12
Clustering Nominal and Numerical Data: A New Distance Concept for a Hybrid Genetic Algorithm Laetitia Vermeulen-Jourdan, Clarisse Dhaenens, Talbi El-Ghazali To cite this version: Laetitia Vermeulen-Jourdan, Clarisse Dhaenens, Talbi El-Ghazali. Clustering Nominal and Numerical Data: A New Distance Concept for a Hybrid Genetic Algorithm. Jens Gottlieb and G ´ ’nther R. Raidl. Evolutionary Computation in Combinatorial Optimization – 2004, Apr 2004, Coimbra, Portugal, Springer Verlag, 3004, pp.220–229, 2004. <inria-00001183> HAL Id: inria-00001183 https://hal.inria.fr/inria-00001183 Submitted on 30 Mar 2006 HAL is a multi-disciplinary open access archive for the deposit and dissemination of sci- entific research documents, whether they are pub- lished or not. The documents may come from teaching and research institutions in France or abroad, or from public or private research centers. L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destin´ ee au d´ epˆ ot et ` a la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publi´ es ou non, ´ emanant des ´ etablissements d’enseignement et de recherche fran¸cais ou ´ etrangers, des laboratoires publics ou priv´ es.

Clustering Nominal and Numerical Data: A New Distance ...Clustering Nominal and Numerical Data: A New Distance Concept for a Hybrid Genetic Algorithm Laetitia Vermeulen-Jourdan, Clarisse

  • Upload
    others

  • View
    9

  • Download
    0

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: Clustering Nominal and Numerical Data: A New Distance ...Clustering Nominal and Numerical Data: A New Distance Concept for a Hybrid Genetic Algorithm Laetitia Vermeulen-Jourdan, Clarisse

Clustering Nominal and Numerical Data: A New

Distance Concept for a Hybrid Genetic Algorithm

Laetitia Vermeulen-Jourdan, Clarisse Dhaenens, Talbi El-Ghazali

To cite this version:

Laetitia Vermeulen-Jourdan, Clarisse Dhaenens, Talbi El-Ghazali. Clustering Nominal andNumerical Data: A New Distance Concept for a Hybrid Genetic Algorithm. Jens Gottlieband G’nther R. Raidl. Evolutionary Computation in Combinatorial Optimization – 2004, Apr2004, Coimbra, Portugal, Springer Verlag, 3004, pp.220–229, 2004. <inria-00001183>

HAL Id: inria-00001183

https://hal.inria.fr/inria-00001183

Submitted on 30 Mar 2006

HAL is a multi-disciplinary open accessarchive for the deposit and dissemination of sci-entific research documents, whether they are pub-lished or not. The documents may come fromteaching and research institutions in France orabroad, or from public or private research centers.

L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, estdestinee au depot et a la diffusion de documentsscientifiques de niveau recherche, publies ou non,emanant des etablissements d’enseignement et derecherche francais ou etrangers, des laboratoirespublics ou prives.

Page 2: Clustering Nominal and Numerical Data: A New Distance ...Clustering Nominal and Numerical Data: A New Distance Concept for a Hybrid Genetic Algorithm Laetitia Vermeulen-Jourdan, Clarisse

������������ ����������� ���������������������� �� ���!���"��$#%���� &�' (�)�*����� +� ����� -,.�0/1�2�3���5476.8��� (�9�2:��;� ��<���(���2�� =�>4��

?A@CB>D�EGFHD�ICJKD�LNMPORQSICE=TCU1LVU1LWT�X:@WY:ZWU1D�LCD�L\[ U1LWT�]>M_^`@Ca*U1JKbCc

d\egfhdCikjmlonqpsrut_vPnqw1xr;yRr�d\nqzqzqr|{|}�~;�� wm�H�(ig�*n�w1xr:�S�Gn�rGl1w_n����1�Rr|}���|�s���"� nqzqzqr=lor=�Rpsr�yW� �AvP���2�*r�yRrG��f������;����s���s�s�1�� 1¡s¢¤£�¥1¢�¦k¥s�o}

§�§�§<¨R©|ª«r�¬ ��­ r|®o¯s°s°|±)²g³|³�´s´s´)¦µ¢¤£�¥1¢�¦k¥s�1³s�s�(�¤�s�1�� 

¶�·h¸=¹=º(»�¼�¹|½ �Av¾nql1wPt_nqlRvPn��7vgwPt_�R�Gw_�Rt_rGv=}¿zqnqÀsr`w_¨Rr`l1�oª:ÁNrGt¾©� �=zq�ovgw_rut_v=}*nqv=})Âé�tt_r � zy � w � } � ª �(Ä ©�t:nqvPvP�or�©�Â>w_¨Rr«�=zq�ovgw_rGt_nql ­ ¬St_©|ÁRz�rGªH}\Å*r2¬St_©|¬N©�vPr|}�nql�w_¨onqv¬ � ¬NrGt�}>�*Æ�ÇoÈ;�ÊÉk�*zq�ovgw_rut_n�l ­ Æ�ÇSÁRt_n�yËÈmr=lorGw_nq����z ­ ©�t_n�w_¨oª2Ì � l˨1ÇSÁSt_nÍy ­ rGilRrGw_nq� � z ­ ©�t_n�w_¨oªÎÂé�t;�=zq�ovgw_rut_n�l ­RÏ �*ÆAÇ�È;�ÐwPt_r � w_v�w_¨Rr��=zq�ovgw_rGt_nql ­ ¬St_©|Áozqr=ª � v� l�©�¬Rw_nqª«nqÑ � w_nq©|l�¬Rt_©�Áozqr=ª � l�y«vPr � t_�u¨Rr=vÂé�t � l2©|¬Rw_nqª � zNlS�Rª"ÁNrGt¿©�ÂÒ�=zq�ovgw_rGt_v�Ó¨ � t � �Gw_rGt_nqÑ=r=y�Á1Ç � l�©|¬Rw_nqª � z*ySn�vgwPt_nqÁR�Rw_nq©|l�©�Â�nqlovgw � lR�=r=v-nql1w_©�w_¨or«�=zq�ovgw_rut_v Ï�*ÆAÇ�È;�Ônql¤wPt_©1yR�R�=r=v � lRrGÅËt_r=¬St_r=vPr=l¤w � w_nq©�l�©�ÂÒvP©�z��Sw_nq©|lov � l�y¾�RvPr=v>ySr�yRnq� � w_r�y©�¬NrGt � w_©�t_v=}\vP�R�u¨ � v;©|lRr"n�w_rGt � w_nq©�l.©�Â*Õ;ikª«r � lov � v � ª"�Sw � w_nq©|l$©|¬Nrut � w_©�t Ï eÖl©�tÓyRrGt¿w_©�yRr � zRÅ�n�w_¨«lo©�ª«n�l � zoy � w � }sÅr�¬St_©|¬N©|vPr � loruÅÔyRru��lon�w_nq©|l"©�ÂCw_¨or��=zq�ovgiw_rGt��=r=l¤w_rGtA�=©�lo�=rG¬Rw � loyHyRr=ª«©�lovgwPt � w_r;n�w_v�¬St_©|¬NrGtPw_nqr=v Ï ���S¬NrGt_nqª«r=l¤w � zCt_r=vP�Rzqw_v©�lH�=z � vPvPnq� � z�ÁNr=lo�Ó¨oª � t_À1v � t_r ­ n�p|r=l Ï

× ØoÙAÚNÛCÜ Ý:Þ-ßÒÚCà_ÜAÙ

X�JÍIW[ÓáuD�EucKLCâ$cÃ[:IW[ÓD|TVáuQ.cKTND�LoáucÍãåä�æ�JKUR[u[uD�[-Q1ã>QSbCç_D�æ�á=[:[uZWUSEucKLCâ$æ(QRFHF`QRL'æ=ZWU1E=USæ(áuD�EucÃ[_áGcKæ�[U1LWT�c�á=[>FHD(áGZCQNTC[>æ�USL�bÒD�U1èCèWJÍcKD�T2áuQ¾F7U1L�ä�Z�ICF7U1LHUSæ(áucKé�c�áGcÍD|[>U1LWT�èWU1EuáucÃæ(IWJKUSEuJKä"áuQ¾áuZWDU1INáGQSF7U¤áGcKæ:TND�æ�cK[ucÍQRL$F7U1ê�cKLCâ�èCEGQSbCJKD�F�@�a;ZCD:TWU¤áGU�æ(JKIW[ÓáuD�EGcKLCâ2QREAICLW[uICèÒD�EGé�cK[uD�T$æ�JKUR[u[ucÍMë æ�U1áucKQSL�ì�æ�USL%cÃ[ÓQRJKU1áuD�[ucKF`cKJÃU1EGc�áGcÍD|[:USLWT'TNcÍíÒD�EuD�LWæ(D|["cÍLËU�TCU1áGU1b\US[uD�U1L\T�F7U1êSD�âSEGQSICè\[Q1ã [ÓcKFHcÍJÃU1E�TCU1áGU�î ZCcÃæ=ZÔU1EGD7æ�U1JKJKD�TËæ(JÃUS[G[ÓD|[�ìhâREuQRICèW[¾QSE�æ�JÍI\[_áGD�E=[�@hïgá�æ�U1LËEuD�éSD|U1J�[uQSFHDcÍLoáuEGcKLW[ÓcÃæH[_áGEuI\æ�áuIWEuD|[`ðkDS@ âW@�áGZCDHLoIWF2bÒD�E«Q1ã;æ(JKIW[ÓáuD�E=[=ñ�@�a;ZCD�EuDHD(òNcÃ[_á=["FHUSL�ä%æ(JKIW[ÓáuD�EGcKLCâF`D�áuZCQNTC[.JKcÍêRD�âSE=U1èCZNMgbWUR[ÓD|TóQRLCD�[�ì�FHQNTND�JÍMgbWUS[uD�TôQRLCD�[�ì�âSD�LCD(áGcKæ%U1JKâSQSEGcÍáuZCF`MgQSEGcÍD�LRáGD�TQSLCD|[�ìCTNcÃ[ÓáGU1L\æ(D«bWUR[ÓD|TVUSèCèCEGQRURæ=ZCD�[�QSE;áGZCD�cKE�Z�ä�bCEucÃTNcKõ�U1áucKQSLW[�@Cö�QR[Óá�Q1ã*áuZWD�[uD«F`D�áuZCQNTC[EuD|÷RIWcÍEGD2US["U1L%cÍLCèWINá:áGZCD2L�ICF�b\D�E:QSã�æ(JKIW[ÓáuD�EG[�áuQ.TCD(áuD�EuFHcKLCDS@ha;ZCcÃ[:EuD|÷RIWcÍEGD�FHD�Loá-cÃ["UFHU1ç_QSE�èCEuQRbCJKD�FøãåQSEAEGD�USJ�MgJKc�ãåD�èWEuQRbCJÍD�F7[�ìRî ZCD�EGD áuZWD-L�ICF2bÒD�EmQ1ã�æ�JÍIW[ÓáuD�EG[AcK[�LCQSá�ê�LCQ¤î LcÍL�USTCésUSLWæ(DR@^"D�LCD�áucÃæ«U1JKâSQSEGcÍáuZCF7[mZWUséSD¾bÒD�D�L�[uIWæ�æ(D�[G[ÓãåICJÍJKä�USèCèCJKcÍD|T�áGQHèWU1EuáucÍáucKQSLCcKLCâHèCEGQSbCJKD�F7[«ùÍú|û¤üU1LWTËcKLËè\U1EuáucÃæ(ICJÃU1E"áuQ'æ�JÍI\[_áGD�EGcÍLCâ�èCEGQSbWJÍD�FH[�@�ïPLýùÍú�þ1ügì�áuZWD$U1INáGZCQSE=[«æ(QRICèCJKDHáuZCDHãåICõ�õ�äÿ"MµFHD�USLW[HU1JKâSQREucÍáuZCF î cÍáuZôUÔ^ � ì>î ZCD�EuD�QRLCD.cÍáuD�EGU1áucKQSLÐQ1ã:áuZCD��CIWõ�õ�äóÿ"MµFHD�USLW[`cK[IW[ÓD|T�áGQVæ�QSFHèCINáGD2áGZCD ë áuLCD|[u["Q1ãAáuZCDHæ(JÃUS[G[Óc ë æ�U¤áucKQSL)@��-Q¤î�D�éSD�E|ì\USJÍJ*áGZCQR[uD�USJÍâRQSEGc�áGZCF7[EuD|÷RIWcÍEGD«US[mcÍLWèCINá�áGZCD«L�ICF2bÒD�E QSãæ�JÍIW[ÓáuD�EG[�@ïPL�áuZCcÃ[�èWUSè\D�E�ì\î�D«èWEuD|[ÓD�LRá-USL�Z�äobWEucÃTVâSD�LWD(áucÃæ�USJÍâRQSEGc�áGZCF IW[ucÍLWâ�U7[ÓèÒD�æ�c ë æ«D�LWæ�QNTNcÍLWâî c�áGZ`TND|TNcÃæ�U¤áGD�T�QSèÒD�E=U¤áGQSE=[�@|a;ZCD;Zoä�bCEGcÃTNcÍõ|U¤áGcÍQRL2æ(QRLW[ÓcÃ[ÓáG[*cÍL`IW[ucÍLWâ"U:FHQ¤éSDmQ1ã\ÿ"MgFHD�U1L\[US["QSLCDHQSãAáuZWD�[uD`QRè\D�EGU1áuQREG[�@�� DHEGD�æ�USJÍJ*áGZWU¤á2ÿ"MgFHD�U1L\[-cÃ[«TND�éRQ1áGD�T%áuQ�TND�USJ>î c�áGZ L�INMF`D�EucÃæ�USJ�TCU¤á=UCì)USLWTËæ(QSL�éRD�E=[ÓD�JÍä�îmD7U1cKF U¤á2TCD�U1JKcKLCâ�î c�áGZËLWQSFHcÍL\U1JATCU1áGUW@�a;ZCD�EGD(ãåQREuDRì

Page 3: Clustering Nominal and Numerical Data: A New Distance ...Clustering Nominal and Numerical Data: A New Distance Concept for a Hybrid Genetic Algorithm Laetitia Vermeulen-Jourdan, Clarisse

cÍL�QSE=TND�E¾áuQ�EuD|U1JKcÍõ�D`áuZCD7èCEGQSèÒQR[uD�T Z�ä�bCEucÃTNcKõ�U1áucKQSL�ìhîmD7LCD�D|T áuQ�EuD|TND ë LCDHáuZCD$[ÓáuD�è�Q1ãáuZCD«ÿ"MgF`D|U1LW[mU1JKâSQREucÍáuZWFV@�ïPL�USTCTCc�áGcÍQRL�ì�î�D"èCEGQSèÒQR[uD"U�LCD�î TND ë LWc�áGcÍQRL�ãåQRE�áGZCD«æ(JKIW[ÓáuD�Eæ(D�LoáGD�E�æ(QRLWæ(D�èNá�@ � L�US[G[ÓQNæ�cKU1áuD�T.TNcÃ[_á=U1LWæ�D"cÃ[�USJK[uQ�èWEuD|[ÓD�LRáGD�Th@� D�æ(áucKQSL�û�èCEuD|[ÓD�LoáG[háGZCD�ÿ"MgFHD�USLW[)USJÍâRQSEGc�áGZCF�ì(áuZWD�TND ë LCcÍáucKQSL2QSãNáuZCDmæ(D�LRáGD�Eæ(QRLWæ(D�èNá)ãåQRELCQSFHcKLWU1J�TCU¤á=U2USLWTHáuZWD:èCEGQSèÒQR[uD�T7UR[u[uQNæ(cÃU¤áGD�T7TNcÃ[_á=U1LWæ�DS@ � D�æ(áucKQSL��2èCEGD�[uD�LoáG[;X ��äC^ � ìc�á=[¿D�LWæ(QNTNcKLCâ"U1LWT¾áGZCD;TND�TNcÃæ�U1áuD|T«QSèÒD�E=U¤áGQSE=[�@ � D�æ(áucKQSL�þ"èCEGQ¤éocÃTND|[�D(òNèÒD�EGcÍFHD�LRá=U1JoEuD|[ÓIWJ�á=[ãåQSE�[uD�éSD�EGUSJhæ(JÃUS[G[ÓcÃæ�USJÒL�ICFHD�EucÃæ�USJ�U1LWT.LCQSFHcKLWU1J¿TCU¤á=US[uD(áG[�@

� ���uÞ��RÚ�ÛWàuÙ��� >Ù:Ý3ß�)Ù�Ú�)ÛÐß�ÜAÙ:ß����Ú

X�JÍIW[ÓáuD�EucKLCâ2UScÍF7[�áuQ2âREuQRICè7[ÓcKFHcÍJÃU1E�QSbNç_D|æ�á=[�cKLRáGQ�æ�JÍIW[ÓáuD�EG[Aî ZCcÃæ=Z�æ�USL7b\D"TND�[Gæ(EGcÍbÒD�THb�äáuZCD�cÍE=[;æ(D�LoáGD�E=[�@�]AURæ=Z7QSbNç_D|æ�á;cK[mTND�[Gæ(EGcKb\D|T$b�ä$U2[uD(á;Q1ã¿U1áÓáGEucKbCINáGD�[�@o]�USæ=Z�U1áÓáuEGcKbCINáuD����ZWUS[ UHTNQRFHUScÍL�TND ë LCcÍáucKQSL��ÎU1L\T�á=U1êRD�[;UHé¤U1JKICD¾cÍLVáuZWcK[�TCQSF7U1cKL�@a;ZCD�ÿ"MgFHD�U1L\[-U1JKâSQREucÍáuZWFÊcÃ[-QRLCD2QSã>áuZCD`FHQR[Óá-ãkUSF`QRIW[-USJÍâRQSEGc�áGZCFÊãåQSE¾æ(JKIW[_áGD�EGcÍLWâ%ù �1üµ@� D ë EG[ÓáuJKäVèCEuD|[ÓD�Loá�áuZCD�æ(JÃUS[G[ÓcÃæ�USJ)U1JKâSQREucÍáuZCF TND�TCcKæ�U¤áuD|T�áuQ�LoIWF`D�EucÃæ�USJ¿TCU1áGUWìNáuZCD�L'îmDcÍLoáuEGQNTNIWæ�D�U7TND ë LWc�áGcÍQRL'Q1ã*áuZCD�æ(D�LoáGD�E-æ�QSLWæ�D�èNá-FHQREuD«USTWU1èNáGD�TVáuQ7LWQSFHcÍL\U1J)TCU1áGUW@ �ËDU1JÃ[ÓQHcKLRáGEuQNTNI\æ(D"áuZCD�UR[u[uQNæ(cÃU¤áGD�T�TCcK[ÓáGUSLWæ(DR@

����� � �"!$#&%(')!�*,+.-/*,02143658729:�"'a;ZCD'ÿ"MµFHD|U1LW[HU1JKâSQREucÍáuZWF cK[$USLócÍáuD�EGU1áucKéSD�èCEGQNæ(D�TCICEuDVî ZCD�EuD�U1LôcÍáuD�EGU1áucKQSL!cÃ[7âRcÍéRD�Lb\D�JÍQ¤î<;

=?>4@�A ¹CB6D � tPw_n�w_nq©|lFEý©�ÂhÀ��=zq�ovgw_rGt_v=®GIH(JLKMKNKMJOGQPSR�*©|ª«¬R�Rw_rTGVULWXYULZSÉ2GIHÓÌOJ(KMKMKMJOGVU[WX\U[ZSÉ2GQP�ÌOR��rGª«©�p|r � zqzW©|Á Ä r=�uw_vAÂÍt_©|ª � zqzW�=zq�ovgw_rGtLR]�^oº r � �u¨`©|Á Ä r=�GwI_I`"a ^dWrGwIG�bcJ ÉNd�egf�{:JihcjKÌ*ÁNr;w_¨orm�=zq�ovgw_rGt�Å�¨o©�vPr��=r=l¤w_rGt�nqvAw_¨Rr;�=zq©|vPrGvgw�w_©<_I`kR�AvPvPn ­ lF_ ` w_© G b R

l >�a ]2^�º�*©|ª«¬R�Rw_r�w_¨Rr;t_r=vP�oz�w_nql ­ lorGÅ!¬ � tPw_n�w_n�©�lFEnm)GIHLJ(KMKNKMJOGpoµÉrq4sthRÌOR��rGª«©�p|r � zqzWr=ª«¬RwÖÇ��=zq�ovgw_rGt_v Ï

a;ZCD.F7U1ç_QSEHTNEGUsî b\USæ=ê�Q1ã:ÿ"MgFHD�USLW[HU1JKâSQSEGcÍáuZCF cÃ[`áuZWU1á`cÍá7Q1ã áuD�L!áGD�EGFHcÍLWU1áuD|[�QRLU JKQNæ�USJ QSèNáGcÍF�ICF+USLWTÐî�QREuêN[`QSLCJKä�QRLÐL�ICFHD�EucÃæ�USJ ésUSJÍIWD�[HbÒD�æ�USIW[uDVcÍá$FHcÍLWcÍFHcKõ�D�[�Uæ(QR[Óá"ãåICLWæ�áGcÍQRLËæ�U1JÃæ(ICJÃU¤áGcÍLWâ�áGZCD�FHD|U1LW["Q1ã;æ(JKIW[ÓáuD�E=[�@�ö'QSEGD�Q¤éSD�E�ìWc�á«LCD�D�TC["áGQVæ�QSFHèCINáGDæ(D�LoáGD�E=[�@oa;ZCD-æ(D�LoáuD�E�Q1ã)U�æ�JÍI\[_áGD�EAcÃ[�D|US[uä2áGQ2TND ë LCD-QRL7L�ICFHD�EGcKæ�U1JCé¤U1JKICD|[AbÒD�æ�U1IW[uD áuZWDF`D|U1LVF7U1êSD|[ [ÓD�LW[uDSìNbCINá ãåQRE LCQSFHcKLWU1J¿TCU¤á=U�cÍá�cÃ[;LCQ1á-[uQ7[ÓcKFHèCJÍDR@

���u� vw+"!yx{z"!}|"+"7r9C7234+�~�365�9C�.!$�y02�"-�9C!}5���!�+�9:!}5��y36+"��!}�"9

ïPL$[ÓQRF`D îmQSEGêN[�ì1USINáuZWQSE=[>ZWUséSD;èCEGQSèÒQR[uD�TH[uQSFHD�TND ë LCcÍáucKQSLW[�ãåQSE>áGZCD-æ(D�LoáuD�EAQ1ã�æ�U1áuD�âRQSEuMcKæ�U1J*QSE-LWQSFHcÍL\U1J¿TWU¤áGUW@��WQSE:D(òCU1FHèCJKDSì���IWUSLCâ$èCEGQSèÒQR[uD�[�áuQVæ(QSFHèCICáuD�áGZCD�æ�D�LoáuD�E-QSãAUæ(JKIW[_áGD�E b�ä�I\[ÓcKLCâ`áuZCD«FHQNTND¾Q1ã>UH[ÓD�á2ù�ú8�süg@� !}|p+.729:7234+��6� �.�[�}���(�V���[�����k���$�4�c�/�u���S����2���?���������[���[�L�2�(�(�<�[ ��S�����L�2��¡�Y�L� �£¢c¤�¥¦¥¦¥§¤?��¨ª©� �r«,� ���[�V�k�ª�c�u�¬­�8�(�L�2�[�§�®�(�S�F���u�4�S���2�S�­�/�k��¯S�S�M¡­�[�/�k���r«,�°�S�����L�2�[¡�Y�L��±² �F�:�y�$�k�ª�³�´�&�t¯S�(�[�Y�S�®µ·¶ �/© µ¹¸ ù ºC¢�º�»�¥§¥¦¥ º�¨-ü �u«­�S�<�°�u�­�u�°�§¼:�[�/½ ð µ ¤ � ñ ¸

Page 4: Clustering Nominal and Numerical Data: A New Distance ...Clustering Nominal and Numerical Data: A New Distance Concept for a Hybrid Genetic Algorithm Laetitia Vermeulen-Jourdan, Clarisse

������ ¢�� ð � � ¤ µ ñL©� «,���O� � ð � ¤��ñ �´���$�L�u��¬��§���®�c�\�(«��u���� ������[±�� �´���4�S�£�4�(�(�[�?���c�L�u�M �S�����§���®���­�V�k�T� ±a;ZCcK[«TCD ë LCcÍáucKQSLËZWUR[-á_îmQ�TNEGUsî b\USæ=êN[�; ë E=[_á|ì�� cK[¾LWQ1á«U1JKîmUsäN[:ICLCcÃ÷RIWD���[uD�æ(QRLWThì�cÍã�îmDæ(QSL\[ÓcÃTND�E�U1L7U¤áuáuEGcÍbCICáuD�ZWUsé�cKLCâ"áuZCD�ãåQSJKJÍQ¤î cKLCâ«é¤U1JKICD�[� ¤���¤� ¤�� ¤�I¤��$¤��;áGZCD�FHQNTND�î cKJÍJæ=ZCQ�QR[uD-áGZCD«é¤U1JKICD � î ZCcÃæ=Z.ZWUR[ U`ãåEuD|÷oICD�LWæ�ä$Q1ãp�CìCbWINá�cK[;cÍá�EGD�U1JKJKä�[ÓcKâSLWc ë æ�U1Loá!�� DËTND�æ�cKTND%LCQ1á.áuQ�IW[uD%[uIWæ=Z U�æ�D�LoáuD�E�D�JKD�æ(áucKQSL�@ � D èCEGQSèÒQR[uD�ZCD�EGD�áuQóæ(QSL\[ÓcÃTND�E.Uæ(D�LoáGD�E«D�JKD�æ(áucKQSLËbWUS[uD�T QSL�UVF7U¤ç_QSEGcÍá_ä�éSQ1áGDVðåãåEuD|÷oICD�LWæ�ä#"Êú%$1ûRñ�@��ýZCD�L áGZCD�EGDHcK[¾LWQ[uU1áucÃ[ ë USbCJKD�æ�USLWTNcÃTCU¤áGD�LWQSLCD�cK[æ=ZCQo[ÓD�L2U1LWT2î�DmIW[uD�U:èWU1EuáucÃU1JKJKä¾TCD ë LCD|T2æ�D�LoáuD�E�@ � D;î cKJÍJIW[ÓD-áuZCD"LCQSáGU¤áGcÍQRL�&"áGQ�TND�LCQ1áGD-é¤U1JKICD|[AQSã)U¤áÓáGEucKbCINáGD�[AãåQSEmî ZCcÃæ=Z$áuZWD�EGD-cÃ[ALCQ`[uU1áucÃ[ ë U1bCJKDæ�U1L\TNcKTWU¤áuDR@� !}|p+.729:7234+ ���('t������� �(��� �����F�i��� ���S�°�u�4�S�<���2���(�[�����y�L�����L�2�?�(����  �S�����L�2��¡�Y�L��£¢c¤�¥¦¥§¥¦¤O� ¨ ±) «­�ª�(���­�Y�[���k�+* �´� �r«,��¯S�(�[�Y�S�Tµ ¸ ù ºC¢[º�»�¥§¥¦¥ º:¨:ü�� �u�u« º:� ¶ �-,/.10324� «��2�(«g�°�u�­�u�°�§¼:�[�½ ð µ ¤ � ñ ¸ �5���� ¢��76 ð � � ¤ µ ñ8� «,���O� ��¬­�8�(�L�2�[�¦� �36 �´���F�c�´�L�\�c�4�(�<�F�(�8�L¡�O�<���:9 ���(�°�u�¬,�c�O�;���O�?¬­«=<}±?>y±+���´�<���S� ���(�?�[�(���S�L�u�M ��c�����§���®���­�V�k�T� �c�4�F�´�<¡�6�A@[¡­�C±a;ZCD�TND ë LCD|T�æ(D�LoáGD�E-î cKJKJ¿bÒD�æ�U1JKJÍD|T�U7èWU1EuáucÃU1J¿æ(D�LoáGD�E:USLWT�EGD�èCEGD�[uD�Loá=[�U1L�Z�ä�è\D�EuèWJKUSLCDî ZCD�EGD�UR[-ãåQRE2æ(QRFHF`QRLCJKä'IW[uD�TËTND ë LWc�áGcÍQRL�ì)U�æ(D�LRáGD�E�cÃ[¾EGD�TNIWæ�D�T%áuQ'U�[ucÍLCâRJÍDHèÒQScKLoá�Q1ãáuZCDV[ÓèWURæ(DCB ¨ ðåJKcKêSD$ãåQRE�FHQNTNDsñ�@a;ZCD.TNcKFHD�LW[ucKQSL�QSãmáGZCDVZoä�èÒD�EGèCJÃU1LCD$cKL#B ¨ cK[2áuZWD�­¡�F�?��� �k�ª�c�����L�2��¡�\�[�8DV�6¡�®�(���<�i�ª�����Y�[�L�°�u�4�(���c�����L�2��¡�\�[�ª�k���r«,�°�?���­�Y��� @���?E v��"5836� 34-:!�z *,-C-:3��y72*9C!�z z.7�-�9C*,+.�y! ')!�*,-C��5S!ïPL QSE=TND�E�áGQóEGD�USJÍcKõ�DËU!æ(JKIW[ÓáuD�EucKLCâÐî c�áGZ ÿ"MgF`D|U1LW[�ìmî�DËZWUséSD%áuQÐTND ë LWD�UóTNcÃ[_á=U1LWæ�Db\D�á_î�D�D�L'QRbNç_D�æ(áG[-USLWTVáuZWD�TND ë LCD�T%æ(D�LoáGD�E|@\a;ZCD�èCEuQRè\Qo[ÓD|T�TNcK[ÓáGUSLWæ(D�cK[-bWUS[uD�T�QRL�áuZWD�-U1FHFHcKLCâ"TCcK[ÓáGUSLWæ(DRì|bWINá>ZWUS[¿áuQ"bÒD;URTCU1èCáuD�T2cÍL`QSE=TND�E�áuQ«TND|U1J�î cÍáuZ�áGZCD;èWU1EuáucÃU1JNæ�D�LoáuD�Eæ(QSL\æ(D�èCá�@?�D(á �76 ðGF°¤�H«ñ«bÒD7áGZCD.TNcÃ[ÓáGU1L\æ(D7bÒD(á_îmD�D�L�USLÔQSbNç_D|æ�áJIÊU1L\TÔU�æ(D�LoáGD�E`X:@ � DVTND ë LWD�76 ¸ � ¨� � ¢K�3L ðGF��?¤�HI�gñ;US[máGZCD"ãåQSJKJÍQ¤î cKLCâ6;

MONQP � �SR ¤ � L ð N ¤ R ñ ¸ TU VXW cÍã*ò ¸ äúZY1û2c�ãò�QRE ä$D�÷oIWUSJK[máGQ/&�ðåò\[¸ äNñú¾cÍã*ò=[¸ ä ð_úsñ

���^] _�5S36� !}5C9C72!�-°36~T9C�.! ��!�+�9:!}5ïPL.áGZCcÃ[ [ÓD|æ�áucKQSL)ìNî�D¾F2I\[_á�éRD�EGc�ãåä7áGZWU¤á;áGZCD�æ(D�LRáGD�E µ TND ë LCD�TVcKL � D�æ�áGcÍQRL�ûC@ û�EGD�[uè\D|æ�á=[áuZCD«ãåIWLWTCU1FHD�LRá=U1J¿èCEuQRè\D�EÓáGcÍD|[;Q1ã�U7æ(D�LoáuD�E-EuD�âRU1E=TNcKLCâ�áuZCD2TCcK[ÓáGUSLWæ(D�TND|[uæ�EucKbÒD�T�cKL � D�æ�MáucKQSL'ûN@ �C@� �.!�365S!}' �6� ) «,�p�(¡�4�����2�S�®½ ð � ¤ µ ñ ¸ � � �76 ð � � ¤ µ ñ �´���/�u�6�u�/�§¼C�(�/�� ª�r«,�£�(�[�6�\���� �y�A9 �4�(���S� �u�t���:9 �6�u���2�c�`<�±a �O�C�k�[± ?�D(á � bÒD�áuZWD�LoIWF2bÒD�E$QSã¾QRbNç_D�æ(áG[7cKLÐáuZCD æ(JKIW[_áGD�E � ì�JÍD�ácb bÒD�áuZCD%LoIWF�Mb\D�E`QSã-U¤áuáuEGcÍbCICáuD�[�Q1ã"U1L�QRbNç_D�æ(á�@>?�D�á �36 b\D.áuZWD�èCEGD�é�cKQSIW[`TND ë LCD�TóTNcK[ÓáGUSLWæ(DËð �36 ¸� �1�3L ð:F �O¤�H��µñuñ�@|?�D(á µ bÒDAU æ�D�LoáuD�EhQ1ã�áuZCD�æ�JÍI\[_áGD�EC; � ���� ¢K�36 ð � � ¤ µ ñ ¸ � ���� ¢ � ¨� � ¢��7L ð � ��d ¤Oº:�Öñ(@

Page 5: Clustering Nominal and Numerical Data: A New Distance ...Clustering Nominal and Numerical Data: A New Distance Concept for a Hybrid Genetic Algorithm Laetitia Vermeulen-Jourdan, Clarisse

� [ M�� ¶ ùÍú�¤�b�ü �3L ð � � d ¤Oº��µñ�� W ìNc�ã*D�URæ=Z.D�JÍD�F`D�Loá;QSã)áGZCD«[ÓICF cK[;FHcKLCcÍF7USJ ½ ð � ¤ µ ñ�cK[F`cKLCcKF7U1Jµ@?�D(á ��� d bÒD¾áuZCD�ãåEuD|÷RIWD�LWæ�ä$Q1ã*áuZCD2ésUSJÍIWD º��>QSã¿áGZCD�U¤áuáuEGcÍbCICáuD � æ=ZWQR[uD�L.áuQ7bÒD¾áuZCD�EGD�èCMEuD|[ÓD�LRá=U¤áGcÍéRD�æ(D�LoáGD�E|@�� D�æ�U1JKJCáGZWU¤á�áGZCD:TCcK[ÓáGUSLWæ(D�bÒD(á_îmD�D�L/&¾U1L\T7U1L$U¤áuáuEGcÍbWINáuD�cÃ[AUSJÍî;UsäN[ú%$1ûC@ � [ � � d cK[ áuZCD�USèCè\D|U1E=U1LWæ�D-ãåEGD�÷oICD�LWæ(ä�Q1ãQº � ; ��t� � d � W @�CQSE D|USæ=Z � L ð � �� ¤?º � ñ�á_îmQHæ�US[uD�[ USEuD"è\Qo[u[ucKbCJÍDF;úS@�?�D(ámáuZWD � áGZ U¤áuáuEGcÍbCICáuD"Q1ãháuZWD¾æ�D�LoáuD�E�bÒD¾TND(áGD�EGF`cKLCD|Th@ ��ä7TND ë LCcÍáucKQSLVQ1ãháGZCD«æ(D�LoáGD�E|ìáuZCDHU¤áuáuEGcÍbCICáuD2Z\US["UHãåEuD|÷oICD�LWæ�ä�âSEGD�U¤áGD�E áGZWU1L%áuZCD�ZWU1JÍãAQSã>áuZCD�éSQScÃæ(D|[2ð � � d � � » ñ�@ � [� L ð � � d ¤Oº � ñ ¸ ��� � � d áGZCD�L ��� � � d " � » @sa;Z�IW[ � L ð � � d ¤Oº � ñ¿QSbNá=U1cKLCD�T2boä¾áGZCDmFHU1ç_QSEGc�á_äéSQ1áGD¾cK[;FHcKLCcÍF7USJÖ@ûN@1?�D�ááuZCD � áuZ U¤áÓáGEucKbCINáGD;Q1ãWáGZCD æ(D�LRáGD�EbÒDmIWLWTND(áGD�EGFHcÍLCD|Th@Sa;ZCD�EuDmD(òNcÃ[_á=[*LCQ¾ésUSJÍIWDmEGD�èCMEuD|[ÓD�LRáGcÍLWâ$áuZWD�F7U¤ç_QREucÍá_äVãåQSE:áuZCcÃ[¾U¤áuáuEGcÍbCICáuDS@ � Q M º:�_ì ��� ��� d�� � Y1û`áGZCD�L � ð � � d ¤?º��gñQSbNá=U1cKLCD�T.î c�áGZVáuZCD &�cÃ[;FHcÍLCcKF7U1Jµ@��D�L\æ(DSì¿áuZWD$èCEGQSèÒQR[uD�TÔTND ë LCcÍáucKQSLÔQ1ã-æ�D�LoáuD�E�FHcÍLWcÍFHcKõ�D�[2áuZWD�èCEGD�[uD�LoáuD|T�cÍLoáGEGU1Mgæ�JÍIW[ÓáuD�ETNcK[ÓáGUSLWæ(DR@

� ���������

a;ZCD«æ(JKIW[_áGD�EGcÍLWâ�èCEGQSbWJÍD�F cK[����>MgZWU1E=T%ùÍú �1üµìNU1L\T�F7Usä7bÒD:áGEuD|U¤áGD�TVUS[;U1L.QSèNáGcÍFHcKõ�U¤áGcÍQRLèCEuQRbCJKD�F�@¿a;ZCD�JÍcÍáuD�EGU1áuICEGD�[uZCQ¤î�[¾áuZ\U¤áH^ � [2USEuD$îmD�JKJ�URTCU1èCáuD�TËáGQ'D(òNèCJKQSEGDHáuZWD�éSD�EuäJKUSEuâRDH[uD�USEGæ=ZË[Óè\USæ(DHQSã�áGZCcK[�èCEuQRbCJKD�F+ùÍú:�1üµ@ �*cKâSICEGD�úSì)[uZCQ¤î�["áGZCD$TNcÍíÒD�EuD�LRá2[ÓáGUSâSD|[¾Q1ãX ��äC^ � ì)áuZCD7âRD�LCD�áucÃæ7U1JKâSQSEGcÍáuZCF3îmD7èCEGQSèÒQR[uDS@ �ËD7èCEuD|[ÓD�Loá¾ZWD�EGDHáuZCD7F7U1cKLÔæ=ZWU1E=USæ(MáuD�EGcÃ[_áGcKæ�[;Q1ã*áuZCcÃ[�U1JKâSQREucÍáuZWFV@

E���� !£+.�y3�z"72+"1a;ZCD�D�L\æ(QNTNcKLCâ cK[�IW[ÓD|T"áuQ�TND|[uæ�EucKbÒD�è\QSáuD�LRáGcKUSJS[uQSJKINáucKQSLW[)U1LWT"F2I\[_á)bÒDAæ�U1EGD(ãåICJKJÍä"æ=ZCQR[uD�L)@�CQSE:æ(JKIW[_áGD�EGcÍLWâ7QSE âSEGQSIWèCcÍLWâ`èWEuQRbCJÍD�F7[�ìNáGZCD�EGD«D(òNcÃ[_á-TCc�í�D�EGD�Loá-EGD�èCEGD�[uD�Loá=U¤áucKQSL\["ù �Cì�ú|ûCìú#"�ìGû W üg@ �CQRE:D�òNUSFHèCJÍD�áuZWD`âREuQRICè'L�ICF�b\D�E"EGD�èWEuD|[ÓD�LRá=U¤áGcÍQRL'î ZCcÃæ=Z%cKLWTNcÃæ�U¤áGD�[:ãåQSE¾D|USæ=ZQSbNç_D|æ�á�áGZCD�âREuQRICè�c�á2bÒD�JKQSLWâR[«áGQ!ùÍú#"|üg@ � JÍJ�áuZCQo[ÓD�EuD�èCEuD|[ÓD�LoáGU¤áGcÍQRLW[¾ZWUséRD$USTNé¤U1Loá=U1âSD|[U1LWTVTNE=Usî bWUSæ=êN[�@ïPL X ��äC^ � ìmîmD�æ=ZCQ�QR[uD�áuQÐIW[uDËUóTNQSICbWJÍDËZ�äobWEucÃTýEGD�èCEGD�[uD�LoáGU1áucKQSL ðÖ[ÓD�D �*cKâSICEGDËûRñî ZCcKæ=Z«FHD�EuâRD�[�áGZCDAâREuQRICè¾LoIWF2bÒD�E)EGD�èWEuD|[ÓD�LRá=U¤áGcÍQRL"USLWT«U�TND|[uæ�EucKèNáucKQSL¾QSãNæ�JÍI\[_áGD�E=[�@|a;ZCcK[EuD�èCEuD|[ÓD�LoáGU¤áGcÍQRL"USJÍJKQ¤î�[ÒáuQ ë LWT¾éSD�Euä-÷oICcÃæ=ê�JÍä:cÍLCãåQSEGFHU1áucKQSL¾QSL¾QRbNç_D�æ(á $ [�U¤í�D�æ(áGU¤áGcÍQRLW[�USLWTæ(JKIW[_áGD�E%$ [*æ(QRFHè\Qo[ÓcÍáucKQSL�@sïPL2áuZCDmâSEGQSICè2LoIWF2bÒD�E[_áGEuIWæ(áuICEGDSì|ãåQRE¿D|USæ=Z�QRbNç_D�æ(á*cÃ[*cÍLWTCcKæ�U¤áuD|TáuZCDAæ�JÍI\[_áGD�E)cÍá)bÒD�JKQSLCâo[háGQW@(ïPL¾áGZCD�æ�QSFHèCJKD(ò"[ÓáuEGIWæ(áuICEGDSì�ãåQSE�D|USæ=Z«æ(JKIW[ÓáuD�E*U TNQSIWbCJÍDAJÍcKLCêSD|TJÍcÃ[_á�âScKéSD�[�c�á=[2æ(QRFHè\Qo[ÓcÍáucKQSL�@¿ö�QSEGD�Q¤éRD�E|ì�USLÔU1EGEGUsä%USJÍJKQ¤î�["áuQ%è\QRcÍLoá�TNcKEGD�æ�áGJÍä QSLÔD|USæ=ZQSbNç_D|æ�á�ð áGQ7F`Q¤éRD¾c�á ãåEGQSF QRLCD«æ(JKIW[ÓáuD�E;áGQ$U1LCQSáuZCD�E;cÍL�æ(QRLW[ÓáGU1Loá;áucKFHD|ñ(@

E��u� &T729:+"!}-C-'&��"+.��9:7234+a;ZCD ë áuLCD|[u[�ãåICLWæ(áucKQSLVcK[mIW[uD�T$áuQ`D�é¤U1JKIWU1áuD:áuZCD«[uICc�á=U1bCcKJKc�á_ä7QSã¿U�[uQSJKINáGcÍQRL7áuQ�áuZCD¾èCEGQSbCMJÍD�FV@\a;ZCcK[mãåIWLWæ�áGcÍQRL�cK[;IW[uD�T.ãåQRE;áuZCD�[uD�JKD�æ(áucKQSLVèCZWUS[uDS@ïPL�áuZCD$JKcÍáuD�E=U¤áGICEGDSì)[uD�éRD�E=U1J�æ(JKIW[ÓáuD�E�é¤U1JKcKTNcÍá_äËcÍLWTCcKæ�U¤áuQREG[¾Z\UséSD7bÒD�D�LÔI\[ÓD|TÐùÍúSìuþWì(�Wì�ú W üg@

Page 6: Clustering Nominal and Numerical Data: A New Distance ...Clustering Nominal and Numerical Data: A New Distance Concept for a Hybrid Genetic Algorithm Laetitia Vermeulen-Jourdan, Clarisse

K−means

Selection Evaluation

CLUSTERS

Yes

No

TerminationTest

MutationChoice p2

p3

p1

CrossoverGPX

pm

Replacement

Move

Split

Incr.

Decr.

Initialization

����� ½���½ �¤w ��­ r=v�©�¿�*Æ�ÇoÈ;� Ï

Om Om

O2

O1C1

Ci

Ck

O1

O2

O5 O6

O4

O7

Acces optimized representation

C1

Ci

}

Group number

Ck

����� ½W½�� ¨or rGlo�=©1ySn�l ­RÏ

a)Q�FHD|US[uICEuD;áGZCD:÷oIWUSJÍcÍá_ä`Q1ã�áuZCD:èCEGQSèÒQR[uD�THæ(JKIW[ÓáuD�EGcKLCâWìRî�D�I\[ÓD"US[ ë áGLCD�[G[AãåICLWæ�áGcÍQRL7áuZWDæ(EGc�áGD�EGcÍQRL7Q1ãXmUSJÍcKLW[uêocÒU1LWT �-U1E=U1b\US[uõ2ð:H� %ñ�áuZ\U¤á�FHD|US[uICEuD|[>áGZCD:âRQ�Q�T�TNcK[ÓáuEGcKbCINáucKQSL�Q1ãáuZCD«QRbNç_D�æ(áG[«ù "|üg@^"cÍéRD�L��.æ�JÍI\[_áGD�E=[�ì � ãåD�U¤áGICEGD�[�ìCJÍD�á�� � b\D¾áGZCD�������æ�JÍIW[ÓáuD�E î c�áGZHç ¸ úS@K@Í@ ê�@?�D(áXb b\D;áGZCD�FHD�USL�éRD�æ�áGQSE b ¸�� b ¢ b&»����� b ��� USLWT�b � áuZCD�éRD�æ(áuQSEQSãÒFHD�USLW[ãåQREáuZCD�������æ�JÍI\[_áGD�E b � ¸ � b �! b �#" ��� b ��$ � @ � �*cÃ[ U1LVD�JKD�FHD�Loá Q1ã�áGZCD�æ(JKIW[ÓáuD�E%� � USLWTð � � � b � ñ#� cÃ[�áGZCD�áGEGUSLW[uè\Qo[ÓD|T�éSD�æ(áuQRE�@Òa;ZCD�L�áGZCD$XmU1JKcÍLW[uê�c¿USLWT �-USEGUSbWUS[uõ�æ(EGcÍáuD�EGcKQSLcK[:;

H� ¸ð �� �Cñ�&('#) P�*,+ ð �.-��� ¢ � � ðAb � � b�ñ�ð b � � b�ñ#�Óñ

ð/� � úsñ%&('#) P�*,+ ð � -��� ¢ �10 d324 ð � � � b � ñ(ð � � � b � ñ � ñ ðÖûRñ

E��?E 5F� !}58*,9:3658-6 5S34-:-C3�76!}5ïPL X ��äC^ � ìCîmD«IW[uD¾áuZCD`^���8 æ(EGQR[G[uQ¤éSD�E¾ðÖ^"EGD�D|TNä �>USEÓáGc�áGcÍQRL�X�EGQR[G[uQ¤éSD�E�ñ:ù�úC�¤ü�î ZCcÃæ=ZcK["U7èWUSEÓáGc�áGcÍQRL'æ(EGQR[G[ÓQ¤éRD�E|@ I:ICE-EGD�èCEGD�[uD�Loá=U¤áucKQSL�cÃ[-îmD�JKJ¿URTCU1èCáuD�T�áuQ7áGZCcK["QRè\D�EGU1áuQSE|ìWUR[D�JKD�FHD�LoáG[�Q1ã*UH[GU1FHD«æ(JKIW[ÓáuD�E�USEuD¾âREuQRICè\D|Th@

9 ��9C*9:7�36+"-I:ICE"^ � IW[ÓD|[£�$TNc�í�D�EGD�Loá"F2INá=U¤áucKQSL�QRè\D�EGU1áuQREG[�@ �CQRE:æ�JÍIW[ÓáuD�EucKLCâ$èWEuQRbCJÍD�F7[�F2ICáGU¤áGcÍQRLQSèÒD�E=U¤áuQREG[mF�IW[_á-USbCJKD:áGQ7cÍLoáGEuQNTNIWæ�D¾LCD�î âSEGQSICè\[ U1LWT�áuQ7EGD�FHQ¤éSD"D(òNcÃ[_áGcÍLWâ`âREuQRICèW[�@NïPLù�úRú(ügì �WUSJÍêRD�LWUSICD�E:[ÓZCQ¤î�[�áuZWU1á-áGZCD2F�INáGU1áucKQSL'QSã>U.[ÓcKLCâRJÍD2U1íÒD|æ�á=U¤áucKQSL�ðkQSbNç_D|æ�á $sâSEGQSIWè\ñcK[«LWQ1á�D�LWQSICâRZ bÒD�æ�U1IW[uD7c�á2TCQoD|[ÓL�$ á�cKLWæ(EGD�UR[ÓD7[ucÍâRLCc ë æ�USLRáGJÍä'áuZCD ë áuLCD|[u[�USLWT áuZCD7LWD�îæ�U1L\TNcKTWU¤áuD$[uQSJKINáGcÍQRL î cKJÍJ�b\D$÷oICcÃæ=ê�JÍä%JÍQo[_á«ãåEGQSF áuZCD7èÒQSèCIWJKU1áucKQSL�@ I:IWE�^ � IW[uD�[¾á_îmQ[_á=U1LWTCUSEGTVF�INáGU1áucKQSLW[�ãåQSE�âREuQRICèCcKLCâ7èCEGQSbCJKD�F7[ ;Ò[ÓèWJÍcÍá:U1L\T�F`Q¤éRD$ù :1üµìWá_î�Q$[uèÒD�æ(c ë æ�U1JKJÍäTND�[ucÍâRLCD�T'F2INá=U¤áucKQSL QSèÒD�E=U¤áGQSE=[-USTWU1èNáGD�T�áGQVæ�JÍIW[ÓáuD�EucKLCâVU1LWT U�[ucÍLCâRJÍD`cÍáuD�E=U¤áGcÍQRL'Q1ãmÿ"MF`D|U1LW[�@a;ZCD�[uèCJKc�á"QSèÒD�E=U¤áuQRE:[uD�JKD�æ(áG[-[uQSFHD�QSbNç_D|æ�áG[-cÍLËU7èWUSEÓáGcKæ�ICJKUSE:æ�JÍIW[ÓáuD�E:USLWT�FHQ¤éSD|[ áuZWD�[uDQSbNç_D|æ�áG[máGQ$U`LCD�î æ(JKIW[ÓáuD�E|@ �ËD�U1JÃ[ÓQHTND ë LCD¾á_îmQ`QSáuZCD�E�QSèÒD�E=U¤áGQSE=[�áGZWU¤á-USEuD¾FHQSEGD«[ÓèÒD(Mæ(c ë æ�ãåQRE-áGZCDHæ(JKIW[_áGD�EGcÍLWâW@�a;ZCD ë EG[Óá:QRè\D�EGU1áuQSE|ì\æ�U1JKJÍD|T<;ÓcKLWæ�EuD|US[uD�=Cì\cK["U1bWJÍD�áuQ.cÍLWæ�EuD|US[uDáuZCD¾L�ICF2bÒD�E;QSã¿æ(JKIW[ÓáuD�E=[�@�a;ZWcK[mF2ICáGU¤áGcÍQRL.QRè\D�EGU1áuQRE�æ=ZCQ�QR[uD�[AáuZWD¾æ�JÍI\[_áGD�EmáuZWU1á ZWUS[�áuZWD

Page 7: Clustering Nominal and Numerical Data: A New Distance ...Clustering Nominal and Numerical Data: A New Distance Concept for a Hybrid Genetic Algorithm Laetitia Vermeulen-Jourdan, Clarisse

FHU1òNcÍF�ICF cKLRáGD�EGLWU1Jhé¤USEucÃU1LWæ�D"USLWTV[ÓèCJKcÍáG[;cÍá�cÍLoáuQ`á_îmQ`æ�JÍI\[_áGD�E=[�@Ca;ZCD¾QRbNç_D�æ(áG[ U1EGD"EuD|U1JÍMJÍQNæ�U1áuD|T�bÒD(á_îmD�D�L2áGZCD á_îmQ¾LCD�îôæ(JKIW[ÓáuD�E=[�@7I:ICE�[ÓD|æ(QRLWT�[uèÒD�æ(c ë æ�U1JKJÍä`TND�[ucÍâRLCD�T�F2ICáGU¤áGcÍQRLQSèÒD�E=U¤áuQRE�ì%;uTCD�æ(EGD�UR[ÓD =CìWUScÍF7[¾U¤á¾FHD�EGâScKLCâ$á_îmQ.æ�JÍI\[_áGD�E=[:cKLoáuQVQSLCDR@ha;ZCcK["QRè\D�EGU1áuQSE"TND(MáuD�æ(áG[;áGZCD¾á_îmQHæ�JÍQo[ÓD|[_á æ(D�LoáuD�E=[ U1L\T.âREuQRICèW[�áuZWD�æ(QSEGEGD�[uè\QRLWTNcKLCâ�æ�JÍIW[ÓáuD�EG[;cKLoáuQ7QRLCDS@� D«U1JÃ[uQ2IW[uD:QRLCD¾c�áGD�E=U¤áGcÍQRL$Q1ã¿áuZCD«ÿ"MgF`D|U1LW["ùÍú:�¤ühU1JKâSQREucÍáuZWF US[mU2F�INáGU1áucKQSLVQSèÒD�E=U¤áuQREáuQVFHUSêSD`U$JKQ�æ�U1J[ÓD|U1E=æ=Z'U1LWT%cÍFHèCEGQ¤éSD�áuZCD7÷oIWU1JKcÍá_äVQSãAU.[uQSJKINáGcÍQRL�@\ïgá"áGUSêSD|[:UR[-cKLCèCINááuZCD�TNcÃ[ÓáuEGcÍbCICáucKQSL�âScKéSD�L.b�ä$áGZCD�æ=ZCEGQSFHQR[uQSFHDRìoæ�U1JÃæ(ICJÃU¤áGD�[ æ(D�LoáuD�E=[;Q1ã>æ(JKIW[ÓáuD�EG[ USLWTVEuD�MUS[G[ÓcKâSLW[mQRbNç_D�æ(áG[máuQ$æ�JÍI\[_áGD�E=[;î ZCQR[uD«æ(D�LoáGD�E�U1EGD:áuZCD�æ�JÍQo[ÓD|[_á|@� á*áGZCDmD�LWT�Q1ãCáGZCDmâSD�LWD(áucÃæm[ÓD|U1E=æ=Z�ì�îmD�áuEGä¾áuQ"cÍFHèCEGQ¤éSDAáuZCD;÷oIWU1JKc�á_ä«QSã\U1JKJoáuZCD [uQSJKINáucKQSL\[ãåQSICLWT%î c�áGZ U�JÍQNæ�USJ>[ÓD|U1E=æ=Z�@\a;ZCD`JKQ�æ�U1J[ÓD|U1E=æ=Z'æ(QRLW[ÓcÃ[ÓáG[:cÍLËU1èCèCJKä�cÍLWâ.U1L%c�áGD�E=U¤áucKQSL%Q1ãáuZCD�ÿ"MgFHD�U1L\[mUSJÍâRQSEGc�áGZCF�@

� ���T�<�ÛWà�� ¿ÙAÚ Q��Û,���Þ��_Ú�

� D«ZWUséRD-D�ò�èÒD�EGcKF`D�LoáuD�T�X ��äC^ � QRLV[uQSFHD¾æ(QSFHFHQSL�TCU1áGUS[uD(á=[;UsésUScÍJÃU1bWJÍD¾U¤á;áuZWD��"X�ïEuD�è\Qo[ÓcÍáuQREuä ù �sügì>QSEHcKLóáGZCD'U1EuáucÃæ(JKD�[`QSã��;U1LWTCäSQSè\USTNZ�äRUsäôù ûsü-U1L\T ��IW[ÓèWcÍLCc�ù ûNú�üµ@�a;ZWD[ÓèÒD�æ�c ë æ�c�áGcÍD|[¾Q1ãAD|USæ=ZËTCU¤á=US[uD(á:I\[ÓD|T'áGQ.D�ésUSJÍI\U¤áuD�áuZWD`èÒD�EuãåQSEGF7U1LWæ�D�[:Q1ã�áGZCDHèCEGQSèÒQR[uD�TU1JKâSQSEGcÍáuZCF USEuD$[uICFHFHD�T�ICè�cKL�a¿USbCJKD�úS@�ïgá2cKLWTNcÃæ�U1áuD|[«áuZWD7LWU1FHD$QSã�áGZCD�TCU1áGUS[uD(á�cÍáG[LoIWF2bÒD�E¾Q1ãAcKLW[ÓáGUSLWæ(D|[�ð � ñ�ìÒáuZCDHL�ICF�b\D�E:QSã�U¤áuáuEGcÍbCICáuD�[HðAb�ñ(ì�áuZCD`QSEGcÍâRcÍL\U1J)L�ICF�b\D�E¾Q1ãæ(JÃUS[G[ÓD|[mð/�Cñ�ìSáuZCD èÒD�E=æ(D�LoáGU1âRD�QSãÒFHcÃ[u[ucKLCâ«TCU¤á=U`ðÖñ(@Sa;ZCD�EGD(ãåQREuD U¾TCU1áGUS[uD(á>cÃ[�[uICFHF`D|T`ICèboä�� *,'n!� k+�� '������ 0�� @Wa*U1bWJÍD7ú2USJK[uQHcÍL\TNcKæ�U¤áGD�[ áGZCD`X � é¤USJÍICD«QRbNáGUScÍLWD�TVî c�áGZ�áuZWDcÍLCcÍáucÃU1JWEuD�èWU1EuáucÍáucKQSL`Q1ãÒáuZCD cKLW[ÓáGUSLWæ(D|[>cÍL`áGZCD�cKEAæ(JÃUS[G[uD�[US[>USJÍJNáGZCD�TCU1áGUS[uD(á=[>U1EGD;bWUS[ucKæ�U1JKJÍäcÍLoáuD�LWTND|T�áGQHáuZCD«æ�JKUR[u[uc ë æ�U¤áGcÍQRLVTWU¤áGU`FHcKLCcÍLWâHáGUS[uê�@

a¿USbCJÍD.ú�USJK[uQ�cKLWTNcÃæ�U1áuD�[-ãåQSE"D�URæ=Z%TCU1áGUS[uD(á¾[ÓQRFHD�TND|[uæ�EucKèNáucKéSD`[_á=U¤áGcK[ÓáucÃæ�[:Q1ã�áGZCD`EuD�M[ÓICJÍáG[�QSbNá=U1cKLCD�T b�ä�X ��äC^ � @ � D7cKLWTNcÃæ�U1áuDHãåQRE¾áuZCD.XmUSJÍcKLW[uêoc�USLWT �-U1E=U1b\US[uõ`æ�EucÍáuD�EucÃUðµX �:ñ«áuZCD�F`D|U1LÔQSãmáGZCD�bÒD�[Óá2EGD�[uICJÍáG[�QRbNáGUScÍLWD�T�Q¤éSD�E¾áuD�LÔEuICL\[�ì)áuZCD.FHU1òNcÍF�ICF�ì�áuZWD[_á=U1LWTCUSEGTVTND�éocÃU¤áGcÍQRLËð��ñ;U1LWT.áGZCD«FHD�TNcÃU1L�@WïPLNãåQSEGF7U¤áucKQSL.cK[�âScKéSD�L�U1bÒQSICámáGZCD«L�ICF2bÒD�EQ1ã>TNcK[Gæ(Q¤éRD�EGD�T$æ�JÍI\[_áGD�E=[�@� D æ�USL2QRbW[ÓD�EuéRD�áGZWU¤á�X ��äC^ � cÃ[>U1bCJKDAáGQ"TCcK[Gæ(Q¤éRD�EU-L�ICF�b\D�E>Q1ã\æ�JÍIW[ÓáuD�EG[*D|÷RI\U1JoáuQ"áuZWDQSEGcÍâRcÍLWUSJ¿L�ICF�b\D�E¾Q1ã�æ�JKUR[u[uD�[�@KI:LWJÍä�QSL QSLCDHTCU1áGUS[uD(á|ì�ïPEucÃ[�ìÒcÍá«[uQSFHD�áucKF`D|["QSbNá=U1cKLW[�ìÒãåQREáuZCD�bÒD�[Óá"[uQSJKINáGcÍQRLVQSã�U1L�D(òND|æ(INáGcÍQRL�ì\UHL�ICF�b\D�E-Q1ã�æ�JÍIW[ÓáuD�EG[�Q1ããåQSICE-cÍLW[ÓáuD|UST�QSã*áGZCEGD�DS@��Q¤îmD�éSD�E�ìScÍL7áGZCcÃ[�æ�US[uDSì1áGZCD-bÒD�[Óá [ÓQRJÍINáGcÍQRL7D�éRD�EAQRbNáGUScÍLWD�T`ãåQSE�X � Z\US[�bÒD�D�L7ãåQSIWLWT7ãåQREU�L�ICF�b\D�E�Q1ãæ(JKIW[ÓáuD�E=[;D�÷oIWUSJ�áuQHáGZCEuD�D7ð������C@�û�� :Wð2�oñÓñ(@X�QSLWæ�D�EGLCcÍLWâ�áuZCD.EuQRbCIW[ÓáuLCD|[u[«QSã;áuZCD$FHD�áuZCQNThì*î�D.æ�U1LÔQRbW[uD�EGéSD`áuZWU1á2áGZCD$FHD(áGZCQNTÔcK[éSD�EGä�EGQSbWIW[_á�QRL'[ÓQRFHD«Q1ãáuZCD�L�ICFHD�EGcKæ�U1J)TCU1áGUR[ÓD�áG[ î ZCD�EuD¾áGZCD�[ÓáGUSLWTCUSEGT�TND�éocÃU¤áGcÍQRL�Q1ãáuZCD«bÒD�[Óá�EuD|[ÓIWJ�á=[;QSbNá=U1cKLCD�T.b�ä�X ��äC^ � Q¤éRD�EmáuZCD«EGICLW[;cÃ[;D�÷oIWUSJ�áuQ7õ�D�EGQW@ïPL7USTWTNc�áGcÍQRL�ì¤îmD�æ(QSFHèWUSEuDmQSIWE>F`D�áuZCQNT�áuQ�[uQSFHD æ(JÃUS[G[ucKæ�U1J�FHD(áuZWQ�TW[�;Sÿ"MgFHD�USLW[�ì1ÿ¾FHD�MTNcÍQNTC[�ì � cÍLCâRJÍDAJÍcKLCê¾U1LWT�X�QSFHèCJKD(áGD�JKcÍLCê�@|a)Q�F7USêSD�UmãkU1cKE)æ�QSFHèWU1EGcÃ[ÓQRL�ì(îmD>âScKéSD�US[�cÍLCèWINá�ìãåQSE�U1JKJháGZCD�æ(JÃUS[G[ÓcÃæ�USJhFHD(áuZWQ�TW[�ìNáGZCD«L�ICF2bÒD�E-Q1ã*æ�JÍI\[_áGD�E=[;ãåQSICL\T.b�äVX �-äC^ � @ �WQSE LCQRLTND(áGD�EGF`cKLCcÃ[_áGcKæ2FHD(áuZWQ�TW[2ðkÿ"MgFHD�USLW[�ìÒÿ¾FHD�TNcKQNTC[Gñ(ìWîmD�E=U1L�áuD�L�áucKFHD�[-áuZCD�U1JKâSQSEGcÍáuZCF7[�@a¿USbCJÍD�û�cKLWTNcÃæ�U¤áGD�[;ãåQRE D�URæ=Z�FHD(áGZCQNThìCáGZCD¾b\D|[_á-[uQSJKINáucKQSL.ãåQSIWLWThìNáGZCD�[_á=U1LWTWU1E=T.TND�é�cKU1MáucKQSL!ð��ñ Q1ã>áGZCD�[uQSJKINáGcÍQRL�âScKéSD�L�b�äVáuZCD�U1JKâSQSEGcÍáuZCF7[ ãåQRE¾X �2@ � [:Q1ã áGD�L'cKL%æ�JÍIW[ÓáuD�EucKLCâ\ìcÍLoáuD�EuD|[_áGcÍLWâ"QRbNç_D�æ(áucKéSD|[>U1EGD;áuQ«FHcÍLWcÍFHcKõ�D;áuZWD�cÍLoáGEGU¾æ(JKIW[ÓáuD�EATNcÃ[_á=U1LWæ�D;USLWT�áuQ«F7U¤òNcKFHcÍõ�DáuZCD«cKLoáuD�E�æ�JÍI\[_áGD�E�TNcÃ[_á=U1LWæ�DSìWa*U1bWJÍD�û`U1JÃ[ÓQHcKLWTNcÃæ�U1áuD�[máGZCD�cKE�é¤U1JKICDR@�CQSEL�ICFHD�EGcÃæ�U1JNTCU1áGUR[ÓD�áG[�ì|îmD æ�USL2QSb\[ÓD�EuéRD�áuZ\U¤á>QSICEFHD(áGZCQNT ë LWTC[*ãåQREUSJÍJ�áGZCD TCU¤á=US[uD(á=[

Page 8: Clustering Nominal and Numerical Data: A New Distance ...Clustering Nominal and Numerical Data: A New Distance Concept for a Hybrid Genetic Algorithm Laetitia Vermeulen-Jourdan, Clarisse

� »R·�� l ��½�� r=vP�Gt_nq¬Sw_n�p|r¿vgw � w_n�vgw_nq�=vh©�Â1w_¨or�t_r=vP�oz�w_vÒ©�ÁRw � n�lRr�y Á¤Ç��*Æ�ÇoÈ;��©�l:ySn��CrGt_r=l¤wÒl1�Rª«rGt_nq� � z� l�y2lo©|ª«nql � z\y � w � vPrGw_v Ï�®A�� l º � ¼|»���»R¹=»�¸ l ¹�¸

¶� � ��� ��� �����������������C½ � �¿t_n�w_rGt_n ��! �=zq�ovgw_rGt

�`r � l �#" � Ï $�% �� � � Ï �#"'& Ï & � �( %SÏ {)" %�`r�y Ï �#" � Ï *#* �

¶� + �� +������,����+������

���-�.�����C½/+���¿t_n�w_rGt_n ��! �=zq�ovgw_rGt

�`r � l.� $�% & Ï * { *� � � Ï � $�% & Ï * { *( % %�`r�y Ï � $�% & Ï * { *

0 A ¸ @ �´> �� � �� ���+1�2��������3+ W½4���¿t_n�w_rGt_n ��! �=zq�ovgw_rGt

�`r � l *5$ � Ï � $ *� � � Ï6*5$ � Ï � $ *( % %�`r�y Ï7*5$ � Ï � $ *

�°A�� l º � ¼|»��8�»o¹G»�¸ l ¹�¸= º � ¸

� �9 ���2+1�����2�:����-�;+���<W½4� �¿t_n�w_rGt_n �=! �=zq�ovgw_rGt

�`r � l � $ � Ï *'$ �� � � Ï �|��� Ï $ � Éå�sÌ *( {�{ Ï &�" %SÏ " $�`r�y Ï � $ & Ï "�� �

��» > ¼ l º� <������,>�� ��2�:����-�.> � W½�?��¿t_n�w_rGt_n �=! �=zq�ovgw_rGt

�`r � l { %#$ � Ï "1{ $� � � Ï { %#$ � Ï "1{ $( % %�`r�y Ï { %#$ � Ï "1{ $

� »o· l ¹ l ¸� �<����,�������2�:��@�-� ?+\½��>�¿t_n�w_rGt_n �=! �=zq�ovgw_rGt

�`r � l {|{=� � Ï {A" �� � � Ï {|{ *5$¤Ï * � �( � Ï � " %�`r�y Ï {�{�� � Ï $ �

� ^ � �´> »��B2»o¹=»o¸ l ¹=¸C.A�> �

� ����, :�:� ���+Ò½3�9������-�D>W½4<�:>�¿t_n�w_rGt_n �E! �=zq�ovgw_rGt

�`r � l $ � Ï ��" $� � � Ï�$ � Ï � " $( %SÏ { * %�`r�y Ï=$ � Ï � * $

F ^o¹ l� +�� �� �9<�� ����\½��:�

���-��+: � W½4��<� �¿t_n�w_rGt_n �E! �=zq�ovgw_rGt

�`r � l � % " Ï & � $� � � Ï � $#$¤Ï � * $( � Ï & � %�`r�y Ï � % & Ï � $ $

G º l »�¸=¹H�-» > ¼ l º� ���<��4>�� ��2�\½4�?+�����-� � W½�� ��¿t_n�w_rGt_n �E! �=zq�ovgw_rGt

�`r � l $I* � Ï � � $� � � ÏJ$I* & Ï * � $( $1Ï �|� %�`r�y ÏK$I* � Ï � { $

Page 9: Clustering Nominal and Numerical Data: A New Distance ...Clustering Nominal and Numerical Data: A New Distance Concept for a Hybrid Genetic Algorithm Laetitia Vermeulen-Jourdan, Clarisse

� »R·�� l W½ ~¿r=vgw�t_rGvP�oz�w_v�©|ÁRw � nqlor�y�Å�n�w_¨7ySn��CrGt_r=l¤w�ª«rGw_¨o©1y�©|l`�=z � vPvPnq� � z�y � w � vPrGw�ÂKt_©�ªÎj;�*e Ï�»R¹=» �-º � ¹ l º � » ��� ��� ¶ ��� � l » > ¸ � � l a ½ � �´> � � l ��^ ��@ �Ö½

C �¦>� C �´>�� � � $ eÖl¤wPt � C½ �:< � Ï { & � Ï % " � � Ï � % � Ï � $

eµl¤w_rGt $ {A" Ï " � $ {A" Ï " % $ {)" Ï %#$ � �W½4��> $ {A" Ï "#"� � zqnqlovPÀ1n ����W½3� �#" � Ï � " { � � Ï � $ {�{ Ï & * � Ï $ �

( % $ " Ï " * $ *RÏ � " i i� � * � eÖl¤wPt � <W½4 9+ � Ï � � " Ï & � � Ï �|� { � Ï � &

eµl¤w_rGt * { %SÏ "#" * { %SÏ "#" * {|{ Ï { % + �5�\½4��� * { %SÏ �|�� � zqnqlovPÀ1n �����C½/+�� � $I% � Ï � " { & $�%1Ï " � �S{ � %SÏ % " %SÏ � &

( % �#" � Ï %'$ �1{�� Ï �1{ i i���RvP¬onqlon eÖl¤wPt � ���W½ � ���W½ � � *RÏ {)" *#%SÏ � & { � $1Ï { �

eµl¤w_rGt { � &I" $¤Ï *'$ { � &�" $¤Ï *5$ � >:��:�C½�� { � &I"|� Ï % & { � &I" $1Ï � $� � zqnqlovPÀ1n + W½4�� + � W½4�� $ � � Ï � $ *5$�$1Ï *'% $1Ï � �

( % { � { Ï ��� & *RÏ $ i ieÖt_nqv eÖl¤wPt � W½4�< C½4��< $1Ï " � $¤Ï �|� $1Ï � %

eµl¤w_rGt * � Ï � $ � * * � Ï � $ � * +�<W½4>� * � Ï � $ * � Ï � $� � zqnqlovPÀ1n � >W½��< �>W½��< � $#$1Ï � $ � * � Ï " � *5$¤Ï � �

( {|{ Ï &�" { Ï � " { % " Ï ��� i i� � lo�=rut eÖl¤wPt � { *SÏ { * {)& Ï % " {=� Ï *5$ $ " Ï { � $�%1Ï % �

eµl¤w_rGt $ � � Ï �S{ $ � � Ï �S{ $ �'& Ï � " $ � � Ï { & $ � � Ï � *� � zqnqlovPÀ1n � � �<W½ ��< { %�% " Ï & * { $I% { Ï ��� $ � " Ï % � { $¤Ï % �

( % % ��" � Ï %#$ i i� n � ÁNruw_r=v eÖl¤wPt � ?+:<W½4 �< $I* & Ï *#* $ & � Ï {)& * � *RÏ % { $ � *RÏ %#%

eµl¤w_rGt { % � & � � Ï { � { % � & � � Ï $ � { % � &�� � Ï � " � �: ��<��W½4>� { % � & � %1Ï � �� � zqnqlovPÀ1n ���9�� W½ �:� {���� Ï � & $ & � Ï {)& $I%SÏ { � %SÏ �|�

( � Ï � " {)& Ï ��� * & Ï � { i i

Page 10: Clustering Nominal and Numerical Data: A New Distance ...Clustering Nominal and Numerical Data: A New Distance Concept for a Hybrid Genetic Algorithm Laetitia Vermeulen-Jourdan, Clarisse

áuZCD$bÒD�[Óá�[uQSJKINáucKQSL�QSã-X � U1JÃ[ÓQ�ãåQRICLWTÔ[uQSFHD(áGcÍFHD�[�boä%áuZCDVÿ"MµFHD|U1LW[«USJÍâRQSEGc�áGZCF�@ �CQREcÍLoáuE=UËæ(JKIW[_áGD�E7TNcÃ[_á=U1LWæ�D.î ZWcKæ=ZóF`D|US[uICEGD�[2áuZCD�æ(QRFHèWUSæ(áuLCD|[u[�Q1ã:áuZCD�æ(JKIW[ÓáuD�E|ìî�D�æ�USLQSbW[uD�EGéSD�áuZWU1á�X ��äC^ � ë LWTC["ãåQRE«D�URæ=Z TCU1áGUS[uD(á¾áGZCD$[ÓF7USJÍJKD�E¾é¤U1JKICDHî ZCcÃæ=Z cÃ["ãåQSE¾á_îmQTCU¤á=US[uD(áG[�ì � IW[uèCcÍLWcUSLWT'ïPEGcÃ[�ì�U1JÃ[ÓQ�QSbNá=U1cKLCD�T%boä�ÿ"MgFHD�U1L\[�@��CQRE:cKLoáuD�E¾æ(JKIW[ÓáuD�E"æ�EucÍáuD�EucÃUî ZCcKæ=Z�FHD|US[uICEuD|[;áuZWD2[ÓD�èWU1E=U¤áGcÍQRL.QSãáuZCD�QSbNá=U1cKLCD�T�æ(JKIW[ÓáuD�EG[�ìWîmD«EuD�F7U1EGê$áuZ\U¤á-D�éSD�L�cÍãX ��äC^ � TCQoD|[ÓL�$ á ë LWT'áuZCD`b\D|[_á¾é¤U1JKICD`Q1ã�áGZCD`æ�EucÍáuD�EucÃUCìWáuZCD`é¤U1JKICD`QSbNá=U1cKLCD�T�cÃ["EuD|U1JKJÍäæ(JKQR[uD�THáGQ2áGZCD:bÒD�[ÓámãåQSICLWT�@oïPL\TND�D|Thì�î ZCD�L.î�D:JÍQ�QSê7U1á�áGZCD:D�EuEGQSE�F7USTND:boä.X �-äC^ � cKLæ(QSFHèWUSEucÃ[uQSL�î cÍáuZ2áuZCD;bÒD�[Óá*ãåQRICLWThì|áGZCcK[D�EuEGQSE¿cK[*JKD�[G[¿áuZWUSL W @ W û�� ãåQSE � IW[uèCcKLCcCTCU¤á=US[uD(á|ìW @ �����ÎãåQRE�ïPEGcK[ TCU1áGUR[ÓD�á USLWT W @ W�W�W ��� ãåQSE:Y-cÃU1bÒD(áGD�[ TCU1áGUS[uD(á|@�CQSE�áuZCD¾áGZCEuD�D2[ÓáuQNæ=ZWUS[ÓáucÃæ"FHD(áuZWQ�TW[�ì\î�D«cKLWTNcÃæ�U1áuD¾áuZWD2[_á=U1LWTWU1E=T.TND�é�cKU1áucKQSL�Q1ã*áuZCD�[ÓQSMJÍINáGcÍQRLW[�QRbNáGUScÍLWD�T�Q¤éRD�E;áuZWD�áuD�L'D(òND|æ(INáGcÍQRLW[�QSã*áGZCD�USJÍâRQSEGc�áGZCF7[�ð ��ñ(@�� D`æ�U1L�QRbW[uD�EGéSDáuZWU1á"X ��äC^ � ZWUS[máGZCD�[uFHUSJÍJKD�E�[ÓáGUSLWTCUSEGT.TND�é�cÃU¤áucKQSLVD(òCæ�D�èNá ãåQRE;áuZCD«ïPEGcK[ TWU¤áGUR[ÓD�á�@X�QSLWæ�D�EGLCcÍLWâÔáuZCDËæ(QRF`èWINáGU1áucKQSLWUSJ-áGcÍFHDSì;cÍá.cÃ[�QRb�éocKQSI\[7áuZ\U¤á.QRICEVF`D�áuZCQNTýcÃ[.JÍQRLCâSD�EáuZWUSL!U%[ucÍFHèCJKD.ÿ"MgFHD�USLW[2USJÍâRQSEGc�áGZCF bÒD�æ�U1IW[uD$îmD�IW[uD.U [ÓcKLCâRJÍD$cÍáuD�EGU1áucKQSL�QSã�c�áHUS[�UJÍQNæ�USJ*[uD�USEGæ=Z�cKL'QRICE:Z�ä�bCEGcKTCcÍõ|U¤áucKQSL)@\ö�D�áuZCQNTC[¾[uIWæ=Z%US[ � cKLCâSJKD�QRE¾X�QRF`èWJÍD�áuD`JÍcKLCê�U1EGDãkUS[ÓáuD�E*áGZWU1L`QSICEFHD(áGZCQNT2QRL�[uF7U1JKJCTCU¤á=US[uD(áG[*bCICáJKQSLWâSD�E*QSL`JÃU1EGâSD�ETCU1áGUS[uD(á=[�ðÖY-cÃU1bÒD(áGD�[ãåQSE D(òCUSF`èWJÍDsñ�@��D�L\æ(DSìWáuZCQo[ÓD«EGD�[uICJÍáG[�[uZCQ¤î áuZWU1á¾X ��äC^ � Z\US[ bÒD�[Óá-QSE:U¤á-JKD�UR[_á-æ�QSFHèWU1E=U1bWJÍD¾èÒD�EuãåQSEuMFHUSLWæ(D|[�áuZWUSL$áuZWD:bÒD�[Óá�æ(JKIW[_áGD�EGcÍLWâ2FHD(áGZCQNTC[�@ �-D�éRD�EuáuZCD�JÍD|[u[�ìRcÍá;cK[mcKF`èÒQSEuáGUSLoá�áGQ�EGD�æ�U1JKJáuZWU1á2X �-äC^ � TNQ�D�["LCQ1á«EGD�÷oICcKEuDHUS["cKLCèCINá«áGZCDHL�ICF2bÒD�E«QSãmæ(JKIW[ÓáuD�EG[:áuQ�JKQ�QSê�ãåQSE«USLWTæ�U1L�TND|U1J�î cÍáuZ�LCQRF`cKLWUSJhQSE L�ICFHD�EGcKæ�U1JhTCU1áGUC@

� � Ü�Ù-ß��ÓÞ ��à_ÜAÙ

a;ZCcK[-èWU1èÒD�E-ZWUS[ èWEuQRè\Qo[ÓD|T.U$[uèÒD�æ(c ë æ¾Z�ä�bCEGcKT�^"D�LWD(áucÃæ � JÍâRQSEGc�áGZCF ãåQRE áuZWD2æ(JKIW[ÓáuD�EGcKLCâèCEuQRbCJKD�Fg;oX ��äC^ � @Ra;ZCcÃ[�U1JKâSQREucÍáuZWFÎcÃ[>éSD�Euä�cKLoáuD�EuD|[_áGcÍLCâ«bÒD�æ�U1IW[uD cÍá�FHUSêSD|[�æ(JKIW[ÓáuD�EGcKLCâî c�áGZ7LCQ¾cÍLWTCcKæ�U¤áucKQSLHQRL�áGZCD L�ICF2bÒD�EAQ1ãhæ(JKIW[_áGD�E=[>b�ä�IW[ucÍLWâ¾áuZCD:XmUSJÍcKLW[uêoc\U1LWT �-USEGUSbWUS[uõæ(EGc�áGD�EGcKUW@ �ËD Z\UséSD'IW[uD�T U![uè\D|æ(c ë æ D�LWæ�Q�TCcÍLCâÐU1LWT U1L QRLCD%cÍáuD�EGU1áucKQSL ÿ"MgFHD�USLW[7áGQZoä�bCEGcÃTNcÍõ�D2áGZCD7U1JKâSQREucÍáuZCF�@ha¿QVTND|U1Jî cÍáuZËLCQSFHcKLWU1J�TCU1áGU.î�D`èCEGQSèÒQR[uD�T U�LCD�îøæ�D�LoáuD�Eæ(QSL\æ(D�èCáucKQSL USLWTËU1L UR[u[uQNæ(cÃU¤áGD�T'TNcÃ[ÓáGU1L\æ(DS@ ��D�[uICJ�á=[¾QSbNá=U1cKLCD�T U1EGD�éRD�EGä�D�LWæ�QSICE=U1âRcÍLCâ\@� D�QRbNáGUScÍLWD�T�QSL�bÒQ1áGZ�L�ICFHD�EGcKæ�U1J)USLWT�LCQSFHcKLWU1J¿TCU¤á=UHáuZCD�[uUSF`D«L�ICF�b\D�E-QSã>æ�JÍI\[_áGD�E=[áuZWUSL.áGZCD«L�ICF2bÒD�E QSã*âRcÍéRD�LVæ(JÃUS[G[ÓD|[�@a;ZCcK[*U1JKâSQREucÍáuZWF îmQSEGê�[hãåQSE¿USL«ICLCê�LCQ¤î L«L�ICF�b\D�E¿QSãNæ�JÍI\[_áGD�E=[)U1L\T¾áuZCD ë LWUSJSèÒQSèCICJÃU¤áGcÍQRLcK[:æ(QSFHèÒQSICL\T�Q1ã�TNcÍíÒD�EuD�LRá"[ÓQRJÍINáGcÍQRLW[ î cÍáuZ'TNcÍí�D�EGD�Loá-L�ICF2bÒD�E:Q1ã�æ(JKIW[ÓáuD�EG[�@ ��D�EuDRìCQSLWJÍäáuZCD"b\D|[_á [uQSJKINáucKQSL7ZWUR[AbÒD�D�L�IW[uD�T7ãåQSE�áuZCD"D�é¤U1JKIWU1áucKQSL�ìobCINá;c�á æ(QRICJÃT7b\D:cÍLoáGD�EGD�[ÓáucKLCâ�áGQJÍQ�QSê.U¤á�[ÓD�éSD�EGUSJÒâRQ�Q�TV[uQSJKINáucKQSLW[;QRbNáGUScÍLWD�T�áuZWUSLCêN[;áuQ�X ��äC^ � @� F2ICJÍáucÍMgæ�EucÍáuD�EucÃU7U1èWèCEuQoUSæ=Z.î�QRICJKT.bÒD�cÍLoáGD�EGD�[ÓáucKLCâ`áuQ7JKQoQRê$ãåQRE;áuZCD�bÒD�[Óá-æ(QRFHèCEuQRFHcK[uDb\D�á_î�D�D�L�TNcÍíÒD�EuD�LRá�÷oIWUSJÍcÍá_ä�æ(EGcÍáuD�EGcÃU2áGZWU¤á�F7Usä$bÒD«IW[uD�Th@

�����<)Ù:Ý-à �

� D�TND�FHQSLW[ÓáuE=U¤áGD:áGZCD«èCEGQSèÒD�EuáucKD�[mQ1ã � 6 U1L\TV[uZCQ¤îýáGZWU¤á�cÍá�cÃ[�UHTNcK[ÓáGUSLWæ(DR@a �O�C�k�[± �QR[uc�áGcÍé�cÍá_ä��ä.æ(QSL\[_áGEuIWæ(áucKQSL�ì �3L cK[ USJÍî;UsäN[�èÒQR[ucÍáucKéSD¾QSE D|÷RI\U1J�áuQHõ�D�EGQ�áGZCD�L�76 ðGF°¤�H«ñ ¸ � �7�7L ðGF��O¤�H��gñ � W @

Page 11: Clustering Nominal and Numerical Data: A New Distance ...Clustering Nominal and Numerical Data: A New Distance Concept for a Hybrid Genetic Algorithm Laetitia Vermeulen-Jourdan, Clarisse

a �O�C�k�[± � ä�F`FHD�áuEGä�76 ðGF°¤�H«ñ ¸ � �7�7L ðGF��O¤�H��gñ�áuZCD�LVcÍã �7L cK[ [uä�FHF`D�áuEGcKæ�U1Jµì �76 cK[-[Óä�FHFHD(áuEGcÃæ�U1Jµ@?�D(á�I\[ æ(QSL\[ÓcÃTND�E;áGZCD�TNcÍíÒD�EuD�Loá-æ�US[uD�[:;ïgã � L ð:F � ¤�H � ñ ¸ W ¸�� F � ¸ H ��� � H � ¸ F � áuZCD�L � L ð:H � ¤�F � ñ ¸ W @ïgã � L ð:F � ¤�H � ñ ¸ ¢» ¸�� H � ¸ 0.ð:F � U1JKî;Usä�[mTND ë LCD�T\ñmáuZCD�L � L ðGH � ¤�F � ñ ¸ ¢» @ïgã � L ð:F � ¤�H � ñ ¸ ú ¸�� F � [¸ H � áGZCD�L H � [¸ F � áGZCD�L � L ð:H � ¤�F � ñ ¸ úS@� L cK[ [uä�FHF`D�áuEGcKæ�U1J�áGZCD�L � 6 cÃ[�[Óä�FHFHD(áGEucÃæ�USJÖ@a �O�C�k�[± a)EGcKUSLCâSIWJKUSEmcKLCD|÷RI\U1JKc�á_ä?�D(á(F ¢ ìOF » ì F���b\D¾áGZCEuD�D¾QSbNç_D|æ�áG[máGZWU¤á-æ�U1LVb\D�æ�D�LoáuD�EG[�@� D«î;U1Loá;áuQ7[uZCQ¤î áGZWU¤á �36 ð:F�¢S¤�F�»|ñ " �36 ð:F�¢c¤�F � ñ�� �76 ðGF � ¤�F »|ñ(@� D«F�IW[_á-[uZCQ¤îýáGZWU¤á � �1�3L ð:F�¢ d ¤�F » d ñ+" � �1�7L ðGF£¢ d ¤�F � d ñ�� � ���7L ðGF � d ¤�F » d ñ�@?�D(á�� ¸ � �7�7L ðGF£¢ d ¤�F�» d ñmD(á�� � ¸ �3L ð:F�¢ d ¤�F » d ñ�@?�D(á� ¸ � �1�3L ð:F�¢ d ¤�F � d ñ� � ���3L ð:F � d ¤�F » d ñ�U1LWT��£� ¸ �7L ð:F�¢ d ¤�F � d ñ�� �7L ðGF � d ¤�F�» d ñ�@� D�æ�QSFHèCINáGD�U¤áÓáGEucKbCINáGD¾boäVU¤áuáuEGcÍbCICáuDS@ �CQSE�U1áÓáGEucKbCINáGD"cµìNáGZCEuD�D�æ�UR[ÓD|[�F7Usä�USèCèÒD�U1EC;úS@NïgãXF£¢ d ¸ F » d áuZWD�L$��� ¸ W ;M�ïgã F�¢ d ¸ F � d áuZCD�LQF » d ¸ F � d áuZCD�L � � ¸ WM�ïgã F�¢ d [¸ F � d áuZCD�L��£��� ¸ ¢» QSE¾ú�U1L\T$áGZCD�L F � d [¸ F�» d áGZCD�L �£��� ¸ ¢» QSE«ú¸�� � � ¸ W ¤�ú"QSE-ûN@NïPLVáGZCcK[-æ�US[uD�� � "�� � @ûN@NïgãXF ¢ d [¸ F » d U1L\T#[¸ 02áuZCD�L � � ¸ ú�;

M�ïgã F ¢ d ¸ F�� d áuZCD�L�� � � ¸ W bWINá(F�� d [¸ F » d áGZCD�L � � � ¸ úR@M�ïgã F ¢ d [¸ F�� d áuZCD�LVcÍãXF�� d ¸ 0�áuZWD�L � � ¸ ¢» � ¢» D�JK[uD�� � ¸ ú�� ð W�� )�úsñ¸�� � � ¸ ú¾QSE-ûC@NïPLVáuZCcÃ[�æ�UR[ÓDRì� � "�� � @�C@Nïgã\F�¢ d [¸ F » d U1LWT.QSLWD:QSã)áuZWD�F D|÷oIWU1JÃ[�áuQC&�@ � [máuZCD�TNcÃ[ÓáGU1L\æ(D"cK[ [uä�F`FHD�áuEGcKæ�U1JµìNJÍD�áF£¢ d ¸ 0�áuZWD�L ��� ¸ ¢» ;

M�ïgã F�¢ d ¸ F � d áuZCD�L��£��� ¸ W bWINá(F � d [¸ F » d áGZCD�L �£��� ¸ ¢» @M�ïgã F�¢ d [¸ F � d áuZCD�L��£� ¸ ¢» � ð W QSE«ú|ñ(@M�ïgã F � d ¸ 0�áuZCD�L��£� ¸ ¢» @¸�� � � � ¢» @CïPL.áuZCcÃ[�æ�UR[ÓD<� � "��£�_@

a)Q7æ(QRLWæ(JKIWTNDRìNãåQSE�USJÍJhQRbNç_D�æ(áG[F�¢S¤ F »Rì F � ;M�� � � "�� � ¸�� � � � � " � � � � ¸�� � "��� �1� L ð:F ¢ d ¤�F » d ñ " � �1� L ð:F ¢ d ¤�F�� d ñ�� � �7� L ðGF�� d ¤�F » d ñ� 6 ðGF ¢ ¤�F » ñ " � 6 ðGF ¢ ¤�F���ñ�� � 6 ð:F���¤�F » ña;ZoI\[ � 6 cÃ[;èÒQR[uc�áGcÍéRDSìC[uäoFHFHD(áGEucÃæ�USJhU1LWT�áuE=U1LW[ucÍáucKéSD¾[ÓQ\ìNî�D¾æ�USLVæ�QSLWæ�JÍIWTCD:áGZWU¤á � 6 cÃ[;UTNcK[ÓáGUSLWæ(DR@

� ��?)Û,)Ù-ß�.�

{ Ï � Ï ~ � loySǤ©�¬ � yR¨¤Ç � Ç � l�y�j Ï � � �Rzqn�À Ï ��©|lR¬ � t � ª«rGwPt_nq� ­ r=lorGw_nq�;�Gz��Rvgw_rGt_nql ­ ®��*©�ª«¬ � t_n�vP©�l©�Â�p � zqnÍySn�wµÇ n�loyRnq�=r=v Ï����������! �"$#!%'&)(!*+%-,.&0/213"$#!/546*87:9: ;#=<?>@"$ :,�4�ACBDEDGF HJI-"$,KHKL$#!%M"+#GNO 9:PHQ9:R�% } $I%#% { Ï

$1Ï � Ï ~ � loySǤ©�¬ � yR¨¤Ç � Ç � l�y$j Ï � � �Rzqn�À Ï Èmr=lRrGw_nq�¾�=zq�ovgw_rGt_nql ­ Âé�t � �Sw_©|ª � w_nq�:r=ps©|zq�Sw_n�©�l.©�Â�Gz��Rvgw_rGt_v � loy � ¬o¬Rz�nq� � w_nq©|l"w_©�n�ª ��­ r¿�=z � vPvPn���� � w_nq©|l ÏG>C"+,K,.9: :# O 9�I-L-S$#!H?,KHJL$# }|� � ®q{|{ � &To{ $�% "S}$I%#%#$1Ï

Page 12: Clustering Nominal and Numerical Data: A New Distance ...Clustering Nominal and Numerical Data: A New Distance Concept for a Hybrid Genetic Algorithm Laetitia Vermeulen-Jourdan, Clarisse

� Ï��SÏ � Ï ~¿r=Ñ�yRrG�uÀN}�� Ï ~*© ­�­s� p � ¬ � t_�\}�d Ï �:Ï Æ � zqz } � loy!� Ï ~*r=lRv � n�y Ï Èmr=loruw_n�� � z ­ ©�t_n�w_¨oª­ �on�yRr=y¾�=zq�ovgw_rGt_nql ­SÏ eÖl > �LI & L��C,�� 9���H? :%-, ��������4�L$#��9: -9:#GI;92L$#5� P+L8F ,KHJL$#="$ ;* 4�L���D <,Q"+,KHJL$# }o¬ ��­ r=vA� * T1��"S}�{ �|� *SÏ

*RÏ��SÏ � Ï ~¿r=Ñ�yRrGÀ Ï �1©|ª«r>lRrGÅ�nql�ySrG�Sr=v)©�ÂW�=zq�ovgw_rGt*p � zqnÍySn�wµÇ Ï ���������! �"$#!%'& L$# (!*+%-,.9�� %-/ 1 "$# /"+#GN�46*E7;9: ;# 9:,KHJI'% } $ "RÉå�sÌu® � % {:T¤�S{ � }�{ ��� " Ï

� Ï � Ï d Ï ~*z � Àsr � loy�� Ï �RÏ �`rGt_Ñ Ï jm�=n7t_r=¬N©�vPnqw_©�tPÇ ©�Â�ª � �Ó¨onqlRrÐzqr � t_lRnql ­ y � w � Á � vPrGv Ϩ¤wPw_¬W® ���(Å>Å>Å Ï nq�=v Ï �o�=n Ï r�yS�����mª«zqr � t_l����Hd\�Ar=¬N©|vPn�w_©�tPÇ Ï ¨¤w_ª«z }�{ �|� " Ï jmlonqpsrut_vPnqwÖÇË©�«� � zqnqiÂK©�t_lRn � }�ekt_pSnqlRr|} � r=¬Rw Ï ©�Â�eµlRÂK©�t_ª � w_n�©�l � loyH�*©�ª«¬o�Rw_rut��S�=nqr=lR�=r=v Ï

� Ï d Ï ~¿©�wPw_©|� � l�y�� Ï ~*rGl ­ nq© Ï �*©|l1psrut ­ r=lR�=r�¬Rt_©|¬NrutPw_n�rGv�©�Âhw_¨or��`ikª«r � lRv � z ­ ©�t_nqw_¨Rª«v Ï eµlÈ Ï � r=v � �St_©R} � Ï � ©��Rt_rGw_ÑGÀ1Ǥ} � loy � Ï dWr=r=l\}�r�yRn�w_©�t_v=} B@N$P+"$#GI;9:%�H #��29� �"8F �;#���L$ ���"$,KHJL+#> �LI;9:%-%-H # S5(!*+%;,.9���% }Nps©|zq�Rª«r &1}o¬ ��­ r=v � " � T ��� $¤Ï � ¨or-�`e �nD t_r=vPv=}\{ �|�|� Ï

& Ï � Ï � � zqn�lRvPÀ1n � l�y �RÏ Æ � t � Á � vPÑ Ï � yRr=loySt_n�w_r-ª«rGw_¨o©1y`ÂK©�t �=zq�Rvgw_rGt � l � z�ÇSvPnqv Ï 4�L����� #!HK<I-"$,KHKL$#!%)H?#�%;,Q"+,KH %-,KHJI'% }C�RÉg{�Ìu®�{;T $ &1}h{ � & *SÏ

" Ï � Ï � Ï �*©|zqr Ï �*zq�ovgw_rGt_nql ­ Å�nqw_¨ ­ rGlorGw_nq� � z ­ ©�t_n�w_¨oª«v Ï � � vgw_rGt�� v)w_¨Rr=vPnqv=}�j�lonqpsrGt_vPn�wÖÇ ©�ÂR§�r=vgwPirut_lH���RvgwPt � zqn � }����ovgwPt � zqn � }Ò{ �|� " Ï ¨¤wPw_¬W® �����=n�w_r=vPrGrGt Ï l ÄGÏ lRr=� Ï �=©|ª��(�=©|zqr � "��=zq�Rvgw_rGt_nql ­RÏ ¨¤w_ª«z Ï

� Ï � Ï d Ï � � p1nqr=v � loy � Ï § Ï ~*©��oz�yRnql Ï �Ô�=zq�ovgw_rGt*vPr=¬ � t � w_nq©|l�ª«r � vP�St_r Ï ������� �! �"$# %:"EI',KHJL$# %L+# >C"$,K,.9: ;#3BC#="8F *+%;H?%2"$#GN 1 "EI�� H # 9 �;#!,.9'F F H0S 9:#=I;9 }\{�}\{ � & � Ï

{ %SÏ��SÏ � Ï � �Rlol Ï �'ÂK�oÑ=ÑGÇ t_rGz � w_nqpsr>©�ÂRw_¨or*nqvP©1y � w � ¬St_©¤�=r=vPv � loy-n�w_vh�ovPr*n�l:yRruw_r=�Gw_nql ­ �=©|ª«¬ � �Gw�}Å*r=zqz�iÖvPrG¬NrGt � w_r�yH�Gz��Rvgw_rGt_v Ï�� L� :#="8F L���46*87;9: :#G9:,KHJI'% }C�RÉå�|Ìu® � $ T � &¤}h{ � &�� Ï

{�{ Ï � Ï f � zqÀsrGl � �RrGt Ï ��lorGÅÔt_rG¬Rt_r=vPr=l¤w � w_n�©�l � l�y�©|¬NrGt � w_©�t_v>Âé�t ­ r=loruw_n�� � z ­ ©�t_nqw_¨Rª«v � ¬o¬Rzqn�r=yw_© ­ t_©|�R¬onql ­ ¬Rt_©|ÁRzqr=ª«v Ï�� P+L$F ,KHKL$#G"$ ;*�4�L���D ,Q"$,KHJL$# } $ É $ Ìu®�{ $ �T�{ *�* }h{ �|� *SÏ

{ $1Ï � Ï f � zqÀsr=l � �RrGt Ï! C9:# 9:,KHKI2B�F SEL$ ;H ,��"� % "$#GN# �L$+D!H # S > �L87�F09�� %_Ï%� ©|¨Rl`§ÔnqzqrGǤ}\{ �|� " Ï{=� Ï D Ï È � zqnqlonqrGt � l�y � Õ Ï Æ � © Ï ÆAÇSÁRt_n�y"r=ps©�zq�Rw_nq©|l � tPÇ � z ­ ©�t_nqw_¨Rª«v¿ÂK©�t ­ t � ¬R¨«�=©|zq©�t_n�l ­RÏ&� L� :<

#="8F L�� 4�L���7'H #="$,QL$ ;HJ"8F&' D=,KH(��H*)"$,KHJL$# }��1® �#& � T1� � &1}�{ ���|� Ï{ *RÏ d Ï��:Ï Æ � z�z }�e Ï ~ Ï�� r=ÑuÇR�StPw�} � loy �SÏ � Ï ~*rGÑ�yRr=À Ï �*zq�ovgw_rut_n�l ­ Å�n�w_¨ �A­ r=lRrGw_nq� � zqz�Ç-©|¬Sw_n�ª«nqÑ=r=y

� ¬o¬St_© � �Ó¨ Ï ������� �! �"$# %:"EI',KHJL$# %�L$# 9:P+L8F ,KHJL$#="$ :* 4�L�� D ,Q"$,KHKL$# }¿�RÉ $ Ìu®q{ % �T�{�{ $ } � �oz�Ç{ �|��� Ï

{ � Ï�+�Ï Æm� � l ­RÏ ���1w_r=lRvPn�©�lov*w_©�w_¨or�À¤iÖª«r � lov � z ­ ©�t_n�w_¨oª ÂK©�t��=zq�Rvgw_rGt_nql ­ z � t ­ r y � w � vPrGw_vÅ�n�w_¨� � w_r ­ ©�t_nq� � zÒp � z��Rr=v Ï-,�"+,Q"�1MH # H # S�"$#=N/. #GL$R@F09�NS 9!,)H %:I-L$P$9: :* }Ò{ �|� " Ï

{ � Ï � Ï Õ Ï0�s� nql\}Ò� Ï � Ï �`�StPwµÇ¤} � l�y D Ï �RÏ f�z�ÇSlol Ï � � w � �=zq�ovgw_rGt_nql ­ ®��ôt_r=p1nqrGÅ Ï�B�4 1 4�L�� <D1 ,KH?# S5(2 :P$9:*+% }C�S{|Éå�sÌu® $ � * T1� $ �1}��1r=¬Rw_rGª"ÁNrGt;{ �|��� Ï

{)& Ï � Ï � Ï�� ©|lorGv � l�y$� Ï � Ï ~¿r=z�wPt � ª«© Ï �1©|zqp1nql ­ ¬ � tPw_n�w_n�©�lonql ­ ¬St_©|Áozqr=ª«v�Å�n�w_¨ ­ r=lRrGw_nq� � z ­ ©�it_n�w_¨Rª«v Ï eµl7�)yRv Ï � Ï ~*r=zqrGÅ }Cd Ï ~ Ï ~*©¤©�ÀsrGt�}Nr=yRn�w_©�t�} > �LI &�L���,�� 93� L� ;,����;#!,.9: ;#G"$,KHJL+#G"8F4�L+#�9: �9:#GI;9 L+#4 C9:# 9:,KHKI B�F SEL$ ;H ,��"��% }\¬ ��­ r=v *#*'$ T *�* � Ï �`©�t ­|� l�Õ � �RÂKª � l D �RÁozqnqvP¨orGt_v=}{ �|� { Ï

{A" Ï d Ï Õ � �RÂKª � l � loy D Ï ��©��ovPvPr=�¤Å Ï ��H #GN+H # S/ �L$+D!% H #�,�"+,Q"8< BC# �;#!,K �LN$!I',KHKL$# ,QL�4�F %-,.9: BC#="8F *+%;H?%�& §ÔnqzqrGÇ7�1rGt_nqr=v�nql D t_©|Á � Áonqzqn�wµÇ � l�y`� � w_¨orGª � w_nq� � z��S�=nqr=lR�=r=v=}W{ ��� %SÏ

{ � Ï È Ï d Ï d\nq� Ï�;#!,K �LN$!I',KHKL$# ,QL I-L���7'H #="$,QL$ ;HJ"8FG1 "$,��!9�� "$,KHJI'%_Ï �`��È�t � ÅóÆmnqzqz }\{ �|� " Ï$I%SÏ�+�Ï �`nq�u¨ � zqrGÅ�nqÑ=� Ï5 C9:# 9:,KHKI�B�F SEL$ ;H ,��"��%768,�"+,Q" ( ,K � I',9 -9:%7: � P+L8F ,KHJL$# > �L-S$ �"�� %'&

�1¬Rt_nql ­ rGtPi � rut_z ��­ }Sw_¨on�tÓyW}1t_r=p1nqvPr�y � l�y2rG�1w_r=l�y2r�yRn�w_nq©|lW}\{ �|�|� Ï$ { Ï � Ï Æ Ï ���RvP¬onqlon Ï �m�Rª«rGt_nq� � z)ª«rGw_¨R©1yRv;Âé�t:ÂK�oÑ=ÑuÇV�=zq�Rvgw_rGt_nql ­RÏM�;#��L+ ���&�(GI'HQ& } $ ® �1{ � T¤� � % }

{ � & %SÏ