the Staatsbibliothek’s unequivocal description of it 

  63

as an Abklatschvorlage – Moroney’s idea that there must have been a version in 

open score  for  the engraver  is persuasive.  It could be possible  to make a case 

that this score is some form of revision copy. But – with all possible respect to 

Professor Wolff  –  I  have  to disagree with  his  claim  that  this  is  a  composing 

score. As I have mentioned, even Wolff himself describes it as a fair copy in his 

Grove article. 

The point is crucial to a correct understanding of the unfinished bar 239. The 

universally held belief that the piece is unfinished because of Bach’s illness and 

death can only have any validity  if  the manuscript  is an unfinished composing 

score. If – as the evidence seems overwhelmingly to suggest – the manuscript is 

some  form  of  copy,  it  seems  almost  impossible  to  imagine  that Bach  (or  any 

other composer) would have set about making a copy of a work  that was not 

yet finished in its original composing score. The work must have been finished 

if  the composer had made a copy of  it. To  this statement  it might be objected 

that if the manuscript is indeed a copy, the use of such an untidy and scrappy 

piece of paper for the last page is a contradiction, since by definition a copy is 

supposed  to  be  neat.  It would  seem  illogical,  even  capricious,  to  use  such  a 

piece of paper as part of a copy. This fact can be added to the now long list of 

strange inconsistencies about the appearance of this manuscript, a list to which 

I now continue to add.  

More on the appearance and ruling of page 5 

Earlier I concluded that page 5 could not have been ruled with the intention 

of having short score keyboard music written on it. In the light of the foregoing 

observations it is also possible to conclude that – since it is clear that Bach ruled 

up  his manuscript  paper with  the  layout  of  systems  specific  to  the  type  of 

instrumentation  being used,  and  since  the  autograph  of Contrapunctus  14  is 

obviously  some  form  of  copy  of  the  composition  and  not  a  working 

composition  score  –  page  5  was  not  ruled  with  the  intention  of  having 

  64

Contrapunctus 14 written on it. The careful ruling of pages 1‐4 makes this clear: 

page 5 does not resemble pages 1‐4 in any of the essential characteristics – the 

neatness  of  the  ruling;  the  number  of  staves  per  page;  the  grouping  of  the 

systems; or the number of bars on each system. 

A further detail that supports this statement is the size of the paper. Pages 1‐

4 of Beilage 3 are 21 x 34 cm  (‘landscape’  format), and  indeed  the pages of  the 

main part of P200 are 33 x 21 cm (‘portrait’ format). But page 5 of Beilage 3 is 20 

x 35.5 cm – a different size of paper from pages 1‐4.65 This strongly suggests that 

page 5 was not intended to ‘belong with’ pages 1‐4; at the very least, it is one of 

several factors that draw attention to the fact that almost everything about page 

5 is different from its predecessors. 

Is it plausible that Bach ruled up four pages of manuscript, thinking that that 

would  be  a  sufficient  number  of  pages  to  accommodate  the  completed 

Contrapunctus  14?  Since we  know  that  it  is  a  copy  (fair  or  revision),  not  a 

working  composition manuscript, Bach obviously knew exactly how  long  the 

piece was, so this seems unlikely. If we assume for a moment that Bach had in 

fact underestimated the amount of paper needed, why when he got to the end 

of page four would he have taken up such a scrappy piece of manuscript that 

does  not match  the  preceding  pages?  Surely,  if  this were  indeed  a  fair  copy 

destined for the printers, such an untidy page would not have been acceptable. 

Is  it  plausible  that  Bach  literally  did  not  have  another  piece  of  paper  in  the 

house on which to rule new staves, so that he was forced to hunt about to find a 

stray scrap of paper, one that he had perhaps discarded on a previous occasion 

because it was misruled? 

65 The dimensions of Beilage 1 (final version of Augmentation Canon) are c.21 x 33.5 cm (‘landscape’). The dimensions of Beilage 2 (arrangement of three-voice mirror fugues for two harpsichords) are c.35.5 x 22 cm (‘portrait’).

  65

Mention  of  the  printing  or  engraving  process  invites  consideration  of  yet 

another  inconsistency:  is  it  likely  that  Bach  would  have  embarked  on  the 

process  of  having  a work  of  his  engraved  and  published,  even  going  to  the 

extent of having the plates drawn up and carefully proof‐read by himself, if the 

work  in  question were  not  finished?  The  answer  surely must  be No. What 

composer would send in an unfinished work to the printers? Is Professor Wolff 

really suggesting that Bach would have fed his last great fugue, the climax of a 

monumental work,  to  the printers  in a piecemeal manner, on different bits of 

paper  (at  least  3  different  lots  of  paper,  if  the  ‘fragment  x’  theory  is  to  be 

believed)?  If  the  claim  is  that  Bach  started  the  printing  process  even  though 

Contrapunctus 14 was not finished (a most unlikely scenario at best), a person 

making  that claim might  suggest  that Bach  said  to himself “It will be easy  to 

finish that fugue; there is not much left to do; I can easily get it finished by the 

time  the engravers will need  the  fair copy;  they may as well start now on  the 

engraving of  the plates  for  the early pieces  in  the  collection, and by  the  time 

they come  to engrave Contrapunctus 14,  I will have  it  finished and  ready  for 

them.” But  if this  is  indeed what was going  through Bach’s head,  the obvious 

question is: why then did he not finish it, if it was such an easy thing to do in 

the time available? 

Each of  these detailed observations  taken  individually might be able  to be 

dismissed  as  insignificant,  but  cumulatively  and  taken  together  they  point 

inexorably to the fact that Christoph Wolff’s ‘fragment x’ theory does not stand 

up to scrutiny and is  illogical. The more plausible conclusion  is that  ‘fragment 

x’  never  existed,  and  that  Bach  never  intended  Contrapunctus  14  to  be 

continued (on paper) beyond bar 239. He began the engraving process because 

Contrapunctus 14 is finished as it stands: Bach intends the piece to be left exactly 

as it is. His decision to use such an odd piece of paper for his ending, together 

with  all  the  other  inconsistencies  that  I  have  mentioned,  is  a  clue  to  the 

  66

observant reader,  just like the appearance of the number 14 in the last bar that 

was discussed in Chapter 1, that there is more to that last page than meets the 

eye. 

If one bases one’s conclusions on a logical assessment of what can be seen in 

the appearance of the manuscript and what can be noticed in the music itself or 

its  structure,  one  may  well  come  to  a  conclusion  that  Bach  left  the  fugue 

unfinished deliberately. That conclusion in itself, however, does not answer an 

intriguing question: Why? As we have seen above, Laurence Dreyfus pointed 

out the fact that only the bottom three staves of page 5 of the manuscript were 

unusable. I agree with him in so far as he says that Bach could have continued 

to write on that page if he had wished to do so. However, the explanations that 

Dreyfus  offers  for  the  fact  that  Bach  did  not  do  so  seem  to me  to  enter  the 

realms of the esoteric, if not the bizarre. First, in his note 31 (page 256), Dreyfus 

refers  to  an  article  by  Matthew  Dirst  and  Andreas  Weigand  (“Baroque 

Forecasting: On Completing J S Bach’s Last Fugue”, Santa Fe Institute for Studies 

in  the Sciences of Complexity, 1993, pages 151‐177)  in which Dirst  suggests  that 

the  short  scoring  for  the  final  fugue  in  the  autograph  “was  due  to  Bach’s 

attempt  to  fill  in pages  already  allotted  to  the  engraver”.66 This may have  an 

element of truth in it, but Dreyfus goes on to say: 

If in composing the fugue, Bach saw that its length would never fit on the two available pages [allotted by the engraver], he may well have given up in despair and never returned to complete the project before his illness.

66 A number of writers have been exercised by the fact that the autograph of Contrapunctus 14 is written in short score, whereas the other four voice fugues are in open score. Gregory Butler’s article seems to corroborate Dirst’s theory in that he shows that the engraver had allowed six pages and a completed Contrapunctus 14 (if Butler’s claim that the completed length would have been 273 bars is correct) “would have fit nicely on six pages”. (Butler "Ordering Problems in J S Bach's 'Art of Fugue' Resolved", page 55). The true explanation for Bach’s use of short score, however, may well be more prosaic: my suggestion is that it was simply to save paper, since such a very long piece would have used up a great deal of paper – 10 or 12 pieces – if written in open score. Further, I have already drawn attention to Davitt Moroney’s proposal that there must have been a subsequent copy for the engraver which would have been written in open score.

  67

This seems to take an extraordinary leap into speculation about Bach’s state 

of mind. Given  that Bach had begun work on The Art  of Fugue  several years 

before, in the early 1740s, it seems most unlikely that he would  ‘spoil the ship 

for a ha’p’orth of tar’, giving up so easily for the want of a small number of bars 

– especially since, as Wolff originally suggested, he must have had a very clear 

idea  of how  the  fugue was  to  be  concluded.  In  all Bach’s  output  there  is no 

other example of his having  left a work unfinished  for  this kind of reason; on 

the  contrary,  he was well  used  to  finishing  all  his  projects  thoroughly  and 

efficiently. One has only to think of the hundreds of church cantatas, all written 

to  a  strict weekly  deadline,  to  see  that Dreyfus’  explanation  does  not  seem 

plausible. It  is clear that The Art of Fugue was a monumental project that must 

have been dear  to Bach’s heart: a  treatise on  counterpoint  that  in many ways 

summed  up  his  life’s work,  stubbornly written  over  several  years  at  a  time 

when  such  counterpoint was very much out of  fashion. To  suggest  that Bach 

would  give  up  so  easily,  just  because  he  might  have  thought  that  he  was 

running out of space on a piece of paper, is untenable. 

In the main part of his text, Dreyfus continues his attempt to psychoanalyse 

Bach,  suggesting  that  at  the  end  the  composer was  overcome  by  a  sense  of 

modesty: 

…it is certainly worth considering whether the composer had second thoughts about issuing a work in which his boldly embroidered family emblem was proclaimed, no matter how appropriate and well-deserved this proclamation. So even if he could easily have finished filling in the details of the final fugue, of which no-one can have the slightest doubt, one can argue that Bach chose through his inaction to leave it unfinished at his death.67

Not only does Dreyfus here contradict his earlier explanation quoted above, 

by saying that it would have been easy for Bach to have filled in the details, but 

the unfounded  ascription  of  self‐deprecation  to Bach  seems  out  of place  in  a 

67 Dreyfus, op. cit., page 167

  68

work that sets out to be one of musical analysis. When Dreyfus mentions Bach’s 

“boldly  embroidered  family  emblem”  he  is  of  course  referring  to  the  BACH 

theme,  the  third  fugue subject of Contrapunctus 14; but as shown  in Fig. 2.13 

above,  Bach  suffered  no  pangs  of  modesty  when  he  had  his  own  initials 

elaborately  included  in  the design  of his  printed  edition. As  if  his  argument 

were not fanciful enough, Dreyfus continues: 

Perhaps, then, Emanuel Bach’s mythic inscription – suggesting that Bach died after composing the passage where his name appeared in the countersubject – contains within it a kernel of truth: that is, that as a composer of fugues, Bach had in fact died at this very moment.68

Peter Williams offers a different but equally speculative theory: 

…is it possible that, as with another late fugue (in C minor, for organ), the composer lost interest in it? Despite the awesomely ingenious way it harmonises its three themes so far, their relentless exploitation can be found progressively less enthralling.69

Williams does not  specify which  late organ  fugue  in C minor he means.  It 

cannot be either BWV 574  (Fugue on a  theme by Legrenzi) or BWV 575 since 

both of these are complete and are in any case thought to date from Bach’s pre‐

Weimar  and Weimar  periods  respectively  (1708–1717)  and  are  therefore  not 

‘late’ works. He probably means the fragment of the fugue BWV 562, but there 

is no evidence whatsoever that the reason this particular fugue is incomplete is 

that  Bach  “lost  interest  in  it”;  indeed, Williams’  own  three‐volume  study  of 

Bach’s  organ music  suggests  that  it was  in  fact  finished  but  the  last page  or 

68 Ibid., page 168. Perhaps Dreyfus is being whimsical here? His idea is reminiscent of comments made by William Malloch, who wrote the following flight of fancy in the programme notes to a recording of his own orchestration of The Art of Fugue: “Bach leaves us at the crossroads. He knows that his life goes on elsewhere; he knows that the music will remain alive and well without his help, and he invites us to continue practicing the art of counterpoint. But surely if one is to take up Bach's invitation and apply it to this unfinished fugue, it would not be appropriate to round off the fugue in the conventional sense, since it is a work designed to remain open in the end. For myself, I have added an 'unfinish' at the point the manuscript leaves off. It is planned as a natural outgrowth from the point the whole orchestra unites, in mid-range, in praise of Bach's name. After Bach's notes come to an end, the orchestral sections go their separate ways, fuguing away forever, past the horizon line; Bach ascends to Heaven, and we hear his sweet admonition to us to begin anew." I am grateful to Dr Bradley Lehman for bringing this passage to my attention. 69 Williams, op. cit., page 158

  69

pages  have  been  lost.70  This  fugue  can  hardly  be  presented  as  compelling 

corroborative  evidence  that  Bach  may  have  “lost  interest”  in  completing 

Contrapunctus 14. The suggestion seems even more unlikely when considered 

from another angle: he had been working on this collection of fugues for several 

years and up to bar 239 of Contrapunctus 14 he had written a total of 1716 bars 

of music, not including the canons. If for the sake of argument we assume (with 

Gregory Butler) that a mere 6 + 34 = 42 bars of music are needed to complete the 

work as a whole,71 bringing  the  total number of bars  to 1756,  then Williams  is 

suggesting  that Bach  got  bored  after  completing  97.7%  of  a major work  and 

abandoned  it within  2.3%  of  the  finish. Lastly,  if Williams does  not  find  the 

“exploitation”  of  the material  “enthralling”,  that  is  a  subjective  opinion,  not 

evidence that Bach had lost interest. 

It seems  remarkable  that  these Bach scholars should offer up  these reasons 

for  the  incompleteness  of  Contrapunctus  14:  that  the  composer  gave  up  in 

despair  because  he  did  not  have  enough  paper;  that  he  was  overcome  by 

modesty;  that he metaphorically  ‘died’ at bar 239; or  that he got bored. In  the 

light  of  these  speculations,  the  suggestion  that  he  left  the  piece  unfinished 

deliberately seems far more credible. 

70 “In P 490 [sc. the manuscript of BWV 562] the fugue takes the last of the four sides of the MS, the final bar followed by directs to the next page, showing that the fugue was either continued/completed and lost, or planned but not executed. Other incomplete works of Bach do not have a full texture up to the point at which the work stopped (e.g. the fragment ‘O Traurigkeit, O Herzeleid’ or the incomplete movement of The Art of Fugue), which suggests that BWV 562ii was once longer; moreover, at least one other organ work in an autograph score (BWV 548) breaks off during the fugue, which was then written out to the end by a copyist.” Williams, P. (1980) The organ music of J.S. Bach Cambridge, Cambridge University Press, Volume 1, pages 202-203 71 See Chapter 3 for a more precise number.

  70

Conclusions 

I  agree  with  Professor  Wolff  only  insofar  as  the  notion  that  something 

relating to the conclusion to Contrapunctus 14 may have been written down on 

a  piece  of  paper  –  ‘fragment  x’  –  and  that  that  piece  of  paper  has  been 

unaccountably lost. However I believe that ‘fragment x’, if it existed, was more 

likely to have been only a sketch or outline of the final combination(s) as part of 

the  initial  stages  of  the  compositional  process,  rather  than  a  fully  worked 

completion of the rest of the fugue. There is no evidence that the editors knew 

of or saw ‘fragment x’ even if it did exist; indeed a logical analysis suggests that 

they could not have seen it, since if they had they would certainly have known 

what  it was and would have related  it  to  the extant portion of Contrapunctus 

14. There  is no evidence  for  the suggestion  that  ‘fragment x’,  if  it existed, was 

designed  to be a continuation of  the extant page 5 of Beilage 3. Wolff’s  theory 

about  the misruled paper does not  stand up  to  scrutiny.  It  is  clear  that Bach 

could have continued to write on that page if he had chosen to do so. The fact that 

he did not continue to write on that page may therefore lead to a plausible step 

of  reasoning  that  suggests  that  he  deliberately  chose  not  to  do  so.  The 

appearance of  the  last page  is  in many  respects completely different  from  the 

previous  four pages, and  from  the vast majority of Bach’s other  scores. Other 

scholars  have  offered  far‐fetched  theories  to  explain  why  the  fugue  is 

unfinished. In contrast, if one assumes that Bach left it unfinished deliberately, 

far  fewer  speculative  leaps  have  to  be  made  to  explain  the  fact  that  it  is 

unfinished.  This  hypothesis  is  able  to  explain  all  the  anomalies  around  the 

autograph  and  the  engraving  history  without  any  intervening  steps  in  the 

argument  having  to  be made.  The  question  remains: why would  he  leave  it 

unfinished deliberately?  

  71

I am convinced that one explanation seems  to be  the most  likely. The Art of 

Fugue as a whole is an exercise in progression from simple to complex, starting 

with the relatively straightforward Contrapuncti 1 – 4, introducing inversion of 

the subject in Contrapuncti 3 and 4. Then there is a group of three fugues (Nos. 

5 ‐7) that employ techniques of stretto, augmentation and diminution. The next 

fugues,  Contrapuncti  8  –  11,  are  essays  in  double  and  triple  invertible 

counterpoint. The astonishing technical achievement of the Mirror Fugues, Nos. 

12 and 13, takes compositional virtuosity to a level unsurpassed before or since. 

The  four  Canons  –  however  they  are meant  to  fit  into  the  overall  order  (a 

question  that  has  baffled  many  scholars)  –  also  show  in  themselves  a 

progression from simple to complex, culminating in the Augmentation Canon. 

Contrapunctus 14 is designed to be the grand finale to the whole collection. It is 

in  itself  an  enigma,  since  its main  point,  the  introduction  of  the main Art  of 

Fugue  subject  in  quadruple  combination  with  the  other  three  subjects,  is 

withheld by Bach  (though as we shall see  in Chapter 4, a ghostly outline of  it 

hovers over Bach’s last written bars). 

Whatever Bach’s motivations may  have  been  in  creating  this  composition, 

one of them may well have been to write a didactic work; even if that was not 

his motivation,  it  is nevertheless  the  result of what he has written: The Art of 

Fugue  is  in effect a  textbook on counterpoint and  fugue. Certainly C P E Bach 

and Marpurg  had  this  in mind when  they wrote  to  promote  the  sale  of  the 

published editions. Emanuel’s advertisement includes these sentences: 

… one knows how fruitless instruction is without illustration, and experience shows what unequally greater advantage one draws from practical elaborations rather than from meagre theoretical direction. The present work, which we announce to the public, is throughout practical and indeed accomplishes what many skilful men have suggested in their writing over the years. […] What special understanding, however, one can attain of the art of composition by studying scores, both with respect to harmony and melody, those who

  72

have been fortunate in proving themselves will demonstrate with their examples.72

Similarly, Marpurg wrote in his preface to the 1752 edition: 

… this work has given the occasion to examine more closely the nature of the fugue, and to compare with it the rules which have in the meanwhile been drawn up governing its construction. […] Since the rules of fugue have generally been treated together with the other principles of musical composition, many music lovers who do not have at hand the great and lengthy works on composition may thus find satisfaction. […] It is to be hoped that the present work may inspire some emulation…73

There  is no doubt  that The Art  of Fugue  is  a very  complete  and  systematic 

treatise on  fugue, even  if Bach did not set out  to write  it with  that purpose  in 

mind.  Bach  takes  the  reader,  student  or  performer  on  a  progressive  and 

systematically organised journey from simple to complex, all built upon the one 

subject. When we  come  to  the  unfinished  ending  of  Contrapunctus  14,  the 

hypothesis  that  I want  to explore  is  that Bach  is  saying  to  the  reader: “I have 

shown you thus far what can be done with this material. Now it is for you to go 

and work out how  to  finish  it off yourself – and  I have  left you some hidden 

clues  to  let you know  that  that  is my  intention, and  to give you hints of what 

can be done  in  the conclusion. That  is why  I have not written out  the ending 

myself.” 

Perhaps it was not an accident of words that led Marpurg to say in his first 

paragraph “in this work are contained the most hidden beauties possible to the 

art of music” (my italics).74 

As a kind of sidelight on  the claim  that  it may well have been Bach’s wish 

and  intention  that Contrapunctus  14  should  be  completed  by  the  student  or 

performer,  I  conclude  this Chapter with  a  quotation  from Michael  Ferguson, 

72 David, Mendel, et al., pages 256-258 73 Ibid., pages 375-377 74 Ibid., page 375

  73

some of whose work we shall consider in detail in Chapter 4. Mr Ferguson is an 

American  organist  who  has  devoted  many  years  of  study  and  scholarly 

research  into  The  Art  of  Fugue:  this  has  included  the  composition  and 

publication  of  a  completion  for  Contrapunctus  14,  and  the  release  of  a 

commercial recording of the work played on the organ. This recording includes 

an essay on the work  in the CD  liner notes; the following quotation, extracted 

from three places in that essay, expresses eloquently the idea of “Art of Fugue 

as Game”.75 

Bach also loved an improvisatory game called ‘leading astray’, where two organists seated at different organs in the same room, would improvise a fugue together. One would begin, then break off; the other would try to take it up without missing a beat, and add a twist to the counterpoint before handing it off to the other, who would have to add still more complexity, and so on – until one would lose the musical ‘thread’, and have to drop out.

[…] As a game of ‘leading astray’, the Art of Fugue is a most extreme example. … The progression of complexity involved is hardly a matter of a few steps along a single contour of development. A better analogy would be the differentiating ‘complexification’ of cells that results in a living creature. There, every new ‘division’ of ‘the idea’ has a fresh purpose, tending more and more toward consciousness and light. In the Art of Fugue, the complexification tends toward ever greater power of expression, stronger climactic moments, and the rarely achieved possibility of sustained intensity of emotion. Beginning with an unusually stark theme, Bach makes every development of it seem necessary, even inescapable, with the compelling emotional logic of a dream. Each movement prepares for the next, and all of them reveal an orientation to one and the same focal point. Bach’s delight in sending his notes on the chanciest adventures, and then gathering them home again with his unerring instinct for the final cadence, has here enormous scope for play.

[…] Any composer who feels drawn to this unique musical game can also feel the encouragement that I felt, in knowing that Bach would both have wanted a response, and have been pleased if it went well. For does not that awesome moment in Contrapunctus 14, when Bach’s notes break off, also resemble another kind of moment that his young son Carl Philipp Emanuel often shared with him? When they heard an organist playing a fugue, Bach would whisper to his son how it ought to go, according to the potential of the theme. He would also,

75 Ferguson, M. (2003) Art of Fugue (CD recording, liner notes), record label Birolius 1001/2, Minnesota, USA

  74

joyfully, as Emanuel remembered, nudge his son when the organist did as Bach had hoped.76

It is true that everything in this passage is speculative, and that it comes from 

a CD booklet rather than from an academic article or textbook; it is equally true 

that we shall never know what was in Bach’s mind, and that C P E Bach’s letter 

to  Forkel  (footnote  76,  below) does  not  refer  specifically  to The Art  of  Fugue. 

Nevertheless,  the  comparison  between what  is  described  in  Emanuel’s  letter 

and the unfinished ending of Contrapunctus 14 presents an attractive similarity. 

In the context of the inconsistencies and questions that surround the manuscript 

of this fugue and that have been surveyed in this Chapter, the suggestion that 

Bach may be  inviting  the  student or performer  to  fulfil his expectations  for a 

conclusion may seem less fanciful or whimsical than the hypotheses that some 

other writers have offered to explain the work’s incomplete state. 

76 The reference is to C P E Bach’s letter to Forkel of December 1744: “When he [JSB] listened to a rich and many-voiced fugue, he could soon say, after the first entries of the subjects, what contrapuntal devices it would be possible to apply, and on such occasions, when I was standing next to him, and he had voiced his surmises to me, he would joyfully nudge me when his expectations were fulfilled.” Quoted in David, Mendel, et al., page 397. There is a similar reference in the Obituary: “He needed only to have heard any theme to be aware – it seemed in the same instant – of almost every intricacy that artistry could produce in the treatment of it.” Ibid., page 305

  75

PART  TWO:  AFTER  BAR  239  

 Chapter Three    

 

THE BACH NUMBERS, PROPORTIONAL RATIOS AND THE MARKINGS ON THE LAST PAGE:                        THE LENGTH OF THE QUADRUPLE FUGUE 

CONCLUSIVELY ESTABLISHED 

Introduction 

Though there are several puzzling questions about The Art of Fugue, one fact 

that cannot be disputed is that Contrapunctus 14 as it stands is incomplete. This 

statement  is  true  irrespective  of  whether  Bach  left  the  piece  unfinished 

deliberately,  or whether  a  continuation  of  the  piece  did  or  did  not  exist  on 

another  page.  However,  there  is  no  agreement  among  composers  and 

musicologists about how long the fugue should be if an attempt to complete it 

is  to be made. The most widely accepted  theory  to date comes  from Gregory 

Butler’s  important article  in which he concludes  that “approximately” 40 bars 

are needed to complete the fugue.1 I believe that it should be possible to arrive 

at a more definite answer, one that does not need the qualification of the word 

“approximately”. In this chapter I will show that it is in fact possible to establish 

conclusively that Bach’s intention was for a precise number of bars to complete 

the fugue, and that he has left us a number of clues to show us the way to that 

information. The exact number can be corroborated on a number of levels, and 

in particular I will show, by means of an analysis of markings on the last page 

of Bach’s manuscript, that he may have supplied the information in coded form. 

As far as I know I am the first to comment on these markings, and certainly the 

1 Butler "Ordering Problems in J S Bach's 'Art of Fugue' Resolved", page 55

  76

first  to  propose  a  theory  about  them.  The  number  of  ‘missing’  bars  can  be 

derived  from  a  correct  understanding  of  the  architectural  proportions  of  the 

sections of the fugue: previous writers have not achieved complete accuracy in 

their analysis of this aspect of the music. An explanation of a correction made 

by Bach on page 2 of his manuscript also corroborates  this new  theory.  I will 

show that my analysis results in some remarkable numerical correspondences, 

lending weight to the claim that it is correct; and I will show that Bach had done 

similar things elsewhere. 

Bach’s use of Gematria or Numerology: brief overview 

Bach’s habit of using numbers in various ways in some of his music, and in 

particular  its relevance  to The Art of Fugue,  is discussed  in detail  in Chapter 1. 

For  the purposes of  the present chapter, however, all  that  is needed  is a brief 

reminder of the most  important of the  ‘Bach numbers’. First  is the number 14, 

resulting from the numbers associated with the letters of Bach’s name:  

B + A + C + H = 2 + 1 + 3 + 8 = 14 

We saw earlier that the number 14 appears frequently in Bach’s music and in 

The Art of Fugue in particular, not least in the 14th fugue. 

The second important number is 41, which results from the letters  

J + S + B + A + C + H = 41 

A noticeable feature of the number 41 is that it is the retrograde of 14. 

On  page  10  it was  noted  that  another  number  frequently  seen  in  Bach’s 

music  is  55, which  is  the  result of  14  +  41  =  55. This number will be  seen  to 

assume a crucial importance in the present discussion. 

  77

Varying lengths of completions of Contrapunctus 14 

A  surprisingly  large  number  of  composers  have  written  completions  to 

Contrapunctus 14, some more successful than others. This is not the place for a 

discussion of the merits of them or a description of their contents, and I confine 

myself to mention of the lengths – the number of bars that the composers have 

added after Bach’s final bar 239. Walter Kolneder’s 1977 book about The Art of 

Fugue lists twenty completions.2 A more recent article by Jan Overduin surveys 

nine  published  completions, mentioning  the  lengths  of  some  but  not  all  of 

them.3 The following is a selective survey of the lengths of some completions. 

The longest is by Ferrucio Busoni in his Fantasia Contrappuntistica (1912).4 He 

adds 672 new bars, though this is not really a completion but rather a new work 

that incorporates Bach’s surviving 239 bars without bringing in the main Art of 

Fugue  subject.  Overduin  describes  it  as  “a  spiritual  commentary  on 

Contrapunctus 14”.  

The  eminent  Swiss  organist  Lionel  Rogg  has  written  and  recorded  a 

completion  that  sounds  most  convincing  and  very  Bachian  (though  some 

aspects of it are open to challenge).5 It is 46 bars long. It is undated but it must 

have been written before M. Rogg’s recording of it in 1969. 

Perhaps  the most  famous  completion  is  that  of  Sir Donald  Francis  Tovey 

(1931).6 At 78 bars  (not 80 as Overduin states)  it  is one of  the  longer attempts, 

along with that by the American organist Michael Ferguson, whose completion 

2 Kolneder, W. (1977) Die Kunst der Fuge : Mythen des 20. Jahrhunderts Wilhelmshaven, Heinrichshofen 3 Overduin, J. (2001) "Nine Published Completions for Keyboard of BWV 1080, 19, from 'The Art of Fugue' by J. S. Bach" The American Organist 35(1): 78-82 4 Busoni, F. (1912) Fantasia Contrappuntistica New York, Dover Publications 5 Rogg, L. (?1968) Art de la Fugue: conclusion hypothétique. The completion is unpublished, but I am most grateful to M. Rogg for sending me a copy of his manuscript. There are some slight differences between the manuscript and M. Rogg’s recording. 6 Tovey, D. F. E. (1931) Die Kunst der Fuge by J S Bach London, Oxford University Press

  78

takes 98 bars.7 Longer still  is  the “reconstruction” by Zoltán Göncz: 111 bars.8 

The blind organist Helmut Walcha published a completion 71 bars long,9 and a 

completion 96 bars  long by Dr Adel Heinrich was published  in  the  journal of 

the Riemenschneider Bach Institute.10 

Davitt  Moroney  published  his  own  completion  in  conjunction  with  his 

edition of The Art of Fugue for Henle in 1989. In his Critical Commentary to his 

edition, Moroney  refers  to Butler’s article, which he has obviously  taken as a 

guide  when  judging  the  length  of  his  completion:  “…  the  missing  portion 

cannot have been intended to contain more than about 40 bars, at most. (I have 

added 30.)”11 This  is a good example of  the way statements by academics and 

musicologists  can  take  on  a  life  of  their  own,  developing  accretions  and 

assumptions over the years as they are adopted and paraphrased by one writer 

after another.  In  fact Butler’s article does not  contain  the words  “at most”:  it 

stops at “approximately 40”, which is not precisely the same as Moroney’s “not 

more than about 40 at most”. 

In a  somewhat esoteric article of May 2000, Herbert Kellner  states  that  the 

ideal  length of  the  fugue  should be 238 bars –  that  is, an  extra 37 bars.12 His 

reasoning  is based on  (a) a numerological analysis of  the words and  letters of 

the Nachricht  (preface)  to  the  1751 printed  edition  (there  are  37 words  in  the 

second half of the Nachricht, the total of whose letters is 2138 [=BACH]), and (b) 

on  an  idea  that  the  fugue  is  constructed  around  a midpoint  at  bar  138/139. 

Nothing  is to be gained here by analyzing Kellner’s arguments  in detail; but  I 

7 Ferguson, M. (1990) Contrapunctus XIV, A Completion of J S Bach's Unfinished Quadruple Fugue from The Art of Fugue, newly edited for organ according to Bach's autograph manuscript and the 1751 original edition Saint Paul, Minnesota, Holbrook & Associates 8 Göncz, Z. (1996 & 1997) "Reconstruction of the Final Contrapunctus of The Art of Fugue" International Journal of Musicology 5 & 6: (vol 5): 25-93; (vol 6):103-119 9 Walcha, H. E. (1967) Bach: Die Kunst der Fuge Frankfurt, Peters 10 Heinrich, A. V. (1986) "Completion of the 'Incomplete' Quadruple Fugue (Die Kunst der Fuge)" Bach (Quarterly Journal of the Riemenschneider Bach Institute) XVII(4): 30-42 11 Moroney, op. cit., page 123 12 Kellner, H. A. (2000) "Die Kunst der Fuga: J.S. Bach's Prefatory Message and Implications" The Diapason 91(5): 15-17

  79

will  suggest  a more  convincing  alternative  to his  conclusion  that  37  bars  are 

required to complete the fugue. 

Though many of these completions contain a great deal of inventive, stylish 

and  justifiable material, most of  them are  too  long. Even without mentioning 

any musicological or technical considerations, it is clear from the intensity and 

drama  of  Bach’s  final  pages  that  the  piece  must  be  drawing  near  to  its 

conclusion by the time we arrive at his final written bar. There can be no doubt 

that a big final climax  is not far away and that the heat generated by the wild 

and dramatic chromaticism of Bach’s  last pages cannot be sustained  for much 

longer.  As  Tovey  himself  puts  it,  “we  are  certainly  entering  upon  the  final 

section of the work, and nothing must stop its flow.”13 The longer completions, 

like Göncz’s  and Tovey’s,  lose  this dramatic  impetus  and  seem  to  settle  into 

lengthy note‐spinning  in  their determination  to cram  in as much contrapuntal 

wizardry  as possible. Unfortunately Tovey  seems  to  contradict himself  a  few 

paragraphs  later when he says “…  it  requires a peroration of at  least 80 bars, 

and  this gives plenty of  room  for all  the variety we can obtain  from  the now 

incessant whirl of the quadruple counterpoint.”14 

It  can  be  taken  as  read  that  the  third  section  of  the  fugue  needs  to  be 

completed, that the fourth needs to be begun with the introduction of the main 

Art of Fugue subject, and that this section would at some stage present the four 

subjects  in  combination,  in  accordance  with  Nottebohm’s  discovery;  the 

Obituary  can  be  interpreted  to  mean  that  the  four  themes  would  also  be 

presented  in  inversion  during  this  fourth  and  final  section  of  the  fugue.15 

Presentation of these subjects means by definition that a certain number of bars 

will be needed to accommodate them – the second subject, the longest, is seven 

bars long – and there will have to be some episodes and perhaps a coda at the  13 Tovey A companion to 'The Art of Fugue' (Die Kunst der Fuge) of J. S. Bach, page 45 14 Ibid., page 46 15 This point is discussed in detail in Chapter 4.

  80

end. There  is a  lot of contrapuntal material  that can be  included, and  this has 

led  some of  the  completions  to  run away with  themselves and go on  for  too 

long. But  the need  to  include  these essential elements at  the end of  the  fugue 

must be held in balance with the need to preserve the dramatic tension inherent 

in Bach’s last bars and to bring the music to a satisfying climax without losing 

momentum. A range of approximately 30 – 50 bars would seem to be about the 

right length for this. Anything above 50 bars is almost certainly going to be too 

long  from  the point of view of climax. This  is a very vague and broad  range, 

and it ought to be possible to narrow it down to something more exact. Gregory 

Butler’s researches come a step closer to achieving that. 

Gregory Butler’s article 

Mention has been made of Butler’s article and, although I disagree with his 

conclusion about the length of the fugue, I have followed his method which is 

based  on  a  proportional  analysis  of  the  lengths  of  the  sections  of  the  piece. 

Through a fascinating description of his detective work in examining evidence 

that the original page numbers had been erased from the plates before printing, 

to be  replaced by new numbers, Butler argues  compellingly  that he has been 

able  to  reconstruct  the  originally‐intended  pagination  scheme  for  the  1751 

printed  edition  and  thereby  to  establish  the  correct  order  of  the  fugues  and 

canons – a question that has dogged the work largely because of the differences 

in  the order and content of  the pieces between  the autograph manuscript and 

the 1751 print. 

Both  the  early  (autograph)  and  later  versions  of Contrapunctus  10  (as we 

now  know  it) were  printed  in  the  1751  edition.  The  inclusion  of  the  early, 

shorter version was obviously a mistake by the editors and  it should not have 

been  included  in  the print,  since  the  later version with  its 22 new bars at  the 

beginning  obviously  represents  Bach’s  final  intentions  for  that  fugue.  Butler 

writes: 

  81

Since Contrap: a 4 [i.e. Contrapunctus 10, early version], presently occupying the three pages immediately preceding the augmentation canon, pages 45 to 47 inclusive, presents the version of the second double fugue found in P200, and thus duplicates material which appears earlier in the print, Bach could never have intended it to be included in the collection. Therefore, in his original ordering scheme, something else must have been intended to fill the gap of six pages, from page 45 to page 50 inclusive.16

Butler explains that the editors, unsure after Bach’s death of his intentions for 

the collection and,  in particular, unsure of whether the “Fuga a 3 soggetti”, as 

they  called  it, was  part  of  The Art  of  Fugue,  had  to  decide what material  to 

include and what order it should be in.  

The arrangement for two keyboards of the second mirror fugue, the “unfinished” Fuga a tre soggetti and the compensatory chorale, Wenn wir in höchsten Nöten sein, are all in the hand of the same scribe and must also have been added after Bach’s death, since he would never have included an arrangement of material presented earlier in the collection, an incomplete work, or an unhomogeneous chorale. Of these four posthumous pieces only one could conceivably have been destined for inclusion in the collection had Bach lived to see it through the press. And it is this work which would, I submit, have occupied the six pages between the mirror fugues and the canons – the incomplete quadruple fugue. […] Since Plates 51 to 59 had already been paginated, Schübler [the engraver] was left with a gap of six pages in the original scheme. Whether he asked Bach for material to fill out the collection or whether manuscript material on Bach’s work table after his death was sent to the printer by Bach’s family is not clear. At any rate, Schübler decided to fill in the gap of six pages in the original ordering with material at hand. Since the quadruple fugue was in an incomplete state, it could not be inserted in its originally intended position, and for aesthetic reasons it was decided that it should appear at the end of the collection.17

Having  demonstrated  convincingly  that  six  pages  had  been  allotted  to 

Contrapunctus 14, Butler takes his argument further to make a prediction about 

how long the fugue would have been if it were completed. 

As it appears in the print in its incomplete state, this work occupies five pages. It seems clear that the finished version would have fit nicely on six pages.18

16 Butler "Ordering Problems in J S Bach's 'Art of Fugue' Resolved", page 54 17 Ibid., pages 55 and 58. The unfinished fugue was printed on pages 61 – 65 inclusive. 18 Ibid., page 55

  82

He also mentions that the average number of bars on each of those five pages 

is 46.19 Davitt Moroney  states  that “none of  the  five  engraved pages  contains 

more  than  47  bars”.20  The  following  table  shows  the  exact  layout  and 

dispositions of bars on each of the five pages of the print. Each page has three 

systems, each of which contains a varying number of bars.  It can be seen  that 

Bach’s habit – alluded  to  in Chapter 2 – of writing half bars at  the ends  (and 

therefore also the beginnings) of some systems is continued here in the print. 

 

Table 1: layout of bars and systems on each page of the unfinished fugue (printed edition)

Page number Bars per system (top/middle/bottom) Total bars per page

17 + ½

½ + 14 61

14 + ½

46½

½ + 14 + ½

½ + 15 62

14

44½

16 + ½

½ + 15 63

15 + ½

47½

½ + 15 + ½

½ + 15 64

15

46½

17

16 65

14 + ½

47½

Average number of bars per page: 46½

 

A refinement of Butler’s and Moroney’s statements is therefore possible: the 

average number of bars per page is 46½, and no page contains more than 47½ 

19 Ibid. 20 Moroney, op. cit., page 123

  83

bars. Fig. 3.1 below shows the first page of the fugue  in the print (page 61), to 

illustrate the layout of the pages. 

 

Fig. 3.1: page 61 of the printed edition: first page of the unfinished fugue 

To verify that the work would have fit onto six pages of the printed edition, 

Butler discusses the proportions of the sections of the fugue, and his work here 

brings him close to the correct answer. 

If we examine the relative proportions of the three extant sections of this fugue, we notice a consistent diminution in the lengths of successive sections. Moreover, section 2 (78 measures) is almost exactly two-thirds the length of section 1 (115 measures), and section 3, not quite complete, occupies forty-six measures and conceivably in its complete state would have occupied approximately two-thirds the length of section 2 (52 measures). Adhering to the same proportions, section 4 may well have occupied approximately two-thirds the length of section 3, that is, approximately thirty-four measures.21

Butler’s  conclusion  therefore  is  that  “approximately”  another  6+34=40 bars 

are needed to complete the fugue. The editors of the print decided to leave out 

the  last  six  bars  of  Bach’s  manuscript,  preferring  to  end  the  piece  on  the 

Phrygian cadence of bars 232‐233, and so if those six bars (bars 233‐239) were to 

be reinstated: 

21 Butler "Ordering Problems in J S Bach's 'Art of Fugue' Resolved"

  84

This would leave approximately forty-six measures for the concluding sixth page which is exactly the average number of measures per page for the first five pages as they appear presently in the print.22

Refinement of Butler’s Theory 

Butler’s  conclusion  is  immensely  plausible  and  convincing,  but  it  seems  a 

pity that it is so qualified by the repeated use of the word “approximately”. If it 

is indeed true that the proportions of this fugue are governed by ratios of length 

between  the  sections,  as Butler  suggests,  then  it  seems more  likely  that  such 

ratios would be exact rather than approximate. 

I am sure that Butler is right to observe that the sections of the fugue appear 

to be in proportion to one another, and to extrapolate his observation to predict 

the length of the unfinished sections. In Chapter 1 two other examples of Bach’s 

music being  constructed  according  to proportional  ratios  of  the  bar numbers 

were noted.23 To recap briefly:  in  the Mass  in B minor,  the three movements of 

the  Kyrie  (Kyrie  I  –  Christe  –  Kyrie  II)  sit  in  a  diminishing  proportional 

relationship to one another, a ratio of 1.4 existing between the relative lengths of 

each movement 122 : 84.75 : 59. It was noted also that the last bar of the Christe 

contains only three beats of music, or 0.75 of a bar, giving the precise length of 

the piece at 84.75 bars, rather  than 85 bars. Similarly  it was observed  that  the 

two Clavierübung settings of the chorale Aus der Tiefe also exist in a proportional 

relationship of 1.4 when their bar numbers are accurately totalled. 

Strictly speaking, the ratio involved in the Kyrie sequence is 1.43 rather than 

1.40.  It  is certainly  true  that 1.43 can be rounded  to 1.4;  it  is also  true  that  the 

exact  ratio  applies  in  both  cases,  i.e.  122/84.75  =  1.43  and  84.75/59  =  1.43. 

Likewise,  in  the  case  of  the  Aus  der  Tiefe  settings,  the  exact  ratio  is  1.36,  a 

number that can similarly be rounded to 1.4; but the exact ratio of 1.36 applies 

in both cases, so  the relative  lengths of each piece must be deliberate. For  the  22 Ibid. 23 See pages 11 – 12.

  85

113 114 115

&c.

purposes  of  the  present  discussion  it  is  the  fact  that  the movements  are  in 

precise  proportional  relationship  to  one  another  that  is  important,  more 

important  than  the  appearance  of  the  number  1.4  which  may  tempt  a 

suggestible observer into seeing 1.4 as a reference to the ‘Bach number’ 14. The 

idea  is alluring but, as  I mentioned  in Chapter 1, Bach was not  likely  to have 

worked or thought in decimals. 

Can  we  therefore  find  a  precise  proportional  relationship  between  the 

sections of Contrapunctus 14? I believe that we can if we look more carefully at 

the  structure of  the existing portions of  the  fugue, keeping  in mind what has 

already been noted (in the context of the B minor Christe) about the importance 

of observing precise lengths of bars, even down to fractions of bars. 

The “approximate” nature of Butler’s prediction derives from the fact that he 

has not been sufficiently precise in his analysis of the lengths of sections 1 and 2 

of the fugue. In the passage quoted on page 83 above he states that section one 

is  “115  measures”  long  and  section  two  is  “78  measures”.  However, 

examination of the score reveals a subtly different total for each section. 

 

Ex. 3.1: Contrapunctus 14, bars 113 ‐ 115 

The crucial point  is  that  there  is an overlap between  the end of section one 

and the start of section two. Section one actually finishes on the first beat of bar 

115: it is therefore accurate say that section one is not 115 bars long, but is in fact 

114¼ (114.25) bars long.  

Section  two of  the  fugue begins with  the  entry of  the  second  subject,  seen 

here  in the alto starting on the second beat of bar 114. Before we can make an 

  86

192 193 194

&c.

accurate statement about the  length of section two we must  look at the end of 

the section, shown here in Ex. 3.2: 

 

Ex. 3.2: Contrapunctus 14, bars 192‐194 

Section  two ends half way  through bar 193. The  true  length of  section  two 

then  is: ¾ of bar 114 + bars 115  to 192 + ½ of bar 193: a precise  total of 79¼ 

(79.25) bars. Butler’s statement that section two is 78 bars long is not sufficiently 

accurate. 

I have thus established that the precise lengths of the first two sections of the 

fugue are: section one at 114.25 bars; and section two at 79.25 bars. 

These two sections are therefore  in a proportional ratio of 1.4 –  just like the 

Kyrie sequence in the Mass in B minor and the two Aus der Tiefe chorale settings. 

Once again one may be tempted to see the appearance of the Bach number, 14, 

in this the 14th fugue of the collection. (I have noted elsewhere that the second 

fugue subject consists of 41 notes, the gematric equivalent of J S BACH.24)  

The  ratio  of  1.4  shown  here  is,  however,  a  rounded  figure,  like  the 

Kyrie/Christe/Kyrie  and  Aus  der  Tiefe  sequences.  The  exact  ratio  of  these  two 

sections is 1.44. If Bach’s intention were that the fugue was to be constructed on 

proportional ratios  then  it would be reasonable  to expect  the ratio  to continue 

between sections two and three, in the same way that it has operated between 

sections one and two. 

Taking  the  length  of  section  two  at  79.25 bars  as  the  starting point,  it  can 

therefore be assumed that 79.25 represents 1.44 times the length of a completed 

24 See page 19.

  87

section three.25 Performing this calculation results in a length for section three of 

precisely 55.00 bars. 

At  the beginning of  this chapter, and  in Chapter 1,  I drew attention  to  the 

significance of the number 55 in Bach’s music, since it is the sum of 14 (BACH) 

and  41  (J  S BACH). Given  that  this  third  section of  the  fugue  is built  on  the 

BACH theme (B  A C B ); that  it  is part of the 14th fugue  in the collection; and 

that it stands in a proportional relationship of 1.4 both to the section preceding 

it  (which  is built on a subject of 41 notes) and  (as  I am about  to show)  to  the 

section  following  it,  the  discovery  of  the  precise  number  55  (14  +  41)  as  the 

projected length of section three locks into place with (to borrow a phrase from 

Tovey) “a correctness that cannot conceivably be accidental”. 

Before moving on to a consideration of the length of section four and of the 

entire  fugue,  there  is  one more  point  to make  in  support  of my  claim  that 

section three needs to be 55 bars long. Bach has left us 46 bars of section three 

before  the  score  breaks  off  at  bar  239.  The  final  seven  bars  contain  the  first 

appearance of all three fugue subjects given in combination. It is reasonable to 

assume  that  this  one  statement  of  the  triple  combination  is  not  the  only  one 

there should be at the end of the third section, before the fourth section of the 

fugue begins with the appearance of the main Art of Fugue subject. For example, 

in  the  two other  fugues with  three subjects, Contrapuncti 8 and 11, Bach does 

not  present  only  one  combination  of  the  first  subjects  before  bringing  in  the 

final  subject.  In Contrapunctus 8,  the  second  section of  the  fugue  (bars 39‐94) 

presents the first two subjects in different combinations seven times before the 

final  subject  appears.  In  Contrapunctus  11  also,  the  first  two  subjects  are 

presented in combination seven times between bars 89 and 146, which is where 

25 Butler correctly notices that neither the first appearance of the triple combination (bar 233) nor Bach’s last written bar (239) represents the end of section three and the start of section four. In fact section three is not yet finished by bar 239 – a point not understood by Christoph Wolff or Donald Tovey. See Chapter 2 for a fuller discussion of this point.

  88

all  three  subjects  are  presented  simultaneously  for  the  first  time.  One  can 

predict  with  confidence  that  at  least  one  more  permutation  of  the  triple 

combination would be presented at  the end of section  three of Contrapunctus 

14 . Gregory Butler predicts that a further 6 bars are needed to complete section 

three (see the quotation on page 83 above), bringing the total length of section 

three  to  52  bars.  But  the  second  fugue  subject  is  seven  bars  long  and  that 

therefore  is  the  amount  of  space  needed  to  present  a  triple  combination:  in 

Butler’s scheme a second presentation of  the  triple combination would not be 

possible  and  his  section  three  would  have  to  be  completed  with  episodic 

material.26 But according to my scheme – a total of 55 bars, i.e. 9 additional bars 

–  there  is  room  for  a  brief  episode  (bar  239  and  perhaps  240)  to  lead  into  a 

second triple combination before section four begins with the appearance of the 

main Art of Fugue subject. 

Turning now  to calculating  the  length of  the  final section of Contrapunctus 

14: since the first three sections are in a proportional relationship of 1.44 to one 

another,  it  follows  that section  four should  follow  the same pattern.  If section 

three’s 55 bars represent 1.44 times the length of section four, then section four 

must be exactly 38 bars long. 

We therefore have an additional 9 bars to section three (Bach’s 46 bars + 9 = 

55) and 38 bars  for section 4. 38 + 9 = 47. The exact number of bars needed  to 

complete Contrapunctus 14 is 47. 

It will be noticed  immediately that 47 bars would fit precisely onto the sixth 

page allotted by the engraver. 

In the light of my hypothesis that Bach left the work unfinished deliberately, 

a  sceptical  observer might  at  this  point  ask  why  the  engraver  would  have 

allotted  a  page  to  something  that  Bach  had  no  intention  of  supplying.  No  26 That would not be unprecedented. Both the end of section one and the end of section two are episodes.

  89

definitive answer can be offered to this point, except to say that all the evidence 

suggests  that  there was  considerable  confusion  about what  Bach’s  intentions 

were,  especially  after  his  death  when  the  engraving  process  was  being 

completed.  It seems clear  that Bach cannot have communicated his  intentions 

for Contrapunctus 14 to the engraver. Butler’s article (see the quotation on page 

81 above) speculates that the engraver might have asked Bach for material to fill 

out  the  collection or  that manuscripts on Bach’s work  table might have been 

sent  to  the  engraver by  the  family. Butler  also  says  in  the  same passage  that 

Bach  “…would  never  have  included…an  incomplete work”:  this  assumption 

can now be read in a new light, i.e. that Bach intended Contrapunctus 14 to be 

included  in  the  collection,  but,  despite  its  truncated  appearance,  he  did  not 

regard  it  as  ‘incomplete’ because  it  is  complete  as  it  stands, at  least as  far  as 

Bach himself intended to take it. One possibility could even be that Bach might 

have expected  the  sixth page  to be  left blank, as a  further  indication  that  the 

music  is  to be  completed by  the  student or performer, and  this might be  the 

reason that the engraver allotted six pages to the engraving of a manuscript that 

contained only enough music to fill five pages: but this is speculation, and there 

is no evidence to support or refute it. 

My claim that the total number of ‘missing’ bars is exactly 47 is backed up by 

the fact that each of the four sections now stands in a proportional relationship 

of  1.4  to  its  neighbours  –  quite  appropriate  in  the  14th  fugue,  a  fugue which 

incorporates Bach’s own ‘signature tune’, the BACH subject. Further, the ratios 

result  in  an  exact  number  of  55  (14  +  41)  for  the BACH  fugue  itself  (section 

three). Lastly, the projected total fits precisely – not “approximately” – into the 

space  shown  by  Butler  to  have  been  originally made  available  for  it  by  the 

engravers. 

 

  90

The proportions of the fugue can be represented in diagrammatic form, as in 

Fig. 3.2 below. 

 

Fig. 3.2: the structure of a completed Contrapunctus 14 

Since section two ends and section three begins half way through bar 192, the 

total length of the fugue will be, strictly speaking, 192.5 + 55 + 38 = 285.5. If the 

strictest possible interpretation of these totals is to be observed, then the last bar 

will contain a minim  (with a pause) and a minim rest,  just  like  the  last bar of 

Contrapunctus 8 and Contrapunctus 10; it is possible that, if the last bar were to 

be  filled  with  a  full  semibreve  and  a  pause  (as  might  be  expected  at  the 

conclusion of a large cycle of pieces), the overall architectural proportions of the 

fugue will not be significantly disturbed.27 

As was mentioned earlier, Herbert Kellner’s theory was based on an alleged 

midpoint, in which bar he claimed to see significance. Taking the correct total as 

285.5 bars, as in the diagram and paragraph above, the midpoint bar is 143 – or, 

to express it more exactly, 142.75. Two observations can be made about this bar. 

First, the notes that are sounded ¾ of the way through bar 143 (i.e. on the fourth 

beat: bar 142 + ¾) are F, A, C and D. The gematric conversion of these letters is 

6, 1, 3 and 4, giving a  total of 14 –  the Bach number appearing at  the precise 

midpoint of the fugue according to my claim of the correct total number of bars.  

 

 

27

  91

Second,  the  alto  part  contains  a  hint  of  the  BACH  motif  (B   A  C  B )  – 

admittedly one that is broken up by two other notes ‐ as can be seen in Ex. 3.3. 

One might even go so far as to say that the midpoint of the fugue is surrounded 

by the BACH motif:28 

       

Ex. 3.3: bars 143‐4, showing a hint of the BACH motif, and the notes D, A, C and F (=14) sounding in the fourth beat 

These correspondences seem to me to be convincing, but if further evidence 

is  needed  I  now  present my  explanation  of  the  alteration  Bach made  to  the 

second page of his autograph manuscript. 

Explanation of a “correction” in the manuscript 

As mentioned  in  Chapter  2,  in  January  2006  I  travelled  to  the  Deutsche 

Staatsbibliothek to examine at first hand Bach’s autograph manuscript. As part 

of the discussion in Chapter 2 I stated that all but one of the various alterations 

and corrections made by Bach in the autograph of Contrapunctus 14 are minor 

– the majority of them are notes that were initially written as minims and then 

28 Mention was made of numerical correspondences and symbolism in the Schübler Chorales in Chapter 1. The Schübler Chorales is another set where Bach can be seen to have signed his name with the BACH motif at the exact midpoint of the collection, namely bar 16-17 of the “Magnificat” Chorale Meine Seele erhebt den Herren BWV 648, in which the BACH motif can be seen in the left hand. Noticed and fully explained by Randolph Currie in Currie, R. N. (1973) "Cyclic unity in Bach's Sechs Chorale: a new look at the Chüblers [sic], Part I" Bach (Quarterly Journal of the Riemenschneider Bach Institute) 4(1): 26-38, quoted by John Bertalot in Bertalot, J. (2000) "Spirituality and symbolism in the music of J S Bach I" Organists' Review 86(3): 222-225 As a further link between the Schübler Chorales and The Art of Fugue, it may be worth mentioning that The Art of Fugue was engraved by Johann Heinrich Schübler, the younger brother of Johann Georg Schübler who was the publisher of the Schübler Chorales. This fact is mentioned by Davitt Moroney in his Critical Commentary as being the finding of Wolfgang Wiemer (“Die wiederhergestellte Ordnung in Johann Sebastian Bachs Kunst der Fuge: Untersuchungen am Originaldruck” Wiesbaden, Breitkopf & Härtel, 1977). The Specificatio of Bach’s estate includes a ‘liability’ of 2 thalers and 16 groschen to “Mr Schübler”, which is presumably a payment for the engraving of the last few plates that were engraved in the second half of 1750 after Bach’s death. The Specification of the Estate can be seen in translation on page 255 of David, Mendel, et al. Since Bach included his BACH motif at the midpoint of one work published by Schübler, it is not fanciful to show that he intended to include it in another.

143

B A

C H

&c.

  92

‘filled in’ to be crotchets, or other similar alterations to note values; I mentioned 

that  there  is  only  one major  compositional  change  and  that  is  towards  the 

bottom of  the second page, where Bach has crossed out  two bars and notated 

three new ones  in  tablature  in  the bottom margin of  the page. This alteration 

can be seen on  the  fourth system of  the second page of  the  facsimile given  in 

Appendix 1 and for convenience I give a detail of it here in Fig. 3.3: 

      

Fig. 3.3: Contrapunctus 14 (autograph, page 2), showing the original bars 111 and 112 crossed out and three replacement bars notated in the bottom margin 

In  the presence of  the original manuscript one can see clearly what are  the 

notes  that  Bach  originally  wrote  before  deciding  to  cross  them  out:  I  have 

transcribed  them directly  from  the original and  they are given  first  in Ex. 3.4 

overleaf, with  the right hand part  in Bach’s original soprano clef, and  then  in 

Ex. 3.5 the same passage  is given with the right hand part transposed  into the 

treble clef for ease of reading: 

  93

 

     

Ex. 3.4: Contrapunctus 14 (autograph, page 2), showing the original music of bars 111 and 112 before Bach crossed them out 

     

Ex. 3.5: The same passage using treble and bass clefs 

These two bars (111 and 112 in Figs. 3.4 and 3.5 above) were replaced by the 

three new bars notated in the margin, giving the final reading that was used in 

the 1751 print and all subsequent editions, as seen in Fig. 3.6 in which bars 111‐

113 are a transcription of the tablature notation in the margin: 

 

Ex. 3.6: the three new bars (111, 112 and 113 in this example) that replaced bars 111 and 112 in the previous examples; these three bars are a transcription of the tablature notation in the margin. 

It seems a curious and puzzling change for Bach to have made, and  it does 

not seem easy to find a musical reason for the rejection of the original bars 111 

and 112. If Bach had not made the change, but had left the score with those two 

bars unaltered, would scholars and analysts  today point  to  them and  identify 

them  as  a weak moment?  Perhaps  it might  be  argued  that  the  new  bar  111 

110 111 112 113 114

&c.

110 111 112 113 114

&c.

110 111 112 113 114 115

  94

strengthens the approach to  the following cadence (bars 113‐114) by the move 

to the subdominant that was not present in the original; and it might be argued 

that the new bar 113 is rhythmically very slightly more interesting than the old 

bar 112. But  these are  tiny points of argument and  I am convinced  that  if  the 

change had not been made, nobody would ever have criticized the old bars 111 

and 112 as being weak. 

My analysis of this alteration – something that nobody else has done before – 

is based on  two crucial observations about  this passage. First,  the change has 

been made  not  to  improve  the  notes,  but  to  replace  two  bars  with  three  bars. 

Second, the location of the change is significant: it is right at the point of the end 

of the first section of the fugue and the start of the second section. The ink and 

the handwriting  at  this place  in  the manuscript give no  indication  that  these 

changes were made subsequent  to  the writing out of  the music  itself:  it seems 

clear that the alteration was made at the same time as the rest of the manuscript 

was written.  (I have  shown  in Chapter 2  that  the more  significant alterations 

Bach made to the main part of P200 are in a lighter ink and appear to have been 

made at a later time than the writing of the manuscript itself.) 

The replacement of  two bars with  three new ones, at  the exact point of  the 

transition between the end of section one and the start of section two, strongly 

corroborates my theory that the precise length of each section of the fugue is of 

vital proportional importance. Since there is no powerful musical reason for the 

change  (the  new  music  is  scarcely  an  improvement  on  the  old),  the  only 

remaining possible  reason  for  the  change must  be  a  structural  one. Bach has 

lengthened the first section of the fugue by one bar because he realized that  it 

needed to be  longer by one bar  in order for his scheme of strictly diminishing 

proportional ratios to work properly. 

  95

A  further possibility  is  that  –  since  the notation  of  the  original music  (the 

original bars 111 and 112) bears no sign of hesitation or mistake of any kind and 

gives  every  appearance  of  having  been  written  as  strongly,  neatly  and 

confidently as all the music before and after it – Bach has done this deliberately: 

not as an afterthought, but as a clue to the alert reader that the  length of each 

section of the music provides the solution to the question of how much music is 

necessary to bring the unfinished fugue to completion. 

A  further  possible  corroboration  of  the  number  47  as  the  number  of  bars 

needed  to  complete  the  fugue,  and  of  the  claim  that  Bach  has  left  coded 

information as a clue to that number,  lies  in the unusual markings at the very 

end of the manuscript. 

Markings  on  the  last  page  of  the  autograph:  a  possible numerological interpretation 

One  aspect  of  the  last  page  of  Bach’s  manuscript  that  appears  to  have 

escaped the attention of all those who claim to have made a close study of this 

work is the strange markings at the bottom left and bottom right corners of the 

page. So much attention has been paid to the ruling of the staves, the number of 

bars on preceding pages, the supposed existence of ‘fragment x’ and the many 

other anomalies that I have mentioned that it seems extraordinary that nobody 

has  noticed  these  odd  additions  to  the  page.  These  ‘doodles’,  for want  of  a 

better word, can be seen at the bottom of the page:  

  96

     Fig. 3.4: Beilage 3, page 5, showing ‘doodles’ at the bottom corners of the page (see also the Frontispiece to this thesis for a clearer reproduction) 

These markings are shown in closer detail here: 

Fig. 3.5: bottom left  Fig. 3.6: bottom right 

Clearly  the marking at the  left  is some kind of  indefinable  ‘squiggle’, while 

that  at  the  right  is  clearly  a  succession  of  notes,  of which  the  first  four  are 

semiquavers. To the immediate left of the notes is what appears to be a rest, or 

it may be a blot: it remains ambiguous even on the closest possible examination 

of the original. These markings are represented more clearly here: 

  97

Ex. 3.7: graphic representation of the markings 

Do these markings have any meaning, and if so what might it be? Bach was 

not in the habit of littering his scores with meaningless doodles. The outline of 

the  notes  bears  no  relation  to  any  thematic  material  in  Contrapunctus  14; 

neither can anything be divined from the rhythmic value of the notes or of the 

rest. What is to be made of the squiggle at the left? It is not easy to say what it 

is: but  it can be said with confidence what  it  is not. It  is not a clef – and that  is 

perhaps the clue to the  interpretation of the notes. If we do not know the clef, 

we cannot name the notes. The  left‐hand marking occupies the position that a 

clef would occupy, and yet it is not a clef; therefore the letter names of the notes 

written  further  along  the  same  stave  cannot  be  identified.  Perhaps  this  is 

precisely  the point  that Bach  is making by writing  these markings at  the very 

end of his  score of Contrapunctus 14. The notes have meaning, but Bach has 

disguised  it.  I believe  that  these markings are a coded clue  to a number –  the 

number of bars required to complete the fugue. 

Gematria applied to the markings 

Since the notes at the bottom right‐hand corner of the page bear no thematic 

or rhythmic relation to the music of Contrapunctus 14, it is clear that they must 

provide some other function. Bach has written a squiggle where he could have 

written a clef, so the letter names of the notes are not immediately obvious. By 

replacing the left‐hand squiggle with different clefs, we can assign letter names 

to the notes at the right.  

  98

If the clef  is taken as a bass clef, then the notes are A C E G  C. If we use a 

soprano clef the notes are D F A C  F. If we use a treble clef then the result is F 

A C E  A; and so on. If Bach is giving us a numerical clue, then we can assign 

the corresponding gematric numbers  to each  letter name and come up with a 

total. 

D F A C  F Soprano clef 

4  6  1  3  6 = 20 

F A C E  A Treble clef 

6  1  3  5  1 = 16 

G B D F  B Alto clef 

7 2 4 6 2 = 21 

E G B D  G Tenor clef 

5 7 2 4 7 = 43 

A C E G  C Bass clef 

1 3 5 7 3 = 19 

This  appears  to be  of  little help. None  of  these numbers  suggest  anything 

significant or helpful. If, however, we take note of the fact that, for some reason, 

Bach has included a sharp sign before one of the notes, then remembering that 

in German notation a sharp is described by the suffix “‐is”, a different result is 

yielded. Thus G  becomes G I S; C  becomes C I S; E  becomes E I S. 

  99

 

F A C E IS A Treble clef 

6  1  3  5 9 18 1 = 43 

G B D F IS B Alto clef 

7 2 4 6 9 18 2 = 48 

E G B D IS G Tenor clef 

5 7 2 4 9 18 7 = 52 

A C E G IS C Bass clef 

1 3 5 7 9 18 3 = 55 

The  interesting number  appears when we  apply  this  to  the  soprano  clef  – 

perhaps the most obvious clef to use, since Bach’s score of Contrapunctus 14 is 

written using that clef.  

D F A C I S F Soprano clef 

4 6 1 3 9 18 6 = 47 

Thus  a  gematric  application  of  the  ‘doodled’  notes  using  a  soprano  clef 

results in the number 47 – the same number that I have arrived at by means of 

the  calculation  of  strict  proportional  ratios,  and  that was  allowed  for  by  the 

printer. 

At  this  point  it would  be  prudent  to  be  reminded  of  the  note  of  caution 

sounded by John Butt in the passage quoted on page 7: “there is a tendency to 

interpret  everything  in  sight …  the  author  selects data…with  no  consistency 

  100

which  is  externally  imposed.”  It  is  true  that,  as  I  have  shown,  if  indeed  a 

numerological  interpretation  of  the  markings  is  intended,  there  are  several 

possible  interpretations. There  is  in fact no  irrefutable proof that the markings 

are  even  in  Bach’s  own  hand  (though  my  own  observation  of  the  original 

manuscript suggests that every aspect of the ink – its colour and the weight and 

pressure of  the  strokes  –  is  identical  to  the  rest of  the writing  on  that page). 

Nevertheless,  the  facts  that  these  markings  occur  at  the  very  end  of  the 

manuscript; that they appear to have been written at the same time and in the 

same  ink  as  the  rest of  the music on  that page;  and  that  an  interpretation of 

them using  the  same  (soprano)  clef  as  the  clef  in which  the music  is written 

yields  precisely  the  same  number  as  not  only  the  number  yielded  by  the 

extrapolation of  the proportions of  the  four sections of  the  fugue, but also  the 

exact number of bars allocated by the engraver, may cumulatively suggest that 

my interpretation of the markings is correct. 

Corroborative examples 

The Mass in B minor 

The claim that Bach has left us a coded or cryptic clue to a significant number 

might  seem  stronger  if  it  can  be  shown  that  he  has  done  something  similar 

elsewhere.  There is such an example, in the manuscript of the Mass in B minor. 

In the chorus Patrem omnipotentem, part of the Credo, can be seen a little number 

84 alongside the conclusion of the chorus, immediately after the final bar on the 

bottom stave. This is shown in Fig. 3.7 overleaf. At the beginning of this chorus 

Bach  has  the  choir  reiterate  the  words  Credo  in  unum  Deum,  which  he  has 

already set  in the preceding chorus and which strictly speaking do not belong 

in this one. The result of this is that in this chorus there are now 14 words (that 

number again!) and 84 letters in this movement. Furthermore, there are 84 bars of 

music in this chorus. Among other correspondences and gematric claims about 

this number, Friedrich Smend points out that 41 + 43 = 84 [(J+S+B+A+C+H) +  

  101

 (C+R+E+D+O)  =  84]  –  thereby  further  explaining  the  reintroduction  of  the 

words from the previous chorus: perhaps another example of Bach associating 

himself through numbers with the sentiments expressed by the words.29 Again, 

29 Smend’s observation is quoted in Tatlow, op. cit. The suggestion is that by means of these numbers Bach is embedding in his music – a setting of part of the Creed – a statement that “I, J S Bach, believe”. Smend does not appear to notice the fact that there are now 14 words in the chorus.

 

     Fig. 3.7: The manuscript of the “Patrem omnipotentem” chorus from the Mass in B Minor, showing the number 84 written at the end of the score 

  102

it  is necessary  to be cautious. It has not been proved  that  this number 84  is  in 

Bach’s own hand: it may even have been written by a later copyist, counting the 

bars of  the chorus  to plan his own copying  (though  there are no other similar 

numbers written  in  the manuscript  of  the Mass  in B minor).  It does however 

seem  to be  the  case  that, whether  it was written by Bach himself or not,  this 

number 84 refers to more than  just the number of bars  in the chorus, and  it  is 

not  impossible  that  it  is  a  clue  to  the  observant  reader  that  the  number  is 

significant  in the chorus. One who notices the number written at the end may 

go searching in the music for examples of its appearance, and in this case they 

are there to be found. The parallel between this example and the cryptic notes at 

the end of the last page of Contrapunctus 14 is clear: it is  just that in the latter 

case Bach has added a  further  level of  ‘coding’  to his clue, rather  than simply 

writing the number 47. 

The title page of The Well‐Tempered Clavier 

In  a  recent  article,  Dr  Bradley  Lehman  of  Virginia,  USA  chronicles  his 

discovery  of  the  code  to  Bach’s  tuning  system.30  The  code  is  hidden  in  an 

apparently  irrelevant  looping  line  at  the  top  of  the  title  page  of  The Well‐

Tempered Clavier, a line which for over two centuries had either not been noticed 

by  anyone  or  had  been  regarded  as  nothing more  than  a  flourishing  artistic 

decorative line. The title page is shown in Fig. 3.8 and a detail of the line can be 

seen in Fig. 3.9. 

 

30 Lehman, B. (2005) "Bach's extraordinary temperament: Our Rosetta Stone" Early Music 33(1): 3-23

  103

 

Fig. 3.8: The title page of the Well‐Tempered Clavier 

 

 

Fig. 3.9: detail of the loops at the top of the page31 

The clue to the existence of a hidden code is the letter C that can be seen in 

the  last complete  loop at the right of the drawing. Dr Lehman discovered that 

by turning the drawing upside down, the sequence of loops and the number of 

revolutions  in  each  loop  can  be  seen  to  correspond  to  the  details  of  Bach’s 

specific method for tuning keyboards.   31 Images from Lehman, B. (2005) <www.larips.com> (web site), reproduced by kind permission of Dr Lehman

  104

 

Fig. 3.10: the drawing turned upside down, showing correspondence with Bach’s tuning system32 

Dr  Lehman’s  discovery  and  his  method  of  decoding  the  diagram  are 

described in detail in his fascinating article, as is the tuning system that results 

from  interpreting  the  drawing;  these  details  are  very  technical  and  are 

principally concerned with the minutiae of baroque keyboard tuning, which is 

not our  subject here. For present purposes  it  is enough  to give  this as a very 

powerful  example  of  Bach’s  habit  of  hiding  something  of  tremendous 

significance in a marking on the page that may easily escape notice and which 

may appear at first glance to be both  innocuous and  irrelevant. The preceding 

sentence  could  just  as  easily  have  been  written  about  the  markings  at  the 

bottom of the last page of Contrapunctus 14. 

The Musical Offering: “Quaerendo invenietis” and the Houdemann Canon BWV 1074 

Though  it  is known  today  from  its dedication as  the Musical Offering BWV 

1079, Bach’s  collection of pieces  (based,  like The Art  of Fugue,  entirely on one 

subject) was originally titled by him Regis Jussu Cantio Et Reliqua Canonica Arte 

Resoluta.  This  is  an  acrostic,  spelling  the word RICERCAR,  an  old‐fashioned 

name  for  a  fugue,  and  each  of  the  fugues  in  the Musical Offering  is  called 

Ricercar. This is one example of a double meaning being disguised, but an even 

more  interesting  one  comes  in  the  form  of  the  ninth  of  the  ten  canons.  This 

extraordinary fragment of music is designed to be read by one player reading in 

the alto clef with the page the right way up, followed at some distance of time 

by another player reading  from  the bass clef with  the page upside down. But 

32 Ibid., reproduced by kind permission of Dr Lehman

  105

Bach  has  not  specified  the  time  interval,  and  the  only  clue  is  the  words 

“quaerendo invenietis” written over the top.33 

 

Fig. 3.11: Musical Offering, Canon No 9 “quaerendo invenietis” Graphic © 1996, Timothy A. Smith, used by permission34 

In his website, Dr Timothy Smith of Northern Arizona University gives one 

possible realisation of this cryptic canon (Ex. 3.12)35:  

 

Fig. 3.12: one possible realisation of Canon No. 9 Graphic © 1996, Timothy A. Smith, used by permission36 

Here again, then, is an example of Bach giving only the barest possible clue 

to  the  realisation  of  his music,  leaving  it  to  the  reader  to work  out what  he 

intends  from his coded, cryptic  information. Surely  the  injunction “quaerendo 

33 The information in this paragraph, together with the images in Ex 3.11 and 3.12, comes from Smith, T. (1996) The Canons and Fugues of J S Bach <http://jan.ucc.nau.edu/~tas3/bachindex.html>, accessed 10 December 2005 34 Graphic from <http://jan.ucc.nau.edu/~tas3/musoffcan9real.gif> 35 Smith The Canons and Fugues of J S Bach <http://jan.ucc.nau.edu/~tas3/bachindex.html> 36 Graphic from <http://jan.ucc.nau.edu/~tas3/realcan9mo.html>

  106

invenietis” – seek and ye shall  find – is no  less appropriate to the conundrum of 

the unfinished quadruple fugue than it is here. 

The  “Houdemann” Canon BWV  1074, possibly  the most  famous  of Bach’s 

compositions  in his  lifetime,  is  a  similar  example. Once  again, only  the most 

minimal clues, here in the form of clefs and key signatures written upside down 

and on different parts of  the stave, are given  to help  the  reader work out  the 

realisation of the puzzle canon. Some of the possible solutions to this canon are 

explained  in  an  accessible  style  in  the  recent  book  “Evening  in  the Palace  of 

Reason” by James Gaines.37 

 

Fig. 3.13: puzzle canon BWV 1074 

 

Conclusion 

The  correct  number  of  bars  needed  to  complete Contrapunctus  14  is  now 

definitively  established  as  47.  This  number  has  been  arrived  at  by  following 

Gregory  Butler’s  lead  but  by  analysing  the  proportional  relationships  of  the 

fugue more precisely  than he did. This  analysis has  resulted  in  a  number  of 

correspondences that are unlikely to be coincidental, including the facts that the 

‘Bach number’ 14 appears as  the ratio of proportion  in all  four sections of  the 

37 Gaines, J. R. (2005) Evening in the Palace of Reason : Bach meets Frederick the Great in the age of Enlightenment London, Fourth Estate

  107

fugue; that the application of the precise ratios results in a total length of exactly 

55 (14 + 41) bars for the third, ‘BACH’, section; that this length allows room for 

a second presentation of the triple combination at the end of the third section; 

that the overall length of the fugue fits precisely into the space allotted for it by 

the engraver; and that it fits with an artistic understanding of a correct sense of 

the placement of climax. 

As corroborative evidence for this claim, I have said that the only significant 

alteration made by Bach  to his autograph manuscript of  this  fugue was made 

specifically  to  lengthen  the  first section of  the  fugue by one bar, showing  that 

the  exact  length  of  the  sections  of  the  fugue  is  important;  further,  Bach’s 

markings at the end of Beilage 3 may be a clue to the fact that there is a number 

of significance  to be discovered.  In  this case, however, Bach has disguised  the 

clue: rather than simply writing a number 47 at the bottom of the page he has 

written a few notes of no apparent relevance to the music, and one of them has 

a  sharp  sign  attached  to  it;  these  notes  have  no  clef,  only  an  indeterminate 

squiggle. A gematric totalling of the names of these notes under the same clef 

that  the music  is written  in,  allowing  also  for  the  sharp  sign,  produces  the 

number  47  –  the  exact  number  that  is  consistent  with  the  diminishing 

proportional ratio of each section of the fugue and which fits precisely onto the 

engraver’s  page.  It may  be  an  indication  that  Bach  is  telling  us  in  his  own 

oblique way that 47 bars are needed to bring the fugue to a proper conclusion. 

Lastly,  I  have  drawn  further  parallels  to  places  where  Bach  has  similarly 

disguised his meaning in a coded and cryptic way, strengthening the evidence 

in favour of my claim that not only are the markings at the end of the score a 

coded clue  to  the number 47, but also  that Bach has used similar coded clues 

elsewhere. 

I

II

III

 Chapter Four   

QUESTIONS RAISED BY THE OBITUARY, AND NEW SOLUTIONS TO THE PROBLEM OF THE INVERTED 

COMBINATIONS Having established the  length of the missing final section of Contrapunctus 

14 as 47 bars, it is now possible to reconsider what the content of those 47 bars 

was intended to be. 

Contrapunctus 14 is a quadruple fugue – a fugue with four subjects. Only the 

first  three  subjects  are present  in  the  extant portion of  the  fugue. During  the 

fugue as Bach has  left  it  these  four  subjects are presented both  singly and  in 

combination with one another. The first three subjects of Contrapunctus 14 are 

given here: 

 

Ex. 4.1: The three subjects of Contrapunctus 14 

The first subject is given its own exposition on a grand scale for the first 114¼ 

bars. The order of voices  in which the subject enters  is BTAS. During this first 

section of the fugue it appears sixteen times in its rectus form; and six or seven 

times  in  its  inversus  form, depending on whether  the  soprano  in bars 98‐102 

counts  as  a  disguised  statement  of  the  inversus  subject.  This  subject  also 

appears in stretto with itself in a variety of permutations, including stretti that 

include simultaneous use of the rectus and inversus forms. 

  109

233

The second subject is given its own exposition starting on the second beat of 

bar 114;  this second section of  the  fugue runs  through until half way  through 

bar  193.  The  order  of  voices  in which  the  subject  enters  in  the  exposition  is 

ASBT. Subject II appears eight times in its rectus form and none in its inversus 

form. There are no stretti but there are four combinations with the first subject, 

the last of which (bars180‐186) is a three‐part combination with subject II in the 

bass and a stretto of two rectus statements of subject I above it. 

In the third section of the fugue, starting half way through bar 192, subject III 

is  given  its  own  exposition, with  ten  statements  of  the  rectus  form  and  two 

statements of the inversus form. The order of voices in which the subject enters 

in the exposition is TASB. There are several instances of subject III being given 

in stretto with itself. 

Only at bar 233 do all three subjects combine together for the first and only 

time, in the arrangement ()‐II‐III‐I [i.e. ()=free material in the S; subject II in the 

A;  subject  III  in  the  T;  subject  I  in  the  B.  This  convention  for  describing  the 

layering of the subjects will be followed in the rest of this chapter.] 

 

Ex. 4.2 The triple combination at bar 233 

It was not until 1881 that Gustave Nottebohm discovered that the main Art of 

Fugue  subject  is  able  to be  combined with  the  first  three  subjects,  and  that  it 

must therefore have been the fourth subject of this quadruple fugue.151 

151 Nottebohm, op. cit.

  110

229

(A)

(S)

 

Ex. 4.3: The quadruple combination as given by Nottebohm 

In a 1998 article Professor Walter Corten persuasively claims to see the ghost 

of the main Art of Fugue subject in the soprano part of Bach’s last bars:152 

 

Ex. 4.4: bars 229‐238, soprano voice, following the outline of the main Art of Fugue subject 

Since  this outline of  the main Art of Fugue  subject appears above  the  triple 

combination that  is given explicitly,  it could plausibly be  interpreted as a hint 

from the composer that the main subject does in fact fit in combination with the 

other three subjects.153 

Nottebohm’s discovery  ties  in with  two other sources of  information about 

Bach’s intentions for the remainder of the fugue: The Nekrolog or Obituary, and 

J N Forkel’s 1802 biography of the composer. 

152 Corten 153 As always in these apparent correspondences, one should approach them with a healthy dose of scepticism and caution. The curious discovery that the subject of the D minor organ fugue BWV 565 happens to lock into place precisely with the main Art of Fugue subject does not necessarily mean that BWV 565 is to be combined with the existing three subjects of Contrapunctus 14!

  111

The Obituary appeared in the last ever issue (Vol. IV, Part I, 1754) of Lorenz 

Mizler’s musical  journal  Lorenz Mizlers Musicalische  Bibliothek,  under  the  title 

“Monument to Three Late Members of the Musical Society” — the last member 

being Bach. The author  is uncredited but C P E Bach  later  told Forkel  that he 

had written  it with  the  help  of  Sebastian’s  pupil  J  F  Agricola.  Though  not 

published until 1754, the Obituary was written in the latter half of 1750, within 

months of Bach’s death.154 The New Bach Reader  calls  it  “the  richest  and most 

trustworthy early source of information on Bach’s career.”155 

Describing The Art of Fugue, the Obituary has this to say: 

This is the last work of the author, which contains all sorts of counterpoints and canons, on a single principal subject. His last illness prevented him from completing his project of bringing the next-to-last fugue to completion and working out the last one, which was to contain four themes and to have been afterward inverted note for note in all four voices. This work saw the light of day only after the death of the late author.156

When Forkel comes to mention this in his Biography of Bach, he says almost 

the same thing. 

The last fugue but one has three themes; in the third, the composer reveals his name by B A C H {=B ACB }. This fugue was, however, interrupted by the disorder in the author’s eyes, and as the operation did not succeed, was not finished. It is said to have been his intention to take in the last fugue four themes, to invert them in all the four parts, and thus to close his great work.157

Forkel also gives a little more information about Bach’s illness: 

The indefatigable diligence with which, particularly in his younger years, he had frequently passed days and nights, without intermission, in the study of his art, had weakened his sight. This weakness continually increased in his latter years till at length it brought on a very painful disorder in the eyes. By the advice of some friends who placed great confidence in the ability of an oculist who had arrived at

154 Even though the Obituary was not published until 1754, Mizler is known to have received a copy of it in Warsaw in March 1751, so it must have been written by then. David, Mendel, et al., page 297, note 28 155 Ibid., page 297 156 Ibid., page 304. The original German text (not including the first sentence of the above quotation) can be seen in Chapter 2, footnote 16 (page 28 above.) 157 Ibid., page 466

  112

Leipzig from England, he ventured to submit to an operation, which twice failed. Not only was his sight now wholly lost, but his constitution, which had been hitherto so vigorous, was quite undermined by the use of perhaps noxious medicines in connection with the operation. He continued to decline for full half a year till he expired on the evening of the 30th July, 1750, in the 66th year of his age. On the morning of the tenth day before his death, he was all at once able to see again and to bear the light. But a few hours afterwards he was seized with an apoplectic fit; this was followed by a high fever, which his enfeebled frame, notwithstanding all possible medical aid, was unable to resist.158

Possibly Forkel is expanding on another, more contemporary source, namely 

Marpurg’s preface to the second edition of The Art of Fugue. As was described in 

Chapter 2 above,  the work was  first published  in 1751 with a short preface.  It 

was reissued in 1752, using the same plates for the music but now with a longer 

preface by Marpurg which contains these sentences: 

Nothing could be more regrettable than that, through his eye disease, and his death shortly thereafter, he was prevented from finishing and publishing the work himself. His illness surprised him in the midst of the working out of the last fugue, in which with the introduction of the third subject, he identifies himself by name.159

Another  contemporary  source of  information  about The Art  of Fugue  is  the 

newspaper advertisement placed in May 1751 by C P E Bach to promote sales of 

the new printed edition of the work. There is a brief reference to the composer’s 

eyesight and  the  ‘deathbed’ Chorale, but  it says nothing about  the unfinished 

fugue or Bach’s supposed intentions for the completion.160 

It  is worth  looking  closely  at  the wording  of  the Obituary  and  of Forkel’s 

Biography in an attempt to determine how accurate it is and whether it can be 

relied upon in respect of the question of the combinations of the four subjects. 

158 Ibid., page 430 159 Ibid., page 376 160 The full text of the advertisement can be seen in Ibid., page 256.

  113

“This is the last work of the author…” 

This statement is not strictly true. It is well known that the Chorale Prelude 

Vor deinen Thron  tret’  ich hiermit BWV 668a  (a revision of Wenn wir  in höchsten 

Nöten sein BWV 668) was Bach’s  last composition, almost certainly dictated on 

his deathbed some time in the last ten days of his life, between 18 and 28 July 

1750. Most texts tell us that J C Altnikol, Bach’s son‐in‐law, was the amanuensis, 

but Wolff  says  that  Johann  Nathanael  Bammler  and  Bach’s  boarding  pupil 

Johann Gottfried Müthel are also possible candidates.161 

Yoshitake  Kobayashi,  the  principal  scholar  of  Bach’s  manuscripts  and 

handwriting, also lists the late version of the Sonatas for violin and harpsichord 

BWV  1014‐1019  as  having  been  written  after  the  unsuccessful  cataract 

operations  and  he  dates  them  specifically  as  coming  from  after March  1750, 

whereas  he  lists  the  unfinished  fugue  (Contrapunctus  14)  as  having  been 

composed  after August  1748  and before October  1749. During  this period he 

also lists the completion of the Mass in B minor (from the Credo to the end); the 

flute sonata BWV 1031; and copies in Bach’s hand of a motet by J C F Bach and 

Handel’s Brockes Passion.162 According  to Schweitzer, Bach also worked during 

his illness on the revision of the Eighteen Chorales for organ and made a “new 

and improved fair copy” of the Canonic Variations.163 

Having shown that Contrapunctus 14 was not strictly speaking Bach’s final 

work, it is nonetheless fair to point out that the authors of the Obituary should 

not  be  blamed  for  making  the  assumption  that  it  was.  Presented  with  an 

unfinished score that clearly dated from the composer’s final period – the only 

unfinished score of that last period – it was not unreasonable of them to come to  161 Wolff Johann Sebastian Bach : The Learned Musician, page 508, note 81 162 Herz, G. (1990) "Yoshitake Kobayashi's Article, 'On the Chronology of the Last Phase of Bach's Work - Compositions and Performances: 1736 to 1750' - An Analysis with Translated Portions of the Original Text" Bach (Quarterly Journal of the Riemenschneider Bach Institute) XXI(1): 3-26. Based on Kobayashi, Y. (1988) "Zur Chronologie der Spätwerke Johann Sebastian Bachs. Kompositions- und Aufführungstätigkeit von 1736 bis 1750" Bach-Jahrbuch 74: 7-72 163 Schweitzer, A. (1923) J.S. Bach London, Adam & Charles Black, Vol. 1, page 223

  114

the conclusion  that  it was  the  last piece he had been working on and  that  the 

reason  it was  unfinished was  because  he  became  too  ill  to  complete  it.  The 

inaccuracy of  the statement  that  it was “the  last work of  the author” does not 

necessarily  invalidate  the  veracity  of  the Obituary  or  of  the  other  statements 

that it makes about The Art of Fugue. However, the next phrase that the authors 

used also needs to be examined carefully. 

“His last illness prevented him from completing…” 

This  comment  in  the  Obituary  can  be  taken  in  conjunction  with  the 

statements  by  Forkel  and  Marpurg  quoted  above  about  Bach’s  declining 

eyesight  and  his  associated  health  problems.  In  Christoph  Wolff’s  book  a 

chapter  entitled  “The  End”  chronicles  as  much  as  is  known  about  Bach’s 

condition in the last year of his life.164 On 4 April 1749 Bach was well enough to 

perform his St  John Passion, but by May 6 he  issued a receipt  in which he put 

only his signature on the document, the main text of it having been written by 

one of his  sons;  this may  indicate  that he would have  struggled  to write  the 

whole thing out himself. In June a letter from the Prime Minister of Saxony, no 

less, predicted Bach’s  imminent demise and attempted to put forward his (the 

Prime Minister’s)  own  personal musician  for  appointment  as  Kantor  of  the 

Thomaskirche;  though  the  exact  nature  of  Bach’s  illness  at  this  point  is 

unknown,  it must have been  serious  to provoke  such actions  from  the Prime 

Minister  and  from  the  town  council,  who  immediately  (and  somewhat 

insultingly to Bach) arranged auditions for the Prime Minister’s candidate even 

while  Bach  was  still  very  much  alive  and  still  in  office.  But  Bach  clearly 

recovered from whatever this illness was, for by 25 August he was performing 

his Cantata BWV  29  for  the  annual  council  election  service,  a Cantata whose 

showy obbligato organ part  in  the Sinfonia and  in one of  the arias was  in all 

probability played by Bach himself. The handwriting of letters signed by Bach 

164 Wolff Johann Sebastian Bach : The Learned Musician, pages 442-451

  115

in December  seems  to  indicate  that writing was  giving  him  trouble,  leading 

Wolff to conclude that Contrapunctus 14 must have been written “no later than 

the first weeks of 1750” – perhaps narrowing down the timeframe set for this by 

Kobayashi. Wolff goes  further  to say  that “some  limited and unstressful work 

may have continued until about Easter 1750”. (Easter fell on 29 March in 1750.) 

The English oculist Sir John Taylor, who was later to operate on Handel’s eyes, 

performed  the  first  operation  on Bach’s  eyes  between  28 March  and  1 April 

1750; a second operation took place between 5 April and 8 April. It seems that 

Bach went downhill  from here  and was  “almost  continually  ill” not  for  “full 

half  a  year”  as  stated  in  Forkel’s  Biography  [n.b.  not  the Obituary  as Wolff 

erroneously has it165] but for a quarter of a year. Nevertheless, he was obviously 

well enough to accept a new pupil, Johann Gottfried Müthel (mentioned above 

in connection with  the dictation of  the  ‘deathbed’ Chorale), who moved  in  to 

Bach’s  house  on  4  May.  Finally,  we  know  from  Forkel  that  Bach  had  a 

temporary recovery of his sight ten days before he died and that he was able to 

dictate  the  ‘deathbed’ Chorale,  even  though  it was  a  revision  of  an  existing 

piece under  a new  title, not  a new  composition,  and  therefore perhaps not  a 

very onerous or taxing project.166 

From  the  foregoing we  can  conclude  that  Bach may  have  been  unable  to 

work  between  May/June  1749  and  August  1749.  After  recovering,  he  was 

working,  perhaps  with  some  difficulty,  between  August  1749  and  the  first 

weeks of 1750, perhaps until the end of March 1750. From April 1750 he was in 

serious  decline  but was  nonetheless well  enough  to  take  in  a  new  boarding 

pupil at the beginning of May, and there is no evidence that he was completely 

incapacitated,  though  Forkel  states  that  he  was  completely  blind  after  the 

165 Ibid., page 449 166 Having said that it may not have been very onerous or taxing, it is important to point out that Vor deinen Thron is very elaborate in terms of its numerological content, with several appearances of the numbers 14 and 41, some which are discussed in Chapter 1; and it is a most tightly constructed contrapuntal complex. So even though it is only a short piece, Bach’s mental faculties must have been in very good order, even if his physical abilities were weak at this time.

  116

second operation. Finally, we know that in his last days he was well enough to 

dictate music because he obviously felt that it was important to him to get this 

particular piece down on paper before he died. 

In Chapter 2 above it was noted that that Douglass Seaton suggests an early 

date  for  the manuscript  of Contrapunctus  14; Wolff  disagrees with  him,  but 

even he  states  that “the  composing manuscript … dates  from 1748‐1749”  (my 

italics).167 And I have already mentioned that Kobayashi places it before October 

1749, and after August 1748. 

The statement  that Bach’s  illness and death are  the reason  that  the  fugue  is 

unfinished does not stand up to scrutiny. It is surprising, to say the least, that so 

many scholars have accepted the statement at face value without looking at the 

dates involved. According to the information presented here, Contrapunctus 14 

could  have  been  written  between  August  1748  and  June  1749.  It  is  worth 

stressing  that he could,  therefore, have been working on  the  fugue as early as 

one year and eleven months – almost two years – before his death. Perhaps it is 

worth  reminding  ourselves  at  this  point  of  Seaton’s  statement,  and my  own 

direct observation of the original, that the manuscript is in a strong calligraphic 

hand – contrasting with the shaky handwriting in the documents described by 

Wolff that come from 1749 and 1750.168 If he had not worked on  it during this 

period (August 1748 – June 1749), or if he had begun it but not completed it, he 

had  a  further  opportunity  between August  1749  and  the  beginning  of  1750, 

perhaps as late as Easter (29 March). Further, if he were well enough to take on 

a new pupil in May 1750 – after the two gruesome eye operations – and to teach 

that pupil,  even  if he was  blind,  surely he would have  been well  enough  to 

arrange for Contrapunctus 14 to have been completed, perhaps by dictation, if 

he had wished  to do  so.  Indeed,  the Obituary explicitly  states  that  it was his  167 Wolff Johann Sebastian Bach : The Learned Musician, page 436 168 See Chapter 3 for a full discussion of the handwriting of the manuscript, including the debate about whether it is a composing manuscript or not.

  117

“last” illness that prevented him from completing the work, which suggests that 

the work was extant but not complete before his “last” illness. This suggests in 

turn  that  the  period August  1749  –  early  1750 may  be more  likely  than  the 

earlier possible period of August 1748 –  June 1749, since we know  that Bach’s 

previous  illness  was  between  June  and  August  1749.  It  seems  clear  that 

Contrapunctus 14 must have been brought to  its extant state  (239 bars) by  the 

time  of  the  eye  operations  or  shortly  thereafter  at  the  very  latest:  around 

March/April/May 1750. How plausible  is  it  therefore  that Bach was unable  to 

finish  the  ending  of  this  great  cycle  of  pieces, when  I  have  shown  that  the 

chronology  strongly  suggests  that he would have been  capable of  finishing a 

short passage of music?  (I have  shown  in Chapter  3  that  47 bars  are  all  that 

remain.) The  ‘deathbed’ Chorale  is 45 bars  long, and Bach was,  as we know, 

capable of dictating that much in his last few days, some time between 18 and 

28 July. 

It  is  clear  that Bach would have had  the  time  to  finish  the  fugue  if he had 

chosen  to  do  so,  and  that  his  illness  and  death  can  no  longer  be  offered  as 

reasons  for  its  incompletess. This  lends  further weight  to my hypothesis  that 

Bach chose to leave the work as it is. 

“the next‐to‐last fugue” 

This has been discussed in more detail on page 33 above. The phrase “next‐

to‐last  fugue”  led  some writers,  including Sir Donald Tovey,  to conclude  that 

Contrapunctus 14 was the penultimate fugue in the collection, and that it was to 

be  followed  by  another  fugue  with  four  subjects  that  would  be  invertible. 

Because the exact words of the Obituary are “the  last [fugue] which was … to 

have been afterward inverted note for note in all four voices”, Tovey assumed 

that  this  further  fugue was  to be  invertible  in  its entirety  (not  just  its subjects) 

after  the manner  of  the  two Mirror  Fugues  (Contrapuncti  12  and  13). Tovey 

composed such a  fugue, using  the BACH motif as one of  the subjects. But, as 

  118

was discussed in detail in Chapter 2 (page 33), this was a misunderstanding of 

the meaning of the words in the Obituary; a correct understanding was to treat 

each section of Contrapunctus 14 as if it were a fugue in its own right. 

The passage  in Forkel’s Biography  is obviously derived  from  the Obituary, 

since it too speaks of “the last fugue but one” being unfinished, and then goes 

on to mention “the last fugue” which was to have four “themes” that would be 

inverted in all the parts. In this case the wording specifically says that it was the 

themes that were to have been inverted, not the entire fugue as a whole as the 

Obituary seemed to imply. 

But Forkel had  clearly  failed  to  take note of Marpurg’s 1752 Preface  to  the 

second  printed  edition  of  the  work,  quoted  above,  in  which  Marpurg 

specifically mentions “the last fugue, in which, with the introduction of the third 

subject,  he  identifies  himself  by  name”  (my  italics),  making  it  clear  that 

Contrapunctus  14  was  in  fact  the  last  fugue  of  the  collection  and  not  the 

penultimate one. 

Once again, we see a slight confusion  in  the understanding of C P E Bach, 

Agricola and Forkel in these two passages (i.e. the Obituary and the Biography). 

This was  not  strictly  speaking  Bach’s  last work;  neither  can  they  be  correct 

when they say that illness was what prevented him from finishing it; and now 

we see that they did not realize properly that Contrapunctus 14 was indeed the 

last  fugue of  the  collection. Marpurg knew Bach well and  they  corresponded 

with  each  other;  since Marpurg was  invited  to  contribute  the  preface  to  the 

second  printed  edition,  it  seems more  likely  than  not  that  he  had  a  clearer 

understanding  of  Bach’s  intentions,  perhaps  communicated  to  him  directly 

either in conversation or in correspondence. 

  119

“the last one was to contain four themes…” 

It has already been mentioned and is by now well known that the main Art of 

Fugue subject is the fourth theme or subject of the quadruple fugue, and that it 

would have made its appearance at some point in the remaining portion of the 

composition. I showed in Chapter 3 that 9 bars are needed to complete section 3 

of the fugue and that the fourth section would begin with the appearance of this 

fourth  subject  immediately  thereafter  i.e.  at  bar  249.  Tovey  stated  (certainly 

correctly)  that  the  fourth  subject would not  be  given  its  own  full  exposition, 

basing  this opinion on  the dramatic pacing of  the music. Since  I have  shown 

that 38 bars remain for the fourth section of the fugue, a complete exposition of 

the fourth subject before it combines with other subjects would take 5 x 4 = 20 

bars,  not  including  any  codettas.  That  would  leave  only  18  bars  for  other 

contrapuntal combinations, each of which needs a minimum of 7 bars. If there 

were  to  be  only  one  inversus  and  one  rectus  quadruple  combination,  that 

would  leave  only  4  bars  remaining  to  be  filled  by  episodes  and  a  (possible) 

coda: obviously not enough.  It  is clear,  therefore,  that Tovey  is correct on  this 

point  and  that when  the  fourth  subject  enters  it will  begin  to  combine with 

other subjects (not necessarily quadruply at first) almost immediately. 

At  the beginning of  this Chapter,  I mentioned  the order of voices  in which 

each subject enters at its exposition. 

Fugue/section 1 B T A S

Fugue/section 2 A S B T

Fugue/section 3 T A S B

Fugue/section 4 ?

It  can  be  seen  that  Bach  has  systematically worked  his way  through  the 

available permutations, leaving only one permutation left if each entry is to be 

in a voice  that has not been used before: S B T A. This may  suggest  that  the 

fourth  subject will make  its  first  appearance  in  the  soprano  and  that  its next 

  120

three appearances will be, in order, in the bass, tenor and alto. This may apply 

even  if  the  fourth  subject  is not given  its own  independent  exposition before 

being  combined  with  the  other  subjects.  This  is  the  ‘permutational  matrix’ 

identified  by  Zoltán  Göncz  in  his  two  articles  on  what  he  calls  the 

“reconstruction” of the unfinished fugue.169 On the other hand, it may be worth 

noticing that these orders of entry of voices correspond to three of the first four 

Contrapuncti.  

Contrapunctus 1 A S B T

Contrapunctus 2 B T A S

Contrapunctus 3 T A S B

Contrapunctus 4 S A T B

If there is a parallel between the first four fugues of the collection and the last 

four (accepting that Contrapunctus 14 is made up of four ‘fugues’), then it may 

be  equally  plausible  to  suggest  that  the  order  of  voices  in which  the  fourth 

subject will enter will be S A T B, rather than S B T A. For reference, I give the 

order of voices in which the subjects enter in their expositions in all the fugues. 

Contrapunctus 1 A S B T

Contrapunctus 2 B T A S

Contrapunctus 3 T A S B

Contrapunctus 4 S A T B

Contrapunctus 5 A B S T

Contrapunctus 6 B S A T

Contrapunctus 7 T S A B

Contrapunctus 8 T B S

Contrapunctus 9 A S B T

Contrapunctus 10 A T B S

Contrapunctus 11 A S B T

Contrapunctus 12a S A T B

Contrapunctus 12b B T A S

Contrapunctus 13a S A B

169 Göncz, Z. (1991) "The Permutational Matrix in J S Bach's Art of Fugue: The Last Fugue Finished?" Studia Musicologica Academiae Scientiarum Hungaricae 33(1-4): 109-119; Göncz "Reconstruction of the Final Contrapunctus of The Art of Fugue" op. cit.

  121

Contrapunctus 13b A B S

Contrapunctus 14i B T A S (= Contrapunctus 2)

Contrapunctus 14ii A S B T (= Contrapunctus 1)

Contrapunctus 14iii T A S B (= Contrapunctus 3)

Contrapunctus 14iv S B T A or S A T B (= Contrapunctus 4)

From  this chart  it can be  seen  that Bach has  taken care  to  include as much 

variety  as  possible  in  this  particular  matter  throughout  the  course  of  his 

collection.  It  may  or  may  not  be  significant  that  the  order  of  entries  in 

Contrapunctus 14, the last four fugues, is noticeably paralleled by the order of 

entries  in  the  first  four  fugues.  I mention  this here only  to show  that Göncz’s 

claims on this matter are not the only possibility. 

The Rectus Combination of the Four Subjects 

“… was to contain four themes” 

Nowhere does  the Obituary, Marpurg’s Preface or Forkel’s Biography state 

that  the  four  subjects or  themes  are  to be  combined  together. Nevertheless  it 

seems  incontrovertible  that  that must have been Bach’s  intention. Ex. 4.3 from 

above is reproduced here for convenience: 

 

Ex. 4.5: The quadruple combination as given by Nottebohm 

One of  the  clues pointing  to  the validity of Nottebohm’s  theory  is  the  last 

four notes of subject 4, seen here in bars 4 and 5 of the soprano part: they keep 

the rhythmic movement going at exactly the place where it is needed, the other 

three parts having come to rest at the second half of the bar. 

  122

306

From now on I shall refer to the four subjects in Roman numerals, as in Ex. 

4.1 above: so the fourth subject, the main Art of Fugue subject, is designated IV. 

A problem with  the  combination given  in Ex. 4.5 – and quoted  exactly by 

Wolff in his 1975 paper170 –  is the consecutive fifths between S and A  in bar 3. 

Admittedly  they are consecutives  in which one of  the  fifths  is perfect and  the 

other  diminished,  a  form  of  consecutives which  seems  not  to  have  bothered 

Bach  and  which  is  often  said  to  be  acceptable.171  But  these  consecutives 

particularly bothered Tovey when he  set about making his  completion of  the 

fugue. To avoid them, he made a change to the rhythm of IV: 

 

Ex. 4.6: Tovey’s third and last rectus combination 

Tovey chooses to adopt this form of IV, with its altered rhythm, for all of its 

appearances  in  his  completion  of  the  fugue,  even  when  it  is  not  strictly 

necessary to avoid consecutives. He also uses this altered rhythm when he uses 

inversus  forms of  IV. This rhythm of  IV was also adopted  in a completion by 

David Schulenberg (1992)172 and by Michael Ferguson  in his completion of the 

fugue:  indeed Ferguson’s one and only  rectus combination  is  identical  to  this 

one of Tovey’s.173 

A  strict  teacher  of  harmony  and  counterpoint might  argue  that  this  little 

change to the rhythm does not remove the consecutives. Lovelock, for example, 

170 Wolff "The Last Fugue: Unfinished?" 171 Some further examples of these kinds of consecutives are given later in this Chapter. 172 Listed in Overduin, page 80. See note 29 for a further commentary on this. 173 bar 311 of Ferguson’s completion

  123

55

58

says dogmatically “Suspensions do not remove consecutives”174 – and this  is a 

case of a suspension that resolves upwards, of which more will be said below.175 

Other  objections  might  be  brought  to  bear  on  this  means  of  avoiding  the 

consecutives:  if  indeed  Bach’s  intention was  to  bring  back  the  Art  of  Fugue 

subject as the grand finale to his collection, a masterly contrapuntal peroration 

at the end of the work, would he not have been more likely to design the first 

three subjects  in such a way that they could be combined with IV without the 

need  to  tinker  with  it?  To  be  fair,  Bach  himself  –  a  higher  authority  than 

Lovelock  –  has used  this  rhythm  once  before,  in  two  successive  instances  in 

Contrapunctus 3, starting at bar 55: 

 

Ex. 4.7: Contrapunctus 3, bars 55 ‐ 61 

In the first instance, in bar 57, it is clear that the reason for the change in the 

rhythm  in  the  alto  is  to  avoid  the  consecutives  that  would  otherwise  have 

resulted  between A  and  B,  even  though  one  of  the  fifths would  have  been 

perfect and one diminished. In the second  instance, starting  in the S at bar 58, 

the  changed  rhythm  is  not  necessary  to  avoid  consecutives,  but  has  been 

preserved  since  this entry of  the  subject  is  an answer  to  the previous one.  In 

both  cases,  an  alternative  justification  for  the  change  to  the  rhythm  could  be 

that  Bach  wished  to  continue  the  quaver movement  at  these  points, which 

174 Lovelock, W. (n.d.) First year harmony : complete Brundall, Norwich, W. Elkin Music Services, page 65 175 In order to avoid accusing Tovey of not knowing how to resolve a suspension, one might alternatively analyse the first quaver of the third beat of bar three of Ex. 4.6 as a diminished seventh chord whose components resolve correctly in both directions.

  124

would have ceased if the rhythm of the subject had been unchanged. However, 

the  avoidance  of  consecutives  seems  the  more  likely  explanation.  If  Bach 

wished to avoid consecutives – even perfect/diminished ones – at this point in 

Contrapunctus 3, it is reasonable to assume that he may equally have wished to 

avoid them in a quadruple combination such as Ex. 4.5. Tovey, when discussing 

his  completion  and  mentioning  his  change  to  the  rhythm  of  IV,  makes  no 

reference to this point in Contrapunctus 3, and it is not clear that he had noticed 

it. 

Bach’s habit of foreshadowing future musical events – a hint of something in 

one piece being brought to fruition in a later one – has been noticed in a number 

of places.176 Several foreshadowings in The Art of Fugue can be found, and could 

well be made the subject of further study; a case could be made for this example 

as a foreshadowing of the rhythmic change necessary to avoid the consecutives 

in the quadruple rectus combination of Contrapunctus 14. 

Three questions now arise in connection with the combination presented by 

Tovey  and  followed  by  Ferguson  and  others.  First,  is  the  rhythmic  change 

necessary? Second, do  the consecutives matter? Third, can one or more rectus 

quadruple  combinations  be  found  that do  not  contain  consecutives  (or  other 

problems) and  that do not require a change  to  the rhythm of IV or any of  the 

other  three  subjects?  The  answer  to  the  first  question  can  be  found  by 

answering  the  second  and  third  questions,  so  I  digress  now  to  a  brief 

consideration of Bach’s own use of consecutives. 

Consecutives in Bach’s Music 

Perhaps  surprisingly,  especially  to  students  of  harmony  who  have  been 

brought up  to believe  that consecutive  fifths and octaves are a heinous crime, 

Bach  himself was  not  above writing  them  from  time  to  time. Here  are  two  176 For example, see Shatzkin, M. (1984) "Thematic Anticipations in Bach" Bach (Quarterly Journal of the Riemenschneider Bach Institute) XV(2): 25-34

  125

examples  from  the  chorale  harmonizations  that  include  consecutive  perfect 

fifths. 

 

Ex. 4.8: Chorale “Gott sei uns gnädig und barmherzig”, showing consecutive fifths between T and S in the last bar 

 

Ex. 4.9: “Einʹ feste Burg ist unser Gott”, showing consecutive 5ths between S and B in the last bar 

In her book that exhaustively catalogues such curiosities, Augusta Rubin lists 

26  similar  examples  from  the  chorale  harmonizations  alone.177 These  two  are 

selected  from  that  list  by way  of  illustration.  In  Ex.  4.8  it may  be  that  Bach 

decided that a more interesting and high tenor part (bar 2, 4th beat to bar 3, 1st 

beat) that is harmonizing a very static melody was preferable to a duller tenor 

part that might have avoided the consecutives. The consecutives  in Ex. 4.9 are 

harder to explain since the antepenultimate bass note could easily have been D 

rather than F : possibly the alto’s octave syncopated leap was the striking effect 

that  Bach  considered most  important.  The  other  voices  had  to  be  arranged 

around  that, and Bach may have considered  the consecutives a  small price  to 

pay for such strong inner parts. 

Consecutive fifths can be seen in bars 64 and 167 of the Ricercar a 3 from the 

Musical Offering.  They  are  consecutives  in which  one  is  augmented  and  the 

other perfect. Ex. 4.10 gives bar 64 as an example. 

177 Rubin, A. (1976) J. S. Bach: the modern composer Boston, Crescendo Pub. Co., pages 287-293

  126

15

18

 

Ex. 4.10: Ricercar a 3 from the Musical Offering, bar 64 

Two examples of  such  consecutive  fifths  can be  found  in The Art  of Fugue, 

specifically in Contrapunctus 6. 

 

Ex. 4.11: Contrapunctus 6, bar 15 

 

Ex. 4.12: Contrapunctus 6, bar 18 

These are more directly related to the matter under consideration, since they 

come  from The Art of Fugue and  since  they are examples of consecutive  fifths 

where one fifth is diminished and the other perfect, like the consecutives in the 

quadruple combination shown above in Ex. 4.3 and Ex. 4.5. Since it is clear that 

in  The  Art  of  Fugue  as  a  whole  Bach  has  set  himself  the  strictest  possible 

boundaries, allowing himself no contrapuntal latitude whatsoever (for example, 

by  always  insisting  on  stating  the main  Art  of  Fugue  subject  in  its  entirety 

whenever  it  appears,  even  when  it  would  have  been  convenient  to  make 

alterations to it in some cases), it might therefore be arguable that since he has 

allowed himself  these kinds of consecutives  in one part of  the collection,  they 

might equally be allowable  in another.  If Tovey and others had  followed  this 

line of thinking, they could have allowed the consecutives (Ex. 4.3) to stand and 

they  need  not  have  gone  to  the  lengths  of  altering  the  rhythm  of  IV  in  an 

64

  127

attempt to avoid them. On the other hand, Bach’s alteration to the rhythm of the 

subject  in Ex. 4.7 may  suggest  that he preferred  to avoid even  these kinds of 

consecutives when it was possible to do so. 

Cases could therefore be made to defend both Nottebohm’s combination (Ex. 

4.3 and 4.5, with  its consecutives) and Tovey’s version  (with  the rhythm of IV 

altered  to  avoid  the  consecutives,  as  Bach  had  done  in  Contrapunctus  3). 

However,  I want  to  say  that,  since  it  is  certain beyond any  reasonable doubt 

that  it was  Bach’s  intention  to  combine  these  four  subjects,  he would  surely 

have designed  them  in such a way  that  they were capable of being combined 

without breaking any rules of musical grammar, harmony or counterpoint and 

without the need for alterations to be made in either the notes or the rhythm of 

any of the subjects. The task  is to search for one or more combinations that fit 

these requirements. 

To illustrate this point it is interesting to observe Bach’s procedure in the two 

other fugues of the collection that have three subjects: Contrapuncti 8 and 11. In 

each  case,  the  subjects  are  first presented  individually  and/or  in  a  variety  of 

double combinations; the triple combination of all three themes is reserved for 

the  end  of  the  fugue  where  it  is  presented  in  a  number  of  different 

permutations. The  following  tables show  the  layering of voices  that Bach uses 

in his various permutations of the combinations in these fugues. Two things can 

be  noticed:  first,  he  is  taking  care  to  introduce  as much  variety  as  possible; 

second,  and more  importantly,  the  last  combination  of  each  fugue  is  layered 

from top to bottom in the same order as the fugue subjects were each presented 

for the first time. Thus in Contrapunctus 8, subject I was first, II second and III 

third so at the end they are presented with I on top, II in the middle and III at 

the bottom. The same can be seen at the end of Contrapunctus 11. 

 

  128

Contrapunctus 8 S A B

Bar 147 I II III

Bar 152 III I II

Bar 158 II III I

Bar 169 III II I

Bar 181 I II III

Contrapunctus 11 S A T B

Bar 145 II III I

Bar 174 I III II

Bar 179 I II III

Does  it  therefore  follow  that  in  the  final  quadruple  combination  of 

Contrapunctus 14  the subjects will be  layered  from  top  to bottom  in  the same 

order as they are presented in the fugue i.e. S‐I A‐II T‐III B‐IV (I‐II‐III‐IV)? The 

idea seems alluring, but it presents problems. 

 

Ex. 4.13: The subjects layered I‐II‐III‐IV 

Here  there are no difficulties with consecutives, but S and A are congested 

and keep running into one another. Removing this problem by putting the S up 

an octave only creates another problem, since that renders the stretch too wide 

for  the music  to  be  playable  by  two  hands  on  one  keyboard,  a  requirement 

shown by Gustav Leonhardt to be within the strict parameters that Bach has set 

for this work.178 A more serious problem, though, is the weak and un‐Bachian   

chord  on  a  strong  beat  (in  bar  5)  that  results  from  having  IV  in  the  bass.  In 

178 Leonhardt, G. (1952) The Art of Fugue, Bach's last harpsichord work; an argument The Hague, M. Nijhoff

  129

previous  fugues, when  IV  (i.e.  the main  Art  of  Fugue  subject,  as we  should 

properly  call  it  in  earlier  Contrapuncti)  is  in  the  bass,  Bach  arranges  the 

harmony  in the vast majority of cases so that the  last note of the subject  is the 

bass of a root position chord, usually with a suspended third. A few examples 

of  the  last  note  of  this  subject  being  the  bass  of  a    chord  can  be  found  (eg 

Contrapunctus 3, bar 55; Contrapunctus 4, bar 43; Contrapunctus 5, bar 27) but 

this is usually as part of a cadential   formula and, significantly, is not part of a 

contrapuntal combination with other subjects that continue after the end of IV, 

as in the above example.  

Examination of all Bach’s triple combinations  in Contrapuncti 8 and 11 (Ex. 

4.14 and 4.15, overleaf) shows that in almost all cases (all but one), and in both 

final cases, the subjects are presented unadulterated and in exactly the form in 

which they were presented at their first appearances in each fugue. 

  130

147

152

158

169

181

 

Ex. 4.14: The five triple combinations from the end of Contrapunctus 8 

 

 

  131

145

145

(the same passage transposed into D minor for reference)

174

179

Ex. 4.15: The three triple combinations from the end of Contrapunctus 11 

Here  it  can  be  seen  (Ex.  4.14)  that  only  in  the  first  two  combinations  of 

Contrapunctus 8 has Bach altered the notes (i.e. the accidentals) of some of the 

  132

subjects; in all other cases, including those in Ex. 4.15, the subjects are presented 

in exactly  their original  forms without any kind of alteration. To  this may be 

added the triple combination given by Bach at the end of the existing portion of 

Contrapunctus 14 (bar 233) as shown in Ex. 4.2 above. 

To  return  to  the  search  for  an  effective  rectus  quadruple  combination we 

should look again at Sir Donald Tovey’s work, to see if we can improve on what 

he  has  done  by  obviating  the  need  for  his  rhythmic  change  to  subject  IV. 

Tovey’s main bugbear was the consecutive fifths created by this layering of the 

subjects: 

 

Ex. 4.16: The consecutives created by layering IV above II 

As we saw earlier, Tovey’s solution (pace Lovelock) was to alter the rhythm 

of  IV  by  syncopating  it,  delaying  the  second  note  of  bar  3  by  a  quaver  and 

thereby  avoiding  the  consecutives.  As  mentioned  earlier,  Bach  himself  had 

done almost exactly the same thing in Contrapunctus 3 (Ex. 4.7 above). But this 

is at the expense of considerably distorting the outline of IV.179 

 

Ex. 4.17: Tovey’s solution to the problem of consecutives 

179 In his article op.cit., Jan Overduin describes a completion by David Schulenberg (1992) in which Schulenberg also follows Tovey’s lead by altering the rhythm of IV. “Schulenberg defends the change by pointing out that Bach himself altered the rhythm of theme I in order to combine it more smoothly with II … this is a spurious argument, however, since making a small change only once (to a different theme!) is quite a different matter from the permanent alteration of the main theme of the work.” In this I agree with Overduin. Schulenberg’s reference to a change in the rhythm of I is a reference to Bach’s bar 158 in the tenor. Tovey says of this passage: “When I is combined with other themes it is singularly difficult to manage in any part other than the bass, and Bach has to double-dot its second note before he can find a proper bass for it.” (Tovey A companion to 'The Art of Fugue' (Die Kunst der Fuge) of J. S. Bach, page 43-44.) These words of Tovey will prove to be prophetic: the following discussion will show that only two rectus quadruple combinations work convincingly, and both have subject I in the bass.

  133

It seems to have escaped Tovey’s attention that by layering the subjects in the 

reverse order, with II above IV, the consecutive fifths vanish, to be replaced by 

fourths. 

 

Ex. 4.18: The subjects layered with II above IV: the consecutives vanish 

It  may  reasonably  be  presumed  that  Bach  would  not  have  written,  and 

would not have  intended us  to write,  consecutive  fifths  if  there was no good 

reason to do so. Here is a way of layering the subjects in a way that creates no 

consecutives and that obviates the need for Tovey’s change to the rhythm of IV. 

It therefore follows that in any quadruple rectus combination, II must be above 

IV. It follows further therefore that IV can never be  in the S (in a combination 

that includes II, whether quadruple or not). We saw earlier that IV can never be 

in the bass (in a quadruple combination) because it results in a weak   chord.  

There is a further detail that Tovey and his followers have missed. With one 

exception180,  every  person who  has  attempted  to  complete Contrapunctus  14 

has to my knowledge taken at face value the combination given by Nottebohm 

(Ex. 4.3 above) and has used the original form of the main Art of Fugue subject as 

IV. However, by Contrapunctus 5 Bach has  introduced his 14‐note version of 

that subject and that is the version he uses almost exclusively from then on (the 

only exceptions being Contrapunctus 9; the first Mirror Fugue, Contrapunctus 

12;  and  the  Canon  alla Decima, which  revert  to  the  original  form). As was 

shown  earlier  in  Chapters  1  and  3,  Contrapunctus  14  contains  many 

numerological references to the numbers 14 and 41, as well as including Bach’s 

name as a musical motif and at a  theoretical midpoint which  itself  carries an 

allusion to the number 14. It was noted that it is the 14th fugue; that the second  180 Göncz "Reconstruction of the Final Contrapunctus of The Art of Fugue"

  134

subject has 41 notes; that Bach’s final bar gives a total of 14; and I have shown 

that the third section is convincingly established as having a length of precisely 

55 (14+41) bars. Surely then it makes complete sense for Bach to reintroduce his 

main subject in its form containing 14 notes. If we look again at Ex. 4.18 above 

we notice a slightly ugly ‘running‐in’ in the second beat of bar 2 (though to be 

fair  this would  be  considerably mitigated  if  the  two  themes were  placed  an 

octave  further apart);  the  fourth beat of bar  three also has a nasty dissonance. 

Both of these small problems disappear when we introduce the 14‐note version 

of IV: 

 

Ex. 4.19: How the 14‐note form of IV fits in the counterpoint 

In fact II looks like it was specifically composed to sit with this 14‐note form 

of  IV.  (It  will  be  noticed  that  the  introduction  of  this  form  of  IV  creates 

consecutive fifths at the end of the first bar: this point will be attended to later 

in this Chapter.) 

We  are  now  in  a  position  to  survey  the  possible  permutations  of  the 

combinations and by a process of elimination  to arrive at one or more  that  fit 

the  requirements  of  obeying  all  the  laws  of  counterpoint,  harmony  and 

grammar whilst not altering the notes or rhythms of the subjects, being playable 

by  two  hands  on  one  keyboard  and  –  less  definably  –  being  musically 

convincing. 

Ex. 4.13 above is a logical starting‐point since it presents the subjects in I‐II‐

III‐IV order. Setting aside for a moment the difficulties presented by the weak   

chord in this arrangement, it enables us to see a remarkable property of the first 

subject, which is that it is also capable of working in double counterpoint at the 

  135

twelfth with  the  other  subjects, when  it  is  in  any  part  other  than  the  bass. 

Compare Ex. 4.13 with Ex. 4.20: 

 

Ex. 4.20: The subjects layered I12‐II‐III‐IV 

The  problem  of  the  weak    remains,  but  it  is  remarkable  that  Bach  has 

designed subject I so that it works with the others at the twelfth as well as at the 

octave.  In Ex. 4.13  the second note of subject  I,  in  the S, presents an awkward 

clash with  the  first note of  III  in  the T, and  this  is removed  in  this version.  In 

order  to  try  to get around  the problem of  the weak   chord,  this permutation 

may be tried: II‐I‐IV‐III: 

 

Ex. 4.21: The subjects layered II‐I‐IV‐III 

Now further problems are encountered: the weak   chord of Ex. 35 has been 

replaced by  an  equally weak    in  the  second half  of bar  4. The  S  and A  are 

terribly congested and run  into one another very crudely, especially  in bars 5 

and  6.  This  problem  is  removed  if  subject  I  is  put  at  the  twelfth,  but  the 

difficulty of the   chord is not cured by that: 

  136

271

 

Ex. 4.22: The subjects layered II‐I12‐IV‐III 

I have  systematically worked out of all  the permutations  in order,  starting 

with  I‐II‐III‐IV,  then  I‐II‐IV‐III,  I‐III‐II‐IV  and  so  on  through  all  the  available 

possibilities.  I do not propose  to present every  single one of  them here –  that 

would be tedious – but for present purposes  it  is enough to say that time and 

again we encounter difficulties, whether they be forbidden consecutives, weak 

s, arrangements that cannot be played, or congested parts. 

Since Tovey presents three rectus quadruple combinations in his working, it 

will be  instructive  to  consider each of  them. His  first one  is at bar 271 of his 

completion. 

 

Ex. 4.23: Tovey’s first rectus combination 

 Tovey has set this passage of his completion starting in the key of G minor; 

to make it easier to compare it with previous examples, I give the passage here 

transposed into D minor.  

  137

271

 

Ex. 4.24: Tovey’s first rectus combination (I12‐III‐II‐IV) transposed to D minor 

Here Tovey has drawn on the ability of subject I to be put in counterpoint at 

the  twelfth,  in  the S.  In bar 3 of  the bass part his syncopated alteration  to  the 

rhythm of IV can be seen, even though in this case no consecutives would have 

resulted if he had used the unadulterated form of the subject. At the beginning 

of bar 5 he has the unstylistic   chord, though he gets off it as soon as possible 

with rapid quaver movement. Most surprising of all, however,  is the presence 

of consecutive fifths between A and T in bar 6 – precisely the thing that Tovey 

has been anxious to avoid, so anxious that he is prepared to alter the rhythm of 

IV even when he does not need to. In his G minor version of this combination 

(Ex. 4.23) he may have considered that the second interval, B ‐F , coming from a 

perfect fifth C‐G, is somehow less severe a transgression, since the ear may hear 

it as a minor sixth rather than an augmented fifth; but the fact remains that it is 

a  fifth,  and  he  has  written  consecutive  fifths  when  he  has  shown  himself 

elsewhere  to be anxious  to avoid  them. For  all  these  reasons,  this  first  rectus 

combination of Tovey’s can be discounted. 

Tovey’s third and final rectus combination, IV‐II‐III‐I, comes at the end of his 

completion, followed by a coda, at bar 306. 

  138

306

 

Ex. 4.25: Tovey’s third and final rectus combination: IV‐II‐III‐I 

This  has  several  points  in  its  favour:  IV,  the main Art  of  Fugue  subject,  is 

presented prominently at the top of the texture, as seems appropriate as a final 

statement  at  the  end  of  the  work.  The  use  of  I  in  the  bass  gives  a  solid 

foundation  to  the  whole.  But  he  has  still  found  it  necessary  to  use  his 

syncopated rhythm for IV in bar 3. Apart from this change, this combination is 

to all intents and purposes identical to Nottebohm’s combination as given in Ex. 

4.5 above. The layering of this combination is exactly the same as that used by 

Michael  Ferguson  at  the  end  of  his  completion.  (Every  other  quadruple 

combination  offered  by  other  composers  –  that  I  am  aware  of  –  uses  Ex.4.5, 

complete with its consecutives.) However, since I am convinced that the 14‐note 

form of IV is the correct one, this combination will not be possible: introducing 

the 14‐note form here would, as can be seen at a glance, create consecutive fifths 

between S and A in the last beat of bar 1. 

There  is  a quadruple  combination  that meets  the  requirements  that  I have 

described.  In  fact  there are  two – one of  them  is used by Tovey and  it will be 

discussed  shortly. First  though  I present  this version of  the  rectus quadruple 

combination, which so far as I know has never been used or mentioned before 

by anyone else.  

  139

 

Ex. 4.26: II‐IV‐III‐I 

Here  is  a  combination which  avoids  consecutives,  preserves  Bach’s  fugue 

subjects in their unadulterated forms, uses the 14‐note form of IV, has a strong 

bass  line,  avoids  congestion  of  the  voices,  is  playable  by  two  hands  on  one 

keyboard, and is musically convincing. Though the dissonance in bar 3 between 

T and B may seem extreme,  it  is  identical to that used by Bach  in bar 235 (see 

Ex.  4.2  above).181  This  is  obviously  only  the  skeleton  of  the  contrapuntal 

combination: the second half of bar 5, for example, clearly needs to be filled in 

with  rhythmic movement,  and  this  can  be  supplied  by  the  alto;  likewise  the 

music  needs  to  continue  to  be  propelled  forward,  and  that  is  why  in  the 

following conjectural filling‐in of the alto I have put a B  on the first beat of bar 

7, where the note A might have been more predictable. The alto part in bar 5 is 

derived directly from the S in Bach’s bar 237. 

181 One is reminded of a quotation from Johann Philipp Kirnberger (1774), who wrote of Bach’s contrapuntal daring: “At times, even four tones in succession may be dissonant. When the movement is fast and the melody light and easily grasped this may pass; only in slow tempo it would be intolerable. But even in fast tempo it must not occur too often, particularly if other voices were to rush along in similar manner; for it makes the music highly confused. It is better in this matter to take as a model Capellmeister Graun, the most euphonious and thoughtful writer of beautiful vocal melody, than Handel or J S Bach. The latter was the most daring in this respect, and therefore his things require a quite special style of performance, exactly suited to his manner of writing, for otherwise many of his things can hardly be listened to. Anyone who does not have a complete knowledge of harmony must not make bold to play his difficult things; but if one finds the right style of performance for them, even his most learned fugues sound beautiful.” Quoted in David, Mendel, et al., page 367-368

  140

&c.

&c.

 

Ex. 4.27: II‐IV‐III‐I with conjectural continuation 

It may be objected that the consecutive fourths in the last beat of bar 1 sound 

bald; but  it should be remembered  that here  too either  the T or B, or possibly 

both, are available to fill in. A downward quaver scale in the second half of bar 

1, in either voice (A‐G‐F‐E) arriving on D at the beginning of bar 2, would serve 

perfectly.  I  propose  that  this  quadruple  rectus  combination  would  appear 

somewhere early in the fourth section of a completed Contrapunctus 14, not at 

the end. It might therefore not necessarily be set in the key of D minor, as it is in 

the foregoing examples; indeed it might be thought that in D minor II is sitting 

a little high. (I have placed it in the upper octave so as to avoid the congestion 

with the alto that would result if it were in the lower octave.) The combination 

works well when  transposed  down,  as  here  for  example  into  the  key  of  A 

minor. 

 

Ex. 4.28: II‐IV‐III‐I with conjectural continuation, transposed into A minor 

 

  141

290

I have mentioned Tovey’s first and third combinations, and now I turn to his 

second  one  –  a  good  one  –  in  an  attempt  to  make  a  couple  of  small 

improvements in it. He presents it at bar 290 of his completion. 

 

Ex. 4.29: Tovey’s second rectus combination II‐III‐IV‐I 

It is a layering of II‐III‐IV‐I in the key of A minor. It is similar to Ex. 4.26 but 

has the inner parts interchanged, resulting in a more even vertical distribution 

of the voices. However, Tovey has once again used his syncopated rhythm of IV 

when it is not necessary to do so: because II is above IV in this case, there is no 

danger of consecutives. A detail is that the last note of subject I in the bass has 

been altered. The other shortcoming of this combination is that it does not use 

the 14‐note form of IV. It is possible to incorporate the 14‐note form of IV and 

reinstate the correct rhythm; if the music is transposed down into D minor there 

is this splendidly strong and dark result: 

 

Ex. 4.30: II‐III‐IV‐I using the 14‐note form of IV 

Of course the same comments as were made above about the need to fill  in 

free material in the A and T apply here also. Since this and Ex. 4.26 are the only 

rectus quadruple  combinations  that  ‘work’  according  to  the  strict parameters 

  142

that  I have set  for  them  (which  I believe  to be  in accordance with Bach’s own 

strict parameters),  I propose  this combination, a variant of Tovey’s second, as 

the final contrapuntal complex at the end of a completed Contrapunctus 14. The 

succession of very strong root position chords at the beginning of every bar but 

one,  in  the  tonic  key  of  D  minor,  makes  for  a  very  strong  and  confident 

peroration.  It would be  followed by a coda, perhaps over a  tonic pedal point, 

that might include some prominent final reference to IV as a grand conclusion 

to the entire work. 

The Inversus Combination of the Four Subjects 

“…and to have been afterward inverted note for note in all four voices” 

The  problem  of  combining  the  four  subjects  of Contrapunctus  14  in  their 

inverted  forms  is a  considerably more  intractable one  than  that of  combining 

the  rectus  forms,  so  much  so  that  the  majority  of  composers  who  have 

attempted completions (including Moroney, Rogg, Walcha and Göncz) have not 

included  an  inverted  quadruple  combination  in  their  workings  at  all.182 

However, the solution is there to be found for those who are prepared to look 

hard enough;  it  is  testament  to Bach’s  incredible skill  that he has been able  to 

design his subjects so that they can lock together not only in their rectus forms, 

with one of  them working  in double  counterpoint, but  in  the ways  they also 

combine  in  their  inversus  forms, which  I will consider now. The  two scholars 

who  have  offered  the  most  thoughtful  and  convincing  contribution  to  this 

question  of  the  inverted  combination  are  the  American  organist  Michael 

Ferguson,  and  Sir  Donald  Tovey,  both  of  whom  have  published  their  own 

completions  to  Contrapunctus  14.  Both  completions  have many merits,  and 

both  are  open  to  criticism:  for  example, both  are  too  long;  and Ferguson’s  is 

182 Rogg, for example, in his unpublished completion, presents a clever bit of counterpoint in which the inverted form of IV (IVinv ) combines with the rectus forms of II and III; but he does not attempt a simultaneous combination with subject I as well. Similarly, Göncz states that only IVinv should be used in combination with the rectus forms of I, II and III.

  143

designed to be played on the organ with pedals and in places is not able to be 

played by two hands on one keyboard.183 My purpose here, however, is not to 

offer a detailed  critique of  their workings but  to  focus on  the way  they have 

dealt with  the  inverted  combination.  I will propose  that  the most  convincing 

result  can  be  achieved  by  taking  elements  of  both  Tovey’s  and  Ferguson’s 

thinking  and  combining  them  together,  to  produce  a  new  solution  to  the 

combination that is presented here for the first time. 

Before looking in detail at the inversion of the subjects, it is worth examining 

the exact wording of the Obituary: “…and to have been afterward inverted note 

for note  in all  four voices”. This  statement  follows  the  statement  that  the  last 

fugue  would  have  contained  four  themes,  so  it  can  be  presumed  that  by 

“afterward”  the Obituarists mean  ‘after  the  introduction of  the  fourth  theme’. 

This tells us that at the beginning of section four of the fugue, subject IV will be 

introduced almost  certainly  in  immediate  combination with one or  two other 

subjects (but not necessarily immediately in a quadruple combination, as we saw 

earlier).  It  is at some point after  this  introduction of  IV  (and presumably after 

the  first presentation of a quadruple rectus combination)  that  the subjects will 

be inverted in all four voices. The significance of the phrase “note for note” will 

become apparent during the course of the following discussion.  183 Ferguson defends his decision to write his completion for organ with pedals in Ferguson, M. (2001) "Letter to the Editor" The American Organist 35(4): 18-24 “We have known for a long time that Mattheson, upon the initial publication of The Art of Fugue, hailed it specifically as an organ work. And the newspaper advertisement for the original edition, recently rediscovered, states that it was specifically arranged by its composer for performance on the organ. There can, therefore, be no credible scholarly argument for rejecting, out of hand, completions specifically for organ.” The text of C P E Bach’s advertisement can be seen in David, Mendel, et al., page 257: the actual wording is “… arranged for use at the harpsichord {Clavier} or organ.” This does not seem to specify the use of organ with pedals, in fact rather the contrary. And Ferguson’s position flies in the face of the evidence presented by Gustav Leonhardt in his book which suggests compellingly that the music was intended for two hands on one keyboard. However, this particular debate is not pertinent to the present subject, except inasmuch as the restriction that the music be playable by two hands on one keyboard, once accepted, will have a bearing on attempts to achieve an inversus quadruple combination: it is possible that one might be able to assemble an inversus quadruple combination that ‘works’ in a technical sense but which cannot be played by two hands on one keyboard. Such a combination would therefore be invalid if Leonhardt’s position is correct, as I believe it is. Beyond that, Ferguson’s and Leonhardt’s opposing opinions may be left to one side without further comment, except to say that it is of course obvious that music written for harpsichord may well in many cases translate to the organ, sometimes with and sometimes without pedals; whether a performer chooses to play the music on the organ is a matter of individual taste.

  144

It may be worth mentioning that neither the Obituary nor the other sources 

(Forkel and Marpurg) say that the subjects are to be combined! They merely say 

that the subjects are to be inverted. Nevertheless, it is a reasonable assumption 

that  an  inverted  quadruple  combination  will  follow  a  rectus  quadruple 

combination in this last section of Contrapunctus 14. Tovey was in no doubt; “I 

am absolutely certain that Bach intended to invert all 4 themes in the quadruple 

counterpoint”.184 Since The Art of Fugue as a whole  is, among other  things, an 

exercise in steadily increasing contrapuntal complexity, this would seem to be a 

natural progression  from  the extraordinary achievement of  the Mirror Fugues 

(Contrapuncti 12 and 13), in which two entire fugues (each having just the one 

subject) are invertible; to write a fugue with four subjects which combine both 

rectus and inversus would be a logical way – perhaps the only way – to trump 

the dazzling compositional virtuosity of the Mirror Fugues. Further, if it can be 

shown that the four subjects can be combined in inversion, then it is reasonable 

to assume that they were intended for that. 

Inverting the subjects 

Bach has demonstrated his method of  inverting  fugue  subjects early  in  the 

collection:  it  happens  for  the  first  time  in  Contrapunctus  3.  It  is  a 

straightforward process  in which the tonic  is replaced by the dominant;  in the 

main Art of Fugue subject (IV in Contrapunctus 14) the second note is a fifth up, 

so  in  the  inversion  the  second  note  is  a  fifth  down,  and  so  on.  From 

Contrapunctus  5  onwards  Bach  uses  both  rectus  and  inversus  forms  of  the 

subject. Contrapunctus  11  is  a  fugue on  the  inverted  forms of  the  subjects of 

Contrapunctus 8. The scale of inversion can be expressed thus: 

184 Tovey A companion to 'The Art of Fugue' (Die Kunst der Fuge) of J. S. Bach, page 45-46

  145

I

 

 

Ex. 4.31: the standard scale of inversion 

By following this scale of inversion the inverted form of subject I (designated 

hereafter Iinv) can be established: 

 

Ex. 4.32: subject I and Iinv 

Simlarly, II is straightforward to invert. 

 

Ex. 4.33: subject II and IIinv 

In  the  case of  III, Tovey makes  a  statement  that  this  subject operates on  a 

different scale of inversion from the others.185 The scale he gives is 

 

Ex. 4.34: inversion scale for III as given by Tovey 

Presumably Tovey has been  led to give this scale because of the position  in 

which IIIinv is seen for the first time in the portion of the fugue that Bach has left 

us, at bar 213 in the alto. 

185 Ibid., page 44. He restates this position without explaining it in Tovey, D. F. and Foss, H. J. (1944) Essays in musical analysis : Chamber music London, Oxford University Press : H. Milford, page 88.

  146

222

 

Ex. 4.35: First appearance of IIIinv as given by Bach in the alto at bar 213 

But  this  is  merely  an  instance  of  IIIinv  presented  in  a  different  position 

because of  the  context at  the  time.  Its  second  (and  last) appearance  in Bach’s 

writing,  in the bass at bar 222,  is  in a different position again, but this has not 

led Tovey to say that a second (or rather third) scale of inversion is operating. 

 

Ex. 4.36: Second and final appearance of IIIinv as given by Bach in the bass at bar 222 

When Tovey goes on to give his examples, and when he uses IIIinv in his own 

working, he does not use it in either of these positions or according to the scale 

he gave  (Ex.  4.34) but  in  the  standard  inversion  resulting  from  the  inversion 

scale  shown  in  Ex.  4.31  and  used  for  all  the  other  subjects.  Respectfully,  I 

disagree with his statement about the scale of inversion used for III. In fact there 

is no reason not to use the standard inversion scale, giving the inversion of III 

as: 

 

Ex. 4.37: subject III and IIIinv 

A  further point  to note about Ex. 4.35 and 4.36  (Bach’s own uses of IIIinv)  is 

that  they are not  strict  inversions of  the whole  subject:  the  second half of  the 

original subject trails off into longer notes. But in each case this subject is being 

presented on  its own and not  in combination with any other subjects. We are 

told  in  the  Obituary  that  Bach’s  intention  was  “afterwards”  to  invert  the 

subjects “note  for note”:  the  fact  that he has not  inverted  this subject note  for 

213

  147

note  in  an  earlier part  of  the  composition does  not  necessarily mean  that  he 

would have done exactly the same thing later on. 

Subject IV inverts straightforwardly: 

 

Ex. 4.38: subject IV and IVinv 

More on subject II: Bach’s sometimes irregular resolution of suspensions 

Before moving on  to  consider how  these  inverted  subjects might  combine, 

there  is more  to be said about  II. At  the opening of  this Chapter  it was stated 

that subjects I and III are presented by Bach  in their  inverted forms as well as 

their rectus forms. But II does not appear at all in an inversus form during the 

course of the extant portion of Contrapunctus 14. Since II contains suspensions, 

which  by  definition  resolve  downwards,  it  follows  that  IIinv  contains 

suspensions  that  appear  to  resolve  upwards.  This  may  present  a  problem. 

Tovey partially addresses this point by giving as an example a short extract of 

II: 

 

Of these notes he says that they 

…show every sign of being constructed for inverse-contrary counterpoint. Melodically they are artificial, though construable enough, and their evident purpose is to make accented discords that resolve both ways, downwards within one crotchet in the original position, downwards at the minim when inverted.186

A reference  to Ex. 4.33 above will show  that  this  is a convincing argument, 

and  that  in  IIinv  the  minim  D  can  be  persuasively  argued  to  resolve 

ornamentally onto the next minim C  by way of those intervening quavers and 

186 Tovey A companion to 'The Art of Fugue' (Die Kunst der Fuge) of J. S. Bach, page 46

  148

semiquavers.  Unfortunately,  however,  Tovey  has  chosen  to  stop  his  little 

illustrative extract (above) at the minim B  and has not shown the continuation 

from it: a further look at Ex. 4.33 will show that the minim C  in IIinv (the result 

of inverting the minim B  in II) cannot by any stretch of the imagination be said 

to  resolve  downwards  at  the minim  or  any  other  interval  of  time.  The  only 

conclusion therefore  is that this particular note resolves upwards. Since that  is 

irregular, it is necessary to see if Bach has set any precedents elsewhere for this 

kind  of  resolution  of  a  suspension:  it  would  be  unfortunate  if  a  proposed 

inverted combination were to be invalidated by this kind of technicality. 

The ‘bible’ of musical grammar in Bach’s day, unsurpassed as a textbook for 

the teaching of strict counterpoint, was Gradus ad Parnassum by Johann Joseph 

Fux (1660‐1741). It contains an interesting passage: 

Joseph.― Before I begin the exercises may I ask, if you don’t mind, whether the retardation or ligature into the dissonance is also to be used in ascending?

Aloys.― You raise a problem which is harder to untangle than the Gordian knot. I shall deal with it later because, being still at the threshold of the art, you would not now wholly understand it. […] For the time being, as your teacher I advise you to resolve all dissonances down to the next consonance.187

This  seems  to  suggest  that  there  are  some  circumstances  in  which 

suspensions may resolve upwards, although it comes from a chapter dedicated 

specifically  to  Fourth  Species  Counterpoint  after  the  manner  of  Palestrina. 

Further,  it  is known  that although Bach himself owned a copy of Fux, he did 

not like to use it for teaching: a letter from C P E Bach to Forkel of January 13 

1775 says “In composition he started his pupils right in with what was practical, 

and  omitted  all  the  dry  species  of  counterpoint  that  are  given  in  Fux  and 

187 Fux, J. J. and Mann, A. (1944) Steps to Parnassus : the study of counterpoint London, Dent, page 59-60

  149

others.”188 It could be argued, therefore, that not much can be deduced from the 

fact of Bach’s ownership of Fux’s book. 

In Dr Ebenezer Prout’s exhaustive Harmony: Its Theory and Practice we read: 

Some theorists call these [sc. suspensions resolving upwards] “Retardations”; but there seems no reason for giving a different name to them. By far the most common upward suspension is 7-8 – the suspension of the root of the chord by the note below it.189

This kind of upwardly‐resolving suspension – which Prout calls “by far the 

most common” – is precisely what can be seen in bar 6 of Ex. 4.33 above. 

In her book J S Bach: The Modern Composer, Augusta Rubin states: 

Inasmuch as the Retardation creates an accented ascending discord, that is to say a suspension effect that resolves upward, it is alien to the spirit and tradition of contrapuntal movement. Thus, as may be expected, it is very rarely encountered…190

Note that Rubin says “rarely encountered” – not “never encountered”. 

Other  modern  theorists  have  little  or  nothing  to  say  on  the  subject  of 

irregular  resolution  of  suspensions. Aldwell  and  Schachter,  for  example,  say 

only “other upward‐resolving suspensions are less common” – again it should 

be noted that the existence of such suspensions is not denied.191 Other theorists 

such  as  Forte192  and  Lester193  are  silent  on  this  subject.  Even  a  book  totally 

devoted to the theory of suspensions has nothing to say on the matter.194 

Nevertheless it is clear that Bach is prepared to overlook the strict rules from 

time  to  time. Having  said  that,  it  is also  important  to  take a  long view of  the 

188 David, Mendel, et al., page 399 189 Prout, E. (1903) Harmony : its theory and practice London, Augener, 16th edition, page 152, paragraph 357 190 Rubin, op. cit. 191 Aldwell, E. and Schachter, C. (1989) Harmony and voice leading San Diego, Harcourt Brace Jovanovich 192 Forte, A. (1962) Tonal harmony in concept and practice New York, Holt Rinehart and Winston 193 Lester, J. (1982) Harmony in tonal music New York, Knopf : Distributed by Random House 194 Komar, A. J. (1971) Theory of suspensions; a study of metrical and pitch relations in tonal music Princeton, N.J., Princeton University Press

  150

resolution of dissonances and not to look too narrowly at a particular example. 

This is a trap into which Prout has fallen, for example, by quoting bar 9 of the 

Prelude No 1 from the Well‐Tempered Clavier, Book Two: 

Ex. 4.39: WTC, Book 2, Prelude 1, bars 9 ‐ 10 

The  tied  G   (here marked  *)  is  described  as  a  retardation  by  Prout,  and 

indeed at first sight that is exactly what it appears to be. But Prout has missed 

the point that by ‘resolving’ upward onto the A, the G  has ‘resolved’ to another 

dissonance  (the A being dissonant with  the bass E), which ultimately resolves 

correctly  on  the  second  beat  of  the  next  bar;  functionally,  it  is  merely  a 

rhythmically‐displaced  dissonant    as  a  neighbour  chord  to  V,  and  this  is 

probably how more modern theorists like Forte or Lester would read it. 

Similarly  Ex.  4.40,  an  example  given  by Rubin, might  be  interpreted  as  a 

retardation  (a suspension resolving upwards). The suspension of  the  tenor on 

the third beat certainly produces a striking clash with the alto: but in reality it is 

only an ornamental resolution of the tenor C  (second beat), resolving correctly 

downwards to the B at the end of the bar. 

In Ex. 4.41, another example given by Prout, the E (bass, second beat of bar 2) 

appears to resolve upward to the F (second half of second beat of bar 2) by way 

of  an  ornamental G. One might  also  alternatively  interpret  the  resolution  as 

taking  place  a whole minim  after  the  suspension,  i.e.  on  the  third  beat.  It  is 

Ex. 4.40: Verlieh’ uns Frieden gnädiglich (Riemenschneider No. 91) 

9

*

&c.

  151

certainly  true  that  in both of  these places a complete consonance  is arrived at, 

which  may  suggest  that  the  resolution  of  the  suspension  has  taken  place; 

however  an  alternative  analysis  of  this  passage  is  that  the  bass  F  resolves 

correctly downwards to D on the fourth beat of the bar (with a voice‐exchange 

with the soprano as shown), or on the first beat of the next bar. 

Ex. 4.42 is an interesting case: one would naturally expect the suspended F to 

fall to E. Although the ear may hear a ‘correct’ resolution that ultimately arrives 

on E on the third beat (especially on an instrument like the harpsichord where 

the differentiation of the voice‐leading is not easy to make clear), it is important 

to  notice  that  aural  resolution  of  the  suspension  is  actually  supplied  by  a 

different voice from the voice which has been suspended.  

These  examples  therefore  can  be  seen  to  be  at  best  ambiguous.  But  a 

fascinating  new  article  by Ewald Demeyere  of Antwerp  (April  2006)  focuses 

specifically  on  Bach’s  “Expanding  the  Limits”  in  The  Art  of  Fugue  in  his 

treatment  of  dissonances,  ’mistakes’  against  voice  leading,  chromaticism, 

technical  aspects  of  fugal  writing,  sequences  and  linear  intervallic  patterns, 

rhythmic motion and  rhythm, and metre, all as compared  to  the expectations 

raised by a strict understanding of contrapuntal ‘rules’ as expressed by Fux and 

Ex. 4.41: WTC, Book 2, Prelude 11 

Ex. 4.42: WTC, Book 2, Prelude 11 bars 15‐16 

12

*

  152

similar  treatises.195  The  author  says  that  “Bach,  in  his Art  of  Fugue,  pushed 

every  textbook rule and concept  to  the  limit.”  It  is “quickly evident  that Bach 

was not too concerned with existing rules (certainly not when breaking them!)”. 

The whole of M. Demeyere’s article  is  learned,  thorough and compelling, but 

for the purposes of the present discussion I have selected only one small part of 

it  to  illustrate  a most  irregular  –  not  to  say  unclassifiable  –  resolution  of  a 

suspension. 

Bach’s relaxed attitude towards rules does not limit itself to (hidden) successions of fifths and octaves (as well as to the ottava battuta), but also shows itself in, at times, highly irregular resolutions of dissonants (seventh and fourth) and his chord choice. The most striking liberty that Bach allows himself is a dissonant ligatura (seventh) in the soprano, which does not resolve stepwise and downwards, but which makes an ‘incorrect’ ascending leap of a fourth. I have found two examples of this in the Art of Fugue: Contrapunctus 10, bar 21 and Contrapunctus 14 bar 102.196

The  example  from Contrapunctus  14  bar  102  is  explained  as  acquiring  its 

resolution  three  bars  later;  but  the  suspension  in  Contrapunctus  10,  bar  21 

defies analysis by any conventional textbook rule. It is given here in Ex. 4.43: 

In  fact  this  suspended A  (soprano, bar 21 beat 1) does not  resolve at all:  it 

simply stops! The next soprano note, D, is not the resolution of the suspended A 

but rather  is a harmony note  in  the  ‘wrong’ register, perhaps resulting from a 

register  shift of  the  tenor and bass  from  the  first beat of bar 21  to  the  second 

beat. Exactly this kind of register shift will appear in my solution to the inverted 

quadruple combination at the end of this chapter.  

195 Demeyere, op. cit. 196 Ibid., in the section “Mistakes against voice leading” (My Ex. 4.43 is from Demeyere’s Ex. 16.)

Ex. 4.43: Contrapunctus 10, bars 20‐22 

20

  153

Demeyere also notes the soprano A in bar 7 of Contrapunctus 1 as resolving 

“incorrectly” – it should fall to a G  – a passage that is repeated in the tenor and 

bass in bar 15. 

These  last  examples  in particular  show  clearly how Bach was prepared  to 

push expectations around suspensions to their  limits: a point that will become 

relevant in the subsequent discussion of the inverted quadruple combination. 

Combining the four inverted subjects 

My  first  attempt  to  combine  the  four  rectus  subjects  (Ex.  4.13) was  in  the 

order  I‐II‐III‐IV,  so  the  order  Iinv‐IIinv‐IIIinv‐IVinv  seems  a  logical  place  to  start 

when attempting an inversus quadruple combination. Perhaps not surprisingly, 

difficulties are immediately encountered. 

 

Ex. 4.44: Iinv‐IIinv‐IIIinv‐IVinv 

There are consecutive fifths in bar 3 between alto and bass, and again in bar 6 

between alto and tenor. From this we may deduce that IIinv may never be above 

IVinv, because the same problem will recur each time. Similarly, because of the 

consecutives  in  bar  6,  IIinv may  never  be  above  IIIinv.  It would  be  tedious  to 

present  every possible permutation of  the  combinations;  suffice  it  to  say  that 

nearly all of  them present problems of one kind or another, almost always  in 

the  form  of  consecutives  and/or  congested  parts.  For  the  purposes  of  this 

discussion we may bypass the lengthy process of elimination by trial and error 

and  move  directly  to  one  straightforward  combination  that  on  the  surface 

  154

appears  to  be  successful  without  breaching  any  of  the  strict  parameters:       

IVinv‐IIIinv‐Iinv‐IIinv. 

 

Ex. 4.45: IVinv‐IIIinv‐Iinv‐IIinv 

This appears to breach no rules, and it is (just) playable by two hands on one 

keyboard. As before, this shows only the combination of the subjects: certainly 

the soprano at the end , as well as possibly the alto and tenor at the beginning, 

would need  to be filled  in with  free material. However, although  it  ‘works’  in 

the  strict  sense  of  musical  grammar,  it  is  not  musically  convincing  or 

satisfactory. Subject IIinv seems ill at ease as a bass, and in particular the second 

note of IIinv in bar 3 is awkward. Also, the major seventh between alto and tenor 

in bar 3 seems harsh and crude; where the conjunction of these two subjects in 

the rectus version, producing a minor second,  is  tolerable,  this  interval  is not. 

The tenor D might in this case also be analysed as a suspension against the alto 

C , but if that it what it is then it resolves upwards; although I have shown that 

such a procedure is not unprecedented in Bach, in this particular case it is still 

unsatisfactory. A  further comment  is  that  the  texture  is muddy with  the bass 

hovering  low  in  its  range:  if  a  decision  to  use  this  combination were  taken, 

however, during  the course of a  fugue  it would not necessarily appear  in  this 

key. If it were transposed up into G minor, for example, the muddiness would 

disappear.  

  155

263

As a second example of this kind of combination, we may cite the first of the 

two inversus quadruple combinations used by Tovey, this one at bar 263 of his 

completion. 

 

Ex. 4.46: Tovey’s first inverted combination 

It is clear that in his attempt to make this combination work, Tovey has got 

himself  into  some difficulty. The  first  thing  to notice  is  the  recurrence  of his 

altered  rhythm  for  IVinv,  in  the  alto  in  bar  3,  even  though  in  this  case  no 

consecutives would have  resulted  from using  the unaltered version.  IIinv  as  a 

bass is just as awkward as it was in Ex. 4.45, and in bar 5 it can be seen that he 

has made what  should  be  a C   into  a C ,  presumably  because  his  alto  line, 

coinciding with the tenor B , has nowhere else to go but to the C  (it cannot go 

to an A because  that would  create  consecutive octaves with  the  tenor, and  it 

cannot  go  to  a C   because  that would  be  an  augmented  second;  so  his  only 

option was to alter the bass). In bar 6 he has also made the fourth bass note an 

F   instead of F . Lastly, he has altered the rhythm of the first note of III  in the 

tenor (bar 3) to avoid the harsh clash between the tenor C  and the soprano D. 

So in this short passage there are four examples of Tovey choosing to ignore the 

Obituary’s information that the subjects are to be inverted “note for note”. 

Michael  Ferguson  comments  on  straightforward  inverted  combinations  of 

the subjects: 

An inversion of all four themes seems required by statements made by those who had knowledge of Bach’s intentions. And yet, if inverted as is typically done (in the minor mode), this has an unlovely effect that

  156

no-one has ever believed Bach would approve for use in his greatest fugue.197

Zoltán Göncz has a similar opinion that he expresses in his two articles cited 

earlier: 

A lot of scholars understand the words of Mizler’s obituary literally and include the inversion of all four subjects later on. These combinations make a strange impression and lack the necessary force of conviction. Besides, the various completions frequently contain inadequate elements of style, forced stretto, inconsistencies of form.198

But their success is doubtful. These combinations sound unfamiliar and they do not carry enough conviction either.199

Though  phrases  like  “an  unlovely  effect”,  “a  strange  impression”  and 

“sound  unfamiliar”  are  not  the  words  of  technical  musical  analysis,  it  is 

nevertheless  hard  to  disagree  with  them.  In  order  to  achieve  a  successful 

combination,  it  is  going  to  be  necessary  to  look  beyond  straightforward 

layerings  of  the  subjects  and  to  deal  with  the  counterpoint  in  a  more 

sophisticated manner. 

Tovey’s  second  inverted combination provides us with  the  first clue of  the 

way forward: he presents it at bar 280 of his completion in the order IIIinv‐ IIinv‐ 

IVinv‐ Iinv. Ex. 4.47 shows the skeleton of that layering. 

 

Ex. 4.47: IIIinv‐ IIinv‐ IVinv‐ Iinv 

197 Ferguson "Letters to the Editor", op. cit. 198 Göncz "Reconstruction of the Final Contrapunctus of The Art of Fugue", page 56-57 199 Göncz "The Permutational Matrix in J S Bach's Art of Fugue: The Last Fugue Finished?", page 110

  157

Leaving  aside  for  a  moment  the  fact  that  this  combination  contains 

consecutives  in  bar  3,  we  can  use  this  example  to  demonstrate  a  further 

remarkable contrapuntal property of subject I. Earlier I showed that in its rectus 

form  it  is  capable  of  being  combined with  the  other  subjects  not  only  at  the 

octave  but  also  in double  counterpoint  at  the  twelfth, when  it  is  in  any part 

except  the bass. We now discover  that  the bass of Ex. 4.47 can be  transposed 

down a fifth while the other voices retain their current positions. In its inversus 

form, subject I works not only at the octave but also appears to work in double 

counterpoint at the twelfth. 

 

Ex. 4.48: IIIinv‐ IIinv‐ IVinv‐ Iinv‐12 

Bach’s  skill  in designing  such contrapuntal wizardry  is awe‐inspiring. At a 

stroke, the dissonance that we have mentioned before, in the previous example 

between soprano and bass in bar 3, has vanished. (Admittedly the consecutives 

are  still  present,  but  this  combination  is  only  being  used  as  a  temporary 

example.) A more serious problem has now presented itself, however, and that 

is  the presence of  the soprano B   in bar 4 sounding against  the bass B .  In his 

final working of  this  combination, Tovey has no qualms about  changing  that 

soprano B  into B , to make it fit with the bass. 

  158

280

 

Ex. 4.49: Tovey’s second inversus combination 

This is a great improvement on Tovey’s first combination, but he has had to 

alter the notes of III and he has once again used his syncopated rhythm for IV – 

necessary in this case to avoid consecutives. Once again, we are not able to say 

that this is a “note for note” inversion of the subjects. 

Before leaving this particular area of discussion we should consider a variant 

of this layering: in Ex. 4.47 we had IIIinv‐ IIinv‐ IVinv‐ Iinv, and in Ex. 4.48 we saw 

how this (almost) works with Iinv in counterpoint at the twelfth. Ex. 4.49 showed 

how  Tovey  adapted  this  layering  in  his  working.  Ex.  4.50  shows  the 

combination IVinv‐IIIinv‐ IIinv‐ Iinv. 

 

Ex. 4.50: IVinv‐IIIinv‐ IIinv‐ Iinv 

This arrangement has  the considerable merit of containing no consecutives. 

But  the  first  beat  of  bar  3, with  subject  I  in  the  bass,  results  in  a weak  and 

unacceptable   chord. Also,  tenor and bass are very congested. However,  the 

discovery that subject Iinv can be transposed removes these difficulties, as shown 

in Ex. 4.51. 

  159

 

Ex. 4.51: IVinv‐IIIinv‐ IIinv‐ Iin‐12 

The  problems  of  the weak    chord  and  the  congestion  have  disappeared, 

only to be replaced by the same problem that was encountered in Ex. 4.48: the 

false  relation now between alto and bass  in bar 4,  that can only be  ‘fixed’ by 

altering the third note of III. The significance of Ex. 4.51 will become apparent at 

the  end  of  this  discussion:  it  is  the  one  layering  that  holds  the  key  to  a 

successful  inverted  quadruple  combination.  But  for  now,  we  are  still  in  a 

position where we cannot say that we have inverted the subjects note for note. 

Perhaps therefore it is time to revisit the wording of the Obituary. 

Why would the authors of the Obituary – one of whom was Bach’s eldest son 

– have used the phrase “inverted note for note in all four voices” if they did not 

mean  exactly  that? That Bach was  involved  in  such  a  complex  and  elaborate 

composition  over  a period  of  several years must  surely have been  a  topic  of 

domestic  conversation  in  the  Bach  household  in  Leipzig.  No  work  of  this 

contrapuntal complexity had been attempted before, and it is unthinkable that 

Bach would  not  have  discussed  his  plans  for  this  piece with  his  sons.  The 

Obituary was written within months of Bach’s death while such matters would 

have been  fresh  in  the authors’ minds. They would hardly have  imagined or 

invented  such  a  statement  if  Bach  himself  had  not  told  them  about  it.  The 

balance of probabilities must  surely  lie  in  favour of  this part of  the Obituary 

being correct. Therefore,  it must surely be possible  to find a way  to  invert  the 

subjects note for note. The question then becomes, what exactly does “note for 

  160

note” mean? Michael Ferguson provides the answer, and the second clue on the 

way  to  a  totally  successful  combination,  with  a  new  interpretation  of  the 

meaning of the words “note for note”. The following passage revisits and then 

continues Ferguson’s earlier quotation. 

An inversion of all four themes seems required by statements made by those who had knowledge of Bach’s intentions. And yet, if inverted as is typically done (in the minor mode), this has an unlovely effect that no-one has ever believed Bach would approve for use in his greatest fugue. However, if strictly inverted – semitone for semitone, something no-one before me had attempted – the mode changes to the major, and acquires that darkly brooding quality that only Bach could achieve while writing in a major key. For this discovery, which at a stroke decisively confirms Nottebohm’s hypotheses about the inclusion of the missing main theme, as well as the inclusion of this incomplete fugue as integral to The Art of Fugue, I cheerfully claim sole credit.200

Ex.  4.52  sets  out  the  subjects  inverted  semitone  for  semitone  as  Ferguson 

suggests, rendering each one in the major mode. 

 

Ex. 4.52: The four subjects inverted semitone for semitone 

200 Ferguson "Letter to the Editor", op. cit.

  161

286

Ferguson’s  inverted  quadruple  combination  can  be  seen  at  bar  286  of  his 

completion. He has chosen  to set  it  in  the key of B  major – a very reasonable 

choice, since it is one of the keys that features already in Bach’s existing portion 

of the fugue.201 

 

Ex. 4.53: Michael Ferguson’s inverted quadruple combination 

There can be no doubt that this sounds very much more convincing than any 

of  the  inverted  combinations  we  have  seen  hitherto.  There  are  a  couple  of 

details to mention about subject II: the last (tenor) note of bar 1 is a G  where a 

strict  semitonal  inversion  from  the  original  C   (before  transposition  into  B  

major) would have  resulted  in  a B   (i.e. G   after  transposition). This minimal 

alteration is necessary to avoid introducing any sense of the minor mode that a 

G  would bring  into a B  major tonality. In bar 3,  the second note of  the  tenor 

part  should,  according  to  a  strict  inversion, be  an  octave higher; presumably 

Ferguson has put this note in the lower octave to avoid having it strike against 

the  soprano, which might disrupt  the  sense  of  line  of  subject  Iinv. With  great 

respect  to Mr Ferguson,  I  still have  to  say  that  I am  troubled by  the Toveian 

syncopation of IV (necessary here in this layering to avoid consecutives), and by 

201 For obvious reasons much of the fugue is set in D minor, with frequent passages in A minor and the subdominant key, G minor. There are also brief excursions into B major and F major. So Bach’s key structure for Contrapunctus 14 can be seen to be relatively simple: the usual tonic, dominant and subdominant relationships, with the use of major keys whose roots are a third above and below the tonic note of D minor. To put it another way, the key centres are ordered with typically Bachian symmetry around the tonic: minor keys a fifth above and below the tonic; and major keys a third above and below the tonic. Since Ferguson’s combination is in the major mode, it makes sense for him to have chosen one of these two major keys for it.

  162

the alteration to the rhythm of the first note of III to avoid the ugly clash with 

the soprano that would have resulted if it had been a minim. 

I am certain that Michael Ferguson is on the right track with his discovery of 

the  interpretation of “note for note” as “semitone for semitone”. But I want to 

achieve a combination that meets all the other strict parameters that I have set 

out  in  the  discussion  of  the  rectus  combination.  IV  should  be  in  its  original 

rhythm and I believe that it should be presented in its 14‐note form, so as to be 

consistent with  the  rectus  combinations.  I  do  not want  to  have  to  alter  the 

rhythm or pitch of any of the subjects, so that it will be possible to say truly that 

the  subjects  have  been  inverted  “note  for  note”.  It must  be  playable  by  two 

hands  on  one  keyboard,  and must  avoid  congestion,  confusing  or muddled 

voice  leading,    chords and muddiness of  texture. Finally,  I am  sure  that  the 

observation made earlier about subject  Iinv’s ability  to work  in counterpoint at 

the  twelfth  is  important:  if  Bach  has  designed  his  counterpoint  with  that 

property inherent in it, it is reasonable to suppose that he intends it to be used. 

The first task therefore is to find a way of layering the subjects in such a way 

that there are no consecutives, so that there will be no need to adjust the rhythm 

of  IV.  Such  a  layering was  encountered  in  Ex.  4.50. We may  therefore  take 

Ferguson’s subjects as he has inverted them, semitone for semitone, leaving out 

his free material, and layer them in the same way as Ex. 4.50: IVinv‐IIIinv‐IIinv‐Iinv. 

At the same time, IV can be restored to its original rhythm. 

 

Ex. 4.54: Ferguson’s inversion layered in the order IVinv‐IIIinv‐IIinv‐Iinv 

  163

With  the  subjects  layered  IVinv‐IIIinv‐IIinv‐Iinv,  a  very  neat  arrangement  and 

perhaps an obvious one (since it is the inversion of I‐II‐III‐IV, the order in which 

the  rectus  subjects  were  presented!),  the  main  Art  of  Fugue  subject  is 

appropriately  displayed with  prominence  at  the  top  of  the  texture. We may 

now bring in subject I’s capacity to work in counterpoint at the twelfth: in order 

to keep  it within  the reach of  the  fingers  it will have  to go up a  fourth, rather 

than down a fifth. At the same time, we can restore IV to its 14‐note form. 

 

Ex. 4.55: The inversion layered in the order IVinv‐IIIinv‐IIinv‐Iinv‐12, with the 14‐note form of IV 

With magnificent and thrilling precision, like an intricate piece of clockwork, 

the  false  relation  that was  formerly  encountered  (as  in Ex.  4.51) between  the 

third note of III and the fourth note of I, has disappeared. This in itself is a very 

strong  indication  that  this  is  the correct combination. These subjects now  lock 

together with, to use Tovey’s memorable phrase once again, “a correctness that 

cannot conceivably be accidental”. The false relation is not the only problem to 

have vanished,  for  the second note of subject I  (alto, bar 3) was formerly a B , 

causing an ugly  clash with  the  second note of  III  (bass, bar 3), which  is why 

Ferguson had altered the rhythm from a minim to a crotchet, just as Tovey had 

done in his first inverted combination, as seen in Ex. 4.56. With the bass in this 

new position  there  is now no  reason not  to  reinstate  the  first note of  III  to  its 

original value. Likewise,  there  is now no reason  that  the second  tenor note of 

bar 3 cannot now revert to its true position one octave higher, where it should 

be  according  to  a  strict  inversion,  since  it will  not  now  be  in  any  danger  of 

colliding disruptively with  another  voice. Having made  these  changes,  I  can 

  164

now present what  I believe  to be  the definitive solution  to  the problem of  the 

inverted quadruple combination. The subjects have  indeed been  inverted note 

for note in all four voices, in strict accordance with the wording of the Obituary. 

Tovey’s use of subject Iinv at the twelfth in the bass, and Ferguson’s switch to the 

major  mode  were  the  pointers  to  this  solution;  while  I  acknowledge  these 

important origins of my combination, it is tempting to echo Ferguson’s words: 

“for this discovery I cheerfully claim sole credit”: 

 

Ex. 4.56: The solution to the inversus quadruple combination, as proposed by Indra Hughes 

This  solution  presents  an  interesting  analytical  question  around  the 

treatment of the bass E  in bar 3, specifically the third beat, and then the bass F 

on the fourth beat. This inverted form of I (Iinv) as presented in this combination 

with  the other voices  creates what  appears  to be  a  suspension of  the bass E  

from  the  second beat of  the bar  into  the  third beat, where  the  chord  changes 

above it and the bass note remains constant. If this is indeed a suspension then 

it is one that resolves upwards rather than ‘correctly’ downwards. Earlier in this 

Chapter  I  discussed  Bach’s  irregular  treatment  of  resolutions;  Ex.  4.43  in 

particular  is  a  striking  example  of  a  suspension  whose  resolution  defies 

classification, making this bass note seem like a relatively tame infraction of the 

‘rule’  that says  that suspensions should almost always resolve downwards by 

step. 

A second, admittedly rather  forced, analysis of  this note could  identify  this 

bass E  as a pedal:  in  Joel Lester’s harmony  textbook a pedal  is defined as “a 

  165

3

E:

V4

2

V7

I

&c.

note, often  in  the bass,  sustained  through one or more  chords. Pedals do not 

resolve during  the  chord  to which  they are nonharmonic.”202 The bass  line  in 

bar 3 above matches this description precisely, even though it is only sustained 

through  two chords,  thus providing a possible way  to sidestep  the analysis of 

that note as an irregularly‐treated suspension. 

A  third and much more secure analysis  is simply  to consider  the harmonic 

framework and the voice‐leading  in bar 3 of the extract. Taking the  local tonic 

as B , the first two beats of bar 3 are obviously a subdominant chord (chord IV). 

On the third beat, the chord changes to a dominant seventh  in third  inversion 

(V ),  the bass remaining constant  to provide  the seventh of  the chord. On  the 

fourth beat of the bar, as the bass moves up to F, all that has happened is that 

chord V  is re‐stated in a different position (i.e. root position, V53), the seventh 

of  the chord  (E ) being  transferred  through a voice‐exchange  from  the bass  to 

the  soprano, where  it  resolves  ‘correctly’  in a  conventional manner. Bach has 

used  exactly  this  procedure  elsewhere,  namely  in  the  Sinfonia  (Three‐part 

Invention) No 12  in A BWV 778:  in bar 4 of  this Sinfonia  the  first beat  is V  

(with the seventh of the chord obviously in the bass) and the second beat is V53, 

the seventh of the chord having been exchanged to the alto. This passage is also 

interesting because, considering  the direction of  the bass  line  from  the end of 

bar 3, Bach has created a passing   chord which one would normally expect to 

move downwards; here, though it moves upwards. 

 

Ex. 4.57: Three‐part Invention No 12, bars 3 and 4 

202 Lester, op. cit., volume 1, page 79

  166

This procedure  is similar to the unusual register‐shift that was encountered 

and  discussed  in Ex.  4.43  above  (page  151);  though  that  is  not  a  strict  voice 

exchange,  the  similarity of  the way  the notes  ‘shuttle’ within a  chord  in both 

examples is striking. 

It is a relatively straightforward matter to supply conjectural free material to 

‘fill in the gaps’ around the contrapuntal framework of Ex. 4.56. As we saw with 

the rectus combination,  the consecutive  fourths  in  the  first bar seem bare and 

need to be dressed. The first beat of bar 2 cannot stand as it is, with the effect of 

a 6‐4 chord; the alto will need to supply a D (any doubts about the doubling of 

the third in a first inversion chord can be dispelled by reference to any number 

of examples, such as bar 45 of either version of Contrapunctus 12). The second 

half of bar 5 needs to be filled in by rhythmic movement which obviously must 

come from the soprano. Here the introduction of an E  gives the chord a minor 

seventh  flavour, helping  to prevent  too  foursquare  a  feeling  to  the harmony, 

and  the  consecutive  dissonances  in  the  last  full  bar  are  in  accordance with 

Mattheson’s opinions mentioned earlier.  I have chosen  to send  the soprano  to 

an A  on the last note: a straight triad seems too plain and final, even though in 

context the music would quickly move on. The slide to a dominant seventh is a 

bold move, one I believe not out of keeping with the dramatic heat (or “searing 

passion”,  as  Ferguson  puts  it  in  the  Preface  to  his  completion203)  of  this 

extraordinary  piece  of  music.  Here  then  in  Ex.  4.58  is  my  solution  to  the 

inverted quadruple combination with a suggested, conjectural  filling‐in of  the 

non‐thematic material. 

203 Ferguson Contrapunctus XIV, A Completion of J S Bach's Unfinished Quadruple Fugue from The Art of Fugue, newly edited for organ according to Bach's autograph manuscript and the 1751 original edition

  167

 

Ex. 4.58: The combination complete with suggested non‐thematic material 

 

An outline of a possible completion 

This thesis attempts to throw some new light on the end of The Art of Fugue. I 

have  suggested  that  there  is  evidence  that  Bach  left  the  work  unfinished 

deliberately as an invitation to posterity to complete the work, and that he may 

have  left  some  information  about  some  of  the  content  of  any  completion, 

including  the number of  ‘missing’ bars.  In  this Chapter  I have  suggested  that 

solutions to both the rectus and inversus quadruple combinations can be found 

that  are  consistent with  the  information  provided  by  the  historical  sources, 

including  the  Obituary,  Forkel’s  Biography  and  the  Prefaces.  Putting  these 

theories  together,  I  believe  that  it  is  now  possible  to  make  convincing 

predictions about what some of the essential  ‘building blocks’ of a completion 

might be; but since I make no claim to be a composer myself I do not include a 

full  attempt  at  a  completion  of  my  own,  confining  myself  rather  to  a 

consideration of how we might use  the  information and musical material  that 

Bach himself has left us. The following description and outline score provide a 

sketch of the possibilities that arise from the discussions in the foregoing pages. 

It should be stressed, however,  that much of  the detail of what  follows  is not 

intended  to be set  in stone: questions such as  the key  in which a combination 

might  be  set,  or  the  exact  bar  number  in  which  a  subject  or  combination 

appears,  are  of  necessity  subjective  opinions  and  might  well  be  adjusted 

  168

depending  on  the  free  episodic  material  that  a  composer  attempting  a 

completion might construct around them. The conclusions I have drawn in this 

thesis suggest an outline of a completion that might look like this: 

Bach’s last written bar is bar 239. Evidence suggests that a further 47 bars should be added. Bars 239-241: episode Bars 242-248: a second permutation of the triple combination of

subjects I, II and III. Bach’s first such combination (bars 233-239) was in the layering II-III-I so this second combination might be in a different layering. This combination would conclude the third section of Contrapunctus 14. See pages 87-88.

Bar 249: start of section 4 Bars 249-252: statement of IV, most likely in D minor in the

soprano, perhaps in immediate combination and/or stretto with one or more other subjects. See pages 120-121.

Bars 254-258: answer (IV likely in the bass or alto - see page 121).

Bars 259-265: First rectus quadruple combination (II-IV-III-I), perhaps in A minor. See Ex. 4.28, page 140.

Bars 265-266: episode modulating to B flat Bars 267-273: Inversus quadruple combination (IV-III-II-I),

perhaps in B flat major. See Ex. 4.58, page 166. Bar 274: episode modulating to D minor Bars 275-281: Second rectus quadruple combination

(II-III-IV-I) in D minor. See Ex. 4.30, page 141. Bars 282-286: Final statement of IV, likely in the soprano,

perhaps over a tonic pedal; Tierce de Picardie.

The  following  score  (overleaf)  shows  an  outline  of  the  skeleton  of  these 

possible musical events, without including any of the free episodic material. 

 

239 240 241 242 243 244

Bach's last bar

A second triple combination: I-III-II

245 246 247 248 249 250

Start of section 4:statement of IV

251 252 253 254 255 256

Possible combination with III

Answer

257 258 259 260 261 262

Quadruple rectuscombination

169

263 264 265 266 267 268

Quadruple inversuscombination

269 270 271 272 273 274

275 276 277 278 279

Quadruple rectuscombination

280 281 282 283 284 285 286

Final statement ofIV over tonic pedal

170

  171

CONCLUSIONS  

The  apparently  unfinished  ending  of  Contrapunctus  14  presents  the 

performer  or  listener  with  an  unsettling  and  frustrating  experience,  an 

impression  that  is  even  more  graphically  heightened  in  performances  or 

recordings that break off at bar 239 without any attempt to complete the music 

or round it off in any way. The emotive effect of this moment is all the greater 

given the widely held belief that these were the last notes that Bach wrote and 

that  they  somehow  capture  and depict  the moment  of  the  composer’s death. 

The knowledge  that Bach was a highly methodical and  logical composer, one 

who was used to working to tight deadlines, and not a person who was lazy or 

disorganized, makes  the suggestion  that  the  reason  the music  is unfinished  is 

because he died, or was too ill to complete it, seem very plausible: surely Bach 

would have completed this monumental work if he had been able. It is hardly 

surprising  that  the  literature  is  in  universal  agreement  on  this  position,  a 

position  stated  in  Bach’s  own  Obituary  and  subsequently  perpetuated  in 

successive  books,  journal  articles  and  recording  sleeve  notes.  To  suggest  an 

alternative hypothesis seems almost heretical. 

Nevertheless,  this  thesis  springs  from  an  attempt  to  revisit  the  available 

evidence,  based  on  my  conviction  that  the  conventional  statements  and 

interpretations of the evidence are flawed or misleading. The starting point was 

the observation of the fact that Bach’s last written bar is bar 239, a number that 

gives the total 14, a number of undisputed significance to the composer and one 

which  appears  so many  times  during  the  course  of  The Art  of  Fugue  that  its 

appearance  in this  last bar seemed more  likely than not to be deliberate. Since 

Bach has used numbers in other places in his music subtly to draw attention to 

something  that may  not  immediately  be  apparent  to  the  casual  observer,  it 

seemed possible that he was doing the same here in this last bar. 

  172

The  very  striking  differences  of  appearance  between  the  last  page  of  the 

manuscript and the first four pages also seem to demand reassessment. The fact 

that eminent scholars are not in agreement about what category of manuscript 

the autograph  is,  together with  the many other anomalies and  inconsistencies 

that  I  have  detailed  in Chapter  2,  cumulatively  suggest  that  previously  held 

assumptions about  the unfinished ending of  the music  cannot be  justified.  In 

particular, Professor Christoph Wolff’s well known ‘fragment x’ theory, highly 

plausible  though  it  first  appears  to  be,  does  not  seem  to  withstand  logical 

analysis. In the light of my presentation of the known chronology of Bach’s last 

months, which shows that Bach had a considerable amount of time and health 

in which the music could have been completed, the suggestion that Bach chose 

not to continue the music on that page of manuscript seems more plausible than 

the  suggestion  that  he  died  over  it  or  that  a  subsequent  page was  lost. My 

hypothesis is first, that Bach has left the end of the work open deliberately, with 

an  invitation  to posterity  to work out  the completion, rather  in  the manner of 

the improvisatory tests described by his son; and second, that he has encoded – 

perhaps  capriciously  and  certainly  enigmatically  –  a  number  of  clues  in  his 

manuscript to indicate to posterity that that was his intention. 

In  the  second  half  of  the  thesis  I  propose  that  further  hints  or  clues  are 

embedded  in  the manuscript,  clues  that  supply  information  about  how  one 

might  go  about  completing  the  music  in  some  accordance  with  Bach’s 

intentions. The question of how much music is needed to complete the work is 

one of the most important things that a person attempting a completion needs 

to have answered;  in Chapter 3 my  claim  is  that Bach has given us  the exact 

number of bars needed (47) and that that number is strikingly corroborated on a 

number of levels, not only by the precise architectural proportions of the music 

but also by markings at the end of the score, on which I believe I am the first to 

comment. 

  173

In the final Chapter I turn to the question of some of the musical content of a 

proposed completion, suggesting that the statements in the Obituary and other 

sources, contrary to the opinions of some writers, are able to be reconciled with 

the existing counterpoint. In particular, the words “inverted note for note” are 

able to be  interpreted  literally and, building on  the work of Michael Ferguson 

and Donald Tovey, my proposal is that Bach has designed his counterpoint so 

cleverly  that  only one  inverted quadruple  combination  is possible within  the 

very strict parameters that can be seen to apply throughout the whole work. 

An attempt at a full completion is outside the scope of this thesis, but I have 

given  an  outline  of  the main  contrapuntal  events  as  they might  appear  in  a 

completion.  I  share Michael  Ferguson’s  view  that  Bach would  have  actively 

wanted  people  to  attempt  their  own  completions,  and  that  he  would  have 

relished  the knowledge  that  students and performers were working out  their 

own  endings.  No  one  completion  can  be  said  to  be  completely  ‘right’  or 

‘wrong’, and  in particular  the  free episodic material  is necessarily open  to  the 

individual  and  subjective  ideas  of  each  person.  But  I  believe  that  certain 

fundamental  ‘building  blocks’  of  the musical  content  of  the  ‘missing’  bars  – 

specifically  the  rectus  and  inversus  quadruple  combinations  –  will  be  an 

essential component of any completion; I believe that with my proposals about 

these  combinations,  together  with  the  evidence  I  have  presented  about  the 

intended length of the music, we may be a step closer to a fuller understanding 

of Bach’s intentions. 

      

Indra Hughes Auckland, New Zealand 

20 June 2006 

  174

APPENDIX: FACSIMILE OF MUS. MS. P200, BEILAGE 3 

 

 

(the autograph manuscript of  

Contrapunctus 14)  

 

The  original  manuscript  is  held  at  the  Staatsbibliothek  in  Berlin.  The 

Staatsbibliothek does not permit the taking of photographs of manuscripts, but 

I am grateful to the library staff for allowing me to take copies of the microfilms 

of  the manuscript.  The  facsimile  on  the  following  pages  is  taken  from  those 

microfilm  copies:  the  quality  of  the  reproduction  is  not  high,  but  it  is  high 

enough  to  enable  the  reader  to  see  the detail  of Bach’s  handwriting  and  the 

changes that he made to his score.  

 175

 

 176

 177

 178

 179

  180

BIBLIOGRAPHY 

 Aldwell, E. and Schachter, C. (1989) Harmony and voice leading San Diego, 

Harcourt Brace Jovanovich  Bagnall, A., Baker, T., et al. (1975) ʺSeminar Report: Bachʹs ʺArt of Fugueʺ: An 

Examination of the Sourcesʺ Current Musicology 19: 47‐77  Bergel, E. (1985) Bachs letzte Fuge: die ʹKunst der Fugeʹ ‐ ein zyklisches Werk Bonn  Bertalot, J. (2000) ʺSpirituality and symbolism in the music of J S Bach Iʺ 

Organistsʹ Review 86(3): 222‐225  Bertalot, J. (2000) ʺSpirituality and Symbolism in the music of J S Bach IIʺ 

Organistsʹ Review 86(4): 331‐336  Bertalot, J. (2001) ʺLetter to the editorʺ Organistsʹ Review 87(1)  Bitsch, M. (1976) ʺMÉLANGES: Deux canons énigmatiques de J. S. Bachʺ Revue 

de Musicologie 62(2): 281  Boyd, M. (1967) Bachʹs instrumental counterpoint London, Barrie and Jenkins  Busoni, F. (1912) Fantasia Contrappuntistica New York, Dover Publications  Butler, G. (1983) ʺOrdering Problems in J S Bachʹs ʹArt of Fugueʹ Resolvedʺ The 

Musical Quarterly 69(1): 44  Butt, J. (1990) Bach interpretation : articulation marks in primary sources of J.S.Bach 

Cambridge, Cambridge University Press  Butt, J. (1991) Bach, Mass in B minor Cambridge ; New York, Cambridge 

University Press  Casella, A. (1964) The evolution of music throughout the history of the perfect cadence 

London, Chester  Chafe, E. T. (1991) Tonal allegory in the vocal music of J. S. Bach Berkeley, 

University of California Press  Chafe, E. T. (2000) Analyzing Bach cantatas New York, Oxford University Press 

  181

 Chailley, J. (1971) Lʹart de la fugue de J.‐S. Bach; âetude critique des sources, remise 

en ordre du plan, analyse de lʹoeuvre Paris, A. Leduc  Corten, W. (1988) ʺLa dernière Fugue: piece inachevée ou ouverture sur 

lʹinfini?ʺ Analyse musicale 11: 61‐65  Corten, W. (1988) ʺLʹart de la Fugue de J S Bach: un plan a ʺde‐chiffrerʺ?ʺ 

Analyse musicale 1988(13): 75‐79  Currie, R. N. (1973) ʺCyclic unity in Bachʹs Sechs Chorale: a new look at the 

Chüblers [sic], Part Iʺ Bach (Quarterly Journal of the Riemenschneider Bach Institute) 4(1): 26‐38 

 Currie, R. N. (1973) ʺCyclic unity in Bachʹs Sechs Chorale: a new look at the 

Chüblers [sic], Part II.ʺ Bach (Quarterly Journal of the Riemenschneider Bach Institute) 4(2): 25‐39 

 Dadelsen, G. V. (1958) ʺ Beiträge zur Chronologie der Werke Johann Sebastian 

Bachsʺ Tübinger Bach‐Studien 4‐5  David, H. T. and Mendel, A. (1966) The Bach reader : a life of Johann Sebastian Bach 

in letters and documents London, Dent  David, H. T., Mendel, A., et al. (1998) The new Bach reader : a life of Johann 

Sebastian Bach in letters and documents New York, W.W. Norton  Demeyere, E. (2006) ʺThe Art of Fugue: Expanding the Limits!ʺ 

<http://www.bach‐cantatas.com/Articles/AOF‐Demeyere.htm> (website): accessed 12 May 2006 

 Dickinson, A. E. F. (1956) Bachʹs fugal works, with an account of fugue before and 

after Bach London, I. Pitman  Drabkin, W. Invertible Counterpoint 

<http://www.grovemusic.com.ezproxy.auckland.ac.nz>, (web site)  Dreyfus, L. (1996) Bach and the patterns of invention Cambridge, Mass. ; London, 

Harvard University Press  Dreyfus, L. (1997) Bachian invention and its mechanisms, The Cambridge 

Companion to Bach, J. Butt, Cambridge, Cambridge University Press: 171‐192 

  182

 Emery, W. (1953) Bachʹs ornaments London, Novello  Ferguson, M. (1990) Contrapunctus XIV, A Completion of J S Bachʹs Unfinished 

Quadruple Fugue from The Art of Fugue, newly edited for organ according to Bachʹs autograph manuscript and the 1751 original edition Saint Paul, Minnesota, Holbrook & Associates 

 Ferguson, M. (2001) ʺLetter to the Editorʺ The American Organist 35(4): 18‐24  Ferguson, M. (2003) Art of Fugue (CD recording, liner notes), record label 

Birolius 1001/2, Minnesota, USA  Forkel, J. N. and Terry, C. S. (1920) Johann Sebastian Bach : his life, art, and work 

London, Constable  Forte, A. (1962) Tonal harmony in concept and practice New York, Holt Rinehart 

and Winston  Fux, J. J. and Mann, A. (1944) Steps to Parnassus : the study of counterpoint 

London, Dent  Fux, J. J. and White, H. (1992) Johann Joseph Fux and the music of the Austro‐Italian 

Baroque Aldershot, Hants, England; Brookfield, Vt., USA, Scolar Press; Ashgate Pub. Co. 

 Gaines, J. R. (2005) Evening in the Palace of Reason : Bach meets Frederick the Great 

in the age of Enlightenment London, Fourth Estate  Geiringer, K. and Geiringer, I. (1966) Johann Sebastian Bach : the culmination of an 

era New York, Oxford University Press  Göncz, Z. (1991) ʺThe Permutational Matrix in J S Bachʹs Art of Fugue: The Last 

Fugue Finished?ʺ Studia Musicologica Academiae Scientiarum Hungaricae 33(1‐4): 109‐119 

 Göncz, Z. (1996 & 1997) ʺReconstruction of the Final Contrapunctus of The Art 

of Fugueʺ International Journal of Musicology 5 & 6: (vol 5): 25‐93; (vol 6):103‐119 

 Harris, R. and Norton, M. D. (1935) ʺThe Art of Fugueʺ Musical Quarterly xxi(2): 

166‐178  

  183

Hefner, A. G. (1997‐2004) Gematria <http://www.agnosticwitch.catcara.com/divindex‐part1.htm>, (web site) 

 Heinrich, A. V. (1981) ʺA collation of the Expositions in Die Kunst der Fugeʺ 

Bach (Quarterly Journal of the Riemenschneider Bach Institute) XII(2): 28‐40  Heinrich, A. V. (1983) Bachʹs Die Kunst der Fuge: A Living Compendium of Fugal 

Procedures, with a motivic analysis of all the Fugues Washington DC, University Press of America 

 Heinrich, A. V. (1984) ʺSignificance of the original Subject and its Variants in 

Die Kunst der Fugeʺ Bach (Quarterly Journal of the Riemenschneider Bach Institute) XV(3): 24‐32 

 Heinrich, A. V. (1986) ʺCompletion of the ʹIncompleteʹ Quadruple Fugue (Die 

Kunst der Fuge)ʺ Bach (Quarterly Journal of the Riemenschneider Bach Institute) XVII(4): 30‐42 

 Herz, G. (1990) ʺYoshitake Kobayashiʹs Article, ʹOn the Chronology of the Last 

Phase of Bachʹs Work ‐ Compositions and Performances: 1736 to 1750ʹ ‐ An Analysis with Translated Portions of the Original Textʺ Bach (Quarterly Journal of the Riemenschneider Bach Institute) XXI(1): 3‐26 

 Horsley, I. (1966) Fugue : history and practice New York, London, Free Press; 

Collier‐Macmillan  Jones, R. D. P. (1997) The Keyboard Works: Bach as teacher and virtuoso, The 

Cambridge Companion to Bach, J. Butt, Cambridge, Cambridge University Press: 136‐153 

 Kellner, H. A. (1978) ʺWas Bach a Mathematician?ʺ English Harpsichord Magazine 

2: 32‐26  Kellner, H. A. (1999) ʺHow BACH (sic) Encoded His Name Into ʺDie Kunst der 

Fugeʺ Together With His Tuningʺ The Diapason 90(5:1074): 14‐15  Kellner, H. A. (2000) ʺDie Kunst der Fuga: J.S. Bachʹs Prefatory Message and 

Implicationsʺ The Diapason 91(5): 15‐17  Kellner, H. A. (2000) ʺJohann Sebastian Bach and ʹDie Kunst der Fugaʹʺ The 

Diapason 91(3:1084): 13  

  184

Kellner, H. A. (2002) ʺʺLʹArt de la Fugue, Un ʺProbleme Algebrique. Étude sur les Caractëristiques Numëriques et les Raisons de lʹInachèvement de la Dernière Oeuvre de Jean‐Sébastien Bach,ʺ by Vincent Dequevauvillerʺ (The Art of Fugue, An Algebraic Problem. Study of Numerical Characteristics and the Reasons Why the Last Work of Bach Remained Unfinished) by Vincent Dequevauviller       The American Organist 36(9): 82‐84 

 Kerman, J. (2005) The art of fugue : Bach fugues for keyboard, 1715‐1750 Berkeley, 

University of California Press  Kobayashi, Y. (1988) ʺZur Chronologie der Spätwerke Johann Sebastian Bachs. 

Kompositions‐ und Aufführungstätigkeit von 1736 bis 1750ʺ Bach‐Jahrbuch 74: 7‐72 

 Kobayashi, Y. (1989) Notenschrift Johann Sebastian Bachs : Dokumentation ihrer 

Entwicklung Basel, London, Bärenreiter  Kolneder, W. (1977) Die Kunst der Fuge : Mythen des 20. Jahrhunderts 

Wilhelmshaven, Heinrichshofen  Komar, A. J. (1971) Theory of suspensions; a study of metrical and pitch relations in 

tonal music Princeton, N.J., Princeton University Press  Lehman, B. (2005) ʺBachʹs extraordinary temperament: Our Rosetta Stoneʺ Early 

Music 33(1): 3‐23  Lehman, B. (2005) <www.larips.com>, (web site)  Leonhardt, G. (1952) The Art of Fugue, Bachʹs last harpsichord work; an argument 

The Hague, M. Nijhoff  Lester, J. (1982) Harmony in tonal music New York, Knopf : Distributed by 

Random House  Lester, J. (2001) ʺHeightening Levels of Activity and J. S. Bachʹs Parallel‐Section 

Constructionsʺ Journal of the American Musicological Society 54(1): 49‐96  Lovelock, W. (n.d.) First year harmony : complete Brundall, Norwich, W. Elkin 

Music Services  Marshall, R. L. (1972) The Compositional Process of J. S. Bach: A Study of the 

Autograph Scores of the Vocal Works Princeton, Princeton University Press  

  185

Mattheson, J. (1743) ʺNeu eröffnete musikalische Bibliothekʺ 2: 54  Mattheson, J. (1754) Plus ultra, ein Stückwerk von neuer und mancherley Art, i‐iv  Mattheson, J. and Harriss, E. C. (1981) Johann Matthesonʹs Der vollkommene 

Capellmeister : a revised translation with critical commentary Ann Arbor, Mich, UMI Research Press 

 Mellers, W. H. (1980) Bach and the dance of God London ; Boston, Faber and 

Faber  Moroney, D. E. (1989) J S Bach: Die Kunst der Fuge Munich, G. Henle Verlag  Niedt, F. E., Poulin, P. L., et al. (1989) The musical guide Oxford [England], 

Clarendon Press  Nottebohm, G. (1881) ʺJ S Bachʹs letzte Fugeʺ Music‐Welt: 234  Overduin, J. (1998) ʺBach and ʺDie Kunst der Fugeʺʺ The Diapason 89(5:1062): 

15‐17  Overduin, J. (2001) ʺNine Published Completions for Keyboard of BWV 1080, 

19, from ʹThe Art of Fugueʹ by J. S. Bachʺ The American Organist 35(1): 78‐82  Overduin, J. E. (2001) Johann Sebastian Bachʹs Die Kunst der Fuge : BWV 1080, for 

organ and keyboard with commentary Lewiston, N.Y., Edwin Mellen Press  Prout, E. (1889) Harmony : its theory and practice London, Augener  Prout, E. (1891) Double counterpoint and canon London, Augener  Prout, E. (1903) Harmony : its theory and practice London, Augener  Renwick, W. (1995) Analyzing fugue : a Schenkerian approach Stuyvesant, NY, 

Pendragon Press  Rivera, B. V. (1978) ʺSTUDIES AND REPORTS: Bachʹs Use of Hitherto 

Unrecognized Types of Countersubjects in the ʺArt of Fugueʺʺ Journal of the American Musicological Society 31(2): 344 

 Rogg, L. (?1968) Art de la Fugue: conclusion hypothétique  

  186

Rubbra, E. (1960) Counterpoint : a survey London, Hutchinson University Library 

 Rubin, A. (1976) J. S. Bach: the modern composer Boston, Crescendo Pub. Co.  Salzer, F. and Schachter, C. (1989) Counterpoint in composition : the study of voice 

leading New York,, Columbia University Press  Schweitzer, A. (1923) J.S. Bach London, Adam & Charles Black  Seaton, D. (1975) ʺThe Autograph: An Early Version of The Art of Fugueʺ Current 

Musicology 19: 54‐59  Shatzkin, M. (1984) ʺThematic Anticipations in Bachʺ Bach (Quarterly Journal of 

the Riemenschneider Bach Institute) XV(2): 25‐34  Shay, E. (1999) ʺThe Schübler Chorales & the Numbers Gameʺ The Diapason 

90(9:1078): 16‐17  Smend, F. (1947) Kirchen‐Kantaten III: 5‐21  Smith, T. (1996) The Canons and Fugues of J S Bach 

<http://jan.ucc.nau.edu/~tas3/bachindex.html> (web site)  Smith, T. (2000) ʺCirculatio as Tonal Morpheme in the Liturgical Music of J S 

Bachʺ Ars Lyrica (Journal of the Lyrica Society)  Spitta, J. A. P., Bach, J. S., et al. (1884) Johann Sebastian Bach, his work and influence 

on the music of Germany, tr. by C. Bell and J.A. Fuller‐Maitland Lond.  Stinson, R. (2001) J.S. Bachʹs great eighteen organ chorales New York, Oxford 

University Press  Sykes, J. B., Ed. (1982) Concise Oxford Dictionary, Oxford, Oxford University 

Press  Tatlow, R. (1991) Bach and the riddle of the number alphabet Cambridge, 

Cambridge University Press  Terry, C. S. (1958) Bachʹs orchestra London ; New York, Oxford University Press  Tomita, Y. (1998) ʺThrough a Glass Darkly: Analysing Bachʹs Inkʺ Musical Times 

139(1865): 37‐38, 40‐42 

  187

 Tovey, D. F. (1931) A companion to ʹThe Art of Fugueʹ (Die Kunst der Fuge) of J. S. 

Bach Oxford University Press, London  Tovey, D. F. and Foss, H. J. (1944) Essays in musical analysis : Chamber music 

London, Oxford University Press : H. Milford  Tovey, D. F. E. (1931) Die Kunst der Fuge by J S Bach London, Oxford University 

Press  Walcha, H. E. (1967) Bach: Die Kunst der Fuge Frankfurt, Peters  Walker, P. Permutation Fugue <http://www.grovemusic.com.ezproxy.auckland.ac.nz>, 

(web site)  Wellesz, E. (1965) Fux London, Oxford University Press  Williams, P. (1980) The organ music of J.S. Bach Cambridge, Cambridge 

University Press  Williams, P. (1987) Playing the organ works of Bach : some case studies New York, 

N.Y, American Guild of Organists  Williams, P. F. (1983) The organ music of J.S. Bach Cambridge, Cambridge 

University Press  Williams, P. F. (1985) Bach, Handel, Scarlatti : tercentenary essays Cambridge, 

Cambridge University Press  Williams, P. F. (2003) The organ music of J.S. Bach Cambridge, Cambridge 

University Press  Williams, P. F. (2004) The life of Bach Cambridge, Cambridge University Press  Wolff, C. Bach, §III: (7) Johann Sebastian Bach 9. Leipzig, 1739–50. 

<http://www.grovemusic.com.ezproxy.auckland.ac.nz>, (web site)  Wolff, C. (1975) ʺThe Last Fugue: Unfinished?ʺ Current Musicology 19: 71‐77  Wolff, C. (1983) The New Grove Bach family New York, W.W. Norton  Wolff, C. (1986) (ed.) Die Kunst der Fugue BVW 1080 (Band II: Spätere Fassung des 

Originaldrucks) Frankfurt, New York, London, C F Peters 

  188

 Wolff, C. (1991) Bach : essays on his life and music Cambridge, Mass ; London, 

Harvard University Press  Wolff, C. (2000) Johann Sebastian Bach : The Learned Musician Oxford, Oxford 

University Press  Yearsley, D. G. (2002) Bach and the meanings of counterpoint Cambridge, 

Cambridge University Press