Computaciones con Formas Modulares y L-funcionesncr006/talks/buenos_aires.pdf · Nathan Ryan Computaciones con Formas Modulares y L-funciones >Qu e hago en mi Investigaci on? >Qu

¿Que hago en mi Investigacion?¿Que es una Forma Modular?

Variantes de Formas ModularesL-funcionesResultados

Computaciones con Formas Modulares yL-funciones

Nathan Ryan

Departmento de MatematicasUniversidad BucknellComision de Fulbright

13 Octubre, 2009

Nathan Ryan Computaciones con Formas Modulares y L-funciones



Busco relaciones entre dos objetos sumamente importantes enla teorıa de numeros: formas modulares y L-funciones

Encuentros algoritmos para computar formas modulares y deahı puedo computar las L-funciones que me interesan

Hago experimentos y describo conjeturas sobre formasmodulares, L-series y las relaciones entre ellos




Tres interpretaciones

“Una forma modular es una funcion compleja-analıtica”

“Una forma modular es una funcion sobre un lattice”

“Una forma modular es una regla sobre un espacio demodulos”




Una definicion sin intuicion

Definition

Una forma modular de peso k es un funcion f holomorfica,definida sobre el medio-plano superior de C que satiface los doscondiciones:

1 la funcion f tiene la simetrıa

f

(az + b

cz + d

)= (cz + d)k f (z).

para todos los elementos(

a bc d

)∈ SL2(Z).

2 la funcion f (z) es acotada con z → i∞.




Lattices

Definition (Lattices in C)

Un lattice Λ ⊂ C en un grupo libre y abeliano generado por dosnumeros complejos ω1 y ω2 tal que ω1 y ω2 son linealmenteindependientes sobre R.




Funciones sobre Lattices

Definition (Funcion Homogenua)

Una funcion F sobre un lattice Λ es homogenua de grado −k si

F (αΛ) = α−kF (Λ)

para cualquiera matriz compleja α.




Renormalizing

Si Λ = [ω1, ω2] investigamos el lattice ω−12 Λ renormalizado

con base [z , 1] para z = ω1/ω2.

Si F es una funcion homogenus sobre Λ podemos recuperarinformacion sobre Λ usando informacion de ω−1

2 Λ porque

F (ω−12 Λ) = ωk

2 F (Λ).

Una funcion homogenua no depende del base porque unlattice es invariante bajo GL2(Z)




Change of Basis and Renormalization

Sea z = ω1/ω2 y definimos f (z) = F (Z · z + Z · 1) para unafuncion F homogenua.

Para(

a bc d

)∈ GL2(Z),(

a bc d

)( z

1 ) =(

az+bcz+d

)y entonces

f (z) = F (Z · z + Z · 1) = F (Z · (az + b) + Z · (cz + d)) =

(cz +d)−kF

(Z · az + b

cz + d+ Z · 1

)= (cz +d)−k f

(az + b

cz + d

)




Grupo Lineal Especial

Suponemos que queremos una funcion definida sobre

h = {z ∈ C : Im(z) > 0} .

GL2(Z)no actua sobre h pero

SL2(Z) = {γ ∈ GL2(Z) : det γ = 1}

sı.




Un Ejemplo

Sea

Gk(Λ) =∑γ∈Λ′

1

γk

donde Λ′ = Λ− {0}.Gk es homogenua porque

G (αΛ) =∑γ∈Λ′

1

(αγ)k

= α−kG (Λ).

La funcion Gk(z) := Gk([z , 1]) es una forma modular de pesok cuando k > 2 y par; en particular, hemos mostrado queobedece la ecuacion funcional.




Expansiones-q

Formas modulares son periodicas: f (z) = f (z + 1).

Entonces tienen una expansion Fourier:

f (z) =∞∑−∞

anqn q = exp(2πiz).

Esto se llama la expansion-q de la forma modular.

El conducto acotado de f en la defincion nos dice an = 0 forn < 0.

Ademas, si a0 = 0, llamamos f una forma cuspidal (oparabolica).




Ejemplo continuado

Para k > 2 par,

Gk(z) = 2ζ(k) + 2(2πi)k

(k − 1)!

∞∑n=1

σk−1(n)qn

donde

ζ(k) es la funcion zeta de Riemann evaluata en kσk−1(n) =

∑d|n dk−1




Otro Ejemplo

∞∑n=1

τ(n)qn := ∆(z)

= q∞∏

n=1

(1− qn)24

= q − 24q2 + 252q3 − 1472q4 + 4830q5 − 6048q6 + . . .

Esta funcion es una forma cuspidal de peso 12.

Los coeficientes τ(n) son multiplicativos:

τ(ab) = τ(a)τ(b) cuando gcd(a, b) = 1τ(pn) = τ(p)τ(pn−1)− p11τ(pn−2)




¿Por que estudiamos formas modulares?

Formas modulares son de la teorıa de numeros, no del analisiscomplejo

Se han usado formas modulares en los siguientes problemas:

el ultimo teorema de Fermatel teorema 290el problem de numeros congruentes




Computando Bases de Formas Modulares (Elıpticas)

Resumiendo la literatura, tenemos este teorema:

Theorem

El espacio de formas modulares de peso k invariable bajo la accionde Γ(N) (un subgrupo explıcito de SL2(Z )) es computable; esdecir, hay un algoritmo que toma como input k,N,B produce unbase de q-expansiones para Mk(Γ(N)) a precisiEon O(qB).

Sigue de un “milagro” topologico llamado Eichler-Shimura.

Debido en su mayor parte a Y. Manin.

Algortimo implementado en Sage




Cambiando el grupo de SL2(Z) a otro grupo algebraico linealproduce otros tipos de formas modulares (cuando tambien secambia el dominio de la funcion, la ecuacion funcional y lascondiciones de crecimiento).

Formas Modulares de Hilbert: cambiar el grupo a SL2(K )donde K extension cuadratica y real de Q.

Formas Modulares de Bianchi: cambiar el grupo a SL2(K )donde K extension cuadratica e imaginaria de Q Q.

Formas Modulares de Rango Alto: cambiar el grupo aSLn(Z) para n > 2.

Formas Modulares de Siegel: cambiar el grupo al gruposimpletico: Sp2n(Z) (Observacion: Sp2 = SL2).




Computando Formas Modulares de Siegel

Resumiendo la literatura, tenemos:

Theorem

El espacio de formas modulares de peso k invariable bajo Sp4(Z)es computable.

Tambien tenemos este teorema para unos subgrupos especıficos deSp4(Z) y tambien para Sp6(Z).




Una L-funcion L(s) de grado d tiene cuatro propiedades:

L-serie:

L(s) =∞∑

n=1

an

ns

Ecuacion funcional:∃Q > 0, κ1, . . . , κn ∈ R>0, µ1, . . . , µn ∈ C (Im(µi ) ≥ 0) talque

Λ(s) := Qs∏

Γ(κjs + µj) · L(s)

es meromorfica con solos los polos que viene de L(s) y quesatsiface Λ(s) = εΛ(1− s) donde |ε| = 1.

Euler product:

L(s) =∏p

Lp(p−s)−1

donde Lp es un polinomio de grado d tal que Lp(0) = 1.

Cota de Ramanujan: an = O(nε) para cualquier ε > 0.




Como se computa una L-funcion

Theorem

Para s que no es polo, L(s) como arriba, g : C→ C una funcionde prueba,

Λ(s)g(s) =∑k=1

rkg(sk)

s − sk+ Qs

∞∑n=1

an

nsf1(s, n)

+εQ1−s∞∑

n=1

an

n1−sf2(1− s, n)

donde f1(s, n) y f2(1− s, n) so integrales impropios definidosexplıcitamente en los polos si (con residuos si de L(s) y los datosai , µi ,Q, κi de la L-funcion




ai Hay operadores lineales de HeckeT (1),T (2),T (3),T (4), . . . que actuan sobreespacios de formas modulares para cado peso k . Losautovalores de una forma F definen los ai (mi tesishace esto explıcitamente).

µi ,Q, κi Sus orıgenes son muy complicados




Theorem (Farmer, Garthwaite, Schmidt, R)

Hay un metodo Encontramos los datos de la L-funcion de grados10, 14, 16 para formas modulares de Siegel.

Theorem (Farmer, Lengel, R)

Tenemos un metodo (no es un algoritmo) que nos deja computarmas ai de lo que esperarıamos.




Un experimento

Muchas formas modulares de Siegel son indistinguiblesaritmeticamente de formas modulares elıpticas. Tales formas sellaman “liftings” porque son levantados de un grupo de dimensionmenor. Dos liftings famosos son los de Ikeda y de Miyawaki.

Theorem (Poor, Yuen, R)

Hay formas modulares de Siegel para el grupo Sp8(Z) que no sonliftings de Miyawaki ni de Ikeda.




Otro experimento

Sato-Tate


Documents

Computaciones con Formas Modulares y L-funcionesncr006/talks/buenos_aires.pdf · Nathan Ryan Computaciones con Formas Modulares y L-funciones >Qu e hago en mi Investigaci on? >Qu