CAPES/AGREG Maths

CAPES/AGREG Maths Préparation intensive à l’entretien

Dany-Jack Mercier

c° 2016 Dany-Jack Mercier. Tous droits réservés.

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Table des matières

Introduction 7

1 Généralités 111.1 Ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.2 Relations, fonctions, applications . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.3 Relation d’équivalence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.4 Relation d’ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.5 Entiers naturels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.6 Construction de Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.7 Rudiments de cardinalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.8 Dénombrement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2 Suites & séries 21

3 Fonctions 253.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.2 Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.3 Continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.4 Théorème des valeurs intermédiaires . . . . . . . . . . . . . . . 273.5 Dérivabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.6 Théorème des fonctions réciproques . . . . . . . . . . . . . . . . 293.7 Théorèmes de Rolle et des accroissements …nis . . . . . . . . . 303.8 Théorème du point …xe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.9 Intégration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.10 Fonctions de plusieurs variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.11 Equations di¤érentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

4 Algèbre 374.1 Groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374.2 Anneaux et corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394.3 Polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3

4 TABLE DES MATIÈRES

5 Arithmétique 455.1 Division euclidienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455.2 Divisibilité dans Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455.3 Nombres premiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 495.4 Congruences, anneaux ZZ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 515.5 Corps des rationnels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

6 Algèbre linéaire 576.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 576.2 Applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 586.3 Hyperplans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 606.4 Dualité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 616.5 Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 626.6 Déterminants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 636.7 Systèmes linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 646.8 Réduction d’endomorphismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

7 Rudiments de topologie 677.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 677.2 Espaces métriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 677.3 Espaces vectoriels normés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 687.4 Compacité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 687.5 Connexité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

8 Formes bilinéaires symétriques 718.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 718.2 Formes quadratiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

9 Espaces vectoriels euclidiens 759.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 759.2 Incursion dans les espaces a¢nes . . . . . . . . . . . . . . . . . 789.3 Groupe orthogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 799.4 Endomorphismes symétriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 819.5 Angles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 819.6 Produit vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

10 Géométrie a¢ne 8510.1 Espaces a¢nes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8510.2 Barycentres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8910.3 Convexité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9110.4 Applications a¢nes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

TABLE DES MATIÈRES 5

10.5 Projections, symétries, a¢nités . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9410.6 Homothéties-translations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9510.7 Théorème de Thalès . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9710.8 Dans l’espace de dimension 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9910.9 Divers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

11 Géométrie euclidienne 10111.1 Isométries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10111.2 Similitudes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10611.3 Bissectrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10811.4 Triangles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11011.5 Cercles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11411.6 Trigonométrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11611.7 Questions diverses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11611.8 Constructions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11811.9 Lieux de points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11911.10Coniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12011.11Solides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

12 Nombres réels 127

13 Nombres complexes 12913.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12913.2 Nombres complexes & géométrie . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

14 Divers 13314.1 Raisonnements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13314.2 Autres questions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

6 TABLE DES MATIÈRES

# Plusieurs versions de ce recueil paraîtront sur le site MégaMathsau fur et à mesure de son avancement. La date de la version appa-raît sur la première page de titre.

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Introduction 7

Introduction

Voici un recueil de questions auxquelles il faut savoir répondre seul, debout,au tableau, en face du jury, pendant un entretien qui suit un exposé donnédans le cadre d’une épreuve d’admission à un concours comme le CAPES oul’agrégation.

On se mé…era de la relative simplicité de certaines questions qui peuventdésarçonner quand elles sont posées à l’oral. Il existe en e¤et une énormedi¤érence entre répondre à une question à l’oral en situation de stress, et yrépondre calmement chez soi ou devant sa feuille pendant une épreuve écrite.

Etudier ces questions à tête reposée et s’entendre y répondre constitue unexcellent entraînement pour asseoir ses connaissances fondamentales, cellesque l’on est susceptible de mobiliser à tout moment et peuvent disquali…er uncandidat que l’on interroge.

Les questions, regroupées par thèmes, pourront servir de …l d’Ariane auxcandidats en leur indiquant des éléments de connaissance considérés commefaisant partie des acquis et de la culture mathématique commune du licenciéde mathématiques.

MARATHON POUR LES ORAUX DE CONCOURS

L’idée de rassembler dans un fascicule des questions posées à l’oral m’estvenue en mars 2011 quand j’ai décidé d’utiliser cinq heures de tutorat pourorganiser un « Marathon pour oraux de concours ». Au début, il s’agissait decréer un document regroupant des questions posées durant ce Marathon pourpermettre aux étudiants de s’entraîner seuls. Puis je me suis aperçu qu’en pro-cédant ainsi on mettait l’accent sur tout un ensemble de questionsauxquellesil vaut mieux savoir répondre si on veut conserver ses chances de réussite auconcours.

L’entraînement se déroule simplement : à tour de rôle, un candidat passe autableau pour répondre du mieux possible à quelques questions. Ces questionsseront souvent des questions importantes qui risquent de shunter la note si onmontre au jury que l’on possède des lacunes à cet endroit.

0preparationintensivec° 2016 Dany-Jack Mercier. Tous droits réservés.

8 Introduction

Si le candidat ne gère pas la question, d’autres participants peuvent prendrela parole pour proposer leurs réponses voire le remplacer au tableau. Si per-sonne ne répond, je peux proposer une réponse ou une brève analyse d’en-semble.

QUEL AVANTAGE DE PROCEDER AINSI ?

L’avantage d’un tel entraînement est multiple puisqu’il permet, en autre,de :

1) Mettre en évidence des questions « simples » auxquelles on peut ne paspenser.

2) Réviser des points fondamentaux (par exemple : savoir montrer que lesmédiatrices d’un triangle concourent).

3) Découvrir des questions considérées comme simples, mais bien dange-reuses, auxquelles il est conseillé de savoir répondre même si l’on se trouveen situation de stress, seul au tableau et devant un jury. De telles questionspeuvent être quali…ées de « mortelles ».

4) Apprendre à réagir pour le mieux quelle que soit la question.

5) Véri…er que l’on peut répondre sommairement à certaines questions etque cela peut su¢re à satisfaire le jury.

6) S’entraîner à débuter une démonstration au tableau sans connaître lasuite, le jury étant à l’a¤ût des réactions du candidat pour savoir comment ilraisonne sur une situation-problème.

7) Tester les réponses que l’on donne et découvrir les réactions du jury.

8) Expérimenter des séquences de questions enchaînées dès que le jury de-mande des précisions au sujet d’une réponse juste mais succincte. Ces questionspermettent de s’assurer que le candidat ne blu¤e pas et éventuellement per-mettent de mesurer l’étendue des lacunes de celui-ci quand on a découvert unefaiblesse dans un domaine particulier.

9) S’entendre réagir au tableau sur des questions classiques.

BONNE HUMEUR DE RIGUEUR

La bonne humeur est de rigueur pendant les marathons ! Ce n’est pas noté,on ne conserve pas de trace, on a le droit de se planter. Bref, on se moque desavoir répondre ou non. L’objectif principal est de « pratiquer » ces questionsensemble avec su¢samment d’opiniâtreté et de ténacité pour …nir par les maî-triser, même en situation di¢cile, debout, seul au tableau. L’accent est mis

Introduction 9

sur le côté ludique de l’entraînement : on s’amuse et il en restera bien quelquechose !

Il s’agit d’aiguiser nos armes entre nous, en nous amusant sur toutes cesquestions qui pleuvent de toute part.

OU SONT LES REPONSES?

On ne trouvera pas de réponses dans ce fascicule. Les réponses …gurent dansles livres de cours de licence ou de master, ou dans les livres cités en référence.Dans ces références, un Q renvoie vers un numéro de « Question », un T versun numéro de « Théorème », et un C vers un numéro de « Chapitre ». Parexemple, la mention {[4] Q46} renvoie à la Question 46 du livre Acquisitiondes fondamentaux pour les concours, vol. IV.

Certaines questions extraites de mes ouvrages ont été simpli…ées et/ou modi-…ées pour les adapter à l’utilisation que l’on peut en faire pendant un entretien.Cela fait l’originalité et l’intérêt de ce recueil.

QUELLES QUESTIONS?

On trouvera toutes sortes de questions auxquelles il vaut mieux savoir ré-pondre à l’oral. Comme par exemple : Qu’est-ce qu’une droite ? Qu’est-cequ’un angle ? Pouvez-vous dé…nir une application orthogonale de 5 manièresdi¤érentes ? A quoi pensez-vous quand vous entendez : ellipses et a¢nités ? LeThéorème de Thalès est-il un résultat a¢ne ou euclidien ? Comment dé…nissez-vous une mesure algébrique ?

Il est temps de commencer à nous amuser !

Dany-Jack Mercier, le 16 janvier 2013

10 Introduction

« La première …gure de rhétorique est la répétition »

(Napoléon)

Chapitre 1

Généralités

1.1 Ensembles

1.2 Relations, fonctions, applications

Question 1 [1] Dé…nissez ce qu’est une fonction, une application.

Question 2 [1] Quand dit-on qu’une application est injective ? surjective ?bijective ?

Question 3 [1] Donnez deux dé…nitions d’une bijection et montrez que cesdé…nitions sont équivalentes.

Question 4 [1] Soient : ! et : ! deux applications.Montrer que : ( ± surjective ) surjective).Question 5 [1] Soient : ! et : ! deux applications.Montrer que : ( ± injective ) injective).Question 6 [1] Soit : ! une application de vers . Qu’appelle-t-onimage directe d’une partie de par ? Qu’appelle-t-on image réciproqued’une partie de par ?

Question 7 [1] (Images réciproques) Soit une application de vers .a) Si ½ ½ , montrer que ¡1 () ½ ¡1 ().b) Si ½ , montrer que ¡1 ¡{¢ = { ¡1 ().c) Si fg2 est une famille de sous-ensembles de montrer que :

¡1Ã[2

!=[2¡1 () et ¡1

Ã\2

!=\2¡1 ()

11

12 CHAPITRE 1. GÉNÉRALITÉS

Question 8 [1] (Images directes) Soit une application de vers .

a) Si ½ ½ , montrer que () ½ ().b) Si est une partie de , montrer que les inclusions

¡{¢ ½ { () et

{ () ½ ¡{¢ sont fausses en général.c) Si fg2 est une famille de sous-ensembles de , comparer

¡S2

¢etS2 (), puis

¡T2

¢etT2 ().

Question 9 [1] On considère une application : ! . Soit ½ . Quepeut-on dire de ¡1 ( ()) et de ? Montrer que est injective si et seulementsi ¡1 ( ()) = pour tout 2 P ().

Question 10 [1] On considère une application : ! . Soit ½ .Que peut-on dire de

¡¡1 ()

¢et de ? Montrer que est surjective si et

seulement si ¡¡1 ()

¢= pour tout 2 P ( ).

Question 11 [1] Soient une fonction numérique dé…nie sur un intervalle de R, et une fonction numérique dé…nie sur (). Les fonctions et ne sont pas nécessairement dérivables. Si est décroissante sur et si estdécroissante sur (), peut-on en déduire que ± est croissante sur ?Justi…er.

Question 12 [1] Soit une partie de R, et soit une application strictementmonotone de dans R. Montrer que : ! () est une bijection et que¡1 est strictement monotone de même sens que .

Question 13 [1] Soit une fonction dé…nie sur R à valeurs dans R. Si estpériodique et monotone sur R, alors est-elle constante ? Justi…er.

Question 14 [1] Montrer que la fonction dérivée d’une fonction paire et dé-rivable est impaire.

Question 15 [1] Soit 2 N¤. L’application : : ZZ ! Z

7! 2 + 3+ 1

est-elle bien dé…nie ?

Question 16 [1] Montrer que l’application ci-dessous est une bijection :

: R! ]¡1 1[ ; 7!

1 + jj

1.3. RELATION D’ÉQUIVALENCE 13

Question 17 [9] On considère les deux assertions suivantes :

(1) : 8 2 9 2 = ()

(2) : 9 2 8 2 = ()

Ces deux assertions sont-elles identiques ? Que dire d’une fonction qui véri-…erait l’assertion (1) ? L’assertion (2) ? Que peut-on en déduire sur la placedes quanti…cateurs dans un énoncé logique ?

1.3 Relation d’équivalence

Question 18 [1] Connaissez-vous des notions mathématiques importantes quinécessitent de bien connaître les relations d’équivalences ?

Question 19 [1] Montrer que la donnée d’une relation d’équivalence sur unensemble équivaut à la donnée d’une partition de cet ensemble.

Question 20 [1] Lorsque je dis et j’écris : "Je considère un triangle isocèle tel que les côtés et sont égaux", je fais deux erreurs. Lesquelles ?Pouvez-vous dé…nir ce qu’on entend par "longueur d’un segment" ? Par "me-sure de la longueur d’un segment" ?

1.4 Relation d’ordre

Question 21 [1] Soit (·) un ensemble ordonné. Qu’appelle-t-on élémentmaximal de ? Elément minimal ? Ces éléments existent-t-ils toujours ? Quelssont les éléments minimaux de (Nnf1g j) ?

Question 22 [1] Soit une partie d’un ensemble ordonné (·). Que veut-on dire quand on a¢rme que « est un majorant de »? Que « est leplus grand élément de »? Démontrez que le plus grand élément de estunique s’il existe. Comment l’appelle-t-on encore ? Comment le note-t-on ?

Question 23 [1] Toute partie d’un ensemble ordonné admet-elle toujours unmajorant ? Un plus grand élément ? Justi…er votre réponse.

Question 24 [1] Soit une partie d’un ensemble ordonné (·). Soit 2 .Montrer que est le plus grand élément de si et seulement si c’est un élémentmaximal qui appartient à .

Question 25 [1] Qu’est-ce qu’une partie bornée dans un ensemble ordonné ?


Question 26 [1] Il existe un plus petit élément et un plus grand élémentdans N, pour la relation de divisibilité. Qui sont-ils ?

Question 27 [1] Qu’appelle-t-on borne supérieur d’une partie d’un en-semble ordonné (·) ? Comment la note-t-on ? Toutes les parties d’un en-semble ordonné admettent-t-elles toujours une borne supérieure ? Justi…er.

Question 28 [1] La borne supérieure d’une partie appartient-elle toujours àcette partie ? Justi…er.

Question 29 [1] On suppose que les bornes supérieures de deux parties et d’un ensemble ordonné existent. Si ½ , montrer que Sup · Sup.Que peut-on dire de Inf et Inf ?

Question 30 [1] Soit une partie d’un ensemble ordonné (·). Montrerque les assertions suivantes sont équivalentes :(1) = Max,(2) = Sup et 2 .

Question 31 [1] Soit une partie d’un ensemble totalement ordonné (·).Montrer que est la borne supérieure de si et seulement si véri…e lesconditions : (

8 2 ·8 0 2 0 ) 9 2 0

(1)

(2)

Question 32 [1] Enoncez la caractérisation de la borne supérieure d’une par-tie de R, puis démontrez-la rigoureusement.

Question 33 [1] Existe-t-il une relation d’ordre total sur C ? Justi…ez votreréponse.

Question 34 [1] On muni l’ensemble C de l’ordre lexicographique. En notantindi¤éremment = + ou = ( ) 2 R2 un point de C, cet ordre, noté¹, est dé…ni en posant :

( ) ¹ ¡0 0¢ ,8<: · 0ou = 0 et · 0

a) La restriction de cette relation d’ordre à R induit-elle l’ordre usuel sur R ?b) Représenter graphiquement la partie P = f( ) 2 C ( ) ¹ ( )goù ( ) désigne un couple de réels donné à l’avance.c) La propriété : « si ( ) 2 C, si f( )g2N est une suite de C quiconverge vers ( ), et si ( ) ¹ ( ) pour tout , alors ( ) ¹ ( ) »est-elle vraie ? Justi…ez votre réponse.

1.5. ENTIERS NATURELS 15

1.5 Entiers naturels

Question 35 [1] Quels sont les axiomes de l’ensemble N des entiers naturels ?

Question 36 [1] Enoncez la propriété qui est à l’origine du raisonnement parrécurrence. Pouvez-vous la démontrer ? Expliquez.

Question 37 [1] Est-il vraiment convenable d’utiliser l’expression "principede récurrence" pour parler du raisonnement par récurrence ?

Question 38 [1] Montrer que toute suite décroissante de N est stationnaire.

Question 39 [1] (Division euclidienne dans N) Pour tout couple ( ) deN£N¤, montrer qu’il existe un et un seul couple ( ) de N2 tel que = +et 0 · .

Question 40 [1] Proposez un algorithme très simple qui permet de calculerle quotient et le reste de la division euclidienne de par lorsque et sontdes entiers naturels, et 6= 0. Cet algorithme est une « descente de Fermat ».Démontrez que cet algorithme s’achève au bout d’un nombre …ni de pas.

Question 41 [1] (Système de numération en base ) Soit un entier supérieurou égal à 2. Montrer que tout entier naturel non nul s’écrit de façon uniquesous la forme = + + 1 + 0 où 2 N, 2 f0 1 ¡ 1g pourtout , et 6= 0.

Question 42 [1] Recherchez l’écriture de 35 en base 3. Expliquez votre algo-rithme. Justi…ez que votre algorithme converge à coup sûr.

Question 43 [1] Le nombre 3100 est un grand nombre. Comment possède-t-ilde chi¤res ?

Question 44 [1] Expliquer comment calculer explicitement les sommes :

2 =X=1

2 et 3 =X=1

3

1.6 Construction de Z

Question 45 [1] Comment construire le groupe (Z+) des entiers relatifs àpartir de l’ensemble N des entiers naturels ?


Question 46 [1] Comment dé…nit-on la relation d’ordre · sur Z ? Véri…erque la relation d’ordre ainsi dé…nie dans Z généralise la relation d’ordre usuellede N.

Question 47 [1] Montrer que Z est archimédien.

Question 48 [1] Montrer que la relation d’ordre · dé…nie sur Z à partir decelle de N, est compatible avec l’addition et la multiplication, autrement ditque :

(1) 8 ( ) 2 Z3 · ) + · + (2) 8 ( ) 2 Z2 £N · ) ·

Question 49 [1] Montrer que toute suite croissante majorée (resp. décrois-sante minorée) de Z est stationnaire.

Question 50 [1] Montrer que toute partie non vide majorée (resp. minorée)de Z admet un plus grand élément (resp. un plus petit élément).

Question 51 [1] (Division euclidienne dans Z) Pour tout couple ( ) deZ£Z¤, montrer qu’il existe un et un seul couple ( ) de Z2 tel que = +et 0 · jj.

1.7 Rudiments de cardinalité

Question 52 [1] Quand dit-on que deux ensembles sont équipotents ?

Question 53 [1] Quand dit-on qu’un ensemble est …ni ?

Question 54 [1] Qu’appelle-t-on cardinal d’un ensemble …ni ? On proposeraune dé…nition précise, et l’on montrera que cette dé…nition a bien un sens.

Question 55 [1] Qu’est-ce qu’un ensemble dénombrable ? Qu’est-ce qu’un en-semble au plus dénombrable ?

Dans les questions qui suivent, le cardinal d’un ensemble …ni estnoté jj au lieu de Card.

Question 56 [1] Montrer que toute partie d’un ensemble …ni est …nieet que jj · j j.

Question 57 [1] Montrer que la réunion de deux parties …nies et disjointesest un ensemble …ni de cardinal la somme des cardinaux de ces parties.

1.7. RUDIMENTS DE CARDINALITÉ 17

Question 58 [1] Deux ensembles et sont …nis, de même cardinal, et telsque ½ . Montrer que = .

Question 59 [1] Si : ! est une application injective d’un ensemble dans un ensemble …ni , montrer que est …ni et que jj · j j.

Question 60 [1] Si : ! est une surjection d’un ensemble …ni surun ensemble , montrer que est …ni et que jj ¸ j j.

Question 61 [1] Montrer qu’une application injective entre deux ensembles…nis de même cardinal est une bijection.

Question 62 [1] Montrer qu’une application surjective entre deux ensembles…nis de même cardinal est une bijection.

Question 63 [1] On note 1 £ £ le produit cartésien des ensembles…nis ( = 1, ..., ). Montrer que l’ensemble 1 £ £ est …ni et :

j1 £ £j = j1j £ £ jj

Question 64 [1] Montrer que toute partie d’un ensemble dénombrable est auplus dénombrable.

Question 65 [1] Soit : ! une application injective d’un ensemble dans un ensemble dénombrable . Montrer que est au plus dénombrable.

Question 66 [1] Soit : ! est une application surjective dé…nie sur unensemble dénombrable . Montrer que est au plus dénombrable.

Question 67 [1] Montrer que le produit cartésien de deux ensembles dénom-brables est dénombrable.

Question 68 [1] Montrer que Z est dénombrable. En déduire que le corps Qest dénombrable.

Question 69 [1] Montrer qu’une réunion d’une famille dénombrable d’en-sembles dénombrables est dénombrable. Que dire d’une réunion …nie d’en-sembles dénombrables ? Que dire d’une réunion dénombrable d’ensembles …-nis ?

Question 70 [1] Montrer que l’ensemble des suites …nies d’entiers est dé-nombrable.

Question 71 [1] Montrer que R n’est pas dénombrable.


1.8 Dénombrement

Question 72 [1] (Principe de la somme) Si f1 g est une partitiond’un ensemble …ni , alors jj = j1j+ + jj.

Question 73 [1] (Principe du produit) Que veut-on dire quand on parle de« principe du produit » au sujet d’un dénombrement ? Pouvez-vous démontrerce principe ?

Question 74 [1] (Principe du berger) Enoncez et démontrer le principedu berger.

Question 75 [1] (Principe d’exclusion-inclusion) Si et sont deuxparties d’un ensemble …ni , montrer que j [j = jj + jj ¡ j \j.Pouvez-vous proposer, sans démonstration, une généralisation ?

Question 76 [1] On entend dire qu’un seul principe serait à l’origine detoutes les techniques de dénombrement. Est-ce celui de la somme ? Du produit ?S’agit-il du principe d’exclusion-inclusion ou de celui du berger ? Argumentez.

Question 77 [1] Démontrer la formule¡

¢+¡ +1

¢=¡+1+1

¢en utilisant un

dénombrement.

Question 78 [1] On considère le mot DENOMBREMENT.a) Combien existe-t-il d’anagrammes de ce mot ?b) Combien y-a-t-il d’anagrammes dont les lettres E ne sont pas placées

consécutivement ?c) Combien y-a-t-il d’anagrammes dont les lettres sont dans l’ordre crois-

sant alphabétiquement ?

Question 79 [1] Combien existe-t-il de parties d’un ensemble …ni de car-dinal ? Combien existe-t-il de parties de cet ensemble dont le cardinal estpair ? impair ?

Question 80 [1] Dans un jeu de 32 cartes, combien existe-t-il de mains de cinqcartes qui contiennent exactement une reine et deux valets ? Quelle est la pro-babilité d’obtenir ce jeu ?

Question 81 [1] Soit est un entier positif donné. Déterminer le nombre desolutions entières positives de l’équation 1 + + = d’inconnues 1, ...,.

1.8. DÉNOMBREMENT 19

Question 82 [1] (Arrangements et combinaisons)On rappelle qu’un arrangement de éléments d’un ensemble est une suitede éléments de dont tous les éléments sont deux à deux distincts, et qu’unecombinaison de éléments de est une partie à éléments dans . Montrerque, dans un ensemble …ni de cardinal , il existe :

= (¡ 1) (¡ + 1) =!

(¡ )!arrangements de éléments, et :µ

¶=

!

! (¡ )!combinaisons de éléments.

Question 83 [1] De combien de façons peut-on placer 7 boules de couleursdi¤érentes dans 3 tiroirs ?

Question 84 [1] Douze personnes mangent à une table de douze couverts.Combien obtient-on de dispositions possibles de ces personnes les unes parrapport aux autres ?

Question 85 [1] Combien peut-on trouver de nombres qui s’écrivent :a) avec au plus chi¤res ?b) avec exactement chi¤res ?c) avec chi¤res tous distincts les uns des autres deux à deux ?

Question 86 [1] Combien peut-on former d’entiers de trois chi¤res contenantau moins l’un des chi¤res 0, 3, 6 ou 9 ?


Chapitre 2

Suites & séries

Question 87 [8] (Ecrit du CAPES 2015) On s’intéresse à des suites réelles :a) Montrer qu’une suite croissante et non majorée diverge vers +1.b) Montrer qu’une suite croissante et majorée converge.c) Établir une CNS pour qu’une suite décroissante soit convergente.

Question 88 [8] Une suite réelle () est dite négligeable devant une autresuite réelle (), et l’on note ÁÁ , lorsque :

8 2 R¤+ 9 2 N ¸ ) jj · jj Soient et deux réel tels que 1 et 0. Montrer que :

ln ÁÁ ÁÁ ÁÁ ! ÁÁ Question 89 (Critère de d’Alembert pour les suites)Soit () une suite à termes strictement positifs telle que lim

+1= 2 R.

1) Montrer que :a) Si 1, lim = 0.b) Si 1, lim = +1.c) Si = 1, on ne peut pas conclure.

2) On écrit ÁÁ pour signi…er que la suite réelle () est négligeabledevant la suite réelle (). Démontrer que ÁÁ ÁÁ ! ÁÁ lorsque 1 et 0.

3) Soient ( ) 2 (R¤+)2. Montrer que lim(2+1!) = 0.Question 90 [8] Montrer que toute suite de Cauchy de R est bornée.

Question 91 [8] On suppose que la suite réelle () véri…e la propriété :9 2 ]0 1[ 8 2 N j+1 ¡ j ·

Montrer que () est une suite de Cauchy.

21

22 CHAPITRE 2. SUITES & SÉRIES

Question 92 [8] Donner un exemple d’une suite de points () de R bornéeet d’une fonction continue : R! R pour laquelle la suite des images (())n’est pas bornée.

Question 93 [8] Soit : R ! R une application lipschitzienne. Si () estune suite bornée de R, montrer qu’il en est de même de la suite (()).

Question 94 [8] Donner deux exemples de fonctions : ! uniformé-ment continues sur non nulles et non polynomiales.

Question 95 [8] Soit : ! uniformément continue sur , où et sont deux espaces métriques. Montrer que si ()2N est une suite de Cauchyde points de , alors (())2N est une suite de Cauchy de points de .

Question 96 [8] (Convergence au sens de Cesàro)1) Soit () une suite de complexes convergeant vers une limite .a) Montrer que la suite () de terme général précisé ci-dessous, tend

aussi vers . : =

1 + +

b) On dit que la suite () converge au sens de Césaro si la suite ()dé…nie ci-dessus est convergente. Montrer qu’une suite peut converger au sensde Césaro sans être pour autant convergente.

Question 97 [8] Montrer que lim!+1

µ1 +1

¶= .

Question 98 [8] Utiliser la formule de Taylor avec reste intégral pour mon-trer que la série

P+1=0

! converge vers quel que soit le nombre réel .Démontrer que cette convergence est uniforme sur tout intervalle borné de R.

Question 99 ~[8] On considère la suite () de terme général :

= 1 + 1 +1

2!+1

3!+ +

1

!

En appliquant le théorème des accroissements …nis à la fonction :

() = ¡µ1 + +

2

2!+ +

!

¶

montrer que lim!+1 = .

Question 100 [7] a) Discuter la convergence de la suite ()2N suivant lesvaleurs prises par le nombre réel .b) Si est un nombre complexe de module 1 et di¤érent de 1, montrer quela suite ()2N diverge.c) Soit 2 C. Trouver une condition nécessaire et su¢sante portant sur pour que la suite ()2N soit convergente.

23

Question 101 [7] Etudier la convergence des suites ()2N lorsque 2 R.

Question 102 [7] Etudier la convergence des suites (cos)2N lorsque 2R. Que dire des suites (sin)2N ?

Question 103 [6] Soit 2 R¤+. Montrer de deux façons di¤érentes que :lim!+1

!= 0

Question 104 [6] (Ecrit du CAPES externe 2012) Soit ()2N¤ la suite determe général =

P=1 1. Montrer que :

8 2 N¤ 1

+ 1·Z +1

· 1

En déduire que » ln au voisinage de +1.

Question 105 [6] (Ecrit du CAPES externe 2012)Pour tout 2 N¤, on pose :

=X=1

1

2

Montrer que la suite ()2N¤ converge en utilisant des outils de terminalescienti…que. On ne demande pas de calculer cette limite.

Question 106 [6] On considère deux sériesP et

P à termes réels.

On suppose que est positif pour tout entier , et que la sérieP est

convergente. Montrer qu’au voisinage de +1 : » )

X+1= »

X+1=

En déduire un équivalent de la suite¡P+1

= 12¢2N¤. On pourra par exemple

utiliser l’identité : 1

¡ 1

+ 1=

1

( + 1)

Question 107 [6] Soit un réel strictement supérieur à 1. En comparant lesdi¤érents restes

P+1= 1

aux intégralesR +1 1 , trouver un équivalent

de la suite¡P+1

= 1¢2N¤ au voisinage de +1.

Question 108 ~[8] [Possibilité de question enchaînées à partir de cette sé-quence extraite de l’écrit du CAPES 2015) Soit ()2N¤ une suite réelle in-dexée sur N¤. On admet que l’on connaît le résultat principal concernant laconvergence au sens de Cesàro [exercice traité dans [8]]].1) Si ()2N¤ converge, montrer que la suite (+1 ¡ )2N¤ converge.

24 CHAPITRE 2. SUITES & SÉRIES

2) On suppose que la suite (+1 ¡ )2N¤ converge vers un réel .a) Montrer que la suite ()2N¤ converge et préciser sa limite.b) Étudier la convergence de la suite ()2N¤ lorsque 6= 0.c) La suite ()2N¤ est-elle nécessairement convergente quand = 0 ?

Question 109 [8] (Ecrit du CAPES 2015) Soit un nombre réel non congruà 0 modulo . Montrer que la suite ()2N¤ dé…nie par :

=1

X=1

sin

est convergente et déterminer sa limite.

Chapitre 3

Fonctions

3.1 Généralités

Question 110 [6](Ecrit du CAPLP 2012) Soient deux réels et tels que 0. On écrit alors ln() = ln + ln . Est-ce vrai ou faux ? Justi…er.

Question 111 [8] Soit 2 R. Comment démontrer que la courbe représenta-tive d’une application de R dans R dans un repère orthonormal est :a) symétrique par rapport au point ( ()) ?b) symétrique par rapport à la droite verticale d’équation = ?

Ces résultats restent-ils vrais si le repère n’est plus orthonormal ?

3.2 Limites

Question 112 Peut-on trouver une suite () de fonctions positives, dé…niessur R et à valeurs dans R, qui converge simplement vers la fonction nulle maisdont l’aire sous la courbe de tende vers +1? Justi…ez votre réponse.Question 113 Peut-on trouver une suite () de fonctions de R dans R quiconverge simplement vers la fonction nulle sans que cette convergence soituniforme ? Justi…ez votre réponse.

Question 114 [6] (Théorème de la limite monotone) Montrer qu’uneapplication : ! R monotone dé…nie sur un intervalle admet une limiteà droite (resp. à gauche) en tout point de tel que \ ]+1[ 6= ? (resp. \ ]¡1 [ 6= ?).Question 115 [7] Soient un intervalle non vide de R, et : ! R uneapplication de dans R. Soit un réel appartenant à l’adhérence de , c’est-à-dire un élément de ou une borne de .

25

26 CHAPITRE 3. FONCTIONS

a) Soit 2 R. Montrer que les assertions suivantes sont équivalentes :(1) lim! () = ,(2) Pour toute suite () de tendant vers , lim!+1 () = .

b) Montre que admet une limite en si et seulement si pour toute suite() d’éléments de admettant pour limite, la suite ( ()) est conver-gente.

c) [Réservé aux agrégatifs] Généraliser les deux résultats précédents lorsque : ! où et sont des espaces plus généraux à préciser.

Question 116 [5] Soit un réel et : [+1[! R une fonction dé…nie etcontinue sur [+1[ possédant une limite …nie en +1.a) La fonction est-elle bornée ?b) La fonction est uniformément continue sur [+1[ ?

3.3 Continuité

Question 117 [6] Etudier la fonction () = sin(1). Cette fonction est-elleprolongeable par continuité en 0 ?

Question 118 [6] (Ecrit du CAPES externe 2012) Soit : ! R une appli-cation d’un intervalle réel dans R.a) Quand dit-on que est uniformément continue sur ?b) Ecrire à l’aide de quanti…cateurs la proposition « n’est pas uniformé-

ment continue sur ».

Question 119 [6] (Ecrit du CAPES externe 2012) Soit : ! R une appli-cation lipschitzienne d’un intervalle réel dans R. Montrer que est unifor-mément continue sur .

Question 120 [6] (Ecrit du CAPES externe 2012)a) Montrer que jjj ¡ jjj · j¡ j quels que soient les réels et .b) On considère l’application de R dans R dé…nie par :

() =1

1 + jj Montrer que est uniformément continue sur R

Question 121 [6] (Ecrit du CAPES externe 2012)a) Montrer que

p+ · p+p et que ¯̄p¡p¯̄ ·pj¡ j quels que

soient et appartenant à R.b) Montrer que la fonction : 7! p est uniformément continue sur R+.c) Montrer que la fonction n’est pas lipschitzienne sur R+.

3.4. THÉORÈME DES VALEURS INTERMÉDIAIRES 27

Question 122 [6] (Ecrit du CAPES externe 2012) Théorème de HeineOn désire démontrer le théorème de Heine : si une fonction est continue surun segment = [ ] de R, alors elle est uniformément continue sur ce seg-ment. Supposons que soit une fonction continue sur et non uniformémentcontinue sur . Montrer qu’il existe un réel 0 et deux suites ()2N¤ et()2N¤ d’éléments de tels que pour tout 2 N¤ :

j ¡ j · 1et j ()¡ ()j

Montrer ensuite que l’on peut extraire des suites précédentes deux sous-suitesconvergentes

¡()

¢2N¤ et

¡()

¢2N¤. Conclure.

Question 123 [8] Montrer que toute application linéaire : ! dé…niesur un espace vectoriel sur R de dimension …nie, à valeurs dans un espacevectoriel normé , est continue.

3.4 Théorème des valeurs intermédiaires

Question 124 [6] (Théorème des valeurs intermédiaires) Démontrerque l’image d’un intervalle de R par une application continue : ! R estun intervalle.

Question 125 [6] Quel intérêt y-a-t-il à démontrer le Théorème des valeursintermédiaires en utilisant la méthode de dichotomie ?

Question 126 [6] D’où vient le terme dichotomie ?

Question 127 [6] Si : [ ] ! R est continue et si = Sup ([ ]), onsait qu’il existe une suite ()2N de [ ] telle que lim!+1 () = .Pouvez-vous démontrer ce résultat ?

Question 128 [6] Montrer qu’une application continue : [ ] ! R estbornée et atteint ses bornes.

Question 129 [6] Montrer que l’image d’un segment par une application conti-nue est un segment.

Question 130 [6] Soit : [0 1] ! [0 1] une application continue. Montrerqu’il existe 2 [0 1] tel que () = .Question 131 [6] Soit : ! R une application monotone dé…nie sur unintervalle réel . Si () est un intervalle, montrer que est continue.

Question 132 [6] Soit : ! R une fonction continue dé…nie sur un inter-valle de R. On suppose que est injective. Démontrer qu’elle est strictementmonotone (on pourra utiliser le théorème des valeurs intermédiaires).


3.5 Dérivabilité

Question 133 [6] Soit une fonction dé…nie sur un intervalle de R et soit un nombre réel appartenant à l’intervalle . Peut-on a¢rmer que, si estcontinue en , alors est dérivable en ? Justi…ez votre réponse complètement.

Question 134 [8] (Oral du CAPES 2008) Dérivée d’une fonction com-posée – Enoncez puis démontrez le théorème de dérivation des fonctions com-posées dans le cadre de fonctions dé…nies sur R et à valeurs réelles.

Question 135 [6] Montrer que la fonction () = sin(1) dé…nie sur R¤,est prolongeable par continuité en 0, mais que la fonction b obtenue n’est pasdérivable en 0. Donnez l’allure de la courbe représentative de .

Question 136 [6] Soit la fonction : R! R dé…nie par () = 2 sin(1)si 6= 0, et (0) = 0 sinon. Montrer que est dérivable sur R, mais quesa fonction dérivée 0 n’est pas continue en 0. Tracer l’allure de la courbereprésentative de , et montrer que cette courbe est tangente à la parabole = 2 en chaque point de contact. Préciser le comportement de au voisinagede +1.

Question 137 [6] Calculer arctan+ arctan(1).

Question 138 [6] Montrer que arcsin+ arccos = 2 pour tout appar-tenant à [¡1 1]

Question 139 [6] Calculer lim!0cos¡ 12

.

Question 140 [6] Calculer la limite de la fonction :

¡ ¡ ¡ 2¡ sin

quand tend vers 0 en utilisant la règle de l’Hôpital, puis véri…er le résultatobtenu en utilisant des développements limités.

Question 141 [8] (Ecrit du CAPLP 2015) Soient et deux fonctionsréelles dérivables sur R telles que () · () pour tout 2 R et (0) = (0).Peut a¢rmer que 0(0) · 0(0) ? Justi…ez votre réponse.

Question 142 [8] (Ecrit du CAPLP 2015) Soient et deux fonctionsréelles dérivables sur R telles que () · () pour tout 2 R et (0) = (0).Peut-on a¢rmer que 0() · 0() pour tout 2 R ? Justi…ez votre réponse.

3.6. THÉORÈME DES FONCTIONS RÉCIPROQUES 29

Question 143 [8] (Ecrit du CAPLP 2015) Soient et deux fonctionsréelles dérivables sur tout R qui véri…ent 0() · 0() pour tout 2 R+et (0) = (0). Dans ce cas, peut-on a¢rmer que () · () pour tout 2 R+ ? Justi…ez votre réponse.

3.6 Théorème des fonctions réciproques

Question 144 [6] (Théorème des fonctions réciproques)Soit : ! R une fonction continue strictement monotone dé…nie sur unintervalle de R. On note = (). Montrer que :a) est un intervalle,b) induit une bijection de sur ,c) ¡1 : ! est continue strictement monotone de même sens que .d) Si est dérivable en 0 2 et si 0 (0) 6= 0, alors ¡1 est dérivable en

(0) et : ¡¡1¢0( (0)) =

1

0 (0)

Question 145 [6] Comment faire pour démontrer que la fonction arcsin estdérivable (sur un certain intervalle où elle est dé…nie) et expliciter sa fonctiondérivée ? Expliquez complètement.

Question 146 [6] Comment dé…nissez-vous la fonction racines -ièmes ? Com-ment démontrer que la fonction

p est dérivable et calculer sa dérivée ? Com-

ment dé…nir la fonction 7! lorsque 2 Q ?

Question 147 [6] Montrer qu’un intervalle [ [ (avec , réels tels que ) est homéomorphe à [0 1[ et à [0+1[.

Question 148 [6] Dessinez à main levée les représentations graphiques desfonctions sinus hyperbolique, cosinus hyperbolique et tangente hyperbolique.Sur quels intervalles ces fonctions sont-elles des bijections ? Comment obtenirle graphe de la fonction argth ?

Question 149 [6] On note = ¡1 la fonction réciproque d’une fonction strictement monotone d’un intervalle sur un autre intervalle . On supposeque est trois fois dérivable sur , et que 0 () 6= 0 pour tout 2 . Montrerque est trois fois dérivable sur . Calculer les dérivées 0, 00 et 000 successivesde en fonction de et de ses dérivées.


3.7 Théorèmes de Rolle et des accroissements …nis

Question 150 [6] a) Soit : ! R une application dérivable sur un inter-valle ouvert de R. On suppose que admet un extrémum en . Montrer que 0 () = 0.b) La réciproque est-elle vraie ?c) Le résultat démontré en a) reste-t-il vrai si n’est qu’un extremum relatif

de ? Si est un intervalle quelconque de R ?On justi…era soigneusement ses réponses.

Question 151 [6] (Théorème de Rolle) Soit : [ ]! R une applicationcontinue sur [ ] et dérivable sur ] [. Montrer qu’il existe 2 ] [ tel que :

()¡ ()¡ = 0 ()

On commencera par traiter le cas où () = ().

Question 152 [6] Enoncez le Théorème de Rolle, encore connu sous le nomde formule (ou Théorème) des accroissements …nis, pour une fonction réellede la variable réelle. Proposez une interprétation géométrique de ce résultat.

Question 153 [6] Le Théorème de Rolle reste-t-il vrai si la fonction dont onparle dans ce théorème n’est plus une fonction de R dans R, mais une fonctionde R dans R, ou encore de R dans C ?

Question 154 ([11], Th. 16) Démontrer rigoureusement le théorème qui lieles variations d’une fonction à l’étude du signe de sa dérivée.

Question 155 [6] Soient et deux fonctions à valeurs réelles, continuessur [ ], et dérivables sur ] [. Montrer que :¡8 2 ] [ 0 () · 0 ()¢ ) (8 2 ] [ ()¡ () · ()¡ ())

Question 156 [6] Pour tout 2 R¤+, on a :

1 + ln (1 + )

Question 157 Soit : ! R une application continue sur un intervalle de R, dérivable en tout point de l’intérieur de . Montrer que est une fonctionconstante et seulement si sa dérivée 0 est nulle à l’intérieur de .

3.8. THÉORÈME DU POINT FIXE 31

Question 158 [6] En utilisant le théorème des accroissements …nis, montrerque sin · pour tout 2 R+. Intégrer ensuite cette inégalité pour démontrerque :

¡ 3

3!· sin ·

Quelles encadrements des fonctions sinus et cosinus pouvons-nous démontrerde cette manière ? [On indiquera, sans démonstration, un ensemble de formuleque l’on peutt obtenir avec cette méthode.]

Question 159 [6] Montrer que toute droite qui coupe la sinusoïde = sinen au moins deux points distincts est de pente comprise entre ¡1 et 1.

Question 160 [6] Montrer de deux façons di¤érentes que :

8 2 R¤+1

2p+ 1

· p+ 1¡p · 1

2p

Question 161 [6] (Ecrit de Polytechnique 1990) Pour tout réel 1 montrerque :

1

232

· 1p¡ 1 ¡

1p· 1

2 (¡ 1) 32

3.8 Théorème du point …xe

Question 162 [6] (Théorème du point …xe)Montrer qu’une application contractante d’un espace métrique complet nonvide ( ) dans lui-même possède un unique point …xe. Si une suite ()2Nest construite par récurrence en choisissant n’importe quel premier terme 0dans , puis en posant +1 = () pour tout , montrer que cette suiteconverge vers l’unique point …xe de .

Question 163 [6] Soit une application de l’intervalle = [ ] de R danslui-même, dérivable sur , telle qu’il existe 2 ]0 1[ pour lequel j 0 ()j · quel que soit appartenant à . Montrer que :(1) L’application admet un unique point …xe dans .(2) Pour tout 0 2 , la suite () de premier terme 0 et dé…nie par

récurrence en posant +1 = () quel que soit 2 N, converge vers le point…xe de .


3.9 Intégration

Question 164 [8] (Primitive d’une fonction continue) Soit une applicationd’un intervalle ouvert de R dans R. Soit 2 . On pose :

8 2 () =

Z ()

ce qui dé…nit une application de dans R.a) On suppose localement intégrable au sens de Riemann sur . Montrer

que est continue sur .b) On suppose continue sur . Montrer que est dérivable sur et

0 = .[Autre façon de poser la question : « démontrer qu’une fonction continue surun intervalle et à valeurs réelles admet une primitive sur cet intervalle ».]

Question 165 [8] Soit une fonction continue d’un intervalle ouvert deR dans R. Soit 2 . Si 2 , on pose () = R (). Lorsque estpositive et monotone sur , démontrer que est dérivable sur comme on leferait dans un cours de terminale S.

Question 166 [8] Soit : ! R une application continue dé…nie sur unintervalle de R.a) Montrer que admet au moins une primitive sur .b) Montrer que admet une in…nité de primitives sur cet intervalle et que

ces primitives sont toutes de la forme 7! () + où 2 R.c) Montrer qu’il existe une et une seule primitive de prenant une valeur

donnée 0 en un point 0 de . Donner une expression de cette primitive.d) Montrer qu’il existe une et une seule primitive de qui s’annule en 0.

Donner une expression de cette primitive.e) Montrer que :

8 2 Z () = ()¡ ()

[Autre façon de poser la question : « démontrer qu’une fonction continue surun intervalle et à valeurs réelles admet une primitive sur cet intervalle, puisdéterminer toutes les primitives de cette fonction sur cet intervalle. ».]

Question 167 [6] Soient et deux fonctions dé…nies et continues sur l’in-tervalle [2; 5]. Si

R 52 () ·

R 52 (), alors peut-on dire que pour tout

nombre réel appartenant à l’intervalle [2; 5], on a () · () ? Justi…ezvotre réponse complètement.

3.10. FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES 33

Question 168 [6] Soient et deux réels tels que . Si est une fonctiondé…nie, continue et positive sur l’intervalle [ ] et si

R () = 0 alors

est nulle sur l’intervalle [ ]. Vrai ou faux ? Justi…er.

Question 169 [6] (Ecrit du CAPLP 2012) Soient et deux réels tels que . Si est une fonction dé…nie, continue par morceaux et positive surl’intervalle [ ] et si

R () = 0 alors est nulle sur l’intervalle [ ].

Vrai ou faux ? Justi…er.

Question 170 [7] Rappeler et démontrer la formule de changement de va-riables pour une fonction réelle d’une variable réelle.

Question 171 [8] (Ecrit du CAPLP 2015) Si est entier naturel, on note :

=

Z +10¡

Peut-on dire que pour tout entier naturel , le nombre existe et vaut ! ?Justi…ez votre réponse.

Question 172 [6] On suppose que : R! R admet un développement limitéà l’ordre en 0, que l’on note () = 0+1+++ (). On supposeaussi que admet une primitive sur un intervalle ouvert contenant 0.En utilisant le Théorème des accroissements …nis, démontrer que admet ledéveloppement limité suivant à l’ordre en 0 :

() = (0) + 0+ 12

2+ +

+1

+ 1+ (+1)

3.10 Fonctions de plusieurs variables

Question 173 [8] Soient et deux entiers strictement positifs, et unouvert de R. Montrer que toute fonction : ! R di¤érentiable en unpoint de est continue en ce point.

Question 174 [8] Soit la fonction norme euclidienne dé…nie sur R2 par :( ) =

p2 + 2

Montrer de deux façons di¤érentes que n’est pas di¤érentiable en (0 0).

Question 175 [3] Montrer qu’un polynôme à coe¢cients réels de degré 2 àdeux variables est négligeable devant 2 + 2 (au voisinage de (0 0)) si etseulement si c’est le polynôme nul.

Question 176 [3] Soit un entier naturel non nul. Soit (1 ) unpolynôme à coe¢cients réels à indéterminées 1, ..., et de degré . Mon-trer que (1 ) = (jj (1 ) jj) (au voisinage de (0 0)) si etseulement si c’est le polynôme nul.


3.11 Equations di¤érentielles

Question 177 [6] On considère l’équation di¤érentielle suivante, où est unefonction dé…nie et dérivable sur R :

0 ¡ 2 ¡ 1 = 0 ()On note une fonction positive dé…nie et dérivable sur R. Peut-on a¢rmerque, si est solution de l’équation () sur R, alors est croissante sur R ?Justi…ez votre réponse complètement.

Question 178 [6] Soit 2 R. Quelles sont les solutions de l’équation di¤é-rentielle 0 = ? Démontrez complètement ce que vous a¢rmez.

Question 179 [6] Déterminez toutes les fonctions dérivables de R dans R quisont solutions de l’équation di¤érentielle 0 + 5 + 8 = 0.

Question 180 [6] Soient et deux réels. On considère l’équation di¤éren-tielle :

() 00 + 0 + = 0Montrer qu’une solution de (), a priori seulement deux fois dérivable, seraen fait indé…niment dérivable sur R.

Question 181 [6] Soient et deux réels. On considère l’équation di¤éren-tielle :

() 00 + 0 + = 0On note R (resp. C) l’ensemble des solutions réelles (resp. complexes) de (),dé…nies sur tout R (resp. C). Montrer que R et C sont des espaces vectorielssur R ou C, suivant le cas.

Question 182 [6] Soient et deux réels. Montrer que les solutions réellesde l’équation di¤érentielle 00 + 0 + = 0 coïncident avec les parties réellesdes solutions complexes de cette équation.

Question 183 [6] On considère une équation di¤érentielle linéaire d’ordre à coe¢cients constants :

() () + ¡1(¡1) + + 0 = ()

où les appartiennent à C et où () est une fonction continue de R dans C.On demande de répondre très précisément aux questions suivantes sans dé-montrer quoi que ce soit, donc en faisant référence au cours que l’on a appris.a) Quelle est la structure générale des solutions de () ?b) Qu’appelle-t-on équation sans second membre associée à () ? On appel-

lera () cette équation sans second membre.

3.11. EQUATIONS DIFFÉRENTIELLES 35

c) Qu’appelle-t-on équation caractéristique de () ?d) Quelle est la forme générale des solutions de () ? Que peut-on dire de

celles-ci ?e) Lorsque () = () où 2 C et où () est un polynôme en ,

sous quelle forme peut-on chercher une solution particulière de () ?

Question 184 [6] Résoudre l’équation di¤érentielle 00 ¡ 70 + 10 = 0.



Question 187 [6] Soit 2 R¤+. Pouvez-vous dire quelles sont les solutionsde l’équation di¤érentielle 00 = ¡2 ? Justi…ez complètement ce que vousa¢rmez. On vous autorise à utiliser un théorème général du cours sans avoirà le démontrer.

Question 188 [6] Parlons un peu de mouvements oscillatoires.a) Sur un oscillateur mécanique, une masse ponctuelle est placée à l’ex-

trémité d’un ressort de raideur ( 2 R¤+) de façon à pouvoir coulisser sansfrottements sur un axe horizontal , comme sur la …gure ci-dessous. On note () l’abscisse de la masse à la date , et l’on suppose que le ressort estdans sa position d’équilibre quand () = 0, c’est-à-dire quand la masse està l’origine du repère de . On tire la masse jusqu’à un point d’abscisse 0,puis on la relâche à la date 0. Déterminez l’équation horaire du mouvementde la masse .

O x(t)+

x

b) On suppose maintenant qu’il existe une force de frottement dû à l’air.Pour cela on rajoute des ailerons à la masse . On suppose que la force derésistance

¡! dû à l’air est proportionnelle à la vitesse ¡! du solide, ce qui

s’écrit¡! = ¡¡! où est une constante réelle strictement positive. Détermi-

nez la nouvelle équation horaire qui régit le mouvement.

c) Les résultats obtenus correspondent-ils à notre intuition ?


Chapitre 4

Algèbre

4.1 Groupes

Question 189 [1] Soit un groupe noté multiplicativement. Donner deuxcaractérisations d’un sous-groupe de .

Question 190 [1] Soit ( ) un groupe noté multiplicativement. Soit ¤ unepartie non vide de . Expliciter le sous-groupe de engendré par ¤. Justi…er.

Question 191 [1] Soit un élément d’un groupe . Quand dit-on que estun élément d’ordre …ni ? Qu’appelle-t-on ordre d’un élément de ? (On nedemande pas de démontrer quoi que ce soit.)

Question 192 [1] Soient un élément d’ordre …ni d’un groupe (notémultiplicativement et d’élément neutre ) et 2 Z.a) Montrer que = si et seulement si divise .b) En déduire que, si est …ni d’ordre , alors = pour tout 2 .

Question 193 [1] Si est un élément d’ordre …ni () d’un groupe (notémultiplicativement) et si 2 Z, montrer que :

¡¢=

()

pgcd ( ())

Question 194 [1] Soient 1, 2 deux éléments d’ordres …nis d’un groupe com-mutatif noté multiplicativement. On note () l’ordre d’un élément de .Montrer l’implication :

pgcd ( (1) (2)) = 1 ) (12) = (1) (2)

Question 195 [1] Quand dit-on qu’une application : ( ) ! (0 ) entredeux groupes est un homomorphisme de groupes ?

37

38 CHAPITRE 4. ALGÈBRE

Question 196 [1] Si : ! 0 est un homomorphisme de groupes multipli-catifs, démontrer que les éléments neutres de et 0 se correspondent par ,et que

¡¡1¢= ()¡1 pour tout 2 .

Question 197 [1] Si : ! 0 est un homomorphisme de groupes multipli-catifs, montrer que est injectif si et seulement si Ker = fg.

Question 198 [1] Soit : ! une bijection d’un groupe (|) sur unensemble . Montrer qu’il existe une et une seule structure de groupe sur pour laquelle est un isomorphisme de groupes.

Question 199 [1] Soit : (|)! (0 ) un morphisme bijectif de groupes.Montrer que ¡1 est encore un morphisme de groupes.

Question 200 [1] Soit un groupe multiplicatif d’élément neutre . Soit Rune relation d’équivalence sur . Si 2 , on désigne par la classe de dans R. A quelle condition peut-on dé…nir une loi interne sur l’ensemble-quotient R en posant = ?

Question 201 [1] Soit R une relation d’équivalence sur un groupe commu-tatif noté multiplicativement. Si R est compatible avec la loi du groupe,montrer qu’il s’agit d’une relation suivant un sous-groupe. La réciproque est-elle vraie ?

Question 202 [1] Vous avez dit que la relation de congruence dans Z étaitune relation d’équivalence compatible avec l’addition et la multiplication. Enconnaissez-vous d’autres sur Z qui soient également compatibles avec l’additionet la multiplication ?

Question 203 [1] Enoncez puis démontrez le théorème de décomposition ca-nonique d’un isomorphisme de groupes.

Question 204 [1] Montrer que l’ordre de tout sous-groupe d’un groupe …nidivise l’ordre de ce groupe (Théorème de Lagrange). Si est un sous-grouped’un groupe …ni , que désigne-t-on par l’indice de dans ?

Question 205 [1] Qu’est-ce qu’un groupe cyclique ?

Question 206 [1] Soit un entier naturel non nul. Montrer que l’ensembleZZ possède éléments.

Question 207 [1] Que représentent Z0Z ? Z1Z ?

4.2. ANNEAUX ET CORPS 39

Question 208 [1] Montrer qu’un groupe est cyclique si, et seulement si, il estisomorphe à ZZ où 2 N¤.

Question 209 [1] Soient un entier naturel di¤érent de 0 et de 1. Soit undiviseur positif de . Montrer qu’il existe un et un seul sous-groupe de ZZd’ordre .

Question 210 [1] Dé…nir le groupe des permutations S () d’un ensemble ,puis le groupe symétrique S de degré . Montrer que les groupes S () et S ( )sont isomorphes dès que les ensembles et sont équipotents.

Question 211 [1] Démontrer que tout groupe d’ordre est isomorphe à unsous-groupe du groupe S des permutations d’un ensemble à éléments (Théo-rème de Cayley).

4.2 Anneaux et corps

Question 212 {[1] Qu’est-ce qu’un anneau ?

Question 213 {[1] Soient et deux éléments d’un anneau commutatif ,et 2 N¤. Montrer que ¡ est divisible par ¡ . Donner le quotient de ¡ par ¡ sous forme de somme.

Question 214 {[1] Quand dit-on qu’un anneau est intègre ?

Question 215 [1] Quand dit-on qu’un anneau est principal ?

Question 216 [1] Quand dit-on qu’un anneau est euclidien ? Donnez deuxexemples de tels anneaux.

Question 217 [1] Montrer que tout anneau euclidien est principal. Que direde Z et de [] lorsque est un corps commutatif ?

Question 218 [1] Qu’est-ce qu’un homomorphisme d’anneaux ?

Question 219 [1] Montrer que les sous-groupes de (Z+) sont les parties Zoù 2 N. Que peut-on dire des idéaux de Z ?

Question 220 [1] Montrer que l’anneau Z est archimédien.

Question 221 [1] (Oral du CAPES externe 2006)Est-ce qu’un corps est intègre ? Justi…er votre réponse.


Question 222 [1] (Oral du CAPES externe 2006)Est-ce qu’un anneau intègre est un corps ? Justi…er votre réponse.

Question 223 [1] (Oral du CAPES externe 2006)Montrer qu’un anneau intègre …ni est un corps

Question 224 [1] On note Z[] l’ensemble des nombres complexes + , où 2 Z et 2 Z. Montrer que Z[] est égal au sous-anneau de C engendré par Zet .

Question 225 [1] Quand dit-on que deux éléments d’un anneau intègre sont associés ? Montrer que et sont associés si et seulement si () = ().

Question 226 [1] Dé…nir de manière précise le plus grand commun diviseur(pgcd) de deux éléments et d’un anneau principal .

Question 227 [1] Peut-on dé…nir le plus grand commun diviseur (pgcd) dedeux éléments et d’un anneau factoriel qui n’est pas principal ? Et leppcm?

Question 228 [1] Dé…nir de manière précise le plus petit commun multiple(ppcm) de deux éléments et d’un anneau principal .

Question 229 [7] Montrer que pgcd ( ) = pgcd ( ) quels que soientles entiers relatifs , et .

Question 230 [1] Enoncez et démontrez le Théorème de Bezout.

Question 231 [7] On suppose que l’on connaît le Théorème de Bezout. Peut-on énoncer un résultat analogue quand le pgcd de deux entiers et est quel-conque ? Autrement dit, peut-on a¢rmer que pgcd ( ) = si, et seulement,si il existe deux entiers relatifs et tels que + = ? Expliquez, et s’ilest possible d’a¢rmer quelque chose à ce sujet, proposez une démonstration.

Question 232 [1] Dans un anneau principal, montrer que si ^ = 1 et ^ = 1 alors ^ = 1

Question 233 [1] Dans un anneau principal, énoncez le Théorème de Gauss.Montrez-le.

Question 234 [1] On suppose que deux éléments et d’un anneau principalsont premiers entre eux et divisent . Montrer que divise .

4.3. POLYNÔMES 41

Question 235 [1] Montrer que l’égalité pgcd ( ) ppcm( ) = est vraiedans un anneau principal.

Question 236 [1] Dé…nissez ce qu’est un élément irréductible dans un anneauintègre. Quels sont les éléments irréductibles de Z ? de [] lorsque est uncorps commutatif ?

Question 237 [1] Quand dit-on qu’un anneau est factoriel ?

Question 238 [1] Qu’appelle-t-on caractéristique d’un anneau ?

Question 239 [1] Quelle est la caractéristique de l’anneau Z, de ZZ, de Q,de R, de C ?

Question 240 Quelle est la caractéristique de l’anneau produit ZZ£ZZ(où 2 N¤).

Question 241 [1] Soit est un anneau de caractéristique . Montrer que = 0 pour tout élément de .

Question 242 [1] Soit est un anneau intègre de caractéristique . Montrerl’équivalence :

= 0 , (j ou = 0)

Question 243 [1] Montrer que la caractéristique d’un corps est soit nulle,soit un nombre premier. En déduire que tout corps …ni est de cardinal , où est un nombre premier et 2 N¤.

Question 244 [1] Soit F un corps à éléments ( ¸ 2). Soit F¤ = Fnf0g.Si est impair, montrer qu’il existe (¡ 1)2 carrés dans F¤ = Fnf0g. Com-bien y-a-t-il de carrés dans F lorsque est pair ?

Question 245 [1] Soit un corps …ni de caractéristique . Montrer que(+ ) = + pour tout ( ) 2 2. En déduire que :

8 2 8 2 N (+ )

= +

4.3 Polynômes

Question 246 [1] Soit un anneau commutatif. Soient 2 et 2 [].Montrer que est une racine de si et seulement si ¡ divise . Onproposera deux preuves de ce résultat.


Question 247 [1] Soit un corps commutatif. Montrer que tout polynômenon nul à coe¢cients dans et de degré possède au plus racines dans .

Question 248 [1] Soit A un anneau commutatif. Soient et deux poly-nômes de A [] tels que soit non nul et de coe¢cient dominant inversibledans A. Montrer qu’il existe un unique couple () de polynômes dans A []tels que = + et deg deg.

Question 249 [1] Soient un corps commutatif et un entier naturel. Enutilisant le Théorème de Bezout, montrer que si et sont deux polynômes de [] tels que (0) 6= 0, alors il existe un unique couple () de polynômesvéri…ant = + avec deg .

Question 250 [1] Soit un corps commutatif de caractéristique 0. Soient () un polynôme de [], un élément de et un entier naturel nonnul. Quand dit-on que est une racine d’ordre de multiplicité de () ?On proposera trois dé…nitions possibles, et l’on montrera l’équivalence entreces dé…nitions.

Question 251 [1] Soit un anneau commutatif d’élément unité 1. Soit un entier naturel. On suppose que l’élément (!)1 est inversible quel que soitl’entier compris entre 0 et . Soit 2 . Montrer que tout polynôme ()de [] de degré inférieur ou égal à s’écrit sous la forme :

() =X=0

()()

!( ¡ )

où () () désigne le -ième polynôme dérivé de (), et où 1! représentel’inverse de (!)1 dans .

Question 252 [2] (Formule de Taylor pour les polynômes)Soient 2 N¤ et [] l’espace vectoriel des polynômes de degrés · sur uncorps commutatif de caractéristique nulle. Soit un scalaire. Montrer quela famille F = (( ¡ ))2[[0]] est une base de [] et que :

8 2 [] () =X=0

() ()

!( ¡ )

Question 253 [1] Soit un corps commutatif. Montrer que l’anneau []des polynômes à coe¢cients dans est principal.

4.3. POLYNÔMES 43

Question 254 [1] Soit un anneau unitaire. Notons [] l’algèbre des poly-nômes à coe¢cients dans , et F () l’algèbre des applications de dans .Considérons l’application :

ª : [] ! F () () 7! e = ( 7! ())

qui au polynôme () associe la fonction polynomiale e : 7! ().a) Montrer que ª est un morphisme d’algèbres unitaires.b) Montrer que ª est injective si est un anneau intègre in…ni.c) Montrer que ª n’est pas injective si est un corps …ni.d) En utilisant l’algèbre de Boole (P () ¢\) des parties d’un ensemble

in…ni , montrer que si est in…ni sans être intègre, il n’y a aucune raisonpour que ª soit injective.

Question 255 [1] Soit un entier naturel. Soient 0, ..., des réels distinctsdeux à deux, et 0, ..., une famille de +1 réels quelconques. Montrer qu’ilexiste un unique polynôme () à coe¢cients réels, de degré inférieur ou égalà , tel que () = pour tout 2 f0 g. Déterminer ensuite tous lespolynômes () de R [] qui véri…ent cette condition.

Exercice 4.1 [2] Soit un entier naturel. Soient 0, ..., des réels distinctsdeux à deux, et 0, ..., une famille de + 1 réels quelconques. En résol-vant un système linéaire, démontrer qu’il existe un un seul polynôme () àcoe¢cients réels, de degré inférieur ou égal à , tel que () = pour tout 2 f0 g.

Question 256 [1] Rappelez les relations entre coe¢cients et racines d’un po-lynôme de degré . Expliquer comment on démontrerait ces formules (on nedemande pas de tout écrire au tableau, mais de se contenter de donner quelquesindications sur la preuve de ces formules).

Question 257 [1] Soient un nombre premier et un diviseur de ¡ 1.Soit un élément d’ordre du groupe multiplicatif ((ZZ)¤£), s’il existe.On a donc = 1. Montrer que l’ensemble des racines du polynôme ¡ 1dans (ZZ)¤ est f1 2 3 ¡1g.

Question 258 [1] Factoriser le polynôme 4+ dans R [], où désigne unréel strictement positif.

Question 259 [1] Les fonctions () =p2 + 2 et () = ln (+ 1) sont-

elles des fonctions polynomiales ou des restrictions de fonctions polynomialessur leurs intervalles de dé…nition ?


Question 260 [1] Pouvez-vous dé…nir la structure d’algèbre ?

Question 261 [1] Pouvez-vous nous donner quelques exemples simples d’en-sembles structurés en algèbre ?

Question 262 [6] Montrer que le polynôme + ¡ 1 ne possède que desracines simples dans C.

Question 263 [6] Factorisez ¡ 1 dans C []. Puis expliquez commentfactoriser ¡ 1 dans R [] (on demande évidemment d’écrire ¡ 1 enproduit de facteurs irréductibles).

Question 264 [6] Déterminer trois réels 1, 2 et 3 tels que :8><>:1 + 2 + 3 = 9

12 + 23 + 31 = ¡156123 = ¡340

Combien ce système possède-t-il de solutions ?

Chapitre 5

Arithmétique

5.1 Division euclidienne

Question 265 Pourquoi la division euclidienne par 0 est-elle impossible ?

Question 266 Existe-t-il une division euclidienne dans Q ?

Question 267 [9] Calculer à la main le reste de la division euclidienne de101000 par 17.

Question 268 [9] Ecrire 468 en base 16.

Question 269 [9] A quoi sert l’écriture hexadécimale d’un nombre ? Pourquoiet où est-elle utilisée ?

Question 270 [9] Voici un nombre donné en binaire : 10111001101. Con-vertissez-le en hexadécimal.

5.2 Divisibilité dans Z

Question 271 [1] Déterminer le reste de la division de 2 ¡ 3 par 5. Endéduire les valeurs de pour lesquelles ce reste vaut 4.

Question 272 [1] Déterminer tous les entiers naturels tels que +3 divise5+ 8.

Question 273 [1] Déterminer les entiers naturels et tels que 2¡92 = 45.

Question 274 [1] La propriété « un nombre qui divise un produit divise for-cément l’un des facteurs » est-elle vraie ou fausse ? Justi…ez.

45

46 CHAPITRE 5. ARITHMÉTIQUE

Question 275 [1] La relation « divise » est-elle une relation d’ordre dans N ?Est-ce une relation d’ordre dans Z ?

Question 276 [1] On sait que la relation « divise » est une relation d’ordredans N. Est-ce une relation d’ordre total ? Quel lien peut-on trouver entre larelation d’ordre usuelle · et la relation « divise » dans N ?

Question 277 [1] Décomposez à la main 720 en produit de facteurs premiers.Combien 720 possède-t-il de diviseurs ?

Question 278 [1] Rappelez le critère de divisibilité par 9. Mérite-t-il le nomde critère ? Comment démontrer sa validité ? Démontrez-le. Connaissez-vousla « preuve par 9 » d’une multiplication ? Une « preuve par 9 » qui réussitsigni…e-t-elle que la multiplication est juste ?

Les six questions enchaînées suivantes, placées dans le volume VIIId’Acquisition des fondamentaux [8], permettent de revisiter la dé-…nition et les propriétés élémentaires des pgcd de deux entiers re-latifs en nous plaçant dans le cadre d’une classe de terminale S,spécialité mathématiques, donc en évitant soigneusement toute ré-férence aux anneaux principaux. Un tel développement sera utilepour construire son exposé d’oral 1 du CAPES.

Ces questions peuvent aussi être utilisées par le jury pendant l’en-tretien qui suit la leçon sur le PGCD, soit parce que certainespropriétés classiques n’ont pas été rappelées dans l’exposé, soitpour véri…er que le candidat sait y répondre. Ces questions sont àtravailler en priorité.

Question 279 [8] (Introduction du PGCD, niveau terminale)Si 2 N on note D l’ensemble des diviseurs de dans N.1) On suppose que et sont deux entiers naturels.a) Montrer qu’il existe un unique entier naturel tel que D \D = D.

On dit alors que est le plus grand commun diviseur de et , et on note = pgcd ( ).

b) Ecrire un algorithme permettant de calculer .

2) Soit ( ) 2 N2. On pose = pgcd ( ).a) Montrer que est le plus grand élément de D \ D pour la relation

d’ordre « divise » dans N.b) Si ( ) 6= (0 0), montrer que est le plus grand élément de D \D

pour la relation d’ordre · dans N. Ce résultat reste-t-il vrai si ( ) = (0 0) ?3) Proposer une dé…nition de pgcd ( ) lorsque ( ) 2 Z2.

5.2. DIVISIBILITÉ DANS Z 47

Question 280 [8] (Propriétés du PGCD, niveau terminale) On se placedans le contexte d’une classe de terminale. Pour tous 2 Z, démontrerque :a) pgcd ( 0) = et pgcd ( 1) = 1,b) pgcd ( ) = pgcd ( ) (commutativité),c) pgcd (pgcd ( ) ) = pgcd (pgcd ( )) (associativité).

Question 281 [8] (Propriétés du PGCD, niveau terminale)On se place dans le contexte d’une classe de terminale.a) Soient 2 Z. Montrer l’implication :

pgcd ( ) = ) 9 2 Z + = b) L’implication réciproque est-elle vraie ?c) Enoncez et démontrez le Théorème de Bezout.

Question 282 [8] (Propriétés du PGCD, niveau terminale)On se place dans le contexte d’une classe de terminale. Pour tous 2 Z,démontrer que pgcd ( ) = jjpgcd ( ).

Question 283 [8] (Propriétés du PGCD, niveau terminale)On se place dans le contexte d’une classe de terminale. On considère troisentiers relatifs , et . Soient , deux entiers naturels non simultanémentnuls, et = pgcd ( ). Montrer qu’il existe deux entiers 0 et 0 tels que = 0, = 0 et pgcd (0 0) = 1.

Question 284 [8] (Propriétés du PGCD, niveau terminale)On se place dans le contexte d’une classe de terminale. On considère troisentiers relatifs , et . Montrer que :a) Si est premier avec et premier avec , alors est premier avec .b) Si divise et si est premier avec , alors divise .c) Si et sont premiers entre eux et divisent , alors divise .

Question 285 [1] Expliquez comment dé…nir le pgcd de deux nombres en-tiers naturels en utilisant l’algorithme d’Euclide. Justi…ez complètement votredé…nition et, en particulier, expliquez pourquoi l’algorithme d’Euclide aboutitaprès un nombre …ni de calculs.

Question 286 [1] Connaissez-vous une interprétation géométrique de l’algo-rithme d’Euclide qui permet de calculer le pgcd de deux nombres entiers ?

Question 287 [1] A quoi servent les pgcd et les ppcm?


Question 288 [1] Peut-on calculer un pgcd ou un ppcm sans utiliser l’algo-rithme d’Euclide ?

Question 289 [1] Y-a-t-il un ordre logique dans l’introduction des notionssuivantes :a) le pgcd et le ppcm de deux entiers ;b) la décomposition de tout entier non nul en produit de facteurs premiers ?Autrement dit, vaut-il mieux présenter l’étude du pgcd « avant » la décompo-sition en produit de facteurs premiers, ou le contraire ?

Question 290 [1] Comment calculer un ppcm en utilisant l’algorithme d’Eu-clide ?

Question 291 [1] Déterminer les couples d’entiers relatifs dont le pgcd est15 et la di¤érence 105.

Question 292 [1] Soient , , 2 N. Montrer que pgcd ( ) = 1 entraînepgcd ( ) = 1. La réciproque est-elle vraie ?

Question 293 [1] Montrer que ´ () entraîne pgcd ( ) = pgcd ( )).Question 294 [1] Calculer pgcd (350 392 1925) et ppcm(350 392 1925).

Question 295 [1] Un conteneur a la forme d’un parallélépipède rectangle dedimensions 500 cm, 350 cm et 200 cm. On désire le remplir de boîtes cubiquessans laisser aucun espace vide. Quelles pourront être les dimensions de cesboîtes.

Question 296 [1]Soit () = + +1+0 un polynôme de degré à coe¢cients dans Z. Montrer que si = est une racine rationnelle de avec ( ) 2 Z£N¤ et pgcd ( ) = 1, alors divise 0 et divise . Quellessont les seules racines rationnelles possibles de :

() = 21104 + 3254 + 2 ¡ 1 ?Question 297 [1] On suppose que les entiers et sont premiers entre euxet de parités di¤érentes. Démontrer que les entiers 2, 2 + 2, 2 ¡ 2 sontpremiers entre eux deux à deux.

Question 298 [1] A-t-on le droit d’écrire pgcd ( ) ? Justi…ez.

Question 299 [7] (Ecrit du CRPE 2013) Soient un nombre entier naturelnon nul et le nombre entier naturel dont l’écriture décimale ne contientque le chi¤re 1 répété fois : = 1111 (1 répété fois).a) Pour quelles valeurs de le nombre est-il divisible par 11 ? Justi…er.b) Pour quelles valeurs de le nombre est-il divisible par 33 ? Justi…er.

5.3. NOMBRES PREMIERS 49

5.3 Nombres premiers

Question 300 [1] Montrer sans utiliser de calculatrice que 223 est un nombrepremier.

Question 301 [1] Montrer que tout entier naturel supérieur ou égal à 2 pos-sède au moins un diviseur premier.

Question 302 [1] Démontrer qu’un nombre premier est premier avec toutnombre qu’il ne divise pas. La réciproque est-elle vraie ?

Question 303 [1] Si est un nombre premier, montrer que l’implication sui-vante est vraie : ( j ) j ou j ). La réciproque est-elle vraie ?

Question 304 [9] (Ecrit du CAPESA 2015) Soit ( ) 2 (N¤)2. Montrerque 2 divise 2 si et seulement si divise . On pourra faire appel à ladécomposition d’un entier en facteurs premiers.

Question 305 [1] Enoncez et démontrez le théorème de décomposition d’unnombre entier en produit de facteurs premiers.

Question 306 [1] Démontrer qu’il existe une in…nité de nombres premiers.

Question 307 [1] Si un entier est divisible par 4, alors il est divisible par 8 ?Justi…ez votre réponse.

Question 308 [1] Si un entier est divisible par 4 et 5, alors il est divisiblepar 20? Justi…ez votre réponse.

Question 309 [1] Si un entier est divisible par 4 et 6, alors il est divisiblepar 24? Justi…ez votre réponse.

Question 310 [1](Oral du CAPES externe 2009) Si et sont des entierspremiers entre eux, alors pgcd(+ ¡ ) = 1 ou 2 ? Justi…ez votre réponse.

Question 311 [1] Si et sont des entiers premiers entre eux, alors 2 et 2

sont premiers entre eux ? Justi…ez votre réponse.

Question 312 [1] Soient et deux entiers naturels ¸ 2. On suppose que ¡ 1 est premier. Montrer que = 2 et que est premier.

Question 313 [1] Montrer que la formule = pgcd ( ) ppcm( ) estvraie quels que soient les entiers naturels et .


Question 314 [1] = 11 et = 11

représentent les décompo-

sitions de deux entiers naturel non nuls et en produits de facteurs premiers.On demande de démontrer que divise si et seulement si · quel quesoit appartenant à f1 g.Question 315 [1] Soient un nombre premier et un entier tel que 0 . Montrer que, dans ces conditions, divise le coe¢cient binomial

¡

¢. Cette

divisibilité reste-t-elle acquise si n’est plus un nombre premier ?

Question 316 [1] Calculer le nombre de tous les diviseurs d’un entier enfonction des nombres premiers et des exposants qui interviennent dans la dé-composition de cet entier.

Question 317 [1] Calculer la somme de tous les diviseurs d’un entier enfonction des nombres premiers et des exposants qui interviennent dans la dé-composition de cet entier.

Question 318 [1] Combien le nombre 825 possède-t-il de diviseurs ?

Question 319 [1] Cherchez tous les diviseurs de 24 à la main.

Question 320 [1] Combien 560 possède-t-il de diviseurs dans N ? Et combienpossède-t-il de diviseurs impairs ? La classe de 560 est-elle inversible dansZ15Z ?

Question 321 [1](Oral du CAPES externe 2006) Soit un nombre premiersupérieur à 5. Est-ce que divise

P=0 (+ )

2 ?

Question 322 [1] Peut-on dire que, pour tout 2 N, l’entier 2++41 estun nombre premier ?

Question 323 [1] Dans un anneau principal, on note ^ et _ les pgcdet ppcm de et . Montrer les formules de distributivité :

(1) _ ( ^ ) = ( _ ) ^ ( _ )(2) ^ ( _ ) = ( ^ ) _ ( ^ )

Question 324 [1] On se propose de déterminer les solution entières nontriviales (c’est-à-dire telles que 6= 0) de l’équation de Pythagore () :2 + 2 = 2.a) Montrer que l’on peut ramener la recherche des solutions de () à celle

des solutions telles que pgcd ( ) = 1.b) Dans cette question , , sont des solutions entières de () telles que

6= 0 et pgcd ( ) = 1. Montrer que et sont de parité di¤érente. Ensupposant pair et impair, déterminer toutes les solutions de () dans cecas particulier.c) Conclure dans le cas général.

5.4. CONGRUENCES, ANNEAUX ZZ 51

5.4 Congruences, anneaux ZZ

Question 325 [1] Dé…nissez la relation de congruence entre deux entiers rela-tifs. Que pouvez-vous dire sur cette relation ? Donnez deux dé…nitions possiblesde l’écriture ´ (), et démontrez l’équivalence de ces dé…nitions.Question 326 [1] En terminale, on introduit la notion « avoir le mêmereste » dans une division euclidienne. Pouvez-vous donner une CNS pour quedeux entiers et aient le même reste dans la division par ? Démontrez-là.

Question 327 [1] Soit 2 N. Montrer que les lois + et £ de Z sont compa-tibles avec la relation de congruence modulo .

Question 328 [1] Montrer que l’on peut dé…nir, de façon canonique, des lois+ et £ dans l’ensemble-quotient ZZ.Question 329 [1] Soit 2 Nn f0 1g. Soit un élément de ZZ. Donnerune CNS pour que

soit inversible dans ZZ.

Question 330 [1] Soit 2 Nn f0 1g. Quels sont les générateurs du groupe(ZZ+) ?

Question 331 [1] Soit 2 Nn f0 1g. Soit un élément de ZZ. Montrerque les propriétés suivantes sont équivalentes :i)

est inversible,

ii) pgcd ( ) = 1,iii)

est un générateur de (ZZ+)

Question 332 [1] Soit 2 Nn f0 1g. Montrer que les trois propriétés sui-vantes sont équivalentes :i) est premier,ii) ZZ est un corps,iii) ZZ est intègre.

Question 333 {[1] Montrer que tout anneau intègre …ni est un corps.

Question 334 [1] L’anneau Z7Z est-il intègre ? Et Z10Z ? Prouvez ce quevous a¢rmez.

Question 335 [1] Enoncez le théorème des restes chinois. Démontrez-le.

Question 336 [1] On suppose que et sont deux entiers naturels supérieursou égaux à 2, tels que ZZ£ZZ soit isomorphe à ZZ. Démontrer que et sont premiers entre eux.


Question 337 [1] Dé…nissez la fonction indicatrice d’Euler . Si 2 N¤,donnez une expression explicite de () en fonction des nombres premierset des exposants qui interviennent dans la décomposition de en produit defacteurs premiers. Démontrez cette formule.

Question 338 [1] Calculez (8). Que peut-on en déduire sur Z8Z ?

Question 339 [1] Soit 2 Nn f0 1g. On note la fonction indicatrice d’Eu-ler. Démontrer que

()=1 quel que soit l’élément

inversible de ZZ.

Question 340 [1] Si est premier, démontrez que ´ () pour tout entierrelatif (petit Théorème de Fermat). Pouvez-vous en déduire une expressionsimple de l’inverse d’un élément inversible

de ZZ ?

Question 341 [1] Montrer que 2¡4 ¡ 1¢ est divisible par 5 quel que soit

l’entier naturel .

Question 342 [1] Soit un nombre premier. Démontrer que les deux pro-priétés suivantes sont équivalentes :(1) ´ () quel que soit l’entier ,(2) ¡1 ´ 1 () quel que soit l’entier tel que ne divise pas .

Question 343 [1] Soit un entier dont la décomposition s’écrit = 1où 2 N¤ et où les sont des nombres premiers distincts entre eux deux àdeux. On suppose que ¡1 divise ¡1 quel que soit appartenant à f1 g.Montrer que : 8 2 Z ´ () Décomposer le nombre 561. Que peut-on conclure ?

Question 344 [1] Soit est un nombre premier supérieur à 3. Soit unentier qui n’est pas un multiple de . Pouvez-vous nous donner une expressionsimple de l’inverse de la classe

de dans ZZ ?

Question 345 [1] Soit un entier naturel supérieur ou égal à ¸ 2. Montrerque premier si et seulement si (¡ 1)! ´ ¡1 () (Théorème de Wilson).

Question 346 [1] Soit 2 N. Montrer que 10 est congru à 1 modulo 7 si etseulement si est multiple de 6.

Question 347 [1] Calculer l’ordre additif de la classe de 12 dans Z280Z.

5.4. CONGRUENCES, ANNEAUX ZZ 53

Question 348 [1] Soit : N¤ ! N¤ la fonction indicatrice d’Euler. On rap-pelle que (1) = 1, et que si est un entier naturel ¸ 2, () désigne lenombre de générateurs du groupe ZZ. Soient un entier naturel supérieurou égal à 2, et D() l’ensemble des diviseurs de . Si 2 D(), on note l’ensemble des éléments de ZZ d’ordre .a) Montrer que f 2 D()g est une partition de ZZ. (NB : on pourra

utiliser des résultats du cours concernant les sous-groupes de ZZ sans avoirà les redémontrer, mais on devra les énoncer très précisément.)b) En déduire que =

P2D() ().

Question 349 [1] On suppose que : N¤ ! N¤ est une fonction arithmétiquetelle que (1) = 1 et telle que l’on ait =

Pj () quel que soit 2 N¤.

Montrer que = où représente la fonction indicatrice d’Euler. (NB : ons’autorise ici à utiliser toutes les propriétés classiques du cours concernant sans avoir à les redémontrer.)

Question 350 [1] Pour tout entier , le nombre (+1)(2+1) est-il divisiblepar 3 ? Justi…ez.

Question 351 [1] Enoncez les critères de divisibilité par 2, 3, 4, 5 et 11.Démontrez le critère de divisibilité par 4, puis par 11.

Question 352 [1] Connaissez-vous un critère de divisibilité par 7 ?

Question 353 [1] Que veut-on dire en parlant de la "preuve par neuf de lamultiplication" ? S’agit-il réellement d’une preuve ? Justi…ez-là.

Question 354 [1] Résoudre le système de congruences :½ ´ 14 (17) ´ 3 (15)

Déterminer ensuite la plus petite solution positive de ce système.

Question 355 [1] Résoudre le système de congruences :½7 ´ 5 (19)4 ´ 1 (11)

Question 356 [1] Soient et deux entiers premiers entre eux. Soient et deux entiers tels que + = 1. Soit ( ) 2 Z2. Montrer que le système decongruences :

()

( ´ () ´ ()

admet la solution particulière 0 = + . Montrer que l’ensemble dessolutions de () est formé des entiers de la forme 0 + avec 2 Z.


Question 357 [1] Soit ( ) un triplet de Z3. Donner une méthode de ré-solution de l’équation diophantienne + = (Dans quels cas existe-t-il dessolutions entières , à cette équation ? Comment les obtenir toutes ?...)

Question 358 [1] Résoudre l’équation 233+ 79 = 1 en nombres entiers.

Question 359 [1] Trouver les sous-groupes de 6Z qui contiennent 2Z. Trou-ver les sous-groupes de 2Z qui contiennent 6Z.

Question 360 [1] Résoudre l’équation 21+ 14 = 17 dans Z£ Z.Question 361 Résoudre l’équation 7+ 5 = 2 dans Z£ Z.Question 362 [1] Soit un entier 1. Soit I l’ensemble des éléments in-versibles de l’anneau (ZZ+£). Montrer que (I£) est un groupe com-mutatif.

Question 363 [1] On note I10 le groupe multiplicatif des éléments inversiblesde l’anneau Z10Z. Sans justi…cation, énumérer, dans un tableau ayant deuxrangées, les éléments de I10 avec leurs ordres. Le groupe (I10£) est-il cy-clique ?

Question 364 [1] On note I12 le groupe multiplicatif des éléments inversiblesde l’anneau Z12Z. Sans justi…cation, énumérer, dans un tableau ayant deuxrangées, les éléments de I12 avec leurs ordres. Le groupe (I12£) est-il cy-clique ?

Question 365 [1] (Ecrit du BAC 1983, série C) Soit l’ensemble des entiersrelatifs véri…ant 2 ´ 2 (7) et l’ensemble des entiers relatifs véri…ant2 ´ 2 (49).a) Déterminer l’ensemble , puis montrer que est inclus dans .b) Trouver tous les entiers relatifs tels que 3 + 7 appartiennent à .c) Déterminer .

5.5 Corps des rationnels

Question 366 [1] Pouvez-vous indiquer les grandes lignes de la constructiondu corps Q des rationnels ?

Question 367 [1] Pouvez-vous nous expliquer la propriété universelle véri…éepar le corps Q des nombres rationnels ? Enoncez et démontrez cette propriétéfondamentale. Montrez ensuite que cette propriété universelle caractérise lecorps des fractions de Z.

5.5. CORPS DES RATIONNELS 55

Question 368 [1] Comment dé…nir la relation d’ordre · sur Q ? Véri…er quela relation d’ordre ainsi dé…nie généralise la relation d’ordre usuelle de Z.

Question 369 [1] Que veut-on dire quand on énonce que la relation · surQ est compatible avec l’addition et la multiplication dans Q ? Démontrez l’unede ces compatibilités.

Question 370 [1] Comment démontrer que le corps Q des rationnels n’estpas complet ? Indication : on pourra utiliser les suites ()2N¤ et ()2N¤dé…nies par :

= 1+1

1!+1

2!+ +

1

!et = +

1

!

Question 371 [1] Montrer que la partie = f 2 Q+ 2 · 2g n’admet pasde borne supérieure dans Q.

Question 372 [1] Est-il toujours possible de paver un rectangle avec des car-rés identiques ? Dans la négative, proposez une condition nécessaire et su¢-sante pour qu’il en soit ainsi.

Question 373 [1] Soit un entier relatif. Montrer que les deux quotients (+ 1) 2 et (+ 1) (2+ 1) 6 sont des entiers.

Question 374 [1] Montrer quep2 est irrationnel.

Question 375 [1] Soient et deux entiers naturels. Montrer que p est

irrationnel si et seulement si n’est pas la puissance -ième d’un entier.

Question 376 [1] Si est un nombre réel irrationnel, peut-on a¢rmer quepour tout nombre entier naturel non nul le réel est irrationnel ? Justi…er.

Question 377 [1] Montrer que si est un entier naturel,p est rationnel si

et seulement si est un carré parfait.

Question 378 [1] Montrer que tout nombre rationnel s’écrit de façon uniquesous la forme = avec ( ) 2 Z £ N¤ et pgcd ( ) = 1. Dans ce cas,démontrer la CNS suivante : = si, et seulement si, il existe 2 Z tel que( ) = ( ).

Question 379 [1] Démontrer que la somme de deux fractions irréductiblesdont les dénominateurs sont premiers entre eux ne peut pas être un entier,sauf dans un cas particulier que l’on précisera.


Question 380 [1] Montrer qu’un rationnel ( 2 Z et 2 N¤) écrit sousla forme d’une fraction irréductible est un décimal si et seulement si la décom-position en facteurs premiers de est de la forme 25 avec ( ) 2 N2.

Question 381 [1] Décrire et justi…er un algorithme permettant de montrerque tout nombre rationnel peut être arbitrairement approché par un nombredécimal.

Question 382 [1] Soient et deux entiers naturels, avec 6= 0. Com-ment utiliser la division euclidienne pour obtenir le développement décimal dunombre rationnel ?

Question 383 [1] En utilisant des divisions euclidiennes, démontrer que l’en-semble D des décimaux est dense dans Q.

Question 384 [1] Le corps Q des nombres rationnels est-il in…ni ? Est-il dé-nombrable ?

Question 385 [1] Soit un nombre réel positif. Montrer qu’il existe une etune seule suite ()2N d’entiers naturels telle que :

8 2 N 0 +110+ +

10· 0 + 1

10+ +

10+1

10

Montrer que 0 · · 9 pour tout 0. Que peut-on dire de plus ?

Question 386 [1] Tout nombre réel positif possède une écriture décimaleillimitée 0 1 où 0 2 N et 2 f0 9g pour tout 2 N¤. On dit quela suite décimale 0 1 est périodique s’il existe ¸ 1 et ¸ 1 telsque + = pour tout ¸ . Soit un nombre réel positif. Montrer que est rationnel si et seulement si son écriture décimale illimitée est périodique.

Question 387 [7] Calculer (p2p2)p2. Les implications suivantes sont-elles

vraie :(1) 2 Q ) 2 Q,(2) 2 Q ) () 2 Q ?

Chapitre 6

Algèbre linéaire

6.1 Généralités

Question 388 [2] Soit A une partie non vide d’un espace vectoriel . Com-ment dé…nissez-vous le sous-espace vectoriel de engendré par A ? Montrezque ce sous-espace est formé de toutes les combinaisons linéaires …nies d’élé-ments de A.

Question 389 [2] Soient et deux sous-espaces d’un espace vectoriel .Quand dit-on que et sont supplémentaires dans ? Proposez deux dé…-nitions, puis montrez qu’elles sont équivalentes.

Question 390 [2] On considère sous-espaces vectoriels 1, ..., d’unespace vectoriel . Quand dit-on que ces sous-espaces sont supplémentairesdans ? Proposez deux dé…nitions, puis montrez qu’elles sont équivalentes.

Question 391 [2] Peut-on dire que deux vecteurs ¡! et ¡! d’un espace vecto-riel sont colinéaires si, et seulement si, il existe un scalaire tel que ¡! = ¡! ?Expliquez.

Question 392 [2] Soit 2 N. Montrer que toute famille de vecteurs de car-dinal + 1 dont chacun des vecteurs s’exprime comme combinaison linéairede vecteurs donnés, est liée.

Question 393 [2] Quand dit-on qu’un espace vectoriel est de dimension …-nie ? Montrer que, dans un espace vectoriel de dimension …nie,a) toute famille génératrice admet une sous-famille génératrice …nie,b) toute famille libre est …nie et de cardinal inférieur à celui d’une famille

génératrice …nie quelconque de .

57

58 CHAPITRE 6. ALGÈBRE LINÉAIRE

Question 394 [2] Enoncez le Théorème de la base incomplète. Avez-vous uneidée sur la façon dont on le démontre ? (On ne demande pas de démonstrationcomplète, mais une piste pour démontrer ce résultat.)

Question 395 [2] Démontrer le Théorème de la dimension suivant lequeltoutes les bases d’un espace vectoriel de dimension …nie ont même cardinal.

Question 396 [2] Soit un entier naturel non nul. Soit F = (1 ) unefamille de vecteurs d’un espace vectoriel de dimension . Montrer que lespropriétés suivantes sont équivalentes :

i) F est libre,ii) F est génératrice,iii) F est une base de .

Question 397 [2] Soient un R-espace vectoriel, et (1 2 ) une basede . Peut-on trouver un vecteur non nul de l’espace tel que la famille(1 2 ) soit encore une base de ? Justi…er.

Question 398 [2] Soit¡! un espace vectoriel sur un corps commutatif .

Soit ¤ une partie non vide de¡! . Soient

¡! et

¡! deux sous-espaces vectoriels

de¡! . On note Vect (¤) le sous-espace vectoriel engendré par ¤. Expliciter les

ensembles suivants : Vect (¤), Vect(¡! [¡!) et Vect(¡! \¡!).

6.2 Applications linéaires

Question 399 [2] Qu’est-ce qu’une projection vectorielle ? Enoncez cinq pro-priétés concernant des projections vectorielles.

Question 400 [2] Qu’est-ce qu’une symétrie vectorielle ? Enoncez cinq pro-priétés concernant des symétries vectorielles.

Question 401 [2] Soient et deux sous-espaces vectoriels supplémentairesd’un espace vectoriel . Soit la projection sur parallèlement à . Montrerl’équivalence :

= () ,½ 2 ¡ 2

Question 402 [2] Soient et deux sous-espaces vectoriels supplémentairesd’un espace vectoriel . Soit la symétrie par rapport à , parallèlement à .Montrer l’équivalence :

= () ,½+ 2 ¡ 2

6.2. APPLICATIONS LINÉAIRES 59

Question 403 [2] Soit un espace vectoriel. Montrer qu’un endomorphisme est une projection si et seulement si 2 = .

Question 404 [2] Soit un espace vectoriel sur un corps de caractéris-tique di¤érente de 2. Montrer qu’un endomorphisme est une symétrie si, etseulement si, il est involutif.

Question 405 [2] Soient un entier naturel non nul, et un automorphismede l’espace vectoriel R. Montrer que R() = (R).

Question 406 [2] Soit : ! une application linéaire entre deux espacesvectoriels sur . On suppose que 0 est un sous-espace vectoriel supplémen-taire de Ker dans , soit = Ker ©0. Montrer que l’application :e : 0 ! ()

7! ()

est un isomorphisme de 0 sur ().

Question 407 [2] Soient et deux espaces vectoriels sur un corps com-mutatif . Soit 2 L( ). Montrer les équivalences suivantes :(1) surjective , 9 2 L() ± = .(2) injective , 9 2 L() ± = .

Question 408 [2] Soit un espace vectoriel. Soient et deux sous-espacesvectoriels supplémentaires dans , c’est-à-dire tels que = ©. Montrerque ' .

Question 409 [2] Soient un espace vectoriel de dimension …nie, et unsous-espace vectoriel de . Montrer que dim( ) = dim ¡ dim .

Question 410 [2] Soit : ! une application linéaire entre deux espacesvectoriels et sur le même corps . Montrer qu’il existe un unique iso-morphisme e : Ker! Im qui rende le diagramme suivant commutatif :

¡!

# " Ker

¡! Im

Dans ce diagramme, désigne la surjection canonique qui à 2 fait cor-respondre la classe de dans Ker, et représente l’injection canoniquede Im dans qui à 2 Im fait correspondre .


Question 411 [2] Démontrer le Théorème du rang : si : ! est une ap-plication linéaire entre deux espaces vectoriels et , et si est de dimension…nie, alors dim = dimKer + dim Im.

Question 412 [2] Si et sont deux sous-espaces vectoriels d’une espacevectoriel de dimension …nie, montrer que :

dim( +) = dim + dim¡ dim( \)

Question 413 [2] Soit : ! un endomorphisme d’un espace vectorielde dimension …nie . Montrer que les trois propriétés suivantes sont équiva-lentes :

i) est surjective,ii) est injective,iii) est bijective.

Question 414 [2] Montrer qu’un endomorphisme d’un espace vectoriel laisse stable toutes les droites vectorielles si et seulement si c’est une homo-thétie.

Question 415 [2] Soit un espace vectoriel. Montrer qu’un endomorphismede commute avec tous les endomorphismes de si et seulement si c’est unehomothétie. Quel est le centre du groupe linéaire GL() ?

Question 416 [2] Soit un endomorphisme du plan euclidien C des nombrescomplexes. Montrer qu’il existe un et un seul couple ( ) de nombres com-plexes tel que () = + pour tout 2 C.

Question 417 [2] Soit un endomorphisme de rang 1 d’un espace vectoriel .Démontrer qu’il existe un vecteur de et une forme linéaire 2 ¤ tels que() = () pour tout 2 .

Question 418 [2] Soit un espace vectoriel de dimension …nie sur un corpscommutatif . Soit un endomorphisme non nul de . Montrer qu’il est tou-jours possible d’écrire comme une combinaison linéaire d’endomorphismesde de rang 1.

6.3 Hyperplans

Question 419 [2] Soit un espace vectoriel (non nécessairement de dimen-sion …nie). Soit un sous-espace vectoriel de . Montrer que les propriétéssuivantes sont équivalentes :

6.4. DUALITÉ 61

(i) est le noyau d’une forme linéaire non nulle.(ii) Il existe une droite telle que = ©.

Comment appelle-t-on dans ce cas ? Si est de dimension …nie, quelle estla dimension de ?

Question 420 [2] Soit un espace vectoriel (non nécessairement de dimen-sion …nie). Soit un sous-espace vectoriel de . Montrer que les propriétéssuivantes sont équivalentes :(i) est le noyau d’une forme linéaire non nulle.(ii) dim = 1.

Question 421 [2] Soit un espace vectoriel sur le corps commutatif , nonnécessairement de dimension …nie. Si est un hyperplan de , montrer quepour tout vecteur n’appartenant pas à , on a = ©.

Question 422 [2] On considère un espace vectoriel . Montrer que deuxformes linéaires sur dé…nissent le même hyperplan si et seulement si ellessont proportionnelles. On proposera une solution lorsque est de dimensionquelconque, éventuellement in…nie, et une autre solution quand dim = 3.

Question 423 [2] Soit un espace vectoriel sur R de dimension 3 rapportéà une certaine base B = (1 2 3). On considère les formes linéaires et 0dé…nies par ( ) = + + et 0 ( ) = 0 + 0 + 0. Montrerque et 0 sont proportionnelles si et seulement si les suites ( ) et (0 0 0)le sont.

Question 424 [2] Soit un espace vectoriel. Montrer qu’un sous-espace vec-toriel de est un hyperplan si et seulement si c’est un sous-espace vectorielmaximal dans l’ensemble des sous-espaces vectoriels de distincts de .En déduire qu’un hyperplan d’un espace vectoriel normé est fermé ou partoutdense.

6.4 Dualité

Question 425 [2] Soit un hyperplan d’un espace vectoriel sur R, dedimension …nie .a) Que peut-on dire de l’orthogonal de pour la dualité ?b) Si et sont des hyperplans de dé…nis comme les noyaux de formes

linéaires et , en déduire l’équivalence :

= , et sont proportionnelles.


Question 426 [2] Dans un espace vectoriel de dimension …nie, on consi-dère hyperplans 1, ..., dé…nis comme les noyaux des formes linéairesnon nulles 1, ..., .a) Quelle est la dimension de l’intersection 1 \ \ ?b) Avez-vous une idée de la façon dont on peut démontrer cette formule ?

Question 427 [2] On considère +1 hyperplans 1,..., , d’un espacevectoriel de dimension (sur un corps commutatif ), dé…nis par desformes linéaires respectives 1, ..., , . Montrer que :

1 \ \ ½ , 9 2 = 11 + +

6.5 Matrices

Question 428 [2] Soit un entier naturel supérieur ou égal à 2, et soient et deux matrices carrées à lignes et colonnes et à coe¢cients réels.Peut-on a¢rmer que (+)2 = 2 + 2 + 2 ? Justi…ez votre réponsecomplètement.

Question 429 [2] Quelle forme agréable prend la matrice d’une projectionvectorielle lorsqu’on se place dans une base « adaptée » ? Même question avecune symétrie, une a¢nité, une transvection, une homothétie.

Question 430 [2] Ecrire les « formules de changement de bases » dans unespace vectoriel de dimension …nie . Rappeler la formule de changement debases pour une matrice d’application linéaire, puis pour une matrice de formebilinéaire symétrique.

Question 431 [2] Rang d’une matrice et de sa transposée.Soit une matrice -lignes, -colonnes à coe¢cients réels. On suppose queest de rang . Montrer que est équivalente à la matrice :

=

Ã ¡¡ ¡¡

!

où désigne la matrice unité de taille et où désigne la matrice nullede taille £ . En déduire la formule rg = rg .

Question 432 [2] Soit = () une matrice carrée de taille à coe¢cientsdans R. On suppose que est strictement triangulaire supérieure, autrementdit que = 0 dès que ¸ . Démontrer que est nilpotente d’indice inférieurou égal à .

6.6. DÉTERMINANTS 63

Question 433 [2] Soit l’ensemble des matrices carrées triangulaires supé-rieures de taille ( ¸ 1), à coe¢cients dans un corps commutatif , et dontles termes situés sur la diagonale principale sont tous égaux à 1.a) Montrer que est un groupe multiplicatif.b) Déterminer le centre () du groupe , c’est-à-dire le sous-groupe de

formé par les matrices de qui commutent avec tous les éléments de .

6.6 Déterminants

Question 434 [2] Soit un espace vectoriel de dimension …nie . Donnerune dé…nition du déterminant de vecteurs de dans une base de .

Question 435 [2] Soit un espace vectoriel de dimension 3 sur R. Soit ¤l’espace vectoriel des formes 3-linéaires alternées sur l’espace . Montrer quedim¤ = 1. Rappeler la dé…nition du déterminant d’un triplet de vecteurs de dans une base B = (¡! ¡! ¡! ) de .Question 436 [2] Soit un espace vectoriel de dimension …nie sur uncorps commutatif ( ¸ 1). Soit un endomorphisme de . Montrer qu’ilexiste un unique nombre 2 tel que pour toute base = (1 ) de et tout (1 ) 2 on ait det((1) ()) = det(1 ).Comment s’appelle ? Donner une expression de en fonction de la matricede dans une base .

Question 437 [2] Pouvez-vous énoncer une CNS de colinéarité de deux vec-teurs ¡! (1 ) et ¡! (1 ) de R utilisant des déterminants 2£ 2 ?Proposez une preuve.

Question 438 [2] Calculer le déterminant de Vandermonde ¢ (1 )associé aux complexes 1, ..., . On rappelle que :

¢ (1 ) =

¯̄̄̄¯̄̄̄¯1 1

21 ¢ ¢ ¢ ¡11

1 2 22 ¢ ¢ ¢ ¡12

.........

...1

2 ¢ ¢ ¢ ¡1

¯̄̄̄¯̄̄̄¯

Question 439 [2] Soit M l’algèbre des matrices carrées de taille à coef-…cients réels. Pour tout élément = () de M la trace Tr () de estdé…nie par Tr () =

P=1 . Soit S l’ensemble des matrices deM de trace

nulle. Prouver que S est un espace vectoriel et déterminer sa dimension.Question 440 [2] On rappelle que la trace d’une matrice carrée est égale à lasomme de tous ses coe¢cients situés sur la diagonale principale. Soient deuxmatrices carrées = () et = (). Montrer que Tr () = Tr ().


6.7 Systèmes linéaires

Question 441 [2] Quelle erreur doit-on éviter à tout prix quand on résoutun système linéaire ? (resp. un système d’équations ?)

Question 442 [2] Quelle est l’intérêt de la méthode de Gauss de résolutiond’un système linéaire ?

Question 443 [2] (Oral du CAPES interne 2006) Quelle dé…nition d’un sys-tème feriez-vous écrire dans le cahier de vos élèves de troisième ?

Question 444 [2] (Oral du CAPES interne 2006) Comment répondriez-vousà un élève s’il vous demande combien de solutions possède un système (autreque graphiquement) ?

Question 445 [2] (Oral du CAPES interne 2006) Quelle est l’importance dela véri…cation en troisième ? Est-elle aussi importante qu’à un niveau supérieuret pourquoi ?

Question 446 [2] (Oral du CAPES interne 2006) Quelles sont les di¤érentesméthodes de résolution d’un système linéaire de deux équations du premierdegré à deux inconnues ?

Question 447 [2] Résoudre le système linéaire :(+ =

0+ 0 = 0

dans le cas général où , , , 0, 0, 0 sont des réels donnés, sans utiliser sesconnaissances sur les équations de droites, les déterminants et les systèmes deCramer. Retrouver ainsi les formules de Cramer.

Question 448 [2] Quel type de raisonnement fait-on quand on désire démon-trer à un élève du secondaire que le système :(

5+ 10 = 7

3+ 6 = 4

n’admet pas de solution ? Expliquer cela très précisément.

Question 449 [2] (Oral du CAPES interne 2006)a) Résoudre le système : (

+ 5 + = 12

2+ 2 ¡ 3 = 5b) Au lycée, quand est-on amené à résoudre des systèmes de ce type ?

6.8. RÉDUCTION D’ENDOMORPHISMES 65

Question 450 [2] A l’oral du CAPES interne 2004, un candidat propose l’ac-tivité suivante pour une classe de troisième : « Une basse-cour n’abrite quedes lapins et des oies, au total 27 animaux et 90 pattes. Quel est le nombre delapins et d’oies ? ». On trouve = 18 et = 9.a) Si un élève dit : « Sachant qu’un lapin a deux fois plus de pattes qu’une

oie, je partage le nombre d’animaux en 3 et je trouve 18 lapins et 9 oies »,que lui répondrez-vous ?b) Comment démontrer que l’élève a tort ?

Question 451 [2] On considère un système linéaire = où = ()est une matrice carrée inversible de taille , = (1 ) est l’inconnueet où = (1 ) est donné. Montrez que ce système admet une uniquesolution, puis démontrez les formules de Cramer.

6.8 Réduction d’endomorphismes

Question 452 [2] Soient un espace vectoriel de dimension …nie , et unendomorphisme de . On dé…nit le polynôme caractéristique de de la façonsuivante : "Etant donnée une base = (1 ) de , si désigne la matricede dans cette base, le polynôme caractéristique de est, par dé…nition, lepolynôme () = det ( ¡)". Cette dé…nition a-t-elle un sens ?Question 453 [2] Montrer que le polynôme caractéristique d’une matrice car-rée de taille est () = (¡1) + (¡1)¡1Tr () ¡1 + + detoù Tr () désigne la trace de , et det son déterminant.

Question 454 [2] Donnez une CNS pour qu’un endomorphisme soit diago-nalisable.

Question 455 [2] Donnez une CNS pour qu’un endomorphisme soit trigona-lisable.

Question 456 [2] Donner au moins quatre CNS pour qu’un endomorphismesoit diagonalisable [Ind. : penser aux bases, à sa matrice, à son polynômecaractéristique et aux dimensions des sous-espaces propres, à des polynômescindé à racines simples ou au polynôme minimal scindé à racines simples.]

Question 457 [2] Soient un espace vectoriel de dimension …nie sur uncorps commutatif , et un endomorphisme de .

a) Soit 2 []. On suppose que = 1 où les polynômes sont premiers entre eux deux à deux. Montrer que les sous-espaces Ker()et Ker() sont stables par , puis que l’on a la somme directe :


Ker() = Ker1()© ©Ker()b) On suppose que le polynôme caractéristique de est scindé sur .

Qu’appelle-t-on sous-espace caractéristique (ou sous-espace propre généralisé)de ? Montrer que est somme directe de ces sous-espaces caractéristiques.

c) Montrer qu’un endomorphisme est diagonalisable sur si, et seulementsi, il annule un polynôme scindé sur dont toutes les racines sont simples.

Question 458 [2] Enoncez le Théorème de Cayley-Hamilton. Pouvez-vous ledémontrer ? [L’examinateur donne des indications]

Question 459 [2] a) Montrer que toute matrice triangulaire supérieure dontla diagonale principale est nulle est nilpotente.b) En déduire que toute matrice dont le polynôme caractéristique est

scindé s’écrit sous la forme = + où est diagonalisable et nilpotente.

Question 460 [2] Soient un espace vectoriel de dimension …nie sur C, et un endomorphisme de tel que = pour un certain 2 N¤. Montrerque est diagonalisable. Comment sont les valeurs propres de .

Question 461 [2] On considère une matrice de Jordan de taille :

=

0BBBB@1 0 ¢ ¢ ¢ 0

0 2. . .

....... . . . . . 0

0 ¢ ¢ ¢ 0

1CCCCAoù chaque bloc carré placé sur la diagonale principale de est une cellulede Jordan. On note la matrice diagonale obtenue à partir de en annulanttous les coe¢cients situés en dehors de la diagonale principale. On dé…nit lamatrice triangulaire supérieure = ¡ . Montrer que = et endéduire une expression de lorsque 2 N.

Chapitre 7

Rudiments de topologie

7.1 Généralités

Question 462 [7] Qu’est-ce qu’une topologie ? Un espace topologique ?

Question 463 [7] Comment dé…nissez-vous un ouvert d’un espace topolo-gique ? Un ouvert de R ?

Question 464 [7] Qu’est-ce qu’un fermé d’un espace topologique ?

Question 465 [7] Soit une partie d’un espace topologique . Rappeler briè-vement les dé…nitions de l’intérieur de , de l’adhérence de , de la frontièrede et de l’extérieur de .

Question 466 [7] Qu’appelle-t-on valeur d’adhérence d’une suite ?

Question 467 [7] Soit une partie non vide d’un espace topologique . Mon-trer que l’adhérence de est réunion disjointe de l’ensemble des pointsd’accumulation de et des points isolés de , ce qu’on pourra écrire :

= Acc ()GIsol ()

Question 468 [7] Démontrer qu’une partie de R est un intervalle si, etseulement si, pour tout 2 , avec · , l’intervalle [ ] est inclus dans .

7.2 Espaces métriques

Question 469 [3] Dans un espace métrique, montrer que toute intersectionde deux boules ouvertes peut toujours s’écrire comme une réunion de boulesouvertes. A quoi sert cette propriété ?

67

68 CHAPITRE 7. RUDIMENTS DE TOPOLOGIE

7.3 Espaces vectoriels normés

Question 470 [3] On considère deux normes k k1 et k k2 sur un espace vec-toriel . Quand dit-on que ces normes sont équivalentes ? Montrer que deuxnormes sont équivalentes si et seulement si elles sont topologiquement équiva-lentes.

Question 471 [3] Montrer que les trois normes usuelles k k1, k k2, k k1 surR sont équivalentes.

Question 472 [3] Donner un exemple de norme sur R autre que l’une destrois normes usuelles k k1, k k2 et k k1.

Question 473 [3] Que peut-on dire des normes d’un espace vectoriel de di-mension …nie ? (On ne demande pas de démontrer quoi que ce soit.)

Question 474 [3] Montrer que toute application linéaire de R dans unespace vectoriel normé est continue.

7.4 Compacité

Question 475 [7] Quand dit-on qu’un espace topologique est compact ?

Question 476 [7] Montrer qu’une partie compacte d’un espace topologique est toujours fermée.

Question 477 [7] Montrer qu’un fermé inclus dans un compact est compact.

Question 478 [7] Montrez que l’image d’un compact par une applicationcontinue est un compact.

Question 479 [7] Montrer qu’un produit …ni de compacts est un compact.

Question 480 [7] Proposer deux dé…nitions équivalentes d’un compact d’unespace métrique. On ne demande pas de démonstration.

Question 481 [7] Proposer trois dé…nitions équivalentes d’un compact de R.On ne demande pas de démonstration.

7.5. CONNEXITÉ 69

7.5 Connexité

Question 482 [7] a) Quand dit-on qu’un espace topologique est connexe ?Donner sans démonstration trois dé…nitions équivalentes.b) Démontrer qu’un espace topologique est connexe si et seulement si touteapplication continue de dans l’ensemble discret f0 1g est constante. Endéduire que l’image d’un connexe par une application continue est connexe.

Question 483 [7] Montrer qu’une réunion de connexes d’intersection nonvide est un connexe.

Question 484 [7] a) Soit un espace topologique séparé. Soit une partiede . On note l’adhérence de . Soient et deux applications continuesde dans telles que :

8 2 () = ()

Montrer que et coïncident sur en entier. On donnera une preuve dans lecas général où est un espace topologique, puis une alternative à cette preuvelorsque est un espace métrique.

b) Si désigne une partie connexe d’un espace topologique séparé , etsi est une partie de telle que ½ ½ , montrer que est connexe.En déduire que l’adhérence d’un connexe est un connexe.

Question 485 [7] a) Soit un espace métrique. Quand dit-on que estconnexe par arcs ? Quand dit-on que est convexe ?b) Si 2 N¤, montrer que tout convexe de R est connexe par arcs.c) Si 2 N¤, montrer que R est connexe par arcs.

Question 486 [7] (Théorème de passage des douanes)Si est une partie d’un espace topologique , d’intérieur

, d’extérieur

²

et de frontière , montrer que tout chemin continu de dont les extrémi-tés appartiennent l’une à l’intérieur de , l’autre à l’extérieur de , coupenécessairement la frontière en au moins un point.

70 CHAPITRE 7. RUDIMENTS DE TOPOLOGIE

Chapitre 8

Formes bilinéairessymétriques

8.1 Généralités

Question 487 [3] Soit un espace vectoriel de dimension …nie ¸ 1. SoitL2 (resp. S2, A2) l’espace des formes bilinéaires (resp. bilinéaires symétriques,bilinéaires antisymétriques) sur . Montrer que L2 = S2 ©A2.

Question 488 [3] Soit un espace vectoriel de dimension …nie ¸ 1. Dé-terminez la dimension de l’espace des formes bilinéaires symétriques sur .

Question 489 [3] Qu’est-ce qu’une forme bilinéaire symétrique positive ? né-gative ?

Question 490 [3] Quand dit-on qu’une forme bilinéaire symétrique est dé…-nie ?

Question 491 est une forme bilinéaire symétrique dé…nie sur un espacevectoriel de dimension …nie. Qu’appelle-t-on le noyau de ? Le rang de ?

Question 492 [3] Quand dit-on qu’une forme bilinéaire symétrique est nondégénérée ? [Questions enchaînées possibles : a) proposez au moins deux, troisou quatre dé…nitions di¤érentes lorsque l’espace vectoriel dans lequel on seplace est de dimension …nie ; b) démontrez l’équivalence entre ces dé…nitions.]

Question 493 [3] Ecrire l’inégalité de Cauchy-Schwarz véri…ée par n’importequelle forme bilinéaire symétrique positive sur un espace vectoriel . Proposezune preuve de cette inégalité.

71

72 CHAPITRE 8. FORMES BILINÉAIRES SYMÉTRIQUES

Question 494 [3] Ecrire l’inégalité de Minkowski véri…ée par n’importe quelleforme bilinéaire symétrique positive sur un espace vectoriel . Démontrez-la.

Question 495 [3] Montrer qu’une forme bilinéaire symétrique dé…nie est afortiori non dégénérée, mais que la réciproque n’est pas vraie.

Question 496 [3] On suppose que est une forme bilinéaire symétrique po-sitive. Démontrer que est dé…nie si et seulement si elle est non dégénérée.

Question 497 [3] Soient et deux sous-espaces d’un espace vectoriel de dimension …nie sur R. Soit une forme bilinéaire symétrique. L’orthogonald’un sous-espace est dé…ni par rapport à . Montrer l’inclusion ½ ¡?¢?et l’implication : ( ½ ) ? ½ ?).Question 498 [3] Soient et deux sous-espaces d’un espace vectoriel de dimension …nie sur R. Soit une forme bilinéaire symétrique. L’orthogo-nal d’un sous-espace vectoriel est dé…ni par rapport à la forme bilinéaire .Montrer l’égalité ( +)? = ? \?.Question 499 [3] Soient et deux sous-espaces d’un espace vectoriel de dimension …nie sur R. Soit une forme bilinéaire symétrique. L’orthogo-nal d’un sous-espace vectoriel est dé…ni par rapport à la forme bilinéaire .Montrer l’inclusion ? +? ½ ( \)?.Question 500 [3] Soient un espace vectoriel de dimension …nie sur R, et une forme bilinéaire symétrique sur . Montrer qu’il existe toujours au moinsune base orthogonale de pour .

Question 501 [3] Soit une forme bilinéaire symétrique non dégénérée surun espace vectoriel de dimension …nie sur R. On considère deux sous-espacesvectoriels et de . Montrer que dim? = ¡ dim . En déduire leségalités

¡?¢?= et ( \)? = ? +?.

Question 502 [3] Soit la forme bilinéaire de R3 £R3 dans R dé…nie pour = (1 2 3) et = (1 2 3), par ( ) = 211¡23+412+21+333. Calculer la matrice de dans la base canonique de R3.

Question 503 [3] Soit une forme bilinéaire symétrique sur un R-espacevectoriel . A la question : « quand dit-on que est positive », un candidatrépond : « quand ( ) ¸ 0 pour tout , appartenant à ». Cela est-il vrai ? Si vous pensez que cette a¢rmation est fausse, il faudra dire ce quevous auriez répondu, et démontrer que le candidat n’a pas énoncé une propriétééquivalente à la vôtre.

8.2. FORMES QUADRATIQUES 73

8.2 Formes quadratiques

Question 504 [3] Soit une forme quadratique sur un espace vectoriel dedimension …nie.a) Qu’appelle-t-on noyau de ? On notera Ker ce noyau.b) Montrer l’inclusion Ker ½ ¡1 (f0g), puis démontrer que cette inclusion

n’est en général pas une égalité.

Question 505 [3] Dans R3, on considère la forme quadratique : () = 321 ¡ 422

où = (1 2 3). Déterminer ¡1 (f0g) et le noyau de . Représenter cesensembles sur un dessin perspectif.

Question 506 [3] Soit la forme quadratique ( ) = 22 ¡ + 2.Déterminer de deux façons di¤érentes une base -orthogonale de R3. En dé-duire la nature géométrique des surfaces § et §0 de R3 d’équations respectives22 ¡ + 2 = 0 et 22 ¡ + 2 = 1.

Question 507 [3] On demande d’appliquer la méthode de Gauss pour décom-poser la forme quadratique () = 21+5

22 ¡ 423+212 ¡ 413 dé…nie sur

R3. Préciser la base -orthogonale obtenue et la signature de . Que dire deplus ?

Question 508 [3] On demande d’appliquer la méthode de Gauss pour décom-poser la forme quadratique () = 12+23+213+234 dé…nie sur R4.Préciser la base -orthogonale obtenue et la signature de . Que dire de plus ?

Question 509 [3] Au cours d’un examen écrit, il est demandé de chercher lasignature de la forme quadratique ( ) = 2 + 2 + 32 + dé…niesur R4. Sur une copie …gurent des calculs justes qui aboutissent à :

= 2 + 2 + 2 + 22 + = (+ )2 + 22 +1

4(+ )2 ¡ 1

4(¡ )2

et l’on peut lire la conclusion suivante : "La signature est (3 1) donc estnon dégénérée". Cette conclusion est-elle juste ? Expliquez et, s’il y a erreur,proposez une correction.

Question 510 [3] Soit une forme quadratique dé…nie positive sur R. Mon-trer qu’il existe un réel strictement positif tel que :

8 2 R () ¸ kk2 Que peut-on dire si est dé…nie négative ?

74 CHAPITRE 8. FORMES BILINÉAIRES SYMÉTRIQUES

Question 511 [3] On considère une fonction de classe 2 dé…nie sur Ret à valeurs dans R.a) Si admet un extrémum relatif en = (1 ), démontrer que :

1() = =

() = 0

b) Qu’appelle-t-on point critique de ?

c) Soit un point critique de . Qu’appelle-t-on hessienne de en ?Ecrire la formule de Taylor-Young à l’ordre 2 de en . On note la formequadratique de matrice la hessienne de en . Démontrer que :- Si dé…nie positive, alors admet un minimum local strict en ,- Si dé…nie négative, alors admet un maximum local strict en ,- Si n’est ni positive ni négative, n’admet pas d’extrémum local en .

d) Cas particulier où = 2 – Utiliser le résultat démontré en c) pour rap-peler et démontrer la règle qui permet de déterminer la nature d’un point cri-tique = (1 2) d’une fonction de deux variables en utilisant les nombres :

=2

2() ; =

2

() et =

2

2()

Question 512 [3] Connaissez-vous une CNS pour que la matrice réelle sy-métrique :

=

µ

¶soit dé…nie positive ? Dans l’a¢rmative, démontrez-là.

Chapitre 9

Espaces vectoriels euclidiens

9.1 Généralités

Question 513 [3] Comment dé…nit-on un produit scalaire ? Existe-t-il desproduits scalaires ?

Question 514 [3] (Oral du CAPES 2012) On sait que l’on peut dé…nir le pro-duit scalaire en utilisant des normes, des cosinus, ou des projetés orthogonaux.Démontrer l’équivalence entre ces trois dé…nitions.

Question 515 [3] (Oral du CAPES 2012) Démontrer les formules qui donnentles développements de cos (§ ) et sin (§ ) en utilisant uniquement des ou-tils de lycée.

Question 516 [3] Dé…nir ce qu’est un espace vectoriel euclidien.

Question 517 [3] Qu’appelle-t-on espace préhilbertien réel ? Comment dé…nit-on un espace de Hilbert réel ?

Question 518 [3] et sont deux sous-espaces vectoriels d’un espace vec-toriel euclidien . A quoi est égal ( \)? ? ( +)? ? Que peut-on dire de( [)? ? On expliquera ses réponses sans pour autant tout démontrer préci-sément : on s’autorisera par exemple à utiliser des résultats connus concernantles formes bilinéaires symétriques.

Question 519 [3] Soit un espace euclidien. Rappeler sans démonstrationl’inégalité de Cauchy-Schwarz. Enoncer et démontrer une CNS pour que l’onait l’égalité dans l’inégalité de Cauchy-Schwarz.

75

76 CHAPITRE 9. ESPACES VECTORIELS EUCLIDIENS

Question 520 [3] Soit un espace euclidien. Rappeler sans démonstrationl’inégalité de Minkowski. Enoncer et démontrer une CNS pour que l’on aitl’égalité dans l’inégalité de Minkowski.

Question 521 [3] Soit un espace vectoriel euclidien. Ecrire de deux fa-çons di¤érentes le produit scalaire de deux vecteurs en n’utilisant que desnormes.

Question 522 [3] Qu’appelle-t-on "identité du parallélogramme" dans un es-pace vectoriel euclidien ? Ecrivez-la et démontrez-la.

Question 523 [3] Soit un espace vectoriel euclidien. Enoncez et démontrezle Théorème de Pythagore.

Question 524 [3] Soit : £ ! un produit scalaire sur un espacevectoriel de dimension …nie. Soit ¤ le dual de . Montrer de deux façonsdi¤érentes que l’application :

» : ! ¤

7! ( )

est un isomorphisme d’espaces vectoriels. Quelle est l’image d’une base ortho-normale de par

» ?

Question 525 [3] Si est un espace vectoriel euclidien, montrer qu’il existetoujours au moins une base orthonormale de .

Question 526 [3] Si un espace vectoriel euclidien, montrer que toute fa-mille orthonormale (1 ) peut être complétée en une base orthonormale.

Question 527 [3]Si est un sous-espace vectoriel d’un espace vectoriel eu-clidien , démontrer que = © ? et = (?)?.

Question 528 [3] Soient et deux sous-espaces d’un espace vectoriel eu-clidien . Quand dit-on que et sont orthogonaux ? perpendiculaires ? sup-plémentaires orthogonaux ?

Question 529 [3] Dans¡! , la relation d’orthogonalité est-elle une relation

d’équivalence ? Et celle de perpendicularité ?

Question 530 [3] Soit un espace vectoriel euclidien. Soit ¡! un vecteur nonnul de . Donnez l’expression du projeté orthogonal (

¡! ) d’un vecteur ¡!de sur la droite de vecteur directeur ¡! . Démontrez-la.

9.1. GÉNÉRALITÉS 77

Question 531 [3] Soit un espace vectoriel euclidien. Soient un sous-espace de , et (1 ) une base orthogonale de . Si 2 , exprimer leprojeté orthogonal () de sur en fonction de et des vecteurs de base .Même question avec l’image () de par la symétrie orthogonale de base .

Question 532 [3] Soient un espace vectoriel euclidien et ¦ la ré‡exionpar rapport à un plan ¦ de . Exprimez l’image ¦(

¡! ) d’un vecteur ¡! de en utilisant le produit scalaire et en faisant intervenir un vecteur ¡! orthogonalà ¦. Application : donnez l’expression analytique de la ré‡exion de R3 de basele plan d’équation 2+ ¡ 5 = 0.

Question 533 [3] Dans l’espace R3, on considère le plan vectoriel d’équa-tion ¡ 2+6 = 0. Trouver l’expression analytique de la projection orthogo-nale sur .

Question 534 [3] Dans R3, trouver l’expression analytique de la ré‡exion par rapport au plan vectoriel d’équation ¡ 2 + 6 = 0.

Question 535 [3] Dans R4 muni de sa base canonique B, on considère lesous-espace vectoriel d’équations :(

+ + + = 0

¡ + ¡ = 0

Déterminez une base de et une base de ?, puis expliquez comment pour pro-céderiez pour trouver les matrices dans la base B de la projection orthogonale sur et de la ré‡exion par rapport à .

Question 536 [3] Soient un sous-espace d’un espace vectoriel euclidien ,et 2 . Montrer que la distance de à est atteinte en un seul point de , et que ce point est le projeté orthogonal de sur .

Question 537 [3] Soit un espace vectoriel euclidien de dimension 3, rap-porté à une base orthonormale = (1 2 3). On considère le plan d’équa-tion 5¡ 8 + = 0. Trouver une base orthonormale de ce plan.

Question 538 [3] Dans l’espace vectoriel euclidien = R4, on considèrele sous-espace vectoriel engendré par les trois vecteurs 1 = (1 0 2¡3),2 = (2 1 0 4) et 3 = (0 0¡3 6). Expliquez très précisément la méthodeque vous emploieriez pour exhiber une base orthonormale de (les calculsexplicites ne sont pas demandés).


Question 539 [3] Soit un espace euclidien dont le produit scalaire est notéavec un point. Soit un endomorphisme de . Montrer qu’il existe un et unseul endomorphisme ¤ de tel que () = ¤ () pour tous 2 .

Question 540 [3] Soient un espace euclidien et un endomorphisme de .Montrer que la matrice de l’adjoint ¤ de dans une base orthonormale estégale à la transposée de la matrice de dans cette même base, autrement ditque Mat (¤; ) = Mat (; ).

Question 541 [3] Caractériser les formes linéaires dé…nies sur l’espace vec-toriel R. Montrer qu’une forme linéaire sur R peut toujours être dé…nie àl’aide d’un produit scalaire.

Question 542 [3] Déterminer tous les produits scalaires de R, c’est-à-diredé…nis sur R£R.

Question 543 [3] Déterminer tous les produits scalaires de R2, c’est-à-diredé…nis sur R2 £R2. Que peut-on dire matriciellement ?

9.2 Incursion dans les espaces a¢nes

Question 544 [3] Qu’est-ce qu’un angle droit ? Comment le dé…nir ?

Question 545 [3] Comment démontrer que les vecteurs ¡! et ¡! sont ortho-gonaux si et seulement si 0 + 0 = 0 ?

Question 546 [3] Connaissez-vous des di¤érences concernant certains résul-tats sur le parallélisme ou l’orthogonalité de deux droites suivant que l’on seplace dans le plan ou dans l’espace ? Existe-t-il des di¤érences ?

Question 547 [3] Il arrive que l’on dise que deux droites de l’espace sontperpendiculaires. A quel moment ? Expliquez.

Question 548 [3] Comment peut-on aider les élèves de sa classe à se re-présenter mentalement deux plans perpendiculaires ? Deux plans en positiongénérale (donc qui se coupent suivant une droite) ?

Question 549 [3] Démontrer que deux plans a¢nes non parallèles d’un es-pace de dimension 3 s’interceptent toujours suivant une droite. Peut-on géné-raliser ce résultat à un espace a¢ne de dimension ?

9.3. GROUPE ORTHOGONAL 79

Question 550 [3] Montrer qu’une bijection a¢ne conserve les rapports d’aires.Indication : considérer une bijection a¢ne d’un espace a¢ne euclidien dans lui-même, et un triangle , puis calculer le rapport A000Aentre l’aire A000 du triangle 000 image du triangle par , et l’aireA du triangle .

Question 551 [1] Pouvez-vous dé…nir ce qu’on entend par « système de co-ordonnées polaires d’un point » ? Quel rapport existe-t-il avec les dé…nitionsdu module et de l’argument d’un nombre complexe ? Les coordonnées polairesd’un point sont-elle uniques ? Si admet ( ) comme système de coordon-nées polaires, quels sont tous les autres couples

¡0 0¢qui méritent aussi le

nom de systèmes de coordonnées polaires de ?

9.3 Groupe orthogonal

Question 552 [3] Proposer quatre dé…nitions équivalentes d’une applicationorthogonale, et montrer que ces dé…nitions sont bien équivalentes.

Question 553 [3] Quand dit-on qu’une matrice est orthogonale ? Proposerdeux dé…nitions et montrer que ces dé…nitions sont équivalentes.

Question 554 [3] Soient et deux sous-espaces d’un espace vectoriel eu-clidien . On note et les symétries orthogonales par rapport à et .Déterminer complètement la composée ± lorsque et sont perpendi-culaires.

Question 555 [3] Soient et deux sous-espaces d’un espace vectoriel eu-clidien . On note et les symétries orthogonales par rapport à et .Déterminer complètement la composée ± lorsque et sont orthogo-naux.

Question 556 [3] Soit un espace vectoriel euclidien. Soient et deuxsous-espaces vectoriels supplémentaires de , et la symétrie par rapport à parallèlement à . Montrer que est une application orthogonale si et seule-ment si = ?.

Question 557 [3] Soit un espace vectoriel euclidien de dimension 3. Dé-crire toutes les applications orthogonales de telles que 2 = .

Question 558 [3] Soit un espace vectoriel euclidien de dimension ¸ 3.Etant donnés deux hyperplans et de , montrer qu’il est toujours possiblede construire un hyperplan perpendiculaire à et à .


Question 559 [3] Soit un espace vectoriel euclidien de dimension ¸2. Montrer qu’une application orthogonale de s’écrit toujours comme unproduit de ré‡exions1.

Question 560 [3] Soient et deux vecteurs non nuls de R. Montrer qu’ilexiste une ré‡exion hyperplane qui échange les vecteurs et si et seulementsi kk = kk, et que dans ce cas et en supposant 6= , est la ré‡exion parrapport à (R (¡ ))?.

Question 561 [3] Soient un espace vectoriel euclidien, un sous-espacevectoriel de , et la symétrie orthogonale par rapport à . Soit uneapplication orthogonale de .Montrer que = ± ± ¡1 est une symétrie orthogonale par rapport à unsous-espace vectoriel que l’on précisera.

Question 562 [3] Quelles sont les applications orthogonales du plan ? (Onne demande pas de démontrer quoi que ce soit.)

Question 563 [3] Rechercher toutes les applications orthogonales du plan.

Question 564 [3] Dans le plan vectoriel euclidien, soient et 0 deux vec-teurs non nuls et de même norme. Montrer qu’il existe une et une seule rota-tion (resp. ré‡exion) transformant en 0.

Question 565 [3] Une rotation vectorielle en dimension 2 est-elle diagonali-sable dans le plan euclidien ? Et une ré‡exion ?

Question 566 [3] Quelles sont les applications orthogonales de l’espace dedimension 3 ? (On ne demande pas de démontrer quoi que ce soit.)

Question 567 [3] Soit un espace vectoriel euclidien de dimension 3. Dres-ser rapidement le catalogue de toutes les applications orthogonales de , puisutiliser ce catalogue pour véri…er le Théorème de Cartan-Dieudonné dans lecas particulier où = 3.

1L’examinateur donnera beaucoup d’indications à l’oral pour guider le candidat sur cettequestion de cours concernant la démonstration du Théorème de Cartan-Dieudonné, et cesera l’occasion de voir comment celui-ci réagit aux indications proposées. On notera que l’onutilise au plus ré‡exions pour répondre à cette question. En prolongement, on pourraitdemander de déduire que, si ¸ 3, une application orthogonale positive de s’écrit commele produit de moins de retournements, mais cela demanderait à nouveau de guider lecandidat pas à pas.

9.4. ENDOMORPHISMES SYMÉTRIQUES 81

Question 568 [3] est un espace vectoriel euclidien orienté de dimension 3.Montrer que le déterminant d’un triplet (¡! ¡! ¡! ) de 3 est indépendant duchoix de la base orthonormale directe de utilisée pour le dé…nir, autrementdit, montrer que, pour toutes bases orthonormales directes B et B0 de ,

8(¡! ¡! ¡! ) 2 3 detB0(¡! ¡! ¡! ) = detB(¡! ¡! ¡! )

Question 569 [3] Soit une application orthogonale d’un espace euclidien de dimension (avec ¸ 2).a) Montrer que + ¤ est un endomorphisme symétrique.b) En déduire que possède au moins un sous-espace invariant de dimen-

sion 1 ou 2.c) Utiliser ce qui précède pour donner la forme générale des matrices des

applications orthogonales de .

9.4 Endomorphismes symétriques

Question 570 [3] Soient un endomorphisme symétrique d’un espace eucli-dien , et un sous-espace vectoriel de stable par . Montrer que ? eststable par .

Question 571 [3] Soit un endomorphisme symétrique d’un espace eucli-dien de dimension . Soit la matrice de dans une base orthonormalede .a) Montrer que toutes les valeurs propres de dans C sont réelles.b) Montrer qu’il existe une base orthonormale de formée de vecteurspropres de (on dit alors que est diagonalisable dans le groupe orthogo-nal).

Question 572 [3] Démontrer que toute matrice carrée réelle diagonale à co-e¢cients diagonaux strictement positifs est une matrice symétrique dé…niepositive.

9.5 Angles

Question 573 [3] Qu’est-ce qu’un angle ?

Question 574 [3] Pouvez-vous dé…nir très précisément ce que l’on entendquand on parle d’angles orientés ?

Question 575 [3] Comment dé…nissez-vous la mesure d’un angle orienté devecteurs ?


Question 576 [3] Pouvez-vous dé…nir très précisément ce que l’on entendquand on parle d’angle géométrique ?

Question 577 [3] Comment dé…nir la mesure d’un angle géométrique ?

Question 578 [3] Démontrez qu’une rotation vectorielle plane conserve lesangles orientés, tandis qu’une ré‡exion vectorielle les transforme en leurs op-posés.

Question 579 [3] Comment fait-on pour orienter un R-espace vectoriel dedimension …nie ? Dé…nir très précisément ce que l’on entend quand on parled’espace vectoriel orienté.

Question 580 [3] On se place dans un espace vectoriel orienté de dimen-sion 3. Comment faire pour orienter un plan dans cet espace ? Quand dit-onque les orientations d’une droite et d’un plan sont compatibles ?

Question 581 [3] Dans un plan a¢ne euclidien orienté P, quand dit-onqu’un triangle est direct ? On donnera une dé…nition précise et rigou-reuse. Si le triangle est direct, qu’en est-il des triangles et ?

Question 582 [3] Dé…nir rigoureusement ce que l’on entend quand on parlede secteur angulaire saillant. Et comment dé…nit-on un secteur angulaire ren-trant ?

Question 583 [3] Pour tous vecteurs non nuls et du plan euclidien orienté,démontrer les formules :

cos () =

kk kk et sin () =det ()

kk kk

où le déterminant est calculé dans une base orthonormale directe de .

Question 584 [3] Qu’entend-on par bissectrice d’un couple de demi-droites ?Proposez une dé…nition rigoureuse.

Question 585 [3] Qu’entend-on par bissectrice d’un couple de droites ? Pro-posez une dé…nition rigoureuse.

Question 586 [3] Montrer que (¡¡! ¡¡! ) = (¡! ¡! ) (2) quels que soientles vecteurs non nuls ¡! et ¡! .

Question 587 [3] Montrer que la somme des angles d’un triangle vaut unangle plat.

9.6. PRODUIT VECTORIEL 83

Question 588 [3] Si 1 et 2 sont deux droites du plan respectivement ortho-gonales à deux autres droites 01 et 02, montrer que (12) = (01 02) ().

Question 589 [3] Dans l’espace a¢ne euclidien de dimension 3 rapporté àun repère orthonormal (

¡! ¡! ), on considère les plans et 0 d’équations

respectives + + + = 0 et 0 + 0 + 0 + 0 = 0. Calculer unemesure de l’angle formé par les plans et 0 en fonction des coe¢cients deces équations.

9.6 Produit vectoriel

Question 590 [3] Proposez une dé…nition rigoureuse du produit vectoriel dedeux vecteurs, puis justi…ez que votre dé…nition a un sens. Connaissez-vousd’autres dé…nitions possibles ?

Question 591 [3] Proposez une expression de l’aire d’un triangle uti-lisant le produit vectoriel. Preuve.

Question 592 [3] Etant donné un triangle , on construit les symétriques0, 0, 0 respectifs des points , , par rapport aux points , , .Calculer l’aire du triangle 000 en fonction de celle du triangle .

Question 593 [3] Utilisez le produit vectoriel pour démontrer que le centrede gravité d’un triangle divise l’aire du triangle en trois aires égales,autrement dit véri…e (avec des notations évidentes) :

A = A = A = A3

Question 594 [3] (Oral du CAPES externe 2009) Calculer le volume d’untétraèdre dont les arêtes au sommet sont donnés par les vecteurs ¡! + ¡! ,¡! + ¡! , ¡! + ¡! en fonction du volume d’un tétraèdre dont les arêtes ausommet sont donnés par les vecteurs ¡! , ¡! , ¡! .


Chapitre 10

Géométrie a¢ne

10.1 Espaces a¢nes

Question 595 [8] Qu’est-ce qu’une droite ?

Question 596 {[4] Q4} Qu’est-ce qu’un espace a¢ne ? Si est un entiernaturel non nul, on sait que R est un espace vectoriel. Est-ce un espace a¢ne ?Expliquez.

Question 597 {[4] Q5} Rappelez la relation de Chasles pour des vecteurs.Démontrez-la.

Question 598 {[4] Q5} Que représente le symbole¡¡! quand et sont

deux points du plan ? Dé…nissez-le complètement.

Question 599 {[4] Q5} Démontrez la transitivité de la relation d’équipol-lence.

Question 600 {[4] Q9} Que peut-on dire de deux sous-espaces a¢nes ?

Question 601 {[4] Q11} Soient et deux sous-espaces a¢nes d’un espacea¢ne , passant par et de direction

¡! , passant par et de direction¡!

. Montrer que l’intersection \ n’est pas vide si et seulement si ¡¡! 2¡! +

¡! .

Question 602 {[6]} Dans l’espace de dimension trois, une droite n’est pasparallèle à un plan . Démontrer que \ est un singleton.

Question 603 {[4] Q15} Dans un espace de dimension trois, démontrer quedeux plans non parallèles se coupent toujours suivant une droite.

85

86 CHAPITRE 10. GÉOMÉTRIE AFFINE

Question 604 [6] Si deux points distincts et appartiennent à un mêmeplan , expliquez pourquoi la droite entière () est incluse dans ce plan.

Question 605 [6] Si deux plans sont parallèles, montrer que tout plan quicoupe l’un coupe l’autre, et que les droites d’intersection sont parallèles.

Question 606 [6] Pouvez-vous démontrer le « théorème du toit » suivantlequel : si deux plans strictement sécants sont parallèles à une même droite ¢,alors leur droite d’intersection est parallèle à ¢.

Question 607 [6] Dans une espace de dimension 3, peut-on dire que deuxdroites sont strictement parallèles si et seulement si elles ne se coupent pas ?

Question 608 [6] On se place dans un espace a¢ne de dimension 3. Com-ment faire pour obtenir une équation cartésienne d’un plan ?

Question 609 [6] On travaille dans un espace a¢ne de dimension trois.Comment peut-on prévoir rapidement la position relative de deux plans et 0

en regardant uniquement les coe¢cients de leurs équations cartésiennes ?

Question 610 [6] Qu’appelle-t-on « équations cartésiennes » d’une droitedans un espace de dimension 3? [On remarquera que le pluriel dans « équa-tions cartésiennes » ne s’entend pas à l’oral !]

Question 611 [6] Toutes les équations de plans a¢nes dans R3 sont-elles dela forme + + + = 0 avec ( ) 6= (0 0 0) ?Question 612 [6] Trouvez une condition nécessaire et su¢sante portant surles coordonnées de quatre points , , , de l’espace a¢ne R3 pour queces quatre points soient coplanaires. Justi…ez.

Question 613 [5] (Oral du CAPES externe 2010) On considère les plan et d’équations ¡ + 2 ¡ 1 = 0 et ¡2+ 4 ¡ 4 + 1 = 0.a) Montrer que ces plans se coupent suivant une droite dont on détermi-

nera une équation paramétrique.b) Donner un vecteur directeur de sans passer par sa représentation pa-

ramétrique.

Question 614 [6] Soient , , trois points distincts alignés sur une droite¢.On dit que est le conjugué harmonique de par rapport à et si le bi-rapport [ ] est égal à ¡1, autrement dit si :

:

= ¡1

Montrer qu’il existe un et un seul point qui véri…e cette condition, sauf si est placé à un endroit que l’on déterminera.

10.1. ESPACES AFFINES 87

Question 615 [6] On dé…nit le birapport de quatre points , , , alignéset distincts comme étant le réel :

[] =

:

Montrer que cette dé…nition a un sens.

Question 616 [6] On considère deux droites ¢ et données par leurs repré-sentations paramétriques :

¢ :

8><>: = 3+ 5

= 2 +

= 7¡ 6 2 R :

8><>: = 2 + 7

= 5 + 3

= 1¡ 4 2 R.

Déterminer le lieu des milieux des segments [ ] quand et décriventrespectivement ¢ et .

Question 617 [6] Dans l’espace de dimension 3, on considère deux droites ¢et non coplanaires. Pouvez-vous déterminer le lieu des milieux des segments[ ] quand et décrivent respectivement ¢ et ?

Question 618 [6] Dans l’espace de dimension 3, on considère un plan etune droite en position générale. Déterminer le lieu des milieux des segments[ ] quand et décrivent respectivement et . Que dire de ce lieu sil’on remplace par un plan ¦ non parallèle à ?

Question 619 [6] Montrer que les droites :

¢ :

8><>: = 1¡ = 2+ 2

= 1 +

2 R :

8><>: = ¡4 + = 4+ 2

= 2 +

2 R.

sont coplanaires.

Question 620 [6] Vous avez tendance à utiliser les termes « équations pa-ramétriques » au lieu de « représentation paramétrique » lorsque vous parlezd’une droite ou d’un plan. Quelle expression devrions-nous choisir en termi-nale ? Expliquer...

Question 621 [6] Pouvez-vous rapidement donner une équation du plan passant par les points (2 5 0), (0 1¡6) et (0 4 9) ?

Question 622 [6] Déterminez une équation cartésienne du plan passant par (5 8¡3), de direction Vect(¡! ¡! ) où ¡! (8 7 0) et ¡! (¡2 2 1).


Question 623 {[4] Q77} Démontrez que les ensembles dé…nis par les équa-tions paramétriques :½

= 3 + 2 = ¡1 + 5 et

½ = ¡3 + 14 = ¡16 + 35

sont les mêmes.

Question 624 {[4] Q79} Chercher des équations cartésiennes de la droited’équations paramétriques : 8<:

= 3 + 7 = 5 + 2 = 2¡ 8 ?

Question 625 {[4] Q80} Dans R3, comment passer des équations paramé-triques d’un plan à des équations cartésiennes ? Et inversement ?

Question 626 {[4] Q81} Comment obtenir une équation cartésienne du plana¢ne de R3 passant par 0 (0 0 0) et de direction le plan vectoriel engen-dré par les deux vecteurs ¡! ( ) et ¡! ¡0 0 0¢ ?Question 627 {[4] Q82} Déterminer une équation cartésienne du plan passant par le point (1 1 1) et contenant la droite d’équations :½

2+ 3 = 03+ 4 + 1 = 0

Question 628 [5]Dans un espace a¢ne euclidien de dimension 3, montrezque toute équation de la forme + + + = 0 avec ( ) 6= (0 0 0) estbien celle d’un plan.

Question 629 [5] On se place dans un espace a¢ne de dimension 3. Que diresi un même plan admet deux équations cartésiennes + + + = 0 et0+ 0 + 0 + 0 = 0 di¤érentes ? On démontrera ce que l’on a¢rmera.

Question 630 {[4] Q83} Soient et deux hyperplans a¢nes d’un espacea¢ne de dimension , dé…nis respectivement par les formes a¢nes et .Démontrer l’équivalence suivante : = , ( et sont proportion-nelles).

Question 631 {[4] Q84} Etant donnés deux plans a¢nes 1 et 2 d’équa-tions respectives () = + + + = 0 (1 · · 2) se coupantsuivant une droite , et un plan d’équation () = + + + = 0,montrer l’équivalence :

½ , 91 2 2 R = 11 + 22

10.2. BARYCENTRES 89

Question 632 {[4] Q87} Dans le plan a¢ne, on considère trois droites (1 · · 3) d’équations + + = 0. Montrer que ces droites sontconcourantes ou parallèles si et seulement si :¯̄̄̄

¯̄ 1 1 12 2 23 3 3

¯̄̄̄¯̄ = 0

Question 633 [6] On considère trois droites , 0, 00 d’équations respec-tives + + = 0, 0 + 0 + 0 = 0, et 00 + 00 + 00 = 0. On rappelleque trois droites sont dites concourantes au sens strict si leur intersection estun singleton.

a) Trouvez une condition nécessaire et su¢sante portant sur les coe¢-cients , , , 0, 0, 0, 00, 00, 00 pour que ces trois droites soient concourantesau sens strict. Montrer que cette condition exprime la nullité d’un déterminant3£ 3.b) En déduire une condition nécessaire et su¢sante pour que trois droites

soient concourantes ou parallèles.

10.2 Barycentres

Question 634 {[4] Q17} Dé…nissez le barycentre d’un système …ni de points.Pourquoi cette dé…nition a-t-elle un sens ?

Question 635 {[4] Q18} Dans un espace a¢ne sur R, on considère points1, ..., et réels 1, ..., . L’écriture =

P=1 a-t-elle un sens ?

Expliquez.

Question 636 {[4] Q21} Enoncer et montrer la propriété d’associativité dubarycentre.

Question 637 {[4] Q25} Soit A une partie non vide d’un espace a¢ne. Quelest l’ensemble des barycentres de points de A ? Preuve.

Question 638 {[4] Q26} Soient un espace a¢ne sur R, et , deuxpoints distincts de . Quel est l’ensemble des barycentres des points et ?Preuve.

Question 639 {[4] Q27} Soient un espace a¢ne sur R, et , , deuxpoints non alignés de . Quel est l’ensemble des barycentres des points , et ? Preuve.


Question 640 {[4] Q28} Donnez deux CNS pour qu’une partie non vide d’un espace a¢ne soit un sous-espace a¢ne.

Question 641 {[4] Q37} Soit 2 R. Déterminez l’ensemble E des points du plan tels que = .

Question 642 {[4] Q38} Soient trois points non alignés , , dans unplan, et quatre réels , , et . Déterminer le lieu des points du plan telsque 2 + 2 + 2 = .

Question 643 {[4] Q42} , , sont trois points non alignés de l’espace.Quel est le lieu des points tels que :

jj2¡¡!+ 5¡¡! + 7¡¡!jj = jj2¡¡!+ 5¡¡! ¡ 7¡¡!jj ?

Question 644 {[4] Q43} Soient et deux points distincts du plan, et le barycentre de (3), (), où 2 Rnf¡3g. Le point décrit-il toute ladroite () quand varie ? Existe-t-il un moyen d’obtenir toute la droite enutilisant un seul coe¢cient ?

Question 645 {[4] Q44} Une candidate écrit au tableau que appartient à() si et seulement si est le barycentre de () et de () avec et réels, + 6= 0. Question du jury : est-ce qu’on ne peut pas l’écrire mieux ?

Question 646 {[4] Q67} Qu’est-ce qu’un repère cartésien d’un espace a¢ne ?Qu’entend-on par coordonnées cartésiennes d’un point ?

Question 647 {[4] Q68} Donnez les formules de changement de repères af-…nes

Question 648 {[4] Q69} Quand dit-on qu’un système 0, ..., de + 1points d’un espace a¢ne est a¢nement libre ?

Question 649 {[4] Q70} Qu’est-ce qu’une base a¢ne de ?

Question 650 {[4] Q71} Montrer que tout point d’un espace a¢ne de dimen-sion …nie possède au moins un système de coordonnées barycentriques dans unrepère a¢ne donné R, et que deux systèmes de coordonnées barycentriquesd’un même point sont proportionnels.

Question 651 [5] Soit P un plan a¢ne euclidien orienté. Montrer que lescoordonnées barycentriques d’un point dans un repère a¢ne () de Psont proportionnelles aux aires algébriques des triangles, et.

10.3. CONVEXITÉ 91

Question 652 [5] Pouvez-vous énoncer le Théorème de Ceva en termes debarycentres ?

Question 653 {[5] Pouvez-vous énoncer le Théorème de Ménélaüs en termesde barycentres ?

10.3 Convexité

Question 654 {[4] Q45} Donnez au moins deux dé…nitions d’un segmentdans un espace a¢ne.

Question 655 {[4] Q46} Qu’est-ce qu’une partie convexe d’un espace a¢ne ?

Question 656 {[4] Q47} Montrez que les convexes de R sont les intervalles.

Question 657 {[4] Q48} Soit A une partie d’un espace a¢ne . Soit ¤l’ensemble des parties de qui sont convexes et contiennent A. On poseE =\C2¤ C. Montrer que E est la plus petite partie convexe contenant de

contenant A.

Question 658 {[4] Q49} A quoi est égale l’enveloppe convexe d’une partie Ad’un espace a¢ne ? Donner deux dé…nitions possibles sans les justi…er.

Question 659 {[4] Q50} Enoncez une CNS pour qu’une partie C d’un espacea¢ne soit convexe.

Question 660 {[4] Q51} Montrer que l’image directe d’un convexe par uneapplication a¢ne est un convexe.

Question 661 {[4] Q52} Montrer que l’image réciproque d’un convexe parune application a¢ne est un convexe.

Question 662 {[4] Q55} Soit un hyperplan d’un espace a¢ne de dimen-sion …nie. Proposez une dé…nition d’un demi-espace de frontière .

Question 663 Donnez (sans preuve) des propriétés des demi-plans.

Question 664 Montrer qu’un demi-plan est convexe.

Question 665 {[4] Q59} Sans utiliser les barycentres et en utilisant les pro-priétés classiques des demi-plans, démontrer que deux médianes [0] et [0](considérées comme des segments) d’un triangle sont toujours sécantes.


Question 666 {[4] Q60} Montrer qu’une bissectrice intérieure d’un trianglecoupe le côté opposé du triangle. En déduire que deux bissectrices intérieuresd’un triangle sont toujours sécantes.

Question 667 {[4] Q62} Quand dit-on qu’un polygone est convexe ?

Question 668 {[4] Q63} Qu’est-ce qu’un quadrilatère convexe ? croisé ? Des-sinez un quadrilatère convexe, un quadrilatère croisé, et un quadrilatère quin’est ni convexe, ni croisé.

10.4 Applications a¢nes

Question 669 {[4] Q325} Quand dit-on qu’une application est a¢ne ?

Question 670 {[4] Q326} Comment faire pour démontrer que deux applica-tions a¢nes et sont égales ?

Question 671 {[4] Q327} Que pouvez-vous dire d’une application a¢ne in-jective en dimension …nie ?

Question 672 {[4] Q328} Dans un plan, on considère trois points non ali-gnés 0, 1, 2, et trois points quelconques 0, 1, 2. Montrez qu’il existeune et une seule application a¢ne qui transforme les en (0 · · 2)

Question 673 {[4] Q329} Quelle est la forme de l’expression analytique d’uneapplication a¢ne d’un plan dans lui-même? Quand peut-on dire que cette ap-plication est bijective ?

Question 674 {[4] Q331} Quelle est l’image d’un carré par une applicationa¢ne du plan dans lui même? Et quand cette application est une bijectiona¢ne ?

Question 675 {[4] Q332} Montrer qu’une application a¢ne du plan danslui-même transforme une partie bornée du plan en une autre partie bornée.

Question 676 {[4] Q333} Montrer qu’une application a¢ne conserve le pa-rallélisme ?

Question 677 {[4] Q333} Une application a¢ne transforme-t-elle toujoursune droite en une droite ?

Question 678 Une application a¢ne transforme-t-elle un segment en un seg-ment ?

10.4. APPLICATIONS AFFINES 93

Question 679 Enoncez plusieurs propriétés remarquables d’une applicationa¢ne.

Question 680 {[4] Q335} Montrer qu’une application a¢ne : ! estsurjective si et seulement si sa partie linéaire est surjective.

Question 681 {[4] Q336} Montrer qu’une application a¢ne : ! estinjective si et seulement si sa partie linéaire est injective.

Question 682 {[4] Q337} Soit : ! une bijection a¢ne de partielinéaire . Montrer que ¡1 est a¢ne de partie linéaire ¡1.

Question 683 {[4] Q338} Soient : ! et : ! deux applicationsa¢nes de parties linéaires () et (). Montrer que la composée ± estune application a¢ne de partie linéaire () ± ().

Question 684 {[4] Q339} Soit : ! une application a¢ne de partielinéaire . Montrer que l’image directe ( ) d’un sous-espace a¢ne de est un sous-espace a¢ne de direction (

¡! ).

Question 685 {[4] Q340} Soit : ! une application a¢ne de partielinéaire . Montrer que l’image réciproque ¡1 ( ) d’un sous-espace a¢ne de est soit vide, soit un sous-espace a¢ne de direction ¡1(

¡! ).

Question 686 {[4] Q341} Montrer qu’une application est a¢ne si et seule-ment si elle conserve le barycentre.

Question 687 {[4] Q342} Soient : ! une application a¢ne de par-tie linéaire . Que peut-on dire de l’ensemble des points invariants par ?Démontrez-le.

Question 688 {[4] Q343} On veut montrer que, dans un espace a¢ne dedimension 3, deux équations cartésiennes di¤érentes () = 0 et () = 0d’un même plan sont proportionnelles. Pour cela, on choisit un point 0n’appartenant pas au plan et on introduit la partie suivante :

= f 2 (0)()¡ (0)() = 0gAchevez la démonstration...

Question 689 {[4] Q344} Soit P le plan d’Argand-Cauchy. Montrer qu’uneapplication de P dans P est a¢ne si et seulement si elle admet une expres-sion complexe de la forme () = + + où 2 C.


Question 690 {[4] Q375} Soit un espace a¢ne. Qu’appelle-t-on groupea¢ne de ? Une symétrie ou une projection appartient-elle au groupe a¢nede ?

Question 691 {[4] Q378} Pouvez-vous décrire toutes les bijections a¢nesqui laissent un hyperplan invariant point par point ? (On ne demande pasde démontrer ce résultat.)

10.5 Projections, symétries, a¢nités

Question 692 {[4] Q345} Comment dé…nissez-vous une projection a¢ne ?

Question 693 Donner quelques propriétés d’une projection a¢ne.

Question 694 {[4] Q346} Caractérisez l’assertion : 0 est l’image de parla projection a¢ne sur parallèlement à .

Question 695 {[4] Q347} Dans l’espace a¢ne de dimension 3 rapporté à unrepère, on considère le plan d’équation ++ = 1 et la droite passant parle point de coordonnées (1 2 0) et de vecteur directeur ¡! (3 0 1). Cherchezl’expression analytique de la projection sur parallèlement à .

Question 696 {[4] Q348} Montrer qu’une projection a¢ne est une applica-tion a¢ne de partie linéaire une projection vectorielle.

Question 697 {[4] Q349} Montrer qu’une application a¢ne de partie linéaireune projection vectorielle et possédant au moins un point invariant, est uneprojection a¢ne.

Question 698 {[4] Q350} Montrer qu’une application a¢ne : ! estune projection a¢ne si et seulement si 2 = .

Question 699 {[4] Q351} Comment dé…nissez-vous une symétrie a¢ne ?

Question 700 {[4] Q352} Caractérisez l’assertion : 0 est l’image de parla symétrie a¢ne de base de direction

¡! .

Question 701 {[4] Q353} Dans l’espace a¢ne de dimension 3 rapporté à unrepère, on considère le plan d’équation ++ = 1 et la droite passant parle point de coordonnées (1 2 0) et de vecteur directeur ¡! (3 0 1). Donnezl’expression analytique de la symétrie par rapport à parallèlement à .

10.6. HOMOTHÉTIES-TRANSLATIONS 95

Question 702 {[4] Q354} Montrer qu’une symétrie a¢ne est une applicationa¢ne de partie linéaire une symétrie vectorielle.

Question 703 {[4] Q355} Montrer que toute application a¢ne dont la partielinéaire est une symétrie vectorielle et possédant au moins un point invariant,est une symétrie a¢ne.

Question 704 {[4] Q356} est un espace a¢ne dont le corps des scalairesest de caractéristique di¤érente de 2. Montrer qu’une application a¢ne : ! est une symétrie a¢ne si et seulement si 2 = .

Question 705 {[4] Q357} Soit un espace a¢ne de dimension …nie. Soient un hyperplan de , et une droite de non incluse dans . On considèreune a¢nité de base , de direction et de rapport , et une bijectiona¢ne de sur . Interpréter géométriquement l’application = ±±¡1.

Question 706 {[4] Q358} Pouvez-vous dé…nir ce qu’est une a¢nité ?

Question 707 {[4] Q358 à Q360} Donnez des propriétés des a¢nités quivous viennent à l’esprit.

Question 708 {[5] On désire démontrer le Théorème de Ménélaüs en utili-sant des projections. Ce Théorème énonce que, étant donné un triangle non aplati et trois points , , sur les supports (), () et () descôtés du triangle, et distincts des sommets du triangle, les points , , sont alignés si et seulement si :

£ £

= 1

Montrer cette équivalence en utilisant une projection sur une droite ¢ paral-lèlement à ( ).

10.6 Homothéties-translations

Question 709 {[4] Q362} Rappeler la dé…nition d’une translation ¡! de vec-teur ¡! .

Question 710 {[4] Q362} Rappeler la dé…nition d’une homothétie decentre et de rapport .

Question 711 {[4] Q362} Montrer que est une translation si et seulementsi c’est une application a¢ne de partie linéaire l’identité.


Question 712 {[4] Q362} Montrer que est une homothétie-translation siet seulement si c’est une application a¢ne de partie linéaire une homothétievectorielle de rapport non nul.

Question 713 {[4] Q363} est un espace a¢ne de dimension ¸ 2, et estune application de dans . Montrer que est une homothétie-translationsi et seulement si elle transforme toute droite en une droite () parallèleà .

Question 714 {[4] Q364} Que dire de la composée de deux homothéties ?

Question 715 {[4] Q365} Que dire de la composée d’une translation et d’unehomothétie ?

Question 716 [?] On se place dans un plan a¢ne euclidien . Quelle estl’image d’un cercle C( ) de centre et de rayon par une homothétie-translation ? Justi…er complètement votre réponse.

Question 717 [?] Soient C un cercle de centre et de rayon 0, et C0un cercle de centre 0 et de rayon 0 0. Déterminer toutes les homothéties-translations qui transforment C en C0.

Question 718 {[4] Q366} Soient un trapèze de bases [] et [], le milieu de [], celui de []. Les droites () et () se coupent en ,et les diagonales () et () se coupent en . Montrer que les points , , , sont alignés.

Question 719 {[4] Q367} Dessinez des segments [], [] et [ ] stric-tement parallèles. () et () se coupent en , () et ( ) se coupenten , en…n () et ( ) se coupent en . Montrer que les points , , sont alignés.

Question 720 {[4] Q368} Soient [] et [] deux segments parallèles n’ap-partenant pas à une même droite, tels que 6= . Recherchez les homo-théties qui transforment [] en [].

Question 721 {[4] Q370} Dans l’espace a¢ne de dimension 3, on considèredeux plans et 0 strictement parallèles, et deux droites et 0 strictementparallèles. On suppose que coupe en et 0 en , tandis que 0 coupe en et 0 en . Démontrer que le quadrilatère est un parallélo-gramme.

10.7. THÉORÈME DE THALÈS 97

Question 722 {[4] Q371} Montrer que deux triangles et 000 sonthomothétiques si et seulement si leurs côtés sont parallèles. Ce résultat est-ilvrai en dimension ?

Question 723 {[4] Q373} Enoncez le Théorème de Ménélaüs et sa réciproque.Pouvez-vous le démontrer en utilisant des homothéties ?

10.7 Théorème de Thalès

Question 724 [5] On se place au niveau de la classe de quatrième. Plus préci-sément, on suppose que l’on dispose des propriétés et caractérisations usuellesdu rectangle, ainsi que de l’équivalence entre les assertions « le triangle est rectangle en » et « appartient au cercle de diamètre [] », maison demande que le Théorème de Thalès ou sa réciproque ne soient pas utilisésdans les raisonnements proposés.En respectant ces contraintes, démontrer les trois résultats suivants connussous le nom de « Théorème de la droite des milieux » :a) La droite joignant les milieux des deux côtés d’un triangle est parallèle

au troisième côté.b) Si (resp. ) est le milieu de [] (resp. []), alors = 2.c) La droite passant par le milieu d’un côté d’un triangle et parallèle à un

autre côté coupe le troisième côté en son milieu.

Question 725 {[4] Q97} Enoncez et démontrez le Théorème de Thalès.

Question 726 {[4] Q98} Enoncez le Théorème de Thalès dans le triangle,puis démontrez-le en utilisant uniquement les axiomes d’un espace a¢ne. Uti-lisez ce « Théorème de Thalès dans le triangle » pour démontrer le Théorèmede Thalès « général » concernant trois parallèles et deux sécantes.

Question 727 {[4] Q99} Enoncez le Théorème de Thalès. Démontrez-le enutilisant seulement des projections.

Question 728 [6] Quel rapport y a-t-il entre le Théorème de Thalès et lesprojections ? Explicitez ce rapport.

Question 729 {[4] Q100} Enoncez le Théorème de Thalès. Démontrez-le enutilisant seulement des homothéties.

Question 730 [?] Démontrez la réciproque du Théorème de Thalès dans letriangle en utilisant uniquement des homothéties.


Question 731 {[4] Q101} Enoncez et démontrez la réciproque du Théorèmede Thalès.

Question 732 {[4] Q103} La réciproque du Théorème de Thalès est-elle vrai-ment une réciproque ?

Question 733 {[4] Q104} Que diriez-vous à un élève qui écrirait ainsi laréciproque du Théorème de Thalès (en faisant un dessin correct) :

=0

0) (0)(0) ?

Question 734 {[4] Q105} Dé…nissez ce qu’est la mesure algébrique d’un bi-point ().

Question 735 [6] Une mesure algébrique de bipoints dépend du choix d’unvecteur directeur sur la droite considérée. Or le Théorème de Thalès s’intéresseà des quotients de la forme où , , sont des points alignés. Cesquotients doivent donc dépendre du choix d’un repère sur la droite() et (), ce qui est ennuyeux. Qu’en pensez-vous ?

Question 736 {[4] Q106} Le Théorème de Thalès est-il un résultat a¢ne oueuclidien ?

Question 737 {[4] Q107} Dessinez quelques …gures-clés rencontrées dans lesecondaire concernant le Théorème de Thalès.

Question 738 {[4] Q109} Dans quelles classes du secondaire étudie-t-on leThéorème de Thalès ? Et sa réciproque ? Sous quelles formes ?

Question 739 {[4] Q110} A quoi sert le Théorème de Thalès ?

Question 740 {[4] Q111} Quel rapport y-a-t-il entre le Théorème de Thalèset les applications a¢nes ? Preuve.

Question 741 {[4] Q112} Connaissez-vous une preuve du Théorème de Tha-lès utilisant la densité de Q dans R ?

Question 742 {[4] Q114} Proposez une démonstration du Théorème de Tha-lès qui utilise des aires.

Question 743 [6] En utilisant uniquement le Théorème de la droite des mi-lieux, démontrer que le projeté du milieu d’un segment est égal au milieu dusegment projeté.

10.8. DANS L’ESPACE DE DIMENSION 3 99

10.8 Dans l’espace de dimension 3

Question 744 Comment expliquer la position relative d’une droite et d’unplan à ses élèves ?

Question 745 Expliquez la position relative d’une droite (resp. un plan) etd’une sphère ? d’une boule ? d’un cône ?

Question 746 ~[4] Soient et 0 deux droites de l’espace. Démontrer quetoute droite ¢ incluses dans [0 est égale à ou à 0.

Question 747 Montrer qu’une droite ne peut pas être incluse dans une sphère(resp. une boule).

Question 748 Soit le plan d’équation 2+ 3 + 5 = 0. Que peut-on direde ce plan ? Chercher un repère orthonormal de . Connaissez-vous une formelinéaire qui dé…nisse ?

Question 749 [7] Tracer la section du cube ci-dessous avec le plan ¦ passantpar le milieu de [] et parallèle au plan (). Justi…ez la construction.

+

A B

CD

H

E F

G

I

10.9 Divers

Question 750 [8] On demande de discuter le nombre de points d’intersectionentre une parabole P d’équation = 2 + + et une droite d’équation = lorsque parcourt R.


Chapitre 11

Géométrie euclidienne

11.1 Isométries

Question 751 {[4] Q395} Pouvez-vous donner la dé…nition d’une isométrie ?

Question 752 {[4] Q379} Donnez deux dé…nitions di¤érentes d’une isomé-trie a¢ne.

Question 753 {[4] Q380} Une application qui conserve les distances est-ellenécessairement a¢ne ?

Question 754 {[4] Q381} Que pouvez-vous dire sur les isométries planes etles angles de vecteurs ?

Question 755 {[4] Q382} Soit une application d’un certain plan a¢neeuclidien dans lui-même. On suppose que conserve les distances. Sansavoir recours à la notion d’application a¢ne, donc en utilisant uniquement laconservation des distances, démontrer que :a) est injective.b) transforme un segment en un segment, une demi-droite en une demi-

droite, et une droite en une droite.c) est bijective.

Question 756 [5] Soit un point d’un espace a¢ne euclidien . Montrerque toute isométrie a¢ne de s’écrit de façon unique = ¡! ± où ¡! estune translation et une isométrie qui admet comme point invariant. Cettedécomposition est-elle commutative ?

Question 757 {[4] Q383} Quelle est la nature de la composée = 0 ± de deux ré‡exions a¢nes planes par rapport à des droites 0 et parallèles ?Que dire de plus ?

101

102 CHAPITRE 11. GÉOMÉTRIE EUCLIDIENNE

Question 758 {[4] Q384} Quelle est la nature de la composée = 0 ± de deux ré‡exions a¢nes planes par rapport à des droites 0 et sécantes enun point ? Que dire de plus ?

Question 759 {[4] Q412} Quelle est la nature de la composée = ± d’unerotation plane de centre et d’angle , et d’une translation de vecteur ¡! ?Construire les éléments géométriques qui caractérisent .

Question 760 {[4] Q413} Quelle est la nature de la composée = ±de deux rotations a¢nes planes de centres et distincts, d’angles et ?Construire les éléments géométriques qui caractérisent .

Question 761 [5] Quelle est la nature de la composée = ± d’unerotation plane de centre et d’angle non nul, et d’une ré‡exion par rapport à une droite ? Construire les éléments géométriques qui carac-térisent .

Question 762 [6] On considère un triangle et les ré‡exions , et par rapport à chacune des bissectrices intérieures de ce triangle issuesde , et . Déterminez la nature de la composée ± ± .

Question 763 {[4] Q385} Enoncer le Théorème fondamental concernant lesisométries a¢nes d’un espace a¢ne euclidien (on ne demande pas de le dé-montrer).

Question 764 {[4] Q386} Donnez le catalogue de toutes les isométries af-…nes du plan. On ne demande pas de démonstration, mais on veut disposerd’une description géométrique complète de ces isométries.

Question 765 {[4] Q387} Décrire géométriquement toutes les isométries af-…nes d’un espace a¢ne euclidien de dimension 3.

Question 766 {[4] Q388} On se place dans un plan a¢ne euclidien P.a) Montrer qu’une isométrie qui admet trois points non alignés invariantsest l’identité.b) Montrer qu’une isométrie distincte de l’identité qui admet deux pointsdistincts et invariants est la ré‡exion par rapport à la droite ().c) Montrer qu’une isométrie qui possède un unique point invariant est lacomposée de deux ré‡exions d’axes passant par .d) Montrer qu’une isométrie sans points invariants est soit une translationde vecteur non nul, soit la composée de trois ré‡exions.e) Montrer qu’une isométrie plane est la composée d’au plus trois ré‡exions.

11.1. ISOMÉTRIES 103

Question 767 {[4] Q390} Vous dites qu’une isométrie plane conserve le pa-rallélisme, l’alignement et les barycentres. Quelle est la propriété la plus forte ?

Question 768 {[4] Q391} Pouvez-vous nous donner des exemples de fonc-tions du plan dans le plan qui conservent le barycentre ?

Question 769 {[4] Q392} Pouvez-vous montrer que les isométries sont in-jectives ?

Question 770 {[4] Q393} Comment démontrer que l’image d’une droite parune isométrie est une droite ?

Question 771 {[4] Q394} Vous avez dit que si une isométrie possède unedroite invariante, alors il s’agit d’une ré‡exion. Pouvez-vous le démontrer ?

Question 772 {[4] Q396} On travaille dans un plan. Pouvez-vous donnerune dé…nition de la symétrie d’axe ¢ accessible en sixième ?

Question 773 {[4] Q397} Soient et deux points distincts d’un espacea¢ne euclidien. Montrez qu’il existe une et une seule ré‡exion qui échange lespoints et . Déterminez-là.

Question 774 [5] A-t-on besoin d’orienter le plan pour dé…nir l’ensemble desdéplacements ?

Question 775 [5] Que pouvez-vous dire de la composée = ± ¡! d’uneré‡exion par rapport à une droite et d’une translation de vecteur ¡! ? Deses points invariants ?

Question 776 [5] On suppose dans cette question que l’on connaît tout le ca-talogue des isométries planes. En utilisant seulement ce « catalogue », pouvez-vous démontrer que, étant donnés deux points distincts et , et deux autrespoints distincts 0 et 0 tels que 00 = , il existe un et un seul dépla-cement tel que () = 0 et () = 0. Le résultat reste-t-il vrai si l’ondemande à d’être un antidéplacement ?

Question 777 [5] Déterminer les éléments géométriques qui dé…nissent laré‡exion glissée qui transforme deux point , distincts en deux points 0,0 donnés tels que 00 = .

Question 778 {[4] Q398} Soit le plan médiateur d’un segment []. Dé-terminer l’ensemble des points tels que .


Question 779 {[4] Q398} Soient et deux points distincts d’un espacea¢ne euclidien de dimension 3. Soit le plan orthogonal à () et passantpar le milieu de []. Le plan partage l’espace en deux demi-espacesouverts : contenant , et contenant . Montrer que :8><>:

= f 2 =g = f 2 g = f 2 g

Question 780 {[4] Q399} Soient deux tétraèdres isométriques et 0000.Montrer qu’il existe une unique isométrie de l’espace qui véri…e () = 0, () = 0, () = 0 et () = 0.

Question 781 {[4] Q401} Dans un plan a¢ne euclidien, on considère unesymétrie par rapport à une droite parallèlement à une droite ¢. Montrerque conserve les distances si et seulement si est orthogonale à ¢.

Question 782 {[4] Q402} Proposez deux dé…nitions d’une rotation a¢neplane.

Question 783 {[4] Q405} Démontrer qu’une rotation a¢ne plane conserveles distances.

Question 784 {[4] Q406} Qu’appelle-t-on rotation a¢ne dans l’espace dedimension 3 ?

Question 785 {[4] Q407} Quelle est la forme générale de l’expression ana-lytique d’une isométrie plane dans un repère orthonormal R = (¡! ¡! ) duplan ?

Question 786 {[4] Q407} Quelle est l’expression analytique de la ré‡exion par rapport au premier axe de coordonnées ?

Question 787 {[4] Q407} Quelle est l’expression analytique de la rotation de centre amenant le point de coordonnées (1 0) sur le point de coordonnées(0 1) ?

Question 788 {[4] Q408} Doit-on orienter le plan pour pouvoir parler d’iso-métries ? de déplacements ? d’antidéplacements ?

Question 789 {[4] Q411} Soient un espace a¢ne, une application af-…ne de dans lui-même, et F une partie de . Si est un centre de symétriede F, montrer que () est un centre de symétrie de (F). La réciproque est-elle vraie ?

11.1. ISOMÉTRIES 105

Question 790 {[4] Q414} Quand peut-on dire que deux triangles sont iso-métriques ?

Question 791 {[4] Q414} Enoncez les trois cas d’isométrie des triangles,puis démontrez-en un au choix.

Question 792 {[4] Q415} Deux triangles qui possèdent trois éléments égaux(des côtés ou des angles) sont-ils nécessairement isométriques ? Justi…ez votreréponse.

Question 793 {[4] Q419} Quelle est la forme complexe d’une isométrie plane ?

Question 794 {[4] Q424} Le plan est rapporté à un repère orthonormal di-rect (

¡! ¡! ). Soit l’axe des abscisses. On considère la droite passant

par le point de coordonnées (1 0), telle que () = 3 (). Exprimerles coordonnées (0 0) du symétrique 0 d’un point par rapport à enfonction des coordonnées ( ) de .

Question 795 {[4] Q425} Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct(¡! ¡! ). Soit la rotation de centre (1 0) et d’angle 3. Soit un point

de coordonnées ( ). Exprimer les coordonnées (0 0) de () en fonctionde celles de .

Question 796 {[4] Q431} Soit une partie …nie de cardinal ¸ 2 du plana¢ne euclidien. Montrer qu’il existe au plus déplacements et antidéplace-ments conservant .

Question 797 {[4] Q432} Déterminer toutes les isométries planes laissantun point invariant.

Question 798 {[4] Q433} Déterminer toutes les isométries planes laissantune paire de points fg invariante.

Question 799 {[4] Q434} Quelles sont les isométries planes qui laissent unedroite globalement invariante ?

Question 800 {[4] Q444} Déterminer les isométries du plan qui conserventun polygone régulier à sommets ( ¸ 3).

Question 801 [?] On lit souvent que le graphe de la fonction réciproque ¡1

d’une fonction bijective de R dans R est égal au symétrique du graphe de par rapport à la première bissectrice. Cela provient de la propriété ( ) sui-vante : pour tout ( ) 2 R2, le point ( ) est le symétrique orthogonal de


( ) par rapport à la première bissectrice.a) Démontrer la propriété ( ) lorsque le graphe de est dessiné dans un

repère R = (¡! ¡! ) dont les vecteurs de base ont la même norme (sans êtreforcément orthogonaux).b) Le résultat est faux quand R est un repère quelconque, mais, dans ce

cas, démontrer que pour tout ( ) 2 R2, le point ( ) continue d’être lesymétrique de ( ) dans une symétrie que l’on précisera.

11.2 Similitudes

Question 802 {[4] Q447} Qu’est-ce qu’une similitude vectorielle ?

Question 803 {[4] Q447} Donner au moins trois dé…nitions équivalentesd’une similitude vectorielle.

Question 804 {[4] Q448} Qu’est-ce qu’une similitude a¢ne ?

Question 805 {[4] Q448} Donner au moins deux dé…nitions équivalentesd’une similitude a¢ne.

Question 806 {[4] Q449} Montrer qu’une application du plan a¢ne danslui-même conserve les rapports de distances si et seulement si c’est la composéed’une homothétie et d’une isométrie.

Question 807 {[4] Q449} Enoncer quelques propriétés intéressantes véri…éespar une similitude a¢ne.

Question 808 {[4] Q449} Montrer qu’une similitude a¢ne est bijective.

Question 809 {[4] Q449} Montrer qu’une similitude a¢ne transforme unedroite en une droite, un segment en un segment, une demi-droite en une demi-droite, conserve les barycentres, le parallélisme et les contacts.

Question 810 {[4] Q449} Montrer qu’une similitude a¢ne conserve ou in-verse les angles orientés.

Question 811 {[4] Q449} Montrer qu’une similitude a¢ne transforme uncercle en un cercle.

Question 812 {[4] Q449} Montrer qu’une similitude a¢ne conserve l’ortho-gonalité.

11.2. SIMILITUDES 107

Question 813 {[4] Q450} Soient un espace a¢ne euclidien de dimen-sion , et une similitude de de rapport 6= 1. Montrer que :a) admet un unique point …xe .b) s’écrit de manière unique = ± où est l’homothétie de

centre et de rapport , et où est une isométrie a¢ne de qui laisse lepoint invariant.c) ± = ± .

Question 814 {[4] Q451} Donnez le catalogue de toutes les similitudesa¢nes du plan.

Question 815 {[4] Q453} Existe-t-il des similitudes planes sans points inva-riants ? Dans l’a¢rmative, pouvez-vous les décrire ?

Question 816 {[4] Q454} On dit souvent qu’une projection sur une droiteparallèlement à une autre « conserve les rapports ». Mais alors, peut-on direqu’une projection est une similitude ?

Question 817 {[4] Q455} Montrer que deux triangles et 00 0 (nonaplatis) sont semblables (dans cet ordre) si et seulement si :

00

=00

=00

Question 818 {[4] Q455} Montrer que deux triangles et 00 0 (nonaplatis) sont semblables (dans cet ordre) si et seulement si :

00

=0 0

et b =c0

Question 819 {[4] Q455} Montrer que deux triangles et 00 0 (nonaplatis) sont semblables (dans cet ordre) si et seulement si :b =c0 et b =c0Question 820 {[4] Q458} Quelle est l’image d’un cercle C( ) de centre et de rayon par une similitude de rapport ?

Question 821 {[4] Q456} On considère deux cercles distincts C et C0 decentre et 0, et de rayons et 0. On suppose que C et C0 se coupent endeux points distincts et . Montrer qu’il existe une unique similitude di-recte de centre qui transforme le cercle C en C0.


Fig. 11.1 – Lien entre et 0 ?

Question 822 {[4] Q457} Deux cercles C et C0 se coupent en deux pointsdistincts et (fig. 11.1). Soit un point de C distinct de . Montrerque l’image de par la similitude directe de centre qui envoie C sur C0,est le second point d’intersection de la droite () et du cercle C0 [Ind. : onpourra montrer que les triangles et 0 0 sont directement semblablesen utilisant le Théorème de l’angle inscrit.]

Question 823 {[4] Q459} Si , , , sont quatre points du plan tels que 6= et 6= , montrer qu’il existe une et une seule similitude directetransformant en et en . Le résultat reste-t-il vrai avec une similitudeindirecte ?

Question 824 {[4] Q460} Soient , et trois points distincts d’un plana¢ne euclidien. Soit une similitude directe de centre . On pose () = 0

et () = 0. Montrer qu’il existe une similitude directe de centre quitransforme en , et 0 en 0.

Question 825 {[4] Q461} Soit un automorphisme d’un espace vectorieleuclidien de dimension . Montrer que conserve l’orthogonalité si etseulement si c’est une similitude vectorielle. On pourra introduire les formeslinéaires :

: ! R 7!

et : ! R 7! () ()

11.3 Bissectrices

Question 826 {[4] Q115} Trouver toutes les ré‡exions qui échangent deuxdroites et 0 sécantes en .

11.3. BISSECTRICES 109

Question 827 {[4] Q116} Proposer une dé…nition d’une bissectrice d’un couplede demi-droites ([) [)).

Question 828 {[4] Q116} Comment peut-on dé…nir la bissectrice intérieureissue de d’un triangle ?

Question 829 {[4] Q116} Comment peut-on dé…nir la bissectrice extérieureissue de d’un triangle ?

Question 830 {[4] Q117} Comment construire la bissectrice d’un couple dedemi-droites au collège ?

Question 831 {[4] Q119} Montrer que l’ensemble des points équidistants dedeux droites sécantes et 0 est la réunion des bissectrices du couple (0).

Question 832 {[4] Q120} Quel est l’ensemble des points du plan situés àégale distance de deux demi-droites de même origine [) et [) ? Démontrez-le.

Question 833 {[4] Q121} Deux tangentes en et 0 à un cercle de centre se coupent en un point . Montrer que () est la bissectrice intérieure del’angle \ 0.

Question 834 {[4] Q122} Soient et 0 deux droites strictement sécantesen un point . Montrer que les seules droites ¢ incluses dans [0 sont et 0.

Question 835 {[4] Q125} Que peut-on dire du point de la fig 11.2 ?

ST

U

M

Fig. 11.2 – Que dire de ?

Question 836 {[4] Q88} On demande de rechercher des équations carté-siennes des bissectrices des droites d’équations = 8+ 3 et 7¡ 5 = 4.


Question 837 [6] Soit un triangle. Soit R = (¡! ¡! ) un repère or-thonormal d’origine , tel que

¡! et

¡¡! soient colinéaires de même sens.

a) Déterminez une équation cartésienne de la bissectrice intérieure ¢ issuede du triangle .b) Déterminez une équation cartésienne de la droite ().c) Soit l’intersection de ¢ et (). Connaissez-vous une propriété véri…ée

par ? Expliquer comment l’on pourrait faire pour démontrer analytiquementcette propriété (on ne demande pas d’e¤ectuer tous les calculs).

11.4 Triangles

Question 838 [7] Dans le plan, on considère un triangle non aplati .Pouvez-vous dé…nir le secteur angulaire saillant déterminé par les demi-droites[) et [) ? Et le secteur angulaire rentrant ?

Question 839 [6] a) Montrer que les médiatrices d’un triangle sont concou-rantes.b) Soit un triangle non aplati. Montrer qu’il existe un et un seul cercle

qui passe par les sommets de ce triangle.

Question 840 {[4] Q29} Montrer que les trois médianes d’un triangle sontconcourantes.

Question 841 {[4] Q142} Démontrez que les trois médianes d’un trianglesont concourantes en utilisant seulement des outils du collège.

Question 842 {[4] Q30} Montrer que deux médianes d’un triangle ne sontjamais confondues.

Question 843 [6] Montrer que les trois hauteurs d’un triangle sont concou-rantes.

Question 844 [5] Soient et le centre de gravité et le centre du cerclecirconscrit d’un triangle . Soit le point tel que

¡¡! =

¡!+

¡¡!+

¡¡!.

Montrer que est l’orthocentre de et que¡¡! = 3

¡¡! (relation d’Euler).

Question 845 [6] Soient , et le centre du cercle circonscrit, l’ortho-centre et le centre de gravité d’un triangle . On note 0, 0, 0 les milieuxdes côtés du triangle , avec les conventions usuelles.a) Que pouvez-vous dire des points , et ?b) Existe-t-il une homothétie qui transforme le triangle 000 en ?c) Utilisez pour trouver une relation de dépendance entre

¡¡! et

¡¡!.

11.4. TRIANGLES 111

Question 846 {[4] Q31} Montrer que les bissectrices intérieures d’un tri-angle sont concourantes.

Question 847 {[4] Q31} Quelles sont les coordonnées barycentriques du centredu cercle inscrit dan un triangle , dans le repère a¢ne () ? Preuve ?Que peut-on déduire ?

Question 848 {[4] Q31} Que dire des bissectrices intérieures et extérieuresd’un triangle ?

Question 849 [7] Déterminer une condition nécessaire et su¢sante portantsur un triangle non aplati pour que les médiatrices des côtés [] et[] soient perpendiculaires.

Question 850 [7] Montrer que, dans un triangle , les bissectrices inté-rieures des angles b et b ne peuvent pas être perpendiculaires.Question 851 [7] Déterminer une condition nécessaire et su¢sante portantsur un triangle pour que les hauteurs de ce triangle issues des sommets et soient perpendiculaires.

Question 852 [7] Théorème de la médianeSoit un triangle non aplati. Soit le milieu de []. Démontrer que :

2 +2 = 22 +2

2

Question 853 {[4] Q132} Enoncer, puis démontrer le Théorème de Pytha-gore et sa réciproque.

Question 854 {[4] Q133} Démontrer le Théorème de Pythagore sans utiliserle produit scalaire.

Question 855 {[4] Q134} Démontrer la réciproque du Théorème de Pytha-gore sans utiliser le produit scalaire.

Question 856 {[4] Q135} Montrer qu’un triangle est rectangle en siet seulement si appartient au cercle de diamètre [].

Question 857 {[4] Q136} Soient un triangle rectangle en , et lepied de la hauteur de ce triangle issue de . Montrer que 2 = £.

Question 858 {[4] Q136} Montrer que le pied de la hauteur issue de l’angledroit d’un triangle rectangle appartient à l’hypoténuse.


Question 859 {[4] Q137} Soient un triangle rectangle en , et lepied de la hauteur de ce triangle issue de . Montrer que 2 = .

Question 860 {[4] Q138} Si le triangle est rectangle en , montrerque :

£ = £

Question 861 {[4] Q143} Enoncez une condition nécessaire et su¢sante pourqu’un triangle de côtés de longueurs imposées , , ( 2 R¤+) soit construc-tible. Démontrez-là.

Question 862 [4] (Oral du CAPES interne 2007) Etant donnés 3 nombrespositifs , , tels que 2 + 2 = 2, montrez que l’on peut tracer un triangledont les côtés sont de longueurs , et .

Question 863 {[4] Q145} Quel est l’ensemble des point du plan qui seprojettent orthogonalement sur les supports des côtés d’un triangle en troispoints alignés ?

Question 864 {[4] Q145} On note , , les projetés orthogonaux d’unpoint du plan sur les côtés (), () et () d’un triangle . Mon-trer que , , sont alignés si et seulement si appartient au cercle cir-conscrit au triangle .

Question 865 {[4] Q147} Enoncez et démontrez la formule d’Al Kashi dansun triangle quelconque.

Question 866 {[4] Q148} Soit un triangle rectangle en . Démontrezque :

cos b =

; sin b =

tan b =

Question 867 {[4] Q149} Soit un triangle de côtés , , , d’anglesb, b et b, d’aire . Soit le rayon de son cercle circonscrit. Démontrez laformule des sinus :

sin b =

sin b =

sin b = 2 = 2 Question 868 {[4] Q152} Montrer que la bissectrice intérieure issue de d’un triangle coupe () en un point tel que :

= ¡

11.4. TRIANGLES 113

Sous quelle condition la bissectrice extérieure issue de coupe-t-elle () ?Montrer qu’alors, si désigne ce point :

=

Peut-on dire que les pieds des bissectrices issues de sont les points de ladroite () tels que =

?

Question 869 {[4] Q154} Soit un triangle non isocèle en . Détermi-ner le lieu E des points du plan tels que :

=

Question 870 [3] En utilisant des aires, démontrer que le centre de gravité d’un triangle est l’unique point intérieur au triangle qui divise l’aire dutriangle en trois aires égales, autrement dit véri…e :

A = A = A = A3

où A désigne de façon générale l’aire d’un triangle .

Question 871 [3] On note 0, 0 et 0 les milieux des segments [], []et []. Exprimez l’aire du triangle des milieux 000 en fonction de l’airedu triangle .

Question 872 [5] On connaît la dé…nition d’une médiane dans un triangle.Existe-t-il une autre dé…nition du mot "médiane" dans un autre champ desmathématiques ? Dans l’a¢rmative, pouvez-vous faire le lien entre ces deuxnotions ?

Question 873 [5] Soit un triangle non aplati, et le projeté orthogonalde sur la droite ().a) Montrer que :- Si b est aigu (au sens large), appartient à la demi-droite [).- Si b est obtus (au sens strict), n’appartient pas à la demi-droite [).b) Que dire des pieds des hauteurs d’un triangle acutangle ?

Question 874 [5] Soit un triangle et le projeté de sur la droite(). Montrer que appartient au segment [] dès que l’on suppose que lecôté [] est le plus long côté du triangle . La réciproque est-elle vraie ?


Question 875 [6]Un jury d’oral demande au candidat de démontrer que ladroite qui joint les milieux de deux côtés d’un triangle est parallèle au troisièmecôté, comme il pourrait le faire en classe de quatrième. Le candidat propose ladémonstration suivante :« Si et sont les milieux respectifs des segments [] et [], je trace lesymétrique de par rapport à . Le quadrilatère possède des diago-nales qui se coupent en leur milieu. Il s’agit donc d’un parallélogramme et jepeux a¢rmer que les segments [] et [ ] sont égaux et parallèles. Comme est le milieu de [], j’en déduis que les segments [] et [ ] sont égaux etparallèles. Cela prouve que le quadrilatère est un parallélogramme, etdonc que = . Comme = 2, j’obtiens = 2. »

A

B C

I JW

Certains membres du jury hochent de la tête, puis l’un d’entre eux demande aucandidat s’il est bien sûr que son raisonnement est complet ? Est-il seulementjuste ? Que va répondre le candidat ?

Question 876 [6]L’a¢rmation suivante est-elle vraie ou fausse : « Un qua-drilatère qui possède deux côtés opposés égaux et parallèles, est unparallélogramme »? Justi…ez votre réponse.

Question 877 [6] (Baccalauréat 1905, Nancy) Etant donnés la surface et lesangles d’un triangle, déterminer ses trois côtés.

Question 878 [6] (Manuel Transmath de seconde, 2000) est un trianglerectangle en et est le projeté orthogonal de sur []. Démontrez que :

aire()

aire()= (tan b)2

Question 879 [7] Démontrer qu’un triangle est isocèle si, et seulement si, ilpossède deux médianes de même longueur.

11.5 Cercles

Question 880 [6] Montrez que, par trois points non alignés, on peut fairepasser un cercle et un seul.

11.5. CERCLES 115

Question 881 [6] Soient , , trois points distincts et alignés. Montrerqu’il n’existe pas de cercle qui passe par ces trois points.

Question 882 [6] Montrez qu’un cercle admet un unique centre de symétrie.

Question 883 [6] Soit C un cercle de centre et de rayon . Montrez qu’unedroite est un axe de symétrie de C si et seulement si elle contient .

Question 884 [6] [Dans la leçon présentée, le candidat a dé…ni une tangenteà un cercle C de centre comme étant une droite qui passe par un point ducercle en étant perpendiculaire au rayon [ ]. Le jury pose alors la questionsuivante...] Cette dé…nition est-elle en accord avec la dé…nition générale d’unetangente à un arc paramétré ?

Question 885 [7] En restant au niveau du collège, démontrer que le cerclede diamètre [] est égal à l’ensemble des points tels que le triangle est rectangle en .

Question 886 {[4] Q164} Enoncez et démontrez le résultat concernant l’in-tersection d’une droite et d’un cercle.

Question 887 {[4] Q165} Enoncez et démontrez le résultat concernant l’in-tersection de deux cercles.

Question 888 {[4] Q167} Montrer qu’un disque est un ensemble convexe.Que peut-on en déduire concernant l’intersection d’un disque et d’une droite ?

Question 889 {[4] Q168} Montrer que tout segment inclus dans un disquefermé est de longueur inférieure au diamètre du disque.

Question 890 {[4] Q170} Soit C un cercle de centre et de rayon 0.Soit un point du plan. Combien peut-on abaisser de tangentes à C issuesde ? Proposer une construction à la règle et au compas de ces tangentesquand cela est possible.

Question 891 {[4] Q171} Dé…nissez la puissance d’un point par rapportà un cercle C.

Question 892 {[4] Q172} On note C() la puissance de par rapportà un cercle C. Soient C1 et C2 deux cercles sécants en deux points et .Montrer que la droite () est l’ensemble des points du plan qui véri…entla relation C1() = C2().


Question 893 {[4] Q173} Déterminer la nature de l’ensemble des points quiont la même puissance par rapport à deux cercles de centres distincts. Que diresi les cercles se coupent en deux points distincts ? sont tangents ?

Question 894 {[4] Q174} Construire l’axe radical de deux cercles C1 et C2de centres distincts à la règle et au compas.

Question 895 {[4] Q186} Pouvez-vous énoncer le Théorème de l’angle ins-crit. Démontrez-le.

Question 896 {[4] Q188} Soit un réel. Soient , deux points distinctsdu plan. Quel est le lieu des points tels que (

¡¡!

¡¡!) = () (il s’agit

d’une égalité entre angles de droites) ?

Question 897 {[4] Q189} Soit un réel. Soient , deux points distinctsdu plan. Quel est le lieu des points tels que (

¡¡!

¡¡!) = (2) (il s’agit

d’une égalité entre angles de vecteurs) ?

Question 898 {[4] Q190} Soient , , , quatre points distincts du plan.Enoncez et démontrez une CNS portant sur les a¢xes , , , de ces pointspour que ceux-ci soient cocycliques ou alignés.

Question 899 [3] Soient et deux points distincts d’un plan.a) Décrivez l’ensemble des points tels que (

¡¡!

¡¡!) = 76 (2).

Vous avez le droit d’utiliser tous les résultats du cours que vous voulez sansavoir à les redémontrer, mais en les énonçant clairement.b) Pouvez-vous construire cet ensemble à la règle et au compas ?

Question 900 {[4] Q197} Montrer que le symétrique de l’orthocentre d’untriangle par rapport à l’un des côtés du triangle appartient au cercle circonscritau triangle.

11.6 Trigonométrie

Question 901 [8] Montrer que les pieds des hauteurs d’un triangle acutangleappartiennent aux côtés du triangle.

11.7 Questions diverses

Question 902 [3] Enoncez deux dé…nitions possibles de la médiatrice d’unsegment. Démontrez que ces dé…nitions sont équivalentes.

11.7. QUESTIONS DIVERSES 117

Question 903 [6] Quels que soient les points , et du plan, on saitque · + . C’est l’inégalité triangulaire bien connue. Pouvez-vousdémontrer cette a¢rmation ?

Question 904 {[4] Q91} Démontrer la caractérisation métrique d’un seg-ment, autrement dit démontrer qu’un point appartient au segment [] siet seulement si = +.

Question 905 {[4] Q92} Montrer qu’un point appartient à une droite() si et seulement si j¡j = ou + = .

Question 906 {[4] Q95} Soient un espace a¢ne euclidien d’espace vecto-riel associé

¡! , et (¡! ) 2 £¡! £R. Déterminez l’ensemble des points

de tels que¡¡!¡! = .

Question 907 {[4] Q220} Enoncez le Théorème de Ménélaüs. Pouvez-vousdonner quelques indications pour le démontrer ?

Question 908 {[4] Q221} Enoncez le Théorème de Ceva. Pouvez-vous don-ner quelques indications pour le démontrer ?

Question 909 {[4] Q222} Soient , , trois points non alignés dansun plan. Soit un point tel que () (resp. (), ()) coupe ()(resp. (), ()) en 0 (resp. 0, 0). Montrer que :

00

+00

+ 00

= 1

Question 910 {[4] Q223} Dans un espace a¢ne euclidien de dimension 3,démontrer le théorème des trois perpendiculaires : si est une droite contenuedans un plan , et si (resp. ) désigne la projection orthogonale sur (resp. ), alors = ± .

Question 911 {[4] Q229} Dans un plan a¢ne euclidien, on considère unpoint et une droite . Démontrer que la plus petite distance de à unpoint de est atteinte en , projeté orthogonal de sur , et seulement ence point.

Question 912 {[4] Q231} Dans un plan a¢ne euclidien, on considère unpoint et une droite . On note le projeté orthogonal de sur . Si est un point de distinct de , démontrer que sans utiliser leThéorème de Pythagore.


Question 913 {[4] Q230} Dans l’espace de dimension trois, on considèredeux droites non coplanaires et 0. Montrer qu’il existe une et une seuledroite ¢ à la fois orthogonale et sécante à et à 0. En déduire que la distanceentre et 0 est donnée par la formule :

d¡0

¢=j¡¡!0(¡! ^¡! 0)jjj¡! ^¡! 0jj

où (0) 2 £0 et où ¡! et ¡! 0sont des vecteurs directeurs de et 0.

Question 914 {[4] Q86} Soit : R3 ! R une fonction de classe 1. Donnerune équation du plan tangent à la surface d’équation ( ) = 0 en un pointrégulier 0 ?

Question 915 Donner une équation du plan tangent à l’ellipsoïde E d’équa-tion :

2

2+2

2+2

2= 1

en un point 0 (0 0 0) de E .

Question 916 [5] Soit un intervalle ouvert non vide de R. Soit :

: ! R2 7! () = ( () ())

un arc paramétré de classe 1. Quand dit-on qu’un point de cet arc est régu-lier ? Pouvez-vous décrire le comportement local de la courbe au voisinage d’unpoint (0) à partir des vecteurs dérivés () (0) de en 0 ? Pouvez-vousnous donner une idée de la preuve de ce résultat ?

Question 917 {[5] Q95} Soit 7! () = ( () ()) un arc paramétré declasse 1. Connaissez-vous une condition nécessaire pour qu’un point de cetarc soit un point d’in‡exion ?

11.8 Constructions

Question 918 {[4] Q244} Dessinez deux demi-droites distinctes [) et [),puis placez un point dans le secteur angulaire saillant formé par ces deuxdemi-droites. Trouvez les cercles tangents aux côtés [) et [) et passantpar .

Question 919 [?] Dessinez une maison en perspective cavalière. Placez lesoleil. Tracez l’ombre de cette maison sur le sol.

11.9. LIEUX DE POINTS 119

Question 920 [7] A partir de trois segments de longueurs 1, et , on de-mande de construire un segment de longueur à la règle et au compas. Ex-pliquez.

Question 921 [7] A partir de trois segments de longueurs 1, et , on de-mande de construire un segment de longueur à la règle et au compas.Expliquez.

Question 922 [7] A partir de trois segments de longueurs 1, et , on de-mande de construire un segment de longueur

p à la règle et au compas.

Expliquez.

Question 923 [7] Construire un segment de longueur (p7 ¡ 1)5 à la règle

et au compas.

Question 924 [6] Pouvez-vous construire la moyenne proportionnelle de deuxnombres et à la règle et au compas ?

Question 925 {[4] Q246} A partir de deux segments de longueurs 1 et ,construire un segment de longueur

p, puis un segment de longueur 2.

Question 926 {[4] Q247} Comment construire les nombresp à la règle et

au compas quand est un entier naturel ?

Question 927 {[4] Q248} Comment construire la droite ¢ passant par unpoint et par l’intersection de deux droites et 0 sachant que ces deuxdroites ne se coupent pas sur la feuille ?

11.9 Lieux de points

Question 928 Lieu des points du plan tels que + = 5 ?

Question 929 Déterminer le lieu des points d’une droite ¢ donnée, telsque 2 +2 =, où , , sont trois points distincts donnés arbi-trairement sur ¢ ?

Question 930 [6] Soient , et trois points distincts d’un plan. Déter-miner l’ensemble des points tels que la quantité 2 +2 +2 soitminimum.

Question 931 [6] Soient , et trois points distincts d’un plan. En rai-sonnant analytiquement, déterminer l’ensemble des points tels que la quan-tité 2 +2 +2 soit minimum.


Question 932 {~[4] Q88} Chercher l’ensemble des points du plan équi-distants des droites d’équations 2+5¡5 = 0 et 7+3+1 = 0. Déterminerune équation de cet ensemble.

Question 933 {~[4] Q119} Quel est l’ensemble des points équidistants de deuxdroites sécantes et 0 ?

Question 934 [10] Dans un plan euclidien orienté, on considère un segment[] de longueur 2 non réduit à un point, et l’on se donne un réel non nul.Déterminer l’ensemble ¡ des points du plan tels que tan b£ tan b = , oùles angles sont ceux du triangle .

Question 935 [6] Tracer un cercle C de centre , et un point n’appartenantpas à C. Choisir un point sur C. Tracer le projeté orthogonal de sur ladroite ( ). Quelle est le lieu décrit par les points quand parcourt C ?

Question 936 [6] (Oral du CAPES externe 2012)Tracer un cercle de centre , et placer un point à l’intérieur du disque ainsidé…ni. Choisir un point sur le cercle, et construire le symétrique 0 de par rapport à . Que fait 0 quand parcourt le cercle ?Proposer une solution au niveau du collège. [Indication : on pourra construirele symétrique de par rapport à .]

Question 937 [6] Pouvez-vous trouver une repésentation paramétrique d’unecycloïde ? On rappelle qu’une cycloïde est une courbe décrite par un point …xeplacé sur un cercle qui roule sur une droite sans glisser et à vitesse constante.

11.10 Coniques

Question 938 [6] Pouvez-vous donner une dé…nition très précise d’une pa-rabole ? Pouvez-vous dé…nir une parabole sans utiliser de repère du plan ?

Question 939 [6] A quel moment les paraboles sont-elles rentrées dans l’his-toire ? A quel sujet ?

Question 940 {[4] Q257} Rappeler la dé…nition d’une conique C de foyer ,de directrice et d’excentricité .

Question 941 {[4] Q260} Soient et deux réels tels que 0 . Onconsidère l’ellipse E d’équation 22+

2

2 = 1 dans un repère orthonormal. Tracerle foyer et la directrice de E à partir de la seule donnée des points ( 0)et (0 ).

11.10. CONIQUES 121

Question 942 {[4] Q260} On considère l’hyperbole H d’équation 22¡ 22= 1

dans un repère orthonormal. Tracer le foyer et la directrice de H à partirde la seule donnée des points ( 0) et (0 ).

Question 943 {[4] Q261} Déterminer les coordonnées du foyer et de la direc-trice de la parabole d’équation = 2 dans un repère orthonormal (

¡! ¡! )

du plan.

Question 944 {[4] Q262} Déterminer les foyers et les directrices de l’ellipsed’équation

2

16+2

9= 1

dans un repère orthonormal du plan.

Question 945 [4][7] Soient et deux points distincts dans le plan. Connaissez-vous les lignes de niveau de la fonction 7!+ ? A quelle conditionl’ensemble des points tels que + = est-il vide ?

Question 946 [4][7] Soient et deux points distincts dans le plan. Connaissez-vous les lignes de niveau de la fonction 7! j¡j ? A quelle conditionl’ensemble des points tels que j¡j est-il vide ?

Question 947 {[4] Q266} Soit un point d’une ellipse E de foyers , 0.Que peut-on dire de la tangente à E en et du triangle 0 ? Que sepasse-t-il avec une hyperbole à la place d’une ellipse ?

Question 948 {[4] Q267} Soient une droite et un point n’appartenantpas à . Proposez une construction à la règle et au compas des points de laparabole P de foyer et de directrice .

Question 949 {[4] Q269} Démontrez que :½ () = cos () = sin

( 2 R)

dé…nit une paramétrisation régulière de l’ellipse E d’équation 2

2+2

2= 1.

Question 950 {[4] Q270} Donnez deux paramétrisations régulières di¤érentesde l’hyperbole H d’équation 2

2¡ 22= 1, et justi…ez-les.

Question 951 {[4] Q274} Montrer qu’une ellipse est l’image de son cercleprincipal par une a¢nité orthogonale. En déduire une construction de l’ellipsepar points et tangentes.


Question 952 {[4] Q275} Que devient l’équation d’une hyperbole dans unrepère formé par ses asymptotes ?

Question 953 {[4] Q281} Montrer que deux hyperboles distinctes se coupenten au plus quatre points.

Question 954 {[4] Q283} Quelle di¤érence topologique permet de distinguerentre une ellipse et une hyperbole ? une ellipse et une parabole ? une hyperboleet une parabole ? Application : que représente la courbe d’équation 2 = 2( 2 R¤+) dans un repère non orthonormal ?Question 955 {[4] Q285} Donner, sans les justi…er, trois caractérisationsdi¤érentes d’une tangente à une ellipse.

Question 956 {[4] Q286} Donner, sans les justi…er, trois caractérisationsdi¤érentes d’une tangente à une hyperbole.

Question 957 {[4] Q287} Donner, sans les justi…er, trois caractérisationsdi¤érentes d’une tangente à une parabole.

Question 958 {[4] Q288} Quelle est la propriété fondamentale des paraboles.Applications ?

Question 959 {[4] Q289} Connaissez-vous une méthode simple permettantde construire la normale à une parabole en un point et utilisant le foyer et la projection de sur la directrice ?

Question 960 {[4] Q290} Dessiner une ellipse à la règle et au compas !

Question 961 {[4] Q291} Dessiner une hyperbole à la règle et au compas !

Question 962 {[4] Q295} Montrer que l’image d’une conique (dégénérée ounon) par une bijection a¢ne est une conique.

Question 963 {[4] Q296} Soit £ l’ensemble dont les éléments sont les el-lipses (on suppose ici qu’un cercle est une ellipse particulière), les hyperboleset les paraboles d’un plan a¢ne euclidien P donné. On sait qu’une bijection af-…ne transforme un élément de £ en un élément de £. On demande de montrerqu’une bijection a¢ne transforme nécessairement une ellipse en une ellipse,une hyperbole en une hyperbole, et une parabole en une parabole.

Question 964 {[4] Q297} Soient P un plan a¢ne euclidien et C une coniquede foyer et de directrice dessinée dans ce plan. Si est une isométriede P, montrer que (C) est une conique de foyer ( ) et de directrice ().Le résultat reste-il vrai si est une similitude ?

11.11. SOLIDES 123

Question 965 {[4] Q299} Montrer que la tangente à la conique d’équation2

2§ 22= 1 en un point 0 (0 0) est la droite d’équation 02 § 02 = 1.

11.11 Solides

Question 966 [6] Qu’est-ce qu’un polyèdre ? Pouvez-vous proposer une dé…-nition ? Qu’appelle-t-on polyèdre convexe ?

Question 967 [6] Comment dé…nissez-vous un polyèdre régulier ?

Question 968 [6] Connaissez-vous les solides de Platon ? Combien en existe-t-il ? Comment s’appellent-t-ils ?

Question 969 [6] Connaissez-vous la relation qui lie le nombre de sommets,d’arêtes et de faces d’un polyèdre convexe ? Qu’appelle-t-on polyèdre eulérien ?Existe-t-il des polyèdres non eulériens ?

Question 970 [6] (Oral du CAPES 2008) On sait réaliser le patron d’uncube. Pouvez vous nous présenter la construction d’un patron d’un cube sur-monté d’une pyramide, comme si nous étions dans une sympathique classe desixième ?

Question 971 [6] Soient 0000 un cube, et , , les milieuxdes arêtes [], [0] et [0].

+

A B

CD

A' B'

C'D'

I

J

K

1) Indiquer pour chacune des a¢rmations suivantes si elle est vraie ou fausseen justi…ant votre réponse :a) Les points , , sont alignés.b) Les droites () et (0) sont sécantes.c) Les droites () et (00) sont parallèles.d) Les droites () et () sont parallèles.

2) Commentez les réponses ci-dessous données par un élève :


a) Les points , , ne sont pas alignés car il n’appartiennent pas tous aumême plan.b) Les droites () et (0) sont sécantes car elles ne sont pas parallèles.c) 0 n’est pas sur la face 00 donc les droites () et (00) ne peuventpas être parallèles.d) Les droites sont parallèles car elles appartiennent à deux plans parallèles.

Question 972 [6] Un parallélépipède rectangle est dessiné en perspective, posésur un plan horizontal. Un peu en arrière de ce parallélépipède, on trace unsegment vertical [ ] ( est au-dessus de ). Une lampe est placée en ,à la verticale du point qui est supposé appartenir à . Tracer l’ombre duparallélépipède sur la table.

AB

C

DE

F GH

M

P

Question 973 [6] Une pyramide à base rectangulaire est posée surun plan horizontal ¦ sur sa face . On choisit trois points , , situésrespectivement sur les arêtes [], [] et [].a) Tracer l’intersection des plans () et ¦.b) Tracer l’intersection de la pyramide et du plan ().

O

A

B

C

D

P

Q

R

11.11. SOLIDES 125

Question 974 [6] La …gure ci-dessous représente un cube dont un coin a étécoupé. On a choisi un point sur une de ses arêtes. Tracer l’intersection ducube avec le plan passant par et parallèle au plan ().

A

B

C

D

E

F

G

H

P

Q

R

U

Question 975 [6] Les points et de la …gure ci-dessous appartiennent auxfaces et d’un tétraèdre . Comment faire pour construirel’intersection de la droite () et du plan () ?

A

B

C

D

PQ

Question 976 [6] Les points , , de la …gure ci-dessous appartiennentrespectivement aux faces , et du tétraèdre . On de-mande de tracer la section du tétraèdre par le plan ().

A

B

C

D

P

Q R


Question 977 [6] Montrer que la section d’un pavé droit par un plan parallèleà une arête est un rectangle.

Question 978 [6] Montrer que la section d’un cylindre de révolution par unplan parallèle à l’axe est un rectangle.

Chapitre 12

Nombres réels

Question 979 [1] Pouvez-vous donner des axiomes qui dé…nissent le corps Rdes réels ?

Question 980 [1] Connaissez-vous une construction explicite de R ? Pouvez-vous en donner les grandes lignes ?

127

128 CHAPITRE 12. NOMBRES RÉELS

Chapitre 13

Nombres complexes

13.1 Généralités

Question 981 ~[9] (Ecrit du CAPES 2015)a) Démontrer que, pour tout couple (1 2) de nombres complexes, on a

j1 + 2j · j1j+ j2j.b) On suppose 1 et 2 sont des nombres complexes non nuls. Montrer que

l’inégalité précédente est une égalité si et seulement s’il existe un réel positif tel que 2 = 1. Interpréter ce résultat en termes d’argument.

Question 982 [1] Pouvez-vous indiquer les grandes lignes d’une constructiondu corps des nombres complexe C ?

Question 983 [1] Soient R [] l’anneau des polynômes à une indéterminéeà coe¢cients réels, et

¡2 + 1

¢l’idéal engendré par 2 + 1 dans cet anneau.

On sait que le quotient R [] (2 + 1) est structuré en anneau commutatifpour les lois naturelles.a) Montrer que R [] (2 + 1) est un corps.b) Montrer que le polynôme 2+1 possède une racine dans R [] (2+1).c) Montrer que R [] (2 + 1) est un espace vectoriel sur R, et que le

système B = ( 1) est une base de cet espace.

d) Dé…nir un monomorphisme de corps de R dans R [] (2 + 1). Quepeut-on conclure ?

Question 984 [1] Peut-on énoncer une propriété universelle véri…ée par C,par exemple dire que C est à isomorphisme près le plus petit corps qui contiennele corps R et une racine de ¡1 ? Comment donner du sens à cette phrase ?Comment démontrer cette a¢rmation ?

129

130 CHAPITRE 13. NOMBRES COMPLEXES

Question 985 [1] Peut-on dé…nir l’argument de n’importe quel nombre com-plexe ? Et le module : peut-il être dé…ni partout ?

Question 986 [1] (Oral du CAPES externe 2006)Montrer que j12j = j1j £ j2j quels que soient 1, 2 appartenant à C.

Question 987 [1] Qu’appelle-t-on argument principal d’un nombre complexe ?

Question 988 [1] A-t-on le droit d’écrire arg (12) = arg (1) ¡ arg (2)lorsque 1 et 2 appartiennent à C¤ ?

Question 989 [1] Pouvez-vous dé…nir l’exponentielle d’un nombre com-plexe . Pourquoi utilise-t-on une notation qui rappelle l’exponentielle réelle ?

Question 990 [1] Que veut-on dire quand on parle de « grand argument »d’un nombre complexe, et que l’on note Arg avec un « A » majuscule au lieude arg ? Est-il nécessaire d’orienter le plan complexe pour parler de Arg ?

Question 991 [1] On note le nombre complexe = 23.a) Montrer que = 2.b) Montrer que 3 = 1.c) Montrer que 1 + + 2 = 0.d) Déterminer le module et un argument du nombre complexe = ¡2.e) Donner la forme algébrique de et de .

Question 992 [1] Soit = + un nombre complexe donné sous forme al-gébrique. On suppose dans toute la suite que le point d’a¢xe n’appartientpas à la demi-droite ¡ =

©( ) 2 R2 · 0ª. On note arg l’argument

de pris dans l’intervalle ]¡ [.a) Exprimer arg en fonction de et .b) En déduire qu’il existe une fonction : R2n¡ ! R de classe 1 sur

R2n¡, telle que arg (+ ) = ( ) quel que soit ( ) 2 R2n¡.

Question 993 [1] Comment résoudre une équation du second degré dans C ?

Question 994 [1] Résoudre l’équation 2 = ¡40 + 42 dans C.

Question 995 [1] Résoudre jj = j1j = j1¡ j.

13.2. NOMBRES COMPLEXES & GÉOMÉTRIE 131

13.2 Nombres complexes & géométrie

Question 996 [1] On considère trois points , et du plan, d’a¢xesrespectives , et . Soit la rotation de centre et d’angle 3. Exprimerl’a¢xe de l’image () de par en fonction de l’a¢xe de , de etde . On expliquera très précisément comment procéder et si l’on utilise unrésultat du cours, on le redémontrera.

Question 997 {[4] Q499} On se donne deux points 1 et 2 d’a¢xes 1 et2. Construire le point d’a¢xe = 12 à la règle et au compas.

Question 998 [1] Soit un nombre complexe di¤érent de 0 donné dans leplan d’Argand-Cauchy. Proposez une construction géométrique des nombrescomplexes tels que 2 = à la règle et au compas.

Question 999 {[4] Q479} Donner une CNS portant sur les a¢xes et 0 dedeux vecteurs ¡! et ¡! 0 pour que ces vecteurs soient orthogonaux.

Question 1000 {[4] Q479} Donner une CNS portant sur les a¢xes et 0

de deux vecteurs ¡! et ¡! 0 pour que ces vecteurs soient colinéaires.

Question 1001 {[4] Q481} Quelles est l’écriture complexe d’une translation ?d’une rotation ? d’une homothétie ? de la ré‡exion par rapport à l’axe desabscisses ?

Question 1002 {[4] Q482} Quelle est l’expression complexe d’une similitudedirecte du plan ?

Question 1003 {[4] Q483} Quelle est l’expression complexe d’une similitudeindirecte du plan ?

Question 1004 {[4] Q484} Soit P un plan a¢ne euclidien. Un utilisantuniquement le fait qu’une similitude de P est une application de P dans Pqui conserve les rapports de distance, et qu’une similitude est directe si elleconserve les angles orientés de vecteurs, démontrer que : P ! P est unesimilitude directe si et seulement si son écriture complexe est de la forme () = + où ( ) 2 C¤ £C.

Question 1005 {[4] Q485} L’écriture 0 = + + (où 2 C et( ) 6= (0 0)) est-elle l’expression complexe d’une similitude ? Justi…ez.

Question 1006 {[4] Q488} Dessinez à la règle et au compas l’ensemble despoints d’a¢xe telles que arg

³¡2¡1´= 4 (2).

132 CHAPITRE 13. NOMBRES COMPLEXES

Question 1007 {[4] Q489} Pouvez-vous dire quel est le lieu des points dont l’a¢xe véri…e arg

³¡2¡´= 4 () ?

Question 1008 {[4] Q490} C est le cercle circonscrit à un triangle .On note son centre, son rayon, et , , les a¢xes de , , dans unrepère d’origine .a) Quelle est l’a¢xe du centre de gravité du triangle ?b) Montrer que = ++ est l’a¢xe de l’orthocentre du triangle .En déduire que

¡¡! = 3

¡¡!.

Chapitre 14

Divers

14.1 Raisonnements

Question 1009 [7] On veut montrer que dans toute boîte contenant crayonsde couleur, tous les crayons sont de la même couleur. On raisonne par récur-rence sur . La propriété est triviale si = 1. Si elle est vraie au rang ,on considère une boîte contenant + 1 crayons de couleur numérotés de 1à + 1. Si on enlève le premier crayon de la boîte, celle-ci ne contient plusque des crayons de même couleur d’après l’hypothèse récurrente. Si l’on en-lève le dernier crayon de la boîte, celle-ci ne contient plus que des crayonsde même couleur. Obligatoirement les + 1 crayons de la boîte seront de lamême couleur, et la propriété est vraie au rang . Où est l’erreur dans ceraisonnement ?

Question 1010 [7] Dans une contrée vivent uniquement des gueux et deschevaliers. Les chevaliers disent toujours la vérité, mais les gueux mententirrémédiablement. Vous rencontrez deux hommes A et B. Soudain A dit que Best un chevalier, et B a¢rme que vous êtes devant un gueux et un chevalier.Qui sont A et B?

Question 1011 [3] a) Soient , , trois réels positifs ou nuls tels que ·+ . Montrer l’inégalité :

1 + ·

1 + +

1 +

b) Soit une distance sur un ensemble . Montrer que l’application 0

suivante est une distance sur :

0 =

1 +

133

134 CHAPITRE 14. DIVERS

Question 1012 [7] Soit un nombre réel tel que ¸ p3. Démontrer que :1

2

µ+3

¶¸p3

Question 1013 [7] Résoudre dans R l’équation :¯̄2 ¡ 6+ 8¯̄ = 2¡ 7 ()

14.2 Autres questions

Question 1014 [7] L’implication 1 = 0 ) 10 3 est-elle vraie ? Si oui,démontrez-là.

Bibliographie

[1] D.-J. Mercier, Acquisition des fondamentaux pour les concours, Vol. I :Nombres, algèbre, arithmétique et polynômes, CSIPP, 2014.

[2] D.-J. Mercier, Acquisition des fondamentaux pour les concours, Vol. II :Algèbre linéaire, CSIPP, 2014.

[3] D.-J. Mercier, Acquisition des fondamentaux pour les concours, Vol. III :Espaces euclidiens et hermitiens, CSIPP, 2014.

[4] D.-J. Mercier, Acquisition des fondamentaux pour les concours, Vol. IV :Géométrie a¢ne et euclidienne, CSIPP, 2014.

[5] A. Delcroix, D.-J. Mercier, A. Omrane, Acquisition des fondamentauxpour les concours (grandes écoles, CAPES, agrégation, ...), Vol. V : Ana-lyse, Intégration, Géométrie, Publibook, 2011.

[6] D.-J. Mercier, Acquisition des fondamentaux pour les concours, Vol. VI -Cuvée spéciale, analyse et autres joyeusetés, CSIPP, 2013.

[7] D.-J. Mercier, Acquisition des fondamentaux pour les concours, Vol. VII -Topologie et autres thèmes lumineux, CSIPP, 2014.

[8] D.-J. Mercier, Acquisition des fondamentaux pour les concours, Vol. VIII -Analyse, à paraître.

[9] D.-J. Mercier, Acquisition des fondamentaux pour les concours, Vol. IX -Algèbre et arithmétique, à paraître.

[10] D.-J. Mercier, Exercices et problèmes de mathématiques pour le CAPESet l’agrégation interne, Publibook, 2013.

[11] D.-J. Mercier, Dossiers mathématiques n±6, Les grands théorèmes del’analyse, CSIPP, 2013.

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