Upload
nghquan129
View
219
Download
6
Embed Size (px)
DESCRIPTION
Tài liệu thầy Lê Văn Đoàn
Citation preview
15 chuyên đề ôn thi Đại học – Cao đẳng môn Toán Ths. Lê Văn Đoàn
“All the flower of tomorrow are in the seeds of today……” Page - 1 -
1/ Khái niệm nguyên hàm
� Hàm số ( )f x xác định trên K. Hàm số ( )F x được gọi là nguyên hàm của ( )f x trên K nếu:
( ) ( )F' x f x x K,= ∀ ∈ .
� Nếu ( )F x là một nguyên hàm của ( )f x trên K thì họ nguyên hàm của ( )f x trên K là
( ) ( )f x dx F x C const C. ,= + = ∈∫ � .
� Nếu mọi hàm số ( )f x liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K.
2/ Tính chất nguyên hàm
� Tính chất 1: ( ) ( ) ( )f x .dx f x dx f x C'
' . = = + ∫ ∫ .
� Tính chất 2: ( ) ( ) ( )k f x dx k f x dx k const. . . . : 0= ≠∫ ∫ .
� Tính chất 3: ( ) ( ) ( ) ( )f x g x .dx f x dx g x dx. . ± = ± ∫ ∫ ∫ .
3/ Bảng nguyên hàm cơ bản
� dx C0. =∫ . �
xx a
a dx Clna
. = +∫ .
� dx x C= +∫ . � cosx.dx sinx C= +∫ .
� α
α xx .dx C
α
1
1
+
= ++∫ .
5
� sinx.dx cosx C=− +∫ .
� 1
dx x Cx. ln= +∫ . ( )2
2
1.dx tan x .dx tanx C
cos x1= + = +∫ ∫ .
x xe dx e C. = +∫ . � ( )2
2
1.dx cot x .dx cotx C
sin x1= − + = − +∫ ∫ .
Mở rộng: 2
1 1dx C
xx=− +∫ .
2 2
x adx 1C
2ax a x aln − = + − +
∫ .
Chuyên đề
���
NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN – ỨNG DỤNG 5555 A – NGUYÊN HÀM
I – KIẾN THỨC CƠ BẢN
Lưu ý rằng:
Khi thay x bằng (ax + b) trong bảng nguyên hàm, thì khi lấy nguyên hàm, ta phải nhân
kết quả thêm a
1. Chẳng hạn như:
dx 1ax b C
ax b aln= + +
+∫ ,...
Ths. Lê Văn Đoàn Chuyên đề 5. Nguyên hàm – Tích phân và các ứng dụng
Page - 2 - “All the flower of tomorrow are in the seeds of today……”
Nếu: Bậc tử ≥ Bậc mẫu PP→ Chia đa thức.
Nếu: Bậc tử < Bậc mẫu PP→ Đồng nhất thức.
4/ Các phương pháp tính nguyên hàm thường gặp
� Tích của đa thức hoặc lũy thừa PP→ Khai triễn.
� Tích các hàm mũ PP→ Khai triễn theo công thức mũ.
� Chứa căn PP→ Chuyển về lũy thừa.
� Tích lượng giác bậc một PP→ Biến đổi tổng thành tích.
� Bậc chẳn của sinx và cosx PP→ Dùng công thức hạ bậc.
� Hàm hữu tỉ (không chứa căn)
� Phương pháp đổi biến số.
Nếu ( ) ( )f u .du F u C C,= + ∈∫ � và ( )u u x= có đạo hàm liên tục thì:
( ) ( ) ( )f x .u' x .dx F u x C = + ∫ .
� Nguyên hàm từng phần.
Nếu u, v là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên K thì u.dv u.v v.du= −∫ ∫ .
Chọn
u du dx
dv dx v
............... ...........
........ ................
= → = = → =
Nhận dạng : Tích 2 hàm khác loại nhân nhau (mũ nhân lượng giác, log nhân đã thức,…).
Cách chọn : thứ tự ưu tiên chọn u là “log – đa – lượng – mũ” và dv là phần còn lại.
Nghĩa là : Nếu trong bài toán tìm nguyên hàm có chứa lnx thì ta chọn u = lnx, còn dv là phần còn lại, nếu không có ln hoặc log thì ta chọn u là đa thức, dv
là phần còn lại,….
Lưu ý rằng:
Tách từ hàm Nhân thêm Có sẵn
Trong nguyên hàm từng phần: Bậc của đa thức và bậc của lnx tương ứng với số lần lấy nguyên hàm từng phần. Cách chọn u và dv cũng tuân theo qui luật trên. Chẳng hạn như khi đặt u = ln2x hoặc u = x2 + 1 thì ta phải lấy nguyên hàm từng phần hai lần trong cách giải mới đi đến kết quả sau cùng.
Khi tính nguyên hàm cần phải nắm vững bảng nguyên hàm cơ bản và phép tính vi phân.
Nguyên hàm của một tổng (hiệu) của nhiều hàm số chính là tổng (hiệu) của các nguyên hàm của những hàm số thành phần. Điều đó cũng đồng nghĩa với khẳng định: “Muốn tìm nguyên hàm của một hàm số, ta phải biến đổi hàm số này thành một tổng hoặc hiệu của những hàm số tìm được nguyên hàm (dựa vào bảng nguyên hàm)”.
Nguyên hàm của một tích (thương) của nhiều hàm hàm số không bao giờ bằng tích (thương) của các nguyên hàm của những hàm số thành phần.
Khi tính nguyên hàm của hàm lượng giác, cần nắm vững công thức biến đổi lượng giác.
Vi phân
Nguyên hàm
15 chuyên đề ôn thi Đại học – Cao đẳng môn Toán Ths. Lê Văn Đoàn
“All the flower of tomorrow are in the seeds of today……” Page - 3 -
���
Bài tập áp dụng
Bài 1. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau.
a/ ( ) 3 34f x x x
x= − + ĐS: ( ) C
422 3.ln
4
xF x x x= + + + .
b/ ( ) 3 4f x x x x= + + ĐS: ( ) C3 43 4 52 3 4
3 4 5F x x x x= + + + .
c/ ( )42 2x
f xx 2+
= ĐS: ( ) C32 2
3F x x
x= − + .
d/ ( )3 5
1 3 5
2f x
x x x= + + ĐS: ( ) C3 52 49 25
2 4F x x x x= + + + .
e/ ( ) 2
1xf x
x
−= ĐS: ( ) C
1lnF x x
x= + + .
f/ ( ) 22 sin2
xf x = ĐS: ( ) CsinF x x x= + + .
g/ ( ) 2tanf x x= ĐS: ( ) CtanF x x x= − + .
h/ ( ) 2cosf x x= ĐS: ( ) C1 1
sin22 4
F x x x= + + .
II – Dạng toán 1. Tính nguyên hàm dựa vào bảng nguyên hàm cơ bản
Phương pháp: Biến đổi biểu thức hàm số để sử dụng được bảng các nguyên hàm cơ bản.
Lưu ý :
� Để sử dụng được phương pháp này cần phải :
� Nắm vững bảng nguyên hàm.
� Nắm vững phép tính vi phân.
� Để chứng minh ( )F x là một nguyên hàm của hàm số ( )f x . Ta chứng minh: ( ) ( )F' x f x= .
� Để tìm điều kiện của tham số sao cho ( )F x là 1 nguyên hàm của hàm số ( )f x , ta thực hiện:
� Cho ( ) ( )F' x f x= .
� Sử dụng đồng nhất thức để suy ra tham số.
� Tìm nguyên hàm của hàm số thỏa điều kiện cho trước, nghĩa là :
� Tìm ( ) ( )F' x f x C= + .
� Kết hợp điều kiện để tìm hằng số C.
Ths. Lê Văn Đoàn Chuyên đề 5. Nguyên hàm – Tích phân và các ứng dụng
Page - 4 - “All the flower of tomorrow are in the seeds of today……”
i/ ( ) 2 2
1
sin cosf x
x x= ĐS: ( ) C2 cot2F x x=− + .
j/ ( ) 4 3sin cosf x x x= ĐS: ( ) C5 6sin sin
5 7
x xF x = − + .
k/ ( ) 2 sin 3 cos2f x x x= ĐS: ( ) C1cos 5 cos5
F x x x=− − + .
l/ ( ) ( )1x xf x e e= − ĐS: ( ) C21
2x xF x e e= − + .
m/ ( ) 22cos
xx e
f x ex
− = + ĐS: ( ) C2 tanxF x e x= + + .
n/ ( ) 3 1xf x e += ĐS: ( ) C3 11
3xF x e += + .
Bài 2. Tìm nguyên hàm ( )F x của hàm số ( )f x thỏa mãn điều kiện cho trước.
a/ ( ) ( ) 3 4 5 , 1 3f x x x F= − + = ĐS: ( )4
2 55
4 4
xF x x x= − + − .
b/ ( ) ( ) 3 5 cos , 2f x x F π= − = ĐS: ( ) 3 5 sin 2 3F x x x π= − + − .
c/ ( ) ( ) 23 5, 1
xf x F e
x
−= = ĐS: ( )
2 25 53 ln 2
2 2
x eF x x= − + − .
d/ ( ) ( ) 2 1 3
, 12
xf x F
x
+= = ĐS: ( )
2
ln 12
xF x x= + + .
e/ ( ) ( ) 1, 1 2f x x x F
x= + =− ĐS: ( ) 52 22
25 5
F x x x= + − .
f/ ( ) sin2 .cos , ' 03
f x x x Fπ = =
ĐS: ( ) 1 1 7cos cos6 2 12
F x x x=− − + .
g/ ( ) ( ) 4 3
2
3 2 5, 1 2
x xf x F
x
− += = ĐS: ( ) 3 2 5
7F x x xx
= − − + .
h/ ( )( )
( ) 3 2
2
3 3 7, 0 8
1
x x xf x F
x
+ + −= =
+ ĐS: ( )
2 8
2 1
xF x x
x= + +
+.
i/ ( ) 2sin ,2 2 4
xf x F
π π = =
ĐS: ( ) sin 1
2 2 2
x xF x = + − .
15 chuyên đề ôn thi Đại học – Cao đẳng môn Toán Ths. Lê Văn Đoàn
“All the flower of tomorrow are in the seeds of today……” Page - 5 -
Bài 3. Chứng minh ( )F x là một nguyên hàm của hàm số ( )f x .
a/ ( )( )
3 2
2
5 4 7 120
15 8 7
F x x x x
f x x x
= + − + = + − b/
( ) ( )( )
2
2
ln 3
1
3
F x x x
f xx
= + + = +
c/ ( ) ( )( ) ( )
4 5
4 1
x
x
F x x e
f x x e
= − = − d/
( )( )
4
5 3
tan 3 5
4 tan 4 tan 3
F x x x
f x x x
= + − = + +
e/
( )
( )( )( )
2
2
2 2
4ln
3
2
4 3
xF x
x
xf x
x x
+ = + − = + +
f/
( )
( )( )
2
2
2
4
2 1ln
2 1
2 2 1
1
x xF x
x x
xf x
x
− + = + + − = +
Bài 4. Tìm điều kiện tham số m, a, b, c để ( )F x là một nguyên hàm của hàm số ( )f x .
a/ ( ) ( )( )
3 2
2
3 2 4 3
3 10 4
F x mx m x x
f x x x
= + + − + = + − ĐS: 1m = .
b/ ( )( )
2
2
ln 5
2 3
3 5
F x x mx
xf x
x x
= − + + = + +
ĐS: 3m = − .
c/ ( ) ( )( ) ( )
2
3
x
x
F x ax bx c e
f x x e
= + + = − ĐS: 0, 1, 4a b c= = =− .
d/ ( ) ( )( ) ( )
2 2
2 22 8 7
x
x
F x ax bx c e
f x x x e
−
−
= + + = − − + ĐS: 1, 3, 2a b c= =− = .
e/ ( ) ( )( ) ( )
2
2 3 2
x
x
F x ax bx c e
f x x x e
−
−
= + + = − + ĐS: 1, 1, 1a b c=− = =− .
f/ ( ) ( )( )
1 sin sin2 sin 32 3
cos
b cF x a x x x
f x x
= + + + =
ĐS: 0a b c= = = .
g/ ( ) ( )( )
2
2
2 3
20 30 7
2 3
F x ax bx c x
x xf x
x
= + + − − + = −
ĐS: 4, 2, 1a b c= =− = .
Ths. Lê Văn Đoàn Chuyên đề 5. Nguyên hàm – Tích phân và các ứng dụng
Page - 6 - “All the flower of tomorrow are in the seeds of today……”
���
III – Dạng toán 2. Tính nguyên hàm ( )f x .dx∫ bằng phương pháp đổi biến số
Phương pháp
Nếu ( )f x có dạng ( ) ( ) ( )f x g u x .u' x = thì ra đặt ( ) ( )t u x dt u' x .dx= ⇒ = .
Khi đó: ( )f x .dx g(t).dt=∫ ∫ . Trong đó g(t).dt∫ dễ tìm được.
Lưu ý rằng: Sau khi tính g(t).dt∫ ta phải trả lại ( )t u x= .
Lưu ý. Thường gặp các trường hợp sau:
Dạng nguyên hàm
Cách đổi biến
� ( ) ( )nf f x f x dx. ' . ∫
( ) ( ) ( )n nnt f x t f x n.t .dt f x .dx1 '−= ⇒ = ⇒ =
� ( )nf x dx.... . . ∫
( )t dt dx.... ......= ⇒ =
� ( ) 1f lnx dx
x. .∫
1t x dt dx
xln= ⇒ =
� ( )f a x x .dx2 2 . .−∫
x a.sint dx a.cost.dt
x a.cost dx a.cost.dt
= = ⇒ = = −
( )f a x x .dx2 2 .+∫
( )
( )
2
2
2
2
adx .dt a tan t dtx a.tant cos t
x a.cott adx .dt a cot t .dt
sin t
1 .
1
= = + = ⇒ = = − =− +
� ( )2 2f x a .x .dx−∫
( )
( )
2 2
2
2 2
2
aax a. cot xx
t sin ta a
x x a. tan xt cos t
1sin
1cos
= = += ⇒ = = = +
� x
adx
e b.f
+ ∫
t 1x e t lnx dt .dx
x= ⇒ = ⇒ =
chẳn
chẳn
chẳn
Trong dạng � ta thường hay sử dụng công thức: sin2x + cos2x = 1.
Trong dạng , � ta thường sử dụng công thức: 2
2
1tan x
cos x1+ = ; 2
2
1cot x
sin x1+ = .
Trong dạng � ta thường sử dụng công thức: xa
a b x log b= ⇔ = .
15 chuyên đề ôn thi Đại học – Cao đẳng môn Toán Ths. Lê Văn Đoàn
“All the flower of tomorrow are in the seeds of today……” Page - 7 -
Bài tập áp dụng
Bài 1. Tính các nguyên hàm sau.
a/ ( )115 1x xdx−∫ b/ ( )53 2
dx
x−∫ c/ 5 2xdx−∫
d/ ( )722 1x xdx+∫ e/ ( )43 25x x dx+∫ f/ 2 5
xdx
x +∫
g/ 2 1.x xdx+∫ h/ 2
3
3
5 2
xdx
x+∫ i/
( )2
1
dx
x x+∫
j/ 4sin cosx xdx∫ k/ 5
sin
cos
xdxx
∫ l/ 2
tan
cos
xdx
x∫
m/ 3
x
x
e dx
e −∫ n/
2 1. xx e dx+∫ o/ xedxx
∫
p/ 3ln xdx
x∫ q/ 1x
dx
e +∫ r/ tan
2cos
xedxx
∫
Bài 2. Tính các nguyên hàm sau.
a/
( )321
dx
x−∫ b/
( )321
dx
x+∫ c/ 21 .x dx−∫
d/ 24
dx
x−∫ e/ 2 21 .x x dx−∫ f/
21
dx
x+∫
g/ 2
21
x dx
x−∫ h/
2 1
dx
x x+ +∫ i/ 3 2 1.x x dx+∫
j/ 2 2 1.x x dx−∫ k/ 2
2.4
xdx
x −∫ l/
2
1.3dx
x −∫
Ths. Lê Văn Đoàn Chuyên đề 5. Nguyên hàm – Tích phân và các ứng dụng
Page - 8 - “All the flower of tomorrow are in the seeds of today……”
���
Bài tập áp dụng
Bài 1. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau.
a/ ( )ln 1x x+∫ ĐS: ( ) ( ) ( ) C2 21 11 ln 1
2 4 2
xF x x x x= − + − + + .
b/ ( )2 2 1 xx x e dx+ −∫ ĐS: ( ) ( ) C2 1xF x e x= − + .
c/ ( )sin 2 1x x dx+∫ ĐS: ( ) ( ) ( ) C1
cos 2 1 sin 2 12 4
xF x x x=− + + + + .
d/ ( )1 cosx xdx−∫ ĐS: ( ) ( ) C1 sin cosF x x x x= − − + .
e/ .sin2 .xe x dx∫ ĐS: ( ) Csin2 2 cos2
5
x xe x e xF x
−= + .
f/ 2.cos .x x dx∫ ĐS: ( ) ( ) C2 sin 2 sin cosF x x x x x x= − + + .
Bài 2. Tính các nguyên hàm sau.
a/ 2cosxe xdx∫ ĐS: ( ) ( ) C15 cos2 2 sin2
10xF x x x e= + + + .
b/ ( ) 2. sin 1999x xdx ÐHL −∫ ĐS: ( ) C21 1sin 2 cos2
4 4 8
xF x x x x= + + + .
c/ ( )cos lnx dx∫ ĐS: ( ) ( ) ( ) Ccos ln sin ln2
xF x x x = + + .
d/ ( )2
ln cos
cos
xdx
x∫ ĐS: ( ) ( ) Cln cos . tan tanF x x x x x= + − + .
e/ ( )2
2
lnx x x k
dxx k
+ +
+∫ ĐS: ( ) 2 2ln( )F x x k x x k x C= + + + − + .
IV – Dạng toán 3. Tính nguyên hàm bằng phương pháp nguyên hàm từng phần
Vi phân
Nguyên hàm
Phương pháp
Nếu u, v là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên K thì u.dv u.v v.du= −∫ ∫ .
Chọn
u du dx
dv dx v
............... ...........
........ ................
= → = = → =
Nhận dạng : Tích 2 hàm khác loại nhân nhau (mũ nhân lượng giác, log nhân đã thức,…).
Cách chọn : thứ tự ưu tiên chọn u là “log – đa – lượng – mũ” và dv là phần còn lại.
Nghĩa là : Nếu trong bài toán tìm nguyên hàm có chứa lnx thì ta chọn u = lnx,còn dv là phần còn lại, nếu không có ln hoặc log thì ta chọn u là đa thức, dv là phần còn lại,….
15 chuyên đề ôn thi Đại học – Cao đẳng môn Toán Ths. Lê Văn Đoàn
“All the flower of tomorrow are in the seeds of today……” Page - 9 -
f/ 2( 1)
xxedx
x +∫ ĐS: ( )1
xeF x C
x= ++
.
g/ 1 sin
1 cosxx e dx
x
++∫ ĐS: ( ) tan
2
x xF x e C
= + .
h/ sin ln(tan )x x dx∫ ĐS: ( ) ( )cos ln tan ln tan2
xF x x x C
= − + + .
Bài tập rèn luyện
Bài 1. Tính nguyên hàm của các hàm số sau:
a/ . .xx e dx∫ b/ .cos .x x dx∫ c/ ln .x dx∫
d/ ( )ln 1 .x x dx+ +∫ e/ ( )2 3 1 . .xx x e dx− + +∫ f/ . sin .x x dx∫
g/ sin(2 1).x x dx+∫ h/ ( )1 cos .x x dx−∫ i/ ( )1 2 .xx e dx−∫
j/ . .xx e dx−∫ k/ 2. ln .x x dx∫ l/ 2
. .xx e dx−∫
m/ ( )2. 1 .xe x dx+∫ n/ ( )1 .cos .x x dx+∫ o/ .cos .xe x dx∫
p/ .sin .xe x dx∫ q/ 2.cos .x x dx∫ r/ 2.cos .x x dx∫
s/ sin .x dx∫ t/ cos .x dx∫ u/ sin .x x dx∫
Bài 2. Tính nguyên hàm của các hàm số sau.
a/ xe dx∫ b/ ln .x dx
x∫ c/
ln .x dx
x∫
d/ 3sin .x dx∫ e/ .2 .xx dx∫ f/ 2. ln .x x dx∫
g/ 5
ln.xdx
x∫ h/ ( )
2
ln .x dx∫ i/ ..1
xx edx
x +∫
j/ 2. sin .x x dx∫ k/ ( ). sin 2 1 .xe x dx+∫ l/ cos .ln(sin ).x x dx∫
m/ 1
. ln .1
xx dx
x
+−∫ n/
( )2.cos
.1 sin
x xdx
x+∫ o/
2
sin.
cos
x xdx
x
+∫
p/ 2.
sin
xdxx
∫ q/ sin .cos .xe x dx∫ r/ 2
2( 2)
xx e dx
x +∫
s/ ( )21 tan tan xx x e dx+ +∫ t/
2
lnxdx
x
∫ u/ 3
21
xdx
x+∫
Ths. Lê Văn Đoàn Chuyên đề 5. Nguyên hàm – Tích phân và các ứng dụng
Page - 10 - “All the flower of tomorrow are in the seeds of today……”
���
Bài tập áp dụng
Tính nguyên hàm của các hàm số sau.
1/ sin
sin cos
xdx
x x−∫ 2/ cos
sin cos
xdx
x x−∫
3/ sin
sin cos
xdx
x x+∫ 4/ cos
sin cos
xdx
x x+∫
5/ 4
4 4
sin
sin cos
xdx
x x+∫ 6/ 4
4 4
cos
sin cos
xdx
x x+∫
7/ 22 sin .sin 2x xdx∫ 8/ 22 cos .sin2x xdx∫
9/ x
x x
edx
e e−−∫ 10/ x
x x
edx
e e
−
−−∫
11/x
x x
edx
e e−+∫ 12/ x
x x
edx
e e
−
−+∫
13/sin .
2013 sin cos
x dx
x x+∫ 14/6 cos .
5 sin cos
x dx
x x+∫
V – Dạng toán 4. Tính nguyên hàm bằng phương pháp dùng hàm phụ
Đặt vấn đề: Xác định nguyên hàm của hàm số ( )f x , ta cần tìm một hàm ( )g x sao cho nguyên
hàm của hàm số ( ) ( )f x g x± dễ xác định hơn so với ( )f x . Từ đó suy ra nguyên
hàm của ( )f x .
Mặt thực hành:
� Bước 1. Tìm hàm ( )g x .
� Bước 2. Xác định nguyên hàm của hàm số ( ) ( )f x g x± . Nghĩa là:
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
1
2
F x G x A x C
F x G x B x C
1
2
+ = + − = +
� Bước 3. Cộng ( )1 với ( )2 , ta được: ( ) ( ) ( )F x A x B x C
1
2 = + + là nguyên hàm của
hàm số ( )f x cần tìm.
15 chuyên đề ôn thi Đại học – Cao đẳng môn Toán Ths. Lê Văn Đoàn
“All the flower of tomorrow are in the seeds of today……” Page - 11 -
���
VI – Dạng toán 5. Tính nguyên hàm lớp hàm hữu tỉ (phân số)
Bài toán : Tính ( )( )
P x.dx
Q x∫ với ( )P x và ( )Q x là các đa thức không chứa căn.
Phương pháp :
� Nếu bậc của tử ( )P x ≥ bậc của mẫu ( )Q x . Chẳng hạn như 3 2
2
x x x.dx
x
3 2− − +∫ . Ta sẽ
tiến hành chia đa thức, rồi dùng công thức trong bảng nguyên hàm để tính.
� Nếu bậc của tử ( )P x < bậc của mẫu ( )Q x và ( )Q x có dạng tích nhiều nhân tử thì ta phân
tích ( )( )
P x
Q x thành tổng của nhiều phân thức (bằng phương pháp hệ số bất định). Ví dụ như :
( )( ) ( )( )A B a b
x a x b an bm ax m bx nx a x b ax m bx n
1 1 1 = + ⇒ = − − − − + +− − + + .
( )( ) ( )mx n A B
x bx a x b x a
+= +
−− − −.
( )( ) ( )2 2
A Bx C
x mx m ax bx c ax bx c
1 += +−− + + + +
với 2b ac4 0∆= − < .
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2
A B C D
x a x bx a x b x a x b
1= + + +− −− − − −
.
Một số loại khác
Loại :
( )( )1 n
2 2
PPdxI n N* x a.tant
x a,= ∈ → =
+∫ .
Loại : 2 2
PP1 1 1I f x dx t x
x xx. 1 .
= + − → = + ∫ .
Loại : ( )3 2
PPdxI a 0
ax bx c,= ≠ →
+ +∫ Ta tiến hành xét 2b ac4∆= − .
+ Nếu 0∆ = thì ( ) 2
3 2
dxI ax b dx
ax bx c
12 . ......
2a
−⇒ = = + =
+ +∫ ∫
+ Nếu 0∆> thì ( )( )3
1 2
I dxa x x x x
1.=
− −∫ ⇒ đồng nhất thức ⇒ kết quả.
với 1 2
x x, là hai nghiệm phân biệt của phương trình 2ax bx c 0+ + = .
Ths. Lê Văn Đoàn Chuyên đề 5. Nguyên hàm – Tích phân và các ứng dụng
Page - 12 - “All the flower of tomorrow are in the seeds of today……”
Bài tập áp dụng
Bài 1. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau.
1/ ( )4 2
1 2
3 2 1x x x dxI
x
− + −= ∫
ĐS:
3
1
13 2 ln
3
xI x x C
x= − + + + .
2/ ( )2
2
1
2
x x dxI
x
+ +=
+∫ ĐS: 2
2
1
2 ln 2
xI x C
x= + − +
+.
3/ ( )2
3
3 3
2 1
x x dxI
x
− +=
+∫ ĐS: 2
3
5 8 17 85ln
4 4 17 8 16
xI x x C= − + − + .
4/ 4
1.
2 3
xI dx
x
+=
+∫ ĐS: 4
1ln 2 3
2 4
xI x C= − + + .
5/ 5
3 1.2
xI dx
x
+=
−∫ ĐS: 53 7 ln 2I x x C= + − + .
6/ 3
6 2 1
xI dx
x=
+∫ ĐS: 2 2
6ln 1 1I x x C= − + + + .
7/ ( )7
1
dxI
x x=
+∫ ĐS: 7ln
1
xI C
x= +
+.
8/ ( )( )8
1 2 3
dxI
x x=
+ −∫ ĐS: 8
1 2 3ln5 1
xI C
x
−= +
+.
9/ 9 22 7 5
dxI
x x=
− +∫ ĐS: ( )9
2 2 5ln3 2 1
xI C
x
−= +
−.
10/ 10 2 7 10
dxI
x x=
− +∫ ĐS: 10
1 5ln3 2
xI C
x
−= +
−.
+ Nếu 0∆< ta biến đổi mẫu số:
2
2 b ∆ax bx c a x
2a 4a.
+ + = + + −
, rồi đổi biến
số bằng cách đặt: b ∆
x tant2a 4a
.+ = − , đưa bài toán về loại I1 mà đã biết cách giải.
Loại: 4 2
px qI dx
ax bx c.
+=
+ +∫ .
+ Nếu 0∆≥ ta tiến hành đồng nhất thức bình thường⇒Kết quả.
+ Nếu 0∆< ta biến đổi ( )
4 2 2
3A I khi ∆ 0
ax b dxp b.p dxI q
2a 2aax bx c ax bx c
2.
<
+ = + − + + + + ∫ ∫��������������� ���������������
.
Tìm A : Đổi biến bằng cách đặt 2t ax bx c= + + .
15 chuyên đề ôn thi Đại học – Cao đẳng môn Toán Ths. Lê Văn Đoàn
“All the flower of tomorrow are in the seeds of today……” Page - 13 -
11/ 2
11 2
1.1
xI dx
x
+=
−∫ ĐS: 11
1ln
1
xI x C
x
−= + +
+.
12/ 12 2 6 9
dxI
x x=
− +∫ ĐS: 12
1
3I C
x= +−
.
13/ 13 2 4
dxI
x=
−∫ ĐS: 13
1 2ln4 2
xI C
x
−= +
+.
14/ ( )( )14
.1 2 1
xI dx
x x=
+ +∫ ĐS: 14
1ln 1 ln 2 1
2I x x C= + − + + .
15/ ( )( )15
1
2 3
xI dx
x x
+=
− +∫ ĐS: ( )3 2
15
1ln 2 25
I x x C
= − + + .
16/ ( )
16 2
4 3
4 3
x dxI
x x
+=
− +∫ ĐS: 16
13 ln 3 7 ln 1
2
x xI C
− − −= + .
17/ ( )
17 2
2 7
5 6
x dxI
x x
+=
+ +∫ ĐS: ( )3
17
2ln
3
xI C
x
+= +
+.
18/ 18 4 25 4
dxI
x x=
− +∫ ĐS: 18
1 1 2 1 1ln ln
3 4 2 2 1
x xI C
x x
− − = − + + + .
19/ 19 24 8 3
dxI
x x=
+ +∫ ĐS: 19
1 2 1ln4 2 3
xI C
x
+= +
+.
20/ 20 23 2 1
dxI
x x=
− −∫ ĐS: 20
1 3 3ln4 3 1
xI C
x
+= +
+.
21/ 21 2
5 7
3 2
xI dx
x x
−=
− +∫ ĐS: 21
9 15 ln 1 ln
2 1
xI x C
x
−= + − +
+.
22/ 22 2
2 5
9 6 1
xI dx
x x
+=
− +∫ ĐS: 22
2 17 1ln 3 19 9 3 1
I x Cx
= − − + − .
23/ ( )23 2 2
dxI
x x=
+∫ ĐS: 2
23 2
1ln4 2
xI C
x= +
+.
24/ ( ) ( )
24 2 2
3 1
dxI
x x
=+ +
∫ ĐS: ( )( )24
1 3 2 4ln4 1 1 3
x xI C
x x x
+ + = − + + + + .
25/ 25 3
7 4
3 2
xI dx
x x
−=
− +∫ ĐS: 25
1 12 ln
1 2
xI C
x x
−=− + +
− +.
26/ 3 2
26 4 3
4 1x x xI dx
x x
− − −=
+∫ ĐS: 26 2
1 32 ln ln 1
2I x x C
xx= + + − + + .
27/ 27 3 26 7 3
dxI
x x x=
− −∫ ĐS: 27
1 2 3 3 1ln ln ln3 33 2 11 3
I x x x=− + − + + .
28/ 3
28 3
1
4
xI dx
x x
−=
−∫ ĐS: 28
1 7 1 9 1ln ln ln
4 16 2 16 2I x x x x C= + − − − + + .
Ths. Lê Văn Đoàn Chuyên đề 5. Nguyên hàm – Tích phân và các ứng dụng
Page - 14 - “All the flower of tomorrow are in the seeds of today……”
29/ ( )3
29 2
3 2
2 1
x xI dx
x x x
− +=
+ +∫ ĐS:
29
42 ln 4 ln 1
1I x x x C
x= + + + − +
+.
30/ ( )( )
2
30 2
2
2 1
x dxI
x x x
+=
− +∫ ĐS: 30
94 ln 2 ln 1
1I x x C
x= − − − +
−.
Bài 2. Tính các nguyên hàm của các hàm số.
1/ 1 2 9
dxJ
x=
+∫ 2/
( )2 2
2 2
dxJ
x
=+
∫ 3/
( )3 3
2 4
dxJ
x
=+
∫
4/ 4 2 2 6
dxJ
x x=
− +∫ 5/ ( )
5 2
6 2
1
x dxJ
x x
+=
− +∫ 6/ ( )
6 2
2 1 .
3 4
x dxJ
x x
+=
+ +∫
7/ 7 2 2
dxJ
x x=
− +∫ 8/ ( )( )8 2 24 9
dxJ
x x=
+ +∫ 9/ ( )
10 2
1
4 8 5
x dxJ
x x
−=
− +∫
10/( ) ( )
2
10 22
4 3 1
1 1
x xJ dx
x x
+ −=
− −∫ 11/
( )( )( )
2
11 2
2 41 91
12 1
x x dxJ
x x x
+ −=
− − −∫
Bài tập rèn luyện
Bài 1. Tính nguyên hàm của các hàm số sau:
1/ 2 2 1
dx
x x+ +∫ 2/ 24 4 1
dx
x x+ +∫ 3/ 2 5 6
dx
x x− +∫
4/ 3
1.
x xdx
x
+ +∫ 5/
5 4
3
8
4
x xdx
x x
+ −
−∫ 6/ 4 23 2
xdx
x x− +∫
7/ ( )( )1 1 2
dx
x x+ −∫ 8/ ( )( )2 3
dx
x x− +∫ 9/ 24 4 1
dx
x x− +∫
10/ 23 2 1
dx
x x− −∫ 11/ 4 22 1
dx
x x− −∫ 12/ ( )( )
2
2
2
2 1
x dx
x x x
+
− +∫
13/ ( )2
2
1
dx
x x +∫ 14/ 34
dx
x x+∫ 15/ ( )( )
2
2 21 4
x dx
x x− +∫
16/ 3
41
x dx
x−∫ 17/2
41
x dx
x−∫ 18/ 2
2
2 3 2
xdx
x x− −∫
19/ 3 26 7 3
dx
x x x− −∫ 20/ 3
3
1
4 1
xdx
x
−
−∫ 21/ 3 8
dx
x +∫
Bài 2. Tính nguyên hàm của các hàm số sau.
15 chuyên đề ôn thi Đại học – Cao đẳng môn Toán Ths. Lê Văn Đoàn
“All the flower of tomorrow are in the seeds of today……” Page - 15 -
1/ 2 3
dx
x x− +∫ 2/ 2
2
1
xdx
x x
+
+ +∫
3/ 3
4 2 2
x dx
x x− +∫ 4/ 5
6 3 2
x dx
x x− −∫
5/ ( )3
2
3 2
2 1
x xdx
x x x
− +
+ +∫ 6/
( )3
2
3 2
2 1
x xdx
x x x
− +
+ +∫
7/
( )210 1
dx
x x +∫ 8/
2
4
1
1
xdx
x
+
+∫
9/ 3
2 21
x dx
x +∫ 10/
( )22 1
dx
x +∫
11/
( )
3
28 1
x dx
x +∫ 12/
( )32 1
dx
x +∫
13/ ( )
2
10
1
x dx
x−∫ 14/
( )
7
28 1
x dx
x +∫
15/ 3
6 37 8
x dx
x x− −∫ 16/ 41
dx
x+∫
17/ 41
dx
x−∫ 18/ ( )
2
5
1
x dx
x −∫
19/ 2 2 cos 1
xdx
x x α− +∫ 20/ 1 1
2 1 2 3dx
x x
− + +∫
21/ 2
4
1
1
xdx
x
−
+∫ 22/
( )210 1
dx
x x +∫
23/ 4
6
1
1
xdx
x
+
+∫ 24/ ( )3
6 4 24 4 1
x x dx
x x x
−
+ + +∫
25/ ( )
( )( )
2
2 2
1
5 1 3 1
x dx
x x x x
−
+ + − +∫ 26/ 9 53
dx
x x+∫
27/
( )
2001
100221
x dx
x+∫ 28/
3 1
dx
x −∫
29/ 3 1
dx
x +∫ 30/
( )
7
24 1
x dx
x +∫
31/ 4 23 2
xdx
x x− +∫ 32/ 4 2 1
xdx
x x− −∫
Ths. Lê Văn Đoàn Chuyên đề 5. Nguyên hàm – Tích phân và các ứng dụng
Page - 16 - “All the flower of tomorrow are in the seeds of today……”
���
VII – Dạng toán 6. Tính nguyên hàm lớp hàm vô tỉ (chứa căn thức)
Nếu gặp nguyên hàm chứa căn thức dạng ( ) ( ) PPf u x .v x .dx 90% → ∫ đặt ( )t u x= .
Trừ các trường hợp sau:
� Trường hợp 1: ( )2 2 PP x a.f x a x .dx
x a.
tan.
cot
t
t
=+ → =∫
� Trường hợp 2: ( )2 2 PP x a.sinf a x .x .dx
x a.cos
t
t
=− → =∫
� Trường hợp 3: ( )2 2 PP
ax
f x a .x .dxa
x
sin
cos
t
t
=− → =
∫
� Trường hợp 4: ( )n 2
PPdx 1x a
tx a . ax bx c→ − =
− + +∫ .
� Trường hợp 5: 31 2 kss s s nPPR ax b, ax b, ax b,......, ax b ax b t + + + + → + = ∫ .
(n là bội số chung lớn nhất của s1, s2, s3, …, sk)
� Trường hợp 6: ( )( )
( ) ( )PP1R dx
x a x bt x a x b
→ = + + + + + ∫ .
� Trường hợp 7: 2 2 2 2 2 2
x a x a 2x.dx dxdx .dx dx a.
x a x a 2 x a x a.
− −= = −
+ − − −∫ ∫ ∫ ∫ .
� Trường hợp 8: ( )dx 1= ax b ax c .dx
b cax b ax c+ + +
−+ + +∫ ∫ .
� Trường hợp 9:
( )( )
( )( )
( )( ) ( )
2
2 2 2 2
a u xv x b.u x c
u x u x u x u x
α
α α α α
+ = + ++ + + +
.
Sau đó, dùng hệ số bất định để tìm a, b, c.
� Lưu ý:
Khi đổi biến (đặt ẩn phụ) , kết quả sau cùng phải trả về giá trị biến cũ.
Ngoài ra, ta còn gặp dạng ( )( ) ( )PPa.f x
.dx t f xf x
'→ =∫ .
Có thể dùng phương pháp “nhảy tầng lầu” để giải dạng bậc tử < bậc mẫu.
chẳn
chẳn
chẳn
15 chuyên đề ôn thi Đại học – Cao đẳng môn Toán Ths. Lê Văn Đoàn
“All the flower of tomorrow are in the seeds of today……” Page - 17 -
Bài tập áp dụng
Bài 1. Tính nguyên hàm của các hàm số sau.
1/ 1
5 2 .I x dx= −∫ 2/ 2
21.I x x dx= +∫
3/ 3
. 4 .I x x dx= −∫ 4/ 4
2
1.
2 2
xI dx
x x
−=
− +∫
5/ 5 3
1.
3 1
xI dx
x
+=
+∫ 6/
2
6 3
3
5 2
xI dx
x=
+∫
7/ 3
7 2.2
xI dx
x=
+∫ 8/
3
8 3 4.
1 1
xI dx
x=
+ +∫
9/ ( )329. 1 .I x x dx= +∫ 10/
10.
2 1 1
xI dx
x=
+ +∫
Bài 2. Tính nguyên hàm của các hàm số sau.
1/ 1
2
1.4
I dxx
=+
∫ 2/ 2
25.I x dx= +∫
3/ 3
2
1.
1I dx
x=
+∫ 4/
42
1.
3I dx
x=
+∫
5/ 2
51 .I x dx= −∫ 6/ 2 2
61 .I x x dx= −∫
7/ 7 24
dxI
x=
−∫ 8/
2
821
x dxI
x=
−∫
9/ 2
92
.1
xI dx
x=
−∫ 10/ 2
105.I x dx= −∫
11/ 11
2
1.
3 6I dx
x x x=
+ −∫ 12/
122
1.
. 2 2 1I dx
x x x=
+ +∫
13/ 13 2
1.
. 2I dx
x x x=
−∫ 14/
14 3
1.I dx
x x=
+∫
15/ 4
315
52 1
2 1I x dx
x
= + − +∫ 16/
16
1 1. .1
xI dx
x x
+=
−∫
17/ 317
1 1.
1
xI dx
x x
−=
+∫ 18/ ( )( )18
3 7
dxI
x x=
+ +∫
19/ 19
2 5 6
dxI
x x=
− +∫ 20/
202 6 8
dxI
x x=
+ +∫
Bài tập rèn luyện
Ths. Lê Văn Đoàn Chuyên đề 5. Nguyên hàm – Tích phân và các ứng dụng
Page - 18 - “All the flower of tomorrow are in the seeds of today……”
Bài 1. Tính nguyên hàm của các hàm số sau.
1/ cos .x dx∫ 2/ 32 31x x dx+∫
3/ ( )1
dx
x x−∫ 4/ 2. 1.x x dx−∫
5/ .2
xdx
x +∫ 6/
2
1.
. 1dx
x x −∫
Bài 2. Tính nguyên hàm của các hàm số sau.
1/ 1
.1 1
dxx x+ − −
∫ 2/ 2 1 2 1
dx
x x+ + −∫
3/ 2 2 1.x x dx− +∫ 4/ 2 9.x dx+∫
5/ 2
2.
8
xdx
x+∫ 6/
2
1.
6dx
x−∫
7/ 24 .x dx−∫ 8/ 2 16.x dx−∫
9/ 2
2.
25
xdx
x −∫ 10/
( ) 21 1
dx
x x− −∫
11/ ( ) 2
1
1 1
xdx
x x
−
+ +∫ 12/
( ) 21 . 2 3
dx
x x x− − + +∫
13/ ( ) 21 . 3 2
dx
x x x+ + −∫ 14/
( ) 21 . 2 2 1
dx
x x x+ + +∫
15/ ( ) 22 3 4 12 5
dx
x x x+ + +∫ 16/
1.
1
xdxx
+−∫
17/ 21 4 .x x dx− −∫ 18/ 2
4
1.
xdx
x
+∫
19/ 2 2 3
dx
x x+ +∫ 20/
29 6
xdx
x x−∫
21/ 2 1
dx
x x− −∫ 22/
2
4 5
6 1
xdx
x x
+
+ +∫
23/ 2
2 1
xdx
x x+ +∫ 24/
3 3 1 2 1
dx
x x+ − +∫
25/
( )321
dx
x−∫ 26/
( )32 16
dx
x +∫
27/ 2 1
dx
x x x+ + +∫ 28/
2
2
1
xdx
x x+ −∫
VIII – Dạng toán 7. Tính nguyên hàm lớp hàm lượng giác
15 chuyên đề ôn thi Đại học – Cao đẳng môn Toán Ths. Lê Văn Đoàn
“All the flower of tomorrow are in the seeds of today……” Page - 19 -
���
Phương pháp
� Tích bậc nhất của các hàm lượng giác PP→ dùng công thức biến đổi tích thành tổng :
( ) ( )ax. bx a b x a b x1
sin cos sin sin2 = + + − .
( )ax bx a b x (a b)x1
sin .sin cos cos2 = − − + .
( ) ( )ax bx a b x a b x1
cos .cos cos cos2 = + + − .
� Nếu gặp bậc chẳn của sinx và cosx PP→ dùng công thức hạ bậc :
2
2
x x
x x
1 1cos cos2
2 21 1
sin cos22 2
= + = −
( )
( )
( )
22
4 2
33
6 2
x x x x x
x x x x x
x x x
2
22
4 2 2
1 1 1 1 1sin sin cos2 cos2 cos 2 ...
2 2 4 2 4
1 1 1 1 1cos cos cos2 cos2 cos 2 ...
2 2 4 2 4
1 1cos cos cos2 ...
2 2
= = − = − − = ⇒ = = + = + + = = = + =
Một số phương pháp đổi biến thông thường đối với lớp nguyên hàm lượng giác
� Dạng: ( ) PPI f cosx .sinx.dx t cosx1= → =∫ .
� Dạng: ( ) PPI f sinx .cosx.dx t sinx2= → =∫ .
� Dạng: ( )( ) ( )
2
2
PP1
I f tanx . dxt tanxcos x
I f tanx . 1 tan x dx
3
3
= → = = +
∫∫
.
� Dạng: ( )( ) ( )
2
2
PP1
I f cotx . .dxt xsin x
I f cotx . 1 cot x .dx
4
4
cot
= → = = +
∫∫
� Dạng: ( )2
2 22
PP sin xI f sin x cos x .sin2x.dx t
cos x5;
= → =
∫
� Dạng: ( ) ( )( ) ( )
PPI f sinx cosx . sinx cosx dx t sinx cosx
t sinx cosxI f sinx cosx . sinx cosx dx
6
6
= + − = + → = − = − +
∫∫
2
dtdx
t
2
1
= +
Ths. Lê Văn Đoàn Chuyên đề 5. Nguyên hàm – Tích phân và các ứng dụng
Page - 20 - “All the flower of tomorrow are in the seeds of today……”
15 chuyên đề ôn thi Đại học – Cao đẳng môn Toán Ths. Lê Văn Đoàn
“All the flower of tomorrow are in the seeds of today……” Page - 21 -
Bài tập áp dụng
Bài 1. Tính các nguyên hàm sau.
1/ tanxdx∫ 2/ cotxdx∫
3/ 2cos xdx∫ 4/ 2sin xdx∫
5/ 2tan xdx∫ 6/ 2cot xdx∫
7/ 3sin xdx∫ 8/ 3cos xdx∫
9/ 3tan xdx∫ 10/ 3cot xdx∫
11/ 4cos xdx∫ 12/ 4sin xdx∫
13/ 4cot xdx∫ 14/ 4tan xdx∫
15/ 6cos xdx∫ 16/ 6sin xdx∫
18/ sin .sin 3x xdx∫ 19/ cos 7 .cos 3 .x x dx∫
21/ sin 5 .cos .x x dx∫ 22/ sin sin2 cos 5x x xdx∫
23/ cos cos2 cos 3 .x x x dx∫ 24/ cos 5 cos 4 sin 3 .x x x dx∫
�
( )2 2
dx dx dx
a x b x x xa b x a b2 2sin cos sin 2 sin cos2 2
α αα
= = + + ++ + +
∫ ∫ ∫
dx
x xa b2 22
1
2 tan cos2 2
α α
= + ++
∫ Đôibiê�nđặt� x
t tan2
α + =
� ( )B c. x d. xa. x b. x
Ac. x d. x c. x d. x
cos sinsin cos
sin cos sin cos
−+= +
+ +Đô ����â� ���ứ�� A B, .
� ( )B c. x d. xa. x b. x m C
Ac. x d. x n c. x d. x n c. d. n
cos sinsin cos
sin cos sin cos sin cosx x
−+ += + +
+ + + + + +
Đô ����â� ���ứ�� A B C, ,
Ths. Lê Văn Đoàn Chuyên đề 5. Nguyên hàm – Tích phân và các ứng dụng
Page - 22 - “All the flower of tomorrow are in the seeds of today……”
Bài 2. Tính các nguyên hàm.
1/ 3sin .cos .x x dx∫ 2/ 3sin .cos .x x dx∫
3/ 3 4sin .cos .x x dx∫ 4/ 4 4sin .cos .x x dx∫
5/ 3
4
sin.
cos
xdxx
∫ 6/ 3
2
sin.
cos
xdxx
∫
7/ 5sin xdx∫ 8/ 5cos xdx∫
9/ ( )2sin cos 1 cosx x x dx+∫ 10/ 3cos
1 sin
xdx
x+∫
11/ 34 sin
1 cos
xdxx+∫ 12/
2
sin2
4 cos
xdxx−∫
13/ sin2 cos
1 cos
x xdx
x+∫ 14/ cos sin2xe xdx∫
15/ ( )sintan cosxx e x dx+∫ 16/ ( )sin cos cosxe x xdx+∫
17/ 21 2 sin
1 sin2
x
x
−+∫ 18/
2
sin2
4 cos
xdx
x−∫
19/ 1
sindxx∫ 20/
1
cosdxx∫
21/ 3
2
sin cos
1 cos
x xdxx+∫ 22/ ( )32sin2 1 sinx x dx+∫
23/ 2
cos
6 5 sin sin
xdx
x x− +∫ 24/ cos 3
sin
xdx
x∫
25/ 1 tan . tan sin2
xx xdx
+ ∫ 26/ 3sin 3 sin 3
1 cos 3
x xdx
x
−+∫
27/ cos2
1 cos
xdxx+∫ 28/
2 2
cos2.
sin .cos
xdx
x x∫
29/ 3
1.
sindxx
∫ 30/ 4
1.
sindxx
∫
31/ 3 3sin cos
dx
x x∫ 32/
4 4sin cos
dx
x x∫
33/ 3cos sin
dx
x x∫ 34/
1 cos
dx
x−∫
35/ 1 sin
dx
x+∫ 36/ 1 cos
1 cos
xdxx
−+∫
15 chuyên đề ôn thi Đại học – Cao đẳng môn Toán Ths. Lê Văn Đoàn
“All the flower of tomorrow are in the seeds of today……” Page - 23 -
37/ 4 4
sin cos
sin cos
x xdx
x x+∫ 38/ 2
sin2
4 cos 2
xdx
x−∫
Bài 3. Tính các nguyên hàm.
1/ 2
sin2
1 cos
xdxx+∫ 2/
2
sin 4
1 cos
xdxx+∫
3/ ( )32sin2 1 sinx x dx+∫ 4/ tan
2cos
xedxx
∫
5/ 1 tan
dx
x+∫ 6/ ( )2
2
tan 1
cos
xdx
x
+∫
7/
( )
3
22 5
sin
tan 1 cos
xdx
x x+∫ 8/
2 2
1
sin 9cosdx
x x+∫
9/ 2
1
2 cosdxx−∫ 10/
4tan
cos2
xdxx∫
11/ 3tan
cos2
xdxx∫ 12/ 6tan xdx∫
13/ 4
1
cos 2dxx
∫ 14/ ( )
2
4 2
sin
cos tan 2 tan 5
xdx
x x x− +∫
15/ 2 2sin 2 sin2 cos
dx
x x x+ −∫ 16/ 2 2sin cos
dx
x x∫
17/ ( )2
sin cosx x dx+∫ 18/ 42sin cot
dx
x x∫
Bài 4. Tính các nguyên hàm.
1/ sin cos
sin cos
x xdx
x x
−+∫ 2/
cos2
sin cos 2
x
x x+ +∫
3/ 1 sin2 cos2
sin cos
x xdx
x x
+ ++∫ 4/
( )2cos2 .
sin cos 2
x dx
x x+ +∫
5/ ( )
sin4
sin2 2 1 sin cos
x dx
x x x
π −
+ + +∫ 6/ ( )2
cos2
sin cos 3
xdx
x x− +∫
7/ 2
6
sin
cos
xdxx
∫ 8/ 3 11sin cos
dx
x x∫
Ths. Lê Văn Đoàn Chuyên đề 5. Nguyên hàm – Tích phân và các ứng dụng
Page - 24 - “All the flower of tomorrow are in the seeds of today……”
9/ 3sin cos
dx
x x∫ 10/
4tan
cos2
xdxx∫
Bài 5. Tính các nguyên hàm.
1/ cos
2 cos2
xdxx+
∫ 2/ cos
7 cos2
xdxx+
∫
3/ 2
cos
1 cos
xdxx+
∫ 4/ sin2 sin
1 3 cos
x xdx
x
+
+∫
5/ 2
1
sin cotdx
x x∫ 6/
3
sin cos
sin cos
x xdx
x x
+
−∫
7/ 2
3 cot 1
sin
xdx
x
+∫ 8/
2 sin 2 sin
6 cos 2
x xdx
x
+
−∫
9/ cos sin
3 sin2
x xdxx
+
+∫ 10/
sin cos
1 sin2
x x
x
−
+∫
11/ 2
tan
cos 1 cos
xdx
x x+∫ 12/
2 2
sin cos
4 cos 9 sin
x xdx
x x+∫
13/ 2 2
sin2
cos 4 sin
xdx
x x+∫ 14/ 6 3 51 cos .sin cosx x xdx−∫
15/ 3
3
sin sincot .
sin
x xx dx
x
−∫ 16/
3
3
tan . cos cos.
cos
x x xdx
x
−∫
Bài 6. Tính các nguyên hàm.
1/ sin .
sin cos
x dx
x x+∫ 2/ cos .
sin cos
x dx
x x−∫
3/ 4
4 4
sin .
sin cos
x dx
x x+∫ 4/ 6
6 6
sin .
sin cos
x dx
x x+∫
5/ 6
6 6
cos .
sin cos
x dx
x x+∫ 6/ 22 sin sin2x xdx∫
7/ 22 cos sin2x xdx∫ 8/ cos sin 1
dx
x x+ +∫
9/ 4 sin 3 cos 5
dx
x x+ +∫ 10/ sin
1 sin
xdx
x+∫
11/ 1 cos sin
dx
x x+ +∫ 12/ sin 7 cos 6
4 sin 3 cos 5
x xdx
x x
+ ++ +∫
15 chuyên đề ôn thi Đại học – Cao đẳng môn Toán Ths. Lê Văn Đoàn
“All the flower of tomorrow are in the seeds of today……” Page - 25 -
13/ sin 3 sin 4
tan cot2
x xdx
x x+∫ 14/ 3sin
3 sin 4 sin 6 3 sin 2
xdx
x x x− −∫
15/ 2cos cos2x xdx∫ 16/ 3sin .sin 3x xdx∫
17/ 3cos cos 5x xdx∫ 18/ cos 3 . tan .x x dx∫
19/ cos 5 . tan .x x dx∫ 20/ ( )( )4 4 6 6sin cos sin cosx x x x dx+ +∫
21/ 1
sin 2 2 sindx
x x−∫ 22/ 4cot
cos2
xdxx∫
Bài 7. Tính các nguyên hàm.
1/
sin sin4
dx
x xπ
+
∫ 2/
cos cos4
dx
x xπ
+
∫
3/
sin sin3
dx
x xπ
+
∫ 4/ 2 sin 1
dx
x +∫
5/ 2 cos 1
dx
x +∫ 6/ 2 sin cos
dx
x x+ +∫
7/ tan tan4
x x dxπ
+ ∫ 8/ tan cot3 6
x x dxπ π
+ + ∫
9/ 3 sin cos
dx
x x+∫ 10/
2 sin cos 1
dx
x x− +∫
11/ 8 cos
2 3 sin2 cos2
xdx
x x+ −∫ 12/
sin
1 sin2
xdxx+∫
13/ 2 sin 3 cos
sin 2 cos
x xdx
x x
++∫ 14/
( )2
sin 2 cos
3 sin cos
x xdx
x x
+
+∫
15/
( )3
sin 2 cos
3 sin cos
x xdx
x x
+
+∫ 16/
4 sin 3 cos
sin 2 cos
x xdx
x x
++∫
17/ 2cos
sin 3 cos
xdx
x x+∫ 18/
5 sin
2 sin cos 1
xdx
x x− +∫
19/ sin 7 cos 6
4 sin 3 cos 5
x xdx
x x
+ ++ +∫ 20/
2 23 sin 2 sin cos cos
dx
x x x x− −∫
Ths. Lê Văn Đoàn Chuyên đề 5. Nguyên hàm – Tích phân và các ứng dụng
Page - 26 - “All the flower of tomorrow are in the seeds of today……”
Bài 8. Tính nguyên hàm các hàm số.
1/ 2tanx xdx∫ 2/ 2cosx xdx∫
3/ sin2xe xdx∫ 4/ 2 cosxe xdx∫
5/ 2 2sinxe xdx∫ 6/ cosaxe nxdx∫
7/ ( )sin ln tanx x dx∫ 8/ ( )ln tan
sin cos
x dx
x x∫
9/ ( )sin lnx dx∫ 10/ cos x
dxx
∫
11/ ( )2cos lnx dx∫ 12/ ( )cos ln 1 cosx x dx+∫
13/ 2sin
xdxx
∫ 14/ 2. tan .x x dx∫
15/ 2
. sin
cos
x xdxx
∫ 16/ 1 cos2
xdxx+∫
17/ 2sin 3.sin .cos .xe x x dx∫ 18/
sin
1 cos
x xdxx
++∫
19/ 2. . sin .xx e x dx∫ 20/ sin . ln(1 cos ).x x dx+∫
21/ 2sin 3.sin .cos ,xe x x dx∫ 22/
2 2sin 2 cos
dx
x x+∫
23/ 4 4
sin cos
sin cos
x xdx
x x+∫ 24/ ( )2 cosx x dxω∫
25/ ( )cot
ln sin
xdx
x∫ 26/
2
ln cos
cos
xdx
x∫
27/ 3 2
4
tan
cos
xdx
x∫ 28/
3 2 33 cos 2 sin cos sin
dx
x x x x− −∫
15 chuyên đề ôn thi Đại học – Cao đẳng môn Toán Ths. Lê Văn Đoàn
“All the flower of tomorrow are in the seeds of today……” Page - 27 -
���
B – TÍCH PHÂN
I – KIẾN THỨC CƠ BẢN
1/ Khái niệm tích phân
� Cho hàm số ( )f x liên tục trên K và a, b K∈ . Hàm số ( )F x gọi là nguyên hàm của ( )f x
trên K thì ( ) ( )F b F a− được gọi là tích phân của ( )f x từ a đến b và được kí hiệu là
( )b
a
f x dx∫ và ( ) ( ) ( ) ( )b
a
bf x .dx F x F b F a
a= = −∫ .
� Đối với biến số lấy tích phân, ta có thể chọn bất kì một chữ khác nhau thay chox , nghĩa là:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )b b b
a a a
f x .dx f t .dt f u .du F b F a......= = = = −∫ ∫ ∫ .
� Ý nghĩa hình học: Nếu hàm số ( )y f x= liên tục và không âm trên đoạn a b; thì diện
tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị của ( )y f x= , trục Ox và hai đường thẳng
x a x b,= = là ( )b
a
S f x .dx= ∫ .
2/ Tính chất của tích phân
� ( ) ( )b a
a b
f x .dx f x .dx=−∫ ∫ .
� ( ) ( ) ( )b b
a a
k.f x .dx k. f x .dx k 0,= ≠∫ ∫ .
� ( ) ( ) ( ) ( )b b b
a a a
f x g x .dx f x .dx g x .dx ± = ± ∫ ∫ ∫ .
� ( ) ( ) ( )b c b
a a c
f x .dx f x .dx f x .dx= +∫ ∫ ∫ . (công thức phân đoạn)
Nếu ( )f x x a b0, ; ≥ ∀ ∈ thì ( )b
a
f x .dx 0≥∫ .
� Nếu ( ) ( )f x g x x a b, ; ≥ ∀ ∈ thì ( ) ( )b b
a a
f x .dx g x .dx≥∫ ∫ .
� Nếu ( )m f x M x a b, ; ≤ ≤ ∀ ∈ thì ( ) ( ) ( )b
a
m b a f x .dx M b a− ≤ ≤ −∫
Ths. Lê Văn Đoàn Chuyên đề 5. Nguyên hàm – Tích phân và các ứng dụng
Page - 28 - “All the flower of tomorrow are in the seeds of today……”
���
Bài tập áp dụng
Bài 1. Tính các tích phân.
a/ ( )2
3
1
2 1x x dx+ +∫ b/ 2
2 3 1
1
3 xx e dxx
+ + + ∫
c/ 2
2
1
1xdx
x
−∫ d/
2
2
1 2
xdx
x +∫
e/ ( )241
2
2
4xdx
x−
+∫ f/ 2
2
1
1 1e
x x dxx x
+ + + ∫
g/ ( )( )2
1
1 1x x x dx+ − +∫ h/ ( )( )2
1
1 1x x x dx+ − +∫
i/ ( )2
32
1
x x x x dx+ +∫ j/ ( )4
3 4
1
2 4x x x dx+ −∫
k/ 2 2
3
1
2x xdx
x
−∫ l/
2
1
2 7 5e
x xdx
x
− +∫
m/ 8
3 21
14
3x dx
x
− ∫ n/
4
4
0
3x
x e dx − ∫ o/ ( )
12
0
3 2x x dx−∫
II – Dạng toán 1. Tính tích phân dựa vào bảng nguyên hàm cơ bản
Phương pháp
Biến đổi biểu thức để sử dụng được bảng nguyên hàm cơ bản. Sau đó, tìm nguyên hàm ( )F x
của ( )f x , rồi sử dụng trực tiếp định nghĩa tích phân: ( ) ( ) ( ) ( )b
a
bf x .dx F x F b F a
a= = −∫ .
Một số phép biến đổi biểu thức cơ bản:
+ Nhân phân phối: ( )( )a b c d ac ad bc bd+ − = − + − ……
+ Khai triễn các hằng đẳng thức ( )2 2 2A B A A.B B2.± = ± + ;
( )3 3 2 2 3A B A A B AB B , 3 2 ......± = ± + ±
+ Thêm bớt hạng tử: ( ) ( ) ( )2 2XbX X B B, X b x x
b, 0 , tan 1 tan 1= + − = ≠ = + − ,
( ) ....2 2cot 1 cot 1,x x= + −
+ Nhân lượng liên hiệp: A B
A B , A B
.......−
± =∓
+ Biến đổi lượng giác sơ cấp bằng các công thức lượng giác.
15 chuyên đề ôn thi Đại học – Cao đẳng môn Toán Ths. Lê Văn Đoàn
“All the flower of tomorrow are in the seeds of today……” Page - 29 -
Bài 2. Tính các tích phân.
a/ 2
1
1x dx+∫ b/ 5
2 2 2
dx
x x+ + −∫ c/ ( )
2
32
1
x x x x dx+ +∫ d/
2
20 1
xdx
x−∫ e/
2 2
3 30
3
1
xdx
x+∫ f/
4
2
0
9x x dx+∫
g/ 4
3 2 3
dx
x x+ + −∫ h/
2
1
2 1
( 1)
xdx
x x
++∫ i/
2
5 3
1
dx
x x+∫
Bài 3. Tính các tích phân.
a/ 0
sin 26
x dx
π
π + ∫ b/ ( )
2
3
2 sin 3 cosx x x dx
π
π
+ +∫ c/ ( )6
0
sin 3 cos2x x dx
π
+∫
d/ 4
2
0
tan
cos
xdxx
π
∫ e/ 3
2
4
3 tan xdx
π
π
∫ f/ ( )4
2
6
2 cot 5x dx
π
π
+∫
g/ 2
0
1
1 sindxx
π
+∫ h/ 2
0
1 cos
1 cos
xdxx
π
−+∫ i/
22 2
0
sin cosx xdx
π
∫
j/ ( )3
2
6
tan cotx x dx
π
π
−
−∫ k/ 2
2
sin4
sin4
x
dx
x
π
π
π
π
−
− +
∫ l/ 4
4
0
cos xdx
π
∫
Bài 4. Tính các tích phân.
a/ 1
0
x x
x x
e edx
e e
−
−
−
+∫ b/ ( )2
2
1
1
ln
x dx
x x x
+
+∫ c/ 1 2
0
4
2
x
x
edx
e
−
+∫
d/ ln 2
01
x
x
edx
e +∫ e/ 2
1
1x
x ee dx
x
− − ∫ f/
1
02
x
x
edx∫
g/ 2
cos
0
sinxe xdx
π
∫ h/ 4
1
xedxx
∫ i/ 1
1 lne
xdx
x
+∫
j/ 1
lnexdx
x∫ k/ 2
1
0
. xx e dx∫ l/ 1
0
1
1 xdx
e+∫
m/ 3
11x
dx
e −∫ n/ 4 2
0
1 2 sin
1 sin2
xdxx
π
−+∫ o/ ( )
2sin
0
cos cosxe x xdx
π
+∫
���
III – Dạng toán 2. Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến
Bài toán: Tính ( ) ( ) ( ) ( ) ( )b
a
bf x .u' x .dx F u x F u b F u a
a = = − ∫ .
Ths. Lê Văn Đoàn Chuyên đề 5. Nguyên hàm – Tích phân và các ứng dụng
Page - 30 - “All the flower of tomorrow are in the seeds of today……”
15 chuyên đề ôn thi Đại học – Cao đẳng môn Toán Ths. Lê Văn Đoàn
“All the flower of tomorrow are in the seeds of today……” Page - 31 -
� Biến đổi thuận, đặt ( )x φ t= :
14/ Dạng ( )2 2f x a x .dx.+∫ Đặt x a. t
x a. t
tan
cot
= =
15/ Dạng ( )2 2f a x .x .dx−∫ Đặt x a.sin
x a.cos
t
t
= =
16/ Dạng ( )2 2f x a .x .dx−∫ Đặt
ax
ax
sin
cos
t
t
= =
17/ Dạng ( )n 2
dx
x a . ax bx c− + +∫ Đặt
1x a
t− =
chẳn
chẳn
chẳn
18/ Dạng x
adx
e b.f
+ ∫ Đặt tx e t lnx= ⇒ =
Lưu ý
Khi gặp dạng � �f�x���� . g�x�. dx
đ�"ô� � t = �f�x�� trừ các trường hợp trên.
Đổi biến thì phải đổi cận : $ % &
' = (�$� (�%� (�&�
Bài tập áp dụng
Bài 1. Tính các tích phân sau.
a/ ( )1
19
0
1x x dx−∫ b/
( )
3
32
1
0 1
xdx
x+∫ c/
5
2
1
01
xdx
x +∫
d/ 1
0 2 1
xdx
x +∫ e/
1
2
0
1x x dx−∫ f/ 31
2
0
1x x dx−∫
g/ 2 3
52 4
dx
x x +∫ h/
3 5 3
20
2
1
x xdx
x
+
+∫ i/
ln 2
01
x
x
edx
e+∫
j/
( )
3ln
30 1
x
x
e dx
e +∫ k/
1
2 ln
2
exdx
x
+∫ l/
1
1 3 ln . lne
x xdx
x
+∫
m/ 2
2 20
sin2
cos 4 sin
xdx
x x
π
+∫ n/
2 3
2
0
cos .sin
1 sin
x xdx
x
π
+∫ o/ 6
2 2
0
sin2
2 sin cos
xdx
x x
π
+∫
Ths. Lê Văn Đoàn Chuyên đề 5. Nguyên hàm – Tích phân và các ứng dụng
Page - 32 - “All the flower of tomorrow are in the seeds of today……”
p/ 3
2
4
0
sin
cos
xdxx
π
∫ q/ 2
0
cos sin cos
2 sin
x x xdx
x
π
++∫ r/
2
2
0
sin2
1 cos
xdxx
π
+∫
s/ ( )
π
42
2
0
tan 1
cos
xdx
x
+∫ t/
π
2
π
4
2
3 cot 1
sin
xdx
x
+∫ u/
π
4
0
cos2
sin cos 2
xdx
x x+ +∫
Bài 2. Tính các tích phân.
a/
1
2
20 1
dx
x−∫ b/
1 2
20 4
xdx
x−∫ c/
2
2 2
1
4x x dx−∫
d/ 3
2
03
dx
x +∫ e/ 1
2
09
dx
x +∫ f/ ( )( )
1
2 20 1 2
dx
x x+ +∫
g/ 1
4 2
01
xdx
x x+ +∫ h/
( )
1
22
0 2
dx
x+∫ i/
( )
1
32
0 1
dx
x+∫
j/ 0
21 2 2
dx
x x− + +∫ k/
2 2
3
1
1xdx
x
−∫ l/
( )
1
520 1
dx
x+∫
m/
2
3
22 1
dx
x x −∫ n/
2
2 2
20 1
xdx
x−∫ o/
2
2
0
2x x x dx−∫
p/
2
2
0
1
1
xdxx
+−∫ q/
1
0
1.
3 1dx
x x+ + −∫ r/
( )
1
20 1 1
dx
x x− −∫
s/ 4
30 2 1 2 1
dx
x x+ + +∫ t/
1
0 1
dx
x x+ +∫ u/
2 3
52 4
dx
x x +∫
15 chuyên đề ôn thi Đại học – Cao đẳng môn Toán Ths. Lê Văn Đoàn
“All the flower of tomorrow are in the seeds of today……” Page - 33 -
���
IV – Dạng toán 3. Tính tích phân bằng phương pháp tích phân từng phần
Phương pháp
� Nếu u, v là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên ( )a b, thì: b b
a a
bu.dv u.v v.du
a= −∫ ∫ .
� Chọn
u du dx
dv dx v
............... ...........
........ ................
= → = = → =
� Nhận dạng : Tích 2 hàm khác loại nhân nhau (mũ nhân lượng giác, log nhân đã thức,…).
� Cách chọn : thứ tự ưu tiên chọn u là “log – đa – lượng – mũ” và dv là phần còn lại.
� Cần lưu ý :
Bậc của đa thức, của ln ứng với số lần lấy tích phân. Cách chọn u và dv lần sau cũng theo cách chọn trên.
Đôi khi tính tích phân từng phần mà chưa có dạng cụ thể, ta phải dùng các công thức đại số, lượng giác hoặc kết hợp phương pháp đổi biến số thì mới xuất hiện các dạng cụ thể.
Một số trường hợp, khi tính ta bắt gặp sự lập lại tích phân ban đầu (tích phân luân hồi) hoặc gặp một tích phân mà làm triệt tiêu một tích phân, chẳng hạn như:
2e 2
1
TPTPdxu ln x
ln x du lnxI dx xdxx dv v lnxx
2 = = = → ⇒ = =
∫
e 2
2
1
e ln xI ln x.lnx dx 1 2I
1 x2⇒ = − = −∫ .
Đến đây, ta xem như 1 phương trình bậc nhất theo I, ta được: I I I1
1 23
= − ⇔ = .
Ta có thể áp dụng tích phân từng phần cho hai dạng đặc biệt sau:
β 2 22 2 2 2
1
α
xdu .dxu x a
I x a .dx x adv dx v x
== + = + → ⇒ + = =
∫
n 2β
2 n n 2αβ
22 nα
2
TPTP
1
sin x udx 1Isin x cos x
dxdxI
sin xcos x dvdx
cos x
'
−
−
= = → = =
∫
∫
Vi phân
Nguyên hàm
Ths. Lê Văn Đoàn Chuyên đề 5. Nguyên hàm – Tích phân và các ứng dụng
Page - 34 - “All the flower of tomorrow are in the seeds of today……”
Bài tập áp dụng
Bài 1. Tính các tích phân.
1/ 2
1
ln xdx∫ 2/ ( )1
0
ln 1 .x dx+∫ 3/ ( )1
0
ln 2 1x dx+∫
4/ 3
2
1ln .
1
xdx
x
−+∫ 5/ ( )
3
2
2ln x x dx−∫ 6/ ( ) ( )2
0
2 7 ln 1x x+ +∫
7/ ( )2
1
2 lnx xdx−∫ 8/ ( )2
1
2 1 lnx xdx−∫ 9/ ( )1
2
0
ln 1x x dx+∫
10/ ( )1
2
0
ln 1x x x dx+ +∫ 11/ e 2
1
ln xdx
x∫ 12/ 2
2
1
ln xdx
x∫
13/ ( )3
2
0
ln 5x x dx+∫ 14/ ( )2
2
1
ln 1 xdx
x
+∫ 15/
2
31
ln xdx
x∫
16/ e
2
1
. ln .x x dx∫ 17/ ( )1
2
0
ln 1 x dx+∫ 18/ ( )
3
2
1
3 ln
1
xdx
x
+
+∫
19/ e
1
32 lnx xdx
x
− ∫ 20/ ( )e
2
1
lnx x dx∫ 21/ ( )e
2
1
1 lnx dx+∫
22/ ( )( )
1
2
0
ln 1
2
xdx
x
+
+∫ 23/
e3 2
1
ln .x x dx∫ 24/ e 2
1
ln xdx
x∫
25/ ( )
e
1
e
2
ln
1
xdx
x +∫ 26/
π
2 2
2
0
1ln1
xx dx
x
+
−∫ 27/ 1
2
0
1ln 1x dx
x
+ ∫
28/ ( )1
2
0
ln 1
1
xdx
x
+
+∫ 29/ ( )e 2
1
1 ln.
x xdx
x
+∫ 30/ ( )
2
2
1
ln 1x x dx+ +∫
31/ 2
2
1
. log .x x dx∫ 32/ 10
2
1
lgx xdx∫ 33/ 10
2
1
log .x x dx∫
34/ 5
2
1
ln.xdx
x∫ 35/
e 3
1
1. ln .
xx dx
x
+∫ 36/
1
0
1. ln .1
xx dx
x
+ − ∫
37/ ( )2
1
20
ln 1
1
x x x
dxx
+ +
+∫ 38/
2
1
ln1
xx dx
x+∫ 39/ ( )π
4
0
cos2 . ln cosx x dx∫
15 chuyên đề ôn thi Đại học – Cao đẳng môn Toán Ths. Lê Văn Đoàn
“All the flower of tomorrow are in the seeds of today……” Page - 35 -
40/ ( )π
2
π
6
cos ln sinx x dx∫ 41/ ( )e
1
sin ln .x dx∫ 42/ ( )π
2
0
cos . ln 1 cos .x x dx+∫
43/ ( )π
2e2
1
cos ln .x dx∫ 44/ ( )π
e
1
cos ln .x dx∫ 45/
π
2
π
2
sin . ln(1 cos ).x x dx
−
+∫
47/ ( )π
4
0
ln 1 tan .x dx+∫ 48/ ( )π
4
π
6
cos . ln tan .x x dx∫ 49/ ( )
π
3
2
0
ln cos
cos
xdx
x∫
50/ ( )
π
4
π
6
2
ln cos.
sin
xdx
x∫ 51/
( )π
2
π
6
2
cos . ln sin.
sin
x xdx
x∫ 52/
( )π
3
π
4
2
ln tan.
cos
xdx
x∫
Bài 2. Tính các tích phân.
1/ ln 2
0
xxe dx∫ 2/ ( )1
0
1xx e dx+∫ 3/ ln 2
2
0
. .xx e dx−∫
4/ ( )1
2
0
2 . .xx e dx−∫ 5/ 1
2
0
xx e dx∫ 6/ ( )1
2
0
2 . .xx x e dx+∫
7/ ( )1
2
0
2 1 . .xx x e dx−− −∫ 8/ 2
1
3
0
. .xx e dx∫ 9/ ( )1
22
0
1 xx e dx+∫
10/ 1
0
. .xx e dx∫ 11/ 3
1
5
0
xx e dx∫ 12/ 2
2
0
x
xe dx−
∫
13/ 2
23
0
. .xx e dx
π
−∫ 14/ 2 1
1
2
11
xxx e dx
x
+ + − ∫ 15/ 1
0
.2 .xx dx∫
16/
23 3 1
20 1
xx edx
x
+
+∫ 17/ ( )
0
2 3
1
1xx e x dx
−
+ +∫ 18/ ( )
1
2
0
..
1
xx edx
x +∫
19/ ( )1
2
0
3 xx e dx+∫ 20/ 2 2
3
0
1x
xdx
e
+∫ 21/
1 2
0
2x
xdx
e−+
∫
Bài 3. Tính các tích phân sau.
1/ ( )2
2
0
1 sinx xdx
π
+∫ 2/ ( )2
2
0
2 1 cosx xdx
π
−∫ 3/ 2
1
14
cos 1 xdx
π
−
−∫
Ths. Lê Văn Đoàn Chuyên đề 5. Nguyên hàm – Tích phân và các ứng dụng
Page - 36 - “All the flower of tomorrow are in the seeds of today……”
4/
3
3
3
0
sin xdx
π
∫ 5/
2
4
0
cos xdx
π
∫ 6/ 4
0
sin2x xdx
π
∫
7/ 2
2
0
cosx xdx
π
∫ 8/ 2 2
0
sinx xdx
π
∫ 9/ ( )2
0
1 sin2x xdx
π
+∫
10/ ( )2
0
1 sinx xdx
π
+∫ 11/ ( )2
0
2 1 .cos .x x dx
π
−∫ 12/
2
0
. sin .x x dx
π
∫
13/ ( )2
2
0
sin cosx x xdx
π
+∫ 14/ 2
0
. cos2 .x x dx
π
∫ 15/ 2
2
0
cosx xdx
π
∫
16/
2
4
0
cosx xdx
π
∫ 17/ 3
2
4
tanx xdx
π
π
∫ 18/ 2
2
0
cosx xdx
π
∫
19/ 3
2
0 cos
xdxx
π
∫ 20/ 3
2
4
sin
xdx
x
π
π
∫ 21/ 1
2
0
sin
cos
x xdx
x
+∫
22/ ( )4
2
0
2 cos 1x x dx
π
−∫ 23/ 4
01 cos2
xdxx
π
+∫ 24/ 1
2 2
0
sinx xdxπ∫
25/ 3
2
3
. sin.
cos
x xdxx
π
π
−
∫ 26/ 2
3
sin.
1 cos
x xdxx
π
π
++∫ 27/
2
2 2
0
sinx xdx
π
∫
Bài 4. Tính các tích phân sau.
1/ 0
sinxe xdx
π
∫ 2/ 2
0
. cos .xe x dx
π
∫ 3/ 2
0
sin 3xe xdx
π
−∫
4/ 2
2
0
sin 3xe xdx
π
∫ 5/ 2
2
0
cosxe xdx
π
∫ 6/ 2
3
0
sin 5xe xdx
π
∫
7/ 4
3
0
sin 4xe xdx
π
∫ 8/ 2
sin
0
sin 2xe xdx
π
∫ 9/ 2
cos
0
sin2xe x
π
∫
10/ 2
2sin
0
. sin cosxe x xdx
π
∫ 11/ ( )
4
2
0
sin
1 cos
xe xdx
x
π
+∫ 12/
( )( )
π
4
20
sin cos 1
1 cos
xe x x dx
x
+ +
+∫
15 chuyên đề ôn thi Đại học – Cao đẳng môn Toán Ths. Lê Văn Đoàn
“All the flower of tomorrow are in the seeds of today……” Page - 37 -
13/ 1
2
0
sinxe xdxπ∫ 14/ 1
2 2
0
sinxe xdxπ−∫ 15/
( )1
1 ln xe x x edx
x
+∫
Bài 5. Tính các tích phân sau.
1/ 1
2
0
1x dx+∫ 2/ 1
2
0
3x dx+∫ 3/ 1
2
0
4x +∫
4/ 4
4
0
1
cosdxx
π
∫ 5/ 2
4
4
1
sindxx
π
π
∫ 6/ 4
6
0
1
cosdxx
π
∫
���
Bài tập áp dụng
Bài 1. Tính các tích phân.
1/ 2
0
1x dx−∫ 2/ 2
0
2 1.x dx−∫ 3/ 3
2
3
1x dx
−
−∫
4/ 3
2
2
3 .x x dx
−
+∫ 5/ 2
2
0
x xdx−∫ 6/ 2
2
0
2 3x x dx+ −∫
7/ 2
2
0
4 3 .x x dx− +∫ 8/ ( )6
4
3 4x x dx
−
+ − −∫ 9/ ( )5
2
2 2x x dx
−
+ − −∫
10/ 3
0
2 4x dx−∫ 11/ 1
1
2 2 .x x dx−
−
−∫ 12/ 4
2
1
6 9x x dx− +∫
V – Dạng toán 4. Tính tích phân hàm trị tuyệt đối
Phương pháp
Bài toán: Tính tích phân của hàm số ( )b
a
f x .dx∫ .
Bước 1. Xét dấu ( )f x trên đoạn a b, . Giả sử trên đoạn a b, , phương trình ( )f x 0= có
nghiệm c a b, ∈ và có bảng xét dấu như sau:
x −−−−∞∞∞∞ a c b +∞∞∞∞
( )f x
+ 0 −−−−
Bước 2. Dựa vào công thức phân đoạn, và dấu của ( )f x trên a c, và c c b, ∈ , ta được:
( ) ( ) ( )b c b
a a c
f x .dx f x .dx f x .dx = + − ∫ ∫ ∫ .
Ths. Lê Văn Đoàn Chuyên đề 5. Nguyên hàm – Tích phân và các ứng dụng
Page - 38 - “All the flower of tomorrow are in the seeds of today……”
13/ 4
3
0
2 .x x x dx− +∫ 14/ 3
3 2
0
4 4x x xdx− +∫ 15/ 1
1
4 x dx
−
−∫
Bài 2. Tính các tích phân.
1/ 2
2
sin x dx
π
π
−
∫ 2/
3
4
4
cos2 .x dx
π
π
∫ 3/ 0
cos . sin .x x dx
π
∫
4/ 0
1 cos2 .x dxπ
+∫ 5/ 2
0
1 cos2xdxπ
−∫ 6/ 1 sin2xdxπ
π−
−∫
7/ 2
0
1 sin .x dxπ
+∫ 8/ 1 sinxdxπ
π−
−∫ 9/ 2
0
1 cosxdxπ
+∫
10/ 3
2 2
6
tan cot 2.x x dx
π
π
+ −∫ 11/ 2
3
2
cos cos cosx x xdx
π
π
−
−∫ 12/ 3
2
6 2
1cot 1
cos
dx
xx
π
π + +∫
Bài 1. Tính các tích phân.
1/ ( )
2
1
2
1.
. 1dx
x x +∫ 2/ 3
3
1
dx
x x+∫ 3/ 1
2
05 6
dx
x x− +∫
4/ 3 3
2
02 1
x dx
x x+ +∫ 5/ ( )
1
3
0 1 2
xdx
x+∫ 6/
( )
3 2
9
2 1
x dx
x−∫
7/ ( )
4
2
1 1
dx
x x+∫ 8/
1
2 3
2
0
.3 2
xdx
x x− +∫ 9/ ( )
4
2 1
dx
x x −∫
10/ 1
2
0
4 11
5 6
xdx
x x
+
+ +∫ 11/ 1 3
0
1
1
x xdx
x
+ ++∫
12/ 0 3 2
2
1
2 6 9 9
3 2
x x xdx
x x−
− + +
− +∫
13/ 3 2
3
2
3 3 3
3 2
x xdx
x x
+ +
− +∫ 14/ 1
2
0
2 7
7 14
xdx
x x
+
+ +∫ 15/ 1
2
0
4 8
4 2012
xdx
x x
+
+ +∫
Bài 2. Tính các tích phân
VI. Dạng toán 5. Tích phân của một số hàm thường gặp
HÀM SỐ PHÂN THỨC HỮU TỈ
Xem lại phương pháp tính nguyên hàm của hàm hữu tỉ
15 chuyên đề ôn thi Đại học – Cao đẳng môn Toán Ths. Lê Văn Đoàn
“All the flower of tomorrow are in the seeds of today……” Page - 39 -
1/ 2
2
02 2
dx
x x− +∫ 2/ 3 2
2
0
3 2
1
xdx
x
+
+∫ 3/ 2 3 2
2
0
2 4 9
4
x x xdx
x
+ + +
+∫
4/ ( ) ( )
1
2 2
0 2 3
dx
x x+ +∫ 5/
1 3
2
0
1
1
x xdx
x
+ +
+∫ 6/ 1
4
01
xdx
x+∫
7/ ( )
2
41 1
dx
x x+∫ 8/ ( )
2 2012
20121
1
1
xdx
x x
−
+∫ 9/
( )
3 4
22
2 1
x dx
x −∫
10/ 2
2
04
dx
x+∫ 11/ 2 2
4
1
1
1
xdx
x
−
+∫ 12/ 1 4
2
0
2
1
xdx
x
−
+∫
Bài 3. Tính các tích phân.
1/ 2 4
2
0
1.
4
x xdx
x
− +
+∫ 2/ 2
2
0
1.
2 3dx
x x− −∫ 3/ 2 9
10 5
1
.4 4
xdx
x x+ +∫
4/ ( )( )( )2
2
1
1 2 3.
x x xdx
x
+ + +∫ 5/
1
2
1
.1
xdx
x x− + +∫ 6/
( )
1 3
32
0
.1
xdx
x +∫
7/ 2 3
2
1
.2 1
xdx
x x+ +∫ 8/ 2 2
2
1
.7 12
xdx
x x− +∫ 9/ 2
2
0
6 2.1
xdx
x x
+
− +∫
10/ 2 2
4
1
1.
1
xdx
x
−
+∫ 11/ 1
4 2
0
1.
4 3dx
x x+ +∫ 12/ 2
5
1
1.dx
x x+∫
13/
( )
1
22
0
1.
3 2dx
x x+ +∫ 14/
1
2
0
1.4dx
x −∫ 15/ 3 2
2
0
.1
xdx
x +∫
16/
( )
6 2 9
35
0
.1
xdx
x +∫ 17/
1
2 3
2
0
.3 2
xdx
x x− +∫ 18/ 1 3
8
0
.1
xdx
x +∫
Ths. Lê Văn Đoàn Chuyên đề 5. Nguyên hàm – Tích phân và các ứng dụng
Page - 40 - “All the flower of tomorrow are in the seeds of today……”
Bài 1. Tính các tích phân.
1/ 1
0
1 .x dx+∫ 2/ 2
1
1.
2 3dx
x +∫ 3/
2
3
1.
7 3dx
x− + +∫
4/ 3
0
1 2.
1 3
xdx
x
+ +
+ +∫ 5/
1
0
.1
xdx
x +∫ 6/
0
4
1.1
xdx
x
−
+∫
7/ 3
0
.1
xdx
x +∫ 8/
5
2
4.xdx
x
+∫ 9/
9
3
1
. 1 .x x dx−∫
10/ 1
. ln .e
x x dx∫ 11/ 2
2
0
. 1 2 .x x dx+∫ 12/ 2
32 3
1
. 3 4.x x dx+∫
13/ 1
0
1.
3 1dx
x x+ + −∫ 14/
1
20
1.
1dx
x x+ −∫ 15/
2
30
1.
3 2
xdx
x
+
+∫
16/ 2 2
2
0
1x x dx+∫ 17/ 3 3
20 1
xdx
x x+ +∫ 20/
1
0 1
dx
x x+ +∫
21/ 2
1 1 1
xdx
x+ −∫ 22/
6
2 2 1 4 1
dx
x x+ + +∫ 23/
( )4
1 1
dx
x x+∫
Bài 2. Tính các tích phân.
1/ 1
3 2
0
1x x dx−∫ 2/ 9
3
1
1x xdx−∫ 3/ 3
3 2
1
1x x dx−∫
4/ 7 3
3 20
.1
xdx
x +∫ 5/
3
3 2
0
. 1 .x x dx+∫ 6/ 1
3 2
0
3x x dx+∫
7/ 2
22
3
1
dx
x x −∫ 8/
4
27 9
dx
x x +∫ 9/
3
5 3
0
1x x dx+∫
10/ 1
5 2
0
1x x dx−∫ 11/ 1
5 3
0
1 .x x dx−∫ 12/ 2
31
1.
. 1dx
x x +∫
13/ 2 4
50 1
xdx
x +∫ 14/ ( )
16
5 3
0
1x x dx−∫ 15/ 1 3 3
4
1
3
x xdx
x
−∫
HÀM SỐ VÔ TỈ (chứa căn)
Xem lại phương pháp tìm nguyên hàm của hàm số vô tỉ
15 chuyên đề ôn thi Đại học – Cao đẳng môn Toán Ths. Lê Văn Đoàn
“All the flower of tomorrow are in the seeds of today……” Page - 41 -
16/ 2 2
21
1.
. 1
xdx
x x
+
+∫ 17/
2 2
2
2.
xdx
x
−∫ 18/
2
21
1.
. 1dx
x x +∫
19/ 1
5 2
0
. 1.x x dx+∫ 20/
( )
2 2
528
3
1.
. 2
dx
x x −∫ 21/
2
4 21 1
dx
x x+∫
22/ ( )
( )
2329
233
2.
3 2
xdx
x
−
+ −∫ 23/
( )
3
323
21
dx
x+∫ 24/
1
2 20 1
dxdx
x x+∫
Bài 3. Tính các tích phân.
1/ 1
2
0
4 .x dx−∫ 2/ 1
2 2
0
. 1 .x x dx−∫ 3/
2
2 2
20
.1
xdx
x−∫
4/ 1 2
2
2
2
1.
xdx
x
−∫ 5/
1 2
2
0
2.
xdx
x
−∫ 6/
3
2
20
1.
9dx
x−∫
7/
( )
2
2
32
0 1
dx
x−∫ 8/
1 2
6
2
2
1.
xdx
x
−∫ 9/
2
2
1
1.x dx−∫
10/ 2
2 2
2
. 2.x x dx−∫ 11/ 1
2
0
1 x dx+∫ 12/ 2
2
1
2012x dx+∫
13/ 1
2
0
5.x dx+∫ 14/ 5
2
3
5
1.
9 25dx
x
3
+∫ 15/ 3 2
2
1
1.
xdx
x
+∫
16/ 2
21 2014
dx
x +∫ 17/
2 2
4
1
1.
xdx
x
+∫ 18/
( )
1
320 1
dx
x+∫
19/
2
2
0
1
1
xdxx
+−∫ 20/
2
1
1 1
1
x
x x
−+∫ 21/
2
3
2
1 2
2
x
x x
−+∫
22/
2
3
22 1
dx
x x −∫ 23/
2
22
3
1.
. 2 4dx
x x x− +∫ 24/
( )
1
20 1 1
dx
x x− −∫
Ths. Lê Văn Đoàn Chuyên đề 5. Nguyên hàm – Tích phân và các ứng dụng
Page - 42 - “All the flower of tomorrow are in the seeds of today……”
25/ 2
5 22
1.
. 1dx
x x −∫ 26/
2 3
25 4
dx
x x +∫ 27/
( )
1
20 1 . 3 2
dx
x x x+ + −∫
28/ ( )
2
20 1 . 2 2 1
dx
x x x+ + +∫ 29/
( )
1
20 2 3 4 12 5
dx
x x x+ + +∫ 30/
( )
3
22 1 2 3
dx
x x x− − + +∫
31/ 64
31
1dx
x x+∫ 32/
4
30 2 1 2 1
dx
x x+ + +∫ 33/
64
31
1.
xdx
x
+∫
34/
3
2 3
1 4 4
2
.5 5
.8 8
xdx
x x − −
∫ 35/
5
42
1
12 4 8x x dx− −∫ 36/ 3
2
0
10 x dx−∫
Bài 4. Tính các tích phân.
1/ 2
0
cos
7 cos2
xdx
x
π
+∫ 2/
22
0
sin cos cosx x xdx
π
−∫ 3/ 2
20
cos
2 cos
xdx
x
π
+∫
4/ 66 3 5
0
1 cos sin cosx x xdx
π
−∫ 5/ 2
0
sin2 sin
1 3 cos
x xdx
x
π
+
+∫ 6/
3
0
cos
2 cos2
xdx
x
π
+∫
7/ 2
20
cos
1 cos
xdx
x
π
+∫ 8/
3
2
4
tan
cos 1 cos
xdx
x x
π
π +∫ 9/
2
0
sin2 sin
1 3 cos
x xdx
x
π
+
+∫
Bài 5. Tính các tích phân.
1/ ln 3
0 1x
dx
e +∫ 2/
ln 2 2
0 1
x
x
e dx
e +∫ 3/ ( )
0
2 3
1
1xx e x dx
−
+ +∫
4/ ( )
ln 3
0 1 1
x
x x
e dx
e e+ −∫ 5/
1
0
x
x x
edx
e e−−∫ 6/
ln2
0
1xe dx−∫
7/ ln 5 2
ln 2 1
x
x
edx
e −∫ 8/
1
1 3 ln .lne
x xdx
x
+∫ 9/
3 2
1
ln . 2 lnex x
dxx
+∫
10/ ln 3
30 ( 1)
x
x
e dx
e +∫ 11/
32
1
ln
ln 1
exdx
x x +∫ 12/
( )2ln2
0 1
x
x
edx
e −∫
13/ 1
ln
1 ln
ex
dxx x+∫ 14/
1
3 2 ln
1 2 ln
exdx
x x
−
+∫ 15/
3
2
21
log
1 3 ln
ex
dxx x+∫
16/ ln 8
2
ln 3
1.x xe e dx+∫ 17/ ( )ln 5
ln 2
1
1
x x
x
e edx
e
+
−∫ 18/
23 3 1
20 1
xx edx
x
+
+∫
HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
Xem lại cách tìm nguyên hàm của hàm số lượng giác
15 chuyên đề ôn thi Đại học – Cao đẳng môn Toán Ths. Lê Văn Đoàn
“All the flower of tomorrow are in the seeds of today……” Page - 43 -
Bài 1. Tính các tích phân.
1/ 4
0
sin 2 cosx xdx
π
∫ 2/ 2
0
sin sin2x xdx
π
∫ 3/ 2
4
sin 4 .sin 6 .x x dx
π
π
∫
4/ 6
0
cos2 .cos 6 .x x dx
π
∫ 5/ 0
4
sin 8 .cos2 .x x dxπ
−
∫ 6/ 2
0
sin sin2 cos 5x x xdx
π
∫
7/ 4
0
sin sin2 sin 5x x xdx
π
∫ 8/ 4
2
0
cos xdx
π
∫ 9/ 4
2
0
sin xdx
π
∫
10/ 4
2
0
tan xdx
π
∫ 11/ 4
2
6
cot xdx
π
π
∫ 12/ 3
4
4
tan xdx
π
π
∫
13/ 3
4
6
cot 3xdx
π
π
∫ 14/ 3
3
4
cos cos 3x xdx
π
π
∫ 15/ 4
3
0
sin sinx xdx
π
∫
16/ 6
2
6
cos cos2x xdx
π
π
−
∫ 17/ 2 2
0
4sin sin2 2cos
2
x x xdx
π − −∫ 18/
43
0
sin sin 3x xdx
π
∫
29/ 2 3
0
cos
cos 1
xdx
x
π
+∫ 20/ 4
2 4
0
sin .cos .x x dx
π
∫ 21/ 3
3
4
cos cos 5x xdx
π
π
∫
Bài 2. Tính các tích phân.
1/ 2
3
0
sin xdx
π
∫ 2/ 3
5
0
sin .x dx
π
∫ 3/ 4 3
0
4 sin.
1 cos
xdxx
π
+∫
4/ 2
2 3
0
cos sinx xdx
π
∫ 5/ 4 3
2
0
sin
cos
xdxx
π
∫ 6/ 2
0
cos2
1 cos
xdxx
π
+∫
7/ 2 3
2
0
sin
1 cos
x
x
π
+∫ 8/ 2
3 3
0
sin cosx xdx
π
∫ 9/ 4
0
tanxdx
π
∫
Ths. Lê Văn Đoàn Chuyên đề 5. Nguyên hàm – Tích phân và các ứng dụng
Page - 44 - “All the flower of tomorrow are in the seeds of today……”
10/ 2
3
1
sindxx
π
π
∫ 11/ ( )2
2
0
sin cos 1 cosx x x dx
π
+∫ 12/ 2
0
sin2 sin
1 3 cos
x xdx
x
π
+
+∫
13/ 2
0
sin 2 .cos
cos 1
x xdx
x
π
+∫ 14/ 2 3
6
cos.
1 sin
xdxx
π
π
+∫ 15/ 2
0
sin 3
1 cos
xdxx
π
+∫
16/ 2 3
2
0
sin
1 cos
xdxx
π
+∫ 17/ 2
2 20
sin
sin 2 cos .cos2
xdxx
x x
π
+∫ 18/ 3
0
cos .cos 3 .x x dx
π
∫
19/ 6 3
0
sin 3 sin 3
1 cos 3
x xdx
x
π
−+∫ 20/ ( )
4sin
0
tan .cosxx e x dx
π
+∫ 21/ 2
cos
0
. sin2xe xdx
π
∫
22/ ( )2
sin
0
cos cosxe x xdx
π
+∫ 23/ 2
2
0
sin2
4 cos
xdxx
π
−∫ 24/ 3
0
2 sin2 sin
6 cos 2
x xdx
x
π
+
−∫
25/ 4 3
4
0
4 sin
1 cos
xdxx
π
+∫ 26/ 2
20
cos
1 cos
xdxx
π
+∫ 27/
2
2
0
sin 4
1 cos
xdxx
π
+∫
Bài 3. Tính các tích phân.
1/ 2
0
cotxdx
π
∫ 2/ 2 3
6
cos.
sin
xdx
x
π
π
∫ 3/ 2
3
0
sin cosx xdx
π
∫
4/ 2
3
6
cos xdx
π
π
∫ 6/ 2 3
2
6
cos
sin
xdxx
π
π
∫ 7/ 2
3 3
0
sin cosx xdx
π
∫
8/ 2
5
0
sin cosx xdx
π
∫ 9/ 2
0
cos sin cos
2 sin
x x xdx
x
π
++∫ 10/
2 3
6
cos
sin
xdxx
π
π
∫
11/ ( )
0
2
2
sin2
2 sin
xdx
xπ
−+
∫ 12/ 3
4
6
sin cos
dx
x x
π
π
∫ 13/ 4 2
0
1 2 sin
1 sin2
xdxx
π
−+∫
14/ 2
4 5
0
sin cosx xdx
π
∫ 15/
π
23 5
0
1 cos .sin cosx x xdx−∫ 16/ 3
0
cos
2 cos2
xdxx
π
+∫
15 chuyên đề ôn thi Đại học – Cao đẳng môn Toán Ths. Lê Văn Đoàn
“All the flower of tomorrow are in the seeds of today……” Page - 45 -
17/ 3
0
cos 3
sin
xdx
x
π
∫ 18/ 2
2sin
0
sin2 .xe x dx
π
∫ 19/ ( )2
32
0
sin2 1 sinx x dx
π
+∫
20/ 4
0
1 tan .tan sin2
xx xdx
π
+ ∫ 21/ ( )2
4 4
0
cos2 sin cosx x x dx
π
+∫ 22/ 2
20
cos
1 cos
xdxx
π
+∫
23/ 2
2
0
sin2
4 cos
xdxx
π
−∫ 24/ 2 3
2
0
sin cos
1 cos
x xdxx
π
+∫ 25/ 6
2
0
cos
6 5 sin sin
xdx
x x
π
− +∫
26/ 2
0
cos
7 cos2
xdxx
π
+∫ 27/
26 3 5
0
1 cos .sin cosx x xdx
π
−∫ 28/ 2
2
0
cos
11 7 sin cos
xdx
x x
π
− −∫
Bài 4. Tính các tích phân.
1/ 2
2
0
sin2
1 cos
xdxx
π
+∫ 2/ 4
2
0
sin 4
1 cos
xdxx
π
+∫ 3/ ( )2
32
0
sin2 1 sinx x dx
π
+∫
4/ 2
2 20
sin2
cos 4 sin
xdx
x x
π
+∫ 5/
2
2 20
sin cos
4 cos 9 sin
x xdx
x x
π
+∫ 6/
4
6 6
0
sin 4
sin cos
xdx
x x
π
+∫
7/ 4 tan
2
0 cos
xedxx
π
∫ 8/
3
8
2 2
8
sin cos
dx
x x
π
π
∫ 9/ 4
2 2
6
sin2.
sin 2 cos
xdx
x x
π
π+∫
Bài 5. Tính các tích phân.
1/ ( )2
2
0
tan tan 1
cos
x x dx
x
π + +∫ 2/
( )4 2
4 2
4
sin
cos tan 2tan 5
xdx
x x x
π
π
−− +∫ 3/
4
01 tan
dx
x
π
+∫
4/ 4
4
0
1
cosdxx
π
∫ 5/ 4
6
0
tan xdx
π
∫ 6/ 4
3
0
tan xdx
π
∫
7/ ( )24
2
0
tan 1
cos
xdx
x
π
+∫ 8/
4
2 2
0 sin 2sin cos cos
dx
x x x x
π
+ −∫ 9/
( )
4 3
22 5
0
sin
tan 1 cos
xdx
x x
π
+∫
10/ 4
3
0 sin cos
dx
x x
π
∫ 11/ 4
3 5
6
sin cos
dx
x x
π
π
∫ 12/ 4
2 4
6
sin cos
dx
x x
π
π
∫
Ths. Lê Văn Đoàn Chuyên đề 5. Nguyên hàm – Tích phân và các ứng dụng
Page - 46 - “All the flower of tomorrow are in the seeds of today……”
13/ 4
3 5
6
sin cos
dx
x x
π
π
∫ 14/ 4
4 3 5
6
sin cos
dx
x x
π
π
∫ 15/ 4
3 11
6
sin cos
dx
x x
π
π
∫
16/ 6 4
0
tan
cos2
xdxx
π
∫ 17/ 6 3
0
tan
cos2
xdxx
π
∫ 18/ 3
2
4
tan.
cos 1 cos
xdx
x x
π
π +∫
19/ 2
01 sin2
dx
x
π
+∫ 20/ ( )
4
2
0 sin 2 cos
dx
x x
π
+∫ 21/
4
3
sin2
dx
x
π
π
∫
22/ 2
01 cos
dx
x
π
+∫ 23/ 4
0
cos2
sin 2 cos2
xdx
x x
π
+∫ 24/ ( )4
8
0
1 tan x dx
π
−∫
25/ 4 2
6
0
sin
cos
xdxx
π
∫ 26/ 34 2
4
0
tan
cos
xdx
x
π
∫ 27/ 4
2 2
0 sin 2 cos
dx
x x
π
+∫
28/ 2
2 20
sin2 .
cos 4 sin
x dx
x x
π
+∫ 29/
23 5
0
1 cos .sin cosx x xdx
π
−∫ 30/ 4 tan
2
0 cos
xedxx
π
∫
Bài 6. Tính các tích phân.
1/ 32 3
3
3
cot . sin sin
sin
x x xdx
x
π
π
−∫ 2/
2
2
0 2 cos
dx
x
π
−∫ 3/ 2
4
4
sin
dx
x
π
π
∫
4/ 2
2
4
3 cot 1
sin
xdx
x
π
π
+∫ 5/
4
2
6
sin cot
dx
x x
π
π
∫ 6/ 3
2 2
3
sin 9 cos
dx
x x
π
π
−+∫
7/ 4
3
0 cos sin
dx
x x
π
∫ 8/ 4 2 2
4
6
cos sin cos 2sin.
sin
x x x xdx
x
π
π
+ +∫ 9/
3
4
cos2
dx
x
π
π
∫
Bài 7. Tính các tích phân.
1/ 2
4
sin cos
sin cos
x xdx
x x
π
π
−+∫ 2/
( )
4
3
0
cos2
sin cos 2
xdx
x x
π
+ +∫ 3/
4
0
cos2
sin cos 2
xdx
x x
π
+ +∫
4/ 2
3
3
sin cos
sin cos
x xdx
x x
π
π
+
−∫ 5/
3
4
cos sin
3 sin2
x xdxx
π
π
+
+∫ 6/
2
4
sin cos
1 sin2
x xdxx
π
π
−
+∫
15 chuyên đề ôn thi Đại học – Cao đẳng môn Toán Ths. Lê Văn Đoàn
“All the flower of tomorrow are in the seeds of today……” Page - 47 -
7/ 2
6
1 sin2 cos2
sin cos
x xdx
x x
π
π
+ ++∫ 8/
( )4
0
sin4
sin2 2 1 sin cos
x dx
x x x
ππ
−
+ + +∫ 9/ ( )
2
3
0
cos2
sin cos 3
xdx
x x
π
− +∫
Bài 8. Tích các tích phân.
1/ 1
0
sin xdx∫ 2/
2
0
0
cos xdx
π
∫ 3/ ( )1
sin lne
x dx∫
4/ ( )1
cos lne
x dx
π
∫ 5/ ( )2
0
cos ln 1 cosx x dx
π
+∫ 6/ ( )2
0
1 sin2x xdx
π
+∫
7/ ( )4
0
1 cosx xdx
π
−∫ 8/ 2
2
0
cosx xdx
π
∫ 9/ ( )2
2
0
1 sinx xdx
π
+∫
10/ 2
0
sin cos2x x xdx
π
∫ 11/ ( )
2
42
1
sinx x dx
π
∫ 12/
2
4
0
sinx xdx
π
∫
13/ 4
2
0 cos
xdx
x
π
∫ 14/ 1
2
0
sin
cos
x xdx
x
+∫ 15/
4
01 cos2
xdx
x
π
+∫
16/ 0
sinxe xdx
π
∫ 17/ 4
0
cosxe xdx
π
∫ 18/ 2
2
0
sin 3xe xdx
π
∫
19/ 4
0
5 sin2xe xdx
π
∫ 20/ 2
3
0
. sin 5xe xdx
π
∫ 21/ ( )1
2
0
sinxe x dxπ∫
22/ 2
2sin 3
0
. sin .cosxe x xdx
π
∫ 23/ ( )4
2
0
2 cos 1x x dx
π
−∫ 24/ ( )2
2
0
2 1 cosx xdx
π
−∫
25/ 2
2
0
tanx xdx
π
∫ 26/ 3
2
3
sin
cos
x xdxx
π
π
−
∫ 27/ 3 2
2
0
sin
sin2 cos
x xdx
x x
π
∫
28/ 2
0
1 sin.
1 cosxxe dxx
π
++∫ 29/
( )( )
4
2
0
sin cos 1
1 cos
xe x x dx
x
π
+ +
+∫ 30/ ( )
3 2
4
4
sin. ln tan
cos
xx dx
x
π
π
∫
31/ 4 tan
3
0
sin
cos
xe xdx
x
π
∫ 32/ 4 tan
2
0
. tan
cos
xe xdx
x
π
∫ 33/ 4
2 3
3
0
4sinsin
cos
xx x dx
x
π
− ∫
Bài 9. Tính các tích phân.
Ths. Lê Văn Đoàn Chuyên đề 5. Nguyên hàm – Tích phân và các ứng dụng
Page - 48 - “All the flower of tomorrow are in the seeds of today……”
1/ 2
3
1
sindxx
π
π
∫ 2/ 2
02 cos
dx
x
π
−∫ 3/ 2
0
1
2 sindxx
π
+∫
4/ 2
0cos sin 1
dx
x x
π
+ +∫ 5/ 2
04 sin 3 cos 5
dx
x x
π
+ +∫ 6/ 2
0
sin
1 sin
xdx
x
π
+∫
7/ 2
0
cos
1 cos
xdxx
π
+∫ 8/ 2
0
cos
2 cos
xdxx
π
−∫ 9/ 2
0
sin
2 sin
xdx
x
π
+∫
10/ 2
0
1
1 cos sindx
x x
π
+ +∫ 11/ 2
2
sin cos 1
sin 2 cos 3
x xdx
x x
π
π
−
− ++ +∫ 12/
2
0
sin 7cos 6
4sin 3sin 5
x xdx
x x
π
+ ++ +∫
Bài 10. Tính các tích phân sau.
1/ 4
0 cos cos4
dx
x x
π
π +
∫ 2/ 3
4sin cos
4
dx
x x
π
ππ
+
∫ 3/ 3
6sin sin
6
dx
x x
π
ππ
+
∫
Bài 11. Tính các tích phân.
1/ 02 sin 1
dx
x
π
+∫ 2/ 02 cos 1
dx
x
π
+∫ 3/ 2
0 2 sin cos
dx
x x
π
+ +∫
Bài 12. Tính các tích phân sau.
1/ 4
0
tan tan4
x x dx
π
π + ∫ 2/
3
4
tan cot3 6
x x dx
π
π
π π + + ∫
3/ 3
4
cot cot3 6
x x dx
π
π
π π + + ∫
15 chuyên đề ôn thi Đại học – Cao đẳng môn Toán Ths. Lê Văn Đoàn
“All the flower of tomorrow are in the seeds of today……” Page - 49 -
Bài 1. Tích các tích phân.
1/ 1
01
x
x
e dx
e+∫ 2/ ln2
05x
dx
e +∫ 3/ 1
0
1
4xdx
e +∫ 4/
ln 8
ln 3 1
x
x
edx
e +∫ 5/
ln 82
ln 31.x xe e dx+∫ 6/
ln 2
0
1
1
x
x
edx
e
−
+∫
7/ 2
1
1
1 xdx
e−−∫ 8/ 2 2
01
x
x
edx
e +∫ 9/ 1
01
x
x
edx
e
−
− +∫
10/ 2
1
ln
(ln 1)
ex
dxx x +∫ 11/
1 2
01
x
x
edx
e
−
− +∫ 12/ ln 3
0
1
1xdx
e +∫
Bài 2. Tích các tích phân.
1/ 2
0
sinxe xdx
π
∫ 2/ 2
2
0
xxe dx∫ 3/ 1
0
xxe dx−∫ 4/
( )1
0
ln 1x x dx+∫ 5/ 2
0
( cos )cosxe x xdx
π
+∫ 6/ 2
1
1 lne
xdx
x
+∫
7/ 2
1
lnln
ln 1
ex
x dxx x
+ +∫ 8/
3
2
ln(ln )e
e
xdx
x∫ 9/
2
ln ln(ln )e
e
x xdx
x
+∫
10/ 2
2
1
lnxdx
x∫ 11/
3
2
6
ln(sin )
cos
xdx
x
π
π
∫ 12/ 1
0
ln( 1)
1
xdx
x
+
+∫
HÀM SỐ MŨ – LOGARIT
Sử dụng các công thức về luỹ thừa và logarit. Xem lại các phương pháp tìm nguyên hàm
Ths. Lê Văn Đoàn Chuyên đề 5. Nguyên hàm – Tích phân và các ứng dụng
Page - 50 - “All the flower of tomorrow are in the seeds of today……”
���
VII – Dạng toán 6. Tích phân một số hàm đặc biệt
Dạng 1. Tích phân của hàm số chẳn – hàm số lẻ
� Nếu hàm số ( )f x liên tục và lẻ trên a a; − thì ( )a
a
I f x .dx 0−
= =∫ .
� Nếu hàm số ( )f x liên tục và chẳn trên a a; − thì ( ) ( )a a
a 0
I f x .dx f x .dx2−
= =∫ ∫ .
Vì các tính chất này không có trong phần lí thuyết trong SGK, nên khi tính các tích phân
các dạng này, ta có thể chứng minh như sau:
Bước 1. Phân tích ( ) ( ) ( )a 0 a
a a 0
I f x .dx f x .dx f x .dx− −
= = +∫ ∫ ∫ và
( )0
a
J f .dxx
−
= ∫ , ( )a
0
K f dx.x= ∫ .
Bước 2. Tính tích phân J bằng phương pháp đổi biến. Đặt t x= − .
+ Nếu ( )f x là hàm số lẻ thì J K I J K 0=− ⇒ = + = .
+ Nếu ( )f x là hàm số chẳn thì J K I J K K2= ⇒ = + = .
Dạng 2. Nếu ( )f x liên tục và là hàm chẳn trên � thì ( ) ( )x
f.dx f x dx
a 0
.1
xα α
α−
=+∫ ∫
Với α +∈ � và a > 0.
Để chứng minh tính chất này, ta cũng làm tương tự như trên:
( ) ( ) ( )x x x
J K
f x f x f xI dx dx dx
a a a
0
0
. . .1 1 1
α α
α α− −
= = ++ + +∫ ∫ ∫
����������� �����������
Để J bằng phương pháp đổi biến. Đặt t x= − .
Dạng 3. Nếu ( )f x liên tục trên đoạn 0;2
π
thì ( ) ( )π π
2 2
0 0
f sinx .dx f cosx .dx=∫ ∫
Để chứng minh tính chất này, ta đổi biến đặt π
t x2
= − .
Dạng 4. Nếu ( )f x liên tục và ( ) ( )f a b x f x+ − = hoặc ( ) ( )f a b x f x+ − =−
Thì ta đổi biến đặt t a b x= + − .
Đặt biệt: Nếu a b π t π x
a b π t π x2 2
+ = = − → + = = −
15 chuyên đề ôn thi Đại học – Cao đẳng môn Toán Ths. Lê Văn Đoàn
“All the flower of tomorrow are in the seeds of today……” Page - 51 -
Bài tập áp dụng
Bài 1. Tích các tích phân (dạng 1)
1/ 4 7 5 3
4
4
1
cos
x x x xdx
x
π
π
−
− + − +∫ 2/
22
2
cos ln( 1 )x x x dx
π
π
−
+ +∫
3/
1
2
1
2
1cos . ln
1
xx dx
x−
− +∫ 4/ ( )1
2
1
ln 1x x dx
−
+ +∫
5/ 1
4 2
1 1
x dx
x x− − +∫ 6/ 1 4
2
1
sin
1
x xdx
x−
+
+∫
7/ 2 5
2
sin
1 cos
xdxx
π
π
−+
∫ 8/ 2
2
2
4 sin
xdx
x
π
π
−−∫
9/ 2
2
2
cos
4 sin
x xdxx
π
π
−
+
−∫ 10/ 2
2
2
4 cos
xdx
x
π
π
−−∫
Bài 2. Tích các tích phân (dạng 2)
1/ 1 4
12 1x
xdx
− +∫ 2/ 1 2
1
1
1 2xxdx
−
−
+∫
Dạng 5. Tích phân bằng cách sử dụng tích phân phụ
Phươn pháp: Xác định tích phân của hàm số ( )f x trên đoạn a b, , ta cần tìm một hàm ( )g x sao
cho tích phân của hàm số ( ) ( )f x g x± dễ xác định hơn so với ( )f x . Từ đó suy ra
tích phân của ( )f x . Ta thực hiện các bước sau:
� Bước 1. Tìm hàm ( )g x .
� Bước 2. Xác định tích phân của các hàm số ( ) ( )f x g x± . Nghĩa là:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
b b
a ab b
a a
f x .dx g x .dx A
f x .dx g x .dx B
1
2
+ = − =
∫ ∫
∫ ∫
� Bước 3. Lấy ( ) ( ) ( ) ( )b
a
1f x .dx A B
21 2+ ⇒ = +∫
Ths. Lê Văn Đoàn Chuyên đề 5. Nguyên hàm – Tích phân và các ứng dụng
Page - 52 - “All the flower of tomorrow are in the seeds of today……”
3/ 1
2
1( 1)( 1)x
dx
e x− + +∫ 4/ 2sin
3 1x
xdx
π
π− +∫
5/ 3 2
3
1
1 2xx
dx
−
+
+∫ 6/ 1
2
1(4 1)( 1)x
dx
x− + +∫
7/ 2
2
sin sin 3 cos 5
1 x
x x xdx
e
π
π
−+∫ 8/
4 6 6
4
sin cos
6 1x
x xdx
π
π
−
+
+∫
9/ 2 2 2
2
sin
1 2xx x
dx
π
π
−+∫ 10/
2 2 2
2
cos
1 4xx x
dx
π
π
−+∫
Bài 3. Tích các tích phân (dạng 3)
1/ 2
0
cos
cos sin
n
n n
xdx
x x
π
+∫ 2/ 2 7
7 7
0
sin
sin cos
xdx
x x
π
+∫
3/ 2
0
sin
sin cos
xdx
x x
π
+∫ 4/
2 2009
2009 2009
0
sin
sin cos
xdx
x x
π
+∫
5/ 2 4
4 4
0
cos
cos sin
xdx
x x
π
+∫ 6/ 2 4
4 4
0
sin
cos sin
xdx
x x
π
+∫
Bài 4. Tích các tích phân (dạng 4)
1/ 2
0
. sin
4 cos
x xdxx
π
−∫ 2/ 2
0
cos
4 sin
x xdxx
π +
−∫
3/ 2
0
1 sinln1 cos
xdxx
π
+ +∫ 4/ 4
0
ln(1 tan )x dx
π
+∫
5/ 2
3
0
.cosx xdx
π
∫ 6/ 3
0
. sinx xdx
π
∫
7/ 01 sin
xdxx
π
+∫ 8/ 0
sin
2 cos
x xdxx
π
+∫
9/ 2
0
sin
1 cos
x xdxx
π
+∫ 10/ 2
0
.cos
4 sin
x xdxx
π
−∫
15 chuyên đề ôn thi Đại học – Cao đẳng môn Toán Ths. Lê Văn Đoàn
“All the flower of tomorrow are in the seeds of today……” Page - 53 -
Bài 5. Tích các tích phân (dạng 5)
1/ 2
0
sin
sin cos
xdx
x x
π
−∫ 2/ 2
0
cos
sin cos
xdx
x x
π
−∫
3/ 2
0
cos
sin cos
xdx
x x
π
−∫ 4/ 2
0
cos
sin cos
xdx
x x
π
+∫
5/ 2 4
4 4
0
sin
sin cos
xdx
x x
π
+∫ 6/ 2 4
4 4
0
cos
sin cos
xdx
x x
π
+∫
7/ 2 6
6 6
0
sin
sin cos
xdx
x x
π
+∫ 8/ 2 6
6 6
0
cos
sin cos
xdx
x x
π
+∫
9/ 2
2
0
2 sin .sin 2x xdx
π
∫ 10/ 2
2
0
2 cos .sin2x xdx
π
∫
11/ 1
1
x
x x
edx
e e−− −∫ 12/ 1
1
x
x x
edx
e e
−
−− −∫
13/ 1
1
x
x x
edx
e e−− +∫ 14/ 1
1
x
x x
edx
e e
−
−− +∫
���
VIII – Dạng toán 7. Tích phân truy hồi
Bài toán: Tính tích phân ( ) ( )b
n
a
I f x n .dx , n N,= ∈∫ phụ thuộc vào số nguyên dương n. Khi đó,
ta thường gặp một số yêu cầu sau:
� Thiết lập công thức truy hồi, nghĩa là biểu diễn n
I theo các n k
I − với 1 k n≤ ≤ .
� Chứng minh một công thức truy hồi cho trước.
� Tính một giá trị on
I cụ thể nào đó.
Ths. Lê Văn Đoàn Chuyên đề 5. Nguyên hàm – Tích phân và các ứng dụng
Page - 54 - “All the flower of tomorrow are in the seeds of today……”
Bài tập áp dụng
1/ 2
0
sinnnI xdx
π
= ∫ Đặt 1sin
sin .
nu x
dv x dx
− = =
2/ 2
0
cosnnI xdx
π
= ∫ Đặt 1cos
cos .
nu x
dv x dx
− = =
3/ 4
0
tannnI xdx
π
= ∫ Phân tích: ( )2 2 2tan tan tan 1 tann n nx x x x− −= + −
4/ 2
0
cos .n
nI x xdx
π
= ∫ Đặt cos .
nu x
dv x dx
= =
5/ 2
0
sin .n
nJ x xdx
π
= ∫ Đặt sin .
nu x
dv x dx
= =
6/ 1
0
n x
nI x e dx∫ Đặt
.
n
x
u x
dv e dx
= =
7/ 1
ln .e
n
nI xdx= ∫ Đặt
lnnu x
dv dx
= =
8/ ( )1
2
0
1n
nI x dx= −∫ Đặt cosx t= ⇒ đặt
2sin
sin .
nu t
dv t dt
= =
9/
( )
1
20 1
n n
dxI
x
=+
∫ Phân tích
( ) ( ) ( )
2 2
2 2 2
1 1
1 1 1n n n
x x
x x x
+= −
+ + +
Tính
( )
1 2
20 1
n n
xJ dx
x
=+
∫ . Đặt
( )21n
u x
xdv dx
x
= = +
10/ 1
0
1 .n
nI x x dx= −∫ Đặt
1 .
nu x
dv x dx
= = −
11/ 4
0 cosn n
dxI dx
x
π
= ∫ Phân tích 1
1 cos
cos cosn n
x
x x+= ⇒
Đặt
1
1
cosnt
x+= .
15 chuyên đề ôn thi Đại học – Cao đẳng môn Toán Ths. Lê Văn Đoàn
“All the flower of tomorrow are in the seeds of today……” Page - 55 -
1/ Diện tích hình phẳng
� Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường:
– Đồ thị ( )C của hàm số ( )y f x= liên tục trên đoạn a b; .
– Trục hoành Ox. – Hai đường thẳng x a x b,= = .
Là: ( ) ( )b
a
S f x dx . 1= ∫
� Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường:
– Đồ thị của các hàm số ( ) ( )y f x y g x,= = liên tục trên đoạn a b; .
– Hai đường thẳng x a x b,= = .
Là: ( ) ( ) ( )b
a
S f x g x .dx 2= −∫
Lưu ý rằng:
• Nếu trên đoạn a b; hàm số ( )f x không đổi dấu thì ( ) ( )b b
a a
f .dx f dx.x x=∫ ∫ .
• Trong các công thức tính diện tích ở trên, cần khử dấu giá trị tuyệt đối của hàm số dưới dấu tích phân. Ta có thể làm như sau:
Bước 1. Giải phương trình ( )f x 0= hoặc ( ) ( )f x g x 0− = trên đoạn a b; . Giả sử tìm được
2 nghiệm ( )c d c d, < .
Bước 2. Sử dụng công thức phân đoạn ( ) ( ) ( ) ( )b c d b
a a c d
f x .dx f x .dx f x .dx f x .dx= + +∫ ∫ ∫ ∫
( ) ( ) ( )c d b
a c d
f dx f x .dx f x .dx.x= + +∫ ∫ ∫ .
(Vì trên các đoạn a c c d d b; , ; , ; thì hàm số ( )f x không đổi dấu)
• Diện tích S giới hạn bởi các đường:
– Đồ thị của ( ) ( )x g y x h y,= = và ( ) ( )g y h y, liên tục trên đoạn c d, .
– Hai đường thẳng x c x d,= =
( ) ( )d
c
S g y h y dy.= −∫
C – ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN (diện tích và thể tích hình phẳng)
Ths. Lê Văn Đoàn Chuyên đề 5. Nguyên hàm – Tích phân và các ứng dụng
Page - 56 - “All the flower of tomorrow are in the seeds of today……”
2/ Tính thể tích vật thể
� Gọi B là phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại các điểm a và b. ( )S x
là diện tích thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ
( )x a x b≤ ≤ . Giả sử ( )S x liên tục trên đoạn a b; . Khi đó, thể tích của vật thể B là:
( )b
B
a
V S x .dx= ∫ .
� Thể tích của khối tròn xoay:
– Thể tích của khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường ( ) ( )C y f x: = , trục hoành,
( )x a x b a b,= = < sinh ra khi quay quanh trục Ox : ( )b
2Ox
a
V π f x .dx= ∫ .
– Thể tích của khối tròn xoay sinh ra do hình phẳng giới hạn bởi các đường ( ) ( )C x g y: = , trục
tung, ( )y c y d c d,= = < sinh ra khi quay quanh trục Oy : ( )d
2Oy
c
V π g y .dy= ∫ .
Bài tập áp dụng
Bài 1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường.
1/ 2 4 6, 0, 2, 4y x x y x x= − − = =− = 2/ ln 1, 0, ,x
y y x x ex e
= = = =
3/ 1 ln
, 0, 1,x
y y x x ex
+= = = = 4/
ln, 0, , 1
2
xy y x e x
x= = = =
5/ 1
ln , 0, ,y x y x x ee
= = = = 6/ 3, 0, 2, 1y x y x x= = = − =
7/ 4
1, 0, 0,
21
xy y x x
x= = = =
− 8/
1lg , 0, , 10
10y x y x x= = = =
Bài 2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường.
1/ 3 1
, 0, 01
xy y x
x
− −= = =
− 2/ , 2 , 0y x y x y= = − =
3/ , 2, 1xy e y x= = = 4/ , 2 0, 0y x x y y= + − = =
5/ 2 22 , 2 1, 2y x y x x y= = − − = 6/ 2 4 5, 2 4, 4 11y x x y x y x= − + =− + = −
7/ 2
2 27, ,
27
xy x y y
x= = = 8/ 2 22 , 4 4, 8y x y x x y= = − − =
9/ 2 2 ,2 2 1 0, 0y x x y y= + + = = 10/ 2 26 5, 4 3, 3 15y x x y x x y x=− + − =− + − = −
Bài 3. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường.
1/ 1
, , 0,y x y y x ex
= = = = 2/ sin 2 cos , 3, 0,y x x y x x π= − = = =
3/ 25 , 0, 3 , 0xy y y x x−= = = − = 4/ 2 22 2 , 3 6, 0, 4y x x y x x x x= − = + − = =
TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG
15 chuyên đề ôn thi Đại học – Cao đẳng môn Toán Ths. Lê Văn Đoàn
“All the flower of tomorrow are in the seeds of today……” Page - 57 -
5/ , 0, 4y x y y x= = = − 6/ 2 22 2, 4 5, 1y x x y x x y= − + = + + =
7/ , 2 , 0y x y x y= = − = 8/ 2
1, , 1x
xy y e xe
−−
= = =
Bài 4. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường.
1/ 2 24 , 2y x y x x= − = − 2/ 2 4 3 , 3y x x y x= − + = +
3/ 2 21 1, 3
4 2y x y x= =− + 4/
2
2
1,
21
xy y
x= =+
5/ 2, 2y x y x= = − 6/ 2 22 , 4y x x y x x= − =− +
7/ 2
2
1,2 1
xy y
x= =
+ 8/
23 , 0y x yx
= + + =
9/ 2 2 , 2y x x y x= + = + 10/ 2 2, 4y x y x= + = −
Bài 5. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường.
1/ 2 2,y x x y= =− 2/ 2 5 0, 3 0y x x y+ − = + − =
3/ 2 2 0, 0y y x x y− + = + = 4/ 2 2 1, 1y x y x= + = −
5/ 2 2 , , 0, 3y x y x y y= = = = 6/ 2( 1) , siny x x yπ= + =
7/ 2 2 26 , 16y x x y= + = 8/ 2 3 2(4 ) , 4y x y x= − =
9/ 3 1 0, 1 0x y x y− + = + − = 10/ 2 2 28, 2x y y x+ = =
Bài 6. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường.
1/ . ; 0; 1; 2xy x e y x x= = =− = 2/ 2. ln ; 0; 1;y x x y x x e= = = =
3/ ; ; 1x xy e y e x−= = = 4/ 25 ; 0; 0; 3xy y x y x−= = = = −
5/ 5( 1) ; ; 1xy x y e x= + = = 6/ 1
ln , 0, ,y x y x x ee
= = = =
7/ 2sin cos , 0, 0,y x x y x x π= + = = = 8/ sin ; ; 0; 2y x x y x x x π= + = = =
9/ 2sin ; ; 0;y x x y x xπ π= + = = = 10/ 2sin sin 1, 0, 0,2
y x x y x xπ
= + + = = =
Bài 7. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường.
1/ ( ) 2
1:
2C y x
x= + , tiệm cận xiên của( )C và hai đường 1, 3x x= = .
2/ ( )2 2 1
: , 02
x xC y y
x
+ += =
+, tiệm cận xiên của( )C và hai đường 1, 2x x= − = .
3/ ( ) 3 2: 2 4 3, 0C y x x x y= − + − = và tiếp tuyến của( )C tại điểm có hoành độ 2x = .
4/ ( ) 3: 3 2, 1C y x x x= − + =− và tiếp tuyến của( )C tại điểm có hoành độ 2x = − .
5/ ( ) 2: 2C y x x= − và các tiếp tuyến với( )C tại các điểm ( )0;0O và ( )3;3A trên ( )C .
Ths. Lê Văn Đoàn Chuyên đề 5. Nguyên hàm – Tích phân và các ứng dụng
Page - 58 - “All the flower of tomorrow are in the seeds of today……”
TÍNH THỂ TÍCH CỦA VẬT THỂ Bài 1. Tính thể tích của vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình (H) giới hạn bởi các đường sau khi chúng quay
quanh trục Ox.
1/ sin , 0, 0,4
y x y x xπ
= = = = 2/ 3 21, 0, 0, 3
3y x x y x x= − = = =
3/ , 4y x x= = 4/ 6 6sin cos , 0, 0,2
y x x y x xπ
= + = = =
5/ 3 1, 0, 1, 1y x y x x= − = = − = 6/ 2,y x y x= =
7/ 2 3
,4 8
x xy y= = 8/ 2 4 , 2y x x y x=− + = +
9/ sin , cos , ,4 2
y x y x x xπ π
= = = = 10/ 2 2( 2) 9, 0x y y− + = =
11/ 2 24 6, 2 6y x x y x x= − + =− − + 12/ ln , 0, 2y x y x= = =
Bài 2. Tính thể tích của vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình (H) giới hạn bởi các đường sau khi chúng quay
quanh trục Oy.
1/ 2, 1, 4x y yy
= = = 2/ 2, 4y x y= =
3/ , 0,xy e x y e= = = 4/ 2, 1, 2y x y y= = =
Bài 3. Tính thể tích của vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình (H) giới hạn bởi các đường sau khi chúng quay
quanh:
Trục Ox Trục Oy
1/ 2( 2) , 4y x y= − = 2/ 2 2, 4 , 4y x y x y= = =
3/ 2
1, 0, 0, 11
y y x xx
= = = =+
4/ 22 , 0y x x y= − =
5/ . ln , 0, 1,y x x y x x e= = = = 6/ 2( 0), 3 10, 1y x x y x y= > =− + =
7/ 2,y x y x= = 8/ ( ) 2
24 1 x y− + =
9/ 2 2
19 4
x y+ = 10/ 1, 2, 0, 0y x y y x= − = = =
11/ 2 0, 2, 0x y y x− = = = 12/ 2 3, 0, 1y x y x= = = .
15 chuyên đề ôn thi Đại học – Cao đẳng môn Toán Ths. Lê Văn Đoàn
“All the flower of tomorrow are in the seeds of today……” Page - 59 -
���
NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN TRONG CÁC ĐỀ THI CAO ĐẲNG
1. Cao đẳng khối A, B, D – 2011
( )2
1
2 1
1
xI dx
x x
+=
+∫ ĐS: ln 3 ln 2I = − .
2. Cao đẳng khối A, B, D – 2010
1
0
2 1
1
xI dx
x
−=
+∫ ĐS: 2 3 ln 2I = − .
3. Cao đẳng khối B – 2009
( )1
2
0
x xI e x e dx−= +∫ ĐS: 1
2Ie
= − .
4. Cao đẳng khối D – 2007
( )1
2
0
1
4
x xI dx
x
−=
−∫ ĐS: 3
1 ln2 ln 32
I = + − .
5. Cao đẳng khối B – 2007
0
2
1 .I x dx
−
= +∫ ĐS: 1I = .
6. Cao đẳng khối A – 2007
20071
2
1
3
1 11I dxxx
= + ∫ ĐS: 2008 20083 2
2008I
−= .
7. Cao đẳng GTVT III khối A – 2007
2 4 3 2
2
2
3 2 2.
x x x xI dx
x x
+ + + −=
+∫ ĐS: 16 3
ln8 8
I = + .
8. Cao đẳng GTVT III khối B – 2007 2π
9
0
sin .I x dx= ∫ ĐS: 33
Iπ
=− + .
9. Cao đẳng xây dựng số 2 – 2007
e
31 1 ln
dxI
x x=
+∫ ĐS:
33 4 3
2I
−= .
D – TRÍCH CÁC ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC – CAO ĐẲNG
Ths. Lê Văn Đoàn Chuyên đề 5. Nguyên hàm – Tích phân và các ứng dụng
Page - 60 - “All the flower of tomorrow are in the seeds of today……”
10. Cao đẳng GTVT cơ sở II – 2007
2 3
0
4 cos.
1 sin
xI dx
x
π
=+∫ ĐS: 2I = .
11. Cao đẳng kinh tế đối ngoại Tp.HCM – 2007
( )
4
30
ln 2 1
2 1
xI dx
x
+=
+∫ ĐS:
1 2ln 33 3
I =− + .
12. Cao đẳng kinh tế Tp.HCM – 2007
π
2
0
sin2 .I x x dx= ∫ ĐS: 4
Iπ
= .
13. Cao đẳng Tài chính hải quan – 2007
π
2
π
3
sin.
cos2 cos
xI dx
x x=
−∫ ĐS: 1ln 43
I = .
14. Cao đẳng DL Công nghiệ thông tin Tp.HCM – 2007
7
30
2.1
xI dx
x
+=
+∫ ĐS:
231
10I = .
15. Cao đẳng Cơ khí luyện kim – 2007
( )e
2
1
lnI x x dx= ∫ ĐS: ( )e315 2
27I = − .
16. Cao đẳng SP Vĩnh Phúc – 2007
( )4
2
1
sinI x x dx
π
= ∫ ĐS: 3 2 1
384 32 4I
π π
= − + .
17. Cao đẳng Dệt may thời trang Tp.HCM – 2007
( )3
2 21 1
dxI
x x=
+∫ ĐS: 3
13 12
Iπ
= − − .
18. Cao đẳng Công nghiệp thực phẩm Tp.HCM – 2007
1
2
0
1
1
xI dx
x
+=
+∫ ĐS: 1ln22 4
Iπ
= + .
19. Cao đẳng Hàng hải – 2007
33 2
1
. 1 .I x x dx= −∫ ĐS: 14 3
5I = .
15 chuyên đề ôn thi Đại học – Cao đẳng môn Toán Ths. Lê Văn Đoàn
“All the flower of tomorrow are in the seeds of today……” Page - 61 -
20. Cao đẳng Kinh tế kĩ thuật Thái Bình – 2007
( )0
2
1
1 .xI x e x dx
−
= + +∫ ĐS: 23 31
4 60I e−= − .
21. Cao đẳng Công Nghiệp Phú Yên – 2007
1
0
xI xe dx= ∫ ĐS: 1I = .
22. Cao đẳng KTKT Công nghiệp II – 2006
( )1
2
0
ln 1I x x dx= +∫ ĐS: 1
ln22
I = − .
23. Cao đẳng Cơ khí luyện kim – 2006
( )2
2
1
ln 1 xI dx
x
+= ∫ ĐS:
33 ln2 ln 3
2I = − .
24. Cao đẳng Nông lâm – 2006
1
2
0
1I x x dx= +∫ ĐS: 2 2 1
3I
−= .
25. Cao đẳng Hải Phòng – 2006
1
2
01
xI dx
x=
+∫ ĐS: 1ln22
I = .
26. Cao đẳng Y tế Tp.HCM – 2006
2
4
sin cos
1 sin2
x xI dx
x
π
π
−=
+∫ ĐS: ln 2I = .
27. Cao đẳng tài chính kế toán – 2006
( )3
2
0
ln 5I x x dx= +∫ ĐS: ( )114 ln14 5 ln 5 9
2I = − − .
28. Cao đẳng sư phạm Hải Dương – 2006
( )
2
3
0
cos2
sin cos 3
xI dx
x x
π
=− +
∫ ĐS: 1
32I = .
29. Cao đẳng KTKT Đông Du – 2006
4
0
cos2
1 2 sin 2
xI dx
x
π
=+∫ ĐS:
1ln 34
I = .
30. Hệ Cao đẳng trường ĐH Hùng Vường – 2006
Ths. Lê Văn Đoàn Chuyên đề 5. Nguyên hàm – Tích phân và các ứng dụng
Page - 62 - “All the flower of tomorrow are in the seeds of today……”
( )4
0
1 cosI x x dx
π
= −∫ ĐS: 21
8Iπ
= − .
31. Cao đẳng sư phạm Quãng Bình – 2006
ln 2 2
0 2
x
x
eI dx
e=
+∫ ĐS:
82 3
3I = − .
32. Cao đẳng sư phạm Quãng Ngãi – 2006
2 3
0
4 sin
1 cos
xI dx
x
π
=+∫ ĐS: 2I = .
33. Cao đẳng sư phạm Trà Vinh – 2006
4
2
0 cos
xI dx
x
π
= ∫ ĐS: 2
ln4 2
Iπ
= + .
34. Cao đẳng bán công – Công nghệ Tp.HCM – 2006
3
1
3
3 1 3
xI dx
x x−
−=
+ + +∫ ĐS: 6 ln 3 8I = − .
35. Cao đẳng sư phạm Tiền Giang – 2006
9
3
1
. 1I x x dx= −∫ ĐS: 468
7I =− .
36. Cao đẳng sư phạm Bến Tre – 2006
3
1
1ln
ex
I x dxx
+ = ∫ ĐS:
32 11
9 18
eI = + .
37. Cao đẳng lương thực thực phẩm Tp.HCM – 2006
1
2
0
1
2 2I dx
x x=
+ +∫ ĐS: 4
Iπ
= .
38. Cao đẳng Điện lực Tp.HCM – 2006
7
3
30
2
3 1
xI dx
x
+=
+∫ ĐS:
46
15I = .
39. Cao đẳng Kinh tế công nghệ Tp.HCM Khối A – 2006
4
2
0 cos
xI dx
x
π
= ∫ ĐS: 2
ln4 2
Iπ
= − .
40. Cao đẳng Kinh tế công nghệ Tp.HCM Khối D1 – 2006
15 chuyên đề ôn thi Đại học – Cao đẳng môn Toán Ths. Lê Văn Đoàn
“All the flower of tomorrow are in the seeds of today……” Page - 63 -
( )2
1
4 1 lnI x x dx= −∫ ĐS: 6 ln 2 2I = − .
41. Cao đẳng SP Hà Nội Khối D1 – 2006
3
6sin .sin
3
dxI
x x
π
ππ
= +
∫ ĐS: 2ln23
I = .
42. Cao đẳng KT-KT Công Nghiệp I – 2006
2
0
sin 3
2 cos 3 1
xI dx
x
π
=+∫ ĐS: Không tồn tại.
43. Cao đẳng KT-KT Công Nghiệp II – 2006
( )1
2
0
ln 1I x x dx= +∫ ĐS: 1
ln22
I = − .
44. Cao đẳng Xây dựng số 2 – 2006
2
1
1
5
x xI dx
x
−=
−∫ ĐS: 32
10 ln 33
I = − .
45. Cao đẳng Xây dựng số 3 – 2006
( )1
3
0
cos sinI x x x dx= +∫ ĐS: 5
4I = .
46. Cao đẳng GTVT III – 2006
2
0
cos
5 2 sin
xI dx
x
π
=−∫ ĐS:
1 5ln2 3
I = .
( ) ( )2
0
2 7 ln 1J x x dx= + +∫ ĐS: 24 ln 3 14I = − .
47. Cao đẳng Kinh tế đối ngoại – 2006
( )4
8
0
1 tanI x dx
π
= −∫ ĐS: 76
105I = .
48. Cao đẳng SP Hưng Yên - Khối A– 2006
4
2
3
4 3
3 2
xI dx
x x
+=
− +∫ ĐS: 18 ln2 7 ln 3I = − .
49. Cao đẳng SP Hưng Yên - Khối B– 2006
Ths. Lê Văn Đoàn Chuyên đề 5. Nguyên hàm – Tích phân và các ứng dụng
Page - 64 - “All the flower of tomorrow are in the seeds of today……”
6 3
0
sin 3 sin 3
1 cos 3
x xI dx
x
π
−=
+∫ ĐS: 1 1
ln26 3
I =− + .
50. Cao đẳng SP Hưng Yên - Khối D1 , M – 2006
3 2
1
ln 2 lne x xI dx
x
+= ∫ ĐS: ( )3 23
3 3 2 28
I = − .
51. Cao đẳng CĐ Bán công Hoa Sen – Khối A – 2006
( )4
4 4
0
cos sinI x x dx
π
= −∫ ĐS: 1
2I = .
52. Cao đẳng CĐ Bán công Hoa Sen – Khối D – 2006
4
0
cos2
1 2 sin 2
xI dx
x
π
=+∫ ĐS:
1ln 34
I = .
53. Cao đẳng CĐSP Trung Ương – 2006
2
0
sin sin2I x xdx
π
= ∫ ĐS: 2
3I = .
54. Cao đẳng CĐSP Hà Nam – Khối A – 2006
( )
1
2
0 3
xI dx
x
=+
∫ ĐS: 4 1
ln3 4
I = − .
55. Cao đẳng SP Hà Nam – Khối M – 2006
2
2
1
cosI x xdx
π
= ∫ ĐS: 2
24
Iπ
= − .
56. Cao đẳng SP Hà Nam – Khối A (DB) – 2006
( )2
1 1 ln
edx
Ix x
=+∫ ĐS:
4Iπ
= .
57. Cao đẳng KT Y Tế I – 2006
2
4
sin cos
1 sin2
x xI dx
x
π
π
−=
+∫ ĐS: ln 2I = .
58. Cao đẳng Tài Chính Hải Quan – 2006
( )3
4
ln tan
sin2
xI dx
x
π
π
= ∫ ĐS: 21ln 3
16I = .
15 chuyên đề ôn thi Đại học – Cao đẳng môn Toán Ths. Lê Văn Đoàn
“All the flower of tomorrow are in the seeds of today……” Page - 65 -
59. Cao đẳng Kĩ thuật Cao Thắng – 2006
( )2
32
0
sin2 1 sinI x x dx
π
= +∫ ĐS: 15
4I = .
60. Cao đẳng KT Tp.HCM Khóa II – 2006
0
lnex
I dxx
= ∫ ĐS: 4 2I e= − .
61. Cao đẳng CN Thực phẩm Tp.HCM – 2006
1
2
0
1
2 2I dx
x x=
+ +∫ ĐS: 4
Iπ
= .
62. Cao đẳng Điện lực Tp.HCM – 2006
7
3
30
2
3 1
xI dx
x
+=
+∫ ĐS:
46
15I = .
63. Cao đẳng Kinh tế công nghệ Tp.HCM Khối A – 2006
4
2
0 cos
xI dx
x
π
= ∫ ĐS: 2
ln4 2
Iπ
= − .
64. Cao đẳng Kinh tế công nghệ Tp.HCM Khối D1 – 2006
( )2
1
4 1 lnI x x dx= −∫ ĐS: 6 ln 2 2I = − .
65. Cao đẳng SP Hà Nội Khối D1 – 2006
3
6sin .sin
3
dxI
x x
π
ππ
= +
∫ ĐS: 2ln23
I = .
66. Cao đẳng SP KonTum – 2005
2 3
0
4 sin
1 cos
xI dx
x
π
=+∫ ĐS: 2I = .
67. Cao đẳng SP Hà Nội – 2005
2 2004
2004 2004
0
sin
sin cos
xI dx
x x
π
=+∫ ĐS:
4Iπ
= .
68. Cao đẳng SP Tp.HCM – 2005
0
2
12 4
dxI
x x−
=+ +∫ ĐS:
3
18I
π
= .
Ths. Lê Văn Đoàn Chuyên đề 5. Nguyên hàm – Tích phân và các ứng dụng
Page - 66 - “All the flower of tomorrow are in the seeds of today……”
69. Cao đẳng KT-KT Cần Thơ – 2005
2
1
lnex
I dxx
= ∫ ĐS: 2
1Ie
= − .
70. Cao đẳng SP Vĩnh Long – 2005
7
3
30
1
3 1
xI dx
x
+=
+∫ ĐS:
46
15I = .
71. Cao đẳng Bến Tre – 2005
2
0
cos 3
sin 1
xI dx
x
π
=+∫ ĐS: 2 3 ln 2I = − .
72. Cao đẳng SP Sóc Trăng Khối A – 2005
2
2 20
3 2
2
0
sin
sin 2 cos .cos2
sin
sin2 cos
xdxI
xx x
x xdxJ
x x
π
π
=+
=
∫
∫
ĐS:
ln 2
3
3 4
I
Jπ
= = −
73. Cao đẳng Cộng Đồng Vĩnh Long – 2005
1
lne
I x xdx= ∫ ĐS: 2 1
4
eI
+= .
74. Cao đẳng Công Nghiệp Hà Nội – 2005
2
4
0
sinI x xdx
π
= ∫ ĐS: 2
42
Iπ
= − .
75. Cao đẳng SP Hà Nội – 2005
2 3 2
2
0
2 4 9
4
x x xI dx
x
+ + +=
+∫ ĐS: 68
Iπ
= + .
76. Cao đẳng Tài Chính – 2005
( )
1
3
0 1
xdxI
x
=+
∫ ĐS: 1
8I = .
77. Cao đẳng SP Vĩnh Phúc – 2005
2
1 1 ln
edx
Ix x
=−
∫ ĐS: 6
Iπ
= .
78. Cao đẳng Truyền Hình Khối A – 2005
15 chuyên đề ôn thi Đại học – Cao đẳng môn Toán Ths. Lê Văn Đoàn
“All the flower of tomorrow are in the seeds of today……” Page - 67 -
4 2
0
1 2 sin
1 sin2
xI dx
x
π
−=
+∫ ĐS: 1ln22
I = .
79. Cao đẳng Khối A, B – 2005
1
3 2
0
. 3I x x dx= +∫ ĐS: 6 3 8
5I
−= .
80. Cao đẳng Xây Dựng Số 3 – 2005
3
1
3
3 1 3
xI dx
x x−
−=
+ + +∫ ĐS: 6 ln 3 8I = − .
81. Cao đẳng GTVT – 2005
1
5 2
0
1I x x dx= −∫ ĐS: 8
105I = .
82. Cao đẳng Kinh Tế Kỹ Thuật I – 2005
2
3
0
sin 5xI e xdx
π
= ∫ ĐS:
3π
23. 5
34
eI
+= .
83. Cao đẳng Tài Chính Kế Toán IV – 2005
3
3 5
0
1.I x x dx= +∫ ĐS: 848
105I = .
Ths. Lê Văn Đoàn Chuyên đề 5. Nguyên hàm – Tích phân và các ứng dụng
Page - 68 - “All the flower of tomorrow are in the seeds of today……”
���
1. Đại học khối D – 2011
4
0
4 1
2 1 2
xI dx
x
−=
+ +∫ ĐS:
34 310 ln
3 5I = + .
2. Đại học khối B – 2011
π
3
2
0
1 sin
cos
x xI dx
x
+= ∫ ĐS: ( )2
3 ln 2 33
Iπ
= + + − .
3. Đại học khối A – 2011
( )π
4
0
sin cos cos.
sin cos
x x x xI dx
x x x
+ +=
+∫ ĐS: 2
ln 14 2 4
Iπ π
= + + .
4. Đại học khối D – 2010
e
1
32 ln .I x x dx
x
= − ∫ ĐS: 2
12
eI = − .
5. Đại học khối B – 2010
( )
e
2
1
ln.
2 ln
xI dx
x x
=+
∫ ĐS: 1 3ln
3 2I =− + .
6. Đại học khối A – 2010
1 2 2
0
2.
1 2
x x
x
x e x eI dx
e
+ +=
+∫ ĐS: 1 1 1 2
ln3 2 3
eI
+= + .
7. Đại học khối D – 2009
3
1
1.1x
I dxe
=−∫ ĐS: ( )2ln 1 2I e e= + + − .
8. Đại học khối B – 2009
( )
3
2
1
3 ln.
1
xI dx
x
+=
+∫ ĐS:
1 273 ln
4 16I
= + .
9. Đại học khối A – 2009
( )2
3 2
0
cos 1 cos .I x x dx
π
= −∫ ĐS: 8
15 4I
π
= − .
10. Đại học khối D – 2008
NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN TRONG CÁC ĐỀ THI ĐẠI HỌC
15 chuyên đề ôn thi Đại học – Cao đẳng môn Toán Ths. Lê Văn Đoàn
“All the flower of tomorrow are in the seeds of today……” Page - 69 -
2
3
1
ln.x
I dxx
= ∫ ĐS: 3 2 ln2
16I
−= .
11. Dự bị 1 – Đại học khối D – 2008
3e 2
1
ln.
ln 1
xI dx
x x=
+∫ ĐS:
76
15I = .
12. Dự bị 2 – Đại học khối D – 2008
( )π
22
0
2 1 cos .I x x dx= −∫ ĐS: 2 1
8 4 2Iπ π
= − − .
13. Đại học khối B – 2008
( )
π
4
0
sin .4
sin2 2 1 sin cos
x dx
Ix x x
π −
=+ + +∫ ĐS:
4 3 2
4I
−= .
14. Dự bị 1 – Đại học khối B – 2008
2
0
ln .e
I x x dx= ∫ ĐS: 32 1
9 9I e= + .
15. Dự bị 2 – Đại học khối B – 2008
( )π
4sin
0
tan .cosxI x e x dx= +∫ ĐS: 1
2ln 2 1I e= + − .
16. Đại học khối A – 2008
π
6 4
0
tan.
cos2
xI dx
x= ∫ ĐS:
1 3 1 10ln2 3 1 9 3
I+
= −−
.
17. Dự bị 1 – Đại học khối A – 2008
π
32
0
sin . tan .I x x dx= ∫ ĐS: 3
ln28
I = − .
18. Dự bị 2 – Đại học khối A – 2008
7
30
2.1
xI dx
x
+=
+∫ ĐS:
231
10I = .
19. Đại học khối D – 2007
e3 2
1
. ln .I x x dx= ∫ ĐS: e45 1
32I
−= .
20. Dự bị 1 – Đại học khối D – 2007
Ths. Lê Văn Đoàn Chuyên đề 5. Nguyên hàm – Tích phân và các ứng dụng
Page - 70 - “All the flower of tomorrow are in the seeds of today……”
( )1
2
0
1.
4
x xI dx
x
−=
−∫ ĐS: 3
1 ln2 ln 32
I = + − .
21. Dự bị 2 – Đại học khối D – 2007
π
22
0
cos .I x x dx= ∫ ĐS: 2
24
Iπ
= − .
22. Dự bị 1 – Đại học khối A – 2007
4
0
2 1.
1 2 1
xI dx
x
+=
+ +∫ ĐS: 2 ln2I = + .
23. Đại học khối D – 2006
( )1
2
0
2 .xI x e dx= −∫ ĐS: 25 3
4
eI
−= .
24. Dự bị 1 – Đại học khối D – 2006
( )π
2
0
1 sin2 .I x x dx= +∫ ĐS: 25 3
4
eI
−= .
25. Dự bị 2 – Đại học khối D – 2006
( )2
1
2 ln .I x x dx= −∫ ĐS: 5ln 4
4I = − .
26. Đại học khối B – 20006
5
3
ln
ln
1.
2. 3x xI dx
e e−=
+ −∫ ĐS: 3
ln2
I = .
27. Dự bị 1 – Đại học khối B – 2006
15 chuyên đề ôn thi Đại học – Cao đẳng môn Toán Ths. Lê Văn Đoàn
“All the flower of tomorrow are in the seeds of today……” Page - 71 -
���
1. Cao đẳng khối A, B, D – 2008
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol ( ) 2: 4P y x x= − + và đường thẳng :d y x= .
ĐS: S9
2= (đvdt)
2. Cao đẳng khối B – 2007
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường 2, cos , 0,y x y x x x x π= = + = = .
ĐS: S2
π
= (đvdt)
3. Đại học khối B – 2007
Cho hình phẳng H giới hạn bởi các đường ln , 0,y x x y y e= = = . Tính thể tích của khối tròn
xoay tạo thành khi quay hình H quanh trục Ox.
ĐS: ( )e
S
35 2
27
π −= (đvtt)
4. Đại học khối A – 2007
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: ( ) ( )1 , 1 xy e x y e x= + = + .
ĐS: S 12
e= − (đvdt)
5. Dự bị 1 – Đại học khối B – 2007
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường 0y = và ( )2
1
1
x xy
x
−=
+.
ĐS: S1ln 2 1
4 2
π
= + − (đvdt)
6. Dự bị 2 – Đại học khối B – 2007
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường 2y x= và 22y x= − .
ĐS: S1
2 3
π
= + (đvdt)
7. Dự bị 2 – Đại học khối A – 2007
Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường 24 ,y x y x= = . Tính vật thể tròn xoay tạo thành khi Quay hình (H) quanh trục Ox.
DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG – THỂ TÍCH VẬT THỂ TRÒN XOAY TRONG CÁC ĐỀ THI ĐẠI HỌC VÀ CAO ĐẲNG
Ths. Lê Văn Đoàn Chuyên đề 5. Nguyên hàm – Tích phân và các ứng dụng
Page - 72 - “All the flower of tomorrow are in the seeds of today……”
ĐS: V128
15= (đvtt)
8. Cao đẳng sư phạm TW2 – 2007
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: 2 2, , 1, 0y x y x x x= − = =− = .
ĐS: S7
6= (đvdt)
9. Cao đẳng kĩ thuật Cao Thắng 2007
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau: 27 2y x= − và 2 4y x= + .
ĐS: S 4= (đvdt)
10. Dự bị 2 – Đại học khối A – 2006
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol: 2 3y x x= − + và đường thẳng : 2 1d y x= + .
ĐS: S1
6= (đvdt)
11. Đại học khối A – 2002
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: 2 4 3y x x= − + và 3y x= + .
ĐS: S109
6= (đvdt)
12. Đại học khối B – 2002
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: 2
44
xy = − và
2
4 2
xy = .
ĐS: S4
23
π= + (đvdt)
13. Đại học Hàng Hải – 1999
a/ Theo chương trình phân ban.
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: ( ) 2
1: 2P y x x= − và ( ) 2
2: 4P y x x=− + .
b/ Theo chương trình chưa phân ban.
Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình giới hạn bởi các đường: 3
2,3
xy y x= = .
ĐS: a/ S 9= (đvdt) b/
14. Học viện Ngân hàng Tp.HCM – 2000
a/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:
( ) 2: 1
1
C y x x
Ox
x
= + =
15 chuyên đề ôn thi Đại học – Cao đẳng môn Toán Ths. Lê Văn Đoàn
“All the flower of tomorrow are in the seeds of today……” Page - 73 -
b/ Tính thể tích vật thể tròn xoay quay quanh trục Ox giới hạn bởi:
( ) ( )3: ln 1
1
L y x x
Ox
x
= + =
ĐS: a/
15. Học viện Bưu chính viễn thông – 1999
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: x 0, 2 , 3x y y x= = = − .
ĐS:
16. Học viện Bưu chính viễn thông – 1998
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: 2 8 7 7
,3 3 3 3
x x xy y
x
−=− + − =
−.
ĐS: S 9 4 ln 4= − (đvdt)
17. Đại học Quốc gia Tp.HCM khối B – 1999
Tính thể tích khối tròn xoay được tạo thành khi quay trục Ox một miền D giới hạn bởi các đường:
sin2 , 0, 0,2
y x x y x xπ
= = = =
ĐS: V4 2
48 32
π π
= − (đvtt)