388 L A H O U I L L E B L A N C H E N ° SPÉCIAL A - 1961

Conditions de similitude pour l'étude des circuits de refroidissement de l'eau

des centrales thermiques

Similitude conditions in thermal power station cooling water circuit studies

P A R J. F A U B E

LABOHATOIHK N A T I O N A L D ' H YDR A l I L I Q U E DE C H A T O U

Lorsque le refroidissement de Veau des conden­seurs n'est pas assuré par des tours de réfrigé­ration, la construction de nouvelles centrales se traduit dans la majorité des cas par un risque de recirculation que Von essaie de prédé­terminer par des éludes théoriques ou des essais sur modèle. Après un rappel des principales méthodes uti­lisées pour ce genre d'étude, qui peut dans cer­tains cas être assimilée à l'étude d'un courant de densité, on examine plus particulièrement la forme de l'interface eau chaude-eau froide, les conditions d'écoulement vers la prise et à partir du rejet. On insiste particulièrement sur les effets mécaniques du vent qui modifierait la pente de Vinterface. Le bilan thermique (dans le cas de lac principalement) est également sous r influence du vent. Compte tenu de limitations pratiques dans le choix de Véchelle du rayonnement incident, on montre ainsi que} pour un problème donné, les différentes échelles sont toutes définies.

Recirculation risks generally have to be con-sidered when designing new power stations without cooling towers for the condenser water. Theoretical studies or model tests are resorted to in an attempt to prédétermine thèse risks.

The auihor reviews the principal m.ethods ap-piied in investigations of this kind which, in some cases, are comparable to density current studies. The form of the hot/cold water inter­face and the flow conditions towards the intake and from the discharge are then ex aminé d in doser détail. Particular stress is laid upon mechanical wind effects Viable to affect the interface slope. The heai balance (especially in the case of pools) is also affected by wind.

The author thus shoivs ihat, with due allowance for practical limitations affecting the choice of the incident radiation scale, ail the various scales in a given problem are defïned.

N O T A T I O N S

Q Débit en rivière;

q Débit de prise;

T r Température absolue à la prise;

T u Température absolue au rejet;

Ts Température absolue de la surface de l'eau ;

T a Température de l'air au voisinage de la surface;

D/Df Dérivée particulaire;

d/dt Dérivée partielle;

V, v Vitesse de l'eau ;

V a Vitesse de l'air;

Article published by SHF and available at http://www.shf-lhb.org or http://dx.doi.org/10.1051/lhb/1961007

N° SPÉCIAL À - 1961 J. F A U R E 389

p Pression;

o Masse volumique; Ao écart de masse vo-lumique;

H Enthalpie;

Flux de chaleur;

E Energie due à l'évaporation;

\l Coefficient de viscosité dynamique;

X Conductivité ;

<p Fonction de dissipation;

W Puissance;

T Tension;

z, H, h Cote verticale ou hauteur;

x Abscisse;

[ ] Echelle de la quantité entre crochets.

I. — G É N É R A L I T É S

1.1- Problème posé.

La construction de nouvelles centrales ther­miques ou l'extension de centrales existantes près des centres de consommation ou d'appro­visionnement en combustible, en général éloi­gnés des rivières à débit moyen important, con­duit à envisager pour la source froide des solu­tions autres que la réfrigération à eau vive. Dans cette solution, d'ailleurs, certaines confi­gurations de prises et de rejets peuvent con­duire à une recirculation involontaire et on es­time [46] qu'un réchauffement de 1 "C de la température de la prise représente pour une centrale de 200 M W une valeur capitalisée de 225 000 NF (45 000 dollars).

On sait également que le débit de refroidisse­ment d'une centrale de quelques milliers de M W est de l'ordre de 341/s pour 1 000 K W [ 4 6 ] , soit 17 m 3 /s pour 500 MW. Des données E.D.F. (Blenod-les Pont-à-Mousson-Brennilis) indiquent que, pour une unité de 115-125 M W , le débit de réfrigération du condenseur est de 4,5 à 5 m s / s dans les centrales classiques et de 9,25 m 3 /s pour les centrales nucléaires (cas de E.D.F.-2). La puissance évacuée dans les condenseurs est égale à P (ïlv — H c ) avec, en unités convenables, P dé­bit massique de vapeur, Hv et H c respectivement enthalpie de la vapeur et de l'eau arrivant et quittant le condenseur, ce qui conduit aux ré­sultats suivants :

Type de centrale Puissance électrique

M W

Echange aux condenseurs

MW

Débit eau froide

mVs

Echauff entent "C

Classique 115-125 500

155 620

4,5 à 5 18 à 20

7°4 à 8"2 8°2

Nucléaire 115-125 500

300 1 200

8 à 9 32 à 36 8 à 9"

On sait également [16] que les principales sources froides sont les rivières ou les fleuves à marées, les lacs naturels ou artificiels, les ca­naux de recirculation, les tours de réfrigération.

L'augmentation des puissances et l'absence de débit de circulation important nécessitent des études pour déterminer les possibilités maxima­les d'un site donné. L'objet de cette note est de résumer les conditions de similitude à respecter pour l'étude des diverses sources froides (tours de réfrigération exclues).

1.2 - Paramètres principaux de Pétude.

Si l'on considère les différents circuits possi­bles du refroidissement, on peut les schématiser par la figure 1 où l'on indique :

la position de la prise P et du rejet R, et leur distance D;

le débit de prise q, les températures d'entrée T P et de rejet T R ;

H '

. , h

Ts

D

f _ |2 . ,

h

f _ |2

p Tp Tk R

F I G . 1

Circuit de refroidissement.

S

390 L À H O U I L L E B L A N C H E N" SPÉCIAL A - 1961

— la surface de la zone d'échange avec l'atmo­sphère devant ou entre prise et rejet, S;

— le débit d'apport Q.f et le débit de sortie O, dans deux sections de centrale aux tempé­ratures Tit T c ;

— les caractéristiques de l'atmosphère (vitesse du vent, ensoleillement, température, degré d'humidité) ;

— les caractéristiques des parois de S (fuites latérales).

La superposition des deux écoulements — circuit naturel et circuit de refroidissement — avec les conditions aux limites appropriées con­duit à un nouvel écoulement où une nappe d'eau chaude issue de R se propage sur ou dans le circuit naturel et échange quantité de mou­

vement et chaleur avec le circuit naturel et l'atmosphère.

Or, on sait que tout problème de mécanique des fluides est régi par trois équations : — l'équation de continuité, qui établit le bilan

des débits massiques;

— l'équation de Navier-Stokes, qui établit le bi­lan des quantités de mouvement;

— l'équation de l'énergie qui établit le bilan des énergies.

On suppose connues les variations, en fonc­tion de la température et de la pression, des caractéristiques physiques des fluides, enthal­pie, masse volumique, viscosité.

Ces trois bilans se réunissent dans le tableau suivant :

Apports Pertes Bilan

Masse . ) M a s s e incidente Qr * ^ j y j a s s e r ejelée qR. i

Masse évacuée Q s. Masse prise qv. Masse évaporée qe.

Variation de niveau.

i i QdM dans section 1.

Quantité de mouvement.' QdM clans rejet R. / Apport par surface vent.

QdM dans section 2. QdM dans prise P. Frottement sur parois.

! Enthalpie de Q,. ; Enthalpie de qn. 1 Rayonnement incident R^

Energie . . . . . . . . . . . . . J Flux de chaleur air-eau.

j Apport dû à la condensation. 1 \

Enthalpie de Qe. Enthalpie de qP. Rayonnement réfléchi rR.. Rayonnement propre. Flux de chaleur eau-air. Perte due à évaporation. Travail des tenseurs des ten­

sions tangentieîles.

Variation d'enthalpie.

Dans la suite, on examinera les équations gé­nérales et les conditions aux limites de ces trois équations.

1.3- Moyens d'étude actuels et limites.

L'étude des circuits de refroidissement est ba­sée sur les trois équations indiquées, d'où l'on déduit des méthodes, soit théoriques, soit expé­rimentales.

a) Méthodes basées sur le bilan des masses et les conditions cinèmatiques :

Dans ces méthodes, on établit le réseau des lignes de courant résultant de la superposition à un réseau existant d'un système puits (prise) source (rejet); on peut citer :

— une méthode de calcul par analogie électri­

que à deux dimensions [19, 20], qu'une com­paraison avec un modèle hydraulique a per­mis de tester. De nombreux problèmes pra­tiques ont pu être traités de cette façon au Laboratoire National d'Hydraulique [20], en particulier pour les centrales de Saint-Ouen - Saint-Denis - Arrighi;

— une méthode graphique [ 9 ] , où l'auteur dé­termine dans un bassin de réfrigération les lignes de courant entre prise et rejet.

b) Méthodes basées sur le bilan des quantités de mouvement :

Ces méthodes correspondant à la plupart des essais effectués sur modèle où l'on essaie de représenter correctement :

— la condition aux limites hydrauliques;

~— le frottement sur le fond;

— les variations de densité ducs à la présence d'eau chaude. La variation de densité est obtenue en considérant deux fluides, le fluide d'écoulement principal lourd et froid (eau douce ou eau salée) et le fluide d'écoulement de circulation (eau chaude ou eau douce).

En général, si l'on connaît théoriquement l'in­fluence de la tension tangentielle due au vent [13, 27, 28, 31, 33, 34, 53, 54, 58] sur la pente de surface et d'interface des deux courants de densité, cet effet est rarement pris en compte sur les modèles.

On peut citer un grand nombre d'études dans ce domaine, en particulier : Bradley J.N. (1948) pour la centrale d'Àntioch [11], Fry (1953) pour les centrales de la T.V.A. [22], Angelin S. (1957) en Suède [3] . Polo (1958) pour les centrales de la T.V.A. [38], Stankiewiz (1958) [47], Elder (1958) [14,15], BSrr (1959) pour la centrale Kincardine [4] , Hooper au Alden Hydraulic Laboratory [29], Bata (1957) à lowa [6] , L.N.H. [36,37] et [57].

Ces études relatives à des lacs, rivières, riviè­res à marée, mer, sont effectuées en similitude de Froude et négligent les effets du vent et les échan­ges avec l'atmosphère.

c) Méthodes basées sur le bilan de Y énergie : — Méthode théorique.

On distingue deux types de formule suivant

que Ton est en écoulement en rivière ou en canal et dans un lac.

Sur une rivière, le refroidissement peut se cal­culer soit directement, soit à partir d'abaques, comme ceux de Carrier en usage à E.D.F., qui permettent, connaissant la température T 0 d'une rivière qui est chauffée à la température Tu de trouver la température ou point d'abscisse x ca­ractérisé par le rapport de la surface libre de rivière en m 2 au débit en m 3 /h.

Dans un lac, la formule de Throne [52], d'ori­gine américaine, par différence entre les bilans thermiques avec et sans débit q, relie la diffé­rence entre les quantités de chaleur apportées par la centrale et les affluents (H), la suréléva­tion de température de surface du lac (T 8 — T g 0 ) due à la présence de la centrale, la vitesse du vent Vtt et les tensions de vapeur d'eau e, e0 cor­respondant à Ts et T 0. D'autres formules ont également été mises au point[24].

— Modèles.

On peut citer des études fragmentaires : Albertson (1955-1956) [2] se l imi tera l'évapora­tion, Bollo (1960) [10] étudie la conduction de chaleur.

Dans ces méthodes théoriques et sur les mo­dèles, on tient compte de l'effet du vent sur les échanges, mais pas sur les courants de densité.

2. — É Q U A T I O N S G É N É R A L E S

2.1 - Problèmes posés,

La présence dans le site considéré d'eaux à deux températures, eau froide de l'écoulement, eau chaude issue de la centrale, peut, dans cer­taines conditions, ramener le problème de la recirculation à un problème de courant de den­sité. Les problèmes posés concernent :

— la propagation du courant chaud dans l'écou­lement naturel et l'on peut désirer soit un mélange (cas des refroidissements naturels), soit au contraire favoriser l'étalement en sur­face de l'eau chaude (de façon à faciliter par cela même l'évaporation);

— l'écoulement au voisinage de la prise de façon à éviter de prendre de l'eau chaude. Divers types de prise sont possibles : tuyau circu­laire sur le côté et au fond, fente latérale, passage en charge (skimmer wall).

Pour chaque type, l'allure de l'écoulement l'ait l'objet d'études particulières :

— l'écoulement au voisinage du rejet, constitué en général par un jet dont il convient de dé­terminer le mélange avec le fluide ambiant.

2.2. - Equations générales [ I 7, 21, 55].

Les équations générales sont sous formes dif­férentielle et intégrale avec les notations classi­ques :

— l'équation de continuité :

9 + dîv. V = 0

m Q j — Q e + — ? P * = ? E

l'équation de l'impulsion :

N° S P É C I A L À - 1901 J. F A U R E - • 391

392 LA HOUILLE BLANCHE N ° SPÉCIAL A -1961

D V

m

/ v u .

grad. /; — o grad at + F*

(ai : Potentiel;

Ft : Forces de viscosité; F c : Forces extérieures.) S F R

— l'équation de l'énergie ;

DH Dp ? ~D7 = m + 9 + W T + grad. X.grad. T

Df

2

(9 fonction de dissipation)

V„ ds = puissance fournie

— les caractéristiques physiques a, 0, H, X de l'eau sont reliées à la température et à la pression par :

? = ? 0 [1 — a ( T — T „ ) ]

l, = 9o/[l~~bm ( T •— T 0 ) ]

H — Cp T

X indépendant de p et T .

Donc, au total, i l y a trois équations qui relient

les trois inconnues (V, p, T ) .

La solution de ce problème complet (autant d'inconnues que d'équations) dépend des condi­tions aux limites qui sont :

— les vitesses définies dans la section 1 par Q.f,

— les vitesses définies dans la section 2 par Q0;

— les vitesses définies au voisinage de P et R par q;

— les vitesses définies normalement à S par î'évaporation; les pressions définies dans les sections 1 et 2 (répartition hydrostatique) ;

— les pressions définies à la surface S (pression atmosphérique) ;

— les températures : de Qi en 1 T<, du sol Ts, de l'air ambiant T a ;

— les apports d'énergie par le débit q, par la surface S par rayonnement;

— les flux de chaleur définis par X dans l'eau, par perte dans le sol, par transfert à l'air par convection, éva-poration ;

— les tensions sur le fond frottement, à l'interface air-eau frottement de l'air.

2.3 - Conditions de similitude [18, 2 1 ] .

Dans la mesure où l'on ne simplifie pas les équations du problème par des hypothèses sup­plémentaires, deux problèmes seront dynami­quement et theriniquement semblables si l'on a en particulier les mêmes valeurs des nombres sans dimension suivants :

K === L / / V fréquence réduite;

(L : longueur de référence)

§i = V2/gL nombre de Fronde;

Ûl — p 0 VL/^ 0 nombre de Reynolds ;

— u,0C/)0/ft0 nombre de Prandtl.

Dans la suite, on se limitera au mouvement permanent.

Les conditions aux limites sont de deux na­tures :

— la condition d'annulation de la vitesse rela­tive aux interfaces est une condition homo­gène et n'introduit pas de nouvelle condition;

par contre, la température de la surface qui impose le flux de chaleur entre l'eau et l'am­biance (sol, atmosphère) fournit une nouvelle condition qui se traduit par un nouveau nom­bre sans dimension, le nombre de Nusselt 91.

2.4 - Remarques.

1. Les études en analogie électrique [19, 20] supposent l'écoulement plan dimension ne 1 et n'introduisent pas de condition de surface libre. Elles supposent également un mélange complet sur toute la hauteur, ce qui s'est produit dans certaines études.

2. Si la conductivité thermique et les échanges avec l'atmosphère sont faibles, la relation entre o et T ramène l'étude des courants de densité thermique à celle des courants de densité salins. Ce sera en particulier le cas des courants de densité thermiques en rivière, où la majeure partie de l'énergie est évacuée par mélange avec l'eau de la rivière. Près des points singuliers prise et rejet, on pourra également utiliser les résul­tats obtenus pour des courants de densité salins (cf. [12, 18, 23, 26, 31, 32, 43, 55, 56]) .

3. L'équation de l'énergie ne sera utilisée que pour les cas où les échanges thermiques avec l'atmosphère sont importants (cas des lacs).

N° SPÉCIAL A - 1961 J. F A U R E 393

3. — É Q U A T I O N D E S Q U A N T I T É S D E M O U V E M E N T

3.1- Schématisation de l'écoulement en deux couches.

La schématisation de l'écoulement par un écoulement en deux couches est valable clans le cas où les échanges se font principalement

F I G . 2

Cas bidimensionnel.

par mélange, ce qui ramène ce problème posé à un problème de courant de densité salin. On sait [43] que dans ce cas. les équations s'écri­vent (fig. 2) :

df

dv2

di

df

dz,

dx dvt

dx dZn

dx

d.

dx dvx

dx

+ 9 o

3X-

3Z T

+ *2

3£o

9;r = n

, 3z- . SI ; ,

+ <7 [ I - — if

avec

_ 3 r

pente du fond.

A partir de ces relations, qui supposent une stratification horizontale, on peut obtenir [6] ia relation différentielle donnant, dans le cas d'une rivière avec prise et rejet sur le côté (ou le fond), la forme de l'interface eau chaude, eau froide, à l'aval du rejet, avec rejet et prise, et à l'amont de la prise (fig. 2).

Dans le calcul, vérifié par quelques essais, il est nécessaire de faire une hypothèse sur les tirants d'eau froid ou chaud devant le rejet et de connaître le coefficient de frottement à l'in­terface.

11 existe quelques résultats dans ce domaine en régime laminaire [7] et en régime turbulent [35] . L'ensemble des résultats de Bata ne fait interve­nir que le nombre de Froude.

3.2 - Ecoulement vers la prise.

Les résultats obtenus pour des prises avec cou­rants salins peuvent s'appliquer aux courants de densité thermique. Trois types de prise ont fait l'objet d'étude.

a) Prise circulaire sur le côté ou le fond

[12, 23, 26] :

Dans ce cas, on montre que le débit maximal que l'on peut aspirer dans la couche inférieure (eau froide) sans aspirer la couche supérieure (eau chaude) est de la forme :

A t q I L = 0,154 (Craya, Gariel)

g AL Z o = = 2,05 ( z 0 / D ) 2 (Harlenian)

h) Aspiration par une fente [12,23] ;

Craya-Gariel ont établi la relation :

Al g 4 = 0,43 9 T

avec q débit par unité de largeur.

c) Prise par passage en charge [25] (fig. 3) :

Dans ce cas, Harleman a établi la relation en­tre zjb, rapport de la hauteur de la couche d'eau

0 0,20 0 , 5 0 0 , 7 5 1,0 Î . 2 5 1,50 1,75 Zp 2 , 2 5

Fb

F I G . 3

Ecoulement sous une vanne (Harlcman, 1958).

394 LA HOUILLE BLANCHE N ° SPÉCIAL A - 1 9 6 1

froide à la hauteur de passage en charge, et F&

défini par Fb = (V^/Vg (Ao/ç>) b. On remarquera que dans a) A?/& et z impo­

sent le débit limite alors que, dans b) et c) , seul est imposé le débit par unité de largeur.

3.3 - Ecoulement venant d u rejet.

Deux types de rejet sont à considérer :

— Rejet en charge - jet submergé (faciliter le mélange) ;

— Rejet en surface (faciliter févaporation).

a) Rejet submergé [1, 44] :

La plupart des résultats relatifs à la diffusion de jets submergés dans un fluide plus dense sont rassemblés dans la référence [1] qui donne les relations entre les concentrations sur Taxe (re­liées à la variation de densité) et les vitesses, le nombre de Froude, le rapport .r/L caractéristi­ques du problème.

b) Rejet en surface ;

Des études ont été effectuées dans ce domaine par Barr (1959) [ 5 ] . Avec les notations déjà uti­lisées et les notations complémentaires :

(Barr 1959)

F i g . 4 Etalement.

Courant de densité thermique bidimensiormel»

F i g . 5

L / H en fonction de KR A (Keulegan).

ào

9m 9.1. 92

v w = -Y (V3 + V2)

V 0 vitesse initiale de propagation du cou­rant de densité.

V „ / V a = K

R a = H V a h

H 9

,v - V 0 H /Kv n

L longueur au bout de laquelle V 0 est devenu a V 0 .

Barr a étudié les phénomènes suivants :

— Cas d'un écoulement supérieur et d'un écou? lement inférieur (overflow et underflow) 6i-dimensionnel (cf. fig. 4).

Les essais de Barr pour des courants de den­sité thermique ont confirmé en les complétant les essais de Keulegan pour les courants de den­sité salins et il a établi les relations suivantes entre K, KR & , L/H.

K = a log KR A + 5 (fig. 4)

— pour l'écoulement inférieur :

« = 0,027 6 = 0,431;

— pour l'écoulement supérieur :

a = 0,027 b = 0,488.

] o g L / H = c l o g K R A + d

(fig. 5 d'après Keulegan)

avec c = 0,60 d'après la ligne théorique,

c = 0,48 d'après la ligne expérimentale,

d variant avec a.

N° SPÉCIAL A-1961 J. F A U R E 395

Cas d'un écoulement forcé bidimensionnel :

Les résultats obtenus par Barr dans ie cas où les échelles ont varie sont traduits également par la figure 4, et les distances L atteintes par le front de Tonde sont semblables en prenant une échelle des vitesses égale à la racine carrée de Féchelle des hauteurs.

Modèle tridimensionnel :

Dans ce cas, l'étalement de la nappe est sem­blable avec des échelles et des distorsions diffé­rentes, mais la similitude est moins bonne pour les distances atteintes.

3.4 - Définition de la tension d'interface.

a) Ecoulement laminaire :

Bata [7] a donné des résultats déduits du cal­cul de la couche limite laminaire;

b) Ecoulement turbulent [35, 32] :

Dans ce cas, on sait que, en écoulement turbu­lent, il y a mélange à l'interface lorsque la vi­tesse de la couche considérée est supérieure à V 0

dé H nie par :

V„ = - y kg A . / V ; ^

avec 6 fonction du nombre de Reynolds :

0\ = V 0 H / v

et pour (R, > 450, 1/G est de l'ordre de 7.

Lorsque V > V c tout se passe comme si l'in­terface était le siège d'un débit d'une couche à l'autre, la vitesse à l'interface étant :

Vm = K (V-— 1,15 Ve) (K - 3 .10 -4 )

On peut calculer le coefficient Cf de la relation T = C ; oc V

2 / 2 qui est égal à 2 Vm/V, soit : v

l > 1 0 y

et par suite :

T = 3 .10-^Xç e

soit :

1 — 1,15 V ] \ ' 2

(P. = D

V cm/s T dynes/cm 2 Newton/m 2 Newton (*)

5 3.10-3

2,2.10~2

3

3.10-*

2,2.10-3

3.10-1

1500

11000

1 500 000

10

3.10-3

2,2.10~2

3

3.10-*

2,2.10-3

3.10-1

1500

11000

1 500 000 100

3.10-3

2,2.10~2

3

3.10-*

2,2.10-3

3.10-1

1500

11000

1 500 000

3.10-3

2,2.10~2

3

3.10-*

2,2.10-3

3.10-1

1500

11000

1 500 000

{ * ) Force sur une surface de 5 km 2 .

3.5 - Conditions de similitude.

(Le signe [ ] signifie échelle de la quantité en­tre crochets.)

On a :

[ K ] = [ V ] [ H ] -

Echelle des temps = [ L ] [ V ] - 1

[ R a J = [ H ] [ V ] [ v j - 1

On constate que :

— la propagation du courant de densité obéit à la similitude de Froude;

— l'écoulement au voisinage de la prise, régi uniquement par les effets de gravité, est donc justiciable pleinement de la similitude de Froude;

— la propagation devant le rejet est faiblement, sous la dépendance du nombre de Reynolds; on peut ainsi établir des lois de correspon­dances entre un modèle et un prototype en similitude de Froude.

La relation écrite en 34 :

ïog L / H — c log KR + d = c log V 0 H / v H t + d

donne avec les relations précédentes pour les échelles et en adoptant une échelle des vitesses égale à la racine carrée de l'échelle des hauteurs:

[ V ] = [ H ] V 2 ;

log [ L ] / [ H ] = c l o g [ [ H P / * [ v ] - i ]

[ L ] = [ H p / 2 * + i [ v j - *

L'autre relation de 33 :

K

donne :

3 l = ^ ± _ = f / J * l Va V f f H V A o / ç

1 V g

9/VAo/p = a log V 0 H / v m + d

(gi nombre de Froude initial)

ce qui fournit :

^.modèle — 9»rfel = &

(similitude Froude = [ H ] 3 / * [ v ] - 1 )

& |1 / (V 'A? Z?),,,,,,...,,, - - 1 / (VA?/p) , , , , , |

= « I o e r f H P / 2 i y i - n

390 L A H O U I L L E B L A N C H E N ° SPÉCIAL A -1961

soit :

= (a/c) log [ [ L ] / [ H ] 1

3.6 - Remarques.

Les résultats précédents sont valables tant que les hypothèses de base sont vérifiées; or les courants de densité thermique diffèrent des au­tres courants de densité salins :

— Le gradient vertical de densité ne présente pas de discontinuité à l'interface eau chaude-eau froide, par suite des échanges de chaleur par convection et rayonnement;

— L'interface eau chaude-atmosphère est le siège d'échanges importants d'énergie qui se traduisent par des diminutions de tempéra­tures de surface à partir du rejet. On sait même que ces échanges peuvent être assez importants pour permettre dans certains cas de négliger la propagation du courant de densité.

4. — EFFETS M É C A N I Q U E S DUS A U V E N T

De l'énergie peut être transférée de l'atmo­sphère à la masse liquide (lac-mer-rivière) par la tension que le vent exerce à la surface du liquide. Ce transfert conduit au développement de vagues (domaine de l'océanographie), à la création de courants et à une modification de la pente de surface du liquide. Lorsqu'il existe deux nappes liquides de densités différentes su­perposées, la tension de surface est transmise en partie à l'interface. 11 en résulte une modifi­cation de la pente de l'interface qui, comme nous le verrons, peut conduire à des effets très importants. Le but de ce chapitre est de rappe­ler les caractéristiques des profils du vent, des courants induits et des variations de niveau ob­tenus. On en déduira les conditions de similitude à respecter pour représenter correctement sur modèle ces effets.

4.1 - Profils du vent et tension tangentielle [8, 40] .

On définit la tension tangentielle t par les deux relations :

T = CD oa V2 (C D = y 2 notation de Taylor.)

Les mesures de T réelles conduisent en condi­tions stables à :

1.10-3 pour V(10) < 6 m/s (lisse)

y 2 ~ 3.10-* pour V (10) > 15 m/s

Les déterminations de T sont faites (cf. fig. 6) :

— à partir du profil du vent;

-— à partir de l'écart avec le vent géostrophique;

— à partir de l'exhaussement du niveau de l'eau.

Avec :

oa = 1,293.10~™ 3 C B = 2 . 1 0 - 3

on en déduit :

t dynes/ cm 2 = 2,6.10™ 6 V a

2

ou :

V„ cm/s x dynes/cm 2 Newton /m 2 F o r ^ T

e s*f r S

en Newtons

100 2 , 6 . 1 0 - 2 2 , 6 . 1 0 - » 13 000

500. 6 ,5 .10 -1 6 , 5 . 1 0 - 2 325 000

1 000 2,6 0,26 1 300 000

C 0 x 1 0 3

• Profil de vent •

Exhaussement < 22

L A Vent géostrophique x o

Profil de vent •

Exhaussement < 22

L A Vent géostrophique x

• • A

o •

0 °

0 o

O 0 A O °

o

^ o O o

X x m

y

X

O 5 10 15 20 2 5 m /S

F I G . 6

Coefficient de frottement du vent (Sverdrup).

N" SPÉCIAL A -1961 J. F A U R E 397

F I G . 7

Formes de la surface.

Diverses relations donnant T ont été proposées (Sverdrup 1945 [49]) :

T = 0,9.10-» 9mV10*

(surface lisse v10 = vitesse à 10 m)

et : T - 2 , 9 . 1 0 - 3 ? m y I O 2

(vitesse plus forte)

4.2 - Cas d'une seule couche.

a) Relation entre tension du fond et en surface :

Dans le cas tridimensionnel, les équations du mouvement qui expriment que l'accélération est égale à la somme des forces agissantes, pression (a volume spécifique, p pression), gravité {g ac­célération de la pesanteur), et frottement sont données par Sverdrup [49].

En supposant le lac dans la direction ,r, un régime permanent, l'eau homogène de façon que l'inclinaison des surfaces isobares soit indépen­dante de la profondeur, on obtient :

*S — T , = — goih

(h profondeur, s surface, / fond)

qui montre que la somme des efforts exercés sur les faces supérieures et inférieures de la couche d'eau est équilibrée par la composante de la pe­santeur agissant sur toute la masse de l'eau.

b) Forme de la surface :

précédentes permetten 1 Les considérations d'écrire dans le 1950 [34]) fond horizontal, en régime perma­nent ;

cas bidimensionnel (Langhar

— 9* dx

soit :

= (2 x./g) x + Ct

équation d'une parabole, ce qui permet d'envisa­ger les trois cas de la figure 7 pour Cj 0, le lac peut s'assécher.

Dans une rivière, les mêmes relations sont va­lables, mais il convient de tenir compte de la vitesse de feau et du sens du courant. Le tableau suivant fournit quelques valeurs numériques [28] :

Profondeur d'eau initiale

zo = 1 m

Vitesse moyenne * • 0,5 1,0 2,0 0,5 1,0 2,0 Pente de surface du fond %c 0,204 0,817 3,27 0,024 0,096 0,362 Abaissement de niveau, vent soufflant dans direc­

tion de la vitesse : — Mouvement laminaire 0,11 0,030 0,008 0,86 0,25 0,065 — Mouvement turbulent 0,10 0,026 0,007 0,74 0,21 0,056

Surélévation de niveau, vent soufflant dans direc­tion opposée à la vitesse :

— Mouvement laminaire 0,14 0,032 0,008 1,30 0,27 0,066 — Mouvement turbulent 0,12 0,028 0,007 1,05 0,23 0,056

398 LA HOUILLE BLANCHE N° SPÉCIAL A - 1961

4.3 - Cas d'un écoulement stratifié.

Avec les notations :

F , = V i / V ^ T F 2 = V 1 / V ( A P / P ) fil

Ri = ? ViZi/m

On obtient pour les pentes de surface [dzt/dx] et d'interface [dz2/dx] (Daubert 1961 •— commu­nication verbale) et la tension de surface :

dx « F x

2 2R X

iti 1̂1 -

PU

d h , = 3

F 2 2 R 2 r2 + (z i /* 2 )1 + R 3

rfa; R x Ri + R 2

= _ dz% 1 R 2 \ 2 + (z1/z2)] + R 2 Ao/p 2 Rt + R 2 dx

y , 2

Ri

4 R , + 3 R 2

R^ -f- Ro

si Rj est faible par rapport à R 2 ? on obtient :

si z x est faible par rapport à

V 2 tfz2 ' — 3 (Ap/p)

On constate donc que :

1_

Ri

on obtient :

(Ap/ç>) j7Zx

même si la pente de surface dzx/dx est fai­ble, la pente d'interface dz2/dz peut être im­portante, car elle est amplifiée par o/Ap;

à l'interface air-eau, on aura :

= ' T a = • Cl> Pa " a 2

= [ t , 1 [ A o ] - i [ H ] - i = [ H ] [L]->-

K ] = K ] = [ V „ ] 2

et par suite :

[ V J = [ H ] [ L ] - V 2 [Ap ] -V2

Le calcul à deux ou trois couches en régime laminaire est donné dans les références [27] et [28].

5. — B I L A N T H E R M I Q U E

5.1 - Bilan général.

Le bilan thermique du lac s'écrit de la façon symbolique suivante :

Apports - Pertes = Accumulation d'énergie

a) Apports :

Les apports se font principalement par :

— le rayonnement solaire R f ;

— l'énergie thermique apportée par les affluents Q , T -

—- l'énergie thermique rejetée par la centrale q, T B .

b) Pertes :

Les pertes sont principalement dues :

— à la réflection du rayonnement solaire rS*;

— au rayonnement de la surface vers le ciel R x ;

— aux pertes par les affluents Q, T e ;

— aux pertes par la prise q, T P ;

— aux pertes par les parois et le fond Kf, S;

— aux pertes par évaporation E, S;

— aux pertes par transfert turbulent à l'atmo­sphère K„, S.

c) Accumulation :

On écrira AQ = accumulation.

Soit au total :

— Apports = R,. S + Q ( T c — T ( / ) + q (* K — f P ) ;

— Pertes = rR,S + RiS - f K/S + E. S. + K f lS;

— Accumulation AQ.

5.2 - Rayonnement [41, 42, 48] .

On peut distinguer : le rayonnement incident issu du soleil et le rayonnement propre vers l'air de la surface de l'eau.

a) Rayonnement incident :

L'apport du rayonnement incident solaire com­porte :

— des radiations à courte longueur d'onde émi­ses par le soleil;

— des radiations à courte longueur d'onde diffu­sées par le ciel et les nuages ;

— des radiations à grande longueur d'onde is­sues de l'atmosphère.

On estime que la constante solaire est de l'or­dre de : Q 0 = 1,94 langley/mn = 0,135 W / c m 2

N ° SPÉCIAL A - 1961 J. F À U R E 399

(Rouïleau) et dans des calculs d'avant-projet, on peut prendre :

i\t à courte longueur d'onde = 30 cal/cm 2/h

R, à grande longueur d'onde — 25 cal/cm 2/h soit au total :

En introduisant la notion de longueur de me-

R. = 55 cal/cm 2/h 1 320 cal/cm 2/jour

= 6,4.10- 2 W / c m 2 .

Une partie du rayonnement incident est réflé­chie soit par la surface de l'eau, soit par la sur­face du fond. Le pourcentage de réflection est fai­ble, sauf lorsque le soleil est très élevé, et on peut le calculer par la formule de Fresnel et Sverdrup (1945) et prendre en moyenne r=0,05.

b) Rayonnement propre de la surface :

Le rayonnement propre de la surface est donné par la loi de Stéphan [ R s = s T / l ou par la loi plus complexe donnée par Penman :

R s = ff T / [0,56 - - 0,09 y/Td] [0,10 + 0,90 n/M]

où e(l humidité moyenne, est en mm de mer­cure,

n/N représente rensoleillement relatif.

On peut prendre en moyenne ;

R s = 35 cal/cm 2 /h = 4,1. 10~2 W / c m 2

c) Conditions de similitude :

Le rayonnement solaire ou le rayonnement de la surface de l'eau sont proportionnels à la sur­face considérée et dépendent de l'humidité et de la température de l'air et de la température de la surface de l'eau.

lange / telle que

s (x — l)=s (x) — I d$

dz

c'est-à-dire

soit :

on obtient ;

s = ,ç0 - f s',

S' : ds

dz '

ds F s = (ow) s' = — (ïw) l = — wl. dz dz

o.iul^- = ? K . -1^- [ ( K ) = L 2 T ~ 1 1 oz dz

Par suite, en régime turbulent, K caractérise le transfert vertical de toute propriété et la for­mule précédente peut s'appliquer au transfert de tension, de chaleur, de vapeur d'eau; on peut donc écrire :

E dq

dv

dz

9T 'iC C A dz"

E évapora lion q humidité spécifique

T tension tangentielle

Ti vitesse

3C chaleur sensible cv chaleur spécifique

à pression constante F gradient adiabatique

sec T température

5.3 - Transfert turbulent à Pair par convection, conduction, évaporation.

a) Caractères généraux de ces transferts [40, 45," 51] :

Si Ton considère le transport vertical en ré­gime turbulent d'une propriété dont la mesure par unité de masse d'air est s (densité de l'élé­ment, vitesse verticale w), le taux de transfert à travers un élément de surface similaire est oins, dont la moyenne dans un intervalle de temps est çws, soit encore :

gws = çw0s0 + (gwY s'

flux permanent + flux turbulent

on peut écrire :

F, = (çwY s' = (çw) s' = (çwYs

En principe, on a donc :

K M = Kx = K E

Mais pour le flux de chaleur sensible, K u = K M

uniquement dans des conditions atmosphériques stables; dans d'autres conditions, inversion, etc., Kx P e u t - être supérieur ou inférieur à K,, c des conditions neutres.

Des mesures de Svvinbank [50] ont montré la relation entre Kx et K M en fonction du nombre de Richardson qui caractérise la stratification thermique. Des mesures faites [40], on peut déduire une très bonne vérification de la rela­tion théorique K M = K E , ce qui permet d'envi­sager des profils d'humidité et de vent sem­blables :

I l = *?2 — <h

f v 2 — v ,

400 LA HOUILLE BLANCHE N° SPECIAL À - 1961

b) Transfert de chaleur sensible [40, 48, 49] :

On obtient, en remplaçant les gradients de température par des écarts de température :

X = cp9k0ya VaTa (T§ — Ta) ;

Certaines formules proposent :

9t = h' (T t t — TJ

avec :

ou :

h' = 0,48 + 0,27 V

(V vitesse du vent) en cal/cm 2 /h/°C,

A ' = 2,77.10-4 ( 0 ) 48 + 0,272 Y ) .

Le flux de chaleur à travers une surface S a donc les dimensions suivantes :

[3C] = L~* [ T s — T a ] [V f l ]

c) Evaporation [2,30] :

On a défini l'évaporation par la relation :

avec : K M — K E .

Des considérations théoriques et de laboratoire dans la couche limite permettent d'écrire à la hauteur a (comme en h) :

K E = K 0 y(l va a

en écrivant que le flux est constant, on peut in­troduire un coefficient d'évaporation Ta tel que :

r r t = — 1 dq

<ïs—qa rfloga

ce qui donne :

E = 0a K 0 Y« Va • Ta (?« — 9«)

Diverses autres formules sont proposées dans les références [39, 40, 5 ] .

Dans le cas d'une surface saturée avec V = 0, Q = 7S» on peut définir un coefficient d'évapo­ration :

C E = E/o (qs — q) V (ci, CX) = T / O V 2 )

et Ton aura C E = C D si K E = = K M et si les méca­nismes du transfert sont identiques.

Jacobs [40] a trouvé sur l'océan C E = 0,0022 et Ton a vu que C D est de l'ordre de quelques ! 0 - 3 .

La perte d'énergie par evaporation L.E. (L : chaleur latente de vaporisation) est :

Q E = L . E . = L oa K 0 v B va. Ta (qH

Similitude

Sur une surface S, on aura donc une perte d'énergie E.S. et Ton pourra écrire :

[E] [S] = [ V J [q8 — qa]

Remarque :

On sait que la température humide (T ' ) dé­duite du psychromètre est reliée à la tempéra­ture du thermomètre normal T, à la chaleur la­tente de vaporisation à la température T ' et au taux d'humidité (nombre de grammes d'eau dans un gramme d'air), r' saturant à la température T' et r() réel à T,„ par la relation :

T' - T 0 -L'

qui fournit en première approximation :

ro = if— %- ( T 0 — T ) Ij

T y — T' donné par psychromètre;

L 7, C p données;

déduit de T'.

6. C O N D I T I O N S GÉNÉRALES DE S I M I L I T U D E

6.1 - Résumé des conditions établies.

Les divers phénomènes déjà envisagés impo­sent :

a) Courants de densité :

[ V c ] = [H]V2

(condition de Fronde)

[ L ] = [ H ] 3 / 2 * + l [ V ] - o

<L\ loa I M . _ c J * [H]

ou :

[ L ] [H]

— 1 aty

N ° SPÉCIAL A -1961 J. F A U RE 401

b) Effets mécaniques du vent :

^ a] = [H] [ L ] - V 2 . T]' / 2

c) Bilan thermique :

[ R i ] [ L ] 2 == [ Q . A T ] = [ L ] [ H ] 3 / 2 [ A f ] ~ i

(apport centrale) = [ ? ( T 0 — T „ ) ] = [ L ] [ H ] » / * [AO]

(apport affluent) = [ V J . [ L P [q8-qa]

(evaporation)

= [ V J [ L ] 2 [ T s — T J

(conduction)

= [ L ] 2 [ T J (rayonnement surface)

[ R ] [ L ] 2 = / ( L f H ) . S

(perte par sol) T8 est l'inconnue.

On voit ainsi qu'entre les 12 échelles :

— des longueurs [ L ] ;

— des hauteurs [H] ;

— des viscosités [ v m ] ;

— des différences de densité [ A p / p ] ;

— des vitesses du vent [ V t t ] ;

— du rayonnement incident [R { ] ;

— des gradients d'humidité [qH — qa];

— des gradients de température [ T s — T J ,

—- des températures de surface de l'eau [TJ ;

— de réchauffement de l'eau [AÔ] ;

— de réchauffement de l'eau de la centrale [ A l ] ;

— des pertes [/ (L, H) D] ;

on a 9 relations, plus la relation d'état :

p = p 0 [ l _ a ( T — T < ) ]

qui fournit :

A o J = [ A T ]

seront fixées; or il est une échelle que l'on peut faire varier peu, l'échelle [TJ ; entre la nature et le modèle, T8 peut varier au plus de 30 à 40°, soit au maximum [TJ = 1,2, qui conduit à [ R . ] = 2 . En prenant R, comme échelle de base, on en déduit :

[ v ] 1 K A T

et la relation

[ v „ ] = 1 K A T

1 + K A T 1 + K A T [AT]

6.2 - Choix des échelles.

a) Cas du lac :

Une échelle étant adoptée, toutes les échelles

1 + K A T 1 + K A T

]Og-J [ H ] C - - 2 ) / 2 [ „ ] - « } .

= ! [ R / 3 - 1 / 2 [ H ] < i + - 3 c ) / 4 [ v ] " / 2 — 1

[ R ; ] [ H ] ^ - 1 ) / 2 [ v ] ~ «

/ F _c_ V A P ' / ? " a

[ L ] = [ H ] ( 3 / 2 ) c + l [ v ] - o

[ V . ] = [ R ( ] V 2 [ H ] i / *

[ ? , — <],,] = ' T , - - T „ ] = [ R , ] V a [ H ] - ' / 4

[ A l ] = [ A T ] = [ R , ] [ v ] - r

[TJ = [R , ]V - i

[a 0,027] c compris entre 0,48 et 0,60.

[ F / \ / A ç ' / p voisin de 0,5].

Les trois premières relations avec les condi­tions du problème particulier ( K , A T , F V A o / p )

permettent de calculer [ L ] , [ H ] , [ v ] , d'où l'on déduit les échelles dérivées :

— Vitesse du vent [ V J ;

— Ecart de température et d'humidité

! > / « - ' / J , [ T , — T J ;

— Densité et différence de température

[ A o / p ] [AO] [ L T ] . .

])) Cas d'une rivière :

Dans ce cas, on néglige les échanges thermi­ques autres que les mélanges (convection - rayon­nement - evaporation) ; il reste :

— 2 relations des courants de densité entre [ L ] , [ H ] , [ A p / o ] , [ V ] ;

— 1 relation entre [ V J , [ H ] , [ A p / p ] ;

— î relation de mélange

7 ( T „ — T P ) = Q ( T , — T 8 ) ;

— 1 relation d'état entre [ A p ] et [ A T ] ;

— 1 relation entre [ v m ] et [ A T ] ;

soit 6 relations entre 7 quantités; une échelle reste arbitraire.

402 L A H O U I L L E B L A N C H E N" SPÉCIAL A -1901

6.3 - Résolutions des problèmes pratiques.

a) Cas envisagés :

On envisage cinq cas de source froide :

— Rivière à fort débit par rapport à q;

Rivière à faible débit par rapport à q;

— Rivière à fort débit alternatif par rapport A q;

La source froide est caractérisée par :

Lac de grande superficie (mer);

— Lac de faible superficie.

b) Valeurs des différents facteurs ;

•— Cas I, usine de 500 M W électrique classique [çAO/w 6 2 0 M W ] ;

— Cas II, usine de 500 M W électrique nucléaire [ q * e ~ 1 200 M W ] .

I rivière RIVIÈRE à marée Lac Mer

S 5.104 m2 (5.108em) 5.10r> m2 (5.109 cm) 5.10° m2 (5.10io cm) 5.10 6m 2

5.101° cm

Q 2 0 ni-'Vs à 100 mVs DE 0 ii =T= 5 0 0 0 0 nvVs 1 1113/S

On en déduit les valeurs des différents termesdu bilan.

Centrale de 5 0 0 M W électrique classique.

Rivière Rivière à marée Lac Mer

q xn3/s Q mVs S m 2

20 20 à 100

5.104

20 0 à =± 50 000

5.105

20 1

5.10«

20

5.106

gAO . . . . . . M W SR. : M W SRS . . . . . . M W E II

620 32 20 15 1,5

620 320 205 150 15

620 3 200 2 050 1 500

150

620 3 200 2 050 1 500

150

Nature du transfert 90 % par mélange 60 % par mélange

55 % par rayonnement 40 % par évaporation idem

Centrale de 500 M W nucléaire.

Rivière Rivière à marée Lac Mer

q . . m3/s Q ms/s S m 2

32 20 à 100

5..104

32 0 à ± 50 000

5.105

32 1

5.10*

32

5.10c

</AÔ M W SR. M W SRS M W E H

1200 32 20 20

2

1 200 320 2 0 5

200 20

1 200 3 200 2 050

200

1 200 3 200 2 050 2 000

200

Nature du transfert 95 % par mélange 75 % par mélange 45 % par rayonnement

50 % par évaporation idem

N° SPÉCIAL Â - 1061 J. F A U R . E 403

c) Méthodes de calcul :

— Cas de rivière à débit faible et fort.

Dans ce cas, suivant les valeurs relatives des débits de prise et de circulation en rivière, on peut utiliser l'une quelconque des méthodes en­visagées :

— Méthode d'analogie électrique,

— Modèle de courants de densité (avec ou sans effet mécanique du vent),

— Modèle complet avec effets thermiques du vent et échanges thermiques.

— Cas de rivière à marée.

Comme dans le cas précédent, mais par suite

de la présence éventuelle de trois couches de densités différentes (existence d'un coin salé), on peut :

— soit effectuer un calcul;

— soit réaliser un modèle de courants de den­sité avec ou sans effet mécanique du vent;

— soit réaliser un modèle avec échange ther­mique (effets thermiques du vent).

•— Lac.

On doit essentiellement réaliser un modèle thermique dont l'étalonnage doit reproduire avant établissement de la centrale les conditions naturelles, d'où la nécessité de définir les condi­tions naturelles, leurs variations ou leurs moyen­nes [ T A , ya, Q J .

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D I S C U S S I O N

Président : M . D E J O I :

M. le Président remercie M. F A U R E et, ouvrant la dis­cussion, demande à M. F A U R E s'il a réellement étudié ces phénomènes au point de vue du lac.

M. F A U R E indique qu'une étude sur modèle a été effec­tuée dans le cas d'un lac de 5 km 2 et que les méthodes exposées conduisent à des échelles comprises entre le 1720e et le 1/60* en hauteur et le 1/300° et le 1/1 000e en plan. I l n'y a pas encore de confrontation des résultats expérimentaux et des résultats nature» les ouvrages n'étant pas encore réalisés.

M. F A U R E indique que dans ce genre d'étude (pour un

lac) un point important consiste à réaliser l'étalonnage du modèle, c'est-à-dire à reproduire sur modèle l'équi­libre thermique existant avant implantation de la centrale.

M. le Président pense que le manque de réalisation pratique vient du fait qu'il y a très peu de centrales implantées sur les lacs, en France. A sa connaissance, la première centrale importante que l'on envisage avec l'eau d'un lac est la centrale nucléaire des Monts d'Arrée.

C'est un problème intéressant qui se posera sûrement souvent dans les années à venir, même pour les lacs artificiels créés par les barrages.