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La UVa en curso, 2010
¿Que nos dice la Ciencia
sobre los lımites del Conocimiento?
Mariano Santander Universidad de Valladolid
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La Exploracion Humana: Fronteras en retirada
La historia de la Astronomıa es una historia de horizontes en retiradaEdwin Hubble
? La historia de la Exploracion Humana: una historia de horizontesen retirada Dos mapas del Artico separados por 400 anos:Mercator-Hondius ≈ 1610 Mapa Actual 2010.
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La Exploracion Humana y la Ciencia: Fronteras en retirada
? Tambien la historia de la Ciencia (otra exploracion humana, a finde cuentas) es una historia de horizontes en retirada
X El mapa como metafora: El mapamundi de 1630 de H. Hondius
• El mapa representa una esfera: en la esfera no hay lımites
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¿Tiene lımites nuestro intento de entender el mundo?
• Lımites de nuestra capacidad
? ¿Acaso debemos esperar que la evolucion nos haya hecho capacesde entenderlo todo?
• Lımites logicos
? Conocimiento: estructura binaria (lo conocido / lo desconocido; loverdadero / lo falso) o estructura ternaria (lo conocido / lo descono-cido / lo incognoscible; lo verdadero / lo falso / lo indecidible)
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¿Tiene lımites nuestro intento de entender el mundo?
• Lımites experimentales Fısica de partıculas elementales; exploracion delespacio.
? El ejemplo del Superconducting Supercollider (SSC) Canceladoen 1994 por el Congreso de EEUU, coste estimado 20.000 millones $.
• Lımites computacionales
? Ideas de A. Turing sobre la computabilidad
? Medir complejidad mediante el coste computacional: Chaitin
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¿Tiene lımites nuestro intento de entender el mundo?
• Lımites de nuestra capacidad de prediccion o de accion
• Consecuencias del exito de la Mecanica Newtoniana
? El mundo real es un optimo, el mejor de los mundos posibles;Leibniz, Maupertuis El aspecto conformista de esta concepcion fueridiculizado ya por Voltaire.
? Un cierto optimismo utopico: los optimos son posibles y la ciencianos ayudara a determinarlos y a establecerlos.
• Pero realmente ni todos los optimos son posibles ni todas las si-tuaciones ‘deseables’ son realizables.
? Durante el S. XIX y mas en el XX se han ido descubriendo lımitesno esperados
? Distinguir entre lo factible y lo imposible se torna en un objetivoimportante que trata de superar el conformismo y el utopismo.
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El objetivo de la Ciencia
El objetivo de la Ciencia no es abrir una puerta a la sabidurıa infinita,sino poner lımite al error infinito
Bertolt Brecht, en ‘Galileo Galilei’
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!Lisa! !En esta casa se respetan las leyes de la termodinamica!
N.L.S.Carnot
• Termodinamica: se desarrolla a lo largo del S. XIX:Carnot, Rankine, Clausius, Thomson (lord Kelvin), Max-well, Boltzmann, Gibbs, . . .
? 100 anos de maquinas de vapor sin termodinami-ca 1712, Newcomen; ≈ 1770 Watt
• Existencia de lımites infranqueables
? Lımites a la eficiencia de los motores termicos1834, Sadi Carnot
? Imposibilidad del movil perpetuo
? Irreversibilidad de la evolucion
? Inaccesibilidad del cero absoluto de temperatu-ras
• Lımites ya incorporados en el conocimiento comun
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La fısica entre 1900 y 1930
• Nuevas teorıas deben tener una correspondencia con las antiguasy predecir nuevos fenomenos.
? Cartografiar las fronteras de aplicabilidad. Recorte a la ambiciondesmedida
• Entre 1900 y 1930 dos nuevas teorıas delimitan la region de apli-cabilidad de la fısica Newtoniana
• Relatividad Describe como es realmente el espacio-tiempo. Conduce aque la velocidad de la luz es un lımite de velocidad infranqueable.
• Mecanica Cuantica Describe la estructura atomica de la materia. Con-duce a las Relaciones de indeterminacion o de Heisenberg.
? Es imposible conocer simultaneamente, con precision arbitraria, laposicion espacial y la velocidad de un sistema fısico
• Explicacion y Prediccion de fenomenos
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Formalizar el conocimiento: El sueno de Descartes
• ¿Es demostrable la ‘verdad’? No siempre en la vida cotidiana, en lostribunales judiciales, en la investigacion arqueologica, . . .
• El sueno de Descartes: disponer de un sistema que permitiera establecerverdades sin atisbo de duda. En su Discurso del Metodo 1637, propone
? Analizar cualquier cuestion en elementos basicos
? Aplicar luego reglas precisas de manera sucesiva
? Las cadenas de inferencias logicas llevarıan desde los primerosprincipios (axiomas) hasta cualquier conocimiento verdadero
R. Llull R. Descartes G. Leibniz
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Las matematicas: El campo ideal para este programa
• El sistema axiomatico–deductivo de Euclides era el modelo
• A finales del S. XIX, David Hilbert (1862-1943) plantea un ambi-cioso programa
? Fundamentar la matematica mediante axiomas y reglas de infe-rencia aplicadas sucesivamente de manera algorıtmica.
• Se trata de establecer un metodo con el que se podrıa (com)probarla verdad o falsedad de cualquier proposicion matematica.
• Whitehead y Russell: los Principia Mathematica
D. Hilbert en 1900 B. Russell A. N. Whitehead
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El programa de formalizacion del conocimiento matematico
• Objetivo a largo plazo: demostracion de consistencia de las matematicas
? Un objetivo alcanzable, creıa Hilbert En sus propias palabras (1900),‘... en matematicas no hay ignorabimus ...’
D. Hilbert en 1932
• En 1930 Hilbert se retira con un discurso. Allienuncia “Wir mussen wissen, wir werdenwissen” (Debemos conocer, y conoceremos).
• Hilbert espera que sea posible formalizar laAritmetica (y todas las Matematicas) den-tro de una teorıa que sea
? axiomatica
? consistente
? completa.
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Lımites a la formalizacion en matematicas: Godel versus Hilbert
K. Godel
• El mismo ano, Kurt Godel reali-za una aportacion impresionan-te e inesperada, que se publica en1931.
• ‘Godel es una de las pocas perso-nalidades del S. XX que sera re-cordada dentro de mil anos’
• Teoremas de incompletitud de Godel 1931 No hay sistemas axiomati-cos que sean, simultaneamente, consistentes y completos.
? En cualquier sistema matematico basado en axiomas y que incluya laAritmetica, necesariamente hay proposiciones indecidibles (que nopueden ni demostrarse ni refutarse dentro del sistema).
? La proposicion ‘La teorıa es consistente’ es indecidible en el sistema
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Los Teoremas de incompletitud de Godel
• Un golpe de gracia para el programa de Hilbert y sistemas relacio-nados en la forma ‘ingenua’ en que Hilbert lo concebıa.
? Pero en general, es posible que se exagere este punto TantoHilbert como Godel compartıan un cierto ‘optimismo propicio’ hacialas posibilidades de la razon.
• Lımite absoluto solo al conocimiento formalizable, no al conoci-miento en sı.
• En cierto sentido matematico, ‘ser o no ser’ es indecidible.
• Caveat: Innumerables extrapolaciones apresuradas y analogıas infundadas,desde lo pintoresco hasta lo risible, se presentan como ‘consecuencias’ delteorema.
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Las Matematicas de la eleccion social: Agregando preferencias
• ¿Como se traduce el conjunto de muchas preferencias individualesen una sola preferencia colectiva?
? ¿Es tan facil como votar y contar?
? Algunos hitos en la historia del problema
X List y Pettit 2004, La paradoja doctrinal.
X Kenneth Arrow 1951, Premio Nobel de Economıa en 1975
X Nicolas de Condorcet y Jean Charles Borda ≈ 1790
X Jose Isidoro Morales, un ilustrado espanol 1758–1818
X Ramon Llull ca.1233–1315
R. Llull N. Condorcet J.C. Borda J. Isidoro Morales K. Arrow
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Las Matematicas de la eleccion social: Agregando preferencias
• Los pioneros (Llull, Condorcet, Borda, Morales, . . . )
? Mecanismos para establecer la preferencia colectiva : Voto uni-nominal, preferencial, Voto puntuado, regla de Borda, . . .
• Mecanismos razonables pueden conducir a resultados nada razo-nables
? ‘Paradoja’ de Borda En una votacion uninominal con tres o masalternativas, la alternativa que obtenga mas votos puede tener masdetractores que partidarios. Declararla ganadora va en contra de laspreferencias de una mayorıa de electores.
? ‘Paradoja’ de Condorcet En una votacion preferencial con tres o masalternativas, es posible que una mayorıa prefiera A a B, otra mayorıaprefiera B a C y otra mayorıa prefiera C a A. Ası pues, cualquiera delos posibles resultados va en contra de las preferencias de una mayorıade electores.
• Estas situaciones ‘paradojicas’ pueden ocurrir o no Serıa deseableestablecer sistemas que garanticen que no ocurran.
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Las Matematicas de la eleccion social: Agregando preferencias
? Las ‘paradojas’ solo ocurren cuando hay tres (o mas) alternativas.Entre dos alternativas no hay dificultades. Por ejemplo, veamoslo que dice el texto de Jose Isidoro Morales:
• Busqueda del metodo ‘perfecto’ para establecer la preferencia co-lectiva
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El Teorema de imposibilidad de Arrow
• ¿Es posible encontrar un sistema ‘optimo’ para establecer la pre-ferencia colectiva?
• Teorema de Arrow (1951) No existe ningun sistema para establecerla preferencia colectiva que satisfaga simultaneamente las siguientescondiciones:
? Universalidad El sistema debe producir siempre un resultado para la ‘preferencia
colectiva’, sean cuales sean las preferencias individuales.
? Unanimidad (o Pareto) Si para todos los electores A es preferible a B, entonces
la eleccion no puede recaer en B.
? Independencia de las alternativas irrelevantes El resultado no debe depender
de cuales sean las preferencias de los electores respecto a alternativas que no esten
en juego.
? Ausencia de dictadores El sistema garantiza que no haya ningun elector cuyas
preferencias coincidan siempre con el resultado, independientemente de las prefe-
rencias de los restantes electores.
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El Teorema de imposibilidad de Arrow
• Cada una de las condiciones del teorema parece individualmentemuy deseable o al menos deseable. Pero no existe ningın sistemapara establecer la ‘preferencia colectiva’ que las garantice a la vez.
• Caveat: Frecuentes lecturas incorrectas o ‘demagogicas’.
? Enunciado original de Arrow: Todo sistema de establecimiento depreferencias colectivas que satisfaga las propiedades 1, 2 y 3 anteriores,necesariamente tiene un dictador.
? 1, 2, 3 son requerimientos mınimos de democracia. A veces el resultadose ha enunciado —demagogicamente— como ‘El teorema de Arrowafirma que la unica democracia es la dictadura’
• ¿Que significa realmente el teorema? La idea de ‘preferencias colec-tivas derivadas de las individuales’ tiene sentido en algunos casos (porejemplo si hay unanimidad) pero carece de sentido en otros casos.
? Esta interpretacion esta en lınea con la Mecanica Cuantica:ciertas ideas tienen sentido en casos especiales, pero no en general.
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La mecanica newtoniana
I. Newton
• El origen del paradigma de la Ciencia mo-derna
• Descubrimiento de las leyes que gobiernanel movimiento.
• Separacion nıtida entre dos ‘ingredientes’
? Ecuacion del movimiento Universal, . . .
? Condiciones iniciales Especıficas, . . .
• Propiedad explıcita El movimiento a lo largo del tiempo esta determinadode manera unıvoca por las condiciones iniciales.
• Hipotesis implıcita Condiciones iniciales muy cercanas producen evolu-ciones muy parecidas.
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El determinismo Laplaciano
• La Mecanica Newtoniana en su madurez: El Universo como ungran reloj
P.S. Laplace
Podemos considerar el estado presente del universocomo el efecto del pasado y la causa de su futu-ro. Se podrıa concebir un intelecto que en cualquiermomento dado conociera todas las fuerzas que ani-man la naturaleza y las posiciones de los seres que lacomponen; si este intelecto fuera lo suficientementevasto como para someter los datos a analisis, podrıacondensar en una simple formula el movimiento delos grandes cuerpos del universo y del atomo masligero; para tal intelecto nada podrıa ser incierto yel futuro ası como el pasado estarıan frente sus ojos
Pierre Simon Laplace, 1814
• Determinismo y Predictibilidad Implıcitos en esta descripcion. Se con-sideraban como dos rasgos identificadores de la Ciencia.
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¿Son las lluvias y tempestades frutos del azar?
H. Poincare
¿Por que los meteorologos tienen tantas dificultades parapredecir el tiempo con alguna exactitud? ¿Por que las llu-vias y tempestades nos parecen frutos del azar, hasta talpunto que mucha gente encuentra logico rogar para quellueva o haga buen tiempo, mientras juzgarıan ridıculopedir un eclipse mediante una oracion? . . .
. . . los meteorologos ven que se va a producir un ciclon enalguna parte, pero donde son incapaces de decirlo; unadecima de segundo mas o menos en un punto cualquiera,y el ciclon estalla aquı y no alla. Si se hubiera conocidoesa decima se hubiera podido prever. Pero las observacio-nes no eran lo bastante seguras ni precisas, por esto espor lo que todo parece debido a la intervencion del azar.Aquı encontramos el mismo contraste entre una causamınima, inapreciable para el observador, y los efectos con-siderables que muchas veces se convierten en espantososdesastres. H. Poincare
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El descubrimiento de Lorenz
E. Lorenz
• Hacia 1960, Edward Lorenz se estaba dedicandode manera sistematica a explorar modelos muysimplificados de atmosfera (atmosfera de fantasıa).
• ¿Tiene sentido hacer esto? Siempre se espera apren-der algo en la empresa.
? Truncaciones sucesivas de las ecuaciones correc-tas (Navier–Stokes)
? Simplificaciones sucesivas 12 variables.
? Solucion numerica de las ecuaciones con orde-nador (Royal McBee LGP-30, 16k de memoria)
• ¿Que descubre ‘experimentalmente’ Lorenz: para condiciones inicialesmuy cercanas, las ecuaciones producen evoluciones que inicialmente semantienen muy cercanas, luego comienzan a separarse, se separan cadavez mas y acaban siendo totalmente diferentes.
• Dependencia sensible a las condiciones iniciales:
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El origen de un nombre: el efecto mariposa
• Predictability: Does the Flap of a Butterfly’s Wings in Brazil setoff a Tornado in Texas? Edward Lorenz, 1972.
? Parecido (accidental) trayectoria con forma de alas de mariposa.
? Metafora el tornado como consecuencia de un simple aleteo.
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El origen de un nombre: Caos
• Caos como termino tecnico para la dinamica con dependencia sensiblea las condiciones iniciales, Li y Yorke, 1975
? Para dos condiciones iniciales solo ligerısimamente diferentes,la evolucion amplifica las diferencias y a partir de un cierto momentolas dos evoluciones son completamente diferentes.
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El golpe de gracia a la predictibilidad
• ¿Es el comportamiento caotico excepcional? La dinamica caoticaes relevante para entender sistemas como:
X Tiempo atmosferico
X Mecanica Celeste
X Mercados financieros
X Ecologıa (modelos predador–presa)
X Fısica (Laseres, magnetizacion)
? Se han aplicado las ideas del caos a otros muchos campos:
X Terremotos
X Atascos de trafico
X Funcionamiento de sistemas biologicos: Corazon, Cerebro
X Ingenierıa (Analisis de estructuras)
• Sistemas caoticos: evolucion completamente determinista; prediccionimposible a largo plazo. Divorcio entre determinismo y predictibilidad
• El fin del sueno laplaciano
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Comportamiento caotico: Una cita de 1991
. . . . [ legisladores, economistas, industriales ypolıticos ] ... deben hacer frente a la posibili-dad de que sus decisiones, en un intento porconseguir un mejor equilibrio, produzcan de he-cho oscilaciones violentas e imprevisibles, conefectos tal vez desastrosos. La complejidad delas economıas modernas favorece un compor-tamiento caotico, y nuestra comprension teori-ca de este dominio sigue siendo muy limitada.En mi opinion, existen pocas dudas de que laeconomıa y las finanzas proporcionen ejemplosde caos y de impredictibilidad.
David Ruelle Chance and Chaos:(traduccion espanola de 1993, Azar y Caos,Alianza Universidad)
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Lımites ¡ hasta en Google ! ¿Ignoras algo?:
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... pregunta a Google ...
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pero a veces Google te responde .... circularmente.
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Haciendo de la necesidad virtud
• Una vuelta de tuerca mas al geocentrismo/antropocentrismo
• El pensamiento y el lenguaje nos permiten describir lo que existey hablar de lo que no existe con el mismo desparpajo: desentranarambos no siempre es facil.
• Dentro de los limites hay muchas cosas desconocidas por descubrir,muchas mejoras practicables por realizar
• Dos ejemplos recientes
? Llevame a la Luna: la frontera entre dinamica newtoniana y elcaos trabajando a nuestro favor
? El grafeno: ¿salvando por la campana a la ley de Moore?
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Llevame a la Luna: el caos trabajando a nuestro favor
• El Caos: ¿Calamidad u oportunidad?
? La sonda lunar japonesa Dos ‘sondas’ lanza-das en Enero 1990: Hiten y Hagoromo.
? Edward Belbruno entra en escena
• Fly me to the Moon, Edward Belbruno, Priceton University Press, 2007
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La ‘ley’ de Moore
• La ‘ley’ de Moore El numero de transistores incorporados en un circuitointegrado se dobla cada dos anos.
? Esta ‘ley’ se cumple desde su ‘enunciado’ en 1965 hasta ahora
? El unico contraejemplo a la ‘ley’ de Murphy
? Pero entre 2015 y 2020 se alcanzara el lımite de miniaturizacion.
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El grafeno: ¿salvando por la campana a la ley de Moore?
• El grafeno: una de las posibles estructuras del Carbono , predichateoricamente en 1947 pero que se suponıa inestable.
? ‘Descubierto’ por Geim y Novoselov (2004, Nobel Fısica 2010)
• Propiedades ‘extremas’ Mecanicas, electricas, termicas.
? Posibilidad de hacer transistores con grafeno en vez de silicio.
? ¿Una ley de Moore para los transistores de Grafeno? Quizas en2020 aun podremos duplicar la capacidad de computo de los ordena-dores de consumo cada dos anos.
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Sobre los lımites: opresion o realidad
Monty Phyton, La vida de Brian, 1979
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