155
Convexit´ e dans le plan discret. Application ` a la tomographie Alain Daurat To cite this version: Alain Daurat. Convexit´ e dans le plan discret. Application ` a la tomographie. Autre [cs.OH]. Universit´ e Paris-Diderot - Paris VII, 2000. Fran¸cais. <tel-00012136> HAL Id: tel-00012136 https://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00012136 Submitted on 13 Apr 2006 HAL is a multi-disciplinary open access archive for the deposit and dissemination of sci- entific research documents, whether they are pub- lished or not. The documents may come from teaching and research institutions in France or abroad, or from public or private research centers. L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destin´ ee au d´ epˆ ot et ` a la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publi´ es ou non, ´ emanant des ´ etablissements d’enseignement et de recherche fran¸cais ou ´ etrangers, des laboratoires publics ou priv´ es.

Convexité dans le plan discret. Application à la tomographie · 2017. 1. 6. · Convexit e dans le plan discret. Application a la tomographie Alain Daurat To cite this version:

  • Upload
    others

  • View
    3

  • Download
    0

Embed Size (px)

Citation preview

  • Convexité dans le plan discret. Application à la

    tomographie

    Alain Daurat

    To cite this version:

    Alain Daurat. Convexité dans le plan discret. Application à la tomographie. Autre [cs.OH].Université Paris-Diderot - Paris VII, 2000. Français.

    HAL Id: tel-00012136

    https://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00012136

    Submitted on 13 Apr 2006

    HAL is a multi-disciplinary open accessarchive for the deposit and dissemination of sci-entific research documents, whether they are pub-lished or not. The documents may come fromteaching and research institutions in France orabroad, or from public or private research centers.

    L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, estdestinée au dépôt et à la diffusion de documentsscientifiques de niveau recherche, publiés ou non,émanant des établissements d’enseignement et derecherche français ou étrangers, des laboratoirespublics ou privés.

    https://hal.archives-ouvertes.frhttps://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00012136

  • ������������������������������������������� ���"!#���$&%'�)(+*,�.-/!0�12�3�"� 465.�

    798�8�:,;=< >9?�@A:,BDCE<

    FHGJILK&MN CO?�BEPRQSCOT3UV;,8WUYXZCO8\[�?�]^X N P`_O@A;�[�;

    acbEdfehgji9kml^gonqpsrct^uwv)g6k�x�u/ehy{z�|}k�u~xK& yjdu~|)n~u/e3yn~b}k3uweh^ui^gN BV:qV;,8WUV:,;;qUVCO?hUY;,8?�; N ?�T3P`X`?�;q@;q8WU

    N� B��f \��E=

    PZ;¡ O ¢[�:,£q;,@¤T�BD;¤¥§¦O¦O¦

    ¨ X©UYBD;ª<

    « ¬¯®±°³²µ´f¶�· ¸º¹»º¼ ½6° ¾¿½j¹» ¸º´j¼\ÀÂÁ�°Ã¶Ä ¾º¾¿½j´jÀù¶�´6¬ Å ½j¹ ¶�¬»Æ ¬»Ç»Á�¹È¾¿Éº´6°

    ]^X`BD;,£qUV;,?�BÊ[�;UVË�Ì,D;ª<Í ?�BVXZ£,;¤ÎÏ`Ð�Ñ�Ò

    Ó ?�BÔ^<Õ XZP`P`;q9Ö9×0ØhÒ.ØjÑÚÙÚÛ)ÜhB ÝN�N COBDUV;,?�B7^P`Tf;,BUYCßÞà×0áHâªã�ÙÚä}å7&UVUYXZP æ ã�ç�Ñ)Ü#B ÝN�N COBUY;,?3BÓ £,?�;qèéÑÚê�åëª×0ØÍ ?�BDX`£,;¤Î¢Ï`ÐhÑ3ÒÓ ; 8hìwí}X`;,BDBV;¤î×#Ð=×0Ï�áhá�ï0ðOÜ#B ÝN�N COBUY;,?3B]^;,8�XZ¢îÏ�ñjò.Ñ=Ø.Û

    ó T�COB UYCÝX`BV;9[�; ó COôOX`?�;§Ü�[6QS7^PZôOCOBVX©UYË�@AX`?�;§Ü3;õUÊ[6Q÷öw8høsCOBV@ UYXZ?�;[�;�ùP`;qBV@ACO8WU¢ �ú û}7È¥h üOýó TfCOB UYCOXZBV;�[6QSöw83øsCOBD@ UYX`?�;79P`ôOCÝBVXZUVË�@AX`?�;Ý

  • ¥

  • ����� ��������� ������

    Ó ;UYXZ;,8����BV;q@;qBV£,XZ;,B6<���������������! #"$� Ü�% �����'&$(!)*&�+,�-+.�0/21 ;qU43 &5�0/7698��9&�+,+:&!;

  • ü

  • � ¬»Æ Æ ¹È´6Á�°

    *q����"!j��5���"�s!f� �

    � �yjb ye�k3ugol^gjxÃdb)tv)g��Egjx ��

    � !��f����.��������!#�����s� ��  L©  ]^:��#8�XZUVX`CO83

  • ý �����������

    � $j!f���Ý�"�s!f�Ú� �O!f���f��j���A�Ú� � �O��W����� �6�� L©  ]^:��#8�X©UYX`CÝ86Ü N BD;,@AX`Ì,BD;, N BDC N BDX`:qUV:, L!L4L!L4LIL!L4L!L!L4L!L4L!L!L!L!L!L4L!L4L!L ü �

    � L©  L©  ùCO8 ? ;,\3X©UY: L!L4LIL!L4L!L4L!L!L4L!L4LIL!L4L!L!L4L!L4L!L!L!L!L!L4L!L4L!L ü �� L©  L ¥ ùCO8 ? ;,\3X©UY:DUVBVX`£õUY; L4L!L4L!L!L4L!L4LIL!L4L!L!L4L!L4L!L!L!L!L!L4L!L4L!L �ݦ

    � L ¥ ù Ê[�;¢P [3X`@A;,8�DX`CO8H  L!L4L!L4L!L!L4L!L4LIL!L4L!L!L4L!L4L!L!L!L!L!L4L!L4L!L �ݦ� L � Í XZ8�X`@ [6QS?�8�;¢øsCO8�£õUYXZCO8\DUVBVX`£õUY;q@;q8U£qCO8 ? ;�\h;!L4L!L!L4L!L4L!L!L!L!L!L4L!L4L!L �h 

    � � �h���}!f���f�"��12���Ú�s�#��� ���ü L©  ]^:��#8�X©UYX`CÝ8�;õU N BV;q@XZÌ,BV;q N BVC N BVXZ:qUY:qÊ[�;, N COX`8WUYE@A:,[3X 8� L!L!L!L!L!L4L!L4L!L ���ü L©  L©  ]^:���8�XZUVX`CO8 L!L4LIL!L4L!L4L!L!L4L!L4LIL!L4L!L!L4L!L4L!L!L!L!L!L4L!L4L!L ���

    ü L©  L ¥ í}BVCJdD;q£qUYXZCO8� L4LIL!L4L!L4L!L!L4L!L4LIL!L4L!L!L4L!L4L!L!L!L!L!L4L!L4L!L �Ýýü L©  L � ù B £qUY:qBVXZ UVX`CO8\PZCh£ P`;�[3;, N COXZ8WUYE@A:,[�X 8� L4L!L4L!L!L!L!L!L4L!L4L!L �Ýýü L©  LSü ó ;83CO@¤T�BD;[�; N COXZ8WUYÊ@:q[�X 8� L4LIL!L4L!L!L4L!L4L!L!L!L!L!L4L!L4L!L ýO¦ü L ¥ 7 N�N# BUY;,8 8�£,;[�;q N COXZ8UVE@:q[�X 8� L4L!L4LIL!L4L!L!L4L!L4L!L!L!L!L!L4L!L4L!L ýO¦ü L � ó ;,Ê@A:,[�X 8�ED?�BÊ£ Ë ?�;BV:,D; ?YL L!L4L!L4LIL!L4L!L!L4L!L4L!L!L!L!L!L4L!L4L!L ý �

    � � �mgjdb)t^xWe�k�i^d0ehub)t �*q����"!j��5 ��"� !f� � �

      ¨ CO@ACOôOB §N Ë�X`;^£,CO8WUYXZ8?�;�� G$NJw��2 F� &�+,���J&51 �ONJw N5V0+.���7`Fp�� L!L4L!L!L!L!L!L4L!L4L!L ý��¥ ¨ CO@ACOôOB §N Ë�X`;^ôO:,CO@A:qUVBVXZ�?3; L!L4L!L!L4L!L4LIL!L4L!L!L4L!L4L!L!L!L!L!L4L!L4L!L ý��� ¨ CO@ACOôOB §N Ë�X`;^[�X`D£,BVÌõUY;_LIL!L4L!L4L!L!L4L!L4LIL!L4L!L!L4L!L4L!L!L!L!L!L4L!L4L!L � ¦

    � %ß���O!f�Ú�õ���5��Ý�"�s!f�m�.��� �à� �O!f���f��j��� � ��XL©  � N :,B UYX`CÝ8�E[�;¢£,CO@ N PZ:qUYXZCO8 L!L4L!L!L4L!L4LIL!L4L!L!L4L!L4L!L!L!L!L!L4L!L4L!L � ��XL ¥ ó ;,EUwÔ N ;,[�;,[�BVCÝXZUY;q LIL!L4L!L4L!L!L4L!L4LIL!L4L!L!L4L!L4L!L!L!L!L!L4L!L4L!L ����XL � û\ N BV;qVDX`CO8�[�;¢PRQS;�\hX`UY;,83£,;¢[6QS?�8�;VCOPZ?3UYXZCO8 N# BE?�83;à¥�ì/øsCOBD@¤?�P`; L!L!L4L!L4L!L � �

    �XL � L©  þ#COBV@¤?3P`;,E;,\ N BVXZ@ 8WU XqE(j) = qj L!L4L!L!L4L!L4L!L!L!L!L!L4L!L4L!L �O¦�XL � L ¥ þ#COBV@¤?3P`;,E;,\ N BVXZ@ 8WUÊP �[ ì/£,CO8 ? ;�\hXZUV:�L4L!L!L4L!L4L!L!L!L!L!L4L!L4L!L �3 �XL � L � ùCO@ N P`;,\3X©UY:[�;¢P�Q PZôOCOBDXZUYË3@; L!L4LIL!L4L!L!L4L!L4L!L!L!L!L!L4L!L4L!L �3 

    �XLSü û\�UY;q8�VXZCO8 � N PZ?�E[�;¢[�;,?F\�[�X`BD;,£qUVX`CO83 L!L4LIL!L4L!L!L4L!L4L!L!L!L!L!L4L!L4L!L �Ýü�XL � ùCO838�;�\hXZUV: L4L!L4L!L!L4LIL!L4L!L4L!L!L4L!L4LIL!L4L!L!L4L!L4L!L!L!L!L!L4L!L4L!L ���XL÷ý � ;,£qCO8�DUVBV?�£õUYXZCO8 K? ;,£P`C�£ PZX` UYX`CÝ8 �N BVXZCOBVX L!L4L!L!L4L!L4L!L!L!L!L!L4L!L4L!L � ��XL � öw@ N P`:q@;q8WU UVX`CO8DL!L!L4LIL!L4L!L4L!L!L4L!L4LIL!L4L!L!L4L!L4L!L!L!L!L!L4L!L4L!L � �

    � ���Ú� �W���������#��� �s� �Ú"!�! �"��12�L�.� �s�H"� �O!f���q���5 �Ý�"� !f� # �ý#L©  ó ;,%$�'&ÊXZUV£ Ë�X`83ô§ìw£qCO@ N CO8�;q8WUY)( L!L!L4L!L4LIL!L4L!L!L4L!L4L!L!L!L!L!L4L!L4L!L ���ý#L©  L©  ]^:���8�XZUVX`CO8�E;õU N BV;q@XZÌ,BV; N BVC N BDX`:õUY:, L!L4L!L!L4L!L4L!L!L!L!L!L4L!L4L!L ���ý#L©  L ¥ *}8�?3@:qB UVX`CO8�[�;¢'&ÊX©UY£ Ë�XZ8�ô§ì/£,CO@ N CÝ8�;,8WUY L!L4L!L4L!L!L!L!L!L4L!L4L!L �O¦ý#L ¥ ó ;UYË�:qCOBVÌq@;[Q÷?�83X`£,X©UY: L!L4L!L4L!L!L4L!L4LIL!L4L!L!L4L!L4L!L!L!L!L!L4L!L4L!L �3 

    ý#L ¥XL©  ù Ê[�;,ÊUYC§U PZ;,@A;,8WUE£,CÝ8 ? ;�\h;,�L!L4LIL!L4L!L!L4L!L4L!L!L!L!L!L4L!L4L!L �3 ý#L ¥XL ¥ û\hUV;,8�DX`CO8 ?X\ [ ì/£,CO8 ? ;�\h;,�L4L!L4LIL!L4L!L!L4L!L4L!L!L!L!L!L4L!L4L!L ��ý#L ¥XL ¥FLZ  íÚCOP©Ô�ôOCO8 PZX` UYXZCO8�[6QS?�8+$�,&ÊXZUY£ Ë3X`8�ô§ì/£,CO@ N CO8�;,8WU�( L!L4L!L ��ý#L ¥XL ¥FL ¥ ó ;,D

    ì N COP©ÔhôÝCO8�;, [ ì/£,CO8 ? ;,\h;,9øsCÝBDUYnL!L!L4L!LIL4L!L4L!L!L4LÊ �¦ �

  • ý#L ¥XL � ùCOBVCOPZP XZBV;q�L4L!L!L4LIL!L4L!L4L!L!L4L!L4LIL!L4L!L!L4L!L4L!L!L4LIL!L4L!LÊ O O ý#L � ÿ983X`£,X©UY:[6QS?�8�;¢DCOP`?3UVX`CO8\[3CO8�8�:q; L!L4L!L!L4L!L4LIL!L4L!L!L4L!L4L!L!L4LIL!L4L!LÊ O O � %ß���O!f�Ú�q�§5 �Ý�"�s!f�m� � �Ú"!�� � ���L����� �¤� �O!f���f��j����-/!0"��� ��� L©  7 ? ;,£�[�;,?F\�[�X`BD;,£õUYX`CÝ8��L!L4LIL!L4L!L4L!L!L4L!L4LIL!L4L!L!L4L!L4L!L!L4LIL!L4L!LÊ O  �

    � L©  L©  ó ;q ?§ BDX T3P`;,T�C�COP`:q;,8�83;, L4L!L!L4L!L4LIL!L4L!L!L4L!L4L!L!L4LIL!L4L!LÊ O ü� L©  L ¥ û \ N BD;,DVX`CÝ8[�;¢P [ ìw£qCO8 ? ;,\3X©UY: L4L!L4LIL!L4L!L!L4L!L4L!L!L4LIL!L4L!LÊ O ��� L©  L � ó TfCOBV8�;XZ83øs:,BDX`;q?�BV; L!L4L!L4L!L!L4L!L4LIL!L4L!L!L4L!L4L!L!L4LIL!L4L!LÊ O �ý� L©  LSü ó TfCOBV8�;D? N :,BVXZ;,?�BD; L4L!L4L!L!L4L!L4LIL!L4L!L!L4L!L4L!L!L4LIL!L4L!LÊ O  �� L©  L � ó Q PZôOCOBVX©UYË�@A;^[3;BD;,£qCO8�DUVBV?�£õUYXZCO8 L!L4LIL!L4L!L!L4L!L4L!L!L4LIL!L4L!LÊ O  �� L©  L÷ý � ;õUYCO?�B

  • � �����������

    ¡�"!����s! �f"� � � � � �6�*,������ �

  • � ±¶�Á�¬ ¸��ºÀé¶�´6¬»

    ó Q÷XZ@ ôO;,BDX`;¢8?�@:qBVXZ�?3;à;,U?�8H[�CÝ@ XZ8�; ?JdDCO?3BV[6QSË?�X=;q8 N P`;qX`8;qVDCOBuL �8 N ;,?hU�[�XZDUYXZ8�ôO?�;qBN BDX`8�£qX N# P`;,@A;,8WU[�;,?X\ §N�N BVC�£ Ë�;qUVË�:,COBDX`?�;q[3;£q;qUDUY;¢[�X`D£,X N P`XZ8�;ª<

    � P�Q §N�N BVC�£ Ë�;A£,CO8WUVX`8?�;ª

  •  �¦ ����� ��������� � ��

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    �����������

    ���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

    ����������������

    ����������������

    ����������������

    ����������������

    ����������������

    ����������������

    ����������������

    ����������������

    ����������������

    ����������������

    ����������������

    ����������������

    ����������������

    ����������������

    ����������������

    ����������������

    ����������������

    ����������������

    ����������������

    ����������������

    ����������������

    ����������������

    ����������������

    ����������������

    ����������������

    ����������������

    ����������������

    ����������������

    ����������������

    ����������������

    ����������������

    ����������������

    ����������������

    ����������������

    ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

    �������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

    ���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

    ����������������� �!� "#��$&%(' � ���"#������� ���) Ï�ä+*  � S &$( �-+:NJ�'(l��p�7&$(r1F&��7NJ�jpKVFNJ/Y&$(ltu m&E+$&�w��2�j�������-,KNJ/YG��-�9NJ//.1032&414658714�91:;7< (@NJ h(>=I6? ��/21FN6@(

    ] 8� P [3;,?X\hX`Ìq@; N# BDUYXZ;ÊCO8 ÝN3N P`XZ�?3;£q;qUDUY;:qUY?3[�;^[�;q £qCO8 ? ;,\3;q��P UYCO@ACOôOB ÝN Ë�XZ;0Lù;õUVUY;UY;,£ Ë38�X`?�;£,CO83VX`UY;I�¡BV;q£,CO83DUYX©UY?�;qBEP UYBV?3£qUY?3BV; � ][6Q÷?38�CÝTFdD;qUQ� N# BUYX`B [�;¢V;qXZ@ ôO;,&B [�XZC§ìP`COôOXZ?�;,9£,P VVXZ?�;,�� ÝN�N ;,PZ:,;, N BVCJdD;q£qUVX`CO8�&AuL � ] 8��PZ;à£,CÝ8UVX`8?LDX=CO8H£qCO8�8 CB U^PZ;, N BVCJdD;q£qUYXZCO8�V;,PZCO8 UYCO?3UV;,¢P`;q[�X`BD;,£õUYX`CÝ8�[6QS?�8 N P 86ÜCO8 N ;q?3U P`COBD�BV;q£,CO83DUYBD?�X`BD;�PRQSCOTFdD;qU¢ôÝBEDÝ£q;A?38�;¡UYB 8�ìøsCOBV@ UYXZCO8�;,\ N P`XZ£,XZUV; �sP UVB 83DøsCOBD@:q;�[�; � [�CO8 � L#ù^QS;,UÊP UY;,£ Ë38�X`?�;¢?3UVX`P`XZV:q;9[ 8�&P`;^V£ 8�8�;,B@:q[�X`£ P9Lù; N BDCOT�P`Ìq@; ?�DVX0?�8A:,?�X ?Ý P`;,8WU[ 83PZ;E[�X`D£,BD;qUj<X`P3,Q ôOXZU}UVCO?3U)DX`@ N P`;q@;q8U)[3;ÊUVBVCO? ? ;,B?�8HCOTFdD;õU�[�;¤P�Q÷;q N# £,;¤[�XZV£qBV;qU*� N# BUYXZB9[�?8�CO@¤T�BD;à[�; N COXZ8WUY^[ 8�^£ Ë ?�;¡[�BVCÝXZUY; N# B P`PZÌ,P`;I�£,;,BU XZ8�;,E[3X`BV;q£qUVX`CO8�ML�ùCÝ8UVB XZBV;q@;q8U��¤£,;?�X�V; N# DV; N CO?�B P UVCO@CÝôOB ÝN Ë�X`;£,CO8WUVX`8?�;ÝÜhCO8\V;P`X`@AXZUV;e���?3;,P`?�;q^[�XZBV;q£qUYXZCO8�Ê[�; N BVCJdD;q£qUVX`CO8oL ó QS:qUV?�[�;à[3;�£q; N BDCOT�PZÌ,@A; :qUV:àUYX`@à?�P`:q;[ 8�9P`;[�:,T�?hUà[�;q 8�8�:q;, �O¦ N# B?�8�;¡UV;,£ Ë�8�XZ?�;[3;A@AX`£qBVCOD£,C N X`;¤:qP`;,£õUYBDCO8�X`?�; � [ ÿ7�> ¨ ö ¨ û Í � CGFPRQSCO8�£,CO@ N UY;[3X`BV;q£qUV;,@A;,8WUP`;8�CO@àT�BV;¢[6Q UYCÝ@;qE[ 8�Ê?�8�£,BDX`DU P9Ló ;,9£ Ë ÝN X©UYBD; �;õU�ýCO8WU N CO?�BT�?3U^[�;à@ACO8WUYBD;,B�?3;àPRQSCO8 N ;q?3U�BD;,£,CÝ8�DUVBV?�XZBV;àPZ;,;,8�D;,@¤T3P`;,£,CO8 ? ;,\h;,=[3; Z2 &N# BUYXZB6[�;}P`;q?�BV N BVCJdD;q£qUYXZCO8� K? ;q£)V;,?3P`;,@A;,8WU.üÊ[�XZBV;,£õUYXZCO8�6[�; N BVCJdD;q£qUYXZCO8�ML�í}P`?�N BV:q£,X`D:,@A;,8WUÜ3[ 8�&PZ;^£ Ë §N XZUVBV; ��Ü3CO8 [ ÝN UV;�?�8 PZôOCOBVX©UYË�@A;E[�:Od5�¤£,CO8�8? N CO?�B&PZ;, N COP©ÔOCO@AX`83COHJI ì/£,CO8 ? ;�\h;,���� � ] ó >^í �Oý�� � ?X\ [ ì/£,CO8 ? ;�\h;,ML ó ;£ Ë ÝN X©UYBV;ý^:qUV?�[�XZ;,B P�Q÷?38�X`£qXZUY:)[�;P DCOP`?hUYX`CÝ8oLû)8 �#86Üf[ 8�ÊP`; �CKELNM £ Ë ÝN XZUYBD;ÝÜ#CO8�,QSX`8WUY:qBV;qVV;qB ?�£ CGF�PZ;, N BDCJdD;,£õUYX`CÝ8�9DCO8WU^;qBVBDCO8�:,;q � N# B;�\h;,@ N P`;!�¡£ ?�V;[�;, ÝN3N# BV;qX`PZE[�;¢@;qV?�BD; � L

    O/�

  • � Á�°Æ ´�� Á�° ¾¿¹{Á\¶�´6°

    � ·m¬Æ ·Ã¶�Á´6° ¸ °¼ Àì»±®±°2²µ°¼

     O 

  • « ɺ¹{¾¿´f¶�Á�° �

    « ¬±®¯°³² ´f¶�· ¶�¬ ¶�¹È½6°

    ����� ���� _�� �R �] 83 Rn P £,CÝ8 ? ;�\hXZUV:;qDUUVBVÌ,DX`@ N P`;R�\[�:��#83X`B6

  •  ü ������� �(�

    ������ � ����� �(��� � ��� ��� �

    ÿ8�; N# BDUYXZ; E [�; Z2 ;,DUUYCÝU P`;q@;q8WU£qCO8 ? ;,\3;VX;qUßD;,?�PZ;,@A;,8WUßDX E = conv(E) ∩ Z2 L�B9P`;UYË3:,COBDÌ,@A;à[�;¤ù B UVË�:,C�[�COBÔ ��� � ;,B �O¦3Ü� O  L©  L �#L ý�� � DV?�BD;¤?�;�UVCO?3U N COXZ8WU^[�;�PRQS;,8 ? ;qP`C N3N ;£,CO8 ? ;,\h;�[6QS?�8�; N# BDUYXZ; F ⊂ Rn ;qDUA;,8³ø X©U¤?�8ÃT BDÔ�£,;q8UVBV;s�L£,C�;��A£qX`;,8WUV N CODXZUYX©øsà[�; n + 1N COXZ8WUYÊ[�; F CO8�;,8�[�:q[�?�XZU?�83;:q?�X ?§ PZ;,8�£q;;q8WUYBV;¢P k ìw£qCO8 ? ;�\hX©UY:¢;qUP £qCO8 ? ;,\3X©UY:¢UYCÝU P`;§

  • ����� � � ��;� �$� �(� � � � � �� ��$����� �  ��� ��� ��� �¤u~gjt^xÃd�bt9t^g��Êu/ehy�� ���"db)tv)g��Êu/ehy��db)tv)g��Êu/ehy e3bªeh|)n~g l^|)t^x

    Z2

    ] 83 Rn P`;q¢;,8�D;,@¤T�PZ;,¢£,CÝ8 ? ;�\h;,àVCO8WU¢UYCO? dDCO?�BV¢£qCO8�8�;,\3;q,Ü.£ BPZ;¡V;qôO@;q8WU [AB] ;,Uà?�8£ Ë�;q@XZ8¡BV;qP`X 8U A ;qU B LWí B}£,CO8WUYBD;E[ 8� Z2 P £qCO8 ? ;�\hX©UY:Ê86QS;,8WUYB CB 8�; ?�£,?�83;E[�;, k ìw£,CÝ8�8�;�\hX©UY:,�s£,CO8�DX`[�:qBV;qBE = {(0,0),(2,1)} �] 83£q;qUDUY;�V;q£qUYXZCO8 CO8 ?§ @CO8WUVBV;,B?�;¡DX}CGF CO8 V? N3N COD;�P ��ì/£,CO8�83;�\hXZUV: P`CÝBV�PZ;,[�;q?X\£qCO8 ? ;�\hX©UY:,[�:��#8�X`;q N BV:q£,:,[3;,@A@;q8U9VCÝ8U:q�?3X ?§ P`;q8WUY;,ML

    � � �!0��h1é� ��"� �"��� � 1� W NJ��� E F/Y& �#�0+,���9& 1F& Z2 �0�'NJ+:(��'&$(�1F&� ��E��� +,w �0���9NJ/#(R(� F��=J�0/7� &$((@NJ/7� c tu F��=J�0�'&�/7� &$( , S � &�/#(@&�w "u�'& E &$(�� � NJ�9�0�'&�w &�/7��G$NJ/7=0&��X&^&���' 65G$NJ/7/Y&��X& � S � &�/#(@&�w "u�'& E &$(�� 2 65G$NJ/7=0&��X&R&�� ' 65G$NJ/7/Y&��X& �ù;}UYË3:,COBDÌ,@A; :õUY:)[�:q@CO8WUVBV: N CO?�BjP &N BV;,@AX`ÌqBV;ªøsCOXZ6[ 83 � �X`@ �3 

  •  �ý ������� �(�

    ������ � ����� �(��� � ��� ��� �

    � Z ? N�N CODCO8� @? COX`B�£qCO8�DUVBV?�X©U r′j ;qU s′j N CO?�B¡UYCO?hU j ≤ i K? ;,£ s′i = si L Z CÝXZU PZCOBV i′ =min{j : q(j − i) + si ≤ sj}

    Ü N CO?3BUVCO?3U i < j < i′ CO8 N BV;q8�[ r′j = s′j = q(j − i) + si;qUr′i′ = q(i

    ′ − i) + si,s′i′ = si′

    L� Z X i′ > i + 1 CO8 r′i′ = q(i′ − 1− i) + si > si′−1 ≥ ri′ L� Z X i′ = i + 1 CO8 r′i+1 = q + si ≥ si + 1 ≥ ri+1 L] 8�ÊUYCÝ?�ÊP`;,E£ ÊCO8 ri′ ≤ r′i′ ≤ s′i′ = si′ Lù; N BVC�£,;qVD?�¤[�:��#8�XZU�[�CO83£�P`;�£ Ë�;q@XZ8 C ′ ?�X N# Bà£qCO8�UYBV?3£qUYXZCO82;qDUàX`8�£qP`?�[ 8��PRQS;,8 ? ;qP`C N3N ;

    2ìw£qCO8 ? ;,\3;�[�; C ;qUÊ;,U (1,0),(q,1) ìw£,CÝ8 ? ;�\h;0L 2

    C

    C ′

    A

    B

    siri

    y = i

    ) Ï�ä+*�  L � ��� NJ/#(���+, mG����9NJ/l10 EG$`7&�wx��/ C ′

    ��8�;,8�[�:,[3?�XZUP`;�ø XZUED?�X ?§ 8WUj<� ��1³12� �� � � � W NJ��� A(0,0) &�� B(a,b) 1F&� �� �7NJ��/7� (I1F& Z2 +:&��j� c ( �#�0+* X/ ' 65G$`7&�wx��/ ' 65G$NJ/7/Y&��X&� qv6Ow NJ/YNJ� NJ/Y& C �0 l1F&$($(� h(�1F&^��� 10+:NJ���O& (AB) � ���'NJ+:(R� � &�/#(@&�w "u�'&x1F&$( �7NJ��/7��( 1F&R� � &�/7=0&��'N � �7&� NJ�9�0�'&�w &�/7��G$NJ/7=0&��X&!1F& C (����� c (x&�/7�-+:& (AB) &�� C &$(���1h�0/#(e� � &�/7=0&��'N � �7& 2− convexe 1F& C �P c w NJ/#(��-+.�0���9NJ/ , �8 ?§ @ACO8WUYBV;qB&P`;^BV:,D?�PZU U N# BBV:,£q?�BVBD;,8�£q;�D?�B max(a,b) �8 N ;,?hUÊV? N�N COD;,B0 < b < a

    L Z CÝXZU PZCOBV q = babc

    ;qU£,CÝ8�VXZ[�:,BDCO8�ÊP`;£ Ë�;q@XZ8C ′

    [�CO8�8�: N# BEP`;P`;q@@A; N BD:,£q:,[�;q8UuLùCO83VX`[3:,BVCÝ8�ÊP UYB 8�øsCOBV@ UYXZCO8 �A8�;¢V?3X ?§ 8WUY;ª<

    f : (x,y) 7→ (x− qy,y)

    ó ;q N COXZ8WUY f(A) = (0,0) ;õU f(B) = (a mod b,b) VCO8WU)BV;qP`XZ:, N# B=P`;E£ Ë�;q@XZ8 f(C ′) Lù;E£ Ë�;,@AX`8;,DU H I ì/£,CO8 ? ;,\h;9ü§ì/£,CO838�;�\h;ÝÜÝ[6Q §N BVÌq}P`;, N BVC N BVX`:õUY:q}[�; C ′ CÝ8 N ;q?3U)[�CO8�£ ÝN�N PZX`?�;,B=PRQSËÔ N CÝUYË3Ì,V;[�;�BV:,£q?�BVBD;,8�£q;��\£,;�£ Ë�;q@XZ8oL.]^CO83£APZ;, N COX`8WUV;,8WUYBD; C ′ ;õU (AB) VCO8WUT�XZ;,8 [ 8�¢PRQS;,8 ? ;,P`C N�N ;¥"ìw£qCO8 ? ;�\h;A[�; C L ó ;, N CÝX`8WUY�;q8WUYBV; C ;õU C ′ VCO8WU ?3VVX}[ 8�PRQS;,8 ? ;,P`C N�N ;A¥�ìw£,CÝ8 ? ;�\h;A[�; C N# BH ìw£qCO8 ? ;,\3X©UY:BL � ? COXZB �#ôO?�BD;�  L÷ü � 2û)8ø XZUCO8;���;,£õUY?�:HP�Q P`ôOCOBDXZUVË�@;\[Q û}?�£qP`X`[3;;,8WUVBV;LPZ;,�[3;,?X\£,C�COBV[�CÝ8�8�:,;qß[�? ? ;,£qUV;,?�B −→AB L] 8�P �#ôO?�BD; 1.4 VCÝ8U¢[3CO8�8�:q;, N# B9;�\h;,@ N P`;¤UVCO?3UV;,�PZ;,^UVB 8�øsCOBV@ UVX`CO8�8�:q£,;,D XZBV;q N CO?�BP`; ? ;q£qUV;,?�B (55,34) L

  • ����� � � ��;� �$� �(� � � � � �� ��$����� �   �

    f

    B

    A

    H H′

    f(H′)

    H2

    H0 H1

    H3

    H5

    H7

    H4

    H6

    H1

    H2

    H2 H3

    H4

    H4 H5 H5

    H6

    H7H6H7

    H3

    ) Ï�ä+*�  LSü �s8

  •   � ������� �(�

    ������ � ����� �(��� � ��� ��� �

    ùCO83VX`[3:,BVCÝ8��@ XZ8UV;,8 8U¢?38�; N# BDUVX`; E ¥"ì/£,CO8 ? ;,\h;ÝÜ ��ìw£qCO8�8�;,\3; - /7�9& [�; Z2 L Z COX©U S P�Q÷;q8hìV;,@àT�P`;[�;,�VCO@A@;õUY[�;�P�Q÷;q8 ? ;,PZC N�N ;£qCO8 ? ;,\3;\[3; E L ��8 N ;,?3U N# BU ôO;qB S ;q8 Sg ;qU Sd ;,8hìV;,@àT�P`;q[�;,�DCO@A@;õUY^?�X=VCO8WUBD;, N ;,£õUYX ? ;,@A;,8WU¢D?�B�P`;�T�CÝBV[Hô ?3£ Ë�;¤;qU�V?�B�PZ;¤TfCOBV[L[3BVCOX©U^[�;convE

    Ü N BD:,£,XZV:q@;q8U6<

    Sd = {(x,y) ∈ S : (t,y) ∈ convE ⇒ t ≤ x}

    Sg = {(x,y) ∈ S : (t,y) ∈ convE ⇒ t ≥ x}

    Z COXZU(Si)

    �sBV;, N (Ti) � P D?�XZUV;Ê[�;, N COX`8WUY}[3; Sd � BD;, N Sg � COBV[3CO8�8�:q; N# B}[�;,?X\hXZÌ,@A;E£,C�COBV[�CÝ8�8�:,;£,BVCÝX`V 8WUY;BL� ��1³12� �� � � � W NJ��� E F/Y& �#�0+,�-�9& - /7�9& � NJ�9�0�'&�w &�/7�sG$NJ/7=0&��X& ' 65G$NJ/7/Y&��X& 1F& Z2 &�� (@NJ�9&�/7�(Si),(Ti) 1 c - /7�9&$(*G$NJwxw & �2�j h(n`#�0 X� � � NJ/#(���1 c +:NJ/#(Q1F&$( ' 65G$`7&�wx��/#( �_q 6Ow NJ/YNJ�ONJ/Y&$( Ci &�/7��+$& Si&�� Si+1 &�� C ′i &�/7��+:& Ti &�� Ti+1 � W NJ��� M X/ �7NJ��/7�Q1F&�� � &�/7=0&��'N � �7&R� NJ�9�0�'&�w &�/7�eG$NJ/7=0&��X& 1F& E�0�'NJ+$(R�0 sw NJ��/#(I� � F/Y&41F&R1F&$(I��+:NJ�'(R�0�j� &�+,/2�0����=0&$(^&$(�� =@+.�0�9&

    S & �7NJ��/7� M &$(��f(����� c &�/7��+:&! X/rG$`7&�wx��/ Ci &�� ���_10+:NJ��� & (SiSi+1) � S & �7NJ��/7� M &$(��f(����� c &�/7��+:&! X/rG$`7&�wx��/ C ′i &�� ���_10+:NJ��� & (TiTi+1) � �� � &�� �'(��O& i &�� j &���1F&� J� �7NJ��/7� ( U ∈ Ci &�� V ∈ C ′j `7NJ+,���JNJ/7� �0�'&�w &�/7���0�j��V0/ c (!�O&�� (�tu 7& M&$(�� (� F+I�'&e(@&9V0w &�/7� [U,V ]� =0NJ��+ -UV0 F+:& � ��� �

    C′

    j

    Ci

    T0 S0

    S1

    T1

    T2

    U VM

    Tj

    Tj+1

    Si

    Si+1

    ) Ï�ä+*�  L � � 8�NJ F+.tu mNJ�f�ONJ T(!�'&$( �7NJ��/7� (R1F& conv{Si,Ti} (@NJ/7��6O�-6O��� (!1h�0/#( E �

  • ����� � � ��;� �$� �(� � � � � �� ��$����� �   �

    P c w NJ/#(���+.�0�-�9NJ/ , Z ? N�N CODCO8�ß[�CÝ8�£?�;LPZ;,[�;,?X\ N BD;,@AX`Ì,BD;, PZUV;,BV8 UYX ? ;,AVCÝ8U�ø ?�VD;,ML Z COX©U PZCOBV i ;õU j UY;qP`Ê?�;ª<ySi ≤ yM ≤ ySi+1 yTj ≤ yM ≤ yTj+1

    Z CÝXZUU

    ?�8 N COX`8WUA[�; Ci [6QSCOBV[�CÝ8�8�:,; yM ;qU V ?�8 N COXZ8WU[3; C ′i [6QSCOBV[3CO8�8�:q; yM � £q;, N COXZ8UV;,\3XZDUV;,8WU�£ B¡PZ;,¤£ Ë3;,@AX`8�¡DCO8WU ��ìw£qCO8�8�;,\3;q � LùCO@@A;�PZ;,¡[�;q?X\ N BV;,@AX`ÌqBV;q PZUV;,BV8 UYX ? ;,àVCO8WUø ?3VV;q9CÝ8 øsCOBD£,:q@;q8UxU ≤ xM ≤ xV

    [6QSCGF�P`;BD:,D?�PZU UKL2

    P c w NJ/#(���+.�0�-�9NJ/ 10 ��` c NJ+:>�w & � � � � � , Z COXZU E ?38�;q8�V;q@¤T�P`; 2 ìw£,CÝ8 ? ;�\h;;qU ��ìw£qCO8�8�;,\h;0LZ XE

    ;qDU �#8�Xj[6Q ÝN BDÌ,ÊP`;qPZ;,@A@;q�  L ¥XL � ;õU  L ¥FL ý¤UYCÝ?3U N CÝX`8WU M [�; convE ∩ Z2 ;,DU9;,8�ø X©U[ 8� E ;qU[�CO8�£ E ;qDUT�X`;q8\UYCÝU P`;q@;q8UÊ£qCO8 ? ;,\3;BLùCO8�DX`[�:qBVCO83@ XZ8UV;,8 8UÊPZ;£ ÊCGF E ;,U ��/ - /7� LZ COX©UM ∈ convE ∩ Z2

    L ó ; N COX`8WU M ;,UÊ[�CO8�£?38\T BDÔ�£q;,8WUYBD;����¤£,C�;��A£,XZ;,8WU N COVX©UYXZøs � [6QS?�8;q8�V;q@¤T�P`; - /7� F [�; N COX`8WUV}[�; E L�ùCO83VX`[3:,BVCÝ8� P`COBDª?�8ABV;q£qU 8�ôOP`; R = [a,b]× [c,d] £,CO8WUY;q8 8WUFL ó QS;,8�D;,@¤T�PZ;

    E ′ = E ∩ R;qDU�?�8Ã;q8�V;q@¤T�P`; �#8�XRܪ¥"ìw£qCO8 ? ;,\3;�£ B R ;,DU¥�ìw£,CÝ8 ? ;�\h;0L}öwP ;,U

    ��ì/£,CO838�;�\h;��\£ ?3V;�[�? P`;q@@A;ß  L ¥XLSü L6]àQ ÝN BDÌ,¢£,;�?�X N BV:,£qÌ,[�; E ′ ;qDU¢UYC§U PZ;,@A;,8WU£,CÝ8 ? ;�\h;A;qU[�CÝ8�£¢P`; N COX`8WU M ;,DUT�XZ;,8�[ 83 E ′ ⊂ E L 2� ��� ��� M eml^|)t^x

    Z3 �

    ] 83 Z3 [�;q?X\ N COX`8WUY A Ü B DCO8WU[3XZUY 6 ì [ d £,;q8UV � +:&$( � 18 ì [Jd £q;,8WUYqÜ 26 ì [Jd £,;,8WUV � VX−→AB

    ;qDU[ 83 V6 = {(±1,0,0),(0,±1,0),(0,0,±1)} � +:&$( � V18 = V6∪{(±1,±1,0),(0,±1,±1),(±1,0,± 1)}

    ÜV26 = V18 ∪ {(±1,± 1,± 1} �ù;, [Jd £,;,83£,;, N ;,BV@A;qUDUY;q8U[�;¢[�:��#8�XZBEP k ì/£,CO8�83;�\hXZUV: N CO?3B k ∈ {6,18,26} Ló ;UYË�:qCOBVÌq@; N BD:,£q:,[�;q8U^8�;¢V;¢ôO:q8�:,B P`XZV; N# Eø £qX`PZ;,@A;,8WU�� Z3

  • ¥Ý¦ ������� �(�

    ������ � ����� �(��� � ��� ��� �

    ��"!��}!f��s��� !f� ��"� � � � �Y&�� �'(��O&< X/Y& �#�0+,���9& E 1F& Z3 ��' 65G$NJ/7/Y&��X& ) < 65G$NJ/7=0&��X&�w �0�'(Qtu F�v/ � &$(�� �#�J(!765G$NJ/7=0&��X& �ó ;¢£qCO8WUYBV;;�\h;q@ N PZ;;,U9[3CO8�8�:!��P �#ôO?3BV;�  L � L

    ) Ï�ä+*j  L � � � /Y& �#�0+����9&R1F& Z3 ��' 65G$NJ/7/Y&��X& ) < 65G$NJ/7=0&��X&*w �0�'(4tu F�f/ � &$(�� �#�J("!765G$NJ/7=0&��X&

    í BÊ£,CO8WUYBD;¢P ?�;,UYXZCO8�D?�X ?§ 8WUV;BD;,UY;CO? ? ;qBDUV;ª<�A5����q��� !f� i � �'(��O&�6O�-6O���v F/Y& �#�0+,�-�9& E 1F& Z3 %J65G$NJ/7/Y&��X&^&�� < 65G$NJ/7=0&��X&ew �0�'(I/YNJ/ !765G$NJ/7=0&��X& �û \ N :,BDX`@A;,8WU PZ;,@A;,8WU P BD: N CO8�D; P�Q X`B)8�CO86Ü;q8ß;���;qUV?�BÊ¥�üW¦O¦O¦O¦ 3 ì/£,CO8 ? ;�\h;, 6 ìw£,CÝ8�8�;�\h;qUYXZBV:, ?�Ë BD[�[ 8�ÊP`;£q?�T�; {0, . . . ,3}3 ?�£q?�8�86Q÷;qDU9ü§ìw£qCO8 ? ;,\3;BL

  • « ɺ¹{¾¿´f¶�Á�° �

    � ¹ �À¬±®¯°³² ´f¶�·

    ] 839PZ;£ Ë ÝN XZUVBV; N BV:q£,:q[�;,8WUCO8�,QS;,U�XZ8UV:,BD;,VD:^��P £,CÝ8 ? ;�\hXZUV:à[�XZV£qBVÌqUV;àP �N P`?� N BDCh£ Ë�;�[�;£q;,P`PZ;)[�:��#83X`; N� BÚPZ;,�ôO:,CÝ@ÌõUYBV;quL Í XZÚXZPW;�\hX`UY;?38�; ?hUYBV; £,P VD; UYBDÌ,ÚX`@ N COBU 8WUV;}[�;£qCO8 ? ;�\hX©UY:ª9í �Ýý�� � L ��ù;qUVUV;¡BV;q£,CO8�UYBD?�£qUVX`CO8D;,B [�:õU XZP`P`:q;^[ 8�ÊP [�;,?F\3XZÌ,@A; N# BDUVX`;BL �Í PZË�;,?3BV;,?3V;,@A;,8WUÚP £,P VD;)[�;, N CÝPZÔOCÝ@XZ8�CO H I ì/£,CO8 ? ;,\h;,ª8�;)qQ÷:õUY;,83[ N# jø £qX`PZ;,@A;,8WU��E[�;,[�XZBV;q£qUYXZCO8�.?�;,PZ£,CO83�?3;,uL ó ; T�?3U=£,;£ Ë ÝN XZUVBV;;,U}[�;[3CO8�8�;qB=?�8�; 8�CÝUVX`CO8 N BVC�£ Ë�;&[3;, N COP©ÔOCO@AX`8�CÝH I ìw£qCO8 ? ;,\3;q^@ X`[�:��#83X`; N CÝ?�BE[�;,?F\�[�X`BD;,£qUVX`CO83E�?3;,P`£qCO8�?�;quL

    � ��� � ,���� � �4s���! �Z2

    ÿ983;^[�XZBV;,£õUYXZCO8 N ;,?hU��qUVBV;9[�CO8�8�:q;^DCOXZU N# B ?�8 ? ;,£õUY;,?3B ~p Ü�VCOX©U N# B?38�;9øsCOBD@;ÊPZX`8�: X`BD; p L ó øsCOBD@;P`XZ8�: X`BV; p = ax + by ;qU^P`; ? ;,£õUY;q?�B ~p = (−b,a) BD; N BD:,V;q8WUY;,8WU¢P @��,@A;�[�XZBV;q£qUYXZCO8oL Z X a;õUb

    VCÝ8UÊB UYXZCO8�8�;qP`&CÝ8�[3XZUE?�;P [�X`BD;,£qUVX`CO8\;qDUÊB UYXZCO8�8�;qP`P`;BL3] 8�E£,;¢£ ECO8 N ;q?3U N BD;,8�[�BD; a;õUb

    ;,8WUYXZ;,BD9;õU N BV;q@XZ;,BVE;q8WUYBV;;,?F\YL

    ��� ��� � K b)i9x �"k3yjxhgj|)i � n~u~yjx�¯l9gji � l^uwk�gjd0e3u~b)t^x��8àD; [�CÝ8�8�;[3CO8�£[�;,?X\�[�XZBV;q£qUYXZCO8�.[�XZDUYXZ8�£qUV;,

    p = ax+by;qU

    q = cx+dy @? ;,£ pgcd(a,b) =1Üpgcd(c,d) = 1

    Ló ;[�:qUV;,BD@XZ8 8WUÊ[�;,Ê[�;q?X\�[�XZBV;q£qUYXZCO8� det(p,q) = ad− bc ;,DUÊ83CÝUY: δ L ó ;,Ê[�;,?F\�[�X`BD;,£õUYX`CÝ8�DCO8WUª[�X �:qBV;,8WUV;,}[�CO83£

    δ 6= 0L [ ?�X©UVUV;��^£ Ë 8�ôO;,B (a,b) ;,8 (−a,−b) CO8 N ;,?3UªV? N�N COD;,B δ > 0 L ��88�C§UY;

    ~p = (−b,a);õU

    ~q = (d,− c)PZ;, ? ;q£qUV;,?�BD DVC�£,X`:q ?X\\[3X`BV;q£qUVX`CO8�qÜ�CO8 q(~p) = p(~q) = δ L��8Ã8�CÝUY;

    〈i,j〉p,q� ;qU¤@��q@;

    〈i,j〉;q8ÃPRQ T�V;q8�£,;�[6Q @¤T3X`ôO?���UY: � P`; N COXZ8WU M ∈ Q2 UV;,P&?�;

    p(M) = i;qU

    q(M) = jL Z X

    δ 6= 1 PZCOBV^£,; N COX`8WU86QS;,U N# �øsCOBD£,:q@;q8U¢[ 8� Z2 � ? COXZB �#ôO?3BV;¥XL©  �¥h 

  • ¥O¥ ��� ��� �(� �� � ��� ������� �� ��$� �(� �

    L0

    L1

    L2

    L3

    L4

    0

    12

    34

    5

    4 = 3 × 33 = 3 × 1

    2 = 3 × 41 = 3 × 2

    5 = 3 × 0

    V0

    V1

    U0U1

    0 = 0 × 0

    ) Ï�ä+*�¥XL©  � S &I+ c (@&5�0 Z2 �0=0&$GI�'&$(410+:NJ��� &$(R1F&!10��+$&$G����9NJ/ p = 2x + y &�� q = x− 2y �

    í}P`?3 N BV:q£,X`D:,@A;,8WU9CO8 P ¡N BVC N CODXZUYXZCO8ßD?�X ?§ 8WUY;=<��"!��}!f��s��� !f� � � �� S�&��7NJ��/7� 〈i,j〉 &$(��Q1h�0/#( Z2 (��Q&���(@&� F�'&�w &�/7��(�� j ≡ κi [δ] N�� κ &$(��< F/&�/7�-�9&�+ �2+:&�wx�9&�+!�0=0&$G δ /Y&R1 c �7&�/21h�0/7� tu m&R1F& p &�� q �P c w NJ/#(��-+.�0���9NJ/ , ó ; N COX`8WU 〈i,j〉 ;qDU[ 8� Z2 DXj;qUV;q?�P`;q@;q8UDXjP`;DÔ�UYÌ,@A;ª<

    (

    a bc d

    )(

    xy

    )

    =

    (

    ij

    ) �R¥XL©  � ?�83;DCOP`?hUYX`CÝ8\[ 8� Z2 Ló ;,^;,8WUYXZ;,BV

    a;õU

    bDCO8WU N BV;q@XZ;,BD�;,8WUYBD;¡;,?X\L[�CO8�£àX`P=;,\hX`DUV; u ;qU v UY;qP`^?�; ua + vb = 1 L�8 � P`CÝBVEPRQS:,ô P`X©UY:^[3;@ UVBVX`£q;,

    (

    a bc d

    )(

    u −bv a

    )

    =

    (

    1 0κ δ

    )

    CGFκ = cu + dv

    Ló @ UVBVX`£q; M =

    (

    u −bv a

    ) ;,DU�?�8�XZ@C�[�?�P X`BD;ß[�CO8�£�CO8 N ;,?hU�ø XZBV;�P`;�£ Ë 8�ôÝ;,@A;,8WUß[�;

    ?Ý BVX T�P`; (xy

    )

    = M

    (

    XY

    ) [ 8�%��¥XLZ  � �?3Xj[�; ? X`;q8WU

    X = i, κX + δY = j�?3X ?�83;DCOP`?hUYX`CÝ8\VXj;qUD;,?�PZ;,@A;,8WUVX j−κi

    ad−bc∈ Z. 2

    �8 N ;q?3U X`V:q@;q8WU9ôÝ:,8�:qB PZX`V;qBÊ£,;àBD:,D?�PZU UQ�P [�XZ@;q8�VXZCO8 n XZP6ø ?3U P`COBDÊ@;õUVUYBD;�P @ UVBVXZ£,;[�; N BV:qV;,8WU UYXZCO8�[3;, n [3X`BV;q£qUVX`CO8�VCO?�ÊøsCOBD@;�[3; H ;,BV@AXZUV;0Ló &N BDC N CÝVXZUVX`CO8 N BV:q£,:,[3;,8WUY;@CÝ8UVBV;ª[3CO8�£}?�; Z2 ;qDU.P BD:,?�83X`CO8[�; δ VCO?�~ìwBD:,V; ?X\ L0,L1, . . .Lδ−1[�:��#83X` N# BLl = {M ∈ Z

    2 | q(M) ≡ κp(M) ≡ l [δ]}.ùË ?�;�[�BVCÝXZUY; p = i CO? q = j ;,U�[ 8�?�8HD;,?�P}BD:,V; ? ;qU¢£q;,¢[�BVCÝXZUY;q�8�;¡D;¡£,CO? N ;,8WU¢[ 8�Z2

    ?�;�VXÚ;,P`PZ;,VCO8WU^[ 8�9P`;@��q@;BV:qV; ?oL6]^CÝ8�£à;q8ø XZU£ Ë �?3;¤VCO?3ìwBD:,D; ? $¡BV;qVV;q@¤T�PZ; (�

    Z2 @? ;,£P`;q[3X`BV;q£qUVX`CO8�Ë�COBVX"!,CO8WU P`;qE;qU ? ;qBDUYXZ£ PZ;,MLí BÊ;�\h;,@ N P`;[ 8�ÊP`;£ Ê[�;¢P �#ôO?�BD;�¥XLZ ÝÜ Z2 ;qDUP BV:q?�8�XZCO8�[�; 5 VCO?�~ìwBD:,V; ?X\ L

  • � ��� � � �� ��$����� ��� � � � �"� ¥ �� � � � 4 �^��� �� � �vu� ������\��ª�����"� !f� � �"� � � /Y& �#�0+,���9& E 1F& Z2 &$(�� G$NJ/7=0&��X&�(���w��2�'&�(@&��'NJ/_����10��+:&$G��-�9NJ/ p (�� �7NJ F+Q�ONJ h(�7NJ��/7��( A &�� B � &�� (*tu 7& (AB) &$(�� �#�0+.�0���'>��'&(* p �'&$( �7NJ��/7��(e&�/7�-�9&�+:(*10 (@&9V0w &�/7� [AB] (@NJ/7�f1h�0/#(E �

    û}8 N# BDUYXZ£,?�PZX`;qBP`;, HJI ìw£qCO8 ? ;�\h;q¤VCO8WUàP`;,¢£qCO8 ? ;�\h;q¡VX`@ N PZ;,¢V;qP`CO8éP`;,¢[�XZBV;q£qUYXZCO8� x ;qU y Ló ;,A¥�ìw£,CÝ8 ? ;�\h;,AVCÝ8U�PZ;,¤;q8�V;q@¤T�PZ;,�?�X&VCÝ8U�£qCO8 ? ;,\3;q�DX`@ N P`;qàV;qP`CO8³UVCO?3UV;,¡P`;q¡[�X`BD;,£õUYX`CÝ8�B UYXZCO8�8�;qP`P`;quLó Q÷XZ8WUY;,BDV;q£qUYXZCO8L[�;à[�;,?X\£,CÝ8 ? ;�\h;,¢DX`@ N P`;q9:õU 8WU£qCO8 ? ;�\h;¡DX`@ N P`;§ÜfCÝ8 N ;q?3U[�:��#8�XZB^PRQS;,8 ? ;õìPZC N�N ;�£,CO8 ? ;�\h;àDX`@ N P`;BLZ X�CO8 N BV;,83[L?�8L;q8�V;q@¤T�P`;�[�;à?�;qP`?�;q N CÝX`8WUYÊUYXZBV:, ?LË BD[6Ü0;qU^?�8�;à[3X`BV;q£qUVX`CO8 p XZP.Ô [�;¡øsCOBUY;q£ Ë 8�£,;q N CO?�B¢?�;AP`;q[�BVCOX©UY;q[3;A[3X`BV;q£qUVX`CO8 p N# DV;q8U N# B¢?�8 V;q?�P N CÝX`8WUÜ6;õU[�CO8�£?�;PRQS;,8�D;,@¤T�PZ;£qCO8�DX`[�:qBV:�DCOXZU�£,CÝ8 ? ;�\h;\VXZ@ N P`;�V;qP`CO8 p L ó £,CO8 ? ;�\hXZUV:ßVXZ@ N PZ;¡;,U¡[�CO8�£A?�8�;N BDC N BDX`:qUV: VD; !¢ø X`T3P`;0Lÿ98 ?3UVBV;XZ8�£,CÝ8 ? :,8�XZ;,8WUª[3;P £,CÝ8 ? ;�\hXZUV:DX`@ N P`;);,Uª?�; P £,CO8 ? ;,\hXZUY:VX`@ N PZ;}V;,PZCO8 N P`?�DX`;,?3BV[�XZBV;q£qUYXZCO8\8�; ? :qBVX �#; N# Ê?�8 8 PZCOôO?�;[3;P ¡N BVC N CODXZUVX`CO8L 0LZ  L �XL0ùCÝ8�VXZ[�:,BDCO8�ÊPRQS;,8�D;,@¤T3P`; E [�;P �#ôO?�BD;ߥXL ¥XL6öwP);qDU HJI ìw£,CÝ8 ? ;�\h; ��8�X9L ó ;, N COX`8WUV;q8WUYCO?�BD:,VCO8WU�P`;q N COXZ8UV?�X)8�;�VCO8WU N# [ 8��PRQS;,8 ? ;,P`C N�N ; HJI ì/£,CO8 ? ;�\h;[3;, ?3UVBV;q N CÝX`8WUYqÜ£,;àVCO8WU¢P`;q 8 P`COôO?3;,^[3;,VCÝ@@A;qUV N CO?�BPZ;, H I ì/£,CO8 ? ;,\h;,uL Í X`ÚPRQS;,8�D;,@¤T�PZ; E 86Q÷;qDU N� =:qô P �9PRQS;,8 ? ;qP`C N�N ; H I ì/£,CO8 ? ;,\h;E[�;&£,;q N COX`8WUYqÜN ?3X`V?�;¢£q;, N COXZ8WUY&øsCOBD@;q8UÊ;q?X\ìw@��,@A;,Ê?�8�;,83V;,@àT�P`; HJI ìw£,CÝ8 ? ;�\h;0L

    ) Ï�ä+*�¥XL ¥ � � / &�/#(@&�w "u�'& �_q 65G$NJ/7=0&��X&Rtu F� / � &$(�� �#�J(!� � &�/7=0&��'N � �7& �_qv65G$NJ/7=0&��X&R1 � X/ &�/#(@&�w "u�'&wx��/7��wx Fw 1F& �7NJ��/7��(

    � ��� �� � 4 �^��� �� �] 83^£,;õUVUV;�D;,£qUVX`CO8�;qU9P V;q£qUYXZCO8D?�X ?§ 8WUV;�CO8�V; �#\h;à[�;q?X\�[�X`BD;,£õUYX`CÝ8�ÊB UVX`CO8�83;,P`PZ;, p ;qU q[�;¢P øsCOBV@A; p = ax + by Ü q = cx + dy K? ;q£ a,b,c,d ∈ Z Ü pgcd(a,b) = 1 Ü pgcd(c,d) = 1 LíÚCÝ?�BEUYCO?3U

    M ∈ Q2CO8�[�:��#8�XZUÊPZ;,Ê? UVBV;¢? [�B 8WUY ?3UVCO?�BÊ[�; M N� B6<

    Rpq0 (M) = {N ∈ Z2 / p(N) ≤ p(M)

    ;qUq(N) ≤ q(M)}

    Rpq1 (M) = {N ∈ Z2 / p(N) ≥ p(M)

    ;qUq(N) ≤ q(M)}

    Rpq2 (M) = {N ∈ Z2 / p(N) ≥ p(M)

    ;qUq(N) ≥ q(M)}

    Rpq3 (M) = {N ∈ Z2 / p(N) ≤ p(M)

    ;qUq(N) ≥ q(M)}

    ó QSX`8�[�XZ£,;i

    [�;Rpqi (M)

    ;,U&;q8ø X©U [ 8� Z/4Z [�;9VCOBUY;�?3; Rpq4 (M) = Rpq0 (M) L ó COBVD�?3;^?6QSX`P86Q Ô LN# @àT�X`ôO? �RUY:§Ü.£,;,¡? [�B 8WUV¡VCO8WU�8�CÝUV:,¤DX`@ N P`;q@;q8WU Ri L ��8 N ;q?3U PZCOBV�[�:���8�X`B�P

  • ¥§ü ��� ��� �(� �� � ��� ������� �� ��$� �(� �

    p = p(M)

    q = q(M)M

    R0(M) R1(M)

    R2(M)R3(M)

    ) Ï�ä+*f¥XL � � S &$("! tu �h10+.�0/7��(

    [ ì/£,CO8 ? ;�\hXZUV:ª<����=�Ú���"�s!f� � �"� � � /Y& �#�0+,�-�9& E 1F& Z2 &$(�� � 65G$NJ/7=0&��X& �.G$NJ/7=0&��X& �#�0+!tu �h10+.�0/7���R(@&��'NJ/ p &�� q(��

    (∀i Ri(M) ∩ E 6= ∅) =⇒M ∈ E.û)8 N# BUYX`£q?�P`XZ;,BßP £,P VV; [�;q [ ìw£qCO8 ? ;,\3;qD;,P`CÝ8 p ;qU q ;,U?38�;éDCO?�~ìw£,P VD;é[3;,�£,CO8 ? ;,\h;,VX`@ N PZ;,àD;,PZCO8 p ;õU¡V;qP`CO8 q L ó QSX`8WUV;,BVD;,£õUYX`CÝ8³[�;ß[�;q?X\ [ ì/£,CO8 ? ;�\h;,�;,U¡;,83£,COBD; [ ì/£,CO8 ? ;�\h;ÝܪCÝ8N ;q?3U[�CO8�£E[�:��#8�XZB}PRQS;,8 ? ;qP`C N�N ; [ ìw£,CÝ8 ? ;�\h;[6Q÷?38�; N# BDUVX`; E [3; Z2 L ��8�[�:qVX`ôÝ8�;Ê£,;qUDUY;Ê;,8 ? ;,P`C N�N ;N# B QCONVpq(E) L ó QS;,8 ? ;qP`C N�N ; [ ì/£,CO8 ? ;�\h;�D;¢£ B £qUV:,BVXZV;¢;,8�ø X©U N P`?3DX`@ N P`;q@;q8WUj

  • � ��� ��� ��� ��� � � �� � � �C��� � ¥��

    ��8�£qCO8�DX`[�ÌqBV;¢[6Q T�CÝBV[�P`; $ N# B P`PZ:,PZCOôOB @@A;)(

    ∆ = {〈i,j〉 ∈ Q2 : i,j ∈ Z, minM∈E

    p(M) ≤ i ≤ maxM∈E

    p(M), minM∈E

    q(M) ≤ j ≤ maxM∈E

    q(M)}

    ��8 N ;,?3U P`CÝBV£ PZ£,?�PZ;,BÊP`;U T�PZ; ?�[�;àTfC�COP`:q;,8� (V0(M)M∈∆ VXZôO8�X"� 8WU V0(M) = “R0(M) ∩E 6= ∅′′

    ôOB DÝ£,;!�¡P BV:q£,?�BDBV;q8�£,;ª<

    V0(〈i,j〉) = V0(〈i− 1,j〉) ∨ V0(〈i,j − 1〉) ∨ � 〈i,j〉 ∈ E �]^;à@��q@;�CO8 N ;q?3U£ P`£q?�P`;qB^P`;q^U T�P`; ?X\ V1(M),V2(M),V3(M) L ó QS;,8 ? ;qP`C N3N ;¡£qCO8 ? ;�\h;A[�; E;qDU P`CÝBV6<

    QCONVpq(E) = {M ∈ ∆ ∩ Z2 : V0(M) ∧ V1(M) ∧ V2(M) ∧ V3(M)}.

    ��8 [�CÝ8�£Ê?�8 PZôOCOBDXZUYË3@; P`X`83: XZBV;&[6QS;,8 ? ;,P`C N�N ; [ ìw£,CÝ8 ? ;�\h;^;q8AøsCÝ8�£qUVX`CO8�[�?8�CO@¤T�BD;Ê[�; N COXZ8UV[�;∆L

    � ��� � !M������ I � � 4x������ � � acy���t9uwehu~b)t^x ge k3g.u��6k�gjx k3b k�u~yehyjx

    ó ;, N COX`8WUYE X`PZP 8WUV&VCO8WUP`;qÊ:,?�X ?§ PZ;,8WUYE[3;,VCO@A@;õUY N CO?�BEPZ;, [ ìw£,CÝ8 ? ;�\h;,ML�\��ª�����"� !f� � � � � � / �7NJ��/7� M 1 � F/Y&)�#�0+,���9& E 1F& Z2 &$(��n X/ �7NJ��/7� (p,q) 69(u�0�������0/7� ) (�� M 6∈QCONVpq(E \ {M}) � i / � � �h"�(@&�/YG$&x1 � �0w "u��V0 ��� c (� F+R�'&$(x10��+:&$G��-�9NJ/#(�NJ/ �#�0+,�'&�+5� (���w��2�'&�w &�/7�1F& �7NJ��/7�f(u�0�������0/7� �� ��1³12� � � � �"��� / �7NJ��/7� M &$(�� F/��7NJ��/7� (u�0�������0/7�f1F& E (�� &��U(@&� F�'&�w &�/7��(������v&�� �'(��O& i � &��Ytu 7&Ri(M) ∩ E = {M} �P c w NJ/#(���+.�0�-�9NJ/ , ]àQ ÝN BVÌq�P AN BVC N CODXZUVX`CO8¥XL � L ¥�CO8L XZU^�?3; M 6∈ QCONVpq(E \ {M}) DX=;õUD;,?�PZ;,@A;,8WUVXjX`P�;�\hX`UY;

    iUY;qPj�?3;

    (E \ {M}) ∩ Ri(M) = ∅L

    2

    ��8 � X`8�DXj?�8�:,8�CÝ8�£,:VXZ@XZP XZBV;Q��P ¤N BVC N CODXZUVX`CO8H  L©  L �<�"! �}!f����"�s!f� � � � � � k2NJ X� � 65G$NJ/7=0&��X& �#83X &$(���� � &�/7=0&��'N � �7& � 65G$NJ/7=0&��X&�1F&�(@&$( �7NJ��/7� ( (u�0�������0/7� ( �P c w NJ/#(���+.�0�-�9NJ/ , Z COXZU E ?38�; N# BDUVX`; [ ìw£qCO8 ? ;,\3;[�; Z2 ÜO;õU M ∈ E LWöwP3ø ?3U)@ACO8WUYBD;,Bª?�;£ Ë ?�;? [3B 8WU ?3UVCO?�BE[�; M £,CO8WUYXZ;,8WU?�8 N COXZ8WUÊ XZP`P 8U[�; E LùCO8�DX`[�:qBVCO83 N# B;,\h;,@ N P`;�PZ;^? [3B 8WU R0(M) L Z COX©U&[�CO83£ N P`; N CÝX`8WU&[�; E ∩R0(M) ?�X@AX`8�XZ@XZV;

    (p(N),q(N))[ 8�¤PRQSCOBD[�BV;ßPZ;�\hX`£qCOôOB ÝN Ë�XZ�?3;0L �Rù; N COX`8WUà;�\hX`UY;\£ B E ;,U �#8�X � ó ;N COX`8WU M ? :qBVX"��; R0(M) ∩ E = {M} ;qU[�CO83£ M ;qDU?�8 N COXZ8WUÊ XZP`P 8UuL 2

    ù;õUVUY; N BVC N CODXZUYXZCO8;,DU)XZ@ N COBU 8WUY;)£ Bª;,PZP`;@CÝ8UVBV; �?Q÷XZP�Ô ?�8�;T�X dD;q£qUYXZCO8¤;q8UVBV;&PZ;,Ú;,8�D;,@¤T�PZ;,�#83X`E[�; N COX`8WUYE X`PZP 8WUV&;qUP`;q [ ìw£,CÝ8 ? ;�\h;, �#8�XZuL7 ? ;,£P ¡N BDC N COVX©UYX`CÝ8�¥XL � L ¥¤CO8�;,8�[�:q[�?�XZU6<� !0"! � �s�#� "� � � � � � W � S &$(��

  • ¥Ýý ��� ��� �(� �� � ��� ������� �� ��$� �(� �

    P c w NJ/#(��-+.�0���9NJ/ , ó ;AV;q8� ⇐ ;,DU�£,P X`BML Í CO8WUVBVCO8�P`;�D;,8� ⇒ 9CÝUVCO8�S ′

    PRQS;,83V;,@àT�P`;¢[�;q N COXZ8UVE XZP`P 8WUY&? [3BV:,[�; E L����=�Ú���"�s!f� � � � � � P^&� J� (u�0�������0/7� (Rtu #�h10+ c ( (A,i) &�� (B,j) (@NJ/7�QG$NJ/#( c G� F�-� ,:(e(��nNJ/ �� X/Y&x1F&$((�� � G$NJ/210���-�9NJ/#(

    i = j = 0 &�� R0(N) ∩ E = ∅ N�� N = 〈max(p(A),p(B))− 1, max(q(A),q(B))− 1〉 � i = j = 1 &�� R1(N) ∩ E = ∅ N�� N = 〈min(p(A),p(B)) + 1, max(q(A),q(B))− 1〉 � i = j = 2 &�� R2(N) ∩ E = ∅ N�� N = 〈min(p(A),p(B)) + 1, min(q(A),q(B)) + 1〉 � i = j = 3 &�� R3(N) ∩ E = ∅ N�� N = 〈max(p(A),p(B))− 1, min(q(A),q(B)) + 1〉 � {i,j} = {0,1} NJ {i,j} = {2,3} &�� q(A) = q(B) &�� E &$(���+:& q = q(A) �

  • � ��� ��� ��� ��� � � �� � � �C��� � ¥ �

    {i,j} = {1,2} NJ {i,j} = {3,0} &�� p(A) = p(B) &�� E &$(�����/YG��j h( 1h�0/#(R X/ 1F&�wx��6��2���0/1F& ,,+$NJ/7���9>�+:& p = p(A) �

    P4�0/#(4G$&xG5�J(^NJ/E/YNJ�O& ACONSB �Z XCO8 P�Q÷?�83;[3;,Ê[�;,?F\�[�;,BD8�X`ÌqBV;,Ê£qCO8�[�X©UYX`CÝ8�ECO8�[�XZUÊ?�; [AB] ;,DU?�8 �2�9&51 [3; E L

    ��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

    ��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

    ������������������������������

    ������������������������������

    ������������������������������������������������

    ���������������������������������

    ���������������������������������������������������������

    ����

    ����

    ����

    ����

    ����

    ����

    ��������������������������������������������

    ��������������������������������������������

    ���

    �������������

    A

    B

    ������� � 8�8$6 5 � 8��;678 /�8�� /�� 5��$8�� ��� 8�� 1 6 E57/�� (A,i) 6�� (B,j) � � 8�� 1$6�� �4/ � ! ! /�8��"��#$� /�1%� � �������� � 8�8$6 5 � 8��;678 /�8�� /�� 5��$8�� ��� 8�� 1 6 E�$/�� 1 ��& 8 � � � � 8 1 6 ! / 5 � 8'� � 5��(� � )(� � �

    A

    B

    ) Ï�ä+*¥FL#� �sS &$(R1F&� ��sG5�J(R1F&RG$NJ/#( c G� X����=@��� c * +$NJ�9�0���9NJ/��2+$>$(

    ��8 [�CO8�£@¤?�8�X S ′ [6Q÷?38AUYBD?�£qUV?�BV;E[�;ôOB ÝN Ë�;0LWí Bª;,\3;q@ N P`;&DX3CO8¡£qCO8�VXZ[�Ì,BD;EP`;qª[�X`BD;,£õUYX`CÝ8�p = x

    ;qUq = y

    ;qU^PRQS;,8�D;,@¤T�PZ;E

    [�;¤P ��ôO?�BV;¤¥XL÷ý PZCOBVP`;q^V;q?�P`;q^BD;,P UYX`CÝ8�9[3;à£,CÝ8�V:q£,?3UVX ? XZUV:DCO8WUj<

    (A,0)CONS(A,1)CONS(C,1)CONS(D,1)CONS(E,2)CONS

    (E,3)CONS(C,3)CONS(B,3)CONS(A,0)

    ó BD;,P UYXZCO8 CONS [�:���8�XZU[�CO83£?38�£õÔ�£,P`;V?3B S ′ L�û)8�ø X©UE£ÝQS;,U ? B Xj;,8�ôO:,8�:qB P-L

    A

    B

    C

    D

    E

    (A,0)

    (B,3)

    (E,3) (E,2)

    (D,1)

    (C,1)

    (C,3)

    (A,1)

    ) Ï�ä+*�¥XL÷ý � � / &�/#(@&�w "u�'& E � 65G$NJ/7=0&��X&�(@&��'NJ/ p = x &�� q = y &�� (@NJ/ G�pTG��'&�1F&$( �7NJ��/7� (n(u�0�������0/7��(tu #�h10+ c ( � �-P4�0/#(^G$&���&��X&�w��2�'&I�ONJ T(!�'&$( �7NJ��/7��(41F& E (@NJ/7� (u�0�������0/7��( �

    �"! �}!f����"�s!f� � � � � # S &�V0+.���7`7& (S ′,CONS) &$(�� F/rG�pTG��'& �

  • ¥ � ��� ��� �(� �� � ��� ������� �� ��$� �(� �

    P c w NJ/#(��-+.�0���9NJ/ , ùCO8�VXZ[�:,BDCO8�P`;qEüA;q8�V;q@¤T�PZ;, Si = {M : (M,i) ∈ S ′} L��8 N ;,?3U)@A;qUDUYBV; S0 DCO?�}P øsCÝBV@A; S0 = {M1, . . . ,Mn} K? ;q£ p(M1) < p(M2) < . . . p(Mn) L�8 PZCOBV�øsCÝBV£,:q@;q8WU q(M1) > . . . > q(Mn) L Z X)X`PªÔ K?§ X©U�?38 N COX`8WU[ 8� R0(〈p(Mi+1) −1,q(Mi) − 1〉)

    PZCOBVA£,; N COXZ8UV;qB X©U�[ 8� S0 £,;�?�X^;qDUßXZ@ N CODVX`T3P`;�[�CO8�£ MiCONSMi+1 L]^; N PZ?� MiCONSMj ;,DU�X`@ N COVDX`T�PZ;¤[�Ì,?�; |i − j| > 2 Üj£ B Mk CGF i < k < j ;,Uà[ 8�R0(〈p(Mj)− 1,q(Mi)− 1〉)

    L#]^CO8�£CO8 ¡N BVCÝ? ? :?�;ª<

    (Mi,0)CONS(Mj,0)DVX|j − i| = 1.

    ó ; ôOB ÝN Ë�; (S0,CONS) ;,U�[�CO8�£H?�83; £ Ë CB 8�;BLÊ]^; @��q@;�ø �� CO8cCO8 N ;,?3U�@ACO8WUYBD;,B\?�; P`;qôOB ÝN Ë�;, (S1,CONS) Ü (S2,CONS) ;õU (S3,CONS) VCÝ8U[�;q9£ Ë CB 8�;quLùË�;qBV£ Ë�CÝ8��@ XZ8WUY;,8 8WU¡P`;q N CÝX`8WUY¤£qCO8�D:,£,?hUYXZøs ?F\ N COX`8WUYà[�; S0 ?�XE8�;\VCÝ8U N� ¤;,?F\�ì@��q@;qE[ 8� S0 L Z X 1 < i < n PZCOBV Mi 8Q � ?�£q?�8 N COXZ8WUE£,CO83V:,£q?3UYX©ø=8Q ÝN3N# BDUV;,8 8U N# �� S0£ B E 8�; N ;q?3U N# �õUYBV;¢£qCO8WUY;,8?�[ 8�?�8�[�;,@AX©ì N P 8\[�;øsBVCO8WUYXZÌ,BD; p = p(Mi) CO? q = q(Mi) Lí�CO?�Bi = 1

    CO8A X©U ?�; M1 ;,DU P`; N COXZ8U?�X#@AX`8�XZ@XZV; (p,q) N CO?�B)P�Q÷COBD[�BV;EPZ;�\hX`£qCOôOB ÝN Ë�XZ�?3;0LZ COXZUN

    PZ; N COXZ8UÚ?�X3@AX`83X`@AX`V; (p,−q) N CÝ?�BÚP�QSCOBV[�BD; PZ;�\hX`£qCOôOB ÝN Ë�XZ�?3;ÝÜ"P`; N COXZ8WU N ;,DU=øsCOBV£q:,@A;,8WU[ 8� S3 L ó ;, N CÝX`8WUY)[�; S D?�B P [�BVCÝXZUY; p = p(M1) VCÝ8U ;�\ £õUY;q@;q8U M1 ;qU N L�]^CÝ8�£9PZ;,}D;,?�PZN COXZ8WUYÊ? [�BD:,Ê£,CO83V:,£q?3UYX©øs�� (M1,0) VCO8WU (M2,0) ;õU (N,3) Lþ=XZ8 PZ;,@A;,8WUCÝ8 N ;q?3UÊ@CÝ8UVBV;qB&?6Q÷XZP86Q Ô ?6QS?�8�;¢D;,?�PZ;£,CO8�D:,£q?3UYX ? X©UY:;q8UVBV; S0 ;qU S1 Ü3?�8�;V;,?3P`;\;,8WUVBV;S1

    ;qUS2

    ;õU¡?�8�;\D;,?�PZ;ß;,8WUVBV;S2

    ;qUS3

    ;õU¡?�;\£,;q¡£,CO83V:,£q?3UYX ? XZUY:q¡V;ßøsCO8WU¡;q8WUYBV;N COXZ8WUY�;,\hUVBV:q@ ?F\H[�;q£ Ë CB 83;, Si L �8H;q8 [�:,[�?3XZU[�CÝ8�£¤?�;�P`;�ôOB ÝN Ë�; (S ′,CONS) ;,U¢T�X`;q8?�8�£õÔ�£,P`;BL � ? CÝX`B �#ôÝ?�BV;�¥XL � L � 2

    N

    M1

    Mn

    S0

    S1

    S2

    S3

    q

    p

    ) Ï�ä+*�¥FL � � 8

  • � ��� ��� ��� ��� � � �� � � �C��� � ¥ �

    p = x � q = y

    p = x + y,q = x− y

    ) Ï�ä+*¥FL � �sP^&� J�s&��X&�w��2�'&$(41F& � 65G$NJ/7=0&��X&$(

  • � ¦ ��� ��� �(� �� � ��� ������� �� ��$� �(� �� ��� � ��� � �R��� � � R _����,� �

    ùCO@A@A; N CO?�B�P £qCO8 ? ;�\hX©UY:éUVCÝU P`;ÝÜP [ ì/£,CO8 ? ;�\hXZUV:é86QS;,8WUVB CB 8�; ?�£,?�83;2[�;q£,CÝ8�8�;�\hX©UY:,[�X`D£,BVÌõUY;quL � ? COX`B �#ôO?�BD;�¥XL � � ] 8��£q;qUVUV;\V;q£qUYXZCO8ÃCO8 ?§ £ Ë�;,BD£ Ë�;,BAP`;q¤£,CO83[�XZUVX`CO8� N CO?3B¤?6Q÷?38[ ì/£,CO8 ? ;�\h; X©U ?�DVX.[�;q N BVC N BDX`:õUY:,Ê[�;¢£qCO8�8�;,\3X©UY:BL

    � ����� � �\psu~t^x�yjd|���u~n~u/ehy] 8�ªP`; N BD;,@AX`;,B�;�\h;q@ N PZ;[�; P �#ôO?�BD;Ê¥XL �3Ü"CO8 N ;,?3U=BV;,@ BD�?3;,B=[3;,ª[�BDCOXZUV;,ÚË�COBVX"!,CO8WU P`;qÚCO?

    ? ;,BUYXZ£ PZ;,ª?�Xh8�;&£,CÝ8UVX`;q8�8�;,8WU ?3£,?�8 N COX`8WUÚ[�;&P�Q÷;q8�V;q@¤T�P`;BL ó ;q};,8�D;,@¤T�PZ;,ªXZ8�V:q£ T3P`;,=86Q ?�BVCO8WUN# Ê£,;õUVUY; N BDC N BVXZ:qUV:0L����=�Ú���"�s!f� � � � � W NJ��� E F/Y& �#�0+,�-�9&I1F& Z2 ) p F/Y&!10��+:&$G����9NJ/ ) pmin = inf{p(M) / M ∈ E}&�� pmax = sup{p(M) / M ∈ E} � � /r10���

  • � ��� � � � �V� ��� �� �(� � � � �;� �� ��� � �  

    P c w NJ/#(���+.�0�-�9NJ/ ,� Z ? N�N COVCO83?�; E ;,U HJI ì/£,CO8 ? ;�\h;à;õU �"ìw£,CÝ8�8�;�\h;BL]�Q ÝN BVÌ,àP �N BVC N CODXZUYXZCO82¥XL#�FL ¥�CÝ82 XZU¤?�; E ;qDU¡XZ8�V:q£ T�PZ;�D;,P`CÝ82P`;qà[�XZBV;q£qUYXZCO8 {x,y} LöwP.BD;,DUV;x� N BVCO? ? ;,B9�?3; E ;qDU [ ì HJI ìw£,CÝ8 ? ;�\h;0L Z COX©U M ?�8 N COX`8WU[�; Z2 UV;,P��?3;¤£ Ë ?�;

    Ri(M)£,CO8WUYXZ;,8�83;?38 N COX`8WU Ai [�; E L>CÝUYCÝ8�∆i = Ri ∩Ri+1

    L3û}8\£qCO8�VXZ[�:,B 8WUE?�8 �"ìw£ Ë�;q@XZ8�;,8WUVBV; Ai ;qU Ai+1 CO8� X©U&?6QSX`P0Ô ?�8 N COX`8WU Bi ∈ (∆i−1 ∪∆i) ∩ E L � ? COX`B ��ôO?�BV;à¥XL � � Z ? N3N CODCO8�?6Q÷XZPj;�\hX`UY; k ;qU l UV;,P`

    p = p(M)

    q = q(M)M

    ∆0

    ∆1

    ∆2

    ∆3

    R2(M)

    R1(M)R0(M)

    R3(M)

    A1A0

    A2A3

    ) Ï�ä+*¥XL � � 8�NJ F+.tu mNJ� M &$(���6O��� 1h�0/#( E �

    ?�;Bk ∈ ∆0

    ;qUBl ∈ ∆2

    Ü P`COBD&8�CO?3 K? CO8� N# B I ìw£,CÝ8 ? ;�\hXZUV:�?�; M ∈ E LZ ? N�N COVCO83&?�; N CO?�B)UYCO?� k CO8 XZU Bk 6∈ ∆0 L ��8 � P`COBD B1 ∈ ∆1 ;õU B0 ∈ ∆3 ;qUE[3CO8�£N� B H ì/£,CO8 ? ;,\hXZUY: M ∈ E L]9;P @��q@;�ø �� CO8�VX N CÝ?�B&UYCO?3 k Bk 6∈ ∆2 PZCOBVECO8� XZU?�; B3 ∈ ∆3 ;qU B2 ∈ ∆1 ;qU[3CO8�£ N# B H ìw£,CÝ8 ? ;�\hXZUV: M ∈ E L] 8�EUYCO?3PZ;,E£ ÊCO8 M ∈ E ;qU[�CÝ8�£ E ;,DU [ ì H I ìw£qCO8 ? ;,\3;BL� Z ? N�N COVCO83@ XZ8UV;,8 8U E [ ì HJI ì/£,CO8 ? ;�\h;0L ��8 ?§ @ACO8WUYBV;qBÊP ¤N BDC N BVXZ:qUV:V?�X ?Ý 8UV;ª<

    �Z X

    A;qU

    BVCO8WU[3;,?X\ N COXZ8WUY^[3; E XZPÚ;,\3XZDUV;¤?�8 ��ì/£ Ë�;,@AX`8LBD;,PZX 8WU A ;õU B X`8�£qP`?�9[ 8�

    EL���8 ?§ ø X`BV;?�8�;ßBD:,£q?�BVBD;,8�£q;�D?�B max(|xA − xB|,|yA − yB|) L Z ? N�N COVCO83¡P �N BVC N BDX`:õUY:? B X`; N CO?3B^UYCO?3 A Ü B UY;qP=?�; max(|xA − xB|,|yA − yB|) ≤ l L Z COXZ;,8WU A ;õU B UY;qP`9�?3;

    max(|xA − xB|,|yA − yB|) ≤ l + 1L ��8ÂV? N�N CÝV; N# Bà;�\h;q@ N PZ;ß?�; xA < xB ;õU¤?�;

    yA < yBL Z CÝXZU

    A1(xA,yA + 1)ÜA2(xA + 1,yA)

    ÜA3(xA + 1,yA + 1)

    L Z QSX`Pf;�\hXZDUY;?38Ai

    UY;qP?�;

    Ai ∈ E P`COBD&[6Q ÝN BDÌ,P BV:q£,?�BDBV;q8�£,;CO8 T3X`;,8�?�8�£ Ë�;q@XZ8�;q8UVBV; A ;qU B LZ ? N�N COVCO83[3CO8�£¢?�; A1 6∈ E Ü A2 6∈ E Ü A3 6∈ E LùCÝ@@A;

    E;,U I ìwXZ8�V:q£ T3P`;¤XZP=;�\hXZDUY;�?�8 N COX`8WU M UY;qPª?�; xM = xA + 1 L Z X yM ≤ yA P`COBD A2 ∈ E N# B [ ìw£,CÝ8 ? ;�\hXZUV:¡£,CO8WUVB [�XZ£qUVX`CO8oLf]^CÝ8�£ yM > yA L]^;¤@��,@A;�XZPÚ;,\hX`DUV;¤?�8N COXZ8U N UY;qP ?�; yN = yA + 1 ;qU xN > xA L Í X` PZCOBV A ∈ R0(A3) Ü M ∈ R3(A3) Ü

    B ∈ R2(A3)ÜN ∈ R1(A3)

    ;qU[�CÝ8�£A3 ∈ E

    £,CO8WUVB [�XZ£qUVX`CO8oL � ? COX`B �#ôÝ?�BV;�¥XL© �¦ �2

    ó ; N BVCÝT�P`Ìq@;�[3;£,;qUDUY;¢£ B £õUY:,BDX` UYXZCO8ß;,U�?3;P�Q÷CÝ8ß8�;¢£,CO83VX`[3Ì,BV; N� EV;q?�P`;q@;q8U[�;qE? ì[�B 8WUY.@ X` ?3VVX[�;q.[�BVCOX©UY;quL ��8�83; £qCO8�8 CB U.[�CO8�£ N# ÊN BDX`COBDX �?3COXBV;,DV;q@¤T�P`;)?�8�;,8�D;,@¤T3P`;[�; N COXZ8WUY X`PZP 8WUV[Q÷?�8 H I ì/£,CO8 ? ;,\h; �"ìw£,CÝ8�8�;�\h;BL�û}8ßø XZU P N BVC N CODXZUVX`CO8V?�X ?Ý 8UV; N ;,BV@A;qU[�;BD:,VCÝ?�[�BV;¢£q; N BDCOT�PZÌ,@A;0L

  • � ¥ ��� ��� �(� �� � ��� ������� �� ��$� �(� �

    A

    B

    A2

    A1 A3

    M

    N

    ) Ï�ä+*�¥FLZ �¦ �sS &R1 c "u X��10 EG$`7&�wx��/ &�/7�-+:& A &�� B

    ��"!��}!f��s��� !f� � � � � � � /b&�/#(@&�w "u�'& E &$(�� � qv65G$NJ/7=0&��X& ' 65G$NJ/7/Y&��X&x(��I&��Q(@&� F�'&�w &�/7�Q(��Q���n&$(��� qv6 � 65G$NJ/7=0&��X&^&��f(�� �7NJ X+I�ONJ X� (x,y) ∈ Z2 NJ/ � �'&$(!tu �0��+:& c /YNJ/YG c (*(� X��=J�0/7��( ,E ∩ (R0(x,y) ∪ R2(x + 1,y)) = ∅ =⇒ (E ∩R1(x,y) = ∅ NJ E ∩ R3(x,y) = ∅)E ∩ (R0(x,y) ∪ R2(x,y + 1)) = ∅ =⇒ (E ∩R1(x,y) = ∅ NJ E ∩ R3(x,y) = ∅)E ∩ (R3(x,y) ∪ R1(x + 1,y)) = ∅ =⇒ (E ∩R0(x,y) = ∅ NJ E ∩ R2(x,y) = ∅)E ∩ (R1(x,y) ∪ R3(x,y + 1)) = ∅ =⇒ (E ∩R0(x,y) = ∅ NJ E ∩ R2(x,y) = ∅)

    �R¥XL � �

    P c w NJ/#(��-+.�0���9NJ/ ,⇒

    Z COX©UE

    ?�8³;q8�V;q@¤T�PZ; ��ì/£,CO8�83;�\h;0L Z ? N�N COVCÝ8�à?�; E ∩ (R0(x,y) ∪ R2(x + 1,y)) = ∅ Ló Q÷;q8�V;q@¤T�P`;Z2\(R0(x,y)∪R2(x+1,y))

    [3;,?X\�£,CÝ@ N CO 8UV;, ��ì/£,CO8�83;�\h;, R1(x+1,y−1);qUR3(x,y +1)

    L ó QS;,8�D;,@¤T3P`;E

    ;qDU&XZ8�£,PZ?�)[ 8�?�8�;9V;q?�P`;[�;^£q;, £,CO@ N CO 8WUV;,£,CO8�83;�\h;,;qU�[�CÝ8�£(E ∩ R1(x,y) = ∅

    CO?E ∩ R3(x,y) = ∅)

    L ó ;qßUYBDCOX` ?3UYBD;, DV;qBDUYXZCO8�ßD;[�:,@ACO8WUYBD;,8WU[�;¢P @��,@A;�ø �� CO8YL⇐

    Z COX©UE

    ?�8�; N# BDUVX`; ? :qBVX"� 8WU&P`;qøsCÝBV@¤?�PZ;,��R¥XL � � L3]�Q ÝN BVÌ,P`;ÊUYË�:qCOBVÌq@; N BV:q£,:,[3;,8WUEX`P0D? ��U[�;E@ACO8WUYBV;qBª?�;E

    ;qDU)X`83V:,£ T�PZ;0L Z COXZU}[3CO8�£ x = i P�Q÷:q�? UYXZCO8¤[6QS?�8�;Ê[�BDCOXZUV; ? ;qBDUVX`£ P`;0L ��8V? N3N COD;�?�;^£q;qUDUY;^[3BVCOX©UY;Ê8�;^£qCO8WUYXZ;,8WU ?�£,?�8 N COXZ8WU[�; E ;qU&?�;9PRQSCO8 ?�8 N COXZ8U A ∈ E? :qBVX"� 8WU xA ≤ i ;õU?�8 N COXZ8U B ? :,BVX � 8WU xB ≥ i L Z ? N�N COVCO839?�;¢PRQSCO8 yA ≤ yB LùCO@A@;(i,yB) 6∈ E

    CÝ8 R3(i,yB) ∩ E = ∅ L Z CÝXZU jmin PZ; N P`?� N ;qUVXZU¢;,8WUVX`;,BUV;,P}?�;R3(i,jmin) ∩ E = ∅

    LöwPª;,\3XZDUV;¡[�CO8�£¡?�8 N COX`8WU C UY;qP=?�; yC = jmin − 1 ;õU xC < i LùCO@A@;(i,jmin − 1) 6∈ E

    CO8 øsCÝBV£,:q@;q8WU R1(i,jmin − 1) ∩ E = ∅ L ]9CO8�£CÝ8 A ∈ R0(i,jmin− 1)

    ÜB ∈ R2(i,jmin)

    ÜR1(i,jmin− 1)∩E = ∅

    ÜR3(i,jmin)∩E = ∅£,CO8WUVB [�XZ£qUVX`CO8 K? ;q£

    E ∩ (R1(x,y) ∪R3(x,y + 1)) = ∅ =⇒ (E ∩ R0(x,y) = ∅CO?

    E ∩ R2(x,y) = ∅)

    K? ;,£ x = i ;qU y = jmin L2

    þ=XZ8 PZ;,@A;,8WUÜ"ôOB DÝ£,; ?¡P`;q@@A;&¥FL÷ü LSü�CO8¡CÝT3UYXZ;,8WUªP £ B £qUV:,BDX` UYX`CÝ8à[�;q};,8�D;,@¤T�PZ;,ª[3; N CÝX`8WUY XZP`P 8UV&[�;q H I ìw£qCO8 ? ;,\3;q ��ì/£,CO838�;�\h;,<� !0"! � �s�#�s"� � � � � � � / &�/#(@&�w "u�'& S �#8�X &$(��� F/ &�/#(@&�w "u�'&�1F& �7NJ��/7�o(u�0�������0/7� (Q1 � F/ �_q 65G$NJ/7=0&��X&' 65G$NJ/7/Y&��X& �#8�X (�� &��(@&� F�'&�w &�/7��(�� �7NJ X+Q� NJ F� M 1h�0/#( S ���o&�� �'(�� & i �O&��otu 7& Ri(M)∩S = {M}&�� (�� S = c +,� -�&I�'&$( ,KNJ+,wx F�'&$( �R¥FL � � �

  • � ��� � � � �V� ��� �� �(� � � � �;� �� ��� � � �

    � � � � � �"� �����O!f�Ú�.��.�s��7 ? ;,£AP ü�ìw£,CÝ8�8�;�\hX©UY:¡CO8 [�;q£ B £qUY:qBVXZ UVX`CO8�^VX`@AX`P X`BD;,@ X`�CO8 [�CÝXZU@ACh[3X"�#;qB^PRQ [Jd ì£q;,8�£q;�[�;qÊ�? [�B 8UV6<

    �"! �}!f����"�s!f� � � � � � � / &�/#(@&�w "u�'& E &$(�� �_qv65G$NJ/7=0&��X& !765G$NJ/7/Y&��X&�(��e&��Q(@&� X�'&�w &�/7�

  • � ü ��� ��� �(� �� � ��� ������� �� ��$� �(� �

    � ��1³12� � � � � � W � E &$(���- /7� !765G$NJ/7/Y&��X&�&���(���w��2�'&�w &�/7�

  • � ��� � � � �V� ��� �� �(� � � � ����� �(��� � ��� ��� � � �

    Z ? N3N CODCO8�}[�CÝ8�£E?�; A1 ∈ E L ó Q 83ôOP`;&;q8WUYBV; (1,0) ;õU −−→A1B ;,U)[ 8�}P�Q÷XZ8UV;,B ?Ý P`P`; ]0,45◦] £ BqQ÷XZPf:õU X©U N P`?�ôOB 8�[�?�; 45◦ Ü P`COBD)P`;, [�BVCÝXZUY;q y = yA ;qU x− y = xB − yB 8�;^D;^£,CÝ? N ;qB XZ;,8WUN# ;q8é?38 N COX`8WU¢[�; Z2 L Z X}£,;õU 8�ôOP`;¡;qDU�;�\ £õUY;,@A;,8WU�:,ô P � 45◦ P`COBDP [�BVCÝXZUY; (A1B) ;,DU;qP`P`; ìw@��,@A;9?38�ý�ìw£ Ë�;q@XZ8\;,8WUYBD;A1

    ;qUB

    ;õUÊ[�CO8�£^CO8 T�X`;q8\?�8�ý�ìw£ Ë�;q@XZ8ß;,8WUVBV; A ;õU B L Z XZ8�CO8[6Q ÝN BDÌ,�P BV:,£q?�BVBD;,8�£q;\X`P};,\3XZDUV;�?�8Âý"ìw£ Ë�;q@XZ82;,8WUVBV; A1 ;qU B ?�X N ;q?3U �õUYBD; N BDCOP`CO83ôO:;q8³?�8£ Ë�;q@XZ8�;,8WUYBD;A

    ;õUBL

    Z XA2 ∈ E

    CO8�@ACO8WUYBD;¢[�;�P @��q@;�ø �� CO8��?Q÷XZP�;,\hX`DUV;¢?�8Lý�ì/£ Ë�;,@AX`8�;q8UVBV; A2 ;õU B ?�X.V;N BDCOP`CÝ8�ôO;�[�CÝ8�£¢;,8�?�8ý"ìw£ Ë�;q@XZ8�;q8WUYBV; A ;qU B Ló ;, ?3UVBV;¢£ qQ÷;q8[�:q[�?�XZV;,8WU N# BÊÔh@A:qUVBVXZ;0L2

    � ��� � ��� � �R��� � � 4 �^��� �� � � !� ���ùCO8WUYB X`BD;,@A;,8WUe�ߣq;¤?�XªD; N# DV; K? ;q£¡P ¥"ì/£,CO8 ? ;�\hXZUV:¤P`;�P`X`;q8L;,8WUVBV;¤P _[ ìw£,CÝ8 ? ;�\hXZUV:¤;qU�P £qCO8 ? ;�\hX©UY:¢UYCÝU P`;�;qDUÊUYBDÌ,ÊVXZ@ N P`;ª<

    �"! �}!f����"�s!f� � � � � W NJ��� E F/Y& �#�0+,�-�9&!1F& Z2 � S�&$(R1F&� J� �2+:N �7N@(������9NJ/#(*(@NJ/7� c tu F��=J�0�'&�/7�O&$( , S � &�/#(@&�w "u�'& E &$(�� � NJ�9�0�'&�w &�/7��G$NJ/7=0&��X& � 8�NJ F+I� NJ F� &$(R10��+:&$G����9NJ/#(I+.�0�-�9NJ/7/Y&����'&$( p &�� q ) � � &�/#(@&�w "u�'& E &$(�� � 65G$NJ/7=0&��X&�(@&��'NJ/ (p,q) �P c w NJ/#(���+.�0�-�9NJ/ , ó QSX`@ N P`XZ£ UVX`CO8 ⇒ ;qDU£,P X`BD;0LíÚCÝ?�B.PRQ ?3UYBD;}V;q8�Ú£qCO8�DX`[�:qBVCO8�.?�8;,83V;,@àT�P`; E [ ìw£qCO8 ? ;�\h; V;,PZCO8UYCO?hU.£,CO? N P`; (p,q) L]àQ §N BVÌqP �N BDC N COVX©UYX`CÝ8m  L©  LSüXZPD? ��U¤[�;@CÝ8UVBV;qBà?�;UVCO?3U N COXZ8WU M XZ8WUY:,BDX`;q?�BR��?�82UVBVX 8�ôOP`; ABCCGF

    A,B,C ∈ E;,DU ?�DVX)[ 83 E L Z X M ;,DU�V?3BP�Q÷?38é[�;q¢£,CÝUV:,[�? UVBVX 8�ôOPZ;ÝÜ6£qCO@@A; E ;,U[ ìw£qCO8 ? ;,\3;V;qP`CO8\UVCO?�EP`;qÊ£,CO? N P`;,E[3;[3X`BV;q£qUVX`CO8�qÜ3XZP6;,U øsCOBUYXZCOBVX¥"ìw£qCO8 ? ;,\3;;qU[�CÝ8�£ M ∈ E LZ XZ8�CO8³CO8£qCO8�DX`[�ÌqBV;ßPZ;�£,CÝ? N P`;�[�;ß[�XZBV;,£õUYXZCO8� (p,q) CGF p ;qDU�P [�XZBV;,£õUYXZCO8³[�; (AM) ;qU q;qDU�P [3X`BV;q£qUVX`CO8�[�; (BM) ;qU9UY;,P�?�; q(A) ≤ q(M) ;qU p(B) ≤ p(M) Lí�CO?�BUYCO?3U i 6= 2 CÝ8

    Ri(M)∩ {A,B} 6= ∅L��8 øsCOBV£q:,@A;,8WU p(C) ≥ p(M) £ BDX`8�CO8P`;UYBVX 8�ôOPZ; ABC ;qDU&[ 8�&PZ;[�;q@X+ì N P 8\[�;øsBVCO8WUYXZÌ,BD; p = p(M) ;qU9[�CO8�£ M ;,U�D?�B9?38L[�;,9£,_ÝUV:,9[�; ABC £,CO8WUVB [�XZ£qUVX`CO8oL]^;¡@��,@A;

    q(C) ≥ q(M)Lj]9CO8�£

    C ∈ R2(M);qU

    M ∈ E N# B [ ìw£qCO8 ? ;�\hX©UY:¡V;qP`CO8 (p,q) L � ? COX`B�#ôÝ?�BV;�¥XL© "¥ � 2��8 N ;,?hUÊ@ XZ8WUY;,8 8WUÊ:qUY?3[�X`;qBPZ;, N COX`8WUVE XZP`P 8UV&[�;q �7NJ�jphNJwx��/YN@( UYC§U PZ;,@A;,8WUE£,CÝ8 ? ;�\h;, 1

    ;qU|yA−yB| > 1

    L P`COBD (xA−2,yB),(xA,yB−2) ∈ E Ü[�CÝ8�£ N# BE£,CÝ8 ? ;�\hXZUV: (xA − 1,yB − 1) ∈ E £qCO8WUYB [�X`£õUYXZCO8 K? ;,£ R0(N ′) ∩ E = ∅ L 2û}8ø X©U9[ 8�^PZ;�ôÝB ÝN Ë3;�[�;�£,CO83V:,£q?3UYX ? XZUY:�[�;, N CÝX`8WUY HJI ìw X`P`P 8WUYÊ?�8 N COXZ8WU^;qDU^UVCO?JdDCO?3BV£qCO@ N BVX` ;,8WUYBD;[�;,?F\�VCO@A@A;qUY � ? CÝX`B&D;,£qUVX`CO8H 0LZ OÜhP`;qEVCO@A@;õUY VCO8WUÊ[�;q X`PZP 8WUV N# BDUYXZ£,?�PZX`;qB � Lí}P`?3;�\ £õUY;q@;q8U&VX A ;qU B DCO8WUE[�;,?F\�UV;,P` VCO@A@A;qUY ? :qBVX � 8WU R0(A)∩E = {A} ;qU R0(B)∩R = {B}

    ;õU0 ≤ yB−yA ≤ xB−xA

    P`COBD}P`;q N COXZ8UV} XZP`P 8WUYª;q8UVBV; A ;qU B VCO8WU;�\ £õUY;q@;q8UPZ;, N COX`8WUY Si =(

    xA + i,yA +⌈

    (yB−yA)ixB−xA

    ⌉) N CO?�B 0 ≤ i ≤ xB − xA L � ? COX`B �#ôÝ?�BV;�¥XL©  � �

  • � ý ��� ��� �(� �� � ��� ������� �� ��$� �(� �

    A

    B

    C

    M

    ) Ï�ä+*h¥FLZ "¥ ��8�NJ F+.tu mNJ�YSo� � 65G$NJ/7=0&�� ��� c (@&��'NJ/ � NJ F� &$(

  • � ��� � � � � ��� � � ������� ��� ���� � � �

    �������� � � �����������������

    ) Ï�ä+*�¥XL©  � � 8�NJ��/7��( � qv69(u�0�������0/7��(41 � X/��7NJ�jphNJwx��/YNx�ONJ�9�0�'&�w &�/7��G$NJ/7=0&��X& �

    ùCO@A@; N BD: ? ? £,;õUVUV;;,8 ? ;,P`C N�N ;V;£ P`£q?�P`;�Tf; ?3£,CO? N N P`?�Aø £,XZP`;q@;q8U�?�;PRQS;,8 ? ;qP`C N�N ;[ ìw£qCO8 ? ;,\3;V;qP`CO8 N PZ?�VXZ;,?�BDÊ[�X`BD;,£qUVX`CO836<�"! �}!f����"�s!f� � � � � � S � &�/7=0&��'N � �7& � 65G$NJ/7=0&��X& ,KNJ+,�O& (@&��'NJ/ D 1 � X/Y&��#�0+,�-�9& E 1F& Z2 � /YNJ� c &QCONV FORTD(E)) &$(���1FNJ/7/ c & �#�0+ ,

    QCONV FORTD(E) = {M |∀(i,p,q) ∈ A Rpqi (M) ∩ E 6= ∅}

    ù;õUVUY;9;,8 ? ;qP`C N3N ; [ ì/£,CO8 ? ;,\h;�øsCOBDUV; N ;,?3U&[�CO8�£9V;^£ P`£q?�P`;qB ;q8�UY;q@ N P`XZ8�: X`BV;Ê;q8�øsCO8�£õUYX`CÝ8�[�;9P U X`PZP`;[�? N COP©ÔhôÝCO8�; ∆ = {M ∈ Z2 : ∀p ∈ DminN∈E p(N) ≤ p(M) ≤ maxN∈E p(N)} L

    ���/���� �¤u~gjt^xÃ|.v)gjdJn~|�� ��d�b)tv)g��Êu/ehy[ ? 8�[ D 83;9£qCO8WUYX`;q8WU?�;9[�;,?X\[�XZBV;q£qUYXZCO8�qÜWP 4[ ì/£,CO8 ? ;�\hXZUV:øsCOBUY;V;qP`CO8 D ;,U:q?�X ?§ PZ;,8WUY;�LP l[ ì/£,CO8 ? ;�\hXZUV:0Lù;qUDUY;�:,?�X ?§ P`;q8�£,;�8�;\D;�ôÝ:,8�:qB PZX`V; N# N CÝ?�BàUYBDCOX`¡[3X`BV;q£qUVX`CO8�MLªû}8 ;���;qUP�Q÷;q8�V;q@¤T�P`;^[�;P �#ôÝ?�BV;¥XL© �ý¤;qDU [ ìw£,CÝ8 ? ;�\h;V;,PZCO8 D = {x + 3y,x,2x + 3y} @ X` X`P8Q÷;qDU N# [ ìw£qCO8 ? ;,\3;¢øsCOBUÊV;,PZCO8�P`;q@��,@A;,E[3X`BV;q£qUVX`CO8�MLó ;¢P`X`;q8 K? ;,£P`;q [ ì/£,CO8 ? ;�\h;,9;,DU?�8 N ;,? N P`?�E£qCO@ N P`XZ�?3:0L#í�CO?�BÊ£,;qP CO8 ?§ ;q8�£,COBD;¢[�:��#83X`B[6Q ?3UVBV;qEBV:,ôÝX`CO8�E[3; Z2 0 ;qU

    β > 0Ü PZCOBVEPZ;,ý¡BV:,ôÝX`CO8�Ê[�:qP`XZ@X©UY:,;q N# BÊPZ;, � [�BVCOX©UY;q[3;[3X`BV;q£qUVX`CO8 p,q,r ;õU N� V 8WU N# B?38

  • � � ��� ��� �(� �� � ��� ������� �� ��$� �(� �

    E E1 = QCONVpq(E)

    p

    q

    r

    E4 = QCONVpq(E3)E2 = QCONVpr(E1) E3 = QCONVqr(E2)

    ) Ï�ä+*Ê¥XLZ ,ü � � �0�'G� F��1F& � � &�/7=0&��'N � �7& � 65G$NJ/7=0&��X&_(@&��'NJ/ {p,q,r} 1 � X/ &�/#(@&�w "u�'& E �0=0&$G p =3x− 2y ) q = x ) r = y �

    U

    Rpr2

    (M)Rqr2

    (M) Rpq1

    (M)

    Rqr0

    (M) Rpr0

    (M) Rpq3

    (M)

    M M

    M

    M M

    M

    ) Ï�ä+*�¥XL© �� �sS &$( % �-p �7&$(R1 � � W 8 �7NJ F+ D = {p,q,r} ) p = x ) q = y ) r = x + y �

    N COXZ8WU M DCO8WU^8�C§UY:,;q6<

    V pqr0 (M) = {N / p(N) ≤ p(M);õU

    q(N) ≤ q(M)} = Rpq0 (M)

    V pqr1 (M) = {N / p(N) ≥ p(M);õU

    r(N) ≤ r(M)} = Rpr1 (M)

    V pqr2 (M) = {N / q(N) ≤ p(M);õU

    r(N) ≥ r(M)} = Rqr3 (M)

    V pqr3 (M) = {N / p(N) ≥ p(M);õU

    q(N) ≥ q(M)} = Rpq2 (M)

    V pqr4 (M) = {N / p(N) ≤ p(M);õU

    r(N) ≥ r(M)} = Rpr3 (M)

    V pqr5 (M) = {N / q(N) ≥ q(M);qU

    r(N) ≤ r(M)} = Rqr1 (M)

    Z XjCÝ8�8Q �N# α > 0 ;õU β > 0 Ü#CO8 PZ;,Ê[�:��#8�XZUVX`CO83EV?�X ?Ý 8UV;,� Z X α > 0 ;õU β < 0 Ü3CO8 V pqri = V p,−q,ri� Z X α < 0 ;õU β > 0 Ü3CO8 V pqri = V −p,q,ri� Z X α < 0 ;õU β < 0 Ü3CO8 V pqri = V p,q,−riû}8 ø XZU�P`;q [ ìw£,CÝ8 ? ;�\h;,�øsCOBUYßDCO8WU�P`;, [ ì/£,CO8 ? ;�\h;,�?�X ? :qBVX �#;,8WU�?�8�; N ;qUVXZUY;�£,CO83[�XZUVX`CO8V? N�N P`:,@A;,8WU X`BD;ª

  • � ��� � � � � ��� � � ������� ��� ���� � � �

    D

    M

    ) Ï�ä+*¥XL© �ý � � /�&�/#(@&�w "u�'& � 65G$NJ/7=0&��X& (@&��'NJ/ D = {x + 3y,x,2x + 3y} w �0�'( tu X��/ � &$(�� �#�J(� 65G$NJ/7=0&��X& ,KNJ+��f(@&��'NJ/ D �

    p = p(M)

    q = q(M)M

    r = r(M)

    V0(M)V2(M)

    V1(M)

    V3(M)

    V4(M)

    V5(M)

    ) Ï�ä+*�¥XLZ  � �sS &$( %�+ c V0�9NJ/#( V pqr �7NJ F+ p = x ) q = y ) r = x + y �

    �"! �}!f����"�s!f� � � � � � � / &�/#(@&�w "u�'& E &$(�� øsCOBDUV;,@A;,8WU [ ìw£qCO8 ? ;,\3; (�� &��R(@&� F�'&�w &�/7�R(��4���I&$(��� 65G$NJ/7=0&��X&4&�� �7NJ F+I� NJ h( p,q,r ∈ D ) k ∈ {0,1} ) M ∈ Z2 NJ/l�(∀i V pqr2i+k(M) ∩ E 6= ∅) =⇒M ∈ E

    ��¥XL � �P c w NJ/#(���+.�0�-�9NJ/ , ⇒ ��8LV? N�N CÝV;à?�; E ;qDU^øsCÝBDUY;q@;q8WU [ ìw£qCO8 ? ;,\3;BLjíÚCÝ?�B9UVCO?3U M 6∈ E XZP6Ô ?�8H7 Z í � ;qU�[�CO8�£¤?38H�? [�B 8U � ?�Xª8�;à£,CO8WUYXZ;,8WU ?3£,?�8 N COX`8WU^[�; E L ��8L8�; N ;,?3U N� K? COXZB∀iV2i+k ∩ E 6= ∅

    £ BÊ?�8�7 Z í£qCO8WUYX`;q8WUEUYCO?JdDCÝ?�BVÊ[�;q?X\ Vi £,CÝ8�V:q£,?3UVXZøsuL⇒

    Í X`8WUV;,8 8WUAV? N�N CÝVCO8��?�; E ;,U [ ì/£,CO8 ? ;�\h;�;õU ? :,BDX"�#;�P V;,£qCO8�[�; N BDC N BVXZ:qUV:0L Z CÝXZUM 6∈ E

    ;qUDCOXZUΠ

    ?�8Rpqi (M)

    [�X`�dDCOX`8WU K? ;q£ E ;õU@ \hXZ@¤?�@ N CO?3BP�Q÷CÝBV[�BD; N# BDUVX`;qPV?3X ?§ 8WUj<

    Rpqi (M) ≺ Rpqj (M)

    DVXRpqi (M) ⊂ R

    pqj (M)

    CO?Rpqi+2(M) ⊂ R

    pqj (M)

    Z ? N3N CODCO8�E?�; Π = Rpqi (M) 8Q÷;qDU N# ?�8�7 Z í�L3öwP6;,\3XZDUV;�[�CO8�£?38�;[�X`BD;,£õUYX`CÝ8 r UV;,PZP`;^?�;Π = Rpqi = V

    pqrj

    L ó ;,BV:qôOX`CÝ8�V pqrj+1

    ;qUV pqrj−1

    £qCO8WUYXZ;,8�8�;q8WU&?�8 N CÝX`8WU)[�; E £ B)VXZ8�CO8 Π 86Q÷;qDU N# @ \hX`@¤?3@ L Z X V pqrj+3 = Rpqi+2 8�;9£,CO8WUVX`;,8WU N# ?38 N CÝX`8WU[3; E P`COBD,ÜF��£ ?�V;^[�;^P [�:��#8�XZUVX`CO8[�;≺

    P`;,;q8�V;q@¤T�PZ;,V pqrj+2

    ;qUV pqrj−2

    £,CÝ8UVX`;q8�8�;,8WU ?�DVX}?�8 N COX`8WU[�; E £q;��?3Xª;,U�XZ@ N CODVX`T3P`; N# B(p,r)

    ì [ ìw£qCO8 ? ;�\hX©UY:0L0]9CO8�£ V pqrj+1(M) Ü V pqrj−1(M) Ü V pqrj+3(M) £qCO8WUYX`;q8�8�;q8U9?�8 N CÝX`8WUÊ[�; E ;õU[�CO8�£M ∈ E

    £,CÝ8UVB [3X`£qUVX`CO8YL2

    í B ;,\h;,@ N P`;9[ 8�P �#ôO?�BD;�¥XL© �ýP`; N COXZ8WU M ? :,BDX"�#;9T�X`;q8�P øsCOBD@¤?�PZ; ��¥XL � � Ü N CO?�BDU 8WU M 86QS;,DUN# [ 8�ÊPRQS;,8�D;,@¤T3P`;ÝÜ3[�CO8�£¢£,;õU;,8�D;,@¤T�PZ;¢86Q÷;qDU N# [ ìw£qCO8 ? ;�\h;¢øsCOBDUuL��8 ?§ ? COXZB�@ X`8WUY;q8 8WU�?�;¡P �[ ìw£qCO8 ? ;,\3X©UY:¤øsCOBUY;�;,DU¢?38�;¤8�CÝUVX`CO8P`:,ôÝÌ,BV;q@;q8WU N P`?39øsCOBUY;?�;�P x[ ìw£qCO8 ? ;�\hX©UY:ÝÜ3;,8\;���;qU&VX6CO8 dDCO?3UY;^�?3;,P`?�;qEËWÔ N CÝUVË�Ì,D;, P`CÝBVCÝ8 :,?�X ?Ý P`;,83£,;�;q8UVBV;P �[ ì/£,CO8 ? ;�\hXZUV:¢øsCÝBDUY;¢;õUÊP [ ìw£,CÝ8 ? ;�\hXZUV:0L

  • üW¦ ��� ��� �(� �� � ��� ������� �� ��$� �(� �

    � � � �"� � � �f��� �~(©�����,���O� !Ú� � �����ùCO@A@A; N CO?3B�P £qCO8�8�;,\hXZUY: � D;,£õUYX`CÝ8 ¥XL � � PRQSX`83V:,£ T�XZP`XZUV: ?§ 83CO?� N ;qBV@A;qUVUVBV; [�; BV;q8�[�BV;

    N P`?�DX`;q?�BVÊ8�CÝUVX`CO83E:,?�X ?§ PZ;,8WUY;q6<��"!��}!f��s��� !f� � � � � � W � D &$(��! X/ &�/#(@&�w "u�'& 1F& 10��+$&$G����9NJ/#( +.�0���9NJ/7/Y&����'&$( &�� E X/ &�/#(@&�w "u�'&��/#( c G5�h"u�'& (@&��'NJ/� F/Y& 0,β > 0 L� Z ? N�N CODCO8� q(N) > q(M) L�ùCÝ@@A; N ∈ R2(M)∩R3(N) CÝ8 Rpq0 (M)∩E = ∅ CO?

    Rpq1 (M)∩E = ∅L ��8 p = αq +βr K? ;q£ α > 0,β > 0 ;õU p(M) = p(N),q(N) >

    q(M)[�CO8�£

    r(N) < r(M)LÚùCO@A@;

    E;,DU [ ìw£,CÝ8 ? ;�\h;ßD;,P`CÝ8 (p,r) CO82;q8³[�:q[�?�XZU?�;

    Rpr2 (M) ∩ E = ∅CO?

    Rpr3 (M) ∩ E = ∅L ùCO@@A;

    Rqr0 (M) ⊂ Rpq0 (M)

    ;qURqr2 (M) ⊂ R

    pr2 (M)

    ;õURqr3 (M) = R

    pq1 (M) ∪R

    pr3 (M)

    CO8 N ;,?hUUVCO?JdDCO?3BVEUYBDCO? ? ;qB iUY;qPj�?3;Rqri (M) ∩ E = ∅

    L � ? COX`B ��ôO?�BV;�¥XL©  � �

    MM

    M

    p = cste p = cste

    q = cste q = cste

    r = cster = cste

    Rpq0 R

    pq1

    Rpq2R

    pq3

    Rpr0

    Rpr1

    Rpr2

    Rpr3

    Rqr0

    Rqr1 R

    qr2

    Rqr3

    N

    ) Ï�ä+*ª¥XL©  � � � / �E"u�9&�/ Rqr0 (M) ⊂ Rpq0 (M) ) Rqr2 (M) ⊂ Rpr2 (M) ) &�� Rqr3 (M) = Rpq1 (M) ∪Rpr3 (M)

    �'NJ+:(utu m& p = αq + βr �0=0&$G α > 0,β > 0 �

    � ó ;£ q(N) < q(M) ;,UVX`@AX`P X`BD;0L�R¥ � ⇒ � � � X`Pø ?3U¡@ACO8WUYBD;,B¡?�; E ? :,BVX �#;\P £ B £qUY:qBVXZ UVX`CO8³[3;\P LN BDC N CÝVXZUVX`CO8Â¥XL � L÷ü L Z COX©U¤[�CO83£q,r,s

    UYBDCOX`E[�XZBV;q£qUYXZCO8�E[�;D

    Ük ∈ {0,1}

    ;qU?�8 N CÝX`8WU M ?�X ? :,BDX"�#;

    (∀i V qrs2i+k(M) ∩ E 6= ∅)

    ��8 ?§ V? N�N COD;,B��?3; M 6∈ E [�CO83£ N� B � DX`@ N P`; � [ ìw£,CÝ8 ? ;�\hXZUV: CÝ8 (∀i V qrs2i+k+1(M)∩E =∅)L3ùCO@@A;

    E;,DUX`8�D:,£ T�P`;[ 83 P [�XZBV;q£qUYXZCO8 p Ü£,;õUVUV;^[�;qBV8�XZÌ,BV;8�; N ;q?3U N� �õUYBD;9[ 8�

    {q,r,s}L Z COXZU

    NP`; N COXZ8U[�; E V?�BP [�BDCOXZUV; p = p(M) L���8 N ;q?3UV? N�N COD;,B N� B);�\h;,@ N P`;

  • � ��� � � � � ��� � � ������� ��� ���� � ü� 

    ?�;N ∈ V qrs0

    Ü�[ 8�&£q;^£ &P �CO8 k = 0 ;qU[�CO8�£ M ∈ E N# B [ ìw£,CÝ8 ? ;�\hXZUV:�V;qP`CO8 (p,s)G$NJ/7��+.�h10�9G��-�9NJ/ L � ? COX`B �#ôÝ?�BV;�¥XL©  � �

    2

    s = s(M)

    r = r(M)

    q = q(M)

    M

    p = p(M)

    N

    ) Ï�ä+*¥XL©  � �sS�� ��/#( c G5�h"u���j��� c (@&��'NJ/ p &�/7��+5����/Y&e��� � 65G$NJ/7=0&�� ��� c ,KNJ+��O&

    � � � � � �"� � �f� � �s��.�W���§12���.�#����"! �}!f����"�s!f� � � � � � W � D = {p,q,r} &$(�� X/�&�/#(@&�w "u�'& 1F& ��+:NJ�'(�10��+$&$G����9NJ/#( �O&��#tu 7& | det(p,q)| =1 &�� E X/Y&)�#�0+,�-�9&x1F& Z2 �0�'NJ+:( E &$(�� � 65G$NJ/7=0&��X& ,KNJ+,��(@&��'NJ/ D (��n&���(@&� X�'&�w &�/7��(�� E &$(�� � 6G$NJ/7=0&��X&Q(@&��'NJ/ D �P c w NJ/#(���+.�0�-�9NJ/ , Z COXZU D = {p,q,r} UY;qPª?�; | det(p,q)|