Chapter 9 - Domain Wall Motion

7/28/2019 Chapter 9 - Domain Wall Motion

1/42

C H A P T E R 9

D o m a i n W a l l M o t i o n

Th i s c h a p t e r i s i n a s e n se c o m p l e m e n t a ry t o t h e p re v i o u s o n e . H e re , a si n C h a p t e r 8 , t h e a i m i s t o i d e n t i fy i n d i v i d u a l d e g re e s o f f r e e d o m , t o b eu se d a s b u i l d i n g b l o c k s fo r m o re c o m p l e x d e sc r i p t i o n s i n v o l v i n g t h es u p e r p o s i t i o n o f m a n y i n d e p e n d e n t c o n t r ib u t io n s . H o w e v e r , i n s te a d o f" p a r t i c l e , " t h e k e y w o rd s fo r t h i s c h a p t e r w i l l b e " s i n g l e d o m a i n w a l l . "Th e i d e a i s t o d e sc r ib e t h e m o t i o n o f a c e r t a in p o r t i o n o f w a l l su r f a c e b ya s in g l e d e g re e o f f r e e d o m , a n d t h e n t o b u i l d u p t h e o v e ra l l b e h a v i o r o fa g i v e n m a t e r i a l f ro m t h e s u p e r p o s i t i o n o f m a n y i n d e p e n d e n t m o v i n gw a l l s . I f o n e o b se rv e s a d o m a i n s t ru c t u re , l ik e t h e o n e o f F ig . 1 .2 , u n d e rt h e a c t i o n o f a n e x t e rn a l f i e ld , th e m o s t s t r i k i n g f e a t u re i m m e d i a t e l y n o t e da t t h e m i c ro s c o p e i s t h e m o t i o n o f t h e d o m a i n w a l ls w h e r e b y t h e d o m a i n sw i t h m a g n e t i z a t i o n c l o se t o t h e f i e l d d i r e c t i o n e x p a n d a t t h e e x p e n se s o fs u r r o u n d i n g d o m a i n s . W a l l m o t i o n i s i n t u i t i v e l y a n d v i v i d l y p e r c e i v e da s t h e d o m i n a n t m a g n e t i z a t io n m e c h a n i s m . I n t h is c h a p t e r a n d i n C h a p t e r11, w e d i s c u s s h o w t h is f e e li n g c a n b e t r a n s l a t e d i n a q u a n t i t a ti v e a p -p r o a c h .

W e m i g h t r e p e a t h e r e f o r " d o m a i n w a l l s " t h e s a m e c o n s i d e r a t i o n st h a t w e m a d e i n C h a p t e r 8 fo r " p a r t i c l e s ." A d e sc r i p t i o n i n te rm s o fi n d e p e n d e n t d o m a i n w a l l s h a s m a n y l i m i t s a n d s h o u l d n o t b e e x p e c t e dt o y ie l d a c c u ra t e p r e d i c t i o n s fo r al l a sp e c t s o f t h e m a g n e t i z a t i o n p ro c e ss .N o n e t h e l e s s , i t i s c o n c e p t u a l l y s t i m u l a t i n g i n th e s e a rc h fo r g e n e ra l p r in c i -p l e s o n w h i c h t o fo u n d t h e d e sc r i p t i o n o f m a g n e t i c h y s t e r e s i s , a n d i t i sf ru i tfu l i n su g g e s t i n g a n u m b e r o f m o re r e a li s ti c g e n e ra l iz a t i o n s . I ts c hi e fl im i t s c o m e f ro m a b a s i c d i ff i cu l ty i n h e re n t t o th e v e ry c o n c e p t o f d o m a i nw a l l . D o m a i n w a l l s , i f w e n e g l e c t t h e i r i n t e rn a l s t ru c t u re a n d t h ic k n e s s , a r ei n t e r c o n n e c t e d g e o m e t r i c a l su r f a c e s e x t e n d i n g a c ro s s t h e w h o l e m a g n e t i cb o d y . T h e t e r m " s i n g le d o m a i n w a l l " is u n c l e a r a n d a m b i g u o u s , u n t il w eg i v e s o m e r e c ip e o n h o w t o d e c id e w h i c h p o r t i o n s o f w a l l s u r fa c e m a ybe t rea t ed as s ing le ob jec t s . Th i s d i f f i cu l ty re f l ec t s t he fac t t ha t domains t ru c t u re s a r e g o v e rn e d b y m a g n e t o s t a t i c e n e rg y , w h i c h a c t s o n l a rg e

2 5 5


2/42

256 CHAPTER 9 Dom ain W al l Mot ions c a l e s a n d m a k e s d o m a i n w a l l s s t r o n g l y i n t e r a c t i n g p a r t s o f a u n i q u eg l o b a l s t r u c t u r e . I n S e c t io n 9 .1 , w e d i s c u s s c e r t a i n i d e a l c a s e s w h e r e t h ei d e a o f a " s i n g l e d o m a i n w a l l " c a n b e g i v e n p h y s i c a l p l a u si b il it y . In t h i sw a y , w e s h a l l b e a b l e t o w o r k o u t t h e m a t h e m a t i c a l s t r u c t u r e o f t h ee q u a t i o n s d e s c r i b i n g d o m a i n w a l l d y n a m i c s , a t l e a s t i n t h e l i m i t o f s l o wf ie l d e x c it a ti o n . I t i s r e m a r k a b l e t h a t , e v e n i n t h o s e c a s e s w h e r e t h e d o m a i ns t r u c t u r e i s i n t r ic a t e a n d t h e r e i s n o c h a n c e t o e a s i l y r e c o g n i z e i n d i v i d u a lw a l l c o n t r i b u t i o n s , t h i s m a t h e m a t i c a l s tr u c t u r e i s p r e s e r v e d . C e r t a i n a s -p e c t s o f t h e m a g n e t i z a t i o n p r o c e s s t u r n o u t t o b e d e s c r i b a b l e b y a s m a l ln u m b e r o f i n d e p e n d e n t d e g r e e s o f f r e e d o m , e a c h d e g re e o f f r e e d o m c o r-r e s p o n d i n g t o t h e m a g n e t i c f l u x l i n k e d t o s o m e correlation region o f t h em a t e r i a l. T h e d e t a i l e d n a t u r e o f t h e s e c o rr e la t io n r e g io n s m a y d e p e n d o ns p e ci fi c s t ru c t u r a l a s p e c ts , b u t t h e i r d y n a m i c b e h a v i o r i s l a r g e l y i n d e p e n -d e n t o f t h e s e d e t a i l s a n d c l o s e l y r e s e m b l e s t h e d y n a m i c s o f a " s i n g l ed o m a i n w a l l . " T h i s a p p r o x i m a t i o n s h o u l d b e c o n s i d e r e d a s a w o r k i n gh y p o t h e s i s , o f w h i c h i t i s n o t o b v i o u s t o g i v e a r i g o r o u s j u s t i f i c a t i o n i nt e r m s o f f u n d a m e n t a l p h y s i c a l c o n s i d e r a t i o n s . I t i s a f a c t , h o w e v e r , t h a tr e a l m a t e r i a l s b e h a v e i n a w a y n o t f a r f r o m t h a t e x p e c t e d o n t h e b a s i s o ft h is a s s u m p t i o n . I n a d d i t i o n , w e s h a l l s e e i n C h a p t e r 1 2 t h a t o n e c o m e s t os i m i la r c o n c lu s i o n s a ls o w h e n c o n s i d e r i n g e d d y - c u r r e n t l o ss p h e n o m e n a .

O n e s h o u l d a l w a y s b e a r i n m i n d t h a t s i n g l e - d e g r e e - o f - f r e e d o m d e -s c r i p t i o n s a r e n o t e q u a l l y s u i t e d t o a l l a s p e c t s o f d o m a i n w a l l d y n a m i c s .D u r i n g t h e i r m o t i o n , d o m a i n w a l l s p r o b e s t r u c t u r a l d i s o r d e r i n v a r i o u sw a y s . T h e r e s u l t i s t h a t m o v i n g w a l l s e x p e r i e n c e h i n d r a n c e s t o t h e i rm o t i o n , a f ac t u s u a l l y s u m m a r i z e d b y t h e t e r m wa ll pinning. W a l l p i n n i n gh a s t w o m a i n c o n s e q u e n c e s. O n t h e o n e h a n d , i t g i v es r is e t o r a t e - i n d e p e n -d e n t d i s s i p a t i o n , m e a s u r e d b y s o m e f in i te c o e r ci v e f ie ld . I n t e r n a l d e g r e e so f f r e e d o m ( e . g . , d i s t o r t i o n s o f t h e w a l l s u r f a c e ) p l a y a r o l e i n p i n n i n gi n t e r a c t i o n s a n d a f f e c t c o e r c i v i t y . A s d i s c u s s e d i n S e c t i o n 9 . 1 . 2 , t h i s i s ac a se w h e r e r e d u c i n g a m o v i n g w a l l to a si n g le d e g r e e o f f r e e d o m p r o v e si n s u ff i c ie n t t o g e t a s a ti s f a c to r y d e s c r i p t i o n o f t h e p h e n o m e n o n . C o e r c i v i t yi s t h u s n o t i n t h e s p i r i t o f t h i s c h a p t e r , u n l e s s w e k n o w i n a d v a n c e t h a tt h e w a l l r e a l ly b e h a v e s l i k e a r ig i d s u r f a c e e v e n i n t h e c o u r s e o f p i n n i n ge v e n t s. H o w e v e r , t h e re i s a n o t h e r e x p e r i m e n t a l c o u n t e r p a r t o f w a l l p i n -n i n g , w h e r e s i n g l e - d e g r e e - o f - f r e e d o m d e s c r i p t i o n s p r o v e m u c h m o r eh e l p f u l , a n d t h a t i s t h e Barkhausen effect , d i s c u s s e d i n S e c t i o n 9 . 3 . I n aB a r k h a u s e n e f f e c t e x p e r i m e n t , o n e m e a s u r e s t h e r a t e o f c h a n g e d @ / d t o ft h e m a g n e t i c f lu x l in k e d t o s o m e p o r t i o n o f t h e s p e c i m e n . W e e x p e c t d @ / d tt o b e g o v e r n e d b y a n e v o l u t i o n e q u a t i o n o f t h e f o r m

a4d t - f [ M ( ' ) ' H a ; { P } ] (9.1)


3/42

9.1 SING LE DOM AIN WALLS 257w h e r e M ( . ) is t h e m a g n e t i z a t i o n c o n f i g u ra t i o n i n s i d e t h e b o d y , H a i s t h ea p p l i e d f ie l d, a n d {P} r e p re se n t s a p ro p e r s e t o f p a ra m e t e r s d e sc r i b i n gs t ru c t u ra l d i so rd e r . Th e fu n c t io n f c o n t a in s , i n so m e a v e ra g e fo rm , i nfo r -m a t i o n o n th e r a n d o m f in e s t ru c t u re o f t h e f re e e n e rg y l a n d sc a p e r e sp o n s i -b l e fo r h y s t e r e s i s , a s p ro b e d b y m o v i n g d o m a i n w a l l s . I n p r i n c i p l e , t h ef o r m o f t h e f u n c ti o n f s h o u l d b e d e r i v e d b y a p r o p e r s p a c e a v e r a g e o fB r o w n ' s a n d G i l b e r t' s m i c r o m a g n e t ic e q u a t io n s , d i s c u s s e d i n C h a p t e r 6 ,an im prac t i cab le t a sk . One can t ry , a s a p l aus ib l e f i r s t a t t ack to the p rob lem ,a p h e n o m e n o l o g i c a l d e sc r i p t i o n w h e re , o f a ll t h e p ro p e r t i e s o f t h e M ( . )v e c t o r f i e l d , t h e k n o w l e d g e o f 6 o n l y (6 i s t h e sp a c e a v e ra g e o f M ( . ) ) i sa s su m e d t o b e su f f i c i e n t t o p r e d i c t d 6 / d t :

~4d - - T " -" g [ ~ r H a ; { P } ] ( 9 . 2 )

As jus t men t ioned , t h i s s impl i f i ed desc r ip t ion i s no t ab le to co r rec t lyp re d i c t e n e rg y d i s s i p a t i o n a n d c o e rc i v i t y , w h i c h d e p e n d o n t h e d e t a i l e dspa t i a l s t ruc tu re o f M( . ) , bu t p roves e f fec t ive in desc r ib ing ~ f luc tua t ionsi n t i m e , a s o b se rv e d i n a B a rk h a u se n e f f e c t e x p e r i m e n t . I n a d d i t i o n , t h es t ru c t u re o f Eq . (9 .2 ) t u rn s o u t t o b e ju s t t h a t o f " s i n g l e d o m a i n w a l l "m o t i o n i n a r a n d o m p o t e n t i a l . T h e p h y s i c a l a r g u m e n t s l e a d i n g t o t h i sd e sc r i p t i o n a n d t h e i r r e l e v a n c e t o t h e i n t e rp re t a t io n o f B a rk h a u se n e x p e r i -m e n t s a r e d i s c u s se d i n S e c t i o n 9 .3 .

9 .1 S I N G L E D O M A I N W A L L STh e c o n c e p t o f single domain wall a c q u i r e s c o n v i n c i n g e v i d e n c e i n sy s t e m sw i t h a d o m a i n s t ru c t u re so s i m p l e t h a t w e c a n n a t u ra l l y i d e n t i fy f e wd o m i n a n t d e g re e s o f f r e e d o m . A b e a u t i fu l c a se , w h i c h h i s t o r ic a l ly p l a y e da n i m p o r t a n t ro l e , is r e p re s e n t e d b y t h e S i-Fe single crystal, cu t i n the fo rmof a ho l low p ic tu re f rame , d i scussed in Sec t ion 7 .3 .2 . We have seen tha tt h e n a t u ra l d o m a i n s t ru c t u re fo r t h is sy s t e m is th e o n e w h e re fo u r 9 0 ~d o m a i n w a l l s a t t h e f ra m e c o m e rs c o n t ro l t h e ro t a t i o n o f t h e m a g n e t i cf lux f rom one l imb to the nex t , and tha t i t i s a l so poss ib l e to genera t e am e t a s t a b l e s t a te w h e re a 1 8 0 ~ w a l l l o o p ru n s a ll a l o n g t h e fo u r f r a m el imbs , a s shown in F ig . 7 .10 . The necess i ty to avo id the fo rmat ion o fm a g n e t i c c h a rg e s k e e p s t h e w a l l c l ose ly p a ra l l e l to t h e d i r e c ti o n o f m a g n e -t i z a t i o n . W h e n o n e w ra p s a n e x c i t i n g c o i l a ro u n d t h e f r a m e l i m b s a n da p p l i e s a f i e l d , t h e w a l l l o o p sh r i n k s o r e x p a n d s , d e p e n d i n g o n t h e s i g no f t h e f i e l d , a n d i n e a c h l i m b c ro s s - s e c t i o n t h e w a l l m o v e s i n w a rd o r


4/42

258 CHA PTER 9 Dom ain W al l M ot iono u t w a r d p e r p e n d i c u l a r l y t o t h e w a l l p l a n e i ts el f. W e s h a ll d i s c u s s i n s o m ed e t a i l t h e w a l l d y n a m i c s u n d e r t h e s e c o n d i t i o n s .

9.1.1 Eddy-current dam pingL e t u s a s s u m e t h a t t h e w a l l r e m a i n s p l a n e a n d v e r t ic a l d u r i n g i ts m o t i o n ,a s s h o w n i n F ig . 9 .1 . W e d e s c r i b e t h e w a l l a s a t w o - d i m e n s i o n a l g e o m e t r i -c a l s u r f ac e , w h i c h m e a n s t h a t w e a r e n e g l e c t i n g t h e in t e r n a l w a l l s t r u c t u r ea n d t h e w a l l t h i c k n e s s . T h e a p p r o a c h w i l l t h u s b e a c c e p t a b l e o n l y t od e s c r i b e p h e n o m e n a t a k i n g p l a c e o n a s c a l e m u c h l a r g e r t h a n t h e w a l lt h i c k n e s s . T h e m a g n e t i z a t i o n f lu x q~ l i n k e d t o e a c h l i m b c r o s s - s e c t i o n i sp r o p o r t i o n a l t o t h e d o m a i n w a l l p o s i t i o n x w a l o n g t h e x d ir e c ti o n . I f d ist h e f r a m e t h i c k n e s s , w e c a n w r i t e

d___~= 2isdvw (9.3)d tw h e r e v w = d x w / d t i s th e d o m a i n w a l l v e l o c i t y a n d I s = # 0M s i s t h es a t u r a t io n m a g n e t i z a ti o n .

W h e n t h e d o m a i n w a l l m o v e s , s o m e e n e r g y is d is s i pa t e d . W e r es tr ic to u r a n a l y s i s to m e t a ls , w h e r e t h e d i ss i p a ti o n m e c h a n i s m is t h e p r o d u c t i o no f eddy cur ren t s a n d c o n s e q u e n t Joule heat ing a r o u n d t h e m o v i n g w a l l .T h e e q u a t i o n g o v e r n i n g t h e d o m a i n w a l l d y n a m i c s c a n t h e n b e d i r e c t l yd e r i v e d f r o m M a x w e l l 's e q u a t io n s . W e d i s c u s s t he p r o b l e m f or t h e g e o m e -t r y o f F i g . 9 . 1 . W e c o n s i d e r a s l a b o f t h i c k n e s s d a n d i n f i n i t e s i z e a l o n gt h e x a n d z d i re c t io n s . T h i s e li m i n a t e s t h e u n i m p o r t a n t c o m p l i c a t i o n sc o m i n g f r o m e d g e e f f e c t s . T h e w a l l m o v e s a s a w h o l e i n t h e x d i r e c t i o nu n d e r t h e a c t io n o f th e c o n s t a n t f ie l d H a a p p l i e d a l o n g t h e z d i re c t io n .W e a s s u m e t h a t t h e d o m a i n s s e p a r a t e d b y t h e w a l l h a v e s u c h o r i e n ta t i o nt h a t a p o s i t i v e w a l l v e l o c it y e n ta i ls a m a g n e t i z a t i o n i n c r ea s e i n t h e p o s i t iv e

FIGURE 9. 1. 180~ dom ain wal l geo m etry in an in fin ite s lab .


5/42


6/42

2 6 0 C H A P T E R 9 D o m a i n W a ll M o t i o n

d/2

-d/2

/

\

-d 0 d

FIGURE 9 .2 . Ed dy-c urren t f low l ines ca lcu la ted f rom Eq . (9 .7 ) a ro und the 180~d o m a i n wa l l l o ca t ed a t x = 0 an d m o v i n g t o th e r i g h t o f t h e f ig u re . Th e m ag n e t i za -t ion in the two domains i s o r ien ted as in F ig . 9 .1 .

t h e s l a b c r o s s - s e c t i o n ( E q . 3 . 8 6 ) . A d i r e c t c a l c u l a t i o n b a s e d o n E q . ( 9 . 7 )g i v e s

298,

w h e r eG = -~ ~ ~ = 0 .13 56 . . . (9.9)odd n

W e a s s u m e t h a t th e s la b h a s h o m o g e n e o u s p r o p e r t ie s , a n d t h a t it s f re ee n e r g y is c o n s e q u e n t l y i n d e p e n d e n t o f t h e p o s i ti o n o f t h e m o v i n g w a l l . 1I n t h is c a se , t h e d i s s ip a t e d p o w e r m u s t b e e q u a l t o t h e w o r k p e r u n i tt i m e p e r f o r m e d o n t h e s y s t e m b y t h e a p p l i e d f ie ld . T h i s w o r k is g i v e n,p e r u n i t s l ab l e n g t h a n d u n i t t i m e , b y H a d ~ / d t . B y e q u a t i n g t h is e x p r e s s i o nt o E q . ( 9 . 8 ) , o n e c o n c l u d e s t h a t

a4oG -~- = H a (9 .10)o r , e q u i v a l e n t l ~

d x W= G

/ 8 = 2 o G I s d(9.11)

1This assumption is not so o bvious and w ill be critically reconsidered in the next section.


7/42

9.1 S I NGLE DO MA I N WALLS 2 6 1

E q u a t i o n (9 .1 0) c a n a l so b e g i v e n t h e f o l l o w i n g i n t e r p r e t a t i o n . W h e n af i e ld H a c t s p a r a l l e l t o t h e a r e a A S o f a 1 80 ~ w a l l , t h e e n e r g y o f th e s y s t e md e c r e a s e s b y 2 I ~ H A S A x w h e n t h e w a l l a r e a i s d i s p l a c e d b y A x . T h e t e r m2Is H a c t s as a p r e s s u r e o n t h e w a l l s u r f a c e . E q u a t i o n (9 .1 0) c a n b e t h o u g h to f a s a b a l a n c e b e t w e e n t h e p r e s s u r e e x e r t e d b y t h e a p p l i e d f i e l d H aa n d t h e c o u n t e r - p r e s s u r e p r o d u c e d b y t h e e d d y - c u r r e n t f i e l d / - / e d d y . T h ea p p l i e d f ie l d p r e s s u r e i s u n i f o r m , b u t t h e e d d y - c u r r e n t o n e i s n o t . I f o n eca lcu la t e s f r o m Eq . ( 9 .7 ) t h e f i e ld H e d d y ( X , y ) a t t h e w a l l p o s i t i o n x = 0 ,o n e f i n d s t h a t t h i s f i e l d d e p e n d s o n y a n d i s m a x i m u m a t t h e c e n t e r o ft h e s la b . B e c a u s e w e a r e a s s u m i n g t h a t t h e w a l l i s p l a n e a n d r ig i d , w ec a n c a lc u l a te t h e a v e r a g e e d d y - c u r r e n t p r e s s u r e o n t h e w a l l b y i n t e g r a t i n gHeddy(X = 0 , y ) over y . The resu l t i s jus t 2 I ~ a G d ~ b / d t , i n a g re e m e n t w i t hE q . (9 .1 0). T h e a p p r o x i m a t i o n o f p l a n e , r i g i d w a l l i s a c c e p t a b l e o n l y i nt h e l i m i t o f l o w w a l l v e l o c i t i e s , w h e r e e d d y - c u r r e n t e f f e c t s a r e s m a l l .W h e n t h e e d d y - c u r r e n t p r e s s u r e b e c o m e s i m p o r t a n t , it b o w s t h e d o m a i nw a l l a s a c o n s e q u e n c e o f i t s n o n u n i f o r m i t y ( s e e S e c t i o n 1 2 . 3 . 3 ) . I n t h i sc h a p t e r , w e s h a l l a s s u m e t h a t t h e s e c o m p l i c a t i o n s n e v e r a p p e a r .

E q u a t i o n (9 .1 0) a n d E q . (9 .1 1 ) c a n b e t e s t e d e x p e r i m e n t a l l y o n p i c t u r e -f r a m e s i n g le c r y s ta l s . B y m e a n s o f a s u i ta b l e f e e d b a c k c o n t ro l , o n e i m p o s e sa c o n s t a n t f l u x r a t e d ~ b / d t t o t h e s p e c i m e n a n d m e a s u r e s t h e c o r r e s p o n d i n ge x c i t i n g c u r r e n t . R e s u l t s o f t h i s e x p e r i m e n t a r e s h o w n i n F i g . 9 . 3 . I f o n eca lcu la t e s t h e s lo p e f l b y m ea n s o f Eq . (9 .1 1), o n e f in d s th a t , t o a f ewp e r c e n t , t h e s l o p e o f t h e f i e l d - v e l o c i t y d e p e n d e n c e i s c o r r e c t l y p r e d i c t e d .H o w e v e r , t h e e x p e r i m e n t a l d a t a d o n o t t e n d t o z e r o f o r z e r o v e l o c i t y . I no r d e r t o o b t a i n a g r e e m e n t w i t h e x p e r i m e n t s , a n a p p r o p r i a t e o f fs e t H 00 m u s t b e i n t r o d u c e d 2 i n E q . (9 .1 0):

e4o G - ~ = H a - H 0 (9 .1 2)If w e e q u a t e o n c e m o r e t h e d i s s i p a t e d p o w e r t o t h e a p p l i e d f i el d w o r kp e r u n i t t i m e , H a d q ~ / d t , an d we u se Eq . ( 9 .1 2 ) t o ex p r e ss H a , w e f i n d

Pw = H0 ~ + oG (9.13)w h e r e w e h a v e e x p l ic i tl y i n d i c a t e d t h e a b s o l u t e v a l u e i n t h e fi rs t t e r m t ot h e r i g h t , t o r e c a l l t h a t t h e p r o d u c t i s a l w a y s p o s i t i v e . T h e f i r s t t e r mo f E q . (9.1 3) g i v e s a n e n e r g y d i s s i p a t i o n w h i c h , f o r g i v e n d o m a i n w a l ld i s p l a c e m e n t A 4~, i s e q u a l t o IH0Zl4~ , i n d e p e n d e n t o f d o m a i n w a l l v e l o c it y .T h e a m o u n t o f d i s s i p a ti o n r e m a i n s t h e s a m e n o m a t t e r h o w s m a l l t h e

2Equation (9.12) applies on ly to positive H a >- H o. Und er negative field, the equationwou ld contain H a + H o instead of Ha - H0 and wo uld apply to H,,


8/42

2 6 2 C H A P T E R 9 D o m a i n W a ll M o t io n

6A / I l l

t ,

i I IFe-Si~,100~s inghl -c rys lo l p idure l rm es. . . . . . .

l j f ",,'" J/ J J/ I, , f/t . " . / o 7, 2

0 . .. . 2 t , 6 8 ; l O - ' l O : i m / s 2V

FIGURE 9. 3 . Fie ld-velo ci ty re la t ion for a 180~ do m ain wa l l in 2 .8 wt% S i-Fepic ture - f rame s ingle c rys ta l s wi th edges pa ra l le l to c rys ta l lographic d i rec -t ions . (1): d = 0 .35 ram, H 0 = 0 .27 A m - l ; (2) :d = 0 .325 m m , H 0 = 0 .75 A m -1 .d i s the f ram e th ickness a nd H 0 in te rcept w i th the f ie ld ax is ( r epr in ted w i thperm iss ion f rom Ref . 9 .1 , p . 70 , F ig . 7a; the or ig ina l exp er imen ta l d a ta we rerepo r ted in R ef . 9 .2 and Ref . 9 .3).

w a l l v e l o c i t y i s . T h i s i s t h e f i n g e r p r i n t o f rate-independent hysteresis. W h a ti s r e m a r k a b l e i n Eq . (9 .1 3) is t h a t t h e r a t e - i n d e p e n d e n t a n d t h e r a te -d e p e n d e n t c o n t r i b u t i o n s a re s im p l y s u m m e d u p . In o th e r w o r d s , w e h a v eloss separation. T w o m a i n p h y s i c a l m e c h a n i s m s m a y b e r e s p o n s ib l e f orth is e f fec t :

(i ) internal degrees of freedom m a y b e a c t i v e , w h i c h a r e n o t d i r e c t l yd e s c r i b e d b y ~ ;

(ii) t h e fr ee e n e r g y o f t h e s y s t e m m a y n o t b e in d e p e n d e n t o f d o m a i nw a l l p o s i ti o n , b u t m a y e x h ib i t r a n d o m f l u c tu a t i o n s a s th e c o n s e-q u e n c e o f structural disorder.

T h e s e t w o p o s s i b i l it i es w i l l b e e x a m i n e d i n s o m e d e t a i l in th e n e x t s e c t io na n d i n S e c t i o n 9 . 2 . I n t h i s r e s p e c t , a r e m a r k i s a p p r o p r i a t e . T h e a n a l y s i sl e a d i n g t o Eq . (9 .1 3) m i g h t g i v e t h e i m p r e s s i o n t h a t t h e t w o t e r m s o f t h ee q u a t i o n d e s c ri b e d i s t in c t d i s s i p a t i o n m e c h a n i s m s , o f w h i c h o n l y t h e la t te ris r e l a te d t o e d d y c u r re n t s . A l t h o u g h i n p r in c i p l e o n e c a n n o t r u le o u t th ep r e s e n c e o f o t h e r c o n t r i b u t i o n s , i n m e t a l s e d d y c u r r e n t s a r e l ik e l y t o


9/42

9.1 SINGL E DOM AIN WALLS 263r e p r e s e n t t h e d o m i n a n t d i s s i p a ti o n m e c h a n i s m , a ls o as r e g a r d s r a te - i n d e -p e n d e n t h y s t e r e si s . L o s s se p a r a t i o n i s n o t d u e t o th e e x i s t e n c e o f d i s t in c td i s s i p a t i o n c h a n n e l s , b u t t o t h e e x i st e n c e o f m u l t i p l e s p a c e - t i m e s c a le s i nt h e m a g n e t i z a t i o n p r o c e s s a n d i n e d d y - c u r r e n t d i s s i p a t i o n . T h i s a s p e c tw i ll b e f u r t he r t o u c h e d u p o n i n C h a p t e r 12, w h e n e d d y - c u r r e n t p h e n o m -e n a w i l l b e d i s c u s s e d .

9.1 .2 Internal degrees of freedomW e d i s c u s s t h e r o l e o f internal degrees of freedom b y a d o p t i n g a s t a t i s t i c a la p p r o a c h , w h i c h h a s t h e m e r i t o f s h o w i n g t h a t E q . ( 9 . 1 2 ) i s n o t l i m i t e dt o t h e d e s c r i p t i o n o f a s in g l e d o m a i n w a l l , a s i n t h e p r e v i o u s s e c ti o n , b u th a s a m o r e g e n e r a l s i g n i f i c a n c e . S u p p o s e t h a t w e n o l o n g e r k n o w t h ed e t a i l s o f t h e d o m a i n s t r u c t u r e i n t h e s l a b c r o s s - s e c t i o n , b u t w e k n o wm e r e l y t h a t s o m e m a g n e t i z a t i o n c h a n g e is t a k i n g p la c e i n si d e s o m e r e g i o nR o f e n h a n c e d m a g n e t i c a c t i v i t y (s ee F ig . 9 .4 ). W e a s s u m e t h a t , w h a t e v e rt h e m a g n e t i z a t i o n c h a n g e s i n R , t h e y a r e d i re c t e d a l o n g z a n d a r e i n d e p e n -d e n t o f z , s o t h a t t h e y i n v o l v e i n f i n i t e c y l i n d r i c a l t u b e s a l o n g z . R g e n e r a l -i z es t h e c o n c e p t o f r i g id d o m a i n w a l l to c o m p l e x d o m a i n s tr u c tu r e s. T h ev a r i a b l e p l a y i n g t h e r o le o f w a l l p o s i t io n i s n o w t h e m a g n e t i c fl u xl i n k e d t o R . T h e r e a r e s e v e r a l r e a s o n s s u g g e s t i n g t h a t ~ c a n n o t p r o v i d ea c o m p l e t e c h a r a c t e r i z a t i o n o f t h e p r o c e ss , b e c a u s e o t h e r i n t e r n a l d e g r e e so f f r e e d o m m a y b e a c ti ve . F o r e x a m p l e , m a n y w a l ls m a y b e p r e s e n t i n s id eR , a n d d i f fe r e n t p a r t s o f t h e s a m e w a l l m a y m o v e a t d i f fe r e n t ti m e s , ins o m e i n c o h e r e n t f a s h i o n . A w a y t o d e a l w i t h t h e s e c o m p l e x i t i e s i s t od e s c r i b e t h e m a g n e t i z a t i o n r e v e r s a l i n s i d e R i n t e r m s o f a r a n d o m s e -q u e n c e o f Barkhausen jum ps, e a c h c o r r e s p o n d i n g t o s o m e s m a l l , l o c a l i z e dd o m a i n s t r u c t u r e i n s t a b i l i t y , w h e r e f o r e x a m p l e a s m a l l p o r t i o n o f a d o -m a i n w a l l s n a p s f re e f ro m a p i n n i n g c e nt er . E a c h j u m p e n t ai ls a s u d d e n

FIGURE 9.4 . Schem atic representation of a region of enh ance d m agne tic activityand of an e lemen tary Barkhausen jum p tak ing p lace in i t.


10/42

264 CHAPTER 9 Dom ain W al l Mot ion

m a g n e t i z a t i o n r e v e r s a l i n a c y l i n d r i c a l e l e m e n t , a s s h o w n i n F i g . 9 . 4 .T r a n s ie n t e d d y c u r r e n ts a r e i n d u c e d b y t h e r ev e r s al a r o u n d t h e j u m pr e g i o n , w h i c h g i v e s o m e f i n i t e e n e r g y d i s s i p a t i o n . T h e d e t a i l e d j u m ps t r u c t u r e is n o t i m p o r t a n t h e r e . W e j u s t c h a r a c t e r i z e it b y t h e m a g n e t i cf l u x c h a n g e h e t h a t i t c a u s e s . F o r s i m p l i c i t y , w e i m a g i n e t h a t a l l j u m p sg i v e i d e n t i c a l fl u x v a r i a t io n s . T h i s a s s u m p t i o n i s b y n o m e a n s r e s t ri c ti v e ,a n d t h e r e w o u l d b e n o d i ff ic u lt y in r e s ta t i n g t h e w h o l e t r e a t m e n t i n m o r eg e n e r a l t e r m s . W e ca ll v t h e a v e r a g e n u m b e r o f j u m p s t h a t o c c u r p e r u n i tt i m e i n s i d e R . T h i s m e a n s t h a t

d___r = v A r (9 .14)d tE q u a t i o n ( 9.1 4) e s t a b l is h e s t h e c o n n e c t i o n b e t w e e n t h e j u m p d e s c r i p t i o n

a n d t h e d e g r e e o f f r e e d o m r o f i n te r e s t.T h e s p a c e - t i m e e d d y - c u r r e n t d i s t r ib u t i o n a r o u n d a si n gl e j u m p c a n

b e c a l c u l a te d f r o m M a x w e l l ' s e q u a t io n s , i n a w a y s i m i la r to w h a t w e d i df o r t h e s i n g l e 1 80 ~ d o m a i n w a l l , o n c e t h e s p a c e - t i m e s t r u c t u r e o f th e l o c alf lu x r e v e r s a l i s s p e c if ie d . W e j u st i m a g i n e t h a t t h i s h a s b e e n d o n e , a n dwe cal l j ( r , t ; r i , t i ) t h e e d d y - c u r r e n t d e n s i t y a s s o c ia t e d w i t h t h e j u m po c c u r r i n g a t t h e p o s i t i o n r i a n d a t t h e t i m e t i. r i a n d t i a r e r a n d o m v a r ia b l es .A l l s p e c i f i c a s p e c t s r e l a t e d t o d o m a i n s t r u c t u r e f e a t u r e s , g e o m e t r y o f t h er e g i o n R , a n d s o o n a r e r e f l e c t e d i n t h e s t a t i s t i c a l p r o p e r t i e s o f t h e ( r i , t i )s e q u e n ce . T h i s a s p e c t is at th e h e a r t o f e d d y - c u r r e n t l os s p h e n o m e n a , a n dw i l l b e a n a l y z e d i n d e t a il i n C h a p t e r 1 2. I n t h e p r e s e n t c o n t e x t, it i s e n o u g ht o a s s u m e t h a t t h e j u m p s a r e s t a t i s t i c a l l y i n d e p e n d e n t o f e a c h o t h e r ,a n d o c c u r w i t h p r o b a b i l i t y p(ri) in s p a c e a n d w i t h f r e q u e n c y v i n t im e .A c c o r d i n g t o o u r i n i t i a l a s s u m p t i o n s , p (r i) 4= 0 i n s i d e R o n ly .

D u e t o th e l i n e a r i ty o f M a x w e l l ' s e q u a t i o n s , t h e to t a l e d d y - c u r r e n td e n s i t y j ( r , t ) g e n e r a t e d b y t h e j u m p s e q u e n c e i s t h e s u m o f t h e s i n g l ej u m p c o n t r i b u t i o n s ,

J = E J i ( 9 . 1 5 )i

I n E q . ( 9 . 1 5 ) , t h e d e p e n d e n c e o n ( r , t ) i s u n d e r s t o o d a n d t h e o n e o n ( r i , t i )i s s u m m a r i z e d b y t h e i n d e x i . T h e a v e r a g e p o w e r d i s s i p a t i o n c a n b ec a l c u l a t e d b y t a k i n g , j u s t a s w e d i d f o r th e s i n g l e w a l l , th e s u r f a c e i n t e g r a lo f j a / c r o v e r t h e s l a b c r o s s - s e c t i o n a n d b y a v e r a g i n g t h e r e s u l t o v e r ag i v e n t i m e i n t e rv a l T . T h e n u m b e r o f j u m p s o c c u r r in g i n t h e i n te r v a l Ti s e q u a l t o v T , a n d t h e i n t e g r a n d i n v o l v e d i n t h e c a l c u l a t i o n w i l l b e

I j l 2 = ~ lj i l 2 + E Ji "Jj = v [T(Ijil2)] + ~2 [T(ji)]2 (9.16)i i c y

T h e s u m s h a v e b e e n t r a n s f o r m e d i n t o a p p r o p r i a t e e n s e m b l e a v e r a g e s ,i n d i c a t e d b y t h e a n g l e b r a c k e t s , a n d w e h a v e t a k e n i n t o a c c o u n t t h a t , f o r


11/42

9.1 SINGL E DOM AIN WALLS 265

s t a t i s t i c a l l y i n d e p e n d e n t e v e n t s , t h e a v e r a g e o f t h e p r o d u c t o f e v e n t c o u -p l e s r e d u c e s t o t h e p r o d u c t o f t h e a v e r a g e s .

S o m e g e n e r a l c o n c l u s io n s c a n b e d r a w n f r o m t h e m a t h e m a t i c a l s tr u c -t u r e o f Eq . (9 .1 6.) F ir st , w e a s s u m e t h a t t h e i n d i v i d u a l B a r k h a u s e n j u m p so c c u r o n a t i m e s c a l e m u c h s h o r t e r t h a n t h e t i m e s c a l e o v e r w h i c h t h ea p p l i e d f i e l d v a r i e s s i g n i f i c a n t l y . W e s h a l l s e e i n C h a p t e r 1 2 t h a t t h i sa s s u m p t i o n i s p e r f e c t l y r e a s o n a b l e i n m o s t c a s e s . T h i s m e a n s t h a t t h ea p p l i e d f ie l d is f o r a ll p u r p o s e s c o n s t a n t f o r t h e d u r a t i o n o f a n i n d i v i d u a lB a r k h a u s e n j u m p , a n d c a n n o t a f fe ct th e e d d y c u r r e n t ji a s s oc i a te d w i t hi t. I t w i l l b e s h o w n i n S e c t i o n 1 2 .1 t h a t , u n d e r t h e s e c o n d i t i o n s , t h e s p a c e -t i m e a v e r a g e o f t h e t w o t e r m s i n s i d e s q u a r e b r a c k e t s o f E q . ( 9 . 1 6 ) i si n d e p e n d e n t o f f i e l d r a t e . A l l d y n a m i c d e p e n d e n c i e s a r e d e s c r i b e d b y ~ , .C o n s i d e r i n g t h a t , a c c o r d i n g t o E q . ( 9.1 4 ), ~, i s p r o p o r t i o n a l t o dq~/d t , w ec o n c l u d e t h a t t h e p o w e r l os s PR b r o u g h t a b o u t b y t h e m a g n e t i z a t i o nr e v e r s a l i n R a n d c a l c u l a t e d f r o m E q . ( 9 . 1 6 ) w i l l b e o f t h e f o r m

PR = Ho - -~ + aG ' - -~ (9.17)w h e r e H 0 a n d G ' a r e c o n s t a n ts d e p e n d i n g o n A q~, ji , and p ( r i ) . Werecogn ize in Eq . (9 .17 ) the s ame s t ruc tu re o f Eq . (9 .13 ) . The r a te -i n d e p e n d e n t d i s s i p a t i o n i s d u e t o t h e p r e s e n c e o f t h e i n d i v i d u a l B a r k -h a u s e n j u m p s , w h i c h c h a r a c te r iz e t h e i n t e r n a l s t r u c tu r e o f R n o t d e -s c r i b e d b y qk T h e s e c o n d t e r m o f E q . (9 .1 7), o n t h e o t h e r h a n d , c o m e sf r o m t h e l a rg e - sc a le e d d y - c u r r e n t p a t t e r n s f o r m e d b y t h e s u p e r p o s i ti o no f t h e i n d i v i d u a l B a r k h a u s e n j u m p c u r r e n t s . A l l t h e d e t a i l s a b o u t t h ej u m p d i s t r ib u t i o n p(ri) a n d t h e g e o m e t r y o f t h e p r o b l e m a r e l u m p e d i nt h e p r o p o r t i o n a l i t y c o n s t a n t G ' . I n g e n e r a l , t h e s e d e t a i l s h a v e a w e a ki n f l u e n c e o n G ' : t h e v a l u e o f G ' m a y r a n g e f r o m G ' - - - G ( E q . 9 . 9 ) t o G '- - - 1 , w h e n r e g i o n s R o f d i m e n s i o n s p r o g r e s s i v e l y d e c r e a s i n g f r o m d t os m a l l e r s i z e s a r e c o n s i d e r e d .E q u a t i o n ( 9 . 1 7 ) s h o w s t h a t t h e o f f s e t o b s e r v e d i n t h e e x p e r i m e n t s o fF i g . 9 . 3 c a n b e d u e t o t h e a c t i o n o f i n t e r n a l d e g r e e s o f f r e e d o m , n o tp r o p e r l y d e s c r i b e d b y t h e m e a n w a l l p o s i t i o n x w. H o w e v e r , t h e r e i s a l soa n o t h e r p o s s ib i li ty , c o n s i d e r e d i n t h e n e x t s e c ti o n . W e k n o w f r o m S e c t i o n2 . 3 t h a t e v e n a s i n g l e d e g r e e o f f r e e d o m m a y e x h i b i t a m i x t u r e o f r a t e -d e p e n d e n t a n d r a t e - in d e p e n d e n t d i s si p at io n , w h e n t h e s y st e m e n e r g yh a s m u l t i p l e l o c a l m i n i m a . W e s h a l l p u r s u e t h i s o n e - d e g r e e -o f - f r e e d o m a p p r o a c h t o d e v e l o p a s u i t a b l e f l a m e f o r t h e s t u d y o f t h ec o n n e c t i o n b e t w e e n d o m a i n w a l l d y n a m i c s a n d t h e B a r k h a u s e n e f f e c t .W e p o s t p o n e t o S e c t i o n 9 . 3 . 2 t h e a n a l y s i s o f t h e r e l a t i v e m e r i t s a n ds h o r t c o m i n g s o f d e s c r i p t i o n s b a s e d o n o n e v e r s u s m u l t i p l e d e g r e e s o ff r e e d o m .


12/42

266 CHA PTER 9 Dom ain W al l M ot ion9 .2 S T O C H A S T I C D O M A I N W A L L D Y N A M I C S 3I n t h i s s e c ti on , w e r e c on s i de r t h e s i ng l e w a l l de s c r i p t i on o f S e c t ion 9 . 1 . W ea s s u m e a g a i n t h a t t h e w a l l i s p e r f e c t l y p l a n e a n d r i g i d , s o t h a t t h e w a l lpos i t i on i n t he s l ab c ross - sec t i on , o r equ iva l en t l y t he f l ux ~ of Eq . (9 .3 ) , i st h e o n l y r e l e v a n t d e g r e e o f fr e e d o m . A s a m a t t e r o f f ac t, w e a r e g o i n g t o u s et he s i ng l e w a l l t e r m i n o l o gy m a i n l y f o r t he s a ke o f si m p l ic it y . W e w i l l s e e inS e c t i on 9 .3 .2 t ha t t he a pp r oa c h d i s c u s s e d i n th i s s e c ti on a pp l i e s e qu a l l y w e l lto s i tu a t io n s i n v o l v i n g c o m p l e x d o m a i n s t ru c t u re s , w i t h m a n y a c t iv e d o -m a i n w a l l s . I n t hos e c a s e s , ~ w i l l r e p r e s e n t t he t o t a l f l ux l i nke d t o s om er e l e v a n t r e g i o n R , i n li n e w i t h t h e g e n e r a l i z e d p i c t u r e p r e s e n t e d i n S e c ti o n9 . 1 . 2 . T he r e a s ons s uppo r t i ng t h i s ge ne r a l i z e d i n t e r p r e t a t i on w i l l a l s o bed i s c u s s e d i n S e ct io n 9 .3 . F o r t h e m o m e n t , w e j u s t p r e s e n t t h e p r o b l e m a sw e w e r e r e a l l y d e a l i n g w i t h a n i n d i v i d u a l d o m a i n w a l l .

I n S e c ti o n 9.1 .1 , i n o u r e s t im a t e o f th e e n e r g y d i s s i p a t io n d u r i n g w a l lm o t io n , w e a r g u e d t h at , if t h e s y s te m h a s h o m o g e n e o u s p r o p e r ti e s, t h e ni t s f r e e e n e r g y s h o u l d b e i n d e p e n d e n t o f t h e p o s i t i o n o f t h e m o v i n gw a l l . T h i s c o n c l u s i o n i s o v e r s i m p l i f i e d a n d n e g l e c t s i m p o r t a n t a s p e c t s .M agne tos ta t ic en ergy m a y e x h i b i t s o m e c o m p l e x d e p e n d e n c e o n d o m a i nw a l l p o s it io n , a s a c o n s e q u e n c e o f l ar g e -s c a le m o d i f i c a ti o n s i n t h e d o m a i ns t r u c t u r e o f w h i c h t h e w a l l is p a rt . T h e s e e f fe c ts h a v e a n i n h e r e n t n o n l o c a ln a t u r e a n d m a y g i v e a d e p e n d e n c e o f t h e s y s t e m e n e r g y o n w a l l p o s i t io ne v e n if t h e m e d i u m a r o u n d th e d o m a i n w a l l a p p e a r s a s h o m o g e n e o u s .F u r t h e r m o r e , e v e n w h e n m a g n e t o s t a t i c e n e r g y p l a y s a m i n o r r o l e , a s i na p i c t u r e - f r a m e s i n g l e c r y s t a l , t h e a r g u m e n t t h a t t h e f r e e e n e r g y s h o u l db e i n d e p e n d e n t o f w a l l p o s i t i o n is l ik e l y t o b e v a l i d o n t h e a v e r a g e , o v e rl a r g e w a l l d i s p l a c e m e n t s , b u t n o t o n s h o r t s c a l e s , w h e r e t h e s y s t e m f r e ee n e r g y m a y r a n d o m l y d e p a r t f r o m i ts m e a n v a l u e d u e to v a ri o u s f o rm so f s truc tura l disorder, g i v i n g r i s e t o s p a t i a l v a r i a t i o n s o f t h e p a r a m e t e r sa p p e a r i n g i n t h e m i c r o m a g n e t i c fr ee e n e r g y ( se e E q . 6 . 10 ) . W h e n t h e s ep a r a m e t e r s a r e s p a ce d e p e n d e n t , t h e a m o u n t o f e x c h a n g e a n d a n i s o t ro p ye n e r g y s t o r e d i n th e d o m a i n w a l l m a y c h a n g e w i t h w a l l p o s it io n .

I f t he s y s t e m f re e e ne r g y F va r i e s a s a f unc t i on o f t he f l ux ~ , the f r e ee n e r g y g r a d i e n t H ~ ( ~) = O F / 3 ~w i l l ac t a s a n a d d i t io n a l c o u n t e r - p r e s s u r et h a t m u s t b e i n c l u d e d i n t h e b a l a n c e e x p r e s s e d b y E q . (9 .1 0 ). T h e e q u a t i o nc o n t r o l l i n g w a l l m o t i o n w i l l t h u s b e c o m e ( c o m p a r e w i t h E q . ( 2 . 3 4 ) )

d4oG-d-~- =/-/~ (t ) - H F(6 ) (9.18)

3In th is section, frequent use w ill be m ad e of concepts and m ethods of the theory ofM arkovian stochastic processes. See Appen dix E for definitions and a brief overv iew of thesubject.


13/42

9.2 STOCHASTIC DOM AIN WA LL DYNAMICS 267S o f a r w e h a v e d i s c u s se d t h e c a se w h e re t h e d o m a i n w a l l v e l o c i t y i s acons tan t . However , Eq . (9 .18) can a l so be app l i ed to the case where theapp l i ed f i e ld i s a gener i c func t ion o f t ime , p rov ided tha t t he f i e ld ra t e o fc h a n g e is s l o w e n o u g h t o k e e p t h e s y s t e m i n t h e q u a s i - st a t io n a r y r e g i m ew h e r e t h e r e la t io n b e t w e e n t h e d o m a i n w a l l v e lo c i ty a n d t h e s u r r o u n d i n ge d d y -c u r r e n t p a t t e rn r e m a i n s c lo se to Eq . (9 .7 ) a t e a c h i n s t a n t o f ti m e . W ere c o g n i z e i n Eq . (9 .1 8 ) t h e t y p i c a l d y n a m i c a l sy s t e m s t ru c t u re d i s c u s se di n S e ct io n 2 .3 . W e a l r e a d y k n o w t h a t t h e c o e x i st e n c e o f r a t e - i n d e p e n d e n ta n d r a t e - d e p e n d e n t e ff ec ts is e x p e c t e d w h e n e v e r HE(&)is a n o n m o n o t o n efunc t ion o f ~ . In fac t, w e sha l l see shor t ly tha t Eq . (9 .13) na tu ra l ly em erge sf ro m Eq . (9 .1 8 ) u n d e r a p p ro p r i a t e a s su m p t i o n s fo r HF(~) .Eq u a t i o n (9 .1 8 ) su m m a r i z e s t w o m a i n c o n c e p t s . O n t h e o n e h a n d ,d o m a i n w a l l d y n a m i c s a r e c h a r a c t e r i z e d b y t h e r e q u i r e m e n t t h a t t h ev a r i o u s r e l e v a n t f i e l d s ~ a p p l i e d f i e l d Ha (t , f r e e e n e rg y g ra d i e n t H E(6 ) ,e d d y - c u r r e n t f ie ld o G d 6 / d t ~ s h o u l d b a l a n c e t o z e ro . F ro m t h is v i e w p o i n t ,t h e d y n a m i c s a r e o v e rd a m p e d , w i t h n o in e r t ia l ef fe cts . O n t h e o t h e r h a n d ,o n e o f t h e t e rm s , H E(6 ) , i s e x p e c t e d t o e x h i b i t r a n d o m v a r i a t i o n s a s afu n c t i o n o f ~ , d u e t o t h e p re se n c e o f s t ru c t u ra l d i so rd e r . Th e re fo re , Eq .(9 .1 8 ) p ro v i d e s t h e c o n n e c t i o n b e t w e e n d & / d t f luc tua t ions , i n p r inc ip l eaccess ib le to exp er im en t s , an d the f ine s t ruc tu re o f t he sys t e m f ree energy .In th i s sec t ion , we in t roduce su i t ab le too l s fo r so lv ing Eq . (9 .18) , i n o rde rto express the s t a t i s t i ca l p roper t i e s o f d ~ / d t i n t e rm s o f t h o se o f HF(C~ .This wi l l requ i re two s t eps : f i r s t , t o deve lop a conven ien t desc r ip t ion o fH F ( 6 ) i r regu la r i t i e s ; an d second , t o w or k ou t so lu t ions o f Eq . (9 .18) fo rt h e c a se w h e re o n e o f i t s t e rm s i s a r a n d o m fu n c t i o n .

9 . 2 . 1 R an d om p i n n i n g f i e l d sT h e p r o p e r t i e s o f t h e e n e r g y g r a d i e n t HE in t h e p re se n c e o f s t ru c t u ra ld i so rd e r sh o u l d i n p r i n c i p l e b e p re d i c t e d o n t h e b a s i s o f m i c ro m a g n e t i c s .O n e sh o u l d i n t ro d u c e a p ro p e r c h a ra c t e r i z a t i o n o f d i so rd e r i n t h e m i c ro -magne t i c f ree energy (Eq . (6 .10) ) fo r t he pa r t i cu la r case where a domainw a l l is a l r e a d y k n o w n t o ex is t, a n d t h e n c o n s i d e r u n d e r w h a t a p p r o x i m a -t ions Gi lbe r t ' s equa t ions o f mot ion (Sec t ion 6 .2 .3 ) can be reduced to anequa t ion s imi l a r t o Eq . (9 .18) . Some aspec t s o f t h i s p rob lem wi l l be ad -d re s se d i n C h a p t e r 11, w h e n w e sh a l l d i s c u s s c o e rc iv i ty m e c h a n i sm s . Int h i s se c ti o n , h o w e v e r , w e fo l l o w a m o re p h e n o m e n o l o g i c a l s t ra t e g y , s im i -l a r t o w h a t w e d i d i n C h a p t e r 5 , w h e n w e d i s c u s s e d a n i s o t r o p y e ff ec ts .In o t h e r w o rd s , w e s t a r t f ro m t h e c o n s i d e ra t i o n t h a t i n Eq. (9 .1 8 ) t h ee f f e c t o f d i so rd e r i s d e t e rm i n e d b y t h e m a t h e m a t i c a l p ro p e r t i e s o f t h e H Efu n c t io n , q u i t e i n d e p e n d e n t l y o f t h e m i c ro sc o p i c m e c h a n i sm s a c t u a l l y


14/42

268 CHAPTER 9 Dom ain W al l M ot ion

r e s p o n s i b l e f o r i t . T h e r e f o r e , j u s t a s w e c l a s s i f i e d a n i s o t r o p y e f f e c t s a c -c o r d i n g t o th e i r s p a t ia l s y m m e t r y , h e r e w e s h a ll c l a ss i fy d i s o r d e r a c c o r d i n gt o t h e s t a t is t i c a l p r o p e r t i e s o f H F. W e s h a l l s e e i n t h e n e x t s e c t i o n t h a t t h i sc l a s s i f i c a t i o n i s q u i t e h e l p f u l i n i d e n t i f y i n g g e n e r a l q u a l i t a t i v e f e a t u r e s o ft h e B a r k h a u s e n e f f e c t .

A c c o r d i n g t o t h e c o n s i d e ra t io n s m a d e w h e n w e i n t r o d u c e d H F, w ee x p e c t t w o d i s t i n c t c o n t r i b u t i o n s t o H v , a large-scale c o n t r i b u t i o n , m a i n l yr e l a t e d t o m a g n e t o s t a t i c e f f e c t s , a n d a short-scale f ine s t r u c t u r e , c o n t r o l l e db y s t r u c t u r a l d i s o r d e r . W e s h a l l a s s u m e t h a t t h e l a r g e - s c a l e p a r t c a n b ea p p r o x i m a t e d b y a p a r a b o l i c p o t e n t i a l w e l l, e n s u r i n g t h e l a r g e- s c a le s ta b i l-i t y o f t h e d o m a i n c o n f i g u r a t i o n t h a t w e a r e c o n s i d e r i n g . W e s h a l l t h u sw r i t e

(9.19)w h e r e S i s t h e s p e c i m e n c r o s s - s e c t io n a l a r e a a n d k~ i s t h e l a r g e - s c a l ep e r m e a b i l i t y o f t h e s y s t e m . I n o t h e r w o r d s , w e a r e a s s u m i n g t h a t , o n th ea v e r a g e , t h e s y s t e m i s t r a v e r s i n g a m a c r o s c o p i c m a g n e t i z a t i o n c u r v e o fc o n s t a n t s l o p e 4 d M / d H a = I ~/t~o .

T h e f i e ld H p(~b) d e s c r i b e s t h e r a n d o m e n e r g y f l u c t u a t i o n s a r o u n d t h el a rg e - s c a le c u r v e a n d h a s z e r o m e a n b y d e f i n i ti o n . W e sh a l l ca ll th i s t e r mp i n n i n g f i e ld . T h e r e a re t w o c h i e f f e a t u r e s e x p e c t e d t o d o m i n a t e t h e p i n n i n gf i e l d b e h a v i o r : random ne ss , w h i c h d e s t r o y s a n y c o r r e l a t i o n b e t w e e n p i n -n i n g f ie l d v a l u e s a t d i s t a n t p o i n t s , a n d t h e e x i s te n c e o f s o m e c h a r a c t e r is t i ccorrelat ion length, w h i c h m e a s u r e s t h e in t e ra c t io n r a n g e b e t w e e n t h e m o v -i n g w a l l a n d p i n n i n g s o u r c e s . T h e s i m p l e s t s t o c h a s t i c p r o c e s s c o n t a i n i n gt h e s e t w o e l e m e n t s i s t h e Orns te in -Uh le nbe c k p roc e s s , d e s c r i b e d b y t h ef o l l o w i n g Langevin equat ion:

a H p + = a wa 4 2A 2( a W ) = 0 ( la W l2 ) = - 7 - a 4(9.20)

In Eq . (9 .20), W (~b) is t he W i e n e r - L & y p r o c e s s a n d d W / d < k i s a f o r m a ln o t a t i o n t o i n d i c a t e t h e Gauss ian whi te -noise process . A p a r t f r o m t e ch n ic a ld e t a i l s , E q. (9 .2 0) i s j u s t th e e x p r e s s i o n o f t h e t w o c o m p o n e n t s w e w e r em e n t i o n i n g . R a n d o m n e s s is p r o v i d e d b y th e w h i te - n o i se t e r m d W / d < k ,w h i c h w i l d l y f l u c t u a t e s f o r n o m a t t e r h o w s m a l l a c h a n g e i n ~b. O n t h e

4Strictly speak ing, it w ou ld be m ore app ropriate to use the sym bol/z0,/,, instea d of ~,beca use/~ /p~ is a susceptibility rather th an a permeability. We shall not do that, to av oidcumbersome notations and also because the m ethods discussed here are m ostly applied tosoft materials, wh ere B ~ ~0M and/~/~0 = %


15/42

9.2 STOCHASTIC DOM AIN WA LL DYNAMICS 269o t h e r h a n d , c o r r e l a t i o n c o m e s f ro m t h e e x p o n e n t i a l r e l a x a t i o n i m p l i e d b ythe l e f t -han d s ide o f Eq . (9 .20) , w h ic h p r eve n t s Hp f ro m s t ri c tl y fo l l o w i n gd W / d c k on al l scales. In fact , Hp l o s e s m e m o r y o f a n y v a l u e p o s s i b l yacq u i red a t som e po in t ~b on ly w he n ~b inc reases by an am ou n t A~b --- s .The resu l t i s t ha t Hp --- W on a scale A~b < < ( , w he re as Hp --- dW/dck o na sca le A~b > > ~:, The p a ra m ete rs o f t he de sc r ip t io n a re the co r re l a t ionl e n g t h ( a n d t h e c h a ra c t e ri s ti c f ie l d A n , w h i c h m e a su re s t h e a m p l i t u d e o fHp f l u c tu a t i o n s . T h i s c a n b e s e e n b y c a l c u l a t in g t h e s t a t i o n a ry p ro b a b i l i t ya m p l i t u d e d i s t r i b u t i o n Po(Hp) assoc ia t ed wi th Eq . (9 .20) . One f inds

p0(/_/p) = 1 ( _ Hp2 ] (9.21)V '2 erA2 e x p 2 A 2 Jw h i c h sh o w s t h a t A n j u s t c o i n c id e s w i t h t h e r .m . s , v a l u e o f Hp f luc tua t ions .

9.2 .2 Wiener- l ike p inn ing f i e ldsT h e d e s c r i p ti o n o f d o m a i n w a l l d y n a m i c s h a s b e e n r e d u c e d t o t h e se t o fequat ions represented by Eq. (9 .18) , Eq. (9 .19) and Eq. (9 .20) . In sp i te ofh a v i n g l i m i t e d t h e tr e a t m e n t t o a s i n g le d e g re e o f f r e e d o m , t h e m a t h e m a t i -ca l s t ruc tu re o f t he p rob lem remains complex . Equa t ion (9 .18) i s an evo lu -t i o n e q u a t i o n fo r dck/dt in t ime , bu t Eq . (9 .20) desc r ibes the p inn ing f i e ldprop er t i e s i n space , t h a t i s , a s a func t ion o f ~b. Th i s i n t e rp lay o f space an dt i m e d e p e n d e n c i e s h a s , a s w e sh a l l s e e , f a r - r e a c h i n g p h y s i c a l c o n se -q u e n c e s , b u t i t i n t ro d u c e s n o n t r i v i a l c o m p l i ca t i o n s . W e sh a l l n o t d i s c u s st h e e q u a t i o n s i n t h e i r m o s t g e n e ra l f o rm , b u t o n l y i n a n a p p ro x i m a t i o nt h a t r e ta i n s t h e m a i n a sp e c t s o f p h y s i c a l i m p o r t a n c e , a n d , a t t h e s a m et i m e , r e d u c e s t h e p ro b l e m t o a t r a c t a b l e fo rm . Th e a p p ro x i m a t i o n l i e s i nc o n s i d e r i n g t h e b e h a v i o r o f t h e sy s t e m o v e r a ~b r a n g e m u c h sm a l l e rthan ~. As p r ev iou s ly m en t io ned , over th i s sca le the ex i s t ence o f a f in i teco r re l a t ion l eng th in Eq . (9.20) is no lo nge r pe rce ived , an d Hp(~b) beh ave sl ik e t h e W i e n e r p ro c e s s W (~b): H p h a s t h e s a m e p ro b a b i l i t y o f u n d e r g o i n gp o s i t i v e o r n e g a t i v e i n c re m e n t s w i t h i n c re a s i n g ~b, i n d e p e n d e n t l y o f i tsv a l u e . Th i s a p p ro x i m a t i o n i s c o n v e n i e n t l y i n t ro d u c e d b y t a k i n g t h e l i m i t

~ oo in Eq . (9.20) , an d by resca l ing A H so tha t , w he n t ak in g the l imi t ,t he ra t io A 2 / ( r e m a i n s e q u a l t o i t s o r i g i n a l v a l u e , w h i c h w e sh a l l d e n o t eb y A :A = ~: (9.22)

In the l imi t , t he t e rm H p / ~ of Eq. (9 .20) d isappears , and Hp(ck) r e d u c e st o th e W i e n e r -L6 v y p ro c es s , w i t h (]dHpl2) -- 2Ad ck. We reca ll t ha t t he W iener


16/42

2 7 0 CHAPTER 9 Do m ain W al l Mo t io n

p r o c e s s c a n b e i m a g i n e d a s t h e li m i t f o r A ~ ~ 0 o f a r a n d o m w a l k , w h e r e ,i n e a c h s m a l l s t e p A ~ , H p i n c r e a s e s o r d e c r e a s e s w i t h e q u a l p r o b a b i l i t yb y a sm a l l a m o u n t aHp,wi th I AHp l2 oc A 4~. A n e x a m p l e o f e n l a r g e d v i e wo f Hp(~) s h o w i n g t h e W i e n e r b e h a v i o r i s g i v e n i n F i g . 9 . 5 .

I n th e ap p r o x im a t io n , Eq . ( 9 .1 8 ) , Eq . ( 9 .1 9 ) , an d Eq . ( 9 .2 0 ) r ed u ce tooG -d-t = Ha (t) S /~

(drip) = 0 , ( I d H p l ) = 2 A d ~(9.23)

T h e a p p r o x i m a t e c h a r a c t e r o f E q . (9 .2 3) is e v i d e n t f r o m t h e f a c t t h a t t h eW i e n e r - L 6 v y p ro c e s s is n o n s t a t i o n a r y a n d w o u l d g i v e r is e t o a r b it r a r il yl a r g e p i n n i n g f i e ld f l u c t u a t i o n s i f i t w e r e e x t e n d e d t o a ll q~ v a l u e s . T h em e a n i n g o f E q . (9 .2 3) is m o r e l i m i t e d . I t o n l y s a y s t h a t , i f t h e d o m a i n w a l l

321

< ~-r -1-2- 3 7 ' s

~ /~0.8

100

0.60.4

~'~= 0.20.0

I- o . 2 o . & 5 o . & o o . o 7 5~/{

0.100

FIGURE 9.5 . Typical behav ior of the p inn ing f ie ld d escr ibed by Eq. (9.20) ondifferent ~ scales. Top: ~/s >> 1; Bottom: ~/s


17/42


18/42

272 CHAPTER 9 Dom ain W al l M ot ion

o f d y n a m i c a l s y s t e m s d i s c u s s e d i n S e c ti o n 2.3 . S t u d y i n g t h e f i ne s t r u c t u r eo f t h e m a g n e t i z a t i o n c u r v e ha ( x ) a m o u n t s to d e t e rm i n i n g t he phase por tra i to f Eq . (9 .2 7) f o r d i f f e r e n t v a lu e s o f c , t h a t i s , o f t h e ap p l i e d f i e ld r a t e ( F ig .9 .6 ). A s w e d i s c u s s e d i n S e c t i o n 2.3 , w h e n c i s s m a l l , t h e ha(x ) l i n e t e n d st o s t a y c l o s e t o x + h p ( x ) , e x c e p t f o r n e a r l y h o r i z o n t a l p a r t s , w h e r e B a r k -h a u s e n j u m p s o c c u r . I n t h i s r e g i m e , t h e w a l l e x h i b i t s a j e rky mot ion , c o n -s i st in g o f a r a n d o m s e q u e n c e o f B a r k h a u s e n j u m p s . C o n v e r se l y, w h e n ci s l a r g e , ha(x ) n o l o n g e r f o l l o w x + hp(x) i n d e t a i l , t h e B a r k h a u s e n j u m ps t r u c t u r e i s l o s t , a n d a c on t inuous m o t ion s e t s i n . W e s h a l l s e e i n t h e n e x ts e c ti o n th a t t h e b o u n d a r y b e t w e e n t h e se t w o r e g i m e s i s j u s t r e p r e s e n t e db y t h e c o n d i t i o n c = 1 .

9.2.3 Langevin approach to wall dynamicsI t i s a p p r o p r i a t e t o s t u d y t h e d y n a m i c s o f t h e s y s t e m n o t i n t e r m s o f t h ew a l l p o s i t i o n x, b u t i n t e r m s o f t h e w a l l v e l o c i t y v , d e f i n e d i n E q . ( 9 . 2 6 ) .T h e r e a s o n i s t h a t v h a s s t a t i o n a r y p r o p e r t i e s i n ti m e . B y t a k i n g t h e t i m ed e r iv a t iv e o f Eq . ( 9 .2 7 ) , we o b ta in

dv dhp (9.28)du +( v- c) =- du(dhp) = O, (Idhpl2} = 2vdu

FIGURE 9 .6 . Phase por t ra i t o f mo t ion in the random p inn ing f ie ld descr ibed byEq. (9.27). C om par e w ith Fig. 2.11.


19/42

9.2 STOCHASTIC DOM AIN W ALL DYNAM ICS 273

E q u a t i o n (9 .2 8) i s w r i t t e n i n a h e u r i s t ic b u t a m b i g u o u s f o r m . W h a t s h o u l db e p r e c i s e l y t h e m e a n i n g o f t a k i n g t h e t i m e d e r i v a t i v e o f a s t o c h a s t i cp r o c e s s t h a t is a r a n d o m f u n c t io n o f s p a c e is b y n o m e a n s o b v i o u s , a n dw e s h a l l h a v e t o c o m e b a c k t o t h i s p r o b l e m . B e f o r e t h a t , h o w e v e r , l e t u sc o n s i d e r t h e g e n e r a l s t r u c t u r e o f E q . (9 .2 8). E q u a t i o n (9 .2 8) h a s t h e t y p i c a ls t r u c t u r e o f a Langevin equat ion , b a s e d o n t h e s e p a r a t i o n o f th e large-scaleb e h a v i o r o f t h e s y s t e m , d e s c r i b e d b y t h e t e r m (v - c), f r o m t h e f in es t r u c t u r e o f shor t -range i n te r a ct io n s , d e s c r ib e d b y t h e r a n d o m t e r m d h p / d u .T h i s s c a l e s e p a r a t i o n w a s a c t u a l l y i n t r o d u c e d w h e n w e w r o t e t h e f r e ee n e r g y g r a d i e n t i n t h e f o r m o f E q . ( 9 . 1 9 ) . G i v e n t h e f a c t t h a t hp h a s z e r om e a n v a l u e , E q . ( 9 . 2 8 ) i m p l i e s t h a t , o n t h e a v e r a g e , t h e s y s t e m f o l l o w st h e l a w < v > = c, w h i c h i n p h y s i c a l u n i t s b e c o m e s

1 d(@) dHa (9.29)S dt = [~ dtT h i s is j u s t t h e m a c r o s c o p i c l a w e x p e c t e d a l o n g a l i n e a r m a g n e t i z a t i o nc u r v e o f s l o p e ] z . T h e t e r m d h p / d u o f E q . (9 .2 8) d e s c r i b e s t h e r a n d o md e v i a t i o n s f r o m t h e m a c r o s c o p i c l a w c a u s e d b y t h e f in e s t ru c t u r e o f t h ed o m a i n w a l l i n t e r ac t io n s w i t h t h e h o s t i n g s y s te m . T h e r e i s s o m e s i m i la r i tyb e t w e e n E q . (9 .2 8) a n d t h e L a n g e v i n e q u a t i o n d e s c r i b i n g Brow n ian m o t ion ,b r i e f l y d i s c u s s e d i n A p p e n d i x E . T h e t w o a p p r o a c h e s d i f f e r , h o w e v e r , i na n i m p o r t a n t p o i n t . In t he c a se o f B r o w n i a n m o t i o n , th e r a n d o m d r i v i n gt e r m i s a fo r ce t e r m , c h a r a c t e r i z i n g t h e t h e r m a l a g i t a t i o n t h a t c o u p l e s t h eB r o w n i a n p a r t i c l e to t h e t h e r m a l b a th . A c c o r d i n g l y , t h e L a n g e v i n e q u a t i o nd e s c r i b e s t h e f l u c t u a t i o n s o f t h e s y s t e m a t t h e r m o d y n a m i c e q u i l i b r i u m .O n t h e c o n t r a r y , E q . ( 9 . 2 8 ) d e s c r i b e s a z e r o - t e m p e r a t u r e p r o c e s s , w h e r et h e r a n d o m d r i v i n g t e r m i s a fo r ce ra t e o f c h a n g e , o r i g i n a t i n g f r o m s p a t i a lq u e n c h e d - i n d i s o r d e r , n o t t h e r m a l a g i t a t i o n , a n d f r o m t h e f a c t t h a t d i s o r -d e r i s p r o b e d b y t h e d o m a i n w a l l o n l y a s l o n g a s i t i s f o r c e d t o m o v e b yt h e a p p l i e d f i e l d .T h i s d i f f e r e n c e b r i n g s u s t o t h e m o s t d e l i c a t e a s p e c t o f E q . (9 .2 8), t h a ti s , t h e f a c t t h a t w e k n o w t h e s t a t i s t i c a l p r o p e r t i e s o f hp a s a f u n c t i o n o fx , b u t E q . (9 .2 8) f o r m a l l y c o n t a i n s t h e d e r i v a t i v e d h p / d u o f h , w i t h r e sp e c tt o t im e . W e k n o w t h a t th e v a r ia n c e o f t h e r a n d o m i n c r e m e n t dhp a s s o c i a t e dw i t h t h e s t e p dx in w a l l p o s i t i o n i s (]dhp]2) = 2dx. W e n e e d t o e s t i m a t et h i s v a r i a n c e f o r a g i v e n s t e p du in t ime . In Eq . (9 .28 ) , one makes thea s s u m p t i o n t h a t , t o e s t i m a t e t h e w a l l d i s p l a c e m e n t d x in d u , o n e s i m p l yw r i t e s dx = v du, s o t h a t t h e p i n n i n g f i e l d v a r i a n c e f o r a g i v e n t i m ei n c r e m e n t b e c o m e s (Idhpl2) -- 2dx = 2vdu. T h i s e x p r e s s e s t h e i n t u i t i v ei d e a t h a t t h e d o m a i n w a l l w i l l p r o b e m o r e o r l e s s hp f l u c t u a t i o n s j u s t i np r o p o r t i o n o f t h e d i s t a n c e c o v e r e d i n a c e r t a i n t i m e . R o u g h l y s p e a k i n g ,o n e c a n t h i n k o f t h e t e r m d h p / d u a s a w h i t e - n o i s e t e r m o f i n t e n s i t y


20/42


21/42

9 .2 STOCHA STI C DOM AI N W ALL DYNAMI CS 2 7 5

r e f l e c t in g b o u n d a r y f o r t h e s o l u t i o n . T h a t v = 0 s h o u l d p l a y a s p e c i a l ro l ei s a l s o e v i d e n t f r o m E q . (9 .3 0), b e c a u s e t h e s q u a r e r o o t o f v e l o c i t y b e c o m e ss i n g u l a r a t v = 0 .T h e r e a r e n a t u r a l e i g e n f u n c t i o n s o f E q . ( 9 . 3 1 ) s a t i s f y i n g t h e r e q u i r e db o u n d a r y c o n d i t i o n s . L e t u s t r y a s o l u t i o n o f t h e f o r m

Px(v,u) = Cx e x p ( - ,~u) v c-1 e x p ( - v) fx(v) , ,~ > 0 (9 .33)w h e r e ,~ i s t o b e d e t e r m in e d . By in se r t i n g Eq . ( 9.3 3) i n to Eq . ( 9 .3 2), wef i n d t h a t t h e r e q u i r e m e n t Je(v = 0 +) = 0 i s sa t i s f ie d i f

[vCdd~v] =0 ( 9 .3 4 )V = 0 +Th en , b y in se r t i n g Eq . (9 .3 3) i n to Eq . (9 .3 1) , w e f in d th e f o l lo w in g e q u a t io nf o r f a :

v d2f~ + (c - v ) ~ + ~f~ = 0 (9.35)d v 2E q u a t i o n ( 9 . 3 5 ) i s t h e e q u a t i o n o b e y e d b y t h e con f luen t hypergeome t r i c

f u n c t i o n s (I)(- ,~,c; v) and ~ ( - , L c ; v) . 9 is n o t a c c e p t a b l e b e c a u s e 9 ~ v 1-cf o r v ~ 0 , w h i ch d o es n o t sa t i s f y Eq . ( 9.3 4 ). Th i s i s n o t t h e ca se f o r (I),w h i c h i s f i n i t e a t v = 0 . H o w e v e r , 9 i s s i n g u l a r a t i n f i n i t y a n d y i e l d s i ng e n e r a l a n u n a c c e p t a b l e b e h a v i o r o f E q . (9 .3 3), u n l e s s ,~ i s r e s t r i c t e d t oin t eg e r v a lu es k ~ 0 . I n t h i s ca se , ~ ( - k , c ; v ) r e d u c e s t o t h e Laguerre

L k ( v ) , a n d a r e g u l a r b e h a v i o r a t i n f i n i t y i s o b t a i n e d . W e t h u so lynomia l c -1c o n c l u d e t h a t t h e e i g e n f u n c t i o n s f o r o u r p r o b l e m a r e of t h e f o r m

Pk(V,U) = Ck e x p ( - k u ) v c -1 e x p ( - v ) L ~ -l (v ), k = 0 , 1 , . . .(9.36)

T h e s o l u t i o n o f E q . ( 9 . 3 1 ) i s a s e r i e s i n t h e s e e i g e n f u n c t i o n s , w h e r e t h en o r m a l i z a t i o n f a c t o r s Ck a r e d e t e r m i n e d b y i m p o s i n g t h e i n i t i a l c o n d i t i o nP(v,u = O lvo) = 8(v - Vo). T h e f in a l r e su l t i sP(v,u[vo) = (9.37)

oo F(c)F(k + 1)1 vC_ 1 e x p ( - v ) ~ F ( c + k) L~,-l(Vo) L ~ , - l ( v ) e x p ( - k u )r(c) k=0w h e r e F (x ) i s t h e g a m m a f u n c t io n . I n t e re s t in g l y , th e s e r ie s c a n be s u m m e du p a n d e x p r e s s e d i n c l o s e d f o r m a sP ( v , u i v o ) - (9.38)[ v o v e xp ( - u ) ] (1 -c )/2 c - l l c - [ 2 [ v o v e x p ( - u ) ] l / 2 ] e x p ~ V - v o e x p ( - u ) ]

1 - e x p ( - u ) v 1L 1 - e x p ( - u ) J L .... 1 - e x p ( - u ) J


22/42

276 CHA PTER 9 Dom ain W al l M ot ion

w h e r e Ic_l(x ) is th e B e s s el fu n c t i o n o f i m a g i n a r y a r g u m e n t . F i g u r e 9 .7s h o w s a n e x a m p l e o f t h e t i m e e v o l u t i o n o f P(v,u[vo) c a l c u l a t e d f r o m E q .( 9.38 ), s t a r t i n g f r o m th e in i t i a l co n d i t i o n v 0 = 4 . W h e n u ~ o% a l l t r an s i en t sr e l a t e d t o t h e i n i t i a l c o n d i t i o n d i e a w a y a n d P t e n d s t o t h e stationaryampli tude dis tr ibution Po(v) o f th e p r o c ess . B y t ak in g th e l im i t u ~ oo inEq . (9 .37) , we f ind

1 c--1Po (v) = ~ v e x p ( - v ) (9 .3 9)T h e r e is a n e l eg a n t c o r r e s p o n d e n c e b e t w e e n t h e s o lu t io n s o f t h e d o m a i nw a l l m o t i o n a n d t h e B r o w n i a n m o t i o n p r o b l e m s (s ee A p p e n d i x E ). L a -g u e r r e a n d H e r m i t e p o l y n o m i a l s p l a y c o r r e s p o n d i n g r o l e s , a n d t h e i rw e i g h t f u n ct io n s , v c - l e x p ( - v ) a n d e x p ( - v 2 / 2 ) , g i v e t h e a s y m p t o t i c ve lo c -i t y d i s t r i b u t i o n a t t a i n e d o n c e a l l t r a n s i e n t s h a v e d i e d o u t .

9.2.4 Barkhausen jumps and energy diss ipationS o m e g e n e r a l a s p e c t s o f t h e d y n a m i c s d e s c r i b e d b y E q . (9 .3 7) e m e r g ec l e a r ly w h e n o n e c o n s i d e r s t h e p r o p e r t i e s o f t h e stationary amplitude distri-bution Po(v) a n d o f t h e autocorrelation fun ction R (Au ) o f t h e p r o c e s s . T h e s e

1 .2

0 .8>I1 0 .4

0.0

c = 1 . 5 O .

o o ~ \ I

2 4V

FIGURE 9.7 . A m pli tude d istr ibut ion P(v,u[vo) (Eq . 9 .38) as a funct ion of v forincreasing times u. The initial condition is v0 = 4. The asymptotic stat ionarydistrib ution reach ed in the limit u ~ oo is give n by Eq. (9.39).


23/42

9 .2 S T O C H A S T IC D O M A I N W A L L D Y N A M I C S 2 7 7

a re a l s o th e q u a n t i f ie s o f m a i n i n t e re s t i n t h e i n t e r p r e t a t i o n o f B a r k h a u s e ne f f e c t e x p e r i m e n t s .A m p l i t u d e d i s t r i b u t i o n . P o ( v ) i s d e f i n e d b y E q . ( 9 . 3 9 ) . D u e t o t h e p r e s e n c eo f t h e v c - 1 p o w e r - l a w t e r m , t h e b e h a v i o r o f P 0 f o r v ~ 0 h a s a q u a l i ta t i v ec h a n g e w h e n c c r o s s e s t h e v a l u e c - 1 . W h e n c < 1 , t h e f ac t t h a t P0b e c o m e s l a r ge f o r l o w v m e a n s t h a t w a l l m o t i o n h a s a n i n t e r m i t t e n t , j e r k yc h a ra c te r , w i t h s p a r s e v e l o c i t y b u r s t s , t h a t is , B a r k h a u s e n j u m p s , s e p a r a t e db y w a i t i n g t i m e s w h e r e t h e s y s t e m i s p r a c t i c a l l y a t r e s t . C o n v e r s e l y , t h em o t i o n t e n d s t o b e c o n t i n u o u s f o r c > 1 , be c a us e P 0 = 0 a t v = 0 ( F ig .9 .8 ). T h i s i s i n fa c t t h e k i n d o f b e h a v i o r t h a t w e a n t i c i p a t e d i n o u r q u a l i t a -t i v e a n a l y s i s o f F i g . 9 . 6 .

0.8c = 0 . 1

0 .6

~,- 0.4

o .o o 1 2 3 4 5

c = 23

~ 21oo.o o.1 0.2 0.3 0.4 0.5

u

F IGUR E 9 .8 Exa m ple o f wa l l ve loc i ty be ha v io r o b ta ine d by c om pu te r s im u la t ionsof Eq. (9.28) for c = 0.1 and c = 2 (cour tesy of Cinzia Beatr ice and Ale ssan droMagni) .


24/42


25/42

9 .2 S T O C H A S T IC D O M A I N W A L L D Y N A M I C S 2 7 9

0.8C=0.1

0.6

0.4

0 .0 . . . . . . '~ . . . . . , , . . i , . . . . . a0 1 2 3 ) 4 5

/0 . 1 60 . 1 2

0.08

0 . 0 4 r A/0 . 0 0 ~ . . . . . . ~ r , , i . M . J J3 . 0 3 . 2 3 . 4

U

C=0.1

3 . 6 3 . 8 4 . 0

FIGURE 9 .9 I l lus t ra t ion o f se l f - simi la r s t ruc tu re in the v p roce ss o f F ig . 9 .8 . rAi n d i ca te s t h e r e s o l u t i o n t h re s h o l d i d en t i fy i n g B a rk h au s en j u m p s , a s d i s cu s s ed i nthe text .

a p p l i e s t o a ll j u m p s o b s e r v e d i n th e w i n d o w . W e se le c t t h e w i n d o w i ns u c h a w a y t h a t v < A i n t h e w h o l e w i n d o w , a n d , a s p r e v i o u s l y m e n t i o n e d ,w e t a k e a s r e s o l u t i o n p a r a m e t e r rA , w i t h r < < 1. F o r t h e s u m o f t h ed u r a t i o n s o f t h e j u m p s o b s e r v e d i n A , w e c a n w r i te

A b / i f a~ ] - ~ ~ A u P u (A u ) d A u ~ 1 - r 2 - ~i r (9 .42)O n t h e o t h e r h a n d , c o n s i d e r i n g t h a t a j u m p is j u s t a n e v e n t d u r i n g w h i c hr A < v < A , w e c a n e q u a l l y w e l l w r i t e

A u i f a, ~ ~ P o ( v ) d v ~ 1 - r c (9 .43)i r


26/42


27/42


28/42

282 CHA P TER 9 Dom ain W al l Mot ion

r e a r r a n g e m e n t s . T h e s e m e t h o d s a re o f p r a ct ic a l i m p o r t a n c e b u t t h e y g i vee x p e r i m e n t a l s i g n a l s t h a t a r e d i f f i c u l t t o i n t e r p r e t t h e o r e t i c a l l y , b e c a u s eo n e u s u a l l y d o e s n o t k n o w i n d e t a i l t h e t r a n s f e r f u n c t i o n b e t w e e n t h em a g n e t i z a t i o n c h a n g e s i n t h e m a t e r i a l a n d t h e m e a s u r e d s i g n al . T h e g r e a ta d v a n t a g e o f t h e a r r a n g e m e n t o f F ig . 1.5 is t h a t t h e m e a s u r e d s i g n a l isd i r e c tl y p r o p o r t i o n a l to t h e s p a c e a v e r a g e o f t h e i n d u c t i o n r a t e o f c h a n g edB/dt o v e r s o m e v o l u m e o f t h e m a t e r i a l, a n d a ll t r a n s f e r fu n c t i o n c o m p l i c a -t i o n s a r e r u l e d o u t .

9.3 .1 General propert ies of Barkhausen s ignalsS u p p o s e w e t r a v e r s e a c e r t a in m a g n e t i z a t i o n c u r v e , f o r e x a m p l e , th e m a j o rl o o p s h o w n i n F i g . 9 . 1 0 , f r o m s a t u r a t i o n t o s a t u r a t i o n , b y a p p l y i n g a n

I I I I I I I I Il l t l l l l l l l

! I

H y s t e r e s i sl o o p

B a r k h a u s e n ~ .s i

FIGURE 9 .10 . Schemat ic representa t ion of hys teres i s loop and corresp ond ingBarkhausen s ignal detected under cons tant ra te of increase of the appl ied f ie ld .The s ignal sho wn in F ig . 1 .10 shou ld be tho ugh t of as a shor t f ragme nt of a signall ike the presen t one, bu t m easu red un de r a low er f i e ld ra te . The s ta t is t ica l ensemb leavera ge of the Barkh ausen s ignal is propor t iona l to the d i f ferent ia l perme abi l i tyof the magnet iza t ion curve .


29/42

9.3 THE BARK HAUSEN EFFECT 283e x t e r n a l f i e ld H a i n c r e a s i n g a t t h e c o n s t a n t r a t e d H a / d t . B y F a r a d a y ' s l aw ,t h e v o l t a g e V ( t ) i n d u c e d i n t h e s e c o n d a r y c o i l i s p r o p o r t i o n a l t o t h e r a t eo f c h a n g e o f t h e i n d u c t i o n f l u x l i n k e d t o t h e c o i l . W e a s s u m e t h a t t h es e c o n d a r y w i n d i n g is s o n a r r o w t h a t w e c a n s a f e ly a t tr i b u t e t h e d e t e c t e ds i g n a l to a w e l l - d e f i n e d c r o s s - s e ct i o n o f t h e s p e c i m e n . U n d e r t h e s e c o n d i -t ions , V ( t ) i s p r o p o r t i o n a l t o t h e s u r f a c e a v e r a g e o f t h e i n d u c t i o n r a t e o v e rt h e m e n t i o n e d c r o ss - se c t io n . L e t u s d e n o t e t h i s a v e r a g e i n d u c t i o n r a t e b ydB/d t . S u p p o s e n o w w e r e p e a t t he e x p e r i m e n t m a n y t im e s u n d e r i d e nt ic a lc o n d i t io n s a l o n g t h e s a m e m a g n e t i z a t i o n c u r v e . In t hi s w a y , w e g e n e r a t ea s t a t i s t i c a l e n s e m b l e o f s i g n a l s w h i c h , o n t h e a v e r a g e , a r e p r o p o r t i o n a lt o t h e d i f f e r e n t i a l p e r m e a b i l i t y / ~ a l o n g t h e m a g n e t i z a t i o n c u r v e . I n f a c t ,w e h a v e

( V ( t ) ) ~ - ~ = ~ = lz d t (9.54)w h e r e t h e a n g l e b r a c k e t s i n d i c a te t h e a v e r a g e o v e r t h e s ta t is t ic a l e n s e m b l ea n d w e h a v e t a k e n in to a c c o u n t t h at dHa/d t i s s i m p l y a c o n s ta n t . H o w e v e r ,t h e o u tc o m e V ( t ) o f a n i n d i v i d u a l e x p e r i m e n t w i l l b e d i ff e re n t e a c h t im ea n d w i l l d e p a r t f r o m < V ( t) > b y t h e p r e s e n c e o f a s tochas t ic component ( seeF i g . 9 . 1 0 ) . T h i s s t o c h a s t i c c o m p o n e n t r e p r e s e n t s t h e B a r k h a u s e n e f f e c t .

T h e r e la t iv e i m p o r t a n c e o f t h e s to c h a st ic a n d a v e r a g e c o m p o n e n t s o fV ( t ) d e p e n d s o n d H a / d t . W h e n t h e f i e ld r a te is s m a l l e n o u g h , t h e a v e r a g ec o m p o n e n t < V ( t) > b e c o m e s n e g l ig i b le a n d f l u c tu a t i o n s d o m i n a t e . T h i s ist h e c o n d i t i o n r e a l i z e d i n F i g. 1 .1 0 . W e s e e i n t h a t f i g u r e t h a t t h e l o w - r a t es ig n a l r es u l ts i n a r a n d o m s e q u e n c e o f b u r s t e v e n t s d i s t r ib u t e d o v e r ab r o a d r a n g e o f s iz e a n d d u r a t i o n . T h e s e b u r s t s a r e c a ll e d Barkhausenj u m p s . I n t h e p r e v i o u s c h a p t e rs , th e t e r m B a r k h a u s e n j u m p h a s b e e n u s e de x t e n s i v e l y t o r e f e r t o t h e i n s t a b i l i t i e s w h e r e a g i v e n s y s t e m a b a n d o n s as t a t e i n f a v o r o f s o m e o t h e r s t a t e o f l o w e r e n e r g y . H e r e w e u s e t h e s a m et e r m t o d e s c r i b e t h e e x p e r i m e n t a l m a n i f e s t a t i o n o f t h o s e i n s t a b i l i t i e s .W h e n t h e s y s te m j u m p s t o th e n e w s ta te , i t c o m m o n l y ( a l t h o u g h n o tn e c e ss a ri ly ) c a u s e s a r a p i d c h a n g e o f m a g n e t i z a t i o n i n s o m e v o l u m e o ft h e m a t e r i a l . T h e r e f o r e , f o r s o m e t i m e d B / d t a c q u i r es h i g h v a l u e s, w h i c ha r e d e t e c t e d b y t h e p i c k - u p c o i l . T h e c e n t r a l p r o b l e m i s t o t r a n s l a t e t h es t a ti s ti c a l p r o p e r t i e s o f t h e m e a s u r e d s i g n a l i n t o s o m e i n f o r m a t i o n o n t h es t r u c t u r e o f t h e f r e e e n e r g y s u r f a c e a t t h e o r i g i n o f t h e i n s t a b i l i t i e s .

T h e s t a t e m e n t t h a t t h e s to c h a st ic c o m p o n e n t o f t h e B a r k h a u s e n s i g n a lc a n b e a v e r a g e d o u t b y p r o p e r s ta t is ti ca l e n s e m b l e a v e r a g e s n e e d s s o m ef u r t h e r q u a l i f i c a t i o n . S u p p o s e w e d r i v e t h e s y s t e m b y a p e r i o d i c f i e l dw a v e f o r m a n d w e m e a s u r e t h e B a r k h a u s e n s ig n a l o v e r s u b s e q u e n t c y cle s.I f t h e f i e l d r a t e i s l o w , o n e w i l l o b s e r v e a s i g n a l l i k e t h e o n e o f F i g. 1 .1 0 .


30/42

284 CHA PTER 9 Dom ain W al l M ot ionT h e n o i s y a p p e a r a n c e , h o w e v e r , s a y s n o t h i n g a b o u t t h e r e p e a t a b i l i t y o ft h e s i g n a l o v e r s u b s e q u e n t c y c l e s . A s a n e x t r e m e c a s e , t h e s i g n a l m i g h tbe e xa c t l y t he s a m e f r om one c yc le to t he ne x t , i n s p i t e o f i ts c om p l i c a t e ds t r uc t u r e . I n t h i s c a s e , t he r e w ou l d be no po i n t i n i n t r oduc i ng a s t a t i s t i c a le n s e m b l e m a d e u p o f s u b s e q u e n t s i g n al s, b e c a u s e t h e y w o u l d b e i d e n ti ca l.T h e q u a n t i t y o f i n te r es t w o u l d l o o k n o i s y b u t i t w o u l d a c tu a l ly d e s c r ib ea f u l l y de t e r m i n i s t i c p r oc e s s . T he de g r e e o f r e pe a t a b i l i t y o f t he B a r kh a us e ns ig n a l m a y b e v a r ia b le , d e p e n d i n g o n t h e p a r t ic u l a r m a g n e t i z a ti o n c u r v e ,t h e m a t e r i a l c o n s i d e re d , t h e a v e r a g e m a g n e t i z a t i o n r a te , a n d s o on . W h e nt h e s i g n a l s in s u b s e q u e n t m a g n e t i z a t i o n c y c l es a re n o t i d e n ti c al , o n e c a nc o n c l u d e t h a t t h e s y s t e m d o e s n o t t r av e r s e a u n i q u e m a g n e t i z a t io n c u r v e,b u t m a n y , n e a r ly e q u i v a l e n t c u r v e s w i t h a fin e r a n d o m s t ru c t u r e t h a t isd i f f e r e n t f r om c yc l e t o c yc l e . T h i s r e f l e c t s t he f a c t t ha t t he s y s t e m m ove se a c h t i m e a l o n g d i ff e r e n t p a t h s i n p h a s e s p a c e, p a t h s t h a t a re n o t d e t e r m i n -i s t i c a l l y c on t r o l l e d by t he e x t e r na l f i e l d . T he r m a l a g i t a t i on m a y p l a y ar o l e in s e l e c t ing s l i gh t l y d i f f e r e n t pa t h s e a c h t i m e , o r s i m p l y t he f a c t tha t ,e v e n w h e n w e t h i n k t h a t w e a r e d r i v i n g t h e s y s t e m t o a w e l l - d e f i n e dr e f e r e nc e s t a t e ( e . g . , s a t u r a t i on ) t o p r e pa r e t he s y s t e m i n i de n t i c a l c ond i -t i ons , i n r e a l i t y e a c h t i m e w e ge t a s l i gh t l y d i f f e r e n t i n i t i a l s t a t e . I n t her e s t o f th i s s e ct io n , w e s h a l l n o t c o n s i d e r t h e s e a s p e c t s a n y m o r e , a n d w es h a l l j u s t a s s u m e t h a t a c o n v e n i e n t s t a t i s t i c a l e n s e m b l e o f e x p e r i m e n t sc a n be de f i n e d , o f w h i c h w e i nv e s t i ga t e t he s t a t is t ic a l p r op e r t i e s .

L e t u s n o w f o c u s a t t e n t io n o n t h e p r o p e r t i e s o f t h e B a r k h a u s e n s i g n a la l o n g a g i v e n m a g n e t i z a t i o n c u r v e . T o f ix th e i d e a , l et u s i m a g i n e t r a v e r s -i n g t h e s a t u r a t i o n l o o p f r o m n e g a t i v e t o p o s i ti v e s a t u r a t io n . W e c o n s t r u c ta s t a ti s ti c a l e n s e m b l e o f s i gna l s o f t he t yp e s ho w n i n F i g . 9 .10 , by r e p e a t i ngt h e m e a s u r e m e n t o v e r s u b s e q u e n t c y c l e s . T h u s w e h a v e a c o l l e c t i o n o fs i gna l s t ha t c a n be e xp r e s s e d a s a f unc t i on o f t i m e , f i e l d , o r i nduc t i ona l on g t he ha l f - l oop . W e s ha l l de no t e t he i n d i v i du a l s i gna l by V ( t) , V ( H a ) , o rV ( B), d e p e n d i n g o n c o n v e n i e n c e . T h e s ig n a l a v e r a g e < V > a n d i ts v a r i a n c e< & V 2> = < V 2> - < V > 2 w i l l a l s o be i n ge ne r a l f unc t i ons o f f ie l d o r m a gn e t i -z a t i o n a l o n g t h e h a lf - lo o p . I t is im p o r t a n t n o t t o c o n f u s e t h e s e e n s e m b l ea v e r a g e s w i t h t im e a v e r a g e s , b e c a u s e t h e s ig n a l s m e a s u r e d a r e i n g e n e r a lnonstationary a l o n g t h e h a l f - l o o p . T h e r e i s m o r e t h a n o n e r e a s o n f o r e x -pe c t i ng a non s t a t i o na r y s i gna l . I n pa r t i c u l a r , E q . ( 9 .54 ) s h ow s t ha t , i n a ne x p e r i m e n t p e r fo r m e d u n d e r c o n s t an t dHa/dt , < V > is p r o p o r t i o n a l t o th ed i f f e r e n t i a l p e r m e a b i l i t y a l o n g t h e m a g n e t i z a t i o n c u r v e , w h i c h a s a r u l ei s no t c ons t a n t . T he r e i s no t h i ng o f pa r t i c u l a r s i gn i f i c a nc e i n t h i s c a us eo f n o n s t a t i o n a r i t y , w h i c h i s j u s t t h e c o n s e q u e n c e o f t h e p a r t i c u l a r f i e l de x c i t a t i o n e m p l o y e d . H o w e v e r , t h i s i s c o m m o n l y t h e r e a s o n w h y o n ef i n d s t h e B a r k h a u s e n e f fe c t m a i n l y c o n c e n t r a t e d a r o u n d t h e c oe r ci v e fi el dpo i n t . I n f ac t, one e xp e c t s t ha t , a t l e a s t to a f i rs t a pp r o x i m a t i on , t he n o i s e


31/42

9.3 THE BARK HAUSEN EFFECT 285i n t e n s i t y < ZkV 2> ~ < V > . F r o m t h e p r e v i o u s c o n s i d e r a t io n s , o n e c o n c l u d e st h a t < A V 2 > ~ / z a t co n s t a n t d H a / d t , a n d / z t y p ic a ll y a t ta i n s its m a x i m u mj u s t a r o u n d t h e c o e r ci v e fi el d p o in t . F r o m t h is v i e w p o i n t , t h e f a ct th a t t h en o i s e i s p e a k e d a r o u n d c o e r c i v i t y i s t h e r a t h e r o b v i o u s c o n s e q u e n c e o ft h e f a c t t h a t t h a t i s t h e p o i n t w h e r e t h e f a s t e s t m a g n e t i z a t i o n r a t e i si n d u c e d i n t h e m a t e r i a l .

T h e n a t u r a l q u e s t i o n a t th i s p o i n t i s w h e t h e r s o m e r e s i d u a l n o n s t a -t i o n a r i t y w o u l d p e r s i s t i n t h e s i g n a l e v e n i f t h e a v e r a g e i n d u c t i o n r a t e w e r e k e p t c o n s t a n t o v e r t i m e . < d B / d t > i s t h e n a t u r a l m e a s u r eo f t h e a v e r a g e n u m b e r o f i n s ta b i li ti e s t h a t a re p r o d u c e d p e r u n i t t im e b yt he f ie l d ac t ion , a n d t he B a r k ha u s e n e f f e ct a t c ons t a n t r e p r e s e n t sa m e a s u r e o f t he t yp i c a l s i z e o f t he s e i n s t a b i l i t i e s . H ow t o t r a ve r s e t heh a l f - l o o p a t c o n s t a n t is s h o w n b y E q . (9 .5 4 ) . O n e h a s s i m p l y t oa pp l y a f i e l d r a t e d H a / d t ~ 1 / /z . U n d e r t h e s e c o n d i t i o n s , t i m e b e c o m e sp r o p o r t i o n a l t o i n d u c t io n , w h i c h m e a n s t h a t th e f ie ld w a v e f o r m to a p p l yis m a d e u p o f t h e t w o b r a n c h e s o f t h e h y s t e r e s is l o o p it se lf , e x p r e s s e d a sH a(B ), as B i s n o w p r o p o r t i o n a l t o t im e . F i g u r e 9 . 1 1 s h o w s t h e b e h a v i o ro f the B a r k ha us e n no i s e i n t e ns i t y < ZkV 2(B )> a l ong t he ha l f - l oop , m e a s u r e du n d e r c o n s t a n t < d B / d t > i n g r a i n o r i e n t e d S i - F e . W e s e e t ha t t he c l a i mt ha t t he no i s e is c onc e n t r a t e d a r o un d t he c oe r c i ve f i e ld po i n t (i.e ., B = 0 )is b y n o m e a n s t r u e a n y m o r e . T w o m a x i m a a r e f o u n d i n th e n o i s e in t en s it y ,a p p r o x i m a t e l y l o c a t e d a t t h e k n e e s o f t h e m a g n e t i z a t i o n l o o p . C o n v e r s e ly ,t h e i n t e n s i ty i s a t a m i n i m u m a r o u n d t h e c o e rc iv e f ie ld p o i n t . T h e r e a s o nf o r t h i s r e s u l t i s t h a t p h y s i c a l l y d i f f e r e n t m e c h a n i s m s c o n t r i b u t e t o t h en o i s e . T h e t w o p e a k s c o r r e s p o n d t o i n s t a b i l i t i e s i n w h i c h n e w d o m a i n sa r e c r e a te d o r e x i s ti n g d o m a i n s a r e d e s t r o y e d . T h e s e n u c l e a t io n a n d a n n i -h i l a t i o n p r o c e s s e s e n t a i l m o d i f i c a t i o n s i n t h e d o m a i n s t r u c t u r e t o p o l o g ya n d p r o d u c e l ar g e -s c a le in s ta b i li ti es , w h e r e g l o b a l d o m a i n r e a r r a n g e m e n t so v e r t h e w h o l e s a m p l e v o l u m e t a k e p l a c e . O n t h e c o n t r a r y , t h e d o m a i ns t r u c t u r e i s w e l l d e v e l o p e d a n d t o p o l o g i c a ll y s ta b l e a r o u n d t h e c o er ci v ef ie ld p o i n t . T h e n o i s e o r i g i n a t e s h e r e f r o m s t o ch a s ti c m o t i o n o f t h e d o m a i nw a l l s s u b j ec t t o r a n d o m p i n n i n g f ie ld s , a s d i s c u s s e d i n t h e p r e v i o u s s ec -t i o n . T h e e n s u i n g i n s t a b i l i t i e s r e s u l t i n l o c a l i z e d j u m p s o f d o m a i n w a l ls e g m e n t s a n d g i v e r i s e t o s m a l l e r n o i s e b u r s t s .

T h e s e c o n s i d e r a t i o n s s h o w t h a t t h e B a r k h a u s e n s i g n a l h a s a n e x -t r e m e l y r i ch s t ru c t u r e a n d c o n t a i n s in f o r m a t i o n o n m a n y a s p e c t s o f t h em a g n e t i z a t i o n p r o c e s s . I n th i s r es p e c t, i t m a y o f t e n b e a p p r o p r i a t e t o c a r ry

Documents

Chapter 9 - Domain Wall Motion