Chaîne de Markov - Télétrafic - Files d'attente

Cnam INTRODUCTION AUX TELECOMMUNICATIONS

Electronique B11 1

Chaîne de Markov - Télétrafic - Files d'attente

Version 5.0

Michel Terré

Electronique ELE111

[email protected]


Electronique B11 2

1 Rappels de probabilité

Le dimensionnement d'un réseau de Télécommunications demande quelques calculs de probabilités élémentaires. Il

n'est pas nécessaire de développer une théorie très complète pour suivre ces calculs. Il est cependant nécessaire de

savoir calculer quelques probabilités conditionnelles et quelques moments statistiques. Ce paragraphe rappelle les

notions de probabilité nécessaires pour ce cours. Les lecteurs connaissant bien le domaine peuvent donc passer

directement au paragraphe 2.

1.1 Evénements et probabilité

Considérons le cas d'une partie de roulette à 6 coups. A chaque tentative il y a 6 sorties possibles. On définit ainsi

l'espace des résultats possibles :

{ }654321S =

On peut alors définir un événement comme un sous ensemble de S. Ainsi l'événement { }42A = correspond aux

sorties 2 ou 4 de la roulette. On peut alors définir l'événement complémentaire { }6531A = .

Deux événements sont dits exclusifs si ils n'ont aucun point commun. C'est à dire si la réalisation d'un des événements

rend l'autre impossible. L'événement { }631B = est ainsi exclusif par rapport à l'événement A. De la même manière,

A et A sont exclusifs.

On définit la somme ou l'union de deux événements comme l'ensemble des valeurs des deux événements. Ainsi en

introduisant { }321C = , l'événement CBD ∪= représente l'ensemble les valeurs { }6321D = .

On définit l'intersection de deux événements comme l'ensemble des valeurs qui sont communes aux deux événements.

Ainsi CBE ∩= est constitué par l'ensemble des valeurs { }31E = .

Une mesure de probabilité P ou plus simplement une probabilité est une application qui associe à chaque élément de S

un réel compris entre 0 et 1.

[ ]10SP ,: →

et qui vérifie les propriété suivantes :

� A chaque événement A appartenant à l'ensemble S on associe sa probabilité )(AP . Cette probabilité est

positive est inférieure ou égale à 1.

1AP0 ≤≤ )(

� ( ) 0P =∅ et ( ) 1SP =

� Pour tous les évènements A et B tels que ∅=∩ BA alors ( ) ( ) ( )BPAPBAP +=∪

En déduit alors :

( ) ( )AP1AP −=

Pour deux évènements quelconques :

( ) ( ) ( ) ( )BAPBPAPBAP ∩−+=∪


Electronique B11 3

Enfin, si l'on considère une famille d'événements exclusifs iA alors :

∅=∩ ji AA ceci ji ≠∀

et :

( )∑=

∪i

iii

APAP

Exemple :

Pour le cas de la roulette considérée chaque valeur a une probabilité 6

1 de "sortir". La probabilité de A est

6

2AP =)(

et la probabilité de BA∪ , A et B étant exclusifs est donnée par :

( )6

5

6

3

6

2BAP =+=∪

Considérons maintenant des ensembles quelconques, c'est à dire pas obligatoirement exclusifs, et plaçons nous dans le

cas de deux événements iA et jB .

Dans le cas général on écrit :

)BA(P)B,A(P jiji ∩=

)BA(P)B(P)A(P)BA(P jijiji ∩−+=∪

( )et,ou =∩=∪

1.1.1 Probabilités conditionnelles

On définit aussi les probabilités conditionnelles. C'est à dire la probabilité d'avoir un événement iA sachant qu'un autre

événement jB est vérifié.

Cette probabilité conditionnelle s'écrit )( ji BAP , et elle s'obtient au moyen de l'équation :

)(

),()(

j

jiji

BP

BAPBAP =

On peut écrire l'équation dans l'autre sens, on obtient alors :

)(

),()(

i

jiij

AP

BAPABP =

Exemple :

En reprenant les cas de la roulette évoquée précédemment, il vient :

3

2

6

3

6

2

BCP ==)(


Electronique B11 4

1.1.2 Indépendance

L'indépendance statistique de deux événements signifie que la probabilité d'un des deux événements n'est pas influencée

par la réalisation ou non réalisation de l'autre événement. Dans le cas de deux événements indépendants iA et jB , on a

donc :

)()( iji APBAP =

On en déduit alors au moyen des probabilités conditionnelles :

)()(),( jiji BPAPBAP =

1.2 Variable Aléatoire, densité et fonction de répartition

1.2.1 Variable aléatoire

Si l'on considère un espace S et un élément Ss∈ , on peut définir une fonction )(sX dont le domaine est S et qui est à

valeurs réelles. La fonction )(sX est appelée une variable aléatoire.

Exemple :

Considérons une partie de pile ou face. L'espace S contient deux points P(ile) et F(ace).

{ }FPS =

On peut alors définir une fonction )(sX de la manière suivante :

=−=

=)(

)()(

Fs1

Ps1sX

Les exemples présentés jusqu'alors ont toujours considéré un ensemble S comportant un nombre fini de valeurs. On

parle alors de variables aléatoires discrètes. Cependant l'ensemble S peut très bien être constitué de valeurs continues.

On parle alors, pour )(sX , de variable aléatoire continue.

1.2.2 Fonction de répartition

On considère alors des événements du type { }xX ≤ , expression dans laquelle x est une valeur réelle entre [ ]+∞−∞ .

La probabilité de cet événement s'écrit alors :

)()( xXPxF ≤=

On parle aussi de fonction de répartition pour la fonction )(xF

1.2.3 Densité de probabilité

On définit la densité de probabilité )(xp de la variable aléatoire X comme la dérivée de la fonction de répartition )(xF

par rapport à x.

dx

xdFxp

)()( = [ ]+∞−∞∈x

ou encore

∫∞−

=x

duupxF )()( [ ]+∞−∞∈x

Lorsque l'on est confronté au problème d'estimer la probabilité pour qu'une variable aléatoire X soit comprise dans un

intervalle ( )21 xx , avec 12 xx > , on considère les deux événements suivants :


Electronique B11 5

{ }2xX ≤ et { }1xX ≤

On peut alors décomposer l'événement { }2xX ≤ en deux événement exclusifs { }1xX ≤ et { }21 xXx ≤<

On a alors l'équation de probabilité suivante :

( ) ( ) ( )2112 xXxPxXPxXP ≤<+≤=≤

D'où :

( ) ( ) ( )2112 xXxPxFxF ≤<+=

( ) ( ) ( )1221 xFxFxXxP −=≤<

( ) ∫=≤<2

1

x

x

21 dxxpxXxP )(

1.3 Moments statistiques

Si l'on considère une variable aléatoire de densité de probabilité )(xp , on définit la moyenne ou l'espérance de X de la

manière suivante :

( ) ∫+∞

∞−== dxxxpmXE X )(

On définit la variance de X par :

( ) ∫+∞

∞−−=−=σ= dxxpmxmXEXVar 2

X2

X2X )()()(

En développant l'expression précédente, on montre que ( ) 2X

22X mXE −=σ

On démontre facilement les propriétés suivantes :

Soit iX un ensemble de variables aléatoires, alors :

( )∑∑ =

ii

ii XEXE

En introduisant un coefficient scalaire α , on a :

( ) ( )ii XEXE α=α

( ) ( )i2i XVarXVar α=α

Dans le cas de variables aléatoire iX indépendantes :

( )∑∑ =

ii

ii XVarXVar

1.4 Quelque lois usuelles

1.4.1 Variable aléatoire uniforme

Une variable aléatoire uniformément répartie entre [ ]a0 + est une variable aléatoire continue à valeurs dans [ ]a0 +

dont la densité de probabilité est de la forme :


Electronique B11 6

[ ][ ]a0x0xp

a0xa

1xp

+∉=

+∈=

,)(

,)(

Le calcul de l'espérance donne :

( )2

a

2

x

a

1xdx

a

1dxxxpXE

a

0

2a

0

=

===

++∞+

∞−∫∫ )(

Le calcul de la variance donne :

( )3

a

3

x

a

1dxx

a

1dxxpxXVar

2a

0

3a

0

22 =

===

++∞+

∞−∫∫ )(

1.4.2 Variable aléatoire gaussienne

Une variable aléatoire gaussienne est une variable aléatoire continue prenant valeur dans [ ]+∞−∞ et dont la densité

de probabilité est de la forme :

( )[ ]∞+∞−∈

πσ= σ

−−

xe

2

1xp

2X

2X

2

mx

2X

,)(

La densité gaussienne est exprimée au moyen de la moyenne Xm et de la variance 2Xσ . La loi est dite centrée si la

moyenne est nulle et réduite si la variance est égale à 1.

1.4.3 Variable aléatoire exponentielle

Une variable aléatoire exponentielle est une variable aléatoire continue prenant valeur dans [ ]+∞0 et dont la densité

de probabilité est de la forme :

0xexp

0x0xp

x ≥λ=

<=λ− ,)(

,)(

Le calcul de la moyenne et de la variance sont présentés dans le cours sur les modèles de trafic.

( )λ

= 1XE

( )2

2 2XE

λ=

( ) ( )2

22 1XEXEXVar

λ=−=)(

1.4.4 Variable aléatoire binomiale

Une variable aléatoire binomiale est une variable aléatoire discrète prenant valeur dans { }10 définie par les

probabilités suivantes :

p1XP

p10XP

==−==

)(

)(

Le calcul de l'espérance donne :


Electronique B11 7

( ) ( ) pp1p10XE =+−= ..

( ) ( ) ( ) 222pppp1p1p0XVar −=−+−−= ..)(

2 Chaîne de Markov

Un processus stochastique ( ){ } TttX ∈ est une fonction du temps dont la valeur à chaque instant dépend de l'issue d'une

expérience aléatoire. A chaque instant Tt∈ , ( )tX est donc une variable aléatoire.

Si l'on considère un temps discret on note alors { }NnnX ∈ un processus stochastique à temps discret. Si l'on suppose

enfin que les variables aléatoires nX ne peuvent prendre qu'un ensemble discret de valeurs, on parlera de processus à

temps discret et à espace d'état discret. Ce paragraphe va aborder les processus à temps discret et à espace d'état discret.

Le chapitre sur le télétrafic abordera pour sa part les processus à temps continu et à espace d'état discret.

2.1 Définition d'une chaîne de Markov

{ }NnnX ∈ est une chaîne de Markov à temps discret si et seulement si :

( ) ( )1n1nn002n2n1n1nn iXjXPiXiXiXjXP −−−−−− ======= ,...,,

La probabilité pour que la chaîne soit dans un certain état à la ièmen étape du processus ne dépend donc que de l'état du

processus à l'étape précédente (la ième1n − ) et pas des états dans lequel il se trouvait aux étapes antérieures.

On définira une chaîne de Markov comme homogène lorsque cette probabilité ne dépend pas de n. On peut alors définir

la probabilité de transition d'un état i vers un état j notée ijp :

( )iXjXPp 1nnij === − Nn∈∀

En introduisant l'ensemble des états possibles noté E, on a :

1pEjij =∑

∈

On définit alors la matrice de transition [ ]EjiijpP

∈=

,

=

OM

OM

KK

32

232221

1211

p

ppp

pp

P


Electronique B11 8

2.1.1 Représentation sous forme de graphes

Les chaînes de Markov peuvent être représentées graphiquement sous la forme d'un graphe orienté. On associe alors un

nœud à chaque état et un arc orienté à la probabilité de transition.

Exemple

Dans cet exemple on a :

L'ensemble des état est { }4321E ,,,=

L'analyse du graphe permet de déterminer immédiatement : 1pp 4123 ==

Ainsi que : 1pp 1412 =+ et 1pp 3331 =+

La matrice de transition s'écrit :

=

0001

0p0p

0100

p0p0

P3331

1412

2.1.2 Régime transitoire

L'analyse du régime transitoire d'une chaîne de Markov consiste à déterminer le vecteur )(np des probabilités d'être

dans un état j à l'étape n :

[ ])n(p)n(p)n(p)n(p )E(Card21 K=

Ce vecteur de probabilités dépend :

� de la matrice de transition P

� du vecteur de probabilités initiales )(0p

Pour étudier ce vecteur de probabilité on peut faire les remarques suivantes :

[ ]jXPnp nj ==)(

or

[ ] [ ] [ ]iXPiXjXPjXP 1nEi

1nnn ===== −∈

−∑ .

ce qui s'écrit encore :

)(.)( 1nppnp iEi

ijj −= ∑∈

ce qui peut s'écrire matriciellement :

P1npnp ).()( −=

1

2

4

3

p12 p23

p33

p31

p14

p41


Electronique B11 9

En utilisant n fois cette expression, il vient :

nP0pnp ).()( =

On peut aussi introduire la probabilité de transition de l'état i à l'état j en m étapes, notée )(m

ijp :

[ ]iXjXPp nmnmij === +

)( Nn∈∀

2.1.3 Classification des états

Une chaîne de Markov est dite irréductible si et seulement si de tout état i on peut atteindre tout état j en un nombre fini

d'étapes :

0p1mEjimij ≠>∃∈∀ )(

/,,

Une chaîne de Markov est dite absorbante si il existe une sous chaîne d'états dont on ne peut plus ressortir. Toute chaîne

non, irréductible possède donc au moins une sous chaîne absorbante.

La chaîne suivante possède une la chaîne absorbante { }54, :

Un état j est périodique si on ne peut y revenir qu'après un nombre d'étapes multiple de 1k > :

0p1kmjj =>∃ )(

/ pour m non multiple de k

La période d'une chaîne de Markov est le PGCD de la période de chacun de ses états. Une chaîne de Markov est dite

périodique si sa période est supérieure à 1. Dans le cas contraire, elle est dite apériodique.

2.1.4 Quelques probabilités

On introduit la probabilité )(n

jjf qui est la probabilité de revenir à l'état j , n étapes après l'avoir quitté. La probabilité

jjf de revenir en j après l'avoir quitté s'écrit alors :

∑∞

==

1n

njjjj ff

)(

On peut alors introduire le temps moyen de retour à l'état j , jM :

1

2

4

3

p12 p23

p33

p31

p14

p45

5

p54

Sous chaîne

absorbante


Electronique B11 10

∑∞

==

1n

njjj fnM

)(.

On introduit la probabilité )(n

ijf qui est la probabilité d'aller de l'état i à l'état j en exactement n étapes (s'en repasser de

manière intermédiaire par j).

On a alors de manière immédiate :

≥=

=

∑≠

−

jk

1nkjik

nij

ij1ij

2nfpf

pf

,)()(

)(

On introduit enfin la probabilité ijf d'aller de l'état i à l'état j en un nombre quelconque d'étapes :

∑∞

==

1n

nijij ff

)(

En utilisant les équations précédentes, il vient :

∑∞

=+=

2n

nij

1ijij fff

)()(

∑ ∑∞

= ≠

−+=2n jk

1nkjikijij fppf

)(

∑ ∑≠

∞

=

−+=jk 2n

1nkjikijij fppf

)(

∑≠

+=jk

kjikijij fppf

2.1.5 Régime permanent

L’analyse du régime permanent consiste à s’intéresser à la limite, lorsque n tend vers l’infini du vecteur des probabilités

)(np . Cette limite existe-t-elle et comment la calculer ?

Pour répondre à cette question, il faut calculer le vecteur nP0pnp )()( = et faire tendre n vers l’infini.

Pour calculer nP , il peut être avantageux de diagonaliser la matrice P :

1UDUP −=

expression dans laquelle U représente la matrice des vecteurs propres de P et D la matrice diagonale des valeurs

propres associées.

Il est alors aisé d’obtenir : 1nn UUDP −=

Le régime stationnaire existe si 1n

nUUD0p −

∞→).(lim existe.

On peut montrer (la démonstration n’est pas présentée dans ce polycopié), que pour une chaîne de Markov irréductible

et apériodique, le vecteur p des probabilités limites )(lim npp jn

j∞→

= existe toujours et est indépendant du vecteur des

probabilités initiales )(0p


Electronique B11 11

2.2 Récapitulatif

ijp probabilité de transition de l'état i à l'état j.

[ ]ijpP = matrice des probabilités transition.

)(np vecteur de probabilités d'états après n étapes.

)(0p vecteur de probabilités d'état à l'origine.

nP0pnp ).()( =

)(nijp probabilité d'aller de l'état i à l'état j en n étapes.

)(njjf probabilité de revenir en j, n étapes après l'avoir quitté

jM temps moyen de retour en j

)(nijf probabilité d'aller de i à j, en exactement n étapes, c'est à dire s'en repasser de manière intermédiaire par j.

ijf probabilité d'aller de l'état i à l'état j en un nombre quelconque d'étapes :

3 Télétrafic

Ce chapitre présente les principaux résultats qui permettent de dimensionner les équipements d'un réseau de

Télécommunications. D'un point de vue pratique, on imagine bien que, lorsqu'un central téléphonique (commutateur

local CL) regroupe les lignes d'un ensemble d'immeubles dans une ville, ce central ne possède pas autant de lignes

allant vers le réseau que de lignes allant vers les différents particuliers qu'il dessert.

On peut donc légitiment se demander de combien de lignes on a besoin pour desservir tous ces abonnés. On peut

intuitivement prévoir que ce nombre de lignes va étroitement dépendre du nombre d'abonné mais aussi du taux

d'occupation de leurs lignes téléphonique. On peut donc définir pour chaque usager ce taux d'occupation de sa ligne

téléphonique. En introduisant η pour représenter ce taux, on peut le définir de la manière suivante :

360024

DN aa

××

=η

Dans cette expression aN représente le nombre d'appels passés ou reçus par jour, aD représente la durée moyenne

d'un appel en secondes. Enfin 360024× représente la durée d'une journée en secondes. On définit ainsi l'occupation de

sa ligne par l'abonné. L'unité retenue pour η est l'Erlang qui est noté E. et η représente le trafic de l'usager

Ainsi un trafic de 1 Erlang (1 E) correspond à une ligne de téléphone occupée 24 heures sur 24. On considère en général

que les usagers résidentiels d'un réseau téléphonique ont un trafic d'environ 0.05 E. Soit donc une occupation de leur

ligne téléphonique pendant 5 % de la journée, soit environ 1h12' par jour.

Pour dimensionner son réseau, l'opérateur va donc devoir calculer le nombre de ressources à mettre en œuvre pour

qu'avec une probabilité extrêmement proche de 1, un usager qui décroche son téléphone puisse disposer d'un circuit.

Pour cela il va falloir développer quelques formules de probabilité de blocage. Ces formules vont demander une

M lignes N<M lignes

Central Téléphonique


Electronique B11 12

modélisation statistique des instants de début et de fin d'appels ainsi que des durées de ces appels. Les paragraphes qui

suivent vont donc introduire les lois de probabilités utilisées pour ces dimensionnements.

3.1 Loi de probabilité de modélisation des instants d'arrivée d'appel

Considérons des appels qui débuteraient de manière aléatoire. Prenons ensuite un intervalle de temps t et divisons cet

intervalle en n sous intervalles de durée n

t.

On choisit n suffisamment grand pour que les conditions suivantes soient respectées :

- Une seule arrivée d'appel peut survenir dans un intervalle n

t

- Les instants d'arrivée d'appels sont indépendants les uns des autres

- La probabilité qu'un appel arrive dans un sous intervalle est proportionnelle à la durée du sous intervalle.

On écrit alors

n

t1p1

λ=)(

Dans cette expression, )(1p1 représente la probabilité d'arrivée d'un appel dans un sous intervalle. Le terme λ

représente le coefficient de proportionnalité entre la probabilité et la durée n

t du sous intervalle.

L'hypothèse de départ consistant à considérer comme nulle la probabilité d'avoir plusieurs appels dans un sous intervalle

s'écrit alors :

01p1p1p1p2kkn32 ==++++ ∑

+∞

=)(...)(...)()(

La probabilité de n'avoir aucun appel durant un sous intervalle de temps n

t s'écrit donc :

∑+∞

=−=

1kk0 )1(p1)1(p

En développant on obtient :

∑+∞

=−−=

2kk10 )1(p)1(p1)1(p

et en utilisant la propriété énoncée juste au dessus :

)1(p1)1(p 10 −=

La probabilité d'avoir k arrivées d'appels durant n intervalles de temps s'obtient alors en considérant le nombre de

manières de choisir k intervalles parmi n. Pour chacune de ces solutions on aura k intervalles avec une arrivée d'appel et

t

n

t


Electronique B11 13

kn − intervalles avec aucune arrivée d'appel. La probabilité d'un de ces cas sera donc égale à kn0

k1 1p1p −)(.)( . La

probabilité globale s'obtiendra en sommant les probabilités de tous les cas. On obtiendra finalement :

kn0

k1

knk 1p1pCnp −= )(.)()(

Ou encore, en remplaçant les probabilités par leurs valeurs en fonction de λ , t et n :

knkknk

n

t1

n

tCnp

−

λ−

λ=)(

(rappel : ( )!!

!

knk

nC kn −

= )

La limite de la probabilité )(npk lorsque n tend vers l'infini va être égale à la probabilité d'avoir k arrivées d'appel

durant un intervalle de temps t. On note kp cette probabilité :

)(lim npp kn

k∞→

=

En reprenant alors les différents termes de l'expression de

knkknk

n

t1

n

tCnp

−

λ−

λ=)( et en faisant tendre n vers

l'infini, il vient :

( ) ( )t

n

tn

kt

n

tkn

n

n

t1Lnknkn

eeeen

t1 λ−

∞→

λ+λ−

λ−−

∞→

λ−−−≈=≈=

λ−

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

!k

t

n

1kn2n1nn

!k

t

n

t

!kn!k

!n

n

tC

k

nk

k

k

kkkn

λ≈+−−−λ=λ−

=

λ∞→

K

d'où :

( ) tk

k ek

tp λ−λ=

!

Cette formule extrêmement importante représente la probabilité d'observer k arrivées d'appels dans un intervalle de

durée t. Il s'agit d'une distribution de Poisson. Le paramètre λ est le taux moyen d'arrivée d'appels. Typiquement il

s'agira d'un nombre moyen d'appels par secondes. On peut vérifier que ce paramètre représente bien le nombre moyen

d'appels durant une durée t. En effet, pour obtenir le nombre moyen, ayant la distribution de probabilité, il faut calculer

l'espérance statistique : [ ]kE . On rappelle que l'espérance, dans le cas d'une loi discrète (c'est à dire pour une variable ne

prenant que des valeurs entières, comme c'est le cas ici pour le nombre d'appels arrivant durant un intervalle t), s'écrit :

[ ] ∑+∞

==

0kkpkkE .

En reprenant alors l'expression de kp , il vient :

[ ] ( )∑+∞

=

λ−λ=0k

tk

ek

tkkE

!.


Electronique B11 14

[ ] ( ) t

1k

1k

e1k

ttkE λ−

+∞

=

−

∑ −λλ= .

)!(

En reconnaissant le développement de teλ , il vient :

[ ] teetkE tt λ=λ= λ−λ ..

La variance s'exprime de la manière suivante :

[ ] [ ]( ) ( ) ( )20k

tk

222 tek

tkkEkEkVar λ−λ=−= ∑

+∞

=

λ−!

)(

( ) ( )( ) ( )2t

1k

1k

te1k

t11ktkVar λ−

−λ+−λ= λ−

∞+

=

−

∑)!(

)(

( ) ( ) ( ) ( )2t

0k

k

0k

k

tek

t

k

tktkVar λ−

λ+λλ= λ−∞+

=

∞+

=∑∑

!!)(

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2t

0k

k

0k

tk

tek

tte

k

tktkVar λ−λλ+λλ= λ−

+∞

=

+∞

=

λ− ∑∑!!

)(

( ) ( ) ( )22tttkVar λ−λ+λ=)(

tkVar λ=)(

Temps moyen entre appels

On introduit maintenant la variable aléatoire τ représentant le temps séparant deux arrivées d'appels.

On introduit la probabilité )(tA qui est la probabilité que le temps τ soit inférieur ou égal à une valeur t :

( )tProbtA ≤τ=)(

On a donc :

( )tProb1tA >τ−=)(

Or ( )tProb >τ représente la probabilité qu'il n'y ait aucune arrivée d'appels durant un temps t. Cette probabilité a

justement été établie au paragraphe précédent :

( ) 0ptProb =>τ

( ) tetProb λ−=>τ

On en déduit donc :

te1tA λ−−=)(

τ3

temps

arrivée

d'appel

arrivée

d'appel

arrivée

d'appel

arrivée

d'appel

τ1 τ2


Electronique B11 15

On peut aussi introduire la densité de probabilité de la variable aléatoire τ . On rappelle que la densité s'obtient

simplement en dérivant la probabilité par rapport à t. On obtient ainsi :

t

tAta

∂∂

=)(

)(

d'où :

teta λ−λ=)(

Remarque : On rencontre plus souvent le calcul inverse, c'est à dire compte tenu d'une densité de probabilité )(ta ,

∫=t

0

duuatA )()( . On part de 0 car il s'agit d'une durée entre deux appels. On peut vérifier que l'intégrale donne alors

[ ] tt

0u e1etA λ−λ− −=−=)(

L'expression de la densité de probabilité permet de calculer la durée moyenne [ ]τ=τ E entre deux arrivées d'appel :

[ ] ∫+∞

=τ0

dttatE )(.

[ ] ∫+∞

λ−λ=τ0

t dtteE

En intégrant par partie, il vient :

[ ] ∫+∞

λ−∞+

λ−λ

−λ+

λ−λ=τ

0

t

0

t dte1

e1

tE ..

D'où :

[ ]λ

=τ 1E

On obtient donc que, pour un taux d'arrivée d'appels de λ appels par secondes, le temps moyen entre appel est égal à

λ1

Absence de mémoire du processus d'arrivée d'appels

On peut remarquer que, pour une loi exponentielle négative, le nombre d'appels qui ont pu arriver jusqu'à un temps 0t

n'a pas d'influence sur le nombre d'appels qui vont arriver après 0t

Supposons qu'aucun appel ne soit arrivé jusqu'à un temps 0t et calculons la probabilité qu'un appel arrive durant une

durée t après le temps 0t . On doit donc calculer la probabilité d'avoir une durée entre deux appels inférieure à 0tt +

tout en étant supérieure à 0t . Cette probabilité s'écrit : ( )00 tttprob >τ+≤τ . En utilisant la formule de Bayes sur les

probabilités conditionnelles ( ))()()( BetAPAPBAP = , il vient :

( ) ( )( )0

0000

tprob

tttprobtttprob

>τ+≤τ<

=>τ+≤τ

Cette probabilité peut encore s'écrire


Electronique B11 16

( ) ( ) ( )( )0

0000

tprob

tprobttprobtttprob

>τ≤τ−+≤τ

=>τ+≤τ

( ) ( ) ( )( )0

0000

tprob-1

tprobttprobtttprob

≤τ≤τ−+≤τ

=>τ+≤τ

En reprenant les expressions des différentes probabilités :

( )( )

0

00

t-

ttt

00e1-1

e1e1tttprob

λ

λ−+λ−

+

+−−=>τ+≤τ

D'où finalement :

( ) t00 e1tttprob λ−−=>τ+≤τ

On voit donc que la probabilité d'apparition d'un appel durant un temps t après une durée 0t pendant laquelle aucun

appel n'est arrivé est la même que la probabilité d'apparition d'un appel pendant une durée t, indépendamment de ce qui

a pu arriver avant. On considère donc que la densité exponentielle négative est sans mémoire.

3.2 Loi de probabilité de modélisation des durées d'appels

Pour étudier les lois de probabilité qui modélisent les durées des appels on procède comme précédemment. On

considère donc un intervalle de temps de durée t que l'on décompose en n sous intervalles de durée n

t. On choisit n de

telle sorte que les hypothèses suivantes restent justifiées :

- La probabilité qu'un appel se termine durant un sous intervalle est proportionnelle à la durée du sous intervalle. On

notera n

tµ cette probabilité, expression dans laquelle µ représente le coefficient de proportionnalité.

- La probabilité qu'un appel se termine durant un sous intervalle est indépendante du sous intervalle considéré

On introduit alors une variable aléatoire θ représentant la durée d'un appel.

On introduit alors la probabilité )(tH que la durée d'un appel soit inférieure ou égale à t.

( )tProbtH ≤θ=)(

La probabilité qu'un appel ayant débuté à 0t = ne se termine pas avant t s'écrit alors :

( ) )(tH1tProb −=>θ

cette probabilité est égale à la probabilité que l'appel ne se termine dans aucun des n sous intervalles de durée n

t.

n

n

t1tH1

µ−=− )(

En faisant alors tendre n vers l'infini, on obtient :

n

n n

t1tH1

µ−=−∞→

lim)(

µ−

∞→

µ−

∞→≈=− n

tn

n

n

t1Lnn

neetH1

..

limlim)(

D'où

tetH1 µ−=− )(


Electronique B11 17

On obtient donc l'expression de la probabilité qu'un appel ait une durée inférieure ou égale à t :

te1tH µ−−=)(

On peut en déduire la densité de probabilité associée, notée )(th :

t

tHth

∂∂

=)(

)(

teth µ−µ=)(

De la même que dans les paragraphes précédents, la durée moyenne [ ]θ=θ E d'appel s'obtient en calculant :

[ ] ∫+∞

=θ0

dtthtE ).(.

En intégrant par partie on obtient :

[ ]µ

=θ 1E

En conclusion on a µ appels qui cessent par secondes et on a une durée moyenne d'appel égale à µ1

Les probabilités d'apparition d'appels et de fin d'appels qui ont été développées dans les deux paragraphes précédents

permettent de modéliser le processus complet d'apparition et de fin d'appels.

3.3 Modélisation des processus d'apparition et de fin d'appels

A chaque instant un certain nombre d'appels vont apparaître et d'autres vont se terminer. On peut donc modéliser l'état

où l'on se trouve à un instant donné comme une chaîne d'états. Chaque état représente le nombre de communications en

cours. On conçoit donc bien que si, à un instant donné, il y a k communications on ne peut passer que dans deux états

adjacents qui sont les états 1k − et 1k + . On reconnaît alors une chaîne de Markov. La différence par rapport au

chapitre 1 vient ici du fait que cette chaîne est à temps continu. La probabilité de passer d’un état i à un état j pendant un

temps dt sera donc notée )(dtpij

On introduit alors les probabilités de transition d'état suivantes :

Etant dans l'état k, la probabilité )(, dtp 1kk + pour passer à l'état 1k + durant un intervalle de temps dt s'écrit dtkλ

Etant dans l'état k, la probabilité )(, dtp 1kk − pour passer à l'état 1k − durant un intervalle de temps dt s'écrit dtkµ

Etant dans l'état 1k + , la probabilité )(, dtp k1k+ pour passer à l'état k durant un intervalle de temps dt s'écrit dt1k+µ

Etant dans l'état 1k − , la probabilité )(, dtp k1k− pour passer à l'état k durant un intervalle de temps dt s'écrit dt1k−λ

k k+1 k-1

dtkλ dt1k−λ

dtkµ dt1k+µ


Electronique B11 18

Les grandeurs kλ et kµ sont des taux d'apparition et de fin d'appels du même type que ceux utilisés lors des

paragraphes précédents. La seule différence tient au fait que ces taux ont en indice l'état où se trouve le système.

On peut alors introduire la probabilité d'état, c'est à dire la probabilité d'être dans un état k à un instant t. Notons

)(tpk cette probabilité (à rapprocher de la notation )(np j utilisée pour les chaînes de Markov à temps discret lors du

chapitre 2).

La variation de cette probabilité durant un intervalle de temps dt est alors égale à la probabilité de rejoindre cet état en

"venant" d'un état 1k − ou d'un état 1k + moins la probabilité de "quitter" cet état pour aller vers un état 1k − ou vers

un état 1k + .

On a donc :

( ) tpdtdttpdttpdttdp kkk1k1k1k1kk ()(.)(.)( µ+λ−µ+λ= ++−−

En supposant le système stable, c'est à dire en supposant qu'il se stabilise sur des probabilités d'état fixes lorsque le

temps tend vers l'infini, on peut écrire 0dt

tdpk =)(

lorsque ∞→t

On peut alors noter )(tpp kk =

D'où finalement :

( ) 0ppp kkk1k1k1k1k =µ+λ−µ+λ ++−− ..

Cette équation est vérifiée pour tout 0k ≥ avec les conditions 0p 1 =− , 01 =λ − et 00 =µ .

La stabilité des probabilités signifie qu'il y a une probabilité égale de quitter l'état kp que de le rejoindre.

En écrivant le système d'équation précédent, on trouve :

( )( )

...

2223311

1112200

0011

ppp

ppp

pp

µ+λ=µ+λµ+λ=µ+λ

λ=µ

En résolvant le système on trouve :

( )

( )

...

0122

0120

1

010

12

0122

33

012

01000

1

011

22

01

01

ppp1

p

ppp1

p

pp

µµµλλλ

=

µλ

λ−µµλλ

µ+λµ

=

µµλλ

=

λ−

µλ

µ+λµ

=

µλ

=

On trouve alors assez facilement la forme générale :

0

1k

0i 1i

ik pp

µλ

= ∏−

= +

Le système se trouvant obligatoirement dans un des états on a :

∑+∞

==

0kk 1p


Electronique B11 19

En remplaçant dans l'équation précédente, on obtient :

∑∏∞

=

−

= +µλ

+=

1k

1k

0i 1i

i0

1

1p

3.4 Probabilité de blocage et formule d'Erlang B

On s'intéresse ici à un système disposant de N canaux de communications. Si les N canaux sont occupés, les appels qui

arrivent alors sont perdus (absence de tonalité ou tonalité d'occupation par exemple). On parle alors de blocage du

système. On va chercher à estimer cette probabilité de blocage en fonction du nombre de canaux disponibles et du

trafic. Compte tenu de ce qui a été énoncé sur le caractère sans mémoire du processus d'arrivée d'appels, on peut

considérer que la probabilité dtkλ et indépendante de l'état du système, d'où :

1Nkdtdtk −≤∀λ=λ ,..

Pour la probabilité de fin d'appel on a par contre :

Nkdtkdtk <∀µ=µ ,...

Cette probabilité de transition traduit juste que si k appels sont en cours chacun a une probabilité dtµ de se terminer,

d'où la somme qui donne dtk .µ . En toute rigueur il faudrait soustraire à cette probabilité les probabilités

correspondantes à plusieurs appels qui se terminent dans l'intervalle dt car alors, on passe directement à un état plus

éloigné. Cependant on admettra que l'on peut négliger ces probabilités qui sont de la forme ( )∑=

µk

2i

iikdtC .

En utilisant ces expressions de kλ et de kµ dans les équations donnant kp et 0p , il vient :

( )∑∏=

−

= µ+λ+

=N

1k

1k

0i

0

1i1

1p

∑=

µλ+

=N

1k

k0

k

11

1p

!

En introduisant alors la variable :

µλ=A

qui représente le nombre d'appels qui apparaissent sur le nombre d'appels qui se terminent pendant un intervalle de

temps, ce qui représente en fait tout simplement le trafic, il vient :

∑=

+

=N

1k

k0

k

A1

1p

!

ou encore en introduisant le 1 dans la sommation :

∑=

=N

0k

k0

k

A

1p

!

En reportant alors dans l'expression de kp , il vient :


Electronique B11 20

∑=

=N

0i

i

k

k

i

A

k

A

p

!

!

La probabilité de blocage d'un système disposant de N canaux et pour un trafic A s'écrit alors ( )NAE , , elle est égale à

la probabilité de se trouver dans l'état N ( ) NpNAE =, et elle s'obtient grâce à l'équation suivante :

( )∑=

=N

0i

i

N

i

A

N

A

NAE

!

!, ( ) ( )

( )

−+

−=1NAE

A

N

1NAENAE

,

,,

Cette formule est très importante en Télécommunications et elle porte le nom de : formule d'Erlang-B.

Pour les grandes valeurs de N on peut approcher le dénominateur par Ae et la formule devient :

( ) AN

eN

ANAE −=

!,

3.5 Probabilité de mise en attente et formule d'Erlang C

Si l'on considère un système pour lequel les appels bloqués peuvent être mis en file d'attente avant d'être servis, on peut

alors définir une probabilité d'être mis en attente.

Avec ce système on a toujours

dtdtk .. λ=λ

mais, pour la probabilité de fin d'appel on a par contre :

≥µ≤≤∀µ

=µNkdtN

Nk0dtkdtk

,..

,...

En utilisant :

0

1k

0i 1i

ik pp

µλ

= ∏−

= +

On obtient, pour Nk > :

0

1N

0i

1k

Nik p

N1ip

µλ

µ+λ= ∏ ∏

−

=

−

=)(

0Nk

NkN

k pN

A

N

Ap

=

−

−.

!

D'où finalement :

>∀

≤≤∀=

− NkpNN

A

Nk0pk

A

p

0kN

k

0

k

k

,!

,!

En utilisant l'expression de 0p :


Electronique B11 21

∑∏∞

=

−

= +µλ

+=

1k

1k

0i 1i

i0

1

1p

et en décomposant la sommation, il vient :

( )∑ ∏ ∑ ∏ ∏−

=

−

=

∞

=

−

=

−

= µλ

µ+λ+

µ+λ+

=1N

1k

1k

0i Nk

1N

0i

1k

Ni

0

N1i1i1

1p

)(

∑∑∞

=−

−

=+

=

NkNk

k1N

0k

k0

N

1

N

A

k

A

1p

!!

∑∑∞

=−

−−

=+

=

NkNk

NkN1N

0k

k0

N

A

N

A

k

A

1p

!!

∑∑∞

=

−

=

+

=

0k

kN1N

0k

k0

N

A

N

A

k

A

1p

!!

or 1N

A < donc

N

A1

1

N

A

0k

k

−=

∑∞

=

∑−

= −+

=1N

0k

Nk0

N

A1

1

N

A

k

A

1p

!!

La probabilité de mise en file d'attente se note ( )ANC , et elle est égale à ∑∞

=Nkkp

D'où :

( ) ∑∞

=

−=Nk

0kN

k

pNN

AANC

!,

Cette formule est aussi très importante et elle porte le nome de : formule d'Erlang-C

3.6 Cas d'une population finie et distribution d'Engset

Les calculs précédents ont considéré le cas d'un trafic de type Poisson généré par une population infinie. Si l'on

considère maintenant le cas d'une population finie constituée de M clients, la probabilité d'apparition d'appels et

fonction du nombre d'appels déjà en cours. On se retrouve alors avec la configuration suivante (on se replace ici dans un

cas sans mise en file d'attente, où les appels sont perdus lorsque tous les canaux sont occupés et avec M>N) :

( ) 1NkdtkMdtk −≤∀λ−=λ ,...

La probabilité de fin d'appel reste inchangée :

Nkdtkdtk <∀µ=µ ,...

La probabilité kp devient alors :


Electronique B11 22

0

1k

0ik p

1i

iMp

µ+λ−

= ∏−

= )(

)(

0k

k pAkkM

Mp

!)!(

!

−=

D'où :

0kk

Mk pACp =

Pour 0p , on obtient :

∑∏=

−

= µ+λ−

+=

N

1k

1k

0i

0

1i

iM1

1p

)(

)(

d'où :

∑=

=N

0i

iiN

0

AC

1p

Soit en remplaçant dans l'expression de kp :

∑=

=N

0i

iiM

kkM

k

AC

ACp

Cette formule représente la distribution d'Engset

4 Files d'attente

4.1 File d'attente simple

Les premiers paragraphes de ce document ont essentiellement, à l'exception de l'analyse de la mise en file d'attente,

considéré un trafic de nature téléphonique. Si l'on s'intéresse maintenant à un trafic de données on peut considérer que

dans un échange d'informations entre deux applications on va souvent rencontrer un écart de débit entre les systèmes

locaux et les liens d'interconnexion. Les messages ne pourront pas tous être transmis et vont être mis en file d'attente.

Les files d'attente sont en général décrites au moyen d'une notation dite de Kendall qui est la suivante :

Application A Application B


Electronique B11 23

A/B/C/K/m/Z

Six facteurs sont ainsi précisés :

A : qui représente le processus d'entrée

B : qui représente le processus de service

C : qui représente le nombre de serveurs

K : qui représente la capacité maximale

m : qui représente la population des usagers

Z : qui représente la discipline de service

Pour décrire les processus d'entrée (lettre A), on utilise les notations suivantes :

GI : loi générale indépendante

G : loi générale

Hk : loi hyperexponenetielle d'ordre k

Ek : loi d'Erlang k

M : loi exponentielle

D : loi constante

On s'intéressera essentiellement ici à des arrivées de type exponentielle et de paramètre λ . Les autres lois d'arrivée ont

moins d'intérêt dans le cadre de ce cours. Il a été vu que la loi exponentielle était sans mémoire et que le processus

d'arrivée pouvait donc être considéré comme un processus Markovien. C'est cette propriété qui explique l'emploi de la

lettre M pour la loi exponentielle.

Les principales méthodes de service sont les suivantes :

PAPS : premier arrivé, premier servi (terme anglais FIFO, first in first out)

DAPS : dernier arrivé premier servi (terme anglais LCFS, last come fisrt served)

A : aléatoire (terme anglais FIRO : first in random out)

Lorsque les trois derniers éléments de la notation de Kendall ne sont pas précisés, il est sous entendu que Z=PAPS,

+∞=m et +∞=K .

Si les instants d'arrivée suivent un loi exponentielle de paramètre λ , il en est de même pour les instants de départ des

données en sortie de la file d'attente. Ces instants forment aussi un processus Markovien. Enfin dans le cas où l'on

suppose enfin qu'il n'y a qu' 1 seul processeur pour gérer la file d'attente, cette dernière est dite de type :

M/M/1.

Dans un système M/M/1, on définit le temps de queue qt comme étant la somme du temps d'attente at et du temps de

service st .

saq ttt +=


Electronique B11 24

On définit alors la charge c du système comme le rapport entre le nombre d'items à traiter divisé par la capacité de

traitement du système en item. Cette capacité de traitement est aussi appelée le taux de service : S. C'est tout

simplement l'inverse du temps de service. On a donc :

st

1S = et

stc

λ=

On rappelle que λ est le paramètre de la loi des instants d'arrivée et que c'est aussi le taux d'arrivée de paquets par

secondes dans la file d'attente.

Si on introduit la capacité de traitement du système D en bits/sec et que L représente la taille moyenne des paquets en

bits, alors :

L

D

t

1S

s

==

En remplaçant dans l'expression de la charge c, on obtient :

D

Lc

λ=

On peut montrer que le temps d'attente dans la file d'attente at se déduit du temps de service st et de la charge c par la

formule suivante :

sa tc1

ct

−=

Si l'on considère le temps passé dans la queue qt , on obtient finalement :

LD

L

D

L

D

L1

1t

c1

1t

c1

c1ttt sssaq λ−

=

λ−=

−=

−+=+=

On suppose ici que le débit D en bits/sec est supérieur au taux d'arrivée Lλ en bits/sec. Dans le cas contraire la file

d'attente déborde et le temps dans la queue n'est plus déterminé.

On rencontre assez souvent cette formule sous la forme :

unité de

traitement

file

d'attente

ts ta

tq


Electronique B11 25

λ−=

L

D

1tq

qt : temps passé dans la queue en secondes

D : débits de transmission en bits par secondes

L : taille moyenne des paquets en bits

λ : taux d'arrivée de paquets en paquets/sec

4.2 File d'attente en série

Lorsque deux files d'attente sont en série, si la première file d'attente est du type MM1 alors les instants d'arrivée

suivent une loi exponentielle et les instants de sortie aussi. L'entrée de la deuxième file d'attente est aussi un processus

Markovien. On a donc deux files MM1. Le temps de queue global est la somme des temps de chaque file

4.3 File d'attente à entrées multiples

Si on considère une file d'attente connectée à plusieurs sources de trafic alors, à condition d'avoir des messages de

même longueur sur toutes les entrées, on peut calculer le temps dans la queue en utilisant une paramètre λ égal à la

somme des iλ des différentes entrées.

∑λ=λi

i

5 Conclusion

Ce cours a présenté un aperçu des méthodes de modélisation du trafic et des files d'attente. Un certain nombre de

formules ont été introduites. Elles permettent de dimensionner un réseau de Télécommunications. Les calculs de

probabilité qui y conduisent restent finalement assez simples.

6 Références

[1] Foundation of Mobile Radio Engineering, Michel Daoud Yacoub, CRC Press, 1993

[2] Digital Communications, J.G. Proakis, Mc Graw Hill, 1995

[3] Autoformation en télécoms et réseaux, Maxime Maiman, Claude Servin, InterEditions, 1998

[4] Théorie des files d'attente, Bruno Baynat, Hermès, 2000

[5] Probabilités, Nino Boccara, Ellipses, 1995


Electronique B11 26

Table d'Erlang B

nombre de Niveau de service ( taux de blocage admissible ) nombre decanaux 1% 2% 3% 5% 10% 20% canaux

1 0.0101 0.0204 0.0309 0.0526 0.1111 0.25 12 0.1526 0.2235 0.2815 0.3813 0.5954 1 23 0.4555 0.6022 0.7151 0.8994 1.2708 1.9299 34 0.8694 1.0923 1.2589 1.5246 2.0454 2.9452 45 1.3608 1.6571 1.8752 2.2185 2.8811 4.0104 56 1.909 2.2759 2.5431 2.9603 3.7584 5.1086 67 2.5009 2.9354 3.2497 3.7378 4.6662 6.2302 78 3.1276 3.6271 3.9865 4.543 5.5971 7.3692 89 3.7825 4.3447 4.7479 5.3702 6.5464 8.5217 9

10 4.4612 5.084 5.5294 6.2157 7.5106 9.685 10

11 5.1599 5.8415 6.328 7.0764 8.4871 10.857 1112 5.876 6.6147 7.141 7.9501 9.474 12.036 1213 6.6072 7.4015 7.9667 8.8349 10.47 13.222 1314 7.3517 8.2003 8.8035 9.7295 11.473 14.413 1415 8.108 9.0096 9.65 10.633 12.484 15.608 1516 8.875 9.8284 10.505 11.544 13.5 16.807 1617 9.6516 10.656 11.368 12.461 14.522 18.01 1718 10.437 11.491 12.238 13.385 15.548 19.216 1819 11.23 12.333 13.115 14.315 16.579 20.424 1920 12.031 13.182 13.997 15.249 17.613 21.635 20

21 12.838 14.036 14.885 16.189 18.651 22.848 2122 13.651 14.896 15.778 17.132 19.692 24.064 2223 14.47 15.761 16.675 18.08 20.737 25.281 2324 15.295 16.631 17.577 19.031 21.784 26.499 2425 16.125 17.505 18.843 19.985 22.833 27.72 2526 16.959 18.383 19.392 20.943 23.885 28.941 2627 17.797 19.265 20.305 21.904 24.939 30.164 2728 18.64 20.15 21.221 22.867 25.995 31.388 2829 19.487 21.039 22.14 23.833 27.053 32.614 2930 20.337 21.932 23.062 24.802 28.113 33.84 30

31 21.191 22.827 23.987 25.773 29.174 35.067 3132 22.048 23.725 24.914 26.746 30.237 36.297 3233 22.909 24.626 25.844 27.721 31.301 37.524 3334 23.772 25.529 26.776 28.698 32.367 38.754 3435 24.638 26.435 27.711 29.677 33.434 39.985 3536 25.507 27.343 28.647 30.657 34.503 41.216 3637 26.378 28.254 29.585 31.64 35.572 42.448 3738 27.252 29.166 30.526 32.624 36.643 43.68 3839 28.129 30.081 31.468 33.609 37.715 44.913 3940 29.007 30.997 32.412 34.596 38.787 46.147 40

41 29.888 31.916 33.357 35.584 39.861 47.381 4142 30.771 32.836 34.305 36.574 40.936 48.616 4243 31.656 33.758 35.253 37.565 42.011 49.851 4344 32.543 34.682 36.203 38.557 43.088 51.086 4445 33.432 35.607 37.155 39.55 44.165 53.322 4546 34.322 36.534 38.108 40.545 45.243 53.559 4647 35.215 37.462 39.062 41.54 46.322 54.796 4748 36.109 38.392 40.018 42.537 47.401 56.033 4849 37.004 39.323 40.975 43.534 48.481 57.27 4950 37.901 40.255 41.933 44.533 49.562 58.508 50


Electronique B11 27

7 Exercices

Exercice 1.

Démontrez que 2

2 2XE

λ=)( pour une variable aléatoire de densité exponentielle et de paramètre λ .

Exercice 2.

On considère un loto avec des tirages de numéros de 1 à 43. Calculez la probabilité d'avoir un numéro qui se termine

par 7 sachant que c'est un numéro impair qui a été tiré.

Exercice 3.

On considère le mot de verrouillage de trame suivant :

011010

- En moyenne, au bout de combien de temps, risque t on de rencontrer une séquence de bits identique au mot de

verrouillage de trame lorsque l'on considère une transmission à 10 kbits/s.

- Pour éviter une telle fausse détection, le mot est répété tous les 100 bits et on ne verrouille la trame que si on le

rencontre 3 fois successivement. Quelle est la probabilité de faire une fausse détection ?

Exercice 4.

Les chaînes de Markov suivantes sont-elles périodiques :

Chaîne n°1 Chaîne n°2

Chaîne n°3

1

2

4

3 1

2

4

3

1

2

4

3


Electronique B11 28

Exercice 5.

On considère la chaîne de Markov suivante :

Donner sa matrice de transition P

La chaîne est elle irréductible ?

La chaîne est elle apériodique ?

Si elle existe donnez la valeur limite du vecteur des probabilités d’états : )(lim npn ∞→

Devoir

Une entreprise industrielle du secteur de l’automobile fait procéder à une enquête auprès des propriétaires

d’automobiles. Cette enquête concerne les intentions d’achat. Les propriétaires d’automobiles sont regroupés dans trois

classes suivant la cylindrée de leur véhicule.

Classe 1 : petite cylindrée

Classe 2 : moyenne cylindrée

Classe 3 : grosse cylindrée

Sur 10 propriétaires de la classe 1 :

6 resteront fidèles à la petite cylindrée

4 achèteront une moyenne cylindrée


12 resteront fidèles à la moyenne cylindrée

4 achèteront une grosse cylindrée

4 achèteront une petite cylindrée


9 resteront fidèles à la grosse cylindrée

6 achèteront une moyenne cylindrée.

� Interprétez les résultats de cette enquête à l’aide d’un processus stochastique. Justifiez que ce processus est une

chaîne de Markov. Donnez le graphe associé et la matrice de transition P .

� Ecrire P sous la forme 1UDUP −=

� On suppose la distribution initiale des probabilités d’état )(0p connue. Que devient ce vecteur de probabilités au

bout de n étapes. Vers quelle solution converge ce vecteur lorsque n tend vers l’infini.

0.2 0.4

1 2

0.6 0.4 0.6

2

0.2 0.6


Electronique B11 29

Exercice 6.

La capacité d'un autocommutateur public est de 5000 Erlangs. Il dessert des abonnés résidentiels et professionnels

respectivement de 40 et 60%. On sait qu'un professionnel a un trafic, à l'heure de pointe, 3 fois supérieur à celui d'un

résidentiel qui est supposé égal à 0.1 Erlang. Quel est le nombre d'abonnés desservis.

Exercice 7.

Un système à refus (formule d'Erlang-B) dispose de M circuits. Quel est le trafic offert pour que la probabilité de refus

soit de 1%, 10%, 50%, lorsque M est respectivement égal à 2,5 ou 10? (Utilisez l'abaque fourni en dehors du poly).

Exercice 8.

Deux systèmes de commutation sont reliés par deux faisceaux de 10 circuits chacun. En supposant un taux de perte de

1%, on demande :

le trafic autorisé par chaque faisceau ainsi que le rendement de la ligne

le trafic total autorisé par les deux faisceaux

on regroupe les deux faisceaux en un seul de 20 circuits, en supposant le même taux de perte, quels sont le nouveau

trafic autorisé et le rendement par ligne.

Exercice 9.

Une PME de 50 personnes souhaite changer son autocommutateur (PABX) et l'affecter uniquement à la téléphonie. Elle

dispose des données suivantes :

- il y a 40 postes téléphoniques

- le trafic mesuré à l'heure de pointe rapporté au poste est le suivant

- 5 mn / heure pour les appels sortant

- 3 mn / heure pour les appels rentrant

- le trafic moyen est la moitié du trafic de pointe

- l'activité de l'entreprise est de 8 heures/jour et de 21 jours/mois.

Déterminez

- le trafic total en Erlang

- le nombre de circuits nécessaires pour écouler ce trafic avec un taux de perte de 10% maximal

Exercice 10.

On considère un système de transmission ayant une capacité de 10kbits/s. On demande le temps passée dans la queue

d'une file d'attente MM1 pour un taux d'arrivée =λ 14 1s− et une taille moyenne de paquet égale à 400 bits.

Exercice 11.

On considère un système dans lequel une application dialogue avec une application B à travers une liaison spécialisée

de débit D.

Déterminez le temps de réponse (ou temps de queue) lorsque les messages allant de A vers B ont une taille moyenne de

900 octets et que ceux de B vers A ont une taille moyenne de 100 octets. On précise qu'il y a 20 transactions par heure

et que le débit de la ligne est égal à 19200 bits/s.

On admettra que la signalisation accompagnant les données provoque une augmentation de 20% du volume des données

échangées.

Documents

Chaîne de Markov - Télétrafic - Files d'attente