Chapter 1 Introduction to Differential Equationssoc.chonnam.ac.kr/yckim/public_html/data/engineering... · 2018-09-05 · Engineering Mathematics Lecture Note Chapter 1: Intro to

Engineering Mathematics Lecture Note Chapter 1: Intro to Differential Eqns

Advanced Engineering Mathematics, 5th ed., by Dennis G. Zill and Warren S. Wright Page 01-1

Chapter 1 Introduction to Differential Equations

1.1 Definition and Terminology

■ Introduction

- 미분방정식: 도함수를 포함하는 식의 풀이를 암시함

- 이 주제에 관한 기본적인 정의와 용어들을 고찰함

■ A Definition

20.1( ) xy x e

20.10.2 0.2 , or 0.2xdy dyxe xy xydx dx

(1)

- 식 (1)이 주어졌을 때 ( )y x 를 어떻게 구할 수 있을까?

- 주어진 도함수에 대하여 그의 역도함수를 찾는 문제



Definition 1.1.1 Differential Equation

(도함수를 포함하는 방정식) 미분방정식 (Differential Equation)

■ Classification by Type

Example 1 Types of Differential Equations

- 상미분 방정식 (ODE; Ordinary differential equation)

한 개의 독립변수에 대한 상도함수를 포함하는 방정식

6 xdy y edx

,

2

2 12 0d y dy ydx dx

, and

3 2dx dy x ydt dt

an ODE can contain more

than one dependent variable

( 5 xy y e , 6 0y y y , and 2x y x y )



- 편미분 방정식 (PDE; Partial differential equation)

두 개 이상의 독립변수에 대한 한 개 이상의 종속변수의 편도함수를 포함하는 방정식;

2 2 2 2

2 2 2 20, and u u u u u u vx y x t t y x

( , , , , ,0, 2 and xx yy xx tt t y xu u u u u u v )

■ Notation

Leibniz notation: 2 2/ , / , ,dy dx d y dx

Prime notation: , ,y y

Newton’s dot notation: , ,s s (시간 t 에 대한 미분 표현에 사용됨)



■ Classification by Order

방정식의 계수 (Order): 미분방정식에 들어 있는 최고계 도함수의 계수

Example 2 Order of a Differential Equation

32

2

5 4 xd y dy y edx dx

Highest Order

2 계 상미분 방정식

4 2

4 2

2 0u ux t

Highest Order

4 계 상미분 방정식

( )( , , , , ) 0nF x y y y ; n-계 미분방정식의 일반형

( 1)( , , , , )n

nn

d y f x y y ydx

; 정규형 (Normal form)

2

2( , ) ( , d , )andy d yf x y f x y ydx dx

; 1 계 / 2 계 상미분방정식의 정규형 (Normal form)



■ Classification by Linearity

( )( , , , , ) 0nF x y y y 가 ( ), , , ny y y 에 대해 선형인 경우 선형미분방정식

1

1 1 01( ) ( ) ( ) ( ) ( )n n

n nn n

d y d y dya x a x a x a x y g xdx dx dx

n-계 선형 상미분방정식

- 종속변수 y 와 그 도함수는 모두 1 차식

- 각 계수는 독립변수만의 함수

2

1 0 2 1 02( ) ( ) ( ) (and ) ( ) ( ) ( ) dy d y dya x a x y g x a x a x a x y g xdx dx dx

1 계 / 2 계 선형 상미분방정식



Example 3 Linear and Nonlinear Differential Equations

(a) 1 계 / 2 계 / 3 계 선형 상미분방정식의 예:

3

3( ) 4 0, 2 0, 3 5 xd y dyy x dx x dy y y y x y edx dx

(b) 1 계 / 2 계 / 4 계 비선형 상미분방정식의 예:

Nonlinear term;coefficient depends on

(1 ) 2y

xy ey y

,

Nonlinear term;nonlinear funct2

2

ion of

0siny

d ydx

y ,

Nonlinear term;power not

24

1

4 0d ydx

y



■ Solution

Definition 1.1.2 Solution of an ODE

함수 ( )x 를 주어진 미분방정식에 대입하여 그 방정식을 만족시키는 경우 해 (Solution)

( )( , ( ), ( ), , ( )) 0 for all in nF x x x x x I

■ Interval of Definition; 함수와 함수의 도함수가 정의되는 구간 I , 여러 이름으로 부름

정의 구간 (Interval of definition)

존재 구간 (Interval of existence)

유효 구간 (Interval of validity)

해의 정의역 (Domain of the solution)

개구간 ( , )a b , 폐구간 [ , ]a b , 또는 무한구간 ( , )a 등이 될 수 있음.



Example 4 Verification of a Solution

주어진 함수가 구간 ( , ) 에서 미분방정식의 해 임을 증명하기.

(a) 1/ 2/dy dx xy ,

4 /16y x

(b) 2 0; xy y y y xe

Solution

(a) 좌변:

3 3

416 4

dy x xdx

우변:

1/ 24 2 31/ 2

16 4 4x x xxy x x

좌변과 동일

(b) 좌변: 2 ( 2 ) 2( ) 0x x x x xy y y xe e xe e xe 우변과 동일

Note) 위의 (a), (b)에서 0y 도 solution 이다. 이것을 자명해 (trivial solution)라고 부름.



■ Solution Curve

상미분방정식의 해 ( )x 의 곡선 해곡선 (Solution Curve)

주의: 함수 ( )x 의 영역과 해 ( )x 의 정의구간 I 는 다를 수 있음.

함수의 영역 (Domain): 함수가 정의되는 영역

해의 구간 (Interval) I : 해가 정의되는 영역의 부분집합

Example 5 Function vs. Solution

(ex) 1/y x ( 0xy y 의 해)

영역 (Domain): 0x 을 제외한 모든 점

해의 구간 (Interval): 0x 을 포함하지 않은 모든 구간

예: ( 3, 1), (1/ 2,10), ( ,0), (0, )



■ Explicit and Implicit Solutions

Explicit solution (양함수 해): ( )y x

Definition 1.1.3 Implicit Solution of an ODE

구간 I 에서 미분방정식을 만족하고 다음 관계를 만족하는 ( )x 가 존재하면,

( , ) 0G x y implicit solution (음함수 해)

Example 6 Verification of an Implicit Solution

2 2 25x y 은 다음 미분방정식의 implicit solution 이다

dy xdx y

(6)



(확인)

주어진 Implicit solution 을 미분하면,

2 2( ) ( ) (25) or 2 2 0d d d dyx y x ydx dx dx dx

식 (6) 과 동일

Implicit solutio 을 종속변수에 대하여 풀면

225y x

따라서 225y x 및

225y x 은 explicit solutions 이 됨.

Note:

c 에 대하여 2 2 0x y c 은 (6)의 해이다.



■ Families of Solution

미분방정식 ( , , ) 0F x y y 에 대하여

One parameter family of solution

( , , ) 0G x y c

미분방정식 ( )( , , , , ) 0nF x y y y 에 대하여

n-parameter family of solution

1 2( , , , , , ) 0nG x y c c c

예) 2 sinxy y x x 의 해는 cosy cx x x

- 해의 그림을 여러 값의 c에 대하여 도시함.

- 0c 인 경우의 해, 즉 parameter 를 포함하지 않는 해 특수해 (Particular Solution)



Example 7 Using Different Symbols

1 cos 4x c t 및 2 sin 4x c t 은 다음 미분 방정식의 해이다.

16 0x x

(확인)

1 cos 4x c t , 14 sin 4x c t , 116 cos 4x c t

1 116 16 cos 4 16( cos 4 ) 0x x c t c t

2 sin 4x c t , 24 cos 4x c t , 216 sin 4x c t

2 216 16 sin 4 16( sin 4 ) 0x x c t c t

Note: 해의 선형조합 1 2cos 4 sin 4x c t c t 도 해가 됨.



Example 8 A Piecewise Defined Solution

4y cx 은 4 0xy y 의

One parameter family of solution

구분적 구간에서 정의된 다음 함수도 해가 됨.

4

4

, 0, 0

x xy

x x

이 경우는 상수 c를 다음과 같이 선택한 경우이다.

i.e. 1, 0

1, 0x

cx



■ General Solution

( )( , , , , ) 0nF x y y y

n-parameter family of solution

1 2( , , , , , ) 0nG x y c c c General Solution

■ Singular Solution

Note: n-parameter family of solution 에 포함되지 않는 해도 존재함

예) 1/ 2y xy 의 경우의 해

2 2( / 4 )y x c 일반해

4 /16y x 특수해 (Particular Solution, 0c 인 경우)

0y 특이해 (Singular Solution) ( c의 변화로는 구해지지 않음)



■ Systems of Differental Equations

( , , )dx f t x ydt

( , , )dy g t x ydt

두개 이상의 종속변수가 있는 경우 (Coupled system)

연립미분방정식의 해: 1 2( ) ( )x t y t

Remarks

- 방정식의 해를 반드시 Explicit form 으로 구해야 하지는 않음

- 방정식의 해가 항상 반드시 존재하지 않을 수도 있음

- ( , ) ( , ) 0M x y dx N x y dy 의 형태인 경우 종속변수를 정해주지 않으면 선형성 판정이 모호해짐.

- ( )( , , , , ) 0nF x y y y 을

( )ny 에 대해 풀 수 있음을 가정하는 것에 주의가 필요함

- Closed Form Solution: 초등함수의 항으로 나타낸 Explicit Solution



1.2 Initial-Value Problems

■ Introduction

규정된 부가조건 ( ( )y y x 혹은 그 도함수에 부가된 조건)에 종속된 미분방정식

Initial-Value Problem (초기치 문제)

■ Initial-Value Problem

Solve: ( 1)( , , , , )

nn

n

d y f x y y ydx

Subject to: ( 1)

0 0 0 1 0 1( ) , ( ) , , ( )nny x y y x y y x y

(initial conditions)

n-계 초기치 문제 (IVP, Initial Value Problem)



■ First- and Second-Order IVPs

0 0

Solve:

Subject to:

, )

(

( )

dy f x ydxy x y

; 1 계 IVP

2

2

0 0 0 1

Solve:

Subject to:

( , , )

( ) , ( )

d y f x y ydx

y x y y x y

; 2 계 IVP

1 계 IVP 2 계 IVP



Example 1 First-Order IVPs

, (0) 3y y y

xy ce , 초기조건에 의해 3c 3 xy e

, (1) 2y y y

xy ce , 초기조건에 의해 12c e

12 xy e



Example 2 Interval I of Definition of a Solution

22 0, (0) 1y xy y

21/( )y x c , 초기조건에 의해 1c

21/( 1)y x

- 함수21/( 1)y x 의 영역

1, 1x x 인 모든 실수

- 미분방정식 22 0y xy 의 해가 정의되는 구간 I

함수 y 가 정의되는 모든 구간

가장 큰 구간은 1, 1 1, 1x x x

- 초기치 문제 22 0, (0) 1y xy y 의 해가 정의되는 구간 I

함수 y 가 정의되고 초기값 0x 을 포함하는 모든 구간

가장 큰 구간은 1 1x



Example 3 Second-Order IVP

16 0, / 2 2, / 2 1x x x x

Two parameter family of solutions 1 2cos 4 sin 4x c t c t

Solution

/ 2 2x 1 2c

/ 2 1x 21

4c

12cos 4 sin 44

x t t



■ Existence and Uniqueness

해의 존재: 0 0

?

/ ( , ) point( , )

dy dx f x yx y

의 해가 존재하는가?

이 해는 초기조건의 를 통과할까

해의 유일성: 0 0 point( , )x y

초기조건의 를 통과하는

해는 유일한 해일까?



Example 4 An IVP Can have Several Solutions

1/ 2/ , (0) 0dy dx xy y

이 식은 최소한 다음 2 개의 해를 가진다.

4 /16 and 0y x y

Theorem 1.2.1 Existence of a Unique Solution

점 0 0( , )x y 을 포함하는 영역 R 이 다음과 같을 때

,a x b c y d 로 정의되는 영역 R 이 0 0( , )x y 을 포함.

( , )f x y 및 /f y 가 R 에서 연속이면

처음 영역 내의 구간 0 0 0( )I x h x x h 에서 정의된

유일함수 ( )y x 가 존재한다.



Example 5 Example 3 Revisted

1/ 21/ 2( , ) and

2f xf x y xyy y

이 식들은 0y 으로 정의된 상위 영역에서 연속

임의의 점 0 0 0( , ), 0x y y 을 지나는 유일한 해가 존재함

Note: 0y 인 점에서 1/ 2 2

f xy y

는 연속이 아님.

■ Interval of Existence / Uniqueness



1.3 Differential Equations as Mathematical Models

■ Introduction

- 수학적 모델: 자연 현상을 수학적으로 표현하는 것

- 자연현상을 단순화 하여 표현함

- 미분방정식의 형태로 표현되는 것만 고려함

- 2 / 3 장에서 방정식의 풀이법에 적용함

■ Mathematical Models

- 수학적 모델: 시스템이나 자연현상을 수학적으로 표현하는 것

- 시스템을 표현하는 변수의 결정

- 모델의 정밀도 단계를 규정

- 가정 / 가설의 확립 (경험적인 법칙 포함)

- 수학적인 모델의 수립: 도함수를 포함하는 식으로 표현됨.



- 보통 시간에 대한 변수를 표현 시간에 대한 시스템의 상태를 표현함.

- 적당한 시간 t 에 대한 종속변수들은 시스템의 과거 / 현재 / 미래를 설명함



■ Population Dynamics

영국의 경제학자 Thomas Malthus (1798): 수학을 통한 인구성장의 초기모델링

인구의 변화율은 그 지역 전체의 인구 수에 비례

or dPdP P kdt

Pdt

(1)

- 다른 요인들 (전 / 출입 인구)는 무시

- 짧은 시간 동안의 적은 개체에 대한 성장 모델로 적합

(세균배양용 접시에서의 세균정장)



■ Radioactive Decay

방사성 물질은 붕괴하여 다른 물질의 원자로 변화

물질의 원자핵이 감소하는 율은 현재 남아있는 물질의 총량에 비례

or dAdA A kdt

Adt

일차 반응식 (2)

- 이 경우 물질이 감소하므로 비례상수 0k

- 일반적으로 0k : Growth; 0k : Decay

■ Newton’s Law of Cooling/Warming

Newton 의 냉각 / 가열에 대한 실험식

물체의 온도 변화율은 물체의 온도와 그 물체를 둘러싸고 있는 매질의 온도와의 차이에 비례

or ( )m mdT k T Td

Tt t

dT Td

(3)

- mT 은 주위 매질의 온도, 이 값이 일정한 경우는 항상 0k 가 됨.



■ Spread of a Disease (질병 확산)

질병은 접촉에 의해 집단 내의 사람들에게 확산. 감염자 수 ( )x t , 미 감염자 ( )y t 라 하면,

질병의 확산율은 감염자 및 미 감염자 각각에 비례, 즉 각각의 곱에 비례함

dx kxydt

(4)

예): 인구 n 인 마을에 감염자 1 명이 외부에서 들어왔을 때

( 1 )dx kx n xdt

, (0) 1x



■ Chemical Reactions

많은 화학반응은 식 (2)와 같은 일차반응식을 따름.

(즉 분해 반응 비율이 초기 물질의 총량에 비례, t-부틸렌 염화물이 t-부틸렌 알코올로 변하는 과정)

3 3 3 3(CH ) CCl+NaOH (CH ) COH+NaCl

이 경우는 t-부틸렌 염화물의 농도가 반응 속도를 조절함.

다음과 같은 반응을 고려하자

3 3CH Cl+NaOH CH OH+NaCl

이 경우는 남은 3CH Cl 의 농도 ( )X 와 남은 NaOH 의 농도 ( )X 의 곱에 비례

(역기서 초기 3CH Cl 의 농도는 , 초기 NaOH 의 농도는 , 현재 3CH OH 의 양은 X )

( )( )dX k X Xdt

이차 반응식 (6)



■ Mixtures

현재 탱크의 소금의 양을 ( )A t 로 하면 소금의 양의 변화율은 다음과 같다.

input rate output rate of salt of salt in out

dA R Rdt

(7)

concentration of salt input rate input rate in inflow of brine of salt

(2 lb/gal) (3 gal/min) (6 lb/min)inR

concentration of salt output rate in outflow of saltoutput rate

of brine

( ) ( ) lb/gal (3 gal/min) lb/min300 100outA t A tR

6100

dA Adt

6100

dA Adt

(8)



■ Draining a Tank

Torricelli’s Law (토리첼리 의 법칙): 깊이 h 인 용기에서 구멍을 통하여 배출되는 물의 속도

속도 v는 높이 h 에서 자유낙하하는 물체가 얻는 속도와 동일

즉 2(1/ 2)mv mgh 에서 2v gh

면적 hA 인 구멍을 통하여 물이 배출될 때 탱크의 체적 변화율은

2hdV A ghdt

(9)

여기서 ( ) wV t A h 이므로

2h

w

Adh ghdt A

(10)

만일 wA 가 높이에 따라 변화하는 경우라면

( ) / ( ) /wdV t dt d A h dt 의 계산에서 ( )wA A h 로 하여 계산함



■ Series Circuits

Kirchhoff’s second law: 폐회로상에 공급되는 전압은 루프상의 소자의

전압강하의 총합과 동일함

각각의 소자의 전압강하는 다음과 같다. 단 ( ) /i dq t dt

2

2

1, , di d q dqL L iR R qdt dt dt C

Inductor CapacitorResistor

따라서 다음 식이 구해진다.

2

2

1 ( )d q dqL R q E tdt dt C

(11)



■ Falling Bodies

뉴턴의 제 1 운동법칙: 관성의 법칙

뉴턴의 제 2 운동법칙: ( ) /F ma d mv dt

2 2

2 2

or dd s s gdt

m mgdt

(12)

2

0 02 , (0) , (0)d s g s s s vdt

(13)



■ Falling Bodies and Air Resistance

저항이 있는 경우 낙하 속도가 감소함

점성감쇠 (Viscous Damping): 저항력은 속도에 비례하여 작용함

dvm mg kvdt

(14)

2 2

2 2 or d s ds d s dsm mg k m k mgdt dt dt dt

(15)



■ Suspended Cables

수직/수평 방향의 힘의 평형을 고려하면

1 2 2cos and sinT T W T

2T 를 소거하고 tandydx

임을 이용하면

1

dy Wdx T

(17)

Remarks

- 동적시스템: 시간에 따라 변하는 상태변수의 집합

- 상태변수는 시스템의 과거/현재/미래를 표현함

- 시스템의 상태: 상태변수의 값

- 시스템의 응답: 초기값 문제의 해

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