Chapter 8 PVR

8/14/2019 Chapter 8 PVR

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C h a p t e r 8

D E

F L E C T

I O N S D

U E T O

B E

N D I N G



C o n t e n t s :

T h e m o m e n t c u r v a t u r e r e l a

t i o n

I n t e g

r a t i o n o f m o m e n t c u r v

a t u r e r e l a t i o n

P r i n c

i p l e o f S u p

e r p o s i t i o n

L o a d

- d e f l e c t i o n

d i f f e r e n t i a

l e q u a t i o n

E n e r g y m e t h o d s



D e f o r m a t i o n o f a n e l e m e n t o

f a b e a m s u b j e c t e d

t o b e n d i n g m o m e n

t s M

T h e m o m

e n t c u r v a t u r e r e l a t i o n :





( 8 . 2 )

( 8 . 1 )



( 8 . 3 )

( 8 . 4 )

M o m

e n t c u r v a t u r e r e l a t i o n

W h e r e E I i s f l e x u

r a l r i g i d i t y

o r b e n d i n g

m o d u l u s f o r b e a m



I n s o l v i n g b e a m d e f l e c t i o n p r

o b l e m w e w i l l

u s e t h e

t h r e e s t e p

s o f ( 2 . 1 )

S t u d y

o f e q u i l i b r

i u m t o o b t a

i n M b a s a

f u n c t i o n o f x

M o m e n t c u r v a t u

r e r e l a t i o n g i v e s

a p p r o x i m a t e c u r v a t u r e a s a f

u n c t i o n o f x

I n t e g r a t i o n o f t h e m o m e n t c

u r v a t u r e

r e l a t i o n

g i v e s t o t a l d e f l e c t i o n

a l o n g x . T h e

g e o m e t r i c c o m p a t i b i l i t y w i l l b

e h e l p f u l t o

g e t

t h e c o n

s t a n t s o f i n

t e g r a t i o n .





F i x e

d s u p p o r t

M

b ≠ 0



S i m p l y s u p p o r t e d b e a m ( a ) b e f o r e a n d ( b )

a f t e r a p p l i c a t i o

n o f l o a d

W E X . 1

F i n d t h e d e f l e c t i o n

c u r v e

o f t h e d e f o

r m e d

n e u t r a l a x i s



F r e e b

o d y d i a g r a

m o f b e a m

a n d s e g m e n t

o f b e a

m



E x p r e s s i o n f o r b e n d i n

g m o m e n t

u s i n g s i n g u l a r i t y

f u n c t i o n

( a )

D e f l e c t i o n c u r v e

f o r n e u t r a l a x i s o f

t h e b e

a m

( g )



E x . 2 A w o o d e n b e a m w i t h a m

a x i m u m

c o n c e n t r a t e d l o a d a t t h e c e n t r

e h a s f o l l o w i n g

s p e c i f i c a

t i o n s . F i n d

m a x i m u m

d e f l e c t i o n a n d

s l o p e



r a d

E I

W

m m

E I

W

L

d x d v

L

x L x

0 0 4 2

. 0

1 6

(

0 0 5 1 8

.

0

4 8

2

0

3

2

) )

(

− =

−

=

−

=

−

= =

=

ν

( g )

T h e m a

x i m u m d e f l e c t i o n a n d

s l o p e i s

g i v e n b

y

T h e d e f l e c t i o n c u r v e

f o r a b e a m

i s g i v e n b y



( 8 . 4 )

M o m e n t c u r v

a t u r e r e l a t i o n

I n

s o l v i n g b e

a m d e f l e c t i o n p r o b l e m

w e h a v e u s e d t h e t h r e e s t e p s o f ( 2 . 1

)



E x . 3 F i n d t h e d e f l e c t i o n

δ a n d t h e

s l o p e a n g l e φ

a t B d u

e t o t h e s e l o a d s .



F . B . D i a g r a m o

f e l e m e n t

( a )

1 ) E q u i l i b r i u m r e q u i r e m e n t



2 ) F o r c e

d e f o r m a t i o n r e l a t i o n

( b )

3 ) G e o

m e t r i c c o m

p a t i b i l i t y

( c

)



T h e d e

f l e c t i o n δ a

t B i s

( g )

T h e s l o p e φ a t B

i s

( h )







S u p e r p o s i t i o n

T h e t o

t a l d e f l e c t i o n i s t h e s u

m o f d e f l e c t i o n s

d u e t o i n d i v i d u a l l o a

d ( M )

T h e d e f l e c t i o n s i n t h e s t a n d a r d c a s e s a r e

g i v e n i n t a b l e 8 . 1 . T

h e s o l u t i o n

o f t h e o r i g

i n a l

p r o b l e m

t h e n t a k e s

t h e f o r m o f a s u p e r p o

s i t i o n

o f t h e s e s o l u t i o n s .

D e f l e c

t i o n o f a b e a m i s l i n e a r l y p r o p o r t i o n a l

t o t h e a p

p l i e d l o a d .



T h i s l i n e

a r i t y d e p e n

d s o n t h e f a c t t h a t w e

a r e

c o n s i d e r i n g l i n e a r e

l a s t i c m a t e

r i a l

M o m e n t – c u r v a t u r

e r e l a t i o n s . ( a ) L i n e a r ; ( b )

n o n l i n e a

r



T h e l i n e a r i t y b e t w e e n

c u r v a t u r e

a n d d e f l e c t i o n

i s b a s e d o n a s s u m p t i o n t h a t

D e f l e c t i o n s a r e s m

a l l

m a t e r i a l i s l i n e a r l y

e l a s t i c

T h e l i n e

a r d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n f o r d e f l e c

t i o n i s

( 8 . 4 )



F i n d t h e d e f l e c t i o n

a t t h e f r e e

e n d



I l l u s t r a t i o n o f s u p e

r p o s i t i o n p r i n c i p l e





R e f e r r i n g t o t a b l e

T h e c o m

p l e t e d e f l e

c t i o n c u r v e c a n b e

o b t a i n e d b y a d d i n g

d e f l e c t i o n s a s f u n c t i o

n

o f x







T h e L o

a d – D e f l e

c t i o n D i f f e

r e n t i a l

E q u a t i

o n

A n a l t e r n a t i v e m e t h o d t o s o

l v e b e a m

d e f l e c t i o

n p r o b l e m





• A u n i f o r m

c i r c u l a r

b a r o f l e n g

t h L a n d d

i a ‘ d ’

e x t e n d

s b y a n a m o

u n t ‘ δ ’ u n d e r a t e n s i l e p u

l l ‘ p ’ .

F i n d t h

e m a x i m u m

d e f l e c t i o n i n t e r m s o f ‘ δ

’ a n d

‘ p ’ , i f t h e b a r i s u s e d a s a s i m p l y s u p p

o r t e d

b e a m a t i t s e n d s a n d c a r r y i n g a

c e n t r a l l o a d

‘ w ’ .

• A l s o

f i n d

t h e r a t i o

‘ ν ’ m a x

/ δ

, i f L = 8 0 d

a n d

M a x i m u m

b e n d i n g

s t r e s s d u e t o ‘ W ’ i s e q u a l t o

0 . 9 t i m

e s t h e t e n s i l e s t r e s s d u e

t o p u l l ‘ p ’ .



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