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上海交大乐经良
Chap 6
多元函数微积分
上海交大乐经良
Chap 6.1-2
多元函数
6.1.1 空间直角坐标系
选定原点O,作三条两两垂直
的数轴,标为x 轴、y 轴、z 轴
就构成空间直角坐标系
约定:x,y ,z 轴成右手系(右手规则)
坐标平面:xOy平面, yOz平面, zOx平面
卦限:八个卦限
O
x
y
z
(如图,可称为横轴,纵轴,竖轴)
(由坐标平面将空间分成的8个部分)
x
O y
P
z
y
x
z■ 点与坐标
点 坐标
可记为 P (x, y, z)
点 P1(x1, y1, z1) , P2(x2, y2, z2) 的距离⏐P1P2⏐
有了直角坐标系
212
212
212 )()()( zzyyxxd −+−+−=
)(11 z,y,xP ⎯⎯→← -
点 P(x,y,z) 与原点(0,0,0) 间距离⏐OP⏐
222 zyxd ++=
建立了空间直角坐标的空间,记为R3
例 求中心在(x0 , y0 , z0) 半径为R 的球面方程
设球面上任意一点的坐标为 (x, y), 则22
022
022
02 )()()( Rzzyyxx =−+−+−
球面方程
例 求点P(2,-1,-3)到 xOy 平面和到 x 轴的距离,
且求P关于 xOy 平面、 x 轴和原点的对称点
6.1.2 多元函数概念
简单说,函数依赖的自变量多于一个称为
设D是xy平面上的集合,依照规律 f , D内
多元函数
任一点(x,y),有唯一 z 与之对应,
zy,x f⎯→⎯)(
Dyxyxfz ∈= ),(),,(则称 f 是定义在D上的二元函数,记为
自变量 定义域
一般由几条光滑曲线围成(区域)
例 已知 ,),( 33 yxxyyxf +=+ 求 ),( yxf
二元函数包括两个要素(定义域、对应规律)
例 设 f (x, y) = x2+y2, 求 f (x+y, x-y)
)1ln(4 2222 −++−−= yxyxz例 求
的定义域
■ 二元函数图形(几何意义)
几何图形称为二元函数的图形,一般而言是R3中
}),(,)(){( Dyxx,yfzx,y,z ∈=集合 所对应
的一个曲面;曲面在xy 面上的投影区域就是函数
的定义域D
x
z
y
x
z
y
D
一些重要的几何图形及其方程
一.椭球面
12
2
2
2
2
2
=++cz
by
ax 000( >>> ,c,ba 半轴)
yx
z
二.椭圆抛物面
2
2
2
2
by
axz +=
xy
z
当 a=b, 为旋转抛物面
三.双曲抛物面
zby
ax
=− 2
2
2
2
x
yz
O
四. 柱面(母线平行坐标轴)
x
z
y
方程的特点
不含某个变量,例如
0)( =yx,F (不含 z)
12
2
2
2
=+by
ax
椭圆柱面
12
2
2
2
=by
-ax
双曲柱面
pyx =2
抛物柱面
y
z
xx
y
z
五. 旋转面
平面上曲线L 绕直线l 旋转一周的轨迹所形成
的曲面为旋转面 (l :对称轴,L :子午线)
yOz面上的曲线
⎩⎨⎧
==
00)(
xy,zf
绕z轴旋转而成的曲面
0)( 22 =+± ,zyxf x
z
y
例 xz平面上的抛物线
⎩⎨⎧
==
0
2
ykxz
绕z轴旋转而成的曲面为
)( 22 yxkz +=
H.W 习题6
3 (只要关于xOy平面、x 轴和原点对称)
4 5 7 (2)(3)(4) 8-10
设二元函数在P0 点的邻近区域(可除去P0)定义,
6.1.3 二元函数的极限与连续
f (x,y) 的极限为 A,或 f (x,y)收敛于A, 记为
APfoPP
=→
)(lim Ayxfyyxx
=→→
),(lim00
若当P(x,y)以任何方式趋近点(x0,y0)时,函数 f(x,y)
总是趋向常数A,则称当 ),(),( 000 yxyxPP →→ 或 时,
此时也可称 f (x,y)收敛于A
■ 二元函数的极限
二元函数极限与一元函数极限类似
2. 有类似的性质和运算法则
存在与一元函数的区别
1.(x,y)趋近点(x0,y0)时函数 f(x,y)变化的
定量趋势
有无穷多方向,且采取的路径也是0PP →平面上
任意的,既可取直线,也可取曲线;无论从何种
方向或沿何种路径,只要P点与P0的距离充分接近
都必定有 APf −)( 充分小
例 讨论下列极限的存在性,且在存在时求
其值
2 2( , ) (0,0)(1) lim
x y
xyx y→ +
2
2 200
(2) limxy
xyx y→
→+
xy
,y,xxy
1
)00()()1(lim)3( +
→
■ 二元函数的连续性
则称函数 f(x,y)在P0(x0,y0)处连续,也称(x0,y0)是
),(),(lim 00),(),( 00
yxfyxfyxyx
=→
f 的连续点. (不连续,称为间断)
若二元函数 f (x,y)在平面区域D上每一点都连续,
则称 f 在区域D上连续,或称f 是D上的连续函数
若二元函数 f(x,y)在P0(x0,y0)满足
二元连续函数的和差积商(分母不为零)
仍为连续函数;其复合函数是连续函数
二元初等函数在其定义域内都是连续的
(间断点在无定义的孤立点、线处)
例 讨论函数的连续性:
)0,0(),(
),0,0(),(
0
),( 22
2
=
≠
⎪⎩
⎪⎨
⎧+=
yx
yxyx
yxyxf
例 函数 在何处连续,何处间断?yx
xz−
=2
闭区域上的二元连续函数有与一元情况
类似的性质
有界性 最值性 介值性
例 求极限
)cos(lim)1( 22
)0,0(),(yx
yx+
→
xyxy
,y,x
)1ln(lim)2()00()(
+→
H.W
习题6
11 12
补充题 求极限
22
22
)00()(
)sin(lim)1(yx
yx,y,x +
+→
xy1sinlim)2(
)00()(x
,y,x →
上海交大乐经良
Chap6 ― 2
偏导数与全微分
6.2.1 偏导数的概念
一.定义
相应地函数有增量(偏增量)
对二元函数 f(x,y)在点 (x0,y0) 给x以增量 xΔ
),(),( 0000 yxfyxxfzx −Δ+=Δ
xxfy,xxf
xzy,xf
xx
xx Δ)()Δ(lim
ΔΔlim)( 000
0000−+
==′→→ ΔΔ
函数 f 在点(x0,y0 ) 处对 x 的偏导数为
偏导数也可记为
),( 00 yxxf
∂∂
多元函数的偏导数是其对某一自变量的变化率
对变量 y 的偏导数类似
若函数 f 在区域D上每一点都存在偏导数,则这
些偏导数是D上的二元函数,称为偏导函数,记为
)(),( y,xfy,xf yx ′′ ),(),,( yxyfyx
xf
∂∂
∂∂
或
二. 二元函数偏导数求法
把y固定在y0,求一元函数 f (x,y0)在x0处
的导数,就得到偏导数f’x(x0,y0),同样方法可以计
算偏导数 f’y(x0,y0)
22 yxxz+
=例 求函数 的偏导数 ,,z x )10(′
)10( ,z y′
例 求函数 )0( >= xxu y 的偏导数
)00()(
)00()(
0
22
,y,x
,,y,xyx
xy)y,x(f
=
≠
⎪⎩
⎪⎨
⎧+=
例 求下列函数的偏导数
三. 连续与可偏导的关系
连续未必可偏导
例 考察
可偏导未必连续
)0,0(),(
),0,0(),(
0),( 22
=
≠
⎪⎩
⎪⎨
⎧+=
yx
yxyx
xyyxf
在(0,0)的情况
例 考察 yxyxf +=),( 在(0,0)的情况
四. 二元函数偏导数的几何意义
曲面 z = f(x,y)与平面y = y0的交线
⎩⎨⎧
==
0
),(yy
yxfz ),( 0yxfz =⇒
(平面y=y0上的曲线)
)( 00 y,xf x′ 是上述曲线在
(x0,y0)点处的切线关于
x轴的斜率x
z
y
例 求曲线⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
+=
44
22
y
yxz在(2,4,5)处的切线
H.W
习题6
13(2)-(5)
14
6.2.2 高价偏导数
f (x,y)在(x0,y0)的邻域内的偏导函数 f‘x(x,y),
f ’y(x,y) 的偏导数称为f 在(x0, y0)点处的二阶偏导数
)(2
2
xf
xxffxx ∂
∂∂∂
=∂∂
=′′ )(2
xf
yyxffxy ∂
∂∂∂
=∂∂
∂=′′
)(2
yf
xxyff yx ∂
∂∂∂
=∂∂
∂=′′ )(2
2
yf
yyff yy ∂
∂∂∂
=∂∂
=′′
类似地;二阶偏导数的偏导数为三阶偏导数
)( 2
2
2
3
xf
yyxff xxy ∂
∂∂∂
=∂∂
∂=′′′
例如
例 求函数z的所有二阶偏导数
1) ln sin( )yu x xe= +
yxu =)2
例 证明函数
222
1zyx
r++
=
满足Laplace(拉普拉斯)方程:
0Δ =′′+′′= yyxx
defrrr
6.3.3 全微分
一. 定义
回忆一元情况,若 f 在x 可微,则
,xoxxff )(ΔΔ)(Δ +⋅′=
微分 是增量Δf 在 x的线性主部xxfdf )Δ(=
),(),( 0000 yxfyyxxffz −++== ΔΔΔΔ可写为
对函数 z =f (x,y),若全增量
)()Δ()Δ(Δ ρoyy,xfxy,xfz yx +′+′=
为函数 f (x,y) 在P0(x,y)点处的全微分
可微,而称
22 )()( yx Δ+Δ=ρ ,则称 f 在 ),( 000 yxP其中
yy,xfxy,xfdfdz yx )Δ()Δ( ′+′==
yy,xfxy,xf yx )d()d(
与一元情况类似,全微分同样是线性主部
若 f (x,y) 在区域D内每点可微,称为可微函数
′+′=
从几何上看,微分就是用切平面来近似
曲面
二. 可微与连续及可偏导的关系*
可微必连续
可微必可偏导
有连续偏导数则可微
偏导数连续⎩⎨⎧⇒⇒可偏导
连续可微
例 求函数 在点(1,1)的全微分yxz =
例 求函数 xyz arctan= 的全微分
,),(),( 0000 yyxfxyxfdzz yx Δ+Δ=≈Δ
例 求 98.1)04.1( 的近似值
H.W
习题6
16 (1)-(3) 17 18 19
20 (2)-(4) 26