60
Control Robusto y LPV Notas de Aula Juan Carlos Cutipa Luque Departamento Académico de Ingeniería Electrónica 12 de junio, 2019

Control Robusto y LPV - WordPress.com...Sistemas LPV (Linear Parameter Varying) ParámetrosVariantes Losparámetrossonexógenossisonvariablesexternas.Elsistemaen estecasoesnoestacionario

  • Upload
    others

  • View
    11

  • Download
    1

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: Control Robusto y LPV - WordPress.com...Sistemas LPV (Linear Parameter Varying) ParámetrosVariantes Losparámetrossonexógenossisonvariablesexternas.Elsistemaen estecasoesnoestacionario

Control Robusto y LPVNotas de Aula

Juan Carlos Cutipa Luque

Departamento Académico de Ingeniería Electrónica

12 de junio, 2019

Page 2: Control Robusto y LPV - WordPress.com...Sistemas LPV (Linear Parameter Varying) ParámetrosVariantes Losparámetrossonexógenossisonvariablesexternas.Elsistemaen estecasoesnoestacionario

Introducción

Contenidos:1 Norma H∞.2 Control H∞.3 Aplicación del Control H∞.4 Sistemas LPV (Linear Parameters Varying).5 Clases de Sistemas Sistemas LPV.6 Estabilidad de Sistemas LPV.7 Control de Sistemas LPV.

El objetivo del curso es introducir conceptos relacionados al control desistemas no lineales mediante el uso de técnicas de control Robusto y LPV(Linear Parameter Varying)

Juan Carlos Cutipa Luque The power is in knowledge on robotics and automation

Page 3: Control Robusto y LPV - WordPress.com...Sistemas LPV (Linear Parameter Varying) ParámetrosVariantes Losparámetrossonexógenossisonvariablesexternas.Elsistemaen estecasoesnoestacionario

Norma H∞

Definición (Norma H∞)La Norma H∞ de un sistema LTI definido por la representación deestados (A,B,C,D) de una entrada w(t) a una salida z(t), es laganancia inducida energía a energía (Norma inducida L2) de la forma:

||G(jω)||∞ = supω∈IR σ(G(jω)),

= supw(s)∈H2

||z(s)||2||w(s)||2

,

= maxw(t)∈L2

||z||2||w||2

.

(1)

Esta norma representa la máxima ganancia de la respuesta enfrecuencia del sistema.Para sistemas SISO es el pico máximo en la magnitud de Bode.En sistemas MIMO esta norma solo puede ser obtenida a través desoluciones numéricas.

Juan Carlos Cutipa Luque The power is in knowledge on robotics and automation

Page 4: Control Robusto y LPV - WordPress.com...Sistemas LPV (Linear Parameter Varying) ParámetrosVariantes Losparámetrossonexógenossisonvariablesexternas.Elsistemaen estecasoesnoestacionario

Norma H∞

SVD (Singular Value Decomposition)

Valor Singular Máximo

maxd 6=0

||Gd||2||d||2

= σ(G). (2)

Valor Singular Mínimo

mind 6=0

||Gd||2||d||2

= σ(G). (3)

Juan Carlos Cutipa Luque The power is in knowledge on robotics and automation

Page 5: Control Robusto y LPV - WordPress.com...Sistemas LPV (Linear Parameter Varying) ParámetrosVariantes Losparámetrossonexógenossisonvariablesexternas.Elsistemaen estecasoesnoestacionario

Norma H∞

Caracterización de la Norma H∞Para el caso de una matriz de transferencia G(s): m entradas, p salidas.u vector de entradas, y vector de salidas.

σ(G(jω)) ≤ ||z(w)||2||d(w)||2

≤ σ(G(jω)). (4)

Ejemplo: Un sistema doblemasa-resorte-amortiguador, de 2 entradas:F1 y F2, 2 salidas: x1 y x2.

Juan Carlos Cutipa Luque The power is in knowledge on robotics and automation

Page 6: Control Robusto y LPV - WordPress.com...Sistemas LPV (Linear Parameter Varying) ParámetrosVariantes Losparámetrossonexógenossisonvariablesexternas.Elsistemaen estecasoesnoestacionario

Control H∞

Control H∞: Configuración generalEnfoque introducido por Doyle (1983).

donde P es la planta generalizada, K es el controlador. La matriz detransferencia lazo cerrado de w a z está dada por:

Tzw = Fl(P,K) = P11 + P12K(I − P22K)−1P21, (5)

donde Fl(P,K) es la Transformación Fraccional Linear inferior.

Juan Carlos Cutipa Luque The power is in knowledge on robotics and automation

Page 7: Control Robusto y LPV - WordPress.com...Sistemas LPV (Linear Parameter Varying) ParámetrosVariantes Losparámetrossonexógenossisonvariablesexternas.Elsistemaen estecasoesnoestacionario

Control H∞

Definición del Problema

El objetivo del control es minimizar alguna norma de la función detransferencia de w a z, por ejemplo la norma H∞.

Definición (problema de control subóptimo H∞ )

Sea γ un nivel de atenuación prestablecido, el problema de controlsub-óptimo H∞ es diseñar un controlador que asegure:

||Tzw(s)||∞ = maxω

σ(Tzw(jω)) ≤ γ, (6)

el objetivo del problema es encontrar γmin (puede hacerse usandohinfsyn en MATLAB).

Juan Carlos Cutipa Luque The power is in knowledge on robotics and automation

Page 8: Control Robusto y LPV - WordPress.com...Sistemas LPV (Linear Parameter Varying) ParámetrosVariantes Losparámetrossonexógenossisonvariablesexternas.Elsistemaen estecasoesnoestacionario

Control H∞

El problema de control por realimentación de estados

Consideremos el sistema:

x(t) = Ax(t) +B1w(t) +B2u(t),

z(t) = Cx(t) +D11w(t) +D12u(t).(7)

El objetivo es encontrar una ley de control en lazo cerrado u = −Kx talque:

||Tzw(s)||∞ ≤ γ, (8)

el método consiste en aplicar el Bounded Real Lemma (BRL) al sistemalazo cerrado. Esto es posible solo si existe una matriz simétrica definidapositiva P (P = PT > 0) tal que:(A−B2K)TP + P (A−B2K) PB1 CT

∗ −γI DT

∗ ∗ γI

< 0, P > 0. (9)

Juan Carlos Cutipa Luque The power is in knowledge on robotics and automation

Page 9: Control Robusto y LPV - WordPress.com...Sistemas LPV (Linear Parameter Varying) ParámetrosVariantes Losparámetrossonexógenossisonvariablesexternas.Elsistemaen estecasoesnoestacionario

Control H∞

El caso de la salida dinámica realimentadaEl procedimiento para resolver el problema de control es:

Encontrar P : Contruir el esquema de control en lazo cerradocorrespondiente al problema de control. Para ello está disponible enMATLAB la herramienta sysic.Encontrar K: Usar un algoritmo de optimización para encontrar elcontrolador K que resuelva el problema de control. La solución parael controlador H∞ puede ser obtenida mediante la ecuación deRiccati o el enfoque LMI.

P =

x = Ax+B1w +B2u,z = C1x+D11w +D12u,y = C2x+D21w +D12u.

(10)

Juan Carlos Cutipa Luque The power is in knowledge on robotics and automation

Page 10: Control Robusto y LPV - WordPress.com...Sistemas LPV (Linear Parameter Varying) ParámetrosVariantes Losparámetrossonexógenossisonvariablesexternas.Elsistemaen estecasoesnoestacionario

Control H∞

Formulación del ProblemaSea K un controlador LTI definido como:

K(s) :

xK(t) = AKxK(t) +BKy(t),u(t) = CKxK(t) +DKy(t).

(11)

El sistema lazo cerrado N(s) es:

N(s) :

xcl(t) = ACLxcl(t) + BCLw(t),z(t) = CCLxcl(t) +DCLw(t).

(12)

Donde xTcl = [xT (t) xTK(t)] y:

ACL =

(A+B2DKC2 B2CK

BKC2 AK

),

BCL =

(B1 +B2DKD21

BKD21

),

CCL =(C1 +D12DKC2 D12CK

),

DCL =(B1 +B2DKD21

).

(13)

Juan Carlos Cutipa Luque The power is in knowledge on robotics and automation

Page 11: Control Robusto y LPV - WordPress.com...Sistemas LPV (Linear Parameter Varying) ParámetrosVariantes Losparámetrossonexógenossisonvariablesexternas.Elsistemaen estecasoesnoestacionario

Control H∞

El enfoque LMI para el control H∞El objetivo es encontrar un controlador K para un sistema P tal que γ∞:

||Fl(P,K)||∞ < γ∞, (14)

la norma mínima es indicada como γ∞ y llamada ganancia H∞ óptima.

γ∞ = minAK ,BK ,CK ,DK

||Tzw(s)||∞, (15)

entonces el sistema es internamente estable si cumple el BRL de formaque: ATCLP + PACL PBCL CTCL

BTCLP −γ22I DTCL

CCL DCL −I

< 0. (16)

Juan Carlos Cutipa Luque The power is in knowledge on robotics and automation

Page 12: Control Robusto y LPV - WordPress.com...Sistemas LPV (Linear Parameter Varying) ParámetrosVariantes Losparámetrossonexógenossisonvariablesexternas.Elsistemaen estecasoesnoestacionario

Aplicación del Control H∞

Un esquema de control 1DOF

La salida y la entrada de control satisfacen las siguientes ecuaciones:

(Ip +G(s)K(s))y(s) = (GKr + dy −GKn +Gd − i),(Im +K(s)G(s))u(s) = (Kr −Kdy −Kn −KGdi).

(17)

Juan Carlos Cutipa Luque The power is in knowledge on robotics and automation

Page 13: Control Robusto y LPV - WordPress.com...Sistemas LPV (Linear Parameter Varying) ParámetrosVariantes Losparámetrossonexógenossisonvariablesexternas.Elsistemaen estecasoesnoestacionario

Aplicación del Control H∞

DefinicionesFunciones de sensibilidad de salida y sensibilidad complementaria desalida:

Sy = (Ip +GK)−1, Ty = (Ip +GK)−1GK, Sy + Ty = Ip. (18)

Funciones de sensibilidad de entrada y sensibilidad complementaria deentrada:

Su = (Im +KG)−1, Tu = KG(Im +KG)−1m Su + Tu = Im. (19)

Juan Carlos Cutipa Luque The power is in knowledge on robotics and automation

Page 14: Control Robusto y LPV - WordPress.com...Sistemas LPV (Linear Parameter Varying) ParámetrosVariantes Losparámetrossonexógenossisonvariablesexternas.Elsistemaen estecasoesnoestacionario

Aplicación del Control H∞

Funciones de PonderaciónLas funciones de ponderación permiten asegurar la robustez yperformance del sistema de control, de forma que:

|S(jω)| ≤ 1

|We(jω)|, ∀ω ⇔ ||WeS||∞ ≤ 1, (20)

donde We(s) es una función elegida por el diseñador. Especificacionestípicas en términos de S incluyen:

Frecuencia mínima de ancho de banda ωS .Error máximo en las frecuencias seleccionadas.Tipo de sistema o el máximo error en estado estacionario.Forma de S sobre los rangos de frecuencia seleccionados.Máximo pico de magnitud de S, ||S||∞ < M(s).

Juan Carlos Cutipa Luque The power is in knowledge on robotics and automation

Page 15: Control Robusto y LPV - WordPress.com...Sistemas LPV (Linear Parameter Varying) ParámetrosVariantes Losparámetrossonexógenossisonvariablesexternas.Elsistemaen estecasoesnoestacionario

Aplicación del Control H∞

Función de sensibilidad S

S(s) =1

1 +K(s)G(s),

1

We(s)=

s+ ωbε

s/MS + ωb,

(21)

generalmente se considera ε ' 0,MS < 2 (6dB) o (3dB), ωb estárelacionado con el ancho de bandaCL.

Rápido rechazo aperturbaciones.Rápida respuesta en CL.Robustez ante incertidumbresparamétricas.

Juan Carlos Cutipa Luque The power is in knowledge on robotics and automation

Page 16: Control Robusto y LPV - WordPress.com...Sistemas LPV (Linear Parameter Varying) ParámetrosVariantes Losparámetrossonexógenossisonvariablesexternas.Elsistemaen estecasoesnoestacionario

Aplicación del Control H∞

Función KS

KS(s) =K(s)

1 +K(s)G(s),

1

Wu(s)=

ε1s+ ωbcs+ ωbc/Mu

,

(22)

Mu es escogido de acuerdo alcomportamiento en bajasfrecuencias.

Limitar ruidos en la medida.Reduce los efectos debido aerrores en el modelo.

Juan Carlos Cutipa Luque The power is in knowledge on robotics and automation

Page 17: Control Robusto y LPV - WordPress.com...Sistemas LPV (Linear Parameter Varying) ParámetrosVariantes Losparámetrossonexógenossisonvariablesexternas.Elsistemaen estecasoesnoestacionario

Aplicación del Control H∞

Función T

T (s) =K(s)G(s)

1 +K(s)G(s),

1

WT (s)=

εT s+ ωbts+ ωbt/MT

,

(23)

suele ser considerado ε ' 0.Mejora el rechazo a efectos deruido.Mejora los errores de modelo enaltas frecuencias.

Juan Carlos Cutipa Luque The power is in knowledge on robotics and automation

Page 18: Control Robusto y LPV - WordPress.com...Sistemas LPV (Linear Parameter Varying) ParámetrosVariantes Losparámetrossonexógenossisonvariablesexternas.Elsistemaen estecasoesnoestacionario

Aplicación del Control H∞

Función SG

SG(s) =G(s)

1 +K(s)G(s),

1

WSG(s)=

s+ ωSGεSGs/MSG + ωSG

.

(24)

Juan Carlos Cutipa Luque The power is in knowledge on robotics and automation

Page 19: Control Robusto y LPV - WordPress.com...Sistemas LPV (Linear Parameter Varying) ParámetrosVariantes Losparámetrossonexógenossisonvariablesexternas.Elsistemaen estecasoesnoestacionario

Aplicación del Control H∞

Objetivos finalesEn la síntesis del controlador, todas las especificaciones buscan abordareste problema. Encuentra K(s) tal que:∥∥∥∥∥∥∥∥

WeSWuKSWTTWSGSG

∥∥∥∥∥∥∥∥∞

≤ 1, (25)

una forma simplificada es llamado problema de sensitividad mixta:∥∥∥∥ WeSWuKS

∥∥∥∥∞≤ 1. (26)

Juan Carlos Cutipa Luque The power is in knowledge on robotics and automation

Page 20: Control Robusto y LPV - WordPress.com...Sistemas LPV (Linear Parameter Varying) ParámetrosVariantes Losparámetrossonexógenossisonvariablesexternas.Elsistemaen estecasoesnoestacionario

Aplicación del Control H∞

Control H∞ con sensitividad mixtaLas especificaciones de performance en el error de seguimiento y en elactuador están dadas como funciones de ponderación en la salidacontrolada, teniendo como resultado el siguiente esquema:

Asociado a la configuración general de control:

Juan Carlos Cutipa Luque The power is in knowledge on robotics and automation

Page 21: Control Robusto y LPV - WordPress.com...Sistemas LPV (Linear Parameter Varying) ParámetrosVariantes Losparámetrossonexógenossisonvariablesexternas.Elsistemaen estecasoesnoestacionario

Aplicación del Control H∞

Control H∞ con sensitividad mixtaEl problema de control H∞ se resuelve encontrando un controlador K(s)tal que:

||Tew(s)||∞ =

∥∥∥∥ WeSWuKS

∥∥∥∥∞≤ γ, (27)

ConTew(s) = Fl(P,K) = P11 + P12K(I − P22K)−1P21

=

[We

0

]+

[−WeGWu

]K(I +GK)−1 =

[WeSWuKS

].

Juan Carlos Cutipa Luque The power is in knowledge on robotics and automation

Page 22: Control Robusto y LPV - WordPress.com...Sistemas LPV (Linear Parameter Varying) ParámetrosVariantes Losparámetrossonexógenossisonvariablesexternas.Elsistemaen estecasoesnoestacionario

Aplicación del Control H∞

Ejemplo: Control de la dinámica Pitch de la Aeronave HIMAT (Adaptadode MathWorks)

En la figura se observa la aeronave no tripulada HIMAT desarrollada porla NASA. Para este ejemplo tomaremos en cuenta.Las entradas:

Desviación del canard.Desviación del alerón.

Y las salidas:Ángulo de ataque α.Ángulo de pitch θ.

Juan Carlos Cutipa Luque The power is in knowledge on robotics and automation

Page 23: Control Robusto y LPV - WordPress.com...Sistemas LPV (Linear Parameter Varying) ParámetrosVariantes Losparámetrossonexógenossisonvariablesexternas.Elsistemaen estecasoesnoestacionario

Aplicación del Control H∞

La representación en espacio de estados G = (A,B,C,D) está dada por:

Juan Carlos Cutipa Luque The power is in knowledge on robotics and automation

Page 24: Control Robusto y LPV - WordPress.com...Sistemas LPV (Linear Parameter Varying) ParámetrosVariantes Losparámetrossonexógenossisonvariablesexternas.Elsistemaen estecasoesnoestacionario

Aplicación del Control H∞

La respuesta temporal del sistema es :

El objetivo será controlar correctamente los ángulos θ y α mediante lasentradas del alerón y el canard evitando efectos de acoplamiento entre lassalidas.

Juan Carlos Cutipa Luque The power is in knowledge on robotics and automation

Page 25: Control Robusto y LPV - WordPress.com...Sistemas LPV (Linear Parameter Varying) ParámetrosVariantes Losparámetrossonexógenossisonvariablesexternas.Elsistemaen estecasoesnoestacionario

Aplicación del Control H∞

Basados en las condiciones de diseño establecemos las funciones deponderación We y Wu, y construímos la planta aumentada :

Juan Carlos Cutipa Luque The power is in knowledge on robotics and automation

Page 26: Control Robusto y LPV - WordPress.com...Sistemas LPV (Linear Parameter Varying) ParámetrosVariantes Losparámetrossonexógenossisonvariablesexternas.Elsistemaen estecasoesnoestacionario

Aplicación del Control H∞

Sintetizamos el controlador haciendo uso de la función hinfsyn.

Las opciones nmeas y nucorresponden a las salidas medidas ya las entradas de controlrespectivamente.

Se puede comprobar un valor γ∞ = 1,6, el cual es un valor cercano alóptimo. Mejores resultados son obtenidos ajustando las funciones deponderación, ello dependerá de la precisión del controlador que considereel diseñador.

Juan Carlos Cutipa Luque The power is in knowledge on robotics and automation

Page 27: Control Robusto y LPV - WordPress.com...Sistemas LPV (Linear Parameter Varying) ParámetrosVariantes Losparámetrossonexógenossisonvariablesexternas.Elsistemaen estecasoesnoestacionario

Aplicación del Control H∞

Podemos evaluar el desempeño del sistema obteniendo las funciones desensibilidad. De donde se puede obtener la respuesta temporal en lazocerrado y las respuestas en frecuencia:

Juan Carlos Cutipa Luque The power is in knowledge on robotics and automation

Page 28: Control Robusto y LPV - WordPress.com...Sistemas LPV (Linear Parameter Varying) ParámetrosVariantes Losparámetrossonexógenossisonvariablesexternas.Elsistemaen estecasoesnoestacionario

Aplicación del Control H∞

Respuesta temporal en lazo cerrado Respuesta en frecuencia

Juan Carlos Cutipa Luque The power is in knowledge on robotics and automation

Page 29: Control Robusto y LPV - WordPress.com...Sistemas LPV (Linear Parameter Varying) ParámetrosVariantes Losparámetrossonexógenossisonvariablesexternas.Elsistemaen estecasoesnoestacionario

Aplicación del Control H∞

Se puede apreciar que el controlador H∞ cumple el objetivo de setearcorrectamente los parámetros α y θ, además de desacoplar la planta. Laotra figura muestra la respuesta en frecuencia de las funciones desensibilidad, pueden realizarse evaluaciones independientes y conforme aello sintonizar de mejor manera el controlador. Por ejemplo:∥∥∥∥ WeS

WuKS

∥∥∥∥∞≤ 1.

Juan Carlos Cutipa Luque The power is in knowledge on robotics and automation

Page 30: Control Robusto y LPV - WordPress.com...Sistemas LPV (Linear Parameter Varying) ParámetrosVariantes Losparámetrossonexógenossisonvariablesexternas.Elsistemaen estecasoesnoestacionario

Sistemas LPV (Linear Parameter Varying)

Linear Parameter Varying SystemUn sistema LPV tiene la forma la forma:

Σ(ρ) :

xzy

=

A(ρ) B1(ρ) B2(ρ)C1(ρ) D11(ρ) D12(ρ)C2(ρ) D21(ρ) D22(ρ)

=

xwu

, (28)

donde x(t) ∈ IR,...,ρ = (ρ1(t), ρ2(t), ..., ρN (t)) ∈ Ω, es un vector deparámetros variantes en el tiempo ( sea Ω un conjunto convexo).

ρ(.) varía en el conjunto de las curvas paramétricas continuasdiferenciables ρ : [0,∞)→ IRN . Son asumidos como conocidos omedibles.Los parámetros ρ son siempre asumidos como acotados, definidospor el mínimo y máximo valor de pi(t)

pi(t) ∈ |ρi, ρi|, ∀i. (29)

El sistema de matrices A(.) es continuo en Ω.

Juan Carlos Cutipa Luque The power is in knowledge on robotics and automation

Page 31: Control Robusto y LPV - WordPress.com...Sistemas LPV (Linear Parameter Varying) ParámetrosVariantes Losparámetrossonexógenossisonvariablesexternas.Elsistemaen estecasoesnoestacionario

Sistemas LPV (Linear Parameter Varying)

Parámetros VariantesLos parámetros son exógenos si son variables externas. El sistema eneste caso es no estacionario.Los parámetros son endógenos si son funciones de las variables deestado ρ = ρ(x(t), t). En estos casos el sistema LPV es conocidocomo sistema quasi-LPV. Este caso puede ser encontrado alaproximar sistemas no lineales. Ejm:

x = x2(t) = ρ(t)x(t),

con ρ(t) = x(t).Otras representaciones pueden ser consideradas si ρ es constante portramos, o varía en un conjunto finito de elementos para sistemasswitching.Los sistemas LPV pueden modelar sistemas inciertos (ρ fijo perodesconocido) o sistemas de parámetros variantes (ρ(t)).

Juan Carlos Cutipa Luque The power is in knowledge on robotics and automation

Page 32: Control Robusto y LPV - WordPress.com...Sistemas LPV (Linear Parameter Varying) ParámetrosVariantes Losparámetrossonexógenossisonvariablesexternas.Elsistemaen estecasoesnoestacionario

Sistemas LPV (Linear Parameter Varying)

Ejemplo: Sistema masa-resorte (Adaptado, Scherer ACC Tutorial 2002)En este ejemplo se muestra la respuesta en frecuencia y tiempo de unsistema de parámetros variantes exógenos.

Sistema masa-amortiguador-resorte:

p+ cp+ k(t)p = u, y = x,

La representación en espacio deestados es:

d

dt

(pp

)=

(0 1−k(t) −c

)(pp

)+

(01

)u,

y =(1 0

)(pp

)Nótese que la masa está incluida en los parámetros para hacer mássencillo el modelo.

Juan Carlos Cutipa Luque The power is in knowledge on robotics and automation

Page 33: Control Robusto y LPV - WordPress.com...Sistemas LPV (Linear Parameter Varying) ParámetrosVariantes Losparámetrossonexógenossisonvariablesexternas.Elsistemaen estecasoesnoestacionario

Sistemas LPV (Linear Parameter Varying)

La resolución de este ejemplo se realiza simulando la variación delparámetro exógeno k(t) dependiente de la constante ρ ∈ [0 : 1] como semuestra en el código de MATLAB:

Juan Carlos Cutipa Luque The power is in knowledge on robotics and automation

Page 34: Control Robusto y LPV - WordPress.com...Sistemas LPV (Linear Parameter Varying) ParámetrosVariantes Losparámetrossonexógenossisonvariablesexternas.Elsistemaen estecasoesnoestacionario

Clases de Sistemas LPV

Parámetros Afines DependientesEn este caso, el sistema de matrices es tal como:

A(ρ) = A0 +A1ρ1 + ...+ANρN , (30)

Este es el caso del sistema masa-resorte-amortiguador:

p+ cp+ k(t)p = u,

Considerando el sistema en representación de espacio de estados:x = A(k(t))x(t) +Bu(t)y = Cx(t) +Du(t)

, (31)

con x(t) ∈ IR2 y

A(k(t)) =

(0 1−k(t) −c

), B =

(01

), C =

(1 0

), D = 0,

Señalando el parámetro variante ρ(t) = k(t) tenemos:

A0 =

(0 10 −c

), A1 =

(0 0−1 −0

).

Juan Carlos Cutipa Luque The power is in knowledge on robotics and automation

Page 35: Control Robusto y LPV - WordPress.com...Sistemas LPV (Linear Parameter Varying) ParámetrosVariantes Losparámetrossonexógenossisonvariablesexternas.Elsistemaen estecasoesnoestacionario

Clases de Sistemas LPV

Parámetros polinomiales dependientesEn este caso, el sistema de matrices es tal que:

A(ρ) = A0 +A1ρ1 +A2ρ22...+ASρ

S , (32)

EjemploConsideremos el siguiente sistema:

x = x3(t),

El cual puede ser reescrito así:

x(t) = ρ(t)2x(t) con ρ(t) = x(t)

Nota: Hay que tener cuidado al modelar sistemas de este tipo, ya queuna variable endógena produce un sistema quasi-LPV.

Juan Carlos Cutipa Luque The power is in knowledge on robotics and automation

Page 36: Control Robusto y LPV - WordPress.com...Sistemas LPV (Linear Parameter Varying) ParámetrosVariantes Losparámetrossonexógenossisonvariablesexternas.Elsistemaen estecasoesnoestacionario

Clases de Sistemas LPV

Parámetros racionales dependientesEn este caso se tiene una matriz de la forma:

A(ρ) = [An0+An1ρn1+...+AnNρnN ][I+Ad1ρd1+...+AdNρdN ]−1. (33)

Ejemplo: El modelo de bicicletaEl modelo a continuación estudia las dinámicas laterales de una bicicletamediante el ángulo yaw ψ y el angulo de deslizamiento β.[

ψ

β

]=

[− l

2f+l2rCr

IzvlrCr−lfCf

Iz

1 +lrCr−lfCf

mv2 −Cf+Cr

mv

] [ψβ

]+

[lfCf

IzCf

mv

]δ+,

siendo δ+ el ángulo de manejo.Considerando la velocidad longitudinal v como el parámetro varianteρ = v, este modelo puede ser visto como un sistema LPV condependencia racional en ρ.

Juan Carlos Cutipa Luque The power is in knowledge on robotics and automation

Page 37: Control Robusto y LPV - WordPress.com...Sistemas LPV (Linear Parameter Varying) ParámetrosVariantes Losparámetrossonexógenossisonvariablesexternas.Elsistemaen estecasoesnoestacionario

Clases de Sistemas LPV

Modelo politopicoUn sistema politopico es representado como:

Σ(ρ) =

Z∑k=1

αk(ρ)

[Ak BkCk Dk

], con

2N∑k=1

αk(ρ) = 1, α(ρ) > 0,

donde[Ak BkCk Dk

]son sistemas LTI. Esta representación puede ser usada

para reescribir un sistema LPV de parámetros afines. Asumiendo que losparámetros son acotados (ρi ∈ [ρ

iρi]), el vector de parámetros se

encierra dentro de un politopo representado por Z = 2N de vertices ωi.Esto puede ser reescrito como la combinación convexa:

ρ =

Z∑i=1

αiωi, αi ≥ 0,

Z∑i=1

αi = 1, (34)

donde los vértices están definidos por el vector ωi.

Juan Carlos Cutipa Luque The power is in knowledge on robotics and automation

Page 38: Control Robusto y LPV - WordPress.com...Sistemas LPV (Linear Parameter Varying) ParámetrosVariantes Losparámetrossonexógenossisonvariablesexternas.Elsistemaen estecasoesnoestacionario

Clases de Sistemas LPV

Modelos LFT o LFRLa ecuación de los sistemas LFR (Linear Fractional Representation) sigue:

xz∆

zy

=

A B∆ B1 B2

C∆ D∆∆ D∆1 D∆2

C1 D1∆ D11 D12

C2 D2∆ D21 D22

xw∆

wu

,(35)

La representación LFR da la función detransferencia de w a z, y se conoce como la LFT(Linear Fractional Transformation) superior:

Fu(N,∆) = N22 +N21∆(I −N11∆)−1N12. (36)

Juan Carlos Cutipa Luque The power is in knowledge on robotics and automation

Page 39: Control Robusto y LPV - WordPress.com...Sistemas LPV (Linear Parameter Varying) ParámetrosVariantes Losparámetrossonexógenossisonvariablesexternas.Elsistemaen estecasoesnoestacionario

Clases de Sistemas LPV

Modelo basado en CuadrículasUn sistema LPV puede ser representado como un sistema de espacio deestados S(p) que depende del vector de parámetros variantes p ∈ P. Unmodelo LPV basado en cuadrículas es un conjunto de linealizaciones delos parámetros en el dominio de la cuadrícula.Para cada punto en la cuadrícula pk corresponde un sistema LTI(A(pk), B(pk), C(pk), D(pk)).

Esto se muestra graficamente en la figura. Existe una herramienta deMATLAB para desarrollar esta clase de sistemas, el LPVtools.

Juan Carlos Cutipa Luque The power is in knowledge on robotics and automation

Page 40: Control Robusto y LPV - WordPress.com...Sistemas LPV (Linear Parameter Varying) ParámetrosVariantes Losparámetrossonexógenossisonvariablesexternas.Elsistemaen estecasoesnoestacionario

Estabilidad de Sistemas LPV

Estabilidad robusta con incertezas invariantes en el tiempo:Este concepto es muy útil para el análisis de sistemas con incertezas.Consideremos el sistema:

x = A(δ)x,

¿Es el sistema asintóticamente estable para todos los δ en el conjunto de∆?Definición: El sistema considerado se dice que es asintóticamente establepara todas las incertezas δ ∈ ∆ si existe una función de LyapunovV (x) = xTPx con P = PT > 0 tal que:

A(δ)TP + PA(δ) < 0, ∀δ ∈ ∆. (37)

Juan Carlos Cutipa Luque The power is in knowledge on robotics and automation

Page 41: Control Robusto y LPV - WordPress.com...Sistemas LPV (Linear Parameter Varying) ParámetrosVariantes Losparámetrossonexógenossisonvariablesexternas.Elsistemaen estecasoesnoestacionario

Estabilidad de Sistemas LPV

Estabilidad cuadrática para parámetros variantes en el tiempoConsideremos el sistema:

x = A(ρ(t))x,

donde ρ(t) es es un vector variante en el tiempo en un conjunto Ω. Siexiste P = PT > 0 tal que :

A(ρ(t))TP + PA(p(t)) < 0,∀ρ(t) ∈ Ω,

entonces el sistema es estable para incertezas con alta variación en eltiempo.Nótese que un sistema politopico no es un sistema politopico incierto.

Juan Carlos Cutipa Luque The power is in knowledge on robotics and automation

Page 42: Control Robusto y LPV - WordPress.com...Sistemas LPV (Linear Parameter Varying) ParámetrosVariantes Losparámetrossonexógenossisonvariablesexternas.Elsistemaen estecasoesnoestacionario

Estabilidad de Sistemas LPV

Funciones de Lyapunov con parámetros variantesConsideremos una función de Lyapunov de parámetros dependientesVρ(x(t)) = x(t)TP (ρ)x(t) > 0 para cada x 6= 0 y V (0) = 0.El sistema LPV incierto x = A(p(t))x es exponencialmente estable siexiste Vρ tal que:

A(ρ)TP (ρ) + P (ρ)A(ρ) +

N∑i=1

ρiδP (ρ)

δρi< 0,∀ρ(t) ∈ Ω, (38)

en el cual, en adición a los parámetros acotados, se necesita considerar lavelocidad de la variación. Tal condición es más compleja ya que:

Involucra la diferenciación parcial de P .Tiene que ser verificado para todos los ρ(t) ∈ Ω.Implica que escoger una parametrización de P (p): de afin apolinomial.

Juan Carlos Cutipa Luque The power is in knowledge on robotics and automation

Page 43: Control Robusto y LPV - WordPress.com...Sistemas LPV (Linear Parameter Varying) ParámetrosVariantes Losparámetrossonexógenossisonvariablesexternas.Elsistemaen estecasoesnoestacionario

Estabilidad de Sistemas LPV

Estabilidad de modelos LFR en sistemas LPVEn este caso, el método corresponde a la generalización de la estabilidadrobusta para modelos LFR. Se considera que una matriz tiene unaestructura diagonal.

∆(ρ) = diag(In1 ∗ ρ1, ..., Inp ∗ ρp), (39)

Introducimos un conjunto escalar definido por:

L∆ := L > 0 : L∆(ρ) = ∆(ρ)L,∀∆. (40)

Lema: El sistema LFR (A,B∆, C∆, D∆∆) es asintóticamente estable y||L1/2(D∆∆ + C∆(sIn −A)−1B∆)L−1/2||∞ si existe P = PT > 0 yL ∈ L∆ tal que: ATP + PA PB∆ CT∆L

∗ −L DT∆∆L

∗ ∗ −L

< 0. (41)

Juan Carlos Cutipa Luque The power is in knowledge on robotics and automation

Page 44: Control Robusto y LPV - WordPress.com...Sistemas LPV (Linear Parameter Varying) ParámetrosVariantes Losparámetrossonexógenossisonvariablesexternas.Elsistemaen estecasoesnoestacionario

Estabilidad de Sistemas LPV

Estabilidad L2 de sistemas LPVDefinición:Dado un sistema LPV paramétricamente estableΣ(ρ) = (A(ρ), B(ρ), C(ρ), D(ρ)) para condiciones iniciales x0. La normainducida L2 es definida como:

||Σρ||i,2 = supρ(t)∈Ω

supw(t)6=0∈L2

||y||2||u||2

,

Teorema: Una condición suficiente para la estabilidad L2 del sistema Σρes la generalización del BRL.A(ρ)TP (ρ) + P (ρ)A(ρ) +

∑Ni=1 νi

δP (ρ)δρi

P (ρ)B(ρ) C(ρ)T

B(ρ)TP (ρ) −γI D(ρ)T

C(ρ) D(ρ) −γI

< 0,∀i,

(42)entonces ||Σρ||i,2 ≤ γ.

Juan Carlos Cutipa Luque The power is in knowledge on robotics and automation

Page 45: Control Robusto y LPV - WordPress.com...Sistemas LPV (Linear Parameter Varying) ParámetrosVariantes Losparámetrossonexógenossisonvariablesexternas.Elsistemaen estecasoesnoestacionario

Control de Sistemas LPV

El Problema de Control H∞ en estados realimentados:Consideremos el sistema:

x = A(ρ)x(t) +B1(ρ)w(t) +B2(ρ)u(t)y = C(ρ)x(t) +D11(ρ)w(t) +D12(ρ)u(t)

, (43)

el objetivo es encontrar una ley de control u = −K(ρ)x tal que:

||Tyw(s)||∞ ≥ γ (44)

El método consiste en aplicar el BRL al sistema lazo cerrado encombinación al criterio de estabilización cuadrática tal que:

(A(ρ)−B2(ρ)K(ρ))TP + P (A(ρ)−B2(ρ)K(ρ)) PB1ρ (C(ρ)−D12(ρ)K(ρ))TL∗ −γI DT

11(ρ)∗ ∗ −γI

< 0. (45)

Juan Carlos Cutipa Luque The power is in knowledge on robotics and automation

Page 46: Control Robusto y LPV - WordPress.com...Sistemas LPV (Linear Parameter Varying) ParámetrosVariantes Losparámetrossonexógenossisonvariablesexternas.Elsistemaen estecasoesnoestacionario

Control de Sistemas LPV

Solución del problema de control de estados realimentados:Uso de cambio de variablesUsando Q = P−1 y Y (ρ) = −K(ρ)P−1, esto conduce a Q > 0 yA(ρ)Q−B2(ρ)Y (ρ) +QAT (ρ) + Y (ρ)TBT2 (ρ) B1(ρ) QCT (ρ)− Y T (ρ)DT

12(ρ)∗ −γI DT

11(ρ)∗ ∗ −γI

< 0, (46)

Y el controlador en lazo cerrado es:

K(ρ) = −Y (ρ)Q−1. (47)

Juan Carlos Cutipa Luque The power is in knowledge on robotics and automation

Page 47: Control Robusto y LPV - WordPress.com...Sistemas LPV (Linear Parameter Varying) ParámetrosVariantes Losparámetrossonexógenossisonvariablesexternas.Elsistemaen estecasoesnoestacionario

Control de Sistemas LPV

El problema de control H∞/LPV

Planta generalizada LPV:

Σ(ρ) :

xzy

=

A(ρ) B1(ρ) B2(ρ)C1(ρ) D11(ρ) D12(ρ)C2(ρ) D21(ρ) D22(ρ)

=

xwu

,estructura de control LPV:

S(ρ) :

[xcu

]=

[Ac(ρ) Bc(ρ)Cc(ρ) Dc(ρ)

]=

[xcy

],

Juan Carlos Cutipa Luque The power is in knowledge on robotics and automation

Page 48: Control Robusto y LPV - WordPress.com...Sistemas LPV (Linear Parameter Varying) ParámetrosVariantes Losparámetrossonexógenossisonvariablesexternas.Elsistemaen estecasoesnoestacionario

Control de Sistemas LPV

sistema en lazo cerrado LPV:

CL(ρ) :

[ξz

]=

[A(ρ) B(ρ)C(ρ) D(ρ)

] [ξw

],

estabilizar el sistema CL(ρ) (hallando K > 0) mientras se minimiza γ∞.A(ρ)TK +KA(ρ) KB∞(ρ) C∞(ρ)T

B∞(ρ)TK −γ2∞I D∞(ρ)T

C∞ D∞(ρ) I

< 0. (48)

Juan Carlos Cutipa Luque The power is in knowledge on robotics and automation

Page 49: Control Robusto y LPV - WordPress.com...Sistemas LPV (Linear Parameter Varying) ParámetrosVariantes Losparámetrossonexógenossisonvariablesexternas.Elsistemaen estecasoesnoestacionario

Control de Sistemas LPV

Enfoque PolytopicResolver el LMI de cada vertice del politopo formado por los valoresextremos de cada parámetro variante, con una función de Lyapunov K:

C(ρ) =

Z∑k=1

αk(ρ)

[Ac(ωk) Bc(ωk)Cc(ωk) Dc(ωk)

]. (49)

Juan Carlos Cutipa Luque The power is in knowledge on robotics and automation

Page 50: Control Robusto y LPV - WordPress.com...Sistemas LPV (Linear Parameter Varying) ParámetrosVariantes Losparámetrossonexógenossisonvariablesexternas.Elsistemaen estecasoesnoestacionario

Control de Sistemas LPV

Se resuelve el problema de cada vértice de los puntos parametrizados(ilustración para 2 parámetros) mediante:

AX +B2C(ρ1, ρ2) + (∗)T (∗)T (∗)T (∗)TA(ρ1, ρ2) +AT Y A+ B(ρ1, ρ2)C2 + (∗)T (∗)T (∗)T

BT1 BT1 Y +DT21B(ρ1, ρ2)T −γI (∗)T

C1X +D12C(ρ1, ρ2) C1 D11 −γI

< 0, (50)

[X II Y

]> 0, (51)

Juan Carlos Cutipa Luque The power is in knowledge on robotics and automation

Page 51: Control Robusto y LPV - WordPress.com...Sistemas LPV (Linear Parameter Varying) ParámetrosVariantes Losparámetrossonexógenossisonvariablesexternas.Elsistemaen estecasoesnoestacionario

Control de Sistemas LPV

Reconstruyendo el controlador tal que:Cc(ρ1, ρ2) = C(ρ1, ρ2)M−T

Bc(ρ1, ρ2) = N−1B(ρ1, ρ2)

Ac(ρ1, ρ2) = N−1(A(ρ1, ρ2)− Y AX −NBc(ρ1, ρ2)C2X−Y B2Cc(ρ1, ρ2)MT )M−T

, (52)

donde M y N están definidas de tal forma que MNT = I −XY .

Juan Carlos Cutipa Luque The power is in knowledge on robotics and automation

Page 52: Control Robusto y LPV - WordPress.com...Sistemas LPV (Linear Parameter Varying) ParámetrosVariantes Losparámetrossonexógenossisonvariablesexternas.Elsistemaen estecasoesnoestacionario

Control de Sistemas LPV

Ejemplo: Misil Patriot (G.E. Dullerud and F. Paganini)Se toma como base las dinámicas linealizadas del misil Patriot.(

αq

)=

(−Zα 1−Mα 0

)(αq

)+

(01

)δm,

(azvq

)=

(−1 00 1

)(αq

),

donde:α: ángulo de ataque.q: pitch rate.azv: aceleración vertical normalizada.δm: deflexión del alerón.Zα,Mα son coeficientes aerodinámicos medibles.

Juan Carlos Cutipa Luque The power is in knowledge on robotics and automation

Page 53: Control Robusto y LPV - WordPress.com...Sistemas LPV (Linear Parameter Varying) ParámetrosVariantes Losparámetrossonexógenossisonvariablesexternas.Elsistemaen estecasoesnoestacionario

Control de Sistemas LPV

Representación de Parámetros

Juan Carlos Cutipa Luque The power is in knowledge on robotics and automation

Page 54: Control Robusto y LPV - WordPress.com...Sistemas LPV (Linear Parameter Varying) ParámetrosVariantes Losparámetrossonexógenossisonvariablesexternas.Elsistemaen estecasoesnoestacionario

Control de Sistemas LPV

Sistema LPV vía enfoque politópico

Planta P

Juan Carlos Cutipa Luque The power is in knowledge on robotics and automation

Page 55: Control Robusto y LPV - WordPress.com...Sistemas LPV (Linear Parameter Varying) ParámetrosVariantes Losparámetrossonexógenossisonvariablesexternas.Elsistemaen estecasoesnoestacionario

Control de Sistemas LPV

Especificación del Problema

El objetivo es controlar la aceleración vertical azv sobre su rango deoperación.

Juan Carlos Cutipa Luque The power is in knowledge on robotics and automation

Page 56: Control Robusto y LPV - WordPress.com...Sistemas LPV (Linear Parameter Varying) ParámetrosVariantes Losparámetrossonexógenossisonvariablesexternas.Elsistemaen estecasoesnoestacionario

Control de Sistemas LPV

Funciones de ponderaciónFunción de sensibilidad:

Wp(s) =2,01

s+ 0,201

Función de robustez:

Wu(s) =9,678s3 + 0,029s2

s3 + 1,206e4s2 + 1,136e7s+ 1,066e10

Juan Carlos Cutipa Luque The power is in knowledge on robotics and automation

Page 57: Control Robusto y LPV - WordPress.com...Sistemas LPV (Linear Parameter Varying) ParámetrosVariantes Losparámetrossonexógenossisonvariablesexternas.Elsistemaen estecasoesnoestacionario

Control de Sistemas LPV

Planta generalizada P

Planta Generalizada P

Juan Carlos Cutipa Luque The power is in knowledge on robotics and automation

Page 58: Control Robusto y LPV - WordPress.com...Sistemas LPV (Linear Parameter Varying) ParámetrosVariantes Losparámetrossonexógenossisonvariablesexternas.Elsistemaen estecasoesnoestacionario

Control de Sistemas LPV

Controlador H∞

∥∥∥∥ WeSWuKS

∥∥∥∥∞

= γopt = 0,205 ≤ 1.

Juan Carlos Cutipa Luque The power is in knowledge on robotics and automation

Page 59: Control Robusto y LPV - WordPress.com...Sistemas LPV (Linear Parameter Varying) ParámetrosVariantes Losparámetrossonexógenossisonvariablesexternas.Elsistemaen estecasoesnoestacionario

Control de Sistemas LPV

Controlador LPVRespuesta en frecuencia delcontrolador K

Juan Carlos Cutipa Luque The power is in knowledge on robotics and automation

Page 60: Control Robusto y LPV - WordPress.com...Sistemas LPV (Linear Parameter Varying) ParámetrosVariantes Losparámetrossonexógenossisonvariablesexternas.Elsistemaen estecasoesnoestacionario

Control de Sistemas LPV

Respuesta temporal para la aceleración verticalAceleración vertical azv

Entrada de control u

Juan Carlos Cutipa Luque The power is in knowledge on robotics and automation