Embed Size (px)
Citation preview
LogicaMatematica
Sergio SolanoSabie
Conceptosbasicos
Formas paradeterminar unconjunto
Operacionesentreconjuntos
Leyes delalgebra deconjuntos
Conjuntosfinitos yprincipio deconteo
CONJUNTOS
Sergio Stive Solano Sabie
Abril de 2012
LogicaMatematica
Sergio SolanoSabie
Conceptosbasicos
Formas paradeterminar unconjunto
Operacionesentreconjuntos
Leyes delalgebra deconjuntos
Conjuntosfinitos yprincipio deconteo
CONJUNTOS
Sergio Stive Solano Sabie
Abril de 2012
LogicaMatematica
Sergio SolanoSabie
Conceptosbasicos
Formas paradeterminar unconjunto
Operacionesentreconjuntos
Leyes delalgebra deconjuntos
Conjuntosfinitos yprincipio deconteo
Conjuntos
Definicion 1.1Un conjunto es una coleccion de objetos, sımbolos oentidades bien definidas, que reciben el nombre demiembros o elementos del conjunto.
Usamos la letras mayusculas A,B,C,X, Y, . . . para denotarconjuntos, y las letras minusculas, a, b, c, x, y, . . . para deno-tar elementos de conjuntos.El enunciado “a es un elemento de A”, o, equivalentemente,“a pertenece a A”, se escribe
a ∈ A
El enunciado “a no es un elemento de A”, esto es , la nega-cion de a ∈ A, se escribe
a /∈ A
LogicaMatematica
Sergio SolanoSabie
Conceptosbasicos
Formas paradeterminar unconjunto
Operacionesentreconjuntos
Leyes delalgebra deconjuntos
Conjuntosfinitos yprincipio deconteo
Conjuntos
Definicion 1.1Un conjunto es una coleccion de objetos, sımbolos oentidades bien definidas, que reciben el nombre demiembros o elementos del conjunto.
Usamos la letras mayusculas A,B,C,X, Y, . . . para denotarconjuntos, y las letras minusculas, a, b, c, x, y, . . . para deno-tar elementos de conjuntos.El enunciado “a es un elemento de A”, o, equivalentemente,“a pertenece a A”, se escribe
a ∈ A
El enunciado “a no es un elemento de A”, esto es , la nega-cion de a ∈ A, se escribe
a /∈ A
LogicaMatematica
Sergio SolanoSabie
Conceptosbasicos
Formas paradeterminar unconjunto
Operacionesentreconjuntos
Leyes delalgebra deconjuntos
Conjuntosfinitos yprincipio deconteo
Conjuntos
Definicion 1.1Un conjunto es una coleccion de objetos, sımbolos oentidades bien definidas, que reciben el nombre demiembros o elementos del conjunto.
Usamos la letras mayusculas A,B,C,X, Y, . . . para denotarconjuntos, y las letras minusculas, a, b, c, x, y, . . . para deno-tar elementos de conjuntos.El enunciado “a es un elemento de A”, o, equivalentemente,“a pertenece a A”, se escribe
a ∈ A
El enunciado “a no es un elemento de A”, esto es , la nega-cion de a ∈ A, se escribe
a /∈ A
LogicaMatematica
Sergio SolanoSabie
Conceptosbasicos
Formas paradeterminar unconjunto
Operacionesentreconjuntos
Leyes delalgebra deconjuntos
Conjuntosfinitos yprincipio deconteo
Conjuntos
Definicion 1.1Un conjunto es una coleccion de objetos, sımbolos oentidades bien definidas, que reciben el nombre demiembros o elementos del conjunto.
Usamos la letras mayusculas A,B,C,X, Y, . . . para denotarconjuntos, y las letras minusculas, a, b, c, x, y, . . . para deno-tar elementos de conjuntos.El enunciado “a es un elemento de A”, o, equivalentemente,“a pertenece a A”, se escribe
a ∈ A
El enunciado “a no es un elemento de A”, esto es , la nega-cion de a ∈ A, se escribe
a /∈ A
LogicaMatematica
Sergio SolanoSabie
Conceptosbasicos
Formas paradeterminar unconjunto
Operacionesentreconjuntos
Leyes delalgebra deconjuntos
Conjuntosfinitos yprincipio deconteo
Por extension
Ejemplo 2.1
Un conjunto esta determinado por extension cuando sedescribe el conjunto nombrando cada uno de suselementos. Escribimos los elementos separados por comasy encerrados en llaves. Por ejemplo:
1 A = {a, e, i, o, u} denota el conjunto A cuyos elementosson las letras a, e, i, o, u.
2 B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} denota el conjunto B cuyoselementos son 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
3 C = {2, 4, 6, 8} denota el conjunto C cuyos elementosson 2, 4, 6, 8.
4 D = {1, 3, 5, 7, 9} denota el conjunto D cuyoselementos son 1, 3, 5, 7, 9.
LogicaMatematica
Sergio SolanoSabie
Conceptosbasicos
Formas paradeterminar unconjunto
Operacionesentreconjuntos
Leyes delalgebra deconjuntos
Conjuntosfinitos yprincipio deconteo
Por extension
Ejemplo 2.1
Un conjunto esta determinado por extension cuando sedescribe el conjunto nombrando cada uno de suselementos. Escribimos los elementos separados por comasy encerrados en llaves. Por ejemplo:
1 A = {a, e, i, o, u} denota el conjunto A cuyos elementosson las letras a, e, i, o, u.
2 B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} denota el conjunto B cuyoselementos son 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
3 C = {2, 4, 6, 8} denota el conjunto C cuyos elementosson 2, 4, 6, 8.
4 D = {1, 3, 5, 7, 9} denota el conjunto D cuyoselementos son 1, 3, 5, 7, 9.
LogicaMatematica
Sergio SolanoSabie
Conceptosbasicos
Formas paradeterminar unconjunto
Operacionesentreconjuntos
Leyes delalgebra deconjuntos
Conjuntosfinitos yprincipio deconteo
Por extension
Ejemplo 2.1
Un conjunto esta determinado por extension cuando sedescribe el conjunto nombrando cada uno de suselementos. Escribimos los elementos separados por comasy encerrados en llaves. Por ejemplo:
1 A = {a, e, i, o, u} denota el conjunto A cuyos elementosson las letras a, e, i, o, u.
2 B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} denota el conjunto B cuyoselementos son 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
3 C = {2, 4, 6, 8} denota el conjunto C cuyos elementosson 2, 4, 6, 8.
4 D = {1, 3, 5, 7, 9} denota el conjunto D cuyoselementos son 1, 3, 5, 7, 9.
LogicaMatematica
Sergio SolanoSabie
Conceptosbasicos
Formas paradeterminar unconjunto
Operacionesentreconjuntos
Leyes delalgebra deconjuntos
Conjuntosfinitos yprincipio deconteo
Por extension
Ejemplo 2.1
Un conjunto esta determinado por extension cuando sedescribe el conjunto nombrando cada uno de suselementos. Escribimos los elementos separados por comasy encerrados en llaves. Por ejemplo:
1 A = {a, e, i, o, u} denota el conjunto A cuyos elementosson las letras a, e, i, o, u.
2 B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} denota el conjunto B cuyoselementos son 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
3 C = {2, 4, 6, 8} denota el conjunto C cuyos elementosson 2, 4, 6, 8.
4 D = {1, 3, 5, 7, 9} denota el conjunto D cuyoselementos son 1, 3, 5, 7, 9.
LogicaMatematica
Sergio SolanoSabie
Conceptosbasicos
Formas paradeterminar unconjunto
Operacionesentreconjuntos
Leyes delalgebra deconjuntos
Conjuntosfinitos yprincipio deconteo
Por comprension
Un conjunto esta determinado por comprension cuando senombra una propiedad, una regla o una caracterıstica comuna los elementos del conjunto. Por ejemplo:Ejemplo 2.2
1 El conjunto A = {a, e, i, o, u} se puede escribir porcomprension como:
A = {x : x es una letra en el alfabeto castellano, x es vocal}.2 B = {x : x es un numero entero, x > 0}, el cual leemos
“B es el conjunto de x tal que x es un numero entero yx es mayor que 0.
3 C = {x ∈ R | x2 + 3x+ 2 = 0}. En otras palabras, Cconsiste de los numero reales, los cuales sonsoluciones de la ecuacion x2 + 3x+ 2 = 0.
Una letra, usualmente x, es usada para denotar un elementotıpico del conjunto; los signos “:” o “ | ”se leen como “tal que”y la coma como “y”.
LogicaMatematica
Sergio SolanoSabie
Conceptosbasicos
Formas paradeterminar unconjunto
Operacionesentreconjuntos
Leyes delalgebra deconjuntos
Conjuntosfinitos yprincipio deconteo
Por comprension
Un conjunto esta determinado por comprension cuando senombra una propiedad, una regla o una caracterıstica comuna los elementos del conjunto. Por ejemplo:Ejemplo 2.2
1 El conjunto A = {a, e, i, o, u} se puede escribir porcomprension como:
A = {x : x es una letra en el alfabeto castellano, x es vocal}.2 B = {x : x es un numero entero, x > 0}, el cual leemos
“B es el conjunto de x tal que x es un numero entero yx es mayor que 0.
3 C = {x ∈ R | x2 + 3x+ 2 = 0}. En otras palabras, Cconsiste de los numero reales, los cuales sonsoluciones de la ecuacion x2 + 3x+ 2 = 0.
Una letra, usualmente x, es usada para denotar un elementotıpico del conjunto; los signos “:” o “ | ”se leen como “tal que”y la coma como “y”.
LogicaMatematica
Sergio SolanoSabie
Conceptosbasicos
Formas paradeterminar unconjunto
Operacionesentreconjuntos
Leyes delalgebra deconjuntos
Conjuntosfinitos yprincipio deconteo
Por comprension
Un conjunto esta determinado por comprension cuando senombra una propiedad, una regla o una caracterıstica comuna los elementos del conjunto. Por ejemplo:Ejemplo 2.2
1 El conjunto A = {a, e, i, o, u} se puede escribir porcomprension como:
A = {x : x es una letra en el alfabeto castellano, x es vocal}.2 B = {x : x es un numero entero, x > 0}, el cual leemos
“B es el conjunto de x tal que x es un numero entero yx es mayor que 0.
3 C = {x ∈ R | x2 + 3x+ 2 = 0}. En otras palabras, Cconsiste de los numero reales, los cuales sonsoluciones de la ecuacion x2 + 3x+ 2 = 0.
Una letra, usualmente x, es usada para denotar un elementotıpico del conjunto; los signos “:” o “ | ”se leen como “tal que”y la coma como “y”.
LogicaMatematica
Sergio SolanoSabie
Conceptosbasicos
Formas paradeterminar unconjunto
Operacionesentreconjuntos
Leyes delalgebra deconjuntos
Conjuntosfinitos yprincipio deconteo
Por comprension
Un conjunto esta determinado por comprension cuando senombra una propiedad, una regla o una caracterıstica comuna los elementos del conjunto. Por ejemplo:Ejemplo 2.2
1 El conjunto A = {a, e, i, o, u} se puede escribir porcomprension como:
A = {x : x es una letra en el alfabeto castellano, x es vocal}.2 B = {x : x es un numero entero, x > 0}, el cual leemos
“B es el conjunto de x tal que x es un numero entero yx es mayor que 0.
3 C = {x ∈ R | x2 + 3x+ 2 = 0}. En otras palabras, Cconsiste de los numero reales, los cuales sonsoluciones de la ecuacion x2 + 3x+ 2 = 0.
Una letra, usualmente x, es usada para denotar un elementotıpico del conjunto; los signos “:” o “ | ”se leen como “tal que”y la coma como “y”.
LogicaMatematica
Sergio SolanoSabie
Conceptosbasicos
Formas paradeterminar unconjunto
Operacionesentreconjuntos
Leyes delalgebra deconjuntos
Conjuntosfinitos yprincipio deconteo
Por comprension
Un conjunto esta determinado por comprension cuando senombra una propiedad, una regla o una caracterıstica comuna los elementos del conjunto. Por ejemplo:Ejemplo 2.2
1 El conjunto A = {a, e, i, o, u} se puede escribir porcomprension como:
A = {x : x es una letra en el alfabeto castellano, x es vocal}.2 B = {x : x es un numero entero, x > 0}, el cual leemos
“B es el conjunto de x tal que x es un numero entero yx es mayor que 0.
3 C = {x ∈ R | x2 + 3x+ 2 = 0}. En otras palabras, Cconsiste de los numero reales, los cuales sonsoluciones de la ecuacion x2 + 3x+ 2 = 0.
Una letra, usualmente x, es usada para denotar un elementotıpico del conjunto; los signos “:” o “ | ”se leen como “tal que”y la coma como “y”.
LogicaMatematica
Sergio SolanoSabie
Conceptosbasicos
Formas paradeterminar unconjunto
Operacionesentreconjuntos
Leyes delalgebra deconjuntos
Conjuntosfinitos yprincipio deconteo
Conjunto universal
En cualquier aplicacion de la teorıa de conjuntos, los miem-bros de todos los conjuntos bajo investigacion por lo generalpertenecen a un conjunto grande fijo llamado conjunto uni-versal.
Ejemplo 3.11 En la geometrıa plana, el conjunto universal consiste
en todos los puntos en el plano.2 En los estudios de la poblacion humana el conjunto
universal se compone de todas las personas en elmundo.
Vamos a utilizar la letra U para denotar el conjunto univer-sal a menos que se indique lo contrario.
LogicaMatematica
Sergio SolanoSabie
Conceptosbasicos
Formas paradeterminar unconjunto
Operacionesentreconjuntos
Leyes delalgebra deconjuntos
Conjuntosfinitos yprincipio deconteo
Conjunto universal
En cualquier aplicacion de la teorıa de conjuntos, los miem-bros de todos los conjuntos bajo investigacion por lo generalpertenecen a un conjunto grande fijo llamado conjunto uni-versal.
Ejemplo 3.11 En la geometrıa plana, el conjunto universal consiste
en todos los puntos en el plano.2 En los estudios de la poblacion humana el conjunto
universal se compone de todas las personas en elmundo.
Vamos a utilizar la letra U para denotar el conjunto univer-sal a menos que se indique lo contrario.
LogicaMatematica
Sergio SolanoSabie
Conceptosbasicos
Formas paradeterminar unconjunto
Operacionesentreconjuntos
Leyes delalgebra deconjuntos
Conjuntosfinitos yprincipio deconteo
Conjunto universal
En cualquier aplicacion de la teorıa de conjuntos, los miem-bros de todos los conjuntos bajo investigacion por lo generalpertenecen a un conjunto grande fijo llamado conjunto uni-versal.
Ejemplo 3.11 En la geometrıa plana, el conjunto universal consiste
en todos los puntos en el plano.2 En los estudios de la poblacion humana el conjunto
universal se compone de todas las personas en elmundo.
Vamos a utilizar la letra U para denotar el conjunto univer-sal a menos que se indique lo contrario.
LogicaMatematica
Sergio SolanoSabie
Conceptosbasicos
Formas paradeterminar unconjunto
Operacionesentreconjuntos
Leyes delalgebra deconjuntos
Conjuntosfinitos yprincipio deconteo
Conjunto universal
En cualquier aplicacion de la teorıa de conjuntos, los miem-bros de todos los conjuntos bajo investigacion por lo generalpertenecen a un conjunto grande fijo llamado conjunto uni-versal.
Ejemplo 3.11 En la geometrıa plana, el conjunto universal consiste
en todos los puntos en el plano.2 En los estudios de la poblacion humana el conjunto
universal se compone de todas las personas en elmundo.
Vamos a utilizar la letra U para denotar el conjunto univer-sal a menos que se indique lo contrario.
LogicaMatematica
Sergio SolanoSabie
Conceptosbasicos
Formas paradeterminar unconjunto
Operacionesentreconjuntos
Leyes delalgebra deconjuntos
Conjuntosfinitos yprincipio deconteo
Conjunto universal
En cualquier aplicacion de la teorıa de conjuntos, los miem-bros de todos los conjuntos bajo investigacion por lo generalpertenecen a un conjunto grande fijo llamado conjunto uni-versal.
Ejemplo 3.11 En la geometrıa plana, el conjunto universal consiste
en todos los puntos en el plano.2 En los estudios de la poblacion humana el conjunto
universal se compone de todas las personas en elmundo.
Vamos a utilizar la letra U para denotar el conjunto univer-sal a menos que se indique lo contrario.
LogicaMatematica
Sergio SolanoSabie
Conceptosbasicos
Formas paradeterminar unconjunto
Operacionesentreconjuntos
Leyes delalgebra deconjuntos
Conjuntosfinitos yprincipio deconteo
Conjunto vacıo
Para un conjunto U dado y una propiedad P puede que nohaya ningun elemento de U que tenga la propiedad P .
Ejemplo 3.2El conjunto
S = {x : x es un entero positivo, x2 = 3}
no tiene elementos, ya que ningun entero positivo tiene lapropiedad requerida.
El conjunto sin elementos se llama conjunto vacıo o con-junto nulo y se denota por ∅.
LogicaMatematica
Sergio SolanoSabie
Conceptosbasicos
Formas paradeterminar unconjunto
Operacionesentreconjuntos
Leyes delalgebra deconjuntos
Conjuntosfinitos yprincipio deconteo
Conjunto vacıo
Para un conjunto U dado y una propiedad P puede que nohaya ningun elemento de U que tenga la propiedad P .
Ejemplo 3.2El conjunto
S = {x : x es un entero positivo, x2 = 3}
no tiene elementos, ya que ningun entero positivo tiene lapropiedad requerida.
El conjunto sin elementos se llama conjunto vacıo o con-junto nulo y se denota por ∅.
LogicaMatematica
Sergio SolanoSabie
Conceptosbasicos
Formas paradeterminar unconjunto
Operacionesentreconjuntos
Leyes delalgebra deconjuntos
Conjuntosfinitos yprincipio deconteo
Conjunto vacıo
Para un conjunto U dado y una propiedad P puede que nohaya ningun elemento de U que tenga la propiedad P .
Ejemplo 3.2El conjunto
S = {x : x es un entero positivo, x2 = 3}
no tiene elementos, ya que ningun entero positivo tiene lapropiedad requerida.
El conjunto sin elementos se llama conjunto vacıo o con-junto nulo y se denota por ∅.
LogicaMatematica
Sergio SolanoSabie
Conceptosbasicos
Formas paradeterminar unconjunto
Operacionesentreconjuntos
Leyes delalgebra deconjuntos
Conjuntosfinitos yprincipio deconteo
Subconjuntos
Si cada elemento de un conjunto A es tambien un elemen-to de un conjunto B, entonces A es un subconjunto de B.Tambien se dice que A esta contenido en B o que B con-tiene a A. Esta relacion se escribe
A ⊆ B o B ⊇ A,
en el lenguaje de la logica formal
(∀x)(x ∈ A⇒ x ∈ B).
Ejemplo 3.3Considere los conjuntos
A = {1, 3, 4, 5, 8, 9}, B = {1, 2, 3, 5, 7}, C = {1, 5}.
Entonces C ⊆ A y C ⊆ B, ya que los elementos de C, sontambien elementos de A y B. Pero B * A, puesto queexiste un elemento en B que no pertenece a A.
LogicaMatematica
Sergio SolanoSabie
Conceptosbasicos
Formas paradeterminar unconjunto
Operacionesentreconjuntos
Leyes delalgebra deconjuntos
Conjuntosfinitos yprincipio deconteo
Subconjuntos
Si cada elemento de un conjunto A es tambien un elemen-to de un conjunto B, entonces A es un subconjunto de B.Tambien se dice que A esta contenido en B o que B con-tiene a A. Esta relacion se escribe
A ⊆ B o B ⊇ A,
en el lenguaje de la logica formal
(∀x)(x ∈ A⇒ x ∈ B).
Ejemplo 3.3Considere los conjuntos
A = {1, 3, 4, 5, 8, 9}, B = {1, 2, 3, 5, 7}, C = {1, 5}.
Entonces C ⊆ A y C ⊆ B, ya que los elementos de C, sontambien elementos de A y B. Pero B * A, puesto queexiste un elemento en B que no pertenece a A.
LogicaMatematica
Sergio SolanoSabie
Conceptosbasicos
Formas paradeterminar unconjunto
Operacionesentreconjuntos
Leyes delalgebra deconjuntos
Conjuntosfinitos yprincipio deconteo
Subconjuntos
Si cada elemento de un conjunto A es tambien un elemen-to de un conjunto B, entonces A es un subconjunto de B.Tambien se dice que A esta contenido en B o que B con-tiene a A. Esta relacion se escribe
A ⊆ B o B ⊇ A,
en el lenguaje de la logica formal
(∀x)(x ∈ A⇒ x ∈ B).
Ejemplo 3.3Considere los conjuntos
A = {1, 3, 4, 5, 8, 9}, B = {1, 2, 3, 5, 7}, C = {1, 5}.
Entonces C ⊆ A y C ⊆ B, ya que los elementos de C, sontambien elementos de A y B. Pero B * A, puesto queexiste un elemento en B que no pertenece a A.
LogicaMatematica
Sergio SolanoSabie
Conceptosbasicos
Formas paradeterminar unconjunto
Operacionesentreconjuntos
Leyes delalgebra deconjuntos
Conjuntosfinitos yprincipio deconteo
Subconjuntos
Si cada elemento de un conjunto A es tambien un elemen-to de un conjunto B, entonces A es un subconjunto de B.Tambien se dice que A esta contenido en B o que B con-tiene a A. Esta relacion se escribe
A ⊆ B o B ⊇ A,
en el lenguaje de la logica formal
(∀x)(x ∈ A⇒ x ∈ B).
Ejemplo 3.3Considere los conjuntos
A = {1, 3, 4, 5, 8, 9}, B = {1, 2, 3, 5, 7}, C = {1, 5}.
Entonces C ⊆ A y C ⊆ B, ya que los elementos de C, sontambien elementos de A y B. Pero B * A, puesto queexiste un elemento en B que no pertenece a A.
LogicaMatematica
Sergio SolanoSabie
Conceptosbasicos
Formas paradeterminar unconjunto
Operacionesentreconjuntos
Leyes delalgebra deconjuntos
Conjuntosfinitos yprincipio deconteo
Subconjuntos
Si cada elemento de un conjunto A es tambien un elemen-to de un conjunto B, entonces A es un subconjunto de B.Tambien se dice que A esta contenido en B o que B con-tiene a A. Esta relacion se escribe
A ⊆ B o B ⊇ A,
en el lenguaje de la logica formal
(∀x)(x ∈ A⇒ x ∈ B).
Ejemplo 3.3Considere los conjuntos
A = {1, 3, 4, 5, 8, 9}, B = {1, 2, 3, 5, 7}, C = {1, 5}.
Entonces C ⊆ A y C ⊆ B, ya que los elementos de C, sontambien elementos de A y B. Pero B * A, puesto queexiste un elemento en B que no pertenece a A.
LogicaMatematica
Sergio SolanoSabie
Conceptosbasicos
Formas paradeterminar unconjunto
Operacionesentreconjuntos
Leyes delalgebra deconjuntos
Conjuntosfinitos yprincipio deconteo
Subconjuntos
Si cada elemento de un conjunto A es tambien un elemen-to de un conjunto B, entonces A es un subconjunto de B.Tambien se dice que A esta contenido en B o que B con-tiene a A. Esta relacion se escribe
A ⊆ B o B ⊇ A,
en el lenguaje de la logica formal
(∀x)(x ∈ A⇒ x ∈ B).
Ejemplo 3.3Considere los conjuntos
A = {1, 3, 4, 5, 8, 9}, B = {1, 2, 3, 5, 7}, C = {1, 5}.
Entonces C ⊆ A y C ⊆ B, ya que los elementos de C, sontambien elementos de A y B. Pero B * A, puesto queexiste un elemento en B que no pertenece a A.
LogicaMatematica
Sergio SolanoSabie
Conceptosbasicos
Formas paradeterminar unconjunto
Operacionesentreconjuntos
Leyes delalgebra deconjuntos
Conjuntosfinitos yprincipio deconteo
Subconjuntos
Teorema 3.11 Para cualquier conjunto A, tenemos ∅ ⊆ A ⊆ U .2 Para cualquier conjunto A, tenemos A ⊆ A.3 Si A ⊆ B y B ⊆ C, entonces A ⊆ C.4 A = B si y solo si A ⊆ B y B ⊆ A.
Si A ⊆ B, entonces todavıa es posible que A = B. CuandoA ⊆ B pero A 6= B, decimos que A es un subconjuntopropio de B y escribimos A ⊂ B.
Ejemplo 3.4
Supongamos que A = {1, 3}, B = {1, 2, 3}, C = {1, 3, 2}.Entonces A y B son ambos subconjuntos de C; pero A esun subconjunto propio de C, mientras que B no es unsubconjunto propio de C pues B = C.
LogicaMatematica
Sergio SolanoSabie
Conceptosbasicos
Formas paradeterminar unconjunto
Operacionesentreconjuntos
Leyes delalgebra deconjuntos
Conjuntosfinitos yprincipio deconteo
Subconjuntos
Teorema 3.11 Para cualquier conjunto A, tenemos ∅ ⊆ A ⊆ U .2 Para cualquier conjunto A, tenemos A ⊆ A.3 Si A ⊆ B y B ⊆ C, entonces A ⊆ C.4 A = B si y solo si A ⊆ B y B ⊆ A.
Si A ⊆ B, entonces todavıa es posible que A = B. CuandoA ⊆ B pero A 6= B, decimos que A es un subconjuntopropio de B y escribimos A ⊂ B.
Ejemplo 3.4
Supongamos que A = {1, 3}, B = {1, 2, 3}, C = {1, 3, 2}.Entonces A y B son ambos subconjuntos de C; pero A esun subconjunto propio de C, mientras que B no es unsubconjunto propio de C pues B = C.
LogicaMatematica
Sergio SolanoSabie
Conceptosbasicos
Formas paradeterminar unconjunto
Operacionesentreconjuntos
Leyes delalgebra deconjuntos
Conjuntosfinitos yprincipio deconteo
Subconjuntos
Teorema 3.11 Para cualquier conjunto A, tenemos ∅ ⊆ A ⊆ U .2 Para cualquier conjunto A, tenemos A ⊆ A.3 Si A ⊆ B y B ⊆ C, entonces A ⊆ C.4 A = B si y solo si A ⊆ B y B ⊆ A.
Si A ⊆ B, entonces todavıa es posible que A = B. CuandoA ⊆ B pero A 6= B, decimos que A es un subconjuntopropio de B y escribimos A ⊂ B.
Ejemplo 3.4
Supongamos que A = {1, 3}, B = {1, 2, 3}, C = {1, 3, 2}.Entonces A y B son ambos subconjuntos de C; pero A esun subconjunto propio de C, mientras que B no es unsubconjunto propio de C pues B = C.
LogicaMatematica
Sergio SolanoSabie
Conceptosbasicos
Formas paradeterminar unconjunto
Operacionesentreconjuntos
Leyes delalgebra deconjuntos
Conjuntosfinitos yprincipio deconteo
Subconjuntos
Teorema 3.11 Para cualquier conjunto A, tenemos ∅ ⊆ A ⊆ U .2 Para cualquier conjunto A, tenemos A ⊆ A.3 Si A ⊆ B y B ⊆ C, entonces A ⊆ C.4 A = B si y solo si A ⊆ B y B ⊆ A.
Si A ⊆ B, entonces todavıa es posible que A = B. CuandoA ⊆ B pero A 6= B, decimos que A es un subconjuntopropio de B y escribimos A ⊂ B.
Ejemplo 3.4
Supongamos que A = {1, 3}, B = {1, 2, 3}, C = {1, 3, 2}.Entonces A y B son ambos subconjuntos de C; pero A esun subconjunto propio de C, mientras que B no es unsubconjunto propio de C pues B = C.
LogicaMatematica
Sergio SolanoSabie
Conceptosbasicos
Formas paradeterminar unconjunto
Operacionesentreconjuntos
Leyes delalgebra deconjuntos
Conjuntosfinitos yprincipio deconteo
Subconjuntos
Teorema 3.11 Para cualquier conjunto A, tenemos ∅ ⊆ A ⊆ U .2 Para cualquier conjunto A, tenemos A ⊆ A.3 Si A ⊆ B y B ⊆ C, entonces A ⊆ C.4 A = B si y solo si A ⊆ B y B ⊆ A.
Si A ⊆ B, entonces todavıa es posible que A = B. CuandoA ⊆ B pero A 6= B, decimos que A es un subconjuntopropio de B y escribimos A ⊂ B.
Ejemplo 3.4
Supongamos que A = {1, 3}, B = {1, 2, 3}, C = {1, 3, 2}.Entonces A y B son ambos subconjuntos de C; pero A esun subconjunto propio de C, mientras que B no es unsubconjunto propio de C pues B = C.
LogicaMatematica
Sergio SolanoSabie
Conceptosbasicos
Formas paradeterminar unconjunto
Operacionesentreconjuntos
Leyes delalgebra deconjuntos
Conjuntosfinitos yprincipio deconteo
Subconjuntos
Teorema 3.11 Para cualquier conjunto A, tenemos ∅ ⊆ A ⊆ U .2 Para cualquier conjunto A, tenemos A ⊆ A.3 Si A ⊆ B y B ⊆ C, entonces A ⊆ C.4 A = B si y solo si A ⊆ B y B ⊆ A.
Si A ⊆ B, entonces todavıa es posible que A = B. CuandoA ⊆ B pero A 6= B, decimos que A es un subconjuntopropio de B y escribimos A ⊂ B.
Ejemplo 3.4
Supongamos que A = {1, 3}, B = {1, 2, 3}, C = {1, 3, 2}.Entonces A y B son ambos subconjuntos de C; pero A esun subconjunto propio de C, mientras que B no es unsubconjunto propio de C pues B = C.
LogicaMatematica
Sergio SolanoSabie
Conceptosbasicos
Formas paradeterminar unconjunto
Operacionesentreconjuntos
Leyes delalgebra deconjuntos
Conjuntosfinitos yprincipio deconteo
Diagrama de Venn
Una forma sencilla de visualizar los conjuntos y las rela-ciones entre ellos, es mediante la utilizacion de esquemasgraficos llamados circulos de Euler o diagramas de Venn.Estos esquemas estan compuestos por una region cerradadel plano (generalmente un rectangulo), la cual representael conjunto universal, y por uno o varios cırculos que repre-sentan los conjuntos a graficar.
LogicaMatematica
Sergio SolanoSabie
Conceptosbasicos
Formas paradeterminar unconjunto
Operacionesentreconjuntos
Leyes delalgebra deconjuntos
Conjuntosfinitos yprincipio deconteo
Union
La union de dos conjuntos A y B es el conjunto formado portodos los elementos que pertencen a A o a B. Se denotaA ∪B.
A ∪B = {x : x ∈ A ∨ x ∈ B}.
Aquı la disyuncion ∨, se utiliza en el sentido inclusivo, esdecir, significa y/o.
LogicaMatematica
Sergio SolanoSabie
Conceptosbasicos
Formas paradeterminar unconjunto
Operacionesentreconjuntos
Leyes delalgebra deconjuntos
Conjuntosfinitos yprincipio deconteo
Interseccion
La interseccion de dos conjuntos A y B es el conjunto for-mado por todos los elementos que pertencen a A y a B. Sedenota por A ∩B.
A ∩B = {x : x ∈ A ∧ x ∈ B}.
Si A y B no tienen elementos en comun, es decir, A∩B = ∅,entonces diremos que A y B son conjuntos disjuntos.
LogicaMatematica
Sergio SolanoSabie
Conceptosbasicos
Formas paradeterminar unconjunto
Operacionesentreconjuntos
Leyes delalgebra deconjuntos
Conjuntosfinitos yprincipio deconteo
Diferencia
La diferencia entre dos conjuntos A y B es el conjunto for-mado por todos los elementos que pertenecen a A y no a B.Se nota por A−B.
A−B = {x : x ∈ A ∧ x /∈ B}.
LogicaMatematica
Sergio SolanoSabie
Conceptosbasicos
Formas paradeterminar unconjunto
Operacionesentreconjuntos
Leyes delalgebra deconjuntos
Conjuntosfinitos yprincipio deconteo
Complementario
El complementario de un conjunto A es el conjunto forma-do por todos los elementos del conjunto universal que nopertenecen a A. Se nota Ac
Ac = {x : x ∈ U ∧ x /∈ A}.
Note que el complemento de A es la diferencia entre U y A,es decir, Ac = U −A.
LogicaMatematica
Sergio SolanoSabie
Conceptosbasicos
Formas paradeterminar unconjunto
Operacionesentreconjuntos
Leyes delalgebra deconjuntos
Conjuntosfinitos yprincipio deconteo
Diferencia simetrica
La diferencia simetrica entre dos conjutnos A y B es elconjunto formado por todos los elementos que pertenecen a(A−B) o a (B−A) pero no a ambos. Se denota por A4B.
A4B = (A−B) ∪ (B −A).
LogicaMatematica
Sergio SolanoSabie
Conceptosbasicos
Formas paradeterminar unconjunto
Operacionesentreconjuntos
Leyes delalgebra deconjuntos
Conjuntosfinitos yprincipio deconteo
Leyes del algebra de conjuntos
Las operaciones anteriores definidas entre conjuntos satis-facen varias leyes o identidades.Sean A, B y C conjuntos, entonces:
Leyes Idempotentes1 A ∪A = A
2 A ∩A = A
Leyes Conmutativas1 A ∪B = B ∪A
2 A ∩B = B ∩A
Leyes Asociativas1 A∪ (B∪C) = (A∪B)∪C2 A∩ (B∩C) = (A∩B)∩C
Leyes de Identidad1 A ∪ ∅ = A
2 A ∪ U = U
3 A ∩ ∅ = ∅4 A ∩ U = A
LogicaMatematica
Sergio SolanoSabie
Conceptosbasicos
Formas paradeterminar unconjunto
Operacionesentreconjuntos
Leyes delalgebra deconjuntos
Conjuntosfinitos yprincipio deconteo
Leyes del algebra de conjuntos
Las operaciones anteriores definidas entre conjuntos satis-facen varias leyes o identidades.Sean A, B y C conjuntos, entonces:
Leyes Idempotentes1 A ∪A = A
2 A ∩A = A
Leyes Conmutativas1 A ∪B = B ∪A
2 A ∩B = B ∩A
Leyes Asociativas1 A∪ (B∪C) = (A∪B)∪C2 A∩ (B∩C) = (A∩B)∩C
Leyes de Identidad1 A ∪ ∅ = A
2 A ∪ U = U
3 A ∩ ∅ = ∅4 A ∩ U = A
LogicaMatematica
Sergio SolanoSabie
Conceptosbasicos
Formas paradeterminar unconjunto
Operacionesentreconjuntos
Leyes delalgebra deconjuntos
Conjuntosfinitos yprincipio deconteo
Leyes del algebra de conjuntos
Las operaciones anteriores definidas entre conjuntos satis-facen varias leyes o identidades.Sean A, B y C conjuntos, entonces:
Leyes Idempotentes1 A ∪A = A
2 A ∩A = A
Leyes Conmutativas1 A ∪B = B ∪A
2 A ∩B = B ∩A
Leyes Asociativas1 A∪ (B∪C) = (A∪B)∪C2 A∩ (B∩C) = (A∩B)∩C
Leyes de Identidad1 A ∪ ∅ = A
2 A ∪ U = U
3 A ∩ ∅ = ∅4 A ∩ U = A
LogicaMatematica
Sergio SolanoSabie
Conceptosbasicos
Formas paradeterminar unconjunto
Operacionesentreconjuntos
Leyes delalgebra deconjuntos
Conjuntosfinitos yprincipio deconteo
Leyes del algebra de conjuntos
Leyes Distributivas1 A∪ (B ∩C) = (A∪B)∩ (A∪C2 A∩ (B ∪C) = (A∩B)∪ (A∩C
Ley Involutiva1 (Ac)c = A
Leyes del Complementario1 A ∪Ac = U
2 U c = ∅3 A ∩Ac = ∅4 ∅c = U
Leyes de De Morgan1 (A ∪B)c = Ac ∩Bc
2 (A ∩B)c = Ac ∪Bc
LogicaMatematica
Sergio SolanoSabie
Conceptosbasicos
Formas paradeterminar unconjunto
Operacionesentreconjuntos
Leyes delalgebra deconjuntos
Conjuntosfinitos yprincipio deconteo
Conjuntos finitos y principio de conteo
Definicion 5.1Se dice que un conjunto es finito si contiene exactamentem elementos distinto, donde m es un numero entero nonegativo. De lo contrario, el conjunto se dice infinito.
Ejemplo 5.11 El conjunto ∅ y el conjunto de la letras del alfabeto
castellano son finitos.2 El conjunto de los enteros positivos pares {2, 4, 6, . . .},
es infinito.
La notacion n(A) denota el numero de elementos en un con-junto finito A. Algunos textos, usan |A| o card(A) en lugar den(A).
LogicaMatematica
Sergio SolanoSabie
Conceptosbasicos
Formas paradeterminar unconjunto
Operacionesentreconjuntos
Leyes delalgebra deconjuntos
Conjuntosfinitos yprincipio deconteo
Conjuntos finitos y principio de conteo
Definicion 5.1Se dice que un conjunto es finito si contiene exactamentem elementos distinto, donde m es un numero entero nonegativo. De lo contrario, el conjunto se dice infinito.
Ejemplo 5.11 El conjunto ∅ y el conjunto de la letras del alfabeto
castellano son finitos.2 El conjunto de los enteros positivos pares {2, 4, 6, . . .},
es infinito.
La notacion n(A) denota el numero de elementos en un con-junto finito A. Algunos textos, usan |A| o card(A) en lugar den(A).
LogicaMatematica
Sergio SolanoSabie
Conceptosbasicos
Formas paradeterminar unconjunto
Operacionesentreconjuntos
Leyes delalgebra deconjuntos
Conjuntosfinitos yprincipio deconteo
Conjuntos finitos y principio de conteo
Definicion 5.1Se dice que un conjunto es finito si contiene exactamentem elementos distinto, donde m es un numero entero nonegativo. De lo contrario, el conjunto se dice infinito.
Ejemplo 5.11 El conjunto ∅ y el conjunto de la letras del alfabeto
castellano son finitos.2 El conjunto de los enteros positivos pares {2, 4, 6, . . .},
es infinito.
La notacion n(A) denota el numero de elementos en un con-junto finito A. Algunos textos, usan |A| o card(A) en lugar den(A).
LogicaMatematica
Sergio SolanoSabie
Conceptosbasicos
Formas paradeterminar unconjunto
Operacionesentreconjuntos
Leyes delalgebra deconjuntos
Conjuntosfinitos yprincipio deconteo
Conjuntos finitos y principio de conteo
Definicion 5.1Se dice que un conjunto es finito si contiene exactamentem elementos distinto, donde m es un numero entero nonegativo. De lo contrario, el conjunto se dice infinito.
Ejemplo 5.11 El conjunto ∅ y el conjunto de la letras del alfabeto
castellano son finitos.2 El conjunto de los enteros positivos pares {2, 4, 6, . . .},
es infinito.
La notacion n(A) denota el numero de elementos en un con-junto finito A. Algunos textos, usan |A| o card(A) en lugar den(A).
LogicaMatematica
Sergio SolanoSabie
Conceptosbasicos
Formas paradeterminar unconjunto
Operacionesentreconjuntos
Leyes delalgebra deconjuntos
Conjuntosfinitos yprincipio deconteo
Conjuntos finitos y principio de conteo
Teorema 5.1Si A y B son conjuntos finitos disyuntos, entonces A ∪B esfinito y
n(A ∪B) = n(A) + n(B)
Teorema 5.2Si A y B son conjuntos finitos, entonces A ∪B y A ∩B sonfinitos y
n(A ∪B) = n(A) + n(B)− n(A ∩B)
Corolario 5.1Si A, B y C son conjuntos finitos, entonces A ∪B ∪ Ctambien lo es, yn(A ∪B ∪ C) = n(A) + n(B) + n(C)− n(A ∩B)− n(A ∩C)− n(B ∩ C) + n(A ∩B ∩ C)
LogicaMatematica
Sergio SolanoSabie
Conceptosbasicos
Formas paradeterminar unconjunto
Operacionesentreconjuntos
Leyes delalgebra deconjuntos
Conjuntosfinitos yprincipio deconteo
Conjuntos finitos y principio de conteo
Ejemplo 5.2
Considere la siguiente informacion de 120 estudiantes dematematicas referente al lenguaje Frances, Aleman y Rusoque estudian: 65 estudian Frances, 45 estudian Aleman, 42estudian Ruso, 20 estudian Frances y Aleman, 25 estudianFrances y Ruso, 15 estudian Aleman y Ruso, 8 estudian lastres lenguas. ¿Cuantos alumnos estudian por lo menos unode los tres idiomas?Solucion. Sean F , G y R los conjuntos de estudiantes queestudian Frances, Aleman y Ruso, respectivamente. Utilice-mos un diagrama de Venn como se muestra en la figura y elcorolario 5.1:
n(F ∪G∪R) = n(F )+n(G)+n(R)−n(F ∩G)−n(F ∩R)−n(G∩R)+n(F ∩G∩R) = 65+45+42−20−25−15+8 = 100.
LogicaMatematica
Sergio SolanoSabie
Conceptosbasicos
Formas paradeterminar unconjunto
Operacionesentreconjuntos
Leyes delalgebra deconjuntos
Conjuntosfinitos yprincipio deconteo
Conjuntos finitos y principio de conteo
Ejemplo 5.2
Considere la siguiente informacion de 120 estudiantes dematematicas referente al lenguaje Frances, Aleman y Rusoque estudian: 65 estudian Frances, 45 estudian Aleman, 42estudian Ruso, 20 estudian Frances y Aleman, 25 estudianFrances y Ruso, 15 estudian Aleman y Ruso, 8 estudian lastres lenguas. ¿Cuantos alumnos estudian por lo menos unode los tres idiomas?Solucion. Sean F , G y R los conjuntos de estudiantes queestudian Frances, Aleman y Ruso, respectivamente. Utilice-mos un diagrama de Venn como se muestra en la figura y elcorolario 5.1:
n(F ∪G∪R) = n(F )+n(G)+n(R)−n(F ∩G)−n(F ∩R)−n(G∩R)+n(F ∩G∩R) = 65+45+42−20−25−15+8 = 100.
LogicaMatematica
Sergio SolanoSabie
Conceptosbasicos
Formas paradeterminar unconjunto
Operacionesentreconjuntos
Leyes delalgebra deconjuntos
Conjuntosfinitos yprincipio deconteo
GRACIAS POR SUATENCION
