Capital Markets and Portfolio Theory, Roland Portait

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    Capital Markets and PortfolioTheory

    Roland PortaitFrom the class notes taken by Peng Cheng

    Novembre 2000

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    Table of Contents

    Table of Contents

    PART I Standard (One Period) Portfolio Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

    1 Portfolio Choices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.A Framework and notations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

    1.A.i No Risk-free Asset . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.A.ii With Risk-free Asset . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

    1.B Efficient portfolio in absence of a risk-free asset . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.B.i Effi ciency criteria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.B.ii Effi cient portfolio and risk averse investors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.B.iii Effi cient set . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.B.iv Two funds separation (Black) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 0

    1.C Efficient portfolio with a risk-free asset . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.D HARA preferences and Cass-Stiglitz 2 fund separation . . . . . . . . . . . . . . 14

    1.D.i HARA (Hyperbolic Absolute Risk Aversion) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.D.ii Cass and Stiglitz separation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 5

    2 Capital Market Equilibrium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.A CAPM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

    2.A.i The Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 7

    2.A.ii Geometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 92.A.iii CAPM as a Pricing and Equilibrium Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.A.iv Testing the CAPM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1

    2.B Factor Models and APT. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.B.i K -factor models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 12.B.ii APT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 22.B.iii Arbitrage and Equilibrium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 42.B.iv References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 5

    PART II Multiperiod Capital Market Theory : theProbabilistic Approach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

    3 Framework . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.A Probability Space and Information . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273 .B Asse t Pr ices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

    3.B.i De nitions and Notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 83.C Portfolio Strategies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

    3.C.i Notation: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 93.C.ii Discrete Time . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 93.C.iii Continuous Time . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 0

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    4 AoA, Attainability and Completeness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324.A De n i t i ons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324.B Propositions on AoA and Completeness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

    4.B.i Correspondance between Q and : Main Results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354.B.ii Extensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 8

    5 Alternative Speci cations of Asset Prices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395.A Ito Process . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395.B Diff us ions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405.C Diff usion state variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

    5.D Theory in the Ito-Di ff usion Case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415.D.i Framework . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 15.D.ii Martingales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2

    5.D.iii Redundancy and Completeness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 25.D.iv Criteria for Recognizing a Complete Market . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

    PART III State Variables Models: the PDE Approach . . . . . . . . . . . . . . . . 45

    6 Framework . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

    7 Discounting Under Uncertainty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

    7.A Itos lemma and the Dynkin Operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 487.B The Feynman-Kac Theorem .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

    8 The PDE Approach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 508.A Continuous Time APT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

    8.A.i Alternative decompositions of a return . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 508.A.ii The APT Model (continuous time version) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

    8.B One Factor Interest Rate Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 538.C Discounting Under Uncertainty. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

    9 Links Between Probabilistic and PDE Approaches . . . . . . . . . . . . . . . 55

    9.A Probability Changes and the Radon-Nikodym Derivative . . . . . . . . . . . 559.B Girsanov Theorem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 569.C Risk Adjusted Drifts: Application of Girsanov Theorem . . . . . . . . . . . . 56

    PART IV The Numeraire Approach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

    10 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

    11 Numeraire and Probability Changes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6111.AFramework . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

    11.A.i Assets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1

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    11.A.ii Numeraires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 111.B Correspondence Between Numeraires and Martingale Probabilities . 62

    11.B.i Numeraire Martingale Probabilities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6211.B.ii Probability Numeraire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 3

    11.CSummary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

    12 The Numeraire (Growth Optimal) Portfolio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6512.ADe nition and Characterization ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

    12.A.i De nition of the Numeraire (h , H ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 512.A.ii Characterization and Composition of (h , H ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6512.A.iii The Numeraire Portfolio and Radon-Nikodym Derivatives . . . . . . . . . . . . 69

    12.B First Applic