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1Implementacin de una metodologa pedaggi-ca constructivista
diseando un software para
algebra linealImplementing a constructivist teaching
metho-dology to design a software for linear algebra.
Jorge E. Saldarriaga Henao, Henry Mauricio Vsquez C.Instituto
Tecnolgico Metropolitano,
[email protected] Tecnolgico Metropolitano,
[email protected]
Resumen:
El presente artculo desarrolla parte deun proyecto que
sistematiza una pro-puesta para la aplicacin del mtododidctico de
corte constructivista y depensamiento de sistemas, facilitandoel
desarrollo de la inferencia como par-te fundamental para
incrementar elnivel de aplicacin que un egresado deingeniera pueda
hacer del algebralineal y aunque la instrumentalizacindel proyecto
se da mediante el anlisisalgebraico de la cinemtica directa deun
manipulador con tres grados delibertad, desarrollado los
algoritmosnumricos en Matlab como leguaje desimulacin y todas las
nubes de puntosen coordenadas cartesianas con So-lidWork para
formar el entorno grfico,por lo extenso del tema se desarrolla,en
el presente artculo, nicamente laparte correspondiente a la
traslacinpara la cinemtica directa, quedandocomo temas pendientes
la rotacin en
lo relacionado con la cinemtica dire-cta.Consecuente con lo
anterior se esta-blece como base matemtica el algebralineal para la
traslacin de los enlacesexpresada en forma matricial, cadapaso
quedar representado por unconjunto de matrices que determinarnel
punto o conjunto de puntos.
Palabras claves:Sistematiza, Constructivista,
Inferencia,Conocimiento, Instrumentaliza, nubesde puntos
ABSTRACT
This paper develops part of a projectthat articulates a proposal
for the im-plementation of a constructivist teach-ing method and
systems thinking, facili-tating the development of inference asa
fundamental part to increase the levelof enforcement that an
engineeringgraduate can make the linear algebra
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2Although the manipulation of the projectis given by the
algebraic analysis of thekinematics of a manipulator with
threedegrees of freedom, the numerical al-gorithms developed in
Matlab and Cus-tom Language simulation and all theclouds of points
in Cartesian coordi-nates with SolidWork to form the graph-ical
environment, so long the theme isdeveloped in this article, only
the part ofthe translation for the forward kinemat-ics, outstanding
issues remaining asthe rotation to the forward
kinematics.Consistent with the above lays down aslinear algebra
mathematical basis forthe transfer of bond, expressed in ma-trix
form, each step will be representedby a set of matrices that
determine thepoint or set of points.
Keywords:Systematized, Constructivist, Inference,Knowledge,
instrumentalized, pointclouds
Introduccin:
El proyecto es una propuesta para laaplicacin del modelo de
corte cons-tructivista y de pensamiento de siste-mas en la
asignatura de algebra linealpara estudiantes y docentes de
inge-niera de sistemas, aunque de hechopueden confluir otras
ingenieras queestn relacionadas en sus planes deestudio con sta
rea, ya que en cual-quier caso busca fortalecer el limitadonivel de
aplicacin por parte de estu-diantes de ingeniera en el desarrollo
deaplicaciones que utilicen el algebralineal.
En la praxis el trabajo consistir en elanlisis algebraico de la
cinemticadirecta del desarrollo de una simula-cin de un manipulador
con tres gra-dos de libertad donde se aprecie cla-ramente la
importancia del algebra li-neal como el componente matemticoque
debe llevar un aplicativo de stetipo, y, aunque se realizar para
unaaplicacin en Windows, no se descartala posibilidad de que en un
futuro seincremente su funcionalidad con aspec-tos como anlisis
algebraico de la ci-nemtica inversa, dinmica de un ma-nipulador e
incluso programacin demicro controladores, detectores deimgenes
etc., y se pueda subir a laweb con lo que se convertira en
unapropuesta de laboratorio virtual,En todo caso la pretensin de
estapropuesta es el llegar al mayor nmerode personas y sujetos
dispuestos ahacer comunidad que aprenda aaprender haciendo.
1. METODOLOGIA
El desarrollo de habilidades lgico-matemticas es un objeto de
estudio,en s mismo, por parte de diferentesdisciplinas como: la
educacin, lapsicologa, la ingeniera, lasmatemticas, entre otras,
sin embargo,no se puede sealar una nica formametodolgica de
lograrlo, en esesentido, un trabajo investigativo de estecorte
apunta a sistematizar unapropuesta de formacin que facilite ellogro
de aprendizajes y habilidadeslgico matemticas a partir
demetodologas lgicas de orientacinconstructivista y pensamientos
desistemas apoyadas en dispositivostecnolgicas y simulaciones que
dencomo resultado la inferencia de leyes .
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3De acuerdo a la anterior se hace ne-cesaria la descripcin,
aunque sea enforma bsica de los conceptos pe-daggicos
enunciados.
1.1 Conceptos pedaggicos
1.1.1. Pensamiento de sistemasEl pensamiento de sistemas est
inte-grado fundamentalmente por doscomponentes: el Pensamiento de
Sis-temas o Pensamiento Sistmico (P.S.)y la Dinmica de Sistemas
(D.S.) comometodologa gua para la explicacin yrepresentacin de la
estructura y din-mica de los objetos de estudio,
respec-tivamente.1.1.2. Enfoque pedaggico construc-
tivistaEnfoque Pedaggico Constructivista(E.P.C.), con su teora
del aprendizajeverbal significativo propuesta por DavidPaul
Ausubel, la cual supone una con-tundente defensa del aprendizaje
signi-ficativo por recepcin y, por tanto, delos mtodos de
exposicin, tanto oralcomo escrita en contraposicin a lastcnicas
puramente verbales con alum-nos cognitivamente inmaduros y
lapresentacin arbitraria de hechos norelacionados, sin ninguna
organizacino principios explicatorios con lo que seadquirira
aprendizajes nicamenterepetitivos y transitorios. En lugar de
lapresentacin de las ideas bsicas unifi-cadoras de una disciplina
antes de laenunciacin de los conceptos msperifricos. La observacin
y cumpli-miento de las limitaciones generalessobre el desarrollo
cognitivo de los su-jetos. La utilizacin de definiciones cla-ras o
precisas y la explicitacin de lassimilitudes y diferencias entre
concep-tos relacionados, y, finalmente los or-ganizadores previos
en su funcin de
puente entre los conocimientos propiosy los conocimientos
esperados.
1.1.3. Metodologa
De acuerdo con lo anterior, el trabajotendr tres momentos:
fundamentacinterica, prctica del proceso y lainstrumentalizar con
recursosdidcticos y tecnolgicos.En este orden de ideas
lainstrumentalizacin consistir enmostrar a travs de una simulacin
deun robot el uso indispensable delalgebra lineal para su
adecuadofuncionamiento.Lo anterior conllevara a la necesidadde
construir herramientas adecuadaspara instrumentalizar
esteplanteamiento e idear alternativas paraintroducir el
Pensamiento Sistmico1como componente gua y objetivo delproceso
educativo mismo.Con la exposicin de la forman en queinterviene el
algebra lineal en lasimulacin de un robot, se buscaestablecer un
medio para elsurgimiento de ideas que conlleven asu adecuada
comprensin ymanipulacin.Para el desarrollo de este trabajo
seutilizar las matrices de transformacino de Denavit-hartenberg (
DH):
1 El pensamiento sistmico es la actividadrealizada por la mente
con el fin de com-prender el funcionamiento de un sistema yresolver
el problema que presenten suspropiedades emergentes.
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4
1X131
3X133 WP
X
XFRT
EscaladoaPerspectivTraslacionRotacion ,
En lugar de una matriz 33XA , por lassiguientes razones:
En primer lugar para la aplicacin delas matrices DH, no se
requiere que seposea una formacin especfica en in-geniera o
matemticas, ya que stasestn planteadas para que ser interpre-tadas
conceptualmente por profesiona-les de diferentes reas ya que
puedenser obtenidas en forma geomtrica utili-zando la ecuacin iiii
da ,,, 11 , conla cual se obtiene una sucesin derotaciones y
traslaciones que permi-tan relacionar el sistema de referen-cia del
elemento i con el sistema delelemento 1i , donde:La rotacin
alrededor del eje 1iz unngulo i .La traslacin a lo largo de 1iz
unadistancia di; vector di (0, 0, id ).La traslacin a lo largo de
ix una dis-tancia ia ; vector ia (0, 0, ia ).La rotacin alrededor
del eje ix , unngulo ia .Obtenindose las matrices detransformacin
homognea DH paracada elemento en forma general Ti i1 .
10001-i1-i1-iSiC1-iSiS1-iS-1-iS-1-i1-iS
1-i0S-
1
idCCidCiCCi
iiC
Ti i
En segundo lugar como lo que serequiere es mostrar la traslacin
y rota-cin de un punto o un conjunto de pun-tos en el espacio, para
esto se ajustaperfectamente las matrices DH.En cuanto a una matriz
33XA no pre-senta ninguna posibilidad para rotacino el
desplazamiento simultneamente,aunque posee una ventaja
computa-cionalmente, menor cantidad operacio-nes para obtener el
mismo resultado
2. RESULTADOS
Como respuesta a la fase terica setendr un incremento de la
habilidadinferencial para el uso del algebra line-en aplicaciones
de robtica desarrolla-das bajo un esquema de corte cons-tructivista
en la cual se aprecie clara-mente la interactuacin del sujeto conel
objeto de conocimiento y el entorno.En la fase prctica se tendr la
repre-sentacin grfica de los algoritmos yecuaciones cinemticas del
algebralineal para la elaboracin de un mani-pulador mecnico.Para la
fase de instrumentalizacin seproducir una simulacin con algorit-mos
matemticos en matlab y entornografico en Soliwork
2.1 TRASLACIN
La traslacin consiste en mover unpunto referenciado con la
coordenada
),,( zyxp al punto )',','(' xyxp , paraesto se utiliza la matriz
de traslacin:
(2)
(1)
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5
1000zd100yd010xd001
T
Si el problema consiste tener un puntode referencia de partida y
un punto dereferencia de llegada para lo cual setendra dos
posibilidades:Que el punto este en origen de coor-denadas ),,(
zyx
1000xd100yd010xd001
Figura 1a: Matriz de traslacin con co-ordenadas en el punto ),,(
zyx
En ambos casos se requiere efectuarla premultiplicacin de la
matriz detraslacin por el vector con las coorde-nadas del punto que
se va a trasladarLa forma generala es:
1
xdfydfxd
f
1000ixd100iyd010
xd001 i
1
yx
z
Xrizar la mat para acoparametro "Z"e el ejeiable sobrona
traslaciExpresa l"Y"e el ejeiable sobrona traslaciExpresa l "X"e el
ejeiable sobrona traslaciExpresa l
44mod:1.var:zd.var:yd.var:xd
Para el caso en que el punto est en elorigen de coordenadas
)0,0,0( , se tie-ne
1. Si la traslacin se realizara ni-camente en la coordenada
x
del plano, la matriz a utilizarquedara as:
100001000010xd001
100xd
constantespermanecenejesotroslyplano,delx""ejeelsobrenicamente
efectasen traslacilaqueindicaxd
En forma anloga se realizaran loscaso del eje Y o Z, se
tendra
3. OBJETOS A TRASLADARLos objetas a trasladar en el
espaciopueden ser puntos, vectores, marcos ocubos u objetos3.1.1
TRASLACION DE UN PUNTOPara trasladar un punto del origen
decoordenadas (0, 0, 0) a la coordenada(0, 0, 25), figura 2a y 2b,
se efecta lasiguiente operacin con el algebralineal.Posicin inicial
Posicin final trasla-
cin 25u en Z
1000
1000
10002510000100001
=
12500
Figura 2a: Ma-triz de trasla-cin con coor-denadas de unpunto en
elorigen.(0,0,0)
Figura 2b: Matriz detraslacin con coor-denadas en el punto(0, 0,
25)
Luego sobre esepunto final (0, 0,25) se aplica un
Finamente sobreese sobre puntofinal (0, 25, 25)
0 1020 30
40 50
0102030
405001020304050
0 1020 30
40 50
0102030
405001020304050 (4)
(4)
(3)
(5)
-
6desplazamiento de25u sobre Y, ob-tenindose el pun-to (0, 25,
25), figu-ra 3a.
se aplica undesplazamientode 25u sobre X,obtenindose elpunto(25,
25, 25),figura 3b.
10002510000100001
10250
125250
100025100250100001
10025
1252525
Figura 2a:Traslacin de unacoordenada en Z auna en Y
Figura 2b:Traslacin deuna coordenadaen Y a una en X
En forma similar se le pueden aplicarmltiples desplazamiento a
dicho pun-to, de tal forma que se podra conside-rar como una
conclusin inmediata lasiguiente frmula:
]][[][ if PTP (6)Lo que facilitaria establecer, bajo unleguanje
de programacion como Matlaby realizando los desplazamientos enforma
consecutiva en pequeos espa-cios de tiempo una grafica continuacomo
la representada en la figura 3 :
Figura 3
Por otra parte las tres operaciones an-teriores se pueden
simplificar en unsolo paso de la siguiente forma:
1000251002501025001
1000
1252525
Dando como resultado la figura 4 a.
Figura 4a
Y realizando los desplazamientos en formaconsecutiva en pequeos
espacios detiempo dara la figurara 4 b
Figura 4b
3.1.2 TRASLACION DE UN VECTOREn el caso en que la traslacin a
reali-zar sea la de un vector, se tiene queproceder con la
traslacin de dos pun-tos simultneamente, uno en cada ex-tremo del
vector. Caso en el cual elprocedimiento tiene mucha similitud
alutilizado para trasladar un solo punto,toda vez que de lo que se
trata es deaplicar la matriz de traslacin al puntoinicial y final
del vector.
0 1020 30
40 50
0102030
405001020304050
0 1020 30
40 50
0102030
405001020304050
0 1020 30
40 50
010
2030
405001020304050
0 1020 30
40 50
010
2030
405001020304050
0 1020 30
40 50
010
2030
40500
10
20
30
40
50
-
7Y realizando los desplazamientos en formaconsecutiva en pequeos
espacios detiempo dara la figura5
Figura 5
3.1.3 TRASLACIN DE UN MARCOPara este tipo de traslacin se
utilizauna algebra lineal similar a la utilizadapara la traslacin
de un vector, peroaplicada sobre los tres vectores de unsistema
ortonormalesEjemplo: Trasladar un marco compues-to por los vectores
(15, 1, 1), (1, 15,1),(1, 1, 15), y el vector de posicin(5,5,5) de
la posicin 1,1,1 a la posi-cin.
El algebra lineal para cada uno de los vec-tores es:
Vector en X
10001100101015001
1001
11016
Vector en Y
10001100150101001
1010
11160
Vector en Z
10002410010101001
1100
125015
Vector dePosicin
1000110010101001
1555
1109
Figura 7
3.1.4 TRASLACIN DE UN OBJETO ENEL ESPACIO
El razonamiento inicial para la trasla-cin de un objeto
tridimensional en elespacio consistira en determinar enprimer lugar
la distancia que se requie-re trasladar dicho objeto, luego
debeproceder con la traslacin de todos lospuntos que conforman el
contorno de lafigura. Dicho de otra manera, se requie-re trasladar
la nube de puntos que con-formen la figura, para lo cual se
utilizala ecuacin (6), con la siguiente adap-tacin
0 1020 30
40 50
010
2030
40500
10
20
30
40
500 10
20 3040 50
010
2030
40500
10
20
30
40
50
Traslacin de un vector con punto inicialen el z=1 y punto final
en X=15. Se tras-lada 25u sobre Z, El algebra lineal utiliza-da es
similar al caso anterior
10002410000100001
11015
125015
Posicin Inicial Posicin final
Figura 6a Figura 6b0 10
20 3040 50
010
2030
40500
10
20
30
40
50
0 1020 30
40 50
010
2030
40500
10
20
30
40
50
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8En la figura 8 se efecta la traslacinde un cubo desde la
posicin (0, 0, 0),hasta la posicin (0, 0, 50)
Figura 8a Figura 8b
En la figura 9 se efecta la traslacinde un cubo desde la posicin
(0, 0, 0),hasta la posicin (-200, 400, -200)
Figura 9a Figura 9b
4. DISCUSIN
El limitado nivel de aplicacin del alge-bra lineal por parte de
algunos estu-diantes de ingeniera de sistema en eldesarrollo de
aplicaciones de robticapara dar soluciones a problemas coti-dianos
puede deberse a la falta de si-tuaciones que seduzcan su
capacidadinterpretativa, argumentativa y proposi-tiva lo cual
genera como resultadoapata hacia sta asignatura, aunquedicha
situacin puede ser superada apartir de aplicaciones en forma de
si-mulaciones en las que se resalte es-pecficamente la aplicacin y
el alcanceque posee el algebra como base fun-damental para
cualquier diseo derobtica; el desarrollo de dichas simu-
laciones sera a travs de un procedi-miento de dinmica de
sistemas, en elcual su potencial didctico radica en eluso de
herramientas de modelado ma-temtico las cuales sirven para,
entreotros aspectos, recrear las formas depensamiento y por ende
hacer practicolos conceptos tericos con sus diferen-tes grados de
complejidad y en habilitarun ambiente de investigacin.De lo cual se
entiende que la dinmicade sistemas (DS) es una metodologatil para
la representacin estructural yexplicitara del porqu y el cmo
delcomportamiento dinmico de los fen-menos observados u objetos de
estudiolo cual es complementado directamentepor el pensamiento
sistmico(PS) que,para este caso habilita al sujeto de es-tudio para
acceder a la inferencia co-mo el proceso mediante el cual
incor-pora informacin nueva a partir de laseleccin y reorganizacin
de los con-tenidos adquiridos previamente y enforma particular,
para este caso, el de-sarrollo de manipuladores robticosdesde sus
concepcin hasta su mani-pulacin y su interrelacin con el espa-cio
tridimensional a travs de la repre-sentacin algebraicaY como
elemento enlazador de todo loanterior se propone una
metodologapedaggica constructivista que aportar-a aspectos como est
centrado en lapersona, en sus experiencias previasde las que
realiza nuevas construccio-nes mentales, considera que la
cons-truccin se produce:
a. Cuando el sujeto interactacon el objeto del
conocimien-to(Piget)
b. Cuando esto lo realiza en in-teraccin con otros
(Vigotsky)
c. Cuando es significativo parael sujeto(Ausubel
El mtodo propuesto emplea tres ac-ciones bien definidas:
teorizacin,prctica e inferencia de los objetos deestudio. El primer
punto est relaciona-do con aspectos propios de la capaci-dad que
tengan los estudiantes de for-
(7)
-
9mular hiptesis y argumentar tesis enforma interrelacionada con
otros miem-bros del grupo; el segundo se refiere ala capacidad y
disciplina que tenganun investigador para probar de diferen-tes
formas (ensayo error, como un pro-ceso del mtodo cientfico) la
validacinde algn tema de conocimiento. Elobjetivo principal es la
obtencin deresultados a travs de la puesta encomn y la puesta a
prueba de un ob-jeto de conocimiento a nivel social.
5. COCLUSIONES
La Implementacin de una metodo-loga pedaggica constructivista
enla aplicacin del algebra linealfacilita la participacin en
formacomprensiva en esta asignaturacon la solucin de problemas de
lavida cotidiana por su carcter in-tegrador y orientador hacia la
edu-cacin.
La Implementacin del pensamien-to sistmico en la aplicacin
delalgebra lineal facilita la inferenciacomo proceso fundamental
con re-presentacin de situaciones con-cretas en forma de
simulaciones.
La Implementacin de la dinmicade sistemas en la aplicacin
delalgebra lineal facilita la inferenciacomo proceso fundamental al
es-tablear la correcta relacin entrelas partes que contiene la
solucinpropuesta
6. BIBLIOGRAFIA
[1] Carretero, Mario." Constructivismo y edu-cacin". Zaragoza:
Edelvives. 1993.[2] Bianchi, Ariel Edgardo." Del aprendizaje a
lacreatividad : aprender, resolver, decidir, crear".Buenos Aires .
Braga, 1990.[3] Bruner, J." Accin pensamiento y lenguaje.Alianza
Editorial. Madrid, 1994.
[4] Vygostky, L. S." El desarrollo de los proce-sos psicolgicos
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