Connected spaceFrom Wikipedia, the free encyclopedia

Contents

1 a-paracompact space 11.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

2 Alexandrov topology 22.1 Characterizations of Alexandrov topologies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.2 Duality with preordered sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.2.1 The Alexandrov topology on a preordered set . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.2.2 The specialization preorder on a topological space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.2.3 Equivalence between preorders and Alexandrov topologies . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.2.4 Equivalence between monotony and continuity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.2.5 Category theoretic description of the duality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.2.6 Relationship to the construction of modal algebras from modal frames . . . . . . . . . . . 5

2.3 History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.4 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

3 Annulus (mathematics) 73.1 Complex structure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83.2 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83.3 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

4 Baire space 104.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104.2 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

4.2.1 Modern denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104.2.2 Historical denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

4.3 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114.4 Baire category theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114.5 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124.6 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124.7 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124.8 Sources . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124.9 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

i

ii CONTENTS

5 Collectionwise Hausdor space 135.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

6 Collectionwise normal space 146.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

7 Compact space 157.1 Historical development . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167.2 Basic examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177.3 Denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

7.3.1 Open cover denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177.3.2 Equivalent denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187.3.3 Compactness of subspaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

7.4 Properties of compact spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197.4.1 Functions and compact spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197.4.2 Compact spaces and set operations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197.4.3 Ordered compact spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

7.5 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207.5.1 Algebraic examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

7.6 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217.7 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227.8 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227.9 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

8 Connected space 248.1 Formal denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

8.1.1 Connected components . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258.1.2 Disconnected spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

8.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258.3 Path connectedness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268.4 Arc connectedness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278.5 Local connectedness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278.6 Set operations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278.7 Theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308.8 Graphs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308.9 Stronger forms of connectedness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318.10 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318.11 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

8.11.1 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318.11.2 General references . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

9 Contractible space 329.1 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

CONTENTS iii

9.2 Locally contractible spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329.3 Examples and counterexamples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

10 Countably compact space 3410.1 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3410.2 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3410.3 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3410.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

11 Disjoint sets 3511.1 Generalizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3511.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3611.3 Intersections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3611.4 Disjoint unions and partitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3711.5 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3711.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3711.7 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

12 Disk (mathematics) 3912.1 Formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4012.2 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4012.3 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4012.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

13 Door space 4213.1 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4213.2 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

14 Dowker space 4314.1 Equivalences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4314.2 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

15 Dyadic space 4415.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

16 End (topology) 4516.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4516.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4516.3 History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4616.4 Ends of graphs and groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4616.5 Ends of a CW complex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4616.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

iv CONTENTS

17 Extremally disconnected space 4717.1 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4717.2 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

18 Feebly compact space 48

19 First-countable space 4919.1 Examples and counterexamples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4919.2 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4919.3 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5019.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

20 Glossary of topology 5120.1 A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5220.2 B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5320.3 C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5320.4 D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5520.5 E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5520.6 F . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5520.7 G . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5620.8 H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5620.9 I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5720.10K . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5720.11L . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5820.12M . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5820.13N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5920.14O . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6020.15P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6020.16Q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6120.17R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6220.18S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6220.19T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6320.20U . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6420.21W . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6520.22Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6520.23References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6520.24External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

21 Grammatical aspect 6721.1 Basic concept . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

21.1.1 History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6721.1.2 Modern usage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

21.2 Common aspectual distinctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

CONTENTS v

21.3 Aspect vs. tense . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6821.4 Lexical vs. grammatical aspect . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6921.5 Indicating aspect . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6921.6 Aspect by language . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

21.6.1 English . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7021.6.2 German vernacular and colloquial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7121.6.3 Slavic languages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7221.6.4 Romance languages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7221.6.5 Finnic languages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7321.6.6 Austronesian languages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7321.6.7 Creole languages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7421.6.8 American Sign Language . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

21.7 Terms for various aspects . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7521.8 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7621.9 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7621.10Other references . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7721.11External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

22 Grammatical mood 7822.1 Realis moods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

22.1.1 Indicative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7822.2 Irrealis moods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

22.2.1 Subjunctive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7922.2.2 Conditional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8022.2.3 Optative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8022.2.4 Imperative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8022.2.5 Jussive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8122.2.6 Potential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8122.2.7 Inferential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

22.3 Other moods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8122.3.1 Interrogative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8122.3.2 Deity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

22.4 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8222.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8222.6 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

23 H-closed space 8323.1 Examples and equivalent formulations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8323.2 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8323.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

24 HeineBorel theorem 84

vi CONTENTS

24.1 History and motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8424.2 Proof . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8424.3 Generalizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8524.4 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8624.5 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8624.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8624.7 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

25 Hemicompact space 8825.1 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8825.2 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8825.3 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8825.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

26 Homotopy 9026.1 Formal denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

26.1.1 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9226.2 Homotopy equivalence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

26.2.1 Null-homotopy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9226.3 Invariance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9226.4 Relative homotopy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9326.5 Groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9326.6 Category . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9326.7 Timelike . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9326.8 Lifting property . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9326.9 Extension property . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9426.10Isotopy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9426.11Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9426.12See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9426.13References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9526.14Sources . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

27 Homotopy group 9627.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9627.2 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9627.3 Long exact sequence of a bration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9827.4 Methods of calculation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9927.5 A list of methods for calculating homotopy groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9927.6 Relative homotopy groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10027.7 Related notions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10027.8 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10027.9 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

CONTENTS vii

27.10References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

28 Hyperconnected space 10128.1 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10128.2 Hyperconnectedness vs. connectedness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10128.3 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10128.4 Irreducible components . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10228.5 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10228.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

29 Identity function 10329.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10429.2 Algebraic property . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10429.3 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10429.4 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10429.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

30 Kolmogorov space 10530.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10530.2 Examples and nonexamples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

30.2.1 Spaces which are not T0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10530.2.2 Spaces which are T0 but not T1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

30.3 Operating with T0 spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10630.4 The Kolmogorov quotient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10630.5 Removing T0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10730.6 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

31 Limit point compact 10831.1 Properties and Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10831.2 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10831.3 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10931.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

32 Lindelf space 11032.1 Properties of Lindelf spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11032.2 Properties of strongly Lindelf spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11032.3 Product of Lindelf spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11032.4 Generalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11132.5 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11132.6 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11132.7 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

33 Locally compact space 11233.1 Formal denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

viii CONTENTS

33.2 Examples and counterexamples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11333.2.1 Compact Hausdor spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11333.2.2 Locally compact Hausdor spaces that are not compact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11333.2.3 Hausdor spaces that are not locally compact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11333.2.4 Non-Hausdor examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

33.3 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11433.3.1 The point at innity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11433.3.2 Locally compact groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

33.4 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11533.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

34 Locally connected space 11634.1 Background . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11734.2 Denitions and rst examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

34.2.1 First examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11834.3 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11834.4 Components and path components . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

34.4.1 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11934.5 Quasicomponents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

34.5.1 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11934.6 More on local connectedness versus weak local connectedness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12034.7 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12034.8 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12034.9 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12134.10Further reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

35 Locally nite collection 12235.1 Examples and properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

35.1.1 Compact spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12235.1.2 Second countable spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

35.2 Closed sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12335.3 Countably locally nite collections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12335.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

36 Locally nite space 12436.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

37 Locally Hausdor space 12537.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

38 Locally normal space 12638.1 Formal denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12638.2 Examples and properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

CONTENTS ix

38.3 Theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12638.4 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12638.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

39 Locally regular space 12839.1 Formal denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12839.2 Examples and properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12839.3 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12839.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

40 Locally simply connected space 12940.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

41 Luzin space 13141.1 In real analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13141.2 Example of a Luzin set . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13141.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

42 Mesocompact space 13342.1 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13342.2 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

43 Metacompact space 13443.1 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13443.2 Covering dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13443.3 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13443.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

44 Michael selection theorem 13644.1 Other selection theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13644.2 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

45 Monotonically normal space 13845.1 Equivalent denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

45.1.1 Denition 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13845.1.2 Denition 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13845.1.3 Denition 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

45.2 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13945.3 Some discussion links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

46 n-connected 14046.1 n-connected space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

46.1.1 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14046.2 n-connected map . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

x CONTENTS

46.2.1 Interpretation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14146.3 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14246.4 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

47 Noetherian topological space 14347.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14347.2 Relation to compactness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14347.3 Noetherian topological spaces from algebraic geometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14347.4 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14447.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

48 Normal space 14548.1 Denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14548.2 Examples of normal spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14648.3 Examples of non-normal spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14648.4 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14748.5 Relationships to other separation axioms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14748.6 Citations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14748.7 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

49 Open set 14849.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14949.2 Denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

49.2.1 Euclidean space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15049.2.2 Metric spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15049.2.3 Topological spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

49.3 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15049.4 Uses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15049.5 Notes and cautions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

49.5.1 Open is dened relative to a particular topology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15149.5.2 Open and closed are not mutually exclusive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

49.6 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15149.7 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15149.8 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

50 Orthocompact space 15350.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

51 P-space 15451.1 Generic use . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15451.2 P-spaces in the sense of GillmanHenriksen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15451.3 P-spaces in the sense of Morita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15451.4 p-spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

CONTENTS xi

51.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15451.6 Further reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15551.7 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

52 Paracompact space 15652.1 Paracompactness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15652.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15652.3 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15752.4 Paracompact Hausdor Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

52.4.1 Partitions of unity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15852.5 Relationship with compactness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

52.5.1 Comparison of properties with compactness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15952.6 Variations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

52.6.1 Denition of relevant terms for the variations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16052.7 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16052.8 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16052.9 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16152.10External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

53 Paranormal space 16253.1 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16253.2 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

54 Path (topology) 16354.1 Homotopy of paths . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16454.2 Path composition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16554.3 Fundamental groupoid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16554.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

55 Perfect set 16655.1 Examples and nonexamples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16655.2 Imperfection of a space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16655.3 Closure properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16655.4 Connection with other topological properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16755.5 Perfect spaces in descriptive set theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16755.6 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16755.7 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

56 Pluperfect 16856.1 Meaning of the pluperfect . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16856.2 Examples from various languages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

56.2.1 Greek and Latin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16956.2.2 English . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

xii CONTENTS

56.2.3 Other Germanic languages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16956.2.4 German . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16956.2.5 Dutch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17056.2.6 Romance languages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17056.2.7 Slavic languages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17156.2.8 Other languages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

56.3 Table of forms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17256.4 Dierent perfect construction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17256.5 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17256.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17356.7 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

57 Polyadic space 17457.1 History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17457.2 Background . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17457.3 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17457.4 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17457.5 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

57.5.1 Ramseys theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17557.5.2 Compactness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

57.6 Generalisations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17657.6.1 Centred space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17657.6.2 AD-compact space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17657.6.3 -adic space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17657.6.4 Hyadic space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

57.7 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17757.8 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

58 Pseudocompact space 17958.1 Properties related to pseudocompactness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17958.2 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17958.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

59 Pseudometric space 18159.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18159.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18159.3 Topology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18259.4 Metric identication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18259.5 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18259.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

60 Pseudonormal space 18460.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

CONTENTS xiii

61 Realcompact space 18561.1 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18561.2 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18561.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

62 Reduced homology 18762.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

63 Regular space 18863.1 Denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18863.2 Relationships to other separation axioms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18963.3 Examples and nonexamples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18963.4 Elementary properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19063.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

64 Relatively compact subspace 19164.1 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19164.2 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

65 Resolvable space 19265.1 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19265.2 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19265.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192

66 Rickart space 19366.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

67 Second-countable space 19467.1 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194

67.1.1 Other properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19467.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19567.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

68 Semi-locally simply connected 19668.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19668.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19668.3 Topology of fundamental group . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19768.4 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19768.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

69 Separable space 19869.1 First examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19869.2 Separability versus second countability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19869.3 Cardinality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

xiv CONTENTS

69.4 Constructive mathematics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19969.5 Further examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

69.5.1 Separable spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19969.5.2 Non-separable spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

69.6 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20069.6.1 Embedding separable metric spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

69.7 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

70 Sequential space 20270.1 Denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20270.2 Sequential closure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20270.3 FrchetUrysohn space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20370.4 History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20370.5 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20370.6 Equivalent conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20470.7 Categorical properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20470.8 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20470.9 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205

71 Shrinking space 20671.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206

72 Simply connected at innity 20772.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207

73 Simply connected space 20873.1 Informal discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20873.2 Formal denition and equivalent formulations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20973.3 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20973.4 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21173.5 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21173.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211

74 Singular homology 21274.1 Singular simplices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21274.2 Singular chain complex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21374.3 Homotopy invariance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21374.4 Functoriality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21474.5 Coecients in R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21574.6 Relative homology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21574.7 Cohomology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21674.8 Betti homology and cohomology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21674.9 Extraordinary homology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216

CONTENTS xv

74.10See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21674.11References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

75 Sub-Stonean space 21875.1 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21875.2 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21875.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218

76 Subspace topology 21976.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21976.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21976.3 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22076.4 Preservation of topological properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22176.5 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22176.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221

77 Supercompact space 22277.1 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22277.2 Some Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22277.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222

78 T1 space 22478.1 Denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22478.2 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22478.3 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22578.4 Generalisations to other kinds of spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22678.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226

79 Tenseaspectmood 22779.1 Creoles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227

79.1.1 Hawaiian Creole English . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22779.2 Modern Greek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22879.3 Slavic languages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228

79.3.1 Russian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22979.4 Romance languages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229

79.4.1 French . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22979.4.2 Italian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22979.4.3 Portuguese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23079.4.4 Spanish . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230

79.5 Germanic languages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23179.5.1 German . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23179.5.2 Danish . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23179.5.3 Dutch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231

xvi CONTENTS

79.5.4 Icelandic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23279.5.5 English . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232

79.6 Basque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23679.7 Hawaiian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23679.8 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23679.9 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236

80 Topological manifold 23880.1 Formal denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23880.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23880.3 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239

80.3.1 The Hausdor axiom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23980.3.2 Compactness and countability axioms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23980.3.3 Dimensionality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240

80.4 Coordinate charts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24080.5 Classication of manifolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24080.6 Manifolds with boundary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24180.7 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24180.8 Footnotes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24180.9 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241

81 Topological property 24281.1 Common topological properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242

81.1.1 Cardinal functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24281.1.2 Separation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24281.1.3 Countability conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24381.1.4 Connectedness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24381.1.5 Compactness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24481.1.6 Metrizability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24481.1.7 Miscellaneous . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244

81.2 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24581.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24581.4 Bibliography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245

82 Topological space 24682.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246

82.1.1 Neighbourhoods denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24682.1.2 Open sets denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24782.1.3 Closed sets denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24882.1.4 Other denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248

82.2 Comparison of topologies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24882.3 Continuous functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248

CONTENTS xvii

82.4 Examples of topological spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24982.5 Topological constructions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25082.6 Classication of topological spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25082.7 Topological spaces with algebraic structure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25082.8 Topological spaces with order structure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25082.9 Specializations and generalizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25082.10See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25182.11Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25182.12References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25182.13External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252

83 Toronto space 25383.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253

84 Totally disconnected space 25484.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25484.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25484.3 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25584.4 Constructing a disconnected space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25584.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25584.6 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255

85 Ultraconnected space 25685.1 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25685.2 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25685.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256

86 Uniformizable space 25786.1 Induced uniformity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25786.2 Fine uniformity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25786.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258

87 Uses of English verb forms 25987.1 Inected forms of verbs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25987.2 Verbs in combination . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25987.3 Tenses, aspects and moods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260

87.3.1 Tenses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26087.3.2 Aspects . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26187.3.3 Moods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262

87.4 Active and passive voice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26387.5 Negation and questions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26487.6 Modal verbs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26487.7 Uses of verb combination types . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264

xviii CONTENTS

87.7.1 Simple present . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26487.7.2 Present progressive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26687.7.3 Present perfect . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26687.7.4 Present perfect progressive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26787.7.5 Simple past . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26887.7.6 Past progressive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26887.7.7 Past perfect . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26987.7.8 Past perfect progressive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27087.7.9 Simple future . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27087.7.10 Future progressive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27187.7.11 Future perfect . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27187.7.12 Future perfect progressive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27187.7.13 Simple conditional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27287.7.14 Conditional progressive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27287.7.15 Conditional perfect . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27387.7.16 Conditional perfect progressive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273

87.8 Have got and can see . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27387.9 Been and gone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27487.10Conditional sentences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27487.11Expressions of wish . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27587.12Indirect speech . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27687.13Dependent clauses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27787.14Uses of nonnite verbs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277

87.14.1 Bare innitive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27787.14.2 To-innitive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27887.14.3 Present participle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28087.14.4 Past participle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28187.14.5 Gerund . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28287.14.6 Perfect and progressive nonnite constructions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283

87.15Deverbal uses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28387.16Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28487.17References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285

88 Volterra space 28688.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286

89 Weak Hausdor space 28789.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287

90 Zero-dimensional space 28890.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28890.2 Properties of spaces with covering dimension zero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288

CONTENTS xix

90.3 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28890.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289

91 -compact space 29091.1 Properties and examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29091.2 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29091.3 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29191.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291

92 -bounded space 29292.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29292.2 Text and image sources, contributors, and licenses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293

92.2.1 Text . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29392.2.2 Images . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29992.2.3 Content license . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301

Chapter 1

a-paracompact space

In mathematics, in the eld of topology, a topological space is said to be a-paracompact if every open cover of thespace has a locally nite renement. In contrast to the denition of paracompactness, the renement is not requiredto be open.Every paracompact space is a-paracompact, and in regular spaces the two notions coincide.

1.1 References Willard, Stephen (2004). General Topology. Dover Publications. ISBN 0-486-43479-6.

1

Chapter 2

Alexandrov topology

In topology, an Alexandrov space (or Alexandrov-discrete space) is a topological space in which the intersectionof any family of open sets is open. It is an axiom of topology that the intersection of any nite family of open sets isopen. In an Alexandrov space the nite restriction is dropped.Alexandrov topologies are uniquely determined by their specialization preorders. Indeed, given any preorder on aset X, there is a unique Alexandrov topology on X for which the specialization preorder is . The open sets are justthe upper sets with respect to . Thus, Alexandrov topologies on X are in one-to-one correspondence with preorderson X.Alexandrov spaces are also called nitely generated spaces since their topology is uniquely determined by the familyof all nite subspaces. Alexandrov spaces can be viewed as a generalization of nite topological spaces.

2.1 Characterizations of Alexandrov topologiesAlexandrov topologies have numerous characterizations. Let X = be a topological space. Then the followingare equivalent:

Open and closed set characterizations: Open set. An arbitrary intersection of open sets in X is open. Closed set. An arbitrary union of closed sets in X is closed.

Neighbourhood characterizations: Smallest neighbourhood. Every point of X has a smallest neighbourhood. Neighbourhood lter. The neighbourhood lter of every point in X is closed under arbitrary intersec-tions.

Interior and closure algebraic characterizations: Interior operator. The interior operator of X distributes over arbitrary intersections of subsets. Closure operator. The closure operator of X distributes over arbitrary unions of subsets.

Preorder characterizations: Specialization preorder. T is the nest topology consistent with the specialization preorder of X i.e.the nest topology giving the preorder satisfying x y if and only if x is in the closure of {y} in X.

Open up-set. There is a preorder such that the open sets of X are precisely those that are upwardlyclosed i.e. if x is in the set and x y then y is in the set. (This preorder will be precisely the specializationpreorder.)

2

2.2. DUALITY WITH PREORDERED SETS 3

Closed down-set. There is a preorder such that the closed sets of X are precisely those that aredownwardly closed i.e. if x is in the set and y x then y is in the set. (This preorder will be precisely thespecialization preorder.)

Upward interior. A point x lies in the interior of a subset S of X if and only if there is a point y in Ssuch that y x where is the specialization preorder i.e. y lies in the closure of {x}.

Downward closure. A point x lies in the closure of a subset S of X if and only if there is a point y in Ssuch that x y where is the specialization preorder i.e. x lies in the closure of {y}.

Finite generation and category theoretic characterizations: Finite closure. A point x lies within the closure of a subset S of X if and only if there is a nite subset

F of S such that x lies in the closure of F. Finite subspace. T is coherent with the nite subspaces of X. Finite inclusion map. The inclusion maps fi : Xi X of the nite subspaces of X form a nal sink. Finite generation. X is nitely generated i.e. it is in the nal hull of the nite spaces. (This means thatthere is a nal sink fi : Xi X where each Xi is a nite topological space.)

Topological spaces satisfying the above equivalent characterizations are called nitely generated spaces or Alexan-drov spaces and their topology T is called the Alexandrov topology, named after the Russian mathematician PavelAlexandrov who rst investigated them.

2.2 Duality with preordered sets

2.2.1 The Alexandrov topology on a preordered setGiven a preordered set X = hX;i we can dene an Alexandrov topology on X by choosing the open sets to bethe upper sets:

= fG X : 8x; y 2 X x 2 G ^ x y ! y 2 G; gWe thus obtain a topological space T(X) = hX; i .The corresponding closed sets are the lower sets:

fS X : 8x; y 2 X x 2 S ^ y x ! y 2 S; g

2.2.2 The specialization preorder on a topological spaceGiven a topological space X = the specialization preorder on X is dened by:

xy if and only if x is in the closure of {y}.

We thus obtain a preordered set W(X) = .

2.2.3 Equivalence between preorders and Alexandrov topologiesFor every preordered set X = we always have W(T(X)) = X, i.e. the preorder of X is recovered from thetopological space T(X) as the specialization preorder. Moreover for every Alexandrov space X, we have T(W(X)) =X, i.e. the Alexandrov topology of X is recovered as the topology induced by the specialization preorder.However for a topological space in general we do not have T(W(X)) = X. Rather T(W(X)) will be the set X with aner topology than that of X (i.e. it will have more open sets).

4 CHAPTER 2. ALEXANDROV TOPOLOGY

2.2.4 Equivalence between monotony and continuityGiven a monotone function

f : XY

between two preordered sets (i.e. a function

f : XY

between the underlying sets such that xy in X implies f(x)f(y) in Y), let

T(f) : T(X)T(Y)

be the same map as f considered as a map between the corresponding Alexandrov spaces. Then

T(f) : T(X)T(Y)

is a continuous map.Conversely given a continuous map

f : XY

between two topological spaces, let

W(f) : W(X)W(Y)

be the same map as f considered as a map between the corresponding preordered sets. Then

W(f) : W(X)W(Y)

is a monotone function.Thus a map between two preordered sets is monotone if and only if it is a continuous map between the correspondingAlexandrov spaces. Conversely a map between two Alexandrov spaces is continuous if and only if it is a monotonefunction between the corresponding preordered sets.Notice however that in the case of topologies other than the Alexandrov topology, we can have a map between twotopological spaces that is not continuous but which is nevertheless still a monotone function between the correspondingpreordered sets. (To see this consider a non-Alexandrov space X and consider the identity map

i : XT(W(X)).)

2.2.5 Category theoretic description of the dualityLet Set denote the category of sets and maps. Let Top denote the category of topological spaces and continuousmaps; and let Pro denote the category of preordered sets and monotone functions. Then

T : ProTop and

W : TopPro

are concrete functors over Set which are left and right adjoints respectively.Let Alx denote the full subcategory of Top consisting of the Alexandrov spaces. Then the restrictions

2.3. HISTORY 5

T : ProAlx and

W : AlxPro

are inverse concrete isomorphisms over Set.Alx is in fact a bico-reective subcategory of Top with bico-reector TW : TopAlx. This means that given atopological space X, the identity map

i : T(W(X))X

is continuous and for every continuous map

f : YX

where Y is an Alexandrov space, the composition

i 1f : YT(W(X))

is continuous.

2.2.6 Relationship to the construction of modal algebras from modal framesGiven a preordered set X, the interior operator and closure operator of T(X) are given by:

Int(S) = { x X : for all y X, xy implies y S }, for all S X

Cl(S) = { x X : there exists a y S with xy } for all S X

Considering the interior operator and closure operator to be modal operators on the power set Boolean algebra of X,this construction is a special case of the construction of a modal algebra from a modal frame i.e. a set with a singlebinary relation. (The latter construction is itself a special case of a more general construction of a complex algebrafrom a relational structure i.e. a set with relations dened on it.) The class of modal algebras that we obtain in thecase of a preordered set is the class of interior algebrasthe algebraic abstractions of topological spaces.

2.3 HistoryAlexandrov spaces were rst introduced in 1937 by P. S. Alexandrov under the name discrete spaces, where heprovided the characterizations in terms of sets and neighbourhoods.[1] The name discrete spaces later came to be usedfor topological spaces in which every subset is open and the original concept lay forgotten. With the advancement ofcategorical topology in the 1980s, Alexandrov spaces were rediscovered when the concept of nite generation wasapplied to general topology and the name nitely generated spaces was adopted for them. Alexandrov spaces werealso rediscovered around the same time in the context of topologies resulting from denotational semantics and domaintheory in computer science.In 1966 Michael C. McCord and A. K. Steiner each independently observed a duality between partially ordered setsand spaces which were precisely the T0 versions of the spaces that Alexandrov had introduced.[2][3] P. Johnstonereferred to such topologies as Alexandrov topologies.[4] F. G. Arenas independently proposed this name for thegeneral version of these topologies.[5] McCord also showed that these spaces are weak homotopy equivalent to theorder complex of the corresponding partially ordered set. Steiner demonstrated that the duality is a contravariantlattice isomorphism preserving arbitrary meets and joins as well as complementation.It was also a well known result in the eld of modal logic that a duality exists between nite topological spaces andpreorders on nite sets (the nite modal frames for the modal logic S4). C. Naturman extended these results to aduality between Alexandrov spaces and preorders in general, providing the preorder characterizations as well as theinterior and closure algebraic characterizations.[6]

A systematic investigation of these spaces from the point of view of general topology which had been neglected sincethe original paper by Alexandrov, was taken up by F.G. Arenas.[5]

6 CHAPTER 2. ALEXANDROV TOPOLOGY

2.4 See also P-space, a space satisfying the weaker condition that countable intersections of open sets are open

2.5 References[1] Alexandro, P. (1937). Diskrete Rume. Mat. Sb. (N.S.) (in German) 2: 501518.

[2] McCord, M. C. (1966). Singular homology and homotopy groups of nite topological spaces. Duke Mathematical Journal33 (3): 465474. doi:10.1215/S0012-7094-66-03352-7.

[3] Steiner, A. K. (1966). The Lattice of Topologies: Structure and Complementation. Transactions of the American Math-ematical Society 122 (2): 379398. doi:10.2307/1994555. ISSN 0002-9947.

[4] Johnstone, P. T. (1986). Stone spaces (1st paperback ed.). New York: Cambridge University Press. ISBN 0-521-33779-8.

[5] Arenas, F. G. (1999). Alexandro spaces (PDF). Acta Math. Univ. Comenianae 68 (1): 1725.

[6] Naturman, C. A. (1991). Interior Algebras and Topology. Ph.D. thesis, University of Cape Town Department of Mathe-matics.

Chapter 3

Annulus (mathematics)

O

r

d

R

A B

An annulus

In mathematics, an annulus (the Latin word for little ring, with plural annuli) is a ring-shaped object, especially aregion bounded by two concentric circles. The adjectival form is annular (as in annular eclipse).The open annulus is topologically equivalent to both the open cylinder S1 (0,1) and the punctured plane.

7

8 CHAPTER 3. ANNULUS (MATHEMATICS)

The area of an annulus is the dierence in the areas of the larger circle of radius R and the smaller one of radius r:

A = R2 r2 = (R2 r2) :

The area of an annulus can be obtained from the length of the longest interval that can lie completely inside theannulus, 2*d in the accompanying diagram. This can be proven by the Pythagorean theorem; the length of thelongest interval that can lie completely inside the annulus will be tangent to the smaller circle and form a right anglewith its radius at that point. Therefore d and r are the sides of a right angled triangle with hypotenuse R and the areais given by:

A = R2 r2 = d2 :

The area can also be obtained via calculus by dividing the annulus up into an innite number of annuli of innitesimalwidth d and area 2 d and then integrating from = r to = R:

A =

Z Rr

2 d = R2 r2 :

The area of an annulus sector of angle , with measured in radians, is given by:

A =

2

R2 r2

3.1 Complex structureIn complex analysis an annulus ann(a; r, R) in the complex plane is an open region dened by:

r < jz aj < R:

If r is 0, the region is known as the punctured disk of radius R around the point a.As a subset of the complex plane, an annulus can be considered as a Riemann surface. The complex structure of anannulus depends only on the ratio r/R. Each annulus ann(a; r, R) can be holomorphically mapped to a standard onecentered at the origin and with outer radius 1 by the map

z 7! z aR

:

The inner radius is then r/R < 1.The Hadamard three-circle theorem is a statement about the maximum value a holomorphic function may take insidean annulus.

3.2 See also Annulus theorem (or conjecture) Spherical shell Torus List of geometric shapes

3.3. EXTERNAL LINKS 9

3.3 External links Annulus denition and properties With interactive animation Area of an annulus, formula With interactive animation

Chapter 4

Baire space

For the concept in set theory, see Baire space (set theory).

In mathematics, a Baire space is a topological space that has enough points that every intersection of a countablecollection of open dense sets in the space is also dense. Complete metric spaces and locally compact Hausdor spacesare examples of Baire spaces according to the Baire category theorem. The spaces are named in honor of Ren-LouisBaire who introduced the concept.

4.1 MotivationIn an arbitrary topological space, the class of closed sets with empty interior consists precisely of the boundaries ofdense open sets. These sets are, in a certain sense, negligible. Some examples are nite sets in , smooth curves inthe plane, and proper ane subspaces in a Euclidean space. If a topological space is a Baire space then it is large,meaning that it is not a countable union of negligible subsets. For example, the three-dimensional Euclidean space isnot a countable union of its ane planes.

4.2 DenitionThe precise denition of a Baire space has undergone slight changes throughout history, mostly due to prevailingneeds and viewpoints. First, we give the usual modern denition, and then we give a historical denition which iscloser to the denition originally given by Baire.

4.2.1 Modern denitionA Baire space is a topological space in which the union of every countable collection of closed sets with emptyinterior has empty interior.This denition is equivalent to each of the following conditions:

Every intersection of countably many dense open sets is dense. The interior of every union of countably many closed nowhere dense sets is empty. Whenever the union of countably many closed subsets of X has an interior point, then one of the closed subsetsmust have an interior point.

4.2.2 Historical denitionMain article: Meagre set

10

4.3. EXAMPLES 11

In his original denition, Baire dened a notion of category (unrelated to category theory) as follows.A subset of a topological space X is called

nowhere dense in X if the interior of its closure is empty of rst category or meagre in X if it is a union of countably many nowhere dense subsets of second category or nonmeagre in X if it is not of rst category in X

The denition for a Baire space can then be stated as follows: a topological spaceX is a Baire space if every non-emptyopen set is of second category in X. This denition is equivalent to the modern denition.A subset A of X is comeagre if its complementX nA is meagre. A topological space X is a Baire space if and onlyif every comeager subset of X is dense.

4.3 Examples The space R of real numbers with the usual topology, is a Baire space, and so is of second category in itself.The rational numbers are of rst category and the irrational numbers are of second category in R .

The Cantor set is a Baire space, and so is of second category in itself, but it is of rst category in the interval[0; 1] with the usual topology.

Here is an example of a set of second category in R with Lebesgue measure 0.

1\m=1

1[n=1

rn 1

2n+m; rn +

1

2n+m

where frng1n=1 is a sequence that enumerates the rational numbers.

Note that the space of rational numbers with the usual topology inherited from the reals is not a Baire space,since it is the union of countably many closed sets without interior, the singletons.

4.4 Baire category theoremMain article: Baire category theorem

The Baire category theorem gives sucient conditions for a topological space to be a Baire space. It is an importanttool in topology and functional analysis.

(BCT1) Every complete metric space is a Baire space. More generally, every topological space which ishomeomorphic to an open subset of a complete pseudometric space is a Baire space. In particular, everycompletely metrizable space is a Baire space.

(BCT2) Every locally compact Hausdor space (or more generally every locally compact sober space) is aBaire space.

BCT1 shows that each of the following is a Baire space:

The space R of real numbers The space of irrational numbers, which is homeomorphic to the Baire space of set theory The Cantor set Indeed, every Polish space

BCT2 shows that every manifold is a Baire space, even if it is not paracompact, and hence not metrizable. Forexample, the long line is of second category.

12 CHAPTER 4. BAIRE SPACE

4.5 Properties Every non-empty Baire space is of second category in itself, and every intersection of countably many denseopen subsets of X is non-empty, but the converse of neither of these is true, as is shown by the topologicaldisjoint sum of the rationals and the unit interval [0, 1].

Every open subspace of a Baire space is a Baire space.

Given a family of continuous functions fn:XY with pointwise limit f:XY. If X is a Baire space then thepoints where f is not continuous is a meagre set in X and the set of points where f is continuous is dense in X.A special case of this is the uniform boundedness principle.

A closed subset of a Baire space is not necessarily Baire.

The product of two Baire spaces is not necessarily Baire. However, there exist sucient conditions that willguarantee that a product of arbitrarily many Baire spaces is again Baire.

4.6 See also BanachMazur game Descriptive set theory Baire space (set theory)

4.7 References

4.8 Sources Munkres, James, Topology, 2nd edition, Prentice Hall, 2000. Baire, Ren-Louis (1899), Sur les fonctions de variables relles, Annali di Mat. Ser. 3 3, 1123.

4.9 External links Encyclopaedia of Mathematics article on Baire space Encyclopaedia of Mathematics article on Baire theorem

Chapter 5

Collectionwise Hausdor space

In mathematics, in the eld of topology, a topological space is said to be collectionwise Hausdor if given any closeddiscrete collection of points in the topological space, there are pairwise disjoint open sets containing the points.[1] Aclosed discrete set S of a topology X is one where every point of X has a neighborhood that intersects at most onepoint from S. Every T1 space which is collectionwise Hausdor is also Hausdor