Constrained model predictive control : Stability and optimality

Constrained model predictive control : Stability and optimalityA survey paper by:D. Q. Mayne, J. B. Rawlings, C. V. Rao and P. O. M. ScokaertAutomatica, vol. 36, pp. 789-814, 2000

Nicolas Marchand Laboratoire dAutomatique de Grenoble

GT - GDR - Commande Prdictive non linaire

Objectifs de larticlePoints non traits :Systmes linaires non contraints, systmes temps variantsSystmes non reprsents par des quations dtatApplications (survey de Qin et Badgwell 1997)Stabilit des systmes dynamiques (linaires et non linaires) contraints commands par des techniques prdictivesVue densemble des travauxSortir la substantifique moelle qui garantit la stabilitPoints mentionns :PoursuiteRetour de sortieContraintes progressivesAspects adaptatifsAlgorithmes doptimisation (survey de Biegler 1998, Wright 1997, Rao et al. 1998)


PlanModel Predictive Control : dfinitionsVue densemble de la littratureNaissance de la MPC, Apparition de lhorizon fini, Littrature issue de la commande des procds, GPCMPC et StabilitConditions de stabilit de la MPCMthodes directe et indirecteComment ces conditions sont vrifies dans la littratureRobustesseConditions de stabilitDiffrentes approchesPerspectives


Model Predictive Control : dfinitionsHorizon : NMPC : dfinitions


Model Predictive Control : dfinitionsHorizon : NSystme :Problme de la commande prdictive :MPC : dfinitions


Vue densemble de la littrature Naissance implicite de la MPC :Bellman (1957), Kalman (1960) : Optimalit ; Stabilit,Lee and Markus (1967)Apparition de lhorizon fini :Impossibilit pratique de lhorizon infini (hormis H2 et H1)Kleinmann (1970), Thomas (1975) : Ajout dun cot infini sur ltat final pour les systmes linaires (eq. diff. de Riccati avec contrainte finale)Etendu par Kwon et Pearson (1977), Kwon et al. (1983) : Horizon fini + contrainte ) StabilitVue densemble de la littrature


La littrature issue de la commande des procdsIndpendamment des autres travaux, orient vers lindustrieMthodes linaires bases sur une rponse temporelle du systme, prenant en compte les contraintes de commande et de sortieSans violation possible des contraintes : Richalet et al. (1976,1978) avec IDCOM, Cutler et Ramaker (1980), Prett et Gillette (1980) avec DMC.Avec violation temporaires des contraintes : Garcia et Morshedi (1986) avec QDMCPlusieurs niveaux de contraintes : Marquis et Broustail (1988) avec SMOCImplantation trs importante (plus de 2000)Pas (ou trs peu) de considrations thoriques de stabilitLa Generalized Predictive Control (GPC)Issue de la commande adaptative (De Keyser et Van Cauwenberghe 1979)Systmes linaires bruits en temps discret non contraints avec une formulation dterministe proche de la MPCRsultats thoriques de stabilit (Mosca et al. 1990)Observabilit + Contrainte ) stabilitVue densemble de la littrature


MPC et stabilit :Lyapunov : Approche de omise dans les annes 70 et 80 maintenant universellePrend en compte le cas non linaireVN comme fonction de LyapunovVariantes de :Contrainte dgalit sur ltat final : (Keerthi et Gilbet 1988, Chen et Shaw 1982, Mayne et Michalska 1990, )Cot sur ltat final :(Gauthier et Bornard 1983, Rawlings et Muske 1993 : lien entre horizon fini et infini)Ensemble terminal puis basculement sur une commande locale (Michalska et Mayne 1993, )Cot sur ltat final et ensemble terminal :(Sznaier et Damborg 1987, Parisini et Zoppoli 1995, De Nicholao et al. 1996, )

Conclusion :Points cls de la MPC : Cot terminal F, Ensemble terminal Xf, Contrleur local fVue densemble de la littrature


Conditions de stabilit de la MPC 2 mthodes distinctesLes deux utilisent le cot optimal comme fonction de LyapunovMthode directe :Chercher des conditions sur F, Xf et f pour que :

(Keerthi et Gilbert (1988), Mayne et Michalska 1990, Rawlings et Muske 1993,)Mthode indirecte :Utilise la monotonicit de VN :

(Chen et Shawn 1982, Bitmead et al. 1990, De Nicolao et al 1996, )

Conditions de stabilit de la MPC


Conditions suffisantes de stabilit :temps discret :

temps continu :Conditions de stabilit de la MPC


Contrainte dgalit sur ltat final :

Cot sur ltat final :Pas de contrainte terminale explicite cependant ncessaire pour garantir la stabilit dans les cas non linaire ou linaire contraint instablelinaire non contraint ou linaire contraint stable :

Conditions de stabilit de la MPC


Ensemble terminal :

Cot sur ltat final et ensemble final :Systmes linaires contraints :

Systmes non linaires, non contraints (Jadbabaie et al. 1999) :

Systmes non linaires contraints : 2 approches

(Chen et Allgwer 1998) (De Nicholao et al. 1996, 1999, Alamir 1995,) Conditions de stabilit de la MPC


Autres approches :Horizon variable : (Michalska et Mayne 1993, Michalska 1997)

basculement sur une commande locale dans Xf, pas de conditions A1 A4 car N variable, conditions sur l Mthodes contractives : (Polak et Yang 1993, Morari et De Oliveira 1998,)

uF est appliqu en BO sur lhorizon NF, pas de rsultat de stabilit gnralConditions de stabilit de la MPC


Stabilit force : (Snaier et Damborg 1990, Bemporad 1998, )Ajout dune contrainte de dcroissance dune fonction de Lyapunov dans le problme de commande. Le problme est alors celui inhrent aux fonctions de Lyapunov : comment la choisir ?Linarisation :(De Oliveira et al. 1995, Kurtz et Henson 1997, ) Le problme principal rside dans le fait que X et U ne sont plus convexes aprs transformationMPC sous optimale :(Michalska et Mayne 1993, Mayne 1995, Chisci et al. 1996, Scoakert et al. 1999, )Problmes doptimisation non convexe dans le cas non linaire appelant une simplification (faisabilit plutt quoptimalit)Conditions de stabilit de la MPC


ConclusionConsensus rapide autour des points cls : cot terminal, ensemble terminal et contrleur local (+ ou explicite).Les conditions A1-A4 unifient la plupart des travaux existantsIl apparat souhaitable de choisir le cot terminal F proche de V1 permettant dhriter des avantages de lhorizon infini (robustesse). Dlicat en non linaire Philosophie est toujours la mme : prendre quivalent un problme Conditions de stabilit de la MPC


Robustesse de la MPCPrincipalement 3 approches rencontres :Robustesse inhrente : robustesse de la MPC conue sur le modle nominal Prise en compte de toutes les ralisations possibles (problme min-max)Ajout dun feedback au problme de commande optimale

Modle :

Aspects robustes


Robustesse inhrente :(De Nicolao et al. 1996, Magni et Sepulchre 1997)Rsultats lis un problme dhorizon infini modifi dont dcoule la robustesse

Problmes min/max :Conditions suffisantes de stabilit :

ces conditions garantissent :


Commande prdictive Min/Max en BO(Michalska et Mayne 1993, Chen et al. 1997, Magni et al. 1999,)

Problme pour garantir linvariance de Xf Une possibilit pour contourner la difficult : horizon variable

MPC boucle(Mayne 1995,1997, Kothare et al. 1996, Lee and Yu 1997, )

Lensemble des tats qui peuvent tre ramen lorigine de manire robuste est considrablement augmentComplexit prohibitiveQuelques exemples applicables en linaire contraint (Kothare et al. 1996, Scokaert et Mayne 1998)

ensemble des squences de commandes telles que la trajectoire en BO issue de x vrifient les contraintes


Commande H1Systmes linaires non contraints :Tadmor (1992), utilise une contrainte dgalitLall et Glover (1994), utilisent un cot terminal quadratiqueSystmes non linaires Ncessite gnralement la rsolution dune quation dHJITentatives pour viter cette rsolution par la MPC(Chen et al. 1997, De Nicholao et al. 1999, Magni et al. 1999, )Bases sur la commande H1 du linaris, Approches similaires MPC boucleSeul changement : choix de l

Difficilement implantable


ConclusionLe problme de robustesse est maintenant bien comprisIl a mis en vidence certains problmes inhrents lutilisation des trajectoires en boucle ouverteRsultats de stabilitAucune applicabilit (en tout cas trs faible et dans des cas trs particuliers)La recherche de (,w) se fait dans un espace de dimension infiniGallestey et James (1999) dans le cas des systmes affines non contraints arrivent transformer le problme en un problme aux limites solvable par des techniques de tir


PerspectivesStabilitRsultats de stabilit dans le cadre classiqueRelchement des conditions suffisantes de stabilitRobustesseRsultats trs conceptuels, peu de rsultats rellement implantablesSystmes hybridesLa MPC reste adapter aux systmes hybridesAutres pointsCouplage estimation/commande pour les retours de sortieMPC adaptative


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