Commentatio de corporum coelestium perturbationibus. Auctore P. A. Hansen, speculae Seebergensis directore, ordinis Dannebrogici equite. (Continuatio.)

A. 4 S T R 0 IS 0 M I S C H I3 N A C H R I C H T €2 N+

C o m m e a t a t i o d e c o r p o r u r n c o e 1 e s t i u r n p e r t u r b a t i o n i b us. Auctore I-? A. Unnsen ,

speculae Seebergensis directore 3 ordinis Dannebrogici equite. (Continuatio.)

5. 111. Ezpositio novae tubiilarzirn moturn planelarum Aeliocentricunt

exlziben tium forma e.

62. Tahular i i i i i quas propono, u t breviter rem complectar, forma est haec: I'raciuissis tabulis perturbationes planetarias exlii- bentibus, ncccdent tabulae ires, q u a e resp. ascensionem rectam helioceiilricam a11 acquinoctio vernali mobili numerat am, lo- garitlrmum hrisgicuui radii vectoris, et declinationem helio- centricam ad acrpator is planum mobile relalarri, arguniento longitudine media p e ~ ~ t r ~ r b a t i o r ~ i l ~ u s suis correch, suppedita- liunt. R'uiiicri e x Iribus tabillis his desilniti corrigentur : scilicet logarithmus radii vectoris cleclinatioque perturbatio- nihus suis, asceusio veru recta perturbationibrls declinationis per ractorem illuni, cpeni i n hulus libri Nr. 2JG ddinivi, inullipliciltis e t quantitate ibidem +,,, dcnolala j cptibus fact is, coordinatae illae niilla alia correctione indigentcs slatim ha- beritur. Argumentorurn tabularuni haruni on in iu~n incremen- t u n aptissime ct ad ear t in USUIU accorutuodatissitne eligelur dies medius solaris, sell prout rcs fcr t , aut multipluni, au t subniultiplum quoddam diei, tabulae vero perturhationes minores cxhibeutes a d instar illius niodi, qiii a cl. Cnrlini in- ventus in ejnsdem Tabul is Solis divulgatus est, inaxime idonce constriieniur. Quantum ad perturbationes mCijores, forma haec sine anibagilius adhiberi noii posse videtilr ; nam certo tabulae hae ita instruendae sunt , ut pertur1,ationes simplici interpolatione, h o c est ope differentiarnm taiitum primarum iiide depromere liceat, cui tamen coaditioni si satisfeceris, yolunieii tabularuni amplissilnurn evaserit , et earum USUS

laboriosus cril ; quae quuin ita sin1 , accommodatissimae vi- dentur tabulae peculiares perturbationcs nlajores seorsim sup- peditantes.

Quibus hreviter expositis, quomodo taliulae illae com- Qucm i n finem evo-

quaruni c lcucnta i n disquisitionilus in putar i drbeant , mihi ostendendiim est. ILItioties nonnullae ,

13r Bd.

Nr. 244 seqq. tgpis excussis exponehaiitur ulterius produ- cendae suiit.

639 Ante onmia animadvert0 , licet in formulis commenta-

tionis illius ul&p quantitates (i), (8) etc. ope quant i ta tum analogarum [i], [ b ] etc. eliniirraverim, tamen lorigitudiiiem nodi ascendentis ambarum orbitarum (0) superesse, cuiue loco quaiititas arialoga [0] introducta non sit. Quamobrrm LOC loco eliiuinationem cpantitatis (0) ope [0] suscipiaiu.

Hunc i n finem su l t raha lur ab arcuhus omnibus in expressionibus generalibus per1 urbatioiturn ipsaruni p et q con- tentis arcus (Q), (adhibcntlo signum ( ) in eodeiu scnsu, quo i n cotuiuentatiorie illa ulJique adtiibiIum cst,) q u o fact0 aequationes (19) adhuc perturbatioucs pr imi ordiuis ipsarnm p et q praebent, sed loco a e c ~ i t a t i o ~ ~ u n i ( 2 7 ) praecedentes acqua- iiones ad coinputandas perturbationes secundi ordinis, sive id quod idem cst aeyiiationcs (277) ipsae, omissis tcrminis

his - - c et - c , adhibendae sunt.

(;3) = sin (i> s in { ( d ) - c - (Q){

d: d i Jt d t Porro habetur

(g ) = sin(;) cos (8) - 0 --(p)] 1 s = etc. I = v, + etc.

Quum sit, secunduiu art. 9 , generaliter pro tempore t ,

erit p r o temporis epocha

et quoties orhita planelae ycr turhat i ad plaiinm quoddani fisum referttir, e r i t c = 0 , nec aliutl faciendum, nisi va- ]ores niimericos ipsarum (0) , (i), ( b ) , (T), etc. substituere. Sin vero orbita ista ad planuin quodcuiique nob bile, au t si mavis ad planuiu quotldam rcspectti situs cjus indetermina- lum refertnr, quantitates (i), (81, ( r ) , (O), eic. functiones constantium [i], [Q], [TI, [O] et indeterminatae 7 spectandae

= ~ - [ ( l - c c o s i ) d B

(1) (Q) = ( O ) - c ................ ..

7

99 Nr. 295. I00

runt. Quoties ad perturbationes ipsius u, sivc ad valorem ipsius u, tenipori cuivis t respondentem constrlns [n] additur, sempcr erit c = (n) - [TI, ,velut in comincnlationc pluries meniorata demonstravi, et valor ipsius (T) ncc non valores ipsorulu (i) et (4) per T exprcssi ibidem dati sunt, restat vero ut v a h r ipsius (0) deliriicrtur.

Arguinentum latitudinis planetae m respectu orbitae planetae m', tenipori t responderis semper est aequalc u, - Q, itaque pro tempore t = o idem crit aequale (ut) -- (Q) sive aequale ( Y ! ) - (0) + c , secunduin aequationein (I), et denotante (v,) valorem ipsius u, pro tempore t = 0. Idam vero argunientum latitudinis ad planuru. fundamentale ad quod [i], [ O ] , [n], etc. spectant relatulu wi t aequale [v,] - [a], et quum arguinentuln hoc a plano ad quod referatur neces- sari6 independens e m debeat ; prudit

Quum vero in utroque casu ad perturbationes ipsiiis con- stantem [ r ] additum supposuerimus, quunique u, ipsa a plano projectionis independens sit, sequitur ut *)

itaque aequatio praecedens suppeditat

uiide adjumenio aequationis (I) obtinetur

(9) - (0) + c = [+I - [@I.

(4 = cut1

(0) =: [@-J+c

(q) = [@I* 64.

Per ratiocinationes art. praec. quaiititatem [O] in formulis commentationis pluries memoratae introduxiu?us ? et qnidem inrenimus eliminationcni ipsius (0) ope quaiititatis [O]

nihil aliud inutatioiiis i l l fovmiilis illic (lati3 aduxisse, quam ut in formulis (27) et iii oninil)iis ah iis derivatis termini

- 3 c et * c omittendi sint. Noniiiialiiii formulae (36),

si ad illa quae in art. 24, commentationis illius cxponebam, respicimus nunc ita se habent,

clt d t

p = ~ ] + A B + ( B + A B ' ) T + o : t f B ' i " f d c c i t f P t 2 + (i,i'I8 sin(ig+i'g') + sos( ig+i 'g') + 44(i,qs 7s in ( ig fC 'g ' ) + A(i,+ T cos(ig+i'g')

q = [q ]+AC+(C+AC' ) r+ x' t +- C'rZ+Ax ' i t+ /3 ' ta + [i,i']. sin (i g + i'g') + [i,i']- cos (ig + i'g') + A[i,i']. rsin(ig+i'g') + A[i,i'Ic rcos(ig+i'g')

ubi Cp-J = sin [i] sin [ d ] - [O] 1 i l-g] = sin [i] cos 1 ~4-j - ~ 0 1 t

reliquis vero littcris significaiio eadem est, qualu iis in corn- incntatione illa attribui.

65. QllibUs absohitis revertamur ad theorema illud quod in

art. 21 evolutum perturbationes pritni ordinis reductionis Iongitudinis ctt ad planurn quodcunquc mobile praebet. Si ad pertiirbationes secundi ordinis respicere libet , theorema lioc locum non habet, sed quomodocunque perturl)ationes hac cornpositae sunl, certe statuere licei, formam earum per theorema illud datam, accitis terminis correctionis his 6 (l-ut) ct s' (R - c') , conservari ct usque ad pert urbatiories tertii ordinis extendi posse. Quarnobrem ponaln usque ad quantitates terlii ordinis

................... I = U, + H'+ + C' -t 6 (L--vf) +- d' ( R - c') - (6 s + d'(s)) lgCi1 cos 'Os ' (ut-[c83) [61 (2) -

denotante 6 latitudinem plaiielae supra planuin mobile, figitar , aequatio praccedens praebet usque ad quantitates 6(i-u,) functionem determinandani imarum t et T el d' (R-c') tertii ordinis . . I

functionein ejusmodi ipsius T.

TTt quantitatnm harum indoles iiivestigetur, considcremus formulam rigorosam lianc i

q cos (v,- LO]) + p sin (up- [a]) C O S i cos 'L d(I-uJ = -ds

quam, inutata [a] in (a), in art. 21 commentationis illius demonstravi , eodem vero loco sub furma paullulum diversa exiiihui. Denotanle 6 perturbat iones qua~ititatis cui prae-

tg [i] COS (v,- [ d ] ) cos [ b]

d(Z-ut) = -ds I

- 6 cos (5- LO]) + P sin (0,- [@I> c o s i C O S Z b

si in quantitate cui signum 6 praefimm est perturbationes tanturn primi ordinis el c L et e I peridentcs in calculum vocantur, atque in d s quatenus primom terniirium ad dex- tram inultiplicat et termini primi ordinis ct termini secundi ordinis conservantur. Iritegrata liacc aequatio suppeditat

.................. + R + c (3) cos (u,- [0]) + p sin (ut- [a]) 8.6 B _ _ .. . -

tg Cil cos (Q,- [4) I I! = v , - 6 s - J" cos i cos2b cosz [b]

*) Vide comment. illius art. 19, uhi nequationem (f,) = [ f ] nacti cumus.

101 Nr. 295. 102

ubi eigna d et 6' ad variabilem I referefida, alque qualid- Coniparatie fOrmuIi8 (3) et (4) cum (2) prodeunt iates c', R', etc. per aequationes has computaiidae sunt, i d(l-v,) = -.ps.CPq cos (u,- [@I) + p sin(.,-[@])

cos i cosz b (4) cos [9t-C03) + (P) sin (ut-[~J)

=' = ~ l J r v ( l - ( p , z - ( m (P) d'G7) - ('I) V(1-~pY-WZ) J ( P ) I i I 8(R-c') = ---(s)d' ~

i

tg' g [ i ] sin 2 [v,- [d]) - -_ 1 + t g "t [i] cos 2 (v,- [d])

c == AD + ( D f A - W I -!- D'rz

C O T ( i ) cos2(b) tgR' = - j 66.

(valores ipsarum AV, etc. in commentationis saepe memo- ; ratae art. 24 inveniuntur.)

Expressio sub signo d in aequatione praecedenti, prima evolutione facta, ita se habet

Quantitates vero Sp et d q formam inc!uunt hanc

ubi I et I' pro functionilnis ipsarum t et I habendae sunt. Quibue valoribus in aequationibus praecedentibus suhstitutis, invenitur Sp cos(p,--[@))f Sp sin(u,-[O]) I cos(v,-[d]) + i'sin(u,-[d]) [g] cos(f;-[O])+[p] sin ( v , - [ ~ ] ) = sin [i] cos(v,-[dJ)

(71 1 ..............................

di = I - cos [z] 1 sin (v,- [ B ] ) - 1' cos (u,- [d])

cos [b ] 6b =

uiide

Nr. 295.

uhi etiam in iermino primo ad dextral11 in (I)’ non mod0 termini priini ordinis sed etiam termini secundi ordinis recipi dehent, integrale vero ita sumcndum est, ut posita I = 0 evanescal.

Expressiones hae pro c‘, d(Z-v,) et ~ ‘ ( R - c ’ ) ad perturbationes periodicas et lion periodicas opliluo jure appli- cari poterunt, et quidem seniper facillime in usnni VOCI-

buntur, rara tamen necessitas aderit, qiiae cornputatorem ad pertilrhationes p e r i o d i c h a s p l a n e t a r i a s huic calculo sub- jiciendas compellat.

68- Ut in art. ult. commentationis pliiries luemoratae quan-

titatem A? + (7 +A?’) T tal i modo in formulas illic datas in- trotluxeram, u t perturhationes in ipsa .F per iempus ipsum multiplicatae quam minimac fiereiit aiiiinadverti, quantita- t e n q‘r’ eotlein modo inlroduci pot uisse, quo termini in ipsa E per t“ inultiplicati quam iiiiniini redtlerentur, quein vero calculum , qnia termini h i jam stla sponte minutissimi sunt, illic otnisi. Quuin vero poslea reperisseln, per intro- duclani quantilatern r’r’ terminos illos siinpliciores et celeris teriniiiis magis cordorlnes red& posse, calculuin hunc peregi.

Ut ratiocinationes exponam, sit loco valoris huius sin i sin (v,-fcos i dd) ipsius s,

s = s in i sin [ V / + I G - ( f c o s i dB+u)] ubi hrevitatis caussa

u = A ~ + ( q + A ~ ‘ ) r $ q ’ r * posui. Expressioni praecedenti hanc formam dare nobie licet

9 = q , s i n { o , + u - [ q ] - p , c o ~ { ~ t + ~ - [ ~ ~ ]

ponendo p , = p cosu + q s i n u p/ = q c u s u - p sin u

undc usque ad tertium ordinem emergunt p , = p + u y - g u = p q, = ‘ I - u p - 2 d p

et quum in ipsa u conlineat A? nutationem, q praccessionem, AT’ productum nulalionis in praecessiotleln, et 7’ quadraium praecessionis, erit , neglect0 qriadrato nutationis,

11“ = 21 A7r + r z r z itaque usque atl quantitates tertii ordinis

10s Nr. 295. so6

Ubi similiter AB atque AC nutationes, B atque C praecessionem, LIB' atque AC producturn nutationis in praecessio-

neglecto quadrat0 nutationis nec non product0 nutationis in atque

. . . ..'(i2) I ) I p f = b ~ ] + A x + { x + A x ' - a ] T + a r + X'-----a-va' I"+ A o I + ~ ~ ' r t + P t 2 + term. period.

qt = CKI + A Y + { Y+ AY- a' 1 + aft + r- B'- A#'+ l a b+ {Aa'--v oL j v t + pi"+ term. period.

nem, et B' atque C' quadratum praecessionis cohibent, erit, I J

Ope harum aequationuni quantitates AV, 71, Aq' et f l tal i modo determinandae sunt, 111 Cant

AX"+ by2, Xz+ Y', A X a + AY2 el XIz+ Y" resp. quam ininimae, quo fact0 emergit

69. Valores ipsarum A X , AY, etc. modo inventi et in

aequationibus (12) aubetiluti monstrant esse poat mutatam

Y in t ipsas p , et q, formae huius p , = [p] ( I+ U ) +- term. period. 4; = [TI (I+ U ) + term. period.

denotante U functioiiem ipsarum B, C, etc. Hinc sequitur. obiineri s = sin [;I sin (0, +u-[8])+ U sin sin(u,+u-[B])+ term. p eriod . Jam ponendo

Ex formulis vero art. 20 et 24 commentationis illias einergunt

sin$ [i] --- lz sin") sin [B] cos [el 2 (1 + cos [i])"

ubi brevitatis caussa posui

107 Nr. 295.

109 N r.

71. U t hic ipsiua qtff valor explicari poesil, necessc est

quantitates c', d(I--u,) et #(H-c'), quas in praeccden- tihus geiieraliter pro plano Inobili quocuiiqite dediinus, ad aequatorem mobileni restriiigantur. Qiicm i n finein ex aequationibus (6") eliniiiiaiido cliciinus

1 = dp sin(CdJ -[@I) + d q cos([dJ-[@J) C = 6 p cos(CB1- CO3) - dp siiz (Cd] - COI)

Jam per se maniresturn rst, aequationes omnes liuc spcctantes, scriptis p , et I,, resp. loco p C I I, optinio jurc etiam locuni Lahere quare loco aequatiomiiu praecedentium ponarr. has

(171.. . . . = Spl sin (CdJ - C@J) + dq, cos (CdI -- CO]) = apt cos (Cdl - COJ) - Sqf siiz (CdJ - [OJ)

295. I10

e quibus, inutatis mutandie, aecpiationes analogas pro d l, dl', (I), (Z)', d(l) et rl' (I)' nanciecemur. Ex aequationibnr vero (12) una cum formulis art. 69 cmcrgunt

dp, = A 4" sin ( C ~ J - COI) + ( E sin (cdj - [@I) - ++ u c

dq.1 = A$ C O S ( C B J - C @ J ) - ~ ~ c o s ( [ ~ J - [ C O J ) - E ' ~ + d t i i unde differeiitiando adipiscimur

dp , -= IX nt d y r = d d c

iieque enim opus cst iermiiios secuiidi ordiuis in his aequationibus apposituni iri, necpc tcrminis periodicis ad calculum hunc utemur. Ex iisdem qiioque aequatioiiilu~ IB-

quitur u t

c unde, rcjectis Icrminis secuncli orciiiiis, ejicitcir

quac aequationes, mutata 7 in t , suppeditant I ' ~ x - ~ ( I ) ' + ( x ) = 2 f . A f . t +EZ.t' C"+ x' f (I )"+(x) ' = 0 Il+JP+(i)(L)'+ (I t )"= 0

Sulxjtilutis liis valorilms in aggrcgato ex (8) et (10) naii- cisciinur

111 Nr. 295. I12

Quibus expressionihus pro c' et 6 (Z-v,) valoribus reliyuarum quantitatum in formula (16) substitutis, I ad aeqiiatoreln mobilem reicrlur

d(R-c') nec non nobis erit , *quoties lociis corporis perturbati beliocentricue

I n commentatione pluries memorata jam demonstravi, terruiiios in expressionibus his omnibus e product0 nuta- lionis in praecessionem pendentes semper negligi posse ; hoc etiam loco suhjungo, plures quoque terminos ex iis qui e quadrato praecessionis pendent semper Fere rejici licere.

72.

A+{ cos E -s- cos Cil sin E cos [OI (18). . . *+,,, =

ostendere , quomodo formulae nostrae cum formulis notis congruant, et primo quidem casum specialem tractemus ubi corpus in ecliptica mobili ipsa versatur.

Quo i n cam habetur ~ $ 1 = 0 atque CiJ = E

quibus conditionibas formulae praecedentes statim euppe-

~ i r t k cos [Q < t-7 cosuc k z 1 Epl Ax'- Cql a cos Cil sin- [ Z I

cos [il i sinCi1 ,--;z+ cosk-- -

cos [i] 1 sin [il sin k cos [83 t2+ N- sin [5]. tZ cos [i] { sin ci3

[PI PI- C d P t 2 + M cos c h

cos Cil sin'[;]

cos b sm' t *in b

(19). .. . . .. . . .. ... . . . . .. ... . .P = yy' - - dwY

0

et insuper [PI = -sin h sin [O]

= sin k cos [o] quantitates vero a, a', P et p' tali modo explicantur. Ter- minos & t + P t 2 et a't + p't', in conirneiilaliorlc i h (art. 2 0 )

definivimus eSSe perturbatioiies non periodicas, qnae ex inte- gralis aequalior1il)us (19) el (27) substitulo cos [;] loco cus(i ) , omissisque teriiiinis per c mul1iplicatis nec non constanlibus arhitrariis, emergunt, terminos VerO

( y t + 6 t 2 ) COY [o] - (y ' t + d't') sin [el (20)- (atque (y't + d't') cos [GI + ( y t + -6 t z ) cos 101

Si perpendimus, terminos ultiiuos, duninlodo ad perturbationes non periodicas respicianlus , terminos per ipsam t multiplicatos producere noii posse, aequationes praecedentes praebent

dc = y cos k cos [o] - y' cos b sit8 [oJ

(art. 23) referre corpus in ecliplica mobili se movens (sive terram) ad id ejiisdern corporis orhitae planurn, quod tempori t = 0 respondet, ubi igilur [ i ] = 0 est. In casu de quo hic agitur, ejusdem corporis (sive terrae) orbita ope quanlitatum a t + Pt" atque cz't + b't2 ad planurn, quod pro tempore t = 0 cum orhila ipsa angtrlum 6 f a d , re- fertilr. l - h c Sequitur, quantitates & t + p ~ ' atque &'t+p' t2 et quantitates sub ( 2 0 ) allalas resp. identicas futuras esse, si in aequalionihus (19) et (27), e quibus at +f i t" atque dc't + / ' t Z elicitae sunt, [i] = 0 statueretur. Itaque habemus aequationes identicas has

-~

dc' = y'cos k cos [0] + y cos k sin [o ] p = 8 cosb COS[O] - 8' cosk sin [OJ - - dt dp sini 6 ; - -

t' 's lit cosi

fir= gcosrt. c o s [ @ ] + 6 cosk s in [@] - ad integralia haec indaganda animadvert0 esse usque ad terminos secundi ordinis * s = y cos L cos LO] - 7' cos k sin [O]

d t

9- a'= y ' c o s ~ c o s [ ~ ] + y c o s k s i n [ ~ ] d t

unde 6 p = t y cosk cos [O] - t y' cos b sin [O] 8 q = t y ' c o s k c o s [ @ ] + t y cosks in [Q]

formula igilur haec, in art. 17 commentationis illius allata,

in qua [ p ] et [q] resp. loco ( p ) et (9) suhstituere nobis licet, quia terminos tertii ordinis negligimus, suppeditat

sini d i s i n k cos k

-- cosi - - Y't ideo

p sin i -6i - - dt 5 sin k yy' cos [@? - y" sin [ O ] i t" f :t cosi

unde habetur

Qui valores ipsarum d c , a', /3 et ,Bf praetlent [ p ] a'- [q] & = -7 sin b cos h [ p ] CL + [q] cz' = y' sin b c0.9 b b ]p ' - [p] /3 = --6 sin k cos k f f yy'sin'k [ p ] p + [q] p' = d' sin k cos b - i y " sin2)

'

auibuscum formulae in initio hujus articuli inventae abeunt in I undc

1 1 5 Nr. 296.

sive

i + s in2B cosJ2E -- sin (v,+ u ) cos (v,+ u) yt2 t2

I 16 ponendo

sin B = sin [ i ] sin (v,+ u)

Aequatio (21) statim monstrat ess?

= +I

ut vero dissimilitudines reliquae exaequentur, habemus usque ad tertium ordinem

sin s, = sink + cos k (E,- k) - 2 sin k (el- k)"

iibi

substiiuto hoc ipsius sin 6, valore in (25) , aequatio ista prop- t e r u = +, et quum sit in cam de quo nunc agitur u,=u, cum (22) congruit. Q. E. D.

Deinde theorema Taylorianum suppeditat

tg" 4 E sin 2 (vl+ u) tgR' = - 1+tgZi6 cos2(lJ,+u)

sive (24). ....... tg(R'+ v/+ u) = cost. tg (YI+ u)

73. Formulae notae quibuscum formulae modo evolutae con-

gruere debent, sunt hae

............. (25) s = sine, s in (u++f ) = V + + I f R

tg (R+++l) = COSE'tg(.++l) ubi

denotantibus , ut in commentatione saepe citata , E, obliqui- tatem eclipticae erga aequatoris tempori I respondens planum , et +, aggregatum e x praecessione generali et nutatione pro eodem tempore, quarum expressiones iljidem inventae sunt tales

Quum vero sit ds+#(s) = s-sinksin(v++) = (sine,-ssink) sin.(v++I) sive ds+8'(s) = cos k sin (el-k) - 5 sinksin(v++') (E,-k)" aequatio praecedens ipsam R suppeditans facile transmutatur in

I+ sin2€? cos2 k - - sin (v + +) COS(U++~) (E'-k)' 2 cos k C O S ~ B quae, quum sit

abit in (&,-by = ?ratZ, = u, atque v, = Y

I +sin "23 cos 2rt. - sin (v + +,) cos ( u + q l ) t2 2 cos .k C O S ~ B

Substituto hoc valore ipsius R in aequatione

aequatio (23) evadit. 1 = U , + l k f R

Q. E. D.

74. Formulas nosiras optimo quoque jure ad praecessionem

rtutationemque ascensionis rectae declinationisque stellarum

fixarum invenieiidam applicare licet , et quidem non nisi externa facie a formulis generaliter adbibitis aberrant. Sit nobis igitur negotium alterum in explicandis formulis his ex nostris. Formula haec

sin h = sin [i] sin (q+u-- [ B ] ) + { A$+ (&-AT) t 4- P' t2 ) s in(~~+u-[d l ) - *.(27) declinationem praecessione nutationeque affectam subministrat, et haec

1 = v l + ~ + $ - R ' + $ l l ,

sive tg (R'+v,+u-[CB]) = c ~ s [ i ] t g ( o , + u - [ @ ] )

ejusmodi ascensionem rectam stellae snppeditat fixae, cujus ascensio recta et declinatio apparens ( s i aberrationem ex- cipis) ,? et B, ascensio recta vero et declinatio media [,?] et 161 sunt, quae quantitates aequationibus his

sin [t] = sin [i] sin (v,- [ff 1) fg ([O - [4) = cos [i] t? ( P I - [ B ] )

cum quantitatibus ti], [5 ] et v, conjunguntur; praeterea si ad motum proprium stellee fixae non respicitur, a, a', ,BetP' cifrae aequales statuendae sunt. Quum vero inter illos arcus tres diiae tantum aequationes existant, ipsi arcus infinite variis modis deternlinari possunt , unde tolitleln formularum (27) et (28) ad loca apparentia stellarurn Iixarum computanda inserventium formae eniergunt. Ponendo e. g.

u,--[d-j = 900 erit

[ I ] - [ d ] = 900

V f = L-11 Cil = Cbl [6] = [lj - 90'

I6 R' = -u+ - cos [b ]

et usque ad quantitates tertii ortlinis obiinemus sin 6 = sin [ b ] - i u' sin [h] + A$ + (p+ A p

Ponendo

unde 9, +U- [ d ] = 90'

sin [i] = sin [b] -+ Su" sin [h] sin2 [b]

cos [i] = cos [b] - :uz - cos [b]

u [O] = [IJ+-- goo cos [b]

u u, = [lJ-u++----

cos [I53 a' = 0

nanciscimur usque ad quantitates tertii or dinis sin b = sin [b] + 4u"sin [b] + A,?j + (f + AF) t + rt"

u I = [ I ] + - + +/,I cos [b]

quae variae expressiones, evolutione instituta , identicae esie debent , et revera identicae sunt. Ita magnum aequationum nunierum elicere possemus , quae plus minusve simpliciter ad expressiones nolas perducerent, ne vero longiore expli- catione obruamur, suppono

[5] = 90' unde aequationes (27) et (28) transeunt in has

"t2) cos v,+ u t sin v,

ubi 6s+6'(s) = - (A,$+(g+AF)t+g' t ' ) cosu,fo,?jt sin%

Deinde suppositio eadem praebet - sin [iJ cos u, = sin [L] sin v,

cosu,' = = sin [ I ] cos [b]

cos [L] cos [b] cos [i)

porro sin [i] COP [i] sin [b] cos [b]

R' = [ l J - v , - u - u .~

- t g - [!I t," [A &[i3 i--sin2[i] C O S ~ Y ,

sin [i] 80s [i] coso, - t g [ i ] sin2[;] sin'v, cosv,

co s [ 61)

sin v, cosu,+ { sin3[i] - 2 sin4[i] ) sin u, C O S ~ V , __ cos p]To;4[b]--

cos"[J] (~+s in"[b] )+(v in~[b~

Hinc prim0 calculo aequationes praecedentes abeunt iu sinb = sin [bJ + u sin [iJ sin [ J ] cos [b]

ubi

I - 2 sin'[Z~ cos2 [b]

+Ugt.tg[i] --

AS tA+g sink cosE cos [L] cos [b] -tAe<sinb ~ _ _ sin [i] sin [i] sin [i] sin [6]

u=--

I - tZN - sin [i]

Ag-k(f+AF)t+Ft" = - A$ sin E cos [i] - t { sin, E ~ ' 0 s [i]

+ tA+< sin E

+a t*e sin')

- f A#{ sink cos b -- cos [a cos [b]

tg cos [i] - t A&{ cos k cos [i]

cos[il- t z M s i n E cos [ i ~ -[a cos[l] cos [b] + t { cosb- t y cosecb q,,, = A + COSE+ AE --

sin [b]

s m [ L J ]

cos cos pi Si? t [b]

+ t Z I M cos k - t2N -- 4- t"P+ (f t2<'+t (A+] sinb~cos2[lJ(i+sinzj6J)

1 19 Nr. 296: I20

SubstiIutis his valoribus , statim fere nanciecimur

Sin b = sin [6] + { A$ sin k cos [ l ] + A& sin [g ) cos [b] + t < sin E cos [b] cos [ I ] - t A$<( sin k cos k cos [b] sin [q + sin2b sin [b] + t A&< COB E cos [b] cos [l] + t'M sin E cos [b] cos [l] - t 2 N cos [b] sin [i] - t 2 c2 sin 'k sin [6] I = [q + A+ { c0.s E + sin k tg [b] sin [4 } - t a tg [b] cos [g + t { < CfJS E - y co.sec E + ( sin b t,: [bl sin [q )

1 + sin"Ch1 sin [q cos [tJ t 2 < 2 sinzk -- 1 sin [1] cos [q + sin A cos E tg [ t ] cos [g f +sin2 [b ]

sink .sin2[lJ + cosEtg[6] s i n [ q - - + t A E { s ink- -

+ t 2M { cos I + sin R tg [b] sin [g ) + t 2 N tg [b ] cos [ l ] + t2P 1 + I + s i n 2 r / , ~ { cos' [ b ] cos2[6J cos2 [b]

quarum prior adjumento aequationis hujus 1 Denotantihus p et p' praecessiones ascensionis rectae et siu [ 2 3 (sin z-sin[z])+ ___ ( s i n x - s i n ( z ~ ) ~ + etc.

ubi x angulum denotat quemcunque ab angulo [z] panllo

1 = I s ]+ cos[L3 2cos3[2]

declinatiunis, ita ut p = t ( { c o s k + + i n k tg[Cb] s i n [ l ] ) p' = t < s ink cos[d

diversurn, abit in b = [6] + A + sink cos[q+&sin [q + t < sink c 0 . M

-la+{{ sink c o s ~ sin [ l ] + sin'h t g ~ b ] sin'[i] ) + t A& < { sin XI t: [ b ] sin [ l ] cos [ l j + cos E cos [CJ ) -2 t " z z sin'k tg [b] sin2[11 + t * ~ sin E cos[o - ~ ' N s i n [ l ] .

75. EX 'terminorum nutationem continentium indole statim

patet, eos cum expressiouibus noiis nutationem exhitentibus identicos esse, quod attinet ad ceteros terminos, ad expressiones nohis rerugiendum est, quae ill. Bessel debentur. Ideo e x Tahulis Hegiornontanis excerpsi, ubi tamen litteras adhibitas eatenus mutavi, quatenus significationes hoc loco adhihitae postulant, has

aequationes modo erutas, inlroditctis arcubus [q + p et [ b ] + p' loco [ l ] et [b] in terininis qui nulatioilem praebent, siinpliciores retldere licet , qua eiiiin substitutione peracta, termini omnes qui producta nntat ionis in praecessionem co- hibcnt, evanuerunt , et Iialietur siiiipliciter

= [q + U ' t + U'It2

= [b] + w t + W ' t Z (30) . . . . . . . . . . ubi

U' = n' tg [6] sin [q+ m' nd2 m' n' 2 2

U" = - tg2[6] sin2[4+ - tg [b] cos [ l ]

n" + sin2[4 + - + tg [b] sin [ l ] 2

W' = n' cos[ lJ n' n' nil sin [ l ] -+ - cos [q W" = - - tg [t] sin"[fj - - ndZ

2 2 2 et ubi identicae sunt

dh d.r/ cosk - - = m'+ miit d t dt

!?!! sink - n' + niit dt

ubi .I/ et h ex comrnentationis saepe memoratae art. 23, omissa nutatione, desumeridae sunt. Itaque

-

rn' = < cosk - y c o s e c k mi' = 2iM cos k + 2P n' = < s i n k n" = 2 i M s i n k

iinde U' = ( c o s k - y c o s c c k + ( s i n k t g [ 6 ] s i n [ q

U" = 2 (' sin'k i+sin2 [6] cos2 [ bl

sin [A con [I]

+A2 { cos,k - sin k tg[b] &[1] ) + 1V tg [b] cos[lJ + P W' = < sink cos [g W" = :.{' sin2k tg [ b ] sin."[q+ &Z sin k cos [lJ - N sin [a

Quibus valoribus ipsarum U', U'', W' et W" substitutis, aequationes (30) cum ea oequationum (29) parle quae prae- cessionein coliillet , plane conveniunt.

Disquisitiones huius articuli nec non art iculorum praecedentium triuui proprie quidem ad scopiiin nostrum necessa- riae nun sunt, digressio vero haec, quum transformationes nostras tum in liac tum in illa commentatione peractas illu- stret atque confirmet, ad methodurn nostram certissime sta- biliendam Laud inulilis lnihi visa est.

76. Jam ad propositum revertentibus nobis restat, ut hoc

sol $at ur P r o b 1 e m a.

Data perturhatione quavis, quae ad longitudinem veram in orbita applicanda est : invenire perturbaliones longitudinis mediae et logarithmi radii vectoris, quae ejiis vice fungi possnnt.

121 Nr. 296.

S o 1 u t i O.

Sint u perturbatio Iongitudinis verae data, et x atque y resp. perturbationes longitudinis mediae atque Iogarithmi radii vectoris inveniendae , nec non Ylongitudo Vera post problema solutum et z longitudo media, cui insiiper aliae perturhationes inhaerere possunt. Si problema solutuiu fuerit, erit V functio ipsius z + I , et habetur aequatio haec

v, + I4 = Y denotante ut supra u, longitudinem veram in orbita antequam perturbatio ZL considerata erit, sive v, Luni ipsius V valorem, qui, facto u = 0 vel x = 0 prodit. Differcntiata aequatione Draecedente , nariciscimur

n Y dz

dn = - d x

unde (31) ...... ......... x = J&

d: elicitur, quod iiiIcgraIe ita sumendum est , ut pro u = O evanescat. Quae vero aequalio sub signo integrationis ip- Sam x coliilwt , itaque approximationibus deinceps integrari debet.

Positis brevitatis caussa 1 atque i = - 1

d V dv. I = -

- - dz dz

theorema Taylorianum suppeditat d i d 2 i I = i + - x + 2 - x z + etc. dZ dz2

ideo hahetur (32) ..... x = iu+- d i f x d u + f $ ~ 2 d u + e t c .

dz quae aequatio valorem approximaturn ipsius 5 subministrat hunc

x = iu + etc. quo in aequatione praecedente suhstituto, emergit valor magis approximatus hic

x = i u + ~ i - u z + etc. lli dz

substituto denuo hoc valore in (32), elicitur

Quo calcnlo continuato, valor ipsius x ad yuenivis praeci- sionis gradum evehitur.

Sit post problema solutum logarithmus hyperbolicus radii vectoris ZR denotatiis, itaque IR functio ipsius z + x, sit- que ut antea Zr valor ipsius ZH si x = 0 statuitnr, hoc est I r expressio ipsius ZR quae locum habebat antequ8.m x et y introdoctae erant. Tunc erit

Ir = ZR+y

unde differentiando emergit

0 = e d x + dy dz

quae d ZR dZ

d y = --- d~ sive

d ZK

do praehed, Sed

rz -- I d Y dz

-- - a"( 1 - 2) - quoties in r loco longitudinis mediae pure elliplicae substi- tuitur z + x , itaque

d.dY dlR 1

- dZ

quapropter aequatio mod0 inventa transit i n

Theorema Ihylorianum praebet 1

d w 77 - clz d 1 cli d Z i d3 -

dz - dz - dz dz dz 3 - -- - - + : x + ; --Ixz,+ etc.

quocirca aequalio praecedens abit in

quae, subslituto valore ipsius x ex (33) depromendo, subministrat

77. Ut solutio in art. praec. inventa in usum vocari possit,

necesse est I et y quales per expressiones (33) et (34) datae sint , ope anomaliae mediae exprimantur. Qui calculus tali mod0 ahsolvi potest. Habetur

. d i - I d. iz

. d 2 i

z - 2 - dz - dz

e t simili modo coefficientes ipsius u 3 exprimere licet, quo3 tamen , quum termini primi atque secundi ordinis semper sulEciant, hoc loco non considerabo. Quum sit

133

r2 a"( 1-ez)

dr - - a e s i n (v,--w) dz - V(1-e")

i =

atque

designante w longitudinem perihelii, erit r2 e2sin2(u,-w) = 2ra( i - e2 ) - -" ( i - e2 ) - r r2 (I-e")

r e Sin(v,-r) d i - - - 2--

a(1-e") r r'

= 8 - 4 - 4 a( i -e5) az(l--L.2)

Aequalio vero haec r e cos(u,-r) = a( I - e" ) - r

1 34 Nr. 296.

facili opera transformaiur i n hanc e d.r2 r = a(1-e2)+- -

2 ~ ' de itaque

4e d.rZ r" 4 7 - a- ( i-e2)

Sit

f = 1 + ~ e 2 + 2 C ~ Q ( k ) c ~ s k ( ~ - w ) a'

ubi k indicem et Qfk' eanclem'quantitatem denotat, quam in Theoria Jovis atque Saturni R(k) designavi, sive

r" Aequatione bac pro in praecedente substituta, nanciscimur

U-

eritque r2eZsin2(v,-r)

1-e2 d X = k" r4 cos k(z-w)dz f 12a" cosk(z--n)clz

+ 4a3 re cos (u,-w) cosk(2-w) clz sive substitutisvaloribus ipsorum r2eZsin2(p,-) et re cos ( v , ~ )

supra datis, dX = k2r4 cos k ( z - w ) dz - 12 a2rz cos k (z -r) dz

+20aJr cosk(z-r)dz-(S-4s2)a4 cosk(z--.n)dz

r4 cosk(z-r)clz - 12a"Jnr" c o s k ( z - ~ ) t i z

+ 20 a 3 y "r cosk (z-) d~

quae integrata suppeditat o=kxn 0

Sed notum est, integrale hoc f z ( : y c o s k (2-w) dz 0

(b)" coefficienti ipsius cosk(z-) in evoluto valore ipsius

proportionale esse , quamobrem et adjumento aequationis

huius - ,L= (I-e") + i e x - , - cork (2-w) a d e r +s dQ(Q

aequatio praecedens, posita hac relatione

suppeditat 10 dQ(k) 12

k de U(k) i Q(kf - e -

quae tamen aequatio valorem ipsius UCO) praebere nequit.

Jam quum sit r4

cc4(1-ez) i2 - -

oequationes modo evolutae praebent

et aequationes (33) et (34), si termini tertii altiorumque or- dinum negliguntur , evadunt

Accipiamus, ipsam z insuper perturbationibus p affectam esse, unde

5 = g + r + p

denotante g anomaliam mediam pure ellipticam. Substi- tuto hoc ipsius z valore ill aequationibus praecedentibus, elicitur

12): Nr. 296. I 26

Animadvertendum vero est, si u et terminos primi ordinis et terminos secundi ordinis cohibeat, noii mod0 illos sed etiam hos in iis aequationum praecedentium terminis, qui per ipsam u multiplicati sunt, substitui debere.

78. Nunc demum tabularum talium quales in art. 62 bre-

viter descripsimus, intlolem explicare nobis licet. Pertrirba- tiones planetarias omiies longittidinis jampridein edocui longitudini mediae applicarra, i n praecedcntibus etiam praecesaionem nutationesque, quas quaiititas z6 in art. 68 in formulis nostris introducta continet, ill aliaiu quantitatem x converti, quae longitudini quoque mediae addenda est. Quantitas igitur u,+ u, quain per V reddebamus, functio est ipsius z f 2, sive silnplicius functio ipsius 2, si 2 = z +s statuinius, ita ut in 2 non modo perturhationes planetariae sed insuper praecessio nutatioque, quas x eohibet , comprehen- duntur. Quo factum est, ut parles primariae, u t ita dicarn, et ascensionis rectae et declinationis heliocentricarum ad aequalorem m o h i 1 e m relatarum atque ab aequinoclio m 0- b i l i vernali iiumeratarum, et logarithnii radii vectoris functiones solius variabilis 2 redditae sint. Statuendo enim

sin B = sin [i] sin (V- [ d ] ) est B pars primaria declinationis et, qiiriin V sit functio aolius varialiilis 2, erit B quoque functio solius variabilis Z. Tabula igilur ipsam B praebens ita computari potest, u t ejus argumentum sit 2.

aim 6 = sin B + (A

Quuin vero sit

+ (p+ A 5') t + Pt") sin (V- [8]) + pert. period. propter exiguitatem harum perturbationuni asstimere nobis licebit

ponendo h = B + d B

et p sin ( y - [ d l ) , cos quum et B sin (Y - [a ] ) C O S u Termini 5 -

aint functiones solius Z , ex ipsa 2 quoque tantum pendent, itaque in tabuias E O l i i i s argumcnti 2 rediguntui-, termini quoque reliqui in ejiismodi tabulas retligi possent, sed concin- nius et ad usum earurn practicum accommodatius inclyta illa, quam ill. Curlitti debemus adiiibetur forma, quae in eo consistit, quocl peciiliari in Tabulis ejiis Solis explicato mod0

niimerus certus quidam tabularum unius argumenti in unam tabulam duplicis argumenti colligitur. Itaque, pars ea ter-

mini A 0 cosu ['I), quae nutationem ~unarem suppe-

ditat i n tabulam redigitur cujus argumenta sunt longitudo nodi ascendentis lunae respectu orbitae terrae et 2; termini vero ejusdem pars alter, quae nutationem Solarem continet, pro argumentis habei ipsani 2 et longitudinem Solis. Denique

terminus -- tot tabulas requirit , quot planetae

perturbantes adsunt, quarum tabularum argumenta, qnum in hoe terniino cos [b] loco cos B ponere liceat, anomalia media et planetae perturbati et plaiietae perturbantis sunt.

sin (Y -

(pert. period.) cos B

Simili mod0 tabulae logarithmum radii vectoris suppe- Pars enini ejus primaria sive e ditantes construendae sunt.

formula hac a ( I -e") ZogR = z O ~ i + e c o s ( ~ - ? r )

sive ex serie nota computanda est, itaque ah unica variabili Z pendet, et in tabulam ejusdem argumenti redigitur. Pertur- bationes ipsi ZogR addendae, quas W denotabo, sunt

designante w eandem quantitatem, quam i n hujus commen. tationis paragraph0 prima explicavi. Praecessio quae ipsi 3' inest formam hanc

w = w + y

At sing + A't sin2g + etc. + B t 2 -/- Brt2 c o s g + B"t2 cos 2g + etc.

+ C P s i n g + CIt2s in 2g + etc.

haliet, et in ipsa w jam exstant termini ejusdem formae: aggregatum igitur ex his et illis terminis formatum in unica tabula solius argumenti g redigi potest. Reliqui ipsius y termini eodem mod0 ut perturhatioties planetariae minores in tabulas duplicis argumenli rediguntur.

Asceusio recta hac datur formula 1 = y+ fir++,,,- dB tg [iJ COS(Y- [dl)

ideo pars ejus primaria, scilicet V+ R', yuum sit cos B

fuiictio quoque solius variabilis Z est. Computetur igitur ope seriei notae ad motum ellipticum pertinentis, quae Ion- gitiidinem veram per longitudinem ruediam exhibet fabtilil

Nr. 296. 128

ipsnm ypraebens, deinde computetur R' per valores ipsius 7 modo clescriptos, itaque, valoribus correspondentibus ipsarum V e t R' additis tabulam nactus eris, quae Y+ R' argumento suppeditabit. Dcinde factor

- tg cos (7- CB1) cos B

per quem pro ascensione recta obtinenda BB rnultiplicanda est, in tabulam redigitur cujus argumentum etiam 2 est, VCI commodius loco factoris illius logarit h nius ejus paucis tantum figuris expressus adscrilitur. ilIultiplicatio per 6B requisita quoquc in casu perfacile perficitur. Denique tabulae simplicis argumenti adjunguntur, e quibus q,,, , quae semper quantitas admodum parva est, petitur

D e tabulis ipsius Z perturbationes suppedilantibus omnia annoto valere, quae de tabulis ipsarum dB e t W supra edixi.

79. Ut indoles tabularum, quas theoria haec suggerit magis

patefiat, exemplum calculi eligam planetam Veneris, cujus elementa elliptica perturbationesque , qtiatenus his utar, e x ill. de Lindenau tabulis ita se habent.

Ad initium anni 1800, meridian0 Seehergensi, spectant hae

long med. = E c= 145' 6'33"7 e ZI 0,00686182 fl = 68'43' 6"

mot,med. sid. 365t dier. = n = 2106642"3 var. annua exc. = -0,000001088

mot. sid. ann. perihelii = - 3"244 incl. orb. ad eclipticam = 3'23' 28"5

long. nodi ascendenlis = 74'53'42'' variatio ann. incl. = f O"0724

motus sid. ann. nodi s -19"564.

Deinde ex ill. Besscl Tabulis Regiomontanis excerpsi k = 23'27'54''S

= - 16"783 sin 8 f o"202 sin !@, - Ill336 sin2@ AE = $- 8"977 c o s a - O"088 ~ 0 . 9 2 8 + O"580 cos 2 0

denotaiitihus Q, Iongitudiriem nodi ascendentis lunae , et @ longitudinem solis. Denique ipse cornputaveram

7 = +0,06510

d = +0,00001931 6' = +0,00000583

y' = -0,47578

Jam primum negotium est, i p s [i] et [ d ] indagare, id quod fit ope formularum haruin

cos [i] sin (A + IS]) = s in I J , cos 5 ( B - @) cos 4 [i] cos (A [d]) = cos 1 -+ cos 2 ( b f q) sin H [i] sing (A - [ d l ) = sin .C, s i u 4 ( b - Q) sin $ [i] cos H (A - [b ] ) = cos i .F/ si ir (k + Cp)

denotantibus et + iiiclinationein et Ioiigit udinem nodi asrendentis orbitae planetae ad eclipticam, atyue A arcum orbitae ejusdem inter eclipticam et aequatsrem interceptum. Ex arcubus A, [6] el + formetur quantitas haec

A -t c41- + quae longitudini mediae ternporis cpochae respondenti et longitudini perilielii adenda est, quo punctum ittitiale longitu- dinum in orbita a nodo cLim aequatore tantuni distet, quantum punctum idem in aequatore ips0 ab eodem nodo remo- tum est. Hinc inveni pro exeinplo nostro

[i] = 24'33'20"6 [ d ] = 7 53 55,6

A + [8] - 9 = f 40 5295 unde

6 = 145'47'26"2 [w] = 69 23 5825

et, facta [O] = 0 , id quod licet,

l og[p] = 8,7567134 log [q] = 9,6145125

Deinde OPUS est, perturbationes Veneris qiias supra attuli, sub forma ea quam theoria nostra exigit, reducturn iri, quo facto, habetur

z = nt+&-O0/'44884tsing+ O"04452 t cosg-O"O0077tsin2g

w = +0"00077t f O"22442 t cosg f O"02226t sing + O"00008 t cos 2 g + elc.

+ O"00077 t cos 2g f O"00008 t sin2gf etc, d~ - O"2107 a' =- f 1,0335 p = o p' = 0

ubi t auen terminos e quadrat0 vis perturhantis pendentes evanescentes accipere coactus sum, quia ah ill. Laplace non siint computati. Jam elenienta omnia quihus utemur praesto sunt, et primo formulae (13) et (19) praebent

1M T -0"0001086~ N = -k 0,0022389 P = 3. 0,00024243

Porro ex (15) eliciuntur

Nr. 297.

Terminus a producto nutationis in praecessioncm ortos om- nino omisi, quia in comiiientationc illn cos semper negligi posse, jam demoustravi. Praeterea vcro i n cxpressionibus modo computatis termini a l iquot ailsiltif, cp i , quarido tabulae Veneris computabuntur, iicgligcncli sese praestant.

SO. Denique coi1iputntio ipsariiin .z e l y secundum for-

mulas (35) agSrcdicuda est. Valor numericus ipsius z in

art. praec. allatus suppeditat

uncle p = - t O"44884 sing + t O"04452 corg + etc.

up = 7 p = - t201'000i0587 sing + t2 Ot10000i050 cosg porro lialietur

et ope horum valorum singulae aequationum (35) partee ita se habent

u2 = 7' = t201'011476

9

1 3 1 133

+ pert. period. planet.

ubi uncis secrevi terminos q u i in unain eandemcpe taliulam redigi posslint. Ex his espressionibus coiispicuani est , ler- minos a praecessione ortos partim cum motu medic, partiiu cum pcrturbatioiiibus pianetariis se jungcre atcjiie iri tdlmlas simplicis argumenti redigi posse , terminos vero a iiutationi- bus praebitos tabules h a s dnplicis argumenti reqiiirere, quas tameii labulas , quoniam termini anibas variabiles coliilwii!es minutissime siiit, c~mmodissimas futuras esse ; id qiiod supra jam retuli. Quum opcrae pretium sit , tabulas primarias, tabulas scilicet P + R', l o g f i et B praebituras ita institucrc et ordinare, ut argumenti 2 e qno pendent, incrcineutuui sit aut dies medius solaris a n t mnltiplitm aut ~ubninitiplunt diei, opus est, ipsani 2 per eandeni unitatem exprimi. Quem in finem, s i in exemplo nostro dies i lk ipse eiigiiiir increinentum hoc, quum 2106690"95775 sit motus riietlius ipsius 3655 diebus resporidens, terlnini O ~ I I ~ S ipsius 2,

3 G 5,2 5 antequam in talxilas redacti fiicrint per L_--- __

2106690"95775 multiplicandi erunt.

Valor igitur medills ipsiiis 2 est I 145047' 26"2 _ _ ~ - 365'26 t365,25 = 90,99%34+ t 365,25

2106690"9 5 7 7 5 - et revolutio intcgra eiiistlem argumenti est

Numerus dicrunl ab initio an:ii I S O O usque initium auni 1800 -t d i , mod0 rn positivus xiunierus et noii major quani 100 sit, elapsoruni cst

designante f rcsiduum iiumeri IS00 + rn per numerum 4 di- visi; nilmeriis igiti~r dieruni ab initio anrii 1800 usque ad dtum annj 1800-/-nati diem elapsorum est

= UE 365,25 - $ f + d.

= m 3(i5,25 - ; f

QuutU V C ~ O unitas ipsius t sit annus Jii!ianus, habctur pro dto aiirii 1800 + mti die

t 365,25 s n& 365,25 - f ff Cl cpocLa i ~ i t u r argritiicnt; Z pi-o anno 1800 + nztoest

= 90,99584 + ~ T L 365:25 - f f - i 224,6955

uhi nitincrus integer i itn eligcmlus est, 1 1 1 valor numericus cpochizc rcvo:utionc argrtiuentt niiiior Gal. Quum coeIIiciens ipsius t rz j n i n niajor s i t , cInaiii rcvoliiiio, e p o c h eadem ita qiiocpe exhiberi poiest,

90,99584 j ~ T L 140,5545 - 4 f - I 224,6955

cui epocliac si dies aimi cZ atlditiis w i t , Incdius argumenti 2 pro d t o anni 1800 --b m t l die einergel va lw, ad yuem perturbationes supra a!ldtae, posiquaiii ad candein uuitatem rerliictae erunt , adi!ei:tlae q m t . Tdbiilac i p e ita compu- tandae sun1 , tit arqiinenPr kalori 0 respo1itleat is ipsarum V+ I:', Zag If ct D valor, q u i pi0 longitudinis mediae va- lorc 0 l 0 C l l l l l 11abcl.

Quoties cuiquc anno unicn i d n i t i n i argumenti epocha at tribiiit iir, 1oFJu1ac iion iiiotlo revel uI ionciii int cgram argu- nieltti, ~ t l insitpec : l l O t i i i i l arguiimiti 3bG dicbus responden- iein coinplecti debe:ti. ( j i io r l tunlei: ta1)ularurn adtlilamentum, quo laboriosae anipii~sinrclcqiie cvaclcrcitl , absrindere licet quoties cirique a i i i i ~ dune pliircqve argiiniciiti epochae adscri- t,nritur, cliiariti~i piiinn quiidcni iiunicrtis positivus ceterae kcro nuineri ncgativi S L L I I . , qLiaruniqi~c diKcrentia revolu- tionem argamcnti ipqani accpat. I l a , e. 6. pro anno 1800 nrgumerlti Z in exernpio i w f w epochae sunt

90,995s - 133.6997 - 358,3952 quarum prima ab iiiitio anni usque ad 134rU*n anni diem, secunda ab hoc die usque ad 359naln diem et tertia ah hoc

I 3 3 Nr. 297. I34 tabularum harum initio in t o temporis inomento, ubi lon- gitiitlo iiiedia Solis 280' csat, uti ill. Cnrliiti fecit, habe- bitur pro autio 1800 argumentum hoc vcrticale =

d - 0 , l O pro anno 1823 idem =

(1' - 1,oo pro anno I S 3 9 idem =

d - 1,09 et sic poiro. Error hic semper in directione cadem crescit pro annis foturis, et in contrarium vergit latus pro annis practeritis, cujus rci origo in eo posita est, quod fmti nosfri cuiu longitndirie qiiitleiii tropica Solis proxime conveniunt, arguinentuin Vera hoc longitlido siderea esl.

2. Necesse non cst irtcreuientuni argunienti alterius sell 11 o r i z o n t a i i s eligalur auk dies au t mulliplum diei, imo contniodius ad lioc argumentum formandurn periplicria cir- culi in parles aliquot pro iuagtiitiidine perturbationurn as- mintas, e. g. in 20, 30, 40, 48, 60, 80, e!c. sive in alias similes partes dividitur.

82. In hoc articulo exeinplnin daho ariificii, ciijus in art.

ult. Tlieoriae Jovis atcpe Sa lu rn i nientionein feci. I n ex- pressioiiibus numericis ipsaruni alque w, qualcs in art. 80 datae sunt , termini adstant, yui tutu per t turn per t z mul- IipIicati ceternm eadem argunienta habent. Termini hi yuaA variatiortes tenipori proporlionales illorum spectari possunt , c p r e argumento g quantilalem , quarn x t appel- laho tali mode adjungere nobis licehit, quaii horum eoefi- cieutes quam niiniuii fiunt. I-Iabetur, tluuiinodo ad ter- niinos niemoratos rcspiciatur,

siiiiiiiiim maxituus est. ( p i i t i t a s hacc

Itaqiie q m m minima ~.eddeiida est

(ha + xacy + ( h e - X % y quae conditio, applicatis rcgulis notis, suppediiat

C,- a, - t, a, x z - - a%+ a,'

9*

135

atque exinde

Briggicorum , w vero 206265" dcnoiat. Cornparatis his ex- pressionil)us cum illis articuli 80, evidens est, coeficientcs ipsarum t2 sin (g + cIc.) et t" cos (g + etc.) ad dimidiam fere partem sui reduclos esse. Quum valores hi minimi sint,

Nr. 297.

rediicunlur. Generaliter slatuere licet: quo major sit ex- centricitas planelac perlurbati, eo magis coefficientes hi per artiliciuln ~ O C deprimuntur.

Quum in casu nostro sit

Facile perspicitur, per hunc ipsius x valorem coeficientem etiam qui ex terminis correspondentibus in ipsa W nascetur, ad valorem suum proxime minimum redditum esse. N a n habetur

cc = -;fa. C8 = i a,

et proximae sunt d, = - i b , da = d bc

uncle manifestum est, valorem ipsius x rnodo erutum ex- prcssionem quoque lianc

proxiinc minimam rcdditurum csse. coiitrahi possunt poiiendo

( A - x %)"+ (4 + XC,.)" Formiilae praecedentes

a, = A s i n a a, = A cos a

1, = B c o s p

b, = R S i l l p

turn enim erit H A

x = - sin (,El--.)

et propter relationes quae inter ipsariiiii B el W coefficientes partiin rigorose partiin quaiti pruxime locum habent,

a' c srn a srn ffi z = t A sin(g+Xt+ffi) + t -- s i n ( 2 g + 2 X t + a ) + t fk s in (3g+3Xt+a) + etc.

+ t2ZI cos (/3 - 2) sin (g + xt + f f i ) + tr 12' sin (2g + 2 ~ t + p') + et c. 3 "

2 ac FV = d t A cos (g+ xt f a+ 180') + t n'. cos (2p 2 ~ t + x t 180') 4- t - s i n (38 + 3xL t a+ 180') f etc. sLn DL sLn cc

+ i t " B cos(/3-a) cos(g+Xt+or+180') + t Z C ' s i n ( 2 , a f 2 ~ t + y ' ) + etc.

ubi insuper statui bi - zxa, = B' sin ,8' b; + 2xac = B' cos p'

el c.

d, + 2 ~ . ' , = - C s i n y'

d2- 2XC8 = c cosy' etc.

Quibus formulis a d exemplum nostrum applicatis, inveniuntw

Z = d + { 90,99584 + rn.140,5545 - 3 f - i .224,6955 ] + h { t .0"76782 sin ( g + ~ t + 234'14')+ t.0"00131 sin ( ? g + ? ~ t f 2 3 4 ' ) ) + /z { t" . O'd00002030 + t 2 . O"OOOO4589 sin (g+ x t + 54') + t" .0"00000200 sin (2g+ 2 ~ t + 174'))

+ h ( + 0'1218 sin 8 c o s g - 0''Oai c o s a cosg + h { - l"262 s i n 2 0 t O"192 c o s 2 @ f O"O18 sir220 cosf - O"OO2 ~ 0 ~ 2 0 ~ 0 s . g )

+ {pert. period. planet.)

i - 15"930 sin 8 + 2"968 c o s a f O"19'2 S ~ I L 2a - O"029 cos2Q

W r= { t .0"00077 + t.0"38391 cos ( g t x t + 54'14') t t.O"O0131 cos ( 2 g + 2 x t + 54')) w M

rM

M

t' .0"00000061 + t Z .0"00002295 cos (g f X t f 234") +d+ t~ .0"00000021 cos(2g + 2Xt + 205')

+ 7 (o"i09 sins sing - 0"021 c 0 . 9 ~ s i n g )

+ - (O"OO9 sin 2 0 s i n g - O"OO1 cos 2 0 s i n g } w f7.I + - {pert. period. planet.) w

aliis deminutio haec majoris momenti est, termini iidem e. g. modulum logarithmorurn I in ttieoria terrae per artificiuin ~ i o c ad nonam sui partem

3655 2106990"96'

ubi h factorem

I37 3655

2 106659"541 ' erit nobis post mulliplicationem per

d + (47 ,6805 + m . 140,5512 - $f- i . 224 ,6988} argumentum termiriorum in Z a t q u e W per L atque t z

latas, et ~ o g a r i ~ ~ l , l i o s ~ ~ i ~ ~ i ~ ~ ~ radioruln v e c l o r u m prael,eut, quae c o o r ~ i n a t a e faciliori ex tal,ulis llis c ~ c p r o m u n ~ u r quam coorciinatae ad eclipticam relatae ex taliulis formae

planetae per I, ejus declinatione Ileliocentrica per b, et ejus radio vectore per I, porro ascensione recta heliocentrica terrae per L , cjus declinatione per B et cjus radio veclore per R, denique ascensione recta geoceiitrica plarietae per x,

veteris. Jam vero, denotatis ascensione recta heliocentrica

Nr. 297.

netae heliocentricas ope longiludinis in orbita snppcditant. S i vero loco formularum (A) earum transformatio nota haec a'hi'etur

. . . (B) computatio loci geocentrici ad aec1ualorem relati mullo hre- vior facla esl.

I A cos d cos (LY-L) = F cos b cos (2-L) - R cos B A cogs silz(a--L) = I ~ 0 ~ 6 sin(2-L) A sind = r sin b - R s i n B

Nam formulae illae sunt

I38

mul-

tiplicatorum, quod a b argument0 in art. 81 explicato, non nisi magna annorum serie praeterlapsa, sensibiliter discrepat.

In perturbationifxis declinationis, quae hac dantur ex- pressione

sin (7- [d]) (pert. period.pIane1.) + cos [GI---- $- ( O"067 sin 2 0 + O"523 cos 2 0 1 cos

uhi Y longitudinem planctae in orbi la , Y longituclinem he- liocentricani terrae, /3 pertnrlx~tiones latitiidinis planetae, p' latitutlinem terrae in partibus radii utrasqiie expresqas, s ohliquilatem eclipticae, /L, B , p , H , b, F sex constantes e situ plaiietae orlAae pendentes ct $/z, 6 H , elc. earum variationes e praeccssione nutationeque pentlentes clenotant. Hinc primo oculorum ol~tntu perspicitur, formulas (-4), et majori ratione foriuulas (B) siinpliciores esse, q u a m forinulas (C), sive locus planetae unicus, sive epliciiieris planctae unips intervalluin quoddam e. g. siinuui integruni coinplectens, sive ephemerides tales i i d e n i tcmporibus rcspontlentes pro omnibus planciis coniputandae sint. Cotitpareinus formulas praecctleiiteq. Quantitates I et R nec nou p e t /3' utraeque requirunt , liae ci i i tn in qnantitaliGus G e t B contincntur, quantitatibus vero /3 et /3' ex t i ~ b t I l i S inventis, utraque ipsarum 6 e t B ope unius tabulae simplicis argriinenti obtitietur; his positis, q u u m L et I cx tabulis talibus quales in hac commentatione dtscripsi, petendis majorem laborem non requirunt, quam Y e t Y, optimo jure contendere licet,

coordinatas terrae, yuas formiilae (B) requirunt, scilicet quantitates

L , R C O S B , R sin B faciliori calcuio obtineri, quam eas terrae coordinatas, sci- licct

R sin 6 siir Y+ J ~ ' R cos B

quas foriuulae (C) requirunt. P o r r o nutationis praecessionis- que computatio, c p e per computationern qoantilatum sex d h , d H , etc. absolvitur, nec non cornpiitatio quantitatum p r v(1- A " ) , ,Br V(I- k') , /31.v(i--p') operosius fla- gi!at opus, quain is nutationis praecessioniscpe calculus, quem i n hac coni i~entat ionc explicavi, uncle hac quocpe ratione formillac (B) formulis (C) pruefcreridae sunt. Maxi- niuin vero calciili compendium in coortlinatarum planetae computatioue posittiin est j priruum formulae (C) additiones ires scilicet quantitatunn Y et N, Y et K atque Y et P requirunt , turn tabulae sinuuni ter evolvi dcbent , ut logarithmi sinuirm arcuufn u +U, u + K e t v t P obtiiieantur, deinde additis logarithmis debitis, tabulae logarithmorum iterum ter

R cos R cos E ain V- P'R sin E ,

evolvcntlac sun1 , ut coordinatae heliocentricae ohtiueantiir, CI ilciiiclitc, tribus addiiionibus i terum fact is, tabulae eaedem iteriini tcr evolutae logarithinos coordinatariun plnnetae gco- centricarum snppedilant. Contra ea , formulae (R) prirno loco additiones duas requirunt , scilicet i n calcnli inilio adcli- tionciu cpantitatuni 1 et -L, c t in calculi fine aclditiouein quantitatulu oc - L et L, t u m tabulae sinuuin bis evolvuritur, q u o lugarittimi ~ i n u n i n et cosiniitiin ipsarum 5 et l-L ob- tineant ur , deinilc adllitis logarithiuis debit is tabulae l o p - rithiuoruni iion nisi his evolveiidiie suut , quia Iiiinicro coor- dinaiac r cos b s in (I- L ) non OPUS est , deniqiie dualitis additiouil)tis iiistilutis, tabulas logaritlimorum ad logarithinos coordiiint ,iruni planclae geoceiit ricaruiii obtinendus if erii in

noii nisi Lis evolvas ; quibus factis compulatio reliqria ad ascciisioiicin reclani tleclinatioiiemc~tie planeiae geocciitricam olttinciidaui reqiiisita in u t raque iuetliodo eatleni eel.

Si igitur coinputaiio coordiriataruin twrae et computa- tiones celerae parvulac c p e . couiputationes oiiines in favo- re in inetliotli uostiae caduiit , noii adriuiueraritur, ceteris pa- ribus rujusque loci geoccntrici coniputatio secuiidum forniu- Ins (C) atidiiiones sex et tabularuru logaritlimorum evolu- tiones novein requirunt, contra ea computalio eadem sccun- diini forinulas (U) no11 nisi atlclitiones quatuo;' et tal~ularuin evolut ioiicq s e x rcquirunt , quae c p n i ita sint manifesturn est, c~iiantuni met hodus nosira in coniputanda ascensione recta clecliiialioneque p!anetae geocenirica calculi compendium adtlucat.

Sniniailvertenrluini !amen e c t , coinparalionem praeceden- tern iiistiiuciileiu :ne seniper ~.uppoStlisse, niotuni plarietae in iabulas reclacinm esse, et cpitlcni eo niodo qucm in liac c o n i n i e n ~ i o r i e explicavcrini; cjuoties vero asceiisio recta de- clinatioquc corporis coelestis alicujtis e x e l e m e n t i s e j i i s ellipticis roinputauclae siint, forinulac (C) , qnac ill. Gauss deberi!nr , practerciid:ie sunt, qllas, ~11inin loca terrae selliper ex tabulis pciiaiitur ct qnuni lioc in casu perttirbatiories l a t i l u d i n i s ~ O I I ricn!ur, sub Forma liac rcdigcre !icct,

Acosdco.sv. == (hfdli)rsin(u+~~+dii)--co~U~O.~L A cosd' sin u A sin d'

( k - k JL) i ' s i t i (u+ K - t d K ) - R c o s b s inL = ( p -1- S p ) r S ~ I L (0 + P f d P ) - Ii sin B

Sed posita

r cosb $- cosB

A cos 6 c0.9 < r CLS 6 2

Si igitilr quaiititas -__ per q retlditur, nanciscimur

si igitur aiigulus auxiliaris per aeytialioneiii lianc com- putandus

inlroducitur, ad 6 et A coniputariclas eliciuntur aequationes h e

p cos6 = q v 2 q n a e d e t quantitatem auxiliareni p supyeditaut ; denique habeiur

Porro aequationes (D) dividendo subniinistrant

quac cum nota ad longittidinis gcnceiit ricae e x longitudine heliocentrica computationem inservieiiii o c c p t i o n c congruat, et ad calculum ascensionis rectae geocent ricac ommum sim- plicissinia est. Q u a vero liuiic i n liuciu adliibila, compu- tali0 ipsarum 6 e t A panllu!uiu iiiolcstior fit, q enim lion invenilur, itacfiic formula pro A C O T d', aut si mavis, pro p cosd inodo data ndhibcri neqnit.

S i vero quaiititas oc-i(I+L) per Q rcddi tur , forlnula praecedcns praebet

t g ( a - - i ( I + L ) ) - - Lg (&"+<) tg (I-L)

t.g Q = tg ( 4 5 O j - < ) ; ( / - A )

a--L = Q - : - ; ( L - L ) Jam staiini formula terlia ( A ) et rorniuia secunda (22) $up- peditarii

A sin d =. r sin b - H sinB sin ( z - I,) A C O S B =z r cos h

sin ( Q - 1 . ( I - L))

rJr. 297. 142

C'omputatio longititdinis la t i tudini~que heliocentricae ex tabulis forniae veteris operosius ff agitat O ~ L I S , qnam coniputatio ascensionis rcctac declinalioniecjuc hclioccntricae ex taliulis in liac comnicntaiiune dcscript;s , I I C C iioii coniputaiio ascensionis rectae clecliliatiooiec~~ic svuc( iitricac ex longiln- dine etc. heliocentrica iaboi iosior est , (Iiiain c o i n p u t a h earundcm yuantitaiuin cx asccusiolie rccta tlec!iuationeque heliucentrica, sicot forinulac ad liunc scupuiu spcclantes, el

cuin Foriuulis ad ca!cu!uni illum inservicni tlinr coinparahe monstrani; quare tal)tline liic clescriptac liac ra[iullc j a m prae vetcribiis SC' coiuincntlant. Scd licet iioliis nllcrius progredi. Longitiiclincs i1Giquc s u p e r h a s cssc ~ I c n i o i i ~ t r ~ t r i polest, et coiuputatioiies oniiies cliias ast roiioinia I cciiiiril , ope ascen- sionum rectarum decliiiationunirlue aeclii' lacilc , ac si lon-

gitudinibus latitudinihnsqiie usus esses, absolvi posse. Quum obeervationes astronomicae respectu acquatoris oanes insti- t u u n t u r , jam priiuo aspectu oiuniuni siniplicis~iiiium sese pracstat, ea corporuni ~oc les l ium loca, quae asi ronoinia theo- retica suppeditat, ad accpatorcm qiioyuc referre. Quod vero referendo staliin loctiin corpuris coelcstis tielioceutricllin ad aeqriatoris planuni simplicius cficitur, yuan1 si primum locus ejiis ad eclipticaili et dcinde ad aequatorem rercrtur.

iiiiiiioiiiirius longitudines etc. heliocentricas dcsidcrarcf , Tacili opcra tabulis Iiic clescripiis tabulae adjL1iigL1dklt*, qime coortlinatas has suppetlitant, pert urbationes eriiili piamtariae, qniini sccundum nietloduni mean1 ad ion- gitudiiiem inecliarn applicandae sint , caeclein relnancnt , sive arcensio recta , sive longitudo heliocentrica requiritur.

Ceteriirii si quis

S~:LrciLc.ii clcs ilcrrn Hofraths IVicoZai an d c n HeransgeLer. Mannheiin 1835. Dechr. 21.

I>a die neueslcii Roscnberger'schen Elcmente des Hn22ey'- schen Cometen sicli aucL it auC die bei seiner 1':rdriEhe an- gestellten Eeohachtungen stiitren, so ist vorauszusehen, &Is dieselhen durcli die jetzt noclt zu erlialtcntleii Beobacliliingt-n licine w c s e n t 1 i c h e n Avr;dcrungeti niclir crleitlcn werden, und man kann sic Ixittlin sclion jeizt als die, fiir die d i d + inalige Erscheinilng des Cornttcii geltende, w a Iir e E a 1111

desselbcn 1)etracLtcii. ic11 Iiul~c mir tl,rlicr in dicse:l Tagen das V-ergnbgen geinaclit , riir die Zeiteir iiieiner sEninitlicllen bisherigen Ecobac~itnngen dic sclieinbarcn Orte des Conleien aus diesen Elemeiiten direct aufs scli:irl'stc zii Iwrcclinen, und sit: mit tlcn yon iuir bcobachteten l'ositioncn iiii~nittelliar zu v e r g l ~ ~ c l i e n , ~ v e l c l e Verg:cichunSsrcsliitaIe inclessen iiur als YOT- Iguiige zii betracliteii sind, da sie sich 5p;iter rlocll Endern werden. sobald die LU denBeobachlungen benutzkn Verglcichungs-

Beobachtiings- tap.

L---, 1535 Aug. 28 - 28 - 30

3 1

- 2 4 - $ 8

19 21 22 2 4 29

Ocl br. 5 - 7

- Sept. 1

- - - - -

Berechtiete schcinbare A n . Sf?'

S6 56 27,9 87 2 1 31,i 87 34 45,3 87 48 13,7 58 1 44:7 8s 30 j2,4 9 2 23 31,5 9 2 45 21,4 93 35 39,3 94 1 40,O 95 2 47,o 9s 45 54,4

110 35 31,s 120 1 17,9

Decl.

I- 24'25' 36"9

24 4 1 44,7 24 50 2 7 , s 24 59 37,o 25 9 5,2 2 5 30 1,s 29 12 48,8

+-'

24 25 58,s

29 37 37,O 30 36 22,s 3 1 7 22,6 32 21 14,s

48 4 16,2 53 5 S 36,t

36 51 52,7

stcrne schzrfer bestimmt sind. Eei dieser Rechriung habe ich natiirlicli a 11 e lileinen Corrcctionen beriicl;eichIigt j die Liinge u n d Breite der Sonne nebst dcm Log. ilirer Entfernung von der Erde s i i d aus dein Berliner Jalirbuche genomnien , iind die wal ire Anoninlie ~ i n d der Radius Vcclor dcs Cometen nach d e r Idrannten nlctliode von Gaufs l m w l i n e t worden, deren ElcSanz , SchErTe untl Gcsclimeidiglreit man iniluer aufs Kcue bemundert , so ort inan i n den Fall hornmi, sich h r e r zu be<:iencn. Z u g d s e r c r Abkiirzung iintl B ~ q i ~ e ~ ~ l i c h l i e i i habe icli hicrhci iiljcrdiers iueinc lliilfsslafel in SIlwendilng gc- bracht, von wclclier iin ersten Eanile der Zeitsclirift fiir Astrononiie S. 314 die Retle ist. Folgendes sintl die Resnl- taie tlieser Rechnung, welche zeigcn, dafs die Bosenberger'. scheri Eleiiiente auch rncine I3eobachtungen sehr behiedigend darstellen :

log n -- 0.23067 0.23025 O.? 1 31 4 0.2 0 d 8 5 0.1 9423 0.1S144 0.1 G 3 3 3 3.0 7b G 2 9.9Gi72 9.9 23 9 6 9.90520 9.86334 9.73653 9.5245 1 9.4431.0

rehler der Elemente i n AR.

f O"7 - 4,1 + I 5 , l + 5,s 3- 9,7 4- 7,7 c 2,4 -+ 24,5

f 0,3

Ah.

f 13,4

4- 25,O - 4,O - 12,6 -I- 1,s - 13,5

Documents

Commentatio de corporum coelestium perturbationibus. Auctore P. A. Hansen, speculae Seebergensis directore, ordinis Dannebrogici equite. (Continuatio.)