Combinatoria

Importa el orden

Todos los elementos

Con repetición

Sin repetición

Algunos elementos

Con repetición

Sin repetición

No importa el

orden

Algunos los

elementos

Con repetición

Sin repetición

Combinatoria

Pn Vm,n Cm,nVRm,nPRn CRm,n

)!(!

!,

nmn

mC nm!nPn!!!

!,,

zyx

nPR zyx

nmm

n nVR

!.........21 nnnnV m

n

)!1(!

!1,

nm

mnCR nm

Permutaciones: Llamaremos permutaciones de n elementos a cada una de las ordenaciones diferentes que podemos

realizar con n elementos dados. No pueden faltar ni sobrar elementos

Variaciones: Llamaremos variaciones de k elementos cada una, elegidos entre n elementos dados, a cada grupo que podemos formar con k elementos, de modo que 2 grupos diferentes tienen al menos un elemento distinto o están

ordenados de forma distinta.

Combinación: Llamaremos combinación de k elementos elegidos entre n elementos dados, a cada uno de los grupos

de k elementos que se pueden formar, de modo que 2 grupos son diferentes solo si tienen, al menos, un elemento

distinto, sin considerar el orden en que estén dispuestos.

Ejemplos de Permutaciones¿Cuántos números de 5 cifras diferentes se puede formar con los dígitos: 1, 2, 3, 4, 5.?

m = 5 n = 5

Sí entran todos los elementos. De 5 dígitos entran sólo 3.

Sí importa el orden. Son números distintos el 123, 231, 321.

No se repiten los elementos. El enunciado nos pide que las cifras sean diferentes.

Ejercicios

1) ¿Cuántas combinaciones diferentes se pueden realizar para ganar el premio mayor en el kino?

¿Importa el orden?

¿Se combinan todos o algunos elementos?

¿Se repiten los elementos?

)!(!

!,

mnm

nC mn

2) Cuantos números de 5 cifras diferentes se pueden formar con el 1, 2, 3, 4 y 5

Importa el orden



!nPn

3) Con los dígitos 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, cuantos números de 9 cifras se pueden formar

Importa el orden



!!!

!,,

zyx

nPR zyx

n

4) Con los dígitos 1, 2 y 3 cuantos números de 5 cifras puedo formar? ¿Cuántos serán pares?

Importa el orden



mm

n nVR

5) De cuantas formas diferentes se pueden cubrir los puestos de presidente, vice-presidente y tesorero en un club de futbol sabiendo que hay 12 candidatos.

Importa el orden



)1.........(21 mnnnnV m

n

!

!,

mn

nV mn

6) En una pastelería hay 6 tipos distintos de pasteles ¿De cuantas formas se pueden elegir 4 pasteles?

Importa el orden



|)!1(!

!1,

nm

mnCR mn

• ¿Cuántos números de 3 cifras distintas se pueden formar con 1,2,3,4,5,6?.

• En una urna hay 9 bolas, 3 blancas, 2 rojas y 4 negras. ¿De cuantas formas distintas se pueden extraer las bolas de la urna?

• José tiene 9 amigos y desea invitarlos a cenar, pero sólo puede invitar a 6 simultáneamente. ¿Cuántos grupos distintos de invitados puede tener?.

• ¿De cuántas formas se pueden sentar 5 personas en un coche?

• En la final de unas olimpiadas corren la final de 100m 8 atletas. ¿De cuántas formas se puede configurar el podium?

• ¿Cuántos números de 8 cifras que empiecen por 6 se pueden formar?

• Ocho vecinas guardan cola en una panadería para comprar pan. ¿De cuántas formas distintas se pueden colocar en la cola?

• En una competición deportiva participan 4 equipos de 3 atletas cada uno. ¿De cuántas formas diferentes pueden llegar los equipos?

• El juego de la Primitiva consiste en acertar 6 números naturales a elegir entre el 1 y el 49. ¿Cuántas posibles combinaciones hay? Si cada combinación nos cuesta 1€ ¿Cuánto nos tendremos que gastar para asegurar que vamos a acertar seguro los 6 números?

•

1. ¿Cuántos números de tres cifras se pueden formar con los dígitos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9? Las cifras se pueden repetir. La cifra de las centenas no puede ser cero.•

Variaciones con repetición. Solución: se forman 900 números diferentes.•

2. Un entrenador de fútbol dispone en la plantilla de su equipo de 7 delanteros de la misma calidad y que pueden actuar indistintamente en los tres puestos de ataque del equipo. ¿Cuántas delanteras distintas podría confeccionar?

•Variaciones sin repetición. Solución: 210 delanteras de ataque.

•

3. ¿De cuántas maneras diferentes se pueden repartir tres premios distintos entre Juan, Pedro, María, Alicia y Pilar?•

Variaciones sin repetición. Solución: 60 formas distintas de reparto.•

4. ¿Cuántos resultados diferentes se producen al lanzar 5 dados de distinto color y anotar los resultados de la cara superior?•

Variaciones con repetición. Solución: 7776 resultados diferentes.•

5. Con un punto y una raya (símbolos clásicos del alfabeto Morse) ¿Cuántas señales distintas de 5 dígitos pueden hacerse?•

Variaciones con repetición. Solución: 32 señales distintas.•

6. ¿De cuántas formas pueden sentarse 8 amigos en una fila de butacas de un cine?•

Permutaciones sin repetición. Solución: 40320 formas diferentes de sentarse.•

7. Un técnico de sonido tiene que unir 6 terminales en 6 conexiones. Si lo hiciera al azar, ¿de cuántas formas diferentes podría completar las conexiones?•

Permutaciones sin repetición. Solución: 720 conexiones diferentes.•

8. Con las letras de la palabra PELUCA:• a) ¿Cuántas ordenaciones distintas se pueden hacer?• b) ¿Cuántas empiezan por PEL?•

Permutaciones sin repetición. Solución: a) 720 b) 6 (sólo jugamos con las letras UCA)•

9. Una persona está interesada en contar todos los posibles resultados en el juego de la LOTERÍA PRIMITIVA. ¿Podrías ayudarle? (Tenemos 49 números del 1 al 49, debemos elegir 6)•

Combinaciones sin repetición. Solución: 13983816 boletos diferentes.•

10. Siete amigos hacen cola para el cine. Al llegar sólo quedan 4 entradas. ¿De cuántas formas podrían repartirse estas entradas para ver la película?•

Combinaciones sin repetición. Solución: 35 formas distintas de reparto.

Ejercicios

1) ¿Cuántas combinaciones diferentes se pueden realizar para ganar el premio mayor en el kino?

¿Importa el orden?



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