Character Tables

1

Character TablesCharacter Tables

2

Each point group has a complete set of possible symmetry operations that are conveniently listed as a matrix known as a Character Table.

C2V E C2 v (xz) ’v (yz)

A1 1 1 1 1

A2 1 1 -1 -1

B1 1 -1 1 -1

B2 1 -1 -1 1

4 characters:İrreducible represention of B2

Point Group Label Symmetry Operations – The Order is the total number of operations

Symmetry Representation Labels

In C2v the order is 4:1 E, 1 C2, 1 v and 1 ’v

Character

Character Tables

3

Karakter ÇizelgesiKarakter Çizelgesi

İndirgenemez gösterimler (İG) Irreducible representations (IR)

Simetri işlemleri

Grup derecesi h = 6 (h = 1 +2 +3)

3 sınıf mevcuttur

000112

111111

111111

'''

3

2

1

2333

vvvv CCEC

Mulliken Sembolleri

A1

A2

E 012

111

111

32 33

vv CEC

Eşdeğer elemanlar ve eşdeğer atomlar sınıf oluşturur.

4

A A veyaveya B B tek boyutlu tek boyutlu İGİGE E iki boyutlu iki boyutlu İGİGT (T ( veya veya F) F) üç boyutlu üç boyutlu İGİG

A baş dönme eksenine göre simetrik (+)B baş dönme eksenine göre antisimetrik (−)

Alt indis Alt indis g (gerade) evirme işlemine göre simetrik ( = +1)u (ungerade) evirme işlemine göre antisimetrik ( = −1)

Üst indisÜst indis' (tek üs) h düzlemine göre simetrik (+)'' (çift üs) “ antisimetrik (−)

AltAlt indisindis1 C2 ( Cn) eksenine, yoksa v işlemine göre simetrik ( = +1)2 C2 ( Cn) eksenine, yoksa v işlemine göre antisimetrik ( = -1)

Mulliken SembolleriMulliken Sembolleri

5

Mulliken labels

A'1g

One- (A, B), two- (E), three- (T), four (G), five (H) dimensional representation

A means symmetric with respect to the highest order axis Cn; B - antisymmetric

Symmetric (1) or antisymmetric (2) behavior with respect to a second symmetry element (C2 or v)

Presence (g) or absence (u) of a center of inversion

Symmetric (') or antisymmetric (") with respect to h

6

Karakter Çizelgeleri ve Mulliken Sembolleri-1Karakter Çizelgeleri ve Mulliken Sembolleri-1

• C1 group. Consists of a single operation E; thus its order h=1 and number of classes is 1. There is a single irreducible representation.

• Cs group. Consists of two operations, E and h; thus its order h is 2 and the number of classes is 2. There are two irreducible representations.

• Ci group. Consists of two operations, E and i. Both its order h and number of classes is 2. Similarly to Cs, the group includes two irreducible one-dimensional representations.

C1 E

1A

Cs E h

1 1 x,y, Rz

1 -1 z,Rx,Ry

A'A"

Ci E i

1 1 Rx

1 -1 x,y,z

AgAu

7

C2v E C2 xz yz

A1 +1 +1 +1 +1 Tz

A2 +1 +1 -1 -1 Rz

B1 +1 -1 +1 -1 Tx or Ry

B2 +1 -1 -1 +1 Ty or Rx

C3v E 2C3 3v

A1 +1 +1 +1 Tz

A2 +1 +1 -1 Rz

E +2 -1 0 (Tx, Ty) or (Rx, Ry)

ÖRNEK: C2v ve C3v nokta gruplarının karakter çizelgelerindeki Mulliken sembollerini belirleyiniz.


8

C4v nokta grubunun tam karakter çizelgesi

),(),(),,( 0 02 02

11111

1 1111

111 11

, 1 11 11

222

2

22

1

2

222

1

244

yzxzRRyxE

xyB

yxB

RA

zyxzA

CCEC

yx

z

dvv

İkili fonksiyonlar( d orbitalleri)

Tekli fonksiyonlar(p orbitalleri)


9

Atom Orbitallerinin Simetrileri-1Atom Orbitallerinin Simetrileri-1

Atom orbitali Transformasyon

s x2+y2+z2

px x

py y

pz z

dz2 z2, 2z2-x2-y2

dx2-y2 x2-y2

dxy xy

dxz xz

dyz yz

S

• Simetrileri aynı olan atom orbitalleri bağ yaparak molekül orbitallerini oluşturur.

• Merkez atoma ait orbitallerin simetrileri ve dejenerelikleri karakter çizelgesinden öğrenilir.

Her karakter çizelgesinin ilk indirgenemez gösterimi s orbitaline karşılık gelir.

Tamamen simetrik

10

Atom Orbitallerinin Simetrileri-2

C2v

A1 z x2, y2, z2

A2 Rz xy

B1 x, Ry xz

B2 y, Rx yz

Atomic orbital Mulliken labels

C2v D3h D4h Td Oh

s

px

py

pz

dz2

dx2-y2

dxy

dxz

dyz

D3h

A1’ x2+y2, z2

A2’ Rz

E’ (x,y) (x2-y2, xy)

A1”

A2” z

E” (Rx,Ry) (xz, yz)

Td

A1 x2+y2+z2

A2

E (2z2-x2-y2, x2-y2)

T1 (Rx,Ry,Rz)

T2 (x,y,z) (xz, yz, xy)

Oh

A1g x2+y2+z2

Eg (2z2-x2-y2, x2-y2)

T1g (Rx,Ry,Rz)

T2g (xz, yz, xy)

T1u (x,y,z)

…

D4h

A1g x2+y2, z2

B1g x2-y2

B2g xy

Eg (Rx,Ry) (xz, yz)

A2u z

Eu (x, y)

b2

b1

a1

a1

a1

a1

a2

b1

b2

a1'

e'e'

a2"

a1'

e'

e'

e"e"

a1g

eu

eu

a2u

a1g

b1g

b2g

eg

eg

a1

t2t2

t2e

e

t2t2t2

a1g

t1u

t1u

t1u

eg

eg

t2g

t2g

t2g

11

C2V E C2 v (xz) v’ (yz) Mikrodalga IR Raman

A1 1 1 1 1 z x2, y2, z2

A2 1 1 -1 -1 Rz xy

B1 1 -1 1 -1 Ry x xz

B2 1 -1 -1 1 Rx y yz

Spektroskopik Seçim Kuraları

Dönme : RDönme : Rxx, R, Ryy, R, Rzz

Titreşim Titreşim (ve öteleme)(ve öteleme) : x, y, z : x, y, z

Raman: xRaman: x22, y, y22, z, z22, xy, xz, yz, xy, xz, yz

Mikrodalga aktifMikrodalga aktif

Infra-red aktifInfra-red aktif

Raman aktifRaman aktif

AA22, B, B11, B, B22

AA11, B, B11, B, B22

HepsiHepsi

C2V

12

İndirgeme İşlemleri-1

ni = indirgenemez gösterim sayısı

h = nokta grubu derecesi

gc= simetri işlemi sayısı veya katsayısı

r = indirgenebilir temsilin karakteri

i = indirgenemez temsilin karakteri

13


4 0 2 2


A1 1 1 1 1 z x2,y2,z2

A2 1 1 -1 -1 Rz xy

B1 1 -1 1 -1 x, Ry xz

B2 1 -1 -1 1 y, Rx yz

n 1

4A 1 1 4 1 1 0 1 1 2 1 1 2 1

n 1

4B1 1 4 1 1 0 1 1 2 1 1 2 1

n 1

4B 2 1 4 1 1 0 1 1 2 1 1 2 1

n 1

4A 2 1 4 1 1 0 1 1 2 1 1 2 1

= 2A1 + B1+ B2

İndirgeme İşlemi-2

14

aA1 = (1/4)[ ( 1x9x1) + (1x-1x1) + (1x1x1) + (1x3x1)] = (12/4) =3

C2v

3N

E C2(xz) (yz)

+9 -1 +1 3

aA2 = (1/4)[ ( 1x9x1) + (1x-1x1) + (1x1x-1) + (1x3x-1)] = (4/4) =1

aB1 = (1/4)[ ( 1x9x1) + (1x-1x-1) + (1x1x1) + (1x3x-1)] = (8/4) =2

aB2 = (1/4)[ ( 1x9x1) + (1x-1x-1) + (1x1x-1) + (1x3x1)] = (12/4) =3

3N = 3A1 + A2 + 2B1 + 3B2


15

2C3C3vE v

3N15 0 3

n(A1) = 1/6[(1x 15x1) + (2 x 0 x 1) + (3 x 3x 1)] = 1/6 [15 + 0+ 9] = 4

n(A2) = 1/6[(1 x 15 x 1) + ( 2 x 0 x 1) + (3 x 3x –1)] = 1/6 [15 + 0 -9] = 1

n(E) = 1/6[ (1 x 15 x 2) + (2 x 0 x –1) + (3 x 3 x 0)] = 1/6[30 + 0 + 0 ] = 5

= 4A1 + A2 + 5E


16

TitreşimlerBir molekül için 3N tane serbestlik derecesi vardır. ( N = atom sayısı)

Doğrusal moleküllerde (nokta grubu Cv veya Dh) 3N-5, diğer moleküllerde 3N-6 tane temel titreşim bulunur.

3N-5 : 3x3-5 = 4 temel titreşimCO2 (Dh)

SO2 (C2v) N-6 : 3x3-6 = 3 temel titreşim

17

402310221216

1

112310211216

1

312310211216

1

2

1

E

A

A

n

n

n

NH3 molekülüne ait 3N indirgenebilir temsilini indirgeyiniz. a) Dönme hareketinin simetrilerini belirleyiniz. b) Öteleme hareketlerinin simetrilerini belirleyiniz. c) Titreşim hareketlerinin simetrilerini, IR ve R aktifliklerini belirleyiniz.

NH3

E 2C3 (z) 3σv

A1 1 1 1 z x2+y2, z2

A2 1 1 -1 Rz

E 2 -1 0 (x, y) (Rx, Ry) (x2-y2, xy) (xz, yz)

3N3N 1212 00 22

dönme = A2(Rz) + E (Rx,Ry)öteleme= A1(z) + E (x,y)

titreşim = 2A1(IR,R) + 2E (IR, R)

titreşim = 3N –dönme – öteleme

18

titreşim = 2A1(IR,R) + 2E (IR, R)

IR spektrumu Raman spektrumu

NH3

as (asimetrik gerilme) = 3414 cm-1 (E)

s (simetrik gerilme) = 3316 cm-1 (A1)

as (asimetrik eğilme) = 1627 cm-1 (E)

s (simetrik eğilme) = 950 cm-1 (A1)

19

s = 3336 cm-1

simetrik gerilmeas = 3414 cm-1

asimetrik gerilmeas = 3414 cm-1

asimetrik gerilme

s = 950 cm-1

simetrik eğilmeas = 1627 cm-1

asimetrik eğilmeas = 1627 cm-1

asimetrik eğilme

20

3N = 3A1 + A2 + 2B1 + 3B2

H2O

dönme = A2(Rz) + B1 (Ry) + B2 (Rx)

öteleme = A1(z) + B1(x) + B2 (y)

titreşim = 2A1(IR, R) + B2 (IR, R) 3N-6


A1 1 1 1 1 z x2,y2,z2

A2 1 1 -1 -1 Rz xy

B1 1 -1 1 -1 x, Ry xz

B2 1 -1 -1 1 y, Rx yz

21

Shown opposite are the main vibrations occurring in water. The movements are animated using the cursor. The dipole moments change in the direction of the movement of the oxygen atoms as shown by the arrows.

Shown opposite are the main vibrations occurring in water. The movements are animated using the cursor. The dipole moments change in the direction of the movement of the oxygen atoms as shown by the arrows.

vas, 3490 cm-1 vs, 3280 cm-1 , 1644 cm-1

H2O

3N-6 = 3 titreşim

Raman spektrum

Documents

Character Tables