Construction optimale d'un financement personnel immobilier · 1.2 La convention de calcul ... 3.2 Cas du différé d’amortissement et du différé total ... Evolution des volumes

Construction optimale d'un financement

personnel immobilier

David LE BRUN 2007

Mémoire présenté en vue de l’obtention du titre d’Actuaire

EURO-INSTITUT D’ACTUARIAT JEAN DIEUDONNE - EURIA

Mémoire d’actuariat – EURIA 2007 -2-

Remerciements Je tiens, tout d'abord, à remercier Monsieur Herve Le Borgne, Directeur de l'EURIA pour m'avoir fait profiter de son expérience bancaire ainsi que pour m'avoir soufflé de nombreux axes pertinents de réflexion. J’aimerais exprimer toute ma gratitude à Monsieur Frédéric Gardi pour avoir été si généreux et disponible dans ses explications mathématiques et informatiques. Un grand merci à Monsieur Didier Rochette, contrôleur à l’ACAM, pour m’avoir fait profiter de son ineffable culture actuarielle. Je remercie également mes collègues de la SOCIETE GENERALE qui ont tous su m’aider à différents niveaux. Enfin, je remercie mes proches pour leur soutien quotidien et leurs encouragements.


Résumé

Les hirondelles ne font pas le printemps sur le marché de l'immobilier français et si, aujourd'hui encore, les aruspices sont légion, bien peu d'entre eux parviennent à accorder leurs augures. Ce climat d'incertitude est bien loin de décourager les politiques agressives bancaires sur le marché des prêts immobiliers, ce type de crédit constituant la pierre angulaire de la stratégie des banques de détail en matière de recrutement de clientèle. Acculé par la conjoncture, le chaland se fait de plus en plus exigeant et l'offre bancaire doit battre des records d'attractivité pour contrer une évolution de marché préjudiciable à tous.

Cependant, les techniques actuarielles utilisées jusqu'à maintenant restent basiques, voire

archaïques, et aboutissent systématiquement à des rallongements de durée d'endettement. Aussi, nous pensons que les techniques pointues d'optimisation utilisées dans d'autres secteurs, tels que les marchés financiers, pourraient s'avérer très utiles pour les banques de détail et leur clientèle. Dans ce mémoire, nous nous attacherons à imaginer et à construire des modes de financement immobilier novateurs en capitalisant le savoir actuariel existant dans l'industrie bancaire et sur les marchés financiers. Pour ce faire, nous utiliserons un ensemble de techniques permettant de personnaliser le profil d'amortissement selon les capacités propres de remboursement de l'emprunteur tout en minimisant le coût du financement. La faisabilité de tels produits sera étudiée grâce à des modèles de refinancement ad hoc. Mots clés du mémoire : Marché de l’immobilier, techniques bancaires, mesures du coût, programmation linéaire en nombres entiers, courbe des taux, refinancement, produits dérivés des taux d'intérêt. Abstract

Predicting the future of the French real-estate market seems impossible. However, banks carry on in a development of an aggressive policy on the market of the home loans. In order to conquer larger customers, retail banking creates better products to improve its sales.

However, the actuarial techniques used so far remain basic, even archaic, and end

systematically in extensions of duration of debt. So, we think that the sharp techniques of optimization used in the other areas, such as financial markets, could be very useful for retail banks and their customers. In this report, we shall attempt to imagine and to build innovative loan by capitalizing the actuarial knowledge existing in the banking industry and on financial markets. To this end, we shall use a set of techniques allowing to personalize the profile of amortization according to the capacities of repayment of the borrower while minimizing the financing cost. The feasibility of such products will be studied thanks to models of funding. Key words of the report : Real-estate market, banking techniques, cost measures, integer linear programming, yield curve, funding, interest rate derivatives.


TABLE DES MATIERES

INTRODUCTION.................................................................................................................... 6

PARTIE 1 : LE MARCHE DU PRET A L’HABITAT ........................................................ 7

1 FACTEURS DE LA HAUSSE DES PRIX DE L’IMMOBILIER .......................................................... 8 1.1 La démographie............................................................................................................ 8 1.2 La baisse des taux d’intérêts ........................................................................................ 9 1.3 La fiscalité avantageuse ............................................................................................. 10 1.4 Le facteur psychologique ........................................................................................... 10

2. COUT DU RISQUE ET NOUVELLES TENDANCES ................................................................... 11 2.1 Le coût du risque ........................................................................................................ 11 2.2 Le profil de risques..................................................................................................... 12 2.3 Explication de cette dualité ........................................................................................ 13

3 PERSPECTIVES D’EVOLUTION DU MARCHE.......................................................................... 13 3.1 L’impact de la hausse récente des taux d’intérêts ..................................................... 13 3.2 L’impact d’un éventuel retournement des prix .......................................................... 14

4 LES DIFFERENTS TYPES DE PRETS A L’HABITAT .................................................................. 14 4.1 Les prêts conventionnés ............................................................................................. 14 4.2 Les prêts du secteur libre ........................................................................................... 15 4.3 Les frais inhérents à ces prêts .................................................................................... 16

PARTIE 2 : CONSTRUCTION TECHNIQUE D’UN PLAN DE FINANCEMENT

IMMOBILIER........................................................................................................................ 18

1 CALCUL D’INTERETS .......................................................................................................... 19 1.1 La période .................................................................................................................. 19 1.2 La convention de calcul.............................................................................................. 19

2 NOTION D’ACTUALISATION ................................................................................................ 21 2.1 La capitalisation......................................................................................................... 21 2.2 L’actualisation ........................................................................................................... 21

3 CALCUL DES CHARGES D’UN PRET...................................................................................... 22 3.1 Cas de la charge constante et de l’amortissement constant ...................................... 23 3.2 Cas du différé d’amortissement et du différé total ..................................................... 24 3.3 Cas du prêt à paliers .................................................................................................. 25 3.4 Autres cas ................................................................................................................... 26 3.5 Ajout d’un nouveau prêt à un plan de financement ................................................... 27

4 TABLEAU D’AMORTISSEMENT : DEROULEMENT PRATIQUE ................................................. 28 4.1 Algorithme de déroulement d’un tableau d’amortissement théorique....................... 28 4.2 Les arrondis................................................................................................................ 29 4.3 Etude de l’ajustement du prêt à charges constantes .................................................. 30

PARTIE 3 : MESURES DU CREDIT ET OPTIMISATION BANCAIRE...................... 32

1 LE TAUX EFFECTIF GLOBAL............................................................................................... 33 1.1 Taux de rendement actuariel...................................................................................... 34 1.2 Calcul du T.E.G.......................................................................................................... 34 1.3 Cas les plus fréquents................................................................................................. 36 1.4 Compléments mathématiques..................................................................................... 36 1.5 Critiques et extension ................................................................................................. 40

2 LE COUT TOTAL DU PRET .................................................................................................... 42


2.1 Différence entre le T.E.G. et le coût total .................................................................. 42 2.2 Bijection entre le taux actuariel et le coût total ......................................................... 43

3 OPTIMISATION LIEE A UN ARBITRAGE DE LA GRILLE DES TAUX .......................................... 45 3.1 Arbitrage d’une grille de taux client .......................................................................... 45 3.2 Optimisation par programmation linéaire en nombres entiers ................................. 47 3.3 Optimisation par raisonnement actuariel .................................................................. 54

4 ELARGISSEMENT DE L’OFFRE BANCAIRE ............................................................................ 60 4.2 Prêts à taux indexés.................................................................................................... 61 4.3 Prêts personnalisés .................................................................................................... 63

PARTIE 4 : ETUDE ACTUARIELLE DU REFINANCEMENT..................................... 69

1 MODELE DE REFINANCEMENT EN TERME DE GESTION ACTIF/PASSIF ................................... 70 1.1 Mission de la gestion actif/passif ............................................................................... 70 1.2 Rôle du taux de cession interne.................................................................................. 71 1.3 Les marchés de taux d’intérêt .................................................................................... 73

2 VALORISATION DE PRODUITS DERIVES DE TAUX................................................................. 77 2.1 Dynamique des zéro-coupons et mesure risque neutre.............................................. 78 2.2 Courbe de taux forward et mesure forward neutre.................................................... 79 2.3 Application au taux Euribor forward......................................................................... 80 2.4 Pricing des dérivés de taux ........................................................................................ 81

3 CONSTRUCTION D’UNE COURBE DE TAUX DE REFINANCEMENT .......................................... 85 3.1 Extraction des prix et des taux zéro-coupons............................................................. 86 3.2 Taux de refinancement d’un prêt à taux fixe.............................................................. 88 3.3 Taux de refinancement d’un prêt à taux variable ...................................................... 89 3.4 Taux de refinancement des autres prêts..................................................................... 92

4 REFLEXIONS ET PERSPECTIVES ........................................................................................... 95 4.1 L’option de remboursement anticipé.......................................................................... 95 4.2 Evolutions souhaitables du prêt Epargne-Logement ................................................. 96 4.3 Vers une harmonisation européenne du crédit à l’habitat......................................... 99

CONCLUSION..................................................................................................................... 101

ANNEXES............................................................................................................................. 103

BIBLIOGRAPHIE............................................................................................................... 122


Introduction

Nonobstant les difficultés actuelles d’accès à la propriété, les banques restent très soucieuses de la qualité de leur offre en matière de financement immobilier. Il est, en effet, notoirement reconnu que le recrutement de la clientèle, en banque de détail, passe très souvent par l’octroi d’un crédit immobilier et les institutions bancaires, volens nolens, se doivent de proposer au marché des produits optimaux en l’espèce.

Les montants de financement de biens immobiliers ont atteint un niveau extrêmement haut, si ce n’est paroxystique. Aussi, les prêts réglementés ne suffisent plus à couvrir ces besoins et doivent en général être complétés par des prêts soumis à la concurrence. A l’heure actuelle, la solution offerte grâce à ces montages se traduit systématiquement par l’allongement de la durée de remboursement. Cependant, la problématique étant clairement identifiée dans les établissements bancaires, la volonté de ralentir cet allongement est bien palpable.

Ainsi, on observe que de nombreuses banques françaises ont adopté un modèle de crédit

s’appuyant sur le découpage du financement en plusieurs prêts. La technique sous-jacente, fondée sur la programmation linéaire en nombres entiers, permet à l’emprunteur de bénéficier de taux plus avantageux sur les durées les plus courtes.

Nous présenterons, dans ce mémoire, une vision actuarielle objective de cette nouvelle pratique et nous montrerons que le traitement technique de ces montages peut se simplifier substantiellement, considérant des techniques mathématiques et informatiques. L’alternative proposée, basée sur le développement des prêts personnalisés, semble être une réponse plus rationnelle à l’allongement des durées.

Ainsi, dans un premier temps, nous nous intéresserons au statut actuel du marché des prêts à l’habitat, à ses caractéristiques ainsi qu’à son évolution.

Ensuite, nous camperons les techniques classiques de calcul bancaire nécessaires à

l’élaboration d’un plan de financement immobilier. En troisième lieu, nous nous pencherons sur les outils de mesure du coût d’un plan de

financement immobilier ainsi que sur les techniques d’optimisation afférentes. Enfin, nous présenterons une vision actuarielle des modèles de refinancement de ces

montages, considérant qu’une bonne gestion actif/passif est primordiale en matière bancaire. Ce faisant, nous aurons un éclairage intéressant sur la tarification des produits. En conclusion, nous discuterons les enjeux de la future harmonisation européenne des crédits hypothécaires.


Partie 1 : Le marché du prêt à l’habitat



1 Facteurs de la hausse des prix de l’immobilier

En France, les prix de l’immobilier ont progressé de 15 % en 2005, soit une augmentation

totale de 120 % depuis 1997. Cette phase de hausse des prix est tout à fait atypique par son ampleur et sa durée.

Le mouvement a été soutenu par une progression parallèle (15 %) des crédits à l’habitat.

Par rapport à leur revenu disponible brut, l’endettement total des ménages est passé de 39,7 % en 1995 à 47,1 % en 2003 et 60,6 % en 2006.

Ce rythme d’endettement est un élément de fragilité en cas de retournement du marché immobilier dans un contexte de remontée des taux longs.

Figure 1 : Evolution des volumes et des prix au m2 des appartements anciens à Paris depuis 1985 - Source [29]

Quatre facteurs ont participé au mouvement de hausse des prix de l’immobilier : la démographie, la baisse des taux d’intérêts, les dispositifs fiscaux et l’attachement à la pierre.

1.1 La démographie

Selon l’Institut National de la Statistique et des Études Économiques (INSEE), 304 000

logements auraient dû être construits chaque année entre 1991 et 2000 pour combler la demande. Ce nombre s’explique par l’accroissement annuel de +0,4 % de la population et du nombre de personnes vivant seules.

Or, le nombre de logements effectivement mis en chantier n’a atteint que 280 000 unités par an, soit un déficit de 24 000 logements l’an. Depuis 2000, ce déficit s’est réduit pour se situer dans une fourchette de 15 000 à 20 000 logements.

Ainsi, la conjugaison d'une population croissant plus vite et d'une augmentation forte du nombre de ménages a poussé à la hausse la demande et donc les prix de l'immobilier.



Figure 2 : Evolution du nombre de transactions

Les volumes de transactions sur l’ancien ayant diminué depuis 2003 (Figure 2), la hausse de l’encours (Tableau 1) des prêts est alimentée par la hausse du nombre de transactions sur le neuf et des prix des logements.

Tableau 1: Encours en fin d’année de l’ensemble des crédits

1.2 La baisse des taux d’intérêts

De 2000 à fin 2005, les taux d’intérêts n’ont pas cessé de baisser, incitant les locataires à

devenir propriétaires. En moyenne pondérée, les taux fixes des crédits immobiliers sont passés de 6 % en 2000 à moins de 4 % en 2005.



Figure 3 : Evolution des taux d’intérêts moyens à la production hors assurance – Source : modèle FANIE

Le Tableau 1 montre que, malgré cette baisse, les ménages ont dû accroître leur taux

d’effort financier dans des proportions significatives.

Cette baisse historique des taux implique tout de même que leur remontée devrait convaincre de plus en plus de ménages de reporter leur décision d’achat et dissuader les investisseurs locatifs d’acquérir des biens.

1.3 La fiscalité avantageuse

Trois dispositifs fiscaux se sont succédés depuis 1996 : « Périssol », « Besson » et « de

Robien ».

Ils se caractérisent tous par la possibilité pour un investisseur locatif de bénéficier d’allègements d’impôt et, ce faisant, d’améliorer le rendement de son placement.

L’engouement pour ces dispositifs provient aussi de l’évolution de la bourse et du futur incertain des régimes de retraite.

Les prêts aidés comme le Prêt à Taux Zéro (PTZ) ont joué un rôle important dans la reprise du marché. Lors de son lancement en 1996, il a permis à 145 000 foyers d’accéder à leur première propriété.

1.4 Le facteur psychologique

Il est clair que les investisseurs locatifs ou les acquéreurs d’une résidence principale sont

préoccupés par l’avenir des retraites, ce qui les pousse à investir dans la « pierre ».



En France, il existe une réelle motivation psychologique d’« attachement à la pierre ». Une

étude réalisée par FNAIM-CREDOC1 en 1999 montre que 63 % des propriétaires estiment que le sacrifice financier que représente l’emprunt est compensé par l’idée qu’ils ne souhaitent plus payer de loyers en vain.

De plus, le spectre de la hausse des taux et les faibles rendements des produits d’épargne

ont poussé les derniers indécis à obtenir les meilleures conditions d’emprunt.

2. Coût du risque et nouvelles tendances

Après la hausse avérée de l’encours des crédits immobiliers, il est important, du point de

vue de la banque, de quantifier économiquement le risque inhérent à l’activité de production des prêts immobiliers.

Nous allons voir que les banques réussissent à maîtriser le coût du risque malgré un coût

moyen qui tend à se dégrader.

Afin de ne pas alourdir cette partie de définitions macroéconomiques et bilancielles, les différentes notions abordées dans cette partie sont définies en Annexe 1.

2.1 Le coût du risque

Avec un taux de perte effectif très faible, le coût moyen annuel du risque est de 0,06 %

des encours environ. L’encours douteux de prêts à l’habitat est passé de 2,2 % à 1,2 % de l’encours global.

Dans cet encours douteux, le taux de défaillance annuel reste stable autour de 0,05 % sur les générations de prêts 2000 à 2003.

De plus, on constate un recul des taux de provisionnements, qui sont passés de 52,2 % à 40,8 % grâce à la hausse des biens hypothéqués.

Dans ce contexte, le coût du risque s’inscrit dans une tendance baissière. Le prêt

immobilier est un véritable produit de conquête des clients. En effet, à la suite d’un prêt immobilier, les banques exigent la domiciliation du salaire de l’emprunteur.

Ainsi la banque dispose d’une nouvelle clientèle prête à consommer ses produits d’épargne, de crédit et ses services. Le prêt immobilier est un gage de fidélité sur du long terme qui permet de toucher de façon efficace les générations futures.

Malgré l’augmentation des encours, la réduction des marges sur le prêt immobilier de la part des banques explique le comportement stable du PNB de ce marché à 12 % du PNB global depuis 2000.

1 La FNAIM est la Fédération Nationale de l'Immobilier et CREDOC est l’acronyme du centre de recherche pour l'étude et l'observation des conditions de vie.



2.2 Le profil de risques

Pour l’année 2007, on prévoit une durée moyenne initiale des prêts immobiliers supérieure

à 18 ans2. Cette durée s’est allongée de 3 années depuis 2000.

Figure 4 : Durée moyenne des prêts immobiliers – Source : modèle FANIE

Cependant, en tenant compte des remboursements anticipés et des renégociations dus à la baisse des taux, la durée réelle moyenne d’un prêt au sein d’une banque reste stable entre 8 et 9 ans.

Paradoxalement, malgré la baisse des taux et l’allongement de la durée des prêts, la part de

la charge mensuelle de remboursement dans les revenus s’alourdit, passant de 26,8 % du revenu3 mensuel en 2003 à 30,3 % en 2005.

Par ailleurs, le taux d’apport personnel est passé de 26,3 % à 21,7 % de 2000 à 2004 et on

prévoit une continuité de cette baisse. Le surfinancement4, quasi-inexistant en 2000, représentait 6,7 % en 2004. En France, les prêts à taux variables non capés5 représentent 1,4 % de la production en

2004. Par contre, un crédit immobilier sur quatre est un crédit capé.

2 Cette tendance se confirme dans la plupart des pays européens. La durée initiale de certains prêts peut même atteindre 50 ans en Espagne, au Portugal et maintenant en France. 3 Le revenu inclut les revenus d'activité professionnelle salariée ou non-salariée, les revenus de remplacements (indemnités maladie et chômage), les retraites et pré-retraites, les prestations sociales et familiales, et les revenus du patrimoine financier. 4 Le surfinancement correspond au financement de l’acquisition plus les frais annexes tels que les honoraires des agences et des notaires. 5 Un prêt capé est un prêt à taux variable dont la variation est bornée.



Avec la remontée des taux, on prévoit des difficultés pour les emprunteurs dont la mensualité peut augmenter de manière conséquente (1 % de variation du taux représente en moyenne une variation de 8 % de la charge).

Globalement, le profil de risque de l’emprunteur s’est donc dégradé. Pourtant, nous avons vu que le coût du risque pour la banque avait diminué. Sommes-nous dans une situation contradictoire ?

2.3 Explication de cette dualité

On peut expliquer l’existence de ces deux évolutions par ces différents points :

• en général, les indicateurs de risque développés dans la précédente partie ne se cumulent pas sur tous les dossiers de prêts,

• les importantes productions récentes représentent la plus grande partie de l’encours

global. Ainsi, ce rajeunissement abaisse mécaniquement le pourcentage des créances douteuses (lequel ne devient stable qu’à partir de la troisième année),

• la part des prêts cautionnés par une banque ou une compagnie d’assurance augmente

depuis quelques années. En cas d’impayés, ces cautionnements indemnisent rapidement les banques et les créances douteuses sont parfois transférées hors du bilan des banques,

• la valeur des hypothèques grandissant, les besoins de provisions ont reculé,

• les modèles de score récents évaluent mieux les risques et la sélection de la clientèle

est mieux assurée qu’auparavant par les banques.

3 Perspectives d’évolution du marché

L’accroissement significatif de l’endettement des ménages depuis ces dernières années

(60,6 % du revenu brut disponible6 fin 2006) ne semble pas constituer un indicateur annonciateur d’un essoufflement de la demande surtout si l’on compare le taux d’endettement de la France à ceux de l’Angleterre, des Pays-Bas ou du Danemark (120 %).

Néanmoins, d’après MOUILLART [8], la proportion des ménages sondés ayant l’intention de

souscrire un crédit immobilier est passée de 6,0 % en 2005 à 4,9 % en 2006. De plus, fin 2006, 30,2% des ménages détiennent un crédit immobilier contre 30,5 % en 2005.

3.1 L’impact de la hausse récente des taux d’intérêts

La hausse des taux d’intérêts7 amorcée en décembre 2005 risque de ralentir la production

des prêts sous l’effet mécanique d’une demande moins vive.

6 Issu de la compatibilité nationale, le revenu brut disponible correspond au revenu primaire corrigé des transferts nets de redistribution. Il représente la part du revenu primaire qui reste à la disposition des ménages résidents de la région, pour la consommation et l'épargne. 7 La Banque Centrale Européenne a relevé en juin 2007 de 0,25 % le taux directeur auquel peuvent emprunter les banques, fixé désormais à 4,00 %.



Par contre, la baisse tendancielle du PNB des établissements bancaires ne serait accentuée

qu’à partir d’une production annuelle inférieure à 50 milliards d’euros (contre 90 en 2004 par exemple).

En conséquence, ce ralentissement mécanique de la production augmentera l’âge moyen

des créances et, par conséquent, le pourcentage des créances douteuses. Par ailleurs, les emprunteurs à taux variables qui ont accepté un taux d’effort financier

important seront fortement pénalisés si la hausse persiste. Le niveau des créances douteuses pourrait donc encore augmenter.

Cette hausse des taux aura aussi un impact sur le risque de taux global des banques qui devrait être anticipé dans le cadre de la gestion actif/passif.

3.2 L’impact d’un éventuel retournement des prix

La baisse de la demande des logements pourrait amorcer un retournement du cycle

immobilier, ce qui se traduirait par une baisse des garanties hypothécaires et un accroissement des pertes en cas de défaut.

Néanmoins, les simulations effectuées par le SECRETARIAT GENERAL DE LA COMMISSION

BANCAIRE [26] montrent que seul un choc sévère entraînerait des difficultés importantes pour les banques françaises.

Globalement, le modèle bancaire français est basé sur une grande diversité des activités

assurant sa robustesse. Toutefois le métier de la banque de détail n’est pas à l’abri d’évolutions néfastes pouvant sensibiliser son activité. La banque doit donc être constamment prête à gérer toutes les menaces économiques et financières.

4 Les différents types de prêts à l’habitat

Nous allons maintenant présenter les principaux prêts l’habitat utilisé par le propriétaire

soit pour acquérir sa résidence principale ou secondaire, soit pour le louer à un tiers.

4.1 Les prêts conventionnés

• Les Prêts Epargne-Logement (prêts EL)

Le mécanisme de l’Epargne-Logement comprend une phase d’épargne préalable donnant

droit, par la suite, à l’obtention d’un prêt destiné au financement d’un logement. Le montant des intérêts acquis pendant la phase d’épargne permet le calcul du montant

maximal possible des intérêts du prêt, dont l’emprunteur fixe lui-même la durée, comprise entre 2 et 15 ans, et par conséquent le montant du prêt.

Le taux de l’épargne, celui du prêt et celui de transformation des droits à prêts sont fixés

par décret gouvernemental. Les droits à prêts résultent du montant des intérêts acquis multipliés par un coefficient multiplicateur. Deux formules d’épargne donnent accès au prêt Epargne-Logement :



- le PEL (Plan Epargne-Logement), et - le CEL (Compte Epargne-Logement)

Chaque individu peut être titulaire d’un PEL et d’un CEL à son nom dès sa naissance.

Ceux-ci sont ouverts dans les établissements financiers habilités. Dans les deux cas, la rémunération de l’épargne comprend des intérêts versés par

l’établissement gestionnaire qui détermine les droits à prêts et une prime attribuée par l’Etat.

• Le Prêt à Taux Zéro (PTZ)

Le Prêt à Taux Zéro remplace, depuis octobre 1996, l’ancien PAP (Prêt à l’Accession à la Propriété).

C’est une avance de fonds remboursable sans intérêts ni frais de dossier, dont les

conditions d’attribution, le montant et les modalités de remboursement sont soumis à des critères qui dépendent du nombre de personnes composant le foyer fiscal, des revenus imposables des ces personnes, de la nature et du montant de l’opération effectuée, ainsi que leur situation géographique.

Quant aux ressources de référence, ce sont celles de l’année d’émission moins une année

( 1−n ). Par exemple, l’éligibilité au PTZ en juillet 2007 dépend des revenus de l’emprunteur en 2006. Notons que cette règle dépend de la génération du PTZ.

• Les Prêts Conventionnés (PC/PAS)

Le Prêt Conventionné (PC) est un prêt immobilier réglementé à taux fixe ou révisable, accessible à tous les ménages sous certaines conditions.

Le Prêt à l’Accession Sociale (PAS) est un type de prêt conventionné destiné à faciliter

l’accession à la propriété des ménages à revenus modestes.

Les prêts conventionnés peuvent ouvrir droit à l’Aide Personnalisée au Logement (APL). Le prêt conventionné est exclusif de tout autre prêt immobilier, à l’exception des différents prêts assimilables à l’apport personnel (Prêt EL, PTZ, etc.)

4.2 Les prêts du secteur libre

On appelle prêt du secteur libre les prêts immobiliers soumis à la concurrence et

distribués par toutes les banques et les établissements financiers proposant des prêts immobiliers aux particuliers. Ces prêts sont les prêts classiques offerts sur le marché, sans réglementation particulière autre que celle qui protège tout emprunteur.

Nous ne présenterons évidemment pas tous les prêts existants mais seulement les principaux qui représentent la grande majorité des prêts immobiliers offerts en France.

• Les prêts relais

Beaucoup d’acquéreurs de logement vendent un bien immobilier qu’ils possèdent déjà pour financer, au moins partiellement, un nouvel achat. Mais il arrive souvent que la vente ne



soit pas encore effectuée au moment du nouvel achat. Dans ce cas, il faut un emprunt supplémentaire pour financer temporairement la part que l’on a prévu de couvrir, dans son plan de financement, par la vente du bien dont on se sépare.

En général, sa durée est très courte (2 ans maximum) et le mode de remboursement du capital est in fine.

• Les prêts bancaires classiques

- le prêt à taux fixe est assorti d’un taux invariant durant toute sa durée,

- le prêt à taux révisable ou variable (capé ou non) garantissant un taux initial inférieur au taux fixe et, dans le cas d’un prêt capé, plafonné en cas de hausse des taux.

4.3 Les frais inhérents à ces prêts

• Les frais de dossier

Les frais de dossier sont des frais facturés par l’établissement financier prêteur pour

l’étude et la mise en place d’un prêt immobilier. Leur montant est très variable selon les banques et la nature du crédit sollicité. Ces frais sont de l’ordre de 1 % du capital emprunté avec un plafond moyen de 900 euros.

Il est à noter que les établissements bancaires ne perçoivent pas de frais de dossier pour les prêts Epargne-Logement et les PTZ.

• Les assurances

Les établissements prêteurs proposent l’assurance Décès, Invalidité, Incapacité de travail (D.I.T.) dans le cadre d’un contrat de groupe qu’il a lui-même souscrit avec une compagnie d’assurance. L’emprunteur doit obligatoirement8 souscrire à une assurance D.I.T. pour obtenir son prêt immobilier. Pour fixer la quotité d'assurance, l'assuré détermine le montant en pourcentage du capital qu'il souhaite garantir.

Pour un prêt sur une seule tête, 100% du capital doit obligatoirement être assuré. Pour un

prêt sur 2 têtes, tout pourcentage du capital, dès l’instant que l’addition des 2 quotités fasse au minimum 100% et au maximum 200%, peut être assuré.

Le contrat D.I.T. standard couvre :

le risque de « Décès » suite à maladie ou accident, le risque de « Perte Totale et Irréversible d’Autonomie » : invalidité rendant

l’assuré définitivement incapable d’exercer une activité quelconque procurant gain ou profit et nécessitant l’assistance permanente d’une tierce personne.

Dans ces deux cas, les garanties proposées consistent en la prise en charge par l’assureur

du capital restant dû sur le prêt, dans la limite de la quotité assurée.

8 Ce n’est pas la réglementation qui l’exige mais la pratique bancaire.



Le risque d’invalidité : réduction permanente totale rendant l'assuré inapte à toute

activité lui procurant gain ou profit, en raison d'un handicap physique ou psychique résultant d'une maladie ou d'un accident.

Le taux d’invalidité doit être supérieur ou égal à 66 %. Ce taux est déterminé par voie

d’expertise à l’aide des taux d’incapacité permanente fonctionnelle et professionnelle.

Le risque d’incapacité de travail : état médicalement constaté d'inaptitude temporaire, partielle ou totale, à exercer toute activité procurant gain ou profit à l'assuré, en raison d'un handicap physique ou psychique résultant d'une maladie ou d'un accident.

Dans ce cas, les garanties proposées consistent en la prise en charge par l’assureur du

montant de l'échéance due sur le prêt, dans la limite de la quotité assurée. La plupart du temps, le coût mensuel de cette assurance est calculé sur la base d’un

pourcentage sur le montant emprunté (et est donc fixe). Certaines banques fournissent des assurances de groupe calculées sur le capital restant dû, dont le montant diminue au fur et à mesure du remboursement du prêt.

Les banques proposent, depuis le milieu des années 1970, une assurance perte d’emploi.

Celle-ci n’a pas de caractère obligatoire. Il s’agit d’une assurance se souscrivant parallèlement à l’assurance emprunteur.

• Les garanties

Lorsqu’une banque accorde un crédit immobilier, elle évalue la solvabilité de l’emprunteur. Mais une garantie hypothétique ne lui suffit pas. Elle a besoin de « sûretés réelles », qui lui permettront de récupérer sa mise en cas de défaillance : hypothèques, privilège de prêteurs de deniers, caution solidaire, nantissement, aval d’organismes de caution mutuelle, crédit logement etc.

Quelle que soit la garantie, elle occasionne des frais perçus à l’origine et des contraintes pour l’emprunteur.

D’une manière générale, on appelle crédit hypothécaire (mortgage credit) un crédit garanti par une hypothèque. Cet exposé traite particulièrement des crédits immobiliers ou crédits à l’habitat (home loans) sans que le type de garantie ne soit précisé.


Partie 2 : Construction technique d’un plan de financement immobilier



Dans cette partie, nous allons définir les techniques bancaires classiques permettant d’élaborer un plan de financement immobilier. On appelle plan de financement immobilier l’ensemble des crédits nécessaires au financement d’un bien immobilier. Nous invitons le lecteur à consulter l’ouvrage LE BORGNE [2] pour plus d’exhaustivité concernant ces techniques.

1 Calcul d’intérêts

Le taux d’intérêt est la rémunération d’une opération financière exprimé sous forme de

pourcentage. Un taux d’intérêt doit toujours être associé à une durée, par exemple 5 % l’an. L’étude portant sur la construction du crédit immobilier en France et, dans une moindre

mesure, en Europe l’unité monétaire sera par défaut l’euro.

De plus, nous considérons que le crédit immobilier est un produit de ce que nous appelons la sphère opérationnelle, c'est-à-dire, un produit traité entre un établissement de crédit et un particulier. Les techniques y afférant sont donc différentes de celles appliquées sur les marchés financiers. De ce fait, les taux sont supposés déterministes et connus à l’avance.

Par ailleurs, les intérêts de cette étude seront des intérêts post comptés, id est, des intérêts

payés en fin de période d’application.

1.1 La période

La période est associée à la fréquence de paiement des intérêts. La période est l’intervalle

de temps séparant deux versements d’intérêts. Les périodes classiques sont le mois, le trimestre, le semestre ou l’année.

Sauf mention contraire, nous étudierons les prêts immobiliers dont la période entre deux

versements sera le mois.

1.2 La convention de calcul

On note :

• C le capital initial, • T le taux annuel, • t le taux d’intérêt par période, • n le nombre de périodes, • i le montant de l’intérêt.

Les intérêts sont dits simples lorsqu’ils sont proportionnels au capital initial, au taux de la

période et à la durée ramenée à la période de référence : ntCi ××= (1)



Les intérêts sont dits composés ou capitalisés lorsqu’à la fin de chaque période, les intérêts de la période sont réintégrés au capital et portent eux-mêmes intérêts pour la période suivante :

( )( )11 −+×= ntCi (2)

Ces relations induisent que d’un même taux de période on obtient deux taux annuels

différents selon la méthode de calcul des intérêts. On appelle taux proportionnel annuel ( PAT ), le taux annuel issu de la simple

multiplication du taux périodique par le nombre de périodes composant l’année. Le taux actuariel annuel ( AAT ) est le taux annuel résultant de la capitalisation périodique

des intérêts.

Dans la suite, nous noterons p le nombre de périodes dans une année.

EXEMPLE.- Soit un taux de période mensuel t de 1 % . On a donc 12 périodes dans une année.

Le taux proportionnel annuel associé est égal à % 12=× tp .

Le taux actuariel annuel associé est égal à ( ) % 68,1211 =−+ pt .

De plus, on obtient la valeur du taux de période selon que le taux annuel soit un taux

proportionnel ou un taux actuariel par les relations:

p

Tt PA= (3)

( ) 111

−+= pAATt (4)

De ces deux formules, on obtient la relation de passage entre un taux proportionnel annuel

et un taux actuariel annuel:

11 −

+=

p

PAAA

p

TT (5)

( )

−+×= 11

1

pAAPA TpT (6)

REMARQUE.- Pour une capitalisation instantanée, on obtient le taux actuariel annuel pour une durée de période infinitésimale et pour un taux proportionnel annuel donné:

111limlim −=−

+=

+∞→+∞→

PAT

p

PA

ppAA e

p

TT

où xex → est la fonction exponentielle définie sur l’ensemble des réels. Inversement, nous définissons un taux continu δ associé au taux annuel actuariel δeTAA =+1 . En désignant,

)ln(xx → la fonction logarithme népérien définie sur l’ensemble des réels strictement positifs, on obtient :

( )AAT+= 1lnδ et

+⋅=

p

Tp PA1lnδ



2 Notion d’actualisation

En mathématiques financières, on ne peut pas comparer deux sommes d’argent qui ne sont pas perçues à la même date. Ainsi un euro aujourd’hui n’a pas la même valeur qu’un euro demain. Nous allons représenter les différents flux financiers (montant d’argent) sur un diagramme selon qu’ils soient encaissés ou décaissés. EXEMPLE DE DIAGRAMME DE FLUX.-

Ce diagramme représente un prêt de 100 000 euros remboursés en 120 échéances

mensuelles de 1 000 euros.

2.1 La capitalisation

Considérons un taux de période t fixe. La capitalisation est l’opération consistant à

intégrer à un capital les intérêts produits par ce capital pendant une période déterminée.

La valeur de 1 euro, en intérêts composés, dans n périodes est donc pn

n et

δ⋅

=+ )1( :

2.2 L’actualisation

L’actualisation est le phénomène inverse de la capitalisation. La question n’est pas de

connaître la valeur dans le futur d’un euro aujourd’hui, mais la valeur aujourd’hui d’un euro perçu de façon certaine dans le futur.

1 000

100 000

Temps (mois)

Flux encaissés

(Flux décaissés)

1 2 119 120

…

Aujourd’hui

( )nt+1

1

CAPITALISATION

1 000 1 000



D’une façon générale, la valeur actuelle de 1 euro, en intérêts composés, perçu dans n

périodes est pn

ne

t

δ−

=+ )1(

1 :

3 Calcul des charges d’un prêt

Un prêt bancaire est défini par :

• un capital emprunté C , • un taux d’intérêt annuel (proportionnel ou actuariel) associé à un taux de période t , • une périodicité de versement des intérêts, l’année comportant p périodes,

• une durée n (exprimée en nombre de périodes). Dans cette partie, nous ne verrons pas explicitement l’intégration de l’assurance et des frais

dans les flux. De plus, du fait du caractère opérationnel du sujet, nous n’estimons pas utile de développer les résultats dans le cas continu.

On appelle charges de remboursement d’un prêt, le ou les montants payés

périodiquement comprenant une partie de l’amortissement du capital et une partie de l’intérêt. Le paiement des n charges doit bien sûr garantir l’amortissement du prêt pour la banque. Le taux d’intérêt annuel est supposé fixe sur toute la période d’amortissement. Nous étendrons ces techniques aux prêts à taux variable.

Actuariellement, la valeur actuelle au taux de période du montant prêté est égale à la valeur

actuelle au taux de période de ce qui est remboursé. En notant ( )

niiM ,..,1= la suite des charges d’un prêt, on a :

( )∑

= +=

n

ii

i

t

MC

1 1 (7)

1

ACTUALISATION

( )nt+1

1



Afin de simplifier certaines formes algébriques, nous définissons )(tan

comme étant la

valeur actuelle au taux t d’une unité monétaire perçue périodiquement pendant n périodes :

( )( )t

t

tta

nn

kin

−

=

+−=

+=∑

11

1

1)(

1

3.1 Cas de la charge constante et de l’amortissement constant

3.1.1 Cas de la charge constante

La charge constante est l’unique charge, comprenant à la fois de l’amortissement et de

l’intérêt, constante dans le temps. Ainsi, MM i = pour tout i.

En terme de diagramme de flux :

Ainsi le capital C s’exprime de la façon suivante :

( ) ( )

)(111 1

taMt

M

t

MC

n

n

i

n

iii

i ×=+

=+

=∑ ∑= =

(8)

Et la charge constante est :

( ) )(11 ta

C

t

tCM

n

n=

+−×=

− (9)

3.1.2 Cas de l’amortissement constant

La notion d’amortissement sera introduite dans la suite de l’exposé. Nous définissons un

prêt amorti de façon constante par les charges suivantes :

pour nk ,..,1= ,

−−⋅+×=

n

kt

nCM k

11

1

Vérifions que ce type de charge est conforme au principe actuariel énoncé ci-dessus :

C

Temps (périodes) 1 2 n-1 n

…

M M M M



( )( )( ) ( )

( )∑∑=

−

= +

−−⋅

⋅++−⋅+⋅=

+

n

kk

n

n

n

kk

k

t

k

n

CttCta

n

C

t

M

11 1

111)(

1

Or, en observant que ( )( )

( ) ( )t

tatn

t

t

dt

d

t

kta

dt

d n

nn

k

n

kn

)(111

1)(

1

11

−+⋅=

+−=

+

−=

−−

=

−

+∑ , on a :

( )( )( ) ( ) CtCta

n

CtCta

n

C

t

M n

n

n

n

n

kk

k =+⋅+⋅−+−⋅+⋅=+

−−

=∑ 1)(11)(

11

Dans le cas de l’amortissement constant, la charge est dégressive au fil du temps.

3.2 Cas du différé d’amortissement et du différé total

3.2.1 Le différé d’amortissement

On appelle prêt avec différé d’amortissement un prêt comportant une période pendant

laquelle le client ne paie que les intérêts sur le capital emprunté. Dans le cas d’un prêt de durée totale n périodes amorti en charges constantes comprenant

un différé d’amortissement de durée k périodes, on obtient le diagramme de flux suivant : On détermine la charge M par égalité des valeurs actuelles :

( ) ( ) ( ) ( ))(

1)(

111 1 11

tat

MtatC

t

M

t

tC

t

MC

knkk

k

i

n

kiii

n

ii

i

−= +==

×+

+××=+

++

×=

+= ∑ ∑∑

On obtient donc, dans ce cas, )()1(1 ta

C

t

tCM

kn

kn

−

+−=

+−×= .

EXEMPLE.- Le prêt in fine de durée n périodes est un prêt avec un différé d’amortissement de 1−n périodes. Ainsi, 1,..,1 −∈∀ ni , on a tCM i ⋅= et une dernière charge ( )tCM n +⋅= 1 .

Notons que seuls les prêts immobiliers destinés à de l’investissement locatif et les prêts relais mentionnés auparavant ont en général ce type d’amortissement.

C

Temps (en périodes) 1 n

M tC × tC ×tC ×

M M

n-1 k+1 k 2

… …



3.2.2 Le différé total

Le prêt avec différé total est un prêt avec un différé de paiement des intérêts et de

remboursement du capital. Dans le cas d’un prêt de durée totale n périodes amorti en charges constantes comprenant

un différé total de durée k périodes, l’égalité en valeur actuelle est :

( ) ( ) ( ) ( ))(

111

0

1 1 11

tat

M

t

M

tt

MC

knk

k

i

n

kiii

n

ii

i

−= +==

×+

=+

++

=+

= ∑ ∑∑

D’où

( ))(

1ta

CtM

kn

k

−

⋅+=

Notons que les intérêts non payés sont capitalisés périodiquement et que la charge constante se calcule sur cette base. Or, l’article 1154 du code civil9 sur l’anatocisme interdit la capitalisation d’intérêts échus à une périodicité inférieure à l’année. Les banques appliquent généralement cet article à leurs prêts de façon prudentielle.

Dans ce cas, soient ( )∈ba, IN 2 le quotient et le reste de la division euclidienne de k par

p . On a donc bapk +×= avec pb < . On obtient une nouvelle valeur de la charge constante :

( ) ( ))(

11ta

CtTM

kn

ba

−

×+⋅+= .

3.3 Cas du prêt à paliers

Un prêt à paliers est un prêt comportant s charges sMM ,..,1 différentes mais constantes

sur des durées sdd ,..,1 respectivement telles que ∑=

=k

i

i nd1

.

Comme nous allons obtenir une seule équation pour s charges inconnues, nous devons définir une relation entre les charges pour n’obtenir qu’une seule inconnue. Considérons le cas où nous connaissons les progressions de toutes les charges par rapport à la première :

• s le nombre de paliers du prêt.

• (r1, r2,…, rs) l’ensemble des numéros de début de palier (le numéro de l’échéance à laquelle commence chaque palier avec r1 = 1).

• (d1, d2,…, ds) l’ensemble des durées de chaque palier.

• (a1, a2,…, as) l’ensemble des progressions avec a1 = 0 correspondant au premier palier

tel que: ( )∏=

+×=k

i

ik aMM1

1 1

L’égalité en valeur actuelle donne :

9 Selon le droit canonique, le prêt d’argent avec intérêt ne pouvait pas être pratiqué. L’Eglise catholique l’a peu à peu admis mais pas l’anatocisme. En 1804, le Code Civil prend une position sur l'anatocisme : ce n’est pas interdit mais c’est réglementé de manière à protéger le débiteur. Rappelons que l’anatocisme correspond à la capitalisation des intérêts, c'est à dire à leur ajout au capital emprunté et non encore remboursé, qui deviennent à leur tour producteurs d'intérêts.



( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )∑ ∏= =

−

+

+⋅+⋅⋅=

+++

++

+++

+=

s

k

k

i

d

id

n

s

dd

i

k

tataMC

t

M

t

M

t

M

t

MC

1 11

1211

11)(

1...

11..

1 11

Après simplification et utilisation des notations précédentes, on trouve :

( ) ( )∑ ∏= =

−+⋅+⋅=

s

k

k

i

d

id

i

k

tata

CM

1 1

1

11)(

(10)

3.4 Autres cas

3.4.1 Les prêts à taux variable

Par opposition au prêt à taux fixe, le prêt à taux variable10 est un prêt dont le taux varie

périodiquement selon la variation d’un index. En France et en zone euro, l’index est généralement un taux court terme (l’Euribor11 par exemple). Les établissements de crédit transposent généralement les méthodes précédentes aux prêts à taux variable. Néanmoins, à chaque changement de taux, les établissements de crédit disposent de leurs propres méthodes pour réajuster les charges de remboursement.

Dans le cas des prêts où l’encours est connu à l’avance (prêt in fine ou à amortissement constant par exemple), seuls les intérêts déterminent le montant des charges et le prêt peut donc être complètement défini à son initiation.

Dans le cas des prêts où l’encours dépend du taux d’intérêt (prêt à charge constante ou prêt à paliers par exemple), l’emprunteur peut avoir le choix entre déterminer une durée (la charge amortissant le prêt sera donc recalculée à chaque changement de taux) et déterminer un montant de charge (auquel cas la durée s’ajustera afin d’amortir le prêt).

3.4.2 Le prêt Epargne-Logement

Le plan Epargne-Logement a connu de nombreuses évolutions depuis son origine. Nous

présenterons uniquement le calcul des charges du prêt sous les hypothèses en vigueur au 01/01/2007. Le plan comporte deux phases :

- une phase d’épargne, pendant laquelle le souscripteur alimente son plan Epargne-Logement sous forme de dépôts réguliers rémunérés au taux nominal épargneT , le

montant cumulé maximal des dépôts s’élevant à 61 200 euros, - une phase de prêt ; le souscripteur peut effectuer un prêt au taux actuariel prêtT dont la

durée et le montant limité à 92 000 euros dépendent des droits acquis au cours de la phase d’épargne.

10 Nous appellerons indifféremment prêt à taux variable, prêt à taux indexé ou prêt à taux révisable. 11 L’Euribor est le taux interbancaire offert en euro.



En cas de souscription d’un prêt Epargne-Logement (prêt EL), le détenteur reçoit une prime d’Etat égale aux 2/5ème des intérêts acquis lors de la phase d’épargne. Les intérêts de l’épargne sont calculés par quinzaine et capitalisés annuellement par les banques. Le taux du prêt est le taux d’épargne majoré de 1,70%. Cette majoration est sensé couvrir les frais de gestion de l’émetteur. Les deux taux n’étant pas exprimés dans la même base, cette majoration n’a donc qu’un sens limité.

Le principe de détermination du montant du prêt est le suivant. Soient I les intérêts générés durant la phase d’épargne au taux épargneT , alors le montant maximal nC empruntable

sur une durée de n mois (multiple de l’année, bornée à 15 ans) est :

1)(

5,2

épargne

−

×=

ta

n

IC

n

n avec ( ) 11 12

1

épargneépargne −+= Tt

En d’autres termes, les intérêts de la phase prêt sont « égaux » aux intérêts de la phase épargne au cœfficient multiplicateur 2,5 près déterminé réglementairement. La charge constante nM amortissant le prêt s’exprime de la façon suivante :

)( prêtta

CM

n

nn = avec ( ) 11 12

1

prêtprêt −+= Tt .

3.5 Ajout d’un nouveau prêt à un plan de financement

Le principe général de l’ajout d’un prêt à un plan de financement existant est d’associer un

nouveau prêt appelé complémentaire permettant à la suite des charges globales ( )nkkM ,..,1= de

suivre un profil défini. Notons ( ) ',..,1

'nkkM = la suite des charges de remboursement du plan de financement initial.

Le prêt complémentaire sur une durée 'nn ≥ est défini par la suite de ses charges ( )nkkM ,..,1

''=

calculées au taux t et pour un capital ''C telles que :

( ) ( ) ( )∑ ∑ ∑

= = += ++

+

−=

+=

n

k

n

k

n

nk

k

k

k

kk

k

k

t

M

t

MM

t

MC

1 1 1

'''''

'

' 111

A cette équation doit être ajoutée une contrainte d’admissibilité sur le nouveau prêt :

• '''',,..,1 CtMnk k ⋅≥∈∀ , cette contrainte assure le paiement minimum des intérêts.

Ainsi, sous cette contrainte, aucune capitalisation périodique des éventuels intérêts non payés n’est possible. Dès lors que la notion de capital restant dû sera définie, cette contrainte s’affinera en : ''

1'',,..,1 −⋅≥∈∀ kk CRDtMnk .

• 0,,..,1 '' ≥∈∀ kMnk , la capitalisation des intérêts dus et non perçus sur le capital

restant dû peut s’effectuer périodiquement. EXEMPLE.- Le lissage de prêt est le cas où 0,,..,1 >=∈∀ MMnk k . Considérons un plan de

financement initial où 0,,..,1 ''' >=∈∀ MMnk k . La charge globaleM vérifie :



( ) ( )∑ ∑

= += ++

+

−=

'

'1 1

'''

11

n

k

n

nk

kkt

M

t

MMC

On obtient )(

)( ''''

ta

MtaC

M

n

n+

= puis, sous réserve d’admissibilité, les valeurs ''kM par

soustraction.

4 Tableau d’amortissement : déroulement pratique

Le tableau d’amortissement exprime échéance par échéance, la charge qui sera prélevée à

l’emprunteur (amortissements et intérêts d'emprunt) et indique le montant du capital restant dû.

4.1 Algorithme de déroulement d’un tableau d’amortissement théorique

Les échéances sont numérotées en fonction du nombre de périodes n du prêt. Le taux

appliqué est un taux annuel proportionnel et le nombre de périodes dans l’année est p. Le montant emprunté est C.

On note ( )niiCRD ,...,0= la suite du capital restant dû12, ( )

niiAm ,...,0= la suite des

amortissements, ( )niiInt ,...,0= la suite des intérêts et ( )

niiM ,...,0= la suite des charges. On déroule

le tableau d’amortissement de la façon suivante :

Echéance 0 :

CCRD =0 et 0000 === MIntAm

Echéance i : Pour i = 1 à n

1−×= iPA

i CRDp

TInt , iii IntMAm −= et iii AmCRDCRD −= −1

REMARQUE.- Par construction, on obtient 0=nCRD . Cet algorithme est valable pour des

intérêts perçus à terme échu et nécessite d’être adapté dans le cas d’un différé total. Cet algorithme est valable dans le cas où la suite ( )

niiAm ,...,0= dépend du taux d’intérêt appliqué.

Dans le cas où l’amortissement est déterminé à l’avance, la condition iii IntMAm −= devient

iii IntAmM += .

EXEMPLE.- Prêt de 100 000 euros remboursé en 84 mois à T = 4 % annuel proportionnel au

taux mensuel 12

%50,4=t .

On obtient une charge constante 016,1390)(

000 100

84

==ta

M euros.

12 L’abréviation utilisée dans la suite du capital restant dû est CRD.



No Capital restant dû Amortissement Intérêts Charge

0 100 000,00 - - - 1 98 984,98 1 015,02 375,00 1 390,02 2 97 966,16 1 018,82 371,19 1 390,02

83 1 384,82 1 379,65 10,37 1 390,02 84 - 1 384,82 5,19 1 390,02

100 000,00 16 761,35 116 761,35 REMARQUE.- Le cas de l’amortissement constant défini dans la section précédente peut être reformulé de la façon suivante :

Pour tout nk ,..,1= , n

CAmk = et donc

−⋅=n

kCCRDk 1 .

Le prêt in fine est quant à lui défini par 0=kAm pour tout 1,..,1 −= nk , et CAmn =

4.2 Les arrondis

En théorie, les données numériques du tableau d’amortissement sont des réels. En pratique, une règle sur les arrondis est nécessaire. En France et plus largement en zone

euro, l’arrondi à effectuer est au centime. Par exemple, la charge constante est arrondie au centime le plus proche ainsi que l’intérêt de la période. Dans la mesure où le capital emprunté a lui aussi une précision au centime, la précision du capital restant dû et de l’amortissement est assurée. En reprenant l’exemple précédent, on obtient :

No Capital restant dû Amortissement Intérêts Charge

0 100 000,00 - - - 1 98 984,98 1 015,02 375,00 1 390,02 2 97 966,15 1 018,83 371,19 1 390,02

83 1 384,44 1 379,65 10,37 1 390,02 84 - 1 384,44 5,19 1 389,63

100 000,00 16 761,29 116 761,29 Les écarts provenant des arrondis peuvent être « ajustés » sur la dernière période de la manière suivante:

• Dans le cas où 0<nCRD , le prêt est trop amorti et on répercute alors le surplus sur la

dernière charge avec nnn IntCRDM += −1 .

• Dans le cas où 0≥nCRD , la dernière charge reste la charge constante et les intérêts

sont 1−−= nn CRDMInt .



4.3 Etude de l’ajustement du prêt à charges constantes

L’ajustement présenté est en faveur de l’emprunteur. Ainsi, soit la charge d’ajustement est

inférieure à la charge constante, soit le dernier intérêt est minoré pour préserver une charge constante.

Dans ce contexte, définissons « l’écart résiduel » comme la valeur résiduelle liée aux

arrondis à la fin du prêt.

Considérons un prêt d’un montant C , de durée n (en périodes), muni d’un taux de période t et de charge constante M .

En théorie, on a nt

tCM −+−×=

)1(1, ( )

( )

+−×+= ∑

=

i

kk

i

it

MCtCRD

1 11 et 0=nCRD .

En pratique, notons( )100

100)(:

xEntxArrxArr

⋅=→ la fonction définie sur arrondi à deux

décimales, avec ( )xEntx → la fonction partie entière. Ces deux fonctions sont définies sur IR.. On a :

+−×= −nt

tCArrM

)1(1 (11)

En conséquence, comme ( )tCRDArrInt ii ×= −1 , on détermine le ième CRD :

( ) ( )( )

+−×−×+=−−= −−−− niiiii

t

tCArrtCRDArrCRDIntMCRDCRD

11111 pour ni ,..,1=

Ainsi, le CRD s’exprime de façon itérative en fonction de plusieurs arrondis et 0≠nCRD .

Pour mesurer quantitativement l’ampleur de l’écart résiduel, nous allons calculer l’ensemble de ses valeurs sous les hypothèses suivantes. HYPOTHESES.-

• un capital C égal à 10 000 euros, 100 000 euros ou 1 000 000 euros, • une durée égale à 120, 180, 240 ou 300 mois, • chaque prêt est supposé amorti en charge constante et de périodicité mensuelle, • le taux proportionnel varie de 0,01 % à 15,01 % avec un pas de 0,01 %.

Pour un capital et une durée donnés, on effectue donc 1 500 simulations puis on stocke les

écarts résiduels. Sous les hypothèses définies ci-dessus, les conclusions descriptives sont les suivantes :

• l’écart résiduel ne dépend pas du capital initial, • l’écart résiduel est symétrique : équirépartition entre les écarts positifs et négatifs, • une borne maximale en valeur absolue au sens strict existe, • l’écart résiduel est croissant en valeur absolue avec la durée du prêt. On comprend que

les décalages dus aux arrondis s’agrandissent avec le temps.



Figure 5 : Quantification de l’écart résiduel

Le tableau suivant résume les résultats des simulations13 :

Durée (en mois) Ecart résiduel

maximal (en valeur absolue)

Ecart résiduel moyen (en valeur

absolue) 120 1,50 0,46 180 3,50 0,90 240 7,50 1,62 300 16,00 2,93

Tableau 2 : Résultats expérimentaux de l’écart résiduel

Ces résultats montrent des écarts résiduels faibles avec un maximum de 16 euros pour une durée de 300 mois et des taux d’intérêts atteignant 15 %.

13 Les autres simulations se trouvent en Annexe 2.


Partie 3 : Mesures du crédit et optimisation bancaire



Dans cette partie, nous étudierons le modèle d'optimisation développé par GARDI ET DAVID

[1]. A partir de leurs travaux, nous proposerons une alternative basée sur des raisonnements financiers. Nous devons tout d’abord définir les mesures de coût d'un financement immobilier.

1 Le Taux Effectif Global

Le T.E.G., Taux Effectif Global, est un instrument uniformisé de mesure du coût d’un

crédit. Il prend en compte, outre les modalités de remboursement du prêt en capital et intérêts, les frais annexes et assurances dès lors que ceux-ci sont obligatoires et liés à l’obtention du crédit (ainsi, une assurance facultative ou des frais de notaire ne sont pas retenus).

Selon la réglementation :

• Le décret n°85-844 du 4 septembre 1985 définit les méthodes à appliquer pour le calcul du T.E.G., notamment l’usage d’un taux annuel proportionnel au taux de période (ce dernier étant calculé actuariellement) dans le cas d’un prêt.

• À partir du 1er juillet 2002, conformément au décret n°2002-927 du 10 juin 2002, pour les crédits à la consommation et pour les prêts de la loi Scrivener 1978 (opérations de travaux inférieures à 21.500 euros), le T.E.G. est un taux annuel équivalent au taux de période. Les annexes de ce décret donnent la formule mathématique à utiliser pour calculer le taux annuel des prêts concernés.

• Pour tous les prêts mis en place avant cette date, le T.E.G. reste un taux annuel proportionnel au taux de période.

Ces différents points sont repris dans l'article R. 313-1 du Code de la Consommation et en

Annexe 3. Le taux de période est calculé actuariellement à partir d'une période unitaire correspondant

à la périodicité des versements effectués par l'emprunteur. Il assure, selon la méthode des intérêts composés, l'égalité entre, d'une part, les sommes prêtées et, d'autre part, tous les versements dus par l'emprunteur au titre de ce prêt, en capital, intérêts et frais divers, ces éléments étant, le cas échéant, estimés.

Le T.E.G. est destiné à être utilisé comme instrument d'information ou de comparaison. Il permet notamment de vérifier que, sur les données et hypothèses retenues, le taux de l'opération n'est pas usuraire.

L’article L313-3 du Code de la Consommation précise que « Constitue un prêt usuraire tout prêt conventionnel consenti à un taux effectif global qui excède, au moment où il est

consenti, de plus du tiers, le taux effectif moyen pratiqué au cours du trimestre précédent par

les établissements de crédit pour des opérations de même nature comportant des risques

analogues, telles que définies par l'autorité administrative après avis du Conseil national du

crédit. »

Nous utiliserons le terme générique T.E.G. pour désigner l’outil de mesure réglementaire du crédit. Suite à l’harmonisation européenne de 2002 sur le crédit à la consommation, le T.E.G. sur ce produit est devenu le T.A.E.G. (Taux Annuel Effectif Global). L’unique différence entre ces deux mesures est la méthode d’annualisation retenue. Nous décrirons ces deux méthodes.



1.1 Taux de rendement actuariel

Le taux de rendement actuariel d'une opération est défini comme le taux périodique

permettant d'assurer l'équivalence actuarielle entre les différents flux (entrants d’une part, sortants d’autre part) de cette opération. Ce taux est donné par la formule générale suivante (similaire à celle du décret n°2002-927 du 10 juin 2002) :

( ) ( )∑∑== +

=+

'

1'

1 1

'

1

m

kt

km

kt

k

kk t

A

t

A (12 )

avec : • Ak montant du décaissement k, • A'k montant de l'encaissement k (charges assurance comprise, frais, commissions,

etc.), • m nombre de décaissements, • m' nombre d'encaissements (ou remboursements), • tk intervalle en années et fraction d'années séparant la date de référence et la

date du décaissement k, • t'k intervalle en années et fraction d'années séparant la date de référence et la

date de l'encaissement k, • t taux annuel actuariel pour une unité monétaire.

La date de référence est la date du premier décaissement A1 . Cette formule générale permet de fournir directement le taux annuel de l’opération comme

un taux actuariel. Elle retient une périodicité annuelle, les durées d’actualisation étant exprimées en années et fraction d’années. L’équation (12) se résout par un des algorithmes numériques présentés dans l’Annexe 5.

1.2 Calcul du T.E.G.

La réglementation impose de calculer actuariellement (pour les opérations de prêts) un taux

de période à partir d’une période unitaire correspondant à la périodicité des remboursements si celle-ci est régulière, ou en utilisant pour périodicité le plus petit intervalle (sans être inférieur au mois) séparant deux flux de remboursement lorsque cette périodicité est irrégulière.

Le calcul d’un taux de période d’un prêt correspond au calcul d’un taux de rendement

périodique en respectant les règles définies par la réglementation. Notamment, ne sont pris en compte dans ce calcul que les éléments obligatoires et liés à l’obtention du crédit.

Le Taux Effectif Global annuel sera, selon la réglementation, calculé à partir de ce taux de

période, selon la méthode proportionnelle ou équivalente.

Ainsi, nous allons intégrer successivement les notions de périodicité (mensuelle etc.) de décaissement unique et enfin de charges constantes.



1.2.1 Echéanciers périodiques

Lorsque l’échéancier des remboursements est de périodicité régulière(avec p égal au

nombre de périodes dans une année, soit 12 si mensuel, 4 si trimestriel, etc.), on prendra pour date de référence le début de la période du premier remboursement A’1 (les durées tk seront en général négatives compte tenu de cette date de référence).

On peut alors définir un numéro d’échéance de remboursement j, variant de 0 (date de référence) à n (durée de remboursement en nombre de périodes).

On a la relation suivante : p

jt j =+'1 et m’=n+1 .

La formule (12) se modifie comme suit :

• A’1 = R0 = frais, commissions, charge d’avance, …, en j = 0 (origine, soit t’1=0), • A’2 = R1 = 1

ère charge de remboursement à terme échu, en j = 1, soit t’2=1, • A’3 = R2 = 2

ème charge de remboursement, en j = 2, soit t’3=2, etc. • A’m’ = Rn = n

ème charge de remboursement, en j = n, soit t’m’=n, • n = durée de remboursement en nombre de périodes, • i = taux de période pour une unité monétaire.

La date de référence est le début de la période du premier remboursement A’1 , et on obtient :

( ) ( )∑∑==

× +=

+

n

jj

jm

ktp

k

i

R

i

Ak

01 11 (13)

La solution de cette équation est le taux de période i et le T.E.G., en % arrondi à 2 décimales. Il est égal à :

• ( )( )11.... −+= ptGEAT (méthode équivalente)

• tpGET ×=... ( méthode proportionnelle).

1.2.2 Echéanciers non-périodiques

Pour les échéanciers de remboursement de périodicité irrégulière, on utilisera les fractions

d'années réelles et on définira p comme étant la plus petite période. On obtient les relations :

=

=

minimum nbj

25,365et

25,365

exactnbj'

p

tett k

kk

nbj exact = nombre de jours entre la date de référence et le flux considéré nbj minimum = plus petit intervalle séparant deux flux



La formule à résoudre devient :

∑∑==

+

=

+

'

1 minimumnbj

exactnbj1 minimumnbj

exactnbj

)1(

'

)1(

m

k

km

k

k

kk

i

A

i

A (14)

REMARQUE.- L'utilisation de fractions d'années forfaitées ne soulève pas de problème particulier. Celle de fractions d'années réelles nécessite de déterminer la durée de l'année (caractère bissextile).

1.3 Cas les plus fréquents

La formule précédente pourrait se simplifier en considérant également le cas de

décaissements périodiques (partie gauche de la formule), cas nettement moins fréquent. Nous préférons aborder directement le cas d’un décaissement unique. Il s’agit des prêts les

plus courants (prêts en charges constantes ou à paliers par exemple) à périodicité régulière et à décaissement unique.

La formule (14) se simplifie avec m = 1, t1 = 0 et tous les frais sont perçus à l’origine. On a la formule suivante :

∑= +

=−n

jj

j

i

RFC

1 )1( (15)

EXEMPLE.- Le prêt remboursé en charges constantes à périodicité régulière et à décaissement unique est le prêt le plus fréquent. Dans ce cas, R1 = R2 = … = Rn-1 = Rn = M et l’équation devient :

( )i

iMFC

n−+−×=−

11 (16)

La solution de cette équation est le taux de période i et le T.E.G. est égal à :

• ( )( )11.... −+= ptGEAT (méthode équivalente)

• tpGET ×=... (méthode proportionnelle).

1.4 Compléments mathématiques

Après avoir vu la méthodologie, la question qui se pose est de résoudre l’équation du

T.E.G. Reprenons une équation de racine 1−≠t et de flux périodiques générale :

( )

010

=+

∑=

n

ii

i

t

F (17)

avec ( )

niiF ..0= une suite réelle représentant les flux futurs.



La logique actuelle des prêts immobiliers impose aussi deux autres conditions :

• 00 <F représentant le flux de décaissement, (18)

• ∑=

>n

i

iF0

0 . (19)

La condition (19) décrit le fait que la somme des flux de remboursement et des commissions est supérieure au capital emprunté. La racine de l’équation (19) est donc strictement positive : 0>t .

Existence d’une racine

Posons ( )t

x+

=1

1, donc ] [1;0∈x , on obtient un polynôme de degré i , ( ) ∑

=

×=n

i

i

i xFxP0

avec ] [1;0∈x . Nous avons ( ) 00 0 <= FP et ( ) ∑=

>=n

i

iFP0

01 .

Comme toute fonction polynomiale est continue sur IR, d’après le théorème des valeurs

intermédiaires, le polynôme P s’annule au moins une fois sur ] [1;0 .

De plus, comme ( ) ( ) 010 <× PP , le nombre de racines de P est impair (en tenant compte de la multiplicité des racines).

Unicité de la racine

L’équation ( ) 0=xP peut admettre sur ] [1;0 plusieurs racines réelles et par suite le prêt étudié plusieurs T.E.G.

D’après les règles de Descartes14, le nombre de racines positives d’un polynôme est égal

au nombre de changements de signes dans la suite des coefficients ( )niiF ..0= ou en est inférieur

à ce nombre d’un nombre pair.

- Dans le cas d’un prêt immobilier classique :

Le diagramme de flux pour un prêt immobilier classique se présente ainsi :

On a 00 <F et 0>iF pour ni ,..,1= . La suite des coefficients ne comprend qu’un seul

changement de signe. La racine du polynôme est donc unique.

14 Voir l’Annexe [4] pour plus de détails.

0F

1F 2F nF

…



L’unicité du T.E.G. est donc démontrée pour ce type de prêt (et donc pour la majorité des prêts immobiliers).

- Dans le cas d’un prêt avec restitution de dépôt : La restitution du dépôt s’effectue à l’échéance du prêt. Un exemple de restitution de dépôt

est la prise de garantie par l’organisme Crédit Logement. En effet, les frais de cette garantie sont constitués de deux parties :

• une partie versée au décaissement au titre de la rémunération du Crédit Logement appelée commission de caution,

• la seconde est la participation au fond mutuel de garantie. Ce fond est destiné à se substituer à l’emprunteur en cas de défaillance de celui-ci. Cette participation est payée au décaissement du prêt et est remboursable à hauteur de 75 % en fin de prêt.

Dans ce cas, le schéma de flux pour l’emprunteur peut se matérialiser15 par un flux de

paiement à l’initiation du prêt et un flux de remboursement à la fin du prêt :

Dans ce cas, le dernier flux est négatif : 0<nF . Le nombre de changements de signe dans

ce cas est égal à deux. Le nombre de solutions sur IR est donc deux. Or, sur ] [1;0 , le nombre de

racines est impair. On conclut que le polynôme admet une seule racine sur ] [1;0 . Ainsi, le T.E.G. est unique pour ce type de prêt.

- Dans le cas d’un prêt avec flux négatif durant la vie du prêt :

Sans perte de généralité, considérons iF , ni <<0 comme un flux négatif, autre que la

restitution du dépôt, on a trois changements de signes :

Le nombre de racines admissibles dans IR est donc un ou trois. Dans ce cas, nous ne pouvons pas transiger.

15 Le dernier flux du prêt est négatif si la restitution est plus importante que la dernière charge de remboursement.

0F

1F 2F

nF

0F

1F 2F nF

iF

…

… …

1−nF



REMARQUE.- Ce résultat reste valable dans le cas d’un palier entier de flux négatifs. EXEMPLE.- Considérons un prêt fictif d’un montant de 180 000 euros et remboursé en 20 annuités telles que :

000 200

0...

000 100-

000 100

000 180

20

191211

109876

54321

0

=

====

=====

=====

−=

F

FFF

FFFFF

FFFFF

F

Figure 6 : Diagramme de flux à T.E.G. multiples et courbe associée

Dans ce cas, nous trouvons 3 T.E.G. :

% 02,29

% 35,14

% 86,1

3

2

1

=

=

=

TEG

TEG

TEG

Tous ces T.E.G. sont positifs et varient de 1,86 % à 29,02 %. Notons bien qu’un tel

exemple n’a qu’une vocation pédagogique, la structure de ce prêt n’étant pas réaliste. Nous constatons que, dans le cas de séquences de flux de signes alternés, il peut exister

plusieurs valeurs du T.E.G. Le cas de flux de signes alternés se pose concrètement pour le calcul du taux actuariel pour certains produits mixtes d’épargne et de crédit (tel que l’Epargne-Logement en France).

Nous préconisons une des méthodes numériques classiques de résolution d’équations décrites en Annexe 5 pour obtenir le taux de période (avec une préférence pour la méthode de Newton-Raphson).



1.5 Critiques et extension

1.5.1 Critiques du T.E.G.

Le T.E.G. est un outil mathématique réglementaire. Les critiques suivantes mêlent donc

directement les techniques actuarielles et le droit français ou européen. Nous limiterons le propos aux prêts amortissables. De facto, les ouvertures de crédit ne sont pas directement concernées. 1.5.1.1 Sur la méthode de calcul

Nous avons évoqué précédemment les deux méthodes d’annualisation du taux de période : la méthode proportionnelle et la méthode équivalente.

La méthode équivalente provient de l’harmonisation européenne concernant les crédits à la consommation.

Pour les prêts immobiliers, la méthode proportionnelle est toujours appliquée. Cette distinction sur la méthode d’annualisation a pour conséquence que, pour un même schéma de flux, les T.E.G. sont différents selon la nature même du crédit. EXEMPLE.- Considérons un prêt de 50 000 euros remboursé en 60 mensualités de 943,56 euros. Le taux mensuel actuariel s’élève à 0,4167 %. Dans le cas d’un prêt immobilier, le T.E.G. de ce prêt s’élève à 5,00 % alors que dans le cas d’un crédit à la consommation, le T.E.G. s’élève à 5,12 %.

Une harmonisation du mode de calcul du T.E.G. est donc nécessaire. La méthode préconisée est bien sûr la méthode équivalente. D’ailleurs, le T.E.G. issu de l’harmonisation européenne s’appelle le T.A.E.G : « Taux Effectif Annuel Global ». Celui-ci résulte directement du calcul du taux de rendement actuariel annuel de l’opération.

De plus, une réflexion sur le calcul du T.E.G. des crédits à taux révisables semble

nécessaire. Dans l’état actuel des choses (en 2007), le niveau du taux d’intérêt retenu sur toute la durée du prêt est le taux constaté au moment du calcul. En d’autres termes, le taux révisable est virtuellement cristallisé sur toute la durée du crédit. Le taux effectif ainsi calculé sera erroné dès que l’index de référence sera révisé. Ne faudrait-il pas calculer un taux effectif prenant en compte la variation potentielle du taux ? Dans le cas d’un prêt capé, le calcul pourrait ainsi s’effectuer sur la base du taux plafond pour maximiser le taux effectif. Une autre possibilité serait de calculer un « écart » effectif global au dessus du taux variable provenant des frais et autres assurances du prêt.

1.5.1.2 Sur les frais à inclure

Pour que le taux effectif global puisse véritablement servir de mesure, encore faut-il définir

précisément le périmètre des frais et autres chargements à inclure dans le calcul.

La réglementation française sur le T.E.G. et la réglementation européenne sur le T.A.E.G. imposent d’inclure dans le calcul de ces taux les éléments obligatoires à l’obtention du crédit. La frontière entre les frais facultatifs ou obligatoires est parfois ténue et les décisions de justice peuvent être contradictoires.



EXEMPLE.- En 2004, la Cour de Cassation a déclaré que « […] l’ensemble des frais rendus

obligatoires et qui ont un lien direct avec le prêt souscrit tels que le coût des sûreté réelles qui

conditionnent la conclusion du prêt, les frais relatifs à l’assurance incendie lorsqu’elle est

exigée par le prêteur ainsi que le coût de la souscription de parts sociales auprès de

l’organisme qui subventionne le prêt lorsqu’elle est imposée comme condition d’octroi de

celui-ci, doivent être pris en compte pour la détermination du taux effectif global. » Pourtant, en 2006, la Cour d’appel d’Orléans a décidé que, dans le cas d’un prêt immobilier, ni les frais relatifs à l’assurance incendie de l’immeuble hypothéqué, ni la valeur de souscription des parts sociales que doit, dans certains cas, souscrire l’emprunteur auprès de l’établissement prêteur, ne devraient être intégrés dans le T.E.G.

La Cour d’appel d’Orléans a estimé que l’assurance incendie est liée au bien immobilier et non au crédit immobilier. Concernant la souscription des parts sociales, elle autorise des emprunts successifs et n’a donc pas de lien direct avec le crédit.

Un second exemple illustrant la difficulté d’interprétation des textes réglementaires concerne le Crédit Logement. Nous avons vu que les frais inhérents à celui-ci comportent une participation à un fond de garantie restituable qui se traduit en un flux positif et négatif pour l’emprunteur. Les banques ont considéré que ces deux flux s’annulent et n’ont pas pris du tout en compte ces frais dans le calcul. En 2006, la Cour d’appel de Versailles a estimé que la participation au fond devait entrer dans l’assiette de calcul sans hypothèse de restitution. Dans ce cas de figure, ni la pratique bancaire, ni la réglementation ne réussit à inclure actuariellement cette participation au fond mutuel de garantie.

Les éléments à inclure dans le T.E.G. représentent pourtant la clef de voûte du calcul. Ces arrêts contradictoires affaiblissent sa crédibilité à la fois auprès des emprunteurs et des banques.

Un autre débat porte sur l’inclusion des assurances D.I.T. facultatives. La réglementation étant claire sur le sujet, le T.E.G. ne les inclut pas. Ainsi, lorsque un ou deux co-emprunteurs s’assurent à de plus de 100 % du prêt, seule une cotisation couvrant 100 % du prêt est incluse dans le T.E.G.

Du point de vue de l’emprunteur, la réglementation devrait imposer aux établissements de

crédit de fournir un taux effectif incluant tous les frais auxquels l’emprunteur est soumis au titre de son prêt.

1.5.1.3 Sur la date du calcul

En application des dispositions de l’article L. 313-2 du Code de la Consommation, le taux

effectif global doit être mentionné dans tout écrit constatant un contrat de prêt. Lorsque l’on se trouve en présence d’un prêt classique, il faut et il suffit logiquement d’indiquer le T.E.G. au jour de la convention de crédit. Le T.E.G. ainsi indiqué peut être directement comparé aux T.E.G. des autres établissements bancaires et à l’usure. Il remplit donc don rôle d’outil de mesure. Dans le cas du crédit à taux révisable, la question de plusieurs T.E.G. peut néanmoins se poser.



1.5.2 Extension au plan de financement immobilier

Nous avons défini le plan de financement comme étant l’ensemble des prêts immobiliers,

réglementés ou non, entrant dans le financement global d’un bien immobilier. Pour un prêt immobilier donné, nous avons vu que la mesure réglementaire était le T.E.G.

Néanmoins, nous avons vu les faiblesses du T.E.G. surtout dans le cas d’un prêt immobilier. Nous retiendrons comme mesure du coût d’un plan de financement immobilier le taux annuel actuariel de l’ensemble des flux en jeu dans le plan de financement.

En d’autres termes, nous préconisons l’utilisation du T.A.E.G. pour mesurer le coût d’un prêt immobilier et nous l’étendons à un ensemble de prêts afin de mener notre étude.

2 Le coût total du prêt

Nous avons vu que la mesure actuarielle et réglementaire du coût d’un plan de

financement immobilier est le T.E.G. Les articles L. 312-1 et suivants du Code de la Consommation (ex Loi Scrivener) impose aux établissements de faire figurer le coût total du prêt.

On appelle coût total la somme de tout ce que le client paie diminuée de ce qu’il emprunte.

Coût total = ∑=

−n

i

j CF0

(20)

Les flux remboursés incluent l’assurance et 0F est égal aux frais perçus à l’origine par la

banque. Il convient de rappeler que le coût total ne correspond à aucune vérité actuarielle. En effet,

le coût total déroge au principe d’actualisation. Celui-ci compare des sommes qui ne sont pas perçues à la même date.

Nous étendrons cette mesure de coût total à un plan de financement en la définissant comme la somme des coûts totaux de chaque prêt constituant le plan.

2.1 Différence entre le T.E.G. et le coût total

Pour un montant déterminé, un taux et une durée fixés, le coût total n’est pas, selon

l’amortissement, proportionnel au T.E.G. EXEMPLE.- Soit un prêt immobilier dont voici les caractéristiques :

• Montant 000 100=C euros, • Durée 84=n mois,

• Taux proportionnel annuel = 4,50 % donc le taux mensuel 12

%50,4=t ,

• Assurance mensuelle de 33 euros, • Frais de dossier perçus au décaissement de 900 euros.



Nous synthétisons les différentes mesures de coûts selon le type d’amortissement dans le Tableau 3.

Type d'amortissement Coût total T.E.G. Amortissement constant 19 576,50 5,52 % Échéance constante 20 433,29 5,48 %

In fine 35 172,00 5,05 %

Tableau 3 : Lien entre le T.E.G. et le coût total

Cet exemple illustre parfaitement la différence de mesure de coût du crédit. Le prêt in fine apparaît comme le prêt le plus avantageux actuariellement mais le plus cher en terme de coût total.

La mesure prônée dans cet exposé est bien sûr le taux actuariel (T.E.G. ou T.A.E.G. élargis). Néanmoins, nous allons réconcilier ces deux mesures pour un amortissement donné.

2.2 Bijection entre le taux actuariel et le coût total

L’objectif est de montrer mathématiquement que, dans certains cas, le taux actuariel d’un

prêt peut être une fonction strictement croissante et continue du coût total. Le cadre choisi est celui où le seul degré de liberté du modèle est le taux d’intérêt nominal

du prêt. Ainsi, nous allons fixer le type d’amortissement du prêt, les frais inhérents à ce prêt et, nous étudierons la relation entre le taux actuariel et le coût total vus comme des fonctions du taux d’intérêt.

2.2.1 Le cas d’un encours fixé

Considérons un prêt de durée n périodes au taux annuel proportionnel 0>T avec un

encours fixé ( )niiCRD ,..,0= avec 0=nCRD et CCRD =0 le capital emprunté. Posons

( )niiAm ,..,1= la suite des amortissements (fixés eux aussi) telle que iii CRDCRDAm −= −1 pour

tout ni ,..,1= .

Ajoutons à ce modèle la suite des chargements ( )niiCg ,..,0= fixés du prêt représentant les

frais perçus à l’origine, l’assurance etc.

En notant p

Tt = et ( )

p

TEGTAEGt p

a =−+= 111

le taux actuariel de la période, nous avons

l’équation générale :

( )∑

=

−

+

⋅++=−

n

ii

a

iii

t

CRDtAmCgCgC

1

10

1 (21)

De cette expression, exprimons t en fonction de at :

( )

( )

( )an

ii

a

i

n

ii

a

ii

tf

t

CRD

t

AmCgCgC

t =

+

+

+−−

=

∑

∑

=

−

=

1

1

10

1

1



Etudions le comportement de la fonction f pour ] [+∞∈ ;0at . Par opérations élémentaires

de fonctions continues, cette fonction l’est aussi. Calculons sa dérivée :

( )( ) ( ) ( )

( )

2

1

1

111

10

11

'

1

111)(

+

+

⋅⋅

+

+−−+

+

+⋅

=

∑

∑∑∑

=

−

=+−

==+

n

ii

a

i

n

ii

a

in

ii

a

iin

ii

a

ii

a

t

CRD

t

CRDi

t

AmCgCgC

t

AmCgi

tf

Comme 00 >CRD et 0≥iCRD pour tout ni ,..,1= , on a ( )∑

=+− >

+

⋅n

ii

a

i

t

CRDi

111 0

1. De plus, de

l’équation (21), nous avons ( ) ( )

011 1

1

10 >

+

⋅=

+

+−− ∑∑

=

−

=

n

ii

a

in

ii

a

ii

t

CRDt

t

AmCgCgC .

En supposant que 0≥iCg ou plus largement que 0≥+ ii AmCg pour tout ni ,..,1= , nous

obtenons ( )( )∑

=+

≥+

+⋅n

ii

a

ii

t

AmCgi

11

01

. Ainsi nous avons ( ) 0' >atf pour ] [+∞∈ ;0at . La fonction f

étant continue et strictement monotone, elle est bijective.

En observant que, dans ce même modèle, le coût total est en bijection avec t , nous venons de montrer que le coût total du prêt est en bijection croissante avec le taux actuariel du prêt du prêt. REMARQUE.- Nous avons établi ce résultat lorsque 0≥− ii AmCg pour tout ni ,..,1= . Cette

hypothèse est vérifiée dans la majorité des cas. Pour qu’elle soit infirmée, des flux négatifs doivent intervenir (comme une restitution de dépôt) dans le schéma des flux. Pour un prêt immobilier classique avec une restitution de dépôt (type Crédit Logement), nous pouvons

légitimement supposer que ( )( )∑

=+

≥+

+⋅n

ii

a

ii

t

AmCgi

11

01

.

2.2.2 Le cas de la charge constante

Dans le cas de la charge constante, la suite ( )

niiCRD ,..,0= ne peut plus être fixée car elle

dépend directement du taux d’intérêt appliqué. En reprenant partiellement les notations précédentes, l’équation (21) devient :

( )∑

= +

+

=−n

ii

a

n

i

t

ta

CCg

CgC1

01

)( (22)

De cette expression, nous obtenons )(tan

en fonction de at :

( ))(

1

)(

1 10

an

n

ii

a

i

ntaC

t

CgCgC

ta ⋅+

−−

=∑=



En utilisant un raisonnement analogue au précédent, nous pouvons montrer que )(

1

tan

est

en bijection croissante avec at . Or, ( )( )∑

=+

<+

−=n

iin t

ita

dt

d

11

01

)( sur ] [+∞;0 . Donc t est en

bijection croissante avec )(

1

tan

.

La composition de deux bijections croissantes étant elle-même une bijection croissante, nous venons de montrer que le coût total et le taux actuariel sont en bijection lorsque l’amortissement est soit fixé, soit en charge constante et lorsque les chargements sont fixés. EXEMPLE.- Considérons un prêt de 100 000 euros remboursable en 60 mensualités constantes. Le montant de l’assurance mensuelle est de 30 euros, les frais perçus à l’origine sont de 500 euros. Pour un taux d’intérêt compris entre 0,01 % et 15 %, nous avons calculé le coût total et le T.A.E.G. de ce prêt.

Figure 7 : Relation entre coût total et T.A.E.G. pour un amortissement en charges constantes

REMARQUE.- Le raisonnement ci-dessus peut s’appliquer à tous les types de prêt que nous avons étudiés précédemment. Ces résultats illustrent notre modeste tentative de réconciliation entre le coût total et le T.E.G./T.A.E.G. d’un prêt. Néanmoins, le périmètre de ce résultat est étroit. L’impact direct du taux intérêt, seul degré de liberté dans ce modèle, à la fois sur le coût total et sur le taux effectif demeure intuitif. Ce résultat corrobore l’importance du type de l’amortissement dans le coût pour l’emprunteur.

3 Optimisation liée à un arbitrage de la grille des taux

Dans cette partie, nous nous intéressons aux récents développements de modèles

d’arbitrage de taux fixes de la part des réseaux bancaires français.

3.1 Arbitrage d’une grille de taux client

En matière de prêt immobilier, les réseaux bancaires de distribution disposent d’une grille

de taux16 à proposer à l’emprunteur. Cette grille est composée du taux à appliquer en fonction

de la durée du prêt. En général, la grille de taux n’est pas liée au type d’amortissement choisi

16 Les taux composant une grille sont en général des taux annuels proportionnels.



par l’emprunteur. Cette faiblesse a fait apparaître, depuis quelques années, l’arbitrage des grilles de taux par les réseaux eux-mêmes.

Prêt à taux fixe Durée Taux Client

3 à 7 ans 3,50% 8 à 10 ans 4,00% 11 à 12 ans 4,55% 13 à 15 ans 5,00% 16 à 17 ans 5,10% 18 à 20 ans 5,20% 21 à 25 ans 5,35%

Tableau 4 : Exemple d’une grille de taux de prêt à taux fixe

L’arbitrage consiste à monter un plan de financement composé de plusieurs prêts

permettant de financer un montant sur une durée donnée à un coût moins élevé qu’au taux client ci-dessus appliqué sur un seul prêt. La somme des charges de ces prêts (de durées différentes) est généralement constante. Comme la technique sous-jacente est le lissage de prêts, on parle de prêts « emboîtés ». EXEMPLE.- Minimisation du T.A.E.G.

Considérons un besoin de financement immobilier à hauteur de 100 000 euros sur 15 ans sans frais ni assurance (pour la clarté de l’exemple).

En se référant à la grille de taux ci-dessus, l’emprunteur se voit proposer un prêt à charge

constante au taux de 5,00 %. Le montant de la charge correspondante est de 790,79 euros.

Le T.A.E.G. de cette proposition est de 5,12 % l’an. De plus, le coût total de cette proposition

est de 42 342,20 euros.

Afin d’améliorer le T.A.E.G. de son plan de financement, l’emprunteur décide de

composer avec deux prêts son plan de financement tel que : Prêt 1 : 25 000 euros sur 5 ans au taux de 3,50 % à charge constante. La charge s’élève à 454,79 euros pendant 5 ans. Prêt 2 : 75 000 euros sur 15 ans au taux de 5,00 %. Ce prêt lissera le premier prêt et comportera donc deux paliers. Le palier 1 s’élève à 328,88 euros pendant les 5 premières années, puis le palier 2 s’élève à 783,67 euros pendant les 10 dernières années. Ainsi l’emprunteur obtient une charge constante totale durant 15 ans de 783,67 euros. Le T.A.E.G. de cette proposition est de 4,97 % l’an. De plus, le coût total de cette proposition

est de 41 061,60 euros.

Sous la mesure du T.A.E.G. et sous la contrainte d’un prêt amorti en 180 mois en charge

constante, la deuxième proposition est plus avantageuse que la première. Mais l’emprunteur



aurait-il dû, au sens du T.A.E.G., choisir d’autres montants sur les deux prêts ? Aurait-il dû composer son plan de financement de quatre prêts ? La problématique est donc la suivante :

On considère un besoin de financement, une durée souhaitée de remboursement, un amortissement donné et une grille de taux client similaire à celle ci-dessus. Quel est le plan de financement, tenant compte de tous les éléments des prêts (assurance, frais de dossier, prêts conventionnés etc.) et répondant aux contraintes précédentes, qui minimise le coût au sens du T.A.E.G.?

Dans un premier temps, nous présenterons le modèle développé par GARDI ET DAVID [1] et utilisé par plusieurs banques françaises. Ce modèle est basé sur la technique de programmation linéaire en nombres entiers (PLNE). La mesure du coût du plan de financement immobilier est le coût total. A ce stade, il convient de légitimer l’utilisation de cette mesure qui déroge au principe d’actualisation. Nous devons faire l’hypothèse que, lors de la construction d’un plan de financement, tous les flux autres que les flux d’intérêts et d’amortissements sont connus au moment de l’élaboration du plan. Prenons les flux classiques de chargement :

• Les frais de dossier : ceux-ci sont en général forfaitaires ou proportionnels au capital total emprunté. Un plan de financement comportant un seul prêt ou n prêts aura donc les mêmes frais de dossier.

• Les frais de garantie : ces frais viennent facturer la garantie sur le montant global du plan de financement. Ils sont donc indépendants du nombre de prêts.

• L’assurance : les cotisations d’assurance sont prélevées au même moment que les charges de remboursement. Celles-ci sont calculées soit sur le capital initial, auquel cas le nombre de prêt du plan n’impacte pas les cotisations, soit sur le capital restant dû, auquel cas, nous pouvons l’ajouter au taux nominal d’intérêt.

L’hypothèse que nous avons prise n’est donc pas trop restrictive. De plus, en utilisant la

bijection établie entre le taux actuariel du plan et son coût total lorsque le type d’amortissement est connu, nous affirmons qu’il est équivalent de minimiser le coût des intérêts et le taux actuariel du plan de financement.

Dans un second temps, nous allons construire un modèle basé sur des raisonnements actuariels qui, sous les mêmes hypothèses, permet d’obtenir des résultats d’optimisation comparables. En effet, la PLNE a comme désavantage sa grande complexité et les raisonnements actuariels classiques permettent de diminuer très largement cette complexité.

3.2 Optimisation par programmation linéaire en nombres entiers

La modélisation d’un plan de financement basée sur la PLNE fut développée par GARDI ET

DAVID [1]. Nous ne détaillerons pas toute la technique nécessaire à l’élaboration d’un programme linéaire en nombres entiers. Néanmoins, nous présenterons les grandes lignes de la modélisation. Nous invitons donc le lecteur à consulter leur article [1] publié dans le 13ème Bulletin Français d’Actuariat.



3.2.1 Définitions d’un programme linéaire

On parle d’optimisation linéaire lorsqu’il faut maximiser (ou minimiser) une fonction

linéaire sous des contraintes linéaires. On appelle variable toute quantité utile à la résolution du problème dont le modèle doit déterminer la valeur. On appelle fonction économique (ou fonction objectif) d’un problème d’optimisation le critère de choix entre les diverses solutions possibles. On appelle contraintes du problème toutes les relations limitant le choix des variables. EXEMPLE.- 21 53 max xxz += (23)

0

0

1823

122

4

s.c.q.

2

1

21

2

1

≥

≥

≤+

≤

≤

x

x

xx

x

x

REMARQUE.- On abrège « sous contraintes que » par « s.c.q. ». Dans ce cas, les variables sont

1x et 2x , les contraintes suivent l’accolade et la fonction économique est 21 53 max xxz += .

Formellement, un programme linéaire consiste, en un vecteur ∈c IRn, une matrice

nmA × , , à valeurs réelles et un vecteur ∈b IRm, à trouver un vecteur ∈x IR

n, solution du

programme mathématique suivant :

xcT z max =

0≥

≤

x

bAx

La région S : 0,IR n ≥≤∈= xbAxxS est la région réalisable

On définit Sx ∈* comme solution optimale si xcxcSx TT ≥∈∀ *, .

Ce type d’optimisation se résout par la méthode du simplexe. De plus, en définissant des nouvelles variables, appelées variables d’écart, des contraintes d’égalité peuvent être ajoutées.

Un problème de programmation linéaire en nombres entiers (PLNE) est un programme

linéaire, c'est-à-dire une fonction objectif linéaire à maximiser ou minimiser, sous des contraintes linéaires, dans lequel il y a la contrainte supplémentaire que les variables sont entières. On parle de programme linéaire mixte un programme comportant simultanément des variables entières et continues. xcTmax z = (24)

≥

≤

0x

bAx

Les programmes linéaires mixtes sont résolus par un algorithme appelé selon le terme anglo-saxon « Branch and Bound » (séparation et évaluation).

s.c.q

s.c.q. ,et ix entiers.



Concernant les outils permettant ces optimisations, il existe plusieurs logiciels de résolution de problèmes de programmation linéaire et de programmation en nombres entiers. Parmi les produits commerciaux on peut citer notamment CPLEX. Dans le monde des logiciels libres, GLPK

17 est un des outils les plus performants. La fonction « Solveur » d’Excel utilise GLPK pour résoudre les programmes mais celle-ci atteint assez vite ses limites.

3.2.2 Modélisation d’un plan de financement immobilier

Un prêt présente, en fonction de son type, les caractéristiques suivantes :

• un capital empruntable minimum minC et un capital empruntable maximum maxC ,

• une durée minimum minD et une durée maximum maxD ,

• un montant d’amortissement mensuel minimum minAm ,

• pour chaque durée d possible, un taux de période dt est appliqué.

Pour les besoins pratiques, les durées sont exprimées en mois et les montants en centimes.

Ainsi, lorsqu’un prêt est inclus dans le plan de financement, son montantC , sa durée d et ses échéances mensuelles de remboursement dMM ,..,1 doivent satisfaire aux contraintes

suivantes : (1) maxmin CCC ≤≤

(2) maxmin DdD ≤≤

(3) CtMAm d ⋅−= 11 Définition du premier amortissement

(4)

−⋅−= ∑

−

=

1

1

j

k

kdjj AmCtMAm

pour tout dj ,..,2= Définition des autres amortissements

(5) ∑=

=d

k

kAmC1

Condition d’amortissement du prêt

(6) min1 ,.., AmAmAm d ≥ Condition d’amortissement minimum

Fort de la modélisation précédente, nous pouvons modéliser un plan de financement.

Considérons un plan de financement, a priori non optimal. Dans ce cadre, nous devons modéliser la prise de décision concernant l’inclusion d’un nouveau prêt permettant d’optimiser le plan. C’est dans ce contexte que la PLNE entre en jeu. On attribue à chaque prêt potentiel une variable binaire 1,0∈p telle que :

• Si 1=p alors le prêt est inclus dans le plan de financement,

• Si 0=p alors le prêt n’est pas inclus dans le plan de financement.

De plus, on introduit les variables binaires de durées 1;0,..,maxmin

∈DD dd telles que :

1=jd si le prêt a une durée de j mois

0=jd sinon

Pour qu’une seule durée ne soit affectée au prêt (s’il est inclus dans le plan), on ajoute la contrainte : 17 GLPK (GNU Linear Programming Kit) est distribué sous GNU GPL. Lien : http://www.gnu.org/software/glpk/glpk.html .



∑=

=max

min

D

Dj

j pd (25)

Pour connaître le montant à emprunter pour ce prêt, on introduit les suites de variables ( )

jkkjAm,..,1, =

et ( )jkkjInt

,..,1, =, pour tout maxmin ,...,DDj = , afin de modéliser l’amortissement

remboursé au kème mois et l’intérêt de ce même mois pour une durée fixée de prêt de jmois :

( )∑= +

+=

≤≤j

kk

j

jkjk

j

jjj

t

IntAmC

CdCCd

1

,,

maxmin

1

(26)

Où jC correspond au montant à emprunter pour la durée j .

=⋅−=

⋅=

−− jkAmtIntInt

CtInt

kjjkjkj

jjj

,..,2pour tout 1,1,,

1, (27)

On ajoute deux contraintes d’amortissement minimum et d’amortissement du prêt :

⋅≥

=∑=

,.., min,1,

1,

AmdAmAm

CAm

jjjj

j

k

jkj (28)

Il est à noter que toutes les contraintes sont bien des contraintes linéaires.

Certains prêts seront figés par rapport à l’optimisation. Cela signifie que l’optimisation ne

modifiera pas leurs caractéristiques et les considèrera comme des prêts externes. On appelle prêt externe un prêt déjà contracté par le client. Certains prêts, subventionnés ou garantis par l’Etat français, ont des caractéristiques réglementaires plus complexes. Les prêts Epargne-Logement ont des montants minimum et maximum qui dépendent de la durée. Les prêts sur PEL ont un taux déjà connu et les prêts sur CEL ont un taux qui dépend du montant emprunté. Pour les prêts non réglementés, on utilise le taux issu de la grille de taux associé au prêt. Considérons une optimisation à N prêts, chacun d’un montant ( )

NjjC..1=, d’une durée jd et

ayant un intérêt ijInt , à la ième période, jdi ≤≤1 . La fonction objectif se définit par :

∑∑= =

N

j

d

i

ji

j

Int1 1

,min (29)

De plus, outre les contraintes liées à chaque prêt, nous avons la contrainte absolue garantissant le montant à emprunter souhaité :

∑=

=N

j

j CC1

(30)

• Contrainte sur la durée

L’utilisateur fixe la durée totale de la solution de financement que doit construire l’optimisation, c’est-à-dire la durée du prêt la plus longue de cette solution. L’objectif est donc de minimiser la mensualité totale maximum atteinte sur la durée totale de la solution de financement. On force un des prêts à avoir une durée dd j = souhaitée et les autres prêts du



plan de financement devront avoir une durée inférieure. Nous étudierons spécifiquement ce modèle sous cette contrainte.

• Contrainte sur la mensualité

En fait, l’emprunteur dispose d’une capacité maximum de remboursement (qui peut être variable dans le temps). L’utilisateur fixe la mensualité (éventuellement par période) de la solution de financement à construire par l’optimisation, c’est-à-dire la somme des mensualités des prêts composant cette solution. L’objectif sera de minimiser le coût de la solution de financement au sens du coût total. Dans ce modèle, nous pouvons assurer le non dépassement de la capacité mensuelle kCap du mois k (à priori variable avec le temps) de remboursement

du client. Pour chaque mois k , la charge totale est ( ) k

N

j

kjkj CapIntAm ≤+∑=1

,, .

3.2.3 Exemple d’optimisation

Le besoin de financement s’élève à 000 200=C euros pour une durée exigée de 180

mois et le prêt est remboursé en charge constante. Comme les flux fixes autres que l’amortissement et l’intérêt n’auront pas d’impact sur la minimisation, nous ne les intégrerons pas pour ne pas alourdir l’exemple. De plus, dans cet exemple, le minimum d’amortissement de chaque prêt est arbitrairement fixé à 1 euro.

La charge constante hors assurance sur 180 mois est de 1 524,88 euros par mois au taux de

la grille de 4,45 %. Le T.A.E.G. s’élève à 4,54 % et le coût total des intérêts s’élève à 478,40 74 euros.

Durée (en années)

Taux Client

3 à 7 4,25 % 8 à 10 4,35 % 11 à 12 4,40 % 13 à 15 4,45 % 16 à 17 4,55 % 18 à 20 4,70 % 21 à 25 4,80 %

Tableau 5 : Grille des taux fixes client

CAS D’UN LISSAGE SIMPLE.- En utilisant l’optimisation on peut créer un emboîtement de deux prêts à taux fixe minimisant le coût des intérêts. Le financement se retrouve découpé en deux prêts :

• le premier prêt est d’un montant de 118 179,85 euros sur 120 mois au taux de 4,35 %. La charge constante s’élève à 1 216,27 euros,

• le second prêt est d’un montant de 81 820,15 euros sur 180 mois au taux de 4,45 %. Il comporte un palier de 304,43 euros pendant 120 mois et un second palier de 1 520,67 euros pendant 60 mois.



La charge constante s’élève à 1 520,70 euros pendant 120 mois puis à 1 520,67 ensuite18. Le T.A.E.G. s’élève à 4,50 % l’an et le coût total des intérêts s’élève à 73 724,20 euros.

Figure 8 : Optimisation de deux prêts immobiliers à taux fixe

REMARQUE.- La mise en place de cette optimisation ne comprenant que deux prêts est déjà impressionnante.

En effet, en guise d’illustration, cette modélisation comporte 965 contraintes pour 463 variables dont 16 entières. Ce type de modélisation en nombres entiers n’est pas raisonnable sous Excel. AJOUT D’UN PTZ.- Admettons que l’emprunteur ait le même besoin de financement mais soit éligible au PTZ. Dans le cas de notre client, le montant de son PTZ est de 16 125 euros amorti en charge mensuelle constante sur 96 mois. On obtient la solution de financement suivante :

• le montant du PTZ est de 16 125,00 euros sur 96 mois avec une charge de 167,97 euros,

• le premier prêt est d’un montant de 103 238,77 euros sur 120 mois au taux de 4,35 %. La charge constante s’élève à 1 034,48 euros pendant 96 mois puis 1 202,44 euros pendant 24 mois,

• le second prêt est d’un montant de 80 636,23 euros sur 180 mois au taux de 4,45 %. Il comporte un palier de 299,02 euros pendant 96 mois , un second palier de 299,03 euros pendant 24 mois et un dernier palier de 60 mois de 1 501,47 euros.

La charge totale est de 1 501,47 euros pendant 180 mois. Le T.A.EG. s’élève à 4,30 %

l’an et la somme totale des intérêts de ce plan de financement est de 70 264,60 euros.

18 La charge totale n’est pas tout à fait lissée. Cette différence s’explique par le processus d’optimisation qui s’exempte, dans un premier temps, des arrondis. La difficulté, dans ce cas, est de connaître la durée du prêt la plus courte et son montant.



Figure 9 : Ajout d’un PTZ dans le plan de financement

AJOUT D’UN PRET EL.- Le client dispose de 5 000 euros de droits à prêt sur son PEL ouvert le 01/08/1999. Le taux du prêt Epargne-Logement sera donc de 4,31 %19. Le prêt EL sera amorti en charge mensuelle constante. L’optimisation déterminera le montant et la durée de ce prêt. Après optimisation :

• Le montant du PTZ est de 16 125,00 euros sur 96 mois avec une charge de 167,97 euros,

• le montant du prêt EL est de 60 041,00 euros sur 180 mois remboursé en charge constante égale à 450,98 euros.

• le premier prêt est d’un montant de 67 562,88 euros sur 120 mois au taux de 4,35 %. La charge constante s’élève à 667,31 euros pendant 96 mois puis 835,28 euros pendant 24 mois,

• le second prêt est d’un montant de 56 271,12 euros sur 180 mois au taux de 4,45 %. Il comporte un palier de 209,68 euros pendant 120 mois et un second palier de 1 044,95 euros pendant 60 mois.

La charge totale est de 1 495,94 euros pendant 120 mois et de 1 495,93 euros pendant 60

mois. Le T.A.E.G. s’élève à 4,25 % l’an et la somme totale des intérêts de ce plan de financement est de 69 268,60 euros.

A ce stade, l’optimisation a permis de déterminer la solution la moins chère en incorporant

les prêts réglementés du client. Ainsi, de la proposition la plus naïve à cette dernière proposition, le T.A.E.G. du plan diminue de 4,54 % l’an à 4,25 % l’an.

19 Attention, le taux d’un prêt épargne logement est toujours exprimé en taux actuariel annuel.



Figure 10 : Ajout du prêt EL dans le plan de financement

3.2.4 Critiques de ce modèle

Au prix d’une grande complexité, le modèle développé par GARDI ET DAVID propose aux

établissements bancaires une solution opérationnelle d’optimisation de plan de financement immobilier. La principale force de ce modèle est son adaptabilité aux souhaits de l’emprunteur. Pourtant l’essence du modèle n’est qu’une modélisation en programme linéaire de l’algorithme du tableau d’amortissement démultiplié par le nombre de prêts potentiellement en jeu. L’optimisation en tant que telle repose sur une logique combinatoire ne comprenant aucun raisonnement actuariel. La réussite de ce modèle repose sur deux points :

• Lorsque le type d’amortissement est une contrainte du modèle, minimiser le T.A.E.G. revient à minimiser le coût total.

• Dans la mesure où les grilles de taux sont valables pour tout type d’amortissement, elles sont arbitrables.

3.3 Optimisation par raisonnement actuariel

L’objet de cette partie n’est pas de spécifier un modèle opérationnel de décomposition

optimal mais de présenter un modèle actuariel permettant de répliquer les résultats de la PLNE dans le cas d’une grille de taux croissante.

3.3.1 Description du modèle

Plaçons nous dans le cas où le prêteur dispose d’une grille de taux ( )

miiti ,..,1, = associée à

une périodicité de remboursement donnée telle que :

• Le nombre de périodes dans l’année est p .



• Pour un prêt de durée i , exprimée en nombre de périodes, le taux de période appliqué sur toute la durée du prêt est it quel que soit le mode d’amortissement choisi par

l’emprunteur. • 0 , ≥≥>∀ ij ttij : les taux sont croissants avec la durée de l’emprunt.

REMARQUE.- Sans perte de généralité, la notion de grille de taux peut être assimilée à la notion de courbe des taux.

Considérons un prêt d’un montant C sur une durée i et notons ( )ikkCRD ,..,0= la suite du

capital restant dû. Dans ce modèle le mode d’amortissement doit vérifier : • CCRD =0 et 0=iCRD définissant l’amortissement en fin de prêt.

• Pour tout ik ,..,1= , 1−≤ kk CRDCRD

La seconde condition traduit le fait que l’amortissement doit toujours être positif ou nul.

En d’autres termes, le différé total n’est pas permis dans le modèle. L’emprunteur doit donc verser a minima les intérêts sur le capital restant dû.

3.3.2 Décomposition optimale

Nous appelons décomposition optimale le découpage d’un financement immobilier en un

maximum de prêts tel que leur union ait un T.A.E.G. minimal. La première interrogation est de connaître le type d’amortissement des prêts constituant la décomposition optimale.

L’Annexe 6 montre qu’en cas de grille de taux croissante, la décomposition optimale d’un prêt de durée i périodes est constituée de i prêts in fine. L’idée sous-jacente est d’emprunter le plus possible le plus tôt pour bénéficier au maximum des taux courts. Comme les différés totaux ne rentrent pas dans ce modèle, l’amortissement optimal est donc l’amortissement in fine.

Afin de construire un plan de financement optimal, nous devons connaître la valeur actuelle optimale, id est maximale, liée à la courbe des taux de un euro perçu dans l’avenir.

Définissons, pour mi ,..,1∈ , ( )iP ,0 le facteur d’actualisation optimal lié à la courbe des taux donnant la valeur aujourd’hui de un euro perçu à la période i . Les facteurs d’actualisation optimaux vérifient :

( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) 2 ,01,01

2,011,01

1,011

1

1

22

1

≥≥∀×++⋅=

×++×=

×+=

∑−

=

kmkPtiPt

PtPt

Pt

k

k

i

k

M

Exprimons ces conditions matriciellement :

( )( )

( )

( )( )

( )

×

+

+

+

=

mP

P

P

ttt

tt

t

mmm ,0

2,0

1,0

1

01

001

1

1

1

22

1

M

L

MOM

K

M (31)



La matrice carrée centrale de la relation (31) définissant l’amortissement in fine est triangulaire de diagonale non nulle, donc elle est inversible.

Pour une grille de taux donnée, nous obtenons la suite des facteurs d’actualisation optimaux ( )( ) miiP ,..,1,0 = par la relation :

( )( )

( )

( )( )

( )

×

+

+

+

=

−

1

1

1

1

01

001

,0

2,0

1,01

22

1

M

L

MOM

K

M

mmm ttt

tt

t

mP

P

P

(32)

Comme la matrice est triangulaire, nous pouvons déterminer les facteurs d’actualisation de

proche en proche :

( )

( ) ( )( )

( )( )

( )2

1

,0t-1

,0

1

1,012,0

1

11,0

1

1k

2

2

1

≥≥∀+

⋅=

+

⋅−=

+=

∑−

= kmt

iP

kP

t

PtP

tP

k

k

i

M

Cette technique est similaire à la technique d’extraction des taux zéro-coupons dans la

gestion obligataire ou monétaire. EXEMPLE.- Considérons un prêt de montant C remboursé en n charges constantes. Alors la charge constante la plus faible résultant d’un plan de financement composé de n prêts in fine

est solution de ( )∑=

⋅=n

k

kPMC1

,0 . La charge constante optimale est donc ( )∑

=

=n

k

iP

CM

1

,0.

De plus, la suite des capitaux ( ) ni

iC ,..,1= à emprunter sur la durée i au taux it est

déterminée par :

( )( )

( )

×

+

+

+

=

−

M

M

M

t

tt

ttt

C

C

C

n

n

n

n

M

L

MOM

L

M

1

2

21

2

1

100

10

1

Les prêts constituant la charge constante étant tous in fine, les n prêts se lissent successivement.



Figure 11 : Exemple de décomposition d’un prêt en n prêts in fine

REMARQUE.- Dans le cas d’une grille de taux constante par paliers, nous regrouperons les prêts par tranche de taux constants pour diminuer le nombre de prêts. Ainsi, chaque prêt du plan de financement lié à la grille des taux sera un prêt amorti en charge constante suite à un différé d’amortissement.

3.3.3 Applications et critiques

3.3.3.1 Exemple d’application

Reprenons les données utilisées dans l’optimisation en PLNE de la section 3.2.3.

4,20%

4,30%

4,40%

4,50%

4,60%

4,70%

4,80%

4,90%

0 50 100 150 200 250 300

durée du prêt (en mois)

Taux du prêt

Taux issus de la grille des taux Taux optimaux pour une charge constante

Figure 12 : Grille de taux et décomposition optimale du taux pour la charge constante

Dans notre exemple, le taux nominal optimal applicable est égal à 4,38 % (à comparer au taux grille de 4,45 %) sur 180 mois soit une charge mensuelle de 1 517,70 euros.

Prenons en compte les prêts réglementés de l’emprunteur : • Un prêt à taux zéro pour un montant de 16 125,00 euros remboursé en 96 mensualités

de 167,97 euros. • L’emprunteur dispose de 5 000,00 euros de droit à prêt EL permettant d’emprunter au

taux actuariel de 4,31 %.



L’inclusion du PTZ dans le plan de financement est évidente. Dans ce cas, nous cherchons la charge constante globale M telle que

( ) ( ) ( )∑ ∑= =

−=⋅+⋅−96

1

180

97

125 16000 200,0,097,167k k

kPMkPM .

Nous obtenons 82,498 1=M euros. Le T.A.E.G. du financement est de 4,27 %.

Figure 13 : Découpage optimal du plan de financement en prenant en compte le PTZ

Pour déterminer la charge optimale prenant en compte les droits à prêt EL, nous devons déterminer, pour chaque durée du prêt EL, le capital empruntable et la charge correspondante. Nous ferons l’hypothèse que, pour une durée de PEL donnée, le montant potentiel du PEL à inclure dans le plan de financement est le montant maximal empruntable sur cette durée. Pour une durée en mois de PEL donnée k , notons k

PELC et k

PELM le montant

empruntable et la charge correspondante. Nous obtenons une charge globale kM telle que :

( ) ( ) ( )

( )∑

∑ ∑

=

= =

⋅+⋅+−−=

180

1

1

96

1

,0

,097,167,0125 16200000

i

k

i i

k

PEL

k

PEL

k

iP

iPiPMC

M

La charge optimale sera la charge à la fois admissible à notre modèle et produisant un T.A.E.G. minimal. La durée de l’emprunt du PEL étant comprise entre 2 ans et 15 ans, le problème admet une solution (sous réserve d’admissibilité).

Nous obtenons une charge globale de 1 494,15 euros pour un T.A.E.G de 4,23 %.



Figure 14 : Découpage optimal du plan de financement en prenant en compte le PTZ et le PEL

3.3.3.2 Conclusion et critiques

L’optimisation obtenue par PLNE ne repose que sur une logique combinatoire couplée à

un algorithme permettant de converger vers le coût total le plus faible. Par chance, cette mesure de coût, non actuarielle, coïncide pour un amortissement donné avec le taux effectif du plan de financement. Néanmoins, sa mise en œuvre reste lourde et peu accessible. Nous préconisons donc l’approche actuarielle que nous avons élaborée. Pourtant ce modèle repose sur des hypothèses fortes :

• La grille de taux est croissante. Cette assertion, souvent vérifiée empiriquement, conditionne tous les résultats obtenus. Dans le cas d’une grille strictement décroissante, l’emprunteur aurait intérêt à emprunter plus sur le taux long. Ainsi, il choisira le taux de la grille correspondant à la maturité de son financement. Dans le cas d’une grille de taux non monotone, nous ne pouvons pas conclure.

• La grille de taux est valable pour tout type d’amortissement. Cette assertion n’est pas toujours vérifiée. En effet, les réseaux bancaires proposent en général une grille de taux spécifique aux prêts in fine. Pourtant, nous avons établi que l’arbitrage effectué ci-dessus revenait à utiliser des prêts in fine. Nous mettons donc en évidence la maladresse des informations contenues dans les grilles de taux.

Nous concluons en affirmant que les établissements de crédit devraient mettre à disposition

de l’emprunteur une unique grille de taux basée sur un amortissement in fine. A partir de cette grille, l’emprunteur se verra proposer un unique taux non arbitrable selon l’amortissement souhaité.



4 Elargissement de l’offre bancaire

Dans la partie précédente, nous avons étudié l’opportunité d’arbitrer une grille de taux afin

de bénéficier du taux fixe le plus faible. En effet, cette étude est motivée par la constatation que plus de 80 % des prêts immobiliers20 en France sont à taux fixe et une majorité de ceux-ci sont remboursés en charge constante. La hausse des prix de l’immobilier motive les établissements bancaires à allonger la durée initiale afin d’assurer un endettement raisonnable.

Cet allongement de la durée du crédit engendre deux conséquences néfastes à la fois pour le prêteur et l’emprunteur :

• La probabilité de défaillance de l’emprunteur augmente avec la durée du crédit. • L’allongement de la durée ralentit mécaniquement l’amortissement du prêt et expose

l’emprunteur à un retournement du marché de l’immobilier en cas de revente.

Pour se persuader du second point, étudions l’évolution du capital restant dû en fonction de l’allongement de la durée dans le cas de la charge constante :

( )

( ) ( )

( ) n

knkn

i n

kn

i

n

kt

tC

ta

taC

tta

CCRD

−

−−−

=

−

+−

+−⋅=⋅=

+⋅=∑

11

11

)(

)(

1

1

)(1

(33)

Illustrons ce résultat dans le cas d’un prêt de 100 000 euros au taux nominal de 5 % et observons le capital restant dû au bout de 7 ans (84 mois) :

-

20 000,00

40 000,00

60 000,00

80 000,00

100 000,00

84 180 276 372 468 564

Durée initiale du prêt (en mois)

Montant

Figure 15 : Capital restant dû au bout de 84 mois

Plus la durée du prêt est longue, plus le prêt s’apparente à un prêt in fine où l’emprunteur n’amortira pas le capital et ne s’acquittera que de ses intérêts. Cette croissance exponentielle pourrait fragiliser à terme les emprunteurs.

Dans ce contexte, les établissements bancaires doivent diversifier leurs offres afin de proposer rationnellement un prêt adapté à chaque emprunteur. L’objet de cette partie est de présenter des prêts originaux pouvant palier les faiblesses du prêt en charge constante à taux fixe.

20 Statistique issue du rapport annuel 2006 de la BANQUE DE FRANCE [26].



4.2 Prêts à taux indexés

Les prêts à taux indexés ont connu une popularité croissante aux cours des dernières

années de baisse des taux. D’après la BANQUE DE FRANCE [27], la proportion de ces prêts a atteint 38 % fin 2004 dans les flux de contrats nouveaux. A fin 2006, la production de ces prêts est revenue à un niveau traditionnellement bas de 18 %.

4.2.1 Prêts à taux indexés sur l’Euribor

L’Euribor, crée en 1999, est le taux interbancaire de référence de l’Union Economique et

Monétaire. Nous reviendrons sur ce taux dans la partie suivante. Le taux indexé est une fonction d’un Euribor préalablement définie. L’échéance de

l’Euribor choisi peut par exemple correspondre à la périodicité du remboursement. De plus, le taux indexé peut être révisé à une périodicité autre que l’Euribor choisi et peut résulter d’une moyenne des Euribor sur une période donnée.

De plus, les prêts à taux indexés sont généralement assortis d’une garantie de taux plafond et d’un taux plancher. En notant indexéT la variable aléatoire du taux indexé, plafondT le taux

plafond et plancherT le taux plancher, l’emprunteur s’acquittera des intérêts du prêt à hauteur de

CRDp

T

p

TMax

p

TMin

plancherindexéplafond ⋅

,,

Notons α la différence entre le taux plafond et le taux indexé à l’initiation du prêt et β la

différence entre le taux indexé initial et le taux plancher. Selon le souhait de l’emprunteur, l’établissement de crédit peut ajuster ces deux paramètres :

• L’emprunteur souhaite bénéficier de la baisse des taux d’intérêt, alors plus β sera élevé, plus le taux indexé initial sera élevé (à α constant).

• L’emprunteur souhaite limiter sa charge d’intérêt initiale, alors α sera élevé à β constant (faible a priori).

De plus, si 0== βα , le taux du prêt « indexé » ne varie plus et deviendra un taux fixe. Il

convient donc au prêteur d’être homogène dans ses propositions pour tenir compte de cette spécificité.

La garantie de taux plafond permet de limiter le risque d’alourdissement des intérêts de l’emprunteur en cas de hausse de l’Euribor.

Sur le marché des prêts indexés, l’omniprésence de l’index Euribor est surprenante dans la

mesure où cet index est généralement inconnu des emprunteurs.

4.2.2 Prêts à taux indexés sur le taux du livret A

Avec 48 millions de détenteurs, le livret A est le produit d’épargne français le plus

répandu sur le territoire. Il s’agit du produit d’épargne le plus ancien. Sa création remonte à 1818, à l’initiative de Benjamin Delessert, et sa diffusion est assurée par la Caisse d'épargne, la Banque postale (La Poste jusqu'en 2005) et le Crédit Mutuel (il est alors appelé Livret Bleu). En 2007, l’encours des livrets A s’élève à 130 milliards d’euros.



Figure 16 : Encours du livret A - source : GABRIELLI ET WILHELM [18]

Le livret A joue un rôle important dans le financement du logement social. Il représente 55% des fonds d’épargne centralisés à la Caisse des Dépôts et Consignations (CDC). Celle-ci gère les fonds d’épargne en vue du financement d’intérêt général comme le logement social. De plus, le taux de la majorité des prêts aux organismes HLM21 est indexé sur le taux du livret A. Afin d’offrir des conditions privilégiées aux organismes de logement social, la transformation de la collecte en prêt s’effectue sans aucune marge d’intermédiation pour la CDC. Grâce à ces conditions, les organismes de logement social offrent à leurs locataires des loyers inférieurs à ceux du marché.

Depuis le 01/07/2004, le taux du livret A (TLA) est révisé le 01/08 et le 01/02 de chaque année selon la formule suivante :

%25,02

tabachorsInflation mois 3Euribor A livret du Taux +

+= arrondi à 0,25%.

Plus précisément, il s’agit de « la moyenne arithmétique entre d'une part la moyenne mensuelle de l'Euribor 3 mois et d'autre part l'inflation en France mesurée par la

variation sur douze mois de l’indice INSEE des prix à la consommation de l’ensemble des

ménages, pour le dernier mois pour lequel ces données sont connues, majorée d'un quart de

point, avec arrondi au quart de point le plus proche ou à défaut au quart de point supérieur. » (Règlement No2003-03 du comité de la réglementation bancaire et financière)

Au 01/08/2006, le taux du livret A est de 2,75 % l’an. L’avantage d’indexer le taux d’un prêt immobilier sur le TLA est de permettre à l’emprunteur de connaître la rémunération versée au titre du prêt. En effet, le taux du prêt T serait de la forme sTLAT += où s serait le spread correspondant aux instruments financiers mis en œuvre pour obtenir T .

Le mode utilisé dans la phrase précédente, le conditionnel, exprime un souhait. En effet, l’article L. 112-2 du Code Monétaire et Financier stipule que « Dans les dispositions statutaires ou conventionnelles, est interdite toute clause prévoyant des indexations fondées

sur le salaire minimum de croissance, sur le niveau général des prix ou des salaires ou sur les

21 Habitation à Loyer Modéré



prix des biens, produits ou services n'ayant pas de relation directe avec l'objet du statut ou de

la convention ou avec l'activité de l'une des parties. » En d’autres termes, le droit français interdit l’indexation du taux d’un prêt immobilier sur

l’inflation. Or, l’inflation est une composante déterminante de la formation du TLA. Ainsi, en 2007, la commercialisation de ce type de prêt n’est pas permise.

4.2.3 Prêts mixtes

Le prêt mixte est une solution hybride, entre le prêt à taux fixe et le prêt à taux révisable.

Ce prêt comporte une phase à taux fixe puis une phase à taux variable. EXEMPLE.- Soit C le capital emprunté sur une durée totale de n périodes avec une phase à taux fixe au taux périodique t pendant 1n périodes puis une phase à taux révisables

( )nniit ,..,11+= inconnus a priori. On définit l’encours du prêt par la suite ( )

niiCRD ,..,0= permettant

d’amortir à charge constante le prêt au taux fixe T pendant n périodes. Dans ces conditions, le capital restant dû s’exprime tel que :

( )( )ta

ta

CCRD

kn

n

k −×=

Les charges de remboursements kM seront égales à

• )(ta

CM

n

k = si 1nk ≤

• ( )kkkkk CRDCRDtCRDM −+⋅= −− 11 si 1nk >

L’avantage de ce type de prêt est double. Du point de vue de l’emprunteur, le taux fixe de

la première période est, dans un contexte de taux croissants, inférieur au taux fixe applicable sur la durée totale du prêt. Pour le prêteur, le risque de taux est limité à la période de taux fixe comme nous le verrons dans le modèle de refinancement.

Ce type de prêt est donc adapté aux emprunteurs désireux de vendre leur bien avant le terme du prêt. Pour que l’emprunteur ne soit pas soumis au risque de hausse des taux indexés, l’optimisation est de construire un prêt dont la durée de la phase fixe correspond au projet de revente de l’emprunteur.

4.3 Prêts personnalisés

Le prêt à taux indexé permet certes de refléter l’évolution de l’index mais seuls les intérêts

sont, par définition, impactés par la révision du taux. Afin de limiter l’allongement sans fin des durées des crédits, l’établissement prêteur doit avant tout étudier soigneusement le profil de l’emprunteur dans le but de définir un plan de financement approprié à ses ressources.

En premier lieu, nous étudierons des profils d’amortissement prenant en compte des flux d’amortissement ponctuels, déterminés à l’avance et propres à l’emprunteur.

Puis, nous présenterons le prêt à résidus variables permettant aux charges d’amortissement d’évoluer selon une variable aléatoire définie préalablement.



4.2.3 Prêts à flux ponctuels

Le prêt à flux ponctuels est un prêt remboursé selon un profil donné mais comportant

certains flux plus importants. Considérons un prêt de montant C remboursé en n charges ( )

nkkM ,...,1= appelées charges

régulières (constantes, par paliers etc.) et de m charges exceptionnelles ( )mkd k

F,..,1=

versées au

temps ( )mkkd ,..,1= avec 00 ≥d et mkF

kd,..,1 ,0 ∈∀≥ . La relation d’égalité en valeurs

actuelles s’exprime alors :

( ) ( )∑ ∑= = +

++

=n

k

m

kk

d

k

k

t

F

t

MC k

1 1 11

On obtient une relation générale triviale

( ) ( )∑∑==

≤+

=+

−n

kk

km

kk

dC

t

M

t

FC k

11 11

Cette relation illustre que, conformément à un mode d’amortissement souhaité, prendre en compte des flux exceptionnels revient à calculer les charges régulières sur un capital diminué de la valeur actuelle des flux exceptionnels. De plus, nous constatons que plus les flux exceptionnels seront importants et perçus au début du prêt, plus les charges régulières seront diminuées. EXEMPLE.- Cas d’un prêt remboursé mensuellement en charges constantes sur une durée n correspondant à un nombre entier d’années.

L’emprunteur a une entrée de trésorerie annuelle égale à F et le premier versement de ce flux exceptionnel correspond à l’échéance 12≤m . La charge régulière constante est solution de

( ) ( )∑=

−⋅+++⋅=

12

11121

)(

n

kkmn t

FtaMC

D’où ( ) ( )

( )mn

een

m

tta

FTTatC

M+⋅

⋅+⋅−+⋅=

1)(

1)(112 avec ( ) 11 12 −+= tTe le taux équivalent au taux

de période. Dans le cas d’un prêt de 100 000 euros au taux nominal de 5,00 % pendant 180 mois, la

charge constante s’élève à 790,79 euros. En admettant que l’emprunteur dispose à chaque fin d’année de 700,00 euros, la charge régulière est de 733,79 euros.

EXEMPLE.- Situons nous dans le cas où l’emprunteur, disposant d’un 13ème mois, souhaite étudier l’impact de ce flux exceptionnel sur sa capacité d’achat ou sur la durée du prêt. Précisément, la charge régulière sera fonction du montant du salaire net mensuel S et les charges exceptionnelles seront fonction du 13ème mois. Prenons le cas où le souhait de ce dernier est de consacrer 1/3 de son salaire mensuel net S . Ajouter la totalité son 13ème mois au financement lui permet d’emprunter en plus sur la durée n le montant :



( ) ( )( )( )

STat

T

t

Senm

e

n

kkm

⋅⋅+

+=

+∑=

−⋅+)(

1

1

1 12

12

1112

Figure 17 : Impact du 13ème mois sur la durée d’un prêt

De plus, nous avons mesuré l’impact de la prise en compte d’un 13ème mois dans la durée d’un emprunt standard sous les hypothèses suivantes :

• Le capital emprunté est 3

)(S

taCn

⋅= pour une durée de prêt n donnée.

• Nous avons calculé la durée d’amortissement de ce capital en prenant en compte le versement annuel d’un 13ème mois égal à S .

• La durée du prêt varie de 12 à 360 mois et le taux d’intérêt de 1 % à 10 %.

Les simulations montrent que la réduction liée au 13ème mois est d’autant plus significative que le prêt est long et que le taux est important22. Sur une durée initiale de 360 mois au taux nominal de 5 %, la réduction due au 13ème mois est de 124 mois, soit plus de 10 années.

4.2.4 Prêts à résidus variables

La principale spécificité des prêts préalablement étudiés est leur rigidité. En effet, le profil

du prêt étant déterminé à l’avance, l’emprunteur est soumis à plusieurs risques :

• Le changement de sa situation professionnelle ou personnelle peut avoir des conséquences néfastes sur la capacité de remboursement de l’emprunteur.

• Le changement du contexte économique peut fragiliser l’emprunteur. Ce fut par exemple la conséquence de la désinflation sur les prêts à paliers durant les années 80.

22 Le taux d’intérêt déterminant le capital, le poids de l’amortissement du 13ème mois est d’autant plus fort que le capital emprunté est faible.



Pour que le profil de remboursement du prêt épouse les évolutions temporelles, celui-ci se doit donc d’être variable. Dans la mesure où seuls les intérêts sont variables, les prêts indexés ne répondent que partiellement à cette problématique.

Sur la base de ces constations, LE BORGNE [2] a développé un modèle où les charges sont révisées périodiquement et ces révisions sont répercutées sur la valeur résiduelle du prêt.

La valeur résiduelle du prêt est la valeur en capital non amorti à la fin du prêt. Notons VR la valeur résiduelle d’un prêt remboursé en charge constante. L’égalité en valeur actuelle donne

( )( ))(

1

ta

tVRCM

n

n−+⋅−= (34)

Définissons les charges ( )nkkM ,..,1= par les variations ( )

nkk ,..,1=α de l’index

choisi : ( )∏=

+⋅=k

i

ik MM1

1 1 α avec 01 =α . La charge initiale est calculée selon la formule (34)

relativement à une valeur résiduelle initiale 0VR définie préalablement.

A chaque échéance, nous avons les relations :

( )( ) ( ) kn

knkkk

kkk

ttaMCRDVR

MtCRDCRD

−

−

−

+⋅⋅−=

−+⋅=

1)(

11

En d’autres termes, on recalcule périodiquement la valeur résiduelle comme si la charge calculée suite à la variation de taux restait constante jusqu’à la fin du prêt. EXEMPLE.- Soit un fonctionnaire de l’Etat s’endettant pour 100 000 francs en 1982 sur 20 ans au taux nominal de 12 % avec une valeur résiduelle initiale égale à 100 000 francs. L’index choisi par l’emprunteur est son salaire annuel net. La périodicité de la révision est annuelle. Nous avons utilisé les statistiques de l’INSEE concernant les salaires moyens annuels nets de la fonction publique pour modéliser l’évolution du salaire de l’emprunteur.

C

1 2 n-1 n

…..

M M M+VR

M



-150 000,00

-100 000,00

-50 000,00

-

50 000,00

100 000,00

150 000,00

0 48 96 144 192 240

Durée (en mois)

Montant

-

200,00

400,00

600,00

800,00

1 000,00

1 200,00

1 400,00

1 600,00

1 800,00

2 000,00 Montant

Valeur résiduelle (échelle de gauche) Encours du crédit (échelle de gauche)

Montant du remboursement (échelle de droite)

Figure 18 : Evolution d’un prêt à résidus variables

Dans cet exemple, à partir de la quatrième révision, la valeur résiduelle devenait négative.

Ainsi, dans l’hypothèse où le salaire de l’emprunteur n’allait pas évoluer à la baisse, celui-ci avait la certitude de rembourser son prêt avant les 240 mois. En choisissant de rester indexé, le prêt est remboursé au bout de 185 mois.

Le choix d’une valeur résiduelle initiale adéquate est donc primordial : • Si 00 =VR , alors la charge initiale sera la charge constante,

• Si CVR =0 ,alors la charge initiale sera égale à l’intérêt. On se situe donc dans le cadre

d’un différé d’amortissement. • Si CVR >0 , alors il y aura capitalisation périodique des intérêts. Dans ce cas de figure,

l’index choisi devra être suffisamment haussier pour éviter une croissance exponentielle de la dette.

Le choix de la valeur résiduelle doit être adapté à la capacité de remboursement de

l’emprunteur. En tout état de cause, une valeur systématiquement élevée de la valeur résiduelle initiale ne doit pas être préconisée. EXEMPLE.- Dans le cas d’un prêt de 100 000 euros au taux nominal de 5,00 %, nous avons simulé le profil d’amortissement selon la valeur résiduelle initiale (entre 0 et 100 000 euros). Nous avons utilisé les mêmes valeurs de l’index que dans l’exemple précédent.



Figure 19 : Evolution d’un prêt à résidus variables selon la valeur résiduelle initiale

Dans le cas d’un index croissant, et toutes choses égales par ailleurs, notons que plus le

taux d’intérêt est haut, plus la durée sera courte. En effet, la progression étant sur la charge, l’amortissement sera plus rapide (au prix d’un effort initial plus important). Ce dispositif est donc particulièrement adapté dans un contexte de taux relativement haut.

Le prêt à résidus variables est la réponse à la demande de personnalisation du crédit. Un index judicieusement choisi par l’emprunteur et admissible par le prêteur impliquera un remboursement adapté de la part du prêteur. Néanmoins, cette liberté affichée doit se traduire par des clauses contractuelles spécifiques :

• Pour ne pas tomber sous le joug de la loi sur l’anatocisme, une clause précisera qu’en cas de baisse de l’index, la dette est susceptible d’être augmentée des intérêts dus et non perçus.

• En cas de valeur résiduelle effective à la fin du prêt, une renégociation, dont les modalités auront été précisées dans le contrat initial, sera effectuée entre le prêteur et l'emprunteur afin d'amortir le prêt.


Partie 4 : Etude actuarielle du refinancement



En synthétisant le prêt immobilier par des produits de taux d’intérêt disponibles sur les marchés financiers, nous effectuons la liaison entre la sphère financière et la sphère opérationnelle afin de déterminer une tarification rationnelle des prêts immobiliers.

1 Modèle de refinancement en terme de gestion actif/passif

1.1 Mission de la gestion actif/passif

D’une manière générale, la gestion actif/passif (Assets Liabilities Management – ALM)

d’une banque généraliste a pour mission de mesurer et de couvrir les risques de taux, de liquidité et de change du bilan. Selon DUBERNET [24], le rôle de l’ALM est d’assurer la pérennité de l’établissement financier en limitant les risques financiers à des niveaux prédéterminés. Revenons à la définition des trois risques mentionnés :

• Le risque de taux d’un établissement financier est de voir sa marge d’intérêt et donc sa rentabilité dégradée par une évolution défavorable de la courbe des taux.

• Pour une banque, le risque de liquidité représente l’éventualité de ne pas avoir la faculté d’honorer ses engagements à un instant donné.

• Le risque de change23 se matérialise lorsqu’un mouvement des taux de change entraîne une perte de valeur des éléments du bilan libellés en une devise étrangère.

Le risque de taux est un risque inhérent à l’activité d’intermédiation de la banque. En

effet, en finançant des actifs à long terme comme les prêts immobiliers par des dépôts à court terme, la banque est structurellement soumise au risque de taux d’intérêt.

La caractéristique des produits distribués par la banque de détail est que ces produits ne font pas l’objet d’un marché financier. Ainsi, l’ALM ne se situe pas dans une salle des marchés mais en général au niveau de la direction financière. Conformément à DUBERNET

[24], nous dissocierons la sphère financière de la sphère opérationnelle. Les marchés financiers et ses intervenants délimitent le périmètre de la sphère financière

alors que la sphère opérationnelle représente l’activité de banque de détail. Une des missions de l’ALM est alors de modéliser l’interaction entre ces deux sphères. Au premier abord, les produits traités sur ces deux sphères (dépôts, emprunts) se ressemblent. Pourtant, nous constatons des différences techniques fondamentales. EXEMPLE.- Comme nous l’avons vu précédemment, un prêt bancaire est généralement à taux fixe et amorti en charge constante. Sur les marchés financiers, les prêts octroyés sont à taux variable et amortissables in fine. Les montants unitaires sur la sphère financière sont aussi nettement plus importants (supérieurs au million d’euro) alors que, sur la sphère opérationnelle, ceux-ci sont, en général, plus faibles.

Selon QUEMARD ET GOLITIN [21], 66 % des concours accordés au 30/09/2004 étaient des concours à taux fixe ou assimilés. De plus, la proportion des prêts immobiliers était de 50 %. Dans ce contexte, la Banque de France préconise une gestion ALM fine pour couvrir le risque de taux dû à une remontée déjà amorcée du coût de la ressource.

Ainsi, l’établissement d’une grille de taux pour les prêts immobiliers de la sphère opérationnelle est déterminant pour la gestion du risque de taux d’une banque généraliste.

23 Le sujet traité concerne les prêts immobiliers en euro a priori. Le risque de change n’est donc pas pris en compte.



1.2 Rôle du taux de cession interne

Le terme de Taux de Cession Interne (TCI) fait référence à un ensemble de techniques

financières propres à l’ALM dont le but est de constituer un compte de résultat analytique24 pour une sous entité d'un ensemble plus grand.

1.2.1 Définition du TCI

En général, une banque dispose d'une comptabilité qui calcule le résultat au niveau global

mais aussi par type d’activité. Pour autant ces différentes activités n'ont pas de refinancement individualisé sur les marchés. Seule la position nette de la banque fait l'objet d'une couverture en taux comme en liquidité.

Ainsi, afin de calculer un résultat par type d’activité qui tienne compte de chaque contribution au besoin de couverture en taux et liquidité du groupe, il est nécessaire de calculer un prix de transfert de la liquidité et du taux entre entités : c'est le Taux de cession interne. Une banque n’étant pas soumise au risque de crédit lorsqu’elle prête à elle-même, le TCI ne comporte pas de composante liée à ce risque.

Au niveau de l’ALM, l'analyse en TCI permet donc de définir un résultat pour une entité de taille arbitrairement petite en lui facturant analytiquement le coût de financement et les gains de replacement des différents éléments de son bilan. Cette facturation est faite à un TCI qui dépend de la position de taux et de liquidité de l'entité facturée.

Figure 20 : Transferts entre les différentes entités d’une banque

EXEMPLE.- Le TCI d'un crédit immobilier est le taux d'une opération de financement qui soit une opération de « micro-couverture » du crédit (c'est-à-dire d'une opération de financement qui réplique autant que possible les caractéristiques financières du crédit). Le taux lui-même de l'opération de refinancement est fonction d'une politique de refinancement interne. Cette politique peut consister à refléter l'équilibre des prix de marché ou à en déroger à des fins de pilotage ou de communication.

Le résultat analytique de l'entité qui ne comporte que le crédit immobilier dans son bilan est alors la différence entre les intérêts reçus sur le crédit et les intérêts payés sur l'opération

24 C'est à dire un résultat détaillé à des fins d'analyse.



notionnelle - c'est à dire théorique - de financement25. Ce résultat est également appelé marge commerciale du crédit (puisqu'il s'agit de la marge résiduelle une fois tous les risques couverts).

1.2.2 Détermination du TCI et options du bilan

La majorité des produits bancaires comporte des options implicites ou explicites. Même si

les produits d’épargne en comprennent, nous nous focaliserons sur les crédits en général et sur les crédits immobiliers en particulier.

• Options explicites

Les principales options explicites sont les options assorties à un taux variable, comme un taux plafond et un taux plancher. L’avantage de ce type d’option est leur existence sur les marchés financiers. Nous allons donc pouvoir les valoriser directement.

De plus, les options de remboursement comme les modulations de durée ou de montant au gré de l’emprunteur sont considérées comme des options explicites.

• Options implicites

Pour les crédits bancaires, la principale option implicite est le droit et non l’obligation de rembourser par anticipation tout ou une partie du capital restant dû en s’acquittant d’une pénalité forfaitaire (déterminée à l’avance) plafonnée à 3% du capital restant dû. Cette option n’existe pas sur les marchés financiers. En effet, sur ceux-ci, lorsqu’un contrat est rompu, une soulte actuarielle est calculée afin d’équilibrer les engagements initiaux des deux parties. Nous reviendrons ultérieurement sur cette option de remboursement.

La Figure 21 représente à la fois la décomposition d’un taux client et du TCI associé. La marge de pilotage est une marge positive ou négative liée à la politique commerciale menée par l’établissement bancaire.

Marge commerciale

Marge de pilotage

Coût des options

Coût de liquidité

Taux client

TCI

Taux de refinancement

Figure 21 : Décomposition d’un taux client

25 A une marge de pilotage près.



Le coût de liquidité est lui aussi lié à la politique de l’établissement. En effet, il résulte de scénarios définis par la banque d’évolution des produits du bilan et des conditions du marché.

En résumé, la formation d’un taux client pour un prêt immobilier donné ne résulte pas d’une équation rationnelle. L’unique évaluation rationnelle est l’évaluation du taux de refinancement du prêt immobilier.

1.3 Les marchés de taux d’intérêt

L’objectif de cette partie est de présenter les produits disponibles sur les marchés des taux

d’intérêt permettant d’obtenir le taux de refinancement des prêts immobiliers en euros que nous avons évoqués tout au long de l’étude. Nous verrons que le marché interbancaire traite continûment des produits similaires, au profil d’amortissement près, aux prêts classiques immobiliers.

Notons que sur les marchés financiers, le décompte des jours pour le calcul des intérêts est régi par des règles strictes. Pour pouvoir comparer décemment les taux des différents produits, la compréhension de ces bases est capitale. Chaque pays et chaque marché ayant ses propres spécificités, nous ne présentons dans l’Annexe 7 que les principales bases de calcul.

1.3.1 Les produits cash de taux

Sur le marché interbancaire, les banques négocient en permanence des taux pour des

dépôts ou des emprunts pour des durées inférieures à un an. Une banque parle de taux demandé (bid rate) pour le taux de rémunération d’un dépôt effectué par une contrepartie à la banque et de taux offert (offered rate) pour le taux d’un emprunt26 effectué par une contrepartie. Chaque jour où TARGET27 est ouvert, certaines références célèbres sont publiées à partir de ces taux :

• L’Eonia ou Euro Overnight Index Average

L’Eonia, remplaçant le Taux Moyen Pondéré français depuis le 01/01/1999, est le taux interbancaire offert entre les 48 banques les plus actives pour la rémunération de dépôts dans la zone Euro. Plus précisément, l’EONIA, calculé par le Système Européen de Banques Centrales, est le taux moyen auquel les banques effectuent leurs transactions en blanc28 au jour le jour, pondérées par les montants. Le déblocage des fonds s’effectue au jour J et le remboursement en J+1. L’Eonia est publié à 19h00 (heure d’Europe centrale) par la Fédération Bancaire de l’Union Européenne. L’Eonia s’exprime en Exact/360.

• L’Euribor ou Euro InterBank Offered Rate :

Pour une échéance donnée, l’Euribor, calculé chaque jour ouvré à 11h00 (heure d’Europe centrale), est le taux moyen auquel un échantillon d’une cinquantaine de banques européennes prête en blanc à d’autres banques. L’Euribor résulte de la moyenne des cotations en enlevant 15 % des cotations les plus élevées et 15 % des cotations les plus faibles. Les échéances disponibles, sont 1,2 et 3 semaines, et les multiples du mois jusqu’à 12 mois. L’Euribor est

26 Le taux offert est le taux de dépôt demandé par la banque à sa contrepartie. 27 TARGET est l’acronyme de « Transferts express automatisés transeuropéens à règlement brut en temps réel ». Il s’agit du système de paiement privilégié par la Banque centrale européenne qui permet l'exécution et l'acheminement des règlements de montant élevé. 28 Un prêt en blanc est un prêt non gagé par des titres.



coté pour une opération démarrant à J+2 (« au comptant ») et s’exprime dans la base Exact/360.

L’Euribor est utilisé aussi bien comme référence dans les opérations de prêts ou d’emprunts à taux variables que comme référence des produits dérivés tels que les swaps de taux d’intérêt ou les caps et les floors.

Figure 22 : Historique de l’Euribor 3 mois (source : Reuters)

Ces taux comportent naturellement un risque de défaut : ils sont donc plus élevés que les

taux des obligations d’Etat. Pourtant, nous venons de voir que les banques prennent comme référence l’Euribor pour les produits dérivés, jouant ainsi le rôle du taux sans risque. D’après HULL [13], le placement des excédents de trésorerie sur le marché interbancaire explique cette pratique.

1.3.2 Les produits dérivés de taux

Le swap de taux d’intérêt est une opération de gré à gré dans laquelle deux contreparties

s’échangent deux séries de flux d’intérêts libellés dans la même devise. Chaque série représentant pour chaque contrepartie un emprunt et un prêt sur une même durée : on parle des deux jambes du swap. Dans un swap standard, traité sur le marché interbancaire, une des deux jambes est à taux fixe et l’autre à taux variable.



Figure 23 : Schéma d’un swap de taux standard ISDA

Pour préciser le sens du swap, la contrepartie qui verse les intérêts à taux fixe est dite « payeuse du taux fixe » et l’autre « receveuse du taux fixe ». Les institutions financières négocient pour différentes maturités les taux fixes auxquels elles souhaitent conclure un swap. Le taux demandé (bid) par une banque est ainsi le taux fixe payeur alors que le taux offert (offered) est le taux fixe receveur. Tout comme les dépôts en euros, une cotation journalière résultant de la moyenne bid/ask des taux des swaps standards est établie par l’International Swaps and Derivatives Association (ISDA). L’amortissement du montant notionnel est in fine.

Pour la devise euro, les swaps de marché standardisés ISDA sont des taux fixes annuels 30/360 contre l’Euribor 6 mois Act/360 sauf pour le swap 1 an où le taux fixe est échangé contre un Euribor 3 mois Act/360. Le calendrier est TARGET, le départ est spot (J+2) et règlement des intérêts est following ajusté.

Le swap permet de passer aisément d’un endettement à taux variable à un endettement à taux fixe, et réciproquement. On parle de swap à départ immédiat quand la date de début est J+2 et de swap à départ différé sinon. REMARQUE.- En cas d’annulation du swap par l’une des deux parties, une soulte actuarielle est calculée et versée à l’une des deux contreparties pour annuler l’éventuel avantage financier lié à ce remboursement anticipé selon la nouvelle configuration des taux.

Le cap (resp. le floor) est un instrument financier de gré à gré qui permet à son acheteur, endetté (resp. prêteur) à taux variable initialement, de se couvrir contre une hausse (resp. une baisse) des taux en bénéficiant d’un taux plafond d’emprunt (resp. d’un taux plancher de prêt). Ces deux produits optionnels sont donc conditionnés à une prime généralement payée à la date de mise en place (généralement cotée en pourcentage du notionnel). Ces deux produits sont en fait une somme de plusieurs options appelées caplet et floorlet où le caplet est une option d’achat et le floorlet une option de vente.

A chaque date de fixation de l’Euribor, ce taux est comparé au taux plafond (resp. plancher). Si l’Euribor est supérieur au taux plafond (resp. inférieur au taux plancher), l’acheteur de l’option reçoit la différence entre les deux taux en fin de période. Ainsi, la combinaison de l’emprunt (resp. prêt) initial à Euribor et de l’achat du cap (resp. du floor) permet à l’acheteur de bénéficier d’un taux d’emprunt (resp. de placement) net correspondant au taux plafond (resp. plancher). Dans le cas contraire, aucun versement n’a lieu.



On parle de cap ou floor à départ immédiat quand la date de début est J+2 et de cap ou floor à départ différé sinon. Le taux plancher ou plafond est appelé taux d’exercice.

EXEMPLE.- Considérons un cap de taux d’exercice à 5% et un floor de taux d’exercice à 4,40%. Nous sommes dans le cas où la prime est périodique et est égale dans les deux cas à 0,10% du notionnel.

Figure 24 : Paiements de l’acheteur d’un cap et d’un floor à chaque fixation de l’Euribor

La Figure 24 illustre le paiement lié à l’achat d’une option d’achat ou d’une option de vente. Notons que le vendeur de l’une ou l’autre de ces options est exposé à une perte illimitée soit à la hausse pour le cap, soit à la baisse pour le floor. Nous pouvons synthétiser le taux d’un emprunt ou d’un prêt à taux variable combiné à un des produits étudiés par la Figure 25.

Figure 25 : Utilisation d’un cap ou d’un floor dans la gestion de la dette

Pour réduire le coût de la prime d’un cap, l’acheteur de ce dernier peut vendre un floor à un taux d’exercice plus bas que le taux d’exercice du cap. La contrepartie d’une prime plus faible est l’impossibilité de profiter d’une baisse des taux en deçà du taux d’exercice du floor.



Cette combinaison d’achat d’un cap et de la vente d’un floor est appelée collar ou tunnel de taux.

Dans notre exemple, la prime périodique du collar est donc nulle. La Figure 26 illustre le taux de l’emprunt correspondant.

Figure 26 : Exemple de collar à prime nulle

2 Valorisation de produits dérivés de taux

Les progrès informatiques, la mondialisation et la dérégularisation des marchés financiers

sont les principales raisons de l’important développement des mathématiques financières en général et des processus stochastiques en particulier. La modélisation de la courbe des taux et le pricing des produits dérivés ont été largement étudiés auparavant. L’objectif avoué de cette partie est de donner un prix aux swaps de taux d’intérêts et aux produits optionnels caps et floors dans un univers a priori stochastique. Le lecteur désireux d'approfondir les notions de calcul stochastique pourra se référer à JANSSEN [17] ou à EL KAROUI [16].

Dans la suite, le processus du taux court ne sera pas défini explicitement. Nous verrons que les produits ci-dessus peuvent être valorisés grâce à un raisonnement d’absence d’opportunité d’arbitrage

29 (AOA) et à une diffusion préalablement définie des taux forward sous une certaine mesure. L’avantage de notre approche est que nous allons pouvoir obtenir des prix directement en phase avec les prix de marché tout en laissant une liberté de modélisation pour valoriser d’autres produits financiers. Nous présentons dans cette partie que les principaux résultats permettant de valoriser la plupart des produits classiques.

Nous supposerons que les coûts de transaction sont nuls, que les titres présentés sont parfaitement divisibles, que les agents sont rationnels et disposent tous du même niveau d’information et que les marchés sont efficients (AOA). De plus, les taux des emprunts et des

29 L'une des hypothèses fondamentales des modèles usuels est qu'il n'existe aucune stratégie financière permettant, pour un coût initial nul, d'acquérir une richesse certaine dans une date future. Cette hypothèse est appelée absence d'opportunité d'arbitrage, et est justifiée par l'existence d'arbitragistes, acteurs sur les marchés dont le rôle est de détecter ce type d'opportunités et d'en profiter. Ceux-ci créent alors une force qui tend à faire évoluer le prix de l'actif vers son prix de non-arbitrage.



prêts seront identiques. Mathématiquement, nous nous plaçons sur un espace de probabilité complet ( )( )ΡℑℑΩ ≥≥ ,,, 0tTt sur lequel est défini un mouvement brownien standard ( ) 0≥≥tTtW

sur l’horizon [ ]T;0 avec 0>T .

2.1 Dynamique des zéro-coupons et mesure risque neutre

On appelle zéro-coupon un instrument qui ne comporte aucun détachement de coupon. Il

ne donne donc lieu qu’à deux flux : un flux initial (son prix) et un flux final (une unité monétaire). Notons ( ) [ ] [ ] Ω∈∈∈= ωω ,;0,;0,,, TsststPP le processus stochastique zéro-coupon représentant la valeur actuelle en t d’une unité monétaire reçue en s .

En outre définissons:

• Le processus de taux de t à s à composition continue ( ) [ ] [ ] Ω∈∈∈= ωω ,;0,;0,,, TsststRR tel que ( ) ( ) ( )ωω ,,,, stRtsestP ⋅−−= .

• Le taux ( ) ( )ωω ,,lim,0

∆+=→∆

ttRtr est le taux court instantané sans risque.

Le processus de taux court définissant les autres processus, nous pouvons écrire ( ) ( ) ( )rstPtrstPstP ,,),(,,,, == ωω .

Supposons que le taux de rendement instantané est solution de l’équation différentielle

stochastique générale suivante : ( ) ( ) ( ) tdWtrtdttrtftdr )(,)(, ρ+=

La formule d’Ito et un raisonnement d’absence d’opportunité d’arbitrage permettent de différencier le processus P sous la forme:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) tdWrstrstPdtrstrstPrstdP ,,,,,,,,,, σµ −= avec ( ) ( )( )rst

rrstrt

,,

,,,

σµ

λ−

=

Les fonctions µ et σ sont fonctions de P et de ses dérivées partielles. La variable λ indépendante de la maturité du zéro-coupon est appelée prime du risque du marché et représente le rendement relatif du zéro coupon normé par la volatilité. Nous définissons sur ( )( )0,, ≥≥ℑℑΩ

tTt une nouvelle mesure de probabilité Q équivalente à Ρ telle que :

( ) ( )∫ ∫=

Ρ

⋅−s s

z dzzdWz

ed

dQ0 0

2

2

1λλ

Le processus [ ] TzWW z ;0,~~

∈= tel que ( )∫−=z

zz duuWW0

~λ est un mouvement brownien sur

( )( )QtTt ,,, 0≥≥ℑℑΩ grâce au théorème de Girsanov.

La mesure Q s’appelle la mesure risque neutre. Sous cette mesure, on a la relation :

( )( )

ℑ

∫=

−

t

duurQ

s

teEstP ,



Cette relation de martingale est fondamentale pour la valorisation des produits dérivés de taux. Elle montre que le prix d’un instrument financier X peut directement s’obtenir comme l’espérance mathématique actualisée de sa valeur future :

( ) ( )( )

ℑ

∫=

−

t

duurQ

s

tesXEtX (35)

Nous appelons dorénavant la courbe spot des taux à l’instant t , la fonction :

[ ] ( ) ( )( )stPts

stRTts ,ln1

,;−

−=→∈

2.2 Courbe de taux forward et mesure forward neutre

On appelle zéro-coupon forward à la date t d’échéance tt ≥1 et de maturité 12 tt ≥ , la

valeur en t pour le montant à payer en 1t pour garantir une unité monétaire en 2t . Le prix du

zéro-coupon forward notée ( )21 , ttPt est, en l’absence d’opportunité d’arbitrage

( ) ( )( )1

221 ,

,,

ttP

ttPttPt =

REMARQUE.- On a évidemment ( ) ( )22 ,, ttPttPt = . La notion de zéro-coupon forward prolonge

donc naturellement la notion de zéro-coupon. Définissons le taux forward à composition continue ( )21 , ttRt par la relation :

( ) ( )( )2112

21 ,ln1

, ttPtt

ttR tt −−=

La courbe des taux forward à l’instant t d’échéance 1t est logiquement définie par

[ ] ( )2112 ,; ttRTtt t→∈

Le taux court forward est ( ) ( ) ( )( )11

211 ,ln,lim12

ttPt

ttRtf ttt

t ∂∂

−==→

(lorsque cette dérivée

existe). On obtient une nouvelle formulation des grandeurs définies auparavant

( )( )∫

=−

1

1,

t

t

t duuf

ettP , ( ) ( )∫−=

1

11

1,

t

t

t duuftt

ttR et ( ) ( ) ( )tfsftr ttts

==→lim

On définit sur ( )( )0,, ≥≥ℑℑΩtTt , une nouvelle mesure de probabilité

1tQ équivalente à Q

telle que

( )1

)(

)(

)(

,0

1

0

1

0

1

01

tP

e

eE

e

dQ

dQ

t

t

t

dssr

dssr

Q

dssr

t

∫

=

∫

∫

=

−

−

−

Cette variable aléatoire étant strictement positive et intégrable, il existe, par le théorème de représentation des martingales, un processus 'λ tel que

( ) ( )∫ ∫=

⋅−s s

z dzzWdzt

edQ

dQ0 0

2''

1 2

1~λλ



Le théorème de Girsanov implique que le processus [ ] TzWW tt Q

z

Q;0,

~~11 ∈= tel que

( )∫−=z

z

Q

z duuWW t

0.

'~~1 λ est un mouvement brownien sur ( )( )

1,,, 0 ttTt Q≥≥ℑℑΩ .

Le résultat fondamental de ce changement de mesure est la propriété de martingale du zéro-coupon forward :

( )[ ]( ) ( )

( )1)(

21

)(

)(

21

)(

21

,

,,

,1

0

1

0

1

0

1

0

1

tsPe

ttPeE

eE

ttPeE

ttPEt

t

t

t

t

duur

st

duurQ

s

duurQ

st

duurQ

st

Q

⋅∫

ℑ⋅

∫

=

ℑ

∫

ℑ⋅

∫

=ℑ−

−

−

−

Or, en notant que ( ) ( ) ( ) ( )2)(

211

)(

21

)(

,,,, 00

1

0 ttPettPttPettPe

ttt

duur

t

duur

t

duur

⋅∫

=⋅∫

=∫ −−−

, la relation de

martingale sous Q implique le résultat recherché :

( ) ( )[ ]st

Q

s ttPEttP t ℑ= 2121 ,, 1

Le résultat (35) peut être reformulé sous la mesure forward neutre :

( ) ( ) ( )[ ]tQtXEttPtX t ℑ⋅= 11

1,

REMARQUE.- Au prix d’un changement de mesure, l’univers forward neutre permet donc de sortir le facteur d’actualisation de l’espérance.

2.3 Application au taux Euribor forward

Nous allons appliquer les résultats précédents au taux Euribor. Rappelons que l’Euribor

est un taux monétaire à intérêts simples payés en fin de période. Nous noterons ( )δ+ttEUR , le taux d’emprunt à la date t pour un remboursement en δ+t avec 0≥δ . Alors, on a la relation suivante entre le prix d’un zéro-coupon et l’Euribor :

( ) ( )( ) 1,1, −+⋅+= δδ ttEURstP REMARQUE.- Sans perte de généralité, nous considéronsδ comme une fraction d’année. De plus, le taux Euribor sous-jacent est ajusté pour tenir compte de la base de calcul utilisée.

Notons ( )δ+11 , ttEurt la valeur en t du taux Euribor forward pour un emprunt en 1t de

maturité δ+1t . Analogiquement, on a ( ) ( )( ) 11111 ,1, −+⋅+=+ δδδ ttEURttP tt . De cette

relation, nous en obtenons une seconde ( ) ( ) ( ) ( )δδδδ +−=+⋅+⋅ 11111 ,,,, ttPttPttPttEURt .

Montrons que pour 0≥δ , le processus ( ) ( )0

)(

1110,,

≥

−

∫++

t

duur

t

t

ettPttEUR δδ est une

martingale sous la mesure risque neutre :



( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )∫

++=

∫⋅+−

∫⋅⋅=

ℑ

∫⋅+−

ℑ

∫⋅⋅=

ℑ

∫++

−

−−

−−−

s

ss

ttt

duur

s

duurduur

s

duurQ

s

duurQ

s

duur

t

Q

etsPttEUR

etsPetsP

ettPEettPEettPttEURE

0

00

000

)(

111

)(

1

)(

1

)(

1

)(

1

)(

111

,,

,,

,,,,

δδ

δδ

δδδδ

De ce résultat, nous en déduisons

( )[ ]( )

( )δ

δ

δδ

δ

δ +=

ℑ

∫

ℑ+⋅

∫

=ℑ++

+

+

−

−

11)(

11

)(

11 ,

,

,1

0

1

0

1 ttEUR

eE

ttEUReE

ttEURE s

s

duurQ

st

duurQ

st

Q

t

t

t

Cette propriété de martingale montre que, quelle que soit la modélisation choisie du taux court, le taux forward est égal au taux spot espéré dans l’univers forward neutre.

2.4 Pricing des dérivés de taux

2.4.1 Swap de taux

Rappelons que le swap de taux est composé de deux jambes associées à des flux payés sur

la base d’un taux fixé à la conclusion du swap d’une part, et d’un taux Euribor constaté périodiquement d’autre part :

• L’acheteur du swap paie le taux fixe T sur un échéancier de dates nttt << ...10 tel

que 1,..,0 ,1 −=∀∆=−+ nitt iii . Ainsi, l’acheteur du swap paie à chaque fin de

période un montant égal à swapTN ⋅∆⋅ où N désigne le nominal du swap.

• La jambe variable est reçue par l’acheteur sur un nouvel échéancier ''1

'0 ... mttt << tel

que 1,..,0 ,''1 −=∀=−+ mitt iii δ . L’acheteur reçoit donc à chaque fin de

période ( )iiiti ttEURNi

δδ +⋅⋅ '' ,' .

A la création du swap en date ( )'00 ,min ttt < , le taux fixe est déterminé de telle sorte que les

deux jambes aient la même valeur :

( )∑∑−

=

−−

=

−

ℑ+⋅⋅∫

=

ℑ⋅∆⋅

∫++

1

0

'')(1

0

)(

,'

'11

m

i

tiiti

duurQ

n

i

tswapi

duurQ ttEUReETeE

i

it

t

it

t δδ

En utilisant la propriété de martingale de l’Euribor forward et l’hypothèse d’absence

d’opportunité d’arbitrage, nous obtenons :



( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∑∑ ∑−

=

−

=

−

=+ −=+−=+⋅⋅+=⋅∆⋅

1

0

''0

''1

0

1

0

'''1 ,,,,,,,

m

i

mii

n

i

m

i

iitiiiswapii ttPttPttPttPttEURttPTttP δδδδ

D’où

( ) ( )( )∑

−

=+⋅∆

−= 1

01

''0

,

,,n

i

ii

mswap

ttP

ttPttPT

REMARQUE.- En émettant l’hypothèse que les taux spots futurs Euribor sont les taux Euribor forward d’aujourd’hui, le taux de swap peut s’obtenir avec un simple raisonnement d’absence d’opportunité d’arbitrage (sans passer par une modélisation stochastique).

2.4.2 Options de taux

Un caplet (resp. un floorlet) est une option d’achat (resp. de vente) sur la réalisation future

du taux Euribor. Nous allons développer la valorisation des options d’achat puis nous généraliserons aux options de vente.

2.4.2.1 Valorisation des caplets et des floorlets

Considérons un caplet de maturité T avec un prix d’exercice K sur la valeur de l’Euribor

applicable sur [ ]δ+TT ; et pour un nominal N . Alors le paiement en δ+T de l’option est

( )( )0,,max KTTEURN T −+⋅⋅ δδ Sous la mesure forward neutre, le prix ),,( δ+TTtcaplet du caplet en t est

( ) ( )( )[ ]tT

QKTTEURETtPNTTtcaplet T ℑ−+⋅+⋅⋅=+ + 0,,max,),,( δδδδ δ (36)

Nous constatons que le seul terme aléatoire dans l’expression (36) est le taux Euribor futur. Le prix du caplet dépend donc de l’hypothèse prise sur la loi suivie par ( )δ+TTEURT , . De

plus, nous savons que ( )[ ] ( )δδδ +=ℑ++ TTEURTTEURE ttT

QT ,, .

• Hypothèse de normalité sous la mesure forward neutre du processus du taux Euribor

forward Cette hypothèse fut celle adoptée par BACHELIER [23] pour déterminer l’évolution d’un actif côté à la Bourse de Paris30. L’évolution du taux forward sous-jacent sous la mesure forward neutre est

( ) ( )tdWTTdEur TQ

Ttδσδ +=+,

La loi de ( )δ+TTEURT , est donc la loi normale centrée en ( )δ+TTEURt , et de

variance ( )tTT −2σ . Nous notons ( )δ+TTEURT , ~ ( ) ( )( )tTTTEUR Tt −+Ν 2,, σδ .

Sous cette hypothèse, nous obtenons une formule d’évaluation du caplet en fonction de la

volatilité :

( ) ( )( ) ( ) ( )( )ztTzKTTEurTtPNTTtcaplet TtT ϕσφδδδσδ ⋅−⋅+⋅−+⋅+⋅⋅=+ ,,),,,(

30 Dans les modèles d’évaluation risque-neutre, la rentabilité espérée est égale au taux sans-risque. Visionnaire, Bachelier énonça : « L’espérance mathématique du spéculateur est nulle ».



( )

tT

KTTEurz

T

t

−⋅

−+=

σδ,

avec ( ) ∫∞−

−=

xz

dzex2

2

1

2

1

πφ la fonction de répartition de la ( )1,0Ν

( )2

2

1

2

1 x

ex−

=π

ϕ la densité de la ( )1,0Ν

• Hypothèse de log-normalité sous la mesure forward neutre du processus du taux Euribor forward

La log-normalité du taux forward31 sous-jacent est une hypothèse d’évolution découlant

naturellement du modèle de BLACK ET SCHOLES [14]. Plus précisément, il s’agit du modèle de marché qui s’appelle modèle de Black conformément à l’article BLACK [15] sur l’évaluation des options sur contrats futures de matières premières.

Le caractère « normal » ne se situe plus sur le taux forward en lui-même mais sur sa variation relative:

( )( )

( )tdWTTEur

TTdEurTQ

T

t

t δσδδ

+=++

,

,

-

5,00

10,00

15,00

20,00

25,00

30,00

35,00

40,00

45,00

0% 1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10% 11% 12% 13% 14% 15%

Densité d'une loi Log-normale Densité d'une loi Normale

Figure 27 : Illustration des différentes lois pouvant régir le taux forward Euribor

On obtient une formulation explicite du caplet en fonction de la volatilité ( ) ( ) ( ) ( )( )21,,),,,( dKdTTEurTtPNTTtcaplet tT φφδδδσδ ⋅−⋅+⋅+⋅⋅=+ (37)

31 Une variable aléatoire suit une loi log-normale si son logarithme népérien suit une loi normale. Dans le cas d’un actif, cette hypothèse assure la positivité de celui-ci.



avec

( ) ( )

( ) ( )

tT

tTK

TTEur

d

tT

tTK

TTEur

d

T

Tt

T

Tt

−⋅

−⋅−

+

=

−⋅

−⋅+

+

=

σ

σδ

σ

σδ

2

2

2

1

2

1,ln

2

1,ln

En procédant analogiquement, nous obtenons le prix de l’option de vente

( ) ( )( )[ ]( ) ( ) ( ) ( )( )12 ,,

0,,max,),,(

dTTEURdKTtPN

TTEURKETtPNTTtfloorlet

t

tT

QT

−⋅+−−⋅+⋅⋅=

ℑ+−⋅+⋅⋅=+ +

φδφδδδδδδ δ

REMARQUE.- Les travaux de Bachelier furent critiqués car la valeur d’une action ne peut pas être négative alors que la modélisation en loi normale le permet. Comme la loi log-normale ne peut prendre que des valeurs positives, elle semble donc plus adaptée au comportement des actions. Néanmoins, les taux d’intérêts pouvant être théoriquement négatifs, la modélisation en loi normale peut être envisagée. La Figure 27 illustre les deux types de modélisation. Dans cet exemple, l’espérance du taux forward est de 5%. L’écart-type de la loi log-normale est fixé à 35 % et celui de la loi normale à 1 %.

2.4.2.2 Application aux cap et floor

Le cap (resp. le floor) peut être vu comme un portefeuille de caplets (resp. de floorlets).

Illustrons notre propos avec le cap. Notons nTTT ,..,, 21 les dates de constatations des Euribor

sous-jacents et 132 ,..,, +nTTT les dates de paiements avec iii TT δ=−+1 et tT >1 . Nous avons

la valeur du cap en t :

( ) ( )( ) ( )∑=

+=+= =n

i

TiiniTnii iiTTtcapletTtCap

11,..,11,..,1 ,,,,, σσ (38)

En d’autres termes, le cap est la somme de n caplets. La formule (38) montre que la connaissance des volatilités détermine (aux dates près) totalement le prix du cap. Si nous pouvons trouver nσ unique telle que ( )( ) ( ) ( )( )

niTniinnii iTtCapTtCap

,..,11,..,11,..,1 ,,,,=+=+= = σσ , alors

nσ est appelée la volatilité Black implicite. Cette volatilité implicite est disponible sur les

marchés. Pour retrouver les volatilités des taux forward à partir de la volatilité Black, nous devons procéder par induction. EXEMPLE.- A partir d’une série de volatilité Black, nous pouvons obtenir de proche en proche les volatilités des taux forward :

( ) ( )( ) ( )( )nniinniiTnn TtCapTtCapTTtcapletn

σσσ ,,,,,,, 1,..,112,..,121 1 +=++=++ −=+

Une fois obtenu le prix du caplet, nous pouvons déterminer la volatilité implicite du taux forward correspondant. Dans cet exemple, nous obtenons la volatilité du taux Euribor forward appliquable sur [ ]21; ++ nn TT .



Figure 28 : Historique de la volatilité Black d’un cap 10 ans (source : Reuters)

REMARQUE.- Considérons un caplet et un floorlet de maturité T et de même taux d’exercice K et construisons le portefeuille suivant :

( ) ),,(),,(,, δδδπ +−+=+ TTtfloorletTTtcapletTTt Le paiement en δ+T connu en T sera

( )( ) ( )( )[ ] ( )[ ]KTTEURNTTEurKKTTEurN TTTT −+⋅⋅=+−−−+⋅⋅=+ δδδδδπ δ ,0;,max0;,max

Nous reconnaissons le flux de paiement d’un swap payeur de taux fixe et receveur de taux variable. Sans modéliser explicitement le comportement du taux forward, nous obtenons la relation de parité Call-Put du type :

payeurSwapFloorCap =−

Notons tout de même que, suivant notre définition et la convention de marché, le cap et le floor ne comportent pas d’option de maturité 1T . Ainsi, le swap issu de la parité Call-Put

n’échange pas les flux d’intérêts en 1T32. En calculant le taux d’exercice impliquant une

valeur nulle du swap à l’origine, nous obtenons ( ) ( )

( )∑=

+

+

⋅

−=

n

k

kk

n

TtP

TtPTtPK

11

11

,

,,

δ

Ce taux d’exercice est, par définition, le taux à la monnaie forward du cap et du floor.

3 Construction d’une courbe de taux de refinancement

Nous venons de voir que le taux fixe d’un swap de taux d’intérêt s’obtient à partir des prix zéro-coupons (ou des taux zéro-coupons). Le swap standard correspond à un amortissement in fine du notionnel. Or, dans le cas des prêts immobiliers, l’amortissement est rarement in fine. Nous obtiendrons le taux fixe d’un prêt immobilier en déterminant le taux d’un swap 32 Ce type de swap est appelé swap à départ différé. Son taux est généralement appelé taux de swap forward.



amortissable. De plus, le prix par période d’un collar de taux, correspondant aux taux plancher et plafond d’un prêt immobilier classique à taux variable, sera déterminé grâce aux surfaces de volatilités disponibles sur le marché.

Rappelons toutefois que les instruments zéro-coupons e sont pas directement observables sur le marché. Nous devons donc extraire les prix zéro-coupons es produits disponibles sur le marché. L’objectif de cette partie est d’établir une courbe de refinancement pour la sphère opérationnelle des prêts immobiliers préalablement étudiés. Outre l’aspect numérique, la mise en œuvre pratique soulèvera des questions.

3.1 Extraction des prix et des taux zéro-coupons

Chaque établissement financier développe sa propre méthodologie d’extraction des taux

zéro-coupons. L’ensemble des techniques d’extraction des taux zéro-coupons est généralement appelé Bootstrapping.

Dans la mesure où l’objectif est de valoriser des produits dérivés basés sur l’Euribor, nous allons construire une courbe zéro-coupon Euribor à partir d’instruments liquides et homogènes à l’Euribor.

3.1.1 Présentation du bootstrapping utilisé

Pour les maturités courtes, les taux spot Euribor seront utilisés. Les futures Euribor 3 mois

pour le moyen terme et les taux de swap pour le long terme sont également employés. Notons que les opérateurs de marché utilisent en général des cotations continues de ces produits. Nous n’utiliserons que des cotations journalières33 basées soit sur la fixation de 11h00 pour l’Euribor et les taux de swap ISDA, soit sur la cotation sur le LIFFE34 à la clôture pour les futures Euribor 3 mois.

Pour la détermination des taux zéro-coupons, nous considérons que l’année dure en moyenne 365,25 jours et que la date d’évaluation est 0=t .

De plus, un instrument zéro-coupon de maturité 25,365

dT = exprimé en fraction d’année

et de prix ( )TP ,0 a comme taux continu annuel zéro-coupon ( )( )T

TPTZC

,0ln−= .

Les Euribor sont des instruments zéro-coupons et les futures sont des instruments zéro-coupons forward. Seule une interpolation entre deux taux cash à la date d’échéance du future est nécessaire.

Les swaps standards du marché cotent un taux fixe annuel 30/360 contre un Euribor 6 mois. En notant

iswapT le taux du swap pour une durée de i années, on obtient la relation

récursive suivante :

( )( )

k

k

swap

k

i

swap

T

iPT

kP+

⋅−=

∑−

=

1

,01

,0

1

1 , pour 2≥k

Nous retrouvons la formule matricielle utilisée précédemment dans la décomposition optimale d’un prêt immobilier.

33 Pour la construction d’une courbe de refinancement destinée à un réseau bancaire et pour lisser les fluctuations du marché, une moyenne mensuelle de ces taux peut aussi bien être envisagée. 34 LIFFE est l’acronyme de « London International Financial Futures and options Exchange » et est le marché à terme britannique. Le flux versé à l’échéance d’un des contrats Futures Euribor 3 mois est le montant de l’intérêt d’un placement d’un million d’euro pendant 3 mois. La cotation s’effectue sous la forme Cours = 100 x (1-T).



L’interpolation utilisée pour déterminer les points manquants au cours de cette étude sera une interpolation de type spline cubique telle que décrite en Annexe 8.

3.1.2 Courbe des taux au 21/02/2007

Nous utiliserons la courbe des taux du 21 février 2007 en application numérique. Nous

définissons logiquement le taux de refinancement d’un prêt à taux fixe comme le taux proportionnel engendrant des flux futurs dont la somme en valeurs actuelles par rapport à la courbe des taux de marché est égale au capital emprunté.

Figure 29 : Courbe des taux zéro-coupons au 21/02/2007/2007 – Exemple de Bootstrapping

Considérons un prêt immobilier d’un montant C décaissé aujourd’hui en 00 =t et

remboursé en n remboursements aux dates ( )nkkt ,..,1= . Notons ( ) 1,..,0 −= nkktaux la suite des taux

de périodes fixes ou variables postcomptés et ( )nkkt tauxM

k ,..,11 =− la suite des remboursements

dépendant du taux de période et de la date de remboursement.

La valorisation du prêt immobilier étant effectuée grâce à une courbe statique des taux, nous obtenons une relation entre le capital emprunté, le coût des options et les charges de remboursement :

( ) ( )∑=

− ⋅=+n

k

kkt tPtauxMCk

11 ,0options descoût (39)

De plus, lorsque le taux d’intérêt est variable sur la période [ ]1; +ii , l’hypothèse d’absence

d’opportunité d’arbitrage implique que ( )( )

1,0

,0

1

−=+i

i

itP

tPtaux . Nous supposerons que

l’emprunteur ne dispose pas d’option de remboursement anticipé. Le coût des options est donc uniquement composé des options explicites sur les taux (caps ou floors).



3.2 Taux de refinancement d’un prêt à taux fixe

3.2.1 Cotation d’un prêt immobilier à taux fixe

En notant ( )( )

nkt tMk ,..,1=

les charges de remboursement dépendant du taux de période t , ce

dernier est solution de l’équation

( ) ( )∑=

⋅=n

k

kt tPtMCk

1

,0

Dans le cas de la charge constante, nous avons

( )∑=

⋅=⋅=n

k

kntPMtaMC

1

,0)(

D’où

( )∑=

=n

k

kntPta

1

,0)(

Et le taux de période s’obtient par approximation numérique.

Figure 30 : Taux annuel proportionnel pour un prêt à taux fixe selon le type d’amortissement

Pour un amortissement in fine, le taux de période satisfait :

( ) ( )nn

k

k tPCtPtCC ,0,01

⋅+⋅⋅= ∑=



On obtient une valeur explicite ( )

( )∑=

−=

n

k

k

n

tP

tPt

1

,0

,01 qui est le taux d’un swap de taux fixe période

contre le taux variable implicite à la courbe. EXEMPLE.- La Figure 30 illustre le juste taux à appliquer à un prêt immobilier selon la durée en mois choisie. Notons qu’à partir du prêt in fine, nous sommes en mesure de déterminer tous les taux fixes applicables. En effet, nous avons vu qu’à partir des taux in fine, nous pouvions déterminer les taux des prêts amortissables. Ce que nous faisions dans la partie 3 n’est ni plus ni moins qu’une technique de bootstrapping. Ainsi, nous pouvons conclure que, l’optimisation d’une « grille » de taux devient obsolète lorsque le modèle de détermination des taux est rationnel.

3.2.2 Soulte actuarielle liée au modèle de refinancement

Les taux de la Figure 30 sont des taux de refinancement qui ne comprennent pas le coût de

l’option de remboursement anticipé. Ainsi, en cas de remboursement anticipé, une soulte actuarielle sera calculée selon les conditions du moment. Considérons un prêt à taux fixe au taux 't calculé à une date antérieure pour un remboursement prévu en n charges

( )( )nkt tM

k ,..,1

'

=. L’emprunteur décide de rembourser totalement par anticipation au bout de j

périodes de remboursement (aujourd’hui). Selon la courbe des taux au moment du remboursement anticipé total, la soulte actuarielle est

( ) ( ) j

n

jk

jkt CRDtPtMSoultek

−⋅= ∑+=

−1

' ,0 (40)

Par définition, la soulte actuarielle est égale à la différence entre la valeur de marché des flux restant à échoir après paiement de l’échéance et le capital restant dû. Ce montant peut être positif ou négatif. Au nom de l’équité actuarielle, la soulte permet au prêteur de replacer le capital restant dû et la soulte sur le marché pour percevoir à l’avenir les flux initialement convenus. Ainsi, nous venons d’illustrer le fait, qu’en cas de taux fixe, le prêteur supporte le risque de taux lié au prêt immobilier.

La formule (40) se généralise dans le cas d’une renégociation de taux ou de durée dans la mesure où le capital restant dû doit être égal à la valeur actuelle des flux renégociés par rapport à la courbe des taux au moment de la renégociation. Nous n’étudierons pas l’évènement de remboursement anticipé partiel dans cette étude.

3.3 Taux de refinancement d’un prêt à taux variable

3.3.1 Risque de taux d’un prêt à taux variable

Par construction, du point de vue de la banque, un prêt effectué à taux variable n’est pas

soumis au risque de taux. L’emprunteur supporte donc lui-même ce risque. En décomposant les charges d’un prêt à taux variable (sans option) par ses amortissements et ses intérêts, nous obtenons le différentiel entre la valeur de marché et les engagements initiaux :

( )( ) ( ) j

n

jk

jk

jk

jk

kk CRDtPtP

tPCRDAmSoulte −⋅

−⋅+= ∑

+=−

−

−−−

1

11 ,01

,0

,0

Comme kkk CRDCRDAm −= −1 , on obtient



( ) ( )( )∑+=

−−−− =−⋅−⋅=n

jk

jjkkjkk CRDtPCRDtPCRDSoulte1

11 0,0,0

Tant que l’emprunteur est à taux variable sans option, le coût d’un remboursement anticipé ou d’un évènement de crédit est nul.

3.3.2 Options de taux

A l’instar des cotations des prêts à taux fixe, nous présentons dans cette partie les résultats

des coûts d’option sur taux variable sur la base des volatilités implicites cotées sur le marché le 21/02/2007. Ces volatilités sont valables pour un cap ou un floor pour une durée et un taux d’exercice donnés contre l’Euribor 6 mois.

Figure 31 : Surface des volatilités Black implicites au 21/02/2007 (source : ICAP).

Au premier plan, nous percevons le phénomène de smile de volatilité et au dernier plan de skew de volatilité. Nous observons le fait que la volatilité dépend du taux d’exercice ce qui n’est pas conforme au modèle de Black. Le smile de volatilité montre en fait que la distribution log-normale du taux forward sous-estime les grandes variations de celui-ci. Cette distribution n’est donc pas parfaitement adaptée. EXEMPLE.- Nous avons fait l’hypothèse que cette surface de volatilité est valable pour des options sur l’Euribor 1 mois. De plus, au lieu d’exprimer le prix de l’option en prime, nous l’avons transformé en taux annuel proportionnel applicable sur le capital restant dû :

( )kPp

CRDn

k

k ,0Taux

option l' de Prime1

1option ⋅×

=∑=

−



Nous avons donc calculé le spread au dessus de l’Euribor 1 mois à appliquer durant toute la vie du prêt pour prendre en compte les options de taux. Le taux d’exercice du cap s’élève à 5 % Exact/360 et le taux du floor 3 % Exact/360. Le prêt sous-jacent a un profil d’amortissement constant.

Les prêts à taux variable soulèvent quelques questions de refinancement. Lorsque le profil

d’amortissement est indépendant du taux appliqué comme dans le cas d’un prêt in fine ou en amortissement constant, la détermination du coût des options n’est pas problématique.

Pourtant, les prêts à taux variable munis d’un collar sont généralement remboursés en charge constante révisée périodiquement. Dans ce cas, l’encours est lui-même révisé annuellement et les options mises en place initialement peuvent ne plus couvrir la totalité du capital restant dû.

Figure 32 : Prix des options pour un prêt en amortissement constant exprimé en taux proportionnel annuel

De plus, le taux révisable effectivement payé par l’emprunteur est généralement une

moyenne de l’Euribor sur une période. Il faudrait donc prendre en compte le caractère asiatique du cap et/ou du floor.

Finalement, en cas de remboursement anticipé, notre modèle de refinancement implique que l’emprunteur est soumis à un risque de volatilité sur les options achetées et vendues par ce dernier.



3.4 Taux de refinancement des autres prêts

3.4.1 Le prêt mixte et le prêt indexé sur le livret A

• Concernant le prêt mixte

En synthétisant les résultats précédents, nous confirmons les avantages d’un prêt mixte

dans le cas d’une vente préprogrammée du bien immobilier au bout d’un certain nombre d’années. En effet, le taux fixe offert est plus faible. Précisément, le taux de refinancement de ce type de prêt est égal à la cotation d’un prêt à taux fixe avec une valeur résiduelle.

Figure 33 : Gain en taux sur la partie fixe de 84 mois

La Figure 33 montre que le gain sur le taux fixe peut atteindre presque 0,25 % sur une durée longue de prêt. De plus, nous avons vu que le coût de remboursement anticipé lors d’un remboursement en taux variable est nul. L’emprunteur peut donc effectivement rembourser par anticipation au bout de la période à taux fixe en toute équité actuarielle.

• Concernant le prêt indexé sur le livret A

Concernant le taux du livret A, rappelons que le gouvernement a proposé une fixation de ce taux semestriellement sur la base suivante :

%25,02

tabachorsInflation mois 3Euribor A livret du Taux +

+= arrondi à 0,25%.

Nous venons de voir que la partie Euribor 3 mois ne pose pas de problème de valorisation. De plus, nous observons l’émergence d’un marché de l’inflation qui permet aux banques de couvrir les dépôts sur Livret A et de donner un taux de prêt indexé sur celui-ci. En effet, le



produit inflation le plus liquide est appelé Swap Inflation et permet d’échanger une référence variable (comme l’Euribor 3 minoré d’un spread de s ) contre l’inflation française hors tabac. EXEMPLE.- Pour une durée donnée et un amortissement in fine, le marché cote

s mois 3Euribor tabachorsInflation −= . Ainsi, on obtient

−= % 0,252

s- mois 3Euribor Alivret du Taux

On peut donc prendre comme taux de refinancement le taux du livret A majoré d’un spread pour ensuite prêter aux ménages. Par un bootstrapping approprié, nous pourrions obtenir un taux de refinancement pour l’ensemble des prêts à amortissement prédéterminé. La difficulté restante est de prendre en compte l’effet « cliquet » dû à l’arrondi à 0,25 %.

3.4.2 Les prêts personnalisés

• Concernant le prêt à flux ponctuel

Nous avons vu que, sous certaines conditions, le prêt à flux ponctuel permet de diminuer sensiblement la durée du financement immobilier. L’étude du refinancement montre que la durée est d’autant plus réduite que, en cas de courbe des taux croissante, le taux fixe applicable est naturellement plus faible. EXEMPLE.- Nous avons mesuré l’impact du 13ème mois par rapport à la courbe des taux du 21 février 2007.

Figure 34 : Gain en mois dû au 13ème mois



Nous constatons sur cette courbe que, plus la durée initiale est longue, plus le 13ème mois permettra de diminuer cette durée initiale. Ainsi, un prêt remboursé sans 13ème mois sur 360 mois le serait sur 240 mois avec la prise en compte d’un flux annuel égal à 4 charges usuelles.

• Concernant le prêt à résidus variables

La principale spécificité du prêt à résidus variables est l’évolution de la charge (et non du taux d’intérêt) selon un indice de référence prédéterminé. Le modèle théorique de refinancement est donc clairement relié à l’indexation choisie. Ainsi, ce dernier devrait faire l’objet d’une modélisation déterministe ou stochastique afin de déterminer une espérance d’encours de crédit pour obtenir le taux fixe de refinancement.

Dans le cas d’une courbe des taux croissante, nous pouvons tout de même obtenir un majorant du taux fixe applicable a priori. Dans la mesure où la borne maximale de la valeur résiduelle est le montant du prêt, le profil d’amortissement sera « au pire » in fine. Ainsi, le taux d’un prêt in fine de même durée constitue une valeur maximale du taux prêt à résidus variables. REMARQUE.- L’évaluation de l’option de remboursement anticipé pour un prêt à résidus variables s’avère elle aussi difficile du fait de l’encours de crédit a priori inconnu.

Nous pouvons imaginer une version à taux révisable de ce produit. Pour un remboursement de périodicité mensuelle et une évolution annuelle de la charge de remboursement, nous proposons de réviser le résidu final en fonction bien sûr de la nouvelle capacité de remboursement et sur la base d’un intérêt calculé sur le taux de swap 1 an amortissable approprié.

Précisément, à chaque révision annuelle, on calcule le taux applicable sur l’année suivante comme étant le taux de swap 1 an amortissable contre l’Euribor 1 mois avec une valeur résiduelle à la fin de l’année à déterminer. Le résidu final se déduit alors du calcul de ce taux.

Ce montage ressemble à un tirage à taux fixe révisé annuellement avec une valeur résiduelle. L’avantage est que le risque de taux est limité à une année (à chaque tirage). Il serait intéressant de quantifier le coût de l’option de remboursement anticipé (faible à première vue). EXEMPLE.- La difficulté principale de ce modèle de refinancement est de déterminer le premier taux proportionnel à appliquer. Prenons le cas d’un prêt remboursé mensuellement avec une révision annuelle de l’index choisi. Nous disposons d’une courbe des taux zéro-coupons. Alors, nous avons les relations suivantes :

( )

)(1 1212

12 taMCt

CRD⋅−=

+ Relation d’amortissement au taux client

( ) ∑=

⋅−=⋅12

112 12

,01,0k

kPMCCRDP Relation d’amortissement aux taux de marché

( ))(

1

ta

tVRCM

n

n−+⋅−= Charge initiale du prêt à résidus variables

Nous avons trois équations avec trois inconnues 12,CRDM et t . On peut donc obtenir une nouvelle relation :



( ) ( )( )

( )0

1,0

12,0

)(

1

)()(

11

12

1

12

12 =

⋅+⋅−

−

−

⋅

+⋅−−⋅+

∑=

−

−

P

kP

ta

tVRCC

tata

tVRCCt

kn

n

n

n

Nous pouvons résoudre cette équation en t par approximations numériques et en déduire la

charge de la première année. Par exemple, pour un prêt de 100 000 euros sur 180 mois avec une valeur résiduelle initiale de 50 000 euros et par rapport à la courbe des taux précédente, nous obtenons un taux annuel proportionnel valable pour la première année égal à 4,06 %.

Pour les années suivantes, l’inconnue sera la valeur résiduelle. La nouvelle charge est déterminée grâce à la variation de l’index choisi. Le nouveau taux et la nouvelle valeur résiduelle seront déterminés selon un raisonnement analogue.

4 Réflexions et perspectives

4.1 L’option de remboursement anticipé

Nous avons vu que le taux de cession interne était le taux de refinancement majoré du

coût des options. Lorsque le remboursement anticipé est conditionné au versement d’une soulte actuarielle, les taux de refinancement et les TCI concordent.

Or, dans le cas du crédit immobilier en France, l’article R. 312-2 du Code de la Consommation donne la faculté à l’emprunteur de rembourser par anticipation à tout moment et sans justification moyennant une pénalité qui « ne peut excéder la valeur d'un semestre d'intérêt sur le capital remboursé au taux moyen du prêt, sans pouvoir dépasser 3 % du

capital restant dû » (Annexe 3). Notons que la réglementation prévoit une liste de cas d’exonération de cette pénalité. De plus, la rudesse de la concurrence sur les prêts immobiliers pousse les banques à renoncer contractuellement à facturer la pénalité

D’après MOUILLARD [25], le déséquilibre financier induit par les renégociations de prêt aurait coûté plus de 6 milliards d’euros sur la période 1986-1996. Pour palier ce problème et développer une meilleure gestion ALM, les banques facturent dorénavant cette option de remboursement anticipé. Nous allons présenter les difficultés techniques de l’évaluation de cette option.

La modélisation actuarielle que nous présentons s’inspire de la tarification des primes en assurance-vie. Nous utiliserons une fonction de survie où le crédit immobilier devient l’individu et le décès le remboursement anticipé. En notant Pr la mesure de probabilité choisie et pour un prêt de durée n périodes, on définit :

• τ la variable aléatoire à valeurs représentant l’instant où le remboursement anticipé a lieu,

• ( )kF la fonction de répartition deτ .On a donc ( ) ( )kkF ≤= τPr ,

• ( )ktS la fonction de survie, probabilité que le crédit soit toujours « vivant » après la

période k . On a ( ) ( ) ( )kkFkS >=−= τPr1 avec la condition initiale ( ) 10 =S . Dans cette modélisation, nous allons supposer que le remboursement anticipé ne peut avoir

lieu qu’à une date d’échéance après paiement de celle-ci. Notons ( )nkkM ,..,1= les

remboursements du client hors remboursement anticipé. A l’initiation du prêt, le coût de l’option RAO de remboursement anticipé à l’initiation du prêt, en fonction des facteurs d’actualisation, est :



( ) ( )( ) ( ) ( )( ))1()(1,01

−−⋅++−⋅⋅=∑=

kSkSCRDMkSMkPO kkk

n

k

RA (41)

L’option de remboursement anticipé est donc la différence entre la valeur de marché du prêt avec remboursement anticipé et la valeur de marché hors remboursement anticipé. La formule (41) montre que la modélisation de la fonction de survie est capitale dans l’estimation de cette fonction. En effet, pour que cette méthode d’évaluation soit valable, il est primordial que la fonction de survie soit indépendante des taux d’intérêts. Le facteur déclenchant du remboursement anticipé doit donc être dû à un évènement déconnecté du marché (vente du bien pour cause de divorce, héritage etc.). Il convient donc aux banques de disposer de statistiques liées à ce type de remboursement anticipé.

Dans le cas où le remboursement anticipé est purement financier, l’option s’apparente à une swaption bermudéenne amortissable, c'est-à-dire, l’option de rentrer à certaines dates et pour une maturité fixe donnée dans un swap opposé au swap amortissable défini par le prêt. La valorisation de ce type d’option dépasse les limites du présent exposé et nécessite de modéliser le taux court par un processus à un ou plusieurs facteurs. De plus, dans la sphère opérationnelle, l’emprunteur n’est pas un agent financier et une évaluation en risque neutre de cette option parait irréaliste.

Pour respecter l’équité actuarielle, une soulte actuarielle devrait être calculée dès lors que le remboursement anticipé est lié à une volonté d’arbitrage.

4.2 Evolutions souhaitables du prêt Epargne-Logement

Le régime de l'Epargne-Logement a été institué par la loi 65-554 du 10 juillet 1965, en

remplacement du régime de l'Epargne-Crédit créé en 1959 lui-même successeur de l’Epargne-Construction. Malgré l’âge avancé de ce dispositif, ses spécificités n’ont guère évolué. Les seuls récents changements sont d’ordre fiscaux et tendent à inciter le détenteur à solder son plan pour le placer sur un produit mieux fiscalisé comme l’assurance-vie.

Les deux taux utilisés épargneT et prêtT , l’un pour la phase épargne, l’autre pour l’emprunt, ne

sont pas homogènes. En effet, les intérêts de l’épargne sont certes calculés par quinzaine mais ne sont capitalisés qu’annuellement alors que le taux du prêt est bien un taux actuariel. Nous proposons donc l’homogénéisation des deux taux sur la base d’un taux actuariel avec une capitalisation périodique des intérêts.

Le montant des prêts EL est lui aussi fortement critiquable. Reprenons la formule établie précédemment :

1)(

5,2

épargne

−

×=

ta

n

IC

n

n avec ( ) 11 12

1

épargneépagne −+= Tt

Le principe d’égaliser le montant des intérêts de l’épargne et du crédit a une conséquence paradoxale : le montant du prêt sera d'autant plus faible que la durée retenue sera longue.



EXEMPLE.- Soit 1500=I euros avec %50,2épargne =T et %20,4prêt =T35, le montant

empruntable pour une durée donnée et le montant de la charge correspondante sont :

Durée en mois

Capital (en euros)

Charge

12 92 000,00 7 838,89 24 92 000,00 4 000,06 36 92 000,00 2 721,17 48 73 129,00 1 655,15 60 58 506,00 1 080,68 72 48 692,00 764,49 84 41 651,00 571,65 96 36 353,00 445,17 108 32 223,00 357,61 120 28 913,00 294,40 132 26 201,00 247,21 144 23 939,00 211,01 156 22 023,00 182,59 168 20 380,00 159,86 180 18 955,00 141,36

Tableau 6 : Montants de l’emprunt EL et charges correspondantes

Nous observons que sur les durées courtes, le capital empruntable peut être certes de 92 000 euros mais le montant du remboursement sera a minima égal à 2 721,17 euros par mois qui est un montant relativement important pour l’emprunteur. A contrario, le capital empruntable sur 180 mois n’est que de 18 955,00 euros. REMARQUE.- Selon la réglementation en vigueur sur le T.E.G. (proportionnel), le T.E.G. d’un prêt Epargne-Logement est inférieur au taux facial (actuariel) lorsque seuls les intérêts et l’amortissement entrent dans le calcul. En effet, selon les taux en vigueur au 01/01/2007 :

( ) %12,41%20,4112 12

1

=

−+×=TEG

L’épargne constituée et l’utilisation des droits à prêt ne suffisent pas à couvrir le montant des financements immobiliers. Comme nous l’avons vu, l’emprunteur a recours à des prêts complémentaires du secteur libre qui lisseront la charge de remboursement.

Plutôt que d’égaliser les intérêts des phases épargne et crédit, nous proposons, quelle que soit la durée du prêt EL, de déterminer une unique charge de remboursement comme étant le reflet actuariel de son effort d’épargne. Dans la suite, nous utiliserons les deux taux épargneT et

prêtT comme des taux actuariels que ce soit pour la phase épargne ou prêt.

Notons ( ) 1,..,0 −= miiV les m versements mensuels (ou périodiques) effectués par l’épargnant et

I les intérêts acquis. Alors l’épargne M moyenne, au sens actuariel, vérifie :

( ) ( )∑ ∑ ∑= = =

− +=⋅+=⋅+m

k

m

k

m

k

k

k

km

kIVMtVt

1 1 1épargneépargne 11

On obtient donc :

( )( ) ( )tt

tIVM

m +−+⋅+=

+ 11 1 avec ∑

=

=m

k

kVV1

le cumul des versements

35 Taux en vigueur au 01/01/2007



Pour un prêt de n périodes, on obtient le capital empruntable nC tel que : )( prêttaMC

n

n ⋅=

Figure 35 : Calcul de l’épargne moyenne

Nous venons donc de définir une équivalence actuarielle d’effort d’épargne et d’effort de

remboursement en fonction des taux actuariels périodes respectifs. Dans ce cas de figure, plus la durée du prêt EL sera longue, plus le capital empruntable sera important.

Figure 36 : Comparaison des deux méthodes

EXEMPLE.- Dans le cas d’un versement initial de 3 000 euros et de 95 versements mensuels de 100 euros, les intérêts (composés) acquis au taux annuel actuariel de 2,50 % s’élèvent à 658,13 1 euros. La charge de remboursement calculée est de 133,26 euros. Les montants



empruntables par cette méthode et par la méthode actuelle sont représentés sur la Figure 36. Toutefois, dans un but de comparaison, nous n’avons pas appliqué le coefficient arbitraire de 2,5 sur les intérêts acquis ni le plafond d’emprunt de 92 000 euros.

A partir d’une durée de 120 mois, le montant empruntable du prêt EL proposé est plus important que celui du prêt EL actuel modifié. Néanmoins, le montant empruntable ne suffira pas à couvrir le montant du financement. Si la solution est d’utiliser un coefficient multiplicatif à cette charge, alors il conviendrait d’en légitimer son sens.

4.3 Vers une harmonisation européenne du crédit à l’habitat

En novembre 2005, la commission européenne a rédigé un LIVRE VERT [28] pour débattre

de l’opportunité d’une législation commune sur le crédit hypothécaire. Notons qu’en France, quelle que soit la garantie, le type de prêt dépend de son objet (immobilier ou consommation). Dans la majorité des pays européens, la présence d’une hypothèque (pour un crédit immobilier ou non) définit le type de prêt (hypothécaire ou non). Les débats amorcés alors concernent à la fois le crédit hypothécaire et le crédit immobilier.

La prochaine étape après le Livre vert, le Livre blanc, doit intervenir à la fin de l’année 2007. Il devra contenir un ensemble de propositions argumentées visant à établir une politique européenne sur le marché du crédit hypothécaire.

Dans son Livre vert, la commission a posé des questions sur différentes thématiques. Nous allons apporter notre point de vue sur deux d’entre elles : la mesure du crédit et le remboursement anticipé.

• Concernant la mesure du crédit

Selon les états membres, la méthode de calcul du taux effectif annuel est soit proportionnelle soit équivalente. A l’instar du T.A.E.G. pour les crédits à la consommation, le taux effectif doit évidemment être un taux actuariel annuel. Ainsi, le T.A.E.G. doit être la seule mesure existante au niveau européen. Nous pensons que les éléments à intégrer dans le T.A.E.G. sont tous les éléments obligatoires perçus par la banque en relation directe avec le prêt. Il convient donc d’exclure les frais annexes concernant des services facultatifs ou qui ne sont par en rapport direct avec le crédit en lui-même. Dans ce périmètre, il convient tout de même d’ajouter l’assurance DIT lorsque celle-ci est obligatoire (que ce soit une assurance DIT proposée par la banque ou par un tiers).

Remarquons que le T.A.E.G. n’incluant que les flux d’intérêts et d’amortissements d’un prêt immobilier serait alors le taux annuel équivalent au taux annuel proportionnel. Peut-être qu’une telle harmonisation sonnerait la désuétude du calcul proportionnel dans le calcul des intérêts ?

• Concernant le remboursement anticipé

Les conditions de remboursement anticipé sont très différentes selon les états membres. Nous pensons que ce droit non-symétrique que possède l’emprunteur ne doit exister que dans certaines circonstances statistiquement mesurables. Ainsi, les évènements indépendants des conditions de taux et non couverts par une assurance de type DIT pourraient constituer l’ensemble des évènements donnant lieu à un remboursement anticipé sans pénalité ni soulte actuarielle. A l’instar d’une table de mortalité pour l’assurance, nous pourrions imaginer une table d’expérience permettant aux établissements financiers de valoriser de façon homogène ces remboursements anticipés.



Concernant les remboursements liés à un arbitrage de taux (renégociations à la baisse etc.), nous pensons qu’une transposition de la soulte actuarielle dans la sphère opérationnelle est nécessaire. En effet, l’option financière de remboursement anticipé est une option facturée au client sans que lui-même ne le décide. Incorporer cette option dans un taux impliquerait que les emprunteurs enclins à rembourser par anticipation le feront d’autant plus rapidement et les emprunteurs souhaitant aller au terme de leur prêt auront payé une option non utilisée. Dans un souci d’équité, cette option, lorsqu’elle est liée à un arbitrage, doit être facturée ex post. Afin d’être homogène avec les techniques de la sphère financière, nous pensons que le taux d’actualisation doit être unique et égal soit au T.A.E.G. soit au taux d’intérêt actuariel annuel.


Conclusion

Le dynamisme du marché immobilier de ces dernières années a poussé les Français à s'endetter davantage. Pour les banques, le crédit immobilier reste un vecteur de conquête de nouveaux clients. Dans un contexte où l’on pressent une baisse de la croissance du marché, le développement de produits innovants capables de capter la clientèle est donc indispensable.

Avec la demande croissante de transparence des emprunteurs, les établissements de crédit

doivent améliorer leur fonction d’intermédiation en proposant des prêts aux justes taux en adéquation avec le besoin.

Cette amélioration est d’autant plus possible et urgente que les outils informatiques à

disposition sont de plus en plus performants et, à l’instar de la sophistication des techniques utilisées sur les marchés financiers, elle profitera à l’emprunteur, qui bénéficiera de meilleures conditions, et au prêteur, qui pourra alors gérer efficacement le risque de taux.

Dans ce mémoire, nous avons montré que les modèles d’optimisation proposés par certains

réseaux bancaires ont un fondement limité. En effet, ceux-ci se basent sur une courbe des taux unique quel que soit le type d’amortissement souhaité. Or l’étude du refinancement a montré que l’amortissement est un déterminant essentiel du taux égalisant actuariellement les engagements des deux parties. La transposition des techniques appliquées de la sphère financière à la sphère opérationnelle est donc souhaitable.

En parallèle d’une valorisation plus juste du taux, nous avons étudié des prêts, encore peu développés, dont les remboursements coïncident au mieux avec les capacités de l’emprunteur. Par ailleurs, nous nous sommes interrogés sur la pertinence de l’indice méconnu Euribor pour les prêts à taux variable en proposant un prêt indexé sur le taux du Livret A. La législation va-t-elle évoluer en autorisant l’indexation sur l’inflation des prêts immobiliers ?

L’ouverture du marché immobilier à l’Europe devrait catalyser ces avancées attendues.

Concernant cette harmonisation, l’actuaire sera sollicité afin de donner son avis. C’est donc le moment de proposer le T.A.E.G. comme mesure du crédit et de le renforcer face au coût total.

Finalement, au nom de l’équité actuarielle, nous avons proposé de redéfinir les conditions

de remboursement anticipé des crédits immobiliers. Les conséquences de telles réformes seraient bénéfiques à la fois aux banques et aux emprunteurs européens.

En résumé, l'innovation scientifique et les nouvelles technologies doivent être exploitées,

dans l'intérêt de tous.



Annexes


Annexe 1 : Analyse d’exploitation d’une banque

L’analyse d’exploitation d’une banque repose sur l’analyse du Produit Net Bancaire (PNB), des frais généraux et du coût du risque. Ces trois notions forment le Résultat Brut d’Exploitation (RBE). RBE = PNB – Frais généraux – Coût du risque PNB = Marge d’intérêts (intérêts reçus – intérêts versés) + commissions + gains ou pertes sur les opérations financières. Taux de défaillance : Le rapport entre les montants des prêts pour lesquels la déchéance du terme a été prononcée et le montant global des crédits.

Les établissements classent en encours douteux les encours et engagements présentant un

risque de crédit avéré au titre de chacune des situations suivantes :

• lorsqu’il existe un ou plusieurs impayés depuis trois mois au moins (six mois pour les créances sur des acquéreurs de logement et sur des preneurs de crédit-bail immobilier, neuf mois pour les créances sur des collectivités locales, compte tenu des caractéristiques particulières de ces crédits). Il ne peut être dérogé à cette règle que lorsque des circonstances particulières démontrent que les impayés sont dus à des causes non liées à la situation du débiteur ;

• lorsque la situation d’une contrepartie, à une opération de crédit ou à un engagement de hors bilan, présente des caractéristiques telles qu’indépendamment de l’existence de tout impayé, on peut conclure à l’existence d’un risque avéré. Il en est ainsi notamment lorsque l’établissement a connaissance de la situation financière dégradée de sa contrepartie, se traduisant par un risque de non recouvrement (existence de procédures d’alerte, par exemple) ;

• lorsqu’il existe des procédures contentieuses entre l’établissement et sa contrepartie. Au titre des procédures contentieuses à prendre en considération, on peut citer les procédures de surendettement, de redressement judiciaire, règlement judiciaire, liquidation judiciaire, faillite personnelle, liquidation de biens, ainsi que les assignations devant un tribunal international .

On définit le taux de provisionnement par le quotient entre la dotation aux provisions et l’encours de crédit.


Annexe 2 : Etude de l’écart résiduel

Durée = 180 mois, Montants empruntés égaux à 10 000 euros et 1 000 000 euros en valeurs absolues

Le montant n’influe pas sur les CRD résiduels.


Durée = 240 mois, Montants empruntés égaux à 100 000 euros et 1 000 000 euros


Plus la durée du prêt est longue, plus les CRD résiduels deviennent importants.


Annexe 3 : Extrait du Code de la Consommation

• Sur le taux effectif global

Art. R. 313-1.

Le taux effectif global d'un prêt est un taux annuel, proportionnel au taux de période, à terme échu et exprimé pour cent unités monétaires. Le taux de période et la durée de la période doivent être expressément communiqués à l'emprunteur.

Le taux de période est calculé actuariellement, à partir d'une période unitaire correspondant à la périodicité des versements effectués par l'emprunteur. Il assure, selon la méthode des intérêts composés, l'égalité entre, d'une part, les sommes prêtées et, d'autre part, tous les versements dus par l'emprunteur au titre de ce prêt, en capital, intérêts et frais divers, ces éléments étant, le cas échéant, estimés.

Lorsque la périodicité des versements est irrégulière, la période unitaire est celle qui correspond au plus petit intervalle séparant deux versements. Le plus petit intervalle de calcul ne peut cependant être inférieur à un mois

Lorsque les versements sont effectués avec une fréquence autre qu'annuelle, le taux effectif global est obtenu en multipliant le taux de période par le rapport entre la durée de l'année civile et celle de la période unitaire. Le rapport est calculé, le cas échéant, avec une précision d'au moins une décimale. Art. L. 313-1.

Dans tous les cas, pour la détermination du taux effectif global du prêt, comme pour celle du taux effectif pris comme référence, sont ajoutés aux intérêts les frais, commissions ou rémunérations de toute nature, directs ou indirects, y compris ceux qui sont payés ou dus à des intermédiaires intervenus de quelque manière que ce soit dans l'octroi du prêt, même si ces frais, commissions ou rémunérations correspondent à des débours réels.

Toutefois, pour l'application des articles L. 312-4 à L. 312-8, les chargés liées aux garanties dont les crédits sont éventuellement assortis ainsi que les honoraires d'officiers ministériels ne sont pas compris dans le taux effectif global défini ci-dessus, lorsque leur montant ne peut être indiqué avec précision antérieurement à la conclusion définitive du contrat.

En outre, pour les prêts qui font l'objet d'un amortissement échelonné, le taux effectif global doit être calculé en tenant compte des modalités de l'amortissement de la créance.

Un décret en Conseil d'État déterminera les conditions d'application du présent article.

• Sur l’indemnité de remboursement anticipé Art. L. 312-21.

L'emprunteur peut toujours, à son initiative, rembourser par anticipation, en partie ou en totalité, les prêts régis par les sections 1 à 3 du présent chapitre. Le contrat de prêt peut interdire les remboursements égaux ou inférieurs à 10 p. 100 du montant initial du prêt, sauf s'il s'agit de son solde. Si le contrat de prêt comporte une clause aux termes de laquelle, en cas de remboursement par anticipation, le prêteur est en droit d'exiger une indemnité au titre des intérêts non encore


échus, celle-ci ne peut, sans préjudice de l'application de l'article 1152 du code civil, excéder un montant qui, dépendant de la durée restant à courir du contrat, est fixé suivant un barème déterminé par décret. Pour les contrats conclus à compter de la date d'entrée en vigueur de la loi nº 99-532 du 25 juin 1999 relative à l'épargne et à la sécurité financière, aucune indemnité n'est due par l'emprunteur en cas de remboursement par anticipation lorsque le remboursement est motivé par la vente du bien immobilier faisant suite à un changement du lieu d'activité professionnelle de l'emprunteur ou de son conjoint, par le décès ou par la cessation forcée de l'activité professionnelle de ces derniers. Art. R. 312-2.

L'indemnité éventuellement due par l'emprunteur, prévue à l'article L. 312-21 en cas de remboursement par anticipation, ne peut excéder la valeur d'un semestre d'intérêt sur le capital remboursé au taux moyen du prêt, sans pouvoir dépasser 3 % du capital restant dû avant le remboursement.

Dans le cas où un contrat de prêt est assorti de taux d'intérêts différents selon les périodes de remboursement, l'indemnité prévue à l'alinéa précédent peut être majorée de la somme permettant d'assurer au prêteur, sur la durée courue depuis l'origine, le taux moyen prévu lors de l'octroi du prêt.


Annexe 4 : Retour sur les règles de Descartes Liminaire : Si les coefficients d’un polynôme ( )xQ comporte m changements de signe alors la suite des

coefficients non nuls du polynôme ( ) ( ) ( )xQxxP ⋅−= α avec 0>α comporte au moins 1+m changements de signe où ∈m IN. . Démonstration :

Posons ( ) ∑=

⋅=n

i

i

i xqxQ0

avec, sans perte de généralité, 1=nq .

On a ( ) ( ) ( ) ( ) in

i

i

n

n

n

i

i

ii xpxqxqqqxqxxP ⋅=⋅+⋅⋅−+⋅−=⋅−= ∑∑+

=

+

=−

1

0

1

110 ααα .

Cette égalité montre que 11 ==+ nn qp et donc à le même signe que nq . De plus, de ni = à

1=i , jjj qqp ⋅−= − α1 a le même signe que 1−jq lorsqu’un changement de signe intervient

entre jq et 1−jq :

• Si 01 <−jq et 0>jq alors 01 <⋅−= − jjj qqp α

• Si 0>jq et 0<jq alors 01 >⋅−= − jjj qqp α

Donc, en partant de 1+np , il existe un sous-ensemble ( )

kk jjp des ( )

1,..,1 += njjp ayant les mêmes

signes que le sous-ensemble correspondant ( )11 −−

kk jjq des coefficients de ( )xq . Ce dernier sous-

ensemble ayant exactement m changements de signe, nous venons de montrer que le polynôme ( )xp comporte au moins m changements de signe dans ses coefficients. Pour

conclure, 0p est de signe contraire à 0q et donc de mj

p .

Première règle de Descartes

Soit ( )xP , un polynôme en x de degré n : ∑=

=n

k

k

k xaxP0

)( , alors le nombre de racines réelles

positives de )(xP est plus petit ou égal au nombre de changement de signes dans la sous-suite

des coefficients non nuls de la suite naaa ,...,, 10

Démonstration : Nous allons montrer ce résultat par récurrence sur 0≥k nombre de racines positives de

)(xP :

• 0=k : si )(xP n’aucune racine positive, alors le résultat est immédiat.

• Supposons le résultat vrai pour ∈k IN. et supposons que )(xP a k racines positives alors :

Soit une racine 0>α , on peut donc écrire ( ) ( ) ( )xQxxP ⋅−= α où ( )xQ est un polynôme

comportant 1−k racines positives. Par hypothèse de récurrence, ( )xQ a au moins 1−k changements de signes. Par le résultat du liminaire, )(xP a donc au moins k changements de signes.


Proposition : Le reste de la division par 2 du nombre de changement de signes dans une suite de nombres réels non nuls ( )

njjs ,..,0= est égal au nombre de changements de signes de la sous suite ( )nss ,0 .

Démonstration :

Notons jσ le signe de js . On a ( ) ∏−

= +

==−1

0

0

1

signes de changement de nombre1n

j nj

j

σσ

σ

σ

Cette dernière relation montre que la différence entre le nombre de changements de signes dans la suite et le nombre de changement dans la sous suite ( )nss ,0 (0 ou 1) est pair.

De ce résultat, nous pouvons étendre le liminaire précédent : Si les coefficients d’un polynôme ( )xQ comporte m changements de signe et si 0>α , alors

la suite des coefficients non nuls du polynôme ( ) ( ) ( )xQxxP α−= comporte au moins lm ⋅++ 21 changements de signes où ∈),( ml IN.2 .

Deuxième règle de Descartes : Le nombre des racines positives d’un polynôme ( )xP à coefficients réels est égal au nombre de changement de signes (un coefficient nul ne compte pas) ou en est inférieur d’un multiple de 2. Nous allons montrer ce résultat par récurrence sur 0≥k nombre de racines positives de

)(xP :

• 0=k : si )(xP n’aucune racine positive, alors

Comme np est positif, par le résultat de la proposition ci-dessus, il suffit donc que 0p soit lui

aussi positif. Par l’absurde, si 0p négatif, alors ( ) 00 <P . Or, comme np est positif, il existe un

x suffisamment grand tel que ( ) 0>xP . Ainsi, ( )xP admet une racine. Absurde.

• Supposons le résultat vrai pour ∈k IN et supposons que )(xP a k racines positives.

Alors soit une racine 0>α , on peut donc écrire ( ) ( ) ( )xQxxP ⋅−= α où ( )xQ est un

polynôme comportant 1−k racines positives. Par hypothèse de récurrence, ( )xQ a au moins lk ⋅+− 21 changements de signes. Par le résultat du liminaire, )(xP a donc au moins

lk ⋅+ 2 changements de signes.


Annexe 5 : Algorithme numérique de résolution de d’équation

Dans le cas d’un prêt immobilier classique, une fois l’existence et l’unicité montrées, la question de la résolution de l’équation du T.E.G. s’impose. Cette équation se ramène à la résolution des racines d’un polynôme de degré élevé. Pour cette raison, le recours à des algorithmes de résolution numérique est nécessaire.

Nous présenterons deux méthodes classiques de résolution du zéro d’une fonction continue ( )xfx→ . Nous recherchons donc *x tel que ( ) 0* =xf .

• Algorithme de dichotomie

L’algorithme de dichotomie est une méthode qui ne peut pas échouer, mais sa rapidité de convergence n’est pas la meilleure.

Considérons f monotone sur un intervalle [ ]00 ;ba telle que ( ) ( ) 000 <bfaf , on sait alors

qu’il existe une et une seule racine comprise dans cet intervalle. L’algorithme est le suivant :

On calcule

+2

00 baf puis :

- Si ( ) 02 0

00 <

+af

baf , on définit un nouvel encadrement de la racine par

l’intervalle [ ]11;ba tel que

200

1

01

bab

aa

+=

=

- Si ( ) 02 0

00 >

+af

baf , on définit un nouvel encadrement de la racine par

l’intervalle [ ]11;ba tel que

01

001 2

bb

baa

=

+=

En itérant cette méthode, on obtient une suite de couple ( )nn ba , telle que la suite suivante

nnn ab −=ε vérifie la relation :

21n

n

εε =+ avec

200

0

ab −=ε

Cette formule signifie que si l’on se fixe la tolérance ε qui représente la précision à

laquelle on souhaite obtenir la racine, on a un nombre d’itérations à effectuer égal à


( )2ln

ln 00

−

=εab

N

En pratique, on résout l’équation ( )( )∑

=

=+

=n

ii

i

t

FtF

0

01

sur l’intervalle ] [1;0 car le T.E.G. est

toujours compris entre 0 % et 100 %. Notons que pour une précision à 810− , seules 27 itérations de l’algorithme sont nécessaires.

• Algorithme de Newton-Raphson

La méthode de dichotomie ne nécessite qu’une seule hypothèse de continuité. La méthode

de Newton-Raphson nécessite de plus que la fonction f dont on cherche à déterminer une racine, soit dérivable au voisinage de celle-ci. Les itérations successives de la méthode de Newton-Raphson sont basées sur le développement limité de la fonction autour d’un point :

( ) ( ) ( ) ( )...

22

''' +++=+ δδδ

xfxfxfxf

Si δ est suffisamment petit, on peut négliger les termes non linéaires et une estimation de la racine est donnée par ( ) 0=+ δxf . D’où :

( )( )xf

xf'

−=δ

Il est donc nécessaire que la dérivée de la fonction ne s’annule pas au voisinage de *x , sous peine que l’estimation de δ devienne très grande et ne permette pas à la méthode de converger. Dans ce cas, on a une méthode qui converge quadratiquement.

En effet, la suite ( ) IN∈iix définie par ( )( )i

iii

xf

xfxx

'1 −=+ converge vers *x .

En posant *1 xxii −=+ε , on a

( )( )i

iii

xf

xf'1 −=+ εε .

En supposant f deux fois dérivable au voisinage de la racine, on obtient ( )( )i

iii

xf

xf'

''2

1 2εε −=+ .

Cette méthode converge donc très rapidement par rapport à la méthode de dichotomie.

En pratique, il convient d’utiliser une valeur 0x pas trop éloignée de *x car la méthode peut

boucler de façon infinie sans produire d’approximation améliorée. Ainsi, il est judicieux de définir en amont un nombre d’itérations maximal.

Dans le cas d’un T.E.G. de prêt immobilier, l’équation est

( )( )∑

=

=+

=n

ii

i

t

FtF

0

01

.

Comme la fonction ( )tFt → est continue et deux fois dérivable sur ] [+∞− ;1 , la méthode de

Newton-Raphson ne pose pas de problème, on a en effet ( )∑

=++

×−=

n

ii

i

t

FitF

11

'

1)( .


La majorité des T.E.G. étant inférieure à 10 %, on utilise 00 =ε . En cas de T.E.G.

multiples, la valeur de 0ε est déterminante.

Ainsi, pour l’exemple traité aux T.E.G. multiples, 00 =ε donne la valeur du T.E.G. à 1,86

%, 1,00 =ε donne un T.E.G. à 14,35 % et 3,00 =ε donne le T.E.G. à 29,02 %.


Annexe 6 : Décomposition optimale Propriété : Soit un prêt de montant C de durée n périodes. Notons ( )

nkkCRD ,..,0= et ( )nkkAm ,..,1= la suite

des CRD et des amortissements. Supposons que nous disposions d’une courbe des taux ( )iti, exprimée en périodes telle que

ij ttij ≥>∀ , .

Alors la décomposition optimale en n prêts tels que pour nk ,...,1= , le kème prêt a pour capital

k

k AmC = sur une durée k au taux kt est telle que l’amortissement de chaque prêt est in fine.

Démonstration : Notons ( )

ik

i

kCRD ,..0= et ( )ik

i

kAm ,..,1= les suites des capitaux restant dus et de l’amortissement du

ime prêt telles que ii CCRD =0 et 0=i

iCRD .

Tout d’abord, nous avons les propriétés de linéarité évidentes :

• k

n

ki

i

k CRDCRD =∑=

pour nk ,..,0=

• i

k

i

kj

i

j CRDAm 1−=

=∑ pour nk ,..,1=

• k

n

ki

i

k AmAm =∑=

pour nk ,..,1=

Soit nk ,..,1∈ , le montant des intérêts est i

n

ki

i

kk tCRDInt ×=∑=

−1 .

Or, ∑=

− =i

kj

i

j

i

k AmCRD 1 , donc ∑ ∑∑∑∑= == ==

−

×=×=×

n

kj

n

ji

i

i

ji

n

ki

i

kj

i

ji

n

ki

i

k tAmtAmtCRD 1 .

Comme ij ttij ≥>∀ , , nous avons ∑∑ ∑∑== ==

− ⋅=

×≥×

n

kj

jj

n

kj

n

ji

j

i

ji

n

ki

i

k tAmtAmtCRD 1 .

Quelle que soit la structure de l’amortissement, nous venons d’obtenir une borne minimale

telle que k

n

kj

jj InttAm ≤⋅∑=

.

Considérons la décomposition en n prêts tel que le kème prêt a pour capital k

k AmC = sur une

durée k au taux kt est telle que l’amortissement de chaque prêt est in fine. Alors, dans ce cas,

nous avons le kème intérêt du prêt global ∑=

⋅=n

kj

jjk tAmInt . Cette décomposition est donc

optimale (à la fois en termes de T.A.E.G. et de coût total).


Propriété : Soit un prêt de montant C de durée n périodes. Supposons que nous disposions d’une courbe des taux ( )iti, exprimée en périodes telle que ij ttij ≥>∀ , .

Considérons une charge de remboursement par paliers ( )∏=

+⋅=k

i

ik aMM1

1 où 0>M avec

des coefficients de progressivité admissibles pour notre modèle. La charge initiale *M minimale est obtenue par une décomposition en n prêts in fine. Existence et unicité d’une décomposition : Soient n prêts tels que pour nk ,...,1= , le kème prêt a pour capital kC sur une durée k au taux

kt est telle que l’amortissement de chaque prêt est in fine.

Sans perte de généralité, posons 01 =a et supposons que 1−>ia pour tout 1>i ;

L’existence et l’unicité de cette décomposition repose sur l’existence des n prêts. Considérons un montant 1=M , nous pouvons écrire la décomposition matriciellement :

( )( ) ( )

( )

( )( )

( )

×

+

+

+

=

+

+⋅+

+

∏=

nn

n

n

n

n

k

k C

C

C

t

t

tt

ttt

a

aa

a

M

L

LOM

L

L

M

2

1

2

21

1

21

1

100

10

1

1

11

1

Nous avons supposé que 0 ,1 >≥∀ iti , la matrice triangulaire de l’amortissement est donc

inversible. Nous obtenons chaque capital de chaque prêt par :

( )( )

( )

( )( ) ( )

( )

+

+⋅+

+

×

+

+

+

=

∏=

−

n

k

kn

n

n

n

n a

aa

a

t

t

tt

ttt

C

C

C

1

21

11

2

21

2

1

1

11

1

100

10

1

M

L

LOM

L

L

M

Pour 1 euro remboursé à la première période, le capital emprunté est ∑=

n

i

iC1

. Par linéarité, on

obtient le montant de la charge *M pour un capital donné C . Montrons que cette charge est minimale : Par l’absurde, considérons une autre décomposition autre qu’une décomposition in fine telle que

( ) kk

k

i

ik IntAmaMM +=+⋅= ∏=1

'' 1 avec *' MM <


Or, d’après le résultat précédent, nous pouvons décomposer ce prêt en n prêts in fine ''kM tel

que '''k

n

kj

jjkk MtAmAmM ≤⋅+= ∑=

.

Dans le cas où kMM kk ∀= ,''' alors *'' MM < ce qui est absurde par unicité de la

décomposition. Sinon, nk ,..,1∈∃ tel que '''kk MM < , et dans ce cas, nous pouvons

reconstruire une décomposition en prêts in fine respectant les progressions tout en étant optimale.


Annexe 7: Convention de calcul des intérêts sur les marchés financiers

Le montant des intérêts dus entre une date 1d et une date 2d à un taux annuelT sur un

notionnel N sont ( )21,ddBaseTN ×× . La base précise les conventions de calcul du durée entre deux paiements et le nombre de jours que comporte une année pleine. La base se présente comme la fraction où le numérateur est le nombre de jours entre deux paiements et le dénominateur le nombre de jours dans une année.

D’un pays à l’autre, les bases sont différentes selon qu’il s’agit d’un taux de maturité inférieure à un an ou d’un taux de maturité supérieure à l’année. Nous présentons ici les 3 bases les plus rencontrées en zone Euro.

• « Exact/360 ou Exact/365 » appelée base monétaire (Money Market basis) :

Dans cette base, on décompte le nombre de jours de la période pour le diviser par 360 ou 365.

La base Exact/360 se formalise par ( )360

, 1221

ddddBase

−= et la base Exact/365 se

formalise par ( )365

, 1221

ddddBase

−= . La base monétaire la plus utilisée est la base Exact/360.

La base Exact/365 est utilisée principalement pour la devise GBP.

• « Exact/Exact »:

Dans cette base, on décompte le nombre de jours de la période et le nombre de jours de l’année. Cette base diffère de l’Exact/365 dans la prise en compte des années bissextiles.

La convention obligataire impose un dénominateur de 366 pour l’ensemble de la période dès lors que celle-ci inclut une fraction d’année bissextile.

Pour les produits dérivés comme les swaps contre TAM, la convention ISDA stipule que le dénominateur de 366 jours ne s’applique que sur la fraction d’année de l’année bissextile.

• « 30/360 » encore appelée Bond Basis:

On considère que chaque mois est composé de 30 jours quel que soit le nombre de jours exact dans le mois et que l’année dure 360 jours.

Dans le cas d’une éventuelle période brisée, celle-ci est prise en compte en fin de période. La convention Bond Basis Strict que chaque mois dure 30 jours puis on utilise le nombre de jours exact pour le dernier mois. Dans cette base, on décompte 46 jours entre le 15/09 et le 31/10.

La convention Euro Bond Basis considère que le 31 du mois n’existe jamais. Ainsi, la période du 15/09 au 31/10 comporte 45 jours.

Cette base est utilisée sur le marché interbancaire pour les intérêts de la jambe fixe des swaps de taux en euros.

Une fois la base de calcul spécifiée, encore faut-il définir une convention de perception prenant en compte les jours fériés. Lorsqu’un règlement tombe un jour férié, trois conventions sont utilisées :

• Following : le règlement a lieu le jour ouvré suivant, • Preceding : le règlement a lieu le jour précédent,


• Modified following : le règlement a lieu le jour ouvré suivant sauf si on se situe en fin de mois auquel cas le règlement a lieu le jour ouvré précédent.

Finalement, deux conventions existent pour définir précisément si le calcul des intérêts

prend en compte ce changement de dates :

• Mode ajusté : les intérêts sont calculés sur le nombre de jours exact en prenant en compte la date réelle de paiement,

• Mode non ajusté : le taux s’applique sur la période initialement négociée quelles que soient les périodes réelles de paiement.


Annexe 8 : Interpolation par Splines Cubiques

Le principe de l’interpolation par Splines Cubiques est d’approcher la courbe a priori inconnue par morceaux en prenant des polynômes de degré trois.

On appelle Spline Cubique d’interpolation une fonction notée f vérifiant les propriétés

suivantes : • [ ]baCf ;2∈ , f est deux fois continûment dérivable,

• f coincide sur chaque [ ]1; +ii xx avec un polynôme de degré inférieur ou égal à 3.

• ( ) niyxf ii ,..,0 , =∀=

Pour définir l’unicité de cette fonction, nous ajouterons une condition supplémentaire

qualifiant la spline cubique de « naturelle » : • ( ) ( ) 0'''' == bfaf

Détermination de ces polynômes : notons 1,..,0 −=∀ ni : • iii xxh −= +1 ,

• [ ]1; += iii xxδ ,

• ( )xf i le polynôme de degré 3 coïncide avec ( )xf sur iδ

Comme la dérivée seconde se doit d’être linéaire, nous pouvons écrire sur iδ

( )i

i

i

i

i

iih

xxm

h

xxmxf

−+

−= +

+1

1''


tel que ( ) iii mxf ='' et ( ) 11''

++ = iii mxf (conditions aux bords). On intègre deux fois et on

obtient

( ) ( ) ( ) ( ) iii

i

i

i

i

i

ii bxxah

xxm

h

xxmxf +−+

−+

−= +

+ 66

31

3

1 avec ( )niii ba ,..,0, = constantes.

De plus, comme ( ) iii yxg = et ( ) 11 ++ = iii yxg , on a

i

ii

i bhm

y +=6

2

et iii

ii

i bhahm

y ++= ++ 6

21

1

Par soustraction, on obtient ( ) ( )ii

i

ii

i

i mmh

yyh

a −−−= ++ 11 6

1 (A)

En utilisant la continuité de 'f , nous obtenons :

( ) ( ) 11'

1'

22 −−

− +=+−== i

i

ii

i

iiiii ah

mah

mxgxg car

( ) ( ) ( )i

i

i

i

i

i

ii ah

xxm

h

xxmxf +

−−

−= +

+ 22

21

2

1' . En utilisant (A), le système d’équation devient

le suivant :

( ) ( ) ( )

−−−=+++ −

−++−−− 1

111111

1162 ii

i

ii

i

iiiiiii yyh

yyh

mhmhhmh 1,...,1, −= ni

00 == nmm

On a donc 121 −=−+ nn inconnues que sont les im pour 1−n équations, ce système peut

donc se résoudre numériquement.


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Construction optimale d'un financement personnel immobilier · 1.2 La convention de calcul ... 3.2 Cas du différé d’amortissement et du différé total ... Evolution des volumes