combinatoria

curso de post-grado para profesoresespecialidad en matematica

COMBINATORIA

Equipo de Diseno:Carlos Mauricio Canjura Linares

Claudia Patricia CorcioErnesto Americo Hidalgo CastellanosHumberto Alfonso Sermeno Villalta

Eder Alexander Jacobo ArevaloAaron Ernesto Ramırez Flores

28 de junio de 2010

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INDICE INDICE

Indice

1. Principios de Conteo 41.1. PRINCIPIO DE LA SUMA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2. PRINCIPIO DE LA MULTIPLICACION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3. PRINCIPIO DE BIYECCION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.4. INCLUSION-EXCLUSION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.5. RECURRENCIA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.6. INDUCCION MATEMATICA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.7. PRINCIPIO DE LAS CASILLAS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.8. PROBLEMAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2. Combinaciones y el Numero Combinatorio 182.1. MODELO DE CONJUNTOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.2. MODELO DE CAMINOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.3. CADENAS DE CEROS Y UNOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.4. TRIANGULO DE PASCAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.5. BINOMIO DE NEWTON . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.6. PROBLEMAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3. Permutaciones y Arreglos 333.1. PERMUTACIONES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.2. PERMUTACIONES CIRCULARES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.3. PERMUTACIONES CON REPETICION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.4. ARREGLOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.5. PROBLEMAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

4. Extensiones del Numero Combinatorio 394.1. SEPARADORES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394.2. MULTICOMBINATORIO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404.3. PROBLEMAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

5. Principios de Conteo 2 445.1. PRINCIPIO DE INCLUSION - EXCLUSION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445.2. DESORDENES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445.3. RECURRENCIA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455.4. PROBLEMAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

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INDICE INDICE

Introduccion

Una manera muy sencilla de definir a la Combinatoria es entenderla como aquella area de la ma-tematica que trata el problema de contar.1 Esta actividad tan natural y a la que nos aproximamosdesde edades muy tempranas, tiene dos caracterısticas centrales:

1. Para contar, hay que considerar todas las posibilidades.

2. Y ademas, hay que asegurarse que cada objeto de conteo se cuenta exactamente una vez,es decir, hay que evitar contar dos o mas veces a un mismo objeto.

Es decir, cada objeto se cuenta al menos una vez y a lo sumo una vez. Sı, esto es evidente,pero pronto podra darse cuenta que esto puede resultar muy complicado de percibir.

Para contar hay muchas formas, y la mas elemental es hacer un conteo exhaustivo, es decir, unopor uno elaborando un listado completo de los objetos, o lo que es lo mismo, un censo. Ahora bien,si lo que nos proponemos contar es la cantidad de numeros de un millon de cifras que comienzancon el dıgito 4, obviamente, no haremos un censo, nunca terminarıamos; allı entra en juego la com-binatoria, la combinatoria proporciona metodos y tecnicas para resolver este y otros problemasen el que el conteo exhaustivo no funciona. Por tal motivo, algunos consideran a la combinatoriacomo el arte de “contar sin contar”.2

Para llevar a cabo los conteos, se necesitaran de ciertos teoremas, que por lo evidente de suveracidad, se les llama principios. A continuacion se hace una breve aproximacion a los principiosmas importantes en combinatoria, y a lo largo del texto se tendra la oportunidad de ir afinandola concepcion de los principios ası como agudizando la destreza de sus usos.

1La Combinatoria es por supuesto mucho mas extensa que esto, pero para nuestros fines, esta definicion es lamejor.

2Por lo general, la matematica resuelve los problemas que le incumbe con metodos ingeniosos que desafıan alsentido comun.

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1 Principios de Conteo

1. Principios de Conteo

En este apartado desarrollaremos algunos principios basicos de conteo y enumeracion. Cuando nosinteresamos en determinar el numero de elementos en un conjunto dado, estamos en un caso deconteo; mientras que cuando nos interesa listar los elementos estamos en el caso de enumeracion.Ambos problemas son importantes; hay situaciones en las que nos interesa no solo saber cuantoselementos hay en un conjunto dado, si no ademas saber cuales son tales elementos, de aquı quecon frecuencia los metodos de conteo y enumeracion son inseparables. El proposito de este apar-tado es el de desarrollar algunas tecnicas fundamentales de conteo en los que la enumeracion noaparece de manera explıcita; se basan fundamentalmente en algunos principios cuya simplicidadcon frecuencia impide valorar su potencia; desarrollar la habilidad de aplicar correctamente talesprincipios requiere alguna practica por lo que se proponen ejercicios diversos para la aplicacion delos mismos en diferentes contextos.

1.1. PRINCIPIO DE LA SUMA

Un concepto fundamental cuando se trata de contar, es el de cardinal de un conjunto. En el casode los conjuntos finitos, el cardinal de un conjunto A es simplemente el numero de elementos queposee y se acostumbra denotarlo por |A| o bien por Card(A).

La tecnica mas elemental para contar los elementos de un conjunto es la de separar sus elementosen clases disjuntas, de forma tal que su reunion incluya todos los elementos del conjunto. En otraspalabras se requiere que cada elemento del conjunto debe pertenecer a una sola de las clases y quetodo elemento del conjunto pertenece a una de las clases en las que se separa el conjunto.

Definicion 1.1. Un conjunto finito A ha sido separado en n clases disjuntas A1, A2, A3, . . . , An,si se satisface simultaneamente:

i. Ai ∩ Aj = ∅ para todo i 6= j.

ii.⋃ni=1Ai = A.

Tambien decimos que el conjunto A ha sido particionado y las clases disjuntas (o exlcuyentes) sedenominan los elementos de la particion.

Teorema 1.1. Principio de la Suma: Si el conjunto A es posible separarlo en clases A1, A2, . . . , An,el total de elementos de A, es igual a la suma de los cardinales de cada una de las clases. Es decir

|A1|+ |A2|+ · · ·+ |An| = |A|

El principio de la suma suele ser enunciado tambien de la siguiente forma: si un suceso A puedeocurrir de n maneras, un suceso B puede ocurrir de m maneras y ambos sucesos no pueden ocurrirsimultaneamente, entonces el suceso A o B puede ocurrir de (n + m) formas. Por supuesto tienesu version cuando hay mas de dos sucesos, con la condicion obvia que dos cualesquiera de ellos nopueden ocurrir simultaneamente.

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1.2 PRINCIPIO DE LA MULTIPLICACION 1 Principios de Conteo

1.2. PRINCIPIO DE LA MULTIPLICACION

Cuando se trata de contar parejas (x, y) conociendo el numero de opciones de cada una de lascomponentes del par, se utiliza el conocido como principio de la multiplicacion que afirmaque el total de posibles pares que se pueden formar es el producto del numero de alternativas quese dispone para la primera componente por el numero de alternativas para la segunda componente.

Por ejemplo si se lanza al aire un dado dos veces y anotamos los posibles resultados, estos lospodemos registrar mediante un par (x, y) registrando en la primera componente el resultado de laprimera tirada y en la segunda componente el resultado de la segunda tirada. Siendo que en cadatirada hay seis posibles resultados: 1, 2, 3, 4, 5, 6, el total de posibles pares es 36. En efecto paracada uno de los posibles resultados para la primera tirada tenemos 6 posibles resultados para lasegunda tirada y siendo que hay seis posibles resultados en la primera tirada, el total de resultadossera de 36.

De manera completamente analoga suponga que deseamos determinar el total de secuencias detres letras, es decir ternas (x, y, z) que se pueden formar con las letras a, b, c, d, e, f , de forma talque no se permite la repeticion de letras. Habiendo 6 opciones de letras por colocar en la primeraposicion, para la segunda posicion solo tendremos 5 opciones puesto que no se acepta la repeticionde letras en la terna; restriccion que nos deja en la tercera posicion solo con 4 letras como posiblesopciones. Ası el total de ternas con la restriccion planteada sera de 6 · 5 · 4 = 120.

Teorema 1.2. Principio del Producto: Si A1, A2, A3, . . . , Ak es una sucesion de conjuntos con car-dinales n1, n2, n3, . . . , nk respectivamente, entonces el conjunto que se obtiene haciendo el productocartesiano de tales conjuntos tiene por cardinal el producto de los cardinales de los conjuntos dados.Es decir

|A1 × A2 × · · · × Ak| = n1n2 · · ·nkEn particular, cuando se trata del mismo conjunto A de cardinalidad n en cada uno de los factores,se obtiene

|k veces︷︸︸︷

A× A× · · · × A | = nk

En otra version del principio de la multiplicacion, este se presenta en la forma siguiente: si unconjunto puede ser particionado en k clases y cada una de las clases puede ser separada en t tiposde elementos, el total de tipos de elementos es kt.

Otra version muy frecuente del principio de la multiplicacion se presenta de la forma siguiente:si hay n1 alternativas de seleccionar un primer objeto y para seleccionar un segundo objeto sedispone de n2 formas, la seleccion del par ordenado de objetos puede ser realizada en n1n2 formas.

Analice el siguiente problema: Si desde Santa Ana a San Salvador se puede viajar por 3 rutasdistintas de autobus, y de San Salvador a San Miguel se puede viajar por 5 rutas distintas deautobus, ¿de cuantas formas distintas se puede viajar en autobus desde Santa Ana hasta SanMiguel pasando por San Salvador? ¡Intentelo!

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1.3 PRINCIPIO DE BIYECCION 1 Principios de Conteo

1.3. PRINCIPIO DE BIYECCION

Consideremos el problema siguiente: En un campeonato de futbol se enfrentan n equipos. En cadaronda los equipos perdedores son eliminados. Si en una ronda el numero de equipos aun partici-pando es impar, uno de los equipos, elegido mediante sorteo, descansa y pasa a la ronda siguiente.¿Cuantos juegos se realizan durante el campeonato?

Este problema tiene por supuesto muchas maneras de ser abordado, pero en este caso vamos adestacar la forma que se apoya en el denominado principio de correspondencia.

Definicion 1.2. Dos conjuntos A y B son tales que a cada elemento de A se le puede asociar unoy solo un elemento de B y viceversa (a cada elemento de B se le puede asociar uno y solo uno delos elementos de A), entonces decimos que A y B pueden ponerse en correspondencia biyectiva.En este caso se dice tambien que los conjuntos A y B son coordinables y escribimos en formasimbolica A ∼= B.3

Teorema 1.3. Principio de Correspondencia: Si A y B son coordinables entonces tienen el mismonumero de elementos o cardinal.

Veamos como se aplica el principio anterior al problema propuesto: Como en cada partido hay unperdedor y solo uno y para cada perdedor hay uno y un unico partido, para contar el numero departidos nos basta contar el numero de perdedores y siendo que al final del campeonato solo quedauno de los equipos, el numero de perdedores es n − 1, que debe por supuesto ser el numero departidos jugados en el campeonato. Ası, este numero debe ser n− 1.

El principio anterior es importante cuando la tarea de contar los elementos de un conjunto Aresulta mas difıcil que la de contar en un conjunto B que puede ponerse en correspondencia biyec-tiva con A. Se cuenta entonces en el conjunto B y automaticamente se ha contado en el conjunto A.

He aquı otro ejemplo en donde se aplica el principio de correspondencia biyectiva: Queremosdeterminar el total de formas que tenemos de seleccionar 9 elementos en un conjunto que posee 10elementos. Siendo que hay una correspondencia biyectiva entre los conjuntos de 9 elementos conlos conjuntos de 1 elemento, es suficiente para resolver el problema contar el numero de seleccionesde 1 elemento, que son por supuesto 10 formas.

FFF

Analicemos ahora algunas ejemplos un poco mas complicados que utilizan estos tres principiosfundamentales; con frecuencia, en un mismo problema se utiliza mas de uno.

EJEMPLO 1.1Un profesor tiene 35 estudiantes en el curso de Algebra y 38 estudiantes en el curso de Geometrıa.¿Cuantos estudiantes tiene en total?

3Un conjunto A se dice que es finito si es vacıo o si es coordinable con un conjunto de la forma 1, 2, 3, . . . , n yen este ultimo caso se dice que el cardinal de A es n, o bien que el numero de elementos que posee es n. Cuando Aes vacıo decimos que el conjunto tiene cero elementos.

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La respuesta 73 estudiantes solo serıa valida en el caso de que ningun estudiante reciba los doscursos impartidos por el profesor. Si hay estudiantes que reciben ambos cursos, el conteo exigirıaque se separe el total de estudiantes en las tres clases disjuntas: los que reciben solo el curso deAlgebra, los que reciben solo el curso de Geometrıa y los que reciben ambos cursos. Supongapor ejemplo que hay 10 estudiantes que reciben ambos cursos, entonces los conjuntos no serıandisjuntos; si descontamos los estudiantes comunes del curso de Algebra y Geometrıa, tendrıamos25 que reciben solo el curso de Algebra y 28 estudiantes que reciben solo el curso de Geometrıa.Ası el total es la suma del numero de elementos que poseen los tres conjuntos disjuntos, es decir:25 + 28 + 10 = 63.

EJEMPLO 1.2Se tienen 6 libros distintos de Algebra, 5 libros distintos de Geometrıa, y 4 libros distintos deTrigonometrıa. ¿De cuantas formas es posible seleccionar un par no ordenado de libros que no seande la misma asignatura?

Siendo que los libros seleccionados deben ser de asignaturas diferentes, las posibilidades de combi-nar son: Un libro de Algebra y uno de Geometrıa; uno de Algebra y uno de Trigonometrıa y porultimo uno de Geometrıa y uno de Trigonometrıa; con ello hemos separado los pares posibles encasos disjuntos. Aplicando en cada uno de los casos el principio de la multiplicacion tenemos quelas alternativas para cada caso son: 6 · 5, 6 · 4 y 5 · 4, respectivamente. Ası, por el principio de lasuma, el total de alternativas para hacer la seleccion del par de libros es: 30 + 24 + 20 = 74.

EJEMPLO 1.3Se consideran las cadenas de ceros y unos de longitud 5, es decir secuencias con cinco caracteresentre los dıgitos cero y uno. Por ejemplo la cadena 00010 es de longitud cinco. ¿Cual es el total decadenas de ceros y unos de longitud 5?

Observe que si P = 0, 1 , cada una de las cadenas puede ser identificada mediante el quinteto(x1, x2, x3, x4, x5) del producto cartesiano P ×P ×P ×P ×P = P 5, recıprocamente, todo elementodel producto cartesiano P 5 esta asociado a una cadena de ceros y unos de longitud cinco. Enconsecuencia, dada esta correspondecia biyectiva, el total de cadenas sera |P 5| = 25 = 32.

EJEMPLO 1.4¿Cual es el numero de subconjuntos que posee un conjunto A de cardinal n?

Como en el ejemplo anterior, nos apoyaremos en la correspondencia biyectiva entre los subconjuntosde A con las cadenas de longitud n. Supongamos ordenados los elementos de A del primero aln-esimo elemento y adoptemos la convencion siguiente: a cada subconjunto de A asociamos lacadena de longitud n, cuya componente en la posicion k-esima es 0 si el elemento k-esimo de A nopertenece al subconjunto, o bien 1 si el elemento pertenece al subconjunto. Por ejemplo la cadena(0, 0, 0, 0, . . . , 0) esta asociada al subconjunto vacıo; el subconjunto con solo el primer elemento deA se asocia con la cadena (1, 0, 0, 0, . . . , 0) que posee solo ceros salvo en la primera componente.Con esta convencion se logra en efecto la correspondencia biyectiva y podemos, en vez de contarsubconjuntos de A, contar las cadenas de ceros y unos de longitud n, que como extension delejemplo anterior sera |P n| = 2n (utilizamos el mismo conjunto P del ejemplo anterior).

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EJEMPLO 1.5Usando las letras a, b, c, d, e, ¿de cuantas formas es posible formar una secuencia ordenada de tresletras en cada uno de los siguientes casos?

a) Si la repeticion de letras esta permitida.

b) Si no se permite la repeticion de letras.

c) Sin repeticion de letras y que la secuencia tenga a la letra e.

d) Con repeticion de letras conteniendo e.

a) En el primero de los casos como la repeticion esta permitida, el problema es equivalente adeterminar el numero de ternas del conjunto A3, en donde A = a, b, c, d, e, que es 53 = 125.

b) En el segundo caso no se permite la repeticion, se debe tomar en cuenta que para formar lasternas solicitadas, para la primera componente de la terna disponemos de todos los elementosdel conjunto A; sin embargo para la segunda componente, disponemos de un conjunto concuatro elementos puesto que debemos excluir el elemento colocado en la primera componente;de manera similar para la tercera componente solo dispondremos de un conjunto con treselementos habiendo excluido los pertenecientes a la primera y segunda componente de la terna.Ası, el total de ternas con la condicion solicitada es: 5 · 4 · 3 = 60.

c) Para el tercer caso, en el que la letra e esta obligada a pertenecer a la secuencia, podemosdividir en casos de acuerdo a la posicion que ocupe la letra e en la terna, que son obviamentecasos disjuntos. Ası, si ocupa la primera posicion las ternas son de la forma (e, x2, x3) y para lasegunda componente se dispone de cuatro elementos en tanto que para la tercera componentese dispone nada mas que de tres elementos, por lo que en este caso tendremos 4 · 3 = 12posibilidades. Los otros casos a considerar son las ternas de la forma (x1, e, x3) y las ternasde la forma (x1, x2, e) que son igualmente 12 posibilidades en cada uno, por lo que en totaltendremos 36 secuencias con la condicion dada.

d) Para el ultimo caso en el cual se permite repeticion pero la secuencia contiene obligatoriamentea la e, haremos la separacion de ternas en las clases siguientes: (e, x2, x3), (x1, e, x3) y (x1, x2, e),tomando en cuenta que en la primera clase tendremos para x2 y x3 cinco posibilidades, es decirtendremos 25 ternas en esta primera clase; en la segunda clase habra que excluir x1 = e,puesto que las ternas con e en la primera componente ya fueron contadas en las ternas de laprimera clase, ası, en esta segunda clase de ternas tendremos 4 posibilidades para la primeracomponente y 5 para la tercera componente, es decir tendremos 20 ternas en esta clase; en latercera clase debemos excluir los casos x1 = e y x2 = e puesto que las ternas de este tipo yafueron consideradas en las dos clases anteriores y en consecuencia tendremos 4 posibilidadespara x1 y 4 posibilidades para x2, resultando 16 ternas de esta clase. En total tendremos25 + 20 + 16 = 61 ternas. ¡Recuerde que contar significa tomar en cuenta todos los elementosdel conjunto pero cada elemento tomado en cuenta solo una vez!

EJEMPLO 1.6Considere una cuadrıcula 8 × 8. Determine el numero de cuadrados formados por vertices de la

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1.4 INCLUSION-EXCLUSION 1 Principios de Conteo

cuadrıcula cuyos lados son paralelos a los segmentos de la cuadrıcula.

Este es un tıpico problema en el que se evidencia la importancia de contar con metodo, de locontrario la tarea se vuelve complicada. Tal como lo demanda el principio de la suma, lo mejor esseparlos en clases disjuntas. Ası, contaremos por separado los cuadrados de lado 1, los cuadradosde lado 2 y ası sucesivamente hasta los cuadrados de lado 8.Los cuadrados de lado 1 son 8 por cada fila y siendo que tenemos 8 filas, el total de cuadradosde lado 1 es 8 · 8 = 64. Para los cuadrados de lado 2 observe que para formarlos se requiereun par de filas consecutivas y en ellas los cuadrados de lado 2 que pueden formarse son 7; si setoma en cuenta que se pueden formar siete pares de filas consecutivas se obtiene que el total decuadrados de lado 2 es 7 · 7 = 49. De forma completamente analoga para formar cuadrados delado 3 requerimos disponer de tres filas consecutivas y en ellas es posible construir 6 cuadrados delado 3; como se pueden formar seis trıos de filas consecutivas, el numero de cuadrados de lado 3sera de 6 · 6 = 36 cuadrados. Despues de considerar los casos anteriores los siguientes casos sonfaciles de deducir: el total de cuadrados de lado 4 sera 5 · 5, el de cuadrados de lado 5, sera 4 · 4,los de lado 6, seran 3 · 3, los de lado 7 seran 2 · 2 y los de lado 8, 1 · 1. Ası el total de cuadradosbuscado sera 1 · 1 + 2 · 2 + 3 · 3 + 4 · 4 + 5 · 5 + 6 · 6 + 7 · 7 + 8 · 8 = 204 cuadrados.

EJEMPLO 1.7Determine el numero de diagonales que posee un decagono.

Por supuesto que dibujar las diagonales y despues contarlas es una de las opciones para resolver elejercicio, pero obviamente es una solucion poco practica y difıcil de generalizar (y tambien difıcilporque el dibujo puede complicarse demasiado). Vamos a utilizar la separacion de las diagonalesen casos disjuntos para en seguida aplicar el principio de la suma. Recuerde que en un polıgonose denomina diagonal al segmento que une dos vertices no consecutivos del polıgono. Para separaren clases disjuntas vamos a considerar las diagonales que “salen” de cada uno de los vertices.Dado que en un decagono cada vertice tiene 7 vertices no consecutivos son siete diagonales quesalen de cada vertice; como en un decagono tenemos 10 vertices, el total de diagonales sera de 35tomando en cuenta que cada diagonal ha sido contada dos veces, una vez por cada extremo de ladiagonal.

1.4. INCLUSION-EXCLUSION

Clasificar, como ya se habra observado, es un metodo importante cuando se trata de contar obje-tos. Supone sin embargo que somos capaces de particionar el conjunto dado en clases disjuntas yesto no siempre es sencillo. Es necesario desarrollar otros metodos.

Una estrategia que en ciertos casos ofrece alguna ventaja, es la de usar el criterio de contar enel complemento, en vez de contar directamente en el conjunto dado. Los dos ejemplos siguientesilustran este caso.

EJEMPLO 1.8De las cadenas binarias de ceros y unos, de longitud 10, ¿cuantas tienen la propiedad de poseerpor lo menos un 0?

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1.5 RECURRENCIA. 1 Principios de Conteo

EJEMPLO 1.9Cinco ninos solicitan, en una sorbeterıa que dispone de sorbetes de 8 diferentes sabores, un sorbetecada uno. De todas las posibles solicitudes que pueden hacer, ¿en cuantas de ellas los saboreselegidos por los ninos, coinciden en cuando menos dos de ellos?

En la solucion de los dos problemas anteriores aun cuando es posible clasificar en conjuntos dis-juntos de manera directa, el numero de clases que resulta es demasiado alto y es preferible contarpor su complemento.

Hay ocasiones sin embargo en las que la clasificacion en el conjunto o en su complemento ofrece elmismo nivel de dificultad y en este caso el principio de inclusion-exclusion resulta ser un valiosorecurso de conteo.

En su version mas elemental, el principio de inclusion- exclusion nos dice que el numero de ele-mentos en la reunion de dos conjuntos A y B, se calcula haciendo la suma de los numeros deelementos A mas los de B y se resta el numero de elementos comunes a ambos conjuntos, es decirlos elementos de la interseccion de ambos conjuntos. La interpretacion es obvia: la resta del numerode elementos de la interseccion de los conjuntos evita que estos se cuenten dos veces por cuantoestan incorporados como elementos del conjunto A y como elementos del conjunto B. En expresionconjuntista, tenemos:

|A ∪B| = |A|+ |B| − |A ∩B|

En el caso de la reunion de tres conjuntos A, B, C, los ajustes que debemos realizar para calcularel numero de elementos de la reunion de los tres conjuntos son menos obvios. En este caso, sisumamos el numero de elementos de A, B y C, observamos que los elementos comunes a dosde tales conjuntos han sido contados dos veces, mientras que los elementos comunes a los tresconjuntos han sido contados tres veces. Procedemos a corregir, restando los elementos comunes ados de los conjuntos dados; en este caso tenemos tres posibilidades A con B; A con C; B con C.Con esta correccion los elementos estrictamente pertenecientes a dos de los conjuntos dados quedancontados solo una vez; sin embargo, los elementos comunes a los tres conjuntos, que anteriormentehabıan sido contados tres veces, ahora han sido descontados tres veces, lo que hace que en sumano hayan sido contados. Hacemos ahora la correccion final sumando el numero de elementos queson comunes a los tres conjuntos. Hemos obtenido en consecuencia el resultado siguiente:

|A ∪B ∪ C| = |A|+ |B|+ |C| − (|A ∩B|+ |B ∩ C|+ |C ∩ A|) + |A ∩B ∩ C|

1.5. RECURRENCIA.

La recursion es un poderoso metodo de analisis que consiste en suponer que se conocen los valoresde una funcion de conteo para todos los valores previos a n, e intentar determinar, a partir de talinformacion, el valor de tal funcion para el valor de n.

Cuando se trata de contar objetos en funcion de una o mas variables, la condicion ideal es la delograr una formula explıcita que relacione tales variables. En ciertas ocasiones, sin embargo, talcondicion resulta difıcil de alcanzar y con frecuencia es suficiente obtener las suficientes relacionesque nos permitan generar un algoritmo de calculo para la resolucion de nuestro problema en el cason-esimo, a partir de la informacion acerca de los casos previos, es decir buscar una recurrencia;

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1.5 RECURRENCIA. 1 Principios de Conteo

en otras ocasiones incluso es preferible y mas sencillo buscar tales relaciones. He aquı algunos deejemplos de como esta tecnica permite resolver algunos problemas:

EJEMPLO 1.10Determinar el numero de subconjuntos de un conjunto finito dado.

Podemos determinar el numero de subconjuntos de un conjunto finito dado a partir de una re-currencia. En efecto, el numero de subconjuntos de un conjunto unitario es 2, y si denotamos elnumero de subconjuntos de un conjunto con n elementos como Sn, el numero de subconjuntos enel caso de un conjunto con (n + 1) elementos puede ser calculado de la siguiente manera: consi-deremos el ultimo elemento incorporado, entonces solo hay dos posibilidades de subconjuntos, losque no incluyen el elemento ultimo que son en total Sn, y los que sı lo incluyen, que se obtienenintroduciendo este en cada uno de los subconjuntos de los n primeros elementos, que de nuevo sonSn. Hemos demostrado ası que:

Sn+1 = 2Sn

Esta relacion junto con la condicion inicial S1 = 2, permite calcular todos los valores de Sn, demanera recurrente, para cualquier numero natural n

Sn = 2Sn−1

= 2 (2Sn−2) = 22Sn−2

= 22 (2Sn−3) = 23Sn−3

...

= 2n−1S1 = 2n

EJEMPLO 1.11Determinar el numero de diagonales que posee un polıgono convexo de n lados.

Aun cuando no podamos determinar tal numero, podemos intentar establecer una relacion entreel numero de diagonales de un polıgono de n lados con las de un polıgono de (n+ 1) lados. Sea Dn

el numero de diagonales de un polıgono de n lados. De lo que se trata es de establecer una relacionentre Dn y Dn+1. Si agregamos un vertice a un polıgono de n lados, este lo podemos imaginarubicado entre dos de los n vertices antiguos. Este vertice puede ser conectado con n − 2 verticesantiguos para formar diagonales; ası se formaran n − 2 nuevas diagonales; sin embargo, un ladoen el antiguo polıgono (justamente el lado que unıa los dos vertices vecinos al nuevo vertice) se hatransformado en diagonal; en otras palabras el nuevo vertice ha generado (n−1) nuevas diagonales.Concluimos entonces que debe cumplirse la relacion de recurrencia:

Dn+1 = Dn + (n− 1)

Por otra parte, observe que D3 = 0. La informacion anterior es suficiente para calcular el numero dediagonales de cualquier polıgono, simplemente aplicando de manera iterativa la relacion anterior.¡Intentelo!

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1.6 INDUCCION MATEMATICA. 1 Principios de Conteo

1.6. INDUCCION MATEMATICA.

La induccion matematica es una forma de demostracion muy util para problemas de combina-toria, ası como de otras areas. La induccion tiene un vınculo muy estrecho con la relaciones derecurrencia, de alguna manera, la induccion es un proceso en la direccion contraria a la recurrencia.

La idea intuitiva de la induccion es la de fichas de domino, que puestas de pie una despues de otraen una fila y todas muy cercanas, caen todas si se asegura que cae una de ellas, porque la primeraque cae bota a la segunda, la segunda a la tercera, y se sigue ası indefinidamente.

De igual forma, un problema que se resuelve utilizando induccion requiere una hipotesis que:

Se verifique su veracidad para algun caso particular.

La veracidad de la hipotesis para un caso k implique la veracidad de la hipotesis para uncaso k + 1.

Si esto es ası, entonces la hipotesis sera cierta para todos los casos mayores al caso inicial, por-que, dado que el primer caso es cierto, este obliga a que el segundo lo sea, y como el segundo escierto, este obliga a que el tercero lo sea, y ası sucesivamente. Veamos la induccion en un la practica:

EJEMPLO 1.12¿Cuantos subconjuntos tiene un conjunto de cardinalidad n?

Este problema ya lo resolvimos anteriormente utilizando recurrencia, ahora lo haremos con induc-cion y vea que ambas aproximaciones son muy parecidas.

Como todo problema que exige un resultado general, es fundamental el analisis de casos par-ticulares; por ejemplo, podemos comenzar contando cuantos subconjuntos tiene un conjunto den = 1, 2, 3 elementos, haciendo listados de forma exhaustiva.Caso n = 1: Considere el conjunto A = x, los subconjuntos de A son ∅ y x, es decir, S1 = 2(utilizamos la misma notacion que antes, Sn representa la cantidad de subconjuntos de un conjuntode cardinalidad n).Caso n = 2: Considere ahora el conjunto B = x, y, los subconjuntos de B son ∅, x, y yx, y, por lo que S2 = 4.Caso n = 3: Sea C = x, y, z, los subconjuntos de C son ∅, x, y, z, x, y, y, z, z, x,x, y, z, por lo que S3 = 8.Ahora se ve un patron, pero para estar seguros, lo mejor es hacer unos casos mas; la siguientetabla muestra un resumen lo lo obtenido:

n 1 2 3 4 5Sn 2 4 8 16 32

Parece entonces que Sn es una potencia de 2, y si somos mas cuidadosos, observarıamos que Snes 2n para n = 1, 2, 3, 4, 5; bueno, esto es una conjetura obtenida a partir de casos particulares,todavıa el problema no esta resuelto porque no se ha garantizado que Sn = 2n para todo naturaln, pero eso es lo que haremos enseguida.

12

1.7 PRINCIPIO DE LAS CASILLAS. 1 Principios de Conteo

Nuestra conjetura ahora le daremos el valor de Hipotesis Inductiva, vamos a suponer que Sn = 2n

para algun natural n, entonces ¿que sucede si agregamos un elemento?, los subconjuntos del nuevoconjunto son: 1) Todos los subconjuntos del conjunto original de n elementos, y 2) los subconjuntosque se forman agregando el nuevo elemento a los subconjuntos anteriores, es decir (y tal como lohicimos en recurrencia), Sn+1 = 2Sn, pero por nuestra asumpcion resulta que Sn+1 = 2 (2n) = 2n+1.Entonces ¿que se demostro? bien, se demostro que si Sn es una potencia de 2 entonces Sn+1 esla siguiente potencia de 2, y dado que S1 = 21 es una potencia de 2, entonces S2, S3, . . . , Sn, . . .recorren todas las restantes potencias de 2, y el resultado Sn = 2n es valido ahora para todo naturaln.

Es importante mencionar dos cosas:

Es de vital importancia que nuestra hipotesis inductiva se garantice para algun caso particu-lar, de nada sirve que el caso n obligue al caso n+ 1 si no se tiene garantizado que habra uncaso inicial, que empuje al segundo, y que este empuje al tercero, etc. Esto serıa equivalentea que las fichas de domino se pusieran muy cerca y se hacen todas las preparaciones posiblesque garanticen que si una cae caera la siguiente, pero NADIE se toma la molestia de empujaralguna, en tal caso, pues nunca caera ficha alguna.

Por otra parte, se puede suponer que la hipotesis inductiva es cierta para un n, o bien, quees cierta para todos los k menores o iguales a n, de cualquier forma, lo importante es queesta suposicion implique la veracidad de la hipotesis inductiva para el caso n+ 1.

1.7. PRINCIPIO DE LAS CASILLAS.

El principio de las casillas de Dirichlet, tambien conocido como el principio del palomar o principiode los cajones, es un principio facil de aceptar en su version mas elemental. Su aplicacion invadeambitos muy diversos y con frecuencia su utilizacion permite resolver problemas que distan muchode ser triviales.

La idea central del principio de casillas es la siguiente: si se tienen n+ 1 bolas que seran colocadasen n contenedores (las casillas), entonces forzosamente hay un contenedor que tendra dos o masbolas, ¡logico! ¿cierto? A continuacion se muestran otras versiones, pero que en escencia son lomismo

Teorema 1.4. Principio de Casillas:Version 1: Si mas de n bolitas se encuentran distribuidas en n cajas entonces hay una caja quecontiene al menos 2 bolitas.Version 2: Si mas de mn bolitas se encuentran distribuidas en n cajas entonces hay una caja quecontiene al menos m+ 1 bolitas.Version 3: Si la suma de n cantidades es mayor que S entones una de las cantidades es mayor queS

n.

Version 4: Un segmento I de longitud t contiene varios segmentos cuyas longitudes suman masque t, entonces al menos dos de los segmentos contenidos en I se solapan.Version 5: Un segmento I de longitud t contiene varios segmentos cuyas longitudes suman masque kt, donde k es un entero positivo, entonces hay un punto del segmento I que esta contenido

13

1.8 PROBLEMAS 1 Principios de Conteo

en k + 1 de los segmentos contenidos en I.Tambien hay versiones analogas a las ultimas dos para figuras planas y areas. Version 6: Seanq1, q2, . . . , qn enteros positivos. Si q1 + q2 + · · · + qn − n + 1 objetos son colocados en n cajas,llamadas C1, C2, . . . , Cn, entonces al menos una caja Ci tiene qi objetos o mas.

EJEMPLO 1.13De un conjunto de 12 numeros enteros de dos dıgitos, siempre podemos seleccionar dos de elloscuya diferencia tiene la forma aa.4

Observese primero que los numeros de la forma aa son todos los multiplos de 11 de dos cifras. Ahorabien, si hacemos la division de los numeros dados por 11, los posibles residuos son 0, 1, 2, . . . , 10,y como se escogieron 12 numeros, hay por lo menos una pareja de numeros que tienen el mismoresiduo, entonces su diferencia sera divisible por 11 y debera ser de la forma aa.

1.8. PROBLEMAS

1. Cinco jueces de un deporte determinado disponen de una cartulina en la que por un ladohay un 1 y por el otro un 0. ¿Cuantas configuraciones distintas pueden generar?

2. Un marino tiene 4 banderas distintas para hacer senales. ¿Cuantas senales diferentes puedehacer si coloca 3 banderas en un mastil una sobre otra?

3. El ascensor de un edificio de 5 plantas se pone en marcha con 3 pasajeros. ¿De cuantos modosdistintos se pueden distribuir los pasajeros entre los pisos?

4. Se lanzan dos dados y se observa la suma de los puntos obtenidos. ¿En cuantos casos elresultado es divisible por tres?

5. En cierto lenguaje de programacion un nombre de una variable puede formarse con una letrao bien una letra seguida de un un dıgito. ¿Cuantas variables diferentes pueden formarse?Asuma para este ejercicio 27 letras.

6. Se tiene una tira o banda formada por n rectangulos iguales formando una fila. Cada rectangu-lo puede colorearse de blanco o negro.

a) ¿Cuantas configuraciones diferentes se pueden hacer?

b) ¿Cuantas formas distintas tenemos de colorear la tira, de modo que se obtenga un patronsimetrico?

c) ¿Y si se desea con colores alternados?

7. ¿De cuantas maneras pueden colocarse un alfil blanco y uno negro en un tablero de ajedrezde modo que se ataquen mutuamente?

4La notacion ab hace referencia a un numero cuya cifra de las unidades es a y la cifra de las decenas es b, y la secoloca la raya encima para evitar confundir este numero con ab, que representa el producto de a por b. Esta claroque esta notacion puede utilizarse para representar numeros de tres, cuatro o mas cifras.

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8. ¿De cuantas formas es posible seleccionar dos cartas diferentes de una baraja de 52 cartasde forma tal que la primera carta sea un as y la segunda no sea una reina? ¿y si se demandaes que la primera carta sea de espadas y la segunda no sea reina?

9. ¿Cuantos numeros enteros hay entre 1000 y 10000 con la condicion de que sus dıgitos seandiferentes? ¿y si se permite la repeticion de dıgitos, pero no se permiten los dıgitos 2 o 4? ¿ycuando los dıgitos deben ser distintos y al menos uno de los dıgitos 2 y 4 debe aparecer?

10. Con los dıgitos del 0 al 9, ¿cuantas secuencias de longitud 5 pueden ser formadas de formatal que aparezcan exactamente dos de los diez dıgitos?

11. De cuantas formas pueden ser colocadas en un tablero de ajedrez dos torres identicas en unafila comun o en una columna comun? ¿y si las torres no son identicas?5

12. ¿Cuantos numeros de cuatro dıgitos se pueden formar con los dıgitos 1, 2, 3, 4, 5 (con posiblerepeticion) tales que sean divisibles por 4?

13. ¿Cuantos cuadrados de longitud entera pueden formarse en una cuadrıcula de n×n (con loslados formados por segmentos de la cuadrıcula)?

14. ¿Cuantas diagonales se pueden trazar en un polıgono convexo de n lados?

15. Se dice que en un polıgono se ha realizado una triangulacion, cuando el interior del polıgonose cubre con triangulos formados con vertices del polıgono de forma tal que los triangulos notengan en comun mas que conjuntos de puntos de area cero. ¿Cuantos triangulos se requierenen una triangulacion en un polıgono de n lados?

16. ¿Cuantas secuencias de tres letras diferentes pueden ser formadas haciendo uso de las letrasa, b, c, d, e, f en las cuales aparecen la letra e, o la letra f , o ambas e y f?

17. Cuando se listan los numeros del 1 al 10000, ¿cuantas veces se hace uso del dıgito 5? ¿ycuantas veces aparece el “25”?

18. En un tablero de ajedrez, de cuantas formas se pueden colocar dos reinas de forma tal queno esten ni en la misma fila, ni en la misma columna ni en la misma diagonal?6

19. ¿Cuantos numeros positivos pueden formarse como suma de los numeros 1, 3, 5, 10, 20 y 50?

20. Considere una cuadrıcula de 5× 5 ¿cuantos rectangulos podemos formar con los vertıces dedicha cuadrıcula cuyos lados sean paralelos a los segmentos de la cuadrıcula?

21. Una persona desea invitar a uno o mas de sus 10 amigos a su fiesta de cumpleanos. ¿decuantas formas podrıa hacer tal invitacion?

22. ¿Cuantos numeros de tres cifras distintas pueden formarse con los dıgitos impares?

23. Un turista debe trasladarse de una ciudad a otra. Para hacerlo pude optar viajar por avion,autobus o tren, y en cada uno de estos medios puede elegir viajar en 1a clase o en claseturıstica. ¿De cuantas maneras distintas puede realizar el viaje?

5Cuando un par de torres de ajedrez comparten fila o columna, decimos que las torres se estan “atacando”.6Las reinas no se estan “atacando”.

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24. En una fiesta se encuentran 10 hombres y 8 mujeres. ¿De cuantas maneras pueden integrarseen parejas para bailar una determinada pieza?

25. Un menu turıstico permite seleccionar una entrada de entre cuatro posibles, una comidacaliente de entre tres, y un postre de entre cinco. ¿De cuantas formas puede elegir su menu unturista si desea que el pollo guisado y el flan no aparezcan en el mismo menu?

26. ¿Cuantos boletos capicuas de 5 cifras hay?

27. Seis matrimonios posan en fila para una fotografıa. ¿De cuantas maneras pueden ubicarse silos miembros de cada pareja deben aparecer juntos?

28. Se desea colocar 9 libros distintos en tres estantes en una biblioteca, 3 en cada estante. ¿Decuantas pueden ubicarse?

29. Al ingresar a un colegio, 6 chicas debe optar entre asistir a las clases de ingles o a las defrances, ¿de cuantas maneras pueden repartirse si Paula y Daniela deciden elegir la mismamateria y Cecilia no quiere compartir la eleccion de ellas?

30. Un sabado, cuando iban de compras, Juana y Teresa vieron a dos hombres alejarse en au-tomovil de la fachada de una joyerıa, justo antes de que sonara una alarma contra robos.Aunque todo ocurrio muy rapido, cuando fueron interrogadas las dos jovenes, pudieron dara la polica la siguiente informacion acerca de la placa (que consta de 2 letras seguidas de 4dıgitos) del automovil que huyo: Teresa estaba segura de que la segunda letra de la placa erauna O o una Q, y el el ultimo dıgito era un 3 o un 8. Juana dijo que la primera letra de laplaca era una C o una G y que el primer dıgito era definitivamente un 7. ¿Cuantas placasdiferentes tendra que verificar la policıa?

31. ¿Cuantos numeros naturales menores o iguales a un millon no tienen dos cifras consecutivasiguales?

32. ¿De cuantas maneras se pueden colocar 8 torres en un tablero de ajedrez tal que no seataquen?

33. ¿De cuantas maneras se puede escoger un cuadrado negro y uno blanco de un tablero deajedrez tal que no pertenezcan a la misma fila ni a la misma columna?

34. Pruebe que el numero maximo de alfiles (todos iguales) que se pueden colocar en un tablerocuadrado de n × n casillas sin que haya dos que se ataquen es 2n − 2, y que el numero deestas configuraciones es 2n.

35. Entre 20000 y 70000, encuentre el numero de enteros pares en los cuales no se repita ningundıgito.

36. Una emisora de radio dispone de seis programas para cubrir las dos horas de mayor audiencia.Dos de estos programas tienen una duracion de una hora y los cuatro restantes de 30 minutos,siendo todos los programas distintos. ¿De cuantas maneras puede la emisora cubrir las doshoras de programacion?

37. ¿Cuantos numeros del 1 al 100000 no son divisibles ni por cinco ni por siete?

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38. Tenemos los numeros del 100000 al 999999. ¿Cuantos de ellos cumplen que tienen al menosun dıgito cero o al menos un dıgito uno?

39. Dado el conjunto de dıgitos 1, 3, 6, 7, 9, determine el numero de formas de formar numerosde 4 dıgitos tales que sean multiplos de 3.

40. ¿Cuantos divisores positivos tiene el numero 1210?

41. Marıa y Laura idean el siguiente juego: cada una lanza un dado, si en los dados sale el mismonumero, gana Laura; si la suma de ambos es 7, gana Marıa; y en cualquier otro caso hayempate. Calcule las probabilidades de gane de cada una y diga cual tiene mayores chancesde exito.

42. ¿Cuantos cubos diferentes, con sus caras numeradas de 1 al 6 pueden ser fabricados, si lasuma de los numeros que se encuentran sobre cada par de lados opuestos debe ser 7?

43. ¿De cuantas maneras puede colorearse una cuadricula de 8×8 con los colores blanco y negro,de tal manera que no existan dos columnas pintadas iguales?

44. ¿De cuantas manereas se pueden colocar las 32 piezas del ajedrez en el tablero sin que losreyes se esten amenazando?

45. Dado el conjunto A = 1, 2, . . . , 10, ¿cuantos cuadrados se pueden formar con los puntos deA2?Nota: los cuadrados pueden ser oblicuos tambien.

46. Se dibujan n cuerdas no concurrentes en una circunferencia (n ≥ 2). Estas cuerdas se cortanenm puntos al interior de la circunferencia, los cuales subdividen a las cuerdas en r segmentos.Determine r en funcion de n y m.

Nota: En la figura anterior, se han dibujado n = 4 cuerdas, que se cortan en m = 4 puntos,los cuales subdividen a las cuerdas en r = 12 segmentos.

47. Sea X = 1, 2, 3, . . . , 100 y sea S = (a, b, c) tales que a, b, c ∈ X, a < c y a < c. ¿Cual esel cardinal de S?

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2 Combinaciones y el Numero Combinatorio

2. Combinaciones y el Numero Combinatorio

2.1. MODELO DE CONJUNTOS

Dado un conjunto de n elementos (n ∈ N), ¿cuantos subconjuntos hay de k elementos (0 < k ≤ n)?A este numero le llamaremos el combinatorio de n escoger k.

Definicion 2.1. Numero Combinatorio: Dado un conjunto de cardinalidad n, el numero de sub-conjuntos de este que tienen cardinalidad k es el numero combinatorio, denotado por

Ckn, (

nk) , o bien nCk

Esta claro que este numero puede interpretarse como la cantidad de formas de escoger k elementosde entre los n disponibles.7

A pesar que de momento no podemos calcular este numero, sı podemos hacer un uso habilidosode el a partir de su definicion y de las propiedades que se derivan a partir de esta.

Es importante mencionar que C0n significa la cantidad de subconjuntos de cardinalidad cero que

tiene un subconjunto de n elementos, y como el unico subconjunto que cumple eso es ∅ entoncesC0n = 1 para cualquier natural n; tambien es facil argumentar que Cn

n = 1 para todo natural n.

EJEMPLO 2.1Suponga que se tiene el conjunto A = a, e, i, o, u y se busca la cantidad de subconjuntos de Ade 3 elementos:

a, e, i, a, e, o, a, e, u, a, i, o, a, i, u, a, o, u, e, i, o, e, i, u, e, o, u, i, o, u

En total resultaron 10 por lo que C35 = 10. Observe que para formar un subconjunto de 3 elementos

de un conjunto de 5 elementos, pues lo que se hace es escoger cuales son los tres que conformaranel subconjunto, y esto significa que al mismo tiempo se esta no escogiendo a los restantes 2, porlo tanto, por cada subconjunto de 3 elementos sı escogidos existe uno y solo un subconjunto de noescogidos, y viceversa; es decir, por el principio de biyeccion C3

5 = C25 . A continuacion se muestran

los subconjuntos de elementos no escogidos de la sucesion de subconjuntos anteriores:

o, u, i, u, i, o, e, u, e, o, e, i, a, u, a, o, a, i, a, e

Con este razonamiento y sin necesidad de construir todos los subconjuntos, si tenemos un conjuntode cardinalidad 9 se tendrıa que: C0

9 = C99 , C

19 = C8

9 , C29 = C7

9 , C39 = C6

9 , C49 = C5

9 ¿Observa cual esel patron?

Teorema 2.1. Para todo n ≥ k se cumple la siguiente identidad combinatoria

Ckn = Cn−k

n

7La primera notacion utilizada puede tener invertido el orden de los parametros dependiendo el autor que seconsulte.

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2.1 MODELO DE CONJUNTOS 2 Combinaciones y el Numero Combinatorio

Demostracion. Dado que en un conjunto de n elementos, por cada subconjunto de k elementosexiste uno y solo un subconjunto de n − k elementos (una vez escogidos k, los n − k son los noescogidos), y viceversa, entonces contar los subconjuntos de k elementos da el mismo resultado quecontar los subconjuntos de n− k elementos, y de allı se sigue el resultado.

EJEMPLO 2.2Un combinatorio facil de calcular es C1

n, es decir, la cantidad de subonjuntos unitarios de unconjunto de n elementos, claramente C1

n = n, y por la identidad anterior tambien se cum-plira Cn−1

n = n.

EJEMPLO 2.3Calculemos C2

n.

Se trata por supuesto de elegir una pareja de elementos del conjunto que tiene n elementos. Paracalcularlo podemos imaginar ordenados los elementos del conjunto dado. Consideremos primera-mente las parejas que incluyen el primer elemento; este puede combinarse para formar la pareja concualesquiera de los (n− 1) elementos restantes, en consecuencia hay (n− 1) parejas que incluyenel primer elemento. En seguida consideremos las parejas que no incluyen el primer elemento peroque incluyen el segundo elemento que son en total (n − 2), ya que estas son las posibilidades decombinar el segundo elemento con cada uno de los elementos restantes. Las parejas que no incluyenni el primero, ni el segundo elemento, pero sı el tercer elemento, son en numero igual (n − 3), yası sucesivamente hasta llegar a considerar las parejas que no incluyen a ninguno de los (n − 2)primeros elementos, pero sı el penultimo, que unicamente puede ser combinado con el ultimo,dando ası solo 1 posibilidad. El analisis anterior nos permite afirmar que el numero C2

n es iguala la suma de los numeros naturales desde el 1 hasta el (n − 1), cuyo resultado en representacioncompacta de sumatoria es:

C2n =

n∑i=1

i =n(n− 1)

2

El metodo de analisis utilizado para calcular C2n, lleva implıcito un metodo para generar las dife-

rentes alternativas de formar los subconjuntos deseados, problema que con frecuencia es tan o masimportante que saber determinar el numero de posibilidades. Sin embargo, cuando de determinarsolo el numero de alternativas se trata, el metodo de conteo anterior no resulta tan comodo y espreciso obtener otras propiedades que muestran un poco mas su logica interna y que eventualmentesimplifican los calculos.

Por ejemplo, ya se demostro que la cantidad de subconjuntos de un conjunto de n elementos es 2n;podemos recalcular este numero dividiendo los subconjuntos en clases disjuntas: los subconjuntosde cardinalidad 0, los subconjuntos de cardinalidad 1, los subconjuntos de cardinalidad 2, ..., lossubconjuntos de cardinalidad n − 1, los subconjuntos de cardinalidad n. Dado que la cantidadde subconjuntos de cada una de estas clases me la da un numero combinatorio, respectivamenteC0n, C

1n, C

2n, . . . , C

n−1n , Cn

n , y por el principio de la suma, se tiene demostrado el siguiente teorema:

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2.2 MODELO DE CAMINOS 2 Combinaciones y el Numero Combinatorio

Teorema 2.2. Para todo n se cumple la siguiente identidad combinatoria

2n = C0n + C1

n + C2n + · · ·+ Cn−1

n + Cnn =

n∑k=0

Ckn

Este analisis realmente es fructıfero, podemos demostrar tambien este otro resultado

Teorema 2.3. Identidad de Pascal: Para todo n y para todo k ≤ n se cumple la siguiente identidadcombinatoria

Ckn = Ck−1

n−1 + Ckn−1

Demostracion. Si deseamos calcular Ckn y consideramos un elemento en particular, los dos posibles

casos (disjuntos) son: que se incluya o no este elemento en los subconjuntos por formar. Si elelemento se incluye, unicamente hace falta seleccionar (k − 1) elementos de los (n − 1) restantespara completar los k, y el total de formas de hacer esto es Ck−1

n−1; si no se incluye hara faltaseleccionar los k elementos de los n − 1 elementos restantes, es decir, hay Ck

n−1 posibilidades eneste caso. Luego, el teorema queda demostrado por el principio de la suma.

Una de las tecnicas basicas de conteo consiste en contar de dos maneras distintas un conjunto deobjetos, lo que permite establecer algunas identidades. He aquı un ejemplo tıpico:

EJEMPLO 2.4Supongamos que deseamos seleccionar una directiva de k personas en una asamblea de n personasy en la directiva debe tenerse 1 presidente.

Si consideramos el problema de determinar el numero de alternativas que se tienen para realizarlo,este podemos resolverlo en las dos formas siguientes: primero seleccionamos los k directivos yen seguida seleccionamos el presidente entre los k directivos; o bien, primero seleccionamos elpresidente de entre los n asambleistas y en seguida seleccionamos los k − 1 directivos restantesde entre los n − 1 asambleistas restantes. Al realizarlo de la primera de las formas el numero dealternativas es Ck

nC1k ; en la otra forma indicada, se obtiene C1

nCk−1n−1. Ası, hemos logrado establecer

las relaciones:

CknC

1k = C1

nCk−1n−1

kCkn = nCk−1

n−1

2.2. MODELO DE CAMINOS

Definicion 2.2. Puntos Reticulares: Llamaremos puntos reticulares o puntos latices a puntos (a, b)en el plano cartesiano tales que a, b ∈ Z.

Considere ahora los puntos reticulares A(0, 0) y B(k, n − k) ubicados en el primer cuadrante delplano, estos definen una retıcula (o malla) tomando estos puntos como esquinas opuestas, y dicharetıcula formada por cuadraditos de lado 1. ¿Cuantos caminos sobre la retıcula de longitud mınima

20


hay de A a B?

Observe que para que los caminos sean de longitud mınima, los movimientos permitidos solo sonhacia la derecha → y hacia arriba ↑; ası, en total, hay que avanzar k unidades hacia la derecha yn− k hacia arriba. Entonces, el problema planteado lo puedo convertir en un problema de decisio-nes: me muevo de punto reticular a punto reticular, hay que avanzar n unidades, avanzando unidadpor unidad y a cada paso decidiendo si es hacia la derecha o hacia arriba; pero k decisiones sonobligatoriamente hacia la derecha, y dependiendo cuales de estas decisiones sean hacia la derechase me definira un camino (el resto n − k decisiones forzosamente tendran que ser hacia arriba),y viceversa. Ahora bien, del conjunto de las n decisiones, la cantidad de formas de escoger k pa-ra que sean movimientos hacia la derecha es Ck

n, por lo tanto, el numero de caminos buscado es Ckn.

Teorema 2.4. El total de caminos sobre la retıcula definida por A(0, 0) y B(k, n−k), y de longitudmınima, es igual a Ck

n

A(0, 0)

B(k, n− k). . .

. ..

. . .

......

Un detalle interesante es que para llegar al punto B(k, n− k) existe unicamente dos formas: o sellega por el punto reticular B1(k − 1, n − k), o bien por B2(k, n − k − 1); ademas, observe queestos casos son excluyentes, porque un camino de A a B que pase por B1 y B2 tendra que tener almenos un movimiento hacia la izquierda o al menos un movimiento hacia abajo, por lo que ya noserıa un camino de longitud mınima.

Caso 1: El total de formas de llegar de A a B pasando por B1 (cumpliendo las exigencias, quesean caminos de longitud mınima utilizando unicamente la retıcula definida por A y B) es, porel principio de la multiplicacion, el total de formas de llegar de A a B1 por el total de formas dellegar de B1 a B. Dado que para llegar de A a B1 se toman en total n− 1 decisiones, de las cualesk − 1 son hacia la derecha, el total de caminos de longitud mınima de A a B1 es Ck−1

n−1; ademas,como el total de formas de llegar de B1 a B utilizando caminos de longitud mınima es 1, se tieneque el total de formas de llegar de A a B pasando por B1 es Ck−1

n−1 · 1 = Ck−1n−1.

Caso 2: Este se resuelve de forma muy similar al caso 1, el total de formas de llegar a A a Bpasando por B2 es igual al producto de la cantidad de formas de llegar de A a B2 por la cantidadde formas de llegar de B2 a B. Para llegar de A a B2, en total se toman n − 1 decisiones, de las

21


cuales k son hacia la derecha, por lo que el total de caminos de A a B2 es Ckn−1. De aquı se concluye

facilmente que el total de caminos del caso 2 es Ckn−1.

Finalmente, por el principio de la suma, dado que estos casos son excluyentes, el total de caminosde A a B es igual al total de caminos de A a B pasando por B1 mas el total de caminos de A a Bpasando por B2, es decir

Ckn = Ck−1

n−1 + Ckn−1

Se obtuvo de nuevo la Identidad de Pascal (2.3). Esta identidad proporciona un algoritmo (nomuy eficiente) para calcular el numero combinatorio de forma recursiva, ya que expresa el numerocombinatorio de subındice n en terminos de combinatorios de subındices n − 1, que a su vezpodrıan escribirse en terminos de combinatorios de subındies n − 2, y ası sucesivamente hastallegar a combinatorios de facil calculo. A continuacion mostramos una tabla

k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9n0 11 1 12 1 2 13 1 3 3 14 1 4 6 4 15 1 5 10 10 5 16 1 6 15 20 15 6 17 1 7 21 35 35 21 7 18 1 8 28 56 70 56 28 8 19 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1

Este modelo del numero combinatorio es independiente del modelo de conjuntos, observe que sinmucho esfuerzo pueden hacerse las deducciones C0

n = 1 = Cnn , C1

n = n y Ckn = Cn−k

n . ¡Intentelo!De mayor reto es por ejemplo demostrar por este metodo el teorema (2.2); este lo podemos analizarde la siguiente forma: considere la siguiente cuadrıcula, el total de caminos de longitud n queparten de A(0, 0) formados solo con movimientos→ y ↑ puede contarse de dos formas distintas, laprimera por el principio de la multiplicacion, como en cada uno de los n movimientos se tienen lasdos opciones, en total son 2n caminos; la segunda es dividir estos caminos en casos excluyentes,los caminos que terminan en B0(0, n), los que terminan en B1(1, n− 1), y ası sucesivamente, hastacontar los que terminan en Bn(n, 0)

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2.3 CADENAS DE CEROS Y UNOS 2 Combinaciones y el Numero Combinatorio

A(0, 0)

B0(0, n)

B1(1, n− 1)

B2(2, n− 2)

Bn(n, 0)

Estos conteos devuelven C0n, C

1n, . . . , C

nn , respectivamente, y de allı que

2n = C0n + C1

n · · ·+ Cnn

2.3. CADENAS DE CEROS Y UNOS

Muchos problemas combinatorios, mediante la biyeccion adecuada, pueden transformarse a pro-blemas de cadenas de ceros y unos, el numero combinatario por sı mismo es un ejemplo de ello.

Teorema 2.5. La cantidad de cadenas de k ceros y n− k unos es Ckn.

Demostracion. Hasta el momento se ha dicho que Ckn pude interpretarse 1) Como la cantidad

de subconjuntos de k elementos de un conjunto de cardinalidad n, o lo que es lo mismo, es lacantidad de formas de escoger k objetos de entre n objetos diferentes; y 2) representa la canti-dad de caminos de longitud mınima (sobre la malla) que van del punto A(0, 0) al punto B(k, n−k).

Ahora bien, ambas interpretaciones del numero combinatorio pueden asociarse a un tercer proble-ma: ¿Cuantas cadenas de ceros y unos se pueden formar con k ceros y n− k unos?

Una cadena de k ceros y n − k unos puede interpretarse de la siguiente forma: Dado el conjuntoA = x1, x2, . . . , xn, cada elemento puede o no ser escogido para conformar a un subconjunto; sidenotamos por 0 a “sı se escoge” y por 1 a “no se escoge”, una cadena de k ceros y n − k unosrepresenta la sı escogitacion de k elementos de A y la no escogitacion de los restantes n − k, esdecir, hace referencia la conformacion de un subconjunto de k elementos de A; ademas, la posicionde los ceros hace referencia a que elemento de A se escogio; por ejemplo

011 · · · 0︸︷︷︸n

representa que sı se escoge a x1, que no se escogen x2 y x3,..., que sı escoge xn. El orden entre losceros y unos puede cambiar, pero la cantidad de ceros debe ser k.

Con los caminos, la biyeccion es aun mas evidente: a un movimiento a la derecha (avanza unaunidad horizontalmente) se le asocia un 0, en total son k de estos movimientos, y a un movimientohacia arriba se le asocia un 1, que son en total n−k; por tanto, la cantidad de cadenas con k ceros

23

2.4 TRIANGULO DE PASCAL 2 Combinaciones y el Numero Combinatorio

y n− k unos es igual a la de caminos de longitud mınima desde A(0, 0) a B(k, n− k), que son entotal Ck

n.

Finalmente, se puede dar una aproximacion al problema de las cadenas de k ceros y n− k unos deforma directa: puedo interpretar esto como que si se tienen a disposicion n espacios vacıos en losque se colocara o bien un 0 o bien un 1; ademas, se tiene prefijada la cantidad de ceros y unos quedeben colocarse en esos n espacios, en total son exactamente k ceros y obviamente los restantesn − k deben ser unos. Esta claro que si se colocan de alguna manera los k ceros, las posicionesque deben ocupar entonces los unos estan ya fijadas y no hay nada mas que hacer, entonces, mebasta conocer de cuantas formas puedo colocar los ceros y luego, las posiciones de los unos quedandeterminadas; pero este conteo es familiar: ¿De cuantas formas puede escoger k espacios vacıos(para colocar los ceros) de los n espacios vacıos disponibles?... pues de Ck

n formas.

2.4. TRIANGULO DE PASCAL

La siguiente piramide de numeros es conocida como Triangulo de Pascal

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

1 7 21 35 35 21 7 1

1 8 28 56 70 56 28 8 1

1 9 36 84 126 126 84 36 9 1...

Cada fila esta formada por la anterior, cada numero es igual a la suma de los dos numeros que seubican ligeramente a la izquierda y a la derecha de la fila anterior, y el numero de la primera filaes 1; en caso de que solo tenga uno de esos numeros, se considera igual a cero al que no apareceen la piramide.

Teorema 2.6. Los numeros del triangulo de Pascal son numeros combinatorios.

Demostracion. Dado que el primer numero del triangulo es 1, la forma de construccion y la iden-tidad de Pascal (2.3), el teorema queda demostrado.

24

2.5 BINOMIO DE NEWTON 2 Combinaciones y el Numero Combinatorio

2.5. BINOMIO DE NEWTON

Considere la expresion

(x+ y)n =

n veces︷︸︸︷(x+ y)(x+ y) · · · (x+ y)

Si se efectuan todos los productos apareceran los terminos xn, xn−1y, xn−2y2, . . . , xyn−1, yn con susrespectivos coeficientes; entonces la pregunta es ¿cual es la relacion que determina el coeficiente decada termino xkyn−k? ¿Esta relacion depende de n, de k o de ambos? Analicemos algunos casosparticulares:

(x+ y)0 = 1

(x+ y)1 = x+ y

(x+ y)2 = x2 + 2xy + y2

(x+ y)3 = x3 + 3x2y + 3xy3 + y3

(x+ y)4 = x4 + 4x3y + 6x2y2 + 4xy3 + y4

(x+ y)5 = x5 + 5x4y + 10x3y2 + 10x2y3 + 5xy4 + y5

...

Si observamos los coeficientes, aparece la siguiente secuencia, ¿la reconoce?

11 11 2 11 3 3 11 4 6 4 11 5 10 10 5 1

...

¡Claro!, vuelven a aparecer los combinatorios, se obtiene el Triangulo de Pascal. Ahora la cuestiones justificar por que los coeficientes del desarrollo (x+ y)n son numeros combinatorios. Lo primeroque hay que hacer es entender como se obtiene un coeficiente en particuar al desarrollar (x+ y)n.Veamos un ejemplo particular:

EJEMPLO 2.5Considere (x+ y)4 = (x+ y)(x+ y)(x+ y)(x+ y), para desarrollarlo, de cada parentesis debemosescoger la x o la y, y luego se multiplican esos cuatro numeros, al recorrer todas las posibles esco-gitaciones se obtienen todos los terminos, que luego, se suman terminos semejantes. Veamos estoen accion:

Se escribiran las escogitaciones ası: xxyy representa escoger del primer parentesis la x, del segundoparentesis la x, del tercer parentesis la y, del cuarto parentesis la y. Entonces, las posibles esco-gitaciones son, por el principio de la multiplicacion, 25 = 32 (dos opciones por cada parentesis);listadas una a una se obtiene

25

2.5 BINOMIO DE NEWTON 2 Combinaciones y el Numero Combinatorio

xxxx = x4 xyxx = x3y yxxx = x3y yyxx = x2y2

xxxy = x3y xyxy = x2y2 yxxy = x2y2 yyxy = xy3

xxyx = x3y xyyx = x2y2 yxyx = x2y2 yyyx = xy3

xxyy = x2y2 xyyy = xy3 yxyy = xy3 yyyy = y4

Luego, el coeficiente representa la cantidad de veces que aparece el mismo termino, por ejemplo,observe que el termino x2y2 aparece 6 veces, entonces en el desarrollo de (x+y)4 uno de los suman-dos es 6x2y2. Centremos nuestra atencion en este termino, hay que buscar un metodo que permitacalcular ese 6 de forma sistematica, quizas esto de una pista para abordar el caso general:

Para que aparezca el termino x2y2, se necesita claramente un par de x y un par de y, pero unavez que se escoge el par de parentesis de los cuales se selecciona la x, esta claro que de los otrosdos parentesis debera escogerse la y; ası, el total de forma de escogerse 2 parentesis de los 4 esC2

4 = 6.

Exactamente los mismo sucede en el caso general, dado (x+y)n, las veces que aparecera el terminoxkyn−k es igual a la cantidad de formas de escoger k parentesis de los n (en cada uno de estosparentesis se seleccionara la x, en los n − k se seleccionara la y), y esto es Ck

n. Ası, se obtiene lasiguiente identidad algebraica llamada el Binomio de Newton:

Teorema 2.7. Binomio de Newton: El desarrollo del binomio (x+ y)n es

(x+ y)n = Cnnx

n + Cn−1n xn−1y + Cn−2

n xn−2y2 + · · ·+ C1nxy

n−1 + C0ny

n =n∑k=0

Cknx

kyn−k

Esta identidad es muy util para encontrar y demostrar identidades combinatorias, observe porejemplo

EJEMPLO 2.6Si x = y = 1:

2n = (1 + 1)n = Cnn + Cn−1

n + Cn−2n + · · ·+ C1

n + C0n

Nos encontramos de nuevo con (2.2 ), que ya se derivo a partir de los subconjuntos de un conjuntode cardinalidad n, utilizando caminos y ahora con el binomio de Newton. Otro ejemplo

EJEMPLO 2.7Suponga que x = 1, y = −1, se tiene entonces

(1− 1)n = Cnn − Cn−1

n + Cn−2n − Cn−3

n + · · ·+ (−1)n−kCkn + · · ·+ (−1)nC0

n∑k par

Ckn =

∑k impar

Ckn

Esta es una relacion cuya deduccion por los metodos anteriores es tremandamente difıcil; con laidentidad de Newton se puede ir muy lejos, incluso, es posible evaluar en x o en y valores complejos.

26

2.6 PROBLEMAS 2 Combinaciones y el Numero Combinatorio

2.6. PROBLEMAS

1. ¿De cuantas formas pueden 4 ninas y 4 ninos ser dividos en dos equipos de 4 si cada equipodebe tener al menos a una nina?

2. ¿De cuantas formas pueden 5 ninas y 3 ninos ser dividos en dos equipos de 4 si cada equipodebe tener al menos a un nino?

3. En una rifa participan 100 personas, regalandose 3 televisores identicos. Quien diseno la rifopenso que sacar un ticket, luego el segundo y finalmente el tercero era injusto, por lo que sesacan al mismo tiempo los 3 tickets. ¿Cual es la probabilidad que una persona que compro unsolo ticket gane?

4. Una asamblea de 14 personas desea elegir entre sus miembros un presidente, un vicepresidentey un secretario de actas. ¿De cuantas formas puede realizarse la eleccion?

5. Ocho promotores deben visitar 4 comercios. Para ello forman 4 parejas, debiendo cada unade ellas visitar un establecimiento. ¿De cuantas formas pueden distribuirse el trabajo?

6. Adrian tiene nueve pares distintos de calcetines, un dıa se levanto tarde para su clase delas 9:00AM y en la prisa tomo aleatoreamente ocho calcetines sin mirarlos. ¿Cual es laprobabilidad de que entre los calcetines tomados hayan exactamente dos pares correctos?

7. Se dispone de una coleccion de 30 pelotas divididas en 5 tamanos distintos y 6 coloresdiferentes, de tal manera que en cada tamano hay pelotas de todos los colores. ¿Cuantascolecciones de 4 pelotas tienen exactamente 2 pares de pelotas del mismo tamano (que nosean las 4 del mismo tamano)?

8. En un curso de Combinatoria hay 30 estudiantes, de los cuales 19 son mujeres. Para organizaruna feria de ciencias, se pide que de este curso se presenten tres exposiciones, realizadas porparejas de estudiantes, tal que cada pareja esta intengrada por estudiantes de distinto genero,y un estudiante no puede estar en dos o mas parejas. ¿De cuantas formas puede hacerse esto?

9. Se desea elegir una directiva, hay diez candidatos (cinco mujeres y cinco hombres) para loscargos de presidente, vicepresidente, secretario, tesorero y vocal. ¿De cuantas formas puedenelegirse los cargos? ¿De cuantas formas es posible hacerlo si una mujer sera la presidenta?¿De cuantas maneras es posible si el tesorero ya esta definido que sera Juan?

10. Una persona tiene seis amigos. Cada noche, durante cinco dıas, invita a cenar a un grupode tres de ellos, de modo que el mismo grupo no sea invitado dos veces. ¿De cuantas formaspuede hacerlo?

11. Dados los conjuntos A = 1, 2, . . . , 6 y B = 1, 2, . . . , 10, ¿cuantas funciones estrictamentecrecientes8 f : A→ B pueden definirse? ¿cuantas ademas cumplen que f(4) = 7?

12. Se dice que una mano de domino (compuesta por 7 fichas de domino) tiene “falla” si algunode los numeros entre el 0 y el 6 no aparece en la mano. Determine el numero de manos dedomino que no tienen falla.

8Se dice que f es estrictamente creciente si a < b⇒ f(a) < f(b).

27


13. En cada subconjunto de 7 elementos del conjunto 1, 2, . . . , 10 se escoje el elemento mayor.¿Cual es la suma de todos los elementos mayores?

14. Diez puntos estan marcados en el plano, no habiendo tres colineales. ¿Cuantos triangulospueden formarse?

15. ¿Cuantos cuadrilateros (convexos o no convexos) pueden formarse con los vertices de unn−agono regular?

16. Dados seis puntos sobre una circunferencia, se trazan todas las cuerdas que estos puntosdefinen. ¿Cual es la probabilidad de que al escoger aleatoreamente cuatro de estas cuerdasse forme un cuadrilatero convexo?

17. De cierto numero de rectas coplanares se sabe que no hay tres de ellas que concurran en elmismo punto y no hay ninguna pareja de rectas paralelas. Esas rectas producen 45 puntosal cortarse. ¿De cuantas rectas estamos hablando?

18. ¿Cuantos puntos de interseccion producen 8 rectas coplanares, sabiendo que dos de ellas sonparalelas y no hay tres concurrentes?

19. Se tienen nueve puntos en un plano. Cuatro de ellos estan alineados y los restantes estandispuestos de forma que no hay nunca 3 alineados. ¿Cuantos triangulos pueden formarse quetengan sus vertices sobre esos 9 puntos? ¿Cuantas rectas distintas determinan esos puntos?

20. En una fabrica hay varios centros de almacenamiento, cada uno de los cuales esta unido alos demas por una cinta transportadora. Calcula el numero de centros de la fabrica si se sabeque el numero de cintas transportadoras es 66.

21. Dibuja una circunferencia y marca sobre la misma diez puntos. Uniendo parejas de esospuntos ¿Cuantos pentagonos convexos distintos se podrıan formar?

22. Dado el conjunto de dıgitos 1, 3, 6, 7, 9, determine el numero de maneras de formar numerosde 4 cifras tales que sean multiplos de 3.

23. ¿Cuantos numeros de cuatro cifras cumplen la propiedad de que el producto de dichas cifrases un cuadrado perfecto?

24. Un cuadrado de lado 6 es dividido en 36 cuadrados de lado 1. Los puntos A y B son puntosmedios de un par de lados opuestos del cuadrado. A cada lado de la lınea AB seis cuadradosunitarios son tomados aleatoriamente y coloreados de azul. Si el cuadrado grande es dobladosobre recta AB, calcule la probabilidad de que exactamente un par de cuadrados azulescoincidan.

25. ¿De cuantas maneras puede distribuirse 3n objetos distintos en tres cajas distintas de modoque cada caja tenga el mismo numero de objetos?

26. Calcule cuantas cadenas de ceros y unos de longitud 7:

a) contienen exactamente 3 unos y 4 ceros.

b) contienen 4 unos consecutivos.

28


c) contienen como maximo 3 unos.

d) no contienen 4 o mas unos consecutivos.

27. Demuestre la identidad de Pascal Ckn = Ck

n−1 + Ck−1n−1 utilizando distintos modelos combina-

torios.

28. Demuestre que Ckn = C0

2Ckn−2 + C1

2Ck−1n−2 + C2

2Ck−2n−2.

29. Demuestre Ckn = Ck−1

n−1 + Ck−1n−2 + · · ·+ Ck−1

k−1 es valido para todo k ≤ n.

30. Demuestre que2n−1∑k=0

Ck2n

(−2)k= 0

31. Demuestren∑r=0

3rCrn = 4n

32. Hallar el numero de caminos crecientes que empiezan en (0, 0) y terminan en alguno de lospuntos indicados.

33. Demuestre por diversos metodos la identidad de Vandermonde

C0mC

rn + C1

mCr−1n + · · ·+ Cr

mC0n = Cr

m+n

34. En la cuadrıcula de abajo

A(0, 0)

B(10, 10)

X(6, 4)

a) ¿De cuantas maneras podemos ir de la casilla A a la casilla B con movimientos siemprehacia la derecha o bien una casilla hacia arriba?

b) ¿De cuantas maneras se puede hacer esto si debemos pasar ademas por la casilla X?

c) ¿Cuantos caminos llevan de A a B sin pasar por ningun punto de ultima lınea vertical(salvo B naturalmente)

29


d) ¿De cuantas maneras se llega de A a B pasando por un solo punto de la segunda lıneahorizontal?

35. Demuestre por diversos metodos la siguiente identidad

Cn2n =

n∑j=0

(Cjn

)236. Dentro de un paralelepıpedo rectangular de alambre A de dimensiones 5× 4× 6 de colocan

alambre dividiendo a A en cubos de lado 1. ¿Cuantos caminos diferentes de longitud mınimahay desde el vertice inferior izquierdo de la cara anterior de A hasta el vertice superiorderecho de la cara posterior de A?

37. Suponga que tiene una armazon cubica de alambre de l ×m × n (la armazon esta formadapor cubitos de alambre lado 1). Si una hormiga esta ubicada en una esquina y quiere llegarcaminando por los alambres a la esquina mas alejada con el mınimo recorrido ¿de cuantasmaneras puede hacerlo? ¿y de cuantas formas podrıa hacerlo si la hormiga camina sobre unaarmazon 4−dimensional de l ×m× n× k? ¿puede generalizar para mas dimensiones?

38. Dado un polıgono conexo tal que no tiene tres diagonales concurrentes, ¿cuantos puntos deinterseccion al interior del polıgono forman las diagonales?

39. Demuestre la identidad

CqpC

0r + Cq−1

p−1C1r+1 + · · ·+ C0

p−qCqr+q = Cq

p+r+1

40. Demuestre que CpnC

rp = Cr

nCp−rn−r siempre que n ≥ p ≥ r.

41. Calculen∑k=1

(k +

1

k

)Ckn

42. Demuestre quen∑j=0

Cj2n =

1

2

(C2n

4n + (Cn2n)2)

43. Demuestre las identidades combinatorias de Chu Shih Chieh

Crr + Cr

r+1 + · · ·+ Crn = Cr+1

n+1

C0r + C1

r+1 + · · ·+ Ckr+k = Ck

r+k+1

44. Demuestre la identidadk2 = 2C2

k + C1k

y a partir de ella demuestre que

12 + 22 + · · ·+ n2 =1

3n

(n+

1

2

)(n+ 1)

30


45. Demostrar que para todo natural n se cumple

Cn+12(n+1) = 2

(2n+ 1

n+ 1

)Cn

2n

46. Resuelva las siguiente ecuaciones combinatorias:

a)C2m−1 + C2

m + C2m+1 = 19

b)7Cx−1

2x−2 = 2Cx2x

c)

C0x + C1

x · C2x =

x2

2+ 2

d)

C3n − C2

n =n3 − 6n2 + 20

6

e)C4n = 13C2

n

f)C1

2n + C22n + C3

2n = 387n

g)Cn−5n−1 = Cn−7

n−3

47. Calcule el valor de C523525 + C524

525

48. En la expansion de

(20x3

y5+y2

x

)67

, determinar:

a) El vigesimo termino

b) El coeficiente del termino cuarenta y cinco

c) El coeficiente de x23, si es posible. Si no, argumente el por que no existe.

d) ¿Cuantos terminos tiene la expansion?

49. Encuentre el coeficiente de x5 en la expansion de (1 + x+ x2)8 + (1 + x+ x2)9.

50. En la expansion de

(x+

1

x3+ x6 + x7

)5

encontrar el coeficiente de x4.

51. Encuentre el coeficiente del termino a7b4ce2 en el desarrollo de (a+ b+ c+ d+ e)14.

52. ¿Cual es la suma de todos los numeros de la forma12!

a!b!c!si a, b, c varıan sobre todos los

enteros no negativos que cumplen que a+ b+ c = 12?

31


53. Dada la expresion (7x2 + 12x

)25, encuentre la cantidad de terminos de su expansion, la sumade los coeficientes de su expansion, el coeficinte de x13 si es posible, y encuentre el i-esimotermino.

54. Demuestre la identidad del hexagono: Ck−1n−1C

k+1n Ck

n+1 = Ckn−1C

k−1n Ck+1

n+1. El nombre viene delhecho que los coeficientes binomiales implicados forman una figura hexagonal alrededor deCkn en el triangulo de Pascal.

55. Encuentre el coeficiente de xn y de xn+r (con 1 ≤ r ≤ n) en la expansion de

(1 + x)2n + x(1 + x)2n−1 + x2(1 + x)2n−2 + · · ·+ xn(1 + x)n

56. ¿Cuantos paralelogramos quedan determinados cuando un grupo de 6 rectas paralelas esintersecado por otro grupo de 6 rectas paralelas?

57. Un tablero de 5×5 es dividido en 25 cuadrados unitarios, de estos dos son pintados de azul yel resto pintado de blanco, diremos que dos coloraciones son iguales si una puede ser obtenidade la otra al rotar tablero. ¿Cuantas coloraciones distintas existen?

58. Un polıgono convexo de n lados es tal que no hay punto comun alguno para cualesquiera tresde sus diagonales. Determine el numero de triangulos que se forman de manera tal que dosde sus vertices sean vertices del polıgono y el tercero sea una intersecccion de dos diagonales.

59. Una rana se ubica en el tercer escalon de unas gradas, la rana se mueve un escalon por salto.¿Cuantas formas existen para que la rana llegue por primera vez al octavo escalon en sunoveno salto?

60. ¿De cuantas formas pueden ordenarse los enteros del 1 al n bajo la siguiente condicion:excepto por el primer entero de la izquierda, todo entero debe diferir por 1 de algun enteroque este mas la izquierda que este?

32

3 Permutaciones y Arreglos

3. Permutaciones y Arreglos

3.1. PERMUTACIONES

Sea A un conjunto finito. Ordenar elementos de A es darle a cada elemento del conjunto una posi-cion determinada, es decir definir que elemento ocupa la primera posicion, el que ocupa la segundaposicion y ası sucesivamente. Dos ordenamientos de elementos de A se dira que son identicos sitodos los elementos en ambos ordenamientos se encuentran en la misma posicion; en consecuenciados ordenamientos seran diferentes si difieren en la posicion en la que se encuentra alguno de loselementos. Hay diversas formas de ordenar los elementos de un conjunto y en este apartado nosocuparemos de contar el total de alternativas de ordenamiento de los elementos de un conjunto decardinalidad n.

EJEMPLO 3.1¿De cuantas formas pueden ordenarse los elementos del conjunto A = a, b, c?

Los elementos del conjuntoA = a, b, c se pueden ordenar de las siguientes seis formas: abc, acb, bac, bca, caby cba. Observe que para contar los posibles ordenamientos nos basta definir el elemento que ocu-para la primera posicion, el que ocupara la segunda y el de la tercera posicion, lo que es equivalentea contar las ternas (x, y, z) de elementos de A con la condicion que los elementos de la terna seantodos diferentes. En este caso, la primera posicion puede ser ocupada por uno cualesquiera de loselementos de A, es decir contamos en este caso 3 posibilidades; para la segunda posicion ya solodisponemos de 2 posibilidades y para la posicion tercera solo hay 1 posibilidad.

En general cuando el conjunto A tiene n elementos, el numero total de formas de ordenarlos es n!puesto que la primera posicion puede ser ocupada por uno cualesquiera de los n elementos de A;la segunda posicion por cualquier elemento que no sea el colocado en la primera posicion, por loque las alternativas se reducen a (n − 1); para la tercera posicion se tienen (n − 2) alternativasy ası sucesivamente dejando a la ultima posicion con una unica alternativa, y por el principio dela multiplicacion las alternativas de ordenar los elementos de A seran n(n− 1)(n− 2) · · · (2)(1) =n!. A cada ordenamiento de los elementos de A se le denomina una permutacion, y al total depermutacione se denota por Pn. Tenemos entonces el resultado siguiente:

Teorema 3.1. El total de permutaciones de n elementos, denotado por Pn es

Pn = n!

3.2. PERMUTACIONES CIRCULARES

Supongamos que debemos colocar a n personas alrededor de una mesa circular en la que se disponede n posiciones numeradas para su ubicacion y deseamos determinar el total de alternativas deordenamiento. Si dos ordenamientos dados los consideramos diferentes cuando las personas ocupanposiciones numeradas diferentes, entonces el numero de posibles ordenamientos sera igual a unordenamiento en una fila, es decir, Pn; a estas les llamaremos permutaciones lineales. Sin embargopuede ser que solo nos interese la posicion relativa que guardan entre sı las personas y no nosinterese el numero de la posicion que ocupan, a estas permutaciones les llamaremos permutaciones

33

3.3 PERMUTACIONES CON REPETICION 3 Permutaciones y Arreglos

circulares ; si este es el caso hay n permutaciones lineales que dejarıan a las personas con lamisma permutacion circular, en efecto, la rotacion de las personas pasando por las n posicionesnumeradas dejan a las personas en la misma posicion relativa. En consecuencia hay n permutacioneslineales por cada permutacion circular; como el total de permutaciones lineales es Pn, el total depermutaciones circulares, el cual denotamos por Cn, sera

Teorema 3.2. El total de permutaciones circulares de n elementos, denotado por Cn es

Cn =Pnn

= (n− 1)!

Hay otra manera de abordar esta mismo problema: Supongamos que una persona X se sientaprimero, es indistinto que asiento escoge dado que lo importante es como se ubiquen las restantesn− 1 personas, numeramos 1 al asiento que escogio X y a partir de este se numeran los restantesasientos (en orden horario o antihorario, no importa); ahora las n − 1 personas restantes puedenpermutarse linealmente de Pn−1 formas, y una vez que han decidido una permutacion lineal en par-ticular, toman los asientos 2, 3, . . . , n en el orden prefijado, eso da nuevamente Cn = Pn−1 = (n−1)!

Ahora considere un problema parecido pero que entre lıneas lleva una restriccion mas, supongaque se tienen 5 objetos distintos y se quieren elaborar todos los collares posibles utilizando estoscinco objetos, ¿cuantos hay? ¡Intentelo!

3.3. PERMUTACIONES CON REPETICION

Suponga ahora un problema distinto: se quieren permutar n objetos, pero no todos son distintos,hay dos clases de objetos, hay k1 objetos identicos de la primera clase y k2 objetos identicos de lasegunda clase (obviamente k1 + k2 = n), ¿cuantas permutaciones hay?

EJEMPLO 3.2¿Cuantas permutaciones se pueden construir con 2 bolas negras identicas y 2 bolas blancas tambienidenticas?

Si las 4 bolas fuera todas distintas, el total de permutaciones (lineales) serıa 4!; enlistemos todaslas posibilidades, se denotara por n1 y n2 a las bolas negras, y por b1 y b2 las blancas:

n1n2b1b2 n1b1n2b2 n1b1b2n2 b1b2n1n2 b1n1b2n2 b1n1n2b2n1n2b2b1 n1b2n2b1 n1b2b1n2 b2b1n1n2 b2n1b1n2 b2n1n2b1n2n1b1b2 n2b1n1b2 n2b1b2n1 b1b2n2n1 b1n2b2n1 b1n2n1b2n2n1b2b1 n2b2n1b1 n2b2b1n1 b2b1n2n1 b2n2b1n1 b2n2n1b1

Ahora, observe que, dado que las dos bolas negras son iguales entre sı, y las dos bolas blancastambien son iguales entre sı, cada columna, realmente representa a la misma permutacion, si lesquitamos los subındices quedarıa

nnbb nbnb nbbn bbnn bnbn bnnbnnbb nbnb nbbn bbnn bnbn bnnbnnbb nbnb nbbn bbnn bnbn bnnbnnbb nbnb nbbn bbnn bnbn bnnb

34

3.3 PERMUTACIONES CON REPETICION 3 Permutaciones y Arreglos

Entonces, el total de permutaciones distintas bajo estas condiciones no es 4! sino que solo 6.

¿Como podrıamos calcular este 6 sin necesidad de hacer una por una todas las permutaciones?,la idea central esta allı, se trata de, en primer lugar, suponer que todos los objetos son distintos,entonces, el total de permutaciones ya se sabe como calcularlo, es 4!; pero, dado que no todos losobjetos son distintos, hay que ver cuantas veces aparece una verdadera permutacion en el con-teo anterior; tome por ejemplo bnnb, cuando se suponen todos distintos, las letras b se puedenpermutar de 2! formas mientras que las letras n se pueden permutar de otras 2! formas, por loque bnnb aparecera 2!2! = 4 veces cuando consideremos distintos a los objetos (coincide con latabla, ¿cierto?). Entonces 4! es el cuadruple de las permutaciones que buscamos, es decir, que las

permutaciones con objetos repetidos son en total4!

2!2!= 6.

Resolvamos ahora el caso general: se tienen k1 objetos de una clase y k2 objetos de otra clase(los objetos de una misma clase son identicos entre sı), y denotamos por P (k1, k2) al total depermutaciones de estos objetos. Tomando n = k1 +k2, si todos los objetos fueran distintos, el totalde permutaciones serıa Pn, pero en este conteo, cada permutacion de las buscadas aparece repetidak1!k2! veces, por lo que

Teorema 3.3. El total de permutaciones con repeticion de k1 objetos de un tipo y k2 objetos deotro tipo, denotado por P (k1, k2) y tomando n = k1 + k2 es

P (k1, k2) =n!

k1!k2!

Este argumento se puede generalizar:

Teorema 3.4. Dados k1 objetos identicos de una clase 1, luego otros k2 objetos identicos de unaclase 2, ..., kr objetos identicos de una clase r, y tomando n = k1 + k2 + · · · + kr, el total depermutaciones es

P (k1, k2, . . . , kr) =n!

k1!k2! · · · kr!

Por otra parte, ya antes se habıa trabajado un problema muy similar a este, el de las cadenasde longitud n de ceros y unos, todos los ceros son iguales entre sı, todos los unos tambien, y seesta interesado en la cantidad de cadenas distintas que se pueden formar con k ceros y n− k unos,es decir, todas las permutaciones con k objetos de identicos de una clase y n−k de la otra; ademas,ya se demostro que el total de estas cadenas es Ck

n, entonces

Teorema 3.5. El numero combinatorio puede interpretarse como permutaciones con elementosrepetidos, y se relacionan ası

Ckn = P (k, n− k) =

n!

k!(n− k)!

Nota: En la relacion anterior, observe que pueden darse los casos k = 0 (solo hay unos) y k = n(solo hay ceros), y segun los modelos de numero combinatorio, C0

n = 1 = Cnn , por lo que para que

la relacion anterior siga siendo valida en estos casos, se define 0! = 1.

35

3.4 ARREGLOS 3 Permutaciones y Arreglos

3.4. ARREGLOS

Regresamos a ordenar objetos distintos, pero considerando que la cantidad de espacios es inferioro igual a la cantidad de objetos distintos que se ordenan; es decir, ¿cuantas configuraciones delongitud k puede formarse si se tienen n objetos distintos (k ≤ n)? A estas configuraciones les lla-maremos arreglos, y al total de arreglos de longitud k dados n objetos distintos se le denotara porAkn.9

Este problema es una aplicacion directa del principio de la mutiplicacion, y sin duda podemosargumentar el caso general sin inconveniente alguno: se tienen k espacios, en el primero puedeubicarse a cualquiera de los n objetos, hay etonces n opciones; en el segundo espacio puede ubicarsea cualquiera de los n objetos exceptuando el que se coloco en la primera posicion, por lo que hayn − 1 opciones; en el tercer espacio puede colocarse a cualquiera de los n objetos exceptuando elque se coloco en la primera posicion y el que se coloco en la segunda posicion, por lo que hay n−2opciones; este argumento se sigue ası sucesivamente, hasta que en el espacio k puede ubicarse acualquiera de los n objetos, exceptuando los que se colocaron en las anteriores k − 1 posiciones,por lo que hay n− (k − 1) opciones. Ası

Teorema 3.6. El total de arreglos de longitud k dados n objetos distintos (k ≤ n) es

Akn = n(n− 1)(n− 2) · · · (n− (k − 1))

Pero esta expresion puede escribirse de forma mas compacta multiplicanndo y dividiendo por(n− k)!

Akn =n(n− 1)(n− 2) · · · (n− (k − 1))(n− k)!

(n− k)!=

n!

(n− k)!

En particular si n = k se obtieneAnn = Pn

Observe que Ckn y Akn cuenta estructuras similares, la diferencia radica que cuando se calcula el

combinatorio, unicamente interesa escoger k objetos de los n disponibles (el orden de los objetos noimporta), en cambio, cuando se calcula la cantidad de arreglos, luego de escogerlos se construyenlas k! permutaciones (el orden sı importa), entonces

Teorema 3.7. Dados n objetos distintos, la cantidad de arreglos y de combinaciones de longitudk (k ≤ n) se relacionan por

Akn = k!Ckn

3.5. PROBLEMAS

1. Para confeccionar un examen, se dispone de 3 problemas de Geometrıa, 4 de Combinatoriay 2 de Algebra. ¿De cuantas maneras pueden ordenarse los problemas si los que correspondea un mismo tema deben aparecer en forma consecutiva?

9La notacion mas usual para este numero es P kn , y a estas se les llama tambien permutaciones, pero dado que

permutar significa unicamente cambiar de orden, reservaremos esa palabra exclusivamente para el caso en el quehay igual numero de objetos que de espacios.

36

3.5 PROBLEMAS 3 Permutaciones y Arreglos

2. El equipo de Anita y el de Chepito juegan futbol con la regla adicional siguiente: gana quienprimero obtiene cuatro goles y no hay empates. ¿De cuantas formas puede ganar el equipode Anita?

3. ¿De cuantas formas es posible escoger 4 cartas de distinto manjar de una baraja de 52 cartas?

4. Un bebe recien nacido puede tener 1, 2 o 3 nombres. ¿De cuantas formas puede llamarse sise puede escoger de 300 nombres disponibles?

5. En una mesa redonda de 5 asientos se sientan 7 personas. ¿De cuantas formas pueden hacerlosi la persona 1 es enemiga de la persona 2 y si se sienta una no se sienta la otra?

6. ¿De cuantas formas pueden entregarse 6 cartas urgentes si se tienen a disposicion 3 couriersdistintos?

7. ¿Cuantas permutaciones hay que no tengan I juntas de la palabra PARANGUATIRIMICUA-RO?

8. A una conferencia han sido invitadas como exponentes 5 personas: A, B, C, D y E. ¿Decuantas formas se pueden ordenar las exposiciones si B no debe preceder a A? ¿Cuantasformas distintas serıan si B debe hablar inmediatamente despues que A?

9. ¿De cuantas formas pueden sentarse 5 mujeres y 5 hombres en una mesa redonda de talforma que las personas vecinas de cada quien son de genero distinto?

10. ¿Cual es la cantidad de configuraciones distintas que pueden generar losm semaforos ubicadossobre una calle principal?

11. Una madre tiene 2 manzanas y 3 peras, y le da a su hija una fruta cada dıa (de lunesa viernes), ¿de cuantas formas puede hacerlo? ¿De cuantas formas podrıa hacerlo si tieneademas 4 naranjas?

12. Una profesora distribuye 5 naranjas distintas entre sus 8 estudiantes de tal forma que cadaestudiante recibe a lo sumo una naranja, ¿de cuantas formas puede hacerlo? ¿Cuantas formasserıan si ya no se restringe la cantidad que puede recibir cada estudiante?

13. Un club deportivo de 30 miembros quiere hacer 4 equipos de 4 personas cada uno para queparticipen en un rally, ¿de cuantas formas puede hacerlo?

14. ¿De cuantas formas pueden distribuirse m + n + p objetos distintos en 3 cajas tal que cadauna tenga m, n y p objetos respectivamente?

15. Determine el numero de permutaciones de la palabra TONACATEPEQUE.

16. Dada una baraja de 4 manjares y 52 cartas (diamantes, corazones, espadas y treboles, 13cartas de cada manjar), ¿de cuantas maneras es posible escoger 4 cartas de distinto manjartal que el valor de la carta de diamantes sea igual al valor de la de corazones, y el valor dela carta de espadas sea igual al valor de la de treboles?

37

3.5 PROBLEMAS 3 Permutaciones y Arreglos

17. Con una baraja igual a la del ejercicio anterior, determine la probabilidad de obtener en laprimera mano de un juego de poker: una escalera de color, un poker, una escalera, color, unacasa llena, un trıo, dos pares.

18. Si se juega con 6 dados, dos negros, dos verdes y dos rojos, ¿cual es la probabilidad de obteneruna escalera tal que los dados del mismo color tengan numeros consecutivos? (considere al 6y al 1 como consecutivos tambien)

19. En El Salvador, los numeros telefonicos se forman con 8 cifras, siendo 2 el primero de ellas,y la segunda 2, 3, 4, 5 o 6; en Guatemala en cambio son solo 7 cifras pero con las mismasrestricciones para sus primeras dos cifras. ¿Cuantas comunicaciones pueden establecerse entrelos habitantes de ambos paıses?

20. ¿Cuantos bloques coloreados diferentes, de forma cubica fija, puede hacerse si hay seis coloresdisponibles y cada bloque debe tener un color diferente en cada una de sus seis caras?

21. La familia Perez ha comprado una mesa circular nueva con seis sillas, justa para toda lafamilia. Para esta familia, no hay preferencias con respecto a cual silla ocupar, solo lesinteresa saber quienes tienen a la par. ¿De cuantas formas pueden sentarse si Juanita yPedro estan peleados y no quieren sentarse juntos? ¿y si la mama Perez quiere sentarse a lapar de Anita?

22. Hallar la cantidad de numeros que se obtengan como permutaciones del numero 111122256que sean divisibles por 12.

23. Seis matrimonios se reunen a cenar en una mesa circular. ¿De cuantas formas pueden ubicarse,si cada hombre debe estar flanqueado por dos mujeres y los miembros de cada pareja debenestar juntos?

24. Cuatro bailarines y cuatro bailarinas interpretan una danza que consiste en formar una rondatomados de la mano. ¿De cuantas formas pueden ubicarse si en la figura deben apareceralternadamente hombres y mujeres?

25. Sean k, n ∈ N. Demuestre que el numero de formas de sentar kn personas alrededor de kmesas distintas de modo que hay n personas en cada mesa es

(kn)!

nk

38

4 Extensiones del Numero Combinatorio

4. Extensiones del Numero Combinatorio

4.1. SEPARADORES

Considere el siguiente problema:

EJEMPLO 4.1Ana quiere comprar 10 dulces para regalarselos a sus primitos; en la tienda hay dulces de tressabores, menta, fresa y limon, ¿de cuantas formas puede escogerlos?

Si llamamos m a la cantidad de dulces de menta, f la cantidad de dulces de fresa y l la cantidadde dulces de limon, debe cumplirse que m+f + l = 10, y obviamente cada uno de estos numeros esmayor o igual a cero. Como siempre, lo mejor es analizar algunos casos particulares, por ejemplom = 0, entonces f + l = 10, y las parejas solucion son

(f, l) = (0, 10), (1, 9), (2, 8), (3, 7), (4, 6), (5, 5), (6, 4), (7, 3), (8, 2), (9, 1), (10, 0)

en total hay 11 posibilidades. Si analizamos el resto de casos (todos disjuntos) m = 1, 2, . . . , 10,se obtendran respectivamente 10, 9, . . . , 1 posibilidades, por lo que la cantidad de formas que Anapuede hacer la compra es 11 + 10 + · · ·+ 1 = 66.

Este metodo resolvio el problema y las cuentas no fueron largas ni difıciles, sin embargo no nos daidea de como abordar un problema con mas variables o con numeros mas grandes. Por ejemplo, silos sabores disponibles fueran 8 y la cantidad de dulces que Ana comprara es 100, el problema sevuelve muchısimo mas difıcil y el metodo anterior no funcionara bien.

Si se observa, este problema es distinto a todos los estudiados hasta el momento, y basicamentese trata de buscar combinaciones de objetos, pero no todos los objetos son distintos (para el caso,los dulces de fresa los consideramos todos iguales, los de menta tambien y los de limon tambien).Hay una forma muy ingeniosa de resolver este problema, y por lo importante de la tecnica, suelededicarsele una seccion.

Haremos lo siguiente: los 10 dulces los vamos a interpretar como 10 objetos iguales, 10 bolas porejemplo, y para distinguir cuales son de cada sabor, incluiremos 2 “separadores”; luego, estos 12objetos se permutan, m es la cantidad de bolas que quedan a la izquierda del primer separador, fes la cantidad de bolas que quedan entre los separadores y l es la cantidad de bolas que quedana la derecha del segundo separador. Ademas, la cantidad de permutaciones con repeticion con 10

bolas y 2 separadores es P (10, 2) =12!

10!2!= 66.

©©︸︷︷︸m

∣∣∣∣∣∣©©©©︸︷︷︸f

∣∣∣∣∣∣©©©©︸︷︷︸l

El problema general se resuelve de la misma forma:

39

4.2 MULTICOMBINATORIO 4 Extensiones del Numero Combinatorio

Teorema 4.1. Dada una coleccion de objetos clasificados en k tipos de objetos (los objetos delmismo tipo son iguales entre sı, y distintos de cualquier objeto de otro tipo), el total de formas deescoger n objetos es

P (n, k − 1) =(n+ k − 1)!

n!(k − 1)!

©|©©| || ©©© |©© · · ·©| ©©

Demostracion. Se considera en principio que los n objetos son todos iguales, y para distribuir losobjetos entre las posibles k clases, se agregan k−1 separadores. El total de configuraciones es iguala las permutaciones con repeticion P (n, k − 1).

Observe que la respuesta puede verse como un combinatorio tambien: en total, se tienen n+ k− 1espacios y se escogen los n (o bien los k−1) en los que se ubican las bolas (o bien los separadores),por lo que la cantidad de configuraciones buscadas es

Cnn+k−1 o bien Ck−1

n+k−1

Finalmente, una version muy utilizada de separadores es la siguiente:

Teorema 4.2. El total de soluciones enteras no negativas de la ecuacion x1 + x2 + · · · + xk = nes Cn

n+k−1

La relacion con el problema anterior es evidente, porque xi representa la cantidad de objetos deltipo i; el particular, el problema de Ana es equivalente a resolver la ecuacion x1 + x2 + x3 = 10,con xi ∈ Z+

0 . Note que hay configuraciones que tienen cero bolas de algun tipo, esto, en el esquemade los separadores, se da cuando los separadores estan juntos, o cuando un separador esta a laizquierda de todas las bolas o a la derecha de todas las bolas.

Otro detalle importante que comentar es que a veces se busca configuraciones que tengan al menosuno de cada tipo, es decir, xi ≥ 1. En tal caso los separadores se ubican unicamente en los n − 1espacios entre las n bolas, a lo sumo un separador por espacio; ası, el total de configuraciones conesta nueva restriccion es Ck−1

n−1.

4.2. MULTICOMBINATORIO

Dados n objetos distintos, el total de formas de escoger p de ellos es(np

); esto, como ya se estu-

dio en reiteradas ocasiones, puede interpretarse con modelo de cajas: en la caja 1 se introducenlos p objetos sı escogidos, y en la caja 2 los n − p objetos no escogidos, ası, este problema esequivalente a: ¿De cuantas formas es posible distribuir n objetos distintos en dos cajas, tal que enla primera caja siempre hayan p objetos? Lo interesante de este planteamiento es que se puedeextender facilmente a mas numero de cajas; al numero que obtendremos en ese caso se le llamamulticombinatorio, y no es mas que una extension y generalizacion del numero combinatorio.

40

4.3 PROBLEMAS 4 Extensiones del Numero Combinatorio

Definicion 4.1. Multicombinatorio: Al total de formas de distribuir n objetos distintos en k cajas,tal que en la primera caja siempre hayan x1 objetos, en la segunda caja x2 objetos, ..., en la k−esimacaja xk objetos, con x1+x2+· · ·+xk = n, se le llama multicombinatorio de n escoger x1, x2, . . . , xk,y se denota (

n

x1, x2, . . . , xk

)Es interesante que este problema puede resolverse sin mayores dificultades a partir del numerocombinatorio estandar, lo cual se enuncia en el siguiente teorema

Teorema 4.3. El multicombinatorio de n escoger x1, x2, . . . , xk es:(n

x1, x2, . . . , xk

)=

k∏s=1

(n− (x1 + x2 + · · ·+ xs−1)

xs

)Demostracion. De los n objetos escogemos los x1 que se colocaran en la primera caja, lo cual sepuede hacer de

(nx1

)formas; luego, escogemos los x2 objetos de entre los n− x1 objetos restantes,

que se colocaran en la segunda caja, lo cual es posible de(n−x1

x2

)formas, y ası sucesivamente, hasta

que para la caja k−esima se escogeran xk objetos de entre los n − (x1 + x2 + · · · + xk−1) = xkobjetos, lo cual se podra hacer solo de una forma,

(xk

xk

). Por lo tanto, el total de posibilidades es(

n

x1

)(n− x1

x2

)(n− (x1 + x2)

x3

)· · ·(n− (x1 + x2 + · · ·+ xk−1)

xk

)

Este numero tambien tiene modelos equivalentes por caminos y por relaciones algebraicas. Elvınculo del multicombinatorio con expresiones algebraicas viene de desarrollar los multinomios,por ejemplo (x+ y+ z)n, el coeficiente de xaybzc (con a+ b+ c = n) es el multicombinatorio

(n

a,b,c

);

¡demuestrelo!

Ademas, es importante que identifique el nexo entre separadores y el multicombinatorio, son pro-blemas aparentemente iguales, pero son muy distintos; observe por ejemplo que el total de terminosdel desarrollo del trinomio (x+ y + z)n es igual a la cantidad de terminos xaybzc, y esto es igual ala cantidad de soluciones de a+ b+ c = n, lo cual, por separadores es C2

n+2.

4.3. PROBLEMAS

1. Determine el numero de formas que pueden ordenarse en un estante 4 libros distintos deCombinatoria, 5 libros distintos de Geometrıa, 3 libros distintos de Algebra y 8 libros distintosde Calculo, si los de Geometrıa deben estar siempre antes que los de Algebra.

2. ¿En cuantas de las permutaciones del numero 23814425 aparecen los dıgitos impares en formacreciente de izquierda a derecha?

3. Se han encargado 20 pupusas de entre los siguientes tipos: revueltas, de queso, de chicharron,de frijol con queso, de queso con loroco y de ayote. ¿De cuantas formas puede hacer la compra?

41


a) Si se tiene que llevar al menos 7 de queso.

b) Si se tiene que llevar a lo sumo 2 de chicharron y 10 de ayote.

c) Si se tiene que llevar al menos 3 de cada clase.

4. Encuentre el numero de secuencias no-decrecientes de largo 10

a1 ≤ a2 ≤ a3 ≤ · · · ≤ a10

donde ai ∈ 1, 2, 3, . . . , 100

5. ¿Cuantas 11-combinaciones pueden formarse de las letras x, y, z si todas las letras debenaparecer al menos dos veces y a lo sumo 5?

6. ¿Cuantas cadenas existen de 10 dıgitos ternarios (0, 1 o 2) que contengan exactamente dos0, tres 1, y cinco 2?

7. ¿Cuantas soluciones existen para la desigualdad

x1 + x2 + x3 ≤ 11

donde x1, x2 y x3 son enteros no negativos?

8. ¿De cuantas formas pueden ordenarse n ceros y k − 1 unos si no hay dos 1 consecutivos?

9. Se tiran 12 dados identicos al aire, ¿cual es la probabilidad de que uno de los numeros1, 2, . . . , 6 no aparezca?

10. ¿De cuantas formas puede distribuirse 20 bolas iguales en 6 cajas, de tal forma que en laprimera caja hay al menos 4 bolas y en la ultima caja no mas de 5?

11. Existen 5 formas de expresar el numero 4 como suma de dos enteros no negativos tomandoen cuenta el orden: 4 = 0 + 4 = 1 + 3 = 2 + 2 = 3 + 1 = 4 + 0. Dados los naturales r y n,determine:

a) El numero de formas de expresar 200 en r sumandos.

b) El numero de formas de expresar n en 200 sumandos.

c) El numero de formas de expresar n en r sumandos tales que todos sean mayores o igualesque 5.

12. Jose comprara 20 galletas de distintos sabores: fresa, chocolate, vainilla y limon. ¿De cuantasformas puede hacer la compra si tiene que llevar un numero de galletas de vainilla que sea 4veces el numero de galletas de limon?

13. Determine el numero de soluciones enteras no negativas de 3x1 + 5x2 + x3 + x4 + x5 = 20.

14. Determine el numero de terminos de la expansion de (x1 + x2 + x3 + · · ·+ xn−1)n−1.

15. Determine el numero de soluciones enteras no negativas de rx1 + x2 + x3 + · · ·+ xn = kr.

16. En la expansion de (a+ b+ c+ d)48

42


17. Encuentre el numero de enteros positivos x tales que x ≤ 9999999 y la suma de sus dıgitossea igual a 31.

18. Si Lorena tira un dado cinco veces, ¿cual es la probabilidad de que la sumas de sus cincotiradas sea 20?

19. ¿Cuantas soluciones hay, entre 1 y 9 inclusive, de la ecuacion x1 + x2 + x3 + x4 = 26?

20. Encuentre el numero de soluciones enteras positivas de la ecuacion:

(x1 + x2 + x3)(y1 + y2 + y3 + y4) = 77

a) Encontrar el coeficiente de a8b10c15d15.

b) Determinar el numero de terminos de la expansion.

21. Determine el coeficiente de x5 en la expansion de (1 + x+ x2 + · · ·+ x1000)6.

43

5 Principios de Conteo 2

5. Principios de Conteo 2

5.1. PRINCIPIO DE INCLUSION - EXCLUSION

El principio, tal comos se describio en el primer capıtulo, puede ser extendido extendido de formanatural al caso de la reunion de n conjuntos. La forma que adopta el principio en este caso es:

Teorema 5.1. Principio de Inclusion - Exclusion: Dados n conjuntos A1, A2, . . . , An, el cardinalde la union esta dado por

∣∣∣∣∣n⋃i=1

Ai

∣∣∣∣∣ =∑i

|Ai| −∑i<j

|Ai ∩ Aj|+∑i<j<k

|Ai ∩ Aj ∩ Ak|+ · · ·+ (−1)n+1|A1 ∩ A2 ∩ · · · ∩ An|

La formula pretende asegurar que todos los elementos son contados una y solo una vez, lo quepuede ser verificado despues de un momento de reflexion.

5.2. DESORDENES

EJEMPLO 5.1Si consideramos el orden de los numeros naturales 1, 2, 3, 4, en la permutacion 3142 ningun ele-mento esta en su posicion natural. A una permutacion con tal propiedad le denominaremos undesorden o un desarreglo. ¿De los 24 posibles ordenamientos de tales numeros, cuantos desordenesexisten?

Denotemos por D4 tal numero de desordenes; por F1 el numero de las permutaciones que dejanfijo un elemento en su posicion; por F2 las que dejan en su posicion dos de los 4 elementos, por F3

las que dejan en su puesto tres de los 4 elementos; de manera completamente similar definiremosF4. Ası, por el principio de inclusion-exclusion (5.1) tenemos el siguiente resultado:

D4 = 4!− F1 + F2 − F3 + F4

Ahora bien, F1 se descompone en los que dejan fijo el 1 en su posicion, que son 6, los que dejanfijo el 2, que son otras 6; hay 6 que dejan el 3 en su posicion y 6 que dejan fijo el 4; ası, F1 es 24.De las que dejan fijos dos de los cuatro elementos estan los que dejan fijos el 1 y 2, los que dejanfijos el 1 y 3, el 1 y 4; los que dejan fijos el 2 y 3, el 2 y 4; finalmente tenemos los que dejan fijos el3 y el 4. Como en cada uno de estos caso, que son seis, el numero de permutaciones es 2, resultaque F2 es 12. El caso de que dejen fijos tres elementos contiene los casos siguientes: que dejen fijos1, 2, 3; 1, 2, 4; 1, 3, 4 y el caso que dejen fijos 2, 3, 4; en total son cuatro casos y cada uno de ellostiene una permutacion por lo que F3 es igual a 4. Finalmente, F4 contiene una unica permutacion,es decir F4 es 1. En resumen tenemos:

D4 = 24− 24 + 12− 4 + 1 = 9

Hay en consecuencia 9 desordenes en las permutaciones de orden 4.

Esta claro que esta relacion se puede generalizar.

44

5.3 RECURRENCIA 5 Principios de Conteo 2

Teorema 5.2. El total de desordenes de orden n, denotado por Dn, es

Dn =n∑k=0

(−1)k(n

k

)(n− k)!

Demostracion. El total de permutaciones es Pn = n!. Tomando la misma notacion del ejemploanterior, Fk denota aquellas permutaciones que tienen a k (al menos) de sus elementos en la posicionque les corresponde; ası, el total de de permutaciones de Fk lo contamos primero escogiendo los kque quedaran en la posicion que les corresponde, lo cual es posible hacerlo de Ck

n formas, y luegopermutando los restantes n−k objetos, lo cual es posible hacerlo de Pn−k = (n−k)! formas, y porel principio de la multiplicacion, Fk = Ck

n(n− k)!. Luego, por el principio de inclusion-exclusion:

Dn = n!− F1 + F2 − F3 + · · ·+ (−1)kFk + · · ·+ (−1)nFn

= (−1)0C0n(n− 0)! + (−1)1C1

n(n− 1)! + (−1)2C2n(n− 2)! + · · ·+ (−1)nCn

n(n− n)!

=n∑k=0

(−1)k(n

k

)(n− k)!

Observe que esa expresion se puede manipular algebraicamente, y reescribirse como

Dn = n!n∑k=0

(−1)k

k!

5.3. RECURRENCIA

EJEMPLO 5.2La Torre de Hanoi:Se dispone de n discos de diferentes medidas y de tres clavijas en donde estos pueden ser colocados.Inicialmente todos los discos estan colocados en una de las clavijas y ordenados de abajo haciaarriba de mayor a menor. El problema consiste en trasladarlos a otra de las clavijas siguiendo lasreglas siguientes:

i) Los discos se mueven uno por uno.

ii) En ningun caso puede colocarse un disco sobre un disco de radio menor.

Observese que para cumplir con la condicion segunda resulta indispensable disponer de tres clavi-jas. El problema consiste en determinar el numero mınimo de movimientos requeridos para pasar

45

5.3 RECURRENCIA 5 Principios de Conteo 2

todos los discos de una clavija a otra.

Sea mn el numero mınimo de movimientos para pasar n discos de una clavija a otra. Es obvio quepara poder mover el disco que se encuentra en el fondo, debemos pasar de una clavija a otra los n−1discos menores a otra clavija, lo que requiere mn−1 como numero mınimo de movimientos. Hecho loanterior, debemos pasar el disco mayor a la tercera clavija, lo que exige un movimiento, y finalmentepasar los n−1 discos menores a esta ultima clavija, lo que por definicion requiere nuevamente mn−1

movimientos como mınimo. Ası en total se requieren como mınimo mn = 2mn−1 + 1 movimientos.Por otra parte, cuando se tiene solo 1 disco, obviamente, el numero mınimo de movimientos esm1 = 1; es decir:

mn = 2mn−1 + 1m1 = 1

Informacion suficiente para calcular el valor de mn para los diferentes valores de n.

EJEMPLO 5.3La Sucesion de Fibonacci:

Suponemos que cada mes la hembra de una pareja de conejos pare una pareja de conejos (de dife-rente sexo). Dos meses mas tarde la hembra de la nueva pareja pare una nueva pareja. Determinarel numero de parejas de conejos al finalizar el primer ano, si se supone que al inicio solo se disponede una pareja de conejos en edad reproductiva y que en el perıodo en mencion no hay defunciones.

Por ejemplo, al final del primer mes tendremos dos parejas, al final del segundo mes se tendrantres parejas. Denotemos por Fn el numero de parejas al final del enesimo mes. Este numero deparejas debe ser igual al numero de parejas en el mes n − 1, que es igual a Fn−1, mas los reciennacidos, cuyos padres unicamente pueden ser las parejas existentes en el mes n− 2. Ası, resulta larelacion:

Fn = Fn−1 + Fn−2

F0 = 1F1 = 2

De nuevo, con estas relaciones podemos calcular el valor de Fn para los diferentes valores de n. Conella se logra la conocida como sucesion de Fibonacci: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, . . .. El problema dedeterminar el numero de parejas de conejos al final del primer ano es simplemente el de calcularF12, que es igual a 377.

EJEMPLO 5.4El Modelo de Reproduccion de Conejos y las Cadenas de ceros y unos que no tienen dos unosseguidos.

Veremos como este problema del numero de parejas de conejos al final del enesimo mes puedeponerse en correspondencia con el problema de las cadenas de ceros y unos de longitud n que notienen dos unos seguidos.

46

5.4 PRINCIPIO DE CASILLAS 5 Principios de Conteo 2

Suponga una cadena de ceros y unos tiene la propiedad de no tener dos unos consecutivos. Cada 1en la cadena representara el nacimiento de una pareja; cada pareja de conejos, se identificara conel ultimo 1 en la cadena; los demas unos de la cadena que aparecen antes, representaran el arbolgenealogico de la pareja que representa la cadena. La cadena de solo ceros estara asociada a la pa-reja original. La restriccion de que las cadenas no tengan dos 1 consecutivos es justamente debidoa que en el modelo cada pareja solo puede comenzar a procrear al finalizar el segundo mes.Por ejemplo, la cadena 00101001 es el documento de identidad de la pareja de conejos que nacio alfinalizar el octavo mes, cuyos padres nacieron en el quinto mes; sus abuelos nacieron al finalizar eltercer mes y sus bisabuelos la pareja de conejos original.

Es evidente que esta correspondencia es biunıvoca; a cada cadena de ceros y unos con la propiedadde no tener dos unos seguidos, le corresponde una sola pareja de conejos y a cada pareja de conejos,le corresponde una sola cadena.

Podemos ahora, apoyados en la correspondencia anterior, proponernos contar el numero de parejasde conejos, mediante el conteo de las cadenas de ceros y unos con la propiedad de no tener dosunos seguidos. Solo con el proposito de ilustrar nos restringiremos al caso de cadenas de longi-tud 6, el caso general puede ser analizado de forma completamente analoga. El problema es ası elde contar las cadenas de longitud 6 de ceros y unos con la propiedad de no tener dos unos seguidos.

Observese primero que para que no hayan dos unos seguidos se requiere que el numero de unos seamenor o igual a tres, de lo contrario no se dispondra de suficientes ceros para separarlos. Podemosentonces clasificar nuestras cadenas segun el numero de unos que posea: Cadenas que no tienenunos; los 6 son ceros y los espacios disponibles para colocar los unos, son 7. Se tiene entonces C0

7

en este caso. Cadenas que tienen exactamente un uno. Obviamente la cadena debe tener 5 ceros,lo que permite disponer de 6 espacios para colocar el uno, en este caso el numero de cadenas debeser C1

6 . He aquı la lista de todas estas cadenas: 100000, 010000, 001000, 000100, 000010, 000001.Cadenas que tienen exactamente dos unos. En este caso deben haber cuatro ceros, lo que permitedisponer de 5 espacios para colocar los 2 unos. El total deben ser C2

5 cadenas, que son los siguien-tes: 101000, 100100, 100010, 100001, 010100, 010010, 010001, 001010, 001001, 000101. Cadenas quetienen tres unos. Por supuesto la cadena tiene tres ceros y los espacios disponibles para colocarlos tres unos, son 4; por lo tanto tendremos C3

4 cadenas; estas son: 101010, 101001, 100101, 010101.

El total de cadenas con la propiedad sera entonces la suma: 1 + 6 + 10 + 4 = 21, numero quecorresponde a F6 en la sucesion de Fibonacci.

5.4. PRINCIPIO DE CASILLAS

El principio de casillas es posiblemente uno de los teoremas mas evidentes, y cualquiera podrıapensar que no tiene utilidad alguna una aseveracion tan evidente, sin embargo, en los problemasque se plantean en este capıtulo se puede apreciar lo poco evidente que resultan muchos problemascuya clave radica en el principio de casillas.

EJEMPLO 5.5Una recta no puede cortar internamente a los tres lados de un triangulo simultaneamente.

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5.5 PROBLEMAS 5 Principios de Conteo 2

En este caso hay que crear tanto las cajas como los objetos; digamos que se traza la recta L,10 lacual genera dos semiplanos, estos seran las cajas; por otra parte, los vertices del triangulo seranlos objetos, que son en tres en total. Por el principio de casillas, hay un semiplano que tiene almenos dos vertices, por lo tanto, la recta L no corta al lado definido por esos vertices.

5.5. PROBLEMAS

1. ¿Cuantos enteros entre 1 y 1000, incluyendolos, no son divisibles entre 2, 3 o 5?

2. ¿Cuantos numeros naturales menores o iguales que 10000 son multiplos de 4, 5 o 7? ¿Cuantosson multiplos de 4, 10 o 14?

3. En cierta escuela hay 100 alumnos. De ellos, 50 saben ingles, 30 saben aleman y 30 sabenfrances. Ademas, 10 saben ingles y frances, 14 saben frances y aleman, 11 saben ingles yaleman, y 6 saben los tres idiomas. Determinar cuantos alumnos no saben ninguno de lostres idiomas.

4. Un grupo de 102 estudiantes se examinan en Matematicas, Sociales y Lenguaje. De entreellos, 92 pasaron Matematicas, 75 Sociales y 63 Lenguaje, 65 pasaron Matematicas y Sociales,54 Matematicas y Lenguaje y 48 Sociales y Lenguaje. ¿Cuantos estudiantes pasaron las tresmaterias?

5. ¿Cuantos numeros del 1 al 1000000 no son ni cuadrados perfectos, ni cubos perfectos, nipotencias cuartas perfectas?

6. En un grupo de 100 indios hay 40 que hablan hindi, 40 que hablan bengalı y 20 que hablanpenjabi. Hay 20 que hablan hindi y bengalı, y 5 que hablan hindi y penjabi. Hay 31 quehablan al menos dos de las tres lenguas y 33 que no hablan ninguna de ellas. ¿Cuantoshablan las tres lenguas?

7. ¿Cuantos numeros menores que 400 tienen la propiedad de no tener divisor alguno en elconjunto 6, 10, 15?

8. ¿Cuantos numeros naturales menores que 1000 tienen la propiedad de ser divisibles por 12,pero no divisibles ni por 5, ni por 7?

9. De todas las combinaciones posibles de 5 elementos del conjunto 1, 2, . . . , 10 ¿Cuantas noincluyen ni el numero 8, ni el numero 9?

10. Determine el numero de desordenes posibles del conjunto 1, 2, 3, 4, 5.

11. Si se asume el orden natural en el conjunto 1, 2, 3, 4, 5, ¿cuantas permutaciones dejan fijosen su posicion exactamente a dos de los cinco numeros?

10Como se busca cortar internamente a los lados del triangulo, suponemos que L no coincide con ninguno de loslados ni pasa por algun vertice.

48


12. Considere los numeros naturales menores o iguales a 100 en su descomposicion en factoresprimos. ¿En cuantos de ellos no hay un factor primo repetido?

13. Un ano es bisiesto cuando:

i) Es multiplo de 4 pero no de 100, o

ii) Es multiplo de 400.

Por ejemplo, 1600 y 1924 fueron anos bisiestos, mientras que 2200 no lo sera. Encuentre elnumero total de anos bisiestos entre los anos 1000 y 3000.

14. ¿Cuantas permutaciones de 1234 son tales que el 1 no esta en la primera posicion, el 2 noesta en la segunda posicion, el 3 no esta en la tercera posicion, y el 4 no esta en la cuartaposicion?

15. En una oficina hay 10 empleados. Cada uno es especialista en una labor distinta a la de losdemas. Para no aburrirse, les gusta intercambiar sus puestos; sin embargo, el buen funciona-miento de la oficina exige que en cada momento haya exactamente 4 empleados trabajandoen su especialidad. ¿Cuantas distribuciones de los puestos se pueden hacer bajo estas condi-ciones?

16. Se sabe que la clave de acceso de una comutadora es una permutacion de CLAVE2654.Sin embargo, como el dueno sufre de dislexia, programo en su compuradora la siguienteregla: Para conseguir acceso, es suficiente introducir 5 caracteres en la posicion correcta, loscaracteres restantes pueden estar en la posicion correcta o no. ¿De cuantas formas puedeacceder a la computadora?

17. Ana quiere comprar 15 dulces, los sabores disponibles son: coco, vainilla, fresa y canela. Comoa su mama le gustan los dulces de coco, piensa llevar al menos 5 de este sabor; ademas, nuncaha probado los dulces de canela, por lo que llevara a lo sumo 4 de este sabor. ¿De cuantasformas puede Ana comprar los dulces?

18. Para comprar en una carnicerıa cada cliente toma un numero (los numeros van saliendoordenados 1, 2, . . . , n), pero el carnicero estaba de mal humor un dıa y decidio atender a lasn personas que esperaban su turno de una manera muy extrana. ¿De cuantas formas puedeatenderlos si los que tienen numero impar seran atendidos en su turno, mientras que los quetienen numero par no?

19. En un grupo de 102 estudiantes se examinan en Matematicas, Sociales y Lenguajes. De entreellos, 92 pasaron Matematicas, 75 Sociales y 63 Lenguaje, 65 pasaron Matematicas y Sociales,54 Matematicas y Lenguaje, y 48 Sociales y Lenguaje. ¿Cuantos estudiantes pasaron las tresmaterias?

20. Para rendir un examen, 4 alumnos se sientan en una fila de 10 asientos. ¿De cuantas maneraspueden ubicarse, si no puede haber alumnos sentados contiguamente?

21. Siete libros diferentes, tres de Historia, dos de Matematica y dos de Quımica, son colocadosen el estante de una biblioteca. ¿En cuantas de las posibles formas de ubicarlos no aparecerantodos los libros de una misma materia?

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22. ¿De cuantas formas se puede colocar tres x, tres y y tres z de modo que no aparezcan lamisma letra tres veces consecutivas?

23. En cierto ecosistema hay 18 especies de animales. Cada especie depredadora caza 2 especiesdiferentes. A su vez cada especie no depredadora es perseguida por 3 especies diferentes.Ademas, se sabe que toda especie es perseguida o depredadora, y ninguna de las dos cosas ala vez. ¿Cuantas especies depredadoras hay?

24. Consideremos una cuadricula de n × n ¿cuantos cuadrados tales que apoyen alguno de suslados en el borde inferior o el borde izquierdo de de la cuadricula?

25. Consideremos una cuadricula de 8 × 10 casillas. ¿Cuantos rectangulos pueden marcarse enella que tengan por lo menos uno de sus lados apoyado en algun borde?

26. ¿Cuantas soluciones enteras tiene la ecuacion x1 + x2 + x3 = 28 si las variables estan sujetasa la condicion: 3 ≤ x1 ≤ 9, 0 ≤ x2 ≤ 8, 7 ≤ x3 ≤ 17?

27. ¿Cuantas soluciones enteras tiene la ecuacion x1 + x2 + x3 + x4 = 20 si las variables estansujetas a la condicion x1 ≤ 6, x2 ≤ 7, x3 ≤ 8, x4 ≤ 9?

28. Hallar el numero de soluciones enteras de la ecuacion x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 = 20 quesatisfacen las condiciones: 1 ≤ x1 ≤ 6, 1 ≤ x2 ≤ 7, 3 ≤ x3 ≤ 9, 4 ≤ x4 ≤ 11.

29. ¿De cuantas formas se pueden distribuir 10 premios distintos entre 4 estudiantes de modoque exactamente dos estudiantes no reciban ninguno? ¿De cuantas formas puede hacerse estode modo que al menos dos estudiantes no reciban premio?

30. Demuestre mediante la definicion de coeficiente multinomial que:(n

n1, n2, . . . , nm

)=

m∑i=1

(n− 1

n1, . . . , ni − 1, ni + 1, . . . , nm

)(1)

31. Demuestre que ∑(n

n1, n2, · · · , nm

)= mn

donde el sumatorio contempla todas las soluciones enteras no negativas de n1+n2+· · ·nm = n

32. Sea k, n, r ∈ N. Muestre que el numero de soluciones enteras de la ecuacion

x1 + x2 + x3 + · · ·+ xn = r

tal que 0 ≤ xi ≤ k para cada i = 1, 2, . . . , n esta dado por

n∑i=0

(−1)i(n

i

)(r − (k + 1)i+ n− 1

n− 1

)

33. Determinar el numero de regiones determinadas por n rectas en el plano.

34. Determine el numero de cadenas de ceros y unos que tienen la propiedad de no tener dosunos consecutivos.

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35. Supongamos que se desea cubrir un rectangulo de dimension n× 2 con rectangulos de 2× 1.¿De cuantas formas es posible hacerlo?

36. ¿De cuantas formas es posible descomponer un numero natural como suma solo de los natu-rales 1 y 2?

37. Llamamos triangulacion de un polıgono a su descomposicion en triangulos cuyos lados sonya sean diagonales o lados del polıgono, de forma tal que el polıgono queda completamentecubierto, sin superposiciones.

a) Demuestre que, independiente de la triangulacion, el numero de triangulos utilizados enla descomposicion es el mismo e igual a n− 2.

b) Demuestre que el numero de diagonales utilizadas en cualquier triangulacion es siempren− 3.

c) Determinar el numero de posibles triangulaciones de un polıgono de n lados.

38. Considere un triangulo equilatero cuyo lado tiene longitud n. Se triangula trazando rectasparalelas a los lados que cortan segmentos de 1 a los lados del triangulo; se forman triangulosequilateros de diferentes longitudes de lado. Determine el numero total de tales triangulos.

39. Se dispone de un numero ilimitado de monedas de las denominaciones de 1,5,10 y 25 centavosde dolar. ¿De cuantas formas se puede formar un total de 30 centavos? Determine una relacionde recurrencia que permita calcular el numero de posibilidades de cambiar una cantidadcualquiera de dinero.

40. Sean C un conjunto con 2n numeros reales, n ≥ 1 y an el numero de comparaciones quedeben efectuarse entre los elementos de C para determinar el maximo y el mınimo de C.Encontrar una relacion de recurrencia para calcular an y resolverla.

41. Tenemos cinco puntos con coordenadas enteras en el plano cartesiano. Probar que si sacamoslos puntos medios para cada par de estos puntos, existira un punto medio cuyas coordenadasseran tambien enteras.

42. Una prueba de concurso posee diez preguntas de seleccion multiple, con cinco alternativascada una. ¿Cual es el numero mınimo de candidatos que deberıan hacer el examen paragarantizar que por lo menos dos de ellos tendran las mismas respuestas para todas las pre-guntas?

43. Dados 6 puntos sobre una circunferencia, coloreamos de azul o verde todos los segmentos queellos determinan. Demuestre que entre todos los triangulos que quedan formados, hay por lomenos uno cromatico, es decir, un triangulo con sus tres lados del mismo color.

44. Demuestre que si con 2 colores se pintan las diagonales de un pentagono regular, siemprehay un vertice del que salen dos diagonales del mismo color.

45. Para una reunion cientıfica se han contratado 5 traductores, que deberan cubrir 6 lenguasdiferentes. Si cada una de estas requiere el empleo de 3 traductores, demostrar que algunode los interpretes debera traducir por lo menos 4 idiomas.

51


46. En un cajon hay calcetines negros, rojos, azules y blancos. ¿Cual es el menor numero decalcetines que hay que sacar para estar seguros de que hay al menos dos del mismo color?

47. En un estadio hay diez mil personas. Demostrar que hay al menos un grupo de 28 personasque nacieron el mismo dıa.

48. ¿Cual es el mayor numero de reyes que pueden ser colocados en un tablero de ajedrez demanera que ninguno de jaque a ningun otro?

49. A un estadio de futbol han asistido 37000 espectadores. ¿Cuantos de ellos, como mınimo,cumplen anos el mismo dıa?

50. Hay 100 personas sentadas en una mesa circular a distancia constante entre sı y al menos 51 deellas son mujeres. Verificar que hay al menos 2 mujeres sentados en posiciones diametralmenteopuestas.

51. Considere los primos 2, 3, 5. El conjunto A esta formado por los numeros naturales que segeneran multiplicando distintas potencias de estos primos, es decir, los numeros de la forma

2α3β5γ

con α, β, γ enteros no negativos. Demuestre que de cualquier escogitacion de 9 numeros deA siempre hay 2 que al multiplicarlos generan un cuadrado perfecto.

52. Suponga que los numeros del 1 al 10 estan ubicados en algun orden sobre una circunferencia.Prueba que alguna suma de tres numeros consecutivos suma 17.

53. En un planeta llamado Ω (omega), mas de la mitad de la superficie es tierra firme. Probarque en Ω se podrıa excavar un tunel recto a traves del centro del planeta, comenzando yfinalizando en tierra firme.

54. ¿Cuantas veces, como mınimo, debe lanzarse un par de dados para asegurarse que el puntajeobtenido (la suma de los dados) se repita?

55. Sean a, b, c, d enteros, demuestre que (a− b)(b− c)(c− d)(d− a)(a− c)(b− d) es multiplo de12.

56. Una prueba de aptitud posee 10 preguntas de seleccion multiple, con cinco alternativas cadauna. ¿Cual debe ser el mınimo numero de alumnos que deben dar la prueba (sin dejarrespuestas vacıas) para el cual podamos garantizar que por lo menos dos de ellos tendranexactamente las mismas respuestas para todas las preguntas?

57. En una caja hay 10 libros en frances, 20 en castellano, 8 en aleman, 15 en ruso y 25 enitaliano. ¿Cuantos debo sacar para estar seguro de que tengo 12 en un mismo idioma?

58. En un bar hay 95 mesas y un total de 465 sillas. ¿Podemos asegurar que hay una mesa con6 sillas?

59. Se tiene un conjunto de diez numeros naturales. Demostrar que hay al menos un par cuyadiferencia es multiplo de 9.

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60. Demuestre que si del subconjunto de numeros naturales 1, 2, . . . , 10 extraemos seis numeros,con seguridad habra dos que suman 11.

61. De los numeros 1, 2, . . . , 100 se toman 51. Demuestre que de estos, hay una pareja que sonprimos relativos, y que hay otra pareja tal que uno divide al otro y el cociente es potenciade 2.

62. Sean a1, a2, . . . , a100 y b1, b2, . . . , b100 dos permutaciones de 1, 2, 3, . . . , 100. Demuestra que,entre los productos

a1b1, . . . , aibj, . . . , a100b100

hay dos con el mismo residuo al dividirse entre 100.

63. Los numeros 1, 2, . . . , 9 se dividen en tres grupos. Probar que el producto de los numeros enuno de dichos grupos, sean cual sean estos, siempre debe ser mayor de 71.

64. En un cubo de lado 10 se colocan 999 puntos. ¿Es posible encontrar siempre un cubo delado 1 dentro del cubo de lado 10 que no contenga alguno de los puntos?

65. Con los vertices de una cuadrıcula de 6 × 9 se forman 24 triangulos. Demuestre que hay 2triangulos que tienen un vertice en comun.

66. Las entradas de una matriz 3× 3 son los numeros 0, 1,−1. Probar que entre las ocho sumasque se obtienen por filas, columnas y diagonales, hay dos iguales.

67. Se tienen los numeros 1, 2, . . . , 2n escritos en una pizarra. Se tachan n–1 de ellos. Probar queentre los numeros que quedaron sin tachar en la pizarra, hay al menos dos de ellos que sonconsecutivos.

68. En una pizarra se escriben los numeros 1, 2, . . . , 2n, probar que si se eligen aleatoriamenten+1 numeros de entre ellos, entonces entre los elegidos habra un par de modo que uno divideal otro.

69. Dados 27 numeros impares positivos menores que 100, demostrar que hay al menos dos deellos cuya suma es 102.

70. 17 personas se comunican por correo, enviando cada persona una carta a cada una de lasdemas. En las cartas solo son discutidas tres tematicas distintas. Las cartas enviadas mutua-mente entre dos personas tratan ambas a cerca de una sola de esas tematicas, dado que unapersona envıa una carta y la persona a la que va dirigida le responde. Pruebe que hay ungrupo de al menos 3 personas tales que en todas las cartas que se enviaron entre sı discutierona cerca de la misma tematica.

71. Algunos de los cuadritos de una cuadricula de 3×7 se pintan de negro y los otros se dejan enblanco. Probar que forzosamente las lıneas de la cuadrıcula forman un rectangulo en cuyascuatro esquinas los cuadraditos tienen el mismo color (los cuatro blancos o los cuatro negros).

72. Dado un cuadrado de diagonal 3, se marcan al azar 10 puntos. Demostrar que siemprepodemos encontrar al menos dos puntos que estan a una distancia no mayor a 1.

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73. En un triangulo de area 4 se colocan nueve puntos. Muestre que hay tres de ellos que formanun triangulo de area menor o igual a 1.

74. Demuestre que un triangulo equilatero de lado 1 no puede ser cubierto totalmente con dostriangulos equilateros de lados menores que 1.

75. Un disco cerrado de radio 1cm contiene 7 puntos tales que todas las distancias entre dos deellos son mayores o iguales que 1, pruebe que uno de los 7 puntos es el centro del disco.

76. Nos damos un conjunto X de 10 numeros naturales distintos comprendidos entre 10 y 99.Demostrar que hay dos subconjuntos distintos de X tales que la suma de los elementos delos dos subconjuntos dan el mismo resultado.

77. En un segmento I de longitud 10, inicialmente blanco, se han marcado 10 segmentos disjuntoscon color rojo. Si no hay dos puntos en I a distancia 1 y ambos de color rojo, probar que lasuma de las longitudes de los intervalos es a lo sumo 5.

78. Se dispone de 100 tarjetas, numeradas del 100 al 199. El valor de cada tarjeta es la suma delos dıgitos que aparecen en ella. ¿Cual es el numero mınimo de tarjetas que hay que extraerpara asegurar que haya tres con el mismo valor?

79. Demostrar que en una fiesta siempre hay dos personas que conocen al mismo numero depersonas.

80. Comprobar que en una reunion de 6 personas siempre pasa que 3 de ellas se conocen entresı o bien 3 de ellas no se conocen entre sı.

81. En una ceremonia de premiacion, n personas se saludaron entre sı estrechandose las ma-nos. Prueba que durante la ceremonia hubo siempre dos personas que estrecharon el mismonumero de manos.

82. En una reunion hay 201 personas de cinco nacionalidades diferentes. Se sabe que en cadagrupo de seis, al menos dos tienen la misma edad. Demuestra que hay al menos cinco personasdel mismo paıs, de la misma edad y del mismo sexo.

83. Demuestre las siguientes identidades albegraicas:

a)n∑i=1

i = 1 + 2 + 3 + · · ·+ n =n(n+ 1)

2

b)n∑i=1

i(i+ 1) = 1 · 2 + 2 · 3 + 3 · 4 + · · ·+ n(n+ 1) =n(n+ 1)(n+ 2)

3

c)

n∑i=1

i(i+1)(i+2) = 1 ·2 ·3+2 ·3 ·4+3 ·4 ·5+ · · ·+n(n+1)(n+2) =n(n+ 1)(n+ 2)(n+ 3)

4

54


d) Exprese una identidad algebraica que generalice las identidades anteriores y demuestrela.

84. Utilizando las identidades anteriores, demuestre

a)n∑i=1

i2 = 12 + 22 + 32 + · · ·+ n2 =n(n+ 1)(2n+ 1)

6

b)n∑i=1

i3 = 13 + 23 + 33 + · · ·+ n3 =n2(n+ 1)2

4=

(n∑i=1

i

)2

c) Encuentre una identidad algebraica para la suma de las potencias cuartas de 1 a n.

85. Sea S = 1, 2, 3, . . . , n + 1 en donde n ≥ 2, y sea T = (x, y, z) ∈ S3|x < z, y < z. Alcontar |T | de dos modos distintos, muestre que:

n∑k=1

k2 = |T | =(n+ 1

2

)+ 2

(n+ 1

3

)

86. Demuestre que(3n)!

2n3nes entero para todo natural n.

87. Sea A = 1, 2, 3, . . . , n, donde n ∈ N

a) Para k ∈ A, muestre que el numero de subconjuntos de A en los que k es el numeromayor, es igual a 2k−1.

b) Muestre a partir de lo anterior que:

n−1∑i=0

2i = 2n − 1. (2)

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