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Elizabeth Villota

Control Moderno y Optimo

– Problemas propuestos y/o resueltos de Clase MT227 –

15 de octubre de 2013

Springer

Indice general

1. Problemas propuestos y resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1. Problemas Capıtulo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1









V

Capıtulo 1

Problemas propuestos y resueltos

1.1. Problemas Capıtulo 1

Problema 1.1: Velero

Un velero de masa m y velocidad v(t) (el viento con una velocidad constante vw

empuja al velero desde la parte trasera), desarrolla una fuerza impulsora igual a:

Fa(t) = k1(vw− v(t))2A(t),

donde A(t) es el area de la vela. La fuerza de resistencia que el velero debe superarcuando viaja en el agua se puede aproximar por:

Fw(t) = k2v2(t).

v(t)w

A(t)v

(1.1) Velero

1. Derivar las ecuaciones de movimiento para el velero. Escribir la representacion espacio de estados para la entrada

A(t) y la salida v(t). Usando la 2da Ley de Newton se obtiene la ecuacion de movimiento del velero:

→∑F = mdv

dt

Fa(t)−Fw(t) = mdv

dt

k1(vw− v(t))2A(t)− k2v2(t) = mdv

dt

Ecuacion de movimiento: mdv

dt−k1(vw−v(t))2A(t)+k2v2(t) = 0. Escribiendo la ecuacion de movimiento en la

forma de espacio de estados, siendo que v(t) es la variable de estado, A(t) es la variable de entrada y v(t) es tambien

la variable de salida.d

dtv =

k2

mv2(t)− k1

m(vw− v(t))2A(t)

y = v.

La dinamica del sistema presenta una representacion espacio estados de la forma x= f (x,u) ya que estamos lidiando

con un sistema no lineal.

2. ¿Que tan grande debe ser el area de la vela A(t) para mantener la nave a una velocidad constante vo < vw?

Si la velocidad del velero es constante, se debe cumplirdv

dt= 0. Luego de la representacion espacio de estados se

tiene que:

1

2 1 Problemas propuestos y resueltos

d

dtv = 0 =

k2

mv2

o−k1

m(vw− vo)

2A(t).

Entonces:

Ao =k2v2

o

k1(vw− vo)2.

3. ¿Cual deberıa ser el area de la vela para llegar a un velocidad constante vo = vw?

Si la velocidad v es constante e igual a vw, entonces de la expresion anterior se tiene que:

A(t)vo→vw = lımvo→vw

k2v2o

k1(vw− vo)2→ ∞.

Problema 1.2: Oscilador Van der Pol

Considere el circuito simple R,L,C de la Fig.(1.2) con L y C siendo elementos lineales y R

siendo un resistor no lineal (no cumple la ley deOhm VC = iRR, en su lugar iR = f (vC)). La figuraa la derecha muestra la caracterıstica del resistor.

(1.2) Circuito de oscilacion Van der Pol

1. Elegir como estados a la corriente en el inductor iL y el voltaje del capacitor vC y calcular la representacion espacio

de estados del sistema.

Para modelar el circuito electrico usamos la ley de Kirchhoff para corrientes:

iC = iR + iL.

CdvC

dt=−vC + v3

C + iL.

Despejando en funcion de la variable de estado vC:

dvC

dt=− 1

CvC +

1

Cv3

C +1

CiL.

Tambien sabemos que en un circuito que tiene elementos conectados en paralelo se cumple que:

vC = LdiL

dt.

Despejando en funcion de la variable de estado iL:

diL

dt=

1

LvC.

Siendo los estados iL y vC, la representacion espacio de estado del sistema es:

d

dt

[ilvC

]

=

1

LvC

− 1

CvC +

1

Cv3

C +1

CiL

.

La dinamica del sistema presenta una representacion espacio estados de la forma x= f (x,0) ya que estamos lidiando

con un sistema no lineal.

1.1 Problemas Capıtulo 1 3

Problema 1.3: Preguntas varias

Responder segun se pida.

1. Control feedforward La Fig. (1.3) muestra una aplicacion tıpica de control feedforward.

El tanque de mezcla contınua posee una temperaturacontrolada por realimentacion. Control feedforward esempleado para suprimir rapidamente los disturbios enel flujo de alimentacion.

a) Destacar en la figura que lazos corresponden a re-alimentacion y feedforward, respectivamente. Justi-ficar.

b) Presentar el diagrama de bloques del sistema. (1.3) Control de temperatura.

2. Elementos basicos del sistema de control La Fig. (1.4) muestra un vehıculo de exploracion espacial (rover), ejemplo

de un sistema de control embebido. Los sistemas de control embebido emplean computadoras digitales de uso-

especıfico abordo como componente fundamental en el lazo de control por realimentacion.

(1.4) Un rover usando un sistema de control embebido en el lazo de control.

a) Identificar cada uno de los elementos basicos del sistema de control. Presentar el diagrama de bloques del sistema

incluyendo cada componente destacado en la figura.

b) ¿Cree Ud que una unica ley de control sera responsable del movimiento del rover? Justifique.

3. Puntos de equilibrio La Fig. (1.5) presenta al pendulo incluyendo dos magnetos de igual fuerza han sido adicionados

cerca a la la parte inferior del arco de oscilacion del pendulo.

Ayuda: La ecuacion del pendulo simple es:

ml2θ +bθ +mgl sinθ = 0,


a) Bosqueje el diagrama de plano de fase del sistema del sistemapendulo sin considerar los magnetos. Considere θ ∈ [−2π,2π].Explique el grafico realizado.

b) Si bien la ecuacion de movimiento del sistema incluyendo losmagnetos es compleja en su calculo, bosqueje como lucirıa el di-agrama de plano de fase del sistema. Considere θ ∈ [−π/2,π/2].¿Cuales son los puntos de equilibrio de este sistema? (1.5) Pendulo con dos magnetos.

donde θ es el angulo hecho por el pendulo con la vertical, g es la aceleracion de la gravedad y b > 0 el amor-

tiguamiento del sistema. Las variables de estado son θ y θ .

Problema 1.4: Modelado de sistemas

Encontrar formas de realizar operaciones de manipu-lacion/reparacion en el espacio es un problema que recibe bas-tante atencion - por ejemplo, para el ensamblaje de la estacionespacial internacional y para la recuperacion de satelites. En laactualidad el trabajo lo vienen realizando sistemas de manip-ulacion remota; sin embargo, un nuevo metodo considerandopartes inflables del manipulador viene siendo estudiado debidoa la gran reduccion en peso. La Fig. (1.6a) muestra la construc-cion de una estructura espacial desde un transbordador y la Fig.(1.6b) muestra un modelo del manipulador flexible donde J esla inercia del motor conductor, I es la inercia de la carga medi-da en su centro de masa, u es el torque generado el motor, m esla masa de la carga, l es la distancia al centro de gravedad dela carga, φ y θ son los angulos de rotacion del motor y la car-ga respectivamente, y k es la rigidez torsional del eje flexible.Considerar w como un torque externo que afecta a la carga.

(1.6) Sistema de manipulacion remota

1. Presentar un modelo mecanico traslacional, analogo al modelo mecanico torsional presentado en la Fig. (3b).

2. Calcular las ecuaciones de movimiento del sistema. Considerar el efecto de la fuerza gravitatoria (aun siendo esta

pequena).

3. Derivar la representacion espacio de estados del sistema introduciendo las variables de estado (normalizadas) x1 =

θ − φ ,x2 =θ − φ

ωo

, donde ωo =

√

k(J+ I +ml2)

J(I +ml2). Considerar aceleracion de la gravedad g = 0, solo para esta

pregunta.


Problema 1.5: Suspension de un vehıculo

Los vehıculos usan suspension activa y/o pasiva para permitir un paseo confortable en caso se presenten desniveles en

las carreteras. La Fig. (1.7) -derecha- muestra un diagrama esquematico del vehıculo con un sistema de suspension.

El modelo representa un cuarto del modelo del vehıculo; el vehıculo es aproximado por dos masas, una representa un

(1.7) Suspension del vehıculo

cuarto del cuerpo del vehıculo y la otra una rueda (incluyendo frenos y parte del sistema de suspension). El actuador

ejerce una fuerza F entre la rueda y el cuerpo que es calculada en base a la realimentacion de la distancia entre el

cuerpo y la rueda. Sean xb, xw y xr las alturas del cuerpo, rueda y superficie de la carretera medidas todas desde el

equilibrio. Representar la masa del cuerpo, masa de la rueda y rigidez de la rueda por mb, mw y kt , respectivamente.

Calcular lo que se pide:

1. Determinar las ecuaciones de movimiento. Incluir diagramas de cuerpo libre.

Nota: Las ecuaciones de movimiento deben de quedar en funcion de la fuerza F .

2. Un sistema de suspension convencional consiste en un resorte y un amortiguador, de rigidez k y coeficiente de amor-

tiguamiento c respectivamente, luego se tiene F = k(xw− xb)+ c(xw− xb). Escribir las ecuaciones de movimiento

para el sistema de suspension convencional en la forma espacio de estados. Detallar cual es el vector de estados, la

matriz dinamica, la matriz de entrada y la entrada.

3. ¿Cual seria la(s) salida(s) de interes del sistema? ¿Por que? Escribir la ecuacion de salida en su representacion

espacio de estados.

4. Presente el diagrama de bloques (diagrama de simulacion)correspondiente al sistema de suspension convencional.

Problema 1.6: Paseo dominguero en bicicleta

Una pareja sale a pasear en bicicleta un dia domingo. El muchacho (que pesa 200 libras) maneja una bicicleta vieja y

pesada, y la esposa (que pesa 100 libras) maneja una bicicleta de carrera, ligera, con ruedas de alta presion, rayos de

aluminio, etc. Ambos van paseando juntos cuando de pronto alcanzan una pendiente y deciden no pedalear ni frenar

en esta pendiente. Al final, el muchacho llega bien adelante de la esposa. Ambos quedan confundidos; ¡para que gastar

$1000 en una bicicleta tan lujosa si esto es lo que va a pasar!

Usted debe explicar este hecho analizando la dinamica del sistema como se pide a continuacion.

1. Obtenga un modelo para la bicicleta + conductor pendiente abajo. En otras palabras, grafique la bicicleta + conductor

bajando la pendiente. Su grafica debe incluir los parametros del sistema: masas, momentos de inercia, dimensiones,

angulos, etc.

2. Dibujar el diagrama de cuerpo libre para la bicicleta + conductor que muestre todas las fuerzas que actuan en el

sistema.

3. Escribir una ecuacion de movimiento del sistema de primer orden. Considere la inercia de las ruedas, estructura y

conductor como una sola inercia de masa.

4. Escribir la representacion espacio de estados del sistema descrito en el paso anterior. Senalar el/los estados y la/las

entradas. Adicionar la ecuacion de salida, especificando la/las salidas (Ud define las salidas).

5. Calcular el velocidad de equilibrio ve del sistema para el caso cuando la bicicleta es manejada en una pendiente con

inclinacion θ (θe = θ ).


6. (2 ptos) Escriba la aproximacion lineal del sistema en torno al punto de equilibrio (ve,θe).

7. En base a la descripcion de las bicicletas y de los conductores, usar el modelo linealizado para mostrar por que el

muchacho, de mayor peso y conduciendo la bicicleta vieja, termina llegando primero al final de la pendiente.

Sugerencia : Resolver la ecuacion diferencial para el caso v(0) = 0.

Despues de todo este analisis, ¿cual serıa la ventaja de poseer una bicicleta mas ligera? Respuesta: la ventaja se

manifiesta cuando se maneja cuesta arriba!

Problema 1.7: Microscopio de fuerza atomica (AFM, por sus siglas en Ingles)

El AFM es una de las principales herramientas en generacion de imagenes, medidas y manipulacion de materia en

la nanoescala. La informacion es colectada “palpando” la superficie de la muestra (sample) con una sonda mecanica

(viga voladiza - cantilever). Elementos piezoelectricos ejecutan pequenos y precisos movimientos generados por un

comando electronico.

Una diagrama esquematico del AFM se muestra en la figura de la izquierda. Una viga voladiza (cuya longitud

usualmente varia entre 50-200 µm) con una punta conica es colocada cerca de la muestra. La muestra puede ser movida

vertical y horizontalmente usando un elemento piezoelectrico. Cuando la muestra se acerca a la punta de la viga, fuerzas

de interaccion entre la muestra y la punta conllevan a una deflexion de la viga voladiza. La deflexion es medida usando

un rayo laser reflejado desde la parte superior de la viga voladiza hacia un arreglo de fotodiodos. La deflexion de la

viga es controlada por realimentacion usando un actuador piezolectrico que controla la posicion vertical de la muestra.

En base a experimentos se captura la dinamica del sistema piezoelectrico-viga voladiza y se obtiene un modelo

mecanico simple del sistema (figura de la derecha). El sistema puede ser modelado como dos masas separadas por

un piezoelectrico ideal. La masa m1 es la mitad del sistema piezoelectrico, y la masa m2 es la otra mitad del sistema

piezoelectrico mas la masa del apoyo. Se asume que el piezoelectrico genera una fuerza F entre las masas y que hay

amortiguamientos c1 y c2 en los resortes. Sean las posiciones de los centros de masa z1 y z2.82

Amplifier Amplifier

Sample

Cantilever

x,y z

LaserPhotodiode

Controller

Piezodrive

Deflection reference

Sweepgenerator

(a) Schematic diagram(1.8a) Diagrama esquematico del AFM

m1

k1

m2

c1

k2c2

F

F

Show that the dynamics can be written as(1.8b) Modelo mecanico del AFM con piezoelectrico

pre-cargado (F)

1. Determinar las ecuaciones de movimiento del sistema piezoelectrico - viga voladiza. Asumir que el sistema parte

del equilibrio estatico (no incluir fuerza gravitacional). Presentar diagramas de cuerpo libre

2. Sea la elongacion del elemento piezoelectrico l = z1− z2 la variable de control y sea la deflexion de la viga voladiza

z1 la variable de salida, eliminar la variable F en las ecuaciones anteriores y reescribir las ecuaciones en funcion de

las variables l y z1

3. Usando las ecuaciones lineales l = k3u y y = k4z1, escribir el modelo del sistema relacionando la salida y con su

senal de control u. La salida y corresponde a la deflexion amplificada y la senal de control u corresponde al voltaje

aplicado al piezoelectrico

4. Calcular la representacion espacio de estados del sistema anterior. ¿Cuales son los estados, la/las entrada/as y salida

del sistema?

5. Obtener la funcion de transferencia del sistema piezoelectrico-viga voladiza, G(s) = Y (s)U(s) .

6. Calcular la dinamica normalizada del sistema y su correspondiente representacion espacio de estados. Sugerencia:

Definir las variables adimensionales x = yL

y τ = ωt, donde ω =√

km

, y seleccionar la entrada de control v de la

forma mas conveniente


Problema 1.8: Preguntas variadas

Responda segun sea el caso. Argumente en las respuestas.

1. La Fig. (1.9) muestra la respuesta en el tiempo de un sistema con control crucero a un cambio en la rapidez de 25m/s a 30 m/s. Las 3 curvas corresponden a masas del vehıculo diferentes, entre 1000 y 3000 kg, ¿que propiedad delsistema controlado se demuestra en esta grafica?

a) Realimentacion.b) Robustez.c) Estabilidad.d) Desempeno.

Compute

Actuate

Throttle

Sense

Speed

0 5 10

25

30

Speed[m/s]

Time [s]

m

(1.9) Sistema de control por realimentacion para controlar la rapidez del vehıculo.

2. Demostrar que el sistema masa-resorte mq+kq= u posee la representacion espacio de estados descrita abajo cuandose consideran las variables adimensionales x = q/l y τ = ωot,

d

dτ

[x

dx/dτ

]

=

[0 1

−1 0

][x

dx/dτ

]

+

[0

1

]

v,

donde l es la amplitud de oscilacion de q y ω2o = k/m. ¿Cual es el valor de v?

3. Usando las respuestas en el tiempo de la Fig. (1.10b), explicar que es lo fısicamente esta sucediendo con el vehıculo.

Fundamente con ecuaciones, diagramas de cuerpo libre, etc.

gF

mg

F

θ

(a) Effect of gravitational forces

0 10 20 30

19

20

Time t [s]

Vel

oci

ty v

[m

/s]

0 10 20 300

1

Time t [s]

Th

rott

le u

(b) Closed loop response

(1.10a) En t = 5s el vehıculo con control crucero encuentra una pendiente. (1.10b) Respuesta en lazo cerrado.

4. La representacion en lazo cerrado del sistema de control de vuelo de una mosca se puede dividir en varios bloques:

la dinamica del cuerpo y aerodinamica del cuerpo como la planta, a la aerodinamica del ala como el actuador, al

giroscopio neuromecanico como el saturador, al sistema de vision como el sensor y el sistema sensoriomotor como

el controlador. Ubicar estos componentes del sistema de control en el diagrama de bloques de la Fig. (1.11).


Fig.(1.11) Vision como mecanismo compensatorio para atenuacion de disturbios tipo viento vw.

Problema 1.9: Modelado

Aufgabe 4:

W ir betrachten die unten skizzierte mechanische Anordnung, bei der die Neigung der schiefen

Ebene hydraulisch verä ndert werden kann (der W agen kann nicht abheben).

Als Steuergrö sse dieses Systems wird der Volumenstrom der Hydraulikflü ssigkeit in den

Hydraulikzylinder und als Ausgangsgrö sse die Position eines W agens mit der Masse

auf der schiefen Ebene betrachtet. Die W inkelgeschwindigkeit bleibt immer sehr klein, so

dass die Z entrifugalkrä fte vernachlä ssigt werden kö nnen.

Leiten Sie die Bewegungsgleichungen dieses Systems fü r den reibungsfreien Fall her.

Nehmen Sie dabei an, dass die Geschwindigkeit des Kolbenhubes direkt proportional

zum Volumenstrom in den Hydraulikzylinder ist. Schreiben Sie die Gleichungen in der

Z ustandsraumdarstellung auf, wobei die Z ustandsgrö ssen , und

zu verwenden sind.

Linearisieren Sie die Bewegungsgleichungen um den Betriebspunkt (nehmen Sie

an, dass diese Lage mit der Vorrichtung erreicht werden kann).

Ist das System asymptotisch stabil, stabil oder instabil? Begrü nden Sie Ihre Antwort

sowohl mathematisch mittels Stabilitä tsanalyse als auch intuitiv!

Ist das linearisierte System vollstä ndig steuerbar?

pt( )

v t( )

1

1

u t( )

h t( )

ϕ t( )

m

u t( )

p t( )·

·

x p= ·

Fig.(1.12) Elevador hidraulico

La Fig.(1.12) muestra un sistema mecanico de incli-nacion de una pendiente. El nivel puede ser cambiadohidraulicamente (el vehıculo no puede detenerse). Lavariable de control de este sistema u(t) es el flujo de vol-umen del fluido entrando al cilindro hidraulico, y la vari-able de salida es la posicion p(t) del vehıculo con masam. La velocidad angular ϕ(t) es muy pequena (ϕ(t) ≈0), de modo que las fuerzas centrıfugas se pueden des-preciar.

1. (2 ptos) Deducir las ecuaciones de movimiento del sistema para el caso sin friccion. Suponer que la velocidad de la

carrera del piston h(t) es directamente proporcional al flujo de volumen ingresando al cilindro hidraulico. Escribir

las ecuaciones en su representacion espacio de estados. Considerar que los estados son: x1(t) = p(t), x2(t) = p(t) y

x3(t) = h(t).

Ayuda: sinϕ(t) =

√

h(t)2− h(t)4

42. (2 ptos) Calcular la representacion lineal del sistema en torno al punto de operacion ho = 0 (suponer que se puede

lograr este punto con el dispositivo). Ayuda:∂

∂h

√

h(t)2− h(t)4

4

∣∣∣∣∣∣h=0

= 1.

3. (1 pto) Analizar la estabilidad del sistema lineal. ¿Es el sistema controlable?


Problema 1.10: Modelado

Un microscopio de pinzas opticas es un instrumento cientıfico capazde manipular partıculas dielectricas (dimensiones en nm o µm) me-diante la aplicacion de fuerzas (en el orden de pN) via un rayo laserfocalizado. Este microscopio es muy usado en el estudio de sistemasbiologicos, ver Fig.1 donde se realiza un estiramiento de la moleculade ADN para determinar sus propiedades fısicas; los extremos de lamolecula de ADN estan pegados a unas bolas de poliestireno.La Fig.(1.13) muestra el punto mas estrecho del haz de laser, el cualposee un gradiente de campo electrico muy fuerte que atrae a laspartıculas dielectricas, formandose una especie de trampa. Cuando labola es movida del centro de la trampa debido a una fuerza externa,el haz de laser es deflectado; esta deflexion se mide con un fotodio-do detector de posicion. El objetivo de control consiste en reducir lasvariaciones en la posicion de la bola debido a la accion de fuerzasexternas.La bola de poliestireno posee masa m y su desplazamiento en la direc-cion +x es debido a las siguientes fuerzas:

Fo: fuerza de entrampamiento optico (fuerza restauradora), dondeu es la posicion central del laser focalizado y viene a ser la entradade control, y α1,α3 > 0.

Fo =

α3(x−u)3−α1(x−u), para |x−u|< R =

√α1

α3

0, otro caso

,

Fd : fuerza de arrastre viscoso. Fd =−β x, β > 0.Ft : fuerza termica.Fe: otras fuerzas externas que dependen de las condiciones del ex-perimento.

Fig.(1.13) Diagrama esquematico de un experimento de estiramientode una molecula de ADN.

Fig.(1.14) Desplazamiento en el eje x de la bola de poliestirenoatrapada por el rayo laser.

1. Calcular la ecuacion de movimiento de la bola de poliestireno a lo largo del eje x de la region de entrampamiento.

Usar la 2da Ley de Newton.

Ecuacion de movimiento de la bola de poliestireno, en la region de entrampamiento:

mx = Fo +Fd +Ft +Fe,mx = α3(x−u)3−α1(x−u)−β x+Ft +Fe.

2. Si se trabaja con una bola de poliestireno de 1µm de diametro, la masa resultante serıa m≈5.5 10−10mg, la misma

que se puede considerar despreciable. Para el caso de masa despreciable, representar la ecuacion de movimiento de

la bola en la forma espacio de estados. Asumir que se puede medir el desplazamiento x de la bola mas un ruido n.

Representacion espacio de estados del sistema considerando masa despreciable:

dx

dt=

α3

β(x−u)3− α1

β(x−u)+

1

β(Ft +Fe),

y = x+n.

3. Determinar el (los) punto(s) de equilibrio para cuando la posicion central del laser es u. ¿Sera que todos los puntos

de equilibrio calculados son puntos validos?

Haciendo Ft = Fe = 0 y para u = u, los puntos de equilibrio del sistema se calculan de:

0 =α3

β(x− u)3− α1

β(x− u).


entonces:x = u, punto de equilibrio valido!

x =±√

α1

α3+ u. descartado por estar fuera de la region de entrampamiento!

4. Escribir la representacion lineal del sistema en torno a un punto de equilibrio apropiadamente elegido.

Considerando el punto de equilibrio x = u, el sistema linealizado viene a ser:

dx

dt=−α1

βx+

α1

βu+

1

β(Ft +Fd),

y = x+u+n.

5. ¿Es el sistema estable, controlable, observable?

Analizando el sistema:

El sistema es estable ya que λ (A) =−α1

β< 0.

El sistema es controlable ya que Wc =α1

β6= 0.

El sistema es observable ya que Wo = 1 6= 0.

Problema 1.11 Modelado:

Un ventilador produce un flujo de masa de aire S(t), el cual depende de lavelocidad rotacional ω(t):

S(t) = c1

√

ω(t).

El torque que se opone al movimiento del ventilador Tw(t) esta dado por:

Tw(t) = c2ω(t)2.

El ventilador es movido por un motor electrico, el cual produce un torqueconductor Tm(t):

Tm(t) = k1U(t)− k1k2ω(t),

donde U(t) es el voltaje de armadura del motor.

Fig.(1.15) Ventilador.

La inercia rotacional del sistema ventilador-motor esta dada por Θ . Despreciar fricciones internas. Los parametros

c1,c2,k1,k2,Θ son numeros constantes y positivos (∈ R+).

1. Si el voltaje de armadura U(t) es la entrada, la velocidad rotacional ω(t) es el estado y el flujo de masa de aire S(t)es la salida, derivar la ecuacion de movimiento del sistema y escribirla en la forma espacio de estados. Incluir la

ecuacion de salida.

La ecuacion de movimiento del sistema es:

Θω(t) = Tm(t)−Tw(t) = k1U(t)− k1k2ω(t)− c2ω(t)2.

Reescribiendo la ecuacion de movimiento en la forma espacio de estados; incluyendo la ecuacion de salida:

ω(t) =k1

ΘU(t)− k1k2

Θω(t)− c2

Θω(t)2

S(t) = c1

√

ω(t)

2. Calcular la velocidad rotacional ωe y el voltaje de armadura Ue tal que el sistema en el equilibrio tenga un flujo de

masa de aire Se.

Para calcular el punto de equilibrio se considera ω(t) = 0, y usando el flujo de masa de aire Se:


0 =k1

ΘUe−

k1k2

Θωe−

c2

Θω2

e

Se = c1√

ωe

→ωe = (

Se

c1)2

Ue = k2(Se

c1)2 +

c2

k1(

Se

c1)4

3. Linealizar el sistema con respecto al punto de equilibrio (ωe,Ue,Se). Presentar el sistema linealizado en su forma

espacio de estados. Incluir la ecuacion de salida.

Linealizando el sistema con respecto al punto de equilibrio (ωe,Ue,Se).

˙ω(t) = −k1k2

Θ−2

c2

Θ(

Se

c1)2ω(t)+

k1

ΘU(t)

S(t) =c1

2(

Se

c1)3ω(t)+Se

4. ¿Cual serıa el objetivo de control en el sistema ventilador-motor? Proveer un ejemplo en donde serıa necesario usar

un ventilador controlado.

El diseno de control para el sistema ventilador-motor buscarıa que la velocidad rotacional ω(t) siga un perfil

deseado ωd(t). Un caso concreto de ventilador con velocidad controlada se encuentra en los sistemas de enfriamiento

de las PCs, especıficamente para regular la temperatura del disco duro.



Problema 2.1: Oscilador Van der Pol

Considere el circuito simple R,L,C de laFig.(2.1) con L y C siendo elementos lineales y R

siendo un resistor no lineal (no cumple la ley deOhm VC = iRR, en su lugar iR = f (vC)). La figuraa la derecha muestra la caracterıstica del resistor.

Fig.(2.1) Circuito de oscilacion Van der Pol

1. Elegir como estados a la corriente en el inductor iL y el voltaje del capacitor vC y calcular la representacion espacio

de estados del sistema.

Siendo los estados iL y vC, la representacion espacio de estado del sistema es:

d

dt

[iLvC

]

=

1

LvC

− 1

CvC +

1

Cv3

C +1

CiL

.

2. Encontrar el(los) punto(s) de equilibrio del sistema

Los puntos de equilibrio se encuentran al igual a cero las derivadas con respecto al tiempo en la representacion

espacio de estados. Entonces:

d

dt

[iLe

vCe

]

=

[0

0

]

=

1

LvCe

− 1

CvCe +

1

Cv3

Ce +1

CiLe

.

Las ecuaciones que se deben resolver para calcular los puntos de equilibrio son:

vCe = 0 y − 1

CvCe +

1

Cv3

Ce +1

CiLe = 0

Luego el punto de equilibrio es: (iLe,vCe) = (0,0).3. Seleccionar un punto de equilibrio y calcular la representacion lineal del sistema en torno al punto de equilibrio

seleccionado.

La dinamica linealizada del sistema en torno al punto de equilibrio antes calculado:

d

dt

[iLvC

]

=

1

LvC

− 1

CvC +

1

Cv3

C +1

CiL

=

[f1(iL,vC)f2(iL,vC)

]

.

d

dt

[iLvC

]

=

∂ f1

∂ iL

∂ f1

∂vC∂ f2

∂ iL

∂ f2

∂vC

∣∣∣∣∣∣∣ iL = iLe

vC = vCe

[iLvC

]

[iLvC

]

=

01

L1

C− 1

C+3

1

Cv2

C

∣∣∣∣∣∣∣ iL = iLe

vC = vCe

[iLvC

]

.


[iLvC

]

=

01

L1

C− 1

C

[iLvC

]

.

4. ¿Que puede decir sobre la estabilidad del sistema en torno al punto de equilibrio seleccionado?

La estabilidad del sistema lineal se calcula resolviendo para los autovalores del sistema:

λ (A) = λ

01

L1

C− 1

C

=− 1

2C± 1

2C

√

1+4C

L

Como√

1+4CL> 1, entonces existe un autovalor de A con parte real negativa, esto significa que el punto de

equilibrio (0,0) es inestable.

Problema 2.2: Aeronave PVTOL

Considere una aeronave de despegue y aterrizaje vertical (PVTOL), como mostrado en laFig.(2.2). Los estados son las posiciones y,z del centro de masa, el angulo de alabeo φ , ylas velocidades correspondientes, y, z, φ . Las entradas de control, ut y um, son el empujeaplicado en el centro de masa y el momento de alabeo en torno al centro de masa de laaeronave, respectivamente. Adicionalmente, ε > 0 es un coeficiente pequeno relacionadoal acoplamiento entre el momento de alabeo y la aceleracion lateral de la aeronave. Final-mente, g denota la fuerza gravitacional.En el modelo de la aeronave PVTOL, desprecie el efecto de flexion en las alas o fuselaje yconsidere a la aeronave como un cuerpo rıgido.

Fig.(2.2) Aeronave PVTOL

1. Calcular las ecuaciones de movimiento del PVTOL. Masa de la aeronave, m, y momento de inercia con respecto al

centro de masa de la aeronave y a lo largo del fuselaje es J.

Las ecuaciones de movimiento para un prototipo PVTOL son:

my = sinφut − cosφεum

mz = −cosφut − sinφεum +mg

Jφ = um

2. Escribir las ecuaciones de movimiento usando las siguientes variable normalizadas: Y =y

g,Z =

z

g,Um =

um

J,Ut =

ut

mg,Ξ =

εJ

mg.

Usando las variables normalizadas se obtiene:

Y = sinφUt − cosφΞUm

Z = −cosφUt − sinφΞUm +1

φ = Um

Luego, el sistema en su representacion espacio de estados es:

d

dt

Y

Z

φY

Z

φ

=

Y

Z

φsinφUt − cosφΞUm

−cosφUt − sinφΞUm +1

Um


donde

Y

Z

φY

Z

φ

es el vector de estados y

[Ut

Um

]

es el vector de entradas de control.

3. Determinar el/los punto/s de operacion del PTVOL. ¿Cual es la implicancia del punto de operacion?

Para calcular los puntos de equilibrio igualamos a cero las derivadas, asi:

d

dt

Y

Z

φY

Z

φ

= 0 =

Ye

Ze

φe

sinφeUte− cosφeΞUme

−cosφeUte− sinφeΞUme +1

Ume

.

Lo que resulta en:Ye = 0

Ze = 0

φe = 0

Ume = 0→Ume = 0

sinφeUte− cosφeΞUme = 0→ sinφeUte = 0

−cosφeUte− sinφeΞUme +1 = 0→ cosφeUte = 1

Si elegimos Ute = 0→ de cosφeUte = 1→ 0 = 1? (inconsistente!). Luego la unica opcion es que cosφe = 1, lo cual

se cumple para φe = kπ, k ∈ Z.

4. Elija un punto de operacion para la linealizacion del sistema. Represente el sistema linealizado en su forma espacio

de estados.

Elegimos el punto de operacion (Ye,Ze,φe,Ye, Ze, φe,Ute,Ume) = (Ye,Ze,0,0,0,0,0,1).Identificamos apropiadamente a las funciones que usaremos para las derivadas:

d

dt

Y

Z

φY

Z

φ

=

Y

Z

φsinφUt − cosφΞUm

−cosφUt − sinφΞUm +1

Um

=

f1(Y,Z,φ ,Y , Z, φ)f2(Y,Z,φ ,Y , Z, φ)f3(Y,Z,φ ,Y , Z, φ)f4(Y,Z,φ ,Y , Z, φ)f5(Y,Z,φ ,Y , Z, φ)f6(Y,Z,φ ,Y , Z, φ)

Derivando apropiadamente para formar las matrices A y B:

d

dt

Y

Z

φ˜Y˜Z˜φ

=

∂ f1

∂Y

∂ f1

∂Z

∂ f1

∂φ

∂ f1

∂Y

∂ f1

∂ Z

∂ f1

∂ φ∂ f2

∂Y

∂ f2

∂Z

∂ f2

∂φ

∂ f2

∂Y

∂ f2

∂ Z

∂ f2

∂ φ∂ f3

∂Y

∂ f3

∂Z

∂ f3

∂φ

∂ f3

∂Y

∂ f3

∂ Z

∂ f3

∂ φ∂ f4

∂Y

∂ f4

∂Z

∂ f4

∂φ

∂ f4

∂Y

∂ f4

∂ Z

∂ f4

∂ φ∂ f5

∂Y

∂ f5

∂Z

∂ f5

∂φ

∂ f5

∂Y

∂ f5

∂ Z

∂ f5

∂ φ∂ f6

∂Y

∂ f6

∂Z

∂ f6

∂φ

∂ f6

∂Y

∂ f6

∂ Z

∂ f6

∂ φ

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

Y = Ye

Z = Ze

φ = φe

Y = Ye

Z = Ze

φ = φe

Ut =Ute

Um =Ume

Y

Z

φ˜Y˜Z˜φ

+

∂ f1

∂Ut

∂ f1

∂Um∂ f2

∂Ut

∂ f2

∂Um∂ f3

∂Ut

∂ f3

∂Um∂ f4

∂Ut

∂ f4

∂Um∂ f5

∂Ut

∂ f5

∂Um∂ f6

∂Ut

∂ f6

∂Um

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

Y = Ye

Z = Ze

φ = φe

Y = Ye

Z = Ze

φ = φe

Ut =Ute

Um =Ume

[Ut

Um

]


Luego:

d

dt

Y

Z

φ˜Y˜Z˜φ

=

0 0 0 1 0 00 0 0 0 1 00 0 0 0 0 10 0 cosφUt + sinφΞUm 0 0 00 0 sinφUt − cosφΞUm 0 0 00 0 0 0 0 0

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

Y = Ye

Z = Ze

φ = φe

Y = Ye

Z = Ze

φ = φe

Ut =Ute

Um =Ume

Y

Z

φ˜Y˜Z˜φ

+

0 00 00 0

sinφ −cosφΞ−cosφ −sinφΞ

0 1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

Y = Ye

Z = Ze

φ = φe

Y = Ye

Z = Ze

φ = φe

Ut =Ute

Um =Ume

[

Ut

Um

]

y:

d

dt

Y

Z

φ˜Y˜Z˜φ

=

0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 1

0 0 0 0 0 0

0 0 −Ξ 0 0 0

0 0 0 0 0 0

Y

Z

φ˜Y˜Z˜φ

+

0 0

0 0

0 0

0 −Ξ−1 0

0 1

[Ut

Um

]

Problema 2.3: masa-resorte-amortiguador La ecuacion de movimiento del sistema es:

Para el sistema masa-resorte no lineal-amortiguador nolineal mostrado en la Fig.(2.3) se pide:

1. Calcular el punto de equilibrio del sistema para fe =16.

2. Escribir la representacion lineal del sistema con re-specto al punto de equilibrio antes calculado.

LINEARIZATION EXAMPLE

Fig.(2.3) masa-resorte no lineal-amortiguador

Mx+B(x3 + x)+K|x|x = 16+ cosωt

La correspondiente representacion espacio de estados es:

d

dt

[x

x

]

=

[x

− B

M(x3 + x)− K

M|x|x+ 16

M+

1

Mcosωt

]

Representacion lineal del sistema en relacion a una excitacion promedio f (t) = 16:

En el punto de equilibrio se cumple: ue = 16, |xe|xe =16

K→ xe =

4√K

d

dt

[x˙x

]

=

[0 1

−2K

M|x| − B

M(3x2 +1)

]∣∣∣∣∣pto equilibrio

[x˙x

]

+

[01

M

]

cosωt

Luego:

d

dt

[x˙x

]

=

0 1

−8√

K

M− B

M

[x˙x

]

+

[01

M

]

cosωt

con: ˙x(0) = 0 y x(0) = x(0)− xe(0) = 0− 4√K

=− 4√K


Problema 2.4: circuito no lineal

Para el sistema mostrado en la Fig.(2.4) sepide:

1. Calcular el punto de equilibrio del sis-tema para Ve = 2.

2. Escribir la representacion lineal delsistema con respecto al punto de equi-librio antes calculado.

STATE-SPACE LINEARIZATION EXAMPLE (Close, Frederick & Newell, Example 9.9)

Fig.(2.4) circuito no lineal

Problema 2.5: Control de rapidez

La dinamica del sistema de control es:

mdv

dt= αnuT (αnv)︸︷︷︸

F

+−mgCrsgn(v)− 1

2ρCdAv2−mgsinθ

︸︷︷︸

Fd

,

donde F representa la fuerza generada por el motor y Fd representa la friccion alrodamiento, el arrastre aerodinamico y la fuerza gravitacional, ver Fig.(5). El torqueT (αnv) = T (ω) = Tm(1− β ( ω

ωm− 1)2), donde Tm es el torque maximo obtenido

a la velocidad angular del motor ωm. Parametros tipicos son Tm = 190Nm, ωm =420rad/s (para 4000 rpm) y β = 0,4. Otros valores tıpicos: α4 = 12, ρ = 1,3 kg/m3,Cr = 0,01, Cd = 0,32, A = 2,4m2, m = 1000kg.

gF

mg

F

θ

Fig.(2.5) Vehıculo sobre una pendiente, modelo paracontrol crucero

1. Existe un punto de equilibrio (ve,ue,θe) donde la fuerza aplicada por el motor balancea las fuerzas de disturbio.

Calcular la entrada ue para un viaje en cuarta con ve = 25m/s, θe = 0. Rpta: ue = 0,1687.

2. Para el punto (ve,ue,θe), verificar que el modelo lineal esta resulta:dv

dt=−0,0101v+1,32u−9,8θ .

3. Definir la salida v para el sistema lineal antes calculado.

4. Si se cierra el lazo de control con u =−0,5v−0,1z, donde z = v. Mostrar el diagrama de bloques del sistema (como

representarıa esta ley de control en Matlab/Simulink).

5. Escribir la representacion espacio de estados del sistema controlado, con estados v y z. Incluir la ecuacion de salida.

Problema 2.6: Linealizacion

La Fig. (2.6) muestra el lazo de control del cabeceo (pitch) de un sis-tema autopiloto. El sistema de control recibe una senal y del girosco-pio. La senal y es una funcion f (θ), donde θ es la desviacion de laaeronave a partir de la condicion predefinida del cabeceo. La presen-cia de una senal y produce una rotacion δe en el elevador (actuador) dela aeronave. La rotacion del elevador produce una tasa de variacion enel cabeceo de la aeronave igual a e, la misma que es retornada comomostrado en la figura.Sea J el momento de inercia de la aeronave respecto al eje de rotacionque pasa por O y sea M = 1

2CmρV 2Sc el momento neto del cabeceo,

con Cm = Cm(θ , θ ,δe) el coeficiente de momento del cabeceo, V lavelocidad de la aeronave, S la superficie del ala, c la longitud de lacuerda aerodinamica y α el angulo de ataque. Fig.(2.6) Sistema autopiloto (cabeceo).


Se cumple 0 =Cm(0,0, δe), δe =cte. Responder segun corresponda:

1. Presentar el diagrama de bloques del sistema autopiloto destacando los elementos basicos del sistema de control.

Incluir todas las variables dadas.

A continuacion el diagrama de bloques del sistema.

(2.7) Diagrama de bloques sistema autopiloto (cabeceo).

2. Escribir la ecuacion de movimiento rotacional (cabeceo) de la aeronave en su forma espacio de estados. Incluir la

ecuacion de salida.

Escribiendo la dinamica rotacional del sistema:

Jθ = M

Jθ = 12CmρV 2Sc

Jθ = 12Cm(θ , θ ,δe)ρV 2Sc

Representacion espacio de estados:

d

dt

[θθ

]

=

[θ

1

2JCm(θ , θ ,δe)ρV 2Sc

]

y = f (θ)

3. Calcular la representacion lineal del movimiento rotacional de la aeronave. ¿Que punto de equilibrio empleo para la

linealizacion?.

Calculo de los ptos de equilibrio:

[0

0

]

=

[θ

1

2JCm(θ , θ ,δe)ρV 2Sc

]

Se sabe que Cm(0,0, δe) = 0. Luego un punto de equilibrio es xe =

[0

0

]

, ue = δe.

La representacion lineal del sistema para el punto de equilibrio elegido es:

d

dt

[θ˙θ

]

=

0 1

αo

∂Cm(0,0, δe)

∂θαo

∂Cm(0,0, δe)

∂ θ

[θ˙θ

]

+

0

αo

∂Cm(0,0, δe)

∂δe

δe

y =

[

∂ f (0)

∂θ0

][θ˙θ

]

donde αo =1

2JρV 2Sc.



Problema 3.1: Analisis sistemas lineales

Responder segun corresponda:

1. Sea el sistema:

dx

dt=

[0 1

0 0

]

x+

[1

0

]

u

y =[

1 0]

x

, con ley de control: u =−Kx+ krr.

Demostrar que los polos del sistema en lazo cerrado no pueden ser asignados arbitrariamente.

2. Considerar el sistema mostrado en la Fig. (3.1).

La dinamica de cada uno de los subsistemas se puede escribir como:

dx

dt= Ax+Bu1

y1 =Cx,

dz

dt= Az+Bu2

y2 =Cz.

Demostrar que el sistema formado por los dos subsistemas identicos, con entrada

u =[

u1 u2

]Ty salida igual a y = y1 + y2, no es observable. Fig.(3.1) Salida formada por la suma de salidas y1 y y2

Problema 3.2: Control de posicion de cuchilla

Maquinas tipo torno son controladas automaticamente(ver Fig.(3.2)). Considerando un eje, la posicion desea-da de la cuchilla se compara con la posicion actual yesta informacion es usada para activar una bobina, lacual controla la presion dentro del actuador hidraulico.

El sistema actuador-cuchilla esta descrito por:

Gxy(s) =X(s)

Y (s)=

1

s(0,5s+1).

El voltaje de salida del amplificador es:

Eo(s) = AE(s) = A[Rd(s)−X(s)]

128 INTRODUCTION TO CONTROL ENGINEERING

Eo i

RL

Differenceamplifier

A

Spring, K

rd

yFluid supply

Position feedback x

Cutting tool

Work piece

(a)

G(s)+– Tool position

R (s)d A 1R + sL

E (s)o I(s)– KK2

F(s) Y(s) X(s)

(b)

Fig. P4.7 (a) Tool position control, (b) Block diagram

Fig.(3.2) Control de posicion de la cuchilla

donde rd(t) es la posicion deseada de la cuchilla y e(t) es el error entre la posicion deseada y la posicion medida. La

fuerza en el eje actuador es proporcional a la corriente i(t) tal que F = K2i(t) donde K2 = 2,0. La fuerza es balanceada

contra el resorte, F =−Ky(t), donde K = 1,2 es la constante del resorte, y R = 10 Ω y L = 0,5 H. Sea A = 6,95.

1. Graficar el diagrama de bloques del sistema de control de posicion de cuchilla.

2. Expresar la funcion de transferencia actuador-cuchilla en su forma canonica modal.

3. Calcular la matriz de transicion eAt = L −1(sI−A)−1 para la representacion espacio de estados antes calculada.

4. Para el sistema en lazo cerrado (entrada rd(t), salida x(t)), determinar la correspondiente forma canonica contro-

lable.


Problema 3.3: Efecto integral

Un velero de masa m se encuentra inicialmente en reposo, v(0) = 0. En el tiempo t = 0, se presentaun fuerte viento de magnitud Vo = 10 m/s.Asumir que la fuerza del viento sobre las velas es en la direccion del viaje y esta dado por Fw(t) =bw[Vo−v(t)]. Asumir que el arrastre viscoso del agua sobre el velero esta dado por Fd(t) = bdv(t). Fig.(3.3) Diagrama del velero

1. Escribir la ecuacion de movimiento del velero en la forma de espacio de estados. Usar como variable de estado a la

velocidad v(t). Asumir que se puede medir v(t).2. Para las condiciones dadas en el enunciado del problema, calcular la velocidad del velero en estado estacionario.

¿Es la velocidad del velero menor que 10 m/s?

Ayuda. Sea el sistema:

x = Ax+Bu, x(0) = xo

y =Cx+Du, si u(t) =

0 t = 0,

u = cte t > 0,, la salida del sistema esta dada por:

y(t) =CeAtx(0)+CA−1eAtBu+D−CA−1Bu.

3. Si el objetivo es mover el velero a una velocidad vr(t), ¿que modificacion debemos realizar a la ecuacion de

movimiento? Mostrar que con control integral es posible seguir una velocidad de referencia vr(t) =cte.


1. ¿Cual es la principal ventaja de un diseno de control por realimentacion de estados en relacion a un diseno de control

proporcional o proporcional derivativo (PD) usado en control clasico?

2. Defina cada termino en las expresiones dadas abajo.

Sea el sistema:


y =Cx+Du, la solucion y la salida estan dadas por:

x(t) = eAtx(0)︸︷︷︸

?

+∫ t

0eA(t−τ)Bu(τ)dτ

︸︷︷︸

?

y(t) =CeAtx(0)+∫ t

0CeA(t−τ)B︸︷︷︸

?

u(τ)dτ

3. Mencione dos formas de obtener la matriz de funciones de transferencia del sistema


y =Cx+Du.

Explique que representa la funcion de transferencia.

4. Pruebe que, para el sistema


y =Cx+Du, los autovalores de la matriz A son los polos del sistema.

5. Pruebe que, para una realizacion espacio de estados de orden n en la forma canonica modal, la matriz de controla-

bilidad es de la forma:

Wc =

. . ....

......

0 0 1 . . .0 1 −an−1 . . .1 −an−1 −a2

n−1−an−2 . . .


donde a1,a2, . . . son los coeficientes del polinomio caracterıstico sn + an−1sn−1 + an−2sn−2 + . . . . Asuma que el

sistema solo tiene una entrada.

6. ¿Existe alguna limitacion practica en los valores seleccionados para las ganancias K del control por realimentacion

de estados u =−Kx? En otras palabras, analice que pasa con la senal de control u si se eligen polos en lazo cerrado

muy alejados del eje imaginario.

Problema 3.5: Analisis Sistemas Lineales

Responder segun corresponda:

1. Considerar el modelo normalizado del sistema p endulo en el carrito:

d2 p

dt2= u,

d2θ

dt2=−θ +u,

donde p es la posicion del carrito y θ es el angulo del pendulo. ¿Se puede mantener el equilibrio en θ = θo, θo 6= 0?

Fig.(3.4) Pendulo invertido en carrito

Para calcular el equilibrio se debe cumplird2 p

dt2= 0, luego u = 0. Cuando u = 0, el punto de equilibrio del sistema

es:

p = po,d p

dt= 0, θ = 0,

dθ

dt= 0.

Luego no se puede mantener el pendulo en la posicion θ = θo 6= 0.

2. Considerar el sistema:dx

dt=

[0 1

0 0

]

x+

[1

0

]

u, y =[

1 0]

x,

con la ley de control:

u =−k1x1− k2x2 + krr.

Demostrar que los autovalores del sistema en lazo cerrado no pueden ser asignados arbitrariamente.

Si los polos del sistema no pueden ser arbitrariamente asignados entonces el sistema debe ser no controlable.

Analizando la controlabilidad del sistema:

Wc =

[1 0

0 0

]

→ |Wc|= 0,

y se prueba que el sistema es no controlable.

3. Considerar el sistema mostrado en la Fig.(3.4). La dinamica de cada uno de los subsistemas se puede escribir como:

dx

dt= Ax+Bu1

y1 =Cx,

dz

dt= Az+Bu2

y2 =Cz.

Demostrar que el sistema formado por los dos subsistemas identicos, cuyas salidas son sumadas para dar la salida

total, no es observable.


Fig.(3.5) Salida total formada por suma de salidas de sistemas identicos

Escribiendo la dinamica total del sistema:[

x

z

]

=

[A 0

0 A

][x

z

]

+

[B 0

0 B

][u1

u2

]

y =[

C C][

x

z

]

Analizando la observabilidad del sistema total:

Wo =

[C C

CA CA

]

,

se observa que Wo no tiene rango de columna completo, luego el sistema es no observable.

4. Un sistema compuesto por dos subsistemas conectados en cascada es mostrado en la Fig.(3.6). Sean las variables

de estado del sistema x1 = y1− u1 y x2 = y2. Asumir que la entrada al sistema es u = u1 y que la salida es y = y2.

Obtener el modelo espacio de estados del sistema interconectado. ¿En que caso el sistema se torna no controlable?

Encontrar la funcion de transferencia del sistema no controlable.

Sugerencia: Usar transformada de Laplace inversa en cada uno de los bloques.

u1 y1 u2 y2

yu

s a

s b

1

s c

Fig.(3.5) Diagrama de bloques

Del diagrama de bloques se tienen las siguientes funciones de transferencia:

y1 =s+a

s+bu1

y2 =1

s+ cu2 =

1

s+ cy1

Usando transformada de Laplace inversa:

y1 +by1 = u1 +au1

y2 + cy2 = y1

Reescribiendo las ecuaciones para x1 = y1−u1 y x2 = y2:

y1− u =−by1 +au1

y2 = y1− cy2→

x1 =−b(x1 +u1)+au1

x2 = x1 +u1− cx2

En la forma espacio de estados el sistema interconectado queda como:


[x1

x2

]

=

[−b 0

1 −c

][x1

x2

]

+

[a−b

1

]

u

y =[

0 1][

x1

x2

]


Wc =[

B AB]=

[a−b −b(a−b)

1 a−b− c

]

El sistema es no controlable si |Wc|= (a− c)(a−b) = 0.

La funcion de transferencia del sistema no controlable es:

G(s) =1

s+b, o, G(s) =

1

s+ c.


1. (1 pto) Determinar los valores de los parametros a, b y c del sistema.

La Fig. (3.6) corresponde a la respuesta impulsiva de unsistema lineal invariante en el tiempo de 1er orden:

x(t) = ax(t)+bu(t), x(0) = 0y(t) = cx(t)

donde a,b,c ∈ R.

Dato:y(t) = ceatx(0)+

∫ t0 cea(t−τ)bu(τ)dτ . 0 2 4 6 8 10

0

1

2

3

4

5

6

t (sec)

y(t)

(3.6) Respuesta impulsiva sistema de 1er orden.

2. Considerar el sistema lineal invariante en el tiempo:

[x1

x2

]

=

[0 1

6 0

][x1

x2

]

+

[0

1

]

U(t)

y(t) =[

50 2][

x1

x2

]

,

describiendo la dinamica de la inclinacion vertical de una bicicleta en movimiento y(t) donde la entrada u(t) es el

angulo de actuacion.

a) (1 pto) ¿Puede el conductor evitar que la bicicleta se incline unicamente inclinando el timon?

b) (1 pto) ¿Sera necesaria la intervencion de un conductor para evitar que la bicicleta se incline?


u(t)

y(t)

»1

»2

»2

»3

g

(3.7) Vistas esquematicas de una bicicleta.


Problema 4.1: Controlabilidad y observabilidad, formas canonicas

Responda lo que se pide:

1. Para el sistema dado en el diagrama de simulacion de la Fig. (4.1), encontrar las condiciones necesarias y suficientes

para los valores de α , β , k1 y k2 tal que el sistema sea tanto controlable como observable.

Fig.(4.1) Diagrama de simulacion

2. Para el sistema descrito por la funcion de transferencia abajo:

Y (s)

U(s)=

s2−2

s(s2−1)

escribir la representacion espacio de estados tanto en la forma canonica controlable como en la forma canonica

modal. Sugerencia: Comience calculando la forma canonica controlable.

Problema 4.2: Solucion ecuacion espacio de estados

Un sistema en lazo cerrado para controlar la concentracion quımica se muestra en la Fig. (4.2). La alimentacion es

granular y de composicion variable. Se desea mantener una composicion constante de la mezcla a la salida mediante

ajuste de la valvula de flujo. La funcion de transferencia del tanque y la valvula de salida esta dada por:

G(s) =4

4s+1

y el controlador es representado por:

Gs(s) = k1 +k2

s

El transporte de la alimentacion a lo largo de la faja transportadora introducirıa un retraso de 2 segundos, que para

efectos de este problema sera ignorado. Considerar k1 = 0,1 y k2 = 0,02. Calcular lo que se pide:

1. ¿En que punto del diagrama de bloques (Fig. 4.2a) se debe incluir el retraso?

2. Cerrar el lazo de control y expresar la funcion de transferencia en lazo cerrado en su forma canonica modal. ¿Es el

sistema estable?

3. Obtener la expresion para la salida y(t) asumiendo que la entrada (set point) es un escalon de magnitud unitaria y

que el vector de estados inicial es qo = [0,5,0,0]T .


Fig.(4.2a) Control de concentracion quımica Fig.(4.2b) Diagrama de bloques del sistema de control

4. Expresar la funcion de transferencia en lazo cerrado en su forma canonica observable.



Problema 5.1: Control por realimentacion de estados

La representacion espacio de estados normalizada que describe la desviacion lateral de un vehıculo (manejado en el

eje x) esta dada por:

[y

θ

]

=

[0 10 0

][y

θ

]

+

[γ1

]

δ

z =[

1 0][

y

θ

]

donde y y θ son la posicion lateral y orientacion del centrode masa del vehıculo, respectivamente, y δ es el angulo de lallanta delantera. Sea γ = a/b = 0,5.

ab

α δv

y

x

α

α

δ

δ

θ

Fig.(5.1) Control de la direccion de un vehıculo. Derecha: modelosimplificado de una bicicleta.

1. ¿Es el sistema inestable, asintoticamente estable o marginalmente estable?

2. Si se desea disenar un controlador por realimentacion de estados para estabilizar la dinamica y seguir una referencia

dada r de la posicion lateral del vehıculo, calcular las ganancias de la ley de control u =−Kx+ krr para un tiempo

de asentamiento de la respuesta igual a 4 s. Considere una razon de amortiguamiento ζ = 0,707 para los polos en

lazo cerrado.

Ayuda: Tiempo de asentamiento ts ≈ 4/ζ ωo.

3. (2 ptos) Para la ley de control antes usada, calcular la salida controlada z(t) a una entrada r(t) del tipo escalon

unitario con y(0) = 0 y θ(0) = 0. Resolver tambien para la entrada de control δ (t). Bosquejar la posicion lateral y

y el angulo de la llanta delantera δ .

4. ¿Cual es el valor inicial de la senal de actuacion? ¿Habrıa algun problema con la actuacion? ¿Que recomienda para

solucionar el problema?

5. Disene el observador de estados con una seleccion de polos apropiada. Senale que polos eligio.

6. Calcule la funcion de transferencia del sistema en lazo cerrado. ¿Por que no aparece la informacion del observador?


1. Calcule la matriz de funciones de transferencia del diagrama de bloques de la Fig. (5.2), en otras palabras G(s) en

la siguiente expresion:[

y1

y2

]

= G(s)

[u1

u2

]


De la figura se tiene:


y1 =−1

(s−1)(s+1)u1 +

1,5

(s−1)(s+2)u2

y2 =−1

(s+3)(s+1)u1 +

1,5

(s+3)(s+2)u2

Agrupando terminos:

[y1

y2

]

=

−1

(s−1)(s+1)

1,5

(s−1)(s+2)−1

(s+3)(s+1)

1,5

(s+3)(s+2)

[u1

u2

]

¿Como seria llevar G(s) a su forma espacio de estados?

Idea: Ver el problema a continuacion.

2. Un sistema compuesto por dos subsistemas conectados en cascada es mostrado en la Fig. (5.3). Sean las variables de

estado del sistema x1 = y1−u1 y x2 = y2. Asumir que la entrada al sistema es u= u1 y que la salida es y= y2. Obtener

el modelo de espacio de estados del sistema interconectado. ¿Cuando es el sistema no controlable? Encontrar la

funcion de transferencia del sistema no controlable.

Sugerencia: Usar transformada de Laplace inversa en cada uno de los bloques.

u1 y1 u2 y2

yu

s a

s b

1

s c


Del diagrama de bloques se tienen las siguientes funciones de transferencia:

y1 =s+a

s+bu1

y2 =1

s+ cu2 =

1

s+ cy1

Usando transformada de Laplace inversa:

y1 +by1 = u1 +au1

y2 + cy2 = y1

Reescribiendo las ecuaciones para x1 = y1−u1 y x2 = y2:

y1− u =−by1 +au1

y2 = y1− cy2

x1 =−b(x1 +u1)+au1

x2 = x1 +u1− cx2

En la forma espacio de estados el sistema interconectado queda como:

[x1

x2

]

=

[−b 0

1 −c

][x1

x2

]

+

[a−b

1

]

u

y =[

0 1][

x1

x2

]


Wc =[

B AB]=

[a−b −b(a−b)

1 a−b− c

]

El sistema es no controlable si det(Wc) = (a− c)(a−b) = 0.


3. Considere la planta con la siguiente representacion espacio de estados:

x =

[−2 −1

1 0

]

x+

[1

0

]

u

y =[

0 1]

x+Du

Usar la formula de Ackerman para para disenar un control por realimentacion de estados u =−Kx+ krr tal que los

polos en lazo cerrado se ubiquen en s = −2,−2. (Encontrar K y kr)

Usando la formula de Ackerman:

K = q1αc(A)

donde q1 es la ultima fila de la inversa de la matriz de controlabilidad y αc(s) es la ecuacion caracterıstica del

sistema en lazo cerrado.

La matriz de controlabilidad es:

Wc =

[1 −2

0 1

]

W−1c =

[1 2

0 1

]

luego: q1 =[

0 1]

La ecuacion caracterıstica:

αc(s) = (s+2)(s+2) = s2 +4s+4

Entonces:

K =[

0 1]

([−2 −1

1 0

]2

+4

[−2 −1

1 0

]

+4

[1 0

0 1

])

La ganancia de alimentacion directa o prefiltro Kr:

kr =−1/(C(A−BK)−1B)← revisar!

4. Considere la planta del problema anterior, calcular los ceros de transmision del sistema:

x =

[−2 −1

1 0

]

x+

[1

0

]

u

y =[

0 1]

x+u

Los ceros de transmision del sistema se calculan resolviendo para s en la siguiente ecuacion:

det

([−sI +A B

C D

])

= 0

det

−s−2 −1 1

1 −s 0

0 1 1

= 0

Algunas definiciones:

Sistema de fase mınima: ceros de la funcion de transferencia a la izquierda del semiplano complejo abierto.


Problema 5.3: Controlabilidad

Considerar el sistema lineal:

x(t) =

1 0 a

0 −5 0−1 0 −2

x(t)+

b

01

u(t)

y =[

1 1 0]

x(t)

Fig.(5.4) Estructura del sistema

1. ¿Es el sistema completamente controlable? Fundamente su respuesta sin calcular la matriz de controlabilidad.

El estado x2 no es afectado por la entrada de control u y tampoco es influenciado por ningun otro estado; luego

para cualquier a o b, el sistema no es completamente controlable.

2. ¿Para que valores de a se garantiza la estabilidad asintotica del sistema? ¿Para que valores de a y b es el sistema

estabilizable?

La dinamica x2 =−5x2 es estable y desacoplada del resto de la dinamica del sistema. La dinamica restante es ası:

[x1

x2

]

=

[1 a

−1 −2

][x1

x2

]

+

[b

1

]

u

y =[

1 0][

x1

x2

]

El polinomio caracterıstico de la matriz dinamica restante es s2 + s−2+a, donde para a > 2 se garantiza la estabil-

idad asintotica del sistema.

Calculando la matriz de controlabilidad del sistema restante:

Wc =

[b a

b+a −b−2

]

,

donde la controlabilidad se pierde para:

|Wc|=−b2−3b−a = 0, con a≤ 2.

3. ¿Para que valor de a el sistema no es completamente observable?

Observando la figura el sistema sera no observable si x3 no afecta a x1. Este es el caso para a = 0, luego es sistema

no es completamente observable para a = 0.

Calculando la matriz de observabilidad se obtiene:

Wo =

1 1 0

1 −5 1

1−a 25 −a

,

donde el sistema no es observable adicionalmente para a =−18 (|Wo|= 0).


Problema 5.4: Control por realimentacion de estados, entradas constantes

Responda lo que se pide:

1. Describir dos formas en que la entrada de referencia puede ser introducida en un sistema de control por reali-

mentacion de estados de tal forma que la respuesta tenga error cero en estado estacionario para cambios del tipo

escalon en la senal de referencia. Fundamente su respuesta. Nota: No incluir control integral en esta parte. Una ley

de control serıa la presentada en clase u =−Kx+ krr, la otra queda a su criterio!

2. Describir como control integral puede ser introducido en un sistema de control por realimentacion de estados de

tal forma que se tenga la respuesta en estado estacionario con error cero tanto para senales de referencia como

disturbios en la planta del tipo escalon.

Problema 5.5: Control por realimentacion de estados - unidad de cinta)

Fig.(5.4) Unidad de cinta

Las ecuaciones de movimiento de un mecanismo de unidad de cinta mostrado en la Fig. (5.4) estan dadas por:

x =

0 2 0 0 0

−0,1 −0,35 0,1 0,1 0,75

0 0 0 2 0

0,4 0,4 −0,4 −1,4 0

0 −0,03 0 0 −1

x+

0

0

0

0

1

u

y =[

0,5 0 0,5 0 0]

x

donde los elementos del vector de estados x son x1 (posicion de la cinta en el cabrestante), ω1 (velocidad de la rueda

de conduccion), x2 (posicion de la cinta en el codificador), ω2 (velocidad de salida), y i (corriente en el motor del

cabrestante). La entrada de control u es el voltaje aplicado e, y la salida y es la posicion del cabezal de lectura/escritura

x3.

Se ha decidido implementar un controlador por realimentacion de estados, con una ley de control de la forma

u =−Kx+ krr, donde K es la ganancia de control y kr es una ganancia de alimentacion directa. La respuesta deseada

a una referencia del tipo escalon debe tener un sobreimpulso pequeno y un tiempo se establecimiento de 1 segundo.


Esto puede ser alcanzado usando una ecuacion caracterıstica de la forma:

αc(λ ) = (λ 2 +2ζ ωo1λ +ω2o1)(λ

2 +2ζ ωo2λ +ω2o2)(λ +ζ ωo1)

con ζ = 0,8, ωo1 = 6 y ωo2 = 8. Se pide:

1. Calcular la funcion de transferencia de u hasta y.

2. Determinar la estabilidad del sistema.

3. Antes de calcular el controlador, verificar la controlabilidad del sistema.

4. Determinar la ganancia de control K del sistema. Muestre los detalles de calculo.

5. Determinar el valor de la ganancia kr

6. Incluir control integral en el diseno del controlador, ¿cuales serıan las ganancias de control (K, ki) y de alimentacion

directa (kr)?

Problema 5.6: Microscopio de fuerza atomica (AFM, por sus siglas en ingles)

El AFM es una de las principales herramientas en generacion de imagenes, medidas y manipulacion de materia en la

nanoescala. La informacion es colectada “palpando” la superficie de la muestra (sample) con una sonda mecanica (viga

voladiza con punta conica). La muestra se puede mover vertical y horizontalmente usando un elemento piezoelectrico.

Cuando la muestra se acerca a la punta de la viga, fuerzas de interaccion entre la muestra y la punta conllevan a una

deflexion de la viga voladiza. La deflexion es medida usando un rayo laser reflejado desde la parte superior de la viga

voladiza que va hacia un arreglo de fotodiodos. La deflexion de la viga es controlada por realimentacion usando un

actuador piezolectrico que controla la posicion vertical de la muestra. Un diagrama esquematico del AFM se muestra

en la figura (a) abajo.

Una representacion esquematica del movimiento vertical del piezoelectrico se presenta en la figura (b) abajo. El

modelo muestra dos masas separadas por un piezoelectrico ideal. La masa m1 es la mitad del sistema piezoelectrico, y

la masa m2 es la otra mitad del sistema piezoelectrico mas la masa del apoyo. Este modelo asume que el piezoelectrico

genera una fuerza F entre las masas y que existe cierto amortiguamiento viscoso c2 junto al resorte de rigidez k2. Sean

las posiciones de los centros de masa z1 y z2.

Considere el modelo de la dinamica vertical del AFM. La dinamica basica esta dada por la ecuacion:

(m1 +m2)d2z1

dt2+ c2

dz1

dt+ k2z1 = m2

d2l

dt2+ c2

dl

dt+ k2l,

donde l = z1− z2 es la elongacion del elemento piezoelectrico. El piezoelectrico puede ser modelado como un sistema

de segunda orden con una frecuencia natural ω3 y razon de amortiguamiento ζ3. La dinamica acoplada es luego descrita

por el sistema lineal:

dx

dt=

0 1 0 0

−k2/(m1 +m2) −c2/(m1 +m2) 1/m2 0

0 0 0 ω3

0 0 −ω3 −2ζ3ω3

x+

0

0

0

ω23

u

y =m2

m2 +m1

[m1k2

m1 +m2

m1c2m1+m2

1 0

]

x

donde la senal de entrada u es la senal que llega del amplificador y la salida y es la elongacion del piezoelectrico. Los

parametros del sistema: m1 = 0,1510−3kg, m2 = 110−3kg, k2 = 6,832107N/m, ω3 = 7,5398105rad/s, ζ3 = 0,1.


Amplifier Amplifier

Sample

Cantilever

x,y z

LaserPhotodiode

Controller

Piezodrive

Deflection reference

Sweepgenerator

Fig.(5.6a) Diagrama esquematico del AFM

Piezo crystal

z1 z2

m1

m2

(b) Mechanical modelFig.(5.6b) Modelo mecanico del AFM conpiezoelectrico pre-cargado (F)

1. ¿Es el sistema estable?

2. Calcular la matriz de controlabilidad del sistema y determinar su rango. ¿Es el sistema controlable?

3. Explique que se pretende conseguir usando control.

4. Encontrar el controlador por realimentacion de estados que provee un sistema en lazo cerrado con polos complejos

que tengan razon de amortiguamiento igual a 0.707. ¿Como seleccionarıa la frecuencia natural del sistema en lazo

cerrado? Recuerde que el polinomio caracterıstico para un sistema en lazo cerrado de cuarta orden esta dado por:

αc(λ ) = (λ 2 +2ζo1ωo1λ +ω2o1)(λ

2 +2ζo2ωo2λ +ω2o2)

Detalle sus calculos.

5. ¿Serıa necesario aumentar un control proalimentacion kr?, ¿por que? En caso de ser necesario, obtenga kr.

6. Matlab-Simulink Usar el archivo-m afm_data.m para generar las matrices del sistema.

a) Crear un archivo en Simulink usando la dinamica lineal del AFM. Aumentar al modelo el Simulink el controlador

disenado en los puntos anteriores.

b) En Simulink, calcule la respuesta del sistema a condiciones iniciales xo =[

110−9,0,0,0].

c) En Matlab, calcule la respuesta a las condicione iniciales antes detalladas.

d) En una grafica, superponga los resultados obtenidos en Simulink y en Matlab. Compare.

Problema 5.7: Modelo de robot movil monociclo

Fig. (5.7a) Robot del tipo monociclo Fig. (5.7b) Modelo robot movil monociclo

La mayoria de robots moviles de interior no se mueven como un carro, los robots poseen dos ruedas direccionales

controladas activamente y una rueda giratoria, ver Fig. 1a. En relacion a la Fig. 1b, que presenta un modelo del robot

monociclo, las entradas de control son las velocidades longitudinal υ y angular ω del robot. Para caracterizar comple-

tamente el estado del robot se necesitan tres variables de estado: x, y y ϕ . El punto (x,y) denota un punto de localizacion

de la plataforma (en este caso, punto medio del eje trasero), mientras que ϕ denota la orientacion del robot.


1. Representar el movimiento (cinematica) de la plataforma movil como un conjunto de ecuaciones diferenciales

(forma espacio de estados). Suponer que las ruedas del robot ruedan sin deslizar. Usando simple algebra vectorial

se tiene:x = υ cosϕy = υ senϕϕ = ω

.

2. Si nuestro objetivo es analizar el movimiento del movil a lo largo de una linea recta (ϕ = ϕo) con velocidad lineal

fija υo 6= 0, ¿es posible encontrar algun punto de equilibrio para estas condiciones?

Cuando ϕ = ϕo y υo 6= 0 se tiene:x = υo cosϕo

y = υo senϕo

ϕ = 0

.

Luego, observando las dos primeras ecuaciones, vemos que el movimiento en la direccion xy no es un equilibrio por

definicion dado que x2 + y2 = υ2o 6= 0. De ahi que no se puede linealizar el modelo completo.

3. Suponiendo que nuestro objetivo sea minimizar la desviacion lateral del movil que se mueve a lo largo o paralelo al

eje x (ϕo = 0) con velocidad lineal fija υo 6= 0, considerar las ecuaciones de movimiento para z =[

y ϕ]T

y calcular

la dinamica lineal aproximada.

Cuando ϕo = 0 y υo 6= 0 se tiene:x = υo cosϕo = υo

y = υo senϕo = 0

ϕ = 0

.

Luego considerando la dinamica lateral:y = υ senϕϕ = ω

.

La dinamica lineal aproximada viene dada por la linealizacion con respecto a los estados ye = yo, ϕe = 0 y las

entradas de control υe = υo y ωe = 0:

[˙y˙ϕ

]

=

[0 υo

0 0

][y

ϕ

]

+

[0 0

0 1

][υω

]

,

donde y = y− yo, ϕ = ϕ , υ = υ−υo y ω = ω .

4. Considerando la dinamica linealizada del caso anterior, ¿es el sistema controlable?

En base a la dinamica linealizada la senal de control υ no afecta al sistema, luego el sistema no es controlable

con el control υ . Evaluando la matriz de controlabilidad para la entrada de control ω :

W ωc =

[0 vo

1 0

]

→ det(W ωc ) 6= 0,

y el sistema es controlable usando el control ω .

Problema 5.8: Control por realimentacion de estados - control integral

Fig.(5.8a) Pendulo en carrito para modelar alabeo del barco carguero Fig. (5.8b) Modelo pendulo en carrito


El transporte en alta mar usa gruas para descargar contenedores entre barcos cargueros. La Fig. (5.8)-derecha mues-

tra la dinamica de la grua en el plano vertical, este plano presenta el alabeo (movimiento dominante en un barco anclado

en alta mar). El modelo pendulo en carrito, Fig.3-izquierda, permite caracterizar el efecto del alabeo en la carga. La Fig.

3b muestra el detalle del modelo pendulo en carrito. El pendulo representa la carga, la posicion x(t) es la posicion-x del

carrito y representa el movimiento de alabeo del barco, el control de posicion u(t) reacciona al cambio de la posicion-x

del carrito y es aplicado en la punta de la pluma, θ(t) es el angulo de balanceo.

La aproximacion lineal del sistema en su forma espacio de estados es:

d

dt

[θθ

]

=

[0 1

−0,280 0

][θθ

]

+

[0

−0,0286

]

u+

[0

−0,0286

]

x

1. ¿Es el sistema estable? ¿Es el sistema controlable?

Calculando los autovalores de la matriz dinamica:

λ

([0 1

−0,280 0

])

= ±0,529i,

luego el sistema es criticamente estable.

La matriz de controlabilidad Wc es:

Wc =

[0 −0,0286

−0,0286 0

]

→ det(Wc) 6= 0,

y el sistema es controlable.

2. Disenar el controlador por realimentacion de estados tal que las oscilaciones del pendulo sean neutralizadas. Para

esto usar una ley de control de la forma:

u(t) =−x(t)+δu(t).

Esta ley se puede seleccionar debido a que se cuenta con la informacion de los acelerometros x. Luego es posible

centrarse solo en el calculo de δ u, que puede tomarse como:

δ u(t) =−K

[θθ

]

,

y que permitira incrementar el amortiguamiento del sistema a ζ = 0,707 (ωn = |λ (A)|).Presentar el diagrama de bloques del sistema en lazo cerrado correspondiente a usar las leyes de control antes

descritas.

Usando la ley de control sugerida:

u(t) =−x(t)+δu(t),

derivando dos veces con respecto al tiempo para conseguir la entrada de control u:

u(t) =−x(t)+δ u(t).

Substituyendo en la dinamica en lazo abierto se obtiene:

d

dt

[θθ

]

=

[0 1

−0,280 0

][θθ

]

+

[0

−0,0286

]

δ u

Para el calculo de δ u elegimos los polos del sistema en lazo cerrado con ζ = 0,707 y ω = 0,529:

αc(s) = (s+0,374+0,374i)(s+0,374−0,374i) = s2 +0,7482s+0,2801


K = q1αc(A) =[−34,965 0

]

([0 1

−0,280 0

]2

+0,7482

[0 1

−0,280 0

]

+0,2801

[1 0

0 1

])


K =[−0,0018 −26,1608

]

Entonces se tiene la siguiente entrada de control a la planta:

u =−x+[

0,0018 26,1608][

θθ

]

Fig.(5.9) Diagrama de bloques oscilaciones controladas en grua de carga

3. Suponiendo que no se pudiese cancelar el efecto de la aceleracion inducida por el mar (que es la que causa el

alabeo), ¿que ley de control elegirıa para resolver el problema cuando x = ao =cte? Fundamente por que la ley

de control elegida cumplirıa el objetivo de neutralizar las oscilaciones. Use diagrama de bloques para indicar que

modificaciones se le haria a la planta y/o controlador del caso anterior.

En caso del disturbio x sea constante, se puede elegir la ley de control:

u(t) =−K

[θ(t)θ(t)

]

− ki

∫

θ(t)d(t)

Fig.(5.10) Diagrama de bloques oscilaciones controladas en grua de carga para disturbio constante

Llevando el sistema en lazo cerrado a una representacion en la forma de funciones de transferencia se tiene:

z(s) = θ(s) = G(s)u(s)+G(s)d(s)


u(s) =−(k1 + k2s+ ki/s)θ(s)

Entonces:

θ(s) =G(s)

1+G(s)(k1 + k2s+ ki/s)d(s),

donde d(s) = aos

.

Usando el Teorema del Valor Final:

lımt→∞

θ(t) = lıms→0

sθ(s) = lıms→0

G(s)ao

1+G(s)(k1 + k2s+ ki/s)= 0

Luego al incorporar el integrador se ha cancelado el efecto del disturbio constante.

Problema 5.9: Control por ubicacion de polos

El sistema carro cohete puede ser representado por la siguiente funcion de transfer-encia:

G(s) =1

s2,

con Y (s) = G(s)U(s).

Fig.(5.11) Carro cohete.

1. Escribir la ecuacion espacio de estados del sistema carro cohete. Usar las variables de estado x1 = y (posicion) y

x2 = y (velocidad). ¿Es el sistema controlable y observable? ¿Por que?

2. Cuando los polos del sistema controlado son seleccionados como −√

2±√

2 j, encontrar el control por reali-

mentacion de estados u(t) =−kx(t) que asigna dichos polos al sistema controlado.

3. Cuando el polo deseado del observador de orden reducido es elegido como −2, calcular el observador de orden

reducido que asigna este polo deseado al error de estimacion x2 = x2− x2. Considerar que x2 es el estimado de x2.

4. Combinando el controlador y observador de orden reducido antes calculados, encontrar el correspondiente compen-

sador C(s).


La figura muestra un diagrama esquematico de un sistema de control de orientacion paraun satelite de comunicaciones.La ecuacion diferencial esta dada por:

Iθ = τc + τd ,

donde I es el momento de inercia del satelite con respecto a su centro de masa, τc es eltorque de control, τd es el torque de disturbio, θ es el angulo que el eje longitudinal delsatelite forma con la linea de referencia inercial.

STATE FEEDBACK DESIGN 273

Chap

ter 9

Thruster

θ

Fig. RE9.2Fig.(5.12) Satelite para comunicaciones.

1. Encontrar la matriz de ganancias K que permita obtener polos en lazo cerrado con ωn = 4 rad/s y ζ = 0,65. Asumir

que todos los estados estan disponibles a partir de medidas.


Escribiendo la ecuacion dinamica en su forma de espacio de estados:

[x1

x2

]

=

[0 1

0 0

][x1

x2

]

+

[0

1

]

uc +

[0

1

]

ud ,

donde x1 = θ , x2 = θ , uc = τc/I y ud = τd/I. El sistema es controlable!

Usando los datos del problema el polinomio caracterıstico es:

αc(s) = s2 +2ζ ωns+ω2n = s2 +5,2s+16.

Sea K =[

k1 k2

], se debe cumplir que:

αc(s) = |sI−A+BK|=∣∣∣∣

s −1

k1 s+ k2

∣∣∣∣= s2 + k2s+ k1.

Entonces: K =[

16 5,2].

2. Disenar un estimador de orden reducido asumiendo que solo se puede medir el angulo θ(t). Seleccionar el po-

lo del estimador en s = −5. Escribir el representacion espacio de estados del estimador de orden reducido para

implementacion.

Considerando la ecuacion de salida se tiene:

y =[

1 0][

x1

x2

]

.

El sistema es observable! Para disenar el estimador de orden reducido se usa:

x2 = ud

w = x2

donde la ganancia L = l del estimador se calcula de |sI−A22 +LC|= s+ l = s+5→ l = 5. El observador de orden

reducido para implementacion es:z =−5z+−25y+ud

x2 = z+5y

3. Para un torque de disturbio constante, su dinamica se puede representar por τd = 0. Explicar si es posible o no

estimar el torque de disturbio asumiendo que el angulo θ(t) es conocido. De ser posible, calcular la ganancia del

estimador de orden reducido para este caso. Asumir los polos del estimador de forma conveniente.

Incluyendo la dinamica del torque de disturbio se tiene:

x1

x2

ud

=

0 1 0

0 0 1

0 0 0

x1

x2

ud

+

0

1

0

uc,

y =[

1 0 0]

x1

x2

ud

Analizando la observabilidad del sistema se tiene Wo =

C

CA

CA2

=

1 0 0

0 1 0

0 0 1

, entonces el sistema es observable y se

puede calcular tanto un observador de orden reducido como uno de orden completo!

Para disenar el estimador de orden reducido se usa:[

x2

ud

]

=

[0 1

0 0

][x2

ud

]

+ u,

w =[

1 0][

x2

ud

]

.


La ganancia L =

[l1l2

]

para cuando los polos del estimador son s = −5,−5 se calcula usando:

|sI−A22 +LC|=∣∣∣∣

s+ l1 −1

l2 s

∣∣∣∣= s2 + l1s+ l2 = s2 +10s+25→ L =

[10

25

]

.

Problema 5.11: Caldero

El vapor es un recurso muy usado en los diversos proce-sos industriales. En este problema se presenta un calderoque alimenta a un tanque donde se acumula el aguaevaporada hasta aumentar su presion. El objetivo es con-trolar la presion del tanque mediante la regulacion delflujo de combustible hacia el caldero. Es decir, la pre-sion en el tanque debe mantener un valor (referencia)aun existiendo vapor que sale del tanque (disturbios).

Fig.(5.13) Caldero y tanque a alta presion.

La planta (caldero+tanque) es descrita por:

xh

xb1

xb2

=

−K/VH 0 K/VH

0 −1/T 0

K/V 1/V −K/V

xh

xb1

xb2

+

0

Ks/T

0

u f +

−1/VH

0

0

ud

y =[

1 0 0]

xh

xb1

xb2

,

donde ud es la demanda de vapor, u f es el flujo de combustible, xh es la presion en el tanque y xb1,xb2

son los otros dos

estados del sistema. El volumen del caldero es V = 800 m3, el volumen del tanque VH= 100 m3, y otros parametros

T = 10 s, Ks = 10 ton/hr, K =40 ton/(hr.bar).

1. Determinar la matriz de transferencia de ud y u f a xh, y analizar la estabilidad del sistema sin control.

La planta (caldero+tanque) es descrita por:

xh

xb1

xb2

=

−0,4 0 0,40 −0,1 0

0,05 0,00125 −0,05

︸︷︷︸

Act

xh

xb1

xb2

+

0 −0,01

1 0

0 0

︸︷︷︸

Bct

[u f

ud

]

y =[

1 0 0]

︸︷︷︸

Cct

xh

xb1

xb2

+[

0 0]

︸︷︷︸

Dct

[u f

ud

]

,

Y usando G(s) =Cct(sI−Act)−1Bct +Dct , se obtiene:


y(s)[

u f (s)ud(s)

] =1

s3 +0,55s2 +0,045s

[0,0005 −0,01s2−0,0015s−0,0001

].

Las raıces del polinomio caracterıstico son: s = 0,−0,45,−0,1. El sistema es inestable pues posee un polo en

cero.

2. Usar la ley de control por realimentacion de estados de la forma:

u f =−k1(xh− xhd)− k2xb1− k3xb2

,

donde xhd es la presion deseada en el tanque. Determinar los valores de k1, k2 y k3 que ubicaran los polos del sistema

controlado en s = −0,2,−0,2±0,2 j. Presentar el diagrama de bloques del sistema destacando entradas y salidas;

incluir el controlador.

El polinomio caracterıstico del sistema controlado es obtenido en base a los polos dados:

αc(s) = (s+0,2+0,2 j)(s+0,2−0,2 j)(s+2) = s3 +0,6s2 +0,16s+0,016

Usando la ley de control sugerida:

u f =−k1(xh− xhd)− k2xb1− k3xb2

,

y el sistema controlado posee la forma:

x(t) = (Act −Bct,u fK)x(t)+Bct,u f

k1xhd(t)+Bct,udud(t),

donde K =[

k1 k2 k3

]

Usando la formula de Ackerman para el calculo de K:

K =[

0 0 1]W−1

c αc(A) =[

0 0 1]

0 0 0,005

1 −0,1 0,01

0 0,0013 −0,0002

−1

(A3

ct +0,6A2ct +0,16Act +0,016I

)

K =[−42 0,05 74

]

Entonces se tiene la siguiente entrada de control a la planta:

u f (t) = 42(xh(t)− xhd(t))−0,05xb1(t)−74xb2

(t),

y el diagrama de bloques del sistema de control es como descrito en la Fig.3.

3. Omitiendo el efecto del disturbio ud(t), si el objetivo es mantener la presion del tanque en un valor constante xhd de

forma robusta, ¿serıa o no necesario usar control integral?

Ayuda Teorema del valor final: yss = y(t→ ∞) = lıms→0 sY (s). Calculando el valor final de la salida controlada y(t) se puede verificar la necesidad o no de un control integral.

El sistema controlado es:x(t) = (Act −Bct,u f

K)︸︷︷︸

Ac

x(t)+Bct,u fk1

︸︷︷︸

Bc

xhd(t),

y =[

1 0 0]

︸︷︷︸

Cc

x(t)+[

0]

︸︷︷︸

Dc

xhd(t),

Y usando Gc(s) =Cc(sI−Ac)−1Bc +Dc, se obtiene:

y(s)

xhd(s)= Gc(s) =

−0,021

s3 +0,6s2 +0,16s+0,016.

Usando el teorema del valor final:

yss = y(t→ ∞) = lıms→0

sy(s) = lıms→0

sGc(s)xhd

s= Gc(0)xhd =

−0,021

0,016xhd .


Fig.(5.14) Diagrama de bloques. Control de presion de tanque de vapor que sale de un caldero.

Luego, si se requiere de un control integral para seguimiento robusto de referencias constantes.



Problema 6.1: Diseno de observadores

Para el siguiente modelo de un sistema dinamico, responder lo que se pide:

x =

[0 1

2 0

]

x+

[1

0

]

u,

y =[

1 0]

x+2u.

1. Disenar un estimador de estados de orden completo tal que los polos del estimador esten localizados en -3 y -4.

Escribir la representacion espacio de estados de la dinamica del estimador. Denotar el vector de estados estimado

por x.

La dinamica del estimador esta dada por:

˙x = (A−LC)x+Bu+Ly.

Sea la ganancia del estimador de estados L =

[l1l2

]

. Siendo que los polos del estimador son −3 y −4, se debe

cumplir:

|sI−A+LC|=∣∣∣∣

s+ l1 −1

−2+ l2 s

∣∣∣∣= s2 + l1s+(−2+ l2) = s2 +7s+12.

Luego: L =

[7

14

]

.

El estimador de estados resulta:

˙x =

[−7 1

−12 0

]

x+

[1

0

]

u+

[7

14

]

y.

2. En el diagrama de bloques presentado en la Fig.(6.1), encontrar las funciones de transferencia Gxu y Gxy.

(6.1) Diagrama de bloques sistema de control

Tomando transformada de Laplace, se calculan las funciones de transferencia Gxu y Gxy:

x = (sI− (A−LC))−1B︸︷︷︸

Gxu

u+(sI− (A−LC))−1L︸︷︷︸

Gxy

y.

Usando las expresiones para A−LC, B y L, se obtiene:


Gxu =

s

s2 +7s+12−12

s2 +7s+12

, Gxy =

7s+14

s2 +7s+1214s+14

s2 +7s+12

3. Sea u = −[

3 2]

x+ r. Encontrar la funcion de transferencia Y (s)/R(s), del sistema en lazo cerrado. ¿Por que no

aparece la informacion del observador en esta funcion de transferencia?

El sistema en lazo cerrado puede ser escrito como:

d

dt

[x

x

]

=

[A−BK BK

0 A−LC

][x

x

]

+

[Bkr

0

]

r,

y =[

C−DK DK][

x

x

]

+Dkrr,

donde x = x− x. Calculando la funcion de transferencia se tiene:

y =

[(C−DK)Bkr

|sI−A+BK| +Dkr

]

r.

Del enunciado del problema se tiene u =−[

3 2]

x+ r, luego K =[

3 2]

y kr = 1. Entonces:

y =2s2 +6s−1

s2 +3s+2r,

donde la informacion del estimador no aparece puesto que la funcion de transferencia corresponde a un analisis en

estado estacionario y, en estado estacionario, el estado estimado coincide con el estado del sistema, esto asumiendo

modelos perfectos.

Problema 6.2: Diseno de compensadores

Considere un mototaxi de tres ruedas, ver Fig. (6.2) (dos ruedas delanterasy una rueda posterior). La trayectoria deseada durante el manejo se debemantener con un autopiloto (compensador).La informacion del modelo del vehıculo con control del eje frontal esta dadaen la Tabla 1. (6.2) Eje delantero, vista de planta.

Modelo Pyu(s) =y(s)

u(s)=

vas+ v2

Ls2

Entrada Angulo de la rueda delantera u

Salida medida Trayectoria de la desviacion lateral y

Salida controlada Trayectoria de la desviacion lateral y

Parametros constantes conocidos Velocidad del vehıculo v > 0Cantidades geometricas a > 0,b > 0 y L > 0

Cuadro 1.1 Detalles de la descripcion del sistema

Sea va/L = 0,5 y v2/L = 1.

1. Presente la planta en su forma canonica controlable.

El modelo de la planta en su forma canonica controlable es:


x(t) =

[0 1

0 0

]

x(t)+

[0

1

]

u(t)

y =[

1 0,5]

x(t)

2. Calcular la ganancia K de la ley de control de estabilizacion u(t) = −Kx(t), para un tiempo de asentamiento de la

respuesta igual a 4 s. Considere una razon de amortiguamiento ζ = 0,707 para los polos en lazo cerrado.

Ayuda: Tiempo de asentamiento ts ≈ 4/ζ ωo.

Para el calculo de u elegimos los polos del sistema en lazo cerrado con ζ = 0,707 y ω =√

2:

αc(s) = s2 +2ζ ωs+ω2 = s2 +2s+2


K = q1αc(A) =[

0 1]Wc−1αc(A) =

[1 0]

([0 1

0 0

]2

+2

[0 1

0 0

]

+2

[1 0

0 1

])

K =[

2 2]

3. Usando los polos en lazo cerrado del caso anterior, ¿sera posible calcular la ganancia KP de la ley de control

u(t) =−KPy(t)? ¿Si, no, por que?

4. Calcular el observador de orden completo que estime los estados del sistema. Escribir dicho observador en la forma

espacio de estados. Considerar que los polos de la dinamica del error de estimacion estan ubicados en −2,−2. La dinamica del estimador esta dada por:

˙x = (A−LC)x+Bu+Ly.

Sea la ganancia del estimador de estados L =

[l1l2

]

. Siendo que los polos del estimador son −2 y −2, se debe

cumplir:

|sI−A+LC|=∣∣∣∣

s+ l1 −1+0,5l1l2 s+0,5l2

∣∣∣∣= s2 +(0,5l2 + l1)s+ l2 = s2 +4s+4.

Luego: L =

[2

4

]

.

El estimador de estados resulta:

˙x =

[−2 0

−4 −2

]

x+

[0

1

]

u+

[2

4

]

y.

5. Presentar el compensador (controlador del item b. + observador del item d.) en su forma funcion de transferencia

Kuy(s) y completar en el diagrama de bloques presentado abajo para Pyu(s) y Pzu(s).

(6.3) Diagrama de bloques sistema controlado

La dinamica del compensador esta dada por:

˙x = (A−LC−BK)x+Ly

u =−Kx.

Reemplazando los valores obtenidos se tiene:


˙x =

[−2 0

−6 −4

]

x+

[2

4

]

y

u =[

2 2]

x

.

Luego: Kuy(s) =12s+8

s2 +6s+8y Pyu(s) = Pzu(s).


1. El modelo para movimiento rotacional yaw de un buque de carga esta dado por:

ψ = r,α r =−r3 + r− c+βu,

donde ψ es el angulo yaw, r es la tasa de cambio de ψ , u es la entrada de control; α,β son constantes conocidas

positivas y diferentes de cero y c≥ 0. El buque se esta moviendo en linea recta (ψ,r) = (ψo,0) cuando el controlador

deja de funcionar, u = 0, ¿seguira el buque desplazando en lınea recta?

2. Si la dinamica linealizada del movimiento yaw esta dada por:

ψ = r

α r− r = βu+ rb,rb = 0

donde rb es un bias de sensado constante. Si ψ y r son medidos, calcular el observador de orden reducido que

permita estimar el bias rb desconocido. Usar α = β = 1 y ubicar el polo del estimador en s = −5. Escribir el

representacion espacio de estados del estimador de orden reducido para implementacion.

3. Para la dinamica linealizada del caso anterior, calcular el controlador para control de cabeceo para cuando se asume

sensado perfecto (no hay bias rb). Ubicar los polos del sistema controlado con ωn = 4 rad/s y ζ = 0,65.

Presentar el diagrama de bloques indicando el controlador y el observador de orden reducido (incluir el detalle de

entradas, salidas y dinamicas).

Problema 6.4: Diseno de observadores

Si consideramos que un brazo robotico de una union puede ser modelado como un pendulo invertido, el modelo no

lineal para un brazo robotico especıfico posee la siguiente representacion espacio de estados:

[x1(t)x2(t)

]

=

[x2

−0,5x2−10senx1 +0,1u

]

y(t) = x1(t)

donde y(t) es la posicion angular del brazo robotico, u(t) es el torque de control, x1 = y y x2 = y.

Como parte de un trabajo de tesis Juan debe disenar un controlador para el brazo robotico. Juan calcula que el punto

de equilibrio del sistema es xe = (0,0) para ue = 0. Acto seguido, el obtiene el siguiente modelo lineal:

˙x(t) =

[0 1

−10 −0,5

]

x(t)+

[0

0,1

]

u(t)

y(t) =[

1 0]

x(t)

donde y(t) = y− ye, x = x− xe y u(t) = u−ue.

1. ¿Cometio Juan algun error en el calculo del sistema linealizado?

2. Juan desea disenar un controlador por realimentacion de estados tal que el sistema en lazo cerrado tenga los polos

en -2. Para poder implementar el controlador calculado, Juan debe antes disenar un observador para el sistema lineal

puesto que solo el angulo y puede ser medido. Disenar dicho observador tal que el error de observacion tienda a

cero lo suficientemente rapido.

Problema 6.5: Diseno de compensadores

La dinamica describiendo la desviacion lateral de un vehıculo (manejando en el eje x) esa dada por:


[y

θ

]

=

[0 10 0

][y

θ

]

+

[γ1

]

δ

y =[

1 0][

y

θ

]

donde y y θ son la posicion vertical normalizada y orientaciondel centro de masa del vehıculo. Ademas γ = a/b = 0,5.Responder lo que se pide:

ab

α δv

y

x

α

α

δ

δ

θ

(6.4) Control de la direccion de un vehıculo. Modelo simplificado de unabicicleta

1. Si se desea disenar un controlador para estabilizar la dinamica y seguir una referencia dada r de la posicion lateral

del vehıculo. Calcular las ganancias de la ley de control u =−Kx+ krr para un tiempo de asentamiento igual a 6 s

(normalizados) y razon de amortiguamiento ζ = 0,707 para los polos en lazo cerrado.

Ayuda Tiempo de asentamiento ts ≈ 4/ζ ωo.

2. Para la ley de control antes usada, ¿cual es el valor inicial de la senal de actuacion? ¿Habrıa algun problema con la

actuacion?

3. Disene el observador de estados con una seleccion de polos apropiada. Senale que polos eligio.

4. Calcule la funcion de transferencia del sistema en lazo cerrado. ¿Por que no aparece la informacion del observador?


A continuacion se intenta construir un observador optimo que mejore el seguimiento del angulo de inclinacion θ usando

dos sensores: un inclinometro y un girometro.

La representacion espacio de estados del sensor de inclinacion es descrita por:

[x1

x2

]

=

[−65,86 1

−528,4 0

][x1

x2

]

+

[−67,62

−12,68

]

θ

θt =[

1 0][

x1

x2

]

+ vt

donde vt representa el ruido de medida en el inclinometro y θt la correspondiente medida.

El sensor girometro esta descrito por:

ωg =1

α(ω +δ )+ vg

donde ω y ωg son las velocidades angulares reales y medidas, respectivamente, y δ ,α son las constantes bias y escalon-

amiento (α = 1); vg es el ruido de medida del girometro. Para modelar el bias se usa:

δ = vb,

donde vb es ruido que permite medir una fluctuacion del bias del girometro.

1. Usando las ecuaciones dadas arriba y considerando que:

θ = ω,

calcular la representacion espacio de estados del sistema de medida inclinometro/girometro donde los estados son

x1,x2,δ ,θ y las entradas son ωg y vb,vg,vt . La salida es el angulo de inclinacion medido por el inclinometro θt .

El sistema de media inclinometro/girometro posee la siguiente representacion espacio de estados:

x1

x2

δθ

=

−65,86 1 0 −67,62

−528,4 0 0 −12,68

0 0 0 0

0 0 −1 0

x1

x2

δθ

+

0

0

0

α

ωg +

0 0

0 0

1 0

0 −α

[vb

vg

]

θt =[

1 0 0 0][

x1

x2

]

+ vt


2. Una primera estimacion de estados se ha de realizar considerando ruidos vb = vg = vt = 0. Calcular las matrices

(A,B,C,D) del observador de orden reducido (determinıstico) que estima los estados x2,δ ,θ . Asumir que los polos

del observador se ubican en s = −3,−4,−5. El observador de orden reducido se obtiene de:

˙x2 =

0 0 −12,68

0 0 0

0 −1 0

x2 + u

w =[

1 0 −67,62]

x2

Definiendo el polinomio caracterıstico para el observador de orden reducido:

αo(s) = (s+1)(s+2)(s+3) = s3 +6s2 +11s+6


L = αo(A)W−1o

0

0

1

=

117,97

0,47

1,66

La representacion espacio de estados del observador de orden reducido es:

z =

−118 0 7964,60,5 0 32

−1,7 −1 112

z+

6512,428,398,6

θt +

0

0

1

ωg

ˆx2 = z+

117,97

0,47

1,66

θt

3. Presentar el diagrama de bloques indicando las entradas (angulo θ real y ruidos), la medida del inclinometro, las

entradas y salidas del observador de orden reducido. Entre las variables de salida del observador de orden reducido,

¿cual es la variable de interes (aquella variable que va ira al controlador)?

El diagrama de bloques del sistema es presentado abajo, donde el estado estimado de interes es θ .

Fig.(6.5) Sistema de sensado + observador de orden reducido

Problema 6.7: Observador

a) Calcular el control por realimentacion de estados k que permita ubicar el polo del sistema controlado en s =−0,1. Usando el modelo de la variacion de nivel del tanque se tiene:

h(t) =−0,02u(t)−10d(t).


La Fig.(2) muestra un tanque con un sistema de control de nively un observador. El nivel del tanque h(t) es medido. El flujo desalida d(t) representa un disturbio en el tanque.El modelo de la variacion del nivel en el tanque es:

h(t) =1

Atank

[αu(t)−d(t)],

donde Atank = 0,1m2, α = 0,002(m3/s)/V. (6.6) Diagrama de bloques del sistema tanque

Con la ley de control por realimentacion de estados: u(t) =−kh(t), el sistema controlado resulta:

h(t) =−0,02kh(t)−10d(t).

Como s = −0,01→−0,02k =−1→ k = 5. Finalmente se tiene: u(t) =−5h(t).b) Calcular el control por alimentacion directa kr que garantice seguimiento de referencias constantes ysp.

El control por alimentacion directa es:

kr =−1/(Cy(A−BK)−1B) =− 1

(−0,01)−1(−0,02)=−0,5.

c) Dado que el nivel h(t) es conocido, se desea disenar un observador reducido que estime el flujo de salida d(t);se conoce que dicho flujo es constante (d(t) = 0.). Asumir que el polo del observador reducido se ubica en

s = −0,05. Ayuda: Considerar la dinamica aumentada con vector de estados x =[

h(t) d(t)].

El sistema aumentado con la dinamica del disturbio es:

d

dt

[h

d

]

=

[0 −10

0 0

][h

d

]

+

[0,02

0

]

u

y =[

1 0][

h

d

]

Analizando la observabilidad del sistema:

Wo =

[C

CA

]

=

[1 0

0 −10

]

→ rango(Wo) = 2,

y es posible disenar el observador de orden reducido.

Para el diseno del observador de orden reducido, se usa la siguiente planta:

˙x2 = 0x2 + u

w =−10x2

Definiendo el polinomio caracterıstico para el observador de orden reducido:

αo(s) = (s+0,05),

la ganancia l del estimador se calcula de |sI−A22+LA12|= s+(0)+ l(−10) = s−10l = s+0,05→ l =−0,005.

El observador de orden reducido para implementacion es:

z =−0,05z+−0,05y+0,0001u

d = z−0,005y


d) Reescribir el diagrama de bloques de la figura indicando explıcitamente la dinamica del proceso, sensor, obser-

vador y controlador por realimentacion.

El diagrama de bloques de la figura resulta:

(6.7) Diagrama de bloques del sistema tanque




Para obtener todo el puntaje, muestre todos sus calculos.

a) Considerar el sistema a continuacion:

x1 = x2

x2 =−p(t)x2− e−tx1, x ∈ R

2, to = 0.

Se pide encontrar las condiciones que la funcion p(·) debe cumplir para asegurar la estabilidad del equilibrio

(0,0). Usar V (x, t) = x21 + etx2

2 como funcion de Lyapunov tentativa.

b) Sea el sistema dinamico modelado por:

x = 2x+u,

y el ındice de desempeno:

J =1

2

∫ ∞

0(qx2 +u2)dt.

Encontrar el valor de q tal que el sistema en lazo cerrado tiene un polo en -3.

Ayuda: Recuerde que la solucion de la ecuacion de Riccati P, P = PT > 0 (eig(P)> 0).

Problema 7.2: Estabilidad segun Lyapunov

La siguiente ecuacion describe el movimiento de la posicion surge u(t) de un buquede carga:

(m−Xu)u−Xu|u|u|u|= τ.

a) Si el objetivo de control es que u(t)→ ud(t), donde ud(t) representa la trayec-toria deseada, calcular la dinamica del error de seguimiento de trayectoria e(t),siendo que e(t) = u(t)−ud(t).

b) Usando la funcion de Lyapunov V (e) =1

2e2, probar que la ley de control:

τ =−X|u|u|u|u+(m−Xu)(ud − ke), k > 0,

resulta en estabilidad asintotica global para e = 0.

(7.1) Buque de carga.


Considere el sistema no lineal:x1(t) = x2(t)x2(t) = −x1(t)− (α + x2

1(t))x2(t)

donde α ∈ R es un parametro.

a) Determinar los puntos de equilibrio del sistema.

b) Linealizar el sistema con respecto al punto (0,0). Investigar la estabilidad de (0,0) usando el sistema linealizado,

considerar los casos α > 0 y α < 0.

c) Analizar la estabilidad del punto (0,0) en el sentido de Lyapunov. Considerar α > 0.

Problema 7.4: Analisis de estabilidad e ındices de desempeno Contestar lo que se pide:

a) (1 pto) El sistema:x1 = x1(2− x2)x2 = 2x2

1− x2


tiene tres puntos de equilibrio en (0,0), (1,2), (-1,2). Analizar la estabilidad de cada uno de estos puntos usando

la figura abajo.

(7.2) Diagrama de fase del sistema en el Problema 7.3

b) Considere el siguiente sistema:x1 = x2−3x1

x2 =−x32−2x1

Probar que el punto de equilibrio (0,0) es asintoticamente estable. ¿Es el sistema globalmente o localmente

asintoticamente estable?

Ayuda: Use la siguiente funcion de Lyapunov candidata, V (x) = 2x21 + x2

2.

c) Problema del mınimo esfuerzo de control. Sea el sistema x = Ax+Bu, determinar el ındice de desempeno que

corresponde al problema de transferir un sistema de un estado inicial arbitrario x(to) = xo hacia un estado final

x(t f ) = x f ∈S con el mınimo esfuerzo de control.

d) Problema del tiempo mınimo. Sea el sistema x = Ax+Bu, determinar el ındice de desempeno que corresponde al

problema de transferir un sistema de un estado inicial arbitrario x(to) = xo hacia un estado final x(t f ) = x f ∈S

en un tiempo mınimo.

Problema 7.5: Responda verdadero/falso

Demuestre la veracidad o falsedad de los siguientes enunciados. Para obtener todo el puntaje, muestre todos sus calculos.

a) Las Figs. (7.3a) y (7.3b) representan estados de equilibrio asintoticamente estables. ( )

!

!

0 t

x(t)

(a)

!

!

0 t

x(t)

(b)

(7.3) Estabilidad

b) La funcion V (x, t) = x21 +2x2

2(1+ e−t), to = 0, x ∈ R2, es definida positiva. ( )

c) Para el sistema a continuacion, el estado de equilibrio xe es estable, ( )

x1 = x2

x2 =−x1, x ∈ R

2, xe = 0, to = 0.

Nota: Use V (x) = ‖x‖2 como funcion de Lyapunov tentativa para probar la estabilidad.

d) El siguiente problema de control optimo: ( )


mınu

∫ t f

to

uT udt

tal que x = Ax+Bu

x(to) = xo,x(t f ) = x f ,

consiste en determinar una ley de control admisible u∗ que, en el menor tiempo posible, lleve la trajectoria del

sistema desde el estado inicial x(to) = xo a un estado final x f especificado.


Para obtener todo el puntaje, muestre todos sus calculos.

a) Las figuras abajo representan los diagramas de plano de fase de dos sistemas, senalar cuantos y cuales son los

puntos de equilibrio. ¿Que puede decir de la estabilidad de dichos puntos de equilibrio?

1 0 1 1.5

1

0.5

0

0.5

1

1.5

x1

x2

(a)(7.4) Sistema oscilador electronico

−2

−1

0

1

2

x1

x2

−2π −π 0 π 2π

(c)(7.5) Sistema pendulo invertido

b) El sistema a continuacion representa un pendulo invertido con longitud variable:

x1 = x2

x2 =−x2− (2+ sen t)x1, x ∈ R

2, to = 0.

Analizar la estabilidad del punto de equilibrio xe = 0. Usar V (x, t) = x21 +

x22

2+ sen tcomo funcion de Lyapunov

tentativa.


a) Representar el movimiento rotacional (dinamica/cinematica) del satelite en la forma espacio de estados. Consid-

erar que el lazo de control ha sido cerrado con:

τ =−αω +do×bo, α ∈ R,α > 0.

b) Calcular el (los) puntos de equilibrio del sistema en lazo cerrado.

c) Demostrar que la ley de control antes descrita alinea bo con −do. Usar la funcion de Lyapunov candidata:

V (ω,do) =1

2ωT Iω +

1

2(do +bo)

T (do +bo).

Formulas utiles:

a ·b = aT b,

a · (b× c) = b · (c×a) = c · (a×b)


a) El siguiente sistema:


Un satelite B (cuerpo rıgido) con un sistema de referencia solidario al cuerpo - origen en el centrode masa y alineado con respecto a los principales ejes de inercia - es mostrado en la Fig. 1. Seabo ∈ R

3 un vector unitario representando la direccion de una antena en el satelite y do ∈ R3 un

vector unitario fijo (sistema de referencia inercial) representando la direccion de la antena en laestacion terrena.La ecuacion del movimiento de Euler resulta en:

Iω +ω× Iω = τ,

donde ω ∈ R3 es el vector velocidad angular del satelite con respecto a los ejes solidarios al

cuerpo, I = diag(I1, I2, I3) y τ es el torque de control.En el sistema de referencia solidario al cuerpo, do no esta fijo, esta rotando con velocidad angular−ω , entonces:

do =−ω×do.

(7.6) Satelite y estacion terrena

x1 = (u− x1)(1+ x22)

x2 = (x1−2x2)(1+ x21)

y = x2

es controlado por la realimentacion de salidas:

u =−Ky

1) Para todos los valores de la ganancia K, determinar los puntos de equilibrio del sistema en lazo cerrado.

El sistema en lazo cerrado resulta:

x1 = (−Kx2− x1)(1+ x22)

x2 = (x1−2x2)(1+ x21)

Para calcular el punto de equilibrio se debe cumplir:

0 = (−Kx2− x1)(1+ x22)

0 = (x1−2x2)(1+ x21)

Entonces, para K 6= −2, el origen (0,0) es el punto de equilibrio unico. Y cuando K = −2, la lınea x1 = 2x2

es el conjunto de puntos de equilibrio.

b) Considere el sistema escalar:

x = ax3.

1) Usar la funcion de Lyapunov candidata, V (x) = x4, para mostrar que el punto de equilibrio x = 0 es asintotica-

mente estable para a < 0.

Usando la funcion de Lyapunov, V (x) = x4, se cumple V (0) = 0, V (x) ∈ C 1, V (x) 6= 0 para x 6= 0, y

V (x)→ ∞ cuando x→ ∞. Luego V (x) satisface las condiciones para ser una funcion de Lyapunov candidata,

y su derivada en el tiempo es:

V (x) =∂V

∂xf (x) = 4ax6,

que es definida negativa para a < 0. Usando el teorema de estabilidad de Lyapunov el punto de equilibrio

x = 0 es asintoticamente estable globalmente.

2) ¿Que puede decir en relacion a la estabilidad del punto de equilibrio x = 0 cuando a = 0?.

Para a = 0, el sistema es lineal y esta dado por:

x = 0.

El sistema posee soluciones x(t) = xo para todo t. Entonces, el sistema es estable.



Problema 8.1: Control optimo con valor final y tiempo final fijos

u(t) x(t)

R 100 k!

C 10 F

i(t)

(8.1) Circuito cargador de capacitor

El voltaje de entrada u(t) que carga al capacitor en la Fig. 2, partiendo dex(0) = 2V en t = 0 hasta x(10) = 12V en t = 10, debe ser calculado parauna energıa disipada por el resistor mınima. No hay restricciones en la ley decontrol u(t). Notar que, de la ley de voltajes de Kirchhoff:

Ri(t)+ x(t) = u(t),

donde i(t) =Cdx(t)

dt, y la energıa disipada es:

J =1

2

∫ 10

0Ri2(t)dt.

a) Definir la funcion Hamiltoniano y correspondientes ecuaciones de estado y coestado, condicion estacionaria y

condiciones de frontera.

b) Resolver las ecuaciones anteriores y calcular el voltaje de entrada u(t) optimo.

c) Calcular el valor mımimo de J.

Problema 8.2: LQR con horizonte infinito

Dada la matriz Hamiltoniana correspondiente a un sistema dinamico y su ındice de desempeno asociado. La matriz

Hamiltoniana es:

H =

[2 −5

−1 −2

]

La funcion del Matlab [V,D]=eig(H) resulto en lo siguiente:

V =

[0,9806 0,7071

−0,1961 0,7071

]

, D =

[3 0

0 −3

]

Se pide:

a) Escribir la ecuacion del sistema en lazo cerrado gobernado por la ley de control u =−kx.

b) Encontrar la solucion de la ecuacion de Riccati correspondiente al controlador optimo.

Problema 8.3: Balanceando una bola sobre una viga

La Fig. (8.2) muestra una bola que rueda a lo largo de una vıa acondicionada en la viga. La bola debe ser llevada al

punto medio de la viga (el origen) mediante manipulacion del angulo de la viga a traves de un motor electrico. La

distancia entre la posicion de la bola y el origen se denota como y y satisface la siguiente ecuacion diferencial:

y = bsin(θ)≈ bθ ,

donde b es una constante que depende de varios parametros del sistema. Se asume que el valor normalizado de b

es 1. Para poder usar control optimo, se necesita tener una aproximacion de la dinamica. Ası, se define la siguiente

realizacion espacio de estados del sistema:z = Az+Bu

y =[

1 0]

z.

El proposito del problema de optimizacion es llevar la bola al origen sin requerir demasiada energia. Un criterio

natural de desempeno es el siguiente problema cuadratico:

mınu

∫ ∞

0(qy2 + ru2)dt

tal que z = Az+Bu,z(0) = [ 0,5 1 ]T


donde q y r son parametros positivos.

θ

y

(8.2) La bola rodando en la vıa de la viga y podrıa caer en cualquiera de los puntos extremos

Obtener lo que se pide:

a) Sea:

P =

[p11 p12

p21 p22

]

,

siendo p12 = p21 y P> 0 (definida positiva). Escribir la ecuacion de Riccati como un sistema de cuatro ecuaciones

explıcitas en terminos de los elementos de P y de las constantes q y r. Resolver para los elementos de P.

b) Encontrar las ganancias del controlador optimo asumiendo que todos los estados son conocidos por la reali-

mentacion. Asumir que r = 1 y q = 5.

c) Encontrar la frecuencia natural y la razon de amortiguamiento del sistema en lazo cerrado.

d) Siendo que la viga tiene longitud finita, se hace necesario introducir restricciones en el problema de optimizacion

para asegurar que la bola no se caiga de la viga. Adicionalmente, a menudo debemos disenar el controlador asum-

iendo que existen limitaciones en la magnitud de la senal de control. En base a lo expuesto, ¿como se formularıa

el problema de control optimo resultante?

Problema 8.4: LQR con horizonte finito

Calcular la ley de control por realimentacion de estados u tal que minimice

J =

int10 (x

2 +u2)dt

sujeto ax =−x+u,x(0) = 2

Asumir J∗ = p(t)x2(t).Ayuda: Los puntos a continuacion deben ser completados analıticamente.

En general, la ecuacion Hamilton-Jacobi-Bellman esta dada por:

0 =∂J∗

∂ t+minu(t)∈R

L(x,u)+

(∂J∗

∂x

)T

f (x,u)

︸︷︷︸

H

Dado que no hay restricciones en la senal de control u, la forma del control optimo se puede determinar aplicando

las condiciones (necesaria de primer orden y suficiente de segundo orden) de optimizacion a la funcion H. Aquı se

debe obtener u∗ en funcion de p(t) y otras variables.

El resultado del punto anterior debe ser reemplazado en la ecuacion HJB del primer punto. La ecuacion resultante

vendrıa a ser la ecuacion de Riccati diferencial. ¿Cual es la condicion inicial de esta ecuacion?

Redefina la ecuacion diferencial de Riccati en funcion de su matriz Hamiltoniana (misma matriz que en el caso

de control optimo con horizonte infinito). No se olvide de detallar las condiciones iniciales.

Problema 8.5: LQR con horizonte infinito

Dada la matriz Hamiltoniana correspondiente a un sistema dinamico y su ındice de desempeno asociado. Sea la

matriz Hamiltoniana:


H =

[2 −5

−1 −2

]

La funcion del Matlab [V,D]=eig(H) resulto en lo siguiente:

V =

[0,9806 0,7071

−0,1961 0,7071

]

, D =

[3 0

0 −3

]

Se pide:

a) Escribir la ecuacion del sistema en lazo cerrado gobernado por la ley de control u =−kx.

b) Encontrar la solucion de la ecuacion de Riccati correspondiente al controlador optimo.

Problema 8.6: Control de posicion motor DC

Un sistema de control de posicion de un motor DC para el control de una valvula electronica es descrito por la

ecuacion diferencial: [θω

]

=

[0 1

0 −α

][θω

]

+

[0

β

]

Va. ,

donde θ es la posicion angular, ω es la velocidad angular, α es el coeficiente de amortiguamiento viscoso, β es el

constante de velocidad del motor DC y Va es el voltaje de actuacion.

Considerar el problema de regular el motor en torno a su estado cero donde la variable controlada es la posicion, es

decir:

y =[

1 0][

θω

]

,

a) Encontrar el control por realimentacion de estados optimo que minimice el ındice de desempeno:

J = lımt→∞

∫ t

0(y2 +ρV 2

a )dt

Usar los valores numericos α = 7,14 rad/s, β = 238,3 rad/(Vs2) y ρ=1.

b) ¿Cual es el tiempo de subida de la respuesta del sistema en lazo cerrado? ¿Como se podrıa disminuir el tiempo

de subida?

Nota: ts =2,230ζ 2−0,078ζ +1,12

ωo

Problema 8.7: Control LQR

Considere la representacion espacio de estados de una planta de primer orden inestable:

x(t) = ax(t)−au(t), a ∈ R,a > 0,

y el nuevo ındice de desempeno:

J =∫ ∞

0e2bt [x2(t)+ρu2(t)]dt, ρ ,b ∈ R,ρ > 0,b≥ 0.

a) Demostrar que, con un cambio de variables ebtx(t)→ x(t) y ebtu(t)→ u(t), la unica modificacion requerida para

calcular el control LQR con el nuevo ındice de desempeno es usar A+bI en la ecuacion de Riccati algebraica en

vez de A.

b) Para el sistema con variable de estado x(t) y senal de control u(t), determinar la ganancia K del control LQR en

funcion de ρ ,a,b.

c) Para el sistema con variable de estado x y senal de control u, mostrar la posicion de los polos en lazo cerrado en

el plano complejo con 0 < ρ < ∞.

d) Usar el resultado anterior para explicar cual es el efecto de b en el diseno del control.

Problema 8.8: Control LQR

La Fig.(1) muestra un diagrama esquematico de un sistema de secado. Con un ventilador (1) se sopla aire a traves

de una tuberia. El aire es calentado a la temperatura usando un calentador electrico (resistores - 4,7). La temperatura

ambiente es θa(t) y representa un disturbio para el secado. La potencia del calentador es proporcional a la entrada


de control u(t). La temperatura θc(t) es medida al final de la tuberia con una termocupla (3) y constituye la senal de

salida y(t).

surveying the relation between the temperature and the

relative humidity after disturbances and changes of cooling or

fan power, the fuzzy temperature controller was designed with

temperature error and change temperature error as inputs and

25 rules, whereas the fuzzy humidity temperature controller

counts with the temperature error, humidity error and

humidity error change and 45 rules. Simulated results have

shown good dynamic process behavior after changes of set

points and under the influence of disturbances. Nachidi,

Benzaouia and Tadeo [29] proposed a Talagi-Sugeno (T-S)

42

(8.3) Sistema de secado

Un modelo simplificado del sistema (despreciando ladinamica del sensor, variacion de velocidad del motor,distancia del sensor) esta dado por:

y(s) =k

as+bu(s)+

cs+b

as+bθa(s).

a) Demostrar que el modelo puede ser representado en la forma espacio de estados por:

x(t) =− bax+ ku(t)−b a+c

aθa(t)

y(t) = 1ax(t)+ c

aθa(t)

.

Sea el modelo:

y(s) =k

as+bu(s)+

cs+b

as+bθa(s).

Usando la transformada de Laplace inversa en el modelo (condiciones iniciales cero), se tiene:

ay(t)+by(t) = ku(t)+ cθa(t)+bθa(t).

Escogiendo x(t) = ay(t)− cθa(t), luego x(t) = ay(t)− cθa(t) y reemplazando:

x(t) = ku(t)−by(t)+bθa(t).

x(t) =− bax+ ku(t)−b a+c

aθa(t)

y(t) = 1ax(t)+ c

aθa(t)

.

→ x(t) =−1,71x+10,62u(t)−7,13θa(t)y(t) = 0,45x(t)+0,89θa(t)

.

b) Calcular el control LQR usando el siguiente ındice de desempeno:

J =1

2

∫ ∞

0x2(t)+10u2(t)dt.

Considerar a = 2,21, b = 3,78, k = 10,62, c = 1,96.

Ubicando las matrices a ser usadas en la ARE, A =−1,71, B = 10,62, Q = 1 y R = 10. Y la ARE resulta:

PA+AT P−PBR−1BT P+Q = 0.

−3,42p−10,622/10p2 +1 = 0.→ p = 0,1825 > 0

Por consiguiente: K = R−1BT P = 0,1938. Reescribiendo la ley de control: u(t) =−0,1938x(t).c) El controlador antes disenado no garantiza que se anula el efecto del disturbio θa(t). Usando la idea de control

LQR, ud. debe disenar un controlador u(t) =−k1x(t)− k2θa(t).Suponer que la variacion de θa(t) esta dada por θa(t) =−0,001θa(t)), redefinir la dinamica usando el vector de

estados z =[

x θa

]Ty calcular el control LQR para el siguiente ındice de desempeno:

J =1

2

∫ ∞

0zT (t)

[1 0

0 0

]

zT (t)+10u2(t)dt.


Ayuda: Notar que la solucion de la ecuacion de Riccatti debe ser una matriz P =

[+ ++ ∗

]

.

La dinamica aumentada considerando disturbio θa(t) = 0,001θa(t):

d

dt

[x

θa

]

=

[−1,71 7,13

0 −0,001

][x

θa

]

+

[10,62

0

]

u

Usando la ARE:

PA+AT P−PBR−1BT P+Q = 0.[

p1 p2

p2 p3

][

−1,71 7,130 −0,001

]

+

[

−1,71 07,13 −0,001

][

p1 p2

p2 p3

]

−[

p1 p2

p2 p3

][

10,620

]

10−1 [ 10,62 0 ]

[

p1 p2

p2 p3

]

+

[

1 00 0

]

= 0,

se tiene:−3,42p1−10,622/10p2

1 +1 = 0

−1,711p2 +7,13p1−10,622/10p1 p2 = 0

7,13p2−0,001p3−10,622/10p22 = 0

→ p1 = 0,1825

p2 = 0,3452

de donde P = 10−3

[0,1010 −0,01

−0,01 0,1010

]

, y por consiguiente: K = R−1BT P =

[0,1938

0,3666

]

.

Reescribiendo la ley de control: u(t) =−Kz(t) =−0,1938x(t)−0,3666θa(t).



Problema 9.1: Filtro de Kalman

Considere un cohete en el espacio, el cual se puede modelar como un integrador doble que se mueve en una direc-

cion. La aceleracion es debido al ruido de proceso. Con las variables de estado x1 = z y x2 = z, la representacion

espacio de estados del sistema es:

x =

[0 1

0 0

]

x+

[0

1

]

w

y =[

1 0]

x+ v

, x ∈ R2.

Por el momento, asumir que la posicion z es medida con algun error v.

Considerar que w y v son procesos de ruido blanco con media cero y densidades espectrales (covarianzas) como

sigue:

W = γ4, V = 1.

a) Determinar el filtro de Kalman. Escribir el observador en su forma espacio de estados.

b) Suponer que un segundo sensor es usado, tal que la velocidad z tambien es medida. La ecuacion de salida es

luego cambiada a:

y = x+ v,

donde ahora v es un vector de dimension dos (ruido blanco de media cero) con matriz de covarianza:

V =

[1 0

0 γ2

]

.

Demuestre que la matriz de covarianza del error de estimacion (solucion de la ecuacion de Riccati) es:

P = ExT (t)x(t)= 1

2

[√3γ γ2

γ2√

3γ3

]

.

¿Cual es la ganancia del filtro de Kalman?

Problema 9.2: Control LQG

Considere el sistema inestable de segundo orden:

x1 = x2

x2 = x2 +u+w,

con medidas contınuas:

y = x1 + x2 + v,

donde w y v son procesos de ruido blanco con densidades espectrales (covarianzas) W y V , respectivamente.

a) (2 ptos) Sea el ındice de desempeno:

J =

∫ ∞

0(x2

1 + x22 +Ru2)dt.

Encontrar los polos del sistema controlado. Graficar en el plano complejo como varıan los polos en funcion de

R.

b) Mostrar que para R = 1 y W =V = 1, las ganancias del control LQR y del filtro de Kalman resultan en:

K =[

1 3], L =

[1

2

]

,

siendo que los polos del sistema controlado estan ambos en s =−1.

c) Encontrar la funcion de transferencia del compensador LQG resultante G(s).d) Para la dinamica del compensador G(s), bosquejar en el plano complejo como varıan los polos del sistema

controlado al ir variando la ganancia de la planta α (tal que αPy(s)→ Py(s), para α = 1).


e) Para el controlador LQR, u =−Kx, bosquejar en el plano complejo como varıan los polos del sistema controlado

al ir variando la ganancia de la planta α (tal que αPx(s)→ Px(s), para α = 1). Asumir en este caso que se conocen

todos los estados.


Considere el sistema de primer orden:x = αx+u+w

y = x+ v,

donde w y v son procesos de ruido blanco con varianzas σw y σv, respectivamente, y el ındice de desempeno es:

J = E1

2

∫ ∞

0(qx2 +u2)dt,

a) Calcular el control LQR correspondiente. Notar que la ganancia de control K sera funcion de q. Presentar la

dinamica del sistema controlado.

b) Si σw/σv = 1, calcular la ganancia del filtro de Kalman. Presentar el filtro de Kalman en su forma de espacio de

estados.

c) Encontrar el rango de q que permita que el estimador posea una dinamica rapida en comparacion a la dinamica

del sistema controlado.


Responda segun corresponda.

a) Una forma comun del ındice de desempeno cuadratico es:

J =1

2eT

f Q f e f +1

2

∫ t f

to

y(t)T Qyy(t)+u(t)T Ryu(t)dt

donde y(t) =Cx(t)+Du(t). Mostrar que J puede ser reescrito como:

J =1

2eT

f Q f e f +1

2

∫ t f

to

x(t)T Qx(t)+ x(t)T Nu(t)+u(t)T Ru(t)dt,

donde: Q =CT QyC, N =CT QyD, R = Ry +DT QyD.

b) Considere el siguiente sistema para el calculo del observador optimo:

x =

[2 −4

1 −3

]

x+

[1

−3

]

u+w,

y =[

1 3]

x+ v

donde W =

[3 2

2 7

]

y V = 17 son las matrices de covarianza del ruido blanco Gausiano w y v, respectivamente.

1) Escribir la ecuacion de Riccati correspondiente.

2) Resolver la ecuacion de Ricati algebraica.

3) Escribir la representacion espacio de estados del Filtro de Kalman (FK).


Considere el problema LQG con la siguiente dinamica:

x =

[1 1

0 1

]

x+

[0

1

]

u+

[1

1

]

w,

y =[

1 0]

x+ v

donde x =[

x1 x2

]Tes el vector de estados, u es la entrada de control, y es la salida medida y w y v son los ruidos

blancos Gausianos independientes con intensidades σ ≥ 0 y 1 respectivamente.

El ındice de desempeno asociado esta dado por:


J = E

lımT→∞

1

T

∫ T

0(ρ(x1 + x2)

2 +u2)dt

donde E(·) es el valor esperado y ρ es un parametro real no negativo.

Obtener lo que se pide:

a) Encontrar la ganancia del controlador optimo (LQR) asumiendo que todos los estados son conocidos por la

realimentacion.

b) Encontrar la ganancia del observador optimo (FK).

c) Describir el compensador optimo (LQR+FK) usando una representacion espacio de estados.

d) Describir el sistema con control LQG usando una representacion espacio de estados.

e) Completar en el diagrama de bloques de la figura abajo usando las correspondientes funciones de transferencia.

s

plant

k

κ

w v

y

u

(9.1) Sistema en lazo cerrado con control LQG


Un ingeniero intenta usar la teorıa del filtro de Kalman como una metodologıa para filtrar senales de medida rui-

dosas. Considere el diagrama de bloques mostrado en la figura donde y(t) es la senal util, v(t) el ruido de medida y

z(t) las medidas ruidosas. El filtro a ser disenado es denotado por L(s), cuya salida y(t) debe ser un buen estimado

de la entrada util y(t).

(9.2) Filtrado de ruido

Se desea que L(s) sea un filtro pasa-baja con las siguientes caracterısticas:

L(0) = 1

L(s) decayendo como 1/s para grandes valores de s

El ingeniero comienza modelando la senal y(t) como una senal filtrada por el sistema de primer orden G(s):

G(s) =b

s+a,

la senal filtrada es el ruido blanco w(t) con covarianza W . El ruido de medida v(t) tambien se asume como ruido

blanco, y con covarianza V . La forma espacio de estados resulta:

x = −ax+βw

z = (b/β )x+ v

para valores del parametro β 6= 0 .

a) Considerando el observador de la forma:


˙x = −ax+ l[z− (b/β )x] ,

derivar la funcion de transferencia correspondiente al filtro.

b) Derivar el filtro de Kalman ¿Cual es la influencia del parametro β en el filtro L(s)?c) ¿Que restricciones se necesitan en los parametros del modelo G(s) para hacer que se satisfagan las propiedades

del filtro L(s) antes especificadas?

d) Asumiendo que el modelo de la senal y(t) es tomado como un sistema de segundo orden:

G(s) =b

s(s+a), (a > 0,b > 0)

¿Se puede satisfacer la restriccion L(0) = 1?


Considere el problema del LQG con la siguiente dinamica:

x = u+w

y = x+ v

donde x es la variable de estado, u es la entrada de control, y es la salida medida y w y v son ruidos blancos

Gaussianos independientes con covarianzas β 2r y r respectivamente.

El control LQG usa el siguiente ındice de desempeno:

J = E lımT→∞

1

T

∫ T

0(α2x2 +u2)dt,

donde E· es el valor esperado y α , β son parametros reales no negativos.

a) Demuestre que el compensador optimo (LQR + filtro de Kalman) esta dado por:

u =−k(s)y,

donde:

k(s) =αβ

s+α +β

b) Determine la representacion espacio de estados del sistema en lazo cerrado, con w y v como entradas, y las

variables de estados x y x. Demuestre paso a paso sus calculos ¿Cuales son los autovalores del sistema en lazo

cerrado?

c) En el diagrama de bloques mostrado, ¿que valores podrıa alcanzar el escalar θ sin desestabilizar el sistema en

lazo cerrado?

(9.3) Sistema en lazo cerrado LQG con ganancia variable



Considerar el caso donde se pretende estimar el nivel de agua h enel tanque usando un sensor del tipo flotador, ver Fig. 1. La medidaobtenida por el sensor es proporcional al nivel de agua en el tanque,ası y = αh, con α = 0,1.Si el tanque se esta llenando a una tasa constante igual a f , la variaciondel nivel de agua esta dada por h = f .

(9.4) Estimacion del nivel del tanque de agua y mas

a) (2 ptos) Considere que no se conoce exactamente la tasa constante f y se quiere usar el filtro de Kalman para

estimar su valor, escribir el modelo de la planta y la ecuacion de salida para cuando el vector de estados es

x =[

h f]T

.

b) (2 ptos) Incorporando los ruidos en los modelos se tiene:

x = Ax+

[0

1

]

w(t),

y =Cx+ v(t),

donde se asume que el ruido de proceso solo afecta a la parte del llenado. Se sabe que Ev(t)vT (t+τ)= σvδ (τ)y Ew(t)wT (t + τ)= σwδ (τ)), con σw = 0,001 y σv = 0,1. Calcular la ganancia del filtro de Kalman.

c) (1 pto) Escribir el filtro de Kalman en su forma funcion de transferencia, siendo que las salidas son los dos

estados estimadosA.

d) (1 pto) Si f = 0,1 y h(0) = 0 usar la relacion f (s)/Ey(s) para probar que f (t → ∞) = fss = 0,1. Asumir

h(0) = 0 y f (0) = 0. (Ayuda: usar el teorema del valor final, yss = y(t→ ∞) = lıms→0 sy(s).


Un problema de atenuacion de disturbios se encuentraen el problema de control de nivel del molde de unamaquina de fundicion contınua. Regular el nivel delmolde de agua frıa es de suma importancia dado queafecta la calidad de las planchas de acero. Sin embargo,el molde debe ser afectado por un movimiento periodi-co para prevenir que el metal se adhiera a las paredes.Tal movimiento induce un disturbio periodico lento.

Fig.(9.5) Produccion planchas de acero por fundicion

La salida esta afectada por un ruido blanco de media cero y covarianza σv = 0,005. Se incorpora el disturbio

periodico d(t) en el tanque considerando que este afecta al vector de estados como una senal ruidosa de banda

estrecha de 1 Hz, ver Fig. (3). El objetivo del problema de control es atenuar el efecto de este disturbio de 1 Hz.


La planta linealizada con respecto al nivel constante de-seado hd que describe la relacion salida (nivel del moldecon respecto a hd) y entrada actuador (valvula) esta dadapor:

x =

[−10 −50

1 0

]

x+

[10

]

u

y =[

20 0]

x

y(t)

v(t)d(t)

20s2+10s+50

Fig.(9.6) Planta afectada por ruidos

a) (2 ptos) Recordando la accion de un integrador en el control por realimentacion de estados para seguimiento

de referencias constantes, se planea usar un modelo del disturbio para asi atenuar su efecto en la planta. Si el

disturbio de 1 Hz es modelado como:

xd =

[0 2π−2π 0

]

︸︷︷︸

Ad

xd +

[1

0

]

Bd

w

d =[

100 0]

Cd

xd

,

donde w es un ruido blanco de media cero y covarianza σw = 0,01. Calcular la dinamica de la planta aumentada

con el ruido de medida y la dinamica del disturbio. Ayuda: Los estados de la planta aumentada son xa =[

x xd

]T.

Escribir la ecuacion algebraica de Riccati que permitirıa el filtro de Kalman para la planta aumentada. Identificar

las matrices necesarias para resolver dicha ecuacion.

b) (1 pto) La ganancia del controlador por realimentacion de estados para este problema se calcula minimizando el

siguiente criterio de desempeno:

J =1

2

∫ ∞

0

xTa (t)

1 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

xa(t)+uT (t)10−4u(t)

dt.

Fundamentar la eleccion de la matriz de ponderacion Q asumida.

c) (2 ptos) Completar el diagrama de bloques dado - incluir el filtro de Kalman y control LQR disenados para la

planta aumentada. Explicar por que funcionarıa el compensador disenado.

Fig.(9.7) Control LQG para atenuacion de disturbios



La figura muestra un tanque con un sistema de control de nively un observador. El observador sera usado para estimar el flujode salida d(t), el cual representa un disturbio en el tanque; elflujo estimado servira de entrada al control por alimentaciondirecta. El nivel del tanque h(t) es medido.El modelo de la variacion del nivel en el tanque es:

h(t) =1

Atank

[αu(t)−d(t)],

donde Atank = 0,1m2, α = 0,002(m3/s)/V.El flujo de salida d(t) se asume constante, ası se puede usar elsiguiente modelo para describir su comportamiento:

d(t) = 0.


a) Considerar el vector de estados x =[

h(t) d(t)]

y escribir la representacion espacio de estados del sistema au-

mentado.

El sistema aumentado con la dinamica del disturbio es:

d

dt

[h

d

]

=

[0 −10

0 0

][h

d

]

+

[0,02

0

]

u

y =[

1 0][

h

d

]

b) Calcular el filtro de Kalman (observador) para el sistema aumentado:

x(t) = Ax(t)+Bu(t)+w(t)y(t) =Cx+ v(t)

Considerar un ruido de proceso con matriz de covarianza W =

[0,01 0

0 0,0001

]

y un ruido de medida con varianza

V = 0,000001 m2. Escribir el filtro de Kalman en su representacion espacio de estados.

Ayuda: Notar que la solucion de la ecuacion de Riccatti debe ser una matriz P =

[+ −− +

]

.

Resolviendo la ecuacion de Riccati para el sistema dual:

PAT +AP−PCT σ−1v CP+GσwGT = 0

[

p1 p2

p2 p3

][

0 0−10 0

]

+

[

0 −100 0

][

p1 p2

p2 p3

]

−[

p1 p2

p2 p3

][

10

]

106 [ 1 0 ]

[

p1 p2

p2 p3

]

+

[

0,01 00 0,0001

]

= 0,

se tiene:−20p2−106 p2

1 +0,01 = 0

−10p3−106 p1 p2 = 0

0,0001−106 p23 = 0

→p1 = 0,101010−3

p2 =−10−5

p3 = 0,101010−3

de donde P = 10−3

[0,1010 −0,01

−0,01 0,1010

]

, y por consiguiente: L = PCT σ−1v =

[100,995

−10

]

.


Luego el filtro de Kalman:d

dt

[h

d

]

=

[0 −10

0 0

][h

f

]

+L

(

y−[

1 0][

h

d

])

d

dt

[h

d

]

=

[−100,995 −10

10 0

][h

d

]

+

[100,995

−10

]

y

x = I

[h

d

]

c) Calcular la ganancia KLQR bajo el siguiente ındice de desempeno:

J =1

2

∫ ∞

0(h2 +10u2)dt.

Nota: En esta parte no se debe incluir la dinamica del disturbio.

Sin incluir la dinamica del disturbio se tiene:

d

dth(t) =−10d(t)+0,02u(t)

Resolviendo la ecuacion de Riccati correspondiente:

PA+AT P−PBR−1BT P+Q = 0

−p∗0,02∗0,1∗0,02∗ p+1 = 0,→ p = 158,114,

y por consiguiente: KLQR = R−1BT P = 3,1623.

d) Reescribir el diagrama de bloques de la figura considerando explicıtamente la forma del proceso, sensor, obser-

vador y controladores. Asumir u f f d = K f f d d y u f f sp = K f f spysp (ysp es una referencia constante).

El diagrama de bloques de la figura resulta:


e) Calcular la representacion espacio de estados del compensador que debera ser implementado en un microcontro-

lador. Presentar el compensador de forma literal (no usar numeros).

La representacion espacio de estados del compensador para implementacion, cuando solo se usa el disturbio

estimado d es:d

dtx = (A−LC+B

[0 K f f d

])x+(L−BKLQR)ym +BK f f rxd

u =−[

0 K f f d

]x−KLQRym +K f f rxd

Se puede tambien considerar el estado estimado h, luego el compensador resulta:


d

dtx = (A−LC−B

[KLQR −K f f d

])x+Lym +BK f f rxd

u =−[

KLQR −K f f d

]x+K f f rxd

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