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CHAOS
Heinz Horner
Institut fur Theoretische Physik
Ruprecht-Karls-Universitat Heidelberg
WS 1999/2000
Inhalt
1 Literatur 2
2 Einige Beispiele 2
2.1 Logistische Abbildung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2.2 Rossler Oszillator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.3 Periodisch angetriebenes Pendel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.4 Vorlaufige Charakterisierung von Chaos . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3 Eindimensionale Abbildungen 9
3.1 Fixpunkte, periodische Orbits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3.2 Vollstandiges Chaos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.3 Logistische Abbildung mit a < 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.4 Fenster im chaotischen Bereich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.5 Periodenverdopplung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4 Attraktoren in dynamischen Systemen 22
4.1 Poincare Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4.2 Backer Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4.3 Fraktale Dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.4 Lyapunov Exponenten und Dimensionen . . . . . . . . . . . . . . . 26
4.5 Entropie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
5 Hamiltonsche Systeme 31
5.1 Periodisch angestoßener Rotator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
5.2 Hamiltonsche Mechanik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
5.3 Integrable Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
5.4 Schwach gestorte Systeme, Resonanzschichten . . . . . . . . . . . . 38
5.5 Heterokline (homokline) Orbits und Chaos . . . . . . . . . . . . . . 42
1
1 Literatur
E. Ott Chaos in Dynamical Systems Cambridge University Press 1993
K.T. Alligood, T.D. Sauer, J.A. Yorke Chaos, an Introduction to DynamicalSystems Springer New York Berlin Heidelberg 1996
J. Briggs, F.D. Peat Die Entdeckung des Chaos Carl Hansen Munchen Wien1990
2 Einige Beispiele
2.1 Logistische Abbildung
Einfaches Beispiel eines Marktes:
Preis am Tag n : xn
Preis am Tag n+ 1 : xn+1
Geschatzter Wert : x
Falls xn < x : xn+1 > xn
Falls xn > x : xn+1 < xn
xn+1 = a xn − (a− 1)x2n x := 1 (2.1)
2
Logistische Abbildung: verschiedene Werte von a
Stationar Stationar
Periode 2 Periode 8
Chaos 2 Bander Chaos
3
Chaos Periode 3
Chaos Chaos
Sensitive Abhangigkeit vonAnfangsbedingungen
Verteilung der Startwerte:xo = 10−4 ± 10−8
4
2.2 Rossler Oszillator
Teig kneten:
Den Teig drehen:Oszillator mit konstanter Amplitude:
x = y y = −x (2.2)
Den Teig ausbreiten:Oszillator mit wachsender Amplitude:
x = y y = −x+ a y (2.3)
Den Teig zuruckfalten:Anharmonischer Oszillator in drei Variablen:
x = y − z y = −x+ a y (2.4)
z := b+ z (x− c) (2.5)
Rossler Oszillator: b = 1 c = 4 verschiedene Werte von aFarbkodierung: z
Periode 1 Periode 2
5
Rossler Oszillator: b = 1 c = 4 verschiedene Werte von a
Periode 8 Chaos 2 Band
Chaos Periode 3
Chaos 3 Band Chaos
6
2.3 Periodisch angetriebenes Pendel
Masse m = 1
H = 12p2 − cosϕ + a sinϕ cosωt (2.6)
x = p p = − sin(x) + a cosϕ cos(ω t) (2.7)
E(t) = H(t) − H(0) (2.8)
Phasenraum-Trajektorien p(t) chaotisch / quasiperiodisch
7
2.4 Vorlaufige Charakterisierung von Chaos
Empfindliche Abhangigkeit von Anfangswerten:Ungenauigkeit in der Anfangsbedingung: ∆x(0)
limt→∞
lim∆x(0)
∆x(t)/∆x(0) ∼ eλt (2.9)
mit λ > 0 ?
Kontinuierliches Spektrum, keine periodische oder quasiperiodische Bewegung:Spektrum
P (ω) = limt→∞
1
t
∫ t
0dt′ x(t′) cosωt′ (2.10)
oder
P (ω) = limn→∞
1
n
n∑m=0
xm cosωm (2.11)
Dimension der Trajektorie x(t)Stationar x(t)−→
t→∞x∞
Periodisch x(t+ τ) = x(t)Quasiperiodisch, m-Torus x(t) = f(cosω1t , cosω2t, · · · , cosωmt)Fraktal ?
Attraktoren, konservative Systeme:Infinitisimales Volumen im Phasenraum ∆V (t)Konservativ, Liouville-Satz: d ∆V (t)/dt = 0Dissipativ, Attraktor: d ∆V (t)/dt < 0
Ergodizitat, Entropie25.10.99
8
3 Eindimensionale Abbildungen
3.1 Fixpunkte, periodische Orbits
x
xn
n+1
Eindimensionale Abbildung
xn+1 = f(xn) (3.1)
Fixpunkte
x∗ = f(x∗) (3.2)
Linearisierte Abbildung in der Nahe eines Fixpunktes
x = x∗ + δx δxn+1 = f ′(x∗) δxn (3.3)
Attraktiver (stabiler) Fixpunkt: |f ′(x∗)| < 1
Repulsiver (instabiler) Fixpunkt: |f ′(x∗)| > 1
Iterierte Abbildung
xn+p = fp(xn) fp(x) = f(fp−1(x)
)f 1(x) = f(x) (3.4)
9
Periode p-Orbit:
x∗p = fp(x∗p) (3.5)
Beispiel logistische Abbildung:
f(x) = a x (1 − x) f 2(x) = a2 x (1 − x) − a3 x2 (1 − x)2 (3.6)
0
1
0 1
x
f (x)
f 2(x)
f 3(x)
f n(x)
x
Logistische Abbildung
f(x) = a x (1 − x) (3.7)
a = 4
2 instabile Fixpunktex∗ = 0 x∗ = 3/4
1 instabiler Periode 2 Orbit2 instabile Periode 3 Orbits
Zahl der Periode p Orbits fur eine unimodulare Abbildung eines Intervalls, z.B.[0 · · · 1] auf sich selbst: f(0) = 0 f(x0) = 1 f(1) = 0Die Abbildung fp(x) hat 2p−1 Maxima mit Wert fp(xmax) = 1 und 2p−1 + 1Minima mit Wert fp(xmin) = 1. Damit hat fp(x) 2p Fixpunkte. Falls pPrimzahl ist, existieren 2 Fixpunkte und mindestens
Np =1
p
(2p − 2
)(3.8)
10
Orbits der Periode p.
Fur unimodulare Abbildungen mit negativer Schwarz’scher Ableitung
Sf(x) =f ′′′(x)f ′(x) − 3
2f ′′(x)2
f ′(x)2< 0 (3.9)
existiert maximal ein stabiler periodischen Orbits und ein attraktiver Fixpunkt.
Charakteristikum von Chaos ?Exponentell mit p wachsende Zahl von istabilen Orbits der Periode p ?
11
3.2 Vollstandiges Chaos
Zelt Abbildung:
0 1
1
0 x
f(x)
0
1
2
3
Abbildung: Strecken und falten
Lyapunov Exponent:
∆xn+1 = 2 ∆xn λ = ln 2 > 0 (3.10)
Invariante Dichte:Verteilung von Startwerten ρ0(x)Verteilung nach n Iterationen ρn(x)Abbildung xn+1 = f(xn) : Frobenius Peron Gleichung
ρn+1(x) =∫
dy ρn(y) δ(x− f(y)
)(3.11)
Invariante Dichte:
limn→∞
ρn(x) = µ(x) µ(x) =∫
dy µ(y) δ(x− f(y)
)(3.12)
Invariante Dichte der Zelt-Abbildung: µ(x) = 1
Invertierbare Transformation:x = X(y) Inverse Transformation y = Y (x) mit X(0) = 0 und X(1) = 1
yn+1 = f(yn) xn+1 = F (xn) = X(f(Y (xn))
)(3.13)
Invariande Dichte M(x)
M(x)|dx| = µ(y)|dy| M(x) = µ(Y (x)
) ∣∣∣dY (x)
dx
∣∣∣ (3.14)
12
Beispiel: X(y) = sin2 πy f(y): Zelt AbbildungFur y < 1
2f(y) = 2 y
F (x) = X(f(Y (x))
)= sin2 2πy = 4 sin2 πy
(1 − sin2 πy
)= 4x(1 − x) (3.15)
Entsprechend fur y > 12: F (x) = 4x(1 − x)
Invariante Dichte der logistischen Abbildung mit a = 4: µ(y) = 1
M(x) =1
dX(y)/dy=
1
π√x(1 − x)
(3.16)
Lyapunov Exponent:Linearisierte Abbildung fur ∆x→ 0
∆xn+1 = f ′(xn) ∆xn =n∏
l=0
f ′(xl) ∆x0 (3.17)
λ = limn→∞
1
n
n∑l=0
ln |f ′(xl)| =∫
dxµ(x) ln |f ′(x)| (3.18)
Transformation x = X(y): Mit F(X(y)
)= X
(f(y)
)
Λ =∫
dxM(x) ln |F ′(x)| =∫
dy µ(y) ln |F ′(X(y))|
=∫
dy µ(y)
ln |f ′(y)| + ln |X ′(f(y))| − ln |X ′(y)|
=∫
dy µ(y) ln |f ′(y)| = λ (3.19)
Beispiel: Λ = λ = ln 2 = 0.6912 · · ·8.11.99
13
3.3 Logistische Abbildung mit a < 4
Logistische Abbildung:xn+1 = a xn (1 − xn) (3.20)
Fixpunkt x∗ = 0 fur a < 1Fixpunkt x∗ > 0 fur 1 < a < 3Perode 2n fur 3 < a < 3.57 · · ·Chaos, Fenster · · · fur 3.57 · · · < a < 4
Bifurkationsdiagramm Ausschnitt
Ausschnitt Lyapunov Exponent
14
Invariante Dichte
µ(x) =∫
dy µ(y) δ(x− f(y)
)= lim
n→∞1
n
n∑l=0
δ(x− xl) (3.21)
Periode 8 2 Band Chaos
Chaos Vollstandiges Chaos
Singularitaten in µ(x) fur n-fach Iterierte von x0 = 12
Falls x0 Teil eines instabilen periodischen Orbits oder instabiler Fixpunkt (logis-tische Abbildung mit a = 4) ist, existieren endlich viele Singularitaten
15
3.4 Fenster im chaotischen Bereich
Logistische Abbildung:
Periode 3 Fenster fur 3.829 < a < 3.856
0
1
0 1
x
f (x)
f 3(x)
f n(x)
x
a=3.8
Chaos
0
1
0 1
x
f (x)
f 3(x)
f n(x)
x
a=3.835
Periode 3
0
1
0 1
x
f (x)
f 3(x)
f n(x)
x
a=3.855
3 Band Chaos
0
1
0 1
x
f (x)
f 3(x)
f n(x)
x
a=3.865
Chaos
Offnen eines Fensters mit Periode p :Neuer entarteter Fixpunkt in fp(x) mit fp(x∗p) = x∗p und f ′pn (x∗p) = 1 fur a = a
(p)0
16
Intermittentes Chaos kurz vor dem Offnen eines Fensters oder vor dem Entsteheneines neuen Fixpunktes
Intermittenz Logistische Abbildung
Krise kurz nach dem Schließen eines Fensters
Krise Logistische Abbildung
15.11.99
17
Abschatzung der Periode p Fenster:
p sei Primzahl. Fur vollstandiges Chaos, a = 4 , hat fp(x) 2p−1 Maxima mitf = 1 und 2p−1 − 1 Minima mit f = 0 und damit 2p Fixpunkte.
Fur a → 4 entstehen an jedem Fenster 2 p neue Fixpunkte. Damit ist dieGesamtzahl der Fenster
ZpFenster =
2p−1 − 1
p(3.22)
Damit ist die Zahl der Fenster uberabzahlbar.Zu jedem Fenster gehort ein Wert von a mit vollstandigem Chaos.
Abschatzung des Anteils von a-Werten mit Fenster:
Breite des i-ten Fensters mit Periode p: ∆pi
∑p,i
∆pi < 0.43 (3.23)
Superstabiler Fixpunkt von fp(x) bei a(p)0 : fp(1
2) = 1
2
Fur x = 12
+ δ:fp(1
2+ δ) − fp(1
2) ∼ ap δ2 (3.24)
Vollstandiges p-Band Chaos bei a(p)1 so da
fp(12
+ δ) − fp(12) ∼ δ δ ∼ a−p (3.25)
Mit ∆ ∼ a(p)1 − a(p)
0 und p ap−1∆ = δ:
∆ ∼ a−2p (3.26)
und
∑p,i
∆pi ∼ 1
ln 12a
(3.27)
Diese Summe erhalt Haubtbeitrag von kleinen p. Die zugehorigen Fenster fullennur einen kleinen Teil des Intervalls 3.57 < a < 4.
18
Ubrigbleibende a-Werte:Keine endlichen Intervalle, da in der Nahe jeden Wertes von a ein periodischesFenster existiert. Das Lebesque-Maß dieser Werte ist endlich.
Uberabzahlbarkeit der Fenster:
Betrachte die ersten n Fenster der Periode p mit p Primzahl, z.B. fur n = 10
k: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9pk: 3 5 5 5 7 7 7 7 7 7
Betrachte reelle Zahl zur Basis n: 0.k1k2k3k4 · · ·Zuordnung: Fenster mit Periode pk1 , darin Fenster mit Periode pk2 , darinFenster mit Periode pk3 , · · ·Diese Zuordnung erfaßt nur eine Teilmenge aller Fenster, da pn endlich ist.
3.5 Periodenverdopplung
Feigenbaum (1978), May,Großmann (1977)
Logistische Abbildung; (n = 2k)-fach iterierte Abbildung;Superstabiler Fixpunkt von fn: ak so daß
fn(12) = 1
2fn′(1
2) = 0 (3.28)
0
1
0 1
x
f (x)
f 2(x)
∆1
f n(x)
x
a=3.2361
0
1
0 1
x
f (x)
f 2(x)
∆2
f n(x)
x
a=3.2361
f 4(x)
19
Mit ∆k =∣∣∣fn/2(1
2) − 1
2
∣∣∣
αk =∆k−1
∆k
δk =ak−1 − ak−2
ak − ak−1
(3.29)
k n ak δk αk
0 1 2.0000001 2 3.2360682 4 3.498562 4.708943 2.6547443 8 3.554640 4.680771 2.5318384 16 3.566667 4.662960 2.5087185 32 3.569243 4.668404 2.504113
· · · · · · · · · · · · · · ·∞ ∞ 3.569946 4.669201 2.502908
22.11.99
Renormierungsgruppenrechnung
Vergleich der Abbildungen fn mit fn/2 fur a = ak mit n = 2k.Mit ak → a∗ und εk = a∗ − ak und
F (y, ε) = f(y + 12) − 1
2(3.30)
Ubergang von ak−1 nach ak, fn/2 nach fn und Reskalierung um Faktor
∆k/∆k−1 liefert ahnliche Abbildung:
F n(y, εk) = (−1)k 1
∆k
(fn(∆ky + 1
2) − 1
2
)
≈ − ∆k
∆k−1
F n/2(− ∆k−1
∆k
y, εk−1
)
≈ − 1
αk
F n/2(− αky, δkεk
)(3.31)
Fixpunkt fur k → ∞: F n(y, ε) → F ∗(y, ε), αk → α und δk → δ
F ∗(y, ε) = −αF ∗2(− yα,ε
δ
)(3.32)
20
Approximative Rechnung
f(x) = (a∗ − ε)x (1 − x)
F (y, ε) =1
4(a∗ − ε− 2) − (a∗ − ε) y2 (3.33)
F 2(y, ε) =1
4(a∗ − ε− 2) − (a∗ − ε)
(1
4(a∗ − ε− 2) − (a∗ − ε) y2
)2
=1
4(a∗ − ε− 2)
(1 − 1
4(a∗ − ε)(a∗ − ε− 2)
)
+1
2(a∗ − ε− 2)(a∗ − ε)2 y2 − (a∗ − ε)3 y4
Vernachlassigung von Termen ∼ y4 e.t.c. Mit (3.32)
F 2(y, ε) = − 1
αF (αy, δε) = − 1
4α(a∗ − δε− 2) + α(a∗ − δε) y2 (3.34)
Koeffizientenvergleich fur kleine y und ε :
O(ε0, y2) :α = 1
2a∗ (a∗ − 2) (3.35)
O(ε0, y0) :1
α=a∗ (a∗ − 2)
4− 1 (3.36)
α = 1 +√
3 = 2.732 · · · a∗ = 1 +√
3 + 2√
3 = 3.542 · · · (3.37)
O(ε1, y2) :
δ =a∗ (3a∗ − 4)
2α= 4.297 · · · (3.38)
Exakta∗ = 3.5699 · · · α = 2.5029 · · · δ = 4.6692 · · · (3.39)
Die Exponenten α und δ sind universell, d.h. sie werden auch bei Periodenver-dopplungskaskaden in anderen Systemen gefunden.
21
4 Attraktoren in dynamischen Systemen
4.1 Poincare Abbildungen
Dynamisches System mit N Variablen:
dxk
dt= fk(x1 · · ·xN) (4.1)
z.B. Rossler Oszillator:
dx
dt= y − z
dy
dt= −x+ a y (4.2)
dz
dt= b+ z (x− c)
Poincare Abbildung:
xk(tn+1) = Fk
(x1(tn) · · ·xN(tn)
)(4.3)
Beispiel: Rossler Oszillatormit Schnittflache x(tn) = 0 y(tn) > 0
yn = y(tn) = f(yn−1, zn−1) (4.4)
zn = z(tn) = g(yn−1, zn−1)
22
Rossler Oszillator: a = 0.33 Detail: yn−1 = 3.00 · · · 3.05
Farbkodierung: blau: yn−2 < ymax rot: yn−2 > ymax
Die resultierende Abbilung ist naherungsweise eindimensional. Bei starkererAuflosung wurde man blattrige Struktur erkennen.
29.11.99
4.2 Backer Transformation
0
1
0 1
00
01
10
11
α
1−α
γ γ0 1
0 10
1
Charakterisierung einesBereichs nach n Schrit-ten durch n-stelligeBinarzahl bn
23
Anfangspunkt → n-stellige Binarzahlmit n0 mal 0 und n1 mal 1n = n0 + n1
Bereich: 0 1Breite: γ0 γ1
Lange:α
γ0
1 − αγ1
Gesamtbreite: γn00 γ
n11
Gesamtlange: α−n0 (1 − α)−n1
Dichte: αn0 γ−n00 (1 − α)n1 γ−n1
1
Zahl der Binarzahlen: Z(n0, n1) =(n0 + n1)!
n0!n1!
Stirling Formel: ln n! ≈ n lnn− n
Mit n0 = βn und n1 = (1 − β)n : lnZ(n0, n1) = nβ lnα
β+ (1 − β) ln
1 − α1 − β
Wahrscheinlichkeit fur Binarzahl: Pn0,n1 = αn0 (1 − α)n1 Z(n0, n1)
≈ enβ ln αβ
+ (1−β) ln 1−α1−β
Wahrscheinlichster Wert:∂P
∂β= 0 : ln
α(1 − β)(1 − α)β = 0 β = α
Lange, Lyapunov Exponent λ1 : e−nα ln α+(1−α) ln(1−α) = en λ1
Breite, Lyapunov Exponent λ2 : enα ln γ0+(1−α) ln γ1 = en λ2
Volumen: enα lnγ0α
+(1−α) lnγ1
1−α = en (λ1+λ2)
λ1 = −α lnα− (1 − α) ln(1 − α) ≥ 0
λ2 = α ln γ0 + (1 − α) ln γ1 ≤ 0 (4.5)
λ1 + λ2 ≤ 0
24
4.3 Fraktale Dimension
Hausdorff Dimension, Mandelbrot
Geometrisches Objekt MWieviele Kugeln mit Radius ε sind notig um das Objekt zu bedecken?
•
Punkt: N(ε) = ε 0 Linie: N(ε) = ε−1 Flache: N(ε) = ε−2
Fraktale Dimension:
N(ε) ∼ ε−dfr dfr = limε→0
lnN(ε)
ln 1/ε(4.6)
Beispiel:
n-te Generation:
Zahl der Kanten: Nn = N0 4n
Lange einer Kante: ln = cn
mit 14< c < 1
2
Bedeckung mit Kugelndes Radius ε = cn
N(ε) = No 4n = N0 4 ln ε / ln c dfr =ln 4
ln 1/c
< 2> 1
(4.7)
Pentagramm: c ≈ 0.38 dfr ≈ 1.44
25
Backer Transformation:
Nach n Schritten: Breite = ε = en λ2 Lange = εN(ε) = en λ1
dfr = 1 − λ1
λ2
(4.8)
Beispiel: α = 12γ0 = 1
4γ1 = 1
2
λ1 = ln 2 λ2 = −32ln 2 dfr = 5
3
6.12.99
4.4 Lyapunov Exponenten und Dimensionen
Zeitliche Entwicklung von kleinen Abweichungen
Autonomes dynamisches System x(t) = x1(t), · · · , xn(t)
dx(t)
dt= f
(x(t)
)(4.9)
oderx+1 = f
(x
)(4.10)
Betrachte Trajektorie x(t) und benachbarte Trajektorie x′(t) = x(t) + δx(t)
Linearisierte Bewegungsgleichung fur infinitesimale δx(t)
dδxi(t)
dt=
∑j
∂fi(x(t)
)∂xj(t)
δxj(t) =∑
j
Aij
(x(t)
)δxj(t) (4.11)
Helmholtzscher Fundamentalsatz:
Aij = Sij + Ωij mit Sij = Sji und Ωij = −Ωji (4.12)
Sij beschreibt lokale Verzerrung, Ωij beschreibt lokale Drehung
Zeitliche Entwicklung des Fehlers
∆2(t) =∑
i
δx2i (t) (4.13)
26
d∆2(t)
dt= 2
∑i,j
δxi(t)Sij
(x(t)
)δxj(t) (4.14)
Integrierte zeitliche Entwicklung
δxi(t) =∑
j
Lij
(x(0), t
)δxj(0) (4.15)
d
dtLij
(x(0), t
)=
∑k
Aik
(x(t)
)Lkj
(x(0), t
)mit Lij
(x(0), 0
)= δi,j (4.16)
MitΛij(x, t) = Λji(x, t) =
∑k
Lki(x, t)Lkj(x, t) (4.17)
∆2(t) =∑i,j
δxi(0)Λij(x, t)δxj(0) (4.18)
Eigenwerte von Λij
(x(0), t
):
∑j
Λij(x, t)ηj,(x, t) = e2 λ(x,t) t ηi,(x, t) (4.19)
Lyapunov Exponentenλ = lim
t→∞λ(x, t) (4.20)
Es existiert ein λm = 0: Betrachte δx(t) = x(t+ δt) − x(t)
Chaotisches System mit n Variablen: Numerierung so daß λ ≥ λ−1
λ1 · · ·λm−1 > 0 λm = 0 λm+1 · · ·λn < 0
Attraktor:n∑
=0
λ < 0
Lokale Struktur:
m-dimensionale Manigfaltigkeit⊗
(n−m)-fache Cantor Menge
Codimension dco = n−m
27
Der Attraktor sei beschrankt auf ein Gebiet mit linearer Ausdehnung ∼ 1
Anfangskonfiguration: Flache F (t = 0) ∼ 1
F (t) ∼ et∑m−1
=1λ (4.21)
Zahl der Blatter: N(t) ∼ F (t)
Dicke der Blatter in k-Richtung: δk(0) ∼ 1 δk(t) ∼ et λk
Wahl: ε(t) = δk(t) fur k ≥ m+ 1
εk−1N(ε) = et∑k−1
=1λ (4.22)
Fraktale Dimension:Optimale Wahl von k ≥ m+ 1 so daß N(ε) minimal ist
dfr = maxk
(k − 1)λk −k−1∑=1
λ
λk
(4.23)
20.12.99
4.5 Entropie
Ereignisse i mit Wahrscheinlichkeit Pi mit∑
i
Pi = 1
Shannon-Information:
I = −∑
i
Pi log2 Pi (4.24)
Entropie und fraktale Dimension:Einteilung in Zellen Vi(ε) der Große ε
Pi =
0 falls Zelle i leer istp sonst
(4.25)
N(ε) Zellen sind nicht leer:∑
i
Pi = N(ε) p = 1
Mit (4.6)Ifr(ε) = −dfr log2 ε (4.26)
28
Entropie und Wahrscheinlichkeit:
Pi = limτ→∞
1
τ
∫ τ
0dtΘi(x(t)) mit Θi(x) =
1 falls x ∈ Vi(ε)0 sonst
=∫
Vi(ε)dµ(x) (4.27)
Iµ(ε) =∑
i
Pi log2 Pi = −dµ log2 ε ≤ Ifr (4.28)
Korrelationsfunktion und Dimension(Grassberger, Procaccia)
Korrelationsfunktion:
c(r) = limτ→∞
1
τ 2
∫ τ
0dtdt′ δ(r − |x(t) − x(t′)|)
=∫
dµ(x)dµ(x′) δ(r − |x− x′|) (4.29)
Korrelationsintegral
C(ε) =∫ ε
0dnr c(r) ≈
∑i
∫Vi(ε)
dµ(x)dµ(x′) =∑
i
P 2i (ε) = εν
≥ p2N(ε) = ε dfr (4.30)
Genauere Abschatzung: ν ≤ dµ ≤ dfr
Beispiele:
Logistische Abbildung mit a = 3.5699.. ν = 0.5 dµ = 0.517 dfr = 0.538
Lorenz-Gleichung mit σ = 16, b = 4 und r = 40λ = (1.37, 0, −22.37) ν = 2.05 ± 0.01 dfr = 2.06 ± 0.01und mit (4.22) dfr = 2.061
29
Analyse von Zeitreihen
Gegeben sei y(t), z.b. aus Experiment.
Konstruiere Trajektorie in einem k-dimensionalen Parameterraum
x(t) =y(t), y(t− τ), y(t− 2 τ), · · · , y(t− (k − 1) τ)
(4.31)
Bestimme ν oder d... fur verschiedene Werte von k
k
ν
mit Rauschen
ideal
kmin
Zur Rekonstruktion der dynamischen Gleichungen, F(· · ·)
d y(t− 8 τ)d t
= F
(y(t), · · · , y(t− (k − 1) τ)
)(4.32)
ist k ≥ kmin notwendig.10.1.00
30
5 Hamiltonsche Systeme
5.1 Periodisch angestoßener Rotator
Koordinaten: Winkel ϕ(t), Impuls ψ(t)
Periodische Kraft F (t) = f cos(ϕ(t)) δ(tmod τ)
Bewegungsgleichungen: fur t = n τ + t′ mit 0 ≤ t′ < τ
ϕ(n τ + t′) = ϕ(n τ) + ψ(n τ) t′
ψ(n τ + t′) = ψ(n τ) (5.1)
ψ((n+ 1) τ) = ψ(n τ) + f cos(ϕ((n+ 1) τ))
Abbildung: ϕ(n τ), ψ(n τ) → ϕ((n+ 1) τ), ψ((n+ 1) τ)Mit ϕn = ϕ(n τ) und ψn = ψ(n τ)
ϕn+1 = ϕn + τ ψn (5.2)
ψn+1 = ψn + f cosϕn+1
Abbildung:ψn cos(ϕn);ψn sin(ϕn)
Tori, ψ irrational(blau)
Geschlossene Tra-jektorien, ψ rational(rot)
31
Abbildung:ψn cos(ϕn);ψn sin(ϕn)
Tori (blau)
Mehrfache Tori (grun)
Chaotische Bereiche(rot)
Zusammenwachsenvorher getrennterchaotischer Bereichebei starkerer Storung
32
Zusammenwachsenvorher getrennterchaotischer Bereichebei starkerer Storung
5.2 Hamiltonsche Mechanik
Hamilton Funktion: H(p, q) mit p = p1 · · · pN und q = q1 · · · qN.Hamiltonsche Gleichungen
∂tpi = −∂H∂qi
∂tqi =∂H
∂pi
(5.3)
Losung mit Anfangsbedingung:Trajektorien pi(t) · · · pN(t) q1(t) · · · qN(t) im 2N -dimensionalen Phasenraum.Frage: Dimension der Trajektorie?Beispiel: Kepler-Bewegung, geschlossene Bahnen: d = 1
Periheldrehung, Rosettenbahnen: d = 2
Poisson Klammern: A(p, q), B(p, q)
A(p, q), B(p, q)
=
∑
∂A(p, q)
∂q
∂B(p, q)
∂p
− ∂B(p, q)
∂q
∂A(p, q)
∂p
(5.4)
Hamiltonsche Gleichungen
∂tpi =pi , H
∂tqi =
qi , H
(5.5)
qi , qj
= 0
pi , pj
= 0
qi , pj
= δij (5.6)
33
Liouville SatzBetrachte Volumelement
δV =N∏
i=1
δpi δqi (5.7)
mit
∂t δqi =∂2H
∂qi ∂pi
δqi ∂t δpi = − ∂2H
∂pi ∂qiδpi (5.8)
d δV
d t=
∑i
(∂t δqiδqi
+∂t δpi
δpi
)δV = 0 (5.9)
Lyapunov Exponenten: allgemein
∂tδV =∑
λ δV (5.10)
in Hamiltonschen Systemen2 N∑=1
λ = 0 (5.11)
17.1.00
Kanonische Transformationen
Neue Variable Pi(p, q) und Qi(p, q) so daß
Qi , Qj
= 0
Pi , Pj
= 0
Qi , Pj
= δij (5.12)
mit neuer Hamiltonfunktion K(P ,Q) so daß
∂tPi =Pi , K
= − ∂K
∂Qi
∂tQi =Qi , K
=∂K
∂Pi
(5.13)
Explizite Konstruktion: Finde erzeugende Funktion S(q,P , t) so daß
pi =∂S(q,P , t)
∂qiQi =
∂S(q,P , t)
∂Pi
(5.14)
K(P ,Q, t) = H(p, q) +∂S(q,P , t)
∂t(5.15)
34
5.3 Integrable Systeme
Erhaltungsgroßen Fn(p, q) so daß
∂tFn =Fn , H
= 0 Fn
(p(t), q(t)
)= fn (5.16)
Integrables System:Es existieren N unabhangige Erhaltungsgroßen F1 · · ·Fn so daß Fn , Fm = 0
Beispiel: Eindimensionale Bewegung in einem zeitunabhangigen Potential:
H(p, q) =p2
2m+ V (q) = E (5.17)
Beispiel: Dreidimensionale Bewegung in einem zeitunabhangigen Zentralpotential:
H(p, q) =p2
2m+ V (|q|) = E
Lz(p, q) = px qy − py qx = 8z (5.18)
L2(p, q) = (p × q)2 = 82
Trajektorie [p(t) q(t)] mit Anfangsbedingungen f1 · · · fn im 2N -dimensionalenPhasenraum: auf Manigfaltigkeit (N -Torus)
M(f) = F1(p q) = f1 ∩ F2(p q) = f2 · · · ∩ FN(p q) = fN (5.19)
Wirkungs- und WinkelvariableKanonische Transformation auf neue Variable:Wirkungsvariable I = I
(F (p, q)
)und Winkelvariable Θ = Θ(p, q) so daß K = K(I).Mit I = I(f)
∂t Θ =∂K(I)
∂I= ω(f) Θ(t) = ϑ + ω t (5.20)
Es existiert eine erzeugende Funktion S(q, I) so daß (5.14)
pi =∂S(q, I)
∂qiΘ =
∂S(q, I)
∂I(5.21)
35
Es seien q und q0 Punkte auf M(f) und C und C ′ Verbindungen dieserPunkte, ebenfalls auf M(f). Falls C stetig nach C ′ verformbar ist, ist
S(q, I) =∫ q
q0
∑i
pi dqi (5.22)
unabhangig vom gewahlten Weg.
Wahle N Wege C (nicht stetig ineinander oder auf einen Punkt verformbar)
C1111
C2222C’2222
C0000
und
I =1
2π
∫C
∑i
pi dqi =1
2π
∫C′
∑i
pi dqi = I(f) (5.23)
Dann ist S(q, I) mehrdeutig: d.h. falls der Integrationsweg um C erweitertwird, gilt S(q, I) → S(q, I) + 2π I
Ursprungliche Variable
qi = qi(Θ, I) = qi(Θ + 2πn, I) pi = pi(Θ, I) = pi(Θ + 2πn, I) (5.24)
mit n = n1 · · · nN und n ganzzahlig, d.h. qi und pi sind periodisch.
Fourierdarstellung
qi(t) =∑nai,n e
i∑
nωt pi(t) =
∑nbi,n e
i∑
nωt (5.25)
Nicht entartet: alle ωk/ω irrational: Trajektorie belegt M(f) dichtVollstandig entartet: Trajektorie ist geschlossene Kurve auf M(f)
36
Bemerkung zur Quantenmechanik:Bohr-Sommerfeld Quantisierung: I muß ganzzahliges Vielfaches von h sein.
Freier RotatorErhaltungsgroße f = ψ, Ortsvariable ϕ.Erzeugende Funktion, (5.22): S(ϕ, I(f)) = ϕfMit (5.23) I = f = ψ und K(I) = 1
2I2
Ebenes PendelOrtsvariable ϕ Impulsvariable ψ = m82ϕ
H(ϕ, ψ) =ψ2
2m82−mg 8 cosϕ (5.26)
Wahle Einheiten so daß m82 = mg8 = 1.
Erhaltungsgroße H(ϕ, ψ) = 12ψ2 − cosϕ = E
Impuls ψ = ψ(ϕ,E) = ±√
2(E + cosϕ)
Erzeugende Funktion mit ϕ0 = 0
S(ϕ, I(E)) = ±∫ ϕ
0dα
√2(E + cosα) (5.27)
= ±2√
2(E + 1) E(
sin(12ϕ),
√2
E + 1
)
wobei E(x, y) ein unvollstandiges elliptisches Integral 2. Gattung ist.
Schwingungen: −1 < E < 1 Umkehrpunkte: ϕ± = ±ϕ = ±arc cos(−E)
I =2
π
∫ ϕ
0dϕ
√2(E + cosϕ) =
4
π
√2(E + 1) E
(√E + 1
2,
√2
E + 1
)(5.28)
Uberschlage: e > 1
I =1
π
∫ π
0dϕ
√2(E + cosϕ) =
2
π
√2(E + 1) E
(1,
√2
E + 1
)(5.29)
31.1.00
37
5.4 Schwach gestorte Systeme, Resonanzschichten
Es sei
K(o
I,o
Θ) =o
K (o
I) + λK ′(o
I,o
Θ)
=o
K (o
I) + λ∑mK ′
m(o
I) ei∑
m
oΘ (5.30)
mit m = m1 · · ·mN und m ganzzahlig.
Kanonische Transformation auf neue Variable I und Θ mit erzeugender Funktion
S(o
Θ, I) =∑
o
Θ I + λ∑mSm(I) ei
∑
m
oΘ (5.31)
wobei, (5.14),
Θi =o
Θi +λ∑m
∂Sm(I)
∂Iiei
∑
m
oΘ
o
I i = Ii + i λ∑mmi Sm(I) ei
∑
m
oΘ (5.32)
Mit (5.30) und (5.20) in Ordnung λ
K(I,Θ) =o
K (I) + λ∑m
i∑
moω (I)Sm(I) +K ′
m(I)ei
∑
m
oΘ (5.33)
Falls∑
moω (I) = 0 wahle
Sm(I) =iK ′
m(I)∑m
oω (I)
(5.34)
Bedingung fur∑
moω (I) = 0:
Alle Verhaltnisse ωk(I)/ω(I) mussen irrational sein.
Entartung: ωk(I)/ω(I) = nk/n ist rational.∑ m
oω (I) = 0 fur mk = ±n, m = ∓nk und mn = 0 sonst.
38
Resonanzschicht
Einfacher Fall: Nur ein Verhaltnis ωk(I)/ω(I) ist rational.Damit konnen alle K ′
m(I) fur m = n m in Ordnung λ kompensiert werden.
Lineare Transformation auf neue Ortsvariableϕ =
∑ mΘ ; Θ1 · · · ΘN−1
und neue Impulsvariable
ψ ; I1 · · · IN−1
S(Θ;ψ, I) = ψ∑
mΘ + S ′(Θ; I) (5.35)
K(ψ, ϕ, I) = Ko(ψ, I) + λ∑n
K ′n(ψ, I) einϕ + λ2K ′′(ψ, I;ϕ, Θ) (5.36)
Entwicklung von Ko(ψ, I): mit
∂Ko(ψ, I)
∂ψ= ∂tϕ =
∑
m ω = 0∂2Ko(ψ, I)
∂ψ2
∣∣∣ψ=0
=1
M(I)(5.37)
K(ψ, I;ϕ, Θ) = Ko(I) +ψ2
2M(I)+ λ
∑n
K ′n(I) cos(nϕ+ αn) + · · · (5.38)
Dies ist bezuglich ψ und ϕ die Hamiltonfunktion eines Pendels mitTragheitsmoment M im Potential λ
∑n K
′n cos(nϕ+ αn).
Abschatzung von K ′n: mit (5.30)
Kn =∫ ∏
dΘ
2πe−in
∑
mΘK ′(I,Θ) (5.39)
Dabei ist m =√m2
k + m2 .
Falls K ′(I,Θ) stetig p-fach differenzierbar ist, ist
Kn ∼(n m
)−p−3(5.40)
Falls K ′(I,Θ) fur |mΘl| < γ analytisch ist, ist
Kn ∼ e−γnm (5.41)
Abschatzung von M∂I∂ψ
= m M ∼ m−2 (5.42)
39
Dicke der Resonanzschicht
∆ψm ∼ m√λK1 ∼
√λ
m(p+5)/2oder ∼
√λ
me−γm/2 (5.43)
Resonanzschicht:Flachen konstanterEnergie
Abschatzung der Summe aller Resonanzschichten:
∑mk m
∆ψm ∼∫ ∞
1dm m∆ψm ∼
√λ (5.44)
Fur hinreichend kleine Stohrungen bleiben invariante Tori erhalten.
KAM-Tori
Es sei
η =ωk(I)
ω(I)(5.45)
irrational.Benachbarte Resonanzschicht? Rationale Naherung ηr = Z/NKettenbruchentwicklung:
η = a0 +1
a1 +1
a2 +1
a3 +R3
(5.46)
40
mit an ganzzahlig und ≥ 1 fur n ≥ 1.
Restglied
0 < Rn =1
an+1 +Rn+1
< 1 (5.47)
Rationale Naherung ηn: Kettenbruch mit Rn = 0.ηn: Alternierende Reihe mit Grenzwert η.
Rekursionsformel: [x] sei großte ganze Zahl < x
a0 = [η] Z0 = a0 N0 = 1 (5.48)
a1 =[ 1
η − a0]
Z1 = a0 a1 + 1 N1 = a1 (5.49)
an =[Zn−2 − η Nn−2
η Nn−1 − Zn−1
]Zn = Zn−2+an Zn−1 Nn = Nn−2+anNn−1 (5.50)
Fehler
δn = |ηn − η| =Nn−1
Nn
δn−1
an+1
(5.51)
Frequenzen der zu ηn gehorigen Resonanzschicht
ηn =ωk(I + m ψn)
ω(I + m ψn)(5.52)
Daraus erhalt man ψn = ψ(δn).Der zu η gehorige Torus bleibt erhalten falls fur alle Resonanzschichtenψn > ∆ψmn , (5.43).
Damit δn moglichst groß wird, mussen die an moglichst klein sein, also a0 = 0und an = 1 fur n ≥ 1. Damit wird (goldener Schnitt)
η = 12
(√5 − 1
)= 0.618033989 · · · (5.53)
Beispiele fur Kettenbruchdarstellung
π quad π ≈ 355/113: Lao-Tze 604-531 v.C.
n 0 1 2 3 4an 3 7 15 1 292Zn 3 22 333 355 103993Nn 1 7 106 113 33102δn 0.14 1.3 · 10−3 8.2 · 10−5 2.7 · 10−7 5.8 · 10−10
41
Goldener Schnitt 12(√
5 − 1)
n 0 1 2 3 4 5 6 7 8an 0 1 1 1 1 1 1 1 1Zn 0 1 1 2 3 5 8 13 21Nn 1 1 2 3 5 8 13 21 34δn 0.6 0.4 0.1 0.05 0.02 7 · 10−3 3 · 10−3 1 · 10−3 4 · 10−4
7.2.00
5.5 Heterokline (homokline) Orbits und Chaos
Pendel als Prototyp der Bewegung in einer Resonanzschicht mit Storung ∼ ε ∼ λ2
H(P,Q) = Ho(P,Q) + εW (P,Q, t) = 12P 2 + cos Q+ εW (P,Q, t) (5.54)
Losung des ungestorten Problems Po(t), Qo(t).
Fixpunkte P ∗, Q∗ (stationare Punkte von Ho).Elliptischer Fixpunkt: P ∗ = 0, Q∗ = πEigenwerte der Matrix der zweiten Ableitungen von Ho am Fixpunkt > 0Hyperbolischer Fixpunkt: P ∗ = 0, Q∗ = 0Ein Eigenwert der Matrix der zweiten Ableitungen von Ho am Fixpunkt < 0
Heterokliner Orbit:Trajektorie zwischen zweihyperbolischen Fixpunkten
Po(t), Qo(t)
z.B. mit AnfangsbedingungPo(0) =
√2, Qo(0) = 1
2π
P
Q
Familie von Losung des gestorten Problems
P (t; τ) = Po(t− τ) + ε p(t), Q(t; τ) = Qo(t− τ) + ε q(t), (5.55)
Linearisierte Bewegungsgleichung
∂tp = −ΩP Q(t− τ) p− ΩQQ(t− τ) q − fQ(t; τ)
42
∂tq = −ΩP P (t− τ) p− ΩP Q(t− τ) q − fP (t; τ) (5.56)
mit
ΩP P =∂2Ho(Po, Qo)
∂Po ∂Po
ΩP Q =∂2Ho(Po, Qo)
∂Po ∂Qo
ΩQQ =∂2Ho(Po, Qo)
∂Qo ∂Qo
(5.57)
fQ =∂W (Po, Qo, t)
∂Qo
fP =∂W (Po, Qo, t)
∂Po
(5.58)
Stabile gestorte Losung P−(t), Q−(t) mit Anfangsbedingung
P−(t) −→t→−∞
Po(t) Q−(t) −→t→−∞
Qo(t) (5.59)
Instabile gestorte Losung P+(t), Q+(t) mit Anfangsbedingung
P+(t)−→t→∞Po(t) Q+(t)−→
t→∞Qo(t) (5.60)
P
Q
P–,Q–
P+,Q+
Abstand ∆(t) zwischenTrajektorie (P+(t), Q+(t))und (P−(t), Q−(t)) (Po,Qo)
(P–,Q–)
(P+,Q+)
(Po,Qo)• •
(Qo,-Po)• •
∆ = (P+–P–, Q+–Q–)
Berechnung von ∆(t)
d
dtH
(P (t), Q(t), t
)= ε
∂
∂tW (P,Q, t)
∣∣∣P (t),Q(t)
(5.61)
43
In Ornung ε mit H±(t) = H(P±(t), Q±(t), t
)
H+(t) = Ho(P∗, Q∗) + ε
∫ t
−∞ds∂
∂sW (Po, Qo, s)
∣∣∣Po(s−τ),Qo(s−τ)
H−(t) = Ho(P∗, Q∗) − ε
∫ ∞
tds∂
∂sW (Po, Qo, s)
∣∣∣Po(s−τ),Qo(s−τ)
(5.62)
Mit (5.55) und
Ho
(P±(t), Q±(t), t
)= Ho
(Po(t− τ), Qo(t− τ)
)(5.63)
+εQo(t− τ)p±(t) − Po(t− τ)q±(t)
+ · · ·
in Ordnung ε
Po(t− τ)(q+(t) − q−(t)
)− Qo(t− τ)
(p+(t) − p−(t)
)(5.64)
=√P 2
o (t− τ) + Q2o(t− τ) ∆⊥(t) = M(τ)
Mit
M(τ) =∫ ∞
−∞ds∂
∂sW (Po, Qo, s)
∣∣∣Po(s−τ),Qo(s−τ)
(5.65)
Damit ist der transversale Abstand ∆⊥(t)
∆⊥(t) =M(τ)√
P 2o (t− τ) + Q2
o(t− τ)(5.66)
Fur t→ ±∞ geht Po(t) → 0 und Qo(t) → 0 und damit ∆⊥(t) → ∞
Angetriebenes Pendel:Frequenz ω
Poincare Schnittω t = 2nπ
Manigfaltigkeit τ =0 · · · 2π/ω
Die Stabile (instabile)Manigfaltigkeit kann sichnicht selbst schneiden.
Die eingeschlossenenFlachen sind gleich(Liouville Satz)
44
Asteroidenverteilung, Resonanzen mit Jupiterbahn
Dichte der Asteroiden
4 3 2 1 ω /ωJupiter
Troj
aner
3/25/27/2
Saturnringe und Saturnmonde
2ωΕ2ωΜ
3ωΕ
2ωJ
3ωΜ
3ωJ
Saturn
A-Ring
B-Ring
Crepe
Janu
s
Mim
as
Enc
elad
us
Roche Grenze: Gezeitenkräfte = Gravitation
14.2.00
F I N I S
45