Cardenas Torres Andres Mauricio 2013

7/24/2019 Cardenas Torres Andres Mauricio 2013

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MODELADO Y CONTROL ROBUSTO DE UN VEHCULO AREO NO TRIPULADO UAVDURANTE MANIOBRA DE VUELO ESTACIONARIO (HOVERING)

ANDRS MAURICIO CRDENAS TORRES

Proyecto de grado para optar al ttulo de

Magister en Ingeniera Electrnica

Profesor Tutor:

INGENIERO JULIN COLORADO MONTAO, PH.D.

PONTIFICIA UNIVERSIDAD JAVERIANAFACULTAD DE INGENIERA

DEPARTAMENTO DE INGENIERA ELECTRNICABOGOT D.C.

2013


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CONTENIDO

INTRODUCCIN ....................................................................................................................................... 11

1. MARCO TERICO ............................................................................................................................. 13

1.1. VELOCIDAD INDUCIDA DEL ROTOR PRINCIPAL RESPECTO AL AIRE ......................... 13

1.2. FUNCIN DE ARRASTRE AERODINMICO ......................................................................... 17

1.3. TEORA DE MOMENTOS .......................................................................................................... 17

1.4. CONTROL LOOP SHAPING ............................................................................................... 191.4.1. Paso 1. .................................................................................................................................. 19

1.4.2. Paso 2. .................................................................................................................................. 19

1.4.3. Paso 3. .................................................................................................................................. 20

2. ESPECIFICACIONES ......................................................................................................................... 21

2.1. MARCOS DE REFERENCIA ...................................................................................................... 21

2.2. NOTACIN .................................................................................................................................. 21

2.3. DIAGRAMA DE BLOQUES DEL MODELO ............................................................................. 22

3. DESARROLLOS ................................................................................................................................. 24

3.1. MODELO NO LINEAL DEL HELICPTERO. .......................................................................... 24

3.1.1. Ecuaciones de Cuerpo Rgido .............................................................................................. 24

3.1.2. Ecuaciones de Torque y Fuerza............................................................................................ 29

3.1.3. Ecuaciones de Empuje e Inclinacin del Aspa ..................................................................... 40

3.1.4. Sinopsis de las Ecuaciones No Lineales ............................................................................... 43

3.1.5. Linealizacin ........................................................................................................................ 44

3.2. IDENTIFICACIN DEL SISTEMA MOTOR ............................................................................. 49

3.2.1. Experimentacin ................................................................................................................... 50

3.2.2. Identificacin del sistema Motor .......................................................................................... 51

3.3. CCULO DE LA INCERTIDUMBRE: FUSELAJE ................................................................... 54

3.4. CCULO DE LA INCERTIDUMBRE: SISTEMA MOTOR ...................................................... 56

3.5. LEY DE CONTROL : FUSELAJE ......................................................................................... 563.5.1. Pre-Anlisis del Sistema para la Implementacin del Controlador Loop Shaping ....... 573.5.2. Objetivos de Control ............................................................................................................ 583.5.3. Diseo de la Ley de Control Loop Shaping .................................................................. 59

3.6. LEY DE CONTROL : SISTEMA DE VELOCIDAD ........................................................... 613.6.1. Desacople del Sistema .......................................................................................................... 61

3.6.2. Diseo de la Ley de Control PID. ........................................................................................ 63


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4. ANLISIS DE RESULTADOS .......................................................................................................... 67

4.1. ANLISIS EN EL TIEMPO ......................................................................................................... 67

4.1.1. Evaluacin del modelo no lineal del fuselaje ....................................................................... 67

4.1.2. Evaluacin del modelo lineal del fuselaje ............................................................................ 72

4.2. ANLISIS EN EL TIEMPO-FRECUENCIA ............................................................................... 74

4.2.1. Modelo lineal del sistema motor: anlisis de estabilidad ..................................................... 74

4.2.2. Modelo lineal del sistema motor: anlisis en frecuencia ...................................................... 75

4.2.3. Modelo Lineal del Fuselaje: Anlisis de Estabilidad. .......................................................... 76

4.2.4. Modelo Lineal del Fuselaje: Anlisis en Frecuencia. ........................................................... 77

4.3. ANLISIS PLANTA-CONTROLADOR ..................................................................................... 79

4.3.1. Evaluacin de la Ley de Control Loop Shaping. ......................................................... 794.3.2. Evaluacin de la Ley de Control PID ................................................................................... 83

CONCLUSIONES ....................................................................................................................................... 85

BIBLIOGRAFA .......................................................................................................................................... 87

ANEXOS...................................................................................................................................................... 91


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LISTA DE FIGURAS

Figura 1. Modelo propuesto para la descripcin dinmica del helicptero en estudio. ............................... 12Figura 2. Cono formado en vuelo estacionario (Hover). .............................................................................. 13Figura 3. Mtodo emprico para la validacin de la Teora de Momentos. .................................................. 14Figura 4. Perfil del aspa................................................................................................................................ 17

Figura 5. Construccin del lazo abierto para control. .................................................................................. 19Figura 6. Estructura del controlador Loop Shaping. ............................................................................. 20Figura 7. Sistema de coordenadas respecto al CDG. ................................................................................... 21Figura 8. Variables de posicin y orientacin del helicptero. .................................................................... 22Figura 9. Movimientos longitudinales y laterales. ....................................................................................... 22Figura 10. Esquema de presentacin de los desarrollos. .............................................................................. 24Figura 11. Bloque de las ecuaciones de cuerpo rgido. ................................................................................ 25Figura 12. Rotaciones del helicptero. ......................................................................................................... 25Figura 13. Proyeccin de la velocidad angular con BF rotado sobre el vector 0de la posicin inicial en elmarco SF. ..................................................................................................................................................... 26Figura 14. Eje de coordenadas del cuerpo rgido. ........................................................................................ 28

Figura 15. Diagrama de bloques de las ecuaciones de torque y fuerza. ....................................................... 29Figura 16. Relacin de fuerzas segn modos de vuelo. ............................................................................... 30Figura 17. Movimiento longitudinal del helicptero. ................................................................................... 31Figura 18. Desplazamiento lateral del helicptero. ...................................................................................... 32Figura 19. Diagrama de fuerzas del rotor trasero. ........................................................................................ 33Figura 20. Vector de fuerza gravitacional. ................................................................................................... 33Figura 21. Distancias del CDG a las fuentes de fuerza. ............................................................................... 35Figura 22. Diagrama de proyeccin de fuerzas para el torque en el eje x. ................................................... 35Figura 23. Diagrama de proyeccin de fuerzas para el torque en el eje y. ................................................... 36Figura 24. Diagrama de proyeccin de fuerzas para el torque en el eje z. ................................................... 36

Figura 25. Diagrama de fuerzas para el torque sobre el eje x. ..................................................................... 37Figura 26. Diagrama de fuerzas para el torque sobre los ejes y e z. ............................................................ 38Figura 27. Torque aerodinmico del rotor principal en inclinacin longitudinal y lateral. .......................... 39Figura 28. Diagrama de bloques del empuje del rotor y la velocidad inducida. .......................................... 41Figura 29. Sistema de transmisin del helicptero KDS 450SV. ................................................................ 42Figura 30. Diagrama de bloques del sistema motor. .................................................................................... 49Figura 31. Seales de trabajo para realizar la identificacin. ....................................................................... 50Figura 32. Respuesta de Velocidad ante escaln unitario. ........................................................................... 52Figura 33. Evaluacin de la Respuesta Paso: Simulacin vs Datos Reales. ................................................ 53Figura 34. Residuos estadsticos. ................................................................................................................. 53Figura 35. Respuestas paso en tiempo continuo y discreto. ......................................................................... 54

Figura 36. Cota superior de incertidumbre del modelo del fuselaje............................................................. 55Figura 37. Perfil de incertidumbre multiplicativa. ....................................................................................... 56Figura 38. Valores singulares planta-controlador. ....................................................................................... 61Figura 39. Sistema desacoplado. .................................................................................................................. 62Figura 40. Comparacin de la velocidad de respuesta de las respuestas paso del sistema. ......................... 63Figura 41. Topologa de control implementada sin perturbacin: PID ideal. .............................................. 63Figura 42. Respuesta temporal de los controladores diseados. .................................................................. 64Figura 43. Respuesta temporal de los controladores ante entradas de excitacin variables. ....................... 66


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Figura 44. Esquema de los resultados obtenidos. ......................................................................................... 67Figura 45. Respuesta del modelo no lineal ante un , , y . . 68Figura 46. Simulacin del modelo no lineal con , , y . ................................................................................................................................................................. 69Figura 47. Simulacin del modelo no lineal con entradas

y

y salidas

,

,

,

,

y

. ............................................................................................................................................................ 70

Figura 48. Simulacin del modelo no lineal con entradas y y salidas , , y . ...................................................................................................................................................................... 70Figura 49. Respuesta del modelo no lineal ante entradas y y salidas , , , ,y . ............................................................................................................................................................ 71Figura 50. Respuesta del modelo no lineal ante entradas y y salidas , , y. .................................................................................................................................................................. 71Figura 51. Respuestas de los modelos ante una entrada . ........................................................ 72Figura 52. Respuestas de los modelos ante una entrada . ........................................................ 73Figura 53. Respuestas de los modelos ante una entrada . ......................................................... 73Figura 54. Respuesta de los modelos ante una entrada

. ......................................................... 74

Figura 55. Respuesta de los modelos ante una entrada . ...................................................... 74Figura 56. Respuesta en frecuencia del modelo. .......................................................................................... 76Figura 57. Lazo abierto del modelo lineal. ................................................................................................... 78Figura 58. Lazo cerrado del modelo lineal. .................................................................................................. 78Figura 59. Sensibilidad del modelo lineal. ................................................................................................... 79Figura 60. Topologa de control simulada.................................................................................................... 79Figura 61. Respuesta controlador con perturbacin en . ........................................................ 80Figura 62. Respuesta controlador con perturbacin en . ......................................................... 80Figura 63. Respuesta controlador con perturbacin en . ........................................................ 81Figura 64. . Respuesta controlador

y PID con perturbacin en

. .................................... 81

Figura 65. Respuesta de los controladores

y PID ante perturbaciones mltiples. ................................ 82

Figura 66. Estabilidad robusta. ..................................................................................................................... 83Figura 67. Perturbacin de los controladores PID. ...................................................................................... 84Figura 68. Respuesta de los controladores ante una seal de perturbacin. ................................................. 84


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LISTA DE TABLAS

Tabla 1. Aplicacin de la teora de momentos. ............................................................................................ 14Tabla 2. Valores para linealizacin. ............................................................................................................. 47Tabla 3. Resultados discriminados por porcentaje de ajuste tras la identificacin. ..................................... 51Tabla 4. Valores de sintonizacin de los controladores PID sin perturbaciones. ......................................... 64

Tabla 5. Consumo de Energa . ............................................................................................................. 82Tabla 6. Anlisis del consumo de energa. ................................................................................................... 83Tabla 7. Distancias entre el CDG y los ejes del rotor trasero y principal. ................................................... 93Tabla 8. Masa de algunos elementos del helicptero KDS 450SV. ............................................................. 95Tabla 9. Parmetros del helicptero KDS450SV. ........................................................................................ 98Tabla 10. Valores arrojados por FoilSim III. ............................................................................................... 99


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NDICE DE TRMINOS

Con el propsito de introducir al lector sobre los diferentes trminos utilizados en el trabajo, se presenta acontinuacin una descripcin de las variables que fueron empleadas.

OPERADOR UNIDAD DESCRIPCIN

Cclico - Mando de control del helicptero que le permite a ste desempearmovimientos laterales y longitudinales; en algunas ocasiones seutilizan los trminos ccliclo-latearl y cclico-longitudinal paradescribirlos.

Colectivo - Mando de control del helicptero que cambia el ngulo de ataque delas aspas del rotor principal para generar mayor empuje.Acelerador

-

Mando de control del motor que regula la velocidad de rotacin delmotor.

Pedales - Mando de control que regula el ngulo de ataque del rotor trasero. - - Consignas que corresponden al ngulo de entrada del servomotor quecontrola el ngulo de inclinacin del rotor principal. - Consigna que corresponde al ngulo de entrada del servomotor quecontrola el ngulo de ataque de las aspas del rotor principal. - Consigna de control normalizada que representa el valor de seal dePWM que es enviado al variador de velocidad que acciona al motor. - Consigna que corresponde al ngulo de entrada del servomotor quecontrola el ngulo de ataque de las aspas del rotor trasero. - ngulo de inclinacin longitudinal del rotor principal entre el planoTPP y plano HP. - ngulo de inclinacin lateral del rotor principal entre el plano TPP yplano HP. - ngulo que muestra la relacin entre el mando de control delcolectivo y el ngulo efectivo de la inclinacin o ngulo de ataque de

cada aspa del rotor principal.

-ngulo que muestra la relacin entre el mando de control de los

pedales y el ngulo efectivo de la inclinacin o ngulo de ataque decada aspa del rotor trasero.

TPP - Plano formado por la rotacin del rotor principal.HP - Plano horizontal sobre la cabeza del eje del rotor principal, paralelo alplano terrestre.


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BF - Marco fijo ubicado en el centro de gravedad.SF - Marco espacial.

EF - Marco terrestre. - Empuje generdado por el rotor principal. - Empuje generdado por el rotor trasero. - Velocidad inducida del aire que pasa por el disco del rotor principal.

- Velocidad del aire lejano sobre el rotor principal.

- Velocidad del aire lejano debajo del rotor principal. - Velocidad de ascenso respecto al aire. - rea del rotor principal.

- Densidad del aire.

- Constante de elevacin de las aspas del rotor principal. - Nmero de aspas. - Ancho de las aspas del rotor principal.

-

Torque provocado por la friccin o arrastre aerodinmico del rotorprincipal.

- Coeficiente de la relacin entre el empuje y la friccin o arrastreaerodinmico del rotor principal. - Constante de friccin o arrastre aerodinmico del rotor principal. - Velocidad angular del rotor principal


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- Velocidad traslacional sobre los ejes de coordenadas x, y e z - - ngulos de Euler sobre los ejes de coordenadas x, y e z, - -

Velocidades Angulares sobre los ejes de coordenadas x, y e z,

- - Vectores de fuerza en cada eje de coordenadasx,yez, asociadas a loscomponentes del helicptero. - Vectores de fuerza del rotor principal en cada eje de coordenadas x,yezrespecto al marco fijo. - Vectores de fuerza del rotor trasero en cada eje de coordenadasx,yezrespecto al marco fijo.

-

Vectores de fuerza de la gravedad en cada eje de coordenadas x,yez

respecto al marco fijo. - Vectores de torque en cada eje de coordenadas x, ye z, asociadas alos componentes del helicptero. - Vectores de torque del rotor principal en cada eje de coordenadas x,yez, respecto al marco fijo. - - Vectores de torque del rotor trasero en cada eje de coordenadas x,yez, respecto al marco fijo. -

-

Vectores de torque aerodinmico en cada eje de coordenadasx,ye z,respecto al marco fijo.

-

- Matriz de momentos de inercia. - Tensor de inercia sobre el ejex. - Tensor de inercia sobre el eje y.

- Tensor de inercia sobre el ejez.

Distancia del centro de gravedad al eje del rotor principal sobre el eje. Distancia del centro de gravedad al eje del rotor principal sobre el eje. Distancia del centro de gravedad al eje del rotor principal sobre el eje.


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Distancia del centro de gravedad al eje del rotor trasero sobre el eje . Distancia del centro de gravedad al eje del rotor trasero sobre el eje .


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Figura 1. Modelo propuesto para la descripcin dinmica del helicptero en estudio.

Siguiendo la estructura del modelo de la Figura 1, se plante disear una estrategia de control robustoutilizando la tcnica para controlar la estabilidad en vuelo estacionario del helicptero KDS450SV.Para lograr este propsito, se encuentra un modelo lineal que describe el comportamiento dinmico delHelicptero en vuelo estacionario, luego se realiza el proceso de identificacin de un modelo lineal delsistema motor del helicptero utilizando el ToolBox de identificacin de sistemas de Matlab. Seguido aesto se determina la incertidumbre de los dos modelos. Posteriormente se encuentra una ley de controllineal para la regulacin de velocidad del eje del rotor principal y una ley de control robusta paralograr la estabilizacin en vuelo estacionario del helicptero. Finalmente se simula y analiza el sistemaplanta controlador para determinar su comportamiento.

El presente documento muestra algunas definiciones generales, la notacin utilizada, el procedimiento

seguido para determinar las ecuaciones de cuerpo rgido, las ecuaciones de torque y fuerza, las ecuacionesde empuje e inclinacin del aspa, el proceso de experimentacin y la identificacin del sistema motor delhelicptero, el anlisis y validacin de los modelos no lineales y la linealizacin, y finalmente lasestructuras de control utilizadas y la respectiva evaluacin de los mismos.

Ecuacionesde empuje einclinacin

del aspa

Ecuacionesde torque y

fuerza

Ecuacionesdel cuerpo

rgido

SistemaMotor

Ulon

Ulat

Ucol

Uped

Uacel

TRP

TRT

1c

1s

bt

bF

bV

q

w


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1.

MARCO TERICO

1.1.

VELOCIDAD INDUCIDA DEL ROTOR PRINCIPAL RESPECTO AL AIRELa caracterizacin del comportamiento del rotor y su relacin con el aire debe ser analizada en losdiferentes modos de vuelo que la aeronave puede desempear; cuando el helicptero est en tierra, cuandorealizan ascensos o descensos en la vertical, cuando se hacen maniobras de sustentacin, cuando se

encuentra en velocidad crucero, etc. Para esto, la teora de momentos, la mecnica de fluidos, la teora devortex, la ley de Biot-Savart y la teora de potencial, determinan el comportamiento en cada uno de estosmodos.

Generalmente, se asume que el disco rotor est formado por un nmero de aspas infinito con unasuperficie plana de rea constante (), el cual succiona el aire, generando un cono de succin, y lo aceleraproduciendo un empuje total () y logrando velocidades de viento como: muy arriba del disco rotor (),en el disco del rotor la inducida en el disco del rotor (), la velocidad inducida lejana abajo del rotor ()y la velocidad de ascenso respecto al aire () como se ensea en laFigura 2.

Figura 2. Cono formado en vuelo estacionario (Hover).

Cada modo de vuelo comprender ciertos supuestos y un anlisis de la teora de momentos para el modelodel flujo del aire, de forma diferente. Autores como (Cooke & Fitzpatrick, 2002), (McCormick Jr., 1999),

v0

T

w

vi

v0< vi< w

A

Aguas abajo

Aguas arribaEstacin 0

Estacin 1

Estacin 2

Estacin 3

V

Cono de succin


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(Leishman, 2006), (Padfield, 2007), (Seddon, 1990), (Hafner, 1954) y (Young, 1978), entre otros,muestran cmo la teora de momentos ayuda a encontrar un modelo de forma independiente, sin embargo,stos no son aplicables para hallar un modelo general (Mendes de Almeida Correia da Cunha, 2002). Paradar solucin a esta problemtica, autores como (Cooke & Fitzpatrick, 2002), (McCormick Jr., 1999),(Leishman, 2006), (Padfield, 2007), (Seddon, 1990), (Hafner, 1954) y (Young, 1978) determinaron unajuste emprico para determinar en qu instantes la teora de momentos es vlida, como se puede observaren laFigura 3.All se muestra el anlisis para vuelo en sustentacin y su relacin cuando se tienen altas

velocidades de descenso y de ascenso ( , ), donde la teora de momentos se cumple.Sin embargo a velocidades de descenso entre , se deben realizar algunos ajustes, pues lateora de momentos deja de cumplirse.

Figura 3. Mtodo emprico para la validacin de la Teora de Momentos.

Wayne plantea una cuadro resumen en el que relaciona los diferentes estados donde la teora de momentostiene validez (Wayne, 1994).

ESTADO INTERVALO ECUACINAscenso

Estacionario (Hover) Bajas velocidades

Estela Turbulenta y Vrtice de Anillo -Autorrotacin Ideal Molino de Viento

Tabla 1. Aplicacin de la teora de momentos.

En el modo de vuelo estacionario o vuelo en bajas velocidades, la velocidad de ascenso ( ) es igual a 0 orelativamente baja, y la velocidad en hover () tender constante. Por tanto, la relacin que mejordescribe este comportamiento es extrada de la tabla anterior, como se aprecia en la ecuacin (1).

(1)


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Para encontrar la velocidad de hover, se deben hacer algunas suposiciones. Se rechaza la energa en laestela debida al torque del rotor y se asume el aire como un fluido incompresible y no viscoso (sinrozamiento).A partir de esta teora y echando mano de la teora de la conservacin de la masa se define elflujo msico a travs del disco como:

(2)

Siguiendo la ley de conservacin de masa se puede estimar que el flujo msico es constante en toda laestela formada por el disco. El flujo aguas arriba (figura 2) est en reposo, por esto el empuje del rotorprincipal puede calcularse mediante la ley de conservacin de momentos, por lo que la fuerza totalaplicada es simtrica al empuje generado y es igual a una variacin del momento lineal, el cual considerael producto entre el flujo msico y la velocidad del viento muy por debajo del rotor: = (3)Para comprender el concepto del cono formado por el flujo del aire a travs del disco del rotor (visto en laFigura 2), es necesario comprender el Teorema de Bernoulli, pues al establecerse dicho cono se puedeobservar que el proceso es similar al tubo de Venturi. Por esto, es necesario que exista una compensacinde todas las variables (en este caso la velocidad y la presin, pues la densidad del fluido es constante), es

decir, cuando existe un aumento de velocidad del aire existir una disminucin de la presin generada porlas aspas del rotor directamente proporcional a esta y viceversa.

Haciendo referencia a la Figura 4, La velocidad del aire es mayor a la de , traducindose en undiferencial de presin entre la parte superior del aspa y la parte inferior de la misma, conllevando a queexista una presin mayor debajo del ala y una menor por encima de esta, produciendo finalmente laelevacin.

Al relacionar las presiones que actan en el cono formado por el disco del rotor, la presin total ( ) esigual a la presin esttica () ms la dinmica (). Debido a que el aire es impulsado por el rotor, esnecesario tener en cuenta que existen 4 puntos en los que se debe medir la presin, as que se estima lapresin aguas arriba del disco del rotor (estacin 0), sobre el disco del rotor (estacin 1), debajo del disco

del rotor (estacin 2) y aguas abajo del disco del rotor (estacin 3). Al asumir que el nivel de presinaguas arriba del disco rotor es igual a la presin atmosfrica () se puede aplicar el Teorema de Bernoullientre las estaciones 0 y 1 enseadas en laFigura 2. (4)La presin dinmica est dada por la rotacin del disco, la cual es producida por la energa cintica delrotor, esto es:

(5)Ya que el aire tiene masa, pues puede ejercer presin, es posible aproximar la masa () a la densidad delaire (), con esto y reemplazando (5) en (4) se tiene que: (6)Para calcular la presin entre las estaciones 2 y 3 (debajo del disco y aguas abajo del disco rotor) se debetener en cuenta que la presin total en incluye por si sola una presin dinmica; esto por la ley de laconservacin de energa, pues la presin esttica est siendo afectada directamente por la presin dinmicaejercida por el rotor, esto es:


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(7)Para encontrar la relacin existente entre las presiones en las estaciones 0, 1, 2 y 3, puede determinarsereemplazando la ecuacin (6) en (7), esto es:

(8)Resolviendo, (9)

La ecuacin (9) describe el diferencial de presin que pasa a travs del disco rotor, a lo que se conocetambin como la carga del disco rotor (

). Partiendo del hecho que la presin es una fuerza que se ejerce

por unidad de rea, es posible relacionar la ecuacin (9) con el empuje requerido para que el disco rotorpueda levantar el peso del helicptero, mediante la relacin de , esto es, (10)Retomando (3), reemplazndola en (10) y resolviendo se tiene que,

(11) (12)

Con este resultado claramente se puede observar que la velocidad del aire en la estela que se encuentraaguas abajo del disco del rotor es dos veces ms rpida que la velocidad inducida en el disco. A partir deesto es posible replantear una nueva ecuacin de empuje, por lo tanto relacionando (2), (3) y (12), sedetermina que,

(13)

En (13) se realiza el cambio de variable de a , pues la velocidad inducida del aire que pasa por elrotor principal es justamente la velocidad requerida para lograr la sustentacin del helicptero en el aire.Al reemplazar (13) en (1) y teniendo en cuenta que , finalmente se tiene que, * (14)


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1.2.

FUNCIN DE ARRASTRE AERODINMICOCuando las aspas del helicptero se encuentran rotando se someten a la resistencia del aire, as como a lasturbulencias generadas por cada aspa, como se observa en laFigura 4.Existen diferentes aproximacionespara determinar el torque generado por el arrastre aerodinmico de los rotores principal y trasero, algunasms complejas que otras, por lo que es necesario encontrar la forma de determinarlo. Autores como (Naldi& Marconi, 2006), (Tobias, Krogstad, & Gravdah, 2008) , (Masajedi, Ghanbarzadeh, & Shishesaz, 2012),(Wang, Wang, Niu, & Duan, 2007) y (Prouty , 2001) plantean una aproximacin a la funcin de torque

relacionando el empuje del rotor y su arrastre, y el arrastre del rotor cuando las aspas tienen ngulo deataque cero (15); donde el subndice corresponde al rotor principal y rotor trasero . (15)

Figura 4. Perfil del aspa.

El conjunto de ecuaciones descritas permiten encontrar el empuje generado por las aspas del rotorprincipal en vuelo estacionario.

1.3.

TEORA DE MOMENTOSLas ecuaciones de movimiento pueden ser calculadas igualando la tasa de cambio de los momentosangulares y lineales de las fuerzas y momentos aplicados. A partir de esto se selecciona un punto arbitrario, dentro del fuselaje, para el cual se encuentra una expresin para la aceleracin absoluta.Ya que la distancia del CDG al punto P puede determinarse mediante una relacin con los vectoresunitarios, tal como se muestra en (16),

(16)Y la velocidad angular respecto al CDG se describe como se ensea en (17). (17)El momento angular absoluto sobre el centro de masa de un cuerpo rgido, segn [(Wie, 1998), p. 332],puede definirse como:

Elevacin

Menor presin

Mayor presin

Empuje

Arrastre - Friccin


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+ (18)Resolviendo (16),

(19)De (19) se puede observar que algunas de las ecuaciones son los momentos de inercia del CDG y losproductos inerciales (momentos centrfugos del CDG), esto es: (20)

(21)

(22) (23) (24) (25)A partir de esto, y representando (19) de forma matricial,

(26)Basado en el principio de conservacin del momento angular y al ubicar el momento angular absoluto

sobre el centro de masa, el torque () se puede definir como -, por lo tanto, (27)

Aunque la ecuacin (27) es vlida cuando el cuerpo rgido experimenta rotaciones en todos sus ejes, noresulta prctica para determinar el movimiento, pues el helicptero realizar movimientos en cada eje demanera secuencial. Teniendo en cuenta este hecho y tomando como referencia la ecuacin de rotacin deEuler (segunda ley de Euler), es posible encontrar un nuevo resultado para la ecuacin (19). Para esto debefijarse un marco de coordenadas al cuerpo rgido sobre el CDG y alinearlos a los ejes principales deltensor de inercia ; asumiendo los momentos de inercia principales sobre cada eje (). Con esto, laecuacin del movimiento angular, segn la segunda ley de Euler es: (28)Resolviendo,


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(29) (30)De (30) se tiene que la inercia no cambia respecto al tiempo, por lo que

, esto es, el primer trmino

de la ecuacin es igual a cero.

(31)Al despejar la aceleracin angular de (31), se tiene que: (32)

1.4.

CONTROL LOOP SHAPINGLa tcnica de control loop shaping (Zhou, Doyle, & Glover, 1996) se basa en el diseo de unprecompensador o un postcompensador que alteran los valores singulares de la planta nominal para lograr

un perfil de lazo abierto deseado. El diseo del controlador sigue tres pasos bsicos que buscan finalmenteobtener un lazo de control estable con requermientos de robustez.

1.4.1.

Paso 1.Encontrar un precompensador o un postcompensador que se combinan con el modelonominal para obetener el perfil en frecuencia deseado para el lazo abierto de la planta para control, lacual se describe como . LaFigura 5 muestra el esquema del procedimiento parael diseo de la planta de control.

Figura 5. Construccin del lazo abierto para control.

1.4.2.

Paso 2.Para lograr la estabilizacin robusta se siguen dos pasos intermedios. Primero se calcula el valor para elcual se logra un controlador que cumpla la minimizacin de la norma . Para esto, se calcula el valorsiguiendo

*

(33)

- (34)Donde las variables y son los factores coprimos normalizados de la planta para control , de talforma que y se cumpla la condicin que . Si el valor de tras elproceso, es mucho menor a 1, se debe retornar al paso 1 y replantear el diseo del precompensador y elpostcompensador.

W1

s( ) P s( ) W2 s( )


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20

Luego se debe encontrar un seleccionar , que permita sintetizar un controlador estable quesatisface que:

(35)1.4.3.

Paso 3.El controlador resultante se construye combinando y los filtros y como se muestra en(132) (36)La implementacin del controlador se logra siguiendo la estructura planteada en laFigura 6,la cual puedeser simulada en software como Simulink y el diseo del controlador a su vez utilizando la funcinnfcsyn()de Matlab.

Figura 6. Estructura del controlador Loop Shaping.

W1 s( ) K W2 s( )

K

P s( )


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21

2.

ESPECIFICACIONES

Para poder entender algunas de las operaciones que se realizarn es necesario acordar ciertos criterios ydefiniciones que confluirn para establecer las ecuaciones de dinmica, cinemtica y aerodinmica delvuelo del helicptero en estado estacionario.

2.1.

MARCOS DE REFERENCIAEl helicptero puede considerarse como un cuerpo rgido que se traslada y rota sobre cada uno de sus ejes,teniendo as 6 grados de libertad de movimiento. A partir de esto y con el fin de determinar su ubicacinen el espacio, deben contemplarse marcos de referencia que permitan distinguir sus movimientos en elproceso de modelacin.

Por conveniencia se selecciona un Marco Terrestre EF para representar los movimientos respecto al globoterrqueo, el cual se asume como plano-estacionario. El origen de EFse asume arbitrariamente con el ejexapuntando en una direccin conveniente, el ejezde manera vertical hacia abajo y el eje yperpendiculara los dos ejes. Un segundo marco representado como Marco Fijo BFes ubicado en el centro de masa ogravedad del helicptero. Para ste ltimo se escoge el ejexen direccin a la nariz de la aeronave, el eje ya la derecha de la misma y elzverticalmente hacia abajo y perpendicular a los dems. Para mayor claridad

se bosquejan los ejes y marcos en la Figura 7.Con el fin de describir los movimientos rotacionales sedefine un Marco Espacial SF, el cual se orienta de igual forma que el EFpero con zapuntando haciaarriba y con origen en el BF. Para mayor claridad se utilizarn los superndices b, eyspara indicar losmarcos BF, EF, SF.

Figura 7. Sistema de coordenadas respecto al CDG.

2.2.

NOTACINPara denotar los movimientos del helicptero respecto al aire se definen algunas variables que describencada caso, como se aprecia en laFigura 8.El desplazamiento de la aeronave en el marco BFrespecto alSF es representado por el vector

y la velocidad traslacional en BF respecto al SF se

representa como . Para el caso de los movimientos rotacionales, los ngulos de Euler enel BF expresados en el BF sern denotados por y la velocidad angular como .


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22

Figura 8. Variables de posicin y orientacin del helicptero.

Los movimientos del helicptero son el resultado de las fuerzas generadas por el rotor principal y el rotortrasero. Cuando se realiza un cambio en el ngulo de ataque o en la inclinacin de las aspas, se presentancambios en las direcciones de las fuerzas de empuje, sustentacin y propulsin, logrando una variacin de

la direccin y la magnitud del movimiento. LaFigura 9permite distinguir el plano formado por las puntasde las aspas cuando se presentan inclinaciones en los ejes x e y con el fin de lograr trayectoriaslongitudinales y laterales (plano TPP) y el plano cubierto por el rotor principal cuando se encuentra enestado nulo HP(sin inclinacin).

Figura 9. Movimientos longitudinales y laterales.

2.3.

DIAGRAMA DE BLOQUES DEL MODELOCon el fin de determinar una funcin que describa las caractersticas dinmicas yaerodinmicas del helicptero, se analizan la teora de momentos y las ecuaciones de Newton Euler, paraconfigurar el diagrama de bloques que se ense en laFigura 1.

Las ecuaciones de empuje e inclinacin del aspa aproximan la relacin que existe entre las consignas deentrada correspondientes a las seales de actuacin del cclico para movimientos longitudinales () ylaterales (), de los pedales para la orientacin en guiada (), y por ltimo el colectivo para la


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23

elevacin (). Debe contemplarse que el empuje generado por el rotor principal () tiene relacindirecta con la velocidad angular ()2, por lo que se incluye un bloque que la relaciona el colectivo y elacelerador del motor (). Finalmente el vector de entradas se muestra a continuacin. { } (37)La relacin de las variables de

, se interrelacionan para determinar el empuje de los rotores principal y

trasero, esto es () y () respectivamente, as mismo a partir de stas es posible determinar losngulos de inclinacin laterales y longitudinales del marco del rotor principal, esto es ( ) y ()respectivamente. Con los empujes y los ngulos pueden aproximarse las ecuaciones de torque y fuerza que dominan el helicptero.Mediante las ecuaciones de cuerpo rgido se pueden encontrar las posiciones lineales ( ),las velocidades traslacionales ( ), los ngulos de Euler ( ), y lasvelocidades angulares ( ).

2As mismo, un impacto significativo a la elevacin.


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24

3.

DESARROLLOS

Con el propsito de esquematizar la distribucin de los desarrollos, se plantean diferentes apartados endices. LaFigura 10 muestra que en una primera instancia se presentarn las ecuaciones con las que seobtuvo el modelo no lineal del fuselaje y la posterior linealizacin. Luego se dar a conocer el proceso deexperimentacin y posterior identificacin del modelo lineal del sistema Motor-Colectivo-Acelerador.Finalmente se plantearn las leyes de control desarrolladas para cada uno de los modelos lineales.

Figura 10. Esquema de presentacin de los desarrollos.

As bien, se presentar a contiunacin el desarrollo del modelo no lineal del fuselaje del helicpterotomando como referencia el esquema visto en laFigura 1.De all se extraen tres reas particulares y sepresetan en el siguiente orden: las ecuaciones del cuerpo rgido, las ecuaciones de torque y fuerza y lasecuaciones de empuje e inclinacin del aspa.

3.1.

MODELO NO LINEAL DEL HELICPTERO.Para determinar la ley de control robusto apropiada que mantenga el helicptero en vuelo estacionario, serealiza un anlisis de la aeronave en bloques. En primer lugar se encuentra un modelo no lineal paradeterminar finalmente las velocidades angulares y traslacionales.

3.1.1.

Ecuaciones de Cuerpo RgidoPara dar solucin a las ecuaciones movimiento para el cuerpo rgido, se hace una anlisis de lasecuaciones cinemticas y dinmicas que describen el comportamiento del helicptero.

Fuselaje

Linealizacin

Identificacin del sistema Motor-Colectivo-Acelerador

Sistema Motor

Control H

Control PIDMISO

Modelacin Error de modelacin

Fuselaje

Sistema Motor

Incertidumbre

Sistema Motor

Incertidumbre

Fuselaje

Ley de Control

Modelo no

lineal


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25

Figura 11. Bloque de las ecuaciones de cuerpo rgido.

La figura anterior describe la relacin entre las velocidades traslacionales ( ), los ngulos de Euler y las velocidades angulares , con los torques y las fuerzas generados por el rotor principal y trasero.Para esto, se analiza el helicptero como un cuerpo rgido y se desarrollan matrices de transformacin paradeterminar las velocidades lineales y la teora de momentos para las rotacionales.

3.1.1.1.

Cinemti ca

Al asumir que el helicptero no cambiar su forma o su masa por actuacin de fuerzas externas, es posiblerealizar un estudio de la cinemtica para determinar la orientacin de la aeronave cuando se realiza unarotacin sobre alguno de los ejesx,yo z en los marcos SF y BF .La secuencia estndar en la dinmica delvuelo es desviacin (Yaw, ), elevacin (Pitch, ) y giro (Roll, ) como se muestra en la Figura 12.

(a). Desviacin (b). Elevacin (c). GiroFigura 12. Rotaciones del helicptero.

Para lograr la desviacin se realiza una rotacin de magnitud sobre el eje z, por lo que los demsvectores se redireccionan y deben representarse de nuevo, tal como se observa en (39).

(39)Tras la rotacin en z, el fuselaje rota sobre el nuevo eje y, con un ngulo de elevacin , provocando unanueva distribucin de los dems ejes, para esto se encuentra la representacin matricial vista en (40).

(40)

Ecuaciones del cuerpo

rgido

bt

bF

bV

q

w


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27

(44)Resolviendo,

(45)

Finalmente las ecuaciones de velocidad quedan,

(46) (47)La matriz de transformacin

permite relacionar la velocidad angular con las tasas de Euler, del

marco SFal BF, as mismo, debido a que esta matriz es orto-normal, es posible hacer un mapeo de BFa

SF despejando de la ecuacin (47). - (48) [

] (49)

Expandiendo (49),

[ ] (50)3.1.1.2.Dinmica: Aceleracin Angul ar

Para derivar las ecuaciones de movimiento es necesario continuar asumiendo que el helicptero es uncuerpo rgido que cuenta con un centro de masa ubicado en el punto CDG (Centro de Gravedad). A partir


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29

(53)Al expandir (53) mediante la ecuacin de transporte como se sugiere en [ (Kasdin & Paley, 2011), p. 444],la fuerza puede reescribirse como:

(54)

Al despejar la aceleracin traslacional,

( ) (55)Expandiendo (55) se obtiene la aceleracin traslacional.

,

[ ]

(56)

3.1.2.

Ecuaciones de Torque y Fuerza

Para determinar las fuerzas

y torques

que actan sobre el helicptero, es necesario encontrar la

relacin existente entre los ngulos de inclinacin para los movimientos longitudinales y laterales, elempuje generado por el rotor principal y el rotor trasero, la accin de la fuerza de gravedad, las fuerzas dearrastre o de friccin del fuselaje, entre otros.

Figura 15. Diagrama de bloques de las ecuaciones de torque y fuerza.

Ecuaciones de torque yfuerza

TRP

TRT

1c

bt

bF

1s


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30

3.1.2.1.

Ecuaciones de Fuerza

LaFigura 16 (a) ensea la relacin entre la elevacin y el empuje, con el peso y el arrastre aerodinmico,cuando el helicptero se encuentra en vuelo estacionario, y por ejemplo en (b) se muestra la mismarelacin cuando se desplaza hacia la derecha y adelante. Durante el vuelo elementos como el rotorprincipal ( ) y el rotor trasero ( ) generan empujes que permiten movimientosverticales, laterales, longitudinales y rotacionales en los tres ejes cartesianos. As mismo diferentesfuerzas, torques, empujes y arrastres aerodinmicos actan sobre el helicptero debido a efectos como: la

oposicin al aire por parte del fuselaje ( ), las fuerzas de estabilizacin debidas a las aletasvertical ( ) y horizontal ) ubicadas en la cola, la barra estabilizador del rotorprincipal o Bell Hiller ( ), entre otras. Al relacionar todas stas, es posible determinar la fuerzay torque total del helicptero.

El vuelo en Hover busca la estabilizacin del helicptero de forma estacionaria en el aire, manipulando elngulo de ataque de las aspas del rotor principal y la aceleracin del . Con esto, la aeronave ganar altitudcuando el empuje sea mayor al peso y las cargas aerodinmicas direccionadas hacia abajo, y la perdercuando se presente el caso contrario (U.S. Department of Trasportation & Federal AviationAdministration, 2000). Si las condiciones de viento son ideales y las velocidades de desplazamiento sonsignificativamente bajas, es decir no se presentarn grandes desplazamientos longitudinales o laterales, es

posible discriminar los efectos producidos por las aletas estabilizadoras horizontal y vertical, as como lasfricciones generadas por el fuselaje y el empuje producido por el Bell Hiller (Kim, Chang, Keh, Ha, &Lee, 2004), (Hald, Hesselbaek, Holmgaard, Jensen, Jakobsen, & Siegumfeldt, 2005), (Koo & Sastry,1998) & (Ma, Sastry, & Koo, 2001). Al contemplarse estas condiciones especficas, es posible sintetizarun modelo eficiente que exprese el comportamiento del helicptero.

(a). Vuelo estacionario o Hover. (b). Vuelo lateral (derecha) y longitudinal (adelante).

Figura 16. Relacin de fuerzas segn modos de vuelo.

A partir de lo expuesto anteriormente, las fuerzas actuantes sobre helicptero pueden encontrarse apartir de la sumatoria de fuerzas principales que actan sobre el CDG, esto es:

(57)


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31

La sumatoria comprende las fuerzas generadas por el empuje del rotor principal, el rotor trasero y lafuerza gravitacional, es decir, , y respectivamente. Ya que las fuerzas tienen componentesen cada eje de coordenadas, esto es , y , cada una de estas debe ser expandida de la siguiente manera: (58)

(59)

(60)3.1.2.1.1. Ecuaciones de fuerza: Rotor Principal.

De manera general, el rotor principal permite realizar movimientos laterales, longitudinales, rotacionales yla elevacin del helicptero; combinando el colectivo con la aceleracin del motor. Estos movimientospueden ser realizados por diferentes fuerzas actuantes en direccin a cada eje cartesiano, por lo que paraevaluar la correspondencia deben utilizarse una notacin especfica. Las fuerzas ejercidas por el rotorprincipal sobre el eje se denotarn como , y para los dems ejes y respectivamente.En los helicpteros, los desplazamientos laterales y longitudinales se dan por la variacin de uncontrolador conocido como cclico. LaFigura 17 ensea la forma en que la aeronave realiza avances oretrocesos, para eso se inclina el plano del rotor principal (HP) un ngulo , produciendo que el vectorde la fuerza de empuje () tambin se incline, pues este es perpendicular al plano inclinado del rotor(TPP). Para efectos de modelacin, este vector se proyecta al eje situado sobre el plano del rotorprincipal en estado fijo, HP.

Figura 17. Movimiento longitudinal del helicptero.

Al proyectar respecto a HP, es decir al eje , la fuerza en este eje cartesiano queda: (61)Para los movimientos laterales, el plano del rotor principal se inclina un ngulo con el fin de proyectarla fuerza de empuje sobre el eje , generando un desplazamiento del helicptero sobre este mismo eje decoordenadas; esto puede observarse en laFigura 18.Con esto, la fuerza ejercida es:

HP

TRP

x y

z

1c

1c


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33

Figura 19. Diagrama de fuerzas del rotor trasero.

3.1.2.1.3.

Componentes de fuerza: Aceleracin gravitacional sobre cada eje.En la dinmica de vuelo de la aeronave, los componentes de la aceleracin gravitacional se analizan entorno al marco inercial. LaFigura 20 muestra claramente que la direccin de la gravedad es paralela al eje.

Figura 20. Vector de fuerza gravitacional.

Ya que las anteriores fuerzas han sido representadas en el marco BF, es necesario mapear la gravedad deSFa BF, mediante la matriz de transformacin encontrada en (36). La representacin, teniendo en cuentala direccin de la gravedad es:

(66)Reemplazando (26) en (66) y resolviendo se describe la fuerza gravitacional.

y

g

x

z


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34

(67)3.1.2.1.4. Ecuaciones de Fuerza Finales

Al Retomar la ecuacin (56), la fuerza que experimenta el helicptero puede representarse por la

sumatoria de fuerzas del rotor principal, trasero y la fuerza gravitacional, ejercidas sobre cada eje delplano cartesiano. Por tanto, al sumar (63), (65) y (67) se tiene que,

(68)

Resolviendo,

(69)

3.1.2.2.Ecuaciones de Torque

Para encontrar las funciones que describen los torques actuantes sobre el helicptero, se analizaron lasdiferentes fuerzas que los originan, as como la direccin respecto al plano cartesiano formado en el marcoBF. Se pudo estimar que los torques que mayor efecto tienen sobre el helicptero son el del motor en rotorprincipal , el del rotor trasero y el generado por los efectos aerodinmicos de las aspas del rotorprincipal .Partiendo de la ecuacin clsica de torque (70), y representndolos en cada eje cartesiano, se tiene que:

(70) (71)

De (71), las variables , y representan los ejes cartesianos , y respectivamente. Para darsolucin a la ecuacin de torque, debe tenerse en cuenta que los torques son positivos en la direccin delas manecillas del reloj y que la distancia o palanca de la ecuacin (70) debe encontrarse respecto al centrode gravedad, es decir, hallar la distancia entre el CDG y la fuente de la fuerza; que para este caso el

empuje producido por el rotor principal o trasero. LaFigura 21 ensea las diferentes distancias.


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35

Figura 21. Distancias del CDG a las fuentes de fuerza.

Para determinar los torques se analizan las proyecciones de los vectores de fuerza y distancia sobre losejes correspondientes. Para esto se asumen los diferentes torques generados en las direcciones del ejecartesiano en el centro de gravedad y las fuerzas sobre los planos formados por los rotores. En el ANEXO2: PARMETROS DEL HELICPTERO se muestran las distancias especficas del helicptero

3.1.2.2.1.

Ecuaciones de torque: Rotor PrincipalPara determinar el torque ejercido por la fuerza del empuje del rotor principal sobre el centro de gravedaden la direccin del eje ; es decir un movimiento lateral, se estudian las direcciones de los vectores comose observa en laFigura 22(a). A partir del torque ejercido, se proyectan las fuerzas sobre cada eje como semuestra en laFigura 22(b), a partir de esto se determina el torque en como se ve en (72).

(a). Torque sobre el eje x. (b). Fuerzas proyectadas en ye z.Figura 22. Diagrama de proyeccin de fuerzas para el torque en el eje x.

El torque implica un movimiento longitudinal del helicptero, por lo que el clculo de ste debecontemplar las proyecciones del vector de fuerza sobre los ejes e . La Figura 23(a) ensea el rotorinclinado segn la rotacin sobre el eje , para el cual la fuerza de empuje es perpendicular a estainclinacin. LaFigura 23(b) deja entrever las proyecciones de las fuerzas sobre los ejes contrapuestos. Elresultado final que describe el torque se ensea en la ecuacin (73).


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(a). Torque sobre el eje y. (b). Fuerzas proyectadas en xe z.Figura 23. Diagrama de proyeccin de fuerzas para el torque en el eje y.

El ltimo torque, a lo largo del eje , se diagrama como se observa en laFigura 24 (a) y se proyecta comoen (b) respectivamente. La ecuacin que describe el torque generado por la fuerza del rotor principal sedescribe en (74).

(a). Torque sobre el eje y. (b). Fuerzas proyectadas en xe z.Figura 24. Diagrama de proyeccin de fuerzas para el torque en el eje z.

Las siguientes ecuaciones describen los vectores de torque representados para los ejes del planocartesiano, respecto al centro de gravedad. (72) (73) (74)Ahora, es necesario tener en cuenta que la direccin de los vectores , e planteadas en laFigura 22,Figura 23 yFigura 24 difieren de las escogidas para el plano BFdel helicptero. Por tanto, al tomar losejes como laFigura 8,las ecuaciones anteriores pueden plantearse como:

(75) (76) (77)


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3.1.2.2.2.

Ecuaciones de torque: Rotor TraseroDe igual forma que para el rotor principal, los torques generados por las fuerzas presentes en el rotortrasero deben analizarse desde el eje de ste hasta el centro de gravedad. As mismo, se contemplan lasproyecciones sobre cada eje cartesiano. Para comprender de una mejor forma los torques sobre cada eje,se utilizan diferentes representaciones grficas con el fin de lograr este objetivo. En el caso de , laFigura 25 ensea el torque sobre el eje

y las fuerzas proyectadas sobre los ejes subsecuentes.

Figura 25. Diagrama de fuerzas para el torque sobre el eje x.

El torque en se describe mediante (78), sin embargo es necesario tener en cuenta la direccin de lasfuerzas ejercidas descritas por la ecuacin. Ya que no existe un empuje generado sobre el eje , la fuerzasobre este eje es nula por lo que el torque solo depender de , es decir, el rotor trasero estabiliza lacola del helicptero cuando se presentan giros (Roll).

(78)LaFigura 26 muestra los torques ejercidos sobre los ejes e . Para el caso de la subfigura (a), claramentepuede verse que el rotor trasero no ejerce las fuerzas y , por lo cual no existen torques sobre .Para el caso de la subfigura (b), puede determinarse que , por lo que solo depender de lafuerza .

t x

x

z

y

dyRT

fz

fy

dzRT


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(a). Torque sobre el eje y. (b). Torque sobre el eje y.Figura 26. Diagrama de fuerzas para el torque sobre los ejes y e z.

Las ecuaciones que describirn los torques sobre los ejes

e

se presentan en (79) y (80).

(79) (80)3.1.2.2.3.

Torque Aerodinmico del Rotor PrincipalDe la ecuacin (15), se realizaron algunas consideraciones. Ya que la principal funcin del rotor trasero escontrarrestar el torque generado por el rotor principal; a lo que se conoce como la relacin torque y anti-torque, y cuenta con unas aspas de un radio significativamente menor que las del principal, el arrastreaerodinmico del rotor trasero tiene poca influencia sobre el helicptero por lo que es rechazado, es decirse asume

. Finalmente se escribe (15) en funcin del rotor principal como,

( ) (81)Para determinar las constantes y , se realizan algunas simulaciones y clculos, los cuales puedenobservarse en el ANEXO 3: ESTIMACIN DEL ARRASTRE.

El clculo del vector de torque generado por el arrastre de las aspas del rotor principal, debe contemplarlos planos de inclinacin del mismo. LaFigura 27 muestra las proyecciones de cuando el plano delrotor principal se inclina en un movimiento longitudinal y lateral.

TRT

dxRT

z

y

fz

fx

x

dzRTTRT

x

z

y

dxRT

fy fx

dyRT


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39

(a). Representacin del torque aerodinmico en inclinacin longitudinal. (b). Proyeccin del torque aerodinmico en inclinacinlongitudinal.

(c). Representacin del torque aerodinmico en inclinacin lateral. (d). Proyeccin del torque aerodinmico en inclinacinlateral.

Figura 27. Torque aerodinmico del rotor principal en inclinacin longitudinal y lateral.

De la figura anterior se deduce el torque aerodinmico para los ejes , e , teniendo como referente queel vector es positivo a lo largo de y que debe ser proyectado al plano . A partir de esto, lasproyecciones quedan como se muestran en (82-84).

(82) (83) (84)3.1.2.2.4.

Ecuaciones de Torque FinalesLa sumatoria de torques expresada en (70) puede ser expandida reemplazando las ecuaciones (74-80) y(81-83), finalmente la generalizacin del torque queda como se ensea en (85).

(85)Resolviendo,

(86)

TPP

HP

QRP

x

z

y

1s

TPP

HP

QRP

x

z

y

xHPyHP

zHP

1s

fD


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40

3.1.3.

Ecuaciones de Empuje e Inclinacin del AspaEsto hace que sea necesario analizar y evaluar la forma ms adecuada para determinar el empuje y losngulos de inclinacin del aspa.

3.1.3.1.

Ecuaciones de empuje: Rotor Pri ncipal

Para encontrar una ecuacin que determine el empuje en vuelo estacionario se asumen movimientos depequea magnitud y de bajas velocidades. Al tomar como referente el anlisis planteado por (El-Saadany,Medhat, & Elhalwagy, 2009) (Del Cerro, Barrientos, & Martinez, 2009) (Heffley & Mnich, MinimumComplexity Helicopter Simulation Math Model Program, 1986) y (Munziger, 1998), se describe el empujedel rotor () como se ensea en la ecuacin (87), en la cual se relacionan la densidad del aire (), lavelocidad angular del rotor (), el radio del rotor (), la pendiente de la curva de elevacin de las aspasdel rotor principal (); la cual cuando se tienen aspas muy delgadas (Lutze, 2002), (Caughey, 2011) &(Polhamus, 1949) este valor puede aproximarse a , el nmero de aspas (), la cuerda o largo delaspa (

), la velocidad de las aspas del rotor principal relativa al aire (

) y la velocidad inducida del aire

que pasa por el rotor en el plano TPP (

).

(87)La velocidad vertical neta de las aspas del rotor principal relativa al aire, se describe mediante la relacinentre la velocidad del rotor principal relativa al aire cuando se presentan movimientos traslacionales (),la velocidad angular del rotor, el radio del rotor, la consigna de colectivo () y el ngulo de torsin delas aspas del rotor ().

(88)

De (88) se puede anotar que las aspas que utiliza el helicptero propuesto en la investigacin no cuentacon ngulos de torsin, es decir, son completamente planas, por lo tanto puede ser rechazado en laecuacin. El resultado entonces sera, (89)La velocidad del rotor principal relativa al aire producida por movimientos traslacionales (Cai, Chen,& Tong Lee, 2011), puede determinarse relacionando los ngulos de inclinacin aplicados del rotorprincipal -y la condicin inicial de inclinacin del eje del rotor (), como se aprecia en (90).

(90)

Finalmente, la velocidad de ascenso a pequeas velocidades puede modelarse a partir de la relacincuadrtica de las velocidades en cada uno de los ejes del rotor y la velocidad inducida en el disco del rotor,esto es: (91)Como se observa en (1) y (91), las dos ecuaciones son dependientes una de otra, por lo que para realizar laevaluacin del modelo no lineal se utiliz el modelo de simulacin planteado por la NASA en (Heffley &


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41

Mnich, Manudyne Report 83-2-3, 1986). La estructura puede verse en laFigura 28,de la cual el valor depuede estimarse con solo 5 iteraciones.

Figura 28. Diagrama de bloques del empuje del rotor y la velocidad inducida.

3.1.3.2.

Ecuaciones de empuje: Rotor TraseroEl helicptero utilizado en este proyecto, y en general este tipo de aeronaves, cuentan con una relacinproporcional entre la velocidad rotacin entre los rotores principal y trasero. En este caso especfico, parael helicptero KDS 450SV, el motor est conectado directamente al rotor principal y por medio de unacadena dentada permite que el rotor trasero tambin lo haga, de tal forma cuando el rotor principal da unarotacin completa, el trasero lo hace en 4.09 ocasiones. Esta relacin entre el pin del rotor principal, lacorrea de transmisin y el pin del rotor trasero es 45 a 11, permite al rotor trasero compensar el torquegenerado por el motor, haciendo que el helicptero no autogire de manera descontrolada. Adicionalmenteel aeromodelo est equipado con un controlador de giro o Giroscopio KDS 820 AVCS que mediante unsistema de control angular, termina por eliminar cualquier descompensacin presentada durante el vuelo,haciendo que el helicptero siempre mantenga orientada su nariz, lo que finalmente implica que lacomponente de velocidad angular de rotacin en

es

.

A pesar que el giroscopio compensa el par motor, cualquier cambio en la consigna alterar estacompensacin, haciendo que el rotor gire controladamente en Yaw. A partir de esto y retomando laecuacin (65), puede determinarse que pues el torque se mantendr controlado, esto implicaraque la fuerza ejercida por la consigna se realiza sobre el eje del rotor trasero, lo que finalmenteimplica que es el empuje ejercido por este rotor, esto es . Tomando el torque sobre el eje zvisto en (65) y reescribiendo la ecuacin se tiene que, (92)

(93)3.1.3.3.

Transmisin Movimientos Longitudinales, Laterales y de Colectivo

El helicptero cuenta con un elemento conocido como plato oscilante (swashplate), que con algunosdispositivos mecnicos como enlaces y bisagras facilitan la transferencia de los ngulos de losmovimientos de los servomotores al rotor de tal modo que logren realizarse movimientos longitudinales,laterales y cambios de ngulos de ataque de las aspas, sin que se presente ninguna oposicin almovimiento rotacional del eje del rotor. El sistema de transmisin de movimientos del aeromodelo KDS

2

3

R

w

r bu1c

is

bw

bv

1s

w i

R2aBc

4

fn bu, bv,w r,vi, T

A

ucol


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42

450SV puede observarse en laFigura 29,para el cual se realiza un anlisis de movimiento que permitanencontrar la relacin entre las consignas y y los ngulos , y.

Figura 29. Sistema de transmisin del helicptero KDS 450SV.

3.1.3.3.1.

NGULO DE ATAQUE DEL COLECTIVO.Para realizar un cambio en el ngulo de ataque del colectivo, el helicptero eleva el plato oscilantemediante tres servomotores que se mueven simultneamente. La relacin entre el cambio de ngulo con elque se excita los servomotores con el ngulo de paso de las aspas se describe mediante la ecuacin (94).

(94)En el ANEXO 4: ANGULOS DE ATAQUE se muestra el procedimiento seguido para determinar larelacin entre los ngulos.

3.1.3.3.2. NGULO DE ATAQUE DEL CCLICO.Ya que el control del cclico permite que helicptero desempee movimientos longitudinales y laterales,se determinan los ngulos y formados por entre la horizontal y el ngulo de inclinacin de lasaspas (Ver Figura 17 y Figura 18). El procedmiento que se sigui para determinar los ngulos puedenobservarse en el ANEXO 4: ANGULOS DE ATAQUE, sin embargo el resultado final se presenta en lassiguientes ecuaciones.

(95) (96)3.1.3.3.3. NGULO DE ATAQUE DEL ROTOR TRASERO.

El control del rotor trasero permite regular la orientacin del helicptero, y para determinar el ngulo quese transfiere del servomotor a las aspas se presenta en el ANEXO 4: ANGULOS DE ATAQUE. Larelacin final viene dada por,

Eje delrotor

PlatoOscilante

Enlaces detransmisin

Bisagras


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43

(97)3.1.4. Sinopsis de las Ecuaciones No Lineales

Retomando laFigura 1,las ecuaciones que rigen el cuerpo rgido, que se aprecian en el captulo 3.1.1,se

describen para la aceleracin traslacional { }, la aceleracin de las ratas de Euler y la aceleracin angular , como se aprecia a continuacin.

[

]

[

( ) ( ) ]

De las ecuaciones anteriores, los valores de

,

e

se presentan en el ANEXO 1: ESTIMACIN

DEL TENSOR DE INERCIA y estn dados por,

Las ecuaciones de fuerza ( ) y torque ( ) se describen en captulo 3.1.2 y se presentan acontinuacin,

En el captulo3.1.3 se determinaron los empujes de rotor principal y el rotor trasero respectivamente, loscuales se presentan a continuacin:


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* Finalmente en el3.1.3.3 se presentan los ngulos de trasnferencia entre el servomotor y los ngulos de lasaspas. Consecutivamente se presentan: el ngulo de ataque de colectivo, el ngulo entre el plano del rotory el TPP para desplazamientos longitudinales y laterales, y el ngulo de ataque del rotor trasero

respectivamente. 3.1.5.

LinealizacinLa linealizacin de las ecuaciones no lineales descritas para el fuselaje contemplan dos operacionesespecficas: la definicin de los puntos de equilibrio y la definicin del espacio de estados lineal. Esteltimo utiliza el mtodo del Jacobiano para determinar la relacin entre las entradas, estados y las salidas.

3.1.5.1.

Puntos de Equi li bri o

Para linealizar el modelo se encuentran los puntos de equilibrio en los cuales el helicptero logra lasustentacin en el aire. Para esto se asumen algunas circunstancias y se evalan algunos parmetros:

a.

El vuelo estacionario asume que la suma del empuje y la elevacin es igual a la suma del peso y lafuerza de arrastre.

b.

En vuelo estacionario, la elevacin es igual la fuerza de arrastre aerodinmica del helicptero, portanto , haciendo que el empuje sea igual al peso del helicptero .c. Para mantener el helicptero en vuelo estacionario, las consignas de y debern cero, portanto no existirn movimientos longitudinales y laterales, es decir y .

d.

Se deben asegurar consignas de aceleracin y colectivo tales que permanezcaconstante y que se logre sustentacin.

e.

En vuelo estacionario no deben existir desplazamientos laterales y longitudinales, por lo que e son cero. A partir de esto las velocidades traslacionales y tambin son cero.

f.

El vuelo estacionario implica que el la distancia en se matienen constante, por lo que lavelocidad traslacional en este eje es cero, .


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g.

Se deber encontrar el empuje del rotor trasero de tal forma que ejerza el antitorque necesariopara contrarrestar el par motor ejercido por el rotor principal al mantener una velocidad constante.

Con estas consideraciones se determina del empuje del rotor trasero, la velocidad angular, las consignas

,

,

,

,

,

,

y

. Partiendo del hecho que, para lograr el vuelo estacionario, el

empuje deber ser igual al peso del helicptero, esto es

. Con esto, se

implentan se soluciona la ecuacin (81) - (98) - (99)Habiendo descrito el empuje del rotor principal en la ecuacin (87), se replantea la ecuacin teniendo encuenta el valor del empuje para la linealizacin, as como los de las constantes , , , , como,

(100)

De la ecuacin (87) y reemplazando se tiene que:

(101)Reemplazando en (90) las variables y asumiendo una condicin inicial tambin cero, elvalor de se obtiene como,

+

(102)Ya que la velocidad de desplazamiento sobre el eje es cero, . Esto implica que (101) queda, (103)Al relacionar (14) y (91), los valores de y quedan,

(104)Por tanto , ,

*


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* (105)

(106)

Con los valor encontrado en (106), se evala iterativamente la ecuacin (94) hasta encontrar una velocidadangular, la cual para este helicptero correspondi a de . Con esto se evala laecuacin (103) y se escoge una consigna equivalente a un para que laecuacin (100) iguale el empuje del rotor principal, que en este caso es igual al peso.

* (107)La ecuacin (107) describe el valor de la consigna de colectivo

para una velocidad del rotor

dada.

En el proceso de identificacin del motor, se determin que el helicptero logra una mxima velocidad de sin accin de colectivo y de casi con accin decolectivo al mximo, por tanto los valores utilizados para linealizacin se encuentran los parmetrosnormales.

Por otra parte, en el vuelo estacionario la suma de los torques debe ser igual a cero pues todo el sistemadebe estar estabilizado, es decir,

(108) (109)

El propsito del rotor de cola en vuelo estacionario es compensar el torque generado por el rotor principaly cualquier otra perturbacin, sin embargo como se mencion anteriormente, si se asume que no existenefectos del aire, la ecuacin (109) puede expresarse solo en funcin de los torques aplicados sobre el eje ,esto es, (110)Por tanto, el equilibrio se dar cuando el rotor de cola iguale el torque generado por el rotor principal, estoes,

(111)Al reemplazar (86) en (111),

+ + (112)


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Reduciendo (112), (113)Evaluando (113) con un empuje del rotor principal igual al peso del helicptero,

(114)La ecuacin (114) ensea la fuerza necesaria para compensar el par motor generado por la rotacin delrotor principal. Ya que la fuerza se ejerce en el mismo sentido contrario que el empuje del rotor trasero,estas son equivalentes, . Esto implica que la fuerza ejercida por la seal de control debercontrarrestar el empuje o la fuerza generada. Al hacer la compensacin en (114), se puede determinar elvalor de linealizacin para la constante , esto es,

(115)

La fuerza equivale a la consigna de control presentada en (116). (116)Resumiendo, las variables para la linealizacin se presentan en laTabla 2.

VARIABLE VALOR DESCRIPCI N Empuje del rotor principal Fuerza de arrastre aerodinmico Empuje del rotor trasero ngulo del TPP respecto al eje del rotorLongitudinal

ngulo del TPP respecto al eje del rotorLateral

Consigna de colectivo

Consigna de cclicolateral Consigna de cclico longitudinal Consigna de pedalesrotor trasero Consigna de acelerador Velocidad angular del rotorTabla 2. Valores para linealizacin.

3.1.5.2.

Modelo L ineal

Para linealizar el modelo se utiliza el mtodo del Jacobiano (Gopal, 1993), el cual permite describir elespacio de estados a partir de un conjunto de ecuaciones no lineales evaluadas en puntos de equilibrio.

(117)

(118)Las funciones (117) y (118) son derivadas parcialmente en funcin de cada uno de los estados y lasentradas del sistema, como se aprecia en las ecuaciones (119) a (122). Este resultado entrega el espacio deestados lineal del sistema.

(119)


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(120) (121)

(122)Para determinar el modelo lineal se definen los estados, las entradas y las salidas que se utilizarn para enel modelo. Por tanto, se consideran como estados las velocidades traslacionales , los ngulosde Euler y las velocidades angulares . Se toman como entradas del modelo lasconsignas de velocidad angular , cclico lateral , cclico longitudinal y la seal decontrol del rotor de cola {}. La velocidad angular del rotor principal es salida del controlador PIDdiseado para el motor del helicptero. Del conjunto de estados se estimaron como salidas las velocidadeslineales y los ngulos de Euler.

Para encontrar el modelo lineal, de las ecuaciones resumidas en el captulo 3.1,utilizando el mtodo delJacobiano se utiliz el script de Matlab que se encuentra en el ANEXO 5 LINEALIZACIN. Finalmenteel modelo lineal del sistema representado en el espacio de estados se ensea a continuacin,

[

]

(123)

[

] [] (124)

[

] [

]

(125)

[ ] [

] (126)


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3.2.

IDENTIFICACIN DEL SISTEMA MOTOREl empuje vertical en los helicpteros viene dado por las aspas del rotor principal, las cuales deben girar auna velocidad controlada para que el diferencial de presin entre las aspas sea el suficiente paracontrarrestar el peso de la aeronave. Diferentes variables influyen en la generacin de empuje vertical (tilt)del rotor: la forma de las aspas, la velocidad de rotacin del eje y del motor, la presin atmosfrica, la

turbulencia producida por el aspa subsiguiente, el ngulo de inclinacin o ngulo de ataque, la friccinaerodinmica generada por el rotor principal y el rotor de cola etc, los cuales deben ser parcialmenteanalizados para determinar el empuje.

Las ecuaciones de empuje del empuje del rotor principal, descritas en la ecuacin (87), relacionan lavelocidad angular del eje del rotor () como una variable necesaria. Para determinar esta ltima se tomacomo referencia el modelo observado en laFigura 1,para el cual se asume un sistema multivariable condos entradas (las consignas de aceleracin y colectivo), las cuales estn acopladas de tal manera quealteran la velocidad final del rotor, es decir la salida del sistema; a esta relacin se denomin SistemaMotor, el cual comprende elementos mecnicos como el eje del rotor, el plato oscilante, links, piones, lacorrea dentada que une el motor principal con el rotor de cola, bisagras y las aspas del rotor principal ytrasero; en resumen, todos los elementos mecnicos que permiten a los dos rotores generar empuje como

se aprecia en laFigura 29.La interaccin del rotor de cola con el sistema Motor; mediante la accin de los pedales de Yaw(orientacin), puede asumirse como una perturbacin sobre la velocidad final del rotor, pues ste estdirectamente conectado al motor mediante una correa dentada, por lo que cualquier cambio del ngulo deataque de las aspas del rotor de cola genera friccin aerodinmica que se convierten en ligerasatenuaciones de la velocidad angular. Por tanto, para efectos de la identificacin la consigna semantendr igual a cero.

Figura 30. Diagrama de bloques del sistema motor.

Para encontrar un empuje que permita al helicptero el vuelo en estacionario, debe asegurarse unavelocidad angular del rotor constante, por lo cual es necesario manipular la aceleracin del motor y el

ngulo de ataque de las aspas del rotor (comnmente conocido como colectivo), sin embargo es necesariocontemplar y explicar el acoplamiento que existe entre las consignas y la seal de salida.

La relacin entre y es proporcional, es decir, a mayor revoluciones del motor la velocidadaumentar, a pesar de esto, cuando se da un cambio en el ngulo de ataque de las aspas del rotor principal() la sustentacin () aumenta y as mismo lo hace la resistencia al aire ( ), lo cual se traduce en unadisminucin en la velocidad angular final. Esta interaccin entre las variables debe ser analizada en elproceso de modelacin y la ley de control a implementar.

SISTEMAMOTOR

PERTURBACIN

Uacel

Ucol


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3.2.1.

ExperimentacinEl proceso de identificacin se realiz con tres tipos de seales de modelacin: aleatoria, pseudoaleatoriay escalonada, las cuales sern llamadas durante el desarrollo del documento como seales Tipo 1, Tipo 2 yTipo 3 respectivamente, y pueden ser observadas en laFigura 31.Cada una de las seales de prueba tienenun propsito especfico, esto es, para el caso Tipo 1 se usan seales de tipo ruido blanco con el fin deregistrar los cambios de alta frecuencia del colectivo y el acelerador y sus efectos sobre la velocidad.

La seal Tipo 2; entrada pseu-doaleatoria de tipo ruido blanco, excita el colectivo y el acelerador en altafrecuencia aunque sostiene los valores de las seales de entrada para conocer las respuestas deestabilizacin a dos tiempos de muestreo correspondientes a 44ms. El propsito de utilizar este tipo deentradas aleatorias se bas en la necesidad de estimar estados de alta frecuencia del helicptero lograse,sin embargo debe aclararse que algunas variables no fueron consideradas en la identificacin.

La seal Tipo 3, busc conocer la respuesta del sistema ante entradas escalonadas y sostenidas portiempos constantes; 29 tiempos de muestreo equivalentes a 638ms, esto le permite al rotor aproximarseuna velocidad en estado estable.

Para realizar la validacin de los modelos obtenidos se utilizaron todas las seales vistas en la Figura 31.All puede encontrarse la respuesta paso de colectivo y acelerador; la cual es llamada Resp. Paso durante

el documento. Tambin se excit el sistema con una respuesta paso aplicando solo seal de acelerador; lacual ser llamada Resp. Paso Acel., con el fin de evaluar si los modelos pueden alcanzar la velocidadmxima posible (sin cargas aerodinmicas producidas por el colectivo). Por ltimo se estim convenienteutilizar una nueva seal aleatoria para determinar la respuesta ante estas entradas caticas, la cual serllamada Aleatoria #2 en el transcurso del escrito.

(a). Seales de entrada. (a). Seales de salida.Figura 31. Seales de trabajo para realizar la identificacin.

Durante la experimentacin se pudo visualizar que el sistema presentaba un tiempo de retardo producidopor la trasnferencia de movimiento entre los servomotores, el plato oscilante, los enlaces (links) y lasbisagras hasta el ngulo de ataque efectivo de las aspas del rotor principal. Adicionalmente, luego delanlisis, se encontr que el motor deba romper la friccin generada por efecto de los componentes


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mecnicos del rotor principal, los cuales se convierten en una carga para el motor. Para realizar el procesode identificacin se discrimina este tiempo por ser infernior a 10ms.

3.2.2.

Identificacin del sistema MotorCon el fin de encontrar el modelo que mejor describe el comportamiento del sistema se decidi utilizarcomo nica seal de validacin la Respuesta Paso, y se agruparon los mejores porcentajes de ajuste como

se muestra en laTabla 3.Luego de esto se analiza la correspondencia entre las respuestas paso real (vistaen laFigura 32.g) y las simuladas de cada uno de los modelos escogidos.

SEALES DE IDENTIFICACIN

SE AL PSEUDOALEATORIA SE AL ESCALONADA SE AL ALEATORIA

SEALES DE VALIDACIN

AJUSTES RESPUESTA PASO AJUSTES RESPUESTA PASO AJUSTES RESPUESTA PASObj22231 91.99 % P33Z11 88.46 % bj22220 87.95 %bj22220 91.21 % P33Z01 88.46 % P23Z11 87.93 %bj32221 91.02 % P33Z00 88.46 % P23Z01 87.88 %bj32230 83.54 % P23Z00 88.27 % P23Z00 87.81 %

n4s2 73.89 % P33Z10 88.21 % P22Z00 86.64 %arx10101 72.1 % bj22221 80.11 % P22Z01 86.55 %

Tabla 3. Resultados discriminados por porcentaje de ajuste tras la identificacin.

De la Figura 32(a) se encontr que la respuesta de los modelos bj22220, P22Z00 y P22Z01 nocorresponden a los resultados reales de un escaln unitario para la entrada de acelerador, y para el caso deP23Z11, P23Z01 y P23Z00 tienen respuestas similares a las velocidades angulares medidas. Al examinarla grfica (b) se logr determinar que el modelo P23Z00 es el nico sistema que tiene correspondencia a larespuesta real. Esta ltima observacin se debe a que el colectivo no genera cambios de velocidad sinoexiste una entrada de acelerador, por lo que velocidades negativas seran llevadas a cero.

(a). Respuesta escaln de los modelos encontrados con una sealTipo 1: consigna nica de acelerador.

(b). Respuesta escaln de los modelos encontrados con una sealTipo 1: consigna nica de colectivo.

(c). Respuesta escaln de los modelos encontrados con una sealTipo 2: consigna nica de acelerador.

(d). Respuesta escaln de los modelos encontrados con una sealTipo 2: consigna nica de colectivo.


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(e). Respuesta escaln de los modelos encontrados con una sealTipo 3: consigna nica de acelerador.

(f). Respuesta escaln de los modelos encontrados con una sealTipo 3: consigna nica de colectivo.

(g). Escaln unitario de consigna de aceleracin: respuesta real de la velocidad mxima sin carga aerodinmica del colectivo.Figura 32. Respuesta de Velocidad ante escaln unitario.

Continuando con las observaciones, la grfica (c) muestra que todos los modelos tienen tiempos derespuesta y ganancias diferentes a la respuesta real, sin embargo los modelos bj22220, bj32221 y bj32230aunque presentan ganancias atenuadas, las cuales sern necesario evaluar si existe un valor constante o

valor DC con el que pueda compensarse, adicionalmente al comparar las velocidades de respuesta con losdatos reales se observaron ciertas analogas. Del tem (d) de la figura se pudo constatar que todos losmodelos tienen equivalencia a lo que podra ser la respuesta real de la velocidad angular ante una seal deentrada unitaria de colectivo.

El grfico (e) permiti evidenciar que todos los modelos son errados. De (f) se logr comprobar que soloP33Z10 no ejemplifica el resultado de velocidad. A pesar de que los resultados de los modelos Tipo 3 sonsatisfactorios, el anlisis grfico mostr que el nico modelo que presenta cierta similitud es el bj22221,sin embargo el tiempo de respuesta es superior 10 segundos, se presenta un sobre pico que no existe en larespuesta real y claramente un cero de fase no mnima hace que los resultados de la velocidad seandesacertados.

Del conjunto de modelos laTabla 3,se concluye a partir los resultados grficos y el porcentaje de ajusteque los modelos P23Z00, bj22220, bj32221 y bj32230, son los ms ajustados a los datos reales, por tantose evalan detenidamente las respuestas temporales y el error de prediccin para la Respuesta Paso yRespuesta Paso Acelerador normalizados entre 0 y 1.


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Figura 33. Evaluacin de la Respuesta Paso: Simulacin vs Datos Reales.

La Figura 33 muestra los resultados grficos de los cuatro modelos seleccionados anteriormente. Pudo

determinarse que los modelos dinmicos Box Jenkins, presentan ganancias atenuadas de 42% para losmodelos bj22220 y bj32230, y 40% para el bj32221, por tanto se amplificaron las salidas de cada modeloen factores de 1.42 y 1.4, respectivamente. Esta valor de amplificacin de la seal de salida de losmodelos est claramente justificada en el hecho que fsicas no modeladas un fueron incluidas en elmodelo, las cuales, por ejemplo, se convierten en cargas aerodinmicas que disminuyen la velocidad finaldel rotor.

Analizando los errores de modelacin se encontr que los modelos bj22220, bj32230, bj322221 y P23Z00cuentan con errores promedio de , , y respectivamente. Segn lo

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Cardenas Torres Andres Mauricio 2013