§2.3 连续型随机变量及其概率分布

定义 设 X 是一随机变量，若存在一个非负可积函数 f ( x ), 使得

+∞<<∞−= ∫ ∞−xttfxF

xd)()(

其中F ( x )是它的分布函数

则称 X 是连续型随机变量，f ( x )是它的

概率密度函数( p.d.f. )，简称为密度函数或概率密度

一、连续型随机变量的概念

-10 -5 5

0.02

0.04

0.06

0.08

x

f ( x)

x

F ( x )

分布函数F ( x )与密度函数 f ( x )的几何意义

)(xfy =

p.d.f. f ( x )的性质

1、 0)( ≥xf

2、 1)(d)( =+∞=∫∞+

∞−Fxxf

常利用这两个性质检验一个函数能否作为连续性随机变量的密度函数，或求其中的未知参数3、在 f ( x ) 的连续点处，

)()( xFxf ′=

f ( x ) 描述了X 在点 x 附近的概率的

“疏密度”.

注意: 对于连续型随机变量X , P ( X = a) = 0

这里 a 可以是随机变量 X 的一个可能的

取值

)()(0 aXxaPaXP ≤<−≤=≤ ∆ ∫ −=

a

xaxxf

∆d)(

∫ −+→≤=≤

a

xaxxxfaXP

∆∆d)(lim)(0

00=

0)( == aXP

命题 连续型随机变量取任一常数的概率为零

)( aX = )( aXxa ≤<−⊂ ∆ 0>x∆事实上

强调 概率为0 (1) 的事件未必不发生(发生)

对于连续型随机变量X

)( bXaP ≤< )( bXaP ≤≤=

)( bXaP <<=

)( bXaP <≤=

)()(d)( aFbFxxfb

a−== ∫

b x

f ( x)

-10 -5 5

0.02

0.04

0.06

0.08

a

)()()( bFbXPbXP =<=≤

)(1)()( aFaXPaXP −=≥=>

x

f ( x)

-10 -5 5

0.02

0.04

0.06

0.08

a

例 设随机变量 具有概率密度函数试确定常数A，以及 的分布函数.

X

<≥

=−

.0,0;0,

)(3

xxAe

xfx

X

解 由 ,31)(1

0

3 AdxAedxxf x === ∫∫+∞ −+∞

∞−

知A=3，即

<≥

=−

.0,0;0,3

)(3

xxe

xfx

而 的分布函数为X

∫ ∞−

−

<≥−

==x x

xxe

dttfxF.0,0;0,1

)()(3

例 一个靶子是半径为2米的圆盘，设击中靶上

任一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成

正比，并设射击都能中靶，以 X 表示弹着点与

圆心的距离，试求随机变量 X 的分布函数．

解 :

0)()( =≤= xXPxF

2

(0 ) ,4xP X x≤ < =即于是

)()( xXPxF ≤=4

)0()0(2xxXPXP =≤≤+<=

0, ( ) ,x X x< ≤若则是不可能事件于是

20 2, , (0 ) , .x P X x kx k≤ < ≤ < =若由题意是某一常数

2

2,1(0 2) 2 1,4

x

P X k k

=

≤ < = = =

取有

1)()( =≤= xXPxF

综上所述，随机变量 X 的分布函数为

≥

<≤

<

=

21

204

00

)(2

x

xxx

xF

2, , ,x ≥若由题意是必然事件于是

(1) 均匀分布

二、常见的连续性随机变量的分布

例：向线段（a,b）上任意掷一点，设X为该点的坐标，又该点落在（a,b）中任一小区间内的概率与这小区间的长度成正比，求概率密度f(x).

),(~ baUX记作

X 的分布函数为

−−=

1

,

,0

)(abaxxF

bx

bxa

ax

≥

<≤

<

,

,

1 ,( )

0,

a x bb af x

< < −= 其他

若 X 的密度函数为

则称 X 服从区间( a , b)上的均匀分布

x

f ( x)

a b

x

F( x)

ba

1b a− 。。

1

),(),( badc ⊂∀

xab

dXcP d1)(d

c∫ −=<<

abcd

−−=

即 X 的取值在(a,b)内任何长为 d – c 的小区间

的概率与小区间的位置无关, 只与其长度成正比. 这正是几何概型的情形.

(2) 指数分布

例：设一批电子产品的使用寿命为X，其分

布 函数为F(x)，若该批产品的瞬时老化率

为常数 ，求F(x) 。( 0)λ λ >

例 某旅游集散地每天发出3班市内观光巴士，发车时间分别为上午8点20分、8点40分和9点。设一游客在8点至9点间任何时刻到达集散地是等可能的，求该游客候车时间不超过12分钟的概率。

例 设随机变量 X 服从(1,6)上的均匀分布，求一元两次方程 t2+Xt+1=0 有实根的概率.

解: .01,04 22 有实根时因为当 =++≥−=∆ XttX

故所求概率为:

=≥− )04( 2XP )22( −≤≥ XXP 或

而X的密度函数为 : <<

=,,0

;61,51)(

其他

xxf

,0)2(,54)()2(

6

2=−≤==≥ ∫ XPdttfXP且

因此所求概率 .54)04( 2 =≥−XP

若 X 的密度函数为

, 0( )

0,

xe xf x

λλ − ≥= 其他

则称 X 服从 参数为λ的指数分布

~ ( )X Exp λ记作

X 的分布函数为 0, 0( )

1 , 0x

xF x

e xλ−

≤= − >

λ > 0 为常数

1

x

F( x)

0

x

f ( x)

0

λ

对于任意的 0 < a < b,

ba

b

ax

eeaFbF

xebXaP

λλ

λλ

−−

−

−=

−=

=<< ∫)()(

d)(

例

设打一次电话所用的时间X（单位：分钟）是以

110

λ = 为参数的指数随机变量。如果某人刚好在

你前面走进公用电话间，求你需要等待10分钟到

20分钟之间的概率。

解： X的密度函数为

( )101 0

100 0

x

e xf xx

−≥=

<

( ) { }10 20P B P X= ≤ ≤则

令：B ={ 等待时间为10-20分钟 }

2010

10

110

x

e dx−

= ∫20

10

10

x

e−

= −

1 2e e− −= − 0.2325=

指数分布具有无记忆性：

( | ) ( )P X s t X s P X t> + > = >

~ ( ),X Exp λ 则

例 假定一大型设备在任何长为t的时间内发生故障的次数X(t)服从参数为的泊松分布。求：（1）相继两次故障时间间隔T的概率分布；（2）设备已经无故障运行8小时的情况下，再无故障运行10小时的概率。

tλ

(3) 正态分布(Gauss 分布)

若X 的密度函数为

+∞<<∞−=−

−xexf

x2

2

2)(

21)( σ

µ

σπ

则称 X 服从参数为 , 2 的正态分布

记作 X ~ N ( , 2 )

σµ, 为常数， 0>σ

N (-3 , 1.2 )

-6 -5 -4 -3 -2 -1

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

3µ = −

f (x) 的性质：

图形关于直线 x = µ 对称： f (µ + x) = f (µ - x)

在 x = µ 时, f (x) 取得最大值

σπ21

在 x = µ±σ 时, 曲线 y = f (x) 在对应的点处有拐点

曲线 y = f (x) 以 x 轴为渐近线

曲线 y = f (x) 的图形呈单峰状

21

)()(1)()(

=

>=−==≤

µµµµ

XPFFXP

-6 -5 -4 -3 -2 -1

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

f (x) 的两个参数：

µ — 位置参数

即固定 σ , 对于不同的 µ , 对应的 f (x)的形状不变化，只是位置不同

σ — 形状参数

固定 µ ，对于不同的σ ，f ( x) 的形状不同.

若 σ1< σ2 则21 2

121

σπσπ>

比x = µ ± σ2 所对应的拐点更靠近直线 x = µ附近值的概率更大. x = µ ± σ1 所对应的拐点

前者取 µ

Show[fn1,fn3]

σ大

σ小

-6 -5 -4 -3 -2 -1

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

几何意义 σ 大小与曲线陡峭程度成反比

数据意义 σ 大小与数据分散程度成正比

正态分布是概率论中最重要的分布，这可以由以下情形加以说明：

⑴ 正态分布是自然界及工程技术中最常见的分布之一，大量的随机现象都是服从或近似服从正态分布的．可以证明，如果一个随机指标受到诸多因素的影响，但其中任何一个因素都不起决定性作用，则该随机指标一定服从或近似服从正态分布．

⑵ 正态分布有许多良好的性质，这些性质是其它许

多分布所不具备的．

⑶ 正态分布可以作为许多分布的近似分布．

正态分布的重要性

标准正态分布的计算：

( )~ 0 1X N如果随机变量，，则其密度函数为

( ) ( )2

21 ,2

x

x eϕπ

−= −∞ +∞

( ) ( ) ( )2

212

x x t

x t dt e dt xϕπ

−

−∞ −∞

Φ = = −∞ < < +∞∫ ∫

其分布函数为

, ( ) .xΦ教科书上都附有标准正态分布表由此可得值

一种重要的正态分布：N (0,1) — 标准正态分布

5.0)0( =Φ )(1)( xx ΦΦ −=−

1)(2)|(| −=< aaXP Φ

-3 -2 -1 1 2 3

0.1

0.2

0.3

0.4

5.0)0( =Φ

-3 -2 -1 1 2 3

0.1

0.2

0.3

0.4

-x x

)(1)( xx ΦΦ −=−

1)(2)|(| −=< aaXP Φ

对一般的正态分布 ：X ~ N ( µ ,σ 2)

其分布函数 ∫ ∞−

−−

=x

t

texF d21)( 2

2

2)(

σµ

σπ

作变量代换 σµ−

=t

s

−=

σµΦ xxF )(

−−

−=

−=<<

σµΦ

σµΦ ab

aFbFbXaP )()()(

−−=

−=>

σµΦ a

aFaXP

1

)(1)(

例 设 X ~ N(1,4) , 求 P (0 ≤ X ≤ 1.6)解

−−

−=≤≤

210

216.1)6.10( ΦΦXP

( ) ( )5.03.0 −−= ΦΦ

( ) ( )]5.01[3.0 ΦΦ −−=

]6915.01[6179.0 −−=

3094.0=

P300 附表2

例 已知 ),2(~ 2σNX 且 P( 2 < X < 4 ) = 0.3,求 P ( X < 0 ).

解一

−=<

σΦ 20)0(XP

−=σ

Φ 21

−−

−=<<

σΦ

σΦ 2224)42( XP

)0(2 Φσ

Φ −

= 3.0=

8.02 =

σ

Φ

2.0)0( =<XP

-2 2 4 6

0.05

0.1

0.15

0.2

解二 图解法

0.2

2.0)0( =<XP由图

0.3

2~ (88,4 ) ,X N c ≤例设，求常数使得P(X c)=0.95.

例 3σ 原则设 X ~ N ( µ , σ 2), 求 )3|(| σµ <−XP

解 )33()3|(| σµσµσµ +<<−=<− XPXP

−−−

−+=

σµσµΦ

σµσµΦ 33

( ) ( )33 −−= ΦΦ( ) 132 −= Φ 19987.02 −×= 9974.0=

一次试验中, X 落入区间( µ - 3σ , µ +3σ )的概率为 0.9974, 而超出此区间可能性很小

由3σ 原则知，

1)(3,0)(3 ≈Φ>≈Φ−< bbaa 时时当

例 设测量的误差 X ~ N(7.5, 100)(单位：米),

问要进行多少次独立测量，才能使至少有一次误差的绝对值不超过10米的概率大于0.9 ?

解

−−−

−=≤

105.710

105.710)10|(| ΦΦXP

( ) ( )75.125.0 −−= ΦΦ( ) ( )]75.11[25.0 ΦΦ −−=5586.0=

设 A 表示进行 n 次独立测量至少有一次误差

的绝对值不超过10米

9.0)5586.01(1)( >−−= nAP n > 3

所以至少要进行 4 次独立测量才能满足要求.