Centrale 2000 Si PSI

7/18/2019 Centrale 2000 Si PSI

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SCIENCES INDUSTRIELLES

Concours Centrale-Suplec 2000 1/15

SCIENCES INDUSTRIELLES Filire PSI

Partie I : Analyse globale du produit

Le centre dusinage METEOR est commercialis par la Socit PSI/SCEMM

qui est une filiale du groupe Peugeot-Citron spcialise dans la fabrication de

machines de production destines lindustrie automobile.

Ce centre est conu pour

raliser des pices m-

caniques par Usinage Grande Vitesse

(UGV), cest--dire par

enlvement de matireau moyen dun outil cou-

pant avec une grande

vitesse de coupe. La vi-tesse de coupe est la vi-

tesse des points delarte de coupe deloutil par rapport un

repre li au bti du

centre dusinage. Pourtravailler dans des con-

ditions optimales, elle

doit tre adapte aux

caractristiques deloutil et de la pice usiner. Elle doit, par exemple, tre de plus de 2000 m/min

pour lusinage des alliages daluminium avec des outils en diamant cristallin.

La surface usine est lenveloppe des positions successives de loutil dans sonmouvement par rapport la pice. La qualit de lusinage dpend donc du com-

portement des diffrentes pices et liaisons qui contribuent la ralisation de

ce mouvement relatif.

Lobjet de cette tude est lanalyse du comportement de la liaison entre laxe sur

lequel est install le porte-outil et le bti du centre dusinage.

Photo

Le centre dusinage METEOR 10


2/15Concours Centrale-Suplec 2000 2/15

Filire PSI


Q.1 - Proposer un schma qui traduise le besoin satisfaire par le centre

dusinage. Qualifier ce besoin.

Loutil est en liaison fixe

avec le porte-outil qui,

lui-mme, est en liaisonfixe avec laxe de la bro-

che (figure 1). Cet axe

est guid en rotationdans un fourreau qui est

en liaison fixe avec le b-

ti. La technologie rete-nue par le constructeur

permet de proposer une

gamme de taux de rota-tion de laxe de broche

qui stend jusqu24000 tr/min.

On note un repre li au bti du centre dusinage et

un repre li laxe de broche, dduit de par une rotation

damplitude autour de laxe .

On appelle le point de lextrmit de larte de loutil tel que .

Q.2 - Donner lexpression littrale de la vitesse du point dans son mouvement

par rapport au bti, en fonction du taux de rotation de laxe de la broche.

picebroche outil tableporte-outil

R0 O x0 y0 z0, , ,( ) 0R1 O x1 y1 z0, , ,( ) R0

t( ) O z0,( )

P OP cz0 rx1+=

z0

Porte-outil

Bti

Axe de la broche

Fourreau

Outil P

Figure 1

O

P


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Q.3 - Calculer le taux de rotation en tours par minute ncessaire lusinage

dune pice en alliage daluminium avec un outil en diamant cristallin, montsur un porte-outil tel que , pour lequel le constructeur prconise une

vitesse de coupe de 2000 m/min.

Conclure quant la capacit du centre METEOR permettre cet usinage dans

des conditions optimales.

Q.4 - La pice usiner est en liaison fixe avec la table du centre dusinage

laquelle on lie le repre . La table est anime dun mouvementde translation rectiligne uniforme daxe par rapport , appel

mouvement davance tel que avec m/min.

Proposer un schma cinmatique des diffrentes pices et liaisons qui contri-

buent la ralisation du mouvement de loutil par rapport la surface usine.

Dterminer les coordonnes et la trajectoire du point de loutil dans son mou-

vement par rapport au repre , exprimes dans . En dduire lexpression

de la vitesse du point dans son mouvement par rapport note .

Tracer approximativement cette trajectoire, pour t compris entre 0 et 0,01 se-conde et tr/min.

Proposer, en lamplifiant, une coupe dans le plan du profil de la surface

ralise.

Prciser linfluence, sur la qualit gomtrique de la surface usine, duneralisation de la liaison entre laxe de la broche et le fourreau qui sloigne du

modle de pivot.

Q.5 - Laction de la pice sur loutil peut tre modlise par le torseur :

exprim au point tel que .

En supposant que le rendement du systme est gal , donner lexpression lit-trale de la puissance des interefforts entre la pice et loutil, note ,

lorsque la broche tourne au taux de rotation .

Calculer cette puissance pour : tr/min, , ,et .

Prciser, en la justifiant, la puissance ncessaire au moteur install dans la bro-che.

r 10 mm=

R2 O2 x2 y2 z2, , ,( )O x0,( ) R0

OO2 vtx0= v 10=

P

R2 R2P R2 V P R2( )

24000=

O x2 z2,,( )

T pice outil( ){ }D

F pice outil( ) XDx0 YDy0 ZDz0+ +=

M D pice, outil( ) NDz0= D

=

D OD cz0=

1

P pice outil( )

24000= XD 500 N= YD 1000 N=ZD 250 N= ND 10 Nm=


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Partie II : Analyse de llectrobroche roulements

Lobjet de cette partie est de dterminer la valeur de la raideur radiale de la so-lution roulements installe dans llectrobroche du centre dusinage.

Une reprsentation partielle du diagramme des interacteurs permet didentifierdeux des fonctions de service de la phase dusinage.

Une reprsentation de llectrobroche du centre METEOR est donne ci-

dessous :

Q.6 - Proposer une justification au choix du matriau des billes et du type deroulements retenu par le constructeur.

Fonction de service Critre Valeur

Permettre loutil de

raliser une pice

conforme

prcision 0,03 mm

Etre positionne par

le bti

coaxia-

lit

0,01 mm

Outil

Broche

Bti

FS1

FS2 usinerPice

FS1

FS2

outil

porte-outil

roulements contact oblique

moteur

et billes en cramique


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Une analyse structurelle partielle permet didentifier les choix technologiques

qui contribuent la satisfaction des fonctions techniques :

Q.7 - Le montage de laxe dellectrobroche peut tre modlis

par deux liaisons en parallle. Labroche constitue de laxe, du porte-

outil et de loutil a t quilibre

exprimentalement. Compte tenudes conditions de ralisation de cet

quilibrage, il subsiste un dfaut dquilibrage statique que lon peut modliser

par une distance du centre de masse par rapport laxe de rotationtelle que . Lquilibrage dynamique est considr comme parfait. On

note la masse de la broche, , et on nglige les effets de

la pesanteur.

Exprimer le torseur dynamique galilen sur la broche au point G, lors dun mou-

vement de rotation uniforme.

En dduire lexpression des actions de la broche sur les paliers et .

Calculer ces actions avec , tr/min, et

.

Montage sur

roulements

FS1 : permettre loutil de raliser unepice conforme

FT11 : raliserune broche

FT111 : assurer le

guidage de la broche

FT1111 :assurer

le guidage axial

FT1112 :assurer

le guidage radial

Montage surroulements

FT112 : assurerlentranement de la

broche

Moteurlectrique

intgr

FT12 : assurer lesdplacements X et

Y de la pice

FT13 :immobiliser

la pice

x1

GP

z0AB

O

G O z0,( )OG x1=M OA Lz0= OB Lz0=

A B

M 100 kg= 24000= L 200 mm=

0 01 mm,=


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Q.8 - Les liaisons sont ralises par

des roulements qui peuvent, comptetenu de la symtrie de rvolution,

tre modliss dans le plan

par des ressorts de raideurrespectivement et comme ci-

contre :

Donner lexpression du dplacement radial du point par rapport laxed la seule rotation de la broche.

Calculer le dplacement maximal pour un taux de rotation de 24000 tr/min en

retenant N/mm et .

Conclure quant la satisfaction de la fonction technique :

Partie III : Analyse de llectrobroche paliersmagntiques

Lobjet de cette partie est de quantifier la raideur de la liaison par une analyse de

lasservissement. Il sagira ensuite de comparer cette raideur la raideur de

llectrobroche roulements.

Pour augmenter les frquences de rotation de la broche, il est ncessaire de sup-primer les contacts mcaniques entre les pices en mouvement relatif. Une des

solutions consiste remplacer les paliers roulements par des paliers magnti-

ques actifs. Lensemble tournant (rotor) est maintenu en position par les forcesgnres par des champs magntiques crs par des lectro-aimants placs ju-

dicieusement dans la partie fixe (stator) :

Fonction technique Critre Valeur

Assurer le guidage

radial

Raideur N/m

Dplacement de la pointede loutil hors usinage

GP

OB A

z0

x1

kAkBO x1 z0, ,( )

kA

kB

P O z0,( )

kA kB 2 105

= = L c 200 mm= =

FT1112

2 10 8>

< 2 10 2 mm


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.

Le rotor se trouve en quilibre sans contact mcanique avec le stator. Sa position

est mesure au moyen de capteurs qui apprhendent en permanence les d-

placements par rapport une position nominale.

lectro-aimant bute axiale

dtecteur radial

roulement roulement

dtecteur axial dtecteur de vitesse

moteur

Palier radial Bute axiale

lectro-aimant

rotor

dtecteur deposition

stator

rotor

lectro-aimants


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Q.9 - Expliciter, au moyen dun schma FAST, la ralisation parllectrobroche paliers magntiques, de la fonction "raliser une broche" .

Les forces lectromagntiques mises en jeu sont commandes en courant.

Une boucle dasservissement pilote les courants dans les lectro-aimants detelle sorte que les forces lectromagntiques maintiennent le rotor sa posi-

tion nominale. L ensemble se comporte comme une suspension magntique.

Le modle mcanique retenu, reprsentatif du comportement du palier, est

donn ci-dessous :

: amplificateur : dtecteur de position : lectro-aimant : rotor

: stator : signal du dtecteur : signal de rfrence : correcteur

A D E R

S SD

SR

T


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Analyse dun degr de libert :

En se limitant laxe , il est possible de retenir un modle mcanique

qui contienne un intgrateur pour augmenter la raideur dans les basses fr-

quences.

Q.10 - Laction gnre par llectro-aimant sur laxe de la broche peut alors tre

modlise dans le domaine de Laplace par :

, avec

: le dplacement du rotor,

: le gain de lintgrateur,

: le coefficient de frottement visqueux,

: la masse du rotor.

Donner la fonction de transfert de la raideur du systme.

Pour le jeu des valeurs prcis, lallure du diagramme de Bode en gain de la rai-deur est donne sur la figure ci-dessous :

Calculer le gain de la raideur pour un taux de rotation de 100 rad/s.

Q.11 - La boucle principale dasservissement se compose : dun capteur de position transformant le dplacement du mobile en une gran-

deur lectrique (volt/mtre). On suppose que cette mesure est linaire dans

la bande passante de lasservissement et que le gain du capteur est gal (volt/mtre),

dun correcteur dont la fonction de transfert est note ,

dun lment fonctionnel permettant de linariser la chane de gnration deforce dans lentrefer dont la fonction de transfert est note .

dun gnrateur de courant permettant de fournir le courant la bobine dellectro-aimant.

X1 X2,( )

p( ) bp----X p( ) K0X p( ) apX p( ) M p

2X p(+ + +=

X p( )

b

a

M

K0 108

N/m=

a 7 10

4

=b 10

9N/m.s=

M 100 kg=

G

N.s/m

d

H p( )

G p( )


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On suppose que lensemble linarisateur, gnrateur de courant et lectro-

aimant a un comportement linaire.

Dans le cas de petits dplacements du mobile ( tant la consigne dentre-

fer en volt/mtre), le modle de lasservissement est donn par le schma bloc ci-

dessous :

Montrer quen boucle ferme lexpression formelle de la raideur

est de la forme .

Donner lexpression de en fonction de , et .

Q.12 - Les gains de et seront pris gaux pour toutes les pulsations

et la fonction de transfert du correcteur retenu est de la forme :

avec : .

X X0

: force gnre par le palier,

: force extrieure perturbatrice (effets dinertie, effort de coupe,

dsquilibrage...),

: masse du rotor,

: dplacement, par rapport sa position de rfrence, du rotor dans

la direction sous leffet de la force perturbatrice.

F

Fext

M

XX

X0

d

H p( ) G p( ) 1

M p2

-------------

X+

+

+

Fext

F

KfFextX-----------= f K p( ) M p

2+=

K p( ) d H p( ) G p( )

d G p( ) 1H p( )

H p( ) K01 3p+( ) 1 2p+( )1

1 4p+( )2

1 1p+( )2--------------------------------------------------------= 1 2 3 4> > >


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On souhaite dterminer les diffrentes constantes de temps pour satisfaire aux

contraintes suivantes : la dformation du palier sous leffet dune charge radiale de doit tre

infrieure ,

la raideur aux faibles taux de rotation sera fois sup-rieure la raideur minimale,

la raideur minimale sera maintenue constante pour les taux de rotation com-

pris entre 100 et 1000 rad/s, la raideur maximale pour les taux de rotation levs sera atteinte pour

rad/s.

On tudie dans un premier temps une gamme de frquences pour laquelle la rai-deur peut tre approxime la raideur .

En analysant successivement le comportement de H(p) dans les diffrentes ban-des de frquences, donner sur la feuille de rponse primprime, lallure des dia-grammes de Bode asymptotiques du gain et de la phase de .

Donner les valeurs de , .

Q.13 - En reprenant le diagramme du gain de la question 12, tracer sur la

feuille de rponse primprime les volutions de pour .

Montrer que lintersection entre les deux courbes intervient pour tel querad/s.

En supposant que lintersection correspond et en faisant lap-

proximation pour et pour , tracer lediagramme asymptotique du gain .

Q.14 - Comparer la courbe de la raideur obtenue avec celle du modle de palier

mcanique tudi dans la question 10.

Conclure quant laptitude dun tel palier supporter une broche tournant au

taux de rotation calcul dans la question 3.

Conclure enfin sur la capacit dune telle solution satisfaire les caractristi-

ques prcises dans la fonction technique FT1112.

200 N

1m0 10 rad/s<

Kf


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Cas de plusieurs degrs de mobilit

Lobjet de cette tude est de dterminer les actions et les dplacements produirepour chacun des paliers.

Lasservissement peut tre fait axe par axe sur chaque palier, soit quatre bouclesdasservissement indpendantes.

Q.15 - Le contrle dans le plan , est ralis en pilotant la translation etle basculement comme indiqu sur la figure prcdente.

Le modle retenu est donn ci-

contre : les points et sont les

centres gomtriques respectifsdes paliers magntiques. Le bas-

culement est caractris par

avec pe-tit. Le taux de rotation est

suppos constant. Les dtecteurs

mesurent les dplacementset dans le repre

suppos galilen.

Pour un dplacement en translation de , centre de masse du rotor, pr-ciser les consignes et donner chaque palier magntique.

Pour un basculement autour de laxe damplitude , prciser les consi-gnes et donner chaque palier magntique.

XFXEG

PMPM

+ +

1

1

Pilotagetranslation

Pilotagebasculement

Ampli Ampli

0x0z0,,( )

O

L L

F

z1

z0

x1x0

E

E F

z0 z1,( ) x0 x1,( )= =

XEXF

O x0 y0 z0, , ,( )

hx0 G

XDE XDF

O y1,( ) XDE XDF


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Q.16 - Le rotor est modlis par une tige de longueur , de diamtre

ngligeable, de centre de masse G et de masse M. Les actions de la pesanteursont ngliges.

En tudiant le mouvement de translation, dterminer lquation diffrentielle

en h. En dduire lexpression de la frquence propre du rglage en transla-

tion en fonction de M, l, et la raideur en translation.De mme, en tudiant le mouvement de basculement, dterminer lquation dif-

frentielle en . En dduire lexpression de la frquence propre du rglage en

fonction de M, l et la raideur en basculement.

Montrer quil est possible dadopter la mme frquence propre pour les deux

rglages.

Q.17 - On reprend maintenant la modlisation initiale dans laquelleest un repre li laxe de broche (rotor), dduit de galilen

par une rotation damplitude autour de laxe caractris par

avec . est la verticale ascendante. Loprateur dinertie du rotor est de la forme :

Le repre , li galement au rotor, est dduit de R1par une ro-tation autour de tel que est l'angle entre laxe de rotation et laxeprincipal dinertie. Lamplitude de est suppose constante.

Les points G et O sont confondus. Les actions extrieures sur le rotor, actions de pesanteur comprises mais

sans les actions des paliers, sont modlises par le torseur :

Les actions des paliers en et sur le rotor sont modlises par les

torseurs :

avec .

2l

T KT

BKB

0

R1 O x1 y1 z0, , ,( ) R0 t( ) O z0,( )

1 0( ) z0= Cte= x0

A 0 0

0 A 0

0 0 C G R3,( )

R3 O x3 y3 z3, , ,( )O y1,( )

Oz1 Oz3,( )=

F ext rot( ) Xex1 Yey1 Zez1+ +=

M G ext, rot( ) Lex1 Mey1 Nez1+ +=

G

E F

F palier rot( ) X1x1 Y1y1+=

M E palier, rot( ) 0=

E

F palier rot( ) X2x1 Y2y1+=

M F palier, rot( ) 0=

F

OE Lz0 et OF Lz0= =


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Dterminer le moment cintique exprim dans en fonction de .

Dterminer le moment dynamique exprim dans en fonction de.

Donner les expressions permettant de dterminer les grandeurs X1, Y1,X2,et

Y2, puis les calculer avec les valeurs numriques suivantes :

, , , tr/min, et

Conclure sur la capacit dune telle solution permettre des taux de rotation

beaucoup plus levs.

Analyse de la solution par repre tournant :

Avec un palier magntique actif, il

est possible de dplacer laxe derotation lintrieur de lentrefer.

Il est alors intressant de faire

concider laxe de rotation avec

laxe principal dinertie du rotorpour liminer les actions gnres

par un dfaut dquilibrage. Pourraliser cet asservissement il faut

crer un signal de consigne sinu-

sodal qui a pour module lcartentre laxe principal dinertie et

laxe gomtrique de rotation,

synchrone avec la rotation du ro-tor.

Soit un repre li au stator et un repre li au ro-

tor. La consigne du dplacement du palier magntique de centre gomtrique ,

est reprsente par et sa position par rapport R1est dfinie par langle .

O rot 0,( ) R1

O rot 0,( ) R1

L 200 mm= C 0 145, kg.m2= A 1 314, kg.m2= =24000 0 00005, rad= Xe 981N= Ye Ze Le Me Ne 0= = = = =

M 100 kg=

t

S

y0

x0E

x1

y1

R0 E x0 y0 z0, , ,( ) R1 E x1 y1 z1, , ,( )E

ES


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Le repre tournant est ralis selon

le schma ci-contre :

Les signaux synchrones avec la vi-

tesse de rotation, note , sont

annuls car le repre labore des si-

gnaux tels que et sont nuls.

Q.18 - En fait, il existe un couplage

entre les diffrents axesdasservissement qui modifie le graphe de la raideur comme indiqu ci-dessous :

Conclure quant la pertinence de cette solution satisfaire les caractristiques

attendues pour la broche. Proposer une utilisation du repre tournant.

Q.19 - Le dessin de la broche sur paliers magntiques indique que la broche est

tout de mme munie de roulements billes.

Prciser la fonction technique ralise par ces roulements.

Donner un ordre de grandeur du jeu interne de ces roulements.

FIN

X Xc

YcYrY

+

+

Repre

tournant

Xr

rot

Xc Yc

20 Klog

logrot

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