Ing. Samuel Oporto Daz (Msc)Lgica de PredicadosINTELIGENCIA ARTIFICIAL2 2 /40 /40Mapa Conceptual del Curso3 3 /40 /40Tabla de Contenido1. Lgica de Predicados.2. Sintaxis3. Frmulas Bien Configuradas4. Semntica.5. Bibliografa4 4 /40 /40Objetivos Presentar los conceptos bsicos de la lgica de predicados. Presentar una lgica suficiente para construir agentes basados en el conocimiento.5 5 /40 /40LOGICA DE PREDICADOSLgica de Primer Orden6 6 /40 /40Lgica de Predicados Lgica de primer orden. Es una lgica con suficiente expresividad pararepresentar nuestro sentido comn. La lgica de predicados tiene alcancesontolgicos ms amplios. Considera el mundo constituido por objetos ypropiedades que los distingan, a diferenciade la lgica proposicional que slo permiterepresentar hechos.7 7 /40 /40Lgica de Predicados Est basada en la idea de que lassentencias realmenteexpresan relaciones entre objetos, as como tambincualidades y atributos de tales objetos. Los objetos pueden ser personas, objetos fsicos, oconceptos. Las cualidades, relaciones o atributos, se denominanpredicados. Los objetos se conocen como argumentos otrminos del predicado. Al igual que las proposiciones, los predicados tienen unvalor de veracidad, pero a diferencia de las preposiciones,su valor de veracidad, depende de sus trminos. Unpredicado puede ser verdadero para un conjunto detrminos, pero falso para otro.8 8 /40 /40Ejercicio 1Para las siguientes oraciones indique donde existe unarelacin y donde un atributo.1. Aijo vive en la misma casa que Chucho.2. Tuka y Pika vuelvan.3. Yaku y Amar vuelan juntos.4. A + B5. A + B = C6. f(A)7. f(A) = , f(B) = y f(C) = 8. Ana 17 aos, Erika 19 aos, Julia 18 aos9. Ana, Erika y Julia van a la universidad10. Edo administra la empresa donde Rai trabaja.9 9 /40 /40PredicadoUn predicado es lo que se afirma del sujeto.Predicado. Propiedades Cualidades Relaciones Atributos. FuncionesSujeto. Argumentos Trminos Objetos, Personas, Conceptospredicadosentenciasujeto objeto10 10 /40 /40Proposiciones y Predicados Un proposicin es una oracin completa donde se afirmaalgo acerca de un sujeto identificado. Una sentencia en lgica de predicados es una oracincompleta donde se afirma algo acerca de un sujeto. Elsujeto puede ser una constante o una variable.sentencia = oracin = enunciado 11 11 /40 /40Ejemplos Objetos: personas, casas, nmeros, la SUNAT, UNI, colores,guerras, siglos, . . . . Relaciones: diferente_que, hermano-de, cerca_de, amigo_de,de_color, hijo_de_y_padre_de, vive_en, es_el_dueo. Propiedades: Rojo, redondo, pisos, Funciones: el_siguiente, mayor_que, sumatoria,12 12 /40 /40Ejercicio 2Identifique para las siguientes expresiones el sujeto y elpredicado. Indique el tipo de predicado:1. Uno ms dos es igual a tres.2. R = S + Y23. Todos los alumnos de IA llevarn su LT a la capacitacin delsbado a las 2:30 PM4. Los cuadros cercanos al wumpus apestan5. Wayra vive en la provincia de condorcanqui y chaccha coca.6. Todos los gatos comen ratones y los ratones comen quesos.7. Ayer, hoy y maana son das festivos.13 13 /40 /40Aplicaciones Especificacin formal deprogramas, la cual permitedescribir lo que el usuario deseaque un programa realice, mediantepiezas de cdigo. Verificacin formal de programas,las piezas de cdigo sonacompaadas por pre y postcondiciones, las cuales se escribencomo frmulas del Clculo dePredicados.14 14 /40 /40SINTAXISv vnn VV

15 15 /40 /40Sintaxis (1)El alfabeto est formado por: Sentencia atmica:predicado (trmino, ....)termino = trmino Sentencias: sentenciasentencias_atmicas.(sentencia conectiva sentencia)cuantificador variable, ...., sentencia Trmino:funcin trminoconstantevariable Smbolos de conectivas:( , v, , , y) Cuantificador universal:V (para todos) Cuantificador existencial:n (existe al menos uno)16 16 /40 /40Sintaxis constantes lgicas:Verdadero, Falso smbolos de constantes A, D (letras maysculas). smbolos de variables x, z (x, y, z) smbolos de predicados y funciones (letras minsculas). 17 17 /40 /40Sintaxis Oraciones atmicas Los trminos y signos de predicado se combinan para formaroraciones atmicas, mediante las que se afirman hechos. Una oracin atmica est formada por un signo de predicado y poruna lista de trminos entre parntesis, ejemploHermano (Ricardo, Juan)Casado (PadreDe (Ricardo), MadreDe (Juan)) Se dice que una oracin atmica es verdadera si la relacin a la quealude el signo de predicado es vlida para los objetos a los quealuden los argumentos.18 18 /40 /40Sintaxis Oraciones Mediante los conectores lgicos se pueden construiroraciones ms complicadas, ejemplo:Hermano (Ricardo, Juan) Hermano (Juan, Ricardo)Mayor (Juan, 30)v Menor (Juan, 30)Mayor (Juan, 30)Menor (Juan, 30)Hermano (Robin, Juan)19 19 /40 /40Sintaxis Trminos. Es una expresin lgica que se refiere a un objeto. Es el argumento del predicado. Cuando un trmino no tiene variables se le conoce como trmino de base.20 20 /40 /40Cuantificadores Cuantificadores Los cuantificadores permiten expresar propiedades degrupos completos de objetos en vez de enumerarlos porsus nombres. La lgica de primer orden contiene dos cuantificadoresestndar, denominados universales y existenciales.V n21 21 /40 /40Cuantificacin universal (V) Cuantificacin universal (V) Facilita la expresin de reglas generales, ejemplo: en vez de decir Mancha es un gato y Mancha es un mamfero se usa: Vx Gato (x) Mamfero (x) Lo cual equivale a Gato (Mancha) Mamfero (Mancha) Gato (Rebeca) Mamfero (Rebeca) Gato (Flix) Mamfero (Flix) Gato (Juan) Mamfero (Juan) Por lo tanto la primera expresin ser valida si y slo sitodas estas ltimas son tambin verdaderas, es decir, si P es verdadera para todos los objetos x del universo. Por lo tanto, a V se le conoce como cuantificador universal.22 22 /40 /40Ejercicio 3 Representa en LP1 las siguientes expresiones:1. Todos los alumnos deben matricularse para llevar el cursode IA.2. Todos los perros del barrio fueron vacunados en elVANCAN2005.3. Todos los congresistas fueron elegidos para ocupar elcargo.4. Todos los alumnos del curso de IA sern aprobados.23 23 /40 /40Cuantificacin existencial (n) Cuantificacin existencial (n) Con ella podemos hacer afirmaciones sobre cualquier objeto del universo sin tener que nombrarlo, ejemplo, si queremos decir que Mancha tiene un hermano que es un gato: nx Hermano (x, Mancha) Gato (x) En general, nxP es verdadero si P es verdadero para cierto objeto del universo.nx Hermano (x, Mancha) Gato (x) equivale a las oraciones: (Hermano (Mancha, Mancha) Gato (Mancha)) v (Hermano (Rebeca, Mancha) Gato (Rebeca)) v (Hermano (Flix, Mancha) Gato (Flix)) v (Hermano (Ricardo, Mancha) Gato (Ricardo)) v As como es el conector natural para V es el conector natural para n.24 24 /40 /40Ejercicio 4Representa en LP1 las siguientes expresiones:1. El hermano de Alejandro molesto al intocable periodista.2. Dos hijos de Mara salieron a pasear.3. Juan hijo de Mara salio a pasear.4. Algunos estudiantes no entregaron su trabajo.5. El congresista dijo por dios y por la plata25 25 /40 /40Cuantificadores anidados Para toda x y toda y, si x es el padre de y, entonces y es el hijo de xVx,yPadre (x,y) Hijo (y,x) Para toda x y toda y, si x es hermano de y, entonces y es hermano de xVx,y Hermano (x,y) Hermano (y,x) Todas las personas aman a alguienVx nyAman (x,y) Siempre hay alguien a quien todos amanny Vx Aman (x,y)26 26 /40 /40Ejercicio 5Representa en LP1 las siguientes expresiones:1. Todas ciudades tienen un polica que ha sido mordido portodos los perros de la Ciudad.2. Para cada conjunto x, hay un conjunto y tal que elcardinal de y es mayor que el cardinal de x.3. Todos los bloques que estn encima de bloques que hansido movidos o que estn unidos a bloques que han sidomovidos, tambin han sido movidos.27 27 /40 /40Ejercicio 61. Algunos estudiantes llevaron Chino en el verano2. Todos los estudiantes que llevaron Chino, pasaron3. nicamente un estudiante llev Ingls en el verano4. La mejor nota en Ingls es siempre mayor que la mejor nota en Chino.5. Toda persona que compra un poltico es inteligente.6. Ninguna persona compra un poltico caro.7. Este es un agente quin vende polticos nicamente a personas que no son seguras.8. Hay un barbero en la ciudad, quien afeita a todos los hombres quienes no se pueden afeitar por si mismos.28 28 /40 /40Solucin n x [estudiante(x)llevo_curso (x, Chino, Verano)] V x [[estudiante(x) llevo_curso(x, Chino)]paso(x, Chino)] n! x estudiante(x) llevo_curso(x, Ingles, Verano)alternativamenten x [estudiante(x) llevo_curso(x, Ingles, Verano)] n y [estudiante (y) llevo_curso (y, Ingles, Verano) (x = y))] V x, y [ [mejor_nota(x, Ingles) mejor_nota (y, Chino)]mayor(x,y) ] V x,y [ [persona(x) politico(y) compra(x, y)]inteligente(x) ] alternativamenteV x compra(x, Politico)inteligente(x) [V x persona(x) compra (x, Politico) caro(Politico)] nx Vy [ vende_politicos(x, y)persona_insegura(y) ] n x barbero(x) V y [ hombre(y) afeita_a(y, y)afeita_a(x, y)]29 29 /40 /40FORMULAS BIEN CONFIGURADAS30 30 /40 /40Frmula bien configurada Una oracin comoVxP (y), en la queycarece de cuantificador, es incorrecta. El trmino frmulabienconfigurada ofbc se emplea para calificar oraciones enlas que todas sus variables se hanintroducido adecuadamente. ~ f (A) f (P(A)) Q{ f (A), [P (B)Q (C) ] } A V (V~)fbc fbc31 31 /40 /40Relaciones entre V y n Relaciones entre V y n Ambos cuantificadores estn estrechamenterelacionados entre s mediante la negacin. A todos les desagradan las espinacas No hay alguiena quien le gusten las espinacasVx LeGustan(x, espinacas) nx LeGustan (x, espinacas) A todos les gusta el helado No hay alguien a quien nole guste el heladoVx LeGusta(x, helado) nx LeGusta (x, helado)32 32 /40 /40Relaciones entre V y n Relaciones entre V y n Puesto que V es una conjuncin () de objetos del universo y n es su disyuncin (V), es natural que obedezcan las leyes de De Morgan:Vx P nx PVx P nx PVx P nx Pnx P Vx PP Q (P v Q)(P Q) P vQP Q (P vQ)P vQ (P Q)33 33 /40 /40Igualdad Igualdad Para formular aseveraciones en las que los dos trminos se refieren a un mismo objeto se utiliza el smbolo de igualdad:Padre(Juan) = Enrique El signo de igualdad sirve para describir las propiedades de una funcin determinada o se puede emplear en la negacin para insistir en que dos trminos no son el mismo objeto:nx,y Hermano(Mancha, x) Hermano(Mancha, y) (x=y)34 34 /40 /40SEMNTICA35 35 /40 /40Semntica En lgica de proposiciones para definir la semntica nosapoyamos en los conceptos de interpretacin ysatisfaccin. En lgica de predicados se debe de aadir el deasignacin, que consiste en dar valores a las variables y,en general, a los trminos.EstructuraUna estructura est constituida por un conjunto que se designa como universo U y la interpretacin I de las relaciones que actan sobre los elementos de dicho universo, su notacin es: < U, I>36 36 /40 /40Interpretacin Interpretacin Lgica Proposicional. Una frmula tiene una interpretacin cuando al asignar valores de verdad a sus tomos se obtiene un valor de verdad (cierto o falso) para la frmula completa. Interpretacin Lgica de Predicados. Una interpretacin est asociada a un dominio, que es un conjunto de valores que las variables pueden tomar. Para cualquier interpretacin de una frmula sobre un dominio, la frmula puede ser evaluada como cierta o falsa. 37 37 /40 /40Asignacin Asignacin de variable:Una asignacin es una funcin que va desde el conjunto de las variables a un determinado universo. A: V U38 38 /40 /40Satisfaccin Satisfaccin en Lgica Proposicional. La satisfaccin de una sentencia es relativa a la interpretacin. Satisfaccin en Lgica de Predicados. Las satisfaccin es relativa a la asignacin de trminos. En lugar de variables proposicionales hay tomos formados conpredicados, y un predicado representa a una relacin de laconceptuacin. Diremos que un tomo se satisface (es verdadero ) para unadeterminada interpretacin y una determinada asignacin siasignando los valores a sus trminos e interpretndolo, el resultadoes una tupla de la relacin representada.39 39 /40 /40Bibliografa AIMA. Captulo 7, primera edicin. AIMA. Chapter 8, second edition. http://www.earlham.edu/~peters/courses/logsys/glossary.htm40 40 /40 /40PREGUNTAS