C o n f e r e n c i a s sobre t eor ía de la i n t e g r a l

por

S i x t o R í o s (*)

§ I. NOCIONES GENERALES SOBRE CONJUNTOS

i.—Conjuntos abstractos.—Comenzamos con unas breves nociones relativasá los conjuntos abstractos y a los conjuntos de puntos, como.introducción nece-saria a Ia teoria de Ia integral.

Teniendo en cuenta esta finalidad, evitaremos en ellas consideraciones suti-les sobre cuestiones aún no dilucidadas completamente, derivadas del empleodel axioma de Zermelo.

Así como los conjuntos finitos se definen por extensión, es decir, enunciandocada uno de los elementos que los componen, los conjuntos infinitos se definenpor comprensión, o sea, dando los caracteres comunes a sus elementos. Estadefinición ha de ser tal que: i.°, para todo elemento no ha de caber más quepertenecer o no al conjuntó (lo que no quiere decir que nos proporcione el me-dio de saber si pertenece o no al conjunto considerado) y, 2.°, para todo par deelementos del conjunto no ha de haber más que esta alternativa: estar o noformado por elementos distintos.

Estas dos condiciones, aparentemente triviales, evitan las contradicciones yparadojas derivadas de la consideración de conjuntos que no están biendefinidos.

Dos conjuntos se llaman cbordinables cuando entre sus elementos se puedeestablecer una correspondencia biunívoca.

(*) Explicadas en la Cátedra de la «Fundación Conde de Cartagena» durante el Curso 1940-41.Me complace agradecer muy especialmente al Sr. Rodríguez Sanjuan la colaboración prestada, re-copilando y completando "mis notas de clase, que fueron publicadas en una edición litografiada.Aparte de la bibliografía especial, que citamos oportunamente, señalemos como obras de caráctergeneral que se-lian tenido en cuenta, las de Lebesgue, Vallée-Poussin, Hobson, Saks, Rey Pastor(conferencias dadas en 1933-34 en Madrid), etc.

Los conjuntos coordinables se dice que tienen la misma potencia, es decir,potencia es la propiedad común a todos los conjuntos coordinables.

El conjunto infinito más sencillo es el de los números naturales 1 , 2 , 3 , . . . « . . .Se llaman numerables los conjuntos que tienen la misma potencia que éste,

es decir, aquellos para los que se puede establecer (*) una correspondencia biu-nívoca entre sus elementos y los números naturales,

El conjunto formado por la reunión de un número finito de conjuntos numera-bles es. numerable. Pues si son:

E, : a, , at, a„ ....

E, : ¿, , ¿2 bH

V A . •/,, /„....

basta formar el conjunlo

a\ , b\ , /t , < t j , ¿3, /j , a« . b* , . . . / „ . . .

que es evidentemente numerable.Todo conjunto numerable de conjuntos numerables es numerable. En efecto,

sean E¡ , E 2 , . . . . , E„ , . . . . los conjuntos, y sus elementos:

u,,. u„

Se pueden numerar siguiendo el esquema

. / / / / /

i / / / /

/ / /

; / ,

(*) Borei llama efectivamente numerable o enumerable a todo conjunto en el que se puedadar la ley de correspondencia entre sus elementos y los números naturales; y numerable cuando noda lugar a contradicción el suponerlo numerado. Pero esta distinción no^iene actualmente una granimportancia por no conocerse ningún conjunto numerable que no sea efectivamente numerable.'Sin embargo, nosotros supondremos que todos los conjuntos son efectivamente numerables, paramayor facilidad.

es decir,

«II . « 1 2 - "2l , » 3 1 - . «22 . « 1 3 . « 1 4 . «23

Se observa que hemos tenido en cuenta que la suma de los subíndices sea

. 2 , 3 . 4 • • •tu

Poniendo «„,„ = — se deduce como consecuencia inmediata que el conjunton , ' •

de los mimeras racionales es numerable. Obsérvese que los números enteros yalgunos fraccionarios son contados infinitas veces, pero esto no altera el resul-tado en virtud de la propiedad siguiente:

Si de un conjunto numerable se extrae un conjunto parcial, queda otro conjun-to numerable. Basta colocar los elementos del conjunto residual en el orden enque quedan después de la supresión.

Todo conjunto en que cada elemento um, n, . . . .k depende de q indices, que to-man valores naturales es numerable.

Dado un número entero ,N existe un número finito de términos para los que secumple m ~f- « --f- . .-.'. -\- k = N, luego haciendo N = i , 2, .. . . se obtieneun conjunto numerable de conjuntos finitos que es numerable.

Todos los puntos de coordenadas racionales de un cuadrado son elementosque dependen de cuatro índices (dos para la abscisa y otros dos para la orde-nada), luego forman un conjunto numerable.

Más general: si el número de subíndices es finito, pero pueden recibir valoresenteros positivos y negativos, el conjunto también es, numerable; pues' dado un nú-mero N sólo hay un número finito de'valores de m,n, .... k que hagan

m \ -{- | « | - f - . . . .-+- | k-1 = N, ya que las permutaciones de signos que sepueden hacer son en número finito. Se puede ordenar cada uno de estos con-juntos y haciendo N = i , 2, 3 . . . . se obtiene el mismo resultado anterior.

Sejlaman números algebraicos de orden « a los,que son raíces de una ecua-ción de grado w con coeficientes enteros.

Los números algebraicos de primer orden forman un conjunto numerable,pues como son las raíces de ecuaciones a x -\- b = o, resultan ser los númerosracionales.

También los de 2.° orden son numerables, pues basta numerar todas lasecuaciones de 2.° grado a x* -f- b x -j- c = o (conjunto que depende de tres ín-dices) y luego ordenar con cualquier criterio las dos raíces de cada una de ellas.

Análogamente se ve para los números algebraicos de orden n, pues lasecuaciones dependen de n -f- i parámetros.

El conjunto de todos los números algebraicos (no sólo reales, sino también com-plejos algebraicos) es- numerable, por ser un conjunto numerable de conjuntosnumerables.

El conjunio de los números reales, del intervalo (o, i) no es numerable.

— i3 —

Supongamos que fuese posible formar una sucesión «j, «2 ) . . . . «„ . . . . contodos los números reales de dicho intervalo. Recordando que todo número realpuede representarse de forma única por una fracción continua (limitada si esracional, e ilimitada si es irracional), sean

«. = —-— °~~~7^~"'+^T+^- fi + ̂ +.L1 ̂ *i + ' ^ *» f

y tomemos

a -4: a, ; b :£ bz , c 3p'ct

con lo que obtenemos el número

a+ T-+-L^ ' +

comprendido entre o y i y diferente de todos los a ,•.Este conjunto se dice que tiene là potencia del continuo.Los dos teoremas anteriores prueban la existencia de números trascen-

dentes.hl conjunto .de los números irracionales del intervalo (o, i) tiene la potencia

del continuo.El conjunto .C de los números reales está formado por el Q de los racio-

nales, que es numerable, y el C2 de los irracionales

C = C1 + C,

ni I m •De Cj forma parte el conjunto TÍ -f- —I—es el conjunto de los números

n \ nracionales del intervalo (o , i) ) que designaremos por C3 y tenemos:

C = C, + C3 + (C, - C8)

C — GÌ = C3 -)- (C2 — C,)

Podemos establecer una coordinación, de un lado entre Cj -f- C3 y Cs porser ambos numerables y por otra parte de C, — Cs consigo mismo. Así tene-mos una coordinación entre C y C — Ç1 — C2 , c. q. d.

La misma demostración prueba -que:

— 14 —

El .conjunto de los números trascendentes del intervalo (o, i) tiene la patenciadel continuo.

El .conjunto de. 'los puntos y de un intervalo (a, b) tiene la potencia del conti-nuo. Pues mediante la expresión y = a -|- (b.-r- a] x se coordina con el dé lospuntos intervalo (o, i). También se puede hacer gráficamente mediante unaperspectividad.

El conjunto de todos los números reales x tiene, la potencia del continuo^ puesx- . - . • • • . . ' • . . - ' '

y — establece la correspondencia biunívoca entre los intervalosi + | * l

(— i.,.-)- i) y (— oo , -\- oo ). Basta luego coordinar el (— i , -f- i) con el (o, i).

Un conjunto numerable de conjuntos de la potencia del continuo tiene la poten-cia del continuo. En efecto; sean X t, X, , XB , - . - . . los conjuntos: podemoscoordinar el Xj con el intervalo (o, i), el X, con el ( 1 , 2 ) y asi sucesivamente.Queda, pues, coordinado todo el conjunto con el (o, oo ) que, tiene la potenciadel continuo,

El conjunto de los puntos (x, y) de un cuadrado de lado i, tiene la potencia delcontinuo.

Empecemos por ver que se puede establecer una correspondencia biunívocaentre los puntos (x, y] del c.uadrado, cuyas dos coordenadas son irracionales ylos puntos P de abscisa irracional del intervalo (o, i). En efecto: sea

abs. de p—-

"+V+-L• ̂ «3 +

y tomemos

«T+. ' ~"'+i

Los dos conjuntos están coordinados.Los puntos del cuadrado que tienen una de sus coordenadas racionales per-

necen a la infinidad numerable de los segmentos, -paralelos a los ejes que pasanpor puntos de abscisa u ordenada racional, es decir, están contenidos en unainfinidad numerable de intervalos y su potencia es la del continuo.

Así, pues, el conjunto de todos los puntos del cuadrado tiene la potenciadel continuo.

Una demostración análoga podía hacerse-para los puntos de un cubo, de

donde resulta que, la potencia del continuo es independiente del nùmero de dimen-siones (*).

2.— Conjuntos de'puntos.—Punto de un espacio *de n dimensiones es unsistema de « números reales dados en un cierto orden

(*•,,*,,....., x„)

Espacio de n dimensiones (R„ ) es el conjunto de todos los puntos así de-finidos.

Distancia entre dos puntos

(*i , xt, *») . "(*'i . , • • . . *'t, . . . x'„)

es el número real positivo definido por la igualdad

<<= \/2{xi-x'í}í

Entorno de un punto P es el conjunto de todos los puntos que distan' deél menos o igual que p.

Distancia de un punto a un conjunto es el extremo inferior de las distanciasdel punto considerado a todos los del conjunto.

Distancia de dos conjuntos es el extremo inferior de las distancias entre todoslos pares de puntos, uno de cada conjunto.

Conjunto acotado es aquel en que todas las coordenadas de todos sus puntosson inferiores en valor absoluto a un número fijo k.

Diámetro de un conjunto es el extremo superior de las distancias entre cadados puntos de él.

Punto de acumulación de un conjunto es aquel que en todo entorno suyo hayinfinitos puntos del conjunto.

Punto [límite de una sucesión de puntos P t, P2, . . . . P„, . . . . es aquelpunto P, tal que fijado un entorno suyo los puntos de la sucesión desde unvalor de « en adelante están en dicho entorno.

Punto interior de un conjunto es aquel pára'el que existe un entorno forma-do por puntos del conjunto.

(*) Esta correspondencia de Cantor pareció que destruía la idea intuitiva de dimensión. FueNetto quien demostró que la correspondencia así establecida, si bien era biunívoca, no era conti-nua, y Brouwer probó la imposibilidad de la existencia de una correspondencia biunívoca y con-tinua entre dos conjuntos de distinto número de dimensiones.

ió —

Fig. i .

Punto exterior de; un conjunto es el que tiene un entorno que no contieneningún punto del conjunto.

Punto frontera de un conjunto es el que en todo entorno suyo hay puntosdel conjunto y puntos que no pertenecen a él.

Teorema de Bolzano-Meier strass^—Todo conjunto acotado de infinitos puntostiene al menos un punto de acumulación.

Por ser el conjunto acotado, todos sus puntos serán interiores.a un cierto cua-drado (fig. i) . Dividiéndolo en cuatro cuadrados iguales, enuno de ellos, al menos, habrá infinitos puntos del conjunto;repitiendo con él la operación, alguno de los cuadraditosresultantes contendrá infinitos plintos del conjunto. Si-guiendo así indefinidamente tendremos una sucesión decuadrados, cada uno contenido en el anterior, cuyas dimen-siones tienden a cero y por el postulado de la continuidadsabemos existe un punto P interior a todos ellos. En todoentorno de P hay cuadrados de la sucesión y, por tanto, infinitos puntosdel conjunto. P es, pues, de acumulación.

La demostración en el R,, es análoga.Si todos los puntos de A pertenecen a B, diremos que A está contenido en

B y escribiremos A -<( B.Conjunto derivado de otro es el formado por sus puntos de acumulación. Se

representa por A'.Conjunto denso es aquel que está contenido en su derivado. Escribire-

mos A -< A'.Conjunto completado del A es éste, más todos sus puntos de acumulación; Se

designa por A = A -f- A'.Conjunto cerrado es aquel que coincide con su completado, es decir, el que

contiene todos sus puntos de acumulación: A = A.Conjunto perfecto. Sz A = A'. Todo conjunto perfecto es cerrado, pero la re-

cíproca no es cierta. El conjunto de los puntos interioresde A se llama su interior y se designa por A°. S/ A = A°el conjunto se llama abierto.

Se dice que un conjunto A es cerrado con relación aotro B que lo contiene, si todo punto de acumulación de A,que pertenezca a B, pertenece a A.

'Ejemplos: si B es el conjunto de los puntos interioresal cuadrado y A el de los interiores y frontera del recintolimitado por la curva P M C) N (excepto los del segmentoP Q), A es cerrado con relación a B, pues los únicos puntos

de acumulación que no pertenecen a A (los de P Q) tampoco forman parte deB. Pero si B es el cuadrado más su contorno, el mismo conjunto A ya no escerrado respecto a B, pues los puntos del segmento P Q que son de acumula-ción de A, pertenecen a B, pero no a A.

El conjunto E es suma o reunión de los E, y E2 cuando a él pertenecen lospuntos que son de uno al menos de los conjuntos: E = E, -f- E.,.

Los puntos que pertenecen simultáneamente a E, y a E2 forman otro con-junto E (que puede ser vacío) llamado intersección (*) o interferencia de E, y E2;F — F - FL·, — rn i^ 2 .

Las definiciones de suma e intersección se generalizan para un número finitoo infinito numerable de conjuntos. Estas operaciones tienen las propiedadesconmutativa, asociativa y distributiva.

Un conjunto E es diferencia de los E, y E2 cuando a él pertenecen lospuntos de E¿ que no sean de E2 (hay que suponer que E2 está contenido en E,).

Se llama conjunto complementario del K respecto al A a la diferencia A — Ey se representa asi: CE.

Propiedades. 1. — C (Et • Ea) = CE! -j- CE2 que nos dice que considerando losconjuntos complementarios con relación a cualquier otroA que los contenga se convierte la intersección en suma.

11.— C (E! — E,) = E, • C E2 que transforma la dife-rencia en suma.

Función característica de un conjunto E es una fun-ción y (F) que vale i cuando P -< E y cero si P -< E.

Por ejemplo: para el conjunto de los números racio-nales del intervalo (o, i ) es ¡p (P). la función de Üirichlet, ¡.-¡g 3

bien conocida.i.° Si E,, E2, . . . . son disjuntos, es decir, sin puntos comunes dos a dos

es •¿1 -j- cp2 -j- . . . . la función característica de E, -(- E, ~f- . . . .2° Si es E — E, • E., • . . . . también es » = tp, • c/2 • . . . .3.° Si tp es la característica de E, la de C E es i — a.4.° Cualesquiera que sean E,, Ea . . . . se verifica que si E — E, -|- E, -(-

-f- . . . . y si '-p, cp,, !p2, . . .. son las funciones características de E, E,, E 2 , . . . .es <p — i _ ( , _?1) (i — ?1) . . . .

Todas ellas se prueban sin dilicultad alguna.Estructura de los conjuntos lineales abiertos.— Tudo conjunto E lineal (situado

sabré una recta) abierto y acotado, está formado por una infinidad numerable deintervalos abiertos.

En efecto: todo punto x por ser interior pertenece a un intervalo(x — í, x -f- í[) formado por puntos del conjunto, pero cuyos extremos x — 5,x -f- í, son del complementario. 'lluego E se compone de un conjunto de inter-valos abiertos que los podemos numerar por orden de magnitud, ya que mayo-

res que — (b — a] a lo más babrá uno, mayores que -— (b — a) sólo podrá2 ' ~. 4

haber 3, etc., resultando un conjunto numerable de intervalos abiertos.Teorema de Borel-Lebesgne.—En toda familia de conjuntos abiertos Ap que

(*) La djnorhinación producto, dada por al^unoì ¡tutores, suele reservarse para otro conceptoque aquí no exponemos.

R«>v. nu TM R. AnA 'níMt\ ni- Cï*;tíoiAs —"04* a

cubre nn conjunto cerrado y acotado del Rn , hay una familia parcial finita quetambién lo cuòre.

Cada punto P tiene entornos esféricos de centro P contenidos en algunode los conjuntos Af, que cubren P. Sea p (P) el extremo superior de los radiosde dichos entorno^. El conjunto de los números p (P) tiene un extremo inferiorp > o , pues si fuera p = o, habría puntos P,- tales que p ( P , - ) sería tan pe-queño como se quisiera.

Estos puntos P/ (que forman un conjunto infinito acotado) tienen,un puntode acumulación A (según el teorema de Bolzano-Weierstrass) perteneciente alconjunto por ser ésta cerrado y acotado; paro según hemos visto A está cu-bierto por un entorno esférico de radio p ( A ) > o . Para todo P,- situado en la

P ( A ) P (A)esfera de centro A y radío '-—-—sería p(P,-}> contra la hipótesis de

2 2que p ( P ,• ) 'es tan pequeño como se quiera.

Basta, pues, demostrar que el -conjunto de esferas de radio igual a p quecubren a cada punto se puede sustituir por un número finito de ellas. Para ellotomemos titi'.fmnto cualquiera Pt y cubrámosle con una esfera de radio p ; ha-gamos igual ..cori, otro punto P2 exterior a la esfera anterior y continuemos así.Si con un ; numero finito de esferas no se cubre todo el conjunto, habrá unasucesión P^Pj, .... P„ , P „ _ f _ , , . . . . tal que la distancia entre dos cuales-quiera de ellos es mayor que p; pero esta sucesión infinita de puntos tendrá unpunto límite perteneciente al conjunto. En todo entorno de dicho punto debenestar contenidos los puntos de la sucesión PM desde un n en adelante; pero í-i

o .suponemos el entorno de radio < — no puede haber en su interior mas que

2

un punto de la sucesión, por ser la distancia de dos cualesquiera > p.La suma E de dos conjuntos abiertos E1, E2 es un conjunto abierto.Pues cada punto de E es interior a un entorm de puntos de Ej -(- E, = E .

El mismo razonamiento prueba que:La suma de un número finito o infinito numerable de conjuntos abiertos es ^<n

conjunto abierto.Si ¡Et.,_>' EJJ .son abiertos,lo .es -E^- E2 .Pues si el punto P pertenece a E: y E._, tiene un entorno de puntos de E{

y un entorno de puntos de E., y la interferencia de estos dos entornos es unentorno de puntos de E, yaque P no puede ser punto límite de C ( E l · E J ) == CE1-f.CE1 . '

La intersección de una infinidad numerable.de conjuntos abiertos se llama unGÎ, :- '. cß / , \

' "XT"1 / \y no es necesariamente abierto. Ejemplo:' ¿ G« siendo C.„ o «< x < i -\ .. ' .. 'TT . \ » /

Análogamente se ve que; la suma y el producto.de un número finito de con-juntos cerrados es un conjunto cerrado.

La intersección de una infinidad de' conjuntos cerrados es cerrado.

— ig —

La suma de una infinidad numerable de conjuntos cerrados se llama un F3 ypuede no ser un conjunto cerrado.

Ejemplo: S FB , siendo

F „ ( o ^ * < i — '-] , es S F „ ( o < * < i )

Si cualquiera que sea n esE.XE- '+ . i

E„>- E„ + 1

I ascendente o no decrecientela sucesión de conjuntos E, se llama monótona {

' ( descendente o no crecienteLa suma de una sucesión ascendente se llama límite

de la sucesión:' lim En .M

El producto de una sucesión descendente se llama lí-mite de la sucesión: lim E„ .

n

Lema.— Un conjunto abierto A se puede representarconio srima de una sucesión numerable de rectángulos Kn

no rampantes (*).Sea un retículo, es decir, una sucesión de redes

-••»-i«-

io

Í^-U-JJ.~ .'"?*

y

•/•TI•f-

.i,..

.;.. .x

iGi 'Gs G, ... . Fig 4

formadas de este modo: la G, se obtiene trazando las rectas:

y = ± r

x — ± z y = jh 2

x = + n y =± ii

y está formada por una sucesión numerable de cuadrados (o, más general, derectángulos o mallas).

Tracemos nuevas rectasi i

x — ±- — ' y= ± —2 2

,.±í , _ ± 1

las cuales dividirán cada malla en varias, que se pueden numerar y obtenemosla red G2.

(*) Es decir, sin puntos interiores comunes.

El conjunto de todas las mallas de todas las redes G,-v G2, . . ., G„ . . . , es unconjunto numerable de conjuntos numerables, luego es numerable. Supondre-mos que el diúmeiro de las mallas de'G» tiende a cero cuando // -> oo .

Consideremos ahora el conjunto At de todas las mallas de Gl contenidasen A, más el A.¡ formado porias de G2 contenidas en A, pero no en At yasí sucesivamente. De este modo todo punto llega a pertenecer a una malla con-tenida en A, ya que por ser abierto, al conjunto A todo punto suyo tiene unentorno formado por puntos de A, y dentro de ese entorno habrá siempre unamalla del retículo considerado, ya que las dimensiones de éstas tienden a cero.

Ñolas

i.—El desarrollo de la teoría de conjuntos abstractos da lugar a la Aritmética transfi-nita que puede estudiarse en Sierpinski «Leçons sur les nombres transfinis»; Fraenkel.Mengenlehre, etc. Recientemente, Foradori (Grundlagen der Teiltheorie, Leipzig, 1937) haestablecido una teoría de partes análoga a la de conjuntos; pero en lugar de partir comoon ésta, de U noción de «agregado de», se comienza con la idea primaria de «parte de» .

2.—La bibliografía más saliente sobre conjuntos de puntos es: Hausdorf, Mengenlehre!Vallée-Poussin, Integrales de Lebesguc; Key Pastor, Espacios abstractos (curso dictado enla Universidad de Buenos Aires, 1934); Hahn, Reelle Funktionen; Bourbakí, Theorie desensembles.

3,—Probar que todo conjunto abierto de R„ es la suma de una infinidad numerable deparalelepípedos.

4.—En la demostración del teorema de Bolzano ver si se llega a la conclusión final,subdividiendo el cuadrado en dos rectángulos iguales, uno de éstos que contenga puntosen dos rectángulos iguales, etc. (siempre por paralelas a un mismo lado). .

5.—En el teorema de Borel-Lebesgue, ¿se puede prescindir de que los entornos seanabiertos? Dar un contraejemplo.

6.—La distancia de dos conjuntos cerrados, acotados y disjuntos es p > o.7.—Demostrar: E — Ej = C E. — C E.

§ II. MEDIDA DE CONJUNTOS

La ampliación del concepto de integral ha hecho precisa la teoría de la me-dida de conjuntos, que viene a ser una generalización de los conceptos clásicosde longitud, área y volumen a conjuntos cualesquiera.

El concepto de medida debe dar lugar para cada conjunto a vin número po-sitivo o nulo que coincida con la longitud, área o volumen, si el conjunto es unintervalo lineal, bidimensional o tridimensional, y que si un conjunto es sumade varios, sin puntos comunes dos a dos, su medida sea igual a la suma de lasmedidas de las partes.

Cuando se quiere determinar el área de un recinto se considera una cua-drícula y se suman las áreas de los cuadrados que están totalmente contenidos

en él y por otra parte las de los que tienen con él algún punto común. Hacien-do divisiones sucesivas indefinidamente se obtienen dos sucesiones de númerosa„ y ß„ cuyos límites a y ß se-llaman extensión inferior y evterior del recintodado. Para ciertos tipos de recintos ambos números 'coinciden; pero para con-juntos más generales esto no ocurre. Por ejemplo: el conjunto de los puntos decoordenadas racionales de un cuadrado de lado i. La extensión exterior es i ,pues todos los cuadraditos que contengan al menos un punto del conjunto cu*bren el cuadrado dado. La extensión inlerior es cero, pues no existe ningúncuadradito que contenga sólo puntos racionales,

Vemos que con este concepto, debido a Peano y'Jordán, no resulta una me-dida, sino dos distintas, que sólo coinciden para tipos sencillos de conjuntos.

Cantor pretendió eludir esta dificultad denominando medida a l¿i que hemosllamado extensión exterior, pero entonces falla la propiedad aditiva, como pue-de verse considerando el conjunto de los puntos racionales de un cuadrado delado i y el complementario (la extensión exterior de cada uno de estos conjun-tos es i).

Para evitar esto, Borei ideò cubrir el conjunto por sistemas de infinitos rec-tángulos que se adaptan mejor al conjunto que los retículos. De este modo el'conjunto de los puntos racionales de un cuadrado tiene medida,nula, pues comoes numerable, recubrimos el primer punto por un rectángulo de área s, el 2."

por uno de área — , etc. La suma de estas áreas es2

' + 7 + A- + = 2 S

y haciendo que î —> o resulta nula la medida (*).Es decir, a partir de Borei se toma la propiedad aditiva en sentido amplio, o

sea para una infinidad numerable de conjuntos. Esta modificación insignificanteen apariencia, da origen "a nuevas propiedades que sirven de base al conceptode integral de Lebesgue. Vamos a pasar a exponer la teoría de la medida en laforma debida a Lebesgue, que ha perfeccionado la teoría de Borei de que habla-remos más adelante.

Aunque el método que vamos a seguir es completamente general, haremosel estudio en R2.

Medida exterior de un conjunto. — Definición.— Sea S una familia de rectán-gulos, finita o numerable, y o (S) .la suma de sus áreas, es decir, un númeroreal no negativo, finito o no. Dado un conjunto plano E se llama medida exte-rior de E y se denota por m,'(E) o por \ E | , el extremo inferior de los núme-ros o (S) cuando se consideran, todas las familias posibles de rectángulos querecubren el conjunto E. Así, pues, todo conjunto tiene una medida exterior.

(*) No'deja de ser sorprendente que cubriendo cada punto racional con un entorno qucd=npuntos del conjunto sin cubrir.

— 22 —

De la definición de extremo inferior se deduce que para toda familia S esE i < o (S) y que dado s arbitrariamente pequeño existen familias S 'ta-

les que3(S).< | E | +s

Teorema I. — Dada una sucesión numerable, finita Q infinita, de conjuntosEI , E2, E8, E„ ,.. . . sé vet ifica

| S E„ ' < S l F„ I . C)n n

Según* la definición de medida exterior, dado un nùmero z se puede cubrir,el conjunto E„ por una familia de rectángulos S„ tal que sea

3 l S „ ) < | E „ | + ^ .

La familia b = L S„ recubrirá el conjunto E = u E„ ya que cada S, cubre aln n

E/. De aquí se deduce que

a ( S ) < S 3 ( S H ) < s [ E„ ' + -L]= S-| E„ | -f S ~ < S | E „ | - f -,n L 2 J « rt 2 «

y como por otra parte es

I E ] < 3 (S),

resulta

| E | < v | E | + s ,n

es decir,l S E„ f < S I E„ l .

M H

Teorema II.—Para todo conjunto E j/ todo número e > o í^r/V^ «w conjuntoabierto G tal que E -< G j' ^«í? | G | ,<^ | E | -(- £,

En efecto, cubramos E por una familia de rectángulos S = S K„ talque

es decir,

a (S) á I E I 4--j-

e.• |E| >o(S)--=-S| K,,,-^- [,]

Hagamos corresponder a cada rectángulo K„ otro K*„ -<; Iv„ y tal que

W

es decir, que sus áreas difieran tan poco como queramos. Para el -conjuntoG = S (K*„ )° suma de los interiores de los'Conjuntos K*A Se verifica la re-

H

lación

EXSK„- /G

ya que los ( K*„ )° cubren a los K„ y éstos a E.Sustituyendo en [ i ] el valor [2]:

I E i f '1 -* ' ^M-7 = S K"* -S^-T^ K"*'^

pues

y como

S | RV I =. I G | ,n

resulta

I JE > I G |- s .'.. | G | < , E | +8 [3]

Conjuntos medibles.— Definición: El conjunto E es inedible si existe un con-junto G abierto tal que: G -< E.y | G — E | < e, es decir, cuando existe un, con-junto abierto que lo contiene de modo que la medida exterior de la diferenciade ambos conjuntos puede ser tan pequeña como se quiera. Esta condición,análoga a la del teorema II, es más restrictiva, ya que como veremos (Notasal final), hay conjuntos no medibles. A continuación vamos a establecer unaserie de teoremas cuyo objetivo final es probar las dos propiedades fundamen-tales de los conjuntos: medibles: la intersección, y la su/na'de'una sucesión dé con-juntos medióles son conjuntos medióles y en el segundo caso, si los conjuntos notienen puntos comunes la medida de la suma, es la suma de las medidas. Estaspropiedades y otras que establecemos permiten operar con los conjuntos medi-bles y son la base de la teoría de.la integral.

Todo conjunto abierto es medible, pues para él se.verifican las condiciones dela definición, ya que está contenido en sí mismo.

_ Î4 —

Todo conjunto E de medida exterior nula es inedible,-^En efecto: según [3]existe un conjunto G que verifica

, K ^ G - j

' [ G | < |, E j + s íy como

| G - 1 £ ¡ < 1 G | < l ' E - 1 - h - «

y E I = o, .resulta | G — E | •< s, luego E es inedible.A estos conjuntos sé les llama de medida nula.Todo conjunto 'numerable es de medida nula, pues si a¡, a2, . . . , < / „ , . . . son

S Ssus puntos, cubriéndolos por rectángulos de áreas e, — . «+i2 2

su suma es s -| 1- .. , . = 2 e que tiende a cero con e.

Se dice que una propiedad se verifica en casi todo un conjunto, cuando tienelugar excepto en un conjunto de medida nula.

Teorema III.—La suma de una sucesión finita o nvmerable de conjuntos me-dióles es inedible.

Si es E = EE„-, dado z > o existe un conjunto G„ >- E„ ta lquew

• I G«-E, |<-¿..

Por ser G„ abierto también lo e's

G = SG„ y G> E,« ('

luego,

I G — E | = SG„ -SE» I = l S(G„-E„) | ¿S , G„ — E „ | < S — - < s» « n n H 2"

y el conjunto E es niedible.

Teorema IV.—Dados dos conjuntos P\ y F2, cerrados^ acotados y disjuntosse verifica

I F. + F2 I = ! F, ! + | F2 |

Sea S una familia de rectángulos que cubre a Ft + F2, sabemos que

a f S J í S . I F j + F i l + a [4]

(*) Con la notación S-E„ se indica que puede tratarse de una suma finita o de una serie. Porr «

ejemplo, en virtud de esta observación-sólo podremos poner:

^<3 yno S-±-=s.« 2 K *

Si p > o (Nota 6, § I) es la distancia entre los conjuntos, podemos ele-gir los rectángulos de S de modo que sus diagonales sean menores que p, encuyo caso los que cubren Fj no pueden tener ningún punto en F2 y recíproca-mente. Sean S1 y Ss dos subfamilias de S que cubren Ft y F2 respectivamente;evidentemente será

3.(S)>'0(S,) + 3(S2)

y como de [4] se deduce

I Fi + F2 I ^s(S). o>a(S 1 )+3(S 3 ) - s

y[ s (S.) >,!•-! |

I i (S2) ̂ I FU r I

resulta

I F, + F2 > I F, | + | Ft I - s

y como s es arbitrariamente pequeño, resulta

I F, + 'F, I í, I F, | + | Ft | (*).

Pero en virtud del teorema 1 es

I F, + F, | < | F, | + | F, lluego

Fi + F, | = | F, | + | F, |c. q. d.

Teorema V.— Todo conjunto cerrado F es medióle.Supongamos primero que F es acotado. Según el teorema II, dado un nú-

mero e >» o existe un conjunto abierto G tal que F -i G y que | G | «< | F | -f-+ e. El conjunto H = G — F es abierto (**), luego, según el lema de la pá-gina 10, se puede representar como una suma de rectángulos no rampantes

00NT1

H = 2 , K <

quedandoOO

G = F + 2" Kí-

(*) Pues sí fuera | F, + Fs |< | F, | -f- | K, | , es decir, I F, + F2 | — | F, J + | F, | — 8,

sería | F, + F2 |< |' F, | + | Ff | — -i contra la hipótesis de que | F, + F2 | > | F, | +

"t" I F~2 | — ï por pequeño que sea s.(**) G — F = G . C F y como C F es abierto resulta el producto de dos conjuntos abiertos, el

cual es abierto.

— 26 —

Para toda valor- de n es vacío el conjunto

F : 2 K,-

pues I I no tiene ningún punto de F, luego .tampoco contendrá F puntos deII H

^ K,- que es una parte de H; por tanto los conjuntos F y ^/K,- son cerra-i i

dos, acotados y disjuntos (ya que su producto es cero). Según el teorema IV es

¡F - + 5> = . F+ VK,Z_J < G

pues

G = F + 2K-

y como j G << | F | -f s, resulta

F I + 2Ki < 1 F i + .,

o sea

2* <£

para todo valor de M , luego

ZK^U. .«

Por tanto

luego F es medible.

| H | = | G - F l =2KiM= I

C/3

(*) Pues si fuese

V

que 2>i

zi

> s contra el

oo

K,- ^> s sería ZK'-I

supuesto.

s -[- ò y habría un valor n = v tal

— 27 —

2.°—Si F no es acotado se puede representar corno siìma de conjuntos ce-rrados y acotados. (Por ejemplo, el conjunto délos puntos de un ángulo sepuede considerar como suma de los conjuntos productos del dado por loscírculos de radios i , 2, . . . . ) .

Por tanto, el teorema es válido para todo conjunto cerrado.Teorema VI.—Si A es inedible, C A también lo es.Por ser A medible dado un número n >> o se puede encontrar un conjunto

abierto G„ que verifique

G„;x A y | G,,-A <!-;

como el complementario del conjunto abierto G„ es cerrado C G„ = F„ y laique (*)

F„ -< C A , C A - F„ l = G„ - A I < A

se deduce que

•̂

CA-^F„ =oI

luego será

v.

C A = H + 2" F„,l

siendo H un conjunto de medida nula, y como los F„ son medibles (Teor. V),también lo es C A (Teor. III).

Teorema VII.—Para que K sea inedible es necesario y suficiente que dado unnùmero. £>o, exista uu conjunto cerrado F talque F -< A, | A — F | <[ s,

Para que A sea medible es preciso y basta que lo sea C A , y entoncesdado s >• o existe un conjunto G abierto tal que

G >- C A y | G — C A | < s

y como

I G — C A I = | A — C G I

resulta que para el conjunto cerrado F = C G se verifica

F-^; A , | A — F | < s, c. q. d.

(*) La igualdad C A — F« = G„ A, résulta de que C A - F, = C A . C F„ = C A . G„y que .G,, — A = G„ . C A.

— 28 —

Teorema Vili.—El producto de una sucesión numerable 'de conjuntos medióleses un conjunto medióle, pues

-" ' An E„ = c j > c E„

y si E„ es inedible, según los teoremas 111 y VI, también lo es E.Análogamente: Ia diferencia de dos conjuntos medióles es medióle. Pues

A - B = A • GB.Teorema IX.—Za medida de la* suma de tina sucesión de conjuntos mediblts y

disjuntos (*)'es igual a la suma de /as medidas de los conjuntos.Este teorema, fundamental en la teoría de la medida, expresa que la medida

de un conjunto cumple la propiedad aditiva en. sentido amplio, es decir, auncuando se trate de una sucesión infinita numerable de conjuntos.

Bastará probar que

Î An

-a_ V A„

ya q^ue si A„ es medible es

OT(A,,) = , An | y I SA« l = rw(SA„) ,• n n

Supongamos primero que cada uno de los conjuntos A„ es acotado. Dadoe>o existe (teorema Vil) para cada valor de n un conjunto cerrado F„"^< A„,tal que

I A „ - F „ | < —,

luego para todo m (teorema IV)

V A„ >

^

v-^ I F „ I > / £ :»=I n=i

A« l — y—¿Lt 2«

pues según el teorema I es

A„ — F« l ̂ l A„ I — l F„c

2"F n \ > \ A H \ —

luego

Z"- >2 \*.n^=i

Zvn = i

(*) Es decir, sin puntos comunes.

— 29 —

y para m ->. oo queda

/TO

¿"A* > ̂ | A „ | - s,

y como esto vale cualquiera que sea s resulta

pero.según el teorema I es

luego se obtiene

Y A„ | > X | A„

| S A „ | <ï | A„ |

S A« I = S l A„w n

2.°—Sino son acotados los conjuntos se puede poner A„ = E A^ siendo/A„ ^^ A„ (ffi K¡_ j)

donde k{ — ¿,-_, es la corona comprendida entre dos circunferencias de radios*', i — i , luego

S An = S (S AÍ)« «-

y aplicando el teorema anteior,

I S A„ l = S S l AÍ I ='S I S Ai ¡ = S I A» I •.« w / n i n

Teorema X.—La medida del límite de una sucesión monótona de conjuntos me-dibles de medida finita es igual al límite de la sucesión de sus medidas.

Dada una sucesión ascendente de conjuntos medibles'

A, ^A2-< -<A„^. . .

tal que A = lim A^ se tiene

A = SA„ = A1+(A2-A1)-+(A3-A2)-f ... ;+(A„+I - A„)+. ...

o sea, el primer conjunto más los puntos de A2 que no están en Al5 más los de

- 3° —

Ag que no pertenecen a A2, etc., suma-qtie evidentemente contiene todos lospuntos de A t , A 2 , . . . AA , . . . y sólo éstos, es decir, de E A„ , y como todos

«

los conjuntos A„ + , — A„ son disjuntos, según el teorema IX es

m (A) = w (A,) -f S m (A„ +, - A„) = m (A,) + ï [m <A„ +,) m (A„)| = lim m (A„).n n n

Si la sucesión es descendente A t >- A2 >- . . . . se pone

A, = A + S ( A „ — A„+ 1)H

y resulta (teor. IX)

m (A,) = m (A) + S m (A,, - A,, +,) = m (A) -f S [w (A„) — ?« (A„ + ,)] =n n

— m (A) -f- w (A,) — lim »z (A„).

luego

m (A) = lim m, (A„) c. q. d.

Notas

l.—Ejemplo de conjunto lineal no medible.—Consideremos los puntos de una recta rrepartidos en. conjuntos f (t) tales que si t pertenece a ~¡(t), también pertenecen a f (t)

todos los puntos / + — siendo — cualquier número racional. Así cada p.unto de lan n . • -

recta pertenece a un solo conjunto ~¡(t). Consideremos el conjunto H de puntos del seg-

mento (o , -—j obtenido eligiendo un punto de cada conjunto f (i). Llamaremos H m al' ~iT

///conjunto obtenido sumando a cada elemento de H el número racional —. Los Hm son

nconjuntos sin elementos comunes dos a dos, pero congruentes, luego deben tener la mismamedida, si .son medibles. .

Consideremos solamente los conjuntos: HQ, H , , H , .. .., los cuales son todos in-.... » ' 3

teriores al segmento (o; i), luego la suma de sus medidas debe ser tn < i y como

00

m = m (H) 4- / , m /H , \ = lim n . m (H)r^. l v/ ?-*•»

772debe ser ;« (H) = o. Como cualquiera que sea — es w /H»i\ = m (H) y la recta ente-

". . \ V/ra se puede considerar como suma de la infinidad numerable de conjuntos H m tendn'a-

n

mos la-contradicción de que la longitud de la recta sería nula; luego el conjunto H nopuede ser medible.

La existencia del conjunto H entraña, según se ve en la frase subrayada más arriba,admitir el siguiente axioma de elección de Zermelo: Para todo conjunto M cuyos elemen-tos son conjuntos P no vacíos y sin elementos comunes dos a dos, existe al menos unconjunto N que contiene un elemento de cada conjunto P..

Este axioma, enunciado en 1904 por Zermelo, no es admitido por algunos matemáti-cos, habiendo quien dice no entenderlo, pues para los empiristas, el existir un conjuntoes dar un método de construcción de sus elementos y no consideran válida otra exis-tencia.

Hasta ahora en la formación de todos los ejemplos'Conocidos de conjuntos no medi-bles se utiliza el axioma de Zermelo.

2, —Del axioma de Zermelo se deducen cada día consecuencias más sorprendentes.Así, ßanach y Tarski (Fund. Math., t. Vi) han probado que dados dos cuerpos cuales-quiera de distinto volumen S, s (p. e., dos esferas de radios desiguales) se puede descom-poner cada una en n conjuntos: S = St -¡- S.¿ + . . . . + • S« , s — st + ís -j- ... -f s„ ,tales que S ,• es congruente con s ¡ (i = i , 3 , . . . . , « ) .

Una propiedad análoga para conjuntos situados sobre la superficie esférica constituyeel llamado teorema de Haussdorf. En ¡cambio en el plano la propiedad es falsa. Seña-lemos también la siguiente propiedad intituitiva, pero cuya demostración no se ha lo- .grado sin el axioma de Zermelo: Dos polígonos tales que uno está contenido en otro no

, son nunca equivalentes por descomposición finita.

Sise admiten descomposiciones en 'una infinidad numerable de conjuntos, se demues-tra con el axioma de Zermelo que dos'conjuntos cualesquiera de RA (« :> i) son equiva-lentes por descomposición numerable.

3r—Es inmediato comprobar que la definición de medida que hemos dado conduceal mismo número que el área para el caso de un rectángulo. Esto unido al teorema IX, queexpresa la propiedad aditiva en sentido extenso, demuestra que la medida (L) posee laspropiedades que exigimos al principio de la. lección. Los teoremas VIII y IV demuestranque los conjuntos medibles (L) forman un cuerpo. Partiendo de estas propiedades comopostulados se establece una teoría axiomática de la medida. (Véase,.p. e., Haupt y Au-mann, Differential und Integralrechnung, Berlín, 1938).

4-—Una exposición de conjunto de la teoría de la medida y la integral con bibliografíaextensa se encuentra en el bello trabajo de Rey Pastor «La integral». (Las Ciencias, ,1934).

5-—Conjunto ternario de Cantor.—^ un ejemplo de conjunto de la potencia del con-

¿á&i 2 1J"

*4

tinuo y cuya medida es nula. Se construye así: dividimos el intervalo (o, i )en tres partesiguales y suprimimos el intervalo abierto central; cada.uno de los otros dos intervalos ce-

rrados lo, —J y I— , i J lo dividimos en tres partes iguales y suprimimos los intervalos

abiertos centrales y así proseguimos indefinidamente. El conjunto E obtenido es de medi-

da nula, pues ésta será la diferencia entre i y la suma de las longitudes de los segmentosque se han suprimido

i

-(E) = I -&+ 2 ^+^ir+ )r + = '--

que son uno mismo, pero

Veamos qut tiene la potencia del continuo. Escritos en el sistema de base 3, los núme-

ros correspondientes a los puntos de l o , — 1 tienen como expresión decimal: o, o . . . - , los

( I 2 \ / 2 \ / I 2 \— , —I: o, i .... y los de I -, i l : o, 2 . . . . y como suprimimos los de I— , — I des-

J J I \ J / . \ . J J '

aparecen los puntos cuya primera cifra decimal es i, excepto el — = o, io o — o, o 2 . El

segundo paso suprime todos los restantes puntos en que la segunda cifra es i, a excepción

del o, o i o o ... — o , o o 2 y del o, 21 oo ... = o, 2 o 2 y así sucesivamente. El conjun-to queda, pues, formado por los números que en el sistema de base 3 tienen cero de parteentera y parte decimal formada por cifras 2 ó o. Si ahora sustituimos los 2 por i resultantodos los números del sistema de base 2 del intervalo (o, i) (pues todo número escrito eneste sistema no tiene otras cifras que o y i). Hay algunos repetidos, por ejemplo: a los

números distintos ) °> ° 2 o 2 ( je corresponden ) o, o i o i\o, o 2 2 \ , ( o, o i i

esto sólo ocurre para los números como el o, o i i, es decir, para número racionales delsistema de base 2 que forman un conjunto numerable. Así, pues, el conjunto de Cantores coordinable (excepto un conjunto numerable) con todos los números del intervalo (o, i)escritos en la base 2, los cuales forman un conjunto de la potencia del continuo. Esta es,por tanto, la potencia del conjunto considerado.

6.—Probar que es cero la medida del conjunto de los números reales en cuya expre-sión decimal no figura la cifra 6.

7.—ídem el conjunto de los números reaies en cuya expresión decimal sólo figuran lascifras o, i.

8.—ídem el de aquéllos cuya sucesión de cifras decimales de.lugar impar es periódica.9.—Determinar la medida del conjunto obtenido análogamente al de Cantor, pero divi-

diendo el primei* segmento en 3 partes, los dos que quedan en 32 partes, los 2 (3* — i)que quedan en 33 partes, etc.

io.—Se ordenan los puntos racionales-del segmento (o, i): alt a.¿, .... an , .... Se

recubre a„ con un segmento simétrico respecto a él y de longitud - — . Determinar un

punto irracional no recubierto.II.—Prabar que el conjunto de Cantor es perfecto.

§111.' CONCEPTO DÉ INTEGRAL DE LEBESGUE

Diremos que - y =f(P) es una junción de punto definida en un conjunto Edel espacio R„ si a cada punto P de E le corresponde un número real y. Es,pues, una función de n variables reales:

y —f(x¡. xi > • • . - . • ' **)

— 33 —

Con la notación E [/> í] designamos el conjunto de puntos P en que-és

f(P)>c.Diremos que y (P) es inedible, si el conjunto E { f ( P ) ^ > c ] es medible cual-

/ ' • pquiera que sea el número finito c.

Se deduce:

E[/(P)<<:] = CE[/ . (P)>r]p p

luego si.E (/(?).> e]f

es medible, también lo es el

E [/(?)<<:]p

según el teorema VI (§ I).

2.°- E[/(P)>,]= U E [/(!>):><:-.-i.Ip „ = , i- ' " JH — l

pues el segundo miembro es la interferencia de los conjuntos en que /'(!') sù-pera a

1 if — i , e ; c

2 3

es decir, es el conjunto en que J'(P) > c. Luego también es medible

K[/( p)>^V

por serlo

I tH /(P)>í --

para cualquier valor de ;/ tal que t < n < co .

3-° lis medible E[/(P)<í, = c R[/(P) > ,-)p r

4-° Esmedible E[/'(l)) = <-] = E[/(P) > c] E [/(P) <£-]p , i- i- .

5.° Esmedible E[a </(p)<¿] = Ef / iP ) > a] E[/(P)<¿]l' H P

Definición constructiva de integral de Lebesgue.La definición y razonamientos por los qué Se establece, el concepto äe inte-

R B V . DK LA R. A T A O K M I A u E C I K V ^ I A 1 ; , — IQ42

- 34 -

gral

•UvB

khÏM

1.

Î.-A

i

de Lebesgue son independientes

/~*\

/ \ /^"/" >T "V*

7

del número de dimenpuede seguir elneral. mediante I

Sea y = facotada y medibE acotado y melos extremos de(A , B) en n paipuntos

siones y el lectorrazonamiento ge-i figura:

P) una funciónle en un conjuntodible; sean A y B/(P). Dividamos

"tes mediante los

"<— : - - <" VJ. . ̂

3 * w. • ,. w m" ;Hy-m-imVix" p

Fig. 6.

f¡ a los con- ?o </(Pía juntos de y, </(P

puntos en

<lue l>-i<, /(F

Illamemos

)<•>• cuyas)<y* medidas

son ;)<v„

m (c,) = ml

m (c.2) = m..

m (c„) = m„

y formemos las sumas

si = "'iyo -t- '"2>'i + ...... + >H„-yM_i

si = m\y\ -f »'î>'î + • • • • • • + "'«>

A esta subdivisión del intervalo la llamamos A t y consideremos una sucesiónde subdivisiones del intervalo (A, B), A,, A 3 > .. - , A¿ . . .. tal que el máximosubintervalo yf —J'>-, de A„ tienda a cero. Vamos a demostrar que las suce-siones

'*i - *s ^ • • • • |

S, -, Sj . . . . . . S* .... I

de sumas correspondientes tienen un límite común. A este límite, del que vamosa demostrar, L.°, la existencia, y 2.°, la independencia déla escala de las sub-divisiones elegida le llamaremos integral de Lebesgne de/(P) en E y lo repre-sentaremos con el símbolo

/,/ ( P ) r f P

i.°—Consideremos una sucesión de subdivisiones tales que cada una resultade la anterior por agregación de nuevos puntos. Si en la subdivisión Aj ínter-

— 35 —

calamos un nuevo punto r(k entre l o s j A _ , , v k ', e' conjunto ck en > que: C ¿ I

y k -, < /(P) <C y* queda descompuesto en la suma de ios , • ) en losc k — c k

que\ v*_ ,<'/(?)< y¡*

/ T,Í. < / (P |<v*

de medidasm k

m k — m h

por los dos siguientes

.y. en .?, el sumando >«¿j'¿ - , aparecerá sustituido

?«'*jA_i + ('»* — >»V>7¡A > '»'¿.v/t-i -j-("'*• w'*).v*_i ='«*,v*_, pues r¡;í>v*_1.

Por tanto, si „r, y S2 son las nuevas sumas, resultará .vt < s.¡; St > S.2. Así pues,a la sucesión de subdivisiones de esta clase An A2 . . . AA . . . correspondendos sucesiones de sumas

í, < ía < < S h ̂ . . . j

S, > Sa > . . . . > SA >... j

tales que, evidentemente, x/, < S* y vamos a probar que SA — JA tiende a cerocon el intervalo máximo yp — J> - , = 5. En efecto:

S, í, = /«, ( v, '- y()) t- w/j ( va — v,) 4- . . . ' . . . -f- w,, (> - >-,) <

< f, (/«, -f- ;«2 + -i- w,,) = Î . -M (f)

siendo

C = í', -f" ''» + • • • ' • + ''"

y como M (c) es finita S, — st -+ o con 8.2.°—Veamos que esto mismo ocurre cualquiera_que sea Iti sucesión de sub-

divisiones; para ello adoptemos una nueva escala de subdivisiones. A'A 'sin larestricción de que los puntos de A'¿ figuren en A ' A 4 _ , . Dará lugar auna suce-sión de sumas s'h , S'A que vamos a probar tienen el mismo límite que lass/, y S/, . En efecto, formemos 'una nueva sucesión de:; subdivisiones A"/; conlos puntos que resultan dé- superponerlas dos anteriores y sean s"A,S"A lassucesiones de sumas 'correspondientes: Resulta:

por tener AA los puntos de íij : s^ < sh < S^ ̂ SA

» AA' » ,» » AA,: s'h < '̂ íS S¡ < SA

como existe I = lím. .sv, = Hm SA también es

lim Sfr = lim Sy( =•!

30 —

Por la segunda limitación, y como S ' , ¿— s ' / , -* o resulta que s'h y S'A tienenel mismo límite que /^ y S"^ , es decir, T, c. q. d.

Si la función es de una variable real y el conjunto E se reduce a un inter-valo (a, b i se representa la integral por el símbolo

4

J /(*)<**

y en el caso general la notación

puede sustituirse por la

J/(P) dP

I i / /(¿i -O d.*t dx„

Pongamos un ejemplo de función para la que existe la integral (L) y no tieneintegral en el sentido de Riemann.

Función de Dirichlet

x racional ,y(.r)= i

x irracional , f ( x ) = o'

Para calcular la integral (R) formemos las sumas

«s = 2'(*'' -*•>•-1) M.-

I

en donde iM,- es el extremo superior de la función en el intervalo (.r,-_«,, x ¡); ennuestro caso para todo intervalo es M,- = i, y

•̂ r-i

s — / , (x - ^V-i' "'í

-. ». *;.,*• ', x siendo m¡ el extremo inferior, que es cero, luegoFig. 7.

n fi

2 -STi(x-; — x¡_,) = i , s — ̂ (xi — x;_,) o = o,

i i

Poi" tanto, las dos sumas tienen- distinto límite y no hay integral (R).

— 37 —

Para Hallar la integral (L) formemos los conjuntos en que

o

,V|

'„_

<f(x)<?t

</(;v-)<T2

.

cuyas

medidas

son

i \i

0 (

O

yaque el conjunto de los puntos irracionales del segmento (o, \) tiene por me-

dida i , pues contiene todos los puntos de él menos el conjunto (de medida

nula) de los números racionales.' Las sumas correspondientes serán:

j = o . i -f-.vi • o 4-

S = r,. i --(-..v, . o +

+ y n - 1 • 0 = 0

-(-I . O = V

y como y, _». o (en virtud de la-condición j>+ ,—• j'¿ -> o) es lím. .v == lim. S = o, es decir, existe la integral (L) de la función de Dirichlet y es cero.

Notas

i .—Compara Lebesgue el método.seguido por Cauchy y Riemann de dividir el inter-valo de las x para obtener la integral con el que seguiría un comerciante desordenadoque contase cobre, plata y billetes-en el orden en que fuesen llegando a sus manos; encambio el método de Lebesgue es semejante al del contable que dijera: tengo

m (E,) monedas de o, i optas., cuyo valor es o , i p . m ( R t )m (E2) » » i ,00 » » » » i ,00 . m (E2)

m (E,) billetes i 25,00 » » » » 25,00 . w (E3)

luego, en total,'tengo

S = o.'o . m (E,) -f i . m . (E,) f .25 . »»(E,) + ptas.

El método de Riemann, al dividir el intervalo de las x en otros más pequeños, procuraque, los valores de la función en éstos difieran poco, y se comprende que lo logrará, desdeluego, si la función es continua; pero si la función es '«muy discontinua» el tomar valoresde x muy próximos no garantiza que lo sean los de f(x). Por ello, dice Lebesgue, que laintegral de Riemann no se aplica más que «raramente y en cierto modo, por casualidad».

Sin embargo, el éxito definitivo del método de Lebesgue no'reside en ésto, sino en lautilización de la teoría de la medida, ya que se puede demostrar que si, con el mismo mé-todo de Lebesgue de dividir el intervalo de las y, se utiliza para medir los conjuntos depuntos x, no la noción de medida, sino la de exlensión (véase al 'comienzo del§ II) se obtiene un .concepto de integral equivalente al de Riemann (puede ensayarlo el

- 38 -

lector como problema) (*), y por otra parte Young ha demostrado (Philos. Transad, 1905)que si se divide cl intervalo de las x en un número finito de conjuntos medióles y se for-man las sumas análogas a las del método ,dc Riemann se "obtiene un concepto de integralequivalente al de Lebesgue (**).

2.—CalcularT

| •? (x) d x

o

siendo •; (.r) la función caracteiística del conjunto de Cantor.

3. — ídem, siendo '¿ (x) — o en los puntos del conjunto de Cantor y '¿ (.r) = (—i)" enlos puntos de lor, intervalos de longitud 3 — " .

IV. LA INTEGRAL ANTES DE LEBESGUE

Es Arquímcdes (250 años a. J. C.) quien con la cuadratura del segmento de parábola ,nos proporciona el más antiguo ejemplo de determinación exacta del área de un recintomixtilíneo. Procedía descomponiendo el segmento de parábola en una sucesión de t r ián-gulos rectilíneos, cuya suma de áreas daba lugar al primer ejemplo conocido de serie con-vergente. Otro método de Arquímedes para calcular dicha área presenta grandes analogíason el método de la integral.

La manera de calcular áreas y volúmenes en la forma que ha dado origen al conceptode integral aparece en la Estereométria de Keplero (1615), en donde se halla el volumende los toneles, descomponiéndolos en cilindritos superpuestos.

Análogos a éstos son los métodos uti l izados por Cavalieri (1653), que se aplican enGeometría elemental, para demostrar la equivalencia de dos pirámides de igual altura ybases equivalentes.

Tanto el problema del área como el de la tangente discurren por cauces diversos y sonresueltos por ingeniosos métodos en algunos casos particulares, hasta que Barrow (maes-tro de Nevvton) los unificó en 1669, al dar por primera vez la determinación de la tangentecomo límite del cociente incremental y considerar el área como una función pr imit iva delintegrando. Después Newton y Leibnitz, en posesión de esta idea, hicieron grandes progre-sos, pero la aritmetización rigurosa del concepto de integral no se hace hasta Cauchy(siglo xix).

Concepto de integral de Cauchy.—1,° Sea y =f(x) una función definida ycontinua en el intervalo (a, b] y sean fyl y m el máximo y el mínimo de una fun-ción en dicho intervalo. Dividamos (a, b) mediante los puntos

*o = a < -vi < *'î '<'• < xií-1 <>/< < <*•„_,< .v,, -- b

(*) Un estudio comparado de los métodos de integración por horizontales y verticales se en-cuentra en el tr.jbajo de Rey Pastor, Una teoría general de la, integración... (Rev. M. H. A., 193.4.

Pag. 217V(**) Young es autor de otro concepto de integral que, sin utilizar la teoria de la medida, es

aplicable a todas las funciones integrables (L) (Proc. London Math. Soc. 1910). De ¿sie y otros con-ceptos de integral trataremos más adelante.

- 39

y obtendremos una sucesión de intervalos que designaremos por A0 , a la quehacemos corresponder las sumas su y S0 definidas del siguiente modo:

S0 -• l-vl - A'o) '"i -f (-V8 — A'l) '"2 + -*- t-Y» ••*"«-!> "'i,

S0 = (.r, — .r0> M, + (.v., — .r,) M2 +. -f (.r„ — jr„_,h\l„

siendo w/, y M* el mínimo y el máximo de J (x) en el intervalo (x\ , , xk ) ycomo es nih < M¿ resulta ,90 < S^,.

Formemos una nueva subdivisión A, que contenga todos ios puntos de A0

y algunos más. Veamos lo que sucede cuando consideremos la subdivisión A,obtenida al intercalar un solo punto x'h en el intervalo (xh-.,, xh ) de. A0; ha-brá quedado dividido en dos

(** - . • * *>

(x'f, VVA)

cuyos máximos y mínimos

serán tales que

M/, ' WA

M* - w¡

M, < M, , m,^ m

MA < MA , '«A > >»A

luego el sumando correspondiente (^A — x x — i ) »'/, ha sido sustituido por

{xk — xh - ,) W7, + (-»"A — *1> «A >(4 *A -.,) "'/i + (*•* - *"*» '",* = (Xh —Xh- ,) '"¿

luego SÍ>SQ y análogamente S, <S„. Considerando una sucesión de sub-divisiones A0 , An . . . . , A„ , - . . . . tales que cada una contenga los puntos dela anterior, habrá dos sucesiones de sumas

s0 < í, <; . -. < s,, < < M (b - - a)

I S„ > S., > > S„ > > w (í - a)

que por serno decreciente

no crecientey estar acotadas

superiormente

inferiormentetienen lími-

tes

— 40 —

2.° Vamos a demostrar que estos límites coinciden.Llamando co* = M* — mk a la oscilación de la función en el intervalo

(Xk-i . xk) es S„ - - s„ = (.v, — .v„) («j -)- (A-J - \\) ui2 + + (-v« — *«_,) i»„

Ahora bien, si /(.r) es continua en (a, ¿), según el teorema de Cantor-Heine, esuniformemente continua en dicho intervalo y, dado un número 5 >o existeotro s ^> o tal que es la oscilación ( o / < ^ 5 para todo intervalo (#,-_, , .r,-) deamplitud O. Portanto,

s„ — f„.< (.v, — A-„) ò + + (x„ - x„_,) ò•-- f, (b —d)

y como S se puede hacer tan pequeño como queramos S„ — s„ ->. o, luego

lim S„ = lim s„ = S = s = I

3.° Si en vez de la sucesión A„ consideramos una sucesión A'„ que no ten-ga la propiedad de que los punto.s de cada subdivisión pertenezcan a las siguien-tes; pero sí la de que la amplitud del máximo subintervalo tienda a cero, tam-bién, evidentemente, S'„ — s ' H -»o con ?.(*).

4.° Sea ahora A'0 , A', , . . ., A'„ ,. . . una sucesión de subdivisiones cuales-quiera con la única condición de que el máximo subintervalo de A„ tienda acero y formemos la á"0, A"n . . , . , A",, ,. . ., tal que A"« está constituida por lospuntos de A',, y A„ .

l'or tener A^ los puntos de Afl es: í < sn ̂ Sn ̂ S(l

' » A'„' » » - A], es; / < s"n < S '̂ < S'A

Como existe í = lim .r„ = lim S„ , también es lim s"„ = lim S"„ = I. Por lasegunda limitación y como S'„ — s„ -*. o (en virtud de lo dicho en (3.°), resultaque es lim s'„ = lim S"„ = I.

Más aún, si es .r,-_, < £,• < x¡ resulta ?«,-_, < / (Ç , - )< M,- ,luego

ti n tf

'^(xi-~ Xi,i}mi<^f(ïi)(xi-xi^ù<']? (*,--*/_,) M,-i ----- i i' ~ i í = i

y también es

I = lim ̂ /(Ç;) (xi — A-,-_,)

(*) ' Evidentemente, S'„ — i'„ no es función sólo de ò, pero la locución anterior expresa queS'« — s* <^i y (ò) en que ip (8) -*• o, cuando S —*• o.

41

A este límite I correspondiente a cualquier sucesión de subdivisiones A',, delintervalo (a,-b), tal que la amplitud del máximo s n b intervalo de A'„ liem la a cero,se le llama inlcgral de la función continua f (x) en (a, b) y se representa por

'=//(.v)rf.v

Este es el concepto integral establecido por Cauchy que se completa'para.las funciones discontinuas en un número finito de puntos de (a, b) del siguientemodo:, Si/(.r) es continua en (a, b) salvo en el punto c, se llama integralen(«, b) a la suma de los límites (supuestos ambos existentes) (*):

<-• — a *

lim I f(.\-)d\- + 'lini I£ — > o / c'—>o</

b b

rf(x)dx^ I f (x) d x

\)+ í' a

[5]

(Para un número finito de puntos de discontinuidad la definición es análoga):Pero hay funciones como la

que tienen infinitos puntos de discontinuidad. Si sólo hay un número finito depuntos de acumulación de puntos de discontinuidad, Dírichlet aisla cada punto

Fig. 8.

de acumulación con un entorno, quedando entonces intervalos con un númerofinito de puntos de discontinuidad para los que es aplicable la definición prece-

( ) Cauchy estudia también el caso en que exista límite de la suma de las integrales del pri-mer miembro de [5], suponiendo E = s', sin que existan dichos limites separadamente. Al límite dedicha suma lo llama entonces valor principal.

- 42 —

dente. Mediante paso al límite cuando la amplitud de dichos entornos tiende acero, se define la

/'"

P. e/, la función definida claramente por la gráfica adjunta tiene infinitos puntosde discontinuidad, de los que el origen espunto de acumulación-

La definición de Dirichlet es:

l í L íTí J, l. X,

Fig. 9.

/(.v fi.r— lim l /(.r) dx

Si los puntos de acumulación de puntos,de discontinuidad àcf(x) forman un conjun-to denso en (a,,--b') no es aplicable el proceso;de Cauchy-Dirichlet. Tal es el caso de la fun-)

dòn de Dirichlet, citada anteriormente, y para la que todo punto del intervalo(p, i) es de discontinuidad.

Concepto fie Ríen/aun-—Riemann prescinde de la hipótesis de continuidad, yse propone ver, con la única hipótesis de la acotación, qué clases de funcionesson integrables co.n el misino proceso que Cauchy siguió para las funcionescontinuas.

Supongamos, pues, una función f (x) acotada en el intervalo (a, h). Todolo dicho en el apartado,.(i.°) subsiste sin más que sustituir los máximos y míni-mos de f ( x ) por los extremos superior e inferior. En (2.°) y (3.°) se estableció,como consecuencia de la continuidad, que S ' „ — s ' „ -* o con 5, siendo S lamáxima amplitud de los subintervalos de la subdivisión A'„ . Pues bien, si hace-mos la hipótesis de que la función f (x) verifica esta condición:

"^v1

lim (S» — i„ i = Hm ̂ > wf á x p - ; o cuando

se siguen verificando todas las restantes conclusiones del apartado (4°) y, portanto, existen los límites de S„ v s„ y són iguales e independientes del modode subdivisión del intervalo (a, A), límite" al que se le llama integral de Riemannde la función considerada.

Como^además, en virtud del criterio general de convergència de Cauchy, esevidentemente necesaria la condición anterior para la igualdad de dichos limi-

— 43 — -

tes, résulta que una condición necesaria y suficiente 'para que uva 'función f (x),acotada en (a, b), sea integrable (Riemamt) es que ¡a suma

»?•vi

2.1 mfA xff ̂ r

tienda a cero para toda sucesión de subdivisiones A,, de fa, b), tal que ei máximosubintervalo de A„ tienda a cero.

Vamos a dar a este criterio de Riemann otras formas en que aparezca más

claramente el papel que juegan los puntos de discontinuidad.Llamamos oscilación de f ' ( x ) en un punto al límite de la oscilación en un in-

tervalo, cuando la amplitud de éste tiende a cero. Si f ( x ) es acotada este límiteexiste, pues la oscilación no aumenta al decrecer el intervalo y es inferiormenteacotada.

Si en un punto la oscilación es mayor que a, en un entorno suyo seráID > a y el correspondiente sumando que figura en II mf A Xp será mayor quea • kx. Lo puntos en que la oscilaciones ^> a quedan incluidos en ciertosintervalos de A„ y si la suma de éstos es > ¿, cualquiera que sea w, la sumade los términos correspondientes será > o» • k, luego f(x) no será integrable,es'decir,-'es condición necesaria para que f ( x ) :sea integrable (R) que los puntosde oscilación ,> «> se puedan incluir en /tu número finito de intervalos de sumao tan pequeña como se quiera y esto cualquiera que sea «> ^> o.

La condición anterior es también suficiente, pues si es • | / (.r) | ;<^ H el con-junto de los puntos en que la oscilación es ~^> <o se puede incluir en un con-junto de intervalos cuya suma de amplitudes sea <C <» (ya que es tan pequeñacomo queramos); la contribución de éstos en S« — s„ es < 2 H <u, y la de losotros pnntos, es decir, la de los que tienen oscilación <^ o> es menor o igualque w(¿ ~'a)} luego

,S„ — Sn < 2 H ( u + m (b — a)

que tiende a cero con u>.Si f (x) es integrable (R), el conjunto E de sus puntos- de discontinuidad es

de medida nula y recíprocamente.

Sea E,y el conjunto de puntos en que la oscilación es o> > — . Resulta E =

= S E„ y como consecuencia inmediata de lo que acabamos de ver cada uno* n ' . , •

de los E„ se puede encerrar,.en un conjunto.de intervalos de suma de löngitu-,des tan pequeña como queramos, luego

m (E„) .= o .y., m (li) = m (S K,,) '=r ï m (K,,) = o

Reciprocamente: si m (E) = o . conio E — S E„ necesariamente m ( E„ ) = o" \

y de aquí resulta fácilmente que cada conjunto E„ es encerrable en un conjuntofinito de intervalos, cuya suma de longitudes es arbitrariamente pequeña •(*), conlo que estamos en el criterio anterior.

Con este criterio o con el anterior resulta evidente que todas Jas funcionesacotadas que pueden integrarse mediante los conceptos de Cauchy y Dirichletson integrables (R).

Parece que si una función tiene como puntos de discontinuidad los' de unconjunto denso, lo son todos los del intervalo; pero no es así. El primer ejem-plo de una función discontinua en un conjunto denso y continua en otro con-junto denso es debido a Riemann (véanse las notas de esta lección). He aquí unejemplo muy sen'cillo de Rsy Pastor.

Y

0

]

ÍZJ

11 ¡i ï» i !! i i

1 1r- -" i

i*

V'1

1 ' *1 ! !i : i*

Fig

1

1

Tí3

!

i ! ïi i ii $. <

lo,

11 ! i: — 1 1 i

£ i X

Dividido el intervalo (o, i) en 2" partes iguales, hacemos

/(Í>±1) = -LJ \ 2" J 2"

2/ +-Iy en los demás punto f(x) = o. Todos los puntos .r= forman un

2"

conjunto denso y son de discontinuidad, pues en cualquier entorno suyo haypuntos en que /"(.*):= o.

Sea ¿\= o, ion . . . . un punto no perteneciente a dicho conjunto. Estácontenido en los segmentos (o; 0,1), (o, oí; 0,1),. . .. tales que f ( x ) -> o en losextremos y f ( x ) = o en los demás puntos, luego es continua en el punto x. Elconjunto de los puntos de discontinuidad de esta función es evidentemente nu-

(*) Véase, p. ej., Kamke: Das Lebtsgueschc Integral, pág. 61.

— 45 —

inerable y, por tanto, de medida nula, luego /'(.r) es integrable (R). También seve ésto teniendo en cuenta que el número de puntos en que la oscilación es]> w es finito.

La integral (R) de esta función es cero, pues el extremo inferior en cualquiersubintervalo es cero.

Ejemplo de función integrable (R), cuyos puntos de discontinuidad formanun conjunto de la potencia del continuo es la función característica del conjuntoternario de Cantor.

Los únicos puntos de discontinuidad son los puntos del conjunto, pues entodo entorno suyo hay puntos del conjunto y no del conjunto (por ser no denso);pero por ser cerrado es continua en los puntos del complementario. Como elconjunto de Cantor vimos que era de medida nula, su función característica eses integrable (R).

Integral indefinida (R),—Sea f ( x ) integrable (R) en (a,, b); se llama integralindefinida (R) a la función F (x) definida en (a, b):

x

V(x)= jf(x)dx

Si f (x) es continua en el punto x„, en dicho punto existe Y' (x„) = f (x0).

,Este es el teorema que suele llamarse fundamental del cálculo integral (*).Kl permite, según es bien sabido, calcular la integral definida de una funcióncontinua, mediante la diferencia <I> (b) — $ (a) de valores de una primitiva cual-quiera. Es decir, transforma el difícil problema del cálculo de la integral definidaen el de la primitiva, que a su vez se reduce a la tabulación de derivadas yexpresar la función dada como combinación de funciones contenidas en latabla.

Pero no olvidemos que en todo lo anterior hemos supuesto la función conti-nua, es decir, nos hemos referido propiamente a la integral de Cauchy. Si pres-cindimos de la continuidad no podemos afirmar que F (x) tiene como derivada' (x), es F (x) igual salvo una constante a

//(.v)rf*

( ) Su demostración se reduce a aplicar el teorema de la media bien conocido

*<, + >>

F (,r0 + //) - F (*0) = J f (x) rf.v = h f (£)

v cuando k -» o ,/(£) -»"/(A-O) , c. q. d.( *> Si hacemos f (x) = o para todo .v 41 ° J" f(°)= '> resulta que F (.v) tiene derivada

(°) = o :J- f (o). La función — (sen log | x \ — cos log | .v | primitiva de cos log ' .x" | carece de

derivada para .v = e.

- 46 -

En efecto, basta tener en cuenta que, por el teorema de la media:

r /+i

I f ( x ) dx — Î I rf(x) dx-='I ix;+, — *,->/&)./ i J ¡

'". "i

y también, por el teorema de los incrementos finitos;

F (x) - - F (a) = I' [F (AV+,) - F (.v,-) j = S Uï+-1 - AV) F' (;,')/ /

Pero puede ocurrir que la derivada /~(;r) de una función V (x) no sea integra-ble (RJ (*), y también que la función Ff*) integral de f (x) no tenga deriva-da (**) o que, teniéndola, no coincida con f (x). Así la integral indefinida de Iafunción de Rey Pastor, antes considerada, tiene una derivada nula en todos lospuntos del intervalo, y, por tanto, no es igual a f (x) en ningún punto

2 / + IJl

2",

Uno dé los mayores méritos de la teoría de Lebesgue es haber relacionadoestrechamente las ideas de integral indefinida y función primitiva, que, comoacabamos de ver, parecen completamente desligadas en cuanto se sale de lasfunciones continuas.

Notas y ejercicios

i.—El ejemplo de Riemann de función integrable discontinua en los puntos de un con-junto denso es el siguiente: designemos con (x) el exceso de .r respecto al entero más

próximo y pongamos I w -}- 1 = o; la función de Riemann es\ 2 /

'<•>•>=|-^En los puntos en que tojas las funciones son continuas la serie, por ser uniformemen-

te convergente, define una función continua.

(*) El primer ejemplo lia sido dado por Volterra; véase Lebesgue: Leçons sur l'integration,página ico.

(**) Vemos así la posibilidad de formar, a partir de una ftiuctón f ( x ) discontinua en unconjunto denso, una función F (x), continua y sin derivada en los puntos de dicho conjunto (véanselas notas al final de la lección).

— 47 —

Se ve fácilmente que los puntos de discontinuidad son los de la forma .r = —^—t—n

(fracción irreducible). Como forman un conjunto numerable y, por tanto, de medida nula ,la función es integrable (R). [Véase Lebesgue, «Leçons sur l'intégration», p. 15].

2,—El ejemplo anterior es un caso particular del llamado principio de condensaciónde Las singularidades, debido a Hankel y Cantor, que permite constrviir .1 partir de unafunción/(:.r) que tiene un punto de discontinuidad en x = o (o un punto en que carecede derivada) otra función con la misma propiedad en todos los puntos de un conjuntodenso G.

Sea f(x) continua en (— oo , + oo ) salvo en .r — o en que suponemos que tieneuna discontinuidad de salto finito h y G el conjunto denso, formado por los puntos>"i , / a , ,/'„.... del intervalo (0,1).

El método consiste en la formación de la función:

<a(x) = S a„f„ (x - r„]

en que los a„ son números positivos, tales que la serie es uniformemente convergente.Prescindiendo del termino-»-simo, la serie

K-l 00X~» XT'2+ii «+.

es una serie uniformemente convergente en el intervalo (o, i) de funciones continuas endicho punto, luego define una función continua en dicho punto.

La serie total

<S "v- V1

Zé = 2j+ a"f"(x ~ r"] + 2¿i i i+1

define, pues, una función que tiene en .r = u,,, la misma ^discontinuidad que f„ (.r)" en-i' = o.

Si varias funciones tienen el mismo punto de discontinuidad, como ocurre en el ejem-plo de Riemann, hay que ver si dichas discontinuidades se compensan.

3-—Otra manera de definir la integral de Riemann es mediante la noción de límite denorma (introducido por Moore-Smith, «A general theory of limits», Am. Journ, of, Math.vo1- 44)- También introduciendo las que se llaman integrales superior e inferior, y di-ciendo que la función es integrable cuando ambas son iguales. El lema de Darboux, pococlaro en los libros clásicos, establece la equivalencia de estas dos definiciones (véaseHildebrandt, «Definitions of Stieltjes Integral of the Riemann type», Am. Math. Monthly,vPl.-45, 1938).

4-—La integral indefinida F (x) de la función de Riemann f(x) tiene como derivada

J (-r)> en los puntos x = --Ì— de discontinuidad de f (.v) carece F (x) de derivada.in

^ste es el primer ejemplo conocido de una función continua que no tiene derivada «en ge-

- 43 -

neral». Evidentemente por este proceso las funciones F (,r) que resultan pueden carecer dederivada, a lo %umo, en un conjunto de medida nula, ya que dicho conjunto ha de ser'parcial del de puntos de discontinuidad de f (x) y.para que ésta sea integrable (R), esteconjuute ha de ser de medida nula.

Weierstrass avanzó más, construyendo el siguiente ejemplo de función .continua quecarece de derivada en todo punto:

«^Ty — / ^ b" eos (ic a" x)

n = \i

(a ¿ > — 3T+ i , o •< ¿ < i , a impar > 11

(Véase, p. e., Hobson).El ejemplo más sencillo conocido de función continua que carece de derivada en todo

punto es el siguiente, dado en 1939 P°r Tambs Lyche (*) («Norske Vid. Selsk», t. 12, pá-gina 45): sea g (.i-) la distancia de .r al entero más próximo, la función es:

/(-v^^TS-^2"*)»~ o

Como las funciones g(2".v) son continuas y además g(2" x)< — , la s e r i e es

uniformemente convergente y define, por tanto, una función continua.Para demostrar la no existencia de derivada de la función conviene darle otra forma.

Tod'o número .i' del intervalo (o, i) puede expresarse así:

,. = ,-<" + ,-*• + +,-'»+...

2siendo a,, números enteros tales que at < «_, <C P. e.: el número - , compren-

dido en los intervalos

(L ,\ / ' _i.\ (!_ J_\\2 ' ¡ ' \2 ' 2 2 / ' \ 2 » ' 2 « / ' "•

es igual a 2~ ' -f- 2~i -f- . . . .El valor de la función en un punto de dicho intervalo es;

/(*)=<*, . 2"0 l+(a2-2) . 2~"' + +( a , , - 2«+2)2~~ a" +....

como puede el lector comprobar fácilmente. Con esta expresión resulta, casi inmediata, la

(*) Está inspirado en uno anterior de Van der Waerden (Math. Zeit., 1930).

— 49 —

no existencia de l ímite finito para el cociente incremental ß^AU cuando .r

»? j H -TTÍ í t * * f * § * s ' x

Fig. 11.

En la ñgura se ha dibujado en trazo lleno la curva

v = g (-v) + -^ (2 *) -t- -^ .5- (4 x) + -g (8 *)

5.—Demostrar que la función

f i \ V ' * ~ ''"/M = ¿, 3V—n=l J

en que r„ son los puntos racionales del intervalo (o, i) es continua en todo el intervalo(o, i) y carece de derivada en los puntos racionales del mismo.

6.—Demostrar que la función

^ = Z—i-"

es continua y carece de derivada en todo punto.;.— Probar que la función /(.r) q u e - definimos a continuación n o e s integrable Di-

richlet, pero si es integrable Riemann: en un punto del intervalo cuya expresión decimal

sea f ini ta x = o,at>' /' y tenga « cifras (siendo /^ o) vale/C.r) = —- , y en los

puntos ,v cuya expresión sea infinita (excluímos entre éstos aquellos cuya expresión de-cimal infinita se reduce a finita, p. e., o, 3999 . ' . . .= O, 4) vale /V) = O. Mas adelanteprobaremos que toda función integrable por el método de Dirichlet es necesariamente in-

tegrable (K).(Continuará.)

f tr .v DB La R. A ^ M ' K M ï * np C i K w r i » ^ — i q j a