23
HAL Id: inria-00071534 https://hal.inria.fr/inria-00071534 Submitted on 23 May 2006 HAL is a multi-disciplinary open access archive for the deposit and dissemination of sci- entific research documents, whether they are pub- lished or not. The documents may come from teaching and research institutions in France or abroad, or from public or private research centers. L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d’enseignement et de recherche français ou étrangers, des laboratoires publics ou privés. Complexity of Gröbner basis computation for Semi-regular Overdetermined sequences over F_2 with solutions in F_2 Magali Bardet, Jean-Charles Faugère, Bruno Salvy To cite this version: Magali Bardet, Jean-Charles Faugère, Bruno Salvy. Complexity of Gröbner basis computation for Semi-regular Overdetermined sequences over F_2 with solutions in F_2. [Research Report] RR-5049, INRIA. 2003. inria-00071534

Complexity of Gröbner basis computation for Semi-regular ... · ISSN 0249-6399 ISRN INRIA/RR--5049--FR+ENG apport de recherche THÈME 2 INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE

  • Upload
    others

  • View
    5

  • Download
    0

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: Complexity of Gröbner basis computation for Semi-regular ... · ISSN 0249-6399 ISRN INRIA/RR--5049--FR+ENG apport de recherche THÈME 2 INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE

HAL Id: inria-00071534https://hal.inria.fr/inria-00071534

Submitted on 23 May 2006

HAL is a multi-disciplinary open accessarchive for the deposit and dissemination of sci-entific research documents, whether they are pub-lished or not. The documents may come fromteaching and research institutions in France orabroad, or from public or private research centers.

L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, estdestinée au dépôt et à la diffusion de documentsscientifiques de niveau recherche, publiés ou non,émanant des établissements d’enseignement et derecherche français ou étrangers, des laboratoirespublics ou privés.

Complexity of Gröbner basis computation forSemi-regular Overdetermined sequences over F_2 with

solutions in F_2Magali Bardet, Jean-Charles Faugère, Bruno Salvy

To cite this version:Magali Bardet, Jean-Charles Faugère, Bruno Salvy. Complexity of Gröbner basis computation forSemi-regular Overdetermined sequences over F_2 with solutions in F_2. [Research Report] RR-5049,INRIA. 2003. �inria-00071534�

Page 2: Complexity of Gröbner basis computation for Semi-regular ... · ISSN 0249-6399 ISRN INRIA/RR--5049--FR+ENG apport de recherche THÈME 2 INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE

ISS

N 0

249-

6399

ISR

N IN

RIA

/RR

--50

49--

FR

+E

NG

ap por t de r ech er ch e

THÈME 2

INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE ET EN AUTOMATIQUE

Complexity of Gröbner basis computation forSemi-regular Overdetermined sequences over

���with

solutions in� �

Magali Bardet and Jean-Charles Faugère and Bruno Salvy

N° 5049

Décembre 2003

Page 3: Complexity of Gröbner basis computation for Semi-regular ... · ISSN 0249-6399 ISRN INRIA/RR--5049--FR+ENG apport de recherche THÈME 2 INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE
Page 4: Complexity of Gröbner basis computation for Semi-regular ... · ISSN 0249-6399 ISRN INRIA/RR--5049--FR+ENG apport de recherche THÈME 2 INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE

Unité de recherche INRIA LorraineLORIA, Technopôle de Nancy-Brabois, Campus scientifique,

615, rue du Jardin Botanique, BP 101, 54602 Villers-Lès-Nancy (France)Téléphone : +33 3 83 59 30 00 — Télécopie : +33 3 83 27 83 19

������������ ������������������ !�"��#�$% &$('�������)*�+#,�- &���.�/���10�2�3 546��87�) �#��9;:�!�+<���-!�=�3 &��8<.$-8>?)�8��'@8$(�A:�!�;B�C;D( E�-F.$%���&)G�- &��� $" &�HB�C

IKJ�LMJONQP!RSJOTVU+WYX/ZGJO[�U�\OW]JO[-^_?`�JOTVNaW]bGcdJOe�LgfYTVWihjJO[�U�R?TVe+[�kml+JONanpo-qr,sptvuxw�yGz|{S}v~M��wS���i�����v��wv�wv�����]���v�M�@���OuG���i�������pw�2�&�]�Ewv�&�S���%�i�/w/��wv���j���6�

�?�]�M�+�i�����Mw*�&w/�&spwv�&�&spw�~-�!���]����z �S}/�/wvuG�M�&w�y�����¡ z ¢����%�]�6w/�

£¥¤@¦/§�¨]©Mª�§�«|¬ w��M�&w/�&wv~��S�/�iu­�M��wV®g���¯�°�&w/���M���&�j±²�i�S��i��³���~M�µ´¯�¯�O�M�����]�·¶��¸³6wv�&�Mwv�&wv��u­��~pw/���]���6wv�M��]���­���g���&wvux���³6wv�µ¹%º¼»�����s½��i���M�����i~p�µ��~¾¹%ºM¿À�p����~M�¾{?�&Ái�M~pwv�µ�%�i�w/��½r,spwv���]�&w��p�&wV±Q�M��±Ã�i�¥��~p����]~p�/w��&�¼�M�&w/�g���v�¥��spw�/�iu­�M��wV®g���¯���]±!�]~°�]���6wv�M��]���G�v���O�M��]~%�]���O��������³6wv�?���v���O�M�&�����g���&wvu�¿g��spwv�Ä����³6wµÅ�Æ-ÇÉȲÊiÇVÈA�M�M��wv���+�i�M~p�M�¸Â¬ w��MwVËp~pwxÌ�ÍVÎ�ÈaÏÐÇ�ÍÒÑiÓ�Ô�ÅiÇÕ�&w/���pwv~p�/w/���]~p�Ö��spwv���S�i�&����v�×�]�&w/�m~p�i�����i~°�]±jØ�ͲÑiÇ&Í&ÍÕÊEÙ*Ç&ͲÑiÓOÔ·ÅiÇVÈÃÚÃÛÖÜ�Ý×ÞÒß�Â�r,spw

ux�i����³��]�����i~�±²�i�������p�g����~M�à�&wvu­�·áÒ�&wv���M�×�]�­�&w/���pwv~p�/w/�����G��s%�]�G´¯��]~p�M�iu�¶Õ�&w/���pwv~p�/w/�­�]�&w¥�wvu­�·áÒ�&wv���M�×�]��¿A�]~p�Ü�Ý×Þ¯ßG�����v�����&wv���Ä�&wv�×�]�&w/�m�&�­��spw������i�%�]���/�����j�]±!��spw�{?�&Ái�M~pwv�j�%�i�������/�iu­�M�M��]�����i~m±²�i�j������i�Mw/�m�i�gu­��������M��wux�i~p�iu­�×�]���i�&�Mwv��Â2âj�&��~M�*��~µ�%�]�������v�M�×�]�,��spw�ã8��{?�&Ái�M~pwv�ä�%�i�&���À�]���6�i������sMu�¿O»äwj��sp��»å��s%�]�ä±Ã�i�A�wvu­�·áÒ�&wv���M�×�]��&w/���pwv~p�/w/����spw���wvs%�/³O���i�j�]±8ã8�çæQ��~m��uµ�]�����·®ç³6wv�&�����i~-è,���]~���w?±²�i������»äw/�m���&wv�����Õ���&wv�d¿-�]~p�ç��spw*����é�w��]±A�]���uµ�]�������/w/�*uµ�i�Mw¥wV®O�M�����v���� ¬ wx�Mw/�g�p�/wµÜ�ÝaÞÒß6¿@�]~p�¼�p�&��~M�m�i���Ou­�M�&�i�����µ�]~%�]���O�&����uxwv��sp���M�G»äwx�/�iu­�M�M�&wµ���&��i���Ou­�M�&�i�����*wV®g�%�]~p�����i~d¬ wÕ����³6wÄuµ�]~��êwV®g�M�����v����wV®p�]u­�M��w/��¿À�]~p�K�g����v�p�&����spwÄ�/�iu­�M��wV®O���Ð�K�]±?��spw¥�����i�%�]���]������sMuxwv�����ç�/���&���]±

��spwx{?�&Ái�M~pwv�S�%�i�������/�iu­�M�M��]�����i~à±²�i�?ëíìQî@ï����%�i�g��]�����­w/���%�]�����i~p�S��~°î�³��]���×�]�M��w/��ð�±Ã�i�?ëòñôómîK»�����sàó�/�i~p����]~���¿-��spw �/�iu­�M�M��]�����i~à���jwV®g�+�i~pwv~����×�]�Ò¿+�·±2îàõ.ëöõ÷î º ��spwG�/�iu­�M�M��]�����i~à���j�&�M�gá¯wV®O���i~pwv~����×�]�8�]~p�±²�i�äëøñùómî º ¿�»�����sÄóú� �/�i~p����]~���¿O��spwS�/�iu­�M��wV®g���¯�µ����ñùûxü]ýdìQî º5þ ÿ î þ �������� ï2»�sM���&sÄ���A���i���O~p�iu­�×�]�ÒÂ2r,sM����v�×�i�&���·Ë%���]�����i~¥����³6w/�8´¯�6wv~pwv�������M�M�+wv�ä�+�i�M~p�M��¶¿��]~p�x��s��p�À���M�����i���%�M�M��wv�A���i�M~p�M�8±²�i�2uµ�]~��x�v���O�M�&�����g���&wvux��Â��� ������ ¨���¦�« �����6wv�M��]��� �v���O�M��]~%�]���g������¿G{?�&Ái�M~pwv���%�i�&����¿S�&wvu­�·áÒ�&wv���M�×�]�m�&w/���pwv~p�/w/��¿S��³6wv�&�Mwv�&wv��u­��~pw/��]���6wv�M��]���G�&�O���&wvux�

�����������! !"$#%��&('�)��%* &,+.-�/0* '1�243 #5'6"$#%��&('�)��%* &.+.-7/8* '9�:$; �=<�>�)0* ?0��&.@BA�"$+,>0�=+,�0* '1�

Page 5: Complexity of Gröbner basis computation for Semi-regular ... · ISSN 0249-6399 ISRN INRIA/RR--5049--FR+ENG apport de recherche THÈME 2 INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE

���������&��* E��� < ).'@#��&'@)��Ö<����#�$- < ��������� !���¥��)G� <�8$($%�S$p���2�38$$-2�3 546���87�)��& &!��$ $-)G�%4�<����+!���3 &���8$��3'����ö'@ &8�j�-$ < #���$åB C �� $%���&)G�- &��� $

<�#���$½B C�� ¦� �� � «�� �i�p���M�&}/�&wv~��&�i~p� �Mw/�G�&}/���M����]�&�G�Mw­�/�iu­�M��wV®g���&}x���i�M�*�×�Ä�&}/�&�i���M�����i~��%�]�*�%�i�&w/�*�MwÕ{?�&Ái�M~pwv��Mw����O�&�&tvuxw/�j�]���6}v�M�������pw/�����M�Eá¯�M}v�&wv��u­��~p}/�j´¯�¯�O�M�����pw/��¶��µ�/�Ow��µ�v��wv~��&�S�p�]~p�j¹ º wv�S�&�i���M�����i~p�S�p�]~p��¹ º Â��Àw/��&}/���M����]�&�ä�&�i~��2�M������w/�A�%�]�AwV®Mwvu­�M��w����i�M�8�M�&}/�g���&w��×���/�iu­�M��wV®g���&}���� �M~pw��v���O�M��]~%�]���g�&w���� �M~µ�v���O�M�&�����g���&tvuxw�¿�������M�i~M~pwv~��j�Mw/�����i��~pw/�����M��}v����wv�M�&w/�À´����M�����i���·¶Â

� �i�p�ç�M}VËp~M���&�&�i~p�Õ��w/�ç���M���&w/�ç�&wvu­�·áÒ�&}v���M����tv�&w/�Öwv�Õ�×��~p�i�����i~;�Mwà�Mwv���&}¼�Mw°�&}v���M�×�]�����&}¼Ü�Ý×ÞÒß �i�&�&�O�v��}/w�Â��� ��~��&}v���v�¥�Mwç��� }v���p�Mwm�MwÄ�&wv����w/�µ���M���&w/�xw/�&�x���pw��Mw/�µ���M���&w/��´5�]��}��]�&�i���&w/�E¶��&�i~��µ�&wvu­�·áÒ�&}v���M����tv�&w/��¿�wv�x���pwç��w�Mwv���&}G�Mw*�&}v���M�×�]�����&} w/�����&wv����}G�]�Ö�/�i�M�Ö�����i�%�]���g�Ö���]���v�M�@�MwG�%�i�&w*�Mw {S�&Ái�M~pwv�����i�M���M~Ö�i�&�g�&w �i�gu­��������M��w����i�g�p}°�%�]�¥��wm�Mwv���&}�Â! 8~½�M���������É�]~��çwv~½�%�]�������v�M����wv�Ä��� �]���6�i������sMuxwàã8�í�Mw°���]���v�M�S�MwÖ�%�i�&w°�Mw¼{?�&Ái�M~pwv��¿~p�i�p�xux�i~����&�i~p�Ä���pwÄ���i�M�¥�Mw/�x�&�M���&w/�µ�&wvu­�·áÒ�&}v���M����tv�&w/�Õ��w��/�iu­���i���&wvuxwv~��Ä�Mwç��� �]���6�i������sMuxw°ã!��æQ³6wv�&�����i~uµ�]�������v��wv����w¸è,��wv�M�"�v���&w����M��³O�=�%�i�#���%�i��¿Mwv�����pwS��� �i~ç�+wv�M���M�i~M~pwv�jwV®O�M�����v���&wvuxwv~�����w/����]������w/�j�MwS�&�i�M�&w/����w/�uµ�]�������/w/�� � �i�p�Gwv~��M}/�g�M����i~p�G�×�Ä�&}v���M�×�]�����&}Õ�Mw­�&wv����w/�����M���&w/��¿�wv�Gwv~í�M���������É�]~�� �Mw/� ux}v��sp�O�Mw/�G��� �]~%�]���g�&w�i���Ou­�M�&�i�������pw*~p�i�p�����]���v�M���i~p����w��M}v³6wv���i�M��wvuxwv~����i���Ou­�M�&�i�������pwG�Mw�Ü�Ý×ÞÒß�Â

� �i�p�¥�M�i~M~p�i~p�Õ�Mw�~p�iu �M�&wv�g®½wV®Mwvu­�M��w/�¥wV®g�M�����v���&w/�� � �i�p�¥�g���&�v�M�&�i~p�Õ�g�½�/�%$M�¥�����i�%�]�?��� �M~å���]���v�M��Mwç�%�i�&wÖ�Mwm{?�&Ái�M~pwv�x���i�M�xëíìQî@ï�}/���%�]�����i~p�¥���%�i�g��]�������pw/�¥wv~ î;³��]���×�]�M��w/�Öðç���i�M�xë ñúómî �/³6w/�Öó�/�i~p����]~���¿M��w����]���v�M�dw/����wV®O���i~pwv~�����wv�Ò¿%����îmõòëøõHî º ��wS���]���v�M� w/�����&�i�p�Eá¯wV®g�+�i~pwv~�����wv� wv�,�+�i�M��ëøñ;óÖî º ¿�/³6w/��ó÷�/�i~p�&��]~���¿��×�¥�/�iu­�M��wV®O���&}/w­w/���*ñ�ûxü]ý ìQî º5þ ÿ î þ �������� ï����M�!w/���j���i���O~'&iu­�×�]��w�Â(�Àwv���&w��v�×�i����·Ë%���]�����i~�M�i~M~pw,�Mw/�@´¯�+�i��~pw/�8�&�M�+}v����wv�M�&w/�!�6}v~p}v�������pw/�E¶¿6wv�!�M�i~p���Mw/���+�i��~pw/�8���M��}v����wv�M�&w/�2���M�����i���M�+�i�M�!�MwÀ~p�iuG�M�&wv�g®�v���O�M�&�����O�&�&tvuxw/��Â) � §�¦ � ª+* � ¦¾« �ä���O�M��]~%�]���O�wÄ�]���6}v�M�������pw�¿2�%�i�w/�­�Mwç{S�&Ái�M~pwv��¿A���M���&w/�­�&wvu­�·áÒ�&}v���M����tv�&w/�¸¿A���g���&tvuxw/�­�]���6}Vá�M�������pw/�����M�Eá¯�M}v�&wv��u­��~p}/�

Page 6: Complexity of Gröbner basis computation for Semi-regular ... · ISSN 0249-6399 ISRN INRIA/RR--5049--FR+ENG apport de recherche THÈME 2 INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE

� � �j�%����< )�'d�+ &�������~p�/wS��spw�¢������ � ��¿guµ�]~��Ä���g���&wvux���]�M�+w��]����~M�­��~��v���O�M�&�i����]�Ms��6¿%w� �pÂ��������g¿g���]����M¿��°�is%���M¿� ��i�%������s%��³6w��w/wv~°�%�i�w/�°�i~à��spw��M�&�i�M��wvuö�]±ä�&�i��³O��~M���Õ���O�&�&wvu��]±À�]���6wv�M��]���­w/���%�]�����i~p����³6wv����spw Ëp~M���&w�Ë%wv���m¹ º ¿=�]~p���~êuµ�]~��ê���i�&w/����spwÕ��~��&wv�&w/������~M���&�i���M�����i~p�x�]�&wÄ�i~M���K�&�i���M�����i~p����~K¹ º �]~p�K~p�i�­��~ê���&�x�]���6wv�M��]���ç�v�������M�&w�Â� ~pw������&�����M�������Ð�ê�&�àËp~p���i~M���ê��sp���&wm�&�i���M�����i~p�x���µ�&� �&�i��³6w���spwÖ�i��������~%�]�?���g���&wvu÷�]±*w/���%�]�����i~p�¥�¸³6wv�x¹%º�&�i�6wv��spwv��»�����sÄ��spw�Ë%wv���Äw/���%�]�����i~p��� º ��� � � ÿ�������ÿ � º�

� � � �·± ��spw?³��]���×�]�M��w/���]�&w��� ÿ������¸ÿ � � Â8�;~pwv»ù�6wv~pwv��]��v���O�M��]~%�]���O�������]�M�M�&�6�i�sd¿M���]����w/�Õ�]���6wv�M��]���S�v���O�M��]~%�]���O�����¸¿g�]�M��w��]�&w/�¥ux�i�&wj�&w/�/wv~������6Â2�ù~��Mu �+wv���]±d�&w/�/wv~��

�%�]��wv�&��¿�w� �pÂ����,� �,��¡M¿ ���à��¡g¿+�� *��¡g¿��m�?��yg¿�Â�Â� �8wV®g�M���i���?��spw­�]���6wv�M��]���­�������p�v���M�&w­�]±ä��spw��v���O�M�&�����g���&wvu�&�*�Mwv����³6w?�]~¥�]���6wv�M��]�������g���&wvu1�&wv�×�]����~M�G±Ã�i�8��~p�&��]~p�/w���spw��i�M���M�M�ä�M���&�2�&����spw���~M�M�M�2�M���&��Â!r,spw��/�iu­�M��wV®g���¯����i�M~p�M�A»Àw�����³6wS�]�&w��M�M��wv�ä���i�M~p�M�A±Ã�i�Àwv����spwv�ä��spw?�&w/�v�M�����¯�x�]±d��spw?�v���O�M�&�����O�&�&wvu ��~µ��spw�Ëp�&���À���i�&w�¿��i�ä��spw±²w��i�����M�������¯�ç�]±!��spwG�]����i���Ä��~ç��spw*�&w/�/�i~p�Ö���i�&w�Âr,spwÄ�&�i�M���ç�]±?��sM�����%�]�+wv�­������spwç�/�iu­�M��wV®g���¯�¾�]±���spwÄ�&w/�&�i���M�����i~ �]±S���O�&�&wvux�­�]±S�]���6wv�M��]���çw/���%�]�����i~p�

��³6wv����spwµËp~M���&w­Ë%wv���í¹ º »�����sê�&�i���M�����i~p�G��~í¹ º æQ»�sM���sKuxw��]~p� �&�i�6wv��spwv��»�����sí��spwµË%wv����w/���%�]�����i~p� � º � �� � ÿ������Yÿ � º�

� � � èj�p����~M�m{?�&Ái�M~pwv�*�%�i�w/��Âx{?�&Ái�M~pwv�*�%�i��������� �Õ»äwv���!�O~p��»�~d¿ �6wv~pwv�����­uxwv��sp���¼±Ã�i�*�&�i��³O��~M��]���6wv�M��]���Õ���O�&�&wvux��¿ �]~p�í�w/wvux�*�&�ç��w­³6wv���¼w��µ�v��wv~�����~í�&�iuxw¥���i�&w/��¿=±²�i�*��~p����]~p�/wµ»�spwv~K�]�M�M����w/�í�&�ç��spw"?ã� å�M�&�i�M��wvu#� ã%$���¡&�¯ÂSr,spw������p�g�Ö�]±À�i��spwv�S�&�+w/�v�·Ë%���]���6�i������sMux�����'�6w ( �)� �O� �� *���*�!���?��~��&wv�&w/������~M�p¿��M�M��i�M���]±8��spw*�&�/�i��w*�]±8��spw��%�]��wv�� ¬ wG�/�i~i�Ew/�v���M�&wG��s%�]����spw����i�M~p�M��»ÀwG�Mwv����³6w*��~Ö��sM�����%�]��wv�j�]�M�M���Ä�&�­��spw(��í�]���6�i������sMu�Âãp�i�­��spw,+AÊ�ÇÌvÚ.-&Å]Ì�Ív¿��Ö���i�M~p�¾�i~¾��spwç�/�iu­�M��wV®g���¯�¾�]±j��spwÖ{?�&Ái�M~pwv�µ�%�i�����­�/�iu­�M�M��]�����i~����x�]���&w��i�g�

�O~p��»�~dÂ2r,s%�]~/�g�,�&����spw�Ë%wv���çw/���%�]�����i~p�������g���&wvu10 � ÿ������¸ÿ 0&2 ÿ � º �3� � � ÿ�������ÿ � º�� � � s%�i���*Ëp~M���&w?~��MuG��wv��]±2�&�i���M�����i~p��¿+�]~p�m�]���&�µ�­Ëp~M���&w*~��MuG��wv�?�]±2�&�i���M�����i~p�?�]����~gËp~M���¯�íæQ��spw �&�i���M�����i~p�S�]����~gËp~M���¯�m�]�&w �i�M��]��~pw/�

����sp�iux�i�6wv~M��é/��~M����spw�w/���%�]�����i~p�A»�����s¥�?~pwv» ³��]���×�]�M��w�¿����� ��4]¿6�M�M������~M�.�547698 �]~p�­�&�i��³���~M����spw��&w/���M������~M����g���&wvu¥èVÂ:�¯~���sM��� ���i�w�¿����&w/���M��� �]±#� �]é¸�]�&�;� � �]é<��¡&���]�M�M����w/���]~p�í��spwxuµ�Y®g��uµ�]�À�Mwv���&w/wÕ�]±��]~�� wv��wvuxwv~���]±*�í{?�&Ái�M~pwv�x�%�i�����­±Ã�i�x��spwç�S� ��æÃ�Swv���&w/w���wv³6wv�&�w �dwV®g���/�i����]�MsM���¸è­�i�&�Mwv�µ���¥�]�­ux�����x��spw=�à�i���]�M�×�/����i�M~p�µî �?> Â8r,spwj�����i�%�]�=�/�����,�]±d��spw?�/�iu­�M�M��]�����i~ç�]±���{?�&Ái�M~pwv�À�%�i�����ä±Ã�i�À��spw?���O�&�&wvu@0 � ÿ������¸ÿ 0&2 ÿ � º � �� � ÿ������Yÿ � º�

� � � ���À�]�2ux���&�A���i����~p�iu­�×�]�-��~BA � ¿�spwv~p�/w��&��u­�M����wV®g���i~pwv~����×�]�+��~µî2Â�r,spw��M�i�M�M���xwV®g�+�i~pwv~����×�]���wvs%�/³O���i�@�]±-{?�&Ái�M~pwv�d�%�i�&w/�@�/�iu­�M�M��]�����i~p����~*��spw8»ä�i�&�&�@���i�&w�æQ��spwC�°�����EáD�°wv�6wv�@wV®p�]u­�M��wE���F�,��yG�Qè����]~M~p�i��]�M��w��]����~ç��sM�������i�&w�Âr,spw��M�&�i�M��wvu��]±!��i��³���~M�µ�]���6wv�M��]��� w/���%�]�����i~p�����H��~p�¸»�~Ö�&����w*��s%�]�&�ç�M�&�i�M��wvuHæ � �!á¯�/�iu­�M��wv�&w�¿-wv³6wv~

��³6wv�x�ÖËp~M���&w¥Ë%wv���=¿A�]~p�êwv³6wv~ê�·±���spwÄw/���%�]�����i~p�x�]�&wÄ�]±j�Mwv���&w/wÕ��w/�&����s%�]~¾�i��w/���%�]�,�&�¼yI� ãKJL���G�QèVÂM�¯�����»äwv���E��~p�¸»�~ ��s%�]�x��spw � �!á¯�/�iu­�M��wv�&wv~pw/�&�Õ�]±��°�M�&�i�M��wvu÷���x~p�i�x��� �µ�v��wv~��µ±Ã�i�­���&���p�&wÄ��~½�v�����M�&�i����]�Ms��6¿��spwÕ�M�&�i�M��wvu�s%�i���&�°�+wÕs%�]�&�K��~ �/³6wv��]�6w�ÂKr,spw¥�6�6�]���]±j��sM�����%�]�+wv�������&�°����³6wÄ�/�iu­�M��wV®O���Ð���&w/���M���&��±²�i���³6wv�&�Mwv�&wv��u­��~pw/�;´¯�6wv~pwv����� ���g���&wvux�E¶¿���s%�]�ç���Õ±Ã�i�¥´¯��]~p�M�iu�¶¼���O�&�&wvux� æÃw� �pÂ��/�Ow��µ�v��wv~��&�Ö�]�&wà�M���N�6w/� �]���]~p�M�iu¥è��i�,±²�i�����g���&wvux���/�iu­��~M�­±Ã�&�iu �M��i�v�������]� �M�&�i�M��wvux�¸Â � �M���/�i~��������M�M�����i~p���]�&wS��spwS±²�i������»���~M�pÂO � �IP � ¨ �RQ *Q©M¨S¦ �RS �UT ª � ¦ �WV � ¨ ¹ º/X ã����&����¿i»äw,����³6w��juµ�]��spwvuµ�]�������]�%�MwVËp~M�������i~�±²�i�@´¯�6wv~pwv���������g���&wvux�E¶¿���]����w/�ùÌ�ÍVÎ�ÈaÏÐÇ�ͲÑ�Ó�Ô�ÅiÇ�Ì�ÍZYvÓpÍ\[5-ÍVÌV ¬ wç�MwVËp~pwm�]���&�à��spw�Ø�ͲÑiÇ&Í&ÍàÊEÙçÇ&ͲÑiÓOÔ·Å�ÇÉÈÃÚÃÛ �]±�� ���O�&�&wvu�¿A���]����w/� Ü�ÝaÞÒß�¿�]~p�ù��sp��»3��s%�]�Õ��sM���ç�Mwv���&w/wà�]±G�&wv���M�×�]�����¯�½���Ä�í���i�M~p��±²�i�Õ��spwmuµ�Y®g��uµ�]���Mwv���&w/wà�]±��]~åwv��wvuxwv~����]±��{?�&Ái�M~pwv�Ä�%�i������¿�±Ã�i�ç�]~����Mwv���&w/wà�i�&�Mwv� æQ~p�i��]�����i~p��¿j�MwVËp~M�������i~p���]~p�½�M�&�i��wv������w/�Ä�]±�{?�&Ái�M~pwv�Ä�%�i�����Ä�]�&w�&w/���]����w/����~µ�Ow/�v�����i~­y6èVÂ�r,sp���&w,�MwVËp~M�������i~p�8�]±-�&wvu­�·áÒ�&wv���M�×�]�2�w/���pwv~p�/w/�8�]~p���Mwv���&w/w,�]±%�&wv���M�×�]�����¯� �6wv~pwv��]����é�w��spwx�v�×�i�&�&�����]�ä�MwVËp~M�������i~p���]±,�&wv���M�×�]���&w/���pwv~p�/w/� �]~p�¼��~p�MwV®í�]±,�&wv���M�×�]�����¯�í�¸³6wv� ] �&�����g���&wvux��»�sM���&sê�]�&w��³6wv�&�Mwv�&wv��u­��~pw/�=¿-� �x~pw?�]~p�¥��³6wv�ä¹ º »�����sÄ�&�i���M�����i~p�A��~¥¹ º  ¬ w��/�i~i��w/�v���M�&w���s%�]�À��spwj�M�&�i�+�i�������i~Ä�]± �&wvu­�·á�&wv���M�×�]� �w/���pwv~p�/w/�*�]±,ë÷���i����~p�iu­�×�]���G��~¼î¾³i�]���×�]�M��w/�G»�����s��Mwv���&w/w/� ^ � ÿ������¸ÿ ^ 2 �&wv~p�M�G�&�¼¢µ�i��î`_baù¬ w*�spw/���6w/���������Ä�/�iu­�M�M�&wv�j����u �M�×�]�����i~Ö��~çuµ�]~��Ä�p���%�]�@���i�&w/��Â

cdc >*egfNhji\k

Page 7: Complexity of Gröbner basis computation for Semi-regular ... · ISSN 0249-6399 ISRN INRIA/RR--5049--FR+ENG apport de recherche THÈME 2 INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE

£ T ©'* ¦<PQ¦ ��� £�* Q � ¨*Pa§�� ����� X ã%�i�2�&wvu­�·áÒ�&wv���M�×�]�2�&w/���pwv~p�/w/�8��spwÀ�+wvs%��³����i�A�]±+��spw,ã!���]���6�i������sMu1� ã-�]�%��y*����¼ã%�]�M�6tv�&w¥���]~ ��w­»äwv���ä�M~p�Mwv�&���&���O�= ¬ wx�p�&wµ�Õuµ�]�����·® ³6wv�&�����i~í�]±,��spw¥�]���6�i������sMu�¿����]����w/� uµ�]�����·®Oá¯ã8�g¿�]~p�¥�*~pwv»½�v�����&wv�����i~Õ�&�*��&�6wj��~��&���i�/�/�i�M~��,��spw�ãM�&�i��wv~M���p�äux�i���MsM����u 0 º�� 0!Â@r,sM���,�]���6�i������sMu �/�i~p�&�����p�v�&�uµ�]�������/w/�,��~p�v�&wvuxwv~���]�����Õ��~Õ��spwj�Mwv���&w/w�¿g���p�sÕ��s%�]�ä±²�i�À�&wvu­�·áÒ�&wv���M�×�]���&w/���pwv~p�/w/��¿M�]���+uµ�]�������/w/�,��~Õ�Mwv���&w/w��]�ux������Ü ÝaÞÒß �]�&w?±Ã�M���=��]~/�+ ¬ w*�Mw/�g�p�/w�±Q�&�iu ��sM�����M�&�i��wv���¯�����&w/�v�M���&wv~p�/wS±²�i��uG�M�×�g¿%»�sM���&s�����³6w/��wV®O�M�����v���������spwÕ����é�wµ�]±?�]���äuµ�]�������/w/���M�í�&�°�Mwv���&w/w¥Ü�ÝaÞÒß�Âmr,sM���Guµ�&�6w/��wV®g�M�����v��� ��spwB"�������wv�����&wv����w/� �]±��wvu­�·áÒ�&wv���M�×�]��&w/���pwv~p�/w�¿-�]~p�Ö����³6w/�j�­uxwv��sp�O���&�µ�/�iu­�M�M�&w Ü�ÝaÞÒß6Â,r,spw*uµ�Y®g��uµ�]�@�Mwv���&w/wG�]±A�]~��ç�+�i���O~p�iu­�×�]���]�M��w��]����~M��g�M����~M�S��spwÀ{?�&Ái�M~pwv�!�%�i�������/�iu­�M�M��]�����i~­»�����s������6�i������sMuôã8�����!�]�@ux���&��Ü�ÝaÞÒß6¿��]~p�*±²�i�!�]~��G�i��spwv�2{?�&Ái�M~pwv��%�i�������]���6�i������sMu�¿%��sM����uµ�Y®g��uµ�]� �Mwv���&w/w*�����×�]���6wv����s%�]~���s%�]����~Öã8�g£¥¦ ��@§ � §<PQªç© T ©'* ¦GPa¦ ����Ü� ��� X �j~ç��u­�+�i����]~������pw/�������i~ç±Ã�&�iu ��spw��/�iu­�M��wV®O���Ð�Õ���i��~��j�]±�³O��wv»;���,��spw��wvs%�/³O���i���]±!Ü ÝaÞÒß �i��î¼�&wv~p�M���&�­��~gËp~M���¯�6ÂC�¯~p�Mw/w/�=¿pÜ ÝaÞÒß ���������i�M~p�ı²�i����spw*�Mwv���&w/w*�]±2�]~Öwv��wvuxwv~��j��~ç��spw{?�&Ái�M~pwv�8�%�i�����¸¿��]~p����spw,�����i�%�]�p�/�����2�]±-��spw�{?�&Ái�M~pwv�8�%�i�&���8�/�iu­�M�M��]�����i~µ���]~­�+w,w/������uµ�]�&w/���&�S��wÀ��spw��/������]±2��spw ����~pw��]���]���6wv�M��Õ�i~°��spwG�×�]���6w/�&�juµ�]�����·®°�]�M��w��]����~M�Ä��~m�j���6�i������sMu3uµ�]�����·®�á¯ã8�g ¬ wG�p�w �i���Ou­�M�&�i�����uxwv��sp�O�M�8�&�S�Mwv�&wv��u­��~pw���spw��i����u­�M�&�i������wV®g�%�]~p�����i~x�]±�Ü�Ý×ÞÒß�Â�r,spwÀËp�&���!�&wv��u1�]±-��spw��i���Ou­�M�&�i������wV®g�%�]~p�����i~��������³6wv~����°��spwx��i�M�g��w­���i��~�� uxwv��sp���=¿��]~p���¥±Ã�M���ä�i���Ou­�M�&�i�����xwV®O�%�]~p�&���i~í���]~ ��wx�/�iu­�M�M�&w/�¼±Ã�&�iu ��spw�/�6�]��w/�&�/wv~����É�i�M�g��wµ���i��~��&��uxwv��sp�O�=¿8wv³6wv��� �/��w��µ�v��wv~�����wv��~M�àwV®O�M�&w/�&�w/� ��~K�&wv��ux���]±j�]���6wv�M��]���Õ~��MuG��wv�&��]~p�Ä��spw?Ëp�&���,�&�O�i���]±@��spwS�������µ±Q�M~p�v�����i~����²Â8ãp�i����~p�&��]~p�/w�¿g±Ã�i�,î¼���%�i�g��]������w/���%�]�����i~p���¸³6wv�,¹ º ¿g��spw?Ëp�&���±²�i�M�ä�&wv��ux���]�&w?Ü Ý×ÞÒß 698 � 8��*8�8!î �?> � 8�8!î����� > ����� � � ì >�! î��� ï2~��Muxwv�������]�����6Âär,sM���,�i�&��u­�M�&�i�����SwV®g�%�]~p�����i~������³6wv���Ä�6�O�����]�M�M�&��®O��uµ�]�����i~°�]±���spw*wV®p�i�v��³��]���pw*�]±!Ü�ÝaÞÒß�¿p�]���&w��i�g�Õ±²�i��î"$#gÂ% *Q© T ��� §�� � �@©&� � ¨ X ��±Q�&wv���&w/���]������~M�Ä�&�iuxw��M�&�i��wv������w/���]±A{?�&Ái�M~pwv�j�%�i�&w/����~°�Ow/�v�����i~àyg¿M»äw*��~����&�O�g�p�/w�&wvu­�·áÒ�&wv���M�×�]�ç�&w/���pwv~p�/w/�µ��~;�Ow/�v�����i~ù¡gÂ��Ow/�v�����i~½�����¥�Mwv³6�i�&w/�½�&� ��spwà�]~%�]���O�&���µ�]±G�j���6�i������sMu.uµ�]�����·®Oáã8�g¿d»�sM���s �����p�&w/�¼�&�ç�/�iu­�M�M�&wµ��spw "j�����+wv���*�&wv����w/� �]~p�¼��spwx�Mwv���&w/wx�]±,�&wv���M�×�]�����¯� Ü�ÝaÞÒßx�]±,�wvu­�·áÒ�&wv���M�×�]��&w/���pwv~p�/w/�� �Ð~°�Ow/�v�����i~à�g¿M�p����~M�¥�i���Ou­�M�&�i����� �]~%�]���g������uxwv��sp�O�M�j»äw*�/�iu­�M�M�&wG��spw �i���Ou­�M�&�i�����*wV®g�%�]~p�����i~�]±�Ü Ý×ÞÒß ��~¼�&wv��ux�G�]±Àî2­r,spw­�&w/�&�M���&�G�]�&wx�/�iu­�M�M�&w/� wV®g�M�����v�������à��~ uµ�]~��à�p���%�]�2���i�&w/�¸¿ �]~p�í�Õuxwv��sp�O�¼�������³6wv~K�&�m�/�iu­�M�M�&w¥��spwvu ��~¾�]~������i�&w�Â��?���Ö�/�i~p�&w/���pwv~p�/w�¿2»äwÕ�Mwv����³6wµ��~¾�Ow/�v�����i~ �m�Ö�v�×�i����·Ë%���]�����i~K�]±��spwµ�/�iu­�M��wV®g���¯�K�]±���spwÄ{?�&Ái�M~pwv���%�i�������/�iu­�M�M��]�����i~ê��~í�&wv��ux���]±���spwx~��Mu �+wv�­�]±�w/���%�]�����i~p��¿@±Q�&�iu ��spw���i����~p�iu­�×�]�+�+wvs%��³����i�*æQ»�spwv~Õ»äw?s%�/³6wjë 6ùómî º w/���%�]�����i~p�À��~¥îm³i�]���×�]�M��w/��¿g�]~p�Õó ���À� �/�i~p����]~��Éè2�&�G��spwwV®g�+�i~pwv~����×�]�@�i~pwxæQ»�����s�ë 6åómî w/���%�]�����i~p��¿póò�/�i~p����]~��ÉèVÂ

' 0�����:� &��7ö$%�S$p�-2�3$ùD( E�-F �ô�+������!� ��#�$%8$r,spw*~p�i�����i~à�]±À{?�&Ái�M~pwv�j�%�i������»,�i����~����&���g�p�/w/�°���=�ä�p�s���wv���6wv��¿+»�sp�µ����³6wG��spw*Ëp�&���?�]���6�i������sMuø±Ã�i�j��spwv����/�iu­�M�M��]�����i~`���À�p� ���M¿��À�p��(i�&�¯Â*r,spw �À�p�&s���wv���6wv�G�]���6�i������sMuö���?��u­�M��wvuxwv~��&w/� ��~¼�]��� �À�iu­�M�M�&wv�*�j���6wv�M�����g���&wvux�GæÃw� �pÂ!�à�]�M��w�¿ �à�]��uµ�g¿��À���/�6�g¿+����~M���M�×�]��¿ �°�i���]�M�×���6¿+{?�d¿ Â�Â� èVÂ�Ð~½��sM���Ä�&w/�v�����i~d¿�»äw°�&w/���]���S�%�i�����m�MwVËp~M�������i~p�ç�]±�{S�&Ái�M~pwv�Õ�%�i�w/��¿�����³6w°�&�iuxwÖ�p�wV±Q�M�?�M�&�i�+wv������w/�¸¿���~

�%�]�������v�M�×�]�j�¸³6wv����spwSËp~M���&wSË%wv���ç¹ º ¿p�]~p�ç�&w/���]���d��spw�����~/�Õ�+wv�лäw/wv~¼{?�&Ái�M~pwv���%�i�&w/���]~p������~pw��]�j�]���6wv�M��gÂ)+*-, .0/2143�56/�7�895;:<14=�>?/�@4ACBD56/EAGFH:I5�:¬ w��&wV±²wv�A�&� � � � � ��(&�%±Ã�i�À�Mwv��]�����ä�i~�{?�&Ái�M~pwv�A�%�i�w/�?æÃ�&w/w?�]���&� �� j�i�%���*�QèVÂ8�Swv~p�i�&w����KJ � 6½¹ º6L �

� ÿ�������ÿ � �NM��spw �+�i���O~p�iu­�×�]�@����~M�p �dwv� 0 � ÿ������Yÿ 0 2PO J � �+w��µ�&wv�?�]±2ë w/���%�]�����i~p��¿=�]~p����wv��Q 6SR 0 � ÿ�������ÿ 0 2�T �+wG��spw���Mw��]���]±UJ � �6wv~pwv��]�&w/�¾������spw=0IV � �� ¬ wÕ�sp�����w?W �]~��i�gu­��������M��wÄux�i~p�iu­�×�]���i�&�Mwv�x�i~ê��spwç�&wv�­�]±S�]���ux�i~p�iu­�×�]������~ � � ÿ������¸ÿ � � Â

XZY�c[X]\

Page 8: Complexity of Gröbner basis computation for Semi-regular ... · ISSN 0249-6399 ISRN INRIA/RR--5049--FR+ENG apport de recherche THÈME 2 INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE

��� ©'��* ��� X���� Í���ͲÑiÇ&Í&Í� �Í��]ÍVÇÉÌ/Í��@Í��iÈ -&Ê&ÑiÇ�ÅÉÆ È -�ÊiÇ�Ø�ÍVÇ����� ����ÖØ�Í�� [+Í�Ø��VÛxë � 6 ��� �� ����� � �! � W�"$#&%ë º 6 �&' �� ����� ��' � È ÙKØ�ͲÑiÇ&Í&Í(�×ë � � W Ø�ͲÑ�Ç�Í&Í!��ë º �ùÊiÇKØ�ÍÒÑiÇ�ÍÍ(��ë � �*) Ø�ÍÒÑiÇ�ÍÍ(��ë º �½Å*[-ØåÈ [ Ú Ímî8ÏÐÚÃÓ¸Æ-Ô�Íì,+ � ��- � ÿ������¸ÿ + � �.- � ï*Ú ÍGÇÉÈ�Ñ ÚÃÏÐÎxÊ]ÌVÚC[-Ê*[0/YÍVÇ�ÊÕÍ\[-ÚÃÇÉÛxÈaÌÀÆgÊ]ÌVÈQÚÃÈ��]Í ÈaÌ*Å*[ Å6ØiÎ�È×ÌÉÌÉÈ1�VÔ�Í�ÎxÊ*[-Ê�Î�ȲÅiÔdÊiÇ�Ø�ÍVÇ32r,spwµ�S� ���i�&�Mwv���+wv���i~M�6�G�&����spwµ�v�×�i��G�]±*ÚÒÊ�ÚÒÅiÔ,Ø�ͲÑiÇ&Í&Í�Ê�ÇEØ�ÍvÇÌ6ð��i~pw­Ëp�&�����/�iu­�%�]�&w/�G�&�i��]�,�Mwv���&w/w/��¿!�]~p���spwv~Õ�M�&w��&�x����w/�A»�����sÄ�&�iuxw?�i��spwv�À�i�&�Mwv��Â8r,spw?�S�#�°�i�&�Mwv�ä���ä��~Õ�6wv~pwv��]�-��spwj�+w/�&�ä�i~pw�±Ã�i�ä��spwj�/�iu­�M��wV®g���¯����i��~����]±!³���wv»*¿-�]~p�Ä���������]���&�������pwS±²�i���]~��Ä�&�i��]� �Mwv���&w/wG�i�&�Mwv��±Ã�i���&�O���&wvux��»�����sÖ�&�i���M�����i~p����~ç¹ º Â

�dwv��465�ì 0dïä��wS��spw���w��i�g��~M�x�&wv��u �]±2�����i����~p�iu­�×�]�K0°»* �� �� W*¿p�]~p�7465�ì�8 ï 6:9;465�ì 0dï=<R0 O 8?>�Â@��BA T Pק<P ��T �DCFE ¨HG-¤ T � ¨¥¤@©M¦<PQ¦(I�J � [pÈQÚ¯Í�ÌÉÓK�ÉÌ�ÍvÚMLON QÕÈaÌjÅQP,Ç�RS�\[+ÍvÇT��Å]ÌVÈ×ÌjÊ�ÙDQÄÈ Ù=Ù/ÊiÇ�Å*[pÛ�ÆgÊiÔ Û&[+ÊiÎ�ÈÃÅiÔ0 O J � +äÍ Å(�]Í 0 O Q?UWVYX O LZ465�ì[Xgï]\ 465�ì 0dï_^,ÊiÇ�ÍZYvÓOÈ��YÅiÔ�Í\[%ÚÃÔ Û¥È Ù R�465�ì1LGï T 6 R�465�ì]QOï T 2@��BA T Pק<P ��T`� C � � ª � � E ¨aG%¤ T � ¨x¤@©M¦GPa¦!I�J � [pÈQÚ¯Í�ÌÉÓK�ÉÌ/Í/ÚbLcN QíÈaÌ­Å�Ç�Í&ØiÓ�-ÉÍ�ØdP,Ç�RS�\[+ÍVÇe�&Å]ÌÉÈa̵ÊEÙUQÈ Ù8ÙvÊiÇGÅ�ÔaÔfX O L�^![-ʵÎxÊ*[-ÊiÎ�ȲÅiÔ ÊEÙbXàÔ ÈÒÍÉÌ*È [ER�465�ì1LhgS9]XK>]ï T 2�¯±ikjê¹ º �����GË%wv���çwV®g�&wv~p�����i~d¿g��spw*�]���6wv�M��]����³��]����wv�¯�ç�i�&�&�O�v�×�]�&w/�Õ�&�l8 6:9G0 � ÿ������¸ÿ 0&2m>��¸³6wv�ni¾���,��spw

�&wv���]±8�&�i���M�����i~p���]±68 ��~oiA¿prq ì 0 � ÿ������¸ÿ 0 2 ï!6s9�ì�t � ÿ������¸ÿ � � ï O ik<R0 V ì�t

� ÿ������¸ÿ t � ï!698�u�v%6 > ����� ë�>�;{?�&Ái�M~pwv�2�%�i�����2�]±HQ��Mw/�&�v�����+w/�ä�]���p��spw��&�i���M�����i~p�wp xzygì]QOï8�]± Q ��³6wv� ¹ º ¿6»�spwv�&w ¹ º ���8��spw��]���6wv�M��]���j�v�������M�&w�]±!��spwSË%wv���Ĺ º Âãp�i�8�v���O�M�&�i����]�MsM�����]�M�M�������]�����i~p��¿�»Àw,»À�]~��8�&�?�/�iu­�M�M�&w,��spw,�&�i���M�����i~p�8�]±��j�&�O���&wvu{8|Nê¹ º6L � � ÿ�������ÿ � �NM��~;��spw°Ë%wv���å¹pºp¿S�]~p�ù~p�i�ç��~å��spw �]���6wv�M��]���í�v�������M�&w¼�]±G¹%ºMÂ@�¯~ù��sM�������i�w�¿�»Àw¼���]~;�p�&wà��spwà�&wv�×�]�����i~dð

p xzy ì R 0 � ÿ������Yÿ 0&2 T ï.6}p x�y ì R 0 � ÿ������Yÿ 0&2 ÿ � º ��� � � ÿ������Yÿ � º�� � � T ïV¿�»�sM���s�uxw��]~p����s%�]�G�·±�»Àw¥�i�M���&� Qm��spwË%wv���Öw/���%�]�����i~p�?��³6wv�j¹ º ��spwv~Ö��spw�{?�&Ái�M~pwv���%�i�����j�Mw/�&�v������w/�jwV®p�i�v�����Ä��spwG�&�i���M�����i~p�?�]±8��spwG���g���&wvu ��~ç¹ � º Â

�Ð~m�]���d��spw�±²�i������»���~M�p¿-���ç�/�iu­�M�M����~M�ç�µ{?�&Ái�M~pwv�j�%�i�������]±b9G0 � ÿ������¸ÿ 0&2m> ��³6wv��¹ º »�����sm�&�i���M�����i~p�j��~ç¹ º »Àwuxw��]~­�/�iu­�M�M����~M�*�?{?�&Ái�M~pwv�!�%�i�������]±M9 � º �&� � � ÿ������¸ÿ � º�

� � � ÿ 0� ÿ�������ÿ 0&2m>��]~p���]�M�M�&wv³O�×�]�&wä������~��/�iu­�M�M����~M�

�Ö{?�&Ái�M~pwv�G�%�i�����*�]±70 � ÿ������Yÿ 0 2 ��³6wv�G¹%ºM ¬ wx�Mwv~p�i�&w­����~ � 6 ¹%º L �� ÿ������¸ÿ � � M ! ì � º � � �

� ÿ������¸ÿ � º�� � � ï��spw����i����~p�iu­�×�]�@����~M�x»�spwv�&w �]~��Äux�i~p�iu­�×�]� ��������%�]�&wVá²±Ã�&w/wµæQ�&w/�g�p�/w/��ux�O�g�M���­��spwSË%wv���mw/���%�]�����i~p�VèV¿M��spwv~

Ëp~p�g��~M��� {?�&Ái�M~pwv�2�%�i�����ä�]±�9 � º � � � � ÿ������Yÿ � º�� � � ÿ 0

� ÿ�������ÿ 0 2 >���~ J � ���2w/���M��³��]��wv~��ä�&�SËp~p�g��~M��� {?�&Ái�M~pwv��%�i�����j�]±w9G0 � ÿ�������ÿ 0&2m>G��~�~ � ð8��~Ö��spwSËp�&�&�����i�&w�»Àw*s%�/³6wG�&�­�&w/�g�p�/w*���i���O~p�iu­�×�]�������Õ��spw*Ë%wv����w/���%�]�����i~p��¿»�sM���&s����­�M�i~pw��]�­��spwç��]uxwÄ����uxw��i����spwÄuG�M�������M�������]�����i~½»�spwv~¾»ä�i�Z�O��~M� ��~�~ �  ãM�&�iu�~p�¸» �i~d¿2»Àw�/�i~p�����Mwv���i~M���Õ���i����~p�iu­�×�]������~�~ � ¬ w��&w/���]���@�&�iuxwS�%�i�������M�&�i��wv������w/���]±A{?�&Ái�M~pwv���%�i�&w/��±Ã�i��w/���%�]�����i~p���¸³6wv��¹ º »�����sÖ�&�i���M�����i~p����~Ĺ º ð% ¨ � � � ¦<Pa§<P �5T � � ÍvÚ Q��6s9<80>7�&Í�Å�[mȲØ�Í�ÅiÔ È [o~ � ^äÅ*[-ØKW Å*[àÅ�ØiÎ�È×ÌÉÌÉÈ1�VÔ�Í*ÎxÊ*[-ÊiÎ�ȲÅiÔ ÊiÇ�Ø�ÍVÇF^äÚ Í\[

� Ú ÍVÇ�Í­Í��iÈ×ÌvÚQÌ Å�P,Ç�RS�\[�ÍVÇ���Å]ÌVÈ×Ì�L�ÊEÙ�QK^äÅ*[-Ø R1L T 6 QK^� Ú ÍVÇ�Í­Í��iÈ×ÌvÚQÌ ÅxÓW[pÈ YvÓpÍ Ç�Í�Ø�Ó�-Í&Ø�P,Ç�RY�\[+ÍVÇl��Å]ÌÉÈaÌ�L�ÊEÙ�Qr^äÅ*[+Ø�L 6:9 > >çÈ ��p �äì]Qgï!6��K2��� Ù�Q ÅiÌ Ê*[pÔ Û¥Ê*[+Í�ÌvÊiÔ ÓgÚÃÈÃÊ*[°È [µ¹ º ^8Ì/ÅiÛ¥ì�� � ÿ�������ÿ � � ï_^AÚ Í\[�L 6s9 �

� � � � ÿ�������ÿ � � � � � >02�å�6���O�­�/�iu­�M��wV®g���¯�xuxw��i���M�&w����8��spw���~p�MwV®x�]±=�&wv���M�×�]�����¯�¥�]±+��spw�"�������wv���8±Ã�M~p�v�����i~Õ�i�&�&�O�v�×�]�&w/�­�&�G��spw����Mw��]�ÒÂr,spw "j������wv���=±Q�M~p�v�����i~ �]±p�]~G���Mw��]�NQ 6PR 0 � ÿ�������ÿ 0&2 T ��� ��spw!±Ã�M~p�v�����i~ �i~*��spw8~p�i~M~pwv���]����³6wä��~��&wv�6wv�&�%^?�MwVËp~pw/�������8 2�� � ì ^Oï76O�6��û�ì�~ � ! Qgï����i���¥³6w/�v�&�i�����%�i�/wÄæQ»�spwv�&wl8�������]~p�M�j±²�i�m9G0 O 8�<K�r�]�+ì 0dïH6 ^K>]èV¿�spwv~p�/w��8d2�� � ì ^OïC6Z�6��ûçì�ì�~ � ï��Yï � �6��û�ì]Q]�¸ïVÂ�ãp�i�K^?��� �µ�v��wv~������*�×�]���6w�¿]��spw "j�����+wv���=±Ã�M~p�v�����i~ ���]~p�/wv���,æÃ�&w/w7� � � � ��(&�±²�i����~p����]~p�/w�¿ ��sM���*�����+w/���]�p�w�QÖ����é�wv�&�]á¯�g��uxwv~p�&���i~%�]�aèV¿!�]~p� ��spw�Ëp�&���.^ç±²�i��»�sM���&s���spw "j�����+wv���S±Ã�M~p�v�����i~���]~p�/wv�������j���]����w/����spw���~p�MwV®��]±8�&wv���M�×�]�����¯���]±DQ-ÂAr,spw."j������wv�����&wv����w/���]±DQ¥����� ��� 4 ��8d2�� � ì ^gï�t � ¿%�]~p�Ö��sM����&wv����w/�����j���+�i���O~p�iu­�×�]�Ò �Ð�,�����v��w��]����s%�]��±²�i�7^e� î¼»äw�s%��³6wµì�~ � ! QOï�� 6 ì 8�ï�æQ��spwv�&w*wV®g�����&��~p�µ�&���%�]�&w?±Ã�&w/w

cdc >*egfNhji\k

Page 9: Complexity of Gröbner basis computation for Semi-regular ... · ISSN 0249-6399 ISRN INRIA/RR--5049--FR+ENG apport de recherche THÈME 2 INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE

ux�i~p�iu­�×�]�%��~µîç³i�]���×�]�M��w/�ä�]±=�Mwv���&w/w����&w��]�&wv�2��s%�]~µî@èV¿6spwv~p�/w���spw���~p�MwV®x�]±��&wv���M�×�]�����¯�x���8��w/��8��s%�]~¥�i�Aw/���%�]��&�çî � >  ¬ wµ»������A�&w/w­��~í��spwx~pwV®g�G�&w/�v�����i~ ��s%�]� ��spw­uµ�Y®O��uµ�]�À�Mwv���&w/wµ�]±��]~íwv��wvuxwv~��G��~í��spwÕ{?�&Ái�M~pwv��%�i�������]± Q����j��w/��j��s%�]~¼��spw���~p�MwV®à�]±ä�&wv���M�×�]�����¯��¿ �]~p�°���S�&wv�×�]�&w/�°�&�Õ��spw������i�%�]��æ²�]������sMuxwv�����¸è��/�������]±A��spw�/�iu­�M�M��]�����i~¼»�spwv~à�p����~M�Õ����~pw��]���]���6wv�M��g � ~pw��6�6�]�!�]±A��sM���?�%�]�+wv�?���?�&�µ��u­�M�&�¸³6w���spw��+�i�M~p�mî � > ±²�i�´¯�6wv~pwv�����V¶*�&w/���pwv~p�/w/��Â)+*Z) >?/�@4A BG56/ AGFH:I5�: FHB����-8 BD56F / F����456AG/2F¬ w�Ëp�&���*�/�i~p�����Mwv��sp�iux�i�6wv~pw/�i�p� ���i����~p�iu­�×�]���.0 � ÿ�������ÿ 0 2 ��~�~��� ��spw��+�i���O~p�iu­�×�]�2����~M�çux�O�g�M���Ä��spw�sp�]áux�i�6wv~pw/�i�p���%�]��� �]±��×�]���6w/�����Mwv���&w/wµ�]±���spw­Ë%wv����w/���%�]�����i~p�¸¿ ��s%�]� ����~ �� 6 ¹ º�L � � ÿ������¸ÿ � ��M ! ì � º � ÿ�������ÿ � º� ïVÂ�dwv� W(�+w*������i�Mw/�Ö�i�gu­��������M��w�ux�i~p�iu­�×�]�@�i�&�Mwv��Âr,spwµ³6w/�v�&�i�����%�i�/wKQ]�­��� �6wv~pwv��]�&w/�í���í�]���A��spwZ0��­»�����s >� ��� ë �]~p��*�çux�i~p�iu­�×�]�,���p�&s���s%�]�

�r�]��ì�0��¸ïE6 ^%Â��O�¥»Àw­���]~¼�/�i~p�������p�v����spw �°�i���]�M�×���muµ�]�����·®����������������� � 2 �i�?±²�i������»�� ���à�i����y&�¯ð�»������&w­�M�¸»�~sp�i����é��i~���]�������]������spwS�Mwv���&w/w ^ÖæÃ�&���%�]�&wj±Q�&w/w¸è2ux�i~p�iu­�×�]����¿p�i�&�Mwv�&w/�Õ±²�i������»���~M�­��spw?ux�i~p�iu­�×�]�d�i�&�Mwv� W æQ��spwËp�&���­�i~pwÕ�+wv��~M�¼��spwÕ�×�]���6w/���­�i~pw¸èV "jwv~p�/wçw��i�s �/�i���Mu­~ �]±j��spwÕuµ�]�����·®�������~p�MwV®Mw/�ê���ê�Öux�i~p�iu­�×�]���]±�Mwv���&w/w¥�]� ux�����.^-ÂB�m�M�������M���¼w��i�&s 0���±Ã�&�iu > �&�Öë����í�]~��¼ux�i~p�iu­�×�]����]±��Mwv���&w/w ^ � ^ �mæQspwv~p�/wµ��spw�M�&�O�g�p�v�!0 � s%�i�*�Mwv���&w/w ^OèV¿��]~p�¼»������&w���spwx�/�Ow��µ�v��wv~��&� �]±"Z0 � �M~p�Mwv�*��spwv���G�/�i���&w/�&�+�i~p�g��~M�mux�i~p�iu­�×�]����¿��s��p�?����³O��~M�Ä�µ�&��»ô�]±A��spw uµ�]�����·®�Â?r,spw �&��»����]�&wG�×�]��wv��w/�êæQ��spw �&�¸»�Z0��G���j�×�]��wv��w/�êì� ÿ 0��¸ï�èj�]~p�à�i�&�Mwv�&w/�=ð�&��» ì� ÿ 0��]ïä�����+wV±²�i�&w��&�¸»�ì�# ÿ 0IVÒïÀ�·±8wv����spwv� � W�v¿M�i� � 6*vä�]~p�$ W%#@Â

� �������&���'�� � 2 6()))*

ux�i~p�iu­�×�]���j�]±!�Mwv���&w/w.^ì� ÿ 0 � ïì�# ÿ 0 º ïÂÂÂì�+ ÿ 0&2Sï

,�---.

ãp�i� �]~��à�&��»1��~ ��spwxuµ�]�����·®�¿@�/�i~p�����Mwv�*��spw­ux�i~p�iu­�×�]�ä��~p�MwV®O��~M����spw­Ëp�&����~p�i~Mé�wv�&�Ö�/�i���Mu­~í�]±,��sM���*�&�¸»*Â�Ð�����µ���]����w/�¾��spwÄ��w��i�g��~M� ux�i~p�iu­�×�]���]±?��spwç�&��»*¿,�]~p�ê���­��spwÄ��w��i�g��~M� ux�i~p�iu­�×�]���]±?��spw��/�i���&w/�����i~p�g��~M����i����~p�iu­�×�]�ÒÂ{��]�p����×�]~Gwv����u­��~%�]�����i~��]�M�M����w/� �i~���sM���duµ�]�����·®���w��i�M�=�&���j{?�&Ái�M~pwv�d�%�i�����d�/�iu­�M�M��]�����i~:� � �]é<��¡M¿�� �]é¸�g¢ �¯Â

�Ð~p�Mw/w/�=¿����]���0/�1�������&���'�� � 2 ��spwà{��]�p�&���×�]~åwv����u­��~%�]�&w/� ±²�i��u.�]±!�1�������&���'�� � 2 ¿,���p�&s½��s%�]�µ��spwm�i~M��� wv��wvuxwv~���]����i��wv��]�����i~­�]�����¸»äw/��±²�i�@�i~pwÀ�&��»K������spwÀ�i�M�g�������i~­�]±+������~pw��]�8�/�iuG�M��~%�]�����i~x�]±%��spwä�M�&wv³����i�p���&�¸»���Â!r,spwA�×�]��wv����]±%��spw,�&�¸»��!��~2/� �������&������ � 2 �]�&w,��spw,��]uxw��i����~3� �������&������ � 2  � ��»¾�/�i~p�����Mwv�A�]���g��spwÀ�+�i���O~p�iu­�×�]���2�/�i���&w/�����i~p�g��~M��&�Ä�µ�&�¸»ô»�sp���&w���w��i�g��~M�Õ�&wv��u3���?~p�i�S��spw �É�]uxw ��~�� �������&���'�� � 2 �]~p� /� �������&������ � 2 ¿-±²�i�S�]��� ^ ^54 �76 ¿+��spwv~à��sM����&wv�*�]±,�+�i���O~p�iu­�×�]���*��� �Ö{?�&Ái�M~pwv�*�%�i�����G�]±H0 � ÿ������¸ÿ 0 2 �M� �&���Mwv���&w/w ^ 4 �76 ¿@�]~p�°±²�i�.^ 4 �76 �×�]���6wxwv~p�i�M��sæ ^54 �76 î@èV¿g��sM�����&wv�������¥{?�&Ái�M~pwv���%�i������Âãp�i�*�¥�&w/���pwv~p�/w��]±,� �x~pw ���i���O~p�iu­�×�]��� 0 � ÿ������Yÿ 0&2 O ~ � ¿��MwVËp~pw���spw �°�i���]�M�×���Öuµ�]�����·®8� �������&������ � 2 �&�

��wµ��spwB�°�i���]�M�×��� uµ�]�����·®K�]±���spwÕ�&w/���pwv~p�/wB09�� ÿ������¸ÿ 09�2 O ~��� ¿�»�spwv�&w 09�V ��� ��spw¥sp�iux�i�6wv~pw/�i�p�­�%�]�����]±�×�]���6w/�����Mwv���&w/wG�]± 0IVEÂãM�&�iu ��spwS�/�iu­�M��wV®g���¯�µ���i��~����]± ³O��wv»*¿O�·±K^-ìQî@ï2���À��spw?uµ�Y®O��uµ�]�=�Mwv���&w/wS���/�v�M������~M����~Õ��spwS�/�iu­�M�M��]�����i~d¿

�]~p�Äó � � � � ���À��spw?�&��é�wj�]± ��spw?�×�]���6w/���,uµ�]�����·®:� � � � � � 2 ¿���spwv~Ä��spw?»�sp�i��w��/�iu­�M��wV®O���Ð�µ�����M�iu­��~%�]�&w/�Ä���x��spw�/�����G�]±���spwµ����~pw��]���]���6wv�M����i~�� � � � � � 2 ¿d»�sM���&sK���Gó þ� � � � »�spwv�&w;(���*��spwµ�/�Ow��µ�v��wv~����]±,����~pw��]���]���6wv�M��g¿��spw­��w/���L�O~p��»�~��+�i�M~p�¼��wv��~M��; 6 A � #5<>= � � ¬ ���G�¯Â � �i�&w­��s%�]�*��spwµuµ�]�����·®à���G³6wv���¼���%�]�&�&w�ð*�·±,��spw 0IV�� ��]�&w��]±A�Mwv���&w/w�yg¿-��spwv~°��spwv�&w��]�&w��]�jux���&� � � �@? � �º ~p�i~mé�wv�&�Õ�/�Ow��µ�v��wv~��&�S��~mw��i�sà�&��»*¿+spwv~p�/w��/�i~p�����Mwv����~M�; 6 AÖ���G�&w��]������������ �À�i~p�����Mwv����~M�à��spwB�°�i���]�M�×��� uµ�]�����·®�¿!uµ�]~�� �&��»��­�]�&w¥é�wv�&�Ö��~K��spw¥�&w/�g�p�/w/�íuµ�]�����·®/� �������&���'�� � � � � 2 ¿g�]~p�¥��spw?~��MuG��wv���]± �&��»��,���ÀuG�p�sç�×�]���6wv�,��s%�]~Õ��spw?~��MuG��wv���]±@�/�i���Mu­~p���]~p�Õ��s%�]~Õ��spw?��]~/�µ�]±��spwSuµ�]�����·®= ¬ w?»������d�&w/wS��~Ö�Ow/�v�����i~��­��s%�]��¿g�p����~M�­��spwS�v�����&wv���×�­�]±@��spw�ã8�x{?�&Ái�M~pwv���%�i�&���������6�i������sMu�¿M»Àw

XZY�c[X]\

Page 10: Complexity of Gröbner basis computation for Semi-regular ... · ISSN 0249-6399 ISRN INRIA/RR--5049--FR+ENG apport de recherche THÈME 2 INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE

���]~àwV®O����i�v��±Q�&�iu���spw.�à�i���]�M�×�/��uµ�]�����·®à��±Ã�M��� ��]~/��uµ�]�����·®��M~p�Mwv�S�&�iuxw��/�i~p�g�������i~p�?�i~,0 � ÿ������¸ÿ 0&2GÂ7�Ð~��spwS~pwV®g�,�w/�v�����i~d¿g»äw*�MwVËp~pw��&wvu­�·áÒ�&wv���M�×�]�j�&w/���pwv~p�/w/�¸¿�±²�i��»�sM���&sç��spwSuµ�]�������/w/����~ç��spw�ã!���j���6�i������sMu »������s%�/³6w�±Q�M���=��]~/��Â2r,spw��MwVËp~M�������i~m�]±8�&wvu­�·áÒ�&wv���M�×�]���w/���pwv~p�/w����,�&�i��]�����Ä��~p�Mwv��wv~p�Mwv~��?�]±8�]~��ç{?�&Ái�M~pwv���%�i������]���6�i������sMu��]~p�Ö�Mwv�+wv~p�M���i~M���Ä�i~���spw����Mw��]� ���&�&wv�·±EÂ

� � ����� E�- &���.���í0�2�3 546�+87�)��&#���$%8>S)�8� '�8$�dwv�.0 � ÿ�������ÿ 0&21��w­�Õ�&w/���pwv~p�/w��]±ÀëHw/���%�]�����i~p�S»�����s �Mwv���&w/w/�L^ � ÿ������Yÿ ^ 2 �¸³6wv�G�µË%wv����� ��~°îK³��]���×�]�M��w/�� � ÿ������Yÿ � � ¿8�]~p� Q 6 R 0

� ÿ������¸ÿ 0&2 T ��spwµ�6wv~pwv��]�&w/�����Mw��]�ÒÂ�Ò±�� 61]S¿,��spwv�&wÄ�]���&w��i�g�íwV®g�����&����~p�i�����i~K�]±�&wv���M�×�]�2�&w/���pwv~p�/w�¿]±Ã�i�!»�sM���s­��spwÀ�/�iu­�M��wV®g���¯���]±%��spw�{?�&Ái�M~pwv�8�%�i�����!�/�iu­�M�M��]�����i~x����»Àwv���/��~p�¸»�~dÂ��jwv���M�×�]��&w/���pwv~p�/w/�����]~���w��MwVËp~pw/�����Ä��spw*�&wv���]±!�&wv�×�]�����i~p����wv�¯»Àw/wv~Ö�6wv~pwv��]�&�i�&��ÂÀr,spwv���]��»À���O�j³6wv���·±Q�Õ��spw�������³O�×�]��&wv�×�]�����i~p� 0IV 0��B6 0�� 0IVE¿��i�G»äwv���À�i���]���2��spwµ�&wv�×�]�����i~p� �6wv~pwv��]�&w/�����à��spw/�&w¥�i~pw/��ÂÄ��wv���M�×�]���&w/���pwv~p�/w/���]�&w�&w/���pwv~p�/w/��»�sM���sà³6wv���·±Q�Ä~p�Õ�i��spwv�j�&wv�×�]�����i~p�?��s%�]~Ö��spw ������³O�×�]�@�i~pw/��Â�r,spwv�����]~¼�]���&�µ�+w �&s%�]��i�v�&wv����é�w/�à�����spw��g��uxwv~p�����i~Ä�]±���spwj�i�&�&�O�v�×�]�&w/�­³��]����wv�¯��ð8���&w/���pwv~p�/wE0 � ÿ������¸ÿ 0&2����A�&wv���M�×�]�A�·± �]~p�x�i~M�����·±�pµì 0 � ÿ������¸ÿ 0&2Sïs%�i���g��uxwv~p�����i~mî � ë Âãp�i�j��³6wv�&�Mwv�&wv��u­��~pw/�°���O�&�&wvux��¿O��spwS�M�&w/�/w/�g��~M�¥�MwVËp~M�������i~Ö�M�Ow/��~p�i��»ä�i�Z���]~��¥ux�i�&w� ¬ wG�MwVËp~pw*�&wvu­�·á�&wv���M�×�]�j�w/���pwv~p�/w/�S�]~p�Ö�Mwv���&w/w �]±!�&wv���M�×�]�����Ð�+¿-��s%�]�jwV®g�&wv~p����spwG~p�i�����i~p�j�]±8�&wv���M�×�]�?�&w/���pwv~p�/w/�S�]~p����~p�MwV®�]±��&wv���M�×�]�����Ð�í�&�°��³6wv�&�Mwv�&wv��u­��~pw/� ���g���&wvux��Âmr,spwÄ�Mwv���&w/w¥�]±��&wv���M�×�]�����Ð�í������spwµËp�&�����Mwv���&w/w:^°±²�i� »�sM���s��spw­�&wv��9;465�ì 0dï <�0 O Q]�a>x����wV®M�i�v�����°��spw­�&wv�*�]±Àux�i~p�iu­�×�]���G�]±À�Mwv���&w/w ^%­�Owvu­�·áÒ�&wv���M�×�]� �&w/���pwv~p�/w/�*�]�&w�&w/���pwv~p�/w/��³6wv���·±Ã����~M�x~p�µ�i��spwv���&wv�×�]�����i~p����s%�]~���spwS������³O�×�]� �i~pw/��Ó¸ÆíÚÒÊÄØ�ͲÑiÇ&Í&Í Ü�Ý×ÞÒß�Âãp�i�?���g���&wvux��»�����sÖ�/�Ow��µ�v��wv~��&�?��~ç¹ º �]~p�Ö�&�i���M�����i~p����~ç¹ º ¿-wv³6wv���Ä�+�i���O~p�iu­�×�]�K0 O Qµ³6wv���·Ë%w/��0 º 6 0!¿

spwv~p�/w¥��spwv�&wµ����~p�Ö�wvu­�·áÒ�&wv���M�×�]���w/���pwv~p�/w/��»�����sK��spwµ�M�&wv³O���i�p���MwVËp~M�������i~d ¬ wÕwV®O�&wv~p�M� ��spwÕ�MwVËp~M�������i~�]±��&wvu­�·áÒ�&wv���M�×�]���w/���pwv~p�/w/�����à��&����~M����~��&�m�i�/�/�i�M~��G��spw­������³O�×�]�A�&wv�×�]�����i~p� 0 ºV 6 0 V ¿dspwv~p�/wx�wvu­�·áÒ�&wv���M�×�]��&w/���pwv~p�/w/����³6wv��¹ º �]�&w��&w/���pwv~p�/w/��³6wv���·±Ã����~M�Ä~p�ç�i��spwv���&wv�×�]�����i~p����s%�]~¼��spw�������³O�×�]�2�i~pw/�L0IV 0�� 6 0��<0IVä�]~p�0IV 0IV%6 0IV8�M�à�&�Õ�Mwv���&w/w�Ü�ÝaÞÒß� ¬ w�����³6wG��wv����»ô��spw�uµ�]��spwvuµ�]�������]�2�MwVËp~M�������i~ �]±A�&wvu­�·áÒ�&wv���M�×�]�*�&w/���pwv~p�/w/���³6wv��¹ º ¿M�+wv����~M~M��~M�µ»�����s���spw�sp�iux�i�6wv~pw/�i�p�����i�w�ð@��BA T Pק<P ��T�� C � � �5Q4�UT ��� ¦ ¹ º � � �UQ ¨ ��� �;� ¨ �RQ �*Q©M¨&Pa§ I � ÍvÚ�0 � ÿ�������ÿ 0&2 �&ÍÄÅÖÌ/Í�YvÓMÍ [5-Í�Ê�Ù�ë Ê�ÏÎxÊ&Ñ�Í\[�Í�ÊiÓ�ÌSÆgÊiÔ Û&[+ÊiÎ�ÈÃÅiÔ Ì�È [�~ �� ^�Å�[-Ø Q=6 R 0 � ÿ������¸ÿ 0&2 T 2��­ÍµØ�Í��![+Í­Ú ÍµØ�ÍÒÑiÇ�ÍÍÄÊEÙ Ç&ͲÑiÓOÔ�ÅiÇÉÈÃÚÃÛ°Ê�Ù�QKÚÒÊ��ÍÚ Í Î�È [pÈaÎxÅiÔ Ø�ͲÑiÇ&Í&ÍL^¼ÌÉÓ/- Ú Å�Úw9;465�ì 0dïb</0 O Q]�(>ÕÈaÌ�Í���Å -/ÚÃÔ ÛÕÚ Í�Ì/ÍvÚ,ÊEÙGÎxÊ*[+ÊiÎ�ÈÃÅiÔ ÌGÊEÙ�Ø�ͲÑiÇ&Í&Í ^¼È [ ~����ÐÊ�Ç�~ � �;^äÅ*[+Ø¥Ø�Í [-Ê�Ú¯ÍGÈQÚb�VÛ Ü� ����o�ZQ!�B2��­Í Å(�]ÍjÜ� ���� î �)> 2 � � ©M¨��!« Ü�Ý×ÞÒß*����wV®M�i�v�����Õ��spw���~p�MwV®��]±��&wv���M�×�]�����Ð�+Â@��BA T Pק<P ��T�� C � � �5Q4�UT ��� ¦ ¹%º�� ¦ � � P � ¨ �RQ *Q©M¨x¦ �RS �UT ª � ¦(I � ÍjÌ�ÍZYvÓpÍ\[5-Í�ÊEÙ ÊiÎxÊ&Ñ�Í [+Í�ÊiÓ�ÌÀÆgÊiÔ Û]Ï[-ÊiÎ�ȲÅiÔ Ì70 � ÿ������¸ÿ 0&2 O ~ �� È×ÌGÅxÌ/ÍVÎ�ÈQϯÇ&ͲÑiÓOÔ·ÅiÇ Ì/Í�YvÓMÍ [5-Í­Ê(�iÍVÇ�¹ º È Ù

� Q 6 R 0 � ÿ�������ÿ 0&2 T �6Z~������ ÊiÇ vE6 > ÿ������Yÿ ë�^ È Ù�XIV 0IVC6 8 È [�~ �� ! ì 0 � ÿ�������ÿ 0IV ? � ïxÅ�[-Ø��r�]��ì[XIV 0IV²ï W�Ü ���� ì]QB��Ú Í\[�XIV�6 8 È [~��� ! ì 0 � ÿ������¸ÿ 0IV ? � ÿ 0IV²ï

�j~Ö� �x~pw*�&w/���pwv~p�/w*�]±����i���O~p�iu­�×�]����������]���ç�&����w��&wvu­�·áÒ�&wv���M�×�]�?��³6wv��¹ º �·±!���&��sp�iux�i�6wv~pw/�i�p�j�%�]��������ð@��BA T Pק<P ��T � C £�� T � � �RQ ¨ � � �;� ¨ �UQ �*Q©M¨&Pa§ �� ¦ � �IP � ¨ �UQ �*Q©M¨µ¦ �US �WT ª � ¦ �WV � ¨ ¹ º I �@ÍvÚ%0 � ÿ������Yÿ 0&2�&ÍçÅ�[¾Å� [+ÍxÌ/ÍZYvÓpÍ\[5-ÉÍ�ÊEÙSÆMÊiÔ Û*[-Ê�Î�ȲÅiÔ ÌxÈ [�~ � Å*[-Ø<QM6 R 0

� ÿ������Yÿ 0 2 T 2 � ÊiÇÕÍ�ÅR- > v ë Ô�ÍvÚH09�V �ÍÚ Í ÊiÎxÊ&Ñ�Í [+Í�ÊiÓ�Ì�ÆgÅiÇvÚ ÊEÙ 0IVxÊEÙÄÔ�ÅiÇÃÑ�ÍÉÌVÚ�Ø�ͲÑiÇ&Í&Í32 � ÍmÅ�� [+ÍÄÌ/ÍZYvÓpÍ\[5-ÉÍ:0 � ÿ������Yÿ 0&2 O ~ � Èa̵Ì/ÅiÈÃØíÚÒÊ �ÍÌ/ÍvÎ�ÈQϯÇ&ͲÑiÓOÔ�ÅiÇmÊ(�]ÍvÇ�¹Mº È ÙÄÚ Í ÊiÎxÊ&Ñ�Í\[�Í�ÊiÓ�ÌçÌ/ÍZYvÓpÍ\[5-ÉÍ:09�� ÿ������¸ÿ 09�2 O ~��� È×Ì¥Ì/ÍVÎ�ÈQϯÇ&ͲÑiÓOÔ·ÅiÇ°Ê(�]ÍVÇ�¹%º&2 �­ÍØ�Í�� [+Í Ú Í�Ø�ͲÑiÇ&Í&Í­ÊEÙ�Ç&ͲÑiÓOÔ�ÅiÇÉÈÃÚÃÛçÊEÙ�Q¼ÚÒÊ �Í�Ú Í�Ø�ͲÑiÇ&Í&Í­ÊEÙ�Ç&ͲÑiÓOÔ�ÅiÇÉÈÃÚÃÛçÊEÙ�Q �"! Ü ���� � QB�()ÀÜ ���� ì]Q � ï]2

cdc >*egfNhji\k

Page 11: Complexity of Gröbner basis computation for Semi-regular ... · ISSN 0249-6399 ISRN INRIA/RR--5049--FR+ENG apport de recherche THÈME 2 INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE

¬ w*�/�i~i��w/�v���M�&w���s%�]��ux���&���&w/���pwv~p�/w/���]�&w*�&wvu­�·áÒ�&wv���M�×�]���w/���pwv~p�/w/��ð� �5T�� � ª�§� @¨ ��� � Ê�Ç­Å�[pÛÖìQî ÿ ë ÿ ^ � ÿ������¸ÿ ^ 2*ï�Ú ÍSÆ-ÇEÊVÆgÊiÇvÚÃÈÃÊ*[¾ÊEÙ�Ì/ÍvÎ�ÈQϯÇ&ͲÑiÓOÔ�ÅiÇxÌ�ÍZYvÓpÍ\[5-ÍÉÌÄÊ(�]ÍVÇ�¹ º È [íÚ ÍÌ/Í/Ú��¥ìQî ÿ ë ÿ ^ � ÿ������¸ÿ ^R2Sï�Ê�Ù�Å�Ô Ñ�Í;�VÇEÅ�È -�ÌÉÛ]ÌvÚ¯ÍVÎ�Ì�ÊEÙ!ëòÍ�YvÓgÅ6ÚÃÈÃÊ*[pÌjÊEÙ�Ø�ͲÑiÇ&Í&ÍÉÌC^ � ÿ�������ÿ ^ 2ôÈ [Gî��YÅ�ÇÉȲÅS�VÔ�ÍÉÌ�Ú¯Í\[-ØiÌÚÒÊ��¥ÅiÌ,îåÚ¯Í\[-Ø]Ì*ÚÒÊ a 2r,sM���µ�/�i~i��w/�v���M�&w���u­�M����w/�¥��s%�]�¥�m´¯�6wv~pwv�����V¶Ö�w/���pwv~p�/wm�]±?���i����~p�iu­�×�]���¥���x�&wvu­�·áÒ�&wv���M�×�]�� ¬ wm�g���¾uµ�]~���/�iu­�M�M�&wv�GwV®g�+wv����uxwv~��&��»�����s¼��]~p�M�iuö�&w/���pwv~p�/w/��¿d�]~p�à»äwx�]��»,�/�g���6�i�*�&wvu­�·áÒ�&wv���M�×�]�*�&w/���pwv~p�/w/�xæQ»�����s¼î�M���µwv~p�i�M��s-èVÂ

� � ��#�����$% $ ��� � �&7����� E�-F�� � #�� <÷'�������)*�+#,�- &���.��� �������r,spw¥�6�6�]�,�]±���sM�����&w/�v�����i~K��� �&�°�]~%�]���Oé�wÕ��spwµ��wvs%�/³O���i���]±?�����6�i������sMu�ã8� � ã%�]�%��y��ä»�spwv~ê��spw¥��~M�M�M� ���­��&wvu­�·áÒ�&wv���M�×�]�x�&w/���pwv~p�/w� ¬ wÄ�/�i~p�����Mwv��ã8�m��~¾��uµ�]�����·®�±²�i��sM���i~dðx��spwÄ�]���6�i������sMuHuµ�]�����·®Oá¯ã8�m�/�i~p�&�����p�v�&�uµ�]�������/w/����~p�v�&wvuxwv~���]�����¼��~¼��spw­�Mwv���&w/wx�]~p�à��spw�~��MuG��wv�G�]±À�+�i���O~p�iu­�×�]����¿ �]~p�à�p�&w/�S����~pw��]�G�]���6wv�M��g­�?�����]�&w/�°��~ �Ow/�v�����i~¼yg yg¿���spw �����i�%�]�8�/�����S���j�M�iu­��~%�]�&w/�à���Ö��spw��/�������]±2��spw�����~pw��]���]���6wv�M��Õ�i~à��spw �×�]���6w/���uµ�]�����·®=¿M»�sM���&sm���,��spw�uµ�]�����·®ç��~��Mwv���&w/wGÜ�Ý×Þ¯ß6Â��±Q�&wv�*�Ä��sp�i�����Mw/�&�v�����M�����i~��]±äuµ�]�����·®Oá¯ã!�Ä�j���6�i������sMu�¿=»Àw­��sp��» ��s%�]�S±²�i���&wvu­�·áÒ�&wv���M�×�]�G�&w/���pwv~p�/w/�G�]���

uµ�]�������/w/���]�&w�±Ã�M���%��]~/�µ�]~p�¥»äwj����³6w���spw?wV®M�i�v�ä³i�]���pwj�]±d��sM���A��]~/��Â!r,sM���A���À�v�����&wv���­�&wv�×�]�&w/�¥�&�*��spw�"�������wv����&wv����w/���]±8�&wvu­�·áÒ�&wv���M�×�]�?�&w/���pwv~p�/w/�j�i��»äwv���@�i����spwv�����Mwv���&w/wG�]±!�&wv���M�×�]�����¯��Â�D*-, ���G14/�7 �G5�:�� /2893G7�891[B 14=�� F 7�/28������! #" ���414/2897$�%��dwv� 0 � ÿ������¸ÿ 0 2 �+w��x�&w/���pwv~p�/w��]±2ëú���i����~p�iu­�×�]���?��~°��spwG���i����~p�iu­�×�]������~M�Õux���g�M���¥��spw*Ë%wv���°w/���%�]�����i~p��¿~ � 6½¹ º6L �

� ÿ�������ÿ � �NM ! ì � º �W� �� ÿ������¸ÿ � º�

� � � ïV¿��]~p� W �?����i�Mw/�µ�i�gu­���&�����M��w,ux�i~p�iu­�×�]�+�i�&�Mwv��Â!r,spw��&��»��2�]±��spw7�à�i���]�M�×�/��uµ�]�����·®� �������&���'�� � 2 �6wv~pwv��]�&w�Q]���i�A��³6w/�v�&�i�A���%�i�/w�¿6�M�M�2�&�M�&wv�������8s%�i�2~p�i�8±Q�M���M��]~/��ð�»äw�s%��³6w�]�S��w��i���?��spw �&wv�×�]�����i~p� 0IV 0�� 6 0�� 0IVä�]~p�M0IV 0IV!6 0IVEÂ�r,spw����Mw��¥�]±�� ã%�]�%��y&�8���?�&�Õ�/�i~p�&�����p�v���Õ���M�gáÒuµ�]�����·®'&� � � 2 �]±!��sM����uµ�]�����·®=¿M��~p�v�&wvuxwv~���]�����ç��~^%¿M»�sM���s�»������ds%�/³6w�±Q�M���d��]~/�¥±²�i���&wvu­�·áÒ�&wv���M�×�]�j�&w/���pwv~p�/w/��Âr,spw�±²�i������»���~M�ç�M�&�i�������������i~ wV®g�M�����v���&�S��spw­�v�����&wv�����i~¼�p�&w/�à�&�Ä�/�i~p�������p�v�!� � � 2 ±Q�&�iu � �������&������ � 2 ���°�&wVá

ux��³O��~M�°�]���ä�&��»�� ��s%�]�G»������ä�&w/�g�p�/wx�&��é�wv�&�Ö�+w/���]�p�wx�]±���spwx������³O�×�]�A�&wv�×�]�����i~p� 0IV 0�� 6 0�� 0IV��i� 0IV 0IVH6 0IVEð% ¨ � � � ¦<Pa§<P �5T�� C �=¨ � ¤ �UT P ¦­ª�¨&Pa§ � ¨*P �5T I È Ù�È [ÄÚ Í�ÎxÅ�ÚÃÇVÈ � /� � ? �)( � 2 Å ÇEÊ�+êì� ÿ 0&2?ï Å]Ì�Å*Ô�Í�Å6Ø�È [�Ñ�Ú¯ÍvÇÉÎ+*2Ú Í\[¼Ú ÍGÇEÊ�+ùì�+* ÿ 0 2 ï�ÈaÌ�Ç�Í�Ø�ÓU[-Ø�Å*[%ÚÀÈ [°Ú ÍGÎxÅ�ÚÃÇÉÈ � �-,)./,1032 ,54� � 2 2���M�M�����&wµ»ÀwÕs%�/³6wÄ�/�i~p�������p�v�&w/�Kuµ�]�������/w/� � �56 � 2 ±²�i� ^ * W ^%°r,spwv~ê��spwµuµ�]�����·® � � � 2 �/�i~p�������&���]±?�]�����spw��&��»��*�×�]�+wv��w/� ì� ÿ 0IV²ïj»�����s > v ë÷�]~p���r�]�-ì�&ï�6 ^ � ^�V,wV®g�/wv�M�S±²�i�S��spw3�� �?��s%�]�*�/�i���&w/�����i~p�¼�&��KæQ~p�i~gáÒé�wv�&��è ��w��i�g��~M�°�&wv��uò��~ /� � ? �1( � 2 Âàr,spwµ~��MuG��wv�x�]±��&�i��]�,�+���&�&���M����������w/�G±²�i� *���G��spwÕ~��MuG��wv���]±ux�i~p�iu­�×�]���*�]±ä�Mwv���&w/w ^ � ^�VE¿���s%�]�S���87 �� ? �19/: ¿��&�Õ»�sM���&s¼»Àw �&wvux�¸³6wx�i�Suµ�]~��m�&��»��G�i�?~p�i~gáÒé�wv�&�ç�i~pw/�S��~/� � ? � ( � 2 Â!"?wv~p�/w�¿M��spwS~��MuG��wv�j�]±!�&��»�����~ � � � 2 ����w/���%�]�d�&��7 �� ? �)9;: u­��~��p����spw���]~/�Ä�]± /� � ? � ( � 2 Â�SwVËp~pw=<K� � 2 ìQî@ï!�&� �+w���spw�~��Mu �+wv���]± �/�i���Mu­~p�À��~ � � � 2 u­��~��p�ä��spwj~��Mu �+wv�,�]±d�&��»��¸Â8�j�ä���i~M���i�A��spwuµ�]�������/w/�?s%�/³6wG±Q�M���@��]~/�+¿��]~p�m��s%�]�j������spw ���i�&wG�·± ^ W�Ü�Ý×ÞÒßG±Ã�i�S�x�&wvu­�·áÒ�&wv���M�×�]���&w/���pwv~p�/w�¿%��spwv~><K� � 2 ìQî@ï���À��spw�"j������wv���A±Ã�M~p�v�����i~ç�]± ��spw�sp�iux�i�6wv~pw/�i�p���%�]���,�]±@sM����spw/���À�Mwv���&w/wS�]± ��spwS�&w/���pwv~p�/w�¿M�]~p�µ��spw?�M�&wv³O���i�p��&w��i�&�i~M��~M�x��w��i�M���&����spw��&w/�v�M���&wv~p�/w�±²�i��uG�M�×�gð

? \A@ �� �=+CB \ +ED��FD <��HG @ �� �=+CB )�' � @ �� �=+EB ; +(';I '�)�� � @ �5� A �=)1J +.> \ J +( LK &,��� � &NMPORQTS 9;U I7 LK��5�=� �+B0+VD LD � �=)5J +,> ; J +( LK LK���D=� @ ��&,��� � & *

XZY�c[X]\

Page 12: Complexity of Gröbner basis computation for Semi-regular ... · ISSN 0249-6399 ISRN INRIA/RR--5049--FR+ENG apport de recherche THÈME 2 INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE

� � � �í© � � Ê�Ç?ÅGÌ/ÍZY/ÓMÍ\[�-ÍE0 � ÿ�������ÿ 0&2m^!Å]Ì�Ô�Ê*[�Ñ­ÅiÌ�Ú ÍVÇ&Í?È×Ì7[+ÊGÇ&Í�ØiÓ/-/ÚÃȲÊ*[ÖÚÒÊ /¸ÍvÇEÊ�È [ÄέÅ6ÚÃÇÉÈ � � � � 2 ^�Ú Í\[Ú Í��SÈQÔ �&ÍVÇvÚ%ÙVÓU[�-/ÚÃÈÃÊ�[ ��8d2�� � ì ^gïSÌ/Å�ÚÃÈaÌ[�ÀÍÉÌ*Ú ÍGÇ&ÍZ-vÓOÇÉÇ&Í\[5-ÉÍ,Ù/ÊiÇÉÎ�ÓOÔ·Å !

��8 2�� � ì ^Oï!6���8 2 ? � � � ì ^Oï � ��8 2�� � ì ^ � ^ 2 ï+8ÈÃÚ È [pÈÃÚÃÈÃÅiÔ3-&Ê�[-ØiÈÃÚÃÈÃÊ*[pÌn��8 2�� � ì ^Oï!6 7 � ��: È Ù�ë 8°Ê�Ç7^KW¾û ���dì ^���<�� ëmï]2% ¨ � � � ¦<Pa§<P �5T � � ÙçÚ ÍÄÌ�ÍZYvÓpÍ\[5-Í=0 � ÿ������Yÿ 0&2 ÈaÌÕÌ/ÍVÎ�ÈQϯÇ&ͲÑiÓOÔ·ÅiÇF^xÚ Í\[;ÅiÔQÔ�έÅ6ÚÃÇÉÈ -ÍÉÌ � � � 2 È [ J Ô Ñ�ÊiÇÉÈÃÚ ÎÎxÅ�ÚÃÇVÈ �iÏ �� +8ÈÃÚ ^ Ü� ����­ÅiÇ&ÍAÙÉÓOÔQÔ=ÇEÅ*[�(2% ¨ � ��� ���M�M�����&w �K�&�¸» ì� * ÿ 0&2?ïÄ���çé�wv�&�¾��~;��spw¼uµ�]�����·® /� � � 2 »�����s ^ W�Ü�Ý×Þ¯ß� r,spwv~(��spwv�&w wV®g�����&��°���i����~p�iu­�×�]�nXK»�����s ��w��i�g��~M� �&wv��u +*,���p�&s ��s%�]�?X�0&2 6 8¼��~�~ � ! ì 0

� ÿ������Yÿ 0&2 ? � ïçæQ��spwç�i~M��� �]������»Àw/��i��wv��]�����i~p�x�i~¾��spwÄ�&��»��x�]±?��spwÄuµ�]�����·®¾�]�&w��m����~pw��]�µ�/�iu �M��~%�]�����i~��]±S��spw¥�M�&wv³O���i�p�­�&�¸»��ÉèVÂêãM�&�iu���spw�MwVËp~M�������i~(�]±G�&wvu­�·áÒ�&wv���M�×�]���&w/���pwv~p�/w�¿���sM���Õ��u­�M����w/�Ä��s%�]�eX 6 8K��~*~ � ! ì 0

� ÿ�������ÿ 0&2SïV¿�spwv~p�/w +*����¥��spw��w��i�g��~M�­�&wv��u �]±�� �&��»ù��~ /� � ? �1( � 2 æQ��spw?�&��»����]± ��sM���,uµ�]�����·®Õ�6wv~pwv��]�&w/��Q]� ? �1(½�i���G³6w/�v�&�i�����%�i�/w¸èV¿M�]~p�±Ã�&�iuø��spw �v�����&wv���×�µ��sM���j�&��»ôs%�i�j�+w/wv~°�&wvux��³6w/�m±Ã�&�iu ��spw uµ�]�����·® � � � 2 Â�ãp�i��^B6SÜ�Ý×ÞÒß�¿%�����MwVËp~M�������i~à�]±Ü Ý×Þ¯ß ��spwS��]~/�ç�]± � � � 2 ����wV®M�i�v�����Ä��spw�~��MuG��wv�j�]±��/�i���Mu­~p�¸¿pspwv~p�/w���spwSuµ�]�����·®çs%�i�,±Ã�M���d��]~/�� �r,sM����uxw��]~p����s%�]��¿�±Ã�i���&wvu­�·áÒ�&wv���M�×�]�­�&w/���pwv~p�/w/��¿���spwÕ~��MuG��wv�­�]±��&��»����]±?�]���Àuµ�]�������/w/����~K�Mwv���&w/wç�]�

ux������Ü�ÝaÞÒß*���H�O~p��»�~d¿%�]~p����������³6wv~��������&w/�v�M���&wv~p�/w*±Ã�i��u �M�×�gÂ�D*Z) >?5�BD56/2F;7�8 B � : 5�/2895�:{Swv~pwv��]����~M�í�wv����w/�x�]�&wij6wv��������»Àwv�E±Q�M���i�g��w/�v�&�­�&�¼�����p�g�K�&w/���pwv~p�/w/�µ�MwVËp~pw/�ê���¾�Ö�&w/�v�M���&wv~p�/w�±Ã�i��u �M�×�gÂ"?wv�&w*��spw �6wv~pwv��]����~M�Õ�&wv����w/�S�i�&�&�O�v�×�]�&w/���&�µ��spwG�&w/�v�M���&wv~p�/w ±²�i��uG�M�×�¥�]±��dwvu­uµ�¥�µ���j³6wv��������u­�M��w�¿+�]~p�°�i����i~M�G�i�!��spwv�&w,���8~p�?�&w/�g�p�v�����i~x�&�Sé�wv�&�M¿���spwv~���8K2�� � ì ^Oï� ����/�i���Mu­~p�!á�� �&��»��2���!����³6wv~x��� ��spw��/��w��µ�v��wv~���]±8�Mwv���&w/wL^¥�]±!��spw/�&w��&wv����w/�¸¿p�]~p�ç����³6wv���Äw��i���¥�&�µ�/�iu­�M�M�&w�Â% ¨ � � � ¦<Pa§<P �5T��{� ÍvÚ <&� � 2 ìQî@ï �&ÍÖÅ°Ì/Í�YvÓMÍ [5-Í�ÌvÅ�ÚÃÈaÌaÙVÛiÈ [OÑmÚ ÍÕÇ�Í�-vÓ�ÇVÇ&Í\[5-Í Ù/ÊiÇVÎ�ÓOÔ�Å ÊEÙ?�@ÍVÎ�ÎxÅ��f^*Ú Å�Ú?ÈaÌÚÒÊmÌvÅ�Û�<&� � 2 ìQî@ï 6 <&� � 2 ? � ìQî@ï � <K� ? � ( � 2 ìQî@ï +8ÈQÚ È [pÈQÚÃȲÅiÔC-Ê*[-ØiÈÃÚÃÈÃÊ�[MÌ <K� � 2 ìQî@ï 6 7 � � : È ÙGë 8¾ÊiÇ ^ Wû ���dì ^��m<�� ëmï]2 � Í\[àÚ Í?Ñ�Í\[+ÍVÇ�Å�ÚÃÈ [�Ñ¥Ì/ÍvÇÉÈÒÍÉÌ ÊEÙ <&� � 2 ìQî@ï�È×Ì

J�2�� � ì�t�ï 6����� 4 <K� � 2 ìQî@ï�t � 6 ì >�� t�ï ���

2��! �#" >C� t �%$'& � æE¢¸è

� � ¨ � * *Q©M¨ )( � Í*��ÈaÔ �&ÍVÇvÚ Ì/ÍVÇVȲÍVÌ�Ê�Ù�Å*Ì/ÍvÎ�ÈQϯÇ&ͲÑiÓOÔ�ÅiÇ�Ì/Í�YvÓMÍ [5-Í�ÊEÙ!ë ÆgÊiÔ Û&[+ÊiÎ�ÈÃÅiÔ Ì�+8ÈQÚ Ø�ͲÑiÇ&Í&ÍÉÌC^ � ÿ������¸ÿ ^R2Ê(�]ÍvÇ�¹ º ÈaÌ

+ ì >�� t�ï ��, 2�V � ì >C� t �19 ï.- æ²y6è

+ ÍVÇ&Í0/ � V � 4 �2V�t V21 6 � V � 443 V,t V +8ÈQÚ 3 V36 �2V�È Ù��>�m�`8Tu�8 � v*Å*[-Ø 3 V36 8°Ê6Ú ÍVÇ\+8È×Ì�Í32658Ê*[K�iÍVÇÌ�ÍVÔ ÛH^Å*[pÛxÌ/ÍZYvÓpÍ\[5-ÉÍ­ÊEÙ�ëúÆgÊiÔ Û&[+ÊiÎ�ÈÃÅiÔ Ì +8ÈQÚ Ø�ͲÑiÇ&Í&ÍÉÌ ^ � ÿ������¸ÿ ^ 2 Å*[-Ø7�SÈQÔ �&ÍVÇvÚ2Ì�ÍVÇÉÈÒÍÉÌQ�98]�­È×ÌSÌ/ÍvÎ�ÈQϯÇ&ͲÑiÓOÔ�ÅiÇ]2�D*;: < � 3��-8 �&8 78� 1 � 3>=D7 F 7�891 B 14=@? ��� = 1[/E:I5�� 8 � /�5 �A=��9F /�:I5CBD=G5�B � 5�:r,spw,±²�i������»���~M� ��wvu­uµ��wv~%�]�M��w/�2�p�A�&���/�iu­�M�M�&w���spw��Mwv���&w/w��]±��&wv���M�×�]�����¯�xÜ�ÝaÞÒß�±Ã�&�iu1��spw��6wv~pwv��]����~M���&wv����w/��ð

cdc >*egfNhji\k

Page 13: Complexity of Gröbner basis computation for Semi-regular ... · ISSN 0249-6399 ISRN INRIA/RR--5049--FR+ENG apport de recherche THÈME 2 INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE

� � � �í©�� � Í/Ú�0 � ÿ������¸ÿ 0&2��&Í�ÅxÌ/ÍVÎ�ÈQϯÇ&ͲÑiÓOÔ·Å�Ç�Ê(�iÍVÇ�¹ º ^äÅ*[+Ø¥Ø�Í [-Ê�Ú¯Í?�VÛJ�2�� � ì��pï!6 �

��� 4 <&� � 2 ìQî@ï�t �ÈÃÚQÌÀÑ�Í\[+ÍvÇEÅ�ÚÃÈ [�ÑxÌ/ÍVÇVÈÒÍÉÌ]2 � Í\[ +äÍ Å(�]Í=u�^ Ü ���� ÿ ��8K2�� � ì ^Oï!6 <K� � 2 ìQî@ïSÅ*[-Ø�Ü ���� È×Ì - ÅiÇ�Å -/Ú¯ÍVÇVÈ /¸Í�Ø �VÛ

u�^0W�Ü� ���� ÿ <K� � 2 ìQî@ïb� 8 Å*[-Ø <������ � 2 ìQî@ï 8% ¨ � ��� �?�¥��spw°�w/���pwv~p�/wm���Ä�&wvu­�·áÒ�&wv���M�×�]��¿�±²�i�B^ W�Ü�ÝaÞÒß°��spwv�&wm���¥~p�K�&w/�g�p�v�����i~ù�&�íé�wv�&�ê�&����s%�]�¥»Àws%�/³6w ux�i�&w¼�/�i���Mu­~p����s%�]~;�&��»��°�]~p����8K2�� � ì ^OïM6 <K� � 2 ìQî@ï � 8(æQ�������]~;~p�i���+wàw/���%�]���&�êé�wv�&�¾����MwVËp~M�������i~ �]±?Ü�ÝaÞÒßYèVÂíã%�i� ^?6SÜ�Ý×Þ¯ß6¿A�]���,ux�i~p�iu­�×�]���x�]±?�Mwv���&w/wçÜ�ÝaÞÒß��]�&w¥�&w��i�spw/�=¿ä��m��s%�]����spwÕ��]~/���]±��spw*uµ�]�����·®����?wV®p�i�v�����ç��spw*~��Mu �+wv�S�]±A�/�i���Mu­~p��¿��]~p����w/�&�j��s%�]~m�i�?w/���%�]�@�&�x��spwG~��MuG��wv���]±8�&��»���¿-spwv~p�/w< � ����� � 2 ìQî@ï 6����/�i���Mu­~p� � � �&��»�� ���/�i���Mu­~p� � ��]~/� 698M �r,s��p��¿g»äw?�6wv���]~Äw��i�&�x»À���µ�&���/�iu­�M�M�&w�Ü�Ý×ÞÒß?�p����~M����spw��6wv~pwv��]����~M�x�wv����w/��ð!»äwä�E�p���As%��³6wS�&� wv³��]���%�]�&w

��spwSËp�&�����/�Ow��µ�v��wv~��&�?�]±!��spw��&wv����w/���M~������@��spwSËp�&����~pwv���]����³6w �i~pw�Â�dwv���p���/�i~p�����Mwv��±²�i��wV®M�]u­�M��w*î ���%�i�g��]�����*w/���%�]�����i~p���¸³6wv��¹ º Â8r,spw��6wv~pwv��]����~M�Õ�&wv����w/�����

J � � � ì�t�ï!6�� > � t>C� t º�� � 6 > � îMt �>A îµìQî � #6ïft

º � >= î 7Ãî º � ��î � A : t��� >A�� î 7 î � � > � î º � # � î � = : t��

� >> A*8 î 7 � #*8!î

� A�� � #*8!î � �9> ��� î º � î � : t�� � � 7 t�� :

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

10 11 12 13 14

4 9 16 24 32 41 49 58 67 77 86 95n

Dmax

F2 exact

ã������M�&wx¢�ð8Ü�ÝaÞÒß�±²�i��ë 6åî ���%�i�g��]�����*�+�i���O~p�iu­�×�]�����¸³6wv��¹ º

r,spw?�/��w��µ�v��wv~����]±t����Aîà�]~p�µ�����]��»À���O�À������������³6w�¿g�&�*��s%�]�À»äw��]��»,�/�g�äs%��³6wSÜ�Ý×ÞÒß " > Â8r,spw?�/��w��µ�v��wv~���]±�t º ��� 8*±²�i�Àî #g¿M�]~p��� 8 ±²�i�äî��$#g¿g�&� ��s%�]�,»äwj�6wv��Ü�Ý×ÞÒßL6)AG±Ã�i�äî #��]~p�¥Ü�ÝaÞÒß "$#G±Ã�i�Àî��$#gÂ

XZY�c[X]\

Page 14: Complexity of Gröbner basis computation for Semi-regular ... · ISSN 0249-6399 ISRN INRIA/RR--5049--FR+ENG apport de recherche THÈME 2 INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE

r,spw��/�Ow��µ�v��wv~��j�]± t � s%�i��y��&�O�i�&������� � �º � �W���Oÿ 8 � Ag¿%���±Ã�i��#�W¾î � �������,~pwv���]����³6w �]~p�çÜ Ý×Þ¯ß 6 #g¿p�]~p�������������³6w�±²�i��î " �g¿-�]~p�mÜ�Ý×ÞÒßK" �pÂ,r,spw*�лä�¥�×�]���6w/�����&�O�i�j�]±8��spw �/��w��µ�v��wv~��j��~�t � �]�&w �]���i�M� > �W� < � �]~p�A � �p¿�±Ã�i��� î > � »äw?�6wv�,Ü Ý×ÞÒß 6 �­�]~p�x±²�i�Aî" > =*»Àwjs%��³6wjÜ ÝaÞÒß " �  ¬ wj���]~Ä���p�/�/w/�&�&��³6wv���µ�/�iu­�M�M�&w��spw��×�]���6w/�����&���i���]±!��spw*�/�Ow��µ�v��wv~����]±6t � ��~EJ � � � ì�tOïÀ�&�­�M���i����spw*����]���&���]±!ã������M�&wx¢S�%�]�6wx¢��gÂr,spwx���pw/�������i~ ��s%�]���]�����&w/�*��spwv~ ���¸ðS»�s%�]�G������spwx�&���i�+w­�]±,��sM���*����]�Ms�"��spwµ�]~p�&»äwv�*��������³6wv~����à�i�M��/�iu­�M�M��]�����i~m�]±!��spwG�i���Ou­�M�&�i�����*wV®g�%�]~p�����i~Ö�]±8Ü�Ý×ÞÒßG��~ç��spw�~pwV®O���w/�v�����i~dÂ

� $%����� �-�,�+ &'�#�� #��&�S$- &$ ���>� � ���¬ w*�p�wG�i���Ou­�M�&�i�����*uxwv��sp�O�M���&�x�Mwv�&wv��u­��~pw ��spw �i���Ou­�M�&�i�����*��wvs%�/³O���i�j�]±8Ü�Ý×Þ¯ßG��~��&wv��ux�?�]±8î2 ¬ w*�&wV±²wv��&�:� �/�H�g¢6¿'�Àã�âS��(g¿ � ��³M��(<�+±²�i�,�%�i���O���&�i�M~p� �O~p��»���w/�g�6w*�i~Ä��spw���i�M�g��w?���i��~��&���]~p�Õ��spw��/�6�]��w/�&�/wv~�����i�M�g��w���i��~��&��uxwv��sp�O�M�� +*-, 5&7 �G1 � :¬ w2�Mw/�g�p�/w/�G��~��Ow/�v�����i~G�p ¡,��s%�]��¿¸±²�i�d�&wvu­�·áÒ�&wv���M�×�]���w/���pwv~p�/w/��¿YÜ�Ý×ÞÒßA���d��spw2��uµ�]����w/�&�d^�±²�i�d»�sM���&s <K� � 2 ìQî@ï 6L t � M J�2�� � ì�tOïj���S~p�i~M~pwv���]����³6w�Â�r,sM���S��w��i�M�*�p�S�&�Õ�/�i~p�&���Mwv� <K� � 2 ìQî@ïV¿�»�sM���&s ���*�¥���i����~p�iu­�×�]�8��~àî2¿d�]~p�à�&������p�g�à���&� �×�]���6w/���*�&�O�i�G��~í�&wv��ux� �]±E^KæQ��spwv~ ^°��~í�&wv��ux�G�]±�î¾����wV®p�i�v�����àÜ ÝaÞÒß èVÂÄãp�i� ��s%�]�G�M�M�������&w�¿ »Àw»������&w <K� � 2 ìQî@ïÀ�i�,�]~Ä��~��&wv����]�d��~¥��spwS�/�iu­�M��wV®Ä�M�×�]~pw�¿p�]~p�Õ»�����sç���s%�]~M�6w��]± ³i�]���×�]�M��w��B6 � � ��spw?��~��&wv����]�s%�i����spw*�&s%�]�+w�ð

Q]��ì �+ï!6�� X+ì�t�ï�� ��� ��� � � � ^St � 没6è¬ w��]�&w���~��&wv�&w/���&w/�x��~µ��spw,�×�]���6w/���2³��]���pw��]±��x±²�i�8»�sM���&s¥��sM���8��~��&wv����]�����]~p�/wv���� ¬ w��&sp�O���&w��&�G�/�iu­�M�M�&w���spwËp�&�����&wv��u �]±p��spw,�i�&��u­�M�&�i�����,wV®g�%�]~p�����i~��]± Q]�6ì �-ï »�����s����j�%�]��]uxwv�&wv�� ¬ wÀ�p�&wA��spw,��i�M�g��wA���i��~��!uxwv��sp�O�=ð��spwx��i�M�g��wµ�+�i��~��&���]�&wx��spw­�&���i�&� �]±E0 * ì�t ÿ �+ïL6 ��� ��� � � �� � ¿@�]~p�í��spw­³i�]���pw¥�]±À��spwµ��~��&wv����]�À���*�/�i~p�/wv~�����]�&w/��]�&�i�M~p�K��spw¥�É�i�M�g��w¥���i��~��&�¸Â°r,spw¥³��]���pw¥�]±�Qà����w/���%�]�ä�&�m��spwÕ���Muò�]±j��spw¥�/�i~��������M�M�����i~p�x�]±���spwÕ��i�M�g��w���i��~��&��ð�±²�i��������u­�M��w���i�M�g��w?�+�i��~����p¿O��spw��/�i~��������M�M�����i~m��� � ������ º�� �! � 6 6 ��� � � � � ��� ��� � � � ì >!� � ì ^ ?

�ï�ïä»�spwv�&w��i�,±²�i�

����i�M�g��w����i��~���»�����s�uG�M�������M�����v���Ð�myg¿g������� " ºº � �" � 6 6 6 ��� � � � &�� � X�ì#��ï%$ 7

�� : � ��� ��� � � � ì >�� � ì ^ ? � ï�ïVÂ�¯±+��spw���~��&wv����]�����]~p�/wv���2±²�i�A�S³��]���pw��]±&�d¿���~x�%�]�������v�M�×�]�A��spw�Ëp�&���2�&wv��u �]±=��spw��i���Ou­�M�&�i������wV®g�%�]~p�����i~µ�]±Q]�6ì �+ï=����w/���%�]�O�&��é�wv�&�MÂ%"?wv~p�/w'��s%�i�@�&����wA±Ã�i�M~p���]ux�i~M�?wv����spwv�!��spw2³��]���pw/����s%�]�!�]~M~M��sM���×�]�&wä��spwÀ�/��w��µ�v��wv~����~�� � ¿i�i����spw2³��]���pw/�@±Ã�i�@»�sM���&s���spwAuµ�]��~���i�M�g��wä�+�i��~��&� s%��³6wäu �M�������M�����v������w/�2�]� ��w��i���8yg¿]»�sM���&s��/�i���&w/�����i~p�M��&�­��spw�³��]���pw/���]±(�Ö��s%�]�j�]~M~M��sM���×�]�&w ��spw*�g���&�v����u­��~%�]~��?�]±!��spwG��i�M�g��w*�+�i��~��&��w/���%�]�����i~F0 * ì�t ÿ �-ïC6)8MÂÀr,sM���

����³6w/�*��spwxËp�&���*�&wv��u)� 4­�]±���spwµ�i���Ou­�M�&�i�����µwV®g�%�]~p�����i~í�]±*�í��~ �&wv��ux���]±�^-¿@�i� w/���M��³��]��wv~������ �]±�Ü�Ý×ޯߵ��~�&wv��ux���]±!î2Â8r,spw��&sp�i���/w �]±���spwS³��]���×�]�M��w+����]��spwv����s%�]~çî¼���!�E�p�����·Ë%w/�Ä���Õ��spwS±Ò�i�v����s%�]��»äwSËp~p�,� 4 Ëp~M���&wæ²�]~p�ç~p�i��é�wv�&��èVÂr@���6wv����spwS~pwV®O�,�&wv��u �]±-����~Ä�&wv��ux���]±�^-¿g»äwS~pw/w/�Ä�&���/�iu­�M�M�&w���spw*�i���Ou­�M�&�i������wV®g�%�]~p�����i~��]± Q]�6ì �+ï

±²�i�.�¼��~K�Ä~pwv����s����i��sp���O�í�]±��g4]¿@�M~M�·±²�i��u­���°��~/�dÂxr,sM��� ���]~M~p�i�G��w­�M�i~pwx���°��spwµ��i�M�g��w­���i��~��*uxwv��sp�O��·±2±²�i�0�g4*»Àw�s%�/³6w­�µ�M�i�M�M��w���i�M�g��w����i��~��*�]~p�Ö±Ã�i�1���62� 4G»äw�s%�/³6w��лä�Ä����u­�M��w���i�M�g��w �+�i��~��&�� �¯~°��s%�]����i�&w�¿-»äw��p�&wG��spw��/�6�]��w/��/wv~�����i�M�g��w �+�i��~��juxwv��sp�O�°��� �äspw/���&wv��¿�ãM����w/�guµ�]~ �]~p�°â��&�wv����� �Àã!âS��(<�¯¿-»�sM���s����³6w/�j��spw�±Ã�M�����i���Ou­�M�&�i�����GwV®g�%�]~p�����i~à�]± Q]�6ì �+ï���~Ö�&wv��ux�?�]± ^ç�]~p�Ö��spwG�j�����ıQ�M~p�v�����i~E���ÒÂ,�?����wV±Ã�i�&w�¿-������p�/�/w/�&�&��³6wv���m�/�iu­�M�M����~M�Ö�]~p� �]~M~M��sM���×�]����~M�ç��spw�Ëp�&���S�&wv��u�¿�»äw��6wv�S��spw�»�sp�i��wx�i���Ou­�M�&�i�����­wV®O�%�]~p�&���i~à�]±����~��&wv��ux���]±!î2Â

cdc >*egfNhji\k

Page 15: Complexity of Gröbner basis computation for Semi-regular ... · ISSN 0249-6399 ISRN INRIA/RR--5049--FR+ENG apport de recherche THÈME 2 INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE

+*Z) "?B 5�� 3�� 8T�&8 7 5�� FN� 3��-5�dwv�ä�p�ä�]�M�M������spw��M�&wv³O���i�p�2uxwv��sp�O�x��~µ���i�w��]±=î����%�i�g��]�����jw/���%�]�����i~p�À��³6wv�ä��spw�Ë%wv���x¹Mº%Â@r,spw��6wv~pwv��]����~M��&wv����w/�S��� J � � � ì�t�ï�6 " ��� ���� � y & � ÂGr,sM��������³6w/�UQ]��ì �+ïE6�� " � ��� ������ � y & � � ���� 6�� � ��� ����� ^YtÄ»�����sI08ì�t�ïE6 ���!�+ì >H�t�ï � ���!�-ì >�� t º ï � ��!�-ì�t�ïVÂ!r,spw,�Mwv����³i�]����³6w��]±�0µ��� ���� � 6 � � � �K� � � � � � º � �K� � � y � � � ? � � � �K�

��� �K� � � ��� � y � � �]~p����spwv�&w��]�&wÀ��sM�&w/w��i�M�g��w��+�i��~��&�� � ~pw����A�&w��]�-~pwv���]����³6wS�]~p�¥���&�ä�/�i~��������M�M�����i~Õ�&�G��spw���~��&wv����]�-���ä~pwv�����������M��wS�/�iu­�%�]�&w/�µ�&�G��spw�/�i~��������M�M�����i~Õ�]±-��spw,�лä���i��spwv�2��i�M�g��w,���i��~��&��¿��Mwv~p�i�&w/�­����t �4 Â@r,spw��g����v����u­��~%�]~��A�]±+��spw,~��Muxwv��]�&�i�A�]± ���� ���� � 6 � � � � � 8 � � � � = � º � #�A � � > =g¿g����s%�i�,�i~pwS�&w��]�+������������³6wS�&�O�i��� 4E6 � � � � � � � � � � º � � � � �º � >�> � >�> Âãp�i� �7� � 4 ¿��+�i��sÕ��i�M�g��wj�+�i��~��&�,�]�&wj�&w��]�Ò¿�»�spwv�&w��i�A±²�i��8�W ��W � 4 ��spwv�¥�]�&wj�/�iu­�M��wV®Õ�/�i~i�5�M���]�&wS�]~p�x±²�i��B6�� 4S��spwv�Ä�/�6�]��w/�&�/w���~��&�¥������~M����wG��i�M�g��wS�+�i��~����]±8�i�&�Mwv�jygÂ�?�����i~M�m�i�+���6 � 4i¿d��spwx�¯»ä�m��i�M�g��w����i��~��&� �]�&wµ�g��������~p�v��¿@�]~p�¼��spw¥�i����u­�M�&�i�����µwV®O�%�]~p�����i~��]± Q]�6ì �+ï

���]~���w��/�iu­�M�M�&w/�m�i����wV±²�i�&w*�i����spw����Mu �]±!��spw��/�i~��������M�M�����i~à�]±!w��i�sm��i�M�g��wS���i��~���¿%�&������³6w�ð

Q]�6ì �+ï%ñ�� A��0 ��� ì�t �4 ï � ��� ������ � � A��

0 ��� ì�t ?4 ï � ��� ������ ��� >� ^ ñ A��

^ 0 ��� ì�t �4 ï � ��� ������ � �·± ��� �g4ñ A�� � A��

^ 0 ��� ì�t �4 ï � ��� ��� �� � � �·±%8�W ��W �g4»�sM���&s ���¥~pwv³6wv�Öé�wv�&�M ¬ w¼�Mw/�g�p�/wà��s%�]�ç��spw°Ëp�&���Ä�&wv��u �]± ��spw �i�&��u­�M�&�i�����¼wV®g�%�]~p�����i~;�]± � 6 � � ���� 6)�g4 ��� ì > ïV¿�spwv~p�/wÖ��spwçËp�&���¥�&wv��u �]±���spwm�i�&��u­�M�&�i�����mwV®O�%�]~p�����i~ù�]±*Ü�Ý×ÞÒßm��~��&wv��ux�Õ�]±�î(���µÜ�ÝaÞÒß6 �� � ��� ìQî@ïVÂr@� �6wv�,��spwj~pwV®O�,�&wv��u �]± ��spw��i���Ou­�M�&�i�����?wV®g�%�]~p�����i~ç�]± �Ä��~Õ��spwj~pwv����s����i��sp���O�ç�]± � 4 ¿O���À���,�Mw/������]�M��w�&���6wv���]~K�i���Ou­�M�&�i�����µwV®g�%�]~p�����i~ê�]±�Q]��ì �-ï�»�sM���&sK�&wvuµ�]��~p�G�M~M�·±²�i��u­��� ³��]�����¼��~K��~pwv����s����i��sp���O�K�]±��g4�Âãp�i�­��s%�]���M�M�������&w�¿8»äwÕ±²�i������» ��spwÕuxwv��sp�O�¾�]± �/�6�]��w/�&�/wv~��¥��i�M�g��wÕ�+�i��~��&����� �äspw/���&wv��¿2ãM����w/�guµ�]~d¿,�]~p�âj�&�&wv���L� �Àã!â?��(G�¯¿ä»�sM���&s����xwV®O�����&w/�ê��~��Mwv��]�����µ��~ � �/�H�g¢6¿ � ��³g��(&��±Ã�i�­��~p����]~p�/w�Â`�¯~ �i�&�Mwv�¥�&�¼w/������uµ�]�&w�i���Ou­�M�&�i�������]�����Ä��spw���~��&wv����]� Q]�6ì �-ïV¿M»Àw���~����&�O�g�p�/w*��spw -vÓr�vÈ - �&s%�]~M�6w �]±�³��]���×�]�M��w

08ì�t ÿ �-ï!6 # �# � �-ì �-ï�# ��� ì �+ï!6 # �

# � � # � � æQ��è»�spwv�&w

� � y 6 #� ì 08ì�t ?4 ÿ �-ï � 08ì�t �4 ÿ �-ï�ïÖ�]~p� � 6 >A ì 08ì�t ?4 ÿ �+ï � 08ì�t �4 ÿ �+ï�ï�Ð�������M�&�¸³6w/�¾��~ � �Àã!â?��(&�,��s%�]��¿ä»���������~M� ^St^5# 6 � V � 4 ì�# º � ��ï V ì"! V � 3 V #=ïv¿ ��spwÄ�&w/�&�M������~M� ��~��&wv����]�����]~¾��wwV®g�M�&w/�&�&w/�Ä��~��&wv��ux���]±!��spw*�j�����µ±Ã�M~p�v�����i~dð

Q]�6ì �+ï%ñ � �$# � � � A Q%�'&( ���Òì ^ y � ��ï^ ���2 � 4*) 2^ 2 � � � * ì ^

y� ��ï

^y�

�2 � 4,+ 2^ 2.-/ æ²�6è

»�spwv�&w0� �2���G��spwµ�j�����°±Q�M~p�v�����i~d¿8�]~p� ��spw ) 2 �]~p� + 2 �/�Ow��µ�v��wv~��&�����]~ ��wµwV®g�M�&w/�&�&w/�¼��~��&wv��ux�G�]±���spw�/�Ow��µ�v��wv~��&� 3 2ø�]~p��!\2�Âír,spwç�M�iu­��~%�]~��¥�&wv��u���~ æ²�6èG���µ�muG�M�������M��w��]±����¯ì ^y� ��ïG»�sM���&s½���]~p�/wv���­»�spwv~

^y� � 6{� � ��spw Ëp�&���j�&�O�i�S�]±A��spw��������ıÃ�M~p�v�����i~dÂ��8�M������~M� �62� 4 � ^ º� ¿-»Àw��6wv� �B6 � º ^ º� ì >H�0� ì > ï�ï?�]~p�w/���%�]�����i~ ^

y� � 6Z� � ����³6w/��^ º� 621 �� y �� y� ¿%�]~p�Äspwv~p�/w.�B6�� 4 � 1 �� y �� y � ��� ì �� y� ïVÂ

XZY�c[X]\

Page 16: Complexity of Gröbner basis computation for Semi-regular ... · ISSN 0249-6399 ISRN INRIA/RR--5049--FR+ENG apport de recherche THÈME 2 INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE

�À�m�&�p�/�/w/�&����³6wv���à�Mwv�&wv��u­��~M��~M����spw­�M�iu­��~%�]~�� �&wv��u ��~�æ²�6èS�]~p� �]~M~M��sM���×�]����~M�Ö����¿=»Àw­�i�M��]��~��i�Suµ�]~���&wv��ux���i�,~pw/w/�Mw/�ı²�i����spw*�i���Ou­�M�&�i������wV®O�%�]~p�&���i~Ö�]±-�ç��~ç�&wv��ux���]±%^- "jwv�&wS»Àw�����³6wS��spw?Ëp�&���,±²�i�M�,�&wv��ux��ð

� 6 � 4 � � � �� �� �g4 � � �º � 4 º � ��^ º � � � �� º � �� � � �g4 � � � �� � � 4 º � � �º � � 4 � � �� �^

� � � º �� > � # >A5< #�#5< � �g4 � � ��� > <<*A��*8�8�8 �g4 º � # > =�#<*A��*8�8�8 �g4 �

> 8�#��A5< #�#5< �

>^���� � � >^��� �

6 � 4 � � �^ º � � � � º

^� � �^ � � � � � � >

^ � � � �6 >�> � >�> � � A�� ����� =^

y�

� = � � 8 �2#^

� >�> ��� � �^ � �

�$� � >^ �� � ���wv³6wv������~M�µ��sM����wV®O�%�]~p�&���i~d¿M»äw��6wv��ð% ¨ � � � ¦<Pa§<P �5T�� � Í �2ÇÌvÚAÚ¯ÍVÇVÎ�ÌGÊEÙ*Ú Í�Å]ÌÉÛiÎjÆ+ÚÒÊ�ÚÃÈ -�Í��ÉÆgÅ*[pÌÉȲÊ*[ ÊEÙ�Ü ���� ÙvÊ�Ç�î;YvÓMÅ6ØiÇ�Å�ÚÃÈ -xÍZYvÓMÅ�ÚÃÈÃÊ�[MÌGÈ [µî�YÅiÇVȲÅS�VÔ�ÍÉÌGÈaÌ !

Ü ���� 6 î�g4 � � �� 4 � � � î � � � � � � º� 4 �9> � � � � � º# �g4 � � � � � ��g4 º � � � >

î � � � � � � >î º � � �

6M8 � 8��*8�8!î �)> � 8�8!î �� � > ����� �> � � >î ��

� � � >î º � � � �

� � � ©M¦ ��@§ � §<PQª �B� ��© T ¦<P ��T PQ¦ V ©'* P � � V �UT ��� ¨Ä¦�� ©'* * î X ã@�����M�&w�y­�%�]�6w¥¢v�¥�/�iu­�%�]�&w/�j��spw wV®p�i�v�³��]���pw/�ä�]± Ü�ÝaÞÒß6¿��/�iu­�M�M�&w/�µ±Ã�&�iu���spw��6wv~pwv��]����~M���wv����w/��¿��]~p�¥��spwj�i���Ou­�M�&�i������±Ã�i��u �M�×�i�ä»�����s¥�¯»À���i�ä��sM�&w/w�&wv��ux�� ¬ w*���]~m�&w/wS��s%�]�j��spwG�i���Ou­�M�&�i������±²�i��uG�M�×��±²�i��Ü�ÝaÞÒß*���j�]����µ��³6wv���Ä�6���O�Ö�]�M�M�&�/®g��uµ�]�����i~à�]±!Ü�ÝaÞÒß±²�i�A��uµ�]���p³��]���pw/�A�]±=î2 � ±=�/�i�M�&�w�¿���spw,±²�i�M����sx�&wv��u���~xî ? �� ���2~p�i�A�&uµ�]���p±²�i�2��uµ�]���%î2¿��]~p�µ��spw��i���Ou­�M�&�i�����wV®g�%�]~p�����i~�»�����sç±²�i�M���&wv��ux������~p�i���v�����w��&����spw*wV®p�i�v��³i�]���pw��]±8Ü�Ý×Þ¯ß�Â� � � �@©M¨*PQ¦ �5T � Pa§�� A]î �RS @©g§<P �5T ¦ �WV � ¨ ] � ���g���&wvuú�]±�î ���%�i�g��]�����¥w/���%�]�����i~p� �¸³6wv�*¹ º �/�i~p�&�����&���~ ±Ò�i�v���]±�A]î½���%�i�g��]�����¥w/���%�]�����i~p��¿8�i�G»ÀwÕ�i�M����spwµË%wv���íw/���%�]�����i~p� � º �C� � � ÿ������¸ÿ � º�

� � � Â=�Ð�*��� ��spwv~��~��&wv�&w/�&����~M�í�&� �/�iu­�%�]�&wÖ��spwç�+wvs%��³����i�¥�]±?î(���%�i�g��]�����Öw/���%�]�����i~p�µ�¸³6wv�­¹ º »�����s ��sM���x�]±LA]î ���%�i�g��]�����w/���%�]�����i~p�A��³6wv�C]�¿p��spw��g�=wv�&wv~p�/w���wv��~M�*��s%�]��¿6»�����sx��spwÀË%wv���µw/���%�]�����i~p��¿�wv³6wv�����+�i���O~p�iu­�×�]�%�]±���spw,���Mw��]�p����&�i���M�����i~��]±p��spwA�&wv�×�]�����i~ 0 º 690Öæ²�i�v�����i~��]±p��spwÀãM�&�i�+wv~M���p��ux�i���MsM����u¥èV¿6»�sM���&s���� ~p�i�������pw2±²�i�@�wvu­�·áÒ�&wv���M�×�]��&w/���pwv~p�/w/����³6wv��]SÂ� ³6wv�E]�¿=±Ã�i�EA]î ���%�i�g��]�����Gw/���%�]�����i~p��»äwG�6wv�

� 6 �g4 � � � �� � ���A �� < <� �g4 >^ y� � �

�� #*8��=�� � > �����> A � � 4 >^

� � º � �� �� ��� ��� <A�#*8 � 8�8�8 � > � �*8��*8 A��> # � A�� 8�8�8 � 4 >^�� � �$� � >^��� �

6 >�> � = � < � A5< ��� A �^y�

� �W� �@< �2�^

� > A ��� =�A^ ��

� � � >^ �� �Ü�Ý×ÞÒß 6M8 � 8 ����� î �)> � 8 �8î��� � > � �@< � > � < >î �� � � � >î y� �

r,spw��Mwv���&w/w��]±+�&wv���M�×�]�����¯�xÜ�Ý×Þ¯ß����2�?����������w���uµ�]����wv�2��³6wv�C]ù��s%�]~x��³6wv�8¹ º æÃ�¸³6wv�8¹ º »äw�s%��³6w�Ü�Ý×ÞÒßjñùî !W>�> � >�>»�spwv�&w��i�S��³6wv� ]�»äw s%�/³6w�Ü�Ý×ÞÒßxñ"î !W>�> � = � <�èVÂSr,sM���?���j�g�pw �&�µ��spw �&w/�g�p�v�����i~p�?�&�µé�wv�&�Õ�/�iu­��~M�Õ±Q�&�iuø��spw

cdc >*egfNhji\k

Page 17: Complexity of Gröbner basis computation for Semi-regular ... · ISSN 0249-6399 ISRN INRIA/RR--5049--FR+ENG apport de recherche THÈME 2 INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

10 11 12 13 14

4 9 16 24 32 41 49 58 67 77 86 95n

Dreg

F2 exactF2 asympt 2 termsF2 asympt 3 terms

ã������M�&wGygð8Ü Ý×ÞÒß ±Ã�i��ë 6åî ���%�i�g��]���������i����~p�iu­�×�]���j��³6wv��¹%ºM¿%wV®M�i�v���]~p�Ö�i�&��u­�M�&�i������³��]���pw/�

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

10 11 12 13 14

4 9 16 24 32 41 49 58 67 77 86 95n

Dmax

F2 exactQ exact

ã������M�&w�¡gð8Ü�Ý×ÞÒßj±Ã�i�Àë 6åîà���%�i�g��]�����S���i���O~p�iu­�×�]���À�¸³6wv�,¹ º �]~p�Õë 6)A]îà���%�i�g��]�����j���i���O~p�iu­�×�]������³6wv�H]

ãM�&�i��wv~M���p��ux�i���MsM����u�Âäã@�����M�&w*¡��%�]�6w­¢v�x�/�iu­�%�]�&w/�jÜ�Ý×ÞÒß���~ç���i��sç���i�&w/��¿p�]~p�Ä������sp�¸»�����s%�]�,±²�i��îW > 8�8��spwµ�g�=wv�&wv~p�/w¥���G��uµ�]���SæÃÜ Ý×ÞÒß �g��wv�&�*±Q�&�iuH�]�Gux�����Õ¢�¿8�]~p� î 61A�� � ���*��spwÕ��uµ�]����w/��� î¾±²�i�*»�sM���&sK��spw�g�=wv�&wv~p�/w����EAg¿M»Àw�s%�/³6w*Ü�ÝaÞÒß 6 #�Ax��³6wv��]1�]~p�ÖÜ�Ý×ÞÒß 6 #��µ��³6wv��¹ º èVÂ

XZY�c[X]\

Page 18: Complexity of Gröbner basis computation for Semi-regular ... · ISSN 0249-6399 ISRN INRIA/RR--5049--FR+ENG apport de recherche THÈME 2 INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE

r,spwÄË%wv���¾w/���%�]�����i~p�x��wvs%�/³6wm�]�M�M�&�/®g��uµ�]����³6wv�����i�x�i��spwv�xw/���%�]�����i~p�x±Q�&�iu���spwç�/�iu­�M��wV®g���¯�ê���i��~��µ�]±³O��wv»*Â� � � � �RQ ¨ ��� �;� ¨ �UQ �*a©M¨*Pa§ ��� ¨��%P�� � ¨ �UT § Ü X ¬ w ����³6w��+wv���¸»"��spw­�i���Ou­�M�&�i�����G³��]���pw��]±äÜ�Ý×ÞÒß ±²�i��îw/���%�]�����i~p���]±8�Mwv���&w/w*Üø�¸³6wv��¹ º ¿g±²�i���g��wv�&wv~���³��]���pw/���]±�Ü°ð% ¨ � � � ¦<Pa§<P �5T ��� � ÊiÇ�ë 6åîùÍ�YvÓgÅ6ÚÃÈÃÊ*[pÌ ÊEÙGØ�ͲÑiÇ&Í&Í*Ü÷Ê(�]ÍVÇ�¹ º ^!+8ÈÃÚ ØiÈ �jÍvÇ�Í\[-Úw�]ÅiÔ ÓpÍÉÌ ÊEÙ�Ü +äÍ?Ñ�Í/Ú

Ü Å]ÌVÛiÎ�Æ�ÚÒÊ�ÚÃÈ -8 Ü ���� 6 � 8��]î �9> � 8�8iî���U� > ����� � � ì�� �� ï

� Ü� �����6 � > � î �9> � # � î��� � > � �RA � � ì �� �� ï� Ü ���� 6 � A*8iî �9> � =*8iî ��U� > � A5< � � ì �� �� ï� Ü ���� 6 � A���î �9> � < �]î���U� > � >�>�� � ì �� �� ï� Ü� �����6 � A =]î �9> � � � î���U� 8 � ��� � � ì �� �� ï� Ü ���� 6 � A � î � A � 8��]î ��U� 8 � < � � � ì �� �� ï

�?�S±Ã�i� Ü 6 Ag¿!�]���A�/��w��µ�v��wv~��&���]�&wµwV®O�M�����v�����]~p� ���]~í��w­wV®O�M�&w/��&w/�í�i�G�]���6wv�M��]���µ±Q�M~p�v�����i~p� �]±���spw�Ëp�&����&�O�i��� � �]±!��spw*�j�����µ±Ã�M~p�v�����i~m�]~p�Ä��spwG�]���6wv�M��]���G~��MuG��wv� � 4 Â� ���j�����&��* E�O��'@�&#�$%$% ��'�#,�- &��� �/���">S) #�<G��#,�- &' 8>S) #��- &����$(�2:�!� BSC�À�i~p�����Mwv� ���&w/���pwv~p�/w­�]±,ë÷���%�i�g��]�����µw/���%�]�����i~p�*��~¼î¾³��]���×�]�M��w/�G��³6wv�*¹ º ¿d»�����s �6wv~pwv��]����~M�°�&wv����w/�µì >7�t�ï � , ì >U� t º ï 2 Â�r,spw,��i�M�g��wÀ�+�i��~��8w/���%�]�����i~���� 0 � ì�t�ï!6 ���� � � º 2 ���� � y � ��� ���&��~��Muxwv��]�&�i�2���,ìQî � ^ � A]ëmï�t � �ì ^ � A]ëmï�t º � ìQî � ^Oï�t � ^%Â!r,spwv�&w?�]�&w���sM�&w/w?��i�M�g��w����i��~��&��ð!�i~pwj�M��w/�A~p�i�ä�/�i~��������M�M�&w?�&�G��spwj�i���Ou­�M�&�i�����wV®g�%�]~p�����i~­�]±%��spwÀ��~��&wv����]� æQ���&�!�/�i~��������M�M�����i~x����~pwv�����������M��w��/�iu­�%�]�&w/���&�?��spw,�/�i~��������M�M�����i~µ�]±%��spwä�¯»À���i��spwv��i~pw/�ÉèV¿g�]~p�µ��spwj�¯»À����i�M�g��w����i��~��&�,�/�6�]��w/�&�/wS�i�ä��spwj�g���&�v����u­��~%�]~����]±d��sM���Àw/���%�]�����i~Äw/���%�]���äé�wv�&�M¿O��s%�]�ä���,�i�� �!^ � � ì � î � > =�ëmï ^ � � 7 � A*8!ë º � �8ë;î � � î º : ^ º � 7 � � ë � � �8î � � �8ë;î º � A*8!ë º î : ^ � ë º î º �A�ë;î � � î � 698­Â!r,sM���2w/���%�]�����i~µs%�i�2wV®p�i�v�������i~pw��&w��]�p������������³6w,�&���i�A��~ ^G�·±+ë � � � ¿O�]~p��~p���&w��]�p������������³6w�&�O�i����~m�]���d�i��spwv�����i�&w/��ÂAr,spw��&�i���M�����i~����

^ 6 î A � ë� ë � " îë & º � > 8 îë � A � A � � " îë & � �9> A " îë & º � = îë �9> æ �6è

�Ð~���sM���?�Ow/�v�����i~m»äw*�p�w�»�����sp�i�M���M�&�O�]±8��spw�±Ò�i�v����s%�]����spwG�/�6�]��w/��/wv~��S��i�M�g��w����i��~���uxwv��sp�O�m�]�M�M����w/��spwv�&w±²�i�xë � � � ð�»Àwm�i�&���Muxw���s%�]�x��spwçËp�&���µ�&wv��u.�]±���spwÖ�i���Ou­�M�&�i�����ÖwV®g�%�]~p�����i~��]±*Ü�Ý×Þ¯ßÖ���­��spwÖ³i�]���pw��]±��spw��M�i�M�M��w��É�i�M�g��wG���i��~���¿+�Ò w�Â�Ü ÝaÞÒß ���?�i���Ou­�M�&�i�������]�����mw/���M��³��]��wv~��?�&�µ��spw ³i�]���pwÄæ �6èV ¬ w��Mwv�&wv��u­��~pw���spw��wvs%�/³O���i�j�]±2Ü�Ý×ÞÒß��i��ëö��]~M�6w/��±Q�&�iuøî ! �x�&�xî º ¿%�i��»äwv���!�i����spw �i�&��u­�M�&�i����� wV®O�%�]~p�����i~°�]±ä����é�w�6 7 �� � �� :��spw�����é�w �]±2��spw �×�i���?uµ�]�����·®Ö��~à�Mwv���&w/w Ü�ÝaÞÒß�Â�r,spwv~°��spw �����i�%�]�!�/���&�?�]±2��spw­{?�&Ái�M~pwv�?�%�i�����S�/�iu­�M�M��]�����i~�����]±8�i�&�Mwv�?����é�w þ »�spwv�&w�;¾������spw*�/��w��µ�v��wv~��j�]±!����~pw��]�j�]���6wv�M��gÂ�G©M¦ � 2 � § �WT ��¦�§ � ©¼ª ��T ¦�§�© T § X ¬ wSs%�/³6wGë 6åîAìÃó ��� ì > ï�ï,»�����sÖó " >�! �p �Ð~ç��s%�]�����i�&w�¿

Ü ÝaÞÒßî 6

>A � ó

� >A� Aió º � > 8�ó � >C� AMìÃó � A6ï� óKìÃó � A6ï ��� ì > ï

6 Ü 4 � � ì > ï,»�����s 8�W�Ü 4 >�! �cdc >*egfNhji\k

Page 19: Complexity of Gröbner basis computation for Semi-regular ... · ISSN 0249-6399 ISRN INRIA/RR--5049--FR+ENG apport de recherche THÈME 2 INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE

�&����s%�]����spwG����é�w��]±���spw*�×�i����uµ�]�����·®ç����ð�!��ìÒ����é�wYïg6¼î L � ì > � Ü 4 ï �!��ì > � Ü 4 ï � Ü 4 �!��ìÃÜ 4 ï M ì >C� � ì > ï�ï 6ùîdÜ � ì >�� � ì > ï�ï�]~p�°��spw������i�%�]�!�/���&�S�]±ä��spw­{S�&Ái�M~pwv�?�%�i�&���?�/�iu­�M�M��]�����i~í����7 A � � �������8� º � : � þ »�sM���s°���µÍ��ÉÆgÊ*[+Í [%ÚÃÈÃÅ�Ô Â � �i�&w��s%�]�E8 W�Ü � A �!�+ì A6ï � # ! � �!�=ì #6ï W0�!�-ì A6ïVÂ�G©M¦ � 2� y § �WT ��¦�§ � ©¼ª ��T ¦�§�© T § X �8�M��ë 6ùómî º ì >C��� ì > ï�ïV¿p��spwv~�»Àw��6wv�

Ü�ÝaÞÒß�6 î º� ë ì>C��� ì > ï�ïC6 >

� ó� � ì > ï

"?wv~p�/wj��spw?�����i�%�]�=�/�����,�]± ��spw*{?�&Ái�M~pwv�,�%�i�����,�/�iu­�M�M��]�����i~����AÆgÊiÔ Û*[-ÊiÎ�ÈÃÅ�Ô ð2����é�wjñùûµü]ý=ìQî º]ÿ î����1��� � ïjæQ»Àw

s%�/³6w �]����w��i����Ü�Ý×Þ¯ß0"`A6èVÂ

�G©M¦ � 2 � § �WT ��¦µ§ �`a © T � 2� y § �UT �@¦Õ§ � ��X �?���M�&wv³O���i�p�����6¿+»äw�s%�/³6w�Ü�ÝaÞÒß.6 � y� 2 ì >��0� ì > ï�ï76 � ìQî@ïV¬ wx�p�wµ��spwx±²�i�v� ��s%�]��¿!�·±�� ÿ ) _ a �]~p���16 � ì ) ïV¿���spwv~ �!� 7� : 6�� �!� 7 � : � � ��� ì �Sï �]~p�

�]�M�M���Ä��s%�]�,±Ã�i� ) 6åîí�]~p���96SÜ�ÝaÞÒß 6 � ìQî@ïVð�!�+ìÒ����é�wYï2ñ î � �!�+ìQë ! î@ïë ! î 6 � ìQî@ï

�]~p�¼��spw������i�%�]�A�/���&������ÌÉÓK�VÏEÍ��ÉÆgÊ*[+Í [%ÚÃÈÃÅ�Ô Â¥ãp�i�*��~p����]~p�/w�¿ �·±Àë#6 î �!�-ìQî@ïSw/���%�]�����i~p��¿d��spw������i�%�]�ä�/���������� þ ��� ������� ����� ����� ����� �� ÂO � � ©M¨ X ã%�i� ���%�i�g��]�����ä�&wvu­�·áÒ�&wv���M�×�]�@�w/���pwv~p�/w/��¿Y��spw8�����i�%�]���/���&� �]±O��spwÀ{?�&Ái�M~pwv� �%�i����� �/�iu­�M�M��]�����i~���]~���w��v�×�i�&���·Ë%w/�Ö�i��±Ã�i�����¸»���ð

ëíìQî@ï �Mwv���&w/w*�]± ����é�w*�]±���spw*uµ�]�����·® {?���i�%�]����i����~p�iu­�×�]��� �&wv���M�×�]�����¯����ìQî@ï �À�iu­�M��wV®O���Ð�ñùómî ñùÜ 4vî ñ 7 A � � �������8� º � : � »�����s wV®O���i~pwv~����×�]�

æ2ó " >�! ��è 8�W Ü 4 >�! � 8�W Ü � A �!�+ì A6ï � # ! � �!�+ì #6ïîmõHëøõòî º ñ � y� 2 6 � ìQî@ï ñ � � �����B�

2 � � �2 � � 6 � ìQî@ï �&�M�gáwV®O���i~pwv~����×�]�

ñùómî º ñ >�! ì � ó¼ï ñåî����1��� � ���i���O~p�iu­�×�]�

� �i�&w���s%�]����spw���wvs%�/³O���i���]±!��spw {?�&Ái�M~pwv���%�i�&�����/�iu­�M�M��]�����i~Ö±²�i��ëö���%�i�g��]�����Gw/���%�]�����i~p����~çî¼³��]���×�]�M��w/����x�]��»À���O�mÅ�ÚSÎxÊ]ÌVÚG�+�i���O~p�iu­�×�]����~ A&�+¿8spwv~p�/w Å6ÚSέÊiÌVÚGÍ��ÉÆMÊ*[+Í\[%ÚÃȲÅiÔ·Âê{S��³6wv~��m�&�O���&wvuH�]±jë ���%�i�g��]�����w/���%�]�����i~p��¿A���&�µ�/�iu­�M��wV®O���Ð�ê�/�i���&w/�&�+�i~p�M�­�&� ��spwÄ�M�&w/�g���v�����i~¾±Q�&�iu ��sM���­��]�M��wÄ»�����s½�°�6�O���K�M�&�i�%�]�M�������¯�6Âr,sM������]�M��w�����³6w/��´5���M�����i���·¶��M�M�+wv�����i�M~p�M��Â

� 0����3 � � ���& &'�#,�- &��� $��S ©g§<P �5T ¦ �WV � ¨ ¹ � � Pa§��"! *Q©M¨ Q � X ãp�i��w/���%�]�����i~p��»�����s��/�Ow��µ�v��wv~��&�j��~Ö� Ë%wv���Ĺ#�g¿g»�����s ! �×�]���6w�¿M��spwË%wv���xw/���%�]�����i~p�2s%��³6w��S�Mwv���&w/w��&�O�S�×�]���6w��&�S��w,�p�&wV±Q�M�ÒÂ%"?wv~p�/w�»äw����]~­±Ã�i���6�i�8��spwvu �]~p�­��spw��/�iu­�M��wV®g���¯�������spw���]uxw��i�!�·±-��spw�w/���%�]�����i~p�!»�spwv�&w,»�����sx�/�Ow��µ�v��wv~��&�2��~ ]�Â��Ð�!���]~­��w,��sp��»�~­��s%�]�8��spw�"j�����+wv���2�wv����w/�8�]±���&wvu­�·áÒ�&wv���M�×�]���&w/���pwv~p�/wj�]±@ëøw/���%�]�����i~p�,��~¥îm³i�]���×�]�M��w/�À»�����sÄ�Mwv���&w/w/�H^ � ÿ������¸ÿ ^R2;»�����sp�i�M�äË%wv���Õw/���%�]�����i~p����%$ 2V � ì > � t �19 ï � ì > � t�ï � ¿p�]~p��Ü�ÝaÞÒß*���]~���w��/�iu­�M�M�&w/�m�i����wV±Ã�i�&w�Â

XZY�c[X]\

Page 20: Complexity of Gröbner basis computation for Semi-regular ... · ISSN 0249-6399 ISRN INRIA/RR--5049--FR+ENG apport de recherche THÈME 2 INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE

£K� �* Paª�©g§<P ��T § � §�� � � � �@¨ � ¤* � � X �O�iuxwv����uxw/�G��spwµ{?�&Ái�M~pwv���%�i�����*�/�iu­�M�M��]�����i~�����w��i����wv����s%�]~��spw��M�&w/�g���v�����i~d¿+�]~p�Ä��sM����������spw����i�&w�±Ã�i����spwL"?ã ¾�M�M�M����� �6wv�Ä�v�����M�&���&�O���&wvu � ���]������¯Âr,spwS�M�M�M����� �6wv�¥�����]~Ö�]���6wv�M��]�������O�&�&wvu �]±�î¼���%�i�g��]������w/���%�]�����i~p����~Äîà³i�]���×�]�M��w/���¸³6wv�,¹ º Â8r,spw?Ëp�&���

�&s%�]����wv~M�6w�»,�i���M�&�i�����&w/�m��~ � �!�]����*�¯¿��]~p�Ö�/�i~p�������&w/�m�]±ä�x���g���&wvu��]± � 8µw/���%�]�����i~p�j��~ � 8µ�M~/�O~p��»�~p�¸Â ¬ w���]~¾�M�M�����ê��spwÄ��]�M��w��]±SÜ Ý×ÞÒß ±²�i��îù���%�i�g��]������w/���%�]�����i~p�­��~¾îù³i�]���×�]�M��w/�¸¿ä�]~p�ê��spwç����é�wç�]±?��spwÄ�×�]���6w/���uµ�]�������/w/� � � � �� � � ��������³6wv~����Ä��spwS�6wv~pwv��]����~M�¥�&wv����w/��ð

���� 4 ì ���&��»��Vï�t � 6 ì >C� tOï � � � >C� t>C� t º�� � æ9(�è

¬ w*�/�i~p�������p�v��±Q�&�iu ��s%�]��±²�i��uG�M�×�x��spw?±Ã�i�����¸»���~M�µ��]�M��w�ðî ¢�� ¢ � y�¡ y]� (*� (�( ����� ���Ü�ÝaÞÒß � � � � ¢�¢ ¢�y ¢�y���&��»�����~ � � ����� � � ¢v����� ��(*�]� ¡]��¡���� ¢�(Y�R��y]� ñ)A � º ñ)A � � ñ)A � �

ãM�&�iuH��spw¥��]�M��wµ»ÀwÕ�6wv��Ü�ÝaÞÒß 6 > A�±Ã�i����spwµ�%�]��]uxwv�&wv�&�­�]±���spwµËp�&��� "jã ��&s%�]����wv~M�6w�¿À�]~p�K�m�&wvu­�·á�&wv���M�×�]���&w/���pwv~p�/w¥�]± � 8mw/���%�]�����i~p�G��~ � 8��M~/�O~p��»�~p��»ä�i�M������w��i� �&�m�&�i��³6w¥������~pw��]� ���g���&wvuò�]±��&��é�w A � �  8³6wv~ç»�����sç���%�]�&�&wj����~pw��]���]���6wv�M��g¿g��spw?�����i�%�]�=�/�����,���ä���&w��]�&wv����s%�]~=A � º ¿O»�sM���&sç���À�M~g±²w��i�����M��w�Â!�Ð�ä���,��sp�¸»�~��~ � ã%$���¡G�8��s%�]�?��spwGËp�&��� "?ã� ù�s%�]����wv~M�6w­»À�i�S�&�i��³��]�M��w�¿�»�����sà��spw uµ�Y®g��uµ�]�8�Mwv���&w/w����/�v�M����~M�ç�g�M����~M�Ä��spw�/�iu­�M�M��]�����i~���wv��~M�­�i~M��� �p¿p�]~p�Õ��spw�����é�w?�]±@��spw?uµ�]�����·®Õ��~ç�Mwv���&w/wS����wv��~M�­� #*8 < > A =�� > = =5<&8�8��­uµ�]�����·®=Â"?wv~p�/wG��spw "jã ù�&s%�]����wv~M�6w�»,�i�?~p�i�S�¥�&wvu­�·áÒ�&wv���M�×�]�*�&w/���pwv~p�/w��]~p�m»À�i�?u �p�&s w��i����wv�?��s%�]~°�wvu­�·áÒ�&wv���M�×�]��&w/���pwv~p�/w/��Âr,spw��M�&w/�g���v�����i~¼±Ã�&�iu3��spw���]�M��w����?±²�]�*��»À�/�°±Ã�&�iu3��spw������pw uµ�Y®g��uµ�]�2�Mwv���&w/w�¿d�M�M�S�������������!�p�&wV±Ã�M�8�M�

�&���Mwv���&w/w ^������ W�Ü�Ý×Þ¯ßx�·±À��spwv�&wx����~p�ç�&w/�g�p�v�����i~í�&�Äé�wv�&�Ö�M�¼�&���Mwv���&w/w ^������� ¬ wx���]~í�MwVËp~pw¥�Ä~p�i�����i~�]± ^������ � �&wvu­�·áÒ�&wv���M�×�]�ç�&w/���pwv~p�/w/��¿�»�sM���s(�]�&w°�w/���pwv~p�/w/�Õ��s%�]���]�&wm�wvu­�·áÒ�&wv���M�×�]�¼Ó�Æ�ÚÒʾØ�ͲÑiÇ&Í&Í ^�������¬ ����sÖ��sM���?�MwVËp~M�������i~d¿=�&wvu­�·áÒ�&wv���M�×�]�?�w/���pwv~p�/w/�S�]�&w Ü ÝaÞÒß � �&wvu­�·áÒ�&wv���M�×�]���&w/���pwv~p�/w/��Â�r,spwv~°��spw �&��é�wG�]±ä�]���uµ�]�������/w/�ä��~¥ã8���M�¥�&�*�Mwv���&w/w�^������S�]�&w��M�&w/�g���v��]�M��w�¿g�]~p�µ����³6wv~µ���­��spw���]uxw�±Ã�i��u �M�×� �i�2±Ã�i�A�wvu­�·áÒ�&wv���M�×�]��&w/���pwv~p�/w/��¿d�]~p�à»äw­���]~à�M�&w/�g���v�*��spw���wvs%�/³O���i�*�]±Àã8�µ±Ã�i�S��spw�Ëp�&�����Mwv���&w/w/�� r,spw�uµ�Y®O��uµ�]�2�Mwv���&w/w ^��������wv��~M������³6wv~åæa±Ã�&�iuúwV®g�+wv����uxwv~��&��±²�i�*��~p����]~p�/w¸èV¿@»äwµ���]~��/�iu­�M�M�&wx��spwx����é�wµ�]±À��spwµ���&w��]�&w/���*uµ�]�����·®í�]~p�w/������uµ�]�&w���spw*�����i�%�]� �/�������]±!��spw��&w/�&�i���M�����i~Ö�]±!��spw*���g���&wvu�Â� ¦/§<P � ©g§<P �5T �;� §�� � ª � � ��* �B� Pa§ E�!� ¨S§�� � ©'* Q4� ¤�¨]© Paª�¦ ¦�§ � � ¦ � � ¨*P V � �IP T��?@ � � � � �¯~ ���,� �,��¡&�¯¿��spw��]�M��sp�i�&���Mwv����³6w/�Ö±²�i��uµ�]~��m�v���O�M�&�����g���&wvux�?�¥�&wv�S�]±ä�]���6wv�M��]����w/���%�]�����i~p�S³6wv���·Ë%w/�°���Ö��spwG��~M�M�M���]~p��i�M���M�M�S�M���&��¿���spw����pw/�&�����i~m��wv��~M�Ä�&�Õw/�&����uµ�]�&w ��spw��/�iu­�M��wV®g���¯�°�]±A��spw��&w/�&�i���M�����i~ �]±ä���p�sà�&�O���&wvux�¸Â?�j�gá�M���O��~M�µ�i�M���&w/���M���&��¿M»ÀwSËp~p�ç�M�M��wv���+�i�M~p�M��±Ã�i����spwv���?�]����i���g��¬ w,�6wv��±Ã�&�iu ���,� �,��¡&�M��spwÀ±²�i������»���~M����]�M��w�¿6����³O��~M�S��spw,~��Mu �+wv�A�]±+w/���%�]�����i~p�!±²�i�M~p�­�]ux�i~M�*��spwÀ��~M�M�M�

�M���&���]~p�ç��spwG�i�M���M�M���M���&�,±²�i���g��wv�&wv~��j�v���O�M�&�����O�&�&wvux��ð Ss%�]é¸�i� �Ö���&�¯��¢ *�i���Mu­� �,�]uxwv�����×�Yá¢�y�� ��� �5~p�p�iwv�·á¢�y�� �Owv���+wv~��Eá¢�y��

�A�]����]�M��w/� =�� =�� # ��� = �RA =�� # ��� � #�A�� = > = =�� 8�=��~pw��]�jw/���� > = =�� A*8�8 � A�A =�� > ��A*8 > =�� = � #�A*8

� �%�i�g��]�����Gw/�O�� =*8�8�8 > � � � A*8�8�8 �2#*8 � � =*8�8 ��# =*8

cdc >*egfNhji\k

Page 21: Complexity of Gröbner basis computation for Semi-regular ... · ISSN 0249-6399 ISRN INRIA/RR--5049--FR+ENG apport de recherche THÈME 2 INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE

ãM�&�iu ��s%�]�,��]�M��w�¿g»äwS�Mw/�g�p�/wS��spwj±Ã�i�����¸»���~M�­�i~pw�¿g»�spwv�&wj��spw?~��MuG��wv��ë��]±@w/���%�]�����i~p�,��&�6w/�,��~��&�­�i�/�/�i�M~����spw�î°Ë%wv����w/���%�]�����i~p�j�]~p�ç��spw*����~pw��]��w/���%�]�����i~p��s%�/³6w*��w/wv~ç�&wvux��³6w/�=ð

Ss%�]é¸�i� �m�����Ð�+¢ *�i���Mu­� �,�]uxwv�����×�Yá¢�y�� ��� �E~p�p�iwv�·á¢�y�� �Owv����wv~��Eá¢�y��î � � 8�8 > � � � A*8�8�8 > = =�� > =*8�8 � #�A*8ë > 8 � 8�8 # =�� = � 8�8�8 � � = � =�A*8�8 > <>= � 8Ü�Ý×Þ¯ß A�#5< > 85= >�> � =*8 ��� �RA�#

����é�w��]± ��� � �� � 2 A� � � � A � � � A � º � A � � � A � � � A º � 4 �

ÅSÆ+ÇÉȲÊiÇVÈ({S���i�%�]��À�iu­�M��wV®g���¯�dì�; 6)A6ï A º � � � A

�Z� � º A� º � º A � � � A � � º A � � � �

r,sp���&w­���g���&wvux�*�]�&w­�v��w��]�����°�M~p�&�i��³��]�M��w� �Ð���M��w/�S~p�i��uxw��]~¼��s%�]�G�]~í�]���6wv�M��]���¥�]����i���à»������8~pwv³6wv��»ä�i�Z��¿~pwv����spwv�2��s%�]�2��sM���ä�]����i�����M��w/�8~p�i�8»À�i�Z�+ �Ð�+�5�p�&�8uxw��]~p�8��s%�]�2��sM���A�]����i�N��»������M»À�i�Z�­�i~M��� �·±+��sp���&w����g���&wvux��]�&w�u �p�&sÖw��i����wv����s%�]~Ö�&wvu­�·áÒ�&wv���M�×�]�����g���&wvux��Â8r,spw �]�M��sp�i�&������u­���&w/�ç��spwvux�&wv��³6w/���&��~p�i~gá¯��³6wv�&�Mwv�&wv��u­��~pw/����g���&wvux��¿-�M�M�S»äw s%�/³6w­��sp�¸»�~°��s%�]�S��³6wv�&�Mwv�&wv��u­��~pw/�í���O�&�&wvux�S�]�&w¥È [ÖÑ�Í\[+ÍVÇ�ÅiÔÀw��i����wv�S�&�¥�&�i��³6w���s%�]~°~p�i~gá�i~pw/��¿p�]±!�/�i�M�&�&w��·±!��spwG�i�M�g�������i~M~%�]�@w/���%�]�����i~p�j�]�&wS��~p�Mwv��wv~p�p�]~��Swv~p�i�M��sç±Ã�&�iu ��spwSËp�&�����i~pw/�¸Â

� 8�/!�+8��'@8$� �� *��¡G� ãÀÂ=�j��u �O~pw/�&s����]~p�M��Â� S��]�p�w�­�����6wv�M��]���x�,����i�N�O�G�i~ �À�iuG�M��~pwv�&�G»�����sI�mwvux�i���6 �Ð~ J ØiÏ

�YÅ*[5-ÍVÌSÈ [ 5�ÇVÛÉÆ+ÚÒÊiÔ�Ê&ÑiÛ­Ï 5M ���� ��� 8��� � ¿O³6�i�ÒÂMy�(iy�� �]± � ÍZ-�ÚÃÓ�Ç&Í�*Ê�Ú¯ÍÉÌSÈ [ 58ÊiÎjÆ-ÓgÚ¯ÍVÇ ��-vÈÒÍ\[5-Í�¿�M�dÂd¢ ��y��m¢�(i�gÂ-���M����~M�6wv�Eá �2wv���×�]�p¿�"jwv���Mwv����wv���p¿%y�����¡gÂ

���,� �,��¡G� � Â��À�������/�6�¸³°�]~p� �?Â��?w �,�]~M~M��tv�&w�ÂL�À���O��� �ä���Mspwv�&�*�]~p� ���g���&wvux�S�]± � �%�i�g��]����� 2���%�]�����i~p��Â�¯~��ÀÇ�Ê -ÍÍ�ØiÈ [�Ñ]ÌxÊEÙ � Å]ÌvÚ��+Ê�ÙVÚ +AÅiÇ&Í���[5-vÇVÛÉÆ+ÚÃȲÊ*[�¿g�M�dÂ-y��g¢��O¡����g¿%y�����¡gÂ

���À�p� ���G� �?ÂU�À�p�&s���wv���6wv��Â��ÀÈ [ J Ô Ñ�ÊiÇÉÈÃÚ Î�Ó�Ìb/vÓOÎ J Ó � [-Ø�Í [çØ�ÍVÇ��jÅ]ÌÉÈaÌ/ÍvÔ�ÍVεÍ\[-Ú¯Í�Ø�ÍÉÌ� �ÍÉÌVÚ2YÔ·Å]ÌÉÌ/Í\[%ÇÉÈ [�Ñ�ÍÉÌ[-Å - ÍVÈ [+ÍVÎ1[%Ó�ÔQÔ·Ø�ÈaεÍ\[MÌVÈÃÊ�[-ÅiÔ�Í\[���ÊiÔ Û*[-Ê�Î�ȲØ�Í�Å�ÔÐÂ2�8sd ��ÂM��spw/�&����¿/�¯~M~p�&�M���p����¿d¢������gÂ

���À�p��(i�G� �?ÂC�À�p�&s���wv���6wv�� 8��~ù�]���6�i������sMu­����&spw/� S�����&wv�����Mu.±��M�Õ�g��w��dÁ��&�%�]�Z�6wv���Õwv��~pw/�ç�]���6wv�M��]���&�spwv~{?��wv���&s��M~M�6�&���g���&wvux�� J ÍZYvÓMÅ�ÚÃȲÊ*[+ÍÉÌ��àÅ�Ú 2׿g³6�i�ÒÂM�pð!�M�dÂ%¡�(Y���O¡���¡g¿ ¢���(i�gÂ

� �Àã!â?��(<� �? �äspw/���&wv��¿��SÂ6ãM����w/�guµ�]~��]~p�µã,Â�â��&�&wv���ÒÂ��j~¥wV®g�&wv~p�����i~¥�]±=��spwjuxwv��sp���¥�]±d���&w/wv�+w/�&�ä�Mw/�&�/wv~��&��Â�ÀÇEÊ<-;2 58ÅiÎQ�32�� ÈaÔ�Ê]Ì32��+Ê -;2׿g³6�i�ÒÂ%��¡gð8�M�dÂp�������W�g¢�¢�¿@¢�����(OÂ

� � � � ��(<� ��Â#�À��®�¿�$p �=��������wí�]~p�ù�� � � ��spw��g � Ø�Í�ÅiÔ Ì_^e�]ÅiÇÉÈÒÍvÚÃÈÒÍÉÌ_^çÅ*[-Ø Å�Ô Ñ6Ê�ÇÉÈÃÚ Î�Ì6 âj~p�Mwv������i�g�%�]�&wr wV®g�&�,��~:�à�]��spwvuµ�]�����/��Âp���M����~M�6wv�Eá �2wv���×�]�p¿ � wv» JA�i�Z�+¿M�&w/�/�i~p�Äw/�=Â�¿�¢�����(OÂ���~Õ��~����&�O�g�p�v�����i~��&��/�iu­�M�M��]�����i~%�]�!�]���6wv�M��]���G�6w/�iuxwv�����ç�]~p�Ö�/�iu­uG�M��]����³6w��]���6wv�M��gÂ

� ���à��¡G� � Â+r� �À�i�M���&�i���*�]~p� ¬ Â5�°wv��wv��Âj�j���6wv�M��]�����,����i���g���i~¼�����&w��]u �ä���Mspwv�&�?»�����s �=��~pw��]��ãpw/w/�Oá�%�i����Âg�Ð~ J Ø(�YÅ*[�-ÍÉÌ�È [05�ÇVÛÉÆ+ÚÒÊiÔ�Ê&ÑiÛ� !�#" � 5M $�%� �'& � � � ��Å�ÇÌ/Å*+ ^���ÊiÔ�Å*[-Ø(^A8��� � ��¿�³6�i�ÒÂ6y�������]± � ÍZ-�ÚÃÓ�Ç&Í(GÊ�Ú¯ÍÉÌSÈ [ 58Ê�Î�Æ+ÓOÚ¯ÍVÇ(��-vÈÒÍ\[5-ÉÍ6¿g�M�dÂg¡]�����µ¡����gÂM���M����~M�6wv�Eá �2wv���×�]�p¿ "jwv���Mwv����wv���p¿My�����¡gÂ

� � ¬ ���G� ��Â'�À�i�M��wv�&��u­����sÖ�]~p���+ ¬ ��~p�i����i�=Â��°�]�����·®ÕuG�M�������M�������]�����i~�³O�×���]������sMuxwv�����S�M�&�i���&w/�&�����i~p��Â*)02�%ÛiÎ��&ÊiÔ È - 58ÊiÎjÆ-ÓgÚ 2�¿g³6�i�ÒÂ%�M没6èVð2�M�dÂpy��g¢��Oy����g¿ ¢������gÂ

� �/�H�g¢\� � Âd{�Â��Mw �À���M� �5~d J ÌÉÛiÎjÆ+ÚÒÊ�ÚÃÈ -­ÎµÍvÚ Ê�Ø]Ì�È [�Å�[-ÅiÔ ÛYÌVÈ×Ì6Â*�S�¸³6wv�G�8�M�M�������]�����i~p�L�Ð~p��Â�¿ � wv» JA�i�Z��¿��sM���&��w/�=Â�¿d¢����g¢�Â

� ã%�]�%��yG� $p á��?Â�ã-�]�M�6tv�&w�Â=�½~pwv»åw��µ�v��wv~����]���6�i������sMu ±²�i�A�/�iu­�M�M����~M�x{?�&Ái�M~pwv�À�%�i�&w/�2»�����sp�i�M�ä�&w/�g�p�v�����i~�&�­é�wv�&�Öì�8 � ïVÂ!�¯~çr� �°�i��g¿pw/�g���&�i��¿ � �+� J 5 8��� 8�¿M�M�dÂ�(i���W��¡g¿+y�����ygÂ

XZY�c[X]\

Page 22: Complexity of Gröbner basis computation for Semi-regular ... · ISSN 0249-6399 ISRN INRIA/RR--5049--FR+ENG apport de recherche THÈME 2 INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE

� ã%$���¡G� $p á��?Â@ã-�]�M�6tv�&wÕ�]~p��� Â3$��i�g®�ÂÄ�j���6wv�M��]�����ä���O�M��]~%�]���O�������]±7"����M�Mwv~Kã���wv��� 2���%�]�����i~åæ "?ã äè�ä�����M�&�����g���&wvux�Õâj�&��~M�ê{?�&Ái�M~pwv�¥�%�i�&w/��Â)�Ð~��� �,�i~pwvsd¿�w/�g���&�i��¿ J Ø!�YÅ*[5-ÍVÌmÈ [ 5�ÇVÛÉÆ+ÚÒÊiÔ�Ê&ÑiÛ�Ï5M ���� ��� 8�� � � ¿p³6�i�ÒÂ%y�(iy��­�]± �� 5��,¿O�M�dÂg�����W���gÂ-���M����~M�6wv��¿-y�����¡gÂ

� ãKJ ���G� � Â6�+Â�ãM��iwv~/�6wv�%�]~p� J­ÂGJAw/��s%�gÂ��À�iu­�M��wV®g���¯���]±+�&�i��³O��~M�*�]���6wv�M��]����w/���%�]�����i~p�¸Â � [�Ù/ÊiÇÉÎQ2��ÀÇ�Ê -ÍÉÌÉÌ]2� ÍvÚ²Ú 2׿M³6�i�ÒÂ=¢��MæQ�iáÐ�6èVð2�M�d ¢�(*���-¢�(i�g¿d¢������gÂ

�� ��i�%���G� � Â5 ��i�M������é6 J Ô Ñ�Í3�vÇEÅiÈ -µÅiÌÒÆMÍZ-�ÚQÌ�ÊEÙ -vÇÉÛÉÆ+ÚÒÊÑiÇEÅVÆ Û-¿+³6�i�ÒÂ�¡x�]± J Ô Ñ6ÊiÇVÈQÚ Î�Ì�Å�[-Ø 58ÊiÎjÆ-ÓOÚÒÅ6ÚÃÈÃÊ*[¼È [�°Å�Ú ÍVÎxÅ�ÚÃÈ -VÌ6ÂÕ���M����~M�6wv�Eá �2wv���×�]�p¿ �,wv������~d¿ä¢������g ¬ ����s��]~í�]�M�+wv~p�g�·®¼���à�j�·±Ã�&w/� $pÂ��°wv~pwvé�w/��¿J?�·áD"?�i~M� ¬ �m�]~p�ç�j�i�+wv���7$pÂ��-�p�/�&spwv��]�&�MÂ

� � �]é<��¡G� �� � �]é¸�]�&�=ÂG{S�&Ái�M~pwv�?�%�i�w/��¿d{��]�p�&���×�]~àwv����u­��~%�]�����i~í�]~p�°�&w/�&�i���M�����i~¼�]±ä���g���&wvux�S�]±ä�]���6wv�M��]���w/���%�]�����i~p�� �Ð~ 58ÊiÎjÆ-ÓgÚ¯ÍVǵÅiÔ Ñ�Í3�VÇ�Å ��� Ê*[-Ø6Ê*[K^ ����� � ��¿ ³6�i�ÒÂ8¢ ��yÄ�]±��@ÍZ-/ÚÃÓOÇ�Í%GÊ�Ú¯ÍÉÌ­È [ 58ÊiÎjÆ-ÓOÚ 2��-vÈ12�¿g�M�dÂd¢v�R���-¢����gÂ+���M����~M�6wv��¿g�,wv������~d¿d¢�����¡gÂ

� � �]é¸�g¢\� ��Â�� �]é¸�]�&�=Âj�O�i��³O��~M�¥���g���&wvux�j�]±2�]���6wv�M��]����w/���%�]�����i~p�� J 5�� � � P*� J � ��Ó�ÔQÔ�Í/ÚÃÈ [!¿%³6�i�ÒÂ+¡��M没6èVð�M�dÂd¢�¢��O¡�(O¿%y����g¢�Â

���à�i����yG� ãÀÂ6�+Â*�à�i���]�M�×�/�6 � ~­�&�iuxwä±²�i��uG�M�×�?��~­wv����u­��~%�]�����i~dÂg�Ð~��dÊ*[-Ø�Ê*[ �°Å6Ú ÍVÎxÅ�ÚÃÈ -&ÅiÔ �+Ê<-vȲÍ/ÚÃÛ-¿i~p�MÂ6¡�¡��~í¢�¿g�M�dÂ%¡��Oy�(O¿d¢�����ygÂ

���F� ���G� r�Â��à�]�&���Mux�i�&�ç�]~p�," Â��Ðuµ�]�ÒÂ��8�M�M�����­���%�i�g��]����� ���i���O~p�iu­�×�]�·áÒ���M�M��w/�S±Ã�i�Sw��µ�v��wv~�� ������~%�]���M�&wVá³6wv���·Ë%���]�����i~"�]~p��uxw/���]�6wVá¯wv~p�v�����M�����i~d �¯~ J Ø!�YÅ*[5-ÍVÌ°È [ -vÇVÛÆ�ÚÒÊiÔ·ÊÑiÛ �#"$ � 5M �� � � & ������ Å(�YÊ]ÌF^ ����������¿O³6�i�ÒÂM¡�¡����]± �@ÍZ-/ÚÃÓOÇ�Í�*Ê6Ú¯ÍÉÌ�È [ 58Ê�Î�Æ+ÓOÚ 2���-vÈ12�¿O�M�dÂO�p¢���������¡gÂ%���M����~M�6wv��¿/�,wv������~d¿¢������gÂ

���F�F��yG� � ¬ Â��à�/�O�G�]~p�¼��Â=�GÂ��mwv�6wv��Â�r,spw­�/�iu­�M��wV®g���¯�¼�]±,��spw�»ä�i�&�¼�M�&�i�M��wvux�*±Ã�i���/�iu­uG�M��]����³6w�&wvu­�����&�i�M�p� �]~p�¼���i���O~p�iu­�×�]�8���Mw��]���� J Ø(�]Å*[5-ÍÉÌ¥È [ �°Å�Ú ÍVÎxÅ�ÚÃÈ -VÌ6¿d³6�i�ÒÂ��R�M没6èVð*�M�d ¡������O¡�y��g¿¢�����ygÂ

���°�is%���G� r�ÂMr�ÂW�°�isdÂ��(�8�M�M�����L �wv�Õ���g���&wvu ¬ ����sm������~%�]���M�&w���~p�:�à�i���&wv�H �wv�¥ãM�M~p�v�����i~p�� 58ÊiÎ�Î�ÓOÏ[pÈ -Å�ÚÃÈÃÊ�[MÌ�È [ J Ô Ñ�Í3�VÇ�Å%¿%³6�i�ÒÂ%y�(gæ²�6èVð8�M�dÂ%y�y���( �Oy�y�y�yg¿@¢������gÂ

���°�j��yG� �+Âd�m�M���Ms����]~p� ��Â3$%ÂK�SÂd�j�i�p��s%�/»* A�&�&wv~����×�]�À�����6wv�M��]���ç�������p�v���M�&w¥»�����sM��~���spw¥� ä�+ �Ð~��Â�J2�M~M�p¿dw/�g���&�i��¿ J Ø(�]Å*[5-ÍÉÌxÈ [)5�ÇVÛÉÆ+ÚÒÊiÔ�Ê&ÑiÛ 5M ���� ��� 8��� 8!¿d³6�i�ÒÂdy]����yÄ�]±�� ÍZ-�ÚÃÓ�Ç&Í%*Ê�Ú¯ÍVÌÈ [ 58ÊiÎjÆ-ÓgÚ¯ÍVÇ!��-vÈÒÍ\[5-ÉÍ6¿M�M�d ¢��-¢ �gÂ-���M����~M�6wv��¿g�,wv������~d¿%y�����ygÂ

� � ��³M��(<� ãÀ ¬  $p � ��³6wv�� J ÌVÛiÎ�Æ�ÚÒÊ�ÚÃÈ -vÌÄÅ*[-ؼÌÒÆMÍ�-vÈÃÅ�ÔdÙÉÓW[5-/ÚÃȲÊ*[MÌ6ÂK�� �� �ä�×�i�&�����/��Â8� �@wv�&wv�&� �=�&�=Â�¿¬ wv����w/����wv�6¿��m��¿�¢�����(OÂ?�jwv�M����~��*�]±2��spwÄ¢���(Y�ç�i��������~%�]�H� �����i�Mwvu­���­�8�&w/�&��¿ � wv» JA�i�Z� � �m� �;�� �������G�¯Â

� �!�]����G� $pÂ��!�]��]����~dÂ�"����M�Mwv~Äã���wv���M� 2���%�]�����i~p��æ "jã äèä�]~p�B�Ð�&�iux�i���MsM���&ux�ä�]± ���i����~p�iu­�×�]��� æ �Ð�äèVð�rd»À�� wv» ã%�]u­������w/�­�]±j�?���Ou­uxwv�������Ä�����6�i������sMux��ÂM�Ð~ J Ø(�YÅ�[5-ÍÉÌÄÈ [`-/ÇÉÛÉÆ+ÚÒÊiÔ�Ê&ÑiÛ �#"$ � 5M �� � �& � � � �+ÅiÇ�Å�Ñ6Ê]ÌÉÌvÅa^ ����� � ��¿%³6�i�ÒÂ�¢���(i�x�]±=�@ÍZ-/ÚÃÓOÇ�Í#*Ê6Ú¯ÍÉÌGÈ [ 58Ê�Î�Æ+ÓOÚ 2 ��-vÈ12�¿%�M�dÂ-¡�¡����R�gÂ=���M����~M�6wv��¿�Àwv������~d¿ ¢������gÂ

� �O� �� *���G��� Â���s%�]u­����¿7$pÂÀ���]��]����~d¿ �  �À�i�M���&�i���ç�]~p�½��Â� S����ux��³� �µ�v��wv~��ç�����6�i������sMux�¥±²�i�Õ�&�i��³O��~M�� ³6wv�&�MwVËp~pw/�ç���g���&wvux�À�]±d�Ö�M������³��]���×�]�&wS�@�i���O~p�iu­�×�]�� 2���%�]�����i~p��Â3�Ð~ J Ø!�YÅ*[5-ÍVÌ?È [ -vÇVÛÆ�ÚÒÊiÔ·ÊÑiÛ �#"$ � 5M �� � � & � ���,^ 8����F��¿]³6�i�ÒÂ�¢ ����(��]±�� ÍZ-�ÚÃÓ�Ç&Í GÊ�Ú¯ÍÉÌäÈ [ 58ÊiÎjÆ-ÓgÚ¯ÍVÇ ��-/ȲÍ\[�-Í6¿i�M�dÂ]¡���y�������(OÂ���M����~M�6wv�Eá �2wv���×�]�p¿5"?wv���Mwv���+wv���p¿-y������gÂ

cdc >*egfNhji\k

Page 23: Complexity of Gröbner basis computation for Semi-regular ... · ISSN 0249-6399 ISRN INRIA/RR--5049--FR+ENG apport de recherche THÈME 2 INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE

Unité de recherche INRIA LorraineLORIA, Technopôle de Nancy-Brabois - Campus scientifique

615, rue du Jardin Botanique - BP 101 - 54602 Villers-lès-Nancy Cedex (France)

Unité de recherche INRIA Futurs : Domaine de Voluceau - Rocquencourt - BP 105 - 78153 Le Chesnay Cedex (France)Unité de recherche INRIA Rennes : IRISA, Campus universitaire de Beaulieu - 35042 Rennes Cedex (France)

Unité de recherche INRIA Rhône-Alpes : 655, avenue de l’Europe - 38330 Montbonnot-St-Martin (France)Unité de recherche INRIA Rocquencourt : Domaine de Voluceau - Rocquencourt - BP 105 - 78153 Le Chesnay Cedex (France)

Unité de recherche INRIA Sophia Antipolis : 2004, route des Lucioles - BP 93 - 06902 Sophia Antipolis Cedex (France)

ÉditeurINRIA - Domaine de Voluceau - Rocquencourt, BP 105 - 78153 Le Chesnay Cedex (France)��������� ���� ���������� ��� ���

ISSN 0249-6399