Carlos Ivorra Castillo

TEORIA DESCRIPTIVADE CONJUNTOS I

Mais la question beaucoup plus interessante:peut-on nommer un ensemble non mesurable? resteentiere.

H. Lebesgue

Indice General

Introduccion ix

1 Introduccion a los espacios polacos 1

Capıtulo I: Espacios polacos 3

1.1 Espacios polacos. Productos y subespacios . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 Espacios de sucesiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.3 El espacio de Baire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.4 El espacio de Cantor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.5 El teorema de Baire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

Capıtulo II: La medida de Lebesgue y la propiedad de Baire 33

2.1 Conjuntos de Borel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.2 Medidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.3 La medida de Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2.4 La propiedad de Baire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

Capıtulo III: Consecuencias del axioma de eleccion 63

3.1 Algunos contraejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

3.2 Filtros rapidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

3.3 Cardinales caracterısticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

3.4 Extensiones de la medida de Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . 95

3.5 Medidas finitamente aditivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

3.6 Apendice: Las isometrıas de Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

2 Teorıa descriptiva de conjuntos en ZF + ED 113

Capıtulo IV: Conjuntos de Borel 115

4.1 La jerarquıa de Borel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

4.2 Codigos de Borel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

4.3 Propiedades estructurales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

4.4 La jerarquıa de Baire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

v

vi INDICE GENERAL

Capıtulo V: Conjuntos Proyectivos 1375.1 Conjuntos analıticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1375.2 Conjuntos coanalıticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1475.3 La jerarquıa proyectiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1535.4 Representaciones en terminos de arboles . . . . . . . . . . . . . . 1585.5 Buenos ordenes proyectivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1615.6 Clases normadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1625.7 Uniformizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1665.8 Conjuntos κ-Suslin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1745.9 Conjuntos γ-Borel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

Capıtulo VI: Teorıa de la recursion 1856.1 Funciones y relaciones recursivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1866.2 Conjuntos semirrecursivos y recursivos en espacios producto . . . 1896.3 Funciones recursivas en espacios producto . . . . . . . . . . . . . 1976.4 Relativizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2046.5 Funciones recursivas parciales en espacios producto . . . . . . . . 2066.6 El teorema de recursion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215

Capıtulo VII: La teorıa efectiva 2277.1 Las clases de Kleene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2277.2 Caracterizacion aritmetica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2337.3 Conjuntos Π1

1(a) y Σ12(a) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242

7.4 Clases con normas y escalas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2487.5 El teorema de parametrizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2587.6 Codificaciones de modelos numerables . . . . . . . . . . . . . . . 261

Capıtulo VIII: Conjuntos hiperaritmeticos 2658.1 Ordinales recursivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2658.2 Conjuntos hiperaritmeticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2708.3 El teorema de Suslin-Kleene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2858.4 Una caracterizacion de Hip(a)(ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2938.5 Ordinales admisibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3058.6 La logica ǫσ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313

Capıtulo IX: Juegos infinitos 3279.1 Definiciones basicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3279.2 Aplicaciones del teorema de Gale-Stewart . . . . . . . . . . . . . 3329.3 La determinacion de los conjuntos de Borel . . . . . . . . . . . . 3419.4 El axioma de determinacion proyectiva . . . . . . . . . . . . . . . 3499.5 El axioma de determinacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359

Capıtulo X: Grados de Wadge 36510.1 Funciones continuas, funciones lipschitzianas y contracciones . . 36510.2 Reducibilidad Wadge y Lipschitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36810.3 La ordenacion de los grados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37110.4 Algunas operaciones con grados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377

INDICE GENERAL vii

10.5 Comparacion de las jerarquıas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38410.6 Mas operaciones con grados de Wadge . . . . . . . . . . . . . . . 391

Capıtulo XI: La jerarquıa de Wadge de los conjuntos de Borel 40111.1 Construccion de conjuntos ∆0

α . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40111.2 Grados de conjuntos de Borel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 428

Apendice A: Clases de clases de conjuntos 445

Bibliografıa 447

Indice de Materias 448

Introduccion

La teorıa descriptiva de conjuntos consiste esencialmente en el estudio deconjuntos (subconjuntos de espacios topologicos, para ser mas precisos) queresultan de aplicar un proceso de construccion a partir de conjuntos sencillos oque satisfacen una definicion mas o menos explıcita, de modo que, en un sentidono muy preciso, pueden considerarse conjuntos “definibles”, por oposicion aconjuntos “arbitrarios” de los que no tenemos a priori informacion alguna sobresu estructura.

Los precedentes de la teorıa descriptiva de conjuntos se remontan a finalesdel siglo XIX, cuando Cantor trataba de demostrar (o, en su caso, refutar) lahipotesis del continuo. En la practica, todo se reducıa a demostrar que todosubconjunto de R es numerable o bien tiene el cardinal del continuo, c = 2ℵ0 .Cantor abordo el problema de formas muy diversas, y una de ellas fue estudiarprimero los subconjuntos de R mas sencillos para ir analizando progresivamenteconjuntos mas complejos.

Los subconjuntos mas sencillos son sin duda los conjuntos abiertos, espe-cialmente a la hora de calcular cardinales, pues todo abierto no vacıo contieneun intervalo abierto, y es facil ver que todo intervalo abierto se puede biyectarcon R (mediante una aplicacion continua, de hecho).

Cantor se propuso entonces estudiar los subconjuntos cerrados de R. Ya noes cierto que todos tengan cardinal c, pues, por ejemplo, Z es un subconjuntocerrado numerable. No obstante, sucede que todo subconjunto cerrado de Res numerable o tiene cardinal c. Para llegar a esta conclusion estudio primerolos cerrados que llamo perfectos, que en lenguaje moderno son los cerrados novacıos sin puntos aislados, y demostro que todo cerrado perfecto contiene unacopia del que ahora conocemos como conjunto (ternario) de Cantor, y esto a suvez implica que tiene cardinal c.

El caso de un cerrado arbitrario fue resuelto por un joven estudiante suecollamado Ivar Otto Bendixson, que se lo comunico a Cantor en una carta, en laque demostraba, basandose en ideas de Cantor, que todo cerrado puede des-componerse como union de un cerrado perfecto (o vacıo) y de un conjuntonumerable. Por lo tanto, ningun cerrado podıa servir de contraejemplo a lahipotesis del continuo.

Es en la demostracion de este hecho, que hoy se conoce como teorema deCantor-Bendixson, (publicada en 1883) donde podemos encontrar un argumentoque nos aparecera mas adelante en este libro y que, por consiguiente, puede verse

ix

x Introduccion

como uno de los primeros precedentes de la teorıa descriptiva de conjuntos.Veamos un esbozo:

Dado un cerrado C ⊂ R, consideramos su conjunto derivado C′ (un conceptoque habıa sido introducido por Cantor unos anos atras), que en terminos mo-dernos no es sino el conjunto de los puntos de acumulacion de C. El hecho deque C sea cerrado se traduce en que C′ ⊂ C. Tambien habıa sido Cantor quienhabıa observado que era posible definir una sucesion decreciente de conjuntos:

C = C(0) ⊃ C(1) ⊃ C(2) ⊃ C(3) ⊃ · · · ,

donde cada conjunto es el derivado del anterior, al igual que fue Cantor quienobservo que a continuacion se podıa calcular

C(∞) =⋂

n=0C(n),

y que a su vez esto permitıa continuar la sucesion de conjuntos derivados:

C = C(0) ⊃ C(1) ⊃ C(2) ⊃ · · · ⊃ C(∞) ⊃ C(∞+1) ⊃ C(∞+2) ⊃ · · ·

Similarmente, se podıa calcular

C(∞+∞) = C(2·∞) =∞⋂

n=0C(∞+n),

lo que a su vez permitıa continuar de nuevo la sucesion con los derivados suce-sivos de este conjunto, etc.

Esta es la notacion que uso Cantor en un principio para los conjuntos deriva-dos (aunque la notacion para la interseccion es posterior), pero fue precisamentela generacion de esta sucesion transfinita de conjuntos derivados la que le habıallevado a introducir los numeros ordinales, y Bendixson conocıa bien la teorıa deordinales, sobre la que Cantor ya habıa publicado varios trabajos en los que laexponıa sistematicamente. En particular, la notacion “moderna” para el ordinalque Cantor habıa representado por ∞ era ω, y los convenios de la aritmeticaordinal requerıan escribir ω · 2 en lugar de 2 · ∞.

Ası pues, el punto de partida de Bendixson fue la sucesion transfinita definidarecurrentemente por

C(0) = C, C(α+1) = C(α)′, C(λ) =⋂

δ<λ

C(δ).

Bendixson demostro que tiene que existir un ordinal numerable α tal queC(α+1) = C(α). Entonces, C(α) (un conjunto igual a su derivado) ha de ser uncerrado perfecto (o el conjunto vacıo), mientras que cada diferencia C(β+1)\C(β),para β < α es un conjunto de puntos aislados, y la topologıa de R obliga a quesea numerable, al igual que la union de todos ellos (puesto que α es numerable).Esto nos da la descomposicion de Cantor-Bendixson.

xi

Baire Cantor celebro el resultado, pero lo cierto es que no lo aprovecho. Paraencontrar otro precedente de la teorıa descriptiva de conjuntos hemos de dejarpasar 16 anos y trasladarnos a Francia, donde, en 1899, Rene-Louis Baire de-fendio su tesis doctoral. Es conocido que el lımite uniforme de una sucesion defunciones continuas es una funcion continua, ası como que esto no es cierto engeneral para lımites puntuales. Por ello Baire introdujo las que hoy se conocencomo funciones de Baire a traves de una recursion transfinita: Para X ⊂ Rn,definio el conjunto de las funciones (de Baire) de clase 0 como el conjunto B0(X)de las funciones continuas f : X −→ R y, para cada ordinal numerable α, de-finio el conjunto de las funciones (de Baire) de clase α como el conjunto Bα(X)de las funciones que pueden obtenerse como lımite puntual de una sucesion defunciones de las clases precedentes:

⋃

β<α

Bβ(X). Las funciones de Baire en Xson los elementos de

B(X) =⋃

α<ω1

Bα(X).

De este modo, la clase de las funciones de Baire en X es la menor familia defunciones reales definidas sobre X que contiene a las funciones continuas y escerrada para lımites puntuales. Como Cantor, Baire avisto un camino, pero nose decidio a seguirlo, pues en su tesis estudia unicamente las funciones de Bairede clase 0 y 1.

Lebesgue El primer trabajo que puede considerarse propiamente como “teorıadescriptiva de conjuntos” en el sentido moderno es el titulado “Sur les fonctionsrepresentables analytiquement”, publicado por Lebesgue1 en 1905. Lebesgue de-fine la clase de las funciones representables analıticamente como la menor familiade funciones (en un conjunto X ⊂ Rn) cerrada para proyecciones, sumas, pro-ductos y lımites puntuales. No es difıcil probar que se trata simplemente de laclase de las funciones de Baire. Sin embargo, Lebesgue emprendio un estudiosistematico de estas funciones. Definio esencialmente la misma jerarquıa queBaire y demostro, por ejemplo, que es estrictamente creciente, es decir, que siα < β son dos ordinales numerables, entonces Bα(X) Bβ(X). En el artıculode Lebesgue encontramos el uso sistematico de varias tecnicas que apareceran eneste libro: conjuntos universales, el empleo del metodo diagonal de Cantor, etc.

Lebesgue estudio a su vez una clase de conjuntos introducida de forma mas omenos vaga por Emile Borel en el curso de sus investigaciones sobre teorıa de lamedida y teorıa de la probabilidad. En terminos modernos, la σ-algebra de Borelde un espacio topologico es la menor familia de subconjuntos B que contiene alos abiertos y que es cerrada para uniones e intersecciones numerables y paracomplementos. Siempre con notacion moderna, B tambien puede describirse enterminos de una jerarquıa transfinita:

En la base tenemos la clase Σ01 de los conjuntos abiertos y la clase Π0

1 delos conjuntos cerrados (sus complementarios). En segundo lugar tenemos lasclases Σ0

2 y Π02, la primera de las cuales contiene a las uniones numerables

de cerrados (los conjuntos que los topologos llaman Fσ) y la segunda a sus

1La frase citada en la pagina iii es la frase con la que Lebesgue termina este tratado.

xii Introduccion

complementarios, que son tambien las intersecciones numerables de abiertos (oconjuntos Gδ). En general, para cada ordinal numerable α, las clases Σ0

α yΠ0α constan, respectivamente, de las uniones e intersecciones numerables de

conjuntos de las clases precedentes Π0β y Σ0

β , respectivamente. Puede probarseque en todo espacio metrico X se tienen las inclusiones siguientes:

⊂∆0

1⊂

Σ01 ⊂

Π01

⊂

∆02

⊂Σ0

2

⊂

Π02

⊂

∆03

⊂ Σ03

⊂

Π03

⊂∆0

4

⊂ . . .

⊂ . . .

⊂

. . .⊂

donde ∆0n = Σ0

n ∩ Π0n, de modo que, por ejemplo, ∆0

1 es el algebra de lossubconjuntos abiertos cerrados del espacio X . La σ-algebra de Borel es entonces

B =⋃

α<ω1

Σ0α =

⋃

α<ω1

Π0α =

⋃

α<ω1

∆0α.

Lebesgue demostro que la clase Bα(X) coincide con la clase de las funcionesΣ0α+1-medibles en X , es decir, la clase de las funciones f : X −→ R tales que si

A es abierto en R entonces f−1[A] esta en la clase Σ0α+1.

Lusin, Suslin, Alexandroff En 1914, un joven profesor ruso de 21 anos,Nikolai Nikolaevich Lusin, a instancias de uno de sus maestros, Dimitri De-dorovich Egorov, se puso al frente de un grupo de investigacion integrado poralgunos estudiantes, entre los que destacaban Mikhail Yakovlevich Suslin (de 20anos) y Pavel Sergeevich Alexandroff (de 18 anos). Dirigidos por el carismaticoLusin, los miembros de “la Lusitania” —como pronto fue conocido jocosamenteel grupo— promovieron la investigacion en una de las ramas mas recientes de lamatematica: la teorıa de conjuntos y funciones. Ası, en 1915, Alexandroff de-mostro que todo conjunto de Borel (o B-conjunto, como lo solıan llamar) puedeconstruirse a partir de conjuntos cerrados de una forma mucho mas simple que ladescrita por Lebesgue, sin necesidad de recurrir a sucesiones transfinitas (hastaentonces consideradas como inevitables). A saber, dado un conjunto de Borel B,existe una familia de cerrados Css∈ω<ω , donde s recorre las sucesiones finitasde numeros naturales, de modo que

B =⋃

x∈ωω

⋂

n∈ωCx|n ,

donde ω es el conjunto de los numeros naturales y ωω el conjunto de las suce-siones de numeros naturales.

Suslin propuso que los conjuntos de esta forma se llamaran A-conjuntos,en honor de Alexandroff, al igual que los conjuntos de Borel se llamaban B-conjuntos en honor a Borel. Cuando Alexandroff comunico a Lusin su descu-brimiento, este lo animo a investigar el recıproco, es decir, si todo A-conjuntoes un B-conjunto. Mientras tanto, Suslin abordaba el problema de la cardi-nalidad de los conjuntos de Borel. Su proposito era generalizar el teorema de

xiii

Cantor-Bendixson y probar que todo conjunto de Borel no numerable tiene car-dinal c. Alexandroff paso el invierno con el problema de si los A-conjuntos sonB-conjuntos, pero no llego a ninguna conclusion.

Por otra parte, Lusin habıa sugerido a Suslin que se estudiara el trabajooriginal de Lebesgue de 1905, y el joven ruso no tardo en detectar un error. Le-besgue demostraba que toda funcion definida implıcitamente por una ecuacionanalıticamente representable es analıticamente representable, y para ello se apo-yaba en un lema que presentaba sin demostracion, como algo evidente. Segundicho lema, la proyeccion de un conjunto de Borel es tambien un conjunto deBorel. Al tratar de justificar esta afirmacion, Suslin termino convenciendose deque era falsa, y en el verano de 1916 encontro un ejemplo de proyeccion de unconjunto de Borel que no era a su vez un conjunto de Borel. Pero lo mas signifi-cativo del caso era que dicho ejemplo lo habıa construido a partir de intervaloscerrados con la operacion de Alexandroff, es decir, Suslin habıa encontrado unejemplo de A-conjunto que no era un B-conjunto. Rapidamente puso sus con-clusiones por escrito y se las presento a Lusin. Ese momento fue presenciadopor Waclaw Sierpinski, un matematico polaco que estaba asistiendo a los semi-narios de Lusin en Moscu. Lusin analizo con mucho interes el escrito de Suslin yconfirmo que era correcto. Los A-conjuntos terminaron siendo conocidos comoconjuntos analıticos, y los primeros resultados sobre ellos fueron obtenidos porSuslin y Lusin en los meses siguientes.

Paralelamente, mientras Suslin habıa resuelto el problema que Alexandroffno habıa sido capaz de resolver, este (al mismo tiempo, pero independientementedel aleman Felix Hausdorff) resolvio el problema de aquel: probo que todoconjunto de Borel no numerable posee un subconjunto perfecto, por lo quetiene cardinal c y, consecuentemente, ningun conjunto de Borel puede ser uncontraejemplo a la hipotesis del continuo. (Cantor se habrıa ilusionado si nofuera porque tenıa entonces 71 anos y ya estaba retirado. Vivıa en la pobreza,pasando hambre a causa de la Primera Guerra Mundial, y morirıa dos anosdespues.)

En 1917 Suslin publico un artıculo en el que, entre otras cosas, probaba unaelegante caracterizacion de los conjuntos de Borel: Un conjunto es de Borelsi y solo si es a la vez analıtico y coanalıtico (es decir, si tanto el como sucomplementario son analıticos). Por su parte, Suslin anuncio ese mismo anootro resultado basico que demostraba que el teorema de Lebesgue era correctoa pesar del error en su prueba.

Durante ese ano Rusia cambio traumaticamente un dictador de sangre de-masiado azul por otro de sangre demasiado roja, y muchos universitarios consi-deraron prudente abandonar Moscu. Alexandroff fue encarcelado por un tiempoy Suslin y Lusin aceptaron sendos puestos en el Instituto Politecnico de Ivanovo,donde pasaron hambre, frıo y otras penurias. La salud de Suslin nunca habıasido muy buena. El 14 de junio de 1919, por prescripcion medica, solicito unpermiso para retirarse hasta despues del invierno a la casa de sus padres enKrasavka. Las autoridades le respondieron que le concedıan como maximo unmes de vacaciones, por lo que el 20 de junio presento su renuncia y marcho aKrasavka de todos modos. Allı murio de tifus en diciembre, con 24 anos.

xiv Introduccion

Sierpinski y los matematicos polacos Al termino de la Primera GuerraMundial, Sierpinski regreso a Varsovia, donde en 1920 fundo junto con Ste-fan Mazurkiewicz la revista Fundamenta Mathematicæ, en cuyo primer numeroaparecio un artıculo postumo de Suslin (en el que planteaba la famosa hipotesisde Suslin2). Durante los anos siguientes, Lusin en Moscu y Sierpinski en Var-sovia dirigieron los avances en la teorıa descriptiva de conjuntos, a la que pos-teriormente se sumarıan varios matematicos rusos y, sobre todo, polacos (Ba-nach, Kuratowski, Ulam, Tarski, etc.). Entre las contribuciones de la escuelade topologos polacos cabe destacar el hecho de que, en lugar de trabajar en Rn,desarrollaron la teorıa descriptiva de conjuntos en una familia de espacios masgenerales (espacios topologicos completamente metrizables y separables). Lasmalas relaciones de la Union Sovietica con la Europa “capitalista” hicieron quesu trabajo permaneciera practicamente desconocido en Occidente y, cuando fue“descubierto” (gracias principalmente a los numerosos polacos que abandonaronsu patria para huir primero de los nazis y luego de los comunistas), los espaciostopologicos completamente metrizables y separables recibieron el nombre queaun conservan: espacios polacos.

La introduccion de los espacios polacos confirio gran flexibilidad a la teorıa.Por ejemplo, el mas simple de los espacios polacos no triviales es el espacio deBaire N = ωω formado por las sucesiones de numeros naturales, consideradocomo producto de infinitas copias del espacio discreto ω con la topologıa pro-ducto usual. Ası, el estudio de N es especialmente simple en comparacion conel de otros espacios polacos y, al mismo tiempo, los resultados obtenidos paraN pueden generalizarse a espacios polacos arbitrarios gracias a ciertos resulta-dos generales, como que todo espacio polaco es imagen continua de N, o quedos espacios polacos cualesquiera no numerables X e Y son Borel-isomorfos, esdecir, existe una biyeccion f : X −→ Y que hace corresponder las respectivasσ-algebras de Borel. Otra conexion destacable entre N y R es que existe unhomeomorfismo canonico entre N y el espacio de los numeros irracionales.

Conjuntos proyectivos En 1925 Lusin y Sierpinski dieron un gran pasoal introducir la nocion de conjunto proyectivo. Esta nocion surge de formanatural tras haber demostrado que los conjuntos analıticos son precisamentelas imagenes continuas de los conjuntos de Borel, de modo que toda imagencontinua de un conjunto analıtico es obviamente analıtica (porque toda imagencontinua de una imagen continua de un conjunto de Borel es obviamente unaimagen continua de un conjunto de Borel). Con la notacion moderna, la clase delos conjuntos analıticos (en un espacio polaco) se representa por Σ1

1, mientrasque Π1

1 es la clase de sus complementarios, los conjuntos coanalıticos. A su vez,se define ∆1

1 = Σ11 ∩Π1

1, que, segun el teorema demostrado por Suslin, no essino la σ-algebra de Borel.

Notemos que existen conjuntos Π11 que no son analıticos, pues en caso con-

trario todo conjunto analıtico tendrıa complementario analıtico y serıa de Borel.Por lo tanto, en principio, las imagenes continuas de los conjuntos coanalıticos

2Vease la seccion 9.1 de mi libro de Teorıa de Conjuntos.

xv

no son necesariamente analıticas ni coanalıticas, sino que determinan una nuevaclase de conjuntos, que hoy representamos por Σ1

2. La clase Σ12 es trivialmente

cerrada para imagenes continuas, pero no ası la clase Π12 de sus complementos,

cuyas imagenes continuas determinan una nueva clase Σ13, y ası sucesivamente.

La clase de los conjuntos proyectivos es

P =∞⋃

n=1Σ1n =

∞⋃

n=1Π1n.

Los conjuntos proyectivos reciben este nombre porque puede probarse que,en realidad, los conjuntos Σ1

n+1 de un espacio polaco X pueden obtenerse como

proyecciones de conjuntos Π1n de un producto X × Y , o incluso del producto

concreto X × N. Las tecnicas que Lebesgue habıa introducido para obtenerlos hechos basicos sobre la jerarquıa de Borel se adaptaban facilmente para lajerarquıa proyectiva, de modo que Lusin no tuvo dificultades en demostrar quees estricta, es decir, que cada nueva clase contiene conjuntos “nuevos”, que noestan en la clase precedente, ası como que, si definimos ∆1

n = Σ1n∩Π1

n, tenemoslas inclusiones

⊂∆1

1⊂

Σ11 ⊂

Π11

⊂

∆12

⊂Σ1

2

⊂

Π12

⊂

∆13

⊂ Σ13

⊂

Π13

⊂∆1

4

⊂ . . .

⊂ . . .

⊂

. . .⊂

Sin embargo, Lusin no tardo en experimentar cierto escepticismo frente a lateorıa descriptiva. Por ejemplo, el mismo habıa demostrado que todo conjuntoanalıtico (y, por lo tanto, tambien todo conjunto coanalıtico) es medible Lebes-gue, pero el problema de si los conjuntos Σ1

2 eran medibles Lebesgue resistıatodo ataque (lo mas cerca a lo que pudo llegar es a demostrar que todo con-junto Σ1

2 es union de ℵ1 conjuntos de Borel, en particular, medibles Lebesgue,pero no pudo demostrar que la union de ℵ1 conjuntos medibles fuera necesaria-mente medible). Mas aun, incluso el problema de si todo conjunto coanalıticono numerable contiene un subconjunto perfecto parecıa inabordable.

En 1930 Lusin publico el primer libro en que exponıa de forma sistematicala teorıa sobre los conjuntos analıticos: “Lecons sur les ensembles analytiqueset leurs applications”. El propio Lebesgue acepto la invitacion para escribir elprologo, en el que dijo:

El origen de todos los problemas descritos aquı ha resultado ser unburdo error en mi memoria sobre funciones representables analıtica-mente. ¡Simplemente estuve inspirado a la hora de cometerlo!

Uniformizacion Pese a todo, aunque cada vez mas lentamente, la teorıa des-criptiva seguıa produciendo frutos. Por ejemplo, uno de los problemas que a lasazon se consideraban mas complejos era el de la uniformizacion. Considere-mos, por ejemplo, el caso de un subconjunto A de R2. Se dice que un conjunto

xvi Introduccion

B ⊂ A uniformiza A (respecto de la primera componente) si B tiene la mismaproyeccion que A, pero, cada x ∈ R que sea proyeccion de un elemento de A esla proyeccion de un unico elemento de B.

A

B

x

El axioma de eleccion implica que todo conjunto A es uniformizable por unsubconjunto B, pero la cuestion era si, en caso de que A es un conjunto deBorel, o analıtico, o coanalıtico, etc., existe una uniformizacion del mismo tipo.Lusin habıa dado condiciones bajo las cuales un conjunto analıtico puede seruniformizado por otro conjunto analıtico, pero dio por imposible probar algoparecido para conjuntos coanalıticos. Sin embargo, mas optimista, Sierpinskiplanteaba ese mismo ano el problema de si un conjunto Π1

1 (coanalıtico) podıaser uniformizado por un conjunto Π1

2 o, al menos, por un conjunto proyectivode la clase que fuera.

En 1831 el matematico ruso Petr Novikov encontro un conjunto cerrado(en particular, analıtico) que no puede ser uniformizado por ningun conjuntoanalıtico, y en 1935 probo que todo conjunto Π1

1 puede ser uniformizado por unconjuntoΠ1

2. Contra todo pronostico, en 1937 aparecio publicada una prueba deque, en realidad, todo conjunto Π1

1 admite una uniformizacion Π11. La sorpresa

fue doble: por una parte porque a la sazon parecıa imposible obtener algunresultado positivo sobre conjuntos Π1

1, y por otra porque la demostracion vinodel lejano oriente: se debe al matematico japones Motokiti Kondo (1906-1980).

Godel En 1938 el matematico austriaco3 Kurt Godel visito por segunda vezel Instituto de Estudios Avanzados de Princeton, y allı anuncio su demostracionde la consistencia del axioma de eleccion y la hipotesis del continuo generalizada(basada en la construccion de la clase L de los conjuntos constructibles). Enel mismo comunicado en que esbozaba la demostracion, anunciaba tambien queel axioma de constructibilidad implica la existencia de un conjunto ∆1

2 no me-dible Lebesgue, ası como la de un conjunto Π1

1 no numerable sin subconjuntosperfectos. De este modo, todo apuntaba a que las dificultades que presentabael estudio de los conjuntos proyectivos mas alla de la clase de los conjuntosanalıticos eran de la misma naturaleza que las que habıan frustrado todos losintentos de Cantor por demostrar o refutar la hipotesis del continuo. Decimos“todo apuntaba” porque los argumentos de Godel eran solo la mitad de la so-lucion. El trabajo de Godel probaba que no se puede demostrar que c > ℵ1 oque todo conjunto Π1

1 no numerable tiene un subconjunto perfecto, pero faltaba

3Godel habıa nacido en lo que actualmente es territorio checo, pero entonces era parte delImperio Austro-Hungaro.

xvii

probar que tampoco podıa demostrarse lo contrario. No se disponıa de ningunajustificacion de que ası tenıa que ser, pero “todo apuntaba” a que ası tenıa queser.

Kleene Era la segunda vez que Godel revolucionaba el mundo de las ma-tematicas. Habıan pasado siete anos desde la publicacion de sus celeberrimosteoremas de incompletitud, que habıan creado una escuela de logicos interesa-dos en la teorıa de la recursion, especialmente Alonzo Church, Alan Turing yStephen C. Kleene. Mientras los primeros “mantuvieron los pies en la tierra”y se ocuparon estrictamente de cuestiones de computacion, Kleene empezo adesarrollar una teorıa mucho mas abstracta, rica y sutil.

El concepto de partida era la nocion de funcion recursiva, que informalmentees una funcion f : ω −→ ω que puede ser calculada mediante un algoritmo oprograma de ordenador. A su vez, un conjunto A ⊂ ω es recursivo si su funcioncaracterıstica es recursiva, es decir, si existe un procedimiento efectivo paradeterminar si un numero natural es o no un elemento de A. Una clase unpoco mas general es la de los conjuntos recursivamente numerables, que sonlos conjuntos para los que existe un procedimiento efectivo para enumerar suselementos, lo cual no significa necesariamente que se pueda saber de antemano siun numero dado aparecera tarde o temprano en la enumeracion. Con notacionmoderna, los subconjuntos de ω recursivamente numerables forman la clase Σ0

1,sus complementarios la clase Π0

1 y los conjuntos recursivos forman entonces laclase ∆0

1 = Σ01 ∩Π0

1, es decir, un conjunto es recursivo si y solo si tanto el comosu complementario son recursivamente numerables.

Kleene fue mas alla y, tras generalizar trivialmente estas definiciones a sub-conjuntos de ωr, definio los conjuntos Σ0

n+1 de ωr como las proyecciones de loscomplementarios de los conjuntos Σ0

n de ωr × ω, y llamo Π0n a dichos comple-

mentarios (aunque la notacion que estamos empleando es posterior). Ası obtuvouna jerarquıa de subconjuntos de ωr que satisface las inclusiones

⊂∆0

1⊂

Σ01 ⊂

Π01

⊂

∆02

⊂Σ0

2

⊂

Π02

⊂

∆03

⊂ Σ03

⊂

Π03

⊂∆0

4

⊂ . . .

⊂ . . .

⊂

. . .⊂

donde, como es habitual, ∆0n = Σ0

n ∩ Π0n. A la clase

Ar =∞⋃

n=1Σ0n =

∞⋃

n=1Π0n =

∞⋃

n=1∆0n

le dio el nombre de clase de los conjuntos aritmeticos. Su primer trabajo signi-ficativo en esta direccion aparecio en 1943. Cualquiera dirıa que Kleene estaba“traduciendo” al contexto de los numeros naturales los resultados de la teorıadescriptiva de conjuntos, pero lo cierto es que desconocıa por completo estateorıa. Kleene era un “logico” y la teorıa descriptiva de conjuntos era “to-pologıa”. Recıprocamente, publicado en plena Segunda Guerra Mundial, el

xviii Introduccion

artıculo de Kleene no llego a manos de ningun matematico del este. De hecho,ese mismo ano un matematico polaco llamado Andrej Mostowski obtenıa in-dependientemente, siguiendo otros metodos y otras motivaciones, varios de susresultados. En 1944 Mostowski se graduo en una universidad clandestina queSierpinski dirigıa en Varsovia.

Paralelamente, Kleene llevo mucho mas lejos su “teorıa efectiva”. Para elloextendio el concepto de funcion recursiva a funciones definidas sobre espaciosde la forma X = ωr ×Ns (donde, para el, N no era “el espacio de Baire”, sinosimplemente el conjunto de las funciones f : ω −→ ω). La idea basica es que unafuncion definida en dicho espacio es recursiva si f(n1, . . . , nr, x1, . . . , xs) puedecalcularse mediante un algoritmo efectivo a partir de los valores n1, . . . , nr yde las restricciones x1|N , . . . , xx|N para un numero natural N suficientementegrande. A partir de aquı generalizo la definicion de las clases Σ0

n y Π0n para abar-

car no solo subconjuntos de los espacios ωr, sino subconjuntos de los espaciosX = ωr × Ns. Esto le permitio a su vez definir una nueva clase de subconjun-tos de X , que en notacion moderna es Σ1

1, formada por las proyecciones de losconjuntos aritmeticos de X × N. A su vez, esto permite definir los conjuntosΠ1

1 como los complementarios de los conjuntos Σ11 y, en general, los conjuntos

Σ1n+1 de X como las proyecciones de los complementarios de los conjuntos Σ1

n

de X ×N. Definiendo Π1n y ∆1

n de la forma habitual, Kleene obtuvo ası la clasede los conjuntos que llamo analıticos,

An =∞⋃

n=1Σ1n =

∞⋃

n=1Π1n =

∞⋃

n=1∆1n,

donde el nombre se opone a los conjuntos aritmeticos definidos previamente,aunque entra en conflicto con la definicion de “conjunto analıtico” de la teorıadescriptiva de conjuntos “clasica”. La nueva jerarquıa de conjuntos analıticossatisface las consabidas inclusiones

⊂∆1

1⊂

Σ11 ⊂

Π11

⊂

∆12

⊂Σ1

2

⊂

Π12

⊂

∆13

⊂ Σ13

⊂

Π13

⊂∆1

4

⊂ . . .

⊂ . . .

⊂

. . .⊂

De este modo, Kleene acercaba aun mas, sin ser consciente de ello, su teorıaefectiva con la teorıa de los conjuntos proyectivos, pues los espacios ωr × Ns

son espacios polacos4 y, de hecho, cada clase de Kleene esta contenida en laclase correspondiente de Borel o de Lusin. No obstante, para Kleene el uso delespacio N era algo auxiliar, como medio para definir los subconjuntos analıticosde ω, que eran los que realmente le interesaban.

4Los espacios ωr que habıa estudiado previamente tambien son espacios polacos, pero comotales son triviales, porque son discretos.

xix

Addison El primero en poner de manifiesto explıcitamente la analogıa entrela teorıa efectiva de Kleene y la teorıa clasica sobre los conjuntos proyectivos fueJohn W. Addison jr., que preparo su tesis doctoral bajo la direccion de Kleeney la defendio en 1954. En dicha tesis presenta la siguiente tabla de analogıas:

Teorıa clasica Teorıa efectivaR, N ωfunciones continuas funciones recursivasconjuntos de Borel conjuntos hiperaritmeticosconjuntos analıticos conjuntos Σ1

1

conjuntos proyectivos conjuntos analıticos

Los conjuntos hiperaritmeticos eran la ultima incorporacion de Kleene a suteorıa efectiva. En efecto, Kleene se dio cuenta de que sus conjuntos aritmeticosson ∆1

1, pero el recıproco no es cierto. No obstante, demostro que la jerarquıade los conjuntos aritmeticos puede prolongarse a una jerarquıa transfinita declases de conjuntos (analoga a la jerarquıa transfinita de las clases de Borel),y los conjuntos que aparecıan en cualquier nivel de esta nueva jerarquıa eranlos que llamo hiperaritmeticos, y ası pudo demostrar que los conjuntos hiper-aritmeticos eran precisamente los conjuntos ∆1

1, en perfecta analogıa con elteorema que Suslin habıa demostrado en su dıa por el que identificaba los con-juntos de Borel y los conjuntos ∆1

1. De este modo, en la analogıa expuesta porAddison se puede precisar que los conjuntos aritmeticos de Kleene se corres-ponden con los conjuntos de Borel de rango finito. Kleene publico estos nuevosresultados en dos artıculos que aparecieron en 1955. Por su parte, Mostowskihabıa descubierto independientemente los conjuntos hiperaritmeticos en 1951.La notacion Σ,Π,∆ que venimos empleando (tanto para la teorıa clasica comopara la efectiva) fue introducida por Addison en 1959, en un trabajo en el quepresento las primeras demostraciones publicadas de los resultados que Godelhabıa anunciado once anos atras sobre la existencia de conjuntos ∆1

2 no me-dibles Lebesgue y de conjuntos Π1

1 no numerables sin subconjuntos perfectos.De hecho, demostro que el axioma de constructibilidad permite resolver (deforma positiva o negativa segun los casos) practicamente todos los problemasclasicos que se habıan resistido a los padres de la teorıa clasica, generalizadossin restricciones a todas las clases de la jerarquıa proyectiva.

Pero Addison demostro ademas que la relacion entre la teorıa efectiva y lateorıa clasica no era una mera “analogıa”, sino que la primera era un refina-miento de la segunda: de los resultados de la teorıa efectiva se podıa deducirde forma inmediata resultados analogos para la teorıa clasica. Para ello definiorelativizaciones de las clases de Kleene: para cada a ∈ N, Addison definio clasesΣ0n(a), Π

0n(a), ∆

0n(a), Σ

1n(a), Π

1n(a), ∆

1n(a), de modo que toda la teorıa efec-

tiva era valida con modificaciones triviales para las clases efectivas relativas yademas

Σ1n =

⋃

a∈N

Σ1n(a),

e igualmente para las otras clases.

xx Introduccion

Solovay Como no podıa ser de otro modo, la conexion entre la teorıa clasicay la teorıa efectiva resulto enriquecedora para ambas, pero especialmente lateorıa efectiva realizo una contribucion a la teorıa clasica que iba a ser deci-siva: permitio reducir problemas esencialmente topologicos a enunciados casiexclusivamente conjuntistas, en los que la topologıa quedaba relegada a un se-gundo plano, si no era eliminada totalmente. Esto posibilito la aplicacion de lastecnicas conjuntistas sobre pruebas de consistencia a los problemas de la teorıadescriptiva.

En 1963–1964 Paul Cohen publico su prueba de la independencia del axiomade eleccion y la hipotesis del continuo de los axiomas de la teorıa de conjuntos,es decir, demostro que la razon por la que Cantor no habıa logrado demostrarni refutar su conjetura de que 2ℵ0 = ℵ1 era que tal afirmacion no puede de-mostrarse ni refutarse a partir de los axiomas de ZFC (supuesto que estos seanconsistentes). Su demostracion se basaba en la sofisticada tecnica de las exten-siones genericas, ideada por el mismo a tal efecto, y que supuso una revolucionen la logica matematica mucho mayor que la iniciada por Godel. En una confe-rencia impartida por Cohen en 1963 sugirio la posibilidad de que con su metodopudiera probarse la consistencia de que, sin suponer el axioma de eleccion, todosubconjunto de R fuera medible Lebesgue. Entre los oyentes se encontrabaun joven Robert Solovay, que al ano siguiente habıa encontrado una demos-tracion de este hecho. No obstante, la teorıa de las extensiones genericas seencontraba todavıa en estado embrionario e incluso era algo confusa en algunosaspectos. Durante los anos siguientes diversos matematicos fueron depurandolay aplicandola a problemas relacionados principalmente con la aritmetica cardi-nal. En 1966 Cohen publico el libro Set theory and the continuum hypothesis,redactado a partir de un curso que habıa impartido en Harvard el ano ante-rior, que fue la primera exposicion sistematica de la teorıa, y no fue hasta 1970que Solovay publico la version definitiva de su demostracion, que para entonceshabıa crecido mucho.

En efecto, Solovay demostraba –entre otras cosas— la consistencia de ZF(sin el axioma de eleccion) mas las afirmaciones siguientes:

a) El principio de elecciones dependientes (ED) (una version debil del axiomade eleccion que basta para construir la medida de Lebesgue y desarrollarpracticamente toda la teorıa descriptiva clasica).

b) Todo subconjunto de R es medible Lebesgue.

c) Todo subconjunto de R no numerable tiene un subconjunto perfecto.

Mas aun, si en lugar de a) queremos el axioma de eleccion completo (AE),solo tenemos que particularizar b) y c) a subconjuntos de R con una propiedadtecnica, a saber, los “subconjuntos hereditariamente definibles mediante sucesio-nes de ordinales”, propiedad que, en cualquier caso, poseen todos los conjuntosproyectivos. En definitiva, Solovay habıa demostrado la consistencia de ZFCcon que todo subconjunto proyectivo de R sea medible Lebesgue y, en caso deser no numerable, contenga un subconjunto perfecto.

xxi

Cardinales inaccesibles En realidad el teorema de Solovay que acabamosde discutir suponıa una hipotesis crucial que no hemos mencionado y que ahoravamos a comentar. Entre las implicaciones del teorema de incompletitud deGodel se encuentra que es imposible demostrar que la teorıa de conjuntos esconsistente. Mas aun, si en ZFC pudiera demostrarse que ZFC es consistente,esto implicarıa automaticamente que ZFC es contradictoria.

Por ello, toda prueba de consistencia es necesariamente una prueba de con-sistencia relativa. Por ejemplo, Godel y Addison no demostraron la consistenciade que exista un conjunto ∆1

2 no medible Lebesgue, sino que, si ZFC es consis-tente, tambien lo es ZFC + “existe un conjunto ∆1

2 no medible Lebesgue”, esdecir, demostraron la consistencia de esta afirmacion relativa a la consistenciade ZFC, que es lo maximo a lo que se puede aspirar. Por el mismo motivo, a lomaximo a lo que Solovay podıa aspirar era a demostrar lo siguiente:

Si ZFC es consistente, entonces tambien lo es ZFC + “ todo sub-conjunto proyectivo de R es medible Lebesgue y, si no es numerable,contiene un subconjunto perfecto”.

Combinando ambos resultados, esto supondrıa que si ZFC es consistente esimposible demostrar o refutar que todo conjunto proyectivo es medible Lebesgueetc., como Lusin ya habıa intuido.

Y sin embargo, no fue esto realmente lo que Solovay demostro, sino estootro:

Si ZFC + “existe un cardinal inaccesible” es consistente, tambien loes ZFC + “todo subconjunto proyectivo de R es medible Lebesgue y,si no es numerable, contiene un subconjunto perfecto”.

Los cardinales inaccesibles son los menores de los llamados “cardinales gran-des” y su caracterıstica principal en lo que aquı nos ocupa es

(1) En ZFC + “existe un cardinal inaccesible” se puede demostrarla consistencia de ZFC.

Esto no contradice al teorema de incompletitud, pero sı tendrıamos una con-tradiccion (o, mejor dicho, tendrıamos que ZFC es contradictorio) si pudieramosdemostrar

(2) La consistencia de ZFC implica la consistencia de ZFC + “existeun cardinal inaccesible”.

pues entonces uniendo (1) y (2) tendrıamos

(3) En ZFC + “existe un cardinal inaccesible” se puede demostrarla consistencia de ZFC + “existe un cardinal inaccesible”.

Entonces, por el teorema de incompletitud, tendrıamos que ZFC + “existeun cardinal inaccesible” serıa contradictoria y por (2) lo mismo le sucederıa aZFC.

xxii Introduccion

En suma: si ZFC es consistente, (2) es falso, de modo que la hipotesis delteorema de Solovay, es decir, la consistencia de ZFC + “existe un cardinalinaccesible” no puede demostrarse ni siquiera suponiendo la consistencia deZFC o, dicho con otras palabras: Solovay demostro su teorema a partir de unahipotesis estrictamente mas fuerte que la consistencia de ZFC.

Naturalmente, esto lleva a plantearse si la hipotesis es realmente necesaria,es decir, si no se podrıa encontrar un argumento mejor que el de Solovay quepermitiera llegar a la misma conclusion suponiendo unicamente la consistenciade ZFC.

Para el caso de los conjuntos sin subconjuntos perfectos la respuesta es re-lativamente simple. No es difıcil demostrar que

Si todo subconjunto Π11 de R no numerable posee un subconjunto

perfecto, entonces ℵ1 es inaccesible en L.

Ası pues, la consistencia de que todo conjunto Π11 —no ya todo conjunto

proyectivo— no numerable posea un subconjunto perfecto implica la consisten-cia de que exista un cardinal inaccesible. Por lo tanto, si el teorema de Solovay(al menos, la parte concerniente a subconjuntos perfectos) pudiera demostrarsea partir de la mera consistencia de ZFC, entonces a partir de esta podrıamosdemostrar la consistencia de ZFC + “existe un cardinal inaccesible”, lo cual,como ya hemos explicado, implicarıa que ZFC es contradictorio. En suma, lahipotesis del teorema de Solovay no se puede rebajar.

En cuanto a la medibilidad, combinando un hecho demostrado por Lusin (asaber, que todo conjunto Σ1

2 es union de ℵ1 conjuntos de Borel) con el hecho deque AM(ℵ1) implica que la union de ℵ1 conjuntos medibles Lebesgue es medibleLebesgue, podemos concluir:

La consistencia de ZFC implica la consistencia de ZFC + “todosubconjunto Σ1

2 de R es medible Lebesgue”.

Sin embargo, Shelah demostro en 1984 que

Si todo subconjunto Σ13 de R es medible Lebesgue, entonces ℵ1 es

inaccesible en L.

con lo que todo lo dicho para la propiedad de los subconjuntos perfectos seaplica igualmente a este caso.

El axioma de Determinacion Desde principios del siglo XX, diversos ma-tematicos habıan abordado algunos problemas en terminos de “juegos”, es decir,de planteamientos en los que dos o mas jugadores realizan por turnos una su-cesion de “jugadas” respetando unas “reglas de juego” con el objetivo de “ganar”una “partida”. La cuestion principal que plantean este tipo de juegos es el estu-dio de posibles estrategias ganadoras para alguno de los jugadores. Un analisisde este tipo puede aplicarse a un “juego” propiamente dicho (desde casos tri-viales como el tres en raya hasta casos matematicamente inabordables como el

xxiii

ajedrez) o bien puede ser una forma alegorica de abordar determinados proble-mas o situaciones. (Por ejemplo, en 1944 von Neumann y Morgensten usaronla teorıa de juegos para modelizar determinados comportamientos de agenteseconomicos.)

En 1953 el matematico y economista David Gale, junto con Frank Stewart,estudio las conexiones con la logica y la teorıa de conjuntos de un juego infinitoque llamaremos JX(A), donde X es un conjunto arbitrario (con al menos doselementos, para evitar casos triviales) y A ⊂ Xω (el “conjunto de apuesta”)es un conjunto de sucesiones en X . El juego consiste en que dos jugadoresI y II juegan por turnos un elemento de X : empieza I jugando x0, luego IIjuega un x1, y ası sucesivamente. La partida se prolonga hasta “completar”una sucesion infinita x ∈ Xω. Si x ∈ A el jugador I gana la partida, mientrasque si x ∈ Xω \A el ganador es II.

Se dice que el juego JX(A) esta determinado si uno de los dos jugadores tieneuna estrategia ganadora, es decir, si cuenta con un criterio para determinar cadajugada en funcion de las jugadas anteriores de modo que, sean cuales sean lasjugadas del adversario, acaba ganando la partida.

Gale y Stewart demostraron que, (considerando aX como espacio topologicodiscreto y a Xω como espacio topologico con la topologıa producto) cuando elconjunto de apuesta es abierto o cerrado, el juego JX(A) esta determinado. Porotro lado, demostraron que existen conjuntos A tales que el juego Jω(A) no estadeterminado, si bien la prueba depende esencialmente del axioma de eleccion.Gale y Stewart dejaron abierto el problema de si todos los juegos cuyo conjuntode apuesta es de Borel estan determinados.

Previamente, Mazur y Banach habıan observado la conexion con cierto pro-blema sobre la topologıa de los espacios polacos de que cierto juego infinito (quepuede reducirse a un juego Jω(A) estuviera determinado.

En 1955 Philip Wolfe demostro que los juegos JX(A) cuyo conjunto de apues-tas es Σ0

2(A) estan determinados. Ciertamente, como paso para probar la con-jetura de Gale-Stewart sobre la determinacion de los juegos de Borel, era unpaso minusculo y, a pesar de que en los anos siguientes no hubo ningun avancesignificativo en este problema, en 1962 los matematicos polacos Jan Mycielskiy Hugo Steinhaus tuvieron la audacia de proponer un axioma alternativo parala teorıa de conjuntos:

Axioma de determinacion (AD) Para todo A ⊂ N, el juegoJω(A) esta determinado.

Decimos “axioma alternativo” porque AD contradice al axioma de eleccion(como hemos indicado, este implica que existen juegos no determinados), luegola teorıa de conjuntos ZF + AD viene a ser a la teorıa de conjuntos “estandar”dada por ZFC como una geometrıa no euclıdea es a la geometrıa euclıdea.

Ante la falta de motivos para temer lo contrario, Mycielski y otros ma-tematicos polacos pasaron a estudiar las consecuencias de AD suponiendolo

xxiv Introduccion

consistente con el principio de elecciones dependientes (ED) que, segun hemosindicado al tratar sobre el teorema de Solovay, es una forma debil del axiomade eleccion que basta para desarrollar todo el analisis y toda la topologıa basicay toda la teorıa descriptiva de conjuntos clasica. Ası, en 1964, Mycielski ySwierczkowski por una parte, y Banach, Mazur y Davis por otra, demostraronque AD + ED implica que todo subconjunto de R es medible Lebesgue y que,si es no numerable, contiene un subconjunto perfecto. Por otra parte, Davisdemostro la determinacion de los juegos Σ0

3 (otro paso de pulga).

Durante la decada de los 70 el estudio del Axioma de Determinacion resultoespecialmente fertil. La guerra frıa afectaba cada vez menos a las comunicacio-nes internacionales entre matematicos (al menos en temas tan inofensivos comola teorıa de conjuntos) y ası, desde Alexander Kechris y Yiannis N. Moschovakisen Grecia hasta Robert Solovay en los Estados Unidos, un amplio abanico dematematicos fue descubriendo que AD implica una teorıa de conjuntos exotica yfascinante, como una geometrıa no euclıdea. Siguiendo esta analogıa, el axiomade constructibilidad de Godel (V = L) y el axioma de determinacion (AD)son como la afirmacion y la negacion del axioma de las paralelas, pues deter-minan los problemas abiertos de la teorıa descriptiva de conjuntos de formasmutuamente contradictorias. He aquı algunos ejemplos:5

V = L ADExiste un conjunto ∆1

2 no medibleLebesgue.

Todo conjunto es medible Lebesgue.

Existe un conjunto Π11 no numerable

sin subconjuntos perfectos.Todo conjunto no numerable con-tiene un subconjunto perfecto.

Las clases Π11 y Σ1

n para n ≥ 2tienen la propiedad de uniformiza-cion6(y las demas no).

Las clases Π12n+1 y Σ1

2n+2 tienen lapropiedad de uniformizacion (y lasdemas no).

2ℵ0 = ℵ1 Los cardinales 2ℵ0 y ℵ1 no son com-parables (ninguno de los dos es me-nor o igual que el otro).

Todo conjunto es union de ℵ1 con-juntos de Borel

Un conjunto es union de ℵ1 conjun-tos de Borel si y solo si es Σ1

2.

En 1970 Donald A. Martin demostro la determinacion de los juegos analıticos,aunque para ello tuvo que suponer la existencia de un cardinal medible, es decir,un cardinal grande que esta mucho mas arriba en la escala de cardinales gran-des que los cardinales inaccesibles.7 Por otro lado, cabe destacar que Martin

5Todas las propiedades se refieren a subconjuntos de un espacio polaco, excepto las relativasa la medida de Lebesgue, que requieren que el conjunto sea un subconjunto de Rn, si bien sonvalidas tambien para medidas de Borel continuas (no nulas) en cualquier espacio polaco.

6Esto significa que cada conjunto de la clase correspondiente en un producto de espaciospolacos puede uniformizarse por un conjunto de la misma clase.

7Esto significa que, por ejemplo, del mismo modo que suponiendo la consistencia de ZFCno podemos probar la consistencia de ZFC + “existe un cardinal inaccesible”, esta no permiteprobar a su vez la consistencia de que existan dos cardinales inaccesibles, y esta no permitedemostrar a su vez la consistencia de que existan infinitos cardinales inaccesibles, y esta

xxv

no demostro que si existe un cardinal medible es consistente que los juegos Σ11

estan determinados (lo cual serıa un resultado formalmente analogo al teoremade Solovay que hemos discutido anteriormente), sino que demostro algo masfuerte: si existe un cardinal medible, los juegos Σ1

1 estan determinados.

Finalmente, en 1975 Martin demostro (en ZFC, sin suponer axiomas adicio-nales sobre cardinales grandes ni de ningun otro tipo) que todos los juegos deBorel estan determinados, tal y como Gale y Stewart habıan conjeturado.

La consistencia de AD Quiza el lector sienta reticencias a considerar seria-mente un axioma que contradice al axioma de eleccion, y supondra que muchosmatematicos seran igual de reticentes. Ante esto hay una solucion casi evidente,y es que el axioma de determinacion se puede debilitar hasta hacerlo compatiblecon AE. Esto es lo que sucede cuando lo reducimos al

Axioma de Determinacion Proyectiva (ADP): Si A ⊂ N esun conjunto proyectivo, entonces el juego Jω(A) esta determinado.

En principio, no hay ninguna evidencia de que ADP contradiga al axioma deeleccion, y suponiendo ADP podemos demostrar gran parte de las consecuenciasque hemos comentado sobre AD restringidas a conjuntos proyectivos, es decir,podemos probar que todo conjunto proyectivo es medible Lebesgue y que, si esno numerable, contiene un subconjunto perfecto, o que las clases proyectivas conla propiedad de uniformizacion son las mismas indicadas en la tabla precedenteen la columna AD, etc., todo ello sin menoscabo del axioma de eleccion. En otraspalabras, al suponer ADP estamos garantizando que los ejemplos molestos quepueden construirse con el axioma de eleccion (conjuntos no medibles Lebesgue,etc.) queden fuera del ambito de la teorıa descriptiva de conjuntos, es decir, nosean conjuntos proyectivos, mientras que AD supone expulsarlos del ambito dela teorıa de conjuntos en general, es decir, supone negar su existencia.

No obstante, hay razones para no escandalizarse de que AD contradiga alaxioma de eleccion y no despreciar, por tanto, los resultados que pueden de-mostrarse a partir de el. Estas razones ya fueron presentadas por Mycielskiy Steinhaus en el trabajo en el que propusieron AD como axioma, a pesar deque entonces, mas que razones, eran esperanzas sin mucha evidencia que lassoportara.

Siguiendo el paralelismo con las geometrıas no euclıdeas, el argumento esel equivalente a que estudiar la geometrıa Riemanniana (en la que no existenrectas paralelas) no tiene por que verse como un ataque directo a Euclides, sinomas bien como una forma conveniente de estudiar la geometrıa de una esfera,que es un objeto totalmente euclıdeo. Para desarrollar esta idea recordemos en

no permite demostrar a su vez la consistencia de que exista un cardinal de Mahlo, y estano permite demostrar a su vez la consistencia de que existan dos cardinales de Mahlo, yası sucesivamente con toda una cadena de cardinales que, en un punto intermedio, tiene a loscardinales medibles, pasando previamente por los cardinales debilmente compactos, cardinalesde Ramsey, etc.

xxvi Introduccion

que consiste esencialmente la demostracion de Godel de la consistencia de lahipotesis del continuo:

Godel definio el concepto de “conjunto constructible” y demostro que la claseL de todos los conjuntos constructibles es un modelo de ZFC, es decir, que sieliminamos todos los conjuntos que no son constructibles (o —si no queremosser tan drasticos— si “solo miramos” los conjuntos constructibles), los axiomasde ZFC (y todas sus consecuencias) siguen siendo ciertos: seguiremos viendoel conjunto vacıo (porque es constructible), dados dos conjuntos constructiblesseguiremos viendo a su union (porque es constructible), etc., de modo que noecharemos en falta ninguno de los conjuntos que hemos “quitado de nuestravista”. Ahora bien, Godel demostro que si solo vemos los conjuntos construc-tibles la hipotesis del continuo es cierta. Ası pues, un teorema que suponga lahipotesis del continuo puede ser una afirmacion falsa sobre la clase V de todoslos conjuntos, pero es, en cualquier caso, una afirmacion verdadera (sin supo-ner la hipotesis del continuo) sobre la clase L de los conjuntos constructibles.(Comparese con el caso de la geometrıa Riemanniana: un teorema que supongaque no existen rectas paralelas es falso como afirmacion sobre el espacio euclıdeo,pero es verdadero como afirmacion sobre los puntos de una esfera, entendiendoque la palabra “recta” ha de ser interpretada como “cırculo maximo”8, y, en-tendido ası, es un teorema verdadero sobre el espacio euclıdeo.)

Similarmente, Mycielski y Steinhaus conjeturaron que “deberıa de haber” unmodelo interno de ZF + ED + AD, y que lo deseable serıa que contuviera a todoslos numeros reales. Solovay apunto como posible candidato a L(N), es decir, a lamenor clase propia transitiva que contiene al espacio de Baire N y es un modelode ZF. Es facil demostrar (en ZFC) que los axiomas de ZF son verdaderosen L(N) (es decir, que siguen siendo verdaderos si decidimos que “conjunto”signifique especıficamente “conjunto en L(N)”), y lo mismo sucede con ED,mientras que AE es verdadero en L(N) si y solo si N admite un buen orden quepertenezca a L(N). Ası, aunque supongamos AE, con ello podemos demostrarque N admite un buen orden, pero dicho buen orden no esta necesariamenteen N. Esto abrıa la posibilidad de que, suponiendo la existencia de un cardinalgrande “suficientemente grande”, pudiera demostrarse en ZFC que el axioma dedeterminacion es verdadero en L(N).

La primera demostracion de la consistencia de AD la publico Martin en1980, suponiendo la existencia de uno de los cardinales grandes mas altos en laescala de cardinales grandes (un cardinal I2). En 1984 Woodin, suponiendo laexistencia de un cardinal aun mayor (un cardinal I0, el mas alto en la escalahoy en dıa, por cuya consistencia algunos no apostarıan mucho) demostro queAD es verdadero en L(N). Finalmente, en 1988 Martin y Steel publicaron unademostracion de este mismo resultado cuya hipotesis era algo mas debil que laexistencia de un cardinal supercompacto (que esta algo por arriba de los cardi-nales medibles en la escala de cardinales grandes, pero que puede considerarseya una “hipotesis razonable”).

8En realidad es necesario identificar cada par de puntos antıpodas para que no haya paresde puntos por los que pasen infinitas rectas. Este tecnicismo oscurece la analogıa, pero esirrelevante para lo que aquı nos ocupa.

xxvii

Posteriormente, Woodin demostro que la hipotesis de Martin y Steel es ne-cesaria, en el sentido de que la consistencia de AD implica la consistencia dedicha hipotesis, con lo que tenemos realmente una equivalencia.

El modelo L(N) Segun lo dicho en el parrafo anterior, L(N) resulta ser (su-puesta la existencia de los cardinales grandes adecuados) el “modelo natural”de ZF + ED + AD. Este modelo contiene a todos los numeros reales, ası comoa todos los subconjuntos proyectivos de N o R y muchos mas. Ası pues, elhecho de que AD implique que todo subconjunto de R es medible Lebesgue(en contradiccion con el axioma de eleccion), se puede reinterpretar como quetodo subconjunto de R que pertenezca a L(N) es medible Lebesgue (lo cual,no solo no contradice en absoluto al axioma de eleccion, sino que ademas nosproporciona una clase muy amplia de conjuntos medibles Lebesgue mayor condiferencia a la de los conjuntos proyectivos). En general, todo teorema demos-trado en ZF + ED + AD, aunque contradiga al axioma de eleccion y muchosmatematicos lo consideren por ello “falso”, puede interpretarse como un teo-rema sobre los conjuntos de L(N) y, visto ası ya no contradice al axioma deeleccion. Otro ejemplo: el hecho de que AD implique que los cardinales 2ℵ0 yℵ1 no son comparables (en contradiccion con el axioma de eleccion) significasimplemente que ninguna de las aplicaciones inyectivas ℵ1 −→ R —que existenpor el axioma de eleccion— pertenece a L(N), lo cual “no tiene nada de malo”,pero hace que alguien que solo vea los conjuntos de L(N) “piense” que 2ℵ0 y ℵ1

no son comparables.

Estas consideraciones hacen que los matematicos que trabajan en teorıa des-criptiva de conjuntos y acostumbren a dar AD por supuesto casi sin mencionarloexplıcitamente no consideren que estan renegando del axioma de eleccion, sinomas bien que estan estudiando la clase L(N), al igual que otros matematicosestudian, por ejemplo, el conjunto Rn.

* * *

Sobre este libro El proposito de este libro es contar los detalles de la histo-ria que hemos resumido en las paginas precedentes. Aunque hemos escrito estaintroduccion con la intencion de que pueda ser entendida por un lector no espe-cialista, esto no debe llamar a engano: el libro requiere un buen conocimientode logica y teorıa de conjuntos (lo que incluye no solo las tecnicas usuales em-pleadas en las pruebas de consistencia, sino tambien la teorıa sobre cardinalesgrandes), ası como de algo de topologıa y analisis.9 No obstante, los capıtulosde este primer volumen requieren casi exclusivamente el conocimiento de la to-pologıa conjuntista, la teorıa de la medida y los elementos basicos de la teorıa deconjuntos (teorıa de ordinales, cardinales, relaciones bien fundadas, etc., peronada relativo a pruebas de consistencia o cardinales grandes). Dejamos para elsegundo volumen las pruebas de consistencia.

9Concretamente, todos los requisitos necesarios estan incluidos en mis libros de Logica

matematica (citado como [L]), Teorıa de conjuntos ([TC]), Pruebas de consistencia ([PC]),Cardinales grandes ([CG]) y Analisis matematico I ([AM]).

Primera parte

Introduccion a los espaciospolacos

1

Capıtulo I

Espacios polacos

Aunque los problemas que dieron origen a la teorıa descriptiva de conjuntospueden plantearse de forma natural como problemas relativos a la topologıausual de la recta real y, en su caso, generalizables trivialmente a Rn, al tratarlosno tarda en hacerse patente la conveniencia de extender el objeto de estudio auna familia mas amplia de espacios topologicos, los llamados espacios polacos,y a su vez, al realizar esta extension, pronto se concluye que es mucho masconveniente convertir en protagonistas del estudio a otros espacios polacos con-juntistamente mas simples (como el espacio de Baire o el espacio de Cantor), detal forma que las conclusiones obtenidas sobre estos se transportan facilmente aR o Rn. Dedicamos, pues, este primer tema a los preliminares topologicos quenecesitaremos sobre espacios polacos.

1.1 Espacios polacos. Productos y subespacios

Definicion 1.1 Un espacio polaco es un espacio topologico completamente me-trizable y separable.

Recordemos que un espacio topologico X es completamente metrizable sisu topologıa esta inducida con una metrica con la cual resulta ser un espaciometrico completo. La separabilidad significa que, con dicha topologıa, X poseeun subconjunto denso numerable. En particular, es claro que los espacios Rn

son espacios polacos.

Es importante destacar que un espacio polaco no se define como un espaciometrico completo separable. La diferencia es sutil, pero relevante, pues implicaque un espacio polaco no es un espacio metrico, sino meramente un espaciotopologico. Mas precisamente, un espacio polaco no es un par (X, d), donde des una distancia en X , sino un par (X,T), donde T es una topologıa en X , conla propiedad de que existe una distancia d en X que induce la topologıa T.

Esto implica en particular que todo espacio topologico homeomorfo a unespacio polaco es tambien un espacio polaco (pues un homeomorfismo entreambos permite transportar la metrica completa que induce la topologıa de uno

3

4 Capıtulo 1. Espacios polacos

a una metrica completa que induzca la del otro) y que si dos metricas completasen X determinan la misma topologıa separable, entonces ambas determinan elmismo espacio polaco

Por ejemplo, el intervalo ]0, 1[ con la metrica usual no es un espacio metricocompleto, sin embargo, como espacio topologico es un espacio polaco, pues]0, 1[ ∼= R y, por consiguiente, la topologıa usual en ]0, 1[ puede inducirse apartir de una metrica completa (que no es la usual).

Recordemos [TC 8.46] que, en un espacio metrico, la separabilidad equivaleal segundo axioma de numerabilidad, luego un espacio polaco puede definirsealternativamente como un espacio topologico completamente metrizable y 2AN,es decir, con una base numerable.

Teniendo en cuenta que todo subespacio de un espacio 2AN es 2AN y quetodo subespacio cerrado de un espacio metrico completo es completo, conclui-mos que todo subespacio cerrado de un espacio polaco es tambien un espaciopolaco. Pero ya hemos visto que el recıproco no es cierto, pues ]0, 1[ no es unsubespacio cerrado de R y, sin embargo, es tambien un espacio polaco (aunqueno cumple la definicion con la restriccion de la metrica usual). Vemos ası queel hecho de que para determinar si un subespacio Y de un espacio polaco Xno podamos limitarnos a considerar en Y la restriccion de la metrica que este-mos considerando en X hace que el problema de determinar que subespacios deun espacio polaco son tambien espacios polacos no sea trivial. Para resolverloempezamos con una observacion sencilla:

Si (X, d) es un espacio metrico y r > 0. Entonces la aplicaciond′ : X×X −→ R dada por d′(x, y) = mınd(x, y), r es una distanciaen X que induce la misma topologıa. Ademas (X, d) es completo siy solo si lo es (X, d′).

La prueba no ofrece ninguna dificultad. De aquı obtenemos un resultadogeneral:

Teorema 1.2 Todo subespacio abierto de un espacio polaco es un espacio polaco(con la topologıa relativa).

Demostracion: Sea X un espacio polaco y U ⊂ X un abierto (podemossuponer que∅ 6= U 6= X). Por la observacion precedente la topologıa deX vieneinducida por una distancia completa d que solo toma valores ≤ 1. Definimosd′ : U × U −→ R mediante

d′(x, y) = d(x, y) +

∣∣∣∣

1

d(x,X \ U)−

1

d(y,X \ U)

∣∣∣∣.

Notemos que, como X \ U es cerrado, los denominadores no se anulan (porel teorema [TC 8.22]). Se comprueba facilmente que d′ es una distancia en U .Como d(x, y) ≤ d′(x, y) todo abierto para d es abierto para d′. Fijemos ahorax ∈ U y sea r = d(x,X \ U) > 0. Si y ∈ U cumple que d(x, y) < δ < r, es facilver que

r − δ ≤ d(y,X \ U) ≤ r + δ.

1.1. Espacios polacos. Productos y subespacios 5

Segun que esta distancia sea ≥ r o ≤ r tenemos∣∣∣∣

1

d(x,X \ U)−

1

d(y,X \ U)

∣∣∣∣=

1

r−

1

d(y,X \ U)

≤1

r−

1

r + δ=

δ

r(r + δ)<

δ

r(r − δ)

o bien∣∣∣∣

1

d(x,X \ U)−

1

d(y,X \ U)

∣∣∣∣=

1

d(y,X \ U)−

1

r≤

1

r − δ−

1

r=

δ

r(r − δ).

En cualquier caso,

d′(x, y) ≤ δ +δ

r(r − δ).

Como el miembro derecho tiende a 0 cuando δ → 0, concluimos que, paracada ǫ > 0, existe un δ > 0 tal que Bdδ (x) ⊂ Bd

′

ǫ (x), luego todo abierto parad′ es abierto para d. Ası pues, d′ induce la misma topologıa que d sobre U .Si probamos que d′ es una metrica completa, tendremos que U es un espaciopolaco.

Sea xn∞n=0 una sucesion de Cauchy para la distancia d′. Como d ≤ d′,

tambien es de Cauchy para d y, como d es completa, existe un x ∈ X tal quexn

∞n=0 converge a x respecto de d.

Por otra parte, la sucesion d(xn, X \U)−1 es de Cauchy en R, luego convergea un cierto r > 0. En particular existe un M > 0 tal que d(xn, X \ U)−1 ≤ Mpara todo n ∈ ω, luego d(xn, X \ U) ≥ 1/M y, como d( , X \ U) es una funcioncontinua (para la metrica d), concluimos que d(x,X \ U) ≥ 1/M > 0, luegox ∈ U .

Ahora es inmediato que d′(xn, x) converge a 0 en R, luego xn∞n=0 converge

a x respecto de d′.

Con esto tenemos que tanto los subespacios abiertos como los cerrados de unespacio polaco son tambien espacios polacos, pero esto todavıa puede mejorarse.Para ello definimos un conjuntoGδ como una interseccion numerable de abiertos.

Teorema 1.3 Todo subconjunto Gδ de un espacio polaco es un espacio polaco(con la topologıa relativa).

Demostracion: SeaX un espacio polaco y seaG =⋂

n<ωUn una interseccion

numerable de conjuntos abiertos.Sustituyendo cada Un por

⋂

i≤n

Ui no perdemos generalidad si suponemos queUn+1 ⊂ Un.

Por el teorema anterior existe una metrica completa dn en Un que inducela topologıa relativa. Podemos suponer que dn no toma valores mayores que 1.Definimos d′ : G×G −→ R mediante

d′(x, y) =

∞∑

n=0

1

2n+1dn(x, y).

6 Capıtulo 1. Espacios polacos

Es facil ver que d′ es una distancia en G. Si x ∈ G, tambien es claro queBd

′

ǫ/2(x) ⊂ Bd0ǫ (x)∩G, y esto implica que todo abierto para la topologıa relativa

en G es abierto para d′. Recıprocamente, dado ǫ > 0, existe un n0 ∈ ω tal que

∞∑

n=n0

1

2n+1<ǫ

2.

Por otro lado, existe un δ0 > 0 tal que, para todo n < n0, si dn(x, y) < δ0entonces

∑

n<n0

1

2n+1dn(x, y) <

ǫ

2,

luego tambien d′(x, y) < ǫ.Como cada metrica dn induce en Un la topologıa relativa, existe 0 < δ1 < δ0

tal que Bd1δ1 (x) ⊂ Bd0δ0 (x). Igualmente, existe 0 < δ2 < δ0 de manera que

Bd2δ2 (x) ⊂ Bd1δ1 (x) y, tras un numero finito de pasos, llegamos a un 0 < δn−1 < δ0tal que

Bdn−1

δn−1(x) ⊂ B

dn−2

δn−2(x) ⊂ · · · ⊂ Bδ0(x).

Ası, Bdn−1

δn−1(x) ∩ G ⊂ Bǫ(x), luego todo abierto para d′ es abierto para la topo-

logıa relativa.

Por ultimo, si xn∞n=0 es una sucesion de Cauchy en G para d′, entonces

es una sucesion de Cauchy en cada Un para la metrica d′, luego la sucesionconverge a un cn ∈ Un respecto a la distancia dn, pero, como la topologıa decada Un+1 es la inducida desde Un, en Un la sucesion converge a cn y a cn+1,luego cn = cn+1 y todos los lımites son iguales a un mismo c ∈ G. Ademas lasucesion converge a x en G (respecto a la topologıa relativa, luego respecto a lametrica d′ que la induce). Esto prueba que d′ es completa y que G es un espaciopolaco.

Notemos que el teorema anterior incluye trivialmente al caso de los subes-pacios abiertos, pero tambien al de los cerrados:

Teorema 1.4 En un espacio metrizable, todo cerrado es un conjunto Gδ.

Demostracion: Si X es un espacio metrico y C ⊂ X es cerrado (quepodemos suponer no vacıo), el conjunto

Bǫ(C) = x ∈ X | d(x,C) < ǫ

es abierto en X , porque la aplicacion d( , C) : X −→ R es continua [TC 8.37].Ademas, por [TC 8.22]

C = x ∈ X | d(x,C) = 0 =⋂∞n=1B1/n(C).

Por ultimo probamos que el teorema 1.3 no puede generalizarse mas:

1.1. Espacios polacos. Productos y subespacios 7

Teorema 1.5 Un subespacio de un espacio polaco es polaco (con la topologıarelativa) si y solo si es Gδ.

Demostracion: Una implicacion es el teorema anterior. Supongamosahora que X es un espacio polaco y que Y ⊂ X es un subespacio polaco.Sea Un

∞n=0 una base de la topologıa de X y sea d una metrica completa que

induzca la topologıa de Y . Definimos

G = Y ∩∞⋂

n=1

⋃Um | d(Y ∩ Um) < 1/n,

donde d(Y ∩ Um) representa el diametro del conjunto Y ∩ Um respecto de ladistancia d. Obviamente G es un subconjunto Gδ de X (es interseccion de dosconjuntos Gδ). Vamos a probar que Y = G.

Si x ∈ Y y n ∈ ω \ 0, tenemos que Bd1/4n(x) es abierto en Y , luego existe

un m ∈ ω tal que x ∈ Y ∩ Um ⊂ Bd1/4n(x) y d(Y ∩ Um) ≤ 1/2n < 1/n. Estoprueba que x ∈ G, luego Y ⊂ G.

Supongamos ahora que x ∈ G. Para cada n ∈ ω \ 0, sea mn ∈ ω tal quex ∈ Umn

y d(Y ∩ Umn) < 1/n. Como Y es denso en G, existe

yn ∈ Y ∩ Um1 ∩ · · · ∩ Umn∩Bd

′

1/n(x),

donde d′ es una metrica que induzca la topologıa de X .Ası, si n < n′, se cumple que yn, yn′ ∈ Y ∩ Umn

, luego d(yn, yn′) ≤ 1/n, yesto implica que la sucesion yn

∞n=0 de de Cauchy en Y , luego converge a un

y ∈ Y , pero, por otra parte, es claro que la sucesion converge a x, luego ha deser x = y ∈ Y .

Con esto tenemos resuelto el problema de determinar que subespacios de unespacio polaco son espacios polacos. La situacion con los productos es muchomas simple:

Teorema 1.6 Todo producto finito o numerable de espacios polacos es un es-pacio polaco (con la topologıa producto).

Demostracion: Sea Xn∞n=0 una familia numerable de espacios polacos

y sea X =∞∏

n=0Xn. Vamos a probar que tambien es polaco. Ciertamente tiene

una base numerable, la formada por los abiertos de la forma

U1 × · · · × Um ×∞∏

n=m+1Xn,

donde m ∈ ω y cada Ui recorre una base numerable de Xi.Consideramos ahora una metrica dn que induzca la topologıa de Xn. Pode-

mos suponer que no toma valores mayores que 1. Esto nos permite definir, parax, y ∈ X , la distancia

d(x, y) =

∞∑

n=0

1

2ndn(xn, yn),

8 Capıtulo 1. Espacios polacos

que induce la topologıa producto [TC 8.13]. Ademas, si xi∞i=0 es una sucesionde Cauchy en el producto, es claro que cada sucesion xin

∞n=0 es de Cauchy en

el espacio Xn, luego converge a un cierto xn ∈ Xn. Estos xn determinan unx ∈ X y es claro que la sucesion dada converge a x. Ası pues, la distancia d escompleta y X es un espacio polaco.

Dejamos al lector el caso con un numero finito de factores, que es muchomas sencillo que el caso infinito que acabamos de tratar.

El teorema siguiente implica que el producto de una cantidad no numerablede espacios polacos con mas de un punto no es un espacio polaco, por lo queel teorema anterior agota las posibilidades de formar espacios polacos medianteproductos.

Teorema 1.7 Sea Xii∈I una familia de espacios topologicos y supongamosque1 X =

∏

i∈I

Xi 6= ∅. Entonces X cumple 2AN si y solo si lo cumple cada factor

y todos salvo a lo sumo una cantidad numerable de ellos tienen la topologıa trivial(en la que los unicos abiertos son ∅ y Xi).

Demostracion: Si X cumple 2AN, por el teorema 1.11 tenemos una basenumerable formada por abiertos de la forma

Un =∏

i∈I

Gi,n,

donde Gi,n es abierto en Xi y el conjunto In = i ∈ I | Gi,n 6= Xi es finito.Es claro entonces2 que la familia Gi,nn∈ω es una base de Xi. Por lo tanto,

Xi cumple 2AN.Ademas, I0 =

⋃

B∈B

IB es un subconjunto numerable de I y si i ∈ I \ I0

tenemos que Xi es una base de Xi, luego la topologıa de Xi es la trivial.

Recıprocamente, si cada espacioXi tiene una base numerableBi y todos ellossalvo una cantidad numerable tienen la topologıa trivial (con lo que Bi = Xi),es claro que la base de X formada por todos los productos basicos en los quetodos los factores salvo un numero finito de ellos son iguales a Xi es numerable,luego X cumple 2AN.

Definicion 1.8 El cubo de Hilbert es el espacio H = Iω, donde I = [0, 1] es elintervalo unitario en R.

Por el teorema 1.6 es un espacio polaco3 y resulta tener la siguiente propiedaduniversal: los espacios polacos son, salvo homeomorfismo, los subespacios Gδdel cubo de Hilbert. En efecto:

1Para justificar que el producto no es vacıo necesitarıamos AE.2Aquı usamos la hipotesis de que X 6= ∅, pues, dado p ∈ xi, necesitamos que exista un

x ∈ X tal que xi = p.3Por las observaciones posteriores a [TC 8.67] podemos afirmar que H es compacto sin

necesidad del axioma de eleccion.

1.1. Espacios polacos. Productos y subespacios 9

Teorema 1.9 Todo espacio metrico separable es homeomorfo a un subespacioGδ del cubo de Hilbert.

Demostracion: Sea X un espacio metrico separable y sea D = xi∞i=0 un

subconjunto denso enX . Definimos f : X −→ Hmediante f(x) = d(x, xi)i∈ω.Como las aplicaciones d( , xi) son continuas, es claro que f es continua. Ademases inyectiva, pues si x, y ∈ X son dos puntos distintos, podemos tomar bolasabiertas disjuntas del mismo radio centradas en cada uno de ellos, y un puntode D que este en una de dichas bolas no puede estar a la misma distancia deambos puntos.

Falta probar que f es un homeomorfismo en su imagen, es decir, que laaplicacion f−1 : f [X ] −→ X es continua. Para ello tomamos una sucesion enf [X ] que converja a un punto de f [X ]. La sucesion sera de la forma f(xi)∞i=0

y el lımite de la forma f(x), donde xi, x ∈ X . Vamos a demostrar que xi∞i=0

converge a x.Lo que sabemos es que lım

id(xi, xn) = d(x, xn) para todo n ∈ ω. Sea ǫ > 0 y

tomemos un n ∈ ω tal que d(x, xn) < ǫ/2. Entonces existe un i0 ∈ ω tal que sii ≥ i0 se cumple que d(xi, xn) < ǫ/2, pero entonces d(xi, x) < ǫ, lo que pruebala convergencia.

Finalmente, f [X ] es Gδ por el teorema 1.5.

Cabe destacar el caso de los espacios metricos compactos:

Teorema 1.10 Todo espacio metrico compacto es un espacio polaco y es ho-meomorfo a un subespacio cerrado del cubo de Hilbert.

Demostracion: Sea K un espacio metrico compacto. Se cumple que escompleto porque toda sucesion de Cauchy tiene una subsucesion convergente[TC 8.63], y esto implica que la sucesion completa es convergente. Para obtenerun conjunto denso numerable en K consideramos el cubrimiento de K por lasbolas abiertas de radio 1/n. Por compacidad tiene un subcubrimiento finito, demodo que existe un conjunto finito Dn ⊂ K tal que K =

⋃

x∈Dn

B1/n(x).

Entonces, el conjunto D =⋃

n∈ω\0

Dn es un subconjunto denso numerablede K.

Ası pues, K es un espacio polaco y, por el teorema anterior, es homeomorfoa un subespacio del cubo de Hilbert. Por compacidad el subespacio ha de sercerrado.

En particular hemos probado que todo espacio metrico compacto es 2AN.Vamos a probar tambien el recıproco, para lo cual necesitamos un hecho previo:

Teorema 1.11 Si X es un espacio 2AN, toda base de X contiene una basenumerable.

Demostracion: Sea B una base numerable de X y sea B′ una base arbi-traria. Fijemos B ∈ B y sea

FB = U ∈ B |∨

V ∈ B′(U ⊂ V ⊂ B).

10 Capıtulo 1. Espacios polacos

Para cada U ∈ FB, elegimos un V ∈ B′ tal que U ⊂ V ⊂ B, con lo que

formamos una familia numerable F′B ⊂ B′. Claramente B =

⋃

V ∈F′B

V , luegoB′

0 =⋃

B∈B

F′B ⊂ B′ es una base numerable de X .

Teorema 1.12 Un espacio compacto es polaco si y solo si es 2AN.

Demostracion: Una implicacion se debe al teorema 1.10. Para probarla otra consideramos un espacio K compacto y 2AN y aplicamos el Lema deUrysohn:4 Si x ∈ K y U es un abierto, existe una funcion continua f : K −→ R

tal que f(x) = 1 y f |K\V = 0. Por lo tanto, los conjuntos f−1[R \ 0], dondef recorre las funciones reales continuas en K, forman una base de K. Por elteorema anterior existe una sucesion de funciones fnn∈ω tal que los conjuntosCn = f−1

n [R \ 0] forman una base de K.Ahora consideramos la aplicacion f : K −→ Rω dada por f(x) = fn(x)n∈ω ,

que claramente es continua. Ademas es inyectiva, pues si x, y ∈ K son puntosdistintos, existe un abierto basico Cn tal que x ∈ Cn, y /∈ Cn, con lo quefn(x) 6= 0, fn(y) = 0, luego f(x) 6= f(y).

Como K es compacto, f es un homeomorfismo en su imagen y, como Rω esmetrizable, K tambien lo es. La compacidad implica que K es completamentemetrizable, luego es un espacio polaco.

Veamos un ultimo ejemplo de espacio polaco:

Teorema 1.13 Si K es un espacio metrico compacto y X es un espacio polaco,entonces el espacio C(K,X) de las funciones continuas de K en X es un espaciopolaco con la topologıa de la convergencia uniforme.

Demostracion: La topologıa de la convergencia uniforme es la inducidapor la metrica

d(f, g) = supx∈K

d(f(x), g(x)),

que esta bien definida por la compacidad de K (la funcion d : K×K −→ R estaacotada, luego existe el supremo). El teorema [An 3.54] prueba que C(K,X) esun espacio metrico completo, luego, como espacio topologico, es completamentemetrizable. Falta probar que es separable. Para cada m,n ∈ ω \ 0, definimos

Cm,n = f ∈ C(K,X) |∧

xy ∈ K(d(x, y) < 1/m→ d(f(x), f(y)) < 1/n).

Cubriendo K con bolas de radio 1/m y tomando un subcubrimiento obtenemosun conjunto finito Km = x0, . . . , xk−1 ⊂ K tal que todo x ∈ K dista menosde 1/m de un punto de Km. Por otro lado, para cada l ∈ ω \ 0, sea U lii∈ωun cubrimiento de X por bolas de diametro menor que 1/l (basta tomar todaslas bolas con centro en un subconjunto denso numerable).

4Vease [AM 3.16]. Es facil comprobar que si K tiene una base numerable la prueba norequiere AE.

1.2. Espacios de sucesiones 11

Para cada s ∈ kω elijamos (si existe) una funcion fs ∈ Cm,n que cumplafs(xj) ∈ U lsj . Sea Dm,n,l ⊂ Cm,n el conjunto de todas las fs ası elegidas yformemos la union Dm,n =

⋃

l

Dm,n,l (que es un conjunto numerable).

Vamos a probar que

∧

f ∈ Cm,n∧

ǫ > 0∨

g ∈ Dm,n

∧

x ∈ Km d(f(x), g(x)) < ǫ.

Dadas f y ǫ, tomamos l > 1/ǫ y elegimos s ∈ kω tal que fs(xj) ∈ U lsj .

Entonces esta definida g = fs ∈ Dm,n, que tambien cumple g(xj) ∈ U lsj , luegod(f(xj), g(xj)) < 1/l < ǫ.

Finalmente llamamos D =⋃

m,nDm,n y vamos a probar que D es denso en

C(K,X).

En efecto, dada f ∈ C(K,X) y ǫ > 0, tomamos n > 3/ǫ. Como f esuniformemente continua ([AM 3.34]), existe un m tal que f ∈ Cm,n, luegopodemos tomar g ∈ Dm,n tal que

∧

x ∈ Km d(f(x), g(x)) < ǫ/3. Entonces, sip ∈ K, existe un x ∈ Km tal que d(p, x) < 1/m, luego d(f(p), f(x)) < 1/n < ǫ/3y tambien d(g(p), g(x)) < 1/n < ǫ/3. Concluimos que d(f(p), g(p)) < ǫ.

1.2 Espacios de sucesiones

En las secciones siguientes estudiaremos dos espacios polacos que representanun papel protagonista en la teorıa descriptiva de conjuntos (el espacio de Baire yel espacio de Cantor), pero antes conviene hacer unas consideraciones generalessobre una clase mas amplia de espacios de la que los que acabamos de mencionarson casos particulares.

Si X es un conjunto arbitrario, lo podemos considerar como espacio to-pologico con la topologıa discreta. Esta es completamente metrizable, puesviene inducida por la metrica discreta:

d(x, y) =

0 si x = y,1 si x 6= y,

que claramente es completa. Ademas X es separable —y, por consiguiente,un espacio polaco— si y solo si X es finito o numerable. El producto de unnumero finito de copias de X tiene la topologıa discreta, por lo que no es muyinteresante, pero esto ya no es ası para el producto de una cantidad numerablede copias de X (al menos si X tiene como mınimo dos puntos). Notemos queeste producto no es sino el espacio Xω de todas las sucesiones en X . Teniendoen cuenta que una base de X la forman los subconjuntos con un punto, resultaque una base de Xω la forman los conjuntos

Bs = x ∈ X | x|n = s,

para cada n ∈ ω y cada s ∈ Xn.

12 Capıtulo 1. Espacios polacos

Observemos que estos abiertos basicos son tambien cerrados, pues

Xω \Bs =⋃

t∈Xn\s

Bt.

Por lo tanto Xω es lo que se llama un espacio topologico cero-dimensional (esdecir, un espacio con una base formada por abiertos-cerrados).

Segun lo dicho, para que Xω sea un espacio polaco necesitamos que X seafinito o numerable, pero en esta seccion trabajaremos en el caso general, sin estahipotesis de numerabilidad.

Llamaremos X<ω =⋃

n∈ωXn al conjunto de sucesiones finitas en X . Para

cada sucesion s ∈ X<ω llamaremos longitud de s a su dominio, y lo represen-taremos por ℓ(s). Si s, t ∈ X<ω, representaremos por st a la sucesion queresulta de prolongar s con t. Abreviaremos sx = s(0, x).

Un arbol A en un conjunto X es un conjunto A ⊂ X<ω tal que si s ∈ A yn < ℓ(s), entonces x|n ∈ A. A veces llamaremos nodos a los elementos de unarbol. Consideraremos a todo arbol como conjunto parcialmente ordenado porla inclusion, de modo que s ≤ t sera equivalente a s ⊂ t. Diremos tambien eneste caso que t extiende a s.

Un camino en un arbol A en un conjunto X es una sucesion x ∈ Xω tal que∧

n ∈ ω x|n ∈ A. Representaremos por [A] el conjunto de todos los caminos enel arbol A.

Una rama de un arbol A es un subconjunto totalmente ordenado de A ma-ximal respecto de la inclusion. Es claro que una rama r no puede tener masde un elemento de cada longitud n, ası como que si contiene a un nodo s hade contener a sus restricciones. Por ello, las ramas finitas de un arbol A sonde la forma snn<m+1, donde ℓ(sn) = n y sm es un nodo terminal de A, esdecir, un nodo que no puede extenderse propiamente a otro nodo de longitudmayor. Puesto que, para cada n < m, se ha de cumplir que sn = sm|n, resultaque las ramas finitas de un arbol se corresponden biunıvocamente con sus nodosterminales.

Similarmente, las ramas infinitas de un arbol A se corresponden biunıvoca-mente con los caminos en A, pues cualquier de ellas es necesariamente de laforma snn∈ω, con ℓ(sn) = n, y determina el camino

x =⋃

n∈ωsn ∈ [A],

que cumple∧

n ∈ ω x|n = sn. Recıprocamente, cada camino x ∈ [A] deter-mina la rama infinita x|nn∈ω. Por este motivo a los caminos de un arbol losllamaremos habitualmente ramas infinitas.

Un arbol A esta bien podado si no tiene nodos terminales, es decir, si todossus nodos se pueden extender a otros de altura mayor, lo cual equivale a su veza que todo nodo este contenido en una rama infinita.

1.2. Espacios de sucesiones 13

Un arbol A es perfecto si todo nodo s ∈ A admite dos extensiones incompa-tibles s1 y s2, es decir, extensiones tales que s1(n) 6= s2(n) para cierto n en sudominio comun.

Un arbol A esta finitamente ramificado si cada uno de sus nodos tiene unnumero finito de extensiones inmediatamente posteriores (es decir, de longituduna unidad mayor).

Diremos que un subconjunto de un espacio topologico es perfecto si es ce-rrado, no vacıo y no tiene puntos aislados. (En particular, diremos que unespacio topologico no vacıo es perfecto si no tiene puntos aislados.)

Teorema 1.14 Sea X un conjunto.

a) Los cerrados en Xω son los conjuntos de la forma [A], donde A es unarbol en X que podemos tomar bien podado.

b) Sea A 6= ∅ un arbol bien podado en X. Entonces

1. El cerrado [A] es perfecto si y solo si el arbol A lo es.

2. [A] es compacto si y solo si A esta finitamente ramificado.

Demostracion: a) Si A es un arbol en X , tenemos que [A] es cerrado enXω, pues si x ∈ Xω \ [A], existe un n ∈ ω tal que x|n /∈ A, de manera quex ∈ Bx|n ⊂ Xω \A, luego Xω \A es abierto.

Consideremos ahora un cerrado C ⊂ Xω y llamemos

A = x|n | x ∈ C ∧ n ∈ ω.

Claramente A es un arbol bien podado y C ⊂ [A]. Tomemos ahora x ∈ [A] yveamos que esta en C. Para cada n ∈ ω, sabemos que x|n ∈ A, luego existe uny ∈ C tal que x|n = y|n, luego y ∈ Bx|n ∩C 6= ∅. Como los abiertos Bx|nn∈ωforman una base de entornos de x en Xω, esto implica que x ∈ C = C.

b) 1. Si x ∈ [A] es un punto aislado, entonces existe un entorno basicoBx|n tal que Bx|n ∩ [A] = x, pero entonces x|n no puede tener extensionesincompatibles en A, ya que se extenderıan a dos ramas infinitas distintas enBx|n ∩ [A], luego A no es perfecto.

Recıprocamente, si [A] es perfecto y s ∈ A de longitud n, vamos a probarque s admite extensiones incompatibles. Sea x ∈ [A] una extension de s (queexiste porque A esta bien podado). Como x no es un punto aislado de [A], nopuede ocurrir que Bx|n ∩ [A] = x, luego podemos tomar y ∈ Bx|n ∩ [A] talque y 6= x, pero x|n = y|n = s, luego existe un m > n tal que x|m, y|m ∈ A sonextensiones incompatibles de s.

b) 2. Supongamos que A es finitamente ramificado pero que [A] tieneun cubrimiento abierto que no admite un subcubrimiento finito. Llamemoss1, . . . , sn ∈ X1 a los sucesores de ∅ en A. Entonces

[A] =n⋃

i=1

x ∈ [A] | x|1 = si.

14 Capıtulo 1. Espacios polacos

Si cada uno de estos conjuntos pudiera cubrirse por un numero finito deabiertos del cubrimiento, lo mismo valdrıa para [A], luego existe un s1 de lon-gitud 1 tal que As1 = x ∈ [A] | x|1 = s1 no puede cubrirse por un numerofinito de abiertos del cubrimiento dado. Similarmente

As1 =n⋃

i=1

x ∈ [A] | x|2 = ti,

donde t1, . . . , tn son los sucesores de s1 en A (el numero n no tiene por que serel mismo que el anterior). Nuevamente razonamos que ha de haber un s2 ⊃ s1tal que As2 = x ∈ [A] | x|2 = s2 no puede cubrirse por un numero finito deabiertos del cubrimiento dado. Repitiendo el argumento obtenemos5 una ramainfinita snn∈ω en A tal que Asi = x ∈ [A] | x|i = si no puede cubrirse porun numero finito de abiertos del cubrimiento. Sea

x =⋃

i∈ω

si ∈ [A].

Podemos tomar un abierto V en el cubrimiento dado tal que x ∈ V . Sean ∈ ω tal que x ∈ Bx|n ⊂ V . Entonces Ax|n ⊂ Bx|n ⊂ V y tenemos unacontradiccion.

Recıprocamente, sea s ∈ A un nodo de longitud m. Si s tuviera infinitossucesores inmediatos, digamos6 snn∈ω, podemos tomar caminos xn ∈ [A] talesque sn ⊂ xn. Ası xn ∈ Bsn y xn /∈ Bt para cualquier t ∈ Xm+1 distinto de lossn. Por lo tanto,

Bsn | n ∈ ω ∪ Bt | t ∈ Xm+1 ∧∧

n ∈ ω t 6= sn

es un cubrimiento abierto de [A] del que no puede extraerse ningun subcubri-miento finito, luego [A] no es compacto.

Veamos ahora que las aplicaciones entre arboles inducen aplicaciones conti-nuas entre sus cerrados asociados.

Definicion 1.15 Sean A y B dos arboles en un conjunto X . Una aplicacionφ : A −→ B es monotona si s ⊂ t implica φ(s) ⊂ φ(t). Si φ es monotonadefinimos

Z(φ) = x ∈ [A] | lımnℓ(φ(x|n)) = ∞.

Para cada x ∈ Z(φ) definimos

φ∗(x) =⋃

n∈ωφ(x|n) ∈ [B].

Diremos que φ es propia si Z(φ) = [A].

Teorema 1.16 En las condiciones anteriores, Z(φ) es un Gδ en [A], la apli-cacion φ∗ : Z(φ) −→ [B] es continua. Recıprocamente, si f : G −→ [B] escontinua y G ⊂ [A] es un Gδ, existe φ : A −→ B monotona tal que f = φ∗.

5Esto es una aplicacion directa de ED.6Aquı usamos que todo conjunto infinito posee un subconjunto numerable.

1.2. Espacios de sucesiones 15

Demostracion: Tenemos que

x ∈ Z(φ) ↔∧

n ∈ ω∨

m ∈ ω ℓ(φ(x|m)) ≥ n,

luego Z(φ) =⋂

n∈ωUn, donde Un es el abierto

Un = x ∈ [A] |∨

m ∈ ω ℓ(φ(x|m)) ≥ n.

Por lo tanto, Z(φ) es un Gδ. Para probar que φ∗ es continua tomamos unabierto basico en [B], que sera de la forma Vt = [B] ∩Bt, y observamos que

φ∗−1[Vt] =⋃Bs ∩ [A] | s ∈ A ∧ t ⊂ φ(s)

es abierto en [A].

Para probar el recıproco podemos suponer que G 6= ∅. Sea G =⋂

n∈ωUn,

donde Unn∈ω es una sucesion de abiertos en [A] que podemos tomar decre-ciente y con U0 = [A]. Para cada s ∈ A, sea ks ∈ ω definido como el mayork ≤ ℓ(s) tal que Bs ∩ [A] ⊂ Uk (notemos que k = 0 cumple siempre estacondicion).

Definimos φ(s) como la mayor sucesion t ∈ B de longitud ≤ ks tal quef [Bs ∩ G] ⊂ Bt si Bs ∩ G 6= ∅, y en caso contrario tomamos φ(s) = φ(s|m),donde m < ℓ(s) es el mayor natural tal que Bs|m ∩G 6= ∅.

Observemos que si f [Bs∩G] ⊂ Bt∩Bt′ , necesariamente t ⊂ t′ o t′ ⊂ t, luegoexiste un maximo t que cumple lo requerido en el primer caso.

Claramente, si s ⊂ s′, entonces ks ≤ ks′ y φ(s) ⊂ φ(s′), luego φ es monotona.

Si x ∈ G, entonces lımnkx|n = ∞, pues para todo m ∈ ω existe un n ≥ m tal

que x ∈ Bx|n ∩ [A] ⊂ Um, luego kx|n ≥ m. Tambien lımnℓ(φ(x|n)) = ∞, pues

para todo m ∈ ω existe un n ∈ ω tal que kx|n ≥ m y ∅ 6= f [Bx|n ∩G] ⊂ Bf(x)|m ,luego ℓ(φ(x|n)) ≥ m. Esto prueba que G ⊂ Z(φ). Mas aun, φ(x|n) ⊂ f(x)|m,lo que prueba que φ∗(x) = f(x).

Por ultimo, si x ∈ Z(φ), entonces lımnℓ(φ(x|n)) = ∞, luego lım

nkx|n = ∞,

pues ℓ(φ(x|n)) ≤ kx|n . Por lo tanto, para cada m ∈ ω existe un n tal quekx|n ≥ m, y entonces x ∈ Bx|n ∩ [A] ⊂ Um, luego x ∈ G.

Veamos una aplicacion:

Teorema 1.17 Sea X un conjunto que admite un buen orden y S ⊂ T ⊂ Xω

dos cerrados no vacıos en Xω. Entonces existe una retraccion r : T −→ S, esdecir, una aplicacion continua que restringida a S es la identidad.

Demostracion: Sea T = [A] y S = [B], donde A y B son arboles bienpodados en X . Concretamente,

A = x|n | x ∈ T ∧ n ∈ ω, B = x|n | x ∈ S ∧ n ∈ ω,

16 Capıtulo 1. Espacios polacos

con lo que B ⊂ A. Vamos a construir una aplicacion φ : A −→ B monotona ypropia tal que φ(t) = t para todo t ∈ B. Es claro entonces que r = φ∗ sera laretraccion que buscamos.

Definimos φ(s) por recursion sobre la longitud de s. Tomamos φ(∅) = ∅

y, si esta definido φ(s) ∈ B, para cada x ∈ X tal que sx ∈ A, definimosφ(sx) = sx si sx ∈ B y φ(sx) = φ(s)y, donde y ∈ X es cualquierelemento7 que cumpla que φ(s)y ∈ B, que existe porque B esta bien podado.

1.3 El espacio de Baire

Definicion 1.18 Llamaremos espacio de Baire al espacio N = ωω de todas lassucesiones de numeros naturales, donde consideramos a ω como espacio discretoy tomamos en N la topologıa producto.

Por los resultados de la seccion precedente sabemos que N = [ω<ω] es unespacio polaco perfecto. Sucede que el espacio de Baire es mucho mas “represen-tativo” de lo que podrıa parecer. Para probarlo conviene introducir el conceptosiguiente:

Un esquema de Suslin en un conjunto X es una aplicacion A : ω<ω −→ PX .

La operacion de Suslin es la aplicacion S que a cada esquema de Suslin Aen X le asigna el conjunto

S(A) =⋃

x∈N

⋂

n∈ωA(x|n) ⊂ X.

Si X es un espacio metrico, diremos que un esquema de Suslin A es abierto,cerrado, etc. si lo son todos los conjuntos A(s). Diremos que A cumple lacondicion de los diametros si para todo x ∈ N se cumple que

lımnd(A(x|n)) = 0,

donde d denota al diametro de un conjunto y convenimos en que d(∅) = 0. Si Acumple esta condicion es claro que

⋂

nA(x|n) contiene como maximo un punto.

DefinimosZ(A) = x ∈ N |

⋂

n∈ωA(x|n) 6= ∅,

de modo que existe una unica aplicacion φ : Z(A) −→ X tal que, para todox ∈ Z(A),

⋂

n∈ωA(x|n) = φ(x).

Claramente, la imagen de φ es S(A). Veamos ademas que φ es continua.

7Aquı usamos el buen orden de X para tomar concretamente el mınimo y que cumpla loexigido.

1.3. El espacio de Baire 17

En efecto: tomamos un abierto U ⊂ X y un x ∈ φ−1[U ]. Sea ǫ > 0 talque Bǫ(φ(x)) ⊂ U y sea n ∈ ω tal que d(A(x|n)) < ǫ. Entonces tenemos queA(x|n) ⊂ Bǫ(φ(x)) ⊂ U , luego x ∈ Bx|n ⊂ φ−1[U ], ya que todo y ∈ Bx|n cumpleque φ(y) ∈ A(y|n) = A(x|n) ⊂ U . Esto prueba que φ−1[U ] es abierto, luego φes continua.

Con esto podemos probar la relacion mas general entre el espacio de Bairey los demas espacios polacos (el teorema 1.39 nos proporcionara otra de casimismo grado de generalidad, valida para espacios polacos perfectos):

Teorema 1.19 Todo espacio polaco no vacıo es imagen continua del espaciode Baire.

Demostracion: SeaX un espacio polaco no vacıo. Veamos en primer lugarque si U ⊂ X es un abierto no vacıo, dado ǫ > 0, existen abiertos no vacıosUnn∈ω de diametro < ǫ tales que

U =⋃

n∈ωUn =

⋃

n∈ωUn.

En efecto, sea D un subconjunto denso numerable de X y sea Unn∈ωuna enumeracion de las bolas abiertas B1/n(d) tales que d ∈ D, 1/n < ǫ/2 y

B1/n(d) ⊂ U . Dado x ∈ U , existe un n > 0 tal que 1/n < ǫ, B1/n(x) ⊂ U .

Existe un d ∈ D ∩ B1/2n(x). Entonces x ∈ B1/2n(d) y B1/2n(d) ⊂ U . Por lotanto, B1/2n(d) es uno de los abiertos Ui y ası x esta en la union de todos ellos.

Con esto podemos construir recurrentemente un esquema de Suslin abiertoA tal que, para todo s ∈ ωn, los abiertos A(sn)n∈ω son los que resultan deaplicar el resultado que acabamos de probar al abierto A(s) con ǫ = 1

n+1 . Estohace que el esquema A cumpla las propiedades siguientes:

a) A(∅) = X .

b) d(A(s)) < 1/ℓ(s) (donde ℓ(s) representa la longitud de la sucesion s, esdecir, su dominio).

c) Si s ⊂ t, entonces A(t) ⊂ A(s).

d) A(s) =⋃

n∈ωA(sn).

Dado x ∈ N, podemos tomar puntos pn ∈ A(x|n). La condicion sobre losdiametros hace que la sucesion pn

∞n=0 sea de Cauchy en X , luego converge a

un punto p ∈⋂

n∈ωA(x|n) =

⋂

n∈ωA(x|n).

La ultima igualdad se debe a la propiedad c): p ∈ A(x|n+1) ⊂ A(x|n), paratodo n ∈ ω. Esto prueba que la aplicacion

φ : N −→ X

18 Capıtulo 1. Espacios polacos

asociada al esquema de Suslin esta definida sobre todo N. Sabemos que escontinua. Falta probar que es suprayectiva, y esto es consecuencia de la propie-dad d). Dado p ∈ X , tomamos s0 = ∅, de modo que A(s0) = X . Por d) existeun s1 ⊃ s0 tal que p ∈ A(s1), y existe un s2 ⊃ s1 tal que p ∈ A(s2) y, repitiendoel proceso, obtenemos un x ∈ N tal que p ∈

⋂

n∈ωA(x|n), pero esto implica que

p = φ(x).

Una modificacion de la prueba del teorema anterior nos da un resultado masfino:

Teorema 1.20 Si X es un espacio polaco, existe un cerrado C ⊂ N y unabiyeccion continua f : C −→ X.

Demostracion: Vamos a probar que si F ⊂ X es un conjunto Fσ (es decir,una union numerable de cerrados) y ǫ > 0, entonces F se descompone en uniondisjunta F =

⋃

n∈ωFn, donde Fn es un Fσ y Fn ⊂ F .

En efecto, sea F =⋃

n∈ωCn, donde cada Cn es cerrado. Por el teorema 1.11,

el espacio X tiene una base numerable formada por bolas de diametro < ǫ. Lascorrespondientes bolas cerradas tambien tienen diametro < ǫ y cubren todo elespacio X . Sean Bmm∈ω estas bolas cerradas. Entonces F =

⋃

n,m(Cn ∩ Bm),

donde cada conjunto Cn∩Bm es un cerrado de diametro < ǫ. Equivalentemente,podemos suponer que cada Cn tiene diametro < ǫ.

Llamemos Gn = Cn \⋃

k<n

Ck, de modo que F =⋃

n∈ωGn, donde ahora la

union es disjunta y cada Gn tiene diametro < ǫ. Ademas, Gn es la interseccionde un cerrado y un abierto, pero el teorema 1.4 implica que todo abierto es unconjunto Fσ, luego Gn es tambien Fσ. Pongamos, pues, que Gn =

⋃

m∈ωDnm,

donde cada Dnm es cerrado. Podemos suponer que Dn

m ⊂ Dnm+1. Nuevamente,

Gn =⋃

m∈ωDnm \ Dn

m−1, con el convenio de que Dn−1 = ∅, y los conjuntos

Dnm \Dn

m−1 son Fσ, disjuntos dos a dos (para todo m y n), de diametro < ǫ y

ademas Dnm \Dn

m−1 ⊂ Dnm ⊂ F . Basta definir Fnn∈ω como una ordenacion

de Dnm \Dn

m+1m,n∈ω.

Usando este hecho que acabamos de probar, construimos un esquema deSuslin A con las caracterısticas siguientes:

a) A(∅) = X .

b) d(A(s)) < 1/ℓ(s).

c) Si s ⊂ t, entonces A(t) ⊂ A(s) y A(s) es un conjunto F (σ).

d) A(s) =⋃

n∈ωA(sn), donde la union es disjunta.

Veamos que la aplicacion continua φ : Z(A) −→ X cumple lo pedido. Lasuprayectividad se prueba igual que en el teorema anterior, como consecuenciade la propiedad d).

1.3. El espacio de Baire 19

Ahora tenemos ademas que φ es inyectiva, pues si x, y ∈ Z(A) son distintosy n es el primer natural en el que difieren, de modo que x|n = y|n = s, tenemosque φ(x) ∈ A(sx(n)), mientras que φ(y) ∈ A(sy(n)), y ambos conjuntos sondisjuntos, luego φ(x) 6= φ(y).

Solo falta probar que Z(A) es cerrado. Ahora bien, si x ∈ N\Z(A), tenemosque

⋂

n∈ωA(x|n) = ∅. Basta probar que existe un n ∈ ω tal que A(x|n) = ∅, pues

entonces x ∈ Bx|n ⊂ X\Z(A). En caso contrario, podrıamos tomar pn ∈ A(x|n),y por las propiedades b) y c), la sucesion pnn∈ω es de Cauchy en X , luegoconverge a un p ∈ A(x|n+1) ⊂ A(x|n) para todo n, luego p ∈

⋂

n∈ωA(x|n), lo que

equivale a que p = φ(x), luego x ∈ Z(A), contradiccion.

Observemos que 1.19 se deduce del teorema anterior usando 1.17.

Si el espacio polaco es cero-dimensional, obtenemos un homeomorfismo:

Teorema 1.21 Todo espacio polaco cero-dimensional es homeomorfo a un sub-espacio cerrado de N.

Demostracion: Sea X un espacio polaco en las condiciones del enunciado.Por el teorema 1.11, dado ǫ > 0, sabemos que X posee una base numerableformada por abiertos cerrados de diametro menor que ǫ. En particular, dadoun abierto U , podemos expresarlo como union

U =⋃

n∈ωUn

de abiertos cerrados de diametro menor que ǫ. Cambiando Un por Un \⋃

i<n

Uipodemos suponer que la union es disjunta.

Ahora construimos un esquema de Suslin en las mismas condiciones que el delteorema anterior, con la unica diferencia de que los conjuntos A(s) son abiertoscerrados. La aplicacion φ : Z(A) −→ X sigue siendo biyectiva y continua, yZ(A) sigue siendo cerrado, pero como φ[Z(A) ∩ Bs] = A(s), ahora tenemosque las imagenes de los abiertos en Z(A) son abiertos en X , y ası φ es unhomeomorfismo.

Para obtener un homeomorfismo definido sobre todo N nos falta imponeruna condicion que nos asegure que cada abierto de X se puede descomponeren union disjunta de una cantidad numerable de abiertos cerrados no vacıos dediametro arbitrariamente pequeno.

Teorema 1.22 (Alexandrov-Urysohn) Todo espacio polaco cero-dimensio-nal no vacıo cuyos compactos tengan todos interior vacıo es homeomorfo alespacio de Baire.

Demostracion: Notemos en primer lugar que N cumple la propiedad queestamos exigiendo: Si K ⊂ N es compacto y tiene interior no vacıo, contieneun abierto basico Bs, que sera compacto porque tambien es cerrado. Ahorabien, Bs no puede ser compacto, porque sus proyecciones en ω tendrıan que ser

20 Capıtulo 1. Espacios polacos

compactas (en ω con la topologıa discreta), luego finitas, cuando en realidadinfinitas de ellas son infinitas.

Recıprocamente, si X es un espacio en las condiciones del enunciado y Ues un abierto cerrado no vacıo, por hipotesis no puede ser compacto, por loque tiene un cubrimiento del que no se puede extraer un subcubrimiento finito.Cada abierto de dicho cubrimiento puede descomponerse en union de abiertoscerrados de diametro < ǫ pertenecientes a una base numerable de X , y es claroque estos abiertos cerrados determinan otro cubrimiento (pero ahora formadopor una cantidad numerable de abiertos cerrados U =

⋃

n∈ωUn) del que tampoco

puede extraerse un subcubrimiento finito.

Por lo tanto, al cambiar Un por Un \⋃

i<n

Ui, sigue sin ser posible obtener un

cubrimiento finito, luego, si eliminamos los Un que puedan ser vacıos, seguimosteniendo una descomposicion en una cantidad numerable de abiertos cerradosdisjuntos dos a dos, y no vacıos. Toda la prueba del teorema anterior es valida,solo que ahora podemos asegurar que Z = N.

Como caso particular:

Teorema 1.23 N ∼= R \Q.

Demostracion: Ante todo, observemos que R\Q es un espacio polaco, puesQ es una union numerable de cerrados (sus puntos), luego R \Q es interseccionnumerable de abiertos, es decir, es un Gδ.

Los intervalos abiertos de extremos racionales son una base de R, luego susintersecciones con R \ Q son una base de este espacio, pero es claro que dichasintersecciones son abiertas y cerradas (el complementario de una de ellas esla interseccion con R \ Q de dos intervalos abiertos no acotados con extremosracionales). Por consiguiente R \Q es cero-dimensional.

Finalmente, si un compacto K ⊂ R \Q tuviera interior no vacıo, podrıamostomarlo abierto y cerrado, luego habrıa un intervalo I en R con extremos racio-nales tal que I ∩ (R \Q) serıa compacto, pero entonces tendrıa que ser cerradoen R, y claramente no lo es. Ahora basta aplicar el teorema anterior.

Nota El mismo argumento del teorema anterior prueba que N es homeomorfoal espacio de los numeros irracionales comprendidos entre 0 y 1. Sin embargo,en este caso el homeomorfismo puede ser descrito de forma explıcita y eleganteal mismo tiempo. Un homeomorfismo es la aplicacion φ : N −→ [0, 1] \Q que acada x ∈ N le asigna la fraccion continua8

φ(x) = [0;x0 + 1, x1 + 1, x2 + 1, . . .].

En particular, en todas aquellas situaciones (relativamente frecuentes) en lasque los numeros racionales resulten despreciables, el espacio N nos proporcionauna descripcion alternativa topologicamente muy simple de “casi todo” R.

8En [AM B.15, B.16] se muestran dos ligeras variantes de este homeomorfismo.

1.3. El espacio de Baire 21

Nota Los mismos razonamientos empleados en el teorema 1.23 demuestranque Q es un espacio metrico separable cero-dimensional cuyos compactos tienentodos interior vacıo. Sin embargo, es obvio que Q no puede ser homeomorfo aN, luego tiene que fallar la unica hipotesis que falta para que el teorema 1.22sea aplicable a Q: no puede ser completamente metrizable. Ası pues, hemosdemostrado que Q no es un espacio polaco. En particular no es un Gδ en R.

De la caracterizacion que hemos obtenido de R \ Q podemos obtener a suvez una caracterizacion de Q como espacio metrico:

Teorema 1.24 (Sierpinski) Todo espacio metrico perfecto numerable y cero-dimensional es homeomorfo a Q.

Demostracion: Sea X un espacio en las condiciones del enunciado. Lacondicion de que no tenga puntos aislados se traduce en que si U es un abiertocerrado no trivial (es decir, distinto de ∅ y de X), entonces hay infinitos puntosde X dentro de U e infinitos puntos de X fuera de U . Esto nos asegura quecada abierto cerrado no trivial U se puede expresar como union disjunta deuna familia numerable de abiertos cerrados no vacıos de diametro menor quecualquier ǫ prefijado.

En efecto, sea U = qii∈ω. Tomamos un abierto cerrado U0 U de diame-tro < ǫ y tal que q0 ∈ U0, luego tomamos un abierto cerrado U1, siempre dediametro < ǫ, tal que ∅ 6= U1 ⊂ U \ U0 y de modo que q1 ∈ U0 ∪ U1. De estemodo llegamos a obtener una sucesion Unn∈ω de abiertos cerrados disjuntosdos a dos, de diametro < ǫ y cuya union contiene a todos los qn, luego es iguala todo U .

Ası podemos construir un esquema de Suslin A que nos proporciona unhomeomorfismo φ : Z −→ X . (por el mismo argumento que en 1.21). Nopodemos probar que Z sea cerrado enN, ni mucho menos que sea todo N, porqueen los teoremas anteriores esta parte de la prueba se basaba en la completitud deX . No obstante, podemos afirmar que Z es denso en N. En efecto, si tomamosx ∈ N y un entorno basico Bx|n de n, sabemos que A(x|n) 6= ∅, y que, fijadoq ∈ A(x|n), tiene una antiimagen y ∈ Z que ha de cumplir y ∈ Bx|n , puesφ(y) ∈ A(x|n) ∩A(y|n), y estos abiertos son disjuntos salvo si x|n = y|n.

Por consiguiente, tenemos que X es homeomorfo a un subconjunto densoD ⊂ R \ Q. Naturalmente, D es numerable y, respecto al orden usual en R,no puede tener maximo ni mınimo elemento, ya que entonces habrıa numerosirracionales mas alla de su maximo o su mınimo que no estarıan en su clausuray, por el mismo motivo, ha de ser denso en sı mismo, pues si existieran d1 < d2en D sin ningun punto de D entre ambos, un irracional d1 < ξ < d2 no estarıaen la clausura de D.

Ahora basta aplicar [TC 7.9] para concluir que D y, por consiguiente X , eshomeomorfo a Q.

22 Capıtulo 1. Espacios polacos

Observacion El teorema anterior implica que Q2 ∼= Q, y trivialmente N2 ∼= N

(ambos son el producto de ω por sı mismo una cantidad numerable de veces)luego (R \Q)2 ∼= R \Q. Por otra parte, es facil ver que R2 6∼= R.

1.4 El espacio de Cantor

Consideramos ahora el producto de infinitas copias de un espacio finito:

Definicion 1.25 Llamaremos espacio de Cantor al subespacio C = 2ω de N

formado por todas las sucesiones de ceros y unos.

El teorema 1.14 implica que C es un espacio polaco perfecto y compacto.Ademas cumple un teorema analogo al teorema 1.19:

Teorema 1.26 (Alexandrov-Hausdorff) Todo espacio metrico compacto esimagen continua del espacio de Cantor.

Demostracion: En primer lugar observamos que existe una aplicacioncontinua y suprayectiva f : C −→ I = [0, 1]. Por ejemplo, la dada por

f(x) =∞∑

n=0

x(n)2−n−1.

La suprayectividad se debe a que todo numero real admite un desarrollodecimal en base dos. La continuidad se debe a que si x, y ∈ Bs, donde ℓ(s) = n,entonces f(x) y f(y) son dos numeros reales cuyos desarrollos binarios tieneniguales las n primeras cifras, lo que implica que |f(x) − f(y)| ≤ 2−n. Por lotanto, si una sucesion en C tiende a x, la sucesion de sus imagenes tiende a f(x).

En segundo lugar, observamos que f permite definir una aplicacion continuay suprayectiva Cω −→ H = Iω y que, segun la demostracion (mas general que elenunciado) del teorema 4.14, Cω es homeomorfo a C. Con esto hemos probadoque existe una aplicacion continua y suprayectiva9 φ : C −→ H.

En tercer lugar observamos que, por 1.10, todo espacio metrico compacto Xes homeomorfo a un cerrado K del cubo de Hilbert H. Sea K ′ = φ−1[K] ⊂ C.Notemos que K ′ es cerrado en C, pues C \ K ′ = φ−1[H \ K] es abierto. Asıtenemos una aplicacion K ′ −→ X continua y suprayectiva, y el teorema 1.17nos da una aplicacion C −→ X continua y suprayectiva.

Aunque el teorema anterior no se prestaba a ello, los restantes resultados quehemos obtenido para el espacio de Baire pueden adaptarse a resultados analogospara el espacio de Cantor sustituyendo los esquemas de Suslin por esquemas deHausdorff, que no son sino aplicaciones

A : 2<ω −→ PX,

9Incidentalmente, ası hemos demostrado que H es compacto sin hacer referencia al teoremade Tychonoff, que se apoya en el axioma de eleccion.

1.4. El espacio de Cantor 23

para un conjunto arbitrario X . Todas las definiciones que hemos dado paraesquemas de Suslin (como la propiedad de los diametros, etc.) se adaptan deforma obvia a esquemas de Hausdorff. En particular, cada esquema de Hausdorffcon la propiedad de los diametros en un espacio metricoX define una aplicacioncontinua φ : Z −→ X , para cierto Z ⊂ C.

Teorema 1.27 (Brouwer) Todo espacio metrico compacto cero-dimensionaly perfecto es homeomorfo al espacio de Cantor.

Demostracion: Sea X un espacio en las condiciones indicadas. Recorde-mos que todo espacio metrico compacto es completo.

Si U es un abierto cerrado no vacıo de X , no puede contener un unicopunto (porque serıa aislado), luego podemos dividirlo en union disjunta de dosabiertos cerrados no vacıos. Cada uno de ellos podemos cubrirlo por abiertoscerrados de diametro < ǫ (para un ǫ prefijado) y, como ambos son compactos,podemos extraer un subcubrimiento finito. Ordenando los abiertos, restandoa cada uno los precedentes y eliminando los vacıos, podemos exigir que seanno vacıos y disjuntos dos a dos, y el hecho de que los abiertos del cubrimientooriginal estuvieran contenidos en uno de dos abiertos disjuntos implica que elsubcubrimiento al que hemos llegado ha de contener al menos dos abiertos. Enresumen:

Todo abierto cerrado no vacıo de X puede descomponerse en unaunion finita de al menos dos abiertos cerrados disjuntos dos a dosde diametro menor que ǫ.

Si cada descomposicion tuviera exactamente dos abiertos serıa facil construira partir de aquı un esquema de Hausdorff sobre X . En el caso general hemosde hacer algunos arreglos. Partimos de A(∅) = X , luego descomponemos X enabiertos cerrados X = U1 ∪ · · · ∪ Un de diametro < 1 (con n ≥ 2) y definimos

A(0) =n⋃

i=2

Ui, A(1) = U1,

A(00) =n⋃

i=3

Ui, A(01) = U2,

......

......

A(0 · · · 0) = Un, A(0 · · · 01) = Un−1,

es decir, en cada ramificacion “desgajamos” un abierto de la union hasta quetodos quedan separados. La figura muestra la estructura del esquema para elcaso de cuatro abiertos:

X0 1

U2 ∪ U3 ∪ U4 U1

0100

U3 ∪ U4 U2

000 001

U3U4

24 Capıtulo 1. Espacios polacos

A continuacion prolongamos este esquema descomponiendo cada uno de losabiertos Ui en abiertos cerrados de diametro menor que 1/2. Procediendo de estemodo obtenemos un esquema de Hausdorff abierto y cerrado A con la propiedadde los diametros tal que:

a) A(∅) = ∅.

b) Para cada s ∈ 2<ω, A(s) = A(s0) ∪ A(s1), A(s0) ∩ A(s1) = ∅.

Es inmediato que la aplicacion continua asociada a este esquema es un ho-meomorfismo φ : C −→ X .

Observemos que si X es cualquier espacio topologico finito discreto con almenos dos puntos, Xω cumple las hipotesis del teorema anterior, luego es ho-meomorfo a C. En particular, 2ω ∼= 3ω ∼= 4ω, . . . Por eso los unicos espaciospolacos que pueden obtenerse como productos de espacios discretos son N y C.

Solo con la condicion de que el espacio sea perfecto conseguimos una in-mersion:

Teorema 1.28 Todo espacio polaco perfecto no vacıo contiene un subespaciohomeomorfo al espacio de Cantor.

Demostracion: Sea X un espacio polaco perfecto no vacıo. Vamos adefinir un esquema de Hausdorff A en X con la propiedad de los diametros yque ademas cumpla lo siguiente:

a) Cada A(s) es un cerrado de interior no vacıo en X .

b) Para cada s ∈ 2<ω, se cumple que A(s0) ∩ A(s1) = ∅.

c) Para cada s ∈ 2<ω y cada i ∈ 2, se cumple que A(si) ⊂ A(s).

Estas condiciones aseguran que la aplicacion asociada φ es un homeomor-fismo de C es un subespacio (necesariamente cerrado) de X . En efecto, si x ∈ C,tenemos una sucesion decreciente A(x|n)n∈ω de cerrados no vacıos en X . Sitomamos un punto pn en cada uno de ellos, la condicion de los diametros ase-gura que es de Cauchy, luego converge a un punto que ha de estar en

⋂

n∈ωA(x|n),

luego esta definido φ(x).La propiedad b) asegura que φ es una aplicacion inyectiva y, como C es

compacto, una aplicacion φ : C −→ X biyectiva y continua es un homeomorfismoen la imagen.

Para construir el esquema partimos de cualquier cerrado de interior no vacıo,por ejemplo A(∅) = X y, supuesto definido A(s), tomamos dos puntos distintosx, y en su interior (que existen, pues X no tiene puntos aislados) y tomamoscomo A(s0) y A(s1) dos bolas cerradas disjuntas de centros x e y contenidasen A(s) con el diametro suficientemente pequeno para garantizar la condicionde los diametros.

El teorema siguiente implica que tener un subespacio homeomorfo a C esequivalente a tener un subespacio homeomorfo a N:

1.4. El espacio de Cantor 25

Teorema 1.29 La aplicacion f : N −→ C dada por

f(x) = 0x010x110x2 1 · · · ,

donde 0x representa una sucesion de x ceros, es un homeomorfismo en su ima-gen, que es el conjunto de las sucesiones no finalmente constantes.

Demostracion: Obviamente, f es inyectiva y su imagen C0 es la que diceel enunciado. Una base de C0 la forman los abiertos Bs ∩ C0, donde s ∈ 2<ω

termina en 1, y es claro que la antiimagen de uno de estos abiertos es de laforma Bt, donde t ∈ ω<ω es la sucesion que cuenta la longitud de cada bloquede ceros consecutivos de s. Por lo tanto, f es continua. Similarmente, la imagende cada abierto basico Bt es de la forma Bs ∩ C0, donde s se define a partir det de forma analoga a f . Concluimos que f es un homeomorfismo en su imagen.

Existe una inmersion famosa de C en R, que es la que obtenemos segun elproceso de la demostracion del teorema 1.28 eligiendo intervalos cerrados delmodo siguiente:

Definicion 1.30 Definimos A(∅) = [0, 1] y, supuesto definido A(s) = [u, v],definimos

A(s0) = [u, u+ (v − u)/3)], A(s1) = [v − (v − u)/3, v].

Ası, lo que estamos haciendo es dividir cada intervalo en tres subintervalosiguales y quedarnos con los dos de los extremos. Evidentemente, con esta cons-truccion particular se cumplen todas las condiciones del teorema 1.28, y la ima-gen del homeomorfismo construido de este modo es el llamado conjunto ternariode Cantor, que es, pues, un conjunto compacto perfecto C ⊂ I homeomorfo alespacio de Cantor. Explıcitamente:

C =⋃

x∈C

⋂

n∈ωA(x|n) =

⋂

n∈ω

⋃

s∈2nA(s).

La segunda igualdad se debe a que, por la construccion de A, si se cumpleA(s) ∩ A(t) 6= ∅ necesariamente s ⊂ t o t ⊂ s, luego un u ∈ I que este en elmiembro derecho pertenece a una sucesion de intervalos A(sn) con ℓ(sn) = n yestos nodos han de ser compatibles, por lo que determinan un x ∈ C que justificala pertenencia de u al miembro izquierdo.

Llamamos Cn =⋃

s∈2nA(s), de modo que Cn es un subconjunto cerrado de I

(es union de un numero finito de cerrados disjuntos dos a dos), la sucesionCnn∈ω es decreciente y C =

⋂

n∈ωCn.

Los conjuntos Cn admiten una definicion recurrente mas simple:

Teorema 1.31 Se cumplen las relaciones:

Cn+1 =1

3Cn ∪

(2

3+

1

3Cn

)

, C =1

3C ∪

(2

3+

1

3C

)

.

26 Capıtulo 1. Espacios polacos

Demostracion: Probamos primero las relaciones siguientes:

A(0s) =1

3A(s), A(1s) =

2

3+A(0s) =

2

3+

1

3A(s).

Vamos a probar la primera, pues el razonamiento para la segunda es com-pletamente analogo. Teniendo en cuenta que A(0) = [0, 1/3], A(1) = [2/3, 1], esinmediato comprobar que la igualdad se cumple cuando ℓ(s) = 0. Si se cumplecuando ℓ(s) = n, tenemos que A(s) = [u, v] y A(0s) = [u/3, v/3]. Entonces

A(0s0) =

[u

3,u

3+v − u

9

]

=1

3

[

u, u+v − u

3

]

=1

3A(s0),

A(0s1) =

[v

3−v − u

9,v

3

]

=1

3

[

v −v − u

3, v

]

=1

3A(s1),

luego la igualdad se cumple para todas las sucesiones de longitud n+ 1.

Ahora:

Cn+1 =⋃

s∈2n(A(0s)∪A(1s)) =

⋃

s∈2n

13A(s)∪

(23 + 1

3A(s))= 1

3Cn∪(23 + 1

3Cn).

Tomemos ahora x ∈ C. Entonces, para cada numero natural n, tenemosque x ∈ Cn+1 = 1

3Cn ∪(23 + 1

3Cn). En particular x ∈ C1 = [0, 13 ] ∪ [ 23 , 1], luego

si x ∈ [0, 13 ] necesariamente x ∈ 13Cn para todo n, mientras que si x ∈ [ 23 , 1]

necesariamente x ∈ 23 + 1

3Cn para todo n, luego

x ∈ (⋂

n∈ω

13Cn) ∪

⋂

n∈ω(23 + 1

3Cn) =13C ∪ (23 + 1

3C).

La inclusion contraria es mas sencilla. Por ejemplo, si x ∈ 23 + 1

3C, entoncesx ∈ 2

3 + 13Cn ⊂ Cn+1 para todo n, luego x ∈ C.

La relacion dada por el teorema anterior se interpreta como que C es launion de dos cerrados (luego tambien abiertos) disjuntos: 1

3C y 23 + 1

3C, cadauno de los cuales es homeomorfo a C (pues el primero es una homotecia y elsegundo una homotecia seguida de una traslacion). Mas explıcitamente, C es launion de dos copias a escala de sı mismo tres veces mas pequenas.

El teorema anterior nos permite probar un resultado que tendra interes masadelante:

Teorema 1.32 Se cumple que C + C = [0, 2].

Demostracion: Aquı hay que entender que la suma de dos conjuntos A,B ⊂ R se define como A + B = a+ b | a ∈ A ∧ b ∈ B. Probamos en primerlugar que Cn + Cn = [0, 2] para todo n ∈ ω. Para C0 = [0, 1] es inmediato. Sivale para Cn, entonces

Cn+1 + Cn+1 = (13Cn ∪(23 + 1

3Cn)) + (13Cn ∪

(23 + 1

3Cn))

= (13Cn + 13Cn) ∪ (13Cn + 2

3 + 13Cn) ∪ (23 + 1

3Cn + 23 + 1

3Cn)

= 13 [0, 2] ∪ (23 + 1

3 [0, 2]) + ∪(43 + 13 [0, 2]) = [0, 23 ] ∪ [ 23 ,

43 ] ∪ [ 43 , 2] = [0, 2].

1.4. El espacio de Cantor 27

Es claro que C + C ⊂ [0, 2]. Para probar la inclusion opuesta tomamosa ∈ [0, 2]. Acabamos de probar que se puede expresar como a = xn + yn, conxn, yn ∈ Cn. Como I es un espacio metrico compacto, toda sucesion contiene unasubsucesion convergente, luego podemos tomar una subsucesion xnk

conver-gente a un cierto x ∈ I, con lo que la subsucesion ynk

converge necesariamentea a− x, luego tenemos que a = x+ y. Solo falta probar que x, y ∈ C.

Ahora bien, fijado un m ∈ ω, tenemos que nk ≥ m para todo k suficien-temente grande, luego xnk

∈ Cm y, como Cm es cerrado, resulta que x ∈ Cm,para todo m, luego x ∈ C, e igualmente se argumenta con y.

Demostramos ahora el teorema de Cantor-Bendixson, del que hemos habladoen la introduccion, si bien no daremos la demostracion original de Bendixson quehemos esbozado allı (que, no obstante, es valida para cualquier espacio polaco),sino otra mas concisa.

Teorema 1.33 (Cantor-Bendixson) Todo espacio polaco X se descomponede forma unica como X = P ∪N , conde P es un cerrado perfecto o vacıo y Nes un abierto numerable. Ademas la union es disjunta.

Demostracion: Diremos que un punto x ∈ X es un punto de condensacionsi todos sus entornos abiertos son no numerables. En general, para cualquierespacio topologico X , representaremos por X∗ al conjunto de sus puntos decondensacion. Evidentemente, X∗ es cerrado en X , pues si x ∈ X \X∗, entoncesexiste un abierto numerable U tal que x ∈ U , y U ⊂ X \X∗.

En nuestro caso, tomamos P = X∗ y N = X \ P . Ası P es cerrado y Nes abierto. Ademas, si Unn∈ω es una base numerable de X , es claro que Nes la union de los Un que son numerables, luego N es numerable. Falta probarque (salvo que sea vacıo) P es perfecto, es decir, que no tiene puntos aislados.Si x ∈ P fuera un punto aislado, existirıa un abierto U tal que U ∩ P = x,pero entonces U \ x ⊂ N , luego U \ x serıa numerable y U tambien, lo quecontradice a que x ∈ P .

Supongamos ahora que X = P ′ ∪N ′ es otra descomposicion en las condicio-nes del enunciado. Veamos en primer lugar que P ′ ⊂ P . Esto se debe a que six ∈ P ′ y U es un entorno abierto en X , tenemos que x ∈ U ∩ P ′ 6= ∅ y U ∩ P ′

es un espacio polaco (es un Gδ en X porque todo cerrado lo es) perfecto, puesun punto aislado de U ∩P ′ es tambien un punto aislado de P ′. Por 1.28 resultaque U ∩ P ′ contiene una copia del espacio de Cantor, luego es no numerable,luego U tambien lo es y x ∈ P ′.

Por otra parte, si x ∈ N ′, como N ′ es abierto numerable, resulta que x ∈ N ,es decir, que N ′ ⊂ N . Esto implica que P = P ′ y esto a su vez que N = N ′.

Hay que tener presente que cualquiera de los dos conjuntos P o N puede servacıo. Como consecuencia:

Teorema 1.34 Todo espacio polaco es numerable o tiene cardinal c.

28 Capıtulo 1. Espacios polacos

Demostracion: Teniendo en cuenta el teorema anterior, si un espaciopolaco no tiene subconjuntos cerrados perfectos (no vacıos) es numerable, y encaso contrario tiene cardinal c por el teorema 1.28. Notemos que, en general, elcardinal de un espacio polaco no puede ser mayor que c por el teorema 1.9. (Elcardinal del cubo de Hilbert Iω es (2ℵ0)ℵ0 = 2ℵ0 .)

1.5 El teorema de Baire

El teorema de Baire es un resultado topologico sobre espacios completamentemetrizables que tiene aplicaciones muy variadas, en particular a los espaciospolacos. Para probarlo necesitamos un hecho elemental:

Teorema 1.35 Sea M un espacio metrico completo. Toda familia decrecienteCnn de cerrados en M no vacıos tal que sus diametros cumplen lım

nd(Cn) = 0

tiene interseccion no vacıa.

Demostracion: Para cada n tomamos xn ∈ Cn. Como lımn d(Cn) = 0, esclaro que la sucesion (xn)n es de Cauchy. Su lımite x esta en cada Cn por sereste cerrado y Cnn decreciente.

Teorema 1.36 (Teorema de Baire) En un espacio metrico completo, la in-terseccion de una familia numerable de abiertos densos es un conjunto denso.

Demostracion: Sea M un espacio metrico completo y G =∞⋂

n=1Gn una

interseccion numerable de abiertos Gn densos en M . Basta probar que G cortaa toda bola abierta Br(x). Como G1 es denso en M existe x1 ∈ G1 ∩ Br(x).Como G1 ∩ Br(x) es abierto, existe un r1 > 0, que podemos tomar menor quer/2, tal que B′

r1(x1) ⊂ G1 ∩Br(x).

G1

G2

x

r

x1r1

x2❨

Inductivamente podemos construir una sucesionxnn de puntos de M y una sucesion rnn de nu-meros reales positivos de modo que

B′rn(xn) ⊂ Gn ∩Brn−1(xn−1) (1.1)

y rn < r/n para todo n.

Por el teorema anterior,∞⋂

n=1B′rn(xn) 6= ∅, luego (1.1) implica que

G ∩Br(x) ⊃

∞⋂

n=1

(Gn ∩Brn−1(xn−1)) 6= ∅.

Sin mas que tener en cuenta que el complementario de un conjunto denso esun conjunto con interior vacıo tenemos una forma equivalente del teorema deBaire:

Teorema 1.37 (Teorema de Baire) En un espacio metrico completo, todaunion numerable de cerrados de interior vacıo tiene interior vacıo.

1.5. El teorema de Baire 29

Nota Conviene observar que la tesis del teorema de Baire (en cualquiera desus dos formas equivalentes) se cumple tambien sobre espacios topologicos lo-calmente compactos, no necesariamente metrizables. La prueba es, de hecho,mas sencilla, y se obtiene sustituyendo el teorema 1.35 por el hecho de que lainterseccion de una familia decreciente de compactos no vacıos es no vacıa.

Veamos algunas aplicaciones elementales del teorema de Baire:

Teorema 1.38 Sea D un conjunto numerable en un espacio polaco X sin pun-tos aislados. Entonces D tiene interior vacıo, y si es denso, no es un Gδ.

Demostracion: Podemos expresar D =⋃

d∈D

d y los conjuntos d son

cerrados de interior vacıo, ya que de lo contrario d serıa un punto aislado. Porel teorema de Baire D tiene interior vacıo.

Supongamos que es denso y que es un Gδ. Entonces serıa interseccion nu-merable de abiertos densos, luego X \D serıa union numerable de cerrados deinterior vacıo, al igual que X (pues D tambien es union numerable de cerradosde interior vacıo), pero el teorema de Baire implicarıa entonces que X tendrıainterior vacıo, lo cual es absurdo.

En particular tenemos una demostracion alternativa de que Q no es un Gδen R. Otra consecuencia es que un abierto no vacıo en un espacio polaco sinpuntos aislados tiene que ser no numerable, y por consiguiente (dado que es unespacio polaco) su cardinal tiene que ser c.

Los teoremas 1.28 y 1.29 implican que todo espacio polaco perfecto no vacıocontiene un subespacio homeomorfo al espacio de Baire N. El teorema de Bairenos permite demostrar un resultado mas fuerte:

Teorema 1.39 Todo espacio polaco perfecto no vacıo contiene un subespacioGδ denso homeomorfo a N.

Demostracion: Sea X un espacio polaco perfecto no vacıo y sea Bnn∈ωuna base numerable. En general, las fronteras de los abiertos son cerrados deinterior vacıo, luego por el teorema de Baire

⋃

n∈ω∂Bn tiene interior vacıo. En

particular Y = X \⋃

n∈ω∂Bn es un Gδ denso en X . Los conjuntos B′

n = Bn ∩ Y

forman una base de Y y claramente ∂B′n = ∅ (donde la frontera hay que

entenderla respecto de la topologıa de Y ), luego los B′n son abiertos y cerrados

en Y . Esto significa que Y es cero-dimensional.Sea D un subconjunto denso numerable en Y . Como X no tiene puntos

aislados, si d ∈ D tenemos que d es un cerrado de interior vacıo, luego, por elteorema de Baire,

Z = Y \D = X \

(⋃

n∈ω∂Bn ∪

⋃

d∈D

d

)

es tambien un Gδ denso en X , que sigue siendo cero-dimensional, pero conla propiedad adicional de que todos sus compactos tienen interior vacıo, pues

30 Capıtulo 1. Espacios polacos

un compacto con interior no vacıo contendrıa un abierto basico K = B′n \ D,

que serıa cerrado en Z, luego compacto, luego cerrado en Y , pero entoncesB′n \ K = B′

n ∩ D serıa abierto en Y (no vacıo, porque D es denso), y estosignificarıa queD tendrıa interior no vacıo en Y , en contradiccion con el teoremade Baire (o con el teorema anterior).

Ahora basta aplicar el teorema 1.22 para concluir que el espacio Z es ho-meomorfo a N.

Otra aplicacion del teorema de Baire nos da el recıproco del teorema si-guiente:

Teorema 1.40 Si f :M −→ R es una funcion arbitraria en un espacio metrico,el conjunto de puntos en los que f es continua es Gδ.

Demostracion: Para cada natural n > 0, llamamos

An = x ∈M |∨

δ∧

uv ∈ Bδ(x) |f(u)− f(v)| < 1/n.

Es claro que los conjuntos An son abiertos en M . Basta probar que f escontinua exactamente en los puntos de G =

⋂

n∈ω\0

An.

Ciertamente, si f es continua en x y n > 0, existe un η > 0 tal que si|u − x| < η, entonces |f(u)− f(x)| < 1/2n y basta tomar δ = η/2 para probarque x ∈ An.

Recıprocamente, si x ∈ G, dado ǫ > 0 tomamos un n tal que 1/n < ǫ y ası,como x ∈ An, existe un δ > 0 tal que si u ∈ Bδ(x) entonces (tomando v = x)|f(u)− f(x)| < 1/n < ǫ, luego f es continua en x.

Ejercicio: Consideremos la funcion f : R −→ R dada por

f(x) =

1/q si x = p/q con p, q ∈ Z, (p, q) = 1, q > 0,0 en caso contrario.

Demostrar que lımx→x0

f(x) = 0 para todo x0 ∈ R. Deducir que f es continua en R \ Q

y discontinua en Q.

Puesto que hemos demostrado que Q no es un Gδ en R, ahora podemosconcluir que no puede existir una funcion que, a la inversa de la la del ejercicioprecedente, sea continua en Q y discontinua en R \Q. Mas en general:

Teorema 1.41 Sea X un espacio polaco sin puntos aislados y sea G ⊂ X unconjunto Gδ. Entonces existe una funcion f : X −→ R que es continua en lospuntos de G y discontinua en los puntos de X \G.

Demostracion: Sea X \G =⋃

n∈ωFn, donde los conjuntos Fn son cerrados.

Podemos suponer ademas que Fn ⊂ Fn+1 para todo n. Definimos g : X −→ R

mediante g(x) =∑

x∈Fn

12n , entendiendo que g(x) = 0 cuando x ∈ G.

Observamos ahora que g es continua en G, pues si xmm es una sucesionen X que converge a un punto x ∈ G, entonces, dado ǫ > 0, existe un n0 tal

1.5. El teorema de Baire 31

que∞∑

n=n0

12n < ǫ y, como x /∈ Fn0 y este es cerrado, existe un m0 tal que si

m ≥ m0 entonces xm /∈ Fn0 , luego g(xm) ≤∞∑

n=n0

12n < ǫ. Esto prueba que

lımmg(xm) = 0 = g(x).

Ahora tomamos un conjunto denso numerable D ⊂ X y sea χD

su funcioncaracterıstica. Definimos f : X −→ R mediante f(x) = g(x)(χ

D(x)− 1/2).

Claramente f sigue siendo continua en G. Supongamos ahora que f escontinua en un punto x ∈ X \G y vamos a llegar a una contradiccion, lo cualprobara el teorema. En tal caso f(x) 6= 0, luego x tiene un entorno U tal que lasimagenes de todos sus puntos tienen el mismo signo que f(x) (luego son todaspositivas o todas negativas).

Si x esta en la frontera de X \G, entonces existe u ∈ U ∩G, lo cual es unacontradiccion, pues entonces f(u) = 0. La alternativa es que x este en el interiorde X \G, pero entonces U ∩ (X \G) tambien es un entorno de x, luego contienetanto un punto u ∈ D como un punto v ∈ X \ D (aquı usamos que D tieneinterior vacıo, luego su complementario es denso). Como f(u) > 0 y f(v) < 0,tenemos de nuevo una contradiccion.

La categorıa topologica Una de las aplicaciones mas relevantes del teoremade Baire es que nos permite distinguir entre subconjuntos “grandes” y “pe-quenos” de un espacio completamente metrizable. Concretamente, decimos queun conjunto es:

• “muy grande” si contiene a un abierto denso (ası el conjunto es grandeglobalmente en el sentido de que ha de estar repartido por todo el espacioy a la vez grande localmente en el sentido de que, allı donde esta, tieneinterior no vacıo).

• “muy pequeno” si su complementario es muy grande, es decir, si estacontenido en un cerrado de interior vacıo. Se dice entonces que el conjuntoes diseminado.

• “pequeno” si es de primera categorıa, es decir, union numerable de con-juntos diseminados.

• “grande” si es de segunda categorıa, es decir, si no es de primera categorıa.

En estos terminos, el teorema de Baire afirma que en un espacio completa-mente metrizable los conjuntos de primera categorıa tienen interior vacıo. Enparticular, que todos los abiertos no vacıos son de segunda categorıa y, mas enparticular, que no todos los conjuntos son “pequenos”.

El conjunto Ic(X) de todos los conjuntos de primera categorıa en un espaciocompletamente metrizable X es claramente un ideal ℵ1-completo del algebraPX (y el teorema de Baire interviene para justificar que X /∈ Ic(X)).

Una de las razones por las que tiene interes el teorema 1.39 es que en lasituacion descrita en el la categorıa se relativiza adecuadamente:

32 Capıtulo 1. Espacios polacos

Teorema 1.42 Sea X un espacio polaco perfecto e Y un subespacio Gδ denso.Entonces:

a) Si A ⊂ X es diseminado (resp. de primera categorıa), entonces A ∩ Y esdiseminado (resp. de primera categorıa) en Y .

b) Un subconjunto A ⊂ Y es diseminado (resp. de primera categorıa) en Ysi y solo si lo es en X.

Demostracion: Pongamos que Y =⋂

n∈ωUn, donde cada Un es abierto,

necesariamente denso, en X .

a) Supongamos en primer lugar que A es cerrado de interior vacıo en X , yveamos que A∩Y cumple lo mismo en Y . Ciertamente es cerrado. Si no tuvierainterior vacıo, existirıa un abierto G en X tal que ∅ 6= G∗ = G ∩ Y ⊂ A ∩ Y .

Entonces G∗ =⋂

n∈ω(G ∩ Un) y cada Gn = G ∩ Un es abierto denso en G,

luego Fn = G \ Gn es cerrado de interior vacıo en G. Se cumple que Fn escerrado de interior vacıo en X , pues en caso contrario existirıa un abierto novacıo U ⊂ Fn, luego U ∩ G ⊂ Fn ∩ G = Fn, luego U ∩ G = ∅ (porque Fntiene interior vacıo), luego U ⊂ Fn \ G ⊂ G \ G = ∂G, luego U = ∅, pues lasfronteras de los abiertos tienen siempre interior vacıo.

Por el teorema de Baire⋃

n∈ωFn tiene interior vacıo en X , luego el conjunto

G \G∗ ⊂⋃

n∈ωFn es de primera categorıa en X , pero G es de segunda categorıa,

luego G∗ tambien tiene que ser de segunda categorıa en X , luego A tambien,contradiccion.

Si A es diseminado en X , entonces A es un cerrado de interior vacıo, luegoA ∩ Y ⊂ A ∩ Y es diseminado en Y , por la parte ya probada.

Si A es de primera categorıa en X , entonces es union numerable de conjuntosdiseminados en X , luego A ∩ Y es union numerable de conjuntos diseminadosen Y .

b) Si A es diseminado o de primera categorıa en X , entonces A = A ∩ Ylo es en Y por el apartado anterior. Supongamos que A es cerrado de interiorvacıo en Y . Entonces A es cerrado de interior vacıo en X , pues en caso contrarioexistirıa un abierto no vacıo G ⊂ A, luego G∩Y ⊂ A∩Y = A, luego G∩Y = ∅,porque es un abierto en Y y A tiene interior vacıo en Y . Pero esto contradicela densidad de Y en X .

Si A es diseminado en Y , entonces C = A∩Y tiene interior vacıo en Y , luegoC tiene interior vacıo en X , lo que prueba que A es diseminado en X . Como enel apartado anterior, esto implica el resultado correspondiente a conjuntos deprimera categorıa.

Capıtulo II

La medida de Lebesgue y lapropiedad de Baire

Introducimos ahora algunos de los conceptos y resultados sobre espacios po-lacos que mas adelante estudiaremos mas a fondo con tecnicas conjuntistas.Algunos mostraran que en muchos contextos es posible obtener resultados ge-nerales sobre espacios polacos trabajando unicamente con uno o varios de ellosen particular.

2.1 Conjuntos de Borel

En el capıtulo anterior hemos trabajado exclusivamente con tres tipos desubconjuntos de un espacio polaco dado: los abiertos, los cerrados y los con-juntos Gδ. Implıcitamente hemos manejado tambien conjuntos Fσ, es decir,uniones numerables de cerrados (o, equivalentemente, los complementarios delos conjuntos Gδ). Ası, por ejemplo, R \Q es un Gδ y Q es un Fσ en R. Por elteorema 1.4, en un espacio polaco todo cerrado es Gδ, luego todo abierto es Fσ.Todos estos conjuntos son casos particulares de conjuntos de Borel.

Recordemos que un algebra B de subconjuntos de un conjunto X es unasubalgebra de PX , de modo que 1l = X , O = ∅ y las operaciones booleanas sonla union, la interseccion y el complemento de conjuntos. Una σ-algebra B enX es un algebra de subconjuntos de X cerrada para uniones —y, por lo tanto,tambien para intersecciones— numerables, lo cual implica que es ℵ1-completa yque el supremo o el ınfimo de una familia numerable de elementos de B coincidecon su union o su interseccion conjuntista, respectivamente.

Es claro que la interseccion de cualquier familia de σ-algebras en un conjuntoX es tambien una σ-algebra en X , por lo que podemos hablar de la σ-algebragenerada por un conjunto G ⊂ PX , definida como la interseccion de todas lasσ-algebras que contienen a G.

33

34 Capıtulo 2. La medida de Lebesgue y la propiedad de Baire

Recordemos por ultimo que la σ-algebra de Borel de un espacio topologico Xes la σ-algebra B(X) generada por los conjuntos abiertos. A sus elementos seles llama conjuntos de Borel de X .

Ası pues, todo abierto de un espacio topologico es, por definicion, un con-junto de Borel, pero tambien lo son los cerrados, y los conjuntos Gδ y los Fσ.

Por ejemplo, si X es un espacio de Hausdorff numerable, es inmediato quetodo subconjunto de X es Fσ (es union numerable de los conjuntos formadospor cada uno de sus puntos, que son cerrados), luego B(X) = PX .

Por el contrario, veremos que no todo subconjunto de Rn (o, mas en general,de un espacio polaco no numerable) es de Borel y, sin embargo, la mayorıa delos conjuntos que aparecen en la practica al estudiar la topologıa y el analisisde los espacios Rn son de este tipo, por lo que los resultados validos para estosconjuntos, sin serlo para todo subconjunto de Rn, son aplicables a casi todoslos conjuntos que uno se encuentra en la practica. En algunos casos, el hechode que un conjunto dado es de Borel se sigue inmediatamente de su definicion,o a lo sumo, depende de una comprobacion rutinaria. En otros casos no es tanevidente, como es el caso del teorema 1.40.

Mas adelante veremos que no todo subconjunto de Rn es de Borel sin ne-cesidad de apoyarnos en el axioma de eleccion, pero usando dicho axioma esconsecuencia inmediata del teorema siguiente:

Teorema 2.1 (AE) Si A ⊂ PX cumple |A| ≥ 2 y B es la σ-algebra generadapor A, entonces |B| ≤ |A|ℵ0 . Si |A|ℵ0 = |A|, entonces |B| = |A|.

Demostracion: Definamos

A0 = A,∧

α < ω1 Aα+1 = Aα ∪ X \ U | U ∈ Aα ∪ ⋃

n<ωf(n) | f ∈ Aωα,

∧

λ ≤ ω1 Aλ =⋃

n<ωAδ.

Se comprueba inmediatamente que Aω1 es cerrado para complementos yuniones numerables, por lo que es una σ-algebra en X que contiene a A. Asıpues, B ⊂ Aω1 (de hecho se da la igualdad). Por otra parte, una simple in-duccion prueba que si α < ω1 entonces |Aα| ≤ |A|ℵ0 , por lo que

|B| ≤ |Aω1 | ≤ ℵ1|A|ℵ0 = |A|ℵ0 .

La segunda parte del teorema es inmediata.

Es claro que la σ-algebra de Borel de un espacio polaco esta generada porcualquier base numerable, luego el teorema anterior nos da que su cardinal es c,y si el espacio no es numerable hay 2c conjuntos en general, luego no todos sonde Borel.

2.1. Conjuntos de Borel 35

Cambio de topologıa Vamos a probar que la topologıa de un espacio polacopuede modificarse de modo que siga siendo un espacio polaco con los mismosconjuntos de Borel, pero de modo que un conjunto de Borel prefijado pase a serabierto y cerrado. Empezamos con un hecho elemental:

Teorema 2.2 Sean X e Y dos espacios polacos disjuntos. Entonces X ∪ Yadmite una topologıa de espacio polaco que restringida a cada uno de los dosconjuntos es su topologıa original y en la que ambos son abiertos y cerrados.

Demostracion: Fijemos metricas completas dX y dY en X y en Y . Pode-mos suponer que ninguna de ellas toma valores mayores que 1. Basta definir ladistancia en X ∪ Y dada por

d(x, y) =

dX(x, y) si x, y ∈ X ,dY (x, y) si x, y ∈ Y ,2 en otro caso.

Es facil ver que d es ciertamente una distancia y que la union, con la topologıainducida, cumple lo requerido.

Teorema 2.3 Sea X un espacio polaco y F ⊂ X un subespacio cerrado. En-tonces existe una topologıa en X, mas fina que la dada, con la que X es unespacio polaco, sus conjuntos de Borel son los mismos y F es abierto y cerrado.

Demostracion: Tanto F como X \ F son subconjuntos Gδ, luego ambosson espacios polacos. Llamemos X∗ al mismo conjunto X pero con la topologıadada por el teorema anterior. Ası F es abierto y cerrado en X∗. Si U es abiertoen X , entonces U ∩ F y U ∩ (X \ F ) son abiertos en F y X \ F tanto parala topologıa inducida por X como para la d X∗ (pues son las mismas), luegoU = (U ∩ F ) ∪ (U ∩ (X \ F )) es abierto en X∗, es decir, la topologıa de X∗ esmas fina que la de X . En particular, B(X) ⊂ B(X∗).

Por ultimo, si U es abierto en X∗, entonces U = (U ∩ F ) ∪ (U ∩ (X \ F )) ylos dos terminos de la union son conjuntos de Borel en X , luego U ∈ B(X) yesto implica que B(X∗) ⊂ B(X). En definitiva, B(X∗) = B(X).

Teorema 2.4 Sea X un espacio polaco y B ⊂ X un conjunto de Borel. Enton-ces existe una topologıa mas fina en X con la que este sigue siendo un espaciopolaco con los mismos conjuntos de Borel y en la que B es abierto y cerrado.

Demostracion: Sea B el conjunto de todos los conjuntos B ⊂ X quecumplen el teorema. Por el teorema anterior contiene a los cerrados, y tambiena los abiertos pues, mas en general, es claro que B es cerrado para complementos.

Vamos a probar que B es cerrado para intersecciones numerables, con loque sera una σ-algebra y tendremos que B(X) ⊂ B y ası el teorema quedarademostrado.

Sea Ann∈ω una sucesion en B y sea A =⋂

n∈ωAn. Llamemos Xn al mismo

conjunto X con una topologıa en las condiciones del enunciado para An. Elproducto P =

∏

n∈ωXn es tambien un espacio polaco. Sea j : X −→ P la

aplicacion diagonal, es decir, la dada por j(x) = xn∈ω.

36 Capıtulo 2. La medida de Lebesgue y la propiedad de Baire

Notemos que j[X ] es cerrado en P , pues si x ∈ P \ j[X ], existen ındices i,j tales que xi 6= xj y existen abiertos Ui, Uj en X tales que xi ∈ Ui, xj ∈ Uj ,Ui ∩ Uj = ∅. En principio Ui y Uj son abiertos en la topologıa original deX , pero tambien lo son en Xi y en Xj porque sus topologıas son mas finas.Entonces x ∈ p−1

i [Ui] ∩ p−1j [Uj ] y este conjunto es un abierto en P disjunto

de j[X ].SeaX∗ el conjuntoX con la topologıa que tiene por abiertos las antiimagenes

por j de los abiertos de P , es decir, la topologıa que hace a X∗ homeomorfo aj[X ] cuando en este consideramos la topologıa inducida desde P . Como j[X ] escerrado en un espacio polaco, j[X ] es un espacio polaco, y X∗ tambien.

Observemos ahora que una base de P la forman las intersecciones finitas deabiertos p−1

i [Ui], donde Ui es abierto en Xi, luego una base de j[X ] la formanlas intersecciones finitas de abiertos p−1

i [Ui] ∩ j[X ], luego una base de X∗ laforman las intersecciones finitas de los abiertos j−1[p−1

i [Ui] ∩ j[X ]] = Ui.En particular, todo abierto de X es abierto en cualquier Xi, luego es abierto

en X∗. Esto significa que la topologıa de X∗ es mas fina que la de X y, porconsiguiente, B(X) ⊂ B(X∗). Por otra parte, los abiertos basicos de X∗ sonconjuntos de Borel de X , luego B(X∗) ⊂ B(X) y tenemos la igualdad.

Finalmente, cada Ai es abierto y cerrado en Xi, luego es abierto y cerrado enX∗, luego A es cerrado en X∗. El teorema anterior nos permite refinar aun masla topologıa de X∗ para obtener un nuevo espacio polaco X∗∗ en las condicionesdel enunciado y en el que A es abierto y cerrado.

Como primera aplicacion podemos “ayudar” a Cantor a demostrar la hipo-tesis del continuo:

Teorema 2.5 (Alexandroff) Todo conjunto de Borel no numerable en un es-pacio polaco contiene un subconjunto perfecto y, por tanto, tiene cardinal c.

Demostracion: Sea X un espacio polaco y B un subconjunto de Borelno numerable. Sea X∗ el propio X con otra topologıa mas fina en la que B esabierto y cerrado. En particular B∗ (es decir, el conjunto B con la topologıarelativa inducida por X∗) es un espacio polaco no numerable. Por el teoremade Cantor-Bendixson 1.33 y 1.28 sabemos que existe un homeomorfismo en laimagen f : C −→ B∗. Ahora bien, la topologıa de B∗ es mas fina que la deB, luego f sigue siendo una biyeccion continua como aplicacion f : C −→ B y,como C es compacto, f es un homeomorfismo en su imagen.

Ası pues, para encontrar un contraejemplo a la hipotesis del continuo, Cantornecesitaba buscar mucho mas alla de los abiertos y cerrados: ningun conjuntode Borel puede contradecir la hipotesis del continuo.

Isomorfismos de Borel Seguidamente demostraremos que todos los espaciospolacos del mismo cardinal tienen la misma σ-algebra de Borel. Para el caso deespacios numerables es inmediato, pues ya hemos observado que B(X) = PX ,luego las algebras de dos espacios son isomorfas si y solo si ambos son finitosdel mismo cardinal o ambos son infinitos numerables. Solo hemos de analizar elcaso no numerable. Conviene introducir algunos conceptos:

2.1. Conjuntos de Borel 37

Definicion 2.6 Una biyeccion f : X −→ Y entre dos espacios polacos es unisomorfismo de Borel si la aplicacion F : B(Y ) −→ B(X) dada por F (A) =f−1[A] es biyectiva (y, por consiguiente, un isomorfismo de σ-algebras).

Teorema 2.7 Existe un isomorfismo de Borel entre el espacio de Cantor C yel intervalo unidad I.

Demostracion: Sea C el conjunto de las sucesiones x ∈ C que son final-mente constantes y sea f : C \ C −→ I la aplicacion dada por

f(x) =∞∑

n=0

x(n)2−n−1.

Se cumple que f es inyectiva (pues los unicos numeros reales que admiten dosdesarrollos binarios distintos son los que admiten desarrollos finalmente cons-tantes). Mas aun, f es un homeomorfismo en su imagen, pues una sucesion denumeros reales converge a un numero real x si y solo si la sucesion de sus cifrasbinarias converge en C a la de x (habiendo excluido los numeros que admitendos desarrollos distintos).

Si llamamos G = f [C \ C] y C′ = I \ G, tenemos que C′ ⊂ Q, luego C′ esnumerable, y C tambien lo es, luego existe una biyeccion g : C −→ C′. Asıpues, f y g determinan entre ambas una biyeccion h : C −→ I tal que h|C\C = fy h|C = g. Observemos ademas que, al ser numerables, C y C′ son conjuntosde Borel (ambos son Σ0

2).Ası, si B ∈ B(I), tenemos que B ∩ G ∈ B[G] y B ∩ C′ ∈ B[C′], luego

f−1[B∩G] ∈ B(C\C′) (porque f es continua) y g−1[B∩C′] ∈ B(C) (porque esnumerable). Ahora bien, B(C\C′) ⊂ B(C) y B(C) ⊂ B(C) (por 4.8), y entoncesh−1[B] = f−1[B ∩G] ∪ g−1[B ∩ C′] ∈ B(C).

Exactamente igual se prueba que si B ∈ B(C) entonces h[B] ∈ B(I), luego hes un isomorfismo de Borel.

Teorema 2.8 Si X es un espacio polaco, existe un conjunto B ∈ B(C) y unisomorfismo de Borel f : X −→ B.

Demostracion: El isomorfismo de Borel del teorema anterior induce unisomorfismo de Borel h : Cω −→ H.

En efecto, si h es la aplicacion definida de forma natural (coordenada acoordenada) y A ∈ Cω es abierto, entonces A = U0 × · · ·Un−1 × 2ω\n, paraciertos abiertos Ui en C. Sea Bi ∈ B(I) tal que h−1[Bi] = Ui. Entonces B =B0 × · · · ×Bn−1 × I

ω\n ∈ B(H) (porque es la interseccion de los n conjuntos deBorel p−1

i [Bi]) y claramente h−1[B] = A.Ası pues, B′ = h−1[B] | B ∈ B(H) es una σ-algebra en Cω que contiene a

los abiertos, luego B(Cω) ⊂ B′, es decir, que todo B ∈ B(Cω) se expresa en laforma h−1[B′], para cierto B′ ∈ B(H), que necesariamente es h[B]. En defini-tiva, hemos probado que si B ∈ B(Cω), entonces h[B] ∈ B(H), e igualmente seprueba la implicacion inversa.

38 Capıtulo 2. La medida de Lebesgue y la propiedad de Baire

Como Cω es homeomorfo a C (y un homeomorfismo es un isomorfismo de

Borel), componiendo obtenemos un isomorfismo de Borel i : H −→ C.

Por el teorema 1.9 existe un conjunto de Borel A ∈ B(H) y un homeomor-fismo g : X −→ A (notemos que, como X es polaco, A tambien lo es, luego esGδ en H). Sea B = i[A] ∈ B(C). Claramente, i se restringe a un isomorfismode Borel i|A : A −→ B, con lo que al componer obtenemos un isomorfismo deBorel f : X −→ B.

Por otra parte, si X es un espacio polaco no numerable, existe un homeomor-fismo de C en un subespacio C de X , que, en particular, es un isomorfismo deBorel g : C −→ C. Ahora solo necesitamos la siguiente adaptacion del teoremade Cantor-Bernstein:

Teorema 2.9 Sean X e Y espacios polacos y f : X −→ Y , g : Y −→ X iso-morfismos de Borel en sus imagenes respectivas (es decir, f es un isomorfismode Borel f : X −→ f [X ] ∈ B(Y ), y analogamente con g). Entonces existe unisomorfismo de Borel entre X e Y .

Demostracion: Definimos F : B(X) −→ B(X) mediante

F (A) = X \ g[Y \ f [A]].

Se comprueba inmediatamente que si A ⊂ B entonces F (A) ⊂ F (B). Defi-nimos X0 = X , Xn+1 = F (Xn). Se cumple que Xn+1 ⊂ Xn, pues obviamenteX1 ⊂ X0 y basta aplicar la monotonıa de F . Definimos X∞ =

⋂

n∈ωXn ∈ B(X).

Se comprueba a partir de la definicion de F que

F (X∞) =⋂

n∈ωF (Xn) =

⋂

n∈ωXn+1 = X∞.

Esto significa que X \ X∞ = g[Y \ f [X∞]]. Por lo tanto, tenemos dosisomorfismos de Borel

f |X∞: X∞ −→ f [X∞], g|Y \f [X∞] : Y \ f [X∞] −→ X \X∞

que se combinan para formar un isomorfismo de Borel h : X −→ Y .

Ası ya podemos concluir:

Teorema 2.10 Dados dos espacios polacos X e Y , existe un isomorfismo deBorel f : X −→ Y si y solo si X e Y tienen el mismo cardinal.

Demostracion: La condicion es obviamente necesaria. Antes de la defi-nicion 2.6 hemos razonado el caso de espacios numerables. Solo falta probarque si X es un espacio polaco no numerable existe un isomorfismo de Borelf : C −→ X , pero los teoremas 1.28 y 1.33 prueban que existe una aplicacioncontinua f : C −→ X que es un homeomorfismo en la imagen y, en particular,un isomorfismo de Borel en la imagen, y el teorema 2.8 prueba que existe unisomorfismo de Borel en la imagen g : X −→ C. El teorema anterior nos daentonces la conclusion.

2.2. Medidas 39

En particular, todos los espacios polacos no numerables tienen la mismaσ-algebra de Borel.

Mas adelante necesitaremos el refinamiento siguiente del teorema anterior:

Teorema 2.11 Sean X e Y dos espacios polacos, B ∈ B(X) y B′ ∈ B(Y ).Existe un isomorfismo de Borel f : X −→ Y tal que f [B] = B′ si y solo si|B| = |B′| y |X \B| = |Y \B′|.

Demostracion: La condicion es obviamente necesaria. Sean X∗ e Y ∗ losmismos espacios X e Y con topologıas en las que B y B′ sean abiertos cerrados,segun el teorema 2.4. Por el teorema anterior, existen isomorfismos de BorelB −→ B′ y X \B −→ Y \ B′, que claramente pueden combinarse para formarun isomorfismo de Borel f que cumple el teorema.

2.2 Medidas

Algunos problemas destacados de la teorıa descriptiva de conjuntos estanrelacionados con la medida de Lebesgue en Rn, aunque, del mismo modo queconviene trabajar con espacios polacos arbitrarios en lugar de unicamente conlos espacios Rn, ahora nos conviene considerar medidas en espacios polacosarbitrarios. y, mas en general aun, sobre algebras de Boole abstractas.

Definicion 2.12 Sea B un algebra de Boole. Una medida finitamente aditivaen B es una aplicacion µ : B −→ [0,+∞] tal que

a) µ(O) = 0, µ(1l) > 0,

b)∧

pq ∈ B(p ∧ q = O → µ(p ∨ q) = µ(p) + µ(q)).

Se dice que µ es unitaria si µ(1l) = 1, se dice que µ es finita si µ(1l) < +∞, sedice que µ es σ-finita si existen condiciones pnn∈ω en B tales que 1l =

∨

n∈ωpn

y∧

n ∈ ω µ(pn) < +∞.

Si B es ℵ1-completa (es decir, si los conjuntos numerables tienen supremo eınfimo) diremos que µ es una medida en B si para toda anticadena pnn∈ω enB se cumple que

µ( ∨

n∈ωpn

)=

∑

n∈ωµ(pn).

Esta condicion1 contiene ya la propiedad b) de la definicion de medida fini-tamente aditiva.

Un algebra medida es un par ordenado (B, µ), donde B es un algebra de Booleℵ1-completa y µ es una medida en B.

Si B es un algebra medida, el ideal de los elementos nulos de B se definecomo

Iµ = p ∈ B | µ(p) = 0.

1Convenimos en que una suma con un sumando igual a +∞ toma el valor +∞.

40 Capıtulo 2. La medida de Lebesgue y la propiedad de Baire

El teorema siguiente recoge las propiedades elementales de los conceptos queacabamos de introducir.

Teorema 2.13 Sea B un algebra medida.

a) Si p, q ∈ B, p ≤ q, entonces µ(p) ≤ µ(q).

b) Si pnn∈ω es una familia de elementos de B, no necesariamente incom-patibles entre sı, entonces

µ( ∨

n∈ωpn

)≤

∑

n∈ωµ(pn).

c) Si p, q ∈ B, entonces µ(p ∨ q) ≤ µ(p) + µ(q).

d) Si pnn∈ω es una sucesion creciente en B, entonces

µ( ∨

n∈ωpn

)= supn∈ω

µ(pn).

e) Si pnn∈ω es una sucesion decreciente en B y µ(p0) < +∞, entonces

µ( ∧

n∈ωpn

)= ınfn∈ω

µ(pn).

f) Iµ es un ideal ℵ1-completo de B.

g) (AE) Si µ es σ-finita entonces Iµ cumple la condicion de cadena nume-rable.

Demostracion: a) Es facil ver que q = p ∨ (q ∧ p′) y p ∧ (q ∧ p′) = O,luego µ(q) = µ(p) + µ(q ∧ p′) ≥ µ(p).

c) µ(p ∨ q) = µ(p ∨ (q ∧ p′)) = µ(p) ∧ µ(q ∧ p′) ≤ µ(p) + µ(q).

b) Sea qn = pn ∧( ∨

m<npm

)′. Claramente qn ≤ pn, pero

∨

n∈ωqn =

∨

n∈ωpn,

puespn ≤

∨

m≤nqm ≤

∨

n∈ωqn.

La primera desigualdad se prueba por induccion:

pn =(

pn ∧( ∨

m<npm

)′)

∨(

pn ∧( ∨

m<npm

))

≤ qn ∨( ∨

m<nqm

)=

∨

m≤nqm.

Ademas qnn∈ω es una anticadena, luego

µ( ∨

n∈ωpn

)= µ

( ∨

n∈ωqn)=

∑

n∈ωµ(qn) ≤

∑

n∈ωµ(pn).

d) De forma similar a como hemos hecho en el apartado anterior, podemosexpresar

∨

n∈ωpn = p0 ∨

∨

n∈ω(pn+1 ∧ p′n), de modo que

µ( ∨

n∈ωpn

)= µ(p0) +

∑

n∈ωµ(pn+1 ∧ p′n).

2.2. Medidas 41

Si µ(p0) = +∞ o algun µ(pn+1 ∧ p′n) = +∞, es claro que los dos miembrosde la igualdad que hemos de probar son infinitos. En caso contrario tenemosque µ(pn+1) = µ(pn) + µ(pn+1 ∧ p′n), luego por induccion todos los pn tienenmedida finita y

µ( ∨

n∈ωpn

)= µ(p0) +

∑

n∈ω(µ(pn+1)− µ(pn)) = sup

n<ωµ(pn).

e) La sucesion p0 ∧ p′nn<ω esta en las condiciones del apartado anterior,luego

µ(p0 ∧

∨

n∈ωp′n

)= sup

n<ωµ(p0 ∧ p′n),

lo cual equivale a

µ(p0 ∧

( ∧

n∈ωpn

)′)= sup

n<ω(µ(p0)− µ(pn)),

o tambien aµ(p0)− µ

( ∧

n∈ωpn

)= µ(p0)− ınf

n∈ωµ(pn).

f) Que Iµ es un ideal ℵ1-completo se sigue inmediatamente de las propiedadesanteriores.

g) Para probar que cumple la condicion de cadena numerable hemos de verque no existe ninguna anticadena pαα<ω1 en B \ Iµ.

Estamos suponiendo que µ es σ-finita, con lo que podemos descomponer1l =

∨

n∈ωrn, donde µ(rn) < +∞. Razonando como en b) podemos suponer que

las condiciones rn son incompatibles dos a dos.

Entonces pα =∨

n∈ωpα ∧ rn, luego 0 < µ(pα) =

∑

n∈ωµ(pα ∧ rn). Por

consiguiente existe un n ∈ ω tal que µ(pα ∧ rn) > 0. Mas aun, ha de haber unacantidad no numerable de α’s para las que sirva el mismo n. Restringiendo laanticadena de partida podemos suponer que el mismo n vale para todo α. Ası,si llamamos r = rn, tenemos que µ(rn) < +∞ y

∧

α < ω1 µ(pα ∧ r) > 0.

Entonces ω1 =⋃

m∈ωα < ω1 | µ(pα ∧ r) > 1/m. Alguno de estos conjuntos

ha de ser no numerable, luego restringiendo de nuevo la anticadena inicial po-demos suponer que

∧

α < ω1 µ(pα ∧ r) > 1/m, pero esto es absurdo, pues paratodo k ∈ ω tenemos que

k

m<

∑

n<k

µ(pn ∧ r) = µ( ∨

n<kpn ∧ r

)≤ µ(r),

y esto obliga a que µ(r) = +∞.

Ası, el cociente de un algebra de Boole respecto al ideal de elementos nulosde una medida σ-finita nos da un algebra de Boole completa:

42 Capıtulo 2. La medida de Lebesgue y la propiedad de Baire

Teorema 2.14 Sea B un algebra medida y consideremos el cociente Bµ = B/Iµ.

a) Bµ es ℵ1-completa y es un algebra medida con µ : Bµ −→ R dada porµ([p]) = µ(p). Ademas Iµ es trivial. Si µ es finita, σ-finita o unitaria,entonces µ tambien lo es.

b) Si pnn∈ω es una familia de elementos de B, entonces∨

n∈ω[pn] =

[ ∨

n∈ωpn

],

∧

n∈ω[pn] =

[ ∧

n∈ωpn

].

c) (AE) Si µ es σ-finita entonces Bµ es completa y cumple la condicion decadena numerable.

Demostracion: El hecho de que Bµ sea ℵ1-completa es el apartado b):claramente [pn] ≤

[ ∨

n∈ωpn

], y si [r] es una cota superior de todos los [pn] entonces

[pn ∧ r′] = O, luego pn ∧ r′ ∈ Iµ y como este es ℵ1-completo,∨

n∈ωpn ∧ r′ ∈ Iµ,

luego[ ∨

n∈ωpn

]∧ [r]′ = O y, por consiguiente

[ ∨

n∈ωpn

]≤ [r]. Esto prueba la

primera parte de b), y la segunda se sigue inmediatamente.

Tenemos, pues, que Bµ es ℵ1-completa. La medida µ esta bien definida, puessi [p] = [q] entonces (p ∧ q′) ∨ (p′ ∧ q) ∈ Iµ, luego µ(p ∧ q′) = µ(p′ ∧ q) = 0.Consecuentemente

µ(p) = µ(p ∧ q) + µ(p ∧ q′) = µ(p ∧ q),

e igualmente µ(q) = µ(p ∧ q), luego µ(p) = µ(q). Ahora es obvio que µ es unamedida en Bµ, ası como que es unitaria, finita o σ-finita si µ lo es. Su ideal estrivial, pues si µ([p]) = 0 es que µ(p) = 0, luego p ∈ Iµ y [p] = O.

c) Bµ es ℵ1-completa por [TC 10.39], cumple la condicion de cadena nume-rable por el apartado g) del teorema anterior, y por consiguiente es completapor [TC 10.27].

Estamos considerando medidas σ-finitas porque algunas de las medidas masimportantes lo son (como la medida de Lebesgue en Rn), pero en muchos casosnos interesara mas el algebra sobre la que esta definida una medida y su idealde elementos nulos que los valores concretos que toma la medida. En tal caso elteorema siguiente muestra que toda medida σ-finita se puede sustituir por unamedida unitaria.

Teorema 2.15 Si (B, µ) es un algebra medida σ-finita, existe una medida uni-taria µ′ en B tal que Iµ = Iµ′ .

Demostracion: Sean pnn∈ω elementos de B de medida finita y con su-premo 1l. Podemos suponer que µ(pn) > 0 para todo n. Entonces definimos

µ′(p) =∑

n∈ω

µ(pn ∧ p)

µ(pn)

1

2n+1.

Es facil ver que µ′ es una medida unitaria en B que cumple lo requerido.

2.2. Medidas 43

Definicion 2.16 Sea B un algebra medida. Se dice que p ∈ B es un atomo siµ(p) > 0 y

∧

q ∈ B(q ≤ p → µ(q) = 0 ∨ µ(q) = µ(p)). La medida µ es atomicao no atomica segun si tiene o no tiene atomos.

Es facil comprobar que p ∈ B es un atomo si y solo si [p] es un atomo enel algebra Bµ, por lo que µ es atomica si y solo si lo es µ. Necesitaremos elteorema siguiente:

Teorema 2.17 (AE) Sea µ una medida no atomica en un algebra B, sea p ∈ By sea k un numero real tal que 0 < k < µ(p) < +∞. Entonces existe q ∈ B talque q ≤ p y µ(q) = k.

Demostracion: Supongamos que ningun q ≤ p tiene medida k. Veamosen primer lugar que para todo q ∈ B con µ(q) > 0 y para todo natural n > 1existe una anticadena sii<n en B tal que q =

∨

i<nsi y

∧

i < n µ(si) > 0.

Razonamos por induccion sobre n. Para n = 2, como q no es un atomo,existe s0 ≤ q tal que 0 < µ(s0) < µ(q). Basta tomar s1 = q ∧ s′0. Claramenteq = s0 ∨ s1, s0 ∧ s1 = O y µ(q) = µ(s0) + µ(s1), luego ambos sumandos sonpositivos.

Si vale para n, por el caso 2 podemos descomponer q = q′ ∨ sn, de modo queq′ ∧ sn = O y µ(q′) > 0, µ(sn) > 0. Basta aplicar a q′ la hipotesis de induccion.

Veamos ahora que si q ∈ B cumple k < µ(q) < +∞, entonces existe r ≤ qtal que k < µ(r) < µ(q).

Sea n un natural tal que 1nµ(q) < µ(q)− k. Sea sii<n una anticadena tal

que q =∨

i<nsi y

∧

i < n µ(si) > 0. Como

µ(q) =∑

i<n

µ(si),

algun i < n ha de cumplir que µ(si) ≤1nµ(q) < µ(q) − k. Sea r = q ∧ s′i ≤ q.

Ası µ(q) = µ(si) + µ(r), luego µ(r) = µ(q)− µ(si) > k.

Vamos a construir una sucesion sαα<ω1 tal que

∧

αβ(α < β < ω1 → sβ ≤ sα ∧ k < µ(sβ) < µ(sα)).

Partimos de s0 = p. Definido sα tal que k < µ(sα), acabamos de probar queexiste sα+1 tal que sα+1 ≤ sα y k < µ(sα+1) < µ(sα). Definidos sδδ<λ, paraun ordinal lımite λ < ω1, sea sλ =

∧

δ<λsδ. Sea δnn<ω una sucesion cofinal

creciente en λ. Es claro que sλ =∧

n<ωsδn = ınf

n<ωµ(sδn) ≥ k, pero por hipotesis

ha de ser µ(sλ) > k.

La sucesion de numeros reales µ(sα)α<ω1 es estrictamente decreciente, yesta acotada inferiormente por k, luego existe a = ınf

α<ω1

µ(sα) y k ≤ a.

44 Capıtulo 2. La medida de Lebesgue y la propiedad de Baire

Si 0 < n < ω, tomemos αn < ω1 tal que∧

α ≥ αn a + 1n > µ(sα). Sea

α = supn<ω

αn < ω1. Entonces µ(sα)− a < 1/n para todo natural n > 0, luego ha

de ser µ(sα) = a, pero entonces tambien µ(sα+1) = a, contradiccion, pues porconstruccion µ(sα+1) < µ(sα).

La razon para considerar medidas sobre algebras de Boole arbitrarias ha sidoincluir el caso de las algebras cociente sobre los ideales de conjuntos nulos, perolas medidas que mas nos van a interesar son las medidas de Borel definidas enespacios polacos:

Definicion 2.18 Si X es cualquier espacio topologico metrizable, una medidade Borel en X es una medida σ-finita µ : B(X) −→ [0,+∞[. La medida escontinua si los puntos tienen medida nula (con lo que todo conjunto numerablees nulo).

Una comprobacion rutinaria [AM 8.29] muestra que toda medida de Borel µse extiende a otra medida en la σ-algebra Mµ formada por los conjuntos A talesque existen B, C ∈ B tales que B ⊂ A ⊂ C y µ(C \B) = 0. Equivalentemente,los elementos de Mµ son de la forma B∪N donde B ∈ B(X) existe un C ∈ B(X)de modo que N ⊂ C y µ(C) = 0 (de modo que µ(B ∪N) = µ(B)).

Esta extension es la llamada complecion de µ y normalmente la identificare-mos con µ (es decir, consideraremos que toda medida de Borel µ esta en realidaddefinida sobre el algebra Mµ). La complecion es completa en el sentido de quetodo subconjunto de un conjunto nulo es nulo (y, por consiguiente, Iµ es un idealdel algebra PX). A los conjuntos de Mµ los llamaremos conjuntos µ-medibles.

Las medidas de Borel satisfacen algunas propiedades topologicas adicionales:

Teorema 2.19 Sea X un espacio metrizable y µ una medida de Borel finitaen X. Entonces, para todo conjunto µ-medible A,

µ(A) = supµ(F ) | F ⊂ A es cerrado = ınfµ(U) | A ⊂ U es abierto.

Demostracion: Sea B el conjunto de todos los conjuntos A ∈ B(X) quecumplen la propiedad del enunciado. Observamos que contiene a todos loscerrados, pues la primera igualdad es inmediata y, para la segunda, usamos que,en un espacio metrizable, todo cerrado F es Gδ, luego F =

⋂

n∈ωUn, para ciertos

conjuntos abiertos Un.Reemplazando Un por su interseccion con los abiertos precedentes podemos

suponer que Un+1 ⊂ Un, y entonces las propiedades elementales de las medidasimplican que µ(F ) = ınf

n∈ωµ(Un), de donde se sigue que F ∈ B.

Ahora observamos que si A ∈ B, tambien X \A ∈ B. En efecto, dado ǫ > 0,existe un cerrado F ⊂ A tal que µ(A)− µ(F ) < ǫ, y entonces X \A ⊂ X \ F y

µ(X \ F )− µ(X \A) = µ(X)− µ(F )− µ(X) + µ(A) < ǫ,

luego X \ A cumple la segunda igualdad del enunciado. Similarmente, usandoque A cumple esta igualdad se razona que X \A cumple la primera.

2.2. Medidas 45

Veamos ahora que si Ann∈ω es una familia de elementos de B, entoncesA =

⋃

n∈ωAn ∈ B.

Dado ǫ > 0, existen cerrados Fn ⊂ An tales que µ(An) − µ(Fn) < ǫ/2n+1.Entonces, llamando F =

⋃

n∈ωFn, tenemos que

µ(A)− µ(F ) = µ(A \ F ) ≤ µ(⋃

n∈ωAn \ Fn) ≤

∑

n∈ωµ(An \ Fn) ≤

∞∑

n=0

ǫ

2n+1= ǫ,

luego A cumple la primera igualdad del enunciado. La segunda se demuestraanalogamente.

Ası pues, B es una σ-subalgebra de B(X) que contiene a los cerrados (luegotambien a los abiertos), luego ha de ser B = B(X). En otras palabras, todoslos conjuntos de Borel cumplen el teorema. Si A ∈ Mµ, entonces A = B ∪ N ,donde B ∈ B(X) y N ⊂ C ∈ B(X) con µ(C) = 0. Ası

µ(A) = µ(B) = supµ(F ) | F ⊂ B es cerrado

≤ supµ(F ) | F ⊂ A es cerrado ≤ µ(A).

Por otra parte, dado ǫ > 0, podemos tomar abiertos U1 y U2 tales queB ⊂ U1, C ⊂ U2, µ(U1) − µ(B) < ǫ/2, µ(U2) < ǫ/2, con lo que U = U1 ∪ U2

cumple que A ⊂ U y

µ(U)− µ(A) = µ(U \A) ≤ µ(U1 \B) + µ(U2 \ C) < ǫ,

luego A cumple el enunciado.

En particular, vemos que si dos medidas de Borel coinciden sobre los abiertos,entonces son iguales. En un espacio polaco podemos refinar el resultado:

Teorema 2.20 Sea X un espacio polaco y µ una medida de Borel finita en X.Entonces, para cada conjunto µ-medible A ⊂ X se cumple que

µ(A) = supµ(K) | K ⊂ A es compacto.

Demostracion: Por el teorema anterior, la medida de A puede aproximarsepor la de un cerrado, luego basta aproximar la de este cerrado por la de uncompacto. Equivalentemente, podemos suponer que A es cerrado. Entonces Aes el mismo un espacio polaco. Si µ(A) = 0 no hay nada que probar y, en casocontrario, restringiendo la medida a B(A), podemos suponer que A = X , esdecir, hay que probar que

µ(X) = supµ(K) | K ⊂ X es compacto.

Para cada n ∈ ω, la familia de bolas abiertas de radio 2−n forma una basede X , luego por 1.11 podemos extraer una subbase numerable. Sean Bni i∈ωlas bolas cerradas correspondientes. Como

µ(⋃

i≤k

Bni

)

→ µ(X),

46 Capıtulo 2. La medida de Lebesgue y la propiedad de Baire

podemos tomar un kn ∈ ω tal que µ((

X \⋃

i≤kn

Bni

)

< ǫ/2n+1. Sea

K =⋂

n∈ω

⋃

i≤kn

Bni .

Entonces K es cerrado, luego es un espacio metrico completo, y es precompacto,pues, dado ǫ > 0 tomamos un n tal que 2−n < ǫ y K puede cubrirse por lasbolas abiertas de radio ǫ y centros en los centros de las bolas cerradas Bni . Porlo tanto K es compacto. Ademas,

µ(X)− µ(K) = µ(X \K) ≤∑

n∈ωµ(

X \⋃

i≤kn

Bni

)

< ǫ.

Finalmente suprimimos la hipotesis de finitud:

Teorema 2.21 Toda medida de Borel µ en un espacio polaco X es regular, esdecir, para todo conjunto µ-medible A, se cumple que

µ(A) = supµ(F ) | K ⊂ A es compacto = ınfµ(U) | A ⊂ U es abierto.

Demostracion: Tenemos el teorema probado para el caso de medidas fi-nitas. En general, una medida de Borel es σ-finita, es decir, existen conjuntosµ-medibles Ann∈ω con µ(An) < +∞ y X =

⋃

n∈ωAn. Uniendo cada An a

los precedentes podemos suponer que la sucesion es creciente, y eliminando losterminos nulos si los hay, podemos suponer que µ(An) > 0 para todo n. Deacuerdo con el teorema 2.15, definimos µ′ : Mµ −→ [0, 1] mediante

µ′(A) =∑

n∈ω

µ(A ∩ An)

µ(An)

1

2n+1,

lo que nos da una medida de Borel finita enX con los mismos conjuntos mediblesy nulos. Dado un conjunto µ-medible A, tenemos que A =

⋃

n∈ω(An ∩ A) y la

union es creciente, luego

µ(A) = supn∈ω

µ(An ∩ A).

Si se cumple µ(A) < +∞, fijamos 0 < ǫ < 1 y tomamos un n0 ∈ ω tal queµ(A)− µ(A ∩An0) < ǫ/2; si µ(A) = +∞, fijamos N ∈ ω y tomamos n0 ∈ ω talque µ(A ∩ An0) > N + 1.

Por el teorema anterior aplicado a la medida µ′ existe un compacto K ⊂ Atal que

µ′(A)− µ′(K) <ǫ

µ(An0)2n0+2

.

Esto implica, en particular, que

µ(A ∩ An0)− µ(K ∩An0)

µ(An0)

1

2n0+1<

ǫ

µ(An0)2n0+2

,

2.3. La medida de Lebesgue 47

luego µ(A∩An0)− µ(K ∩An0) < ǫ/2. En el caso en que A tiene medida finita,de aquı deducimos que µ(A)−µ(K ∩An0) < ǫ, luego tambien µ(A)−µ(K) < ǫ.En el caso de medida infinita queda que µ(K) ≥ µ(K ∩ An0) > N , luego enambos casos se cumple la primera igualdad del enunciado.

La segunda es trivial si µ(A) = +∞, y en caso contrario se razona analoga-mente a como acabamos de hacer.

Como consecuencia tenemos que los conjuntos de medida positiva han detener cardinal grande:

Teorema 2.22 Sea X un espacio polaco y µ una medida de Borel continuaen X. Si A ∈ Mµ cumple que µ(A) > 0, entonces |A| = c.

Demostracion: Tenemos que A contiene un cerrado F de medida positiva,luego F no puede ser numerable, luego por 2.5 tiene cardinal c y A tambien.

2.3 La medida de Lebesgue

La medida en Rn que se corresponde con los conceptos geometricos de lon-gitud, area, volumen y su generalizacion natural a dimensiones superiores esla medida de Lebesgue. La construccion es laboriosa, ası que citaremos sindemostracion los resultados que vamos a necesitar remitiendo a [AM] para laspruebas.

Para empezar tenemos la caracterizacion siguiente [AM 8.34]:

Teorema 2.23 La medida de Lebesgue en Rn es la unica medida de Borel mque cumple que

m

(n∏

i=1

]ai, bi[

)

=n∏

i=1

(bi − ai),

para todos los pares de numeros reales ai ≤ bi.

Naturalmente, la medida de Lebesgue puede completarse como hemos in-dicado tras la definicion 2.18 hasta la σ-algebra Mn de los conjuntos mediblesLebesgue en Rn, que son los de la forma B ∪ N , donde B es un conjunto deBorel y N un subconjunto de un conjunto de Borel nulo.

La medida de Lebesgue es continua, σ-finita e invariante por isometrıas (enparticular por traslaciones), en el sentido de que si f : Rn −→ Rn es unaisometrıa y A ∈ Mn, entonces f [A] ∈ Mn y m(f [A]) = m(A). Remitimos a[AM] para la prueba de todos estos hechos.

Una propiedad de la medida de Lebesgue que no esta demostrada en [AM]es que se trata de una medida no atomica, pero esto se prueba facilmente: siA ∈ Mn fuera un atomo para la medida de Lebesgue, podrıamos cubrir Rn con

una cantidad numerable de celdas Ck =n∏

i=1

]aki, bki[ de medida m(Ck) < m(A).

Entonces, como m(Ck ∩ A) ≤ m(Ck) < m(A) y A es un atomo, tiene que serm(Ck∩A) = 0, y como A ⊂

⋃

k

(Ck∩A), concluimos quem(A) = 0, contradiccion.

48 Capıtulo 2. La medida de Lebesgue y la propiedad de Baire

Las medidas de Lebesgue en los distintos espacios Rn estan relacionadas atraves del concepto de producto de medidas. Concretamente, si (X1,A1, µ1) y(X2,A2, µ2) son dos espacios medida (es decir, Ai es una σ-algebra de subcon-juntos de Xi y µi es una medida en Ai), entonces podemos definir la σ-algebraproducto A1 × A2 como la σ-algebra en X1 × X2 generada por los productosA1 × A2, con Ai ∈ Ai, y es posible construir una medida producto µ1 × µ2

caracterizada por el teorema siguiente [AM 9.6, 9.7]

Teorema 2.24 Si X1 y X2 son espacios polacos, B1, B2 son sus respectivasσ-algebras de Borel y µ1, µ2 son medidas de Borel en cada un de ellos, entoncesla σ-algebra producto B1 ×B2 es la σ-algebra de Borel de X1 ×X2 y la medidaproducto µ1×µ2 esta determinada por que, para todo par de conjuntos A1 ∈ B1,A2 ∈ B2, se cumple que (µ1 × µ2)(A1 × A2) = µ1(A1)µ2(A2) (con el conveniode que 0 · ∞ = ∞ · 0 = 0).

Es claro entonces que la medida de Lebesgue en Rm+n es el producto de lamedida de Lebesgue en Rm por la medida de Lebesgue en Rn (entendidas comomedidas de Borel, pues no es cierto que Mm×Mn = Mmn, sino que Mmn es lacomplecion de la σ-algebra producto).

El teorema siguiente es una consecuencia sencilla del teorema de Fubini[AM 9.10] y de las propiedades de la integral de Lebesgue:

Teorema 2.25 (Fubini) Sean X1 y X2 dos espacios polacos y µ1, µ2 medidasde Borel en cada uno de ellos. Entonces un conjunto de Borel E ⊂ X1 ×X2 esnulo para la medida producto si y solo si Ex = y ∈ X2 | (x, y) ∈ E es nulopara casi todo2 x ∈ X1, si y solo si Ey = x ∈ X1 | (x, y) ∈ E es nulo paracasi todo y ∈ X2.

Estos son todos los resultados que necesitamos. Observemos ahora que,mientras en la seccion anterior hemos probado que los conjuntos de medida po-sitiva respecto de una medida de Borel continua tienen que tener necesariamentecardinal c, un conjunto de dicho cardinal puede ser nulo:

Teorema 2.26 El conjunto ternario de Cantor C ⊂ I es nulo para la medidade Lebesgue.

Demostracion: Recordemos que el conjunto ternario de Cantor, definidoen 1.30, es de la forma

C =⋂

n∈ω

⋃

s∈2nA(s).

Cada A(s) es un intervalo cerrado de longitud 3−ℓ(s). Por lo tanto,

m(C) ≤∑

s∈2n3−n =

(23

)n

para todo n ∈ ω, luego m(C) = 0.

2Naturalmente “para casi todo x” significa para todo x salvo para los puntos de un conjuntode medida nula.

2.3. La medida de Lebesgue 49

Una primera consecuencia de este ejemplo es que, como todos los subconjun-

tos de un conjunto nulo son nulos (y, en particular, medibles), hay 22ℵ0

conjuntosmedibles Lebesgue, muchos mas que conjuntos de Borel, que (admitiendo AE)son solo 2ℵ0 . (Lo demostraremos en 4.19, si bien es facil dar una prueba masdirecta.) Aprovechamos tambien que el conjunto de Cantor tiene medida nulapara demostrar lo siguiente:

Teorema 2.27 Sea X un espacio polaco y µ una medida de Borel unitaria ycontinua en X. Entonces existe un isomorfismo de Borel f : X −→ I tal que,para todo A ∈ Mµ, µ(A) = m(f [A]), donde m es la medida de Lebesgue.

Demostracion: Para que X pueda tener una medida no trivial no puedeser numerable, luego por el teorema 2.10 tenemos que existe un isomorfismode Borel g : X −→ I. Podemos definir una medida de Borel en I medianteµ′(B) = µ(g−1[B]). Se cumple entonces que si A ∈ B(X), µ(A) = µ′(g[A]).De hecho, lo mismo vale para A ∈ Mµ, pues en tal caso A = B ∪ N , dondeN ⊂ C ∈ B(X) y C es nulo. Por lo tanto, g[A] = g[B] ∪ g[N ] con g[B] ∈ B(I)y g[N ] ⊂ g[C] ∈ B(I) y µ′(g[C]) = 0. Esto prueba que g[A] ∈ Mµ′ y

µ′(g[A]) = µ′(g[B]) = µ(B) = µ(A).

Es claro entonces que basta demostrar el teorema para la medida µ′ o, loque es lo mismo, podemos suponer que X = I.

Sea g : I −→ I la funcion dada por g(x) = µ([0, x]). Claramente g escontinua, monotona creciente y g(0) = 0, g(1) = 1.

Definimos ahora otra medida de Borel en I mediante m(B) = µ(g−1[B]). Lahemos llamadom porque, como vemos a continuacion, es la medida de Lebesgue.En efecto,

m([0, x]) = µ(g−1[0, x]) = µ([0, y]) = g(y) = x,

donde y es el maximo del intervalo cerrado g−1[x]. De aquı se sigue a su vezque m([x, y]) = y − x, y esto caracteriza a la medida de Lebesgue.

Aun no tenemos probado el teorema porque la aplicacion g no tiene por queser biyectiva, luego no es un isomorfismo de Borel. Para arreglarlo observamosque, para cada x ∈ I, como ya hemos observado, g−1[x] es un intervalo quepuede reducirse a un punto. De hecho, el conjunto N formado por los puntosx ∈ I tales que g−1[x] contiene mas de un punto ha de ser numerable, pues losintervalos seran disjuntos dos a dos, y cada uno de ellos tendra que contener unnumero racional distinto.

LlamemosM = g−1[N ]. Ası, la aplicacion g se restringe a un homeomorfismog : I \M −→ I \N . Sea C el conjunto ternario de Cantor y Q = C \N , que esno numerable y nulo para la medida de Lebesgue. Sea P = g−1[Q] ⊂ I\M , quecumple µ(P ) = µ(g−1[Q]) = m(Q) = 0. Restringiendo aun mas g, obtenemosun homeomorfismo

g : I \ (P ∪M) −→ I \ (Q ∪N).

50 Capıtulo 2. La medida de Lebesgue y la propiedad de Baire

Notemos que si A ⊂ I \ (P ∪M) es un conjunto de Borel, entonces g[A]es un conjunto de Borel (porque g es un homeomorfismo en este dominio) yg−1[g[A]] = A, luego m(g[A]) = µ(A).

Por otra parte, P ∪ M y Q ∪ N son conjuntos de Borel no numerables,y sus complementarios respectivos tambien son no numerables (pues g es unabiyeccion entre ellos y el del segundo conjunto es (I \ C) ∪ N , donde I \ C esabierto, luego no numerable). El teorema 2.11 nos da un isomorfismo de Borelde I en sı mismo que se restringe a un isomorfismo de Borel h : P ∪M −→ Q∪N .Combinando g y h obtenemos un isomorfismo de Borel f : I −→ I que cumpleel enunciado para subconjuntos de Borel A ⊂ I \ (P ∪M) (porque g tiene estapropiedad) y tambien para A ⊂ P ∪M (porque en tal caso A es nulo para µy su imagen por f es nula para m). De aquı se sigue inmediatamente que fcumple el teorema para todo conjunto de Borel, y de aquı a su vez se sigue sindificultad que se cumple para todo conjunto medible.

Ası pues, no solo es posible encontrar un isomorfismo de Borel que transformelos conjuntos de Borel de un espacio dado en otro, sino que es posible hacerlode modo que transforme cualquier medida de Borel dada (unitaria y continua)en cualquier otra.

Si tenemos dos medidas de Borel (unitarias y continuas) µ y ν en un mismoespacio polaco X , las σ-algebras Mµ y Mν no tienen por que ser la misma,pero un isomorfismo de Borel F : X −→ X en las condiciones del teoremaanterior induce un isomorfismo de algebras entre ellas. Si lo restringimos aB(X), tenemos un automorfismo de B(X) que transforma una medida en laotra. Ası, no solo sucede que todos los espacios polacos no numerables tienen(salvo isomorfismo) la misma σ-algebra de Borel, sino que esta tiene (salvoautomorfismo) una unica medida unitaria continua.

Definicion 2.28 Sea X un espacio polaco y µ una medida de Borel unitariay continua en X . Llamaremos algebra de medida al algebra de Boole cocienteBm = B(X)/Iµ, donde Iµ es el ideal de los conjuntos de Borel nulos.

Hemos probado que el algebra de medida es, salvo isomorfismo, indepen-diente del espacio concreto X y de la medida concreta µ con que se construya.3

Observemos que tambien obtenemos la misma algebra si en lugar de con-siderar la σ-algebra B(X) consideramos Mµ. Para ello observemos que dosconjuntos (de Borel o medibles) A y B determinan la misma clase en el algebrade medida (B(X)/Iµ o Mµ/Iµ) si y solo si AB es un conjunto nulo.

Es claro entonces que la inclusion B(X) −→ Mµ induce un monomorfismode algebras B(X)/Iµ −→ Mµ/Iµ. Para ver que se trata de un isomorfismo ob-servamos que el teorema 2.19 implica que si A ∈ Mµ existen conjuntos Fσ y Gδ,digamos F y G, tales que F ⊂ A ⊂ G y µ(G \ F ) = 0. Por consiguiente, tantoAF como AG son nulos, luego toda clase de Mµ/Iµ tiene un representanteen B(X). En definitiva:

3(AE) Esta algebra es completa, no atomica y cumple la condicion de cadena numerable,por 2.14.

2.3. La medida de Lebesgue 51

Teorema 2.29 Si X es un espacio polaco y µ una medida de Borel conti-nua en X, entonces la inclusion induce un isomorfismo de algebras de BooleBm = B(X)/Iµ ∼= Mµ/Iµ. Mas aun, toda clase del algebra de medida tiene unrepresentante Fσ y un representante Gδ.

Ası pues, anadiendo o quitando conjuntos nulos, todo conjunto mediblepuede convertirse en un Fσ o en un Gδ.

Nota Para comparar con los resultados sobre el algebra de categorıa que ve-remos en la seccion siguiente, conviene senalar que no es cierto que toda clasedel algebra de medida contenga un representante abierto. En efecto, tomemos,por ejemplo, el espacio I con la medida de Lebesgue. Sea qnn∈ω un conjuntodenso y, para cada n ∈ ω, llamemos In a un intervalo abierto de centro qn ydiametro (o sea, medida) menor que 1/2n+2. Llamemos A a la union de losintervalos In y sea C = I \ A. Entonces A es denso en I y m(A) < 1/2, luegoC tiene interior vacıo en I y m(C) > 1/2. Esto implica que no existe ningunabierto U en I tal que U C sea nulo, pues esto implicarıa que el abierto U \Cserıa nulo, pero un abierto solo puede ser nulo si es vacıo, luego U ⊂ C, peroC tiene interior vacıo, luego U = ∅, luego C = ∅C es nulo, y esto es falso.

La medida de los cubos de Cantor Vamos a necesitar un ultimo ejemplo demedida en un contexto mas general que el de los espacios polacos. Consideremosun conjunto arbitrario I 6= ∅. Se define el cubo de Cantor generalizado asociadoa I como X = 2I . Consideraremos a X como espacio topologico compacto conel producto de la topologıa discreta en 2.

Para cada J ⊂ I finito y cada Y ⊂ 2J , definimos el cilindro de base Y comoel conjunto

CJ (Y ) = f ∈ X | f |J ∈ Y .

Es claro que los cilindros forman una base de la topologıa de X . LlamaremosA al conjunto de todos los cilindros. Es facil ver que se trata de un algebra desubconjuntos de X . En efecto, observemos que si J ⊂ J ′ son dos subconjuntosfinitos de I, Y ⊂ 2J e Y J

′

= f ∈ 2J′

| f |J ∈ Y , entonces CJ (Y ) = CJ′(Y J′

).Esto implica que para operar dos cilindros podemos suponer que tienen el

mismo soporte J . Ahora basta tener en cuenta las relaciones siguientes:

∅ = CJ (∅) ∈ A, X = CJ (2J) ∈ A, X \ CJ (Y ) = CJ (2

J \ Y ) ∈ A,

CJ (Y ) ∩ CJ (Y′) = CJ (Y ∩ Y ′) ∈ A, CJ(Y ) ∪ CJ(Y

′) = CJ(Y ∪ Y ′) ∈ A.

Teorema 2.30 Existe una unica medida finitamente aditiva λ : A −→ [0, 1] talque para todo J ⊂ I finito y todo Y ⊂ 2J se cumple

λ(CJ (Y )) =|Y |

2|I|.

52 Capıtulo 2. La medida de Lebesgue y la propiedad de Baire

Demostracion: La igualdad del enunciado sirve como definicion de λ.Para ello hemos de comprobar que no depende de la expresion del cilindro,es decir, si CJ (Y ) = CJ′(Y ′), entonces CJ∪J′(Y J∪J

′

) = CJ∪J′(Y ′J∪J′

), luegoY J∪J

′

= Y ′J∪J′

. Por consiguiente

|Y |

2|J|=

|Y |2|J′\J|

2|J∪J′|=

|Y J∪J′

|

2|J∪J′|=

|Y ′|2|J\J′|

2|J∪J′|=

|Y ′|

2|J′|.

Veamos ahora que λ es una medida finitamente aditiva. Evidentemente secumple λ(∅) = 0 y λ(X) = 1. Si CJ(Y ) ∩ CJ(Y

′) = ∅, entonces Y ∩ Y ′ = ∅,luego

λ(CJ (Y ) ∪ CJ(Y′)) = λ(CJ (Y ∪ Y ′)) =

|Y ∪ Y ′|

2|J|

=|Y |

2|J|+

|Y ′|

2|J|= λ(CJ (Y )) + λ(CJ (Y

′)).

Llamaremos AI a la σ-algebra en X generada por A.

Teorema 2.31 Si I es un conjunto no vacıo, existe una unica medida m en AItal que para todo J ⊂ I finito y todo Y ⊂ 2J se cumple

m(CJ (Y )) =|Y |

2|I|.

Demostracion: En otras palabras, hemos de probar que λ admite unaextension unica a AI . Esto es consecuencia del teorema de extension de Cara-theodory [AM 8.27] (la unicidad se sigue de [AM 8.30]). La unica hipotesisque hemos de comprobar es que λ es una medida en A, en el sentido de quesi la union de una familia numerable de cubos disjuntos dos a dos pertenece aA, entonces su medida es la suma de las medidas de los cubos. Ahora bien,veremos que esto se cumple trivialmente, puesto que una union numerable decubos disjuntos dos a dos no esta nunca en A salvo que todos salvo una cantidadfinita de ellos sean vacıos.

En efecto, sean Cnn<ω cubos disjuntos dos a dos. Notemos que los cubosson abiertos y cerrados en X . En particular son compactos. Si la union es uncubo C, entonces Cnn<ω es un cubrimiento abierto del compacto C, luegoadmite un subcubrimiento finito, pero como son disjuntos dos a dos, esto solopuede ser si los cubos que no forman parte del subcubrimiento son vacıos.

Teorema 2.32 Si I es un conjunto no vacıo, (2I ,AI ,m) es un espacio medidaregular, es decir, para todo A ∈ AI se cumple que

m(A) = ınfm(U) | A ⊂ U ∧ U es abierto en 2I

= supm(K) | K ⊂ A ∧ K es compacto4en 2I.

Si I es infinito la medida m es no atomica.

2.3. La medida de Lebesgue 53

Demostracion: Llamemos X = 2I . La regularidad superior se sigue in-mediatamente de la demostracion del teorema de Caratheodory. Para construirla medida m del teorema anterior a partir de la medida λ construida en 2.30,se construye una medida exterior λ∗ : PX −→ R dada por

λ∗(V ) = ınf∑

n<ωλ(Ci) | Cii<ω ⊂ A ∧ V ⊂

⋃

n<ωCi,

y se demuestra que la restriccion de λ∗ a AI es una medida que extiende a λ.Ası pues, m = λ∗|AI

. En nuestro caso, sucede que los cubos Ci son abiertos,por lo que si V ∈ AI , Cii<ω ⊂ A y V ⊂

⋃

n<ωCi, entonces

m(V ) ≤ m( ⋃

n<ωCi

)≤

∑

n<ωλ(Ci),

luego

m(V ) ≤ ınfm(U) | V ⊂ U ∧ U es abierto en X

≤ ınf∑

n<ωλ(Ci) | Cii<ω ⊂ A ∧ V ⊂

⋃

n<ωCi = λ∗(V ) = m(V ).

Dado ǫ > 0, aplicando la parte ya probada a X \V , existe un abierto U en Xtal que X \V ⊂ U y m(U)−m(X \V ) < ǫ, pero esto equivale a que X \U ⊂ Vy m(V )−m(X \ U) < ǫ. Como K = X \ U es compacto, tenemos que

m(V )− ǫ ≤ supm(K) | K ⊂ V es compacto ≤ m(V ),

para todo ǫ > 0, luego m(V ) coincide con el supremo y m es regular.

Supongamos que I es infinito y veamos que m es no atomica. Sea U ∈ AItal que m(U) > 0 y sea n ∈ ω tal que 1

2n < m(U). Sea J ⊂ I tal que |J | = n.Es claro que podemos partir X en 2n cubos disjuntos de medida 1/2n. Porconsiguiente podemos partir U en 2n conjuntos disjuntos de medida menor oigual que 1/2n. Si U fuera un atomo todos ellos deberıan ser nulos, pero entoncesU serıa nulo, contradiccion.

Definicion 2.33 Sea I un conjunto no vacıo. Llamaremos algebra de Cantorasociada a I al algebra cociente BI = AI/Im, que (suponiendo AE) es un algebrade Boole completa con la condicion de cadena numerable, sobre la que tenemosdefinida la medida m (medida de Cantor).

Si I es infinito entonces m es no atomica, luego BI tambien es no atomicacomo algebra (un atomo tendrıa que tener medida nula, pero en BI solo O tienemedida nula). Es claro que si |I| = |J | entonces BI y BJ son isomorfas.

4Como 2I es compacto, en este contexto “compacto” equivale a “cerrado”, pero la definiciongeneral de medida regular exige que los subconjuntos que aproximan interiormente la medidasean compactos.

54 Capıtulo 2. La medida de Lebesgue y la propiedad de Baire

Nota Si I = ω, entonces 2I es el espacio de Cantor C y la σ-algebra AI essimplemente su σ-algebra de Borel, luego la medida m que hemos construido esuna medida de Borel no atomica en C y es inmediato que es continua. Convieneobservar que se corresponde con la medida de Lebesgue en I a traves de laaplicacion continua y suprayectiva F : C −→ I dada por

F (x) =∑

n∈ωx(n)2−n−1,

es decir, para todo A ∈ MI, se cumple que m(F−1[A]) = m(A), y para todoA ∈ MC, se cumple que m(A) = m(F [A]).

En efecto, sea m′ la medida de Borel en I dada por m′(A) = m(F−1[A]).

Ahora observamos que si A =]k/2i, (k + 1)/2i

[, donde k =

i−1∑

n=0s(n)2i−n−1,

entonces F−1[A] = Ci(s) \ x, donde x es la sucesion s prolongada con ceros(cuya imagen es k/2i), luego m′(A) = 1/2i = m(A).

Todo intervalo abierto en I puede expresarse como union creciente numerablede intervalos diadicos de este tipo, luego m y m′ coinciden sobre los intervalosabiertos. A su vez, todo abierto en I puede expresarse como union numerablede intervalos abiertos disjuntos dos a dos, luego m y m′ coinciden sobre losabiertos, luego tambien sobre los cerrados y, por la regularidad, coinciden sobretodos los conjuntos de Borel. De aquı se sigue que las algebras de conjuntosmedibles para m y m′ son la misma y a su vez que m′ es la medida de Lebesgueen I. Esto prueba que m(F−1[A]) = m(A).

Si A ∈ MC, por la parte ya probada m(F [A]) = m(F−1[F [A]]), peroF−1[F [A]] se diferencia de A a lo sumo en un conjunto numerable, luego con-cluimos que m(F [A]) = m(A).

2.4 La propiedad de Baire

El teorema 2.29 afirma que, si en un espacio polaco consideramos una medidade Borel continua, todo conjunto de Borel es “casi” un Fσ o un Gδ, en el sentidode que puede transformarse en un conjunto de este tipo anadiendo o quitandoconjuntos nulos. Ahora vamos a probar que todo conjunto de Borel es “casi”un abierto en el sentido de la categorıa. Para ello empezamos dando nombre alos conjuntos que son “casi” abiertos en este sentido:

Definicion 2.34 Un subconjunto A de un espacio polaco X tiene la propiedadde Baire si existe un abierto U en X tal que AU es de primera categorıa.Llamaremos Ba(X) al conjunto de todos los subconjuntos de X con la propiedadde Baire.

El interes de este concepto radica en que Ba(X) es una σ-algebra (que tri-vialmente contiene a todos los abiertos, luego a todos los conjuntos de Borel),hecho que ya hemos visto que es falso en el caso de la medida:

2.4. La propiedad de Baire 55

Teorema 2.35 Si X es un espacio polaco, Ba(X) es una σ-algebra que contienea todos los conjuntos de Borel y a todos los conjuntos de primera categorıa.

Demostracion: Obviamente, todo abierto A tiene la propiedad de Baire(pues AA = ∅) y lo mismo le sucede a todo conjunto de primera categorıa(pues ∅A = A).

Si A es abierto, entonces (X \A) (X \A) = A\A es un cerrado de interiorvacıo,5 luego de primera categorıa. Esto prueba que X \A ∈ Ba(X).

Mas en general, si B ∈ Ba(X) y A es un abierto tal que AB es de primeracategorıa, tomando clases en el algebra PX/Ic tenemos que [A] = [B], luego[X \ B] = [X \ A] = [X \ A], luego X \ B se diferencia del abierto X \ A enconjuntos de primera categorıa, luego X \B ∈ Ba(X).

Por ultimo, si Ann∈ω es una familia de conjuntos en Ba(X), entoncesexisten abiertos Un tales que AnUn ∈ Ic, luego

(⋃

n∈ωAn

)

(⋃

n∈ωUn

)

⊂⋃

n∈ω(AnUn) ∈ Ic,

luego⋃

n∈ωAn ∈ Ba(X).

Esto prueba que Ba(X) es una σ-algebra y, como contiene a los abiertos,contiene a todos los conjuntos de Borel.

Existe una cierta analogıa entre el algebra Ba(X) y el algebra de los con-juntos medibles para una medida de Borel continua µ en un espacio polaco,de modo que el ideal Ic es el analogo del ideal Iµ de los conjuntos nulos. Laanalogıa, no obstante, no es perfecta. Por ejemplo, observese la inversion de lasinclusiones en el teorema siguiente y en las observaciones previas a 2.29:

Teorema 2.36 Si X es un espacio polaco y B ⊂ X tiene la propiedad de Baire,existen conjuntos G ⊂ B ⊂ F tales que G es Gδ y F es Fσ, y ademas F \G esde primera categorıa.

Demostracion: Si P es un conjunto diseminado (esta contenido en uncerrado de interior vacıo), entonces su clausura es un cerrado de interior vacıo,luego es de primera categorıa. Un conjunto de primera categorıa es union nu-merable de conjuntos diseminados, luego esta contenido en un Fσ de primeracategorıa (la union de las clausuras de los diseminados).

Un conjunto con la propiedad de Baire es de la forma B = AP , donde Aes abierto y P es de primera categorıa. Si F es un Fσ de primera categorıa quecontenga a P , tenemos que

B = AP = (A \ F ) ∪ (A ∩ (F \ P )) ∪ (P \A),

donde el primer conjunto es un Gδ y los otros dos son de primera categorıa. Endefinitiva, hemos encontrado un G ⊂ B tal que G es Gδ y B \G es de primeracategorıa. Igualmente X \B contiene un Gδ en estas condiciones, luego B ⊂ F ,para un cierto Fσ F tal que F \B es de primera categorıa.

5En este punto fallarıa un intento de demostrar este mismo teorema para el algebra demedida: A \ A = ∂A y no es cierto en general que la frontera de un abierto tenga medidanula. La construccion de la nota de la pagina 51 proporciona un contraejemplo.

56 Capıtulo 2. La medida de Lebesgue y la propiedad de Baire

De aquı se sigue que los conjuntos con la propiedad de Baire son de la formaB ∪P , donde B es un conjunto de Borel (un Gδ, si se quiere) y P es de primeracategorıa, y aquı se recupera la analogıa con el caso de los conjuntos medibles.

En las condiciones de los teoremas anteriores, si llamamos tambien Ic(X) alideal B(X) ∩ Ic(X) de B(X), es claro que la inclusion B(X) −→ Ba(X) induceun isomorfismo B(X)/Ic(X) ∼= Ba(X)/Ic(X).

Definicion 2.37 Si X es un espacio polaco, llamaremos algebra de categorıade X al algebra cociente Bc = B(X)/Ic, donde Ic es el ideal de los conjuntosde Borel de primera categorıa.

Acabamos de probar que existe un isomorfismo natural Bc ∼= Ba(X)/Ic, asıcomo que toda clase de Bc (en cualquiera de la dos representaciones isomorfas)tiene un representante abierto. Esto se puede precisar un poco mas. Recordemos([TC 10.12]) que un abierto A en un espacio topologico X es regular si cumple

A =

A. El teorema [TC 10.14] afirma que el conjunto R(X) de los abiertosregulares en X admite una estructura de algebra de Boole completa (que engeneral no es un algebra de conjuntos).

Teorema 2.38 Si X es un espacio polaco y R(X) es su algebra de abiertosregulares, la aplicacion R(X) −→ Bc dada por A 7→ [A] es un isomorfismo dealgebras de Boole. En particular, Bc es un algebra de Boole completa con lacondicion de cadena numerable.

Demostracion: Recordemos ([TC 10.13]) que si A es un abierto, entonces

A es siempre un abierto regular. Como A ⊂

A ⊂ A y A \ A tiene interior

vacıo (luego es de primera categorıa),

A \ A tambien es de primera categorıa.

Esto significa que A y

A determinan la misma clase en el algebra Bc, luego laaplicacion considerada en el enunciado es suprayectiva.

Supongamos ahora que A y B son abiertos regulares cuyas clases en Bc

cumplen [A] ≤ [B]. Esto significa que A \ B es de primera categorıa. Ahorabien, entonces A \ B ⊂ A \ B tambien es de primera categorıa, pero A \ B esabierto, y el unico abierto de primera categorıa es ∅. Por consiguiente, A ⊂ B,

luego tambien A ⊂

B = B. El recıproco es trivial. En definitiva, tenemos que

A ⊂ B ↔ [A] ≤ [B].

En particular, esto implica que la aplicacion del enunciado es biyectiva y queademas es una semejanza para las relaciones de orden de las algebras respectivas(pues, aunque las operaciones booleanas de R(X) no sean las conjuntistas, elınfimo sı que coincide con la interseccion de conjuntos y la relacion de orden esla inclusion). Por consiguiente, se trata de un isomorfismo de algebras.

Veamos ahora que, al igual que sucede con el algebra de medida, el algebra decategorıa es unica (salvo isomorfismo) para todos los espacios polacos perfectos.

2.4. La propiedad de Baire 57

La condicion de que no haya puntos aislados es la correspondiente a la condicionde considerar medidas continuas, pues si p un punto aislado entonces p esun conjunto de segunda categorıa, que es el analogo a que p tenga medidapositiva. La condicion es necesaria en el teorema siguiente, pues es facil ver quelos puntos aislados de X se corresponden biunıvocamente con los atomos delalgebra Bc(X).

Teorema 2.39 Si X e Y son espacios polacos perfectos, sus algebras de cate-gorıa respectivas son isomorfas.

Demostracion: Por el teorema anterior, basta demostrar que las algebrasR(X) yR(Y ) de abiertos regulares son isomorfas. Vamos a construir un esquemade Suslin en X a partir del resultado siguiente:

Si U es un abierto regular no vacıo en X y ǫ > 0, existe una familiaUnn∈ω de abiertos regulares en X contenidos en U y disjuntos dosa dos cuya union es densa en X .

En efecto, sea dnn∈ω un subconjunto denso de U (que ha de ser infinito,porque X no tiene puntos aislados). Tomamos una bola abierta de centro d0contenida en U , de diametro < ǫ y cuya clausura no contenga a algun puntode U , y llamamos U0 al interior de dicha clausura. Entonces U \ U0 es unabierto regular no vacıo. Del mismo modo, podemos obtener un abierto regularU1 ⊂ U \U0 de diametro < ǫ y tal que d2 ∈ U0 ∪U1. Procediendo de este modoobtenemos la sucesion buscada.

Esto nos permite construir un esquema de Suslin A : ω<ω −→ R(X) con laspropiedades siguientes:

a) A(∅) = X .

b) La union⋃

n∈ωA(sn) es disjunta y densa en A(s).

c) A(s) tiene diametro menor que 1/ℓ(s).

Observemos ahora que si U ⊂ X es cualquier abierto regular no vacıo, existeun s ∈ ω<ω tal que A(s) ⊂ U . En efecto, U contendra una bola abierta B1/n(x),para cierto x ∈ U y cierto n ∈ ω. Sea B = B1/2n(x). Por la propiedad b), paras = ∅, existe un s1 ∈ ω1 tal que B ∩ A(s1) 6= ∅, luego existe un s2 ∈ ω2

(necesariamente s1 ⊂ s2) tal que B ∩ A(s2) 6= ∅ y, razonando de este modo,llegamos a un s2n ∈ ω2n tal que B ∩A(s2n) 6= ∅ y, como el diametro de A(s2n)es menor que 1/2n, ha de ser A(s2n) ⊂ B1/n(x) ⊂ U .

Ahora es inmediato que A es una inmersion densa en el sentido de [TC 10.15],luego [TC 10.22] nos da que R(X) ∼= R(ω<ω), y esto es valido para cualquierespacio polaco perfecto, luego, si Y es otro cualquiera, tenemos el isomorfismoR(X) ∼= R(Y ).

Veamos ahora el analogo para la categorıa del teorema de Fubini:

58 Capıtulo 2. La medida de Lebesgue y la propiedad de Baire

Teorema 2.40 (Kuratowski-Ulam) Sean X, Y dos espacios polacos y seaA ⊂ X × Y un conjunto con la propiedad de Baire. Entonces:

a) El conjunto Ax = y ∈ Y | (x, y) ∈ A tiene la propiedad de Baire paratodo x ∈ X salvo un conjunto de primera categorıa.

b) A es de primera categorıa si y solo si Ax es de primera categorıa para todox ∈ X salvo un conjunto de primera categorıa.

Demostracion: Veamos en primer lugar que si A es diseminado, entoncesAx es diseminado para “casi todo” x ∈ X .

En efecto, como A tambien es diseminado y Ax ⊂ Ax, no perdemos genera-lidad si suponemos que A es cerrado (con interior vacıo). Sea U = (X × Y ) \A,que es un abierto denso. Basta probar que Ux es denso para casi todo x ∈ X .Sea Vnn∈ω una base de Y formada por abiertos no vacıos. Entonces Un =πX [U ∩ (X × Vn)] es abierto en X , y es denso, pues si G ⊂ X es un abiertono vacıo, U ∩ (G × Vn) 6= ∅, luego Un 6= ∅. El conjunto E =

⋂

n∈ωUn tiene

complementario de primera categorıa, y si x ∈ E entonces Ux ∩ Vn 6= ∅ paratodo n, luego Ux es denso.

De aquı se sigue inmediatamente la implicacion ⇒ de b). Por otra parte,tenemos que A = U C, donde U es abierto y C es de primera categorıa, peroentonces Ax = UxCx, donde Ux es abierto y Cx es de primera categorıa paracasi todo x ∈ X , luego Ax tiene la propiedad de Baire para casi todo x ∈ X .Esto prueba a).

Por ultimo, si Ax es de primera categorıa para casi todo x ∈ X pero A noes de primera categorıa, entonces A = U C, con U abierto y C de primeracategorıa, y U no puede ser vacıo, luego contiene un abierto basico G×H ⊂ Uno vacıo. Como G es de segunda categorıa, existe x ∈ G tal que Ax y Cx sonde primera categorıa. Entonces

H \ Cx ⊂ Ux \ Cx ⊂ UxCx = Ax,

luego el abierto no vacıo H es de primera categorıa, lo cual es absurdo.

El teorema siguiente muestra que la medida y la categorıa son en realidad secontradicen necesariamente a la hora de clasificar determinados conjuntos como“grandes” o “pequenos”:

Teorema 2.41 Si µ es una medida de Borel continua en un espacio polaco X,se puede descomponer X = A ∪ B con A ∩ B = ∅, de modo que A sea unconjunto nulo (respecto a la medida prefijada) y B sea de primera categorıa.

Demostracion: Sea D un subconjunto denso numerable en X . Comoµ(D) = 0 (por ser numerable), tenemos que para cada n ∈ ω \ 0 existe unabierto An tal que D ⊂ An y µ(An) < 1/n. Como D ⊂ An, resulta que An esun abierto denso, luego, llamando

A =⋂

n∈ω\0

An B = X \A =⋃

n∈ω\0

X \An,

2.4. La propiedad de Baire 59

tenemos que B es de primera categorıa (es union de cerrados de interior vacıo)y µ(A) ≤ µ(An) ≤ 1/n para todo n, luego A es nulo.

Otra muestra de la discrepancia entre la medida y la categorıa es que lasalgebras que determinan no son isomorfas:

Teorema 2.42 Bm 6∼= Bc.

En la prueba del teorema 2.39 hemos visto que el algebra de categorıa tieneun subconjunto denso numerable. Basta probar que no le sucede lo mismo alalgebra de medida. En efecto, sea [Dn]n∈ω un subconjunto numerable (deelementos no nulos) de Bm y vamos a probar que no es denso. (No importa elespacio polaco X ni la medida continua unitaria µ con la que construyamos elalgebra.) Como µ(Dn) > 0 podemos tomar un cerrado En ⊂ Dn de maneraque 0 < µ(En) < 2−n−2. Tomemos E =

⋃

n∈ωEn. Ası 0 < µ(E) < 1, luego

µ(X \E) > 0, luego [X \ E] 6= 0.Ademas, En ⊂ Dn \ (X \ E), luego 0 < [Dn] ∧ [X \ E]′, luego resulta que

[Dn] 6≤ [X \E] para todo n ∈ ω. Esto prueba que el conjunto dado no es denso.

Sin embargo, podemos mostrar una diferencia mas notable entre ambasalgebras: si construimos Bm a partir de una medida unitaria µ, es claro queµ induce a su vez una medida µ : Bm −→ [0, 1] que es estrictamente positiva, esdecir, que cumple µ(x) = 0 si y solo si x = O. Por el contrario:

Teorema 2.43 No existen medidas estrictamente positivas sobre el algebra Bc.

Demostracion: Para ello introducimos los conceptos siguientes:

Un subconjunto D de un algebra de Boole B es predenso si su supremo es 1l.Notemos que si D es denso, entonces es predenso, pues, si

∨

D = b < 1l, nohabrıa elementos de D por debajo de b′.

Un algebra B es debilmente ℵ1-distributiva si para toda sucesion Dnn∈ω desubconjuntos predensos numerables existe un subconjunto predenso A tal quepara todo a ∈ A y todo n ∈ ω existe Cn ⊂ An finito tal que a ≤

∨

Cn.

Ahora demostramos que si un algebra B admite una medida estrictamentepositiva µ, entonces es debilmente ℵ1-distributiva.

En efecto, sea Ann∈ω una familia de subconjuntos predensos numerables.Si An = dni i∈ω y llamamos

eni = dni ∧( ∨

j<idnj

)′

,

se cumple que∨

j<idnj =

∨

j<ienj , por lo que los conjuntos A′

n = eni i∈ω son

predensos y sus elementos son incompatibles dos a dos. Ademas, basta probarque se cumple con ellos la definicion de distributividad debil, ya que si C′

n ⊂ A′n

60 Capıtulo 2. La medida de Lebesgue y la propiedad de Baire

es finito, existe un i tal que∨

C′n ≤

∨

j<ienj =

∨

j<idnj , luego los An cumplen la

definicion con Cn = dnj j<i.Equivalentemente, podemos suponer que los elementos de An son incompa-

tibles dos a dos. Vamos a probar que

A = b ∈ B |∧

n ∈ ω∨

C ⊂ An(C finito ∧ b ≤∨

C)

es denso en B y, por consiguiente, predenso.

Sea a ∈ B, a 6= O. Tenemos que∨

x∈An

x = 1l, luego∨

x∈An

x ∧ a = a,

luego, teniendo en cuenta que los elementos de An son disjuntos dos a dos,0 < µ(a) =

∑

x∈An

µ(x ∧ a), luego existe Cn ⊂ An finito tal que

µ(a ∧∨

Cn) = µ( ∨

x∈Cn

(x ∧ a))

=∑

x∈Cn

µ(x ∧ a) ≥ (1−1

2n+2)µ(a).

Ası

µ(∨

n∈ω(a ∧ (

∨

Cn)′)) ≤

∑

n∈ωµ(a ∧ (

∨

Cn)′) =

∑

n∈ω(µ(a)− µ(a ∧

∨

Cn))

≤∑

n∈ω

1

2n+2µ(a) =

1

2µ(a),

luego, llamando b = a ∧∧

n∈ω

∨

Cn, tenemos que µ(b) ≥ µ(a)− 12µ(a) > 0, luego

b 6= O y cumple b ≤ a y b ∈ A.

Finalmente probamos que Bc no es debilmente ℵ1-distributiva. No perdemosgeneralidad si consideramos, concretamente, el algebra de categorıa del espaciode Baire. Consideramos los abiertos cerrados (luego regulares)

Dni = x ∈ N | x(n) = i,

de modo que el conjunto An = [Dni ]i∈ω es predenso en Bc, pues la union

de los Dni (para un n fijo) es N. Vamos a probar que ningun a ∈ Bc no nulo

cumple la definicion de algebra ℵ1-distributiva, es decir, que si a = [A], dondeA es un abierto no vacıo en N, no pueden existir conjuntos finitos Cn ⊂ ω talesque A \

⋃

i∈Cn

Dni sea de primera categorıa.

En tal caso, A \⋂

n∈ω

⋃

i∈Cn

Dni tambien serıa de primera categorıa, luego el

conjunto C =⋂

n∈ω

⋃

i∈Cn

Dni serıa de segunda categorıa, pero en realidad es un

cerrado de interior vacıo. En efecto, si contuviera un abierto, contendrıa unabierto basico Bs, para un cierto s ∈ ωn, luego Bs ⊂

⋃

i∈Cn

Dni , pero esto es

imposible, pues un x ∈ N que este en el conjunto de la derecha solo puedetomar un numero finito de valores en n, mientras que Bs contiene puntos quetoman en n cualquier valor.

Usando el axioma de eleccion podemos dar una prueba mas conceptual dela unicidad del algebra de categorıa, pues esta es consecuencia inmediata delapartado b) del teorema siguiente:

2.4. La propiedad de Baire 61

Teorema 2.44 (AE) Se cumple:

a) Dos algebras de Boole no atomicas numerables cualesquiera son isomorfasentres sı.

b) Toda algebra de Boole completa no atomica que posea un subconjunto densonumerable es isomorfa al algebra de categorıa Bc.

Demostracion: a) Un algebra de Boole es no atomica y numerable siy solo si su espacio de Stone6 es un espacio compacto cero-dimensional 2ANsin puntos aislados. Por los teoremas 1.10 y 1.12 tales espacios son siempremetrizables, luego espacios polacos. Ası pues, basta probar que dos espaciospolacos perfectos cero-dimensionales cualesquiera son homeomorfos, pero por1.27 todos ellos son homeomorfos al espacio de Cantor C.

b) Un conjunto denso numerable en un algebra de Boole no atomica generaun algebra de Boole densa no atomica numerable, luego dos algebras en lascondiciones del enunciado tienen (por el apartado anterior) subalgebras densasisomorfas, luego ambas son isomorfas a la complecion de una misma algebra,luego son isomorfas entre sı. Como Bc cumple las hipotesis, cualquier otraalgebra que las cumpla es isomorfa a Bc.

El teorema siguiente marca otra diferencia entre la medida y la categorıa:

Teorema 2.45 Una aplicacion f : X −→ Y entre espacios polacos es medibleBaire (es decir, las antiimagenes por f de los abiertos de Y tienen la propiedadde Baire) si y solo si existe F ⊂ X de primera categorıa tal que la restriccionf |X\F : X \ F −→ Y es continua.

Demostracion: Sea Unn∈ω una base numerable de Y . Entonces f−1[Un]tiene la propiedad de Baire, luego existe un abierto Vn ⊂ X tal que f−1[Un]Vnes de primera categorıa. Por lo tanto, existe un Fσ de interior vacıo Fn talque f−1[Un]Vn ⊂ Fn. Ası F =

⋃

nFn es tambien un Fσ de interior vacıo y

f−1[Un] \ F = Vn \ F , luego f |X\F es continua.

Recıprocamente, si f |X\F : X \ F −→ Y es continua y F es de primeracategorıa, para todo abierto U ⊂ Y existe un abierto V ⊂ X de manera quef |−1X\F [U ] = V \ F . Claramente entonces V \ F ⊂ f−1[U ] ⊂ V ∪ F , luego

llamandoQ = ((F \ V ) ∩ f−1[U ]) ∪ ((F ∩ V ) \ f−1[U ]) ⊂ F,

tenemos que f−1[U ] = VQ, por lo que tiene la propiedad de Baire.

Observacion Si consideramos en X una medida de Borel continua y unaaplicacion f : X −→ Y es medible, en el sentido de que las antiimagenes delos abiertos de Y son medibles en X , no es necesariamente cierto que exista unconjunto nulo N tal que f |X\N : X \N −→ Y sea continua.

6Vease [PC], seccion 10.4.

62 Capıtulo 2. La medida de Lebesgue y la propiedad de Baire

En efecto, fijada una base numerable Unn∈ω de X , construimos una su-cesion Cnn∈ω de cerrados de interior vacıo disjuntos dos a dos tales queC2n ∪ C2n+1 ⊂ Un.

Esto es posible, pues, supuestos definidos los cerrados C0, . . . , C2n−1, launion C∗ = C0 ∪ · · · ∪ C2n−1 es tambien cerrada de interior vacıo, luego elabierto Un \ C∗ es no vacıo, contiene dos abiertos disjuntos no vacıos y por elteorema 2.41 cada uno de ellos contiene un cerrado de interior vacıo de medidapositiva, lo que nos da los conjuntos C2n y C2n+1 que cumplen lo requerido.

Sea F =⋃

n∈ωC2n y consideremos la funcion caracterıstica f = χ

F: X −→ R.

Como F es medible, se comprueba trivialmente que la antiimagen de todosubconjunto de R es medible. Sin embargo, si N ⊂ X es un conjunto nulo,la restriccion f |X\N −→ R no es continua en ningun punto x ∈ X \ N , puessi f(x) = i y U es cualquier abierto en R tal que i ∈ U , 1 − i /∈ U , entoncesx ∈ f−1[U ], pero este conjunto no es un entorno de x, ya que en tal caso existirıaun n tal que x ∈ Un \N ⊂ f−1[U ], es decir, f [Un \N ] = i, pero C2n y C2n+1

tienen medida positiva, luego existe xi ∈ C2n+j \ N ⊂ Un y f(xj) = j, paraj = 0, 1, contradiccion.

En cambio:

Teorema 2.46 (Lusin) Si f : X −→ Y es una aplicacion entre espacios po-lacos y en X fijamos una medida de Borel continua, entonces f es medible (enel sentido de que las antiimagenes de los abiertos de Y son medibles en X) siy solo si para todo ǫ > 0 existe un conjunto medible A ⊂ X tal que µ(A) < ǫ yf |X\A : X \A −→ Y es continua.

Demostracion: Sea Unn∈ω una base numerable de Y . Si f es medible,antes de 2.29 hemos visto que existen abiertos Vn y cerrados Fn tales que

Fn ⊂ f−1[Un] ⊂ Vn, µ(Vn \ Fn) < ǫ/2n+1.

Entonces A =⋃

n∈ω(Vn \ Fn) cumple que µ(A) < ǫ y

f |−1X\A[Un] = f−1[Un] \A = Fn \A = Vn \A,

luego la antiimagen es abierta y cerrada en X \ A, por lo que la restriccion escontinua.

Recıprocamente, si f cumple la propiedad indicada, sea An ⊂ X mediblecon µ(An) < 1/n y de modo que fn = f |X\An

sea continua. Sea A =⋂

nAn,

que es un conjunto nulo. Si U ⊂ Y es abierto, existe un abierto Vn ⊂ X tal quef−1n [U ] = Vn \An. Entonces

f−1[U ] \A =⋃

n(f−1[U ] \An) =

⋃

nf−1n [U ],

luegof−1[U ] = (f−1[U ] ∩ E) ∪

⋃

n(Vn \An)

es un conjunto medible (porque el primer termino de la derecha es nulo).

Capıtulo III

Consecuencias del axiomade eleccion

Casi todos los resultados que hemos presentado en los capıtulos anteriores sedemuestran sin necesidad del axioma de eleccion (usando a lo sumo el principiode elecciones dependientes), y ahora presentaremos las conclusiones principalesque podemos obtener aceptando dicho axioma.

3.1 Algunos contraejemplos

En el capıtulo anterior hemos demostrado que los conjuntos de Borel de unespacio polaco cumplen tres propiedades:

• Son medibles (para cualquier medida de Borel).

• Tienen la propiedad de Baire.

• Son numerables o bien contienen un subconjunto perfecto (y en este casosu cardinal es c).

Cabe preguntarse si en realidad estas propiedades no seran mucho mas ge-nerales: ¿existe un subconjunto de R que no sea medible Lebesgue? ¿Y sin lapropiedad de Baire? ¿Existe un subconjunto de R no numerable que no contengaun subconjunto perfecto?

Las tres preguntas tienen respuesta afirmativa, pero la respuesta en todoslos casos requiere de forma esencial el uso del axioma de eleccion.

Es interesante observar que se trata de tres preguntas que basta responderen un espacio polaco cualquiera para que la respuesta sea valida en cualquierotro. Por ejemplo, si en un espacio polaco X tenemos una medida de Borelunitaria continua µ y existe un subconjunto A que no es µ-medible, aplicandodos veces el teorema 2.27, concluimos que cualquier medida de Borel unitariacontinua en cualquier espacio polaco tiene conjuntos no medibles, y el teorema2.15 nos permite extender la conclusion a medidas de Borel arbitrarias.

63

64 Capıtulo 3. Consecuencias del axioma de eleccion

Similarmente, si en un espacio polaco perfecto X existe un subconjunto Asin la propiedad de Baire, el teorema 1.39 nos da que X tiene un subconjuntoGδ denso Y homeomorfo a N y A ∩ Y no tiene la propiedad de Baire en Y , yaque en caso contrario A ∩ Y = U ∪ C, donde U es de Borel en Y (luego en X)y C es de primera categorıa en Y (luego en X por 1.42). Concluimos que N

contiene un subconjunto sin la propiedad de Baire. A su vez, invirtiendo losrazonamientos precedentes, llegamos a que todo espacio polaco perfecto tieneun subconjunto sin la propiedad de Baire.

Por ultimo, si X es un espacio polaco con un subconjunto no numerable Aque no contiene un subconjunto perfecto, el teorema 1.20 nos da una biyeccioncontinua f : C −→ X , donde C es cerrado en N. Ası f−1[A] es no numerabley, si contuviera un subconjunto perfecto K, podrıamos tomarlo compacto, conlo que f |K : K −→ A es un homeomorfismo en su imagen, luego A contiene unsubconjunto perfecto. Concluimos que N contiene un subconjunto no numerablesin subconjuntos perfectos, y de aquı se sigue inmediatamente que lo mismo valepara todo espacio polaco.

3.1.1 El ejemplo de Vitali

El ejemplo clasico de conjunto no medible Lebesgue se debe a Vitali, yaprovecha tambien para la propiedad de Baire:

Teorema 3.1 (AE) Existe un subconjunto de R no medible Lebesgue y sin lapropiedad de Baire.

Demostracion: Consideramos en I = [0, 1] la relacion de equivalencia Rdada por aR b ↔ b − a ∈ Q, y sea V ⊂ I un conjunto que posea exactamenteun punto en cada clase de equivalencia.1 Vamos a probar que V no es medibleLebesgue ni tiene la propiedad de Baire.

En realidad demostraremos algo mas general: el conjunto de Vitali V no esmedible para ninguna medida de Borel µ 6= 0 definida en R respecto a la que losintervalos acotados tengan medida finita y que sea invariante por traslaciones,es decir, tal que si A ∈ Mµ y a ∈ R, entonces a+A ∈ Mµ y µ(a+A) = µ(A). Enparticular, no solo existe un subconjunto de R no medible Lebesgue, sino quela medida de Lebesgue no puede extenderse a una medida definida sobre todael algebra PR de modo que la extension siga siendo invariante por traslaciones.

Sea rnn∈ω una enumeracion de Q ∩ I y sea Vn = rn + V . La definicion deV hace que los conjuntos Vn sean disjuntos dos a dos y ademas

[0, 1] ⊂⋃

n∈ωVn ⊂ [−1, 2].

1Notemos que el conjunto cociente I/R es no numerable, por lo que esta eleccion no puedejustificarse (o, por lo menos, no es evidente que pueda justificarse —y puede probarse que nose puede—) a partir de ED. Mas concretamente, para construirlo basta suponer que R puedeser bien ordenado.

3.1. Algunos contraejemplos 65

Si V fuera medible para la medida µ, como suponemos que es invariante portraslaciones, resulta que µ(Vn) = µ(V ) y, como la union es disjunta,

µ([0, 1]) ≤∑

n∈ωµ(V ) ≤ µ([−1, 2]) < +∞.

La segunda desigualdad implica que µ(V ) = 0, y la primera nos da entoncesque µ([0, 1]) = 0. La invarianza por traslaciones implica entonces que µ = 0.

Supongamos ahora que V tiene la propiedad de Baire, y sea A ⊂ R unabierto tal que VA sea de primera categorıa. Si A = ∅, entonces V A = Ves de primera categorıa. Si, por el contrario A 6= ∅, tomamos un intervalo novacıo ]a, b[ ⊂ A. Si q ∈ Q es cualquier numero racional no nulo, por construccionde V tenemos que V ∩ (q + V ) = ∅, luego

]a, b[ ∩ (q + V ) ⊂ ]a, b[ \ V ⊂ A \ V ⊂ VA,

luego ]a, b[∩(q+V ) es de primera categorıa y, como la traslacion x 7→ x−q es unhomeomorfismo, tambien lo sera su imagen por esta, es decir, ]a− q, b− q[ ∩ Ves de primera categorıa.

Ahora bien, es claro que V =⋃

q∈Q\0

]a, b[ ∩ (q + V ), luego concluimos que,

en cualquier caso, V es de primera categorıa. Ahora bien,

[0, 1] ⊂⋃

q∈Q

(q + V ),

y todos los trasladados q + V son de primera categorıa, luego [0, 1] tambien loes, y eso es absurdo.

En lugar de un ejemplo que carezca a la vez de las dos propiedades, podemosencontrar ejemplos separados:

Teorema 3.2 (AE) Existen conjuntos con la propiedad de Baire que no sonmedibles Lebesgue y conjuntos medibles Lebesgue que no tienen la propiedad deBaire.

Demostracion: Basta considerar el conjunto de Vitali V construido enla demostracion del teorema anterior y los conjuntos A y B dados por el teo-rema 2.41 (para R). Ası V = (V ∩ A) ∪ (V ∩B) = A′ ∪B′, donde A′ es nulo yB′ es de primera categorıa. Como la union de ambos no es medible ni tiene lapropiedad de Baire, A′ ha de ser medible sin la propiedad de Baire y B′ ha deser no medible con la propiedad de Baire.

3.1.2 Conjuntos finales

Definicion 3.3 Un conjunto A ⊂ C es un conjunto final si cuando x ∈ A ey ∈ C cumple x|n = y|n para cierto n ∈ ω, entonces y ∈ A.

66 Capıtulo 3. Consecuencias del axioma de eleccion

Consideramos en C la unica medida de Borelm que sobre los abiertos basicosBs = x ∈ C | x|ℓ(s) = s (donde s ∈ 2<ω) viene dada por2

m(Bs) = 2−ℓ(s). (3.1)

La unicidad implica que si i ∈ ω y Ti : C −→ C es el homeomorfismo dadopor

Ti(x)(n) =

x(n) si n 6= i,1− x(n) si n = i,

se cumple que m(Ti[A]) = m(A) para todo A ⊂ C medible. En efecto, laaplicacion dada por m′(A) = m(Ti[A]) es una medida de Borel en C que cumplela condicion (3.1), luego es m′ = m.

Teorema 3.4 Si A ⊂ C es un conjunto final con la propiedad de Baire, o bienA o bien C \A es de primera categorıa.

Demostracion: Supongamos que A no es de primera categorıa. Entoncesexiste un abierto no vacıo U tal que U A es de primera categorıa. Sea s ∈ 2n

tal que Bs ⊂ U , con lo que Bs\A es de primera categorıa. Para cada t ∈ 2n, unacomposicion de a lo sumo n homeomorfismos Ti transforma Bs en Bt y, comoA es final, resulta invariante por todos ellos, luego existe un homeomorfismo deC que transforma Bs \A en Bt \A, luego este conjunto es de primera categorıa.Por consiguiente,

C \A =⋃

t∈2n(Bt \A)

tambien es de primera categorıa.

Teorema 3.5 Si A ⊂ C es un conjunto final medible, entonces m(A) = 0 obien m(A) = 1.

Demostracion: Al igual que hemos visto en la prueba del teorema anterior,dados s, t ∈ 2n, existe una composicion T de homeomorfismos Ti que transformaBs en Bt. Dichos homeomorfismos conservan la medida y, comoA es final, quedainvariante por ellos. Ası pues,

m(A ∩Bt) = m(T [A ∩Bs]) = m(A ∩Bs).

Puesto que A =⋃

s∈2n(A ∩Bs) y la union es disjunta, tenemos que

m(A) =∑

t∈2nm(A ∩Bt) = 2nm(A ∩Bs).

Ası pues, para todo s ∈ 2n,

m(A ∩Bs) = 2−nm(A) = m(Bs)m(A).

2Una medida que cumpla esto cumple tambien que m(CJ (Y )) = |Y |/2|J|, donde CJ (Y ) =f ∈ C | f |J ∈ Y , para todo J ⊂ ω y todo Y ⊂ 2J , luego es la medida dada por 2.31.

3.1. Algunos contraejemplos 67

Si m(A) > 0, la medida en C dada por

m′(X) =m(X ∩ A)

m(A)

cumple la condicion de unicidad (3.1), luego m(X ∩ A) = m(X)m(A) paratodo X ⊂ C medible (y esto es cierto igualmente si m(A) = 0). Tomando enparticular X = A tenemos que m(A) = m2(A), luego m(A) = 0, 1.

En particular, si F es un filtro en ω, podemos considerar el conjunto

F = χF| F ∈ F ⊂ C

y, si F contiene a los conjuntos cofinitos, F es claramente final.

Teorema 3.6 Si F es un ultrafiltro no principal en ω, entonces F es un sub-conjunto no medible de C y sin la propiedad de Baire.

Demostracion: Consideremos el homeomorfismo T : C −→ C dado porT (x)(i) = 1 − x(i). Es inmediato que T [F] = C \ F. Por lo tanto, F no puedetener la propiedad de Baire, ya que, al ser un conjunto final, o bien F o bienT [F] tendrıa que ser de primera categorıa, pero, como T es un homeomorfismo,de hecho ambos tendrıan que serlo y C tambien lo serıa.

Similarmente, si F fuera medible, T [F] tambien lo serıa y con la mismamedida, pues T conserva la medida (es inmediato que m′(X) = m(T [X ]) esuna medida de Borel en C que cumple (3.1), luego m′ = m). Por consiguiente,tendrıamos que m(F) = m(T [F]) = 1−m(F), luego m(F) = 1/2, cuando, al serF un conjunto final, hemos visto que su medida ha de ser 0 o 1, contradiccion.

3.1.3 Conjuntos de Bernstein

En cuanto a la propiedad de poseer subconjuntos perfectos, es evidente quesi 2ℵ0 > ℵ1 entonces cualquier subconjunto B de un espacio polaco X tal que|B| = ℵ1 es un subconjunto no numerable de X que no tiene subconjuntosperfectos, pero podemos encontrar ejemplos sin necesidad de negar la hipotesisdel continuo:

Definicion 3.7 Un subconjunto B de un espacio polaco X es un conjunto deBernstein si tanto B como X \ B cortan a todo subconjunto perfecto de X yambos tienen cardinal c = 2ℵ0 .

Teorema 3.8 Todo espacio polaco no numerable que admita un buen ordencontiene un conjunto de Bernstein.

Demostracion: Sea X un espacio polaco no numerable que pueda ser bienordenado. Esto implica en particular que su cardinal c = 2ℵ0 puede identificarse

68 Capıtulo 3. Consecuencias del axioma de eleccion

con un ordinal. Sea Pαα<c una enumeracion3 (con repeticiones, si es preciso)de los subconjuntos perfectos de X . Definimos por recurrencia dos sucesionespαα<c y qαα<c de modo que pα, qα sean dos elementos de Pα distintos entresı y distintos de todos los pδδ<α y qδδ<α. Esta eleccion es posible4 porque|Pα| = c. Ası, basta tomar B = pα | α ∈ c, de modo que qα | α ∈ c ⊂ X \B.Es claro que B es un conjunto de Bernstein.

Los conjuntos de Bernstein tambien son ejemplos de conjuntos no mediblesLebesgue y sin la propiedad de Baire. Al contrario de lo que sucede con losejemplos considerados anteriormente, este hecho es valido en cualquier espaciopolaco:

Teorema 3.9 Sea X un espacio polaco no numerable y sea µ 6= 0 una medidade Borel continua en X. Si B ⊂ X es un conjunto de Bernstein, entonces todosubconjunto de B que sea µ-medible es nulo, y si tiene la propiedad de Baire esde primera categorıa. En particular, los conjuntos de Bernstein no son mediblesni tienen la propiedad de Baire.

Demostracion: Si A ⊂ B es un conjunto medible con medida no nula(resp. con la propiedad de Baire y de segunda categorıa), entonces A contiene unsubconjunto de Borel tambien con medida no nula (resp. de segunda categorıa,por 2.36), el cual, al ser no numerable (porque la medida es continua), contienea su vez un subconjunto perfecto, lo cual es imposible.

Ası, si B fuera medible, su complementario tambien lo serıa y tendrıamosque µ(X) = 0. Igualmente, si B tuviera la propiedad de Baire X serıa deprimera categorıa.

La existencia de conjuntos no numerables sin subconjuntos perfectos puededemostrarse a partir de una consecuencia muy concreta de AE:

Teorema 3.10 Si ℵ1 ≤ 2ℵ0 , entonces todo espacio polaco no numerable con-tiene un subconjunto no numerable sin subconjuntos perfectos.

Demostracion: Si 2ℵ0 ≤ ℵ1, entonces 2ℵ0 = ℵ1, luego todo espacio polaco

no numerable tiene cardinal ℵ1 y, en particular, admite un buen orden. Por lotanto, la conclusion se sigue de 3.8. Si 2ℵ0 6≤ ℵ1, entonces, por hipotesis, todoespacio polaco no numerable (que tiene cardinal 2ℵ0) tiene un subconjunto decardinal ℵ1, el cual no puede tener un subconjunto perfecto, ya que entoncesserıa 2ℵ0 ≤ ℵ1.

3.1.4 Bases de Hamel

Una base de Hamel 5 es simplemente una base de R como espacio vectorialsobre Q. Es bien conocido que el axioma de eleccion (usualmente a traves

3Como X tiene una base numerable, es claro que tiene a lo sumo c abiertos, luego tambiena lo sumo c cerrados.

4Aquı es donde usamos que X puede ser bien ordenado.5En algunos contextos la expresion “base de Hamel” se usa mas en general, incluso para

referirse a cualquier base de cualquier espacio vectorial, pero aquı la usaremos en este sentidoespecıfico.

3.1. Algunos contraejemplos 69

del lema de Zorn) permite probar que todo espacio vectorial tiene una base.Ahora vamos a probar que la mera existencia de una base de Hamel implicala existencia de un conjunto no medible Lebesgue. Nos basamos en el teoremasiguiente:

Teorema 3.11 (Steinhaus) Si A ⊂ Rn es un conjunto medible Lebesgue demedida no nula, entonces el conjunto A − A = a − b | a, b ∈ A contiene unentorno de 0.

Demostracion: Tomando un subconjunto, no perdemos generalidad sisuponemos que 0 < m(A) < ∞. Como m(A) < 2m(A), existen K ⊂ A ⊂ Vtales que K es compacto, V es abierto y m(V ) < 2m(K). La distancia de Ka Rn \ V no es nula, luego, tomando una bola U de centro cero y radio dichadistancia, tenemos que K+U ⊂ V . Ası, si u ∈ U , no puede serK∩(u+K) = ∅,pues en tal caso 2m(K) = m(K) +m(u + K) ≤ m(V ), contradiccion. Por lotanto, existen k, k′ ∈ K ⊂ A tales que k = u+ k′, luego U ⊂ A−A.

Teorema 3.12 Si existe una base de Hamel, entonces existe un subconjunto deR no medible Lebesgue.

Demostracion: Si B ⊂ R es una base de Hamel, sea b ∈ B y consideremosel subespacio vectorial A = 〈B \ b〉 generado por B \ b sobre Q. Veamosque A no es medible Lebesgue. Claramente

R =⋃

q∈Q

(qb+A),

luego si A es medible, como m(qb + A) = m(A), tiene que ser m(A) > 0. Porel teorema anterior existe un entorno U de 0 tal que U ⊂ A − A. Podemostomar q ∈ Q \ 0 suficientemente pequeno para que qb ∈ U , y entonces existenx, y ∈ A tales que qb = x − y, luego b ∈ A, lo que contradice la independencialineal de B. Esto prueba que A no es medible Lebesgue.

En contra de lo que podrıa parecer a la vista del teorema precedente, noes cierto que una base de Hamel B sea necesariamente no medible Lebesgue.Lo que sı podemos decir a partir de la prueba es que si es medible Lebesgue,entonces su medida es nula. En efecto, si m(B) > 0 entonces A0 = B \ btambien tiene medida positiva, luego por el teorema de Steinhaus A0 − A0

contiene un entorno de 0, luego lo mismo le sucede a A−A ⊃ A0−A0 (donde Aes el espacio vectorial definido en el teorema anterior), y este hecho es lo unicoque realmente se usa en el teorema para llegar a una contradiccion.

Para probar (AE) que existe una base de Hamel medible Lebesgue bastatener en cuenta el teorema 1.32, segun el cual el conjunto de Cantor C cumpleC +C = [0, 2]. Esto implica que C es un sistema generador de R sobre Q, puespara cada x ∈ R existe un q ∈ Q no nulo tal que 1

qx ∈ [0, 2], luego x = qc1+qc2,con c1, c2 ∈ C. Usando AE podemos afirmar que todo sistema generador deun espacio vectorial contiene una base, luego C contiene una base de Hamel, y

70 Capıtulo 3. Consecuencias del axioma de eleccion

como C es medible Lebesgue y tiene medida nula (teorema 2.26), concluimosque lo mismo vale para la base que contiene. Reunimos estos hechos y algunosmas en el teorema siguiente:

Teorema 3.13 (AE) Se cumple:

a) Existen bases de Hamel, todas ellas tienen cardinal 2ℵ0 y, si son mediblesLebesgue, entonces tienen medida nula.

b) Existen bases de Hamel medibles Lebesgue y bases de Hamel no mediblesLebesgue.

Demostracion: La existencia de bases de Hamel es una aplicacion dellema de Zorn que suponemos conocida. Para calcular el cardinal de una baseB, llamamos I = Q<ω al conjunto de sucesiones finitas de numeros racionales.Para cada s ∈ I definimos fs : R

ℓ(s) −→ R como fs(k) =∑

i

s(i)k(i).

Aunque aquı no tiene importancia, conviene senalar que fs es una aplicacioncontinua. Sea Gs = fs[B

ℓ(s)]. Entonces, que B sea un sistema generadorequivale a que

⋃

s∈I

Gs = R.

Ası, si B es infinita, |B| ≤ |R| ≤∑

x∈I

|Gs| ≤∑

x∈I

|B|ℓ(s) ≤ ℵ0|B| = |B|, luego

|B| = |R|. Si B fuera finita el mismo argumento darıa que R es numerable,luego no puede darse el caso.

Solo falta probar que existen bases de Hamel no medibles Lebesgue. Paraello modificaremos ligeramente la prueba del teorema 3.8. El planteamiento esel mismo: partimos de una enumeracion Pαα<c de los subconjuntos perfectosde R. Definimos por recurrencia una sucesiones pαα<c de modo que pα ∈ Pαno pertenezca al subespacio vectorial generado (sobre Q) por todos los pδδ<α.Esta eleccion es posible porque |Pα| = c, mientras que (por el mismo argumentocon el que hemos calculado el cardinal de una base de Hamel) el cardinal delespacio generado por las dos sucesiones es ≤ ℵ0|α| < c.

El conjunto B0 = pα | α ∈ c es ası un conjunto linealmente independienteque corta a todos los subconjuntos perfectos de R. Ahora usamos que, por ellema de Zorn, todo conjunto linealmente independiente en un espacio vectorialesta contenido en una base. Esto nos da en nuestro caso una base de Hamel Bque contiene a B0, luego sigue cortando a todos los subconjuntos perfectos de R.Esta base B es necesariamente no medible Lebesgue, pues si lo fuera tendrıamedida 0, luego R \ B serıa un conjunto medible no nulo, luego contendrıa unsubconjunto perfecto, contradiccion.

Nota Con la notacion del teorema precedente, el conjunto no medible cons-truido en el teorema 3.12 es de la forma

A =⋃

s∈I

fs[(B \ b)ℓ(s)],

es decir, una union numerable de imagenes de (B \ b)ℓ(s) por aplicacionescontinuas fs : R

ℓ(s) −→ R. Este hecho tendra relevancia mas adelante.

3.1. Algunos contraejemplos 71

3.1.5 Numeros hiperreales

El teorema 3.6 muestra que para probar la existencia de conjuntos no medi-bles no es necesario todo el axioma de eleccion, sino que basta el teorema de losultrafiltros, que es ligeramente mas debil. Vamos a ver aquı otra construccionbasada en este teorema a traves de la teorıa de modelos.

Teorema 3.14 (TU) Existe un subconjunto de R no medible Lebesgue.

Demostracion: Sea U un ultrafiltro no principal sobre ω y consideremosla ultrapotencia ∗R = UltU (R) [TC 11.32]. Si consideramos a R como modelodel lenguaje de la teorıa de cuerpos ordenados, entonces ∗R es otro modeloelementalmente equivalente a R, luego es un cuerpo ordenado. A sus elementoslos podemos llamar numeros hiperreales. Tenemos una inmersion elementalR −→ ∗R que nos permite considerar a R como subcuerpo de ∗R.

Observemos que la construccion de la ultrapotencia no depende del lenguajeformal del cual consideramos a R como modelo, luego podemos anadirle massignos sin cambiar ∗R. Por ejemplo, si le anadimos dos relatores monadicos quese interpreten en R como la pertenencia a N y a Q, respectivamente, entoncesen ∗R se interpretan como la pertenencia a dos subconjuntos que podemosrepresentar por ∗N y ∗Q, a cuyos elementos podemos llamar hipernaturales ehiperracionales, respectivamente.

La equivalencia elemental se traduce en que todas las propiedades —expresa-bles como sentencias del lenguaje de la teorıa de anillos con las extensionesque estamos considerando— que valen para R, Q y N valen tambien en lasextensiones que estamos considerando.

Por ejemplo, como R ∧

xy ∈ N x + y ∈ N, lo mismo vale para ∗R, lo cualsignifica que la suma de hipernaturales es hipernatural, etc.

Anadimos tambien al lenguaje formal un funtor monadico que se interpreteen R como la funcion6 x 7→ 2x, que en ∗R se interpretara como una funcion querepresentaremos igualmente por 2x. Como R

∧

n ∈ N 2n ∈ N, se cumple que∧

n ∈ ∗N 2n ∈ ∗N, etc.Fijamos ahora un hipernatural N infinitamente grande. Por ejemplo, basta

considerar N = [d], donde d(n) = n, y ası N ∈ ∗N y∧

n ∈ N n < N .

Definimos

E0 = x ∈ ∗[0, 1] \Q |∨

k ∈ ∗N

(2k

2N< x <

2k + 1

2N

)

,

E1 = x ∈ ∗[0, 1] \Q |∨

k ∈ ∗N

(2k + 1

2N< x <

2k + 2

2N

)

,

donde ∗[0, 1] representa el intervalo correspondiente en ∗R. Podemos pensar queEi es el conjunto de los numeros irracionales cuya N -sima cifra en su desarrollobinario es i.

6En realidad no necesitamos la exponenciacion de numeros reales, sino que, para los efec-

tos de esta prueba, podemos definir 2x =

2x si x ∈ N,0 si x /∈ N,

pues solo vamos a necesitar la

exponenciacion de numeros naturales.

72 Capıtulo 3. Consecuencias del axioma de eleccion

Ahora usamos que

R ∧

n ∈ N∧

x(0 < x < 1 ∧ x /∈ Q→1∨r ∈ N

(r

2n< x <

r + 1

2n

)

),

ası como que

R ∧

r ∈ N∨

k(r = 2k ∨ r = 2k + 1),

con lo que lo mismo es valido en ∗R, lo que se traduce en que ∗[0, 1]\∗Q = E0∪E1

y E0 ∩ E1 = ∅, (aquı usamos tambien la traduccion a ∗R de que un mismonumero natural no puede ser par e impar a la vez).

Definimos Ai = [0, 1]∩Ei, de modo que [0, 1] \Q = A0 ∪A1 y A0 ∩A1 = ∅.Vamos a probar que A0 y A1 no son medibles Lebesgue.

Para ello consideramos Ikn =[k2n ,

k+12n

]\ Q y observamos que la funcion

fkn : R −→ R dada por fkn(x) = 2k+12n − x cumple fkn [I

kn ] = Ikn (le aplica una

simetrıa). Por otra parte:

R

2N< x <

R+ 1

2N⇒

2k + 1

2n−R+ 1

2N< fkn(x) <

2k + 1

2n−

R

2N,

es decir,

(2k + 1)2N−n −R − 1

2N< fkn(x) <

(2k + 1)2N−n −R

2N,

y resulta que (2k+1)2N−n−R− 1 es par si y solo si R es impar. (Aquı usamosque en ∗N se cumplen las propiedades obvias sobre numeros pares e impares.)Por lo tanto, x ∈ Ai ↔ fkn(x) ∈ A1−i. Equivalentemente:

fkn [Ikn ∩ Ai] = Ikn ∩ A1−i.

Si los conjuntos Ai son medibles, entonces, como fkn conserva la medida deLebesgue (porque es una simetrıa), concluimos que

m(Ikn ∩ A0) = m(Ikn ∩ A1) = m(Ikn)/2.

(La ultima igualdad se debe a que Ikn es union disjunta de los dos primerosconjuntos.) En particular, m(A0) = m(I00 ∩ A0) = 1/2.

Consideramos entonces la medida que a cada conjunto medible Lebesgue en[0, 1] le asigna µ(X) = 2m(X∩A0). Ciertamente es una medida con la propiedadde que µ(Ikn) = m(Ikn). De aquı se sigue facilmente que µ y m coinciden sobretodos los intervalos abiertos, luego, de hecho, µ = m. Ahora bien, haciendoX = A0 en la definicion de µ, tenemos que m(A0) = 2m(A0), es decir, 1/2 = 1.

3.2. Filtros rapidos 73

3.2 Filtros rapidos

El proposito de esta seccion es demostrar un teorema analogo a 3.10 paraconjuntos medibles, lo cual es mucho mas delicado. Para ello demostraremos unaversion de 3.6 con una hipotesis mas debil. Vamos a necesitar varios resultadostecnicos, el primero de los cuales es el siguiente (consideramos en C la mismamedida m que considerabamos en la subseccion 3.1.2):

Teorema 3.15 Sea A ⊂ C un cerrado de medida positiva. Entonces existe uncerrado B ⊂ A de medida positiva y una sucesion creciente nkk∈ω de numerosnaturales tal que

∧

s ∈ 2nk(Bs ∩B 6= ∅→ m(Bs ∩B) ≥ (1− 2−k)m(Bs)).

Demostracion: Vamos a construir una sucesion creciente nkk∈ω denumeros naturales y una sucesion decreciente Ckk∈ω de cerrados tales que

m(Ck \ Ck+1) ≤ m(A)2−nk−k−2 (3.2)

y

Ck =⋃

s∈Tk

(Bs ∩ Ck−1), (3.3)

donde

Tk = s ∈ 2nk | m(Bs ∩ Ck−1) ≥ (1− 2−k−1)m(Bs). (3.4)

Tomamos C0 = A y n0 = 1. Supongamos construidos Cky nk, y veamos queexiste nk+1 > nk tal que

N = |s ∈ 2nk+1 | Bs ∩ Ck 6= ∅| ≤ 2nk+1(m(Ck) +m(A) 2−nk−2k−4).

Para ello tomamos un abierto G tal que Ck ⊂ G y

m(G) ≤ m(Ck) +m(A) 2−nk−2k−4.

Como Ck es compacto, podemos exigir que G sea union de un numero finitode abiertos basicos, ası como que todos ellos corten a Ck. Tambien podemossuponer que todos ellos son de la forma Bs con s ∈ 2nk+1 , para un nk+1 > nk.Como los abiertos de este tipo son disjuntos dos a dos, G sera, mas precisamente,la union de todos los abiertos basicos Bs con s ∈ 2nk+1 tales que Bs ∩Ck 6= ∅,y el numero de tales abiertos es el que hemos llamado N .

Ası pues, m(G) = N/2nk+1, luego

N = 2nk+1 m(G) ≤ 2nk+1(m(Ck) +m(A) 2−nk−2k−4), (3.5)

como habıa que probar. Definimos Ck+1 mediante (3.3), con lo que claramentees cerrado, Ck+1 ⊂ Ck y

m(Ck+1) ≤ |Tk+1|2−nk+1 . (3.6)

74 Capıtulo 3. Consecuencias del axioma de eleccion

Ademas

Ck \ Ck+1 ⊂⋃Bs ∩ Ck | s ∈ 2nk+1 \ Tk+1 ∧ Bs ∩Ck 6= ∅.

Entonces

m(Ck) = m(Ck+1) +m(Ck \ Ck+1) ≤ [por (3.4)]

m(Ck+1) +∑

(1− 2−k−2)2−nk+1 | s ∈ 2nk+1 \ Tk+1 ∧ Bs ∩ Ck 6= ∅

≤ m(Ck+1) + (1− 2−k−2)2−nk+1(N − |Tk+1|) ≤ [por (3.6)]

m(Ck+1) + (1− 2−k−2)2−nk+1(N − 2nk+1m(Ck+1))

= m(Ck+1) + (1 − 2−k−2)(N2−nk+1 −m(Ck+1))

= 2−k−2m(Ck+1) + (1 − 2−k−2)N2−nk+1 .

Por lo tanto

2−k−2m(Ck+1) ≥ m(Ck)−N2−nk+1(1− 2−k−2) ≥ [por (3.5)]

m(Ck)− 2nk+1(m(Ck) +m(A) 2−nk−2k−4)2−nk+1(1 − 2−k−2)

= −m(A) 2−nk−2k−4 + 2−k−2m(Ck),

luegom(Ck+1) ≥ m(Ck)−m(A) 2−nk−k−2

de donde se sigue (3.2).

Ahora definimos B =⋂

k∈ω

Ck, que obviamente es cerrado. Ası

Ck \B =⋃

r≥k

(Cr \ Cr+1) → m(Ck \B) =∑

r≥k

m(Cr \ Cr+1)

≤∑

r≥k

m(A) 2−nr−r−2 = m(A) 2−nk−k−1∑

r≥k

2−(nr−nk)−(r−k)−1

= m(A) 2−nk−k−1 ∑

r≥0

2−(nr+k−nk)−r−1 ≤ m(A) 2−nk−k−1∑

r≥0

2−r−1

= m(A) 2−nk−k−1.

Ası pues,

m(B) = m(Ck)−m(Ck \B) ≥ m(Ck)−m(A) 2−nk−k−1.

Para k = 0 queda m(B) ≥ m(A)−m(A)2−2 > 0.

Si s ∈ 2nk y Bs ∩B 6= ∅, entonces Bz ∩ Ck 6= ∅, luego s ∈ Tk, luego

m(Bs ∩ Ck) = m(Bs ∩⋃

s′∈Tk

(Bs′ ∩Ck−1)) = m(Bs ∩ Ck−1)

[por (3.4)] ≥ (1− 2−k−1)m(Bs) ≥ (1− 2−k)m(Bs),

como habıa que probar.

3.2. Filtros rapidos 75

Definicion 3.16 Un filtro F en ω es rapido si para toda φ : ω −→ ω crecienteexiste F ∈ F tal que

∧

k ∈ ω |F ∩ φ(k)| ≤ k.

En primer lugar demostramos que el teorema 3.6 es valido para filtros rapidosen lugar de ultrafiltros no principales:

Teorema 3.17 Si F es un filtro rapido, entonces F no es medible.

Demostracion: Supongamos que F es medible. Sea T : C −→ C el ho-meomorfismo definido al principio de la prueba del teorema 3.6. Es inmediatoque F ∩ T [F] = ∅ y, si F es medible, ambos conjuntos tienen la misma medida,luego m(F ) ≤ 1/2.

Existe un abiertoG tal que F ⊂ G ym(G) < 1, luego A = C\G es un cerradode medida positiva tal que F ∩ A = ∅. Sea B ⊂ A y nkk∈ω segun el teoremaanterior. Sea φ : ω −→ ω la aplicacion (creciente) dada por φ(k) = nk+2. ComoF es rapido existe F ∈ F tal que

∧

k ∈ ω |F ∩ nk+2| ≤ k.

Vamos a construir sk ∈ 2nk tal que, para todo k ∈ ω,

sk = sk+1|sk , χF|nk

≤ sk, Bsk ∩B 6= ∅.

Por la propiedad de F tenemos |F ∩ n2| ≤ 0, luego χF|n0 = 0, luego basta

tomar z0 ∈ 2n0 tal que Bz0 ∩B 6= ∅ y s0 cumple lo pedido.

Supongamos construido sk. Como Bsk ∩B 6= ∅, tenemos que

m(Bsk ∩B) ≥ (1− 2−k)m(Bsk).

Sea P = s ∈ 2nk+1 | s|nk= sk ∧

∧

m ∈ F ∩ nk+1 s(m) = 1. Ası

|P | = 2nk+1−nk−|(nk+1\nk)∩F |, luego

m(u ∈ Bsk | χF|nk+1

≤ u|nk+1) = m(u ∈ Bsk | u|nk+1

∈ P)

= 2nk+1−nk−|(nk+1\nk)∩F |−nk+1 = 2−nk−|(nk+1\nk)∩F |

= m(Bsk)2−|(nk+1\nk)∩F | ≥ m(Bsk) 2

−|nk+1∩F | ≥ m(Bsk) 2−k+1

Si este conjunto fuera disjunto con Bsk ∩B, su union tendrıa medida

≥ (1− 2−k)m(Bsk) +m(Bsk) 2−k+1 > m(Bsk),

pero esto es imposible, pues se trata de un subconjunto de Bsk . Ası pues, existeun u ∈ Bsk ∩ B tal que χ

F|nk+1

≤ u|nk+1. Tomamos sk+1 = u|nk+1

, con lo queu ∈ Bsk+1

∩B 6= ∅ y sk+1 cumple lo pedido.

Sea x =⋃

k∈ω

sk ∈ C. Como Bsk ∩B 6= ∅ y Bskk∈ω es una base de entornos

de x, tenemos que x ∈ B = B ⊂ A.

Como χF|nk

≤ sk, resulta que χF

≤ x, luego F ⊂ x−1[1], con lo que

x−1[1] ∈ F, luego x ∈ F ∩ A = ∅, contradiccion.

Ahora vamos a ver como construir un filtro rapido. Necesitamos otro hechotecnico:

76 Capıtulo 3. Consecuencias del axioma de eleccion

Teorema 3.18 Sea E ⊂ C un conjunto nulo. Entonces existe un cerrado B ⊂ C

tal que B ∩ E = ∅, m(B) > 0 y para todo n ∈ ω y todo s ∈ 2n, si B ∩ Bs 6= ∅entonces m(B ∩B2) ≥ 8−n−1.

Demostracion: Por regularidad existe un cerrado C0 ⊂ C de manera queC0 ∩ E = ∅ y m(C0) ≥ 1/2. Supuesto definido Ck, sea

Ck+1 =⋃Bs ∩ Ck | s ∈ 2k+1 ∧ m(Bs ∩Ck) ≥ 1/8k+1,

que claramente es cerrado, al igual que B =⋂

k∈ω

Ck.

Tomemos n ≤ k y s ∈ 2n. Entonces

m(Bs ∩ (Ck \Ck+1) = m(Bs ∩⋃Bs′ ∩Ck | s′ ∈ 2k+1 ∧ m(Bs ∩Ck) < 1/8k+1)

= m(⋃

Bs′ ∩Ck | s′ ∈ 2k+1 ∧ m(Bs ∩Ck) < 1/8k+1 ∧ s′|n = s)

≤ 2k+1−n(1/8k+1).

En particular, si s = ∅, tenemos que m(Ck \ Ck+1) ≤ 1/4k+1. Ası

m(B) = m(C0)−m(C0 \B) =1

2−m(

⋃

k∈ω

(Ck \ Ck+1))

=1

2−

∑

k∈ω

m(Ck \ Ck+1) ≥12 −

∑

k∈ω

14k+1 = 1

2 − 13 > 0.

Ahora, si s ∈ 2n, con n > 0 y B∩Bs 6= ∅, entonces Bs∩Cn 6= ∅, luego, pordefinicion de Cn ha de ser m(Bs∩Cn−1) ≥ 1/8n y ademas Bs∩Cn = Bs∩Cn−1,luego m(Bs ∩ Cn) ≥ 1/8n. Entonces

m(Bs ∩B) ≥ m(Bs ∩ Cn)−∑

k≥n

m(Bs ∩ (Ck \ Ck+1))

≥1

8n−

∑

k≥n

2k+1−n

8k+1=

1

8n−

1

2n

∑

k≥n

1

4k+1=

2

3 · 8n≥

1

8n≥

1

8n+1.

Puede probarse que los filtros rapidos tampoco tienen la propiedad de Baire,pero no vamos a necesitar este hecho.

Definicion 3.19 Supongamos que existe X ⊂ C tal que |X | = ℵ1. Para cadax, y ∈ C, x 6= y, definimos h(x, y) = mınn ∈ ω | x(n) 6= y(n). Si R ⊂ C× C esuna relacion de equivalencia, definimos

ZR = h(x, y) | x ∈ X ∧ y ∈ X ∧ x 6= y ∧ xR y ⊂ ω.

Teorema 3.20 Los conjuntos ZR, donde R recorre las relaciones de equivalen-cia en C que sean de Borel como subconjunto de C× C y tales que |C/R| ≤ ℵ0,generan un filtro FX en ω que contiene a los conjuntos cofinitos.

3.2. Filtros rapidos 77

Demostracion: Veamos que cada ZR es infinito. Como |X | = ℵ1 y|C/R| ≤ ℵ0, alguna clase de equivalencia ha de ser infinita, sea Y una deellas. Sea h : [Y ]2 −→ ZR la aplicacion dada por h(x, y) = h(x, y). Si ZRfuera finito, por el teorema de Ramsey7 Y contendrıa un conjunto infinito ho-mogeneo H y, si x, y, z ∈ H , entonces h(x, y) = h(x, z) = h(y, z) = n, pero esoes imposible.

Obviamente ZR1∩R2 ⊂ ZR1 ∩ ZR2 , por lo que los conjuntos ZR generan unfiltro FX . Para probar que contiene a los conjuntos cofinitos tomamos n ∈ ω yconsideramos la relacion de equivalencia en C dada por

xRn y ↔ x|n = y|n.

Obviamente es de Borel, determina 2n clases de equivalencia y ZR ⊂ ω \ n,luego ω \n ∈ FX , lo que implica que FX contiene a los conjuntos cofinitos.

Definicion 3.21 Si X ⊂ C cumple |X | = ℵ1, el filtro FX dado por el teoremaanterior recibe el nombre de filtro de Raisonnier asociado a X .

Vamos a dar una condicion suficiente para que FX sea un filtro rapido.

Para ello, para cada H ⊂ C× C llamamos Hx = y ∈ C | (x, y) ∈ H y

H(X) =⋃

x∈X

Hx.

Teorema 3.22 Supongamos que se cumple la condicion:

(N) Si H ⊂ C× C es un Gδ con secciones nulas, entonces H(X) es nulo.

Entonces FX es un filtro rapido.

Demostracion: Consideramos aquı la base de C formada por los abiertosde la forma

Bs = x ∈ C | x|Ds = s,

donde, en lugar de restringir s ∈ 2n para n ∈ ω, consideramos mas en generals ∈ 2I , para cualquier I ⊂ ω finito. Diremos que I = Ds es el soporte de Ds.

Observemos que podemos construir una sucesion A(s, i, j)s∈2<ω,i,j∈ω deabiertos basicos tales que m(A(s, i, j)) = 2−i−j y los abiertos A(s, i, j)s∈2<ω

tengan soportes disjuntos dos a dos.

En efecto, basta partir ω en infinitos conjuntos disjuntos de cardinal i+ j yasignamos uno a cada s ∈ 2<ω, tomando un abierto basico cualquiera con dichosoporte.

Sea φ : ω −→ ω creciente y sea Hφ ⊂ C× C la relacion dada por

xHφ y ↔∧

j ∈ ω∨

j′l ∈ ω(j ≤ j′ ≤ l ∧ y ∈ A(x|φ(l), l, j′)).

7Vease [PC, 12.4].

78 Capıtulo 3. Consecuencias del axioma de eleccion

AsıHφ =

⋂

j∈ω

⋃

j≤j′≤l

(x, y) ∈ C× C | y ∈ A(x|φ(l), l, j′),

y los conjuntos de la izquierda son antiimagenes de abiertos por la proyeccionen la segunda componente, luego son abiertos en C× C, luego Hφ es un Gδ.

Para cada x ∈ C,

Hφx =

⋂

j∈ω

⋃

j≤j′≤l

A(x|φ(l), l, j′)

y

m(⋃

j≤j′≤l

A(x|φ(l), l, j′)) ≤

∑

j≤j′≤l

1

2l+j′=

∑

j≤j′

1

2j′∑

j′≤l

1

2l=

∑

j≤j′

1

2j′1

2j′−1

=∑

j≤j′

1

22j′−1=

1

22j−2=

1

4j−2,

luego m(Hφx ) = 0.

Por (N) podemos afirmar que Hφ(X) es un conjunto nulo. Sea Bφ segunel teorema 3.18, es decir, Bφ es cerrado en C, Bφ ∩ Hφ(X) = ∅, m(Bφ) > 0y, para todo s ∈ 2<ω, si Bφ ∩ Bs 6= ∅, entonces m(Bφ ∩ B2) ≥ 8−n−1, donden = ℓ(s).

Dado x ∈ C, sea Oxj =⋃

j≤j′≤l

A(x|φ(l), l, j′) ∩ Bφ, que es un abierto en Bφ

y, si x ∈ X , entonces⋂

j

Oxj = Hφx ∩ Bφ = ∅, luego, por el teorema de Baire,

algun Oxj no es denso en Bφ, es decir, para cierto j ∈ ω y s ∈ 2<ω, se cumple

que Bφ ∩Bs 6= ∅ y Bφ ∩Bs ∩Oj = ∅.

Fijemos una biyeccion 〈 , 〉 : ω × 2<ω −→ ω. Podemos suponer que cumplemaxℓ(s), j ≤ 〈j, s〉.

Para cada x ∈ C, sea F (x) el mınimo 〈j0, s0〉 tal que Bφ ∩ Bs0 6= ∅ yBφ∩Bs0 ∩Oj0 6= ∅ si existe algun par (j0, s0) en estas condiciones, y F (x) = ∞en otro caso. (Acabamos de probar que F (x) es finito siempre que x ∈ X .) SeaRφ la relacion en C× C dada por

xRφ y ↔ (F (x) = F (y) = ∞) ∨ (F (x) = F (y) 6= ∞ ∧ x|φ(F (x)) = y|φ(F (y))).

Claramente Rφ es una relacion de equivalencia. Vamos a probar que es deBorel. Para ello empezamos descomponiendola como

Rφ = x ∈ C | F (x) = ∞× y ∈ C | F (y) = ∞ ∪

(x, y) ∈ C× C | F (x) = F (y) 6= ∞ ∧ x|φ(F (x)) = y|φ(F (y)).

Por una parte:

x ∈ C | F (x) = ∞ = x ∈ C | ¬∨

js(Bφ ∩Bs 6= ∅ ∧ Bφ ∩Bs ∩Oxj = ∅)

= C \⋃

(j,s)

x ∈ C | Bφ ∩Bs ∩Oxj = ∅,

donde en la ultima union (j, s) recorren los pares tales que Bφ ∩Bs 6= ∅.

3.2. Filtros rapidos 79

A su vez,

x ∈ C | Bφ ∩Bs ∩Oxj = ∅ =

⋂

j≤j′≤l

x ∈ C | A(x|φ(l), l, j′) ∩Bφ ∩Bs = ∅

y el ultimo conjunto es claramente abierto, pues la condicion depende unica-mente de x|φ(l). Concluimos que x ∈ C | F (x) = ∞ es un conjunto de Borel.

Por otra parte:

(x, y) ∈ C× C | F (x) = F (y) 6= ∞ ∧ x|φ(F (x)) = y|φ(F (y))

=⋃

n∈ω(x, y) ∈ C× C | F (x) = F (y) = n ∧ x|φ(n) = y|φ(n)

=⋃

n∈ω((x, y) ∈ C× C | F (x) = F (y) = n ∩ (x, y) ∈ C× C | x|φ(n) = y|φ(n)).

El conjunto a la derecha de ∩ es abierto, luego solo falta probar que el de laizquierda tambien lo es. Pongamos que n = 〈j, s〉. Si Bφ ∩Bs = ∅, el conjuntoes vacıo, luego es de Borel. Supongamos que Bφ ∩Bs 6= ∅. Entonces

(x, y) ∈ C× C | F (x) = F (y) = 〈j, s〉 =

(x, y) ∈ C× C | F (x) = 〈j, s〉 × (x, y) ∈ C× C | F (y) = 〈j, s〉,

luego basta ver que el conjunto (x, y) ∈ C × C | F (x) = 〈j, s〉 es de Borel.Ahora bien,

(x, y) ∈ C× C | F (x) = 〈j, s〉 = (x, y) ∈ C× C | Bφ ∩Bs ∩Oxj = ∅ ∩

⋂

j′,s′x ∈ C | Bφ ∩Bs′ ∩O

xj′ 6= ∅, (3.7)

donde la ultima interseccion recorre los j′, s′ tales que

〈j′, s′〉 < 〈j, s〉 y Bφ ∩Bs′ 6= ∅.

El primer conjunto del miembro derecho de (3.7) es de Borel porque ası lohemos demostrado antes, y los que aparecen tras la interseccion son de Borelporque son complementarios de conjuntos como el primero. Esto termina laprueba de que Rφ es de Borel.

Por otra parte, es evidente que Rφ determina una cantidad numerable declases de equivalencia (una para cada valor posible de F ).

Por consiguiente, podemos considerar Zφ = ZRφ ∈ FX . Veamos que

∧

k ∈ ω |Zφ ∩ φ(k)| ≤ k(3k + 3)224k.

En principio:

Zφ ∩ φ(k) = h(x, y) | x, y ∈ X ∧ x 6= y ∧ xRφ y ∧ h(x, y) < φ(k).

80 Capıtulo 3. Consecuencias del axioma de eleccion

Si x, y ∈ X ∧ xRφ y, existen j ∈ ω y s ∈ 2<ω tales que F (x) = F (y) = 〈j, s〉 yx|φ(〈j,s〉) = y|φ(〈j,s〉), luego h(x, y) ≥ φ(〈j, s〉).

Si h(x, y) < φ(k), entonces 〈j, s〉 < k, pues si fuera k ≤ 〈j, s〉, entoncesφ(k) ≤ φ(〈j, s〉) ≤ h(x, y).

Por definicion de F , tenemos ademas que Bφ ∩Bs 6= ∅ y Bφ∩Bs ∩Oxj = ∅,

luego, como j < k, por definicion de Oxj , Bφ ∩ Bs ∩ A(x|φ(k), k, j) = ∅, e

igualmente para y.

Sea ∆(s, j) = t ∈ 2φ(k) | Bφ ∩Bs ∩A(t, k, j) = ∅, δ(s, j) = |∆(s, j)|.

Ası, si n ∈ Zφ ∩ φ(k), entonces n = h(x, y), para ciertos x, y ∈ X tales queexisten s, j de modo que

〈s, j〉 < k, Bφ ∩Bs 6= ∅, x|φ(k) ∈ ∆(s, j), y|φ(k) ∈ ∆(s, j).

Ademas, por la definicion de h, si h(x, y) 6= h(x′, y′) < φ(k) entonces(x|φ(k), y|φ(k)) 6= (x′|φ(k), y

′|φ(k)), luego Zφ ∩ φ(k) esta completamente deter-minado por el conjunto

⋃

s,j

∆(s, j) × ∆(s, j), donde s, j recorre los pares tales

que 〈s, j〉 < k y Bφ ∩Bs 6= ∅, luego

|Zφ ∩ φ(k)| ≤∑

s,j

δ(s, j)2. (3.8)

Por definicion de ∆, tenemos que

Bφ ∩Bs ⊂⋂

t∈∆(s,j)

(C \A(t, k, j)),

luego

m(Bφ ∩Bs) ≤ m(

⋂

t∈∆(s,j)

(C \A(t, k, j)))

≤ (1− 2−k−j)δ(s,j).

Vamos a probar la ultima igualdad. Pongamos que, para cada t ∈ ∆(s, j),A(t, k, j) = Bst , donde st ∈ 2It y los soportes It son conjuntos disjuntos decardinal k + j. Ası

⋂

t∈∆(s,j)

(C \A(t, k, j)) = x ∈ C |∧

t ∈ ∆(s, j) x|It 6= st

= x ∈ C | x|I ∈ D,

donde I =⋃

t∈∆(s,j)

It y D = u ∈ 2I |∧

t ∈ ∆(S, j) u|It 6= st. El hecho de que

los soportes sean disjuntos implica que |D| = (2k+j − 1)δ(s,j). Ası

m(

⋂

t∈∆(s,j)

(C \A(t, k, j)))

=(2k+j − 1)δ(s,j)

2(k+j)δ(s,j)=

(

1−1

2k+j

)δ(s,j)

.

3.2. Filtros rapidos 81

Por otra parte, por construccion de Bφ, si Bφ ∩Bs 6= ∅, entonces

m(Bφ ∩Bs) ≥ 8−ℓ(s)−1.

Ası,

2−3ℓ(s)−3 ≤ (1− 2−k−j)δ(s,j) → −(3ℓ(s) + 3) ≤ δ(s, j) log2(1− 2−k−j)

→ δ(s, j) ≤3n+ 3

log2(2k+j

2k+j−1)≤ (3ℓ(s) + 3) 2k+j.

Para probar la ultima desigualdad basta ver (llamando t = 2k+j) que

1

log2(tt−1 )

≤ t↔1

t≤ log2(

t

t− 1) ↔ 21/t ≤

t

t− 1↔ 2 ≤

tt

(t− 1)t

↔ tt ≥ 2(t− 1)t,

y esto es cierto, pues

tt = ((t− 1) + 1)t ≥ (t− 1)t + t(t− 1)t−1 ≥ 2(t− 1)t.

Ası, continuando con (3.8) y teniendo en cuenta que j ≤ 〈s, j〉 < k, ℓ(s) ≤ k,

|Zφ ∩ φ(k)| ≤∑

s,j

((3ℓ(s) + 3)2k+j)2 ≤∑

s,j

(3k + 3)224k ≤ k(3k + 3)224k.

Finalmente, sea ψ(k) = k(3k+3)224k y consideremos φ′ : ω −→ ω dada porφ′(k) = φ(ψ(k + 1)). Se trata de una aplicacion creciente, luego todo lo quehemos probado para φ es valido tambien para φ′. Ası, esta definido Zφ′ y paratodo k ∈ ω

|Zφ′ ∩ φ(ψ(k + 1))| ≤ ψ(k).

Si p ≥ ψ(0), existe un k tal que ψ(k) ≤ p ≤ ψ(k + 1), con lo que

|Zφ′ ∩ φ(p)| ≤ |Zφ′ ∩ φ(ψ(k + 1))| ≤ ψ(k) ≤ p.

Por lo tanto, si llamamos A = Zφ′ \ φ(ψ(0)) ∈ FX (aquı usamos que FX

contiene a los conjuntos cofinitos), se cumple que

|A ∩ φ(p)| ≤ |Zφ′ ∩ φ(p)| ≤ p,

para todo p ≥ ψ(0), pero si p < ψ(0), entonces φ(p) < φ(ψ(0)), luego tambien

|A ∩ φ(p)| = 0 ≤ p.

Con esto hemos probado que∧

p ∈ ω |A ∩ φ(p)| ≤ p, luego FX es un filtrorapido.

Finalmente podemos probar:

Teorema 3.23 Si ℵ1 ≤ 2ℵ0 toda medida de Borel continua en un espacio polacotiene conjuntos no medibles.

82 Capıtulo 3. Consecuencias del axioma de eleccion

Demostracion: En la prueba del teorema 2.21 se ve que para cada medidade Borel continua existe otra medida de Borel unitaria con los mismos conjun-tos medibles, y por el teorema 2.27 no perdemos generalidad si consideramosconcretamente la medida m en C que estamos considerando hasta ahora.

Supongamos que todo subconjunto de C es medible y llegaremos a una con-tradiccion. Por 2.27, podemos suponer tambien que todo subconjunto de C× C

es medible para la medida producto.

Por hipotesis existe un conjunto X ⊂ C de cardinal ℵ1. Sea ≤X un buenorden en X de ordinal ℵ1.

Vamos a demostrar que X cumple la condicion (N) del teorema 3.22, conlo que el teorema anterior nos dara un conjunto no medible y tendremos lacontradiccion buscada.

Ası pues, sea H ⊂ C × C un conjunto Gδ con secciones nulas. Hemos deprobar que H(X) es nulo.

Para cada x ∈ H(X), sea λ(x) el menor y ∈ X tal que x ∈ Hy. Sea

H(X) = (x, y) ∈ H(X)×H(X) | λ(x) <X λ(y).

Si y ∈ H(X), entonces

H(X)y = y ∈ C | (x, y) ∈ H(X) = x ∈ H(X) | λ(x) <X λ(y)

=⋃

z∈X<λ(y)

x ∈ H(X) | λ(x) = z ⊂⋃

z∈X<λ(y)

Hz,

luego H(X)y es nulo por ser union numerable de conjuntos nulos. Puesto que

estamos suponiendo que H(X) es medible, el teorema de Fubini implica queH(X) es nulo. Sea ahora

D = (H(X)×H(X)) \ H(X) = (x, y) ∈ H(X)×H(X) | λ(y) ≤X λ(x).

Exactamente el mismo argumento demuestra queD es nulo, luego el conjuntoH(X)×H(X) es nulo, luego H(X) tambien.

3.3 Cardinales caracterısticos

En esta seccion trabajamos en ZFC. Vamos a estudiar ahora algunas de lasprincipales caracterısticas conjuntistas de la medida de Lebesgue y sus analogaspara la categorıa topologica. Para ello introducimos los conceptos siguientes:

Definicion 3.24 Sea I un ideal ℵ1-completo en un conjunto X que contenga alos puntos. Definimos:

• La aditividad de I como el menor cardinal ad(I) de un subconjunto de Icuya union no esta en I.

3.3. Cardinales caracterısticos 83

• El cubrimiento de I como el menor cardinal cub(I) de un subconjuntode I cuya union es X .

• La uniformidad de I como el menor cardinal un(I) de un subconjuntode X que no este en I.

• La cofinalidad de I como el menor cardinal cf(I) de una base de I, esdecir, de un conjunto B ⊂ I tal que todo elemento de I este contenido enuno de B.

Nos interesaran principalmente los casos en los queX es un espacio polaco e Ies el ideal Im de los conjuntos nulos respecto de una medida de Borel continua enX o bien el ideal Ic de los conjuntos de primera categorıa (suponiendo entoncesque X es perfecto, para que los puntos esten en el ideal).

Los resultados de los capıtulos precedentes permiten probar que los ochocardinales que ası obtenemos son independientes del espacio polaco consideradoy, en el caso de Im, de la medida considerada. En efecto, el teorema 2.27implica que los cuatro cardinales correspondientes a Im son los mismos para todoespacio polaco y toda medida de Borel unitaria considerada en el, y el teorema2.15 extiende la conclusion a medidas de Borel arbitrarias. Por su parte, losteoremas 1.39 y 1.42 implican facilmente que los asociados a Ic no dependendel espacio polaco perfecto considerado. Por consiguiente, podemos trabajarindistintamente en cualquier espacio polaco perfecto con cualquier medida deBorel.

Las unicas desigualdades que pueden probarse en ZFC sobre estos cardinalesson las contenidas en el llamado diagrama de Cichon:

cub(Im) // un(Ic)∗ // cf(Ic) // cf(Im)

∗ // c

b //

OO

d

OO

ℵ1∗ // ad(Im) //

∗

OO

ad(Ic)∗ //

OO

cub(Ic) //

OO

un(Im)

∗

OO

en el que cada flecha A → B representa la desigualdad A ≤ B. Los cardinalesb y d son los definidos en [PC 9.1].

La desigualdad b ≤ d esta probada en [PC 9.2], y las marcadas con unasterisco son triviales, ya que, en general, para todo ideal ℵ1-completo I quecontenga a los puntos, se cumple:

• ℵ1 ≤ ad(I).

Esto es inmediato por la ℵ1-completitud de I.

• ad(I) ≤ cub(I).

En efecto: una familia de elementos de I cuya union seaX es en particularuna familia de elementos de I cuya union no esta en I.

84 Capıtulo 3. Consecuencias del axioma de eleccion

• un(I) ≤ cf(I).

En efecto: si B es una base de I de cardinal mınimo y A resulta de elegirun punto en el complementario de cada elemento de B, entonces |A| ≤ |B|y A /∈ I.

• ad(I) ≤ un(I).

En efecto: Si A es un conjunto que no esta en I, sus puntos forman unafamilia de elementos de I cuya union no esta en I.

• cub(I) ≤ cf(I).

En efecto: Una base de I en particular es una familia de elementos de Icuya union es X .

Por ultimo, cf(Im) ≤ c, pues una base de Im la forman los conjuntos nulosque son Gδ, y es facil ver que un espacio polaco tiene c conjuntos Gδ.

Definicion 3.25 Llamaremos K al conjunto de todos los subconjuntos de N

contenidos en una union numerable de compactos. Claramente es un ideal ℵ1-completo en N que contiene a los puntos.

Observemos que K ⊂ Ic, porque los compactos en N tienen interior vacıo,luego son de primera categorıa, luego las uniones numerables de compactostambien.

Mas detalladamente, si K es un compacto en N, su proyeccion n-sima tieneque ser finita, luego tiene que estar acotada por un cierto f(n) ∈ ω, luegoK ⊂ Cf , donde

Cf = g ∈ N |∧

n ∈ ω g(n) ≤ f(n).

Mas aun, todo K ∈ K esta contenido en una union⋃

n∈ωCfn y, usando que

b ≥ ℵ1, existe un f ∈ N tal que∧

n ∈ ω fn ≤∗ f , luego

K ⊂ C∗f = g ∈ N | g ≤∗ f.

Recıprocamente, C∗f ∈ K, pues C∗

f =⋃

m,n∈ωCfn,m

, donde

fn,m(i) =

n si i ≤ m,f(i) si i > m.

Con esto es facil probar:

Teorema 3.26 ad(K) = un(K) = b, cub(K) = cf(K) = d.

Demostracion: Las observaciones precedentes nos dan que si K ⊂ N noesta acotado respecto de ≤∗, entonces K /∈ K, luego un(K) ≤ b. Por otro lado,si A ⊂ K cumple que

⋃A /∈ K, para cada K ∈ A podemos tomar un fK ∈ N

tal que A ⊂ C∗fK

, con lo que⋃

K∈A

C∗fK

/∈ K, pero entonces fK | K ∈ A no esta

acotado en N, luego b ≤ |A|, luego b ≤ ad(K). Ya hemos visto que, en general,ad(K) ≤ un(K), luego ad(K) = un(K) = b.

3.3. Cardinales caracterısticos 85

Por otra parte, si A ⊂ N es una familia dominante, es claro que el conjuntoC∗

f | f ∈ A es una base de K, luego cf(K) ≤ d. Si A ⊂ K cumple que⋃A = N, como antes obtenemos funciones fK tales que

⋃

K∈A

C∗fK

= N, y esto

significa que fK | K ∈ A es dominante en N, luego d ≤ cub(K). De nuevo, ladesigualdad cub(K) ≤ cf(K) es trivial, y ası cub(K) = cf(K) = d.

De la inclusion K ⊂ Ic se siguen trivialmente dos desigualdades del diagramade Cichon:

Teorema 3.27 b ≤ un(Ic) y cub(Ic) ≤ d.

Para cada f ∈ N, definimos f ′(n) = max f [n + 1] y sea φ : N −→ K lafuncion dada por φ(f) = C∗

f ′ .

Supongamos ahora que F =⋃

n∈ωFn es una union de cerrados de interior

vacıo. Vamos a construir un fF ∈ N tal que si f ∈ N cumple φ(f) ⊂ F ,entonces f ≤∗ fF .

Para ello definimos recurrentemente knn∈ω en ω y snn∈ω en ω<ω.

Tomamos k0 = 0. Supuesto definido kn, elegimos sn ∈ ω<ω de modo quepara todo t ∈ k≤knn y todo i ≤ n se cumpla que Btsn ∩ Fi = ∅.

Existe tal sn porque cualquier t se puede prolongar hasta que el abiertobasico Bts este contenido en N \ Fi, porque, como este conjunto es denso,corta a Bt en un punto x y, al ser abierto, existe un entorno de x de la formaBts que esta contenido en el.

Por ultimo definimos kn+1 = kn + ℓ(sn) + maxsn(i) | i < ℓ(sn) + 1. A suvez, definimos

fF (n) = maxsn(i) | i < ℓ(sn).

Tomemos ahora f ∈ N tal que φ(f) ⊂ F y veamos que, en efecto, f ≤∗ fF .En caso contrario existe X ⊂ ω infinito tal que

∧

n ∈ X fF (n) ≤ f(n). Vamosa construir un x ∈ φ(f) \ F y tendremos una contradiccion.

Sea xnn∈ω la enumeracion creciente de X . Definimos x como la sucesion

kx0︷ ︸︸ ︷

0, . . . , 0, sx0 ,

kx1−kx0−ℓ(sx0)︷ ︸︸ ︷

0, . . . . . . . . . , 0, sx1 , 0, 0, . . .

de modo que cada segmento sxnempieza exactamente en la posicion kxn

. Ladefinicion de la sucesion knn∈ω garantiza que cada sxn

termina siempre antesde la posicion kxn+1 .

De este modo x ∈ Bx|kxnsxn

, y, como x|kxnsolo toma (aparte del 0) los

valores que toman los sxicon i < n, de nuevo la definicion de la sucesion

knn∈ω garantiza que x|kxn∈ k

≤kxnxn , luego, por construccion, x /∈ Fj , para

todo j ≤ xn y, como esto vale para todo n, concluimos que x /∈ F .Para probar que x ∈ φ(f) = C∗

f ′ hemos de ver que x ≤∗ f ′. Ahora bien,para todo i ∈ ω, o bien x(i) = 0, o bien x(i) = sxj

(l), para cierto j con kxj≤ i.

En este caso x(i) ≤ fF (xj) ≤ f(xj) ≤ f ′(i), donde la ultima desigualdad sedebe a que xj ≤ kxj

≤ i.

86 Capıtulo 3. Consecuencias del axioma de eleccion

De aquı deducimos:

Teorema 3.28 ad(Ic) ≤ b y d ≤ cf(Ic).

Demostracion: Por 3.26 podemos tomar una familia Kαα<b de elemen-tos de K cuya union no esta en K. Para cada α podemos tomar fα ∈ N tal queKα ⊂ C∗

fα. Vamos a probar que

⋃

α<b

C∗φ(fα) /∈ Ic, lo cual implica que ad(Ic) ≤ b.

En caso contrario existirıa una union F de cerrados de interior vacıo tal que⋃

α<b

C∗φ(fα) ⊂ F y, por el argumento previo al teorema, fα ≤∗ fF , pero entonces

⋃

α<b

Kα ⊂ C∗fF

∈ K,

contradiccion.

Sea κ = cf(Ic) y tomemos una base Fαα<κ de Ic. Podemos suponer quecada Fα es union numerable de cerrados de interior vacıo con lo que podemosconsiderar el conjunto D = fFα

| α < κ. Entonces, para cada f ∈ N, existeun α tal que φ(f) ⊂ Fα, luego, segun hemos demostrado, f ≤∗ fFα

, y estoprueba que D es dominante, luego d ≤ κ.

Falta probar las cuatro desigualdades que relacionan Im con Ic. Dos de ellasson sencillas:

Teorema 3.29 cub(Im) ≤ un(Ic) y cub(Ic) ≤ un(Im).

Demostracion: Por simplicidad trabajamos en el espacio de Cantor C.Segun 2.41 podemos descomponer C = A ∪ B en union disjunta con A ∈ Im yB ∈ Ic. Consideramos en 2 = 0, 1 la suma definida modulo 2 y en C la sumadefinida componente a componente. Observemos que las traslaciones x 7→ a+xtransforman cada abierto basico de C en un abierto basico con la misma medida,por lo que son homeomorfismos que conservan la medida.

Si Z ⊂ C \ Ic, se cumple que Z +A = C. En efecto, si existe z ∈ C \ (Z+A),entonces (z+Z)∩A = ∅, pues si a = z+x, entonces x = z = x+a, contradiccion.Por lo tanto, z + Z ⊂ B, luego z + Z ∈ Ic, luego Z ∈ Ic, porque la traslacionx 7→ z + x es un homeomorfismo.

Podemos exigir |Z| = un(Ic) y, como los trasladados x + A son nulos, ladescomposicion C =

⋃

x∈X

(x +A) prueba que cub(Im) ≤ |Z| = un(Ic).

La segunda desigualdad se prueba analogamente.

Las dos desigualdades que quedan por probar son las mas complicadas, ynecesitamos varios resultados previos:

Definicion 3.30 Si (X,≤) es un conjunto parcialmente ordenado sin elementosmaximales, definimos

b(X,≤) = mın|A| | A ⊂ X ∧ A no esta acotado superiormente,

d(X,≤) = mın|A| | A es dominante,

donde “dominante” significa que todo elemento de X esta por debajo de unelemento de A.

3.3. Cardinales caracterısticos 87

En estos terminos es claro que b = b(N,≤∗) y d = d(N,≤∗), ası como que

ad(I) = b(I,⊂), cf(I) = d(I,⊂).

Tambien es claro que si A es dominante en X , entonces b(X,≤) = b(A,≤)y d(X,≤) = d(A,≤).

Si (X,≤), (Y,≤) son dos conjuntos parcialmente ordenados sin maximales,una conexion de Tukey entre ellos es un par (φ, φ∗) de aplicaciones φ : X −→ Y ,φ∗ : Y −→ X con la propiedad de que

∧

x ∈ X∧

y ∈ Y (φ(x) ≤ y → x ≤ φ∗(y)).

Escribiremos (X,≤) (Y,≤) para indicar que existe una conexion de Tukeyde (X,≤) en (Y,≤). El interes de estos conceptos radica en el teorema siguiente:

Teorema 3.31 Si (X,≤) (Y,≤), entonces se cumple b(Y,≤) ≤ b(X,≤) yd(X,≤) ≤ d(Y,≤).

Demostracion: Sea (φ, φ∗) una conexion de Tukey. Si A ⊂ X cumple|A| < b(Y,≤), definimos B = φ[A], con lo que |B| ≤ |A|, luego B esta acotadoen Y , es decir, existe y ∈ Y tal que φ(x) ≤ y para todo x ∈ A, luego x ≤ φ∗(y),luego A esta acotado en X . Esto prueba que b(Y,≤) ≤ b(X,≤).

Similarmente, si B ⊂ Y es dominante en Y , entonces A = φ∗[B] es do-minante en X , pues, dado x ∈ X , existe un y ∈ B tal que φ(x) ≤ y, con loque x ≤ φ∗(y) ∈ B. Por lo tanto d(X,≤) ≤ |A| ≤ |B|, y podemos tomar|B| = d(Y,≤), tenemos la segunda desigualdad.

Ası pues, para demostrar las desigualdades ad(Im) ≤ ad(Ic), cf(Ic) ≤ cf(Im)basta probar que (Ic,⊂) (Im,⊂).

Teorema 3.32 Si X es un espacio topologico 2AN, para cada n > 0 existe unconjunto numerable V de abiertos tal que

a) Si G ⊂ X es un abierto denso, existe V ∈ V tal que V ⊂ G.

b) Si V0, . . . , Vn ∈ V, entonces⋂

i≤n

Vi 6= ∅.

Demostracion: Sea Unn∈ω una base numerable de X que no contengaa ∅ y que podemos suponer cerrada para uniones finitas. Definimos

Am = k ∈ ω | k > m ∧∧

Y ⊂ m+ 1(⋂

i∈Y

Ui 6= ∅→ Uk ∩⋂

i∈Y

Ui 6= ∅),

V = ⋃

i≤n

Us(i) | s ∈n+1ω ∧

∧

i < n s(i+ 1) ∈ As(i).

Veamos que V cumple lo requerido. Ciertamente es una familia (numerable) deabiertos basicos. Sea G un abierto denso en X .

Para cada m ∈ ω existe un k ∈ Am tal que Uk ⊂ G. En efecto, consideramostodos los conjuntos Y ⊂ m + 1 tales que

⋂

i∈Y

Ui 6= ∅, que son un conjunto

88 Capıtulo 3. Consecuencias del axioma de eleccion

finito de abiertos no vacıos. Para cada uno de ellos tomamos un abierto basicocontenido en G ∩

⋂

i∈Y

Ui y formamos la union de todos ellos, que sera un Uk.

Anadiendo mas abiertos contenidos en G podemos obtener infinitos abiertos Ukque cumplen lo mismo, luego podemos elegir un k > m, ası, k ∈ Am.

Fijemos ahora un k0 tal que Uk0 ∈ G y definamos recurrentemente ki+1 ∈ Akital que Uki+1 ⊂ G. Entonces

⋃

i≤n

Uki ∈ V y esta contenido en G, luego se cumple

la primera propiedad.

Tomemos V0, . . . , Vn ∈ V, de modo que Vi =⋃

j≤n

Ukij , con ki,j+1 ∈ Akij .

Podemos reordenar los abiertos Vi de manera que k00 = mınki0 | i ≤ n, y luegoreordenamos V1, . . . , Vn de manera que se cumpla k1,1 = mınki,1 | 1 ≤ i ≤ n,y ası sucesivamente, hasta conseguir que kii ≤ kji, para i ≤ j ≤ n. De estemodo kii ≤ ki+1,i < ki+1,i+1, luego ki+1,i+1 ∈ Aki+1,i ⊂ Akii . Por induccionobtenemos que

⋂

i≤n

Ukii 6= ∅, y como Ukii ⊂ Vi, concluimos que⋂

i≤n

Vi 6= ∅.

En general, dada una medida unitaria(X,A, µ), una familia G ⊂ A es inde-pendiente respecto de la medida si todos sus elementos cumplen 0 < µ(A) < 1y, para todos los A0, . . . , An ∈ G, se verifica la igualdad

µ(⋂

i≤n

Ai

)

=∏

i≤n

µ(Ai).

Observemos que si G es una familia independiente y reemplazamos algu-nos de sus elementos por sus complementarios, la familia resultante es tambienindependiente. En efecto, se cumple que

µ(⋂

i≤n

Ai

)

= µ(

⋂

i≤n+1

Ai

)

+ µ(⋂

i≤n

Ai ∩ (X \An+1))

,

luego∏

i≤n

µ(Ai) =∏

i≤n+1

µ(Ai) + µ(⋂

i≤n

Ai ∩ (X \An+1))

,

luego

µ(⋂

i≤n

Ai ∩ (X \An+1))

=∏

i≤n

µ(Ai) µ(X \An+1),

luego la familia que resulta de cambiar An+1 por su complementario es indepen-diente, y repitiendo el razonamiento podemos realizar cualquier numero finitode sustituciones, pero es claro que una familia es independiente si y solo si lo sontodas sus subfamilias finitas, por lo que la conclusion vale tambien si realizamosinfinitas sustituciones.

Es facil construir familias independientes en C respecto de la medida deCantor. Concretamente, si snn∈ω es una familia de funciones dn −→ 2, condn ⊂ ω, donde dnn∈ω es una sucesion de subconjuntos finitos de ω disjuntos

3.3. Cardinales caracterısticos 89

dos a dos, los abiertos basicos Bdn son independientes, pues

µ(⋂

i≤m

Bsni

)

= µ(B∪sni) = 2|∪dni

| = 2

∑

i≤m

|dni|

=∏

i≤m

2|dni| =

∏

i≤m

µ(Bsni).

Especıficamente, vamos a fijar una familia independiente Gnmn,m∈ω deabiertos cerrados en C tal que m(Gnm) = 2−n (para lo cual solo hay que elegiradecuadamente una familia dnmn,m∈ω de subconjuntos finitos de ω disjuntosdos a dos con |dnm| = n. Por otra parte, fijemos una base numerable Unn∈ωde C.

Para cada A ∈ Im elegimos un compacto KA ⊂ C tal que A ∩ KA = ∅ ym(KA) > 0. Mas aun, podemos exigir ademas que si Un ∩KA 6= ∅, entoncesm(Un ∩KA) > 0. En efecto, en caso contrario cambiamos KA por

KA \⋃Un | m(Un ∩KA) = 0.

Para cada par de funciones f, g : ω −→ Pω, escribiremos f ⊂∗ g pararepresentar que

∨

k ∈ ω∧

n ≥ k f(n) ⊂ g(n).

Similarmente, si h ∈ N, usaremos la notacion h ∈∗ f para representar que∨

k ∈ ω∧

n ≥ k h(n) ∈ f(n).

Llamemos L = h ∈ (Pfω)ω |∧

n ∈ ω |h(n)| ≤ 2n.

Teorema 3.33 Existen funciones φ1 : N −→ Im y φ∗1 : Im −→ L tales que,para todo x ∈ N y todo A ∈ Im, se cumple

φ1(x) ⊂ A→ x ∈∗ φ∗1(A).

Demostracion: Para cada A ∈ Im y k, n ∈ ω, definimos

F (A, k, n) = m ∈ ω | Uk ∩KA 6= ∅ ∧ Uk ∩KA ∩Gnm = ∅.

Si Uk ∩KA 6= ∅, como

0 < m(Uk ∩KA) ≤ m(

⋂

m∈F (A,k,n)

(C \Gnm))

y los conjuntos C \Gnm son independientes, el conjunto F (A, k, n) tiene que serfinito. Ademas

Uk ∩KA ∩⋃Gnm | n ∈ ω ∧ m ∈ F (A, k, n) = ∅,

luego

m(Uk ∩KA) ≤ m(⋂C \Gnm | n ∈ ω ∧ m ∈ F (A, k, n)

)

= lımN

∏

n≤N

(1 − 2−n)|F (A,k,n)|.

Si llamamos L > 0 al lımite, tomando logaritmos vemos que

−∑

n∈ω|F (A, k, n)| log(1 − 2−n) = − logL

90 Capıtulo 3. Consecuencias del axioma de eleccion

y, usando que8 x ≤ − log(1 − x), concluimos que la serie∑

n∈ω|F (A, k, n)|2−n es

convergente, luego su termino general tiende a 0.Sea N(A, k) el menor natural tal que, para todo n ≥ N(A, k) se cumple que

|F (A, k, n)|2−n ≤ 2−k−1. Hasta aquı hemos supuesto que Uk∩KA 6= ∅, pero encaso contrario F (A, k, n) = ∅ y se cumple la ultima propiedad con N(A, k) = 0.

Ahora ya podemos definir φ∗1(A) = h, donde

h(n) =⋃F (A, k, n) | k ∈ ω ∧ n ≥ N(A, k).

Como |h(n)| ≤∑

k∈ω

2n · 2−k−1 = 2n, se cumple que h ∈ L.

Por otra parte, si x ∈ N, definimos

φ1(x) =⋂

k∈ω

⋃

n≥k

Gn,x(n).

Como, para todo k, se cumple que

m(φ1(x)) ≤ m(⋃

n≥k

Gn,x(n)

)

≤ 2−k−1,

concluimos que φ1(x) ∈ Im.

Veamos que estas funciones cumplen lo requerido. Si φ1(x) ⊂ A, entonces⋂

k∈ω

⋃

n≥k

Gn,x(n) ∩ KA = ∅. Aplicamos el teorema de Baire a KA (que es un

espacio polaco), el cual nos da que existe un k0 tal que⋃

n≥k0

Gn,x(n) ∩ KA no

es denso en KA (si todos lo fueran tendrıamos una interseccion numerable deabiertos densos que, en lugar de densa, serıa vacıa). Por lo tanto, existira un k1tal que Uk1 ∩KA 6= ∅, pero

⋃

n≥k0

Gn,x(n) ∩KA ∩ Uk1 = ∅.

Ası para todo n ≥ k0, n ≥ N(A, k1), se cumple KA ∪ Uk1 ∩Gn,x(n) = ∅, luegox(n) ∈ F (A, k1, n) ⊂ h(n). Esto significa que x ∈∗ φ∗1(A).

Teorema 3.34 Existen funciones φ2 : Ic −→ N, φ∗2 : L −→ Ic tales que, paratodo B ∈ Ic y todo h ∈ L, se cumple

φ2(B) ∈∗ h→ B ⊂ φ∗2(h).

Demostracion: Por el teorema 3.32 podemos tomar familias Vn,kk∈ω desubconjuntos abiertos de Un tales que todo abierto denso contiene un Vn,k y siX ∈ [ω]≤2n entonces

⋂

k∈X

Vn,k 6= ∅.

Si B ∈ Ic existe una sucesion Hnn∈ω de cerrados de interior vacıo talesque B ⊂

⋃

n∈ωHn. Podemos suponer que Hn ⊂ Hn+1 para todo n. Definimos

8Por ejemplo, basta ver que la derivada de x+ log(1 − x) tiene el mismo signo que x, porlo que la funcion tiene su maximo en 0.

3.3. Cardinales caracterısticos 91

φ2(B) = x, donde x(n) es el menor natural tal que Hn ∩ Vn,x(n) = ∅ (existe,porque C \Hn es abierto denso). Para cada h ∈ L, definimos

φ∗2(h) = C \⋂

n∈ω

⋃

m≥n

⋂

k∈h(m)

Vm,k.

Como⋂

k∈h(m)

Vm,k ⊂ Um es un abierto no vacıo, la union para m ≥ n es un

abierto denso, luego φ∗2(h) ∈ Ic.

Supongamos ahora que x = φ2(B) ∈∗ h. Entonces existe un n0 tal que, paran ≥ n0, se cumple que x(n) ∈ h(n). Por lo tanto,

⋃

m≥n

⋂

k∈h(m)

Vm,k ⊂⋃

m≥n

Vm,x(m),

y el conjunto de la derecha no corta a Hn, luego B ⊂⋃

n≥n0

Hn ⊂ φ∗2(h).

Los dos teoremas anteriores nos dan aplicaciones φ = φ2 φ1 : Ic −→ Im yφ∗ = φ∗1 φ∗2 : Im −→ Ic que claramente constituyen una conexion de Tukey(Ic,⊂) (Im,⊂), pues si tomaos B ∈ Ic, A ∈ Im tales que φ1(φ2(B)) ⊂ A,entonces φ2(B) ∈∗ φ∗1(A), luego B ⊂ φ∗2(φ

∗1(A)). Por consiguiente:

Teorema 3.35 ad(Im) ≤ ad(Ic) y cf(Ic) ≤ cf(Im).

Con esto tenemos probadas todas las desigualdades del diagrama de Cichon.Seguidamente probamos un teorema que nos permitira demostrar algo ligera-mente mas fuerte.

Consideramos de nuevo en C la suma definida componente a componente,con la que tiene estructura de grupo. Sea D el subgrupo denso numerableformado por las sucesiones finalmente nulas. Sea Vnn∈ω una base numerablede entornos abiertos de 0, que podemos tomar decreciente y sea D = rnn∈ωuna enumeracion de D. Para cada x ∈ N, n ∈ ω y z ∈ C, definimos

Dnx =

⋃

m≥n

(rm + Vx(m)), Wx,z =⋃

m∈ω(C \ (z +Dm

x )).

Entonces cada Dnx es abierto denso, al igual que z +Dm

x , luego Wx,z ∈ Ic.

Teorema 3.36 Si H ⊂ C es union numerable de cerrados de interior vacıo yz /∈ H +D, existe un y ∈ N tal que, para todo x ∈ N, se cumple

y ≤∗ x→ H ⊂Wx,z.

Demostracion: Sea H =⋃

n∈ωHn, donde cada Hn es cerrado de interior

vacıo, y podemos suponer que la union es creciente. Como z + rn /∈ H , existey(n) ∈ ω tal que (z + rn + Vy(n)) ∩Hn = ∅. Supongamos ahora que y ≤∗ x ysupongamos que existe h ∈ H \Wx,z. Entonces existe un n0 tal que, para todon ≥ n0, se cumple y(n) ≤ x(n) y h ∈ Hn. Por lo tanto h /∈ z + rn + Vy(n).

Por otra parte, h + z ∈ Dn0x . Esto significa que existe un n ≥ n0 tal que

h+ z ∈ rn + Vx(n) ⊂ rn + Vy(n), contradiccion.

92 Capıtulo 3. Consecuencias del axioma de eleccion

Teorema 3.37 ad(Ic) = mıncub(Ic), b y cf(Ic) = maxun(Ic), d.

Demostracion: Ya sabemos que ad(Ic) ≤ mıncub(Ic), b. Tomemosahora A ⊂ Ic tal que |A| < cub(Ic) y |A| < b, y tenemos que probar que⋃A ∈ Ic. No perdemos generalidad si suponemos que cada elemento de A es

union numerable de cerrados de interior vacıo. Podemos tomar

z ∈ C \⋃

H∈A

(H +D),

porque los conjuntos de la derecha estan en Ic y no pueden cubrir C (notemosque H +D =

⋃

n∈ω(H + rn)).

Por el teorema anterior, para cada H ∈ A existe yH ∈ N tal que, para todox ∈ N se cumple x ≤∗ yH → H ⊂ Wx,z. La condicion |A| < b implica queexiste un y ∈ N tal que yH ≤∗ y para todo H , luego

⋃A ⊂Wx,z ∈ Ic.

Similarmente, sabemos que cf(Ic) ≥ maxun(Ic), d, y tomamos A /∈ Ic talque |A| = un(Ic) y una familia dominante F ⊂ N tal que |F | = d. Si H ⊂ C esuna union numerable de cerrados de interior vacıo, entonces A 6⊂ H +D, luegoexiste un z ∈ A \ (H + D). Por el teorema anterior existe un x ∈ F tal queH ⊂ Wx,z . Esto prueba que la familia Wx,z | x ∈ F ∧ z ∈ A es una base deIc, luego cf(Ic) ≤ maxun(Ic), d.

Existen varios cardinales caracterısticos del continuo ademas de los que he-mos considerado aquı. Por ejemplo, en [PC 9.10] definimos el cardinal t comola menor longitud de una torre en Pω. Sobre el podemos afirmar:

Teorema 3.38 t ≤ ad(Ic).

Para probarlo demostramos primero:

Teorema 3.39 Si Dαα<κ es una sucesion casi decreciente de subconjuntosdensos de Q y κ < t, entonces existe D denso en Q tal que D ⊂∗ Dα para todoα < κ.

Demostracion: Sea rnn∈ω una enumeracion de Q. Sea I el conjuntode los intervalos abiertos en R con extremos racionales. Para cada I ∈ I, lasucesion I ∩ Dαα<κ es casi decreciente (y todos sus terminos son infinitos)pero al ser κ < t no puede ser una torre en PQ, luego existe un conjunto infinitoPI ⊂ Q ∩ I tal que PI ⊂

∗ I ∩Dα para todo α < κ. Llamemos xα(I) al mınimonatural n tal que

∧

m ≥ n(rm ∈ PI → rm ∈ I ∩Dα).

Como I es numerable y κ < t ≤ b, la sucesion xαα<κ esta acotada, es decir,existe y : I −→ ω tal que xα <∗ y para todo α < κ, en el sentido de quexα(I) < y(I) para todo I salvo un numero finito de casos. Definimos

D = rn |∨

I ∈ I(rn ∈ PI ∧ n > y(I)).

3.3. Cardinales caracterısticos 93

Claramente cumple lo requerido: dados dos numeros racionales, consideramosel intervalo I que forman, y basta tomar un rn ∈ PI con n > y(I), n > xα(I)para que se cumpla rn ∈ D ∩ I, luego D es denso en Q.

Por otra parte, dado α < κ, existe un numero finito de intervalos I0, . . . , Ikde modo que, para cualquier otro I, se cumple que xα(I) < y(I). Si rn ∈ D con

n > maxxα(I0), . . . , xα(Ik),

entonces existe un I tal que rn ∈ PI , n > y(I). Entonces n > xα(I), luegorn ∈ Dα, y esto prueba que D ⊂∗ Dα.

Demostracion (de 3.38): Sea κ < t. Tenemos que probar que la unionde κ conjuntos de Ic (en R) esta en Ic. Podemos sustituir cada uno de ellos poruna union numerable de cerrados de interior vacıo, y a su vez podemos sustituirla familia de conjuntos dada por la de dichos cerrados de interior vacıo (quetienen el mismo cardinal). Equivalentemente, basta probar que la interseccionde una familia Gαα<κ de abiertos densos en R es densa.

Para ello construimos una sucesion casi decreciente Dαα≤κ de abiertosdensos en Q. Partimos de D0 = Q, definimos Dα+1 = Dα ∩Gα y en los lımitesaplicamos el teorema anterior. Observemos que los conjuntosDα\Gα son finitos,pues Dκ \Gα ⊂ Dκ \Dα+1.

Definimos funciones xα : Dκ −→ ω de modo que xα(r) es el mınimo na-tural n > 0 tal que ]r − 1/n, r + 1/n[ ⊂ Gα si r ∈ Gα, y xα(r) = 0 en casocontrario. Como κ < b, existe y : Dκ −→ ω tal que xα <

∗ y para todo α < κ.Podemos suponer que y no toma el valor 0. Si s ⊂ Dκ es finito, entonces

Us =⋃

r∈Dκ\s

]r − 1/y(r), r + 1/y(r)[

es abierto denso en R y por el teorema de Baire U =⋂

s∈PfDκ

Us tambien es densoen R.

Si α < κ, entonces s = (Dκ \ (Gα ∪ r ∈ Q | y(r) < xα(r)) es finito yclaramente U ⊂ Us ⊂ Gα. Por lo tanto U ⊂

⋂

α<κGα, que es, por lo tanto,

denso.

Terminamos esta seccion con una propiedad adicional de ad(Im) y ad(Ic).Conviene introducir el concepto siguiente:

Definicion 3.40 Sea (X,B, µ) un espacio medida, es decir, que B es una σ-algebra de subconjuntos de X y µ : B −→ [0,+∞] es una medida en B. Si κes un cardinal infinito, diremos que la medida es κ-aditiva si cuando Uαα<β ,con β < κ, es una familia de elementos de B, se cumple que

⋃

α<β

Uα ∈ B (con

lo que B es un algebra κ-completa) y, si los conjuntos son disjuntos dos a dos,entonces

µ(⋃

α<β

Uα

)

=∑

α<β

µ(Uα).

La suma hay que entenderla en el sentido de [TC 7.44]. Es claro que todamedida es ℵ1-aditiva.

94 Capıtulo 3. Consecuencias del axioma de eleccion

Teorema 3.41 Si (X,B, µ) es un espacio medida de modo que µ sea σ-finita ysea κ es un cardinal infinito, entonces µ es κ-aditiva si y solo si κ ≤ ad(Iµ), esdecir, si y solo si la union de menos de κ conjuntos nulos es nula.

Demostracion: Supongamos que µ es κ-aditiva y sea Aαα<β, con β < κuna familia de conjuntos nulos en X . Sea

Bα = Aα \⋃

δ<α

Aδ.

Por la κ-aditividad, la union es medible, luego Bα tambien lo es, luego esnulo. Ademas los conjuntos Bα son disjuntos dos a dos y su union coincide conla de los Aα. Por la κ-aditividad la union es nula.

Supongamos ahora que la union de menos de κ conjuntos nulos es nula y seaAαα<β, con β < κ, una familia de conjuntos medibles tal que su union no seamedible. Podemos suponer que β es el menor cardinal para el que esto sucede.Ası, si definimos los conjuntos Bα igual que antes, tenemos que todos ellos sonmedibles, por la minimalidad de β, y disjuntos dos a dos, pero su union no esmedible.

Estamos suponiendo que µ es σ-finita, por lo que X =⋃

n<ωYn, donde los

conjuntos Yn son medibles de medida finita. Sea Bnα = Bα ∩ Yn. Ası,

∑

α<β

µ(Bnα) ≤ µ(Yn) < +∞.

Ahora bien, si una suma de una cantidad no numerable de numeros reales nonegativos es finita, todos sus sumandos salvo a lo sumo una cantidad numerablehan de ser nulos, pues en caso contrario habrıa una cantidad no numerable desumandos mayores o iguales que 1/n para cierto natural n, y entonces las sumasparciales finitas no estarıan acotadas.

Ası pues, en Bαα<β hay una cantidad numerable de terminos con medidapositiva, cuya union es medible porque B es una σ-algebra, y el resto son conjun-tos nulos, cuya union es medible por hipotesis, luego la union total es medible,contradiccion.

Con esto tenemos probado que la union de menos de κ conjuntos medibleses medible. Supongamos ahora que Bαα<β son medibles y disjuntos dos ados. Definimos Bnα como antes, de modo que entre ellos (para un n fijo) hay unacantidad numerable de conjuntos no nulos y el resto son nulos. Descomponemosla union de todos en la union de los nulos, que por hipotesis es nula, y la union delos restantes, cuya medida es la suma de las medidas. Concluimos obviamenteque la medida de toda la union es la suma de las medidas.

En particular, si µ es una medida de Borel continua en un espacio polaco,entonces ad(Im) es el mayor cardinal κ tal que µ es κ-aditiva. Para la categorıatenemos el teorema siguiente:

Teorema 3.42 Si X es un espacio polaco perfecto, la σ-algebra Ba(X) esad(Ic)-completa.

3.4. Extensiones de la medida de Lebesgue 95

Demostracion: Sea ξ el mayor cardinal tal que Ba(X) es ξ-completa. Estosignifica que existe una familia Bαα<ξ en Ba(X) cuya union no esta en Ba(X),pero no existe ninguna familia similar de longitud menor que ξ. En particularesto hace que los conjuntos B′

α = Bα\⋃

δ<α

Bδ esten en Ba(X) y tengan la misma

union. Equivalentemente, podemos suponer que los Bα son disjuntos dos a dos.Como Ic cumple la c.c.n. (por 2.38), existe un conjunto numerable T ⊂ ξ tal

que Bα ∈ Ic para todo α ∈ ξ \ T . Entonces⋃

α∈T

Bα ∈ Ba(X) (porque Ba(X) es

una σ-algebra, y si fuera ξ < ad(Ic) tambien tendrıamos que⋃

α∈ξ\T

Bα ∈ Ba(X),

con lo que toda la union estarıa en Ba(X), contradiccion. Ası pues, ad(Ic) ≤ ξ,lo que implica que Ba(X) es ad(Ic)-completa.

3.4 Extensiones de la medida de Lebesgue

Hemos probado (suponiendo AE) que existen subconjuntos de R no mediblesLebesgue, pero esto no excluye, en principio, la posibilidad de que la medida deLebesgue pueda extenderse a otra medida sobre una σ-algebra mayor, inclusosobre todo el conjunto PR. En esta seccion vamos a explorar dicha posibilidad.De las construcciones que hemos mostrado de conjuntos no medibles Lebesgue,la que mas claramente muestra una limitacion en este proposito es el ejemplode Vitali (teorema 3.1), cuya prueba se adapta facilmente al teorema siguiente:

Teorema 3.43 (AE) No existe ninguna medida µ : PR −→ R que cumpla:

a) Los puntos tienen medida nula.

b) 0 < µ([0, 1]) < +∞.

c) Es invariante por traslaciones.

Demostracion: Consideramos la relacion de equivalencia en [0, 1] dadapor xR y ↔ x − y ∈ Q. Sea X ⊂ [0, 1] un conjunto que contenga exactamenteun elemento de cada clase de equivalencia del cociente [0, 1]/R. Ası

[0, 1] ⊂⋃

r∈Q

(r +X) ⊂ [−1, 2] = (−1 + [0, 1]) ∪ [0, 1] ∪ (1 + [0, 1]),

luego 0 < µ([0, 1]) ≤∑

r∈Q

µ(X) ≤ µ([−1, 2]) = 3µ([0, 1]) < +∞, pero esto es

imposible, porque el sumatorio con µ(X) constante tiene que ser 0 o bien +∞.

Las propiedades a) y b) las tiene necesariamente cualquier medida µ queextienda a la medida de Lebesgue, luego concluimos que, si es posible extenderla medida de Lebesgue a todos los subconjuntos de R, no es posible hacerlo demodo que la extension siga siendo invariante por traslaciones.

Ahora conviene introducir la definicion siguiente:

96 Capıtulo 3. Consecuencias del axioma de eleccion

Definicion 3.44 Diremos que µ es una medida en un conjunto S si es unamedida en el algebra PS.

Observemos que una extension a PR de la medida de Lebesgue serıa unamedida en R continua, σ-finita y no atomica.

En efecto, la continuidad y la σ-finitud son inmediatas, y serıa no atomicaporque si A ⊂ R fuera un atomo, podrıamos dividir R en una union numerablede intervalos disjuntos de medida menor que µ(A), con lo que la interseccion deA con estos intervalos tendrıa que ser una particion de A en conjuntos nulos, locual es absurdo.

Ademas, la restriccion de esta medida a [0, 1] serıa una medida continua,unitaria y no atomica en [0, 1].

Vamos a usar varias veces el teorema siguiente, cuya prueba es trivial:

Teorema 3.45 Sea µ una medida finita en un conjunto S y sea f : S −→ T .Entonces la aplicacion σ : PT −→ [0, 1] dada por

σ(Z) =µ(f−1[Z])

µ(S)

es una medida unitaria en T . Ademas, si κ es un cardinal infinito, σ es κ-aditivasi y solo si lo es µ.

El teorema siguiente prueba que la medida de Lebesgue es en realidad irre-levante en este asunto:

Teorema 3.46 Si existe una medida unitaria, continua y no atomica en unconjunto S, entonces existe una medida en R que extiende a la medida de Le-besgue. Si κ es un cardinal infinito, esta medida sera κ-aditiva si lo es la dada.

Demostracion: Sea µ : PS −→ [0, 1] una medida en las condiciones delenunciado. Definimos x : 2<ω −→ PS de modo que x∅ = S y si u ∈ 2<ω,entonces xu,0, xu,1 es una particion de xu en dos conjuntos de igual medida (locual es posible por el teorema 2.17). Ası, si u ∈ n2, tenemos que µ(xu) = 1/2n.

Para cada u ∈ C sea xu =⋂

n<ωxu|n . Es claro que xuu∈2ω es una particion

de S en conjuntos nulos.

Sea m : PC −→ [0, 1] la funcion dada por m(Z) = µ( ⋃

u∈Z

xu). Es inmediato

comprobar que m es una medida continua unitaria κ-aditiva en 2ω tal que sis ∈ n2, entonces m(Bs) = µ(

⋃

u∈Bs

xu) = µ(xs) = 1/2n.

Esto implica que m extiende a la medida de Cantor en C. El teorema 2.27(o, mas explıcitamente, la nota tras la definicion 2.33) nos da un isomorfismode Borel f : C −→ I que hace corresponder m con la medida de Lebesgue, luegola medida en I dada por el teorema anterior extiende a la medida de Lebesgue(y sigue siendo κ-aditiva).

Llamaremos m0 a la medida en I que hemos obtenido. Para cada k ∈ Z,sea mk : P[k, k + 1] −→ [0, 1] la aplicacion dada por mk(X) = m0(X − k). Por

3.4. Extensiones de la medida de Lebesgue 97

el teorema anterior mk es una medida continua unitaria κ-aditiva en [k, k + 1].Sea m : PR −→ [0,+∞] la aplicacion dada por

m(X) =∑

k∈Z

mk(X ∩ [m,m+ 1]).

Una simple comprobacion rutinaria muestra que m es una medida σ-finitacontinua y κ-aditiva en R que extiende a la medida de Lebesgue en cada intervalo[k, k + 1], y de ahı se sigue facilmente que extiende a la medida de Lebesgue entodo R.

Nota Observemos que el recıproco del teorema anterior es trivial: si existeuna extension de la medida de Lebesgue, su restriccion a PI es una medida enS = I en las condiciones del teorema. Mas aun, usando el teorema 2.27 es facilver que la posibilidad de extender una medida de Borel continua unitaria enun espacio polaco X a toda el algebra PX implica la posibilidad de extendercualquiera de ellas, y esto se generaliza a su vez a medidas de Borel continuasarbitrarias (σ-finitas).

De este modo hemos reducido la existencia de una extension de la medidade Lebesgue (o de cualquier medida razonable) a todos los subconjuntos delespacio sobre el que esta definida a la existencia de cualquier medida unitaria,continua y no atomica en cualquier conjunto S.

Nota Conviene observar que sı que es posible definir medidas triviales encualquier algebra PX , aunque ninguna de ellas es especialmente interesante.Por ejemplo:

a) µ(A) =

1 si x0 ∈ A,0 si x0 /∈ A,

(para un x0 ∈ X prefijado),

b) µ(A) =

|A| si A es finito,+∞ si A es infinito,

c) µ(A) =

0 si A es numerable,+∞ si A es no numerable,

Las dos ultimas, cuando X = R, son incluso invariantes por traslaciones.

Respecto a la existencia de medidas unitarias, continuas y no atomicas,conviene observar lo siguiente:

Teorema 3.47 Si ν es el menor cardinal sobre el que existe una medida conti-nua unitaria κ-aditiva, entonces dicha medida es ν-aditiva.

Demostracion: Sea µ la medida del enunciado. Si no fuera ν-aditiva, porel teorema 3.41 existen conjuntos nulos Xδδ<α, con α < ν cuya union X tienemedida positiva. Podemos suponerlos disjuntos dos a dos.

98 Capıtulo 3. Consecuencias del axioma de eleccion

Sea f : X −→ α dada por f(x) = δ ↔ x ∈ Xδ. Es claro que la restriccionde µ a PX es una medida finita continua κ-aditiva en X . Por 3.45 tenemosque existe una medida unitaria κ-aditiva σ : Pα −→ [0, 1], que claramente escontinua, pues si δ ∈ α entonces σ(δ) = µ(f−1[δ]) = µ(Xδ) = 0. Estocontradice la minimalidad de ν.

Definicion 3.48 Una medida fuerte en un cardinal κ es una medida unitaria,continua y κ-aditiva sobre κ. Un cardinal κ es R-medible si existe una medidafuerte sobre κ.

Notemos que en la definicion de medida fuerte no hemos exigido que esta seano atomica. Ello se debe a que el caracter atomico o no atomico de una medidafuerte en un cardinal κ depende unicamente del tamano de κ:

Teorema 3.49 (Ulam) Si κ es un cardinal R-medible, entonces se da uno delos dos casos siguientes:

a) Si κ > 2ℵ0 , entonces κ es un cardinal medible y todas las medidas fuertesen κ son atomicas.

b) κ ≤ 2ℵ0 , entonces es debilmente inaccesible y todas las medidas fuertes enκ son no atomicas.

Demostracion: Notemos en primer lugar que todo cardinal R-medible esregular. En efecto, fijada una medida fuerte en κ, si este se descompusiera enmenos de κ conjuntos de cardinal menor que κ, cada uno de ellos serıa nulo(pues se expresa como union de menos de κ conjuntos puntuales, todos ellosnulos), luego κ tendrıa medida cero, de nuevo por la κ-aditividad.

Si κ tiene una medida fuerte no atomica, la prueba del teorema 3.46 muestraque κ se descompone en 2ℵ0 conjuntos nulos, luego la medida no puede ser(2ℵ0)+-aditiva. Como sı que es κ-aditiva, ha de ser κ ≤ 2ℵ0 .

Supongamos ahora que κ tiene una medida fuerte atomica µ. Sea A ⊂ κ unatomo. Definimos σ : Pκ −→ 0, 1 mediante

σ(X) =

1 si µ(A ∩X) = µ(A),0 si µ(A ∩X) = 0.

Es claro que σ es tambien una medida fuerte en κ, una medida bivaluada.Esto implica inmediatamente que el ideal Iσ de conjuntos nulos (que es κ-completo por la κ-aditividad) es un ideal primo, pues es imposible que unconjunto y su complementario tengan ambos medida 1. Por consiguiente, sufiltro dual U es una medida en κ en el sentido de [CG 5.1], luego κ es un car-dinal medible, y esto implica en particular que es fuertemente inaccesible. Masen particular, κ > 2ℵ0 .

Con esto tenemos probado todo el teorema excepto el hecho de que loscardinales R-medibles ≤ 2ℵ0 son debilmente inaccesibles. De hecho solo nosfalta probar que son cardinales lımite. Supongamos, pues que κ = ν+ y sea µuna medida fuerte en κ.

3.5. Medidas finitamente aditivas 99

Para cada α < κ sea fα : ν −→ α suprayectiva y, para β < κ, γ < ν, sea

Aβγ = α < κ | fα(γ) = β.

Si β < κ, entonces para cada α ≥ β existe un γ < ν tal que fα(γ) = β, luegoα ∈ Aβγ , con lo que

κ \⋃

γ<νAβγ ⊂ β.

Ası,∣∣∣κ \

⋃

γ<νAβγ

∣∣∣ ≤ ν, luego µ

(

κ \⋃

γ<νAβγ

)

= 0, luego µ(⋃

γ<νAβγ

)

> 0.

Concluimos que para cada β < κ existe un γβ < ν tal que µ(Aβγβ ) > 0.Ha de existir un conjunto W ⊂ κ de cardinal κ y un γ < ν de modo que∧

β ∈ W γβ = γ. De este modo, Aβγ | β ∈ W es una familia no numerablede subconjuntos de κ disjuntos dos a dos y con medida positiva, pero esto esimposible, pues el ideal de los conjuntos nulos cumple la condicion de cadenanumerable.

Ahora es inmediato el teorema siguiente:

Teorema 3.50 Existe una extension de la medida de Lebesgue a PR si y solosi existe un cardinal R-medible κ ≤ 2ℵ0 .

Como no es posible probar en ZFC la existencia de cardinales debilmenteinaccesibles, concluimos que tampoco es posible demostrar que existan exten-siones de la medida de Lebesgue a PR. En particular, la hipotesis del continuo(o variantes, como 2ℵ0 = ℵ17) implican que no existen tales extensiones.

Como siempre, es claro que todo lo dicho vale en realidad para cualquiermedida de Borel continua en cualquier espacio polaco.

Si µ es una medida fuerte en un cardinal R-medible κ, entonces el ideal Iµes κ-completo, ℵ1-saturado y no principal, luego es una medida debil en κ, enel sentido de [CG 6.1], y el teorema [CG 6.15] prueba que la consistencia deque exista un cardinal debilmente medible implica la de que exista un cardinalmedible. Por lo tanto, la consistencia de que existan extensiones a PR de lamedida de Lebesgue no puede demostrase sin suponer al menos la consistenciade que existan cardinales medibles. En 14.9 veremos que la consistencia de queexistan cardinales medibles es, de hecho, suficiente.

3.5 Medidas finitamente aditivas

Finalmente vamos a probar que todos los impedimentos que hemos encon-trado en la seccion anterior para extender medidas a todos los subconjuntosde un conjunto dado desaparecen si nos conformamos con que la extension seafinitamente aditiva. Ello es consecuencia de un resultado muy general:

Definicion 3.51 Un subanillo de un algebra de Boole B es un conjunto A ⊂ Btal que O ∈ A y cuando p, q ∈ A tambien p ∨ q, p ∧ q′ ∈ A. Esto implica quetambien p ∧ q = p ∧ (p ∧ q′)′ ∈ A.

100 Capıtulo 3. Consecuencias del axioma de eleccion

Una aplicacion µ : A −→ [0,+∞] en un anillo es una medida finitamenteaditiva si cumple que µ(O) = 0 y

∧

pq ∈ A(p ∧ q = O → µ(p ∨ q) = µ(p) + µ(q)).

Teorema 3.52 (TU) Si A es un subanillo de un algebra de Boole B, entoncestoda medida finitamente aditiva en A se extiende a una medida finitamenteaditiva en B.

Demostracion: Demostramos primero el teorema en el caso en que elalgebra B es finita, en cuyo caso es isomorfa a un algebra de la forma PX yvamos a razonar por induccion sobre |X | (excluimos el caso en que X = ∅

porque no consideramos algebras degeneradas, pero lo cierto es que en ese casoel resultado se cumple trivialmente). Si |X | = 1 entonces B = ∅, X y elresultado es trivial.

Supongamos que el resultado es cierto para algebras de conjuntos de menosde n elementos, y sea B = PX con |X | = n. Si A = ∅ basta tomar comoextension de µ la medida nula. En caso contrario sea A ∈ A\∅ minimal parala inclusion. Sea C = X \A. Por hipotesis de induccion, el algebra PC cumpleel teorema.

Es claro que AC = C ∩ A es un subanillo de PC en el que esta definida lamedida finitamente aditiva µ|AC

. Por hipotesis de induccion se extiende a unamedida µC : PC −→ [0,+∞].

Fijamos a0 ∈ A y, para cada x ∈ X , definimos

µ(x) =

µC(x) si x ∈ C,µ(A) si x = a0,0 si x ∈ A, pero x 6= a0.

Para cada B ∈ B definimos µ(B) =∑

x∈B

µ(x). Claramente µ es una medida

en B que extiende a µC . Falta probar que extiende a µ. Si U ∈ A, entonces,por la minimalidad de A, se cumple que U ∩A = ∅ o bien A ⊂ U . En el primercaso U ∈ PC y µ(U) = µC(U) = µ(U). En el segundo caso

µ(U) = µ(A) + µ(U \A) = µ(a0) + µC(U \A) = µ(A) + µ(U \A) = µ(U).

Esto termina la prueba para el caso de algebras finitas. En el caso en queB es un algebra arbitraria consideramos el producto de espacios de Hausdorffcompactos X = [0,+∞]B, que es compacto por TU. Para cada subalgebra finitaC ⊂ B consideramos el conjunto

C(C) = ν ∈ X | ν|C es una medida f.a. que extiende a µ|A∩C.

Observemos que es cerrado, pues si ν ∈ X \C(C), o bien ν|C no es una medidafinitamente aditiva, o que no extiende a µ|A∩C. En el segundo caso, esto significaque existe un p ∈ A ∩ C tal que ν(p) 6= µ(p). Entonces el conjunto

A = ν ∈ X | ν(p) ∈ [0,+∞] \ µ(p)

es abierto en X y ν ∈ A ⊂ X \ C(C), pues toda medida ν ∈ A cumple queν(p) 6= µ(p).

3.5. Medidas finitamente aditivas 101

Si el problema es que ν|C no es una medida finitamente aditiva, esto puededeberse a que ν(O) 6= 0 (en cuyo caso no extiende a µ|A∩C, luego ya hemostratado esta posibilidad) o bien existen p, q ∈ C tales que p ∧ q = O peroν(p ∨ q) 6= ν(p) + ν(q).

Por la propiedad de Hausdorff existen abiertos disjuntos V1, V2 en [0,+∞]tales que ν(p ∨ q) ∈ V1, ν(p) + ν(q) ∈ V2. Por la continuidad de la sumaf : [0,+∞]×[0,+∞] −→ [0,+∞] existe un entorno de (ν(p), ν(q)), que podemostomar de la forma U1 × U2, tal que (ν(p), ν(q)) ∈ U1 × U2 ⊂ f−1[V2].

El conjunto A = ν ∈ X | ν(p) ∈ U1 ∧ ν(q) ∈ U2 ∧ ν(p ∨ q) ∈ V1 esun abierto basico en el producto X y se cumple que ν ∈ A ⊂ X \ C(C), puescualquier ν ∈ A cumple que ν(p ∨ q) 6= ν(p) + ν(q).

En ambos casos hemos llegado a que X \ C(C) es entorno de ν, luego esabierto y C(C) es cerrado. Ademas es no vacıo por la parte ya probada, puestoque µ|A∩C admite una extension a C que a su vez puede extenderse a C(C) sinmas que darle el valor 0 fuera de C.

La familia de cerrados C(C), cuando C recorre las subalgebras finitas de B,tiene la propiedad de la interseccion finita, pues si C1, . . . ,Cn son subalgebrasfinitas de B, la subalgebra C generada por todas ellas es finita, por [TC 10.5], yclaramente C(C) ⊂ C(C1) ∩ · · · ∩ C(Cn). Por la compacidad de X concluimosque existe µ ∈

⋂

C

C(C), donde C recorre las subalgebras finitas de B, y dicha µ

es la extension buscada.

Por ejemplo, para probar que es una medida finitamente aditiva tomamos p,q ∈ B tales que p ∧ q = O y consideramos el algebra C generada por p y q, quees finita. Como µ ∈ C(C), resulta que µ|C es una medida finitamente aditiva,luego µ(p ∨ q) = µ(p) + µ(q). Igualmente se comprueba que µ(O) = 0.

Ası pues, la medida de Lebesgue en Rn se extiende a una medida finitamenteaditiva en PRn. Pero vamos a demostrar mas todavıa, y es que la extensionpuede tomarse invariante por traslaciones. Para ello necesitamos definir la in-tegral asociada a una medida finitamente aditiva, aunque la construccion sesimplifica si consideramos medidas definidas en algebras de la forma PX .

Definicion 3.53 Sea X un conjunto y sea B(X) el conjunto de todas las fun-ciones f : X −→ R acotadas, es decir, tales que existe un M > 0 de modo quef [X ] ⊂ [−M,M ]. Podemos considerar a B(X) como anillo con la suma dadapor (f + g)(x) = f(x) + g(x) y el producto dado por (fg)(x) = f(x)g(x). Asu vez, R se identifica con un subcuerpo de B(X) sin mas que identificar cadanumero real α con la funcion que toma constantemente el valor α.

Consideramos en B(X) la relacion de orden parcial dada por

f ≤ g ↔∧

x ∈ X f(x) ≤ g(x).

Una funcion simple es una funcion f ∈ B(X) que toma un numero finito devalores.

102 Capıtulo 3. Consecuencias del axioma de eleccion

Si llamamos α1, . . . , αn a los valores no nulos que toma f y Xi = f−1[αi],

entonces f =n∑

i=1

αiχXi, donde χ

Xia la funcion caracterıstica de Xi, es decir, la

funcion dada por

χXi(x) =

1 si x ∈ Xi,0 si x /∈ Xi.

y la expresion es unica si exigimos que los conjuntos Xi sean disjuntos y los αidistintos dos a dos. Recıprocamente, toda funcion de esta forma es simple.

Definicion 3.54 Sea X un conjunto y µ una medida unitaria y finitamente

aditiva en PX . Para cada funcion simple s =n∑

i=1

αiχXi, definimos su integral

respecto de µ como ∫

s dµ =n∑

i=1

αiµ(Xi).

Teorema 3.55 Sea X un conjunto, µ una medida unitaria y finitamente aditivaen PX, sean s, t funciones simples y α, β ∈ R. Entonces

∫

(αf + βg) dµ = α

∫

f dµ+ β

∫

g dµ.

Demostracion: Sean s =n∑

i=1

αiχXi, t =

m∑

j=1

βjχYj. Llamamos Xij =

Xi ∩ Yj y completamos estos conjuntos con

Xi0 = Xi \m⋃

j=1

Yj , X0j = Yj \n⋃

i=1

Xi, X00 = ∅

Ası, conviniendo ademas en que α0 = β0 = 0:

αs+ βt =n∑

i=0

m∑

j=0

ααiχXij+

m∑

j=0

n∑

i=0

ββjχXij=

∑

ij

(ααi + ββj)χXij,

luego

∫

(αs+ βt) dµ =∑

i,j

(ααi + ββj)µ(Xij) = α∑

i,j

αiµ(Xij) + β∑

i,j

βjµ(Xij)

= αn∑

i=1

αim∑

j=0

µ(Xij) + βm∑

j=1

βjn∑

i=0

µ(Xij) = αn∑

i=1

αiµ(Xi) + βm∑

j=1

βjµ(Yj)

= α

∫

s dµ+ β

∫

t dµ.

Observemos que si una funcion simple cumple s ≥ 0, entonces, por la propiadefinicion de integral tenemos que

∫s dµ ≥ 0, luego si s ≤ t, entonces t− s ≥ 0

(y es una funcion simple, porque toma un numero finito de valores), luego∫t dµ−

∫s dµ ≥ 0, luego

∫s dµ ≤

∫t dµ.

3.5. Medidas finitamente aditivas 103

Definicion 3.56 Sea X un conjunto y µ una medida unitaria y finitamenteaditiva en PX . Si f ∈ B(X), definimos

∫

f dµ = sup

∫

s dµ | s ∈ B(X) ∧ s es una funcion simple ∧ s ≤ f.

Notemos que, como f esta acotada, digamos −M ≤ f ≤ M , siempre existeuna funcion simple Mχ

X≤ f .

La observacion previa a la definicion implica que si f es simple esta integralcoincide con la que ya tenıamos definida.

Teorema 3.57 Si f ∈ B(X) y ǫ > 0, existe una funcion simple s ≤ f tal quef − s ≤ ǫ.

Demostracion: Pongamos que f [X ] ⊂ [a, b[ y consideremos un numeronatural N tal que (b− a)/N < ǫ. Entonces los conjuntos

Yn =

[

a+n(b− a)

N, a+

(n+ 1)(b− a)

N

[

,

para n < N forman una particion de [a, b[, luego los conjuntos Xn = f−1[Yn]forman una particion de X y la funcion

s =∑

n<N

(

a+ n(b−a)N

)

χXn

cumple lo pedido.

Observemos que, en las condiciones del teorema y de la definicion anterior,∫

f dµ−

∫

s dµ ≤ ǫ.

En efecto, si u ≤ f es una funcion simple, entonces u− s ≤ f − s ≤ ǫ, luego∫

u dµ−

∫

s dµ ≤

∫

u− s dµ ≤

∫

ǫ dµ = ǫ,

luego∫u dµ ≤

∫s dµ+ ǫ y, tomando supremos

∫f dµ ≤

∫s dµ+ ǫ.

Teorema 3.58 En las condiciones de la definicion 3.56, si f , g ∈ B(X), en-tonces ∫

(f + g) dµ =

∫

f dµ+

∫

g dµ.

Demostracion: Dado ǫ > 0, sean s ≤ f , t ≤ g funciones simples tales quef − s ≤ ǫ/4, f − g ≤ ǫ/4, de donde a su vez (f + g) − (s + t) ≤ ǫ/2. Por laobservacion precedente al teorema

∣∣∣∣

∫

f + g dµ−

∫

f dµ−

∫

g dµ

∣∣∣∣≤

∣∣∣∣

∫

f + g dµ−

∫

s+ t dµ

∣∣∣∣

+

∣∣∣∣

∫

f dµ−

∫

s dµ

∣∣∣∣+

∣∣∣∣

∫

g dµ−

∫

t dµ

∣∣∣∣≤ǫ

2+ǫ

4+ǫ

4= ǫ.

104 Capıtulo 3. Consecuencias del axioma de eleccion

Como esto vale para todo ǫ > 0, tiene que darse la igualdad del enunciado.Estas son las unicas propiedades que vamos a necesitar de la integral que hemosconstruido:

Teorema 3.59 Sea X un conjunto, µ una medida unitaria finitamente aditivaen PX, f , g ∈ B(X) y α, β ∈ R. Entonces

a)

∫

(αf + βg) dµ = α

∫

f dµ+ β

∫

g dµ.

b) Si f ≥ 0 entonces

∫

f dµ ≥ 0.

c)

∫

χXdµ = 1.

Demostracion: Observemos en primer lugar que si f ≤ g, entonces todas ≤ f simple cumple s ≤ g, luego

∫s dµ ≤

∫g dµ, luego

∫f dµ ≤

∫g dµ.

a) Por el teorema anterior, basta probar que∫

αf dµ = α

∫

f dµ.

Vamos a suponer que α < 0, pues el caso α > 0 es mas sencillo. Si s ≤ fes una funcion simple, entonces αs ≥ αf , luego, por la monotonıa que hemosprobado al principio de la prueba α

∫s dµ =

∫αs dµ ≥

∫αf dµ, luego

∫

s dµ ≤1

α

∫

αf dµ,

y esto vale para toda s ≤ f simple, luego∫

f dµ ≤1

α

∫

αf dµ,

luego α∫f dµ ≥

∫αf dµ. Ahora, si s ≤ αf es una funcion simple, entonces

(1/α)s ≥ f , luego

1

α

∫

s dµ ≥

∫

f dµ, luego

∫

s dµ ≤ α

∫

f dµ,

y esto para todo s ≤ αf simple, luego∫αf dµ ≤ α

∫f dµ.

b) Como 0 = χ∅es una funcion simple, si f ≥ 0, por la propia definicion de

integral 0 =∫χ∅dµ ≤

∫f dµ.

c) Por definicion de integral de una funcion simple∫χXdµ = µ(X) = 1.

Sabemos que la medida de Lebesgue en Rn es invariante por isometrıas.Ahora vamos a estudiar si las extensiones proporcionadas por el teorema 3.52pueden tomarse invariantes por traslaciones, o por isometrıas en general. Paraello introducimos un concepto general de invarianza de medidas:

3.5. Medidas finitamente aditivas 105

Definicion 3.60 Si B es un algebra de Boole, llamaremos Aut(B) al grupo delos automorfismos de B con el producto dado por la composicion.

Una accion de un grupo G en un algebra de Boole B es un homomorfismode grupos a : G −→ Aut(G).

En la practica, cuando estemos considerando un grupo G con una accion deG en B diremos simplemente que G actua sobre B y, para cada σ ∈ G y cadab ∈ B representaremos a(σ)(b) como bσ. Claramente se cumple:

a)∧

b ∈ B b1 = b.

b)∧

b ∈ B∧

στ ∈ G b(στ) = (bσ)τ .

Y a estas propiedades hay que anadir todas las que se deducen del hecho de queb 7→ bσ es un automorfismo de B, como que (b ∧ c)σ = bσ ∧ cσ, etc.

Si G actua sobre B y A es un subanillo de B en el que hay definida unamedida finitamente aditiva µ, diremos que A es G-invariante si

∧

a ∈ A∧

σ ∈ G aσ ∈ A.

Diremos que µ es G-invariante si ademas∧

a ∈ A∧

σ ∈ G µ(aσ) = µ(a).

Ejemplo Dado cualquier conjunto X , el conjunto ΣX de todas las biyeccio-nes f : X −→ X es un grupo con el producto dado por la composicion deaplicaciones. El grupo ΣX actua en el algebra PX mediante Aσ = σ[A].

Las isometrıas de Rn forman un subgrupo G de ΣRn , y el hecho de que lamedida de Lebesgue en Rn sea invariante por isometrıas se expresa en estosterminos como que la medida de Lebesgue es G-invariante.

Si la medida dada en el teorema 3.52 es G invariante para cierto grupo G,vamos a probar que una condicion suficiente para que admita una extension G-invariante es que la propia algebra PG admita una medida G-invariante respectode la accion de G en PG dada por A 7→ Ag. Especıficamente:

Definicion 3.61 Un grupo G es medible si existe una medida unitaria finita-mente aditiva µ : PG −→ [0, 1] que sea G-invariante por la derecha, es decir, talque para todo A ∈ PG se cumpla µ(Ag) = µ(A).

El teorema siguiente prueba que la invarianza de una medida se traduce auna propiedad de invarianza de la integral definida a partir de ella, y sera laultima propiedad de las integrales que tenemos que demostrar recurriendo a ladefinicion:

Teorema 3.62 Si G es un grupo y µ es una medida unitaria finitamente aditivaen PG que es G-invariante por la derecha, entonces, para toda f ∈ B(G) y todog ∈ G se cumple que ∫

fg dµ =

∫

f dµ,

donde fg(h) = f(hg−1).

106 Capıtulo 3. Consecuencias del axioma de eleccion

Demostracion: Veamoslo primero para funciones de la forma χA, con

A ∈ PG. Se comprueba inmediatamente que (χA)g = χ

Ag, luego

∫

(χA)g dµ = µ(Ag) = µ(A) =

∫

χAdµ.

Si s =n∑

i=1

αiχAies una funcion simple, entonces sg =

n∑

i=1

αi(χAi)g y el caso

probado para funciones caracterısticas implica inmediatamente el caso para fun-ciones simples.

Por ultimo, si s ≤ f , entonces sg ≤ fg, luego

∫

s dµ =

∫

sg dµ ≤

∫

fg dµ,

luego∫

f dµ ≤

∫

fg dµ.

Recıprocamente, si s ≤ fg, es claro que sg−1 ≤ (fg)g−1 = f , luego

∫

s dµ =

∫

sg−1 dµ ≤

∫

f dµ,

luego

∫

fg dµ ≤

∫

f dµ y tenemos la igualdad.

Una medida G-invariante por la derecha no tiene por que serlo por la iz-quierda, es decir, no tiene por que cumplir que µ(gA) = µ(A), pero a partir deella podemos obtener otra que sı que lo sea:

Teorema 3.63 Todo grupo medible admite una medida unitaria finitamenteaditiva invariante por la izquierda y por la derecha.

Demostracion: Sea µ una medida invariante por la derecha. Para cadaA ∈ PG, definimos fA ∈ B(G) mediante fA(g) = µ(gA−1) y ν(A) =

∫fA dµ.

Vamos a probar que ν es una medida invariante por la izquierda y por laderecha. Observemos que f∅ = 0 y que fG(g) = µ(gG−1) = µ(G) = 1, puesgG−1 = G, luego ν(∅) = 0 y ν(G) = 1.

Ademas, si A ∩B = ∅, tenemos que

fA∪B(g) = µ(gA−1 ∪ gB−1) = µ(gA−1) + µ(gB−1) = fA(g) + fB(g),

luego al integrar queda que ν(A ∪B) = ν(A) + ν(B).

Finalmente, fgA(h) = µ(hA−1g−1) = µ(hA−1) = fA(h), luego fgA = fA,mientras que fAg(h) = µ(hg−1A−1) = fA(hg

−1) = (fA)g(h), luego fAg = (fA)g,de donde al integrar queda ν(gA) = ν(A) y ν(Ag) = ν(A).

Ahora podemos refinar el teorema 3.52:

3.5. Medidas finitamente aditivas 107

Teorema 3.64 (TU) Si G es un grupo medible que actua sobre un algebra deBoole B y A es un subanillo G-invariante de un algebra de Boole B, entoncestoda medida finitamente aditiva y G-invariante en A se extiende a una medidafinitamente aditiva G-invariante en B.

Demostracion: Sea ν una medida unitaria G-invariante en PG y sea µuna medida G-invariante en A. Por el teorema 3.52 sabemos que µ se extiendea una medida µ en B.

Para cada b ∈ B, sea fb : G −→ [0,+∞] la funcion dada por fb(g) = µ(bg−1).Definimos µ∗ : B −→ [0,+∞] mediante

µ∗(b) =

∫

fb dν si fb ∈ B(G),

+∞ si fb /∈ B(G).

Vamos a probar que se trata de una medida finitamente aditiva G-invarianteque extiende a µ.

En primer lugar, fO(g) = µ(Og−1) = µ(O) = 0, luego µ∗(O) = 0. Sib ∧ c = O, entonces

fb∨c(g) = µ(bg−1 ∨ cg−1) = µ(bg−1) + µ(cg−1) = fb(g) + fc(g),

luego fb∨c = fb + fc. Si fb, fc ∈ B(G), entonces fb∨c ∈ B(G) e integrandoobtenemos que µ∗(b ∨ c) = µ∗(b) + µ∗(c). En caso contrario fb∨c /∈ B(G) y secumple la misma igualdad con ambos miembros infinitos. Esto prueba que µ∗

es una medida finitamente aditiva.

Si b ∈ A, entonces fb(g) = µ(bg−1) = µ(b), luego µ∗(b) =∫µ(b) dν = µ(b).

Falta probar que µ∗ es G-invariante. En efecto:

fbh(g) = µ(bhg−1) = fb(gh−1) = (fb)h(g),

luego fbh = (fb)h. Si fb ∈ B(G), tambien fbh ∈ B(G) y entonces

µ∗(bh) =

∫

fbh dν =

∫

(fb)h dν =

∫

fb dν = µ∗(b).

Si fb /∈ B(G) lo mismo vale para fbh, luego µ∗(bh) = +∞ = µ∗(b).

Ası pues, una condicion suficiente para que exista una extension de la medidade Lebesgue en Rn a una medida finitamente aditiva en PRn que sea invariantepor el grupo de las isometrıas de Rn (o por uno de sus subgruposG, por ejemplo,el de las traslaciones) es que dicho grupo G sea medible, ya que la medida deLebesgue es G-invariante. Veamos, pues, algunos resultados que nos permitanestudiar la medibilidad de un grupo dado. En el resto de la seccion necesitaremosalgunos conceptos y propiedades basicas de la teorıa de grupos.

Teorema 3.65 (TU) Sea G un grupo y F una familia de subgrupos tal queG =

⋃F y, para cada H1, H2 ∈ F, existe un H ∈ F tal que H1 ∪ H2 ∈ F. Si

todos los grupos de F son medibles, entonces G tambien lo es.

108 Capıtulo 3. Consecuencias del axioma de eleccion

Demostracion: Sea X = [0, 1]PG, que es un espacio topologico compacto.Para cada H ∈ F, sea

C(H) = µ ∈ X | µ es una medida unitaria finitamente aditiva

∧∧

A ∈ PG∧

h ∈ H µ(Ah) = µ(A).

Se cumple que C(H) 6= ∅, pues si ν : PH −→ [0, 1] es una medida unitariafinitamente aditiva y G-invariante por la derecha, entonces µ : PG −→ [0, 1]dada por µ(A) = ν(A ∩H) cumple que µ ∈ C(H).

La familia de conjuntos C(H) tiene la propiedad de la interseccion finita,pues si H1, . . . , Hn ∈ F, existe un H ∈ F tal que H1 ∪ · · · ∪Hn ⊂ H y

∅ 6= C(H) ⊂ C(H1) ∩ · · · ∩ C(Hn).

Un argumento similar al empleado en la prueba de 3.52 nos da que losconjuntos C(H) son cerrados, luego por compacidad existe µ ∈

⋂

H∈F

C(H).

Es obvio que µ es una medida unitaria finitamente aditiva en G que pruebaque G es medible.

Ahora ya podemos demostrar:

Teorema 3.66 (TU) Todo grupo abeliano es medible.

Demostracion: El teorema anterior reduce el problema al caso de gruposabelianos finitamente generados.9 Sea, pues, G = 〈X〉 un grupo abeliano conun generador finito X = g1, . . . , gn. Esto significa que

G = gk11 · · · gknn | k1, . . . , kn ∈ Z.

Basta probar que, para cada ǫ > 0, existe una medida unitaria finitamenteaditiva µǫ : PG −→ [0, 1] que es casi invariante, en el sentido de que, para todoA ∈ PG y cada i ∈ 1, . . . , n, se cumple que |µǫ(A)− µǫ(Agi)| < ǫ.

En efecto, si existen tales medidas, llamamos Cǫ ⊂ [0, 1]PG al conjuntode todas las medidas µǫ que cumplen las condiciones indicadas. Se compruebafacilmente que es cerrado y la familia de todos los conjuntos Cǫ tiene la propiedadde la interseccion finita, pues ǫ < ǫ′ → Cǫ ⊂ Cǫ′ . Por compacidad podemostomar µ ∈

⋂

ǫ>0Cǫ, que es una medida unitaria G-invariante en PG.

Para construir una medida µǫ tomamos un natural N tal que 2/N < ǫ y,para cada A ∈ PG, definimos

µǫ(A) =|(k1, . . . , kn) ∈ 1, . . . , Nn | gk11 · · · gknn ∈ A|

Nn.

9Los subgrupos de G de la forma 〈X〉 con X finito cumplen las condiciones de 3.65, pues〈X〉 ∪ 〈Y 〉 ⊂ 〈X ∪ Y 〉.

3.5. Medidas finitamente aditivas 109

Es inmediato que µǫ es una medida unitaria finitamente aditiva y

gk11 · · · gknn ∈ Agi ↔ gk11 · · · gki−1i · · · gknn ∈ A,

luego µǫ(Agi) y µǫ(A) se diferencian a lo sumo en

|(k1, . . . , kn) ∈ 1, . . . , Nn | ki = 1 ∨ ki = N|

Nn=

2Nn−1

Nn=

2

N< ǫ.

Por ejemplo, como el grupo T de las traslaciones de Rn es abeliano (esisomorfo a Rn) el teorema 3.64 aplicado a B = PRn, A la σ-algebra de lossubconjuntos medibles Lebesgue y µ : A −→ [0,+∞] la medida de Lebes-gue (que es T -invariante) nos da que existe una medida finitamente aditivam : PRn −→ [0,+∞] invariante por traslaciones que extiende a la medida deLebesgue.

No podemos razonar igualmente con el grupo de las isometrıas de Rn porqueno es abeliano, pero la clase de los grupos medibles incluye a una clase masamplia que la de los grupos abelianos:

Teorema 3.67 Se cumplen las propiedades siguientes:

a) Todo grupo finito es medible.

b) Todo subgrupo de un grupo medible bien ordenable es medible.

c) Todo cociente de un grupo medible es medible.

d) Si G es un grupo y N es un subgrupo normal tal que tanto N como G/Nson medibles, entonces G es medible.

e) (TU) Todo grupo resoluble es medible.

Demostracion: a) Si |G| = n basta definir µ(A) = |A|/n para tener unamedida unitaria finitamente aditiva y G-invariante en PG.

b) Sea H un subgrupo de un grupo medible G. Entonces gH | g ∈ G esuna descomposicion de G en conjuntos disjuntos dos a dos y podemos tomar unconjunto E que contenga un elemento de cada conjunto gH .

Si µ : PG −→ [0, 1] es una medida unitaria finitamente aditiva y G-invariantepor la derecha, definimos ν : PH −→ [0, 1] mediante ν(A) = µ(

⋃gA | g ∈ E).

Ası es claro que ν es una medida finitamente aditiva, unitaria, pues se cumpleque ν(H) = µ(G) = 1, y es H-invariante pues

ν(Ah) = µ(gA | g ∈ Gh) = µ(gA | g ∈ G) = ν(A).

c) Si N es un subgrupo normal en G y µ es como antes, definimos la me-dida finitamente aditiva ν : P(G/N) −→ [0, 1] mediante ν(A) = µ(

⋃A). Es

inmediato que cumple lo requerido.

110 Capıtulo 3. Consecuencias del axioma de eleccion

d) Suponemos que tenemos medidas µs : PN −→ [0, 1], µc : PG/N −→ [0, 1]para un subgrupo normal y su grupo cociente.

Para cada A ∈ PG definimos fA : G −→ R mediante fA(g) = µs(N ∩Ag−1).Ası, si Ng1 = Ng2 entonces fA(g1) = fA(g2), pues si g1g

−12 = n ∈ N , entonces

µs(N ∩ Ag−12 ) = µs(N ∩ Ag−1

1 n) = µs((N ∩ Ag−11 )n) = µs(N ∩Ag−1

1 ).

Por consiguiente, fA induce una aplicacion fA : G/N −→ R. Definimosµ(A) =

∫fA dµc. Veamos que se trata de una medida finitamente aditiva en PG.

Como fG vale siempre 1, vemos que µ(G) = 1. Si A,B ∈ PG son disjuntos, paratodo g ∈ G se cumple que Ag−1 ∩ Bg−1 = ∅, luego fA∪B(g) = fA(g) + fB(g),de donde se sigue a su vez que µ(A ∪B) = µ(A) + µ(B).

Por ultimo, fAg(h) = µs(N ∩Agh−1) = fA(hg−1) = (fA)g(h), luego

µ(Ag) =

∫

(fA)g dµc =

∫

fA dµc = µ(A).

Esto prueba que G es medible.

e) Recordemos que un grupo G es resoluble si existe una sucesion

1 = G0 E G1 E · · · E Gn = G

tal que todos los cocientes Gi/Gi−1 son abelianos. El apartado d) y el teoremaanterior permiten probar inductivamente que todos los Gi son medibles.

Sucede que el grupo de las isometrıas R y de R2 es resoluble (por completitudlo probamos en el apendice al final de este capıtulo), por lo que tenemos probadoel teorema siguiente:

Teorema 3.68 (TU) La medida de Lebesgue en Rn se extiende a una medidafinitamente aditiva en PRn invariante por traslaciones. Si n ≤ 2 puede tomarseinvariante por isometrıas.10

En cambio, para n ≥ 3 no existen extensiones finitamente aditivas de la me-dida de Lebesgue en Rn invariantes por isometrıas. En el caso n = 3 esto se siguede la conocida Paradoja de Banach-Tarski, que es generalizable a dimensionessuperiores. Una de sus formas es la siguiente:

Paradoja de Banach-Tarski (AE) Si A y B son subconjuntos de R3 aco-tados de interior no vacıo, existen descomposiciones A = A1 ∪ · · · ∪ An yB = B1 ∪ · · · ∪ Bn en conjuntos disjuntos dos a dos de modo que cada Aise transforma en Bi mediante una isometrıa.

Obviamente, en el caso en que A y B son medibles Lebesgue con medidasdistintas, es inmediato que alguno de los fragmentos Ai no puede ser medibleLebesgue ni, mas en general, medible respecto de ninguna medida finitamenteaditiva invariante por isometrıas que extienda a la medida de Lebesgue.

10En el caso n = 1 hay un argumento muy simple: si m es una medida finitamente aditivaen R invariante por traslaciones, entonces m(A) = (m(A) + m(−A))/2 es invariante porisometrıas (pues las isometrıas de R son de la forma x 7→ a± x).

3.6. Apendice: Las isometrıas de Rn 111

3.6 Apendice: Las isometrıas de Rn

Llamemos G al grupo de las isometrıas de Rn, es decir, las aplicacionesf : Rn −→ Rn de la forma f(x) = u+xA, donde u ∈ Rn y A es una matriz n×nortogonal, lo cual significa que AAt = I. El producto en G es la composicionde aplicaciones.

Llamamos O(n) al grupo de las matrices ortogonales n× n, de modo que laaplicacion φ : G −→ O(n) que a cada f le hace corresponder su matriz A es unepimorfismo de grupos, cuyo nucleo es el grupo G1 formado por las traslaciones(las isometrıas para las que A = I, es decir, las de la forma x 7→ u+ x.

Notemos que G1∼= Rn, pues un isomorfismo es el dado por f 7→ f(0). En

particular G1 es abeliano, y ademas G1 E G (por ser el nucleo de un homomor-fismo).

Tomando determinantes en AAt = I concluimos que toda matriz ortogonalcumple |A| = ±1, luego la aplicacion determinante det : O(n) −→ ±1 esun epimorfismo de grupos, cuyo nucleo es el subgrupo O+(n) formado por lasmatrices ortogonales de determinante 1.

Si llamamos G2 = φ−1[O+(n)], entonces tenemos la sucesion de subgrupos

1 = G0 E G1 E G2 E G3 = G,

donde G1/G0∼= Rn, G2/G1

∼= O+(n), G3/G2∼= C2. Ası pues, todos los

cocientes son abelianos salvo quiza O+(n).

Es trivial que O+(1) = 1, por lo que el grupo de isometrıas de R es resoluble.Por otra parte O+(2) esta formado por las matrices

A =

(a bc d

)

tales que ad−bc = 1 y AAt = I. Esto significa que los vectores (a, b) y (c, d) sonortogonales y de norma 1, pero solo hay dos vectores unitarios ortogonales a unodado (a, b), que son (c, d) = (±b,∓a). La condicion sobre el determinante noslleva a que (c, d) = (−b, a). Ademas, podemos expresar (a, b) = (cosα, senα),con lo que

A =

(cosα senα

− senα cosα

)

y la aplicacion α 7→ A es un epimorfismo de grupos R −→ O+(2), luego se tratade un grupo abeliano (el grupo de los giros alrededor del origen).

Segunda parte

Teorıa descriptiva deconjuntos en ZF + ED

113

Capıtulo IV

Conjuntos de Borel

Empezamos a estudiar ahora los conjuntos de Borel de un espacio polacodesde el punto de vista de la teorıa descriptiva de conjuntos. Hasta ahora he-mos manejado explıcitamente cuatro clases de conjuntos de Borel: los abiertos,los cerrados, los Gδ y los Fσ. Pero estas clases son solo las primeras de unajerarquıa transfinita que vamos a presentar seguidamente. Despues de estudiarlas propiedades de los conjuntos de esta jerarquıa presentaremos el analisis deLebesgue de las funciones de Baire.

4.1 La jerarquıa de Borel

Definicion 4.1 Si X es un espacio metrizable, definimos

Σ01(X) = A | A es abierto en X, Π0

1(X) = A | A es cerrado en X

y, para cada ordinal α > 1, definimos recurrentemente

Σ0α(X) =

⋃

n∈ωAn |

∧

n ∈ ω An ∈⋃

0<β<α

Π0β(X),

Π0α = X \A | A ∈ Σ0

α(X) = ⋂

n∈ωAn |

∧

n ∈ ω An ∈⋃

0<β<α

Σ0β(X).

Finalmente, para cada α > 0 definimos

∆0α(X) = Σ0

α(X) ∩Π0α(X).

Cuando no haya confusion posible escribiremos Σ0α,Π

0α,∆

0α, sin indicar

explıcitamente el espacio X .

En particular tenemos que ∆01 es la familia de los subconjuntos abiertos y

cerrados de X , Σ01 es la familia de los abiertos, Π0

1 la de los cerrados, Σ02 es la

familia de las uniones numerables de cerrados, es decir, los conjuntos Fσ, y Π02

es la familia de las intersecciones numerables de abiertos, es decir, los Gδ.

115

116 Capıtulo 4. Conjuntos de Borel

Teorema 4.2 Si X es un espacio metrizable, se dan las inclusiones siguientes:

⊂∆0

1⊂

Σ01 ⊂

Π01

⊂

∆02

⊂Σ0

2

⊂

Π02

⊂

∆03

⊂ Σ03

⊂

Π03

⊂∆0

4

⊂ . . .

⊂ . . .

⊂

. . .⊂

Es decir, si 0 < α < β, entonces Σ0α ∪Π0

α ⊂ ∆0β.

Demostracion: Empezamos observando que Π02 es la familia de las inter-

secciones numerables de abiertos, es decir, la familia de los conjuntos Gδ, por loque la inclusion Π0

1 ⊂ Π02 es el teorema 1.4. De esta se sigue inmediatamente

que Σ01 ⊂ Σ0

2.Ahora es inmediato que si 1 ≤ α ≤ β entonces Σ0

α ⊂ Σ0β . En efecto, si

β = 2 ya lo tenemos probado y, si β > 2, podemos suponer que α > 1, pues siprobamos que Σ0

2 ⊂ Σ0β tendremos tambien la inclusion para α = 1. Ası pues,

si 1 < α ≤ β y A ∈ Σ0α, entonces A es union numerable de elementos de

⋃

0<δ<α

Π0δ ⊂

⋃

0<δ<β

Π0δ,

luego A ∈ Σ0β .

A su vez, ahora es inmediato que si 0 < α ≤ β entonces Π0α ⊂ Π0

β . Por otra

parte, si 0 < α < β, de la propia definicion se sigue que Σ0α ⊂ Π0

α+1 ⊂ Π0β , ası

como que Π0α ⊂ Σ0

α+1 ⊂ Σ0β , luego Σ0

α ∪Π0α ⊂ ∆0

β .

Aunque hemos definido las clases anteriores para ordinales cualesquiera, acontinuacion probamos que solo tienen interes para ordinales numerables:

Teorema 4.3 Si X es un espacio metrizable y α ≥ ω1, entonces

Σ0α = Σ0

α = ∆0α = ∆0

ω1= Σ0

ω1= Π0

ω1=

⋃

0<δ<ω1

∆0δ

es la σ-algebra de Borel B(X).

Demostracion: Sea B =⋃

0<δ<ω1

∆0δ =

⋃

0<δ<ω1

Σ0δ =

⋃

0<δ<ω1

Π0δ.

Notemos que si Ann∈ω es una familia de elementos de B, entonces su unionesta en B. En efecto, en principio existe un δn < ω1 tal que An ∈ Π0

δn y, comoω1 es regular, δ = supδn | n ∈ ω < ω1, luego

⋃

n∈ωAn ∈ Σ0

δ+1 ⊂ B.

Tambien es evidente que B contiene a los complementarios de sus elementos,luego es una σ-algebra de subconjuntos de X . Como contiene a los abiertos,B(X) ⊂ B.

4.1. La jerarquıa de Borel 117

Por otro lado, una simple induccion demuestra que Σ0α ∪Π0

α ⊂ B(X), puesesto es trivial para α = 0 y B esta cerrada para complementos y uniones nume-rables. Por lo tanto B ⊂ B(X) y tenemos la igualdad.

Por definicion, Σ0ω1

es la familia de uniones numerables de elementos de B,

pero, como B es una σ-algebra, resulta que Σ0ω1

= B, luego tambien Π0ω1

= B.A partir de aquı, una simple induccion sobre α demuestra que si α ≥ ω1 secumple que Σ0

α = Π0α = B.

Observemos que la jerarquıa de Borel es trivial en los espacios numerables.En efecto, si X es numerable, hay dos posibilidades: o bien X es discreto, encuyo caso ∆0

1 = PX y todas las clases de Borel son iguales, o bien X no esdiscreto, con lo que no todo punto es abierto y tenemos inclusiones estrictas

∆0

1

Σ01

Π01

∆02 = PX

pero la jerarquıa termina en ∆02, pues todo subconjunto de X es union nu-

merable de puntos (cerrados). En particular, si X es numerable tenemos queB(X) = PX . Veremos que la situacion es completamente distinta en el caso delos espacios polacos no numerables. Para ello necesitamos demostrar algunaspropiedades de la jerarquıa de Borel.

Teorema 4.4 Si X es un espacio metrizable y 0 < α < ω1, entonces Σ0α es

cerrado para uniones numerables, Π0α es cerrado para intersecciones numera-

bles, Σ0α y Π0

α son ambos cerrados para uniones e intersecciones finitas y, porconsiguiente, ∆0

α es un algebra de subconjuntos de X.

Demostracion: La primera parte del teorema es inmediata. Para la se-gunda, observamos que se cumple si α = 1, pues toda interseccion finita deabiertos es abierta y toda union finita de cerrados es cerrada.

Supongamos que se cumple para β < α y sean A,B ∈ Σ0α. Entonces

A =⋃

n∈ωAn, B =

⋃

n∈ωBn,

donde An ∈ Π0αn

, Bn ∈ Π0βn, con αn, βn < α. Entonces

A ∩B =⋃

m,n∈ω(Am ∩Bn) ∈ Σ0

α,

pues Am ∩Bn ∈ Π0αm∪βn

.

El hecho de que Σ0α este cerrada para intersecciones finitas implica inme-

diatamente que Π0α lo esta para uniones finitas. La propiedad de las clases ∆0

α

tambien es inmediata.

Conviene introducir una notacion general para tratar con las clases que he-mos introducido:

118 Capıtulo 4. Conjuntos de Borel

Definicion 4.5 Una clase de conjuntos en una clase X de espacios topologicoses una aplicacion Γ que a cada espacio topologico X ∈ X le asigna un conjuntoΓ(X) ⊂ PX . Llamaremos clase dual de Γ a la clase ¬Γ dada por

¬Γ(X) = A ⊂ X | X \A ∈ Γ(X).

La clase ambigua de Γ es la clase ∆ = Γ ∩ ¬Γ.

Ası, por ejemplo, Σ0α, Π

0α, ∆

0α o B son clases de conjuntos sobre los espacios

topologicos metrizables. Las dos primeras son mutuamente duales, la tercera esla clase ambigua de cualquiera de las dos, y la cuarta es su propia clase dual ysu propia clase ambigua.

Aplicaciones medibles Una aplicacion f : X −→ Y entre dos espacios de X

es Γ-medible si para todo A ∈ Γ(Y ) se cumple que f−1(A) ∈ Γ(X).

Ası, las aplicacionesΣ01-medibles entre espacios metrizables son simplemente

las aplicaciones continuas.

Teorema 4.6 Sea f : X −→ Y una aplicacion entre espacios metrizables y sea1 ≤ α ≤ ω1. Entonces f es Σ0

α-medible si y solo si para todo abierto A en Yse cumple que f−1[A] ∈ Σ0

α(X). Y entonces f es Σ0β-medible para todo ordinal

α ≤ β ≤ ω1.

Demostracion: Veamos por induccion sobre 1 ≤ δ ≤ α que si A ∈ Σ0δ(Y ),

entonces f−1[A] ∈ Σ0α(X). Para δ = 1 es la hipotesis del teorema. Si vale para

δ < α, es claro que si A ∈ Π0δ(Y ), entonces f−1[A] = X \ f−1[Y \A] ∈ Π0

δ(X).Por lo tanto, si A ∈ Σ0

δ+1(Y ), se cumple que A =⋃

n∈ωAn, con An ∈ Π0

δ(Y ),

luego f−1[A] =⋃

n∈ωf−1[An] ∈ Σ0

δ+1(X). El caso lımite es trivial. Concluimos

que f es Σ0α-medible, y la implicacion opuesta es trivial.

La segunda afirmacion se sigue de la primera, pues si A es abierto en Y ,entonces f−1[A] ∈ Σ0

α(X) ⊂ Σ0β(X).

Observemos que ser Π0α-medible es equivalente a ser Σ0

α-medible. En parti-cular, toda antiimagen por una aplicacion continua de un conjunto Σ0

α, Π0α o

∆0α pertenece a la misma clase. Esto se expresa diciendo que las clases de Borel

son cerradas para sustituciones continuas.En general, si Γ es una clase de conjuntos con la propiedad de que para toda

funcion continua (medible Borel, etc.) f : X −→ Y y todo A ∈ Γ(Y ) se cumpleque f−1[A] ∈ Γ(X), se dice que Γ es cerrada para sustituciones continuas, deBorel, etc.

Podemos refinar un poco mas el teorema precedente: dada una aplicacionf : X −→ Y entre espacios metrizables y una base numerableB de Y , para que fsea Σ0

α-medible basta con que para todo A ∈ B se cumpla que f−1[A] ∈ Σ0α(X).

En efecto, todo abierto de Y puede expresarse en la forma A =⋃

n∈ωAn, con

An ∈ B, con lo que f−1[A] =⋃

n∈ωf−1[An] ∈ Σ0

α.

Como consecuencia obtenemos el hecho siguiente:

4.1. La jerarquıa de Borel 119

Teorema 4.7 Una funcion f : X −→ Y entre espacios metrizables con Yseparable es medible Borel si y solo si es Σ0

α-medible para un 1 ≤ α < ω1.

Demostracion: Una implicacion es inmediata. Para la otra, tomamosuna base Unn∈ω de la topologıa de Y . Para cada n ∈ ω, se cumple quef−1[Un] ∈ B(X), luego existe un αn < ω1 tal que f−1[Un] ∈ Σ0

αn(X). Como

ω1 es regular, existe α < ω1 tal que f−1[Un] ∈ Σ0α, para todo n ∈ ω, luego f es

Σ0α-medible.

El teorema siguiente se demuestra sin dificultad por induccion sobre α:

Teorema 4.8 Sea Y un espacio metrizable y X un subespacio. Entonces losconjuntos Σ0

α(X) (resp. Π0α(X)) son los de la forma A∩X, donde A ∈ Σ0

α(Y )(resp. Π0

α(Y )).

En particular, B(X) = B ∈ B(Y ) | B ⊂ X.

Nota No es cierto que todo A ∈ ∆0α(X) sea de la forma A = B ∩ X , para

cierto B ∈ ∆0α(Y ). Basta pensar en el caso en que X = R \ Q e Y = R. Se

cumple que ∆01(R \ Q) es infinito, mientras que ∆0

1(R) = ∅,R, porque R esconexo [AM 3.19]. Si X e Y son espacios polacos, es facil ver que el resultadoes cierto para α ≥ 3, y no es trivial que tambien se cumple para α ≥ 2 (por elteorema 4.24).

Conjuntos universales Ya estamos en condiciones de probar que, tal y comohabıamos anunciado, todas las inclusiones del teorema 4.2 son estrictas en el casode espacios polacos no numerables. Para ello nos apoyaremos en el conceptosiguiente:

Definicion 4.9 Diremos que un conjunto U ⊂ Y × X es Y -universal paraΓ(X) si U ∈ Γ(Y ×X) y, llamando Uy = x ∈ X | (y, x) ∈ U, se cumple queΓ(X) = Uy | y ∈ Y .

Teorema 4.10 Si X es un espacio metrizable separable, entonces, para cadaordinal 1 ≤ α < ω1 existe un conjunto C-universal para Σ0

α(X) y un conjuntoC-universal para Π0

α(X).

Demostracion: Lo probamos por induccion sobre α. Sea Bn∈ω una basenumerable de X y definimos

U = (y, x) ∈ C×X |∨

n ∈ ω(y(n) = 0 ∧ x ∈ Bn).

Notemos que U ∈ Σ01(C×X) (es decir, es abierto), pues si (y, x) ∈ U y n ∈ ω

cumple la definicion, entonces (y, x) ∈ By|n+1× Bn ⊂ U . Ademas, para cada

y ∈ C, tenemos queUy =

⋃Bn | y(n) = 0,

con lo que es evidente que Uy | y ∈ C = Σ01(X), es decir, que U es universal

para Σ01(X).

120 Capıtulo 4. Conjuntos de Borel

En general, si U es universal para Σ0α(X), es facil ver que (C × X) \ U es

universal para Π0α(X).

Supongamos construidos conjuntos Uδ universales para Π0δ(X), para todo

ordinal δ < α < ω1. Podemos tomar ordinales δn < α tales que δn ≤ δn+1 yα = supδn + 1 | n ∈ ω. Fijamos un homeomorfismo C ∼= Cω que a cada y ∈ C

le hace corresponder una sucesion ynn∈ω. Definimos

U = (y, x) ∈ C×X |∨

n ∈ ω (yn, x) ∈ Uδn.

Consideramos la proyeccion n-sima pn : C −→ C que cumple pn(y) = yn y laidentidad I en X , de modo que, por 4.6.

U =⋃

n∈ω(pn × I)−1[Uδn ] ∈ Σ0

α(C×X).

Para cada y ∈ C, tenemos que

Uy =⋃

n∈ω(Uδn)yn ,

y, como cada conjunto Π0δ con δ < α es de la forma (Uδn)yn para un n suficien-

temente grande, es claro que Uy recorre todos los conjuntos Σ0α(X), luego U es

universal para Σ0α(X).

Con esto podemos probar que la jerarquıa de Borel no es trivial:

Teorema 4.11 Si X es un espacio polaco no numerable, para cada 1 ≤ α < ω1

se cumple que Σ0α 6= Π0

α y, por consiguiente, ∆0α Σ0

α ∆0α+1, e igualmente

con Π0α.

Demostracion: Por los teoremas 1.28 y 1.33, tenemos que X contiene unsubespacio homeomorfo a C. Si Σ0

α(X) = Π0α(X), entonces, por 4.8, tenemos

que Σ0α(C) = Π0

α(C). Vamos a ver que esto es imposible. Para ello tomamos unconjunto U C-universal para Σ0

α(C). Definimos A = y ∈ C | (y, y) /∈ U, quees la antiimagen de (C × C) \ U por la aplicacion diagonal C −→ C × C, luegoA ∈ Π0

α(C) = Σ0α(C), pero entonces deberıa existir un y ∈ C tal que A = Uy,

pero esto es imposible.

Si fuera ∆0α = Σ0

α, tendrıamos Σ0α ⊂ Π0

α y, recıprocamente, si A ∈ Π0α,

entonces X \A ∈ Σ0α ⊂ Π0

α, luego A ∈ Σ0α y tendrıamos Σ0

α = Π0α.

Similarmente, si Σ0α = ∆0

α+1, entonces Π0α ⊂ Σ0

α y la inclusion opuesta serazona igual que antes.

Nota Observemos que si λ < ω1 es un ordinal lımite, se cumple

⋃

δ<λ

Σ0δ =

⋃

δ<λ

Π0δ =

⋃

δ<λ

∆0δ ,

y ahora podemos probar que esta union esta estrictamente contenida en ∆0λ.

En efecto, sea X un espacio polaco y sea Xnn∈ω una familia de abiertos en

4.2. Codigos de Borel 121

X disjuntos dos a dos. Sea δnn<ω una sucesion cofinal en λ y sea An ⊂ Xn

tal que An ∈ Σ0δn+1 \Σ

0δn . Entonces A =

⋃

n∈ωAn ∈ ∆0

λ \⋃

δ<λ

∆0δ.

Observemos ahora que no existen conjuntos universales para ∆0α:

Teorema 4.12 Si Γ es una clase de conjuntos cerrada para sustituciones con-tinuas y que sea autodual, es decir, que coincida con su clase dual, entonces,para todo espacio X, no existe un conjunto X-universal para Γ(X).

Demostracion: Si U fuera un conjunto U -universal para Γ(X) definimosA = x ∈ X | (x, x) /∈ U, que esta en Γ(X) porque Γ es cerrada para sus-tituciones continuas y (X × X) \ U ∈ Γ(X × X) porque Γ es autodual. Peroentonces deberıa existir un x ∈ X tal que Ux = A, lo cual es absurdo.

4.2 Codigos de Borel

Vamos a probar ahora que a cada conjunto de Borel B en un espacio polacoX se le puede asignar un elemento de N (un “codigo”) que determine comple-tamente como se construye B a partir de una base numerable de X . Para ellonecesitamos algunos conceptos y resultados elementales sobre N:

Definicion 4.13 (Biyecciones canonicas) Si consideramos en ω×ω el ordencanonico dado por

(m,n) ≤ (m′, n′) ↔ maxm,n < maxm′, n′ ∨

(maxm,n = maxm′, n′ ∧ (n < n′ ∨ (n = n′ ∧ m ≤ m′))),

con esta ordenacion, ω × ω es semejante a ω, y la semejanza es unica. Larepresentaremos por 〈 , 〉2 : ω × ω −→ ω.

A su vez, podemos definir 〈n0, n1, n2〉3 = 〈〈n0, n1〉2 , n2〉2, con lo que tenemosuna biyeccion canonica 〈 〉3 : ω3 −→ ω.

En general, definiendo inductivamente

〈n0, . . . , nk−1〉k =⟨〈n0, . . . , nk−2〉k−1 , nk−1

⟩

2

obtenemos biyecciones canonicas 〈 〉k : ωk −→ ω.

De este modo, un mismo numero natural codifica unıvocamente un par denumeros naturales, o una terna, etc. Mas aun, podemos definir una biyeccion〈 〉∞ : ω<ω −→ ω del modo siguiente: si s ∈ ωk con k 6= 0, definimos

〈s〉∞ = 〈k − 1, 〈s〉k〉2 + 1,

y completamos la definicion con 〈∅〉∞ = 0.

Salvo que haya posibilidades de confusion suprimiremos el subındice en lasbiyecciones canonicas 〈 〉.

122 Capıtulo 4. Conjuntos de Borel

Dado un conjunto X , tenemos biyecciones canonicas 〈 〉k : (Xω)k → Xω da-das por 〈x0, . . . , xk−1〉k (kc + i) = xi(c), donde 0 ≤ i < k. Ası, 〈x0, . . . , xk−1〉kes la sucesion que intercala las k sucesiones dadas. Recıprocamente, para cadax ∈ Xω, representaremos por (xk0 , . . . , x

kk−1) a la antiimagen de x por la bi-

yeccion canonica.

Mas aun, podemos definir 〈 〉∞ : (Xω)ω −→ Xω como la biyeccion cuyainversa x 7→ x∞i i∈ω viene dada por x∞i (k) = x(〈i, k〉).

Habitualmente suprimiremos los superındices.

Conviene observar que las biyecciones que hemos obtenido son realmentehomeomorfismos:

Teorema 4.14 Se tienen los homeomorfismos siguientes:

a) Nk ∼= N

b) Nω ∼= N.

c) ω ×N ∼= N.

d) 2×N ∼= N.

Demostracion: a) Mas en general, siX es un conjunto arbitrario se cumpleque (Xω)k ∼= Xω, y un homeomorfismo es simplemente la biyeccion canonicaφ definida en 4.13. Para probarlo basta observar con que, en general, para queuna aplicacion de la forma

f : X = Xω1 × · · · ×Xω

u −→ Y = Y ω1 × · · · × Y ωv

sea continua basta ver que, para cada punto x ∈ X y cada abierto basicoV = Bs1×· · ·×Bsv tal que f(x) ∈ V , existe un abierto basico U = Bt1×· · ·×Btutal que x ∈ U y f [U ] ⊂ V . Mas aun, podemos tomar todos los si de la mismalongitud n y todos los tj de la misma longitud m, con lo que la condicion puedereformularse, mas llanamente, de esta forma:

f es continua si y solo si para todo x ∈ X y todo n ∈ ω existe unm ∈ ω tal que todo x′ ∈ X cuyas sucesiones coincidan hasta m conlas de x cumple que las sucesiones de f(x′) coinciden hasta n conlas de f(x).

Es claro que tanto φ como φ−1 cumplen esta formulacion de la continuidad.

b) Nuevamente, un homeomorfismo φ : Xω −→ (Xω)ω es la biyeccioncanonica definida en 4.13, dada por φ(x)n(m) = x(〈n,m〉). Para comprobarque es continua en un x ∈ Xω, tomamos un entorno basico de φ(x), que seraun conjunto de la forma

U = Bs0 × · · · ×Bsv−1 × (Xω)ω\v,

4.2. Codigos de Borel 123

donde podemos suponer que todas las sucesiones si tienen la misma longitud n.Tomamos entonces m ∈ ω tal que la imagen de v×n por la semejanza canonicaeste contenida en m. Es claro entonces que Bx|m ⊂ φ−1[U ]. Esto prueba que φes continua, y analogamente se demuestra la continuidad de φ−1.

c) La version general de este resultado esX×Xω ∼= Xω, y un homeomorfismoφ : Xω −→ X × Xω es, por ejemplo, el dado por φ(x) = (x(0), x∗), dondex∗(n) = x(n + 1). Claramente se trata de una biyeccion y la comprobacion deque es un homeomorfismo no presenta ninguna dificultad.

d) Definimos φ : N −→ N × 2 mediante φ(x) = (x∗, i), donde x∗ e i vienendados por:

x∗(n) =

x(n) si n 6= 0,c si n = 0 y x(0) = 2c+ i, i ∈ 2.

Dejamos las comprobaciones al lector.

Notemos que los apartados c) y d) del teorema anterior afirman que la uniondisjunta de infinitas copias (resp. dos copias) de N con la topologıa que tienepor abiertos las uniones de un abierto de cada copia, es homeomorfa a N. Loshomeomorfismos construidos pueden verse como “codificaciones”. Por ejemplo,el apartado b) afirma que cada elemento de N puede codificar una sucesion deelementos de N.

Definicion 4.15 Para cada i ∈ ω definimos las funciones u, vi : N −→ N dadaspor

u(c)(n) = c(n+ 1), vi(c)(n) = c(〈i, n〉+ 1).

Para cada ordinal 0 < α < ω1 definimos como sigue los conjuntos Σcα, Πcα ⊂ N:

a) c ∈ Σc1 si y solo si c(0) ≥ 2.

b) c ∈ Σcα si y solo si c ∈⋃

0<δ<α

(Σcδ ∪ Πcδ) o bien

c(0) = 1 ∧∧

i ∈ ω vi(c) ∈⋃

0<δ<α

(Σcδ ∪ Πcδ).

c) c ∈ Πcα si y solo si c ∈⋃

0<δ<α

(Σcδ ∪ Πcδ) o bien c(0) = 0 ∧ u(c) ∈ Σcα.

Llamaremos codigos de Borel a los elementos de

CB =⋃

0<α<ω1

Σcα =⋃

0<α<ω1

Πcα.

La definicion y el teorema siguientes explican la definicion anterior:

Definicion 4.16 Sea X un espacio polaco en el que hemos fijado una enume-racion Unn∈ω de una base. Para cada c ∈ CB definimos Bc ⊂ N como sigue:

a) Si c(0) > 1 entonces Bc =⋃Un | c(n+ 1) = 1.

b) Si c(0) = 1 entonces Bc =⋃

i∈ω

Bvi(c).

c) Si c(0) = 0 entonces Bc = N \Bu(c).

124 Capıtulo 4. Conjuntos de Borel

De este modo, los codigos de Borel codifican los conjuntos de Borel de cual-quier espacio polaco X :

Teorema 4.17 Si X es un espacio polaco, entonces su σ-algebra de Borel cum-ple

B(X) = Bc | c ∈ CB.

Demostracion: Vamos a probar, mas precisamente, que para cada α < ω1

no nulo:Σ0α = Bc | c ∈ Σcα, Π0

α = Bc | c ∈ Πcα.

En efecto, los codigos c ∈ Σc1 son los que cumplen c(0) ≥ 2 y, por lo demas,son arbitrarios, y entonces Bc =

⋃Un | c(n+ 1) = 1. Es claro que, cuando c

recorre Σc1, los conjuntos Bc recorren todas las uniones numerables de abiertosbasicos de N, es decir, recorren todos los abiertos, todos los conjuntos Σ0

1 de N,luego la igualdad de la izquierda es cierta para α = 1.

Se cumple que c ∈ Πc1 si y solo si c(0) = 0 y u(c) ∈ Σc1, de modo quecualquier codigo de Σc1 es de la forma u(c), para un c ∈ Π1

1. Por lo tanto, comoBc = N \ Bu(c), tenemos que, cuando c recorre Πc1, los conjuntos Bc recorren

todos los complementarios de los conjuntos de Σ01, es decir, recorren todos los

cerrados, los conjuntosΠ01 de N, luego tenemos ambas igualdades probadas para

α = 1. Supongamos que ambas igualdades son ciertas para 0 < δ < α.

Si c ∈ Σcα, o bien c ∈⋃

0<δ<α

(Σcδ ∪ Πcδ), en cuyo caso, por hipotesis de in-

duccion,Bc ∈

⋃

0<δ<α

(Σ0δ ∪Π0

δ) ⊂ Σ0α,

o bien c(0) = 1 y∧

i ∈ ω vi(c) ∈⋃

0<δ<α

(Σcδ∪Πcδ), luego por hipotesis de induccion

∧

i ∈ ω Bvi(c) ∈⋃

0<δ<α

(Σ0δ ∪Π0

δ) ⊂ Σ0α,

luegoBc =

⋃

i∈ω

Bvi(c) ∈ Σ0α.

Mas aun, si Aii∈ω es una familia de conjuntos en⋃

0<δ<α

Π0δ, por hipotesis de

induccion cada uno de ellos sera de la forma Ai = Bci , con ci ∈⋃

0<δ<α

(Σ0δ ∪Π0

δ)

y es claro que podemos construir c ∈ N tal que c(0) = 1 y vi(c) = ci para todo i,con lo que c ∈ Σcα y

Bc =⋃

i∈ω

Bvi(c) =⋃

i∈ω

Ai.

Esto prueba que, cuando c recorre Σcα, los conjuntos Bc recorren todo Σ0α.

Finalmente, si c ∈ Πcα, o bien c ∈⋃

0<δ<α

(Σcδ∪Πcδ), en cuyo caso, por hipotesis

de induccion,Bc ∈

⋃

0<δ<α

(Σ0δ ∪Π0

δ) ⊂ Π0α,

4.3. Propiedades estructurales 125

o bien c(0) = 0 y u(c) ∈ Σcα, con lo que Bu(c) ∈ Σ0α por lo que acabamos de

probar y Bc = N \Bu(c) ∈ Π0α. Por otra parte, hemos visto que todo elemento

de Σ0α es de la forma Bc, para cierto c ∈ Σcα, y es facil construir c′ ∈ N tal que

c′(0) = 0 y u(c′) = c, con lo que c′ ∈ Πcα y Bc′ = N \Bc, luego cuando c recorreΠcα tenemos que Bc recorre todo Π0

α.

Nota Observemos que el conjuntoBc no solo depende del codigo c sino tambiende la eleccion de la enumeracion Unn∈ω de la base de X . Nos va a interesarespecialmente la codificacion de los conjuntos de Borel del espacio N, y en estecaso tomaremos la enumeracion dada por

Un = Bsn = x ∈ N | x|ℓ(sn) = sn,

donde sn ∈ ω<ω es la sucesion dada por 〈sn〉∞ = n. Es facil definir analogamenteenumeraciones sencillas de bases de los espacios C, o R o I.

Una consecuencia sencilla es la siguiente:

Teorema 4.18 Si X es un espacio polaco no numerable, entonces B(X) 6= PX.

Demostracion: Los codigos de Borel proporcionan una aplicacion supra-yectiva N −→ B(X). Si se diera la igualdad, como |X | = |N| y |PX | = |PN|,tendrıamos una aplicacion N −→ PN suprayectiva, lo cual es imposible.

En la prueba del teorema anterior hemos evitado el uso del axioma deeleccion. Si no lo esquivamos obtenemos lo siguiente:

Teorema 4.19 (AE) Si X es un espacio polaco infinito, entonces tiene exac-tamente c subconjuntos de Borel.

Demostracion: Si X es numerable entonces B(X) = PX y el resultado estrivial. Si X es no numerable, la aplicacion N −→ B(X) dada por los codigos deBorel implica que |B(X)| ≤ |N| = c. Para la desigualdad contraria consideramosla aplicacion inyectiva X −→ B(X) dada por x 7→ x.

Notemos que si el espacio polaco X es no numerable, entonces tiene 2c

subconjuntos.

4.3 Propiedades estructurales

Vamos a demostrar algunas propiedades de las clases de la jerarquıa de Borel.Para ello introducimos algunas definiciones.

Definicion 4.20 Sea Γ una clase de conjuntos.

• Γ tiene la propiedad de separacion si cuando A,B ∈ Γ(X), A ∩ B = ∅,existe un C ∈ ∆(X) tal que A ⊂ C y B ∩ C = ∅.

126 Capıtulo 4. Conjuntos de Borel

• Γ tiene la propiedad de separacion generalizada si para toda sucesionAnn∈ω de conjuntos en Γ(X) tal que

⋂

n∈ωAn = ∅, existe una sucesion

Cnn∈ω de conjuntos de ∆(X) tal que An ⊂ Cn y⋂

n∈ωCn = ∅.

• Γ tiene la propiedad de reduccion si cuando A,B ∈ Γ(X) existen conjuntosA∗, B∗ ∈ Γ(X) tales que A∗ ⊂ A, B∗ ⊂ B, A∗∪B∗ = A∪B y A∗∩B∗ = ∅.

• Γ tiene la propiedad de reduccion generalizada si cuando Ann∈ω es unasucesion de conjuntos en Γ(X) existe una sucesion A∗

nn∈ω de conjuntosen Γ(X) disjuntos dos a dos tales que A∗

n ⊂ An y⋃

n∈ωAn =

⋃

n∈ωA∗n.

• Γ tiene la propiedad de uniformizacion numerica si para todoR ∈ Γ(X×ω)

existe R∗ ∈ Γ(X × ω) tal que R∗ ⊂ R y∧

x ∈ pX [R]1∨n ∈ ω (x, n) ∈ R∗.

Observemos que la propiedad de separacion se deduce de la propiedad deseparacion generalizada sin mas que completar una sucesion A1, A2 de dosconjuntos disjuntos con An = X para n > 2, mientras que la propiedad dereduccion se deduce de la propiedad de reduccion generalizada sin mas quecompletar una sucesion A1, A2 con An = ∅ para n > 2.

Para estudiar estas propiedades sobre las clases de la jerarquıa de Borelconviene observar que estas cumplen la propiedad siguiente:

Diremos que una clase Γ es razonable si una sucesion Ann∈ω tiene todossus elementos en Γ(X) si y solo si

⋃

n∈ωAn × n ∈ Γ(X × ω).

Teorema 4.21 Sea Γ una clase de subconjuntos definida sobre espacios to-pologicos metrizables de modo que cada Γ(X) contenga a los abiertos cerradosde X, sea cerrada para sustituciones continuas y uniones e intersecciones finitasy para uniones o intersecciones numerables. Entonces Γ es razonable.

Demostracion: Sea Ann∈ω una sucesion de subconjuntos de un espa-cio X y sea A =

⋃

n∈ωAn × n.

Si cada An esta en Γ(X), entonces Bn = An × ω ∈ Γ(X × ω) por seruna antiimagen continua de An. Igualmente, Cn = X × n ∈ Γ(X × ω)porque n es abierto cerrado en ω y Cn es una antiimagen continua, luegoAn × n = Bn ∩ Cn ∈ Γ(X × ω). Si Γ es cerrado para uniones numerables,entonces concluimos que A ∈ Γ(X × ω). En caso contrario usamos que

(X × ω) \A =⋃

n∈ω(X \An)× n.

Como en este caso Γ es cerrado para intersecciones numerables, resulta que¬Γ es cerrado para sustituciones continuas, para uniones numerables y paraintersecciones finitas, luego el mismo razonamiento anterior nos permite concluirque (X × ω) \A ∈ ¬Γ, luego A ∈ Γ igualmente.

4.3. Propiedades estructurales 127

Recıprocamente, si A ∈ Γ(X×ω), usamos que la inclusion in : X −→ X×ωdada por in(x) = (x, n) es continua, y An = i−1

n [A].

En particular, todas las clases Σ0α y Π0

α son razonables y esto a su vezimplica que ∆0

α tambien lo es.

Teorema 4.22 Sea Γ una clase de conjuntos definida sobre los espacios pola-cos.

a) Si Γ tiene la propiedad de reduccion, entonces ¬Γ tiene la propiedad deseparacion.

b) Si Γ es cerrada para uniones numerables y tiene la propiedad de reducciongeneralizada, entonces ¬Γ tiene la propiedad de separacion generalizada.

c) Si Γ es razonable, entonces Γ tiene la propiedad de reduccion generalizadasi y solo si tiene la propiedad de uniformizacion numerica.

d) Si Γ es cerrada para sustituciones continuas y existe un conjunto C-univer-sal para Γ(C), entonces Γ no puede tener a la vez la propiedad de reducciony separacion.

Demostracion: a) Dados A,B ∈ ¬Γ disjuntos, existen A∗ ⊂ X \ A,B∗ ⊂ X \ B tales que A∗, B∗ ∈ Γ, A∗ ∪ B∗ = X y A∗ ∩ B∗ = ∅. Ası,B∗ = X \A∗ ∈ ∆ separa A y B.

b) Sea Ann∈ω una sucesion en ¬Γ con interseccion vacıa. Entonces existenconjuntos B∗

n ⊂ X \ An en Γ disjuntos dos a dos tales que⋃

n∈ωB∗n = X . Es

claro que los conjuntos Cn = X \B∗n ∈ Γ separan la sucesion dada.

c) Supongamos que Γ tiene la propiedad de uniformizacion numerica, seaAnn∈ω una sucesion en Γ(X) y sea A =

⋃

n∈ωAn × n ∈ Γ(X × ω). Sea

A∗ ⊂ A una uniformizacion en Γ(X × ω). Sea

A∗n = x ∈ X | (x, n) ∈ A∗,

de modo que A∗ =⋃

n∈ωA∗n × n. Como Γ es razonable, A∗

n ∈ Γ(X) y estos

conjuntos reducen la sucesion dada.

Supongamos ahora que Γ cumple la propiedad de reduccion generalizada ysea A ∈ Γ(X × ω). Sea An = x ∈ X | (x, n) ∈ A, de modo que se cumpleA =

⋃

n∈ωAn × x. Como Γ es razonable, An ∈ Γ(X).

Por la propiedad de reduccion generalizada, existen A∗n ⊂ An en Γ(X) dis-

juntos dos a dos y tales que⋃

n∈ωA∗n =

⋃

n∈ωAn. Entonces A∗ =

⋃

n∈ωA∗n × n

esta en Γ(X × ω) y uniformiza a A.

d) Sea U ⊂ C×C un conjunto C-universal para Γ. Fijemos un homeomorfismoC ∼= C2, que a cada x ∈ C le haga corresponder un par (x0, x1). Definimos

U0 = (x, y) ∈ C2 | (x0, y) ∈ U, U1 = (x, y) ∈ C

2 | (x1, y) ∈ U.

128 Capıtulo 4. Conjuntos de Borel

Ası U0, U1 ∈ Γ(C× C) (pues son antiimagenes continuas de U) y forman unpar universal, es decir, dados A,B ∈ Γ(C), existe un x ∈ C tal que U0

x = A yU1x = B.Si Γ tiene la propiedad de reduccion, sean U0∗ ⊂ U0, U1∗ ⊂ U1 reducciones

del par U0, U1. Si ademas Γ tiene la propiedad de separacion, podemos separarlas reducciones por un V ∈ ∆. Veamos ahora que V es C-universal para ∆(C),con lo que tendremos una contradiccion con el teorema 4.12.

En efecto, dado un A ∈ ∆(C), existe un x ∈ C tal que U0x = A, U1

x = C \A.Veamos que Vx = A. Para ello observamos que

U0∗x ⊂ U0

x = A, U1∗x ⊂ U1

x = C \A, U0∗x ∪ U1∗

x = U0x ∪ U1

x = C,

luego tambien U0∗x = A, U1∗

x = C \A. Por otra parte, U0∗x ⊂ Vx, U

1∗

x ∩ Vx = ∅,luego Vx = A. Ademas, todo Vx ∈ ∆(C) porque Γ es cerrada para sustitucionescontinuas.

Teorema 4.23 Sobre la clase de los espacios metrizables, para todo α > 1,la clase Σ0

α tiene la propiedad de uniformizacion numerica y la propiedad dereduccion generalizada, pero no la propiedad de separacion; la clase Π0

α tienela propiedad de separacion generalizada, pero no la propiedad de reduccion. Enespacios cero-dimensionales esto es cierto tambien para α = 1.

Demostracion: Por el teorema anterior, basta probar que Σ0α tiene la

propiedad de uniformizacion numerica. Sea, pues, R ∈ Σ0α(X × ω) con α > 1.

Entonces R =⋃

n∈ωRn, donde Rn ∈ Π0

δn(X × ω), para cierto δn < α. Sea

〈 , 〉 : ω × ω −→ ω la biyeccion canonica dada por 4.13, representaremos suinversa por k 7→ (k0, k1). Definimos

Q = (x, k) ∈ X×ω | (x, k1) ∈ Rk0, Q∗ = (x, k) ∈ Q |∧

l < k (x, l) /∈ Q.

Finalmente, sea R∗ = (x, n) ∈ X × ω |∨

i ∈ ω (x, 〈i, n〉) ∈ Q∗). Es facil verque R∗ uniformiza a R. Solo hemos de probar que R∗ ∈ Σ0

α(X × ω). Para elloobservamos en primer lugar que

R∗ =⋃

i∈ω

(x, n) ∈ X × ω | (x, 〈i, n〉) ∈ Q∗),

luego basta probar que cada conjunto de la union esta en Σ0α(X × ω), pero

cada uno de ellos es una antiimagen continua de Q∗, luego basta comprobar queQ∗ ∈ Σ0

α(X × ω). A su vez,

Q∗ =⋃

k∈ω

x ∈ X | (x, k) ∈ Q∗ × k

y, como Σ1α es razonable, basta probar que cada Q

∗k = x ∈ X | (x, k) ∈ Q∗esta en Σ0

α(X). A su vez,

Q∗k = Qk ∩⋂

l<k

(X \Ql),

4.3. Propiedades estructurales 129

donde Qk = x ∈ X | (x, k) ∈ Q, y basta probar que Qk, X \ Qk ∈ Σ0α(X).

Ahora bien, Qk es una antiimagen continua de Rk0 , luego

Qk ∈ Π0δk0

(X) ⊂ Σ0α(X), X \Qk ∈ Σ0

δk0(X) ⊂ Σ0

α(X).

Si X es cero-dimensional y α = 1, entonces X × ω es cero-dimensional,podemos descomponer R en union numerable de abiertos cerrados Rn y toda lademostracion vale igualmente.

Veamos algunas aplicaciones:

Teorema 4.24 Sean X ⊂ Y espacios metrizables. Si 1 < α < ω1, los conjuntosde ∆0

α(X) son los de la forma A ∩ X, donde A ∈ ∆0α(Y ). Si Y es cero-

dimensional, tambien es cierto para α = 1.

Demostracion: Sea B ∈ ∆0α(X). Entonces existen conjuntos S ∈ Σ0

α(Y )y T ∈ Π0

α(Y ) tales que B = S ∩ X = T ∩ X . Como S, Y \ T ∈ Σ0α(Y ),

podemos reducirlos a S∗ ⊂ S, T ∗ ⊂ Y \ T de modo que S∗ y T ∗ son disjuntosy X ⊂ S ∪ (Y \ T ) = S∗ ∪ T ∗. Se cumple que

B ⊂ S∗ ∩X ⊂ (Y \ T ∗) ∩X ⊂ T ∩X = B,

luego B = S∗ ∩X .

Definicion 4.25 Dada una familia Ann∈ω de subconjuntos de un conjuntoX ,definimos

lım infn

An =⋃

n∈ω

⋂

m≥n

Am, lım supn =⋂

n∈ω

⋃

m≥n

Am.

Ası, el lımite inferior contiene a los elementos que pertenecen a casi todos losAn y el lımite superior a los elementos que pertenecen a infinitos An. Claramente

lım infn

An ⊂ lım supn

An.

Si se da la igualdad, definimos lımnAn = lım inf

nAn = lım sup

nAn. Notemos

que esto equivale a que χA= lım

nχAn

.

Teorema 4.26 Si X es un espacio metrizable y A ⊂ X, entonces para todoordinal 1 < α < ω1, se cumple que A ∈ ∆0

α+1(X) si y solo si A = lımnAn

para cierta sucesion Ann∈ω en ∆0α(X). Si X es cero-dimensional, tambien

se cumple para α = 1. Si α es un ordinal lımite, la sucesion puede tomarse en⋃

δ<α

∆0α(X).

Demostracion: Si A ∈ ∆0α+1, entonces A =

⋃

n∈ωFn, X \ A =

⋃

n∈ωGn,

donde Fn, Gn ∈ Π0α. Podemos suponer que Fn ⊂ Fn+1, Gn ⊂ Gn+1. Por la

130 Capıtulo 4. Conjuntos de Borel

propiedad de separacion, existe An ∈ ∆0α tal que Fn ⊂ An y Gn ∩ An = ∅. Es

facil ver que

A ⊂ lım infn

An ⊂ lım supn

An ⊂ A.

Recıprocamente, si A = lımnAn con An ∈ ∆0

α, entonces An ∈ Σ0α(X), luego

⋃

m≥n

Am ∈ Σ0α →

⋂

m≥n

(X \An) ∈ Π0α →

⋃

n∈ω

⋂

m≥n

(X \An) ∈ Σ0α+1

→⋂

n∈ω

⋃

m≥n

An = A ∈ Π0α+1

e igualmente se prueba que A ∈ Σ0α+1, luego A ∈ ∆0

α+1.

Si α es un ordinal lımite, solo hemos de refinar la primera parte de la prueba.Expresamos ahora

A =⋃

n∈ωBn =

⋂

m∈ωCn, Bn ∈ Π0

α, Cm ∈ Σ0α.

Podemos suponer que Bn ⊂ Bn+1 y Cm+1 ⊂ Cm. A su vez,

Bn =⋂

k∈ω

Bn,k, Cm =⋃

k∈ω

Cm,k, Bn,k, Cm,k ∈⋃

δ<α

∆0δ.

Podemos suponer que Bn,k+1 ⊂ Bn,k, Cm,k ⊂ Cm,k+1. Definimos

Ak =k⋃

n=0(Bn,k ∩

n⋂

m=0Cm,k) ∈

⋃

δ<α

∆0δ.

Vamos a probar que A = lımkAk. Para ello probamos las inclusiones

A ⊂ lım infk

Ak ⊂ lım supk

Ak ⊂ A.

Si x ∈ A, entonces x ∈ Bn0 , luego x ∈ Bn0,k para todo k ∈ ω. Por otraparte, x ∈ Cm, luego existe un k0 tal que x ∈ Cm,k para todo k ≥ k0. Estek0 depende de m, pero podemos tomar el mismo para todo m ≤ n0 y exigir

ademas que k0 ≥ n0. Ası, si k ≥ k0, tenemos que x ∈ Bn0,k ∩n0⋂

m=0Cm,k, luego

x ∈ lım infk

Ak.

Por otra parte, si x /∈ A, entonces x /∈ Cm0 , luego x /∈ Cm0,k para todok ∈ ω. Ademas x /∈ Bn, luego x /∈ Bn,k para todo k ≥ k0, donde k0 depende den, pero podemos tomar el mismo para todo n ≤ m0 y exigir que k0 ≥ m0. Ası,

si k ≥ k0 tenemos que, para todo n ≤ k, se cumple que x /∈ Bn,k ∩n⋂

m=0Cm,k,

ya que, o bien n ≤ m0, en cuyo caso x /∈ Bn,k, o bien n ≥ m0, en cuyo casox /∈ Cm0,k. Por lo tanto, x /∈ Ak y ası x /∈ lım sup

kAk.

4.4. La jerarquıa de Baire 131

4.4 La jerarquıa de Baire

En esta seccion presentamos el analisis de Lebesgue de las funciones de Baire,o analıticamente representables (vease la introduccion). Recordemos que Bairedefinio recurrentemente las que hoy se conocen como funciones de Baire declase α como los lımites puntuales de sucesiones de funciones de Baire de clase< α, tomando como funciones de clase 0 las funciones continuas, pero, aunqueesta definicion resulta adecuada si hablamos de funciones con valores en R, paraespacios mas generales requiere una correccion en el nivel α = 1:

Definicion 4.27 Una aplicacion f : X −→ Y entre espacios metrizables es dela clase de Baire 1 si para todo abierto U en Y se cumple que f−1[U ] es unFσ en X . Llamaremos B1(X,Y ) al conjunto de todas las funciones de Baire declase 1 de X en Y .

De este modo:

Teorema 4.28 Sea fnn∈ω una sucesion de funciones continuas fn : X −→ Yentre espacios metrizables separables que converja puntualmente a una funcionf = lım

nfn. Entonces f ∈ B1(X,Y ).

Demostracion: Como la clase Σ12(X) de los subconjuntos Fσ de X es

cerrada para uniones numerables e intersecciones finitas, basta probar que lasantiimagenes de los intervalos ]−∞, a[ y ]a,+∞[ son Fσ en X . Ahora bien, losconjuntos

f−1[]−∞, a[

]=

⋃

n∈ω

⋂

m≥n

x ∈ X | fm(x) ≤ a− 1n,

f−1[]a,+∞[

]=

⋃

n∈ω

⋂

m≥n

x ∈ X | fm(x) ≥ a+ 1n,

son claramente Fσ.

El recıproco no es cierto en general. Por ejemplo, si X = R, Y = 0, 1 yf = χ

[0,1], es facil ver que f ∈ B1(X,Y ), pero no es lımite puntual de funciones

continuas. No obstante:

Teorema 4.29 (Lebesgue-Hausdorff-Banach) Si X es un espacio metriza-ble separable y f ∈ B1(X,R), entonces f es el lımite puntual de una sucesionde funciones continuas.

Demostracion: Fijemos un homeomorfismo h : R −→ ]0, 1[. Es evidenteque f h ∈ B1(X,R). Veamos que basta probar que f h = lım

ngn, donde cada

gn : X −→ R es una funcion continua.No pedimos que la imagen de gn este contenida en ]0, 1[, pero basta tomar

g′n = (gn ∨1

n) ∧ (1−

1

n),

que es tambien una funcion continua con imagen en ]0, 1[ y lımng′n = f h.

Entonces, f = lımn(g′n h−1) y las funciones g′n h−1 son continuas.

132 Capıtulo 4. Conjuntos de Borel

Ası pues, podemos suponer que f : R −→ ]0, 1[. Para cada n ≥ 2 y parai = 0, . . . , n− 2, definimos Ani = f−1

[] in ,

i+2n [

]∈ Σ0

2(X), de modo que

n−2⋃

i=0

Ani = X.

Como Σ12(X) tiene la propiedad de reduccion generalizada, existen Bni ⊂ Ani

disjuntos dos a dos en ∆02(X) cuya union es X . Es claro entonces que

gn =

n−2∑

i=0

i

nχBn

i

∈ B1(X,R),

y f = lımngn, donde el lımite es uniforme. En efecto, dado x ∈ X , existe un

unico i tal que x ∈ Bni , en cuyo caso i/n < f(x) < (i + 2)/n, mientras quegn(x) = i/n, luego |f(x)− gn(x)| < 2/n, para todo x ∈ X . La demostracion setermina aplicando los dos teoremas siguientes.

Teorema 4.30 Sea X un espacio metrizable separable y gn : X −→ R unasucesion de funciones continuas que converge uniformemente a una funcion f .Si cada gn es lımite puntual de funciones continuas, lo mismo le sucede a f .

Demostracion: Tomando una subsucesion podemos exigir que

‖f − gn‖∞ <1

2n+1.

Ası, llamando hn = gn+1−gn, tenemos que ‖hn‖∞ < 2−n y f = g0+∞∑

n=0hn,

donde la serie converge uniformemente, ya que sus sumas parciales son las fun-ciones gn. Basta probar que la serie es lımite puntual de funciones continuas,y sabemos que cada hn lo es. Sea hn = lım

nuni , donde cada uni es continua.

Cambiando uni por

−1

2n∨ (

1

2n∧ uni )

se sigue cumpliendo que la sucesion converge a hn y ademas ‖uni ‖∞ ≤ 2−n, conlo que podemos definir

ri =∞∑

n=0uni ,

que es una funcion continua por el teorema de mayoracion de Weierstrass. Bastaprobar que f = lım

iri. Para ello fijamos un x ∈ X y un ǫ > 0. Existe un n0 ∈ ω

tal que∑

n>n0

2−n <ǫ

3y

∑

n>n0

hn(x) <ǫ

3.

La primera desigualdad implica que, para todo i ∈ ω,∣∣∣∣∣

∑

n>n0

uni (x)

∣∣∣∣∣<ǫ

3.

4.4. La jerarquıa de Baire 133

Ası, ∣∣∣∣∣ri(x)−

∞∑

n=0

hn(x)

∣∣∣∣∣<

2ǫ

3+

n0∑

n=0

|uni (x)− hn(x)|

y, tomando i suficientemente grande, el ultimo termino se puede hacer tambienmenor que ǫ/3.

Teorema 4.31 Sea X un espacio metrizable y A ∈ ∆02(X). Entonces χ

Apuede

expresarse como lımite puntual de una sucesion de funciones continuas.

Demostracion: Sea A =⋃

n∈ωFn, X \ A =

⋃

n∈ωHn, donde Fn y Hn son

cerrados. Podemos suponer que Fn ⊂ Fn+1 y Hn ⊂ Hn+1.

Como Fn ∩Hn = ∅, el lema de Urysohn1 nos da una funcion hn : X −→ R

tal que hn|Fn= 1 y hn|Hn

= 0. Claramente χA= lım

nhn.

Ejercicio: Demostrar que 4.29 es valido tambien para B1(X,Rn) y B1(X,Cn).

Seguidamente presentamos la jerarquıa completa de las funciones de Baire:

Definicion 4.32 Sean X e Y espacios topologicos metrizables. Para cada ordi-nal 1 < α < ω1, definimos Bα(X,Y ) como el conjunto de funciones f : X −→ Yque se expresan como lımite puntual de una sucesion de funciones pertenecientesa

⋃

δ<α

Bδ(X,Y ).

Las funciones de Bα(X,Y ) se llaman funciones de Baire de clase α. Lasfunciones de Baire son las funciones de

B(X,Y ) =⋃

1≤α<ω1

Bα(X,Y ).

Claramente, si 1 ≤ α < ω1, se da la inclusion Bα(X,Y ) ⊂ Bβ(X,Y ). Lla-maremos B0(X,Y ) al conjunto de las aplicaciones continuas de X en Y , a lasque llamaremos tambien funciones de Baire de clase 0. El teorema 4.28 nos daque

B0(X,Y ) ⊂ B1(X,Y ) ⊂ · · · ,

y, mas aun que todo lımite puntual de funciones de B0(X,Y ) esta en B1(X,Y ),si bien —como hemos visto— el recıproco no es cierto en general. Cuando dichorecıproco es cierto (en particular, si Y = Rn), la clase B(X,Y ) de las funcionesde Baire resulta ser la menor clase de funciones que contiene a las funcionescontinuas y que es cerrada para lımites puntuales, y entonces reciben tambienel nombre de funciones analıticamente representables.

1El lema de Urysohn es trivial para el caso de espacios metricos: afirma que si A y B soncerrados disjuntos, existe una funcion (real) continua que vale 1 en A y 0 en B. Basta tomar

f(x) =d(x,B)

d(x, A) + d(x,B).

134 Capıtulo 4. Conjuntos de Borel

Ejercicio: Demostrar que cada conjunto Bα(X,R) es un subespacio vectorial deRX , y un subanillo y un retıculo (es decir, que si f, g ∈ Bα(X,R) tambien f ∧ g,f ∨ g ∈ Bα(X,R)).

En el conjunto de funciones f : X −→ Y tenemos definida una jerarquıa defunciones:

Σ01-medibles ⊂ Σ0

2-medibles ⊂ · · · ⊂ Σ0α-medibles ⊂ · · · ⊂ B-medibles,

para todo 1 ≤ α < ω1. Las inclusiones son estrictas cuando las inclusionesΣ0α(X) Σ0

β(X) lo son (en particular si X es un espacio polaco no numerable).

En efecto podemos tomar un conjunto A ∈ Σ0β(X)\Σ0

α(X) y, fijados dos puntosp0, p1 ∈ Y , definimos la funcion

χA(x) =

p1 si x ∈ A,p0 si x /∈ A

de modo que, para todo C ⊂ Y se cumple que χ−1A [C] ∈ ∅, A,X \A,X, luego

χAes Σ0

α-medible, pero no Σ0β-medible.

Si comparamos con la jerarquıa de Baire, observamos que B0(X,Y ) es laclase de las funciones Σ0

1-medibles y que B1(X,Y ) es la clase de las funcionesΣ0

2-medibles. En general:

Teorema 4.33 (Lebesgue-Hausdorff-Banach) Sean X, Y espacios metri-zables con Y separable. Para todo ordinal α < ω1, la clase Bα(X,Y ) coincidecon la clase de las funciones Σ0

α+1-medibles. En particular, las funciones deBaire son las funciones medibles Borel.

Demostracion: Veamos que toda funcion de Bα(X,Y ) es Σ0α+1-medible

por induccion sobre α. Para α = 0 y α = 1 es cierto por definicion. Si elresultado es cierto para todo δ < α, tomemos f ∈ Bα(X,Y ), de modo que existeuna sucesion fnn∈ω de funciones en

⋃

δ<α

Bδ(X,Y ) que converge puntualmentea f .

Fijemos una base numerable B de Y . Si U ⊂ Y es abierto y x ∈ X , entonces

f(x) ∈ U ↔∨

V ∈ B(V ⊂ U ∧∨

k ∈ ω∧

n ∈ ω(n ≥ k → fn(x) ∈ V )).

Por lo tanto,

f−1[U ] =⋃

V ∈B,V⊂U

⋃

k∈ω

⋂

n≥k

(X \ f−1n [Y \ V ]) =

⋃

V ∈B,V⊂U

⋃

k∈ω

X \⋃

n≥k

f−1n [Y \ V ].

Por hipotesis de induccion, para cada n ∈ ω existe un δn < α tal que fn esΣ0δn+1-medible, luego

f−1n [Y \ V ] ∈ Σ0

δn+1(X), X \⋃

n≥k

f−1n [Y \ V ] ∈ Π0

δn+1(X)

4.4. La jerarquıa de Baire 135

y f−1[U ] ∈ Σ0α+1(X). Por lo tanto, f es Σ0

α+1-medible.2

Ahora demostramos que toda funcion Σ0α+1-medible es una funcion de Baire

de clase α, tambien por induccion sobre α. En principio, el resultado es ciertopor definicion para α = 0, 1. Ası pues, podemos suponer que α > 1 y hemos deprobar que si f es Σ0

α+1-medible, entonces es lımite puntual de una sucesion defunciones de Baire de clase menor que α.

Sin embargo, vamos a demostrar algo mas general. En el supuesto de que elespacio X sea cero-dimensional el argumento que presentamos es valido inclusocuando α = 1, de modo que vamos a probar de paso que el teorema 4.29 es validopara B1(X,Y ) cuando X es cero-dimensional e Y es separable. En definitiva,suponemos que α > 1 o bien que α ≥ 1 y X es cero-dimensional.

Empezamos suponiendo que Y = 0, 1, de modo que f = χA, para cierto

conjunto A. Que f sea Σ0α+1-medible equivale entonces a que A ∈ ∆0

α+1(X).

Por 4.26 tenemos que existe una sucesion Ann∈ω de funciones de ∆0α(X) tales

que χA= lım

nχAn

.

Si α = β+1, entonces, como χAn

esΣ0β+1-medible, por hipotesis de induccion

esta en Bβ(X,Y ), luego χA

∈ Bα(X,Y ). Si α es un ordinal lımite, entonces

4.26 nos asegura que podemos tomar cada An en⋃

δ<α

∆0δ(X), con lo que χ

Anes

Σ0δ+1-medible, luego esta en Bδ(X,Y ) y tambien χ

A∈ Bα(X,Y ).

El argumento precedente se generaliza al caso en que Y es finito, digamosY = k. Llamemos Ai = f−1[i], de modo que los conjuntos Ai son disjuntos dos ados, su union es X y estan en ∆0

α+1(X). Como en el caso anterior, Ai = lımnAin,

para ciertos conjuntos ∆0α(X) (o ∆0

δ(X) con δ < α si α es un ordinal lımite).Observamos entonces que si definimos

Ain = Ain \⋃

j<i

Ajn,

se sigue cumpliendo queAi = lımnAin, los conjuntos A

in siguen estando en∆0

α(X)

(o por debajo, si α es lımite) y ademas A0n, . . . , A

k−1n son disjuntos dos a dos.

Por ello podemos definir fn : X −→ Y como la funcion que toma el valor i enAin, de modo que, claramente, f = lım

nfn y, como en el caso anterior, se razona

que f ∈ Bα(X,Y ).

Notemos que si Y es finito, d es una distancia en Y y f, g : X −→ Y cumplenque d(f(x), g(x)) ≤ a para todo x ∈ X , si f = lım

nfn, g = lım

ngn y las funciones

fn, gn son Σ0α-medibles, existen funciones g′n que son tambien Σ0

α-medibles, demodo que g = lım

ng′n y ademas d(fn(x), g

′n(x)) ≤ a para todo x ∈ X .

2Mas aun, en la prueba se ve que si α es un ordinal lımite podemos concluir que f es, dehecho, Σ0

α-medible. El mismo argumento muestra que las funciones medibles respecto de unaσ-algebra son cerradas para lımites puntuales.

136 Capıtulo 4. Conjuntos de Borel

En efecto, basta definir

g′n(x) =

gn(x) si d(fn(x), gn(x)) ≤ a,fn(x) en otro caso.

Se cumple que g′n es Σ0α-medible, pues

F = x ∈ X | d(fn(x), gn(x)) ≤ a ∈ ∆0α(X),

luego tambien g′−1n [i] = (g−1

n [i] ∩ F ) ∪ (f−1n [i] ∩ (X \ F )) ∈ ∆0

α(X).

Consideremos finalmente el caso general en que Y es un espacio metricoseparable arbitrario. Por el teorema 1.9 tenemos que Y es homeomorfo a unsubespacio del cubo de Hilbert H, que es compacto. Podemos considerar en Yla restriccion de la distancia de H, y de este modo Y es precompacto, es decir,se puede cubrir con un numero finito de bolas abiertas de radio arbitrariamentepequeno. Concretamente, para cada k ∈ ω, sea Y k ⊂ Y finito tal que

Y =⋃

y∈Y k

B2−k(y).

Podemos suponer que Y k ⊂ Y k+1. Como f−1[B2−k(y)] ∈ Σ0α+1(X) (para

y ∈ Y k) y estos conjuntos cubren X , por la propiedad de reduccion existenconjuntos Aky ∈ ∆0

α+1(X), disjuntos dos a dos, tales que Aky ⊂ B2−k(y) y

X =⋃

y∈Y k

Aky .

Ası la funcion fk : X −→ Y k que vale y sobre Aky es Σ0α+1-medible, luego,

por el caso finito ya probado, existen funciones fkn : X −→ Y k en Bδn,k(X,Y k),

para ciertos δn,k < α, tales que fk = lımnfkn .

Como d(f(x), fk(x)) ≤ 2−k, se cumple que d(fk(x), fk+1(x)) ≤ 2 · 2−k,luego, por la observacion hecha anteriormente, podemos exigir que

d(fkn(x), fk+1n (x)) ≤ 2 · 2−k,

con lo que d(fkn(x), fk′

n (x)) ≤ 2∞∑

i=k

2−i, para k ≤ k′.

Finalmente, definimos fk = fkk ∈ Bδk(X,Y ), para cierto δk < α, y es facilver que f = lım

kfk, luego f ∈ Bα(X,Y ).

Capıtulo V

Conjuntos Proyectivos

Dedicamos este capıtulo a estudiar los conjuntos proyectivos. En la primeraseccion trataremos los conjuntos analıticos y sus propiedades basicas, a conti-nuacion nos ocuparemos de sus complementarios, los conjuntos coanalıticos, yfinalmente presentaremos las clases de Lusin que determinan la jerarquıa pro-yectiva. En las secciones siguientes estudiaremos hasta que punto podemosextender a la jerarquıa proyectiva algunas propiedades que hemos estudiadopara la jerarquıa de Borel y analizaremos algunas cuestiones mas que no hemostratado al estudiar los conjuntos de Borel porque sobre ellos tienen respuestanegativa, como la existencia de buenos ordenes proyectivos y la propiedad deuniformizacion.

5.1 Conjuntos analıticos

Suslin definio los conjuntos analıticos como los que pueden obtenerse a partirde conjuntos de Borel mediante la operacion de Suslin, sin embargo, aquı vamosa dar una definicion mucho mas practica. El teorema 5.7 demuestra que ladefinicion que adoptamos aquı es equivalente a la original de Suslin.

Definicion 5.1 SeaX un espacio polaco. Un subconjunto A ⊂ X es analıtico siexiste un espacio polaco Y , una aplicacion continua f : Y −→ X y un conjuntode Borel B ∈ B(Y ) tal que f [B] = A.

En otras palabras, los conjuntos analıticos son las imagenes continuas delos conjuntos de Borel. En particular, vemos que todo conjunto de Borel esanalıtico.

Tambien es inmediato que si X ⊂ Y son espacios polacos, entonces lossubconjuntos analıticos de X son los subconjuntos analıticos de Y contenidosen X .

Veamos a continuacion que la definicion de conjunto analıtico se puede res-tringir bastante sin perder generalidad:

137

138 Capıtulo 5. Conjuntos Proyectivos

Teorema 5.2 Sea X un espacio polaco y A ⊂ X, A. Las afirmaciones siguien-tes son equivalentes:

a) A es analıtico.

b) A = ∅ o bien existe una funcion continua f : N −→ X tal que f [N] = A.

c) Existe un cerrado C ⊂ N × X tal que A = πX [C] (donde πX es la pro-yeccion en el segundo factor).

d) Existe un espacio polaco Y y un subconjunto de Borel B ⊂ Y ×X tal queA = π[B].

Demostracion: a) → b) Sea f : Y −→ X una funcion continua y seaB ∈ B(Y ) tal que f [B] = A. Por el teorema 2.4 podemos considerar unatopologıa mas fina en Y respecto a la cual B es abierto y cerrado. En particularB es un espacio polaco con dicha topologıa. Por el teorema 1.19 existe unaaplicacion continua y suprayectiva g : N −→ B, en principio respecto a latopologıa refinada de B, pero, evidentemente, g tambien es continua respectode la topologıa original.

b) → c) Sea C = (x, f(x)) | x ∈ N, que es cerrado en N ×X porque es laantiimagen de la diagonal por la aplicacion continua N×X −→ X×X inducidapor f y la identidad. Evidentemente A = πX [C].

c) → d) → a) son triviales.

Teorema 5.3 La interseccion numerable y la union numerable de conjuntosanalıticos en un espacio polaco es un conjunto analıtico.

Demostracion: SeaX un espacio polaco y Ann∈ω una familia de subcon-juntos analıticos. Sea fn : N −→ X una aplicacion continua tal que fn[N] = An.Con estas aplicaciones podemos formar una aplicacion continua f : ω×N −→ Xdada por f(n, x) = fn(x), cuya imagen es la union

⋃

n∈ωAn, que es, por tanto,

analıtica.Sea ahora Z = x ∈ Nω |

∧

mn ∈ ω fm(xm) = fn(xn). Se cumple que Z escerrado, pues si x ∈ Nω \ Z existen m,n ∈ ω tales que fm(xm) 6= fn(xn), luegopodemos tomar entornos disjuntos Um y Un en X de ambos puntos, con lo quef−1m [Um]× f−1

n [Un]×Nω\m,n es un entorno de x en Nω disjunto con Z.Definimos f : Z −→ X mediante f(x) = f0(x0), que claramente es una

aplicacion continua y f [Z] =⋂

n∈ωAn. Por lo tanto, la interseccion es analıtica.

Es evidente que toda imagen continua de un conjunto analıtico es analıtica.No obstante, podemos probar algo mas general:

Teorema 5.4 Sea f : X −→ Y una aplicacion medible Borel entre dos espaciospolacos. Si A ⊂ X es analıtico, entonces f [A] es analıtico en Y , y si B ⊂ Y esanalıtico, entonces f−1[B] es analıtico en X.

5.1. Conjuntos analıticos 139

Demostracion: Tenemos que f [A] es la proyeccion del conjunto

F = (x, y) ∈ X × Y | x ∈ A ∧ f(x) = y.

Como, evidentemente, las imagenes continuas de los conjuntos analıticos sonanalıticas, basta probar que F es analıtico. Ahora bien, F = Gf ∩ (A × Y ),donde

Gf = (x, y) ∈ X × Y | y = f(x)

es la grafica de f (conjuntistamente, es la propia aplicacion f vista como sub-conjunto de X × Y ).

Se cumple que Gf es un conjunto de Borel, pues se trata de la antiimagende la diagonal por la aplicacion X × Y −→ Y × Y dada por (x, y) 7→ (f(x), y),y esta aplicacion es medible Borel. (La antiimagen de un abierto basico U × Ves f−1[U ]× V = p−1

X [U ] ∩ (X × V ), que es un conjunto de Borel en X × Y .)Por otra parte, A× Y es analıtico en X × Y , ya que si f : N −→ X es una

aplicacion continua tal que f [N] = A, entonces f induce una aplicacion continuaN × Y −→ X × Y cuya imagen en A× Y . Esto prueba que f [A] es analıtico.

El caso de f−1[B] es analogo, pues lo podemos expresar como la proyecciondel conjunto

F ′ = (x, y) ∈ X × Y | y ∈ B ∧ f(x) = y.

En particular, todo isomorfismo de Borel entre dos espacios polacos hacecorresponder biunıvocamente los conjuntos analıticos de ambos espacios.

Segun indicabamos al principio de la seccion, Suslin definio los conjuntosanalıticos como los que pueden obtenerse a partir de los conjuntos de Borelmediante lo que hemos llamado la operacion de Suslin (vease 1.18). Mas preci-samente:

Definicion 5.5 Si X es un conjunto y Γ ⊂ PX, llamaremos S(Γ)(X) a laclase de todos los conjuntos de la forma A = S(F ), para todo esquema de SuslinF : ω<ω −→ Γ. Similarmente, si Γ es una clase de conjuntos definida sobreuna familia de espacios topologicos, tenemos definida la clase S(Γ).

En estos terminos, vamos a probar que la clase de los conjuntos analıticoses S(Π0

1) = S(B). Antes conviene probar lo siguiente:

Teorema 5.6 Si X es un conjunto y Γ ⊂ PX, entonces S(S(Γ)) = S(Γ).

Demostracion: La inclusion S(Γ) ⊂ S(S(Γ)) es trivial. (Basta consideraresquemas de Suslin constantes.) Supongamos que A = S(F ), donde, para cadas ∈ ω<ω, Fs = S(Gs), donde Gs,t ∈ Γ. Ası pues:

x ∈ A↔∨

y ∈ N∧

n ∈ ω x ∈ Fy|n

↔∨

y ∈ N∧

n ∈ ω∨

z ∈ N∧

m ∈ ω x ∈ Gy|n,z|m

↔∨

y ∈ N∨

z ∈ Nω∧

nm ∈ ω x ∈ Gy|n,zn|m .

140 Capıtulo 5. Conjuntos Proyectivos

Fijamos una biyeccion 〈 , 〉 : ω × ω −→ ω. Representaremos su inversa pork 7→ (k0, k1). A partir de aquı, definimos una biyeccion f : N −→ N × Nω

mediante f(u) = (x, z), donde

x(n) = u(2n+ 1), zn(i) = u(2 〈n, i〉).

Entoncesx ∈ A↔

∨

u ∈ N∧

k ∈ ω x ∈ Gx|k0 ,zk0 |k1 .

Ahora bien, por la construccion de f es claro que, para cada k ∈ ω, existe unrk ∈ ω tal que las sucesiones x|k0 , zk0 |k1 dependen unicamente de u|rk . Podemostomar la sucesion rkk∈ω creciente con r(0) = 0, y entonces podemos definirdos funciones φ, ψ : ω<ω −→ ω<ω tales que si rk ≤ ℓ(s) < rk+1 entonces φ(s)y ψ(s) sean las sucesiones x|k0 , zk0 |k1 para cualquier u ∈ Bs|rk . Ası, llamandoHs = Gφ(s),ψ(s), tenemos que

x ∈ A↔∨

u ∈ N∧

k ∈ ω x ∈ Hu|k .

Por lo tanto, A = S(H), donde H es un esquema de Suslin en Γ.

Teorema 5.7 Sea X un espacio polaco y A ⊂ X. Las afirmaciones siguientesson equivalentes:

a) A es analıtico.

b) A = S(F ), donde F : ω<ω −→ PX es un esquema de Suslin cerrado quecumple la condicion de los diametros, es decreciente (es decir, que si s ⊂ tentonces Ft ⊂ Fs) y (si A 6= ∅) tal que Fs 6= ∅ para todo s.

c) Lo mismo que b), pero con F abierto en lugar de cerrado.

d) A = S(F ), donde F es un esquema de Suslin analıtico.

e) A = S(F ), donde F es un esquema de Suslin analıtico decreciente con lapropiedad de los diametros, F∅ = A, Fs =

⋃

n∈ωFsn y, para todo x ∈ N,

⋂

n∈ωFx|n 6= ∅.

Demostracion: a) → b). Podemos suponer que A 6= ∅. Existe entoncesuna aplicacion continua f : N −→ X tal que f [N] = A. Definimos Fs = f [Bs].Ası F es un esquema de Suslin cerrado, decreciente y sus conjuntos son novacıos. Tambien cumple la condicion de los diametros, pues si x ∈ N, dadoǫ > 0, existe un s tal que x ∈ Bs ⊂ f−1[Bǫ(f(x))], luego, si n0 = ℓ(s), s = x|n0

y, para todo n ≥ n0, f [Bx|n ] ⊂ f [Bx|n0] ⊂ Bǫ(f(x)), luego el diametro de Fx|n

es ≤ ǫ.Solo falta probar que A = S(F ). Ahora bien, si x ∈ N, entonces claramente

f(x) ∈⋂

n∈ωFx|n , luego A ⊂ S(F ) y recıprocamente, si y ∈ S(F ), existe un

x ∈ N tal que y ∈⋂

n∈ωFx|n , luego, para cada n ∈ ω, existe un xn ∈ Bx|n tal que

5.1. Conjuntos analıticos 141

d(f(xn), y) < 1/n, con lo que lımnxn = x, luego f(x) = lım

nf(xn) = y, luego

y ∈ A.

b) → c). Sea d una distancia en X . Para cada s ∈ ωn definimos

F ′(s) = x ∈ X | d(x, F (s)) < 1/n.

Ası F ′ es un esquema de Suslin abierto que cumple las mismas propiedadesque F . Solo hemos de probar que S(F ) = S(F ′). Dado x ∈ N, es evidente que

p =⋂

n∈ωF (x|n) ⊂

⋂

n∈ωF ′(x|n).

Si la interseccion de la derecha contiene un punto q, entonces p, q ∈ F ′(x|n)para todo n y, como los diametros tienden a 0, ha de ser p = q. Por lo tanto, seda la igualdad y

S(F ) =⋃

x∈N

⋂

n∈ωF (x|n) =

⋃

x∈N

⋂

n∈ωF ′(x|n) = S(F ′).

Obviamente c) → d) y d) → a) se sigue de 5.6.

Por ultimo, e) → d) y para probar a) → e) consideramos una aplicacioncontinua f : N −→ X como en la prueba de a) → b) y definimos Fs = f [Bs](sin tomar clausuras). Entonces F es un esquema de Suslin analıtico, la pruebade que A = S(F ) es valida igualmente y el resto es inmediato.

Nota Si X es un espacio polaco cero-dimensional, todo subconjunto analıticode X es de la forma S(F ), donde F es un esquema de Suslin abierto cerrado.En efecto, basta observar que Σ0

1 ⊂ S(∆01), luego

S(Σ01) ⊂ S(S(∆0

1)) = S(∆01) ⊂ S(Σ0

1),

y por el teorema anterior S(Σ01) es la clase de los conjuntos analıticos.

Ahora demostramos un resultado fundamental:

Teorema 5.8 (Teorema de separacion de Lusin) Sea X un espacio polacoy sean P y Q dos subconjuntos analıticos de X disjuntos entre sı. Entoncesexiste un conjunto de Borel C ⊂ X tal que P ⊂ C y Q ∩C = ∅.

Demostracion: Diremos que dos subconjuntos de X son separables si sa-tisfacen el teorema. Es evidente que si P =

⋃

m∈ωPm y Q =

⋃

n∈ωQn son disjuntos

y cada par Pm, Qn es separable por un conjunto de Borel Cm,n, entonces P yQ son separables por

⋃

m∈ω

⋂

n∈ωCm,n.

Sean f : N −→ X y g : N −→ X aplicaciones continuas tales que f [N] = A,g[N] = B. Para cada s ∈ ω<ω, llamemos Ps = f [Bs], Qs = g[Bs]. Ası

Ps =⋃

m∈ωPsm, Qs =

⋃

n∈ωQsn.

142 Capıtulo 5. Conjuntos Proyectivos

Por lo tanto, si P = P∅ y Q = Q∅ no son separables, existen s1, t1 ∈ ω1 talesque Ps1 y Qt1 no son separables. A su vez, existen s2, t2 ∈ ω2 que extiendena s1 y t1 respectivamente tales que Ps2 y Qt2 no son separables. Procediendode este modo obtenemos x, y ∈ N tales que Px|n y Q|y|n no son separables paraningun n.

Como f(x) ∈ P y g(y) ∈ Q, se cumple que f(x) 6= g(y), luego podemostomar abiertos disjuntos U y V en X tales que f(x) ∈ U , g(y) ∈ V , peroentonces existe un n ∈ ω tal que Px|n = f [Bx|n ] ⊂ U y Qy|n = g[By|n ] ⊂ V ,luego U separa a Px|n y Qy|n , contradiccion.

Para enunciar mas convenientemente las consecuencias de este teorema con-viene introducir la notacion siguiente:

Definicion 5.9 Llamaremos Σ11 a la clase de los subconjuntos analıticos de los

espacios polacos. LlamaremosΠ11 = ¬Σ1

1 a la clase de los conjuntos coanalıticos,es decir, los complementarios de los conjuntos analıticos, mientras que ∆1

1 =Σ1

1 ∩ ∆11 sera la clase de los conjuntos que son simultaneamente analıticos y

coanalıticos.

Las clases que acabamos de definir son el principio de la jerarquıa proyectivaque introduciremos en la seccion 5.3. La principal consecuencia del teorema deLusin es la siguiente:

Teorema 5.10 (Suslin) Los subconjuntos de un espacio polaco que son a lavez analıticos y coanalıticos son los conjuntos de Borel, es decir, ∆1

1 = B.

En efecto, si A es ∆11, basta aplicar el teorema 5.8 a A y X \A.

Teniendo esto en cuenta, lo que afirma el teorema de Lusin es que la claseΣ1

1 tiene la propiedad de separacion. En realidad satisface una propiedad masfuerte aun que la propiedad de separacion generalizada:

Teorema 5.11 Si Γ es una clase conjuntos en espacios polacos cerrada parauniones numerables e intersecciones finitas y tiene la propiedad de separacion,entonces tiene la propiedad de σ-separacion, es decir, si Ann∈ω es una familiade conjuntos de Γ disjuntos dos a dos, existe una familia Bnn∈ω de conjuntosde ∆ disjuntos dos a dos tal que An ⊂ Bn, para todo n.

Demostracion: Llamamos A′n =

⋃

i6=n

Ai ∈ Γ. Por la propiedad de sepa-

racion existe En ∈ ∆ tal que An ⊂ En y A′n ∩ En = ∅. Definimos B0 = E0 y

Bn = En \⋂

i<n

Bi. Claramente los conjuntos Bn cumplen lo pedido.

En particular, la clase Σ11 tiene la propiedad de σ-separacion. Veamos algu-

nas aplicaciones de las propiedades de separacion de los conjuntos analıticos:

Teorema 5.12 Sea f : X −→ Y una aplicacion entre espacios polacos. Lasafirmaciones siguientes son equivalentes:

5.1. Conjuntos analıticos 143

a) f es medible Borel.

b) La grafica Gf = (x, y) ∈ X × Y | y = f(x) es un conjunto de Borel.

c) Gf es un conjunto analıtico.

En particular, si f es biyectiva y medible Borel, es un isomorfismo de Borel.

Demostracion: La implicacion a) → b) la hemos visto en la demostracionde 5.4 y b) → c) es evidente. Supongamos c), es decir, que la grafica Gf esanalıtica, y sea A ∈ B(Y ). Entonces

x ∈ f−1[A] ↔∨

y((x, y) ∈ Gf ∩ (X ×A)) ↔ ¬∨

y((x, y) ∈ Gf ∩ (X × (Y \A))).

La primera equivalencia muestra que f−1[A] es analıtico, pues es la pro-yeccion de un conjunto analıtico de X × Y , mientras que la segunda muestraque es coanalıtico, pues es el complementario de la proyeccion de otro conjuntoanalıtico de X × Y . Por el teorema anterior f−1[A] es un conjunto de Borel,luego f es medible Borel.

Notemos que todavıa no hemos demostrado que existen conjuntos analıticosque no son de Borel. Posponemos la prueba de este hecho hasta la seccion 5.3,donde obtendremos un resultado mas general. Sin embargo, aunque —comoveremos— las imagenes continuas de conjuntos de Borel no son necesariamenteconjuntos de Borel, sı que lo son cuando la aplicacion continua es inyectiva:

Teorema 5.13 Sea f : X −→ Y una aplicacion continua entre espacios polacosy B ⊂ X un conjunto de Borel tal que f |B sea inyectiva. Entonces f [B] es unconjunto de Borel.

Demostracion: Veamos en primer lugar que podemos suponer que X = N

y que B es cerrado. Para ello aplicamos el teorema 2.4, en virtud del cual Xadmite una topologıa mas fina de espacio polaco en la que B es abierto cerrado y,en particular, un espacio polaco. Por el teorema 1.20 existe un cerrado C ⊂ N

y una biyeccion continua g : C −→ B, que seguira siendo continua (comoaplicacion g : C −→ X) si en X consideramos la topologıa original (menosfina). De este modo, g f : N −→ Y es continua, es inyectiva restringida a C y(g f)[C] = f [B].

Por lo tanto, podemos suponer que tenemos f : N −→ Y continua y que Bes cerrado en N. Por el teorema 1.14 tenemos que B = [R], para un cierto arbolbien podado R ⊂ ω<ω. Llamamos Rn = R ∩ ωn, es decir, el conjunto de losnodos de R de altura n.

Vamos a definir una aplicacion A : [R] −→ B(Y ) (como un esquema deSuslin de Borel, pero definido unicamente sobre [R]). Tomamos A(∅) = Y .Para n > 0, consideramos los conjuntos f [Bs ∩ B]s∈Rn

, que forman unafamilia numerable de conjuntos analıticos en Y disjuntos dos a dos. Puesto queel teorema 5.11 se aplica a la clase Σ1

1, existen conjuntos de Borel Css∈Rn

disjuntos dos a dos tales que f [Bs ∩B] ⊂ Cs. Definimos

A(s) = A(s|n−1) ∩ Cs ∩ f [Bs ∩B].

144 Capıtulo 5. Conjuntos Proyectivos

Una simple induccion muestra que f [Bs ∩B] ⊂ A(s) ⊂ f [Bs ∩B].

Si x ∈ B y n ∈ ω, entonces x|n ∈ Rn y x ∈ Bx|n ∩B, luego f(x) ∈ A(x|n) yası f(x) ∈

⋂

n∈ωA(x|n). Recıprocamente, si y ∈ Y esta en la interseccion, ha de

ser y = f(x), pues, en caso contrario, existe un abierto U en Y tal que y ∈ U ,f(x) /∈ U . Entonces x /∈ f−1[U ], luego existe un n tal que Bx|n ∩ f−1[U ] = ∅.

A su vez, f [Bx|n ∩ B] ∩ U = ∅, luego f [Bx|n ∩B] ∩ U = ∅, pero esto es falso,

pues y ∈ A(x|n) ∩ U ⊂ f [Bx|n ∩B] ∩ U . Ası pues,

f [B] =⋃

x∈[R]

⋂

n∈ωA(x|n) =

⋂

n∈ω

⋃

s∈Rn

A(s),

donde la segunda igualdad se debe a que si s, t ∈ Rn son distintos entre sı, A(t)y, por consiguiente, todos los conjuntos A(tn), son disjuntos con A(s). Laultima expresion muestra que f [B] es un conjunto de Borel, ya que cada A(s)lo es y las uniones son numerables.

Definicion 5.14 Si X es un espacio polaco y A ⊂ X , diremos que A es uni-versalmente medible si es medible para toda medida de Borel en X .

Trivialmente, todo conjunto de Borel es universalmente medible, y ahoravamos a probar que los conjuntos analıticos y, por consiguiente, los coanalıticos,tambien lo son. Nos basaremos en un resultado general que nos permitira de-mostrar tambien que los conjuntos analıticos y coanalıticos tienen la propiedadde Baire:

Teorema 5.15 Sea B una σ-algebra en un conjunto X y supongamos que paracada A ∈ PX existe un A ∈ B tal que

a) A ⊂ A.

b) Si A ⊂ B ∈ B, todo subconjunto de A \B esta en B.

Entonces S(B) = B.

Demostracion: Sea F : ω<ω −→ B un esquema de Suslin. Podemossuponer que es decreciente, pues si definimos F ′

s =⋂

t⊂sFt, obtenemos un nuevo

esquema de Suslin en B que es decreciente y S(F ′) = S(F ).Definimos

F s =⋃

x∈Bs

⋂

n∈ωFx|n ⊂ Fs.

Claramente, F∅ = S(F ) y F s =⋃

n∈ωF s

n. Sea F s segun el enunciado. Note-

mos que F s ∩ Fs ∈ B cumple las mismas propiedades a) y b), luego podemossuponer que F s ⊂ Fs. Definimos Gs = F s \

⋃

n∈ωF s

n. Teniendo en cuenta que

F s =⋃

n∈ωF s

n ⊂⋃

n∈ωF s

n ∈ B, por b), todo subconjunto de Gs esta en B,

luego todo subconjunto de G =⋃

s∈ω<ω

Gs esta en B.

5.1. Conjuntos analıticos 145

Vamos a probar que F∅ \F∅ ⊂ G. Con esto tendremos probado el teorema,pues entonces F∅ \ F∅ ∈ B y tambien S(F ) = F∅ ∈ B.

Tomamos, pues, x ∈ F∅ \ F∅. Observemos que, en general, si x ∈ F s \G,entonces x /∈ Gs, luego existe un n ∈ ω tal que x ∈ F s

n \G.Ası pues, si fuera x /∈ G, podrıamos definir recurrentemente un y ∈ N tal

que x ∈ F y|n ⊂ Fy|n , luego x ∈⋃

n∈ωFy|n ⊂ S(F ) = F∅, contradiccion.

Como primera aplicacion:

Teorema 5.16 Si X es un espacio polaco, el algebra Ba(X) de los subconjuntosde X con la propiedad de Baire es cerrada para la operacion de Suslin y, enparticular, contiene a todos los subconjuntos analıticos de X.

Demostracion: Solo hemos de probar que Ba(X) cumple las hipotesis delteorema 5.15. Fijemos una base numerable Unn∈ω. Dado A ⊂ X , sea

A′ = x ∈ X |∧

n ∈ ω(x ∈ Un → Un ∩ A no es de primera categorıa).

Se cumple que A′ es cerrado, pues si x /∈ A′, existe un n ∈ ω tal que x ∈ Uny Un ∩ A es de primera categorıa, y entonces x ∈ Un ⊂ X \A′.

Ahora observamos que A \A′ es la union de todos los conjuntos Un ∩A queson de primera categorıa, luego A \ A′ es de primera categorıa. Por lo tanto,A = A ∪ A′ = A′ ∪ (A \ A′) es union de un cerrado y un conjunto de primeracategorıa, luego A ∈ Ba(X) y ciertamente A ⊂ A.

Finalmente, si A ⊂ B ∈ Ba(X), tenemos que P = A \ B ∈ Ba(X). Vamosa probar que es de primera categorıa. Existe un abierto U tal que P ∆U esde primera categorıa. Si P no es de primera categorıa, entonces U 6= ∅, yU \P es de primera categorıa (en particular, Un∩P 6= ∅). Tomando un abiertomenor no vacıo, existe un n ∈ ω tal que Un \ P es de primera categorıa. ComoUn ∩ A ⊂ Un \ P , tambien Un ∩ A es de primera categorıa. Por otra parte,existe un x ∈ Un ∩P ⊂ Un ∩A

′, pero esto implica que Un ∩A no es de primeracategorıa, y tenemos una contradiccion.

Finalmente, todos los subconjuntos de A\B son de primera categorıa, luegotienen la propiedad de Baire.

Teorema 5.17 Sea X un espacio polaco y µ una medida de Borel en X. En-tonces, el algebra Mµ de los conjuntos µ-medibles es cerrada para la operacionde Suslin, y en particular contiene a todos los subconjuntos analıticos de X.

Demostracion: Por el teorema 2.15 existe una medida unitaria µ′ en Xcon los mismos conjuntos medibles, por lo que no perdemos generalidad si su-ponemos que µ es finita. Basta comprobar que Mµ cumple las hipotesis delteorema 5.15. Por [An 8.24] podemos extender µ (restringida a B(X)) a unamedida exterior µ∗ sobre PX . Entonces, para todo A ⊂ X , existe un conjuntoAn ∈ B(X) tal que A ⊂ An y µ(An) − µ∗(A) < 1/n. De hecho, usando laregularidad de µ, podemos sustituir An por un abierto que lo contenga, con lo

146 Capıtulo 5. Conjuntos Proyectivos

que An puede tomarse abierto. Entonces el Gδ dado por A =⋂

n∈ωAn cumple

que µ(A) = µ∗(A).

Ciertamente A ⊂ A y, si A ⊂ B ∈ Mµ, entonces µ(A \B) = 0, pues en caso

contrario existirıa un conjunto de Borel C ⊂ A \B ⊂ A \A con µ(C) > 0, peroesto es imposible, porque entonces A ⊂ A \C ⊂ A y µ∗(A) ≤ µ(A \C) < µ(A).Por consiguiente, por la completitud de la medida, todo subconjunto de A \ Bes µ-medible.

Ası pues, los conjuntos analıticos (y los coanalıticos) son universalmentemedibles. Veamos ahora que que los conjuntos analıticos cumplen tambien lapropiedad de los subconjuntos perfectos. Para ello necesitamos un resultadoauxiliar:

Teorema 5.18 Sea X un espacio polaco y A ⊂ X un conjunto no numerable.Entonces existen abiertos disjuntos U0 y U1 tales que Ui ∩ A es no numerable,para i = 0, 1.

Demostracion: Supongamos que el resultado es falso. Para cada n ∈ ω,sea Un,mm∈ω una familia de bolas abiertas de radio 1/(n+1) que cubra todoel espacio X . No puede ocurrir que Un,m ∩ A sea numerable para todo m,pues entonces A serıa numerable. Ası pues, existe una bola abierta Un de radio1/(n + 1) tal que Un ∩ A es no numerable. Sea An = A \ Un. Si An fuera nonumerable, entonces V = X \ Un serıa un abierto disjunto de Un con V ∩ Ano numerable, luego, por la hipotesis de reduccion al absurdo, An ha de sernumerable. Pero

A \⋃

n∈ωAn =

⋂

n∈ωUn

y, como el diametro de los Un tiende a 0, la interseccion contiene a lo sumo unpunto, luego A es numerable, y tenemos una contradiccion.

Teorema 5.19 Si X es un espacio polaco y A ⊂ X es un subconjunto analıticono numerable, entonces A contiene un subconjunto perfecto.

Demostracion: Sea f : N −→ X una aplicacion continua con f [N] = A.

Observemos en primer lugar que si V ⊂ N es abierto y f [V ] es no numerable,entonces existen dos abiertos disjuntos W0 y W1 contenidos en V tales quef [Wi] es no numerable, para i = 0, 1. En efecto, por el teorema anterior existenabiertos disjuntos U0 y U1 en X tales que f [V ]∩Ui 6= ∅, por lo que basta tomarWi = f−1[Ui] ∩ V .

Aplicando repetidamente este resultado1 podemos construir una aplicaciont : 2<ω −→ ω<ω que cumpla las propiedades siguientes:

1Como todo abierto es union numerable de abiertos basicos, los abiertos Ui pueden tomarsebasicos, con lo que no hace falta AE para elegirlos.

5.2. Conjuntos coanalıticos 147

a) t∅ = ∅.

b) s ⊂ s′ → ts ⊂ ts′ .

c) f [Bts ] es no numerable.

d) f [Bts0 ] ∩ f [Bts1 ] = ∅.

Sea g : C −→ N la aplicacion dada por g(x) =⋃

n∈ωtx|n . Claramente, g es

continua, y g f : C −→ X es inyectiva. Como C es compacto, la imagen deesta aplicacion es un cerrado no numerable contenido en A. Como todo cerradono numerable contiene un subconjunto perfecto, lo mismo le sucede a A.

5.2 Conjuntos coanalıticos

Estudiamos ahora los conjuntos Π11, es decir, los conjuntos coanalıticos. De

las propiedades que hemos demostrado para la clase Σ11 se sigue inmediatamente

que Π11 es cerrada para uniones e intersecciones numerables y para sustituciones

continuas, ası como que los conjuntos coanalıticos son universalmente mediblesy tienen la propiedad de Baire.

En esta seccion daremos demostraciones “clasicas” (topologicas) de algunaspropiedades adicionales de los conjuntos coanalıticos que volveremos a demos-trar en el capıtulo VII mediante tecnicas “efectivas” (conjuntistas) alternativas.

Empezaremos presentando un concepto similar al de esquema de Suslin quenos sera mas conveniente para lo que vamos a hacer. La idea basica no usarcomo ındices los elementos de ω<ω sino los numeros diadicos:

Definicion 5.20 Llamaremos D ⊂ ]0, 1[ al conjunto de los numeros diadicos,es decir, los numeros racionales de la forma d = m/2n, donde m,n ∈ ω y0 < m < 2n. Lo consideraremos como conjunto ordenado con el orden opuesto al orden usual en Q.

Claramente, el conjunto D cumple las hipotesis del teorema de Cantor[TC 7.9], por lo que es semejante a Q.

Si d = m/2n es un numero diadico, el numero natural m puede expresarse

de forma unica en base 2 como m =k∑

i=0

2mi , donde 0 ≤ m0 < · · · < mk < n,

con lo que todo numero diadico se expresa en forma unica como

d =k∑

i=0

2−ni , 0 < n0 < · · · < nk.

Definimos Dk como el conjunto de los numeros diadicos cuyo desarrollo enserie de esta forma tiene longitud k (empezando en 0). Ası, D =

⋃

k∈ω

Dk.

148 Capıtulo 5. Conjuntos Proyectivos

Hemos invertido el orden usual en Q porque, de este modo, cada conjuntoDk esta bien ordenado. En efecto, si A ⊂ Dk no es vacıo, tomamos un elemento

a =k∑

i=0

2−ni ∈ A con n0 mınimo. De entre todos los elementos de A con dicho

n0 mınimo, consideramos los que tienen n1 mınimo, y ası sucesivamente. Elunico a que tiene todos los exponentes mınimos en este sentido es el mınimo deA (maximo con el orden usual).

Por otro lado, definimos el orden parcial ⊑ en D mediante

k∑

i=0

2−ni ⊑l∑

i=0

2−mi ↔ k ≤ l ∧∧

i ≤ k ni = mi.

Claramente, si r ∈ Dk, s ∈ Dl y r ⊑ s, entonces k ≤ l y r ≤ s. Ademas, sis ∈ D, el conjunto r ∈ D | r ⊑ s es finito.

Una criba en un conjunto X es una aplicacion Φ : D −→ PX . Para cadax ∈ X , definimos

Mx(Φ) = r ∈ D | x ∈ Φ(r)

y a su vez llamamos

C(Φ) = x ∈ X | (Mx(Φ),) no esta bien ordenado.

Equivalentemente, x ∈ C(Φ) si y solo si existe una sucesion rnn∈ω de ele-mentos de D estrictamente creciente (respecto del orden usual en Q) tal que∧

n ∈ ω x ∈ Φ(rn).

Una criba es monotona si∧

rs ∈ D(r ⊑ s→ Φ(s) ⊂ φ(r)).

Diremos que una criba Φ en un espacio topologico X es abierta, cerrada, deBorel, etc. si los conjuntos Φ(r) son abiertos, cerrados, de Borel, etc.

Necesitamos el siguiente resultado auxiliar:

Teorema 5.21 Sea Φ una criba monotona en un conjunto X. Entonces secumple que x ∈ C(Φ) si y solo si existe una sucesion rnn∈ω estrictamentecreciente respecto de ⊑ de elementos de D tal que

∧

n ∈ ω x ∈ Φ(rn).

Demostracion: Como r ⊏ s → r < s, una implicacion es trivial. Supon-gamos ahora que existe una sucesion rnn∈ω en D estrictamente creciente parael orden usual en Q y tal que x ∈ Φ(rn). Llamemos r = sup

nrn ≤ 1. Podemos

desarrollarlo en base 2 como

r =∞∑

i=0

2−mi, 0 < m0 < m1 < · · ·

Notemos que si r admite una expresion de este tipo con un numero finito desumandos, siempre podemos desarrollar el ultimo de ellos como suma de unaserie geometrica de razon 1/2, con lo que obtenemos igualmente una expresioninfinita.

5.2. Conjuntos coanalıticos 149

Definimos sn =n∑

i=0

2−mi. De este modo snn∈ω es estrictamente creciente

para ⊑. Basta probar que x ∈ Φ(sn), para lo cual a su vez, por la monotonıade Φ, basta probar que, para cada n ∈ ω, existe un k ∈ ω tal que sn ⊑ rk.

Como sn < r, existe un k tal que sn < rk < r. Sea rk =l∑

i=0

2−ji , donde

0 < j0 < · · · < jl. Veamos que ji = mi para todo i ≤ m = mınn, l.Por reduccion al absurdo, suponemos que existe un p ≤ m tal que jp 6= mp.Tomemos el menor p posible. Si jp < mp, entonces

r =∑

i<p

2−mi +∞∑

i=p

2−mi ≤∑

i<p

2−ji + 2−mp+1 ≤∑

i<p

2−ji + 2−jp ≤ rk,

contradiccion. Si, por el contrario mp < jp, entonces

rk =∑

i<p

2−mi +l∑

i=p

2−ji ≤∑

i<p

2−mi + 2−jp+1 ≤∑

i<p

2−mi + 2−mp = sp ≤ sn,

contradiccion. Ası pues, hemos probado que sn ⊑ rk o bien rk ⊑ sn, pero, comosn < rk, se ha de dar el primer caso.

Con esto estamos en condiciones de demostrar que las cribas son hasta ciertopunto equivalentes a los esquemas de Suslin. Para ello observamos que la apli-

cacion s : D −→ ω<ω \ ∅ que a cada r =k∑

i=0

2−ni (donde 0 < n0 < · · · < nk)

le hace corresponder sr = ni − ni−1 − 1ki=0 (entendiendo que n−1 = 0) esbiyectiva y, mas aun, es una semejanza entre (D,⊑) y (ω<ω \ ∅,⊂).

Teorema 5.22 Sea X un espacio topologico y Z ⊂ X. Entonces, Z = S(A),para un esquema de Suslin decreciente A (abierto, cerrado, de Borel, etc.) si ysolo si Z = C(Φ) para una criba monotona Φ (abierta, cerrada, de Borel, etc.)

Demostracion: Supongamos en primer lugar que Z = S(A) y, para cadar ∈ D definimos Φ(r) = Asr . Ası Φ es una criba monotona (y es abierta,cerrada, etc. si A lo es). Veamos que S(A) = C(Φ).

Si x ∈ S(A), entonces existe un y ∈ N tal que∧

n ∈ ω x ∈ Ay|n . Llamamosrn al unico numero diadico que cumple y|n = srn , de modo que la sucesionrnn∈ω es estrictamente creciente y x ∈ Φ(rn), luego x ∈ C(Φ).

Supongamos ahora que x ∈ C(Φ). Por el teorema anterior existe una su-cesion rnn∈ω en D estrictamente creciente para ⊑ tal que x ∈ Φ(rn). Enton-ces, srn es una sucesion estrictamente creciente en ω<ω, luego y =

⋃

n∈ωsrn ∈ N

y, como A es decreciente,∧

n ∈ ω y ∈ Ay|n , es decir, x ∈ S(A).

Supongamos ahora que Z = C(Φ), para una cierta criba monotona Φ. De-finimos entonces A∅ = X y, para s ∈ ω<ω \ ∅, sera s = sr, para un unicor ∈ D, con lo que podemos definir As = Φ(r). De este modo, A es un esquemade Suslin decreciente (abierto, cerrado, etc. si lo es Φ). Como se cumple queΦ(r) = Asr , la parte ya probada nos da que S(A) = C(Φ).

150 Capıtulo 5. Conjuntos Proyectivos

En particular, si X es un espacio polaco, los subconjuntos analıticos de Xson los de la forma C(Φ), donde Φ es una criba monotona y cerrada en X . Losconjuntos coanalıticos son de la forma X \ C(Φ).

Mas adelante demostraremos que la condicion de monotonıa puede supri-mirse, es decir, que las cribas cerradas no necesariamente monotonas tambiendeterminan conjuntos analıticos. No obstante, para probarlo necesitamos algu-nos resultados previos sobre conjuntos definidos por cribas cerradas. Ası pues,a partir de aquı suponemos que Φ es una criba cerrada, pero no necesariamentemonotona, en un espacio polaco X y llamamos C = X \ C(Φ). Segun estamosadvirtiendo, esto equivale a suponer que C es un conjunto coanalıtico, pero aunno estamos en condiciones de probarlo. Por definicion de C(Φ) tenemos que

x ∈ C ↔ (Mx(Φ),) esta bien ordenado.

Para cada ordinal α < ω1 definimos

Aα(Φ) = x ∈ X | ord(Mx(Φ),) = α,

donde ord(Mx(Φ),) = α ha de entenderse como que (Mx(Φ),) esta bienordenado y su ordinal es α. Ası, C se descompone como union disjunta

C =⋃

α<ω1

Aα(Φ).

Vamos a probar que cada Aα(Φ) es un conjunto de Borel. Mas aun, sillamamos

Bα(Φ) =⋃

δ<α

Aδ(Φ) = x ∈ X | ord(Mx(Φ),) < α,

se cumple que

a) Si n ∈ ω, entonces Bn(Φ) es Gδ.

b) Si λ < ω1 es un ordinal lımite, entonces Bλ(Φ) es Σ0λ,

c) Si α = λ + n + 1, donde λ es un ordinal lımite y n ∈ ω, entonces Bα(Φ)es Π0

λ+1.

(Notemos que el hecho de que los conjuntos Bα(Φ) sean de Borel implicaque los Aα(Φ) tambien lo son, pues Aα(Φ) = Bα+1(Φ) \Bα(Φ).)

En efecto, dado n ∈ ω, tenemos que x ∈ Bn(Φ) si y solo si x pertenece amenos de n conjuntos Φ(r), luego x /∈ Bn(Φ) si y solo si existen r1, . . . , rn ∈ D

distintos dos a dos tales que x ∈ Φ(r1)∩ · · · ∩Φ(rn). La interseccion es cerraday los subconjuntos de D con n elementos son una cantidad numerable, luegoX \Bn(Φ) es un Fσ y Bn(Φ) es un Gδ.

Supongamos ahora que α < ω1 es infinito y que, para toda criba cerrada Φy todo δ < α se cumple a), b) y c).

5.2. Conjuntos coanalıticos 151

Si α = λ es un ordinal lımite, entonces

Bλ(Φ) =⋃

δ<λ

Bδ(Φ) ∈ Σ0λ.

Supongamos finalmente que α = λ+ n+ 1. Para cada r ∈ D, definimos

Φr(s) =

Φ(s) si s ≺ r,∅ en otro caso.

Ası:Mx(Φr) = s ∈Mx(Φ) | s ≺ r,

es decir, que los conjuntos Mx(Φr), para r ∈Mx(Φ) son los segmentos inicialesde Mx(Φ). Por consiguiente, x ∈ Bα(Φ) si y solo si, para todo r ∈ Mx(Φ), elconjunto Mx(Φr) esta bien ordenado y su ordinal es menor que λ+ n. Equiva-lentemente:

Bα(Φ) =⋂

r∈Mx(Φ)

Bλ+n(Φr).

Por hipotesis de induccion Bλ+n(Φr) ∈ Π0λ+1, luego tambien Bα(Φ) ∈ Π0

λ+1.

En particular hemos demostrado el teorema siguiente:

Teorema 5.23 Todo conjunto coanalıtico en un espacio polaco es union de ℵ1

conjuntos de Borel.

En particular:

Teorema 5.24 (AC) Todo conjunto coanalıtico en un espacio polaco tiene car-dinal ≤ ℵ1 o bien c.

Ası pues, mientras un conjunto analıtico solo puede tener cardinal numerableo igual a c, para los conjuntos coanalıticos tenemos, en principio, una terceraposibilidad, y es que tengan cardinal ℵ1.

Introducimos ahora un conjunto coanalıtico especialmente relevante:

Definicion 5.25 Llamamos BO = A ⊂ D | (A,) esta bien ordenado y,para cada α < ω1, definimos BOα = A ∈ BO | ord (A,) = α.

Ası, BO =⋃

α<ω1

BOα, la union es disjunta, y cada BOα 6= ∅. En efecto,

esto ultimo se debe a que Q (y, por consiguiente, D) posee subconjuntos bienordenados de cualquier ordinal numerable. Para probarlo basta aplicar el teo-rema de Cantor [TC 7.9] a α× Q con el orden lexicografico, lo que nos da queα×Q es semejante a Q.

Fijando una biyeccion d : ω −→ D podemos identificar cada subconjuntode D con un subconjunto de ω y este a su vez con su funcion caracterısticaen C = 2ω. De este modo, podemos considerar que BO, BOα ⊂ C. Masprecisamente, cada x ∈ C se corresponde con el conjunto

Ax = r ∈ D | x(d−1(r)) = 1

y, en estos terminos, x ∈ BO si y solo si (Ax,) esta bien ordenado.

152 Capıtulo 5. Conjuntos Proyectivos

Teorema 5.26 BO ∈ Π11(C).

Demostracion: Tenemos que x /∈ BO si y solo si (Ax,) no esta bienordenado, lo cual equivale a que exista una sucesion decreciente rnn∈ω deelementos de Ax. Si llamamos y(n) = d−1(rn), el hecho de que rn este en Axequivale a que x(yn)) = 1. Por lo tanto:

x /∈ BO ↔∨

y ∈ N∧

n ∈ ω (x(y(n)) = 1 ∧ d(y(n+ 1)) ≺ d(y(n))),

luego C \BO es la proyeccion del conjunto

C = (x, y) ∈ C×N |∧

n ∈ ω (x(y(n)) = 1 ∧ d(y(n+ 1)) ≺ d(y(n))),

luego basta ver que C es cerrado. A su vez, C es la interseccion de los conjuntos

Cn = (x, y) ∈ C×N | x(y(n)) = 1 ∧ d(y(n+ 1)) ≺ d(y(n)),

que son cerrados, pues, si (x, y) /∈ C×N, o bien x(y(n)) = 0, en cuyo caso

(x, y) ∈ Bx|y(n)+1×By|n+1

⊂ Cn,

o bien d(y(n)) d(y(n+ 1)), en cuyo caso (x, y) ∈ C×By|n+1⊂ Cn.

Definimos la criba abierta cerrada Φ en C dada por

Φ(r) = x ∈ C | x(d−1(r)) = 1.

Observamos que

Mx(Φ) = r ∈ D | x ∈ Φ(r) = r ∈ D | x(d−1(r)) = 1 = Ax.

Por consiguiente, x ∈ C(Φ) si y solo si Mx(Φ) = Ax no esta bien ordenado, si ysolo si x /∈ BO. Equivalentemente, BO = C \ C(Φ). Ademas, Aα(Φ) = BOα.

Esto implica que los conjuntos BOα son de Borel en C, y son disjuntos dosa dos (y no vacıos). Esto nos da cierta informacion sobre el cardinal de laσ-algebra de Borel de un espacio polaco (sin suponer el axioma de eleccion):

Teorema 5.27 Si X es un espacio polaco no numerable, |B(X)| ≥ ℵ1.

Demostracion: Por el teorema 2.10 basta probarlo para C, y claramentela aplicacion α 7→ BOα es una aplicacion ω1 −→ B(C) inyectiva.

La propiedad mas significativa del conjunto BO es la dada por el teoremasiguiente:

Teorema 5.28 Sea X un espacio polaco, sea Φ una criba de Borel en X y seaA = C(Φ). Entonces existe una aplicacion f : X −→ C medible Borel tal queAα(Φ) = f−1[BOα] para todo α < ω1. En particular X \ A = f−1[BO], luegoA es analıtico.

5.3. La jerarquıa proyectiva 153

Demostracion: Definimos f(x)(n) = 1 si y solo si x ∈ Φ(d(n)). Ası

Af(x) = r ∈ D | f(x)(d−1(r)) = 1 = r ∈ D | x ∈ Φ(r) =Mx(Φ).

Por lo tanto,

x ∈ Aα(Φ) ↔ ord (Mx(Φ),) = α↔ ord(Af(x),) = α↔ f(x) ∈ BOα,

es decir, Aα(Φ) = f−1[BOα]. Hemos de probar que f es medible Borel. Ahorabien, si s ∈ 2n, entonces

f−1[Bs] =⋂

s(m)=1

Φ(d(m)) ∩⋂

s(m)=0

(X \ Φ(d(m))) ∈ B(X).

Observemos que si la criba del teorema anterior es abierta cerrada, entonceslos conjuntos f−1[Bs] son abiertos cerrados, luego f es, de hecho, una aplicacioncontinua.

Ahora podemos demostrar un hecho que habıamos anunciado mas arriba:

Teorema 5.29 Un subconjunto A de un espacio polaco X es analıtico si y solosi A = C(Φ), para cierta criba de Borel Φ en X, que puede tomarse monotonay cerrada.

En la seccion siguiente demostraremos (teorema 5.41) que existen conjuntosanalıticos que no son de Borel (o, equivalentemente, conjuntos analıticos que noson coanalıticos, y viceversa), si bien los ejemplos que daremos seran un tantosofisticados. Admitiendo este hecho, podemos demostrar que BO proporcionaotro ejemplo, solo que mucho mas simple.

Teorema 5.30 El conjunto BO ⊂ C es coanalıtico, pero no analıtico.

Demostracion: Si fuera analıtico, serıa de Borel, y por el teorema 5.28todos los conjuntos coanalıticos serıan de Borel (y los analıticos tambien).

5.3 La jerarquıa proyectiva

Aunque todavıa hemos de demostrar mas propiedades basicas de los conjun-tos analıticos y coanalıticos, conviene introducir antes la jerarquıa proyectiva,de la que Σ1

1 y Π11 son los primeros peldanos:

Definicion 5.31 Para cada espacio polaco X y cada n ∈ ω \ 0, definimosinductivamente las clases (de Lusin) Σ1

n(X) y Π1n(X) como sigue:

• Σ11(X) = A ⊂ X | A es analıtico.

• Π1n(X) = X \A | A ∈ Σ1

n(X).

• Σ1n+1(X) = πX [A] | A ∈ Π1

n(X ×N).

Definimos ademas ∆1n = Σ1

n ∩Π1n.

154 Capıtulo 5. Conjuntos Proyectivos

Claramente, las clases Σ11, Π

11 y ∆1

1 son las que ya tenıamos definidas. Enparticular∆1

1 es la clase de los conjuntos de Borel. Las clases de Lusin satisfacenlas mismas inclusiones que la jerarquıa de Borel:

Teorema 5.32 Si X es un espacio polaco, se dan las inclusiones siguientes:

⊂∆1

1⊂

Σ11 ⊂

Π11

⊂

∆12

⊂Σ1

2

⊂

Π12

⊂

∆13

⊂ Σ13

⊂

Π13

⊂∆1

4

⊂ . . .

⊂ . . .

⊂

. . .⊂

Demostracion: Si A ∈ Σ11(X), existe un cerrado C ⊂ X × N tal que

A = πX [C], pero C ∈ B(X × N) ⊂ Π11(N × X), luego A ∈ Σ1

2(X), es decir,tenemos la inclusion Σ1

1 ⊂ Σ12. En general, de la inclusion Σ1

n ⊂ Σ1n+1 se sigue

que Π1n ⊂ Π1

n+1 y de aquı a su vez que Σ1n+1 ⊂ Σ1

n+2.

Si A ∈ Π1n(X), entonces A×N ∈ Π1

n(X×N). Esto es un caso particular delteorema siguiente 5.34: las antiimagenes continuas de conjuntos de cualquierade las clases de Lusin estan en la misma clase. Naturalmente, demostraremos5.34 sin apoyarnos en el teorema que estamos demostrando.

Aceptando esto, concluimos que A = πX(A×N) ∈ Σ1n+1(X), luego tenemos

la inclusion Π1n ⊂ Σ1

n+1. Tomando complementarios obtenemos a su vez que

Σ1n ⊂ Π1

n+1.

Las inclusiones concernientes a las clases ∆1n son ahora inmediatas.

Definicion 5.33 Se llaman subconjuntos proyectivos de un espacio polaco X alos elementos de

P (X) =⋃

n∈ωΣ1n(X) =

⋃

n∈ωΠ1n(X) =

⋃

n∈ω∆1n(X).

Los teoremas siguientes recogen las propiedades basicas de las clases de Lu-sin:

Teorema 5.34 Las antiimagenes por funciones medibles Borel (en particular,continuas), las uniones numerables y las intersecciones numerables de conjuntosΣ1n (resp. Π1

n) son conjuntos Σ1n (resp. Π1

n). Los conjuntos ∆1n forman una

σ-algebra.

Demostracion: Veamos primero el caso de las antiimagenes medibles.Para Σ1

n lo tenemos probado (teorema 5.4). Si se cumple para Σ1n, se cum-

ple trivialmente para Π1n, pues, dada una funcion medible Borel f : X −→ Y y

un conjunto A ∈ Π1n(Y ), tenemos que Y \ A ∈ Σ1

n(Y ), luego, por hipotesis deinduccion, X \ f−1[A] = f−1[Y \A] ∈ Σ1

n(X), luego f−1[A] ∈ Π1n(X).

Si se cumple para Π1n y A ∈ Σ1

n+1(Y ), entonces existe un B ∈ Π1n(Y × N)

tal que A = πY [B]. Si f : X −→ Y es medible Borel, tambien lo es la aplicacioninducida f∗ : X × N −→ Y × N, luego f∗−1[B] ∈ Π1

n(X × N), con lo que

5.3. La jerarquıa proyectiva 155

A′ = πX [f∗−1[B]] ∈ Σ1n+1(X). Ahora basta observar que A′ = f−1[A]. En

efecto:

x ∈ A′ ↔∨

y ∈ N (x, y) ∈ f∗−1[B] ↔∨

y ∈ N (f(x), y) ∈ B ↔ f(x) ∈ A.

Por el teorema 5.3 sabemos que Σ11 es cerrado para uniones e intersecciones

numerables. Es inmediato que si vale para Σ1n tambien vale para Π1

n. Su-pongamos ahora que vale para Π1

n y sea Ann∈ω una familia de conjuntos enΣ1n+1(X). Entonces An = πY [Cn], con Cn ∈ Π1

n(X ×N). Por consiguiente,

πX [⋃

n∈ωCn] =

⋃

n∈ωπX [Cn] =

⋃

n∈ωAn ∈ Σ1

n+1(X).

Fijando un homeomorfismo N ∼= Nω que a cada y ∈ N le asigne una sucesion(yn)n∈ω, vemos que

x ∈⋂

n∈ωAn ↔

∧

n ∈ ω∨

a ∈ N (x, a) ∈ Cn ↔∨

y ∈ Nω∧

n ∈ ω (x, y(n)) ∈ Cn

↔∨

y ∈ N∧

n ∈ ω (x, yn) ∈ Cn ↔ x ∈ πX [U ],

dondeU = (x, y) ∈ X ×N |

∧

n ∈ ω (x, yn) ∈ Cn

=⋂

n∈ω(x, y) ∈ X ×N | (x, yn) ∈ Cn

=⋂

n∈ω(I × pn)

−1[(x, y) ∈ X ×N | (x, y) ∈ Cn]

=⋂

n∈ω(I × pn)

−1[Cn] ∈ Π1n(X ×N),

luego⋂

n∈ωAn ∈ Σ1

n+1(X).

En particular, un isomorfismo de Borel entre dos espacios polacos determinaisomorfismos entre sus respectivas σ-algebras ∆1

n, ası como entre sus algebrasde conjuntos proyectivos.

Hemos definido los conjuntos Σ1n+1(X) como las proyecciones de conjuntos

Π1n(X×N), pero en realidad todas las imagenes de conjuntos Π1

n por cualquieraplicacion continua, o simplemente medible Borel, sonΣ1

n+1, tal y como muestrael teorema siguiente:

Teorema 5.35 Las imagenes de los conjuntos Σ1n por funciones medibles Borel

(en particular, continuas) son Σ1n, mientras que las imagenes de los conjuntos

Π1n son los conjuntos Σ1

n+1.

Demostracion: Sea f : X −→ Y una aplicacion medible Borel. En laprueba del teorema 5.4 hemos visto que su grafica

Gf = (x, y) ∈ X × Y | y = f(x)

156 Capıtulo 5. Conjuntos Proyectivos

es un conjunto de Borel en X × Y . Por otra parte, el teorema 1.19 nos da unaaplicacion g : N −→ X continua y suprayectiva, con la que podemos construira su vez una aplicacion h : Y ×N −→ X × Y continua y suprayectiva.

Si A ∈ Π1n(X), tenemos que

B = (x, f(x) | x ∈ A = (A× Y ) ∩Gf ∈ Π1n(X × Y ),

luego C = h−1[B] ∈ Π1n(Y × N), luego πY [C] ∈ Σ1

n+1(Y ). Pero πY [C] = f [A].En efecto:

y ∈ πY [C] ↔∨

x ∈ N (y, x) ∈ C ↔∨

x ∈ N (g(x), y) ∈ B

↔∨

x ∈ X (x, y) ∈ B ↔ y ∈ f [A].

Con esto queda probada la parte del enunciado sobre conjuntos Π1n. El

caso Σ11 es el teorema 5.4 y, para n > 1, tenemos que los conjuntos Σ1

n sonlas imagenes de los conjuntos Π1

n−1 por aplicaciones medibles Borel, luego las

imagenes de los conjuntos Σ1n por aplicaciones medibles Borel son tambien

imagenes de conjuntos Π1n−1 por aplicaciones medibles Borel, luego son Σ1

n.

El teorema anterior se puede precisar ligeramente:

Teorema 5.36 Sea f : X −→ Y una aplicacion inyectiva y medible Borel entreespacios polacos.

a) Si A ∈ B(X), entonces f [A] ∈ B(Y ).

b) Si A ∈ Π1n(X), entonces f [A] ∈ Π1

n(Y ).

Demostracion: a) Sea G = G(f) ⊂ X × Y la grafica de f , que por 5.12es un conjunto de Borel. La inyectividad de f se traduce en que la proyeccionπY : X × Y −→ Y cumple que πY |G es inyectiva, luego, por 5.13 tenemos quef [A] = πY [π

−1X [A] ∩G] ∈ B(Y ).

b) Basta observar que f [A] = f [X ]∩ (Y \ f [X \A]). Por una parte, tenemosque f [X ] ∈ ∆1

1 ⊂ Π1n por el apartado anterior y, por otra parte, f [X \A] ∈ Σ1

1

por el teorema anterior, luego f [A] ∈ Π1n.

Ahora podemos hacer una observacion sobre bases de Hamel:

Teorema 5.37 Si existe una base de Hamel de clase Σ1n, entonces existe un

subconjunto de R de clase Σ1n no medible Lebesgue. En particular, una base de

Hamel no puede ser un conjunto analıtico.

Demostracion: Si B es una base de Hamel de clase Σ1n y b ∈ B, como

b es un conjunto de Borel, resulta que B0 = B \ b es tambien Σ1n. En la

nota final de la seccion 3.1.4 hemos visto que existe un conjunto no medibleLebesgue que es union numerable de imagenes continuas de B0, luego tambienes Σ1

n.

5.3. La jerarquıa proyectiva 157

Teorema 5.38 Si X ⊂ Y son espacios polacos, entonces los subconjuntos Σ1n,

Π1n o ∆1

n de X son los subconjuntos de la misma clase de Y contenidos en X.

Demostracion: Teniendo en cuenta que la inclusion i : X −→ Y es con-tinua, el teorema 5.34 implica que todo subconjunto de X que esta en una delas clases proyectivas de Y , esta en la clase correspondiente de X . Veamosahora que, para cada par de espacios X ⊂ Y , se cumple que Σ1

n(X) ⊂ Σ1n(Y )

y Π1n(X) ⊂ Π1

n(Y ).

Para Σ11 se deduce inmediatamente de la definicion de conjunto analıtico.

Si Σ1n(X) ⊂ Σ1

n(Y ) y A ∈ Π1n(X), entonces X \ A ∈ Σ1

n(Y ) y, comoX ∈ Π0

2(Y ) ⊂ ∆11(Y ), concluimos que Y \ A = (Y \ X) ∪ (X \ A) ∈ Σ1

n(Y ),luego A ∈ Π1

n(Y ).

Si Π1n(X) ⊂ Π1

n(Y ) para todo par de espacios X ⊂ Y y A ∈ Σ1n+1(X),

entonces existe un B ∈ Π1n(X ×N) ⊂ Π1

n(Y ×N) tal que A = πX [B] = πY [B],luego A ∈ Σ1

n+1(Y ).

A partir de aquı, el resultado para las clases ∆1n es trivial.

Aunque hemos definido los conjuntos proyectivos a partir de proyeccionesrespecto de productos con N. Sucede que es equivalente considerar proyeccionesrespecto de productos por C:

Teorema 5.39 Si X es un espacio polaco y B ∈ Σ1n+1(X), existe un conjunto

A ∈ Π1n(X × C) tal que B = πX [A]. Esto tambien es valido para B ∈ Σ1

1(X)con A ∈ ∆0

1(X × C).

Demostracion: La clave es el teorema 1.29, que nos da una aplicacionf : N −→ C que es un homeomorfismo en su imagen, la cual, a su vez, induceuna aplicacion g : X × N −→ X × C que tambien es un homeomorfismo en suimagen. Si B ∈ Σ1

n+1(X), por definicion existe un A0 ∈ Π1n(X × N) (resp.

cerrado, si n = 0) tal que B = πX [A]. Entonces, A = g[A0] es Π1n en la imagen

de g, luego tambien en X × C, por 5.38 (resp. es ∆01, si n = 0), y claramente

X = πX [A].

Por ultimo demostramos que la jerarquıa proyectiva es estricta, de modoque, en particular, hay conjuntos analıticos que no son de Borel. La tecnica esla misma que hemos empleado para la jerarquıa de Borel, es decir, construirconjuntos universales.

Teorema 5.40 Para cada espacio polaco X existe un conjunto C-universal paraΣ1n(X) y un conjunto C-universal para Π1

n(X).

Demostracion: Por el teorema 4.10, existe un cerrado V ⊂ C × N × XC-universal para Π0

1(N ×X). Sea

U = (u, x) ∈ C×X |∨

y ∈ N (u, y, x) ∈ V .

158 Capıtulo 5. Conjuntos Proyectivos

Como U es la proyeccion de un cerrado, se cumple que U ∈ Σ11(C × X) y es

Σ11-universal para Σ1

1(X), pues si A ∈ Σ11(X), existe un cerrado C ⊂ N×X tal

que A = πX [C], pero dicho cerrado sera de la forma C = Vu, para cierto u ∈ C,y entonces es claro que A = Uu.

Si V ⊂ C × X es un conjunto C universal para Σ1n(X), es claro que su

complementario U = (C×X)\V es universal para Π1n(X) y, si V es C-universal

para Π1n(X), el conjunto U construido a partir de V como en el caso Σ1

1 esC-universal para Σ1

n+1(X), exactamente con la misma prueba.

El teorema siguiente se demuestra con el argumento de 4.11 tomado palabrapor palabra (usando 5.38 en lugar de 4.8):

Teorema 5.41 Si X es un espacio polaco no numerable, para cada 1 ≤ n < ωse cumple que Σ1

n 6= Π1n y, por consiguiente, ∆1

n Σ1n ∆0

n+1, e igualmente

con Π1n.

5.4 Representaciones en terminos de arboles

Vamos a obtener unas expresiones para conjuntos Σ11 y Σ1

2 que nos seranutiles mas adelante.

Si X = X1 × · · · × Xs es un producto cartesiano arbitrario, un arbol Ren X , segun lo convenido en la seccion 1.2, es un subconjunto de X<ω. Cadaelemento de X<ω es una sucesion (x1i , . . . , x

si )i<n, donde x

ij ∈ Xj , pero una

sucesion de este tipo determina y esta completamente determinada por la s-tuplade sucesiones (x1i i<n, . . . , x

si i<n). Ası tenemos ası definida una biyeccion

natural φ : X<ω −→ S, donde

S = (t1, . . . , ts) ∈ X<ω1 × · · · ×X<ω

s | ℓ(t1) = · · · = ℓ(ts).

Si t = (t1, . . . , ts) ∈ S, llamaremos ℓ(t) ∈ ω a la longitud de cualquiera desus componentes y, si m ≤ ℓ(t), llamaremos t|m = (t1|m, . . . , ts|m). De estemodo, si t ∈ X<ω, tenemos que ℓ(t) = ℓ(φ(t)) y φ(t|m) = φ(t)|m.

Mas aun, si definimos en S el orden parcial dado por

t ≤ t′ ↔ t1 ⊂ t′1 ∧ · · · ∧ ts ⊂ t′s

(y en X<ω consideramos el orden parcial dado por la inclusion), entonces, paratodo t1, t2 ∈ X<ω, se cumple que t1 ≤ t2 ↔ φ(t1) ≤ φ(t2).

Diremos que R es un arbol s-dimensional en un producto X1 × · · · ×Xs siR ⊂ S ∧

∧

t ∈ R∧

m < ℓ(t) r|m ∈ R.

Claramente, un conjunto R ⊂ X<ω es un arbol en X si y solo si φ[R] es unarbol s-dimensional en X1 × · · · ×Xs.

Por otra parte, cada x ∈ Xω es una sucesion x = (x1n, . . . , xsn)n<ω que

determina y esta determinada por la s-tupla (x1nn<ω, . . . , xsnn<ω), con lo

que tenemos otra biyeccion ψ : Xω −→ Xω1 × · · · ×Xω

s .

5.4. Representaciones en terminos de arboles 159

Claramente, si R es un arbol en X y R′ = φ[R], el conjunto [R] ⊂ Xω desus caminos (o ramas infinitas) se corresponde a traves de ψ con el conjunto

[R′] = x ∈ Xω1 × · · · ×Xω

s |∧

n ∈ ω x|n ∈ R′,

donde x|n = (x1|n, . . . , xs|n).

Todas estas consideraciones nos permiten identificar S con X<ω y, a suvez, identificar los arboles en X con los arboles s-dimensionales en X . De estemodo, en lo sucesivo, cuando digamos, por ejemplo, que x ∈ X<ω, donde X esun producto cartesiano, se entendera que x no es una sucesion en X sino unas-tupla de sucesiones, cuando digamos que R es un arbol en X , se entenderaque R es un arbol multidimensional, etc.

En particular, si X = Y s, estamos identificando Xω con (Y ω)s y, mas par-ticularmente aun, podemos identificar Ns con (ωs)ω.

Consideremos un producto cartesiano X × Y (donde, como hasta ahora,X = X1 × · · · ×Xs, aunque sin excluir el caso en que s = 1). Si R es un arbolen X × Y , podemos considerar el conjunto de sus caminos [R] ⊂ Xω × Y ω, asıcomo la proyeccion p[R] ⊂ Xω. Concretamente:

p[R] = x ∈ Xω |∨

y ∈ Y ω∧

n ∈ ω (x|n, y|n) ∈ R.

Adoptaremos el convenio de que, cuando R es un arbol en un producto finitode al menos dos conjuntos, p[R] representa siempre la proyeccion en la que seelimina unicamente la ultima componente.

Si s ∈ Xn, llamaremos

Rs = t ∈ Y n | (s, t) ∈ R.

A su vez, para cada x ∈ Xω, definimos Rx =⋃

n∈ωRx|n , que claramente es un

arbol en Y . Concretamente,

t ∈ Rx ↔ (x|ℓ(t), t) ∈ R.

Con todo esto obtenemos la caracterizacion siguiente de los subconjuntosanalıticos de Ns:

Teorema 5.42 Si s ≥ 1, un subconjunto A ⊂ Ns es analıtico si y solo si existe

un arbol R en ωs+1 tal que, para todo x ∈ Ns, se cumple

x ∈ A↔∨

y ∈ N∧

n ∈ ω y|n ∈ Rx ↔ Rx no esta bien fundado,

donde al decir que Rx no esta bien fundado hay que entender que es respecto dela relacion inversa a la inclusion.

Demostracion: Si A es analıtico, el teorema 5.2 nos da que existe uncerrado C ⊂ Ns+1 tal que A = p[C]. Identificando Ns+1 = (ωω × · · · × ωω) con(ωs+1)ω, el teorema 1.14 nos da que C es de la forma C = [R], donde R es un

160 Capıtulo 5. Conjuntos Proyectivos

arbol en ωs+1, que a su vez puede identificarse con un arbol multidimensional.Concretamente, tenemos que

x ∈ A↔∨

y ∈ N (x, y) ∈ C ↔∨

y ∈ N∧

n ∈ ω (x|n, y|n) ∈ R,

luego R cumple lo requerido. El recıproco vale igualmente: un arbol R en estascondiciones define un cerrado C tal que A = p[C].

De aquı deducimos a su vez una representacion (aunque en este caso no esuna caracterizacion, es decir, una equivalencia) de los conjuntos Σ1

2.

Teorema 5.43 Si s ≥ 1, y A ⊂ Ns es Σ12, existe un arbol R en ωs×ω1 tal que

A = p[R], es decir,

x ∈ A↔∨

y ∈ ωω1

∧

n ∈ ω (x|n, y|n) ∈ R↔ Rx no esta bien fundado.

Demostracion: Por definicion, A = p[B], donde B ⊂ Ns+1 es Π11. Por el

teorema anterior existe un arbol R′ en ωs+2 tal que

x ∈ A↔∨

y ∈ N R′(x,y) esta bien fundado.

Si R′(x,y) esta bien fundado, podemos considerar el rango: ρ : R′

(x,y) −→ Ω,que es una aplicacion que conserva el orden:

∧

rs ∈ R′(x,y)(r s→ ρ(s) < ρ(r)).

Ademas, como R′(x,y) ⊂ ω<ω es numerable, de hecho ρ : R′

(x,y) −→ ω1. Exten-

demos ρ a una aplicacion ρ : ω<ω −→ ω1 y consideramos a su vez la aplicacionf : ω −→ ω1 dada por f(n) = ρ(sn), donde snn∈ω es cualquier enumeracionprefijada de ω<ω. De este modo tenemos que

∧

mn ∈ ω(sm, sn ∈ R′(x,y) ∧ sm sn → f(n) < f(m)).

Recıprocamente, si existe f : ω −→ ω1 que cumpla esta propiedad, entoncesR(x,y) esta bien fundado y x ∈ A. En definitiva, los elementos de A son los quecumplen

∨

y ∈ N∨

f ∈ ωω1

∧

mn ∈ ω(sm, sn ∈ R′(x,y) ∧ sm sn → f(n) < f(m)).

Ahora definimos un arbol R′′ en ωs+1 × ω1 mediante

(s, t, h) ∈ R′′ ↔∧

mn < ℓ(h)(sm, sn ∈ R′[s, t] → h(n) < h(m)),

donde

R′[s, t] = u ∈ ω<ω | ℓ(u) ≤ ℓ(s) = ℓ(t) ∧ (s|ℓ(u), t|ℓ(u), u) ∈ R′.

Es claro entonces que

x ∈ A↔∨

y ∈ N∨

f ∈ ωω1

∧

n ∈ ω (x|n, y|n, f |n) ∈ R′′.

Para terminar fijamos una biyeccion i : ω × ω1 −→ ω1, que a su vez inducebiyecciones ω<ω×ω<ω1 −→ ω<ω1 y ωω×ωω1 −→ ωω1. A traves de ellas podemostransformar R′′ en un arbol R en ω × ω1, de modo que

x ∈ A↔∨

y ∈ ωω1

∧

n ∈ ω (x|n, y|n) ∈ R.

5.5. Buenos ordenes proyectivos 161

5.5 Buenos ordenes proyectivos

El axioma de eleccion implica que todo conjunto X admite un buen ordenE, pero, en el caso en que X es un espacio polaco no numerable, ¿puede serE ⊂ X ×X un conjunto de Borel, o analıtico, o, en general, proyectivo? Vamosa obtener algunos resultados a este respecto.

Ante todo, si X e Y son espacios polacos no numerables, existe un isomor-fismo de Borel f : X −→ Y , y la aplicacion f × f : X ×X −→ Y × Y tambienes un isomorfismo de Borel. Por lo tanto, existe un buen orden proyectivo enX si y solo si existe un buen orden proyectivo (de la misma clase Σ1

n, Π1n o

∆1n) en Y , es decir, el problema de la existencia de buenos ordenes proyectivos

se puede estudiar en cualquier espacio polaco no numerable en particular y lasconclusiones son validas para todos los espacios polacos no numerables.

Otro hecho basico es el siguiente:

Teorema 5.44 Si E ⊂ X ×X es una relacion de orden total Σ1n ∪Π1

n en unespacio polaco, entonces E ∈ ∆1

n.

Demostracion: Sea ∆ ⊂ X ×X la diagonal, que es un conjunto de Borel.Esto hace que E′ = E \∆ sea tambien Σ1

n ∪Π1n, al igual que lo es la relacion

E′−1 dada por E′−1(x, y) ↔ E′(y, x) (mas concretamente, se cumple que E′−1

es Σ1n (resp. Π1

n) si y solo si E′ lo es). Al tratarse de una relacion de ordentotal, tenemos la particion

X ×X = E′ ∪∆ ∪ E′−1.

De aquı se sigue que si, por ejemplo, E es Σ1n, entonces ∆ ∪ E′−1 tambien

lo es, luego E es Π1n, y viceversa. En ambos casos, E es ∆1

n.

De momento demostraremos unicamente el siguiente resultado basico:

Teorema 5.45 Si existe un buen orden ∆1n en R, entonces existe un subcon-

junto en ∆1n(R) que no es medible Lebesgue ni tiene la propiedad de Baire.

Demostracion: Sea E un buen orden en ∆1n(R × R). Basta probar que

el conjunto de Vitali V definido en la demostracion de 3.1 es (o, mejor dicho,puede tomarse) ∆1

n. En efecto, V resulta de elegir un elemento en cada clasede equivalencia de I respecto de la relacion dada por aR b ↔ b − a ∈ Q. Si,concretamente, tomamos como elemento en V el mınimo de cada clase respectodel buen orden E, tenemos que, para cada x ∈ I,

x ∈ V ↔∧

y ∈ I(x− y ∈ Q→ (x, y) ∈ E) ↔∧

y ∈ I(x − y /∈ Q ∨ (x, y) ∈ E).

Ahora observamos que

B = (x, y) ∈ I× I | x− y /∈ Q ∈ ∆11(I× I).

En efecto, basta considerar la aplicacion continua f : I × I −→ R dada porf(x, y) = x− y, de modo que B = f−1[R \Q].

Por consiguiente, B ∪ E ∈ ∆1n(I × I) y V = π[B ∪ E] ∈ ∆1

n(I) ⊂ ∆1n(R).

162 Capıtulo 5. Conjuntos Proyectivos

Por consiguiente, concluimos que un espacio polaco no numerable no admitebuenos ordenes Σ1

1 o Π11. A lo maximo a lo que podemos aspirar es a un buen

orden ∆12.

5.6 Clases normadas

Introducimos aquı una propiedad que nos permitira estudiar las propiedadesde reduccion y separacion en las clases proyectivas.

Definicion 5.46 Sea Γ una clase de conjuntos definida sobre los espacios pola-cos y sea A ∈ Γ(X). Diremos que una aplicacion φ : A −→ Ω es una norma enΓ si existen relaciones ≤Γ,≤¬Γ⊂ X ×X en Γ y ¬Γ respectivamente tales que,para todo y ∈ A y todo x ∈ X , se cumple que

x ∈ A ∧ φ(x) ≤ φ(y) ↔ x ≤Γ y ↔ x ≤¬Γ y.

Diremos que Γ es una clase normada si todo A ∈ Γ tiene una norma en Γ.

Observemos que las relaciones ≤Γ y ≤¬Γ no son relaciones de orden en A.Ambas son reflexivas y transitivas, pero en general no tienen por que ser sime-tricas. Ambas son lo que se llaman buenos preordenes en A, es decir relacionesreflexivas y transitivas tales que la relacion x ∼ y ↔ x ≤ y ∧ y ≤ x es unarelacion de equivalencia en A y ≤ induce un buen orden en el conjunto cocienteA/ ∼.

Si Γ es cerrada para uniones e intersecciones finitas y sustituciones con-tinuas, entonces las relaciones inversas ≥Γ y ≥¬Γ tambien estan en Γ y ¬Γ,respectivamente, pues se obtienen de sus inversas como antiimagenes por el ho-meomorfismo X × X −→ X × X dado por (x, y) 7→ (y, x). Ademas podemosdefinir

x <Γ y ↔ x ≤Γ y ∧ ¬(x ≥¬Γ y), x <¬Γ y ↔ x ≤¬Γ y ∧ ¬(x ≥Γ y),

de modo que, para todo y ∈ A y todo x ∈ X se cumple que

x ∈ A ∧ φ(x) < φ(y) ↔ x <Γ y ↔ x <¬Γ y.

Mas aun, si extendemos φ : X −→ Ω haciendo que, sobre X \ A tome unvalor fijo mayor que cualquier ordinal de φ[A], podemos definir

x ≤∗ y ↔ x ∈ A ∧ φ(x) ≤ φ(y), x <∗ y ↔ x ∈ A ∧ φ(x) < φ(y),

de modo que ambas relaciones estan en Γ. En efecto, basta tener en cuenta que

x ≤∗ y ↔ x ∈ A ∧ (x ≤Γ y ∨ ¬y ≤¬Γ x), x <∗ y ↔ x ∈ A ∧ ¬y ≤¬Γ x.

Recıprocamente, si las relaciones ≤∗ y <∗ estan en Γ, entonces φ es unanorma en Γ, pues basta definir x ≤Γ y ↔ x ≤∗ y, x ≤¬Γ y ↔ y 6<∗ x.

5.6. Clases normadas 163

Teorema 5.47 Sea Γ una clase normada definida sobre los espacios polacos,que contenga los conjuntos abiertos cerrados y que sea cerrada para uniones eintersecciones finitas y para sustituciones continuas.

a) Γ tiene la propiedad de reduccion y ¬Γ tiene la propiedad de separacion.

b) Si existe un conjunto C-universal para Γ(C), entonces Γ no tiene la pro-piedad de separacion y ¬Γ no tiene la propiedad de reduccion.

c) Si Γ es cerrada para intersecciones numerables entonces tiene la propiedadde uniformizacion numerica y la propiedad de reduccion generalizada.

d) Si Γ es cerrada para uniones e intersecciones numerables, entonces ¬Γtiene la propiedad de separacion generalizada.

Demostracion: a) Sean A,B ∈ Γ(X) y definimos R = (A×0)∪(B×1).Como la proyeccionX×ω −→ X es obviamente continua, vemos que A×ω ∈ Γ,y tambien X × 0 ∈ Γ (pues es abierto cerrado), ası concluimos que

A× 0 = (A× ω) ∩ (X × 0) ∈ Γ,

y analogamente B × 1 ∈ Γ, luego R ∈ Γ(X × ω).

Por consiguiente, podemos tomar una norma φ : R −→ Ω. Definimos losconjuntos A∗, B∗ ⊂ X mediante

x ∈ A∗ ↔ (x, 0) <∗ (x, 1), x ∈ B∗ ↔ (x, 1) ≤∗ (x, 0).

Se cumple queA∗, B∗ ∈ Γ. Por ejemplo, la aplicacionX −→ (X×ω)×(Y ×ω)dada por x 7→ ((x, 0), (x, 1)) es continua, y A∗ es la antiimagen de <∗ pordicha aplicacion, luego A∗ ∈ Γ, y analogamente con B∗. Ademas, es obvio queA∗ ∩ B∗ = ∅ y, si x ∈ A∗, entonces (x, 0) ∈ R, luego x ∈ A, es decir, A∗ ⊂ Ae igualmente B∗ ⊂ B. Por ultimo, si x ∈ A ∪ B, entonces (x, 0) ∈ R o bien(x, 1) ∈ R, luego φ(x, 0) < φ(x, 1) o bien φ(x, 1) ≤ φ(x, 0), luego x ∈ A∗ ∪B∗.

Esto prueba que Γ tiene la propiedad de reduccion, luego ¬Γ tiene la pro-piedad de separacion por 4.22.

b) esta demostrado en 4.22 d).

c) Tomemos R ∈ Γ(X × ω) y sea φ : R −→ Ω una norma en R. DefinimosR∗ mediante

(x, n) ∈ R∗ ↔ (x, n) ∈ R ∧∧

m ∈ ω((x, n) ≤∗ (x,m))

∧∧

m ∈ ω((x, n) <∗ (x,m) ∨ n ≤ m)).

Veamos que R∗ ∈ Γ(X ×ω). Para ello observamos que R∗ es interseccion detres conjuntos, y que los tres estan en Γ(X × ω). Uno es el propio R, otro es

⋂

m∈ω(x, n) ∈ X × ω | (x, n) ≤∗ (x,m),

164 Capıtulo 5. Conjuntos Proyectivos

que esta en Γ(X × ω) porque cada uno de los conjuntos de la interseccion es laantiimagen de ≤∗ por la aplicacion continua X × ω −→ X × ω × X × ω dadapor (x, n) 7→ (x, n, x,m). El tercero es

⋂

m∈ω((x, n) ∈ X × ω | (x, n) <∗ (x,m) ∪ (X × (m+ 1))).

En cada union, el conjunto de la izquierda esta en Γ(X × ω) por ser unaantiimagen continua de <∗ y el de la derecha por ser una antiimagen continuadel conjunto abierto cerrado m+ 1 en ω.

Una expresion alternativa para R∗ es:

(x, n) ∈ R∗ ↔ (x, n) ∈ R ∧ φ(x, n) = mınφ(x,m) | (x,m) ∈ R

∧ n = mınm ∈ ω | (x,m) ∈ R ∧ φ(x,m) = φ(x, n).

Es decir, dado (x,m) ∈ R, consideramos todos los pares (x, n) con la mismaproyeccion, y nos quedamos unicamente con aquellos en los que φ(x, n) toma elvalor mınimo. De entre ellos, seleccionamos el menor n posible. Es inmediatoentonces que, dado (x,m) ∈ R, existe un unico par en R∗ de la forma (x, n).Por lo tanto, R∗ cumple la definicion 4.20.

El resto del teorema se sigue de 4.21 y 4.22.

A continuacion demostramos que la clase Π11 es una clase normada, con

lo que, de hecho, satisface todas las hipotesis del teorema precedente. Nosapoyaremos en los resultados de la seccion 5.2, si bien en el capıtulo siguientedaremos una demostracion con tecnicas alternativas.

Teorema 5.48 Existe una norma φ : BO −→ ω1 (suprayectiva) en Π11.

Demostracion: Definimos φ(x) = α ↔ x ∈ BOα. Vamos a probar que esuna norma en Π1

1. Para ello observamos que cada funcion f : A ⊂ D −→ D

puede codificarse mediante un elemento de C. Como en la seccion anterior,d : ω −→ D es una biyeccion arbitraria prefijada, y consideramos tambien lasemejanza 〈 , 〉 : ω×ω −→ ω. Ası, a cada f podemos asignarle la funcion x ∈ C

dada porx(〈m,n〉) = 1 ↔ d(n) ∈ A ∧ f(d(n)) = d(m).

Llamamos C ⊂ C al conjunto de todos los puntos que codifican sucesiones fcrecientes respecto del orden usual en Q. Explıcitamente:

z ∈ C ↔∧

mn1n2 ∈ ω(z(〈n,m1〉) = z(〈n,m2〉) = 1 → m1 = m2)

∧∧

n1n2m1m2(d(n1) < d(n2) ∧ z(〈n1,m1〉) = z(〈n2,m2〉) = 1

→ d(m1) < d(m2)).

Es facil ver que C es cerrado, es decir, que si x /∈ C, entonces, cualquiery ∈ C tal que x|n = y|n para un n suficientemente grande, cumplira tambienque y /∈ C. Ahora vemos que la relacion

x ≤Π11y ↔ x, y ∈ BO ∧ φ(x) ≤ φ(y)

5.6. Clases normadas 165

es Π11, pues φ(x) ≤ φ(y) equivale a que no existan un u ∈ Ax y una aplicacion

f : Ay −→ Ax que conserve el orden y cuya imagen este contenida en la seccioninicial determinada por u. Por lo tanto:

x ≤Π11y ↔ x, y ∈ BO ∧ ¬

∨

zk(z ∈ C ∧ x(k) = 1 ∧

∧

n ∈ ω(y(n) = 1 →∨

m ∈ ω(d(m) < d(k) ∧ x(m) = 1 ∧ z(〈n,m〉) = 1))).

Para probar que la relacion es Π11 basta ver que el conjunto

(x, y, z, k) ∈ C3 × ω | z ∈ C ∧ x(k) = 1 ∧

∧

n ∈ ω(y(n) = 1 →∨

m ∈ ω(d(m) < d(k) ∧ x(m) = 1 ∧ z(〈n,m〉) = 1))

es cerrado. Para ello vemos que es interseccion de tres conjuntos, uno es elcerrado C× C× C × ω, otro el cerrado (x, y, z, k) ∈ C× C× C× ω | x(k) = 1y el tercero la interseccion

⋂

n∈ω

((x, y, z, k) ∈ C3 × ω | y(n) = 0 ∪

⋂

m∈ω(x, y, z, k) ∈ C

3 × ω | d(m) < d(k) ∧ x(m) = 1 ∧ z(〈n,m〉) = 1),

donde todos los conjuntos definidos explıcitamente son abiertos cerrados.

Por otra parte, si x ∈ C e y ∈ BO, la relacion x ∈ BO ∧ φ(x) ≤ φ(y)equivale a la existencia de una aplicacion f : Ax −→ Ay que conserve el orden,es decir,

x ≤Σ11y ↔

∨

z(z ∈ C ∧∧

n ∈ ω(x(n) = 1 →∨

m(y(m) = 1 ∧ z(〈n,m〉) = 1)),

que claramente es Σ11, pues es la proyeccion del subconjunto de C3 formado por

los (x, y, z) que cumplen la afirmacion tras∨

z, que a su vez es interseccion delcerrado C2 × C con la interseccion de los conjuntos abiertos

(x, y, z) ∈ C3 | x(n) = 0 ∪

⋃

m∈ω(x, y, z) ∈ C

3 | y(m) = 1 ∧ z(〈n,m〉) = 1.

Teorema 5.49 La clase Π11 es normada.

Demostracion: Sea X un espacio polaco y sea A ∈ Π11(X). Sea Φ una

criba cerrada tal que A = X \ C(Φ). Por el teorema 5.28 existe una aplicacionf : X −→ C medible Borel tal que Aα(Φ) = f−1[BOα]. Definimos la normaφ : A −→ ω1 dada por φ(x) = α ↔ f(x) ∈ BOα. Equivalentemente, φ es lacomposicion de f : A −→ BO con la norma definida en la demostracion delteorema anterior. La aplicacion f × f : X × X −→ C × C es medible Borel,por lo que las antiimagenes de las relaciones ≤Π1

1y ≤Σ1

1definidas en el teorema

anterior son Π11 y Σ1

1 respectivamente, y es facil ver que prueban que φ es unanorma en Π1

1.

Mas aun:

166 Capıtulo 5. Conjuntos Proyectivos

Teorema 5.50 Si la clase Π1n es normada, tambien lo es Σ1

n+1. En particular,

la clase Σ12 es normada.

Demostracion: Sea X un espacio polaco y A ∈ Σ1n+1(X). Entonces existe

B ∈ Π1n(X×N) tal que A = πX [B]. Por hipotesis existe una norma φ : B −→ Ω

en Π1n. Definimos ψ : A −→ Ω mediante ψ(x) = mınφ(x, y) | (x, y) ∈ B.

Vamos a probar que ψ es una norma en Σ1n+1. En efecto, si x1 ∈ X y x2 ∈ A,

entonces

x1 ≤∗ x2 ↔∨

y ∈ N∧

z ∈ N((x1, y) ∈ B ∧ φ(x1, y) ≤ φ(x2, z)))

↔∨

y ∈ N¬∨

z ∈ N (x1, y) 6≤∗ (x2, z)

El conjunto

(x1, y, x2, z) ∈ X ×N ×X ×N | (x1, y) 6≤∗ (x2, z)

es Σ1n (es el complementario de ≤∗), luego su proyeccion en X × N × X es

tambien Σ1n, luego el complementario de esta proyeccion es Π1

n y su proyeccionen X ×X es Σ1

n+1. Dicha proyeccion es ≤∗. Similarmente,

x1 <∗ x2 ↔

∨

y ∈ N∧

z ∈ N((x1, y) ∈ B ∧ φ(x1, y) < φ(x2, z)))

↔∨

y ∈ N¬∨

z ∈ N (x1, y) 6<∗ (x2, z),

luego <∗ tambien es Σ1n+1. Esto prueba que ψ es una norma en Σ1

n+1.

En particular, tenemos que las clases Π11 y Σ1

2 tienen la propiedad de uni-formizacion numerica y la propiedad de reduccion generalizada, pero no la pro-piedad de separacion, mientras que Σ1

1 y Π12 tienen la propiedad de separacion

generalizada, pero no la propiedad de reduccion.

5.7 Uniformizacion

Introducimos ahora una propiedad que no hemos estudiado para los conjun-tos de Borel porque no la poseen:

Definicion 5.51 Sea Γ una clase de conjuntos definida sobre los espacios po-lacos. Diremos que Γ tiene la propiedad de uniformizacion si para todo par deespacios polacos X , Y y todo A ∈ Γ(X × Y ) existe un B ∈ Γ(X × Y ) tal queB ⊂ A y

∧

x ∈ X(∨

y ∈ Y (x, y) ∈ A↔1∨y ∈ Y (x, y) ∈ B).

En tal caso se dice que B uniformiza a A. (Vease la figura en la pagina xvi.)

Hemos visto que las clases Σ0α poseen la propiedad de uniformizacion nume-

rica, que es el caso particular de la propiedad de uniformizacion en el que Y = ω.Sin embargo, las clases de la jerarquıa de Borel no poseen la propiedad deuniformizacion. En efecto:

5.7. Uniformizacion 167

Teorema 5.52 Existe un conjunto cerrado C ⊂ N × N que no admite unauniformizacion analıtica.

Demostracion: Hemos probado que Π11 no posee la propiedad de sepa-

racion. Ası pues, existen conjuntos disjuntos A1, A2 ∈ Π11(N) tales que no existe

ningun conjunto de Borel B tal que A0 ⊂ B y A1 ∩B = ∅. Existen conjuntoscerrados C0, C1 ⊂ N×N tales que

N \Ai = x ∈ N |∨

y ∈ N (x, y) ∈ Ci.

La aplicacion x 7→ 0x es un homeomorfismo entre N y B0 ⊂ N queinduce a su vez un homeomorfismo N×N −→ N×B0 ⊂ N×N. Tomando laimagen de C0 por este homeomorfismo podemos suponer que C0 ⊂ N×B0, eigualmente que C1 ⊂ N ×B1.

Llamamos C = C0 ∪ C1, y vamos a probar que no puede ser uniformizadopor un conjunto analıtico. Supongamos, por el contrario, que B ∈ Σ1

1(N × N)uniformiza a C. Como las proyecciones de C0 y C1 son C\A0 y C\A1, tenemosque π[C] = N. Por lo tanto B es la grafica de una funcion f : N −→ N que, porel teorema 5.12 es medible Borel.

Entonces, Di = f−1[Bi] son dos conjuntos de Borel disjuntos y Ai ⊂ D1−i.En efecto, si x ∈ Ai, entonces x ∈ N \ A1−i, luego existe un y ∈ N tal que(x, y) ∈ C1−i ⊂ C, luego (x, f(x)) ∈ C, pero no puede ser (x, f(x)) ∈ Ci, yaque entonces x /∈ Ai, luego (x, f(x)) ∈ C1−i ⊂ N×B1−i, luego f(x) ∈ B1−i,luego x ∈ D1−i.

Por lo tanto, D0 separa a A0 y A1, contradiccion.

En particular, ninguna de las clases Σ0α, Π

0α o incluso Σ1

1 tiene la propiedadde uniformizacion. La primera candidata a poseerla es Π1

1 y vamos a ver queese es el caso.

De la demostracion del teorema de uniformizacion para Π11 puede abstraerse

un argumento general a traves del concepto de escala, que introducimos a con-tinuacion.

Definicion 5.53 Sea A un subconjunto de un espacio polaco X . Una escalaen A es una sucesion de normas φnn∈ω tal que si xnn∈ω es una sucesionen A convergente a un x ∈ X y las sucesiones φn(xm)m∈ω son finalmenteconstantes, entonces x ∈ A y φn(x) ≤ φn(xm), para todo m suficientementegrande.

Si Γ es una clase de conjuntos y cada φn es una norma en Γ, entonces sedice que la escala es una escala en Γ. Diremos que Γ tiene escalas si cada A ∈ Γtiene una escala en Γ.

Teorema 5.54 Si Π1m tiene escalas, entonces tiene la propiedad de uniformi-

zacion.

Demostracion: Sean X e Y espacios polacos y A ∈ Π1m(X × Y ). Por el

teorema 1.20 existe un cerrado C ⊂ N y una biyeccion continua f : C −→ Y ,con lo que F = (I × f) : X ×C −→ X × Y es tambien una biyeccion continua.

168 Capıtulo 5. Conjuntos Proyectivos

Ası A′ = F−1[A] ∈ Π1m(X × C) ⊂ Π1

m(X ×N). Si probamos que existe unconjunto B′ ∈ Π1

m(X×N) que uniformiza a A′, entonces B = F [B′] uniformizaa A y, como F es inyectiva y continua, B ∈ Π1

m(X × Y ) por 5.36. Ası pues,basta probar la propiedad de uniformizacion para conjuntos A ∈ Π1

m(X ×N).

Sea φnn∈ω una escala enΠ1m definida sobreA y sean≤∗

n y<∗n las relaciones

correspondientes (todas ellas en Π1m). Para cada par (x, y) ∈ X ×N definimos

ψn(x, y) = (φ0(x, y), y(0), φ1(x, y), y(1), . . . , φn(x, y), y(n)) ∈ Ω2n+2.

Consideramos la relacion en X ×N dada por

(x, y) ∗n (x′, y′) ↔ (x, y) ∈ A ∧ ψn(x, y) ≤ ψn(x

′, y′),

donde ≤ es el orden lexicografico en Ω2n+2. Mas explıcitamente:

(x, y) ≺∗n (x′, y′) ↔

∨

i ≤ n(∧

j < i((x, y) ≤∗

j (x′, y′) ∧ (x′, y′) ≤∗

j (x, y)

∧ y(j) = y′(j))∧((x, y) <∗

i (x′, y′) ∨ ((x, y) ≤∗

i (x′, y′) ∧ (x′, y′) ≤∗

i (x, y)

∧ y(i) < y′(i)))),

(x, y) ∗n (x′, y′) ↔ ((x, y) ≺∗

n (x′, y′) ∨∧

i ≤ n((x, y) ≤∗i (x

′, y′) ∧ (x′, y′) ≤∗i (x, y) ∧ y(i) = y′(i))).

A partir de estas expresiones es facil ver que ∗n y ≺∗

n estan en Π1m. Llama-

mosBn = (x, y) ∈ X ×N |

∧

z ∈ N (x, y) ∗n (x, z).

Observemos que el conjunto Cn = (x, y, z) ∈ X ×N ×N | (x, y) ∗n (x, z)

esta en Π1m, pues es la antiimagen de ∗

n por la aplicacion continua dada por(x, y, z) 7→ (x, y, x, z). Esto implica que Bn ∈ Π1

m, pues su complementario es laproyeccion del complementario de Cn, luego es Σ1

m. Ademas, Bn+1 ⊂ Bn ⊂ A.Llamamos B =

⋂

n∈ωBn ∈ Π1

m y vamos a ver que B uniformiza a A.

Obviamente B ⊂ A. Si (x, y), (x, y′) ∈ Bn, entonces (x, y) ∗n (x, y′) y

(x, y′) ∗n (x, y), luego ψn(x, y) = ψn(x, y

′), luego y|n+1 = y′|n+1. Por lo tanto,si (x, y), (x, y′) ∈ B, se cumple que y = y′. Ası pues, B es la grafica de unafuncion. Solo hemos de probar que si (x, y) ∈ A existe un z ∈ N tal que(x, z) ∈ B. Definimos

Y0 = y ∈ N | (x, y) ∈ A ∧∧

z ∈ N((x, z) ∈ A→ (x, y) ∗0 (x, z)),

Yn+1 = y ∈ Yn | (x, y) ∈ A ∧∧

z ∈ N((x, z) ∈ Bn → (x, y) ∗n+1 (x, z)).

Una simple induccion demuestra que Yn 6= ∅ y y ∈ Yn ↔ (x, y) ∈ Bn. Enefecto, como existe un y tal que (x, y) ∈ A, tomandolo con ψ0(x, y) mınimo,tenemos que y ∈ Y0 6= ∅, y claramente y ∈ Y0 ↔ (x, y) ∈ B0.

Si es cierto para n, tomamos y ∈ Yn tal que ψn+1(x, y) sea mınimo. Ası(x, y) ∈ A y, si (x, z) ∈ Bn, entonces z ∈ Yn, luego ψn(x, y) ≤ ψn(x, z), luego(x, y) ∗

n+1 (x, z), luego y ∈ Yn+1 6= ∅.

5.7. Uniformizacion 169

Si y ∈ Yn+1 y z ∈ N, sea z′ ∈ N tal que ψn+1(x, z′) sea mınimo. Entonces

(x, z′) ∈ Bn+1 ⊂ Bn y (x, z′) ∗n+1 (x, z), luego (x, y) ∗

n+1 (x, z′) ∗n+1 (x, z),

luego (x, y) ∈ Bn+1. El recıproco es trivial.

Si y1, y2 ∈ Yn, entonces (x, y1), (x, y2) ∈ Bn, de donde (x, y1) ∗n (x, y2) y

(x, y2) ∗n (x, y1), luego ψn(x, y1) = ψn(x, y2) y en particular y1|n+1 = y2|n+1.

Sea z(n) el valor comun de y(n) para todo y ∈ Yn. Ası tenemos definido un z ∈ N

tal que si znn∈ω es una sucesion con zn ∈ Yn, se cumple que zn|n+1 = z|n+1,luego la sucesion (x, zn)n∈ω converge a (x, z). Ademas, si m > n, se cumpleque zm, zn ∈ Yn, por lo que φn(x, zm) = φn(x, zn). Esto significa que la sucesionφn(x, zm)m∈ω es finalmente constante. Por definicion de escala, esto implicaque (x, z) ∈ A, ası como que φn(x, z) ≤ φn(x, zn) para todo n ∈ ω.

Mas aun, si m ≤ n, entonces φm(x, z) ≤ φm(x, zm) = φm(x, zn), pueszm, zn ∈ Ym. Como ademas z|n+1 = zn|n+1, resulta que ψn(x, z) ≤ ψn(x, zn),luego (x, z) ∗

n (x, zn) ∈ Bn, luego (x, z) ∈ Bn para todo n, luego (x, z) ∈ B.

Nota Mas adelante necesitaremos la observacion siguiente sobre la demos-tracion del teorema anterior. En ella hemos partido de una escala φnn∈ωsobre un conjunto A ∈ Π1

m(X × N) y hemos construido aplicaciones ψn cuyaimagen esta en realidad en un conjunto de la forma κ2n+2, para un cierto ordi-nal κ suficientemente grande. Componiendo ψn con la semejanza entre κ2n+2

(con el orden lexicografico) y su ordinal, obtenemos aplicaciones χn : A −→ Ωy las relaciones ∗

n y ≺∗n prueban que son normas en Π1

m. Mas aun, la sucesionχnn∈ω forma una escala en Π1

m.En efecto: si (xk, yk)k∈ω es una sucesion en A que converge a un punto

(x, y) ∈ X × N de modo que las sucesiones χn(xk, yk)k∈ω son finalmenteconstantes, entonces ψn(xk, yk)k∈ω es finalmente constante, luego, las suce-siones φn(xk, yk)k∈ω y yk|nk∈ω son finalmente constantes. Como φnn∈ωes una escala, esto implica que (x, y) ∈ A, ası como que φn(x, y) ≤ φn(xk, yk)para todo k ≥ kn. Ademas, tomando kn suficientemente grande, se cumpletambien que yk|n = y|n. Esto implica que, para k suficientemente grande,ψn(x, y) ≤ ψn(xk, yk), luego tambien χn(x, y) ≤ χn(xk, yk).

Mas aun, la escala χnn∈ω cumple (claramente) una propiedad adicional:

Si (xk, yk)k∈ω es una sucesion en A tal que las sucesiones χn(xk, yk)k∈ωson finalmente constantes, entonces la sucesion ykk∈ω es convergente.

Teorema 5.55 La clase Π11 tiene escalas.

Demostracion: Sea Z = (β, γ) ∈ ω1×ω1 | γ ≤ β en el que consideramosel orden lexicografico:

(β, γ) < (β′, γ′) ↔ β < β′ ∨ (β = β′ ∧ γ < γ′).

Puesto que todas las secciones iniciales son numerables, el ordinal de Z es ω1,luego existe una unica semejanza F : Z −→ ω1.

170 Capıtulo 5. Conjuntos Proyectivos

Fijemos un espacio polaco X y un conjunto A ∈ Π11(X). Entonces X \A =

S(B), donde B es un esquema de Suslin que, segun 5.7, podemos tomar abierto,decreciente y con la propiedad de los diametros. Por el teorema 5.22 tenemosque X \A = C(Φ), para una cierta criba monotona abierta en X . Ası

x ∈ A↔ (Mx(Φ),) esta bien ordenado.

Fijamos una biyeccion d : ω −→ D y, para cada r ∈ D, definimos la criba

Φr(s) =

Φ(s) si s ≺ r,∅ en otro caso,

de manera queMx(Φr) = s ∈Mx(Φ) | s ≺ r.

Definimos la norma φn : A −→ ω1 dada por

φn(x) = F (β, γ), β = ord(Mx(Φ),), γ = ord(Mx(Φd(n)),).

Veamos que la relacion

x ≤nΠ11y ↔ x, y ∈ A ∧ φn(x) ≤ φn(y)

es Π11(X ×X). Para ello la expresamos en la forma

x ≤nΠ11y ↔ (x, y) ∈ A×A ∧ (ord(Mx(Φ),) < ord(My(Φ),)

∨ (ord(Mx(Φ),) = ord(My(Φ),)

∧ ord(Mx(Φd(n)),) ≤ ord(My(Φd(n)),))).

Basta probar que son Π11 las tres relaciones:

R1(x, y) ↔ ord(Mx(Φ),) < ord(My(Φ),),

R2(x, y) ↔ ord(Mx(Φ),) ≤ ord(My(Φ),),

R3(x, y) ↔ ord(Mx(Φd(n)),) ≤ ord(My(Φd(n)),).

(Notemos que entonces R2(x, y) ∧ R2(y, x) tambien sera Π11, y esta es la

relacion que necesitamos para probar que ≤nΠ1

1es Π1

1.)

Recordemos de la prueba del teorema 5.48 que el conjunto C ⊂ C de lassucesiones que codifican funciones crecientes f : A ⊂ D −→ D es cerrado en C.Ası,

R1(x, y) ↔ ¬∨

z ∈ C (z codifica una f :My(Φ) −→Mx(Φ))

↔ ¬∨

z ∈ C (∧

i ∈ ω(y ∈ Φ(d(i)) →∨

j ∈ ω(x ∈ Φ(d(j)) ∧ z(〈i, j〉) = 1))).

Ahora observamos que el conjunto

Bi = (x, y, z) ∈ X ×X × C |∨

j ∈ ω(x ∈ Φ(d(j)) ∧ z(〈i, j〉) = 1)

5.7. Uniformizacion 171

es abierto, el conjunto (X × (X \ Φ(d(i))) × C) es cerrado, luego

B = (X ×X × C) ∩⋂

i∈ω

((X × (X \ Φ(d(i))) × C) ∪Bi) ⊂ X ×X × C

es de Borel, y R1 = (X ×X) \ πX×X [B], luego R1 es Π11.

Para R2 usamos la equivalencia

R2(x, y) ↔ ¬∨

z ∈ C∨

m ∈ ω(d(m) ∈Mx(Φ) ∧

z codifica una f :My(Φ) −→Mx(Φd(m)))

↔ ¬∨

z ∈ C∨

m ∈ ω(x ∈ Φ(d(m)) ∧∧

i ∈ ω(y ∈ Φ(d(i)) →∨

j ∈ ω(x ∈ Φd(m)(d(j)) ∧ z(〈i, j〉 = 1))))

y a partir de aquı se razona como con R1. El caso de R3 es similar al de R2.

Por otra parte, dado y ∈ A, la relacion dada por

x ≤nΣ11y ↔ x ∈ A ∧ φn(x) ≤ φn(y)

es equivalente a

x ≤nΣ11y ↔ R1(x, y) ∨ (R2(x, y) ∧ R2(y, x) ∧ R3(x, y)).

(Notemos que, al suponer y ∈ A, las relaciones R1(x, y) y R2(x, y) ya implicanque x ∈ A.) A su vez,

R1(x, y) ↔∨

z ∈ C∨

m ∈ ω(d(m) ∈My(Φ) ∧

z codifica una f :Mx(Φ) −→My(Φd(m))),

que es facil ver que es Σ11, e igualmente con R2 y R3. Por lo tanto ≤n

Σ11es Σ1

1.

Esto prueba que φn es una norma en Π11.

Supongamos ahora que xkk∈ω es una sucesion en A que converge a x ∈ Xy que las sucesiones φn(xk)k∈ω son finalmente iguales a ordinales αn. Masconcretamente, para cada n existe un kn tal que, si k ≥ kn, entonces αn =F (βn, γn), donde βn = ord(Mxk

(Φ),), γn = ord(Mxk(Φd(n)),).

Hemos de probar que x ∈ A y que φn(x) ≤ αn.

En primer lugar observamos que para todo k ≥ maxkm, kn se cumple queβm = ord(Mxk

(Φ),) = βn, luego en realidad todos los βn son iguales a unmismo β. No ocurre lo mismo con los γn. Veamos que si d(m), d(n) ∈Mx(Φ) yd(m) ≺ d(n), entonces γm < γn.

En efecto, tenemos que x ∈ Φ(d(m)) ∩ Φ(d(n)). Como la criba es abierta,existe un k ≥ maxkm, kn tal que xk ∈ Φ(d(m)) ∩ Φ(d(n)). Esto implicaque d(m) ∈ Mxk

(Φd(n)), luego Mxk(Φd(m)) es un segmento inicial propio de

Mxk(Φd(n)), por lo que γm < γn.

172 Capıtulo 5. Conjuntos Proyectivos

De este modo tenemos una aplicacionMx(Φ) −→ Ω (la dada por d(n) 7→ γn)que conserva el orden, luego Mx(Φ) esta bien ordenado y, por consiguiente,x ∈ A.

Mas aun, si d(n) ∈ Mx(Φ), entonces la misma aplicacion muestra queMx(Φd(n)) es semejante a un subconjunto de γn, luego ord(Mx(Φ),) ≤ γn ≤ β.Como todos los segmentos iniciales de Mx(Φ) tienen ordinal ≤ β, ha de serord(Mx(Φ),) ≤ β, luego

φn(x) = F (ord(Mx(Φ),), ord(Mx(Φd(n)),)) ≤ F (β, γn) = αn.

Esto prueba que la escala que hemos construido es una escala en Π11.

Mas aun:

Teorema 5.56 Si la clase Π1n tiene escalas, tambien las tiene la clase Σ1

n+1.

En particular la clase Σ12 tiene escalas.

Demostracion: Sea X un espacio polaco y C ∈ Σ1n+1(X). Esto significa

que existe un A ∈ Π1n(X × N) tal que C = πX [A]. Sea φnn∈ω una escala en

Π1n definida sobre A. Por la nota posterior al teorema 5.54 podemos suponer

que tiene la propiedad adicional de que si (xk, yk)k∈ω es una sucesion en Atal que las sucesiones φn(xk, yk)k∈ω son finalmente constantes, entonces lasucesion ykk∈ω es convergente. (Tomamos como φn la norma que en la notahemos llamado χn.)

Por el teorema 5.54, tenemos que Π1n tiene la propiedad de uniformizacion,

luego podemos tomar B ⊂ A en Π1n(X × N) que uniformiza a A. Mas concre-

tamente, podemos tomar el conjunto B definido en la prueba de 5.54, es decir,B =

⋂

n∈ωBn, donde

Bn = (x, y) ∈ X ×N |∧

z ∈ N (x, y) ∗n (x, z).

Definimos φn : C −→ Ω mediante φn(x) = φ(x, y), donde y es el unicoelemento de N tal que (x, y) ∈ B. Vamos a probar que φnn∈ω es una escalaen C.

Para ello consideramos una sucesion xnn∈ω contenida en C y convergente aun x ∈ X , de modo que las sucesiones φn(xk)k∈ω sean finalmente constantes,digamos que iguales a ordinales αn. Para cada k ∈ ω, sea yk el unico elementode N tal que (xk, yk) ∈ B. Entonces, φn(xk) = φn(xk, yk), luego las sucesionesφn(xk, yk)k∈ω son finalmente constantes, luego ykk∈ω converge a un y ∈ N,luego (xk, yk)k∈ω converge a (x, y). Como φnn∈ω es una escala, concluimosque (x, y) ∈ A, ası como que φn(x, y) ≤ αn. Entonces x ∈ C. Sea y0 ∈ N talque (x, y0) ∈ B. Entonces, para cada n ∈ ω, tenemos que (x, y0) ∈ Bn, luego(x, y0)

∗n (x, y), luego φ(x) = φn(x, y0) ≤ φn(x, y) ≤ αn.

Falta probar que cada φn es una norma en Σ1n+1. Ahora bien,

x1 ≤∗ x2 ↔ x1 ∈ C ∧ φn(x1) ≤ φn(x2)

5.7. Uniformizacion 173

es equivalente a

x1 ≤∗ x2 ↔∨

y1 ∈ N∧

y2 ∈ N((x1, y1) ∈ B ∧ (x1, y1) ∗n (x2, y2)).

En efecto, si x1 ≤∗ x2, entonces x1 ∈ C, luego existe un y1 ∈ N tal que(x1, y1) ∈ B y φn(x1) ≤ φn(x2) o que significa que, o bien x2 /∈ C, en cuyo caso(x2, y2) /∈ A y se cumple (x1, y1)

∗n (x2, y2), o bien x2 ∈ C, con lo que existe

un y′ ∈ N tal que (x2, y′) ∈ B, y entonces (x1, y1) ≤ (x2, y

′) ≤ (x2, y2), porque(x2, y

′) ∈ Bn.

Recıprocamente, si se cumple el miembro derecho de la equivalencia anterior,la condicion (x1, y2) ∈ B implica que x1 ∈ C. Si x2 /∈ C, se cumple trivialmenteque φ(x1) ≤ φ(x2), mientras que si x2 ∈ C, existe un y2 ∈ N tal que (x2, y2) ∈ B,luego, por hipotesis (x1, y1) ∗

n (x2, y2), luego φ(x1, y2) ≤ φ(x2, y2), luegoφ(x1) ≤ φ(x2).

Es claro entonces que ≤∗ es una relacion Σ1n+1, y lo mismo vale para la

relacion <∗ definida sin mas que cambiar ∗ por ≺∗.

En particular, el teorema 5.54 implica que Π11 tiene la propiedad de unifor-

mizacion. No podemos decir lo mismo de Σ12 porque no cumple la propiedad d)

de dicho teorema. No obstante:

Teorema 5.57 Si Π1n tiene la propiedad de uniformizacion, entonces Σ1

n+1

tambien la tiene.

Demostracion: Sean X e Y espacios polacos y A ∈ Σ1n+1(X × Y ). En-

tonces existe un B ∈ Π1n(X × Y ×N) tal que A = p[B]. Por hipotesis existe un

conjunto C ⊂ B tal que C ∈ Π1n(X × Y × N) que uniformiza a B respecto de

la primera componente, es decir, que

∨

yz (x, y, z) ∈ B ↔1∨yz (x, y, z) ∈ C.

Es facil ver que D = p[C] uniformiza a A.

Ası pues, Π11 y Σ1

2 tienen la propiedad de uniformizacion, mientras que Σ11

y Π12 no pueden tenerla, porque entonces tendrıan en particular la propiedad

de uniformizacion numerica y la propiedad de reduccion, cuando sabemos queno la poseen.

Veamos una aplicacion:

Teorema 5.58 Todo conjunto Σ12 es union de ℵ1 conjuntos de Borel.

Demostracion: Si A es Σ12 en un espacio polaco X , entonces A = πx[B]

para cierto B ∈ Π11(X×N). Sea B∗ ⊂ B un conjunto Π1

1 que lo uniformice. Por5.23 sabemos que B∗ es union de ℵ1 conjuntos de Borel, luego A es la union desus proyecciones. Ahora bien, la proyeccion πX es inyectiva (y continua) sobreB∗, luego las proyecciones son conjuntos de Borel, por 5.13.

174 Capıtulo 5. Conjuntos Proyectivos

En particular [AE], el teorema 5.24 es valido para conjuntos Σ12. Sucede

que la posibilidad de que existan conjuntos Σ12 con cardinal ℵ1 es equivalente

a la posibilidad de que existan conjuntos Π11 con dicho cardinal. En efecto,

todo conjunto Σ12 es de la forma A = πx[B], donde B es Π1

1 y, uniformizandolo,podemos suponer que tiene el mismo cardinal que A.

5.8 Conjuntos κ-Suslin

Introducimos ahora un concepto que nos permite generalizar o refinar algu-nos de los resultados que hemos obtenido en las secciones precedentes.

Definicion 5.59 Sea κ un ordinal infinito. Un subconjunto A de un espaciopolaco X es κ-Suslin si es la proyeccion de un cerrado de X × κω, donde en κconsideramos la topologıa discreta y en κω la topologıa producto. LlamaremosSκ a la clase de los subconjuntos κ-Suslin de los espacios polacos.

Puesto que una biyeccion entre dos ordinales κ y µ induce un homeomorfismode κω en µω, es obvio que un conjunto A es κ-Suslin si y solo si es |κ|-Suslin,por lo que la definicion anterior no pierde generalidad si se restringe al caso enque κ es un cardinal infinito, pero vamos a ver varias caracterizaciones en lasque es util permitir que κ sea un ordinal infinito arbitrario.

Teniendo en cuenta que N = ωω, el teorema 5.2 implica que los conjuntosℵ0-Suslin son exactamente los conjuntos Σ1

1.

La prueba del teorema 5.42 se generaliza trivialmente para concluir:

Teorema 5.60 Si s ≥ 1, un subconjunto A ⊂ Ns es κ-Suslin si y solo si existeun arbol R en ωs × κ tal que

x ∈ A↔∨

f ∈ κω∧

n ∈ ω(x|n, f |n) ∈ R ↔ Rx no esta bien fundado.

A su vez, el teorema 5.43 implica:

Teorema 5.61 Todo conjunto Σ12 es ℵ1-Suslin.

(En principio lo tenemos probado para subconjuntos de espacios Ns, peroel hecho de que todos los espacios polacos no numerables sean Borel-isomorfosimplica claramente que el resultado vale en general.)

Ası pues, los resultados que obtengamos para conjuntos κ-Suslin se puedenaplicar en particular a los conjuntos Σ1

1 y Σ12. Empezamos observando un hecho

elemental:

Teorema 5.62 Si κ es un cardinal de cofinalidad no numerable, entonces todoconjunto κ-Suslin A se expresa en la forma A =

⋃

δ<κ

Aδ, donde cada Aδ esµδ-Suslin, para cierto µδ < κ.

5.8. Conjuntos κ-Suslin 175

Demostracion: Sea C ⊂ X × κω cerrado tal que A = p[C]. Para cadaδ < κ infinito sea Aδ = p[C ∩ (X × δω)]. Es claro entonces que Aδ es δ-Suslin ytodo elemento de A esta en algun Aδ.

Introducimos ahora algunos conceptos en terminos de los cuales expresare-mos varias caracterizaciones de los conjuntos κ-Suslin:

Un esquema de Suslin de orden κ es una aplicacion F : κ<ω −→ PX . Laoperacion de Suslin de orden κ es la que a cada esquema de Suslin de orden κle asigna el conjunto

Sκ(F ) =⋃

f∈κω

⋂

n∈ωF (f |n).

Un esquema de Suslin F de orden κ en un espacio polaco X es regular(respecto de una base numerable Bnn∈ω) si cumple:

a) Para cada s ∈ κ<ω, el conjunto F (s) es vacıo o la clausura de un abiertobasico.

b) Si s ⊂ t son dos elementos de κ<ω, entonces F (t) ⊂ F (s).

c) Si ℓ(s) = n, entonces el diametro de F (s) es ≤ 2−n+1.

Una semiescala en un conjunto A ⊂ X (donde X es un espacio polaco) esuna sucesion de normas φnn∈ω en A tal que si xmm∈ω es una sucesion enA que converge a un x ∈ X y todas las sucesiones φn(xm)n∈ω son finalmenteconstantes, entonces x ∈ A. (Ası, toda escala es en particular una semiescala.)Diremos que una semiescala es una λ-semiescala si cada una de sus normas tomavalores en λ.

Teorema 5.63 Sea κ un ordinal infinito y X un espacio polaco. Para cadaconjunto A ⊂ X las afirmaciones siguientes son equivalentes:

a) A es κ-Suslin.

b) A admite una κ-semiescala.

c) A = Sκ(F ), donde F es un esquema de Suslin regular de orden κ.

d) A = Sκ(F ), donde F es un esquema de Suslin cerrado de orden κ.

Demostracion: a) ⇒ b) Suponemos que A = p[C], para cierto cerradoC ⊂ X×κω. Para cada x ∈ A elegimos fx ∈ κω tal que (x, f) ∈ C. Veamos queesto puede hacerse sin necesidad del axioma de eleccion. Para ello definimosrecurrentemente

fx(n) = mınα < κ |∨

f ∈ κω((x, f) ∈ C ∧ f |n = fx|n ∧ f(n) = α).

Ası, para todo n ∈ ω existe un f ∈ kω tal que (x, f) ∈ C y f |n = fx|n. Estosignifica que (x, fx) es un punto de acumulacion de C y, como C es cerrado,(x, fx) ∈ C.

176 Capıtulo 5. Conjuntos Proyectivos

Definimos φn(x) = fx(n). Con esto tenemos una sucesion de κ-normasφnn∈ω. Vamos a probar que son una κ-semiescala. Para ello tomamos unasucesion xmm∈ω contenida en A y convergente a un x ∈ X . Suponemosademas que las sucesiones φn(xm)m∈ω son finalmente constantes. Sea ξn =fxm

(n) para todo m suficientemente grande y sea f = ξnn∈ω ∈ κω.

Entonces lımm

(xm, fxm) = (x, f) y, como (xm, fxm

) ∈ C y C es cerrado,

concluimos que (x, f) ∈ C, luego x ∈ A.

b) ⇒ c) Sea φnn∈ω una κ-semiescala y fijemos π : κ −→ ω × κ biyectiva.Digamos que π(ξ) = (π1(ξ), π2(ξ)). Fijemos una base numerable B(n)n∈ω delespacio X . Para cada s ∈ κ<ω con ℓ(s) = n definimos F (s) como el conjuntode todos los x ∈ X tales que:

• B(π1(s(0))) ⊃ · · · ⊃ B(π1(s(n− 1))).

• El diametro de B(π1(s(i))) es ≤ 2−i.

• Existe un y ∈ A ∩B(π1(s(n− 1))) tal que

φ0(y) = π2(s(0)), . . . , φn−1(y) = π2(s(n− 1)).

• x ∈ B(π1(s(n− 1))).

Puesto que las tres primeras condiciones no dependen de x, tenemos queF (s) = ∅ si falla alguna de ellas y F (s) = B(π1(s(n− 1))) si se cumplen todas.Es claro que F ası definido es un esquema de Suslin regular de orden κ. Vamosa ver que A = Sκ(F ).

Si x ∈ A, podemos tomar una sucesion B(ni)i∈ω de entornos basicos de xtales que B(n0) ⊃ B(n1) ⊃ · · · y el diametro de B(ni) sea ≤ 2−i. Sea ξi < κel unico ordinal que cumple π1(ξi) = ni, π2(ξi) = φi(x) y sea f = ξii∈ω. Esclaro entonces que x ∈

⋂

n∈ωF (f |n), luego x ∈ Sκ(F ).

Supongamos ahora que x ∈ Sκ(F ). Entonces existe f ∈ κω de manera quex ∈

⋂

n∈ωF (f |n). Entonces, por definicion de F se cumple que

B(π1(f(0))) ⊃ B(π1(f(1))) ⊃ B(π1(f(2))) ⊃ · · ·

ademas x esta en todos estos cerrados, cuyo diametro tiende a cero, y existe unyn ∈ A∩B(π1(f(n−1))) tal que φ0(yn) = π2(f(0)), . . . , φn−1(yn) = π2(f(n−1)).

Claramente lımnyn = x y para todo n > i se cumple que φi(yn) = π2(f(i)),

es decir, las sucesiones φi(yn)n∈ω son finalmente constantes. Por definicionde semiescala concluimos que x ∈ A.

La implicacion c) ⇒ d) es trivial.

d) ⇒ a). Suponemos que A = Sκ(F ) para cierto esquema de Suslin cerradode orden κ. Sea

C = (x, f) ∈ X × κω | x ∈⋂

n∈ωF (f |n).

5.8. Conjuntos κ-Suslin 177

Se cumple que C es cerrado, pues si (x, f) /∈ C existe un n tal que x /∈ F (f |n),luego (x, f) ∈ (X \ F (f |n))×B(f |n) ⊂ (X × κω) \ C. Ademas

x ∈ p[C] ↔∨

f ∈ κω(x, f) ∈ C ↔∨

f ∈ κω x ∈⋂

n∈ωF (f |n) ↔ x ∈ Sκ(F ) = A.

Por lo tanto A es κ-suslin.

Veamos las propiedades basicas de la clase Sκ:

Teorema 5.64 Si κ es un ordinal infinito, la clase Sκ es cerrada para sustitu-ciones continuas, para proyecciones desde productos de espacios polacos y parauniones e intersecciones numerables. Ademas, si κ ≤ µ, entonces Sκ ⊂ Sµ.

Demostracion: Sea h : X −→ Y una aplicacion continua entre espaciospolacos y sea A un conjunto κ-Suslin en Y . Sea h : X × κω −→ Y × κω laaplicacion dada por h(x, f) = (h(x), f), claramente continua. Sea C ⊂ Y × κω

cuya proyeccion en Y sea A. Entonces

x ∈ f−1[A] ↔ f(x) ∈ A↔∨

f ∈ κω (h(x), f) ∈ C ↔∨

f ∈ κω h(x, f) ∈ C

↔∨

f ∈ κω (x, f) ∈ h−1[C],

luego f−1[A] es la proyeccion del cerrado h−1[C], lo que prueba que es κ-Suslin.

Supongamos ahora que A es un conjunto κ-Suslin en X×N y veamos que suproyeccion en X tambien lo es. Sabemos que existe un cerrado C ⊂ X×N×κω

cuya proyeccion es A. Fijamos una biyeccion ω × κ −→ κ, la cual induce unhomeomorfismo h : ωω × κω −→ κω, el cual a su vez induce un homeomorfismoh : X ×N × κω −→ X × κω dado por h(x, y, f) = (x, h(y, f)). Consideremos elcerrado C′ = h[C] ⊂ X × κω.

Entonces

x ∈ p[A] ↔∨

y ∈ N (x, y) ∈ A↔∨

y ∈ N∨

f ∈ κω (x, y, f) ∈ C∨

y ∈ N∨

f ∈ κω (x, h(y, f)) ∈ C′ ↔∨

f ′ ∈ κω (x, f ′) ∈ C′,

luego p[A] es la proyeccion del cerrado C′ y, por consiguiente, es κ-Suslin.

Seguidamente supongamos que A es un conjunto κ-Suslin en X×Y y veamosque su proyeccion en X tambien lo es. Para ello tomamos h : N −→ Y continuay suprayectiva, que a su vez induce h : X × N −→ X × Y tambien continuay suprayectiva. Hemos probado que h−1[A] es κ-Suslin en X × N, luego suproyeccion en X es κ-Suslin por el caso ya probado, pero es claro que dichaproyeccion es la misma que la de A.

Sea Ann∈ω una familia de conjuntos κ-Suslin en un espacio polaco X . SeaCn ⊂ X × κω un cerrado cuya proyeccion sea An. Definimos

C = (x, f) ∈ X × κω |∧

n ∈ ω (x, fn) ∈ Cn,

donde fn(m) = f(〈m,n〉). Se trata de un cerrado, pues si (x, f) /∈ C, existe unn ∈ ω tal que (x, fn) /∈ Cn. Como la aplicacion (x, f) 7→ (x, fn) es continua,

178 Capıtulo 5. Conjuntos Proyectivos

la antiimagen por esta aplicacion de (X × κω) \ Cn es un entorno abierto U de(x, f) tal que U ⊂ (X × κω) \ C. Ahora basta observar que

x ∈⋂

n∈ωAn ↔

∧

n ∈ ω∨

f ∈ κω (x, f) ∈ Cn

↔∨

f ∈ κω∧

n ∈ ω (x, fn) ∈ Cn ↔∨

f ∈ κω (x, f) ∈ C,

luego la interseccion es la proyeccion de C y es, por consiguiente, κ-Suslin.

El argumento para tratar las uniones numerables es el mismo que se empleaen el teorema siguiente para las uniones de cardinal κ. La unica diferenciaes que al considerar cardinal κ se hace una eleccion no numerable (al escogerlos cerrados que determinan los conjuntos κ-Suslin) y se requiere el axioma deeleccion.

Si κ ≤ µ, entonces κω es cerrado en µω , luego X × κω es cerrado en X ×µω,luego todo cerrado C ⊂ X × κω es tambien cerrado en X × µω, y su proyecciones la misma, luego todo conjunto κ-Suslin es tambien µ-Suslin.

Otras propiedades requieren el axioma de eleccion:

Teorema 5.65 (AE) Sea κ un cardinal infinito. La clase Sκ es cerrada parauniones de cardinal κ, el operador de Suslin Sκ y sustituciones de Borel.

Demostracion: Sea Aαα<κ una familia de conjuntos κ-Suslin en unespacio polaco X . Para cada uno de ellos escogemos un cerrado Cα ⊂ X × κω

cuya proyeccion sea Aα. Sea

C = (x, f) ∈ X × κω | (x, f ′) ∈ Cf(0),

donde f ′(n) = f(n+ 1). Claramente C es cerrado y

x ∈⋃

α<κAα ↔

∨

α < κ∨

f ∈ κω (x, f) ∈ Cα

↔∨

f ∈ κω (x, f ′) ∈ Cf(0) ↔∨

f ∈ κω (x, f) ∈ C,

luego la union es κ-Suslin.

Sea F : κ<ω −→ PX un esquema de Suslin cuya imagen este en Sκ(X),es decir, para cada s ∈ κ<ω podemos elegir un cerrado Cs ⊂ X × κω cuyaproyeccion es F (s). Entonces

x ∈ Sκ(F ) ↔∨

f ∈ κω∧

n ∈ ω x ∈ F (f |n)

↔∨

f ∈ κω∧

n ∈ ω∨

g ∈ κω (x, g) ∈ Cf |n

↔∨

fg ∈ κω∧

n ∈ ω (x, gn) ∈ Cf |n ,

donde, como en el teorema anterior, gn(m) = g(〈n,m〉). Definimos

C = (x, f, g) ∈ X × κω × κω |∧

n ∈ ω (x, gn) ∈ Cf |n.

5.8. Conjuntos κ-Suslin 179

Se comprueba sin dificultad que C es cerrado, luego Sκ(F ) es la proyeccion deun cerrado en X × (κ× κ)ω, y considerando el homeomorfismo κω × κω −→ κω

inducido por una biyeccion κ× κ −→ κ es facil obtener un cerrado en X × κω

con la misma proyeccion, luego Sκ(F ) es κ-Suslin.

Finalmente, si f : X −→ Y es una aplicacion de Borel entre espacios polacosy A ⊂ Y es κ-Suslin, podemos expresarlo como Sκ(F ) para un esquema deSuslin cerrado de orden κ. Es facil ver entonces que f−1[A] = Sκ(F ′), dondeF ′(s) = f−1[F (s)] es un esquema de Suslin de Borel. Puesto que todo conjuntode Borel es analıtico, luego ℵ0-Suslin, luego κ-Suslin, tenemos que F ′ es unesquema de Suslin Sκ(X), y entonces f−1[A] ∈ Sκ(X), pues ya hemos probadoque la clase Sκ es cerrada para el operador Sκ.

Podemos mejorar la caracterizacion de los conjuntos de Suslin en terminosde semiescalas:

Definicion 5.66 Una buena semiescala en un conjunto A ⊂ X (donde X es unespacio polaco) es una sucesion de normas φnn∈ω en A tal que si xmm∈ω

es una sucesion en A y todas las sucesiones φn(xm)n∈ω son finalmente cons-tantes, entonces xmm∈ω converge a un punto x ∈ A.

Teorema 5.67 Sea κ un cardinal infinito. Si un subconjunto de un espaciopolaco admite una κ-semiescala, entonces admite una buena κ-semiescala.

Demostracion: Fijemos una biyeccion π : κ× ω −→ κ. Sea X un espaciopolaco y A ⊂ X un conjunto con una κ-semiescala φnn∈ω. Sea Bnn∈ω unabase de X . Para cada x ∈ X y cada i ∈ ω, sea q(x, i) el mınimo natural tal quex ∈ Bq(x,i) y el diametro de Bq(x,i) es ≤ 2−i.

Definimos ψn(x) = π(φn(x), q(x, n)). De este modo, si xmm∈ω es una su-cesion en A tal que las sucesiones ψn(xm)m∈ω son finalmente constantes, esclaro que las sucesiones φn(xm)m∈ω y q(xm, n)m∈ω son finalmente constan-tes. Por lo tanto, la sucesion dada esta finalmente en un mismo abierto Bq(xm,n)

de diametro ≤ 2−n, lo que implica que es de Cauchy, luego converge a un x ∈ X ,que en realidad cumplira x ∈ A porque φnn∈ω es una semiescala.

Esto prueba que ψnn∈ω es una buena κ-semiescala en A.

Con esto podemos probar un resultado relevante:

Teorema 5.68 (Kunen-Martin) Sea κ un cardinal infinito, sea X un espaciopolaco no numerable, sea P ⊂ X y sea < una relacion bien fundada en P que,como subconjunto de X2, sea κ-Suslin. Entonces el rango asociado ρ : P −→ Ωtoma imagenes en un ordinal < κ+.

Demostracion: Sea T el arbol en X formado por las sucesiones finitasdecrecientes respecto de <, que claramente esta bien fundado. Mas aun, unasimple induccion sobre x ∈ P demuestra que si (x0, . . . , xn−1, x) ∈ T , entoncesρ(x) = ρT (x0, . . . , xn−1, x), donde ρT es el rango asociado a T . En efecto,

ρ(x) = supρP (y) + 1 | y < x = supρT (x0, . . . , xn−1, x, y) + 1 | y < x

= ρT (x0, . . . , xn−1, x).

180 Capıtulo 5. Conjuntos Proyectivos

En particular

supρP (x) + 1 | x ∈ P = supρT (x) + 1 | x ∈ P = ρT (∅).

Por lo tanto, basta probar que ρT (∅) < κ+. Para ello definiremos un arbolbien fundado S en κ y una aplicacion σ : T −→ S que conserva la inclusionestricta. Es claro entonces (por induccion en T ) que ρT (t) ≤ ρS(σ(t)), luego‖ρT (∅)‖ ≤ ‖ρS(∅)‖ < κ+.

Para construir S y σ consideramos una buena κ-semiescala ψnn∈ω definidasobre >, es decir, sobre (x, y) ∈ P 2 | x > y. Notemos que esto significaque, dada cualquier sucesion (xm, ym)m∈ω de pares con xm > ym tal quelas sucesiones ψn(xm, ym)m∈ω sean finalmente constantes, entonces existen x,y ∈ P tales que xm → x, ym → y, x > y.

Definimos una aplicacion σ : T −→ κ<ω con el criterio ilustrado por elesquema siguiente:

ψ0 ψ1 ψ2 · · ·(x0, x1) 1 4 9(x1, x2) 2 3 8(x2, x3) 5 6 7

...

Concretamente, definimos σ(∅) = ∅, σ(x0) = (0), σ(x0, x1) = (0, ψ0(x0, x1)),

σ(x0, x1, x2) = (0, ψ0(x0, x1), ψ0(x1, x2), ψ1(x1, x2), ψ1(x0, x1))

σ(x0, x1, x2, x3) = (0, ψ0(x0, x1), ψ0(x1, x2), ψ1(x1, x2), ψ1(x0, x1),

ψ0(x2, x3), ψ1(x2, x3), ψ2(x2, x3), ψ2(x1, x2), ψ2(x0, x1)),

y ası sucesivamente. Por ejemplo, el esquema indica que en la sexta posicion deσ(x0, x1, x2, x3) (empezando a contar en 0) debe ser ψ1(x2, x3).

Definimos S = s ∈ κ<ω |∨

t ∈ T s ⊂ σ(t). Es claro que S es un arbol yque σ conserva la inclusion estricta de sucesiones. Solo falta probar que S estabien fundado. En caso contrario existe una sucesion estrictamente crecientesmm∈ω en S. Completandola podemos suponer que ℓ(sm) = m, y entoncescontiene intercalada una sucesion estrictamente creciente σ(tm)m∈ω, dondetambien podemos suponer que ℓ(tm) = m. Mas explıcitamente, tenemos

σ(x00, x01) ⊂ σ(x10, x

11, x

12) ⊂ σ(x20, x

21, x

22, x

23) ⊂ · · ·

Esto se traduce en que las columnas del diagrama siguiente son constantes:

ψ0(x00, x

01)

ψ0(x10, x

11) ψ0(x

11, x

12) ψ1(x

11, x

12) ψ1(x

10, x

11)

ψ0(x20, x

21) ψ0(x

21, x

22) ψ1(x

21, x

22) ψ1(x

20, x

21) ψ0(x

22, x

23) ψ1(x

22, x

23) · · ·

Esto implica que para un n y j fijos la sucesion ψn(xmj , x

mj+1)m∈ω es final-

mente constante. Segun hemos indicado, esto implica que existe xj = lımmxmj y

se cumple que xj > xj+1, en contradiccion con que < esta bien fundada.

5.9. Conjuntos γ-Borel 181

En particular el teorema anterior se aplica a los conjuntos Σ11 y Σ1

2. Con-cretamente:

Teorema 5.69 Sea X un espacio polaco no numerable, sea P ⊂ X y < unarelacion bien fundada en P que, como subconjunto de X2, sea Σ1

1 (resp. Σ12).

Entonces el rango asociado ρ : P −→ Ω toma imagenes en un ordinal < ω1

(resp. < ω2).

En particular obtenemos de nuevo que un espacio polaco no numerable noadmite un buen orden∆1

1, como ya habıamos concluido a partir de 5.45, y ahorasabemos ademas que si admite un buen orden ∆1

2 necesariamente 2ℵ0 = ℵ1.

El axioma de eleccion nos da una curiosa caracterizacion de los conjuntosℵn-Suslin, para n < ω:

Teorema 5.70 (Martin) (AE) Si 0 < n < ω, un subconjunto de un espaciopolaco es ℵn-Suslin si y solo si es union de ℵn conjuntos de Borel.

Demostracion: Una implicacion es trivial: los conjuntos de Borel son ℵn-Suslin y las uniones de ℵn conjuntos ℵn-Suslin son ℵn-Suslin. No perdemosgeneralidad si trabajamos en N. Razonaremos por induccion sobre n. SeaA ⊂ N un conjunto ℵn-Suslin y sea T un arbol en ω × ℵn tal que A = p[T ].

Para cada γ < ℵn sea T γ = T ∩ (ω × γ)<ω. Entonces A =⋃

γ<ℵn

p[T γ], pues

si x ∈ A, existe un f ∈ ℵωn tal que (x, f) ∈ [T ], pero f ∈ γω para algun γ < ℵn.

Como γω ∼= |γ|ω, es claro que p[T γ ] es ℵn−1-Suslin. Si n = 1 entonces p[T γ ]es Σ1

1, luego es union de ℵ1 conjuntos de Borel por 5.58 y si n > 1 entoncesp[T γ ] es union de ℵn−1 conjuntos de Borel por hipotesis de induccion. En amboscasos A queda expresado como union de ℵn conjuntos de Borel.

Resultados similares sin el axioma de eleccion tienen que enunciarse enterminos del concepto de conjunto γ-Borel:

5.9 Conjuntos γ-Borel

Definicion 5.71 Si X es un espacio polaco y γ ≥ ω es un ordinal, la γ-algebrade Borel Bγ(X) es la menor subalgebra de subconjuntos de X que contiene alos abiertos y que es cerrada para uniones de menos de γ elementos, es decir,tal que si Aδδ<ǫ con ǫ < γ es una familia de elementos de Bγ(X), entonces⋃

δ<ǫ

Aδ ∈ Bγ(X), y obviamente lo mismo vale entonces para intersecciones.

Los elementos de Bγ(X) se llaman conjuntos γ-Borel de X . Ası Bγ es unaclase de conjuntos definida sobre todos los espacios polacos, aunque es trivialsobre los numerables.

Es obvio que si γ no es un cardinal entonces Bγ = Bγ+ , pero resulta utilmanejar la definicion para ordinales arbitrarios. Claramente Bω+1 = Bℵ1 es laclase de los conjuntos de Borel usuales.

182 Capıtulo 5. Conjuntos Proyectivos

Teorema 5.72 Si γ > ω, entonces la clase Bγ es cerrada para sustituciones deBorel, para

∧

n ∈ ω y para∨

n ∈ ω.

Demostracion: Sea f : X −→ Y una aplicacion medible Borel y sea B′γ

el conjunto de los A ∈ Bγ(Y ) tales que f−1[A] ∈ Bγ(X). Claramente B′γ es

una γ-algebra que contiene a los abiertos (pues claramente Bω+1(X) ⊂ Bγ(X)),luego B′

γ = Bγ(Y ).

Si B ∈ Bγ(X × ω), por la parte ya probada cada Bn ∈ Bγ(X), luego∧

n ∈ ω B =⋂

n∈ωBn ∈ Bγ(X). El caso de

∨

n es identico.

La relacion general entre los conjuntos de Suslin y los de Borel es la dadapor el teorema siguiente:

Teorema 5.73 Sea X un espacio producto y γ un cardinal infinito. Si A ⊂ Xes γ-Suslin entonces A es union de γ+ conjuntos γ+-Borel, luego es γ+ + 1-Borel. Si cf γ > ω, entonces A es union de γ conjuntos γ + 1-Borel.

Demostracion: Vamos a considerar primero el caso en que cf γ > ω. Noperdemos generalidad si suponemos que A ⊂ N. Sea T un arbol en ω × γ talque A = p[T ]. Para cada η < γ, consideramos el arbol T η = T ∩ (ω × η)<ω , demodo que

A =⋃

η<γp[T η],

donde hemos usado la hipotesis sobre la cofinalidad de γ. Basta probar quecada Aη = p[T η] es γ + 1-Borel. Tenemos que

x ∈ Aη ↔ T ηx no esta bien fundado.

Notemos que |η<ω | < γ, por lo que la altura de un arbol en η<ω tiene que sermenor que γ. Para cada s ∈ η<ω y cada α < γ, sea

Bsα = x ∈ N | T ηx /s esta bien fundado y ‖T ηx /s‖ < α,

donde T ηx /s = t ∈ γ<ω | st ∈ T ηx y ‖T ηx /s‖ es la altura del arbol, es decir, elrango de ∅. Aquı entendemos que Bs0 = x ∈ N | s /∈ T ηs , que es un cerrado.(Notemos que s /∈ T ηs equivale a que T ηx /s = ∅ y no tiene definida la altura.)Veamos por induccion sobre α que Bsα es γ-Borel. Para ello observamos que

Bsα =⋂

δ<η

⋃

β<α

Bsδβ .

En efecto, x ∈ Bsα si y solo si para cada δ < η, o bien sδ /∈ T ηx , o bien el arbolT ηx /(s

δ) esta bien fundado y tiene altura menor que ‖T ηs /s‖. Si los conjuntosBs

δβ son γ-Borel por hipotesis de induccion, lo mismo vale para Bsα.

Ahora definimos

Cα = x ∈ N | T ηx esta bien fundado con ‖T ηx ‖ < α ∨∨

s ∈ η<ω(T ηx /s esta bien fundado con ‖T ηx /s‖ = α).

5.9. Conjuntos γ-Borel 183

AsıN \Aη =

⋂

α<γCα.

En efecto, si x ∈ N \Aη, entonces Tηx esta bien fundado, luego, dado α < γ,

o bien ‖T ηx ‖ < α, o bien ‖Tx‖ ≥ α, en cuyo caso existe un s ∈ T ηx de rango α,lo cual equivale a que ‖T ηx /s‖ = α. En cualquier caso x ∈ Cα. Recıprocamente,si x ∈ Aη entonces T ηx no esta bien fundado, luego, para cada s ∈ η<ω, o bienT ηx /s no esta bien fundado, o bien lo esta con altura αs < γ. En el primer casotomamos αs = 0. La aplicacion η<ω −→ γ no puede ser suprayectiva, luego hayun α < γ tal que x /∈ Cα.

Finalmente observamos que Cα es γ-Borel, pues

Cα = B∅α ∪⋃

s∈η<ω

(Bsα+1 \Bsα).

Por lo tanto, Aη es γ + 1-Borel.

Si no suponemos que cf γ > ω el argumento es una simplificacion del quehemos dado: no tomamos ningun η < γ, con lo que en toda la prueba hay quehacer η = γ y α puede tomar cualquier valor α < γ+. En este contexto los Bsαson γ+-Borel, al igual que los Cα.

Ahora generalizamos el teorema de Lusin 5.8:

Teorema 5.74 Sea γ un cardinal infinito y A, B dos conjuntos γ-Suslin dis-juntos en un espacio polaco. Entonces existe un conjunto γ+1-Borel C que lossepara, es decir, A ⊂ C y B ∩ C = ∅.

Demostracion: No perdemos generalidad si trabajamos en N. Observemosen general que si

A =⋃

i∈I

Ai, B =⋃

j∈J

Bj

y el conjunto Cij separa Ai de Bj , entonces C =⋃

i∈I

⋂

j∈J

Cij separa A de B.

Supongamos que los conjuntos dados A y B no se pueden separar por unconjunto γ+1-Borel. Sean T y S arboles en ω×γ tales que A = p[T ] y B = p[S].Entonces

A =⋃

t∈ω,δ<γ

p[T(t,δ)], B =⋃

s∈ω,η<γp[S(s,η)],

donde T(t,δ) = u ∈ T | u(0) = (t, δ).Si cada conjunto p[T(t,δ)] pudiera separarse de cada p[S(s,η)] por un conjunto

γ + 1-Borel, entonces el conjunto C que separa a A y B segun el razonamientoprecedente serıa tambien γ + 1-Borel, luego existen (t0, δ0), (s0, η0) tales quep[T(t0,δ0)] y p[S(s0,η0)] no se pueden separar por un conjunto γ + 1-Borel. Ne-cesariamente t0 = s0, pues en caso contrario C = x ∈ N | x(0) = t0 lossepararıa. Similarmente,

p[T(t0,δ0)] =⋃

t∈ω,δ<γ

p[T(t0,t,δ0,δ)], p[S(t0,η0)] =⋃

s∈ω,η<γp[T(t0,s,η0,η)],

184 Capıtulo 5. Conjuntos Proyectivos

luego existen t1, δ1 y s1, η1 tales que p[T(t0,t1,δ0,δ1)] y p[T(t0,s1,η0,η1)] no se puedenseparar por un conjunto γ + 1-Borel. Nuevamente concluimos que s1 = t1.Razonando de este modo obtenemos por recurrencia sucesiones x = (tn) ∈ N,δ = (δn) ∈ γω, η = (ηn) ∈ γω tales que

∧

n ∈ ω ((x|n, δ|n) ∈ T ∧ (x|n, η|n) ∈ S),

pero esto implica que x ∈ A ∩B, contradiccion.

Notemos que de aquı se deduce el teorema de Lusin 5.8 sin mas que tomarγ = ℵ0. La generalizacion correspondiente del teorema de Suslin afirma quesi un conjunto y su complementario son ambos γ-Suslin, entonces ambos sonγ + 1-Borel.

Capıtulo VI

Teorıa de la recursion

Para poner de manifiesto la naturaleza esencialmente conjuntista (por opo-sicion a topologica) de muchas cuestiones relacionadas con los conjuntos proyec-tivos es necesario introducir la teorıa efectiva de Kleene (vease la introduccion),cuyo nucleo es una extension de la teorıa de la recursion expuesta en el capıtuloVII de [L]. Concretamente, allı definimos los conceptos de funcion recursivaf : ωn −→ ω y de relacion n-adica recursiva en ω, y ahora vamos a introducirlos conceptos de funcion recursiva f : Nn −→ N y de relacion n-adica recur-siva en N. No obstante, para tratar conjuntamente con los conceptos originalesy los nuevos, sera conveniente considerar relaciones y funciones en “espaciosproducto” de la forma Xrs = ωr ×Ns.

Dedicamos este capıtulo a extender de este modo los conceptos de la teorıade la recursion y en el capıtulo siguiente los aplicaremos a la teorıa descriptivade conjuntos.

Recordemos en primer lugar los conceptos basicos de la teorıa de la recursion.En la seccion 7.1 de [L] introdujimos las funciones recursivas f : ωn −→ ω, queinformalmente son aquellas funciones para las que existe un algoritmo capazde calcular la imagen de cualquier elemento de ωn en un tiempo finito. Unarelacion n-adica (es decir, un subconjunto R ⊂ ωn) es recursiva si y solo lo essu funcion caracterıstica, lo cual equivale a que exista un algoritmo que decidaen un tiempo finito si cualquier elemento dado de ωn cumple o no la relacion.

Una caracterizacion util de estos conceptos es la dada por los teoremas[L 7.11] y [L 7.12], segun los cuales las relaciones y funciones recursivas sonlas relaciones y funciones ∆1. Recordemos lo que esto significa: si La es ellenguaje de la aritmetica [L 5.1], llamamos formulas ∆0 a las formulas de La

(sin descriptores) cuyos cuantificadores estan todos acotados, es decir, que sonde la forma

∧

x ≤ y o∨

x ≤ y. Entonces, una relacion R ⊂ ωn es recursiva si ysolo si existen formulas φ(x0, x1, . . . , xn) y ψ(x0, x1, . . . , xn), de tipo ∆0, talesque

R(a1, . . . , an) ↔∨

m ∈ ω ω φ[m, a1, . . . an] ↔∧

m ∈ ω ω ψ[m, a1, . . . an].

Equivalentemente, la relacion R es tanto Σ1 (esta definida por una formula

185

186 Capıtulo 6. Teorıa de la recursion

aritmetica de tipo Σ1, es decir, de la forma∨

xφ(x), con φ de tipo ∆0) como Π1

(esta definida por una formula aritmetica de tipo Π1, es decir, de la forma∧

xψ(x), con ψ tambien ∆0).En el caso de las funciones hay que tener en cuenta que f : ωn −→ ω es ∆1

si y solo si es una relacion Σ1 (veanse las observaciones tras [L 5.29]), por lo quef es recursiva si y solo si existe una formula ∆0 tal que

f(a1, . . . , an) = a↔∨

m ∈ ω ω φ[m, a1, . . . , an, a].

Mas en general, en la seccion 7.3 de [L] definimos las funciones recursivasparciales, que son funciones parciales f : ωn −→ ω (donde “funcion parcial” sig-nifica que su dominio no es necesariamente ωn, sino un subconjunto, que inclusopodrıa ser vacıo) con la propiedad de que existe un algoritmo que, partiendo deun x ∈ ωn, termina calculando f(x) en un tiempo finito si es que esta definido,o bien no termina el calculo en caso contrario (lo cual no nos permite saber enun tiempo finito si el calculo terminara mas adelante o si la funcion f no estadefinida en x).

En la primera seccion probaremos algunos resultados adicionales sobre fun-ciones y relaciones recursivas en ωn y a continuacion pasaremos al caso de losespacios producto Xrs.

6.1 Funciones y relaciones recursivas

El teorema siguiente es una ligera generalizacion de [L 7.5]:

Teorema 6.1 Si R ⊂ ωn+1 y f : ωn −→ ω son recursivas, tambien lo son lasrelaciones

S(x) ↔∨

m ≤ f(x) R(m,x), T (x) ↔∧

m ≤ f(x) R(m,x),

ası como la funcion g(x) = µm ≤ f(x) R(m,x).

En efecto, las funciones caracterısticas de S y T resultan de componer con flas funciones caracterısticas de las relaciones definidas en [L 7.5], luego sonrecursivas. Igualmente, la funcion g resulta de componer con f la funcion queen [L 7.5] se define como f .

Tambien es util el siguiente resultado elemental sobre definicion de funcionespor casos:

Teorema 6.2 Si f1, . . . , fm+1 : ωn −→ ω y R1, . . . , Rm ⊂ ωn son recursivas,tambien lo es la funcion f : ωn −→ ω dada por:

f(x) =

f1(x) si R1(x),f2(x) si ¬R1(x) ∧ R2(x),...

fm(x) si ¬R1(x) ∧ · · · ∧ ¬Rm−1(x) ∧ Rm(x),fm+1(x) si ¬R1(x) ∧ · · · ∧ ¬Rm(x).

6.1. Funciones y relaciones recursivas 187

Demostracion: Consideramos las relaciones recursivas

S1 = R1, S2 = ¬R1 ∧ R2, . . . Sm = ¬R1 ∧ · · · ∧ ¬Rm−1 ∧ Rm,

Sm+1 = ¬R1 ∧ · · · ∧ ¬Rm.

Entoncesf(x) = f1(x)χS1

(x) + · · ·+ fm+1(x)χSm+1(x)

es recursiva.

Notemos que si las relaciones R1, . . . , Rm del teorema anterior son mutua-mente excluyentes, la funcion f se reduce a

f(x) =

f1(x) si R1(x),...

fm(x) si Rm(x),fm+1(x) en otro caso.

Por ejemplo, la funcion

maxm,n =

n si m ≤ n,m en otro caso,

es recursiva.

Teorema 6.3 El buen orden canonico en ω2 dado por

(m,n) ≤ (m′, n′) ↔ maxm,n < maxm′, n′ ∨

(maxm,n = maxm′, n′ ∧ (n < n′ ∨ (n = n′ ∧ m ≤ m′))),

es una relacion recursiva en ω4. La semejanza 〈 , 〉2 : ω2 −→ ω es recursiva, aligual que las funciones n2

0, n21 : ω −→ ω que cumplen n =

⟨n20, n

21

⟩

2.

Demostracion: La recursividad del buen orden es inmediata (pues estadefinido por una formula ∆0). Observemos que 〈m,n〉2 es el numero de paresanteriores a (m,n) respecto del buen orden canonico. Si k = maxm,n, esclaro que los k2 pares de k × k son anteriores a (m,n), tras los cuales vienen

(0, k), (1, k), . . . , (k − 1, k), (k, 0), (k, 1), . . . , (k, k).

Es claro entonces que

〈m,n〉2 =

n2 +m si m < n,m2 +m+ n si m ≥ n,

luego se trata de una funcion recursiva. Por ultimo,

n20 = µk ≤ n

∨

r ≤ n n = 〈k, r〉2 , n21 = µk ≤ n

∨

r ≤ n n = 〈r, k〉2 .

188 Capıtulo 6. Teorıa de la recursion

Teorema 6.4 Para cada k ∈ ω, la biyeccion canonica 〈 〉k : ωk −→ ω es re-cursiva, al igual que lo son las funciones nki : ω3 −→ ω que cumplen n =⟨nk0 , . . . , n

kk−1

⟩

k.

Demostracion: La recursividad de las biyecciones canonicas es inmediata,pues se definen por composicion a partir de 〈 〉2. Ahora definimos por recurren-cia

f(n, 0) = n, f(n, r + 1) = f(n, r)20,

de modo que

nki =

f(n, k −· (i+ 1))21 si i < k,0 en otro caso.

No podemos decir que la biyeccion canonica 〈 〉∞ : ω<ω −→ ω dada por

〈s〉∞ =⟨

ℓ(s)− 1, 〈s〉ℓ(s)

⟩

2+ 1, 〈∅〉∞ = 0

es recursiva porque no hemos definido el concepto de funcion recursiva sobreω<ω, pero sı que es recursiva su restriccion a cada ωr, ası como la funcion

ℓ(n) =

(n−· 1)20 + 1 si n > 0,0 si n = 0

que nos da la longitud de la sucesion s tal que 〈s〉∞ = n, y tambien la funcionn∞i : ω2 −→ ω que nos da el elemento i-esimo de la sucesion codificada por n.

En efecto,

n∞i =

((n−· 1)21)ℓ(n)i si n > 0,

0 si n = 0.

Las funciones y relaciones elementales que podemos definir sobre sucesionesfinitas se corresponden a traves de esta codificacion con funciones y relacionesrecursivas. Por ejemplo:

m ⊂ n↔ ℓ(m) ≤ ℓ(n) ∧∧

i < ℓ(m) mi = ni,

m ⊥ n↔ ¬m ⊂ n ∧ ¬n ⊂ m,

Para probar la recursividad de la concatenacion definimos

f(0, s, t) =

⟨(s− 1)21, ((t− 1)21)0

⟩

2,

f(k + 1, s, t) =⟨f(k, s, t), ((t− 1)21)k+1

⟩

2,

st =

t si s = 0,s si s 6= 0 ∧ t = 0,〈ℓ(s) + ℓ(t)− 1, f(ℓ(t), s, t)〉2 + 1 si s 6= 0 6= t.

Es facil ver que ℓ(s t) = ℓ(s) + ℓ(t) y, si i < ℓ(s), entonces (s t)i = si,mientras que si ℓ(s) ≤ i < ℓ(t), entonces (s t)ℓ(s)+i = ti.

6.2. Conjuntos semirrecursivos y recursivos en espacios producto 189

6.2 Conjuntos semirrecursivos y recursivos enespacios producto

En [L 7.27] definimos que un conjunto R ⊂ ωn es semirrecursivo si es Σ1, esdecir, si y solo si existe una formula φ(x0, x1, . . . , xn) de tipo ∆0 tal que

R(a1, . . . , an) ↔∨

m ∈ ω ω φ[m, a1, . . . an].

Por consiguiente, un conjunto es recursivo si y solo si tanto el como su com-plementario son semirrecursivos. Ahora vamos a generalizar estos conceptos asubconjuntos de los espacios producto Xrs = ωr ×N

s.

Consideramos a X10 = ω como un espacio topologico discreto que tiene porbase a los conjuntos B10

n = n, mientras que X01 = N, con la topologıa usual,tiene por base a los conjuntos

B01n = x ∈ N |

∧

i < ℓ(n) x(i) = ni

o, equivalentemente, si para cada x ∈ N y cada n ∈ ω definimos

x(n) = 〈x|n〉 ∈ ω,

de modo que para cada i < n se cumple x(n)i = x(i), tenemos que

B01n = x ∈ N | x(ℓ(n)) = n.

Por consiguiente, una base de Xrs con la topologıa producto esta formadapor los conjuntos

Brsn = B10nr+s0

× · · · ×B10nr+sr−1

× B01nr+sr

× · · · ×B01nr+sr+s−1

.

Notemos que los conjuntos B10n y B01

n segun esta definicion coinciden con losdefinidos previamente. Cuando no se preste a confusion escribiremosBn en lugarde Brsn , de modo que Bnn∈ω es una base numerable del espacio producto Xrs.

Definicion 6.5 Sea X un espacio producto. Diremos que A ⊂ X es semi-rrecursivo si A = ∅ o bien existe una funcion x : ω −→ ω recursiva tal queA =

⋃

n∈ωBx(n).

Observaciones Los conjuntos semirrecursivos son abiertos (y podemos con-cebirlos como la version efectiva del concepto de “abierto”). Mas precisamente,son uniones de abiertos basicos con la restriccion adicional de que estos puedenenumerarse a traves de una funcion recursiva. En el caso en queX = ω, tenemosque Bx(n) = x(n), por lo que A = x[ω] y ası, los conjuntos semirrecursivos novacıos son simplemente las imagenes de las funciones recursivas. Por esta razonse llaman tambien conjuntos recursivamente enumerables, pero este nombre yano es adecuado en el caso general.

190 Capıtulo 6. Teorıa de la recursion

Resulta, pues, que si A ⊂ ω es semirrecursivo y n ∈ A, tenemos un algoritmoque en un tiempo finito nos confirma que, en efecto, n ∈ A (solo tenemos queir calculando x(0), x(1), x(2), . . . y esperar a que aparezca n en la sucesion. Sinembargo, si n /∈ A no tenemos, en principio, ningun criterio que nos permitacomprobarlo.

Algo similar sucede con los subconjuntos semirrecursivos A ⊂ N. Si a ∈ Aes recursivo como funcion a : ω −→ ω, entonces podemos calcular cualquiersucesion a|ℓ(x(n)) y comprobar si a(ℓ(x(n))) = x(n), es decir, si a ∈ Bx(n). Porlo tanto, si vamos comprobando sucesivamente si a ∈ Bx(0), a ∈ Bx(1), etc., enun tiempo finito podremos concluir que, en efecto, a ∈ A. En cambio, si a /∈ Ano tenemos, en principio, ninguna forma de comprobarlo.

Enseguida demostraremos que la definicion anterior generaliza a la que yatenıamos para subconjuntos de ωr, pero para ello conviene demostrar antesalgunas propiedades basicas de los conjuntos semirrecursivos. Necesitamos unadefinicion:

Diremos que una aplicacion f : Xrs −→ Xr′s′ es trivial si sus funcionescoordenadas son proyecciones, es decir, si

f(n1, . . . , nr, x1, . . . , xs) = (nj1 , . . . , njr′ , xk1 , . . . , xks′ ).

Teorema 6.6 Sea X un espacio producto.

a) ∅ y X son conjuntos semirrecursivos.

b) Todo A ⊂ ωr recursivo es semirrecursivo.

c) Todo abierto basico Bn es semirrecursivo.

d) (n, x) ∈ ω ×X | x ∈ Bn es semirrecursivo.

e) La clase de los conjuntos semirrecursivos es cerrada para sustitucionestriviales, conjunciones, disyunciones

∧

k ≤ n,∨

k ≤ n y∨

k ∈ ω.

Demostracion: a) ∅ es semirrecursivo por definicion, mientras que X loes porque X =

⋃

n∈ωBn.

b) Consideramos la funcion recursiva f : ω −→ ω dada por

f(m) = χA(mr

0, . . . ,mrr−1).

Ası f(m) = 1 ↔ (mr0, . . . ,m

rr−1) = Bm ⊂ A.

Si A = ∅ ya sabemos que es semirrecursivo. En caso contrario tomamosm0 ∈ ω tal que f(m0) = 1. Entonces la funcion

g(m) =

m si f(m) = 1,m0 si f(m) = 0,

es recursiva y A =⋃

m∈ωBg(m) es semirrecursivo.

6.2. Conjuntos semirrecursivos y recursivos en espacios producto 191

c) Bn =⋃

m∈ωBcn(m), donde cn es la funcion constantemente igual a n.

d) Consideramos la funcion recursiva f(n) =⟨n, nr+s0 , . . . , nr+sr+s−1

⟩

r+s+1.

Ası Br+1,sf(n) = n ×Brsn y

(n, x) ∈ ω ×X | x ∈ Bn =⋃

n∈ωBf(n).

e) Consideremos dos conjuntos semirrecursivos

P =⋃

n∈ωBx(n), Q =

⋃

n∈ωBy(n),

con x, y recursivas. Definimos

z(n) =

x(k) si n = 2k,y(k) si n = 2k + 1.

Es facil ver que z es recursiva (pues d(n) = µk ≤ n (2k ≤ n ∧ n < 2k+2) esrecursiva) y P ∨ Q =

⋃

n∈ωBz(n).

Definimos las funciones recursivas:

[m,n] =

m si n ⊂ m,n si m ⊂ n,0 en otro caso,

f(n, m) =

0 si nr+s0 6= m

r+s0 ∨ · · · ∨ n

r+sr−1

6= mr+sr−1

∨ nr+sr ⊥ mr+s

r ∨ · · · ∨ nr+sr+s−1

⊥ mr+sr+s−1

⟨

nr+s0

, . . . , nr+sr−1

, [nr+sr ,mr+s

r ], . . . , [nr+sr+s−1

, mr+sr+s−1

]⟩

r+s+ 1 en otro caso.

Ası Bn ∩Bm = ∅ si f(n,m) = 0 y Bn ∩Bm = Bf(n,m)−1 si f(n,m) 6= 0.

Si P ∧ Q = ∅, la interseccion es trivialmente semirrecursiva. En otro casosea Bn0 ⊂ P ∧ Q. Consideramos la funcion recursiva

z(n) =

f(x(n20), y(n

21))− 1 si f(x(n2

0), y(n21)) 6= 0,

n0 en otro caso.

Entonces P ∧ Q =⋃

n∈ωBz(n) es semirrecursivo.

Supongamos ahora que A =⋃

n∈ωBy(n) ⊂ ω × X y veamos que

∨

n ∈ ωA

es semirrecursivo. Podemos suponer que no es vacıo y, como es abierto, existek ∈ ω tal que Bk ⊂ A. Basta considerar la funcion recursiva

z(n) =

⟨y(n2

1)r+s+11 , . . . , y(n2

1)r+s+1r+s

⟩

r+ssi y(n2

1)r+s+10 = n2

0,k en otro caso.

Ası∨

n ∈ ω(n, x) ∈ A↔∨

nm ∈ ω (n, x) ∈ By(m) ↔∨

n ∈ ω(n20, x) ∈ By(n2

1))

↔∨

n ∈ ω x ∈ Bz(n).

Por lo tanto∨

n ∈ ω A =⋃

n∈ωBz(n) es semirrecursivo.

192 Capıtulo 6. Teorıa de la recursion

Veamos ahora la clausura para sustituciones triviales. Consideremos, pues,f : X −→ Y una aplicacion trivial, de modo que f(a1, . . . , ak) = (ai1 , . . . , aik′ )y un conjunto semirrecursivo A =

⋃

n∈ωBy(n) ⊂ Y , con y recursiva. Entonces

(x1, . . . , xk) ∈ f−1[A] ↔ (xi1 , . . . , xik′ ) ∈ A↔∨

n ∈ ω (xi1 , . . . , xik′ ) ∈ By(n)

↔∨

n ∈ ω (xi1 ∈ By(n)k′

0∧ · · · ∧ xik′ ∈ By(n)k′

k′−1

).

Ahora observamos que

xi ∈ By(n)k′

j↔

∨

t ∈ ω (x1 ∈ Btk0 ∧ · · · ∧ xi ∈ By(n)k′

j∧ · · · ∧ xk ∈ Btk

k−1)

↔∨

t ∈ ω (x1, . . . , xk) ∈ Bfij(t,n),

donde

fij(t, n) =⟨

tk0 , . . . , y(n)k′

j , . . . , tkk−1

⟩

k

es una funcion recursiva.Sea

Ri,j(t, n, x1, . . . , xk) ↔ (x1, . . . , xk) ∈ Bfij(t,n) ↔

(t, n, x1, . . . , xk) ∈⋃

m∈ωm2

0 × m21 ×Bfij(m2

0,m21)

↔

(t, n, x1, . . . , xk) ∈⋃

m∈ωBz(m),

siendo

z(m) =⟨m2

0,m21, fij(m

20,m

21)k0 , . . . , ,mij(m

20,m

21)kk−1

⟩

k+2,

claramente recursiva, luego el conjunto Rij es semirrecursivo, y

(x1, . . . , xk) ∈ f−1[A] ↔∨

n ∈ ω(∨

t ∈ ω Ri1,0(t1, n, x1, . . . , xk) ∧

· · · ∧∨

t ∈ ω Rik′ ,k′−1(t, n, x1, . . . , xk)).

Como ya hemos probado que la clase de los conjuntos semirrecursivos escerrada para conjunciones y

∨

n ∈ ω, podemos concluir que f−1[A] es semirre-cursivo.

La clausura respecto a∨

k ≤ n es facil de probar:

∨

k ≤ n (k, x) ∈ A↔∨

k ∈ ω(k ≤ n ∧ (k, x) ∈ A)

↔∨

k ∈ ω(R(k, n, x) ∧ S(k, n, x)),

donde R(k, n, x) ↔ k ≤ n y S(k, n, x) ↔ (k, x) ∈ A son conjuntos semirrecur-sivos por la clausura respecto de sustituciones triviales (y porque los conjuntosrecursivos son semirrecursivos). Ahora concluimos que

∨

k ≤ nA es semirrecur-sivo de nuevo por la clausura respecto de conjunciones y

∨

k ∈ ω.

6.2. Conjuntos semirrecursivos y recursivos en espacios producto 193

Finalmente probamos la clausura respecto a∧

k ≤ n. Para ello tomamosA =

⋃

n∈ωBy(n) ⊂ ω ×X . Tenemos que

∧

k ≤ n (k, n) ∈ A↔∧

k ≤ n∨

m ∈ ω (k, x) ∈ By(m) ↔∨

t ∈ ω∧

k ≤ n (k, x) ∈ By(tk) ↔∨

t ∈ ω∧

k ≤ n (y(tk)r+s+10 = k ∧ x ∈ Bf(t,k)),

donde f(t, k) =⟨y(tk)

r+s+11 , . . . , y(tk)

r+s+1r+s

⟩

r+ses recursiva. Por lo tanto

∧

k ≤ n (k, n) ∈ A↔∨

t ∈ ω(∧

k ≤ n y(tk)r+s+10 = k ∧

∧

k ≤ nx ∈ Bf(t,k)).

Claramente R(k, t) ↔∧

k ≤ n y(tk)r+s+10 = k es una relacion recursiva,

luego basta probar que el conjunto

(n, t, x) |∧

k ≤ nx ∈ Bf(t,k)

es semirrecursivo, pero∧

k ≤ nx ∈ Bf(t,k) ↔∨

u ∈ ω(∧

k ≤ n(f(t, k)r+s0 = u0 ∧ · · · ∧ f(t, k)r+sr−1 = ur−1 ∧

f(t, k)r+sr ⊂ ur ∧ · · · ∧ f(t, k)r+sr+s−1 ⊂ ur+s−1) ∧ x ∈ Bu) ↔∨

u ∈ ω(R(u, t, x) ∧ S(u, t, x)),

donde ambos conjuntos R y S son semirrecursivos, el primero por ser antiimagentrivial de un conjunto recursivo en ω2, y el segundo por el apartado d) de estemismo teorema. Como ya hemos probado que la clase de los conjuntos semi-rrecursivos es cerrada para conjunciones y

∨

u ∈ ω, concluimos que el conjunto∧

l ≤ nA es semirrecursivo.

Observemos que la clausura por sustituciones triviales nos permite anadirvariables a un conjunto semirrecursivo, o alterar el orden de estas, sin que porello deje de ser semirrecursivo.

El teorema siguiente demuestra que los subconjuntos semirrecursivos de ωr

son precisamente los subconjuntos Σ1, en concordancia con [L 7.27]:

Teorema 6.7 Un conjunto A ⊂ ωr es semirrecursivo si y solo si existe unconjunto R ∈ ωr+1 recursivo tal que A =

∨

m ∈ ωR.

Demostracion: Supongamos que A es semirrecursivo. Si A = ∅ bastatomar R = ∅. En caso contrario, sea A =

⋃

n∈ωBx(n), con x recursiva. Entonces

A(n1, . . . , nr) ↔∨

m ∈ ω (n1, . . . , nr) ∈ Bx(m) ↔∨

m ∈ ω x(m) = 〈n1, . . . , nr〉r ↔∨

m ∈ ωR(m,n1, . . . , nr),

donde R es claramente recursivo. Recıprocamente, si A =∨

m ∈ ω R, entoncesA es semirrecursivo por el teorema anterior.

En particular tenemos que un subconjunto A ⊂ ωr es recursivo si y solo siA y ¬A son ambos semirrecursivos. Esto nos sirve para generalizar la definicionde conjunto recursivo:

194 Capıtulo 6. Teorıa de la recursion

Definicion 6.8 Si X es un espacio producto, un conjunto A ⊂ X es recursivosi A y ¬A son ambos semirrecursivos.

En particular, los conjuntos recursivos son abiertos cerrados (y constituyenla version efectiva de “abierto-cerrado”). En el caso en que A ⊂ ωr, ya sabemosque esto equivale a que A sea recursivo en el sentido de [L 7.2], es decir, a quela funcion caracterıstica de A sea recursiva o, lo que es lo mismo, que exista unprocedimiento para saber si un a ∈ ωr esta o no en A. Segun las observacionesposteriores a la definicion 6.5, en el caso en que A ⊂ N es recursivo, tenemosigualmente que si a ∈ N es recursivo como funcion a : ω −→ ω, existe un criteriopara decidir si a ∈ A o bien a /∈ A.

Veamos las propiedades basicas de los conjuntos recursivos:

Teorema 6.9 Sea X un espacio producto.

a) ∅ y X son conjuntos recursivos.

b) (n,m, x) ∈ ω2 ×N | x(n) = m es recursivo.

c) Los abiertos basicos Bn son recursivos.

d) (n, x) ∈ ω ×X | x ∈ Bn es recursivo.

e) La clase de los conjuntos recursivos es cerrada para complementos, con-junciones, disyunciones,

∨

k ≤ n,∧

k ≤ n y sustituciones triviales.

Demostracion: a) y e) son evidentes.

b) x(n) = m↔∨

k ∈ ω(x ∈ Bk ∧ n < ℓ(k) ∧ kn = m)

x(n) 6= m↔∨

k ∈ ω(k 6= m ∧ x(n) = k)

Estas equivalencias demuestran que tanto el conjunto dado como su comple-mentario son semirrecursivos.

c) Basta tener en cuenta que el complementario de un abierto basico es unaunion finita de abiertos basicos, luego es semirrecursivo.

d) Sabemos que el conjunto dado es semirrecursivo, y su complementario esunion de un numero finito de conjuntos de la forma (n, x) | xi /∈ Bnk

i, luego

basta probar que estos conjuntos son semirrecursivos. Cada uno de ellos es unaantiimagen trivial de uno de los conjuntos

(n,m) ∈ ω2 | m /∈ Bnki, (n, x) ∈ ω ×N | x /∈ Bnk

i.

El primero es (n,m) ∈ ω2 | m 6= nki , claramente recursivo, mientras que elsegundo es

x /∈ Bnki↔

∨

m < ℓ(nki ) x(m) 6= (nki )m ↔∨

m ∈ ω∨

t ∈ ω(m < ℓ(nki ) ∧ t 6= (nki )m+1 ∧ x(m) = t),

claramente semirrecursivo.

Ahora generalizamos el teorema 6.7:

6.2. Conjuntos semirrecursivos y recursivos en espacios producto 195

Teorema 6.10 Si X es un espacio producto, un conjunto A ⊂ X es semirre-cursivo si y solo si existe R ⊂ ω ×X recursivo tal que A =

∨

n ∈ ω R.

Demostracion: Una implicacion es evidente. Si A es semirrecursivo (po-demos suponer que no es vacıo), entonces A =

⋃

n∈ωBy(m), con y recursiva.

A(x) ↔∨

n ∈ ω x ∈ By(n) ↔∨

mn ∈ ω (y(n) = m ∧ x ∈ Bm)

↔∨

n ∈ ω (y(n20) = n2

1 ∧ x ∈ Bn21).

Basta probar que el conjunto S = (n, x) | x ∈ Bn21 es recursivo. Ahora

bien, esto es consecuencia inmediata de las equivalencias siguientes:

S(n, x) ↔∨

m ∈ ω(n = n21 ∧ x ∈ Bm)

¬S(n, x) ↔∨

m ∈ ω (m = n21 ∧ x /∈ Bm)

Veamos ahora que el conjunto R del teorema anterior puede tomarse, dehecho, en ωr+s+1.

Teorema 6.11 Un conjunto A ⊂ Xrs es semirrecursivo si y solo si existe unB ⊂ ωr+s+1 recursivo tal que1

A(n1, . . . , nr, x1, . . . , xs) ↔∨

m ∈ ω B(m,n1, . . . , nr, x1(m), . . . , xs(m)).

Ademas podemos exigir que

B(m,n1, . . . , nr, x1(m), . . . , xs(m)) ∧ m ≤ m′

→ B(m′, n1, . . . , nr, x1(m′), . . . , xs(m

′)).

Demostracion: Supongamos que A es semirrecursivo (y, sin perdida degeneralidad, no vacıo). Entonces A =

⋃

n∈ωBy(n), con y recursiva. Por tanto

A(n1, . . . , nr, x1, . . . , xs) ↔∨

t ∈ ω (n1, . . . , nr, x1, . . . , xs) ∈ By(t) ↔∨

m ∈ ω∨

t ≤ m (n1 = y(t)r+s0 ∧ · · · ∧ nr = y(t)r+sr−1

∧ y(t)r+sr ⊂ x1(m) ∧ · · · ∧ y(t)r+sr+s−1 ⊂ xs(m)).

Basta definir

B(m,n1, . . . , nr, u1, . . . , us) ↔∨

t ≤ m(n1 = y(t)r+s0 ∧ · · · ∧ nr = y(t)r+sr−1

∧ y(t)r+sr ⊂ u1 ∧ · · · ∧ y(t)r+sr+s−1 ⊂ us).

1Ası se pone de manifiesto que para comprobar si un elemento p = (n1, . . . , nr , x1, . . . , xs)pertenece a un conjunto semirrecursivo solo tenemos que ser capaces de calcular las r + s-tuplas de numeros naturales (n1, . . . , nr, x1(m), . . . , xs(m)) (lo cual es posible siempre quelas funciones xi sean recursivas) y hacer sobre ellas una comprobacion recursiva (que puededepender tambien de m, lo cual es redundante cuando s > 0, pues m puede recuperarse comom = ℓ(x1(m)). Si esta comprobacion es positiva para un m, tenemos la garantıa de que p ∈ A,pero si p /∈ A, en principio nada nos asegura que podamos llegar a saberlo.

196 Capıtulo 6. Teorıa de la recursion

Recıprocamente, si existe B, entonces el conjunto

(m,n1, . . . , nr, x1, . . . , xs) | B(m,n1, . . . , nr, x1(m), . . . , xs(m))

= (m,n1, . . . , nr, x1, . . . , xs) |∨

u1 · · ·us ∈ ω(u1 = x1(m) ∧ · · · ∧ us = xs(m)

∧ B(m,n1, . . . , nr, u1, . . . , us))

= (m,n1, . . . , nr, x1, . . . , xs) |∨

u1 · · ·us ∈ ω(ℓ(u1) = · · · = ℓ(us) = m ∧

x1 ∈ Bu1 ∧ · · · ∧ xs ∈ Bus∧ B(m,n1, . . . , nr, u1, . . . , us)

es claramente semirrecursivo, luego A tambien lo es.

Terminamos la seccion con unos resultados tecnicos sencillos que nos seranutiles mas adelante:

Teorema 6.12 Si X es un espacio producto, un conjunto A ⊂ X es semirre-cursivo si y solo si existe un R ⊂ ω semirrecursivo tal que

A(x) ↔∨

m ∈ ω(x ∈ Bm ∧ R(m)).

Demostracion: Podemos suponer que A 6= ∅, con lo que A =⋃

n∈ωBx(m),

donde x es recursiva. Entonces

A(x) ↔∨

m ∈ ω(x ∈ Bm ∧∨

n ∈ ω m = x(n)).

Teorema 6.13 Si X es un espacio producto, un conjunto A ⊂ ω ×X es semi-rrecursivo si y solo si existe R ⊂ ω2 semirrecursivo tal que

A(n, x) ↔∨

m ∈ ω(x ∈ Bm ∧ R(n,m)).

Demostracion: Por el teorema anterior existe un conjunto semirrecursivoR′ ⊂ ω tal que

A(n, x) ↔∨

u ∈ ω((n, x) ∈ Bu ∧ R′(u)) ↔

∨

m ∈ ω (x ∈ Bm ∧∨

u ∈ ω(u =⟨n,mr+s

0 , . . . ,mr+sr+s−1

⟩

r+s+1∧ R′(u))).

y basta tomar

R(n,m) ↔∨

u ∈ ω(u =⟨n,mr+s

0 , . . . ,mr+sr+s−1

⟩

r+s+1∧ R′(u)).

Teorema 6.14 Si X es un espacio producto, un conjunto A ⊂ X ×N es Σ01 si

y solo si existe un conjunto B ⊂ X × ω2 recursivo tal que

A(x, y) ↔∨

m ∈ ω B(x, y(m),m).

Ademas podemos exigir que

B(x, y(m),m) ∧ m ≤ m′ → B(x, y(m′),m′).

6.3. Funciones recursivas en espacios producto 197

Demostracion: Obviamente, un conjunto que cumpla el enunciado es Σ01.

Recıprocamente, si A es Σ01, por 6.12 existe un conjunto R ⊂ ω semirrecursivo

tal queA(x, y) ↔

∨

m ∈ ω ((x, y) ∈ BX×N

m ∧ R(m)).

Si X = Xrs, definimos

R′(u, v) ↔∨

m ∈ ω (m =⟨ur+s0 , . . . , ur+sr+s−1, v

⟩

r+s+1∧ R(m)).

Es claro que R′ es Σ01 y

A(x, y) ↔∨

uv ∈ ω (x ∈ BXu ∧ y ∈ BN

v ∧ R′(u, v))

Por 6.10 existe un conjunto R′′ ⊂ ω3 recursivo tal que

A(x, y) ↔∨

nuv ∈ ω (x ∈ BXu ∧ y ∈ BN

v ∧ R′′(n, u, v))

↔∨

m ∈ ω∨

nuv ≤ m (x ∈ BXu ∧ v ⊂ y(m) ∧ R′′(n, u, v)).

Definimos

B(x, p,m) ↔∨

nuv ≤ m (x ∈ BXu ∧ v ⊂ p ∧ R′′(n, u, v)).

Claramente B es recursivo y cumple lo pedido.

6.3 Funciones recursivas en espacios producto

Generalizamos ahora el concepto de funcion recursiva, lo que nos dara unaversion efectiva del concepto de aplicacion continua. Empezamos caracterizandola continuidad en terminos del concepto siguiente:

Definicion 6.15 Sea f : X −→ Y una aplicacion entre espacios producto.Llamaremos Gf ⊂ ω ×X al conjunto dado por Gf (n, x) ↔ f(x) ∈ BYn .

Observemos que Gf determina completamente a f , pues

f(x) =⋂

Gf (n,x)

BYn .

La caracterizacion de la continuidad es la siguiente:

Teorema 6.16 Una aplicacion f : X −→ Y entre dos espacios producto escontinua si y solo si Gf es abierto en ω ×X.

Demostracion: Si f es continua y (n, x) ∈ Gf , entonces f(x) ∈ BYn , luegoexiste un m ∈ ω tal que x ∈ BXm ⊂ f−1[BYn ], luego (n, x) ∈ n × BXm ⊂ Gf ,luego Gf es abierto.

Recıprocamente, si Gf es abierto y x ∈ f−1[BYn ], entonces (n, x) ∈ Gf ,luego existe un m ∈ ω tal que n×BXm ⊂ Gf , luego x ∈ BXm ⊂ f−1[BYn ], luegof−1[BYn ] es abierto y f es continua.

A partir de aquı podemos introducir un concepto mas general que el defuncion recursiva:

198 Capıtulo 6. Teorıa de la recursion

Definicion 6.17 Sea Γ una clase de conjuntos definida sobre los espacios pro-ducto.2 Una aplicacion f : X −→ Y es Γ-recursiva si Gf ∈ Γ.

Diremos que Γ es una clase Σ si contiene a los conjuntos semirrecursivosy es cerrada para conjunciones, disyunciones,

∨

k ≤ n,∧

k ≤ n,∨

k ∈ ω ysustituciones triviales.

De este modo, la clase de los conjuntos semirrecursivos es la menor clase Σ.Definiremos las funciones recursivas (equivalentes a las funciones continuas enla teorıa efectiva) tomando como Γ la clase de los conjuntos semirrecursivos,que son el analogo efectivo de los conjuntos abiertos. Pero antes de considerareste caso particular probaremos algunos hechos generales sobre funciones Γ-recursivas respecto de clases Σ. Empezamos por esta caracterizacion:

Teorema 6.18 Sea Γ una clase Σ. Una funcion f : X −→ Y entre espaciosproducto es Γ-recursiva si y solo si, para todo A ⊂ ω × Y semirrecursivo, elconjunto Af ⊂ ω ×X dado por Af (n, x) ↔ A(n, f(x)) esta en Γ.

Demostracion: Si f es Γ-recursiva yA es semirrecursivo, por 6.13 podemosrepresentarlo en la forma

A(n, y) ↔∨

m ∈ ω (y ∈ Bm ∧ R(n,m)),

donde R ⊂ ω2 es semirrecursivo. Entonces

Af (n, x) ↔∨

m ∈ ω (f(x) ∈ Bm ∧ R(n,m))

↔∨

m ∈ ω (Gf (n, x) ∧ R(n,m)),

luego Af ∈ Γ.

Recıprocamente, si se cumple la condicion, consideramos el conjunto recur-sivo dado por A(n, y) ↔ y ∈ Bn. Entonces

Af (n, x) ↔ f(x) ∈ Bn ↔ Gf (n, x)

luego, Gf ∈ Γ y f es Γ-recursiva.

Para entender que se esconde bajo la definicion tecnica de Γ-recursion em-pezamos observando que basta estudiar las funciones que toman imagenes en ωo en N:

Teorema 6.19 Sea Γ una clase Σ. Una funcion f : X −→ Y es Γ-recursiva siy solo si lo son sus funciones coordenadas.

2Recordemos que esto significa que Γ asigna a cada espacio producto X una familia Γ(X)de subconjuntos de X, aunque, si A ⊂ X y X se deduce del contexto, escribimos A ∈ Γ enlugar de A ∈ Γ(X).

6.3. Funciones recursivas en espacios producto 199

Demostracion: Sea f(x) = (f1(x), . . . , fk(x)). Si f es Γ-recursiva, enton-ces

Gfi(n, x) ↔ fi(x) ∈ Bn ↔∨

m ∈ ω (mki = n ∧ f(x) ∈ Bm)

↔∨

m ∈ ω (mki = n ∧ Gf (m,x)),

luego Gfi ∈ Γ y cada fi es Γ-recursiva.

Si cada fi es Γ-recursiva, entonces

Gf (m,x) ↔ f(x) ∈ Bm ↔ f1(x) ∈ Bmk0∧ · · · ∧ fk(x) ∈ Bmk

k−1

↔ Gf1 (mk0 , x) ∧ · · · ∧ Gfk(mk

k−1, x)

↔∨

n0 · · ·nk−1(n0 = mk0 ∧ · · · ∧ nk−1 = mk

k−1

∧ Gf1(n0, x) ∧ · · · ∧ Gfk(nk−1, x)),

luego Gf ∈ Γ y f es Γ-recursiva.

Esto nos lleva a estudiar, en primer lugar, las funciones Γ-recursivas conimagen en ω:

Teorema 6.20 Sea Γ una clase Σ y X un espacio producto. Una funcionf : X −→ ω es Γ-recursiva si y solo si su grafica Gf ∈ Γ.

Demostracion: Si f es Γ-recursiva, la relacion R(m,n) ↔ m = n esrecursiva y

f(x) = m↔ R(m, f(x)) ↔ Rf (m,x),

luego Gf = Rf ∈ Γ por 6.18.

Si Gf ∈ Γ y A ⊂ ω × ω es semirrecursivo, entonces

Af (n, x) ↔ A(n, f(x)) ↔∨

m ∈ ω (f(x) = m ∧ A(n,m))

↔∨

m ∈ ω ((x,m) ∈ Gf ∧ A(n,m)),

luego Af ∈ Γ y f es Γ-recursiva por 6.18.

El caso de funciones con valores en N se reduce al anterior:

Teorema 6.21 Sea Γ una clase Σ y X un espacio producto. Una funcionf : X −→ N es Γ-recursiva si y solo si la funcion f∗ : ω × X −→ ω dadapor f∗(n, x) = f(x)(n) es Γ-recursiva.

Demostracion: Si f es Γ-recursiva, sea R(u, x) ↔ x(u20) = u21, semirrecur-siva (por 6.9). Entonces la relacion

Rf(u, x) ↔ R(u, f(x)) ↔ f(x)(u20) = u21

esta en Γ por 6.18 y

f∗(n, x) = m↔ f(x)(n) = m↔ Rf(〈n,m〉2 , x),

luego Gf∗ ∈ Γ y f∗ es Γ-recursiva por el teorema anterior.

200 Capıtulo 6. Teorıa de la recursion

Recıprocamente, si f∗ es Γ-recursiva,

Gf (u, x) ↔ f(x) ∈ Bu ↔∧

n < ℓ(u) f(x)(n) = un ↔∧

n < ℓ(u) f∗(n, x) = un

↔∧

n < ℓ(u) (n, x, un) ∈ Gf∗ ,

de donde se sigue inmediatamente que Gf ∈ Γ, luego f es Γ-recursiva.

Ahora probamos el teorema que nos permite extender el concepto de funcionrecursiva:

Teorema 6.22 Sea Γ la clase de los conjuntos semirrecursivos. Una funcionf : ωn −→ ω es Γ-recursiva si y solo si es recursiva.

Demostracion: Si f es recursiva, la relacion f(x) = m es recursiva, luegoGf ∈ Γ, luego f es Γ-recursiva por 6.20.

Si f es Γ-recursiva, entonces Gf es semirrecursiva y el teorema 6.7 nos da unconjunto recursivo R ⊂ ωn+1 tal que f(x) = n↔

∨

m ∈ ωR(x, n,m). Entonces

f(x) = (µnR(x, n20, n

21))

20

es recursiva.

Definicion 6.23 Una aplicacion f : X −→ Y entre espacios producto es recur-siva si es Γ-recursiva, donde Γ es la clase de los conjuntos semirrecursivos.3

Acabamos de probar que esta definicion extiende a la que ya tenıamos parafunciones ωn −→ ω. El teorema 6.16 implica que las funciones recursivas soncontinuas.

Veamos ahora algunas propiedades elementales:

Teorema 6.24 Sea Γ una clase Σ.

a) Toda funcion trivial es recursiva.

b) Si f : X −→ Y es Γ-recursiva y y g : Y −→ Z es recursiva, entonces f ges Γ-recursiva. En particular, la composicion de funciones recursivas esrecursiva.

c) Si f : X −→ Y es Γ-recursiva y A ⊂ Y es semirrecursivo, entoncesf−1[A] esta en Γ. En particular, la clase de los conjuntos semirrecursivoses cerrada para sustituciones recursivas.4

3Consideremos el caso de una funcion f : X −→ ω. Si es recursiva, entonces la graficaGf es semirrecursiva, luego, para cada a ∈ X cuyas componentes que sean funciones seanrecursivas, al plantearnos si (a, k) ∈ Gf , si es cierto podremos saberlo en un numero finitode pasos. Por lo tanto, podemos ir probando si (a, 0) ∈ Gf , (a, 1) ∈ Gf , (a, 2) ∈ Gf , . . . ,y tras un tiempo finito una de las comprobaciones terminara con resultado positivo, lo quesignifica que siempre podemos acabar sabiendo cuanto vale f(a). En el caso de f : X −→ N,el teorema 6.21 nos da que conocemos f(a) en el sentido de que podemos calcular cualquierf(a)(n), es decir, que f(a) es una funcion recursiva. Luego demostraremos esto formalmente.

4Esto es el equivalente efectivo de que las antiimagenes continuas de los conjuntos abiertosson abiertas.

6.3. Funciones recursivas en espacios producto 201

d) Un conjunto A ⊂ X esta en ∆ = Γ ∩ ¬Γ si y solo si χAes Γ-recursiva.

En particular, un conjunto es recursivo si y solo si lo es su funcion carac-terıstica.

Demostracion: a) Las funciones coordenadas de una funcion trivial sonproyecciones f(x) = xi, que son recursivas, porque

Gf (n, x) ↔ f(x) ∈ Bn ↔ xi ∈ Bn,

luego Gf es semirrecursivo por ser antiimagen de un conjunto semirrecursivopor una aplicacion trivial.

b) Tenemos que

Gfg(n, x) ↔ g(f(x)) ∈ Bn ↔ Gg(n, f(x)) ↔ (Gg)f (n, x).

Por definicion, Gg es semirrecursivo y por 6.18 el conjunto (Gg)f esta en Γ,luego de nuevo por 6.18 concluimos que f g es Γ-recursiva.

c) Por 6.12, existe R ⊂ ω semirrecursivo tal que

A(y) ↔∨

m ∈ ω (y ∈ Bm ∧ R(m)).

Por lo tanto:

x ∈ f−1[A] ↔∨

m ∈ ω (f(x) ∈ Bm ∧ R(m)) ↔∨

m ∈ ω (Gf (m,x) ∧ R(m)),

luego f−1[A] esta en Γ.

d) Si A esta en ∆, entonces

GχA(m,x) ↔ χ

A(x) = m↔ (A(x) ∧ m = 1) ∨ (¬A(x) ∧ m = 0),

luego GχA ∈ Γ y χ

Aes Γ-recursiva.

Si χAes Γ-recursiva,

A(x) ↔ χA(x) = 1 ↔

∨

n ∈ ω (χA(x) = n ∧ n = 1)

↔∨

n ∈ ω (GχA(n, x) ∧ n = 1),

luego A ∈ Γ, e igualmente se razona que ¬A ∈ Γ, luego A ∈ ∆.

Ahora tenemos que demostrar que una serie de funciones “basicas” son re-cursivas. Empezamos con las siguientes:

Teorema 6.25 Las funciones siguientes son recursivas:

a) f : ω ×N −→ ω dada por f(n, x) = x(n).

(Por 6.9 y 6.20.)

b) f : ω ×N −→ ω dada por f(n, x) = x(n).

En efecto, f(n, x) = u↔ ℓ(u) = n ∧∧

i < ℓ(u) x(i) = ui.

202 Capıtulo 6. Teorıa de la recursion

c) El homeomorfismo natural fn : N −→ Nn, al igual que su inversa.

En efecto, sus funciones coordenadas son las aplicaciones fni dadas porx 7→ xni , donde x

ni (m) = x(n ·m+ i), y todas ellas son recursivas pues

(fni )∗(m,x) = xni (m) = x(n ·m+ i),

y su grafica es

(fni )∗(m,x) = k ↔

∨

u ∈ ω(u = n ·m+ i ∧ x(u) = k),

claramente semirrecursiva.

Por lo tanto, fn es recursiva. Por otra parte:

(f−1n )∗(m,x0, . . . , xn) = k ↔ f−1

n (x0, . . . , xn)(m) = k ↔

∨

u ∈ ω (m = n · u ∧ x0(u) = k) ∨∨

u ∈ ω (m = n · u+ 1 ∧ x1(u) = k)

∨ · · · ∨∨

u ∈ ω (m = n · u+ n− 1 ∧ xn−1(u) = k).

Cada relacion xi(u) = k es semirrecursiva, pues es la grafica de la funciontrivial x 7→ xi, luego la grafica de (f−1

n )∗ es semirrecursiva, luego (f−1n )∗

es recursiva, luego f−1n tambien lo es.

d) El homeomorfismo natural fr : N −→ ωr ×N, al igual que su inversa.

Sus primeras funciones coordenadas son las aplicaciones x 7→ x(i), que yahemos visto que son recursivas. La ultima funcion coordenada es x 7→ xr,donde xr(i) = x(r + i), que se prueba que es recursiva analogamente acomo hemos visto en el apartado anterior. Por otra parte,

(f−1r )∗(m,n1, . . . , nr, x) = k ↔ f−1

r (n1, . . . , nr, x)(m) = k ↔

(m = 0 ∧ k = n1) ∨ · · · ∨ (m = r − 1 ∧ k = nr) ∨

(m ≥ r ∧∨

u ∈ ω (m = r + u ∧ k = x(u))),

y concluimos que f−1r es recursiva como en el apartado anterior.

e) Las funciones coordenadas del homeomorfismo natural N −→ Nω.

Se trata de las funciones x 7→ xi, donde xi(n) = x(〈i, n〉2). Mas aun, lo esla funcion f(i, x) = xi, pues

f∗(m, i, x) = k ↔ xi(m) = k ↔ x(〈i,m〉2) = k ↔

∨

u ∈ ω (u = 〈i,m〉2 ∧ x(u) = k),

luego f∗ es recursiva, y f tambien. La aplicacion x 7→ xi (para un i fijo)se obtiene de f componiendola con la aplicacion x 7→ (i, x), claramenterecursiva.

6.3. Funciones recursivas en espacios producto 203

De los resultados anteriores se sigue inmediatamente que todos los espaciosproductoXrs con s 6= 0 son recursivamente homeomorfos, es decir, que entre dosde ellos se puede establecer un homeomorfismo recursivo con inversa recursiva.Teniendo en cuenta que la biyeccion natural 〈 〉r : ωr −→ ω y su inversa sontambien recursivas, lo mismo es cierto para los espacios Xrs con s = 0.

Los elementos de N pueden verse como puntos del espacio N y como funcio-nes ω −→ ω. Para combinar y generalizar estos dos puntos de vista convieneintroducir el concepto siguiente:

Definicion 6.26 SeaX un espacio producto, x ∈ X y Γ una clase de conjuntos.Diremos que x es Γ-recursivo si n ∈ ω | x ∈ Bn ∈ Γ.

El teorema siguiente muestra que este concepto es mas trivial de lo queparece:

Teorema 6.27 Sea Γ una clase Σ.

a) Si n ∈ ω, entonces n es Γ-recursivo.

b) Si x ∈ N, entonces x es Γ-recursivo si y solo si lo es como aplicacionx : ω −→ ω.

c) Si X es un espacio producto y x ∈ X, entonces x es Γ-recursivo si y solosi, para todo espacio producto Y , la funcion constante cx : Y −→ X esΓ-recursiva.

d) Si X es un espacio producto y x ∈ X, entonces x es Γ-recursivo si y solosi lo son sus coordenadas.

Demostracion: a) m ∈ ω | n ∈ Bm = n, recursivo, luego n es Γ-recursivo.

b) Si x es Γ-recursivo, entonces

x(m) = n↔∨

u ∈ ω (x ∈ Bu ∧ m < ℓ(u) ∧ um = n),

luego Gx ∈ Γ y x es Γ-recursiva como aplicacion.

Si x es Γ-recursiva como aplicacion, entonces

x ∈ Bn ↔∨

u ∈ ω (ℓ(n) = u+ 1 ∧∧

v ≤ u x(v) = nv)

↔∨

u ∈ ω (ℓ(n) = u+ 1 ∧∧

v ≤ u (∨

w ∈ ω (w = nv ∧ x(v) = w))).

Es claro entonces que esta relacion esta en Γ, luego x es Γ-recursivo.

c) Basta tener en cuenta que

Gcx(n, y) ↔ cx(y) ∈ Bn ↔ x ∈ Bn.

d) Se deduce del apartado anterior y de 6.19.

204 Capıtulo 6. Teorıa de la recursion

6.4 Relativizacion

Hasta ahora, aunque hemos definido algunos conceptos para clases arbitra-rias de conjuntos Γ, solo hemos considerado la clase de los conjuntos semirre-cursivos. Conviene tener a mano una familia de clases asociadas que resultanser el nexo entre la teorıa efectiva y la teorıa clasica:

Definicion 6.28 Sea Γ una clase de conjuntos, Y un espacio producto e y ∈ Y .Llamaremos Γ(y) a la clase de los subconjuntos A ⊂ X de cada espacio productoX tales que existe un B ∈ Γ(X × Y ) de manera que

∧

x ∈ X(A(x) ↔ B(x, y)).Ası, a cada clase Γ le podemos asociar la clase

Γ =⋃

a∈N

Γ(a)

Teorema 6.29 Sea Γ una clase Σ.

a) Si X es un espacio producto y a ∈ X, entonces Γ(a) es una clase Σ,Γ ⊂ Γ(a) y a es Γ(a)-recursivo.

b) Si f : X −→ Y es una aplicacion Γ-recursiva y x ∈ X, entonces f(x) esΓ(x)-recursivo.

c) Si Γ′ es una clase Σ cerrada para sustituciones Γ′-recursivas, Γ ⊂ Γ′ y aes Γ′-recursivo, entonces Γ(a) ⊂ Γ′ (en particular, Γ′(a) = Γ′).

Demostracion: a) Si A ∈ Γ, entonces B = A×X ∈ Γ, pues es antiimagentrivial de A, y A(z) ↔ B(z, a), luego A ∈ Γ(a). Por lo tanto, Γ ⊂ Γ(a) y, enparticular, Γ(a) contiene a los conjuntos semirrecursivos.

Si A,B ∈ Γ(a), sean A′, B′ en Γ tales que A(x) ↔ A′(x, a), B(x) ↔ B′(x, a).Entonces (A ∧ B)(x) ↔ (A′ ∧ B′)(x, a), luego A ∧ B ∈ Γ(a). Igualmente seprueban las demas condiciones de clausura. Veamos unicamente la clausura parasustituciones triviales. Si f : Z −→ Y es una aplicacion trivial y A ∈ Γ(a)(Y ),entonces f = f × I : Z ×X −→ Y ×X tambien es trivial, y

z ∈ f−1[A] ↔ f(x) ∈ A↔ (f(z), a) ∈ A′ ↔ f(z, a) ∈ A′ ↔ (z, a) ∈ f−1[A′]

y el ultimo conjunto esta en Γ, luego f−1[A] ∈ Γ(a).

Falta probar que a es Γ(a)-recursivo, pero esto es el caso particular delapartado siguiente, tomando como f la identidad.

b) f(x) ∈ Bn ↔ Gf (n, x) y Gf ∈ Γ, luego n ∈ ω | f(x) ∈ Bn ∈ Γ(x), yesto significa que f(x) es Γ(x)-recursivo.

c) Sea A ⊂ Y un conjunto en Γ(a). Sea A′ ∈ Γ tal que A(x) ↔ A′(x, a). Lafuncion constante ca : ω −→ X es Γ′-recursiva, luego g : ω×Y −→ Y ×X dadapor g(n, x) = (x, a) es Γ′-recursiva, luego B = g−1[A′] ∈ Γ′ y

A(x) ↔∨

n ∈ ω B(n, x),

luego A ∈ Γ′.

6.4. Relativizacion 205

Definicion 6.30 Si Γ es la clase de los conjuntos semirrecursivos, a las fun-ciones Γ(a)-recursivas se las llama funciones recursivas en a e igualmente a lospuntos Γ(a)-recursivos se les llama puntos recursivos en a.

Nota Para el caso de funciones f : ωr −→ ω, existe una definicion alterna-tiva de la recursividad en un a ∈ N. No la vamos a necesitar aquı, pero lacomentamos porque es mucho mas habitual que la que hemos dado:

Una funcion f es recursiva en a si existe una sucesion de funcionesf1, . . . , fm tal que fm = f y cada fi es una de las funciones c, s, pkiio a, o bien esta definida por composicion, recursion o minimizaciona partir de funciones anteriores de la sucesion.

A su vez, esto se interpreta como que cada valor f(n1, . . . , nr) puede calcu-larse mediante un algoritmo explıcito supuesto que podamos conocer cualquiervalor a(n) que resulte necesario, pero sin exigir que esto pueda hacerse a su vezmediante un algoritmo. En palabras de Turing, f es recursiva en a si f puedecalcularse explıcitamente siempre y cuando podamos consultar un “oraculo” quenos revele cualquier valor a(n) que necesitemos en el calculo.

Para probar que toda f funcion recursiva en a en el sentido de la definicion6.30 lo es tambien en el sentido de esta nota observamos que el conjunto

(x, n) ∈ ωr+1 | f(x) = n

es recursivo en a, luego existe A ⊂ ωr+1 × Y semirrecursivo tal que

f(x) = n↔ (x, n, a) ∈ A.

A su vez, una mınima variante del teorema 6.13 nos da un conjunto semirrecur-sivo R ⊂ ωr+2 tal que

f(x) = n↔∨

m ∈ ω (a ∈ Bm ∧ R(x, n,m)).

A su vez, R(x, n,m) ↔∨

u ∈ ω S(x, n,m, u), donde S es recursivo, luego

f(x) = n↔∨

mu ∈ ω (a ∈ Bm ∧ S(x, n,m, u)).

Ahora observamos que la relacion

T (m) ↔ a ∈ Bm ↔∧

i < ℓ(m) mi = a(i)

es recursiva en a en el sentido de esta nota,5 luego tambien lo es la funcion

g(x) = µv∨

m ≤ v(m = v30 ∧ a ∈ Bm ∧ S(x, v31 ,m, v32).

Notemos que siempre existe un v ∈ ω en las condiciones de la definicion de g,por lo que la definicion por minimizacion es correcta. Entonces, f(x) = g(x)31es recursiva en a en el sentido de esta nota.

5Aquı usamos que todos los resultados elementales demostrados en [L] sobre funcionesrecursivas se generalizan trivialmente a funciones recursivas en a.

206 Capıtulo 6. Teorıa de la recursion

Recıprocamente, si f es recursiva en a en este sentido, se demuestra que lo esen el sentido de 6.30 por induccion sobre la longitud de una derivacion recursivaen a de f .

Teorema 6.31 Si Γ es una clase Σ, un punto x es recursivo en y e y es Γ-recursivo, entonces x es tambien Γ-recursivo.

Demostracion: Que x sea recursivo en y ∈ Y significa que existeR ⊂ ω×Ysemirrecursivo tal que x ∈ Bn ↔ R(n, y). Por otra parte, la funcion constantecy : ω −→ Y es Γ-recursiva, luego Rf ∈ Γ por 6.18, donde

Rcy(n,m) ↔ R(n, y) ↔ x ∈ Bn,

luego n ∈ ω | x ∈ Bn ∈ Γ, pero esto significa que x es Γ-recursivo.

Definicion 6.32 Si x, y ∈ N, diremos que x es reducible Turing a y si x esrecursivo en y, y lo representaremos mediante x ≤T y.

El teorema anterior afirma que la relacion ≤T es transitiva, mientras que6.29 a) implica que es reflexiva. Por lo tanto, se trata de un preorden.

Diremos que x, y ∈ N son equivalentes Turing si x ≡T y ↔ x ≤T y ∧ y ≤T x.

Obviamente, la equivalencia de Turing es una relacion de equivalencia en N.Los elementos del conjunto cociente D se llaman grados de Turing. La relacion≤T induce una relacion de orden parcial en D. Obviamente, D tiene un mınimoelemento O, que es el grado formado por todas las funciones recursivas.

6.5 Funciones recursivas parciales en espacios

producto

El concepto de funcion recursiva tiene un “defecto”, y es que no siempre esposible saber si una definicion dada corresponde o no a una funcion recursiva.En terminos de la definicion dada en [L 7.1] el problema esta en la definicionpor minimizacion, pues una definicion de la forma

f(a1, . . . , ak) = µn g(a1, . . . , ak, n) = 0

solo define una funcion recursiva si para cada a1, . . . , ak ∈ ω existe al menos unnumero n que cumpla g(a1, . . . , ak, n) = 0 y, en principio, no hay una forma deverificar si es ası aunque la funcion g sea recursiva. Esto lleva a la definicion delas funciones recursivas parciales:

Definicion 6.33 Si X e Y son dos espacios producto, diremos que f : X −→ Yes una funcion parcial si f : D −→ Y , para cierto D ⊂ X , sin descartar el casoen que D = ∅. Cuando D = X diremos que la funcion f es total (de modo quetoda funcion total se considera parcial por definicion). No obstante, si decimosque f es una funcion, sin especificar si es total o parcial, se entendera que estotal.

6.5. Funciones recursivas parciales en espacios producto 207

Si x ∈ X , usaremos la notacion f(x)↓ para indicar que la funcion parcial festa definida en el punto x. A veces se usa la notacion f(x)↑ para indicar quef no esta definida en x.

Todas las funciones parciales (no totales) que nos van a aparecer se reducenen ultima instancia a funciones definidas por minimizacion parcial en el sentidosiguiente:

Definicion 6.34 Una funcion f : X −→ ω esta definida por minimizacionparcial a partir de una funcion parcial g : ω ×X −→ ω si

f(x)↓↔∨

n ∈ ω(∧

k ≤ n g(k, x)↓∧ g(n, x) = 0)

y en tal casof(x) = µn g(n, x) = 0.

Ahora conviene observar que las definiciones de composicion y recursion defunciones requieren tambien ciertas precisiones naturales en el caso de funcionesparciales. Las presentamos para espacios producto arbitrarios:

Definicion 6.35 Dadas dos funciones parciales g : X −→ Y y h : Y −→ Z, sucomposicion se define como la funcion parcial g h : X −→ Z tal que

(g h)(x)↓↔ g(x)↓∧ h(g(x))↓

y en tal caso (g h)(x) = h(g(x)).

En [L 7.1] definimos la composicion de una funcion h : ωm −→ ω con otrasm funciones gi : ω

n −→ ω, porque allı trabajabamos unicamente con funcionescon imagen en ω. En ese contexto, si las funciones h y gi son parciales, sucomposicion se define como la funcion parcial f : ωn −→ ω tal que

f(x)↓↔∧

i(1 ≤ i ≤ m→ gi(x)↓ ) ∧ h(g1(x), . . . , gm(x))↓ ,

y en tal casof(x) = h(g1(x), . . . , gm(x)).

Notemos que esta composicion coincide con la composicion (en el sentido dela definicion 6.35) de la funcion parcial h y la funcion parcial g : ωn −→ ωm

cuyas funciones coordenadas son las funciones parciales gi (definida en cadax ∈ ωn donde lo esten todas las gi).

Definicion 6.36 Una funcion parcial f : ω × X −→ Y esta definida por re-cursion a partir de las funciones parciales g : X −→ Y y h : ω × Y ×X −→ Ysi

f(n, x)↓↔ g(x)↓∧∧

k < n (f(k, x)↓∧ h(k, f(k, x), x)↓ )

y en tal caso

f(0, x) = g(x) ∧∧

k < n f(k + 1, x) = h(k, f(k, x), x).

(Dejamos al lector definir la variante en que f : ω −→ Y .)

208 Capıtulo 6. Teorıa de la recursion

Notemos que esta definicion extiende a la que ya tenıamos para funcionestotales con X = ωn−1, Y = ω.

Nuestro proposito es generalizar el concepto de funcion recursiva parcialf : ωr −→ ω definido en [L 7.14], pero antes necesitamos recordar algunoshechos sobre estas funciones:

En [L 7.23] definimos un conjunto recursivo C ⊂ ω de codigos de funcio-nes recursivas parciales, de modo que cada c ∈ C tiene asignada una funcionrecursiva parcial fc : ωr −→ ω (donde el numero de argumentos r = Nar(x)depende recursivamente de c), de modo que toda funcion recursiva parcial esde la forma fc, para cierto c ∈ C, y el conjunto A ⊂ ω formado por6 todosnaturales de la forma 〈c, x,m〉 tales que c ∈ C, x = 〈a1, . . . , ak〉 con k = Nar(c)y m = fc(a1, . . . , ak), es un conjunto semirrecursivo, pero no recursivo [L 7.26].

De aquı se desprenden varias consecuencias de interes. El primero de ellosafirma que si f : ωk −→ ω es una funcion recursiva parcial que, casualmente,esta definida en todo ωk, entonces es una funcion recursiva. Notese que esto noes inmediato a partir de las definiciones.

Teorema 6.37 Toda funcion total recursiva parcial f : ωk −→ ω es recursiva.

Demostracion: Como A es semirrecursivo, el teorema 6.10 nos da unconjunto recursivo R ⊂ ω2 tal que

∧

n ∈ ω(n ∈ A ↔∨

m ∈ ω (m,n) ∈ R).

Sea n ∈ C tal que f = fn. Supongamos f que es total. Entonces, para todox ∈ ωk esta definido fn(x) = a, luego 〈n, 〈x〉 , a〉 ∈ A, luego existe un b ∈ ω talque (b, 〈n, 〈x〉 , a〉) ∈ R. Si llamamos t = 〈a, b〉, resulta que

∧

x ∈ ωk∨

t ∈ ω (t2, 〈n, 〈x〉 , t1〉) ∈ R

y la relacion S(x, t) ↔ (t2, 〈cn(x), 〈x〉 , t1〉) ∈ R es recursiva. Por consiguiente,la funcion g : ωk −→ ω dada por

g(x) = µt (t2, 〈n, 〈x〉 , t1〉) ∈ R

es recursiva, luego fn(t) = g(x)1 tambien lo es.

Ası pues, a partir de aquı podemos considerar a las funciones recursivasf : ωk −→ ω como un caso particular de las funciones recursivas parciales.

Teorema 6.38 Un conjunto B ⊂ ωr es semirrecursivo si y solo si es el dominiode una funcion recursiva parcial.7

6En la definicion de los conjuntos C y A presentada en [L] usabamos una codificacion delas sucesiones finitas de numeros naturales distinta de la que estamos considerando aquı, peroes trivial que todo vale sin cambio alguno con la que estamos empleando ahora. Esto haceque los conjuntos C y A que vamos a considerar aquı (definidos en terminos de la codificacionde sucesiones finitas introducida en la seccion 6.1) no son exactamente los mismos definidosen [L], pero cumplen los mismos resultados demostrados allı.

7Puesto que hay conjuntos semirrecursivos que no son recursivos, este teorema implica queno existe ningun algoritmo que nos permita saber si una funcion recursiva parcial arbitrariaesta definida o no en un punto dado.

6.5. Funciones recursivas parciales en espacios producto 209

Demostracion: Una funcion recursiva parcial es de la forma fn : ωr −→ ω,para un n ∈ C. Se cumple

fn(x)↓↔∨

m 〈n, 〈x〉 ,m〉 ∈ A,

y es claro que la relacion de la derecha (para un n fijo) es semirrecursiva. Porejemplo, porque podemos expresarla en la forma

∨

mm′ (m′, 〈n, 〈x〉 ,m〉) ∈ R,

con R recursivo y podemos aplicar el teorema 6.6 e).

Recıprocamente, si B ⊂ ωr es semirrecursivo, por 6.10 existe un conjuntorecursivo R ⊂ ωr+1 tal que x ∈ B ↔

∨

m ∈ ω (m,x) ∈ R. Entonces la funcionrecursiva parcial

f(x) = µm (m,x) ∈ R

tiene a B por dominio.

El teorema siguiente muestra que, al estudiar las funciones recursivas par-ciales, en realidad estamos estudiando una unica funcion:

Teorema 6.39 Existe una funcion recursiva parcial U : ω2 −→ ω tal que, paratodo (n, x) ∈ ω × ω<ω, se cumple

U(n, 〈x〉)↓↔ n ∈ C ∧ fn(x)↓ ,

y en tal caso U(n, 〈x〉) = fn(x).

Demostracion: El teorema 6.10 nos da un conjunto recursivo R ⊂ ω2 talque

∧

n ∈ ω(n ∈ A ↔∨

m ∈ ω (m,n) ∈ R).

La funcion parcialg(n, z) = µt (t2, 〈n, z, t1〉) ∈ R

es recursiva parcial, y esta definida en (n, 〈x〉) si y solo si existe (m,w) ∈ ω2 talque (m, 〈n, 〈x〉 , w〉) ∈ R, lo que equivale a que 〈n, 〈x〉 , w〉 ∈ A, y esto equivalea su vez a que n ∈ C y fn(x) = w. Es claro entonces que la funcion parcialU(n, z) = g(n, z)2 cumple lo pedido.

La funcion U es lo que se llama una funcion recursiva parcial universal. Deella obtenemos otro ejemplo de conjunto semirrecursivo que no es recursivo:

Teorema 6.40 El dominio de la funcion universal U es un subconjunto de ω2

semirrecursivo, pero no recursivo.

Demostracion: Sea D el dominio de U . Ya hemos visto que el dominiode cualquier funcion recursiva parcial es semirrecursivo. Si D fuera recursivo,tambien lo serıa el conjunto E dado por

n ∈ E ↔ (n, 〈n〉) /∈ D,

210 Capıtulo 6. Teorıa de la recursion

luego serıa el dominio de una funcion recursiva parcial fn : ω −→ ω, para cierton ∈ C. Pero entonces

fn(n)↓↔ U(n, 〈n〉)↑↔ fn(n)↑,

contradiccion.

En [L 724] se demuestra que el conjunto C de los codigos de las funcionesrecursivas parciales es recursivo. En cambio:

Teorema 6.41 El conjunto C0 de los codigos de las funciones recursivas no essemirrecursivo.

Demostracion: Supongamos que C0 es semirrecursivo. Entonces tambienlo serıa el conjunto

C1 = C0 ∩ n ∈ ω | ℓ(n) = 2 ∧ (n1)0 = 1,

que es el conjunto de los codigos de las funciones recursivas de una variable. Porlo tanto, existe una funcion recursiva g : ω −→ ω tal que g[ω] = C1. La funcion

f(n) = U(g(n), 〈n〉) + 1

serıa, por una parte, una funcion recursiva parcial y, por otra, una funcion total,pues la funcion fg(n) es total, luego U(g(n), 〈n〉) esta definido. Ası pues, f serıauna funcion recursiva de una variable, y serıa de la forma f = fg(m), para ciertom ∈ ω. Pero entonces

fg(m)(m) = f(m) = U(g(m), 〈m〉) + 1 = fg(m)(m) + 1,

contradiccion.

Para generalizar el concepto de funcion recursiva parcial a funciones entreespacios producto nos apoyaremos en el teorema siguiente:

Teorema 6.42 Una funcion parcial f : ωr −→ ω de dominio D ⊂ ωr coincidesobre D con una funcion recursiva parcial si y solo si existe un P ⊂ ωr+1

semirrecursivo tal que

∧

x ∈ D∧

n ∈ ω(f(x) = n↔ P (n, x)).

Si se da esta condicion y D es semirrecursivo, entonces f es recursiva parcialcon dominio exactamente D.

Demostracion: Supongamos que existe una funcion recursiva parcial, quesera de la forma fm, para cierto m ∈ C, que esta definida en D y coincide conf en dicho conjunto. Por consiguiente,

∧

x ∈ D∧

n ∈ ω(f(x) = n↔ 〈m, 〈x〉 , n〉 ∈ A)

6.5. Funciones recursivas parciales en espacios producto 211

y, como el conjunto A es semirrecursivo, basta definir

P (n, x) ↔ 〈n, 〈x〉 ,m〉 ∈ A,

de modo que P es semirrecursivo por ser antiimagen de A por una funcionrecursiva.

Recıprocamente, si existe el conjunto semirrecursivo P , por el teorema 6.10existe un conjunto recursivo R ⊂ ωr+2 tal que

∧

n ∈ ω∧

x ∈ ωr(P (n, x) ↔∨

m ∈ ω R(m,n, x).

La funcion parcial g(x) = µt R(t20, t21, x) esta definida si y solo si existen

m,n ∈ ω tales que R(m,n, x), es decir, si y solo si∨

n ∈ ω P (n, x), lo cualsucede en particular para todo x ∈ D, en cuyo caso el unico n que cumpleP (n, x) es n = f(x). Por lo tanto, la funcion parcial h(x) = g(x)21 es recursivaparcial y coincide con f en su dominio.

Si suponemos ademas queD es semirrecursivo, existira un conjunto recursivoR′ ⊂ ωr tal que

∧

x ∈ ωr (x ∈ D ↔∨

m ∈ ω R′(m,x)). En el argumentoanterior podemos reemplazar el conjunto R por el conjunto recursivo

R′′(m,n, x) ↔ R(m20, n, x) ∧ R′(m2

1, x).

Ası, la funcion g(x) esta definida si y solo si existen m0, m1, n ∈ ω tales queR(m0, n, x) ∧ R′(m1, x), lo cual equivale a P (n, x) ∧ x ∈ D. Por lo tanto, ahorael dominio de la funcion g (y de h) es exactamente D.

Definicion 6.43 Si f : X −→ Y es una funcion parcial y D es un subconjuntode su dominio, diremos que P ⊂ ω ×X computa a f en D si

∧

x ∈ D∧

n ∈ ω (f(x) ∈ Bn ↔ P (n, x)).

Si Γ es una clase de conjuntos, diremos que f es Γ-recursiva en D si existeun P ∈ Γ que computa a f en D. Diremos que f es Γ-recursiva parcial si esΓ-recursiva en su dominio. Si ademas dicho dominio esta en Γ diremos que f esestrictamente Γ-recursiva parcial. Si Γ es la clase de los conjuntos semirrecur-sivos diremos simplemente que f es (estrictamente) recursiva parcial.

De acuerdo con el teorema anterior, las funciones f : ωr −→ ω recursivasparciales en el sentido de la definicion [L 7.14] son las estrictamente recursivasparciales en el sentido de la definicion que acabamos de dar. Las funciones queacabamos de definir como “recursivas parciales” son restricciones a un subdo-minio arbitrario de funciones recursivas parciales. En realidad, es mas habitualllamar funciones Γ-recursivas (y funciones recursivas parciales) a las funcio-nes que hemos llamado estrictamente Γ-recursivas (y estrictamente recursivasparciales), pero nos resultara mas comodo definir funciones Γ-recursivas sobredeterminados dominios sin preocuparnos de si la definicion se puede extender o

212 Capıtulo 6. Teorıa de la recursion

no a dominios mayores, y por ello cuando hablemos de funciones Γ-recursivas orecursivas parciales lo entenderemos en este sentido ligeramente mas laxo.

Notemos que, en el caso particular en que f es una funcion total, se cumpleque f es Γ-recursiva parcial si y solo si es Γ-recursiva en el sentido de la defini-cion 6.17, pues entonces Gf es el unico conjunto que computa a f .

Otra consecuencia trivial de la definicion es que si f es Γ-recursiva parcial yf(x)↓ , entonces f(x) es Γ(x)-recursivo. En particular, si f es recursiva parcialy f(x)↓ , entonces f(x) es recursivo en x.

Teorema 6.44 Si Γ es una clase Σ, toda funcion definida por minimizacionparcial a partir de una funcion Γ-recursiva parcial es Γ-recursiva parcial.

Demostracion: Sea g : ω×X −→ ω una funcion Γ-recursiva parcial y seaP ⊂ ω × ω ×X un conjunto en Γ que la compute. Sea f : X −→ ω la funcionparcial definida a partir de g por minimizacion parcial. Entonces, si f(x)↓ , secumple que

f(x) ∈ Bn ↔ f(x) = n↔∧

k < n∨

uv(v = u+1 ∧ g(k, x) ∈ Bv) ∧ g(n, x) ∈ B0

↔∧

k < n∨

uv(v = u+ 1 ∧ P (k, x, v)) ∧ P (n, x, 0).

Como Γ es una clase Σ, el conjunto Q(x, n) definido por la ultima condicioncumple Q ∈ Γ y hemos probado que

f(x)↓→∧

n (f(x) ∈ Bn ↔ Q(x, n)),

es decir, que Q computa a f en su dominio, luego f es Γ-recursiva parcial.

Para que la composicion de funciones Γ-recursivas parciales (o incluso tota-les) sea Γ-recursiva no basta con que Γ sea una clase Σ, sino que necesitamosexigir una condicion mas fuerte que introducimos a continuacion:

Definicion 6.45 Una clase Γ tiene la propiedad de sustitucion si para todafuncion Γ-recursiva parcial f : X −→ Y y todo Q ∈ Γ(Y ) existe Q∗ ∈ Γ(X) talque

∧

x ∈ X (f(x)↓→ (Q∗(x) ↔ Q(f(x))).

Observemos que si la funcion f es total el conjunto Q∗ no puede ser sinoQ∗ = f−1[Q], luego si Γ tiene la propiedad de sustitucion en particular escerrada para sustituciones Γ-recursivas (totales).

Teorema 6.46 Si Γ es una clase Σ con la propiedad de sustitucion, entoncesla composicion de funciones Γ-recursivas parciales es Γ recursiva parcial.

Demostracion: Sean g : X −→ Y y h : Y −→ Z funciones Γ-recursivasparciales, sean P ⊂ ω × X y Q ⊂ ω × Y conjuntos en Γ que las computen yllamemos f = g h. Si f(x)↓ , tenemos que

∧

n ∈ ω(h(g(x)) ∈ Bn ↔ Q(n, g(x))).

6.5. Funciones recursivas parciales en espacios producto 213

Consideramos ahora la funcion parcial g′ : ω × X −→ ω × Y definida me-diante8 g′(n, x) = (n, g(x)). Veamos que g′ es Γ-recursiva parcial. Ello se debea que si g(x)↓ , entonces

(m, g(x)) ∈ Bn ↔ m = nr+s+10 ∧

∨

u(n = mr ∧ g(x) ∈ Bu),

donde m = 〈0,m〉2 + 1 es el numero natural tal que ℓ(m) = 1 ∧ m0 = m. Ası:

g′(m,x) ∈ Bn ↔ m = nr+s+10 ∧

∨

u (n = mr ∧ P (u, x)),

y la ultima expresion prueba que la relacion esta en Γ. Por consiguiente, existeQ∗ ∈ Γ tal que

g(x)↓→ (Q(n, g(x)) ↔ Q∗(n, x)).

Por lo tanto,

f(x)↓→∧

n ∈ ω(f(x) ∈ Bn ↔ Q∗(n, x))

y esto prueba que f es Γ-recursiva parcial.

Veamos ahora algunas condiciones sencillas que garantizan la propiedad desustitucion:

Teorema 6.47 a) La clase de los conjuntos semirrecursivos tiene la propie-dad de sustitucion.

b) Si Γ es una clase Σ con la propiedad de sustitucion, tambien la tiene cadaclase Γ(a).

c) Si Γ es una clase Σ cerrada para∧

n y para∧

y ∈ Y o∨

y ∈ Y , entoncestiene la propiedad de sustitucion.

Demostracion: a) Sea f : X −→ Y una funcion recursiva parcial y Q ⊂ Ysemirrecursivo. Por 6.12 existe Q′ ⊂ ω semirrecursivo tal que

Q(y) ↔∨

n (y ∈ Bn ∧ Q′(n)).

Por otra parte, sea P ⊂ ω × X un conjunto semirrecursivo que compute a fen su dominio. Definimos Q∗(x) ↔

∨

n (P (n, x) ∧ Q′(n)), de modo que Q∗ essemirrecursivo y si f(x)↓ entonces f(x) ∈ Bn ↔ P (n, x), luego

Q∗(x) ↔∨

n (f(x) ∈ Bn ∧ Q′(n)) ↔ Q(f(x)).

b) Sea f : X −→ Y una funcion Γ(a)-recursiva parcial y Q ∈ Γ(a)(Y ). SeaQ′ ∈ Γ tal que Q(y) ↔ Q(y, a). Sea P ∈ Γ(a) que compute a f en su dominioy sea P ′ ∈ Γ tal que P (n, x) ↔ P ′(n, x, a).

8En general, cuando definamos una funcion parcial a partir de otras funciones parciales,se sobrentendera que la nueva funcion esta definida donde lo esta la expresion que la define.Por ejemplo, en este caso el dominio de g′ es ω ×Dg.

214 Capıtulo 6. Teorıa de la recursion

Definimos f ′ : X ×N −→ Y de modo que9

f ′(x, z)↓↔∨

y ∈ Y∧

n (y ∈ Bn ↔ P ′(n, x, z)).

Notemos que si existe tal y, es unico, y este es por definicion f ′(x, z), es decir:

f ′(x, z)↓→∧

n (f ′(x, z) ∈ Bn ↔ P ′(n, x, z)).

Ası P ′ computa a f ′ en su dominio, luego f ′ es una funcion Γ-recursiva parcial.Ahora observamos que si f(x)↓ entonces f ′(x, a)↓ , pues y = f(x) cumple lacondicion para que f ′ este definida, luego, mas concretamente, f ′(x, a) = f(x).

Definimos g(x, z) = (f ′(x, z), z) y es facil ver que tambien es Γ-recursivaparcial, luego existe un Q′′ ∈ Γ(X ×N) tal que

g(x, z)↓→ (Q′′(x, z) ↔ Q′(f ′(x, z), z)).

En particular:

f(x)↓→ (Q′′(x, a) ↔ Q′(f ′(x, a), a)) → (Q′′(x, a) ↔ Q(f(x)).

Por lo tanto, si definimos Q∗(x) ↔ Q′′(x, a) tenemos que Q∗ ∈ Γ(a) y

f(x)↓→ (Q∗(x) ↔ Q(f(x))),

lo que prueba que Γ(a) tiene la propiedad de sustitucion.

c) Sea f : X −→ Y una funcion Γ-recursiva parcial y sea P ⊂ ω×X , P ∈ Γ,que compute a f en su dominio.

Supongamos que Γ es cerrada para∨

y ∈ Y . Entonces definimos

Q∗(x) ↔∨

y ∈ Y (Q(y) ∧∧

n (y ∈ Bn → P (n, x))),

de modo que Q∗ ∈ Γ y si f(x)↓ , para todo y ∈ Y se cumple que∧

n (y ∈ Bn → P (n, x)) →∧

n (y ∈ Bn → f(x) ∈ Bn) → y = f(x),

luego Q∗(x) ↔ Q(f(x)).

Si Γ es cerrada para∧

y ∈ Y tomamos

Q∗(x) ↔∧

y ∈ Y (Q(y) ∨∨

n (P (n, x) ∧ y /∈ Bn))

y se concluye analogamente.

Hemos probado que las funciones definidas por minimizacion parcial o porcomposicion a partir de funciones Γ-recursivas parciales son Γ-recursivas par-ciales, supuesto que la clase Γ cumpla propiedades adecuadas. Ahora faltarıademostrar que lo mismo es valido para las funciones definidas por recursion, perosucede que para ello hay que exigir que Γ cumpla una propiedad mas fuerte quela propiedad de sustitucion, y ademas la prueba requiere un resultado nadatrivial conocido como teorema de recursion de Kleene. Ası pues, necesitamosalgun trabajo previo antes de estudiar la recursion con funciones Γ-recursivasparciales.

9Aquı tenemos un ejemplo en el que nos aparece una funcion parcial aunque partamos defunciones totales: no esta claro para que pares (x, z) existe un y como requiere la definicionde f ′(x, z), por lo que la funcion f ′ solo puede ser Γ-recursiva si la dejamos indefinida cuandono existe tal y.

6.6. El teorema de recursion 215

6.6 El teorema de recursion

En [L 7.28] construimos un conjunto semirrecursivo universal. La definicionsiguiente generaliza este concepto:

Definicion 6.48 Sea Y un espacio producto y Γ una clase de conjuntos. Di-remos que Γ esta Y -parametrizada si para todo espacio producto X existe unconjunto U ⊂ X × Y , U ∈ Γ tal que si A ∈ Γ(X) existe un y ∈ Y de modo que

A = Uy = x ∈ X | (x, y) ∈ A.

En tal caso diremos que U es un conjunto Y -universal para Γ(X).

Teorema 6.49 Si una clase Γ esta Y -parametrizada y a ∈ N entonces Γ(a)tambien lo esta.

Demostracion: Se comprueba trivialmente que si U ⊂ X × N × Y esY -universal para Γ(X), entonces Ua = (x, y) ∈ X × Y | (x, a, y) ∈ U esY -universal para Γ(a)(X).

Teorema 6.50 La clase Γ de los conjuntos semirrecursivos esta ω-parametri-zada.

Demostracion: Definimos G(m,n) ↔∨

r 〈n, 〈r,m〉 , 1〉 ∈ A, que es unconjunto semirrecursivo. Vamos a probar que es ω-universal para Γ(ω).

Si B ∈ Γ(ω), por 6.7 existe un R ⊂ ω × ω recursivo tal que

B(m) ↔∨

r R(r,m) ↔∨

r χR(r,m) = 1.

Sea n ∈ C tal que χR= fn. Entonces

B(m) ↔∨

r fn(r,m) = 1 ↔∨

r 〈n, 〈r,m〉 , 1〉 ∈ A ↔ G(m,n),

luego B = Gn.

Ahora consideremos un espacio producto arbitrario X y un S ∈ Γ(X). Porel teorema 6.12 existe un B ∈ Γ(ω) tal que

S(x) ↔∨

m (x ∈ Bm ∧ B(m)) ↔∨

m (x ∈ Bm ∧ G(m,n)),

para cierto n ∈ ω. Definimos entonces

U(x, n) ↔∨

m(x ∈ Bm ∧ G(m,n)) ∈∨

m(Γ ∧ Γ) ⊂ Γ.

Acabamos de probar que para cada S ∈ Γ(X) existe un n ∈ ω tal queS = Un, luego U es ω-universal para Γ(X).

Mas en general:

216 Capıtulo 6. Teorıa de la recursion

Teorema 6.51 La clase Γ de los conjuntos semirrecursivos esta Y -parametri-zada, para todo espacio producto Y .

Demostracion: Veamos que Γ esta N-parametrizada. Dado un espacioproducto X , definimos U ⊂ X ×N mediante

U(x, a) ↔∨

n (n 6= 0 ∧ a(0) = 0 ∧ x ∈ Ba(n)) ↔

∨

nm (n 6= 0 ∧ a(0) = 0 ∧ a(n) = m ∧ x ∈ Bm),

con lo que U esta en Γ.Ası, si a(0) = 1 se tiene que Ua = ∅ y si A ∈ Γ(X) no es vacıo existe un

y ∈ N recursivo tal que A =⋃

n∈ωBy(n). Definimos a(0) = 0 y a(n + 1) = y(n),

de modo que

x ∈ A↔∨

n (n 6= 0 ∧ a(0) = 0 ∧ x ∈ Ba(n)) ↔ (x, a) ∈ U ↔ x ∈ Ua.

Por lo tanto, U es N-universal para Γ(X).

Por el teorema anterior sabemos que Γ tambien esta ω-parametrizada y,como todo espacio producto es recursivamente homeomorfo a ω o a N, es facilver que Γ esta Y -parametrizada para cualquier espacio Y .

Veamos una aplicacion:

Teorema 6.52 Todo espacio producto contiene un conjunto semirrecursivo norecursivo.

Demostracion: En efecto, sea X un espacio producto y sea U ⊂ X ×Xun conjunto semirrecursivo X-universal para X . Sea V = x ∈ X | (x, x) /∈ U.La funcion f : X −→ X × X dada por f(x) = (x, x) es recursiva, y comoobviamente ¬V = f−1[U ], concluimos que ¬V es semirrecursivo. En cambio, siV fuera recursivo, existirıa un x ∈ X tal que V = Ux, pero entonces

x ∈ V ↔ (x, x) ∈ U ↔ x /∈ V,

contradiccion. Ası pues, ¬V ⊂ X es semirrecursivo y no recursivo.

Una aplicacion mas importante se obtiene al observar que el conjunto N-universal U para Γ(X) construido en la prueba del teorema 6.51 cumple unapropiedad adicional: si A ⊂ X es cualquier abierto no vacıo, puede expresarsecomo union de abiertos basicos, es decir, en la forma

A =⋃

n∈ωBy(n),

donde ahora y ∈ N es una funcion arbitraria, no necesariamente recursiva,pero la prueba de que A = Uy es valida igualmente. Mas aun, por definicion,A ∈ Γ(y). Ahora es inmediato concluir:

6.6. El teorema de recursion 217

Teorema 6.53 Si Γ es la clase de los conjuntos semirrecursivos, entonces laclase

Γ =⋃

a∈N

Γ(a)

definida en 6.28 es la clase de los conjuntos abiertos, luego las funciones Γ-recursivas son las funciones continuas.

Demostracion: Acabamos de probar que todo abierto esta en una claseΓ(a), para cierto a ∈ N, lo cual nos da una inclusion. Para la contraria bastaobservar que todo elemento de Γ(a) es por definicion de la forma Aa para ciertoA ∈ Γ(X×N) semirrecursivo, y en particular abierto, y Aa es la antiimagen de Apor una funcion continua, luego es abierto. La ultima afirmacion es consecuenciainmediata del teorema 6.16.

Veamos ahora que es posible construir conjuntos universales que cumplancondiciones adicionales de coherencia:

Teorema 6.54 Sea Γ una clase ω-parametrizada y cerrada para sustitucionesrecursivas. Para cada espacio producto X existe un conjunto GX ⊂ X × N talque GX ∈ Γ, es N-universal para Γ(X) y ademas:

a) Si P ⊂ X, entonces P ∈ Γ ↔ existe a ∈ N recursivo tal que P = GXa .

b) Para cada par de espacios X, Y , existe SXY : X ×N −→ N recursiva talque

GX×Y (x, y, a) ↔ GY (y, SXY (x, a)).

(Es decir, que si a codifica a P = GX×Ya , entonces SXY (x, a) codifica a Px.)

Demostracion: Sea G ⊂ ω×X×N un conjunto ω-universal para Γ(X×N)y definimos

G∗(x, a) ↔ G(a(0), x, a1),

donde a1(n) = a(n+1). Es facil ver que G∗ es N-universal para Γ(X) y cumplela propiedad a).

En particular podemos tomar un conjunto V ∈ Γ que sea N-universal paraΓ(N ×N) y cumpla la propiedad a). Para cada espacio X definimos

GX(x, a) ↔ V (πX(x, a30), a31, a

32),

donde πX : X ×N −→ N es un homeomorfismo recursivo. Claramente GX ∈ Γ.

Veamos que GX es N-universal para Γ(X) y cumple la propiedad a).

Tomemos Q ⊂ X tal que Q ∈ Γ [resp. Q ∈ Γ]. Sea Q′ ⊂ N ×N dado por

Q′(u, v) ↔ Q(pX(π−1X (u)),

donde pX : X×N −→ X es la proyeccion. Se cumple que Q′ ∈ Γ [Q′ ∈ Γ], puesQ′ = π−1

1 [πX [p−1X [Q]]] y es facil ver que si una case Γ es cerrada para sustitu-

ciones recursivas, sus relativizaciones Γ(a) tambien lo son, luego Γ tambien loes.

218 Capıtulo 6. Teorıa de la recursion

Por consiguiente, existe un a ∈ N [recursivo] tal que Q′(u, v) ↔ V (u, v, a).Ası, para todo u ∈ N,

Q(x) ↔ Q(pX(π−1X (πX(x, u)))) ↔ Q′(πX(x, u), u) ↔ V (πX(x, u), u, a)

↔ GX(x, 〈u, u, a〉3).

Por consiguiente, si tomamos cualquier u ∈ N recursivo, b = 〈u, u, a〉3 es recur-sivo en a [recursivo] y10

Q(x) ↔ GX(x, b).

Veamos ahora b). Tomamos dos espacios producto X e Y y definimos unconjunto P ⊂ N ×N mediante

P (u, v) ↔ GX×Y (pX(π−1X (v20), pY (π

−1Y (u)), v21).

Claramente P ∈ Γ. Sea a ∈ N recursivo tal que P (u, v) ↔ V (u, v, a). Paratodo (x, y, b) ∈ X × Y ×N, tomando u = πY (y, b), v = 〈πX(x, b), b〉2, se cumple

GX×Y (x, y, b) ↔ P (πY (y, b), 〈πX(x, b), b〉2) ↔ V (πY (y, b), 〈πX(x, b), b〉2 , a)

↔ GY (y, 〈b, 〈πX(x, b), b〉2 , a〉3).

Definimos S(x, b) = 〈b, 〈πX(x, b), b〉2 , a〉3 y ası

GX×Y (x, y, b) ↔ GY (y, S(x, b)).

Definicion 6.55 Si Γ es una clase de conjuntos ω-parametrizada y cerrada parasustituciones recursivas, una buena parametrizacion de Γ es una aplicacion queasigne a cada espacio producto X un conjunto GX ⊂ X × N y a cada par deespaciosX , Y una aplicacion SXY : X×N −→ Y en las condiciones del teoremaanterior. Diremos que GX es un buen conjunto universal.

Probamos un resultado tecnico que necesitaremos mas adelante:

Teorema 6.56 Sea Γ una clase ω-parametrizada y cerrada para sustitucionesrecursivas. Sea X un espacio producto, sea R ⊂ X × N una relacion en Γ(a)y sea G ⊂ X × N un buen conjunto N-universal para Γ(X). Entonces existeǫ ∈ N recursivo en a tal que

∧

x ∈ X(R(x, ǫ) ↔ G(x, ǫ)).

Demostracion: Sea P (u, x) ↔ R(x, SN,X(u, u)), de modo que P ∈ Γ(a)por ser una sustitucion recursiva de una relacion en Γ. Por el teorema anterior

GN×X(v, x, u) ↔ GX(x, SN,X(v, u))

Como P ∈ Γ(a), existe un ǫ0 ∈ N recursivo en a tal que

R(x, SN,X(u, u)) ↔ P (u, x) ↔ GN×X(u, x, ǫ0) ↔ G(x, SN,X(u, ǫ0)).

En particular R(x, SN,X(ǫ0, ǫ0)) ↔ G(x, SN,X(ǫ0, ǫ0)) y ǫ = SN,X(ǫ0, ǫ0) cum-ple el teorema.

10Notemos que hemos probado que todo P ∈ Γ(a) es de la forma GXb con b recursivo en a,

que es mas de lo que afirma a).

6.6. El teorema de recursion 219

Definicion 6.57 Diremos que Γ es una clase Σ∗ si es una clase Σ, esta ω-parametrizada y tiene la propiedad de sustitucion. En particular esto implicaque es cerrada para sustituciones Γ-recursivas (en particular recursivas), luegopor el teorema 6.54 admite una buena parametrizacion.

Sabemos que la clase de los conjuntos semirrecursivos es una clase Σ∗.

Cuando tratemos con una clase Σ∗, supondremos prefijada una buena para-metrizacion cualquiera.

En particular fijamos un buen conjunto N-universal Gω×XΓ para Γ(ω ×X).Para cada espacio producto Y definimos UXYΓ : X ×N −→ Y de modo que

UXYΓ (x, a)↓↔∨

y ∈ Y∧

n ∈ ω (y ∈ Bn ↔ Gω×XΓ (n, x, a)).

Si existe tal y, es unico, y es por definicion UXYΓ (x, a), es decir:

UXYΓ (x, a)↓→∧

n ∈ ω (UXYΓ (x, a) ∈ Bn ↔ Gω×XΓ (n, x, a)).

ObviamenteGω×XΓ computa a UXYΓ en su dominio, luego UXYΓ es una funcionΓ-recursiva parcial. Para cada a ∈ N definimos a su vez la funcion parcialaXYΓ : X −→ Y dada por aXYΓ (x) = UXYΓ (x, a). Claramente, el conjunto(Gω×XΓ )a computa aXYΓ en su dominio, luego se trata de una funcion Γ(a)-recursiva parcial y, en particular Γ-recursiva parcial.

El teorema siguiente muestra que aXYΓ es una N-parametrizacion de lasfunciones Γ-recursivas parciales de X en Y .

Teorema 6.58 Sea Γ una clase Σ∗.

a) Una funcion parcial f : X −→ Y es Γ-recursiva parcial si y solo si existeun a ∈ N tal que f ⊂ aXYΓ .

b) Una funcion parcial f : X −→ Y es Γ-recursiva parcial si y solo si existeun a ∈ N recursivo tal que f ⊂ aXYΓ .

c) Para cada terna de espacios producto X, Y , Z existe una funcion recursiva(total) SXY ZΓ : X ×N −→ N tal que para todos los x ∈ X, y ∈ Y , a ∈ N

aX×Y,ZΓ (x, y) = SXY ZΓ (x, a)Y Z(y),

entendiendo que un miembro esta definido si y solo si lo esta el otro.

Demostracion: a) f es Γ-recursiva parcial si y solo si existe P ⊂ ω ×X ,P ∈ Γ tal que

∧

x ∈ Df∧

n ∈ ω (f(x) ∈ Bn ↔ P (n, x)), si y solo si

∨

a ∈ N∧

x ∈ Df∧

n ∈ ω(f(x) ∈ Bn ↔ Gω×X(n, x, a)) ↔

∨

a ∈ N∧

x ∈ Df (UXYΓ (x, a)↓∧ f(x) = UXYΓ (x, a)) ↔∨

a ∈ N∧

x ∈ Df (aXYΓ ↓∧ f(x) = a)XYΓ ↔∨

a ∈ N f ⊂ aXYΓ .

220 Capıtulo 6. Teorıa de la recursion

b) Basta observar que, en las equivalencias del apartado anterior, la funcionf es Γ(b)-recursiva parcial si y solo si P ∈ Γ(b), si y solo si a es recursivo en b.

c) En principio, aX×Y,ZΓ (x, y) = UX×Y,Z

Γ (x, y, a) y∧

n ∈ ω (UX×Y,ZΓ (x, y, a) ∈ Bn ↔ Gω×X×Y (n, x, y, a)).

El teorema 6.54 nos da que

Gω×X×Y (n, x, y, a) ↔ Gω×Y (n, y, SX,ω×Y (x, a)),

y de aquı se sigue que

UX×Y,ZΓ (x, y, a)↓↔ UY ZΓ (y, SX,ω×Y (x, a))↓

y en caso de que ambas funciones esten definidas, coinciden. Equivalentemente,

aX×Y,ZΓ (x, y) = SX,ω×Y (x, a)Y ZΓ (y)

y basta tomar SXY Z = SX,ω×Y .

Con esto ya podemos probar:

Teorema 6.59 (Teorema de recursion) (Kleene) Si Γ es una clase Σ∗,para cada par de espacios producto X, Y existe una funcion recursiva (total)RXY : N −→ N tal que si f : X × N −→ Y es una funcion Γ-recursiva parcial,f ⊂ bX×N,Y

Γ y a = R(b), entonces∧

x ∈ X (f(x, a)↓→ f(x, a) = aX,YΓ (x)).

(Notemos ademas que si f es Γ(c)-recursiva parcial, entonces b puede tomarserecursivo en c, luego a tambien es recursivo en c.)

Demostracion: Sea S = SN×N,X,Y : N × N × N −→ N segun 6.58.Definimos g : X ×N×N −→ Y mediante g(x, u, v) = uX×N,Y

Γ (x, S(u, v, v))).Ası g es Γ-recursiva parcial, por el teorema 6.46, pues

g(x, u, v) = UX×N,YΓ (x, S(u, v, v), u),

U es Γ-recursiva parcial y S es recursiva. Por 6.58 b), existe un c ∈ N recursivo

tal que g ⊂ cX×N×N,YΓ y, por el apartado c)

g(x, u, v)↓→ g(x, u, v) = cX×N×N,YΓ (x, u, v) = S(u, v, c)X,YΓ (x).

Haciendo v = c queda

g(x, u, c)↓→ uX×N×N,YΓ (x, S(u, c, c)) = S(u, c, c)X,YΓ (x).

Definimos RXY (u) = S(u, c, c), obviamente recursiva, y ası, si f , b, a cum-plen las condiciones del enunciado,

f(x, a)↓→ bX×N,YΓ (x, a)↓→ bX×N,Y

Γ (x, S(b, c, c))↓→ g(x, b, c)↓

→ bX×N×N,YΓ (x, S(b, c, c)) = S(b, c, c)X,YΓ (x) → f(x, a) = aX,YΓ (x).

6.6. El teorema de recursion 221

A veces se llama teorema de recursion de Kleene a la version simplificadasiguiente:

Teorema 6.60 Si Γ es una clase Σ∗ y f : X × N −→ Y es una funcion Γ-recursiva parcial, existe un a ∈ N tal que

∧

x ∈ X (f(x, a)↓→ f(x, a) = aX,YΓ (x)).

Si f es Γ-recursiva parcial, entonces a puede tomarse recursivo.

Como una primera ilustracion del uso del teorema de recursion demostramosel resultado que tenıamos pendiente. No se conoce una prueba mas sencilla queevite el teorema de la recursion (ni siquiera para funciones totales, salvo en elcaso de funciones ωr −→ ω, donde es consecuencia inmediata de la definicionde funcion recursiva).

Teorema 6.61 Si Γ es una clase Σ∗, toda funcion parcial definida por recursiona partir de funciones Γ-recursivas parciales es Γ-recursiva parcial.

Demostracion: Sean f , g, h en las condiciones de la definicion 6.36, dondeg y h son Γ-recursivas parciales. (El caso en que no esta el espacio X se trataanalogamente.) Definimos la funcion parcial φ : N × ω ×X −→ Y mediante

φ(a, n, x) =

g(x) si n = 0,

h(n− 1, aω×X,YΓ (n− 1, x), x) si n > 0.

Veamos que φ es Γ-recursiva parcial. Para ello observamos que

φ(a, n, x) ∈ Bm ↔

g(x) ∈ Bm si n = 0,

h(n− 1, Uω×X,YΓ (n− 1, x, a), x) ∈ Bm si n > 0.

La funcion h∗(a, n, x) = h(n−1, Uω×X,YΓ (n−1, x, a), x) es Γ-recursiva parcialpor ser composicion de funciones Γ-recursivas parciales. Sean Pg y Ph∗ conjuntosen Γ que computen a g y h∗ en sus dominios respectivos. Entonces

Pφ = ((N × ω × Pg) ∩ (N × 0 ×X × ω)) ∪ (Ph∗ ∩ (N × (ω \ 0)×X × ω))

computa a φ en su dominio, y esta en Γ porque el primer conjunto es unaantiimagen trivial de Pg, y el segundo y el cuarto son semirrecursivos.

Por el teorema de recursion existe un a ∈ N recursivo tal que

φ(a, n, x)↓→ φ(a, n, x) = aω×X,YΓ (n, x).

Se cumple entonces que f ⊂ aω×X,YΓ . En efecto

f(0, x)↓→ φ(a, 0, x)↓→ aω×X,YΓ (0, x) = g(x) = f(0, x),

y supuesto quef(n, x)↓→ aω×X,YΓ (n, x) = f(n, x),

f(n+ 1, x)↓→ f(n, x)↓→ aω×X,YΓ (n, x)↓→ φ(a, n+ 1, x)↓

→ aω×X,YΓ (n+1, x) = h(n, aω×X,YΓ (n, x), x) = h(n, f(n, x), x) = f(n+1, x).

Por consiguiente, f es Γ-recursiva parcial.

222 Capıtulo 6. Teorıa de la recursion

Veamos otra aplicacion del teorema de recursion:

Teorema 6.62 Si Γ es una clase Σ∗ y g : X × ω −→ ω es una funcion Γ-recursiva, entonces la funcion f : X −→ N dada por f(x)(n) = g(x, f(x)(n)) esΓ-recursiva.

Demostracion: En general, si p : Y × ω −→ ω es una funcion Γ-recursivaparcial, podemos definir la funcion parcial p : Y × ω −→ ω dada por

p(y, 0) = 0 = 〈∅〉 ,

p(y, n+ 1) = p(y, n)p(y, n),

que es Γ-recursiva parcial por el teorema anterior. Observemos que p(y, n) estadefinida si y solo si lo estan p(x, 0), . . . p(x, n−1), y entonces su valor es el numeronatural que codifica esta sucesion finita. En particular p(x, 0) esta definida paratodo x.

En particular tenemos UX×ω,ωΓ : N×X×ω −→ ω, que es Γ-recursiva parcial,

la cual nos permite definir a su vez φ : X × ω ×N −→ ω mediante

φ(x, n, a) = g(x, UX×ω,ωΓ (x, n, a)),

que es Γ-recursiva parcial por ser composicion de funciones Γ-recursivas parcia-les. Por el teorema de recursion existe a ∈ N recursivo tal que, si llamamosf0 = aX×ω,ω

Γ , se cumple que:∧

x ∈ X∧

n ∈ ω(φ(x, n, a)↓→ f0(x, n) = φ(x, n, a)).

Veamos por induccion que para todo x ∈ X se cumple f0(x, n)↓ .

En efecto, como UX×ω,ωΓ (x, 0, a)↓ , tambien φ(x, 0, a)↓ , luego f0(x, 0)↓ .

Si f0(x, k)↓ para todo k < n, entonces esta definido

aX×ω,ωΓ (x, k) = UX×ω,ω

Γ (x, k, a),

para todo k < n, luego esta definido UX×ω,ωΓ (x, n, a), luego tambien φ(x, n, a),

luego tambien f0(x, n).Como la funcion f0 es Γ-recursiva, tambien lo es la funcion f : X −→ N

dada por f(x)(n) = f0(x, n). Ahora bien, UX×ω,ωΓ (x, n, a) es el numero natural

que codifica la sucesion formada por los numeros

UX×ω,ωΓ (x, k, a) = aX×ω,ω

Γ (x, k) = f0(x, k) = f(x)(k)

para k < n, luego UX×ω,ωΓ (x, n, a) = f(x)(n), luego

f(x)(n) = f0(x, n) = φ(x, n, a) = g(x, f(x)(n)).

Ası pues, f es la funcion del enunciado.

Las parametrizaciones aXY que hemos construido utilizan parametrosen N para codificar todas las funciones Γ-recursivas parciales. Para codificarunicamente las funciones Γ-recursivas parciales podemos tomar los parametrosen ω. Para probarlo empezamos demostrando el teorema analogo a 6.54:

6.6. El teorema de recursion 223

Teorema 6.63 Sea Γ una clase ω-parametrizada y cerrada para sustitucionesrecursivas. Para cada espacio producto X existe un conjunto GX ⊂ ω ×X talque GX ∈ Γ es ω-universal para Γ(X) y ademas, para X = ωr y todo espacioproducto Y existe SXY : ω ×X −→ ω recursiva tal que

GX×Y (e, x, y) ↔ GY (SXY (e, x), y).

Demostracion: Sea V ∈ Γ un conjunto ω-universal para Γ(ω × N). Paracada espacio X definimos

GX(e, x) ↔ V (e30, e31, πX(e32, x)),

donde πX : ω ×X −→ N es un homeomorfismo recursivo si X es no numerableo, en caso contrario, una biyeccion recursiva (con inversa tambien recursiva)π0X : ω ×X −→ ω compuesta, con la aplicacion ω −→ N dada por n 7→ cn. En

el segundo caso definimos π−1X : N −→ ω×X mediante π−1

X (u) = (π0X)−1(u(0)),

de modo que π−1X es recursiva y π−1

X (πX(n, x)) = (n, x). En el primer casollamamos π−1

X a la inversa de πX .

Veamos que GX es ω-universal para Γ(X). Si Q ∈ Γ(X), sea Q′ ∈ ω × N

dado porQ′(n, u) ↔ Q(pX(π−1

X (u))),

donde pX : ω × X −→ X es la proyeccion. Como Q′ = π−1N

[(π−1X )−1[p−1

X [Q]]],vemos que Q′ ∈ Γ. Por lo tanto, existe un e ∈ ω tal que Q′(n, u) ↔ V (e, n, u).Ası, para todo n ∈ ω,

Q(x) ↔ Q(pX(π−1X (πX(n, x)))) ↔ Q′(n, πX(n, x)) ↔ V (e, n, πX(n, x))

↔ GX(〈e, n, n〉3 , x).

Por consiguiente, para todo n ∈ ω, tenemos que m = 〈e, n, n〉3 cumple

Q(x) ↔ GX(m,x).

Consideremos ahora X = ωr e Y un espacio producto arbitrario. DefinimosP ⊂ ω ×N mediante

P (n, u) ↔ GX×Y (n20, pX((π

0X)−1(n2

1)), pY (π−1Y (u))).

Claramente P ∈ Γ. Sea e ∈ ω tal que P (n, u) ↔ V (e, n, u). Para todo(m,x, y) ∈ ω ×X × Y , tomando n =

⟨m,π0

X(m,x)⟩

2, u = πY (m, y), se cumple

GX×Y (m,x, y) ↔ P (⟨m,π0

X(m,x)⟩

2, πY (m, y)) ↔

V (e,⟨m,π0

X(m,x)⟩

2, πY (m, y)) ↔ GY (

⟨e,⟨m,π0

X(m,x)⟩

2,m

⟩

3, y).

Definimos SXY (m,x) =⟨e,⟨m,π0

X(m,x)⟩

2,m

⟩

3y ası

GX×Y (m,x, y) ↔ GY (SXY (m,x), y).

224 Capıtulo 6. Teorıa de la recursion

Definicion 6.64 Si Γ es una clase Σ∗, llamaremos UXYΓ : ω × X −→ Y a lafuncion parcial que cumple

UXYΓ (e, x)↓↔∨

y ∈ Y∧

n ∈ ω(y ∈ Bn ↔ Gω×XΓ (e, n, x)),

de modo que, si existe tal y, es claramente unico, y es, por definicion, UXYΓ (e, x),es decir:

UXYΓ (e, x)↓→∧

n ∈ ω(UXYΓ (e, x) ∈ Bn ↔ Gω×XΓ (e, n, x)).

Ası es inmediato que UXΓ es Γ-recursiva parcial, y a su vez nos permitedefinir, para cada e ∈ ω, la funcion parcial eXYΓ : X −→ Y mediante

eXYΓ (x) = UXYΓ (e, x).

Claramente eXYΓ esta computada en su dominio por (Gω×XΓ )e, luego esΓ-recursiva parcial.

La demostracion del teorema siguiente es completamente analoga a la delteorema 6.58:

Teorema 6.65 Sea Γ una clase Σ∗.

a) Una funcion parcial f : X −→ Y es Γ-recursiva parcial si y solo si existeun e ∈ ω tal que f ⊂ eXYΓ .

b) Para cada terna de espacios producto X, Y , Z, donde X = ωr existe unafuncion recursiva (total) SXY ZΓ : ω×X −→ ω tal que para todos los e ∈ ω,x ∈ X, y ∈ Y

eX×Y,ZΓ (x, y) = SXYZΓ (e, x)Y Z(y),

entendiendo que un miembro esta definido si y solo si lo esta el otro.

Ası tenemos una enumeracion de las funciones recursivas parciales en la quetodos los numeros naturales son codigos.

La prueba del teorema de recursion se adapta tambien sin dificultad al pre-sente contexto:

Teorema 6.66 (Teorema de recursion) (Kleene) Si Γ es una clase Σ∗,para cada par de espacios producto X, Y existe una funcion recursiva (total)RXY : ω −→ ω tal que si f : ω ×X −→ Y es una funcion Γ-recursiva parcial,f ⊂ aω×X,YΓ y e = R(a), entonces

∧

x ∈ X (f(e, x)↓→ f(e, x) = eX,YΓ (x)).

Terminamos con una propiedad adicional de las clases Σ∗:

6.6. El teorema de recursion 225

Teorema 6.67 Sea Γ una clase Σ∗ cerrada para∧

n ∈ ω. Entonces la claseΓ es cerrada para uniones e intersecciones numerables, luego ∆ = Γ ∩ ¬Γ esuna σ-algebra en cada espacio producto. Ademas, las funciones ∆-mediblesson las funciones ∆(a)-recursivas, para cada a ∈ N, donde llamamos ∆(a) =Γ(a) ∩ ¬Γ(a).

Demostracion: Sea X un espacio producto, sea G ⊂ X × N un buenconjunto universal y sea Ann∈ω una familia de conjuntos en Γ(X). Entoncesexisten an ∈ N tales que An = Gan . Sea a ∈ N que determine la sucesionann∈ω. La aplicacion f(x, n, a) = (x, an) es recursiva y, como Γ es cerradapara sustituciones recursivas, H = f−1[G] ∈ Γ. Ası,

x ∈⋃

n∈ωAn ↔

∨

n ∈ ω G(x, an) ↔∨

n ∈ ωH(x, n, a),

luego la union esta en Γ(a) ⊂ Γ. Con la interseccion se razona igual, sin masque cambiar

∨

n ∈ ω por∧

n ∈ ω.

Si f : X −→ Y es ∆-medible, para cada n ∈ ω tenemos que f−1[Bn] ∈ ∆,luego tambien f−1[Bn]× n ∈ ∆, luego

(x, n) ∈ X × ω | f(x) ∈ Bn =⋃

n∈ωf−1[Bn]× n ∈ ∆.

Existen a0, a1 ∈ N tales que

(x, n) ∈ X × ω | f(x) ∈ Bn ∈ Γ(a2) ∩ ¬Γ(a3).

Tomando a = 〈a0, a1〉 ∈ N tenemos que f es ∆(a)-recursiva.

Recıprocamente, si f es ∆(a)-recursiva y A ∈ ∆(Y ), tenemos que A ∈ ∆(b),para cierto b ∈ N luego, tomando c = 〈a, b〉, se cumple que f es ∆(c)-recursivay A ∈ ∆(c). Ahora bien, Γ(a) tambien tiene la propiedad de sustitucion, luegoes cerrada para sustituciones Γ(a)-recursivas. Esto implica que

f−1[A] ∈ ∆(c) ⊂ ∆,

luego f es ∆-medible.

Capıtulo VII

La teorıa efectiva

Ya estamos en condiciones de exponer la version efectiva de la teorıa des-criptiva de conjuntos desarrollada por Kleene.

7.1 Las clases de Kleene

Las clases de Lusin Σ0n, Π

0n, Σ

1n, Π

1n se definen a partir de la clase Σ0

1 delos conjuntos abiertos tomando uniones y complementos y proyecciones. Lasclases de Kleene se definen similarmente a partir de la clase Σ0

1 de los conjuntossemirrecursivos:

Definicion 7.1 Las clases de Kleene (sobre los espacios producto) se definencomo sigue:

Σ01 = A | A es semirrecursivo Σ1

1 =∨

x ∈ N Π01

Σ0n+1 =

∨

m ∈ ω ¬Σ0n Σ1

n+1 =∨

x ∈ N ¬Σ1n

Π1n = ¬Σ0

n Π1n = ¬Σ1

n

∆0n = Σ0

n ∩ Π0n ∆1

n = Σ1n ∩ Π1

n

A partir de estas clases podemos definir las clases relativizadas Σ0n(a), Π

0n(a),

Σ1n(a) y Π1

n(a), para a ∈ N, y es facil ver que guardan entre sı las mismasrelaciones, es decir, Σ0

n+1(a) =∨

m ∈ ωΠ0n(a), etc.

Definimos ∆0n(a) = Σ0

n(a) ∩ Π0n(a), ∆

1n(a) = Σ1

n(a) ∩ Π1n(a) a pesar de que

no son las relativizaciones de las clases ∆0n y ∆1

n.

Observemos que ∆01 es la clase de los conjuntos recursivos. Como Σ0

1 escerrada para sustituciones recursivas, si a ∈ N es recursiva, el teorema 6.29 nosda que Σ0

1(a) = Σ01, de donde se sigue a su vez que

Σ0n(a) = Σ0

n, Π0n(a) = Π0

n, ∆0n(a) = ∆0

n,

Σ1n(a) = Σ1

n, Π1n(a) = Π1

n, ∆1n(a) = ∆1

n.

227

228 Capıtulo 7. La teorıa efectiva

Diremos que una clase Γ es adecuada si ∆01 ⊂ Γ y Γ es cerrada para con-

junciones, disyunciones,∨

n ≤ m,∧

n ≤ m y sustituciones recursivas. Losteoremas 6.6 y 6.24 implican que la clase Σ0

1 es adecuada, y de aquı se siguefacilmente que sus relativizaciones Σ0

1(a) tambien lo son. El teorema siguienteimplica que todas las clases de Kleene son adecuadas:

Teorema 7.2 Sea Γ una clase adecuada.

a) ¬Γ,∨

nΓ,∧

nΓ,∨

xΓ,∧

xΓ son adecuadas.

b)∨

nΓ es cerrada para∨

n.

c)∧

nΓ es cerrada para∧

n.

d)∨

xΓ es cerrada para∨

y ∈ Y , para todo espacio producto Y .

e)∧

xΓ es cerrada para∧

y ∈ Y , para todo espacio producto Y .

Demostracion: a) Como ∆01 ⊂ Γ, tambien ∆0

1 = ¬∆01 ⊂ ¬Γ. Es claro que

¬Γ es cerrada para conjunciones y disyunciones. Si ¬A ∈ ¬Γ, entonces

∨

m ≤ n¬A = ¬∧

m ≤ nA ∈ ¬Γ,

e igualmente con∧

m ≤ n¬A. Finalmente, si f : X −→ Y es recursiva y¬A ∈ ¬Γ(Y ) entonces A ∈ Γ(Y ), luego f−1[A] ∈ Γ(X), luego f−1[¬A] =¬f−1[A] ∈ Γ(X). Por lo tanto, ¬Γ es cerrada para sustituciones recursivas.

Tenemos que ∆01 ⊂ Γ ⊂

∨

nΓ. La ultima inclusion se debe a que si A ∈ Γ,entonces ω × A ∈ Γ (porque Γ es cerrada para antiimagenes triviales), luegoA =

∨

nω ×A ∈ Γ.Sean A,B ∈ Γ(ω ×X). Entonces

∨

nA(n, x) ∨∨

nB(n, x) ↔∨

n (A(n, x) ∨ B(n, x)),

luego∨

nA ∨∨

nB ∈∨

nΓ. Ademas

∨

nA(n, x) ∧∨

nB(n, x) ↔∨

n (A(n20, x) ∧ B(n2

1, x)),

luego∨

nA ∧∨

nB ∈∨

nΓ porque Γ es cerrada para sustituciones recursivas.

∨

u ≤ v∨

nA(u, n, x) ↔∨

n∨

u ≤ v A(u, n, x),

luego, si A ∈ Γ, se cumple que∨

u ≤ v∨

nΓ ∈∨

nΓ.

∧

u ≤ v∨

nA(u, n, x) ↔∨

n∧

u ≤ v A(u, nu, x)

luego, si A ∈ Γ, tambien∧

u ≤ v∨

nA ∈∨

nΓ, pues Γ es cerrado para sustitu-ciones recursivas.

Si f : X −→ Y es recursiva y∨

nA ∈∨

nΓ, entonces I×f : ω×X −→ ω×Yes recursiva y f−1[

∨

nA] =∨

n (I × f)−1[A] ∈∨

nΓ.

7.1. Las clases de Kleene 229

La prueba para∧

nΓ es analoga o, alternativamente, podemos usar que∧

nΓ = ¬∨

n¬Γ y usar la parte ya probada.

∆01 ⊂ Γ ⊂

∨

xΓ, donde usamos nuevamente que Γ es cerrada para sustitucio-nes triviales. La prueba de que

∨

xΓ es cerrada para conjunciones, disyunciones,∨

u ≤ v,∧

u ≤ v y sustituciones recursivas es identica a la que hemos visto para∨

nΓ, salvo que usamos las funciones recursivas x2i , xu en lugar de n2i , nu. Lo

mismo se aplica a∧

xΓ.

b)∨

n∨

mA(n,m, x) ↔∨

nA(n20, n

21, x) ∈

∨

nΓ.

c)∧

n∧

mA(n,m, x) ↔∧

nA(n20, n

21, x) ∈

∧

nΓ.

d)∨

x ∈ N∨

y ∈ NA(z, y, x) ↔∨

x ∈ NA(z, x20, x21) ∈

∨

xΓ.∨

n ∈ ω∨

x ∈ NA(n, z, x) ↔∨

x ∈ NA(x(0), z, x1) ∈∨

xΓ, donde x1 es

la funcion recursiva definida en 6.25 c). Esto prueba que∨

xΓ es cerrado tantopara

∨

x ∈ N como para∨

n ∈ ω, de donde se sigue facilmente que es cerradopara

∨

y ∈ Y .

e) puede probarse analogamente, o bien usando que, si A ∈∧

xΓ,

∧

y ∈ Y A(x, y) ↔ ¬∨

y ∈ Y ¬A(x, y) ∈ ¬∨

x¬Γ =∧

xΓ,

por la parte ya probada.

Como consecuencia:

Teorema 7.3 Sea a ∈ N y sea Y un espacio producto arbitrario.

a) Todas las clases de Kleene (relativizadas) son adecuadas.

b) Σ0n(a) es cerrada para

∨

n.

c) Π0n(a) es cerrada para

∧

n.

d) Σ1n(a), Π

1n(a) son cerradas para

∨

n,∧

n.

e) Σ1n(a) es cerrada para

∨

y ∈ Y .

f) Π1n(a) es cerrada para

∧

y ∈ Y .

Demostracion: Teniendo en cuenta que Σ01(a) es adecuada y cerrada para

∨

n, todas las propiedades son inmediatas a partir del teorema anterior salvo queΣ1n(a) es cerrada para

∧

n (lo cual implica a su vez que Π1n(a) es cerrada para

∨

n). Ahora bien, un conjunto Σ1n(a)(ω×X) es de la forma

∨

x ∈ NA(n, y, a, x),donde A ∈ Π1

n−1 o bien A ∈ Π01, y entonces

∧

n∨

xA(n, y, a, x) ↔∨

x∧

nA(n, y, a, xn) ∈ Σ1n(a).

Ahora podemos probar que las clases de Kleene satisfaces inclusiones analo-gas a las de las clases de Lusin:

230 Capıtulo 7. La teorıa efectiva

Teorema 7.4 Se cumplen las inclusiones siguientes:

⊂∆0

1(a)⊂

Σ01(a)⊂

Π01(a)

⊂

∆02(a)

⊂Σ0

2(a)

⊂

Π02(a)

⊂

∆03(a)

⊂ Σ03(a)

⊂

Π03(a)

⊂∆0

4(a)

⊂ . . .

⊂ . . .

⊂

. . .⊂

∆11(a)

⊂∆1

1(a)⊂

Σ11(a)⊂

Π11(a)

⊂

∆12(a)

⊂Σ1

2(a)

⊂

Π12(a)

⊂

∆13(a)

⊂ Σ13(a)

⊂

Π13(a)

⊂∆1

4(a)

⊂ . . .

⊂ . . .

⊂

. . .⊂

Demostracion: Las inclusiones entre las clases relativizadas se siguen in-mediatamente de las inclusiones de las clases absolutas correspondientes. ComoΠ0

1 es cerrada para antiimagenes triviales, resulta que Π01 ⊂ Σ0

2. Por otra parte,todo A ∈ Σ0

1 (no vacıo) es de la forma A =⋃

n∈ωBy(n), con y ∈ N recursiva, luego

x ∈ A↔∨

n ∈ ω (m = y(n) ∧ x ∈ Bn) ∈∨

n∆01 ⊂

∨

nΠ01 = Σ0

2.

Ası pues, Σ01 ⊂ Σ0

2.

De Σ0n ⊂ Σ0

n+1 se sigue obviamente que Π0n ⊂ Π0

n+1 y de aquı a su vez queΣ0n+1 ⊂ Σ0

n+2.Por la clausura para antiimagenes triviales tenemos que Π0

n ⊂ Σ0n+1, de

donde Σ0n ⊂ Π0

n+1. Esto nos da todo el primer grupo de inclusiones.

Ahora observamos que Π01 ⊂ Σ1

1, luego Σ01 ⊂ Σ0

2 =∨

nΠ01 ⊂

∨

nΣ11 = Σ1

1,luego Π0

1 ⊂ Π11, luego Σ1

1 =∨

xΠ01 ⊂

∨

xΠ11 = Σ1

2. A partir de esta inclusion,todas las demas se demuestran como las precedentes.

El teorema 6.51 prueba que la clase Σ01 esta Y -parametrizada para todo

espacio producto Y . Esto se generaliza a todas las clases de Kleene:

Teorema 7.5 Si una clase Γ esta Y parametrizada para todo espacio productoY , tambien lo estan ¬Γ,

∨

x ∈ X Γ, Γ(a), para todo espacio producto X y todoa ∈ N. En particular, todas las clases de Kleene de tipo Σ y Π (pero no ∆)estan Y -parametrizadas para todo espacio producto Y .

Demostracion: Es facil comprobar que:

a) Si U ⊂ X×Y es Y -universal para Γ(X), entonces ¬U es Y -universal para¬Γ(X).

b) Si U ⊂ Z ×X × Y es Y -universal para Γ(Z ×X), entonces∨

x ∈ X U esY -universal para

∨

x ∈ X Γ(Z).

c) Si U ⊂ X ×A× Y es Y -universal para X ×A, entonces Ua es Y -universalpara Γ(a)(X).

7.1. Las clases de Kleene 231

Como consecuencia:

Teorema 7.6 Todas las inclusiones del teorema 7.4 son estrictas en cualquierespacio producto.

Demostracion: Sea Γ una de las clases Σ0n(a) o Σ1

n(a) y sea U ⊂ X ×Xun conjunto X-universal para Γ(X). Definimos V (x) ↔ (x, x) /∈ U .

Como la funcion f(x) = (x, x) es recursiva y V = f−1[¬U ], tenemos queV ∈ ¬Γ. Si V ∈ Γ existirıa un x ∈ X tal que V = Ux y ası

x ∈ V ↔ (x, x) ∈ U ↔ x /∈ V.

Esta contradiccion muestra que V ∈ ¬Γ \ Γ, luego ¬V ∈ Γ \ ¬Γ. De aquı sesigue inmediatamente el caracter estricto de todas las inclusiones.

Ahora podemos considerar clases Σ0n, Π

0n, ∆

0n, Σ

1n, Π

1n, ∆

1n en dos sentidos

distintos: por una parte tenemos las clases de Lusin que hemos llamado asıy, por otra parte, tenemos las clases definidas en 6.28 para la clase de Kleenecorrespondiente. Vamos a probar que se trata de las mismas clases, para lo cualobservamos primero lo siguiente:

Teorema 7.7 Si Γ es cualquiera de las clases Σ0n, Π

0n, Σ

1n, Π

1n, existe un con-

junto U ∈ Γ(X ×N) que es N-universal para la clase de Lusin Γ(X) correspon-diente.

Demostracion: Tal y como observamos antes del teorema 6.53, el conjuntoU ∈ Σ0

1(X×N) N-universal para Σ01(X) construido en la prueba del teorema 6.51

es de hecho N-universal para la clase de los abiertos Σ01(X). La demostracion

del teorema 7.5 implica entonces que lo mismo vale para todos los pares declases1 considerados.

Ahora ya podemos probar que si Γ es una de las clases Σ0n,Π

0n,Σ

1n,Π

1n, enton-

ces la clase Γ definida en 6.28 es la clase de Lusin correspondiente (restringidaa espacios producto).

Para probarlo representamos momentaneamente por Γl la clase de Lusin.Dado un espacio producto X , tomamos U ∈ Γ(X × N) que sea N-universalpara Γl(X). Entonces, dado A ∈ Γl(X), existe un a ∈ N de manera queA = Ua ∈ Γ(a)(X), luego A ∈ Γ(X), y tenemos una inclusion. Para la opuestaobservamos que, por induccion, Γ ⊂ Γl, y cada elemento de Γ(a) es antiimagencontinua de un elemento de Γ, luego Γ(a) ⊂ Γl para todo a ∈ N, luego Γ ⊂ Γl.

Definicion 7.8 Para cada a ∈ N, llamaremos conjuntos aritmeticos en a a loselementos de

Ar(a) =⋃

n∈ωΣ0n(a) =

⋃

n∈ωΠ0n(a) =

⋃

n∈ω∆0n(a)

1Aquı usamos que Σ0n+1 =

∨

nΠ0n, como es facil comprobar.

232 Capıtulo 7. La teorıa efectiva

Llamaremos conjuntos analıticos2 en a a los elementos de

An(a) =⋃

n∈ωΣ1n(a) =

⋃

n∈ωΠ1n(a) =

⋃

n∈ω∆1n(a).

En la demostracion de 7.4 hemos visto que Π01 ⊂ Σ1

1 ∩ Π11 = ∆1

1, luegoΣ0

1 ⊂ ¬∆11 = ∆1

1 y, como∧

n∆11 =

∨

n∆11 = ∆1

1, concluimos que todo conjuntoaritmetico es ∆1

1, de donde se sigue a su vez que

Ar(a) ⊂ ∆11(a).

Veremos mas adelante que la inclusion opuesta no es cierta.

Ası, aunque en principio Σ11(a) =

∨

xΠ01(a), ahora podemos afirmar que

Σ11(a) =

∨

xAr(a), puesto que Π01(a) ⊂ Ar(a) ⊂ Σ1

1(a), luego

Σ11(a) =

∨

xΠ01(a) ⊂

∨

xAr(a) ⊂∨

xΣ11(a) = Σ1

1(a).

Terminamos la seccion con algunas propiedades de las funciones Σ11-recursi-

vas:

Teorema 7.9 Sea f : X −→ Y y a ∈ N. Las afirmaciones siguientes sonequivalentes:

a) f es ∆11(a)-recursiva.

b) f es Σ11(a)-recursiva.

c) La grafica G(f) ⊂ X × Y es Σ11(a).

d) La grafica G(f) ⊂ X × Y es ∆11(a).

Demostracion: a) → b) es trivial.

b) → c) f(x) = y ↔∧

n(y ∈ Bn → f(x) ∈ Bn) y el ultimo conjunto esta en

∧

n(Σ01 → Σ1

1(a)) ⊂ Σ11(a).

c) → d) f(x) 6= y ↔∨

z(f(x) = z ∧ z 6= y) y el ultimo conjunto esta en

∨

z(Σ11(a) ∧ ∆0

1) ⊂ Σ11(a),

luego G(f) es ∆11(a).

d) → a) f(x) ∈ Bn ↔∨

y(f(x) = y ∧ y ∈ Bn) ∈∨

y(Σ11(a) ∧ Σ0

1) ⊂ Σ11(a).

f(x) ∈ Bn ↔∧

y(f(x) 6= y ∨ y ∈ Bn) ∈∧

y(Π11(a) ∨ Σ0

1) ∈ Π11(a).

Por consiguiente, Gf ∈ ∆11(a).

2Este concepto de conjunto analıtico no tiene ninguna relacion con el concepto de conjuntoanalıtico en el sentido de Σ

11. Por el contrario, los conjuntos analıticos en este sentido son el

analogo efectivo de los conjuntos proyectivos.

7.2. Caracterizacion aritmetica 233

Teorema 7.10 Las clases Σ1n(a), Π

1n(a), ∆

1n(a) son cerradas para sustituciones

Σ11(a)-recursivas.

Demostracion: Si f : X −→ Y es Σ11(a)-recursiva y P ∈ Σ1

n(a)(Y ),entonces

x ∈ f−1[P ] ↔ f(x) ∈ P ↔∨

y(f(x) = y ∧ P (y)) ∈∨

y(Σ11(a) ∧ Σ1

n(a)),

luego f−1[P ] es Σ1n(a).

Si P ∈ Π1n(a), entonces

x ∈ f−1[P ] ↔ f(x) ∈ P ↔∧

y(f(x) 6= y ∨ P (y)) ∈∧

y(Π11(a) ∨ Π1

n(a)),

luego f−1[P ] es Π1n(a).

7.2 Caracterizacion aritmetica

Sabemos que los subconjuntos recursivos de ωr son los definibles medianteformulas aritmeticas ∆1, es decir, equivalentes tanto a una formula Σ1 como auna formula Π1. En esta seccion extenderemos este resultado a los subconjuntosrecursivos de espacios productoXrs, lo que nos dara, de hecho, caracterizacionessimilares para todas las clases de la jerarquıa de Kleene. Para ello necesitamosextender el lenguaje de la aritmetica de Peano a un lenguaje de segundo ordenque no solo permita hablar de elementos de ω, sino tambien de elementos de N.os de N.

Definicion 7.11 Llamaremos formalismo de la aritmetica de segundo orden allenguaje formal L2

a que consta de los signos siguientes:

• Variables de primer orden: m, n, . . .

• Variables de segundo orden: x, y, . . .

• Tres funtores diadicos: +, ·, e

• Constantes: 0, 1, 2, 3, . . .

• Signos logicos: ¬,→,∧

,=

La naturaleza conjuntista de estos signos es irrelevante, pero es util tomar-los tan simples como sea posible. Concretamente, conviene suponer que todosellos son numeros naturales. Por ejemplo, podemos considerar que las varia-bles de primer orden son los numeros 2, 22, 23, 24, . . ., que las variables de se-gundo orden son los numeros 3, 32, 33, 34, . . . , que las constantes son los numeros5, 52, 53, 54, . . . , que los funtores son los numeros 7, 72 y 73 y que los signoslogicos son los numeros 11, 112, 113, 114.

234 Capıtulo 7. La teorıa efectiva

Ası, por ejemplo, cuando hablamos de la constante 1 de La, nos referimosal numero natural 25.

Si llamamos Sig(L2a) ⊂ ω al conjunto de los signos de L

2a, definimos por re-

currencia el conjunto Term(L2a) ⊂ ω<ω de terminos de La como el determinado

por las reglas siguientes:

a) Si v es una variable de primer orden o una constante, entonces v (lasucesion de longitud 1 formada por v, que normalmente representaremossimplemente como v) es un termino.

b) Si t1 y t2 son terminos, tambien lo son +t1t2 y ·t1

t2, y represen-taremos a estas sucesiones en la forma t1 + t2, t1 · t2, respectivamente.

c) Si x es una variable de segundo orden y t es un termino, entonces extes un termino, que representaremos por x(t).

Mas precisamente, definimos T0 como el conjunto de sucesiones de longitud 1que cumplen a) y, supuesto definido Tn, definimos Tn+1 como la union de Tn yel conjunto de las sucesiones que pueden obtenerse a partir de Tn aplicando lasreglas b) y c). Ası Term(L2

a) se define como la union de los conjuntos Tn.

Las formulas atomicas de L2a son las sucesiones de la forma = t1

t2, dondet1, t2 ∈ Term(L2

a), y las representaremos en la forma t1 = t2.

El conjunto Form(L2a) ⊂ ω<ω de formulas de L2

a es el determinado por lasreglas siguientes:

a) Las formulas atomicas son formulas de L2a.

b) Si α y β son formulas de L2a, entonces ¬

α y → αβ son formulas deLa, que representaremos por ¬α y α → β, respectivamente.

c) Si α es una formula de L2a y x es una variable, entonces

∧xα es una

formula de L2a que representaremos por

∧

xα

Cuando haya riesgo de confundir una formula metamatematica con el nombrede una formula de L2

a usaremos angulos de Quine para representar a estasultimas (por ejemplo, podemos escribir p2 + 2 = 4q ∈ Form(L2

a) o p2 + 2q 6= p4q,y ambas afirmaciones son ciertas).

Usaremos los convenios logicos usuales. Por ejemplo, pα ∨ βq = p¬α → βq,p∨xαq = p¬

∧

x¬αq, etc.

Una valoracion en La es una aplicacion s que a cada variable de primerorden de L

2a le asigna un elemento de ω, y a cada variable de segundo orden de

L2a le asigna un elemento de N.

Si s es una valoracion de L2a, definimos s : Term(L2

a) −→ ω como la unicaaplicacion que cumple:

a) Si v es una variable de primer orden, s(v) = s(v).

7.2. Caracterizacion aritmetica 235

b) Si c = 5n es una constante, entonces s(c) = n− 1 (es decir, s(p7q) = 7.

c) s((t1 + t2)) = s(t1) + s(t2), s((t1 · t2)) = s(t1) · s(t2), s((tt21 )) = s(t1)

s(t2).

d) s(x(t)) = s(x)(s(t)).

A su vez, definimos s : Form(L2a) −→ 0, 1 como la unica aplicacion que

cumple las reglas siguientes, donde convenimos en escribir α[s] en lugar des(α) = 1, para cada α ∈ Form(L2

a):

a) (t1 = t2)[s] ↔ s(t1) = s(t2).

b) ¬α[s] ↔ ¬ α[s].

c) (α → β)[s] ↔ ¬ α[s] ∨ β[s].

d) ∧

nα[s] ↔∧

m ∈ ω α[smn ], donde smn es la valoracion que coincide cons salvo que sm(n) = m.

e) ∧

xα[s] ↔∧

y ∈ N α[syx].

Notemos que, como en las dos ultimas propiedades se cambia de valoracion,en realidad hemos de definir, por recurrencia sobre la longitud de las formulas,una aplicacion

φ : Form(L2a) −→ 2Val(L

2a),

donde Val(L2a) es el conjunto de las valoraciones en L2

a. Una vez definida φ,definimos s(α) = φ(α)(s).

De este modo, “ α[s]” es una formula metamatematica con dos variableslibres.

Se define del modo habitual lo que son variables libres y ligadas en unaformula, y un argumento estandar demuestra que s(t) y α[s] solo dependendel valor que toma s sobre las variables libres en t o en α. Por ello, si α tiene susvariables libres entre n1, . . . , nr, x1, . . . , xs, si n1, . . . , nr ∈ ω y x1, . . . , xs ∈ N,escribiremos

α[n1, . . . , nr, x1, . . . , xs]

para referirnos a α[s], donde s es cualquier valoracion que cumpla s(ni) = ni,s(xi) = xi. Cuando no haya posibilidad de confusion, no distinguiremos entrevariables y los objetos con los que queremos valorarlas.

Diremos que dos formulas α(n1, . . . , nr, x1, . . . , xs) y β(n1, . . . , nr, x1, . . . , xs)son (semanticamente) equivalentes si

α[n1, . . . , nr, x1, . . . , xs] ↔ β[n1, . . . , nr, x1, . . . , xs],

para todos los n1, . . . , nr ∈ ω y x1, . . . , xs ∈ N.

A las formulas de L2a las llamaremos tambien formulas aritmeticas de se-

gundo orden, mientras que las formulas aritmeticas de primer orden seran las

236 Capıtulo 7. La teorıa efectiva

formulas de L2a que no contienen cuantificadores de segundo orden (con lo que

todas las variables de segundo orden son libres).

Definimos la formula (t1 ≤ t2) =∨

n(t1 + n = t2), de modo que

(t1 ≤ t2)[s] ↔ s(t1) ≤ s(t2).

Escribiremos∧

n ≤ mα y∨

n ≤ mα para representar las formulas

∧

n(n ≤ m→ α) y∨

n(n ≤ m ∧ α).

Llamaremos formulas ∆00 de L2

a a aquellas que solo incluyan cuantificadoresde la forma

∧

m ≤ n o, mas en general, a las que sean (semanticamente) equiva-lentes a formulas que cumplan esto, lo cual nos permite incluir cuantificadoresde la forma

∨

m ≤ n.

Llamaremos formulas Σ0n (resp. Π0

n) a las de la forma∨

m1

∧

m2 · · ·mn α(resp.

∧

m1

∨

m2 · · ·mn α), con n cuantificadores alternados, donde α es unaformula ∆0

0. Mas en general, llamaremos tambien formulas Σ0n o Π0

n a las quesean equivalentes a formulas de este tipo. Las formulas que sean equivalentestanto a una formula Σ0

n como a una formula Π0n las llamaremos formulas ∆0

n.

Es facil ver que los teoremas [L 5.18] y [L 5.23] valen igualmente para lajerarquıa de formulas que acabamos de definir.3 Esto implica que toda formulaaritmetica es de tipo Σ0

n o Π0n para algun n suficientemente grande.

Un conjunto A ⊂ Xrs es ∆0 si esta definido por una formula α de tipo ∆00,

es decir, si es de la forma

A = (n1, . . . , nr, x1, . . . , xs) ∈ Xrs | α[n1, . . . , nr, x1, . . . , xs].

Teorema 7.12 Todo conjunto ∆0 es recursivo, es decir, ∆0 ⊂ ∆01.

Demostracion: Observamos en primer lugar que si t(n1, . . . , nr, x1, . . . , xs)es un termino aritmetico cuyas variables libres esten entre las indicadas, lafuncion f : Xrs −→ ω dada por

f(n1, . . . , nr, x1, . . . , xs) = s(t),

donde s es cualquier valoracion que asigne a las variables de t los argumentosde f , es recursiva. Se razona por induccion sobre la longitud de t. Si t es unavariable (de primer orden) entonces f es una proyeccion, si t es una constanteentonces f es constante, si t = t1+t2 entonces las funciones f1 y f2 definidas port1 y t2 son recursivas por hipotesis de induccion, y f se obtiene componiendoestas dos con la funcion suma, luego tambien es recursiva. El caso en que t = t1t2

3Los argumentos son exactamente los mismos, aunque tecnicamente son mas sencillos, yaque estamos considerando equivalencias semanticas entre formulas, en lugar de equivalenciassintacticas en ciertas teorıas aritmeticas. Ası, por ejemplo, la version semantica de [L 5.22] estrivialmente cierta. El hecho de que las formulas ∆0

0 puedan contener terminos de segundoorden no afecta en nada a las pruebas.

7.2. Caracterizacion aritmetica 237

es analogo y si t = xi(t′), entonces la funcion f ′ definida por t′ es recursiva por

hipotesis de induccion, y tambien lo es la funcion (x, n) 7→ x(n) (por 6.25). Lafuncion f se obtiene claramente por composicion de esta y de f ′, luego tambienes recursiva.

De aquı se sigue el enunciado para formulas de tipo t1 = t2, ya que lasfunciones fi definidas por los dos terminos son recursivas, segun acabamos deprobar, y

A = z ∈ Xrs | f1(z) = f2(z) = z ∈ Xrs |∨

n ∈ ω((z, n) ∈ Gf1 ∩Gf2)

= z ∈ Xrs |∧

n ∈ ω((z, n) ∈ Gf1 ∩Gf2)

es ∆01, es decir, recursivo. Si la formula es de tipo ¬α basta usar que los com-

plementarios de los conjuntos recursivos son recursivos, y si es una implicacionα → β y llamamos Aα y Aβ a los conjuntos definidos por α y β respectivamente,entonces el definido por la implicacion es (Xrs \Aα) ∪ Aβ .

Por ultimo, si la formula es de tipo∧

n ≤ ni α(n, n1, . . . , nr, x1, . . . , xs), porhipotesis de induccion el conjunto Aα definido por α es recursivo, al igual que

B = (n, z) ∈ Xr+1,s |∧

m ≤ n (m, z) ∈ Aα,

y tambien

A = (n1, . . . , nr, x1, . . . , xs) ∈ Xrs | (ni, n1, . . . , nr, x1, . . . , xs) ∈ B,

por ejemplo porque su funcion caracterıstica χAse obtiene de χ

Bcomponiendo

con proyecciones.

Teorema 7.13 Para cada a ∈ N, los conjuntos Σ0n(a), Π

0n(a) o ∆0

n(a) son losde la forma

A = (n1, . . . , nr, x1, . . . , xs) ∈ Xrs | α[n1, . . . , nr, x1, . . . , xs, a],

donde α es una formula de tipo Σ0n, Π

0n o ∆0

n, respectivamente.

Demostracion: Basta probarlo para los conjuntos Σ01, pues el caso gene-

ral se sigue inmediatamente por induccion sobre n y la extension a las clasesrelativizadas es trivial.

Por el teorema anterior A ∈∨

m∆0 ⊂∨

mΣ01 = Σ0

1. Recıprocamente, siA ⊂ Xrs es un conjunto Σ0

1, por el teorema 6.11 existe un conjunto B ⊂ ωr+s+1

recursivo tal que

A(n1, . . . , nr, x1, . . . , xs) ↔∨

m (m,n1, . . . , nr, x1(m), . . . , xs(m)) ∈ B

↔∨

mm1 · · ·ms(m1 = x1(m) ∧ · · · ∧ ms = xs(m)

∧ (m,n1, . . . , nr,m1, . . . ,ms) ∈ B).

238 Capıtulo 7. La teorıa efectiva

Ahora observamos que

mi = xi(m) ↔ ℓ(mi) = m ∧∧

j < m∨

k((mi)j = k ∧ xi(j) = k).

Por consiguiente:

A(n1, . . . , nr, x1, . . . , xs) ↔∨

mm1 · · ·ms(ℓ(m1) = m ∧ · · · ∧ ℓ(ms) = m ∧

∧

j < m∨

k1 · · · ks((m1)j = k1 ∧ · · · ∧ (ms)j = ks ∧

x1(j) = k1 ∧ · · · ∧ xs(j) = ks) ∧ (m,n1, . . . , nr,m1, . . . ,ms) ∈ B).

Sabemos que las relaciones ℓ(mi) = m y (mi)j = k son recursivas, al igualque la pertenencia a B, luego en particular equivalen a formulas aritmeticas detipo Σ0

1, digamos α, β y γ, respectivamente. Ası pues, tenemos que

A(n1, . . . , nr, x1, . . . , xs) ↔ ∨

mm1 · · ·ms(α(m1,m) ∧ · · · ∧ α(ms,m)

∧

j < m∨

k1 · · · ks(β(m1, j, k1) ∧ · · · ∧ β(ms, j, ks) ∧

x1(j) = k1 ∧ · · · ∧ xs(j) = ks) ∧ γ(m,n1, . . . , nr,m1, . . . ,ms)).

Por las versiones para formulas de segundo orden de los teoremas [L 5.18] y[L 5.23], concluimos que toda la formula anterior es Σ0

1.

Como consecuencia inmediata, los subconjuntos aritmeticos de un espacioproducto Xrs son los definibles mediante formulas aritmeticas de primer orden.

Si llamamos ∆10 a las formulas aritmeticas de primer orden, a partir de

ellas podemos definir una jerarquıa de formulas Σ1n y Π1

n como las de la forma∨

x1∧

x2 · · ·xn α (resp.∧

x1∨

x2 · · ·xn α), donde α es ∆10, (o las equivalentes a

ellas). Las formulas equivalentes tanto a una formula Σ1n como a una formula

Π1n se llaman formulas ∆1

n. El teorema siguiente es trivial:

Teorema 7.14 Para todo a ∈ N, los conjuntos Σ1n(a), Π

1n(a) o ∆1

n(a) son losde la forma

A = (n1, . . . , nr, x1, . . . , xs) ∈ Xrs | α[n1, . . . , nr, x1, . . . , xs, a],

donde α es una formula de tipo Σ1n, Π

1n o ∆1

n, respectivamente.

En particular, los subconjuntos analıticos de un espacio producto Xrs sonlos definibles mediante formulas aritmeticas de segundo orden.

Ahora podemos dar un ejemplo interesante:

Teorema 7.15 El conjunto de las sentencias aritmeticas de primer orden (iden-tificadas con numeros naturales) que son verdaderas en su interpretacion naturales ∆1

1, pero no aritmetico.

7.2. Caracterizacion aritmetica 239

Demostracion: Llamamos La al lenguaje de la aritmetica de primer orden(es decir, L2

a sin las variables de segundo orden). Sea σ la valoracion de La queinterpreta la variable de primer orden xi = 2i+1 como el numero i y sea A elconjunto de todos los v ∈ N tales que si t ∈ ω es un termino de La, entoncesz(t) = σ(t) y si α ∈ ω es una formula de La, entonces z(α) = 1 si α[σ] y 0en caso contrario. Vamos a ver que A es un conjunto aritmetico. En efecto, esclaro que

z ∈ A↔∧

n(· · ·),

donde los puntos suspensivos son la conjuncion de las formulas siguientes:

a)∧

i(n = 2i+1 ∨ n = 5i+1 → z(n) = i),

b)∧

uv(u ∈ Term(L1a) ∧ v ∈ Term(L1

a) → · · ·), donde los puntos suspensivosson la conjuncion de las formulas siguientes:

1. n = 7 u v → z(n) = z(u) + z(v),

2. n = 72 u v → z(n) = z(u)z(v),

3. n = 114 u v → (z(u) = z(v) → z(n) = 1) ∧

(z(u) 6= z(v) → z(n) = 0),

c)∧

uv(u ∈ Form(L1a) ∧ v ∈ Form(L1

a) → · · ·), donde los puntos suspensivosson la conjuncion de las formulas siguientes:

1. n = 11 u→ z(n) = 1− z(u),

2. n = 112 u v → z(n) = 1− z(u)(1− z(v)),

3.∨

i(n = 113 2i+1 u→ ((∧

jw(w = Sjiu→ z(w) = 1) → z(n) = 1)

∧ (∨

jw(w = Sjiu ∧ z(w) = 0) → z(n) = 0))),

donde Sjiu representa la sustitucion de la variable xi = 2i+1 por xj = 2j+1 en laformula u. Todas las relaciones consideradas son recursivas, luego aritmeticas(vease la seccion 8.1 de [L]). Por lo tanto, A es un conjunto aritmetico, al igualque el conjunto S de las sentencias de L

1a. Si llamamos V al conjunto de las

sentencias verdaderas, tenemos que

n ∈ V ↔∨

z(z ∈ A ∧ n ∈ S ∧ z(n) = 1) ↔∧

z(z ∈ A→ n ∈ S ∧ z(n) = 1),

con lo que V es tanto Σ11 como Π1

1, es decir, es ∆11. Si fuera aritmetico, existirıa

una formula aritmetica T (α) tal que

α ∈ V ↔ T [α],

pero esto es imposible por el teorema de Tarski de indefinibilidad de la verdad.Veamos el argumento adaptado a este contexto:

La funcion β = Scjiα que a cada α ∈ Form(La) le asigna la formula β que

resulta de sustituir la variable 2i+1 en α por la constante 5j+1 es recursiva, luegoexiste una formula aritmetica σ(α, β, i, j) tal que

β = Scjiα↔ σ[α, β, i, j].

240 Capıtulo 7. La teorıa efectiva

Consideremos entonces la formula aritmetica

γ(α) ≡∨

β(σ(α, β, p1q, α) ∧ ¬T (β)),

donde β es una variable de La distinta de α = 2 y p1q representa la constante51+1 de La. Ası γ es una formula aritmetica, y en particular un numero natural.Consideramos finalmente la sentencia aritmetica

ψ = γ(pγq) = Scγ1γ =

∨

β(σ(pγq, β, p1q, pγq) ∧ ¬T (β)).

Se cumple entonces σ[γ, ψ, 1, γ]. Por consiguiente, ψ es equivalente a queexiste un β tal que σ[γ, β, 1, γ] y β /∈ V y, como la primera condicion equivalea que β = Sc

γ1γ = ψ, concluimos que

ψ ↔ ψ /∈ V ↔ ¬ ψ,

y tenemos una contradiccion (suponiendo que V es aritmetico hemos construidouna sentencia aritmetica que equivale a su propia falsedad).

Terminamos con un ejemplo de un subconjunto Σ11 de N que no es de Borel

y que admite una definicion muy sencilla:

Teorema 7.16 Sea E ⊂ N el conjunto formado por los x ∈ N tales que existea ⊂ ω infinito de modo que todos los elementos de x[a] se dividen unos a otros.Entonces E es un conjunto Σ1

1 que no es de Borel.

Demostracion: Podemos enumerar el conjunto a con un y ∈ N tal que∧

mn ∈ ω(m < n → y(m) ≤ y(n)), y entonces tenemos que cada y(m) divide ay(m+ 1). Equivalentemente,

x ∈ E ↔∨

y ∈ N(∧

n ∈ ω∨

k ∈ ω x(y(n+ 1)) = k · x(y(n)) ∧

∧

nk ∈ ω(y(k) = y(n) → k = n)),

la formula tras el cuantificador∨

y ∈ N define un conjunto aritmetico, luego Ees Σ1

1. La parte delicada de la prueba consiste en ver que E no es un conjuntode Borel. Para ello fijamos un conjunto Q ⊂ N que sea analıtico, pero no deBorel. Por 5.7 podemos expresarlo como

Q =⋃

y∈N

⋂

n∈ωA(y|n),

donde A es un esquema de Suslin cerrado tal que si s ⊂ t, entonces A(t) ⊂ A(s).Para cada x ∈ N definimos C(x) = s ∈ <ωω | x ∈ A(s). Un camino en unconjunto X ⊂ <ωω es una sucesion snn∈ω en X tal que

∧

k ∈ ω sk sk+1.

Observemos que x ∈ Q si y solo si C(x) tiene un camino. En efecto, si x ∈ Qexiste un y ∈ N tal que x ∈

⋂

n∈ωA(y|n), y entonces y|nn∈ω es un camino

en C(x). Recıprocamente, un camino en C(x) es de la forma y|mkk∈ω, para

cierta sucesion mkk∈ω estrictamente creciente, de modo que x ∈ A(y|mk) para

7.2. Caracterizacion aritmetica 241

todo k, pero como el esquema es decreciente, de hecho y ∈ A(y|n) para todo n,luego x ∈ Q.

Consideremos ahora una descomposicion del conjunto de todos los numerosprimos en una sucesion doble pk,mk,m∈ω y otra simple pnn∈ω, de modo quecada primo aparezca solo una vez en solo una de ellas. Para cada sucesion finitas = (s0, . . . , sr−1) ∈ <ωω llamamos p(s) = p0s0 · · · pr−1,sr−1 , entendiendo quep∅ = 1. Ası, es claro que si s, t ∈ <ωω, se cumple s t si y solo si p(s) divideestrictamente a p(t).

Veamos ahora que si X ⊂ <ωω, U = p(s) | s ∈ X y definimos x ∈ N

mediante

x(n) =

n si n ∈ U ,pn si n /∈ U ,

entonces x ∈ E si y solo si X tiene un camino.

En efecto, si X tiene un camino snn∈ω, consideramos el y ∈ N dado pory(n) = p(sn) ∈ U , con lo que x(y(n)) = y(n) y ası x(y(n)) | x(y(n + 1)), luegox ∈ E. Recıprocamente, si x ∈ E, existe y : ω −→ ω inyectiva tal que x(y(n))divide a x(y(n+1)). Como x tambien es inyectiva, la division es necesariamenteestricta. Como los pn son primos y no se dividen unos a otros, necesariamentey(n) ∈ U , luego existe un sn ∈ X tal que y(n) = p(sn), y ademas sn sn+1,luego snn∈ω es un camino en X .

Ahora definimos F : N −→ N como sigue: dado x ∈ N, hacemos

F (x)(n) =

n si n ∈ p(s) | s ∈ C(x),pn en caso contrario.

Ası, F (x) es el elemento de N que hemos asociado al conjunto C(x), y loque hemos probado es que F (x) ∈ E si y solo si C(x) tiene un camino, lo cuala su vez equivale a que x ∈ Q, luego en definitiva Q = F−1[E].

Basta probar que F es medible Borel, pues entonces E no puede ser unconjunto de Borel, ya que ello implicarıa que Q tambien lo es. Por 5.12 bastaver que la grafica G(F ) ⊂ N × N es de Borel. Ahora bien, podemos expresarG(F ) =

⋂

n∈ωUn, donde, si n = p(s) para cierto s ∈ <ωω, entonces

Un = (x, y) ∈ N ×N | (x ∈ A(s) → y(n) = n) ∧ (x /∈ A(s) → y(n) = pn),

y si n o es de la forma p(s), entonces

Un = (x, y) ∈ N ×N | y(n) = pn.

Teniendo en cuenta que A(s) es cerrado, es facil ver que todos los conjuntos Unson de Borel.

242 Capıtulo 7. La teorıa efectiva

7.3 Conjuntos Π11(a) y Σ1

2(a)

Presentamos ahora varias representaciones de los conjuntos de los primerosniveles de la jerarquıa efectiva de segundo orden que mas adelante nos permitiranextraer algunas consecuencias sobre ellos.

Codigos de buenos ordenes En primer lugar introducimos un conjuntoque, sin ser el mismo, representara un papel equivalente al conjunto BO quedefinimos en 5.25.

Definicion 7.17 Para cada x ∈ N, definimos la relacion ≤x⊂ ω × ω mediante

m ≤x n↔ x(〈m,n〉) = 0.

Definimos m <x n ↔ m ≤x n ∧ m 6= n. En general, si R ⊂ X × X es unarelacion en un conjunto X , su campo es el conjunto

CR = x ∈ X |∨

y ∈ X(xR y ∨ y R x).

Llamaremos Cx ⊂ ω al campo de ≤x. Definimos

OT = x ∈ N | (Cx,≤x) esta totalmente ordenado

Claramente es un conjunto aritmetico, pues

x ∈ OT ↔∧

mn(x(〈m,n〉) = 0 → x(〈n,m〉) = 0) ∧

∧

mnr(x(〈m,n〉) = 0 ∧ x(〈n, r〉) = 0 → x(〈m, r〉) = 0) ∧∧

mn((∨

r x(〈m, r〉) = 0 ∧∨

r x(〈n, r〉) = 0) → x(〈m,n〉) = 0 ∨ x(〈n,m〉) = 0)

y es claro que esta relacion es aritmetica. (Aquı hemos usado que una relacionsimetrica y transitiva en su campo es tambien reflexiva en su campo.)

Similarmente, definimos

BO = x ∈ N | (Cx,≤x) esta bien ordenado.

Para cada x ∈ BO existe un unico ordinal ‖x‖ < ω1 y una unica semejanzaf : (Cx,≤x) −→ ‖x‖.

Teorema 7.18 El conjunto BO es Π11 y la aplicacion ‖ ‖ : BO −→ ω1 es una

norma en Π11.

Demostracion: En primer lugar:

x ∈ BO ↔ x ∈ OT ∧ ¬∨

z ∈ N∧

n ∈ ω(z(n+ 1) <x z(n)) ↔

x ∈ OT ∧∧

z ∈ N∨

n ∈ ω(u = z(n+ 1) ∧ v = z(n) ∧ u 6= v ∧ x(〈u, v〉) = 0)).

Claramente, la relacion tras∧

z ∈ N es aritmetica, luego la relacion completaes Π1

1.

7.3. Conjuntos Π11(a) y Σ1

2(a) 243

Definimos ahora

x ≤Σ11y ↔ x ∈ OT ∧

∨

z ∈ N∧

mn ∈ ω(m <x n→ z(m) <y z(n)).

Claramente se trata de una relacion Σ11 en N×N y, si x ∈ N, y ∈ BO, se cumple

que

x ≤Σ11y ↔ x ∈ BO ∧ ‖x‖ ≤ ‖y‖.

Por otra parte, definimos

x ≤Π11y ↔ x, y ∈ BO ∧ ¬

∨

z ∈ N∨

k ∈ ω(k ≤x k ∧

∧

mn ∈ ω(m <y n→ z(m) <x z(n) <x k)),

y es claro que se trata de una relacion Π11 y

x ≤Π11y ↔ x, y ∈ BO ∧ ‖x‖ ≤ ‖y‖.

(Concretamente, ≤Π11afirma que (Cy ,≤y) no es semejante a ningun segmento

inicial de (Cx,≤x).) Esto prueba que ‖ ‖ es una norma en Π11 definida sobre

BO.

Como consecuencia inmediata:

Teorema 7.19 Para cada α < ω1, los conjuntos

BOα = x ∈ BO | ‖x‖ ≤ α, x ∈ BO | ‖x‖ < α, x ∈ BO | ‖x‖ = α

son ∆11.

Demostracion: Podemos tomar a ∈ BO tal que ‖a‖ = α. Entonces,

x ∈ BOα ↔ x ≤Σ11a↔ x ≤Π1

1a.

Ası pues, BOα es la antiimagen por la aplicacion continua x 7→ (x, a) tantode ≤Σ1

1como de ≤Π1

1, luego es4 ∆1

1. Trivialmente,

x ∈ BO | ‖x‖ < α =⋃

β<α

BOβ

y el tercer conjunto del enunciado es la diferencia de los dos anteriores.

Ahora necesitamos el concepto siguiente:

Definicion 7.20 El orden de Brouwer-Kleene en ω<ω es el orden total dadopor s t si y solo si t ⊂ s o s(n) < t(n), donde n es el mınimo numero naturaltal que s(n) 6= t(n). Es facil ver que se trata ciertamente de una relacion deorden.

4Notemos que la aplicacion es, de hecho, aritmetica en a, luego BOα es ∆11(a).

244 Capıtulo 7. La teorıa efectiva

Teorema 7.21 Sea R un subarbol de ω<ω, sea ≤ la relacion inversa a la in-clusion y el orden de Brouwer-Kleene. Entonces (R,≤) esta bien fundado siy solo si (R,) esta bien ordenado.

Demostracion: Un orden total es un buen orden si y solo si esta bien fun-dado, luego en realidad solo hay que probar que una relacion de orden esta bienfundada en R si y solo si lo esta la otra. A su vez, la buena fundacion equivalea que no existan sucesiones estrictamente decrecientes. Como extiende a ≤,una implicacion es evidente.

Si ≺ no esta bien fundado sobre R, existe una sucesion sii∈ω en R talque si+1 ≺ si. Si existe una subsucesion en la que cada termino extiende alanterior, esta prueba que ≤ no esta bien fundado. En caso contrario, existe unasubsucesion en la que ningun termino extiende al anterior y, quedandonos conella, podemos suponer que si 6⊂ si+1 para todo i. Sea ni el menor natural tal quesi(ni) > si+1(ni). No puede haber infinitos ni iguales entre sı, luego, tomandouna subsucesion, podemos suponer que la sucesion nii∈ω es estrictamentecreciente. De este modo, la sucesion si|ni

⊂ si+1|ni⊂ si+1|ni+1 prueba que

(R,≤) no esta bien fundado.

Teorema 7.22 Si X es un espacio producto y a ∈ N, un conjunto A ⊂ Xes Π1

1(a) si y solo si existe una funcion f : X −→ N recursiva en a tal que∧

x ∈ X f(x) ∈ OT yA(x) ↔ f(x) ∈ BO.

Demostracion: Como Π11(a) tiene la propiedad de sustitucion (por el teo-

rema 6.47) y BO es Π11, la existencia de f implica que A es Π1

1(a). Recıproca-mente, si A es Π1

1(a), sea A′ un conjunto Π1

1 tal que A(x) ↔ A′(x, a). Existeun conjunto A′′ semirrecursivo tal que

A(x) ↔∧

y ∈ N A′′(x, y, a).

Por el teorema 6.14 existe B ⊂ X ×N × ω2 recursivo tal que

A(x) ↔∧

y ∈ N∨

m ∈ ω B(x, a, y(m),m).

Para cada x ∈ X , sea

T (x, a) = n ∈ ω | ¬B(x, a, n, ℓ(n)).

Claramente T (x, a) codifica un arbol en ω (es decir, las sucesiones de ω<ω cuyoscodigos estan en T (x, a) forman un arbol) y

A(x) ↔∧

y ∈ N∨

m ∈ ω y(m) /∈ T (x, a) ↔ T (x, a) esta bien fundado.

Consideramos ahora la codificacion del orden de Brouwer-Kleene restringidoa T (x, a), es decir,

mRx,a n↔ m,n ∈ T (x, a) ∧ (n ⊂ m ∨∨

i < ℓ(m)(i < ℓ(n) ∧∧

j < i mj = nj ∧ mi < ni)).

7.3. Conjuntos Π11(a) y Σ1

2(a) 245

Teniendo en cuenta que m ∈ T (x, a) equivale a ¬B(x, a,m, ℓ(m)), es claroque la relacion R es recursiva (como subconjunto de ω2 ×X×N). Por lo tanto,la funcion

f(x)(n) =

1 si n20Rx,a n

21,

0 en caso contrario

es recursiva en a, y f(x) ∈ OT, puesto que codifica el orden de Brouwer-Kleenerestringido a T (x). Ademas

A(x) ↔ (T (x),≤f(x)) esta bien ordenado ↔ f(x) ∈ BO.

El teorema anterior implica obviamente que los conjuntos Π11 de un espacio

producto X son precisamente las antiimagenes de BO por aplicaciones continuasf : X −→ N.

De aquı se sigue que BO no es Σ11, por el mismo argumento elemental em-

pleado en el teorema 5.30. Tambien tenemos una prueba alternativa del teo-rema 5.23: todo subconjunto Π1

1 de Ns es union de ℵ1 conjuntos de Borel

(antiimagenes continuas de los conjuntos BOα) y, como todos los espacios pola-cos no numerables son Borel-isomorfos (y el resultado es trivial para los espaciosnumerables), podemos concluir que el teorema es cierto para espacios polacosarbitrarios.

Veamos ahora una version de los resultados anteriores con codigos en ω enlugar de en N:

Definicion 7.23 Para cada a ∈ N, llamamos

BOa = e ∈ ω | eω,ωΣ0

1(a)∈ BO.

Teorema 7.24 Si a ∈ N, el conjunto BOa es Π11(a).

Demostracion: Recordemos que eω,ωΣ0

1(a)(n) = Uω,ω

Σ01(a)

(e, n), de modo que

eω,ωΣ0

1(a)(n)↓↔

∨

m ∈ ω∧

u ∈ ω(m = u↔ Gω×ωΣ0

1(a)(e, u, n)),

luego eω,ωΣ0

1(a)∈ N ↔

∧

n ∈ ω∨

m ∈ ω∧

u ∈ ω(m = u ↔ Gω×ωΣ0

1(a)(e, u, n)), luego

el conjuntoe ∈ ω | eω,ω

Σ01(a)

∈ N

es ∆11(a). Ahora observamos que

e ∈ BOa ↔ eω,ωΣ0

1(a)∈ N ∧

∧

x ∈ N ((∧

n ∈ ω x(n) = eω,ωΣ0

1(a)(n)) → x ∈ BO)

↔ eω,ωΣ0

1(a)∈ N ∧

∧

x ∈ N (∧

n ∈ ω Gω×ωΣ0

1(a)(e, x(n), n) → x ∈ BO)

y, como sabemos que BO es Π11, concluimos que BOa es Π1

1(a).

Teorema 7.25 Si a ∈ N y A ⊂ ωr es Π11(a), entonces existe una aplicacion

f : ωr −→ ω recursiva tal que A = f−1[BOa].

246 Capıtulo 7. La teorıa efectiva

Demostracion: Sea g : ωr −→ N recursiva en a segun el teorema 7.22 ysea e0 ∈ ω tal que

e0ωr×ω,ωΣ0

1(a)(e, i) = g(e)(i).

Sea f : ωr −→ ω la funcion recursiva dada por f(e) = Sωr,ω,ω

Σ01(a)

(e0, e). Ası

f(e)ω,ωΣ0

1(a)(i) = e0

ωr×ω,ωΣ0

1(a)(e, i) = g(e)(i),

es decir, f(e)ω,ωΣ0

1(a)= g(e). Ası,

A(n) ↔ g(n) ∈ BO ↔ f(e)ω,ωΣ0

1(a)∈ BO ↔ f(e) ∈ BOa.

Como existen subconjuntos de ω que son Π11(a) pero no Σ1

1(a), concluimosque BOa es uno de ellos.

El cardinal Θ Como aplicacion del conjunto BO presentamos un cardinal degran relevancia en la teorıa descriptiva de conjuntos sin el axioma de eleccion:

Definicion 7.26 Llamaremos

Θ = supα |∨

f f : N −→ α suprayectiva.

Teorema 7.27 Θ es un cardinal (un alef) ≥ ℵ2. Ademas, para todo ordinalα > 0, existe f : N −→ α suprayectiva si y solo si α < Θ.

Demostracion: Probamos en primer lugar que Θ ∈ Ω, es decir, que noexisten aplicaciones suprayectivas de N en ordinales arbitrariamente grandes.En efecto, si existe f : N −→ α es suprayectiva, podemos definir g : α −→ PN

inyectiva dada por g(δ) = f−1[δ], luego PN tiene un subconjunto que admiteun buen orden de ordinal α, luego α ≤ ℵ(N), donde el segundo miembro es elnumero de Hartogs5 de N.

Observemos ahora que si 0 < α ≤ β, entonces existe una aplicacion β −→ αsuprayectiva, luego si existe una aplicacion N −→ β suprayectiva tambien existeuna aplicacion N −→ α suprayectiva. Por lo tanto, si 0 < α < Θ, existe unβ > α tal que existe una aplicacion N −→ β suprayectiva, luego tambien existef : N −→ α suprayectiva.

Recıprocamente, si existe f : N −→ α suprayectiva, ha de ser α < Θ, puesen caso contrario existirıa una aplicacion N −→ Θ suprayectiva y podrıamoscomponerla con una biyeccion Θ −→ Θ+ 1 para concluir que Θ + 1 ≤ Θ.

Veamos ahora que Θ es un cardinal. Si existe una biyeccion g : κ −→ Θcon κ < Θ, entonces existe una aplicacion N −→ κ suprayectiva, la cual puedecomponerse con g y nos da una aplicacion N −→ Θ suprayectiva, contradiccion.

5Vease [TC 4.27]. Esencialmente, lo que sucede es que podemos definir el conjunto B =R ∈ P(N2) | R es un buen orden en un subconjunto de N y a partir de el, por reemplazo,el conjunto ℵ(N) = ord(N, R) | R ∈ B, que se prueba facilmente que es un alef.

7.3. Conjuntos Π11(a) y Σ1

2(a) 247

Notemos por ultimo que existe f : N −→ ω1 suprayectiva, por ejemplo ladada por

f(x) =‖x‖ si x ∈ BO,0 si x /∈ BO.

Por lo tanto, si ω1 ≤ α < ω2, existe tambien g : N −→ α suprayectiva (bastacomponer f con una biyeccion entre ω1 y α) y esto prueba que ℵ2 ≤ Θ.

Bajo AE es claro que Θ = (2ℵ0)+, luego la hipotesis del continuo equivale aque Θ = ℵ2.

Representaciones en terminos de arboles Terminamos esta seccion refi-nando los teoremas 5.42 y 5.43. Para ello observemos que la biyeccion canonicaω<ω −→ ω nos permite codificar un arbol en ω mediante un subconjunto deω y, mas en general, un arbol multidimensional en ωs mediante un subcon-junto de ωs. En la practica no distinguiremos entre un arbol como subconjuntoR ⊂ (ω<ω)s de su imagen R ⊂ ωs.

Ahora observamos que si A es un subconjunto Π11(a) de Ns, entonces

A(x) ↔∧

z ∈ NA′(x, z, a),

para cierto conjunto A′ de tipo Σ01. El teorema 6.11 nos da un conjunto recursivo

B ⊂ ωs+3 tal que

A(x) ↔∧

z ∈ N∨

m ∈ ω B(m, x1(m), . . . , xs(m), z(m), a(m)),

donde podemos exigir que

B(m, x1(m), . . . , xs(m), z(m), a(m)) ∧ m ≤ m′

→ B(m′, x1(m′), . . . , xs(m

′), z(m′), a(m′)).

Si llamamos

R = (n1, . . . , ns, n) ∈ ωs |∨

m ∈ ω(m = ℓ(n1) ∧ · · · ∧ m = ℓ(ns) ∧ m = ℓ(n)

∧ (m,n1, . . . , ns, n, a(m)) /∈ B),

tenemos que R es Σ01(a) y cumple que si x1, . . . , xs, z ∈ N y m ≤ m′, entonces

R(x1(m′), . . . xs(m

′), z(m′)) → R(x1(m), . . . , xs(m), z(m)).

Claramente, esto significa que R es la codificacion de un arbol en ωs+1, yademas cumple que

A(x) ↔∧

z ∈ N∨

m ∈ ω ¬R(x1(m), . . . , xs(m), z(m)).

Ası pues, hemos obtenido la caracterizacion siguiente de los conjuntos Π11(a):

248 Capıtulo 7. La teorıa efectiva

Teorema 7.28 Dado a ∈ N, un conjunto A ⊂ Ns es Π1

1(a) si y solo si existeun arbol R en ωs+1 aritmetico en a (y, de hecho, podemos tomarlo Σ1

1(a)) talque, para todo x ∈ Ns,

A(x) ↔∧

z ∈ N∨

m ∈ ω ¬R(x1(m), . . . , xs(m), z(m)).

Equivalentemente:

A(x) ↔∧

z ∈ N∨

m ∈ ω ¬Rx(z(m)) ↔ Rx esta bien fundado,

considerando en Rx el orden inverso a la inclusion de sucesiones finitas.

De aquı obtenemos a su vez una representacion para los conjuntos Σ12(a):

Teorema 7.29 Sea a ∈ N y sea A ⊂ Ns un conjunto Σ12(a). Entonces existe

un arbol R en ωs × ω1, R ∈ L[a], tal que

A(x) ↔ Rx no esta bien fundado.

Demostracion: La prueba es esencialmente la misma que la de 5.43. Par-timos de que A =

∨

y B, donde B ⊂ Ns × N es un conjunto Π11(a). Por el

teorema anterior existe un arbol R′ en ωs+1 × ω aritmetico en a tal que

x ∈ A↔∨

y ∈ N R′(x,y) esta bien fundado.

Ahora observamos que R′ ∈ L[a] porque es facil ver6 que los conjuntosaritmeticos en a son los mismos en todos los modelos transitivos de ZFC quecontengan a a. Es facil ver que los arboles R′′ y R que se construyen en laprueba de 5.43 siguen estando en L[a] (sin mas que considerar la enumeracioncanonica snn∈ω ∈ L de ω<ω y una biyeccion constructible ω × ω1 −→ ω1).

7.4 Clases con normas y escalas

Presentamos aquı la version efectiva de la teorıa sobre clases normadas quetratamos en el capıtulo V. La definicion 5.46 de clase normada no requiere masmodificacion que la de aplicarla a una clase de conjuntos Γ no definida sobretodos los espacios polacos, sino unicamente sobre los espacios producto. Masaun, por simplicidad consideraremos unicamente espacios producto con s ≥ 1,de modo que todos son homeomorfos a N (y el homeomorfismo se puede tomararitmetico).

Todas las consideraciones posteriores son validas igualmente con esta res-triccion y con una mınima variante: en lugar de exigir a la clase Γ que seacerrada para sustituciones continuas, basta exigir que sea cerrada para sustitu-ciones aritmeticas, ya que en dichas consideraciones unicamente usamos que laaplicacion (x, y) 7→ (y, x) es continua y, por otra parte, tambien es aritmetica.En cuanto al teorema 5.47, podemos adaptarlo como sigue:

6Por ejemplo, por la caracterizacion aritmetica 7.13.

7.4. Clases con normas y escalas 249

Teorema 7.30 Sea Γ una clase normada definida sobre los espacios productoque contenga los conjuntos aritmeticos y que sea cerrada para uniones e inter-secciones finitas y para sustituciones aritmeticas. Entonces:

a) Γ tiene la propiedad de reduccion y ¬Γ tiene la propiedad de separacion.

b) Si existe un conjunto N-universal para Γ(N), entonces Γ no tiene la pro-piedad de separacion y ¬Γ no tiene la propiedad de reduccion.

c) Si Γ =∧

nΓ entonces Γ tiene la propiedad de uniformizacion numerica.

Demostracion: El apartado a) se demuestra adaptando trivialmente laprueba del apartado correspondiente de 5.47.

b) Adaptamos la prueba de 4.22 d). Al igual que allı, definimos los conjuntosU0 y U1 usando el homeomorfismo natural N2 ∼= N, que es aritmetico, por loque U0 y U1 estan en Γ. Con ellos construimos el conjunto V ∈ ∆ que no esexactamente N-universal para ∆(N), sino que cumple que, para todo A ∈ ∆(N)existe un x ∈ N tal que A = Vx (pero no todo Vx tiene por que estar en∆(N)). Esto basta para que funcione el argumento de 4.12. En efecto, definimosA = x ∈ N | (x, x) /∈ V , que esta en ∆(N) porque la aplicacion N −→ N ×N

dada por x 7→ (x, x) es aritmetica. Entonces, deberıa haber un x ∈ N tal queVx = A, lo cual es absurdo.

c) La demostracion de 5.47 es valida igualmente en este contexto. La unicadiferencia esta en la justificacion de que R∗ ∈ Γ(X × ω), donde

(x, n) ∈ R∗ ↔ (x, n) ∈ R ∧∧

m ∈ ω((x, n) ≤∗ (x,m))

∧∧

m ∈ ω((x, n) <∗ (x,m) ∨ n ≤ m)).

Ahora basta ver que las relaciones definidas tras los∧

m estan en Γ, por ejem-plo, para la primera de las dos, esto es ası por que la relacion (x, n) ≤∗ (x,m) esla antiimagen de ≤∗ por la aplicacion aritmetica (x,m, n) 7→ (x, n, x,m).

Teorema 7.31 Si a ∈ N, la clase Π11(a) es normada.

Demostracion: Sea A ⊂ Ns un conjunto Π1

1(a). Por el teorema 7.22existe una aplicacion f : Ns −→ N de tipo ∆1

1(a) tal que A = f−1[BO]. Estonos permite componer f con la norma en BO dada por el teorema 7.18. Secomprueba inmediatamente que la aplicacion f × f : Ns × Ns −→ N × N estambien ∆1

1(a), luego las antiimagenes de las relaciones ≤Σ11y ≤Π1

1son Σ1

1(a) y

Π11(a) respectivamente, y es claro que satisfacen la definicion de norma.

En realidad falta demostrar que los subconjuntos Π11(a) de los espacios pro-

ducto generales, es decir, de la forma X = ωr×Ns (con s ≥ 1) tambien admitennormas Π1

1(a), pero esto se sigue de la parte ya probada teniendo en cuenta queX es homeomorfo a N a traves de un homeomorfismo ∆1

1.

La demostracion del teorema 5.50 se adapta trivialmente para probar laversion efectiva correspondiente:

250 Capıtulo 7. La teorıa efectiva

Teorema 7.32 Dado a ∈ N, si la clase Π1n(a) es normada, tambien lo es la

clase Σ1n+1(a).

Por lo tanto, tenemos que las clases Π11(a) y Σ1

2(a) son normadas, con loque en particular tienen la propiedad de reduccion y la propiedad de uniformi-zacion numerica (pero no la de separacion) y las clases Σ1

1(a) y Π12(a) tienen la

propiedad de separacion (pero no la de reduccion).

Pasamos ahora a estudiar las clases con escalas y la uniformizacion. Paratratar con clases efectivas, la definicion de escala requiere una precision que enel caso clasico se cumplıa trivialmente:

Para que una escala φnn∈ω en un conjunto A ⊂ X sea una Γ escala, dondeΓ es una clase definida sobre los espacios producto no numerables, exigiremosque las relaciones x ≤nΓ y y x ≤n¬Γ y (que prueban que cada φn es una norma enΓ) esten en Γ y ¬Γ respectivamente como un unico par de relaciones ternariasen X ×X × ω, y no solo como infinitas relaciones binarias en X ×X .

Con esta precision, la prueba del teorema 5.54 se adapta sin dificultad:

Teorema 7.33 Sea Γ una clase definida sobre los espacios producto no nume-rables que sea cerrada para uniones e intersecciones finitas, para antiimagenes∆1

1, para∧

n ∈ ω,∨

n ∈ ω y para∧

x ∈ N. Entonces, si Γ tiene escalas tiene lapropiedad de uniformizacion.

Demostracion: Basta probar que todo conjunto A ∈ Γ(N × N) puedeuniformizarse en Γ. Para ello tomamos una escala φnn∈ω y, a partir de estepunto, seguimos la demostracion de 5.54 con los pocos cambios que comentamosa continuacion.

Por la precision que hemos hecho a la definicion de escala en Γ, ahora tenemosque las relaciones ∗

n y ≺∗n estan en Γ(N ×N× ω), con lo que

C = (x, y, z, n) ∈ N ×N ×N× ω | (x, y) ∗n (x, z)

esta en Γ y, por lo tanto, tambien lo esta

B∗ = (x, y, n) ∈ N ×N × ω |∧

z ∈ N (x, y) ∗n (x, z).

A su vez, esto implica que

B =⋂

n∈ωBn =

∧

n ∈ ω B∗

tambien este en Γ, y el resto de la prueba vale sin cambio alguno.

Teorema 7.34 Si a ∈ N, la clase Π11(a) tiene escalas.

Demostracion: Basta probar que todo A ⊂ N que sea Π11(a) tiene una

escala en Π11(a). Segun 7.22, existe una aplicacion continua f : N −→ N tal que

f [N] ⊂ LO y A = f−1[BO], y en la prueba hemos visto que la podemos tomar∆1

1(a).

7.4. Clases con normas y escalas 251

Consideremos la aplicacion g : N × ω −→ N tal que

≤g(x,n)= (u, v) ∈ ω × ω | u ≤x v <x n.

Notemos que su grafica es aritmetica, pues

(x, n, y) ∈ G(g) ↔∧

uv ∈ ω(y(〈u, v〉) = 0 ↔ x(〈u, v〉) = 0 ∧ x(〈v, n〉) = 0

∧ v 6= n) ∧∧

u ∈ ω(y(u) = 1 ↔ y(u) 6= 0).

En particular g es ∆11.

Sea Z = (β, γ) ∈ ω1 × ω1 | γ ≤ β en el que consideramos el ordenlexicografico:

(β, γ) < (β′, γ′) ↔ β < β′ ∨ (β = β′ ∧ γ < γ′).

Puesto que todas las secciones iniciales son numerables, el ordinal de Z es ω1,luego existe una unica semejanza F : Z −→ ω1. Definimos φn : A −→ Ω comolas aplicaciones dadas por

φn(x) = F (‖f(x)‖, ‖g(f(x), n)‖).

Observemos que ‖g(f(x), n)‖ ≤ ‖f(x)‖ porque el termino de la izquierda es elordinal de una seccion inicial de un conjunto bien ordenado cuyo ordinal es eltermino de la derecha.

Vamos a probar que φnn∈ω es una escala en A. Para ello consideramosuna sucesion xmm∈ω contenida en A, convergente a un x ∈ N y tal que cadasucesion φn(xm)m∈ω sea finalmente igual a un F (αn, βn).

En primer lugar observamos que todos los αn son iguales a un mismo ordinalα. En efecto, dados n, n′ ∈ ω, podemos tomar un m suficientemente grandecomo para que αn = ‖f(xm)‖ = αn′ . Por otra parte, teniendo en cuenta que fes continua, por lo que f(xm)m∈ω converge a f(x), se cumple que

n <f(x) n′ → f(x)(〈n, n′〉) = 0 ∧ n 6= n′

→ para m grande f(xm)(〈n, n′〉) = 0 ∧ n 6= n′

→ para m grande n <f(xm) n′

→ para m grande ‖g(f(xm), n)‖ < ‖g(f(xm), n′)‖ → βn < βn′

Ası pues, <f(x) esta bien fundada, luego f(x) ∈ BO, luego x ∈ A. Mas aun,la aplicacion n 7→ βn es una semejanza del segmento inicial de n en (Cf(x),≤f(x))en un subconjunto de βn, luego ‖g(f(x), n)‖ ≤ βn ≤ α. A su vez,

‖f(x)‖ = sup‖g(f(x), n)‖ | n ∈ ω ≤ α,

luego φn(x) ≤ F (α, βn), como exige la definicion de escala.

252 Capıtulo 7. La teorıa efectiva

Falta probar que la escala es Π11(a). Para ello observamos que si x ∈ N,

y ∈ A, se cumple que

x ∈ A ∧ φn(x) ≤ φn(y) ↔ x ∈ A ∧

(‖f(x)‖ < ‖f(y)‖ ∨ (‖f(x)‖ = ‖f(y)‖ ∧ ‖g(f(x), n)‖ ≤ ‖g(f(y), n)‖))

↔ f(x) ≤Π11f(y) ∧ (f(y) 6≤Σ1

1f(x) ∨ (g(f(x), n) ≤Π1

1g(f(y), n))),

donde ≤Π11y ≤Σ1

1son las relaciones definidas en la demostracion de 7.18.

Ası pues, la relacion

x ≤nΠ11y ↔ f(x) ≤Π1

1f(y) ∧ (f(y) 6≤Σ1

1f(x) ∨ (g(f(x), n) ≤Π1

1g(f(y), n)))

es claramente Π11(a) (pues se expresa en terminos de uniones e intersecciones de

antiimagenes de relaciones Π11 por aplicaciones ∆1

1(a)) y cumple la definicion deescala en Π1

1(a). Lo mismo sucede con la relacion Σ11(a) dada por:

x ≤nΣ11y ↔ f(x) ≤Σ1

1f(y) ∧ (f(y) 6≤Π1

1f(x) ∨ (g(f(x), n) ≤Σ1

1g(f(y), n))).

Los teoremas 5.56 y 5.57 se adaptan sin dificultad alguna:

Teorema 7.35 Sea a ∈ N. Si la clase Π1n(a) tiene escalas (resp. tiene la pro-

piedad de uniformizacion), lo mismo le sucede a Σ1n+1(a).

Por lo tanto, concluimos que las clases Π11(a) y Σ1

2(a) tienen escalas y lapropiedad de uniformizacion, mientras que Σ1

1(a) y Π12(a) no pueden tener la

propiedad de uniformizacion, pues entonces tendrıan la propiedad de uniformi-zacion numerica y la propiedad de reduccion.7

Definicion 7.36 Diremos que una clase de conjuntos Γ definida sobre los es-pacios polacos es una clase de Spector si cumple las propiedades siguientes:

• Es cerrada para ∧, ∨,∧

n ≤ m,∨

n ≤ m,∧

n ∈ ω,∨

n ∈ ω y parasustituciones recursivas.

• Esta ω-parametrizada, tiene la propiedad de sustitucion y es normada.

• Contiene a Π11.

En particular, vemos que toda clase de Spector es adecuada, es una clase Σ yΣ∗ y es cerrada para sustituciones Γ-recursivas (por la propiedad de sustitucion).En particular a todas se les puede aplicar el teorema de recursion de Kleene.

Todas las clases de Spector que vamos a considerar seran cerradas o bienpara

∧

x ∈ N o bien para∨

x ∈ N, y el teorema 6.47 garantiza entonces lapropiedad de sustitucion.

7Para reducir dos conjuntos A y B basta uniformizar A× 0 ∪ B × 1.

7.4. Clases con normas y escalas 253

Todas las propiedades exigidas se conservan al relativizar, es decir, que si Γes una clase de Spector, tambien lo son las clases Γ(a), para a ∈ N. La clase Γno es una clase de Spector porque no esta ω-parametrizada, pero cumple todaslas demas propiedades, contiene a Π1

1 y esta N-parametrizada. Mas aun, el teo-rema 6.67 nos da entre otras cosas que Γ es cerrada para uniones e interseccionesnumerables.

Las clases Σ1n y Π1

n cumplen todas las propiedades de la definicion de clasede Spector excepto a lo sumo la de ser clases normadas (y ademas Σ1

1 no cumplela ultima propiedad, pero no importa porque de hecho no es una clase normada,luego no es de Spector). De entre todas ellas, la unica clase que puede probarseque es normada (luego de Spector) en ZFC es Π1

1 (y sus relativizaciones).

Pasemos a estudiar las clases de Spector y empezamos profundizando unpoco en el concepto de norma:

Definicion 7.37 Recordemos que un preorden ≤ en un conjunto X es unarelacion reflexiva y transitiva en X . Esto implica que la relacion dada porx ∼ y ↔ x ≤ y ∧ y ≤ x es una relacion de equivalencia en X y ≤ induce unarelacion de orden en el conjunto cociente X/ ∼. Cuando este orden es un buenorden se dice que ≤ es un buen preorden en X y esta definida su longitud ‖ ≤ ‖como el ordinal de dicho conjunto cociente.

Observemos que toda aplicacion f : X −→ Ω define un buen preorden en X ,mediante x ≤f y ↔ f(x) ≤ f(y). En tal caso f induce una aplicacion inyectivaf : (X/ ∼) −→ Ω que conserva el orden total inducido por ≤f , por lo que estees un buen orden y ≤f es un buen preorden.

Recıprocamente, si ≤ es un buen preorden arbitrario, de longitud α, tenemosuna semejanza g : (X/ ∼) −→ α, que a su vez induce una (unica) aplicaciong : X −→ α suprayectiva que induce en X el buen preorden dado. Si estepreorden era de la forma ≤f , es decir, inducido por una aplicacion f en Ω,podemos definir h = g−1 f y entonces h : α −→ Ω es inyectiva y creciente yhace el diagrama siguiente conmutativo:

Xf //

g

Ω

α

h

OO

Observemos tambien que si ≤ es un preorden en un conjunto X , que sea unbuen preorden equivale a que la relacion dada por x < y ↔ x ≤ y ∧ y 6≤ x estebien fundada en X , en cuyo caso la aplicacion g : X −→ ‖ ≤ ‖ inducida por lasemejanza de X/ ∼ en su ordinal no es sino el rango de <.

Una norma φ : A −→ Ω es regular si existe un ordinal α tal que φ : A −→ αsuprayectiva. Segun las observaciones precedentes, para toda norma φ existeuna unica norma regular φ en A que induce el mismo buen preorden ≤φ, por loque si φ es una norma en Γ lo mismo vale para φ. Definimos la longitud de una

254 Capıtulo 7. La teorıa efectiva

norma como ‖φ‖ = φ[A] = α. (Ası la longitud de una norma coincide con la delbuen preorden que induce.)

Observemos que cuando A = X la definicion de norma en Γ se simplifica,pues entonces las condiciones x ∈ A e y ∈ A son triviales y simplemente tenemosque el buen preorden ≤φ esta en la clase ambigua ∆ = Γ ∩ ¬Γ. Definimos

δΓ = sup‖ ≤ ‖ | ≤ es un buen preorden en N que esta en ∆(N2)

= sup‖φ‖ | φ : N −→ Ω es una norma en Γ.

Aquı llamamos ∆ = Γ ∩ ¬Γ, donde Γ =⋃

a∈N

Γ(a).

Segun hemos visto, si α = ‖φ‖, para cierta norma φ : N −→ Ω (que podemostomar regular, de modo que φ : N −→ α suprayectiva), tenemos que α < Θ,el cardinal definido en la seccion anterior. Esto implica que δΓ ≤ Θ, luego, sisuponemos AE, se cumple que δΓ ≤ (2ℵ0)+. En particular, es consistente queδΓ ≤ ω2.

Podemos ver los ordinales δΓ como versiones “descriptivas” del cardinal Θ.Veamos ahora algunos hechos elementales que nos seran utiles en varias ocasio-nes:

• Si Γ es una clase adecuada, X es un espacio polaco y A ∈ Γ(X), segun5.46, toda norma regular φ : A −→ α es una norma regular en Γ, seextiende a una aplicacion φ : X −→ α + 1 haciendo que φ(x) = α paratodo x ∈ X \A, y entonces las relaciones

x ≤∗ y ↔ x ∈ A ∧ φ(x) ≤ φ(y), x <∗ y ↔ φ(x) < φ(y)

estan ambas en Γ (pero esta extension no es necesariamente una normaen Γ).

• Para cada δ < α definimos

Aδ = x ∈ A | φ(x) < δ.

Claramente A =⋃

δ<‖φ‖

Aδ, y cada Aδ esta ∆.

En efecto, podemos tomar y ∈ A tal que φ(y) = δ, y entonces

x ∈ Aδ ↔ x ≤∗ y ↔ ¬(y <∗ x).

• La restriccion φ|Aδ : Aδ −→ δ es una norma regular en Γ, pues, si y ∈ Aδ,basta tener en cuenta que

x ∈ Aδ ∧ φ(x) ≤ φ(y) ↔ x ∈ A ∧ φ(x) ≤ φ(y) ↔ x ≤Γ y ↔ x ≤¬Γ y.

7.4. Clases con normas y escalas 255

• Si φ : A −→ α es una norma en Γ y A ∈ ∆(X), entonces la extensionφ : X −→ α que toma el valor 0 en X \A es una norma en Γ, luego en ∆.

En efecto, basta definir

x ≤ y ↔ (x ∈ A ∧ y ∈ A ∧ x ≤Γ y) ∨ (x /∈ A ∧ y ∈ A) ∨ (x /∈ A ∧ y /∈ A).

Como A ∈ ∆ y podemos cambiar x ≤Γ y por x ≤¬Γ y, es claro que larelacion esta en ∆ y tambien es inmediato que es un buen preorden delongitud δ, pues su norma asociada es la extension que hemos indicado.

• Estos hechos implican que en realidad

δΓ = ‖ ≤ ‖ | ≤ es un buen preorden en N que esta en ∆(N2)

= ‖φ‖ | φ : N −→ Ω es una norma en Γ,

pues estos conjuntos ya son ordinales. En efecto, si α pertenece a cual-quiera de los dos conjuntos de longitudes de normas o buenos preordenes,existe una norma regular φ : N −→ Ω en ∆ tal que ‖φ‖ = α. Si δ < αacabamos de ver que φ se restringe a una norma sobre Aδ de longitud δ,la cual se extiende a una norma en N de longitud δ, luego δ tambien estaen el conjunto, luego este es su propio supremo.

Practicamente hemos demostrado ya el teorema siguiente, que muestra queδΓ acota las normas de todos los preordenes inducidos por normas en Γ decualquier subconjunto de Γ(N):

Teorema 7.38 Sea Γ una clase adecuada. Si A ∈ Γ(N) y φ : A −→ Ω es unanorma en Γ, entonces ‖φ‖ ≤ δΓ.

Demostracion: Para todo δ < ‖φ‖, hemos visto que φ se restringe a unanorma de longitud δ sobre Aδ, la cual se extiende a una norma de longitud δsobre N, luego δ ≤ δΓ, luego ‖φ‖ ≤ δΓ.

Definicion 7.39 Cuando Γ = Σ1n o Γ = Π1

n, se usa la notacion δ1n = δΓ.

Explıcitamente:

δ1n = ‖ ≤ ‖ | ≤ es un buen preorden en N de clase ∆1n.

Estos ordinales δ1n se conocen como ordinales proyectivos.

El teorema anterior prueba que si φ : A −→ Ω es una norma en Σ1n o Π1

n

con A ⊂ N, entonces ‖φ‖ ≤ δ1n. De hecho, es claro que lo mismo vale si A estacontenido en cualquier espacio polaco no numerable, ya que un isomorfismode Borel permite transportar la norma a otra en un subconjunto de N en lasmismas condiciones.

Veamos ahora que los ordinales proyectivos son ordinales lımite. Mas engeneral:

256 Capıtulo 7. La teorıa efectiva

Teorema 7.40 Si Γ es una clase de Spector, entonces δΓ es un ordinal lımitede cofinalidad no numerable. En particular esto se aplica a los ordinales δ1

n.

Demostracion: Sea ≤ un buen preorden en N que este en ∆ y cuya normasea un ordinal α. Es claro que podemos tomar un x0 ∈ N tal que la relacion

≤∗= (≤ \(x0 ×N)) ∪ (N × x0)

es un n buen preorden en N de norma α + 1. Ademas esta en ∆, pues losconjuntos x0 × N y N × x0 son de ∆1

1. Esto prueba que δΓ es un ordinallımite.

Sea αnn∈ω una sucesion creciente en δΓ. Vamos a probar que su supremotambien esta en δΓ. Tenemos que existe un buen preorden ≤n en N de clase ∆y ordinal αn. Vamos a probar que

≤∗=⋃

n(≤n ×n) ∪ (x,m, y, n) ∈ (N × ω)2 | m < n ∈ ∆.

El segundo conjunto esta en ∆ porque es una antiimagen por una proyeccionde la relacion de orden en ω, que esta en ∆1

1. En cuanto al primero, fijamos unbuen conjunto universal G ⊂ N × N ×N, de modo que para cada n ∈ ω existeun an ∈ N tal que ≤n= Gan , tomamos a ∈ N que codifique a todos los an y ası

(x, y) ∈⋃

n(≤n ×n) ↔

∨

n ∈ ω G(x, y, an),

lo que prueba que la union esta en Γ(a) ⊂ Γ. Expresando ≤n= ¬Gbn obtenemosigualmente que la union esta en ¬Γ(b) ⊂ ¬Γ, luego esta en ∆. Claramente,

(x, n) ≤ (y, n) ↔ m < n ∨ (m = n ∧ x ≤n y).

Es claro entonces que ≤ es un buen preorden en N × ω cuya norma es mayoro igual que todos los αn. A traves de un homeomorfismo recursivo N × ω ∼= N

se puede obtener un buen preorden con la misma norma en N, y que seguiraestando en ∆ por la clausura para sustituciones recursivas, luego el supremo delos αn es menor que δΓ.

Estos resultados sobre normas y buenos preordenes estan relacionados conresultados sobre relaciones bien fundadas:

Definicion 7.41 Dada una clase de conjuntos Γ, llamaremos

γΓ = sup‖ < ‖ | < es una relacion bien fundada en N de clase Γ,

donde la longitud ‖ < ‖ de una relacion bien fundada se define, naturalmente,como la imagen de su rango.

Observemos que en general δΓ ≤ γΓ, pues todo buen preorden en N declase ∆ determina una relacion bien fundada en N de clase ∆ (la dada porx ≤ y ∧ y 6≤ x).

7.4. Clases con normas y escalas 257

Teorema 7.42 Si Γ es una clase adecuada,

γΓ = ‖ < ‖ | < es una relacion bien fundada en N de clase Γ

y es un ordinal lımite.

Demostracion: Para probar la igualdad basta ver que el conjunto de laderecha es un ordinal. En efecto, si α ∈ γΓ existe una relacion < bien fundadaen N de clase Γ y longitud α, y si β < α, existe un y0 ∈ N de rango β, ypodemos definir

x <∗ y ↔ x < y ∧ y < y0,

con lo que tenemos una nueva relacion bien fundada, tambien en Γ, y de longi-tud β. Para probar que γΓ es un ordinal lımite observamos que si α ∈ γΓ y <es una relacion bien fundada de longitud α, siempre podemos elegir un x0 ∈ N

tal que la relacion

x <∗ y ↔ (x 6= x0 ∧ x < y) ∨ (x 6= y ∧ y = x0).

tenga longitud α+ 1, y tambien es de clase Γ.

Teorema 7.43 Se cumple que δ11 = ω1 y δ12 ≤ ω2.

Demostracion: El teorema 5.69 implica las desigualdades δ11 ≤ γ11 ≤ ω1

y δ12 ≤ γ1

2 ≤ ω2. Dado cualquier ordinal ω ≤ α < ω1, tomamos un subconjuntoA ⊂ N numerable y una biyeccion f : A −→ α, que podemos extender a N

asignando el valor 0 a todos los puntos de N \A. Entonces

≤f = (N \A)2 ∪ ((N \A)×A) ∪ (x, y) ∈ A2 | f(x) ≤ f(y)

es un conjunto de Borel en N2, ya que A lo es (por ser numerable) y el tercer

conjunto de la union anterior tambien (por la misma razon). Por lo tanto α ≤ δ11.

Este teorema es todo lo que puede decirse sobre la situacion de los ordinalesproyectivos en la escala de los alefs en ausencia de axiomas adicionales.

El teorema siguiente generaliza a 5.69, pues implica que toda relacion bienfundada de clase Σ1

1 debe tener longitud < δ11 = ω1:

Teorema 7.44 Sea Γ una clase de Spector cerrada para∧

x ∈ N, sea X unespacio producto, sea < una relacion bien fundada en X que este en ¬Γ(a), seaG ⊂ X × N un buen conjunto N-universal para Γ(X) y sea φ : G −→ Ω unanorma en Γ. Entonces existe una funcion f : X −→ X ×N recursiva en a conimagen en G y tal que

x < y → φ(f(x)) < φ(f(y)).

Consecuentemente, ‖φ‖ = δΓ = γ¬Γ.

258 Capıtulo 7. La teorıa efectiva

Demostracion: Consideremos la relacion en Γ(a) dada por

Q(y, u) ↔∧

x ∈ X(x < y → (x, u) <∗φ (y, u)).

Por 6.56 existe un ǫ ∈ N recursivo en a tal que Q(y, ǫ) ↔ G(y, ǫ). Basta definirf(x) = (x, ǫ). Veamos que todo y ∈ X cumple f(y) ∈ G. En caso contrariosea y ∈ Y un <-minimal tal que (y, ǫ) /∈ G. Esto equivale a ¬Q(y, ǫ), es decir,a que existe un x ∈ X tal que x < y pero ¬(x, ǫ) <∗

φ (y, ǫ). Ahora bien, como(y, ǫ) /∈ G, la relacion (x, ǫ) <∗

φ (y, ǫ) se cumple a menos que (x, ǫ) /∈ G, pero estocontradice la minimalidad de y. Por lo tanto, si x < y, como Q(y, ǫ), tenemosque φ(f(x)) < φ(f(y)).

Esto implica que ‖ < ‖ ≤ ‖φ‖, para toda relacion bien fundada < en ¬Γ.Por lo tanto δΓ ≤ γ¬Γ ≤ ‖φ‖, y la desigualdad opuesta nos la da 7.38.

Este teorema muestra que en el teorema 7.38 puede darse la igualdad. Estoimplica que la norma φ del teorema anterior no puede extenderse a una normaen X ×N de clase Γ, pues en tal caso tendrıa que ser ‖φ‖ < δΓ.

Terminamos con una observacion sobre escalas:

Teorema 7.45 Si A es un subconjunto de un espacio polaco X y φnn∈ω esuna escala en A, la sucesion φnn∈ω de las normas regulares determinadas porcada norma φn es tambien una escala en A.

Demostracion: Basta tener en cuenta que, tal y como hemos visto, existenaplicaciones inyectivas y crecientes ψn : ‖φn‖ −→ Ω tales que φn = φn ψn.Ası, si xnn∈ω es una sucesion en A convergente a x ∈ X y se cumple quelas sucesiones φn(xm)m∈ω son finalmente constantes, entonces tambien lo sonlas sucesiones φn(xm)m∈ω, luego x ∈ A y φn(x) ≤ φn(xm), para todo msuficientemente grande, luego φn(x) ≤ φn(xm), para todo m suficientementegrande.

Obviamente, si la escala dada es una escala en una clase Γ (es decir, sicada norma φn es una norma en Γ), entonces lo mismo le sucede a la escalaregularizada, pues la regularizacion de una norma en Γ es una norma en Γ.Si Γ satisface las hipotesis del teorema 7.38, concluimos que la escala es unaδΓ-escala, es decir, que todas sus normas toman valores en δΓ.

7.5 El teorema de parametrizacion

Dedicamos esta seccion a demostrar algunas propiedades mas profundas delas clases de Spector. Escribiremos x ∈ ∆(y) (con x en un espacio productoX e y ∈ N) para indicar que x es ∆(y)-recursivo, es decir (definicion 6.26) siC(x) = n ∈ N | x ∈ Bn ∈ ∆(y).

Empezamos con algunas propiedades elementales sobre aplicaciones Γ-recur-sivas:

7.5. El teorema de parametrizacion 259

Teorema 7.46 Sea Γ una clase de Spector y f : X −→ Y una funcion estric-tamente Γ-recursiva parcial entre espacios producto.

a) Las relaciones siguientes estan en Γ:

f(x)↓ , f(x)↓∧ f(x) /∈ Bn, f(x)↓∧ f(x) = y, f(x)↓∧ f(x) 6= y.

b) Si Q ∈ Γ(Y ), la relacion f(x)↓∧ Q(f(x)) esta en Γ.

c) Para cada x ∈ X tal que f(x)↓ se cumple que f(x) ∈ ∆(x).

Demostracion: a) Recordemos que una funcion es estrictamente Γ-recur-siva parcial cuando es Γ-recursiva parcial y su dominio esta en Γ. Por lo tanto,la relacion f(x)↓ esta en Γ por definicion.

El conjunto (y, n) ∈ Y × ω | y /∈ Bn es Π01 (por 6.6), luego esta en Γ. La

funcion (x, n) 7→ (f(x), n) es claramente Γ-recursiva, luego por la propiedad desustitucion existe Q∗ ∈ Γ(X × ω) tal que

f(x)↓→ (Q∗(x, n) ↔ f(x) /∈ Bn).

Por lo tanto f(x)↓∧ f(x) /∈ Bn ↔ f(x)↓∧ Q∗(x, n), luego la relacion esta en Γ.Para las otras dos basta tener en cuenta que

f(x)↓∧ f(x) = y ↔∧

n ∈ ω(y ∈ Bn → (f(x)↓∧ f(x) ∈ Bn)),

f(x)↓∧ f(x) 6= y ↔∨

n ∈ ω((f(x)↓∧ f(x) ∈ Bn) ∧ y /∈ Bn).

b) Por la propiedad de sustitucion existe Q∗ ∈ Γ(X) tal que

f(x)↓→ (Q∗(x) ↔ Q(f(x))).

Entoncesf(x)↓∧ Q(f(x)) ↔ f(x)↓∧ Q∗(x).

c) Tras la definicion 6.43 de funcion Γ-recursiva parcial observamos quecuando f(x)↓ se cumple que f(x) ∈ Γ(x), es decir, que C(f(x)) ∈ Γ(x). Porotra parte,

n ∈ ¬C(f(x)) ↔ f(x) /∈ Bn ↔ f(x)↓∧ f(x) /∈ Bn ↔ P (x, n),

donde P (x, n) esta en Γ por a), luego ¬C(f(x)) ∈ Γ(x), luego C(f(x)) ∈ ¬Γ(x).Por lo tanto, C(f(x)) ∈ ∆(x), lo que equivale a que f(x) ∈ ∆(x).

Teorema 7.47 (Teorema de parametrizacion) Sea Γ una clase de Spector.Para cada espacio producto Y existe una funcion estrictamente Γ-recursiva par-cial d : ω −→ Y tal que para cada y ∈ Y se cumple

y ∈ ∆ ↔∨

i ∈ ω(d(i)↓∧ d(i) = y).

Similarmente, si X es tambien un espacio producto, existe una funcion estric-tamente Γ-recursiva parcial d : ω ×X −→ Y tal que

y ∈ ∆(x) ↔∨

i ∈ ω(d(i, x)↓∧ d(i, x) = y).

260 Capıtulo 7. La teorıa efectiva

Demostracion: Suponemos en primer lugar que Y = N. Probamos lasegunda afirmacion (la primera se obtiene simplificando la prueba). TomemosG ⊂ ω×N×ω×ω un conjunto ω-universal para Γ(N×ω×ω). El teorema 7.30 nosda que Γ tiene la propiedad de uniformizacion numerica, luego existe G∗ ⊂ Gen Γ que uniformiza a G respecto de la ultima componente. Definimos

d(i, x)↓↔∧

n ∈ ω∨

m ∈ ω G∗(i, x, n,m),

d(i, x)↓→ (d(i, x) = y ↔∧

mn ∈ ω(y(n) = m↔ G∗(i, x, n,m))).

Claramente, el dominio de d esta en Γ, y se trata de una funcion Γ-recursivaparcial, pues

d(i, x)↓→∧

k ∈ ω(d(i, x) ∈ Bk ↔∧

j < ℓ(k)G∗(i, x, j, kj)

y la parte final esta claramente en Γ.

El teorema anterior nos da entonces que cada d(i, x) ∈ ∆(x). Recıproca-mente, si y ∈ ∆(x), entonces y esta en Γ(x), como subconjunto de ω × ω, luegoexiste un i ∈ ω tal que

y(n) = m↔ G(i, x, n,m).

Por lo tanto, como y es una funcion,

y(n) = m↔ G∗(i, x, n,m),

luego d(i, x)↓ y d(i, x) = y.

Si Y = ωr el teorema es trivial, pues todos sus puntos estan en ∆(x). Encaso contrario podemos tomar un homeomorfismo recursivo π : N −→ Y (coninversa recursiva). Definimos d∗(i, x) = π(d(i, x)), que es Γ-recursiva parcial porse composicion de dos funciones Γ-recursivas parciales. Ademas su dominio esel mismo que el de d, luego d∗ es estrictamente Γ-recursiva parcial y claramentecumple lo pedido.

De aquı obtenemos que las clases de Spector son cerradas para cuantificado-res existenciales

∨

y ∈ ∆(z):

Teorema 7.48 Sea Γ una clase de Spector, sean X e Y espacios producto yQ ⊂ X × Y un conjunto en Γ y sea

P (x) ↔∨

y ∈ ∆ Q(x, y).

Entonces P ∈ Γ. Similarmente, si Q ⊂ X × Y × Z esta en Γ y

P (x, z) ↔∨

y ∈ ∆(z)Q(x, y, z)

entonces P esta en Γ.

7.6. Codificaciones de modelos numerables 261

Demostracion: Consideremos el segundo caso. Con la notacion del teo-rema anterior,

P (x, z) ↔∨

i ∈ ω(d(i, z)↓∧ Q(x, d(i, z), z)).

Esta relacion esta en Γ por el teorema 7.46 b) (aplicado a (x, z) 7→ (d, d(i, z), z)).

Seguidamente probamos una version efectiva de 5.13:

Teorema 7.49 Sea Γ una clase de Spector cerrada para∧

x ∈ N, sea unaaplicacion Γ-recursiva f : X −→ Y entre dos espacios producto cuya restricciona P ∈ ∆(X) sea inyectiva. Entonces f [P ] ∈ ∆(Y ).

Demostracion: Notemos que la relacion f(x) = y esta en ∆ por 7.46 a).Si P (x) ∧ f(x) = y, entonces x es el unico punto de P cuya imagen es y, luego

n ∈ C(x) ↔ x ∈ Bn ↔∨

x′ ∈ X(f(x′) = y ∧ P (x′) ∧ x′ ∈ Bn)

↔∧

x′ ∈ X(f(x′) 6= y ∨ ¬P (x′) ∨ x′ ∈ Bn).

Esto implica que C(x) ∈ ∆(y), es decir, que x ∈ ∆(y). Por lo tanto,

y ∈ f [P ] ↔∨

x ∈ X(P (x) ∧ y = f(x))

↔∨

x ∈ ∆(y)(P (x) ∧ y = f(x)).

La primera equivalencia prueba que f [P ] ∈ ¬Γ, mientras que la segunda, te-niendo en cuenta el teorema anterior, prueba que f [P ] ∈ Γ, luego f [P ] ∈ ∆.

El teorema 5.13 es en realidad un caso particular de la version para Γ delteorema anterior, cuya prueba es un corolario inmediato:

Teorema 7.50 Sea Γ una clase de Spector cerrada para∧

x ∈ N, sea unaaplicacion ∆-medible f : X −→ Y entre dos espacios producto cuya restricciona P ∈ ∆(X) sea inyectiva. Entonces f [P ] ∈ ∆(Y ).

Demostracion: Existen a0, a1, a2 ∈ N tales que P ∈ Γ(a0) ∩ ¬Γ(a1) yf es ∆(a2)-recursiva (por 6.67). Tomamos a = 〈a0, a1, a2〉 ∈ N, de modo queP ∈ ∆(a) y f es ∆(a)-recursiva. Ahora basta aplicar el teorema anterior a laclase de Spector Γ(a).

7.6 Codificaciones de modelos numerables

Terminamos estudiando la posicion en la jerarquıa de Kleene de algunosconjuntos definidos en terminos de la teorıa de modelos.

Definicion 7.51 Dado x ∈ N, llamaremos Ex ⊂ ω × ω a la relacion dada por

mEx n↔ x(〈m,n〉) = 0.

262 Capıtulo 7. La teorıa efectiva

Notemos que Ex es exactamente la misma relacion que en 7.17 hemos lla-mado ≤x. Cambiamos la notacion porque hasta ahora allı interesados en losx ∈ N para los que la relacion asociada era un buen orden, mientras que ahoranos interesaran relaciones mas generales. Concretamente, observamos que, paracada x ∈ N, el par (ω,Ex) es un modelo del lenguaje formal Ltc de la teorıa deconjuntos. Podemos suponer que los signos de Ltc son numeros naturales, demodo que las formulas de Ltc son elementos de ω<ω que, a su vez, pueden co-dificarse de forma canonica mediante numeros naturales mediante la biyeccioncanonica. A traves de esta identificacion, es claro que el conjunto de las formulaso de las sentencias de Ltc es recursivo.

Para cada terna (α, v, x) ∈ ω2 × N, escribiremos x α[v] para representarque α ∈ Form(Ltc), que v codifica una sucesion finita definida (al menos) sobretodas las variables libres en α y que (ω,Ex) α[v].

Teorema 7.52 La relacion x α[v] es ∆11.

Demostracion: Por concretar, podemos suponer que las variables de Ltc

son los numeros ≥ 5, mientras que p=q = 0, p∈q = 1, p¬q = 2, p→q = 3, p∧q = 4.

Definimos entonces el conjunto V ⊂ N2 mediante

V (y, x) ↔∧

nmvl ∈ ω(n = 〈m, v〉 ∧ l = ℓ(v) → (y(n) = 0 ∨ y(n) = 1) ∧ · · ·),

donde los puntos suspensivos son la conjuncion de las formulas siguientes:

•∧

ab < l(m = 〈0, a, b〉 → (y(n) = 1 ↔ va = vb)),

•∧

ab < l(m = 〈1, a, b〉 → (y(n) = 1 ↔ va Ex vb)),

•∧

p ∈ ω(m = 2p→ (y(n) = 1 ↔ y(〈p, v〉) = 0)),

•∧

pq ∈ ω(m = 3pq → (y(n) = 1 ↔ (y(p, v) = 0 ∨ y(q, v) = 1))),

•∧

pr ∈ ω(m = 4rp→ y(n) = 1 ↔∧

s ∈ ω(l ≤ ℓ(s) ∧ r < ℓ(s) ∧∧

i < l(i 6= r → vi = si) → y(〈p, s〉) = 1)).

Es claro entonces que V es aritmetica, y si α ∈ Form(Ltc), v ∈ ω codificauna sucesion definida sobre todas las variables libres en α y se cumple V (y, x),entonces

y(〈α, v〉) = 1 ↔ x α[v].

A su vez, la relacion x α[v] equivale a

α ∈ Form(Ltc) ∧∨

l(l = ℓ(α) ∧∧

i < l(i es una variable libre en α → i < ℓ(v))

∧∨

y ∈ N(V (y, x) ∧ y(〈α, v〉) = 1) ↔

α ∈ Form(Ltc) ∧∨

l(l = ℓ(α) ∧∧

i < l(i es una variable libre en α → i < ℓ(v))

∧∧

y ∈ N(V (y, x) → y(〈α, v〉) = 1).

7.6. Codificaciones de modelos numerables 263

Teniendo en cuenta que “ser una variable libre” es una relacion recursiva, esclaro que estas equivalencias prueban que x α[v] es ∆1

1.

Si α ∈ ω es una formula con variables libres v1, . . . , vr, la relacion en ωr×N

dada por

x α[a1, . . . , ar] ↔∨

s ∈ ω(v1 < ℓ(s) ∧ · · · ∧ vr < ℓ(s) ∧

sv1 = a1 ∧ · · · ∧ svr = ar ∧ x α[s])

es tambien ∆11.

Escribiremos x α en lugar de x α[0], que es tambien una relacion ∆11

en ω×N. Esta relacion nos interesara unicamente cuando α sea una sentencia,con lo que la eleccion de v sera irrelevante.

Notemos ahora que si Γ ⊂ Form(Ltc) es un conjunto ∆11 de sentencias de

Ltc, entonces la relacion x Γ es ∆11 en N, pues

x Γ ↔∧

α ∈ ω(α ∈ Γ → x α).

Los conjuntos de los axiomas de KPI o de ZFC son recursivos, por lo quelas relaciones x KPI o x ZFC son ∆1

1 en N.

Recordemos ahora la definicion de modelo ω dada en [PC 2.39]: si (M,R) esun modelo de KP, la parte bien fundada Mbf es un modelo transitivo de KP (loprobamos en [PC 2.37]) y la inversa de la funcion colapsante es una inmersioni :Mbf −→M . Se dice que M es un modelo ω si i[ω] = ωM .

Teorema 7.53 La relacion “x codifica un modelo ω de KPI” es ∆11 en N.

Demostracion: Consideremos la relacion N ⊂ ω2 × N que se cumple sim = ix(n), donde ix : (ω,Ex)bf −→ ω es la inmersion canonica. Explıcitamente,tenemos que

N(n,m, x) ↔∨

s ∈ ω(ℓ(s) = n+ 1 ∧ sn = m ∧ x [s0] = ∅ ∧

∧

i < n x [si+1] = [si] ∪ [si],

luego N es ∆11, y tambien es claro que x ∈ N codifica un modelo ω de KPI si y

solo si

x KPI ∧∧

m ∈ ω(x [m] ∈ ω →∨

n ∈ ω N(n,m, x)),

luego se trata de una relacion ∆11.

Obviamente lo mismo vale cambiando KPI por ZFC, ZF, etc.

Definicion 7.54 Llamaremos BF al conjunto de los x ∈ N tales que la relacionEx es extensional y bien fundada en ω.

264 Capıtulo 7. La teorıa efectiva

Se trata de un conjunto Π11, pues, si α ∈ Form(L) es el axioma de extensio-

nalidad,Ex es extensional ↔ x α,

luego x ∈ N | Ex es extensional es ∆11. Por otra parte,

Ex esta bien fundada ↔∧

y ∈ N∨

n ∈ ω x(〈y(n+ 1), y(n)〉) 6= 0,

y es claro que el conjunto (x, y, n) ∈ N × N × ω | x(〈y(n+ 1), y(n)〉) 6= 0 esaritmetico, luego x ∈ N | Ex esta bien fundada es Π1

1.

Si x ∈ BF, podemos considerar la funcion colapsante πx : (ω,Ex) −→ Mx.Fijado x, para cada y ∈ Mx llamaremos y = π−1

x (y), y diremos que y es elnombre de y respecto de x.

Teorema 7.55 Los conjuntos

(x, y,m) ∈ N ×N × ω | x ∈ BF ∧ y ∈Mx ∧ m = y,

(x, y) ∈ N ×N | x ∈ BF ∧ y ∈Mx

son Π11

Demostracion: Observemos que, para x ∈ BF, la relacion

m = nx ↔ n ∈Mx ∧ n = m

no es sino la relacion N definida en la prueba del teorema anterior, que es ∆11.

Ahora definimos en ω3 ×N la relacion

m = (a, b)x ↔∨

uv ∈ ω(u = ax ∧ v = bx ∧ x [w] = ([u], [v])).

De este modo, si x ∈ BF esta relacion equivale a que a, b ∈Mx ∧ πx(m) = (a, b),pero sin suponer x ∈ BF la relacion es ∆1

1.

Finalmente, definimos en ω ×N2 la relacion

m = yx ↔∧

t ∈ ω(x ([t] ∈ [m]) →∨

uv ∈ ω(v = y(u) ∧ t = (u, v)x) ∧

∧

u ∈ ω∨

vt ∈ ω(v = y(u) ∧ t = (u, v)x ∧ x [t] ∈ [m])).

Si x ∈ BF, esta relacion equivale a la determinada por el primer conjuntodel enunciado, pero sin suponerlo es ∆1

1. Por lo tanto, el primer conjunto delenunciado es la interseccion de esta relacion con ω × BF × N, luego es Π1

1. Elsegundo se obtiene del primero mediante

∨

m ∈ ω, luego tambien es Π11.

Capıtulo VIII

Conjuntos hiperaritmeticos

Las clases de Lusin Σ0α y Π0

α abarcan toda la clase de los conjuntos de Bo-rel ∆1

1, que es la base de la jerarquıa de segundo orden, que recorre los conjuntosproyectivos. Sin embargo, no podemos decir lo mismo de las clases de KleeneΣ0n y Π0

n, que solo recorren la clase de los conjuntos aritmeticos, estrictamentecontenida en la clase ∆1

1 (teorema 7.15). No es sorprendente que esto sea ası,pues las clases Σ0

α forman una jerarquıa transfinita de longitud ω1, mientras quelas clases Σ0

n solo se corresponden con los primeros ω niveles de dicha jerarquıa.En este capıtulo vamos a probar que la jerarquıa de Kleene se puede prolon-gar a una jerarquıa transfinita de conjuntos que llamaremos hiperaritmeticos,y probaremos que estos son precisamente los conjuntos ∆1

1. Como paso previo,dedicamos la primera seccion a conectar la teorıa de la recursion con la teorıade ordinales.

8.1 Ordinales recursivos

El lector necesita recordar ahora la definicion del conjunto BO dada en 7.17y los conceptos relacionados con ella.

Definicion 8.1 Para cada a ∈ N, definimos

ωa1 = α ∈ Ω |∨

x ∈ BO (‖x‖ = α ∧ x es recursivo en a).

Los elementos de ωa1 se llaman ordinales recursivos en a. Obviamente ωa1 de-pende unicamente del grado de Turing de a. El conjunto de los ordinales recur-sivos (es decir, recursivos en cualquier a ∈ N recursivo) se suele representar porωCK1 (por Church-Kleene).

Teorema 8.2 Para cada a ∈ N se cumple que ωa1 es un ordinal lımite numerable> ω, que es, pues, el menor ordinal no recursivo en a.

Demostracion: Para probar que ωa1 es un ordinal basta ver que si α ∈ ωa1y β < α, entonces β ∈ ωa1 . Sea b ∈ BO recursivo en a tal que ‖b‖ = α. Entonces

265

266 Capıtulo 8. Conjuntos hiperaritmeticos

existe un n ∈ Cb tal que el ordinal del segmento (Cb)<bn es β. La aplicacion

r : N × ω −→ N dada por

r(x, n)(m) =

1 si m20 ≤x m

21 ∧ m2

1 <x n,0 en caso contrario

es claramente recursiva, luego c = r(b, n) es recursivo en a (aquı usamos que laaplicacion r(−, n) tambien es recursiva) y claramente ‖c‖ = β ∈ ωa1 .

Ası pues, ωa1 es un ordinal, claramente no nulo y numerable. Para probarque es un ordinal lımite observamos que la aplicacion s : N −→ N dada por

s(x)(m) =

1 si m21 = 0 ∨ (m2

0 6= 0 ∧ m21 6= 0 ∧ m2

0 − 1 ≤x m21 − 1),

0 en caso contrario

es recursiva y si b ∈ BO es recursivo en a, entonces s(b) ∈ BO es recursivo en ay ‖s(b)‖ = ‖b‖+ 1, de modo que si α < ωa1 , tambien α+ 1 < ωa1 .

Por ultimo, es facil ver que ω es un ordinal recursivo: basta definir

x(n) =

1 si n20 ≤ n2

1,0 en caso contrario,

de modo que x ∈ N es recursivo y ≤x es el orden usual en ω, luego ‖x‖ = ω.Esto prueba que ω < ωCK

1 ≤ ωa1 .

Notemos que todo ordinal numerable es de la forma ‖a‖, para cierto a ∈ BOobviamente recursivo en a, lo que implica que

⋃

a∈N

ωa1 = ω1.

Teorema 8.3 (Teorema de acotacion) Sea X un espacio producto, a ∈ N,f : X −→ N una aplicacion ∆1

1(a)-recursiva y sea P ⊂ X un conjunto tal queP (x) ↔ f(x) ∈ BO. Entonces P es ∆1

1(a) si y solo si ‖f(x)‖ | x ∈ P estaacotado en ωa1 .

Demostracion: Observemos que, en cualquier caso, como Σ11(a) tiene la

propiedad de sustitucion, P es un conjunto Π11(a), luego sera ∆1

1(a) si y solo sies Σ1

1(a).Si existe y ∈ N recursivo en a tal que ‖f(x)‖ ≤ ‖y‖ para todo x ∈ X ,

entonces, teniendo en cuenta el teorema 7.18, vemos que

P (x) ↔ f(x) ∈ BO ∧ ‖f(x)‖ ≤ ‖y‖ ↔ f(x) ≤Σ11y,

de donde, usando que la funcion x 7→ (f(x), y) es Σ11(a)-recursiva (notemos que

la funcion constante cy lo es), concluimos que P ∈ Σ11(a).

Supongamos ahora que el conjunto de las normas no esta acotado en ωa1 . SeaQ ⊂ ω un conjunto Π1

1(a) cualquiera. Por 7.22 existe una funcion g : ω −→ N

8.1. Ordinales recursivos 267

recursiva en a tal que Q(n) ↔ g(n) ∈ BO. Para todo n ∈ ω, por 6.29 tenemosque g(n) es recursivo en a, luego

Q(n) ↔ g(n) ∈ BO ∧ ‖g(n)‖ < ωa1 ↔∨

x ∈ X (P (x) ∧ g(n) ≤Σ11f(x)).

Por consiguiente, si P fuera Σ11(a), esta expresion probarıa que Q es Σ1

1(a), perono todo conjunto Π1

1(a) es Σ11(a).

De aquı deducimos un resultado sorprendente:

Teorema 8.4 Si a ∈ N, entonces

ωa1 = α ∈ Ω |∨

x ∈ BO (‖x‖ = α ∧ x es Σ11(a)).

Demostracion: La demostracion del teorema 8.2 se adapta trivialmentepara probar que el miembro derecho es un ordinal. Teniendo esto en cuenta,una desigualdad es inmediata, pues todo codigo Σ0

1(a) es Σ11(a). Supongamos

que existiera un y ∈ BO que fuera Σ11(a) pero para todo x ∈ BO recursivo en

a se cumpliera ‖x‖ ≤ ‖y‖. Sea Q ⊂ ω un conjunto Π11(a). Por 7.22 existe

g : ω −→ N recursiva en a tal que Q(n) ↔ g(n) ∈ BO. Entonces

Q(n) ↔ g(n) ∈ BO ∧ ‖g(n)‖ ≤ ‖y‖ ↔ g(n) ≤Σ11y.

Esto implica que Q es Σ11(a), pero no todo conjunto Π1

1(a) es Σ11(a), luego

tenemos una contradiccion.

Ası pues, las funciones Σ11(a) no permiten codificar mas ordinales que las

funciones Σ01(a).

A veces es preferible codificar los ordinales como alturas de arboles bienfundados:

Definicion 8.5 Llamaremos

Arb = x ∈ N |∧

mn ∈ ω (m ⊂ n ∧ x(n) = 0 → x(m) = 0),

donde la inclusion es la codificacion recursiva de la inclusion entre sucesionesdefinida al final de la seccion 6.1.

Ası, cada x ∈ Arb codifica el arbol Ax = s ∈ ω<ω | x(〈s〉∞) = 0 y,recıprocamente, todo arbol en ω<ω es de la forma Ax, para cierto x ∈ Arb.

Definimos

ABF = x ∈ Arb |∧

y ∈ N∨

n ∈ ω x(y(n)) 6= 0.

Ası los elementos de ABF codifican los arboles bien fundados. Si A ⊂ ω<ω

es un arbol bien fundado, definimos su altura ‖A‖ como el rango de ∅ en Arespecto de la relacion inversa de la inclusion. Tambien podemos considerar laaplicacion ‖ ‖ : ABF −→ ω1 dada por ‖x‖ = ‖Ax‖.

268 Capıtulo 8. Conjuntos hiperaritmeticos

Si A ⊂ ω<ω es un arbol y s ∈ ω<ω, definimos

A/s = t ∈ ω<ω | st ∈ A.

Es claro que si A esta bien fundado tambien lo estan todos los arboles A/s,con s ∈ A. Mas aun, en tal caso la aplicacion f : A/s −→ A determinada porf(t) = st hace corresponder biunıvocamente las sucesiones que extienden a tcon las sucesiones que extienden a f(t) y, como el rango de t es el menor ordinalmayor que los rangos de las sucesiones que extienden a t, una simple induccionmuestra que rangA/s(t) = rangA(f(t)), luego, en particular:

‖A/s‖ = rangA(s).

Esto muestra a su vez que, si s ∈ A \ ∅, se cumple ‖A/s‖ < ‖A‖. Masaun:

Teorema 8.6 Si A es un arbol bien fundado, la aplicacion A \ ∅ −→ ‖A‖dada por s 7→ ‖A/s‖ es suprayectiva.

Demostracion: Si α < ‖A‖, entonces existe un s1 ∈ A tal que ℓ(s1) = 1 yrang(s1) ≥ α. Si la desigualdad es estricta existe un s2 ⊃ s1 tal que ℓ(s2) = 2y rang(s2) ≥ α y, como no podemos formar una rama infinita en A, tras unnumero finito de pasos llegamos a un sn tal que ‖A/sn‖ = rang(sn) = α.

El teorema siguiente demuestra, entre otras cosas, que todo ordinal nume-rable es la altura de un arbol bien fundado:

Teorema 8.7 Existen aplicaciones recursivas f, g : N −→ N tales que

a) Para todo x ∈ N, se cumple x ∈ BO ↔ f(x) ∈ ABF, y en tal caso‖x‖ = ‖f(x)‖.

b) Para todo x ∈ N, se cumple x ∈ ABF ↔ g(x) ∈ BO, y en tal caso‖x‖ ≤ ‖g(x)‖.

Demostracion: Definimos

f(x)(n) =

0 si∧

ij < ℓ(n)(i < j → nj <x ni)1 en caso contrario.

Claramente f es recursiva1 y claramente f [OT] ⊂ Arb, pues si x codifica unorden total entonces f(x) codifica el arbol de las sucesiones decrecientes para≤x. Esto a su vez implica que x ∈ BO ↔ f(x) ∈ ABF, pues un orden total esun buen orden si y solo si todas sus sucesiones decrecientes son finitas, es decir,si y solo si el arbol de sus sucesiones decrecientes esta bien fundado.

La igualdad de las alturas se demuestra facilmente por induccion sobre ‖x‖.Si ‖x‖ = 0, es claro que Af(x) = ∅ y la igualdad es obvia. Si es cierto para

1El conjunto P = (i, j, x, n) | i < j → nj <x ni es claramente recursivo, luego tambienlo es Q(k, x, n) =

∧

ij < k P , luego tambien A(x, n) → Q(ℓ(n), x, n), ası como el conjuntoG = (A× 0) ∪ (¬A× 1), que es la grafica de la funcion (x, n) 7→ f(x)(n).

8.1. Ordinales recursivos 269

ordenes de tipo α y ‖x‖ = α + 1, sea n ∈ Cx el maximo para ≤x. EntoncesAf(x) \ ∅ =

⋃

m∈Cx

Af(x)/m. Si m 6= n, entonces Af(x)/m es parte del

arbol de sucesiones decrecientes en un conjunto bien ordenado de ordinal α,luego ‖Af(x)/m‖ ≤ α, mientras que Af(x)/n es el conjunto de todas lassucesiones decrecientes en un conjunto de ordinal α, luego, por hipotesis deinduccion ‖Af(x)/m‖ = α, luego ‖Af(m)‖ = α+ 1.

Si es cierto para buenos ordenes de ordinal menor que λ y ‖x‖ = λ, entonces,si f : Cx −→ λ es una semejanza, para cada m ∈ Cx tenemos que Af(x)/mes el arbol de sucesiones decrecientes en un buen orden de ordinal f(m), luegopor hipotesis de induccion ‖Af(m)/m‖ = f(m), luego ‖Af(m)‖ = λ.

Ahora definimos

g(x)(n) =

0 si x(n20) = x(n2

1) = 0 ∧ (n21 ⊂ n2

0 ∨∨

i < ℓ(n20)(i < ℓ(n2

1) ∧∧

j < i (n20)j = (n2

1)j ∧ (n20)i < (n2

1)i)

1 en caso contrario.

Es facil ver que g es recursiva y, si g[Arb] ⊂ OT, pues si x codifica unarbol entonces g(x) codifica la restriccion a dicho arbol del orden de Brouwer-Kleene. Precisamente por esto podemos concluir que x ∈ ABF ↔ g(x) ∈ BO.La desigualdad entre las alturas se demuestra tambien por induccion. Para elloobservamos que, para cada s ∈ Ax de longitud 1, la aplicacion Ax/s −→ Axdada por t 7→ st es creciente para el orden de Brouwer-Kleene, por lo que‖x‖, que es el supremo de las alturas de los arboles Ax/s, es menor o igual (porhipotesis de induccion) que los ordinales de los ordenes de Brouwer-Kleene dedichos arboles, que son todos ≤ ‖g(x)‖, luego ‖x‖ ≤ ‖g(x)‖.

Como consecuencia:

Teorema 8.8 Para cada a ∈ N,

ωa1 = ‖x‖ | x ∈ ABF ∧ x ∈ Σ01(a) = ‖x‖ | x ∈ ABF ∧ x ∈ Σ1

1(a).

Demostracion: Lo unico que no es inmediato a partir del teorema anteriores que los dos conjuntos son ordinales (es decir, que son transitivos). Ahora bien,si x ∈ ABF y α < ‖x‖, hemos visto que existe un s ∈ Ax tal que ‖Ax/s‖ = α.Solo hay que probar que Ax/s admite un codigo Σ0

1(a) o Σ11(a) si x es de una

de estas clases. Para ello basta considerar la aplicacion h : ω × N −→ N dadapor

h(n, x)(m) =0 si x(nm) = 0,1 en caso contrario.

Claramente h es recursiva y h(〈s〉∞ , x) es un codigo de Ax/s, luego es de lamisma clase que x.

Es evidente a partir de las definiciones que Arb es Π01 y que ABF es Π1

1.Puesto que, segun el teorema 8.7, tenemos que BO = f−1[ABF], podemosconcluir que ABF no es Σ1

1, pues si lo fuera lo mismo le sucederıa a BO.

No demostramos aquı mas propiedades sobre los ordinales recursivos porquemuchas de ellas seran inmediatas mas adelante.

270 Capıtulo 8. Conjuntos hiperaritmeticos

8.2 Conjuntos hiperaritmeticos

Nota En esta seccion aXY representara siempre aXYΣ0

1, es decir, la co-

dificacion recursiva de las funciones Σ01-recursivas parciales entre los espacios

producto X e Y .

Observemos que, por 6.16, las funciones Σ01-recursivas entre espacios pro-

ducto son simplemente las funciones continuas, luego en particular todas lasfunciones f : ω −→ X , para cualquier espacio X , son Σ0

1-recursivas.

Puesto que la parametrizacion aω,X recorre todas las funciones Σ01-recur-

sivas parciales ω −→ X , en particular toda funcion ω −→ X es de la formaaω,X para un a ∈ N adecuado. Esto nos permite definir una codificacion delos conjuntos de Borel que aquı sera mas adecuada que la que considerabamosen 4.16.

Definicion 8.9 (Recordemos que, para c ∈ N, se define c1 ∈ N mediantec1(n) = c(n+ 1)). Definimos

C(Σ01) =c ∈ N | c(0) = 0 ∧

∧

n ∈ ω c1ω,ω(n)↓ ,

C(Σ0α) =c ∈ N | c(0) = 1 ∧

∧

n ∈ ω (c1ω,N(n)↓∧ c1ω,N(n) ∈⋃

1≤β<α

C(Π0β)),

C(Π0α) =c ∈ N | c(0) = 2 ∧ c1ω,ω ∈ C(Σ0

α),

donde la segunda lınea vale para 2 ≤ α < ω1 y la tercera para 1 ≤ α < ω1.Definimos el conjunto de los codigos de Borel como

CB =⋃

1≤α<ω1

C(Σ0α) ∪

⋃

1≤α<ω1

C(Π0α).

Notemos que si 2 ≤ α ≤ β entonces C(Σ0α) ⊂ C(Σ0

β) y C(Π0α) ⊂ C(Π0

β).

Estas definiciones cobran sentido al definir a continuacion el conjunto deBorel codificado por cada codigo de Borel:

Para cada espacio producto X , definimos:

πX0 : ω −→ ∆01(X) πX0 (n) =

∅ si n = 0,BXn−1 si n 6= 0.

πXΣ0

1: C(Σ0

1) −→ Σ01(X) πX

Σ01(c) =

⋃

n∈ωπX0 (c1ω,ω(n)),

πXΣ0α: C(Σ0

α) −→ Σ0α(X) πXΣ0

α(c) =

⋃

n∈ωπXΠX

β(n)

(c1ω,N(n)),

πXΠ0α: C(Π0

α) −→ Π0α(X) πXΠ0

α(c) = X \ πXΣ0

α(c1ω,ω),

donde, en la tercera lınea, β(n) es el mınimo ordinal tal que

c1ω,N(n) ∈ C(Π0β(n)).

8.2. Conjuntos hiperaritmeticos 271

Una simple induccion muestra que si 2 ≤ α ≤ β entonces πXΣ0

β

extiende a

πXΣ0αy πX

Π0β

extiende a πXΠ0α, por lo que todas estas aplicaciones se extienden a

una misma aplicacionπX : CB −→ ∆1

1(X).

Ası, para cada α ≥ 2, si c ∈ C(Σ0α) entonces

πX(c) =⋃

n∈ωπX(c1ω,N(n)),

y si c ∈ C(Π0α)

πX(c) = X \ πX(c1ω,ω).

Es claro que las aplicaciones que acabamos de definir sobre los codigos deBorel son suprayectivas: la suprayectividad de πX

Σ01se sigue de que todo elemento

de ωω es de la forma aω,ω, para cierto a ∈ N y la de πXΣ0αde que todo elemento

de Nω es de la forma aω,N, para cierto a ∈ N.

Ahora necesitamos demostrar que las operaciones y relaciones basicas en-tre conjuntos de Borel pueden expresarse en terminos de sus codigos mediantefunciones recursivas:

Teorema 8.10 Se cumple:

a) Existe una funcion recursiva Bas : ω −→ N tal que si X es un espacioproducto y n ∈ ω, entonces Bas(n) ∈ C(Σ0

1) y

πX(Bas(n)) =

∅ si n = 0,BXn−1 si n 6= 0.

b) Existe una funcion recursiva iΣ : N −→ N tal que si c ∈ C(Σ0α) entonces

iΣ(c) = c, mientras que si c ∈ C(Π0α) se cumple que iΣ(c) ∈ C(Σ0

α+1) y,para todo espacio X y todo c ∈ CB, se cumple que πX(iΣ(c)) = πX(c).

c) Existe una funcion recursiva iΠ : N −→ N tal que si c ∈ C(Σ0α) entonces

iΠ(c) ∈ C(Π0α+1), si c ∈ C(Π0

α), entonces iΠ(c) = c y, para todo espacioproducto X, πX(iΠ(c)) = πX(c).

d) Existe una funcion recursiva comp : N −→ N tal que si c ∈ CB en-tonces comp(c) ∈ CB y, para todo espacio producto X, se cumple queπX(comp(c)) = X \ πX(c).

e) Existe una funcion recursiva Un : N −→ N tal que si a ∈ N cumple que

∧

n ∈ ω (aω,N(n)↓∧ aω,N(n) ∈ CB),

entonces Un(a) ∈ CB y, para todo espacio producto X,

πX(Un(a)) =⋃

n∈ωπX(aω,N(n)).

272 Capıtulo 8. Conjuntos hiperaritmeticos

f) Existe una funcion recursiva In : N −→ N tal que si a ∈ N cumple que∧

n ∈ ω (aω,N(n)↓∧ aω,N(n) ∈ CB),

entonces In(a) ∈ CB y, para todo espacio producto X,

πX(In(a)) =⋂

n∈ωπX(aω,N(n)).

g) Si Γ es una de las clases Σ0n o Π0

n y P ∈ Γ(X × Y ), existe una funcion

recursiva proyX,YP : X −→ N tal que, para todo x ∈ X, proyX,YP (x) ∈ C(Γ)

y πY (proyX,YP (x)) = Px.

Demostracion: a) La funcion (n, i) 7→ n es recursiva, luego existe un a ∈ N

recursivo tal que aω×ω,ω(n, i) = n. Definimos

Bas(n)(i) =

0 si i = 0,Sω,ω,ω(n, a)(i − 1) si i 6= 0,

donde Sω,ω,ω es la funcion dada por el teorema 6.58. Observemos que, comoa es recursivo, la funcion constante ca es recursiva (teorema 6.27), por lo quela funcion (n, i) 7→ S(n, a)(i −· 1) es composicion de funciones recursivas y, porconsiguiente, es recursiva. De aquı se sigue facilmente que la funcion Bas(n)(i)(como funcion ω2 −→ ω es recursiva, luego tambien lo es la funcion Bas.

Para cada n ∈ ω tenemos que Bas(n)(0) = 0 y Bas(n)1 = Sω,ω,ω(n, a), luego,por el teorema 6.58,

Bas(n)1ω,ω(i) = aω×ω,ω(n, i) = n.

En particular, vemos que la funcion Bas(n)1ω,ω es total, luego concluimos queBas(n) ∈ C(Σ0

1) y ademas

πX(Bas(n)) =⋃

n∈ωπX0 (n) =

∅ si n = 0,BXn−1 si n 6= 0.

b) La funcion (c, n) 7→ c es recursiva, luego existe un a ∈ N recursivo tal queaN×ω,N(c, n) = c. Definimos

iΣ(c)(i) =

1 si c(0) = 2, i = 0,SN,N×ω,N(c, a)(i − 1) si c(0) = 2, i 6= 0,c(i) si c(0) 6= 2.

Claramente, la funcion iΣ(c)(i) es recursiva, luego tambien lo es iΣ, y obviamenteiΣ(c) = c si c ∈ C(Σ0

α). Si c ∈ C(Π0α), entonces c(0) = 2, luego iΣ(c)(0) = 1,

iΣ(c)1 = S(c, a). Por consiguiente,

iΣ(c)1ω,N(n) = aN×ω,N(c, n) = c ∈ C(Π0

α).

En particular, iΣ(c)1ω,N es una funcion total, luego iΣ(c) ∈ C(Σ0

α+1) yπX(iΣ(c)) =

⋃

n∈ωπX(c) = πX(c).

8.2. Conjuntos hiperaritmeticos 273

c) La aplicacion (c, n) 7→ c(n) es recursiva, luego existe un a ∈ N recursivotal que aN×ω,ω(c, n) = c(n). Definimos

g(c)(n) =

2 si n = 0,SN,ω,ω(c, a)(n− 1) si n 6= 0.

Claramente g es recursiva y si c ∈ C(Σ0α) entonces tenemos que g(c)(0) = 2 y

g(c)1 = SN,ω,ω(c, a), luego

g(c)1ω,ω(n) = aN×ω,N(c, n) = c(n),

luego g(c)1ω,ω = c. Esto prueba que g(c) ∈ C(Π0α) y ademas

πX(g(c)) = X \ πX(c).

Definimos

iΠ(c)(n) =

c(n) si c(0) = 2,g(iΣ(g(c)))(n) si c(0) 6= 2.

Claramente iΠ es recursiva, deja invariantes a los codigos en C(Π0α) y si

c ∈ C(Σ0α) entonces iΠ(c) = g(iΣ(g(c))) ∈ C(Π0

α+1) y

πX(iΠ(c)) = X \ πX(iΣ(g(c))) = X \ πX(g(c)) = πX(c).

d) Sea g : N −→ N la aplicacion recursiva construida en el apartado ante-rior. Basta tomar comp(c) = g(iΣ(c)). Notemos que si c ∈ C(Σ0

α) entoncescomp(c) ∈ C(Π0

α).

e) La funcion parcial (a, n) 7→ iΠ(aω,N(n)) es recursiva parcial, luego existe

un b ∈ N recursivo tal que

bN×ω,N(a, n) = iΠ(aω,N(n)).

Definimos

Un(a)(n) =

1 si n = 0,SN,ω,N(a, b)(n− 1) si n 6= 0.

Claramente Un es recursiva y, si a ∈ N cumple las hipotesis, Un(a)(0) = 1 yUn(a)1 = S(a, b), luego

Un(a)1ω,N(n) = bN×ω,N(a, n) = iΠ(aω,N(n)) ∈ C(Π0

δn),

para cierto ordinal δn < ℵ1. En particular, la funcion Un(a)1ω,N es total,luego Un(a) ∈ C(Σ0

α) ⊂ CB, para cualquier2 α < ω1 mayor que todos losordinales δn, y

πX(Un(a)) =⋃

n∈ωπX(Un(a)1ω,N(n)) =

⋃

n∈ωπX(iΠ(a

ω,N(n)))

=⋃

n∈ωπX(aω,N(n)).

2Ası resulta que si aω,N ∈⋃

β<α

C(Π0β), entonces Un(a) ∈ C(Σ0

α).

274 Capıtulo 8. Conjuntos hiperaritmeticos

f) Basta tomar In(a) = comp(Un(comp(a))).

g) Supongamos en primer lugar que P ∈ Σ01(X × Y ). Dejamos al lector el

caso en que P = ∅. En caso contrario existe un a ∈ N recursivo tal que

P =⋃

n∈ωBX×Ya(n) .

Si X = Xr,s, Y = Xr′,s′ , consideramos las funciones recursivas

h1(n) =⟨

nr+s+r′+s′

0 , . . . , nr+s+r′+s′

r−1 , nr+s+r′+s′

r+r′ , . . . , nr+s+r′+s′

r+r′+s−1

⟩

r+s,

h2(n) =⟨

nr+s+r′+s′

r , . . . , nr+s+r′+s′

r+r′−1 , nr+s+r′+s′

r+r′+s , . . . , nr+s+r′+s′

r+r′+s+s′−1

⟩

r+s,

de modo que, llamando gi = a hi, tenemos que

P =⋃

n∈ωBXg1(n) ×BYg2(n).

Ası y ∈ Px ↔∨

n ∈ ω(x ∈ BXg1(n) ∧ y ∈ BYg2(n)). Definimos

h(x, n) =

g2(n) + 1 si x ∈ BXg1(n),0 en otro caso.

Es facil ver que la grafica de la funcion h(x, n) es semirrecursiva, luego h esrecursiva. Ademas

πY0 (h(x, n)) =

∅ si x /∈ BXg1(n),

BYg2(n) si x ∈ BXg1(n).

Por lo tantoPx =

⋃

n∈ωπY0 (h(x, n)).

Sea a ∈ N recursivo tal que aX×ω,ω = h. Definimos

proyX,YP (x)(n) =

0 si n = 0,SX,ω,ω(x, a)(n− 1) si n > 0.

Claramente la funcion es recursiva y proyX,YP (x)1 = SX,ω,ω(x, a), luego

proyX,YP (x)1ω,ω(n) = aX×ω,ω(x, n) = h(x, n).

Esto prueba que proyX,YP (x) ∈ C(Σ01) y

πY (proyX,YP (x)) =⋃

n∈ωπY0 (h(x, n)) = Px.

Supongamos que el resultado es cierto para Σ0n y veamoslo para Π0

n. SiP ∈ Π0

n(X × Y ), entonces P ′ = (X × Y ) \ P ∈ Σ0n(X × Y ), luego existe la

8.2. Conjuntos hiperaritmeticos 275

funcion recursiva proyX,YP ′ y basta definir proyX,YP (x) = comp(proyX,YP ′ (x)). Lafuncion es claramente recursiva y

πY (proyX,YP (x)) = Y \ πY (proyX,YP ′ (x)) = Y \ P ′x = Px.

Notemos que proyX,YP (x) ∈ C(Π0n).

Supongamos el resultado cierto para Π0n y veamoslo para Σ0

n+1. TomamosP ∈ Σ0

n+1(X × Y ), con lo que P =∨

nP ′, para cierto P ′ ∈ Π0n(ω × X × Y ).

Entonces

y ∈ Px ↔∨

n ∈ ω (n, x, y) ∈ P ′ ↔∨

n ∈ ω y ∈ P ′n,x),

de modo que Px =⋃

n∈ωP ′(n,x). Por hipotesis de induccion tenemos la funcion

recursiva proyω×X,YP ′ , que esta codificada por un cierto b ∈ N recursivo, es decir,

bω×X,N(n, x) = proyω×X,YP ′ (n, x).

Entonces

Sω,X,N(x, b)(n) = bω×X,N(n, x) = proyω×X,YP ′ (n, x) ∈ C(Π0n).

El apartado e) nos da entonces que la funcion proyX,YP (x) = Un(Sω,X,N(x, b))es recursiva y cumple

πY (proyX,YP (x)) =⋃

n∈ωπY (proyω×X,YP ′ (n, x)) =

⋃

n∈ωP ′(n,x) = Px.

Ademas se cumple que ProyX,YP (x) ∈ C(Σ0n+1) (vease la nota al pie en la prueba

del apartado e).

Lo mas destacado del teorema anterior (salvo el ultimo apartado) es quelas funciones definidas entre codigos son uniformes, en el sentido de que nodependen de los espacios producto a los que se aplican. La propiedad siguienterequiere el teorema de recursion:

Teorema 8.11 Sea f : X −→ Y una funcion recursiva. Entonces existev : N −→ N recursiva tal que si c ∈ CB entonces v(c) ∈ CB y πX(v(c)) =f−1[πY (c)]. Mas aun, v[C(Σ0

α)] ⊂ C(Σ0α) y v[C(Π

0α)] ⊂ C(Π0

α).

Demostracion: Se cumple que

x ∈ f−1[Bn] ↔ f(x) ∈ Bn ↔ Gf (n, x) ↔ x ∈ Gfn

y Gf ∈ Σ01 por definicion de funcion recursiva. Definimos

u(n) =

Bas(0) si n = 0,

proyω,XGf (n− 1) si n 6= 0.

276 Capıtulo 8. Conjuntos hiperaritmeticos

Claramente u es una funcion recursiva y, para todo n ∈ ω, se cumple queu(n) ∈ C(Σ0

1) y

πX(u(n)) =

f−1[∅] si n = 0,f−1[Bn−1] si n 6= 0.

La funcion parcial f(b, c, n) = u(c1ω,ω(n20))

1ω,ω(n21) es recursiva parcial,

luego existe un a1 ∈ N recursivo tal que

a1N×N×ω,ω(b, c, n) = u(c1ω,ω(n2

0))1ω,ω(n2

1).

Similarmente, podemos tomar a2, a3 ∈ N recursivos tales que

a2N×N×ω,N(b, c, n) = bN,N(c1ω,N(n)),

a3N×N×ω,ω(b, c, n) = bN,N(c1ω,ω)(n).

Definimos ahora la funcion h : N ×N −→ N mediante

h(c, b)(n) =

c(0) si n = 0,SN×N,ω,ω(b, c, a1)(n− 1) si c(0) = 0 ∧ n 6= 0,SN×N,ω,N(b, c, a2)(n− 1) si c(0) = 1 ∧ n 6= 0,SN×N,ω,ω(b, c, a3)(n− 1) si c(0) ≥ 2 ∧ n 6= 0.

Claramente h es recursiva, luego por el teorema de recursion existe un b ∈ N

recursivo tal que, para todo c ∈ N, se cumple que bN,N(c) = h(c, b). Definimosv = bN,N, con lo que v es trivialmente una funcion recursiva.

Si c ∈ C(Σ01), entonces c(0) = 0, luego v(c)1 = h(c, b)1 = SN×N,ω,ω(b, c, a1).

Por lo tanto,

v(c)1ω,ω(n) = a1N×N×ω,ω(b, c, n) = u(c1ω,ω(n2

0))1ω,ω(n2

1).

Ahora bien, sabemos que u(c1ω,ω(m)) ∈ C(Σ01), luego el ultimo termino

esta definido y, por consiguiente,la funcion v(c)1 es total. Esto implica quev(c) ∈ C(Σ0

1). Ademas

πX(v(c)) =⋃

n∈ωπX0 (u(c1ω,ω(n2

0))1ω,ω(n2

1))

=⋃

m,n∈ωπX0 (u(c1ω,ω(m))1ω,ω(n)) =

⋃

m∈ωπX(u(c1ω,ω(m)))

=⋃

m∈ωf−1[πY0 (c1ω,ω(m))] = f−1

[⋃

m∈ωπY0 (c1ω,ω(m))

]

= f−1[πY (c)].

Supongamos ahora que la relacion πX(v(c)) = f−1[πY (c)] se cumple paracodigos en

⋃

β<α

C(Π0β) y veamos que es cierta cuando c ∈ C(Σ0

α). Como el

caso α = 1 ya esta probado, suponemos α > 1, de manera que c(0) = 1 yv(c)1 = SN×N,ω,N(b, c, a2). Entonces

v(c)1ω,N(n) = a2N×N×ω,N(b, c, n) = bN,N(c1ω,N(n)) = v(c1ω,N(n)).

8.2. Conjuntos hiperaritmeticos 277

En particular vemos que v(c)1ω,N(n) esta definido para todo n ∈ ω yv(c)1ω,N(n) ∈

⋃

β<α

C(Π0β). Por lo tanto, v(c) ∈ C(Σ0

α) y

πX(v(c)) =⋃

n∈ωπX(v(c1ω,N(n))) =

⋃

n∈ωf−1[πY (c1ω,N(n))]

= f−1

[⋃

n∈ωπY (c1ω,N(n))

]

= f−1[πY (c)].

Finalmente, supongamos que la relacion se cumple para codigos en C(Σ0α)

y veamos que se cumple cuando c ∈ C(Π0α). En tal caso c(0) = 2, luego

v(c)1 = SN×N,ω,ω(b, c, a3). Ası pues,

v(c)1ω,ω(n) = a3N×N×ω,ω(b, c, n) = bN,N(c1ω,ω)(n) = v(c1ω,ω)(n),

luego la funcion v(c)1ω,ω = v(c1ω,ω) es total y es un codigo C(Σ0α), luego

v(c) ∈ C(Π0α) y

πX(v(c)) = X \ πX(v(c1ω,ω)) = X \ f−1[πY (c1ω,ω)]

= f−1[Y \ πY (c1ω,ω)] = f−1[πY (c)].

Para terminar con las propiedades de los codigos, codificamos los conjuntosuniversales:

Teorema 8.12 Sea Γ una de las clases Σ0n o Π0

n. Existe una funcion recursivacodΓ : N −→ N tal que para cada espacio producto X existe un G ⊂ X ×N, talque G ∈ Γ, es N-universal para Γ(X) y si c ∈ C(Γ) entonces

∧

n ∈ ω codXΓ (c)ω,ω(n)↓∧ πX(c) = GcodX

Γ (c)ω,ω.

Demostracion: Veamoslo en primer lugar para Σ01. Definimos

G(x, a) ↔∨

n ∈ ω (a(n) 6= 0 ∧ x ∈ Ba(n)−1).

Claramente G ∈ Σ01(X) y es N universal para Σ0

1(X). Como la funcion(c, n) 7→ c1ω,ω(n) es recursiva parcial, existe un a ∈ N recursivo tal queaN×ω,ω(c, n) = c1ω,ω(n). Definimos codΣ0

1(c) = SN,ω,ω(c, a).

Ası, si c ∈ C(Σ01), tenemos que

codΣ11(c)ω,ω(n) = aN×ω,ω(c, n) = c1ω,ω(n),

luego la funcion codΣ01(c)ω,ω es total y

x ∈ πX(c) ↔∨

n ∈ ω (c1ω,ω(n) 6= 0 ∧ x ∈ Bc1ω,ω(n)−1)

↔ G(x, codΣ01(c)ω,ω) ↔ x ∈ Gcod

Σ01(c)ω,ω .

278 Capıtulo 8. Conjuntos hiperaritmeticos

Supongamos que se cumple para Σ0n y veamoslo para Π0

n. SeaG ∈ Σ0n(X×N)

un conjunto N-universal para Σ1n(X) asociado a la funcion codΣ0

n: N −→ N.

Entonces G′ = (X ×N) \G es N-universal para Π0n(X).

Sea a ∈ N recursivo tal que aN×ω,ω(c, n) = codΣ0n(c1ω,ω)ω,ω y defini-

mos codΠ0n(c) = SN,ω,ω(c, a). Ası, si c ∈ C(Π0

n), tenemos que

codΠ0n(c)ω,ω(k) = aN×ω,ω(c, k) = codΣ0

n(c1ω,ω)ω,ω(k),

luego la funcion codΠ0n(c)ω,ω es total y, como c1ω,ω ∈ C(Σ0

n),

x ∈ πX(c) ↔ x /∈ πX(c1ω,ω) ↔ (x, codΣ0n(c1ω,ω)ω,ω) /∈ G

↔ (x, codΠ0n(c)ω,ω) ∈ G′ ↔ x ∈ G′

codΠ0n(c)ω,ω

.

Supongamos que se cumple el teorema para Π0n y veamoslo para Σ0

n+1. Sea

G ⊂ X ×N un conjunto N-universal para Π0n(X) correspondiente a la funcion

codΠ0n, de modo que el conjunto

G′(x, y) ↔∨

k ∈ ω (x, yk) ∈ G

es Σ0n+1 y N-universal para Σ0

n+1(X). Sea a ∈ N recursivo tal que

aN×ω,ω(c, k) = codΠ0n(c1ω,N(k20))

ω,ω(k21).

Definimos codΣ0n+1

(c) = SN,ω,ω(c, a). Ası, si c ∈ C(Π0n), tenemos que

codΣ0n+1

(c)ω,ω(k) = aN×ω,ω(c, k) = codΠ0n(c1ω,N(k20))

ω,ω(k21).

En particular, esto prueba que la funcion codΣ0n+1

(c)ω,ω es total. La igualdad

anterior equivale a que, para todo par (k, i) ∈ ω2,

codΣ0n+1

(c)ω,ω(〈k, i〉) = codΠ0n(c1ω,N(k))ω,ω(i).

o, tambien:codΣ0

n+1(c)ω,ωk = codΠ0

n(c1ω,N(k))ω,ω.

Por lo tanto:

x ∈ πX(c) ↔∨

k ∈ ω x ∈ πX(c1ω,N(k)) ↔∨

k ∈ ω G(x, codΠ0n(c1ω,N(k))ω,ω)

↔∨

k ∈ ω G(x, codΣ0n+1

(c)ω,ωk ) ↔ G′(x, codΣ0n+1

(c)ω,ω)

↔ x ∈ G′cod

Σ0n+1

(c)ω,ω.

Ya estamos en condiciones de definir jerarquıa hiperaritmetica, pero antesdemostramos el teorema siguiente, que garantizara que los primeros conjuntosde dicha jerarquıa son los de la jerarquıa aritmetica que ya tenemos definida:

8.2. Conjuntos hiperaritmeticos 279

Teorema 8.13 Sea Γ una de las clases de Kleene Σ0n, Π

0n y sea a ∈ N. Entonces

Γ(a)(X) = πX(c) | c ∈ C(Γ) ∧ c es recursivo en a.

Demostracion: Si c ∈ C(Γ) es recursivo en a, como codΓ es recursiva,el teorema 6.29 nos da que codΓ(c) es recursivo en c, luego en a, por lo queb = codΓ(c)

ω,ω es tambien recursivo en a. Si G es el conjunto N-universalsobre Γ(X) dado por el teorema anterior, πX(c) = Gb ∈ Γ(b) ⊂ Γ(a).

La ultima inclusion para Σ0n se deduce de 6.29 c), pues Σ0

n(a) es cerradopara sustituciones Σ0

n(a)-recursivas por la propiedad de sustitucion. A su vez,la inclusion Σ0

n(b) ⊂ Σ0n(a) implica inmediatamente la inclusion Π0

n(b) ⊂ Π0n(a).

Con esto tenemos probada una inclusion. Recıprocamente, si A ∈ Γ(a)(X),

entonces existe B ∈ Γ(X × N) tal que A = Ba = πX(c), donde c = proyX,NB (a)es recursivo en a (teorema 8.10 g).

Definicion 8.14 Para cada ordinal 1 ≤ α < ω1, cada a ∈ N y cada espacioproducto X , definimos

C(Σ0α(a)) = c ∈ C(Σ0

α) | c es recursivo en a,

C(Π0α(a)) = c ∈ C(Π0

α) | c es recursivo en a,

Σ0α(a)(X) = πX(c) | c ∈ C(Σ0

α(a)), Π0α(a)(X) = πX(c) | c ∈ C(Π0

α(a)),

∆0α(a) = Σ0

α(a) ∩ Π0α(a).

Cuando a es recursivo escribimos simplemente Σ0α, Π

0α y ∆0

α.

El teorema anterior prueba que para α < ω las clases que acabamos dedefinir son las clases de Kleene que ya tenıamos definidas.

Es facil ver que Π0α(a) = ¬Σ0

α(a), pero en general no es cierto que Σ0α(a) sea

la relativizacion de Σ0α. La suprayectividad de las aplicaciones πX implica que

Σ0α =

⋃

a∈N

Σ0α(a), Π0

α =⋃

a∈N

Π0α(a), ∆0

α =⋃

a∈N

∆0α(a).

En realidad la ultima igualdad se apoya en que las clases que acabamos dedefinir satisfacen las inclusiones “tıpicas”:

Teorema 8.15 Las clases Σ0α(a), Π

0α(a), ∆

0α(a) satisfacen las inclusiones

⊂∆1

1(a)⊂

Σ11(a)⊂

Π11(a)

⊂

∆12(a)

⊂Σ1

2(a)

⊂

Π12(a)

⊂

∆13(a)

⊂ Σ13(a)

⊂

Π13(a)

⊂∆1

4(a)

⊂ . . .

⊂ . . .

⊂

. . .⊂

280 Capıtulo 8. Conjuntos hiperaritmeticos

Demostracion: Si 2 ≤ α ≤ β < ω1, las inclusiones Σ0α(a) ⊂ Σ0

β(a) y

Π0α(a) ⊂ Π0

β(a) son consecuencia directa de las inclusiones correspondientes

entre los conjuntos de codigos: C(Σ0α(a)) ⊂ C(Σ0

β(a)) y C(Π0α(a)) ⊂ C(Π0

β(a)),

luego faltarıa probar que Σ01(a) ⊂ Σ0

2(a) y Π01(a) ⊂ Π0

2(a), pero estas clasespertenecen a la jerarquıa aritmetica y estas inclusiones ya las tenemos probadas.

La inclusion Π0α(a) ⊂ Σ0

α+1(a) es sencilla: si A ∈ Π0α(a)(X) existe un codigo

c ∈ C(Π0α(a)) tal que A = πX(c) = πX(iΣ(c)) ∈ Σ0

α+1(a), y tomando comple-mentos obtenemos que Σ0

α(a) ⊂ Π0α+1(a). De aquı se deducen inmediatamente

todas las demas inclusiones.

Definicion 8.16 Si a ∈ N, los conjuntos hiperaritmeticos en a son los elementosde la clase

Hip(a) =⋃

1≤α<ω1

Σ0α(a) =

⋃

1≤α<ω1

Π0α(a) =

⋃

1≤α<ω1

∆0α(a).

Equivalentemente, los conjuntos hiperaritmeticos en a son los conjuntos deBorel que admiten un codigo recursivo en a. Por consiguiente, es obvio que∆1

1 =⋃

a∈N

Hip(a). En la seccion siguiente demostraremos que ∆11(a) = Hip(a).

Ahora observamos que las inclusiones Σ0α(a) ⊂ Σ0

β(a) no pueden ser todasestrictas, pues ello significarıa que Hip(a)(X) es no numerable (para algun es-pacio X), pero de hecho es numerable, pues solo hay una cantidad numerablede funciones recursivas en un a ∈ N fijo.

El teorema siguiente nos ayudara a entender mejor la situacion:

Teorema 8.17 Existe una funcion v : N −→ N recursiva tal que si c ∈ CB, en-tonces

∧

n ∈ ω v(c)ω,ω(n)↓∧ v(c)ω,ω ∈ BO y si ‖v(c)ω,ω‖ = α, entoncesc ∈ C(Σ0

α) ∪ C(Π0α).

Demostracion: Sea u ∈ BO (recursivo) tal que ‖u‖ = 1. Tomamosb1, b2, b3 ∈ N recursivos tales que

b1N×N×ω,ω(c, a, n) = u(n),

b2N×N×ω,ω(c, a, n) =

1 si (n20)

21 ≤(n2

0)20(n2

0)21 ∧ (n2

1)21 ≤(n2

1)20(n2

1)21

∧ ((n20)

20 < (n2

1)20 ∨

((n20)

20 = (n2

1)20 ∧ (n2

0)21 ≤(n2

0)20(n2

1)21)

0 en otro caso,

b3N×N×ω,ω(c, a, n) = aN,N(c1ω,ω)ω,ω(n),

donde, en la definicion de b2, la expresion ≤k es una abreviatura por

≤aN,N(c1ω,N(k))ω,ω .

8.2. Conjuntos hiperaritmeticos 281

Para interpretar b2 debemos pensar en n como la codificacion de un par depares de numeros naturales:

n =⟨n20, n

21

⟩

2=

⟨⟨(n2

0)20, (n

20)

21

⟩

2,⟨(n2

1)20, (n

21)

21

⟩

2

⟩

2.

Si, para cada natural k tenemos definida una relacion de orden ≤k sobre unsubconjunto de ω, la funcion que define b2 define la suma lexicografica de dichasrelaciones de orden, es decir para que el par

⟨(n2

0)20, (n

20)

21

⟩

2sea menor o igual

que el par⟨(n2

1)20, (n

21)

21

⟩

2se ha de cumplir que las segundas componentes esten

en los dominios de las relaciones asociadas a las primeras componentes, que laprimera componente del primer par sea menor que la del segundo o que, en casode que coincidan, que la segunda componente del primer par sea menor o igualque la segunda componente del segundo par respecto de la relacion asociada ala primera componente comun.

Definimos la funcion recursiva

g(c, a)(n) =

SN×N,ω,ω(c, a, b1)(n) si c(0) = 0,SN×N,ω,ω(c, a, b2)(n) si c(0) = 1,SN×N,ω,ω(c, a, b3)(n) si c(0) = 2.

Por el teorema de recursion existe un a ∈ N recursivo tal que

v(c) = aN,N(c) = g(a, c).

Ası, la funcion v : N −→ N es recursiva. Vamos a ver que cumple lo pedido.Tomemos primeramente c ∈ C(Σ0

1). Entonces c(0) = 0, luego tenemos quev(c) = SN×N,ω,ω(c, a, b1), luego

v(c)ω,ω(n) = b1N×N×ω,ω(c, a, n) = u(n),

luego la funcion v(c)ω,ω = u es total, ‖v(c)ω,ω‖ = ‖u‖ = 1 y, en efecto,c ∈ C(Σ0

1), como exige el enunciado.

Supongamos ahora que el teorema es cierto para codigos de ordinal < α ysupongamos que c ∈ C(Σ1

α). Entonces c(0) = 1, luego v(c) = SN×N,ω,ω(c, a, b2),luego

v(c)ω,ω(n) = b2N×N×ω,ω(c, a, n).

Ahora observamos que la funcion c1ω,ω es total y cada k ∈ ω tenemosque c1ω,ω(k) ∈ C(Π0

β), para un β < α, luego, por hipotesis de induccion estadefinido

v(c1ω,ω(k))ω,ω = aN,N(c1ω,ω(k))ω,ω ∈ BO

y, si βk = ‖v(c1ω,ω(k))ω,ω‖, entonces c1ω,ω(k) ∈ C(Π0βk).

Esto a su vez garantiza que esta definido b2N×N×ω,ω(c, a, n). Por lo tanto,

la funcion v(c)ω,ω es total y, segun hemos explicado, codifica la suma lexi-cografica de los buenos ordenes codificados por los codigos v(c1ω,ω(k))ω,ω,luego es un buen orden, y ası v(c)ω,ω ∈ BO. Si llamamos α′ = ‖v(c)ω,ω‖,

282 Capıtulo 8. Conjuntos hiperaritmeticos

tenemos que α′ es el ordinal de un conjunto ordenado que contiene subconjuntosde ordinal βk. Como hay infinitos βk y ninguno de ellos es nulo, concluimos queβk < α′, luego c ∈ C(Σ0

α′).

Por ultimo, supongamos que v cumple el teorema para codigos C(Σ0α) y

veamos que lo cumple cuando c ∈ C(Π0α). En tal caso c(0) = 2, luego v(c) =

SN×N,ω,ω(c, a, b3), luego

v(c)ω,ω(n) = b3N×N×ω,ω(c, a, n) = aN,N(c1ω,ω)ω,ω(n).

Pero c1ω,ω es un codigo en C(Σ0α), luego por hipotesis de induccion esta

definidoaN,N(c1ω,ω)ω,ω = v(c1ω,ω)ω,ω ∈ CB

y si α′ = ‖v(c1ω,ω)‖ entonces c1ω,ω ∈ C(Σ0α′).

En particular vemos que la funcion v(c)ω,ω = v(c1ω,ω)ω,ω es total,‖v(c)ω,ω‖ = α′ y, ciertamente, c ∈ C(Π0

α′).

Como consecuencia:

Teorema 8.18 Para cada a ∈ N se cumple que

Hip(a) =⋃

1≤α<ωa1

Σ0α(a) =

⋃

1≤α<ωa1

Π0α(a) =

⋃

1≤α<ωa1

∆0α(a).

Demostracion: Observemos que la funcion parcial N −→ N dada porx 7→ xω,ω (que esta definida para aquellos x tales que la funcion xω,ω estotal), es recursiva parcial. En efecto, si esta definida en x, tenemos que

xω,ω ∈ Bn ↔∧

i < ℓ(n) xω,ω(i) = ni

↔∧

i < ℓ(n)∨

k(k = ni ∧ Uω,ω(i, x) ∈ Bk)

↔∧

i < ℓ(n)∨

k(k = ni ∧ Gω×ω(k, i, x)),

luego el conjunto semirrecursivo

P (n, x) ↔∧

i < ℓ(n)∨

k(k = ni ∧ Gω×ω(k, i, x))

computa la funcion en su dominio.

Ahora, si A ∈ Hip(a)(X), existe un c ∈ CB recursivo en a tal que A = πX(c).Entonces v(c) es tambien recursivo en a y b = v(c)ω,ω ∈ BO es recursivo env(c), luego en a. Por consiguiente β = ‖b‖ < ωa1 y c ∈ C(Σ0

β) ∪ C(Π0β), luego

A = πX(c) ∈ ∆0β+1(a), y tambien β + 1 < ωa1 .

Del teorema 8.11 se sigue facilmente que las clases Σ0α(a) son cerradas para

sustituciones recursivas. Para 1 ≤ α < ωa1 se cumple tambien que estan ω-parametrizadas, pero no estamos en condiciones de probarlo. Nos limitaremosa demostrar que estan N-parametrizadas. La prueba es un refinamiento de laconstruccion empleada en el teorema 4.10:

8.2. Conjuntos hiperaritmeticos 283

Teorema 8.19 Sea a ∈ N y sea 1 ≤ α < ωa1 . Entonces la clase Σ0α(a) esta

N-parametrizada.

Demostracion: Basta probar que existe un conjunto N-universal paraΣ0α(a)(N). Sea x ∈ BO recursivo en a tal que ‖x‖ > α. Definimos

x′(n) =

0 si n = 0 ∨ (n2

0 = 0 ∧ n21 6= 0 ∧ n2

1 − 1 ≤x n21 − 1)

∨ (n20 6= 0 ∧ n2

1 6= 0 ∧ n20 − 1 ≤x n

21 − 1),

1 en otro caso

Claramente x′ ∈ BO es recursivo en a, ‖x′‖ = 1 + ‖x‖ > α y ademas 0 es elmınimo para la relacion ≤x′ . A su vez definimos

x′′(n) =

0 si (n20)

20 ≤x′ (n2

1)20 ∧ ((n2

0)20 = (n2

1)20 → (n2

0)21 ≤ (n2

1)21),

1 en otro caso.

Observemos que x′′ es recursivo en a y codifica el buen orden lexicograficodefinido por ≤x′ y el orden usual en ω. Por consiguiente, vemos que x′′ ∈ BOy ‖x′′‖ = ω · ‖x′‖ ≥ ‖x′‖ > α. Sustituyendo x por x′′ podemos exigir que lasemejanza s : ‖x‖ −→ (Cx,≤x) cumpla lo siguiente:

a) s(0) = 0.

b)∧

δ < ‖x‖ s(δ)21 6= 0.

c)∧

λ < ‖x‖(λ lımite → s(λ)21 = 0).

Definimos una funcion Σ01(a)-recursiva parcial mediante

sc(n, 0) =

0 si n2

1 = 0,⟨n20, n

21 − 1

⟩

2si n2

1 6= 0,

sc(n, k + 1) =

sc(n, k) si n = 0 ∨ n21 6= 0,

µm(m > sc(n, k) ∧ m ≤x m) en otro caso.

Ası, si n ∈ Cx, la sucesion sc(n, k)k∈ω esta definida para todo k, es constanteigual a 0 si n = 0, es constante igual al anterior de n respecto de ≤x cuandoexiste dicho anterior, y recorre todos los elementos anteriores a n respecto de≤x si n no tiene un inmediato anterior. Ası pues, salvo cuando n = 0 se tratade una sucesion cofinal en la seccion inicial determinada por n respecto a ≤x.

Sea a1 ∈ N recursivo en a tal que a1ω×ω,ω(n, k) = sc(n, k). Ası,

Sω,ω,ω(n, a1)ω,ω(k) = sc(n, k).

Para cada k ∈ ω, consideramos la funcion recursiva fk : N × N −→ N × N

dada por fk(y, x) = (yk, x) (donde yk(j) = y(〈k, j〉2). La prueba del teorema8.11 se adapta sin dificultad para demostrar que existe una funcion recursivav : ω ×N −→ N tal que si c ∈ C(Π0

δ), entonces v(k, c) ∈ C(Π0δ) y

πN×N(v(k, c)) = f−1k [πN×N(c)].

284 Capıtulo 8. Conjuntos hiperaritmeticos

Sea a2 ∈ N recursivo en a tal que

a2N×ω×ω,N(c, n, k) = v(k, comp(cω,N(Sω,ω,ω(n, a1)

ω,ω(k)))).

Sea a0 ∈ C(Σ01) tal que π

N×N(a0) sea un conjunto N-universal para Σ01(N).

Consideramos la funcion Σ01(a)-recursiva parcial dada por

g(n, c) =

a0 si n = 0 ∨ n = 1(= 〈0, 1〉2),Un(SN×ω,ω,N(c, n, a2)) en otro caso.

Por el teorema de recursion existe un c ∈ N recursivo en a que cumplef(n) = cω,N(n) = g(n, c). Vamos a probar que f esta definida para todon ∈ Cx o, equivalentemente, siempre que n = s(δ), con δ < ‖x‖ y que, si δ 6= 0,f(s(δ)) ∈ C(Σ0

δ(a)). Llamaremos Uδ = πN×N(f(s(δ))).Razonamos por induccion sobre δ. Si δ = 0 o δ = 1 tenemos que f(δ) = a0,

luego f(δ) ∈ C(Σ01(a)). Supongamos ahora que para todo γ < δ se cumple que

f(s(γ)) ∈⋃

1≤ǫ<δ

C(Σ0ǫ (a)).

Llamando n = s(δ), tenemos que Sω,ω,ω(n, a1)ω,ω(k) es de la forma s(γ),

para cierto γ < δ, luego, por hipotesis de induccion esta definido

cω,N(Sω,ω,ω(n, a1)ω,ω(k)) ∈

⋃

1≤ǫ<δ

C(Σ0ǫ (a)),

luegocomp(cω,N(Sω,ω,ω(n, a1)

ω,ω(k))) ∈⋃

1≤ǫ<δ

C(Π0ǫ (a)),

luego

v(k, comp(cω,N(Sω,ω,ω(n, a1)ω,ω(k)))) ∈

⋃

1≤ǫ<δ

C(Π0ǫ (a)).

Equivalentemente,

SN×ω,ω,N(c, n, a2)ω,N(k) = a2

N×ω×ω,N(c, n, k)

esta definido para todo k y esta en⋃

1≤ǫ<δ

C(Π0ǫ (a), lo cual implica que

g(n, c) = Un(SN×ω,ω,N(c, n, a2))

esta definido y pertenece a C(Σ0δ(a)), como habıa que probar. Mas precisamente,

vemos queUδ =

⋃

k∈ω

πN×N(a2N×ω×ω,N(c, n, k))

=⋃

k∈ω

f−1k [πN×N(comp(cω,N(Sω,ω,ω(n, a1)

ω,ω(k))))]

=⋃

k∈ω

f−1k [(N ×N) \ πN×N(f(Sω,ω,ω(n, a1)

ω,ω(k)))]

=⋃

k∈ω

f−1k [(N ×N) \ Uδk ],

8.3. El teorema de Suslin-Kleene 285

donde δkk∈ω es una sucesion cofinal en δ. Equivalentemente,

Uδ = (y, x) ∈ N ×N |∨

k ∈ ω ((yk, x) /∈ Uδk).

Como la funcion f : ω −→ N es Σ01(a)-recursiva parcial, es inmediato que

Uδ ∈ Σ0δ(a), y ahora una simple induccion demuestra que es N-universal para

Σ0δ(N). (De hecho, el argumento es exactamente el mismo empleado en el

teorema 5.40.)

Ahora el mismo argumento del teorema 4.11 (aplicado a N en lugar de a C yusando de las clases hiperaritmeticas son cerradas para sustituciones recursivasen lugar de continuas), nos da el teorema siguiente:

Teorema 8.20 Si a ∈ N, las inclusiones entre las clases de la jerarquıa de losconjuntos hiperaritmeticos en a son estrictas para ordinales 1 ≤ α < ωa1 .

Notemos que la demostracion del teorema anterior prueba, concretamente,que la jerarquıa hiperaritmetica es estricta sobre el espacio N y, en general, so-bre los espacios producto no numerables (puesto que son recursivamente homeo-morfos a N). Segun indicabamos, puede probarse que las clases hiperaritmeticasestan ω-parametrizadas y esto implica que la jerarquıa hiperaritmetica tambienes estricta en ω y, en general, en todos los espacios producto, pero no vamos aprobarlo aquı (ni tampoco vamos a usar este hecho en ningun momento).

En particular, puesto que la clase de los conjuntos aritmeticos en a ∈ N

esta contenida en la clase ∆0ω(a), hemos demostrado que existen subconjuntos

hiperaritmeticos de N que no son aritmeticos.

No vamos a demostrar mas propiedades de las clases de la jerarquıa hiper-aritmetica, pues no las vamos a necesitar y las demostraciones se reducen atediosas manipulaciones de codigos, pero no es difıcil demostrar, sin mas querefinar sistematicamente argumentos que ya hemos empleado, que todas lasclases Σ0

α(a) y Π0α(a) son adecuadas, que las primeras son cerradas para

∨

n ylas segundas lo son para

∧

n y que Σ0α(a) es la relativizacion de Σ0

α si α < ωck1 ,

pero no en caso contrario.

8.3 El teorema de Suslin-Kleene

En esta seccion demostraremos que la clase Hip(a) de los conjuntos aritmeti-cos en a no es sino la clase ∆1

1(a), en perfecta analogıa con el teorema de Suslinque caracteriza a la clase de los conjuntos de Borel como la clase ∆1

1.

Definicion 8.21 Para cada espacio producto X , fijamos un conjunto GX quesea Σ1

1 y N-universal para Σ11(X) segun 6.54. Un codigo ∆1

1 en X es un c ∈ N

tal que GXc20

= X \GXc21.

Llamaremos CX(∆11) al conjunto de todos los codigos ∆1

1 en el espacio Xy pX : CX(∆1

1) −→ ∆11(X) a la aplicacion (obviamente suprayectiva) dada por

pX(c) = GXc20.

286 Capıtulo 8. Conjuntos hiperaritmeticos

Llamaremos CX(∆11(a)) al conjunto de todos los codigos ∆1

1 en X que sonrecursivos en a.

Segun el teorema 6.54 (vease la nota al pie en la demostracion), tenemos quela restriccion pX : CX(∆1

1(a)) −→ ∆11(a)(X) es suprayectiva.

Veamos la parte trivial de la igualdad que nos proponemos demostrar:

Teorema 8.22 Para cada espacio producto X existe una funcion u : N −→ N

recursiva tal que si c ∈ CB, entonces u(c) ∈ CX(∆11) y π

X(c) = pX(u(c)). Porlo tanto, Hip(a) ⊂ ∆1

1(a).

Demostracion: Sea D =⋃

n∈ωn + 1 × BXn ∈ Σ0

1(ω × X). Existe a ∈ N

recursivo tal que D = Gω×Xa . Observemos que D0 = ∅ y que Dn+1 = BXn . Porlo tanto, usando 6.54:

x ∈ BXn ↔ (n+ 1, x) ∈ D ↔ (n+ 1, x, a) ∈ Gω×X ↔ (x, Sω,X(n+ 1, a)) ∈ GX

↔ x ∈ GXSω,X (n+1,a).

Igualmente se prueba que GXSω,X (0,a) = ∅. Analogamente, partiendo del

conjunto⋃

n∈ωn+ 1 × (X \BXn ) obtenemos un b ∈ N recursivo tal que

GXSω,X (n+1,b) = X \BXn , GXSω,X (0,b) = X.

Sea u0(n) =⟨Sω,X(n, a), Sω,X(n, b)

⟩

2∈ CX(∆1

1). Por construccion tenemos

claramente que pX(u0(n)) = πX0 (n).

Definimos los conjuntos

P (x, c) ↔∨

n (c1ω,ω(n)↓∧ GX(x, u0(c1ω,ω(n))20)),

Q(x, c) ↔∧

n (c1ω,ω(n)↓∧ GX(x, u0(c1ω,ω(n))21)).

Observemos que

c1ω,ω(n)↓↔ Uω,ω(n, c1)↓↔∨

m ∈ ω∧

k ∈ ω(m = k ↔ Gω×ω(k, n, c1))

y la ultima expresion es claramente Σ11, luego P y Q son Σ1

1. Por lo tanto,existen b1, b2 ∈ N recursivos tales que

P (x, c) ↔ GX×N(x, c, b1), Q(x, c) ↔ GX×N(x, c, b2).

Sea u1(c) =⟨SX,N(c, b1), S

X,N(c, b2)⟩

2. Claramente u1 es una funcion re-

cursiva.

Sean ahora

P ′(x, c, a) ↔∨

n(aN,N(c1ω,N(n))↓∧ GX(x, aN,N(c1ω,N(n))20)),

8.3. El teorema de Suslin-Kleene 287

Q′(x, c, a) ↔∧

n(aN,N(c1ω,N(n))↓∧ GX(x, aN,N(c1ω,N(n))10)),

que tambien son Σ11, luego existen b′1, b

′2 ∈ N recursivos tales que

P ′(x, c, a) ↔ GX×N×N(x, c, a, b′1), Q′(x, c, a) ↔ GX×N×N(x, c, a, b′2).

Definimos u2(c, a) =⟨SN×N,X(c, a, b′1), S

N×N,X(c, a, b′2)⟩

2, recursiva.

Similarmente, definimos

P ′′(x, c, a) ↔ aN,N(c1ω,ω)↓∧ GX(x, aN,N(c1ω,ω)21),

Q′′(x, c, a) ↔ aN,N(c1ω,ω)↓∧ GX(x, aN,N(c1ω,ω)20),

que tambien son Σ11, luego existen b′′1 , b

′′2 ∈ N recursivos tales que

P ′′(x, c, a) ↔ GX×N×N(x, c, a, b′′1), Q′′(x, c, a) ↔ GX×N×N(x, c, a, b′′2).

Definimos u3(c, a) =⟨SN×N,X(c, a, b′′1), S

N×N,X(c, a, b′′2)⟩

2, recursiva.

Por ultimo definimos g : N ×N −→ N mediante

g(c, a) =

u1(c) si c(0) = 0,u2(c, a) si c(0) = 1,u3(c, a) si c(0) = 2,

claramente recursiva. Por el teorema de recursion existe un a ∈ N recursivo talque

u(c) = aN,N(c) = g(c, a).

Vamos a probar que la funcion u (claramente recursiva) cumple lo pedido.

Sea c ∈ C(Σ01). Entonces c(0) = 0, luego u(c) = u1(c). En consecuencia:

x ∈ πX(c) ↔ x ∈⋃

n∈ωπX0 (c1ω,ω(n)) ↔

∨

n ∈ ω x ∈ GXSω,X (c1ω,ω(n),a)

↔∨

n ∈ ω GX(x, u0(c1ω,ω(n))20) ↔ P (x, c) ↔ GN×X(x, c, b1)

↔ GX(x, SX,N(c, b1)) ↔ x ∈ GXu1(c)20.

Ası pues πX(c) = GXu1(c)20

, e igualmente:

x ∈ πX(c) ↔ x ∈⋃

n∈ωπX0 (c1ω,ω(n)) ↔

∨

n ∈ ω x /∈ GXSω,X (c1ω,ω(n),b)

↔∨

n ∈ ω ¬GX(x, u0(c1ω,ω(n))21) ↔ ¬Q(x, c) ↔ ¬GN×X(x, c, b1)

↔ ¬GX(x, SX,N(c, b1)) ↔ x ∈ X \GXu1(c)21.

luego πX(c) = X \GXu(c)21

. Esto prueba que u(c) ∈ CX(∆11) y π

X(c) = pX(u(c)).

288 Capıtulo 8. Conjuntos hiperaritmeticos

Supongamos que u cumple el teorema para codigos en C(Π0β), con β < α y

veamos que tambien lo cumple si c ∈ C(Σ0α), con α > 1. Entonces c(0) = 1,

luego u(c) = u2(c, a).

x ∈ πX(c) ↔ x ∈⋃

n∈ωπX(c1ω,N(n)) =

⋃

n∈ωpX(u(c

1ω,N(n)))

↔∨

n ∈ ω x ∈ GXu(c1ω,N(n))20↔

∨

n ∈ ω GX(x, (aN,N(c1ω,N(n)))20)

↔ P ′(x, c, a) ↔ GX×N×N(x, c, a, b′1) ↔ GX(x, SN×N,X(c, a, b′1))

↔ x ∈ GXu2(c,a)20↔ x ∈ GXu(c)20

,

luego πX(c) = GXu(c)20

, y analogamente πX(c) = X \ GXu(c)21

. Esto prueba que

u(c) ∈ CX(∆11) y π

X(c) = pX(u(c)).

Por ultimo, supongamos que u cumple el teorema para codigos en C(Σ0α)

y veamos que tambien lo cumple si c ∈ C(Π0α). En tal caso c(0) = 2, luego

u(c) = u3(c, a).

x ∈ πX(c) ↔ x ∈ X \ πX(c1ω,ω) ↔ x ∈ X \ pX(u(c1ω,ω))

↔ x ∈ GXu(c1ω,ω)21↔ GX(x, (aN,N(c1ω,ω))21) ↔ P ′′(x, c, a)

↔ GX×N×N(x, c, a, b′′1 ) ↔ GX(x, SN×N,X(c, a, b′′1))

↔ x ∈ GXu3(c,a)20↔ x ∈ GXu(c)20

,

luego πX(c) = GXu(c)20

, y analogamente πX(c) = X\GXu(c)21

, luego u(c) ∈ CX(∆11)

y πX(c) = pX(u(c)).

El resultado principal es el analogo efectivo del teorema de Suslin segun elcual todo par de conjuntos analıticos disjuntos puede separarse por un conjuntode Borel:

Teorema 8.23 (Suslin-Kleene) Para cada espacio X existe una funcion re-cursiva v : N × N −→ N tal que si c, d ∈ N cumplen GXc ∩ GXd = ∅ entoncesv(c, d) ∈ CB y si B = πX(v(c, d)) entonces GXc ⊂ B, GXd ⊂ X \B.

Demostracion: Lo demostraremos primero para X = N. Llamamos

P = n ∈ ω | ℓ(n20) = ℓ(n2

1), T = n ∈ ω | ℓ(n30) = ℓ(n3

1) = ℓ(n32).

Un arbol binario sera un conjunto A ⊂ P tal que, para todo x, y ∈ N, si〈x(n), y(n)〉2 ∈ A y m ≤ n, entonces 〈x(m), y(m)〉2 ∈ A. Analogamente sedefine un arbol ternario.

Consideramos las relaciones recursivas siguientes:

n ⊂ m↔ ℓ(n) ≤ ℓ(m) ∧∧

i < ℓ(n) ni = mi

n <3 m↔ n30 m3

0 ∧ n31 m3

1 ∧ n32 m3

2

8.3. El teorema de Suslin-Kleene 289

r = n ∗m↔ ℓ(r) = ℓ(n) + 1 ∧ n ⊂ r ∧ rℓ(n) = m

n ∗2 m =⟨n20 ∗m

20, n

21 ∗m

21

⟩

2, n ∗3 m =

⟨n30 ∗m

30, n

21 ∗m

31, n

32 ∗m

32

⟩

3.

Si A es un arbol binario y n ∈ P , definimos

An = m ∈ A | (n20 ⊂ m2

0 ∧ n21 ⊂ m2

1) ∨ (m20 ⊂ n2

0 ∧ m21 ⊂ n2

1),

p(A) = v ∈ N |∨

w ∈ N∧

n ∈ ω 〈v(n), w(n)〉2 ∈ A.

Diremos que un x ∈ N codifica un arbol A si x = χA.

Si A y B son arboles binarios, podemos construir el arbol ternario J dadopor:

J = 〈u, v, w〉3 | 〈u, v〉2 ∈ A ∧ 〈u,w〉2 ∈ B.

Sean f1(m) =⟨m3

0,m31

⟩

2, f2(m) =

⟨m3

0,m32

⟩

2recursivas, de modo que

n ∈ J ↔ f1(n) ∈ A ∧ f2(n) ∈ B.

Sea j : N ×N −→ N la funcion recursiva dada por

j(x, u)(n) =

1 si ℓ(n30) = ℓ(n3

1) = ℓ(n32) ∧ x(f1(n)) = 1 ∧ y(f2(n)) = 1,

0 en otro caso.

Ası, si x = χA, y = χ

B, entonces j(x, y) = χ

J.

Sea GN el conjunto N-universal para Σ11(N) segun 6.54. Sea B ∈ Π0

1 tal que

GN(u, v) ↔∨

w ∈ N B(u, v, w).

Por 6.11 existe un P ⊂ ω4 recursivo tal que

¬B(u, v, w) ↔∨

m P (u(m), v(m), w(m),m)

yP (u(m), v(m), w(m),m) ∧ m ≤ m′ → P (u(m′), v(m′), w(m′),m′).

Para cada u ∈ N definimos

Au = 〈s, t〉2 |∨

n ∈ ω(ℓ(s) = ℓ(t) = n ∧ ¬P (u(n), s, t, n)).

Claramente Au es un arbol binario. Ahora observamos que

v ∈ GN

u ↔ (u, v) ∈ GN ↔∨

wB(u, v, w) ↔∨

w∧

n¬P (u(n), v(n), w(n), n)

↔∨

w∧

n 〈v(n), w(n)〉2 ∈ Au ↔ v ∈ p(Au).

Ası pues, GNu = p(Au).

Sea g : N −→ N la funcion recursiva dada por

g(u)(n) =

1 si∨

stn(ℓ(s) = ℓ(t) = n ∧ ¬P (u(n), s, t, n) ∧ n = 〈s, t〉2),0 en otro caso.

290 Capıtulo 8. Conjuntos hiperaritmeticos

Ası, g(u) = χAu. Definimos

p1N×ω3,N(a, r, s, t) = In(Sω

3,ω,N(r, s, t, a)),

p2N×ω2,N(a, r, s) = In(SN×ω2,ω,N(a, r, s, p1)),

p3N×ω,N(a, r) = Un(SN×ω,ω,N(a, r, p2)), p(a) = Un(SN,ω,N(a, p3)).

Ası, p : N −→ N recursiva y si a ∈ N cumple que

∧

rstu ∈ ω aω4,N(r, s, t, u) ∈ CB

y πN(aω4,N(r, s, t, u)) = Drstu, entonces p(a) ∈ CB y

πN(p(a)) =⋃

r,s∈ω

⋂

t,u∈ωDrstu.

En efecto: aω4,N(r, s, t, u) = Sω

3,ω,N(r, s, t, a)ω,N(u), luego

πN(p1N×ω3,N(a, r, s, t)) =

⋂

u∈ωDrstu.

A su vez, p1ω3,N(a, r, s, t) = SN×ω2,ω,N(a, r, s, p1)

ω,N(t), luego

πN (p2N×ω2,N(a, r, s)) =

⋂

t,u∈ωDrstu.

Igualmente, p2N×ω2,N(a, r, s) = SN×ω,ω,N(a, r, p2)

ω,N(s), luego

πN(p3N×ω,N(a, r)) =

⋃

s∈ω

⋂

t,u∈ωDrstu.

Por ultimo,p3

N×ω,N(a, r) = SN,ω,N(a, p3)ω,N(r),

luegoπN(p(a)) =

⋃

r,s∈ω

⋂

t,u∈ωDrstu.

Veamos ahora que existe una funcion recursiva d2 : ω × ω −→ N tal que,para todo n, r ∈ ω, d2(n, r) ∈ CB y

πN(d2(n, r)) = z ∈ N | z(ℓ(n30)) = r.

Para ello consideramos el conjunto

An,r = m ∈ ω | ℓ(m) = ℓ(n30) + 1 ∧ mℓ(n3

0)= r.

Es facil construir una funcion recursiva h : ω3 −→ ω tal que

An,r = h(k, n, r) | k ∈ ω.

8.3. El teorema de Suslin-Kleene 291

(Basta definir h(0, n, r) como el mınimo elemento de An,r y h(k + 1, n, r) comoel mınimo elemento de An,r mayor que h(k, n, r).)

Podemos tomar a ∈ N recursivo tal que aω,N(n, r, k) = Bas(h(k, n, r)+1).

Ası, d2(n, r) = Un(Sω2,ω,N(n, r, a)) cumple lo pedido, pues

Sω2,ω,N(n, r, a)ω,N(k) = Bas(h(k, n, r) + 1) ∈ CB,

luegoπN(d2(n, r)) =

⋃

k∈ω

BN

h(k,n,r) =⋃

m∈A

BNm

es el conjunto requerido.

Seguidamente definimos una funcion parcial d : N3 × ω5 −→ N como sigue:

a) Si r = t y j(x, y)(n ∗3 〈r, s, u〉3) = 1, entonces

d(x, y, a, n, r, s, t, u) = aω×N2,N(n ∗3 〈r, s, u〉3 , x, y).

b) Si r = t y x(f1(n ∗3 〈r, s, u〉3)) 6= 1 entonces d(x, y, a, n, r, s, t, u) = d0,donde d0 ∈ CB es un codigo recursivo tal que πN(d0) = ∅.

c) Si r = t y no se cumplen los casos anteriores, d(x, y, a, n, r, s, t, u) = d1,donde d1 ∈ CB es un codigo recursivo tal que πN(d1) = N.

d) Si r 6= t, entonces d(x, y, a, n, r, s, t, u) = d2(n, r).

Claramente d es recursiva parcial, luego existe un d ∈ N recursivo tal que

d(x, y, a, n, r, s, t, u) = dω5×N

3,N(x, y, a, n, r, s, t, u)

= SN3×ω,ω4,N(x, y, a, n, d)ω

4,N(r, s, t, u).

Sea h : ω ×N3 −→ N la funcion recursiva dada por

h(n, x, y, a) = p(SN3×ω,ω4,N(x, y, a, n, d)).

Por el teorema de recursion existe un a ∈ N recursivo tal que

q(n, x, y) = aω×N2,N(n, x, y) = h(n, x, y, a).

De este modo, la funcion q : ω ×N2 −→ N es recursiva.

Consideremos ahora dos arboles binarios A y B tales que p(A) ∩ p(B) = ∅.Sean x = χ

A, y = χ

By sea J el arbol ternario construido a partir de A y B, de

modo que j(x, y) = χJ.

Observemos que la inversa de <3 esta bien fundada en J , pues lo contrariosignifica que existen u, v, w ∈ N tales que

∧

n ∈ ω 〈u(n), v(n), w(n)〉3 ∈ J,

y entonces∧

n 〈u(n), v(n)〉2 ∈ A,∧

n 〈u(n), w(n)〉2 ∈ B, luego u ∈ p(A)∩p(B).

292 Capıtulo 8. Conjuntos hiperaritmeticos

Vamos a ver que si n ∈ J entonces q(n, x, y) ∈ CB y si Cn = πN(q(n, x, y)),entonces p(Af(n)) ⊂ Cn, p(Bg(n)) ⊂ N \ Cn.

Para ello observamos que

p(Af1(n)) =⋃

r,s∈ωp(Af1(n)∗2〈r,s〉2

), p(Bf2(n)) =⋃

t,u∈ωp(Bf2(n)∗2〈t,u〉2

),

por lo que es suficiente demostrar que d(x, y, a, n, r, s, t, u) ∈ CB y que Drstu =πN(d(x, y, a, n, r, s, t, u)) separa a p(Af1(n)∗2〈r,s〉2

) de p(Bf2(n)∗2〈t,u〉2), pues en-

tonces

Cn = πN(q(n, x, y)) = πN(p(SN3×ω,ω4,N(x, y, a, n, d))) =

⋃

r,s∈ω

⋂

t,u∈ωDrstu

separa a p(Af1(n)) de p(Bf2(n)).

Lo demostramos por induccion sobre la inversa de <3. Distinguimos casossegun la definicion de d:

a) Si r = t y j(x, y)(n ∗3 〈r, s, u〉3) = 1, entonces, n ∗3 〈r, s, u〉3 ∈ J , luego,por hipotesis de induccion,

d(x, y, a, n, r, s, t, u) = q(n ∗3 〈r, s, u〉3 , x, y) ∈ CB

y Drstu = Cn∗3〈r,s,u〉3separa a p(Af1(n)∗2〈r,s〉2

) = p(Af1(n∗3〈r,s,u〉3)) de

p(Bf2(n)∗2〈t,u〉2) = p(Bf2(n∗3〈r,s,u〉3)

).

b) Si r = t y x(f1(n ∗3 〈r, s, u〉3)) 6= 1, entonces f1(n) ∗2 〈r, s〉2 /∈ A, luegop(Af1(n)∗2〈r,s〉2

) = ∅ y Drstu = ∅ cumple lo pedido (ademas obviamented(x, y, a, n, r, s, t, u) = d0 ∈ CB).

c) Si r = t y no se cumplen los casos anteriores ha de ser necesariamenteporque f2(n) ∗2 〈r, u〉2 /∈ B, luego p(Bf2(n)∗2〈r,u〉2

) = ∅ y Drstu = N

cumple lo pedido (ademas obviamente d(x, y, a, n, r, s, t, u) = d1 ∈ CB).

d) Si r 6= t, entonces d(x, y, a, n, r, s, t, u) = d2(n, r) ∈ CB y se cumple queDrstu = z ∈ N | z(ℓ(n3

0)) = r. Este conjunto separa a p(Af1(n)∗2〈r,s〉2)

de p(Bf2(n)∗2〈t,u〉2), pues si z ∈ p(Af1(n)∗2〈r,s〉2

) entonces z(ℓ(n30)) = r,

mientras que si z ∈ p(Bf2(n)∗2〈t,u〉2) entonces z(ℓ(n3

0)) = t.

Obviamente 0 = 〈0, 0, 0〉3 ∈ J y en particular tenemos que C0 separa a p(A0)de p(B0), es decir, a p(A) de p(B). Por consiguiente, si definimos r(x, y) =q(0, x, y), la funcion r es recursiva y acabamos de probar que si A y B sonarboles binarios con p(A) ∩ p(B) = ∅, entonces r(χ

A, χ

B) codifica un conjunto

de Borel que separa las proyecciones.

Finalmente, basta definir v(c, d) = r(g(c), g(d)). Ası v es una funcion recur-siva y si GN

c ∩GN

d = ∅, como Gc = p(Ac), Gd = p(Ad), g(c) = χAc, g(d) = χ

Ad,resulta que v(c, d) codifica a un conjunto de Borel que separa a Gc y Gd.

8.4. Una caracterizacion de Hip(a)(ω) 293

Esto termina la prueba para X = N. Veamos ahora el caso general. Si X esun espacio producto, consideramos una funcion h : X −→ N recursiva inyectivacomo en la prueba del teorema 6.63. Sea v1 : N × N −→ N la aplicacionque acabamos de construir para N segun el enunciado y sea v2 : N −→ N laaplicacion dada por el teorema 8.11 para h. Definimos

P (u, v) ↔∨

w ∈ X (h(w) = u ∧ GX(w, v)),

que claramente es Σ11. Por consiguiente, existe un a ∈ N recursivo tal que

P (u, v) ↔ GN×N(u, v, a) ↔ GN(u, SN,N(v, a))).

Ası pues:

u ∈ GN

SN,N(v,a) ↔∨

v ∈ N P (u, v) ↔∨

w ∈ X (h(w) = u ∧ w ∈ GXv )

↔ u ∈ h[GXv ].

Equivalentemente: h[GXv ] = GN

SN,N(v,a).

Si GXc ∩ GXd = ∅, como h es inyectiva, h[GXc ] ∩ h[GXd ] = ∅, luego tambienGN

SN,N(c,a)∩GN

SN,N(d,a) = ∅, luego, por el caso ya probado, v1(S(c, a), S(d, a)) es

un codigo de borel correspondiente a un conjunto B que separa estos dos ultimosconjuntos, luego v2(v1(S(c, a), S(d, a))) es un codigo de Borel para h−1[B], elcual separa a GXc y GXd .

Por consiguiente, basta definir v(c, d) = v2(v1(S(c, a), S(d, a))).

En particular:

Teorema 8.24 Para cada espacio producto X existe una funcion recursivav : N −→ N tal que si c ∈ CX(∆1

1) entonces v(c) ∈ CB y pX(c) = πX(v(c)).Consecuentemente, para todo a ∈ N se cumple que ∆1

1(a) = Hip(a).

Demostracion: Si llamamos v′ : N × N −→ N a la funcion dada por elteorema anterior, basta definir v(c) = v′(c20, c

21). Todo conjunto ∆1

1(a) es de laforma pX(c), para un c ∈ CX(∆1

1(a)), y entonces v(c) es recursivo en a, luegopX(c) = πX(v(c)) ∈ Hip(a).

8.4 Una caracterizacion de Hip(a)(ω)

Presentamos aquı una caracterizacion de los subconjuntos hiperaritmeticos(en un a ∈ N) de ωr en terminos de modelos de KPI. Necesitamos algunosresultados tecnicos:

Teorema 8.25 Para cada formula aritmetica φ ∈ Form(La) existe una for-mula φ ∈ Form(Ltc) de clase ∆0 tal que para todo modelo transitivo M de KPIy todos los n1, . . . , nr ∈ ω, x1, . . . , xs ∈ N ∩M , se cumple que

φ[n1, . . . , nr, x1, . . . , xs] ↔ M φ[n1, . . . , nr, x1, . . . , xs, ω, σ, π],

donde σ : ω × ω −→ ω y π : ω × ω −→ ω son la suma y el producto en ω.

294 Capıtulo 8. Conjuntos hiperaritmeticos

Demostracion: Observemos que ω, al igual que la suma y el productode numeros naturales pueden definirse en KPI y son claramente absolutas paramodelos transitivos de KPI, por lo que ω, σ, π ∈M .

Veamos en primar lugar que si t es un termino de La existe una formulaφt ∈ Form(Ltc) de clase ∆0 tal que

(n = t)[n, n1, . . . , nr, x1, . . . , xs] ↔M φt[n, n1, . . . , nr, x1, . . . , xs, ω, σ, π].

Si t = ni es una variable de primer orden, basta tomar φt ≡ n = ni.Si t = cn es la constante que se interpreta como el numero natural n, basta

tomar la formula φn definida recurrentemente por φ0(x) ≡∧

u u /∈ x,

φn+1(x) ≡∨

y ∈ x (φn(y) ∧ y ⊂ x ∧∧

u ∈ x(u ∈ y ∨ u = y)).

Si t ≡ t1 + t2, tomamos

φt(n,w, s, p) ≡∨

uv ∈ w(φt1 (u,w, s, p) ∧ φt2(v, w, s, p) ∧ (u, v, n) ∈ s),

donde por brevedad hemos suprimido los demas parametros. Similarmente serazona en el caso t ≡ t1 · t2.

Si t ≡ xi(t′) tomamos

φt(n, xi, w, s, p) ≡∨

u ∈ w(φt′ (u,w, s, p) ∧ (u, n) ∈ xi).

Es claro que las formulas construidas cumplen lo pedido. Ahora pasamos ademostrar el teorema:

Si φ ≡ (t1 = t2) definimos φ ≡∨

u ∈ w(φt1 (u,w, s, p) ∧ φt2(u,w, s, p)).Los casos restantes se tratan de forma obvia. Por ejemplo, si φ ≡

∧

nψ,definimos φ ≡

∧

n ∈ w ψ.

Como consecuencia:

Teorema 8.26 Sea M un modelo transitivo de KPI y a ∈ M ∩ N. Entoncestodo subconjunto de ωr aritmetico en a esta en M .

Demostracion: Por 7.13 si X ⊂ ωr es aritmetico en a existe una formulaaritmetica φ ∈ Form(La) tal que

X = n ∈ ωr | φ[n, a].

Por el teorema anterior existe una formula φ ∈ Form(Ltc) de clase ∆0 talque

n ∈ X ↔M φ[n, a, ω, σ, τ ].

Como ωr ∈M , el subconjunto de ωr definido en M por ∆0-especificacion apartir de φ con parametros a, ω, σ, τ es claramente X , luego X ∈M .

En particularM contiene todas las funciones recursivas f : ωr −→ ωm. Estotambien puede probarse directamente, comprobando que el concepto de funcionrecursiva puede definirse en KPI y es absoluto para modelos transitivos.

8.4. Una caracterizacion de Hip(a)(ω) 295

Observacion Dado a ∈ N, recordemos que

eω,ωΣ0

1(a)= (x, y) ∈ ω × ω | (e, x, y) ∈ Uω,ω

Σ01(a)

,

donde, segun 6.64,

Uω,ωΣ0

1(a)= (e, x, y) ∈ ω3 |

∧

n ∈ ω(y = n↔ (e, n, x) ∈ Gω×ωΣ0

1(a).

El conjunto Gω×ωΣ0

1(a)es Σ0

1(a) recursivo, luego Uω,ωΣ0

1(a)es un conjunto aritmetico

en a. Por el teorema 7.13 tenemos que

eω,ωΣ0

1(a)= (x, y) ∈ ω2 | φ[e, x, y, a],

para cierta formula aritmetica φ(e, x, y, a). Por 8.25 existe una formula ∆0 deLtc tal que, para todo modelo transitivo M de KPI y todos los e, x, y ∈ ω,a ∈ N ∩M se cumple

M ψ(e, x, y, a, ω, σ, τ) ↔ φ[e, x, y, a] ↔ (x, y) ∈ eω,ωΣ0

1(a).

Esto hace que eω,ωΣ0

1(a)∈M , pues puede definirse por ∆0-especificacion como

subconjunto de ω × ω. (De hecho, lo que hemos probado es que esta funcion esdefinible en M .) Mas aun, todo y ∈M cumple

y = eω,ωΣ0

1(a)↔M (y ⊂ ω × ω ∧

∧

xy ∈ ω((x, y) ∈ y ↔ ψ(e, x, y, a, ω, σ, τ))),

y la formula es ∆0, luego por Σ1-reemplazo la funcion ω,ωΣ0

1(a)esta (y es de-

finible) en M , al igual que su rango, el conjunto de todas las funciones Σ01(a)-

recursivas parciales de ω en ω. Como la formula y : ω −→ ω es ∆0, por seleccionen este conjunto obtenemos que el subconjunto de los puntos de N recursivosen a esta (y es definible) en M .

El teorema 8.26 se puede mejorar sustancialmente:

Teorema 8.27 Si M es un modelo transitivo de KPI y a ∈ M ∩ N, entoncestodo subconjunto de ωr hiperaritmetico en a esta en M .

Demostracion: Podemos trabajar con r = 1 pues M contiene una bi-yeccion recursiva f : ω −→ ωr que reduce el problema a este caso.

Para cada x ∈ CB definimos d(x) : ω −→ N por recurrencia sobre ℓ(s), paracada s ∈ ω, es decir, si ℓ(s) = 0 (lo que equivale a s = 0) definimos d(x)(s) = xy, supuesto definido d(x)(s) para ℓ(s) = n, definimos

d(x)(sk)(n) =

3 si d(x)(s)(0) 6= 1, 2,3 si d(x)(s)(0) = 2 ∧ k 6= 0,d(x)(s)1ω,ω(n) si d(x)(s)(0) = 2 ∧ k = 0,d(x)(s)1ω,N(k)(n) si d(x)(s)(0) = 1.

Una simple induccion sobre ℓ(s) prueba que d(x)(s) ∈ CB o bien d(x)(s) esla sucesion constante igual a 3.

296 Capıtulo 8. Conjuntos hiperaritmeticos

Sea e : CB −→ N la aplicacion dada por e(x)(〈s, n〉2) = d(x)(s)(n). Ası,para cada s ∈ ω tenemos que e(x)s = d(x)(s). Ahora observamos que, parax ∈ CB, la formula e(x) = y equivale a la conjuncion de las formulas siguientes:

a) y0 = x ∧ x(0) 6= 3

b)∧

s ∈ ω (ys(0) = 0 ∨ ys(0) = 1 ∨ ys(0) = 2 ∨ ys(0) = 3)

c)∧

s ∈ ω (ys(0) = 0 →∧

n ∈ ω y1sω,ω(n)↓ )

d)∧

s ∈ ω (ys(0) = 0 ∨ ys(0) = 3 →∧

nk ∈ ω(ysk(n) = 3))

e)∧

s ∈ ω (ys(0) = 1 →∧

k ∈ ω ysk = y1sω,N(k) ∧ ysk(0) = 2)

f)∧

s ∈ ω (ys(0) = 2 → ys0 = y1sω,ω ∧ ys0(0) = 1)

g)∧

s ∈ ω (ys(0) = 2 →∧

kn ∈ ω ys(k+1)(n) = 3))

Es claro que el conjunto F ⊂ N×N formado por los pares (x, y) que cumplenestas formulas es aritmetico. Por ejemplo, y1s

ω,N(k) = Uω,N(k, y1s), luego

ysk = y1sω,N(k) ↔

∧

n ∈ ω (ysk ∈ Bn ↔ Gω×ω(n, k, y1s))

y el conjunto Gω×ω ⊂ ω × ω ×N es semirrecursivo, luego aritmetico. Notemosque la formula de la derecha implica en particular que y1s

ω,N(k)↓ .

En particular tenemos que∧

x ∈ CB1∨y F (x, y).

Para cada x ∈ CB definimos c(x) : ω −→ N de modo que c(x)(s) es la funcioncaracterıstica de πω(d(x)(s)) si d(x)(s) ∈ CB y es la funcion caracterıstica de ∅en caso contrario. En particular c(x)(0) es la funcion caracterıstica de πω(x).

Sea f : CB −→ N la aplicacion dada por f(x)(〈s, n〉2) = c(x)(s)(n), de modoque f(x)s = c(x)(s). Seguidamente observamos que, si x ∈ CB, la formulae(x) = y ∧ f(x) = z equivale a la conjuncion de las formulas siguientes:

a) (x, y) ∈ F

b)∧

sn ∈ ω (zs(n) = 0 ∨ zs(n) = 1)

c)∧

sn ∈ ω(ys(0) = 3 → zs(n) = 0)

d)∧

sn ∈ ω (ys(0) = 0 → (zs(n) = 1 ↔∨

m ∈ ω y1sω,ω(m) = n))

e)∧

sn ∈ ω (ys(0) = 1 → (zs(n) = 1 ↔∨

k ∈ ω zsk(n) = 1))

f)∧

sn ∈ ω (ys(0) = 2 → (zs(n) = 1 ↔ zs0(n) = 0))

Nuevamente vemos que el conjunto G ⊂ N × N ×N formado por las ternas(x, y, z) que cumplen estas formulas es aritmetico, luego existe una formulaaritmetica φ(x, y, z) ∈ Form(La) tal que

∧

x ∈ CB1∨yz ∈ N φ[x, y, z]

8.4. Una caracterizacion de Hip(a)(ω) 297

y, concretamente, los unicos y, z que cumplen φ[x, y, z] son y = e(x), z = f(x).Sea φ(x, y, z, w, s, p) la formula ∆0 dada por el teorema 8.25.

Veamos ahora por induccion sobre α que si x ∈ C(Σ0α(a)) ∪ C(Πα(a)) en-

tonces e(x), f(x) ∈M . Notemos que x ∈M por el teorema 8.26.

Si x ∈ C(Σ01(a)), entonces

e(x)(〈s, n〉2) =

x(n) si s = 0,3 si s 6= 0,

f(x)(〈s, n〉2) =

1 si∨

m ∈ ωx1ω,ω(m) = n,0 en caso contrario,

y es claro que tanto e(x) como f(x), vistos como subconjuntos de ω2, sonaritmeticos en x, luego estan en M por el teorema 8.26.

Supongamos que el resultado es cierto para codigos en C(Σ0α(a)) y supon-

gamos que x ∈ C(Π0α). Entonces x

′ = x1ω,ω ∈ C(Σ0α(a)), luego por hipotesis

de induccion x′, e(x′), f(x′) ∈M .Ahora observamos que, si llamamos y = e(x), y′ = e(x′), la relacion entre

ambos viene dada por

y(〈0, n〉2) = x(n), y(〈〈1, k〉2s, n〉2) =

y′(〈s, n〉2) si k = 0,3 si k 6= 0.

Por otra parte, los conjuntos aritmeticos

P = (s, n, u) ∈ ω2 | u = 〈s, n〉2 Q = (k, s, t) ∈ ω4 | t = 〈1, k〉2s

estan3 en M y, comoM cumple el axioma de ∆0-especificacion, concluimos que

M ∨

y∧

u(u ∈ y ↔ u ∈ [ω × ω] ∧∨

abtn ∈ [ω](u = (a, b) ∧ (t, n, a) ∈ [P ] ∧

(t = 0 ∧ v = [x](n)) ∨∨

sk ∈ ω((k, s, t) ∈ [Q] ∧

((k = 0 ∧∨

t′ ∈ ω((s, n, t′) ∈ [P ] ∧ v = [y′](t′))) ∨ (k 6= 0 ∧ v = 3))))).

El conjunto y ∈M determinado por esta formula es precisamente e(x).

Similarmente, si llamamos z = f(x) y z′ = f(z′), la relacion entre ambosviene dada por

z(〈0, n〉2) = 1− z′(〈0, n〉2), z(〈〈1, k〉2s, n〉2) =

z′(〈s, n〉2) si k = 0,0 si k 6= 0,

y un razonamiento analogo al precedente nos permite concluir que z ∈M .

Supongamos ahora que el resultado es cierto para codigos en C(Π0β(a)) con

β < α y tomamos x ∈ C(Σ0α(a)). Entonces, para cada k ∈ ω, tenemos que

3Alternativamente puede probarse que en KPI pueden definirse la funcion 〈 , 〉2 y las demasfunciones relacionadas con la codificacion de las sucesiones finitas.

298 Capıtulo 8. Conjuntos hiperaritmeticos

xk = x1ω,N(k) ∈⋃

1≤β<α

C(Π0β(a)), luego, por hipotesis de induccion tenemos

que xk, e(xk), f(xk) ∈M .

El conjunto

A = (k, n,m) ∈ ω3 |∨

t ∈ ω(ℓ(t) = n+ 1 ∧ tn = m ∧ Gω×ω(t, k, x1)

es aritmetico en x1 ∈M , luego A ∈M y

xk(n) = m↔ x1ω,N(k)(n) = m↔ Uω,N(k, x1)(n) = m↔

∨

t ∈ ω(ℓ(t) = n+ 1 ∧ tn = m ∧ Gω×ω(t, k, x1)) ↔ (k, n,m) ∈ A.

Usando el axioma de ∆0-especificacion con k y A como parametros obtene-mos que xk ∈M , de modo que

M ∧

k ∈ ω1∨f(f : [ω] −→ [ω] ∧

∧

n ∈ [ω] (k, n, f(n)) ∈ [A]),

luego, por ∆0-reemplazo, concluimos que B = (k, xk) | k ∈ ω ∈ M . Por lotanto,

M ∧

k ∈ ω1∨yz

∨

x ∈ [RB]((k, x) ∈ [B] ∧ φ(x, y, z, ω, σ, π))

y por ∆0-reemplazo concluimos que

E = (k, e(xk)) | k ∈ ω ∈M, F = (k, f(xk)) | k ∈ ω ∈M.

Si llamamos y = e(x), yk = e(xk), la relacion entre ellos es que

y(〈0, n〉2) = x(n), y(〈〈1, k〉2s, n〉2) = yk(〈s, n〉2),

y a partir de aquı se concluye por ∆0-especificacion en M que y ∈M . Similar-mente, la relacion entre z = f(x) y zk = f(xk) es

z(〈0, n〉2) =

1 si∨

k ∈ ω zk(〈0, k〉2) = 1)0 en otro caso.

, z(〈〈1, k〉2s, n〉2) = z(〈s, n〉2),

y nuevamente es facil concluir que z ∈M .

En definitiva, hemos probado que si x ∈ CB es recursivo en a, entoncesf(x) ∈M , luego f(x)0 ∈M y esta funcion es la funcion caracterıstica de πω(x),luego πω(x) ∈M .

Del principio de la prueba del teorema anterior se deduce un resultado quetiene interes en sı mismo:

Teorema 8.28 El conjunto CB es Π11.

8.4. Una caracterizacion de Hip(a)(ω) 299

Demostracion: Consideremos el conjunto aritmetico F ⊂ N×N que hemosconstruido en la demostracion del teorema anterior. Teniendo en cuenta que elconjunto ABF es Π1

1, basta probar que

x ∈ CB ↔∨

yz ∈ N (F (x, y) ∧∧

s ∈ ω (z(s) = 0 ↔ ys(0) 6= 3) ∧ z ∈ ABF)).

En efecto, si se cumple la condicion de la derecha, consideramos el conjuntoAz = s ∈ ω | z(s) = 0, sobre el cual esta bien fundada la relacion dada pors ≺ t ↔ t ⊂ s. Sea r : Az −→ Ω el rango asociado a dicha relacion. Unasimple induccion sobre r(s) prueba que cada ys ∈ CB y, como la definicion deF implica que 0 ∈ Az , en particular x = y0 ∈ CB.

Recıprocamente, si x ∈ CB, sabemos que existe un y ∈ N tal que F (x, y) ypodemos definir z ∈ N como indica la formula de la derecha. Hemos de probarque no existe un u ∈ N tal que la sucesion u(n)n∈ω este contenida en Az .Ahora bien, si 0 = u(0) tiene un anterior en Az necesariamente x(0) = y0(0) 6= 0,luego ha de ser x(0) = 1 o x(0) = 2. Supongamos que x(0) = 1. El otro caso setrata analogamente.

Tenemos entonces que x = yu(0) ∈ C(Σ1α0), para cierto ordinal α0 > 1.

Entonces yu(1) = y1u(0)ω,N(u(0)) ∈ C(Π1

α1), para cierto ordinal α1 < α0, a su

vez yu(2) = y1u(1)ω,ω ∈ C(Σ1

α1) y, como u(2) tiene un anterior en Az, no puede

ser α1 = 0. Entonces yu(3) = y1u(2)ω,N(u(2)) ∈ C(Π1

α2), para cierto ordinal

α2 < α1, y prosiguiendo de este modo se construye una sucesion decreciente deordinales.

Veremos mas adelante que en KPI no puede probarse que todo conjunto bienordenado es semejante a un ordinal, y que “ser un conjunto bien ordenado” no esabsoluto para modelos transitivos de KPI. No obstante, se cumple lo siguiente:

Teorema 8.29 Sea M un modelo transitivo de KPI y sea (A,≤) ∈M un con-junto ordenado. Entonces

(A,≤) esta bien ordenado ↔M ∨

f∨

α ∈ Ω f : [(A,≤)] −→ α semejanza.

Demostracion: Una implicacion es inmediata, porque la formula

α ∈ Ω ∧ f : (A,≤) −→ α semejanza

es absoluta para modelos transitivos de KP. Demostraremos la contraria pro-bando que si f : (A,≤) −→ α es una semejanza, entonces α, f ∈M . Razonamospor induccion sobre α. Si α = 0 el resultado es trivial. Si es cierto para α yf : (A,≤) −→ α+ 1 es una semejanza, sea a ∈ A tal que f(a) = α. Entonces

A<a = x ∈ A | x < a ∈M,

y tambien esta en M la restriccion de ≤ a A<a , luego por hipotesis de induccionα, f |A<

a∈M , luego α+ 1 ∈M y f = f |A<

a∪ (α, a) ∈M .

300 Capıtulo 8. Conjuntos hiperaritmeticos

Si α es un ordinal lımite y el resultado es cierto para todo δ < α, tenemosque

M ∧

a ∈ [A]1∨f∨

δ ∈ Ω (f : ([A]<a , [≤]a) −→ δ semejanza),

donde ≤a representa la restriccion de ≤ a A<a , y la formula tras1∨f es ∆0, luego

por reemplazo C = f |A<a| a ∈ A ∈M , luego f =

⋃

u∈C

u ∈M y α = Rf ∈M .

Como consecuencia:

Teorema 8.30 Si M es un modelo transitivo de KPI y a ∈ M ∩ N, entoncesωa1 ⊂M .

Demostracion: Todo α ∈ ωa1 es de la forma ‖x‖, para un x ∈ BO recursivoen a. Por 8.26 tenemos que x ∈ M , luego claramente tenemos que ≤x ∈ My Cx = n ∈ ω | n ≤x n ∈ M . Puesto que (Cx,≤x) es un conjunto bienordenado, el teorema anterior nos da que su ordinal ‖x‖ ∈M .

Hasta aquı hemos usado la definicion de los conjuntos hiperaritmeticos en aa partir de la jerarquıa hiperaritmetica. Los teoremas siguientes dependen desu caracterizacion como conjuntos ∆1

1(a):

Teorema 8.31 Si a ∈ N y x ⊂ ωr no es hiperaritmetico en a, entonces existeun modelo transitivo M de KPI tal que a ∈M y x /∈M .

Demostracion: Si f : ωr −→ ω es una biyeccion recursiva, entonces festa en todos los modelos transitivos de KPI, luego basta probar que existeuno tal que a ∈ M y f [x] /∈ M , pues entonces tambien se cumplira x /∈ M .Equivalentemente, podemos suponer que x ⊂ ω. Notemos que y = χ

x∈ N no

es hiperaritmetico en a (como subconjunto de ω2), pues x es una antiimagenrecursiva de y, luego basta demostrar que existe un modelo transitivoM de KPItal que a ∈M ∧ y /∈M .

Equivalentemente, basta probar que si x ∈ N no es hiperaritmetico en a(como subconjunto de ω2), entonces existe un modelo transitivo M de KPI talque a ∈M ∧ x /∈M .

Observemos en primer lugar que existen modelos transitivos numerables deKPI tales que a ∈ M . En efecto, N = H(ℵ1) es un modelo transitivo de KPItal que a ∈ N . Por el teorema de Lowenheim-Skolem existe un submodeloelemental N0 ≺ N numerable tal que a ∈ N0 y basta considerar el colapsotransitivo M de N0. Se comprueba sin dificultad que a ∈M .

Llamamos L′tc al lenguaje de la teorıa de conjuntos al que anadimos un

conjunto infinito de constantes C. Por ejemplo, si consideramos que los signos deL′

tc son numeros naturales, podemos suponer que sus variables son las potenciasde 2 y que el conjunto de sus constantes es

C = 3i+1 | i ∈ ω ∪ 5i+1 | i ∈ ω.

8.4. Una caracterizacion de Hip(a)(ω) 301

Representaremos por Ni = 3i+1 y ci = 5i+1 las constantes de L′tc. Un

modelo de L′tc queda determinado por una terna (M,R, I), donde M es un

conjunto, R ⊂ M ×M es la relacion que interpreta al relator de pertenencia eI : C −→M es la aplicacion que determina la interpretacion de cada constantede L′

tc. Llamaremos S al conjunto de todas las sentencias de L′tc.

Sea D ⊂ S el conjunto formado por las sentencias siguientes:

• φ0 = p∧xx /∈ N0q,

• φn = pNn = Nn−1 ∪ Nn−1q, para cada n ∈ ω \ 0,

• ψ∗ = pc0 ∈ Nq,

• ψn = pc0(Nn) = Na(n)q, para cada n ∈ ω.

Diremos que (M,R, I) es un modelo valido de L′ si es un modelo ω numerablede KPI+D en el que todo elemento de M esta denotado por una constante cn.

Observemos que existen modelos validos, pues todo modelo transitivo nu-merable M de KPI que contenga a a se extiende a un modelo valido sin masque definir R como la relacion de pertenencia en M , I(Ni) = i, I(c0) = a ycompletar la definicion de I sobre las demas constantes cn de modo que susinterpretaciones recorran todo M . Se trata de un modelo ω porque esta bienfundado.

Notemos tambien que si (M,R, I) es un modelo de KPI+D e I :Mbf −→Mes la inmersion natural, una simple induccion prueba que

∧

n ∈ ω I(Nn) = i(n),y si es un modelo ω entonces a ∈Mbf y se cumple que i(a) = c0.

Llamaremos P al conjunto de todos los conjuntos finitos p de sentenciasde L′

tc tales que existe un modelo valido (M,R, I) tal que (M,R, I) p. Con-sideramos a P como conjunto parcialmente ordenado por la relacion inversa dela inclusion.

Para cada sentencia φ de Ltc, sea

Cφ = p ∈ P | φ ∈ p ∨ ¬φ ∈ p.

Para cada sentencia de la forma∨

xφ(x), definimos

Dφ,x = p ∈ P | p∨

xφ(x)q /∈ p ∨∨

c ∈ C φ(c) ∈ p.

Para cada c ∈ C definimos

Ec = p ∈ P | pc /∈ ωq ∈ p ∨∨

n ∈ ω pc = Nnq ∈ p,

y sea

Fc = p ∈ P | pc /∈ Nq ∈ p ∨∨

nm ∈ ω (x(n) 6= m ∧ pc(Nn) = Nmq ∈ p.

302 Capıtulo 8. Conjuntos hiperaritmeticos

Todos los conjuntos que acabamos de definir son densos en P. Veamos laprueba para los dos ultimos (los dos primeros casos son mucho mas simples).

Dado p ∈ P, sea (M,R, I) un modelo valido de p. Si (M,R, I) c /∈ ω,entonces p∪c /∈ ω es una extension de p en Ec. Si, por el contrario, se cumpleque (M,R, I) c ∈ ω, entonces, por definicion de modelo ω, existe un n ∈ ωtal que I(c) = i(n) = i(Nn) o, lo que es lo mismo, (M,R, I) c = Nn, luego

p ∪ pc = Nnq ∈ P es una extension de p en Ec.

Consideremos ahora el caso de Fc y razonemos por reduccion al absurdo.Si Fc no es denso en P existe un p ∈ P que no admite extensiones a Fc. Sea(M,R, I) un modelo valido de p. No puede ser que (M,R, I) c /∈ N, puesentonces p ∪ c /∈ N serıa una extension de p a Fc, luego (M,R, I) c ∈ N.Para que p no admita extensiones a Fc es necesario que si n, m ∈ ω, entonces

x(n) = m↔ (M,R, I) c(Nn) = Nm.

En efecto, (M,R, I) ∨

v ∈ ω c([Nn]) = v y, por ser un modelo ω, existe unk ∈ ω tal que (M,R, I) c(Nn) = [i(k)], luego

(M,R, I) c(Nn) = Nk.

Si k fuera distinto de m = x(n) podrıamos extender p a Fc, luego k = m ytenemos una implicacion. El recıproco es trivial.

Observemos que la equivalencia anterior es valida para cualquier modelovalido de p. En particular M ha de ser numerable (necesariamente infinito),luego pasando a un modelo isomorfo podemos suponer que M = ω, y entoncesla relacion R puede codificarse mediante un y ∈ N, de modo que mRn ↔y(〈m,n〉2) = 0. A su vez I puede extenderse a un elemento z ∈ N. Recıproca-mente, cada par (y, z) ∈ N2 determina un modelo (ω, y, z) del lenguaje L′

tc, ypodemos escribir

x(n) = m↔ (ω, y, z) c(Nn) = Nm,

donde (y, z) ∈ N2 es cualquier par que determine un modelo valido de p.Podemos identificar el conjunto S de las sentencias de L′

tc con un subcon-junto de ω, y entonces una adaptacion rutinaria del argumento empleado en lademostracion del teorema 7.52 prueba que el conjunto

V = (y, z, α) ∈ N2 × ω | α ∈ S ∧ (ω, y, z) α

es ∆11. Mas aun, el conjunto KPI + p formado por los axiomas de KPI mas las

sentencias de p es claramente recursivo, mientras que D es claramente recursivoen a, luego el conjunto M dado por

(y, z) ∈ M ↔∧

n ∈ ω∨

i ∈ ω z(5i+1) = n ∧

∧

α ∈ ω(α ∈ KPI +D + p→ V (y, z, α))

8.4. Una caracterizacion de Hip(a)(ω) 303

es ∆11(a) (y es el conjunto de todos los elementos de N

2 que determinan unmodelo de KPI+D+p en el que todo elemento esta denotado por una constantecn).

Veamos ahora que el conjunto Mω formado por los pares (y, z) ∈ M quedeterminan un modelo ω (es decir, un modelo valido de p) tambien es ∆1

1(a).Para ello observamos que

(y, z) ∈ Mω ↔ (y, z) ∈ M ∧∧

n ∈ ω ((ω, y, z) cn ∈ ω →

∨

k ∈ ω (ω, y, z) Nk = cn).

Como las funciones f : ω −→ ω y g : ω2 −→ ω dadas por

f(n) = pcn ∈ ωq, g(k, n) = pNk = cnq

son obviamente recursivas y

(y, z) ∈ Mω ↔ (y, z) ∈ M ∧∧

n ∈ ω (V (y, z, f(n)) →∨

k ∈ ω V (y, z, g(k, n))),

concluimos que Mω es ∆11(a).

Por ultimo, la aplicacion h : ω2 −→ S dada por h(n,m) = pc(Nn) = Nmq

tambien es recursiva, luego el conjunto dado por

W (y, z,m, n) ↔ (y, z, h(n,m)) ∈ V ↔ (y, z) c(Nn) = Nm

es ∆11, y concluimos que

x(n) = m↔∨

yz ∈ N((y, z) ∈ Mω ∧ W (y, z,m, n)) ↔

∧

yz((y, z) ∈ Mω →W (y, z,m, n))),

lo que prueba que x es hiperaritmetico en a, en contra de lo supuesto. Estotermina la prueba de que el conjunto Fc es denso.

Ahora tomamos un filtro G que sea P-generico sobre la familia numerable deconjuntos densos que hemos definido y llamamos S0 =

⋃

p∈G

p, que es una familiade sentencias de L′

tc.

Observemos que, si φ es cualquier sentencia de L′tc, como Cφ∩G 6= ∅, resulta

que φ ∈ S0 ∨ ¬φ ∈ S0.

Por otra parte, todo teorema φ de KPI + D esta en S0, ya que no puedesuceder que ¬φ ∈ S0, pues ello exigirıa que ¬φ fuera verdadera en un modelovalido.

Ahora definimos en el conjunto C de constantes de L′tc la relacion dada por

c ∼ d↔ pc = dq ∈ S0.

Se cumple que es una relacion de equivalencia. Por ejemplo, probaremosla transitividad. Suponemos que pc = dq, pd = eq ∈ S0 y hemos de probar que

304 Capıtulo 8. Conjuntos hiperaritmeticos

pc = eq ∈ S0. En caso contrario, hemos visto que pc 6= eq ∈ S0, luego existe unp ∈ G que contiene las sentencias pc = dq, pd = eq y pc 6= eq, pero esto es imposi-ble, pues entonces las tres tendrıan que ser verdaderas en un mismo modelo ωde KPI.

Consideramos el conjunto cociente M = C/ ∼. Un argumento similar alanterior prueba que la relacion en M dada por

[c]R [d] ↔ pc ∈ dq ∈ S0

esta bien definida, en el sentido de que no depende de los representantes delas clases de equivalencia con los que se calcula. Con esto tenemos un modelo(M,R, I) de Ltc, en el que la aplicacion I interpreta cada constante como supropia clase de equivalencia en M . Veamos ahora que, para toda sentencia φde Ltc, se cumple que

(M,R, I) φ↔ φ ∈ S0.

Lo probamos por induccion sobre la longitud de φ. Si φ = pc = dq se cumplepor la definicion de ∼, y si φ = pc ∈ dq se cumple por la definicion de R. Siφ = ¬ψ, tenemos que

(M,R, I) φ↔ ¬(M,R, I) ψ ↔ ¬ψ ∈ S0 ↔ φ ∈ S0,

donde hemos usado que G ∩ Cψ 6= ∅.

Si φ = ψ → χ entonces

(M,R, I) φ↔ ¬(M,R, I) ψ ∨ (M,R, I) χ↔ ¬ψ ∈ S0 ∨ χ ∈ S0

↔ φ ∈ S0.

La ultima equivalencia se debe a que si suponemos que ¬ψ ∈ S0 ∨ χ ∈ S0

pero φ /∈ S0, entonces ¬φ ∈ S0, luego existe un p ∈ G que contiene a ¬φ y auna de las dos sentencias ¬ψ o χ, pero eso es imposible, porque tendrıan queser verdaderas en un mismo modelo. La implicacion contraria se demuestraanalogamente.

Por ultimo, si φ =∧

xψ(x) tenemos que

(M,R, I) φ↔∧

c ∈ C (M,R, I) ψ(c) ↔∧

c ∈ C ψ(c) ∈ S0

↔ φ ∈ S0.

La ultima equivalencia se prueba ası: si φ /∈ S0 entonces ¬φ ∈ S0, luego∨

x¬ψ(x) ∈ S0 (pues en caso contrario la negacion de esta sentencia y ¬φ serıanverdaderas en un mismo modelo, lo cual es imposible) y, como D¬ψ,x ∩G 6= ∅existe un c ∈ C tal que ¬ψ(c) ∈ S0, luego ψ(c) /∈ S0. Esto demuestra unaimplicacion. La otra es mas sencilla.

En particular tenemos que (M,R, I) KPI +D. Mas aun, (M,R, I) es unmodelo ω, pues si [c] ∈ M cumple (M,R, I) [c] ∈ ω, es decir, pc ∈ ωq ∈ S0,

8.5. Ordinales admisibles 305

como Ec ∩ G 6= ∅ existe un n ∈ ω tal que pc = Nnq ∈ S0, lo que implica que(M,R, I) c = Nn, luego I([c]) = I(Nn) = i(n).

El teorema [PC 2.40] nos da que Mbf es un modelo transitivo de KPI, yademas sabemos que contiene a a. Solo falta probar que x /∈Mbf . Supongamoslo contrario y sea i(x) = [c]. Entonces (M,R, I) c ∈ N y, como Fc ∩ G 6= ∅,existen n,m ∈ ω tales que x(n) 6= m y (M,R, I) c(Nn) = Nm. Equivalente-mente,

(M,R, z) [i(x)]([i(n)]) = [i(m)],

luego Mbf [x]([n]) = [m], luego x(n) = m y tenemos una contradiccion.

Combinando el teorema anterior con 8.27 obtenemos la caracterizacion si-guiente de los subconjuntos hiperaritmeticos en a de ωr:

Teorema 8.32 Un subconjunto de ωr es hiperaritmetico en a ∈ N si y solo sipertenece a todos los modelos transitivos de KPI que contienen a a.

En particular, los subconjuntos hiperaritmeticos de ωr son los subconjuntosde ωr que pertenecen a todos los modelos transitivos de KPI.

8.5 Ordinales admisibles

En esta seccion presentamos una caracterizacion de los subconjuntos hiper-aritmeticos de ωr que no dependa de la totalidad de los modelos transitivosde KPI, sino de un modelo en concreto de la forma Lλ. Para ello introducimosel concepto siguiente:

Definicion 8.33 Un conjunto M es admisible si es transitivo y M KP. Unordinal α es admisible si Lα es un conjunto admisible.

En estos terminos, los teoremas [PC 2.33] y [PC 3.25] afirman que si κ es uncardinal infinito, entonces H(κ) es un conjunto admisible, al igual que lo sonlos conjunto Lκ[a] con a ∈ N, si κ es un cardinal infinitoL[a]. (El caso κ = ω noesta contemplado en estos teoremas, pero entonces el conjunto en cuestion es enambos casos Vω, y la conclusion es trivial.) En particular, todos los cardinalesinfinitos son ordinales admisibles.

Obviamente ω es el menor ordinal admisible, y si α > ω es admisible, enton-ces Lα KPI, pues ω ∈ Lα. Todo ordinal admisible es un ordinal lımite, puesen Lα+1 hay un maximo ordinal, mientras que en KP se demuestra que no lohay.

Ejercicio: Probar (AE) que si κ es un cardinal infinito no numerable, entonces hayκ ordinales admisibles menores que κ.

Del teorema [PC 2.40] se desprende que si (M,R) es un modelo de KP,entonces ΩMbf es un ordinal admisible, pues, si ΩMbf > ω (el caso contrario estrivial) Mbf es un modelo transitivo de KPI tal que Mbf ∩ Ω = ΩMbf , y a su

306 Capıtulo 8. Conjuntos hiperaritmeticos

vez LMbf = LΩMbf

es tambien un modelo de KPI (aquı usamos que en KPI se

demuestra que L es un modelo de KPI), luego ΩMbf es admisible.

Ahora estamos en condiciones de probar lo siguiente:

Teorema 8.34 Si a ∈ N, el ordinal ωa1 es admisible.

Demostracion: Segun hemos observado tras el teorema 7.25, el conjuntoBOa ⊂ ω es Π1

1(a), pero no Σ11(a), luego, en particular, no es hiperaritmetico.

Por el teorema 8.32 existe un modelo transitivo M de KPI tal que a ∈ M yBOa /∈ M . Por 8.30 sabemos que ωa1 ⊂ M . Basta probar que ωa1 /∈ M , puesentonces Lωa

1= LM es un modelo transitivo de KPI, es decir, el ordinal ωa1

es admisible (y por la misma razon, Lωa1[a] = L[a]M es tambien un modelo

transitivo de KPI).

Supongamos que, por el contrario, ωa1 ∈ M . Entonces Lωa1(a) ∈ M . En la

prueba del teorema 7.24 hemos visto que el conjunto

e ∈ ω | eω,ωΣ0

1(a)∈ N

es hiperaritmetico en a. Mas aun, lo mismo vale para el conjunto

OTa = e ∈ ω | eω,ωΣ0

1(a)∈ OT.

En efecto:

e ∈ OTa ↔ eω,ωΣ0

1(a)∈ N ∧

∧

x ∈ N ((∧

n ∈ ω x(n) = eω,ωΣ0

1(a)(n)) → x ∈ OT)

↔ eω,ωΣ0

1(a)∈ N ∧

∧

x ∈ N (∧

n ∈ ω Gω×ωΣ0

1(a)(e, x(n), n) → x ∈ OT),

con lo que OTa es Π11(a) (pues OT es ∆1

1), pero podemos cambiar el cuantificador∧

x ∈ N por∨

x ∈ N y la formula resultante es equivalente, luego OTa es ∆11(a)

y, en particular, esta en M . Para cada e ∈ OT, definimos la relacion en ω dadapor

m ≤e n↔ eΣ01(a)

(〈m,n〉2) = 0,

de modo que ≤e es una relacion de orden total en su dominio

Ce = n ∈ ω | n ≤e n

por definicion de OT y de OTa. Mas explıcitamente:

m ≤e n↔ Gω×ωΣ0

1(a)(e, 0, 〈m,n〉2)

y, teniendo en cuenta que el conjunto de la derecha es Σ01(a), concluimos que

la relacion ≤ (como subconjunto de ω3) esta en M . Mas precisamente, esta enLω+1[a]. Ahora bien,

e ∈ BOa ↔ e ∈ OTa ∧∨

f (f : (Ce,≤e) −→ ωa1 inyectiva creciente).

8.5. Ordinales admisibles 307

Basta probar que, mas aun,

e ∈ BOa ↔ e ∈ OTa ∧∨

f ∈ Lωa1[a] (f : (Ce,≤e) −→ ωa1 inyectiva creciente),

ya que entonces podemos concluir que BOa ∈ M por ∆0-especificacion, ya quela formula de la derecha es ∆0 en los parametros OTa, Lωa

1[a], ω, ≤, ωa1 ∈ M ,

y ası tendremos una contradiccion.

Un poco mas en general, tenemos C = Ce ⊂ ω tal que C ∈ Lω+1[a], pues

C = n ∈ ω | n ≤e n

y ≤ es definible (con a como parametro) por una formula relativizada a Lω[a],tenemos ≤ = ≤e ∈ Lω+1[a] y una semejanza f : (C,≤) −→ α, con α < ωa1 , yqueremos probar que f ∈ Lωa

1[a]. Para cada δ ≤ α, sea fδ : (C<nδ

,≤) −→ δ larestriccion de f a la seccion inicial de C determinada por nδ = f−1(δ).

Obviamente, si δ < ω, tenemos que fδ ∈ Lω[a], pues fδ es hereditariamentefinito. Si δ es infinito (en el supuesto de que α lo sea), tenemos que fδ ⊂ Lδ+2[a](porque fδ es un conjunto de pares ordenados con primera componente en ω ysegunda componente en δ). Ademas, C,≤ ∈ Lδ+1[a].

Una simple induccion demuestra que, si ω ≤ δ ≤ α, entonces fδ ∈ Lδ+3[a].En efecto, si δ = γ + 1, por hipotesis de induccion fγ ∈ Lδ+2[a] y ası

fδ = x ∈ Lδ+2[a] |∨

g ∈ Lδ+2[a](g : (C<nγ,≤) −→ γ semejanza ∧ x ∈ g)

∨ x = (nγ , δ),

y la formula indicada puede relativizarse a Lδ+2[a] tomando como parametrosC, nγ ,≤, γ, δ, todos ellos en Lδ+2[a]. Esto prueba que fδ ∈ Lδ+3[a].

Si δ es un ordinal lımite, para todo γ < δ (por hipotesis de induccion o porel caso finito) tenemos que fγ ∈ Lδ+2[a], luego

fδ = x ∈ Lδ+2[a] |∨

g ∈ Lδ+2[a]∨

n ∈ C∨

γ < δ (g : (C<n ,≤) −→ γ semejanza

∧ x ∈ g),

e igualmente concluimos que fδ ∈ Lδ+3[a].

De aquı extraemos varias consecuencias de interes:

Teorema 8.35 Se cumple:

a) ωck1 es el menor ordinal admisible > ω.

b) Lωa1[a] es el menor modelo transitivo de KPI que contiene a a. Ademas

en el se cumple que todo conjunto es numerable.

c) ∆11(a)(ω) = Lωa

1[a] ∩ Pω.

308 Capıtulo 8. Conjuntos hiperaritmeticos

Demostracion: a) Si α > ω es un ordinal admisible entonces Lα es unmodelo transitivo de KPI, luego ωck

1 ⊂ Lα por 8.30, luego ωck1 ≤ α.

b) En la prueba del teorema anterior hemos visto que Lωa1[a] KPI. Si

M KPI y a ∈ N entonces ωa1 ⊂M , luego Lωa1[a] ⊂M .

Si α < ωa1 entonces existe x ∈ BO recursivo en a tal que ‖x‖ = α, peroentonces x ∈ Lωa

1[a] por 8.26 (porque x es aritmetico en a como subconjunto

de ω2), y por 8.29 concluimos que la semejanza (ω,≤x) −→ α esta en Lωa1[a],

luego α es numerableLωa

1[a]. Ese mismo teorema implica que la semejanza de

(Lα[a],Ea) en su ordinal esta en Lωa1[a], y acabamos de probar que dicho ordinal

es numerable en el modelo, luego Lα[a] tambien lo es. De aquı se sigue que todo

elemento de Lωa1[a] es numerableLωa

1[a].

c) Una inclusion nos la da el teorema 8.27 y la otra el teorema 8.31 juntocon el apartado b).

El hecho de que los ordinales ωa1 sean admisibles implica que, aun siendonumerables, son ordinales “grandes”, pues, por ejemplo, la suma, el producto yla exponenciacion de dos ordinales menores que ωa1 es menor que ωa1 .

Recordemos que, segun 6.27, un x ∈ N es Σ11(a)-recursivo si y solo si lo es

como aplicacion x : ω −→ ω y, segun 6.20, esto equivale a que x sea Σ11(a) como

subconjunto de ω× ω. De hecho, equivale a que x sea ∆11(a) como subconjunto

de ω, pues

(m,n) /∈ x↔∨

k ∈ ω (k 6= n ∧ (m, k) ∈ x).

Veamos una variante del teorema 7.48:

Teorema 8.36 Sea a ∈ N, Y un espacio producto y P ⊂ Y × N un conjuntoΠ1n(a). Entonces el conjunto dado por

S(y) ↔∨

x ∈ ∆11(a)P (y, x)

es tambien Π1n(a).

Demostracion: Si x ∈ ∆11(a), entonces A = n ∈ ω | x(n2

0) = n21 es

∆11(a)(ω) (es una sustitucion recursiva de x como subconjunto de ω×ω), luego

existe un z ∈ CB recursivo en a tal que A = πω(z). Si llamamos b = χA,

tenemos que (x, b, z) pertenece al conjunto R ⊂ N×N ×N dado por

R(x, b, z) ↔ b = χπω(z)

∧∧

mn ∈ ω (x(m) = n↔ b(〈m,n〉2) = 1).

Recıprocamente, si x ∈ N cumple R(x, b, z) para cierto b ∈ N y cierto z ∈ CBrecursivo en a entonces x ∈ ∆1

1(a). La razon para expresar la relacion de estemodo es que en la demostracion del teorema 8.27 hemos construido un conjuntoaritmetico G tal que para todo z ∈ CB se cumple

b = χπω(z)

↔∨

uv ∈ N (G(z, u, v) ∧ b = v0).

8.5. Ordinales admisibles 309

La relacion de la derecha define un conjunto C ∈ Σ11(N

2). Ası pues, si definimos

R′(x, b, z) ↔ C(b, z) ∧∧

mn ∈ ω (x(m) = n↔ b(〈m,n〉2) = 1),

tenemos que R′ ∈ Σ11(N

3) y, los x ∈ N tales que x ∈ ∆11(a) son exactamente

los que cumplen R′(x, b, z), para cierto z ∈ CB recursivo en a y cierto b ∈ N

(necesariamente unico, pues tiene que ser χπω(z)

). Por consiguiente:

S(y) ↔∨

e ∈ ω (eω,ωΣ0

1(a)∈ N ∧

∧

z ∈ N(z = eω,ωΣ0

1(a)→ z ∈ CB) ∧

∧

xbz ∈ N(z = eω,ωΣ0

1(a)∧ R′(x, b, z) → P (y, x))).

Esta relacion prueba que S es Π1n(a), pues CB es Π1

1 (teorema 8.28) y enla demostracion del teorema 7.24 hemos visto que la relacion eω,ω

Σ01(a)

∈ N es

∆11(a) (aritmetica en a, de hecho), ya que

eω,ωΣ0

1(a)∈ N ↔

∧

n ∈ ω∨

m ∈ ω∧

u ∈ ω(m = u↔ Gω×ωΣ0

1(a)(e, u, n)),

y lo mismo sucede con

z = eω,ωΣ0

1(a)↔

∧

nu ∈ ω(z(n) = u↔ Gω×ωΣ0

1(a)(e, u, n)).

De aquı extraemos una consecuencia interesante:

Teorema 8.37 En KPI no puede probarse que todo conjunto bien ordenado essemejante a un ordinal.

Demostracion: Sabemos que Lωck1

es un modelo transitivo de KPI, luego

basta probar que en el existen conjuntos bien ordenadosL

ωck1 que no son seme-

jantes a ordinalesL

ωck1 . Por 8.29 esto equivale a que no esten bien ordenados

(en V ).

Si e ∈ ω cumple que eω,ω ∈ N, hemos visto que eω,ω ∈ Lωck1, y tambien

esta en dicho modelo la relacion

m ≤e n↔ eω,ω(〈m,n〉2) = 0,

ası como su dominio Ce = n ∈ ω | n ≤e n. Por lo tanto, podemos definir

BO∗0 = e ∈ ω | eω,ω ∈ N ∧ (Ce,≤e) esta bien ordenado

Lωck1 .

Por otra parte, sea

BO0 = e ∈ ω | eω,ω ∈ N ∧ (Ce,≤e) esta bien ordenado

= e ∈ ω | eω,ω ∈ BO.

El teorema 8.29 implica que BO0 ⊂ BO∗0. Ahora bien, e ∈ BO∗

0 si y solo sieω,ω ∈ OT y todo conjunto a ⊂ Ce no vacıo que este en Lωck

1(es decir, que

sea hiperaritmetico) tiene un mınimo elemento respecto a ≤e.

310 Capıtulo 8. Conjuntos hiperaritmeticos

Observemos que si x ∈ ∆11, el conjunto a = n ∈ ω | x(n) = 1 es hiper-

aritmetico, y que todo a ⊂ ω hiperaritmetico es de esta forma con x = χa. Por

lo tanto:e ∈ BO∗

0 ↔ eω,ω ∈ OT ∧∧

x ∈ ∆11M(e, x),

dondeM(e, x) ↔

∧

n ∈ ω (n ≤e n→ x(n) = 0) ∨∨

n ∈ ω(n ≤e n ∧ x(n) = 1 ∧∧

m ∈ ω (m <e n→ x(m) = 0))

es la relacion ∆11 que expresa que x codifica a un subconjunto de Ce vacıo o con

mınimo elemento. En la prueba de 8.34 hemos visto que la relacion eω,ω ∈ OTdefine un subconjunto ∆1

1 de ω, y el teorema 8.36 nos da que la relacion

∧

x ∈ ∆11M(e, x) ↔ ¬

∨

x ∈ ∆11 ¬M(e, x)

es Σ11, luego concluimos que BO∗

0 es un conjunto Σ11, pero tras el teorema 7.25

hemos observado que el conjunto BO∗ no es Σ11. Esto significa que la inclusion

BO0 ⊂ BO∗0 tiene que ser estricta. Por consiguiente, tomando un e ∈ BO∗

0\BO0

obtenemos que el conjunto totalmente ordenado (Ce,≤e) no esta bien ordenado,

pero esta bien ordenadoL

ωck1 .

Vamos a estudiar con mas detalle la jerarquıa hiperaritmetica:

Teorema 8.38 Si M es un modelo transitivo de KPI y a ∈ N ∩M , para cadaordinal 1 ≤ α < ωa1 se cumple que Σ0

α(a)(ω),Π0α(a)(ω) ∈M .

Demostracion: Veamos en primer lugar que el conjunto Na de los x ∈ N

recursivos en a esta en M . Para ello observamos que

R = e ∈ ω | eω,ωΣa1

∈ N ∈M,

pues en la prueba del teorema 7.24 hemos visto que es hiperaritmetico en a. Elconjunto Gω×ω

Σ01(a)

∈ M porque es aritmetico y, puesto que, para cada e ∈ R se

cumple que

y = eω,ωΣ0

1(a)↔ y : ω −→ ω ∧

∧

n ∈ ω Gω×ωΣ0

1(a)(e, y(n), n)

y, obviamente, M ∧

e ∈ [R]1∨y (y : [ω] −→ [ω] ∧

∧

n ∈ ω [Gω×ωΣ0

1(a)](e, y(n), n)),

por reemplazo tenemos que

Na = eω,ωΣ0

1(a)| e ∈ R ∈M.

Por otra parte, si x ∈ N, tenemos que

xω,ω(n)↓↔∨

m ∈ ω∧

u ∈ ω(u = m↔ Gω×ω(u, n, x))

↔∨

m ∈ ω∧

u ∈ ω(u = m↔∨

k ∈ ω H(k, u, n, x(k)),

8.5. Ordinales admisibles 311

donde H ∈ M es el conjunto recursivo dado por el teorema 6.11. Ası pues,si llamamos φ(x, n, w,H) a la formula ∆0 anterior4 (donde la variable w sesustituye por ω), tenemos que

C(Σ01(a)) = x ∈ Na | x(0) = 0 ∧

∧

n ∈ ω φ(x1, n, ω,H) ∈M

por ∆0-especificacion.Similarmente,

C(Π01(a)) = x ∈ Na | x(0) = 2 ∧

∨

y ∈ C(Σ01(a)) ψ(y, x

1, ω,H) ∈M,

donde ψ es la formula ∆0 dada por

ψ(y, x, w,H) ≡∧

nu ∈ w (u = y(n) ↔∨

k ∈ w H(k, u, n, x(k))).

Veamos ahora que es posible definir en M la aplicacion F : Ω −→ V dadapor F (α) = (C(Σ0

α(a)), C(Π0α(a))). Basta expresarla en la forma5

F (α) = G(α, F |α)

para cierta funcion G de clase Σ1 definida, en principio, sobre todos los pares(α, f) tales que α ∈ Ω y f : α −→ V . Sin embargo, para simplificar la definicionconviene comprobar que el teorema de Σ1-recursion puede modificarse para queel dominio de G se reduzca a los pares (α, f) con α ∈ Ω y f : α −→ PNa×PNa.En esencia esto es posible porque esta condicion es ∆0:

f : α −→ PNa × PNa ↔ f : α −→ V ∧∧

u ∈ α∨

v ∈ f∨

v1 ∈ v∨

v2 ∈ v1∨

v3 ∈ v2∨

pq ∈ v3 (v = (u, (p, q)) ∧ p ⊂ Na ∧ q ⊂ Na).

La definicion de G es:

y = G(α, f) ↔ (α = 0 ∧ y = (∅,∅)) ∨ (α = 1 ∧ y = (C(Σ01(a)), C(Π

01(a))))

∨ (α > 1 ∧∨∗CD (y = (C,D) ∧ C ⊂ Na ∧ D ⊂ Na ∧

∧

x ∈ Na(x ∈ C ↔ x(0) = 1 ∧∧

n ∈ ω∨

δ < α∨∗pq (f(δ) = (p, q) ∧

∨

y ∈ q x1ω,N(n) = y) ∧∧

x ∈ Na(x ∈ D ↔ x(0) = 2 ∧∨

y ∈ C x1ω,ω = y))).

(Por no complicar aun mas la expresion no hemos acotado los cuantificadoresmarcados con un asterisco, pero es facil hacerlo.) La definicion de G es, dehecho, ∆0. Notemos que

xω,N(n) = y ↔∧

m ∈ ω (y ∈ Bm ↔ Gω,ω(m,n, x)))

↔∧

m ∈ ω (y(ℓ(m)) = m↔∨

k ∈ ωH(k,m, n, x(k))),

e igualmente se reduce a una formula ∆0 (con los parametros necesarios) la

4Por simplicidad en las comprobaciones podemos anadir a φ mas parametros con las rela-ciones aritmeticas que definen a x(k), y ası no hace falta justificar que estas pueden definirseen KPI.

5Usamos el teorema de Σ1-recursion [L 12.6].

312 Capıtulo 8. Conjuntos hiperaritmeticos

formula x1ω,ω = y. Hay que demostrar que el conjunto y descrito por Gesta realmente en M . El unico caso no trivial es el correspondiente a α > 1,donde hay que probar que los conjuntos C y D estan en M , pero tambien esevidente, pues se definen a partir de Na por ∆0-especificacion con los parametrosnecesarios (entre ellos α y f).

Ası pues, concluimos que los conjuntos de codigos C(Σ0α(a)), C(Π

0α(a)) estan

en M , para 1 ≤ α < ωa1 ). Mas precisamente, las formulas y = C(Σ0α(a)),

y = C(Π0α(a)) equivalen a formulas ∆1 relativizadas a M con los parametros

necesarios.Seguidamente comprobamos que la aplicacion F : Ω −→ V dada por F (α) =

πω|C(Σ0α(a))∪C(Π0

α(a)) tambien es definible en M . Esto completara la demos-tracion, pues entonces

Σ0α(a)(ω) = F (α)[C(Σ0

α(a))] ∈M, Π0α(a)(ω) = F (α)[C(Π0

α(a))] ∈M.

Como antes, podemos definir funcion G sobre la clase de los pares (α, f)tales que α ∈ Ω y f : α −→ V cumple que

∧

α ∈ Ω f(α) : C(Σ0α(a)) ∪ C(Π

0α(a)) −→ V,

pues estas condiciones definen una clase ∆1. La definicion es la siguiente:

y = G(α) ↔ (α = 0 ∧ y = ∅) ∨

(α = 1 ∧∨

y1y2(y1 = C(Σ01(a)) ∧ y2 = C(Π0

1(a)) ∧ y : y1 ∪ y2 −→ V ∧∧

x ∈ y1(y(x) = x1ω,ω(n) | n ∈ ω) ∧∧

x ∈ y2∨

x′ ∈ y1 (x′ = x1ω,ω ∧ y(x) = ω \ y(x′)))) ∨

(α > 1 ∧∨

y1y2(y1 = C(Σ0α(a)) ∧ y2 = C(Π0

α(a)) ∧ y : y1 ∪ y2 −→ V ∧∧

x ∈ y1(∨

A(∧

n ∈ ω∨

δ < α∨

y′∨

x′ ∈ y′(y′ = C(Σ0δ(a)) ∧ x′ = x1ω,N(n)

∧ f(δ)(x′) ∈ A) ∧∧

a ∈ A∨

n ∈ ω∨

δ < α∨

y′∨

x′ ∈ y′(y′ = C(Σ0δ(a) ∧

x′ = x1ω,N(n) ∧ a = f(δ)(x′)) ∧ y(x) =⋃

a∈A

a)

∧∧

x ∈ y2∨

x′ ∈ y1 (x′ = x1ω,ω ∧ y(x) = ω \ y(x′)))).

Como en el caso anterior se demuestra que la formula que define a G es Σ1

ası como que la funcion y descrita por dicha formula esta en M .

Al aplicar el teorema anterior al modelo Lωa1[a] obtenemos que si 1 ≤ α < ωa1

entonces Σ0α(a)(ω) ∈ Lωa

1[a], luego existe un λ < ωa1 tal que Σ0

α(a)(ω) ⊂ Lλ[a].En otras palabras, existe un λ < ωa1 tal que en los conjuntos de la jerarquıaconstructible posteriores a λ ya no aparecen nuevos subconjuntos de ω hiper-aritmeticos de rango α. A continuacion demostramos que, por el contrario,nunca dejan de aparecer nuevos subconjuntos hiperaritmeticos de ω:

Teorema 8.39 Si a ∈ N y λ < ωa1 , entonces ∆11(a)(ω) 6⊂ Lλ[a].

8.6. La logica ǫσ 313

Demostracion: Sea A = a ∈ Lλ[a] | a ⊂ ω ∈ Lωa1[a], sea Ea∈ Lωa

1[a] la

restriccion a Lλ[a] del buen orden constructible y seaE =Ea ∩ (A×A) ∈ Lωa1[a].

Ası (A,E) es un conjunto bien ordenado y, si α es su ordinal, el teorema 8.29nos da que α < ωa1 y que la semejanza f : (A,E) −→ α cumple f ∈ Lωa

1[a]. Sea

x ∈ BO recursivo en a tal que ‖x‖ = α. Por el mismo teorema, las semejanzasg : (Cx,≤x) −→ α y h : (Cx,≤) −→ ω cumplen g, h ∈ Lωa

1[a], donde la ultima

relacion de orden es la restriccion a Cx del buen orden usual en ω.Componiendo estas semejanzas obtenemos una biyeccion t : ω −→ A tal que

t ∈ Lωa1[a]. Ahora basta considerar el conjunto

x = n ∈ ω | n /∈ t(n) ∈ Lωa1[a].

Tenemos que x ∈ ∆11(a)(ω) (por estar en Lωa

1[a]), pero no puede ser x ∈ Lλ[a],

pues entonces existirıa un n ∈ ω tal que t(n) = x y llegarıamos a la paradojan ∈ x↔ n /∈ x.

Los dos teoremas anteriores implican que si 1 ≤ α < ωa1 , entonces

Σ0α(a)(ω) ∆1

1(a)(ω),

y de aquı se sigue la misma inclusion estricta para Π0α(a)(ω).

8.6 La logica ǫσ

Vamos a presentar una logica con deducciones infinitas que esta asociada auna generalizacion del concepto de modelo ω. Con ella determinaremos todoslos ordinales admisibles numerables.

Definicion 8.40 Dado un ordinal numerable σ, llamaremos Lǫσ al lenguajeformal de primer orden cuyos signos (aparte de los signos logicos) son el relatorde pertenencia ∈ y un conjunto de constantes ω+ τ | τ ∈ σ. Representaremosτ = ω + τ .

Supondremos ademas que los signos de Lǫσ distintos de las constantes τ sonnumeros naturales (por ejemplo, que las variables son las potencias 2i y que losrestantes signos —una cantidad finita— son los primeros numeros naturales).

Mas en general, llamaremos lenguaje ǫσ a cualquier lenguaje L que conste delos signos de Lǫσ mas una cantidad finita o numerable de nuevas constantes (alas que siempre supondremos una descripcion conjuntista sencilla, por ejemplo,las primeras o todas las potencias 3i).

Todos los resultados que vamos a probar siguen siendo validos si admitimoslenguajes ǫσ con otros signos adicionales (relatores o funtores), pero no nos vana hacer falta y solo alargarıan las demostraciones, por lo que trabajaremos conla definicion restringida que acabamos de dar.

Un modelo ǫσ de L es un modelo M tal que

a) Si ρ < τ < σ entonces M ρ ∈ τ .

314 Capıtulo 8. Conjuntos hiperaritmeticos

b) Si x ∈M y τ < σ cumplen M [x] ∈ τ , entonces existe un ordinal ρ < τtal que M [x] = ρ.

Observemos que si M es un modelo ǫσ de KPI, para todo τ < σ se cumpleque M(τ ) ∈Mbf , pues una sucesion decreciente respecto a la pertenencia en Mque parta de τ darıa lugar (por la propiedad b) a una sucesion decreciente deordinales. Una simple induccion demuestra entonces que el colapso transitivode M(τ) es precisamente τ , de modo que σ ≤ ΩMbf y

∧

τ < σ i(τ) =M(τ ).

En particular, si σ > ω tenemos que e(M(ω)) = i[ω], pero entonces, apli-cando el principio de induccion en M , concluimos que M ω = ω, luegoe(M(ω)) = ωM y tenemos que M es un modelo ω. Ası pues, los modelos ǫσ sonuna generalizacion6 del concepto de modelo ω.

Definicion 8.41 Sea L un lenguaje ǫσ. Una deduccion ǫσ a partir de un con-junto de premisas dado Γ ⊂ Form(L) es un arbol bien fundado T ⊂ X<ω juntocon una aplicacion p : T −→ Form(L) que cumpla las condiciones siguientes:

• Si s ∈ T es un nodo terminal (no tiene extensiones en T ) entonces p(s) esun axioma logico, o bien una premisa, o bien una sentencia ρ ∈ τ , paraciertos ordinales ρ < τ < σ.

• Si s ∈ T no es terminal, entonces se da uno de los casos siguientes:

(MP) Existen x, y ∈ X tales que sx, sy ∈ T , p(sx) = p(sy) → p(s).

(IG) Existe un x ∈ X tal que sx ∈ T y p(s) =∧

u p(sx), para ciertavariable u de L.

(IGτ ) Existe un ordinal τ < σ tal que p(s) =∧

u ∈ τ φ(u) y

∧

ρ < τ∨

x ∈ X(sx ∈ T ∧ p(sx) = φ(ρ)).

Escribiremos Γ ⊢(T,p)ǫσ φ para indicar que (T, p) es una deduccion ǫσ conpremisas en Γ ⊂ Form(L) y p(∅) = φ.

Abreviaremos Γ ⊢ǫσ φ ≡∨

Tp Γ ⊢(T,p)ǫσ φ.

En definitiva, una deduccion ǫσ es una deduccion en la que admitimos comoaxiomas todas las sentencias ρ < τ con ρ < τ < σ y admitimos como demos-tracion de que todo ordinal menor que τ cumple una determinada propiedadla reunion (organizada en forma de arbol) de una familia de demostracionesindividuales de que cada uno de ellos la cumple.

Es obvio que este concepto de deduccion ǫσ extiende al concepto usual, demodo que

Γ ⊢ φ ⇒ Γ ⊢ǫσ φ.

(toda deduccion usual se convierte en una deduccion ǫσ sobre un arbol finitolineal).

6Es facil ver que un modelo ω es esencialmente lo mismo que un modelo ǫ(ω+1), mientrasque cualquier modelo de KP admite una estructura de modelo ǫω.

8.6. La logica ǫσ 315

El concepto de deduccion ǫσ nos obliga a trabajar con arboles T ⊂ X<ω

sobre conjuntos X arbitrarios, no necesariamente X = ω. Algunos resultadosque hemos visto tras la definicion 8.5 cuando X = ω son validos en general conel mismo argumento. Ası, todo arbol bien fundado T tiene asociada una unicaaplicacion rangT : T −→ Ω determinada por la relacion recurrente

rangT (t) =⋃

t s

(rangT (s) + 1).

Ası, si t s, entonces rangT s < rangT t.

Para cada t ∈ T podemos definir el arbol

T/t = s ∈ X<ω | ts ∈ T ,

que esta bien fundado si T lo esta, y en tal caso rangT/t(s) = rangT (ts). Se

define la altura de un arbol bien fundado como ‖T ‖ = rangT (∅). En particular,si t ∈ T \ ∅ se cumple que ‖T/t‖ = rangT (t) < ‖T ‖.

Vamos a necesitar la version para arboles del teorema 8.29. En general, siT ⊂ X<ω es un arbol, diremos que f : T −→ Ω es un rango si

f : T −→ Ω ∧∧

s ∈ T f(s) =⋃

s t

(f(t) + 1)

Segun acabamos de indicar, todo arbol bien fundado tiene asociada unaaplicacion rango, y es claro que T tiene una aplicacion rango entonces esta bienfundado. Todo esto se puede demostrar en ZF + ED, pero no en KPI. Noobstante se cumple:

Teorema 8.42 Sea M un modelo transitivo de KPI y sea T ∈ M un arbol.Entonces

T esta bien fundado ↔∨

f ∈M (f : T −→ Ω es un rango).

Demostracion: Una implicacion es trivial, pues si existe un rango (este ono en M), entonces T esta bien fundado. Falta probar que si T ∈M es un arbolbien fundado y rang : T −→ Ω es su aplicacion rango, entonces rang ∈ M . Loprobamos por induccion sobre su altura ‖T ‖.

Ası pues, suponemos que el rango de todo arbol en M bien fundado y dealtura menor que ‖T ‖ esta en M , y vamos a probar que lo mismo vale para T .

Sea X = ct(T ) ∈M , de modo que T ⊂ X<ω ∈M . Para cada t ∈ T , es claroque, por ∆0-especificacion,

T/t = s ∈ X<ω | ts ∈ T ∈M.

Si t 6= ∅, tenemos ‖T/t‖ < ‖T ‖, luego por hipotesis de induccion rangT/t ∈M .Ası pues:

M ∧

t ∈ [T ] \ ∅1∨f(f : [T ]/t −→ Ω es un rango)

316 Capıtulo 8. Conjuntos hiperaritmeticos

Teniendo en cuenta que la unica aplicacion f que satisface la afirmacionanterior es rangT/t, por Σ1-reemplazo la aplicacion F : T \ ∅ −→ V dada porF (t) = rangT/t esta en M , luego tambien lo esta la funcion r : T \ ∅ −→ Ωdada por

r(t) = F (t)(∅) = rangT/t(∅) = rangT (t).

(Por ejemplo, r = (t, α) ∈ (T \ 0) × ct(T ) | (∅, α) ∈ F (t), que esta en Mpor ∆0-especificacion.) Ahora bien, ‖T ‖ ≤

⋃Rr + 1 ∈ M , luego tenemos que

‖T ‖ ∈M y por consiguiente rangT = r ∪ (∅, ‖T ‖) ∈M .

Pasemos ya a estudiar la logica ǫσ. En primer lugar demostramos que lasdeducciones ǫσ son correctas con respecto a los modelos ǫσ:

Teorema 8.43 (de correccion) Sea L un lenguaje ǫσ, sea M un modelo ǫσde L y sea Γ un conjunto de premisas tales que M Γ. Entonces, para todaformula φ ∈ Form(L), se cumple que

Γ ⊢ǫσ φ ⇒ M φ.

Demostracion: Por induccion sobre la altura de (el arbol asociado a) unadeduccion ǫσ de φ.

Si el arbol tiene altura 0, entonces φ es un axioma logico (luego es verdaderoen M) o bien una premisa (en cuyo caso es verdadera en M por hipotesis), obien una sentencia ρ ∈ τ (que es verdadera en M por definicion de modelo ǫσ).

Si φ tiene una deduccion sobre un arbol de altura α y el resultado es validopara formulas deducibles sobre arboles de altura menor, fijemos una deduccion(T, p) de φ y distingamos tres casos:

Si φ se deduce por (MP), es decir, si existen xy ∈ X de manera que(0, x), (0, y) ∈ T y p((0, x)) = ψ → φ, donde ψ = p((0, y) los arbolesT/(0, x) y T/(0, y) tienen altura menor que T y sobre cada uno de ellospodemos construir una deduccion de ψ → φ y ψ respectivamente. Por hipotesisde induccion concluimos que M (ψ → φ) y M ψ, luego tambien M φ.

El caso en que φ se deduce por (IG) es analogo al anterior, incluso massimple. Pasemos al caso en que φ se deduce por (IGτ ). Tenemos entonces queφ ≡

∧

u ∈ τ ψ(u) y que para cada ρ < τ existe un x ∈ X tal que (0, x) ∈ Ty p((0, x)) = ψ(ρ). El arbol T/(0, x) tiene altura menor que T , y sobre elpodemos construir una deduccion de ψ(ρ), luego por hipotesis de induccion

∧

ρ < τ M ψ(ρ).

Veamos que de aquı se sigue queM ∧

u ∈ τ ψ(u). En caso contrario existeun x ∈ M tal que M [x] ∈ τ y ¬M ψ[x]. Por definicion de modelo ǫσexiste un ρ < τ tal que M [x] = ρ, luego ¬M ψ(ρ), y ası tenemos unacontradiccion.

En particular, si decimos que un conjunto de formulas Γ es ǫσ-consistente sino existe ninguna deduccion ǫσ de una contradiccion a partir de Γ, el teoremaanterior prueba que todo conjunto de formulas que admita un modelo ǫσ esǫσ-consistente. Mas delicado es probar el recıproco:

8.6. La logica ǫσ 317

Teorema 8.44 (de adecuacion) Todo conjunto ǫσ-consistente de sentenciasde un lenguaje ǫσ tiene un modelo ǫσ numerable.

Demostracion: Dado un lenguaje ǫσ L y un conjunto ǫσ-consistente Γde sentencias de L, consideramos el lenguaje L′ que resulta de anadir a L

un conjunto numerable de constantes C. Llamamos P al conjunto de todoslos conjuntos finitos p de sentencias de L

′ tales que Γ ∪ p es ǫσ-consistente yconsideramos en P el orden parcial dado por la relacion inversa de la inclusion.

Para cada sentencia φ de L, sea

Cφ = p ∈ P | φ ∈ p ∨ ¬φ ∈ p.

Para cada sentencia de la forma∨

xφ(x), definimos

Dφ,x = p ∈ P | p∨

xφ(x)q /∈ p ∨∨

c ∈ C φ(c) ∈ p.

Por ultimo, para cada ordinal τ < σ y cada constante c ∈ C, definimos

Eτ,c = p ∈ P | pc /∈ τq ∈ p ∨∨

ρ < τ pc = ρq ∈ p.

Todos estos conjuntos son densos en P. La prueba para el primero de ellosse basa en que la logica ǫσ tambien cumple el teorema de deduccion.7 Ası,dado p ∈ P, o bien p ∪ φ o bien p ∪ ¬φ esta en P pues en caso contrario, sillamamos ψ ≡

∨

x(x 6= x) a una contradiccion, tendrıamos que Γ∪p∪φ ⊢ǫσ ψy Γ ∪ p ∪ ¬φ ⊢ǫσ ψ, luego por el teorema de deduccion Γ ∪ p ⊢ǫσ φ → ψ yΓ ∪ p ⊢ǫσ ¬φ → ψ, de donde Γ ∪ p ⊢ǫσ ψ, pues φ → ψ,¬φ → ψ ⊢ ψ, y estoimplica trivialmente que φ→ ψ,¬φ→ ψ ⊢ǫσ ψ.

Dejamos al lector la comprobacion de que Dφ,x es denso.8

Para Eτ,c tomamos una condicion p ∈ P. Si existe un ordinal ρ < τ talque Γ ∪ p ∪ c = ρ es consistente, entonces p se extiende a un elemento deEτ,c. En caso contrario, para todo ρ < τ tenemos que Γ ∪ p ⊢ǫσ c 6= ρ, luegoΓ ∪ p ⊢ǫσ

∧

u ∈ τ c 6= u, y esto implica que Γ ∪ p ⊢ǫσ c /∈ τ (pues es unaconsecuencia logica), luego p ∪ c /∈ τ ∈ Wτ,c.

En total tenemos una familia numerable de conjuntos densos, luego podemostomar un filtro G que sea P-generico sobre todos ellos, y llamamos S0 =

⋃

p∈G

p.

Tenemos los hechos siguientes:

7La prueba de [L 2.8] se generaliza sin dificultad, cambiando la induccion sobre la longitudde una deduccion por una induccion sobre la altura del arbol asociado. Solo hay que anadir unultimo caso correspondiente a la regla (IGτ ), que es trivial (con la notacion allı empleada): siβ ≡

∧

u ∈ τφ(u) se deduce por (IGτ ), por hipotesis de induccion tenemos que Γ ⊢ǫσ α → φ(ρ)para todo ρ < τ , lo que nos da una prueba de

∧

u ∈ τ(α → φ(u)) (donde u puede tomarse nolibre en α) y esto a su vez nos lleva a α → β.

8Esto supone generalizar los teoremas [L 4.9 y 4.10] y solo el primero de ellos requiereanadir un caso a la prueba, lo que no ofrece ninguna dificultad.

318 Capıtulo 8. Conjuntos hiperaritmeticos

a) Para toda sentencia φ de L′, o bien φ ∈ S0 o bien ¬φ ∈ S0, pero no se

dan ambos casos a la vez.

En efecto, la primera parte es consecuencia de que Cφ es denso, y lasegunda se debe a que en caso contrario φ y ¬φ estarıan en una mismacondicion de G, lo cual es imposible.

b) Γ ⊂ S0.

En efecto, si γ ∈ Γ\S0 entonces ¬γ ∈ S0, luego ¬γ estarıa en una condicionde P, la cual no serıa consistente con Γ.

c) Si ρ < τ < σ, entonces pρ ∈ τq ∈ S0.

Pues ⊢ǫσ ρ ∈ τ , luego ρ /∈ τ no es consistente con Γ y no puede estar enninguna condicion de P.

d) Si p∨

xφ(x)q ∈ S0, entonces existe una constante c ∈ C tal que φ(c) ∈ S0.

En efecto, existe una condicion p ∈ G que contiene la formula indicada, lacual tiene que extenderse a una condicion en G ∩Dφ,x, la cual tiene quecontener a φ(c), para cierta c.

e) Si τ < σ y c ∈ C cumplen pc ∈ τq ∈ S0, entonces existe un ρ < τ tal quepc = ρq ∈ S0.

Esto se sigue de la densidad de Eτ,c.

f) Si φ es una sentencia tal que S0 ⊢ φ, entonces φ ∈ S0.

En efecto, pues en caso contrario ¬φ ∈ S0 y existe un numero finito depremisas en S0 que implican φ, las cuales estaran en una misma condicionp ∈ G, que ademas podemos exigir que contenga a ¬φ, pero entonces pserıa contradictorio, al igual que Γ ∪ p.

Definimos sobre el conjunto C la relacion dada por

c ∼ d↔ pc = dq ∈ S0.

La observacion f) implica que se trata de una relacion de equivalencia, luegopodemos considerar el conjunto cocienteM = C/ ∼, y definir sobre el la relaciondada por

[c]R [d] ↔ pc ∈ dq ∈ S0,

que tambien esta bien definida por la propiedad f).

Si k es cualquier constante de L′ (en particular esto vale para las constan-

tes τ , con τ < σ) por f) tenemos que p∨x x = kq ∈ S0, luego por e) existe una

constante c ∈ C tal que pc = kq ∈ S0. Ademas, si pc′ = kq ∈ S0, por f) conclui-

mos que pc = c′q ∈ S0, luego [c] = [c′]. Esto nos permite definir I(k) = [c], y ası(M,R, I) se convierte en un modelo de L′. Notemos que si c ∈ C se cumple queI(c) = [c].

Si φ es una sentencia de L′, entonces (M,R, I) φ si y solo si φ ∈ S0.

8.6. La logica ǫσ 319

En efecto, lo probamos por induccion sobre la longitud de φ.

Si φ ≡ k = k′, existen constantes c, c′ ∈ C tales que pk = cq, pk′ = c′q ∈ S0.Entonces

(M,R, I) k = k′ ↔ [c] = [c′] ↔ pc = c′q ∈ S0 ↔ pk = k′q ∈ S0,

donde en la ultima implicacion hemos usado la propiedad f).

El caso φ ≡ k ∈ k′ es analogo.

Si φ ≡ ¬α entonces

(M,R, I) φ↔ ¬M α↔ α /∈ S0 ↔ φ ∈ S0,

donde la ultima equivalencia es por la propiedad a).

Si φ ≡ α→ β, entonces

(M,R, I) φ↔ ¬(M,R, I) α ∨ (M,R, I) β

↔ ¬(α ∈ S0) ∨ β ∈ S0 ↔ φ ∈ S0,

donde la ultima equivalencia es por las propiedades a) y f).

Si φ ≡∧

xψ(x), entonces

(M,R, I) φ↔∧

c ∈ C (M,R, I) ψ[c] ↔∧

c ∈ C (M,R, I) ψ(c)

↔∧

c ∈ C ψ(c) ∈ S0 ↔∧

c ∈ C ¬ψ(c) /∈ S0

↔∨

x¬ψ(x) /∈ S0 ↔ ¬∨

x¬ψ(x) ∈ S0 ↔ φ ∈ S0,

donde hemos usado las propiedades d) y f).

En particular (M,R, I) Γ y, para cada ρ < τ < σ, tenemos queM ρ < τ .Para comprobar que (M,R, I) es un modelo ǫσ solo falta observar que si secumple (M,R, I) [c] ∈ τ , entonces (M,R, I) c ∈ τ , luego pc ∈ τq ∈ S0, luego,por la propiedad e), existe un ρ < τ tal que pc = ρq ∈ S0, luego concluimos que(M,R, I) [c] = ρ.

Ası pues, “olvidando” la interpretacion de las constantes de C, tenemos queM es un modelo ǫσ de Γ.

En particular:

Teorema 8.45 Un conjunto de sentencias ǫσ es ǫσ-consistente si y solo si tieneun modelo.

Teorema 8.46 (de completitud) Si Γ es un conjunto de sentencias de unlenguaje ǫσ L y φ es una sentencia verdadera en todos los modelos ǫσ (nume-rables) de Γ, entonces Γ ⊢ǫσ φ.

320 Capıtulo 8. Conjuntos hiperaritmeticos

Demostracion: Basta tener en cuenta que si ¬Γ ⊢ǫσ φ, entonces Γ∪¬φes ǫσ-consistente. En efecto, si a partir de este conjunto pudiera probarse unacontradiccion, como ψ ≡

∨

x(x 6= x), por el teorema de deduccion (que ya hemosobservado que es valido para la logica ǫσ) tendrıamos que Γ ⊢ǫσ ¬φ → ψ, pero¬φ→ ψ ⊢ φ, luego concluimos que Γ ⊢ǫσ φ.

Veamos ahora como aplicar estos resultados al estudio de los ordinales ad-misibles. Necesitamos algunos resultados previos.

Teorema 8.47 Sea M un modelo transitivo de KPI y sea σ = ΩM . Entonces,el conjunto

(T, p,Γ, φ) ∈M | Γ ⊢(T,p)ǫσ φ

es Σ1 sobre M .

Demostracion: Descompongamos

Γ ⊢(T,p)ǫσ φ↔ Γ ⊢∗(T,p)ǫσ φ ∧ T esta bien fundado,

donde Γ ⊢∗(T,p)ǫσ φ representa la definicion de deduccion en la que hemos eli-

minado la exigencia de que el arbol T este bien fundado. Basta probar sepa-radamente que ambas formulas son Σ1 en M , es decir, que ambas equivalen aformulas Σ1 relativizadas a M . La segunda lo es por el teorema 8.42.

En cuanto a Γ ⊢∗(T,p)ǫσ φ, serıa pura rutina escribir esta formula explıcita-

mente. Ello supondrıa incluir en los lugares oportunos las definiciones de formulaen L y de sustitucion de una variable por una constante, y de axioma logico,etc. Ahora bien, dicha formula tendra muchas variables ligadas que no admitanuna cota natural. Ademas habra algunas acotadas por σ (pero es claro que σno aparecera mas que como cota de ciertas variables) y no podemos manteneresta cota porque σ /∈M .

Observamos entonces que si (T, p,Γ, φ) ∈M , entonces A = ct(p ∪ Γ) ∈M yeste conjunto contiene a todos los signos de L que aparecen en las formulas de ladeduccion y, en particular, a todos los ordinales correspondientes a constantesde L que aparecen en la deduccion (no a todos los signos de L porque son unaclase propia en M). Ademas, T puede verse como un arbol T ⊂ A<ω.

Es claro entonces que todas las variables que en la formula Γ ⊢∗(T,p)ǫσ φ no

tienen una cota natural, cuando la formula se aplica al (T, p,Γ, φ) considerado,varıan en el conjunto

B ∈ ω ∪ A ∪ (A<ω) ∪ (A<ω)<ω ∈M.

Por ejemplo, para afirmar que p(t) es una formula de L necesitamos afirmarla existencia de una sucesion de subformulas que justifique que p(t) esta cons-truida de acuerdo con la definicion recurrente de “formula”, y dicha sucesionsera un elemento de (A<ω)<ω.

Por lo tanto, para obtener una formula ΣM1 basta acotar todas las variablespor B (y, en el caso de las variables acotadas por σ, sustituir cada

∧

α < σpor

∧

α ∈ B(α es un ordinal → · · ·), que es de tipo ∆0 y no menciona a σ) yanteponer un

∨

B ∈M .

8.6. La logica ǫσ 321

Teorema 8.48 Sea M un modelo transitivo de KPI y sea σ = ΩM . Suponga-mos que Γ ⊢ǫσ φ y que Γ ⊂ M es Σ1 sobre M . Entonces existen Γ′, T, p ∈ Mtales que Γ′ ⊂ Γ y Γ′ ⊢(T,p)ǫσ φ.

Demostracion: Por induccion sobre la altura de una deduccion de φ apartir de Γ, es decir, suponemos que el teorema es cierto para formulas deduci-bles con arboles de altura menor que ‖T0‖ y que φ tiene una deduccion (T0, p0),donde T0 ⊂ X<ω. Distinguimos varios casos segun la definicion de deduccion:

Si ∅ es un nodo terminal de T0, entonces T0 = ∅, p0 = (∅, φ) y φ es unaxioma logico o bien φ ∈ Γ, o bien ρ ∈ τ . Entonces T0, p0 ∈ M y basta tomarΓ′ = ∅ o Γ′ = φ, segun el caso, y se cumple que Γ′ ∈M .

Si ∅ no es un nodo terminal, se pueden dar tres casos:

(MP) Si existen x, y ∈ X tales que t1 = (0, x), t2 = (0, y) cumplent1, t2 ∈ T0, p0(t1) = p0(t2) → φ, entonces es facil obtener una deduccion dep0(t1) sobre el arbol T/t1 y otra de p0(t2) sobre T/t2, luego, por hipotesis deinduccion existen T1, p1, T2, p2,Γ

′1,Γ

′2 ∈M tales que Γ′

i ⊂ Γ y

Γ′1 ⊢(T1,p1)ǫσ p0(t1), Γ′

2 ⊢(T2,p2)ǫσ p0(t2).

Ahora se trata de ver que podemos unir estas dos deducciones en una solasin salirnos de M . En efecto, tomamos X ′ = ct(T1 ∪ T2) ∪ 1, 2 ∈ M y, por∆0-especificacion, para i = 1, 2,

T ′i = s ∈ X ′<ω |

∨

t ∈ Ti s = it ∈M.

Igualmente

p′i = (s, α) ∈ T ′i × ct(pi) |

∨

t ∈ Ti(s = it ∧ α = pi(t)) ∈M,

luego T ′ = ∅ ∪ T ′1 ∪ T

′2, p

′ = (∅, φ) ∪ p′1 ∪ p′2 y Γ′ = Γ′

1 ∪ Γ′2 estan en M y

cumplen lo pedido.

El caso (IG) es mas simple que el anterior. Pasemos a (IGτ), es decir,suponemos que φ ≡

∧

u ∈ τ ψ(u) y que

∧

ρ < τ∨

x ∈ X((0, x) ∈ T0 ∧ p0((0, x)) = ψ(ρ)).

Entonces podemos construir una deduccion de ψ(ρ) sobre T/(0, x), cuyaaltura es menor que ‖T ‖, luego por hipotesis de induccion

∧

ρ < τ∨

TpΓ′ ∈M(Γ′ ⊂ Γ ∧ Γ′ ⊢(T,p)ǫσ ψ(ρ)).

Ahora usamos que la formula Γ′ ⊂ Γ es ΣM1 por la hipotesis sobre Γ, mientrasque la segunda parte de la conjuncion lo es por el teorema anterior. Por lo tanto,la afirmacion precedente es de la forma

M ∀ρ < [τ ]∨

TpΓ′(· · ·)

322 Capıtulo 8. Conjuntos hiperaritmeticos

donde la formula entre parentesis es Σ1. Ahora podemos aplicar el principiode Σ1-recoleccion, segun el cual existe un conjunto A ∈ M cuyos elementosson ternas (T, p,Γ′), cada una de las cuales demuestra una formula ψ(ρ) (ypara cada ρ hay al menos una terna en A que demuestra ψ(ρ)). TomamosX ′ = A ∪ ct(A) ∈M y definimos

T ′ = ∅ ∪ t ∈ X ′<ω |∨

x ∈ A∨

TpΓ(x = (T, p,Γ) ∧∨

s ∈ T t = xs),

p′ = (∅, φ) ∪ (t, α) ∈ T ′ ×X ′ |∨

x ∈ A∨

TpΓ(x = (T, p,Γ) ∧∨

s ∈ T (t = xs ∧ α = p(s))),

Γ′ = χ ∈ X ′ |∨

x ∈ A∨

TpΓ(x = (T, p,Γ) ∧ χ ∈ Γ).

Es claro que T ′, p′,Γ′ ∈ M (pues estan definidos por ∆0-especificacion) ycumplen lo pedido.

Consideremos el orden siguiente definido sobre pares de sucesiones finitas deordinales: s t si ℓ(s) < ℓ(t), o bien ℓ(s) = ℓ(t) y ademas maxRs < maxRt,o bien ℓ(s) = ℓ(t), maxRs = maxRt y s ≤ t respecto al orden lexicografico.Claramente se trata de un buen orden y si ℓ(t) = n y maxRt = α, entonces

At = s | s t ⊂ (α+ 1)<n+1

es un conjunto. Mas aun, si σ es un ordinal admisible y t ∈ Lσ es claro queAt ∈ Lσ y tambien pertenece a Lσ la restriccion de a At. Como es un buenorden, el teorema 8.29 nos da que α = ord(At,) ∈ Lσ, y tambien esta en Lσla semejanza correspondiente. Por lo tanto, la formula

α = 〈t〉 ≡ t ∈ Ω<ω ∧∨

f f : (At,) −→ α semejanza

es absoluta para Lσ (es facil ver que es ∆1).En particular, la asignacion φ 7→ 〈φ〉 asigna un ordinal < σ a cada formula

φ ∈ Form(Lǫσ). Definimos

Vσ = α < σ |∨

φ ∈ SentΣ1(Lǫσ)(α = 〈φ〉 ∧ Lσ φ).

Aunque no vamos a necesitar este hecho, no es difıcil probar que Vσ es Σ1

sobre Lσ. Lo que necesitamos en realidad es la version siguiente del teorema deTarski de indefinibilidad de la verdad:

Teorema 8.49 Si σ es un ordinal admisible numerable, el conjunto Vσ no esΠ1 sobre Lσ.

Demostracion: Supongamos que existe una formula ψ(x) (del lenguaje dela teorıa de conjuntos) de tipo Π1 de modo que, para cada τ < σ

τ ∈ Vσ ↔ Lσ ψ(τ).

Entonces consideramos la formula θ(x) (del lenguaje de la teorıa de conjun-tos) dada por

θ(x) ≡ x ∈ Ω ∧∨

st ∈ FormΣ1(Lǫσ)(x = 〈s〉 ∧ t = Sxpxqs

∧∨

y ∈ Ω(y = 〈t〉 ∧ ¬ψ(y)).

8.6. La logica ǫσ 323

No es difıcil comprobar que esta formula es Σ1 sobre Lσ. Con mas detalle,es de la forma

x ∈ Ω ∧∨

styfg(s, t ∈ Form(Lǫσ) ∧ f : (As,) −→ x semejanza

∧ y ∈ Ω ∧ ¬ψ(y) ∧ g : (At,) −→ y semejanza ∧ · · ·)

donde s ∈ Form(Lǫσ), al igual que la parte que corresponde a los puntos sus-pensivos, es Σ1 sobre Lσ por la misma razon que en el teorema 8.47: Todas lasvariables que no admiten una cota natural pueden acotarse por una variable quepuede tomar el valor A∪A<ω ∪ (A<ω)<ω ∈ Lσ, donde A = ω∪x, x∪ct(s∪ t).

Podemos ver a θ(x) como una formula Σ1 de Lǫσ. Sea τ = 〈θ(x)〉, con loque θ(τ ) es una sentencia Σ1 de Lǫσ. Sea ρ = 〈θ(τ )〉. Entonces

Lσ θ(τ ) ↔ Lσ ¬ψ(ρ) ↔ ρ /∈ Vσ ↔ ¬Lσ θ(τ ),

con lo que llegamos a una contradiccion.

Teorema 8.50 Sea σ un ordinal admisible numerable, sea L un lenguaje ǫσ ysea Γ un conjunto ǫσ-consistente de sentencias de L que extienda a KPI y seaΣ1 sobre Lσ. Entonces Γ admite un modelo ǫσ M tal que ΩMbf = σ.

Demostracion: Usamos el argumento del teorema 8.44, pero anadimos unafamilia mas de conjuntos densos. Concretamente, para cada constante c ∈ Cdefinimos

Fc = p ∈ P |∨

τ < σ ((τ ∈ Vσ ∧ pτ /∈ cq ∈ p) ∨ (τ /∈ Vσ ∧ pτ ∈ cq ∈ p)).

Vamos a probar que efectivamente Fc es denso en P. En caso de no serlo,existe una condicion q ∈ P que no admite extensiones a Fc. Como Γ ∪ q esǫσ-consistente, tiene un modelo ǫσ M . Si τ ∈ Vσ, tiene que cumplirse queM τ ∈ c, pues en caso contrario q ∪ τ /∈ c serıa una extension de q a Fc.Similarmente, si τ /∈ Vσ tiene que ser M τ /∈ c. Como esto vale para todomodelo ǫσ, el teorema de completitud 8.46 nos da que, para todo τ < σ, secumple

τ ∈ Vσ ↔ Γ ∪ q ⊢ǫσ τ ∈ c, τ /∈ Vσ ↔ Γ ∪ q ⊢ǫσ τ /∈ c.

El teorema 8.48 implica a su vez que

τ /∈ Vσ ↔∨

Γ′Tp ∈ Lσ (Γ′ ⊂ Γ ∪ q ∧ Γ′ ⊢(T,p)ǫσ τ /∈ c).

La formula de la derecha es Σ1 sobre Lσ (por 8.47), pero no podemos decirque hemos llegado a una contradiccion con el teorema 8.49 porque este no con-templa la presencia del parametro q. Observamos entonces que q es un conjuntofinito de sentencias de L, cada una de las cuales puede codificarse por un ordinal< σ. Estos ordinales forman una sucesion finita de ordinales que a su vez puedeser codificada por un ordinal δ < σ.

324 Capıtulo 8. Conjuntos hiperaritmeticos

Consideramos la formula:

ψ(τ, δ) ≡ ¬∨

snfghq(n ∈ ω ∧ s ∈ Ωn ∧ f : (As,) −→ δ semejanza ∧ Dg = n

∧ Dh = n ∧∧

i ∈ n(g(i) ∈ Form(Lǫσ) ∧ h(i) : (Ag(i),) −→ s(i) semejanza)

∧ q = Rg ∧∨

Γ′Tp (Γ′ ⊂ Γ ∪ q ∧ Γ′ ⊢(T,p)ǫσ τ /∈ c)).

Se trata de una formula Π1 (del lenguaje de la teorıa de conjuntos) tal que,9

para todo τ < σ,τ ∈ Vσ ↔ Lσ ψ(τ, δ).

Ahora, la prueba del teorema 8.49 se generaliza trivialmente para admitir elparametro δ en la formula ψ, sin mas que definir

θ(x, d) ≡ x ∈ Ω ∧∨

st ∈ FormΣ1(Lǫσ)(x = 〈s〉 ∧ t = SxpxqS

dpdqs

∧∨

y ∈ Ω(y = 〈t〉 ∧ ¬ψ(y, d)),

y tomar τ = 〈θ(x, d)〉, ρ =⟨θ(τ , δ)

⟩.

La contradiccion final es ahora:

Lσ θ(τ , δ) ↔ Lσ ¬ψ(ρ, δ) ↔ ρ /∈ Vσ ↔ ¬Lσ θ(τ , δ).

Esto termina la prueba de que Vc es denso en P. Ahora el teorema 8.44 nosda un modelo ǫσ M de Γ del que ahora podemos probar ademas que no existeningun x ∈M tal que

τ ∈ Vσ ↔M τ ∈ [x].

En efecto, dicho x serıa de la forma x = [c], para cierta constante c ∈ C,pero existe un p ∈ G∩Fc, lo que a su vez se traduce en que existe un τ < σ talque, o bien τ ∈ Vσ pero M τ /∈ c o viceversa.

En particular, ningun x ∈ Mbf cumple esto mismo, lo cual equivale a queVσ /∈ Mbf . Esto implica a su vez que σ /∈ Mbf , pues en caso contrario tambientendrıamos que Lσ ∈Mbf y Vσ puede construirse10 en KPI a partir de Lσ.

Puesto que todo modelo ǫσ cumple σ ≤ ΩMbf , podemos concluir que ΩMbf = σ.

Notemos que KPI es Σ1 sobre cualquier modelo transitivo de KPI, pues esuna teorıa recursiva y, segun el teorema 8.25 el conjunto de numeros de Godelde sus axiomas puede ser descrito con una formula ∆1 relativizada al modelo(una formula que empiece por

∨

wsp(w = ω ∧ f = σ ∧ p = π ∧ · · ·) o por∧

wsp(w = ω ∧ f = σ ∧ p = π → · · ·)).

Como aplicacion generalizamos el teorema 8.35 a):

9Aquı estamos usando que si q es un conjunto finito de formulas de Lσǫ, cualquier biyecciong : n −→ q esta en Lσ (porque Lσ es cerrado para subconjuntos finitos), al igual que lo estan(por la misma razon) la sucesion s de codigos de las formulas g(i) y la aplicacion h que a cadai < n le asigna la semejanza correspondiente h(i) : (Ag(i),) −→ s(i).

10La formula M φ puede definirse en KPI y es ∆1. En la seccion 12.2 de [L] esta probadopara lenguajes formales con signos contenidos en ω, pero el argumento es valido sin mas quecambios triviales cuando el conjunto de signos esta contenido en un ordinal σ. Ası pues, Vσ

puede definirse por ∆1-especificacion a partir de Lσ .

8.6. La logica ǫσ 325

Teorema 8.51 Los ordinales admisibles numerables mayores que ω son los or-dinales ωa1 , para cada a ∈ N.

Demostracion: En la observacion tras el teorema 8.26 hemos probado queexiste una formula ψ(x, a) tal que, para todo modelo transitivo M de KPI ytodos los x, a ∈ N ∩M , se cumple

x es recursivo en a↔M ψ[x, a].

Sea ahora σ > ω un ordinal admisible y L un lenguaje ǫσ que posea unaconstante a. Consideramos el conjunto Γ de sentencias de L dado por:

a) Los axiomas de KPI.

b) La sentencia a : ω −→ ω.

c) Para cada τ < σ, la sentencia

τ < ωa1 ≡∨

xf(x : ω −→ ω ∧ ψ(x, a) ∧ f : (Cx,≤x) −→ τ semejanza).

Claramente Γ es Σ1 sobre Lσ, y es ǫσ-consistente, pues tiene por modelo ǫσa H(ℵ1). (Basta interpretar a como un elemento a ∈ N tal que σ < ωa1 .) Elteorema anterior nos da entonces un modelo M tal que ΩMbf = σ. Es obvio queM(a) ∈ Mbf (porque ω ∈ Mbf), luego podemos llamar a ∈ N al objeto de Mbf

que se corresponde con M(a).Similarmente, para cada τ < σ, las funciones x, f ∈ M que existen porque

M τ < ωa1 estan en Mbf , y es claro entonces que la sentencia τ < ωa1 esabsoluta para Mbf −M , luego resulta que (cambiando x y f por sus colapsosen Mbf) tenemos que x ∈ N y f : (Cx,≤x) −→ τ semejanza, lo cual implica asu vez que x ∈ BO y que τ = ‖x‖ con x recursivo en a, es decir que τ < ωa1 .Por lo tanto, σ ≤ ωa1 .

Por otra parte, el teorema 8.30 nos da que ωa1 ⊂Mbf , luego σ = ωa1 .

Nota Terminamos observando que podemos generalizar ligeramente el teo-rema 8.50: cuando σ = ωa1 , basta exigir que Γ sea Σ1 sobre Lωa

1[a] en lugar de

sobre Lωa1. Para ello basta considerar el conjunto V ′

σ definido como Vσ pero conLωa

1[a] en lugar de Lωa

1. La prueba del teorema 8.50 vale sin mas que cambiar

cada Lσ por Lσ[a] (pues ambos son modelos de KPI, y esto es lo unico que seusa).

Capıtulo IX

Juegos infinitos

En los capıtulos anteriores hemos visto que las clases proyectivas Σ11, Π

11,

Σ12 y Π1

2 (y sus analogas efectivas) comparten propiedades con las clases de lajerarquıa de Borel, pero no hemos dicho nada sobre las clases siguientes. Ello sedebe a que todas las propiedades que hemos estudiado resultan indecidibles sobrelas clases superiores de la jerarquıa proyectiva, no ya en ZF+ED, sino inclusoen ZFC. El axioma de eleccion permite demostrar la existencia de conjuntos nomedibles, sin la propiedad de Baire, etc., ası como uniformizar, separar y reducirconjuntos, pero no permite concluir (ni excluir) que los conjuntos obtenidosgracias a el pertenezcan a ninguna clase de conjuntos proyectivos.

En este capıtulo veremos que muchas de las propiedades que hemos estudiadose pueden reducir a un mismo esquema general puramente conjuntista, a saber,la determinacion de ciertos juegos infinitos. Este punto de vista nos propor-cionara, por una parte, demostraciones alternativas de algunos resultados queya conocemos y, lo que es mas importante, nos permitira formular un axiomamuy simple (el axioma de determinacion proyectiva ADP) con el cual podremosextender a todas las clases proyectivas los resultados que en ZFC pueden serdemostrados unicamente para las primeras de la jerarquıa de Lusin. Si estamosdispuestos a renunciar al axioma de eleccion, el axioma ADP puede extenderseal axioma de determinacion (AD) que permite extender muchas propiedades asubconjuntos arbitrarios de cualquier espacio polaco.

9.1 Definiciones basicas

Definicion 9.1 Sea X un conjunto, sea R ⊂ X<ω un arbol en X y A ⊂ [R] unconjunto de ramas de R. Llamaremos juego (de longitud ω) asociado al arbolde reglas R y al conjunto de apuesta A al par J(R,A) = (R,A). Los elementosde R se llaman posiciones legales del juego J(R,A). Las ramas de R (finitas oinfinitas) se llaman partidas de J(R,A).

Si x es una partida de J(R,A), los elementos x0, x2, x4, . . . se llaman juga-das del jugador I, mientras que los elementos x1, x3, x5, . . . son las jugadas del

327

328 Capıtulo 9. Juegos infinitos

jugador II. La partida x la gana el jugador I si es finita y la ultima jugada esdel jugador I o si es infinita y x ∈ A En caso contrario la gana el jugador II.

La idea es que podemos imaginar (aunque nuestra imaginacion no formaparte de las definiciones) que cada partida se construye mediante la interaccionentre dos jugadores. El jugador I realiza la primera jugada x0, que ha de respetarlas reglas del juego, es decir, que, vista como un elemento s1 ∈ X1, ha decumplir que s1 ∈ R. Seguidamente, el jugador II realiza su jugada x1, con lacondicion de que s2 = s1

x1 ∈ R, y ası sucesivamente. Si llega un punto enque un jugador no tiene ninguna jugada legal, este pierde la partida. En casocontrario, la partida se prolonga hasta un elemento de [R], y entonces gana Isi la partida pertenece al conjunto de apuesta. Podemos interpretar esto comoque I ha apostado a que es capaz de acabar la partida en A (salvo que II pierdaantes), mientras que II ha apostado a que es capaz de acabarla en [R]\A (salvoque I pierda antes).

Una estrategia para el jugador I (resp. II) es una aplicacion σ : S −→ X ,donde S ⊂ R es un arbol tal que:

a) Si s ∈ S tiene longitud impar (resp. par), entonces sx ∈ S para todox ∈ X tal que sx ∈ R.

b) Si s ∈ S tiene longitud par (resp. impar), entonces sσ(s) ∈ S.

De este modo, si σ es una estrategia para I, el jugador I puede usar σ comocriterio para determinar unıvocamente sus jugadas. Mas precisamente, si σ esuna estrategia para I y y ∈ Xω, existe una unica rama σ ∗ y de S (finita oinfinita) que cumple:

(σ ∗ y)(2n) = (σ ∗ y)|2nσ((σ ∗ y)|2n), (σ ∗ y)(2n+ 1) = (σ ∗ y)|2n+1

yn.

Notemos que si σ ∗ y tiene longitud finita, esta ha de ser impar, es decir,termina con una jugada de I, ya que, por definicion de estrategia, toda posicionen S de longitud par puede prolongarse con σ. Ademas, si la longitud es 2n+1,necesariamente (σ ∗ y) yn /∈ R.

En definitiva, σ ∗ y es la partida que se obtiene empezando con x0 = σ(∅),seguido de y0, seguido de x1 = σ(x0, y0), seguido de y1, seguido de x2 =σ(x0, y0, x1, y1), etc., y que se prolonga mientras las jugadas para II determina-das por la sucesion y sean legales.

Analogamente, si σ es una estrategia para II, se define y ∗ σ como la unicarama de S que cumple

(y ∗ σ)(2n) = (y ∗ σ)|2nyn, (y ∗ σ)(2n+1) = (y ∗ σ)|2n+1

σ((y ∗ σ)|2n+1),

que, en caso de ser finita, tiene longitud par.

Una estrategia σ para I (resp. para II) es ganadora si para toda sucesiony ∈ Xω tal que σ ∗ y (resp. y ∗ σ) es infinita, se cumple de hecho que σ ∗ y ∈ A(resp. y ∗ σ ∈ [R] \A).

9.1. Definiciones basicas 329

En otras palabras, una estrategia es ganadora si, cuando el jugador para elque esta disenada la sigue, este gana necesariamente la partida.

El juego J(R,A) esta determinado si uno de los dos jugadores tiene unaestrategia ganadora.

Llamaremos J(A) = J(X<ω, A), donde A ⊂ Xω, es decir, J(A) es el juegocuya unica regla es que cada jugada ha de estar en el conjunto X . Observemosahora que, en realidad, todo juego de la forma J(R,A) es equivalente a uno dela forma J(A′), en el sentido de que cada jugador tiene una estrategia ganadoraen uno si y solo si la tiene en el otro, de modo que establecer un arbol de reglases solo una forma de simplificar la definicion de un juego.

En efecto, dado un juego J(R,A), para cada x ∈ Xω \ [R] existe un mınimon ∈ ω tal que x|n /∈ R, descartando el caso trivial en que R = ∅, sera n = m+1,de modo que x|m ∈ R. Ası,

Xω \ [R] =⋃

s∈I

Bs,

donde I = s ∈ X<ω | s /∈ R ∧ s|ℓ(s)−1 ∈ R. Ahora bien, podemos dividir I endos subconjuntos: el conjunto I1 formado por las sucesiones de longitud impar,y el conjunto I2 formado por las de longitud par. De este modo, si definimoslos abiertos

U1 =⋃

s∈I1

Bs, U2 =⋃

s∈I2

Bs,

tenemos que Xω \ [R] = U1 ∪ U2 y cada x ∈ U1 es una prolongacion de unapartida de J(R,A) en la que ha perdido el jugador I por ser el primero enrealizar una jugada ilegal, mientras que cada x ∈ U2 es una prolongacion deuna partida de J(R,A) en la que ha perdido el jugador II por el mismo motivo.Por lo tanto, si llamamos A′ = A ∪ U2, tenemos que todo x ∈ A′ corresponde auna partida de J(R,A) en la que gana I, ya sea porque x ∈ A, ya sea porque IIha hecho una jugada ilegal, mientras que todo x ∈ Xω \ A′ corresponde a unapartida de J(R,A) en la que gana II, ya sea porque x ∈ [R] \A, ya porque I hahecho una jugada ilegal.

Es claro entonces que cada jugador tiene una estrategia ganadora en J(R,A)si y solo si la tiene en J(A′). Es importante recordar que A′ es simplemente launion de A con un abierto U2 disjunto con A.

Diremos que un conjunto A ⊂ Xω esta determinado si lo esta el juego J(A).

El axioma de eleccion implica que existen juegos no determinados. Esto esconsecuencia de 3.8 y el teorema siguiente:

Teorema 9.2 Si B ⊂ N es un conjunto de Bernstein, entonces J(B) no estadeterminado.

Demostracion: En general, si B ⊂ Xω y σ es una estrategia para I enel juego J(B), para cada y ∈ Xω la partida σ ∗ y es infinita, pues no existenjugadas ilegales. Mas aun, el conjunto

[σ] = σ ∗ y | y ∈ Xω ⊂ Xω

330 Capıtulo 9. Juegos infinitos

es un cerrado perfecto. En efecto, si x ∈ Xω \ [σ], esto significa que la partida xno esta jugada de acuerdo a la estrategia σ, lo que significa a su vez que existeun mınimo n tal que la posicion x|n esta jugada segun σ, pero x|n+1 ya no loesta. Entonces x ∈ Bx|n+1

⊂ Xω \ [σ].Segun el teorema 1.14, tenemos que [σ] = [A], donde A ⊂ X<ω es el arbol

formado por las restricciones de los elementos de [σ], es decir, el arbol de lasposiciones jugadas segun la estrategia σ. Dicho arbol es perfecto. pues cadaposicion de longitud impar admite tantas extensiones incompatibles como ele-mentos tiene X (suponemos que X tiene al menos dos elementos), luego 1.14implica que [σ] es perfecto. Todo lo dicho vale igualmente si partimos de unaestrategia para II.

Concretando ahora al caso X = ω, vemos que si B es un conjunto de Berns-tein el jugador I no tiene estrategia ganadora para J(B), pues, para cada estra-tegia σ, existe un x ∈ (N \ B) ∩ [σ] y entonces x es una partida jugada segunσ pero en la que es II quien gana. Igualmente, II no tiene estrategia ganadora,pues si τ es una estrategia para II, existe x ∈ B∩[τ ], y entonces x es una partidajugada segun τ en la que I resulta vencedor.

Por otra parte, el axioma de eleccion garantiza tambien la determinacion deciertos juegos:

Teorema 9.3 (Gale-Stewart) (AE) Sea X un conjunto, sea R ⊂ X<ω unarbol bien podado y sea A ⊂ [R] un abierto o un cerrado. Entonces el juegoJ(R,A) esta determinado.

Demostracion: Supongamos primeramente que A es cerrado, ası comoque II no tiene estrategia ganadora, y vamos a probar que I sı que la tiene. Engeneral, si s ∈ R es una posicion de longitud par (en la que le corresponde jugara I), diremos que s no esta perdida para I si II no tiene una estrategia ganadora apartir de s, es decir, si II no tiene una estrategia ganadora en el juego J(Rs, As),donde Rs = t ∈ X<ω | s t ∈ R y As = x ∈ [Rs] | s

x ∈ A.Ası pues, que II no tenga estrategia ganadora para J(R,A) equivale a que

∅ no es una posicion perdida para I. El punto crucial1 es que si s ∈ X2n es unaposicion no perdida para I, existe un x2n ∈ X tal que s x2n ∈ R y para todox2n+1 ∈ X tal que sx2n

x2n+1 ∈ R, la posicion sx2nx2n+1 no esta perdida

para I.Ası pues, tenemos que ∅ no esta perdida para I y que, siempre que s sea una

posicion no perdida para I, sea cual sea la jugada legal de II, existe una jugadade I que da lugar a una posicion no perdida para I. Esta es precisamente laestrategia para I: elegir en cada momento una jugada legal2 que de lugar a una

1Esto se debe a que, si para cada jugada legal x2n existiera una jugada legal x2n+1 talque el jugador II tuviera una estrategia ganadora para J(Rsx2n

x2n+1 , Asx2nx2n+1), a

partir de dichas estrategias podemos construir facilmente una estrategia ganadora para II enJ(Rs, As). Ahora bien, para ello, para cada x2n ∈ X legal hemos de elegir una jugada legaly una estrategia, lo que, en general, puede suponer una eleccion no numerable y requiere AE.No obstante, si particularizamos el teorema a X = ω, la eleccion es numerable y basta ED.

2Nuevamente, si X = ω esta eleccion no requiere AE (no siquiera ED).

9.1. Definiciones basicas 331

posicion no perdida cualquiera que sea la respuesta de II. Vamos a ver que estaestrategia es ganadora. Evidentemente, siempre da lugar a partidas infinitasy, si x ∈ [R] es una partida en la que I juega con esta estrategia, no puedeocurrir que x ∈ [R] \ A, pues se trata de un conjunto abierto, luego existirıaun cierto n ∈ ω de manera que x|2n ∈ Bx|2n ⊂ [R] \ A, pero esto supone quela posicion x|2n estarıa perdida para I, ya que II tendrıa la estrategia trivial dejugar arbitrariamente.

El caso en que A es abierto se razona analogamente sin mas que intercambiarlos papeles de I y II: suponemos que I no tiene una estrategia ganadora, conlo que, ninguna posicion de longitud I esta perdida para II, y II siempre puedejugar de modo que pase de una posicion no perdida a otra en la que cualquierrespuesta de I de lugar a una posicion no perdida. La partida resultante nopuede estar en A, porque si estuviera en A, al ser abierto, darıa lugar a lamisma contradiccion que el caso precedente.

Ejercicio: Sea R ⊂ X<ω un arbol no necesariamente bien podado. Demostrar que eljuego J(R, [R]), es decir, el juego en el que I apuesta simplemente a que no se quedaranunca sin posibilidad de jugar, esta determinado.

En particular, tomando R = X<ω o A = [R] (y observando ademas queJ(R, [R]) = J([R])), concluimos (con AE) que los abiertos y los cerrados de Xω

estan determinados.

Para referencias posteriores enunciamos el siguiente caso particular del teo-rema anterior, donde lo unico a destacar es que, como ya hemos explicado, nodepende de AE:

Teorema 9.4 (Gale-Stewart) Sea R ⊂ ω<ω un arbol bien podado y A ⊂ [R]un abierto o un cerrado. Entonces el juego J(R,A) esta determinado. Enparticular, los abiertos y los cerrados de N estan determinados.

Definicion 9.5 Si Γ es una clase de subconjuntos de un espacioXω, llamaremosDetX(Γ) a la afirmacion “todo conjunto A ∈ Γ esta determinado”. Si Γ esuna clase de conjuntos definida sobre todos los espacios Xω, abreviaremos porDet(Γ) la afirmacion “para todo conjunto X, todo A ∈ Γ(X) esta determinado”.

Ası, el teorema de Gale-Stewart (que usa AE) implica3 Det(Σ01) y Det(Π0

1),mientras que simplemente con ED podemos demostrar Detω(Σ

01) y Detω(Π

01).

Cada uno de estos pares de resultados es en realidad uno solo:

Teorema 9.6 Si Γ es una familia de subconjuntos de Xω cerrada para sustitu-ciones continuas, entonces DetX(Γ) ↔ DetX(¬Γ).

Demostracion: Dado A ∈ Γ, sea B = xy | x ∈ X ∧ y ∈ A. Notemosque B = f−1[A], donde f : Xω −→ Xω es la aplicacion continua que a cada

3Pero el teorema de Gale-Stewart es ligeramente mas fuerte, pues implica la determinacionde ciertos conjuntos de la forma “abierto” ∪ (“cerrado” ∩ “abierto”), es decir, la determinacionde ciertos conjuntos ∆

02.

332 Capıtulo 9. Juegos infinitos

y ∈ Xω le quita su primera componente y0. Por lo tanto, B ∈ Γ, y es inmediatoque si I tiene una estrategia ganadora para J(B), entonces II la tiene paraJ(Xω \ A) y que si II tiene una estrategia ganadora para J(B) entonces I latiene para J(Xω \ A). Esto prueba que DetX(Γ) → DetX(¬Γ). La implicacionopuesta se debe a que ¬Γ tambien es cerrado para sustituciones continuas.

Cabe destacar que cuando decimos que necesitamos el axioma de eleccion esque realmente lo necesitamos:

Teorema 9.7 (ZF) Det(Π01) ↔ AE.

Demostracion: Vamos a demostrar que, para todo conjunto Z, existe unafuncion de eleccion en PZ. Para ello tomamos X = Z ∪ PZ y consideramos eljuego J(A) cuyo conjunto de apuesta es el abierto cerrado

A = x ∈ Xω | x0 ⊂ Z ∧ x0 6= ∅ ∧ x1 /∈ x0.

Por hipotesis J(A) esta determinado, pero es evidente que I no puede teneruna estrategia ganadora, ya que para ganar se verıa obligado a jugar un x0 ⊂ Zno vacıo, y entonces II solo tiene que jugar un x1 ∈ x0 y ya tiene ganada lapartida. Por lo tanto, es II quien tiene una estrategia ganadora τ . Ası, lafuncion e : PZ \ ∅ −→ Z dada por e(x) = τ(x) es una funcion de eleccion.(Notemos que τ(x) es la respuesta de II segun τ cuando I empieza la partidajugando x.)

9.2 Aplicaciones del teorema de Gale-Stewart

En esta seccion damos demostraciones alternativas a partir del teorema deGale-Stewart (en su version debil, que requiere ED, pero no AE) de algunosresultados sobre conjuntos analıticos que ya hemos demostrado en los capıtulosanteriores, a la vez que probamos que las generalizaciones a clases posterioresde la jerarquıa proyectiva se reducen a la determinacion de dichas clases.

9.2.1 Subconjuntos perfectos

Sea X un espacio polaco perfecto en el que fijamos una distancia y unabase numerable Unn∈ω. Dado un subconjunto A de X , consideramos el juegoJ∗(A) que se juega segun el esquema siguiente:

I U00 , U

01 U1

0 , U11 · · ·

II i0 i1 · · ·

Las reglas son las siguientes:

a) Uni son abiertos basicos no vacıos de diametro menor que 2−n.

b) Un0 ∩ Un1 = ∅.

c) in ∈ 2.

d) Un+10 ∪ Un+1

1 ⊂ Unin .

9.2. Aplicaciones del teorema de Gale-Stewart 333

Si I y II juegan una partida siguiendo estas reglas, existira un unico puntox ∈

⋂

n∈ωUnin . Diremos que I gana la partida si x ∈ A.

En otras palabras: I comienza el juego presentando a II dos abiertos basicos.Entonces II elige uno de los dos, luego I elige otros dos abiertos basicos dentrodel que II ha elegido, y ası sucesivamente.

Observemos en primer lugar que este juego es equivalente a un juego tıpicoJ(R,A′), para cierto arbol R ⊂ ω<ω y cierto A′ ⊂ N. En efecto, podemos fijaruna biyeccion ω −→ ω × ω que a cada n ∈ ω le asigne un par (n0, n1) ∈ ω × ωy considerar ası que cada jugada de I no es mas que un numero natural xn quedetermina dos abiertos Uni = Uxn

ia partir de la enumeracion fijada para la base

de X . Ası, las reglas de J∗(A) se traducen en condiciones sobre las jugadas xn

de I e in de II que definen un arbol R en ω (bien podado, pues es imposibleque un jugador se encuentre sin posibilidades de realizar una jugada legal). Ası,cada partida de J∗(A) se corresponde biunıvocamente con una partida jugadaen R.

En particular, cada y ∈ [R] determina una partida de J∗(A) y, con ella,un x ∈ X que determina que jugador es el vencedor, por lo que tenemos unaaplicacion f : [R] −→ X dada por y 7→ x. Llamando A′ = j−1[A], tenemosclaramente que J∗(A) es equivalente a J(R,A′).

Es importante que la aplicacion f es continua. En efecto, si U ⊂ X esabierto e y ∈ f−1[U ], sea x = f(y) ∈ U y sea ǫ > 0 tal que Bǫ(x) ⊂ U . Si2−n < ǫ, entonces y ∈ By|2n+1

⊂ f−1[U ], pues si z ∈ By|2n+1el abierto Unin

determinado por z es el mismo que el determinado por y, luego x, f(z) ∈ Unin ,luego d(x, f(z)) < 2−n < ǫ, luego f(z) ∈ Bǫ(x) ⊂ U . Ası pues:

Teorema 9.8 Si X es un espacio polaco perfecto, existe un arbol bien podadoR ⊂ ω<ω y una aplicacion continua f : [R] −→ X tal que, para cada A ⊂ X, eljuego J∗(A) esta determinado si y solo si lo esta el juego J(R, f−1[A]).

Por otra parte:

Teorema 9.9 Sea X un espacio polaco perfecto y A ⊂ X. Entonces

a) I tiene una estrategia ganadora para J∗(A) si y solo si A contiene unsubespacio homeomorfo a C.

b) II tiene una estrategia ganadora para J∗(A) si y solo si A es numerable.

Demostracion: Supongamos que σ es una estrategia para I. Aunque hemosdefinido σ como una funcion que actua sobre posiciones del juego, lo cierto esque la imagen por σ de una posicion esta completamente determinada por lasjugadas de II en dicha posicion. Por lo tanto, podemos ver a σ como unaaplicacion que a cada s ∈ 2<ω le asigna un par (Us,0, Us,1) de abiertos basicosde X . Ası podemos definir un esquema de Hausdorff A : 2<ω −→ PX medianteA(∅) = X y A(si) = Us,i.

334 Capıtulo 9. Juegos infinitos

De este modo, A(0) y A(1) son las clausuras de los abiertos que constituyen laprimera jugada de I segun σ, A(0, 0) y A(0, 1) son las clausuras de los abiertosdeterminados por σ como segunda jugada para I bajo el supuesto de que laprimera jugada de II sea 0, mientras que A(1, 0) y A(1, 1) son las clausuras dela segunda jugada de I segun σ si la primera jugada de II es 1, etc.

Las reglas de J∗(A) implican que el esquema A cumple las propiedades indi-cadas en la demostracion del teorema 1.28, por lo que determina una aplicacionφ : C −→ X que es un homeomorfismo en su imagen. Ahora bien, el hecho deque σ sea una estrategia ganadora para I se traduce en que dicha imagen estacontenida en A. Por lo tanto, A contiene un subespacio homeomorfo a C.

Recıprocamente, si C ⊂ A es homeomorfo a C, en particular C no tienepuntos aislados, luego I puede elegir como primera jugada un par de abiertos(legales) U0

0 y U01 con la condicion adicional de que ambos corten a C, y puede

mantener esta condicion a lo largo de toda la partida: si Un0 y Un1 cortan a C yII juega in, entonces, como U0

in∩C no puede reducirse a un punto, I puede elegir

dos abiertos legales Un+10 y Un+1

1 que siguen cortando ambos a C. Cualquierestrategia que mantenga esta condicion es ganadora, ya que, para cada n ∈ ω,existe un cn ∈ C tal que cn ∈ Unin . La sucesion cnn∈ω es de Cauchy, luego

converge a un c ∈ C ⊂ A tal que c ∈⋂

n∈ωUnin . Dicho c no es sino el punto que

determina el vencedor del juego, con lo que resulta que I es el vencedor.

Si A = xnn∈ω una estrategia ganadora para II consiste en jugar in tal quexn /∈ Unin .

Finalmente, supongamos que σ es una estrategia ganadora para II. Diremosque una posicion s de longitud 2n (es decir, que termina con una jugada in de II)es buena para un x ∈ A si esta jugada de acuerdo con σ y x ∈ Unin . Convenimosen considerar que ∅ es tambien una posicion buena para x.

Si toda posicion buena para x admite una extension de longitud 2n + 2que tambien es buena para x, entonces podemos formar una partida jugada deacuerdo con σ que termina en x, lo que contradice a que σ sea una estrategiaganadora para II. Ası pues, para cada x ∈ A existe una posicion sx que es buenapara x pero que no admite extensiones buenas para x. Equivalentemente:

A ⊂⋃

sPs,

donde s recorre las posiciones de longitud impar jugadas de acuerdo con σ y, siℓ(s) = 2n+1, el conjunto Ps contiene a los x ∈ Unin tales que, para toda posible

jugada (Un+10 , Un+1

1 ) de I que prolongue s, si in+1 es la jugada que σ determinaa su vez como respuesta, se cumple que x /∈ Un+1

in+1.

Ahora bien, sucede que Ps no puede contener mas de un punto, ya que,dados dos puntos x0, x1 ∈ Unin , siempre hay una jugada legal para I tal que

xi ∈ Un+1i , con lo que xin+1 ∈ Un+1

in+1, luego xin+1 /∈ Ps. Como el conjunto de

posiciones es numerable, esto prueba que A es numerable.

En particular:

9.2. Aplicaciones del teorema de Gale-Stewart 335

Teorema 9.10 Sea Γ una clase de conjuntos cerrada para uniones e intersec-ciones finitas y para sustituciones continuas, y que contenga a Σ0

1 ∪ Π01. En-

tonces Detω(Γ) implica que, para todo espacio polaco X, todo A ∈ Γ(X) nonumerable contiene un subconjunto perfecto.

Demostracion: Por el teorema de Cantor-Bendixson 1.33 podemos des-componer X = P ∪N , donde P es perfecto y N numerable. Como la inclusioni : P −→ X es continua, A ∩ P ∈ Γ(P ) y sigue siendo no numerable, luegopodemos suponer que X es perfecto. Basta probar que el juego J∗(A) esta de-terminado, para lo cual, segun 9.8 es equivalente a la determinacion de un juegoJ(R,A′), donde R es un arbol en ω y A′ ⊂ [R] es una antiimagen continua deA, luego A′ ∈ Γ([R]). Por el teorema 1.17 existe una retraccion r : N −→ [R],de modo que A′′ = r−1[A′] cumple que A′ = A′′ ∩ [R]. Por lo tanto A′′ ∈ Γ(N)(por sustitucion continua) y tambien A′ ∈ Γ(N) (por ser interseccion de dosconjuntos de la clase). Finalmente, por la observacion previa al teorema 9.2,la determinacion de J(R,A′) equivale a la determinacion de un juego J(A′′′),donde A′′′ es la union de A′ y un abierto, luego A′′′ ∈ Γ(N) y la determinacionde J(A′′′) la tenemos por hipotesis.

Ası pues, una forma alternativa de demostrar 2.5 serıa demostrar Detω(∆11),

pues la clase ∆11 cumple las condiciones del teorema anterior. Esto lo probare-

mos en la seccion siguiente. Sin embargo, vamos a ver que con una ligera modi-ficacion del juego J∗(A) podemos extender el teorema 2.5 a conjuntos analıticossin necesidad de nada mas que el teorema de Gale-Stewart 9.4.

Para ello consideramos de nuevo un espacio polaco perfecto X , pero ahorafijamos un conjunto F ⊂ X × N. Definimos el juego J∗

0 (F ) que se juega segunel esquema siguiente:

I y0, U00 , U

01 y1, U

10 , U

11 · · ·

II i0 i1 · · ·

con las mismas reglas que J∗(A) anadiendo unicamente que yi ∈ ω. Ası, unapartida de J∗

0 (F ) determina un par (x, y) ∈ X ×N. Establecemos que I gana lapartida si (x, y) ∈ F .

Como en el caso de J∗(A), tenemos que J∗0 (F ) se puede codificar como un

juego J(R,A′), dondeR es un arbol en ω y A′ = f−1[F ], donde f : [R] −→ X×N

es la aplicacion continua que a cada partida le hace corresponder el par (x, y)que resulta de ella.

Teorema 9.11 Sea X un espacio polaco perfecto, sea F ⊂ X×N y A = πX [F ].Entonces

a) Si I tiene una estrategia ganadora para J∗0 (F ) entonces A contiene un

subespacio homeomorfo a C.

b) Si II tiene una estrategia ganadora para J∗0 (F ), entonces A es numerable.

336 Capıtulo 9. Juegos infinitos

Demostracion: a) Claramente, una estrategia ganadora de I para J∗0 (F )

da lugar a una estrategia ganadora para J∗(A) sin mas que no tener en cuentalos yi.

b) Supongamos que II tiene una estrategia ganadora σ para J∗0 (F ). Sea

x ∈ A y sea y0 ∈ N tal que (x, y0) ∈ F . Razonamos como en 9.9: Diremosque una posicion s de longitud 2n es buena para x si esta jugada de acuerdocon σ, los yi son los dados por y0|n y x ∈ Unin . Como en 9.9 concluimos tieneque haber una posicion s buena para x que no pueda prolongarse a otra mayor,con lo cual x ∈ Ps,y0(n+1), donde Ps,a contiene los x ∈ Unin tales que, para toda

posible jugada (a, Un+10 , Un+1

1 ) de I que prolongue a s, si in+1 es la jugada queσ determina a su vez como respuesta, x /∈ Unin . Por lo tanto,

A ⊂⋃

s,aPs,a,

donde s recorre las posiciones de longitud par jugadas de acuerdo con σ y a ∈ ω.Al igual que en 9.9, razonamos que Ps,a contiene a lo sumo un punto, y estoimplica que A es numerable.

Como consecuencia:

Teorema 9.12 Todo conjunto analıtico no numerable en un espacio polaco con-tiene un subconjunto perfecto.

Demostracion: Sea X un espacio polaco y A ⊂ X un conjunto analıticono numerable. Por el teorema de Cantor-Bendixson podemos suponer que Xes perfecto. Por definicion de conjunto analıtico existe un cerrado F ⊂ X × N

tal que A = πX [F ]. Por el teorema anterior basta probar que J∗0 (F ) esta

determinado, lo cual equivale a que cierto juego J(R,F ′) este determinado,donde R es un arbol bien podado en ω y F ′ ⊂ [R] es una antiimagen continuade F , luego un cerrado en [R]. Basta aplicar el teorema Gale-Stewart 9.4.

El mismo argumento empleado para probar 9.12 nos da:

Teorema 9.13 Detω(Π1n) implica que todo conjunto Σ1

n+1 no numerable en unespacio polaco contiene un subconjunto perfecto.

9.2.2 La propiedad de Baire

Sea X un espacio polaco (en el que fijamos una distancia) y sea B una basenumerable de X (en realidad, basta con que B sea una base debil, es decir, unconjunto de abiertos no vacıos tales que todo abierto no vacıo de X contengauno de ellos). Sea F ⊂ X × N. Definimos el juego de Banach-Mazur G∗∗

0 (F )como el juego que sigue el esquema siguiente:

I y0, U0 y1, U1 · · ·II V0 V1 · · ·

con las reglas

9.2. Aplicaciones del teorema de Gale-Stewart 337

a) Un, Vn son abiertos de B de diametro ≤ 2−n.

b) Un+1 ⊂ Vn ⊂ Un.

c) yn ∈ ω.

Ası, cada partida determina un y ∈ N y un unico x ∈⋂

n∈ωUn =

⋂

n∈ωVn. El

jugador I gana la partida si (x, y) ∈ F .

(En realidad G∗∗0 (F ) es la variante del juego de Banach-Mazur G∗∗(F ) pro-

piamente dicho, en el que F ⊂ X y I no juega los enteros yn.)

Como en el caso de los juegos que hemos tratado antes, es facil reformularlocomo un juego J(R,F ′), donde R es un arbol en ω (obviamente bien podado) yF ′ ⊂ [R]. Mas concretamente, existe una aplicacion continua f : [R] −→ X ×N

que a cada partida z le asigna el par (x, y), y F ′ = f−1[F ].

Teorema 9.14 Sea X un espacio polaco, sea F ⊂ X ×N y A = πX [F ].

a) Si I tiene una estrategia ganadora para G∗∗0 (F ), entonces existe un U ∈ B

tal que U \A es de primera categorıa.

b) Si II tiene una estrategia ganadora para G∗∗0 (F ), entonces A es de primera

categorıa.

Demostracion: Veamos primero b). Sea σ una estrategia ganadora parael jugador II y sea x ∈ A. Tomamos y0 ∈ N tal que (x, y0) ∈ F .

Diremos que una posicion s de longitud 2n es buena para x si esta jugada deacuerdo con la estrategia σ, las jugadas yi de I son las dadas por y0|n y x ∈ Vn.Entonces, ha de haber una posicion buena para x que no pueda prolongarse aotra posicion buena para x, pues, en otro caso, obtendrıamos una partida jugadasegun σ en la que ganarıa I. En otras palabras, existe una posicion buena s talque, para toda jugada posible de I (con yn+1 = y0(n + 1)), la jugada siguientesegun σ hace que x /∈ Vn+1.

Si s es una posicion de longitud 2n jugada segun σ y a ∈ ω, llamaremos Cs,aal conjunto de todos los x ∈ X tales que x ∈ Vn y, para toda jugada (legal) de Ide la forma (a, Un+1), el abierto Vn+1 determinado por σ cumple que x /∈ Vn+1.

Hemos probado que, dado x ∈ A, existe una posicion s de longitud parjugada segun σ y un a = y(n+ 1) de modo que x ∈ Cs,a o, lo que es lo mismoA ⊂

⋃

s,aCs,a.

Ahora bien, sucede que Cs,a es diseminado, pues lo contrario significa queexiste un abierto no vacıo Un+1 ⊂ Cs,a ⊂ V n, que podemos tomar tal queUn+1 ∈ B y d(Un+1) < 2−n−1. Sea entonces Vn+1 el abierto determinado porσ si I prolonga s con (a, Un+1). Entonces Vn+1 ⊂ Vn+1 ⊂ Un+1 ⊂ Cs,a, luegoVn+1 ∩Cs,a 6= ∅, pero esto es absurdo, por la propia definicion de Cs,a.

Como los pares (s, a) recorren un conjunto numerable, concluimos que A esde primera categorıa.

338 Capıtulo 9. Juegos infinitos

a) Si I tiene una estrategia ganadora para G∗∗0 (F ), es claro que tambien la

tiene para el juego G∗∗(A). Solo tiene que seguir su estrategia desechando losyn que esta le proporciona. Si σ es una estrategia, llamemos U = σ(∅) y vamosa probar que II tiene una estrategia ganadora para G∗∗(U \ A). Admitiendoesto, toda la demostracion del apartado b) se simplifica (al adaptarla a G∗∗ enlugar de G∗∗

0 ) para probar que U \A es de primera categorıa.

Veamos cual es la estrategia de II. Sea U0 la primera jugada de I y suponga-mos en primer lugar que U0 6⊂ U . Tomamos x ∈ U0 \U . Entonces, como X \Ues un entorno de x, se cumple que U0 ∩ (X \ U) es un abierto no vacıo, luegopodemos tomar V0 ∈ B, V0 ⊂ V0 ⊂ U0 \ U , d(V0) < 1/2. Jugando V0, II tieneasegurada la victoria sean cuales sean las jugadas posteriores.

Supongamos ahora que U0 ⊂ U . Entonces II puede responder con el abiertoV0 determinado por σ para la partida que empieza con U seguido de U0. Engeneral, II puede jugar de modo que cada posicion de la partida se convierta enuna posicion segun σ cuando se le antepone U . De este modo se asegura de queel punto final x este en U ∩ A, luego no estara en U \ A y ganara la partida.

Como aplicacion obtenemos una demostracion alternativa del teorema 5.16:

Teorema 9.15 Todo conjunto analıtico tiene la propiedad de Baire

Demostracion: Sea X un espacio polaco y A ⊂ X un conjunto analıtico.Sea F ⊂ X ×N un cerrado tal que A = πX [F ]. El juego G∗∗

0 (F ) es equivalentea un juego que cumple las hipotesis del teorema de Gale-Stewart 9.4, luego estadeterminado.

Si II tiene una estrategia ganadora, entonces A es de primera categorıa, luegotiene la propiedad de Baire.

Supongamos que es I quien tiene la estrategia ganadora. Entonces existeun abierto basico no vacıo (de una base numerable) U0 ⊂ X tal que U0 \ A esde primera categorıa. Sea U la union de todos los abiertos con esta propiedad.Entonces U \A esta contenido en una union numerable de conjuntos de primeracategorıa, luego tiene primera categorıa. Si probamos que A \ U tambien es deprimera categorıa, tendremos que lo es A∆U , y ası A tendra la propiedad deBaire.

Supongamos que A\U = πX [F \ (U ×N)] no es de primera categorıa. ComoF \ (U ×N) es cerrado, el juego G∗∗

0 (F \ (U ×N)) esta determinado, de nuevopor el teorema de Gale-Stewart, pero II no puede tener una estrategia ganadora,luego la tiene I. Esto significa que existe un abierto basico no vacıo U ′ tal que

U′\(A\U) es de primera categorıa. Como U

′\A ⊂ U

′\(A\U), tambien U

′\A es

de primera categorıa, luego U ′ ⊂ U por definicion de U , luego U ′ ⊂ U′\ (A\U),

luego U ′ es de primera categorıa, lo cual es absurdo.

Adaptando ligeramente el argumento anterior obtenemos:

Teorema 9.16 Detω(Π1n) implica que todo conjunto Σ1

n+1 en un espacio polacotiene la propiedad de Baire.

9.2. Aplicaciones del teorema de Gale-Stewart 339

Notemos que, por una parte, Detω(Π1n) es equivalente a Detω(Σ

1n) y, por

otra, que todo conjunto Σ1n+1 tenga la propiedad de Baire equivale a que la ten-

gan todos los conjuntos Π1n+1. En particular, hemos probado que todo conjunto

Π11 tiene la propiedad de Baire.

9.2.3 Conjuntos universalmente medibles

El teorema 5.17 demuestra que los conjuntos Σ11 son universalmente medi-

bles. Vamos a estudiar ahora bajo que circunstancias podemos asegurar que lomismo les sucede a los conjuntos Σ1

n+1. Por conveniencia estudiaremos conjun-

tos Π1n+1, aunque el problema es equivalente, pues un conjunto es universal-

mente medible si y solo si lo es su complementario.Sea X un espacio polaco no numerable (si es numerable todos sus subcon-

juntos son medibles) con una medida de Borel µ. En la prueba del teorema 2.21hemos visto que podemos construir otra medida unitaria en X con los mismosconjuntos medibles, por lo que no perdemos generalidad si suponemos que µ esunitaria.

Usando un isomorfismo de Borel f : C −→ X para transportar la medida,no perdemos generalidad si suponemos que X = C. (Si probamos que todos losconjuntos de Π1

n+1(C) son medibles para la medida transportada, los conjuntos

de Π1n+1(X) seran µ-medibles.)

Sea tnn∈ω una enumeracion de 2<ω y snn<ω una enumeracion de ω<ω.Para cada F ⊂ C × C y cada ǫ > 0, definimos el juego J ′

0(F, ǫ) que se juegasegun el esquema:

I x0, y0 x1, y1 · · ·II z0 z1 · · ·

con las reglas:

a) xn, yn ∈ 2, zn ∈ ω.

b) Si Un =⋃

i<ℓ(szn )

Btszn (i), se cumple que µ(Un) < ǫ/23n+3.

Ası, cada partida determina un par (x, y) ∈ C× C y un abierto U =⋃

n∈ωUn.

El jugador I gana la partida si (x, y) ∈ F ∩ ((C \ U)× C).

En la practica podemos pensar que las jugadas de II son uniones finitas deabiertos basicos de C. La jugada zn determina una sucesion szn ∈ ω<ω, lacual determina a su vez una sucesion finita tszn(0), . . . , tszn (k) ∈ 2<ω, la cualdetermina a su vez el abierto Un, y cualquier union finita de abiertos basicospuede obtenerse de esta forma.

Al igual que sucedıa con los juegos que hemos analizado previamente, esfacil reducir J ′

0(F, ǫ) a un juego J(R,B), donde R es un arbol (obviamentebien podado) en ω. Para analizar B, observamos que tenemos una aplicacion

340 Capıtulo 9. Juegos infinitos

continua f : [R] −→ C × C × N que a cada partida le asigna las sucesiones(x, y, z).

El conjunto C de las partidas w ∈ [R] tales que, si f(w) = (x, y, z), x ∈ C\U ,es cerrado en [R]. En efecto, si w ∈ [R] \C, tenemos que x ∈ Un para un n ∈ ω,luego existe un r ∈ ω tal que x ∈ Bx|r ⊂ Un Por continuidad, existe un k ∈ ωtal que Bz|k ∩ [R] ⊂ f−1[Bx|r ×C×Bz|n+1

], con lo que z ∈ Bz|k ∩ [R] ⊂ [R] \C.

Claramente, el conjunto de apuesta B es C ∩ f−1[F × N], y es claro quesi F ∈ Π1

n(C × C), entonces B ∈ Π1n(N). Ademas, la determinacion del juego

J ′0(F, ǫ) equivale a la de un juego J(B′) donde B′ es la union de B y un abierto,

luego B′ ∈ Π1n(N). Por consiguiente, Detω(Π

1n) implica que el juego J ′

0(F, ǫ)esta determinado siempre que F ∈ Π1

n(C× C).

Teorema 9.17 Sea µ una medida de Borel unitaria en C, ǫ > 0, F ⊂ C× C yA = πX [F ].

a) Si I tiene una estrategia ganadora en el juego J ′0(F, ǫ), entonces A contiene

un conjunto µ-medible de medida positiva.

b) Si II tiene una estrategia ganadora en el juego J ′0(F, ǫ), entonces existe un

abierto U ⊂ C tal que A ⊂ U y µ(U) < ǫ.

Demostracion: Si I tiene una estrategia ganadora σ, sea C ⊂ N el conjuntode las sucesiones z ∈ N tales que si II juega z0, z1, . . . sus jugadas son legales.Se cumple que C es cerrado, pues si z ∈ N \C, existe un mınimo n ∈ ω tal quela jugada zn es ilegal, con lo que z ∈ Bz|n+1

⊂ N \ C.La aplicacion C −→ C que a cada z ∈ C le asigna el punto x correspondiente

a la partida σ ∗ z es continua, luego su imagen, que es el conjunto B ⊂ A detodos los puntos de X construidos mediante partidas en las que I juega segun σ,cumple B ∈ Σ1

1(C). Por el teorema 5.17 sabemos que B es µ-medible. Solohemos de probar que no tiene medida nula.

Si fuera µ(B) = 0, existirıa un abierto G tal que B ⊂ G y µ(G) < ǫ/23.Expresamos G como union de abiertos basicos G =

⋃

i∈ω

Gi, donde cada Gi es

de la forma Bt, para cierta t ∈ 2<ω. Como dos abiertos basicos distintos estanuno contenido en otro o son disjuntos, podemos refinar la union para que los Gisean disjuntos dos a dos.

Definimos U0 como una union finita de abiertosGi tal que µ(G\U0) < ǫ/26, yasegurando que al menos G0 ⊂ U0. Tenemos que µ(U0) < ǫ/23. Similarmente,definimos U1 ⊂ G \ U0 como una union finita de abiertos Gi de modo queµ(G \ (U0 ∪ U1)) < ǫ/29, asegurando que G1 ⊂ U0 ∪ U1. Procediendo de estemodo construimos una sucesion Unn<ω de abiertos en C, cada uno de los cualeses una union finita de abiertos basicos, µ(Un) < ǫ/23n+3 y B ⊂ G =

⋃

n∈ωUn.

Entonces, la sucesionUn determina una estrategia para II (jugar en cada pasoUn independientemente de lo que haga I), que claramente burla a la estrategia σ,pues el conjunto U resultante sera G y, si I juega segun σ, el punto x resultanteestara en B ⊂ U . Esto contradice que σ sea una estrategia ganadora, luego Bha de tener medida positiva.

9.3. La determinacion de los conjuntos de Borel 341

Supongamos ahora que es II quien tiene una estrategia ganadora σ. Paracada par (s, t) ∈ 2n+1×2n+1), llamemos Us,t al abierto Un que determina σ comojugada n-sima de II cuando I ha jugado hasta el momento xi = s(i), yi = t(i).Sea G =

⋃

s,tUs,t.

Claramente, U es abierto y A ⊂ U , pues si x ∈ A, existe un y ∈ C tal que(x, y) ∈ F . Entonces I puede jugar en cada turno x(n), y(n) y, si II aplica suestrategia σ, al final de la partida se llega al punto (x, y) ∈ F , luego la unicaforma en que II puede ganar es que x este en U , lo que significa que esta enUn = Ux|n+1,y|n+1

, para cierto n ∈ ω, luego x ∈ G. Por otra parte,

µ(G) ≤

∞∑

n=0

µ(⋃

s,t∈2n+1

Us,t) ≤

∞∑

n=0

22n+2 ·ǫ

23n+3= ǫ.

Con esto podemos probar:

Teorema 9.18 Detω(Π1n) implica que todo conjuntoΠ1

n+1 en un espacio polacoes universalmente medible.

Demostracion: Hemos visto que basta ver que todo B ∈ Π1n+1(C) es

medible para toda medida de Borel unitaria µ en C. En la prueba del teorema5.17 hemos visto que existe un conjunto B que es Gδ, B ⊂ B y todo conjuntode Borel contenido en B \B es nulo. Sea A = B \B ∈ Σ1

n+1(C). Por el teorema

5.39, existe un F ∈ Π1n(C× C) tal que A = πX [F ].

Por hipotesis, dado ǫ > 0, el juego J ′(A, ǫ) esta determinado, pero por elteorema anterior I no puede tener una estrategia ganadora. Esto significa quela tiene II, luego, de nuevo por el teorema anterior, existe un abierto G tal queA ⊂ G y µ(G) < ǫ. Esto implica que µ∗(A) = 0, donde µ∗ es la medida exteriorasociada a µ, pero todo conjunto de medida exterior nula es medible, luego B\Bes medible, luego B tambien lo es.

Como en el caso de la propiedad de Baire, observemos que Detω(Π1n) es

equivalente a Detω(Σ1n), ası como que la medibilidad de los conjuntos Π1

n+1

equivale a la de los conjuntos Σ1n+1.

Notemos tambien que en la demostracion de 9.17 hemos usado que los con-juntos analıticos son universalmente medibles, luego, al contrario de lo que su-cedıa con la propiedad de Baire, en este caso no podemos usar el argumentopara obtener una prueba alternativa de este hecho.

9.3 La determinacion de los conjuntos de Borel

Mas adelante veremos que no es posible demostrar en ZFC que todo con-junto Σ1

2 es universalmente medible, por lo que tampoco es posible demostrarDetω(Σ

11). El maximo resultado de determinacion que puede, pues, probarse en

principio en ZFC es Det(∆11), y vamos a ver que, en efecto, esto es posible.

342 Capıtulo 9. Juegos infinitos

Por conveniencia, vamos a representar las estrategias para un juego J(R,A)de una forma ligeramente distinta de como las hemos representado hasta ahora.En lugar de considerar que una estrategia es una aplicacion σ : S −→ X , dondeS ⊂ R es un arbol, podemos considerar que una estrategia es ella misma unarbol σ ⊂ R. Concretamente, una estrategia para I es un arbol σ ⊂ R quecumpla las condiciones siguientes:

a) Si s ∈ σ tiene longitud par, existe un unico x ∈ X tal que sx ∈ σ.

b) Si s ∈ σ tiene longitud impar y x ∈ X cumple que sx ∈ R, entoncessx ∈ σ.

Una estrategia para II se define analogamente, sin mas que intercambiar laspalabras “par” e “impar”. De este modo, las partidas jugadas de acuerdo con σson simplemente las ramas de σ, finitas o infinitas. Es obvio que toda estrategiaen este sentido determina unıvocamente una estrategia equivalente en el sentidoanterior (equivalente en cuanto a que determina las mismas partidas en funcionde las jugadas del adversario) y viceversa.

Llamaremos ΣI(R) y ΣII(R) a los conjuntos de todas las estrategias para losjugadores I y II (respectivamente) en un juego en el conjunto X determinadopor el arbol R ⊂ X<ω (notemos que el conjunto de apuesta puede determinar siuna estrategia es o no ganadora, pero no influye a la hora de decidir si un arboles o no una estrategia).

Definimos tambien los conjuntos de estrategias parciales

ΣI∗(R) =

⋃

n∈ωΣI(R ∩X<2n+1), ΣII

∗ (R) =⋃

n∈ωΣII(R ∩X<2n+2).

Definicion 9.19 Un cubrimiento c : R −→ S de un arbol S en un conjunto Ypor un arbol R en un conjunto X es una terna c = (c, cI, cII), donde

c1 c : R −→ T es una aplicacion que conserva el orden y las longitudes de lassucesiones (es decir, que ℓ(c(r)) = ℓ(r), para todo r ∈ R). Claramente cinduce una aplicacion c : [R] −→ [S], a la que llamaremos con el mismonombre. Concretamente: c(x) =

⋃

n∈ωc(x|n).

c2 cI : ΣI∗(R) −→ ΣII

∗ (S) es una aplicacion tal que σ ⊂ σ′ → cI(σ) ⊂ cI(σ′)y que induce una aplicacion cI : ΣI(R) −→ ΣI(S). Para cII exigimos lomismo.

c3 Para cada σ ∈ ΣI(S), si s ∈ cI(σ), existe un r ∈ σ tal que c(r) = s, y siy ∈ [cI(σ)] existe un x ∈ [σ] tal que c(x) = y. Lo mismo es valido para II.

Diremos que un cubrimiento c : R −→ S resuelve un juego J(S,A) si secumple que c−1[A ∩ [S]] = [R] ∩ C, donde C es abierto y cerrado en Xω.

Observemos que si un cubrimiento resuelve un juego J(S,A), tambien re-suelve el juego J(S, [S] \A).

Esta propiedad nos permite aplicar el teorema de Gale-Stewart:

9.3. La determinacion de los conjuntos de Borel 343

Teorema 9.20 (AE) Si un cubrimiento c : R −→ S resuelve un juego J(S,A),entonces J(S,A) esta determinado.

Demostracion: Sea B = c−1[A∩[S]], que por hipotesis es abierto y cerradoen [R]. Por el teorema de Gale-Stewart sabemos que J(R,B) esta determinado.

Supongamos que σ es una estrategia ganadora para I en J(R,B) y veamosque cI(σ) es una estrategia ganadora para I en J(S,A). Solo hemos de probarque [cI(σ)] ⊂ A. Ahora bien, si y ∈ [cI(σ)], entonces existe un x ∈ [σ] tal queσI(x) = y. Entonces x ∈ B, puesto que σ es ganadora, luego y ∈ A.

El mismo razonamiento prueba que si σ es una estrategia ganadora para IIen J(R,B), entonces cII(σ) es una estrategia ganadora para II en J(S,A).

Definicion 9.21 Diremos que un cubrimiento c : R −→ S es un k-cubrimiento,donde k ∈ ω, si R ∩X<k = S ∩ Y <k y

a) Si r ∈ R ∩X<k, entonces c(r) = r.

b) Si 2n < k y σ ∈ ΣI(R ∩ X<2n+1), entonces cI(σ) = σ, e igualmente concII cambiando 2n por 2n+ 1.

Diremos que un conjunto A ⊂ Y ω es absolutamente resoluble si para todoarbol S en Y , para toda funcion continua f : [S] −→ Y ω y todo k ∈ ω, existeun k-cubrimiento c : R −→ S que resuelve el juego J(S, f−1[A]).

Llamamos U a la clase de conjuntos definida sobre todos los espacios de laforma Y ω, para todo conjunto Y , de modo que U(Y ω) es la clase de todos lossubconjuntos de Y ω absolutamente resolubles.

Vamos a demostrar las propiedades siguientes:

a) (AE) Si A ∈ U(Y ω) y S es cualquier arbol en Y , entonces J(S,A) estadeterminado.

b) La clase U contiene a los cerrados.

c) La clase U es cerrada para complementos.

d) La clase U es cerrada para intersecciones numerables.

La propiedad a) es inmediata: tomando como f : [S] −→ Y ω la inclusion, eljuego J(S, [S]∩A) esta determinado por el teorema anterior, pero esto equivalea que lo este el juego J(S,A).

La propiedad c) tambien es obvia: si tomamos A ∈ U(Y ω) y S es un arbolen Y , f : [S] −→ Y ω es una aplicacion continua y k ∈ ω, entonces existe unk-cubrimiento c : R −→ S que resuelve el juego J(S, f−1[A]), luego tambienresuelve el juego J(S, [S] \ f−1[A]) = J(S, f−1[Y ω \A]), luego Y ω \ A es abso-lutamente resoluble.

Nos falta probar b) y d), pero antes observemos que estas cuatro propiedadesimplican inmediatamente el teorema central de esta seccion:

344 Capıtulo 9. Juegos infinitos

Teorema 9.22 (AE) (Martin) Se cumple Det(∆11).

Demostracion: Las propiedades b), c) y d) implican que U(Y ω) es una σ-algebra en Y ω que contiene a los abiertos, luego contiene a la σ-algebra de Borel,luego la propiedad a) implica que todo conjunto de Borel esta determinado.

La parte mas delicada es la demostracion de b):

Teorema 9.23 Todo conjunto cerrado es absolutamente resoluble.

Demostracion: En las condiciones de la definicion de resolucion absoluta,llamamos F = f−1[A], que es un cerrado en [S], luego existe un arbol J en Y ω

tal que F = [J ].

Notemos que si k < k′, todo k′-cubrimiento es tambien un k-cubrimiento,luego basta probar que se cumple la definicion de resolucion absoluta para karbitrariamente grande. En particular, podemos suponer que k = 2m.

Consideramos a continuacion el juego J∗ que se juega segun el esquemasiguiente:

I x0 · · · x2m−2 (x2m, P ) x2m+2 · · ·

II x1 · · · x2m−1 (x2m+1, u) x2m+3 · · ·

y con las reglas siguientes:

a) (x0, . . . , xn) ∈ S para todo n ∈ ω.

b) P ⊂ S y (x0, . . . , x2m) ∈ P .

c) O bien u = ∅ o bien u = (x0, x1, . . . , x2m+1, x′2m+2, . . . , x

′2l+1) ∈ P \ J .

d) Si u = ∅, a partir de la jugada 2m+ 2 ambos jugadores han de respetarlas reglas adicionales siguientes:

1. I debe jugar de modo que, para todo y ∈ Y , si (x0, . . . , x2t, y) ∈ S,entonces (x0, . . . , x2t, y) ∈ P (es decir, I debe garantizar que cualquierjugada legal que pueda hacer II quede dentro de P , y si no puedelograrlo pierde).

2. II debe garantizar que las posiciones siguientes esten en J .

e) Si u = (x0, x1, . . . , x2m+1, x′2m+2, . . . , x

′2l+1), entonces las jugadas siguien-

tes de ambos jugadores deben ser precisamente

x2m+1 = x′2m+2, . . . , x2l+1 = x′2l+1.

A partir de la jugada x2l+2 ambos jugadores son libres de jugar sin some-terse mas que a la regla a).

9.3. La determinacion de los conjuntos de Borel 345

Mas informalmente: En la jugada 2m, el jugador I hace una oferta a IIconsistente en que II se comprometa a jugar en J (y rendirse si no lo consigue)a cambio de que I se comprometa a rendirse si II logra salirse de P . No obstante,II puede rechazar la oferta, y entonces ambos jugadores se comprometen a hacersus proximas jugadas de acuerdo con la sucesion u fijada por II.

Estas reglas determinan un arbol R sobre un cierto conjunto X y podemosdefinir c : R −→ S de forma obvia (eliminando P y u en las posiciones delongitud mayor que 2m). En particular, R ∩ X<k = S ∩ Y <k, como exige ladefinicion de k-cubrimiento. Definimos

C = x ∈ Xω | (x0, . . . , x2m) ∈ P ⊂ S ∧ u = 0.

Claramente C es un abierto cerrado en Xω y c−1[F ] = [R]∩C, pues una partidax ∈ [R] ∩C cumple que u = 0, luego todas las sucesiones finitas (x0, . . . , x2t+1)estan en J , luego c(x) ∈ F . Recıprocamente, si c(x) ∈ F , ha de ser u = 0, porlas reglas c) y e).

De este modo, si definimos adecuadamente aplicaciones cI y cII, tendremosque c es un k-cubrimiento que resuelve el juego J(S, F ).

Aunque aquı va a ser irrelevante, podemos completar la definicion de J∗

estableciendo que el conjunto de apuesta es B = c−1[F ], en consonancia con lademostracion de 9.20, de modo que J∗ = J(R,B).

Sea σ ∈ ΣI∗(R) una estrategia parcial y vamos a definir cI(σ). Para i ≤ m,

la jugada x2i prescrita por cI(σ) para J(S, F ) es la misma prescrita por σ paraJ∗ (de acuerdo con la definicion de k-cubrimiento). En ese punto, si II juegax2m+1, la respuesta de I consiste en aplicar σ a la jugada (x2m+1,∅), supuestoque (x0, . . . , x2m+1) ∈ J y continuara ası salvo que llegue un momento en queu = (x0, . . . , x2l+1) /∈ J . Si se da el caso, I pasara a aplicar σ tomando comojugada de II en el turno 2m+1 el par (x2m+1, u). Notemos que, como σ respetala regla d) 1, se cumplira que u ∈ P \ J , luego la jugada (x2m+1, u) es legal.Por la regla e), las respuestas de σ a las jugadas que ha hecho II hasta el turno2l+1 seran las dadas por u, es decir, las mismas que antes, luego I podra seguiraplicando la estrategia parcial σ a partir de la posicion 2l + 2 mientras σ estedefinida.

Con esto queda definida la estrategia cI(σ). Observamos que si σ ∈ ΣI(R),es decir, si σ proporciona una jugada legal a I en J∗ mientras II juegue legal-mente, al aplicar cI a las restricciones de σ obtenemos una estrategia cI(σ) queproporciona una jugada legal a I en J(S, F ) mientras II juegue legalmente (esdecir, mientras mantenga la partida en S).

Ası, cI cumple claramente las propiedades c1, c2 y la primera parte de c3de la definicion de cubrimiento. La segunda parte afirma que si σ ∈ ΣI(R)e y ∈ [cI(σ)], entonces existe un x ∈ [σ] tal que cI(x) = y. Solo hemos deobservar que, aun en el supuesto de que I deba cambiar la partida de J∗ queconstruye a partir de las jugadas de II, a lo sumo lo hara una vez y, si lo hace,las posiciones finitas suficientemente grandes convergen a una partida x ∈ [σ]

346 Capıtulo 9. Juegos infinitos

(es decir, se extienden mutuamente) que cumple lo requerido. Tambien es obvioque cI cumple la definicion de k-cubrimiento.

Consideremos ahora una estrategia parcial τ ∈ ΣII∗ (R) y vamos a construir

una estrategia parcial cII(τ). Como en el caso anterior, para las primeras juga-das, II se limita a aplicar τ a las jugadas de I. Puede hacer esto hasta la jugada2m (mientras τ este definida), en la que debe proporcionar a τ un conjunto Pcomo parte de la jugada de I. En tal caso juega

P = u ∈ S |∧

Q ⊂ S∧

x2m+1 ∈ Y (x0, . . . , x2m−1, (x2m, Q), (x2m+1, u)) /∈ τ.

La jugada (x2m, P ) es legal. Esto significa que u = (x0, . . . , x2m) ∈ P , lo cualsignifica a su vez que, dados, Q y x2m+1, no puede suceder que τ recomiendejugar (x2m+1, u), ya que la sucesion u tiene que tener al menos longitud 2m+2.

Mas aun, para cualquier u 6= ∅ y cualquier x2m+1, se cumple que

(x0, . . . , x2m−1, (x2m, P ), (x2m+1, u)) /∈ τ,

pues en caso contrario tendrıamos que u /∈ P por definicion de P , mientras quela regla c) (a la que τ esta sometida) exige que u ∈ P . Ası pues, tras la jugada(x2m, P ), la estrategia τ proporcionara una jugada de la forma (x2m+1,∅).Entonces la jugada determinada por cII(τ) es x2m+1, y II seguira empleandola estrategia τ con el conjunto P indicado y con u = ∅ mientras se cumpla lacondicion d) 1. Si se da el caso de que, para una cierta jugada x2l de I, existeun x2l+1 tal que u = (x0, . . . , x2l+1) ∈ S \P , esto significa que existe un Q ⊂ Sy un cierto x2m+1 tal que

(x0, . . . , x2m−1, (x2m, Q), (x2m+1, u)) ∈ τ.

Para que esto sea posible, x2n+1 tiene que ser el que figura en u, es decir,el mismo que ya estabamos considerando. Si aplicamos la estrategia τ a lapartida que resulta de considerar como jugada 2m de I el par (x2m, Q), la jugadasiguiente sera el par (x2m+1, u), y las jugadas siguientes hasta x2l+1 seran lasdadas por u, es decir, las mismas que ya habıamos establecido. A partir deahı, II puede jugar aplicando la estrategia σ con el conjunto Q y la sucesion uindicadas.

Con esto queda definida la estrategia cII(τ). Como en el caso anterior, siτ ∈ ΣII(R), es decir, si τ proporciona una jugada legal para II ante cada jugadalegal de I, al aplicar cII a las restricciones de τ obtenemos una estrategia cII(τ)que proporciona una jugada legal para cada jugada de I que mantenga la partidaen S. Las comprobaciones restantes son identicas a las del caso anterior.

Ahora solo nos falta demostrar que la interseccion numerable de conjun-tos absolutamente resolubles es absolutamente resoluble. Para ello necesitamosconstruir lımites inductivos de cubrimientos.

En primer lugar observemos que si tenemos dos cubrimientos c1 : S2 −→ S1 yc0 : S1 −→ S0, la composicion c0c1 : S2 −→ S0, definida como la terna formadapor las composiciones (c0 c1, c

I0 c

I1, c

II0 cII1 ), es claramente un cubrimiento, y

si c0 y c1 son ambos k-cubrimientos, su composicion tambien lo es.

9.3. La determinacion de los conjuntos de Borel 347

Teorema 9.24 Si, para cada i ∈ ω, ci : Si+1 −→ Si es un k + i-cubrimiento,existe un arbol S y una familia de k + i-cubrimientos di : S −→ Si tales que eldiagrama siguiente es conmutativo:

Si+1ci // Si

S

di+1

OO

di

==③③③③③③③③

Demostracion: Componiendo los cubrimientos dados podemos construirk + i-cubrimientos cji : Sj −→ Si, para i ≤ j (tomando como cii la identidad).

Si Si es un arbol sobre el conjunto Xi, vamos a definir un arbol S sobre elconjunto X =

⋃

i∈ω

Xi. Para ello observamos que los arboles X<n ∩ Si son el

mismo para todo n suficientemente grande, debido a que los cubrimientos cjison n-cubrimientos para todo j suficientemente grande.

Por lo tanto, podemos definir S de modo que un s ∈ X<ω esta en S si y solosi s ∈ Si para todo i suficientemente grande. Es inmediato que S definido deeste modo es un arbol en X . Mas precisamente, se cumple que s ∈ S si y solosi s ∈ Si para todo i > ℓ(s). En efecto, si s ∈ S e i > ℓ(s), sabemos que s ∈ Sj ,para un cierto j > i, pero si cji es un k + i-cubrimiento, luego s = cji(s) ∈ Si.

Similarmente, es claro que si s ∈ S, i ∈ ω y j, j′ son suficientemente grandes(mayores que ℓ(s) y que i), entonces cji(s) = cj′i(s). Esto se debe a que si, porejemplo, j < j′, entonces cj′i(s) = cji(cj′j(s)), pero cj′j es un k+j-cubrimiento,luego cj′j(s) = s.

Esto nos permite definir di : S −→ Si mediante di(s) = cji(s), donde j escualquier ındice mayor que i y que ℓ(s).

Es inmediato comprobar que di conserva el orden y las longitudes, ası comoque hace conmutativo el diagrama del enunciado.

Ahora observamos que si j > 2n+1 entonces S∩X<2n+1 = Sj∩X2n+1j , luego

ΣI(S ∩X<2n+1) = ΣI(Sj ∩X<2n+1j ). Mas aun, se comprueba inmediatamente

que si j′ > j > i y σ ∈ ΣI(S ∩X<2n+1), entonces cIj′i(σ) = cIji(σ).

De este modo, si σ ∈ ΣI∗(S), existe un n ∈ ω tal que σ ∈ ΣI(S ∩ X<2n+1),

y podemos definir dIi(σ) = cIji(σ), para cualquier j > 2n + 1. Tenemos ası una

aplicacion dIi : ΣI∗(S) −→ ΣI

∗(Sj), y es facil ver que cumple las condiciones dela definicion de cubrimiento, ası como que hace conmutativo el diagrama delenunciado. Similarmente se define y se razona con dIIi .

El teorema siguiente completa la demostracion de 9.22:

Teorema 9.25 La clase U es cerrada para intersecciones numerables.

Demostracion: Sea Aii∈ω una familia de conjuntos en U(Y ω). Hemosde probar que A =

⋂

i∈ω

Ai ∈ U(Y ω).

348 Capıtulo 9. Juegos infinitos

Para ello tomamos un arbol S0 en Y , una aplicacion continua f : [S0] −→ Y ω

y un k ∈ ω, y hemos de encontrar un k-cubrimiento de S0 que resuelva el juegoJ(S0, f

−1[A]).Como A0 es absolutamente resoluble, existe un k-cubrimiento c0 : S1 −→ S0

que resuelve el juego J(S0, f−1[A0]). Igualmente, como A1 es completamente

resoluble, existe un k + 1-cubrimiento c1 : S2 −→ S1 que resuelve el juegoJ(S1, (c0 f)−1[A1]). Procediendo de este modo obtenemos una familia decubrimientos ci : Si+1 −→ Si en las condiciones del teorema anterior, de modoque, si llamamos cji a las composiciones cj−1 · · · ci, tenemos que ci resuelveel juego J(Si, (ci0 f)

−1[Ai]).Esto significa que existe un abierto cerrado Bi ⊂ Xω

i+1 tal que

c−1i+1,0[f

−1[Ai]] = c−1i [(ci0 f)

−1[Ai]] = [Si+1] ∩Bi.

Sea S el arbol (en un conjunto X) dado por el teorema anterior, de modoque tenemos tambien k + i-cubrimientos di : S −→ Si, y sea B =

⋂

i∈ω

d−1i+1[Bi],

que es un cerrado en X .Necesitarıamos que B fuera abierto cerrado, ası que aplicamos el teorema

9.23, segun el cual existe un arbol R en un conjunto X ′ y un k-cubrimientoe : R −→ S que resuelve el juego J(S,B). Esto significa que existe un abiertocerrado C ⊂ X ′ω tal que e−1[B] = [R] ∩ C.

Vamos a probar que el k-cubrimiento c = e d0 : R −→ S0 resuelve el juegoJ(S0, f

−1[A]). Basta ver que

⋂

i∈ω

c−1[f−1[Ai]] = c−1[f−1[A]] = [R] ∩ C

o, equivalentemente, que si x ∈ [R], entonces

x ∈ C ↔∧

i ∈ ω d0(e(x)) ∈ f−1[Ai].

En efecto:

x ∈ C ↔ e(x) ∈ B ↔∧

i ∈ ω di+1(e(x)) ∈ Bi

↔∧

i ∈ ω ci+1,0(di+1(e(x))) ∈ f−1[Ai] ↔∧

i ∈ ω d0(e(x)) ∈ f−1[Ai],

donde hemos usado que, trivialmente, d0 = di+1 ci+1,0.

Observemos que en la demostracion de 9.22 solo hemos empleado AE al usarel teorema de Gale-Stewart en la demostracion de 9.20. El teorema 9.7 pruebaque dicho uso de AE es inevitable. Ahora bien, si llamamos U0 a la restriccionde la clase U a espacios Xω con X numerable (lo que supone exigir en ladefinicion de conjunto absolutamente resoluble que el arbol R este definido sobreun conjunto numerable), todo el argumento sigue siendo valido particularizadoa U0, y ası ya no es necesario AE. En efecto, es obvio que la version 9.4 delteorema de Gale-Stewart es valida —mas en general— para juegos definidos enarboles sobre conjuntos numerables cualesquiera (no necesariamente ω), y estoes lo unico que necesitamos ahora en la prueba de 9.20. Solo hay que tener

9.4. El axioma de determinacion proyectiva 349

presente que los unicos arboles que construimos en la demostracion son el arbolR construido en la prueba de 9.23 —cuyo conjunto X es claramente numerablesi el conjunto Y de partida lo es— y el arbol S construido en el teorema 9.24,cuyo conjunto X es numerable si lo son todos los conjuntos Xi correspondientesa los cubrimientos dados (pues es la union de todos ellos). Consecuentemente:

Teorema 9.26 (Martin) Detω(∆11).

Aunque en principio este teorema es un caso particular de 9.22, lo destacablees que se puede demostrar en ZF+ED. (Por ejemplo, la sucesion de cubrimientosci construida en la demostracion del teorema 9.25 es un caso tıpico de aplicacionde ED.)

9.4 El axioma de determinacion proyectiva

Los resultados de la seccion 9.2 muestran el impacto que tiene sobre lateorıa descriptiva de conjuntos la determinacion de los juegos infinitos, porlo que resulta natural estudiar las consecuencias del axioma de determinacionproyectiva:

(ADP) Si A ⊂ N es un conjunto proyectivo, el juego J(A) esta determinado.

Mas brevemente, el axioma ADP es la sentencia Detω(P ), donde P es la clasede los subconjuntos proyectivos de N. Segun hemos anunciado en la seccionanterior, la unica porcion de ADP demostrable en ZFC (de hecho, en ZF +ED) es la determinacion de los conjuntos de Borel. Aunque al tomar comohipotesis adicional ADP nos estamos saliendo de la teorıa axiomatica ZF + ED,a la que se supone que esta dedicada esta parte del libro, estudiaremos aquılas consecuencias de este axioma porque las tecnicas necesarias para ello sonlas mismas que hemos venido empleando hasta ahora, sin necesidad de ningunconocimiento de la logica matematica ni de teorıa de conjuntos mas avanzada.Dejaremos para la tercera parte del libro el estudio de la consistencia de ADPcon los axiomas de ZFC. No obstante, en esta seccion seguimos tomando laaxiomatica ZF + ED como teorıa basica, y senalaremos explıcitamente todouso que hagamos de ADP al igual que venimos haciendo con los usos de AE.

Para empezar, a partir de los resultados obtenidos en la seccion 9.2, seobtiene inmediatamente el teorema siguiente:

Teorema 9.27 (ADP) Todo conjunto proyectivo en un espacio polaco es uni-versalmente medible, tiene la propiedad de Baire y, si es no numerable, contieneun subconjunto perfecto.

Por el teorema 5.37, otra consecuencia de ADP es que no existen basesde Hamel proyectivas. Ahora vamos a ver que ADP resuelve tambien otrascuestiones sobre las clases superiores de la jerarquıa proyectiva.

350 Capıtulo 9. Juegos infinitos

9.4.1 Clases normadas

Empezamos estudiando cuales de las clases de Kleene y de Lusin son nor-madas. La cuestion la resuelve completamente el teorema siguiente (debido aMoskovakis), dual de 7.32:

Teorema 9.28 (Primer teorema de periodicidad) Para cada a ∈ N, si laclase Σ1

n(a) es normada y se cumple Detω(∆1n), tambien lo es Π1

n+1(a).

Demostracion: Sea X un espacio producto y sea A ⊂ X un conjuntoΠ1n+1(a), de modo que existe un conjunto B ⊂ X × N de clase Σ1

n(a) tal queA =

∧

xB. Por hipotesis existe una norma φ : B −→ Ω en Σ1n(a). Fijados x,

y ∈ N, consideramos el juego Jx,y en el que, si I juega la sucesion u y II juegala sucesion v, entonces

I gana si y solo si (y, v) <∗φ (x, u) ↔ (y, v) ∈ B ∧ φ(y, v) < φ(x, u).

Equivalentemente:

II gana si y solo si (y, v) /∈ B ∨ φ(x, u) ≤ φ(y, v) ↔ (y, v) /∈ B ∨ (x, u) ≤∗φ (y, v).

Para todo x, y ∈ X, el juego Jx,y esta determinado.

En efecto, si y /∈ A, el jugador II gana la partida jugando cualquier v tal que(y, v) /∈ B, mientras que si y ∈ A, entonces

I gana ↔ (y, v) <∗φ (x, u) ↔ (x, u) 6≤∗

φ (y, v)

Como φ es una norma en Σ1n, el conjunto de los (u, v, x, y) que cumplen las

dos equivalencias es ∆1n en X ×X × N × N el conjunto de las partidas 〈u, v〉

ganadas por I (es decir, el conjunto de apuestas del juego Jx,y) es una antiimagencontinua del anterior (por la aplicacion p 7→ (p0, p1, x, y)), luego tambien es ∆1

n

y, por hipotesis, esta determinado.

Ahora definimos x ≤ y ↔ II tiene una estrategia ganadora en Jx,y.

Vamos a demostrar que la restriccion de ≤ a A es un pre-buen orden, esdecir, se trata de una relacion reflexiva, transitiva, conexa y bien fundada. Estohace que el cociente de A respecto de la relacion de equivalencia dada porx ∼ y ↔ x ≤ y ∧ y ≤ x este bien ordenado por la relacion inducida por ≤.

Para todo x ∈ A, se cumple que x ≤ x.

En efecto, para ganar en Jx,x lo unico que tiene que hacer II es repetir lasjugadas de I, de modo que la partida resultante es de la forma (u, u), con lo queobviamente (x, u) /∈ B ∨ φ(x, u) ≤ φ(x, u).

Si x, y, z ∈ A, entonces x ≤ y ∧ y ≤ z → x ≤ z.

En efecto, suponemos que II tiene estrategias ganadoras para Jx,y y Jx,z, yhemos de describir una estrategia ganadora para Jx,z. La figura ilustra como

9.4. El axioma de determinacion proyectiva 351

obtenerla:

I u0 u1 uJx,y

II v0 v1 vI v0 v1 v

Jy,zII w0 w1 wI u0 u1 u

Jx,zII w0 w1 w

Si I juega u0 en el juego Jx,z, llevamos su jugada al juego Jx,y y obtenemos lajugada v0 determinada por la estrategia de II para dicho juego. A continuacionconvertimos esta jugada de II en una jugada de I en el juego Jy,z y obtenemosla jugada w0 determinada por la estrategia de II en dicho juego. El resultado loconvertimos en la respuesta de II para el juego Jx,z. A partir de aquı I realiza sujugada u1 y repetimos el proceso indefinidamente. Como x, y, z ∈ A, tenemosque (x, u), (y, v), (z, w) ∈ B y, como las estrategias empleadas por II en Jx,y yJy,z son ganadoras, tenemos que φ(x, u) ≤ φ(y, v) ≤ φ(z, w), y esto implica queII gana siempre el juego Jx,z, luego x ≤ z.

Definimos ahora x < y ↔ x ≤ y ∧ y 6≤ x. Entonces

Si x, y ∈ A, entonces x < y ↔ I tiene una estrategia ganadora para Jy,x.

En efecto, si x < y entonces y 6≤ x, luego II no tiene una estrategia ganadorapara Jy,x y, como el juego esta determinado, la ha de tener I. Recıprocamente,si I tiene una estrategia ganadora para Jy,x, entonces II no la tiene, luego y 6≤ x,pero falta probar que x ≤ y, es decir, que II sı que tiene una estrategia ganadorapara Jx,y. La figura ilustra dicha estrategia:

I v0 v1 v2 vJy,x

II u0 u1 u

I u0 u1 u2 uJx,y

II v0 v1 v2 v

Si la primera jugada de I en Jx,y es u0, la respuesta de II es la primera jugadav0 de I segun su estrategia para el juego Jy,x. Luego I juega arbitrariamenteu1 y II juega u0 en Jy,x y toma la respuesta v1 de I como su jugada en Jx,y,y ası sucesivamente. El juego Jx,y termina con una partida (u, v) tal que I haganado Jy,x con (v, u), es decir, se cumple que (x, u) ∈ B ∧ φ(x, u) < φ(y, v).En particular φ(x, u) ≤ φ(y, v), luego II gana la partida de Jx,y.

Por consiguiente, si x, y ∈ A, o bien x ≤ y, o bien y ≤ x (pues si no se dael primer caso, es que II no tiene una estrategia ganadora en Jx,y, luego la tieneI, luego y < x).

352 Capıtulo 9. Juegos infinitos

La relacion < esta bien fundada en A.

Supongamos, en caso contrario, que existe una sucesion decreciente

x0 > x1 > x2 > · · ·

De modo que I tiene una estrategia ganadora para Jxi,xi+1. Entonces podrı-amos establecer una sucesion de partidas segun este esquema:

I u00 u01 u02 u0

Jx0,x1

II u10 u11 u1

I u10 u11 u12 u1

Jx1,x2

II u20 u21 u2

I u20 u21 u22 u2

Jx2,x3

II u30 u31 u3

I u30 u31 u32 u3

Jx3,x4

II u40 u41 u4

......

En cada una de ellas I juega con una estrategia ganadora y por consiguienteobtenemos una sucesion decreciente de ordinales:

φ(x0, u0) > φ(x1, u

1) > φ(x2, u2) > · · ·

Con esto tenemos probado que A/ ∼ esta bien ordenado por la relacion deorden inducida por ≤, lo cual nos da una aplicacion ψ : A −→ Ω que inducesobre el cociente una semejanza en un ordinal. Ası pues, si x, y ∈ A, se cumple

x ≤ y ↔ ψ(x) ≤ ψ(y).

Vamos a probar que ψ es una norma en Π1n+1(a). En efecto, tenemos que

x ≤∗ψ y ↔ x ∈ A ∧ II tiene una estrategia ganadora para Jx,y

↔ x ∈ A ∧ I no tiene una estrategia ganadora para Jx,y

↔ x ∈ A ∧∧

σ∨

v ∈ N (x, σ ∗ v) ≤∗φ (y, v),

donde aquı representamos por σ ∗ v la sucesion u de jugadas de I que determinala estrategia σ cuando II juega v.

9.4. El axioma de determinacion proyectiva 353

Ahora observamos que toda aplicacion σ : ω<ω −→ ω define una estrategiapara cualquiera de los dos jugadores, y que, recıprocamente, toda estrategia sepuede extender a una aplicacion en estas condiciones. A su vez, a traves de labiyeccion canonica entre ω<ω y ω, podemos identificar a las estrategias para Icon los elementos de N. Es facil ver que (x, y, σ, v) 7→ (x, σ ∗ v, y, v) es unaaplicacion f : N4 −→ N4 de clase ∆1

1, luego

(x, y, σ, v) ∈ N4 | (x, σ ∗ v) ≤∗

φ (y, v) ∈ Σ1n(a),

pues es la antiimagen de ≤∗φ por f . Es claro entonces que ≤∗

ψ es Π1n+1(a).

Similarmente:

x <∗ψ y ↔ x ∈ A ∧ I tiene una estrategia ganadora para Jy,x

↔ x ∈ A ∧ II no tiene una estrategia ganadora pra Jy,x

↔ x ∈ A ∧∧

τ∨

u (x, u) <∗φ (y, u ∗ τ),

y se razona analogamente que <∗ψ es Π1

n+1(a).

Teniendo en cuenta que la clase Π11(a) es normada (teorema 7.31) ası como

el teorema 7.32, concluimos inmediatamente:

Teorema 9.29 (ADP) Las clases Π12n+1(a) y Σ1

2n+2(a) son normadas, perosus complementarias no lo son.

El hecho de que las clases complementarias no sean normadas se sigue delteorema 7.30, que nos dice ademas que las clases indicadas en el teorema anteriortienen la propiedad de uniformizacion numerica y la propiedad de reduccion,mientras que las complementarias tienen la propiedad de separacion.

A su vez, del teorema anterior se sigue inmediatamente la version para lasclases de Lusin, que a su vez se extiende a espacios polacos cualesquiera. (Al-ternativamente, en la demostracion de 9.28 el espacio X puede ser un espaciopolaco arbitrario.)

Teorema 9.30 (ADP) Las clases de Lusin

Σ12 Σ1

4 Σ16 · · ·

Π11 Π1

3 Π15 · · ·

son normadas, pero sus complementarias no lo son.

El teorema 5.47 nos da que las clases indicadas tienen la propiedad de uni-formizacion numerica y la propiedad de reduccion generalizada, mientras quesus complementarias tienen la propiedad de separacion generalizada.

354 Capıtulo 9. Juegos infinitos

9.4.2 Clases con escalas

Nos ocupamos ahora de la existencia de escalas y, a su vez, de la propiedadde uniformizacion. Vamos a necesitar un resultado tecnico:

Teorema 9.31 Sea a ∈ N y X un espacio producto no numerable. Si un con-junto A ⊂ X admite una escala en Σ1

n(a) o en Π1n(a), entonces admite una

escala φnn∈ω con las propiedades adicionales siguientes:

a) Si xmm∈ω es una sucesion en A tal que, para todo n ∈ ω, cada sucesionφn(xm)m∈ω es finalmente constante igual a αn, entonces existe un x ∈ Atal que lım

mxm = x (y entonces, por definicion de escala, φn(x) ≤ αn).

b) Si x, y ∈ A cumplen φn(x) ≤ φn(y), entonces∧

i ≤ n φi(x) ≤ φi(y).

Demostracion: Supondremos en primer lugar que X = N. Sea ψnn∈ωuna escala en A y sea λ un ordinal suficientemente grande como para que todaslas normas ψn tomen imagenes en λ. Sea Sn el conjunto de las 2n + 2-tuplasde la forma (ξ0, k0, . . . , ξn, kn) con ξi < λ, ki < ω. Consideramos en Sn elbuen orden lexicografico (de modo que, para comparar dos de sus elementos,empezamos comparando su primera componente, en caso de empate la segunda,etc.) y sea (ξ0, k0, . . . , ξn, kn) 7→ 〈ξ0, k0, . . . , ξn, kn〉 la semejanza de Sn en suordinal. Definimos

φn(x) = 〈ψ0(x), x(0), ψ1(x), x(1), . . . , ψn(x), x(n)〉 .

Vamos a probar que φnn∈ω es una escala con las propiedades adicionalesindicadas. Conviene abreviar x ∼ψi

y ↔ x ≤∗ψiy ∧ y ≤∗

ψix, que es una relacion

Σ1n(a) o Π1

n(a) en N×N × ω. Ahora:

x ≤∗φm

y ↔ x <∗ψ0y ∨ (x ∼ψ0 y ∧ x(0) < y(0)) ∨

· · · ∨ (x ∼ψ0 y ∧ x(0) = y(0) ∧ · · · ∧ x ∼ψmy ∧ x(m) ≤ y(m))

↔∨

i ≤ m(∧

j < i(x ∼ψjy ∧ x(j) = y(j)) ∧

(x <∗ψiy ∨ (x ∼ψi

y ∧ x(i) < y(i))) ∨ (i = m ∧ x ∼ψmy ∧ x(m) ≤ y(m))).

Es claro que esta relacion (triadica) esta en la clase correspondiente Σ1n(a)

o Π1n(a), y con una mınima variacion se prueba lo mismo para x <∗

φmy.

Consideremos una sucesion xmm∈ω en A tal que φn(xm) = αn para todom suficientemente grande. Entonces

(ψ0(xm), xm(0), . . . , ψn(xm), xm(n)) = (ξn0 , kn0 , . . . , ξ

nn , k

nn)

para todo m suficientemente grande. Como knj = xm(j) para todo m suficien-temente grande, resulta que knj = kj no depende de n y la sucesion xmm∈ω

converge a x = (kj)j∈ω . Igualmente ξnj = ξj no depende de n y ψj(xm) = ξjpara todo j suficientemente grande. Como ψnn∈ω es una escala, tenemosque x ∈ A y ψj(x) ≤ ξj . Con esto queda probado que φnn∈ω es una escala,

9.4. El axioma de determinacion proyectiva 355

y ademas es claro que φn(x) ≤ 〈ξ0, k0, . . . , ξn, kn〉 = αn, luego se cumple lapropiedad a). La propiedad b) es inmediata.

Consideremos ahora el caso general en que X es un espacio producto nonumerable. Basta considerar un homeomorfismo f : N −→ X que sea ∆1

1. Esfacil ver que f transforma una escala en A en otra escala en f−1[A], la parteya probada nos da una escala en f−1[A] con las propiedades adicionales, y estase transforma a traves de f en una escala en A con las propiedades adicionales.

Ahora ya podemos probar el teorema fundamental, tambien de Moskovakis,dual de 7.35:

Teorema 9.32 (Segundo teorema de periodicidad) Para cada a ∈ N, sila clase Σ1

n(a) tiene escalas y se cumple Detω(∆1n), tambien las tiene Π1

n+1(a).

Demostracion: Sea X un espacio producto y sea A ⊂ X un conjuntoΠ1n+1(a), de modo que existe un conjunto B ⊂ X × N de clase Σ1

n(a) tal queA =

∧

xB. Sea φnn∈ω una escala en A que cumpla las condiciones delteorema anterior. Consideremos la biyeccion canonica s : ω −→ ω<ω, de modoque s0 = ∅. Se comprueba ademas que si si ⊂ sj entonces i ≤ j. Definimos

An = x ∈ X |∧

y ∈ N(sn ⊂ y → (x, y) ∈ B).

Ası A0 = A y∧

n ∈ ω A ⊂ An. Vamos a definir una norma ψn sobre An.Dados x, y ∈ X , consideramos el juego Jnx,y en el que, si I juega la sucesion u′

y II juega la sucesion v′, entonces, llamando u = snu′, v = sn

v′, se cumpleque

I gana si y solo si (y, v) <∗φn

(x, u) ↔ (y, v) ∈ B ∧ φn(y, v) < φn(x, u).

Equivalentemente:

II gana syss (y, v) /∈ B ∨ φn(x, u) ≤ φn(y, v) ↔ (y, v) /∈ B ∨ (x, u) ≤∗φn

(y, v).

Ahora definimos x ≤n y ↔ II tiene una estrategia ganadora en Jnx,y.

Los mismos razonamientos empleados en la prueba del teorema 9.28 (mıni-mamente adaptados) nos permiten construir una norma ψn sobre An cuya re-lacion ≤ψn

sea precisamente la relacion ≤n que acabamos de definir. Mas aun,las relaciones triadicas ≤∗

ψmy <∗

ψmestan en la clase Π1

n+1(a) (donde la ultiman es la constante que aparece en el enunciado).

Vamos a probar que ψnn∈ω es una escala en A. Para ello tomamos unasucesion xmm∈ω en A que converja a un x ∈ X y tal que las sucesionesψn(xm)m∈ω tomen finalmente un valor constante αn. Tomando una subsu-cesion podemos suponer que

∧

m ≥ n ψn(xm) = αn.

En primer lugar vamos a probar que x ∈ A, para lo cual hemos de probarque, para todo y ∈ N, se cumple que (x, y) ∈ B. Sea ni tal que sni

= y|i. Deeste modo n0 < n1 < n2 < · · ·

356 Capıtulo 9. Juegos infinitos

Entonces ψni(xni

) = ψni(xni+1) = αni

, luego xni+1 ≤nixni

, luego II tieneuna estrategia ganadora en el juego Jni

xni+1,xni

. Consideramos ahora las partidas

descritas por la figura siguiente, en las que II aplica siempre una estrategiaganadora:

......

y0 y1 y2 I y3 y44 y45 · · · y4

Jn3xn4 ,xn3

y0 y1 y2 II y33 y34 · · · y3

y0 y1 I y2 y33 y34 · · · y3

Jn2xn3 ,xn2

y0 y1 II y22 y23 · · · y2

y0 I y1 y22 y23 · · · y2

Jn1xn2 ,xn1

y0 II y11 y12 · · · y1

I y0 y11 y12 · · · y1

Jn0xn1 ,xn0

II y00 y01 · · · y0

El jugador I empieza la primera partida con y0, la siguiente con y1, y asısucesivamente. La segunda jugada de I en la primera partida es la respuestade II en la segunda, la segunda jugada de I en la segunda es la respuesta de IIen la tercera, y ası sucesivamente. Llamamos yi a las sucesiones que resultande completar las sucesiones jugadas por cada jugador con la sucesion sni

= y|icorrespondiente a cada juego, de modo que lım

iyi = y. Como II gana todas las

partidas, se cumple que φni(xni+1 , y

i+1) ≤ φni(xni

, yi).

Por la propiedad b) del teorema anterior, para todo i suficientemente grandese cumple que

φk(xni+1 , yi+1) ≤ φk(xni

, yi),

pero toda sucesion decreciente de ordinales ha de ser finalmente constante, luegola sucesion φk(xni

, yi)i∈ω es finalmente constante. Como (xni, yi) → (x, y),

la definicion de escala nos da que (x, y) ∈ B, para todo y, luego x ∈ A.

Ahora falta probar que ψn(x) ≤ αn = ψn(xn). Esto equivale a que x ≤n xn,es decir, a que II tenga una estrategia ganadora en el juego Jnx,xn

. Veamos comoconstruir dicha estrategia.

9.4. El axioma de determinacion proyectiva 357

Observemos que si k ≤ m, entonces ψk(xk) ≤ ψk(xm), luego xm ≤k xk,luego II tiene una estrategia ganadora para Jkxm,xk

(para todo k ≤ m).

Llamemos n0 = n y l = ℓ(sn). La figura siguiente explica la estrategia quevamos a considerar:

......

sn2 I yl+2

Jn2xn3 ,xn2

sn2 II y2l+2 · · · y2

sn1 I yl+1 y2l+2 · · · y2

Jn1xn2 ,xn1

sn1 II y1l+1 y1l+2 · · · y1

sn0 I yl y1l+1 y1l+2 · · · y1

Jn0xn1 ,xn0

sn0 II y0l y0l+1 y0l+2 · · · y0

sn I yl yl+1 yl+2 · · · yJnx,xn

sn II y0l y0l+1 y0l+2 · · · y0

Llamamos yl a la primera jugada de I en el juego Jnx,xn. Para responder, II

la lleva a una primera jugada de I en el juego Jn0xn1 ,xn0

, donde n1 es el numeronatural que cumple que sn1 = sn0

yl. Luego II aplica su estrategia para estejuego y copia la respuesta en el juego inicial.

Seguidamente I juega un yl+1 arbitrario y II lo toma como primera jugadade I en el juego Jn1

xn2 ,xn1, donde n2 es el numero natural tal que sn2 = sn1

yl+1.Despues aplica su estrategia para este juego, copia la respuesta como jugada deI en el juego anterior, aplica su estrategia y copia la respuesta en el juego inicial,y ası sucesivamente.

Si llamamos yi a las sucesiones resultantes (con la sucesion snicorrespon-

diente incorporada), es claro que lımiyi = y (donde y es la sucesion jugada por

I en el juego inicial). Como II gana todas las partidas salvo quiza la primera,sabemos que φni

(xni+1 , yi+1) ≤ φni

(xni, yi). Por la propiedad b) del teorema

anterior, para todo i suficientemente grande,

φk(xni+1 , yi+1) ≤ φk(xni

, yi). (9.1)

Como toda sucesion decreciente de ordinales es finalmente constante, cadasucesion φk(xni

, yi)i∈ω es finalmente constante, digamos igual a βk, luego,por definicion de escala, (x, y) ∈ B y φk(x, y) ≤ βk. Tomando k = n = n0 en(9.1) obtenemos que

φn(xn0 , y0) ≥ φn(xn1 , y

1) ≥ φn(xn2 , y2) ≥ · · · ≥ βn ≥ φn(x, y),

y esto significa que II gana la partida de Jnx,xn.

358 Capıtulo 9. Juegos infinitos

Con esto hemos probado que ψnn∈ω es una escala en A. Sin embargo, hayun detalle a causa del cual todavıa no podemos dar el teorema por demostrado:Tenemos que las relaciones

x ≤∗ψm

y ↔ x ∈ Am ∧ ψm(x) ≤ ψm(y),

x <∗ψm

y ↔ x ∈ Am ∧ ψn(x) < ψm(y),

son Π1n+1(a), donde n es el natural fijo dado por el enunciado, mientras que

necesitamos que se cumpla esto mismo cambiando Am por A y que ψm tomesu valor maximo sobre todos los elementos de X \ A, en lugar de sobre loselementos de X \ Am. La forma mas sencilla de corregir estos inconvenienteses la siguiente: sea λ un ordinal suficientemente grande como para que todaslas aplicaciones ψm tomen valores menores que λ, consideramos la semejanzaλ× λ y sea (α, β) 7→ 〈α, β〉 de λ× λ (con el orden lexicografico) en su ordinal ydefinimos

ψ′m(x) = 〈ψ0(x), ψm(x)〉 .

Una simple adaptacion del argumento del teorema anterior muestra queψ′

nn∈ω es una escala en A y, ademas,

x ≤∗ψ′

my ↔ x ∈ A ∧ ψ′

m(x) ≤ ψ′m(y) ↔

x ∈ A ∧ (ψ0(x) < ψ0(y) ∨ (ψ0(x) = ψ0(y) ∧ ψm(x) ≤ ψm(y))) ↔

x <∗ψ0y ∨ (x ≤∗

ψ0y ∧ y ≤∗

ψ0x ∧ x ≤∗

ψmy),

donde usamos que A = A0 ⊂ Am, de modo que x ∈ A↔ x ∈ A ∧ x ∈ Am. Estaexpresion muestra que la relacion triadica x ≤∗

ψ′my es Π1

n+1(a), e igualmente serazona con x <∗

ψ′my.

Combinando esto con los teoremas 7.33 y 7.35 obtenemos:

Teorema 9.33 (ADP) Las clases Π12n+1(a) y Σ1

2n+2(a) tienen escalas y lapropiedad de uniformizacion.

La prueba del teorema 9.32 es valida sin cambio alguno para la clase Σ1n y

entonces podemos tomar comoX un espacio polaco arbitrario. Por consiguiente:

Teorema 9.34 (ADP) Las clases de Lusin

Σ12 Σ1

4 Σ16 · · ·

Π11 Π1

3 Π15 · · ·

tienen escalas y la propiedad de uniformizacion.

Nota (ADP) Partiendo de que Π12n+1 no tiene la propiedad de separacion

(por los teoremas 7.30 y 9.29), el argumento del teorema 5.52 nos da que existenconjuntos Π1

2n en N×N que no pueden ser uniformizados por conjuntos Σ12n+1.

Por consiguiente, ni Π12n ni Σ1

2n+1 tienen la propiedad de uniformizacion. A

su vez, esto implica que Π12n no tiene escalas y, por (la version para clases de

Lusin de) 9.32, Σ12n−1 tampoco las tiene.

9.5. El axioma de determinacion 359

9.5 El axioma de determinacion

El axioma de determinacion es la sentencia siguiente:

(AD) Para todo A ⊂ N, el juego J(A) esta determinado.

Mas brevemente, AD es la sentencia Detω(PN). El teorema 9.2 nos da laimplicacion AD → ¬AE, luego ZFD = ZF + ED + AD es una extension deZF incompatible con ZFC. La razon principal por la que hemos desarrolladola teorıa descriptiva de conjuntos en ZF + ED es para asegurar que todoslos resultados que hemos visto en este libro (excepto aquellos pocos que hanrequerido AE) siguen siendo validos en ZFD. Demostraremos mas adelante quei la existencia de ciertos cardinales grandes es consistente, entonces ZFD estambien consistente.

En la seccion 9.1 hemos visto que todo juego J(R,A) puede reducirse a unjuego J(A′), por lo que el axioma de determinacion implica que todo juegoJ(R,A) esta determinado.

Bajo AD tenemos la siguiente generalizacion del teorema 9.27:

Teorema 9.35 (AD) Todo subconjunto de todo espacio polaco es universal-mente medible, tiene la propiedad de Baire y, si no es numerable, contiene unsubconjunto perfecto.

La afirmacion sobre subconjuntos perfectos es consecuencia inmediata de9.10 tomando Γ = PN.

La afirmacion sobre la propiedad de Baire se puede probar particularizandola demostracion del teorema 9.16. En efecto, allı se parte de un conjunto A ⊂ Xde clase Σ1

n+1 y se expresa como A = π[F ], con F ⊂ X × N de clase Π1n y se

usa Det(Π1n) para probar que A tiene la propiedad de Baire. Ahora partimos

de un A ⊂ X arbitrario y la prueba sigue siendo valida tomando F = A×N yusando AD (con lo que no hemos de preocuparnos de ver que tipo de conjuntoes F ). No obstante, el argumento puede simplificarse eliminando el paso a Fpor completo. Vamos a verlo con detalle:

Fijamos un espacio polaco X y en el una base B = Bnn∈ω de abiertosno vacıos. Para cada conjunto A ⊂ X , consideramos juego de Banach-MazurG∗∗(A) que sigue el esquema siguiente:

I U0 U1 · · ·II V0 V1 · · ·

con las reglas

a) Un, Vn son abiertos de basicos de N de diametro ≤ 2−n.

b) Un+1 ⊂ Vn ⊂ Un.

360 Capıtulo 9. Juegos infinitos

Ası, cada partida determina un unico x ∈⋂

n∈ωUn =

⋂

n∈ωVn. El jugador I gana

la partida si x ∈ A.

Observemos que a traves de la enumeracion de la base podemos considerarque cada jugada es en realidad un numero natural. Las dos reglas del juegodeterminan entonces un arbol bien podado R ⊂ ω<ω y el juego es equivalente aljuego J(R,A′), donde A′ es el conjunto de los x ∈ [R] tales que el unico puntode

⋂

n∈ωBx(2n) =

⋂

n∈ωBx(2n+1)

esta en A. Por lo tanto, AD implica que el juego G∗∗(A) esta determinado.

Teorema 9.36 Sea X un espacio polaco y sea A ⊂ X

a) Si I tiene una estrategia ganadora para G∗∗(A), entonces existe un U ∈ Btal que U \A es de primera categorıa.

b) Si II tiene una estrategia ganadora para G∗∗(A), entonces A es de primeracategorıa.

Demostracion: Veamos primero b). Sea σ una estrategia ganadora parael jugador II y sea x ∈ A.

Diremos que una posicion s de longitud 2n es buena para x si esta jugada deacuerdo con la estrategia σ y x ∈ Vn. Entonces, ha de haber una posicion buenapara x que no pueda prolongarse a otra posicion buena para x, pues, en otrocaso, obtendrıamos una partida jugada segun σ en la que ganarıa I. En otraspalabras, existe una posicion buena s tal que, para toda jugada posible de I, lajugada siguiente segun σ hace que x /∈ Vn+1.

Si s es una posicion de longitud 2n jugada segun σ, llamaremos Cs al con-junto de todos los x ∈ X tales que x ∈ Vn y, para toda jugada (legal) de I dadapor Un+1, el abierto Vn+1 determinado por σ cumple que x /∈ Vn+1.

Hemos probado que, dado x ∈ F , existe una posicion s de longitud parjugada segun σ de modo que x ∈ Cs o, lo que es lo mismo F ⊂

⋃

sCs.

Ahora bien, sucede que Cs es diseminado, pues lo contrario significa queexiste un abierto no vacıo Un+1 ⊂ Cs ⊂ V n, que podemos tomar de maneraque Un+1 ∈ B y d(Un+1) < 2−n−1. Sea entonces Vn+1 el abierto determinadopor σ si I prolonga s con Un+1. Entonces Vn+1 ⊂ Vn+1 ⊂ Un+1 ⊂ Cs, luegoVn+1 ∩ Cs 6= ∅, pero esto es absurdo, por la propia definicion de Cs.

Como s recorre un conjunto numerable, concluimos que F es de primeracategorıa.

a) Si I tiene una estrategia ganadora σ para G∗∗(A), llamemos U = σ(∅) yvamos a probar que II tiene una estrategia ganadora para G∗∗(U \ A). Admi-tiendo esto, el apartado b) ya probado nos da que U \A es de primera categorıa.

Veamos cual es la estrategia de II. Sea U0 la primera jugada de I y suponga-mos en primer lugar que U0 6⊂ U . Tomamos x ∈ U0 \U . Entonces, como X \Ues un entorno de x, se cumple que U0 ∩ (X \ U) es un abierto no vacıo, luego

9.5. El axioma de determinacion 361

podemos tomar V0 ∈ B, V0 ⊂ V0 ⊂ U0 \ U , d(V0) < 1/2. Jugando V0, II tieneasegurada la victoria sean cuales sean las jugadas posteriores.

Supongamos ahora que U0 ⊂ U . Entonces II puede responder con el abiertoV0 determinado por σ para la partida que empieza con U seguido de U0. Engeneral, II puede jugar de modo que cada posicion de la partida se convierta enuna posicion segun σ cuando se le antepone U . De este modo se asegura de queel punto final x este en U ∩ A, luego no estara en U \ A y ganara la partida.

Ahora ya podemos probar que todo A ⊂ X tiene la propiedad de Baire. Enprincipio, lo que sabemos es que todo A ⊂ X es de primera categorıa (en cuyocaso tiene la propiedad de Baire) o bien existe un abierto basico U0 tal queU0 \ A es de primera categorıa. En el segundo caso llamamos U a la union detodos los abiertos con dicha propiedad. Ası U \A esta contenido en una unionnumerable de conjuntos de primera categorıa, luego es de primera categorıa.Basta probar que A \ U tambien es de primera categorıa, pues entonces lo seraA∆U y A tendra la propiedad de Baire.

Si A\U no es de primera categorıa, por el teorema anterior existe un abiertobasico U0 tal que U0 \ (A \U) es de primera categorıa, luego U0 \A tambien loes, luego U0 ⊂ U por definicion de U , luego U0 ⊂ U0 \ (A \ U), luego U0 es deprimera categorıa, lo cual es absurdo.4

Para estudiar la medibilidad, por los mismos argumentos empleados en laprueba del teorema 9.18, no perdemos generalidad si nos restringimos a X = C,el espacio de Cantor. Como en el caso anterior, la prueba de 9.18 vale ennuestro contexto actual sin mas que trivializar el paso de C a C × C, pero dehecho podemos simplificarla eliminando ese paso:

Sea tnn∈ω una enumeracion de 2<ω y snn<ω una enumeracion de ω<ω.Para cada A ⊂ C y cada ǫ > 0, definimos el juego J ′(A, ǫ) que se juega segun elesquema:

I x0 x1 · · ·II z0 z1 · · ·

con las reglas:

a) xn ∈ 2, zn ∈ ω.

b) Si Un =⋃

i<ℓ(szn )

Btszn (i), se cumple que µ(Un) < ǫ/22n+2.

Ası, cada partida determina un x ∈ C y un abierto U =⋃

n∈ωUn.

El jugador I gana la partida si x ∈ A \ U .

En la practica podemos pensar que las jugadas de II son uniones finitas deabiertos basicos de C. La jugada zn determina una sucesion szn ∈ ω<ω, la

4Analizando con mas detalle este argumento se ve facilmente que con el tambien puede pro-barse que Det(Π1

n) implica la propiedad de Baire para los conjuntos Π1n, que es un resultado

menos fino que 9.16.

362 Capıtulo 9. Juegos infinitos

cual determina a su vez una sucesion finita tszn (0), . . . , tszn (k) ∈ 2<ω, la cualdetermina a su vez el abierto Un, y cualquier union finita de abiertos basicospuede obtenerse de esta forma.

Obviamente J ′(A, ǫ) es equivalente a un juego J(R,B), donde R es un arbol(claramente bien podado) en ω y B es el conjunto de los y ∈ [R] tales que elpunto x ∈ N formado por los terminos pares de y esta en A y no en el abiertoU determinado por la sucesion z de los terminos pares de y. Por lo tanto, ADimplica que el juego J ′(A, ǫ) esta determinado.

Teorema 9.37 Sea µ una medida de Borel unitaria en C, ǫ > 0 y A ⊂ C.

a) Si I tiene una estrategia ganadora en el juego J ′(A, ǫ), entonces A contieneun conjunto µ-medible de medida positiva.

b) Si II tiene una estrategia ganadora en el juego J ′(A, ǫ), entonces existe unabierto U ⊂ C tal que A ⊂ U y µ(U) < ǫ.

Demostracion: Si I tiene una estrategia ganadora σ, sea C ⊂ N el conjuntode las sucesiones z ∈ N tales que si II juega z0, z1, . . . sus jugadas son legales.Se cumple que C es cerrado, pues si z ∈ N \C, existe un mınimo n ∈ ω tal quela jugada zn es ilegal, con lo que z ∈ Bz|n+1

⊂ N \ C.La aplicacion C −→ C dada por z 7→ x = (σ ∗ z)I es continua, luego su

imagen, que es el conjunto B ⊂ A de todos los puntos deX construidos mediantepartidas en las que I juega segun σ, es un conjunto analıtico, luego µ-medible.Solo hemos de probar que no tiene medida nula.

Si fuera µ(B) = 0, existirıa un abierto G tal que B ⊂ G y µ(G) < ǫ/22.Expresamos G como union de abiertos basicos G =

⋃

i∈ω

Gi, donde cada Gi es

de la forma Bt, para cierta t ∈ 2<ω. Como dos abiertos basicos distintos estanuno contenido en otro o son disjuntos, podemos refinar la union para que los Gisean disjuntos dos a dos.

Definimos U0 como una union finita de abiertosGi tal que µ(G\U0) < ǫ/24, yasegurando que al menos G0 ⊂ U0. Tenemos que µ(U0) < ǫ/22. Similarmente,definimos U1 ⊂ G \ U0 como una union finita de abiertos Gi de modo queµ(G \ (U0 ∪ U1)) < ǫ/26, asegurando que G1 ⊂ U0 ∪ U1. Procediendo de estemodo construimos una sucesion Unn<ω de abiertos en C, cada uno de los cualeses una union finita de abiertos basicos, µ(Un) < ǫ/22n+2 y B ⊂ G =

⋃

n∈ωUn.

Entonces, la sucesionUn determina una estrategia para II (jugar en cada pasoUn independientemente de lo que haga I), que claramente burla a la estrategia σ,pues el conjunto U resultante sera G y, si I juega segun σ, el punto x resultanteestara en B ⊂ U . Esto contradice que σ sea una estrategia ganadora, luego Bha de tener medida positiva.

Supongamos ahora que es II quien tiene una estrategia ganadora σ. Paracada s ∈ 2n+1), llamemos Us al abierto Un que determina σ como jugada n-simade II cuando I ha jugado hasta el momento xi = s(i). Sea G =

⋃

sUs.

9.5. El axioma de determinacion 363

Claramente, U es abierto y A ⊂ U , pues si x ∈ A, I puede jugar en cadaturno x(n) y, si II aplica su estrategia σ, al final de la partida se llega al puntox ∈ A, luego la unica forma en que II puede ganar es que x este en U , lo quesignifica que esta en Un = Ux|n+1

, para cierto n ∈ ω, luego x ∈ G. Por otraparte,

µ(G) ≤

∞∑

n=0

µ(⋃

s∈2n+1

Us) ≤

∞∑

n=0

2n+1 ·ǫ

22n+2= ǫ.

Ahora tomamos un conjunto B ⊂ C arbitrario. Por la regularidad de lasmedidas de Borel existe un conjunto B de tipo Gδ tal que B ⊂ B y todoconjunto de Borel contenido en A = B \B es nulo.

Dado ǫ > 0, el juego J ′(A, ǫ) esta determinado, pero por el teorema anteriorI no puede tener una estrategia ganadora. Esto significa que la tiene II, luego,de nuevo por el teorema anterior, existe un abierto G tal que A ⊂ G y µ(G) < ǫ.Esto implica que µ∗(A) = 0, donde µ∗ es la medida exterior asociada a µ, perotodo conjunto de medida exterior nula es medible, luego B \B es medible, luegoB tambien lo es.

En particular tenemos que todo subconjunto de Rn es medible Lebesgue.

Capıtulo X

Grados de Wadge

En este capıtulo mostraremos como el axioma de determinacion permitedistribuir los elementos de PN en una jerarquıa de grados en orden creciente decomplejidad en la cual se puede enmarcar todas las clases Γ de subconjuntosde N cerradas para sustituciones continuas. Conviene tener presente que sirestringimos la teorıa a conjuntos de Borel no necesitamos AD (puesto queentonces solo se necesita la determinacion de los conjuntos de Borel y esta esdemostrable en ZF + ED).

Antes de entrar en materia probaremos algunos resultados sobre funcionescontinuas entre espacios de sucesiones.

10.1 Funciones continuas, funciones lipschitzia-nas y contracciones

Consideremos de momento un espacio de sucesiones Xω donde X es unconjunto arbitrario. Por 1.14 los cerrados en Xω son de la forma C = [A],donde A es un arbol bien podado en X . Recordemos de 1.15 que si A y B sonarboles bien podados en un conjunto X , una aplicacion φ : A −→ B se dicepropia si es monotona, es decir, si

∧

st ∈ A(s ⊂ t → φ(s) ⊂ φ(t)), y ademas,para todo x ∈ [A], se cumple que

lımnℓ(φ(x|n)) = ∞.

En estas condiciones, el teorema 1.16 prueba que si φ es propia, entonces laaplicacion φ∗ : [A] −→ [B] dada por φ∗(x) =

⋃

nφ(x|n) es continua. Vamos a

necesitar el recıproco:

Teorema 10.1 Sean A y B dos arboles bien podados en un conjunto X y seaf : [A] −→ [B] una aplicacion continua. Entonces existe una aplicacion propiaφ : A −→ B tal que f = φ∗.

365

366 Capıtulo 10. Grados de Wadge

Demostracion: Para cada s ∈ A, llamamos Bs = x ∈ [A] | s ⊂ x, queclaramente es una base de [A]. Consideramos tambien la base de [B] definidade igual modo. Dado s ∈ A, siempre existe un t ∈ B tal que f [Bs] ⊂ Bt(por ejemplo, t = ∅) y, si f [Bs] ⊂ Bt ∩ Bt′ , entonces t ⊂ t′ ∨ t′ ⊂ t. Por lotanto, podemos definir φ(s) como el mayor elemento t ∈ T tal que ℓ(t) ≤ ℓ(s) yf [Bs] ⊂ Bt. Tenemos ası una aplicacion φ : A −→ B claramente monotona.

Dado x ∈ [A] y m ∈ ω, tenemos que x ∈ f−1[Bf(x)|m ], luego por continuidadexiste un n ∈ ω (que podemos tomar n ≥ m) tal que x ∈ Bx|n ⊂ f−1[Bf(x)|m ],luego f [Bx|n ] ⊂ Bf(x)|m , luego f(x)|m ⊂ φ(x|n). En particular ℓ(φ(x|n)) ≥ m.

Esto prueba a la vez que φ es propia y que f(x) ⊂ φ∗(x), luego f = φ∗.

Definicion 10.2 Sean A y B dos arboles bien podados en un conjunto X . Unaaplicacion φ : A −→ B es lipschitziana si es monotona y

∧

s ∈ A ℓ(φ(s)) = ℓ(s).

Claramente toda aplicacion lipschitziana es propia, luego define una funcioncontinua φ∗ : [A] −→ [B]. Pero las funciones definidas por funciones lipschitzia-nas cumplen una propiedad mas fuerte que la continuidad:

Sean C,D ⊂ Xω subespacios cerrados. Diremos que una funcion f : C −→ Des lipschitziana si

∧

n ∈ ω∧

xy ∈ C(x|n = y|n → f(x)|n = f(y)|n).

Diremos que f es una contraccion si

∧

n ∈ ω∧

xy ∈ C(x|n = y|n → f(x)|n+1 = f(y)|n+1).

Es inmediato que toda contraccion es lipschitziana y que toda funcion lips-chitziana es continua. Mas concretamente, si C = [A] y D = [B], donde Ay B son arboles bien podados en X , entonces f es lipschitziana si y solo sif = φ∗, para cierta funcion lipschitziana φ : A −→ B, que necesariamente es lacaracterizada por la relacion φ(x|n) = f(x)|n.

Notemos que en general una igualdad de funciones continuas φ∗ = ψ∗ noimplica necesariamente que φ = ψ, pero si φ y ψ son lipschitzianas entonces laconclusion sı que es cierta, por la relacion precedente.

Nota Estas definiciones son casos particulares de las usuales en topologıa sitenemos en cuenta que una metrica en Xω es la dada por d(x, y) = 1/2n, donden es el mınimo numero natural tal que x|n 6= y|n (y d(x, x) = 0). Entonces,la propiedad de Lipschitz equivale a que d(f(x), f(y)) ≤ d(x, y), mientras quelas contracciones cumplen d(f(x), f(y)) ≤ 1

2d(x, y) o, mas en general, cualquieraplicacion que cumpla d(f(x), f(y)) ≤ k d(x, y) con k < 1 es una contraccion.

Vamos a construir explıcitamente una biyeccion

N −→ φ | φ : ω<ω −→ ω<ω lipschitziana.

10.1. Funciones continuas, funciones lipschitzianas y contracciones 367

Para ello observamos que la enumeracion canonica snn∈ω de ω<ω cumpleque si sm ⊂ sn entonces m ≤ n. Fijado x ∈ N, definimos φx : ω<ω −→ ω<ω

como sigue: para cada (a0, . . . , ak) ∈ ω<ω, sean n0, . . . , nk los numeros naturalesque cumplen

sn0 = 〈a0〉 , sn1 = 〈a0, a1〉 , . . . snk= 〈a0, . . . , ak〉 ,

sea bi = x(ni − 1) y sea φx(a0, . . . , ak) = (b0, . . . , bk). Claramente, φx es unafuncion lipschitziana. Ademas, toda funcion lipschitziana φ : ω<ω −→ ω<ω

es de la forma φx, para cierto x ∈ N, pues basta definir x(n) como el ultimoelemento de φ(sn+1). Por ultimo, la aplicacion x 7→ φx es inyectiva, pues six, x′ ∈ N cumplen x 6= x′, entonces φx(sn+1) 6= φx′(sn+1), ya que el ultimoelemento de cada sucesion es, respectivamente, x(n) y x′(n).

Como cada funcion φ : ω<ω −→ ω<ω lipschitziana se corresponde biunıvoca-mente con una funcion φ∗ : N −→ N lipschitziana, tenemos casi probado elteorema siguiente:

Teorema 10.3 Existe una biyeccion

L : N −→ f | f : N −→ N lipschitziana

tal que la aplicacion N2 −→ N dada por (x, y) 7→ Lx(y) es continua.

Demostracion: Basta definir Lx = φ∗x. La continuidad se debe a queLx(y)|n = φ∗x(y)|n = φx(y|n) y, si y|n = sm, concluimos que Lx(y)|n dependeunicamente de (x|m, y|n).

El interes de las funciones lipschitzianas se debe a que si τ es una estrategiaganadora para II en un juego J definido sobre un conjunto X , entonces laaplicacion Xω −→ Xω dada por x 7→ (x ∗ τ)I es lipschitziana, pues (x ∗ τ)I|nesta determinado por x|n.

Recıprocamente, toda funcion lipschitziana f : Xω −→ Xω (f = φ∗) deter-mina una estrategia para II, a saber, la dada por σ(s) = φ(sI)((ℓ(s) − 1)/2).

Si σ es una estrategia para I, entonces x 7→ (σ ∗ x)I es una contraccion,pues (σ ∗ x)I |n+1 esta determinado por x|n. Recıprocamente, toda contraccionφ determina una estrategia para I dada por σ(s) = φ(sII)(ℓ(s)/2).

Terminamos con un caso particular de un teorema de punto fijo clasico delanalisis matematico:

Teorema 10.4 Toda contraccion f : N −→ N tiene un punto fijo, es decir,existe un x ∈ N tal que f(x) = x.

Demostracion: Tomamos cualquier x0 ∈ N y definimos xn+1 = f(xn).Ası, como x0|0 = x1|0, la definicion de contraccion nos da que x1|1 = x2|1,luego x2|2 = x3|2, etc. De aquı se sigue que la sucesion xnn∈ω es convergenteal x ∈ N dado por x(i) = lım

nxn(i) (las sucesiones son finalmente constantes).

Ademas, como f es continua, f(x) = lımnf(xn) = lım

nxn+1 = x.

368 Capıtulo 10. Grados de Wadge

10.2 Reducibilidad Wadge y Lipschitz

El concepto fundamental de este capıtulo es el de reducibilidad Wadge, sibien conviene introducir tambien el concepto auxiliar de reducibilidad Lipschitz.

Definicion 10.5 Sean A,B ⊂ N. Diremos que A es reducible Lipschitz (resp.reducible Wadge) a B si existe f : N −→ N lipschitziana (resp. continua) talque A = f−1[B]. Lo representaremos por A ≤L B (resp. A ≤W B). Ambasrelaciones son reflexivas y transitivas, luego definen relaciones de equivalenciadadas por

A ≡L B ↔ A ≤L B ∧ B ≤L A, A ≡W B ↔ A ≤W B ∧ B ≤W A.

Tambien es obvio que A ≤L B → A ≤W B y que A ≡L B → A ≡W B.

Representaremos por GL y GW , respectivamente, a los conjuntos cocientede PN respecto de las relaciones de equivalencia que acabamos de definir. A suselementos los llamaremos grados de Lipschitz (resp. grados de Wadge). Usare-mos la notacion [A]L y [A]W para referirnos al grado de Lipschitz y el grado deWadge de un conjunto A, respectivamente, y escribiremos [A]∗ (ası como ≤∗,≡∗, G∗) en los enunciados que valgan para grados de los dos tipos.1

Claramente podemos definir en G∗ la relacion de orden de orden (parcial)dada por [A]∗ ≤∗ [B]∗ ↔ A ≤∗ B. Igualmente, como A ≤∗ B → ¬A ≤∗ ¬B,podemos definir tambien el grado complementario ¬[A]∗ = [¬A]∗.

Ahora veamos que existe una conexion muy estrecha entre los conceptos dereducibilidad que acabamos de introducir y los juegos infinitos:

El juego de Lipschitz Si A,B ⊂ N, consideramos el juego J(A,B) en el quesi I juega a y II juega b entonces II gana si y solo si a ∈ A ↔ b ∈ B. Masexplıcitamente, J(A,B) es el juego J(C), donde

C = Xω \ z ∈ Xω | zI ∈ A↔ zII ∈ B = π−1I [A] ∆π−1

II [B],

donde a su vez2 πI(z) = zI y πII(z) = zII.

Teorema 10.6 Sean A,B ⊂ N. Entonces

a) II tiene una estrategia ganadora para J(A,B) si y solo si A ≤L B.

b) Si I tiene una estrategia ganadora para J(A,B) entonces B ≤L ¬A.

1Tal y como indicabamos al principio del capıtulo, podemos restringir la teorıa considerandoque G∗ es el conjunto cociente de la σ-algebra de Borel de N respecto a la relacion ≡∗, y enese caso todos los usos que vamos a hacer de AD son evitables. Notemos que si A ≤∗ B yB es un conjunto de Borel entonces A tambien lo es, por lo que el grado de un conjunto deBorel es el mismo si se calcula en la σ-algebra de Borel o en PN.

2Como las funciones πI y πII son continuas, es obvio que si A y B son conjuntos de Borelentonces C tambien lo es, luego en este caso podemos asegurar que el juego J(A,B) estadeterminado sin necesidad de recurrir al axioma AD.

10.2. Reducibilidad Wadge y Lipschitz 369

Demostracion: Si τ es una estrategia ganadora para II, entonces la apli-cacion a 7→ (a ∗ τ)II es una funcion lipschitziana que prueba que A ≤L B.Recıprocamente, si existe f : N −→ N lipschitziana tal que A = f−1[B], en-tonces existe una estrategia τ para II que hace que f(a) = (a ∗ τ)II, con lo queresulta ser una estrategia ganadora.

Si I tiene una estrategia ganadora σ, entonces b 7→ (σ ∗ b)I es una funcionlipschitziana que prueba B ≤L ¬A, pero la implicacion contraria falla porque nobasta con que una funcion sea lipschitziana para definir una estrategia para I,sino que se necesita que sea una contraccion.

Naturalmente, la reducibilidad Lipschitz implica la reducibilidad Wadge,por lo que la implicacion del apartado b) del teorema anterior, al igual quela implicacion analoga del apartado a), tambien son validas para ≤W . Dichasimplicaciones son las unicas necesarias para demostrar el teorema siguiente, quees la piedra angular de toda la teorıa sobre reducibilidad:

Teorema 10.7 (Lema de Wadge) (AD) Si A,B ∈ PN, o bien A ≤∗ B obien B ≤∗ ¬A.

Veamos ahora que modificando levemente el juego J(A,B) podemos obtenerotro juego que cumple la version equivalente del teorema 10.6 para la reducibi-lidad Wadge:

El juego de Wadge Dados A,B ⊂ N, consideramos el juego Jp(A,B) que escomo J(A,B) salvo que el jugador II tiene permitido pasar su turno sin jugar.Mas precisamente, se trata de un juego en (ω ∪ p)<ω, donde p es cualquierconjunto prefijado tal que p /∈ ω. Llamaremos jugadas propias de un jugador asus jugadas distintas de p. Entonces:

a) I no puede pasar (es decir, si I juega p pierde la partida).

b) II debe jugar infinitas jugadas propias (es decir, supuesto que I no hayapasado nunca, si II solo juega un numero finito de jugadas propias entoncesI gana la partida).

c) En el supuesto de que I no haya pasado nunca y II haya jugado infinitasjugadas propias, si a es la sucesion de jugadas de I y b es la sucesion dejugadas propias de II, entonces II gana si y solo si a ∈ A↔ b ∈ B.

Ahora podemos probar:

Teorema 10.8 Sean A,B ⊂ N. Entonces

a) II tiene una estrategia ganadora para Jp(A,B) si y solo si A ≤W B.

b) Si I tiene una estrategia ganadora para Jp(A,B) entonces B ≤L ¬A.

370 Capıtulo 10. Grados de Wadge

Demostracion: Si τ es una estrategia para II tal que (x∗τ)II tiene siempreinfinitas jugadas propias, sea cual sea x ∈ N, entonces la aplicacion x 7→ (x∗τ)IIpque a cada x le asigna la sucesion de jugadas propias de II segun τ es claramentecontinua, pues, dado m ∈ ω, si la restriccion (x ∗ τ)IIp|m proviene de eliminarlas jugadas p de (x ∗ τ)II|n, entonces todo y ∈ N tal que y|n = x|n cumple(y ∗ τ)IIp|m = (x ∗ τ)IIp|m. Si ademas la estrategia es ganadora, tenemos quex ∈ A↔ (x ∗ τ)IIp ∈ B, luego A ≤W B.

Supongamos ahora que f : N −→ N cumple que A = f−1[B]. Sabemos quef = φ∗, para una funcion propia φ : ω<ω −→ ω<ω. Definimos la estrategia τpara II que fija la jugada n-sima considerando la sucesion s de las n primerasjugadas de I, calculando φ(s) y, en caso de que ℓ(φ(s)) > n la jugada es φ(s)(n),mientras que en caso contrario II pasa.

Es claro entonces que si II aplica esta estrategia y I juega a (sin pasar nunca),entonces las jugadas propias de II terminan siendo las que forman b = f(a),luego II gana necesariamente la partida.

Supongamos ahora que I tiene una estrategia ganadora σ para Jp(A,B).Entonces la funcion y 7→ (σ ∗ y)I (para todo y ∈ N, es decir, consideramos todaslas partidas posibles en las que II no pasa nunca) es lipschitziana y claramenteprueba que B ≤L ¬A.

Observemos que cada juego Jp(A,B) es reducible a un juego de la formaJ(C), con C ⊂ (ω ∪ p)ω, y es claro entonces que AD implica que todos losjuegos Jp(A,B) estan determinados,3 pues AD implica obviamente su generali-zacion a juegos en cualquier espacio de la forma Xω con X numerable.

3Explıcitamente, si llamamos Np = (ω ∪ p)ω ,

C = RI ∩ (¬RII ∪ (RII ∩ (π−1I [A]∆ π−1

IIp[B]))),

donde RI = z ∈ Np |∧

n ∈ ω zI(n) 6= p es el conjunto de partidas en las que I no pasa nunca(claramente de Borel), RII = z ∈ Np |

∧

m ∈ ω∨

n ∈ ω(m ≤ n ∧ zII(n) 6= p) es el conjuntode partidas en las que II juega infinitas jugadas no nulas (tambien de Borel), πI(z) = zI esuna aplicacion continua y πIIp = πII πp, donde πII(z) = zII (continua) y πp(z) es la sucesionde componentes de z distintas de p si son infinitas o la sucesion constante p en caso contrario.Esta ultima aplicacion es medible Borel, pues si s ∈ (ω ∪ p)<ω no toma nunca el valor p,entonces

π−1p [Bs] = z ∈ Np |

∧

m ∈ ω∨

n ∈ ω(m ≤ n ∧ z(n) 6= p) ∩⋃

tBt,

donde t recorre las sucesiones de (ω ∪ p)<ω cuyas primeras componentes son las de s. Si stiene todas sus componentes iguales a p entonces

π−1p [Bs] = ¬z ∈ Np |

∧

m ∈ ω∨

n ∈ ω(m ≤ n ∧ z(n) 6= p)

y si s tiene algunas componentes iguales a p, pero no todas, entonces π−1p [Bs] = ∅. En

cualquier caso π−1p [Bs] es un conjunto de Borel.

Esto prueba que si A y B son conjuntos de Borel en N (luego claramente tambien en Np)entonces podemos afirmar que Jp(A,B) esta determinado sin necesidad de AD.

10.3. La ordenacion de los grados 371

10.3 La ordenacion de los grados

Si a ∈ G∗, los grados a y ¬a pueden ser iguales o no, pero si no son igualesentonces son incomparables, ya que a ≤∗ ¬a implica que ¬a ≤∗ a, y entoncesa = ¬a. El teorema 10.7 afirma en esencia (bajo AD) que la unica posibilidadpara que dos grados a, b ∈ G∗ sean incomparables es que a = ¬b. En efecto, enprincipio el teorema afirma que a ≤∗ b ∨ b ≤∗ ¬a. Si se da el caso a ≤∗ b y node da la igualdad, tambien tiene que suceder ¬a ≤∗ b, pues la alternativa segun10.7 serıa b ≤∗ ¬a, en cuyo caso a ≤ ¬a, luego a = b = ¬a. Similarmente, sise da el caso b ≤∗ ¬a y no se da la igualdad entonces tambien b ≤∗ a, pues laalternativa es ¬a ≤∗ b y de nuevo a = b = ¬a.

Por consiguiente, si b 6= a, ¬a, se tiene que dar de hecho uno de los dos casossiguientes:

a ≤∗ b ∧ ¬a ≤∗ b o bien b ≤∗ a ∧ b ≤∗ ¬a.

O tambien: dados dos grados a, b ∈ G∗, se cumple a ≤∗ b ∨ b ≤∗ a salvoa lo sumo si b = ¬a, en cuyo caso (y solo en este caso) los grados pueden serincomparables.

Definicion 10.9 Diremos que un conjunto A ⊂ N es autodual si A ≡∗ ¬A y,analogamente un grado a ∈ G∗ es autodual si a = ¬a, de modo que los gradosautoduales son los grados de los conjuntos autoduales.

En estos terminos, los pares de grados formados por un grado no autodualy su grado complementario son los unicos pares de grados incomparables porla relacion ≤∗. Para obtener una relacion de orden total solo tenemos queidentificar estos pares. Podemos hacerlo mediante la relacion

A ≤−∗ B ↔ A ≤∗ B ∨ A ≤∗ ¬B.

Se trata de una relacion reflexiva y transitiva que induce la relacion de equi-valencia

A ≡−∗ B ↔ A ≤−

∗ B ∧ B ≤−∗ A↔ A ≡∗ B ∨ A ≡∗ ¬B

Si representamos por G−∗ el conjunto cociente de PN respecto de esta relacion

de equivalencia, tenemos que cada grado debil [A]−∗ = [A]∗ ∪¬[A]∗ coincide conun grado fuerte autodual o bien con la union de dos grados fuertes complemen-tarios. (Esto nos permite hablar de grados debiles autoduales y no autoduales).

En otros terminos, la aplicacion G∗ −→ G−∗ dada por [A]∗ 7→ [A]−∗ es su-

prayectiva y cada grado debil tiene una unica antiimagen autodual o bien dosantiimagenes, que son grados (complementarios) incomparables.

En G−∗ esta definida la relacion de orden dada por [A]−∗ ≤−

∗ [B]−∗ si y solo siA ≤−

∗ B, pero ahora (suponiendo AD) tenemos que se trata de un orden total.En realidad se cumple mucho mas que esto:

Teorema 10.10 (AD) (G−∗ ,≤

−∗ ) es un conjunto bien ordenado.

372 Capıtulo 10. Grados de Wadge

Demostracion: Ya sabemos que (G−∗ ,≤

−∗ ) esta totalmente ordenado. Por

consiguiente, basta probar que no existe ninguna sucesion decreciente

· · ·A3 <−∗ A2 <

−∗ A1 <

−∗ A0

de conjuntos de B, donde

A <−∗ B ↔ A ≤−

∗ B ∧ B 6≤−∗ A.

En tal caso, como An 6≤L An+1, resulta que I tiene una estrategia ganadora σ0n

en el juego de Lipschitz J(An, An+1), y como tambien An 6≤L ¬An+1, por otraparte I tiene una estrategia ganadora σ1

n para el juego J(An,¬An+1).

Fijamos un x ∈ 2ω y consideramos la concatenacion de partidas descrita enla figura siguiente:

I y00 y01 y02 y03σx(0)0 · · ·

II y10 y11 y12

I y10 y11 y12 y13

σx(1)1 · · ·

II y20 y21 y22

I y20 y21 y22 y23

σx(2)2 · · ·

II y30 y31 y32

I y30 y31 y32 y33

σx(3)3 · · ·

II y40 y41 y42

En la partida n-sima, I juega con su estrategia σx(n)n , mientras que II copia en

la partida n-sima la ultima respuesta de I en la partida n+1-esima. Llamemosyn(x) = ynk k∈ω. Entonces

yn(x) /∈ An ↔ yn+1(x) ∈ Ax(n)n+1 ,

donde A0n = An y A1

n = ¬An. Sea Y = x ∈ 2ω | y0(x) ∈ A0. Por 9.35sabemos que Y tiene la propiedad de Baire.4

Veamos que si x, x′ ∈ 2ω difieren unicamente en su valor sobre k ∈ ω,entonces x ∈ Y ↔ x′ /∈ Y . En efecto, observamos que yn(x) depende unicamentede x(n), x(n+1), x(n+2), . . ., luego tenemos que yl(x) = yl(x

′) para todo l > k.Ası,

yk(x) /∈ Ak ↔ yk+1(x) ∈ Ax(k)k+1 ↔ yk+1(x

′) ∈ Ax(k)k+1

↔ yk+1(x′) /∈ A

x′(k)k+1 ↔ yk(x

′) ∈ Ak.

4La aplicacion x 7→ y0(x) es claramente continua, por lo que si A0 es un conjunto de Boreltambien lo es Y , y podemos afirmar que Y tiene la propiedad de Baire sin recurrir a AD.

10.3. La ordenacion de los grados 373

A su vez,

yk−1(x) /∈ Ak−1(x) ↔ yk(x) ∈ Ax(k−1)k = A

x′(k−1)k

↔ yk(x′) /∈ A

x′(k−1)k ↔ yk−1(x

′) ∈ Ak−1(x′),

y descendiendo de este modo llegamos a que y0(x) ∈ A0 ↔ y0(x′) /∈ A0.

Como Y tiene la propiedad de Baire, existe un abierto U ⊂ 2ω tal que Y∆Ues de primera categorıa. Si Y no es de primera categorıa entonces U 6= ∅, ypodemos sustituirlo por un abierto basico Bs, con s ∈ 2n, de modo que Y ∩Bs esde segunda categorıa y Bs \(Y ∩Bs) es de primera categorıa. Si Y es de primeracategorıa tomamos cualquier Bs, y entonces Y ∩ Bs es del primera categorıa,luego Bs \ (Y ∩Bs) es de segunda categorıa.

Sea φ : 2ω −→ 2ω el homeomorfismo que intercambia la coordenada n-sima,de modo que deja invariante a Bs. Hemos probado que φ[Y ] = ¬Y , luegoφ[Y ∩ Bs] = Bs \ (Y ∩ Bs), pero esto es absurdo, porque estos dos conjuntostienen categorıa distinta.

Por ejemplo, trivialmente ∅ ≤∗ A, para todo A N (basta tomar unafuncion constante que tome su valor en N \ A), mientras que, tambien trivial-mente, A ≤∗ ∅ → A = ∅. Esto se traduce en que 1 = ∅ es un grado deLipschitz y de Wadge, y es menor o igual que cualquier otro a excepcion de¬1 = N. Ası pues, el grado mınimo de G−

∗ se corresponde con un par degrados incomparables, 1 y ¬1.

Resulta natural preguntarse cual es el ordinal5 de G−∗ :

Teorema 10.11 (AD) ord(G−∗ ,≤

−∗ ) = Θ.

Demostracion: Sea ψ : G−L −→ Ω la semejanza de G−

L en su ordinal yrecordemos la aplicacion L construida en 10.3. Si ψ([A]−L ) = α, entonces laaplicacion N −→ α + 1 dada por x 7→ ψ(L−1

x [A]) es suprayectiva, luego α < Θ.Por lo tanto, ψ : G−

L −→ Θ y por consiguiente ord(G−L ,≤

−L ) ≤ Θ.

Por otro lado, la aplicacionG−W −→ G−

L que a cada grado de Wadge le asignael menor grado de Lipschitz de sus elementos es inyectiva y conserva el orden.Por lo tanto, ord(G−

W ,≤−W ) ≤ ord(G−

L ,≤−L ) ≤ Θ.

Observemos que si f : N −→ N es continua, entonces f ⊂ N × N es unconjunto cerrado (por ejemplo, porque es la antiimagen de la diagonal de N×N

a traves de la aplicacion N×N −→ N×N dada por (x, y) 7→ (f(x), y)). Por lotanto, tomando un conjunto N-universal G ⊂ N3 para Π0

1(N×N), tenemos quef = Ga, para cierto a ∈ N.

Esto nos permite definir una aplicacion φ : N −→ NN cuya imagen estaformada por todas las funciones continuas de N en sı mismo. Por simplicidadescribiremos fx = φ(x). Consideremos ahora J : PN −→ PN dada por

J(A) = 0x | fx(0x) /∈ A ∪ 1x | fx(1

x) ∈ A.

5Naturalmente este teorema no es valido si lo restringimos a conjuntos de Borel. El ordinalθ del conjunto de los grados de Borel es mucho menor que Θ y lo calcularemos mas adelante.

374 Capıtulo 10. Grados de Wadge

No puede ser J(A) ≤W A, pues existirıa x ∈ N tal que J(A) = f−1x [A], pero

0x ∈ J(A) ↔ fx(0x) ∈ A↔ 0x /∈ J(A),

contradiccion, e igualmente descartamos que J(A) ≤W ¬A. Por lo tanto, todoA ∈ PN cumple A,¬A <W J(A).

Si α < Θ, existe una aplicacion g : N −→ α suprayectiva. Para cada δ < αdefinimos recurrentemente

Aδ = J(x ∈ N | g(x20) < δ ∧ x21 ∈ Af(x20)).

Ası, si ǫ < δ < α se cumple que Aǫ <W Aδ. En efecto, si llamamos

Bδ = x ∈ Xω | g(x20) < δ ∧ x21 ∈ Af(x20),

tenemos que Bδ <W J(Bδ) = Aδ. Por otra parte, tomamos u ∈ N tal queg(u) = ǫ y consideramos h : N −→ N dada por h(x) = 〈u, x〉2, de modo queh(x) ∈ Bδ ↔ x ∈ Aǫ, luego Aǫ ≤W Bδ <W Aδ.

Esto prueba que ord(G−W ,≤

−W ) ≥ α, para todo α < Θ, luego concluimos que

Θ ≤ ord(G−W ,≤

−W ) ≤ ord(G−

L ,≤−L ) ≤ Θ.

Definicion 10.12 Si φ : G−∗ −→ Θ es la semejanza de G−

∗ en su ordinal,definimos el rango de un grado debil a como ‖a‖ = 1+φ(a). A su vez podemosdefinir el rango de un grado fuerte a como el rango ‖a‖ = ‖a−‖ de su gradodebil asociado, y tambien el rango de un conjunto A ∈ B como ‖A‖ = ‖[A]∗‖.

Notemos que hemos sumado un 1 para hacer que ‖1‖ = ‖¬1‖ = 1. Estamodificacion solo afecta a los ω primeros rangos, pues 1 + ω = ω.

Observemos que si Γ es una clase de subconjuntos de N cerrada para sus-tituciones continuas, esto significa que si A ∈ Γ y B ≤∗ A entonces B ∈ Γ,luego todos los elementos de un grado q estan en Γ o bien ninguno lo esta, y sirepresentamos el primer caso mediante q ∈ Γ, ademas se cumple que si p ≤∗ qson dos grados y q ∈ Γ, entonces tambien p ∈ Γ. Mas aun:

Teorema 10.13 (AD) Sea Γ PN una clase de subconjuntos de N cerradapara sustituciones continuas. Entonces existe A ∈ PN tal que6

Γ = B ∈ PN | B <W A o bien Γ = B ∈ PN | B ≤W A.

6Si restringimos este teorema a una clase de conjuntos de Borel debemos exigir que Γ nosea toda la σ-algebra de Borel para poder concluir que A es un conjunto de Borel.

10.3. La ordenacion de los grados 375

Demostracion: Sea q− ∈ G−W el menor grado que contiene un conjunto

que no este en Γ. Distinguimos dos casos, segun que q− sea la union de dosgrados q− = q ∪ ¬q o bien que q− = q sea un grado autodual. En el primercaso podemos elegir q de modo que q /∈ Γ, y esto se cumple trivialmente en elsegundo caso.

Si q no es autodual, puede ocurrir que ¬q ∈ Γ o bien ¬q /∈ Γ. En el primercaso, tomamos A ∈ ¬q y es claro que Γ = B ∈ PN | B ≤W A. En el segundocaso tomamos A ∈ q y es claro que Γ = B ∈ PN | B <W A.

Por otra parte, si q es autodual, basta tomar A ∈ q para que se cumpla laprimera igualdad del enunciado.

El teorema anterior es valido igualmente para grados de Lipschitz, pero noshemos restringido a grados de Wadge porque ası es cierto el recıproco: todaclase expresable en una de las dos formas indicadas en el enunciado es cerradapara sustituciones continuas. Observemos ademas que si se cumple el teoremacon <∗ A entonces la clase Γ es autodual, es decir, Γ = ¬Γ, mientras que si secumple el teorema con ≤∗ A, entonces

¬Γ = B ∈ PN | B ≤W ¬A,

luego Γ es autodual si y solo si lo es el grado [A]W .

Definicion 10.14 Si a ∈ GW (B), definimos

InW (a) = B ∈ PN |∨

A ∈ a(B ≤W A)

Una clase Γ es principal si es de la forma

Γ = B ∈ PN | B ≤W A = In(a),

para cierto conjunto A (necesariamente en Γ) o, equivalentemente, para ciertogrado a = [A]W . Se dice entonces que A (o a) es un generador de Γ o unconjunto (resp. grado) Γ-completo.

Teorema 10.15 (AD) Las clases Γ ⊂ PN cerradas para sustituciones con-tinuas y no autoduales son exactamente las clases principales generadas porconjuntos no autoduales de PN. Ademas, cualquier A ∈ Γ \ ¬Γ es un genera-dor.

Demostracion: La primera parte es inmediata. Si A ∈ Γ \ ¬Γ, dadocualquier B ∈ Γ, tiene que cumplir B ≤W A, pues la alternativa es ¬A ≤W B,con lo que ¬A ∈ Γ y A ∈ ¬Γ.

Tenemos ası que la jerarquıa de Wadge ordena (bajo AD) todas las clases deconjuntos cerradas para sustituciones continuas, de modo que cada una de ellasconstituye una seccion inicial de la jerarquıa completa. El teorema siguientecontiene algunas consecuencias elementales de este hecho:

Teorema 10.16 (AD) Si Γ y Γ′ son dos clases de subconjuntos de N cerradaspara sustituciones continuas, entonces:

376 Capıtulo 10. Grados de Wadge

a) Γ ⊂ Γ′ o bien ¬Γ′ ⊂ Γ.

b) Si Γ Γ′ entonces Γ ∪ ¬Γ ⊂ Γ′ ∩ ¬Γ′.

c) Γ ⊂ Γ′ o Γ′ ⊂ Γ o Γ = ¬Γ′.

Demostracion: a) Sea A tal que

Γ = B ∈ PN | B <W A o bien Γ = B ∈ PN | B ≤W A,

y sea A′ que cumpla lo mismo para Γ′. Si [A]W = [A′]W , entonces Γ ⊂ Γ′

salvo que Γ′ no sea principal y Γ sı que lo sea, en cuyo caso ¬Γ′ = Γ′ ⊂ Γ. Si[A]W = ¬[A′]W tenemos ¬Γ′ ⊂ Γ salvo si Γ no es principal y Γ′ sı que lo es, encuyo caso Γ = ¬Γ ⊂ Γ′. En otro caso, o bien A <W A′ o bien ¬A′ <W A, dedonde se siguen claramente las inclusiones.

b) Por a) o bien Γ′ ⊂ Γ o bien ¬Γ ⊂ Γ′, pero el primer caso no puede darse,luego Γ ∪ ¬Γ ⊂ Γ′, y el resto es obvio.

c) Se sigue de a) y b), pues si ¬Γ′ ⊂ Γ y no se da la igualdad, entoncesΓ′ ⊂ Γ.

Ejemplo Veamos como se distribuyen las primeras clases de Borel en la je-rarquıa de Wadge. Ya hemos visto que los dos primeros grados de Wadge son1 = ∅ y ¬1 = N. Estas son las dos clases mas elementales cerradas parasustituciones continuas. En otras palabras, los unicos subconjuntos de N derango 1 son ∅ y N.

Veamos ahora que los subconjuntos de rango 2 son los abiertos cerrados notriviales. En efecto, si A es cualquier abierto cerrado y B es cualquier conjuntodistinto de ∅ o N, se cumple A ≤W B, pues para todo x ∈ N existe un k ∈ ωtal que Bx|k ⊂ A o bien Bx|k ⊂ ¬A, luego una estrategia para II en Jp(A,B)consiste en pasar hasta que las jugadas de I formen una sucesion finita s tal queBs ⊂ A o bien Bs ⊂ ¬A. A partir de ahı II empieza a jugar las componentesde un elemento de B o de uno de ¬B, segun sea el caso.

Cuando A y B son ambos abiertos cerrados no triviales, concluimos queA ≡W B, luego todos estan en el mismo grado y, por otra parte, es trivial quesi A ≤W B y B es abierto cerrado, entonces A tambien es abierto cerrado. Estoprueba que el conjunto de los abiertos cerrados no triviales forman exactamenteun grado de Wadge, obviamente autodual, y tambien hemos probado que esmenor o igual que cualquier otro grado de Wadge distinto de 1 y ¬1.

Mas aun, los primeros cinco grados de Wadge son:

∅ Σ01 \Π

01

∆01 \ ∅,N · · ·

N Π01 \Σ

01

En efecto, si A es un abierto y B no es un cerrado, una estrategia ganadorapara II en Jp(A,B) consiste en tomar un y ∈ B\B e ir jugando las componentes

10.4. Algunas operaciones con grados 377

de y mientras la sucesion s de las jugadas de I no cumpla Bs ⊂ A. Si esto llegaa suceder al cabo de k jugadas, como By|k ∩B 6= ∅, el jugador II puede tomarun y′ en este conjunto (de modo que y|k = y′|k) y a partir de ese momentoprolonga sus jugadas siguiendo a y′ en lugar de a y.

Esto prueba que todos los abiertos no cerrados son equivalentes y, comotodo conjunto reducible a un abierto tiene que ser abierto, concluimos que todoconjunto equivalente a un abierto no cerrado es abierto no cerrado (no puede sercerrado porque los abiertos cerrados no triviales forman su propio grado). Ensuma, Σ0

1 \Π01 es un grado, y su grado dual es Π0

1 \Σ01. Del argumento tambien

se sigue que estos dos grados son los inmediatamente posteriores al grado de losabiertos cerrados.

Ası pues, los subconjuntos de N de rango 3 son los abiertos no cerrados ylos cerrados no abiertos. Alternativamente, la clase ∆0

1 esta formada por losconjuntos de rango ≤ 2, mientras que los conjuntos de rango ≤ 3 son los deΣ0

1 ∪Π01.

Veremos mas adelante que la siguiente clase de Borel, es decir, ∆02 se extiende

mucho mas alla en la jerarquıa de Wadge, pues esta formada por todos losconjuntos de rango < ω1.

10.4 Algunas operaciones con grados

En esta seccion introduciremos algunas operaciones que nos ayudaran a des-cribir las jerarquıas de Wadge y Lipschitz. Empezamos con las siguientes:

Definicion 10.17 Si A ⊂ N y s ∈ ω<ω definimos7

sA = sx | x ∈ A, A/s = x ∈ N | sx ∈ A.

Teorema 10.18 Sean A,B ⊂ N y s, t ∈ ω<ω.

a) A/s ≤∗ A ≤∗ sA.

b) Si ℓ(s) ≤ ℓ(t) y A ≤∗ B entonces sA ≤∗ tB.

c) Si A ≤∗ ¬A entonces sA ≤∗ ¬sA.

Demostracion: a) y b) Una estrategia ganadora para II tanto en el juegoJ∗(A, s

A) como en J∗(A/s,A) consiste en jugar primero s y luego copiar (conretraso) las jugadas de I.

b) Sea σ una estrategia ganadora para II en J∗(A,B). Para ganar en el juegoJ∗(s

A, tB), en el caso en que I empiece jugando s, II debe jugar t y luego

7Notemos que si A es un conjunto de Borel tambien lo son sA y A/s. En efecto, si A = N

entonces sA = Bs ∈ Σ01. En caso contrario tomamos b ∈ ¬A, y una estrategia ganadora

para II en Jp(sA,A) es pasar los primeros ℓ(s) turnos y luego copiar las jugadas de I o bienjugar b segun si las primeras jugadas de I han sido s o no. Por lo tanto, sA ≤W A. Por otraparte, el teorema 10.18 prueba que A/s ≤∗ A.

378 Capıtulo 10. Grados de Wadge

aplicar la estrategia σ (con retraso) a las jugadas de I posteriores a las de s. Sien sus primeras jugadas I deja de seguir s, entonces II deja de seguir t y luegojuega cualquier cosa.

Notemos, no obstante, que para grados de Wadge la hipotesis ℓ(s) ≤ ℓ(t) esinnecesaria (salvo si t = ∅ y B = N), pues II puede pasar hasta comprobar si Iempieza jugando s o no.

c) Si II tiene una estrategia ganadora para J∗(A,¬A), para ganar el juegoJ∗(s

A,¬sA) solo tiene que hacer lo siguiente: si I empieza jugando s, en-tonces II juega tambien s y luego aplica su estrategia para J(A,¬A). Si en lasprimeras jugadas I deja de jugar lo marcado por s, entonces II termina de jugars y luego juega un elemento de A. (Si A = ∅ el resultado es trivial.)

La propiedad b) del teorema anterior nos da que si ℓ(s) = ℓ(t) y [A]L = [B]Lentonces [sA]L = [tB]L, por lo que podemos definir:

Definicion 10.19 Si a es un grado de Lipschitz, llamamos [n]a = [sA],donde s ∈ ω<ω cumple ℓ(s) = n y a = [A]L.

Evidentemente, [m+ n]a = [m]([n]a).

Podrıamos dar la definicion tambien para grados de Wadge, pero serıa trivial,pues el apartado b) del teorema anterior (junto con la observacion de que lahipotesis sobre las longitudes es superflua en este caso) implican que (salvo siA = N) sA ≡W A, por lo que tendrıamos que [n]a = a. En cambio, laoperacion no es trivial sobre los grados de Lipschitz:

Teorema 10.20 Si a ∈ GL es un grado autodual y n ∈ ω, entonces a < [n]ay, suponiendo AD, se cumple que [1]a es el menor grado mayor que a.

Demostracion: Sea a = [A]L y sea s ∈ ω<ω. Como A ≤L ¬A, el jugador IItiene una estrategia ganadora τ para J(A,¬A). Entonces I gana J(sA,A)jugando s en sus primeras jugadas y luego aplicando τ (con retraso) sobre lasjugadas de II. Por lo tanto II no gana este juego y sA 6≤L A, luego a <L [n]a.

Tomemos ahora un B <L 0A y veamos que B ≤L A. Como 0A 6≤L B,tambien 0A 6≤L ¬B, por el teorema anterior. Por AD, el jugador I tiene unaestrategia ganadora σ en J(0A,¬B). Dicha estrategia tiene que exigir quela primera jugada sea 0, pues si I juega otra cosa entonces II gana la partidajugando un elemento de B (el caso B = ∅ es trivial). Por lo tanto, II ganaJ(B,A) jugando σ(0s) cuando el estado de la partida en su turno es s.

Observemos que 10.18 c) implica que si a es autodual, entonces [n]a tambienlo es. Por lo tanto, hemos demostrado que el siguiente grado de Lipschitz tras ungrado autodual es tambien autodual. El ejemplo al final de la seccion anteriorprueba que esto es falso para grados de Wadge.

Para calcular el grado siguiente tras un par de grados incomparables intro-ducimos una nueva operacion:

10.4. Algunas operaciones con grados 379

Definicion 10.21 Si A,B ⊂ N, definimos A⊕B = (0A)∪(1A). Si Ann∈ωes una familia de subconjuntos de N, definimos8

⊕

n∈ωAn =

⋃

n∈ω(nAn).

Obviamente, la primera definicion es un caso particular de la segunda (tomandoAn = ∅ para n ≥ 2).

Teorema 10.22 Sea Ann∈ω una familia de subconjuntos de N.

a) An ≤∗

⊕

n∈ωAn.

b) Si∧

n ∈ ω An ≤∗ A′n, entonces

⊕

n∈ωAn ≤∗

⊕

n∈ωA′n.

c) ¬⊕

n∈ωAn ≡∗

⊕

n∈ω¬An.

d) Si j : ω −→ ω suprayectiva,⊕

n∈ωAn ≡∗

⊕

n∈ωAj(n).

Demostracion: a) Basta observar que An = (⊕

n∈ωAn)/n y aplicar el teo-

rema 10.18.

b) Ahora tenemos estrategias σn ganadoras para J∗(An, A′n) y la estrategia

adecuada es mirar la primera jugada n de I, responder con n y luego aplicar laestrategia σn.

c) Los dos conjuntos son iguales.

d) La estrategia, si I empieza con n, es jugar j(n) (para probar ≤∗) o unaantiimagen de n por j (para probar ≥∗) y luego copiar las jugadas de I.

La propiedad b) implica que las sumas de grados esten bien definidas:

[A]∗ ⊕ [B]∗ = [A⊕B]∗,⊕

n∈ω[An]∗ = [

⊕

n∈ωAn]∗.

La propiedad d) implica que si I es un conjunto numerable y Aii∈I es unafamilia de subconjuntos de N, podemos definir

⊕

i∈I

[Ai]∗ = [⊕

n∈ωAj(n)]∗,

donde j : ω −→ I es cualquier aplicacion suprayectiva.

En el caso de los grados de Wadge, es facil ver que la suma directa de gradosno es sino su supremo:

Teorema 10.23 Sea aii∈I una familia numerable en GW y sea a ∈ GW unacota superior, es decir, un grado tal que

∧

i ∈ I ai ≤W a. Entonces se cumpleque

⊕

i∈I

ai ≤W a.

8Obviamente la suma de conjuntos de Borel es de nuevo un conjunto de Borel.

380 Capıtulo 10. Grados de Wadge

Demostracion: No perdemos generalidad si suponemos que I = ω. Seaan = [An]W , sea a = [A]W y sea fn : N −→ N continua tal que f−1

n [A] = An.Definimos entonces f : N −→ N mediante f(nx) = fn(x). Claramente escontinua y f−1[A] =

⊕

n∈ωAn.

En el caso de grados de Lipschitz necesitamos imponer una restriccion:

Teorema 10.24 (AD) Sea aii∈I una familia numerable en G∗ tal que nin-guno de ellos sea mayor o igual que todos los demas. Entonces

⊕

i∈I

ai es autodualy es el menor grado estrictamente mayor que todos los ai.

Demostracion: No perdemos generalidad si suponemos que I = ω. Seaan = [An]∗. Veamos en primer lugar que la suma es autodual. Una estrategiapara II en el juego J∗(

⊕

n∈ωAn,

⊕

n∈ω¬An) es la siguiente: consideramos la primera

jugada de I, digamos m. Entonces existe un n tal que Am 6≤∗ An, por lo queAn ≤∗ ¬Am, luego existe una estrategia τ para II en J∗(An,¬Am). Lo unicoque tiene que hacer II es jugar m y luego aplicar τ .

Tenemos que an <∗

⊕

n∈ωan, porque si se diera la desigualdad opuesta todos

los sumandos serıan menores o iguales que an, en contra de lo supuesto. Bastaprobar que si an <∗ b = [B]∗ entonces

⊕

n∈ωan ≤∗ b.

Como B 6≤∗ An el jugador I tiene una estrategia ganadora σn en J∗(B,An).Entonces, una estrategia ganadora para II en J(

⊕

n∈ω¬An, B) consiste en esperar

la primera jugada de I, digamos n y aplicar la estrategia σn. Como la suma esautodual, la desigualdad

⊕

n∈ω¬an ≤∗ b equivale a

⊕

n∈ωan ≤∗ b.

Nota: Para grados de Wadge, la restriccion sobre que la familia no tengamaximo es necesaria para que a suma sea autodual, pues si a es un grado noautodual, entonces la suma a⊕ a = a no es autodual. En el caso de grados deLipschitz la situacion es mas delicada. Por ejemplo, de la propia definicion desuma se sigue que 1⊕ 1 = 1, por lo que la suma no es estrictamente mayor quelos sumandos. En cambio, si a es autodual se cumple que a⊕ a = [1]⊕ a >L a.En efecto, para ganar en J(A ⊕ A, 0A) el jugador II solo tiene que jugar un0 y luego copiar las jugadas de I. Para ganar en J(0A,A ⊕ A) la estrategiaes copiar las jugadas de I si la primera es un 0 y en caso contrario, jugar, porejemplo, un 2 y luego cualquier cosa.

El teorema anterior se aplica en particular a las sumas a⊕¬a, donde a 6= ¬a,con lo que vemos que el grado siguiente a un par de grados incomparables essiempre un grado autodual. Combinando esto con la observacion tras el teorema10.20 concluimos:

Teorema 10.25 (AD) Los grados autoduales de G−L son exactamente los gra-

dos sucesores.

10.4. Algunas operaciones con grados 381

Por lo tanto, un grado no autodual debe ser el grado inicial, formado porel par 1,¬1 o bien un grado lımite. Sin embargo, del propio teorema 10.24 sesigue facilmente que tambien hay grados lımite autoduales.

El teorema anterior es falso para grados de Wadge, como se deduce delejemplo final de la seccion anterior. No obstante, el teorema 10.24 implica queel sucesor de un par de grados de Wadge incomparables es un grado autodual.Ahora conviene introducir un concepto:

Definicion 10.26 Diremos que un grado a ∈ G∗ es un supremo numerable sies el supremo de una familia numerable de grados que no tenga maximo.

Por el teorema 10.24 (suponiendo AD) los supremos numerables son de laforma a =

⊕

i∈I

ai, donde I es un conjunto numerable y ningun ai es mayor o igual

que todos los demas. En realidad para grados de Wadge no hace falta suponerAD, pues podemos aplicar 10.23, pero necesitamos igualmente la hipotesis dedeterminacion para concluir que los supremos numerables son autoduales.

Es importante destacar que los supremos numerables no solo incluyen a losgrados lımite de cofinalidad numerable (es decir, grados cuyo rango es un ordinallımite de cofinalidad numerable), sino tambien a los grados sucesores de la formaa⊕ ¬a.

Con esto estamos en condiciones de determinar que grados de Lipschitz sonautoduales:

Teorema 10.27 (AD) Un grado de G−L es autodual si y solo si es un grado

sucesor o bien un grado lımite de cofinalidad numerable.

Demostracion: Ya hemos probado que los grados sucesores son todos au-toduales, y sabemos que el grado inicial no es autodual, luego solo falta estudiarlos grados lımite. Los grados lımite de cofinalidad numerable son claramente su-premos numerables, luego son autoduales. Consideremos ahora un grado lımiteautodual a y veamos que es un supremo numerable (con lo que tiene cofinalidadnumerable).

Pongamos que a = [A]L y veamos que A/n <L A. En caso contrario,como A/n ≤L A, lo que tendrıamos serıa A/n ≡L A, luego, A/n serıa autodual.Aplicamos entonces 10.20, que nos da que A/n <L n

A/n ≤L A, contradiccion.La ultima desigualdad se justifica, por ejemplo, con la siguiente estrategia paraII en J(n(A/n), A): si I empieza jugando n, entonces II copia sus jugadas,y en caso contrario II juega un elemento de fuera de A (no puede ser A = N

porque no es autodual).

Ahora basta probar que a es el menor grado estrictamente mayor que los gra-dos [A/n]L. Esto es suficiente, porque implica a su vez que la familia [A/n]n∈ωno puede tener un maximo elemento, ya que entonces a serıa el siguiente a dichomaximo, cuando estamos suponiendo que es un grado lımite. La conclusion esque a tiene cofinalidad numerable.

382 Capıtulo 10. Grados de Wadge

Supongamos, pues, que∧

n ∈ ω A/n <L B. Como B 6≤L A/n, podemoselegir una estrategia ganadora σn para I en el juego J(B,A/n). Entonces, unaestrategia ganadora para II en J(A,¬B) consiste en esperar la primera jugadan de I y a partir de ahı aplicar la estrategia σn. Por lo tanto A ≤L ¬B y, comoa es autodual, a ≤L [B]L.

Con esto concluimos que la jerarquıa de Lipschitz tiene el aspecto que indicael esquema siguiente:

• • •• • • · · ·︸ ︷︷ ︸

ω1

• • • · · ·︸ ︷︷ ︸

ω1

• • · · ·• • •

teniendo en cuenta que, por ejemplo, el supremo de los primeros ω grados noautoduales es autodual, etc.

Nos ocupamos ahora de los grados de Wadge sucesores. Ya sabemos que elsucesor de un grado no autodual es autodual. Ahora vamos a probar que elsucesor de un grado autodual no es autodual, de modo que los grados duales sealternan con los no autoduales.

Definicion 10.28 Dado B ⊂ N, definimos9

B∗ = 0(n)(m+ 1)x | n,m ∈ ω, x ∈ B, B = B∗ ∪ 0,

donde 0(n) representa una sucesion de n ceros y 0 (en la definicion de B)representa la sucesion constante igual a 0.

El teorema siguiente prueba que estas dos operaciones entre conjuntos indu-cen operaciones entre grados:

Teorema 10.29 Si B ≤W C, entonces B∗ ≤W C∗ y B ≤W C.

Demostracion: Sea τ una estrategia ganadora para II en el juego Jp(B,C).Entonces, una estrategia ganadora II para el juego Jp(B

∗, C∗) (y tambien paraJp(B

, C)) consiste en jugar 0 mientras I juegue 0 (de modo que si I juega soloceros II gana ambos juegos), jugar n+ 1 la primera vez que I juegue un n+ 1,y a partir de ahı aplicar τ .

Definicion 10.30 Si b = [B]W ∈ GW , definimos b∗ = [B∗]W y b = [B]W .

Notemos que B = B∗/1 = B/1, por lo que b ≤W b∗ y b ≤W b.

9Notemos que, si B es un conjunto de Borel, tambien lo son B∗ y B. En efecto, uno delos dos (segun si 0 ∈ B o no) es la antiimagen de B por la aplicacion f : N −→ N que acada sucesion no nula le quita sus primeros terminos hasta el primero no nulo, y a la sucesionnula le asigna ella misma, y f es claramente medible Borel. En efecto, si s ∈ ω<ω no esidenticamente nula, f−1[Bs] es abierto, mientras que si s es identicamente nula la antiimagenes la union de un abierto y 0, luego es Σ

12.

10.4. Algunas operaciones con grados 383

Teorema 10.31 Si b es un grado de Wadge supremo numerable, entonces secumple b <W b∗ y b <W b, y b∗, b son incompatibles.

Demostracion: Sea b = [B]W y sea Ann∈ω una sucesion de conjuntostal que B =

⊕

n∈ωAn, pero An <W B para todo n.

Supongamos que b∗ ≤W b, de modo que II tiene una estrategia ganadora τpara Jp(B

∗, B). Consideremos la partida en la que I empieza jugando k ceroshasta que II deja de pasar y juega n. Si a partir de ahı I juega x y II juega y, paraque II gane la partida se tiene que cumplir que x ∈ B si y solo si y ∈ An, lo queprueba que II tiene una estrategia ganadora para Jp(B,An), luego B ≤W An,contradiccion. Ası pues, b <W b∗.

Ahora basta probar que B∗ y B son incomparables, pues esto ya implicaque B <W B.

Supongamos que II tiene una estrategia ganadora para Jp(B∗, B). Nueva-

mente, I puede jugar ceros hasta que II haga su primera jugada distinta de 0(si juega siempre ceros pierde). A partir de ese momento razonamos como en elcaso anterior para concluir que B ≤W B∗ ≤W An+1, contradiccion.

En Jp(B, B∗) hacemos que I juegue ceros hasta que II realice su primera

jugada no nula k+1 y luego otra jugada cualquiera n. Concluimos que B ≤WAn, luego B ≤W An y de nuevo tenemos una contradiccion.

Teorema 10.32 (AD) Si b ∈ GW es un grado autodual y b <W c, entoncesb∗ ≤W c o bien b ≤W c.

Demostracion: Sea b = [B]W , c = [C]W , de modo que B <W C. Nopuede suceder que

∧

y ∈ N∨

k ∈ ω C/(y|k) ≤W B, pues en tal caso II ga-narıa el juego Jp(C,B) sin mas que ir pasando hasta que las jugadas de I cum-plieran C/(y|k) ≤W B y a partir de ahı aplicar una estrategia ganadora paraJp(C/(y|k), B). Ası pues, existe un y ∈ N tal que C/(y|k) 6≤W B y, como B esautodual, esto implica B <W C/(y|k), para todo k.

Supongamos que y ∈ ¬C y veamos que B∗ ≤W C. Una estrategia ganadorapara II en Jp(B

∗, C) consiste en ir jugando y mientras I juegue ceros. Si I juegaconstantemente ceros, es claro que II gana la partida. Si I hace una jugada nonula, de modo que sus jugadas hasta el momento son 0(n)(m+1), II juega unavez mas segun y, con lo que sus jugadas son y|n+2, y a partir de ahı usa unaestrategia ganadora para Jp(B,C/(y|n+2)), lo que le garantiza que las jugadasde I estaran en B∗ si y solo si las suyas estan en C.

El mismo razonamiento prueba que si y ∈ C entonces B ≤W C.

Combinando los dos teoremas anteriores (teniendo en cuenta que los gradossupremos numerables son autoduales), tenemos:

Teorema 10.33 (AD) Si b es un grado supremo numerable, entonces los gra-dos b∗ y b forman el par de grados duales inmediatamente siguientes a b.

384 Capıtulo 10. Grados de Wadge

Notemos que esto se aplica al caso en que b = c ⊕ ¬c, donde c es un gradono autodual. Con esto tenemos probado que la jerarquıa de Wadge empieza coneste aspecto:

• • • • • •• • • · · · • • · · ·

• • • • • •

y se prolonga segun este patron los primeros ω1 niveles (los grados lımite de cofi-nalidad numerable son siempre autoduales, porque son grados supremos nume-rables). Veremos en la seccion siguiente que, al igual que sucede en la jerarquıade Lipschitz, los grados de cofinalidad no numerable son, en cambio, dobles.

10.5 Comparacion de las jerarquıas

En esta seccion estudiamos la aplicacion π : GL −→ GW definida mediante[A]L 7→ [A]W . Mas precisamente, tenemos dos aplicaciones conectadas a su vezpor un diagrama conmutativo:

G−L

π // G−W

GL π//

i

OO

GW

i

OO

donde i(a) = a−. Todas las aplicaciones son suprayectivas y conservan el or-den. Los fallos en la inyectividad de i (es decir, los casos de grados fuertesincomparables que se funden en un unico grado debil) los hemos determinadocompletamente en la seccion precedente para el caso de los grados de Lipschitzy solo nos falta probar que los grados de Wadge lımite de cofinalidad no nume-rable son autoduales. En cuanto a π, como la relacion ≡L es mas fina que ≡W ,es claro que cada grado de Wadge q es union de uno o mas grados de Lipschitz(concretamente, q =

⋃π−1[q]).

Por ejemplo, segun el teorema 10.20, si [A]L es un grado autodual, entonces[A]L < [0A]L. En cambio, justo antes del teorema hemos observado que[A]W = [0A]W . Suponiendo AD sabemos que [0A]L es el grado siguiente a[A]L, luego hemos probado que cada grado de Lipschitz autodual tiene la mismaimagen por π que su grado siguiente.

Mas aun: Si qλ es el grado de rango λ en G−L y existe una sucesion αnn∈ω

cofinal creciente en λ tal que∧

n ∈ ω π(qαn) = q, para un cierto q = [B]−W ,

entonces π(qλ) = q.

En efecto, sea qαn= [An]

−L y sea A =

⊕

n∈ωAn, de modo que [A]−L = qλ,

por el teorema 10.24. El teorema 10.23 nos da que A ≤W B, y trivialmenteB ≤W A0 ≤W A, luego π(qλ) = [A]−W = [B]−W = q.

10.5. Comparacion de las jerarquıas 385

Ahora es claro que si qα ∈ G−L es un grado autodual, todos los grados

qα+δδ<ω1 tienen la misma imagen por π (se prueba trivialmente por induccionsobre δ).

Observemos que las imagenes por π de grados de Lipschitz autoduales sontrivialmente grados de Wadge autoduales, y acabamos de ver que en dichasimagenes se funden al menos ℵ1 grados de Lipschitz. Con los grados no auto-duales, la situacion es muy distinta:

Teorema 10.34 (AD) Si [A]W ∈ GW no es autodual, entonces [A]W = [A]L.

Demostracion: Obviamente [A]L ⊂ [A]W . Supongamos que existe unconjunto B ∈ [A]W \ [A]L. No puede ser B ≡L ¬A, porque entonces tambienB ≡W ¬A y concluirıamos que [A]W es autodual. Por lo tanto, o bien B <L Ao bien A <L B.

Si se cumple B <L A, entonces tambien ¬B <L A, luego B,¬B ≤W A,luego B ⊕ ¬B ≤W A ≤W B ≤W B ⊕ ¬B, luego resulta que A ≡W B ⊕ ¬B,luego [A]W es, autodual, contradiccion.

Si A <L B, tambien ¬A <L B, luego A ⊕ ¬A ≤W B ≤W A ≤W A ⊕ ¬A,luego A ≡W A⊕ ¬A y de nuevo tenemos una contradiccion.

Los casos considerados hasta aquı dejan abierta la posibilidad de que ungrado de Lipschitz no autodual tenga por imagen un grado de Wadge autodual.Lo cierto es que tal caso no puede darse, si bien este hecho no es trivial enabsoluto:

Teorema 10.35 (Steel, Van-Wessep) (AD) Dado q ∈ GL, si π(q) es auto-dual, entonces q tambien lo es.

Demostracion: Sea q = [A]L y supongamos que A ≤W ¬A pero A 6≤L ¬A.Sea σ1 una estrategia ganadora para II en Jp(A,¬A), y sea σ2 una estrategiaganadora para I en J(A,¬A). Por otra parte, sea σ0 la estrategia de II paraJp(A,¬A) consistente en copiar las jugadas de I (con lo que, siguiendo esta es-trategia, II nunca pasa, y en realidad es tambien una estrategia para J(A,¬A)).

Vamos a definir una sucesion mnn∈ω estrictamente creciente de numerosnaturales con m0 = 0 de manera que, para todo w ∈ 3ω tal que w(mn) ∈ 2 yw(i) = 2 siempre que i /∈ mn | n ∈ ω, los juegos

Ji =

Jp(A,¬A) si i = mn,J(A,¬A) si i 6= mn

se pueden encadenar, en el sentido de que se puede emplear la estrategia σw(0)

en el juego J0 contra las jugadas generadas con la estrategia σw(1) en el juegoJ1 contra las jugadas generadas con la estrategia σw(2) en el juego J2, y asısucesivamente, de modo que todas las partidas se completan.

La razon por la que las partidas podrıan “estancarse” es que la estrategiaσ1 permite pasar turno. Explicaremos la situacion y la forma exacta en la que

386 Capıtulo 10. Grados de Wadge

pretendemos encadenar los infinitos juegos al mismo tiempo que explicamos laconstruccion de la sucesion mnn∈ω. Observemos la tabla siguiente:

m0 = 0 II − − a001 I a10 a11 a122 I a20 a213 I a30

Sus filas 0 y 1 constituyen el inicio de una partida de J0 en la que II usa laestrategia σw(0), las filas 1 y 2 constituyen el inicio de una partida de J1 en laque I usa la estrategia σ2, etc.

Establecemos m0 = 0, lo que significa que la estrategia σw(0) es una estra-tegia para II que debemos emplear en el juego J0. Por lo tanto, para empezardicho juego, necesitamos que empiece antes el juego J1. Para ello exigimos quem1 > 1, con lo que el juego J1 empezara con la jugada a10 establecida por laestrategia σ2.

Por ponernos en el peor de los casos, supongamos que σw(0) = σ1 y que estaestrategia pasa en su primer turno. Entonces necesitamos una nueva jugadade J1, lo cual requiere a su vez una jugada de J2. Para ello establecemos quem1 > 2, con lo que J2 empieza con a20(= a10), lo que permite obtener a11 mediantela estrategia σ2. Con esto II esta en condiciones de jugar de nuevo en J0. Sitambien pasa esta vez, repetimos el proceso: establecemos que m1 > 3, conlo que J3 empieza con la jugada a30(= a20) determinada por la estrategia σ2, apartir de la cual podemos generar a21 y a

12, lo que pone de nuevo a II en condicion

de jugar en J0. En la tabla se considera el caso en que ya no pasa, sino quejuega a00.

Observemos que, en general, tras un numero finito de pasos (es decir, defijar la estrategia σ2 para la fila i-esima de la tabla) tenemos que obtener unajugada de II en la primera fila, porque en caso contrario habrıamos obtenidouna partida para Jp(A,¬A) jugada con la estrategia σ1 en la que II perderıapor pasar indefinidamente, pero σ1 es una estrategia ganadora, y esto no puedeocurrir.

Ası pues, existe un (mınimo) m1 > 0 (m1 = 4 en el caso reflejado en latabla) tal que si II juega con σ1 en la primera fila, el mero hecho de que sea Iel jugador de las filas 0 < i < m1 garantiza que II realiza al menos una jugadaen la primera fila. Notemos que con dicho m1 esto ultimo es cierto trivialmentesi II juega con σ0, pues esta estrategia no pasa nunca. Por ejemplo, en el casoconsiderado en la tabla, que determina m1 = 4, si II emplea la estrategia σ0 enla primera fila el resultado es:

m0 = 0 II a00 a01 a021 I a10 a11 a122 I a20 a213 I a30

m1 = 4 II

10.5. Comparacion de las jerarquıas 387

y tambien tenemos al menos una jugada en la primera fila (de hecho tenemostres). En resumen: fijando adecuadamente un m1 > 0 podemos garantizar queen la primera fila habra al menos una jugada independientemente de que laestrategia empleada por II sea σ0 o σ1.

Similarmente, a base de asignar a I suficientes filas posteriores am1 podemosgarantizar que II jugara al menos una vez en la fila m1. La figura siguientemuestra el caso en que II pasa tres veces antes de decidirse a jugar.

m0 = 0 II − − a00 −

1 I a10 a11 a12 a132 I a20 a21 a223 I a30 a31

m1 = 4 II − − − a405 I a50 a51 a52 a536 I a60 a61 a627 I a70 a718 I a80

La jugada a40 es la que I necesita en la tercera fila para responder a31, que asu vez genera a22 y a13. Esto pone a II en situacion de jugar en la primera fila, yla tabla considera el caso en que pasa. Si se da este caso, podemos anadir masfilas a cargo del jugador I hasta forzar una nueva jugada de II en la fila m1, conla cual podemos poner de nuevo a II en situacion de jugar en la primera fila, yrepetimos el proceso hasta que deje de pasar.

En definitiva, podemos tomar m2 > m1 suficientemente grande como paraforzar a que en las filas m0 y m1 haya al menos dos jugadas. Si hacemos lascuentas en el peor de los casos, es decir, en el caso en que la estrategia de IIes σ1 tanto en m0 como en m1, concluimos que el m2 ası calculado garantizalo exigido tambien en cualquier otro caso. Similarmente podemos definir unm3 > m2 que garantice que II juegue al menos tres veces en la fila m0, al menosdos veces en la fila m1 y al menos una vez en la fila m2.

Es claro que procediendo de este modo podemos construir toda la sucesionmnn∈ω de forma que para todo z ∈ 2ω, si llamamos w ∈ 3ω a la sucesion dadapor

w(i) =

σz(n) si i = mn,2 si i 6= mn,

entonces existe una sucesion ai(z)i∈ω en N tal que ai(z) = (σ2 ∗ ai+1(z))I siw(i) = 2 y ai(z) = (ai+1(z) ∗ σw(i))IIp si w(i) ∈ 2.

Entonces, cuando w(i) = 0, 2 se cumple que ai(z) ∈ A ↔ ai+1(z) ∈ A,mientras que si w(i) = 1 entonces ai(z) ∈ A↔ ai+1(z) /∈ A.

Definimos h : 2ω −→ N mediante h(z) = a0(z), que es una aplicacion conti-nua (lipschitziana, de hecho), pues z|n determina w|mn

, que a su vez determinaa h(z)|n. Definimos Y = h−1[A] ⊂ 2ω. Es claro entonces que si z, z′ ∈ 2ω se

388 Capıtulo 10. Grados de Wadge

diferencian unicamente en su valor sobre un k ∈ ω, entonces z ∈ Y ↔ z′ /∈ Y ,pues obviamente ai(z) = ai(z′) para todo i > k, luego a0(z) y a0(z′) debenestar en casos opuestos.

Ahora basta razonar exactamente igual que en 10.10 que Y tiene la propiedadde Baire, y llegar a la misma contradiccion.

Ası pues, la imagen de un grado de Lipschitz autodual es (trivialmente) au-todual, y la imagen de un grado de Lipschitz no autodual es un grado de Wadgeno autodual (por el teorema anterior). En resumen, π conserva la autodualidady la no autodualidad. Ahora ya podemos probar:

Teorema 10.36 (AD) Se cumple:

a) Si q ∈ G−W es un grado autodual, entonces su grado sucesor no es autodual,

y viceversa.

b) Los grados lımite en G−W son autoduales si su cofinalidad es numerable y

no autoduales en caso contrario.

Demostracion: a) Pongamos que q = π(qα) donde qα ∈ G−L es el grado de

Lipschitz de rango α. Si q es autodual, sabemos que qα tambien lo es.Sabemos que todos los grados qα+δ, con δ < ω1 tienen la misma imagen

por π, mientras que qδ+ω1 ya no tiene la misma imagen, porque es un grado noautodual, luego su imagen tambien es no autodual. Concluimos que π(qδ+ω1)es el sucesor de q = π(qα), luego no es autodual.

Recıprocamente, si q no es autodual, entonces sabemos que qα tampoco loes, pero qα+1 sı que lo es (por ser sucesor), luego π(qα+1) tambien es autodual,luego es el grado siguiente a q.

b) Sea q un grado de Wadge lımite, y sea λ el mınimo ordinal que cumplaq = π(qλ). Tiene que ser un ordinal lımite, pues si fuera sucesor, digamosλ = α + 1, entonces q = π(qα+1) serıa el sucesor de π(qα). Se cumple que qtiene cofinalidad numerable si y solo si la tiene λ, pues si αnn∈ω es cofinal enλ, entonces π(qαn

)n∈ω es cofinal en q, con π(qαn) < q (por la minimalidad

de λ), y si cnn<ω es cofinal en q, entonces cn = π(qαn), con αn < λ y la

sucesion αnn∈ω es cofinal en λ. Por lo tanto, q es autodual si y solo si lo esqλ, si y solo si λ tiene cofinalidad numerable, si y solo si la tiene q.

Una consecuencia no trivial del teorema 10.34 es la siguiente:

Teorema 10.37 (AD) Si A ∈ PN cumple [A]W 6= ¬[A]W , entonces

B ∈ PN | B ≤L A = B ∈ PN | B ≤W A.

Demostracion: Supongamos que B ≤W A, pero B 6≤L A, entonces, o bien[B]L = ¬[A]L o bien [A]L ≤L [B]L. En el primer caso ¬A ≤W B ≤W A, encontradiccion con que A no es autodual. En el segundo caso [A]W = [B]W , peroel teorema 10.34 implica entonces que [A]L = [B]L y tenemos de nuevo unacontradiccion.

10.5. Comparacion de las jerarquıas 389

A su vez de aquı extraemos otra consecuencia:

Notemos que toda clase Γ cerrada para sustituciones continuas definida sobrelos subconjuntos de N se puede considerar definida sobre los subconjuntos de Ns

a traves de cualquier homeomorfismo N ∼= Ns. En particular podemos hablarde conjuntos N-universales para Γ(N).

Teorema 10.38 (AD) Si Γ ⊂ PN es una clase cerrada para sustitucionescontinuas y no es autodual, entonces tiene un conjunto N-universal para Γ(N).Ademas, la imagen en N de cualquiera de ellos por un homeomorfismo N2 ∼= N

es Γ-completa.

Demostracion: Sea A ⊂ N un conjunto Γ-completo (necesariamente noautodual). Recordemos la funcion L dada por el teorema 10.3 y definamos

U = (x, y) ∈ N2 | Ly(x) ∈ A.

Entonces U es la antiimagen de A por la funcion L (vista como funcion de dosvariables, que es continua), luego, si f : N −→ N2 es cualquier homeomorfismo,tenemos que f−1[U ] = (f L)−1[A] ≤W A, luego f−1[U ] ∈ Γ, luego U ∈ Γ pordefinicion de la extension de Γ a N2.

Ahora observamos que Uy = L−1y [A], luego, por 10.37,

Uy | y ∈ N = B ∈ Γ | B ≤L A = B ∈ Γ | B ≤W A = Γ.

Esto prueba que U es N-universal para Γ(N).

Ahora, si U es cualquier conjunto N-universal para Γ(N), existe un y ∈ N

tal que Uy = A. Por lo tanto, la composicion N −→ N2 f−→ N dada por

x 7→ (x, y) seguida de un homeomorfismo prueba que A ≤W f [U ], luego f [U ] esΓ-completo.

Veamos otra aplicacion:

Teorema 10.39 (AD) Si ∆ ⊂ PN es una clase autodual cerrada para susti-tuciones Σ0

2-medibles, entonces existe un ordinal lımite λ tal que

∆ = B ∈ PN | ‖B‖ < λ.

Demostracion: Por el teorema 10.13 sabemos que existe un conjunto Atal que

∆ = B ∈ PN | B <W A o bien ∆ = B ∈ PN | B ≤W A,

y, segun las observaciones posteriores, en el segundo caso A debe ser autodual.Basta descartar este segundo caso, pues en el primero se cumple el teorema conλ = ‖A‖. Si A es autodual, entonces a = [A]W debe ser un supremo numerable.En efecto, o bien [A]−W es un grado sucesor, en cuyo caso su anterior no puedeser autodual, por 10.36, luego a = b ⊕ ¬b, para cierto b <W a (con lo que a es

390 Capıtulo 10. Grados de Wadge

supremo numerable), o bien [A]−W es un grado lımite de cofinalidad numerable,luego igualmente a es un supremo numerable. El teorema 10.33 implica entoncesque a <W a∗, luego A∗ /∈ ∆.

Sin embargo, podemos probar tambien que A∗ ∈ ∆, ya que en la nota alpie de la definicion 10.28 hemos probado que A∗ es la antiimagen de A por unaaplicacion Σ0

2-medible.

El teorema anterior se aplica (sin necesidad de AD) a las clases ∆0α para

2 ≤ α < ω1 ası como a la clase ∆11 de los conjuntos de Borel y (con AD) a todas

las clases ∆1n.

En efecto, todas ellas son autoduales y cerradas para sustituciones Σ02-

medibles. En efecto, si f : N −→ N es Σ02-medible, tenemos que f−1[Σ0

1] ⊂ Σ02

por definicion de Σ02-medible, luego f−1[Π0

1] ⊂ Π02, de donde se sigue inme-

diatamente que f−1[Σ02] ⊂ Σ0

2 y f−1[Π02] ⊂ Π0

2. A partir de aquı una simpleinduccion prueba que f−1[Σ0

α] ⊂ Σ0α y f−1[Π0

α] ⊂ Π0α para 2 ≤ α < ω1. En

particular f−1[∆0α] ⊂ ∆0

α. Respecto de las clases∆1n, sabemos que son cerradas

para sustituciones de Borel. Ası pues,

∆0α = B ∈ PN | ‖B‖ < λ.

Si α = 1 sabemos que esto se cumple con λ = 3, y ahora hemos probado quesi α ≥ 2 el ordinal λ debe ser un ordinal lımite. En ambos casos, los conjuntosde rango λ son los Σ0

α completos y sus complementarios, los Π0α-completos. Lo

mismo se aplica a ∆11 y, bajo AD, a las clases ∆1

n.

Calcularemos los ordinales λ que determinan la distribucion de las clases ∆0α

(luego tambien Σ0α y Π0

α) en la jerarquıa de Wadge, para lo cual seran utileslas consideraciones siguientes:

Definicion 10.40 (AD) Llamaremos rα1≤α<Θ a la sucesion de grados deWadge autoduales.

Notemos que, segun el teorema 10.11 el ordinal del conjunto de todos losgrados de Wadge (debiles) es Θ, y esto implica que el ordinal del conjunto delos grados de Wadge autoduales es tambien Θ, tal y como esta implıcito en ladefinicion anterior. En efecto, mas en general, si qα1≤α<Θ es la sucesion detodos los grados de Wadge debiles, θ ≤ Θ es cualquier ordinal lımite y

S = α ∈ θ | 1 ≤ α ∧ qα es autodual,

entonces ordS = θ. En efecto, sea T = λ ∈ θ | λ = 0 ∨ λ es un ordinal lımite.Para cada λ ∈ T sea Aλ = λ+ n | n ∈ ω y sea

A′λ =

λ+ 2n+ 1 | n ∈ ω si λ = 0 ∨ cf λ > ℵ0,λ+ 2n | n ∈ ω si cf λ = ℵ0.

Teniendo en cuenta el teorema 10.36, es claro que

θ =⋃

λ∈T

Aλ, S =⋃

λ∈T

A′λ,

10.6. Mas operaciones con grados de Wadge 391

ası como que ambas uniones son disjuntas y que λ < λ′ implica que todoelemento de Aλ es menor que todo elemento de Aλ′ . Ademas, tenemos queord(Aλ) = ord(A′

λ) = ω, por lo que la union de las semejanzas entre estos paresde conjuntos es una semejanza entre θ y S.

En particular, el ordinal del conjunto de los grados (debiles) de conjuntos∆0α o ∆1

1 (y, bajo AD, de los de conjuntos ∆1n) es el mismo que el del conjunto

de los grados autoduales en dichas clases.

10.6 Mas operaciones con grados de Wadge

En esta seccion introduciremos nuevas operaciones con grados que nos per-mitiran localizar la clase ∆0

2 en la jerarquıa de Wadge.

Definicion 10.41 Si A,B ⊂ N, definimos10

A+B = s+0x | s ∈ ω<ω ∧ x ∈ A ∪ y+ | y ∈ B,

donde y+, s+ es la sucesion (finita o infinita) que resulta de sumar 1 a cadacomponente de y, s.

El teorema siguiente nos permite convertir esta suma de conjuntos en unasuma de grados:

Teorema 10.42 Si A ≤W A′ y B ≤W B′, entonces A+B ≤W A′ +B′.

Demostracion: Sean τ ′ y τ ′′ estrategias ganadoras para II en los juegosJp(A,A

′) y Jp(B,B′). Entonces una estrategia ganadora para Jp(A+B,A′+B′)

es la siguiente: mientras I no juegue ningun 0, II resta 1 a las jugadas de I, aplicala estrategia τ ′′ y suma 1 al resultado (ası, si I nunca juega ningun 0, la sucesionx de sus jugadas estara en A+B si y solo si x− (el resultado de restar 1 a todasellas) esta en B, si y solo si y− esta en B′, si y solo si y ∈ A′ + B′), y si Ijuega un primer 0, entonces II juega otro 0 y a partir de ese momento aplica laestrategia τ ′ a las jugadas de I. En este caso x ∈ A+B si y solo si la sucesionque resulta de “olvidar” las jugadas hasta el primer 0 esta en A, si y solo si lasucesion que resulta de “olvidar” las jugadas de II hasta el primer 0 esta en A′,si y solo si y ∈ A′ +B′.

Definicion 10.43 Definimos la suma de dos grados de Wadge como

[A]W + [B]W = [A+B]W .

10Observemos que si A y B son conjuntos de Borel tambien lo es A + B. En efecto,la aplicacion f : N −→ N que resta uno a cada componente no nula de cada sucesion esclaramente continua y

y+ | y ∈ B = f−1[B] ∪ y ∈ N |∧

n ∈ ω y(n) 6= 0,

claramente de Borel. La primera parte de la definicion de A+B es de Borel porque es unionnumerable de los conjuntos de Borel s+0A.

392 Capıtulo 10. Grados de Wadge

El teorema siguiente explica por que hemos llamado 1 y ¬1 a los primerosgrados de Wadge en lugar de 0 y ¬0:

Teorema 10.44 Si b ∈ GW , entonces b∗ = b+ 1, b = b+ ¬1.

Demostracion: Sea b = [B]W . Entonces

B +∅ = s+0x | s ∈ ω<ω, x ∈ B,

Una estrategia ganadora para II en Jp(B∗, B + ∅) es jugar 1 mientras las

jugadas de I son 0 (ası si I siempre juega 0 es claro que II gana la partida) y encuanto I juegue algo diferente de 0 entonces II responde con un 0 y a partir deahı copia las jugadas de I. Esto prueba que B∗ ≤ B +∅.

Para ganar en Jp(B + ∅, B∗), el jugador II solo tiene que jugar 0 mientrasI no juegue 0, y si I juega un 0 entonces II juega 1 y a partir de ahı copia lasjugadas de I. Esto prueba que b∗ = b+ 1.

Por otra parte,

B +N = y+ | y ∈ N ∪ s+0x | s ∈ ω<ω, x ∈ B.

Es facil ver que exactamente las mismas estrategias que le valıan a II para losdos juegos precedentes le valen tambien para Jp(B

, B + N) y Jp(B + N, B).

La suma de grados no es conmutativa, pero sı asociativa:

Teorema 10.45 Para todos los grados a, b, c, se cumple (a+b)+c = a+(b+c).

Demostracion: Sean a = [A]W , b = [B]W , c = [C]W . Una estrategiaganadora para II en Jp(A + (B + C), (A + B) + C) consiste en restar 1 a lasjugadas de I mientras sean distintas de 0, 1; Si I juega un 1, entonces II juegaun 0 y pasa a copiar las jugadas de I; si I juega un 0 (antes que un 1), entoncesII juega dos ceros seguidos y pasa a copiar las jugadas de I (con una de retraso).

Ası, si I juega x++, entonces II juega x+ y gana la partida; si I juegas++1x+, entonces II juega s+0x+ y tambien gana; si I juega en cambios++1t+0x, entonces II juega s+0t+0x y tambien gana; si I juegas++0x, entonces II juega s+00x y tambien gana. Y no hay mas posibili-dades.

Para ganar el juego Jp((A+B) +C,A+ (B +C)) el jugador II debe sumar1 a las jugadas de I mientras no sean nulas, y si I juega un 0, entonces II juegaun 1 y pasa a copiar las jugadas de I.

Otras propiedades basicas son las siguientes:

Teorema 10.46 Sean b, c y dnn∈ω grados de Wadge. Entonces

a)⊕

n∈ω(b+ dn) = b+

⊕

n∈ωdn.

b) ¬(b + c) = ¬b + ¬c.

10.6. Mas operaciones con grados de Wadge 393

Demostracion: Sean b = [B]W , c = [C]W , dn = [Dn]W . Veamos que

⊕

n∈ω(B +Dn) ≡W B +

⊕

n∈ωDn.

Para ganar en Jp(⊕

n∈ω(B + Dn), B +

⊕

n∈ωDn), lo unico que necesita hacer

II es sumar 1 a la primera jugada de I y copiar las siguientes. Para el juegoJp(B +

⊕

n∈ωDn,

⊕

n∈ω(B +Dn)) la estrategia es restar 1 a la primera jugada de I

(si no es nula) o jugar 00 (si es nula) y a continuacion copiar las jugadas de I(con una de retraso en el segundo caso).

Por otra parte, ¬(B + C) = ¬B + ¬C.

Veamos ahora que la suma es simplificable por la derecha:

Teorema 10.47 Dados grados de Wadge b, d y d′, si b es un supremo nume-rable, entonces b <W b+ d y

b + d ≤W b+ d′ ↔ d ≤W d′,

b+ d = b+ d′ → d = d′,

b+ d < b+ d′ → d < d′.

Demostracion: Sabemos que 1 ≤W d ∨ ¬1 ≤W d, luego b + 1 ≤W b + do bien b + ¬1 ≤W b + d, es decir, b∗ ≤W b + d o bien b ≤W b + d. Por 10.31concluimos que b <W b+ d.

De la segunda parte conocemos ya una implicacion. Para probar la otra seanb = [B]W , d = [D]W , d′ = [D′]W y supongamos que B +D ≤W B +D′. Seaτ una estrategia ganadora para II en el juego Jp(B +D,B +D′). Veamos que,si II sigue esta estrategia, no puede ser el primero en jugar un 0. En efecto, sicuando I ha jugado s+ las jugadas de II fueran t+0, entonces tendrıamos que(B +D)/t+ ≤W (B +D′)/t+0, pero esto equivale a B +D/t ≤W B, y estocontradice a la parte del teorema ya probada.

Entonces, una estrategia para II en Jp(D,D′) es jugar una partida auxiliar

sumando 1 a las jugadas de I, aplicar la estrategia τ y restar 1 a sus jugadas parala partida principal. De este modo, si I ha jugado x en la partida principal, enla auxiliar ha jugado x+, con lo que II habra jugado en esta y+ y habra jugadoy en la principal. Ası, x+ ∈ B + D ↔ y+ ∈ B + D′, luego x ∈ D ↔ y ∈ D′.Esto prueba que II gana la partida principal.

Las propiedades restantes son consecuencias inmediatas de las ya probadas.

Los grados tambien se pueden restar:

Teorema 10.48 (AD) Si b, c ∈ GW de modo que b es un grado supremo nu-merable y b < c, entonces existe un d ∈ GW tal que b+ d = c.

394 Capıtulo 10. Grados de Wadge

Demostracion: Sean b = [B]W y c = [C]W . Sea

E = x ∈ N |∧

k ∈ ω C/x|k 6≤W B.

Notemos que E es cerrado (sin el∧

k serıa trivialmente abierto y cerrado,luego E es una interseccion de cerrados). Ademas E 6= ∅ pues en caso contrarioII podrıa ganar el juego Jp(C,B) sin mas que pasar hasta que las jugadas de Icumplieran C/x|k ≤W B y a partir de ahı emplear una estrategia ganadora paraJp(C/x|k, B)). Por 1.17 existe una retraccion r : N −→ E. Sea D = r−1[C] (demodo que D ∩ E = C ∩ E) y vamos a ver que b+ [D]W = c.

En primer lugar probamos que C ≤W B +D, para lo cual consideramos laestrategia siguiente de II para Jp(C,B +D): mientras las jugadas de I tenganuna extension en E, el jugador II suma 1 a cada jugada de I (ası, si I terminacon una sucesion de jugadas x ∈ E, el jugador II habra jugado x+, y claramentehabra ganado la partida); si llega un punto en que las jugadas de I ya noadmiten extension a E, esto significa que para cualquier x ∈ N que prolongue alas jugadas de I en ese punto existe un k ∈ ω tal que C/x|k ≤W B, y entonces IIsolo tiene que jugar 0 y pasar hasta que las jugadas de I cumplan C/s ≤W B. Apartir de ese instante aplica una estrategia ganadora para Jp(C/s,B), de modoque si I acaba con sx, entonces II acaba con una partida de la forma t+0y,donde x ∈ C/s↔ y ∈ B o, equivalentemente, sx ∈ C ↔ t+0y ∈ B +D.

Veamos ahora que B + D ≤W C. En primer lugar observamos que, comor : N −→ E es continua, esta inducida por una funcion φ : ω<ω −→ T , dondeT ⊂ ω<ω es un arbol bien podado tal que E = [T ]. Entonces, la estrategia paraII en Jp(D,C) obtenida a partir de esta φ tiene la propiedad adicional de que(x∗τ)II ∈ E para todo x ∈ N. Teniendo esto en cuenta, una estrategia ganadorapara II en Jp(B +D,C) consiste en jugar una partida auxiliar restando 1 a lasjugadas de I y aplicando τ , mientras las jugadas de I no sean nulas (ası, si Inunca juega 0 y sus jugadas forman la sucesion x+, entonces II ha jugado un ytal que x ∈ D ↔ y ∈ C, pero x ∈ D equivale a x+ ∈ B+D y II gana la partida);en caso de que I juegue un 0, sabemos que las jugadas de II hasta ese momento(digamos t) admiten una extension a E, luego Ct 6≤W B, luego B ≤W Ct, yII solo tiene que seguir una estrategia ganadora para Jp(B,Ct), pues si I juegas+0x, entonces la jugada y de II obtenida a partir de x con dicha estrategiacumple ty ∈ C ↔ x ∈ B ↔ s+0x ∈ B +D.

Ahora probamos que la suma de grados se puede iterar para definir el pro-ducto de un grado por un ordinal:

Definicion 10.49 Si a es un grado de Wadge, definimos aα para todo ordinal1 ≤ α < ω1 mediante

a · 1 = a, a(α+ 1) = aα+ a, aλ =⊕

1≤δ<λ

aδ.

Una forma de unificar los dos ultimos casos de la definicion es observar que

aα =⊕

1≤δ<α

(aδ + a)

10.6. Mas operaciones con grados de Wadge 395

En efecto, si tomamos esta igualdad como definicion, vemos que

a(α+ 1) =⊕

1≤δ<α+1

(aδ + a) = sup⊕

1≤δ<α

(aδ + a), aα+ a

= supaα, aα+ a = aα+ a,

aλ =⊕

1≤δ<λ

(aδ + a) =⊕

1≤δ<λ

a(δ + 1) =⊕

1≤δ<λ

aδ,

pues en la ultima igualdad hemos anadido a · 1 = a ≤ a + a = a · 2, luego lasuma (que es el supremo de los grados) no se modifica. Como las propiedadesde la definicion anterior caracterizan una unica operacion, concluimos que lasdos definiciones son equivalentes.

Mas en general, si δnn∈ω es cofinal en λ, tenemos que

aλ =⊕

n∈ωaδn,

pues⊕

n∈ωaδn =

⊕

δ<λ

aδ. Para probar esto tenemos en cuenta que si α ≤ β

entonces aα ≤W aβ, lo cual es inmediato por induccion sobre β.

El teorema siguiente se demuestra sin dificultad por induccion transfinita:

Teorema 10.50 a(α+ β) = aα+ aβ, a(αβ) = (aα)β.

Teorema 10.51 Si a ∈ GW es un supremo numerable y 1 ≤ α < ω1, entoncesaα tambien es un supremo numerable.

Demostracion: Sea a =⊕

nan. Razonamos por induccion sobre α. Para

α = 1 es obvio. Si α = β+1, entonces aβ es un supremo numerable por hipotesisde induccion, luego

a(β + 1) = aβ + a =⊕

n(aβ + an)

por 10.46 y aβ + an <W aβ + a por 10.47.

Si α es un lımite entonces aα =⊕

δ<α

aδ y, usando 10.47 y la hipotesis deinduccion,

aδ <W aδ + a = a(δ + 1) ≤W aα.

Veamos ahora como construir grados lımite que no sean supremos numera-bles:

Definicion 10.52 Si B ⊂ N, definimos11

B♯ = x+ | x ∈ B ∪ s0x+ | s ∈ ω<ω ∧ x ∈ B,

B = B♯ ∪ x ∈ N |∧

n ∈ ω∨

m ∈ ω(n ≤ m ∧ x(m) = 0).

11Dejamos al lector la prueba de que si B es de Borel tambien lo son B♯ y B. Es muysimilar a la correspondiente a la suma A+ B.

396 Capıtulo 10. Grados de Wadge

Como es habitual, empezamos probando el resultado que nos permite pasara operaciones sobre grados:

Teorema 10.53 Si B ≤W C, entonces B♯ ≤W C♯ y B ≤W C.

Demostracion: Sea τ una estrategia ganadora para II en el juego Jp(B,C).Entonces, una estrategia ganadora en Jp(B

♯, C♯) consiste en jugar una partidaauxiliar en la que las jugadas de I son una unidad menor que sus jugadas enla partida principal (mientras sean no nulas) y las jugadas de II en la partidaprincipal son una unidad mas que sus jugadas en la partida auxiliar. Si I juegaun 0, entonces II juega tambien 0 mientras I siga jugando ceros y empieza unanueva partida auxiliar con la primera jugada no nula que haga I. La mismaestrategia sirve para Jp(B

, C).

Definicion 10.54 Para cada grado b = [B]W , definimos los grados b♯ = [B♯]Wy b = [B]W .

Observemos que, de las propias definiciones, se sigue que B♯ = B♯ + B yB = B +B, luego b♯ = b♯ + b y b = b + b.

Teorema 10.55 Para todo grado b y todo ordinal 1 ≤ α < ω1, se cumple quebα ≤W b♯ y bα ≤W b.

Demostracion: Sea b = [B]W . Probamos el teorema por induccion so-bre α. Si α = 1 hay que probar que B ≤W B♯ y B ≤W B. La estrategiaganadora para II en el juego correspondiente consiste en sumar 1 a cada jugadade I.

Si el resultado es cierto para todo δ < α, entonces bδ ≤W b♯, b, luego

bα =⊕

1≤δ<α

(bδ + b) ≤W⊕

1≤δ<α

(b♯ + b) = b♯,

pues b♯ + b = b♯. Lo mismo sucede con b.

Ahora necesitamos un resultado tecnico:

Teorema 10.56 Si A ≤W B♯ y A ≤W B, entonces existe una estrategia ga-nadora para II en Jp(A,B

♯) tal que las jugadas de II decididas segun ella nuncatienen infinitos ceros.

Demostracion: Sean τ0 y τ1 estrategias ganadoras para II en los juegosJp(A,B

♯) y Jp(A,B), y vamos a disenar una nueva estrategia τ para Jp(A,B

♯).Para ello jugamos dos partidas auxiliares, en una de las cuales II usa la estrategiaτ0 y en la otra τ1. Las jugadas de II en la partida principal empiezan siendo (porejemplo) las de la primera partida auxiliar, hasta que aparece el primer 0. Apartir de ese momento II pasa a jugar las primeras jugadas de la segunda partida

10.6. Mas operaciones con grados de Wadge 397

auxiliar, hasta que aparezca el siguiente 0, en cuyo caso retoma las respuestasde la primera partida, y ası sucesivamente.

x0 x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10 x11 x12 x13 x14 · · ·y0 y1 y2 0 z0 z1 0 y4 y5 y6 y7 y8 0 z3 z4 · · ·x0 x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10 x11 x12 x13 x14 · · ·y0 y1 y2 0 y4 y5 y6 y7 y8 0 y10 y11 y12 y13 y14 · · ·x0 x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10 x11 x12 x13 x14 · · ·z0 z1 0 z3 z4 z5 z6 0 z8 z9 z10 z11 z12 z13 0 · · ·

La clave esta en que las jugadas y, z de II en las dos partidas auxiliaresno pueden tener ambas infinitos ceros, pues si y tiene infinitos ceros, entoncesy /∈ B♯, luego x /∈ A, luego z /∈ B, luego z no tiene infinitos ceros. Por lo tanto,tras un numero finito de oscilaciones entre ambas estrategias, las jugadas de IIen la partida principal seguiran todas la misma estrategia, sin tomar nunca elvalor 0.

Ademas, τ es una estrategia ganadora para II, pues la jugada de II esta enB♯ si y solo si tras el ultimo 0 es de la forma b+, con b ∈ B, lo que equivale aque, tras el ultimo 0, o bien y o bien z sea de la forma b+ con b ∈ B, lo cualequivale a que y ∈ B♯ o z ∈ B (teniendo en cuenta que en el segundo caso zno puede tener infinitos ceros), y esto equivale a que x ∈ A.

Con esto estamos en condiciones de probar que b♯ y b son los supremos delos grados bα:

Teorema 10.57 Si a ≤W b♯ y a ≤W b, entonces existe 1 ≤ α < ω1 tal quea ≤W bα.

Demostracion: Sean [A]W = a, [B]W = b y sea τ una estrategia ganadorapara II en el juego Jp(A,B

♯) que, segun el teorema anterior, puede tomarse conla condicion de que no produzca nunca jugadas con infinitos ceros. Para cadaα < ω1 definimos Pα como el conjunto de sucesiones s ∈ ω<ω tales que si s′ ⊃ sy la respuesta por τ cuando I juega s′ tiene mas ceros que la respuesta cuandosolo ha jugado s, entonces s′ ∈ Pδ para cierto δ < α.

Observemos en primer lugar que todo s ∈ ω<ω esta en un Pα. Para elloobservamos antes que s esta en un Pα si y solo si toda extension de s que fuercea II a jugar un 0 mas esta en un Pα. Una implicacion es obvia, y para la otra,si s tiene esta propiedad, como tiene una cantidad numerable de extensiones,podemos encontrar un α < ω1 tal que todas las extensiones de s que fuerzan aII a jugar un 0 mas estan en un Pδ con δ < α, luego s ∈ Pα. Entonces, si s noesta en ningun Pα, tiene una extension que fuerza a II a jugar un 0 mas y que noesta en ningun Pα, la cual tiene una extension que fuerza a II a jugar un 0 masy que no esta en ningun Pα, y de este modo podemos construir una sucesion dejugadas x para I que fuerzan a II a jugar infinitos ceros, contradiccion.

A continuacion probamos por induccion que si s ∈ Pα entonces se cumple[A/s]W ≤ b(α+ 1). Aplicando esto a s = ∅ obtenemos la conclusion.

398 Capıtulo 10. Grados de Wadge

Consideremos el caso α = 0. Notemos que P0 es el conjunto de s ∈ ω<ω

tales que, cuando I juega s, a partir de ese momento II ya nunca mas necesitarajugar un 0. Veamos, pues, que A/s ≤W B. Pongamos que la respuesta deII a s es de la forma u0t+ (entendiendo que puede ser simplemente t+).Entonces una estrategia para II en Jp(A/s,B/t) consiste en anteponer s a lasjugadas de I y responder con las jugadas que siguen a u0t+ al aplicar laestrategia τ restandoles 1 (pues sabemos que van a ser no nulas). Ası, si I juegax y la respuesta de II es y, tenemos que x ∈ A/s si y solo si sx ∈ A, si ysolo si u0t+y+ ∈ B♯, si y solo si ty ∈ B, si y solo si y ∈ B/t, luego[A/s]W ≤W [B/t]W ≤ b.

Supongamos ahora que α > 0 y que el resultado es cierto para todo δ < α, ysupongamos que s ∈ Pα. Sea T el conjunto de sucesiones de ω<ω que extiendena s y que fuerzan a II a jugar al menos un 0 mas que en su respuesta a s.Podemos suponer que T 6= ∅, pues en caso contrario s ∈ P0. Sea wii∈ωuna enumeracion de los elementos de T (con repeticiones, si T es finito), y seaC =

⊕

i∈ω

A/wi.

Cada wi esta en un Pδi con δi < α, luego por hipotesis de induccion[A/wi]W ≤ b(δi + 1) ≤ bα, luego [C]W ≤ bα y C + B ≤W b(α + 1). Bastaprobar que A/s ≤W C + B. Para ello consideramos el juego Jp(A/s,C + B).Pongamos que la respuesta a s segun τ es de la forma u0t+ (entendiendoque puede ser simplemente t+). La estrategia para II en el juego que estamosconsiderando consiste, como antes, en anteponer s a las jugadas de I y respondercon las jugadas segun τ que siguen a u0 restandoles 1 mientras sean no nulas.De este modo, si τ no exige nunca jugar un 0 y las jugadas de I y II han sido xe y+, tenemos que

x ∈ A/s↔ sx ∈ A↔ u0y+ ∈ B♯ ↔ y ∈ B ↔ y+ ∈ C +B.

Por lo tanto, II gana la partida. Supongamos ahora que llega un punto enque I ha jugado s′ y τ exige jugar un 0, es decir que s s′ es una extension de sque exige a II jugar un cero mas que s. Esto significa que s s′ ∈ T , o tambienque s s′ = wi para cierto i. Entonces A/(ss′) ≤W C, y II (despues de jugarel 0 requerido por τ) puede continuar la partida con una estrategia para el juegoJp(A/(s

s′), C). De este modo, si I ha terminado jugando s′x y II ha jugadot+0y, se cumple que

s′x ∈ A/s↔ x ∈ A/(ss′) ↔ y ∈ C ↔ t+0y ∈ C +B,

luego II tambien gana la partida.

Falta probar que realmente b♯ y b son grados distintos:

Teorema 10.58 Si b es un supremo numerable, entonces b♯ 6≤W b y b 6≤W b♯.

Demostracion: Si b♯ ≤W b, como tambien b♯ ≤W b♯, por el teoremaanterior b♯ ≤W bα, para cierto α, pero entonces

b♯ = bα <W bα+ b = b(α+ 1) ≤W b♯,

contradiccion. Lo mismo sucede si se da la otra desigualdad.

10.6. Mas operaciones con grados de Wadge 399

Teorema 10.59 (AD) Si b es un supremo numerable, entonces b♯ y b songrados duales incompatibles y son los supremos del conjunto de grados bα, con1 ≤ α < ω1.

Demostracion: Solo hay que ver que si bα ≤W c para todo α, entoncesb♯ ≤W c o bien b ≤W c. Ahora bien, en caso contrario serıa c <W b♯ y c <W b.Entonces c ≤W bα, para cierto ordinal α, luego c = bα <W b(α + 1) ≤W c,contradiccion.

El teorema siguiente nos da una especie de division euclıdea de grados concociente ordinal:

Teorema 10.60 (AD) Si a es un supremo numerable y b <W a♯, entonces

b = c ∨ b = aα ∨ b = aα+ c,

con c <W a y 1 ≤ α < ω1.

Demostracion: Como b <W a♯, tambien b <W a, luego b ≤W aα, paracierto α, que podemos tomar mınimo. Si b = aα ya tenemos el resultadobuscado, luego podemos suponer que b < aα, ası como que α > 1. Es claroque α no puede ser un ordinal lımite, luego α = β + 1 y, por la minimalidadde α, se cumple que aβ <W b <W aβ + a. Hemos probado que aβ es supremono maximo, luego existe un c tal que aβ + c = b. Si fuera a ≤W c entoncesaβ + a ≤W aβ + c = b, contradiccion.

Con esto estamos en condiciones de determinar la situacion de los conjuntos∆0

2 en la jerarquıa de Wadge:

Definicion 10.61 Si 1 ≤ α < ω1, definimos rα = (1⊕ ¬1)α.

Los resultados precedentes prueban que los grados rα son autoduales y for-man una sucesion estrictamente creciente. El teorema siguiente implica en par-ticular que esta definicion es compatible con 10.40:

Teorema 10.62 Los grados de los conjuntos ∆12 son exactamente los de la

forma 1,¬1, rα, rα + 1, rα + ¬1.

Demostracion: Vamos a probar que r♯1 es el grado de un conjunto Σ02-

completo (es decir, de un conjunto en Σ02 \Π

02, con lo que r1 es el grado de un

conjunto Π02-completo). Aceptando esto, si D es un conjunto ∆0

2 de grado d,

tenemos que d ≤W r♯1 y d ≤W r1, luego d < r♯1, luego, por el teorema anterior,o bien d <W r1 (lo cual implica d = 1 ∨ d = ¬1) o bien d = r1α = rα, o biend = r1α+ c, con c <W r1, lo que implica que d = rα + 1 ∨ d = rα + ¬1.

Por otra parte, todo grado de una de estas formas es menor que r♯1, luegotambien es menor que r1 (que corresponde a un conjunto Π0

2-completo), luegoel grado dado es ∆0

2. Observemos que

x ∈ N♯ ↔

∨

n ∈ ω∧

m ∈ ω(n ≤ m→ x(m) 6= 0)

400 Capıtulo 10. Grados de Wadge

es claramente Σ02. Sin embargo, no es Π0

2, pues ello significarıa que es inter-seccion numerable de abiertos, pero N♯ es claramente denso en N, luego losabiertos serıan densos y N♯ serıa de segunda categorıa. Ahora bien, en reali-dad es de primera categorıa, pues es union de los cerrados de interior vacıoCn = x ∈ N |

∧

m ≥ n x(m) 6= 0. Esto implica que N♯ es Σ02-completo.

Como [N] = ¬1 ≤ r1, tambien (¬1)♯ ≤ r♯1. Por otra parte,

N♯♯ = x ∈ N |

∨

n ∈ ω∧

m ∈ ω(n ≤ m→ x(m) ≥ 2),

que es tambienΣ02-completo, por el mismo argumento que en el caso de N♯. Pero

ahora r1 ≤ (¬1)♯, luego r♯1 ≤ (¬1)♯♯ = (¬1)♯, luego r♯1 = (¬1)♯ es Σ02-completo,

como querıamos probar.

Como ∆02 es cerrada para sustituciones continuas y sus grados son, por

consiguiente, una seccion inicial en el conjunto de todos los grados de Wadge,concluimos que los grados rα que acabamos de definir son los primeros gradosautoduales de toda la jerarquıa de Wadge, luego la definicion 10.61 es un casoparticular de la definicion 10.40. Mas aun, las observaciones posteriores a ladefinicion 10.40 implican que

∆02 = A ∈ PN | ‖A‖ < ω1,

de donde a su vez concluimos que los conjuntos Σ02-completos o Π0

2-completosson los conjuntos de rango ω1.

La extension de estos resultados a las clases superiores de la jerarquıa deBorel requiere nuevos conceptos y nuevas tecnicas, ası que nos ocuparemos deello en el capıtulo siguiente.

Capıtulo XI

La jerarquıa de Wadge delos conjuntos de Borel

En este capıtulo estudiaremos la situacion en la jerarquıa de Wadge de lasdistintas clases de la jerarquıa de Borel. Para ello necesitaremos presentar unaserie de resultados sobre construccion de conjuntos en general y sobre la cons-truccion de conjuntos de Borel en particular, a lo cual dedicamos la primeraseccion. Como vamos a trabajar exclusivamente con grados de Wadge suprimi-remos el subındice W en las clases y en la relacion de orden.

11.1 Construccion de conjuntos ∆0α

Los conjuntos Σ0α se construyen como uniones numerables de conjuntos Σ0

δ ,para δ < α, y los conjuntos Π0

α se construyen como intersecciones numerablesde conjuntos Π0

δ, para δ < α. De este modo, sabemos construir los conjuntosΣ0α y Π0

α a partir de los conjuntos anteriores de la jerarquıa de Borel, peroesto no significa que sepamos construir los conjuntos ∆0

α. Cuando construimosconjuntos Σ0

α como uniones numerables, el resultado puede ser Π0α o no. Si da

la casualidad de que sı, entonces tenemos un conjunto ∆0α, pero si no, no. En

esta seccion encontraremos un metodo de construccion que nos proporciona losconjuntos ∆0

α a partir de los conjuntos anteriores de la jerarquıa de Borel, sintener que descartar “falsos intentos”.

En esta direccion conviene introducir los conceptos siguientes:

Definicion 11.1 Para cada conjunto X y cada ordinal 1 ≤ α < ω1 definimosla aplicacion ∂α : (PX)α −→ PX mediante

x ∈ ∂α(Aδδ<α) ↔ x ∈⋃

δ<α

Aδ ∧ mınδ < α | x ∈ Aδ tiene

paridad opuesta a α.

401

402 Capıtulo 11. La jerarquıa de Wadge de los conjuntos de Borel

Aquı entendemos que un ordinal es par o impar segun sea de la forma α = 2ǫo bien α = 2ǫ+ 1.

La tabla siguiente muestra la expresion explıcita para un conjunto de laforma ∂α(Aδδ<α) para algunos valores de α:

α ∂α(Aδδ≤α)1 A0

2 A1 \A0

3 (A2 \A1) ∪A0

4 (A3 \A2) ∪ (A1 \A0)

5 (A4 \A3) ∪ (A2 \A1) ∪ A0

......

ω⋃

n∈ω(A2n+1 \A2n)

ω + 1 (Aω \⋃

n∈ωAn) ∪

⋃

n∈ω(A2n+2 \A2n+1) ∪ A0

ω + 2 (Aω+1 \Aω) ∪⋃

n∈ω(A2n+1 \A2n)

Si ∅, X ⊂ H ⊂ PX , definimos la clase de diferencias de orden α de Hcomo la clase Dfα(H) formada por todos los conjuntos de la forma ∂α(Aδδ<α),donde Aδδ<α es una sucesion creciente de elementos de H (es decir, tal queα ≤ β → Aα ⊂ Aβ). Se cumplen las relaciones siguientes de monotonıa:

Teorema 11.2 Df1(H) = H y si 1 ≤ α < β < ω1, entonces

Dfα(H) ∪ ¬Dfα(H) ⊂ Dfβ(H) ∩ ¬Dfβ(H).

Demostracion: Como Df1(Aδδ<1) = A0, es obvio que Df1(H) = H .

Tomemos ∂α(Aδδ<α) ∈ Dfα(H). Si β tiene la misma paridad que α,definimos

Bδ =

Aδ si δ < α,⋃

ǫ<αAǫ si α ≤ δ < β.

Es claro entonces que ∂α(Aδδ<α) = ∂β(Bδδ<β), pues ambas sucesionestienen la misma union y, para cada x ∈ X en dicha union, el mınimo ordinal talque x ∈ Aδ es el mismo que el mınimo ordinal tal que x ∈ Bδ.

Si β tiene paridad opuesta a α definimos

Bδ =

∅ si δ = 0,Aǫ si δ = ǫ+ 1 < α,⋃

ǫ<δ

Aǫ si δ < α es un ordinal lımite,⋃

ǫ<αAǫ si α ≤ δ < β.

11.1. Construccion de conjuntos ∆0α 403

Ahora la sucesion tambien es creciente y su union sigue siendo la misma,pero el mınimo δ tal que x ∈ Bδ es una unidad superior al correspondiente a lasucesion dada. Esto prueba que Dfα(H) ⊂ Dfβ(H).

Ahora basta probar que ¬Dfα(H) ⊂ Dfα+1(H), pues ya hemos visto que elsegundo conjunto esta contenido en Dfβ(H). Definimos

Bδ =Aδ si δ < α,X si δ = α.

Se cumple que ¬∂α(Aδδ<α) = ∂α+1(Bδδ<α+1), pues si tenemos quex ∈ ¬∂α(Aδδ<α), o bien no esta en la union, en cuyo caso el mınimo δ tal quex ∈ Bδ es δ = α, que tiene paridad opuesta a α+1, luego x ∈ ∂α+1(Bδδ<α+1),o bien el mınimo δ tal que x ∈ Aδ tiene paridad igual a α, y es el mismo queel mınimo δ tal que x ∈ Bδ, y tiene paridad opuesta a α + 1, luego tambienx ∈ ∂α+1(Bδδ<α+1). Igualmente se prueba la inclusion opuesta.

Demostraremos que

∆0α+1 =

⋃

1≤δ<ω1

Dfδ(Σ0α),

lo que nos da una forma explıcita de construir los conjuntos ∆0α+1 a partir

de los conjuntos Σ0α. El proposito de esta seccion es demostrar este resultado

(debido a Hausdorff) y otro mas complejo debido a Wadge y que nos da unproceso de construccion para los conjuntos ∆0

λ, con λ lımite. Para ello convienedesarrollar una teorıa general sobre como generar unos conjuntos a partir deotros por procedimientos puramente conjuntistas.

11.1.1 Transformaciones booleanas

Definicion 11.3 En general, dados tres conjuntos I, J , X , llamaremos trans-formaciones conjuntistas de orden (I, J) en X a las aplicaciones arbitrariasF : P(X)I −→ (PX)J .

Cuando J = 1 identificaremos (PX)J = PX , con lo que un caso particularde esta definicion es el caso de una operacion F : P(X)I −→ PX que asigne unsubconjunto de X a cada familia de subconjuntos de X .

Diremos que F es booleana si existe g : PI −→ PJ tal que, para toda familiaAii∈I ∈ (PX)I y cada x ∈ X se cumple que

j ∈ J | x ∈ F (Aii∈I)j = g(i ∈ I | x ∈ Ai).

Es, decir, si los conjuntos de la imagen a los que pertenece un x dependenunicamente de los conjuntos de la familia dada a los que pertenece x, perono de la familia misma. Es en este sentido en el que podemos decir que lastransformaciones booleanas son las transformaciones “puramente conjuntistas”.

404 Capıtulo 11. La jerarquıa de Wadge de los conjuntos de Borel

Ejemplos La aplicacion ¬ : PX −→ PX dada por ¬A = X \ A es booleana,pues su aplicacion asociada es g : P1 −→ P1 dada por

g(I) =1 si I = ∅,∅ si I = 1.

Sean σ, δ : (PX)ω −→ PX las aplicaciones dadas por

σ(Aii∈ω) =⋃

i∈ω

Ai, δ(Aii∈ω) =⋂

i∈ω

Ai.

Claramente, son operaciones booleanas, pues las aplicaciones g : Pω −→ P1 quecumplen la definicion son, respectivamente:

gσ(I) =

1 si I 6= ∅,∅ si I = ∅,

gδ(I) =

1 si I = ω,∅ si I 6= ω.

Si α < ω1, consideramos la transformacion Dα : (PX)α −→ (PX)α dadapor

Dα(Aδδ<α)γ =⋃

δ<γ

Aδ.

Es facil ver que es una transformacion son conjuntista, como tambien lo es latransformacion ∂α : (PX)α −→ PX definida al principio de la seccion, puesbasta tomar g : Pα −→ P1 dada por

g(I) =1 si I 6= ∅ ∧ mın I tiene paridad opuesta a α,0 en caso contrario.

El teorema siguiente muestra que propiedades conocidas como

f−1[A ∪B] = f−1[A] ∪ f−1[B], f−1[A ∩B] = f−1[A] ∩ f−1[B]

se cumplen en general para toda transformacion booleana (para aplicaciones farbitrarias), y de hecho esto caracteriza a las transformaciones booleanas:

Teorema 11.4 Una transformacion F : (PX)I −→ (PX)J es booleana si ysolo si para toda funcion f : X −→ X y toda familia Aii∈I de subconjuntosde X se cumple que f−1[F (Aii∈I)j ] = F (f−1[Ai]i∈I)j , para todo j ∈ J .

Demostracion: Si F es booleana sea g : PI −→ PJ segun la definicion.Para cada x ∈ X tenemos que

j ∈ J | x ∈ f−1[F (Aii∈I)j ] = j ∈ J | f(x) ∈ F (Aii∈I)j

= g(i ∈ I | f(x) ∈ Ai) = g(i ∈ I | x ∈ f−1[Ai])

= j ∈ J | x ∈ F (f−1[Ai]i∈I)j.

Ası pues x ∈ f−1[F (Aii∈I)j ] ↔ x ∈ F (f−1[Ai]i∈I)j , luego ambos conjuntoscoinciden.

11.1. Construccion de conjuntos ∆0α 405

Si se cumple la condicion del enunciado, para cada subconjunto I0 ⊂ Idefinimos B(I0) = Bii∈I como la familia dada por

Bi =

X si i ∈ I0,∅ si i /∈ I0

,

y a su vez definimos g : PI −→ PJ mediante

g(I0) = j ∈ J | F (B(I0))j = X.

Ahora, dada una familia Aii∈I , para cada x ∈ X sea cx : X −→ X lafuncion constante igual a x. Ası x−1

x [B] es X o ∅ segun si x ∈ B o si x /∈ B,luego

j ∈ J | x ∈ F (Aii∈I)j = j ∈ J | c−1x [F (Aii∈I)j ] = X

= j ∈ J | F (c−1x [Ai]i∈I)j = X = j ∈ J | F (B(i ∈ I | x ∈ Ai))j = X

= g(i ∈ I | x ∈ Ai).

Usando esta caracterizacion o la propia definicion el teorema siguiente sedemuestra sin dificultad:

Teorema 11.5 Si F : (PX)I −→ (PX)J y G : (PX)J −→ (PX)K son trans-formaciones booleanas, entonces F G tambien lo es.

Definicion 11.6 Si H ⊂ (PN)I y F : (PN)I −→ (PN)J es una transformacionbooleana, llamaremos

HF = F (Aii∈I) | Aii∈I ∈ H.

Diremos que una clase E ⊂ (PN)J es H-booleana si es de la forma E = HF

para cierta transformacion booleana F .

Es obvio que si E ⊂ (PN)I es una clase H-booleana y F : (PN)I −→ (PN)J

es una transformacion booleana, entonces EF tambien es H-booleana.

Nos va a interesar especialmente el caso en que G = Σ01(N) es la familia de

los abiertos de N y H = Gω la familia de las sucesiones de abiertos. Ası, lasclases Gω-booleanas son las clases cuyos elementos se pueden construir a partirde una sucesion numerable de abiertos mediante una transformacion booleana.

Del teorema anterior se sigue inmediatamente:

Teorema 11.7 Si H ⊂ (PN)I es una clase Gω-booleana y H ′ ⊂ (PN)J es unaclase H-booleana, entonces H ′ es Gω-booleana.

Usar a ω como conjunto de ındices no es esencial:

Teorema 11.8 Una clase H ⊂ (PN)I es Gω-Booleana si y solo si es GJ -booleana, para un conjunto J finito o numerable.

406 Capıtulo 11. La jerarquıa de Wadge de los conjuntos de Borel

Demostracion: Por el teorema anterior basta probar que la clase GJ esGω-booleana. Sea k : J −→ ω inyectiva y sea F : Gω −→ GI la transformaciondada por F (Ann∈ω) = Ak(j)j∈J . Claramente es booleana, y es claro queGJ = (Gω)F .

Conviene relajar ligeramente la notacion:

Definicion 11.9 Si H ⊂ PN y F : (PN)I −→ PN, escribiremos HF = (HI)F ,que es la clase resultante de aplicar F a las familias de conjuntos de H.

Por ejemplo, la clase Gδ es la clase de las intersecciones numerables deabiertos y, si F es la clase de todos los cerrados de N, entonces Fσ es la clase detodas las uniones numerables de cerrados, de acuerdo con la notacion clasica.

Teorema 11.10 Si I es un conjunto numerable y Hii∈I es una familia desubclases Gω-booleanas de PN, entonces

∏

i∈I

Hi es una clase Gω-booleana.

Demostracion: Tomemos transformaciones Fi tales que Hi = (Gω)Fiy

sea F : GI×ω −→ (PN)I la transformacion dada por

F (Ai,n(i,n)∈I×ω)i = Fi(Ai,nn∈ω).

Claramente F es booleana, pues la aplicacion g que lo justifica es la dada porg(T ) =

⋃

i∈I

gi(n ∈ ω | (i, n) ∈ T ), donde gi es la aplicacion que justifica que

Fi es booleana. Tambien es facil ver que∏

i∈I

Hi = (GI×ω)F , luego el producto

es GI×ω-booleano, luego Gω-booleano por el teorema 11.8.

Con esto podemos probar:

Teorema 11.11 Si 1 ≤ α < ω1, las clases Σ0α y Π0

α son Gω-booleanas.

Demostracion: Es trivial que Σ01 = G es una clase Gω-booleana. Si Σ0

α

es Gω-booleana, tambien lo es Π0α = ¬Σ0

α, porque ¬ es un operador booleano.Si las clases Σ0

δ son Gω-booleanas, para todo δ < α, entonces tambien lo sonlas clases Π0

δ, y tambien lo es la clase (∏

(δ,n)∈α×ω

Π0δ)σ (donde aquı σ representa

el operador union sobre (PN)δ×ω , en lugar de sobre (PN)ω , que tambien esclaramente booleano), pero esta clase es Σ0

α.

Teorema 11.12 Si ∅, X ⊂ H ⊂ N es una clase Gω-booleana cerrada parauniones numerables y 1 ≤ α < ω1, entonces Dfα(H) es Gω-booleana.

Demostracion: Observemos que HDα⊂ (PN)α es la clase de todas las

sucesiones crecientes Aδδ≤α de elementos de H , y es tambien Gω-booleana,pues Hα lo es por el teorema anterior y la transformacion Dα es booleana. Asu vez, Dfα(H) = (HDα

)∂α tambien es Gω-booleana.

Nos van a interesar especialmente las clases cerradas para sustituciones con-tinuas, pero conviene extender este concepto para incluir clases de sucesionesde conjuntos:

11.1. Construccion de conjuntos ∆0α 407

Definicion 11.13 Consideramos el preorden en el conjunto (PN)I definido porAii∈I ≤ Bii∈I si existe una funcion continua f : N −→ N de modo que∧

i ∈ I Ai = f−1[Bi].

Notemos que esto es mas fuerte que exigir unicamente∧

i ∈ I Ai ≤ Bi,pues estamos exigiendo que la funcion continua f : N −→ N que realiza cadareduccion sea la misma para todo i ∈ I.

Diremos que una clase H ⊂ (PN)I es cerrada para sustituciones continuassi cuando B ∈ H y A ≤ B entonces A ∈ H .

Si H ⊂ (PN)I , definimos

In(H) = A ∈ (PN)I |∨

B ∈ H A ≤ B.

Claramente In(H) es la menor clase cerrada para sustituciones continuas quecontiene a H .

Si H es cerrada para sustituciones continuas, un elemento H-completo es unB ∈ H tal que

H = A ∈ (PN)I | A ≤ B.

Teorema 11.14 Sea F : (PN)I −→ (PN)J una transformacion booleana y seaH ⊂ (PN)I . Entonces InW (H)F = InW (HF ).

Demostracion: Un elemento de InW (H)F es de la forma F (Aii∈I) paracierta familia Aii∈I ∈ In(H), que a su vez es de la forma Ai = f−1[Bi], paracierta f : N −→ N continua y cierta familia Bii∈I ∈ H . Por el teorema 11.4tenemos que F (Aii∈I) = f−1[F (Bii∈I)]jj∈J , donde F (Bii∈I) ∈ HF ,luego la sucesion de partida esta en InW (HF ). La inclusion opuesta se pruebaanalogamente.

Teorema 11.15 Sea F : (PN)I −→ (PN)J una transformacion booleana y seaH ⊂ (PN)I . Entonces:

a) Si H es cerrada para sustituciones continuas tambien lo es HF .

b) Si B es H-completo, entonces F (B) es HF -completo.

Demostracion: a) QueH sea cerrada para sustituciones continuas equivalea que H = In(H), luego por el teorema anterior HF = In(H)F = In(HF ), luegoHF es tambien cerrada.

b) Que B sea H-completo equivale a que H = In(B), luego por el teoremaanterior HF = In(BF ) = Im(F (B)), luego F (B) es HF -completo.

De aquı deducimos un primer resultado no trivial valido para toda claseGω-booleana:

Teorema 11.16 Toda clase Gω-booleana Γ ⊂ PN es cerrada para sustitucionescontinuas y tiene un elemento Γ-completo no autodual.

408 Capıtulo 11. La jerarquıa de Wadge de los conjuntos de Borel

Demostracion: La clase Gω es trivialmente cerrada para sustitucionescontinuas, luego el teorema anterior implica que lo mismo vale para toda claseGω-booleana. Igualmente, para probar que existe un elemento Γ-completo bastaver que existe una sucesion Ann∈ω ∈ Gω que sea Gω-completa.

Definimos An = x ∈ N |∨

i ∈ ω x(i) = n + 1, que claramente es abiertoen N. Para probar que esta sucesion es Gω-completa tomamos otra sucesioncualquiera Bnn∈ω y consideramos el juego J∗ en el que, cuando I juega x yII juega y, gana II si y solo si

∧

n ∈ ω(x ∈ Bn ↔ y ∈ An). Veamos que II tieneuna estrategia ganadora τ .

Esta consiste en jugar 0 en primer lugar y, cuando I ha jugado x|i+1, entoncesy(i) = n+1, donde n es el menor numero tal que II todavıa no ha jugado n+1y Bx|i ⊂ Bn, si existe tal n, o bien y(i) = 0 si no hay tal n.

Ası, si I juega x y II ha jugado y segun esta estrategia, si x ∈ Bn entoncesexiste un i tal que Bx|i ∈ Gn, luego, en algun momento de la partida, II habrajugado y(i) = n + 1, luego y ∈ An. Recıprocamente, si y ∈ An es porque enalgun momento II ha jugado y(i) = n+ 1, lo cual implica que Bx|i ⊂ Bn, luegox ∈ Bn.

Esto prueba que la estrategia τ es ganadora, o tambien, que la funcionf : N −→ N dada por x 7→ (x ∗ τ)|II cumple f−1[An] = Bn para todo n, yclaramente es continua, luego Bnn∈ω ≤ Ann∈ω.

Notemos ahora que en realidad x|i determina f(x)|i+1 (para eso hemos exi-gido que τ empiece por una jugada nula independiente de x(0)), lo cual significaque f no solo es continua, sino que es una contraccion.

Podemos definir una relacion ≤c en Nω analoga a ≤W pero usando con-tracciones en lugar de aplicaciones continuas, y claramente es una relaciontransitiva (aunque no necesariamente reflexiva), y acabamos de probar queGω = Inc(Ann∈ω), con la definicion obvia de Inc. La prueba del teorema11.14 vale sin cambio alguno con c en lugar de W , y concluimos que si Γ esGω-booleana, entonces existe un A ∈ Γ tal que Γ = Inc(A). De aquı se sigueque A no puede ser autodual, pues si lo fuera, es decir, si ¬A ≤W A, entonces¬A ∈ Γ, luego ¬A ≤c A, pero esto es imposible.

En efecto, supongamos que existe una contraccion f : N −→ N tal que

∧

x ∈ N(x /∈ A↔ f(x) ∈ A).

Por 10.4 existe un x ∈ N tal que f(x) = x, lo que nos da una contradiccion,pues entonces x ∈ A↔ x /∈ A.

En particular, si Γ ⊂ PN es una clase Gω-booleana cerrada para unionesnumerables y que contenga a ∅ y N, se cumple que Dfα(Γ) 6= ¬Dfα(Γ), lo quea su vez implica que Dfα(Γ) ⊂ Dfα+1(Γ) ∩ ¬Dfα+1(Γ) Dfα+1(Γ), luego lasclases de diferencias Dfα(Γ)1≤α<ω1 forman una jerarquıa estricta.

11.1. Construccion de conjuntos ∆0α 409

11.1.2 Construccion de ∆02

Ahora estamos en condiciones de probar que

∆02 =

⋃

1≤α<ω1

Dfα(Σ01).

Mas, precisamente, se cumple lo siguiente:

Teorema 11.17 Si 1 ≤ α < ω1, se cumple que Dfα(Σ01) = In(rα + 1).

Demostracion: Recordemos que r1 = [B], donde B es cualquier abiertobasico, y es claro entonces que B + ∅ es una union de abiertos basicos, luegor1 + 1 = Σ0

1 \Π01, luego In(r1 + 1) = Σ0

1 = Df1(Σ01).

Consideremos ahora α > 1 y supongamos que la igualdad es cierta para todoδ < α. Sea D = ∂α(Aδδ<α) ∈ Dfα(Σ

01) y sea rα = [R]. Veamos que II tiene

una estrategia ganadora para Jp(D,R+∅).La estrategia consiste en jugar 1 mientras las jugadas s de I no cumplan

Bs ⊂ Aδ para ningun δ < α. Si esto sucede durante toda la partida, la jugadafinal de I estara fuera de

⋃

δ<α

Aδ, luego fuera de D, y II habra jugado la sucesion

constante 1, que esta fuera de R+∅.Supongamos ahora que en un momento dado las jugadas de I terminan

cumpliendo Bs ⊂ Aδ0 , para un cierto δ0 < α. Si α es un ordinal sucesor podemostomar δ0 igual a su inmediato anterior (luego de paridad opuesta), mientras quesi α es un ordinal lımite, cambiando si hace falta δ0 por δ0 + 1 podemos exigirigualmente que la paridad de δ0 sea opuesta a la de α. Observamos que

D/s = ¬∂α(Aδ/sδ<δ0).

En efecto, x ∈ D/s si y solo si sx ∈ D, pero, como sx ∈ Aδ0 , el mınimo δtal que sx ∈ Aδ es δ ≤ δ0, luego tendra paridad opuesta a α si y solo si es δ0 obien es < δ0 y tiene la misma paridad que δ0, si y solo si sx ∈ ¬∂α(Aδδ<δ0),si y solo si x ∈ ¬∂α(Aδ/sδ<δ0). Por hipotesis de induccion tenemos que

D/s ∈ ¬Dfδ0(Σ01) = In(rδ0 + ¬1) ⊂ In(rα),

luego II tiene una estrategia ganadora τ para Jp(D/s,R), luego II solo tiene quejugar un 0 y, a partir de ese momento, usar la estrategia τ . Ası, si I juega sxy II juega (1, . . . , 1, 0)y, tenemos que

sx ∈ D ↔ y ∈ R↔ (1, . . . , 1, 0)y ∈ R+ ∅.

Con esto hemos probado que Dfα(Σ01) ⊂ In(rα + 1). Por el teorema 10.15

sabemos que q = Dfα(Σ01) \ ¬Dfα(Σ

01) es un grado de Wadge no autodual, y

acabamos de probar que q ≤ rα + 1. Si no se diera la igualdad, por el teo-rema 10.62 tendrıa que ser q = rδ + 1 o bien q = rδ + ¬1, para un δ < α,pero, por hipotesis de induccion esto supondrıa que Dfα(Σ

01) ⊂ Dfδ(Σ

01) o bien

Dfα(Σ01) ⊂ ¬Dfδ(Σ

01), en contra del caracter estricto de la jerarquıa de diferen-

cias. Ası pues, se da la igualdad.

410 Capıtulo 11. La jerarquıa de Wadge de los conjuntos de Borel

El teorema 10.62 implica ahora trivialmente la expresion de ∆02 indicada al

inicio de esta subseccion. Mas aun, podemos afirmar que las clases de diferen-cias, sus complementos y sus clases ambiguas correspondientes son las unicasclases cerradas para sustituciones continuas contenidas en ∆0

2.

11.1.3 Expansion

En esta seccion generalizaremos el resultado precedente, para lo cual intro-duciremos una nueva operacion sobre clases. Primeramente necesitamos unapropiedad elemental de las funciones Σ0

1+α-medibles:

Definicion 11.18 Si α < ω1, diremos que una funcion f : X −→ Y entreespacios polacos es de clase α si es Σ0

1+α-medible, es decir, si la antiimagen de

un abierto es Σ01+α.

De este modo, las funciones de clase 0 son las funciones continuas.

Teorema 11.19 Si f : X −→ Y es una funcion de clase α y A ∈ Σ01+β(Y ),

entonces f−1[A] ∈ Σ01+α+β(X).

Demostracion: Por induccion sobre β. Si β = 0 se trata de la definicion defuncion de funcion de clase α. Supongamos que el teorema es cierto para todoδ < β y sea A ∈ Σ0

1+β(Y ). Entonces existe una sucesion Ann∈ω de conjuntos

An ∈ Σ0δn(N) con δn < β tal que A =

⋃

n¬An, con lo que f−1[A] =

⋃

n¬f−1[An]

y, por hipotesis de induccion, f−1[An] ∈ Σ01+α+δn(X) ⊂ Σ0

1+α+β(X), luego

f−1[A] ∈ Σ01+α+β(X).

De aquı se sigue inmediatamente que si f : X −→ Y es una aplicacion declase α y g : Y −→ Z es de clase β, entonces f g es de clase α+ β.

Veamos ya la definicion de expansion de una clase. Por razones tecnicas esalgo compleja, pero veremos luego que para clases Gω-booleanas es equivalentea otra mucho mas natural.

Definicion 11.20 Sean Aii∈I y Bii∈I dos familias en (PN)I , sea E ⊂ N

un cerrado y α < ω1. Diremos que Bii∈I ∼=α Aii∈I (mod E) si h : N −→ Ebiyectiva, de clase α, con h−1 continua y tal que

∧

i ∈ I Bi = h−1[Ai]. En talcaso diremos que h es una reduccion de clase α de Bii∈I a Aii∈I modulo E.

Si H ⊂ (PN)I , definimos la expansion Hα como la clase de todas las fa-milias Bii∈I que cumplen Bii∈I ∼=α Aii∈I (mod E) para cierta familiaAii∈I ∈ H y cierto cerrado E ⊂ N.

Notemos que en general H ⊂ Hα, pues la identidad en N es una reduccion.

Empezamos probando que las expansiones conmutan con las transformacio-nes booleanas, para lo cual probamos primero lo siguiente:

11.1. Construccion de conjuntos ∆0α 411

Teorema 11.21 Sea α < ω1, sea F : (PN)I −→ (PN)J una transformacionbooleana, sea E ⊂ N cerrado y supongamos que Aii∈I ∼=α Bii∈I (mod E).Entonces F (Aii∈I) ∼=α F (Bii∈I) (mod E).

Demostracion: Sea h : N −→ E una reduccion. En particular Ai =h−1[Bi] y el teorema 11.4 nos da entonces que F (Aii∈I)j = h−1[F (Bii∈I)j ],lo que a su vez implica que F (Aii∈I) ∼=α F (Bii∈I) (mod E).

Teorema 11.22 Dada una transformacion booleana F : (PN)I −→ (PN)J , siH ⊂ (PN)I y α < ω1, se cumple que (HF )

α = (Hα)F .

Demostracion: Si Cjj∈J ∈ (HF )α, entonces existe una sucesion en HF ,

que sera de la forma F (Aii∈I), para cierta familia Aii∈I ∈ H , tal queCjj∈J ∼=α F (Aii∈I) (mod E), para cierto cerrado E. Sea h : N −→ E unareduccion. En particular Cj = h−1[F (Aii∈I)j ] = F [h−1[Ai]i∈I ]j , por 11.4.Si llamamos Bi = h−1[Ai], tenemos que Bii∈I ∼=α Aii∈I (mod E), luegoBii∈I ∈ Hα y Cjj∈J = F (Bii∈I) ∈ (Hα)F .

Recıprocamente, un elemento de (Hα)F es de la forma F (Bii∈I), paracierta familia Bii∈I ∈ Hα, que a su vez cumplira Bii∈I ∼=α Aii∈I (mod E),con Aii∈I ∈ H . Por el teorema anterior F (Bii∈I) ∼=α F (Aii∈I) (mod E),luego F (Bii∈I) ∈ (HF )

α.

En particular, (¬H)α = ¬Hα. Teniendo en cuenta que Dfδ(H) = (HDδ)∂δ ,

tambien tenemos que Dfδ(H)α = Dfδ(Hα).

El teorema siguiente (como se pone de manifiesto en su demostracion) vienea decir que cuando tenemos una cantidad numerable de reducciones podemosrealizarlas todas modulo un mismo cerrado E.

Teorema 11.23 Sea αnn∈ω una sucesion de ordinales numerables, sea α susupremo y sea Hnn∈ω una sucesion de subconjuntos de PN cerrados parasustituciones continuas. Entonces

∏

n∈ωHαnn ⊂ (

∏

n∈ωHn)

α.

Mas aun, si la sucesion αnn es monotona creciente, cada familia en∏

n∈ωHαnn

tiene una reduccion h : N −→ E de clase α a un elemento de∏

n∈ωHn con la

propiedad de que para cada s ∈ ωn se cumple que h−1[Bs] ∈ Σ01+αn

(N).

Demostracion: Tomemos Dnn∈ω ∈∏

n∈ωHαnn . Ası, para cada n ∈ ω

existe Cn ∈ Hn, un cerrado En ⊂ N y una reduccion hn : N −→ En de clase αntal que Dn = h−1

n [Cn].

Sea C′n = φ ∈ Nω | φn ∈ Cn, sea h

′ : N −→ Nω dada por h′(x) = (hn(x)),sea

E′ = φ ∈∏

n∈ωEn |

∧

ij ∈ ω(h−1i (φi) = h−1

j (φj)).

412 Capıtulo 11. La jerarquıa de Wadge de los conjuntos de Borel

Claramente h′ : N −→ E′ y E′ es cerrado en Nω. Mas aun, ası h′ es biyectiva y

su inversa h′−1 : E′ −→ N viene dada por h′−1(φ) = h−10 (φ0), que es continua,

por ser composicion de una proyeccion con h−10 . De hecho, h′ es una funcion

de clase α, pues para comprobarlo basta ver que la antiimagen de todo abiertobasico del producto esta en Σ0

1+α (pues todo abierto es union numerable deabiertos basicos), pero tal antiimagen es interseccion de un numero finito deconjuntos h−1

i [Gi], con Gi abierto en En, y cada una de ellas esta en la claseΣ0

1+αi⊂ Σ0

1+α. Observemos por ultimo que Dn = h′−1[C′n].

Ahora transportamos todo esto a traves de un homeomorfismo q : Nω −→ N,es decir, llamamos E′′ = q[E′], C′′

n = q[C′n] y tomamos h′′ : N −→ E′′ dada por

h′′ = h′ q, y ası h′′ prueba que Dnn∈ω ∼=α C′′nn∈ω (mod E′′). Ademas,

por construccion, C′′n ≤ Cn, luego C

′′n ∈ Hn, ya que esta clase es cerrada para

sustituciones continuas. Ası pues, C′′nn∈ω ∈

∏

n∈ωHn.

Solo falta probar que h′′ cumple la propiedad adicional que exige el enun-ciado. Para ello, si consideramos, concretamente, que q es el homeomorfismocanonico dado por q(xii∈ω)(〈i, j〉) = xi(j), como i ≤ 〈i, j〉 (porque i 7→ 〈i, 0〉es creciente, luego i ≤ 〈i, 0〉 ≤ 〈i, j〉), resulta que la condicion q(xii∈ω)|n = sdepende unicamente de x0|n, . . . , xn|n, luego q

−1[Bs] =⋂

i∈n

p−1i [Gi], donde Gi

es abierto en N y pi : Nω −→ N es la proyeccion i-esima. Por lo tanto,h′′−1[Bs] =

⋂

i∈n

h−1i [Gi] y cada antiimagen es de clase Σ0

1+αi, luego la inter-

seccion esta en Σ01+αn

.

Como primera aplicacion probamos:

Teorema 11.24 Sea α < ω1, sea I un conjunto numerable y sea Hii∈I unafamilia de subconjuntos de PN cerrados para sustituciones continuas. Entonces

∏

i∈I

Hαi = (

∏

i∈I

Hi)α,

⋂

i∈I

Hαi = (

⋂

i∈I

Hi)α.

Demostracion: Del teorema anterior obtenemos que∏

i∈I

Hαi ⊂ (

∏

i∈I

Hi)α.

Supongamos ahora que Bii∈I ∈ (∏

i∈I

Hi)α. Entonces

Bii∈I ∼=α Aii∈I (mod E),

con Aii∈I ∈∏

i∈I

Hi y E ⊂ N cerrado. Pero entonces Bi ≡α Ai (mod E), luego

Bi ∈ Hαi , luego Bii∈I ∈ (

⋂

i∈I

Hi)α.

Supongamos ahora que B ∈ (⋂

i∈I

Hi)α, de modo que B ∼=α A (mod E), con

A ∈⋂

i∈I

Hi. Esto implica que B ∈ Hαi para cada i, luego B ∈

⋂

i∈I

Hαi .

Recıprocamente, si B ∈⋂

i∈I

Hαi , entonces la sucesion constante Bi∈I esta

en∏

i∈I

Hαi , luego por la parte ya probada esta en (

∏

i∈I

Hi)α. Esto significa

11.1. Construccion de conjuntos ∆0α 413

que existe una familia Aii∈I ∈∏

i∈I

Hi tal que Bi∈I ∼= Aii∈I (mod E),

para cierto cerrado E. Si h : N −→ E es la reduccion correspondiente, comoh−1[Ai] = B para todo i, tiene que cumplirse que Ai ∩E sea independiente delındice i.

Sea r : N −→ E una retraccion (vease 1.17) y, fijado un i0 ∈ I, sea A′ =r−1[Ai0 ], de modo que de hecho A′ = r−1[Ai] para todo i ∈ I, luego A′ ≤ Ai,luego A′ ∈

⋂

i∈I

Hi. Ademas, como A′ ∩ E = Ai ∩ E, tambien se tiene que

B = h−1[A′], luego B ∼=α A′ (mod E), luego B ∈ (

⋂

i∈I

Hi)α.

El resultado analogo para uniones es trivial. Dejamos la comprobacion allector:

Teorema 11.25 Sea α < ω1 y sea Hii∈I una familia de subconjuntos de PN.Entonces

⋃

i∈I

Hαi = (

⋃

i∈I

Hi)α.

Seguidamente demostraremos que Gα = Σ01+α. Empezamos probando un

caso particular:

Teorema 11.26 Si G = Σ01 es la clase de los abiertos en N, entonces G1 = Σ0

2.

Demostracion: Veamos en primer lugar que Π01 ⊂ G1. Para ello tomamos

F ∈ Π01, es decir, un subconjunto cerrado de N, que podemos suponer distinto

de N y de ∅ (pues claramente G ⊂ G1). Sea sii<α (donde α ≤ ω) una enume-racion sin repeticiones de los elementos de ω<ω que no admiten una extensiona F , pero tales que todos sus segmentos iniciales estrictos sı que la admiten.Es claro entonces que ¬F =

⋃

i<α

Bsi , ası como que Bsi ∩ Bsj = ∅ siempre quei 6= j.

Por lo tanto, para cada x ∈ ¬F existe un unico i < α y un unico x′ ∈ N demodo que x = si

x′. Definimos h : N −→ N mediante

h(x) =(i+ 1)x si x ∈ ¬F ∧ x = si

x′,0x si x ∈ F .

Claramente la imagen de h es E = 0x | x ∈ F ∪⋃

i<α

Bsi , que es cerrado

en N. Ademas h es biyectiva en esta imagen, y su inversa es

h−1(x) =six′ si x = (i+ 1)x′,

x′ si x = 0x′.

Es claro que h−1 es continua, ası como que F = h−1[B0]. Para probar queF ∼=1 B0 (mod E) (y por tanto que F ∈ G1) solo falta probar que h es declase 1, para lo cual basta a su vez probar que h−1[Bt] es Σ

02 para todo t ∈ ω<ω.

Ahora bien, si t = 0t′ entonces h−1[Bt] = F ∩Bt′ , mientras que si t = (i+1)t′

entonces h−1[Bt] = ¬F ∩Bsi ∩Bt′ , que ciertamente es Σ02 en ambos casos.

Ahora tenemos que (Π01)ω ⊂ (G1)ω, luego, usando los resultados preceden-

tes,Σ0

2 = Fσ = ((Π01)ω)σ ⊂ ((G1)ω)σ = (G1)σ = (Gσ)

1 = G1.

414 Capıtulo 11. La jerarquıa de Wadge de los conjuntos de Borel

Recıprocamente, si A ∈ G1, entonces existe una reduccion h : N −→ E declase 1 y un abierto B ∈ G de modo que A = h−1[B], lo que implica que A ∈ Σ0

2,por definicion de aplicacion de clase 1.

Notemos que trivialmente G0 = G. En efecto, si A ∈ G0 existe un ho-meomorfismo h : N −→ E y un abierto B en N tal que A = h−1[B], luegoA ∈ G.

Teorema 11.27 Si H ⊂ (PN)I y α, β < ω1, entonces (Hα)β ⊂ Hβ+α.

Luego veremos que para clases Gω-booleanas se da la igualdad.

Demostracion: Si Cii∈I ∈ (Hα)β , existe una reduccion h : N −→ E declase β y una familia Bii∈I ∈ Hα tal que Ci = h−1[Bi] para todo i. A su vez,existe una reduccion h′ : N −→ E′ de clase α y una familia Aii∈I ∈ H tal queBi = h′−1[Ai]. Es claro entonces que h h′ es una reduccion de clase β + α queprueba que Cii∈I ∈ Hβ+α.

Teorema 11.28 Si α < ω1, entonces Gα = Σ0

1+α.

Demostracion: Lo tenemos ya probado cuando α = 0, 1. Supongamosahora que α > 1 y que el teorema es cierto para ordinales menores que α. SiA ∈ Gµ, entonces A es la antiimagen de un abierto por una aplicacion de claseα, luego A ∈ Σ0

1+α.

Supongamos ahora que A ∈ Σ01+α, entonces A =

⋃

n∈ωFn, con Fn ∈ Π0

1+αn,

con αn < α. Por hipotesis de induccion ¬Fn ∈ Gαn , luego, usando que ¬ esuna operacion booleana y que estas conmutan con las expansiones, Fn ∈ Fαn ,donde F es la clase de los cerrados. Hemos visto que F ⊂ G1, y por el teoremaanterior Fαn ⊂ (G1)αn ⊂ G1+αn ⊂ Gα, luego

A ∈ (∏

n∈ωGα)σ = ((ωG)α)σ = ((ωG)σ)

α = Gα,

donde hemos escrito ωG en lugar de Gω para que no se confunda la familia desucesiones numerables de abiertos con la expansion de orden ω.

Teorema 11.29 Si H es una clase Gω-booleana en (PN)I y α < ω1, entoncesHα tambien es Gω-booleana.

Demostracion: Tenemos que H = (Gω)F , para cierta transformacionbooleana F , luego Hα = ((ωG)F )

α = ((ωG)α)F = (ω(Gα))F = ((Σ01+α)

ω)F y,

como Σ01+α es Gω-booleana por 11.11 y (Σ0

1+α)ω lo es por 11.10, concluimos

que Hα tambien lo es.

Teorema 11.30 Si H ⊂ (PN)I es una clase Gω-booleana y α, β < ω1, entonces(Hα)β = Hβ+α.

11.1. Construccion de conjuntos ∆0α 415

Demostracion: Basta probar el teorema cuando H = G pues, aceptandoesto,

(Hα)β = (((ωG)F )α)β = (ω((Gα)β))F = (ω(Gβ+α))F = ((ωG)F )

β+α = Hβ+α.

Veamos que (Gα)β = Gα+β por induccion sobre α. Para α = 0 es trivial,pues G0 = G. Supongamos que el resultado es cierto para ordinales menoresque α > 0. Sea αnn∈ω una enumeracion de los ordinales menores que α enla que cada uno aparezca infinitas veces. Entonces, como Gα = Σ0

1+α, cada

elemento de Gα es de la forma⋃

n∈ωAn con An ∈ Π0

1+αn= Fαn , luego

(Gα)β = ((∏

n∈ωFαn)σ)

β = ((∏

n∈ωFαn)β)σ = (

∏

n∈ω(Fαn)β)σ

= (∏

n∈ωF β+αn)σ = (

∏

n∈ωΠ0

1+β+αn)σ = Σ0

1+β+α = Gβ+α,

donde hemos usado que, por hipotesis de induccion, (Gαn)β = Gβ+αn , luego,aplicando el operador booleano ¬, tambien (Fαn)β = F β+αn .

Finalmente veamos que, tal y como anunciabamos, las expansiones de lasclases Gω-booleanas tienen una caracterizacion mucho mas simple:

Teorema 11.31 Sea H ⊂ (PN)I una clase Gω-booleana y α < ω1. Entonces

Hα = f−1[Ai]i∈I | Aii∈I ∈ H ∧ f : N −→ N es de clase α.

Demostracion: Llamemos H ′ al termino derecho de la igualdad. Clara-mente Hα ⊂ H ′ porque las reducciones de clase α son aplicaciones de clase α.Sea F : (PN)ω −→ (PN)I una transformacion booleana tal que H = (Gω)F .Entonces H ′ ⊂ (ω(Gα))F . En efecto, toda sucesion Aii∈I ∈ H es de la formaAii∈I = F (Bnn∈ω), con Bn ∈ G y, si f : N −→ N es de clase α, entonces

f−1[Ai]i∈I = f−1[F (Bnn∈ω)i]i∈I = F (f−1[Bn]n∈ω)ii∈I

y claramente f−1[Bn]n∈ω ∈ ω(Σ0α) =

ω(Gα).

Pero (ω(Gα))F = ((ωG)α)F = ((Gω)F )α = Hα, luego H ′ ⊂ Hα.

Finalmente podemos probar:

Teorema 11.32 Si 1 ≤ α < ω1, se cumple

∆0α+1 =

⋃

1≤δ<ω1

Dfδ(Σ0α).

Demostracion: Podemos cambiar α por 1 + α, con 0 ≤ α < ω1. Sabemosque

∆02 =

⋃

1≤δ<ω1

Dfδ(Σ01).

416 Capıtulo 11. La jerarquıa de Wadge de los conjuntos de Borel

Por 11.25, 11.28 y la observacion tras el teorema 11.22 tenemos que

(∆02)α =

⋃

1≤δ<ω1

Dfδ((Σ01)α) =

⋃

1≤δ<ω1

Dfδ(Σ01+α).

Por otra parte,

(∆02)α = ((Σ0

1)1 ∩ ¬(Σ0

1)1)α = ((Σ0

1)1)α ∩ ¬((Σ0

1)1)α = (Σ0

1)α+1 ∩ ¬(Σ0

1)α+1

= Σ01+α+1 ∩ ¬Σ0

1+α+1 = ∆01+α+1.

11.1.4 Uniones separadas y partidas

Introducimos ahora varias familias de operaciones sobre clases con las cualesestaremos en condiciones de construir los conjuntos ∆0

λ, donde λ es un ordinallımite.

Definicion 11.33 Si H ⊂ PN y α < ω1, definimos Ptα(H) como la clase detodos los conjuntos de la forma

⋃

n∈ω(An ∩Gn),

donde Ann∈ω ∈ Hω y Gnn∈ω es una particion de N en conjuntos Σ01+α

disjuntos dos a dos.

Notemos que Ptα(H) contiene tambien las uniones finitas de esta forma,pues siempre se pueden completar a uniones numerables tomando Gn = ∅ paran grande.

La clase Sp+α (H) se define igual, salvo que no exigimos que la union de losconjuntos Gn sea N (pero sı que sean disjuntos dos a dos).

Definimos tambien Sp−α (H) = ¬Sp+α (¬H) y Spα(H) = Sp+α (H) ∪ Sp−α (H).

El teorema siguiente nos da las relaciones basicas entre estas clases:

Teorema 11.34 Si α < β, entonces

H ⊂ Ptα(H) = Sp+α (H) ∩ Sp−α (H) ⊂ Ptβ(H).

Demostracion: Dado un conjunto A ∈ H , basta tomar An = A, G0 = N

y Gn+1 = ∅ para justificar que A ∈ Ptα(H). Por otra parte, la inclusionPtα(H) ⊂ Ptβ(H) es trivial, al igual que Ptα(H) ⊂ Sp+α (H) ∩ Sp−α (H).

Tomemos B ∈ Sp+α (H) ∩ Sp−α (H). Entonces

B =⋃

n∈ω(An ∩Gn),

11.1. Construccion de conjuntos ∆0α 417

donde Ann∈ω ∈ Hω y Gnn∈ω es una sucesion de conjuntos Σ01+α disjuntos

dos a dos. Por otro lado,

¬B =⋃

n∈ω(¬A′

n ∩G′n),

con A′nn∈ω y G′

nn∈ω en las mismas condiciones que Ann∈ω y Gnn∈ω.

Ası B ∩Gn = An ∩Gn y B ∩G′n = A′

n ∩G′n. Ademas

⋃

n∈ωGn ∪

⋃

n∈ωG′n = N,

pues contiene a B ∪ ¬B.Sea G′′

nn∈ω una enumeracion de los Gn y los G′n y sea A′′

nn∈ω la enume-racion correspondiente de los An y A′

n. Ası B ∩G′′n = A′′

n ∩G′′n y

⋃

n∈ωG′′n = N.

Segun 4.22 la clase Σ01+α tiene la propiedad de reduccion generalizada, lo

cual significa que existen conjuntos G′′′n ⊂ G′

n de clase Σ01+α disjuntos dos a dos

tales que⋃

n∈ωG′′′n = N.

Claramente sigue siendo cierto que B ∩G′′′n = A′′

n ∩G′′′n , ası como que

B =⋃

n∈ω(A′′

n ∩G′′′n ),

lo que prueba que B ∈ Ptα(H).

El resultado de componer dos de estas operaciones es trivial en muchos casos:

Teorema 11.35 Para todo par de ordinales α ≤ β < ω1 se cumple

Sp+α Sp+α = Sp+α , Sp−α Sp−α = Sp−α , Ptα Ptα = Ptα,

Ptα Sp+β = Sp+

β , Ptα Sp−β = Sp−β Ptα Spβ = Spβ

Demostracion: Todas las pruebas son sencillas. Veamos por ejemplo lacuarta igualdad. Dado H ⊂ PN, vemos que H ⊂ Ptα(H), de donde concluimosque Sp+β (H) ⊂ Sp+β (Ptα(H)). Tomemos ahora C ∈ Sp+β (Ptα(H)). Esto significaque

C =⋃

n∈ω(Cn ∩Gn),

con Cn ∈ Ptα(H) y Gnn∈ω una familia de conjuntos Σ01+β disjuntos dos a

dos. A su vez,Cn =

⋃

m∈ω(Cnm ∩G′

nm),

con Cnm ∈ H y G′nmm∈ω una particion deN en conjuntosΣ0

1+α. Sea G′′nn∈ω

una enumeracion de los conjuntos Gn∩G′nm. Es claro que se trata de una familia

de conjuntos Σ01+β disjuntos dos a dos. Sea C′′

nn∈ω la enumeracion de los Cnmcorrespondiente a G′′

nm. Es claro que

C =⋃

n∈ω(C′′

n ∩G′′n) ∈ Sp+

β (H).

Veamos ahora un hecho elemental:

418 Capıtulo 11. La jerarquıa de Wadge de los conjuntos de Borel

Teorema 11.36 Si H ⊂ PN es una clase cerrada para sustituciones continuas,tambien lo son Spα(H), Sp+α (H), Sp−α (H) y Ptα(H).

Demostracion: Si C ∈ Sp+α (H), entonces

C =⋃

n∈ω(Cn ∩Gn),

en las condiciones de la definicion. Si B = f−1[C], para cierta funcion continuaf : N −→ N, entonces

f−1[C] =⋃

n∈ω(f−1[Cn] ∩ f

−1[Gn]),

tambien cumple la definicion, luego f−1[C] ∈ Sp+α (H). Las pruebas restantes

son similares.

Veamos ahora el efecto que tiene la expansion sobre estas clases:

Teorema 11.37 Si α, β < ω1 y H ⊂ PN es una clase cerrada para sustitu-ciones continuas, entones Ptβ(H)α = Ptα+β(H

α), e igualmente sucede con lasoperaciones Spβ, Sp

+β y Sp−β .

Demostracion: Tomemos C ∈ Ptβ(H)α. Entonces existe un B ∈ Ptβ(H)y un E ⊂ N cerrado tal que C ≡α B (mod E). Sea h : N −→ E una reduccion.A su vez

B =⋃

n∈ω(An ∩Gn),

donde An ∈ H y Gnn∈ω es una particion de N en conjuntos Σ01+β. Entonces

C = h−1[B] =⋃

n∈ω(h−1[An] ∩ h

−1[Gn]).

Se cumple que h−1[An] ≡ An (mod E), luego h−1[An] ∈ Hα. Por otra parte,h−1[Gn]n∈ω es una particion de N en conjuntos Σ0

1+α+β , por 11.19. Estoprueba que C ∈ Ptα+β(H

α).

Tomemos ahora C ∈ Ptα+β(Hα), de modo que

C =⋃

n∈ω(A′

n ∩G′n),

donde A′n ∈ Hα y G′

nn∈ω es una particion de N en conjuntos de claseΣ0

1+α+β = Gα+β = (Gβ)α = (Σ01+β)

α, por 11.27 y 11.28.El teorema 11.23 nos da que Ann∈ω ∈ (Hω)α. Esto significa que existe un

(mismo) cerrado E ⊂ N y una (misma) reduccion h : N −→ E de clase α tal queA′n = h−1[A′′

n] y G′n = h−1[G′′

n], para ciertos conjuntos A′′n ∈ H y G′′

n ∈ Σ01+β .

Usando el teorema 11.21 concluimos que

C ≡α⋃

n∈ω(A′′

n ∩G′′n) (mod E).

11.1. Construccion de conjuntos ∆0α 419

Los conjuntos G′′n ∩ E tienen que ser disjuntos dos a dos, pues si no los G′

n nolo serıan, pero no podemos asegurar que los G′′

n sean una particion de N. Paraarreglar esto tomamos una retraccion r : N −→ E y llamamos Gn = r−1[G′′

n],An = r−1[A′′

n]. Ası los Gnn∈ω son una particion de N en conjuntos Σ01+β y

An ∈ H . Como An ∩ E = A′′n ∩ E y Gn ∩ E = G′′

n ∩ E, es claro que

C ≡α⋃

n∈ω(An ∩Gn) (mod E),

y ahora sı que podemos concluir que C ∈ Ptβ(H)α. Las pruebas para las otrasoperaciones son analogas.

Finalmente necesitamos un resultado tecnico que nos permitira obtener lasprimeras aplicaciones de las operaciones que hemos introducido aquı:

Teorema 11.38 Si H ⊂ PN es cerrada para sustituciones continuas, entonces

A ∈ Pt0(H) ↔∧

x ∈ N∨

k ∈ ω A/(x|k) ∈ H.

Demostracion: Supongamos que A ∈ Pt0(H). Entonces

A =⋃

n∈ω(An ∩Gn),

en las condiciones de la definicion anterior. Dado x ∈ N, existe un n tal quex ∈ Gn, luego existe un k tal que Bx|k ⊂ Gn. Como los abiertos son disjuntos,Bx|k ∩Gm = ∅ para todo m 6= n. Ası pues,

A/(x|k) = An/(x|k) ≤ An,

luego A/(x|k) ∈ H .

Recıprocamente, si A tiene la propiedad del enunciado, sea

L = s ∈ ω<ω | A/s ∈ H ∧∧

t ∈ ω<ω(t s→ A/t /∈ H).

Claramente∧

x ∈ N∨

k ∈ ω x|k ∈ L, y los elementos de L son incompatiblesdos a dos. Esto implica que, Bss∈L es una particion de N.

Para cada s ∈ L sea

As = tx | t ∈ ω<ω ∧ x ∈ N ∧ ℓ(t) = ℓ(s) ∧ sx ∈ A.

Ası Bs ∩ As = Bs ∩ A y As ≤ A, pues para ganar Jp(As, A) el jugador IIsolo tiene que jugar s y luego copiar las jugadas siguientes de I. Esta ultimacondicion implica que As ∈ H . Ası, A =

⋃

s∈L

(As ∩Bs) ∈ Pt0(H).

Ahora podemos probar que Pt0 determina la clase inicial de un supremo:

Teorema 11.39 Se cumple que

In(⊕

n∈ωan) = Pt0(

⋃

n∈ωIn(an)).

420 Capıtulo 11. La jerarquıa de Wadge de los conjuntos de Borel

Demostracion: La clase H =⋃

n∈ωIn(an) es cerrada para sustituciones

continuas, luego podemos aplicar el teorema anterior.

Sea Ann∈ω tal que an = [An] y sea C =⊕

n∈ωAn. Dado A ∈ PN, se cumple

que A ≤ C si y solo si II tiene una estrategia ganadora para Jp(A,C). Teniendoen cuenta que II puede pasar, esto equivale a que, para cualquier sucesion x ∈ N

de posibles jugadas de I, existen un k y un n tales que si I juega x|k y II hapasado hasta ese momento para despues jugar n, entonces II tiene una estrategiaganadora para el juego Jp(A/(x|k), An). Equivalentemente,

∧

x ∈ N∨

kn ∈ ω A/(x|k) ≤ An),

y esto a su vez equivale a∧

x ∈ N∨

k ∈ ω A/(x|k) ∈ H.

El teorema anterior nos da que esto equivale a que A ∈ Pt0(H).

Similarmente, las operaciones Sp+0 y Sp−0 determinan las clases iniciales de

los grados b∗ y b:

Teorema 11.40 Para todo grado b se cumple:

In(b∗) = Sp+0 (In(b)), In(b) = Sp−

0 (In(b)).

Demostracion: Sea b = [B] y tomemos C ∈ Sp+0 (In(B)). Entonces

C =⋃

n∈ω(An ∩Gn),

donde An ≤ B y los Gn son abiertos disjuntos dos a dos. Tenemos que probarque C ≤ B∗. En efecto, una estrategia ganadora para II en Jp(C,B

∗) es lasiguiente:

II empieza jugando ceros, y sigue ası hasta que las jugadas s de I cumplanBs ⊂ Gn para algun n. Si esto nunca sucede, entonces las jugadas de I terminanfuera de C y las jugadas de II (todas nulas) terminan fuera de B∗, luego II ganala partida.

Si se da el caso de que las jugadas de I cumplen Bs ⊂ Gn, entonces sucedeque C/s = An/s ≤ An ≤ B, luego II puede jugar un 1 y continuar aplicandouna estrategia ganadora para Jp(C/s,B).

Como Sp+0 (In(b)) es cerrada para sustituciones continuas, basta probar que

B∗ ∈ Sp+0 (In(b)). Sea rnn∈ω una enumeracion de todas las sucesiones de ω<ω

que tienen nulas todas sus componentes menos la ultima. Definimos

An = tx | t ∈ ω<ω ∧ ℓ(t) = ℓ(rn) ∧ x ∈ B.

Ası B∗ =⋃

n∈ω(An∩Brn), los Brn son abiertos disjuntos dos a dos y An ≤ B,

pues para ganar en Jp(An, B) el jugador II solo tiene que pasar ℓ(rn) veces yluego copiar las jugadas siguientes de I. Esto prueba que B∗ ∈ Sp+0 (In(b)).

11.1. Construccion de conjuntos ∆0α 421

La prueba para b se obtiene modificando ligeramente la anterior, aunque enla practica nos interesara unicamente el caso en que b es autodual, y entoncesla igualdad se sigue trivialmente de la ya probada.

Analogamente, las operaciones Sp±1 determinan las clases iniciales de losgrados b♯ y b:

Teorema 11.41 Para todo grado b se cumple:

In(b♯) = Sp+1 (In(b)), In(b) = Sp−1 (In(b)).

Demostracion: Sea b = [B]. Hemos de probar que

In(B♯) = Sp+1 (In(B)), In(B) = Sp−1 (In(B)).

Veremos la primera igualdad unicamente, pues la segunda es muy similar.Sea snn∈ω la enumeracion canonica de ω<ω y sea

G0 = x+ | x ∈ N, Gn+1 = sn0x+ | x ∈ N

Es claro que Gn ∈ Π01 ⊂ Σ0

2, ası como que los Gn son disjuntos dos a dos.Sea

A0 = x | x− ∈ B, An+1 = wx | w ∈ ω<ω ∧ ℓ(w) = ℓ(sn) + 1 ∧ x− ∈ B,

donde x− es la sucesion que resulta de restar 1 a las componentes no nulas de x.Claramente An ∩Gn = B♯ ∩Gn y B♯ ⊂

⋃

n∈ωGn, luego

B♯ =⋃

n∈ω(An ∩Gn).

Ademas An ≤ B, pues para ganar en Jp(An, B) el jugador II solo tieneque pasar las primeras ℓ(sn−1) + 1 jugadas (ninguna si n = 0) y luego copiarlas jugadas de I restandoles 1 si son no nulas. Por lo tanto, An ∈ In(b) yB♯ ∈ Sp+

1 (In(b)). Como esta clase es cerrada para sustituciones continuas,In(b♯) ⊂ Sp+

1 (In(b)).

Tomemos ahora C ∈ Sp+1 (In(b)), de modo que

C =⋃

n∈ω(An ∩Gn)

con Gn ∈ Σ02 disjuntos dos a dos y An ≤ B. Sea τn una estrategia ganadora

para II en Jp(An, B). En la prueba de 10.62 vimos que N♯ es Σ02-completo, luego

existe una estrategia ganadora ρn para II en Jp(Gn,N♯). Esto significa que si

se aplica la estrategia ρn a una sucesion x de jugadas de I, se cumple x ∈ Gnsi y solo si las respuestas de II tienen un numero finito de ceros. Fijemos unaenumeracion knn∈ω de ω en la que cada numero natural aparezca infinitasveces.

422 Capıtulo 11. La jerarquıa de Wadge de los conjuntos de Borel

La estrategia para II en Jp(C,B♯) es la siguiente: II empieza aplicando la

estrategia τ+k0 a las jugadas de I (esto significa sumar 1 a cada jugada recomen-dada por la estrategia τk0), pero inicia una partida auxiliar en la que les aplicala estrategia ρk0 . Sigue ası hasta que en el juego auxiliar ρk0 le lleva a jugarun 0. Entonces juega 0 en la partida principal y pasa aplicar la estrategia τ+k1desde la primera jugada de I, a la vez que inicia una partida auxiliar con k1tambien desde la primera jugada de I (salvo que k1 = k0, en cuyo caso continuala partida auxiliar ya iniciada). En general, si II esta aplicando la estrategiaσ+kn

en la partida principal y juega a la vez el juego auxiliar ρkn , continua asımientras ρkn no le lleve a jugar un 0 y, si esto ocurre, juega un 0 en la partidaprincipal y pasa a aplicar τ+kn+1

en la partida principal (empezando con la pri-

mera jugada de I), a la vez que continua la partida con ρkn+1 donde la dejo (sies que kn+1 = ki, para un i ≤ n) o inicia una nueva partida auxiliar con estaestrategia, si es que kn+1 no habıa aparecido antes.

La estrategia es ganadora, pues si las jugadas de I forman una sucesionx /∈

⋃

n∈ωGn, entonces todas las estrategias ρkn llevan a jugar un 0 tras un

numero finito de pasos, por lo que II nunca dejara de jugar 0 de tanto en tanto,y la sucesion de sus jugadas no estara en B♯. Por el contrario, si las jugadas deI forman una sucesion x ∈ Gk∗ , entonces la estrategia ρk∗ aplicada a x tendraun numero finito de ceros, digamos m, y si n ∈ ω es el numero natural que haceque kn sea el m+ 1-esimo k∗ que aparece en la sucesion knn∈ω, tenemos queII descartara todas las estrategias ρkl para l < n, pero cuando pase a adoptar laestrategia ρkn , el juego auxiliar correspondiente ya tendra jugados sus m ceros,por lo que no habra ningun cambio mas de estrategia, y la jugada final de IIsera de la forma s0(x ∗ τk∗)

+II, que estara en B♯ si y solo si (x ∗ τk∗)II ∈ B, si

y solo si x ∈ An, si y solo si x ∈ C (dado que estamos suponiendo que x ∈ Gn).Ası pues, C ∈ In(B♯).

Veamos un par de aplicaciones de las expresiones que acabamos de obtener:

Teorema 11.42 Si H es una union numerable de clases Gω-booleanas, enton-ces Sp+0 (H) es Gω-booleana.

Demostracion: Sea H =⋃

n∈ωHn, donde cada Hn es Gω-booleana. Por

11.16 se cumple que Hn = In(bn), para cierto grado bn no autodual. Llamemosb =

⊕

n∈ωbn. Entonces, por 11.39 y 11.40,

Sp+0 (H) = Sp+0 (Pt0(

⋃

n∈ωIn(bn))) = Sp+0 (In(b)) = In(b+ 1).

Supongamos en primer lugar que cada bn ∈ ∆02, con lo que tambien b ∈ ∆0

2

(ya que esto equivale a tener rango numerable). Entonces b = rα para ciertoα < ω1 (pues b es autodual por ser un supremo numerable), y entonces 11.17nos da que In(b+ 1) = Dfα(Σ

01), que es una clase Gω-booleana por 11.12.

Ası pues, podemos suponer que algun bn no esta en ∆02 y, como al eliminar

los bi que sı lo sean el supremo no varıa, podemos suponer de hecho que ningunbn ∈ ∆0

2, y en particular que rω ≤ bn para todo n.

11.1. Construccion de conjuntos ∆0α 423

Fijemos una sucesion mnn∈ω en ω en la que cada numero natural aparezcainfinitas veces. Llamemos Kn = Hmn

y cn = bmn, de modo que Kn = In(cn).

Es claro entonces que Sp+0 (H) esta formado por los conjuntos de la forma⋃

n∈ω(An ∩Gn),

donde Gnn∈ω es una sucesion de abiertos disjuntos dos a dos y An ∈ Kn.Esto significa que Sp+0 (H) resulta de aplicar una transformacion booleana alproducto de

∏

n∈ωKn por la clase de las sucesiones de abiertos disjuntos, pero

sucede que esta no es Gω-booleana, por lo que no podemos concluir directamenteque Sp+0 (H) lo sea. Para resolver esto demostramos que Sp+

0 (H) coincide conla clase L formada por los conjuntos de la forma

D =⋃

n∈ω(An ∩Gn) \

⋃

m 6=n

(Gm ∩Gn),

con Ann∈ω ∈∏

n∈ωKn y Gnn∈ω ∈ Gω. Como ambas clases son Gω-booleanas

y su producto tambien, resulta que L es Gω-booleana.

La inclusion Sp+0 (H) ⊂ L es trivial. Tomemos ahora D ∈ L, de modo que

tiene la expresion anterior. Sea E =⋃

m 6=n

(Gm ∩ Gn). Por la propiedad de

reduccion generalizada 4.22, existe una familia G′nn∈ω de abiertos disjuntos

dos a dos tal que G′n ⊂ Gn y

⋃

n∈ωG′n =

⋃

n∈ωGn. Es facil ver que

D =⋃

n∈ω((An \ E) ∩G′

n).

Veamos ahora que An \E ≤ ∅+An (notemos que E es abierto). En efecto,II gana el juego Jp(An \ E,∅ + An) sin mas que sumar 1 a las jugadas de Imientras estas formen una sucesion s tal que Bs no este contenido en E. Si estopasa durante toda la partida, si I ha jugado x /∈ E, entonces II ha jugado x+,de modo que x ∈ An \ E ↔ x ∈ An ↔ x+ ∈ ∅+An.

Si en un momento dado se cumple Bs ⊂ E, entonces II juega un 0 y luegocualquier cosa, y entonces x /∈ An \ E y las jugadas de II no estan tampoco en∅+ An. Ası pues

[An \ E] ≤ 1 + [An] ≤ 1 + cn.

Pero rω < cn, luego por 10.48 existe un grado dn tal que cn = rω + dn, luego

[An \E] ≤ 1 + rω + dn = rω + dn = cn,

donde hemos usado que 1 + rω = rω , pues

1 + rω = 1 + r1ω = 1 +⊕

1≤n<ω

r1n =⊕

1≤n<ω

(1 + r1n)

≤⊕

1≤n<ω

(r1 + r1n) =⊕

1≤n<ω

r1(1 + n) = r1ω = rω .

Concluimos que An \ E ∈ Kn, luego D ∈ Sp+0 (H).

424 Capıtulo 11. La jerarquıa de Wadge de los conjuntos de Borel

Teorema 11.43 Si H es una union numerable de clases Gω-booleanas, enton-ces Sp+1 (H) es Gω-booleana.

Demostracion: Sea H =⋃

n∈ωHn, donde cada Hn es Gω-booleana. Por

11.16 se cumple que Hn = In(bn), para cierto grado bn no autodual. Llamemosb =

⊕

n∈ωbn. Entonces, por 11.39 y 11.41,

Sp+1 (H) = Sp+1 (Pt0(H)) = Sp+1 (In(b)) = In(b♯).

Supongamos que b ∈ ∆02. En la prueba del teorema 10.62 hemos visto

que (¬1)♯ = (¬1)♯♯ es un grado Σ02-completo, por lo que b ≤ (¬1)♯, de donde

b♯ ≤ (¬1)♯♯ = (¬1)♯. Salvo si b = 1, tenemos que ¬1 ≤ b, luego (¬1)♯ ≤ b♯. Endefinitiva, b♯ = (¬1)♯ o bien b♯ = 1♯ = 1. Por consiguiente, In(b♯) = Σ0

2 o bienIn(b♯) = 1, y ambas clases son Gω-booleanas.

Supongamos ahora que b /∈ ∆02. Definimos L como la clase formada por los

conjuntos de la forma

D =⋃

n∈ω(An ∩ (Gn \Gn+1)),

donde Gnn∈ω es una sucesion decreciente de abiertos y An ∈ In(b∗). Porel teorema anterior y 11.40 tenemos que In(b∗) = Sp+

0 (In(b)) es una clase Gω-booleana, luego tambien lo es In(b∗)ω, ası como la clase de sucesiones decre-cientes de abiertos. Como el operador que define D es claramente booleano,concluimos que L es una clase Gω-booleana, y solo tenemos que probar queIn(b♯) = L.

Como los conjuntos Gn \Gn+1 son Σ02 y disjuntos dos a dos, es obvio que

L ⊂ Sp+1 (In(b∗)) = Sp+1 (Sp

+0 (In(b))) = Sp+1 (In(b)) = In(b♯).

Como L es Gω-booleana, es cerrada para sustituciones continuas, luego paraprobar la inclusion opuesta basta ver que b♯ ⊂ L. Para ello, tomamos B ∈ b ytenemos que ver que B♯ ∈ L. Para ello tomamos la sucesion Gnn∈ω en la queGn es el conjunto de los elementos de N con al menos n ceros. Claramente esuna sucesion decreciente de abiertos. Sea An = A♯ ∩ (Gn \Gn+1). Claramente

B♯ =⋃

n∈ω(An ∩ (Gn \Gn+1)),

luego solo necesitamos demostrar que An ≤ B∗ ≡ B +∅.

Observemos que A0 esta formado por las sucesiones x+ con x ∈ B. Equi-valentemente, A0 = ∅ + B. Para n > 0, tenemos que An esta formado por lassucesiones de la forma s0x+, donde s tiene exactamente n−1 ceros y x ∈ B.De la propia definicion de suma se sigue entonces que

An = ∅+B +∅+ · · ·+∅︸ ︷︷ ︸

n

11.1. Construccion de conjuntos ∆0α 425

Como ∅ + ∅ = ∅, resulta que [An] = 1 + b + 1. Ahora usamos que rω ≤ bpor lo que, como en la prueba del teorema anterior, 1 + b = b, luego [An] =b + 1 = [B∗].

Seguidamente demostramos que las diferencias de Σ0β pueden obtenerse ite-

rando el operador Spβ . Primer definimos las iteraciones, luego lo probamos paraβ = 0 y luego en general:

Definicion 11.44 Si Γ ⊂ PN, α < ω1 y β ≤ ω1, definimos

Sp0α(Γ) = Γ, Spβα(Γ) = Spα(

⋃

δ<β

Spδα(Γ)).

Usando 11.37 es facil ver (por induccion sobre β) que

Spβα(Γ)γ = Spβγ+α(Γ

γ).

Teorema 11.45 Si 1 ≤ α < ω1, se cumple que

Dfα(Σ01) ∪ ¬Dfα(Σ

01) = Spα0 (∅,N).

Demostracion: Para α = 1 es facil comprobar que

Sp10(∅,N) = Sp+0 (∅,N) ∪ Sp−

0 (∅,N) = Σ01 ∪Π0

1 = Df1(Σ01) ∪Df1(Π

01).

Tomemos ahora α > 1 y supongamos el teorema cierto para δ < α. Entonces

Spα0 (∅,N) = Sp0(⋃

1≤δ<α

Spδ0(∅,N))

= Sp0(Pt0(⋃

1≤δ<α

(In(rδ + 1) ∪ Im(rδ + ¬1))))

= Sp0(In(⊕

1≤δ<α

((rδ + 1)⊕ (rδ + ¬1))) = Sp0(In(rα))

= Sp+0 (In(rα)) ∪ Sp−0 (In(rα)) = In(rα + 1) ∪ In(rα + ¬1)

= Dfα(Σ01) ∪ ¬Dfα(Σ

01)

Notemos que podemos tomar la union para 1 ≤ δ < α porque tenemos la in-clusion Sp00(∅,N) ⊂ Sp10(∅,N), luego hemos usado la hipotesis de induccionmas 11.17 y luego 11.39 aplicado a la familia numerable formada por todos losrδ + 1 y rδ + ¬1.

Teorema 11.46 Si 1 ≤ α, β < ω1, se cumple que

Dfα(Σ0β) ∪ ¬Dfα(Σ

0β) = Spαβ(∅,N).

426 Capıtulo 11. La jerarquıa de Wadge de los conjuntos de Borel

Demostracion:

Dfα(Σ01+β) ∪ ¬Dfα(Σ

01+β) = Dfα((Σ

01)β) ∪ ¬Dfα((Σ

01)β)

= (Dfα(Σ01))

β ∪ ¬(Dfα(Σ01))

β = (Dfα(Σ01) ∪ ¬Dfα(Σ

01))

β

= (Spα0 (∅,N))β = Spαβ(∅,Nβ) = Spαβ (∅,N).

En estos terminos, el teorema 11.32 se puede expresar en la forma

∆0α+1 =

⋃

1≤δ<ω1

Spδα(∅,N) = Spω1α (∅,N).

La ventaja de esta expresion es que es generalizable al caso de ordinaleslımite. Para ello, si λ es un ordinal lımite, definimos

Sp(λ)(Γ) =⋃

δ<λ

Spδ(Γ)

y para cada ordinal β ≤ ω1 definimos Spβ(λ)(Γ) analogamente a como hemos

definido Spβλ(Γ), pero cambiando Spλ por Sp(λ).

Observemos que esta definicion solo tiene interes para ordinales lımite, puesSp(α+1) = Spα, luego tambien Spβ(α+1) = Spβα.

Teorema 11.47 Si una clase Γ ⊂ PN contiene a ∅ y a N, entonces, para todoordinal lımite λ, se cumple que

Ptλ(Γ) = Spω1

(λ)(Γ).

Demostracion: Observemos en primer lugar que si H ⊂ Ptλ(Γ) y δ < λ,entonces, por 11.34 tenemos que

Spδ(H) ⊂ Ptλ(H) ⊂ Ptλ(Ptλ(Γ)) = Ptλ(Γ),

luego Sp(λ)(H) ⊂ Ptλ(Γ). De aquı deducimos por induccion sobre β que

Spβ(λ)(Γ) ⊂ Ptλ(Γ). En efecto, es trivialmente cierto para β = 0 y, si vale

para δ < β, entonces

Spβ(λ)(Γ) = Sp(λ)(⋃

δ<λ

Spδ(λ)(Γ)) ⊂ Ptλ(Γ),

aplicando lo anterior a la clase H =⋃

δ<λ

Spδ(λ)(Γ). En particular tenemos lainclusion Spω1

(λ)(Γ) ⊂ Ptλ(Γ).

Para probar la inclusion opuesta tomamos B ∈ Ptλ(Γ). Esto significa que

B =⋃

n∈ω(A′

n ∩G′n),

11.1. Construccion de conjuntos ∆0α 427

donde G′nn∈ω es una particion de N en conjuntos Σ0

λ y A′nn∈ω ∈ Γω.

Podemos expresarG′n =

⋃

m∈ωD′′nm,

con D′′nm ∈

⋃

δ<λ

∆0δ y, como esta union es un algebra de Boole, podemos suponer

que los conjuntos D′′nmm∈ω son disjuntos dos a dos. Si llamamos A′′

nm = A′′n,

tenemos queB =

⋃

n,m∈ω(A′′

nm ∩D′′nm).

Reordenando estos conjuntos tenemos que

B =⋃

n∈ω(An ∩D′

n),

donde An ∈ Γ y D′n ∈ ∆0

1+δn con δn < λ y la sucesion D′nn∈ω es una particion

de N. Ahora,

D′n ∈ Σ0

1+δn ∩Π01+δn = (Σ0

1)δn ∩ (Π0

1)δn = (Σ0

1 ∩Π01)δn = (∆0

1)δn .

Por 11.23 existe un E ⊂ N cerrado y una reduccion h : N −→ E de clase λ yuna sucesion Dnn∈ω de conjuntos ∆0

1 de modo que D′n = h−1[Dn]. Mas aun,

podemos exigir que la sucesion δnn∈ω sea creciente (pues podemos sustituircualquiera de sus terminos por otro mayor), luego el teorema nos asegura quesi s ∈ ωn entonces h−1[Bs] ∈ Σ0

1+δn . De hecho, h−1[Bs] ∈ ∆01+δn , pues su

complementario es union finita de conjuntos del mismo tipo.

Para cada s ∈ ωn sea Cs = B ∩ h−1[Bs]. Como Bs =⋃

k∈ω

Bsk, resulta que

Cs =⋃

k∈ω

Csk =⋃

k∈ω

(Csk ∩ h−1[Bsk]).

Observemos que h−1[Bsk] ∈ ∆01+δn+1

y que los conjuntos h−1[Bsk]k∈ωson disjuntos dos a dos. Llamemos

V = s ∈ ω<ω | Cs ∈ Spω1

(λ)(Γ).

Ası, hemos probado que, dado s ∈ ωn si nk ∈ V para todo k ∈ ω, entonces

Cs ∈ Spδn+1(Spω1

(λ)(Γ)) ⊂ Spω1

(λ)(Γ).

La ultima inclusion se prueba como sigue:

Spδn+1(Spω1

(λ)(Γ)) = Spδn+1(⋃

β<ω1

Spβ(λ)(Γ)) =⋃

β<ω1

Spδn+1(Spβ(λ)(Γ))

⊂⋃

β<ω1

Sp(λ)(Spβ(λ)(Γ)) =

⋃

β<ω1

Spβ+1(λ) (Γ) = Spω1

(λ)(Γ).

Notemos que hemos podido extraer la union para β < ω1 porque las clases Spδse definen mediante uniones numerables.

428 Capıtulo 11. La jerarquıa de Wadge de los conjuntos de Borel

Ahora probamos que ∅ ∈ V . En caso contrario, por lo que acabamos deprobar existirıa un k0 ∈ ω tal que (k0) /∈ V , luego existirıa un k1 ∈ ω tal que(k0, k1) /∈ V y, en general, existirıa un x ∈ N tal que x|n /∈ V para todo n ∈ ω.

Si x /∈ E, entonces existe un n ∈ ω tal que Bx|n ⊂ ¬E. Si, por el contrario,x ∈ E, entonces, tomamos un m ∈ ω tal que x ∈ Dm y un n ∈ ω tal queBx|n ⊂ Dm.

En el primer caso Cx|n = B ∩h−1[Bx|n ] = B ∩∅ = ∅ ∈ Γ ⊂ Spω1

(λ)(Γ), luego

x|n ∈ V , contradiccion. En el segundo caso h−1[Bx|n ] ⊂ D′m, luego

Cx|n = B ∩ h−1[Bx|n ] =⋃

k∈ω

(Ak ∩D′k) ∩ h

−1[Bx|n ]

= Am ∩ h−1[Bx|n ] ∈ Spδn(Γ) ⊂ Spω1

(λ)(Γ),

y de nuevo llegamos a la contradiccion x|n ∈ V . Esto prueba que ∅ ∈ V , lo quesignifica que B = C∅ ∈ Spω1

(λ)(Γ), como querıamos probar.

Con esto podemos concluir:

Teorema 11.48 Si 1 ≤ λ < ω1, se cumple que

∆01+λ = Spω1

(λ)(∅,N).

Demostracion: Para λ = α+ 1 la igualdad equivale a la que hemos obte-nido tras el teorema 11.46. Si λ es un ordinal lımite, usamos el teorema anterior:

∆1+λ = Ptλ(∅,N) = Spω1

(λ)(∅,N).

(Notemos que, por definicion Ptλ(∅,N) esta formada por las uniones nume-rables disjuntas de conjuntos Σ0

1+λ, pero, como Σ01+λ es cerrada para uniones

numerables, cada conjunto de la union es de hecho ∆01+λ, porque su comple-

mentario tambien es Σ01+λ.)

Notemos que la definicion de Spω1

(λ)(∅,N) solo involucra conjuntos Σ0δ para

δ < λ, luego el teorema describe una construccion de ∆0λ a partir de los con-

juntos anteriores en la jerarquıa de Borel.

11.2 Grados de conjuntos de Borel

En esta seccion relacionaremos los conceptos de la seccion precedente conlos grados de Wadge de los conjuntos de Borel. En particular, siempre quehablemos de grados de Wadge se sobrentendera que se trata de grados de Wadgede conjuntos de Borel.

11.2. Grados de conjuntos de Borel 429

11.2.1 Grados booleanos

Definicion 11.49 Un grado a ∈ G es booleano si la clase In(a) es Gω-booleana.Diremos que a es un supremo booleano si es el supremo (pero no el maximo) deuna familia numerable de grados booleanos.

El teorema 11.16 nos da que la clase In(a) no es autodual, y como claramente¬In(a) = In(¬a), concluimos que los grados booleanos no son autoduales. Masaun, esta misma relacion implica que el complementario de un grado booleanoes tambien booleano (pues ¬ es un operador booleano).

Teorema 11.50 Si bn∈ω es una familia de grados booleanos o supremos boo-leanos, su supremo es booleano o supremo booleano.

Demostracion: Sea anmm∈ω una sucesion de grados booleanos cuyosupremo sea bn (si bn es booleano, podemos tomar anm = bn para todo m). Esclaro entonces que supnbn = supn,m anm. Si dicho supremo es uno de los anmes booleano, y en caso contrario es supremo booleano.

Teorema 11.51 Si a es un supremo booleano, entonces a+ 1 es booleano.

Demostracion: Sea a =⊕

n∈ωbn, donde cada bn es booleano y ninguno de

ellos es a. Entonces, usando 11.40 y 11.39

In(a+ 1) = Sp+0 (In(a)) = Sp+0 (Pt0(⋃

n∈ωIn(bn))) = Sp+

0 (⋃

n∈ωIn(bn)),

que es una clase Gω-booleana por 11.42.

Teorema 11.52 Sea b un grado supremo booleano. Si c es booleano o supremobooleano, lo mismo cumple b+ c.

Demostracion: Veamos en primer lugar que el teorema es cierto cuandoc ∈ ∆0

2, de modo que c = 1,¬1, rα, rα +1, rα +¬1. Lo probamos por induccionsobre el rango de c.

Si c = 1 el resultado es cierto por el teorema anterior y si c = ¬1 porqueb + ¬1 = ¬(b + 1).

Si c = r1 = 1 ⊕ ¬1, entonces b + c = (b + 1) ⊕ (b + ¬1) y por hipotesisde induccion los dos sumandos son booleanos (e incomparables), luego b+ c essupremo booleano.

Si c = rα+1 = rα + (1 ⊕ ¬1) = (rα + 1) ⊕ (rα + ¬1) el razonamiento es elmismo.

Si c = rλ =⊕

δ<λ

rδ, entonces b+ c =⊕

δ<λ

(b+ rδ) = es supremo booleano, por

hipotesis de induccion y el teorema 11.50.Si c = rα + 1 entonces b+ c = (b + rα) + 1, que es booleano por el teorema

anterior y la hipotesis de induccion. Por ultimo, b+ rα + ¬1 = ¬(b+ rα + 1).

430 Capıtulo 11. La jerarquıa de Wadge de los conjuntos de Borel

Ası pues, podemos suponer que c /∈ ∆02 y, en particular, que c = 1 + c

(esta demostrado al final de la prueba de 11.42). Supongamos ademas que c esbooleano. Sea H ⊂ PN la clase formada por los conjuntos de la forma

D = (B ∩G) ∪ (¬G ∩ C),

donde G ∈ Σ01, B ∈ In(b + 1), C ∈ In(c). Como estas tres clases son Gω-

booleanas y el operador que define a D es claramente booleano, concluimos quela clase H es Gω-booleana. Por consiguiente, basta probar que In(b+ c) = H .

Si D ∈ H tiene la forma indicada, como b + c = b + 1 + c, vemos queB+C ∈ In(b+ c), y una estrategia ganadora para II en Jp(D,B +C) es sumar1 a las jugadas de I mientras no cumplan Bs ⊂ G y, si esto sucede, jugar un 0y copiar las jugadas de I desde la primera. Por lo tanto, D ∈ In(b+ c).

Tomemos ahora B ∈ b y C ∈ c y veamos que B + C ∈ H . En efecto,

B + C = s+0x | s ∈ ω<ω ∧ x ∈ B ∪ y+ | y ∈ C = (B +∅) ∪ (∅ + C),

y observamos que [B +∅] = b+ 1, [∅+ C] = 1 + c = c. Ademas, si definimos

G = x ∈ N |∨

n ∈ ω x(n) = 0 = N +∅,

tenemos que G es abierto, B +∅ ⊂ G y ∅+ C ⊂ ¬G, luego B + C ∈ H .

Supongamos ahora que c es supremo booleano. Entonces c =⊕

n∈ωcn, donde

cada cn es booleano y ninguno de ellos es c. Entonces b+c =⊕

n∈ω(b+cn), donde

cada b+ cn es booleano por la parte ya probada y ninguno de ellos es b+ c, porel teorema 10.47. Por lo tanto, b+ c es supremo booleano.

Teorema 11.53 Si b es supremo booleano y 1 ≤ α < ω1, entonces bα es su-premo booleano.

Demostracion: Por induccion sobre α. Si α = 1 es obvio. En general

bα =⊕

1≤δ<α

(bδ + b),

y cada sumando es supremo booleano por hipotesis de induccion y por el teoremaanterior. Por lo tanto bα es supremo booleano por 11.50.

Teorema 11.54 Si b es supremo booleano, tambien lo es b♯.

Demostracion: Sea b =⊕

n∈ωbn, donde cada bn es booleano. Entonces

In(b♯) = Sp+1 (In(b)) = Sp+

1 (Pt0(⋃

n∈ωIn(bn))) = Sp+1 (

⋃

n∈ωIn(bn)),

que es una clase Gω-booleana por el teorema 11.43.

11.2. Grados de conjuntos de Borel 431

11.2.2 Las funciones jα

Observemos que si a es un grado booleano y α < ω1, entonces In(a) esuna clase Gω-booleana, luego In(a)α tambien lo es por 11.29, luego por 11.16sabemos que In(a)α = In(b), para un unico grado booleano b. Esto nos permitedefinir:

Definicion 11.55 Si a es un grado booleano y α < ω1, definimos jα(a) comoel unico grado booleano que cumple

In(a)α = In(jα(a)).

Observemos que jα(¬a) = ¬jα(a). El teorema siguiente nos permite exten-der la definicion a supremos booleanos:

Teorema 11.56 Si α < ω1 y aii∈I y a′jj∈J son dos familias de gradosbooleanos tales que sup

i∈Iai ≤ sup

j∈Ja′j, entonces sup

i∈Ijα(ai) ≤ sup

j∈Jjα(a

′j).

Demostracion: Dado i ∈ I, debe existir un j ∈ J tal que ai ≤ a′j , pues encaso contrario a′j ≤ ¬ai para todo j ∈ J , luego

ai ≤ supi∈I

an ≤ supj∈J

a′j ≤ ¬ai,

contradiccion, pues los grados booleanos no son autoduales. Ası pues, tenemosque ai ≤ a′j , luego In(ai) ⊂ In(a′j), luego In(ai)

α ⊂ In(a′j)α, luego jα(ai) ≤

jα(a′j) ≤ sup

j∈Jjα(a

′j), luego sup

i∈Ijα(ai) ≤ sup

j∈Jjα(a

′j).

Definicion 11.57 Si b es un grado supremo booleano y α < ω1, definimosjα(b) = sup

n∈ωjα(an), donde ann∈ω es cualquier sucesion de grados booleanos

cuyo supremo sea b.

Teorema 11.58 Si b y b′ son grados booleanos o supremos booleanos y α < ω1,entonces b ≤ b′ si y solo si jα(b) ≤ jα(b

′).

Demostracion: Pongamos que b = supn∈ω

an y b′ = supn∈ω

a′n, donde los grados

an y a′n son booleanos (si, por ejemplo, b es booleano, basta tomar an = b paratodo n). Por el teorema anterior, si b ≤ b′, tambien jα(b) ≤ jα(b

′).

Supongamos ahora que jα(b) ≤ jα(b′). Entonces, por el mismo argumento

empleado en el teorema anterior, para cada n ∈ ω existe un m ∈ ω tal quejα(an) ≤ jα(a

′m). Esto implica que an ≤ a′m, pues en caso contrario ¬a′m ≤ an,

luego ¬jα(a′m) ≤ jα(an) ≤ jα(a

′m), lo cual es imposible, porque jα(a

′m) es

booleano, luego no es autodual.Ası pues, an ≤ a′m ≤ b′, luego b = sup

n∈ωan ≤ b′.

432 Capıtulo 11. La jerarquıa de Wadge de los conjuntos de Borel

Teorema 11.59 Sea α < ω1, sea I un conjunto arbitrario y sean c y aii∈Igrados booleanos o supremos booleanos. Entonces, si c = sup

i∈Iai, tambien

jα(c) = supi∈I

jα(ai).

Demostracion: Como cada ai es supremo de una cantidad numerable degrados booleanos, no perdemos generalidad si suponemos que todos los ai sonbooleanos. Por otra parte, podemos expresar c = sup

n∈ωbn, donde los grados bn

tambien son booleanos. El teorema 11.56 nos da entonces que

jα(c) = supn∈ω

jα(bn) = supi∈I

jα(ai).

11.2.3 Grados regulares

Definicion 11.60 Un grado b es regular si todos los grados c ≤ b son booleanoso supremos booleanos.

Veremos que en realidad todos los grados de Borel son regulares.

Teorema 11.61 Se cumple:

a) Si b es un grado regular, tambien lo es ¬b.

b) Si b es un grado supremo booleano regular, entonces b∗ y b♯ son regulares.

c) Todo supremo numerable de grados regulares es regular.

d) La suma de un grado supremo booleano regular y un grado regular es re-gular.

e) Si b es un grado supremo booleano regular y 1 ≤ α < ω1, entonces bα esregular.

Demostracion: a) Si b no es autodual, los grados c ≤ ¬b son los c ≤ bmenos b y mas ¬b. Como b es booleano, ¬b tambien lo es luego es regular.

b) Los grados c ≤ b∗ son los grados c ≤ b y b∗. Como b es supremo booleano,b∗ es booleano, luego es regular. El caso de b♯ se sigue del teorema 10.57 y delapartado e) (cuya prueba, por supuesto, no se basa en esta).

c) Teniendo en cuenta que un supremo numerable de grados booleanos osupremos booleanos es supremo booleano, el resultado es inmediato.

d) Sea b un supremo booleano regular y c regular. Si d ≤ b+ c, entonces, obien d ≤ b, en cuyo caso es regular, o bien b ≤ d, en cuyo caso, por 10.48, esde la forma d = b + e ≤ b + c, para un cierto grado e ≤ c, luego e es regulary entonces d es booleano o supremo booleano por 11.52. Por lo tanto b + c esregular.

11.2. Grados de conjuntos de Borel 433

e) Se prueba inmediatamente por induccion sobre α usando los apartados c)y d).

Ahora es inmediato que todos los grados ∆02 son regulares. En particular

r1+α es el α-esimo grado supremo booleano regular, para α < ω1. Si Λ esel ordinal de los grados supremos booleanos regulares, podemos extender lanotacion para todo α < Λ, es decir:

Definicion 11.62 Llamaremos Λ al ordinal del conjunto de grados supremosbooleanos regulares. Para cada α < Λ, llamaremos r1+α al α-esimo gradosupremo booleano regular.

Teorema 11.63 Λ es un ordinal lımite de cofinalidad no numerable cerradopara sumas y multiplicacion por ordinales ≤ ω1. Ademas:

a) Si αnn∈ω es una sucesion en Λ, entonces rsupn αn= supn rαn

.

b) rα+1 = r∗α ⊕ rα.

c) rα+β = rα + rβ .

d) rαβ = rαβ.

e) rαω1 = r♯α ⊕ rα.

Demostracion: a) Por 11.61 sabemos que b = supn rαnes un grado regu-

lar. Si existe un m tal que b = rαm, entonces es claro que αm = supn αn y la

conclusion es trivial. En caso contrario b es un supremo booleano y tiene queser de la forma rα, para cierto α < Λ, que claramente tiene que ser α = supn αn.Esto prueba ademas que Λ tiene cofinalidad no numerable (supuesto que sea unordinal lımite, cosa que probamos en b).

b) Por 11.61 sabemos que r∗α ⊕ rα es un grado regular supremo booleano, yobviamente es el menor grado en estas condiciones estrictamente mayor que rα,luego es rα+1. Esto prueba que Λ es un ordinal lımite.

c) Por 11.61 sabemos que rα + rβ es regular, y por 11.52 es un supremobooleano. Por lo tanto rα + rβ = rγ , para cierto γ < Λ. Mas aun, en la pruebade 11.61 hemos visto que todo grado d ≤ rγ es, o bien d ≤ rα, o bien d = rα+e,con e ≤ rβ . En particular, el conjunto de grados supremos booleanos c < rα+rβes

rδ | 1 ≤ δ ≤ α ∪ rα + rδ | 1 ≤ δ < β.

Ambos son disjuntos, y todos los grados del primer conjunto son menores quelos del segundo. Por lo tanto, el ordinal de este conjunto es la suma de losordinales de los dos conjuntos en que lo hemos descompuesto. Aquı hay quedistinguir casos: Si α y β son finitos, este conjunto es finito, luego γ tambien loes, y tenemos la relacion γ − 1 = α+ β − 1, luego γ = α+ β. Si α es finito y βinfinito (luego γ tambien), la relacion es γ = α+β. Si α es infinito y β es finito,entonces γ = α+1+β−1 = α+β, y si todos son infinitos, γ = α+1+β = α+β.En particular esto prueba que Λ es cerrado para sumas de ordinales.

434 Capıtulo 11. La jerarquıa de Wadge de los conjuntos de Borel

d) Se prueba trivialmente por induccion sobre β.

e) Por el apartado anterior estan definidos todos los grados rαββ<ω1, conrαβ = rαβ. Por 11.61 sabemos que r♯α ⊕ rα es regular, y es mayor que todoslos grados rαβ , por 10.59. Por lo tanto, r♯α ⊕ rα = rλ, para cierto λ > αβ, paratodo β < ω1, luego λ ≥ αω1. En particular αω1 ∈ Λ y queda probado que Λes cerrado para la multiplicacion por ω1. Ahora bien, sabemos de hecho que r♯αy rα son los menores grados mayores que todos los rαβ , pero no son supremosbooleanos. Por lo tanto, el grado siguiente, rλ = r♯α ⊕ rα, es el menor supremobooleano mayor que todos los grados rαβ . Necesariamente entonces λ = αω1.

Esto implica que Λ es al menos ωω11 (exponenciacion ordinal). Veremos que

en realidad es bastante mayor.

11.2.4 Las funciones θα

Introducimos ahora una funciones θα que se corresponden con las funcionesjα a traves de la enumeracion r1+δδ∈Λ de los grados regulares:

Definicion 11.64 Si α < ω1, definimos

θα = (β, γ) ∈ Λ× Λ | jα(r1+β) = r1+γ.

Teorema 11.65 θα : Λα −→ Λ es una funcion creciente, continua cuyo domi-nio es un ordinal Λα cerrado en Λ.

Demostracion: Veamos en primer lugar que Λα es un ordinal. Si β ∈ Λαy δ < β, entonces r1+δ < r1+β , luego jα(r1+δ) < jα(r1+β) = r1+θα(β), luegojα(r1+δ) es regular, y es un supremo booleano, por la propia definicion de jα.Por lo tanto jα(r1+δ) = r1+δ′ , para cierto δ′ < θα(β). Vemos entonces queexiste θα(δ) = δ′ < θα(β).

En particular acabamos de probar que θα es creciente. Supongamos ahoraque λ ⊂ Λα es un ordinal lımite λ ∈ Λ y veamos que λ ∈ Λα, ası como queθα(λ) =

⋃

δ<λ

θα(δ). Esto probara que Λα es cerrado en Λ y que θα es continua.

Supongamos en primer lugar que λ tiene cofinalidad numerable, de modoque λ =

⋃

n∈ωδn, luego 1 + λ =

⋃

n∈ω(1 + δn) y r1+λ = supn r1+δn , luego

jα(r1+λ) = supn jα(r1+δn) = supn r1+θα(δn) = r1+supn θα(δn).

Esto prueba que λ ∈ Λα y que θα(λ) =⋃

n∈ωθα(δn) =

⋃

δ<λ

θα(δ).

Si λ tiene cofinalidad no numerable, aun ası, r1+λ es un supremo booleano,luego es el supremo (pero no el maximo) de un conjunto numerable de gradosbooleanos. La unica posibilidad es que dicho conjunto tenga dos maximales de laforma c y ¬c, pues en caso contrario r1+λ serıa booleano o λ tendrıa cofinalidadnumerable. En definitiva, r1+λ = c⊕¬c, donde c es un grado regular booleano.

11.2. Grados de conjuntos de Borel 435

Supongamos que un grado d cumple d ≤ c ∧ d ≤ ¬c. Si d es supremobooleano, entonces d = r1+δ, con δ < λ. Si d es booleano, entonces tenemosd ≤ d⊕ ¬d < r1+λ, luego d ≤ r1+δ = d⊕ ¬d, con δ < λ. En definitiva:

In(c) ∩ In(¬c) =⋃

δ<λ

In(r1+δ).

Tomando expansiones:

In(c)α ∩ In(¬c)α =⋃

δ<λ

In(r1+δ)α.

Ahora observamos que

In(r1+δ)α ⊂ In(r1+δ + 1)α = In(jα(r1+δ + 1)) ⊂ In(jα(r1+δ+1))

⊂ In(jα(r1+δ+1 + 1)) = In(r1+δ+1 + 1)α ⊂ In(r1+δ+2)α

luego

In(jα(c)) ∩ In(¬jα(c)) =⋃

δ<λ

In(jα(r1+δ+1)) =⋃

δ<λ

In(jα(r1+δ))

=⋃

δ<λ

In(r1+θα(δ)).

Ası, todo grado estrictamente menor que jα(c) es menor o igual que unr1+θα(δ), luego es regular y, como jα(c) es booleano por definicion, concluimosque jα(c) es regular, luego jα(r1+λ) = jα(c) ⊕ ¬jα(c) tambien lo es. Ası pues,jα(r1+λ) = r1+β , para cierto β ∈ Λ. Esto prueba que λ ∈ Λα y ademasθα(λ) = β.

Si ǫ < θα(λ), entonces r1+ǫ < r1+θα(λ) = jα(c)⊕¬jα(c), luego, segun hemosvisto, r1+ǫ ≤ r1+θα(δ), para cierto δ < λ, luego ǫ ≤ θα(δ). Esto prueba queθα(λ) =

⋃

δ<λ

θα(δ). Por lo tanto, θα es continua en λ.

Notemos que si demostramos que Λα es cerrado para la operacion δ 7→ δ+1,el teorema anterior nos da que Λα = Λ (y veremos que siempre se da estaigualdad). Observemos que

jα(r1) = jα(1⊕ ¬1) = jα(1)⊕ ¬jα(1) = 1⊕ ¬1 = r1,

por lo que θα(0) = 0. Ahora podemos calcular la funcion θ1:

Teorema 11.66 Λ1 = Λ y para todo 0 < δ ∈ Λ se cumple que θ1(δ) = ωδ1.

Demostracion: Observemos que

j1(r2) = j1((r1 + 1)⊕ (r1 + ¬1) = j1(r1 + 1)⊕ j1(r1 + ¬1).

Ahora,In(j1(r1 + 1)) = In(r1 + 1)1 = (Σ0

1)1 = Σ0

2 = In(r♯1),

436 Capıtulo 11. La jerarquıa de Wadge de los conjuntos de Borel

e igualmente In(j1(r1 + 1)) = In(r1), luego j1(r1 + 1) = r♯1, j1(r1 + ¬1) = r1,luego, segun el teorema 11.63:

j1(r2) = r♯1 ⊕ r1 = rω1 .

Esto implica que θ1(1) = ω1 = ω11, como indica el enunciado. El caso general lo

probamos por induccion sobre δ. Para ello observemos que si b =⊕

n∈ωan, donde

los grados an son regulares booleanos (no autoduales), entonces

In(b∗) = Sp+0 (In(b)) = Sp+0 (Pt+0 (

⋃

n∈ωIn(an))) = Sp+0 (

⋃

n∈ωIn(an)).

Por lo tanto, usando 11.37,

In(j1(b∗)) = In(b∗)1 = Sp+1 (

⋃

n∈ωIn(an)

1) = Sp+1 (⋃

n∈ωIn(j1(an)))

= Sp+1 (Pt+0 (

⋃

n∈ωIn(j1(an)))) = Sp+

1 (In(⊕

n∈ωj1(an)))

= Sp+1 (In(j1(b))) = In(b♯).

Por consiguiente:

j1((b+ 1)⊕ (b+ ¬1)) = j1(b)♯ ⊕ j1(b)

.

De este modo, si δ ∈ Λ1 y θ1(δ) = ωδ1, entonces, por 11.63,

j1(r1+δ+1) = j1((r1+δ + 1)⊕ (r1+δ + ¬1)) = j1(r1+δ)♯ ⊕ j1(r1+δ)

= r♯1+θ1(δ) ⊕ r1+θ1(δ) = r♯ωδ

1⊕ rωδ

1= rωδ+1

1.

Esto prueba que δ+ 1 ∈ Λ1 y que θ1(δ+ 1) = ωδ+11 . En particular, con esto

ya tenemos probado que Λ1 = Λ, por la observacion tras el teorema 11.65. Paraterminar la prueba suponemos que λ ∈ Λ es un ordinal lımite y que θ1(δ) = ωδ1para todo δ < λ. Entonces

θ1(λ) =⋃

δ<λ

θ1(δ) =⋃

δ<λ

ωδ1 = ωλ1 .

Conviene introducir la definicion siguiente:

Definicion 11.67 Para cada δ ∈ Λ definimos Rδ = A ∈ PN | [A] < r1+δ.

La importancia de estas clases es que sus expansiones se corresponden conlas funciones θα en el sentido siguiente:

Teorema 11.68 Si δ ∈ Λ, entonces Rδ es una union numerable de clases Gω-booleanas y (Rδ)

α = Rβ si y solo si δ ∈ Λα ∧ θα(δ) = β.

11.2. Grados de conjuntos de Borel 437

Demostracion: Como r1+δ es supremo booleano, podemos expresarlo enla forma r1+δ =

⊕

n∈ωan, donde los grados an son booleanos. Entonces, se cumple

[A] < r1+δ si y solo si [A] ≤ an para algun n, es decir, que

Rδ =⋃

n∈ωIn(an),

que es una union numerable de clases Gω-booleanas.

Supongamos que (Rδ)α = Rβ (lo que supone en particular que δ, β ∈ Λ).

Con la notacion precedente,

Rβ =⋃

n∈ωIn(an)

α =⋃

n∈ωIn(jα(an)).

Como la sucesion ann∈ω no tiene un elemento maximo, tampoco lo tienejα(an)n∈ω, sino que su supremo es jα(r1+δ) y entonces es claro que

Rβ = A ∈ PN | [A] < jα(r1+δ).

Por tanto, r1+β = jα(r1+δ), lo que a su vez implica que δ ∈ Λα y θα(δ) = β.

El recıproco es similar: como antes

(Rδ)α = A ∈ PN | [A] < jα(r1+δ),

pero ahora jα(r1+δ) = r1+θα(δ), luego (Rδ)α = R1+θα(δ).

Como primera aplicacion probamos lo siguiente:

Teorema 11.69 Si α, β < ω1 cumplen que Λα = Λβ = Λ, entonces Λα+β = Λy, para todo δ ∈ Λ, se cumple que θα+β(δ) = θα(θβ(δ)).

Demostracion: Como Rδ es union numerable de clases Gω-booleanas, esfacil concluir mediante 11.30 que (Rδ)

α+β = ((Rδ)β)α. Por el teorema anterior

(Rδ)β = Rθβ(δ), de donde a su vez (Rδ)

α+β = Rθα(θβ(δ)) y, por la implicacionopuesta que da el mismo teorema, δ ∈ Λα+β ∧ θα+β(δ) = θα(θβ(δ)).

Este teorema junto con 11.66 implica que para todo n ∈ ω, n > 0 se cumpleque Λn = Λ y

θn(δ) = ωω

...ωδ1

11 ,

donde ω1 aparece n veces. En particular, jn(r2) = r1+θn(1) = rθn(1) y, por otraparte,

jn(r2) = jn(r1 + 1)⊕ jn(r1 + ¬1)

In(jn(r1 + 1)) = In(r1 + 1)n = (Σ01)n = Σ0

n+1,

luego rθn(1) es el supremo del grado formado por los conjuntos Σ0n+1 \Π

0n+1 y

el formado por los conjuntos Π0n+1 \Σ

0n+1, los grados menores que ambos son

los grados de los conjuntos ∆0n+1, luego

∆0n+1 =

⋃

δ<θn(1)

In(rδ).

438 Capıtulo 11. La jerarquıa de Wadge de los conjuntos de Borel

Las clases Rδ pueden obtenerse recurrentemente como indican los dos teo-remas siguientes:

Teorema 11.70 Si δ ∈ Λ, entonces Rδ+1 = Sp0(Rδ).

Demostracion: Como r1+δ es un supremo booleano, existe una sucesionann∈ω de grados booleanos (regulares) cuyo supremo es r1+δ. Entonces, unconjunto A ∈ PN cumple [A] < r1+δ si y solo si [A] ≤ an para algun n, luego

Rδ+1 =⋃

n∈ωIn(an).

Por otra parte, r1+δ+1 = supr∗1+δ, r1+δ, luego, usando 11.40, 11.39,

Rδ+1 = In(r∗1+δ) ∪ In(r1+δ) = Sp+0 (In(r1+δ)) ∪ Sp−0 (In(r1+δ)) = Sp0(In(r1+δ))

= Sp0(Pt0(⋃

n∈ωIn(an))) = Sp0(

⋃

n∈ωIn(an)) = Sp0(Rδ+1).

Teorema 11.71 Sea λ = supn δn, para ciertos ordinales δn ∈ Λ. Entoncesλ ∈ Λ y Rλ =

⋃

nRδn .

Demostracion: Por 11.63 sabemos que λ ∈ Λ, ası como que r1+λ =supnr1+δn . La conclusion es obvia.

En lo sucesivo, si φ es una funcion definida sobre un ordinal, representaremospor F (φ) el conjunto de sus puntos fijos. Una propiedad elemental es la siguiente:

Teorema 11.72 Si φ y ψ son funciones crecientes, F (φ ψ) = F (φ) ∩ F (ψ).

Demostracion: Si δ ∈ F (φ ψ), esto quiere decir, por definicion de com-posicion, que δ ∈ Dφ, φ(δ) ∈ Dψ y ψ(φ(δ)) = δ. Entonces, como las funcionesson crecientes, δ ≤ φ(δ) ≤ ψ(φ(δ)) = δ, luego φ(δ) = δ, luego ψ(δ) = δ, luegoδ ∈ F (φ) ∩ F (ψ). Recıprocamente, si δ ∈ F (φ) ∩ F (ψ), tenemos que φ(δ) = δ yψ(δ) = δ, luego ψ(φ(δ)) = δ y δ ∈ F (φ ψ).

Teorema 11.73 Sea λ una potencia de ω tal que Λα = Λ para todo α < λ ysea η ∈

⋂

α<λ

F (θα). Entonces Sp(λ)(Rη) = Rη′ , donde η′ es el menor elemento

de⋂

α<λ

F (θα) mayor que η.

Demostracion: Si α < λ, tenemos que η ∈ F (θα) ⊂ Λα = Λ. Entonces,segun 11.68 tenemos que (Rη)

α = Rθα(η) = Rη, luego, por 11.37 y 11.70:

Spα(Rη) = Spα((Rη)α) = Sp0(Rη)

α = (Rη+1)α = Rθα(η+1).

11.2. Grados de conjuntos de Borel 439

Por lo tanto

Sp(λ)(Rη) =⋃

α<λ

Spα(Rη) =⋃

α<λ

Rθα(η+1).

Sea η′ =⋃

α<λ

θα(η+1). Como θα(η+1) ∈ Λ, el teorema anterior nos da que

η′ ∈ Λ y que Sp(λ)(Rη) = Rη′ . Hemos de probar que η′ es el ordinal descrito enel enunciado.

Si α′ < λ, usando 11.69 vemos que

θα′(η′) = θα′(⋃

α<λ

θα(η + 1)) =⋃

α<λ

θα′(θα(η + 1)) =⋃

α<λ

θα′+α(η + 1).

Ahora bien, es facil ver que las potencias de ω son cerradas para la sumaordinal, luego θα′(η′) = η′.

Por otra parte, si η′′ > η es un punto fijo de las funciones θα, entoncesθα(η + 1) ≤ ηα(η

′′) = η′′, luego η′ ≤ η′′.

Con esto obtenemos una primera expresion recurrente (todavıa no muypractica) para las funciones θα:

Teorema 11.74 Sea λ una potencia de ω. Si Λα = Λ para todo α < λ y ψenumera el conjunto

⋂

α<λ

F (θα), entonces Λλ = Λ y θλ(δ) = ψ(ω1 · δ), para todoδ ∈ Λ.

Demostracion: Razonamos por induccion sobre δ. Notemos que θα(0) = 0para todo α, luego ψ(0) = 0, y el resultado es trivialmente cierto para δ = 0.Supongamos ahora que δ = ǫ + 1 y que el resultado vale para ǫ, es decir, queǫ ∈ Λλ y que θλ(ǫ) = ψ(ω1 · ǫ).

El teorema anterior muestra que⋂

α<λ

F (θα) no tiene un maximo elemento,

luego ω1 ·ǫ+1 esta en el dominio de ψ y Sp(λ)(Rψ(ω1·ǫ)) = Rψ(ω1·ǫ+1). Aplicandode nuevo el teorema anterior tenemos que ω1 · ǫ+ 2 tambien esta en el dominiode ψ, y

Sp2(λ)(Rψ(ω1·ǫ)) = Sp(λ)(Sp(λ)(Rψ(ω1·ǫ))) = Sp(λ)(Rψ(ω1·ǫ+1)) = Rψ(ω1·ǫ+2).

En general llegamos a que Spn(λ)(Rψ(ω1·ǫ)) = Rψ(ω1·ǫ+n), para todo n < ω.

Cada ψ(ω1 · ǫ+n) es un punto fijo de cada θα, con α < λ. En particular estaen Λ, luego supn ψ(ω1 · ǫ + n) ∈ Λ, porque Λ tiene cofinalidad no numerable.La continuidad de las θα hace que el supremo tambien sea un punto fijo, luegoω1 · ǫ+ ω esta en el dominio de ψ y ψ(ω1 · ǫ+ ω) = supn ψ(ω1 · ǫ+ n). Ademas

Spω(λ)(Rψ(ω1·ǫ)) = Sp(λ)(⋃

nSpn(λ)(Rψ(ω1·ǫ))) = Sp(λ)(

⋃

nRψ(ω1·ǫ+n))

= Sp(λ)(Rψ(ω1·ǫ+ω)) = Rψ(ω1·ǫ+ω+1),

donde hemos usado 11.71 y 11.73. Una simple induccion demuestra ahora que,para todo β < ω1 infinito, se cumple que ω1 · ǫ+β+1 esta en el dominio de ψ y

Spβ(λ)(Rψ(ω1·ǫ)) = Rψ(ω1·ǫ+β+1),

440 Capıtulo 11. La jerarquıa de Wadge de los conjuntos de Borel

de donde a su vez

Spω1

(λ)(Rψ(ω1·ǫ)) =⋃

ω≤β<ω1

Spβ(λ)(Rψ(ω1·ǫ))

=⋃

ω≤β<ω1

Rψ(ω1·ǫ+β+1) =⋃

β<ω1

Rψ(ω1·ǫ+β).

Tenemos que (Rǫ)λ = Rθλ(ǫ) = Rψ(ω1·ǫ), luego, por 11.37,

Sp+λ (Rψ(ω1·ǫ)) = Sp+λ ((Rǫ)λ) = Sp+0 (Rǫ)

λ.

Por 11.68 sabemos que Rǫ es union numerable de clases Gω-booleanas, luegopor 11.42 concluimos que Sp+0 (Rǫ) es G

ω-booleana, luego Sp+λ (Rψ(ω1·ǫ)) tambien

lo es, al igual que su dual Sp−λ (Rψ(ω1·ǫ)). Por lo tanto, estas dos clases deter-minan dos grados duales b+ y b−. Todo grado menor que ambos es el gradode un conjunto que esta en Sp+λ (Rψ(ω1·ǫ)) ∩ Sp−λ (Rψ(ω1·ǫ)) = Ptλ(Rψ(ω1·ǫ)) (por11.34), pero, por 11.47 tenemos que

Ptλ(Rψ(ω1·ǫ)) = Spω1

(λ)(Rψ(ω1·ǫ)) =⋃

β<ω1

Rψ(ω1·ǫ+β),

luego todo grado menor que b+ y b− es menor que r1+ψ(ω1·ǫ+β), para ciertoordinal β < ω1. Esto prueba que b+ y b− son regulares. Mas aun, si llamamosγ =

⋃

β<ω1

ψ(ω1 · ǫ+ β), tenemos que γ ∈ Λ, pues esta definido rγ = b+ ⊕ b−.

Mas aun, γ esta en el dominio de cada θα y es lımite de puntos fijos de cadaθα, luego γ es punto fijo de cada θα. Esto implica que ω1 · δ = ω1 · ǫ + ω1 estaen el dominio de ψ y ψ(ω1 · δ) = γ. Entonces, por 11.70,

(Rδ)λ = Sp0(Rǫ)

λ = Spλ((Rǫ)λ) = Spλ(Rψ(ω1·ǫ)) = In(b+) ∪ In(b−) = Rψ(ω1·δ).

Por consiguiente δ ∈ Λλ y θλ(δ) = ψ(ω1 · δ), como habıa que probar.

Supongamos ahora que δ ∈ Λ es un ordinal lımite y que el teorema es validopara todo ǫ < δ. Entonces δ ⊂ Λλ y, como Λλ es cerrado en Λ, de hecho δ ∈ Λλy

θλ(δ) =⋃

ǫ<δ

θλ(ǫ) =⋃

ǫ<δ

ψ(ω1 · ǫ).

De este modo, θλ(δ) es lımite de puntos fijos de cada θα (y esta en el dominiode θα) luego θλ(δ) es punto fijo de cada θα. Esto a su vez implica que ω1 · δdebe estar en el dominio de ψ y que θλ(δ) = ψ(ω1 · δ).

De aquı obtenemos una expresion para las funciones θωα en terminos de lasderivadas sucesivas de la funcion θ1 (vease [TC 6.40]):

Teorema 11.75 Si 0 < α < ω1, se cumple que Λωα = Λ y para todo δ ∈ Λ

θωα(δ) = θ(α)1 (ω1 · δ).

11.2. Grados de conjuntos de Borel 441

Demostracion: Por induccion sobre α. Para α = 1 aplicamos el teorema11.74 con λ = ω. Tenemos entonces que ψ es una enumeracion de

⋂

n<ωF (θn),

pero segun 11.69 tenemos que Λn = Λ y θn es la composicion de θ1 consigomisma n veces, luego F (θn) = F (θ1) por 11.72, luego ψ = θ′1 y, en definitiva,concluimos que Λω = Λ y θω(δ) = θ′1(ω1 · δ).

Supongamos ahora que Λωβ = Λ para todo β < α (y vale incluso para β = 0por 11.66). Por el teorema 11.69 sabemos que Λτ = Λ para todo ordinal τ dela forma

τ = ωβ0 + · · ·+ ωβn , con βi < α.

Ahora bien, es facil ver que todo ordinal menor que ωα es de esta forma. Endefinitiva, Λτ = Λ para todo τ < ωα. El teorema 11.74 implica entonces queΛωα = Λ, ası como que θωα(δ) = ψ(ω1 ·δ), donde ψ enumera

⋂

τ<ωα

F (θτ ). Ahora

bien, segun hemos dicho, todo τ < ωα es de la forma

τ = ωβ0 + · · ·+ ωβn , con βi < α,

y entonces θτ = θωβ0 · · · θωβn , luego, por 11.72, F (θτ ) =⋂

i

F (θωβi ). Por

consiguiente,⋂

τ<ωα

F (θτ ) =⋂

β<α

F (θωβ ).

Tambien sabemos por hipotesis de induccion que θωβ (δ) = θ(β)1 (ω1 · δ). Con-

sideremos la funcion φ : Λ −→ Λ dada por φ(δ) = ω1 · δ. Ası, θωβ = φ θ(β)1 y

F (θωβ ) = F (φ) ∩ F (θ(β)1 ).

Ahora bien, F (θ(β)1 ) ⊂ F (θ1) ⊂ F (φ). En efecto, la ultima inclusion se debe

a que si δ ∈ F (θ1), o bien δ = 0, en cuyo caso φ(δ) = δ, o bien δ = ωδ1 es unordinal lımite, luego φ(δ) = ω1 · ω

δ1 = ω1+δ

1 = ωδ1 = δ.

En definitiva, F (θωβ ) = F (θ(β)1 ) y

⋂

τ<ωα

F (θτ ) =⋂

β<α

F (θ(β)1 ), luego ψ = θ

(α)1 ,

como habıa que probar.

Sucede que las derivadas de θ1 se expresan de forma sencilla en terminos delas derivadas de la funcion ǫ [TC 6.43]:

Teorema 11.76 Si δ < ω1 y 0 < α ∈ Λ, entonces θ(1+δ)1 (α) = ǫ(δ)(ω1 + α).

Demostracion: Supongamos en primer lugar que δ = 0. La funcion θ(1)1

enumera los puntos fijos de θ1, que, segun 11.66 son 0 y los puntos fijos de

α 7→ ωα1 . Equivalentemente, θ(1)1 (1 + α) enumera los puntos fijos de α 7→ ωα1 , al

igual que lo hace ǫ(ω1 + 1 + α), luego θ(1)1 (1 + α) = ǫ(ω1 + 1 + α), para todo

α ≥ 0 en Λ.

Supongamos ahora que δ > 0 y que la igualdad es valida para todo ordinal

menor. Las funciones θ(1+δ)1 y ǫ(δ) enumeran respectivamente a

⋂

β<1+δ

F (θ(β)1 ),

⋂

β<δ

F (ǫ(β)),

442 Capıtulo 11. La jerarquıa de Wadge de los conjuntos de Borel

y el primero es claramente igual a⋂

β<δ

F (θ(1+β)1 ). Vamos a probar que ambos

conjuntos tienen los mismos elementos α ∈ Λ mayores que ω1. En efecto, si αesta en el segundo conjunto, para cada β < δ tenemos que α = ǫ(β)(α), luego

α = ωα1 , luego α = ω1 + α, luego α = ǫ(β)(α) = ǫ(β)(ω1 + α) = θ(1+β)1 (α).

Igualmente se prueba que si α = θ(1+β)1 (α) entonces α = ǫ(β)(α).

Ahora observamos que el unico elemento de⋂

β<δ

F (θ(1+β)1 ) que cumple α ≤ ω1

es α = 0, mientras que ω1 ∩⋂

β<δ

F (ǫ(β)) tiene ordinal ω1 (es una interseccion

numerable de conjuntos cerrados no acotados en ω1). En particular tenemos

que ǫ(δ)(ω1) = ω1 y θ(1+δ)1 (1 + α) = ǫ(δ)(ω1 + 1 + α), para todo α ∈ Λ.

Combinando los teoremas precedentes concluimos:

Teorema 11.77 Si δ < ω1 y 0 < α ∈ Λ, entonces θω1+δ (α) = ǫ(δ)(ω1(1 + α)).

Demostracion: Basta usar los dos resultados anteriores:

θω1+δ (α) = θ(1+δ)1 (ω1 · α) = ǫ(δ)(ω1 + ω1 · α) = ǫ(δ)(ω1(1 + α)).

Observemos ahora que si

η = ω1+δ0 + ω1+δ1 + · · ·+ ω1+δn +m,

donde los ordinales δi son numerables y m ∈ ω, entonces

θη(α) = (ǫ(δn) · · · ǫ(δ0))(ω1 + ω1 · ωω

...ωα1

11 ),

donde en la sucesion final de exponentes ω1 aparece m veces y se reduce a α sim = 0. En efecto, aplicando 11.69 obtenemos que

θη(α) = (θω1+δn · · · θω1+δ0 )(θm(α)).

Por la observacion posterior a este teorema y 11.75 (llamando f(α) = ω1 · α):

θη(α) = (f θ(1+δn)1 · · · f θ

(1+δ0)1 )(ω

ω

...ωα1

11 )

= (θ(1+δn)1 f · · · f θ

(1+δ0)1 )(ω1 · ω

ω

...ωα1

11 )

= (f θ(1+δn−1)1 · · · f θ

(1+δ0)1 )(ǫ(δn)(ω1 + ω1 · ω

ω

...ωα1

11 )),

donde hemos usado 11.76. Ahora usamos que si ωα1 = α entonces ω1α = α, yque esto se aplica a las imagenes de ǫ(δn), luego podemos suprimir la primera f :

θη(α) = (θ(1+δn−1)1 f · · · f θ

(1+δ0)1 )(ǫ(δn)(ω1 + ω1 · ω

ω

...ωα1

11 )).

Repitiendo el proceso es claro que llegamos a la expresion anunciada.

11.2. Grados de conjuntos de Borel 443

11.2.5 La jerarquıa de Borel

Finalmente estamos en condiciones de determinar el ordinal de la jerarquıade Wadge sobre los conjuntos de Borel, y los de las subclases de la jerarquıa deSuslin:

Teorema 11.78 Si η = ω1+δ0 +ω1+δ1 + · · ·+ω1+δn +m, los grados de Wadgeautoduales correspondientes a conjuntos en Df1+α(Σ

01+η)∪¬Df1+α(Σ

01+η) tienen

ordinal

(ǫ(δn) · · · ǫ(δ0))(ω1 + ω1 · ωω

...ωα+11

11 ),

donde en la ultima parte hay m exponentes ω1.

Demostracion: Tenemos que

Df1+α(Σ01+η) ∪ ¬Df1+α(Σ

01+η) = (Df1+α(Σ

01) ∪ ¬Df1+α(Σ

01))

η

= (In(r1+α + 1) ∪ In(r1+α + ¬1))η = Rηα+1 = Rθη(α+1).

Por lo tanto, los grados autoduales de conjuntos en esta clase son los rδ conδ < θη(α + 1), y este ordinal es el del enunciado por la observacion final de lasubseccion anterior.1

En particular, para α = 0 tenemos que

Df1(Σ01+η) ∪ ¬Df1(Σ

01+η) = Σ0

1+η ∪Π01+η,

y los conjuntos autoduales en esta clase son los de clase ∆01+η. Por las observa-

ciones tras el teorema 10.39 sabemos que

∆01+η = B ∈ PN | ‖B‖ < λ,

para un cierto ordinal lımite λ que (segun las observaciones tras 10.40) coincidecon el ordinal del conjunto de grados autoduales en dicha clase. Dicho ordinalviene dado por el teorema anterior:

Teorema 11.79 Si η = ω1+δ0 +ω1+δ1 + · · ·+ω1+δn +m, los grados de Wadgecorrespondientes a conjuntos en ∆0

1+η son los de rango menor que

(ǫ(δn) · · · ǫ(δ0))(ω1 + ω1 · ωω

...ω1

11 ),

donde la torre final tiene m veces ω1, y si η = m la expresion se reduce a dichatorre.

1Notemos que cuando η = m queda θm(α+1), que sabemos que se reduce a la ultima torrede m exponentes ω1 seguidos de α+ 1.

444 Capıtulo 11. La jerarquıa de Wadge de los conjuntos de Borel

En particular recuperamos que los grados de Wadge en ∆02 tienen ordinal

ω1, como ya sabıamos, pero ahora tenemos que los grados en ∆03 tienen ordinal

ωω11 , etc. Mas aun, los grados de Wadge en ∆0

ω son los de rango menor queǫ(ω1 · 2).

Vamos a necesitar un resultado elemental sobre puntos fijos:

Teorema 11.80 Sea β un numero epsilon. Si α > β, entonces ωα = α esequivalente a βα = α. En otras palabras, los puntos fijos de α 7→ βα son losnumeros epsilon mayores que β.

Demostracion: Si βα = α entonces α ≤ ωα ≤ βα = α, luego ωα = α.Si ωα = α, entonces βω = ωβω = ωβ+1 ≤ ωα = α. Por lo tanto β + α = α,

luego βα = ωβωα = ωβ+α = ωα = α, luego

βα = (ωβ)α = ωβα = ωα = α.

Por lo tanto, la derivada de la funcion α 7→ βα es α 7→ ǫβ+1+α (pues siβα = α entonces α > 1, luego α = βα > β1 = β).

Sabemos que ǫ(ω1)(0) = ω1, mientras que ǫ(ω1)(1), es decir, el segundo puntofijo simultaneo de todas las derivadas numerables de ǫ, es precisamente el ordinalde los grados de Wadge de Borel:

Teorema 11.81 El conjunto de grados de Wadge de los conjuntos de Boreltiene ordinal ǫ(ω1)(1).

Demostracion: El ordinal de los grados de Wadge de los conjuntos deBorel es el supremo de los ordinales de los grados de Wadge de los conjuntos∆0ω1+δ , con δ < ω1, luego por el teorema anterior es

⋃

δ<ω1

ǫ(δ)(ω1 · 2).

Tenemos que ω1 · 2 ≤ ωω11 = ω

ǫ(ω1)(0)1 ≤ ω

ǫ(ω1)(1)1 = ǫ(ω1)(1), (por el teorema

anterior, porque ǫ(ω1)(1) es un numero ǫ mayor que ω1), luego

ǫ(δ)(ω1 · 2) ≤ ǫ(δ)(ǫ(ω1)(1)) = ǫ(ω1)(1).

Por consiguiente⋃

δ<ω1

ǫ(δ)(ω1 · 2) ≤ ǫ(ω1)(1).

Por otra parte, si δ0 < δ < ω1 tenemos que ǫ(δ)(ω1 · 2) es punto fijo de ǫ(δ0),luego lo mismo vale para la union, y como esta es mayor que ω1 = ǫ(ω1)(0),tenemos la desigualdad contraria (pues ǫ(ω1)(1) es el menor punto fijo de todaslas funciones ǫ(δ) mayor que ω1).

Apendice A

Clases de clases deconjuntos

Para comodidad del lector recogemos aquı las definiciones principales declases de clases de conjuntos que hemos dado:

Definicion 4.20 Una clase Γ es razonable si una sucesion Ann∈ω tiene todossus elementos en Γ(X) si y solo si

⋃

n∈ωAn × n ∈ Γ(X × ω).

Todas las clases de la jerarquıa de Lusin Σ0α, Π

0α, ∆

0α, Σ

1α, Π

1α, ∆

1α son

razonables (teorema 4.21).

Definicion 5.46 Γ es una clase normada si todo A ∈ Γ tiene una norma enΓ.

Esto lo cumplen las clases Π11(a), Π

11, Σ

12(a) y Σ1

2.

Aunque no lo hemos probado en el texto, no es difıcil ver que tambien loson las clases Σ0

n(a) y Σ0n para n ≥ 2 y tambien para n = 1 sobre espacios

cero-dimensionales).

El axioma ADP implica que las clases Π12n+1(a) y Σ1

2n+2(a) son normadas(y sus complementarias no).

Definicion 6.17 Γ es una clase Σ si contiene a los conjuntos semirrecursivosy es cerrada para conjunciones, disyunciones,

∨

k ≤ n,∧

k ≤ n,∨

k ∈ ω ysustituciones triviales.

Son las clases sobre las que se comporta adecuadamente el concepto defuncion Γ-recursiva. Incluyen a las clases Σ0

n(a), Σ0n, Σ

1n(a), Σ

1n, Π

1n(a), Π

1n,

∆1n(a) y ∆1

n.

445

446 Apendice A. Clases de clases de conjuntos

Definicion 6.57 Γ es una clase Σ∗ si es una clase Σ, esta ω-parametrizada ytiene la propiedad de sustitucion.

Esta propiedad la tienen las clases Σ0n(a) y Σ1

n(a).

Definicion 7.1 Una clase Γ es adecuada si ∆01 ⊂ Γ y Γ es cerrada para

conjunciones, disyunciones,∨

n ≤ m,∧

n ≤ m y sustituciones recursivas.

Esto lo cumplen todas las clases de las jerarquıas de Kleene y de Lusin.

Definicion 7.36 Γ es una clase de Spector si cumple las propiedades siguien-tes:

• Es cerrada para ∧, ∨,∧

n ≤ m,∨

n ≤ m,∧

n ∈ ω,∨

n ∈ ω y parasustituciones recursivas.

• Esta ω-parametrizada, tiene la propiedad de sustitucion y es normada.

• Contiene a Π11.

Esto lo cumplen las clases Π11(a) y Σ1

2(a). El axioma ADP implica que lasclases Π1

2n+1(a) y Σ12n+2(a) son de Spector (y sus complementarias no).

Bibliografıa

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[16] Wagon, S. The Banch-Tarski Paradox Cambridge University Press 1985.

447

Indice de Materias

adecuada (clase), 228, 446aditividad, 82admisible (conjunto, ordinal), 304algebra

de Cantor, 53de categorıa, 56de medida, 50medida, 39

altura (de un arbol), 267analıticamente representable (funcion),

133analıtico (conjunto), 137, 232anillo, 99

invariante, 105arbol, 12

bien podado, 12multidimensional, 158perfecto, 13

aritmetico (conjunto), 231atomica (medida), 43atomo (de una medida), 43autodual (conjunto, grado), 371axioma de determinacion, 359

proyectiva, 349

Baire (funcion de), 131, 133Banach-Mazur (juego de), 359base debil, 336Bersnstein (conjunto de), 67booleano (grado), 429Brouwer-Kleene (orden de), 243buena parametrizacion, 218

codigos de Borel, 123, 270camino, 12campo, 242Cantor (conjunto de), 25

cilindro, 51clase

Σ, 198ambigua, 118de conjuntos, 118dual, 118razonable, 126

coanalıtico (conjunto), 142cofinalidad, 83complecion, 44conexion de Tukey, 87contraccion, 366cubo de Cantor, 51cubrimiento, 83, 342

deduccion ǫσ, 313determinado (conjunto), 329

escala, 167espacio

cero-dimensional, 12de Baire, 16de Cantor, 22perfecto, 13polaco, 3

esquema de Suslin, 16decreciente, 140

estrategia, 328ganadora, 328

expansion, 410

filtrode Raisonnier, 77rapido, 75

final (conjunto), 65funcion parcial, 206

grado (de Lipschitz, de Wadge), 368

448

INDICE DE MATERIAS 449

grupo medible, 105

Hamel (base de), 68Hilbert (cubo de), 8hiperaritmetico (conjunto), 280

integral, 102isomorfismo de Borel, 37

juego, 327determinado, 329

Lema de Wadge, 369lenguaje ǫσ, 313lipschitziana (funcion), 366Lusin (clases de), 153

medible (aplicacion), 118medida, 39

atomica, 43continua, 44de Borel, 44de Cantor, 53en un conjunto, 96finita, 39finitamente aditiva, 39fuerte, 98invariante, 105unitaria, 39

modelo ǫσ, 313

nodo, 12terminal, 12

norma, 162regular, 253

ordinales proyectivos, 255

preorden, 253principal (clase), 375propiedad de Baire, 54proyectivo (conjunto), 154

R-medible (cardinal), 98rango (de un grado), 374recursiva (funcion), 198, 200recursiva parcial (funcion), 211

recursivoconjunto, 194punto, 203

reduccion, 126

semiescala, 175buena, 179

semirrecursivo (conjunto), 189separacion, 125Spector (clase de), 252, 446supremo booleano (grado), 429Suslin

conjunto κ-, 174operacion de, 16

sustitucion (propiedad de), 212sustituciones continuas, 118

Teoremade Baire, 28de Cantor-Bendixson, 27de Fubini, 48de Kuratowski-Ulam, 58de recursion, 220, 224de Suslin-Kleene, 288

transformacion (conjuntista, booleana),403

trivial (aplicacion), 190Turing (reduccion, equivalencia, gra-

dos, 206

uniformidad, 83uniformizacion, 166

numerica, 126universal (conjunto), 119universalmente medible, 144