Chapter 05 · 2016. 10. 31. · 제5장 부울함수의보수 함수의보수(complement of a function)구하는방법 1. 부울부울 함수함수 FF 값에서값에서 11은은

Chapter 05Chapter 05

부울 대수부울 대수

제5장

1 부울대수1. 부울대수부울대수(boolean algebra)를근거로한스위칭이론(switching theory)은논리설계에있어서이론적인근거가되는수학적체계. 설계에있어서이론적인근거가되는수학적체계

부울대수

-부울상수와부울변수로구성, 0과 1의두개값을가짐논리레벨의여러정의-논리레벨의여러정의논리 0 False Off Low No Open Switch논리 1 True On High Yes Closed switch

-부울대수는논리회로의입력및출력의상관관계를표현하는방법입력의논리레벨에따라출력결정

논리변수표현 : A, B..등과같이문자로표현.값은 A=0또는 B=1등으로표현논리변수표현 : A, B.. 등과같이문자로표현. 값은 A 0 또는 B 1 등으로표현부울대수의기본연산 : 논리동작 (logic operation) OR, AND, NOT 논리게이트 입력신호에대해기본논리연산(OR AND NOT)을수행하는디논리게이트 : 입력신호에대해기본논리연산(OR, AND, NOT)을수행하는디지털회로는다이오드, 트랜지스터, 저항등을사용하여구성-부울변수를전자회로에서사용할때실제적인전압레벨

논리레벨 논리레벨 로표시

- 2 - 한국기술교육대학교 정보기술공학부

0~0.8 V 논리레벨(logic level) 0, 2~ 5V 논리레벨 1로표시,0.8~2V undefined 값, 논리레벨의전이영역(transition region)

제5장

부울대수 정리부울대수 정리

-단일변수에관한정리

- duality 성립 : 0 <-> 1, + <-> ·


제5장

다변수 부울 대수정리교환법칙 (9) x+y = y+x (10) x · y =y · x결합법칙 (11) x+(y+z) (12) x(yz)

( + )+ + + ( )= (x+y)+z = x+y+z z = (xy)z = xyz 분배법칙 (13a) x (y + z) (13b) x + yz

= xy + xz = (x + y)(x + z)y ( y)( )Absorption (14a) x + xy = x (14b) x(x+y) = x

(15) x + x'y = x + yConsensus (16a) xy+x'z+yz = xy+x'z (16b) (x+y)(x'+z)(y+z) =(x+y)(x'+z)Consensus (16a) xy+x'z+yz = xy+x'z (16b) (x+y)(x'+z)(y+z) =(x+y)(x'+z)<사용예> 컨센서스항

(13b) 역유도 (x+y)(x+z) = xx+xz+xy+yz = x(1+z+y)+yz = x + yz(14a) x + xy = x (1 + y) = x · 1 = x(14b) x(x+y) = xx+xy = x + xy = x(14b) x(x+y) = xx+xy = x + xy = x(15) x+x'y =(x+x')(x+y) = 1 ·(x+y) = x+y (정리 13b)(16a) xy+x'z+yz = xy+x'z+yz(x+x') = xy+x'z+xyz+x'yz


= xy(1+z) + x'z(1+y) = xy + x'z

제5장

드모르강 정리드모르강 정리- DeMorgan's theorems는변수의합이나곱의형태를서로바꾸며식을단순화하게한다로바꾸며식을단순화하게한다.

(17a) x+y = x y NOR(17b) x y = x + y NAND(17b) x y = x + y NAND

<정리증명>

<사용예> 식 F= 를단순화하라.F = = (A'+C)' + (B+D')'F = = (A +C) + (B+D )

= (A')' C' + B' (D')' = AC' + B'D-드모르강정리로간략화할때전체반전기호가없어지면서 + 기호는 . 로,


. 기호는 +로변경, 단일변수에대한반전만남을때까지계속

제5장

드모르강 논리게이트드모르강 논리게이트

좌변식: 입력변수 x 와 y를갖는 NOR 게이트의출력우변식: 입력변수 x 와 y를각각반전한후 AND의입력인버트된입력을갖는 AND = NOR 연산

좌변식: 입력 x 와 y 의 NAND 게이트로구성우변식: 반전된두입력 x 와 y를 OR 게이트입력인버트된입력을갖는 OR게이트 = NAND 연산


제5장

드모르강의 정리 예제

ZYZXZYXZYXZYX +=+=+=++ )()(

XYZYZWYZXWYZXWYZXW +=+=⋅+=++ )(

FEDCBAFEDCBAFEDCBA ⋅+++=⋅⋅+=+++ )()()(

FEDFECFEBAFEDCBA

FEDCBAFEDCBAFEDCBA

++=⋅++=

+++++++

)(

)()()(

CDABFECDAB

CDABFECDABCDABFECDAB

⋅+⋅+=

++++=++

)(

)()())((

ABCDFDEDFCECAB

ABCDFEDCAB

+++++=

++++=

))((


제5장

부울 함수부울 함수

부울함수의표현- 2진수(0, 1), 연산자(OR, AND, NOT), 괄호, 등호등을사용하여표현.

부울 함수의 간소화- 게이트 수 (term)와 게이트의 입력이 되는 변수(literal)의 수를 줄

이는 것이는 것.

- 간소화 방법

1. 부울 함수로 표현한다.1. 부울 함수로 표현한다.2. 부울대수의항등식규칙등으로간소화한다.3. 회로를구성


제5장

대수적 간소화 방법대수적 간소화 방법항(term) 결합 :두 개의 항을 결합하여 하나의 항으로 만든다.

항제거 :항들을 제거하기 위하여 사용되는 정리.

문자(literal)제거 :문자들을 제거하기 위하여 사용되는 정리.( )

함수식의의미가변하지않도록주의하며 적절한 항들을 함수식에 첨가함수식의의미가변하지않도록주의하며,적절한 항들을 함수식에 첨가


제5장

대수적 간소화 방법(계속)대수적 간소화 방법(계속)콘센서스(consensus) 정리-부울대수식에있어서콘센서스항을더해도부울대수식은변하지않는다.

- 부울표현식을최소화하는데유리하다.

consensus 항 xy + xz' + yz = xy(z+z')+xz'+yz = xyz+xyz'+xz'+yz = yz(x+1) + xz'(y+1) = yz + xz'y ( ) (y ) y

(예) F = x'y' + xz + yz' + y'z + xyx'y'와 xz의컨센선스는 y'zy'z와 xy의컨센선스는 xzy z 와 xy 의컨센선스는 xz컨센선스 y'z와 xz를생략하여간소화한다.

F = x'y' + xy + y'z (예) F = (x+y)(x'+z)(y+z)

= (x+y)(x'+z)consensus 항


제5장

부울 함수의 보수부울 함수의 보수함수의보수(complement of a function)구하는방법1 부울함수 F값에서 1은 0으로 0은 1로바꾸어서구할수있다1. 부울함수 F 값에서 1은 0으로, 0은 1로바꾸어서구할수있다.2. 드모르강정리를이용하여 AND 연산자는 OR 연산자로, OR 연산자는 AND 연산자로서로바꾸고, 각변수의값도 1이면 0으로, 0이면 1로바꾸어구할수있다.

3. 연산자들의쌍대를구한후각변수의값에보수를취하면된다. 함수의쌍대는 AND연산자와 OR연산자를상호교환하고, 1과 0함수의쌍대는 AND 연산자와 OR 연산자를상호교환하고, 1과 0을바꾸어구할수있다.

의 수함수F = x'y'z + xy'z' + x'z 의보수함수 F' ?(2) F' = (x+y+z')(x'+y+z)(x+z') (3) F의쌍대 (x'+y'+z)(x+y'+z')(x'+z)(3) F의쌍대 (x +y +z)(x+y +z )(x +z)

각변수를보수화 F' = (x+y+z')(x'+y+z)(x+z')


제5장

부울 대수를 이용한 논리식의 간소화부울 대수를 이용한 논리식의 간소화

(1)식을 간소화하는 과정

(1)

(2)

xyzzyxzyxyzxzyx ++++

xyzyxyx ++ yzxxyzzyxzyxyzxzyx

yzxxyzzyxzyxyzxzyx

+++++=

+++++

)()()(

(3)

(4)

xzyxyx ++

yzyxyx ++yzyxyx

xxyzzzyxzzyx

⋅+⋅+⋅=

+++++=

111

)()()(

(4)

++++ +++++

yzyxyx ++yzyxyx ++= X+X=X를 이용

xyzzzyxzzyx

xyzzyxzyxyzxzyx

xyzzyxzyxyzxzyx

++++=

++++=

++++

)()(

)()(

yyxzzzyxzzyx

zyxxyzzyxzyxyzxzyx

zyxxyzzyxzyxyzxzyx

+++++=

+++++=

+++++

)()()(

)()()(

xyzyxyx

xyzyxyx

xyzzzyxzzyx

++=

+⋅+⋅=

++++=

11

)()(

xzyxyx

xzyxyx

yyxzzzyxzzyx

++=

⋅+⋅+⋅=

+++++=

111

)()()(


xyzyxyx ++ xzyxyx ++

제5장

(2)식을 간소화하는 과정

(1)

(2)

xyzzyxzyxyzxzyx ++++

xyzyxyx ++

(3)

(4)

yyy

xzyxyx ++

yzyxyx ++

bababaaaaba +=+⋅=++=+ )(1))((abababaabaa =+=+=+ 0)(( ) yyy

xzyxyxzyxyx

zyyyxyxyzyxyxxyzyxyx

++++

+++=++=++

)(1

))(()(

xzyxyxzyxyx ++=+⋅+= )(1

yxzxxxyyxxzxyxyzyxyx +++=++=++ ))(()(

yxyzyxyxzxy ++=++⋅= )(1


제5장

논리식 를 간소화하여라.cbabcacbacba +++

cbabcabbcacbabcacbacba

cbabcacbacba

+++=+++=

+++

)()(

cbabcacbaccbca

cbabccacbabcaca

cbabcabbcacbabcacbacba

++=+++=

++=++=

++++++

)())((

)(

)()(

babacbabaac

bacbacacbabaca

++=++=

++=++=

)()(

)())((

babcac ++=

)()(서로다른간소화결과를가져올수있다.

bcacbacbacba

cbabcacbacba

+++=

+++

bacb

ccbaaacb

+=

+++= )()(


제5장

2 부울함수 표현형식2. 부울함수 표현형식(1) SOP 형식 (곱의합, Sum of Products ) : standard form

-예 : (a) a'bc + b'd + a'c예 ( )(b) AB + A'BC' + C'D' + D

2개이상의 AND 항을 OR 각입력은 normal혹은 inverted형태로사용각입력은 normal 혹은 inverted 형태로사용

(2) POS 형식(합의곱, Product of sums) : standard form예 ( ) (A B' C)(A C) cadbbcaf ++=-예 : (a) (A + B' + C)(A + C)

(b) (A + B)(C' + D)F2개이상의 OR 항을 AND

cadbbcaf ++=

(3) minterm또는 standard productn개의변수는 0 - 2n-1의값을갖는 2n개의 minterm을가짐n개의변수는 0 2 의값을갖는 2 개의 minterm을가짐각 minterm은모든입력변수(normal/inverted)에대하여 AND

(4) maxterm또는 standard sum개의변수는 0 2n 1의값을갖는 2n개의 t 을가짐


n개의변수는 0 - 2n-1의값을갖는 2n개의 maxterm을가짐각 maxterm은모든입력변수(normal/inverted)에대하여 OR

제5장

2변수 최소항과 최대항 표현 방법2변수 최소항과 최대항 표현 방법

- minterm : n개 입력변수의 AND term

개 입력변수의- maxterm : n개 입력변수의 OR term

b 최소항 기호 최대항 기호a b 최소항 기호

0 0 m0

0 1 m1

baba

a b 최대항 기호

0 00 1

ba +ba +

0M

1M1

1 0 m2

1 1 m3

bababa

0 11 01 1

ba +ba +ba +

1M

2M

3M


제5장

3변수에 대한 minterm과 maxterm3변수에 대한 minterm과 maxterm

변 수 최 소 항 최 대 항 함 수

x y z 항 표시 항 표시 F1 F2x y z 항 표시 항 표시 F1 F2

0 0 0

0 0 1

x y z

x y z

m0m1

x + y + z

x + y + z

M0M1

1

0

0

1

0 1 0

0 1 1

1 0 0

x y z

x y z

1

m2m3

x + y + z

x + y + z

1

M2M3M

0

1

0

0

0

01 0 0

1 0 1

1 1 0

x y z

x y z

x y z

m4m5m6

x + y + z

x + y + z

x + y + z

M4M5M6

0

0

1

0

0

1

- minterm과 maxterm의관계

1 1 0

1 1 1

x y z

x y z

m6m7

x + y + z

x + y + z

M6M7

1

0

1

1

te 과 a te 의관계

mj = Mj m3 = xyz = x+y+z = M3


제5장

3변수 최소항을 이용한 부울함수 표현

zyxzyxzyxmzyxf

xyzzyxyzxzyxzyxmzyxf

++===

++++==

∑∑

)642()(

)7,5,3,1,0(),,(x y z f1 f2

0 0 0 1 0

1

zyxzyxzyxmzyxf ++=== ∑ )6,4,2(),,( 0 0 00 0 10 1 00 1 1

1101

0100

1

= (x+y+z)(x+y+z)(x+y+z)

xyzzyxyzxzyxzyxm

zyxzyxzyxmzyxf

++++==

++==

∑∑

)7,5,3,1,0(

)6,4,2(),,(0 1 11 0 01 0 11 1 0

1010

0110

1

yyyyy∑ ),,,,(01 1 1

01

01

f2(x,y,z) = ?

- 최소항과 최대항과의 관계

최소항은 출력이 1인 항을 Product(AND)로 나타낸 것이고최소항은 출력이 1인 항을 Product(AND)로 나타낸 것이고,최대항은 출력이 0인 항을 Sum(OR)로 나타낸 것이다.

최소항과 최대항은 반대의 성질을 가진다.


제5장

4변수 최소항

a b c d 최소항 기호 a b c d 최소항 기호

0 0 0 0 1 0 0 00m 8mdcba dcba0 0 0 1 1 0 0 10 0 1 0 1 0 1 0

0

1m

2m

8

9m

10m

dcbadcbadcba

dcbadcbadcba

0 0 1 1 1 0 1 10 1 0 0 1 1 0 00 1 0 1 1 1 0 1

3m

4m

5m

11m

12mm

dcbadcbadb

dcbadcbadb0 1 0 1 1 1 0 1

0 1 1 0 1 1 1 00 1 1 1 1 1 1 1

5m

6m

7m

13m

14m15m

dcbadcbadcba

dcbadcbadcba

[Example]

dbf ∑ )15119510()(

abcdcdbadcbadcbadcbadcba

mdcbaf

+++++=

=∑

)15,11,9,5,1,0(),,,(


제5장

4변수 최대항

a b c d 최대항 기호 a b c d 최대항 기호

0 0 0 0 1 0 0 00M 8Mdcba +++dcba +++

4변수 최대항

0 0 0 1 1 0 0 10 0 1 0 1 0 1 0

0

1M

2M

8

9M

10Mdcba +++

dcba +++

dcba +++

dcba +++

dcba +++

dcba +++

0 0 1 1 1 0 1 10 1 0 0 1 1 0 00 1 0 1 1 1 0 1

3M

4MM

11M

12M

13Mdb

dcba +++

dcba +++

db

dcba +++

dcba +++

0 1 0 1 1 1 0 10 1 1 0 1 1 1 00 1 1 1 1 1 1 1

5M

6M

7m

13M

14M

15Mdcba +++dcba +++

dcba +++

dcba +++dcba +++dcba +++

7


제5장

(5) Canonical form(5) Canonical form부울함수를 SOM(sum of minterms) 혹은 POM( product of maxterms)으로표현

(a) sum of mintermsf1 = x'y' + xy' = m0 + m2 2변수f2 = x'y'z + xyz' + xyz = m + m + m 3변수f2 = x y z + xyz + xyz = m1 + m6 + m7 3변수f3 = a'b'cd + a'bc'd + ab'cd' + abcd' = m3 + m5 + m10 + m14 4변수f1(x,y) = ∑m(0, 2)f2(x,y,z) =∑m(1, 6, 7) f3(a,b,c,d) =∑m(3, 5, 10, 14)

(b) product of maxterms(b) product of maxtermsf1 = (x+y+z)(x+y'+z)(x'+y'+z) = M0M2M6f2 = (a+b+c+d')(a+b'+c+d) (a'+b+c+d') (a'+b'+c+d)

= M1M4M9M12f1(x,y,z) = ∏M(0, 2, 6)f2(a b c d) = ∏M(1 4 9 12)


f2(a,b,c,d) ∏M(1,4 , 9, 12)

제5장

[Example]

++=+++= ))()((),(

210 MMMbabababaf

[Example]

∏=

++

)2 1, 0,( 210

MMMM

입력 출력

a b f0 0 00 1 01 0 01 0 01 1 1


제5장

다음 최대항 식에 대한 진리표로 만들고, 논리식을 구하라.

∏= )7 5, 3, 1, 0,(),,( Mzyxf

x y z f 최대항 기호

0 0 0 0 0Mzyx ++0 0 1 00 1 0 10 1 1 0 zyx ++

zyx ++

zyx ++ 1M

2MM0 1 1 0

1 0 0 11 0 1 0 zyx ++

zyx ++

zyx ++ 3M4M

5M1 1 0 11 1 1 0 zyx ++

zyx ++

y 5

6M

7M

))()()()((

)7 5, 3, 1, 0,(),,(

zyxzyxzyxzyxzyx

Mzyxf

++++++++++=

= ∏


))()()()(( zyxzyxzyxzyxzyx ++++++++++=

제5장

(6) Canonical form의 상호 변환(6) Canonical form의 상호 변환f1 = x'y'z+xyz'+xyz = m1+m6+m7 정규함수는 1인항의합f1'= x'y'z'+ x'yz'+ x'yz+ xy'z'+ xy'z 보수함수는 0인항의합

f1 = (f1')' = ( x'y'z'+ x'yz'+ x'yz+ xy'z'+ xy'z)'= (x+y+z)(x+y'+z)(x+y'+z')(x'+y+z)(x'+y+z')= (x+y+z)(x+y +z)(x+y +z )(x +y+z)(x +y+z )= M0M2M3M4M5

x y z f1 f2

f2 = m0 + m2 + m5 + m6

= M1M3M4M7

0 0 0

0 0 1

0 1 0

0

1

0

1

0

10 1 0

0 1 1

1 0 0

0

0

0

1

0

0

정규함수와 보수함수는SOM과 POM에서 각 최소항과최대항의 index가

1 0 1

1 1 0

0

1

1

1

항과최대항의 de 가서로중복되지않는다.


1 1 1 1 0

제5장

∑⋅⋅⋅⋅=++++=

++++== )5 4, 3, 2, 1,(),,(

cbacbabcacbacbacbacbabcacbacba

cbacbabcacbacbamcbaf

∏=++++++++++=

++++

)54321(

))()()()((

M

cbacbacbacbacba

cbacbabcacbacbacbacbabcacbacba

최소항을 부정하면최대항

∑∏∏∑

==

==

)760()760(

)5 4, 3, 2, 1,( )5 4, 3, 2, 1,(),,(

mM

Mmcbaf

∏= )54,3,2,1,( M

⇒

최대항

최대항을 부정하면최소항

∑∏ == )7,6,0()7,6,0( mM

∑ ++== )7 6, 0,(),,( abccabcbamcbaf

∏=++++++=⋅⋅=++=

)76,0,(

))()((

M

cbacbacbaabccabcbaabccabcba

∏ )76,0,( M

∑∏∏∑ == )7 6, 0,( )7 6, 0,(),,( Mmcbaf⇒


∑∏ == )54,,3,2 ,1()54,,3,2,1( mM

제5장

(7) Standard form과 canonical form의 변환(7) Standard form과 canonical form의 변환

f1 = x + y'z의 POM ?= (x+y')(x+z) = (x+y'+zz')(x+z+yy')= (x+y'+z)(x+y'+z')(x+y+z)(x+y'+z)= (x+y'+z)(x+y'+z')(x+y+z) = M0M2M3

f1 = x+y'z의 SOM ?y= x(y+y')(z+z') + (x+x')y'z missing 변수추가= xyz + xyz' + xy'z + xy'z' + xy'z + x'y'zy y y y y y= m7+m6+m5+m4+m1

f2 = (a + c')(a + b') = aa+ ab'+ ac' + c'b'f2 (a + c )(a + b ) aa+ ab + ac + c b= a(b+b')(c+c') + ab'(c+c') + ac'(b+b') + c'b'(a+a')= a(bc+bc'+b'c+b'c')+ab'c+ab'c'+


= a(bc+bc +b c+b c )+ab c+ab c + ...= abc+abc'+ab'c+ab'c'+a'b'c'

제5장

간소화 과정 예 : canonical form standard form

xyzzyxyzxzyxzyxmzyxf

++++=

∑=

)7 5, 3, 1, 0,(),,(

xzzxyxyyxzyyzxzzyx

++=

+++++=

)()()(

zyxxxzyx

+=

++=

)(

mmzyxf == ∑∑ )6 4, 2,()7 5, 3, 1, 0,(),,(

yyzxxxzy

zxyzyxzyx

+++=

++=

∑∑

)()(

zxzy

yyy

+=

)()(


제5장

예제 다음진리표로 부터 논리식을구하고 간소화하여라.

a b c f 0 0 0 0 1

f

cbacbabcacbacba

mcbaf

++++=

=∑ )5 4, 3, 2, 1,(),,(0 0 0 0 10 0 1 1 00 1 0 1 0

ccbaccbacbaa

cbacbabcacbacbacba

cbacbabcacbacba

+++++

+++++=

++++=

)()()(

0 1 1 1 01 0 0 1 01 0 1 1 0

babacb

ccbaccbacbaa

++=

+++++=

)()()(

1 0 1 1 01 1 0 0 11 1 1 0 1 abccabcba

mcbaf

++

=∑ )7 6, 0,(),,(

abcba

ccabcba

abccabcba

+=

++=

++=

)(

abcba +=


제5장

3 논리회로의 논리식 변환3. 논리회로의 논리식 변환원래의 회로에 게이트를 거칠 때마다 게이트의 출력을 적어주면서 한 단계씩 출력 쪽으로 나아가면 된다.

논리회로 논리식 유도 과정


제5장

논리식 유도 예1

abc

abc

bd

fbdabc+bd+ac

ac

ac



제5장



제5장

4 논리식의 회로 구성4. 논리식의 회로 구성

AND, OR, NOT을 이용하여 논리식으로부터 회로를 구성.(AND-OR로 혹은OR AND로 구성된 2단 회로)OR-AND로 구성된 2단 회로)

yzyxyx ++

보수 입력 사용 NOT 게이트 사용


제5장

회로 예

AND-OR

xyzzyxzyxyzxzyxzyxf ++++=),,(

OR- AND

))(( zyxyxf +++=


제5장

회로 예

다단계 논리회로다단계 논리회로

)( wxzvyxwzf +++=


제5장

논리회로의 간소화논리회로의 간소화

논리식의간소화Z = ABC + AB' (A'C')'

= ABC + AB'(A+C) = ABC+AB'+AB'C= AB'(1+C)+ABC = AB'+ ABC = A(B'+BC)= AB (1+C)+ABC = AB + ABC = A(B +BC)= A(B'+B)(B'+C) = A(B'+C) = AB' + AC


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Chapter 05 · 2016. 10. 31. · 제5장 부울함수의보수 함수의보수(complement of a function)구하는방법 1. 부울부울 함수함수 FF 값에서값에서 11은은