CAPES Sciences Physiques T1 Physique

BELINPhysique

CAPES de Sciences physiquesTOME 1 - PHYSIQUE COURS ET EXERCICESNicolas BILLYq

di

3 tion

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Jean DESBOISq

Marie-Alix DUVAL

Mady ELIASq

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Pascal MONCEAU

Aude PLASZCZYNSKI

Michel TOULMONDE

BELIN

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DANS LA COLLECTION BELIN SUP SCIENCESS. BACH, F. BUET, G. VOLET CAPES de Sciences physiques. Tome 2. Chimie, cours et exercices M. GUYMONT Structure de la matire, cours A. MAUREL Optique ondulatoire, cours Optique gomtrique, cours A. MAUREL, J.-M. MALBEC Optique gomtrique, rappels de cours et exercices A. MAUREL et G. BOUCHET Optique ondulatoire, rappels de cours et exercices J. BRUNEAUX, M. SAINT-JEAN et J. MATRICON lectrostatique et magntostatique, cours lectrostatique et magntostatique, rappels de cours et exercices

DANS LA COLLECTION BELIN SUP HISTOIRE DES SCIENCESR. LEHOUCQ ET J.-P. UZAN Les constantes fondamentales O. DARRIGOL Les quations de Maxwell. De MacCullagh Lorentz A. BARBEROUSSE La mcanique statistique. De Clausius Gibbs M. BLAY La science du mouvement. De Galile Lagrange

Aude Plaszczynski et Marie-Alix Duval remercient respectivement Daniel Andr et Henri Sergolle dont les excellents polycopis ont inspir des parties des chapitres 8 et 10.

Photo de couverture CNRS photothque/F. Livolant. Schmas : Laurent Blondel/Cordoc

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Sommaire1. MCANIQUE (Pascal Monceau) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dynamique du point matriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Grandeurs cintiques fondamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Principe de linertie ; rfrentiels galilens (1re loi de Newton) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Principe fondamental de la dynamique. Rfrentiels galilens (2e loi de Newton) . . . . Principe des actions rciproques (3e loi de Newton) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Principe fondamental de la dynamique. Cas des rfrentiels non galilens . . . . . . . . . . Thorme du moment cintique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Thorme de lnergie cintique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Interactions conservatives. nergie potentielle, nergie mcanique . . . . . . . . . . . . . . . . Forces centrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Oscillateur harmonique une dimension. Oscillations libres . . . . . . . . . . . . . . . . . . Mouvement dune particule au voisinage dune position dquilibre stable . . . . . . . . . . Oscillateur harmonique unidimensionnel non amorti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Oscillateur harmonique unidimensionnel amorti par frottement uide . . . . . . . . . . . . . Aspect nergtique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Oscillations forces : loscillateur harmonique entretenu ; rsonance . . . . . . . . . . . Recherche du rgime permanent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Comportement de la rponse en amplitude en fonction de la frquence . . . . . . . . . . . . Aspect nergtique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Mcanique des systmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Prliminaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Centre dinertie ; rfrentiel barycentrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Quantit de mouvement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Moment cintique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . nergie cintique. Conservation de lnergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Thormes de Koenig . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Rduction canonique du problme deux corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Mcanique du solide indformable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . lments de cinmatique du solide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Moment cintique, nergie cintique, oprateur dinertie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Solide en rotation autour dun axe xe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Moments dinertie connatre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Thorme de Huygens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Contact entre solides. Frottement de glissement, lois de Coulomb . . . . . . . . . . . . . . . . Roulement sans glissement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Statique des uides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Notion de pression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Loi fondamentale de lhydrostatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13 15 15 15 16 16 17 18 18 19 20 20 20 21 21 23 23 23 24 25 26 26 26 27 27 28 29 29 30 30 31 32 33 34 34 35 36 36 363

Thorme dArchimde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36 37 62

Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. LECTROMAGNTISME (Mady Elias) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121lectrostatique : charges - forces - champ et potentiel lectrostatiques . . . . . . . . . Les charges lectriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Linteraction coulombienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Le champ lectrostatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Le potentiel lectrostatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Thorme de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Les quations locales de llectrostatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Circulation conservative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Expression locale du thorme de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Proprits du potentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dnition et continuit des champs et des potentiels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Les conducteurs en lectrostatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Conducteur en quilibre lectrostatique champ et potentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Capacit dun conducteur seul dans lespace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Plusieurs conducteurs en quilibre lectrostatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Inuence totale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Condensateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . nergie potentielle dinteraction lectrostatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Systme de charges ponctuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Distribution continue de charges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Distribution volumique de charges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . nergie associe au champ lectrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Utilisation de lnergie pour le calcul des forces lectrostatiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . Magntostatique : champ et force magntiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Force magntique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Champ magntique : loi de Biot et Savart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exemples de calcul de B partir de la loi de Biot et Savart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Symtries du champ magntique. Thorme dAmpre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Symtries par rapport un plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Symtries par rapport un plan 1 inversion du sens des courants (transformation S.I.) Circulation du champ magntique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Potentiel-vecteur. Flux et circulation du champ magntique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Le potentiel-vecteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Flux du champ magntique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . quation locale portant sur le potentiel-vecteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Relations de passage pour le champ magntique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Induction lectromagntique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exprience fondamentale de Faraday (1831) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Autres conditions de manifestation du phnomne dinduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

124 124 124 124 125 126 127 127 128 129 130 131 131 131 132 132 132 133 133 133 133 133 134 134 134 135 135 136 136 137 137 139 139 140 140 141 141 141 143

Induction mutuelle et auto-induction dans lapproximation des rgimes quasistationnaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

4

tude dune bobine relle dans lapproximation des rgimes quasi-stationnaires . . . . . Le moteur courant continu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Constitution dun moteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Phnomne dinduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Couple lectromagntique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Moteur excitation indpendante (ou spare) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Moteur excitation srie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Les quations de llectromagntisme en rgime variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . quation de continuit (conservation de la charge lectrique) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . quation de Maxwell - Ampre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Potentiels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ondes lectromagntiques dans le vide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . quation de propagation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Une solution particulirement simple : londe plane homogne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ondes sinusodales. Polarisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . nergie lectromagntique : densit volumique et ux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vue densemble des radiations lectromagntiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . lectromagntisme de la matire : tude macroscopique des dilectriques . . . . . . Mise en vidence du rle des dilectriques en lectrostatique : polarisation induite . . . Vecteur polarisation P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Susceptibilit lectronique xe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Rpartition des charges de polarisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Potentiel et champ lintrieur du dilectrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . quations de Maxwell et consquences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . lectromagntisme de la matire : tude microscopique des dilectriques . . . . . . Polarisation lectronique des atomes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Polarisation des molcules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bilan des polarisations des dilectriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . lectromagntisme de la matire : milieux aimants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Diple magntique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Moments dipolaires magntiques dans la matire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Description dun chantillon de matire aimante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . quations de Maxwell dans la matire aimante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

144 144 144 145 146 147 148 149 149 149 150 151 151 151 152 153 154 154 154 154 155 155 155 156 156 156 157 157 158 158 159 160 160

Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198

3. LECTROCINTIQUE (Michel Toulmonde) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Linteraction lectrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Domaines dtude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Les interactions en physique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Le champ lectrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Le potentiel lectrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Capacit lectrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Les circuits lectriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Courant lectrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Loi dOhm pour un conducteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .SOMMAIRE

255 257 257 257 257 258 259 260 260 2615

Diple lectrocintique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Rsistance pure (conducteur ohmique) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Loi dOhm gnralise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lois des circuits lectriques (lois gnrales) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Loi de Joule, nergie, puissance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Les rgimes sinusodaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Grandeurs sinusodales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Intensit efcace (effet Joule) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Loi dOhm en rgime sinusodal (circuit RLC srie) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Circuit oscillant parallle (circuit bouchon) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Puissance en rgime sinusodal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Les rgimes variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Rgime transitoire avec R, L ou C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Charge et dcharge dun condensateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Courant transitoire dans une bobine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dcharge dun condensateur dans une bobine (RLC srie) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Mesure de dphasage loscilloscope . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

261 263 264 266 269 270 270 271 271 274 274 276 276 276 277 278 280


4. LECTRONIQUE (Mady Elias) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301Rseaux linaires en rgime permanent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lois de Kirchhoff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Thorme de superposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Thorme de Thvenin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Thorme de Norton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Thorme de Millman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Conseils dutilisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Diodes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Semi-conducteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Jonction p-n dune diode semi-conductrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Caractristiques dune diode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Transistors. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Description du transistor bipolaire npn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Le transistor amplicateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Amplicateur oprationnel ou amplicateur de diffrence intgre . . . . . . . . . . . . . Lamplicateur oprationnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fonctionnement de lA.O. en rgime linaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fonctionnement en rgime de saturation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lamplicateur oprationnel rel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . carts la perfection des A.O. rels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Modulations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Principe de la modulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Modulation damplitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Modulation de frquence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6

303 303 303 303 304 304 305 305 305 306 308 309 310 310 312 314 314 316 316 317 318 318 318 319 322

Conversions numrique-analogique et analogique-numrique . . . . . . . . . . . . . . . . Gnralits sur la conversion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Conversion numrique-analogique (CNA) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Conversion analogique numrique (CAN) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

324 324 325 326


5. ONDES ( Jean Desbois) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . quations dondes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Propagation unidimensionnelle (ondes planes) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dispersion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ondes lectromagntiques dans le vide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . quations de Maxwell dans le vide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Proprits des ondes lectromagntiques dans le vide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dtection des ondes centimtriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ondes lectromagntiques dans la matire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . quations de Maxwell dans les milieux matriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Conditions de passage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exemples de milieux matriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Rexion et transmission (incidence normale) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Onde basse frquence dans un mtal. paisseur de peau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pression de radiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ondes acoustiques dans un uide parfait . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . quation dondes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384 384 384 386 386 386 388 390 390 391 391 392 393 395 397 397 398

Impdance acoustique caractristique (ou itrative). Rexion, transmission (incidence normale) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 399 Ultrasons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 399

Leffet Doppler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . La source S et le rcepteur R ont des mouvements colinaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Cas gnral non relativiste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Londe se rchit sur R avant dtre capte par S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Effet Doppler relativiste. Dcalage vers le rouge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

400 400 401 401 403


6. OPTIQUE GOMTRIQUE ( Jean Desbois) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 459Lois de Descartes. Stigmatisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Chemin optique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Principe de Fermat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lois de Descartes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Stigmatisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Image dun point objet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aplantisme. Grandissement linaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .SOMMAIRE

460 460 460 460 461 461 4627

Loptique de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Conditions de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . lments cardinaux dun systme centr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dioptres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lentilles. Doublets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Qualits des instruments doptique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Grandissement linaire g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Puissance P (pour loupes et microscopes) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Grossissement G . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Champ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pouvoir sparateur. Limite de rsolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fibres optiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fibres saut dindice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fibres gradient dindice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fibres multimodes. Fibres monomodes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dispersion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pertes. Coefcient dattnuation linique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Matriau utilis. Procd de fabrication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Utilisation et intrt des bres optiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Complments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Miroirs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Rtroprojecteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Grandeurs photomtriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

462 462 463 465 466 471 471 471 473 474 475 477 478 478 479 480 481 481 482 482 482 483 484 485


7. OPTIQUE ONDULATOIRE (Nicolas Billy) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 531 Description dune onde lectromagntique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533Onde lectromagntique monochromatique plane, polarise rectilignement, dans le vide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Onde lectromagntique monochromatique plane dans un milieu dindice n . . . . . . . . Amplitude complexe et intensit de londe lumineuse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Quelques ordres de grandeur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

La polarisation de la lumire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lumire polarise : polarisation linaire, circulaire, elliptique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Polariseur, loi de Malus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Cohrence temporelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Un modle simple de cohrence temporelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Quelques ordres de grandeur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lumire naturelle (ou non polarise) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Coefcients de rexion et de transmission ( incidence normale). . . . . . . . . . . . . . Coefcients de rexion et de transmission de lamplitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Coefcients de rexion et de transmission de lnergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8

533 535 536 537 538 538 539 540 541 543 543 544 544 545

Les trous de Young . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Description . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Mthode de calcul des dphasages en optique physique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Intensit des interfrences lumineuses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Description de la gure dinterfrences, interfrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Quelques variations sur le thme trous de Young . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Observations des interfrences de type trous de Young . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Interfrences non localises et interfrences localises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Interfrences par division damplitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Franges dgale inclinaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Franges dgale paisseur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Interfromtres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Interfromtre deux ondes (ou interfromtre faisceaux spars) . . . . . . . . . . . . . . . Interfromtre ondes multiples (ou de Fabry-Perot) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Principe de Huygens Fresnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Quest ce que la diffraction ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Principe de Huygens Fresnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Validit du principe de Huygens Fresnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Diffraction de Fresnel et diffraction de Fraunhofer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Diffraction linni par une fente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Diffraction par une fente innie claire sous incidence normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . Diffraction par une fente innie claire sous incidence oblique . . . . . . . . . . . . . . . . . . Diffraction linni par une ouverture rectangulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Diffraction par une ouverture circulaire, limite de rsolution des instruments doptique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Diffraction linni par une ouverture circulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Limite de rsolution dun instrument doptique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Diffraction linni par deux crans complmentaires, thorme de Babinet . . . Processus dinteraction entre la matire et le rayonnement. mission stimule . . Rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Description qualitative des processus dinteraction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Description quantitative : mission spontane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Description quantitative : absorption . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Description quantitative : mission stimule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

546 547 547 548 550 551 560 561 562 562 565 568 568 569 572 572 573 573 574 575 575 577 578 581 581 582 584 584 584 586 587 589 590

quilibre thermodynamique, rayonnement du corps noir, relations entre coefcients dEinstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 591

Principes de fonctionnement dun laser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Cavit optique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Milieu amplicateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Proprits du rayonnement mis par un laser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

592 593 594 596


8. THERMODYNAMIQUE (Aude Plaszczynski) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 635 Vocabulaire et dnitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 637 Notion de systme thermodynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 637SOMMAIRE

9

tat dun systme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 637 Transformations dun systme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 638 Variables dtat communment utilises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 638

Gaz parfaits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dnition et quation dtat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Mlange de gaz parfaits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Transformations dun gaz parfait . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Quelques proprits des corps purs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Coefcients thermolastiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Diagramme dtat (P; T ) dun corps pur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Diagramme (P; V ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Cas particulier de leau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Premier principe de la thermodynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Notion dnergie interne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dnition nergtique du gaz parfait . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Le premier principe de la thermodynamique (pour les systmes ferms) . . . . . . . . . . . . Notion denthalpie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Calcul du travail chang par un systme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dnition du travail . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Diffrents types de transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Travail des forces de pression pour une transformation quasi-statique . . . . . . . . . . . . . . Exemples de calcul du travail . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Calcul de la chaleur change par un systme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Coefcients calorimtriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Chaleur change par des solides ou des liquides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Chaleur change par un gaz parfait . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Changements de phase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dtentes de Joule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dtente de Joule-Gay-Lussac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dtente de Joule-Thomson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Second principe de la thermodynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Notion dentropie, nonc du second principe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Diffrentielle de lentropie ; application au cas du gaz parfait . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bilan entropique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Diagrammes entropiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Machines thermiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Relations fondamentales. Ingalit de Clausius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Diffrents types de machines thermiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Rendement et efcacit des machines thermiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exemples de fonctionnement de machines frigoriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Moteurs de Carnot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Thorie cintique des gaz parfaits monoatomiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Les bases de la thorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

639 639 639 640 640 640 641 641 642 642 642 643 643 644 646 646 647 647 647 648 648 648 649 651 652 652 653 653 653 654 655 657 658 659 659 660 661 662 662 663

Proprits du gaz parfait : interprtation microscopique de la pression et de la temprature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 664 Loi de distribution de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 667

10

Transferts thermiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aspects phnomnologiques de la diffusion thermique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Flux de chaleur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Loi de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Les quations de la diffusion thermique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

669 669 670 670 671


9. PHYSIQUE MODERNE (Marie-Alix Duval) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 703Dualit onde-corpuscule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Phnomnes ou expriences classiquement inexplicables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dualit onde-corpuscule en lectromagntisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Gnralisation de la dualit onde-corpuscule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dynamique relativiste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Un peu de relativit restreinte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Cinmatique des ractions du type 1(12) 3 1 4 1 5 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Le noyau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Gnralits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Radioactivit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 704 704 709 709 710 710 712 714 714 715

Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 716

10. ASTRONOMIE (Michel Toulmonde) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lastronomie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Repres historiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Domaines dtude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Mouvements apparents. Les observations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Le mouvement diurne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Mouvements apparents du Soleil et de la Lune . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Les phases de la Lune . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Les clipses de Soleil et de Lune . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Mouvements apparents des plantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Temps et calendrier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Origine astronomique des units de temps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Valeur des units . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Le jour . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Remarques importantes sur le vocabulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Les chelles dans lUnivers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Units de distance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exemples de distances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Parallaxe stellaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Le Systme solaire lchelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dtermination des distances de la Lune et du Soleil. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . La distance Terre-Lune . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . La distance Terre-Soleil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .SOMMAIRE

733 735 735 735 735 736 737 738 739 740 741 742 742 743 744 745 745 745 747 748 750 750 75111

Mesure de la Terre par ratosthne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Copernic et le modle hliocentrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Les priodes sidrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Les distances au Soleil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Modle gocentrique et modle hliocentrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . La gravitation universelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aspect historique de la dcouverte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Newton et la force centrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Newton, la pomme et la Lune . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Masse dinertie et masse gravitationnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Masse de la Terre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Les mares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Attraction diffrentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Le marnage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Rythme des mares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Inuence du Soleil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ralentissement de la rotation de la Terre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Priode de rotation de la Lune . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lunettes et tlescopes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . volution historique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Clart dun instrument (lunette ou tlescope) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pouvoir sparateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Radiotlescopes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Analyse spectrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dcouvertes de Newton (1670) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Principes de lanalyse spectrale (1859) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Effet Doppler-Fizeau (1848) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Nuclosynthse stellaire et vie des toiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Les ractions nuclaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . volution dune toile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Abondance des lments dans lUnivers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Quelques lois du rayonnement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

752 754 754 755 756 757 757 758 759 759 759 759 759 761 761 761 762 763 765 765 767 767 767 768 768 769 769 770 770 771 771 771


A. RAPPELS MATHMATIQUES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Formules de trigonomtrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Moyenne dune fonction priodique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dveloppements limits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Quelques relations utiles danalyse vectorielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

797 797 798 798 799

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C h a p i t r e

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McaniqueLes notes de cours de ce chapitre rappellent les grands principes et thormes indispensables pour passer le concours du CAPES et enseigner la physique en lyce et collge. Elles attirent dautre part lattention sur certains points prcis dont lexprience montre quils posent souvent des problmes aux tudiants. Elles doivent tre conues comme un guide pour les rvisions. Leur contenu doit tre connu avec prcision avant daborder les exercices et problmes qui en permettront lassimilation. Les exercices et problmes ont t slectionns de manire constituer un ensemble pdagogiquement cohrent : ils recouvrent une trs large partie du contenu du programme, et requirent lutilisation de la plupart des mthodes mises en oeuvre pour rsoudre les problmes de mcanique.1. Dynamique du point matriel 1.1. Grandeurs cintiques fondamentales 1.2. Principe de linertie ; rfrentiels galilens (1re loi de Newton) 1.3. Principe fondamental de la dynamique. Rfrentiels galilens (2e loi de Newton) 1.4. Principe des actions rciproques (3e loi de Newton) 1.5. Principe fondamental de la dynamique. Cas des rfrentiels non galilens 1.6. Thorme du moment cintique 1.7. Thorme de lnergie cintique 1.8. Interactions conservatives. nergie potentielle, nergie mcanique 1.9. Forces centrales 2. Oscillateur harmonique une dimension. Oscillations libres 2.1. Mouvement dune particule au voisinage dune position dquilibre stable 2.2. Oscillateur harmonique unidimensionnel non amorti 2.3. Oscillateur harmonique unidimensionnel amorti par frottement uide 2.4. Aspect nergtique 3. Oscillations forces : loscillateur harmonique entretenu ; rsonance 3.1. Recherche du rgime permanent 3.2. Comportement de la rponse en amplitude en fonction de la frquence 3.3. Aspect nergtique 4. Mcanique des systmes 4.1. Prliminaire 4.2. Centre dinertie ; rfrentiel barycentrique13

1. MCANIQUE

4.3. 4.4. 4.5. 4.6. 4.7.

Quantit de mouvement Moment cintique nergie cintique. Conservation de lnergie Thormes de Koenig Rduction canonique du problme deux corps

5. Mcanique du solide indformable 5.1. lments de cinmatique du solide 5.2. Moment cintique, nergie cintique, oprateur dinertie 5.3. Solide en rotation autour dun axe xe 5.4. Moments dinertie connatre 5.5. Thorme de Huygens 5.6. Contact entre solides. Frottement de glissement, lois de Coulomb 5.7. Roulement sans glissement 6. Statique des uides 6.1. Notion de pression 6.2. Loi fondamentale de lhydrostatique 6.3. Thorme dArchimde

14

1. DYNAMIQUE DU POINT MATRIEL1.1. Grandeurs cintiques fondamentalesPour un point matriel M, de masse m, anim dune vitesse par rapport un rfrentiel R donn, on v dnit les grandeurs cintiques suivantes : * Quantit de mouvement :O M

p

p = m v* Moment cintique en un point A :

R

= AM sA p(moment en A de la quantit de mouvement). * nergie cintique : Ec = 1 2 mv 2

1.2. Principe de linertie ; rfrentiels galilens (1re loi de Newton)Principe : Il existe des rfrentiels privilgis, appels galilens, dans lesquels la quantit de mouvement dune particule isole est constante (cela correspond soit au repos, soit au mouvement rectiligne uniforme).

Cette loi fait des droites des objets cinmay1 y2 tiques privilgis. Ce sont aussi des objets gomtriques privilgis (dans un espace euclidien). Les rfrentiels galilens sont en translaV x1 x2 O1 O2 tion rectiligne uniforme les uns par rapport aux autres. Loprateur qui permet R1 R2 z1 z2 de passer dun rfrentiel un autre est la transformation de Galile G(V ). Elle contient lhomognit et lisotropie de lespace ainsi que luniformit du temps. La vitesse de propagation de linformation est suppose innie. Dans lhypothse o R2 est en translation rectiligne uniforme de vitesse V par rapport R1 , dans la direction parallle Ox (Fig. ci-dessus), la relation1. MCANIQUE

15

entre les deux rfrentiels scrit (dans les repres dnis par les origines O1 , O2 et les trois axes de directions xes associs) : x1 1 0 0 V x2 y1 0 1 0 0 y2 = z1 0 0 1 0 z2 0 0 0 1 t1 t2 Matriciellement, cette relation scrit :

[X1 ] = G( V ) [X2 ]Il est facile de montrer que lensemble structure de groupe :

G( V )

des transformations de Galile a une

G( V ) G( V ) = G( V " )

o V = V 1 V

Les lois de la mcanique classique sont invariantes dans les transformations du groupe de Galile.

1.3. Principe fondamental de la dynamique. Rfrentiels galilens (2e loi de Newton)Principe : Dans un rfrentiel galilen, la drive de la quantit de mouvement dun point matriel par rapport au temps est gale la somme des forces quil subit.

dp dt

=Rgal

f

Dans un autre rfrentiel galilen, le principe fondamental appliqu ce point scrit exactement de la mme faon, puisque deux rfrentiels galilens ne sont pas acclrs lun par rapport lautre. a f Dans le cas o la masse du point est constante, ce principe scrit m =

1.4. Principe des actions rciproques (3e loi de Newton) Principe : Si un point matriel 1 exerce sur un point matriel 2 une force F12 , alors le point matriel 2 exerce sur 1 une force oppose F21 = F12

Cette loi suppose une transmission instantane de linformation. Ainsi, le principe des actions rciproques nest-il plus valable dans le cadre de la thorie de la relativit restreinte.16

1.5. Principe fondamental de la dynamique. Cas des rfrentiels non galilens R2 est en translation par rapport R1 (translation non rectiligne uniforme).Principe : Le principe fondamental de la dynamique dans R2 non galilen scrit :y1 y2 M

dp dt

O1

x1

O2

x2

=R2

f 1 fie (M)z1 R1 Galilen z2 R2 en translation non rectiligne uniforme par rapport R1

fie (M) est la force dinertie dentranement du point M due lacclration de R2 par rapport R1 galilen.

Dans le cas dune translation, lacclration dentranement du point M ne dpend ni de sa position par rapport R2 ni de sa vitesse par rapport R2 et on a :

fie (M) = m (M) = m (R2 /R1 ) = m ae a

d2 O1 O2 dt 2

o (R2 /R1 ) est lacclration de R2 dans sa translation par rapport R1 . a R2 est en rotation autour dun axe par rapport R1Principe : Le principe fondamental de la dynamique dans R2 non galilen scrit :R1 z 1 H M y2 O y1

dp dt

z2

=R2

f 1 fie (M) 1 fic (M)

o fie (M) est la force dinertie dentranement du point M due la rotation de R2 par rapport R1 galilen et fic (M) la force dinertie de Coriolis du point M.

x1 R2 x2

Lacclration dentranement du point M comporte deux termes dpendant de la position de M dans R2 . Lun dentre eux est la cause de la clbre force dinertie centrifuge, lautre nintervient que si la rotation de R2 par rapport R1 est non uniforme. Si V (R2 /R1 )1. MCANIQUE

17

dsigne le vecteur rotation (ici parallle Oz1 ) de R2 par rapport R1 , on a :

fie (M) = m (M) = ae

mV HM

2

d V (R2 /R1 ) m OM dt

force dinertie centrifuge (en mV2 r) o H est le projet orthogonal de M sur Oz1 Lacclration de Coriolis du point M dpend de la vitesse de M dans le rfrentiel entran R2 , 2 (M) vR fic (M) = 2m V (R2 /R1 ) vR2 (M)

1.6. Thorme du moment cintiqueThorme : La drive par rapport au temps du moment cintique du point matriel M en un point xe O dun rfrentiel galilen est gale la somme des moments en ce point des forces subies par M : d O s = MO ( f ) o MO ( f ) = OM f dt Rgal

Pour utiliser le thorme du moment cintique dans un rfrentiel non galilen, il faut ajouter la somme des moments les moments des forces dinertie dentranement et de Coriolis, soit OM fie (M) et OM fic (M).

1.7. Thorme de lnergie cintique Cas dun rfrentiel galilenThorme : Dans un rfrentiel galilen, la variation dnergie cintique du point M entre deux instants t1 et t2 est gale la somme des travaux des forces subies par M entre ces deux instants. W12 ( f ) DEc = Ec2 Ec1 = o

M1 O Rgal

M2

W12 ( f ) =

M2 M1

f dOM

Si dsigne le vecteur vitesse de M, la puissance de la force f un instant donn est : vdW P( f )= = f v dt

18

Il est utile de se rappeler quon peut calculer le travail en intgrant la puissance de f entre deux instants : t2 W12 ( f ) = P ( f )dtt1

Cas dun rfrentiel non galilen : il faut ajouter la somme des travaux des forces, les travaux des forces dinertie dentranement.Remarque : la force dinertie de Coriolis ne travaille pas, puisquelle est chaque instant normale la vitesse du point dans le rfrentiel entrain (sa puissance est toujours nulle) : P ( fic (M)) = fic (M) vR2 (M) = 0, (t)

1.8. Interactions conservatives. nergie potentielle, nergie mcanique Forces conservatives : une force est conservative si son travail lors du dplacement du point matriel M dun point A un point B ne dpend pas du chemin suivi. En particulier sur un contour ferm quelconque : f dOM = 0, C, fermC

Il est alors facile de montrer quune force est conservative si et seulement sil existe une fonction scalaire Ep (x, y, z), ne dpendant que des coordonnes despace, telle que : f (x, y, z) = gradEp (x, y, z) On a alors WAB ( f ) = Ep (A) Ep (B) Lnergie potentielle Ep (x, y, z) nest pas, tant donn un champ de forces, dnie de faon univoque, mais une constante additive prs. On dit que le champ de forces f drive dun potentiel. Etant donn un champ de forces f , il est donc conservatif si rot( f ) = 0 Conservation de lnergie mcanique : en appliquant le thorme de lnergie cintique, dans le cas o les forces drivent toutes dun potentiel, on montre que :Thorme : Lnergie mcanique Em = Ec 1 Ep dune particule soumise uniquement des forces conservatives ne dpend pas du temps : dEm =0 dt

Il est important de remarquer que cette proprit reste vraie si la particule est aussi soumise des liaisons (forces de contact avec une surface ou une courbe) condition que celles-ci ne travaillent pas. Cest en particulier le cas en labsence de frottements, mais aussi lorsquon a des frottements latraux, de rsultante orthogonale la vitesse tout instant.1. MCANIQUE

19

1.9. Forces centralesUn point matriel M est soumis une force centrale de centre O si la droite daction de cette force passe par O quelle que soit la position de M. Une telle force drive dune nergie potentielle qui est obligatoirement isotrope (les lignes de force sont orthogonales ur ur aux surfaces dgale nergie potentielle) de sorte quon lcrit F = f (r) , o est le dEp . vecteur unitaire radial des coordonnes sphriques, avec f (r) = drProprits : Soit un point matriel M soumis uniquement une force centrale de centre O. On observe les proprits suivantes : Le moment cintique en O (M) du point matriel est conservatif. s

Le mouvement de M seffectue donc dans un plan perpendiculaire O (M) et passant par O. s On le dcrira de manire pratique en coordonnes polaires.

O

Le mouvement de M obit la loi des aires : pendant une dure Dt donne, le rayon vecteur OM balaie des aires gales, quelle que soit la position de M. Lnergie mcanique du point M dans un champ de forces central F = f(r) ur est conservative.

Compte tenu de la conservation du moment cintique, on peut passer des expressions gnrales de la vitesse et de lacclration en coordonnes polaires (r, u) des relations ne faisant plus intervenir le temps ; ce sont les formules de Binet. En dnissant la constante s des aires C par O (M) = mC, on a C = r 2 , et : 1 d2 2 2 2 1 d 1 r = C 1 1 1 a ur v2 = C2 2 r 2 r du r r du

Voir exercices 1 15

2. OSCILLATEUR HARMONIQUE UNE DIMENSION. OSCILLATIONS LIBRES2.1. Mouvement dune particule au voisinage dune position dquilibre stableUne position dquilibre stable pour une particule place dans un champ de forces drivant dune nergie potentielle se dnit par lexistence dune force de rappel lorsquon lcarte de cette position ; comme F = grad(Ep ), cela se traduit par un minimum de lnergie potentielle. Dans le cas gnral multidimensionnel, ltude des positions dquilibre et de leur stabilit peut tre difcile car les surfaces quipotentielles peuvent avoir une topologie complique (points selles,... )20

2.2. Oscillateur harmonique unidimensionnel non amortiLhypothse harmonique suppose que la rponse est linaire : la force de rappel est proportionnelle au dplacement x de la particule par rapport sa position dquilibre stable. Lnergie potentielle est donc quadratique par rapport aux dplacements. tude dynamique : une dimension Fx = kx, o x repre le dplacement de la particule par rapport lquilibre, est la seule force quelle subit. Le principe fondamental de la dynamique conduit une quation diffrentielle linaire du second ordre coefcients constants : 2 dx 1 v2 x = 0 0 dt 2 k La solution gnrale peut scrire x(t) = a sin(v0 t 1 f) o v2 = . v0 est la pulsation 0 m propre de loscillateur ; a et f dpendent de deux conditions initiales. Les oscillations dun oscillateur harmonique non amorti sont isochrones : leur pulsation ne dpend pas de lamplitude du mouvement. Aspect nergtique : lnergie mcanique dun oscillateur harmonique non amorti est 1 1 une intgrale premire du mouvement. Em = mv2 1 kx2 est constante, proportionnelle 2 2 1 au carr de lamplitude des oscillations et au carr de la pulsation : Em = ma2 v2 0 2 Un oscillateur harmonique ne possde que des tats lis : deux barrires de potentiel le connent dans une rgion nie de lespace.Thorme du viriel : Lnergie cintique et lnergie potentielle de loscillateur harmonique sont oscillantes, de priode gale T0 /2. Leurs moyennes temporelles sont gales.

2.3. Oscillateur harmonique unidimensionnel amorti par frottement uide Aspect dynamique ; mise en quation : en plus de la force de rappel Fx = kx, la particule est soumise une force de frottement uide f = h (h > 0). Lquation v diffrentielle du mouvement scrit :1 dx dx 1 v2 x = 0 1 0 2 dt t dt2

o

v2 = 0

k m

et

1 h = t m

v0 est la pulsation propre de loscillateur et t correspond physiquement un temps de relaxation ; cest le temps caractristique du rgime libre. Lorsquon carte le systme de lquilibre et quon le lche, il revient sa position dquilibre et au repos aprs quelques t .

Solutions de lquation diffrentielle ; reprsentation complexe : lquation caractristique associe lquation diffrentielle est r 2 1 (1/t)r 1 v2 = 0 0 La forme des solutions de lquation diffrentielle dpend du signe de D = 1/t2 4v2 01. MCANIQUE

21

Si D > 0 (2v0 t < 1), soit (h > 2 mk), le rgime est apriodique : amortissement assez important. Lquation caractristique a 2 racines relles ngatives distinctes r1 et r2 . La solution gnrale scrit :x(t) = a exp(r1 t) 1 b exp(r2 t) La particule retourne sa position dquilibre sans effectuer doscillations. Il est important de remarquer que le fait que les racines soient ngatives assure le retour lquilibre (la limite de la vitesse lorsque t tend vers linni est zro). Si D < 0 (2v0 t > 1), soit (h < 2 mk), le rgime est oscillatoire : amortissement assez faible. Lquation caractristique a deux racines complexes distinctes c1 et c2 partie relle ngative ; la solution gnrale complexe scrit : X (t) = a exp(c1 t) 1 b exp(c2 t). Llongation est alors la partie relle (note x) de X ; il apparat naturellement dans le calcul la pulsation V= On crit la solution : x(t) = exp(t /2t)(a cos Vt 1 b sin Vt) La particule retourne sa position dquilibre en effectuant des oscillations dont lamplitude dcrot exponentiellement, avec un temps caractristique de lordre de 2t ; bien que la fonction x(t) ne soit pas priodique, on remarque quelle sannule des intervalles de temps gaux permettant de dnir une pseudo-priode T = 2p/V. La pseudo-priode des oscillations amorties est toujours un petit peu plus leve que la priode propre, mais en reste trs proche dans la limite de lamortissement faible. Le dcrment logarithmique d caractrise la rapidit de lamortissement ; cest le rapport entre les deux temps caractristiques qui apparaissent naturellement dans lquation diffrentielle, savoir la priode propre et le temps de relaxation. Lamplitude des oscillations dcrot dautant plus vite que d est lev. x(t 1 T )/x(t) = exp(T /2t) et d = T /2t v2 1/4t2 0

Le rapport des amplitudes des oscillations espaces dune pseudo-priode est une constante gale exp(d). Si D = 0 (2v0 t = 1), (soit h = 2 mk), le rgime est critique : cest le rgime qui assure la transition entre le rgime apriodique et le rgime oscillatoire. La solution gnrale scrit : x = (at 1 b) exp(t /2t) La particule retourne sa position dquilibre sans effectuer doscillations. Il est facile de montrer que, pour des conditions initiales et pour v0 et t xs, le temps que met la particule pour retourner lquilibre est alors minimal.22

2.4. Aspect nergtique partir de lquation diffrentielle, on multiplie chaque membre par x, et on intgre entre t1 et t2 : x m(t)x(t) 1 kx(t)x(t) = hx(t)2 E(t2 ) E(t1 ) =t2 t1

f v dt =

t2 t1

hx(t)2 dt

Lnergie mcanique dun oscillateur harmonique amorti diminue au cours du temps : la variation dnergie mcanique du systme entre deux instants est gale au travail de la force de frottement entre ces deux instants. Voir exercices 16 17

3. OSCILLATIONS FORCES : LOSCILLATEUR HARMONIQUEENTRETENU ; RSONANCE

Loscillateur harmonique entretenu est soumis de plus une force extrieure priodique et sinusodale F(t) de priode T .

3.1. Recherche du rgime permanent une dimension, le principe fondamental de la dynamique conduit une quation diffrentielle linaire du second ordre coefcients constants. La solution gnrale est la somme de lintgrale gnrale de lquation sans second membre et dune intgrale particulire de lquation avec second membre : 1 (t) 1 x(t) 1 v2 x(t) = F(t)/m x 0 t La solution gnrale de lquation sans second membre se caractrise par le fait que sa limite tend vers 0 lorsque t tend vers linni, quel que soit le rgime transitoire ; dans la pratique, cette solution scrase sur un temps caractristique de quelques t. Cela sous-entend videmment, que le frottement uide nest pas nul. F(t) tant une excitation sinusodale, on est amen chercher une rponse sinusodale z(t) de mme frquence. On utilise la reprsentation complexe (x = Re(z)) : 1 (t) 1 z(t) 1 v2 z(t) = f0 /m eivt => z(t) = z0 eivt z 0 t avec z0 = 1 f0 3 2 2 ) 1 iv/t m (v0 v

1. MCANIQUE

23

En rgime permanent, loscillateur rpond la frquence xe par lexcitateur. Lamplitude de la rponse est proportionnelle lamplitude de lexcitation (rponse linaire). Lamplitude de la rponse dpend des caractristiques intrinsques de loscillateur (v0 , t) et de la frquence v de lexcitateur . La rponse prsente en gnral un dphasage avec lexcitation. On peut dnir la rponse en vitesse par z = v0 exp(ivt), o v0 = ivz0 : v0 = iv f0 3 2 m (v0 v2 ) 1 iv/t

3.2. Comportement de la rponse en amplitude en fonction de la frquence Le phnomne de rsonance en amplitude Avertissement : Il importe de remarquer que le titre est entre guillemets. On dit quil y a rsonance lorsque la puissance cde par lexcitateur loscillateur est maximale ; cela se produit lorsque la frquence de lexcitateur est rigoureusement gale la frquence propre de lexcitateur. La mise en vidence du phnomne de rsonance proprement dit ncessite ltude de la rponse en vitesse ; on ne peut donc pas en toute rigueur parler de rsonance en amplitude . z0 (v) = ( f0 /m).Fa (v) conduit : |Fa (v)| =1 (v2 v2 )2 1 (v/t)2 0 et tan f(v) = v /t v2 v2 0

o f est le dphasage entre la force excitatrice F(t) et la rponse en amplitude x(t). La seule donne de tan f(v) ne suft pas dterminer la phase f(v). Pour la dterminer, on peut remarquer que largument de Fa (v) est ngatif. Si loscillateur est assez faiblement amorti Fa 1 (pour v0 t > ) lamplitude de la rponse 2 Fa,max prsente un maximum pour une pulsation Fa,max excitatrice vm lgrement infrieure la pul2 >>1 sation propre v0 de loscillateur ; la force 1 excitatrice est alors en avance de un peu < 1 moins de p/2 sur le dplacement. On a2

vm =

v2 1/2t2 0

m

Rponse basse frquence : dans la limite des basses frquences, la force excitatrice est pratiquement en phase avec le dplacement.24

Rponse haute frquence : dans la limite des hautes frquences, la rponse tend vers 0 comme 1/v2 (loscillateur n a pas le temps de rpondre cause de son inertie). La force est pratiquement en opposition de phase avec le dplacement. Acuit de la rsonance en amplitude : dans la limite dun amortissement nettement 1) vm est trs voisin de v0 et lacuit de la rsonance en amplitude est faible (v0 t caractrise par une largeur de bande passante telle que :Dva = 1/t La rsonance en amplitude, lorsquelle existe est dautant plus troite que lamortissement est faible. Il en va de mme pour la rsonance dnie par la vitesse la diffrence quelle nexiste pas toujours.

Principe de causalit : les effets ne peuvent prcder les causes. Cela se manifeste ici par le fait que la rponse en amplitude est toujours en retard de phase sur la force excitatrice.

3.3. Aspect nergtique Bilan instantan : lnergie cintique et lnergie potentielle sont des fonctions priodiques, de priode T /2 dont lamplitude dpend du module de la fonction de rponse. Lnergie mcanique est en gnral dpendante du temps. Ce nest que dans le cas o la frquence de lexcitateur est gale la frquence propre de loscillateur que la puissance instantane quil lui fournit est gale la puissance instantane dissipe par lamortissement. Puissance moyenne absorbe : rsonance. La puissance moyenne absorbe est la grandeur moyenne effectivement accessible la mesure.PT (v)

=

1 T

T

p(t)dt =0

f02 t 2m

1 v2 0

v2 v /t

2

11

La puissance moyenne absorbe par loscillateur a un prol frquentiel Lorentzien. Elle est maximale lorsque la frquence de lexcitateur est gale (rigoureusement) la frquence propre de loscillateur ; la bande passante en puissance (largeur totale mi-hauteur de P T (v)) est telle que : DvP

3t=1

Le facteur de qualit Q ne dpend que des caractristiques de loscillateur et rend compte de lacuit de la rsonance : v0 v0 t Q= Dv P Voir exercices 16 17

1. MCANIQUE

25

4. MCANIQUE DES SYSTMESLes dnitions et thormes tels quils sont noncs ici sont valables aussi bien pour des solides indformables que pour des systmes dformables.

4.1. PrliminaireAu sens classique, un systme S peut tre dni comme un ensemble de points matriels Mi , chacun tant affect dune masse mi . Le passage des distributions continues de masse simpose souvent lorsque lon calcule les grandeurs mcaniques (moments dinertie ou positions de centres de gravit,...). Il est cependant plus pratique de retenir les dnitions sous forme discrte et facile de retrouver rapidement tous les thormes de la mcanique des systmes en utilisant des sommes discrtes plutt que des intgrales. Le passage du discret au continu pour une grandeur mcanique A seffectue en remplaant : A(Mi )mii

par

A(M)dm.

4.2. Centre dinertie ; rfrentiel barycentriqueLe centre dinertie G du systme matriel S, de masse totale m est dni par : mi OMi Mi S OG = m OMdm S dans le cas dune distribution continue. ce qui peut scrire OG = m La position de G ne dpend pas du choix de O. Si la distribution de masse du systme prsente des symtries (plans, axes), G est lintersection de ses lments de symtrie. Pour dterminer les lments de symtrie de S, lexamen de la forme gomtrique ne suft pas. Il faut penser lhomognit de la distribution de masse. Le rfrentiel barycentrique (Rba ) associ R a son origine en G et est en translation (gnralement non rectiligne) par rapport R ; les axes du repre barycentrique sont tout instant parallles aux axes de R.Rba Rba O R Instant t1 Instant t2 G G

26

4.3. Quantit de mouvementDnition : La quantit de mouvement du systme S dans le rfrentiel R est :

p (S/R) =Mi S

mi (Mi /R) v

Cette dnition nest gnralement pas utilisable directement pour calculer des quantits de mouvement dans un problme de mcanique. Il est donc crucial de se rappeler quil dcoule de la dnition de G la relation trs utile :

p (S/R) = M (G/R) vLa dnition mme de Rba implique que la quantit de mouvement dun systme est nulle tout instant dans le rfrentiel barycentrique ( p (S/Rba ) = 0 ) ; cette proprit est utile pour traiter des problmes de chocs. Principe de linertie : diffrents noncs peuvent en tre donns. ce titre-l, il est intressant de se reporter louvrage dIsaac Newton De philosophiae naturalis principia mathematica paru en 1687.Principe : Dans un rfrentiel galilen, la quantit de mouvement dun systme isol est constante.

Il importe de bien avoir prsent lesprit que cela signie que G est soit au repos, soit en mouvement rectiligne et uniforme, et que le systme peut se dformer et tourner autour de G Thorme du centre dinertie (ou rsultante cintique)Thorme : Le mouvement du centre dinertie dun systme est le mme que celui dun point matriel dont la masse totale serait celle du systme et auquel seraient appliques toutes les forces extrieures. d p (S/Rgal ) = Fext dtRgal

Dans le cas o R nest pas galilen, il faut ajouter la somme des forces extrieures, les forces dinertie dentranement et de Coriolis (il faut en gnral intgrer sur la totalit du systme pour les calculer).

4.4. Moment cintiqueDnition : Le moment cintique en un point quelconque A, du systme S par rapport R est : (S/R) = s AM m (M /R) vA i i i Mi S

1. MCANIQUE

27

Le moment cintique dpend du point o on le calcule et se transforme comme un torseur : (S/R) = (S/R) 1 (S/R) sA sB AB p

Thorme du moment cintique : il nest applicable sous sa forme simple quen un point xe dun rfrentiel galilen ou au centre dinertie. Point xe O de Rgal : On a souvent intrt lutiliser sous cette forme si O appartient S.Thorme : La drive galilenne par rapport au temps du moment cintique dun systme en un point xe O dun rfrentiel galilen est gale la somme des moments en ce point des forces extrieures appliques. d O (S/Rgal ) s = MO (Fext ) dt Rgal

Au centre dinertie G : puisque Rba est en translation par rapport R, le moment cintique en G est le mme dans R et dans Rba . dG (S) s MG (Fext ) = dt

Forme scalaire : le thorme du moment cintique peut se rduire une relation scalaire dans le cas o le mouvement se fait par rapport un axe xe D, ou un axe dont la u direction reste xe. Le vecteur unitaire dnissant la direction de cet axe : u s (S/R ) = s (S/R ) D gal A gal

A G

Rgal

u

et lapplication du thorme du moment cintique en A se ramne : dsD (S/Rgal ) dt

=Rgal

MD (Fext )

u sA u sD = et MD ( F ) = MA ( F ) dnissent respectivement le moment cintique et le moment scalaire des forces par rapport laxe D.

4.5. nergie cintique. Conservation de lnergieDnition : Lnergie cintique du systme S par rapport R est : Ec (S/R) =Mi S

1 mi v2 (Mi /R) 2

28

Thorme : La variation dnergie cintique du systme S (dans Rgal ) entre deux instants t1 et t2 est gale la somme des travaux de toutes les forces intrieures et extrieures appliques au systme entre ces deux instants. Wt1t2 ( F ) EC2 (S/Rgal ) EC1 (S/Rgal ) =

Remarque : si R nest pas galilen, il faut ajouter le travail des forces dinertie dentranement.Conservation de lnergie : Lnergie totale dun systme S de points matriels se conserve si les forces intrieures et extrieures quil subit drivent toutes dune nergie potentielle ; chaque point matriel tant repr par ri , cette nergie scrit : 1 Eint . ext ri ri E = EC 1 Ep p

Il importe de remarquer quen toute gnralit, cette expression de lnergie prend en compte les interactions microscopiques, donc lnergie interne du systme.

4.6. Thormes de KoenigCes thormes permettent de calculer le moment cintique en un point quelconque par rapport R en fonction du moment cintique en G et lnergie cintique dans R en fonction de lnergie cintique dans Rba (S/R) = (S) 1 m (R) s s AG vA G G

1 vG Ec (S/R) = Ec (S/Rba ) 1 m 2 (R) 2

4.7. Rduction canonique du problme deux corpsOn dsigne par S un systme de deux point matriels M1 et M2 de masses m1 et m2 en interaction. Lnergie potentielle qui dcrit cette interaction est invariante par translation de lensemble (donc elle dpend de la seule diffrence de leurs positions = = M ) et par rotation de lensemble (donc elle dpend de la seule r r1 r2 2 M1 r norme de ). Le systme est suppos isol par rapport un rfrentiel galilen Rgal .Proprits : Dans le rfrentiel barycentrique Rba , le mouvement de chaque point matriel est un mouvement force centrale (de centre G). Les deux quations traduisant la relation fondamentale de la dynamique se ramnent dEp (r) r m1 m2 r d2 ur , o m = est la masse rduite du systme et ur = . On dit que m 2 = dt dr m1 1 m2 r le mouvement se ramne ltude du mouvement force centrale dune particule dite ctive , de masse m. s r r Le moment cintique de S en G est G (S) = m 1 2 r Lnergie cintique de S dans Rba est EC (S/Rba ) = m 2 Voir exercices 18 26

1. MCANIQUE

29

5. MCANIQUE DU SOLIDE INDFORMABLETous les thormes et dnitions de la mcanique des systmes restent valables. De plus, le caractre indformable du systme implique les proprits suivantes : La somme des forces intrieures est nulle ; La somme des travaux des forces intrieures est nulle.

5.1. lments de cinmatique du solideClassiquement, le solide indformable est un ensemble de points matriels {Mi } tels que : (i, j), Mi Mj = Cte. Il est alors facile de montrer que le champ des vitesses dun solide est quiprojectif (antisymtrique), cest--dire que : (A, B) Solide, AB VA = AB VB

VA A B

VB

Il sensuit que t, , (indpendant des v points du solide considr) tel que : VA = VB 1 AB v est le vecteur rotation instantane du v solide linstant t. Le champ des acclrations nest pas antisymtrique. Si le solide est en translation, = 0 , t v Si le solide est rotation autour dun axe xe, il ny a pas de translation par rapport laxe et le vecteur rotation instantan conserve une uD direction xe, de vecteur unitaire . On a du = o langle u repre la rotav uD dt tion autour de laxe D ; un point M du solide a une trajectoire circulaire, daxe D et sa vitesse v est V (M) = OM. Lacclration de M scrit par consquent : (M) = v2 1 d v OM a MH dt

V (M)

H M

O

30

Le premier terme nest autre que lacclration centripte. Il est utile de se rappeler que cest partir de cette expression que lon crit lacclration dentranement dun point lors dun changement de rfrentiel.

5.2. Moment cintique, nergie cintique, oprateur dinertieUn point M est repr par ses coordonnes cartsiennes : x OM y G x z O OM y . M R z V (S/R) tant le vecteur rotation instantan du solide S, il est facile de montrer que le s moment cintique O (S/R) peut scrire : (S/R) = J (O/S) (S/R) sO V Loprateur dinertie en O du solide S est : Jxx (O) Jxy (O) Jxz (O) J (O, S) = Jxy (O) Jyy (O) Jyz (O) Jxz (O) Jyz (O) Jzz (O) o Jxx (O), Jyy (O), Jzz (O) sont les moments dinertie par rapport aux axes x x, y y, z z passant par O. Les autres termes sont les produits dinertie (on peut les interprter comme des moments dinertie par rapport des plans). dm tant la masse de llment de matire innitsimal entourant M, les termes de la matrice sont dnis par : Jxx (O) =S

(y2 1 z2 )dm xydmS

Jxy (O) =

Il importe de remarquer que lexpression de J (O, S) dpend de la base dans laquelle les moments et produits dinertie sont calculs. Les trois directions associes la base dans laquelle J (O, S) est diagonale dnissent les axes principaux dinertie en O du solide S. On montre que lnergie cintique est : Ec (S/R) =

1 (S/R) (S/R) sO V 2

Du point de vue des dimensions : Le moment cintique est homogne : (moment dinertie) 3 (vitesse angulaire) Lnergie cintique est homogne : (moment dinertie) 3 (vitesse angulaire)2 Les relations telles quelles sont crites ci-dessus permettent de traiter le mouvement dun solide autour dun point xe.1. MCANIQUE

31

5.3. Solide en rotation autour dun axe xeIl ne faut jamais traiter un problme de rotation autour dun axe xe en utilisant larsenal du paragraphe prcdent. En effet, il suft de projeter les relations sur laxe, et le problme scrit totalement en termes scalaires. Moment cintique scalaire par rapport laxe D :axe fixe M

H

sD (S) = OD (S/R) s uavec v = du vitesse angulaire autour de laxe dt D et JD moment dinertie du solide par rapport laxe D : JD =S

R

O

r2 dm = J (O, S) u u

Le moment cintique du solide dans sa rotation autour de laxe est : sD (S) = JD v Lnergie cintique du solide dans sa rotation autour de D scrit : Ec (S) = 1 JD v2 2

Le thorme du moment cintique peut scrire au point xe O et se projeter sur laxe. Il vient : d sD (S) = dt quil est plus pratique dutiliser sous la forme : JD d 2u = dt 2

MD (Fext )

MD (Fext )

o la somme des moments est algbrique. Dans ces conditions, le moment de la force par rapport laxe est scalaire. Si la direction de cette force est perpendiculaire laxe de rotation, MD (Fext ) est alors gale au produit, affect du signe convenable, de lintensit de la force par le bras de levier.32

5.4. Moments dinertie connatreSolide Schma Moment dinertie

Sphre homogne de rayon R et de masse M. Axes passant par le centre.

JD =

2 MR2 5

Cylindre homogne de rayon R et de masse M. Axe de rvolution.

JD =

1 MR2 2

Disque homogne de rayon R et de masse M. Axe de rvolution.

JD =

1 MR2 2

Anneau de rayon R et de masse M. Axe de rvolution.

JD = MR2

Tige de longueur l et de masse M. Axe perpendiculaire passant par le centre dinertie.

G

JD =

Ml 2 12

1. MCANIQUE

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5.5. Thorme de HuygensThorme : Le moment dinertie dun solide de masse M et de centre dinertie G par rapport un axe D quelconque est gal son moment dinertie par rapport un axe DG parallle D et passant par G augment de M a2 o a est la distance entre les deux axes D et DG : JD = JDG 1 M a2

Le moment dinertie par rapport D est toujours suprieur au moment dinertie par rapport DG .a

G

G

5.6. Contact entre solides. Frottement de glissement, lois de CoulombOn distingue trois types de frottement lors du contact entre deux solides : pivotement, roulement, glissement. Il est indispensable de bien connatre les lois du frottement de glissement. Frottement de glissement statique : lorsquun solide A est en contact statique avec un solide B, le coefcient f de frottement statique dnit le rapport entre la compos

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CAPES Sciences Physiques T1 Physique