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Complementariedad clásica, o cuánto
cuántico hay en cuántica
Classical complementarity , or how much quantum is in
quantum
Raquel Galazo García
Curso 2017/2018
Grado en Física
Universidad Complutense de Madrid
"Quantum theory provides us with a striking illustration of the fact that we can fully
understand a connection though we can only speak of it in images and parables" -Werner
Heisenberg"
Tutor
Alfredo Luis Aina Madrid, 15 de junio del 2018
Raquel Galazo García
Abstract: We investigate what is quantum about the idea of
complementarity. To this end we examine complementarity in a purely classical
scenario. We look at the Young Interferometer and we consider the intensity over
the two slits and the intensity in the plane where the interference is formed as
potential complementary variables. We ask ourselves about results incompatible
with classical optics for the intensity distribution I(r, φ) in the form of cases with
I(r, φ) < 0. We interpret this result from the point of view of Wigner’s function,
taking advantage of the undeniable parallelisms that it offers between classical
optics and quantum physics and we investigate whether negativity occurs due to
lack of separability.
Keywords: Complementarity, Negativity, Wigner function.
Resumen: En este trabajo investigamos qué hay de cuántico en la idea
de complementariedad. Para este fin, examinamos la complementariedad en
un escenario puramente clásico. Nos serviremos del Interferómetro de Young
y consideraremos la intensidad sobre las dos rendijas y la intensidad en el
plano donde se forma la interferencia como presuntas variables complementarias.
Nos preguntamos por un resultado de imposibilidad en óptica clásica para la
distribución de intensidad I(r, φ) en la forma de casos con I(r, φ) < 0. Finalmente,
interpretaremos este resultado desde el punto de vista de la función de Wigner,
aprovechando los innegables paralelismos que ofrece entre óptica clásica y física
cuántica e investigamos si la negatividad ocurre por falta de separabilidad.
Palabras clave: Complementariedad, Negatividad, Función de Wigner.
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Contenidos
1 Introducción 2
2 El experimento de Young 4
3 Desarrollo teórico 7
4 Conclusiones 12
5 Apéndice 16
5.1 Protocolo de inversión y medidas simultáneas . . . . . . . . . . . . . . 16
5.2 No separabilidad del electromagnetismo clásico . . . . . . . . . . . . . 18
6 Agradecimientos 20
Bibliografía 21
Raquel Galazo García
1 Introducción
Como bien es sabido, las leyes que rigen la física clásica y la física cuántica son
distintas. Una de las diferencias fundamentales entre la física clásica y la física
cuántica es el principio de indeterminación, ya que este no tiene un análogo clásico.
La expresión matemática de este principio, enunciado por Werner Heisenberg en
1925 es:
∆ψA∆ψB >1
2|〈ψ|[A, B]|ψ〉|, (1.1)
donde ∆ψA es la indeterminación del observable A sobre el estado |ψ〉.
Esta desigualdad explica el fenómeno cuántico de la imposibilidad de medir dos
observables complementarios simultáneamente con total precisión, es decir, cuanta
más precisión se obtiene en uno de ellos, menos se obtiene de la propiedad
complementaria. Sin duda el ejemplo de complementariedad más célebre y
didáctico es el de la dualidad onda-corpúsculo, tal como se manifiesta, por ejemplo,
en el interferómetro de Young.
El objetivo de este trabajo es estudiar a través del experimento de Young
el límite entre estas dos manifestaciones de la naturaleza, analizando qué hay de
genuinamente cuántico en la idea de complementariedad. Dicho de otra forma, nos
preguntamos por la existencia de complementariedad en física clásica y si ocurre
en los mismos términos que en física cuántica. En este sentido de la posibilidad
de observación conjunta de dos observables, consideramos la idea usual de que
el principio de indeterminación es el punto de partida para establecer el límite
de aplicabilidad de la física clásica. Por ello, vamos a intentar convertir teoremas
demostrados para probabilidades cuánticas en teoremas para la intensidad en óptica
clásica. En particular, pensamos en la imposibilidad de una distribución conjunta
exacta para variables complementarias en física cuántica. Esto es así puesto que la
falta de conmutación impide que dos observables tengan una base de autoestados
comunes, lo que imposibilita una distribución de probabilidad común según la regla
2
Trabajo de Fin de Grado
de Born. Sin embargo, en el espíritu de la relación de incertidumbre anterior, la
medida simultánea de variables complementarias puede ser posible si admitimos
que no sean medidas exactas.
Para desarrollar esta idea, como decíamos, nos serviremos del experimento
de Young. Consideramos dos variables presuntamente complementarias: intensidad
y fase. Trabajaremos siempre dentro del modelo clásico de la luz. Plantearemos
una medida simultánea imperfecta de ambos observables. Como el método de
observación será conocido, podremos inferir las distribuciones exactas de ambos
observables a partir de las distribuciones imperfectas observadas. Aplicada esta
inversión a la distribución conjunta observada podremos inferir las distribución
conjunta exacta y examinar su existencia y su posible carácter patológico en su caso
como signatura de complementariedad. Por completitud presentamos más detalles
de este método en un apéndice al final de esta memoria.
Este método de inferencia ha sido aplicado en contextos puramente
cuánticos muy similares al nuestro para descubrir comportamientos no clásicos. La
única diferencia es que en el dominio clásico hablamos siempre de distribuciones
de intensidad, mientras que en el domino cuántico se trata de distribuciones de
probabilidad. Pero es normalmente asumido en óptica que la intensidad luminosa es
proporcional a las probabilidad de presencia de fotones. Por ello, creemos que este
objetivo puede ser de utilidad en la investigación de los fundamentos de la teoría
cuántica y de la frontera clásico-cuántica.
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Raquel Galazo García
2 El experimento de Young
En la sección anterior hemos enunciado el principio de indeterminación de
Heisenberg; antes de explicar el desarrollo del experimento en el que nos basamos
para obtener los resultados que buscamos, me gustaría destacar la profundidad de
este concepto.
Debemos entender el principio de indeterminación como la manifestación
de un concepto más profundo, el de complementariedad. El principio de
complementariedad fue formulado por Niels Bohr en 1927; es un concepto
filosófico que describe que el conocimiento de una propiedad de un sistema
implica necesariamente el desconocimiento de otra propiedad, por lo que
podemos englobar el principio de indeterminación de Heisenberg en el concepto
de complementariedad, ya que este es una forma particular de enunciar
cuantitativamente esta idea.
Figura 1: Esquema del experimento de Young
4
Trabajo de Fin de Grado
El experimento de la doble rendija de Young es uno de los más importantes
de la historia de la Física y un auténtico laboratorio mental donde poner a prueba y
examinar los auténticos fundamentos de la óptica y la cuántica. Realizado en 1801,
fue clave para la discusión de la naturaleza de la luz.
Para este trabajo modificaremos ligeramente este sistema, de modo que
en la pantalla donde observemos la interferencia además de la fase tengamos
información sobre la intensidad sobre las rendijas: Para inferir cuánta luz ha pasado
por cada rendija incorporamos medios anisótropos en estas, codificando así la
información sobre la rendija en el estado de polarización. Este hecho degrada
necesariamente la interferencia que se producirá en la pantalla de observación, ya
que la visibilidad de la interferencia siempre decrece si los estados de polarización
de las ondas que interfieren no son el mismo, y más decrece cuanto más distinguibles
son.
Para extraer la información sobre la intensidad en las rendijas, contenida
en la polarización, pondremos un polarizador en la pantalla de observación y
mediremos la distribución de intensidad interferométrica sobre la pantalla para
dos orientaciones ortogonales del polarizador. Estas observaciones nos darán
información imperfecta sobre intensidad y fase sobre la rendijas. Sin embargo,
al conocer todos los detalles del proceso de medida, seremos capaces de obtener
información exacta mediante un adecuado proceso de inversión.
Lo que queremos es observar satisfactoriamente los resultados del
experimento de Young. Esto dependerá de si los paquetes o trenes de onda de la
luz que llegan a la pantalla de observación desde las rendijas se superponen. O
dicho con otras palabras, que las ondas han de ser coherentes.
5
Raquel Galazo García
En todo proceso de interferencia, una condición indispensable es que exista
coherencia entre las fuentes. Esta es una razón de carácter práctico en óptica, ya
que la luz generada por la excitación de átomos hereda la aleatoriedad característica
de la materia en el nivel atómico, obteniendo su carácter fluctuante. La coherencia
no es más que la dependencia estadística entre dos o más campos eléctricos. Una
medida sencilla y útil de coherencia viene dada esencialmente por un coeficiente
de correlación lineal, llamado grado de coherencia, que viene dado por la siguiente
expresión:
µ =|〈E1E
∗2〉|√
〈|E1|2〉〈|E2|2〉. (2.1)
Esta cantidad está acotada 0 ≤ µ ≤ 1 en función de la relación que exista
entre los campos.
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Trabajo de Fin de Grado
3 Desarrollo teórico
Las dos variables "presuntamente" complementarias son la intensidad sobre las
dos rendijas I(r = 1,−1) (siendo la variable r la que etiqueta a las rendijas) y la
intensidad en el plano donde se forma la interferencia I(φ) (siendo φ la diferencia
de fase). Tal y como vimos, nuestro objetivo es en el marco de la óptica clásica
intentar expresar la complementariedad entre dos variables de forma de inexistencia
de una distribución conjunta I(r, φ) < 0. Es decir, si no hay una distribución
conjunta, las variables son por tanto complementarias y no las podremos determinar
simultáneamente.
En primer lugar vamos a describir nuestras variables complementarias: La
intensidad de la fuente de luz sobre las dos rendijas en una descripción puramente
ondulatoria será:
IR(r) = 〈|Er|2〉. (3.1)
Por otro lado, la intensidad en el plano de la interferencia sigue la siguiente
y conocida expresión:
IΦ(φ) = 〈|E1 + E−1eiφ|2〉 = IR(1) + IR(−1) + 2µ
√IR(1)IR(−1) cos(φ+ δ), (3.2)
siendo µ el grado de coherencia y δ la fase de 〈E1E∗−1〉 .
Estas distribuciones de intensidad como podemos ver son distribuciones
exactas, de modo que vamos a estudiar la existencia de una distribución conjunta
I(r, φ) de la que fueran estas distribuciones marginales, es decir:
IR(r) =
∫2π
dφI(r, φ),
IΦ(φ) =∑r=1,−1
I(r, φ).(3.3)
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Raquel Galazo García
Físicamente, interpretamos I(r, φ) como la cantidad de luz que sale de la
rendija r en la dirección especificada por φ.
A continuación, introducimos el estado de polarización de cada rendija.
Este será distinto para cada una de ellas pues así nos facilitará conocer cuanta
cantidad de luz pasa por cada una de estas:
−→u 1 =
1
0
,−→u −1 =
cos θ
sin θ
. (3.4)
Debemos destacar que aunque perturbemos el sistema no destruimos la
interferencia por colocar estos polarizadores siempre que θ 6= π/2 . Por ello, el campo
en el plano de interferencia:
−→E (φ) = E1
−→u 1 + E−1eiφ−→u −1. (3.5)
En la pantalla de observación, como dijimos, colocamos un dispositivo que
nos separe las dos componentes ortogonales de la polarización una base descrita por
estos vectores unitarios ortogonales −→v ρ=1,−1:
−→v 1 =
cosα
sinα
,−→v −1 =
− sinα
cosα
. (3.6)
De modo que al medir obtendremos dos distribuciones de intensidad:
I (ρ, φ) = 〈|−→v ∗ρ−→E (φ) |2〉. (3.7)
8
Trabajo de Fin de Grado
Más en particular:
I (1, φ) = cos2 α|E1|2 + cos2 (θ − α) |E−1|2
+ 2 cosα cos (θ − α) cos (φ+ δ) |E1E∗−1|,
(3.8)
I (−1, φ) = sin2 α|E1|2 + sin2 (θ − α) |E−1|2
− 2 sinα sin (θ − α) cos (φ+ δ) |E1E∗−1|.
(3.9)
Por lo tanto, la distribución marginal de la polarización es:
IP (ρ) =
∫2π
dφI(ρ, φ), (3.10)
y más concretamente
IP (1) = cos2 α|E1|2 + cos2 (θ − α) |E−1|2 = IR(1) cos2 α + IR(−1) cos2 (θ − α) , (3.11)
IP (−1) = sin2 α|E1|2 + sin2 (θ − α) |E−1|2 = IR(1) sin2 α+ IR(−1) sin2 (θ − α) . (3.12)
Análogamente, la marginal para la interferencia será:
IΦ(φ) =∑ρ=1,−1
I(ρ, φ) = |E1|2 + |E−1|2 + 2 cos θ|E1E∗−1| cos (φ+ δ)
= IR(1) + IR(−1) + 2µ cos θ√IR(1)IR(−1) cos (φ+ δ) .
(3.13)
Estas dos distribuciones "ruidosas" IP (ρ) y IΦ(φ) contienen información
completa de sus versiones exactas dadas por IR(r) y IΦ(φ). Para llegar a ellas
buscamos funciones MR(r, ρ) , MΦ(φ, ϕ) que nos permitan hacer la inversión de la
siguiente forma:
IR(r) =∑ρ=1,−1
MR(r, ρ)IP (ρ),
IΦ (φ) =
∫2π
dϕMΦ(φ, ϕ)IΦ(ϕ).
(3.14)
9
Raquel Galazo García
Desarrollando estos cálculos para IR(r)
IR(1)
IR(−1)
=
MR(1, 1) MR(1,−1)
MR(−1, 1) MR(−1,−1)
IP (1)
IP (−1)
. (3.15)
Resolviendo este sistema tenemos que las componentes para MR(r, ρ) son:
MR(r, ρ) =
sin2 αsin θ sin(2α−θ) − cos2 α
sin θ sin(2α−θ)
− sin2(α−θ)sin θ sin(2α−θ)
cos2(α−θ)sin θ sin(2α−θ)
. (3.16)
Siguiendo este razonamiento, con la ecuación (3.16) obtenemos:
MΦ(φ, ϕ) =1
2π
(1 +
2
cos θcos (φ− ϕ)
). (3.17)
Estas dos funciones que hemos determinado MR(r, ρ) y MΦ(φ, ϕ) realizan
una inversión legítima en las variables rendija/interferencia y por ello nos permiten
pasar de la distribución ruidosa I(ρ, φ) a cierta distribución exacta I(r, φ) de la
siguiente manera:
I(r, φ) =∑
ρ=+1,−1
∫2π
dϕMR(r, ρ)MΦ(φ, ϕ)I(ρ, ϕ). (3.18)
Operando obtenemos:
I(1, φ) =1
2csc (2α− θ) sec θ
{IR(1) sin 2α
+[IR(1) + µ
√IR(1)IR(−1) cos (δ + φ)
]sin [2 (α− θ)]
},
I(−1, φ) =1
2csc (2α− θ) sec θ
{IR(−1) sin [2 (α− θ)]
+[IR(−1) + 2µ
√IR(1)IR(−1) cos (δ + φ)
]sin 2α
}.
(3.19)
Para una discusión más simple de los resultados, a continuación,
tomaremos el limite cuando θ tiende a cero de (3.19) pues no perdemos generalidad
10
Trabajo de Fin de Grado
y conseguimos una expresión más sencilla la distribución exacta I(r, φ):
I(1, φ) = IR(1) + µ√IR(1)IR(−1) cos (δ + φ) ,
I(−1, φ) = IR(−1) + µ√IR(1)IR(−1) cos (δ + φ) .
(3.20)
De forma condensada:
I(r, φ) = IR(r) + µ√IR(1)IR(−1) cos(δ + φ). (3.21)
La expresión (3.21) ilustra la distribución de intensidad conjunta y exacta
que hemos inferido a través del experimento mental que se ha planteado. Recoge la
información de la cantidad de luz que sale por la rendija r con un desfase φ.
Tal y como comentábamos con anterioridad, en óptica clásica un resultado
imposible vendría dado por casos en los que I(r, φ) < 0. Si por ejemplo elegimos
φ = −δ + π tenemos que cos (δ + φ) = −1 y entonces I(1, φ) < 0 o I(−1, φ) < 0
siempre que |µ|2 > min {IR(1)/IR(−1), IR(−1)/IR(1)}. Es interesante observar que
hay situaciones en las que la distribución no es patológica, y que esto ocurre sobre
todo cuanto menor es la coherencia.
Este es el resultado paradójico que andábamos buscando y que imita una
idea similar en complementariedad cuántica. En la siguiente sección lo discutimos
más en detalle.
11
Raquel Galazo García
4 Conclusiones
El procedimiento seguido es un proceso estándar para determinar la distribuciones
conjuntas de varias variables en términos de medidas simultáneas imperfectas. Vale
lo mismo en física cuántica que en clásica. Por ello, en física cuántica es un proceso
ideal para detectar comportamientos no clásicos en términos de distribuciones
conjuntas patológicas. Este es el caso si intentamos inferir la distribución conjunta
de variables complementarias, como posición y momento por ejemplo.
Este tipo de protocolos que buscan una distribución conjunta de variables
complementarias con marginales exactas conducen en general a distribuciones
conocidas como funciones de Wigner. No es exactamente nuestro caso pero si que
puede servir este concepto para interpretar correctamente los resultados obtenidos.
Concretamente pensamos en el papel de la función de Wigner como unión entre
conceptos pertenecientes a teorías distintas: en cuántica representando estados
cuánticos como distribuciones reales sobre el espacio de fase clásico, y en óptica
aunando la descripción ondulatoria con la geométrica en un intento de ser una
radiancia para cualquier onda.
La función de distribución de Wigner es una herramienta muy utilizada que
proporciona correcciones cuánticas a la mecánica estadística clásica. En este trabajo
no nos centraremos en su definición matemática, sino que tomaremos el concepto y
la aplicabilidad que tiene para poder obtener nuestras conclusiones.
Por su naturaleza, en física cuántica la distribución de Wigner puede tomar
valores negativos para estados no clásicos y es un claro indicador de la interferencia
en mecánica cuántica. De modo que la función Wigner nos permite estudiar la
frontera entre el mundo clásico y el cuántico. Esta la establecemos ya que la
negatividad de dicha función desaparece en el límite clásico.
12
Trabajo de Fin de Grado
De manera esquemática tenemos:
FÍSICACLÁSICA
FÍSICACUÁNTICA
RAYO ONDA
F. Wig�er
F. Wig�er
Figura 2: Concepto: función de distribución de Wigner
Nuestro trabajo se ha desarrollado en la parte de abajo del esquema
anterior, es decir, hemos planteado la complementariedad entre las variables r y φ,
siendo la rendija la variable asociada al rayo y la interferencia a la onda.
Como sabemos, la óptica geométrica es una forma aproximada de describir
la propagación de la luz; esta sigue trayectorias llamadas rayos. Esto es decir que en
óptica geométrica es posible asignar a la luz posición y dirección de propagación a
la vez, por lo que existe una distribución de intensidad cuyas variables son posición
y dirección de propagación.
Naturalmente esto es incompatible con fenómenos ondulatorios como la
difracción y la interferencia. Por tanto, cuando nos enfrentemos a fenómenos
ondulatorios, podemos esperar que no exista la distribución de intensidad
dependiente a la vez de la posición y de la dirección de propagacion. Este es en
definitiva el problema de la indefinicion de la radiancia en óptica ondulatoria. Y en
este contexto, la distribución de intensidad conjunta pasa a ser la función de Wigner
de la óptica clásica.
13
Raquel Galazo García
Por tanto, la función de Wigner clásica admite una interpretación como
distribución de intensidad en tanto en cuanto la coherencia sea nula. Esto
concuerda con el resultado que hemos obtenido, aunque nuestro procedimiento no
ha pretendido inicialmente la definición de una función de Wigner. No obstante, hay
paralelismos claros puesto que podemos hacer una correspondencia clara entre fase
φ y dirección de propagación.
Dicho de otra forma, para que incluya rigurosamente la coherencia
ondulatoria en un marco clásico, tendremos forzosamente la negatividad en la
función de Wigner. Al tratarse de intensidades luminosas, es decir, de un observable
físico, tener este signo menos en nuestra distribución conjunta es un rompecabezas.
No obstante, con este objeto tan sofisticado como es la función de Wigner nos
ayuda a entender que la óptica geométrica que conocemos equivale a la desaparición
de la coherencia en la aproximación paraxial y nos permite despreciar los efectos
derivados de la interferencia y difracción, comportamiento ligado a la naturaleza
ondulatoria de la luz.
Con todo lo expresado anteriormente, justificamos los cálculos obtenidos
en el desarrollo teórico que venían del planteamiento del Interferómetro de Young.
Sin embargo, podemos dar otra vuelta de tuerca al problema y tratar de hacer un
paralelismo con lo planteado en la parte superior del esquema. Podemos interpretar
que esta función actúa como un puente para la explicación del límite entre la óptica
clásica y la cuántica.
Una consecuencia importante de este trabajo es que la complementariedad
existe en el dominio clásico en términos completamente análogos a los que que
ocurren en física cuántica. Hasta cierto punto este paralelismo parece plausible si
adoptamos la visión usual de que las probabiliades de detección de fotones son
proporcionales a las intensidades.
14
Trabajo de Fin de Grado
Después de este resultado podemos dejar abierta la siguiente cuestión:
cuántos de los resultados que normalmente se interpretan como no clásicos son
en realidad explicables como efectos de coherencia dentro de una teoría clásica.
En la bibliografía se muestran otros trabajos recientes como los de Spreeuw [11]
y Qian [15-17] que van en esta misma línea. En este contexto, recordemos que
otros fenómenos como el efecto fotoeléctrico son usualmente considerados como
evidencia del carácter cuántico de la radiación, cuando según algunos autores podría
admitir una explicación semiclásica.
15
Raquel Galazo García
5 Apéndice
5.1 Protocolo de inversión y medidas simultáneas
De los postulados de la mecánica cuántica extraemos lo siguiente: dos observables
que conmutan forman un conjunto completo de observables compatibles. Dicho en
lenguaje matemático:
[A,B] = 0→ ∃|a, b〉,
A|a, b〉 = a|a, b〉,
B|a, b〉 = b|a, b〉.
(5.1)
Consecuentemente, sin estas condiciones, no existirá una distribución de
probabilidad conjunta P (a, b) = |〈a, b|ψ〉|2. Se dice que dos observables
complementarios no pueden observarse simultaneamente en física cuántica, al
menos de forma exacta. Pero sí que existe la posibilidad de una medida simultanea
si renunciamos a la exactitud en el modo que expresa precisamente la relación de
incertidumbre de Heisenberg (1.1).
Esto es lo que nos motiva a llevar al sistema a un espacio de Hilbert
expandido y con más grados de libertad:
HS → HTot ≡ HS ⊗Haux.
Donde los estados con los que estamos trabajando vienen dados por:
|ψs〉 → |ψ〉T ≡ |ψs〉 ⊗ |ψaux〉.
Cuidadosamente en nuestro experimento de Young planteamos medidas
imperfectas en HTot. La ventaja de trabajar en este espacio expandido reside en que
ahora podemos medir dos nuevos observables A y B siendo estos compatibles, es
decir, conmutan,[A, B
]= 0, y que proporcionen información completa sobre los
observables A y B del sistema, respectivamente. De esta forma, ya somos capaces
16
Trabajo de Fin de Grado
de extraer la información simultánea deseada: A contiene información completa de
A y B de B.
Evaluar A y B sincrónicamente nos proporciona la distribución conjunta
P (a′, b′). Esto nos permite calcular las distribuciones marginales PA(a′) y PB(b′).
Siguiendo el método de forma abstracta por las hipótesis realizadas sabemos que de
la marginal PA(a) puede extraerse la estadística exacta de A , PA(a), y análogamente
para B, por lo que sabemos que existen funciones µA(a, a′) y µB(b, b′) tales que:
PA(a′)∃−→ µA(a, a′); PA(a) =
∑a′
µA(a, a′)PA(a′),
PB(b′)∃−→ µB(b, b′); PB(b) =
∑b′
µB(b, b′)PB(b′).(5.2)
Una vez determinadas estas funciones µA y µB, llegábamos a las distribuciones
deseadas a través de un legítimo proceso de inversión de la distribución conjunta:
P (a′, b′)→ P (a, b) =∑a′,b′
µA(a, a′)µB(b, b′)P (a′, b′). (5.3)
Esta descripción probabilística, heredada de la cuántica, es la que hemos empleado
para nuestro estudio clásico con la siguiente equivalencia:
P (a′, b′)→ I(ρ, φ)
La forma utilizada para aumentar el espacio en el que trabajábamos fue con los
polarizadores sobre las rendijasHS ⊗Haux = Interferometro⊗ Polarizacion.
17
Raquel Galazo García
5.2 No separabilidad del electromagnetismo clásico
Un punto interesante de estudio se deriva de notar el paralelismo que se observa
en expresiones como la relación (5.3) con aspectos fundamentales de física cuántica
como las desigualdades de Bell y el entrelazamiento. De hecho, se sabe que si
la estadística observada es separable en las variables A y B entonces no da lugar
a patologías en la distribución conjunta exacta inferida. Se ha visto en trabajos
anteriores que la física estadística clásica es separable.
Entrando en detalle, y usando la misma nomenclatura de nuestro problema
de óptica clásica, se dice que una distribución de dos variables es separable si es
posible expresar dicha distribución de probabilidad como combinación lineal con
pesos positivos de productos de distribuciones independientes, esto es, envolvente
convexa o convex hull, de forma matemática:
I(ρ, φ) =∑λ
a(λ)IP (ρ|λ)IΦ(φ|λ), (5.4)
donde a(λ) ≥ 0, IP (ρ|λ) ≥ 0 y IΦ(φ|λ) ≥ 0. El parámetro λ lo relacionamos con los
puntos del espacio de fases del sistema clásico mientras que en la versión cuántica
suelen referirse como variables ocultas. La idea que expresa esta relación es que el
estado del sistema especificado por λ tiene en principio todas las propiedades físicas
bien determinadas independientemte del contexto.
En los resultados obtenidos examinamos que existían casos para los cuales
I(r, φ) < 0; esto implica directamente que I(ρ, φ) no se puede escribir según (5.4)
para distribuciones a(λ),I(ρ|λ) y I(φ|λ) no negativas. Dicho con otras palabras, la
distribución observada I(ρ, φ) no admite separabilidad. Es decir que en general. no
esta garantizada la separabilidad de la óptica electromagnética clásica.
Los evidentes paralelismos con la física cuántica nos llevan a establecer
una analogía clásica, en el sentido de que podríamos decir que la patología
18
Trabajo de Fin de Grado
sólo ocurre para estadísticas observadas cuyas variables estén entrelazadas. Por
ello, relacionamos la falta de separabilidad de I(ρ, φ) según (5.4) con el carácter
entrelazado clásico de (3.5) entre la posición y la polarización.
Es conocido que el entrelazamiento o entangled es una propiedad de
los estados que representan sistemas compuestos en Mecánica Cuántica. Esta
característica fue formulada en 1935 por Einstein, Podolsky y Rosen en la llamada
paradoja EPR como un argumento en contra de esta nueva teoría.
19
Raquel Galazo García
6 Agradecimientos
Este Trabajo de Fin de Grado es un proyecto que no sólo es fruto de mi esfuerzo
individual, sino que ha estado sostenido, tanto en lo profesional como en lo personal
por muchas personas. Con estas líneas quisiera mostrar mi agradecimiento a todas
ellas.
A Alfredo Luis Aina, mi tutor, por proponer el tema de este trabajo, por su
acompañamiento y energía en cada paso de la construcción del mismo. No sólo me
ha acercado a este maravilloso mundo de la óptica cuántica, sino que también me
ha inspirado mucho en su labor como docente e investigador. No cabe duda de que
gracias a él muchos estudiantes como yo encontrarán más luz en la óptica.
A mi familia en especial a Irene y Emilio y a mis amigos por escucharme y
animarme a seguir adelante. Gracias por estar no sólo en los buenos momentos, con
vuestro cariño todo ha sido mucho más fácil.
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Trabajo de Fin de Grado
Bibliografía
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