35

Colorado State Universitykirby/teaching/pattern/1999/ch3.pdf · b W(d _ W Y>a m u2a c2\ b Y4` jegUW ` We_ YNf \ \>d Y a f qp >` o je_ Y4j2\ d Y4[^H_ Y>_ [kR`] ` j Y \ dU^ d ilY gX[

  • Upload
    others

  • View
    0

  • Download
    0

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: Colorado State Universitykirby/teaching/pattern/1999/ch3.pdf · b W(d _ W Y>a m u2a c2\ b Y4` jegUW ` We_ YNf \ \>d Y a f qp >` o je_ Y4j2\ d Y4[^H_ Y>_ [kR`] ` j Y \ dU^ d ilY gX[

������������� �������������������� ��� �"!�#%$�����&%'(�)�

* +

Page 2: Colorado State Universitykirby/teaching/pattern/1999/ch3.pdf · b W(d _ W Y>a m u2a c2\ b Y4` jegUW ` We_ YNf \ \>d Y a f qp >` o je_ Y4j2\ d Y4[^H_ Y>_ [kR`] ` j Y \ dU^ d ilY gX[

, -/. 02143 526 087 9 1 9 : ; <>=1 ? 1>@ 3 ; A81 B2C 529 D E <29FHG I�J K4LNMPORQNSUTPLNJ ORKVXW Y>Z [ \ ]H[ ^8_ W ` a4b W2\ c _ Y dX` aX_ [e\ f f d Y a aXW [ ghf ` iRY j2a ` [ j2\ ] ` _ kld Y f m2b ` j ZRie\ c c ` j Z a\ d YU[ c _ ` il` n Y fR[ o Y dp_ W Y4b ] \ a a8[ ^2[ d _ W [ Z [ j2\ ] _ d \ j2a ^ [ d il\ _ ` [ j2a qpr4d _ W [ Z [ j2\ ] _ d \ j2a s^ [ d il\ _ ` [ j2a8\ d YP] ` j Y \ d t _ W m2a8_ W YP[ c _ ` iR` n \ _ ` [ jNc d [ u ] Y iv\ il[ m j _ aH_ [4w j2f ` j ZN\Xu2Y a _u2\ a ` a4^ [ d>_ W Yeb W2\ j Z YR[ ^Xb [ [ d f ` j2\ _ Y a>` jx_ W Yea Y j2a YR[ ^UyXz m2\ _ ` [ j�{ | q } ~ qR�xYlie\ ko ` a m2\ ] ` n Ye_ W ` aR_ d \ j2a ^ [ d il\ _ ` [ j�\ aR\�d [ _ \ _ ` [ j�[ ^U_ W Y�b [ [ d f ` j2\ _ Y a>gUW ` b W(d Y o Y \ ] a_ W Y>a m u2a c2\ b Y4` jegUW ` b We_ W YNf \ _ \>d Y a ` f Y a qp�>` o Y je_ W Y4j2\ _ m d Y4[ ^H_ W Y>_ W Y [ d kR` je_ W Y] ` j Y \ dU^ d \ ilY gX[ d �l` _4gU` ] ]Hu2YRa Y Y je_ W2\ _4[ c _ ` ie\ ] t ` j�\la Y j2a Y>_ [lu2Y>ie\ f Y>Y � c ] ` b ` _ t[ d _ W [ Z [ j2\ ]2_ d \ j2a ^ [ d ie\ _ ` [ j2aU\ d Y>j2\ _ m d \ ]H\ j2feY \ a ke_ [Rm2a Y qVXW YPil\ ` jNd Y a m ] _H` aH_ W YXgXY ] ] s � j [ gUjN�N\ d W m j Y j s �H[2�Y o YX{ �N�8~HY � c2\ j2a ` [ je� | � t � � � q� _ a4` ilc2[ d _ \ j2b YR` jxc2\ _ _ Y d j�\ j2\ ] k a ` a4` a>a m u2a _ \ j _ ` \ _ Y f�u k�_ W Ylj m iNu2Y d>[ ^X\ ] ` \ a Y am j2f Y dRgUW ` b W(_ W Ye_ Y b W j ` z m Ye` aN� j [ gUj8tpgUW ` b W�` j2b ] m2f Ye_ W Y��Pd [ c2Y dlr4d _ W [ Z [ j2\ ]�UY b [ ilc2[ a ` _ ` [ jh{ �Ur4�>~e� � � � tX�pd ` j2b ` c2\ ]>�P[ iRc2[ j Y j _l�Uj2\ ] k a ` a�{ �X�X�4~�� | � tP| � � t\ j2feypilc ` d ` b \ ]8rUd _ W [ Z [ j2\ ]2� m j2b _ ` [ j2a4{ yUr4�pa ~4� � � � qp� _X` aX\ ] a [lb ] [ a Y ] kld Y ] \ _ Y fl_ [_ W YUgXY ] ] s � j [ gUjla ` j Z m ] \ dPo \ ] m Y4f Y b [ ilc2[ a ` _ ` [ j�{ � �>�4~ � | | � q8� _P` apd \ _ W Y dX\ a _ [ j ` a W s` j Z2t Z ` o Y jl` _ aXd ` b WeW ` a _ [ d ke\ j2flgU` f Y a c d Y \ fe\ c c ] ` b \ _ ` [ j8t _ W2\ _U_ W Y>�N��c d [ b Y f m d YW2\ a>d Y b Y ` o Y fxa [�] ` _ _ ] Y�\ _ _ Y j _ ` [ j�` j(a _ \ j2f \ d fxb [ m d a Y a>` j(\ c c ] ` Y fxie\ _ W Y ie\ _ ` b a t] ` j Y \ d4\ ] Z Y u d \R\ j2flY j Z ` j Y Y d ` j Z2qrUm dpc d Y a Y j _ \ _ ` [ jNu2Y Z ` j2a8gU` _ WRgU` _ WR_ W YX^ d \ ilY gX[ d �>^ [ dPf Y w j ` j Ze� �2� � �l� �2� �   ¡  ` j�� Y b _ ` [ je� q | qpVXW ` aX` aP^ [ ] ] [ gXY fRu ke\Na c2Y b ` \ ]Hb \ a Y t ` q Y q t b [ ilc m _ ` j ZR_ W Y4u2Y a _X] ` j Y^ [ de\�b [ ] ] Y b _ ` [ j�[ ^4c2[ ` j _ aR` j�_ W Y�c ] \ j Y qhVXW ` ald Y f m2b Y aR_ W Y��N�hc d [ b Y f m d Y�_ [` _ aNa ` ilc ] Y a _Ra Y _ _ ` j Z2qeVXW Yl^ [ d iRm ] \ Yef Y d ` o Y f�W Y d Ye\ d Yl` j2f Y Y f�\�a c2Y b ` \ ]Xb \ a Yl[ ^_ W YRZ Y j Y d \ ]pY z m2\ _ ` [ j2a4` j�W ` Z W Y dNf ` ilY j2a ` [ j2a qN�xYl_ W Y j(f Y d ` o YR_ W YlZ Y j Y d \ ]P�N�c d [ b Y f m d Yl` j(� Y b _ ` [ j(� q �2qeVXW Yed Y a m ] _ ` j Zx\ c c d [ \ b WxgU` ] ]Pu2Yld Y ^ Y d d Y f�_ [x\ a>_ W Y¢ � £ ¡ ¤ �P�l¡ � ¥ � ¢ t ^ [ ] ] [ gU` j Ze� � � t � �2t � � � qP� Y b _ ` [ j�� q �Nc d Y a Y j _ aP_ W Y>il[ a _X` iRc2[ d _ \ j _\ j2f4gU` f Y ] k>m2a Y f4c d [ c2Y d _ ` Y aH[ ^ _ W YX�N�RY � c2\ j2a ` [ j8q8VXW YPil\ _ W Y il\ _ ` b \ ] ^ d \ ilY gX[ d �[ ^p_ W YN] ` j Y \ d4_ W Y [ d ke[ ^p[ c _ ` ie\ ]H_ d \ j2a ^ [ d ie\ _ ` [ j2aX` a4f ` a b m2a a Y fe` jxf Y _ \ ` ]p\ j2fe_ W Y[ c _ ` ie\ ] ` _ keb d ` _ Y d ` \NgUW ` b We] Y \ fl_ [R_ W YNf Y d ` o \ _ ` [ je[ ^H_ W YN�N��Y � c2\ j2a ` [ j�\ d Y4^ m ] ] kb W2\ d \ b _ Y d ` n Y fHqVXW Y>f ` d Y b _XiRY _ W [ fl^ [ dX` ilc ] Y iRY j _ ` j ZR_ W YN�>��_ d \ j2a ^ [ d il\ _ ` [ jeb \ j j [ _Pu2YN\ c sc ] ` Y f�_ [xY ] Y ilY j _ aN[ ^4W ` Z W s f ` iRY j2a ` [ j2\ ]Po Y b _ [ dla c2\ b Y a tpY q Z2q tPf ` iRY j2a ` [ j2aR\ u2[ o Y} ¦ ¦ ¦ t8m j ] Y a aR\ j�\ ] _ Y d j2\ _ ` o Y�\ c c d [ \ b W(` aRm2a Y fHtpgUW ` b W(gXY�gU` ] ]Xd Y ^ Y dl_ [�\ aN_ W Y  §2� �   ¥ � �N�l¡ � ¥ � ¢RZ ` o Y j�` _ aNj2\ _ m d \ ]X\ c c ] ` b \ _ ` [ j�_ [xf ` Z ` _ \ ]P` il\ Z Y a q�� j(� Y b _ ` [ j� q � tHgXYNc d Y a Y j _>_ W ` a>_ Y b W j ` z m Yl\ j2fx\ c c ] k�` _>_ [�_ W Yl¨U[ Z m Y © a>�>\ ] ] Y d k�c d [ u ] Y i�t` q Y q tH_ W Yeb W2\ d \ b _ Y d ` n \ _ ` [ j�[ ^XW ` Z Wxd Y a [ ] m _ ` [ jxf ` Z ` _ \ ]P` ie\ Z Y a4[ ^XW m ie\ jx^ \ b Y a t8\c d [ u ] Y iª` j ` _ ` \ _ Y fe` j�� � � t | « � q� Y b _ ` [ j�� q ¬4d Y s Y � \ iR` j Y ap_ W YN�>��_ d \ j2a ^ [ d ie\ _ ` [ jl^ d [ i­_ W Y4c2Y d a c2Y b _ ` o Y4[ ^H_ W Ya ` j Z m ] \ dNo \ ] m Y�f Y b [ iRc2[ a ` _ ` [ j�f Y a b d ` u2Y fx` j(� Y b _ ` [ j(| q « q�VXW Y�� �>�ªc2Y d il` _ aR\f Y Y c2Y dlm j2f Y d a _ \ j2f ` j Zx[ ^U_ W Y�d Y ] \ _ ` [ j2a W ` c(u2Y _ gXY Y j�_ W Y��4` d Y b _l\ j2f(� j2\ c2a W [ _iRY _ W [ f aX^ [ d4b [ ilc m _ ` j Zl_ W Y>Y ` Z Y j o Y b _ [ d a q� je� Y b _ ` [ je� q �>gXY4c d Y a Y j _X\ jlY � _ Y j2a ` [ je[ ^H_ W Y>�N��c d [ b Y f m d Y4^ [ dXZ \ c c klf \ _ \c d [ c2[ a Y fR` j�� } � � qpVXW ` aP` aP^ [ ] ] [ gXY fRu kl\Nf ` a b m2a a ` [ jl[ ^H_ W Y>\ c c ] ` b \ _ ` [ jl[ ^H_ W Y>�N�c d [ b Y f m d Y>` j�_ W Y>c d Y a Y j2b Y>[ ^8j [ ` a Y>` j�� Y b _ ` [ j�� q « q

Page 3: Colorado State Universitykirby/teaching/pattern/1999/ch3.pdf · b W(d _ W Y>a m u2a c2\ b Y4` jegUW ` We_ YNf \ \>d Y a f qp >` o je_ Y4j2\ d Y4[^H_ Y>_ [kR`] ` j Y \ dU^ d ilY gX[

®X¯ °2±4² ³X°2´eµ ¶2± ² ·p°2¸X¹ ° ³ ² ³ º¼» ½¾H¿ ÀÂÁÄÃ4Å8ÆªÇ È�ÅNÉ­ÊRËpÆNÇ ÌxÅ>Í�ÎPÅ4ÈpÇ È8ÏÐPÑ Ò2Ó Ô Õ Ö ×4Ø Ò�Ù�Ú Õ Ô ÛRÖ Ò2Ó Ô Ñ Ò2Ø Ü2Ô Ò Ò Ö ×UÝ × Ñ Õ Þ2ß à4Ó Ý2Ø ß Ö>áÄÖ â Þ Ô Ý Ý2Ö ÕeãUÔ à ä�Ø ÒeÑ × Õ Ö × Ö ÕÑ2å Ò8åXæ2Ø Ó Ô ÓXçéèvê ëpì í î ï ð ð ð ï ëPì ñXî ò åXópô Ö × õeÝ2Ñ Ô Ò à4Ô Òxá­ÛlØ õeæ2ÖNÖ ö Ý × Ö Ó Ó Ö ÕeãUÔ à ä Ñ Þ àÖ × × Ñ ×UÔ Ò�à Ö × ÛlÓUÑ ÷8à ä Ö>æ2Ø Ó Ô ÓXô Ö ß à Ñ × ÓXØ Óø ì ù î èéú ì ù îí ë ì í îHûéü ü ü û ú ì ù îñ ë ì ñXî ý þ å ÿ �ãUä Ö × Ö>ú ì ù î� è ý ø ì ù î ï ëPì � î � å�� àXÔ ÓXß Ü Ö Ø ×Pà ä2Ø àXà ä ÖNß Ñ Ö �lß Ô Ö Ò à ÓXú ì ù î� Ô Òeà ä Ö>Ö ö Ý2Ø Ò2Ó Ô Ñ ÒÕ Ö Ý2Ö Ò2ÕeÑ Ò�à ä Ö>æ2Ø Ó Ô ÓXç>å� ä ÖRÝ Þ × Ý2Ñ Ó ÖlÑ ÷Pà ä Ô ÓNß ä2Ø Ý à Ö ×>Ô Ó>à Ñ�ÛlØ à ä Ö ÛlØ à Ô ß Ø Ü Ü õxß ä2Ø × Ø ß à Ö × Ô � ÖNà ä ÖlÒ Ñ à Ô Ñ ÒÑ ÷XØ Ò�� � � �� ��� � � � � å��>Ô ô Ö Ò�Ø�Õ Ø à ØeÓ Ö à �Hä Ñ ã­Ó ä Ñ Þ Ü ÕxØeæ2Ø Ó Ô Ó4çvæ2Ölß Ñ Ò2Ó à × Þ2ß à Ö ÕÓ Þ2ß ä�à ä2Ø à4à ä ÖRà × Þ Ò2ß Ø à Ô Ñ Ò�Ñ ÷pà ä ÖR÷ Þ Ü ÜpÙ�Ú à Ö × Û Ö ö Ý2Ø Ò2Ó Ô Ñ Ò�Ô Ò�Ö â Þ2Ø à Ô Ñ Ò ý þ å ÿ �Uà Ñ�Ø� Ú à Ö × Ûªà Ö × Û Ö ö Ý2Ø Ò2Ó Ô Ñ Òø ì ù î� è�ú ì ù îí ë ì í îHû ú ì ù î� ë ì � î2ü ü ü û ú ì ù î� ë ì � î ý þ å � �ãUÔ Ü ÜPÝ × Ñ Õ Þ2ß ÖeØ�ÛlÔ Ò Ô ÛNÞ Û%Ö × × Ñ × ���>Ô ô Ö Ò ø ì ù î� Ô ÓNØ Ò(Ø Ý Ý × Ñ ö Ô ÛeØ à Ô Ñ Òxà Ñ ø ì ù î4ãXÖãU× Ô à Ö ø ì ù î�� ø ì ù î�Ø Ò2Õlà ä ÖRØ ß ß Þ × Ø ß õlÑ ÷8à ä Ô ÓXÖ ö Ý × Ö Ó Ó Ô Ñ ÒeãUÔ Ü Ü8æ2ÖNØ àUà ä ÖNß Ö Ò à Ö ×UÑ ÷8Ñ Þ ×4Õ Ô Ó ß Þ2Ó Ó Ô Ñ Ò8å� Ñ ãÄãXÖeØ Ó Ó Þ ÛRÖlãXÖlä2Ø ô ÖeØ�ß Ñ Ü Ü Ö ß à Ô Ñ Ò��8Ñ ×>Ö Ò2Ó Ö ÛNæ Ü Ö �8Ñ ÷! ªÝ2Ø à à Ö × Ò2ÓRê ø ì ù î ò �ãUÔ à äeÖ Ø ß ä ø ì ù î�"�á$#&%pñeå�� ÒeÝ × Ø ß à Ô ß Ö � Ø ÒeÑ Ý à Ô ÛeØ Ü2æ2Ø Ó Ô ÓP÷ Ñ ×UávãUÔ Ü ÜHÖ ö à × Ø ß à � Ñ ×Ý2Ø ß ' Ø ( Ö � à ä Ö>Ó Ø Ü Ô Ö Ò àP÷ Ö Ø à Þ × Ö ÓXØ Ò2ÕRÔ Ò ÷ Ñ × ÛlØ à Ô Ñ ÒlÔ Òeà ä Ö>Õ Ø à Ø å�� Õ Ö Ø Ü Ü õ � à ä Ô ÓXÓ Ö à à Ô Ò (ãUÔ Ü Ü8Ö Ò ä2Ø Ò2ß Ö>Ñ Þ ×4Ø æ Ô Ü Ô à õeà ÑeÓ à Þ2Õ õeà ä ÖRÕ Ø à ØRÔ Ò�à Ö × ÛlÓUÑ ÷pØlÓ Ô ( Ò Ô )2ß Ø Ò à Ü õe× Ö Õ Þ2ß Ö ÕÒ Þ ÛNæ2Ö ×UÑ ÷8Ö ö Ý2Ø Ò2Ó Ô Ñ Ò�ß Ñ Ö �lß Ô Ö Ò à Ó å� ä Ö4æ2Ø Ó Ô ÓpãUÔ Ü ÜHæ2Ö4Ñ Ý à Ô ÛeØ Ü2æ2Ö ß Ø Þ2Ó Ö4Ô àPÛlÔ Ò Ô ÛRÔ � Ö ÓXØ Ò2ÕlÖ × × Ñ ×PÑ ô Ö ×Pà ä Ö>Ó Ö àXÑ ÷8Ø Ü ÜÑ2å Ò8ålæ2Ø Ó Ö Ó å � ä ÖRÖ × × Ñ ×>ô Ö ß à Ñ ×>÷ Ñ ×>Ö Ø ß äxÝ2Ø à à Ö × Ò+* ì ù î� Ô Ó>à ä ÖeÕ Ô ,2Ö × Ö Ò2ß Ölæ2Ö à ãXÖ Ö Òà ä Ö>Ö ö Ø ß àUÝ2Ñ Ô Ò à ø ì ù îXØ Ò2Õeà ä ÖNà × Þ Ò2ß Ø à Ö ÕeÖ ö Ý2Ø Ò2Ó Ô Ñ Ò ø ì ù î� � Ô å Ö å �* ì ù î� è ø ì ù î�- ø ì ù î� ð.vÓ ß Ø Ü Ø ×UÛRÖ Ø Ó Þ × Ö4Ñ ÷pà ä Ö>Ö × × Ñ ×XÔ ÓXà ä Ö Ò�Ó Ô ÛlÝ Ü õ/ è�0 * ì ù î� 0.4ÓXÓ ä Ñ ãUÒlæ2Ö Ü Ñ ã1� ØNß Ü Ñ Ó Ö ÕR÷ Ñ × ÛÄ÷ Ñ × ÛRÞ Ü Ø>÷ Ñ ×Xà ä Ö4æ2Ö Ó àPæ2Ø Ó Ô ÓpÛeØ õRæ2Ö4Ñ æ à Ø Ô Ò Ö ÕR÷ Ñ ×à ä ÖNÓ â Þ2Ø × Ö>Ö × × Ñ × / 2 3 è40 * ì ù î� 0 � ð.4ß à Þ2Ø Ü Ü õ �2ãXÖlãUÔ Ü Üpæ2ÖRÔ Ò à Ö × Ö Ó à Ö Õ�Ô Ò�× Ö Ý × Ö Ó Ö Ò à Ô Ò (�ØeãUä Ñ Ü ÖR÷ Ø ÛRÔ Ü õ�Ñ ÷PÝ2Ø à à Ö × Ò2ÓãUÔ à ä�ÛlÔ Ò Ô ÛNÞ Û Ö × × Ñ ×>Ø Ò2Õe× Ö â Þ Ô × ÖNà ä ÖRæ2Ø Ó Ô ÓUà Ñeß ä2Ø × Ø ß à Ö × Ô � ÖNØ Ü ÜpÑ ÷pà ä ÖNÝ2Ø à à Ö × Ò2ÓÖ â Þ2Ø Ü Ü õRãXÖ Ü Ü Ñ ÒeØ ô Ö × Ø ( Ö å � ÑRâ Þ2Ø Ò à Ô ÷ õRà ä Ô Ó � Õ Ö ) Ò Ö4à ä ÖUÖ Ò2Ó Ö ÛNæ Ü Ö4Ø ô Ö × Ø ( ÖXÑ ÷8ØNÓ Ö àÑ ÷8ô Ö ß à Ñ × Ó ø ì í î ï ø ì � î ï ð ð ð ï ø ì 58îXØ Ó

6 ø�7 è ÿ 58ù 98í ø ì ù î ý þ å þ �

Page 4: Colorado State Universitykirby/teaching/pattern/1999/ch3.pdf · b W(d _ W Y>a m u2a c2\ b Y4` jegUW ` We_ YNf \ \>d Y a f qp >` o je_ Y4j2\ d Y4[^H_ Y>_ [kR`] ` j Y \ dU^ d ilY gX[

: ;=< >�?A@ B�C >�D E ? E F G HJI? K ?JL @ G M�? N�O B�E P Q H�ER S1T U V W X Y+Z�[�\ V S [ Y+S U�] SJS U [^] Z�V _ [�] Y Y ` S ` V \+` T1] a a X ` [ Ycb V d�a�V \ [ \ S e f!` T [ gh` S1` TT S ] \�Y ] i Y+a i ] b S ` b [jS V+V d�` SkS U [^a�] S S [ i \l` \�Y [ mcn�o V ikS [ i djT1f!` S U ` \lS U [p] \ q X [ YZ i ] b r [ S T�f!U [ \^f!i ` S ` \ q�] \^[ \�T [ dkZ X [1] _ [ i ] q [ sR S1` Tkb W�T S V dj] i t+S V+dk[ ] \lT W Z S i ] b S1[ ] b Uca�] S S [ i \l` \lS U [^[ \�T [ dkZ X [ s+u�U ` Tk` Tq [ V d�[ S i ` b ] X X t1[ v W ` _ ] X [ \ S�S VkdkV _ ` \ q1S U [Jb [ \ S [ i�V ohS U [1b V V i Y ` \�] S [AT t T S [ d$V ohS U [a�] S S [ i \�TAS VpS U [�[ \�T [ dkZ X [j] _ [ i ] q [jw V i^x y z { | } ~ � �JV o!] X X�S U [jY ] S ]^T [ S sju�U W�TAf�[Y [ � \ [k]1\ [ f�[ \�T [ dkZ X [ ���� � ���&��� � ���l� ��� ��j� ����� � � ���&��� ���p��� y�� ��� z { ~ { � �� � � � ~ ��x � � � y �j{ � y!����x { � � { ~ z  1¡�y � � ¢!} |�x � � | ~ x � £{ � | y ¢�} ¤J{ � y!¥ � { { y | z � � � � ¦R \pf!U�] SJo V X X V fATAf�[kf!` X X�] T T W dk[ §�W \ X [ T TAV S U [ i f!` T [�T S ] S [ Yh§�S U�] S1] X X�S U [�a�] S eS [ i \+_ [ b S V i TAU�] _ [�Z�[ [ \+d�[ ] \lT W Z S i ] b S [ Y+] \�Y+f�[�Y i V a+S U [�S ` X Y ]^\ V S ] S ` V \+o V ib V \ _ [ \ ` [ \�b [ s�j� ����� � � ���&��� ¨h�p��� y1©�y � zj� � ��� | y1y | | } |!ª «�¬ ­�} ¤J�J® � { y | ©¯� ¥ ¥�| } ° ~ ©�� { ~ } z+{ }� z+y z � y ©�± � yk} ¤J² y x { } | �1~ �k� y ¡�z�y �j� �ª «�¬ ­ �4� ³ �^�+��´1³ µ � w ¶ s · ��4� ³ ¸ � � �´ ³ µ � w ¶ s ¹ �º�z � y � �+y ° ¥�� ~ x ~ { � �c� { � { y �&} { � y | »�~ � y ¢j»�y^� � � � �J� � � � ©�yp{ � � {k{ � y+z�} | ©¼� ± } ² y+~ �~ zh� � x y �j± ��{ � y1� � � � �h½�� x � ~ � y � z+~ z zhy |�¥�| } � ��x { ¦¾h[ S ¿ T�i [ e [ m ] d�` \ [^V W ija i [ _ ` V W�Tki [ dj] i r Tk` \�S [ i d�T�V o1T W Z�T a�] b [ T s�À+[pdj] tY [ b V dka�V T [ � � � � ` \^S f�V�a ` [ b [ T!] T

��� � ��� ´Á  Ã�Ä�Å � � �Â$Æ �  ��ÇÉÈÁ à ´�Ê Ä Å � � �

ÂËÆ �  � w ¶ s Ì ��&� � � �´ Çc¸ � � �´ w ¶ s Í �u�U [�Z�] T ` T�o V i�S U ` T�_ [ b S V i�[ m a�] \�T ` V \1dj] tJZ�[�W�T [ Y1S V1Y [ � \ [�S U [AT W Z�T a�] b [ T�Î ´��Ï Ð Å Ñ�Ò

Æ � Ä � Ó � � � Ó Æ � ´ � Ô ] \�YlÎ4Õ´ �ÖÏ Ð Å Ñ�ÒÆ � ´�Ê Ä � Ó � � � Ó Æ � È � Ô s&u�U [ T [pT W Z�T a�] b [ TT a X ` SA×$` \ S V�S f�Vka ` [ b [ T × � Î ´lØ Î Õ´f!U [ i [AS U [JS i W \�b ] S [ Y�i [ a i [ T [ \ S ] S ` V \�T � � � �´ X ` [J` \^Î ´ ] \�Y�S U [J[ i i V i�_ [ b S V i T ¸ � � �´X ` [J` \pÎ Õ´ sÀ&U ` X [pS U [^V i S U V q V \�] X�a i V Ù [ b S ` V \lS U [ V i [ dÚS [ X X TkS U [pV i S U V q V \�] X![ m a�] \�T ` V \a i V _ ` Y [ T�]kÛ Z�[ T SA] a a i V m ` d�] S ` V \�Û § ` S!T ] t T�\ V S U ` \ q�] Z�V W S!U V f&S V�� \�YjÎ ´ T W�b US U�] S�f�[^V Z S ] ` \&S U [^Z�[ T S�a�V T T ` Z X [^Z�[ T Sj] a a i V m ` dj] S ` V \�s&u�U W�TkV W i�S ] T rl` T�S VY [ S [ i d�` \ [A]1T ` \ q X [!Z�] T ` T�f!U ` b Uka i V _ ` Y [ T�S U [k} ¥�{ ~ ©�� � � ��± � ¥ � x y�Î ´ o V i�] \ t1X [ _ [ XV o!S i W \�b ] S ` V \�Ü+ÝË®ßÞËàcs+á!q ] ` \�§�V a S ` dj] X�U [ i [jdk[ ] \�T1S U�] S�]^f�[ X X e Y [ � \ [ Y[ i i V iAT U V W X Y�Z�[k]1d�` \ ` dk` â [ YjV _ [ iA] X X�a�V T T ` Z X [1®ke Y ` dk[ \�T ` V \�] X�T W Z�T a�] b [ T sÀ+[�\ V f&b V \ S ` \ W [�V W i�Y ` T b W�T T ` V \kV o�V a S ` dj] X Z�] T [ T�` \kS [ i d�T�V o�]Ao ] dk` X ` ] i�Y ] S ]] \�] X t T ` T�a i V Z X [ dps

Page 5: Colorado State Universitykirby/teaching/pattern/1999/ch3.pdf · b W(d _ W Y>a m u2a c2\ b Y4` jegUW ` We_ YNf \ \>d Y a f qp >` o je_ Y4j2\ d Y4[^H_ Y>_ [kR`] ` j Y \ dU^ d ilY gX[

ã�äkå æ ä�ç èAã�é!ê ç è ëAé æ ëíì îïhð ïòñkóËô�õ ó1öh÷&ñkølù!öh÷húËøhõ úû ü4ý þ ÿ ý���� � ���� � � � ü � � � � � � � ������� ��� ��� ü � � � � � ��� �!ü���� ü � �� ü����� � ü � �� � � � � ��!"� ��� �#��$ % � � &'� ���"� � ü � (#) * þ + ,.-/� � 0��� ��� ��� � � � ü � � ��&�� ü %�� �1� � �� &���� � � � ü �2� � � � 2� ��� �2� 3 � ü � ��� � � %�� � 3 � � � ��� ��� ü � ���04 � ü � � � ��� � � � � � 5 ��� � �1� � &�� ü 6 � � ü�� � � � %�� � � ��5 � � � ü",�û ü7� � � � � 5 � � � ü78/��5 � ü� � � � ���� � &�� � ��� 9 � &�� � ��� 9 � &�� ü � �� %��"� � � � ü": � , � , : � � ��� � � � � � &;� ��< ü�� � ü 4�� � ��= > ? @ A @ B�� � ü ��� � � � � 4 ����5 � � � � 5 � � � ü�� ���� � ü � ,/�1� �/� � � � � &�� ü �181� � �����0� � � &C�� � &�� 81��� �1� � D�� � � ü �/��� � ��� 5 � � 3 � : ��� 5 � < 65 � � � % : 8/��81� �.� �.� � � � � &�� ü ��� � ����� ��� ü � 6 � � &�� ü� � � ü�� �" � �� ��� 5 ��E7F0 ��5 �.� ��� �� � ��� � 5 � &���� � � � � ü GH I E7F2J7E H� �� � � � &�� � ,0-/� � 0� � 5 �� � � ü.��� � &�� � ����� ��� ü�� � � � � ü��.� � ���0�7� � � 5 � � � � ��� ü#� � &�� � �� � � � � ü 4�� ü���� ��5 � &���� � �0� �181� � �.� � � � ��5 � � � 5 � ��� � � � � � 5 � � ,�!ü ��� �2� � ��< � �0� � � � � � 5 � � 1� ü ��� ü�5 � � ü � � � 1� ü�� � ��&�� � � � � ü 4�� �/� � � ��� �� � �8/� � � 6 K ü � 8!ü.&�� � � � �.� �� � � �� L ��� � � 0) M N + ,1! � �1� ü� � � ü�5 � : � � � 1� � 5 � ü � L � ��5 � ü.����� � ��� ��� � � � � &�� ü �0� � �0��� �/� � ü � � �/&�� � � ��� � ����5 � � � � 5 � � � ü�� �"��� � ü � /� % � ü 4�� ü.� � �� � � ü � ,"O#�1��� 4 � ü�� %�� � &�� ü 40� ��� �2� ü�� ü� � &�� � �1� ��P 6 � � � � � 2Q R S"T U V W X�T U V Y Z [U \ F � � �5 � ü ü � 5 � � ��� %�� � ��� � � � � � � ü

X I�] S�^7_ R * , N Y`1� � � :�� �0� 0� � &�� �.� ��� �0� � ��Q S"T U V Z�� � ��K ü � 8!ü�� 9 � 5 � � %�� ü���� � ��Q X�T U V Z� � � � � �����< ��� �8/� � �2� ���� � � � � ,�a2L ��� � � � ü R * , N Y�� �� � ����� �0� � ü ��� ��� �0� � � � � � 1X�� �.S� ü���� � � � � � � � ��� ��� � � ��� � �1� � 4 � � � � ü�� � ü ��� ��X�� ü�S",2b1� 8 8/��&��� �/� � � � � &�� ü �� � ��c A @ B25 � � � 5 � �� � �0� � ����� � � &�� � � � ] � ü��#_� ��5 �#� ��� �0� � � 0� � ü � � �0&�� � � �2� � � 6� ��5 � ���&�� ü � &�� &d� � � � � ,�û ü�� � � ��:�� � 8e8/��5 � � � ��� �.5 � &�� � � � ] � ü���_0� �81��� �� � � � ü 4 � � � � 2 � � ü�� � � ��� � � �/ L ��� � � < � � � ü 4�� �"� � � �081� � ��� � ��&�� � � � ��� � � ��� � �� %��� � � � ü",-/� �� : � �2� � ��� ü � � � � �2� ��� ü 3 � � � 4 � � �1� � D�� � � ü �2��� � � � � � � � � � � �/5 � &�� � � � ü 4�� � �� � � � �/� �"� � �0��� �1� � ü ��� � � � � 9 � &�� � � � ü�� ����5 � � � � 5 � � � ü�� �"��� � ü � ,-/� � 1� � 5 �� � � ü81� � � � � 3 � � � � � �15 � ü ü � 5 � � � ü���� � 8/� � ü�� � � � L ��� � � "� ü����� ��� 5 � � � � 8/� 6 � � &�� ü� � � ü�� �5 � ��� �/� � ����� � � � ü � ü 6 ����f� 3 ��� 9 ��� ü� � � ü",�û ��� 1ü � � � 8/� � � � %�� ��� �0� � � 0� 0� ü ��� �� � ��� � � � � � 3 � � %.� � 8�� 9 � &�� � � �81� � 5 �#��� � &�� ��� ü#� 9 � � � 5 � ��5 � � 5 � � � � � � ü�� �281��� �08/�81� � ��� � � � �1� ��� � � � ��� /� � �0� � � � &�� ��� � 4 � ü 3 � 5 � � � ,-/� �1 � � � � 4 � �� � ü ��� � � � � 9 � &�� � � � ü�� � � 3 � � � �0� %�� � � �2 L ��� � � "� 2� � � � � &�� ü � ��� %5 � &�� � � � ü 4�� � �03 � � � � /� � ] � ü��._�81� � 5 ��&�� ü � &�� g ��� � ��� 3 � � � 4 ��� � � � �h i Hj k I R X T F Vl ] S T F Vl _ Y

H ^�m m m ^�R X T [/V"l ] S T [1V"l _ Y H n R * , þ Y-/� ��L ��� ü � � � %7R X�T F V l ] S"T F V l _ Y�� �� � ��� � D�� � � ü�5 ����� � 8/� � ü#� � ��� 5 � ��� �3 � � � ��� �� � �.� � � �.��� � ü ��X T F V � ü��#� � �o�? p A > A p�3 � � � ��qX T F V IC] S T F V ^�_ ,pû ��� ��# � � � � 4 � �� � � 81� � ��� � � � � 5 � � � � ü7R � �0� � � � � � &r* , ý Y2� �� � ü � � ��� � 4 � � � ��� �� � � 8s� ��� �1� � �0��� �3 � � � � /� � ] � ü��._0� � �04 � 3 � ü�� %

]�Irt [U \ F S�T U V X�T U Vt [U \ F R S T U V YH Wu_ I ÿ R * , ý ÿ Y

Page 6: Colorado State Universitykirby/teaching/pattern/1999/ch3.pdf · b W(d _ W Y>a m u2a c2\ b Y4` jegUW ` We_ YNf \ \>d Y a f qp >` o je_ Y4j2\ d Y4[^H_ Y>_ [kR`] ` j Y \ dU^ d ilY gX[

v vxw y�z�{ |�} y"~ � z � � � �0�z � z0� { � �"z ��� |�� � � ���

� �/� � � � �� � � �

� �1� � � ����� � � �

� ��1� � � � �� � � ��e������� � � ����� ��

��� � �����������1 � � ¡ � ¢ � £ ���� £ ��.��¤0¥2� ¦ ��§�

�������e� � � ����� �¨

© ª « ¬ ­ ¬ ®°¯"± ²�³ ´ µ ²"¶ · ¸ ² ¹ º » º ¼ ½ µ/¹ º ¾ µ ¿ ¾ À ¿/³ ² ¾ ¹ º�¹ Á  ¾ À ² ¹�º ± ²�³ ´ µ ²"´ ¹�à ¶ Ä�Å Â º ² ¿2¸ Æ2Ä�´ µ ´ Ç ´ µ ȶ µ ²"¶ · º ± ²�² À À ¶ À ¹É Ê ËÌ Í ¶ À"É Ê ËÎ Í ¼�¯"± ²�¸ ² ¹ º�Ï/Ð0» º à ¶ À À ² ¹ Å ¶ µ ¿ ¹�º ¶2Ä�´ µ ´ Ä�´ Ç ´ µ È2º ± ²�Ä0¾ È µ ´ º  ¿ ²¶ ·�º ± ²/à ¶ Ä�Å ¶ µ ² µ º¶ À º ± ¶ È ¶ µ ¾ ³ º ¶�º ± ²2¸ ² ¹ º2³ ´ µ ² ¼

Ñ1Ò Ó Ô Ó0Ñ/Ó�Ò�Õ Ö Ó�Õ × × Ø Ù�Ó Ú�Û Ü Ô�× Ý Ù�Þ ß Ý à Ý á â�á Ò�Õ á�á Ò Ó�Ù�Ó Õ ã.Ü Ûá Ò Ó�Ú Õ á Õ�Ý ×1ä Ó Ô Ü�å Ý æ Ó æ åç�èé êë ì"í é î2ï ç�èé êë�ð�í é î2ï�ñ æò ×2ó"Ó Õ Ô × Ü ã�Þ�Ü Ý ã á Ó Ú�Ü Ø á å Ý á2Ý ×Ý ã Ò Ó Ô Ó ã á2Ý ã�á Ò Ý ×Ù�Ü Ú Ó ß á Ò�Õ á ð Ý ×á Ò Ó�Ú Ó Þ�Ó ã�Ú Ó ã áÖ Õ Ô Ý Õ ô ß Ó�Õ ã�Ú#á Ò�Õ á ì Ý ×�á Ò Ó�Ý ã�Ú Ó Þ�Ó ã�Ú Ó ã á�Ö Õ Ô Ý Õ ô ß Ó æ.õ ã7Þ Ô Õ à á Ý à Ó åÒ Ü Ñ/Ó Ö Ó Ô å"Ý á�Ý ×Ü Û á Ó ã�ã Ü á1Õ�× Ý Ù�Þ ß Ó�Ù�Õ á á Ó Ô/á Ü�Ú Ó × Ý ö ã�Õ á Ó�Ü ã Ó1Ö Õ Ô Ý Õ ô ß Ó0Õ ×2á Ò Ó0Ú Ó Þ�Ó ã�Ú Ó ã á/Ö Õ Ô Ý Õ ô ß ÓÕ ã�Ú�á Ò Ó�Ü á Ò Ó Ô1Õ ×á Ò Ó�Ý ã�Ú Ó Þ�Ó ã�Ú Ó ã á æ2÷ Ü Ô2Ý ã�× á Õ ã�à Ó å à Ü ã�× Ý Ú Ó Ô ì í é î á Ü�ô�Ó�á Ò Ó�ß Ó ã ö á ÒÜ Û�× Ü Ù�Ó Ü ã Ó ø ×�ß Ó ö0Õ ã�Ú ð í é î á Ü0ô�Ó/á Ò Ó/ß Ó ã ö á Ò�Ü Û á Ò Ó Ý Ô2Õ Ô Ù�æ�õ á"Ù�Ý ö Ò áô�Ó1à Ü ã ù Ó à á Ø Ô Ó Úá Ò�Õ á�á Ò Ó Ô Ó�Ý ×�Õ�ß Ý ã Ó Õ Ô�Ô Ó ß Õ á Ý Ü ã.ô�Ó á Ñ/Ó Ó ã�á Ò Ó × Ó�ô Ø á�Ý á0× Ó Ó Ù�×1Ô Õ á Ò Ó Ô0Õ Ô ô Ý á Ô Õ Ô â�á ÜÝ Ú Ó ã á Ý Û â�Ü ã Ó�Õ ×/á Ò Ó�Ú Ó Þ�Ó ã�Ú Ó ã á1Ö Õ Ô Ý Õ ô ß Ó æõ á1Ý ×�× Ý Ù�Þ ß Ó0á Ü�Ú Ó Ö Ó ß Ü Þ.Õ ã.Ó ú Ø Ý Ö Õ ß Ó ã á1á Ü�Ó ú Ø�Õ á Ý Ü ã7û ü æ ý þ/Ñ1Ò Ó Ô Ó0Ñ/Ó�Ö Ý Ó Ñ ì Õ ×á Ò Ó�Ú Ó Þ�Ó ã�Ú Ó ã á1Ö Õ Ô Ý Õ ô ß Ó�Õ ã�Ú ð Õ ×/á Ò Ó�Ú Ó Þ�Ó ã�Ú Ó ã á1Ö Õ Ô Ý Õ ô ß Ó å ã�Õ Ù�Ó ß âÿ � �� � ï û ì í ë î���� ð í ë î���� þ ��� � � û ì í è î ��� ð í è î���� þ � � û ü æ � � þ

� Ò Ý ×2Ù�Ü Ú Ó ß�Ý ×ô�Õ × Ó Ú�Ü ã�á Ò Ó�Ó ú Ø�Õ á Ý Ü ã ì ï � ð � Õ ã�Ú�Ý á1× Ø ö ö Ó × á ×á Ò�Õ á/ö Ý Ö Ó ã�á Ò ÓÖ Õ ß Ø Ó ð í é î Ù�Ý ã Ý Ù�Ý ä Ó�á Ò Ó0Þ Ô Ó Ú Ý à á Ó Ú�Ö Õ ß Ø Ó ì í é î Õ ã�Ú.Õ ö Õ Ý ã�á Ò Ó�Ó Ô Ô Ü Ô1Ý ×1Ù�Ý ã Ý Ù�Ý ä Ó ÚÜ Ö Ó Ô�Õ ß ß�á Ò Ó�á Ò Ó0Þ�Ü Ý ã á ×/Ý ã�á Ò Ó�Ó ã�× Ó Ù�ô ß Ó æ� Õ × Ó Ú�Ü ã�á Ò Ó × Ó�à Ü ã�× Ý Ú Ó Ô Õ á Ý Ü ã�×1á Ò Ó ã"å�Ý á�Ý ×1ã�Õ á Ø Ô Õ ß�á Ü.à Ü ã�× Ý Ú Ó Ô0Õ�Ù�Ó Õ × Ø Ô Ó�Ü Ûá Ò Ó1Ó Ô Ô Ü ÔÑ1Ò Ý à Ò�Ú Ü Ó ×"ã Ü á2Ô Ó ú Ø Ý Ô Ó/á Ò�Õ áá Ò Ó1Ö Õ Ô Ý Õ ô ß Ó ×"ô�Ó1á Ô Ó Õ á Ó Ú�Ú Ý ��Ó Ô Ó ã á ß â æ � Ò Ý ×Ý ×1Õ à à Ü Ù�Þ ß Ý × Ò Ó Ú�ô â�� ã�Ú Ý ã ö�á Ò Ó�ß Ý ã Ó0Ñ1Ò Ý à Ò.Ý ×1à ß Ü × Ó × á/Ü ã�Õ Ö Ó Ô Õ ö Ó�á Ü�Ó Ö Ó Ô â�Þ�Ü Ý ã áÝ ã�á Ò Ó.Ú Õ á Õ#× Ó á æ�� Ó Ó�÷"Ý ö Ø Ô Ó.ü æ ü�Û Ü Ô�Õ�ö Ó Ü Ù�Ó á Ô Ý à Õ ß1à Ü Ù�Þ�Õ Ô Ý × Ü ã Ü Û1á Ò Ó.Ó Ô Ô Ü Ô ×Ñ1Ò Ý à Ò.Ù�Õ â�ô�Ó�Ù�Ý ã Ý Ù�Ý ä Ó Ú.Ý ã.á Ò Ó�à Ü ã�× á Ô Ø�à á Ý Ü ã�Ü Ûá Ò Ó0ß Ý ã Ó�Ü Û"ô�Ó × á�� á æ

Page 7: Colorado State Universitykirby/teaching/pattern/1999/ch3.pdf · b W(d _ W Y>a m u2a c2\ b Y4` jegUW ` We_ YNf \ \>d Y a f qp >` o je_ Y4j2\ d Y4[^H_ Y>_ [kR`] ` j Y \ dU^ d ilY gX[

����� � ��� !��"�# � $!" � $&% '(�)+*-,�.0/

132 4 5672 4 5

872 4 5,

(

9;: < =�> ? @ :

A B C D E D FHG�I JLK M N JLO P�Q J R SUT S7M R�P O V N WXQ Y[Z!M N M Z!M \ M N ]�S I JLZ7^ ] N M S V W JLO PU_ `�a b c _�O N^ d J e ^ ] J f�g-h V M d ^ K J N S K Y i S I J^ d J e ^ ] J;Z7^ ] N M S V W J;O P S I J O e S I O ] O N ^ K j e O k J l S M O NUm�a b c�R I O V K WQ JZ7^ n M Z!M \ J W f

o�p7q�p r s tXq u�v�w s x s t r�x y pUzL{ | p }�p ~ ��� x s { tX� ���L��� �L��� ���{ x p7x y�� x ��� s z�s } � wx {�x y pLp � � zL� } pL� q�{ � p � s �| � x ��y�� �!q�p p t[zLp � t�� � q x w � � x p |Xx y p t�{ t pL� � t�� y { vx y�� x x y p�s t x p w � p � x;����� � � p p��;w { q } p z�� � � � ��s w � x v�w s x p!�7� s t r } p���{ s t x;� �;�!� p � x { w� � � � �3� � � � � � � � � � ���X� � �  �} � {�� v�w s x p7x y p7� p � x { w��{ s t x s t rLs t�x y p�| s w p � x s { tX{ ��x y pz�{ | p }-} s t p�� ��¡¢�£� ¤ � � � �¥y ���x y pU} s t pU�L�3� �Xz�� uLq�pUv�w s x x p t[� �x y pU� p � x { w¦ ��§�¡¢v�y p w pU§ �X� � ��� y { v�t�s t[��s r � w pU� � � �¥-{!p � � z�s t p;x y s � ~ � p � x s { t�� � w x y p w � v�w s x p¨ � � � �ª© � � � «7¦ � � � v�y p w p ¦ � � � ��§ � ¡��¥y p w p!s ���U� t s ~ � p7� � } � p7{ � § � v�y s � yX� { w w p � ��{ t�| � x {Lx y p7{ w x y { r { t�� }�� w { ¬ p � x s { t{ �-© � � � { t x { ¦ � � � � ­ xs �;x y s �;� � } � p!{ � § � v�y s � y�� w { � s | p �;x y p!� p � x { w�� } { t r�¡®q�p � x� � � w { � s zL� x s t rX© � � � ��¥y ���U§ � zL� u[q�p�� { � t�|�r p { z�p x w s � � } } u[q u�w p ~ � s w s t rXx y�� x¦ � � � � t�|�¨ � � � q�p7{ w x y { r { t�� } � s � p � �

� ¨ � � � � ¦ � � � � ��� ¯° � q�� x s x � x s t r�¨ � � � �±© � � �«ª¦ � � � vpXy�� � p�x y pX� { } } { v�s t r�� p w s p �U{ �7� � } � � } � x s { t��v�y s � yX� w { � s | p7§ � ²

� © � � � «[¦ � � � � ¦ � � � � ���� � � � � « § � � § � �ª� � � � � « § � � � § � �L���

Page 8: Colorado State Universitykirby/teaching/pattern/1999/ch3.pdf · b W(d _ W Y>a m u2a c2\ b Y4` jegUW ` We_ YNf \ \>d Y a f qp >` o je_ Y4j2\ d Y4[^H_ Y>_ [kR`] ` j Y \ dU^ d ilY gX[

³ ´¶µ ·�¸!¹ º�» ·�¼ ½ ¸ ½ ¾ ¿ À7Á¸  ¸7à ¹ ¿ Ä�¸ Å�Æ º�½ Ç È À�½É Ê�Ë�É Ì Ì Í ÎLÏ Ê Ð�Ñ�Ò�ÓÔ�Õ

Ö-× Ò Ø Ù Ñ Ò�Ú�Û�× Ò Ø Ü�Ù Ñ Ò Ü Ý Ô�ÕÑ�Ò Ô Ö × Ò Ø Ú

Ü Û × Ò ØÞ Ú Ü Ýßà á É â â-ã ä�É ã!å æ ç à É á ä�Ë É ã É�è�æ Ï Ê ã!Ï ã!Ï Ì�ã ä àUé à á ã æ ç�ê × Ò Øë ä Ï á äXÐ Ï é à Ì�ã ä àUà ç ç æ ç ìí ä Ï Ì�Ï Ì-ã ä à å É á ã ë à ë Ï â â Í�Ì à ã æ7Ë à ã à ç ÎLÏ Ê à É Ê à î è ç à Ì Ì Ï æ Ê7å æ ç�ã ä àà Ê�Ì à Î�ï â à É é à ç É Ð àà ç ç æ ç!É Ì�ÉUå Í Ê á ã Ï æ ÊXæ å Ü ìð�à Ê æ ë à é É â Í�É ã à ã ä àUà î è ç à Ì Ì Ï æ Ê�å æ ç�ã ä à Î�É Ð Ê Ï ã Í�Ë à æ å ã ä àUà ç ç æ ç�ñ ê × Ò Ø ñ Ý É ÌÉUå Í Ê á ã Ï æ ÊXæ å�ã ä à â Ï Ê à Ì â æ è à Ü-ò

ñ ê × Ò Ø ñ Ý Ô£ó ê × Ò Ø ô ê × Ò Ø õÔ£ó ö × Ò Ø Ù Ñ�Ò ÷ ô êX× Ò Ø õÔ£ó ö × Ò Ø ô ê × Ò Ø õ Ù Ñ Ò ó ÷ ô ê × Ò Ø õÔ£ó ö × Ò Ø ô êX× Ò Ø õ

ë ä à ç à ë à ä�É é à Í�Ì à ËLã ä à å É á ã�ã ä�É ã ó ÷ ô ê × Ò Ø õ ÔªÕ ì;ø�æ ëñ êX× Ò Ø ñ Ý Ô3ó ö × Ò Ø ô êX× Ò Ø õ

Ô3ó ö × Ò Ø ô ö × Ò Ø Ù Ñ�Ò ÷ õÔ ñ ö × Ò Ø ñ Ý�Ù Ñ Ò ó ö × Ò Ø ô ÷ õÔ3ó Ö�× Ò Ø õ Ý Ú ó Û�× Ò Ø õ Ý�Ù ó Ö × Ò Ø Ú

Ü Û × Ò Ø õ ÝÞ Ú Ü Ýù Ï Ê á à ë à É ç à ã æXÎLÏ Ê Ï Î�Ï ú à ã ä àLà ç ç æ ç!æ é à çUÉ â â;ã ä à Ë É ã É�è�æ Ï Ê ã Ì7Ï Ê�ã ä àLà Ê�Ì à Î�ï â àë à ÎUÍ�Ì ã�û Ê�Ë�ã ä àUü Í�É Ê ã Ï ã ý Ü�þ Ì Í á äXã ä�É ã

ÿ ñ ê ó Ü þ õ ñ Ý � Ô Î�Ï Ê� ÿ ñ ê ó Ü õ ñ Ý � � ó � ì Þ � õð�à û ç Ì ã ë ç Ï ã à ã ä àUà ç ç æ ç à î è â Ï á Ï ã â ýXÉ Ì�É�å Í Ê á ã Ï æ ÊXæ å Ü

ÿ ñ ê ó Ü õ ñ Ý � Ô ÿ Ö Ý Ú�Û Ý�Ù ó ÖLÚÜ Û õ ÝÞ Ú Ü Ý � ó � ì Þ � õ

ë ä à ç à ë à ä�É é à Ë ç æ è è à Ë[ã ä à Ì Í ï�Ì á ç Ï è ã Ì�æ åã ä à Ë É ã ÉLè�æ Ï Ê ã Ì7É Ì!è à ç á æ Ê é à Ê ã Ï æ Ê�ìð�à Ê æ ë ä�É é à É Ê à î è ç à Ì Ì Ï æ ÊUå æ ç;ã ä à�à Ê�Ì à Î�ï â à É é à ç É Ð à;à ç ç æ ç ë ä Ï á ä ë à Î�É ý é Ï à ëÉ ÌÉUå Í Ê á ã Ï æ Ê�æ å�ã ä à Ì â æ è à æ å�ã ä à â Ï Ê à Ü ì í æLË à ã à ç ÎLÏ Ê à ã ä à Ü�þ ë ä Ï á ä�ÎLÏ Ê Ï Î�Ï ú à Ìã ä Ï Ì à ç ç æ ç ë à ç à ü Í Ï ç à� ÿ ñ ê ó Ü õ ñ Ý �� Ü Ô�Õ ó � ì Þ � õ

� Ï � à ç à Ê ã Ï É ã Ï Ê Ð à ü Í�É ã Ï æ Ê ó � ì Þ � õ Ð Ï é à Ì� ÿ ñ ê ó Ü õ ñ Ý �� Ü Ô Ù ÿ � ó Ö�Ú

Ü Û õ Û ó Þ Ú Ü Ý õ Ù � Ü ó Ö�Ú Ü Û õ Ýó Þ Ú Ü Ý õ Ý

� ó � ì Þ õ

Page 9: Colorado State Universitykirby/teaching/pattern/1999/ch3.pdf · b W(d _ W Y>a m u2a c2\ b Y4` jegUW ` We_ YNf \ \>d Y a f qp >` o je_ Y4j2\ d Y4[^H_ Y>_ [kR`] ` j Y \ dU^ d ilY gX[

� � � � � � � � � ��� ��� � ��� � � � ��� ��� � � � � "! #

$ % &(' ) * %,+ - . . / % 0(. 1 / +�- 2 ' $ 34. *(5 - 6 *�$ % &�+ / 7() 3 / 8 9 / % 0(:;-�* < . $ / %= > ?(@BA C D E D4> FG@BA C H E�IJA C > ?�@KA C D E H LGMON P > Q R F S E

T $ U . * 6 / % 0V8 ' 6 . 1 - 6�+ / 7V) 3 / W - +;. 1 / +;- X ) 6 - + + / * %= > ?�@KA C D E > DVIKA C ? E L;MON

8 6 * 7Y:�1 / U 1Z/ .�8 * 3 3 * :[+= > F�IJA C H E ? D�@BA C > D H IJ? H E L;MON

$ % &�U * % + - 2 ' - % . 3 9> F�IKA C H E = ? D L @BA C = D H I,? H LGMON P

\ 8]:;-�& - W % -^ M = ? H L I_= D H L= ? D L

. 1 - %Z:;-�1 $ ` -�8 * 6�* ' 6�* ) . / 7�$ 34` $ 3 ' -�* 8 A C . 1 -V+ * 3 ' . / * % +;. *A C H;@ ^ A C;I_F MON > Q R F a E

:�1 / U 1Z1 $ +;. 1 -�+ * 3 ' . / * % +A Cb M

I ^Zc_d ^ H @Kef > Q R F g E

h - % U - i $ 8 . - 6[+ * 7(-�+ / 7V) 3 / W U $ . / * %A Cb M

= D H L I_= ? H Lf = ? D L c d = ? H IJD H L H @Ke = ? D L Hf = ? D L > Q R F j E

k < + - 6 ` -[. 1 $ .�. 1 - 6 -�$ 6 -�. :;*V` $ 3 ' - +�* 8 A C i / R - R i A Cl $ % & A Cm i :�1 / U 1,+ $ . / + 8 9�. 1 -U * % + . 6 $ / % .�- 2 ' $ . / * % > Q R F e E RZn 1 -(3 / % -�:�1 / U 1K/ +�* 6 . 1 * 0 * % $ 3�. *,. 1 -�` $ 3 ' -(* 8 A C:�1 / U 1,7(/ % / 7V/ 5 - +[. 1 -V- 6 6 * 6[:;* ' 3 &,< -V. 1 -V3 / % -(:�1 / U 1,:;* ' 3 &,U * 6 6 - + ) * % &�. *Z. 1 -:;* 6 + .;` $ 3 ' -�* 8 A4Ro -[% * . -�. 1 $ .;. 1 -�) 6 * U - & ' 6 -�& - + U 6 / < - &(/ %�. 1 / +�+ - U . / * %�/ +;+ * 7V- . / 7(- +;6 - 8 - 6 6 - &. *($ +�p q p r s]s t r u pGu v w r x t u�y F a z R

{4| }�~;�V�[�4���;��~G��� �V�Y�V�J�����B�V����� �,���K�G�[��� ��|o -(% * :YU * % + / & - 6�. :;*,6 - 3 $ . - &J& - 6 / ` $ . / * % +�* 8;. 1 -���$ 6 1 ' % - % � �4* �- ` -�- X ) $ % + / * % Rn 1 -(W 6 + .�$ ) ) 6 * $ U 1,/ +[< $ + - &,* %K7V/ % / 7(/ 5 / % 0Z. 1 -(- 6 6 * 6�. - 6 7�6 - + ' 3 . / % 0Z8 6 * 7�$ %* 6 . 1 * 0 * % $ 3 ) 6 * � - U . / * %(* % . *�$��V� & / 7V- % + / * % $ 3 + ' < + ) $ U - R o -[6 - 8 - 6G. *�. 1 -[& - 6 / ` $ �. / * %B$ +[. 1 -,u � �Vw s r p r �4t q w u�r � � x q r � �Z0 / ` - %J. 1 $ .�. 1 -Z+ ' < + ) $ U - +�$ 6 -(& - W % - &J< 9$Z+ / % 0 3 -(* ) . / 7(/ 5 $ . / * %K) 6 * < 3 - 7 R�n 1 -�+ - U * % &J$ ) ) 6 * $ U 1J) 6 * U - - & +�< 9,7�$ X / 7(/ 5 �/ % 0,. 1 -(7V- $ % � + 2 ' $ 6 -V) 6 * � - U . / * %J* 8;. 1 -�& $ . $�* % . *,+ - 2 ' - % . / $ 3G* % - � & / 7V- % + / * % $ 3+ ' < + ) $ U - + RBn 1 -Z. :;*K$ ) ) 6 * $ U 1 - +�) 6 * & ' U -Z- 2 ' / ` $ 3 - % .V6 - + ' 3 . +V:�1 / 3 -Z) 6 * ` / & / % 0& / � - 6 - % .�/ % . - 6 ) 6 - . $ . / * % +G* 8�. 1 -�) 6 * U - & ' 6 - R

Page 10: Colorado State Universitykirby/teaching/pattern/1999/ch3.pdf · b W(d _ W Y>a m u2a c2\ b Y4` jegUW ` We_ YNf \ \>d Y a f qp >` o je_ Y4j2\ d Y4[^H_ Y>_ [kR`] ` j Y \ dU^ d ilY gX[

� �¡  ¢ £[¤ ¥ ¦ ¢]§ ¨ £ ¨ © ª «�¬£ ­ £�® ¤ ª ¯]£ ° ± ¥ ¨ ² ³ « ¨´4µ ¶4µ ·¹¸�º »Z¼]½ ¾Z¿ À Á  à » Ä ¿ Å�Æ�Ç Ç È Ä Â É ºÊ�Ë ÌÍÌ;ÎVÏ Ë Ð Ñ Ò Ó Î Ô[Õ Ö Î(× Ï Õ Ø × Ù�Ï Ë Ð Ñ Õ Ô Ø Ï Õ Ò Ë ÐZË Ú�Õ Ö ÎVË Û Õ Ò Ü�× Ù]Ý × Ñ Ò Ñ�Ì�Ö Ò Ï Ö]Þ Ú Ë Ô�× Ð ßà�á_âãá_ä Þ Û Ô Ë Ó Ø Ï Î Ñ�×VÛ × Ò Ô;Ë Ú�Ë Ô Õ Ö Ë å Ë Ð × Ù4Ñ Ø Ý Ñ Û × Ï Î Ñ

æèçOéJê_ëì éîíêÕ Ö × Õ;Ü(Ò Ð Ò ÜVÒ ï Î Ñ;Õ Ö Î�ÜVÎ × ÐZÑ ð Ø × Ô Î[Õ Ô Ø Ð Ï × Õ Ò Ë Ð�Î Ô Ô Ë Ô�ñ ò�ó ô õGö[Ò ÷ Î Ð,× Ð�Î Ð Ñ Î ÜVÝ Ù Î�Ë Ú÷ Î Ï Õ Ë Ô Ñ�ø ù�ú û ü ý þû ÿ�� Þ Ì�Ò Õ ÖZÎ × Ï Ö�ù�ú û ü��Zæ × Ð Ó�Ó Ò ÜOæèç ä Þ Ì;Î�Ñ Î Î ��×VÑ Î Õ;Ë Ú]Ý × Ñ Ò Ñ÷ Î Ï Õ Ë Ô Ñ;ø � ú � ü ý �� ÿ�� Ñ Ø Ï Ö(Õ Ö × ÕGÕ Ö Î�Î Ô Ô Ë Ô�Ë Ú4Õ Ö Î[Õ Ô Ø Ð Ï × Õ Î ÓVÎ � Û × Ð Ñ Ò Ë Ð(Ò ÑGÜVÒ Ð Ò Ü(Ò ï Î ÓÒ Ð(Õ Ö Î[Ü(Î × Ð Ñ ð Ø × Ô Î[Ñ Î Ð Ñ Î õ�;Î Ï × Ù Ù Õ Ö × Õ;× Ð ßVÛ × Õ Õ Î Ô Ð(÷ Î Ï Õ Ë ÔGù�ú û ü]Ü�× ß�Ý Î[Ì�Ô Ò Õ Õ Î ÐÌ�Ò Õ Ö Ë Ø Õ�Î Ô Ô Ë Ô�× Ñ

ù ú û ü ç ��� ÿ���

ú û ü� � ú � ü ��;Ö Î�Î � Û × Ð Ñ Ò Ë Ð�Î Ô Ô Ë Ô�÷ Î Ï Õ Ë Ô;Ü�× ß(Ý Î�Î � Û Ô Î Ñ Ñ Î Ó(Ò Ð�Õ Î Ô Ü�Ñ;Ë Ú]Õ Ö Î�Ý × Ñ Ò Ñ�Ñ Ò Ð Ï Î

� ú û üê ç_ù ú û ü�� ù ú û üêç ��� ÿ ê�� �

ú û ü� � ú � ü �� Ð,× ÷ Î Ô × å Î[Ì;Î�Ö × ÷ Î

ñ ò�ó ô[ç�� � � ú û üê � � �ç�� � � ú û üê�� � ú û üê�� �ç�� � ��� ÿ ê�� � �

� ú � ü � �� ÿ ê�� � � ú ü � �

ç�� ��� ! ÿ ê�� � �

� � ú � ü � � ú ü � �

Ì�Ö Ò Ï ÖZØ Û Ë Ð�Ò Ð ÷ Ë � Ò Ð åVÕ Ö Î�Ë Ô Õ Ö Ë Ð Ë Ô Ü(× Ù Ò Õ ß(Ô Î Ù × Õ Ò Ë ÐZå Ò ÷ Î Ñ

ñ ò�ó ô[ç�� ��� ÿ ê�� �

�� �

× Ð Ó(Ö Î Ð Ï Î

ñ ò�ó ô[ç�� ��� ÿ ê�� �

� ù � � ú � ü � � � �

Page 11: Colorado State Universitykirby/teaching/pattern/1999/ch3.pdf · b W(d _ W Y>a m u2a c2\ b Y4` jegUW ` We_ YNf \ \>d Y a f qp >` o je_ Y4j2\ d Y4[^H_ Y>_ [kR`] ` j Y \ dU^ d ilY gX[

" #%$ & ' (%) " ' * #%$+# ,-' . /0#%1%' * 2�3%465 3 & * & 798 :;6< = > ? @A= B%C =-D E�F G6H IKJLD G0F E�E�M�G�H6C ?%NON P Q ? > ? @ORSJLT E�E�M�U�V�PXW C ?OV6Y > = P

Z [6\ ] J�T_^`a b�c�d�eD G6f a g F E�E M G6f a g H U

Jh^`a b�c�d�e

D GKf a g F T E�E M U G6f a g H

i�B j%k�= B P0= < = C l�mXP C ? n k o j%C Y P n P Y Y < Y�N j P0= <A= Y j ?%W C = > ? @A= B P0P p q%C ?%k > < ?+> kZ [�\ ] Jr^`

a b�c�d�eD GKf a g F RXG6f a g H s D t u v w H

xyPXW < mXq j = P-= B PXP > @ P ? z P W = < Y k6GKf { g V6B > W B|mAC } P Z [6\ ] CAmX> ? > mXj m~j%k > ? @+= B P= P W B ? > o j P0< ����C @ Y C ? @ P6mXj l = > q l > P Y k0� � ��k j � � P W =�= <A= B P-W < ?%k = Y C > ? = kKD GKf a g F G6f a g H�J� u+i�B P k P+W < ?%k = Y C > ? = k0P ?%k j Y PA? < ? = Y > z > C l�k < l j = > < ?%k0� < Y-= B P+P p = Y P m+C u+�Kk0j%k j%C l �N P Q ? P-= B P0� j ?%W = > < ?%C l� D G f c�d�e g F s s s F G f ^ g H�Jh^`

a b�c�d�eD G f a g F RXG f a g H���^`

a b�c�d�e � aD D G f a g F G f a g H���� H

� ?+V6B%C =6� < l l < VKk�V�P0P mAq l < �+= B P0? < = C = > < ?�-��D � H�JLD � D � H� � e F s s s F��

D � H� � ^H M s

� =6> k6CAk > mAq l P0P p P Y W > k P0= <+k B < V�= B%C =�X��D ��F ��H�J�v �

C ?%NA= B%C =6@ > z P ?yRS> k6CXk � mXmAP = Y > W0mAC = Y > p�X��D ��F R-��H6J�v R-��s

i�<A< � = C > ?O= B P0P p = Y P mACXV�P0m-j%k =Kk > m-j l = C ? P < j%k l �AY P o j > Y P0= B%C =�X��� � � � D GKf c�d�e g F s s s F GKf ^ g H�J�w� < Y��XJ��S����s s s ��ui�B P0�%P k =6�%C k > k�z P W = < Y k6C Y P0= B P ?Oq Y < z > N P NA� �Ok < l z > ? @� � � � � � J�v RXG6f a g � � a

v G6f a g J�w F> u P u � = B P-P > @ P ? z P W = < Y�q Y < � l P m

R-G f a g J� aG f a g s D t u v � H

Page 12: Colorado State Universitykirby/teaching/pattern/1999/ch3.pdf · b W(d _ W Y>a m u2a c2\ b Y4` jegUW ` We_ YNf \ \>d Y a f qp >` o je_ Y4j2\ d Y4[^H_ Y>_ [kR`] ` j Y \ dU^ d ilY gX[

�  ¢¡ £%¤K¥ ¦%§ £�¨ © ¤ © ª « ¬0­¤ ® ¤0¯ ¥ « °�¤ ±%² ¦%© ³ ´ ¬%©µy¶0· ¶ ¸ ¶ ·6¹ ºA¹ » ¶0¼%½ ¾ ¿ ¾KÀ Á�Â Ã Ä Å-½ ¾�¹ » ¶XÆ0Çy¶ ¿ È ¶ É Ê ¶ Ë ¹ º · ¾ Ì º ·KÆ-Ç|¼%½ ¾ ¿ ¾ ÍÎ�» ¶+½ ¾ ¹ Ï ¹ ¶A· ¶ ½ Ð ¶ ·-ÑA½ Òyº ¼ Ó ¶ Ë ¹-¹ º|¹ » ¶+º ÑX¿ ¾ ¾ ¿ º É�º ¸�¹ » ¶OË º É%¾ ¹ · ½ ¿ É ¹-¹ »%½ ¹-¹ » ¶¶ ¿ È ¶ É Ê ¶ Ë ¹ º · ¾�¼%¶0· ¶ Ô Ï ¿ · ¶ ÐA¹ ºA¼%¶0º · ¹ » º È º É%½ Õ%¿ ÉO¹ » ¶0¸ º · ÑXÏ Õ ½ ¹ ¿ º É+º ¸�¹ » ¶XÇ�½ È · ½ É È ¶Ñ-Ï Õ ¹ ¿ Ö Õ ¿ ¶ ·�Ö · º ¼ Õ ¶ Ñ|Í�Î�» ¿ ¾�Ð ¿ ÐKÉ º ¹�Ð ¿ ¾ · Ï Ö ¹�¹ » ¶�Ð ¶ · ¿ Ê ½ ¹ ¿ º É-È ¿ Ê ¶ É0¹ »%½ ¹�¹ » ¶�Õ ½ È · ½ É È ¶Ñ-Ï Õ ¹ ¿ Ö Õ ¿ ¶ · ¾�º ¸ ¹ » ¶�º ÑX¿ ¹ ¹ ¶ Ð-Ë º É%¾ ¹ · ½ ¿ É ¹ ¾�½ · ¶�¿ É-¸ ½ Ë ¹�× ¶ · º%Í�Î�» ¿ ¾�¿ ¾�¶ ¾ ¹ ½ ¼ Õ ¿ ¾ » ¶ ÐK¿ É-¹ » ¶É ¶ Ø ¹0Ð ¶ · ¿ Ê ½ ¹ ¿ º É�Í6Ù6º ¹ ¶A½ Õ ¾ ºA¹ »%½ ¹6¹ » ¶X· ¶ ¾ Ï Õ ¹ ¿ É È+¾ Ò ÑXÑA¶ ¹ · ¿ Ë0¶ ¿ È ¶ É Ê ¶ Ë ¹ º ·6Ö · º ¼ Õ ¶ ѽ Õ Ú6½ Ò ¾�Ú6¿ Õ Õ�Ö · º Ð Ï%Ë ¶-½A¾ ¶ ¹�º ¸�º%Í É�Í�¼%½ ¾ ¿ ¾�Ê ¶ Ë ¹ º · ¾ ÍÛ6¶ Ö%¶ É%Ð ¿ É È-º ÉA¹ » ¶0¾ ¿ × ¶Kº ¸�¹ » ¶K½ ÑX¼ ¿ ¶ É ¹�Ð ¿ ÑA¶ É%¾ ¿ º ÉOÜ�½ É%ÐX¹ » ¶KÉ Ï Ñ-¼%¶ ·�º ¸�Ö%½ ¹ ݹ ¶ · É%¾�ÞXÌ Ú�¶�¶ ÑAÖ Õ º Ò-¶ ¿ ¹ » ¶ ·�¹ » ¶Xß à á â ã ä ÑX¶ ¹ » º ÐAå Üçæ�Þ0è�º ·�¹ » ¶Ké ê�ë ì é í î ä ÑX¶ ¹ » º Ð�ÍÎ�» ¶ ¾ ¶0¹ ¶ Ë » É ¿ Ô Ï ¶ ¾6½ · ¶-Ð ¿ ¾ Ë Ï%¾ ¾ ¶ ÐA¿ ÉO¸ Ï Õ Õ�Õ ½ ¹ ¶ ·K½ É%Ð+È ¿ Ê ¶ ÉO½-Ï É ¿ ï ¶ Ð+¹ · ¶ ½ ¹ ÑX¶ É ¹�Ê ¿ ½¹ » ¶-¾ ¿ É È Ï Õ ½ ·�Ê ½ Õ Ï ¶XÐ ¶ Ë º ÑXÖ%º ¾ ¿ ¹ ¿ º É�Íð�ñ ò�ñ óõô0ö ÷Oø�÷ ù%ú ÷ û ü ý þ ÿ���� � � � þ � ö� É º · Ð ¶ ·X¹ º Ð ¶ Ê ¶ Õ º Ö�½|¼%¶ ¹ ¹ ¶ ·A¿ É ¹ Ï ¿ ¹ ¿ º É�Ë º É%Ë ¶ · É ¿ É Èy¹ » ¶OÖ · º Ö%¶ · ¹ ¿ ¶ ¾-º ¸K¹ » ¶|Æ-Ƕ ¿ È ¶ É Ê ¶ Ë ¹ º · ¾�Ú�¶�Ë º É%¾ ¿ Ð ¶ ·�½ É º ¹ » ¶ ·�Ð ¶ · ¿ Ê ½ ¹ ¿ º É-º ¸ ¹ » ¶�¶ Ô Ï%½ ¹ ¿ º É%¾�¸ º ·�¹ » ¶�¼%¶ ¾ ¹�¼%½ ¾ ¿ ¾ Í� ¹6Ö · º Ë ¶ ¶ Ð ¾6¾ ¶ Ô Ï ¶ É ¹ ¿ ½ Õ Õ Ò+½ ¾�¸ º Õ Õ º ÚK¾ �

� ¿ É%Ð+¹ » ¶-¼%¶ ¾ ¹6º É ¶ Ý Ð ¿ ÑX¶ É%¾ ¿ º É%½ Õ�¾ Ï ¼%¾ Ö%½ Ë ¶ ��� Í� ¿ É%Ð+¹ » ¶-¼%¶ ¾ ¹6º É ¶ Ý Ð ¿ ÑX¶ É%¾ ¿ º É%½ Õ�¾ Ï ¼%¾ Ö%½ Ë ¶ ���KÚ6¿ ¹ »O¹ » ¶0· ¶ ¾ ¹ · ¿ Ë ¹ ¿ º É+¹ »%½ ¹6¿ ¹¼%¶0º · ¹ » º È º É%½ Õ%¹ º���� Í� ¿ É%Ð ¹ » ¶|¼%¶ ¾ ¹Aº É ¶ Ý Ð ¿ ÑX¶ É%¾ ¿ º É%½ ÕK¾ Ï ¼%¾ Ö%½ Ë ¶�� à Ú6¿ ¹ »�¹ » ¶|· ¶ ¾ ¹ · ¿ Ë ¹ ¿ º É ¹ »%½ ¹� Ã�� ���K¸ º ·K½ Õ Õ������ Í

Î�» ¿ ¾�Ö · º Ë ¶ ¾ ¾�Ú6¿ Õ Õ · ¶ ¾ Ï Õ ¹�¿ É-¹ » ¶6¾ ½ ÑA¶�¶ ¿ È ¶ É Ê ¶ Ë ¹ º ·�Ö · º ¼ Õ ¶ ÑL½ ¾�¿ É-¹ » ¶6¾ ¿ Ñ-Ï Õ ¹ ½ É ¶ º Ï%¾Ð ¶ · ¿ Ê ½ ¹ ¿ º É-º ¸ ¹ » ¶6Ö · ¶ Ê ¿ º Ï%¾�¾ ¶ Ë ¹ ¿ º É�Í�� ÉX¸ ½ Ë ¹ Ì ¹ » ¶6¾ ½ ÑA¶�¶ Ô Ï%½ ¹ ¿ º É-¿ ¾�Ö · º Ð Ï%Ë ¶ Ð-½ ¸ ¹ ¶ ·¹ » ¶-ï · ¾ ¹0¾ ¹ ¶ Ö�Ì%½ ÉO¿ É%Ð ¿ Ë ½ ¹ ¿ º É|º ¸�¹ » ¶-¹ ¿ È » ¹ Õ Ò�� É ¿ ¹K¾ ¹ · Ï%Ë ¹ Ï · ¶-º ¸�¹ » ¶XÕ ¿ É ¶ ½ ·K¹ » ¶ º · Ò Í º ·0¾ ¿ ÑXÖ Õ ¿ Ë ¿ ¹ ÒOÚ�¶-Ú6¿ Õ Õ�½ ¾ ¾ Ï ÑX¶-¹ »%½ ¹K¹ » ¶-¶ ¿ È ¶ É Ê ½ Õ Ï ¶ ¾6Ë º · · ¶ ¾ Ö%º É%Ð ¿ É ÈA¹ ºA¹ » ¶-¼%¶ ¾ ¹¼%½ ¾ ¿ ¾�Ê ¶ Ë ¹ º · ¾6½ · ¶-Ð ¿ ¾ ¹ ¿ É%Ë ¹ ÍÙ6º Ú�Ú�¶6Ð ¶ ï É ¶�¹ » ¶6¼%¶ ¾ ¹�ï · ¾ ¹�¶ ¿ È ¶ É Ê ¶ Ë ¹ º ·��  � Ä ¹ ºK¼%¶6¹ » ¶�º É ¶�Ú6» ¿ Ë »-Ñ+½ Ø ¿ ÑA¿ × ¶ ¾¹ » ¶�ÑX¶ ½ É Ý ¾ Ô Ï%½ · ¶�Ö · º Ó ¶ Ë ¹ ¿ º É-º ¸%½ Õ Õ Ö%½ ¹ ¹ ¶ · É%¾�¿ É-¹ » ¶�¶ É%¾ ¶ ÑX¼ Õ ¶�º É ¹ ºK¿ ¹ ¾ ¶ Õ ¸ Í�ÙK½ ÑA¶ Õ Ò Ìï É%Ð Ñ+½ Ø� � ! " # å � Â� Ä $ % è � &

¾ Ï ¼ Ó ¶ Ë ¹6¹ º å �  � Ä $ �  � Ä è('*) +, È ½ ¿ É�Ì ¹ » ¿ ¾�Ö · º ¼ Õ ¶ Ñ Ñ+½ ÒX¼%¶-¾ º Õ Ê ¶ ÐAÊ ¿ ½-¹ » ¶K¹ ¶ Ë » É ¿ Ô Ï ¶Kº ¸�Ç�½ È · ½ É È ¶6ÑXÏ Õ ¹ ¿ Ö Õ ¿ ¶ · ¾ ͵y· ¿ ¹ ¶-½ ¾�¼%¶ ¸ º · ¶

- � å �  � Ä è(' # å � Â� Ä $ % è � &�.�/ � 0 å �  � Ä $ �  � Ä è . ) 1

'Lå �  � Ä $ 2 �  � Ä è .�/ � 0 å �  � Ä $ �  � Ä è . ) 1Û6¿ 3%¶ · ¶ É ¹ ¿ ½ ¹ ¿ É ÈAÚ-Í · Í ¹ Í�Á� à Ä�Ú�¶0º ¼ ¹ ½ ¿ É

4 � � ! " 5 å � Â � Ä è6'87 2 � Â � Ä .�/ � 7 � Â � Ä '89

Page 13: Colorado State Universitykirby/teaching/pattern/1999/ch3.pdf · b W(d _ W Y>a m u2a c2\ b Y4` jegUW ` We_ YNf \ \>d Y a f qp >` o je_ Y4j2\ d Y4[^H_ Y>_ [kR`] ` j Y \ dU^ d ilY gX[

: ; < = > ? @ : > A ; <B; C > D E�; F > A G�H IKJ H = A = LNM OP Q R SUT V W6X8Y V SKT V W Z[ P \ ] \ ^ _ \�\ ^ ` aU] ` b ] c d ] e \ P QUf Q P g h ] ij` a�_�c ] e ] a a _ Q k�e P c l ` \ ` P c�mKn \�` a�_ a a P e ` _ \ ] lo ` \ ^�_ c�] p \ Q ] i q i�r ` m ] m r�] ` \ ^ ] Q _Bi�_ p ` i�_�P Q _�i�` c ` i�_ m sK] c e ]tg P \ ^�\ ^ ]tg ] a \_ c l o P Q a \Ul ` Q ] e \ ` P c a o ` h h�a _ \ ` a u k�\ ^ ` aK] v q _ \ ` P c�mKw(^ ] c ] p \Ug ] a \Ug _ a ` aKl ` Q ] e \ ` P ca ^ P q h l�a _ \ ` a u k�\ ^ ]�_ g P d ]tQ ] v q ` Q ] i�] c \ aUP u6i�_ p ` i q ijf Q P x ] e \ ` P c�r g q \ o ` \ ^�\ ^ ]_ l l ] l�Q ] a \ Q ` e \ ` P c�\ ^ _ \U` \�g ] P Q \ ^ P b P c _ h�\ PB\ ^ ] g ] a \�l ` Q ] e \ ` P c S T V W mUw(^ q a r \ ^ ]a ] e P c lB] ` b ] c d ] e \ P Q S T y W ` a(u P q c lBQ ] v q ` Q ` c b

iB_ pz { | } ~ � SUT y W � ��� y �

a q g x ] e \K\ P � S T y W � S T y W �6X*� _ c l � S T V W � S T y W �(X8�o ^ ] Q ]�c P o�� T V W ` aK_ a a q i�] lB\ Ptg ] \ ^ ] � c P o�� p ] l � P m c�m�d ] e \ P Q(u P q c l�_ g P d ] m� b _ ` c�r \ ^ ]�it] \ ^ P l�P u���_ b Q _ c b ]Ui q h \ ` f h ` ] Q a(Q ] v q ` Q ] a6q a6\ P � c l�\ ^ ]�] p \ Q ] iB_P u

� y � S T y W �(X � S T y W � R S T y W ����Y y � � S T y W � S T y W �6��� � ��� � S T V W � S T y W � Z[ P o l ` � ] Q ] c \ ` _ \ ` c b o m Q m \ m S T y W o ]�P g \ _ ` c� z { | } � � SUT y W �6X8� RtSKT y W���� Y y SKT y W���� ��SKT V W6X8� Z

sK] c e ] r \ _ � ` c bB\ ^ ] ` c c ] QUf Q P l q e \ o ` \ ^ S T V W o ]te _ c�a ^ P o \ ^ _ \ � itq a \Ug ]t� ] Q Pg ] e _ q a ]�P u�\ ^ ]�P Q \ ^ P b P c _ h ` \ k�e P c l ` \ ` P c�m [ _ it] h k r� S T V W � R S T y W �6��Y y � S T V W � S T y W ����� � S T V W � S T V W �6X8� Z

� q \� SKT V W � SUT y W �(X8�

_ c l� S T V W � R S T y W �(X � R S T V W � S T y W �X � Y V S T V W � S T y W �X8� Z

� a ` c bt\ ^ ] a ] u _ e \ a o ]�^ _ d ] � � SUT V W � SKT V W �(X��u Q P i o ^ ` e ^ o ] e P c h q l ] ��X�� a ` c e ]�� S T V W � X*� mw(^ ] f Q P e ] a aKu P Q l ] \ ] Q i�` c ` c b�\ ^ ]t� � \ ^�g ] a \U] ` b ] c d ] e \ P QKb ` d ] c�\ ^ ] � Q a \U� �8�] ` b ] c d ] e \ P Q a6` aU_ c _ h P b P q a(_ c lB` aK` c d ] a \ ` b _ \ ] l�` c���p ] Q e ` a ]�� m � � m

Page 14: Colorado State Universitykirby/teaching/pattern/1999/ch3.pdf · b W(d _ W Y>a m u2a c2\ b Y4` jegUW ` We_ YNf \ \>d Y a f qp >` o je_ Y4j2\ d Y4[^H_ Y>_ [kR`] ` j Y \ dU^ d ilY gX[

�  ¢¡ £ ¤U¥ ¦ § £�¨ © ¤ © ª « ¬�­¤ ® ¤�¯ ¥ « °�¤ ± ² ¦ © ³ ´ ¬ ©µ�¶ · ¸ ¶ ¹ º »�¼ ½(¾ ¿ ¸�µ À ¾ ¹ Á� Ã�Ä6 Š¹ ÅÆ*Ç È É Ê Ë È Ì�Í Ë Î Ï Ë Ð Ç ÑBÒ Í ËUÉ Ó ÏtÍ Ô É Ð ÕBÈ Ì�Ö È × Ð ×�Ø ÙUÚ Û Ü ÝtÐ ×UÔ Ë Í Þ Ð Î Ï Î�Ö ßBÉ Ó Ï�× Ô Ï à É Ë Ê Õá Ð â Ï â ã�É Ó Ï�Î Ð × à Ë Ï É ÏB× Ï É Í ÒKÏ Ð Ñ Ï Ç Þ È Ì Ê Ï × ä�Í Ò�å�â�æKÏ à È Ì Ì(É Ó È É É Ó ÏBç Ë × É Ï Ð Ñ Ï Ç Þ Ï à É Í Ëè È ×(Ò Í Ê Ç ÎBÖ ßBË Ï é Ê Ð Ë Ð Ç ÑtÉ Ó È É

ê á Ù Ú ë Ü ì í ä î ï(ð�ÕBÈ ñ Ð ÕtÊ ÕÍ Ë ã Ï é Ê Ð Þ È Ì Ï Ç É Ì ß ã É Ó È É ê ò î ë ï(ð�ó ë ð�ÕBÈ ñ Ð ÕtÊ Õ�âKô6Ë Í à Ï Ï Î Ð Ç Ñ�Ð Ç�É Ó Ð ×KÒ È × Ó Ð Í Ç�ã É Ó Ï× Ï à Í Ç Î�Ï Ð Ñ Ï Ç Þ È Ì Ê ÏUÐ ×KÎ Ï ç Ç Ï Î�× ÍtÉ Ó È ÉUó î ðUÕ�È ñ Ð Õ Ê Õ�ã × Ê Ö õ Ï à ÉKÉ ÍtÉ Ó Ï à Í Ç × É Ë È Ð Ç ÉÉ Ó È ÉKÉ Ó Ï È × × Í à Ð È É Ï ÎBà Í Í Ë Î Ð Ç È É Ï Î Ð Ë Ï à É Ð Í Ç�Ù Ú î Ü Ö Ï Í Ë É Ó Í Ñ Í Ç È Ì É ÍBÙ Ú ë Ü â6öKÏ Ç à Ï

ó ëU÷ ó î øù Ó ÏBË Ï ÕBÈ Ð Ç Ð Ç Ñ�Ï Ð Ñ Ï Ç Þ È Ì Ê Ï ×tÈ Ë Ï�Î Ï ç Ç Ï Î�Ð É Ï Ë È É Ð Þ Ï Ì ß�× Ê à Ó�É Ó È ÉtÏ È à Ó�ó úUÐ ×�ÈÕ�È ñ Ð Õ Ê Õû× Ê Ö õ Ï à É6É Í�É Ó ÏUË Ï é Ê Ð Ë Ï Õ�Ï Ç É�É Ó È É6É Ó Ï�È × × Í à Ð È É Ï Îtà Í Í Ë Î Ð Ç È É ÏKÎ Ð Ë Ï à É Ð Í ÇÙ Ú ú Ü Ö Ï�Í Ë É Ó Í Ñ Í Ç È Ì É Í�Ø Ù Ú ë Ü ì ø ø ø ì Ù Ú ú ü ë Ü Ý ø öKÏ Ç à Ï È É(Ï È à Ó�× É Ï Ô�ó ú ÷ ó ú ý ë ã × Í è Ïà Í Ç à Ì Ê Î Ï ó ë�÷ ó î ÷�þ þ þ ÷ ó ÿ ÷�� øù Ó Ï Ë Ï Ò Í Ë Ï�É Ó Ï6Ï Ð Ñ Ï Ç Þ Ï à É Í Ë ×�à È Ç�Ö Ï6Í Ë Î Ï Ë Ï ÎKÇ È É Ê Ë È Ì Ì ß�È à à Í Ë Î Ð Ç Ñ(É ÍKÉ Ó Ï(È ÕtÍ Ê Ç ÉÍ Ò�Þ È Ë Ð È Ç à Ï à Í Ç É È Ð Ç Ï Î�Ð Ç�É Ó Ï Ð ËKË Ï × Ô Ï à É Ð Þ ÏtÎ Ð Ë Ï à É Ð Í Ç × â ù Ó Ï Ô È É É Ï Ë Ç í Ú � Ü Ð ×KÉ Ó Ï ÇÈ Ô Ô Ë Í ñ Ð Õ�È É Ï ÎtÖ ß�É Ó Ï�Ö È × Ð ×6Þ Ï à É Í Ë ×(Ù8à Í Ë Ë Ï × Ô Í Ç Î Ð Ç Ñ É ÍtÉ Ó ÏUÌ È Ë Ñ Ï × É(Ï Ð Ñ Ï Ç Þ È Ì Ê Ï ×Í Ò6åBâ

��À ¸ � ¹  Ã��6 Š¸ Å� É�Ð ×�Ð Ç É Ï Ë Ï × É Ð Ç ÑKÉ Í�à Í Ç × Ð Î Ï Ë�É è Í�× Ô Ï à Ð È Ì à È × Ï ×�É Ó È É�ÕBÈ ßUÍ à à Ê Ë�Ò Í Ë�É Ó Ï(Ï Ð Ñ Ï Ç Þ È Ì Ê Ï ×È Ç Î�É Í�Ð Ç É Ï Ë Ô Ë Ï É(É Ó Ï Ð Ë�× Ð Ñ Ç Ð ç à È Ç à Ï�Ñ Ï Í Õ�Ï É Ë Ð à È Ì Ì ß âó ú(ð*ó Û è Ð É Ó��ð � � � Ç�É Ó Ð ×Uç Ë × É�à È × Ï ã É Ó ÏtÏ Ð Ñ Ï Ç Þ Ï à É Í Ë ×KÈ × × Í à Ð È É Ï Î è Ð É Ó�É Ó Ï × ÏÏ Ð Ñ Ï Ç Þ È Ì Ê Ï ×UÈ Ë ÏtÇ Í ÉUÊ Ç Ð é Ê Ï ã�È Ì É Ó Í Ê Ñ Ó�É Ó Ï�× Ê Ö × Ô È à ÏtÉ Ó Ï ß�× Ô È Ç�Ð × â���Ï è Ð Ì Ì6× Ï ÏÖ Ï Ì Í è É Ó È ÉBÉ Ó Ð ×�ÕBÈ ß�È Ì × Í�Ö Ï�Ð Ç É Ï Ë Ô Ë Ï É É Ï Î�È ×tÏ È à Ó8Î Ð Ë Ï à É Ð Í Ç8× É Í Ë Ð Ç Ñ�Ï ñ È à É Ì ßÉ Ó Ï�× È Õ�ÏtÈ Õ�Í Ê Ç ÉUÍ Ò6Ð Ç Ò Í Ë ÕBÈ É Ð Í Ç�â � Ò6É Ó Ï Ë ÏtÏ ñ Ð × É ÈB× Ï ÉUÍ Ò���Ï é Ê È Ì�Ï Ð Ñ Ï Ç Þ Ï à É Í Ë ×É Ó Ï Ç�É Ó Ï ß�Î Ï ç Ç Ï�È�Ê Ç Ð é Ê Ï�� � Î Ð Õ�Ï Ç × Ð Í Ç È Ì6× Ê Ö × Ô È à ÏtÈ Ì É Ó Í Ê Ñ Ó�É Ó ÏtÏ Ð Ñ Ï Ç Þ Ï à É Í Ë ×É Ó Ï ÕB× Ï Ì Þ Ï ×KÈ Ë Ï�Ç Í ÉKÊ Ç Ð é Ê Ï âó ú�ð � Ò Í ËU× Í ÕtÏ�� � � Ç�É Ó Ð ×U× Ï à Í Ç Î�à È × Ï ã É Ó Ï Ë Ï�Ð ×KÇ Í�Þ È Ë Ð È Ç à Ï�Ð Ç�É Ó Ïtà Í Í Ë Î Ð Ç È É ÏÈ Ì Í Ç ÑBÉ Ó Ð ×�Î Ð Ë Ï à É Ð Í Ç�â öKÏ Ç à Ï è ÏtÕ�È ß�à Í Ç à Ì Ê Î ÏtÉ Ó È É�Ç ÍBÐ Ç Ò Í Ë Õ�È É Ð Í Ç�Ð ×UÔ Ë Ï × Ï Ç ÉÈ Ç Î�É Ó Ð ×Kà Í Í Ë Î Ð Ç È É Ï�Õ�È ßBÖ Ï × È Ò Ï Ì ßBÉ Ë Ê Ç à È É Ï Î�â��� �������������� !��6µ"!�����#%$ �&�8µ"'#%(���)� *�&+�! �%���,$ µ"�� Ç�É Ó Ð ×(× Ï à É Ð Í Ç è ÏUÍ Ê É Ì Ð Ç Ï�É Ó ÏUÊ × Ï Ò Ê Ì�Ô Ë Í Ô Ï Ë É Ð Ï ×6Í Ò�É Ó Ï%-%.�Î Ï à Í ÕtÔ Í × Ð É Ð Í Ç�â ù Ó ÏÒ Ë È ÕtÏ è Í Ë /�Í ÒUÉ Ó Ï�Í Ô É Ð ÕBÈ Ì(Í Ë É Ó Í Ñ Í Ç È Ì6É Ë È Ç × Ò Í Ë ÕBÈ É Ð Í Ç�Ð × Ï × Ô Ï à Ð È Ì Ì ß�Ë Ð à Ó�ã(È Ç ÎÉ Ó Ï�Í Ô É Ð Õ�È Ì Ð É ß�à Í Ç Î Ð É Ð Í Ç�É È / Ï ×6Í Ç�ÕBÈ Ç ß á Ï é Ê Ð Þ È Ì Ï Ç É äKÈ × Ô Ï à É × â

Page 15: Colorado State Universitykirby/teaching/pattern/1999/ch3.pdf · b W(d _ W Y>a m u2a c2\ b Y4` jegUW ` We_ YNf \ \>d Y a f qp >` o je_ Y4j2\ d Y4[^H_ Y>_ [kR`] ` j Y \ dU^ d ilY gX[

0 1 2&1 3 4&5�6 3 7 6 1 3�8 9 1 :%7&;�8 <&1�= 5�1 >&6 4&2 : 9 7 2@? A

B�C D E�F C G H I�J K�J L&JNM&O P�QSRTQVU�W X Y Z [N\]Z ^�Y P _ P Y Y P `aX bNW ^"X O P�P c ^ P U�d e PaW f P Y gW h P `Ni b f W Y Z W c&i P"U�W X Y Z [ jlk X�Z ^%^ m U"U�P X Y Z i�W c�`a` P X P Y U"Z c�P ^"W c*b Y ` P Y P `�^ P Xlb _�Qb Y X O b h b c�W e�P Z h P c&f P i X b Y ^"n�Z X OTW ^ ^ b i Z W X P `aY P W e�P Z h P c f W e o P ^ jp�q rNs t u u t vlw x yz { t z&r { | }*w ~�� � | �&� u u }*| { � rNs t {a� x }�� � | �~ r |�vlq w � q�q&� ~"� r { t

� r � x��B�C D E�F C G H I�J K�J ��J%��b Y"W c*P c ^ P U�d e P"b _��,o&i X o W X Z c haf P i X b Y ^ �lX O P"i b b Y ` Z c�W X P"f W e go P ^�� �aW Y P%� P Y bab c*W f P Y W h P jaM b"^ P P�X O Z ^�n�Y Z X P

� � � �,� � � �,� ��� � � � �� � � � � � � � � � �� � � � � � � � �� �

B�C D E�F C G H I�J K�J I�JNM&O Pl����P [ � W c ^ Z b cTi b P ��i Z P c X ^�W Y P�o c&i b Y Y P e W X P `"b cTW f P Y W h P �Z j P j �

� � � � � ��� �n�O P c��N��  �j

� � � � � �,� � � �,� ��� � � � � �,� ��� � � � �� � � � � � � � ����¡�� � � � � �� � � � � � � � ����¡ � � � � � �� � � � � � � \ � � � � �� � � � � � � ¢ � � � � � �� ¢ � £ � �

¤ x"z&� { | w � � u � { ¥ � � � � � ��� � vlq r x��N��  ���¦lu | q t � y q"| q r�� � | ��w ~�� x&� t { { r u � | r �ab cW f P Y W h P�w xa| q r%§%¨� t t { � w x&� | r%~ } ~ | r � ¥ w |�w ~,z&t ~ ~ w © u r�| q&� |,| q r�� � | �%w ~�� t { { r u � | r �t x*~ � ©&~ r | ~%t s,| q r�| t | � u�r x&~ r � © u r ��ªl� y&� ¥�w x*�a| w � r « ~ r { w r ~%~ r | | w x yNw |%w ~�z&t ~ ~ w © u rs t {�| q r�� � | �a| tNq&� ¬ ra~ q t { |�| w � ra� t { { r u � | w t x&~�w x*| q r�§�¨�©&� ~ w ~%� t t { � w x&� | r ~ ��¤ s­®S¯�®]| q r xNv�r � � }avl{ w | r � � � � � ��°± �� � �B�C D E�F C G H I�J K�J ²�JNM&O P�P Z h P c&f W e o&P ^"b _�\]W Y P�c&b c&g c&P h W X Z f P

¢ �%� � � ³� �l´ � �_ b Y��"�¶µ,· · · Q�jp�q w ~�s t u u t v�~�� w { r � | u }Ns { t � | q r"z { r ¬ w t �&~lz { t z&r { | }as t {�| q r�� � ~ r%�a�¶ ��%¸lt | r

| q&� |�| q r�x � � ©&r {�t s�x t x « � r { t"r w y r x ¬ � u � r ~,w ~�r ¹ �&� u�| t"| q r%{ � x º�t s�| q r � � | { w »a¼vlq w � q�w xa| � { xar ¹ �&� u ~,| q r%� w � r x&~ w t x�t s�| q r%~ z&� � r%~ z&� x x r ��© }"| q r�� � | ��~ r | �,½ r r½ r � | w t xT¾ � ¿%s t { � t { r�� r | � w u ~ �

Page 16: Colorado State Universitykirby/teaching/pattern/1999/ch3.pdf · b W(d _ W Y>a m u2a c2\ b Y4` jegUW ` We_ YNf \ \>d Y a f qp >` o je_ Y4j2\ d Y4[^H_ Y>_ [kR`] ` j Y \ dU^ d ilY gX[

À ÁàÄ&Å�Æ Ç&È Ä�É Ê Å Ê Ë Ì Í%ÎÅ Ï Å%Ð Æ Ì Ñ�Å Ò&Ó Ç&Ê Ô Õ Í&Ê

Ö ×�Ø ÙlÚ Û Ù Ü"Ý&Ü Ù Ù Ø Þ Û ß%× Ü�à Ø ß áâÜ ã älå ß ä Ø à Ú × Ø Ü æNÚ Ù�çaÚ è Ø ç�Ø é Ø æ ê�× ë ß%à Ú ä Ø Ú æ&ì ß�Ú Û Ü æ êß Ú ì ëNì Ü Ü ä å Ø æ&Ú × ß%å Ø ä ß ì × Ø Ü æ�í Ù ã Þ&î ß ì ×l× Ü�Ü ä × ë Ü ê Ü æ&Ú Û Ø × ï�ì Ü æ&Ù × ä Ú Ø æ × Ù ðñ�ò ó ô�õ ò ö ÷ ø�ù ú�ù ú�ù%û�ü ýlþ�ÿ � ��� � � � ý � � � ÿ �� � � � �� � ÿ � � � � � � � � � � ��� � ý � � ��� ÿ%ü ��� � ÿ���� �� ü ü ý � � ��� � ÿ�� � ý ÿ � � � ü ��� ���&ý ü � ü ý � � ü ��� ��� ü�� � ÿ � � �Tÿ � � ÿ � � � � � ÿ�ü ������ß�álä Ø × ß"× ë ßaÙ × Ú × Ø Ù × Ø ì Ú Û,à Ú ä Ø Ú æ&ì ß"Ü ��× ë ß � × ë�ì Ü Ü ä å Ø æ&Ú × ßaå Ø ä ß ì × Ø Ü æÜ à ß ä%× ë ßß æ&Ù ß ç"Þ Û ß%Ü ��Ý&Ú × × ß ä æ&ÙlÚ Ù�à Ú ä ! " # $�álë ß ä ß

à Ú ä ! " # $ %'&(*) &+,- .�/ ! " 0 - 1# )32 " # 4 $ 5

% ((*) & &(+,- .�/ ! " 0 - 1# $ 5% ((*) & 2 " 5# 4 %

((*) &�6 #7�ë&Ú ×lØ Ù íà Ú ä ! " # $98 6 #álë ß ä ß%á�ß%ã&Ù ß åa× ë ß:� Ú ì ×2 " # 49%*; ð

ñ�ò ó ô�õ ò ö ÷ ø�ù ú�ù <�ù�=�� ÿ�ÿ � � ÿ � � � � � ÿ �aü ��>?� � � ÿ��aþ�ÿ � � � ý ÿ�ü �:� � ÿ � ý � ��� � � � ü �*ÿ ý @ý ü ý �

A B C D %FE,# .�G9H�/ 6 # ! I ð J J $K ã Þ&Ù × Ø × ã × Ø æ ê�× ë ß�ß Ø ê ß æ à ß ì × Ü älß L ã&Ú × Ø Ü æM� N 0 # 1 % 6 # N 0 # 1 í Ø æ × ÜA B�C D %OE,# .�G9H�/ ! N 0

# 1 P � N 0 # 1 $× ë ß æ�í

A B C D %FE,# .�G9H�/ ! N 0# 1 P 6 # N 0 # 1 $ ! I ð J I $

%FE,# .�G9H�/ 6 # ! I ð J Q $ñ�ò ó ô�õ ò ö ÷ ø�ù ú�ù R�ù�=�� ÿ�STU� � � � ��� � ��� � ý ÿ �aþ�ü ý ÿ�� � � � � � � � � � �9� � ý � � ��� ÿV� � � �*� � Wü � � ÿ ýV� � � � � �MT�ÿ ��X Y 0 Z 1 [ EZ .�/ � ÿ�� � Wü � � ÿ ý�� � � � �:� ü ý�� � ÿV� ���&ÿ ý:�&ý ü � � � ��� � � � ÿ \� ����],ý � � ÿ� � ÿ�^�@ � ÿ ý þ ÿ _ � � � � � ü ��� ü ý � �ÿ � ÿ þ�ÿ � �lü ��\`� �

a 0 - 1G % G,# .�/�b 0 - 1# Y 0 Z 1 c

Page 17: Colorado State Universitykirby/teaching/pattern/1999/ch3.pdf · b W(d _ W Y>a m u2a c2\ b Y4` jegUW ` We_ YNf \ \>d Y a f qp >` o je_ Y4j2\ d Y4[^H_ Y>_ [kR`] ` j Y \ dU^ d ilY gX[

d e f�e g h�i j g k j e g�l m e n:k�ol p�e�q i e r�j h�f n m k fts su v w9x�v y z�{}| ~ �z � �

��z ���y z:� ��z �����

z � � � � � ���� � � v � � � � � � �V��� v xM� � � � � � � �� � v���*  � � � � ¡¢V£ ¤9¥�¦ § ¦ ¨�¥3©�ª ©�ª«­¬ � � � � v ��� � � � � ¬ � ®   v � ¯ � x � � � � � ® x�� � � �M� x ° � ¯ � � x �:� ±:²´³¶µ� ·�¸ � � v � � � � � � x �V¹ � ¹ � � ¹�¸ v ¯ · � � � � � ® x ® ±:� � v° v ¹ � ® ¯ ²*� � � � � ®V� x µ3¡º�» ¨ ¼ £ » § ½*©�ª ¾�ª ¿�ª�À ±�µ`� � � � ¯ � x � � � � � ® x�� � � �:� x�° � ¯ � � x � ¬ � � � � v � Á�� � v x � � v ® ¸�� � · � �v �  v x�° v ¹ � ® ¯ � � ¯ v � � v:à ® � ¯ � v ¯ ° v ¹ � ® ¯ � Á9� ¡ v ¡ Á9� � x � � ® � ¬ � ¡Ä�Å Æ�Ç È È É Ê Ë Ì Å Í Î Ç Ï�Ç Ð�Ñ Å Ò Í Ç Ë Ð � � Ó � Ô ��Õ Î Ö�Ï × Ø Ë Ê�Í Ê Ù Ð�Ï È Ù Í Ç Ë Ð�Ù È È Ú:Ç Ð Ì Ù Ê Ç Ù Ð Í�Û Ù Í Ù ×Í Î Å:Û Ç Ï Ò Ê Å Í Å:Ü Ë Ö Ê Ç Å Ê9Í Ê Ù Ð�Ï Ø Ë Ê ÝUÉ Ê Ë Ì Ç Û Å Ï9Ù ÐVÙ Ð�Ù È Ù Ú Í Ç Ò Ù È Ø Ë Ê ÝÞØ Ë Ê Í Î Å�ß�Å Ï Í ß�Ù Ï Ç Ï �à�á â ã ã ä�ã�å æ ç�ã è é ä�ê ëì Ï Í Ù Ð�Û Ù Ê ÛMÝ Å Ù Ï Ö Ê ÅË Ø9Ç Ð Ø Ë Ê Ý�Ù Í Ç Ë ÐMÇ Ï�É Ê Ë Ì Ç Û Å Û�ß ÚMÑ Î�Ù Ð Ð Ë Ð�í Ï�Å Ð Í Ê Ë É Ú�Æ�Î Ç Ò ÎÇ Ï�Û Å î Ð Å Û�Ù Ï ï {}ðòñ� � ����ó � È Ð ó �Æ�Î Å Ê Å ô ñ� ��� ó �

{ Ô ��õ Ø�Æ ÅÇ Ð Í Å Ê É Ê Å Í�Í Î ÅÐ Ë Ê Ý�Å ÛVÅ Ç ö Å Ð Ì Ù È Ö Å Ï Ë Ø�Í Î Å Ò Ë Ì Ù Ê Ç Ù Ð�Ò ÅÝ�Ù Í Ê Ç ÷ ø� � � �

{� � � �ô ñz ��� � �

z �Ù Ï�Í Î Å�É Ê Ë ß�Ù ß Ç È Ç Í Ç Å Ï ó � ×�Í Î Å Ð�Ç Í:Ç Ï:É�Ë Ï Ï Ç ß È Å Í ËMÏ Î Ë Æ}Í Î�Ù Í:Í Î ÅVù:ú¶Å Ç ö Å Ð Ì Å Ò Í Ë Ê ÏÙ Ê Å:Ë É Í Ç Ý�Ù È�Ç ÐMÙ ÐVÇ Ð Ø Ë Ê Ý�Ù Í Ç Ë ÐVÍ Î Å Ë Ê Å Í Ç Ò:Ï Å Ð�Ï Å × Ç � Å � × Í Î Å ÚVÝ�Ç Ð Ç Ý Ç û Å ïýü � Ô þ �Õ Î Å:Ï Ç ö Ð Ç î�Ò Ù Ð�Ò Å�Ë Ø�Ñ Î�Ù Ð Ð Ë Ð�í Ï9Å Ð Í Ê Ë É ÚVï­Ç ÐVÍ Î Ç Ï Ò Ë Ð Í Å ÷ Í Ç Ï9Í Î�Ù Í Ç Í É Ê Ë Ì Ç Û Å ÏÙ Ý Å Ù Ï Ö Ê Å:Ë Ø�Í Î Å Û Ç Ï Í Ê Ç ß Ö Í Ç Ë ÐMË Ø�Í Î ÅÝ�Ù ö Ð Ç Í Ö�Û Å:Ë Ø�Í Î ÅÅ Ç ö Å Ð Ì Ù È Ö Å Ï × Ë Ê�Å Ð Å Ê ö Ú ×Ù Ò Ê Ë Ï Ï�Í Î ÅVÒ Ë Ë Ê Û Ç Ð�Ù Í Å Ï�Ë Ø Í Î Å ß�Ù Ï Ç Ï �:õ Ð�É�Ù Ê Í Ç Ò Ö È Ù Ê ×�Ç Ø9Í Î Å�É Ê Ë ß�Ù ß Ç È Ç Í Ç Å Ï�Ù Ê Å�Ù È ÈÒ Ë Ð�Ï Í Ù Ð Í Æ�Ç Í Îó �{ ÔÿØ Ë Ê�Ù È È�� { Ô � � � ÿ × Í Î Å Ð ï { È Ð�ÿì È Ï Ë�× Ç Ø � ó � { Ô Ç Ø�� { Ô �

ó �{�� Ç Ø Ô�� � � ÿÍ Î Å Ð ï {�� �

Page 18: Colorado State Universitykirby/teaching/pattern/1999/ch3.pdf · b W(d _ W Y>a m u2a c2\ b Y4` jegUW ` We_ YNf \ \>d Y a f qp >` o je_ Y4j2\ d Y4[^H_ Y>_ [kR`] ` j Y \ dU^ d ilY gX[

�� ���� ��� �� � � � � � ���� � ��� � � ��� ��� ��� ! ���" # #%$ & ' (�) * +�,.- + * * )�* )�/ 0 # 1 #�) , 2 / 1 34 5 / 0 # 1 #�/ 67*8# 9 / + # :.#.2 , 1 # 1767#.2 , 5 1 # #;/ 0�, /=< )>, ? ?�/ 0 #;# < @ # 5 A , ? B # 1=, + #�# C B�, ?/ 0 # 5 / 0 # + #�< 1 5 *82 * :8- + # 1 1 < * 5 * )�< 5 ) * + :%, / < * 5�D < 3 # 3 D / 0 # + #�< 1 5 *.- + # ) # + + # E%2 * * + E < F5 , / #;E < + # 2 / < * 5 , 5 EHGI< 1=,.:%, 9 < :.B :H3=J 5 / 0 #;* / 0 # +�0�, 5 E D < )�/ 0 # + #;< 1=* 5 ? K%* 5 #5 * 5 F L # + *=# < @ # 5 A , ? B # D / 0 # 5 , ? ? / 0 #7< 5 ) * + :%, / < * 5 < 1�2 * 5 / , < 5 # E�, ? * 5 @=* 5 #72 * * + E < 5 , / #, 5 E%GI< 1=,.:.< 5 < :.B :H3M�N O P7Q N R S�T�U V�U W�UHX�Y Z�[8\ ] Y ^ _�Z _�` a�b�cZ d Z.e \ f g f;h.g _ g h.g i Z f;j Y \ _�_�b _�k f.Z _�l ] b m�n op7] b b q o.r * ? ? * 6=< 5 @s$ t t ( D 2 * 5 1 < E # +�, 5 , + u < / + , + KH*�3 5 3;u�, 1 < 1�vw) * +�/ 0 #%E , / ,%1 # /�x2 * 5 1 < 1 / < 5 @8* )�* + E # + # E A # 2 / * + 1=y z8{ | } ~ �| ��� , 5 E%/ 0 #;# 9 -�, 5 1 < * 5 ) * +=���%x D < 3 # 3 D� { � }>� ��| ����� { � }| z8{ | }� < / 0s+ # 1 -�# 2 /�/ *%/ 0 < 1�u�, 1 < 1 D / 0 #./ * / , ? A , + < , 5 2 #;* )>/ 0 #.� � / 0s2 * * + E < 5 , / #;< 1�@ < A # 5u K � { | }>��� � �| �, 5 E8/ 0 # 5 * + :%, ? < L # E A , + < , 5 2 #�u K �� { | }>� � { | }� �� ��� � { � }r B + / 0 # + :.* + # D 67#;, 1 1 B :.#�/ 0�, /7/ 0 #�u�, 1 < 1�y z { | } ~ �| ��� < 17* + E # + # E%, 2 2 * + E < 5 @;/ *8/ 0 #A , + < , 5 2 # � { � }>� � { � }7��� � � � � { � }7��� �� 0 #�/ * / , ?�# 5 / + * - K8:%, K8u�#;6=+ < / / # 5 , 1=,.) B 5 2 / < * 5 * )�/ 0 #�u�, 1 < 1G�� v=� ��� ��| ����� { | } ? 5 �� { | } �� # 2 , B�1 #�/ 0 #.����1 K 1 / # : :8, 9 < :.< L # 17/ 0 # A , + < , 5 2 #�67#�0�, A #|�¡ ���

�� { ¡ }7¢ |�¡ ����£�{ ¡ }¤ * 6�E # ¥ 5 #7/ 0 < 1�? # ) /�/ # + :¦, 1�§ | � �¨|¡ ���

�� { ¡ } 3 � 0 < 1�C B�, 5 / < / K;2 * + + # 1 -�* 5 E 1�/ *�/ 0 #) + , 2 / < * 5 * ) A , + < , 5 2 #;+ # - + # 1 # 5 / # EHu KH/ 0 #.¥ + 1 /��H2 * * + E < 5 , / # 1 3 ¤ * 6�/ 0 #.# 5 / + * - K:8, K%u�#�+ # 6=+ < / / # 5 , 1 G ��� ��| ��� � § | � § | ©�� � ? 5 � § | � § | ©�� �

Page 19: Colorado State Universitykirby/teaching/pattern/1999/ch3.pdf · b W(d _ W Y>a m u2a c2\ b Y4` jegUW ` We_ YNf \ \>d Y a f qp >` o je_ Y4j2\ d Y4[^H_ Y>_ [kR`] ` j Y \ dU^ d ilY gX[

ª « ¬�« ­ ®�¯7° ­ ± ° « ­�² ³ « ´�±�µ;² ¶�«�· ¯7« ¸�° ®�¬ ´ ³ ± ¬º¹ »¼�½8½ ¾ ¿ À Á ÂH¿ à Ä;Ä Å ¿ Æ Ä Ç%À;È7Ä;É Á Ê�Ä Æ Ä Â ¿ Á À ¿ ÄË�ÌË�Í�ÎÐÏ�ÑÓÒÔÕ Ö�× Ø Ë�Í ÕË�Í�ÎÙÑ Ë�Í Õ Ú�×Ë�Í�ÎIÛ Ø Ü7ÝsÞ Â Ø Í Õ Ñ Í Õ Ú�× Û ÛÏ Þ Â�ß Í Õ à�× Ñ Í ÕÍ Õ Ñ Í Õ Ú�× áâ ¿=Á ã=À ÂHÄ Å Ä Æ ä Á ã Ä�¿ ½8å Ä Æ Á æ ç8¿ Ã�À ¿ Í Õ à�× Ñ Í ÕÍ Õ Ñ Í Õ Ú�×%è Ü Ø é ê ë ì Ûæ Æ ½ ÇÐÈ=à Á ä ÃHÈ7Ä;ä ½ Â�ä Þ í É Ä�¿ Ã�À ¿ Ë�ÌË�Í�Î è¨îã ½ Ì Á ã%À�É Ä ä Æ Ä À ã Á  ï�æ í Â�ä ¿ Á ½ Â�½ æ Í�Î ê ¼7à í ã ð Ì Á ã%Ç.Á  Á Ç8Á ñ Ä É¨È=Ã Ä Â Í�Î Á ãÇ8À Å Á Ç.Á ñ Ä É�ð ¾ í ¿=¿ à Á ã7Á ã7Ä Å À ä ¿ Þ ç%¿ à Ä�ò Æ ½ ò�Ä Æ ¿ ç8½ æ�¿ à Ä.ó�ôs¾�À ã Á ã ê=õö�÷ ø ù ú û ü ý þ�ùHÿ>÷ ý ü � ÷ ý ûâ ¿�Á ã>ä ½ Ç8Ç.½ Â8Á Â%ã ½ Ç8Ä�À ò ò Þ Á ä À ¿ Á ½ Â�ã�¿ ½;Æ Ä æ Ä Æ�¿ ½;¿ à Ä�ã ¿ À ¿ Á ã ¿ Á ä À Þ å À Æ Á À Â�ä Ä�À ã�� ��� � � �ï Á å Ä Â8Á ¿7Á ã7À;Ç.Ä À ã í Æ Ä=½ æ�À Ç8ò Þ Á ¿ í É Ä ã7ã � í À Æ Ä É ê �ã Á  ï.¿ à Á ã>¿ Ä Æ Ç8Á  ½ Þ ½ ï ç ð ¿ Ã Ä�¿ ½ ¿ À ÞÄ Â Ä Æ ï ç8Á ÂH¿ à Ä;É À ¿ À.Á ã�É Ä Â ½ ¿ Ä É Ò Ï ÒÔ � Ö�× � � ¼7à Ä�Ä Â Ä Æ ï ç%ä À ò ¿ í Æ Ä É%¾ çHÀ��п Ä Æ Ç Ä Å ò�À Â�ã Á ½ ÂHÁ ã7ï Á å Ä ÂH¾ ç�� Ï �Ô � Ö�× � � ¼>ç ò Á ä À Þ Þ ç ð æ ½ Æ7ò í Æ ò�½ ã Ä ã�½ æ�ä ½ Ç8ò�À Æ Á ã ½ Â�ð È7Ä�È=Á Þ Þ ¾�Ä�Á  ¿ Ä Æ Ä ã ¿ Ä É.Á Â8¿ à Ä� ½ Æ Ç8À Þ Á ñ Ä ÉÄ Â Ä Æ ï ç��� Ï �� Ò�=½ È�½  Ä;ä À  À Þ ã ½.Á  ¿ Ä Æ ò Æ Ä ¿=¿ à Ä�� í À  ¿ Á ¿ ç�� � Ï � � ÒÀ ã8¿ Ã Ä ò Æ ½ ¾�À ¾ Þ Á ¿ ç�¿ Ã�À ¿%À�ò�À ¿ ¿ Ä Æ Â�Á ã%ä ½  ¿ À Á Â Ä É�Á ¨¿ à Ä�ã í ¾�ã ò�À ä Äsã ò�À Â Â Ä É¨¾ ç¿ Ã Ä.Ä Á ï Ä Â å Ä ä ¿ ½ Æ���� � � ê �=½ ¿ Ä8¿ Ã�À ¿�¿ à Ä8 ½ Æ Ç%À Þ Á ñ Ä ÉHÇ8Ä À Â�ã � í À Æ Ä;Ä Æ Æ ½ Æ�Á ã�Æ Ä À É Á Þ çÀ å À Á Þ À ¾ Þ Ä�À ã � � Î�� � Ï ÒÔ� Ö � à�× � � Ò Ï � Ò Ñ ���

Page 20: Colorado State Universitykirby/teaching/pattern/1999/ch3.pdf · b W(d _ W Y>a m u2a c2\ b Y4` jegUW ` We_ YNf \ \>d Y a f qp >` o je_ Y4j2\ d Y4[^H_ Y>_ [kR`] ` j Y \ dU^ d ilY gX[

� � � !#"�$ %#& !(' ) " ) * + ,�-" . "�/ $ + 0(" 1#2 %#) 3 4 ,#)576�8�9 : :<; 6 = 6 ;�> ?A@CB : ? >�? =D> E 6�6 9 F 6 G H @ : I 6 J�H 6 ; J I#JK> E 6�6 9 F 6 G H @ : I 6�9 G#L 6 MN@ J�@O�P�Q J B#6 R > ; I STB : ? > UDV�= > 6 G�8K6�8�9 : : B : ? ><: ? F#W X#Y Z<H 6 ; J I#J([�> ?�6 G E#@ G#R 6KH 9 J I#@ : 9 \ @ > 9 ? G? =DJ E#@ ; BAL 6 R ; 6 @ J 6 JK9 GA> E 6�6 9 F 6 G H @ : I 6 J UD]�: J ?#^ 9 >�9 JK? = > 6 GNI#J 6 = I :(> ?CB : ? >`_a�bc@ J�@= I G#R > 9 ? GA? =(> E 6�G I S�d#6 ;�? =(> 6 ; SCJ�ef9 GA> E 6�6 M B#@ G#J 9 ? G(U<gKE 6 J 6�B : ? > J�@ ; 6�I#J 6 Lh> ?6 J > 9 Sh@ > 6�> E 6�J ?CR @ : : 6 LhO�P7L 9 S�6 G#J 9 ? Gh? =(> E 6�L @ > @ U<gKE 9 J�L 9 SC6 G#J 9 ? GA9 JKF 6 G 6 ; @ : : i> @ j 6 GC@ J<> E 6�G I S�d#6 ;D? = > 6 ; ShJ(; 6 k I 9 ; 6 L�> ?�6 G#J I ; 6K> E#@ >KJ ? SC6KSC9 G 9 S�I Slk I#@ G > 9 > i? =(6 G 6 ; F iC9 J�R @ B > I ; 6 Lhd iC> E 6�L @ > @ Um 6 H 6 ; @ :Kn o p q r s�R ; 9 > 6 ; 9 @�E#@ H 6�d#6 6 GNB ; ? B#? J 6 Lh= ? ;�L 6 > 6 ; SC9 G 9 G FC> E 6�G I S�d#6 ;�? => 6 ; SCJ�ef> ?�; 6 > @ 9 GA9 GA> E 6�6 M B#@ G#J 9 ? G

t7ubvw x<y#z w {�|w } ~

]lJ 9 SCB : 6hd I >�8�9 L 6 : i7I#J 6 LN6 G 6 ; F iNd#@ J 6 L7R ; 9 > 6 ; 9 ? G79 J�> ?A; 6 > @ 9 G7> E 6CG I S�d#6 ;�? => 6 ; SCJ<G 6 R 6 J J @ ; i�> ?�R @ B > I ; 6�@�J B#6 R 9 � 6 L�= ; @ R > 9 ? G�? =#> E 6�> ? > @ : 6 G 6 ; F ih� � � � U m B#6 R 9 = Q9 R @ : : i ^ 8K6�E#@ H 6�> E 6�G ? ; Sh@ : 9 \ 6 LC6 G 6 ; F iAR ; 9 > 6 ; 9 ? G_a�b`��� W � U � � Z

? ;�6 k I 9 H @ : 6 G > : i ^ > E#@ >�> E 6�G ? ; Sh@ : 9 \ 6 LCSC6 @ GNJ k I#@ ; 6�6 ; ; ? ;� � ��� ��� ���7� W � U � � Z

J E ? I : L�d#6D: 6 J J�> E#@ G�J ? S�6KR ? G#J > @ G >(�<^ > i B 9 R @ : : i�> @ j 6 G�> ?�d#6K�N�7� � ~ � � � � ~ � � � U�gKE 66 k I 9 H @ : 6 G >�R ? G#J > ; @ 9 G > J�J B#6 R 9 � 6 Lhd iA�Dk I#@ > 9 ? G#J�W � U � � ZK@ G#L7W � U � � Z�R @ GAd#6�J E ? 8�G> ?�d#6�R ? G G 6 R > 6 LC> ?�> E 6�� ; ? d#6 G 9 I#JKG ? ; S�? =�> E 6�L @ > @�Sh@ > ; 9 M�^ J 6 6��D; ? d : 6 S�� U � � U� GA@ L L 9 > 9 ? GA9 >�9 JK? = > 6 GAI#J 6 = I :�> ?h@ L Lh> E 6�; 6 J > ; 9 R > 9 ? Gh> E#@ >X#bD� yX y ��� W � U � � Z

8�E 6 ; 6 � u � ~ � � ^ = ? ;�6 M @ SCB : 6 U�gKE 9 J�9 J�@C; 6 J > ; 9 R > 9 ? GA? GN> E 6�� Q G ? ; S�? =<> E 6CL @ > @SC@ > ; 9 M�U<576�J I S�Sh@ ; 9 \ 6�> E 6 J 6�; 6 SC@ ; j JD8�9 > EA> E 6�= ? : : ? 8�9 G FCL 6 � G 9 > 9 ? G#J ��h  ¡D¢(£ ¤ £ ¥#¢�¦(§ ¨(§N©#q ª�«�¬Tª ­#ª ® ¯ °No ± ²Cª ­ ³ ± r ­ ´�µD® ± ¶ ¶ ª ­�o ± ²h· ¸N¹KaKº » ´�± ³ho ª ¼D­#ª o¶ rA½ ªC¶ q ªC²�± ­#± ²�¾ ²¿­#¾ ²C½ ª ®Cr À�¶ ª ® ²�³�® ª Á ¾ ± ® ª oA± ­Â¶ q ªhr ® ¶ q r ¯ r ­�n ÃKª Ä Å n ­ ³ ± r ­�¶ rª ­ ³ ¾ ® ª�¶ q n ¶N_a�bc���DÆ�h  ¡D¢(£ ¤ £ ¥#¢�¦(§ Ç�§N©#q ªC«�¬T²Cn ¯ ­#± ¼Ks n ¶ ± r ­`o ± ²Cª ­ ³ ± r ­ ´�µ<® ± ¶ ¶ ª ­`o ± ²h· ¸N¹KÈÂÉ » ´�± ³o ª ¼<­�ª oC¶ rh½ ª�¶ q ª�²�± ­#± ²�¾ ²�­#¾ ²C½ ª ®�eÊ® ª Á ¾ ± ® ª oC¶ rCª ­ ³ ¾ ® ª�¶ q n ¶<X#bD� y Ë X y ��� Æ� Gh@ L L 9 > 9 ? G(^ 9 >K9 JDI#J 6 = I :#> ?�R ? S�d 9 G 6�> E 6 J 6�L 6 � G 9 > 9 ? G#JD9 G > ?�@�> ? > @ :#O�PNL 9 SC6 G QJ 9 ? G(^ 8�; 9 > > 6 GNÌ [ Í7W ¸7¹De�º Î É ZK8�E 9 R EhSh@ iCd#6�L 6 � G 6 Lh@ JK> E 6�SC@ M 9 S�I S�? =<¸7¹Da�º@ G#LN¸7¹DÈ�É U�Ï�? > 6C> E#@ >�> E 6CI > 9 : 9 > iN? =D> E 6 J 6�F : ? d#@ :DL 6 � G 9 > 9 ? G#J�? =KL 9 SC6 G#J 9 ? G79 J: 9 S�9 > 6 LAd iA> E 6�; 6 k I 9 ; 6 SC6 G >�? =DSC@ j 9 G F7n o p q r s�R E ? 9 R 6 JK= ? ;��Â@ G#L � U�� G m 6 R > 9 ? GÐ#U � ^(8K6C8�9 : :DB ; 6 J 6 G >�@AJ R @ : 9 G F7@ ; F I SC6 G >�8�E 9 R EÂ6 : 9 S�9 G#@ > 6 J�> E 6hG 6 6 L7= ? ;�> E 6 J 6B#@ ; @ SC6 > 6 ; JK9 GA> E 6�6 J > 9 Sh@ > 9 ? GA? =(: ? R @ :(L 9 S�6 G#J 9 ? G(U

Page 21: Colorado State Universitykirby/teaching/pattern/1999/ch3.pdf · b W(d _ W Y>a m u2a c2\ b Y4` jegUW ` We_ YNf \ \>d Y a f qp >` o je_ Y4j2\ d Y4[^H_ Y>_ [kR`] ` j Y \ dU^ d ilY gX[

Ñ Ò Ó#Ò Ô Õ#ÖK× Ô Ø × Ò Ô�Ù Ú Ò Û�Ø#Ü�Ù Ý#Ò�Þ ÖKÒ ß#× Õ#Ó Û Ú Ø Óáà âã�ä å æ ç�è ä å éDê ç ë ì å è å í ìCí î�ï�ð�ñ ê å ò�ç ì#é å í ìCé ç ç òCé<è í�ó#ç�ô í ì ì ç ô è ç ê�è í�í è ä ç õDò�ç ö ñé ÷ õ ç é<í î#ê å ò�ç ì#é å í ì#ö æ å è ø ù è ä ç õ ç�ö õ ç�ö æ é í�í è ä ç õDô õ å è ç õ å ö�ú�ä å ô ä�ä#ö û çKó#ç ç ìCü õ í ü#í é ç êî í õ�ê ç è ç õ ò�å ì å ì ýAè ä çCì ÷ ò�ó#ç õ�í îDè ç õ òCé�è íhõ ç è ö å ìNå ìÂöCó#ç é è�ó#ö é å é�ç þ ü#ö ì#é å í ì(ÿ�� èä#ö é�ó#ç ç ì�í ó#é ç õ û ç êNè ä#ö è�è ä çhï�ð�ñ é ü#ç ô è õ ÷ ò í î è ç ì�ô ö ìÂó#çhû å ç úKç êÂö é�è úKíNæ å ì ç é ÿ�Kä ç�ü#í å ì èDú�ä ç õ ç�è ä ç é ç�æ å ì ç é<å ì è ç õ é ç ô èKê ç è ç õ òCå ì ç é<è ä ç�û ö æ ÷ ç�í î��Nÿ�� ìCî ö ô è ù è ä ç õ çå é�ô í ì#é å ê ç õ ö ó æ çhç û å ê ç ì#ô çhè ä#ö è�å ì�òCö ì ø�ô ö é ç é�è ä çAê ö è ö7ö æ í ì ýNè ä çNé ç ô í ì#êÂæ å ì çô í õ õ ç é ü#í ì#ê é�è í7ì í å é ç ÿ���æ è ä í ÷ ý ä�è ä å é�å éCöNõ å é � ø�ö é é ÷ ò�ü è å í ì�ö é�úKçAé ä#ö æ æ�é ç ç ÿ(å ì#ö æ æ ø ù å è�é ä í ÷ æ êAó#ç�ç òCü ä#ö é å ç êhè ä#ö è�è ä ç�÷ è å æ å è øhí î<è ä ç é ç�òCç ö é ÷ õ ç éKå é�ý õ ç ö è æ øç ì ä#ö ì#ô ç êNå îKè ä ç ø7ô ö ìNó#çCå òCü æ ç ò�ç ì è ç êNå ì7öhü õ í ó æ ç ò ê ç ü#ç ì#ê ç ì è�î ö é ä å í ì(ÿ�� è�å éô æ ç ö õKè ä#ö è�í ì ç�òhö øCõ ç � ÷ å õ ç�î ö õ�î ç úKç õ�è ç õ òCéKî í õ�ö�ô æ ö é é å ë#ô ö è å í ìhü õ í ó æ ç ò�è ä#ö ìAöõ ç ô í ì#é è õ ÷#ô è å í ìhü õ í ó æ ç ò�ú�ä ç õ ç�ò�í õ ç�ê ç è ö å æ éKå ìAè ä ç�ü#ö è è ç õ ìNö õ ç�õ ç � ÷ å õ ç ê�ÿ

�� � � � ����� � � � � ���� ìAè ä å é�é ç ô è å í ìAúKç�úKí ÷ æ êhæ å � ç�è íCõ ç å ì è ç õ ü õ ç è�è ä ç�ç þ ü#ö ì#é å í ì#é�ö é�æ å ì ç ö õ�è õ ö ì#é î í õ ñòCö è å í ì#éDö ì#ê�ç ò�ü ä#ö é å ç�è ä ç�ê å ò�ç ì#é å í ì#ö æ å è ø�õ ç ê ÷#ô å ì ý�ü õ í ü#ç õ è å ç éDí î#è ä ç é ç�è õ ö ì#é ñî í õ òCö è å í ì#é ÿ(ã7ç�ó#ç ý å ì�ó ø�ô í ì#é è õ ÷#ô è å ì ý�ö�òCö è õ å þ��ÂòCö ê ç�÷ ü�í î#è ä ç�ç å ý ç ì û ç ô è í õ éí î��Cù å ÿ ç ÿ ù ��� � !#" $ % & !�" ' % & ( ( ( & !#" )#% *�Kä ÷#éKè ä ç�ô í ç +hô å ç ì è éKí î<è ä ç�ü#ö è è ç õ ìAû ç ô è í õ�ú�ÿ õ ÿ è ÿ<è ä ç�ï�ð7ó#ö é å é�ö õ ç�ì í ú

, " - % �/.�0�1 " - %ú�ä ç õ ç , " - % � 2 3 " - %$54 ( ( ( 4 3 " - %)76 0 ÿ��Kä ç é ç�õ ç æ ö è å í ì#éDòhö øCó#ç�ô í ò�ó å ì ç êCè íCý å û ç

8 �9� 0�: 2 ; ÿ ; < 6� î#úKçKä#ö û ç�ê ç è ç õ òCå ì ç ê�ö�ì ÷ ò�ó#ç õDí î è ç õ òhé�� è í�õ ç è ö å ì�å ì�í ÷ õ<ç þ ü#ö ì#é å í ì(ù ô æ ç ö õ æ øå è<å é(ì í è<õ ç � ÷ å õ ç ê�è í�ô í òCü ÷ è ç�ö æ æ è ä ç�è ç õ òCé(å ì�è ä çKç þ ü#ö ì#é å í ì(ÿ�=�ç ì#ô ç ù å èDå é(÷#é ç î ÷ æè íCê ç ë ì ç�öCê å òCç ì#é å í ì#ö æ å è øhõ ç ê ÷#ô å ì ý�è õ ö ì#é î í õ òhö è å í ìhó#ö é ç êhí ì��?>`ú�ä ç õ ç

�?>9� � !�" $ % & !�" ' % & ( ( ( & !#" > % *å é�öAòhö è õ å þ7ú�å è ä@�Êô í æ ÷ ò�ì#é ù(ì#ö òCç æ ø7è ä çhë õ é èA� ç å ý ç ì û ç ô è í õ é ÿ�B�í ú�ù(è ä çC�ô í ç +Cô å ç ì è é�ö õ ç�ý å û ç ìAó ø D, " - % �/� 0> 1 " - %ú�ä ç õ çCD, " - % � 2 3 " - %$54 ( ( ( 4 3 " - %> 6 0 ÿFE�õ ù å ìAòCö è õ å þhì í è ö è å í ì(ùD8 �/� 0> :ú�ä ç õ ç D8 å éDö��/GAH�òhö è õ å þ�ÿ�� èDå é<å ê ç ì è å ô ö æ è í�è ä ç�ë õ é è?� õ í ú�é<í î 8 å ìJI?� ÷#ö è å í ì2 ; ÿ ; < 6 ÿ

Page 22: Colorado State Universitykirby/teaching/pattern/1999/ch3.pdf · b W(d _ W Y>a m u2a c2\ b Y4` jegUW ` We_ YNf \ \>d Y a f qp >` o je_ Y4j2\ d Y4[^H_ Y>_ [kR`] ` j Y \ dU^ d ilY gX[

K LNM O�P�Q R�S O�T U P U V W X�YP Z P�[ Q W \�P ]�^ R�U _ ` X�Ua�b c d?e b f g9h�i j�i k l�iCm�n o�p�q/r s t u t�v u s w x y�s z u { o tJ| n o�o y t o }�r z o�s ~ o � s w o v�� x ~ s � u �s y�� o�}�s | � u ���

� � � ���?�/� � �?����� � ���F�?� ��9�?� � ��@�

� n o � o �?� ���9��� s y�vJs z z�| n oAx � v u s w x y�s zFo z o }�o y�| t�s � o�{ o � x �a�b c d?e b f g9h�i j�i k�k�i��Co�y�x � n s ~ o�| n o#t � o � | � s z�v o � x }�� x t u | u x y�x �#| n o�� x ~ s � u s y�� o}�s | � u �Cs t�� �/�?�#� ���?u � o � �

� �9��� ��� � � �#� � � �J� ��� ��� � � �#� � � �J�9� � � � ������� �#� ��� �#� ��?  ¡ ¢�£ ¤ ¤ ¥ ¦�¢�§�¢�¨ ¥�© ª « ¥ ¬A­�¥ ¢ ªF¨   ª�« ¥ ® £ ¯ ¡ £ °�« ªF¬J£ ¨ ¯ ¡ ±�¡ °�£ °�¥ ­ ¨ ¡ ¬�£ ¤ ¦#£ ² ³�´#¥ ¨ ª¨  �£ ¨�¡ µ#¶¸· ¹º¨   ª °»¦?ª�© ¥C° ¥ ¨�ª ± ­�ª « ¨�¬�¥ ¯ ª�¨  �£ °»£J¼�£ ¢ ¡ ¢�¥ µ#¶7® ª « ¨ ¥ ¯ ¢ ³A�?  ª¯ ª ¬�£ ¡ ° ¡ ° ½J¹5¾�¶ ® ª « ¨ ¥ ¯ ¢F¼�ª ¤ ¥ ° ½�¨ ¥�¨   ª�° § ¤ ¤�¢ ­�£ « ª�¥ µ���³

¿�À ÁÃÂ�Ä�Å»ÆFÇ�È�É�ÆFÄ�Ê�ÂÌË»Å�Â�Ä�ÊAÍ�?  ª�« ¥ °�¢ ¨ ¯ §�« ¨ ¡ ¥ °�¥ µ�£Cv s | s � v o � o y�v o y�|�¼�£ ¢ ¡ ¢?£ ¢F¥ § ¨ ¤ ¡ ° ª ©J£ ¼�¥ ® ª#¯ ª Î § ¡ ¯ ª ¢?¢ ¥ ¤ ® ¡ ° ½¨   ª�ª ¡ ½ ª ° ® ª « ¨ ¥ ¯?­ ¯ ¥ ¼ ¤ ª ¬ Ï � � Ð � �9� Ð � � Ð �¦#  ª ¯ ª Ï ¡ ¢�£ °A¹ Ñ�¹Ì¬�£ ¨ ¯ ¡ ±�« ¥ °�¢ ¡ ¢ ¨ ¡ ° ½�¥ µ ¨   ª#£ ® ª ¯ £ ½ ªF¥ µ ¶@¯ £ ° Ò�¥ ° ª#« ¥ ® £ ¯ ¡ £ °�« ª¬�£ ¨ ¯ ¡ « ª ¢ ³�Ó µ�¹5¡ ¢�¤ £ ¯ ½ ª Ô ¢ £ ²�¥ µ�¥ ¯ © ª ¯FÕ � Ö × Ø � Ô ¨   ª °�¡ ¨F¡ ¢�½ ª ° ª ¯ £ ¤ ¤ ²�° ¥ ¨�­�¥ ¢ ¢ ¡ ¼ ¤ ª#¨ ¥¢ ¥ ¤ ® ª�¨   ¡ ¢�­ ¯ ¥ ¼ ¤ ª ¬/© ¡ ¯ ª « ¨ ¤ ² ³��?  ª ¯ ªF£ ¯ ªF£?® £ ¯ ¡ ª ¨ ²�¥ µ ¨ ª «   ° ¡ Î § ª ¢�µ ¥ ¯�« ¥ ¬A­ § ¨ ¡ ° ½#¨   ª¤ £ ¯ ½ ª ¢ ¨?ª ¡ ½ ª ° ® £ ¤ § ª ¢?£ °�©Jª ¡ ½ ª ° ® ª « ¨ ¥ ¯ ¢F¼ § ¨#¡ µ�¨   ª�¬�£ ¨ ¯ ¡ ± Ï ¡ ¢#£�¢ ¡ ° ½ § ¤ £ ¯#¬�£ ¨ ¯ ¡ ±�Ô¨   ª °»¨   ª�­ ¯ ¥ ¼ ¤ ª ¬Ù¬�£ ²�¼�ª�¯ ª © §�« ª ©�¦#¡ ¨   ¥ § ¨�£ ­ ­ ¯ ¥ ± ¡ ¬J£ ¨ ¡ ¥ °�¨ ¥�£ °�ª ¡ ½ ª ° ® ª « ¨ ¥ ¯­ ¯ ¥ ¼ ¤ ª ¬5¥ µF¢ ¡ Ú ªA¶ÛÑ�¶A³��?  ª�¨ ª «   ° ¡ Î § ª�¡ ¢#¯ ª µ ª ¯ ¯ ª ©J¨ ¥C£ ¢#¨   ª�Ü�y�s � t n x |?Ý�o | n x v¼�ª « £ §�¢ ªJ¥ µ?¡ ¨ ¢A£ ­ ­ ¤ ¡ « £ ¼ ¡ ¤ ¡ ¨ ²�¨ ¥»© £ ¨ £C¢ ª ¨ ¢A« ¥ °�¢ ¡ ¢ ¨ ¡ ° ½�¥ µ#  ¡ ½   Þ ¯ ª ¢ ¥ ¤ § ¨ ¡ ¥ °»© ¡ ½ ¡ ¨ £ ¤¢ °�£ ­�¢   ¥ ¨ ¢�ß à á Ô à â Ô�ã ä å ³�?  ª�µ £ « ¨#¨  �£ ¨#¨   ª�¼�£ ¢ ¡ ¢?¡ ¢#© £ ¨ £A© ª ­�ª °�© ª ° ¨#¬J£ ²�¼�ª�¬J£ © ª�ª ± ­ ¤ ¡ « ¡ ¨ ³a�b c d?c�æ ç f ç c�è@h�i k�i�é � � Ð�ê × �?| n o y

��� Ð � �ìëíî ï � ð

� Ð �î � � î � � â ³ â Ö ��?  ª�© £ ¨ £�¢ ­�£ °�¢�¨   ª�¢ £ ¬�ª�¢ ­�£ « ª�£ ¢F¨   ª�ª ¡ ½ ª ° ® ª « ¨ ¥ ¯ ¢F« ¥ ¯ ¯ ª ¢ ­�¥ °�© ¡ ° ½�¨ ¥�ª ¡ ½ ª ° Þ® £ ¤ § ª ¢?¦#¡ ¨  C° ¥ ° Þ Ú ª ¯ ¥A® £ ¯ ¡ £ °�« ª ³ñ ¥ ¯�¢ ¡ ¬A­ ¤ ¡ « ¡ ¨ ²9¦#¯ ¡ ¨ ª � � � � �º� £ °�© ð �

� �î � ð î»ò ª�« £ °9¯ ª µ ¥ ¯ ¬A§ ¤ £ ¨ ª�¨   ª® £ ¯ ¡ £ ¨ ¡ ¥ °�£ ¤�­ ¯ ¥ ¼ ¤ ª ¬7µ ¥ ¯#¨   ª�ó ¯ ¢ ¨#ª ¡ ½ ª ° ® ª « ¨ ¥ ¯#£ ¢ô � �#�?�/� � ��õ ��� � � ¾ ��� � ��õ �#� ¾ Ö � ö

Page 23: Colorado State Universitykirby/teaching/pattern/1999/ch3.pdf · b W(d _ W Y>a m u2a c2\ b Y4` jegUW ` We_ YNf \ \>d Y a f qp >` o je_ Y4j2\ d Y4[^H_ Y>_ [kR`] ` j Y \ dU^ d ilY gX[

÷ ø�ù#ú û ü�ý ú ø�þ�÷�ÿ?ù ÷ ø�þ ��� ���� � �

� �� ���� ���� ��� � � ��� � � � � � �� "!� ��#� � ��� � � �

� $�$���$� � &%

��� '���� ��� � � ��� � � � � ( � �) *!��� +$� � �$ ��� � � � ���

$� � &%

��� � � , � �� ,��-�&.

/ 0 1�2 ��% � 3 3 3 � 465�780 9": � ��;=< > ? >A@B< C�;=� 0 D : ? @B? E � F 9G5 1 5 : 5�: � ��H 0 � IJH ? � � :�K � H : 0 1 >� � L � ? � D M < H � 0 /): � �6� ? N � � K � H : 0 1 > O : � �B< F K < � : < N �G;=� ? � N : �=< :�: � � 1 �B< 1 � 0 � M C 40 /�: � � @PO 1 < : � � 1�: �=< �RQ 0 1 ? N ? �=< M ;=< > ? > K � H : 0 1 > 5S8? T=� 1 � � : ? < : ? � NJ� �� �N ? K � >, � �� ,��-��� U � � � � � � � � � � � � - � � � �) *U !

� $�$ � �$� � � � - � ��V.W X 5 X U

Y�Z D < �=F ? � N : � �G� �=> � @6; M �G< K � 1 < N ��N ? K � >%4 � � +$� � ��� � � � ���

$� ��� - � � ���

$� � "! � $ �

$ ���$� � ��� - � ��V.

780 : � : �=< : <BH 0 @B@ 0 � : � 1 @[@B< CJ;=� / < H : 0 1 � FP< >� $ ��� - � � ���

$� ' � �#� � ��� � � � ���

$� � 4 ! �

$ (A�V.\ /�9 � 981 ? : �

] $ � � � � � ��� � � � ���$� ) 4 ! �

$ X 5 X X : � � � / 0 1 � < H � 2 �^% 3 3 3 4 ? :8/ 0 M M 0 9 >

� $ � � - � � � �$� ] $ �&. 3 X 5 X _

S8� ` � ? � N a � b �^ ��� � � � ��� b � Y)c d=< : ? 0 �* X 5 X _ )@B< CJ;=� 981 ? : : � �P? �P@J< : 1 ? ZB� 0 : < : ? 0 �P< >a�e �V. X 5 X f < �=FJY�c d=< : ? 0 �" X 5 X X 8< > a �V *!=��� e

Page 24: Colorado State Universitykirby/teaching/pattern/1999/ch3.pdf · b W(d _ W Y>a m u2a c2\ b Y4` jegUW ` We_ YNf \ \>d Y a f qp >` o je_ Y4j2\ d Y4[^H_ Y>_ [kR`] ` j Y \ dU^ d ilY gX[

g hji k=l�m n=o k�p q l q r s t�ul v l�w m s x�l y=z n=q { | t=q}�~ ��� � � � � � �A� � � � � � � �B�V�&�G� ���)� �=� � � � �R� � � � � ��� � � � ��� �6� ~ ��� � � � � � � � � ��� � � � � � �

�)�^�V�=� � � � � � �� � � � � �B�� R��� � � � � � � ¡ � � ��� � � � � � �R�¢J£ ¤"¥ ¦ §©¨�ª «�ª ¬=ª�­)® ¯ ° ± ²�³ ´ µ�¶=· ¸ ¸ ¹�´ µ · µ8° º�¹ ¸ ·�³ ´ µA»)· º ³�µ ° ® µ ± ¼ µ ½ ³ ¸ · ²�¾ ¿ ³A³ ´ µ)º ¯ ÀBµ¯ ¶ ¶=· ¸ ¯ ½ ´*½ ¯ ±"¾ µG¿ º µ ÁB³ ¸6º ´ ¸ ÂV³ ´ ¯ ³)³ ´ µ6µ à ¿=¯ ³ ° ¸ ±"¯ ¾ ¸ ¼ µ�® ° ¼ µ º6¯ Ä Ä�³ ´ µ�º ¸ Ä ¿ ³ ° ¸ ± º Å}�~ � �8� � � � � ��� �8� � � ÆJ�=� � � � ��� ��� ~ �G� � �6�=� ��� �)�=� � � � � �=�8�Ç� �8�J� �=� � � � � � � � � Æ � È� ¡ � � � ÆR�ÊÉ[Ë � � � �G}�~ �B� � �B� �=� � � �"ÌÍ� � Î�� � � � � ��� �*� � � ÆR� �*� � � � � � �B� �=� ¡ �B� �=�� � �=Ï �G� � � � � � � � � �

ÐAÑ ÒAÑ ÓÕÔ�Ö ×*Ø�Ù ÚAÛ × ÜBÝ�Þ ß ß × à á*â�à Ù=ã ß × ä}�~ �Gå8� � � � æ �8ç�� � � � � ÆJ� � � � � � �R� � � � � � � �=¡ � �J� �"è é � � ê ë ì � � ��� �R� � � � � ¡ � � � � �J� ��� ~ �í�î*� ï �=� �=� � � �P� � ��� ~ �G� � Î8È � � �6� �=� � � �=� ��¡ ~=� � � ¡ � � � � ð � � � � �J� ��~ � �B� �P� � ¡ � � �8}�~ � �� � � � � � �Ê� �8� �R� ï ¡ � � � � � �8� ï � �6� � �G� �)�B� � � �=� � � � �RÎ8~ � � �G� ~ �6� � � � ¡ ��¡ � �6� � � � � � � �� ��� ~ ��� � � � � � � ¡ � � � ��� � � � � � � � � � � � � �=��� ��� � �=� � � � �*� � � ê Ë � �)Î8~ � ¡ ~J� � � �[� ~ ��� � � � �B� ��=� � � �8� ��� �B�=� � � � � � � �8ñ �=� � � � �PÎ��G�6�=� ��� �6� � � ÆJ� ~ �B� �=� �=� ~ � ���6� � ~ � �R� �=�R� � � � �� � �=� � � � �*� � � � � � �ò � �)� ~ � �)� � � � � ¡ � � � � �J� �B� �=� � �6� � �8� ��ê � ��� � � � � � � � ~ � � � � � � � ~=��� �=~ � �J� �B� � ¡ � �Î8� ��¡ � � � � ¡ � � �A��}�~ ���=� � � � � � � � �JÎ8� �)� � � � � � ¡ � � �B� �6�=��~ � �B� � � � � � �=� � � � � � � � � � � ~ � �� Æ � � � � � � � �=� � ���=� � � � �AÎ�� � ���=� � �6� � � � �A����� ¡ ~6� � � � � � � � �J� � �)� �A� � � � �6� ��� �6óô �Ì� � � � Æ�� � � � ï � � ��� �=�G� �6� ~ � ���=� � � � ¡ � � � ��� ï �=� � � �B� � ��� ~ �8� � Ω� � � ��� �)¡ � � � � � � �GÎ8� � ~óõ�#Ìö�Çê � � �Gñ �"� � � � � � � �"� � ��� ��� ~ �B� ~ � � � � � � � ~=��Î�� � �B� � � � � � �R� �P�B� � ¡ ~"�� � �B� � � � �J� �=�*� � ÷ �=� � � �R� � �6� � � � ~��Jò � � � ~ � � �6� � � �A� ~ �J� � � �JÎ8� ��� � � �J� � � ð � �R� �� ~=� �8� � ¡ ~J� �B� � ��Î�� � � �B~=� � ��� � � � � � �Ê� � � ~ � � � �B� �P� � � � � � � �}�~ �J� � � � � � �6� � ¡ �B� �G� � � � � � � �R� �R�=� � � � � �ø� ~ �P� �=� � Æ � � � �A� ~ � ��� �6� � � � � � Æ � �R� �ò�� � � � �J� � � �Pù8� � � �6� ~ �B� � ¡ � ��Î8~ � � �B�6� � �©� � � � � � ¡ � � �R� ~ �J� � � � � � � ¡ � � � � ��Î8~ � � �¡ � � ¡ � � � � � �A�R}�~ �Jú � � �6� � � �6� ��� ~ � � �P� � �J� ~ � Î8�"� �©ò�� � � � �P� � é=�*ù[� � �6� � � � �R� �� � � � � � � ¡ � � � � � � � � � � � � � �6�=� � �)ë �=Ë û � Ë Ë � �=Ë ë � � � � ��� ~ � Î8�B� �Pò�� � � � ��� � ��� �G� � � ��� �� � � �G� ��� ~ �G¡ ~=� � � ��� �P� ~ ��� �B� � � �8� �8�G� � �=¡ � � � �P� ��� ~ �G� � � � ¡ � � � � �B� � � � � � � � � � �}A�6� � �6� �=� � � � � ��� ~ ��� üB¡ � ¡ Æ6� �A� ~ ���=� � � ��� � ��� � � � � � � � � � � �G� ~ ��� � � � � � �=� �B� � � ��=� � � � � �=� � ¡ � �=� � � �=¡ � � � �=�)� � � � � � � � �PË � � ê � � � � � é � � � �G� �=�J� �G� � � �B�8� � �G� ~ � Î8�J� �ò�� � � � �6� � � ��}�~ �6� � ¡ �G�=� � � �P� � ¡ � �=� � � �=¡ � � �P� �6±A¸ ³��=� � ��� �)� ~ �6� � � � � �=� ��� � � �J� � �� ��ê � �G� � ¡ � � �}�~ � ��� ï � �6� � �8� ��� ï � � �=� � �G� �G� ï � � � � ��� Æ �B�6� � � Æ6� � � �=� � � � � ��� �Jý � ¡ � � � �6é=� � �Añ �� � � � � � � ��� �G¡ � �=� � � � � �)� �A� ~ ��� � � � � ��� � ¡ � �=� � � �=¡ � � � �BÎ8� � ~P��� � � � � � � � �)� � ¡ � �=� � � �=¡ È� � � �P� �8� � � ¡ �=� � � �B� �Rý � ¡ � � � �Rë � � � Ë �ÐAÑ þÿÔ�������� ��Ý�� �GØ� ����������������©â������ Ô�� ������������ñ �©� ~ � �B� � ¡ � � � �©Î��P� � È � ï � �B� � �J� ~ �R� � � � ¡ �6�B� � ~ � �&� �=�"� ~ �R� �=� �=� ~ � �G�B� � ~ � �� � �6� �B� � � �6� � � � � �R� ~ �Pí�� � ~ � � � � È îA���� � �B� � ¡ � �B�=� � � � � � �"� � �P� ~ �P� � � � � � � �G� � � � �

Page 25: Colorado State Universitykirby/teaching/pattern/1999/ch3.pdf · b W(d _ W Y>a m u2a c2\ b Y4` jegUW ` We_ YNf \ \>d Y a f qp >` o je_ Y4j2\ d Y4[^H_ Y>_ [kR`] ` j Y \ dU^ d ilY gX[

� ���! " #�$ % & '�(*) '�& % ��+�� , - .�/ - " � " - #�'�# +10 &32 4

5 6 7 8 9 8 9;:=< >!? @ > A ? B >!C ? D > E

Page 26: Colorado State Universitykirby/teaching/pattern/1999/ch3.pdf · b W(d _ W Y>a m u2a c2\ b Y4` jegUW ` We_ YNf \ \>d Y a f qp >` o je_ Y4j2\ d Y4[^H_ Y>_ [kR`] ` j Y \ dU^ d ilY gX[

F GIH J�K�L M�N J=O P K P Q R S�TK U K�V L R W=K X�Y M�P Z [ S�P

\ ] ^ _ ` _ acb=d e�f g h i�j�e k l e m n o p e h q

Page 27: Colorado State Universitykirby/teaching/pattern/1999/ch3.pdf · b W(d _ W Y>a m u2a c2\ b Y4` jegUW ` We_ YNf \ \>d Y a f qp >` o je_ Y4j2\ d Y4[^H_ Y>_ [kR`] ` j Y \ dU^ d ilY gX[

r s�t!u v w�x y z {�|*} {�z y t�~�t � � ��� � u v r v � w�{�w ~1� z3� �

� � � � � � �;� � �1� � � � ��� � � � � � � ��� � �!� � ��� � � � �1� � � � � ��� � � � � � � � ��  ¡ � � � � � � �¢� � � � ��� � � � � � � � �    £ � � � � � � �¤� � � � � ��� � � � � � � � ��  � £ ¥

Page 28: Colorado State Universitykirby/teaching/pattern/1999/ch3.pdf · b W(d _ W Y>a m u2a c2\ b Y4` jegUW ` We_ YNf \ \>d Y a f qp >` o je_ Y4j2\ d Y4[^H_ Y>_ [kR`] ` j Y \ dU^ d ilY gX[

¦ ¦¨§ ©�ª�« ¬�­ ©=® ¯ ª ¯ ° ± ²�³ª ´ ª�µ « ± ¶=ª ·�¸ ¬�¯ ¹ º ²�¯

» ¼ ½ ¾�¿ ¾ ÀÂÁ�Ã Ä Å Æ Ç È É Å�Ê Å É Ë Æ Ì Í Ê Î É Í Ã Ë Æ Ï�Ð=Ñ Å�Ê Å É Ë Æ Ì Í Ê Î É Í Ã Ë Æ Ì!É Ë Æ Ì Ã Ì Í!Ë Ç!Ò Ó Ô�Õ Ó Ô�Ö Ó Ô�× Ó Ô�Ø ÓÈ Æ ÙÛÚ Ó1Í Å Ê Ü�Ì�Ç Ê Ë ÜÞÝ Å Ç Í�Í Ë*Ê Ã Ä Ñ Í Ô�Í Ë ßàÍ Ë*á Ë Í Í Ë Ü�Ï�Ð=Ñ Å�ß Ã É Í Î Ê Å�à ÆÛÍ Ñ Å�á Ë Í Í Ë ÜÞÊ Ã Ä Ñ ÍÉ Ë Ê Ê Å Ì ß Ë Æ Ù Ì�Í Ë�Í Ñ Å�Ë Ê Ã Ä Ã Æ È Ý�à Ü�È Ä Å Ï

Page 29: Colorado State Universitykirby/teaching/pattern/1999/ch3.pdf · b W(d _ W Y>a m u2a c2\ b Y4` jegUW ` We_ YNf \ \>d Y a f qp >` o je_ Y4j2\ d Y4[^H_ Y>_ [kR`] ` j Y \ dU^ d ilY gX[

â ã�ä!å æ ç�è é ê ë�ì*í ë�ê é ä�î�ä ï ð ñ�ò ð å æ â æ ð ç�ë�ç î1ó ê3ô õ

ö ÷ ø ù ú�û�ù ü ý þ ý ù ÿ�� � ����� �� ÷�� ���� �� ü1ö ÷ ü ø � ý ��÷ ö�ý ÿ�� ÷ ø þ ý ù ÿ�� � � �ý ü��Ûø � � ü ü ý ø � �� ÿ�ö*û�ù ��÷ � � � ��þ ù ù �=ý ÿ ÿ � ú1÷ � ý ø � ��� ý ÿ ÷ � ��� � � ÷ � � � ���÷ þ � ý � ÷ ö þ ÷ � þ ��ù ù �àö ý ü ø ��ü ü ý ù ÿ�ü� � ÷�� � ý � � � � ÷ ü ÷ ÷�÷ � �!� !" # $ % & ' ( � ö ö ý þ ý ù ÿ!� � � ÷ � ÷ � ÷ ÿ�ø ÷ ü� ÿ�ö�þ � ÷ ù � )�ú*� )���÷�� ù � ÿ�öý ÿ�" � + ' �-,!÷ � ÷*ù � ��û � � û�ù ü ÷*ý ü�þ ùÛö ÷ ú�ù ÿ�ü þ � � þ ÷*þ �!� þ�þ � ÷ ÷ ý � ÷ ÿ ÷ ø þ ù ��û � ù � � ÷ ú1üü þ � þ ÷ ö�ý ÿ1÷ . �!� þ ý ù ÿ�ü�� + � � # ��� ÿ�ö�� + � + / �� ü ü ù ø ý � þ ÷ ö��!ý þ �*þ � ÷�ö ý � ÷ ø þ�ú�÷ þ � ù ö1ü ÿ!� û 0ü � ù þ!ú1÷ þ � ù ö1 � ÷ ü û�÷ ø þ ý ÷ � ) 2 þ!ÿ ÷ � þ � )*ý ÿ þ ù1þ � ÷�ú�� þ � ÷ ú�� þ ý ø � ��� � � ú�÷ ��ù � �1ù ��þ � ÷� ���3� 4 ÿ1û!� � þ ý ø � � � � ��÷�ü �!� � � ü ÷ ÷!þ �!� þ�þ � ÷5� ÷ � þ�ü ý ÿ � � � � �6 ÷ ø þ ù � ü6� � ÷�þ � ÷!÷ ý � ÷ ÿ ÷ ø 0þ ù � ü�ø ù ú�û � þ ÷ ö ý ÿàþ � ÷1ö ý � ÷ ø þ�ú1÷ þ � ù ö1 !�5� ý � ÷�þ � ÷3� ý � � þ�ü ý ÿ � � � � �� ÷ ø þ ù � ü5� � ÷�þ � ÷÷ ý � ÷ ÿ ÷ ø þ ù � ü=ø ù ú�û � þ ÷ ö�ý ÿ�þ � ÷�ü ÿ!� û�ü � ù þ�ú�÷ þ � ù ö1�6� ÷�� ����ú�� )�� � ü ù���÷�ü ÷ ÷ ÿ�þ ù��÷�÷ . � ý � � ÷ ÿ þ=þ ù��5�!� þ6�!� ü1��÷ ÷ ÿ3� ÷ � ÷ � � ÷ ö�þ ù3� ü�þ � ÷� ý 0 ù � þ � ù � ù ÿ!� � ö ÷ ø ù ú1û�ù ü ý þ ý ù ÿ� ü ÷ ÷ ÷ � �!� 1" � ' �7Û÷*��÷ � ý ÿ�� )�ø ù ÿ�ü þ � ��ø þ ý ÿ �-�98;:-< ö � þ �àú�� þ � ý �-=;ù � þ�ù �!ù � �1÷ ÿ�ü ÷ ú�� � ÷> ?6@ A B C DA E�F ù ��û!� þ þ ÷ � ÿ� ÷ ø þ ù � ü!ý ÿ9G6HI�5� ÷ � ÷�þ � ÷1ø ù � � ú�ÿ�ü!ù ��=J� � ÷�þ � ÷�û!� þ þ ÷ � ÿ ÷ ø þ ù � ü=LKM" ?6@ F B N O O O N ?6@ D�B ' ��ùP� ü ü ý ü þ�ý ÿÛþ � ÷�ý ÿ þ ÷ � û � ÷ þ � þ ý ù ÿàù ��ù � ��� ÷ ü � � þ ü !��÷��!ý � ��� ü ü � ú�÷�þ �!� þ�þ � ÷�÷ ÿ 0ü ÷ ú3� � ÷�ø ù ÿ�ü ý ü þ ü�ù ��þ ý ú�÷ 0 ö ÷ û�÷ ÿ�ö ÷ ÿ þ ÷ ø þ ù � ü �6Q ù �!ü ý ú�û � ý ø ý þ )���÷�� ü ü � ú1÷�þ �!� þ�þ � ÷ü û!� þ ý � � � � ý � � � ÷!ý ü5# 0 ö ý ú�÷ ÿ�ü ý ù ÿ!� � ��4 þ�ü � ù � � ö���÷!÷ ú�û �!� ü ý R ÷ ö�þ �!� þ�þ � ÷ ü ÷�� ü ü � ú1û 0þ ý ù ÿ�ü�� � ÷3� ù ��ø ù ÿ ÷ ÿ ý ÷ ÿ�ø ÷3� ÿ�ö�� � ÷�ÿ ù þ���� ÷ . � ý � ÷ ú1÷ ÿ þ�ù ��þ � ÷�þ � ÷ ù � ) ��Q ù ��þ � ÷ ü ÷þ ý ú1÷!ö ÷ û�÷ ÿ�ö ÷ ÿ þ�ù ��ü ÷ � � þ ý ù ÿ�ü � =9� S T�K�U @ T BS þ � ÷!ø ù � � ú1ÿ�ý ÿ�ö ÷ ��ý ü=þ � ÷�þ ý ú�÷!ý ÿ�ö ÷ �V KW# X O O O X <� 1� ÿ�ö*þ � ÷�� ù � ý ÿ�ö ÷ �1 !YKW# X O O O X 8 ý ü!þ � ÷1ü û!� þ ý � �=ý ÿ�ö ÷ �1�5� ��ü!ù � �Z [ \ ] ^ _ ` ] a b�[ _ c \ d ö � þ ��ú*� þ � ý �

=LKeffffgU @ F BF U @ h BFji i i U @ D1BFU @ F Bh U @ h Bhki i i U @ D1Bh��� ��� � � � ���U @ F BH U @ h BH i i i U @ D1BH

l mmmmn

ý ü�ý ÿ�ö ÷ � ÷ ö9� ÷ � þ 0 þ ù 0 � ý � � þ3� )àþ ý ú�÷P� ÿ�öÛþ ù û 0 þ ù 0 ��ù þ þ ù úL� )Ûü û!� ø ÷ �Po!ù þ ÷1þ �!� þ�þ � ÷ü ý R ÷�ù ��þ � ý ü�ú�� þ � ý �1ú�� )���÷�÷ ÿ ù � ú�ù ��ü�ý ÿ*û � � ø þ ý ø ÷�� ÿ�ö�ý þ ü� ø þ �!� �!� ù � ú*� þ ý ù ÿ1ú*� )ÿ ù þ��÷�û�ù ü ü ý � � ÷�ö � ÷�þ ù*ø ù ú1û � þ ÷ �!ú1÷ ú1ù � )�� ý ú1ý þ � þ ý ù ÿ�ü ��,!ù ��÷ ÷ � þ � ý ü!ö ù ÷ ü�ÿ ù þû � ÷ ÷ ÿ þ5��ü� � ù úI� û û � ) ý ÿ �1þ � ÷�ú*� þ � ÷ ú*� þ ý ø ü�ù �=þ � ÷3� ������ ÷�þ � � ÿ�ü û�ù ü ÷�ù ��=p�!ý � �1��÷3�5� ý þ þ ÷ ÿP=9q-� ÿ�ö*ý ü� ý ÷ ÿP� )

= q KeffffgU @ F BF U @ F Bhri i i U @ F BHU @ h BF U @ h Bhri i i U @ h BH��� ��� � � � ���U @ D�BF U @ D�Bhsi i i U @ D1BH

l mmmmn

4 ÿ��5�!� þ6� ù � � ù ��ü ý þ6�!ý � � ��÷5��ü ÷ � � � þ ù��5� ý þ ÷�þ � ÷!ú�� þ � ý �3= q ý ÿ�þ ÷ � ú1ü�ù � ý þ ü�ø ù � � ú1ÿ ÷ ø þ ù � ü �6� ÷ � ÷ � ù � ÷ ��÷�ý ÿ þ � ù ö ��ø ÷�þ � ÷�ÿ ù þ � þ ý ù ÿ= q KM" t @ F B N O O O N t @ H B '�5� ÷ � ÷�u @ S BT K�U @ T BS �5v�ÿ ÷�ú1ý � � þ5 ý ÷ ��=9q-� ü5��ÿ ÷ �¢ö � þ ��ú�� þ � ý �*�5� ÷ � ÷�þ � ÷3� ù � ÷ üù �=þ ý ú�÷�� ÿ�ö*ü û!� ø ÷��!� ÷���÷ ÷ ÿ ý ÿ þ ÷ � ø �!� ÿ � ÷ ö1�

Page 30: Colorado State Universitykirby/teaching/pattern/1999/ch3.pdf · b W(d _ W Y>a m u2a c2\ b Y4` jegUW ` We_ YNf \ \>d Y a f qp >` o je_ Y4j2\ d Y4[^H_ Y>_ [kR`] ` j Y \ dU^ d ilY gX[

w xzy {!|�} ~!� {�� � | � � � ���| � |�� } � ��| �!� ~!� � � �!��� ����� � � � � � � � ��� � ��� � � � � � � � � ��� � ��� � � ��� �P�*� � � � �*� � � �I� � ��� �� � � �I� � �3� �  � � � � � � � � �-� �!� ��¡�*�*� ¢9� � ¡5� � � �*� � �*� �!� � �3� � �P� � � � � � � �9� � � � � � � � � � �-�*� � � � �9� �� � � ���� �6£�£9¤6¥������ � ��� � � � ¦ ¡5� � � ��� § �5� � ��¨ ©1ª � �P� � � ��� � �5� ��� � � �5��� � � � �

« £�£ ¤�¬ ­ ®3¯±°²³ ´6µ ¶�· ³ ¸­ ¶�· ³ ¸® « ¹ ¥ ¹ º ¬¯�»�¼ ¶ ­ ¶ ® ½ « ¹ ¥ ¹ ¾ ¬

¡5� � � ��¨ ¿ © ¯MÀ ¿ Á Á Á ¿ Â-¥6à �*� � � � �5¡� � � � ¦À» £�£ ¤�¯M¼ Ä1Ä�¤�½ ÁÅ � � �I� � �*� �!� � �3� � Æ � � � � � � ��¦!¡��� � ��� �!� ��� � ��Æ!� � � � � �!��� � ���!� � � �P� � � � � � � � � �� � � ��� � �5� Æ!� � � � � � � � � � � � �5� �!�3� � � � � � � ��� � � ��� � ��� ¥6�� §!� ¦ ¡�� � Ç � �� � �� �!� � ��� � �� � � � � � � �PÈ É Ê Ë Ì Ê Í6Î Ï Ð Ð Ñ Í Ê Ë Ì Ï Ò9Ó�Ê Ë Ð Ì Ô3Õ5Ö�� ��� � �3� �!� � � � � � � � �!�� �Õ5Ö ¯ À» £�£ ¤ Á « ¹ ¥ ¹ × ¬

à �*� �*� �!� � � � � §!�6��� � � � ��¡����� ¢�� � � �W� � ��� �!� � �3� � ��� � � � � � � �*Ë Ñ Ó�É Ï Ð Ê Í1Î Ï Ð ØÐ Ñ Í Ê Ë Ì Ï Ò9Ó�Ê Ë Ð Ì ÔÕ�Ù ¯ À £ ¤ £ « ¹ ¥ Ú Û ¬

Ü ��!� � � � � ¦ � � � ª �¡5� � � ��� § �5� � ��¨ ©1ª � �P� � � ��� � �5� ��� � � ��*� � � � �« £ ¤ £ ¬ ­ ®3¯ÞÝ²ß ´�µ ¶�·

­ ¸ß ¶1·® ¸ß « ¹ ¥ Ú À ¬

¯  ¼ à ­ à ® ½ « ¹ ¥ Ú á ¬¡5� � � ��¨ ¿ © ¯MÀ ¿ Á Á Á ¿ » ¥6à �P� � � � �5¡� � � � ¦À £ ¤ £ ¯M¼ â1â�¤6½� �-¡��� � �*� �!� �*ÕÙ3� ��� ��� � � �*��� � ��Æ!� � � ��� � � � � � � � � � �-�*� � � � �1¥�ã5� � �P� �!� ��� � �� � Ç � � � � � ��� ��� � ��� �!� � ��� � � ¦� �!�ä� � �!� �P� �!� � ��� � �9� � � � � � � ¦6�!� ��� �!� � � � �-� � � �� �!� �6� � � � ��� �!� � � ¥1å�� � �*� � � � � ��� � � � �3Õ5Ö ¦ � � ��� Æ!� � � � �!� � � � � � � � � � �!�6� � �5� � � � � � � �� � � ��� � ���5¡5� � � �5� �*� � � � � ��� � � � �3ÕÙ�� � ��� � ��Æ!� � � �!� � � � � � � � � � �!�6� � ��� � � � � � � ��� � � �� � �5� Æ!� � � � �!� � ��� � ��¥�æ5� �!� �5¡�¡5� � � � � � � �6� ��� � �5� � � � � � � � � � � �1� �!Õ5Ö�� ��� � ��È É Ê Ë Ì Ê ÍÑ Ì ç Ñ Ò!è Ñ Î Ë Ï Ð È�� �!��� ��� � �3� � � � � � � � � � � ��� �6Õ�Ù5� �� � �*Ë Ñ Ó�É Ï Ð Ê Í6Ñ Ì ç Ñ Ò!è Ñ Î Ë Ï Ð È ¥å9��� � � ��� �!� �PÕÖ-� �*� ��Âêé�Âë�*� � � � ��� �!��� � �9� Æ!� � � � ��� � � � � � � � � � � ��� � �� � � § � � � �!�� � £�£ ¤�ìM¯�ì�í Ö « ¹ ¥ Ú ¹ ¬

Page 31: Colorado State Universitykirby/teaching/pattern/1999/ch3.pdf · b W(d _ W Y>a m u2a c2\ b Y4` jegUW ` We_ YNf \ \>d Y a f qp >` o je_ Y4j2\ d Y4[^H_ Y>_ [kR`] ` j Y \ dU^ d ilY gX[

î ï!ð5ñ ò ó1ô õ ö ÷!ø*ù ÷!ö õ ð�ú!ð û ü ýþ ü ñ ò î ò ü ó�÷!ó ú�ÿ ö�� ���� � � �� � �� � � ������� ���� � � � � � ��� ����� ��� � ��� � � � � � � � � � ��� �� �! "#� $ � $ "��&%' (*) + , - . . . - (/) 0�, 1 $*2� � ��" 34!�� �#5 ��687968��5 � � � :

34!;%<===>? ) + , ? ) @ , $ $ $ ? ) 04,

A BBBC .

D � ��� 5 � E " 4F*� ��5 ��GH7�GI�J5 � � � :J5 ���J� � �K� � ����� � 5 L� � � � � � � � � � �45 � �;� � � � � � ���� � MN�MO%O3*F P Q $ R R S

��� � � �� � �� � � ������� �O � � � � � ��� ���T� ��� � ��� � � � � � � � � � ��� �� 4F "#� $ � $ "

O%' U*) + , - . . . - U*) 04, 1 $*2� � ��" 5 ����3*F*� �#5�GH7�GH��5 � � � :

3*F*%<===>? ) + , ? ) @ , $ $ $ ? ) VL,

A BBBC .

W �K��5 � �K��� � ��� � ��� 5 ���#� � � 5 � � � �J� � ��� � �K� � � � � � 5 � � �4� �M9M N

5 ���M N M

� �� � � �� � � � �/� � � ��� � ��� � � ��� � � � � � �K��� � �K� �X5� � ��� � Y � � �� �*� � � � �*� 5 �X� � � PM9M N

S*%� � � PM N M

S Z[#\ ] ^4]�_ ` a ` ]�b�cXd eLd9f�g h�i�j i�k l h m jJh i n m o h p�j q 34!r i�s 3*F�r m h�h t u r v wx � �� � " � � ��yKzJ� ��� � � � �I 5 �;{��4� � � � � ��� � � �K� � � �I � ��� � � � � ��� � �4� � � � � � 5 � � �� �X� � � � � �# 4!�� �# 4F $*|�� � �K� ��5 ��� � �;� � � � � � 5 � � �*� �* 4!�5 � �;5 � ��5 EJ� � � � �J{ EJ� � ���5 � � � : +V 34!�5 ���J� ��5 ��� � �K� � � � � � 5 � � �4� �/ 4F45 � �#� � � � ��{ EJ� � �K��5 � � � : +0 3*F $|�� �H�4��� � 5 � �K� � � � ��� � � � � �K� ��� � � ���K� �4� � � D }K~ $ W ��� � � � � � � ��� ��5 �;� � �� ��5 � � 5 L� � � � � � � � � � ���I� �X� � ��� ��5 � � 5 X � � � � 5 � � � �J��5 � � � :M9M N

5 � �K� : 5 � EJ� � � � � � � � � � � � 5 �*� � � � � �/� �X� � �K� 5 � 5;��5 � � � :M$/2� � ��" � � �K� � ����� � 5 �� � � � � � � � � � �

O� � � � ��� � ����� � 5 � � � � 5 � � � �;��5 � � � :

M N M5 � �4� : 5 � E;� � �4� � � � � � � � � � � 5 �X� � � � � �� ��� � �K� 5 � 5K��5 � � � :

M$/�4� ��� " { E�� � �K� � � � � 5 �/� 5 � �K� � � ����� � � � � � ��� � � � � � ��� $ R�4�K��5 E�� � � ����� � �K� � �;� 5 � 5���5 � � � :M

%��;�O;N

P Q $ R � S��� � � ���H� �4� � �;6879GH� � 5 � � ��5 ��J5 � � � :�� � � � ��{ E

�H%T� � 5 ��P � ) + , � . . . � � ) � , � � � . . . � � S��� � � �4���X%�� ? � " � $ � $ " � � ��� � � � � 5 �X� 5 � � �/5 � �*� � ��� Y ��5 � �*� � � � �L� � � � �4� � � � � � 5 � � �� �M9M N

$

Page 32: Colorado State Universitykirby/teaching/pattern/1999/ch3.pdf · b W(d _ W Y>a m u2a c2\ b Y4` jegUW ` We_ YNf \ \>d Y a f qp >` o je_ Y4j2\ d Y4[^H_ Y>_ [kR`] ` j Y \ dU^ d ilY gX[

� ��� ���#� ��� �X� � � � � � �K�� � �K� � � �X� ��  ��� ¡ ¢ ���£#¤ ¥ ¦ §�¨ © ¦Jª « ¬ ­ ®�§�¯K« °#±²° « ³�´�µ�´ ¯ ¤ ¯#° « ³;¨ © ¦J¶ ´ ¨ ´ ·X¸4¦�©�´ ¥ ¦�¨ © ¦¹ º » ¼ ¹ ½ ¹ ¾�¿ ÀÁ  à ¿ ¾ Ä Å ¹ ¾

Æ/Ç È É*ÊÌËÍÎ Ï/Ð�Ñ Ç È ÉÎÓÒ Ç Î ÉÔ ¦ ª ´ ¬ ¬L¨ ©�´ ¨�¨ © ¤ ¯�®�´ ÕJµ�¦K³ ¦ ¸�³ ¤ ¨ ¨ ¦ §J¤ §�¨ ¦ ³ ®�¯4« °/®�´ ¨ ³ ¤ ª ¦ ¯�´ ¯Ö Ê ±K׸�© ¦ ³ ¦#×T¤ ¯4´ §JزÙ�ÚT®J´ ¨ ³ ¤ Û�« °�¦ Û Ü�´ §�¯ ¤ « §Jª « ¦ Ý�ª ¤ ¦ § ¨ ¯*× ÊIÞ ß Ç Ð É à ß Ç á É à â â â à ß Ç ãLÉ ä åæ ­ ³ ¨ © ¦ ³ ®�« ³ ¦ · ¯ ¤ §�ª ¦�±Kç Ê ±;è Ð å ¨ © ¦K¦ Û Ü�´ §�¯ ¤ « §�ª « ¦ Ý�ª ¤ ¦ § ¨ ¯�´ ³ ¦Ké ¤ ¥ ¦ §�µ Õ× Ê ± ç Ö âê © ¦J° « ¬ ¬ « ¸�¤ § é9Ü ³ « Ü�« ¯ ¤ ¨ ¤ « §�¯KÜ ³ « ¥ ¤ ¶ ¦J¥ ¦ ³ Õ­�¯ ¦ ° ­ ¬4³ ¦ ¬ ´ ¨ ¤ « §�¯ © ¤ Ü�¯;µ�¦ ¨ ¸4¦ ¦ §�¨ © ¦¦ Û Ü�´ §�¯ ¤ « §9ª « ¦ Ý�ª ¤ ¦ § ¨ ¯�´ §�¶�¨ © ¦;¦ ¤ é ¦ § ¥ ¦ ª ¨ « ³ ¯ åë#ì í î4í�ï ð ñ ð í�ò�óXô óXôKõ ö/÷ Å Ä4» ¼ Á�ø ¿ » º Å Â ¹ ö Ä Å ¾ ½ ù À ¿ º4ú ¿ À ù Á Ä�¹ öLÖ ¿ ¾Lû4ü�» ¼ Á4ø ¿ » º Š¹ ö ¿ Ä Ä ¹ ý Å ¿ » Á û�» Á ø#à ¹ º ¿ À Á Å ½ Á ¾�ú Á ý » ¹ º Ä�þ º Å ½ ¼ » ÿ Ä Å ¾ ½ ù À ¿ ºKú Á ý » ¹ º Ä ��» ¼ Á ¾9» ¼ Á#ø ¿ » º Å Â ¹ öÁ  à ¿ ¾ Ä Å ¹ ¾Iý ¹ Á � ý Å Á ¾�» ÄJ×��JÅ � Á � �J» ¼ ÁJà º ¹ � Á ý » Å ¹ ¾ Ĺ ö » ¼ Á û ¿ » ¿�¹ ¾ » ¹�» ¼ Á ¹ à » Å ø ¿ ÀÄ Ã ¿ » Å ¿ À Á Å ½ Á ¾ ú Á ý » ¹ º Ä �4Å Ä#½ Å ú Á ¾�� � × Ê ÷ ü ç º ¹ ¹ ö ��*ÕJ¨ © ¦ � ��� Ö Ê ± ÷ ü ç â� ­ ¬ ¨ ¤ Ü ¬ Õ ¤ § é�µ�« ¨ ©�¯ ¤ ¶ ¦ ¯*« °L¨ © ¦K³ ¦ ¬ ´ ¨ ¤ « §�¯ © ¤ Ü�µ Õ�±Kç´ §�¶�­�¯ ¤ § é�¨ © ¦#° ´ ª ¨#±Kç/± Ê��é ¤ ¥ ¦ ¯ ± ç Ö Ê ÷ ü ç âÔ ¦ ª « é § ¤ � ¤ § é9× Ê ±Kç Ö ª « ®�Ü ¬ ¦ ¨ ¦ ¯K¨ © ¦J³ ¦ ¯ ­ ¬ ¨;¸�© ¤ ª ©�©�´ ¯�´ §�¦ Û ¨ ³ ¦ ®�¦ ¬ Õ9­�¯ ¦ ° ­ ¬¤ § ¨ ¦ ³ Ü ³ ¦ ¨ ´ ¨ ¤ « § å�� ´ ®�¦ ¬ Õ�¨ ©�´ ¨4¨ © ¦#¦ Û Ü�´ §�¯ ¤ « §Jª « ¦ Ý�ª ¤ ¦ § ¨ ¯4×�´ ³ ¦Kª « § ¨ ´ ¤ § ¦ ¶�¤ §J¨ © ¦¨ ¦ ®�Ü�« ³ ´ ¬L¦ ¤ é ¦ § ¥ ¦ ª ¨ « ³ ¯ · ¤ å ¦ å · ¨ © ¦;³ ¤ é © ¨ � ¯ ¤ § é ­ ¬ ´ ³4¥ ¦ ª ¨ « ³ ¯ å��ê © ­�¯ · ¨ © ¦K¨ ¤ ®�¦K¶ ¦ Ü�¦ §�¶ ¦ § ¨�ª « ¦ ÝJª ¤ ¦ § ¨ ¯*é ¤ ¥ ¦ §Jµ Õ�¨ © ¦K®�´ ¨ ³ ¤ ÛJ×;· ®J´ Õ�µ�¦;ª « ®��Ü ­ ¨ ¦ ¶�­�¯ ¤ § é;¨ ¸4«;¶ ¤ ��¦ ³ ¦ § ¨*®�¦ ¨ © « ¶ ¯ å æ ¤ ³ ¯ ¨ ¬ Õ · ¸4¦#ª ´ §Jª « ®�Ü ­ ¨ ¦�¨ © ¦K¯ Ü�´ ¨ ¤ ´ ¬ ¦ ¤ é ¦ § �¥ ¦ ª ¨ « ³ ¯4´ §�¶J¨ © ¦;´ ¯ ¯ « ª ¤ ´ ¨ ¦ ¶�Ü ³ « � ¦ ª ¨ ¤ « §�¯*¤ §�¨ © ¦K­�¯ ­�´ ¬L° ´ ¯ © ¤ « § å�� ¬ ¨ ¦ ³ §�´ ¨ ¤ ¥ ¦ ¬ Õ · ¸4¦ª ´ §�ª « ®�Ü ­ ¨ ¦K¨ © ¦ ¯ ¦;ª « ¦ ÝJª ¤ ¦ § ¨ ¯�¶ ¤ ³ ¦ ª ¨ ¬ ÕJ° ³ « ®�¨ © ¦K¨ ¦ ®�Ü�« ³ ´ ¬Lª « ³ ³ ¦ ¬ ´ ¨ ¤ « §J®�´ ¨ ³ ¤ Û å� ¯ ­�´ ¬ ¬ ÕJ« § ¦;´ Ü Ü ³ « ´ ª ©J¤ ¯#¯ ¤ é § ¤ ��ª ´ § ¨ ¬ Õ�®�« ³ ¦K¦ Ý�ª ¤ ¦ § ¨�¨ ©�´ §�¨ © ¦K« ¨ © ¦ ³ åê © ¦�§ ¦ Û ¨KÜ ³ « Ü�« ¯ ¤ ¨ ¤ « §�¯ ¨ ´ ¨ ¦ ¯#¨ ©�´ ¨;¨ © ¦J¯ Ü�´ ¨ ¤ ´ ¬/¦ ¤ é ¦ § ¥ ¦ ª ¨ « ³ ¯#®�´ Õ9µ�¦�¸�³ ¤ ¨ ¨ ¦ §´ ¯4¨ © ¦;¯ ­ Ü�¦ ³ Ü�« ¯ ¤ ¨ ¤ « §�« °/¶ ´ ¨ ´�¸�© ¦ ³ ¦K¨ © ¦;´ Ü Ü ³ « Ü ³ ¤ ´ ¨ ¦#¦ Û Ü�´ §�¯ ¤ « §�ª « ¦ Ý�ª ¤ ¦ § ¨ ¯�´ ³ ¦Ü ³ « ¥ ¤ ¶ ¦ ¶�µ Õ9¨ ¦ ®�Ü�« ³ ´ ¬/¦ ¤ é ¦ § ¥ ¦ ª ¨ « ³ ¯ ·�¤ å ¦ å ·�¨ © ¦�³ ¤ é © ¨ � ¯ ¤ § é ­ ¬ ´ ³�¥ ¦ ª ¨ « ³ ¯ å! « ®�Ü�´ ³ ¦¨ © ¤ ¯�³ ¦ ¯ ­ ¬ ¨4¸�¤ ¨ ©�¦ " ­�´ ¨ ¤ « §$# % å % & ' åë#ì í î4í�ï ð ñ ð í�ò�óXô (Xô

Ò Ç Î É*Ê &) Î ãÍ* ÏXÐ + Ç Î É* Æ/Ç * É

Page 33: Colorado State Universitykirby/teaching/pattern/1999/ch3.pdf · b W(d _ W Y>a m u2a c2\ b Y4` jegUW ` We_ YNf \ \>d Y a f qp >` o je_ Y4j2\ d Y4[^H_ Y>_ [kR`] ` j Y \ dU^ d ilY gX[

, -/.�0 1 243 5 6 7/8:9 7/6 5 .<;/. = > ?�@ > 0 1 , 1 > 2!7/2 ;�A 6CB DEGF H I H�J!KML N O O O N I P Q R S T$U VW I X X Y V�Z�[ \ ]�^ _ ] ` a b<c a ] d!e d a a d f<]�g \ ^ _ h b a i:e ^ d jkb [ _ l m�nToKqp r s!tT$suKqp rf�[ _ ^ _�b [ _<e c h b�b [/c b�sM\ ]�c v�d ^ b [ d w d v/c a j:c b ^ \ x!f�c ]�`/] _ g4y�n�_ z v \ v w:r {�| }�~��j�c b ^ \ x4| c ]�b [ _ �/] _ `/g d \ v � _ ^ ] _<d e�r�f�_�[/c � _pMK�T$s!r {e ^ d jkf�[ \ h [�b [ _�� ^ d �/d ] \ b \ d v:e d a a d f<] y��Z�[ _�v _ x b � ^ d �/d ] \ b \ d v$� ^ _ ] _ v b ]�c:^ _ a c b \ d v$f�[ \ h [�\ ]�\ v�c�] _ v/] _:] i j�j!_ b ^ \ h c ab d�b [ _ � ^ _ � \ d `/]�d v _ y�� b<] b c b _ ]�b [/c b�b [ _ b _ j��/d ^ c aG_ \ w _ v � _ h b d ^ ]�j�c i:�/_ f�^ \ b b _ vc ]�b [ _ ] ` �/_ ^ �/d ] \ b \ d v�d e�g c b c!f�[ _ ^ _�b [ _ c � � ^ d � ^ \ c b _<_ x �/c v/] \ d v�h d _ ��h \ _ v b ]�c ^ _� ^ d � \ g _ g:� i:] �/c b \ c a4_ \ w _ v � _ h b d ^ ] y�<� � ���/� � � � �/���G� �4� ��� � ��K L� � ��� ��� � � � ���  � � �EGF H I H�J!KML N O O O N ¡ ¢G¡!KqI P Q R S T$U P Q4£�¤ � � �¥ K§¦ � ¥ �� P ¨!£ H ©�Q4H £:P ª X « H VW I X X Y V�¬�w c \ vG| b [ \ ]�^ _ ] ` a b�e d a a d f<]�g \ ^ _ h b a i�e ^ d jkb [ _!l m�nToKqp r s!tp�t4ToKqr s!ts t$Kqr {�p�t4Tf�[ _ ^ _�b [ _�e c h b�b [/c b�pM\ ]<c v:d ^ b [ d w d v/c a/j�c b ^ \ x:f�c ]�`/] _ g4y�­�_ v/h _ |suK�T$t�p r { S ® y ¯ ° Ue ^ d jkf�[ \ h [�b [ _�� ^ d �/d ] \ b \ d v:e d a a d f<] y��±�²G³ ´���µ ¶��G� ·/��¸ _ h c a a4¹�x c j�� a _�º y L °�f�[ _ ^ _<b [ _<a _ e b�c v/g!^ \ w [ b�] \ v w ` a c ^�� _ h b d ^ ]f�_ ^ _ h d j�� ` b _ g:e d ^<b [ _ g c b c!j�c b ^ \ x

T»K»¼½ L¾L¿ LL ¿ ÀÁ T$t�KàL ¿ LL¾L ¿�ÄZ�[ _ h d a ` j�v/]�d eGT t c ^ _   � � � KMS L N L U t N   � Å � KqS ¿ N L U t c v/g   � Æ � KMS L N ¿ U t yÇ _�v d fMh d v z ^ jk� ^ d �/d ] \ b \ d v$S ® y ¯ U y�ZGd!b [ \ ]�_ v/g4| f�_ h d j!� ` b _È�� � ��K L� �kÉ�� �G� Ê � � �� ² � � �

Page 34: Colorado State Universitykirby/teaching/pattern/1999/ch3.pdf · b W(d _ W Y>a m u2a c2\ b Y4` jegUW ` We_ YNf \ \>d Y a f qp >` o je_ Y4j2\ d Y4[^H_ Y>_ [kR`] ` j Y \ dU^ d ilY gX[

Ë ÌÎÍ Ï/Ð<Ñ Ò/Ó ÏGÔ Õ Ð Õ Ö × Ø�ÙÐ Ú Ð�Û Ñ × ÜGÐ Ý/Þ Ò/Õ ß à Ø/Õá â ã<ä�å æ ç è�é�ê ë ì í/ë î ï ð ñ�î ò ï ó�á â ã ô í ì ë ñ ï ê õ óä å æ ç�öø÷ù ú�û ü å æ çæqý å æ çGþ ü å æ çÿ ý å ÿ ç �� õ � ë ì ì ï ð ñ ü ö æ� ÿ û ÷ � ÷ � ��� õ â � î ë ï ðä å æ ç�öø÷ù ú û ÷ù � ÷� ÷

� þ ÷ù � ÷÷� � �� ò õ ã õ á â ã õ � ä å æ ç�öø÷ù ��û � ÷ � ÷ � �� ò ï � ò�� ò õ � � ó è� õ�ð â � � â ð � ã ô�� ã â �/â ó ï î ï â ð û ú è � � � ��� â ô�� í î ï ð ñü å � ç�ö ÷� ���� ! æ " å � ç $# å çá â ã ü å æ ç è � õ � ë ì ì ï ð ñ�ä�å æ ç ö æ� % û � ÷ � ÷ � �&� õ�â � î ë ï ð

ü å æ ç�öø÷ù ú�û ù �&' ÷÷�( þ ÷ù �)' � ÷�( þ ÷ù �)' ÷� ( ��öø÷ù ' ÷÷&(� ò ï � ò)� ò õ � � ó è+* î�ï ó ë ì ó â:ã õ ë ó ó í ã ï ð ñ�î â�� â ð � ã ôÃî ò õ�á â ã ô!í ì ë�, ö�-+./�0� ò ï � ò� ã â ê ï 1 õ ó�î ò õ ó �/ë î ï ë ì4õ 2 �/ë ð/ó ï â ð�� â õ 34� ï õ ð î ó�ï ð�î õ ã ô�ó�â áGî ò õ�î õ ô+�/â ã ë ì4õ ï ñ õ ð ê õ � 5î â ã ó è768�41 ï ã õ � î9� â ô+� í î ë î ï â ð, ö$: �<;ö =� ÿ� % æ� % æ� %� æ� ÿ?> æ� ÿæ� @ > æ� @ > æ� @

A� � ÷¾÷� ÷÷ � �

ö � @� % @� %B æ� ÿ æ� ÿ�C� �D9� � â ã 1 ï ð ñ î â î ò õ9� ã â �/â ó ï î ï â ðE� î ò õGFIH�Jqô�ë î ã ï 24, öK-+./� ï ó�ë ì ó â á â í ðL1�ë ó÷ù �kù ú �� ÷�M� � ' ÷ ÷> ÷ ÷�( ö

==�ON @ÿ N @ÿ> N æÿ N æÿ�P� AA�

� ò ï � ò�ë ñ ã õ õ ó � ï î ò�î ò õG� ã õ ê ï â í/ó�ã õ ó í ì î è

Page 35: Colorado State Universitykirby/teaching/pattern/1999/ch3.pdf · b W(d _ W Y>a m u2a c2\ b Y4` jegUW ` We_ YNf \ \>d Y a f qp >` o je_ Y4j2\ d Y4[^H_ Y>_ [kR`] ` j Y \ dU^ d ilY gX[

Q R8S T U R8U V7W XLW Q Y V&Z8Q W [�R8Q \ \ Q VL]/^ XLW X`_ ab<c d<c egf7h i j k l i m n oLj i l l p�q j r i h n i j m+s9i m it&u9v w xLy z { u |~}9{ } � }Gy u �~v w xLy z y � z x �9w �L�Lw z x � y8� �<� ��� wG�Lu�� | } xLy � } � z w xL} � � �Gz x � } | z } x �z �7� � u+y �L} � z } �E{ w ��} z x�z y8�Lu | z w { z v/} xL{�}�v � v � z v9�Lu | �/� � } � z w x�w �E� � u+v w ���Lw x u x � yw ��}�� z � u x){ } � }��Lw z x �/� u x u | } � u y/} x w � � u |/u � u �+u x �/w �8� � u�{ } � }�y u � �4� x)�4} � | z �x w � } � z w x��8u/v } x�v w xLy z { u |�� � u�� | u v � } x � � � } | �~��} � | z �4����� w y u9| w �9y8} | uG� � uG�<�� ��8� u | u�z y4})� | w � �0w �/v � v � z v��Lu | �+� � } � z w xLy�w �G� � u)v w � � �+xLy�w �/���8� �L} �4z y�� � uv w ���Lw x u x � y~w �L�<�� y �Lv ��� �L} �8��� z v ���8u�| u � | u y u x �~� �+� � u9v z | v � � } x �~��} � | z �4� �8� � �� w | | u y �Lw xL{ z x �&� w&u } v ��w �9� � u����9� � u | u�z y�}��Lu | �+� � } � z w x0w �9� � u�| w �9y/w �9���{ u x w � u {4� �4�7� � ��� z v ��| u } | | } x � u y~� � u/| w �9y8w �E��z x � w�� � u z |�w | z � z xL} �<w | { u |�E� �&���E�0���w � uG� �L} ���/ E¡� �$�/�� �~�8� u9| z � � ��y z x � � � } |8� u v � w | y~w �E���4} �+�Lu/{ u � u | �+z x u {4� �� w | �+z x �+�&�<��� z � u � � � � ���$� �� � � �&���� u xLv u � � �&�8�E�$� �� � � �¢ w4� � u�� | w � ��w �8v z | v � � } x �9��} � | z v u yGv w �+�+� � u y9��z � �&�&�<���/£Gz � u x�� � u4�8��} xL{�&�<�¤} | u+¥ ¦ §9¨L© ª � z ��� w � � w �9y8� �L} �9� � u ��y �L} | uG� � u+y } �+uGu z � u x � u v � w | yG« ¬ ¬ ­ � ¢ z xLv u� � u/u z � u x � u v � w | y8w �~� � u+v z | v � � } x �9��} � | z v u y9} | u/y z x �Ly w z { y��8u+v w xLv � �L{ u/� �L} �9� � u| z � � ��y z x � � � } |4� u v � w | y4} | u&} � y w0y z x �Ly w z { y ���8� u&� } v �4� �L} ��� � u&w � � z �4} �9�L} y z y� w |+� | } xLy � } � z w xL} � � ��z x � } | z } x �/{ } � }�z y/y z x �Ly w z { yGz yG�8u � �8® x w ��xE���8� u�} | � � ��u x �� | u y u x �8� u | uG� w � � w �9yG« ¯ ­ �b<c °±q ²�³8´LµE²�µE¶9f7·Ef/q ¸+¶º¹�q f/»�²�q ¼E¼7q ¶G½ºs8·7fE·��w ���8u+� � | x&� w�� � u�� | w � � u �¾w �8�Ly z x ��� � u4¿GÀ�� | w v u { � | u+w x){ } � }�y u � yG��� z v ��L} � u�� } �Ly �Ew |/�+z y y z x �&v w ���Lw x u x � y ���8� u�} � � w | z � � ��� | u y u x � u {&� u | u�z y/{ � u4� w« Á ¬ ­ �+�8� u�{ u � u � w � �+u x �9� w � � w �9y/« Á ¬ ­ �E} � � � w � � �&� u | u+�8u�y z �+� � z � ��� � u4y u � � z x ��w �� � u~� | u y u x � } � z w xG�Ly z x �9w x � �/{ z y v | u � u~� u v � w |Ey �L} v u y � | } � � u |E� �L} x/� � xLv � z w x�y �L} v u y �t&u/{ z y � z x � � z y �4� � z y8u � � u xLy z w x�w �E� � u/¿/À�� | w v u { � | uG� w |9 à ¨ ¨LÄ�Å Ã Æ ÃG{ � uG� w�« Á ¬ ­� | w ��� � u/v } y uGw ��ÇLÈ ¦ ¥ Ä4Å Ã Æ Ã9��� z v ��z y9{ u � u � w �Lu {�z x�� � uGx u � ��y u v � z w xE�b<c °<c eɵLk m n Ê�i m n j Ë)²&n k k n j Ë�s9i m iÀ<u �GÌ$Í�Î7Ï�} x&}4� u v � w |G��� z v �&�L} yG}�| u { �Lv u {�u � �L} xLy z w x�z x&� u | ��y9w �8� � u�¿/À�L} y z y�} y Ì&Ð0ÌEÑ0� ÑÒÓ Ô ¡ Õ Ó Ö~× Ó Ø� �+� w � � w �9y/� �L} �+w x � ��Ù¤�Lw z x � y+w ��z x � w | ��} � z w x0} | u4| u Ú � z | u {)� w&| u � | w { �Lv u4� � uw | z � z xL} �L� u v � w | � � w xLy z { u |8x w �K} x4z xLv w ��� � u � u � w |8� } � � � � v w � �)ÛÌ&w �<� � uGw | z � z xL} �