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ControlAnalgicoyDigitalcenidet DepartamentodeElectrnica
eqm 1
CONTROLANALGICOYDIGITALOBJETIVOGENERALDELCURSO:Utilizar los conceptos bsicos de la teora del control analgico y digital para analizar laestabilidad, observabilidad y controlabilidad de los sistemas continuos y discretos, as comodisearesquemasdeobservacinycontrolparaestossistemas.Temasysubtemasdelcurso:
1. Introduccin1.1 Ecuacionesdevariabledeestado1.2 SolucionesdeecuacionesdeestadoMtododelatransformadadeLaplace1.3 Discretizacindeecuacionesdeestado1.4 Conversindefuncionesdetransferenciaavariabledeestadorealizabilidadfsica1.5 Diagramadebloques,frmuladeMason
2. Anlisisdesistemasentiempodiscreto
2.1 TransformadaZ2.2 Solucindeecuacionesdediferencias2.3 ControlabilidadyObservabilidad2.4 Estabilidad
3. Diseodesistemasentiempodiscreto
3.1 Implementacindigitaldecompensadoresanalgicos3.2 Plantasdigitalesequivalentes3.3 MtododelLugardelasRaces3.4 Estimadoresdeestado
4. Controladores
4.1 Funcionesdetransferenciatotales4.2 Mtodolinealalgebraico4.3 Diseoenespaciodeestado4.4 ControladoresPID
Bibliografa:Analog and Digital Control System Design: TransferFunction, StateSpace, and AlgebraicMethods.ChiTsongChenSaundersCollegePublishing,1993
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eqm 2
ComputerControlledSystems,TheoryandDesign,3rded.KarlJ.Astrom,BjornWittenmarkPrenticeHall,Inc.1997SistemasdeControlenTiempoDiscreto,2nded.KatsuhikoOgataPrenticeHall,1996DigitalControlofDynamicSystemsGeneF.Franklin,J.DavidPowell,MichaelL.WorkmanAddisonWesleyPublishingCompany,Inc.1990DigitalControlSystems:Design,IdentificationandImplementationIoanD.Landau,GianlucaZitoSpringerVerlag2006
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eqm 3
CONTROLANALGICOYDIGITAL
Dominiodelafrecuencia(1940s) Mtododellugardelasraces(1950s) Variabledeestado(1960s) Mtododepolinomios(1970s) Mtodosalgebraicos(1980s)
Sistemasdecontrol
Lineal nolinealInvarianteeneltiempo varianteeneltiempoAgrupado(lumped) distribuidoContinuo discretoDeterminstico estocsticoUnivariable multivariable
LinealsisatisfacelaspropiedadesdeaditividadyhomogeneidadInvarianteeneltiemposisuscaractersticasnocambianconeltiempoAgrupado (lumped) si el tiempo es la nica variable independiente, descrito por ecuacionesdiferencialesordinarias.Distribuidositiempoyespaciosonvariables independientes,descritoporecuacionesdiferencialesparcialesContinuosiestdefinidasurespuestatodoeltiempoDeterminsticosisudescripcinmatemticanoincluyeprobabilidadesUnivariablesielsistematieneunaentadayunasalida2.2SISTEMASLINEALESINVARIANTESENELTIEMPOAGRUPADOS
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eqm 4
Propiedaddeaditividad: la respuestade )()( 21 tutu es iguala lasumade la respuestade
)(1 tu ylarespuestade )(2 tu (principiodesuperposicin)Propiedaddehomogeneidad:Larepuestade )(tu esiguala veceslarespuestade )(tu 2.3RESPUESTAENTRADACEROYRESPUESTAESTADOCEROEjemplo:
RepuestaentradaceropolinomiocaractersticoEjemplo:
Selellamalaecuacinhomognea.
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eqm 5
Ecuacincaracterstica=denominadorfuncindetransferenciaRacesecuacincaracterstica=modosdelsistema(frecuenciasnaturales)Casogeneral:
Definiendo: dtdp /
Entradacero( 0u ):
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eqm 6
)(sI esunpolinomioquedependedelascondicionesinicialesRespuestaestadoceroFuncindetransferenciaEjemplo:
Condicionesinicialesigualesacero
)(sG =funcindetransferencia
Funcionesdetransferenciapropias
deg=gradodelpolinomio
)(deg)(deg sDsN impropia
)(deg)(deg sDsN propia
)(deg)(deg sDsN estrictamentepropia
)(deg)(deg sDsN bipropiaLasfuncionesdetransferenciaimpropiassondifcilesimposiblesdeconstruir,amplificanelruidodealtafrecuencia.PolosycerosDefinicin:unnmerorealcomplejo esunpolode )(sG si )(G , valorabsoluto.Esuncerosi 0)( G
Ejemplo:
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2s esunpolo
Indefinido,porloqueutilizamoslaregladelHpital
1s noesunpolo
Polos:2,1,1Ceros:3N(s)yD(s)soncoprimossinotienenfactorescomunesEjemplo2.4.3,respuestaestadocero,u(t)=1
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eqm 8
Como 1k y 02 k ,ambospolosde )(sG sonexcitadosporunaentradaescaln.Silaentradafuera: )3(
1)( ssssU ,elpolo 1s noseraexcitado:
Lasentradasescalnunitarioy tsen 0 excitarntodoslospolosdebidoaquenotienenceros
s1, 2
02
0
s
Loscerosde )(sG afectanlosvaloresde ik yporlotantolarespuestadeestadoceroLospolosde )(sG ,sedefinencomolasracesde )(sD despusdecancelarfactorescomunesSi lospolosdelsistemason igualesa losmodosdelsistema, lafuncindetransferenciapuedeusarse en anlisis y diseo (la respuesta de entrada cero aparecer como una parte de larespuestadeestadocero)
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eqm 9
2.6ECUACIONESDEVARIABLEDEESTADOFuncionesdetransferencia=descripcinexterna(salida)Variablesdeestado(ecns.diferencialesde1erorden)=descripcininterna(salida+estados)
Ejemplo:
ubxa
dtdxa
dtxda
dtxd
1012
2
23
3
definiendo:
2
2
321 ;; dtxdx
dtdxxxx
deunaecuacinde3er.ordenseobtienen3ecuacionesde1er.orden
21 x
dtdx
32 x
dtdx
ubxaxaxadtdx
13221103
BuAxx
ub
xaaa
x
1210
00
100010
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eqm 10
2.7SOLUCIONESDEECUACIONESDEESTADOMTODODELATRANSFORMADADELAPLACE
BuAxx [A]nxn [B]nxm
DuCxy [C]qxn [D]qxmx=variabledeestadou=variabledecontroly=salidasdelsistemaElestadodeunsistemaesungrupodecantidades,x1(t),x2(t),...,xn(t),lascualessiseconocenaltiempot=to,estndeterminadasparattoespecificandolasentradasalsistemaparattoTransformandoporLaplace:
)()()0()( sBUsAXxssXBuAxx
)()0()()( sBUxsXAsI
ceroinicialestadorespuestaceroentradarespuesta
s sBUAsIxAsIX )()()0()(11
)(
)()()0()()( 11 sUDBAsICxAsICsY
)()( 1 sAsI ,MatrizdeTransicindeEstados
Ejemplo2.7.1Encuentrelasalidadebidaaunaentradaescalnunitariocon ]'12[)0( x
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eqm 11
Como ssU
1)(
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eqm 12
Polinomiocaracterstico
DBAsICsUsYsG 1)()()()(
DBAsIadj
AsICsG )]([)det(
1)( Polinomiocaracterstico= sAsI )det( [A]nxn nracesdelpolinomiocaracterstico=valorescaractersticosdeA=eigenvaloresParalassiguientesmatricesenformacannica(canonicalorcompanionforms):
Elpolinomiocaractersticoes:
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eqm 13
EcuacindevariabledeestadomnimaNumerodeeigenvalores=nmerodepolosEjemplo2.8.1
Eigenvalores:3,1Delejemplo2.7.1
322)(
)()(
21
ss
sBAsICsUsY
Polos:3,1 ecuacindevariabledeestadomnimaCada ecuacin de vasriable de estado mnima tiene las propiedades de observabilidad ycontrolabilidad.Ejemplo2.8.2
Eigenvalores:3,1
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eqm 14
Polos:3 ecuacindevariabledeestadonomnimaNosepuedeusarlafuncindetransferenciaparaanlisisydiseodelsistema
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eqm 15
CAP.5SIMULACINENCOMPUTADORAYREALIZACIN5.5ELPROBLEMADEREALIZACINLarespuestadeecuacionesdevariabledeestadonorequiereelcmputode loseigenvaloresporloqueesmenossensibleavariacionesenparmetros.EnLaplaceesnecesariolaexpansinenfraccionesparciales.Pasos:
(i) Se descompone )(sG en la suma de una constante y una funcin racionalestrictamentepropia
(ii) Senormalizaelcoeficientede )(sD a1
Ejemplo:
(i)
(ii)
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eqm 16
Formacannicacontrolable:
Delejemploanterior:
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eqm 17
Formacannicaobservable:
Delejemploanterior:
Aunqueseus x tantoenlaformacannicacontrolablecomoenlaobservable,sonvariablesdiferentes.Matlab(generalaformacannicacontrolable):>>num=[1,2,1,4,12];den=[2,10,20,20,8];>>[a,b,c,d]=tf2ss(num,den)RealizacionesenserieyenparaleloEjemplo5.5.4(serie)
21
21
)()()(
XY
XX
UX
sUsYsG
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eqm 18
uxxsXs
sX 22)(2
2)( 1111
Ejemplo5.5.5(serie):
Paraevitarderivarlaentrada:
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eqm 19
Enformacontrolable:
13
22 ]62[ wx
xw
Sustituyendo 1w
Deltercerbloque:
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eqm 20
Realizacinparalela(formacannicadeJordan)Ejemplo5.5.6
RealizacionesmnimasEjemplo:
)13()2(
)32)(13()32)(2()( 222
2
ss
sssss
ssssG
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eqm 21
Sonrealizacionesmnimasporquetienenelmnimonmerodevariablesdeestado.
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eqm 22
CAP.11DISEOENESPACIODEESTADO11.2CONTROLABILIDADYOBSERVABILIDAD
Unsistemaescontrolablesipodemostransferircualquierestadoenuntiempofinitoaplicandounaentrada.Lasolucinexistesilamatrizdenxn:
tienerangonequivalentementesudeterminanteesdiferentedecero.Un sistemaesobservable sipodemosdeterminarelestado inicialconociendo laentraday lasalidasobreunintervalodetiempofinito.Elsistemaesobservablesilamatrizdenxn:
tienerangonequivalentementesudeterminanteesdiferentedecero..>>U=ctrb(a,b)>>V=obsv(a,c)Ejemplo11.2.4
Formacontrolable:
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eqm 23
1)det( U ,elsistemaescontrolable0)det( V ,elsistemanoesobservable
Formaobservabledelmismosistema:
0)det( U ,elsistemanoescontrolable1)det( V ,elsistemaesobservable
Unaecuacindevariabledeestadomnimaescontrolableyobservable.Matrizdecontrolabilidaddelaformacannicacontrolable:
1)det( U ,elsistemasiempreescontrolable.
Demanerasimilarlaformacannicaobservablesiempreesobservable.
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eqm 24
11.3ECUACIONESDEVARIABLEDEESTADOEQUIVALENTESDosecuacionesdevariabledeestadosonequivalentessisusestadospuedenrelacionarseporunamatriznosingular.
Definiendo Pxx ysustituyendo xPx 1 y xPx 1 enlasecuacionesanteriores:
Obtenemos:
Latransformacin 1 PAPA sedenominatransformacindesimilaridadynocambialosvalorescaractersticosdelamatriz.
Unatransformacinequivalentenocambialafuncindetransferencia.Laspropiedadesdecontrolabilidadyobservabilidadsepreservan.
Como P esnosingular,elrangodeU igualaelrangodeU
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eqm 25
11.4COLOCACINDEPOLOSAsignar los polos de la funcin de transferencia de lazo cerrado por retroalimentacin deestados
Si (A,b) es controlable, los eigenvalores de (AbK) pueden ser asignados arbitrariamenteeligiendolasgananciasderetroalimentacinkProcedimientodediseoporcolocacindepolosPaso1.CalculeelpolinomiocaractersticodeA
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eqm 26
Paso2.Calculeelpolinomiocaractersticodeseado:
Paso3.Calculelasgananciasderetroalimentacinparalaformacannicacontrolable:
Paso4.CalculelatransformacinequivalenteP
Paso5.Calculelagananciaderetroalimentacin:
Ejemplo11.4.2Paraelsiguientesistema:
Encuentre k en kxru demodoquelafuncindetransferenciadelazocerradotengalosvalorescaractersticos: i22 Paso1.
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eqm 27
Paso2.
Paso3.
Paso4.
Paso5.
>>a=[0,1;0,1];b=[0;10];>>p=[2+2*i;22*i];>>k=place(a,b,p)Otromtodo:laformuladeAckermann>>acker(a,b,p)noconfiablenumricamente11.5REGULADORCUADRTICOPTIMO
Si 0r , kxu porloque xbkAx )( Sedeseaencontrar k demodoqueminimice:
Q=matrizsimtricapositivasemidefinida(eigenvalorespositivoscero)
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eqm 28
R=constantepostivaSi ccQ T
Sielsistemaescontrolableyobservable,lagananciaretroalimentadaqueminimizalaecuacin,es:
K esunamatrizsimtrica,positivadefinida,obtenidadelaecuacindeRiccati:
Estaecuacinpuedetenerunaomssoluciones,perosolounaessimtricaypositivadefinida.Ejemplo11.5.1Paraelsiguientesistema:
Encuentrelagananciaderetroalimentacinqueminimice:
LaecuacindeRiccatiqueda:
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eqm 29
Igualandoloselementoscorrespondientes,obtenemos:
ParaqueK seapositivadefinida: 3/121 k , 129.011 k , 05.122 k
Matlab:>>a=[2,0;1,0];b=[1;0];>>q=[0,0;0,1];r=1/9;>>k=lqr(a,b,q,r) K=[1.16233.000]11.6ESTIMADORESDEESTADO(OBSERVADORES)En la retroalimentacin de estado se asume que todas las variables de estado estado estndisponibles,sinofueraelcaso,esnecesariodisearunestimadordeestado.Sistema Estimador
CxyBuAxx
xCy
BuxAx
yuCBA ,,,, conocidas
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eqm 30
Ladiferenciaenlaprediccindelasalida )( xCy seutilizaparamanejarelestimador:
)( xCyLBuxAx
LyBuxLCAx )(
Restandoestaecuacindeladelsistema:
eLCAe )(
Si(A,C)esobservableloseigenvaloresde(ALC)puedenasignarsearbitrariamenteeligiendoL
Si 00][ eLCA
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eqm 31
11.7RETROALIMENTACINCONVARIABLESDEESTADOESTIMADAS
k esdiseadopara x yahoraestconectadoa x elsistematieneloseigenvaloresdeseados?Sustituyendo yu, enlasecuacionesanteriores:
Aplicandolatransformacinequivalente:
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eqm 32
Latransformacinequivalentenocambiaelpolinomiocaracterstico,porloquestees:
Aplicamos: Latransformacinequivalentenocambialafuncindetransferencia,porloquestaes:
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eqm 33
Aplicamos:
Principiodeseparacin.Loseigenvaloresdelsistematotalconsistende loseigenvaloresde laretroalimentacindeestados y loseigenvaloresdelestimadordeestado. La conexinde lasganancias retroalimentadas a la salida del estimador no cambia los diseos originales, sepuedendisearenformaseparada.Lafuncindetransferenciatotal:
BBKAsICsG 10 )()(
Solotienenpolos,pero2neigenvalores,porloquelasecuacionesnosonmnimas,lafuncindetransferenciadelestimadorsecancelaeneldiseo.
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eqm 34
Cap.12ANLISISDESISTEMASENTIEMPODISCRETOEngeneral: Plantas:sistemasanalgicos(antena,motor,etc.) Controladores:SistemasDigitales(PCs)
(a) Sistemadecontrolanalgico.(b)Sistemadecontroldigital
TiempocontinuotransformadadeLaplace(ecuacionesdiferenciales)TiempodiscretoTransformadaZ(ecuacionesdediferencia)Sealesdiscretas=sealesanalgicas(texto)
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eqm 35
ConversionesA/DyD/A
12.4LATRANSFORMADAZSeestudiansistemasdescritosporecuacionesdediferencialinealesconcoeficientesconstantesEjemplo:
Condicionesinicialesyentrada:
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eqm 36
LasolucinporsustitucindirectanoesenformacerradaynoesposibleobtenerconclusionesdelaspropiedadesgeneralesdelaecuacinporloqueesnecesariointroducirlatransformadaZDefinicin:
z=variablecompleja
iz =instantedemuestreoi
Paraexpresarloenformacerrada:
Ejemplo:
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eqm 37
Si 0a , 1akTe paratodokpositivo,selellamasecuenciaescalnunitarioyserepresentapor )(kq
Ejemplosecuenciaimpulso(secuenciaKronecker)
DeladefinicindetrasformadaZ:
TransformadadeLaplaceytransformadaZParaquelatransformadadeLaplace(sistemascontinuos)puedaaplicarsea )(kTf (sistemasdiscretos),sedefine:
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eqm 38
)(t =funcinimpulsoofuncindelta
)(* tf esunarepresentacincontinuadelasecuenciadiscreta )(kTf yesceroexceptoenlos
instantesdemuestreo kT
Definiendo Tsez
Si js
FrmulasdeEuler: jsene j cos
TTT eseneez 222222 cosImRe
10 z Sistemaestable10 z Sistemainestable
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eqm 39
Lafranjaentre TyT // mapeaelcrculounitario(franjaprimaria)LasfranjassuperioreinferiortambinmapeanenelcrculounitarioTransformadaZinversa:
PordivisindirectaEjemplo:
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eqm 40
Porfraccionesparciales
Seexpande zzF /)( (latabladetransformadaZseencuentraenlaforma ]/[ bzz
4/5,4/21,3 321 kkk
Utilizandolatabladetransformadaz(pg.485)
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eqm 41
PropiedadesdelatransformadaZPropiedadlineal:
Adelantodetiempo:
Atrasodetiempo:
12.5SOLUCINDEECUACIONESDEDIFERENCIASDelejemplovisto:
Condicionesinicialesyentrada:
AplicandotransformadaZ
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eqm 42
Sustituyendocondiciones iniciales 2)1(,1)2( yy , y )(ku esunasecuenciaescalnunitario,
1)( z
zzU
TomandotransformadaZinversa:
PolinomiocaractersticoyfuncionesdetransferenciaAplicaloreferidoenvariablesdeestado
)(zD =polinomiocaracterstico races modos
)(zD races polos
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eqm 43
SiN(z)yD(z)nosoncoprimoselsistemanoescompletamentecaracterizadoporlafuncindetransferenciaynodebedesecharselarespuestadeentradacero.degN(z)=m,degD(z)=nm>nfuncindetransferenciaimpropia(nocausal)ejemplo:
Lasalidadependedeunaentradafutura.
mn funcindetransferenciapropiar=degD(z)degD(z)=excesodepoloscerosrintroduceunretardodetiempodermuestreos:
12.6ECUACIONESDEESTADOENTIEMPODISCRETO
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eqm 44
AplicandolatransformadaZ:
ElpolinomiocaractersticodeAsedefinecomo:
LaControlabilidadyObservabilidadsoncomoenelcasocontinuo:Siunaecuacinescontrolable,latransferenciadeunestadoacualquierotroestadoseconsigueennperiodosdemuestreoylasecuenciadeentradasecalculade:
Siunaecuacindevariabledeestadoescontrolableyobservable,laecuacinesmnima:
eigenvaloresdeA=polosfuncindetransferencia
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eqm 45
12.7DIAGRAMASDEBLOQUEYREALIZABILIDAD
Elprocedimientoderealizacinesidnticoalcasocontinuo(formascannicascontrolableyobservable).12.8ESTABILIDAD(PruebadeJury)Porejemplo:
MANUELResaltado
MANUELTexto escrito a mquinapara determinar los los valores de
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eqm 46
PruebadeJury.Elsistemaesestablesi: 0,,,, 00000 edcba Ejemplo12.8.1(pg.502)
TeoremadelValorFinal.Si ctekf )( cuando t
TeoremadelValorInicial.
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eqm 47
12.9RESPUESTADEESTADOESTABLEDESISTEMASESTABLESEjemplo:
Usandofraccionesparciales:
Larespuestaeneltiempodelospolostiendeacerocuando k (sistemaestable)12.9.1RespuestaenfrecuenciadesistemasanalgicosydigitalesRespuestaenfrecuencia=Grficade )( TjeG conrespectoa Lagrficaesperidicaconperiodo T/2
Relacinentre )( jG y )( TjeG TeoremademuestreodeShannon
Ts /2 =frecuenciademuestreo
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eqm 48
2/sN =frecuenciadeNyquist
)( TjeTG eslasumaderepeticionesde )( jG en sk paratodoslosenteros k
Silagrficade )( jG esceropara T/
En caso contrario el muestreo introduce el fenmeno de traslape (aliasing), que puedeeliminarseeligiendounperiododemuestreopequeoounafrecuenciademuestreogrande.
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eqm 49
CAP.13DISEODESISTEMASENTIEMPODISCRETODosenfoques:
a) Diseocompensadoranalgicodigital(discretizacindespusdeldiseo)b) Plantaanalgicaplantadigitaldiseo(discretizacinantesdeldiseo)
Variablesconsobrebarra=analgicas, ),(),( tuty etc.13.2IMPLEMENTACINDIGITALDECOMPENSADORESANALGICOS(discretizacindespusdeldiseo)Objetivo:obtenerundispositivodigitalquesecomportecomoundispositivoanalgicoMtodos:
a) Aproximacinhaciaadelanteb) Aproximacinhaciaatrsc) Aproximacintrapezoidal(transformacinbilineal)d) Mapeopolozero
Paralosmtodosa),b),c)considereuncompensadoranalgico )(sC ,siendosurealizacin:
Laintegracinpuedeaproximarsedelasiguientemanera,asumiendo 0)( te :
(a)haciaadelante,(b)haciaatrs,(c)trapezoidal
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eqm 50
Aproximacinhaciaadelante
Como Realizacincompensadordigital )(zC
Estatransformacinnopreservalaestabilidadde )(sC Aproximacinhaciaatrs
Estatransformacinpreservalaestabilidadde )(sC
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eqm 51
Aproximacintrapezoidal
Relacinentrelafrecuenciaensistemasanalgicosylafrecuenciaensistemasdigitales(contransformacinbilineal)Sustituyendo js y Tjez enlaltimaecuacin:
Mapeopolocero
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eqm 52
Elpolo ip semapeaen Tpie Elcero iq semapeaen Tqie Nota:sir=(polosceros)>1,modificarelpolinomiodelnumeradorparaquer=1,conobjetodeeliminarelretraso.Ejemplo:dados )(sG y )(0 sG obtener )(sC eimplementarlocomocompensadordigitalconlosmtodosvistosanteriormente.
a) Compensadordigitalcondiferenciashaciaadelante,sustituyendo Tzs /)1(
b) Compensadordigitalcondiferenciashaciaatrs,sustituyendo Tzzs /)1(
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eqm 53
c) Compensadordigitalobtenidoporlatransformacinbilineal, )1(/)1(2 zTzs
d) Mapeodepolosceros
SeprobconT=0.1,0.2,0.4,0.6,0.8SiTesgrandea),b)nosonaceptables(T>0.3)LosmejoresresultadosconbilinealOgatasugiereseleccionarlafrecuenciademuestreo1/Taproximadamente10veceselanchodebandadelafuncindetransferenciadelazocerrado.Anchodebanda:frecuenciaalaquelarespuestaenfrecuenciahacado3dBdesdesuvalorenbajafrecuencia.
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eqm 54
13.2PLANTASDIGITALESEQUIVALENTES(discretizacinantesdeldiseo)ConvertidoresD/A
(a) Compensadordigital,(b)retenedordeordencero,(c)retenedordeprimerorden
Plantaanalgica PlantadigitalDiseo:
Problemasalusarplantasdigitalesequivalentes
Dinmicasescondidas Elmuestreopodraintroducirceros
DinmicasescondidasEjemploelmapeodelospolosde 10122 ss
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eqm 55
101s ,si 10/2T
Elmapeo sTez noesunmapeounoaunoSolucin:elegirelperiododemuestreodemodoquelafranjaprimariacubratodoslospolosde
)(sG IntroduccindecerosLarespuestaalescalnunitariode )(ty deunsistemaanalgicoesdelaforma:
Generalmente )(Ty esdiferentedecero.Si )(sG esestrictamentepropia,tambinloes )(zG Elexcesopolocerode )(zG siempreesuno,sinimportarculeselexcesopolocerode )(sG elmuestreointroduce 1r ceros,endonde r eselexcesopolocerode )(sG .Lospolosde )(zG seobtienendelospolosde )(sG con sTez .Conlospolossecalculanloscoeficientes ia yconstosylasmuestrasdelarespuesta )(ty secalculanloscoeficientes ib
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eqm 56
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eqm 57
MTODOSDEDISEO
Lugardelasraces Dominiodelafrecuencia Colocacindepolos Reguladorcuadrticoptimo Respuestadeoscilacionesmuertas(deadbeat) Igualacindemodelo(modelmatching)
MtododellugardelasracesRegindeseadadepolosconbaseentiempodeasentamiento( st ),sobrepasomximo(overshoot)ytiempodelevantamiento( rt )
rt =elmenortiempodemodoque
st =elmenortiempodemodoque
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eqm 58
Tiempodeasentamiento:serequierealospolosdelazocerradoalaizquierdadelalneaquepasapor sta /5.4
Sobrepasomximoesgobernadopor larazndeamortiguamiento oelngulo (enelcasoanalgico).Eltiempodelevantamientoesinversamenteproporcionalaladistanciadelorigen( r )
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eqm 59
Si el periodo de muestreo es pequeo, el resultado ser parecido al obtenido en el casoanalgico,perolaposibilidaddeintroducirerroresnumricossermayor.AlreducirTeldiseoserealizaenunaregincercanaa 1z ,endondelaslneasslidasdelafiguradeabajoestnmsagrupadas.
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eqm 60
13.7DISEODEOSCILACIONESMUERTAS(DEADBEATDESIGN)
Secolocantodoslospolosde )(0 zG enelorigen
Respuestaescalnunitario:
Larespuestatransitoriadesaparecedespusdelinstantedemuestreon
Ejemplo13.7.1Paraelsiguientesistemahalle xkru demodoquesetengantodosloseigenvaloresen 0z
Utilizandoelprocedimientodelaseccin11.4:
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eqm 61
Comprobando: 0)det( 2 zBKAzI
00
1det
1000
1010
00
det 2
zz
zz
z
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eqm 62
CAP.9ELECCINDEFUNCIONESDETRANSFERENCIATOTALES
Si 1)(0 sG ,entonces )()( trty ,sinembargorestriccionesprcticas lohacenengeneralnoimplementable.Funcionesdetransferenciaimplementablesrequieren:
1. Compensadoresconfuncionesdetransferenciapropias2. Sistema resultante propio en lazo cerrado (cada par entrada/salida es propio, well
posed)3. Sistemaresultanteestable4. Todaslastrayectoriasderaypasanporlaplanta(noplantleakage)
Teorema. Considere una planta con funcin de transferencia propia )(/)()( sDsNsG ,entonces )(0 sG esimplementablesi )(0 sG y )(/)()( 0 sGsGsT sonpropiosImplicaciones:
(a) )(deg)(deg)(deg)(deg 00 sNsDsNsD desigualdadexcesopolocero(b) Racespositivasde )(sN debenestaren )(0 sN (c) )(0 sD esHurwitz(racesnegativas)
Ejemplo:
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eqm 63
Siunnmero complejo seasigna comopolo cero, su complejo conjugadodebe serasignado,denoserasloscoeficientesde )(0 sG serancomplejosy )(0 sG nopodraserrealizadoenelmundoreal
Que )(0 sG seaimplantable,nosignificaqueconcualquierconfiguracin
SeguimientoasintticoConsidere:
Con 0n y mn ,paraque:
)(0 sG debeserestable(ningncoeficientefaltanteypositivos),ademspara:
Entradaescaln, atr )( :
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eqm 64
00
Entradarampa, attr )( :00 y 11
Entradafuncinaceleracin, 2)( attr :
00 ; 11 ; 22 Reginpermisibledecancelacionespolocero
Cancelacionespolocerorealmentenocancelanlospolos,stosseocultanenalgunasfuncionesdetransferenciadelazocerrado,peroaparecenenotras(Chen,pg.206).Lascancelacionespoloceroinestablesnosepermiteneneldiseodesistemasdecontrol.CriteriosdediseoIAE=integraldelerrorabsoluto:
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eqm 65
ISE=integraldelerroralcuadrado:
ITAE=integraldeltiempomultiplicadoporelerrorabsoluto
Adems:
9.4INDICESDEDESEMPEOCUADRTICOS
0q ; 1)( tr Adems(sindemostracin):
)(0 sD seobtienedelafactorizacinespectral:
Lasracesde )(sQ sonsimtricasconrespectoalejereal,alejeimaginarioyalorigen
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eqm 66
Ejemplo9.4.1
Solucin:
is 70711.05811.1
31623.3)70711.05811.1)(70711.05811.1()( 20 ssisissD
ConMatlab:>>Q=[10409];>>r=roots(Q);>>poly([r(1)r(2)])
)(0 sG esimplementable.
SeleccindeqSienejemploanterior 3)( tu paratodo 0t ysabemosquelamagnitudmayorde )(tu ocurreen 0t Suponemos 100q
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eqm 67
is 24495.2
38990.4)24495.2)(24495.2()( 20 ssisissD
Aplicandoelteoremadelvalorinicial:
Seproponeotraq ,porejemplo 8.0)0(64.0 uq Con 3)0(9 uq
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eqm 68
9.6SISTEMASPTIMOSITAE
SistemaptimoITAEconerrordeposicincero
SistemaptimoITAEconerrordevelocidadcero
SistemaptimoITAEconerrordeaceleracincero
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eqm 69
Losdenominadoresde los sistemasptimos ITAE fueronencontradospor simulaciny seencuentranentablasconunparmetroaelegir 0 parasatisfacerlarestriccinconlasealdecontrol.Ejemplo9.6.1
EncuentreunsistemaconerrordeposicinceroqueminimiceelITAE.Solucin:delatabla9.1
Implementable:S
Porsimulacinseencuentraquelamagnitudmayorde )(tu ocurreen 0t ,porloqueutilizamoselteoremadelvalorinicial:
Paraque 33)( 20 tu
Si en el ejemplo anterior se quisiera tambin error de velocidad cero, de la tabla 9.2(ejemplo9.6.2)
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eqm 70
Implementable:No(desigualdadexcesopolocero)Seleccionandodelatabla9.2lafuncindetransferenciadegrado3
Procediendocomoenelejemploanterior: 320 paraque 3)( tu
Elrequerimientoadicionaldevelocidadcerohacequelarespuestaalescalnseamsoscilatoria.
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eqm 71
CAP.10IMPLEMENTACINMTODOALGEBRAICOLINEALDados )(sG y )(0 sG (implementable), encontrar la configuracin de retroalimentacin demodoquetodaslastrayectoriasde r a y pasenporlaplanta(noplantleakage)Configuraciones:
Retroalimentacinunitaria Dedosparmetros Retroalimentacindelaentradaysalidadelaplanta
Requerimiento: )(sD y )(sN soncoprimos(notienenfactorescomunes)10.2CONFIGURACINDERETROALIMENTACINUNITARIA(IGUALACINDEMODELO)
Ejemplo10.2.1
Delejemplo9.6.1
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eqm 72
Compensador:propioCancelacinpolocero: )2( s aceptableEn general si )(sG tiene polos positivos o dos ms polos en 0s , la configuracin deretroalimentacinunitarianopuedeserutilizadaenIgualacindemodelo.10.3CONFIGURACINDERETROALIMENTACINUNITARIA(COLOCACINDEPOLOS)Considere: )(
)()(;)()()(;
)()()(
0
00 sD
sNsGsAsBsC
sDsNsG
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eqm 73
LacolocacindepolosequivalearesolverlaecuacinDiofantina:
mnsD )(deg 0
Igualando los coeficientesde lamismapotenciaen s de laecuacinDiofantina seobtienen
1mn ecuaciones:
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eqm 74
))1(2(x)1(][ mmnmS
Setieneunasolucinsilamatriz mS tieneunrangodefilacompleto:
Elgradodelcompensadordebeser 1n mayor,si nm lasolucinnoesnicaEjemplo10.3.2
2n , 11 nm
Sedeseanlospolosen: is 2,3
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eqm 75
Siseaplicaunescalnunitarioalaentrada: 7556.245/124)( tys Paraseguimientoasinttico 0)( tys
124/45k
Robustez. Si la funcin de transferencia cambiara debido a cambios de carga, desgaste,perturbacionesexternas,etc.,porejemplo:
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eqm 76
Funcindetransferenciatotal:
Aplicandounescalnunitario:
No sigue al escaln, la solucin es redisear el sistema incrementando el grado delcompensadorenuno.
Sedeseanlospolosen: is 2,3,3
Siseeliminala1columnalamatrizresultantedeorden5tienerangocompleto.
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eqm 77
Si 00 A elcompensadortieneunpoloen 0s yesdeltipo1(erroranteescalonesigualacero,pg.194)Resolviendo:
Silafuncindetransferenciacambiaracomoenelejemploanterior:
)(0 sG esestabley 0)( tys anteentradasescaln.Lapropiedaddeseguimientodeeste
diseoesrobusta.10.4COMPENSADORESDEDOSPARMETROSEnlaretroalimentacinunitaria
Seaplicaelmismocompensadoralareferenciayalasalida,seramejor:
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eqm 78
)(1 sC =compensadorprealimentado)(2 sC =compensadorretroalimentado
Seasume: )()()( 21 sAsAsA Para evitar cancelacionespolocero inestables, en la implementacin seutilizar la siguienteconfiguracin:
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eqm 79
Procedimientoparaigualacindemodelo
Paso1.Calcule:
)(),( sDsN pp =coprimos
Paso2. IntroduzcaunpolinomioHurtwitzarbitrario )(sDp paraqueelgradode )(sDD pp sea almenos 12 n (para hacer propio al compensador). )(sDp se elimina en el diseo(racesreginaceptable).Paso3.
Alresolverestaltimaecuacin(Diofantina)ylaanteriorseobtienenloscompensadores.Ejemplo10.4.2
Implemente )(0 sG usandolaconfiguracindedosparmetros.
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eqm 80
Paso1.
Paso2.
1)(deg122)(deg sDnsD pp Arbitrariamente: 3)(deg ssDp Paso3.
Resolviendo:
7.13,1,30,3 1100 MAMA
103
)3(10)(1
sssC
3307.13)(2
sssC
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eqm 81
10.6CONFIGURACINDERETROALIMENTACINENTRADA/SALIDADELAPLANTA
Solosediscutirelcasodonde:
Porloqueeldiagramasimplificadoes:
Elprocedimientoessimilaraldedosparmetros,lasecuacionesresultantesdelpaso3son:
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eqm 82
RearreglandoparaobtenerlaecuacinDiofantina:
Ejemplo10.6.1
Implemente )(0 sG usandolaconfiguracinderetroalimentacinE/SdelaplantaPaso1.
Paso2.
1)(deg10)(deg sAnsN sp Arbitrariamente: 3)(deg ssA Paso3.
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eqm 83
Resolviendo:
7.13,9,30,27 1100 MLML
109
)3(10279
)()()(1
ss
sAsLsC
)3(10307.13
)()()(2
ss
sAsMsC
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eqm 84
CAP.14CONTROLADORESPID
iT =tiempointegraldT =tiempoderivativo
ReglasdeZieglerNichols(lazocerrado).Utilizalarespuestaalescalnconcontrolproporcionalenellmitedelaestabilidad, up KK .
uK =ganancialtimauT =periodoltimo
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eqm 85
Mtododelazoabierto.Semidelarespuestaescalnunitariodelaplantasincerrarellazo,seasumequelarespuestaescomolamostradaenlafigura:
Larespuestaseaproximaaladelsistema:
LasreglasdeZieglerNicholslazoabiertoquedan:
Lafuncindetransferenciadelcontrolderivativoes skd ,staesunafuncindetransferenciaimpropiadifcildeimplementar,enlaprcticaseconstruyecomo:
Nvarade3a10ylimitaelruidodealtafrecuencia.
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eqm 86
14.4CONTROLADORESPIDDIGITALES
Usandodiferenciashaciaadelanteparaelintegradoryeldiferenciador
Usando aproximacin trapezoidal para el integrador y diferencias hacia atrs para eldiferenciador
ParahacerpropialafuncindetransferenciadeuncontroladorPID:
Un controlador PID comnmente utilizado es el que usa diferencias hacia adelante para elintegradorydiferenciashaciaatrsparaeldiferenciador:
EneldiagramasiguientesepresentaelcontroladorPIDqueestenformadevelocidad,enelcuallaintegracinactasobreelerrorylasaccionesproporcionalyderivativaactansoloenlasalidadelaplanta
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eqm 87
Si el periodo demuestreo es pequeo, losmtodos de sintonizacin analgicos se puedenutilizarparasintonizarcontroladoresPIDdigitales.