5
Discussion Comment on ªNumerical investigation of lake bed seepage patterns: effects of porous medium and lake propertiesº by Genereux, D., and Bandopadhyay, I., 2001. Journal of Hydrology 241, 286±303 Mark Bakker a, * , Erik I. Anderson b,1 a Department of Biological and Agricultural Engineering, University of Georgia, Athens, GA 30602, USA b Department of Civil and Environmental Engineering, University of South Carolina, Columbia, SC 29208, USA Received 3 April 2001; accepted 23 October 2001 Keywords: Groundwater; Hodograph; Analytic; Lake 1. Introduction In mathematical models, groundwater ¯ow ®elds are characterized by the singularities present in and on the boundary of the ¯ow domain. It is dif®cult to simulate accurately the head and ¯ow distribution near a singu- larity with a ®nite difference model. Genereux and Bandopadhyay 2001) applied MODFLOW to model the variation of the seepage rate along a lake bed the seepage rate is de®ned as the component of the speci®c discharge vector normal to the lake bed). They observed an elevated seepage rate at the intersection of the straight sloped bank and horizontal bottom of the lake. They stated: `an elevated seepage was observed at the break in bed slope¼ whenever the surrounding porous medium had a high anisotropy', but drew erroneous conclusions concerning the presence of the singularity: `neither a break in slope nor a high anisotropy alone is suf®cient to cause elevated offshore seepage, but together they produce the effect'. An in®nite seepage rate is always present at a sharp decrease in slope in a mathematical model of groundwater ¯ow; this is inde- pendent of the slope of the side or the anisotropy ratio e.g. Harr, 1962, ®gs. 4±3). However, it may be shown that a steep side or a high anisotropy ratio results in a singular behavior that has an effect over a larger distance; the elevated seepage rate may then be detected with a numerical model with relatively large cell sizes. The presence of singularities in the mathematical model, the singular behavior, and the effect of aniso- tropy on the singular behavior will be discussed in this comment by the application of two standard techni- ques: the hodograph method and a complex variable solution. Flow will be approximated as two-dimen- sional in the vertical plane. This is not a restriction on the conclusions, because, as Genereux and Bando- padhyay 2001) observed, the singular behavior in two and three dimensions is similar. 2. The hodograph Consider the problem of two-dimensional uncon- ®ned ¯ow to an in®nitely wide lake in a vertical cross-section Fig. 1). A Cartesian x; y coordinate Journal of Hydrology 258 2002) 260±264 www.elsevier.com/locate/jhydrol 0022-1694/02/$ - see front matter q 2002 Elsevier Science B.V. All rights reserved. PII: S0022-169401)00570-4 * Corresponding author. Fax: 11-706-542-8806. E-mail addresses: [email protected] M. Bakker), [email protected] E.I. Anderson). 1 Fax: 11-803-777-0670.

Comment on “Numerical investigation of lake bed seepage patterns: effects of porous medium and lake properties” by Genereux, D., and Bandopadhyay, I., 2001. Journal of Hydrology

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: Comment on “Numerical investigation of lake bed seepage patterns: effects of porous medium and lake properties” by Genereux, D., and Bandopadhyay, I., 2001. Journal of Hydrology

����������

���� �� � ������ ������������ �� ��� �� ������������ ����� �� ������ ��� ��� ��� ���������

�� ������ ��� ��� �������� ���� !�� "##$�%������ �� &�������� "'$� "()*+#+

,��� �������-� .��� !� /��������$

����������� �� ���� ��� ������ ���� ������������ ���������� ������� ������� �� ������ �������������� ��� ��� ����������� ������������ ���������� ���� �� ���� ��!��� � �"��#� ���

0���� + /���� "##$1 ������ "+ 2����� "##$

$��%���� ������3���1 &������� 1 /�������1 4��

�� ����������

!� �� ������ ����� ������3��� 5�3 6��� ��

� �������7� �� � ������������ ����� �� ��� �� �

�������� �� � 5�3 ������ !� �� ���6���� �� ������

��������� � �� ��� 5�3 ������������ ��� � �����8

������ 3�� � 6��� ������� ���� ����� ���

�������� ��� 9"##$: ������ ,2�;42< �� ���

� ��������� �� � ���� ��� ����� � ��� �� 9�

���� ��� �� �6�� �� � ������� �� � ����6�

���� ��� ����� ����� �� � ��� ��:� = � ������

������� ���� ��� �� � ������������ � ������ �

����� ���� ��� ���7����� ����� �� � ���� = �

������ >�� ����� ���� 3�� ������ �� � ����

�� �� ����? 3 ��� � ����������� ������

��� �� � �� ����������@� ��� ��3 �������

����������� ��������� � ����� �� � ������������

>��� � � ���� �� ���� ��� � �� ���������� ���� ��

���6���� �� ���� ����� ���� �� ����� ���

���� � � � ������ � ����@� /� ��6��� ����

��� �� ��3��� ����� �� � � ��� ����� �� ���� �� �

�� ������ ��� �� ������3��� 5�31 � �� �� ���8

����� �� � ���� �� � ��� �� � ���������� �����

9��� &���� $A)"� 6��� '*+:� &�3��� �� �� � � �3�

� �� � ��� ��� �� � �� ���������� ����� ������ �� �

�������� � ����� � �� �� �� ���� ��� � �����

�������1 � ����� ���� ����� � � � �����

3�� � ������� ��� 3�� �������� ���� ��� ��7��

= ����� �� ������������ �� � �� ������

���� � �������� � ������ ��� � ���� �� �����8

����� �� � �������� � ����� 3��� � �������� �� � ��

���� �� � ����������� �� �3� �������� �� ��8

B��� � ������� � �� ��� � ����� �������

��������� ;��3 3��� � ���������� �� �3�8���8

������ �� � ������� ����� = �� �� ��� � ����������

�� � ������������ ������ �� ����� ��� �����8

��� ��� 9"##$: ������� � �������� � ����� ��

�3� ��� � � �������� �� �������

�� �� ���������

������� � ����� �� �3�8��������� �����8

6�� 5�3 �� �� ��6����� 3�� ��� �� � �������

�����8������ 9;��� $:� / �������� &� � ���������

%������ �� &�������� "C( 9"##": ")#*")'333���������D�����DE �����

##""8$)A'D#"DF 8 � ����� ���� � "##" .����� G���� ��H� /�� ��� �� ������

I!!� G##""8$)A'9#$:##CJ#8'

- ������������ ��� ��� ;��� �$8J#)8C'"8((#)�

�'��� ���������( �����K���������� 9,� �����:�

������K��������� 9.�!� /������:�$ ;��� �$8(#+8JJJ8#)J#�

Page 2: Comment on “Numerical investigation of lake bed seepage patterns: effects of porous medium and lake properties” by Genereux, D., and Bandopadhyay, I., 2001. Journal of Hydrology

���� �� ������ 3�� � & ���� ���7������� ��� �

� ���� ��������� ��3���� �� � �3�� = �������� ��

� 5�3 ����� �������� �� 6� ������ ���� $*

" �� � ���7����� B���������� 9����� $ �� �� ��6����:�

���� "*+ �� � ������ � B���������� � �� ��� ��

���� � 3�� � ���7����� ��������� ���� +*' ��

� ������ � ���� ���� ���� '*C� �� � � �����

������� ��� ���� C*$ �� � ���7����� ������

���� / 6��� ���� ��� )# 5�3� ��� ��6���� 9�����

C: �� � ����

/ ����������� �� � 5�3 ����� �� � ���3�

�� � ������� ����� 3 � � ���7����� ����

���������� �� � ���7����� ������� �� � ����8

6� ���� ��� ����� 9*&: ��� � ������� ���� ����8

������ �� � ������� ������� �� � ����6�

���� ��� ����� 9*�:1 � �������� �� � ����� ��

� ������� ���� �� ����� �� �� � ������� �

= ������� � �� ��� ������3��� 5�3 3��

������ ��������� ��� � �������� �� �3�8���8

������ ��8�������� ������ �� � ������� �����8

������ �� &�� 9$A+': ��� ������� 9$A+):� /

������ ���������� �� � ������� � �� �� �

����� �� ��� �������� �� ������3��� � ������

��������� ,����� 9$A+J:� &��� 9$A)":� I�����������8

L�� ��� 9$A)":� H����E� 9$AJ#:� ��� 9$AJ":� ���

G����� 9$A(A:� = ������� �� ������������ �����

�� �� �� ����3� ��� � �����6������ �� ������������

�� � 5�3 6�� 3�� ��� � �� �� ���� � ���6����

������ �� � ��������� �� �������������

= ����������� �� � 6� �������� ����� ��

� ������� ���� �� �� �����3�� G��� $*" ���

�� ���� �� � ������� ���� �� � ������� ����1

����� $*" � ���7����� 5�3 ������� B����

7��� G��� "*+ ��� �� ���� �� � ������ � ���

� ���� � ������ � �� �� ����� �� � B����������

�� � � ������ ���� ��� � �� ��� �� ���� � 3��

� �������� G��� +*' �� � ���� ���� =

���� ��� �� ������� �� � ��� �� � �������

����� ����� ������� �� � B���������� "*+� ���

������� � ���� � ����� *� � �+� = � �����

������� ���� '*C� ��� �� ���� �� � ����� 3��

����� + ��� ����� �� �*&� *�� � �#��+�"��;������� � ���7����� ���� ���� C*$� ��� ��

���� �� � ���7����� ����� �� � ������� 5�3 ����8

��� B���� 7�� ����� � ���7����� ���� = 6�

����� �� ������� �� � ������� ����� ���8

��� �� ��� � �� ���3 � �� � 5�3 6�� � ���8

7����� 5�3 �� �� � ��� � �*& � #� ��� � �� ��������

����� ������ ����� �� �� � �� � �� �����

= ������� �� � �3� 3�� � � ��� ��� �� ;��� $�

�� � �� � ���� ��� �� ��3��� �����1 �

����� �� � ������� ���� ������ � �������

3�� ��� ���� +*'�

/ ���� �� ����������� ��� � ���3� ��� �

������� ����� � ���� �� ������ ����� �

��������� /� ����� $� ���� � ��� �� & � ��

� ����6� ���� ��� ����� �� /� � ���������� ��

� ���7����� ��� 3�� � ����� ���� 9����� ":� ���

�� � ���������� �� � ���� ��� ��� ��� ���

9����� +:� � ���� ��� �� ��6����� ����� �����8

��� �� � ���� � � /� ����� '� � ������� �� 5�3

����� �� � ���� ��� ����� � ��� � � �����

������ �� ������ �� � ����� ����� /� ����� C�

��6����� ��� �3��� � ����6� ���� ��� �� 7�� ��

,- ��++��� �-.- ������� / 0���� 1��� �� �2# 3����4 ���5��6 ")$

;��� $� = � ������ ���� ��� ������� �����

Page 3: Comment on “Numerical investigation of lake bed seepage patterns: effects of porous medium and lake properties” by Genereux, D., and Bandopadhyay, I., 2001. Journal of Hydrology

� ����� ���� ��� 9)#: ����� �������� 3 �� �

�������� � ������ �� ��6����

����� ��� �������� ��� 9"##$: �� ��� ��

�� � ����� ���� ����� ��� ��� ��� ������� �

����� �� � ���� ���� �� �3 �� 3�� ���� 3��

�� � �� ������� ���� = � ���� ���� ��7� �

�������� �� >����� ���� ���� �� ����� �� ��

���� 3 � � � �� � �� � ���� ���� � ���� ��@�

= ������� �� � ���6� �� ������ � ����

� �� �� �� ������ ������ �� ���� ���3 � ���

���� = �� � �3� � �� � ����6� ���� ��� �� ���

� ����� B���� 7�� 9��� � ���� ���������� �� ��� &����

$A)"� 6��� '*+:�

�� ����������� ������� ���������

����� ��� �������� ��� 9"##$: ��������

�B����� 3�� ����������� �������� �������������

G�������� ��� ����������� �������� ������������ ��

� ������� ��� ��������� ��� ��������� ��������

������������ � ���� � ������� �� � ���������

��� ��� �B���� ������� 9��� ,������ $A+J1

��� ��� ������ $A)C:� = ����� ���������� �&

��� �� ��� � ����� �������� ������������ �+ ��

� � ��� ���

�& � & �� �������+&+��

��+ �

�����+&+�

��$�

= ����� �� � ��� 3�� � ���� �� ���� ��� � �$�� �� �� �B���� 3�� ���������� ����� 7 � +&�+� ��� �

����� �� ���������� � ����� �� � ��������� �&� ��

���� 3�� � ���� ���� ��� �������� ������������ ��

��� �� � ��7

��� �+ � +&�

��7

� �"�

/��� � �������� �� �������� � �&� �� ���������� ��

� ��������� ���� �� � &� � ���� 3�� � �����

�� .B� 9$:� &��� � �� ���������� ����� �� �� ����

�� ���� � �� �� ������ �� � ���� �� � ����

���� �����

�� ������� �������� �� � ����� �� �����

/ ����������� �� � ����6� ���� ��� �� � ���8

��6� �� ���3��� � ������� � ��� � ��������

� ����� ������ � ����� 3�� ��� ������� �

������ = �������� � ����� �� � ���������� ��

� ���� ��� ����� �� � ��� �� ����������� /

����� �������� � �� ���� 3 � � � �� ���

� �� � ����6� ���� ��� ��������� ��� B���� +� �

3 � + �� � �������� ������������ ���� � ��7�8

���� ��1 � �� � ���� ��������� = �����

�������� ��� 5�3 �� � ���������� �� �3� ������ �

B����������� �� 9��� �������� $AAA:

� � ��8������� � "� � ����8� � # �+�3 � � �� �6�� �� ;��� $ ��� � �� � ��� ��������1

� ������ �� �� � ���� �� ���� �� � �3� �� ;��� $�

��� � ����6� ���� ��� �������� ��� � ����

�������� �� 6��� �� � ����� ��� ��� ����� �� � ��

� ������ � � � �� !� �� � ���6� � ��� 9�

��� ���� �� .B� 9+:: �� �������� ����� ��� B������8

������ = ����� �������� �� � ����������� ��

������ � ����� ����6� ���� ���� 9 � *& � �*��

9 � ���

�8� ����

�� �8��������

�"� � ����8� � #

�'�

,- ��++��� �-.- ������� / 0���� 1��� �� �2# 3����4 ���5��6")"

;��� "� ;��3 6��� ��� � ���� �� ���� ��� 9�: � � ��" ��� 9�: � � ��$#�

Page 4: Comment on “Numerical investigation of lake bed seepage patterns: effects of porous medium and lake properties” by Genereux, D., and Bandopadhyay, I., 2001. Journal of Hydrology

= ����� ����6� ���� ��� �� �������� �� �

������ ��� � � #� ;�� � � # � ���� ��� ��

��6���� ��� ��� � � # � ���� ��� �� 7�� 9����8

������ �����:1 ��� � � # � ����6� ���� ��� �� �

6���� ���87�� ���� 9� �� �� � 3�� ���3� ������ ���

&���� $A)":�

= ����� �� � ����������� �� � ����6�

���� ��� 6�� ��� ����������� ������7� 3��

�������� � � = �� �� ������ 3 � ����� ���

�������� ��� 9"##$: ��� ��� ����� � �����������

3�� � �� 6��� ������� ��� 3 � ���������

���� �� ���� � � = �� ���� �� � �3� �� ;��� "

3 � 5�3 ��� �� � �3� ��� ���� ��� ���� � �;��� "�� ������������ �� � � ��"� � �3� � �������������������� �� �������� ��� � ���� �� ����1

� �� � ����� �� ��� �� ������ ������� �� ;��� "�

3 �� ���������� �� � � ��$#�< � ���������� � ���� � �� � 5�3 6�� 3�� �

���� ���������� ������ � ��������� �����

������� � � �� � �3� �� ;��� "�1 � �� ��� � ����

�� �� � ��������� ������ �� ����� � �� � ����

� �� � � ������ ����� 9.B� 9"::� /� � ����B���

� ����� �� � ����������� �� ��� ������7� �� ��

����������� �B���� � �� �� �� ��������� ���

= ��������� �� ���� ����� � ��� ����� ��

�������� �������� �� � �������� = �������

������� �� � ����6� ���� ��� ����� � ���

����� 9� ������� ��� ����: �� ������7� �� ���

���� �� & � C ��� ���� ���� ����������� /� ����8

���� ��� � �� ���������� ���� ��� �� �

������� ��� .B� 9': ��

*��&� #�*��C� #� � C

&

� ���������C�

= ���������� ���� ��� �� ������ ��� � ����

���� �� #�#" �� � $�$C�� ������ �� ����� ���

�������� ��� 9"##$: 9;��� +:� 2� � �� ����� �

���������� ���� ��� ��� � �� ����� ���

3�� �� ���������� ����� �� $### �� � �3�1 � ����

�� B���� +"�+� �� � ��������� ������ !� �� ����

� �� � ����� �� � ����� ��� �� ��� ��� � ��

����� ������� ����� � ��� ������ !� �� ����� � ��

� ��� ������7� � ����� �� � ���� � ��� 3����

� ���� �� � ������� ���� &�3��� � �����8

��� � ����� ����� �� �� ����� ��� � 3���

���� �� ���� �� �6���� � ,2�;42< �����

�� ������� �������� �� ��� ������ ����

= � ����� �� � ���� �� � ���������� ��

� ���� ��� ��� � B���������� �� � �����

���� �� � ���������� �� � ������ ��� ���1 �

����������� �� � ������� ��� � ��� �� �

����� ��� �� B������ �� � 3����� � �� �����6�

� ���������� ����� ��� � ���� ��� ��� �

������� ��� ��� G�� � �������� �� ������ ��

G����� ��� /����� 9$AJ(: ��� �� ��� ����� ��

= ��������� �� G����� ��� /����� 9$AJ(: ��

� ��� �� ������ � ����� �� � �� � ������������

�� ���� ��� � ������������

�� ���������

����� ��� �������� ��� 9"##$: ��3 ���8

���� ����������� ��������� � ����� �� �������8

����� �� � ���� ��� ����� � ����� ��� �����

���� �� � ���1 � �� �� �� � 6��� ������� ���

3�� � ����� ���� ������ ������� �� � �� ��������

������������ !� � �� ����� � ������� 3�� ���

�� �������� � �� � ���� ��� �� ����� ����� �

����� ���� �� �� ��5�3 ���� ��� � �� � ���� ���

���� ��6���� �������� �� � ���� �� � �����

�� ��� � ���������� �� � ����� ���� ��� ���7��8

��� ����� �� � ���� ��� �� � ���������� �� �

,- ��++��� �-.- ������� / 0���� 1��� �� �2# 3����4 ���5��6 ")+

;��� +� ���������� ���� ��� ����� ������� ����� ���

������

Page 5: Comment on “Numerical investigation of lake bed seepage patterns: effects of porous medium and lake properties” by Genereux, D., and Bandopadhyay, I., 2001. Journal of Hydrology

����� ���� ��� � ��� ���� / ����� �������

�������� 3�� ��� �� �������� � �� � ��������

� ����� �� � ���������� �� � ����� ���� ���

���7����� ����� �� ������7� ��� � ���� ����� !�

��������� � � ��� ��� 5�3 �� ����������� �B�����

3�� ��� �� � �3 � �� � �� ���������� ����� �� ��

���� �� � ���� ��� � �� �� ������ �� � �� �� �

���� ���� ����� = ����� �� � ��� ������7�

������ �� ���� ��� � �� �� � ����� ���

� ����� �� � ���� ���� ���� �����

�!������

���� %�� $AJ"� ������� �� ;����� �� I����� ,���� ����� 3

M����

���� %�� ������ ��� $A)C� = �������� �� ��3� ��������� ��

5�3 ������ �� ��������� ��� ����������� ������ %� &������ +�

((*A)�

�������� ��/�� $AAA� /��������� G�������� �� �� �����������

I������ �������� �� <��� G����� ')� .������

/������

�������� ����� $A+)� 2� � ����� �3�8��������� ����� ��

������83��� 5�3 3�� � �� ������� I ��� ,��� "$� (($*A#+�

������ ��� �������� ���� !�� "##$� ������ ������������ ��

��� �� ���� �������� ����� �� ������ ��� ��� ���

��������� %� &������ "'$� "()*+#+�

&��� ��� $A+'� N�� �����3����� O� /��3� ,�� � ,� � $'�

$"A*$CJ�

&���� ,�.�� $A)"� ������3��� ��� G���� ����� 3 M����

,������ ,�� $A+J� = ;��3 �� &������� ;����� � ����

I����� ,���� ,����38&���� /�� /�����

I�����������8L�� ���� I�� $A)"� = ��� �� ������3��� ,��8

��� I������� N�������� I���� I������� ��������� ��

%�,�0� � <����

G������ 2���4�� $A(A� ������3��� ,� ������ I�����8&����

.���3��� �������

G������ 2���4�� /������ ,�� $AJ(� / �3 �������� ��� �� �� �

������� � ��� <��� 0����� 0�� $'� $#'C*$#C(�

H����E�� /�� $AJ#� = ��� �� ������3��� ;��3� ������ ���

���� G���� I����� ��� 3 M����

,- ��++��� �-.- ������� / 0���� 1��� �� �2# 3����4 ���5��6")'