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Sistemas Digitales Objetivo 1
Ing. Omar Valderrama
Numero Base Caracteres
Binario 2 0,1
Decimal 10 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9
Octal 8 0,1,2,3,4,5,6,7
Hexadecimal 16 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F
Sistemas Numéricos
Posición 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 -1 -2 -3
Valor 1024 512 256 128 64 32 16 8 4 2 1 0,5 0,25 0,125
Potencia de 2
Hexa Decimal
0 0 0 0 0 0
0 0 0 1 1 1
0 0 1 0 2 2
0 0 1 1 3 3
0 1 0 0 4 4
0 1 0 1 5 5
0 1 1 0 6 6
0 1 1 1 7 7
1 0 0 0 8 8
1 0 0 1 9 9
1 0 1 0 A 10
1 0 1 1 B 11
1 1 0 0 C 12
1 1 0 1 D 13
1 1 1 0 E 14
1 1 1 1 F 15
Tabla de conversion de Sistemas
Sistema Decimal
Caracteristicas
•Compuesto por 10 simbolos •0,1,2,3,4,5,6,7,8,9
•Sistema de Valor posicional •Mas a la derecha menor valor
•Miles-Centenas-Decenas-Unidades.
•Conteo de 0 al 9 •Luego se le añade una unidad a la siguiente posicion.
Ejemplo
4 5 3
Por
suma 400 + 50 + 3
Sistema Binario
Caracteristicas
Binario a Decimal
1 0 1
Por
suma 4 + 0 + 1
Igual 5
Transformación Decimal a Binario
Metodo 1 (expresion en potencia de 2)
•Hago el numero par
•Observo que potencia de 2 o suma de potencias de 2 dan un valor similar, esos son los bit activos.
Division Repetida
N° 65
Par 64 + 1
Potencias de 2 activas
Bit Ac
1 0 0 0 0 0 1
inicio
/2
Registras
cociente (q) y
residuo ®
Q=0
Ordenar R de ultima a
primera
fin
no
si
3905 0,5625
3905 /2 R 61 /2 R 0,5625 X2
1952 1 30 1 1,125 Tomo 1
1952 /2 30 /2 0,125 X2
976 0 15 0 0,250 Tomo 0
976 /2 15 /2 0,250 X2
488 0 7 1 0,5 Tomo 0
488 /2 7 /2 0,5 x2
244 0 3 1 1 Tomo 1
244 /2 3 /2 Debo x2 hasta que no queden decimales. Para hallar Decimales tomo de la 1ra multiplicación hacia abajo.
122 0 1 1
122 /2 1 /2
61 0 0
1 1 1 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1
Decimal a Binario 3905,5625
Sistema Octal Características
Octal a Decimal
3 7 5, 2 3
82 81 80 8−1 8−2
suma 192 + 56 + 5 + 0,25 0,0465
Igual 253,29 base 10
Sistema Octal
Decimal a Octal
512 Divisor Cociente Residuo
512 /8
64 0
64 /8
8 0
8 /8
1 0
1 /8
0 1
N° 1000 en base 8
Octal a Binario
• Buscas equivalencia en la tabla de transformada:
0 1 2 3 4 5 6 7
000 001 010 011 100 101 110 111
512= 101 001 010
Binario a Octal
• Se agrupa en 3 bits y buscas equivalencia en la tabla de transformada:
3905 0,5625
3905 /8 R 0,5625 X8
488,5 1 4,5 Tomo 4
488 /8 0,50 X8
61 0 4 Tomo 4
61 /8 Debo x8 hasta que no queden decimales. Para hallar Decimales tomo de la 1ra multiplicación hacia abajo.
7 5
7 /8
7 7
Como es en base 8 puedo conservar residuos menores o iguales a 7. los residuos los obtengo del producto de la parte decimal del cociente x 8
7 5 0 1 4 4
Decimal a Octal 3905,5625
Sistema Hexadecimal
Caracteristicas
•Compuesto por 16 simbolos •0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F
•Sistema de Valor posicional
•Mas a la derecha menor valor
•Conteo de 0 al f
•Luego se le añade una unidad a la siguiente posicion.
Ejemplo
1 2 5
162 161 160
suma 256 + 32 + 5
N° 293 en base 10
Binario a hexadecimal
• Se agrupa en 4 bits y buscas equivalencia en la tabla de transformada:
3905 0,5625
3905 /16 R 0,5625 X16
244 1 9 Tomo 9
244 /16
15 4
15 /16 Debo x16 hasta que no queden decimales. Para hallar Decimales tomo de la 1ra multiplicación hacia abajo.
0 15
Como es en base 16 puedo conservar residuos menores o iguales a F (15). los residuos los obtengo del producto de la parte decimal del cociente x 16
F 4 1 9
Decimal a Hexadecimal 3905,5625
DE / A BINARIO OCTAL DECIMAL HEXADECIMAL
BINARIO ************ GRUPOS DE 3 SUMA PONDERADA X PESO BASE 2
GRUPOS 4 (IZQ A DER)
OCTAL TABLA EQUIVALENTE
************ SUMA PONDERADA X PESO BASE 8
PASE A BINARIO
DECIMAL DIVISION REPETIDA 2
DIVISION REPETIDA 8
************ DIVISION REPETIDA 16
HEXADECIMAL TABLA EQUIVALENTE
PASE A BIINARIO
SUMA PONDERADA X PESO BASE 16
************
Resumen de Transformadas
Ejercicios pendientes
Llevar de Binario a decimal, octal y hex
• 10001101110
• 111010101
• 111111110
Levar de octal y hexadecimal a binario y decimal
• 218
• 356
• 512
• 1024
• 718
• 35
CODIGO BCD
DEFINICION
Codificacion binaria directa, es usada para representar n° decimales en su forma binaria directa.
• Cada digito decimal se transforma en su equivalente binario directo mediante 4 digitos que van del 0000 al 1001 el resto es tomado como error
1370
• Binario Normal
• Division repetida por 2
• 10001001
• BCD
• 0001 0011 0111
Este permite reconocer caracteres de texto como numerico, ademas de mayusculas, minusculas, 7 signos de puntuacion 10 digitos y entre 20 y 40 caracteres especiales.
Codigo ASCII o ASQUI= es un codigo de 7 digitos por ende tiene 128 𝑥 = 27 posibles caracteres.
Codificacion AlfaNumerica
Bit de Paridad
• Metodo usado para detectar errores en Tx
• Ruido
• Perdida Conexion
Esto es un ejemplo a pequeña escala imaginen esto a millones de bite x segundo
Tx Rx
Mientras > sea su tamaño puede tomarse como un 1
Bits a Byte= divides entre 8
Byte a Decimal= 2𝑛– 1 = n es igual al n° bits
Bit de Paridad
Paridad Par Se usa siempre el n° total
de 1 presentes en el codigo.
El n° de 1 + el de paridad debe ser un n° par.
Caso 1: numero impar
1 0 1 0 0 0 1 (3)
Se agrega 1 bit 1 de paridad en la MSB
1 1 0 1 0 0 0 1 (4)
Caso 2: numero par
1 0 0 0 0 0 0 1 (2)
Se agrega 1 bit 0 de paridad en la MSB
0 1 0 0 0 0 0 0 1 (2)
Bit extra que se le agrega a un grupo de codigo que se transfiere de una ubicación
a otra.
Bit de Paridad
Paridad IMPar Se usa siempre el n° total
de 1 presentes en el codigo.
El n° de 1 + el de paridad debe ser un n° impar.
Caso 1: numero PAR
1 0 1 0 0 0 1 (3)
Se agrega 1 bit 0 de paridad en la MSB
0 1 0 1 0 0 0 1 (3)
Caso 2: numero par
1 0 0 0 0 0 0 1 (2)
Se agrega 1 bit 1 de paridad en la MSB
1 1 0 0 0 0 0 0 1 (3)
Bit extra que se le agrega a un grupo de codigo que se transfiere de una ubicación
a otra.
Utilidad Paridad
Cuando el rx recibe la señal revisa si la paridad es par o impar. Estos metodos solo funcionan si solo hay un bit de error en caso contrario no lo ven como error.
Tx Rx
Mientras > sea su tamaño puede tomarse como un 1
1 mega = 220
1 byte = 8 bits
N° total de direciones: 𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑖𝑐𝑎𝑛 𝑏𝑖𝑡𝑠
Conversion en Memorias
¿ Cuantos bits hay en 650 Mbytes?
Una direccion de memoria usa un codigo de direcciones de 20 bits para su
ubicación en la memoria. ¿Cuántos digitos en hex se necesitan para asignar
un espacio?. ¿Cuál seria el rango de direcciones? ¿Cuál seria el n° total de
direcciones?
Operaciónes Matematicas con Binarios
Suma de Binaria
Se ordenan a partir de la del bit menos significativo voy a tener 4 posibilidades.
0+0 = 0
1 + 0= 1
1+ 1 = 10 (o valor + 1 acarreo)
1+1+1= 11 (1 valor + 1 acarreo)
Función Msb Lsb
3 7 6
4 6 1
acarreo 1
resultado 8 3 7
Par= coloco 0 y tengo 1 acarreo
Impar= coloco 1 y tengo 1 acarreo
Ejemplos de suma binaria
3 + 6 = binario
msd Lsd
(3) 0 1 1
(6) 1 1 0
1 1
1 0 0 1
Ejercicios
10110 + 00111
011101 + 010010
10001111+00000001
msd Lsd
(9) 1 0 0 1
(15) 1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 0 0 0
9 + 15 = binario
REPRESENTACION DE BIT CON SIGNO
INDICAR LA NATURALEZA POSITIVA O NEGATIVA DE UN NUMERO.
SE AÑADE UN BIT EN LA CIFRA MSD
0 COMO POSITIVA
1 COMO NEGATIVO
0 1 1 0 1 0 0
SIGNO MAGNITUD (+52)
1 1 1 0 1 0 0
SIGNO MAGNITUD (-52)
FORMAS DE COMPLEMENTO
Complemento a 1 (Ca1)
De un numero es el inverso de cada uno de sus valores
Complemento a 2 (Ca2)
1 0 1 1 0 1
El Ca1 de 101101 es 010010
0 1 0 0 1 0
Se toma el Ca1 y se le agrega un 1 al LSD
1 0 1 1 0 0
El Ca1 de 101100 es 010011
0 1 0 0 1 1
Suma a la LSD 1
Acarreo 1 1
0 1 0 1 0 0
El Ca2 de 101100 es 010100
Representacion de N° con signo usando Ca2
Si es positivo
Se coloca 0 como bit de signo y se deja el numero en su forma verdadera binaria.
Si es negativo
La magnitud del numero se representa en su forma de Ca2 y se coloca un bit de signo (1) antes del bit mas significativo
Ejercicios: halle el Ca1 y el Ca2 de:
+13,-9,+3,-4
Cuando el numero es negativo debo hallar el Ca2 de su +
SUMA EN EL SISTEMA DE Ca2
CASO 1¨= 2 N° POSITVOS
N° SIG MSD LSD
+9 0 1 0 0 1
+4 0 0 1 0 0
0
+13 0 1 1 0 1
Caso 2: n° + > que n° -
N° sig msd
lsd
+9 0 1 0 0 1
-4 Ca2 1 1 1 0 0
1
+5 1 0 0 1 0 1
EL 1 DE ACARREO SE IGNORA
Se usa Ca2 para representar los n° negativos.
+4 0 0 1 0 0
Ca1 1 1 0 1 1
sumo 1
acarreo 1 1
Ca2 -4 1 1 1 0 0
Ca2 con signo -4
El sistema de Ca2 se usa para representar n° con signos porque nos permite
realizar resta con suma. (Ahorro de hardware)
SUMA EN EL SISTEMA DE Ca2
CASO 3¨= N° POSITVOS < N° NEGATIVO
N° SIG MSD LSD
-9 1 0 1 1 1
+4 0 0 1 0 0
1
-11 1 1 0 1 1
VALOR NEGADO EN CA2
-5 1 0 1 0 1
EL VALOR NEGATIVO INDICA QUE ESE
VALOR ES CA2, PARA HALLAR EL
VERDADERO VALOR DE LA SUMA
DEBEMOS NEGAR EL CA2
Se usa Ca2 para representar los n° negativos.
-11 1 1 0 1 1
Ca1 0 0 1 0 0
sumo 1
acarreo
Ca2 --5 1 0 1 0 1
Ca2 con signo -11
+9 0 1 0 0 1
Ca1 1 0 1 1 0
sumo 1
acarreo
Ca2 --9 1 0 1 1 1
Ca2 con signo -9
SUMA EN EL SISTEMA DE Ca2
CASO 4¨= 2 NUMEROS NEGATIVOS
N° SIG MSD LSD
-9 1 0 1 1 1
-4 1 1 1 0 0
1 1
-3 1 1 0 0 1 1
+13 ? 0 1 1 0 1
SE IGNORA ESTE ACARREO Y SE
NIEGA EL CA2 DEL RESULTADO
ES ESTO CORRECTO
Se usa Ca2 para representar los n° negativos.
-3 1 0 0 1 1
Ca1 0 1 1 0 0
sumo 1
acarreo
Ca2 +13 0 1 1 0 1
Ca2 con signo -3
SUMA EN EL SISTEMA DE Ca2
CASO 5¨= 2 NUMEROS = Y CONTRARIOS
N° SIG MSD LSD
-9 1 0 1 1 1
+9 0 1 0 0 1
1 1 1 1
+0 1 0 0 0 0 0
SE IGNORA ESTE ACARREO
Se usa Ca2 para representar los n° negativos.
RESTA EN CA2
Es similar a los casos de la suma
Deben ser de la misma logitud si no complemento con 0
Sume el minuendo A el Ca2 del sustraendo B.
Inspeccione el resultado final,
si ocurre acarreo se descarta y el n° obtenido es el resultado.
Si no ocurre el acarreo final tome el Ca2 del resultado y lo expresa negativo
MINUENDO (A) – SUSTRAENDO (B) = RESTA
Resta Ca2
Caso 1
bsig
msd
lsd
+9 0 1 0 0 1
-4 1 1 1 0 0
Ac 1
+5 1 0 0 1 0 1
Caso
1 bit de signo
Hallo el Ca2 del resultado
RESTA EN Ca1
Es similar a los casos de la suma
Deben ser de la misma logitud si no complemento con 0
Sume el minuendo A el Ca1 del sustraendo B.
Inspeccione el resultado final,
si ocurre acarreo se descarta y se agrega un 1 a la LSB
Si no ocurre el acarreo final tome el Ca1 del resultado y lo expresa negativo
MINUENDO (A) – SUSTRAENDO (B) = RESTA
Misma forma que la multiplicacion de decimales,
MULTIPLICACION DE BINARIOS
N LSD
Multiplicando 1 0 0 1
Multiplicador 1 0 1 1
1 1 0 0 1
1 1 0 0 1
0 0 0 0 0
1 1 0 0 1
Acarreo 1 1
Resultado 1 1 0 0 0 1 1
SI LOS 2 NUM SON POSITIVOS
SE MULTIPLICAN TAL COMO ESTAN EL RESULTADO ES POSITIVO Y SE LE AGREGAN UN BIT DE SIGNO 0
SI LOS 2 NUM SON NEGATIVOS
LOS DOS NUM ESTAN EN Ca2 SE LES SACA EL Ca2 DE CADA UNO PARA CONVERTIRLO EN POSITIVO EL RESULTADO ES POSITIVO Y SE LE AGREGAN UN BIT DE SIGNO 0
SI SON DE DIFERENTE SIGNOS
EL NEGATIVO SE LE HALLA SU Ca2 PARA VOLVERLO POSITIVO.
SE MULTIPLICA Y PUESTO QUE EL RESULTADO DEBE SER NEGATIVO SE LE HALLA SU Ca2 Y SE LE DA UN BIT DE SIGNO 1
MULTIPLICACION Ca2
Las restas básicas 0-0, 1-0 y 1-1 son evidentes:
0 - 0 = 0 1 - 0 = 1 1 - 1 = 0 0 - 1 = no cabe o se pide prestado al proximo.
La resta 0 - 1 se resuelve, igual que en el sistema decimal, tomando una unidad prestada de la posición
siguiente: 10 - 1 = 1 y me llevo 1, lo que equivale a decir en decimal, 2 - 1 = 1. Esa unidad prestada debe devolverse, sumándola, a la posición siguiente. Veamos algunos ejemplos:
Restamos 17 - 10 = 7 (2=345) Restamos 217 - 171 = 46 (3=690) 10001 11011001 -01010 -10101011 —————— ————————— 01111 00101110
Resta Binaria Simple
Division Binaria
Similar a la división larga en sistema decimal
Compara ambas cifras igual N° de dígitos.
Si no puede dividirse se intenta con un digito mas.
Si la división es posibles (el divisor esta contenido en el dividendo) es = 1.
Restamos la cifra dividendo divisor.
Resultado 0 1 1
Divisor 1 1 1 0 1 1 Dividendo
- 1 1
0 1 0 1
- 1 1
Resto 1 0
No cabe división 0
3678 +∗ 7158
Llevar a BCD
Potencias de 2
Sumo en binario
Completo con 0 si es necesario
Chequeo el resultado en decimal
El PROBLEMON
SUMA (no evaluado)
BCD
Cada digito en decimal es repersentado en 4 bits. Caso 1 suma ≤ 9
Mismo que para la suma binaria no lleva acarreo
Caso 2 suma ≥ 9 Se suman lo grupos de BCD con la
adicion binaria normal.
Para donde la suma sea < 9 no es necesario hacer corrección.
Cuando la suma de 2 digitos es mayor que 9 se le aplica un factor de correccion 0110 para obtener resultado en BCD.
Hexa
Se suma los 2 digitos y se busca el equivalente hexadecimal.
Si es mayor que 16 se le resta 1 y se le suma a la posición siguiente.
Casos Especiales y Negación
Negación
Es el hecho de cambiar un N° de + a - y viceversa.
Cuando se representa un Ca2 con signo .
Caso Especial sobre la Representacion Ca2
Siempre que un N° con signo tenga 1 en el bit de signo y todos los bit de magnitud en 0, su equivalente en decimal sera −2𝑛; donde n= n° de ceros.
Ell rango de valores va desde:
−2𝑛 a (2𝑛 -1)
Codigos y sus Aplicaciones
Es cualquier sistema de representación de información mediante variables binarias. Se basa en representar binariamente la información numérica decimal. situaciones en la electrónica digital en la que necesitamos realizar tareas especificas, por lo tanto se necesitaran utilizar una serie de códigos que también utilizan ceros (0) y unos (1), pero sus significados pueden variar
Pe
so
BCD
Sist. Numeracion
Sin
Pe
so
GRAY
Aiken
Haming
BCD exceso de 3
Alfanumericos
Clasificacion
Peso valor de ponderación por la posicion
GRAY
En este código solo un bit puede cambiar a la vez, es utilizado para obtener funciones logicas de Minterminos y Maxterminos, para circuitos secuenciales (especialmente en circuitos secuenciales) se caracteriza porque cambia un solo bit por conteo. Sumo 1 a cada posición
hasta el 7, luego le coloco 1 a la primera posición e invierto el numero 8 = 15 .
Orden DEC
0 0 0 0 0 0
1 0 0 0 1 1
2 0 0 1 1 3
3 0 0 1 0 2
4 0 1 1 0 6
5 0 1 1 1 7
6 0 1 0 1 5
7 0 1 0 0 4
8 1 1 0 0 12
9 1 1 0 1 13
10 1 1 1 1 15
11 1 1 1 0 14
12 1 0 1 0 10
13 1 0 1 1 11
14 1 0 0 1 9
15 1 0 0 0 8
BCD exceso 3
se obtiene sumando 3 a cada combinación del código BCD natural. Es un código muy útil en las operaciones de resta y división.
Valores validos en amarillo.
Orden BCD ex3
0 0 0 0 0 NA
1 0 0 0 1 NA
2 0 0 1 0 NA
3 0 0 1 1 0
4 0 1 0 0 1
5 0 1 0 1 2
6 0 1 1 0 3
7 0 1 1 1 4
8 1 0 0 0 5
9 1 0 0 1 6
10 1 0 1 0 7
11 1 0 1 1 8
12 1 1 0 0 9
13 1 1 0 1 NA
14 1 1 1 0 NA
15 1 1 1 1 NA
BCD AIKEN
Similar al BCD natural la razon de este numero es conseguir simetria en ciertos numeros. Mientras la distribucion de pesos en BCD es 8,4,2,1 en Aiken es 2 - 4 - 2 - 1
Valores validos en amarillo.
Orden BCD Aiken
0 0 0 0 0 0
1 0 0 0 1 1
2 0 0 1 0 2
3 0 0 1 1 3
4 0 1 0 0 4
5 0 1 0 1 NA
6 0 1 1 0 NA
7 0 1 1 1 NA
8 1 0 0 0 NA
9 1 0 0 1 NA
10 1 0 1 0 NA
11 1 0 1 1 5
12 1 1 0 0 6
13 1 1 0 1 7
14 1 1 1 0 8
15 1 1 1 1 9
CODIGO DE HAMING
N° BITS DE HAMMING
2𝑚 ≥ 𝑛 + 𝑚 + 1
n= n° de bit de dato
m= n° de bit de haming.
Los bit de hamming son los bit activos.
25 ≥ 12 + 5 + 1
32 ≥ 18
1 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1 0 Dato
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 N° de bits = m=12
1 2 3 4 5 N° de H=5
17
16
15
14
13
12
11
10
09
08
07
06
05
04
03
02
01
Mensaje (coloco h al azar)
H 1 0 1 H 1 0 0 H H 0 1 0 H 0 1 0
H= 5 NOS PERMITE SABER CUANTOS BITS TIENE EL CODIGO, EL CODIGO ENTRE TX Y RX PUEDE SER COLOCADO CADA 2 BITS O ALEATORIO.
CODIGO DE HAMING
17 16 15 14 13 12 11 10 09 08 07 06 05 04 03 02 01
H 1 0 1 H 1 0 0 H H 0 1 0 H 0 1 0
En la información transmitida se ubican los bit encendidos y se escribe en binario la posicion del bit, con la cantidad de bit del codigo haming en este caso son 5.
pos
02 0 0 0 1 0
06 0 0 1 1 0
Comp 0 0 1 0 0
12 0 1 1 0 0
Comp 0 1 0 0 0
14 0 1 1 1 0
Comp 0 0 1 1 0
16 1 0 0 0 0
Comp 1 0 1 1 0
Se compara bit a bit si son = se coloca 0 y
distintos 1.
La ultima comparacion es el codigo Haming.
En donde aparecen la H coloco cada digito
de la comparación.
CODIGO DE HAMING
1 0 1 1 0
17 16 15 14 13 12 11 10 09 08 07 06 05 04 03 02 01
H 1 0 1 H 1 0 0 H H 0 1 0 H 0 1 0
1 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0
TODOS ESTOS PASOS SE LLEVAN ANTES DE LA tX
CODIGO DE HAMING
SE UBICA LA POSICION DE LOS BIT ENCENDIDOS Y SE ESCRIBE EN BINARIO Y SE COMPARAN SI EL RESULTADO ES IGUAL A CERO NO HAY ERROR NUMERO ES LA POSICION DEL ERROR
HAMING VS POSICION CHEQUEO DE TX
pos 1 0 1 1 0
2 0 0 0 1 0
COM 1 0 1 0 0
6 0 0 1 1 0
COM 1 0 0 1 0
12 0 1 1 0 0
COM 1 1 1 1 0
16 1 0 0 0 0
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EL NUMERO NOS DA UN ERRO EN POS 14