Introducci
onSistemasMasa-ResorteBAIN041EcuacionesDiferencialesparaIngenieraSistemasMasa-ResorteCircuitoenSerieAnalogoPauloAlvarezJunio,2015PauloAlvarez
BAIN041EcuacionesDiferencialesparaIngenieraIntroducci
onSistemasMasa-ResorteIntroduccionEnestaseccion,consideraremosvariossistemasdinamicoslinealesenlosquecadamodelomatematicoesunaecuaciondiferencialdesegundoordenconcoecientesconstantesconcondicionesinicialesespecicadasenuntiempot
= 0:ad2xdt2+ bdxdt+ cx = f(t), x(0) = x0, x
(0) =
x1Lafuncionfeslaentrada,funciondeconduccionofuncionforzadadelsistema.
Unasoluci
onx(t)delaecuaciondiferencialquesatisfacelascondicionesinicialessellamasalidaorespuestadelsistema.PauloAlvarez
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onSistemasMasa-ResorteMovimientoLibreNoAmortiguadoMovimientoLibreAmortiguadoMovimientoForzadoMovimientoLibreNoAmortiguadoSupongaqueunresortesesuspendeverticalmentedeunsoportergidoyluegoselejaunamasamasuextremolibre.PorlaleydeHooke,elresorteejerceunafuerzarestauradoraFopuestaaladirecciondeelongacionyproporcionalalacantidaddeelongacionsyesexpresadacomoF=
ks,dondekesunaconstantedeproporcionalidadllamadaconstantederesorte.Despuesdequeseunelamasamalresorte,
estaalargaelresorteunacantidadsylograunaposiciondeequilibrioenlacualsupesoseequilibra
mediante la fuerza restauradora ks. La condicion de equilibrio esmg
ks = 0 o mg=
ks.Silamasasedesplazaunacantidadxdesuposiciondeequilibrio,lafuerzarestauradoradelresorteesentoncesk(x
+ s).PauloAlvarez
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onSistemasMasa-ResorteMovimientoLibreNoAmortiguadoMovimientoLibreAmortiguadoMovimientoForzadoMovimientoLibreNoAmortiguadoPauloAlvarez
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onSistemasMasa-ResorteMovimientoLibreNoAmortiguadoMovimientoLibreAmortiguadoMovimientoForzadoMovimientoLibreNoAmortiguadoSuponiendoquenohayfuerzasrestaudorasqueact
uansobreelsistemayquelamasavibralibredeotrasfuerzaexternas(movimientolibre)sepuedeigualarlasegundaleydeNewtonconlafuerzanetaoresultantedelafuerzarestauradorayelpeso.md2xdt2=
k(x + s) + mg= kx + mg ks
cero= kx.
(1)Elsignonegativoen(1)indicaquelafuerzarestauradoradelresorteact
uaopuestaaladirecciondemoviemiento.PauloAlvarez
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onSistemasMasa-ResorteMovimientoLibreNoAmortiguadoMovimientoLibreAmortiguadoMovimientoForzadoMovimientoLibreNoAmortiguadoSeadoptalaconvenciondequelosdesplazamientosmedidosabajodelaposici
ondeequilibriosonpositivos.PauloAlvarez
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onSistemasMasa-ResorteMovimientoLibreNoAmortiguadoMovimientoLibreAmortiguadoMovimientoForzadoMovimientoLibreNoAmortiguadoDividiendo(1)porlamasam,seobtienelaecuaciondiferencialdesegundoordend2xdt2+kmx
= 0 od2xdt2+ 2x = 0,
(2)donde2=km.Sedicequelaecuacion(2)describeelmovimientoarmonicosimpleomovimientolibrenoamortiguado.Doscondicionessonx(0)
= x0yx
(0) =
x1,eldesplazamientoinicialylavelocidadinicialdelamasa,respectivamente.PauloAlvarez
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onSistemasMasa-ResorteMovimientoLibreNoAmortiguadoMovimientoLibreAmortiguadoMovimientoForzadoMovimientoLibreNoAmortiguadoLasoluciongeneralde(2)esx(t)
= C1 cos(t) + C2 sin(t); C1, C2 R. (3)ElperiododelmovimientoesT=
2/. Eln
umeroTrepresentaeltiempo(medidoensegundos)quetardalamasaenejecutarunciclodemovimiento.Lafrecuenciadelmovimientoesf=
1/T= /2yeseln umerodecicloscompletadocadasegundo.Eln umero=
k/m(medidoenradianesporsegundo)sellamafrecuencianaturaldelsistema.CuandoseempleanlascondicionesinicialesparadeterminarlasconstantesC1yC2en(3),sedicequelasolucionparticularresultanteorespuestaeslaecuaciondemovimiento.PauloAlvarez
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onSistemasMasa-ResorteMovimientoLibreNoAmortiguadoMovimientoLibreAmortiguadoMovimientoForzadoMovimientoLibreNoAmortiguadoSueleserconvenienteconvertirunasoluciondelaforma(3)enunaformamassimplex(t)
= Asin(t + ), (4)dondeA =
C21+ C22yeselangulodefasedenidoporsin =C1Acos =C2Atan
=C1C2(5)Laforma(4)esmuy
utilporqueesfacilencontrarvaloresdetiempoparaloscualeslagracadex(t)cruzaelejetpositivo(larectax
= 0). Seobservaquesin(t + ) = 0cuandot + =
n,dondenesunenterononegativo.PauloAlvarez
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onSistemasMasa-ResorteMovimientoLibreNoAmortiguadoMovimientoLibreAmortiguadoMovimientoForzadoMovimientoLibreNoAmortiguadoEjercicios1)
Unamasaquepesa2 [lb]alarga6 [pulg]unresorte. Ent =
0seliberalamasadesdeunpuntoqueesta8
[pulg]abajodelaposiciondeequilibrioconunavelocidadascendentede43
[pies/s]. Determinelaecuaciondemovimiento,amplitudyangulodefase.
Ayuda:g= 32 [pies/s2],1 [pie]=12 [pulg].2) Uncuerpoconmasam =12
[kg]estaunidoenelextremodeunresorteestirado2
[m]debidoaunafuerzade100
[N]yespuestoenmovimientoapartirdelaposicioninicialx0= 1
[m]yvelocidadinicialv0= 5 [m/s].
Determinelafunciondelaposiciondelcuerpo,ascomosuamplitud,frecuenciayperiododeoscilacion.PauloAlvarez
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onSistemasMasa-ResorteMovimientoLibreNoAmortiguadoMovimientoLibreAmortiguadoMovimientoForzadoMovimientoLibreNoAmortiguadoPauloAlvarez
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onSistemasMasa-ResorteMovimientoLibreNoAmortiguadoMovimientoLibreAmortiguadoMovimientoForzadoMovimientoLibreAmortiguadoEnelestudiodelamecanica,lasfuerzasdeamortiguamientoqueact
uansobreuncuerposeconsideranproporcionalesaunapotenciadelavelocidadinstantanea.
Enparticular,sesuponequeestafuerzaestadadaporunm
ultiploconstantededx/dt. Cuandoningunaotrafuerzaact
uaenelsistema,setienedelasegundaleydeNewtonquemd2xdt2= kx dxdt ,
(6)dondeesunaconstantedeamortiguamientopositivayelsignonegativoesunaconsecuenciadelhechodequelafuerzadeamortiguamientoact
uaenunadireccionopuestaalmovimiento.PauloAlvarez
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onSistemasMasa-ResorteMovimientoLibreNoAmortiguadoMovimientoLibreAmortiguadoMovimientoForzadoMovimientoLibreAmortiguadoComosemuestraenlagura,lamasapodraestarsuspendidaenunmedioviscoso(guraa))ounidaaundispositivoamortiguador(gurab)).PauloAlvarez
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onSistemasMasa-ResorteMovimientoLibreNoAmortiguadoMovimientoLibreAmortiguadoMovimientoForzadoMovimientoLibreAmortiguadoDividiendolaecuacion(6)porlamasam,seencuentraquelaecuaciondiferencialdelmovimientolibreamortiguadoesd2xdt2+mdxdt+kmx
= 0 od2xdt2+ 2dxdt+ 2x = 0 (7)donde2
=my2=km.Laecuacionauxiliaresm2+ 2m + 2=
0ylasracescorrespondientessonentoncesm1= +
22, m2=
22Ahorasepuedendistinguirtrescasosposiblesdependiendodelsignode22.PauloAlvarez
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onSistemasMasa-ResorteMovimientoLibreNoAmortiguadoMovimientoLibreAmortiguadoMovimientoForzadoMovimientoLibreAmortiguadoCASOI:22>
0En estasituacion el sistema esta sobreamortiguado porque el
coecientedeamortiguamientoesgrandecomparadoconlaconstantedelresortek.
Lasolucioncorrespondientede(7)esx(t) = C1em1t+ C2em2tox(t) = et
C1e22t+ C2e22t
(8)Estaecuacionrepresentaunmovimientouniformeynooscilatorio.
Enlagurasemuestrandosgracasposiblesdex(t).PauloAlvarez
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onSistemasMasa-ResorteMovimientoLibreNoAmortiguadoMovimientoLibreAmortiguadoMovimientoForzadoMovimientoLibreAmortiguadoCASOII:22=
0Estesistemaestacrticamenteamortiguadoporquecualquierligeradisminucionenlafuerzadeamortiguamientodaracomoresultadounmovimientooscilatorio.
Lasoluciongeneralde(7)esx(t) = C1em1t+ C2tem1tox(t) = et(C1 + C2t)
(9)Esevidentede(9)quelamasapuedepasarporlaposiciondeequilibrioalomasunavez.
Enlagurasepresentanalgunasgracastpicasdemoviemiento.PauloAlvarez
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onSistemasMasa-ResorteMovimientoLibreNoAmortiguadoMovimientoLibreAmortiguadoMovimientoForzadoMovimientoLibreAmortiguadoCASOIII:22<
0Enestecasoelsistemaestasubamortiguadopuestoqueelcoecientedeamortiguamientoespeque
nocomparadoconlaconstantedelresorte.Lasracesm1ym2ahorasoncomplejas:m1=
+
22i, m2=
22i.Asquelasoluciongeneraldelaecuacion(7)esx(t) = et
C1 cos
22t
+ C2 sin
22t)
(10)PauloAlvarez
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onSistemasMasa-ResorteMovimientoLibreNoAmortiguadoMovimientoLibreAmortiguadoMovimientoForzadoMovimientoLibreAmortiguadoComoseindicaenlagura,elmovimientodescritoporlaecuacion(10)esoscilatorio;perodebidoalcoecienteet,lasamplitudesdevibracion
0cuandot PauloAlvarez
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onSistemasMasa-ResorteMovimientoLibreNoAmortiguadoMovimientoLibreAmortiguadoMovimientoForzadoMovimientoLibreAmortiguadoEjercicios1)
Unamasade1 [slug]sesuspendedeunresortecuyaconstanteesde4 [lb/pie].
Elmedioofreceunafuerzadeamortiguamientoqueesnumericamenteigual5veceslavelocidadinstantanea.
Lamasaseliberadesdeunpuntosituado1
[pie]pordebajodelaposiciondeequilibrioconunavelocidaddescendentede1
[pie/s]. Determinelaecuaciondemovimiento.
Encuentreeltiempoenelquelamasaalcanzasudesplazamientoextremodelaposiciondeequlibrio.Cualeslaposiciondelamasaenesteinstante?2)
Unamasaquepesa8 [lb]alarga2 [pies]unresorte.
Suponiendoqueunafuerzaamortiguadaqueesigualadosveceslavelocidadinstantaneaact
uasobreelsistema,determinelaecuaciondemovimientosilamasainicialseliberadesdelaposiciondeequlibrioconunavelocidadascendentede3
[pies/s].PauloAlvarez
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onSistemasMasa-ResorteMovimientoLibreNoAmortiguadoMovimientoLibreAmortiguadoMovimientoForzadoMovimientoLibreAmortiguado3)
Unamasaquepesa16 [lb]seuneaunresortede5
[pies]delargo.Enequilibrioelresortemide8.2 [pies].
Sialiniciolamasaseliberadesdeelreposoenunpunto2
[pies]arribadelaposiciondeequilibrio,encuentrelosdesplazamientosx(t)sisesabeademasqueelmediocircundanteofreceunaresistencianumericamenteigualalavelocidadinstantanea.PauloAlvarez
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onSistemasMasa-ResorteMovimientoLibreNoAmortiguadoMovimientoLibreAmortiguadoMovimientoForzadoMovimientoForzadoAmortiguadoSupongaqueahorasetomaenconsideracionunafuerzaexternaf(t)queact
uasobreunamasavibranteenunresorte.
Porejemplo,f(t)podrarepresentarunafuerzamotrizquecausaunmovimientoverticaloscilatoriodelsoportedelresorte.PauloAlvarez
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onSistemasMasa-ResorteMovimientoLibreNoAmortiguadoMovimientoLibreAmortiguadoMovimientoForzadoMovimientoForzadoAmortiguadoLainclusiondef(t)enlaformulaciondelasegundaleydeNewtondalaecuaciondiferencialdemovimientoforzadoodirigido:md2xdt2=
kx dxdt+ f(t). (11)Dividiendolaecuacion(11)porm,seobtiened2xdt2+
2dxdt+ 2x = F(t), (12)dondeF(t) = f(t)/m,2 = /my2=
k/m.Observacion:Pararesolverlaecuacionnohomogenea,sepuedeusaryaseaelmetododecoecientesindeterminadosovariaciondeparametros.PauloAlvarez
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onSistemasMasa-ResorteMovimientoLibreNoAmortiguadoMovimientoLibreAmortiguadoMovimientoForzadoMovimientoForzadoAmortiguadoTERMINOSTRANSITORIOYDEESTADOESTABLECuandoFesunafuncionperiodica,comoF(t)
= F0 sin(t)oF(t) = F0 cos(t),lasoluciongeneralde(12)para >
0eslasumadeunafuncionnoperiodicaxc(t)yunafuncionperiodicaxp(t).Ademasxc(t)sedesvanececonformeseincrementaeltiempo,esdecir,limtxc(t)
=
0.As,paravaloresgrandesdetiempo,losdeplazamientosdelamasaseaproximanmediantelasolucionparticularxp(t).PauloAlvarez
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onSistemasMasa-ResorteMovimientoLibreNoAmortiguadoMovimientoLibreAmortiguadoMovimientoForzadoMovimientoForzadoAmortiguadoSedicequelafuncioncomplementariaxc(t)esunterminotransitorioosoluciontransitoriaylafuncionxp(t),lapartedelasolucionquepermanecedespuesdeunintervalodetiempo,sellamaterminodeestadoestableosoluciondeestadoestable.Portanto,elefectodelascondicionesinicialesenunsistemamasa-resorteimpulsadoporFestransitorio.PauloAlvarez
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onSistemasMasa-ResorteMovimientoLibreNoAmortiguadoMovimientoLibreAmortiguadoMovimientoForzadoMovimientoForzadoAmortiguadoEjercicios1)
Interpreteyresuelvaelproblemaconvaloresiniciales15d2xdt2+ 1.2dxdt+
2x = 5 cos(4t), x(0) =12, x
(0) = 0.2) Unamasade1 slug,cuandoseuneaunresorte,causaen
esteunalargamientode2
piesyluegollegaalpuntodereposoenlaposiciondeequilibrio.
Empezandoent = 0,unafuerzaexternaigualaf(t) = 8
sin(4t)seaplicaalsistema.
Encuentrelaecuaciondemovimientosielmediocircundanteofreceunafuerzadeamortiguamientoiguala8veceslavelocidadinstantanea.3)
Enelproblemaanterior,determinelaecuaciondemovimientosilafuerzaexternaesf(t)
= etsin(4t). Analiceeldesplazamientoparat .PauloAlvarez
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onSistemasMasa-ResorteMovimientoLibreNoAmortiguadoMovimientoLibreAmortiguadoMovimientoForzadoMovimientoForzadoAmortiguadoPauloAlvarez
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onSistemasMasa-ResorteMovimientoLibreNoAmortiguadoMovimientoLibreAmortiguadoMovimientoForzadoMovimientoForzadoNoAmortiguadoProlemaResuelvaelproblemaconvaloriniciald2xdt2+
2x = F0 sin(t), x(0) = 0, x
(0) = 0,dondeF0esunaconstantey = .Respuestax(t) =F0(22)( sin(t)
+ sin(t)), = . (13)PauloAlvarez
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onSistemasMasa-ResorteMovimientoLibreNoAmortiguadoMovimientoLibreAmortiguadoMovimientoForzadoMovimientoForzadoNoAmortiguadoProlemaResuelvaelproblemaconvaloriniciald2xdt2+
2x = F0 sin(t), x(0) = 0, x
(0) = 0,dondeF0esunaconstantey = .Respuestax(t) =F0(22)( sin(t)
+ sin(t)), = . (13)PauloAlvarez
BAIN041EcuacionesDiferencialesparaIngenieraIntroducci
onSistemasMasa-ResorteMovimientoLibreNoAmortiguadoMovimientoLibreAmortiguadoMovimientoForzadoMovimientoForzadoNoAmortiguadoRESONANCIAPURAQueclasedecatastrofepodramosesperarsiysoniguales?Laecuacion(13)setransformaend2xdt2+
2x = F0 sin(t),
(14)dondeF0esunaconstante.ProlemaResuelvalaecuacion(14)convaloresinicialesx(0)
= 0, x
(0) = 0Respuestax(t) =F022(sin(t) t cos(t)).PauloAlvarez
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onSistemasMasa-ResorteMovimientoLibreNoAmortiguadoMovimientoLibreAmortiguadoMovimientoForzadoMovimientoForzadoNoAmortiguadoRESONANCIAPURAQueclasedecatastrofepodramosesperarsiysoniguales?Laecuacion(13)setransformaend2xdt2+
2x = F0 sin(t),
(14)dondeF0esunaconstante.ProlemaResuelvalaecuacion(14)convaloresinicialesx(0)
= 0, x
(0) = 0Respuestax(t) =F022(sin(t) t cos(t)).PauloAlvarez
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onSistemasMasa-ResorteMovimientoLibreNoAmortiguadoMovimientoLibreAmortiguadoMovimientoForzadoMovimientoForzadoNoAmortiguadoLagracamuestracomolaamplituddelaoscilacionenteorapodraaumentarsinlmitesenestecaso(=
).Podemosinterpretarestefenomenocomounreforzamientodelasvibracionesnaturalesdelsistemapormediodelaaplicaciondevibracionesexternasdelamismafrecuencia.PauloAlvarez
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